Kostenlose Arbeitsblätter

- Kannst du die Informationen aus dem Text in zwei mathematische Gleichungen übersetzen? - Überlege dir ein Verfahren, um eine der Unbekannten zu eliminieren (z.B. Einsetzungs- oder Additionsverfahren). - Was passiert, wenn du die zweite Einkaufssituation verdoppelst? Fällt dir ein Vergleich zur ersten Situation auf?

1. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems mit \(x\) (Melone) und \(y\) (Mango): (I) \(4x + 6y = 52\) (II) \(5x + 3y = 47\) 2. Vorbereiten des Additionsverfahrens durch Multiplikation von (II) mit 2: \(10x + 6y = 94\). 3. Subtraktion von (I) von der neuen Gleichung: \((10x - 4x) + (6y - 6y) = 94 - 52 \Rightarrow 6x = 42\). 4. Lösung nach \(x\): \(x = 7\). Eine Melone kostet 7 €.

d) 7 €

- Was bedeutet es für die Seitenlängen einer Figur, wenn sie ein Quadrat ist? - Kannst du eine Formel für den Umfang eines Rechtecks aufschreiben und die gegebenen Werte einsetzen? - Überlege dir, wie du die neuen Seitenlängen mithilfe der alten Seitenlängen ausdrücken kannst. - Skizziere das ursprüngliche Rechteck und das neue Quadrat.

1. Variablen festlegen: \(l\) für die längere Seite und \(w\) für die kürzere Seite in \(\text{cm}\). 2. Gleichung für den Umfang aufstellen: \(2 \cdot (l + w) = 30\), vereinfacht zu \(l + w = 15\). 3. Gleichung für die Quadrat-Eigenschaft aufstellen: Da nach der Änderung ein Quadrat entsteht, müssen die neuen Seiten gleich lang sein: \(l - 3 = w + 2\). Umgeformt ergibt dies \(l - w = 5\). 4. Lineares Gleichungssystem lösen: Addieren der Gleichungen \((l + w) + (l - w) = 15 + 5\) ergibt \(2l = 20\), also \(l = 10\). 5. Einsetzen in die erste Gleichung: \(10 + w = 15\) ergibt \(w = 5\). Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks sind \(10\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks betragen \(10\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\).

- Kannst du die Situation mit zwei Variablen beschreiben? - Wie viel mehr muss Herr Weber bezahlen, wenn er mehr Datenvolumen verbraucht? - Was passiert, wenn du die Differenz der Kosten durch die Differenz des Verbrauchs teilst? - Überlege, wie du eine der Unbekannten eliminieren kannst, wenn du zwei Gleichungen hast.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems mit \(G\) als Grundgebühr in \(\text{€}\) und \(p\) als Preis pro \(\text{GB}\) in \(\text{€}\): I: \(G + 5 \cdot p = 17{,}50\) II: \(G + 12 \cdot p = 31{,}50\) 2. Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten zur Elimination von \(G\): \((G + 12p) - (G + 5p) = 31{,}50 - 17{,}50\) \(7p = 14{,}00\) 3. Berechnung von \(p\): \(p = 14 : 7 = 2{,}00\). Der Preis pro \(\text{GB}\) beträgt \(2{,}00\,\text{€}\). 4. Einsetzen von \(p = 2\) in Gleichung I zur Berechnung von \(G\): \(G + 5 \cdot 2 = 17{,}50\) \(G + 10 = 17{,}50\) \(G = 7{,}50\). Die Grundgebühr beträgt \(7{,}50\,\text{€}\).

Die monatliche Grundgebühr beträgt \(7{,}50\,\text{€}\) und der Preis pro Gigabyte liegt bei \(2{,}00\,\text{€}\).

- Welche zwei Informationen über die Geldbeträge sind gegeben? - Schreibe die Zinssätze als Dezimalzahlen, um damit rechnen zu können. - Überlege, wie du die Gesamtsumme und die Gesamtzinsen in zwei getrennte Gleichungen übersetzt.

1. Variablen festlegen: \(x\) für den Betrag auf dem ersten Konto und \(y\) für den Betrag auf dem zweiten Konto. 2. Gleichungssystem aufstellen: I: \(x + y = 10\,000\) II: \(0{,}02x + 0{,}03y = 260\) 3. Gleichung I nach \(x\) umstellen: \(x = 10\,000 - y\). 4. In Gleichung II einsetzen: \(0{,}02(10\,000 - y) + 0{,}03y = 260\). 5. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(200 - 0{,}02y + 0{,}03y = 260 \implies 200 + 0{,}01y = 260\). 6. Nach \(y\) auflösen: \(0{,}01y = 60 \implies y = 6\,000\). 7. \(x\) berechnen: \(x = 10\,000 - 6\,000 = 4\,000\). Auf dem ersten Konto liegen \(4\,000\,\text{€}\) und auf dem zweiten \(6\,000\,\text{€}\).

Frau Müller hat \(4\,000\,\text{€}\) auf dem ersten Konto (\(2\,\%\)) und \(6\,000\,\text{€}\) auf dem zweiten Konto (\(3\,\%\)) angelegt.

- Identifiziere die zwei verschiedenen Arten von Informationen: die Gesamtzahl der verkauften Objekte und den Gesamtwert. - Erstelle für jede dieser Informationen eine eigene Gleichung. - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Definition der Variablen: Anzahl der Erwachsenen \(x\) und Anzahl der Kinder \(y\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(x + y = 120\) (Gesamtanzahl der Personen) und \(8x + 5y = 735\) (Gesamteinnahmen in Euro). 3. Umstellen der ersten Gleichung nach einer Variablen: \(y = 120 - x\). 4. Einsetzen in die Einnahmegleichung: \(8x + 5 \cdot (120 - x) = 735\). 5. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(8x + 600 - 5x = 735 \Rightarrow 3x + 600 = 735\). 6. Isolieren von \(x\): \(3x = 135 \Rightarrow x = 45\). 7. Berechnung von \(y\): \(y = 120 - 45 = 75\). 8. Ergebnis: Es besuchten \(45\) Erwachsene und \(75\) Kinder die Aufführung.

Es wurden \(45\) Karten an Erwachsene und \(75\) Karten an Kinder verkauft.

- Überlege dir zuerst, welche zwei Dinge gesucht sind und ordne ihnen Buchstaben zu. - Wie kannst du den Gesamtpreis für die Äpfel und Bananen als mathematischen Ausdruck schreiben? - Du hast zwei verschiedene Situationen gegeben – das hilft dir, zwei Gleichungen aufzustellen. - Gibt es ein Verfahren, mit dem du eine der beiden Unbekannten eliminieren kannst?

1. Definition der Variablen: \(a\) für den Preis eines Apfels und \(b\) für den Preis einer Banane in Euro. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(3a + 2b = 2{,}10\); II: \(2a + 3b = 2{,}40\). 3. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation von Gleichung I mit \(3\) und Gleichung II mit \(2\) ergibt: I': \(9a + 6b = 6{,}30\); II': \(4a + 6b = 4{,}80\). 4. Subtraktion der Gleichungen (I' \(-\) II'): \(5a = 1{,}50\). 5. Berechnung von \(a\): \(a = 0{,}30\). 6. Einsetzen von \(a = 0{,}30\) in Gleichung I: \(3 \cdot 0{,}30 + 2b = 2{,}10 \implies 0{,}90 + 2b = 2{,}10 \implies 2b = 1{,}20 \implies b = 0{,}60\).

Ein Apfel kostet \(0{,}30\,\text{€}\) und eine Banane kostet \(0{,}60\,\text{€}\).

- Wie setzen sich die Geschwindigkeiten zusammen, wenn das Wasser das Schiff anschiebt oder bremst? - Kannst du aus der Strecke und der Zeit die jeweilige Geschwindigkeit über Grund berechnen? - Stelle für beide Situationen (mit und gegen die Strömung) eine Gleichung auf. - Welches Verfahren eignet sich am besten, um eine der Unbekannten schnell zu eliminieren?

1. Definition der Variablen: \(v_S\) für die Eigengeschwindigkeit des Schiffes und \(v_F\) für die Fließgeschwindigkeit des Wassers. 2. Aufstellen der Geschwindigkeitsgleichungen: Mit der Strömung beträgt die Geschwindigkeit \(v_S + v_F = \frac{36}{2} = 18\,\text{km/h}\). Gegen die Strömung beträgt sie \(v_S - v_F = \frac{36}{3} = 12\,\text{km/h}\). 3. Lösen des Gleichungssystems durch Addition: \((v_S + v_F) + (v_S - v_F) = 18 + 12 \Rightarrow 2v_S = 30 \Rightarrow v_S = 15\,\text{km/h}\). 4. Bestimmung der Fließgeschwindigkeit durch Einsetzen: \(15 + v_F = 18 \Rightarrow v_F = 3\,\text{km/h}\).

Die Eigengeschwindigkeit des Schiffes beträgt \(15\,\text{km/h}\) und die Fließgeschwindigkeit des Flusses beträgt \(3\,\text{km/h}\).

- Überlege dir, wie viel mehr Herr Schmidt im zweiten Monat bezahlt hat und warum. - Kannst du den Preisunterschied direkt den zusätzlichen Saunabesuchen zuordnen? - Was bleibt vom Gesamtbetrag übrig, wenn man die Kosten für die Saunabesuche abzieht?

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit \(G\) als Grundgebühr und \(s\) als Preis pro Saunabesuch: I: \(G + 6s = 56\) II: \(G + 10s = 72\) 2. Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung zur Elimination von \(G\): \((G + 10s) - (G + 6s) = 72 - 56 \Rightarrow 4s = 16\) 3. Berechnung des Preises pro Saunabesuch: \(s = 16 : 4 = 4\) Ein Saunabesuch kostet \(4{,}00\,\text{€}\). 4. Einsetzen von \(s = 4\) in Gleichung I zur Berechnung von \(G\): \(G + 6 \cdot 4 = 56 \Rightarrow G + 24 = 56 \Rightarrow G = 32\) Die Grundgebühr beträgt \(32{,}00\,\text{€}\).

Die monatliche Grundgebühr beträgt \(32{,}00\,\text{€}\) und ein Saunabesuch kostet \(4{,}00\,\text{€}\).

- Kannst du die Informationen aus dem Text in zwei mathematische Gleichungen übersetzen? - Welche Unbekannten suchen wir in dieser Aufgabe? - Wie verändern sich die Beträge im beschriebenen „Was-wäre-wenn“-Szenario? - Welches Verfahren kennst du, um zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen?

1. Variablen festlegen: \(L\) für Leons Erspartes und \(M\) für Mias Erspartes. 2. Erste Gleichung aufstellen: \(L + M = 30\). 3. Zweite Bedingung als Gleichung formulieren: \(2L + 0{,}5M = 36\). 4. Einsetzungsverfahren anwenden: \(M = 30 - L\) in die zweite Gleichung einsetzen. 5. Berechnung: \(2L + 0{,}5(30 - L) = 36 \implies 2L + 15 - 0{,}5L = 36 \implies 1{,}5L = 21\). 6. Ergebnis für \(L\): \(L = 14\). 7. Ergebnis für \(M\): \(M = 30 - 14 = 16\). Leon hat \(14\,\text{€}\) gespart und Mia \(16\,\text{€}\).

Leon hat \(14\,\text{€}\) gespart und Mia \(16\,\text{€}\).

- Kannst du Variablen für die beiden unbekannten Alter festlegen? - Wie drücken wir das Alter der beiden in fünf Jahren aus? - Versuche, für jede Information im Text eine mathematische Beziehung aufzuschreiben. - Könntest du eine der Unbekannten durch die andere ersetzen, um nur noch eine Variable in der Gleichung zu haben?

1. Definition der Variablen: \(s\) für Sarahs heutiges Alter und \(v\) für das heutige Alter des Vaters. 2. Aufstellen der Gleichungen: Aus der ersten Bedingung folgt \(v = 3s\). In \(5\) Jahren sind sie \(s+5\) und \(v+5\) Jahre alt. Die zweite Bedingung lautet \(v + 5 = 2 \cdot (s + 5) + 6\). 3. Einsetzen von \(v = 3s\) in die zweite Gleichung: \(3s + 5 = 2s + 10 + 6\). 4. Zusammenfassen und Lösen nach \(s\): \(3s + 5 = 2s + 16 \implies s = 11\). 5. Berechnung von \(v\): \(v = 3 \cdot 11 = 33\). Sarah ist heute \(11\) Jahre alt und ihr Vater \(33\) Jahre.

Sarah ist \(11\) Jahre alt und ihr Vater ist \(33\) Jahre alt.

- Wir suchen zwei verschiedene Anzahlen. Welche Buchstaben möchtest du dafür verwenden? - Es gibt zwei Gesamtsummen im Text: die Anzahl der Personen und den Geldbetrag. Kannst du für jede Summe eine Gleichung aufstellen? - Wie berechnet man den Gesamtpreis für alle Kinderkarten, wenn man die Anzahl noch nicht kennt? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Erwachsenen und \(y\) für die Anzahl der Kinder. 2. Aufstellen der Gleichung für die Anzahl der Personen: \(x + y = 20\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Einnahmen: \(12x + 7y = 190\). 4. Lösen des Systems: Aus der ersten Gleichung folgt \(x = 20 - y\). Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(12(20 - y) + 7y = 190\). 5. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(240 - 12y + 7y = 190 \implies 240 - 5y = 190\). 6. Isolieren von \(y\): \(5y = 50 \implies y = 10\). 7. Berechnung von \(x\): \(x = 20 - 10 = 10\). Es waren \(10\) Erwachsene und \(10\) Kinder.

Es haben \(10\) Erwachsene und \(10\) Kinder die Vorstellung besucht.

- Kannst du für jede der beiden Klassen eine eigene Gleichung aufstellen? - Überlege dir, welche Unbekannten gesucht sind, und gib ihnen Namen wie \(x\) und \(y\). - Welches Verfahren eignet sich am besten, um eine der Variablen verschwinden zu lassen? - Achte darauf, dass du am Ende beide Preise berechnest.

1. Variablen festlegen: \(x\) für den Preis eines Kastens Sprudel und \(y\) für den Preis eines Kastens Apfelsaft (in \(\text{€}\)). 2. Lineares Gleichungssystem aufstellen: \(5x + 3y = 46\) und \(3x + 4y = 43\). 3. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation der ersten Gleichung mit \(4\) und der zweiten mit \(-3\) ergibt \(20x + 12y = 184\) und \(-9x - 12y = -129\). 4. Addition der Gleichungen eliminiert \(y\): \(11x = 55 \Rightarrow x = 5\). 5. Einsetzen von \(x = 5\) in die zweite Gleichung: \(3 \cdot 5 + 4y = 43 \Rightarrow 15 + 4y = 43 \Rightarrow 4y = 28 \Rightarrow y = 7\). 6. Ergebnis: Ein Kasten Sprudel kostet \(5{,}00\,\text{€}\), ein Kasten Apfelsaft kostet \(7{,}00\,\text{€}\).

Ein Kasten Sprudel kostet \(5{,}00\,\text{€}\) und ein Kasten Apfelsaft kostet \(7{,}00\,\text{€}\).

- Kannst du die Informationen aus dem Text in zwei separate Gleichungen übersetzen? - Welche Beziehung besteht zwischen der Seitenlänge des Quadrats und den Maßen des Rechtecks? - Wie hängen Umfang und Seitenlängen bei einem Rechteck und bei einem Quadrat zusammen?

