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- Entscheide zuerst, ob die entstandene Aussage wahr oder falsch ist. - Überlege, was eine falsche Aussage am Ende einer äquivalenten Umformung für gemeinsame Lösungen bedeutet.

1. Die Aussage \(0=5\) ist falsch und kann für keine Werte von \(x\) und \(y\) erfüllt sein. 2. Daher besitzen die beiden Gleichungen kein gemeinsames Wertepaar.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

- Was musst du mit der \(x\)-Koordinate eines Punktes tun, um eine Punktprobe durchzuführen? - Wann liegt ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion? - Prüfe die Punkte systematisch und streiche bereits eindeutig zugeordnete Punkte.

1. Für \(A(3\mid4)\) gilt \(f_1(3)=3\cdot3-5=4\). Daher gehört \(A\) zu \(f_1\). 2. Für \(B(0\mid3)\) gilt \(f_2(0)=3\). Daher gehört \(B\) zu \(f_2\). 3. Für \(C(7\mid1)\) gilt \(f_3(7)=7-6=1\). Daher gehört \(C\) zu \(f_3\). 4. Für \(D(4\mid0)\) gilt \(f_4(4)=-0{,}5\cdot4+2=0\). Daher gehört \(D\) zu \(f_4\). 5. Der Punkt \(E(2\mid3)\) erfüllt keinen der vier Funktionsterme und bleibt übrig.

(1) \(\rightarrow A\) (2) \(\rightarrow B\) (3) \(\rightarrow C\) (4) \(\rightarrow D\) Übrig: \(E(2\mid3)\)

- Welche Bedingung muss ein Lösungspaar für ein Gleichungssystem erfüllen? - Welche Zahl im Paar \((x|y)\) gehört zu welcher Variablen? - Reicht es aus, wenn nur eine der beiden Gleichungen stimmt?

1. Für a) erfüllt \((2|1)\) die erste Gleichung, denn \(3\cdot2+1=7\). 2. Das Zahlenpaar erfüllt auch die zweite Gleichung, denn \(2-2\cdot1=0\). Damit ist \((2|1)\) eine Lösung des Systems. 3. Für b) ergibt die erste Gleichung bei \((3|4)\) den Wert \(4\cdot3-3\cdot4=0\neq2\). Sie ist also nicht erfüllt. 4. Zwar gilt in der zweiten Gleichung \(2\cdot3+4=10\), aber ein Zahlenpaar muss beide Gleichungen erfüllen. Daher ist \((3|4)\) keine Lösung.

a) Ja, \((2|1)\) ist eine Lösung. b) Nein, \((3|4)\) ist keine Lösung.

- Was bedeutet die Angabe, dass \((5|2)\) eine Lösung ist? - In welcher Gleichung kommt der gesuchte Parameter vor? - Welche lineare Gleichung in \(k\) entsteht nach dem Einsetzen?

1. Da \((5|2)\) eine Lösung ist, müssen \(x=5\) und \(y=2\) beide Gleichungen erfüllen. 2. Setze die Werte in die zweite Gleichung ein: \(3\cdot5-2k=11\). 3. Daraus folgt \(15-2k=11\), also \(-2k=-4\) und \(k=2\).

\(k=2\)

- Überlege, welche Bedingung ein gemeinsamer Punkt zweier Geraden erfüllen muss. - Nutze die gegebenen Koordinaten, um diese Bedingung für beide Geraden getrennt zu überprüfen. - Ziehe erst danach die Schlussfolgerung über den behaupteten Schnittpunkt.

1. Ein Schnittpunkt muss auf beiden Geraden liegen und daher beide Funktionsgleichungen erfüllen. 2. Für \(g\) ergibt Einsetzen von \(P(4 \mid 2)\): \(1{,}5\cdot4-4=6-4=2\). Der Punkt liegt auf \(g\). 3. Für \(h\) ergibt Einsetzen: \(-4+6=2\). Der Punkt liegt auch auf \(h\). 4. Damit ist \(P(4 \mid 2)\) tatsächlich der Schnittpunkt der beiden Geraden. Lauras Behauptung ist wahr.

Die Behauptung ist wahr. Der Punkt \(P(4 \mid 2)\) erfüllt beide Funktionsgleichungen und ist daher ihr Schnittpunkt.

- Was passiert, wenn du eine Gleichung so umformst, dass sie genau wie die andere aussieht? - Überlege, was es grafisch bedeutet, wenn zwei Gleichungen im Grunde dasselbe aussagen. - Was bedeutet es für die Geraden, wenn die Kombination aus \(x\) und \(y\) dasselbe ergeben soll, aber zwei verschiedene Zahlen als Ergebnis dastehen? - Können zwei parallele Geraden einen gemeinsamen Punkt haben?

1. In Teilaufgabe a) wird Gleichung (I) äquivalent umgeformt: \(y = 2x - 5 \iff 2y = 4x - 10 \iff 4x - 2y = 10\). Da dies identisch mit Gleichung (II) ist, liegen die Geraden aufeinander. Ergebnis: unendlich viele Lösungen. 2. In Teilaufgabe b) sind die linken Seiten der Gleichungen identisch (\(3x + y\)), während die rechten Seiten unterschiedliche Werte (\(7\) und \(-2\)) aufweisen. Dies führt zu einem Widerspruch (\(7 = -2\)). Die entsprechenden Geraden verlaufen parallel zueinander. Ergebnis: keine Lösung.

a) Das System hat unendlich viele Lösungen. b) Das System hat keine Lösung.

- Was bedeutet es für die Graphen der Gleichungen, wenn es keine, eine oder unendlich viele Lösungen gibt? - Bringe die Gleichungen in die Form \(y = mx + b\), um Steigung und Achsenabschnitt direkt vergleichen zu können. - Überprüfe, ob eine Gleichung durch Multiplikation oder Division in die andere überführt werden kann.

1. Umformung von (II) in Teil a): \(3x - 2y = 4 \iff -2y = -3x + 4 \iff y = 1{,}5x - 2\). Vergleich mit (I) zeigt, dass beide Gleichungen identisch sind. Ergebnis: unendlich viele Lösungen. 2. Umformung beider Gleichungen in Teil b) nach \(y\): (I) \(y = -x + 5\) und (II) \(y = -x + 3\). Die Steigungen sind mit \(m = -1\) gleich, aber die \(y\)-Achsenabschnitte (\(5\) und \(3\)) sind verschieden. Die Geraden verlaufen parallel. Ergebnis: keine Lösung.

a) Unendlich viele Lösungen b) Keine Lösung

- Überlege dir, wie die Lage von zwei Geraden im Koordinatensystem mit der Anzahl der Lösungen zusammenhängt. - Was sagt die Steigung \(m\) über den Verlauf einer Geraden aus? - Was passiert, wenn zwei Geraden dieselbe Steigung haben, aber an unterschiedlichen Stellen die \(y\)-Achse schneiden? - Bringst du eine Gleichung wie \(4x - 2y = -10\) zuerst in die Form \(y = mx + b\), kannst du sie leichter vergleichen.

1. System (1): Beide Gleichungen haben die gleiche Steigung \(m = 4\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(-2\) und \(3\)). Die Geraden verlaufen parallel und haben keinen Schnittpunkt. Ergebnis: keine Lösung. 2. System (2): Die Steigungen sind unterschiedlich (\(m_1 = -1\) und \(m_2 = 1\)). Geraden mit unterschiedlichen Steigungen schneiden sich in genau einem Punkt. Ergebnis: genau eine Lösung. 3. System (3): Formt man die zweite Gleichung nach \(y\) um (\(-2y = -4x - 10 \implies y = 2x + 5\)), stellt man fest, dass beide Gleichungen identisch sind. Die Geraden liegen aufeinander. Ergebnis: unendlich viele Lösungen.

(1) Keine Lösung (parallel) (2) Genau eine Lösung (Schnittpunkt) (3) Unendlich viele Lösungen (identisch)

- Welche zwei Gleichungen beschreiben die beiden Aussagen? - Wie hängt die linke Seite der zweiten Gleichung mit \(x+y\) zusammen? - Was bedeutet ein Widerspruch nach gültigen Umformungen für die Lösungsmenge?

1. Sei \(x\) die erste Zahl und \(y\) die zweite Zahl. Dann gilt \(\begin{cases}x+y=12\\4x+4y=50\end{cases}\). 2. Die linke Seite der zweiten Gleichung ist \(4(x+y)\). Mit der ersten Gleichung müsste daher \(4\cdot12=50\) gelten. 3. Es entsteht der Widerspruch \(48=50\). Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Es gibt kein solches Zahlenpaar; das System führt auf den Widerspruch \(48=50\) und damit auf \(L=\emptyset\).

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks aus seiner Länge und Breite? - Schreibe beide Forderungen als mathematische Formeln auf. - Kannst du eine der Formeln vereinfachen, um sie direkt mit der anderen zu vergleichen? - Was bedeutet es für die Realisierbarkeit, wenn zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen, aber unterschiedliche Ergebnisse fordern?

1. Definition der Variablen \(l\) für die Länge und \(b\) für die Breite des Rechtecks in \(\text{cm}\). 2. Aufstellen der Gleichung für den Umfang: \(2 \cdot (l + b) = 80\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Summe der Seiten: \(l + b = 45\). 4. Vereinfachung der Umfangsgleichung durch Division beider Seiten durch 2: \(l + b = 40\). 5. Vergleich der Bedingungen: Das System verlangt gleichzeitig \(l + b = 40\) und \(l + b = 45\). 6. Da \(40 \neq 45\) ist, entsteht ein mathematischer Widerspruch. Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Nein, die Konstruktion ist nicht möglich. Ein Umfang von \(80\,\text{cm}\) setzt voraus, dass die Summe von Länge und Breite \(40\,\text{cm}\) beträgt. Dies steht im Widerspruch zur zweiten Forderung von \(45\,\text{cm}\).