1. Variablen \(l\) für die Länge und \(w\) für die Breite des rechteckigen Platzes festlegen. 2. Gleichungssystem aufstellen: \(2 \cdot (l + w) = 300\) und \(4 \cdot l = 300 + 160\). 3. Die zweite Gleichung nach \(l\) auflösen: \(4l = 460 \Rightarrow l = 115\). 4. Den Wert für \(l\) in die vereinfachte erste Gleichung \(l + w = 150\) einsetzen: \(115 + w = 150 \Rightarrow w = 35\). 5. Die Seitenlängen des rechteckigen Platzes betragen \(115\,\text{m}\) und \(35\,\text{m}\).

Der rechteckige Sportplatz ist \(115\,\text{m}\) lang und \(35\,\text{m}\) breit.

- Kannst du Variablen für die beiden Tierarten festlegen? - Welche Gleichung beschreibt die Gesamtzahl der Köpfe und welche die der Beine? - Überlege für Teil b), ob die Summe von geraden Zahlen jemals ungerade sein kann.

1. Variablen festlegen: \(x\) für die Anzahl der Hühner und \(y\) für die Anzahl der Schafe. 2. Gleichungssystem aufstellen: I: \(x + y = 25\) (Köpfe) und II: \(2x + 4y = 72\) (Beine). 3. Gleichung I nach \(x\) umstellen: \(x = 25 - y\). 4. Einsetzen in Gleichung II: \(2 \cdot (25 - y) + 4y = 72 \implies 50 - 2y + 4y = 72 \implies 2y = 22 \implies y = 11\). 5. \(x\) berechnen: \(x = 25 - 11 = 14\). Es gibt \(14\) Hühner und \(11\) Schafe. 6. Zu Teil b): Da sowohl Hühner als auch Schafe eine gerade Anzahl an Beinen haben, muss die Gesamtsumme der Beine immer eine gerade Zahl sein. \(75\) ist eine ungerade Zahl und daher als Ergebnis unmöglich.

a) Es sind 14 Hühner und 11 Schafe auf dem Bauernhof. b) Da jedes Tier eine gerade Anzahl an Beinen hat, muss auch die Gesamtzahl der Beine gerade sein. 75 ist jedoch ungerade.

- Kannst du für jede Information im Text eine eigene mathematische Beziehung finden? - Überlege dir, welche Symbole oder Buchstaben für die gesuchten Mengen stehen könnten. - Wie hängen der Preis pro Karte und die Anzahl der Karten mit dem Gesamtbetrag zusammen? - Gibt es eine einfache Beziehung zwischen den beiden unbekannten Mengen, die du zuerst nutzen kannst?

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Schülerkarten und \(y\) für die Anzahl der Erwachsenenkarten. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(x + y = 150\) (Gesamtanzahl der Karten) (II) \(5x + 8y = 930\) (Gesamteinnahmen in Euro) 3. Auflösen von (I) nach \(x\): \(x = 150 - y\). 4. Einsetzen in (II): \(5 \cdot (150 - y) + 8y = 930\). 5. Vereinfachen und Lösen nach \(y\): \(750 - 5y + 8y = 930 \Rightarrow 3y = 180 \Rightarrow y = 60\). 6. Berechnen von \(x\): \(x = 150 - 60 = 90\). Es wurden \(90\) Schülerkarten und \(60\) Erwachsenenkarten verkauft.

Es wurden \(90\) Karten für Schüler und \(60\) Karten für Erwachsene verkauft.

- Wie groß ist die Summe aller Winkel in einem Dreieck? - Kannst du alle Winkel durch den Winkel \(\alpha\) ausdrücken? - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt. - Überprüfe am Ende, ob deine drei Ergebnisse zusammen wirklich den erwarteten Gesamtwert ergeben.

1. Aufstellen der Gleichungen basierend auf den Informationen: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\). Die Beziehungen lauten \(\beta = 2\alpha\) und \(\gamma = \beta - 30^\circ = 2\alpha - 30^\circ\). 2. Einsetzen der Ausdrücke für \(\beta\) und \(\gamma\) in die Summengleichung: \(\alpha + 2\alpha + (2\alpha - 30^\circ) = 180^\circ\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(5\alpha - 30^\circ = 180^\circ\). 4. Lösen nach \(\alpha\): \(5\alpha = 210^\circ\), woraus \(\alpha = 42^\circ\) folgt. 5. Berechnen der weiteren Winkel: \(\beta = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ\) und \(\gamma = 84^\circ - 30^\circ = 54^\circ\).

\(\alpha = 42^\circ\), \(\beta = 84^\circ\), \(\gamma = 54^\circ\)

- Kannst du die Informationen aus dem Text in zwei mathematische Gleichungen übersetzen? - Welche Buchstaben (Variablen) könnten für die unbekannten Gewichte stehen? - Erinnere dich an Verfahren wie das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren. Welches passt hier am besten? - Wie kannst du am Ende überprüfen, ob deine gefundenen Gewichte zu beiden Aussagen im Text passen?

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit \(g\) für das Gewicht einer Goldkugel und \(s\) für das Gewicht einer Silbermünze: I: \(2g + 3s = 48\) II: \(3g + 2s = 57\) 2. Anwendung eines Lösungsverfahrens (z. B. Additionsverfahren): Multiplikation von I mit 3 und II mit 2 ergibt: I': \(6g + 9s = 144\) II': \(6g + 4s = 114\) 3. Subtraktion der Gleichungen (I' - II'): \(5s = 30\), woraus \(s = 6\) folgt. 4. Einsetzen von \(s = 6\) in Gleichung I: \(2g + 3 \cdot 6 = 48 \Rightarrow 2g + 18 = 48 \Rightarrow 2g = 30 \Rightarrow g = 15\). 5. Ergebnis: Eine Goldkugel wiegt \(15\,\text{g}\), eine Silbermünze wiegt \(6\,\text{g}\).

Eine Goldkugel wiegt \(15\,\text{g}\) und eine Silbermünze wiegt \(6\,\text{g}\).

- Welche zwei Geschwindigkeiten beeinflussen die Gesamtbewegung? - Wie hängen die Einzelgeschwindigkeiten zusammen, wenn man sich in dieselbe Richtung oder in die entgegengesetzte Richtung bewegt? - Kannst du für jede der beiden Situationen eine Gleichung aufstellen? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um ein System mit einer Summe und einer Differenz zu lösen?

1. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems mit der Gehgeschwindigkeit \(v_J\) und der Geschwindigkeit des Fahrsteigs \(v_F\): I: \(v_J + v_F = 2{,}5\) II: \(v_J - v_F = 0{,}7\) 2. Addition der beiden Gleichungen zur Elimination von \(v_F\): \(2 \cdot v_J = 3{,}2\) 3. Berechnung der Gehgeschwindigkeit: \(v_J = 1{,}6\,\text{m/s}\) 4. Einsetzen von \(v_J\) in Gleichung I: \(1{,}6 + v_F = 2{,}5\) 5. Berechnung der Geschwindigkeit des Fahrsteigs: \(v_F = 0{,}9\,\text{m/s}\)

Julias Gehgeschwindigkeit beträgt \(1{,}6\,\text{m/s}\) und die Geschwindigkeit des Fahrsteigs beträgt \(0{,}9\,\text{m/s}\).

- Welche zwei Mengen sind in der Aufgabe gesucht? - Überlege dir, welche zwei Bedingungen erfüllt sein müssen: eine für die Gesamtmenge der Flüssigkeit und eine für den Anteil des reinen Fruchtsafts. - Kannst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten aufstellen? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) eignet sich hier am besten?

1. Variablen festlegen: \(x\) für das Volumen von Sorte A in Litern und \(y\) für das Volumen von Sorte B in Litern. 2. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtmenge: \(x + y = 60\). 3. Aufstellen der Gleichung für den reinen Fruchtanteil: \(0{,}40x + 0{,}70y = 0{,}50 \cdot 60\), was zu \(0{,}4x + 0{,}7y = 30\) vereinfacht wird. 4. Umstellen der ersten Gleichung nach \(y\): \(y = 60 - x\). 5. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(0{,}4x + 0{,}7(60 - x) = 30\). 6. Klammer auflösen und nach \(x\) auflösen: \(0{,}4x + 42 - 0{,}7x = 30 \Rightarrow -0{,}3x = -12 \Rightarrow x = 40\). 7. Berechnen von \(y\): \(y = 60 - 40 = 20\). Es müssen \(40\,\text{Liter}\) der Sorte A und \(20\,\text{Liter}\) der Sorte B gemischt werden.

Es müssen \(40\,\text{Liter}\) von Sorte A und \(20\,\text{Liter}\) von Sorte B gemischt werden.

- Welche zwei Bestandteile tragen zum Gesamtgewicht bei? - Wenn drei Viertel der Äpfel weg sind, welcher Anteil der Äpfel ist dann noch in der Kiste? - Kannst du für den Anfangszustand und den Endzustand jeweils eine Gleichung aufstellen? - Überlege, wie du eine der Unbekannten eliminieren kannst, indem du die Gleichungen voneinander abziehst.

1. Variablen festlegen: \(x\) für das Gewicht der leeren Kiste und \(y\) für das ursprüngliche Gewicht der Äpfel. 2. Gleichungssystem aufstellen: \(x + y = 15{,}5\) und \(x + \frac{1}{4}y = 5\). 3. Die erste Gleichung nach \(y\) auflösen: \(y = 15{,}5 - x\). 4. Den Ausdruck für \(y\) in die zweite Gleichung einsetzen: \(x + \frac{1}{4}(15{,}5 - x) = 5\). 5. Die Gleichung nach \(x\) auflösen: \(x + 3{,}875 - 0{,}25x = 5 \implies 0{,}75x = 1{,}125 \implies x = 1{,}5\). 6. Das Gewicht der leeren Kiste beträgt \(1{,}5\,\text{kg}\).

Die leere Kiste wiegt \(1{,}5\,\text{kg}\).

- Welche zwei Dinge suchen wir und wie können wir sie als Variablen benennen? - Kannst du für jede Information im Text eine mathematische Gleichung schreiben? - Wenn du weißt, wie viel teurer ein Gegenstand ist, kannst du ihn durch den anderen ausdrücken. - Wie kannst du eine Gleichung so verändern, dass nur noch eine Unbekannte darin vorkommt?

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit \(b\) für den Preis eines Brötchens und \(s\) für den Preis einer Saftpackung: \(2b + 3s = 7{,}80\) und \(b = s + 0{,}60\). 2. Einsetzen des Ausdrucks für \(b\) in die erste Gleichung: \(2 \cdot (s + 0{,}60) + 3s = 7{,}80\). 3. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(2s + 1{,}20 + 3s = 7{,}80 \Rightarrow 5s + 1{,}20 = 7{,}80\). 4. Isolieren von \(s\): \(5s = 6{,}60 \Rightarrow s = 1{,}32\). 5. Einsetzen von \(s\) in die Gleichung für \(b\): \(b = 1{,}32 + 0{,}60 = 1{,}92\). Ein Brötchen kostet \(1{,}92\,\text{€}\) und eine Packung Saft kostet \(1{,}32\,\text{€}\).

Ein belegtes Brötchen kostet \(1{,}92\,\text{€}\) und eine Packung Saft kostet \(1{,}32\,\text{€}\).

- Wie hängen Umfang, Länge und Breite bei einem Rechteck zusammen? - Was zeichnet die Seitenlängen eines Quadrats im Vergleich zu einem Rechteck aus? - Kannst du für beide Bedingungen jeweils eine Gleichung mit zwei Unbekannten aufstellen? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Variablen festlegen: \(l\) für die Länge und \(b\) für die Breite des ursprünglichen Rechtecks (in \(\text{cm}\)). 2. Gleichungssystem aufstellen: (I) \(2l + 2b = 34\) (Umfangsformel) (II) \(l - 2 = b + 3\) (Bedingung für das Quadrat: alle Seiten gleich lang) 3. Gleichung (I) vereinfachen: \(l + b = 17\). 4. Gleichung (II) umstellen: \(l - b = 5\). 5. LGS lösen (z. B. Additionsverfahren): \((l + b) + (l - b) = 17 + 5 \Rightarrow 2l = 22 \Rightarrow l = 11\). 6. Wert für \(b\) berechnen: \(11 + b = 17 \Rightarrow b = 6\). 7. Ergebnis: Die ursprüngliche Länge beträgt \(11\,\text{cm}\), die Breite \(6\,\text{cm}\).

Die ursprüngliche Länge des Rechtecks beträgt \(11\,\text{cm}\) und die ursprüngliche Breite beträgt \(6\,\text{cm}\).

- Kannst du für die beiden unbekannten Gewichte Variablen festlegen? - Welche zwei Informationen gibt dir der Text über die Beziehung der Gewichte zueinander? - Kannst du eine der Variablen durch die andere ausdrücken und in die erste Gleichung einsetzen? - Überprüfe am Ende, ob die Summe der Gewichte wirklich \(5\,500\,\text{kg}\) ergibt.

1. Definition der Variablen: \(x\) für das Gewicht eines Zebras in \(\text{kg}\) und \(y\) für das Gewicht des Elefanten in \(\text{kg}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(y + 4x = 5\,500\) II: \(y = 12x + 100\) 3. Einsetzen von Gleichung II in Gleichung I: \((12x + 100) + 4x = 5\,500\). 4. Zusammenfassen und Lösen nach \(x\): \(16x + 100 = 5\,500 \Rightarrow 16x = 5\,400 \Rightarrow x = 337{,}5\). 5. Einsetzen von \(x\) in Gleichung II zur Bestimmung von \(y\): \(y = 12 \cdot 337{,}5 + 100 = 4\,050 + 100 = 4\,150\). 6. Ergebnis: Ein Zebra wiegt \(337{,}5\,\text{kg}\), der Elefant wiegt \(4\,150\,\text{kg}\).

Ein Zebra wiegt \(337{,}5\,\text{kg}\) und der Elefant wiegt \(4\,150\,\text{kg}\).

- Welche zwei Unbekannten suchen wir in dieser Aufgabe? - Kannst du die Zusammenhänge aus dem Text in zwei mathematische Gleichungen übersetzen? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier besonders an, wenn eine Variable bereits fast alleine steht? - Hast du am Ende geprüft, ob deine Werte in beide Sätze der Aufgabenstellung passen?

1. Definition der Variablen: \(x\) für das Volumen eines großen Kanisters und \(y\) für das eines kleinen Kanisters in Litern. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(2x + 6y = 54\) und \(x = 2y + 2\). 3. Anwendung des Einsetzungsverfahrens durch Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste: \(2(2y + 2) + 6y = 54\). 4. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der Terme: \(4y + 4 + 6y = 54 \Rightarrow 10y + 4 = 54\). 5. Isolieren der Variable \(y\): \(10y = 50 \Rightarrow y = 5\). 6. Berechnung von \(x\) durch Einsetzen von \(y = 5\) in die zweite Gleichung: \(x = 2 \cdot 5 + 2 = 12\). 7. Ergebnis: Ein großer Kanister fasst \(12\,\text{l}\) und ein kleiner Kanister fasst \(5\,\text{l}\).

Ein großer Kanister hat eine Füllmenge von \(12\,\text{l}\) und ein kleiner Kanister eine Füllmenge von \(5\,\text{l}\).

- Was bleibt in beiden Situationen gleich? - Kannst du für die Anzahl der Kisten und die Anzahl der Äpfel jeweils eine Variable festlegen? - Wie viele Äpfel passen in die Kisten, wenn zwei Kisten leer bleiben? - Versuche, für beide Szenarien einen Term für die Gesamtzahl der Äpfel aufzustellen.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Kisten und \(y\) für die Anzahl der Äpfel. 2. Aufstellen der Gleichungen aus den Bedingungen: \(y = 12x + 15\) (erste Verteilung) und \(y = 15(x - 2)\) (zweite Verteilung). 3. Gleichsetzen der Ausdrücke für \(y\): \(12x + 15 = 15(x - 2)\). 4. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(12x + 15 = 15x - 30\). 5. Isolieren der Variable \(x\): \(3x = 45\), woraus \(x = 15\) Kisten folgt. 6. Einsetzen von \(x\) in eine der Ausgangsgleichungen: \(y = 12 \cdot 15 + 15 = 195\) Äpfel.

Es sind \(195\) Äpfel und \(15\) Kisten.

- Überlege dir, wie du die Zeitangaben in Minuten in die Einheit Stunden umrechnen kannst, damit sie zur Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\) passen. - Kannst du für beide Szenarien einen Term für die Strecke aufstellen? - Was weißt du über die Entfernung in beiden Fällen? - Versuche, ein Gleichungssystem mit der Zeit und der Strecke als Unbekannte zu bilden.

1. Festlegen der Variablen: Sei \(t\) die geplante Fahrzeit in Stunden und \(s\) die Entfernung in \(\text{km}\). 2. Umrechnung der Zeitdifferenzen in Stunden: \(10\,\text{Minuten} = \frac{1}{6}\,\text{h}\) und \(5\,\text{Minuten} = \frac{1}{12}\,\text{h}\). 3. Aufstellen der Gleichungen für die Entfernung: \(s = 60 \cdot (t + \frac{1}{6})\) und \(s = 80 \cdot (t - \frac{1}{12})\). 4. Gleichsetzen der Ausdrücke für \(s\): \(60t + 10 = 80t - \frac{80}{12}\). 5. Vereinfachen und Lösen nach \(t\): \(60t + 10 = 80t - \frac{20}{3} \Rightarrow 20t = 10 + \frac{20}{3} \Rightarrow 20t = \frac{50}{3} \Rightarrow t = \frac{50}{60}\,\text{h}\). 6. Umrechnung der Zeit: \(t = \frac{5}{6}\,\text{h} = 50\,\text{Minuten}\). 7. Berechnung der Entfernung \(s\): \(s = 60 \cdot (\frac{50}{60} + \frac{10}{60}) = 60 \cdot 1 = 60\,\text{km}\).

Die Entfernung zum Zielort beträgt \(60\,\text{km}\) und die eingeplante Fahrzeit beträgt \(50\,\text{Minuten}\).

- Stelle für beide Fälle eine Gleichung auf, die den Preis des Geschenks beschreibt. - Was passiert mit dem Gesamtpreis, wenn du die Beiträge der Schüler und den fehlenden oder überschüssigen Betrag kombinierst? - Wenn du zwei verschiedene Ausdrücke für denselben Preis hast, kannst du diese gleichsetzen. - Überlege für den zweiten Teil, wie man einen Gesamtpreis gleichmäßig auf eine Gruppe aufteilt.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Schüler und \(y\) für den Preis des Geschenks. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(4{,}50 \cdot x = y - 12{,}00 \Rightarrow y = 4{,}50x + 12{,}00\) II: \(5{,}50 \cdot x = y + 12{,}00 \Rightarrow y = 5{,}50x - 12{,}00\) 3. Gleichsetzen der Ausdrücke für \(y\): \(4{,}50x + 12{,}00 = 5{,}50x - 12{,}00\). 4. Lösen nach \(x\): \(24{,}00 = 1{,}00x \Rightarrow x = 24\). Es sind 24 Schüler in der Klasse. 5. Berechnung des Preises \(y\): \(y = 4{,}50 \cdot 24 + 12{,}00 = 108{,}00 + 12{,}00 = 120{,}00\,\text{€}\). 6. Berechnung des exakten Betrags pro Person: \(120{,}00\,\text{€} : 24 = 5{,}00\,\text{€}\).

a) In der Klasse sind 24 Schüler und das Geschenk kostet \(120{,}00\,\text{€}\). b) Jeder Schüler müsste exakt \(5{,}00\,\text{€}\) bezahlen.

- Kannst du für jede Abteilung eine Variable festlegen, die die ursprüngliche Mitgliederzahl beschreibt? - Wie hängen die Mitgliederzahlen im Vorjahr zusammen? - Wie verändern sich die Zahlen durch die prozentualen Angaben? - Kannst du eine der Variablen durch die andere ausdrücken, um die Anzahl der Unbekannten zu reduzieren?

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Mitglieder beim Fußball und \(y\) für die Anzahl beim Tennis im Vorjahr. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(x + y = 200\) und \(1{,}1x + 0{,}9y = 202\). 3. Auflösen der ersten Gleichung nach \(y\): \(y = 200 - x\). 4. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(1{,}1x + 0{,}9(200 - x) = 202\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(1{,}1x + 180 - 0{,}9x = 202 \Rightarrow 0{,}2x + 180 = 202\). 6. Berechnung von \(x\): \(0{,}2x = 22 \Rightarrow x = 110\). 7. Berechnung von \(y\): \(y = 200 - 110 = 90\).

Im vergangenen Jahr hatte die Fußballabteilung 110 Mitglieder und die Tennisabteilung 90 Mitglieder.

- Was sind die gesuchten Größen in dieser Aufgabe? - Kannst du für jeden Einkauf eine eigene Gleichung aufstellen? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um eine der Variablen zu eliminieren? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Preise in die Sätze der Aufgabe einsetzt.

1. Definition der Variablen: \(x\) für den Preis pro Kilogramm Äpfel und \(y\) für den Preis pro Kilogramm Kartoffeln. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(2x + 5y = 13{,}50\) und (II) \(3x + 2y = 12{,}00\). 3. Anwendung des Additionsverfahrens: Gleichung (I) mit \(3\) multiplizieren (\(6x + 15y = 40{,}50\)) und Gleichung (II) mit \(2\) multiplizieren (\(6x + 4y = 24{,}00\)). 4. Subtraktion der Gleichungen: \(11y = 16{,}50 \implies y = 1{,}50\). 5. Einsetzen von \(y\) in (II): \(3x + 2 \cdot 1{,}50 = 12{,}00 \implies 3x + 3{,}00 = 12{,}00 \implies 3x = 9{,}00 \implies x = 3{,}00\).

Ein Kilogramm Äpfel kostet \(3{,}00\,\text{€}\) und ein Kilogramm Kartoffeln kostet \(1{,}50\,\text{€}\).

- Kannst du die Aussagen von Lukas und Mia in mathematische Gleichungen übersetzen? - Welche Unbekannten suchen wir in dieser Aufgabe? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier an? - Achte darauf, dass „zwei Fünftel deines Geldes“ als Bruch oder Dezimalzahl geschrieben werden kann.

1. Definition der Variablen: \(L\) für das Geld von Lukas und \(M\) für das Geld von Mia in Euro. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(L + \frac{2}{5}M = 30\) (II) \(M + \frac{1}{2}L = 30\) 3. Umstellen von Gleichung (II) nach \(M\): \(M = 30 - 0{,}5L\). 4. Einsetzen in Gleichung (I): \(L + 0{,}4 \cdot (30 - 0{,}5L) = 30\). 5. Vereinfachen und nach \(L\) auflösen: \(L + 12 - 0{,}2L = 30 \Rightarrow 0{,}8L = 18 \Rightarrow L = 22{,}5\). 6. Berechnung von \(M\): \(M = 30 - 0{,}5 \cdot 22{,}5 = 30 - 11{,}25 = 18{,}75\).

Lukas hat \(22{,}50\,\text{€}\) und Mia hat \(18{,}75\,\text{€}\).

- Kannst du für beide Personen eine Variable festlegen? - Wie verändert sich die Anzahl der Karten bei jeder Person, wenn Karten getauscht werden? - Versuche, für jede der beiden Aussagen eine eigene Gleichung aufzustellen. - Was bedeutet „doppelt so viele“ mathematisch ausgedrückt? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um das Gleichungssystem zu lösen?

1. Variablen festlegen: \(x\) für die Anzahl der Karten von Lukas, \(y\) für die Anzahl der Karten von Marie 2. Erste Bedingung (Lukas erhält 10 Karten): \(x + 10 = 2 \cdot (y - 10)\) 3. Zweite Bedingung (Marie erhält 10 Karten): \(x - 10 = y + 10\) 4. Zweite Gleichung nach \(x\) auflösen: \(x = y + 20\) 5. \(x\) in die erste Gleichung einsetzen: \((y + 20) + 10 = 2y - 20\) 6. Gleichung vereinfachen: \(y + 30 = 2y - 20\) 7. Nach \(y\) auflösen: \(y = 50\) 8. \(x\) berechnen: \(x = 50 + 20 = 70\)

Lukas hatte zu Beginn 70 Karten und Marie hatte 50 Karten.

- Welche zwei Dinge wissen wir über die Anzahl der Gehege und deren Kosten? - Kannst du für jede dieser Informationen eine Gleichung mit zwei Unbekannten aufstellen? - Wie kannst du eine der Gleichungen umformen, um sie in die andere einzusetzen? - Überprüfe am Ende, ob deine berechneten Anzahlen zusammen \(42\) ergeben und die Kosten stimmen.

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit \(v\) für die Anzahl der Vogelgehege und \(s\) für die Anzahl der Kleinsäugergehege: I: \(v + s = 42\) II: \(8 \cdot v + 12 \cdot s = 400\) 2. Auflösen der ersten Gleichung nach einer Variablen: \(v = 42 - s\). 3. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(8 \cdot (42 - s) + 12 \cdot s = 400\). 4. Vereinfachen und Berechnen von \(s\): \(336 - 8s + 12s = 400 \Rightarrow 4s = 64 \Rightarrow s = 16\). 5. Berechnen von \(v\): \(v = 42 - 16 = 26\).

Es gibt \(26\) Vogelgehege und \(16\) Kleinsäugergehege.

- Kannst du für jede der beiden Informationen (Gesamtanzahl und Gesamtpreis) eine eigene Gleichung aufstellen? - Welche Unbekannten suchst du? Gib ihnen Namen wie \(x\) und \(y\). - Wie könntest du eine der Gleichungen so umformen, dass du eine Unbekannte durch die andere ausdrückst? - Überprüfe dein Ergebnis: Ergeben die Anzahlen zusammen 40 und passt der Gesamtpreis?

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der belegten Brötchen und \(y\) für die Anzahl der Obststücke. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(x + y = 40\) (Gesamtanzahl) und \(2{,}5x + 1{,}2y = 74\) (Gesamtpreis). 3. Umstellen der ersten Gleichung nach \(y\): \(y = 40 - x\). 4. Einsetzen in die Preisgleichung: \(2{,}5x + 1{,}2(40 - x) = 74\). 5. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(2{,}5x + 48 - 1{,}2x = 74 \implies 1{,}3x + 48 = 74\). 6. Isolieren von \(x\): \(1{,}3x = 26 \implies x = 20\). 7. Berechnung von \(y\): \(y = 40 - 20 = 20\).

Es wurden 20 belegte Brötchen und 20 Obststücke verkauft.

- Kannst du für die beiden unbekannten Preise Platzhalter wie \(x\) und \(y\) festlegen? - Wie lassen sich die Einkäufe der beiden Familien als mathematische Gleichungen schreiben? - Gibt es ein Verfahren, mit dem du eine der Variablen eliminieren kannst, zum Beispiel indem du eine Gleichung so vervielfachst, dass sie zur anderen passt? - Was passiert, wenn du die Ergebnisse in die ursprünglichen Sätze einsetzt?

1. Definition der Variablen: \(x\) sei der Preis eines Weltmeisterbrötchens in Euro, \(y\) der Preis einer Laugenstange in Euro. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(4x + 3y = 6{,}50\) II: \(2x + 5y = 7{,}10\) 3. Lösung durch das Additionsverfahren: Multiplikation von Gleichung II mit \(-2\) ergibt: II': \(-4x - 10y = -14{,}20\) 4. Addition von I und II': \((4x - 4x) + (3y - 10y) = 6{,}50 - 14{,}20\) \(-7y = -7{,}70\) \(y = 1{,}10\) 5. Einsetzen von \(y = 1{,}10\) in Gleichung II: \(2x + 5 \cdot 1{,}10 = 7{,}10\) \(2x + 5{,}50 = 7{,}10\) \(2x = 1{,}60\) \(x = 0{,}80\) 6. Ergebnis: Ein Weltmeisterbrötchen kostet \(0{,}80\,\text{€}\) und eine Laugenstange kostet \(1{,}10\,\text{€}\).

Ein Weltmeisterbrötchen kostet \(0{,}80\,\text{€}\) und eine Laugenstange kostet \(1{,}10\,\text{€}\).

- Überlege dir zuerst, welche zwei Werte unbekannt sind und ordne ihnen Buchstaben zu. - Kannst du die Informationen über die Mischungen als mathematische Gleichungen schreiben? - Wie oft sind die \(100\,\text{g}\)-Einheiten in den jeweiligen Mischungen enthalten? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Definition der Variablen: \(x\) ist der Energiegehalt von \(100\,\text{g}\) Walnüssen, \(y\) der von \(100\,\text{g}\) Cashews. 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems basierend auf den Mischungsverhältnissen: (I) \(x + 2y = 1850\) (II) \(3x + y = 2550\) 3. Umformen von Gleichung (II) nach \(y\): \(y = 2550 - 3x\). 4. Einsetzen von \(y\) in Gleichung (I): \(x + 2 \cdot (2550 - 3x) = 1850\). 5. Zusammenfassen und Lösen nach \(x\): \(x + 5100 - 6x = 1850 \implies -5x = -3250 \implies x = 650\). 6. Berechnen von \(y\) durch Einsetzen von \(x = 650\) in die umgeformte Gleichung: \(y = 2550 - 3 \cdot 650 = 2550 - 1950 = 600\). 7. Ergebnis: \(100\,\text{g}\) Walnüsse haben \(650\,\text{kcal}\), \(100\,\text{g}\) Cashews haben \(600\,\text{kcal}\).

Walnusskerne haben einen Energiegehalt von \(650\,\text{kcal}\) pro \(100\,\text{g}\) und Cashewkerne von \(600\,\text{kcal}\) pro \(100\,\text{g}\).

- Wie viele Beine hat jedes der genannten Tiere? - Kannst du die Informationen in zwei getrennte mathematische Sätze übersetzen? - Welches Verfahren kennst du, um zwei Gleichungen gleichzeitig zu lösen? - Wie würdest du den Satz „zwei mehr als“ als mathematische Gleichung schreiben?

1. Aufstellen der Gleichungen: Köpfe: \(x + y = 12\). Beine (Hühner haben 2, Schafe 4): \(2x + 4y = 38\). 2. Lösen des Systems: Aus der ersten Gleichung folgt \(x = 12 - y\). Einsetzen in die zweite: \(2(12 - y) + 4y = 38 \Rightarrow 24 - 2y + 4y = 38 \Rightarrow 2y = 14 \Rightarrow y = 7\). Daraus folgt \(x = 12 - 7 = 5\). Es gibt 5 Hühner und 7 Schafe. 3. Überprüfung der Behauptung: Die Differenz ist \(y - x = 7 - 5 = 2\). Die Aussage „zwei Schafe mehr als Hühner“ (\(y = x + 2\)) ist somit korrekt, da \(7 = 5 + 2\) eine wahre Aussage ist.

a) I: \(x + y = 12\); II: \(2x + 4y = 38\). b) Es gibt 5 Hühner und 7 Schafe. c) Ja, die Aussage ist korrekt, da \(7 - 5 = 2\).

- Wenn \(x\) eine Anzahl ist, was muss dann die Zahl davor sein, damit am Ende ein Geldbetrag herauskommt? - Was bedeutet „Rabatt“ für den Einzelpreis eines Tickets? - Wenn du die Gesamtzahl der Personen kennst, wie kannst du das als einfache Gleichung mit \(x\) und \(y\) schreiben? - Versuche, eine der Variablen durch die andere auszudrücken.