- Überlege dir, wie die beiden Gleichungen zusammenhängen. Was passiert mit der linken Seite von Gleichung (I), wenn man sie mit \(-2\) multipliziert? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn die linken Seiten der Gleichungen „zusammenpassen“, die rechten Seiten aber nicht? - Erinnere dich an die drei Fälle: genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

1. Vergleich der linken Seiten der Gleichungen: Die Koeffizienten in (II) sind das \(-2\)-fache der Koeffizienten in (I), da \(-6 : 3 = -2\) und \(2 : (-1) = -2\). 2. Für unendlich viele Lösungen muss auch die rechte Seite diesen Faktor erfüllen: \(c = 5 \cdot (-2) = -10\). 3. Untersuchung für \(c = 10\): Die linken Seiten bleiben proportional mit dem Faktor \(-2\), aber für die rechten Seiten gilt \(10 : 5 = 2\). 4. Da \(-2 \neq 2\), sind die entsprechenden Geraden parallel, aber nicht identisch. Das System hat somit keine Lösung.

a) \(c = -10\) b) Das System hat keine Lösung, da die Koeffizienten der Variablen proportional sind, die Konstanten jedoch nicht (die Geraden sind parallel).

- Was passiert mit der zeichnerischen Darstellung, wenn zwei Gleichungen eigentlich die gleiche Gerade beschreiben? - Wie verhalten sich die Steigungen zweier Geraden zueinander, wenn es keinen Schnittpunkt gibt? - Überlege dir, was passiert, wenn du eine Gleichung mit einer Zahl multiplizierst. Ändert das die Lösungsmenge? - Schau dir das Verhältnis der Zahlen vor dem \( x \) und vor dem \( y \) in beiden Gleichungen an.

1. Vergleich der Verhältnisse der Koeffizienten und der Konstanten: \( \frac{4}{2} = 2 \), \( \frac{-2}{-1} = 2 \), \( \frac{10}{5} = 2 \). Da alle Verhältnisse gleich sind (\( 2 = 2 = 2 \)), sind die Gleichungen äquivalent. Ergebnis: unendlich viele Lösungen. 2. Vergleich der Koeffizienten: Die linken Seiten sind identisch (\( 3x + 5y \)), aber die rechten Seiten unterscheiden sich (\( 15 \neq 20 \)). Die Geraden sind parallel und nicht identisch. Ergebnis: keine Lösung. 3. Vergleich der Verhältnisse der Koeffizienten von \( x \) und \( y \): \( \frac{1}{2} \) für \( x \) und \( \frac{3}{-6} = -0{,}5 \) für \( y \). Da \( 0{,}5 \neq -0{,}5 \), haben die Geraden unterschiedliche Steigungen und schneiden sich. Ergebnis: genau eine Lösung.

1) Unendlich viele Lösungen, da die Gleichungen linear abhängig sind (Faktor 2). 2) Keine Lösung, da die Geraden parallel verlaufen (gleiche Koeffizienten links, unterschiedliche Konstante rechts). 3) Genau eine Lösung, da die Verhältnisse der Koeffizienten von \( x \) und \( y \) unterschiedlich sind (unterschiedliche Steigungen).

- Kannst du eine der Gleichungen so umformen, dass die linke Seite genau wie bei der anderen aussieht? - Was passiert mit der Anzahl der Lösungen, wenn zwei Gleichungen im Grunde dasselbe aussagen? - Addiere die beiden Gleichungen in System B. Was fällt dir auf? - Wie viele Schnittpunkte können zwei Geraden im Koordinatensystem maximal haben?

1. Untersuchung von System A: Durch Division der ersten Gleichung durch \( -2 \) erhält man \( -2x + y = -3 \). Da diese Gleichung identisch mit der zweiten Gleichung des Systems ist, gibt es unendlich viele Lösungen. 2. Untersuchung von System B: Anwendung des Additionsverfahrens durch Summierung beider Gleichungen führt zu \( (3x + y) + (x - y) = 7 + 1 \), woraus \( 4x = 8 \) resultiert. 3. Berechnung der Variablen für System B: Division durch \( 4 \) ergibt \( x = 2 \). Einsetzen von \( x = 2 \) in die Gleichung \( x - y = 1 \) führt zu \( 2 - y = 1 \), also \( y = 1 \). Das System besitzt genau eine Lösung \( L = \{(2|1)\} \).

System A: unendlich viele Lösungen. System B: genau eine Lösung; \( L = \{(2|1)\} \).

- Unterscheide eine Aussage, die immer wahr ist, von einer Aussage, die niemals wahr ist. - Verbinde anschließend jede algebraische Situation mit der Anzahl gemeinsamer Punkte zweier Geraden. - Eine Gerade mit sich selbst hat eine andere Schnittpunktsituation als zwei verschiedene parallele Geraden.

1. \(0=0\) ist eine wahre Identität. Die beiden Ausgangsgleichungen beschreiben dieselbe Gerade, daher gibt es unendlich viele Lösungen. 2. \(0=-4\) ist ein Widerspruch. Die Geraden sind verschieden und parallel, daher gibt es keine Lösung.

System A: unendlich viele Lösungen; die Geraden sind identisch. System B: keine Lösung; die Geraden sind parallel und verschieden.

- Die Lösungsmenge besteht aus allen Punkten, die auf beiden Geraden liegen. - Unterscheide: ein Schnittpunkt, kein Schnittpunkt oder vollständig deckungsgleiche Geraden. - Bei deckungsgleichen Geraden musst du alle Punkte der gemeinsamen Geraden beschreiben.

1. In a) schneiden sich die Geraden genau einmal bei \(S(1|2)\). Daher ist \(L=\{(1|2)\}\). 2. In b) sind die Geraden parallel und verschieden. Daher ist \(L=\emptyset\). 3. In c) liegen die beiden Geraden vollständig aufeinander. Jeder Punkt der Geraden \(y=-x+2\) erfüllt beide Gleichungen. Daher ist \(L=\{(x|y)\mid y=-x+2\}\).

a) \(L=\{(1|2)\}\) b) \(L=\emptyset\) c) \(L=\{(x|y)\mid y=-x+2\}\)

- Vergleiche bei jeder Gleichung die Steigungen der beiden zugehörigen Geraden. - Was erhältst du in Aufgabe 2, wenn du die rechte Seite vereinfachst? - Wann haben zwei Geraden keinen, genau einen oder unendlich viele gemeinsame Punkte?

1. Die Geraden zu \(2x+5\) und \(2x-3\) haben beide die Steigung \(m=2\), aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte. Sie sind parallel und verschieden, daher gibt es keine Lösung. 2. Die rechte Seite vereinfacht sich zu \(\frac{1}{2}(6x-2)=3x-1\). Beide Seiten beschreiben dieselbe Gerade. Daher ist jede rationale Zahl \(x\) eine Lösung; es gibt unendlich viele Lösungen. 3. Die linke Gerade hat die Steigung \(m_1=4\), die rechte die Steigung \(m_2=-1\). Wegen der unterschiedlichen Steigungen schneiden sich die Geraden in genau einem Punkt. Es gibt genau eine Lösung.

1. Keine Lösung: verschiedene parallele Geraden. 2. Unendlich viele Lösungen: alle \(x\in\mathbb Q\). 3. Genau eine Lösung: Die Geraden haben unterschiedliche Steigungen.

- Versuche, beide Gleichungen in die Form \(y = mx + b\) zu bringen. - Wann liegen zwei Geraden genau übereinander? - Was muss für die Steigung und den Achsenabschnitt gelten, damit die Geraden parallel sind? - Überlege dir, ob es einen Fall geben kann, in dem diese beiden Geraden sich in genau einem Punkt schneiden.

1. Umformung von Gleichung (I) nach \(y\): Durch Division durch \(-3\) und Umstellen erhält man \(y = 2x - 4\). 2. Vergleich mit Gleichung (II) \(y = 2x + k\): Damit unendlich viele Lösungen existieren, müssen die Gleichungen identisch sein. Dies ist der Fall, wenn die y-Achsenabschnitte übereinstimmen, also \(k = -4\). 3. Analyse für \(k \neq -4\): Die Steigungen beider Geraden sind mit \(m = 2\) gleich. Wenn \(k \neq -4\) ist, sind die y-Achsenabschnitte verschieden. Die Geraden verlaufen somit parallel ohne Schnittpunkt. Ergebnis: keine Lösung.

Für \(k = -4\) hat das System unendlich viele Lösungen. Für alle anderen Werte von \(k\) (\(k \neq -4\)) hat das System keine Lösung.

- Wann liegen zwei Geraden genau aufeinander? - Was muss für die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) gelten, damit die Geraden parallel verlaufen? - Vergleiche die beiden Gleichungen, indem du eine so multiplizierst, dass die Zahlen vor einer Variable (z. B. vor dem \(y\)) übereinstimmen.

1. Umformung von Gleichung (I) durch Multiplikation mit \(-2\), um den Koeffizienten von \(y\) an Gleichung (II) anzupassen: \(-10x + 4y = -20\). 2. Für unendlich viele Lösungen müssen beide Gleichungen identisch sein. Vergleich der Koeffizienten von (II) \(ax + 4y = b\) mit \(-10x + 4y = -20\) ergibt \(a = -10\) und \(b = -20\). 3. Für keine Lösung müssen die Geraden parallel, aber nicht identisch sein. Die Koeffizienten der Variablen müssen proportional sein, der konstante Term jedoch nicht. Dies ist erfüllt für \(a = -10\) und \(b \neq -20\) (zum Beispiel \(b = 0\)).

a) \(a = -10\) und \(b = -20\) b) \(a = -10\) und \(b \neq -20\) (z. B. \(b = 0\))

- Was gibt die Zahl vor dem \(x\) bei einer Funktionsgleichung der Form \(y = mx + n\) an? - Wann schneiden sich zwei Geraden im Koordinatensystem nicht? - Welches Verfahren (Gleichsetzungs-, Einsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier am besten an?