1. Interpretation: Die Zahl \(12\) ist der Ticketpreis für einen Jugendlichen in Euro, \(18\) ist der Ticketpreis für einen Erwachsenen in Euro. 2. Veränderung der Gleichung: Der neue Preis für Jugendliche beträgt \(12 - 2 = 10\,\text{€}\). Die neue Gleichung lautet \(10x + 18y = 360\). 3. Berechnung mit Zusatzbedingung: Wir haben das System \(12x + 18y = 360\) und \(x + y = 25\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(x = 25 - y\). Einsetzen in die erste: \(12(25 - y) + 18y = 360 \Rightarrow 300 - 12y + 18y = 360 \Rightarrow 6y = 60 \Rightarrow y = 10\). Einsetzen in \(x = 25 - 10 = 15\). Es nehmen 15 Jugendliche und 10 Erwachsene teil.

a) \(12\,\text{€}\) ist der Preis für einen Jugendlichen, \(18\,\text{€}\) der Preis für einen Erwachsenen. b) Die neue Gleichung lautet \(10x + 18y = 360\). c) Es fahren 15 Jugendliche und 10 Erwachsene mit.

- Stelle zuerst eine Gleichung für den Umfang auf und vereinfache sie so weit wie möglich. - Schreibe Terme für den alten und den neuen Flächeninhalt auf. - Achte beim Subtrahieren der Flächeninhalte besonders auf die Klammern und die Vorzeichen. - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier nach der Vereinfachung an?

1. Variablen definieren: \(l\) für die Länge und \(w\) für die Breite in \(\text{m}\). 2. Umfangsgleichung: \(2 \cdot (l + w) = 40 \implies l + w = 20\). 3. Flächengleichung aufstellen: Ursprüngliche Fläche \(A_1 = l \cdot w\). Neue Fläche \(A_2 = (l + 2) \cdot (w - 2)\). 4. Bedingung für die Flächenänderung: \(A_1 - A_2 = 12\). Einsetzen ergibt \(l \cdot w - (l + 2) \cdot (w - 2) = 12\). 5. Vereinfachen: \(l \cdot w - (l \cdot w - 2l + 2w - 4) = 12 \implies 2l - 2w + 4 = 12 \implies 2l - 2w = 8 \implies l - w = 4\). 6. LGS lösen: Aus \(l + w = 20\) und \(l - w = 4\) folgt durch Addition \(2l = 24\), also \(l = 12\). Durch Einsetzen erhält man \(w = 8\). Das Beet war ursprünglich \(12\,\text{m}\) lang und \(8\,\text{m}\) breit.

Das ursprüngliche Beet hat eine Länge von \(12\,\text{m}\) und eine Breite von \(8\,\text{m}\).

- Welche Kosten fallen an, auch wenn gar keine Seite gedruckt wird? - Wie ändert sich der Gesamtpreis, wenn die Anzahl der Seiten steigt? - Könntest du ein Gleichungssystem aufstellen, in dem eine Variable die Fixkosten und eine die variablen Kosten darstellt? - Welches Rechenverfahren eignet sich am besten, um eine Variable direkt zu entfernen?

1. Definition der Variablen: \(B\) für die Bereitstellungsgebühr in \(\text{€}\) und \(s\) für den Preis pro Seite in \(\text{€}\). 2. Aufstellen der Gleichungen: I: \(B + 200s = 18\) II: \(B + 500s = 33\) 3. Anwendung des Additionsverfahrens (Subtraktion I von II): \(300s = 15\) 4. Berechnung des Seitenpreises \(s\): \(s = \frac{15}{300} = 0{,}05\). Eine Seite kostet \(0{,}05\,\text{€}\) (bzw. \(5\,\text{Cent}\)). 5. Berechnung der Bereitstellungsgebühr \(B\) durch Einsetzen in I: \(B + 200 \cdot 0{,}05 = 18\) \(B + 10 = 18\) \(B = 8\). Die Gebühr beträgt \(8{,}00\,\text{€}\).

Die monatliche Bereitstellungsgebühr beträgt \(8{,}00\,\text{€}\) und der Preis pro Seite beträgt \(0{,}05\,\text{€}\) (oder \(5\,\text{Cent}\)).

- Stelle für jede Bestellung eine Gleichung mit zwei Unbekannten auf. - Wie kannst du eine prozentuale Preiserhöhung mathematisch als Faktor ausdrücken? - Kannst du eine der Gleichungen vereinfachen, bevor du ein Lösungsverfahren anwendest?

1. Definition der Variablen: \(x\) für den Preis eines Trikots und \(y\) für den Preis einer Hose (in \(\text{€}\)). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(20x + 30y = 900\) II: \(20 \cdot 1{,}1x + 30 \cdot 1{,}2y = 1\,020 \implies 22x + 36y = 1\,020\) 3. Vereinfachung von Gleichung I durch Division durch \(10\): \(2x + 3y = 90 \implies x = 45 - 1{,}5y\). 4. Einsetzen in Gleichung II: \(22(45 - 1{,}5y) + 36y = 1\,020\). 5. Auflösen nach \(y\): \(990 - 33y + 36y = 1\,020 \implies 3y = 30 \implies y = 10\). 6. Berechnung von \(x\): \(x = 45 - 1{,}5 \cdot 10 = 30\). Ein Trikot kostete ursprünglich \(30\,\text{€}\) und eine Hose \(10\,\text{€}\).

Der ursprüngliche Preis für ein Trikot betrug \(30\,\text{€}\) und für eine Hose \(10\,\text{€}\).

- Erinnere dich an die Formel für den Umfang eines Rechtecks. - Wie kannst du den Satz über das Verhältnis der Seitenlängen in eine mathematische Gleichung übersetzen? - Es ist oft hilfreich, eine der Variablen direkt durch die andere zu ersetzen, wenn eine Gleichung bereits nach einer Seite aufgelöst ist.

1. Definition der Variablen: Länge \(l\) (längere Seite) und Breite \(b\) (kürzere Seite). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(2 \cdot (l + b) = 54\) (Umfangsformel) und \(l = 2b - 3\) (Verhältnis der Seiten). 3. Vereinfachung der Umfangsgleichung: \(l + b = 27\). 4. Einsetzen des Ausdrucks für \(l\) in die vereinfachte Umfangsgleichung: \((2b - 3) + b = 27\). 5. Zusammenfassen und Lösen nach \(b\): \(3b - 3 = 27 \Rightarrow 3b = 30 \Rightarrow b = 10\). 6. Berechnung der Länge \(l\): \(l = 2 \cdot 10 - 3 = 17\). 7. Ergebnis: Die Seitenlängen betragen \(17\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\).

Die Seiten des Rechtecks sind \(17\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\) lang.

- Lies genau, wer mehr Geld hat und wie dieser Unterschied mathematisch ausgedrückt werden kann. - Was bedeutet „verdoppeln“ und „verdreifachen“ für deine Variablen? - Wenn eine Variable bereits nach der anderen aufgelöst ist, bietet sich ein bestimmtes Lösungsverfahren besonders an.

1. Variablen festlegen: \(x\) für Jans Erspartes und \(y\) für Kims Erspartes. 2. Gleichungen aufstellen: I: \(x = y + 20\); II: \(2x + 3y = 240\). 3. Einsetzungsverfahren nutzen: Setze \(x\) aus Gleichung I in Gleichung II ein: \(2(y + 20) + 3y = 240\). 4. Gleichung lösen: \(2y + 40 + 3y = 240 \implies 5y + 40 = 240 \implies 5y = 200 \implies y = 40\). 5. Wert für \(x\) berechnen: \(x = 40 + 20 = 60\).

Jan hat \(60\,\text{€}\) gespart und Kim hat \(40\,\text{€}\) gespart.

- Achte darauf, die Zeitangaben zuerst in eine einheitliche Einheit (z. B. Stunden als Dezimalzahl) umzurechnen. - Wie berechnet man die Geschwindigkeit, wenn man Weg und Zeit kennt? - Stelle zwei Gleichungen mit den Unbekannten für die Flugzeug- und Windgeschwindigkeit auf.

1. Umrechnung der Zeiten in Dezimalstunden: \(1\,\text{h}\) \(30\,\text{min} = 1{,}5\,\text{h}\) und \(1\,\text{h}\) \(48\,\text{min} = 1{,}8\,\text{h}\). 2. Berechnung der Geschwindigkeiten über Grund: Mit Rückenwind \(v_{mit} = \frac{450}{1{,}5} = 300\,\text{km/h}\). Gegen den Wind \(v_{gegen} = \frac{450}{1{,}8} = 250\,\text{km/h}\). 3. Aufstellen des Gleichungssystems mit \(v_F\) (Flugzeug) und \(v_W\) (Wind): I: \(v_F + v_W = 300\) II: \(v_F - v_W = 250\) 4. Addition der Gleichungen: \(2v_F = 550 \Rightarrow v_F = 275\,\text{km/h}\). 5. Subtraktion oder Einsetzen zur Bestimmung von \(v_W\): \(275 + v_W = 300 \Rightarrow v_W = 25\,\text{km/h}\).

Das Flugzeug hat eine Eigengeschwindigkeit von \(275\,\text{km/h}\) und die Windgeschwindigkeit beträgt \(25\,\text{km/h}\).

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Überlege dir, wie die neuen Seitenlängen im Vergleich zu den alten aussehen. - Versuche, für den ersten und den zweiten Zustand jeweils eine Formel aufzustellen. - Kannst du eine der Gleichungen so vereinfachen, dass eine Variable leicht wegfällt?

1. Variablen festlegen: \(x\) für die ursprüngliche Länge und \(y\) für die ursprüngliche Breite in \(\text{cm}\). 2. Gleichung für den ursprünglichen Umfang: \(2x + 2y = 50\), vereinfacht zu \(x + y = 25\). 3. Gleichung für den neuen Umfang: \(2(x + 5) + 2(2y) = 80\). 4. Vereinfachung der zweiten Gleichung: \(2x + 10 + 4y = 80 \implies 2x + 4y = 70 \implies x + 2y = 35\). 5. Subtraktionsverfahren: \((x + 2y) - (x + y) = 35 - 25 \implies y = 10\). 6. Berechnung von \(x\): \(x + 10 = 25 \implies x = 15\). Die ursprüngliche Länge beträgt \(15\,\text{cm}\) und die Breite \(10\,\text{cm}\).

Die ursprüngliche Länge beträgt \(15\,\text{cm}\) und die Breite \(10\,\text{cm}\).

- Schreibe für jede der beiden Bedingungen eine eigene Gleichung auf. - Du hast nun ein System aus zwei Gleichungen. Kannst du eine Variable durch die andere ersetzen? - Wenn du einen Wert gefunden hast, kannst du ihn in eine der Gleichungen einsetzen, um den zweiten Wert zu finden.

1. Aufstellen der Gleichungen: Bedingung 1 ergibt \(x = 1{,}5y\). Bedingung 2 ergibt \(x + y = 35\). 2. Einsetzungsverfahren: Ersetze \(x\) in der zweiten Gleichung durch den Ausdruck aus der ersten Gleichung: \(1{,}5y + y = 35\). 3. Zusammenfassen: \(2{,}5y = 35\). 4. Berechnung von \(y\): \(y = 35 : 2{,}5 = 14\). 5. Berechnung von \(x\): Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(x = 1{,}5 \cdot 14 = 21\). 6. Überprüfung: \(21 + 14 = 35\) und \(21 : 14 = 1{,}5\).

Die Gleichungen lauten \(x = 1{,}5y\) und \(x + y = 35\). Das gesuchte Zahlenpaar ist \((21|14)\).

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Was passiert mit der Formel für den Umfang, wenn sich nur eine Seite ändert? - Schreibe auf, wie lang die Seiten vor und nach der Änderung sind. - Welche Information im Text hilft dir, eine Beziehung zwischen Länge und Breite herzustellen?

1. Definition der Variablen: \(l\) für die ursprüngliche Länge und \(b\) für die ursprüngliche Breite in \(\text{cm}\). 2. Aufstellen der ersten Gleichung: \(l = b + 4\). 3. Aufstellen der Umfangsformeln: Der ursprüngliche Umfang ist \(U_1 = 2l + 2b\). Der neue Umfang ist \(U_2 = 2 \cdot (2l) + 2b = 4l + 2b\). 4. Aufstellen der zweiten Gleichung aus der Umfangsdifferenz: \(U_2 - U_1 = 20 \implies (4l + 2b) - (2l + 2b) = 20\). 5. Vereinfachen der zweiten Gleichung: \(2l = 20 \implies l = 10\). 6. Berechnung von \(b\): Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(10 = b + 4 \implies b = 6\). Die ursprüngliche Länge beträgt \(10\,\text{cm}\) und die Breite \(6\,\text{cm}\).

Die ursprüngliche Länge beträgt \(10\,\text{cm}\) und die ursprüngliche Breite beträgt \(6\,\text{cm}\).

- Was passiert mit dem Geldbetrag einer Person, wenn sie etwas abgibt? Was passiert bei der Person, die es bekommt? - Kannst du die Bedingungen „doppelt so viel“ und „gleich viel“ in mathematische Zeichen übersetzen? - Stelle für jede der beiden Aussagen eine Gleichung auf. - Es hilft, die Gleichungen erst einmal zu vereinfachen, bevor du ein Lösungsverfahren wählst.

1. Variablen festlegen: \(a\) für Annas Erspartes und \(b\) für Bens Erspartes. 2. Modellieren der ersten Aussage: Erhält Anna \(15\,\text{€}\), hat sie \(a + 15\) und Ben \(b - 15\). Die Gleichung lautet \(a + 15 = 2(b - 15)\). 3. Modellieren der zweiten Aussage: Gibt Anna \(5\,\text{€}\) ab, hat sie \(a - 5\) und Ben \(b + 5\). Die Gleichung lautet \(a - 5 = b + 5\). 4. Umformen des Systems: \(a - 2b = -45\) und \(a - b = 10\). 5. Lösen des Systems: Aus der zweiten Gleichung folgt \(a = b + 10\). Einsetzen in die erste: \((b + 10) - 2b = -45 \Rightarrow -b = -55 \Rightarrow b = 55\). 6. Berechnung von \(a\): \(a = 55 + 10 = 65\).

Anna hat \(65{,}00\,\text{€}\) und Ben hat \(55{,}00\,\text{€}\) gespart.

- Was weißt du über die Summe aller Winkel in einem Dreieck? - Was ist das Besondere an den Basiswinkeln eines gleichschenkligen Dreiecks? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die den Zusammenhang zwischen den Winkeln beschreibt? - Überprüfe am Ende, ob deine berechneten Winkel zusammen \(180^\circ\) ergeben.

1. Definition der Variablen: Sei \(\alpha\) der Basiswinkel und \(\gamma\) der Winkel an der Spitze. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: - Winkelsumme im Dreieck: \(2\alpha + \gamma = 180^\circ\) (da Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind). - Bedingung aus dem Text: \(\gamma = \alpha + 15^\circ\). 3. Einsetzen der Bedingung in die Winkelsumme: \(2\alpha + (\alpha + 15^\circ) = 180^\circ\). 4. Zusammenfassen: \(3\alpha + 15^\circ = 180^\circ \implies 3\alpha = 165^\circ\). 5. Lösen nach \(\alpha\): \(\alpha = 55^\circ\). 6. Berechnen von \(\gamma\): \(\gamma = 55^\circ + 15^\circ = 70^\circ\). 7. Die Winkel betragen \(55^\circ\), \(55^\circ\) und \(70^\circ\).

Die beiden Basiswinkel betragen jeweils \(55^\circ\) und der Winkel an der Spitze beträgt \(70^\circ\).

- Stelle eine Formel für den Umfang und eine für den Flächeninhalt auf. - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn sich der Flächeninhalt „nicht verändert“? - Wie kannst du das Produkt zweier Klammern wie \((x + 3) \cdot (y - 2)\) vereinfachen?

1. Seitenlängen als \(x\) und \(y\) definieren und Gleichungssystem aufstellen: \(2 \cdot (x + y) = 40\) und \((x + 3) \cdot (y - 2) = x \cdot y\). 2. Erste Gleichung zu \(x = 20 - y\) umformen. 3. Zweite Gleichung ausmultiplizieren und vereinfachen: \(x \cdot y - 2x + 3y - 6 = x \cdot y \Rightarrow -2x + 3y = 6\). 4. Substitution von \(x\): \(-2 \cdot (20 - y) + 3y = 6 \Rightarrow -40 + 2y + 3y = 6 \Rightarrow 5y = 46 \Rightarrow y = 9{,}2\). 5. Berechnung der zweiten Seite: \(x = 20 - 9{,}2 = 10{,}8\). 6. Die ursprünglichen Seitenlängen sind \(10{,}8\,\text{cm}\) und \(9{,}2\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des Rechtecks betragen \(10{,}8\,\text{cm}\) und \(9{,}2\,\text{cm}\).

- Kannst du die Sätze in mathematische Gleichungen mit zwei Variablen übersetzen? - Welches Verfahren (Einsetzen, Gleichsetzen oder Addieren) erscheint dir hier am einfachsten? - Wie kannst du eine der Variablen verschwinden lassen, indem du die Gleichungen geschickt multiplizierst? - Hast du am Ende geprüft, ob deine Zahlen beide Bedingungen aus dem Text erfüllen?

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit den Zahlen \(x\) und \(y\): (I) \(2x + 3y = 50\) (II) \(5x - 2y = 11\) 2. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation von (I) mit \(2\) und (II) mit \(3\): (I') \(4x + 6y = 100\) (II') \(15x - 6y = 33\) 3. Addition der Gleichungen (I') und (II'): \(19x = 133\). 4. Berechnen von \(x\): \(x = 133 : 19 = 7\). 5. Einsetzen von \(x = 7\) in Gleichung (I): \(2 \cdot 7 + 3y = 50 \Rightarrow 14 + 3y = 50 \Rightarrow 3y = 36 \Rightarrow y = 12\). Die gesuchten Zahlen sind \(7\) und \(12\).

Die erste Zahl ist \(7\) und die zweite Zahl ist \(12\).

- Was ist das Gesamtgewicht der Mischung und wie setzt es sich zusammen? - Wie berechnet man den Gesamtwert der Mischung aus den Einzelpreisen? - Könnte es helfen, zuerst den Wert der gesamten \(20\,\text{kg}\) auszurechnen? - Stelle eine Gleichung für das Gewicht und eine für den Geldwert auf.

1. Variablen festlegen: \(m\) für die Masse der milden Sorte und \(k\) für die Masse der kräftigen Sorte (in \(\text{kg}\)). 2. Gleichungssystem aufstellen: (I) \(m + k = 20\) (II) \(12m + 18k = 20 \cdot 16{,}50\) 3. Den Gesamtwert in (II) berechnen: \(20 \cdot 16{,}50 = 330\). 4. Einsetzungsverfahren anwenden: Aus (I) folgt \(m = 20 - k\). 5. In (II) einsetzen: \(12 \cdot (20 - k) + 18k = 330\). 6. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(240 - 12k + 18k = 330 \Rightarrow 6k = 90\). 7. Ergebnisse berechnen: \(k = 15\) und \(m = 20 - 15 = 5\). Es werden \(5\,\text{kg}\) der milden und \(15\,\text{kg}\) der kräftigen Sorte benötigt.

Es werden \(5\,\text{kg}\) der milden Sorte und \(15\,\text{kg}\) der kräftigen Sorte benötigt.

- Was bedeutet es für die Winkel, wenn ein Dreieck gleichschenklig ist? - Versuche, den Winkel \(\gamma\) mithilfe von \(\alpha\) zu beschreiben. - Nutze die Information über die Summe der Innenwinkel, um eine Gleichung zu bilden.

1. Festlegen der Bedingungen: Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt \(\alpha = \beta\). Die Winkelsumme ist \(2\alpha + \gamma = 180^\circ\). 2. Nutzen der gegebenen Beziehung: \(\gamma = 1{,}5 \cdot (\alpha + \beta) = 1{,}5 \cdot (2\alpha) = 3\alpha\). 3. Einsetzen in die Winkelsumme: \(2\alpha + 3\alpha = 180^\circ\). 4. Lösen der Gleichung: \(5\alpha = 180^\circ\), also \(\alpha = 36^\circ\). 5. Bestimmen aller Winkel: Da \(\alpha = \beta\), ist \(\beta = 36^\circ\). Der Spitzenwinkel ist \(\gamma = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ\).

\(\alpha = 36^\circ\), \(\beta = 36^\circ\), \(\gamma = 108^\circ\)

- Wie lässt sich eine zweistellige Zahl mithilfe ihrer Zehner- und Einerziffer allgemein als Term schreiben? - Was bedeutet „Quersumme“ mathematisch für die Ziffern? - Wie verändert sich der Wert der Zahl, wenn die Ziffern ihre Plätze tauschen? - Stelle für jede Bedingung im Text eine Gleichung auf.

1. Definition der Variablen: \(x\) sei die Zehnerziffer und \(y\) die Einerziffer. Die Zahl lautet somit \(10x + y\). 2. Aufstellen der ersten Gleichung (Quersumme): \(x + y = 12\). 3. Aufstellen der zweiten Gleichung (Vertauschen der Ziffern): \((10y + x) = (10x + y) + 18\). 4. Vereinfachen der zweiten Gleichung: \(9y - 9x = 18\), was durch Division durch 9 zu \(y - x = 2\) wird. 5. Lösen des Systems: I: \(x + y = 12\) II: \(-x + y = 2\) Addition der Gleichungen ergibt \(2y = 14\), also \(y = 7\). Einsetzen in I ergibt \(x + 7 = 12\), also \(x = 5\). 6. Die ursprüngliche Zahl ist \(10 \cdot 5 + 7 = 57\).

Die ursprüngliche Zahl lautet 57.

- Überlege dir zuerst, welche zwei Unbekannten gesucht sind und ordne ihnen Variablen zu. - Wie viel bezahlt Gruppe A ausgedrückt durch deine Variablen? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am sinnvollsten?

1. Variablen festlegen: \(x\) sei der Preis für einen Erwachsenen, \(y\) der Preis für ein Kind (in \(\text{€}\)). 2. Gleichungssystem aufstellen: (I) \(3x + 4y = 38\) (II) \(2x + 5y = 37\) 3. Gleichung (I) mit \(2\) und Gleichung (II) mit \(3\) multiplizieren: (I') \(6x + 8y = 76\) (II') \(6x + 15y = 111\) 4. Subtraktionsverfahren: (II') \(-\) (I') ergibt \(7y = 35 \Rightarrow y = 5\). 5. Wert für \(y\) in (I) einsetzen: \(3x + 4 \cdot 5 = 38 \Rightarrow 3x + 20 = 38 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6\). 6. Ergebnis: Eine Erwachsenenkarte kostet \(6{,}00\,\text{€}\), eine Kinderkarte \(5{,}00\,\text{€}\).

Eine Eintrittskarte für einen Erwachsenen kostet \(6{,}00\,\text{€}\) und eine für ein Kind \(5{,}00\,\text{€}\).

- Berechne zuerst, wie schnell das Flugzeug in beiden Fällen (mit und gegen den Wind) insgesamt fliegt. - Wie setzt sich die Geschwindigkeit über Grund aus der Flugzeug- und der Windgeschwindigkeit zusammen? - Stelle zwei Gleichungen auf, die den Zusammenhang zwischen der Eigengeschwindigkeit und dem Wind beschreiben. - Überprüfe am Ende, ob deine Ergebnisse mit den Flugzeiten aus der Aufgabe übereinstimmen.

1. Berechnung der Geschwindigkeiten über Grund für beide Wege: \(v_{\text{mit}} = 720\,\text{km} : 3\,\text{h} = 240\,\text{km/h}\) \(v_{\text{gegen}} = 720\,\text{km} : 4\,\text{h} = 180\,\text{km/h}\) 2. Aufstellen des Gleichungssystems mit Eigengeschwindigkeit \(v_E\) und Windgeschwindigkeit \(v_W\): I: \(v_E + v_W = 240\) II: \(v_E - v_W = 180\) 3. Addition der Gleichungen: \(2 \cdot v_E = 420 \implies v_E = 210\,\text{km/h}\) 4. Subtraktion der Gleichungen oder Einsetzen: \(2 \cdot v_W = 60 \implies v_W = 30\,\text{km/h}\)

Die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs beträgt \(210\,\text{km/h}\) und die Windgeschwindigkeit beträgt \(30\,\text{km/h}\).

- Notiere dir zuerst, was genau gegeben ist und was gesucht wird. - Stelle eine Gleichung für die Gesamtmasse der Legierung auf. - Stelle eine zweite Gleichung auf, die nur den Anteil des reinen Goldes in den Legierungen betrachtet. - Wie kannst du eine der Unbekannten eliminieren, um die andere zu berechnen?

1. Variablen festlegen: \(m_1\) für die Masse der ersten Legierung (600er) und \(m_2\) für die Masse der zweiten Legierung (900er) in Gramm. 2. Aufstellen der Massenbilanz: \(m_1 + m_2 = 300\). 3. Aufstellen der Goldbilanz: \(0{,}60 m_1 + 0{,}90 m_2 = 0{,}80 \cdot 300\). 4. Vereinfachen der Goldbilanz: \(0{,}6 m_1 + 0{,}9 m_2 = 240\). 5. Lösen des Systems, zum Beispiel durch Einsetzen von \(m_1 = 300 - m_2\): \(0{,}6(300 - m_2) + 0{,}9 m_2 = 240\). 6. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(180 - 0{,}6 m_2 + 0{,}9 m_2 = 240 \Rightarrow 0{,}3 m_2 = 60\). 7. Ergebnis für \(m_2\): \(m_2 = 200\). 8. Ergebnis für \(m_1\): \(m_1 = 300 - 200 = 100\). Der Goldschmied muss \(100\,\text{g}\) der ersten Legierung und \(200\,\text{g}\) der zweiten Legierung verwenden.

Der Goldschmied muss \(100\,\text{g}\) der ersten Legierung (\(60\,\%\) Gold) und \(200\,\text{g}\) der zweiten Legierung (\(90\,\%\) Gold) verwenden.

- Was wissen wir über die Gesamtzahl der Karten? - Wie lässt sich der Gesamtwert der Karten mathematisch ausdrücken? - Kannst du eine der Unbekannten durch die andere ausdrücken? - Was bedeutet „gleich viele Karten von jeder Sorte“ für die Anzahl bei einer festen Gesamtsumme?

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Erwachsenenkarten und \(y\) für die Anzahl der Schülerkarten. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(x + y = 240\) (II) \(8x + 5y = 1440\) 3. Auflösen der ersten Gleichung nach \(y\): \(y = 240 - x\). 4. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(8x + 5(240 - x) = 1440\). 5. Vereinfachen und Lösen nach \(x\): \(8x + 1200 - 5x = 1440 \Rightarrow 3x = 240 \Rightarrow x = 80\). 6. Berechnen von \(y\): \(y = 240 - 80 = 160\). Es wurden \(80\) Erwachsenenkarten und \(160\) Schülerkarten verkauft. 7. Lösung von Teil b): Bei Gleichverteilung wären es jeweils \(240 : 2 = 120\) Karten. 8. Berechnung der neuen Einnahmen: \(120 \cdot 8 + 120 \cdot 5 = 120 \cdot 13 = 1560{,}00\,\text{€}\).

a) Es wurden \(80\) Erwachsenenkarten und \(160\) Schülerkarten verkauft. b) Die Einnahmen hätten \(1560{,}00\,\text{€}\) betragen.

- Überlege dir zuerst, welche zwei Werte unbekannt sind, und gib ihnen Namen wie \(x\) und \(y\). - Kannst du aus der Gesamtzahl der geplanten Karten eine erste Gleichung bilden? - Die zweite Gleichung beschreibt die Situation nach der Änderung der Verkaufszahlen. Wie drückst du Prozentsätze als Dezimalzahlen aus? - Wenn du die geplanten Mengen berechnet hast, vergiss nicht, am Ende die tatsächlichen Verkaufszahlen auszurechnen.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die geplante Anzahl der Schülerkarten und \(y\) für die geplante Anzahl der Erwachsenenkarten. 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: I: \(x + y = 500\); II: \(1{,}05x + 0{,}90y = 495\). 3. Auflösen der ersten Gleichung nach \(y\): \(y = 500 - x\). 4. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(1{,}05x + 0{,}90(500 - x) = 495\). 5. Vereinfachen und Lösen nach \(x\): \(1{,}05x + 450 - 0{,}90x = 495 \implies 0{,}15x = 45 \implies x = 300\). 6. Berechnen von \(y\): \(y = 500 - 300 = 200\). 7. Berechnung der tatsächlich verkauften Karten: Schülerkarten: \(300 \cdot 1{,}05 = 315\); Erwachsenenkarten: \(200 \cdot 0{,}90 = 180\).

Es wurden tatsächlich 315 Schülerkarten und 180 Erwachsenenkarten verkauft.

- Was genau stellt der Unterschied zwischen dem Endguthaben und dem Startkapital dar? - Stelle eine Gleichung für das Gesamtkapital und eine zweite Gleichung für die erwirtschafteten Zinsen auf. - Achte darauf, die Zinssätze korrekt in Dezimalzahlen umzuwandeln (z. B. \(1\,\% = 0{,}01\)). - Du kannst ein beliebiges Verfahren zum Lösen des Gleichungssystems verwenden, zum Beispiel das Einsetzungsverfahren.

1. Definition der Variablen: \(x\) für den Anlagebetrag auf Konto 1 und \(y\) für den Anlagebetrag auf Konto 2. 2. Bestimmung der Gesamtzinsen: Die Zunahme des Kapitals beträgt \(12\,230{,}00\,\text{€} - 12\,000{,}00\,\text{€} = 230{,}00\,\text{€}\). 3. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(x + y = 12\,000\); II: \(0{,}015x + 0{,}025y = 230\). 4. Auflösen von Gleichung I nach \(y\): \(y = 12\,000 - x\). 5. Einsetzen in Gleichung II: \(0{,}015x + 0{,}025(12\,000 - x) = 230\). 6. Vereinfachen und Lösen nach \(x\): \(0{,}015x + 300 - 0{,}025x = 230 \implies -0{,}01x = -70 \implies x = 7\,000\). 7. Berechnen von \(y\): \(y = 12\,000 - 7\,000 = 5\,000\).

Auf dem ersten Konto wurden \(7\,000{,}00\,\text{€}\) und auf dem zweiten Konto \(5\,000{,}00\,\text{€}\) angelegt.

- Was sind die beiden Unbekannten, nach denen in der Aufgabe gefragt wird? - Stelle für jede der beiden beschriebenen Kombinationen eine Gleichung auf. - Welches Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten? - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Variablen festlegen: \(r\) für das Gewicht eines Rucksacks und \(s\) für das Gewicht eines Schlafsacks. 2. Gleichungssystem aufstellen: I: \(r + 2s = 4{,}2\) und II: \(2r + s = 3{,}9\). 3. Eine Gleichung nach einer Variablen umstellen, z. B. Gleichung II nach \(s\): \(s = 3{,}9 - 2r\). 4. Den Ausdruck für \(s\) in Gleichung I einsetzen: \(r + 2 \cdot (3{,}9 - 2r) = 4{,}2\). 5. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(r + 7{,}8 - 4r = 4{,}2 \implies -3r = -3{,}6\). 6. Nach \(r\) auflösen: \(r = 1{,}2\). 7. \(r\) in die Gleichung für \(s\) einsetzen: \(s = 3{,}9 - 2 \cdot 1{,}2 = 1{,}5\). 8. Ein Rucksack wiegt \(1{,}2\,\text{kg}\) und ein Schlafsack wiegt \(1{,}5\,\text{kg}\).