1. Geometrische Deutung: Die Gleichungen beschreiben Geraden in der Form \(y = mx + n\). Keine Lösung existiert, wenn die Geraden parallel verlaufen, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte haben. 2. Vergleich der Steigungen: Die Steigung von (I) ist \(3\). Damit (II) parallel ist, muss \(k = 3\) gelten. Da die \(y\)-Achsenabschnitte \(-4\) und \(2\) verschieden sind, gibt es für \(k = 3\) keinen Schnittpunkt und somit keine Lösung. 3. Berechnung für \(k = 1\): Gleichsetzen der Terme: \(3x - 4 = x + 2\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(2x = 6 \Rightarrow x = 3\). 5. Einsetzen in (I): \(y = 3 \cdot 3 - 4 = 5\). Das Lösungspaar ist \((3|5)\).

a) \(k = 3\); Begründung: Die Geraden haben dann die gleiche Steigung, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte, sind also echt parallel. b) \((3|5)\)

- Bringe beide Gleichungen in die Form \(y = mx + b\). - Was sagt es über den Verlauf zweier Geraden aus, wenn sie die gleiche Steigung haben? - Schau dir zusätzlich an, ob sie die \(y\)-Achse an derselben Stelle kreuzen oder nicht. - Wie viele gemeinsame Punkte können zwei Geraden haben, die parallel nebeneinander verlaufen?

1. Umformen von Gleichung (I) in die Form \(y = mx + b\): \(6x - 2y = 4 \implies -2y = -6x + 4 \implies y = 3x - 2\). 2. Vergleich mit Gleichung (II) \(y = 3x + 5\): Beide Geraden haben die gleiche Steigung \(m = 3\). 3. Vergleich der \(y\)-Achsenabschnitte: Die \(y\)-Achsenabschnitte sind verschieden (\(b_1 = -2\) und \(b_2 = 5\)). 4. Schlussfolgerung: Da die Steigungen gleich, aber die \(y\)-Achsenabschnitte unterschiedlich sind, verlaufen die Geraden echt parallel zueinander. 5. Es gibt keinen gemeinsamen Punkt und somit keinen Schnittpunkt. Das System hat keine Lösung.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung, da die zugehörigen Geraden parallel sind (gleiche Steigung \(m = 3\), unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte). Es gibt \(0\) Schnittpunkte.

- Überlege dir, was grafisch passieren muss, damit zwei Geraden keine oder unendlich viele Schnittpunkte haben. - Wie verändern sich die Lösungen einer Gleichung, wenn man die gesamte Gleichung mit einer Zahl multipliziert? - Was passiert mit der Lage einer Geraden im Koordinatensystem, wenn man nur den y-Achsenabschnitt ändert, aber die Steigung gleich lässt?

1. Für unendlich viele Lösungen müssen die Gleichungen äquivalent sein. Multiplikation von (I) mit einem Faktor, z. B. \(2\), ergibt (II) \(6x - 4y = 8\). Da beide Gleichungen dieselbe Lösungsmenge (dieselbe Gerade) beschreiben, gibt es unendlich viele Lösungen. 2. Für keine Lösung müssen die Geraden parallel, aber nicht identisch sein. Die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) müssen im gleichen Verhältnis stehen, die Konstante jedoch nicht. Multiplikation der linken Seite von (I) mit \(2\) ergibt \(6x - 4y\). Wählt man eine Konstante ungleich \(8\), z. B. \(10\), so ergibt sich (II) \(6x - 4y = 10\). Da \(6x - 4y\) nicht gleichzeitig \(8\) und \(10\) sein kann, ist die Lösungsmenge leer.

Mögliche Lösungen: a) (II) \(6x - 4y = 8\) (oder ein anderes Vielfaches der gesamten Gleichung). b) (II) \(6x - 4y = 10\) (oder allgemein \(6x - 4y = c\) mit \(c \neq 8\)).

- Kannst du die Gleichungen so umformen, dass sie die Form \(y = mx + b\) haben? - Was kannst du über die Lösungsanzahl sagen, wenn die linke Seite zweier Gleichungen gleich ist, die rechte aber nicht? - Schau dir die Steigungen der Geraden an, wenn du sie dir grafisch vorstellst.

1. System (A): Umformung von (II) nach \(y\): \(4x + 10 = 2y \Rightarrow y = 2x + 5\). Da (I) und (II) identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen. 2. System (B): Die linken Seiten der Gleichungen sind identisch (\(3x + 4y\)), aber die rechten Seiten unterscheiden sich (\(12 \neq 15\)). Dies führt zu einem Widerspruch (\(12 = 15\)), daher gibt es keine Lösung. 3. System (C): Die Verhältnisse der Koeffizienten von \(x\) und \(y\) sind unterschiedlich (\(1:1\) bei \(x\), aber \(1:(-1)\) bei \(y\)). Die Geraden haben unterschiedliche Steigungen (\(m_1 = -1\), \(m_2 = 1\)) und schneiden sich daher in genau einem Punkt. Es gibt genau eine Lösung.

(A) Unendlich viele Lösungen (Gleichungen sind identisch). (B) Keine Lösung (Widerspruch: dieselbe Summe kann nicht zwei verschiedene Werte ergeben). (C) Genau eine Lösung (Geraden haben unterschiedliche Steigungen).

- Vergleiche in jedem Beispiel nicht nur die Koeffizienten vor den Variablen, sondern die vollständigen Gleichungen. - Überlege, wann zwei Gleichungen tatsächlich dieselbe Gerade beschreiben. - Prüfe, was geschieht, wenn die linken Seiten proportional sind, die rechten Seiten aber nicht.

1. In Beispiel 1 ist Gleichung (II) genau das Doppelte von Gleichung (I): \(2(x+2y)=2\cdot5\) ergibt \(2x+4y=10\). Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade; es gibt unendlich viele Lösungen. 2. In Beispiel 2 sind zwar die Variablenkoeffizienten verdoppelt, aber die rechte Seite müsste dann \(10\) statt \(12\) sein. Aus den beiden Gleichungen ergäbe sich der Widerspruch \(10=12\). Das System hat keine Lösung. 3. Ninas Regel ist daher unvollständig. Für unendlich viele Lösungen müssen alle Koeffizienten einschließlich der Konstanten im selben Verhältnis stehen. Sind nur die Variablenkoeffizienten proportional, die Konstanten aber nicht, beschreiben die Gleichungen verschiedene parallele Geraden.

Nina hat nicht recht. In Beispiel 1 gibt es unendlich viele Lösungen, weil die gesamte zweite Gleichung das Doppelte der ersten ist. In Beispiel 2 gibt es keine Lösung, weil die Konstanten nicht im selben Verhältnis stehen.

- „Anders geschrieben“ bedeutet nicht automatisch „andere Gerade“. - Vereinfache die erste Gleichung, bevor du sie mit der zweiten vergleichst. - Welche zwei Lagebeziehungen sind bei gleicher Steigung möglich?

1. Teile die erste Gleichung durch \(4\). Dadurch erhältst du die äquivalente Gleichung \(3x-y=2\). 2. Für \(k=2\) sind die beiden Gleichungen daher äquivalent. Das System hat unendlich viele Lösungen; Noahs Behauptung ist falsch. 3. Für \(k\neq2\) haben beide Geraden dieselben Koeffizienten bei \(x\) und \(y\), aber verschiedene konstante Terme. Sie sind parallel und verschieden; damit ist \(L=\emptyset\). 4. Die Geraden haben für jedes \(k\) dieselbe Steigung. Sie sind deshalb entweder identisch oder parallel und können sich nie in genau einem Punkt schneiden.

a) Falsch. Für \(k=2\) gibt es unendlich viele Lösungen. b) Für jedes \(k\neq2\) gilt \(L=\emptyset\). c) Die Geraden sind stets entweder identisch oder parallel; genau ein Schnittpunkt ist unmöglich.

- Wie müssen die Steigungen zweier Geraden zueinander stehen, damit sie sich in genau einem Punkt schneiden? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel zueinander, ohne sich zu berühren? - Was muss gelten, damit zwei Gleichungen im Grunde dieselbe Gerade beschreiben?

1. Umformung der Ausgangsgleichung (I) nach \(y\): \(y = \frac{2}{3}x - 2\). 2. Für genau eine Lösung muss die Steigung der zweiten Geraden von \(\frac{2}{3}\) abweichen, zum Beispiel \(y = x\). 3. Für keine Lösung müssen die Steigungen gleich sein, aber der \(y\)-Achsenabschnitt verschieden, zum Beispiel \(y = \frac{2}{3}x\) (entspricht \(2x - 3y = 0\)). 4. Für unendlich viele Lösungen muss die Gleichung äquivalent zur ersten sein, zum Beispiel durch Multiplikation mit \(0{,}5\): \(2x - 3y = 6\).

Beispiele für mögliche Gleichungen (II): a) \(y = x\) b) \(2x - 3y = 0\) c) \(2x - 3y = 6\)

- Wann haben zwei Geraden keinen einzigen gemeinsamen Punkt? - Wenn zwei Geraden eine unterschiedliche Steigung haben, wie oft können sie sich dann höchstens schneiden? - Überlege, welche Werte \(m\) und \(n\) annehmen müssen, damit die zweite Gleichung exakt die gleiche Gerade beschreibt wie die erste.

1. Keine Lösung: Die Geraden müssen parallel sein. Das bedeutet, die Steigungen müssen gleich sein (\(m = 3\)), aber die \(y\)-Achsenabschnitte verschieden (\(n \neq -5\)). Beispiel: \(m = 3\), \(n = 0\). 2. Genau eine Lösung: Die Geraden müssen sich schneiden. Das ist immer dann der Fall, wenn die Steigungen unterschiedlich sind (\(m \neq 3\)). Der Wert von \(n\) spielt dabei keine Rolle. Beispiel: \(m = 1\), \(n = -5\). 3. Unendlich viele Lösungen: Die Geraden müssen identisch sein. Sowohl die Steigung als auch der \(y\)-Achsenabschnitt müssen gleich sein. Ergebnis: \(m = 3\), \(n = -5\).