Ein Rucksack wiegt \(1{,}2\,\text{kg}\) und ein Schlafsack wiegt \(1{,}5\,\text{kg}\).

- Kannst du für jeden Tank einen Term aufstellen, der die Wassermenge nach einer bestimmten Zeit beschreibt? - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn am Ende in beiden Tanks „die gleiche Menge“ ist? - Stelle ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten auf. - Überlege dir zuerst, wie viel Wasser insgesamt aus jedem Tank nach der angegebenen Zeit abgeflossen ist.

1. Definition der Variablen \(x\) für die Wassermenge in Tank 1 und \(y\) für Tank 2 in Litern. 2. Aufstellen der ersten Gleichung für die Gesamtmenge: \(x + y = 3500\). 3. Berechnung der abgeflossenen Mengen nach \(50\,\text{min}\): Tank 1 verliert \(12 \cdot 50 = 600\,\text{l}\), Tank 2 verliert \(18 \cdot 50 = 900\,\text{l}\). 4. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingung: \(x - 600 = y - 900\). 5. Umformen der zweiten Gleichung nach \(x\): \(x = y - 300\). 6. Einsetzen in die erste Gleichung: \((y - 300) + y = 3500 \implies 2y = 3800 \implies y = 1900\). 7. Berechnung von \(x\): \(x = 1900 - 300 = 1600\).

Im ersten Tank waren ursprünglich \(1600\,\text{l}\) und im zweiten Tank \(1900\,\text{l}\) Wasser.

- Überlege dir, wie du das Alter der beiden Personen heute bezeichnen kannst. - Wie verändert sich das Alter beider Personen, wenn 12 Jahre vergehen? - Kannst du die Beziehung der Alterswerte in der Zukunft in einer Gleichung festhalten? - Versuche, eine Variable durch die andere zu ersetzen, um die Gleichung lösbar zu machen.

1. Festlegen der Variablen \(v\) für das aktuelle Alter des Vaters und \(s\) für das aktuelle Alter des Sohnes. 2. Aufstellen der Gleichungen: \(v = 4s\) für den Ist-Zustand und \(v + 12 = 2 \cdot (s + 12)\) für den Zustand in 12 Jahren. 3. Einsetzen von \(v\) in die zweite Gleichung: \(4s + 12 = 2 \cdot (s + 12)\). 4. Auflösen der Klammer und Berechnen von \(s\): \(4s + 12 = 2s + 24 \Rightarrow 2s = 12 \Rightarrow s = 6\). 5. Einsetzen von \(s\) zur Bestimmung von \(v\): \(v = 4 \cdot 6 = 24\). Der Vater ist heute 24 Jahre alt und der Sohn ist 6 Jahre alt.

Der Vater ist aktuell 24 Jahre alt und der Sohn ist 6 Jahre alt.

- Was genau suchen wir und welche Buchstaben könnten wir dafür verwenden? - Kannst du für jede Mischung eine mathematische Gleichung aufschreiben? - Gibt es eine Möglichkeit, eine der Gleichungen so zu verändern, dass eine Variable beim Verrechnen wegfällt? - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Definition der Variablen: \(x\) für den Preis pro Liter Orangensaft und \(y\) für den Preis pro Liter Apfelsaft in Euro. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(3x + 2y = 10{,}10\) und \(5x + 4y = 18{,}10\). 3. Multiplikation der ersten Gleichung mit 2, um das Additionsverfahren vorzubereiten: \(6x + 4y = 20{,}20\). 4. Subtraktion der zweiten Gleichung von der neuen Gleichung: \((6x + 4y) - (5x + 4y) = 20{,}20 - 18{,}10\), woraus \(x = 2{,}10\) folgt. 5. Einsetzen von \(x\) in die erste Gleichung: \(3 \cdot 2{,}10 + 2y = 10{,}10 \Rightarrow 6{,}30 + 2y = 10{,}10 \Rightarrow 2y = 3{,}80 \Rightarrow y = 1{,}90\). 6. Ergebnis: Der Preis für einen Liter Orangensaft beträgt \(2{,}10\,\text{€}\) und für einen Liter Apfelsaft \(1{,}90\,\text{€}\).

Ein Liter Orangensaft kostet \(2{,}10\,\text{€}\) und ein Liter Apfelsaft kostet \(1{,}90\,\text{€}\).

- Achte darauf, ob es sinnvoll ist, mit Gramm oder mit Einheiten von \(100\,\text{g}\) zu rechnen. - Kannst du eine der Gleichungen vereinfachen, bevor du mit dem Rechnen beginnst? - Überlege dir zuerst die Einzelpreise, bevor du den Vergleich anstellst. - Was bedeutet das Ergebnis im Hinblick auf die Frage nach dem Preisunterschied?

1. Definition der Variablen: \(a\) für den Preis von \(100\,\text{g}\) Arabica und \(r\) für den Preis von \(100\,\text{g}\) Robusta in Euro. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(4a + 6r = 15{,}20\) und \(5a + 5r = 15{,}50\). 3. Vereinfachung der zweiten Gleichung durch Division durch 5: \(a + r = 3{,}10\). 4. Umstellen nach einer Variablen: \(r = 3{,}10 - a\). 5. Einsetzen in die erste Gleichung: \(4a + 6(3{,}10 - a) = 15{,}20 \Rightarrow 4a + 18{,}60 - 6a = 15{,}20 \Rightarrow -2a = -3{,}40 \Rightarrow a = 1{,}70\). 6. Berechnung von \(r\): \(r = 3{,}10 - 1{,}70 = 1{,}40\). 7. Vergleich und Differenzbildung: Arabica (\(1{,}70\,\text{€}\)) ist teurer als Robusta (\(1{,}40\,\text{€}\)). Der Unterschied beträgt \(1{,}70\,\text{€} - 1{,}40\,\text{€} = 0{,}30\,\text{€}\).

Die Sorte „Arabica“ ist teurer. Der Preisunterschied beträgt \(0{,}30\,\text{€}\) pro \(100\,\text{g}\).

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Kannst du die Beziehung zwischen Länge und Breite als Gleichung schreiben? - Wenn du die Breite berechnet hast, vergleiche sie mit dem Wert aus der Behauptung. - Vergiss nicht, dass der Umfang aus zwei Längen und zwei Breiten besteht.

1. Definition der Variablen: \(b\) für die Breite in \(\text{m}\) und \(l\) für die Länge in \(\text{m}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems basierend auf Umfang und Längenverhältnis: I: \(2l + 2b = 84\) (bzw. \(l + b = 42\)) II: \(l = 3b - 6\) 3. Einsetzen von Gleichung II in die vereinfachte Gleichung I: \((3b - 6) + b = 42\). 4. Lösen nach \(b\): \(4b - 6 = 42 \Rightarrow 4b = 48 \Rightarrow b = 12\). 5. Bestimmung der Länge \(l\): \(l = 3 \cdot 12 - 6 = 30\). 6. Überprüfung der Behauptung: Die Breite beträgt \(12\,\text{m}\). Da \(12 < 15\), ist die Behauptung des Auszubildenden falsch.

Der Auszubildende hat nicht recht. Das Beet ist \(12\,\text{m}\) breit und \(30\,\text{m}\) lang.

- Überlege dir zuerst Variablen für die beiden gesuchten Kartenpreise. - Kannst du die Einnahmen der beiden Abende jeweils als Summe darstellen? - Es hilft oft, große Zahlen in den Gleichungen durch Division zu vereinfachen, bevor man ein Lösungsverfahren anwendet. - Wie viel müsste die Gruppe bezahlen, wenn sie kein Spezial-Angebot nutzt? Vergleiche diesen Wert mit dem Angebotspreis.

1. Definition der Variablen: \(s\) für den Preis einer Schülerkarte und \(e\) für den Preis einer Erwachsenenkarte in Euro. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(60s + 20e = 440\) und \(45s + 30e = 480\). 3. Vereinfachen der Gleichungen durch Division (Gleichung 1 durch 20, Gleichung 2 durch 15): \(3s + e = 22\) und \(3s + 2e = 32\). 4. Subtraktion der ersten von der zweiten vereinfachten Gleichung zur Elimination von \(s\): \((3s + 2e) - (3s + e) = 32 - 22 \Rightarrow e = 10\). 5. Einsetzen von \(e = 10\) in die Gleichung \(3s + e = 22\): \(3s + 10 = 22 \Rightarrow 3s = 12 \Rightarrow s = 4\). 6. Teil b: Berechnung des Preises für die Gruppe zum regulären Preis: \(5 \cdot 4{,}00\,\text{€} + 2 \cdot 10{,}00\,\text{€} = 40{,}00\,\text{€}\). 7. Vergleich mit dem Sonderangebot: Da \(35{,}00\,\text{€} < 40{,}00\,\text{€}\), ist das Angebot um \(5{,}00\,\text{€}\) günstiger.

a) Eine Schülerkarte kostet \(4{,}00\,\text{€}\) und eine Erwachsenenkarte kostet \(10{,}00\,\text{€}\). b) Ja, das Angebot ist günstiger, da der Einzelkauf \(40{,}00\,\text{€}\) kosten würde, das Gruppenangebot hingegen nur \(35{,}00\,\text{€}\).

- Überlege dir zuerst, welche zwei Größen unbekannt sind und gib ihnen Namen wie \(x\) und \(y\). - Kannst du den ersten Satz in eine mathematische Gleichung übersetzen? - Achte auf die Formulierung „kostet ... mehr als“. Wie kannst du das als Differenz oder Summe ausdrücken? - Wenn du zwei Gleichungen hast, welches Verfahren kennst du, um solche Systeme zu lösen? - Überprüfe am Ende, ob deine Preise sinnvoll sind und beide Bedingungen erfüllen.

1. Definition der Variablen: \(x\) für den Preis einer Erwachsenenkarte und \(y\) für den Preis einer Schülerkarte in \(\text{€}\). 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: \(3x + 5y = 75\) und \(2x = 3y + 12\). 3. Umformen der zweiten Gleichung in die Standardform: \(2x - 3y = 12\). 4. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation der ersten Gleichung mit 3 und der zweiten mit 5 führt zu \(9x + 15y = 225\) und \(10x - 15y = 60\). 5. Addition der beiden Gleichungen: \(19x = 285\), was zu \(x = 15\) führt. 6. Berechnung von \(y\) durch Einsetzen von \(x\) in die umgeformte zweite Gleichung: \(2 \cdot 15 - 3y = 12 \implies 30 - 3y = 12 \implies 3y = 18 \implies y = 6\).

Eine Eintrittskarte für einen Erwachsenen kostet \(15{,}00\,\text{€}\), eine für einen Schüler kostet \(6{,}00\,\text{€}\).

- Was wird in der Aufgabe gesucht? Definiere passende Variablen für die Geschwindigkeiten. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Zeit und Weg. - Versuche, für jede der beiden Beobachtungen eine eigene Gleichung aufzustellen. - Achte genau darauf, welcher Zug in der zweiten Beobachtung eine größere Strecke zurücklegt. - Wie kannst du das Gleichungssystem so umformen, dass eine Variable wegfällt?

1. Definition der Variablen: \(v_A\) als Geschwindigkeit von Zug A und \(v_B\) als Geschwindigkeit von Zug B in \(\text{km/h}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems basierend auf der Formel für die Strecke (\(s = v \cdot t\)): \(4v_A + 3v_B = 620\) und \(2v_A = 3v_B - 140\). 3. Anwendung des Einsetzungsverfahrens: Die zweite Gleichung liefert direkt den Term \(3v_B = 2v_A + 140\). 4. Einsetzen dieses Terms in die erste Gleichung: \(4v_A + (2v_A + 140) = 620\). 5. Zusammenfassen und Lösen der Gleichung nach \(v_A\): \(6v_A + 140 = 620 \implies 6v_A = 480 \implies v_A = 80\). 6. Ermittlung von \(v_B\) durch Einsetzen von \(v_A\) in den Term aus Schritt 3: \(3v_B = 2 \cdot 80 + 140 = 300 \implies v_B = 100\).

Zug A fährt mit einer Geschwindigkeit von \(80\,\text{km/h}\), Zug B mit \(100\,\text{km/h}\).

- Wie groß ist der zeitliche Unterschied zwischen den beiden Ankunftszeiten in Stunden ausgedrückt? - Wenn du die Fahrzeit für eine der beiden Geschwindigkeiten als Variable wählst, wie sieht dann die Fahrzeit für die andere Geschwindigkeit aus? - Die Strecke bleibt in beiden Fällen gleich – wie hilft dir das beim Aufstellen einer Gleichung? - Vergiss am Ende nicht, von der Ankunftszeit zurückzurechnen, um die Startzeit zu finden.

1. Festlegen der Variablen: Sei \(x\) die Fahrzeit in Stunden für die Ankunft um \(14:00\,\text{Uhr}\) und \(s\) die Strecke in \(\text{km}\). 2. Die Differenz zwischen \(14:00\,\text{Uhr}\) und \(13:30\,\text{Uhr}\) beträgt \(30\,\text{Minuten} = 0{,}5\,\text{Stunden}\). 3. Aufstellen des Gleichungssystems: \(s = 15 \cdot x\) und \(s = 20 \cdot (x-0{,}5)\). 4. Gleichsetzen: \(15x = 20 \cdot (x - 0{,}5)\). 5. Lösen: \(15x = 20x - 10 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2\). 6. Strecke: \(s = 15 \cdot 2 = 30\,\text{km}\). 7. Startzeit: \(14:00\,\text{Uhr} - 2\,\text{Stunden} = 12:00\,\text{Uhr}\).

Die Strecke ist \(30\,\text{km}\) lang und die Radfahrerin ist um \(12:00\,\text{Uhr}\) gestartet.

- Achte darauf, wie sich die Anzahl der Personen im zweiten Szenario verändert. - Wie kannst du die Gesamtkosten der Miete jeweils durch die Beiträge der Teilnehmer ausdrücken? - Vergiss nicht, die Klammern korrekt zu setzen, wenn sich der Beitrag auf die gesamte neue Gruppe bezieht. - Kannst du eine Variable eliminieren, indem du die Gleichungen gleichsetzt?

1. Variablen festlegen: \(x\) für die ursprüngliche Anzahl der Personen, \(M\) für die Miete. 2. Gleichungen aufstellen: Fall 1: \(20x = M - 40 \Rightarrow M = 20x + 40\) Fall 2: \(18(x + 5) = M + 20 \Rightarrow M = 18(x + 5) - 20\) 3. Gleichsetzen: \(20x + 40 = 18(x + 5) - 20\). 4. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(20x + 40 = 18x + 90 - 20 \Rightarrow 20x + 40 = 18x + 70\). 5. Nach \(x\) auflösen: \(2x = 30 \Rightarrow x = 15\). Ursprünglich waren 15 Personen in der Gruppe. 6. Miete berechnen: \(M = 20 \cdot 15 + 40 = 340{,}00\,\text{€}\). 7. Überprüfung mit Fall 2: \(18 \cdot (15 + 5) - 20 = 18 \cdot 20 - 20 = 360 - 20 = 340\,\text{€}\).

Ursprünglich waren 15 Personen in der Gruppe. Die Miete für die Hütte beträgt \(340{,}00\,\text{€}\).

- Kannst du für beide Tage jeweils eine Gleichung aufstellen, die den Gesamteinkauf beschreibt? - Wie lassen sich die neuen Preise nach der Erhöhung mithilfe von Faktoren wie \(1{,}1\) ausdrücken? - Welches Verfahren erscheint dir hier am einfachsten? - Um den Prozentsatz zu finden, teile den Teilwert durch den Gesamtwert.

1. Definition der Variablen: \(s\) für den Preis eines Brötchens und \(a\) für den Preis eines Apfels in Euro. 2. Aufstellen der ersten Gleichung für Montag: \(30s + 20a = 90\). Vereinfacht: \(3s + 2a = 9\). 3. Aufstellen der zweiten Gleichung für Dienstag mit den Preiserhöhungen (\(1{,}1s\) und \(1{,}2a\)): \(30 \cdot (1{,}1s) + 20 \cdot (1{,}2a) = 102\), was zu \(33s + 24a = 102\) führt. 4. Lösen des linearen Gleichungssystems: Aus der ersten Gleichung folgt \(2a = 9 - 3s\), also \(8a = 36 - 12s\). Einsetzen in die zweite Gleichung (\(33s + 3(8a) = 102\)): \(33s + 3(36 - 12s) = 102 \Rightarrow 33s + 108 - 36s = 102 \Rightarrow -3s = -6 \Rightarrow s = 2\). 5. Berechnung von \(a\): \(3(2) + 2a = 9 \Rightarrow 6 + 2a = 9 \Rightarrow 2a = 3 \Rightarrow a = 1{,}5\). 6. Ergebnis für Teil a: Ein Brötchen kostete ursprünglich \(2{,}00\,\text{€}\), ein Apfel \(1{,}50\,\text{€}\). 7. Berechnung für Teil b: Kosten der Brötchen am Montag: \(30 \cdot 2{,}00\,\text{€} = 60{,}00\,\text{€}\). Anteil an Gesamtkosten: \(60 : 90 = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\).

a) Ein Brötchen kostete ursprünglich \(2{,}00\,\text{€}\) und ein Apfel \(1{,}50\,\text{€}\). b) Der Anteil der Brötchen an den Gesamtkosten betrug am Montag ca. \(66{,}7\,\%\).

- Was sind die gesuchten Größen und welche Zwischenschritte sind nötig? - Wie stellst du eine Abnahme um \(5\,\%\) oder eine Zunahme um \(20\,\%\) mathematisch dar? - Achte darauf, ob nach den Werten vom letzten Monat oder von diesem Monat gefragt wird. - Könnte eine Tabelle helfen, die Werte von „letztem Monat“ und „diesem Monat“ gegenüberzustellen?

1. Definition der Variablen für den letzten Monat: \(b\) (Basic) und \(p\) (Premium). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(b + p = 600\) und \(0{,}95b + 1{,}2p = 630\). 3. Anwendung des Einsetzungsverfahrens: \(p = 600 - b\), also \(0{,}95b + 1{,}2(600 - b) = 630\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(0{,}95b + 720 - 1{,}2b = 630 \Rightarrow -0{,}25b + 720 = 630\). 5. Auflösen nach \(b\): \(-0{,}25b = -90 \Rightarrow b = 360\). 6. Berechnung von \(p\): \(p = 600 - 360 = 240\). 7. Berechnung der aktuellen Mitgliederzahlen für diesen Monat: Basic: \(0{,}95 \cdot 360 = 342\); Premium: \(1{,}2 \cdot 240 = 288\).

In diesem Monat nutzen 342 Mitglieder den Basic-Tarif und 288 Mitglieder den Premium-Tarif.

- Überlege dir, wie man die zurückgelegte Strecke aus Geschwindigkeit und Zeit berechnet. - Welche Strecke legen beide zusammen zurück, wenn sie sich treffen? - Achte darauf, wie lange jeder Radfahrer im zweiten Fall insgesamt unterwegs ist. - Kannst du für jede Situation eine Gleichung mit zwei Unbekannten aufstellen?

1. Definition der Variablen: \(v_A\) für Antons Geschwindigkeit und \(v_B\) für Beates Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\). 2. Aufstellen der ersten Gleichung aus der ersten Situation: In \(2\,\text{Stunden}\) legen sie gemeinsam \(60\,\text{km}\) zurück: \(2 \cdot v_A + 2 \cdot v_B = 60\). 3. Aufstellen der zweiten Gleichung aus der zweiten Situation: Beate fährt \(3 + 1 = 4\,\text{Stunden}\), Anton fährt \(1\,\text{Stunde}\): \(1 \cdot v_A + 4 \cdot v_B = 60\). 4. Vereinfachen der ersten Gleichung: \(v_A + v_B = 30 \Rightarrow v_A = 30 - v_B\). 5. Einsetzen in die zweite Gleichung: \((30 - v_B) + 4 \cdot v_B = 60 \Rightarrow 30 + 3 \cdot v_B = 60\). 6. Lösen nach \(v_B\): \(3 \cdot v_B = 30 \Rightarrow v_B = 10\,\text{km/h}\). 7. Berechnung von \(v_A\): \(v_A = 30 - 10 = 20\,\text{km/h}\).

Anton fährt mit einer Geschwindigkeit von \(20\,\text{km/h}\) und Beate mit \(10\,\text{km/h}\).

- Überlege dir zuerst, welche zwei Dinge unbekannt sind, und gib ihnen Namen wie \(x\) und \(y\). - Kannst du eine Gleichung für den Gesamtwert aller Bälle aufstellen? - Wie berechnet man den Wert eines Teils des Bestands, wenn man den Prozentsatz kennt? - Versuche, eine der Gleichungen zu vereinfachen, bevor du ein Lösungsverfahren anwendest.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Basketbälle und \(y\) für die Anzahl der Volleybälle. 2. Aufstellen der Gleichung für den Gesamtwert: \(15x + 20y = 1225\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Wert der abgenutzten Bälle: \(0{,}20 \cdot 15x + 0{,}30 \cdot 20y = 285\). 4. Vereinfachung der zweiten Gleichung: \(3x + 6y = 285\), was durch Division durch 3 zu \(x + 2y = 95\) führt. 5. Umstellen nach \(x\): \(x = 95 - 2y\). 6. Einsetzen in die erste Gleichung: \(15(95 - 2y) + 20y = 1225 \Rightarrow 1425 - 30y + 20y = 1225\). 7. Zusammenfassen und Lösen nach \(y\): \(-10y = -200 \Rightarrow y = 20\). 8. Berechnung von \(x\): \(x = 95 - 2 \cdot 20 = 55\).

Der Verein hat ursprünglich \(55\) Basketbälle und \(20\) Volleybälle gekauft.

- Was bleibt bei allen Szenarien unverändert? - Wie hängen die Anzahl der Personen, der Preis pro Person und die Gesamtkosten zusammen? - Kannst du für jede der beiden Bedingungen eine Gleichung aufstellen, die den Zusammenhang beschreibt? - Versuche, die Klammern in deinen Gleichungen aufzulösen, um ein einfaches System mit zwei Unbekannten zu erhalten.

1. Definition der Variablen: \(n\) für die Anzahl der Schüler und \(p\) für den Preis pro Person in Euro. Die Gesamtkosten für den Bus betragen \(G = n \cdot p\). 2. Aufstellen der ersten Gleichung basierend auf der Preiserhöhung: \((n - 5) \cdot (p + 2{,}4) = n \cdot p\). Durch Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt sich \(2{,}4n - 5p = 12\). 3. Aufstellen der zweiten Gleichung basierend auf der Preisverringerung: \((n + 10) \cdot (p - 3{,}2) = n \cdot p\). Durch Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt sich \(-3{,}2n + 10p = 32\). 4. Lösen des linearen Gleichungssystems: Multiplikation der ersten Gleichung mit 2 führt zu \(4{,}8n - 10p = 24\). Addition dieser Gleichung zur zweiten Gleichung ergibt \(1{,}6n = 56\), woraus \(n = 35\) folgt. 5. Einsetzen von \(n = 35\) in die erste vereinfachte Gleichung: \(2{,}4 \cdot 35 - 5p = 12 \implies 84 - 5p = 12 \implies 5p = 72 \implies p = 14{,}4\).

Es sind ursprünglich 35 Schüler eingeplant, und die Kosten pro Person betragen \(14{,}40\,\text{€}\).

- Stelle zuerst fest, wie viele Werkstücke die beiden zusammen in einer einzigen Stunde schaffen. - Wie lässt sich die gesamte produzierte Menge (180 Stück) aus den Einzelzeiten der beiden Personen zusammensetzen? - Kannst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten aufstellen? - Überlege, wie du den bekannten Wert für die gemeinsame Stundenleistung in die zweite Situation einsetzen kannst.

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Anzahl der Werkstücke pro Stunde von Herrn Abel, \(y\) die von Frau Bekker. 2. Aufstellen der ersten Gleichung aus der gemeinsamen Arbeitszeit: \(8 \cdot (x + y) = 240\), vereinfacht zu \(x + y = 30\). 3. Aufstellen der zweiten Gleichung aus dem Teilarbeitsgang: \(3 \cdot x + 4 \cdot (x + y) = 180\). 4. Substitution von \((x + y)\) durch \(30\) in der zweiten Gleichung: \(3x + 4 \cdot 30 = 180\). 5. Lösung nach \(x\): \(3x + 120 = 180 \implies 3x = 60 \implies x = 20\). 6. Lösung nach \(y\): \(20 + y = 30 \implies y = 10\). 7. Ergebnis: Herr Abel bearbeitet \(20\,\text{Werkstücke}/\text{h}\), Frau Bekker \(10\,\text{Werkstücke}/\text{h}\).

Herr Abel bearbeitet \(20\,\text{Werkstücke}\) pro Stunde und Frau Bekker \(10\,\text{Werkstücke}\) pro Stunde.

- Überlege dir zuerst, welchen Bruchteil des Beckens eine Pumpe pro Stunde füllt. - Kannst du die Informationen aus dem Text in zwei mathematische Gleichungen übersetzen? - Schreibe \(40\,\%\) als Bruch oder Dezimalzahl. - Wenn du den gefüllten Anteil pro Stunde kennst, wie erhältst du daraus die Zeit für das ganze Becken?

1. Definition der Arbeitsraten \(x\) und \(y\) (Anteil des Beckens pro Stunde) für die beiden Pumpen. 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems basierend auf den Angaben: \(4 \cdot (x + y) = \frac{1}{3}\) und \(6x + 3y = 0{,}4\). 3. Vereinfachung der ersten Gleichung zu \(x + y = \frac{1}{12}\). 4. Lösen des Systems, zum Beispiel durch Einsetzen von \(y = \frac{1}{12} - x\) in die zweite Gleichung: \(6x + 3 \cdot (\frac{1}{12} - x) = \frac{2}{5} \implies 3x + \frac{1}{4} = \frac{2}{5}\). 5. Berechnung der Raten: \(3x = \frac{8}{20} - \frac{5}{20} = \frac{3}{20} \implies x = \frac{1}{20}\) und \(y = \frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5}{60} - \frac{3}{60} = \frac{1}{30}\). 6. Bestimmung der Zeitdauer für das gesamte Becken durch die Kehrwerte der Raten: Die erste Pumpe benötigt \(20\,\text{Stunden}\), die zweite Pumpe \(30\,\text{Stunden}\).

Die erste Pumpe benötigt allein \(20\,\text{Stunden}\), die zweite Pumpe \(30\,\text{Stunden}\).

- Beginne damit, Symbole für die beiden gesuchten Preise festzulegen. - Kannst du die Informationen aus den beiden Gruppenbesuchen als mathematische Sätze schreiben? - Versuche, die Gleichungen zu vereinfachen, bevor du ein Lösungsverfahren (wie Einsetzungs- oder Additionsverfahren) anwendest. - Für den zweiten Teil: Berechne erst, was die Personen einzeln zahlen würden, und vergleiche das Ergebnis mit dem Pauschalpreis.

1. Festlegen der Variablen: \(x\) für den Preis eines Erwachsenen, \(y\) für den Preis eines Kindes. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(5x + 10y = 90\) und \(3x + 12y = 84\). 3. Vereinfachen der Gleichungen durch Division: \(x + 2y = 18\) und \(x + 4y = 28\). 4. Anwendung des Subtraktionsverfahrens: \((x + 4y) - (x + 2y) = 28 - 18 \implies 2y = 10 \implies y = 5\). 5. Einsetzen von \(y = 5\) in die erste vereinfachte Gleichung: \(x + 10 = 18 \implies x = 8\). 6. Die Einzelpreise betragen \(8{,}00\,\text{€}\) für Erwachsene und \(5{,}00\,\text{€}\) für Kinder. 7. Berechnung des Preises für \(2\) Erwachsene und \(3\) Kinder mit Einzelkarten: \(2 \cdot 8 + 3 \cdot 5 = 16 + 15 = 31\). 8. Vergleich: \(31{,}00\,\text{€} < 35{,}00\,\text{€}\). Die Familienkarte ist teurer als die Einzelkarten.

a) Ein Erwachsener zahlt \(8{,}00\,\text{€}\), ein Kind zahlt \(5{,}00\,\text{€}\). b) Nein, man spart nicht. Die Einzelkarten kosten zusammen nur \(31{,}00\,\text{€}\), während die Familienkarte \(35{,}00\,\text{€}\) kostet.

- Was bedeutet „Förderleistung“ in diesem Zusammenhang? - Stelle zuerst ein System für die stündlichen Raten auf. - Wenn du die Raten beider Pumpen kennst, wie viel Wasser fördern sie dann gemeinsam in einer Stunde? - Wie berechnet man die Zeit, wenn die Gesamtmenge und die Geschwindigkeit bekannt sind?

1. Variablen festlegen: \(a\) und \(b\) für die Förderleistungen in \(\text{m}^3/\text{h}\). 2. Gleichungssystem aufstellen: (I) \(3a + 2b = 110\) und (II) \(2a + 4b = 140\). 3. Gleichung (II) durch \(2\) teilen: \(a + 2b = 70 \implies a = 70 - 2b\). 4. Einsetzen in (I): \(3(70 - 2b) + 2b = 110 \implies 210 - 6b + 2b = 110 \implies -4b = -100 \implies b = 25\). 5. Berechnung von \(a\): \(a = 70 - 2 \cdot 25 = 20\). Die Förderleistungen betragen \(20\,\text{m}^3/\text{h}\) für Pumpe \(A\) und \(25\,\text{m}^3/\text{h}\) für Pumpe \(B\). 6. Gemeinsame Leistung berechnen: \(20 + 25 = 45\,\text{m}^3/\text{h}\). 7. Zeit für \(225\,\text{m}^3\) berechnen: \(225\,\text{m}^3 : 45\,\text{m}^3/\text{h} = 5\,\text{h}\).

a) Pumpe \(A\) fördert \(20\,\text{m}^3/\text{h}\) und Pumpe \(B\) fördert \(25\,\text{m}^3/\text{h}\). b) Es würde \(5\) Stunden dauern.

- Kannst du die Gesamtkosten als Summe der Einzelkosten ausdrücken? - Überlege, wie viel \(1\,\text{g}\) jeder Sorte kostet, wenn der Preis für \(100\,\text{g}\) gegeben ist. - Welche zwei Dinge wissen wir über die Mengen der beiden Teesorten? - Könnte es helfen, eine der Unbekannten durch die andere auszudrücken?

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit \(x\) für Masse „Frühlingsgruß“ und \(y\) für Masse „Abendruhe“ in Gramm: \(x + y = 500\) und \(0{,}045x + 0{,}03y = 18\) (Preise pro Gramm). 2. Umformen der ersten Gleichung nach \(y = 500 - x\) und Einsetzen in die zweite Gleichung: \(0{,}045x + 0{,}03 \cdot (500 - x) = 18\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(0{,}045x + 15 - 0{,}03x = 18\), woraus \(0{,}015x = 3\) folgt. 4. Berechnen der Massen: \(x = 200\) und \(y = 500 - 200 = 300\). Die Mischung enthält \(200\,\text{g}\) der Sorte „Frühlingsgruß“ und \(300\,\text{g}\) der Sorte „Abendruhe“.