Mögliche Beispiele: a) \(m = 3\), \(n = 0\) (allgemein: \(m = 3\) und \(n \neq -5\)) b) \(m = 1\), \(n = -5\) (allgemein: \(m \neq 3\), \(n\) beliebig) c) \(m = 3\), \(n = -5\)

- Wie viele Punkte liegen auf dem Graphen einer einzelnen linearen Gleichung mit zwei Variablen? - Welche Lage müssen zwei Geraden haben, damit sie genau einen gemeinsamen Punkt besitzen? - Kann derselbe Ausdruck \(a-b\) gleichzeitig die Werte \(5\) und \(8\) annehmen?

1. Die Gleichung \(a-b=5\) besitzt unendlich viele Lösungen, zum Beispiel \((10 \mid 5)\), \((7 \mid 2)\) und \((0 \mid -5)\). Ein einzelnes Zahlenpaar beschreibt daher nicht die gesamte Lösungsmenge. 2. Eine mögliche zweite Gleichung ist \(a+b=15\). Die beiden zugehörigen Geraden haben unterschiedliche Steigungen und schneiden sich daher in genau einem Punkt. Einsetzen zeigt, dass dieser Punkt \((10 \mid 5)\) ist. 3. Die beiden Gleichungen \(a-b=5\) und \(a-b=8\) können nicht gleichzeitig erfüllt sein. Subtraktion führt auf den Widerspruch \(0=3\). Daher gibt es keine gemeinsame Lösung.

1. \((10 \mid 5)\) ist nur eine von unendlich vielen Lösungen. 2. Zum Beispiel \(a+b=15\); dann ist die einzige gemeinsame Lösung \((10 \mid 5)\). 3. Keine gemeinsame Lösung.

- Kannst du für die erste Gleichung zwei Zahlen finden, deren Summe den Zielwert ergibt? - Wie kannst du die Information aus der zweiten Gleichung nutzen, um sie in die erste einzusetzen? - Was bedeutet es grafisch, wenn ein Punkt beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt?

1. Lösungen für (I): Wähle \(x=0 \Rightarrow y=10\), also \((0|10)\). Wähle \(x=5 \Rightarrow y=5\), also \((5|5)\). 2. Lösungen für (II): Wähle \(x=0 \Rightarrow y=2\), also \((0|2)\). Wähle \(x=2 \Rightarrow y=4\), also \((2|4)\). 3. Gemeinsame Lösung bestimmen: Setze den Ausdruck für \(y\) aus (II) in (I) ein: \(x + (x + 2) = 10\). 4. Löse nach \(x\) auf: \(2x + 2 = 10 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4\). 5. Berechne \(y\) durch Einsetzen von \(x=4\) in (II): \(y = 4 + 2 = 6\). Das gesuchte Zahlenpaar ist \((4|6)\).

a) Beispiele für (I): \((0|10), (5|5)\); Beispiele für (II): \((0|2), (2|4)\). b) Das gemeinsame Zahlenpaar ist \((4|6)\).

- Könntest du die erste Gleichung so umformen, dass die Brüche oder Dezimalzahlen verschwinden? - Vergleiche die linken Seiten der beiden Gleichungen, nachdem du sie vereinfacht hast. Was fällt dir auf? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn beim Lösen eine offensichtlich falsche Aussage wie \( 0 = 1 \) entsteht? - Kann ein Ausdruck wie \( 2x - 3y \) gleichzeitig zwei verschiedene Werte annehmen?

1. Umformung der ersten Gleichung durch Multiplikation mit 5, um ganzzahlige Koeffizienten zu erhalten: \( 5 \cdot (0{,}4x - 0{,}6y) = 5 \cdot 1{,}2 \implies 2x - 3y = 6 \). 2. Vergleich der umgeformten ersten Gleichung mit der zweiten Gleichung des Systems: \( 2x - 3y = 6 \) und \( 2x - 3y = 5 \). 3. Anwendung des Subtraktionsverfahrens führt zu der Aussage \( (2x - 3y) - (2x - 3y) = 6 - 5 \), also \( 0 = 1 \). 4. Da dies ein logischer Widerspruch (eine falsche Aussage) ist, besitzt das Gleichungssystem keine Lösung.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

- Welche Gleichung lässt sich in a) besonders leicht nach einer Variablen auflösen? - Kannst du in b) beide Gleichungen durch einen gemeinsamen Faktor vereinfachen? - Wie schreibst du die Lösungsmenge, wenn beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben?

1. Für a) stelle die zweite Gleichung nach \(y\) um: \(y=5x-3\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(3x+2(5x-3)=7\), also \(13x=13\) und \(x=1\). Daraus folgt \(y=2\) und damit \(L=\{(1|2)\}\). 2. Für b) ergibt Division der ersten Gleichung durch \(3\) die Form \(2x-3y=4\). Division der zweiten Gleichung durch \(2\) ergibt dieselbe Gleichung. Beide Ausgangsgleichungen beschreiben daher dieselbe Gerade. 3. Somit gilt für b) \(L=\{(x|y)\mid2x-3y=4\}\); es gibt unendlich viele Lösungen.

a) \(L=\{(1|2)\}\) b) \(L=\{(x|y)\mid2x-3y=4\}\)

- Hilft es dir, die Brüche oder Dezimalzahlen zu eliminieren, indem du die gesamte Gleichung mit einer passenden Zahl multiplizierst? - Wenn beim Rechnen eine falsche Aussage wie \(0 = 5\) entsteht, was bedeutet das für die Lösungsmenge? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten? - Achte beim Rechnen mit negativen Zahlen und Dezimalstellen besonders auf die Vorzeichen.

1. System a: Multiplikation der ersten Gleichung mit \(6\) ergibt \(3x + 4y = 30\). Ein Vergleich mit der zweiten Gleichung \(3x + 4y = 20\) führt zu dem Widerspruch \(30 = 20\). Die Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\). 2. System b: Multiplikation beider Gleichungen mit \(10\) zur Eliminierung der Dezimalzahlen ergibt \(4x - 3y = 11\) und \(5x + 2y = 8\). Anwendung des Additionsverfahrens durch Multiplikation der ersten Gleichung mit \(2\) (\(8x - 6y = 22\)) und der zweiten mit \(3\) (\(15x + 6y = 24\)). Addition beider Gleichungen ergibt \(23x = 46 \implies x = 2\). Einsetzen von \(x = 2\) in \(5x + 2y = 8\) ergibt \(10 + 2y = 8 \implies 2y = -2 \implies y = -1\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{(2|-1)\}\).

a) Keine Lösung, \(L = \emptyset\). b) \(L = \{(2|-1)\}\).

- Überlege dir, wie die Lage von zwei Geraden im Koordinatensystem mit der Anzahl der Lösungen zusammenhängt. - Was muss für die Steigungen gelten, damit sich zwei Geraden schneiden? - Wie erkennst du an den Gleichungen, ob zwei Geraden parallel verlaufen oder sogar aufeinanderliegen? - Wenn du ein System lösen sollst, kannst du die Terme gleichsetzen, wenn beide nach derselben Variable aufgelöst sind.

1. Analyse der Systeme: a) Die Geraden haben die gleiche Steigung \(m_1 = m_2 = 2\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(3 \neq -1\)). Sie sind parallel, daher gibt es keine Lösung. b) Die Steigungen sind unterschiedlich (\(m_1 = -1\), \(m_2 = 2\)). Die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt, daher gibt es genau eine Lösung. c) Umformen der zweiten Gleichung ergibt \(y = -2x + 4\). Dies entspricht der ersten Gleichung (\(y = -2x + 4\)). Die Geraden sind identisch, daher gibt es unendlich viele Lösungen. 2. Rechnerische Lösung für System b): Gleichsetzen der Funktionsterme: \(-x + 4 = 2x - 2\). Addieren von \(x\) und \(2\): \(6 = 3x \implies x = 2\). Einsetzen in eine Gleichung: \(y = -2 + 4 = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|2)\).

a) Keine Lösung (parallel) b) Genau eine Lösung (unterschiedliche Steigungen); rechnerisch ergibt sich \(x = 2\), \(y = 2\) und damit der Schnittpunkt \(S(2|2)\). c) Unendlich viele Lösungen (identische Geraden)

- Welche Gleichung ist bereits fast nach \(y\) aufgelöst? - Welche Steigung besitzt jede Gerade nach dem Umformen? - Was folgt aus zwei verschiedenen Steigungen für die Zahl der Schnittpunkte?

1. Aus der ersten Gleichung folgt \(y=-\frac{1}{2}x+2\). Einsetzen in die zweite ergibt \(3x-2(-\frac{1}{2}x+2)=12\), also \(4x=16\) und \(x=4\). Damit ist \(y=0\) und \(L=\{(4|0)\}\). 2. Die beiden Geradenformen lauten \(y=-0{,}5x+2\) und \(y=1{,}5x-6\). 3. Die Steigungen \(-0{,}5\) und \(1{,}5\) sind verschieden. Deshalb sind die Geraden nicht parallel und schneiden sich in genau einem Punkt.

1. \(L=\{(4|0)\}\) 2. \(y=-0{,}5x+2\) und \(y=1{,}5x-6\) 3. Die verschiedenen Steigungen zeigen, dass die Geraden genau einen Schnittpunkt besitzen.

- Stelle für jede Preisangabe eine Gleichung auf. - Gibt es einen festen Faktor, der alle Zahlen der ersten Angabe in die zweite überführt? - Was bedeutet es für die Lösungszahl, wenn beide Gleichungen äquivalent sind?

1. Sei \(x\) der Preis für einen Erwachsenen und \(y\) der Preis für ein Kind. Dann gilt \(\begin{cases}3x+5y=110\\9x+15y=330\end{cases}\). 2. Multipliziert man die erste Gleichung mit \(3\), erhält man genau die zweite. Beide Gleichungen enthalten also dieselbe Information. 3. Das System hat unendlich viele Lösungen, nämlich alle Paare auf der Geraden \(3x+5y=110\). Ein einzelner Erwachsenenpreis ist deshalb nicht eindeutig bestimmt.

Nein. Es gilt \(L=\{(x|y)\mid3x+5y=110\}\); daher ist der Erwachsenenpreis nicht eindeutig bestimmbar.

- Vereinfache zuerst die erste Gleichung, damit sich die Koeffizienten leichter vergleichen lassen. - Wann beschreiben zwei lineare Gleichungen dieselbe Gerade? - Prüfe für \(a\ne2\), ob die Koeffizienten der Variablen noch proportional sein können.

1. Teile die erste Gleichung durch \(3\): \(x+2y=4\). 2. Damit die zweite Gleichung dieselbe Gerade beschreibt, muss sie das Doppelte dieser Gleichung sein. Dann ist \(a=2\). 3. Für \(a\ne2\) sind die Koeffizientenpaare \((1,2)\) und \((a,4)\) nicht proportional, denn Proportionalität würde wegen des \(y\)-Koeffizienten den Faktor \(2\) und damit \(a=2\) erzwingen. 4. Daher schneiden sich die Geraden für jedes \(a\ne2\) genau einmal. Ein Fall ohne Lösung tritt nicht auf.

a) \(a=2\): unendlich viele Lösungen. b) Für jedes \(a\ne2\) gibt es genau eine Lösung; einen Wert mit \(L=\emptyset\) gibt es nicht.

- Was passiert, wenn du versuchst, eine Variable durch das Additionsverfahren zu eliminieren? - Betrachte das Verhältnis der Koeffizienten von \(x\) und \(y\) in beiden Gleichungen. - Entsteht bei der Berechnung eine wahre oder eine falsche Aussage? - Was bedeutet ein Widerspruch wie \(0 = 5\) für die Anzahl der Lösungen?

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit 2 und der zweiten Gleichung mit 3, um die Koeffizienten von \(x\) anzugleichen: \(24x + 36y = 48\) und \(24x + 36y = 60\). 2. Subtraktion der ersten neuen Gleichung von der zweiten führt zu der Aussage \(0 = 12\). 3. Da dies ein mathematischer Widerspruch ist, gibt es kein Wertepaar \((x|y)\), das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Die Lösungsmenge ist leer.

Keine Lösung (oder \(L = \emptyset\)).

- Löse beide Gleichungen unabhängig voneinander nach \(y\) auf. - Vergleiche anschließend sowohl Steigung als auch \(y\)-Achsenabschnitt. - Was bedeutet es geometrisch, wenn beide Geradengleichungen identisch sind?

1. Aus der ersten Gleichung folgt \(-3y=-2x+6\) und damit \(y=\frac{2}{3}x-2\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(6y=4x-12\) und damit ebenfalls \(y=\frac{2}{3}x-2\). 3. Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade. Deshalb gibt es unendlich viele gemeinsame Punkte. 4. Die Lösungsmenge ist \(L=\{(x|y)\mid y=\frac{2}{3}x-2\}\).

a) Beide Gleichungen ergeben \(y=\frac{2}{3}x-2\). b) \(L=\{(x|y)\mid y=\frac{2}{3}x-2\}\); die Geraden sind identisch.

- Welcher Faktor verbindet die \(x\)-Koeffizienten \(3\) und \(9\)? - Wann müssen auch der \(y\)-Koeffizient und die rechte Seite denselben Faktor besitzen? - Was ändert sich, wenn nur die rechte Seite nicht mehr proportional ist?

1. Der \(x\)-Koeffizient in der zweiten Gleichung ist das Dreifache desjenigen in der ersten. Damit auch die linken Seiten proportional sind, muss \(a=3\cdot4=12\) gelten. 2. Für unendlich viele Lösungen muss auch die rechte Seite mit demselben Faktor vervielfacht sein. Daher ist \(c=3\cdot12=36\). 3. Bei \(a=12\) und jedem \(c\neq36\) sind die linken Seiten proportional, die rechten Seiten aber nicht. Nach dem Vergleich entsteht ein Widerspruch; das System hat dann keine Lösung.

a) \(a=12\) b) \(c=36\) c) Jeder Wert \(c\neq36\) führt bei \(a=12\) zu \(L=\emptyset\).

- Wie hängen die Steigungen zweier Geraden zusammen, wenn sie parallel sind oder sich schneiden? - Was bedeutet es für die Lösungsanzahl, wenn zwei Gleichungen nach der Umformung exakt identisch sind? - Bringe alle Gleichungen zuerst in die Form \(y = mx + n\). - Wenn die Steigungen unterschiedlich sind, kannst du die Terme gleichsetzen, um den Schnittpunkt zu berechnen.

1. Umformung von System I in die Normalform \(y = mx + n\): Erste Gleichung \(y = 1{,}5x + 2\), zweite Gleichung \(y = 1{,}5x - 2\). Da die Steigungen gleich (\(m_1 = m_2 = 1{,}5\)), aber die \(y\)-Achsenabschnitte verschieden sind (\(2 \neq -2\)), verlaufen die Geraden parallel. Ergebnis: keine Lösung. 2. Umformung von System II: Erste Gleichung \(y = 0{,}5x - 1{,}5\), zweite Gleichung \(y = 0{,}5x - 1{,}5\). Da Steigungen und \(y\)-Achsenabschnitte identisch sind, liegen die Geraden aufeinander. Ergebnis: unendlich viele Lösungen. 3. Umformung von System III: Erste Gleichung \(y = -2x + 5\), zweite Gleichung \(y = x - 1\). Da die Steigungen verschieden sind (\(-2 \neq 1\)), gibt es genau einen Schnittpunkt. 4. Berechnung der Lösung für III: Gleichsetzen der Terme ergibt \(-2x + 5 = x - 1\), woraus \(3x = 6\) und somit \(x = 2\) folgt. Einsetzen in eine Gleichung ergibt \(y = 2 - 1 = 1\). Lösungsmenge \(L = \{(2|1)\}\).

System I hat keine Lösung (parallele Geraden). System II hat unendlich viele Lösungen (identische Geraden). System III hat genau eine Lösung: \(L = \{(2|1)\}\).

- Wie kannst du die erste Gleichung so vereinfachen, dass vor \(x\) ebenfalls der Koeffizient \(2\) steht? - Wann sind zwei Geraden parallel verschieden, wann identisch? - Welche Rechnung bleibt in c), nachdem \(a\) und \(b\) fest vorgegeben sind?

1. Teile die erste Gleichung durch \(2\). Es entsteht die äquivalente Gleichung \(2x+3y=6\). 2. Für a) müssen die linken Seiten proportional sein. Daher ist \(a=3\). Wegen \(b=5\neq6\) entsteht ein Widerspruch; das System hat keine Lösung. 3. Für b) müssen beide Gleichungen identisch sein. Daraus folgen \(a=3\) und \(b=6\). 4. Für c) lautet die zweite Gleichung \(2x+y=4\). Verdoppele sie: \(4x+2y=8\). Subtraktion von der ersten Ausgangsgleichung ergibt \(-4y=-4\), also \(y=1\). Einsetzen in die zweite Gleichung liefert \(2x+1=4\), also \(x=1{,}5\). 5. Damit ist für c) \(L=\{(1{,}5|1)\}\).

a) \(a=3\) b) \(a=3\), \(b=6\) c) Für \(a=1\) und \(b=4\) gilt \(L=\{(1{,}5|1)\}\).

- Welche einfachere äquivalente Form besitzt (I)? - Welche Konstante macht (II) identisch zu dieser Form? - Wie änderst du nur die Lage, nicht die Steigung, um eine parallele verschiedene Gerade zu erhalten?

1. Teile (I) durch \(2\). Dadurch erhältst du die äquivalente Gleichung \(x+2y=4\). 2. Für unendlich viele Lösungen muss (II) dieselbe Gerade beschreiben. Daher ist \(a=4\). 3. Für keine Lösung muss eine zu (I) parallele, aber verschiedene Gerade gewählt werden. Eine Möglichkeit ist (III) \(x+2y=5\).

a) \(a=4\) b) Zum Beispiel (III) \(x+2y=5\).

- Vereinfache zuerst die erste Gleichung, sodass ihr \(y\)-Koeffizient mit dem der zweiten übereinstimmt. - Was folgt, wenn anschließend auch \(x\)-Koeffizient und rechte Seite übereinstimmen? - Was ändert sich, wenn nur die rechte Seite oder bereits der \(x\)-Koeffizient abweicht?

1. Teile die erste Gleichung durch \(2\): \(2x+3y=6\). 2. Für a) lautet die zweite Gleichung ebenfalls \(2x+3y=6\). Die Gleichungen sind identisch; es gibt unendlich viele Lösungen. 3. Für b) stimmen die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) überein, aber die rechte Seite ist verschieden. Die Geraden sind parallel und verschieden; es gibt keine Lösung. 4. Für c) unterscheiden sich bei gleicher \(y\)-Normierung die \(x\)-Koeffizienten. Die Geraden haben verschiedene Steigungen und schneiden sich genau einmal.

a) unendlich viele Lösungen b) keine Lösung c) genau eine Lösung

- Mit welchem Faktor wird die linke Seite der zweiten Gleichung identisch zur linken Seite der ersten? - Was passiert dabei mit der rechten Seite? - Was bedeutet ein Widerspruch zwischen zwei Gleichungen für \(L\)?

1. Multipliziere die zweite Gleichung mit \(-2\). Es entsteht die äquivalente Gleichung \(2x-4y=-10\). 2. Damit haben die erste Gleichung und die umgeformte zweite identische linke Seiten, aber verschiedene rechte Seiten: \(8\neq-10\). 3. Das ist ein Widerspruch. Daher besitzt das System keine Lösung und es gilt \(L=\emptyset\).

\(L=\emptyset\). Nach Multiplikation der zweiten Gleichung mit \(-2\) stehen \(2x-4y=8\) und \(2x-4y=-10\) im Widerspruch.

- Was passiert, wenn du versuchst, die erste Gleichung so umzuformen, dass sie der zweiten möglichst ähnlich sieht? - Wann liegen zwei Geraden genau übereinander? - Was bedeutet ein mathematischer Widerspruch wie \(0 = 5\) für die Lösungsmenge eines Systems? - Wie müssen die Steigungen und die Schnittpunkte mit der y-Achse beschaffen sein, damit sich zwei Geraden nie treffen?

1. Umformung von Gleichung (I) durch Division beider Seiten durch 3: \(2x - y = 3\). 2. Vergleich mit Gleichung (II) \(2x - y = k\): Für \(k = 3\) sind beide Gleichungen identisch, woraus unendlich viele Lösungen resultieren. 3. Einsetzen von \(k = 5\) in (II) ergibt das System: (I) \(2x - y = 3\) (II) \(2x - y = 5\) Subtraktion der Gleichungen (I) \(-\) (II) führt zu \(0 = -2\). Dies ist ein Widerspruch, daher existiert keine Lösung. 4. Geometrische Interpretation für \(k = 5\): Da die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) (und somit die Steigungen) gleich sind, aber die Konstanten auf der rechten Seite differieren, verlaufen die Geraden parallel zueinander ohne gemeinsamen Schnittpunkt.

a) \(k = 3\), da die Gleichungen dann identisch sind. b) Rechnerischer Nachweis durch Subtraktion: \(0 = -2\) (Widerspruch). c) Die Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt.

- Bringe die Gleichungen zunächst in eine Form, in der Steigung und Achsenabschnitt vergleichbar sind. - Unterscheide zwischen Geraden, die parallel und verschieden sind, und Geraden, die vollständig zusammenfallen. - Formuliere die Bedingung für „keine Lösung“ so, dass beide Parameter der Geraden berücksichtigt werden.

1. System A: Aus \(x-2y=-4\) folgt \(-2y=-x-4\) und damit \(y=0{,}5x+2\). System B: Aus \(x-2y=6\) folgt \(-2y=-x+6\) und damit \(y=0{,}5x-3\). 2. In System A sind beide Gleichungen identisch. Sie beschreiben dieselbe Gerade, also gibt es unendlich viele Lösungen. 3. In System B haben beide Geraden die Steigung \(0{,}5\), aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte \(2\) und \(-3\). Die Geraden sind parallel und verschieden, also gibt es keine Lösung. 4. Pauls Aussage ist deshalb unvollständig: Gleiche Steigungen führen nur bei verschiedenen Achsenabschnitten zu keiner Lösung. Sind auch die Achsenabschnitte gleich, gibt es unendlich viele Lösungen.

1. System A (II): \(y=0{,}5x+2\); System B (II): \(y=0{,}5x-3\) 2. System A hat unendlich viele Lösungen; System B hat keine Lösung. 3. Die Aussage ist falsch. Bei gleicher Steigung gibt es keine Lösung, wenn die \(y\)-Achsenabschnitte verschieden sind, und unendlich viele Lösungen, wenn sie ebenfalls gleich sind.

- Wie erzeugst du aus (I) eine äquivalente Gleichung? - Wie behältst du für b) dieselbe Steigung, veränderst aber die Gerade? - Welche Bedingung muss eine Gleichung erfüllen, damit \((2|0)\) auf ihrer Geraden liegt?

1. Für a) muss (II) zu (I) äquivalent sein. Eine Möglichkeit ist (II) \(2x-3y=4\). 2. Für b) müssen die Geraden parallel, aber verschieden sein. Eine Möglichkeit ist (II) \(6x-9y=10\). Die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) sind gleich wie in (I), die Konstante ist verschieden; daher haben die Geraden gleiche Steigung, aber unterschiedliche Achsenabschnitte. 3. Für c) muss \((2|0)\) die zweite Gleichung erfüllen und die zweite Gerade darf nicht mit (I) zusammenfallen. Eine Möglichkeit ist (II) \(x+y=2\). Der Punkt \((2|0)\) erfüllt beide Gleichungen, und die Geraden haben verschiedene Steigungen.

a) Zum Beispiel (II) \(2x-3y=4\). b) Zum Beispiel (II) \(6x-9y=10\); die Geraden sind parallel und verschieden. c) Zum Beispiel (II) \(x+y=2\).

- Was bedeutet es für zwei Geraden, wenn das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat? - Bringe beide Gleichungen in dieselbe Form. - Welche Eigenschaften zweier Geraden müssen übereinstimmen, damit sie identisch sind?

1. Forme die zweite Gleichung in die Form \(y=mx+b\) um: \(4x-2y=d\Rightarrow y=2x-\frac{d}{2}\). 2. Für unendlich viele Lösungen müssen beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben. Daher müssen Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt übereinstimmen. 3. Aus dem Vergleich mit der ersten Gleichung folgt \(k=2\) und \(5=-\frac{d}{2}\), also \(d=-10\). 4. Grafisch liegen die beiden Geraden vollständig aufeinander.

\(k=2\) und \(d=-10\). Die beiden Geraden sind identisch und haben daher unendlich viele gemeinsame Punkte.

- Lege Variablen für die beiden Stückzahlen fest und übersetze die Gesamtkosten in eine Gleichung. - Beachte bei möglichen Lösungen die Bedingungen des Sachkontexts an Stückzahlen. - Überlege, welche zusätzliche unabhängige Beziehung zwischen den beiden Stückzahlen eine eindeutige Bestimmung erlauben würde.

1. Sei \(x\) die Anzahl der Äpfel und \(y\) die Anzahl der Müsliriegel. Dann gilt \(0{,}5x+y=4{,}5\). 2. Im Sachkontext müssen \(x\) und \(y\) nichtnegative ganze Zahlen sein. Die möglichen Paare sind \((1 \mid 4)\), \((3 \mid 3)\), \((5 \mid 2)\), \((7 \mid 1)\) und \((9 \mid 0)\). 3. Eine einzige lineare Gleichung mit zwei Unbekannten legt ohne weitere unabhängige Bedingung kein eindeutiges Zahlenpaar fest. Im Sachkontext gibt es hier fünf mögliche Paare. 4. Eine zweite unabhängige Information kann die Lösung eindeutig machen. Kennt man zum Beispiel zusätzlich die Gesamtzahl von \(6\) Artikeln, gilt \(x+y=6\). Zusammen mit \(0{,}5x+y=4{,}5\) folgt \(x=3\) und \(y=3\).

1. \(0{,}5x+y=4{,}5\) 2. Zum Beispiel \((1 \mid 4)\), \((3 \mid 3)\) und \((5 \mid 2)\) 3. Ohne eine zweite unabhängige Bedingung gibt es mehrere mögliche ganzzahlige Zahlenpaare. 4. Zum Beispiel die Gesamtzahl der gekauften Artikel; bei insgesamt \(6\) Artikeln wäre die eindeutige Lösung \((3 \mid 3)\).

- Prüfe, ob sich eine Gleichung durch Multiplikation mit einer Zahl genau in die andere verwandeln lässt. - Welche Lage haben zwei Geraden, die dieselbe Gleichung beschreiben? - Was ändert sich geometrisch, wenn nur der konstante Term verändert wird? - Was muss sich an den Koeffizienten ändern, damit die Geraden nicht mehr parallel sind?

1. Multipliziert man die zweite Gleichung mit \(-3\), erhält man \(3x-6y=12\). Das ist genau die erste Gleichung, also sind beide Gleichungen äquivalent und das System hat unendlich viele Lösungen. 2. Die zugehörigen Geraden sind identisch und liegen vollständig aufeinander. 3. Bleibt die linke Seite der zweiten Gleichung unverändert, führt jeder andere rechte Wert als \(-4\) zu einer parallelen, verschiedenen Geraden. Zum Beispiel ergibt \(-x+2y=0\) keine Lösung. 4. Ändert man das Verhältnis der Variablenkoeffizienten in der zweiten Gleichung, entstehen verschiedene Steigungen. Zum Beispiel hat \(-x+3y=-4\) zusammen mit der ersten Gleichung genau eine Lösung.

1. Unendlich viele Lösungen. 2. Die Geraden sind identisch. 3. Zum Beispiel: \(-x+2y=0\). 4. Zum Beispiel: \(-x+3y=-4\).

- Bringe die jeweils zweite Gleichung in die Form \(y = mx + b\). - Vergleiche Steigungen und y-Achsenabschnitte der beiden Geraden. - Ordne parallel-verschieden, identisch und einmal schneidend den drei Bildern zu.

1. Forme jeweils die zweite Gleichung in die Form \(y=mx+b\) um. Bei (1) erhältst du \(y=-x-1\), bei (2) \(y=-x+2\) und bei (3) \(y=2x-1\). 2. In System (1) haben die Geraden dieselbe Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte. Sie sind parallel und verschieden; das ist Darstellung (B), also gibt es keine Lösung. 3. In System (2) beschreiben beide Gleichungen dieselbe Gerade. Das ist Darstellung (A), also gibt es unendlich viele Lösungen. 4. In System (3) haben die Geraden verschiedene Steigungen und schneiden sich im Punkt \(S(1|1)\). Das ist Darstellung (C), also gibt es genau eine Lösung.

(1) Darstellung (B); keine Lösung. (2) Darstellung (A); unendlich viele Lösungen. (3) Darstellung (C); genau eine Lösung.

- Wann sind zwei Geraden identisch und wann sind sie parallel? - Untersuche das Verhältnis der Koeffizienten von \(x\) und \(y\) in beiden Gleichungen. - Wenn die linken Seiten zweier Gleichungen (oder Vielfache davon) gleich sind, die rechten Seiten aber nicht, was bedeutet das für die Lösungsmenge? - Um eine Gleichung für eine vorgegebene Lösung zu finden, kannst du dir eine einfache Struktur (wie \(x + y = \dots\)) überlegen und den passenden Ergebniswert berechnen.

a) Unendlich viele Lösungen: Die Gleichung (I) lässt sich durch Division durch \(2\) in \(2x - 3y = 6\) umformen. Damit (II) identisch mit (I) ist, muss \(k = 6\) gelten. In diesem Fall liegen beide Geraden aufeinander. b) Keine Lösung: Für \(k = 10\) lautet (II) \(2x - 3y = 10\). Multipliziert man dies mit \(2\), erhält man \(4x - 6y = 20\). Da die linke Seite identisch mit (I) ist, aber die rechte Seite (\(20 \neq 12\)) abweicht, verlaufen die Geraden parallel ohne gemeinsamen Punkt. c) Neue Gleichung (III): Das Paar \((3|0)\) muss die Gleichung erfüllen. Eine mögliche einfache Gleichung ist \(x + y = 3\), da \(3 + 0 = 3\) wahr ist. Da (I) für \((3|0)\) ebenfalls \(4 \cdot 3 - 6 \cdot 0 = 12\) ergibt und \(x + y = 3\) kein Vielfaches von (I) ist, ist dies eine gültige Lösung.

a) Für \(k = 6\), da die Gleichung (I) das Doppelte der Gleichung (II) ist und somit beide dieselbe Gerade beschreiben. b) Für \(k = 10\) sind die Steigungen der Geraden gleich, aber die Achsenabschnitte verschieden (Parallelität), da \(4x - 6y = 12\) zu \(4x - 6y = 20\) im Widerspruch steht. c) Eine mögliche Gleichung ist \(x + y = 3\) (andere Lösungen wie \(x = 3\) sind ebenfalls möglich).

- Bringe zuerst die erste Gleichung in die Form \(y = \dots\), um die Steigung ablesen zu können. - Wann haben zwei Geraden keinen gemeinsamen Punkt? - Schau dir die festen Zahlen ohne Variable an. Können diese jemals gleich werden, wenn sie bereits als unterschiedliche Zahlen gegeben sind? - Was müsste passieren, damit zwei Geraden unendlich viele Punkte gemeinsam haben?

1. Umformung der Geraden \(g\) in die explizite Form: \(2y = -5x + 10 \Rightarrow y = -2{,}5x + 5\). Die Steigung von \(g\) ist \(m_g = -2{,}5\) und der y-Achsenabschnitt ist \(b_g = 5\). 2. Bedingung für Parallelität (keine Lösung): Die Steigungen müssen gleich sein (\(m = -2{,}5\)), aber die y-Achsenabschnitte verschieden. Da der y-Achsenabschnitt von \(h\) fest auf \(3\) eingestellt ist und \(3 \neq 5\) gilt, ist die Bedingung für \(m = -2{,}5\) erfüllt. 3. Prüfung auf unendlich viele Lösungen: Hierfür müssten beide Geraden identisch sein (\(m_h = m_g\) und \(b_h = b_g\)). Da jedoch \(3 \neq 5\) gilt, können die Geraden für keinen Wert von \(m\) identisch sein.

a) Für \(m = -2{,}5\) verlaufen die Geraden parallel und es gibt keine Lösung. b) Nein, es gibt keinen solchen Wert für \(m\), da die y-Achsenabschnitte (\(5\) und \(3\)) verschieden sind und somit die Geraden niemals identisch sein können.

- Was bedeutet es für eine Gleichung, wenn ein Punkt eine „Lösung“ ist? - Setze die bekannten Koordinaten in die allgemeine Form der zweiten Gleichung ein. - Wie hängen die Zahlen vor \(x\) und \(y\) zusammen, wenn das System keine Lösung haben soll?

1. Bedingung für (a): Der Punkt \((3|2)\) muss beide Gleichungen erfüllen. Prüfung für (I): \(2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 6 + 6 = 12\) (wahr). 2. Einsetzen in (II): \(4 \cdot 3 + d \cdot 2 = e \Rightarrow 12 + 2d = e\). Jedes Paar \((d|e)\), das diese Gleichung erfüllt (außer \(d = 6\) und \(e = 24\), da das System dann unendlich viele Lösungen hätte), ist korrekt. Beispiel: \(d = 1 \Rightarrow e = 14\). 3. Bedingung für (b): Die Koeffizienten der linken Seite von (II) müssen ein Vielfaches der linken Seite von (I) sein, die rechte Seite jedoch nicht im gleichen Verhältnis stehen. 4. Faktor bestimmen: \(4x\) ist das Doppelte von \(2x\). Also muss \(d = 2 \cdot 3 = 6\) sein. 5. Rechte Seite: \(e\) darf nicht das Doppelte von \(12\) sein. Also \(d = 6\) und \(e \neq 24\).

a) Zum Beispiel \(d = 1\) und \(e = 14\) (möglich ist jedes Paar mit \(e = 12 + 2d\) und \(d \neq 6\)). b) \(d = 6\) und \(e \neq 24\) (z. B. \(e = 10\)).

- Versuche eine der Variablen in der zweiten Gleichung zu isolieren und in die erste einzusetzen. - Nachdem du zusammengefasst hast, steht dort ein Ausdruck mit \(x\) auf der einen und eine Zahl auf der anderen Seite. Was darf nicht passieren, damit du durch den Ausdruck vor dem \(x\) teilen kannst? - Was passiert mit der Gleichung, wenn der Term vor dem \(x\) Null wird?

1. Auflösen von Gleichung (II) nach \(y\): \(y = 2x - 3\). 2. Einsetzen von \(y\) in Gleichung (I): \(ax + 5(2x - 3) = 15\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(ax + 10x - 15 = 15 \Rightarrow (a + 10)x = 30\). 4. Bedingung für eine eindeutige Lösung: Wenn \(a + 10 \neq 0\), also \(a \neq -10\), kann nach \(x\) aufgelöst werden: \(x = \frac{30}{a + 10}\). 5. Berechnung von \(y\): \(y = 2\left(\frac{30}{a + 10}\right) - 3 = \frac{60 - 3(a + 10)}{a + 10} = \frac{30 - 3a}{a + 10}\). 6. Untersuchung des Sonderfalls \(a = -10\): Die Gleichung lautet \(0 \cdot x = 30\). Dies ist ein Widerspruch, daher gibt es für \(a = -10\) keine Lösung.

Für \(a \neq -10\) ist die Lösung \((x|y) = \left( \frac{30}{a+10} \mid \frac{30-3a}{a+10} \right)\). Für \(a = -10\) besitzt das System keine Lösung.

- Multipliziere die erste Gleichung so, dass der Koeffizient von \(y\) in beiden Gleichungen gleich ist. - Vergleiche nun die beiden Gleichungen. Was passiert, wenn \(m\) genau den Wert annimmt, der die \(x\)-Terme identisch macht? - Wenn \(m\) nicht diesen speziellen Wert hat, was muss dann für \(x\) gelten, damit die Gleichungen beide erfüllt sind?

1. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation von (I) mit 3 ergibt: \(3x + 6y = 18\). 2. Vergleich mit Gleichung (II) \(mx + 6y = 18\). Subtraktion der Gleichungen liefert: \((m - 3)x = 0\). 3. Fall \(m = 3\): Die Gleichung lautet \(0 \cdot x = 0\). Dies ist eine wahre Aussage für alle \(x\). Da die Gleichungen identisch sind (\(3x + 6y = 18\)), gibt es unendlich viele Lösungen der Form \((x|3 - 0{,}5x)\). 4. Fall \(m \neq 3\): Aus \((m - 3)x = 0\) folgt zwingend \(x = 0\). Einsetzen von \(x = 0\) in (I) ergibt \(0 + 2y = 6 \Rightarrow y = 3\). Das System hat für \(m \neq 3\) die eindeutige Lösung \((0|3)\).

Wenn \(m = 3\), hat das System unendlich viele Lösungen. Wenn \(m \neq 3\), hat das System genau eine Lösung: \((x|y) = (0|3)\).

- Versuche, das Einsetzungsverfahren anzuwenden und achte darauf, wann eine Variable wegfällt. - Betrachte die resultierende Gleichung: Wann entsteht eine wahre Aussage unabhängig von der Variablen, und wann ein Widerspruch? - Überlege dir, wie Steigung und Achsenabschnitt zusammenhängen müssen, damit Geraden identisch sind.

1. Auflösen von (II) nach \(x\): \(x = 3y + 5\). 2. Einsetzen in (I): \(2 \cdot (3y + 5) + ay = 8 \iff 6y + 10 + ay = 8 \iff (6 + a)y = -2\). 3. Keine Lösung existiert, wenn der Koeffizient von \(y\) null wird, die rechte Seite jedoch nicht: \(6 + a = 0 \implies a = -6\). Dies führt zur widersprüchlichen Aussage \(0 = -2\). 4. Unendlich viele Lösungen erfordern eine Gleichung der Form \(0 = 0\). Da die rechte Seite fest auf \(-2\) steht, kann die linke Seite für kein \(a\) so gewählt werden, dass die Gleichung für alle \(y\) erfüllt ist.

Das System hat keine Lösung für \(a = -6\). Es gibt keinen Wert für \(a\), für den das System unendlich viele Lösungen hat, da für \(a = -6\) die Geraden zwar parallel sind, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(-\frac{4}{3}\) und \(-\frac{5}{3}\)) haben.

- Versuche zuerst, beide Gleichungen nach \(y\) aufzulösen, um sie besser vergleichen zu können. - Vergleiche dann die Ausdrücke vor dem \(x\) und die Zahlen ohne \(x\). - Welche Bedingung muss für die Steigung gelten, damit es überhaupt zu einem Schnittpunkt kommt? - Was muss für die Steigung und den Achsenabschnitt gelten, damit die Geraden parallel liegen oder sogar gleich sind?

1. Umformung von (I) in die Normalform: \(3y = -6x + 12 \implies y = -2x + 4\). 2. Umformung von (II) in die Normalform: \(y = -ax + b\). 3. Vergleich der Koeffizienten: - Unendlich viele Lösungen: Die Gleichungen müssen identisch sein. Also \(-a = -2 \implies a = 2\) und \(b = 4\). - Keine Lösung: Die Steigungen müssen gleich sein, aber die Abschnitte verschieden. Also \(a = 2\) und \(b \neq 4\). - Genau eine Lösung: Die Steigungen müssen verschieden sein. Also \(-a \neq -2 \implies a \neq 2\). Der Wert von \(b\) ist hierbei beliebig.

1. Unendlich viele Lösungen: \(a = 2\) und \(b = 4\) 2. Keine Lösung: \(a = 2\) und \(b \neq 4\) 3. Genau eine Lösung: \(a \neq 2\) (unabhängig von \(b\))

- Wenn der Schnittpunkt die \(x\)-Koordinate \(2\) hat, welcher \(y\)-Wert folgt zuerst aus der ersten Gleichung? - Welche Bedingung muss derselbe Punkt in der zweiten Gleichung erfüllen? - Wann besitzen zwei verschiedene Geraden keinen Schnittpunkt?

1. Für \(x=2\) liefert die erste Gleichung den Wert \(y=1{,}5\cdot2-3=0\). 2. Der Punkt \((2|0)\) muss auch die zweite Gleichung erfüllen: \(0=2m+2\). Daraus folgt \(m=-1\). 3. Für keine Lösung müssen die Geraden parallel und verschieden sein. Daher muss die zweite Gerade dieselbe Steigung wie die erste haben, also \(m=1{,}5\). 4. Die \(y\)-Achsenabschnitte \(-3\) und \(2\) sind verschieden. Deshalb sind die Geraden für \(m=1{,}5\) parallel und besitzen keinen Schnittpunkt.

a) \(m=-1\) b) \(m=1{,}5\); dann sind die Geraden parallel und verschieden.

- Bringe beide Gleichungen in dieselbe Form, zum Beispiel \(y = mx + n\). - Was müssen zwei Geradengleichungen gemeinsam haben, damit die Geraden die gleiche Steigung besitzen? - Woran erkennst du an den Gleichungen, ob zwei Geraden denselben \(y\)-Achsenabschnitt haben? - Überlege dir, was passiert, wenn die Steigungen der Geraden unterschiedlich sind.

1. Geometrische Interpretation: Genau eine Lösung entspricht einem Schnittpunkt der Geraden. Keine Lösung bedeutet, dass die Geraden parallel verlaufen und nicht identisch sind. Unendlich viele Lösungen bedeuten, dass die Geraden identisch sind. 2. Umformung der Geradengleichung \(g\) in die allgemeine Form: \(y = 1{,}5x + 2 \iff -1{,}5x + y = 2\). Multiplikation mit \(-2\) ergibt: \(3x - 2y = -4\). 3. Vergleich mit Gerade \(h: 3x - ay = b\): Die Koeffizienten vor \(x\) sind nun identisch (beide \(3\)). 4. Bestimmung für Parallelität ohne Schnittpunkt (Teilaufgabe b): Die Koeffizienten vor \(y\) müssen gleich sein, die Konstanten jedoch verschieden. Es muss gelten: \(a = 2\) und \(b \neq -4\). 5. Bestimmung für genau einen Schnittpunkt (Teilaufgabe c): Die Steigungen müssen sich unterscheiden. Da die Steigung von \(g\) gleich \(1{,}5\) ist, darf die Steigung von \(h\) nicht \(1{,}5\) sein. Isolieren von \(y\) in \(h\): \(ay = 3x - b \implies y = \frac{3}{a}x - \frac{b}{a}\) (für \(a \neq 0\)). Steigungsvergleich: \(\frac{3}{a} = 1{,}5 \implies a = 2\). Somit gibt es für \(a \neq 2\) genau einen Schnittpunkt. Der Parameter \(b\) beeinflusst nur die Lage des Schnittpunkts, aber nicht dessen Existenz. Falls \(a = 0\), ist \(h\) eine senkrechte Gerade \(x = \frac{b}{3}\), die \(g\) ebenfalls in genau einem Punkt schneidet.

a) Eine Lösung: Schnittpunkt; keine Lösung: parallel (echt parallel); unendlich viele Lösungen: identisch. b) \(a = 2\) und \(b \neq -4\). c) \(a \neq 2\). Der Parameter \(b\) hat keinen Einfluss auf die Existenz des Schnittpunkts, er verschiebt lediglich dessen Position.

- Versuche zuerst, das Gleichungssystem so zu lösen, als wäre \(k\) eine normale Zahl. - Wie müssen die Ergebnisse für \(x\) und \(y\) aussehen, damit sie „positiv“ sind? - Kannst du die Bedingungen für \(x\) und \(y\) als Ungleichungen schreiben? - Überlege dir am Ende, welche Werte für \(k\) beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen.

1. Auflösen des Systems nach \(x\) und \(y\) in Abhängigkeit von \(k\), zum Beispiel durch Umstellen von Gleichung II nach \(x = k - 2y\). 2. Einsetzen in Gleichung I: \(4(k - 2y) + 3y = 24 \Rightarrow 4k - 8y + 3y = 24 \Rightarrow -5y = 24 - 4k \Rightarrow y = \frac{4k - 24}{5}\). 3. Einsetzen von \(y\) in den Ausdruck für \(x\): \(x = k - 2 \cdot \frac{4k - 24}{5} = \frac{5k - 8k + 48}{5} = \frac{48 - 3k}{5}\). 4. Aufstellen der Bedingung \(y > 0\): \(\frac{4k - 24}{5} > 0 \Rightarrow 4k - 24 > 0 \Rightarrow k > 6\). 5. Aufstellen der Bedingung \(x > 0\): \(\frac{48 - 3k}{5} > 0 \Rightarrow 48 - 3k > 0 \Rightarrow 3k < 48 \Rightarrow k < 16\). 6. Zusammenfassen der Intervalle ergibt \(6 < k < 16\).

Das System hat für \(6 < k < 16\) eine eindeutige Lösung mit \(x > 0\) und \(y > 0\).

- Vergleiche die Mengen und die Gesamtkosten der ersten beiden Bestellungen miteinander. - Überlege, ob die zweite Angabe wirklich eine neue Bedingung für die beiden unbekannten Preise liefert. - Verwende für Teil b) zwei voneinander unabhängige Bestellungen. - Definiere für beide Kistenpreise je eine Variable, bevor du die Gleichungen aufstellst.

1. Die zweite Bestellung enthält von beiden Getränkesorten genau die Hälfte der ersten Bestellung und kostet ebenfalls genau die Hälfte. Sie liefert deshalb keine unabhängige zweite Bedingung; mit den ersten beiden Angaben sind unendlich viele Preispaare möglich. 2. Setze \(a\) als Preis einer Kiste Apfelsaft und \(w\) als Preis einer Kiste Mineralwasser. Aus der ersten und der dritten Bestellung erhältst du \(\begin{cases}10a+8w=184\\3a+5w=76\end{cases}\). 3. Kürze die erste Gleichung zu \(5a+4w=92\) und löse nach \(a\) auf: \(a=18{,}4-0{,}8w\). 4. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(3(18{,}4-0{,}8w)+5w=76\), also \(w=8\). 5. Rückeinsetzen liefert \(a = 12\).

a) Die zweite Bestellung liefert keine neue unabhängige Information, weil Mengen und Gesamtkosten jeweils genau halb so groß sind wie bei der ersten Bestellung. b) Eine Kiste Apfelsaft kostet \(12{,}00\,\text{€}\), eine Kiste Mineralwasser \(8{,}00\,\text{€}\).

- Jede von dir gewählte Gerade muss durch den vorgegebenen Punkt gehen. - Prüfe deine Gleichungen, indem du die beiden Koordinaten von \(S\) einsetzt. - Für eine eindeutige Lösung dürfen die Geraden eines Systems weder parallel noch identisch sein. - Achte bei System B zusätzlich auf die geforderten Richtungen und ganzzahligen Koeffizienten.

1. Ein mögliches System A ist \(y=-1\) und \(x+y=1\). Beide Geraden enthalten \(S(2|-1)\), und ihre Steigungen sind verschieden. 2. Ein mögliches System B ist \(x+y=1\) und \(2x-y=5\). Einsetzen von \((2|-1)\) erfüllt beide Gleichungen. 3. Die Geraden aus System B haben die Steigungen \(-1\) und \(2\). Sie sind daher nicht parallel und schneiden sich genau einmal, nämlich in \(S\).

Zum Beispiel: System A: \(y=-1\), \(x+y=1\) System B: \(x+y=1\), \(2x-y=5\) In beiden Systemen erfüllt \(S(2|-1)\) beide Gleichungen; wegen verschiedener Steigungen ist der Schnittpunkt jeweils eindeutig. Andere korrekte Konstruktionen sind möglich.

- Wann hat ein lineares Gleichungssystem genau eine Lösung, wann keine und wann unendlich viele? - Nutze die Symmetrie des Systems aus: Was passiert, wenn du \(x\) und \(y\) vertauschst? - Wie kannst du eine Variable eliminieren, um die andere in Abhängigkeit von \(k\) zu berechnen? - Achte darauf, dass „eindeutige Lösung“ bestimmte Werte für \(k\) ausschließt.

1. Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten: \((k-4)x+(4-k)y=0\), also \((k-4)(x-y)=0\). 2. Für \(k=4\) sind beide Gleichungen identisch; es gibt keine eindeutige Lösung. Für \(k\neq4\) folgt \(x=y\). 3. Setze \(x=y\) in die erste Gleichung ein: \((k+4)x=8\). 4. Für \(k=-4\) entsteht der Widerspruch \(0=8\); daher gibt es keine Lösung. Für \(k\neq-4\) gilt \(x=y=\frac{8}{k+4}\). 5. Die Werte sind positiv genau dann, wenn \(k+4>0\), also \(k>-4\). 6. Zusätzlich muss für Eindeutigkeit \(k\neq4\) gelten. Somit ist \(k\in(-4;4)\cup(4;\infty)\).

Für \(k > -4\) mit Ausnahme von \(k = 4\) (oder: \(k \in (-4; 4) \cup (4; \infty)\)).