Die Mischung enthält \(200\,\text{g}\) der Sorte „Frühlingsgruß“ und \(300\,\text{g}\) der Sorte „Abendruhe“.

- Wie hängen Geschwindigkeit, Weg und Zeit zusammen? - Kannst du für jeden Teilabschnitt einen Ausdruck für die benötigte Zeit aufstellen? - Welche zwei Informationen über die gesamte Tour sind im Text gegeben? - Versuche, die Zeitgleichung durch Multiplikation mit einer geeigneten Zahl bruchfrei zu machen.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Strecke im Eco-Modus und \(y\) für die Strecke im Sport-Modus (in \(\text{km}\)). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(x + y = 54\) (Gesamtstrecke) und \(\frac{x}{18} + \frac{y}{27} = 2{,}5\) (Gesamtzeit als Summe der Teilzeiten \(t = \frac{s}{v}\)). 3. Multiplikation der zweiten Gleichung mit dem Hauptnenner \(54\): \(3x + 2y = 135\). 4. Einsetzen von \(y = 54 - x\) in die umgeformte Zeitgleichung: \(3x + 2 \cdot (54 - x) = 135\). 5. Auflösen nach \(x\): \(3x + 108 - 2x = 135 \implies x = 27\). 6. Berechnen von \(y\): \(y = 54 - 27 = 27\). Lukas ist in beiden Modi jeweils \(27\,\text{km}\) gefahren.

Lukas ist \(27\,\text{km}\) im Eco-Modus und \(27\,\text{km}\) im Sport-Modus gefahren.

- Was genau soll am Ende herauskommen und welche Informationen hast du über die Ausgangsstoffe? - Kannst du für die unbekannten Mengen Buchstaben festlegen? - Stelle eine Gleichung für die Gesamtmenge der Flüssigkeit auf. - Stelle eine zweite Gleichung auf, die nur den Anteil des reinen Stoffes (hier Essig) berücksichtigt. - Wie hängen die Anteile in den Ausgangslösungen mit dem Anteil in der fertigen Mischung zusammen?

1. Definition der Variablen: \(x\) ist das Volumen der \(25\,\%\)-igen Lösung in Litern, \(y\) das Volumen der \(5\,\%\)-igen Lösung in Litern. 2. Aufstellen der Gleichung für das Gesamtvolumen: \(x + y = 10\). 3. Aufstellen der Gleichung für die reine Essigmenge: \(0{,}25x + 0{,}05y = 0{,}12 \cdot 10\), also \(0{,}25x + 0{,}05y = 1{,}2\). 4. Umstellen der ersten Gleichung nach \(y\): \(y = 10 - x\). 5. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(0{,}25x + 0{,}05(10 - x) = 1{,}2\). 6. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(0{,}25x + 0{,}5 - 0{,}05x = 1{,}2 \implies 0{,}20x = 0{,}7\). 7. Berechnung von \(x\): \(x = 0{,}7 : 0{,}20 = 3{,}5\). 8. Berechnung von \(y\): \(y = 10 - 3{,}5 = 6{,}5\). Es müssen \(3{,}5\,\text{Liter}\) der \(25\,\%\)-igen und \(6{,}5\,\text{Liter}\) der \(5\,\%\)-igen Lösung gemischt werden.

Es müssen \(3{,}5\,\text{Liter}\) der \(25\,\%\)-igen Essigessenz und \(6{,}5\,\text{Liter}\) der \(5\,\%\)-igen Essiglösung verwendet werden.

- Welche Größen sind unbekannt? Weise ihnen Variablen zu. - Kannst du für jede der beiden Mischungen eine Gleichung aufstellen? - Überlege, wie sich das Gesamtgewicht aus den Einzelgewichten der Öle zusammensetzt. - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) eignet sich hier am besten?

1. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems mit \(x\) als Masse von \(1\,\text{l}\) Öl \(A\) und \(y\) als Masse von \(1\,\text{l}\) Öl \(B\) in \(\text{kg}\): I: \(3x + 2y = 4{,}4\) II: \(x + 4y = 4{,}8\) 2. Auflösen der zweiten Gleichung nach \(x\): \(x = 4{,}8 - 4y\) 3. Einsetzen in die erste Gleichung: \(3(4{,}8 - 4y) + 2y = 4{,}4 \implies 14{,}4 - 12y + 2y = 4{,}4\) 4. Zusammenfassen und nach \(y\) auflösen: \(14{,}4 - 10y = 4{,}4 \implies -10y = -10 \implies y = 1\) 5. Berechnen von \(x\): \(x = 4{,}8 - 4 \cdot 1 = 0{,}8\) 6. Ergebnis: Ein Liter Öl \(A\) wiegt \(0{,}8\,\text{kg}\), ein Liter Öl \(B\) wiegt \(1\,\text{kg}\).

Ein Liter Öl \(A\) wiegt \(0{,}8\,\text{kg}\), ein Liter Öl \(B\) wiegt \(1\,\text{kg}\).

- Stelle für jede Mischung eine Gleichung auf, die die Menge des reinen Stickstoffs beschreibt. - Wie berechnet man die Gesamtmenge an Stickstoff in einer Mischung, wenn man das Volumen und den Prozentsatz kennt? - Überlege dir, welche Variable du am einfachsten durch die andere ausdrücken kannst. - Achte darauf, dass die Summe der Einzelmengen das Gesamtvolumen der Mischung ergibt.

1. Definition der Variablen \(x\) und \(y\) für die Stickstoffkonzentrationen der Sorten A und B. 2. Aufstellen des Gleichungssystems basierend auf der Gesamtmenge an Stickstoff: I: \(3x + 2y = 5 \cdot 0{,}14 = 0{,}70\) II: \(x + 4y = 5 \cdot 0{,}10 = 0{,}50\) 3. Auflösen von Gleichung II nach \(x\): \(x = 0{,}50 - 4y\). 4. Einsetzen in Gleichung I: \(3(0{,}50 - 4y) + 2y = 0{,}70 \implies 1{,}50 - 12y + 2y = 0{,}70\). 5. Zusammenfassen und Lösen nach \(y\): \(-10y = -0{,}80 \implies y = 0{,}08\). 6. Berechnen von \(x\): \(x = 0{,}50 - 4 \cdot 0{,}08 = 0{,}18\). 7. Die Konzentrationen sind \(18\,\%\) für Sorte A und \(8\,\%\) für Sorte B.

Die Sorte A hat einen Stickstoffgehalt von \(18\,\%\), die Sorte B einen Gehalt von \(8\,\%\).

- Stelle zunächst fest, wie viel eine gesamte Packung (\(10\,\text{kg}\)) jeder Mischung kostet. - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, bei dem eine Variable durch Multiplikation einer Gleichung eliminiert werden kann? - Vergleiche nach der Berechnung die Preise der beiden Kaffeesorten. - Welche Sorte ist teurer und wie wirkt sich ihr Anteil auf den Gesamtpreis der Mischung aus?

1. Variablen festlegen: \(a\) für Preis Arabica (\(\text{€}/\text{kg}\)), \(r\) für Preis Robusta (\(\text{€}/\text{kg}\)). 2. Gleichungssystem für die Gesamtkosten der \(10\,\text{kg}\)-Chargen aufstellen: I: \(4a + 6r = 10 \cdot 12{,}80 = 128\) II: \(7a + 3r = 10 \cdot 14{,}30 = 143\) 3. Gleichung II mit 2 multiplizieren: \(14a + 6r = 286\). 4. Subtraktionsverfahren (II' - I): \(10a = 158 \implies a = 15{,}80\). 5. Wert für \(a\) in I einsetzen: \(4 \cdot 15{,}80 + 6r = 128 \implies 63{,}20 + 6r = 128 \implies 6r = 64{,}80 \implies r = 10{,}80\). 6. Vergleich der Preise: Arabica ist mit \(15{,}80\,\text{€}/\text{kg}\) teurer als Robusta mit \(10{,}80\,\text{€}/\text{kg}\). 7. Mischung 2 enthält einen deutlich höheren Anteil der teureren Sorte Arabica (\(7\,\text{kg}\) statt \(4\,\text{kg}\)), was den höheren Durchschnittspreis erklärt.

a) Ein Kilogramm Arabica kostet \(15{,}80\,\text{€}\) und ein Kilogramm Robusta kostet \(10{,}80\,\text{€}\). b) Mischung 2 ist teurer, da sie einen höheren Anteil der kostspieligeren Sorte Arabica enthält (\(70\,\%\) gegenüber \(40\,\%\) in Mischung 1).

- Was genau suchen wir und welche Einheiten bieten sich für die Unbekannten an? - Kannst du für jede Mischung eine Gleichung aufstellen, die den Gesamtpreis beschreibt? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um ein System aus zwei Gleichungen zu lösen? - Achte darauf, ob du die Preise für eine bestimmte Menge (z. B. \(100\,\text{g}\)) oder pro Kilogramm berechnest.

1. Definition der Variablen: \(x\) für den Preis von \(100\,\text{g}\) Cashewkernen und \(y\) für den Preis von \(100\,\text{g}\) Erdnüssen (in \(\text{€}\)). 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: I: \(2x + 3y = 5{,}50\) II: \(3x + 2y = 7{,}00\) 3. Anwendung des Additionsverfahrens (Multiplikation zur Elimination von \(x\)): \(I \cdot 3: 6x + 9y = 16{,}50\) \(II \cdot (-2): -6x - 4y = -14{,}00\) 4. Addition der Gleichungen: \(5y = 2{,}50 \implies y = 0{,}50\). 5. Einsetzen von \(y\) in Gleichung I: \(2x + 3 \cdot 0{,}50 = 5{,}50 \implies 2x + 1{,}50 = 5{,}50 \implies 2x = 4{,}00 \implies x = 2{,}00\). 6. Ergebnis: Der Preis für \(100\,\text{g}\) Cashewkerne beträgt \(2{,}00\,\text{€}\), für \(100\,\text{g}\) Erdnüsse \(0{,}50\,\text{€}\).

\(100\,\text{g}\) Cashewkerne kosten \(2{,}00\,\text{€}\) und \(100\,\text{g}\) Erdnüsse kosten \(0{,}50\,\text{€}\).

- Kannst du die Mengen der beiden Sorten mit Variablen benennen? - Wie lässt sich der Anteil an reinem Direktsaft mathematisch ausdrücken? - Welcher Zusammenhang zwischen den beiden Mengen lässt sich aus der ersten Information ableiten? - Überlege, wie sich die Gesamtmenge und die Menge des Direktsafts ändern, wenn man von beidem etwas hinzufügt.

1. Festlegen der Variablen: \(x\) für das Volumen von Sorte A und \(y\) für das Volumen von Sorte B in Litern. 2. Aufstellen der Gleichung für die erste Mischung: \(0{,}1x + 0{,}4y = 0{,}2(x + y)\). Durch Umformen erhält man \(0{,}2y = 0{,}1x\), was zu \(x = 2y\) führt. 3. Aufstellen der Gleichung für die zweite Mischung: \(\frac{0{,}1(x + 3) + 0{,}4(y + 3)}{x + 3 + y + 3} = 0{,}225\). 4. Einsetzen von \(x = 2y\) in die zweite Gleichung: \(\frac{0{,}1(2y + 3) + 0{,}4(y + 3)}{3y + 6} = 0{,}225\). 5. Vereinfachen des Zählers: \(0{,}2y + 0{,}3 + 0{,}4y + 1{,}2 = 0{,}6y + 1{,}5\). 6. Lösen der Gleichung \(0{,}6y + 1{,}5 = 0{,}225(3y + 6)\): \(0{,}6y + 1{,}5 = 0{,}675y + 1{,}35\). Dies ergibt \(0{,}15 = 0{,}075y\), woraus \(y = 2\) folgt. 7. Berechnen von \(x\): \(x = 2 \cdot 2 = 4\). Die ursprüngliche Mischung bestand aus \(4\,\text{Litern}\) der Sorte A und \(2\,\text{Litern}\) der Sorte B.

Für die ursprüngliche Mischung waren \(4\,\text{Liter}\) der Sorte A und \(2\,\text{Liter}\) der Sorte B vorgesehen.

- Stelle für jeden der beiden beschriebenen Fälle eine Gleichung auf. - Was passiert mit der Wassermenge im jeweils anderen Becher in deiner Rechnung? - Hast du am Ende geprüft, ob deine Lösung für beide Bedingungen der Aufgabe passt? - Wie berechnet man die Gesamtmenge, wenn man die Einzelmengen kennt?

1. Definition der Variablen: \(x\) für Becher A und \(y\) für Becher B in \(\text{ml}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(x + \frac{1}{3}y = 120\) (II) \(y + \frac{1}{2}x = 150\) 3. Lösung des Systems (z. B. Additionsverfahren): Multiplikation von (I) mit \(3\) ergibt \(3x + y = 360\), also \(y = 360 - 3x\). 4. Einsetzen in (II): \(360 - 3x + 0{,}5x = 150 \Rightarrow -2{,}5x = -210 \Rightarrow x = 84\). 5. Berechnung von \(y\): \(y = 360 - 3 \cdot 84 = 360 - 252 = 108\). 6. Gesamtmenge berechnen: \(84\,\text{ml} + 108\,\text{ml} = 192\,\text{ml}\).

a) In Becher A befanden sich ursprünglich \(84\,\text{ml}\) und in Becher B \(108\,\text{ml}\). b) Insgesamt befinden sich \(192\,\text{ml}\) Wasser in den Bechern.

- Was sind die unbekannten Größen in dieser Aufgabe? - Kannst du die beiden Bedingungen in mathematische Gleichungen übersetzen? - Wie hängen die Preise der Bikes zusammen, wenn man die Kosten für die Helme berücksichtigt? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier an?

1. Variablen festlegen: \(x\) für den Preis von Jans Mountainbike und \(y\) für den Preis von Leos Mountainbike in \(\text{€}\). 2. Erste Gleichung aufstellen: \(x + 120 = 3 \cdot (y + 40)\). 3. Zweite Gleichung aufstellen: \(y + 120 = \frac{1}{2} \cdot (x + 40)\). 4. Erste Gleichung vereinfachen: \(x + 120 = 3y + 120 \Rightarrow x = 3y\). 5. \(x = 3y\) in die zweite Gleichung einsetzen: \(y + 120 = \frac{1}{2} \cdot (3y + 40)\). 6. Gleichung nach \(y\) auflösen: \(2y + 240 = 3y + 40 \Rightarrow y = 200\). 7. \(x\) berechnen: \(x = 3 \cdot 200 = 600\).

Jans Mountainbike kostet \(600{,}00\,\text{€}\) und Leos Mountainbike kostet \(200{,}00\,\text{€}\).

- Überlege dir, wie du die Preise der verschiedenen Räder mithilfe einer einzigen Variable ausdrücken kannst. - Kannst du für einen der Preise zwei verschiedene Rechenausdrücke finden, die denselben Wert beschreiben müssen? - Stelle eine Gleichung auf, indem du diese beiden Ausdrücke gleichsetzt.

1. Variable \(b\) für den Preis des Basismodells festlegen; Preis des Tourenrads als \(4b\) ausdrücken. 2. Zwei Ausdrücke für den Preis des Rennrads \(R\) aufstellen: \(R = 4b + 1200\) und \(R = b + 4800\). 3. Gleichung durch Gleichsetzen bilden: \(4b + 1200 = b + 4800\). 4. Gleichung nach \(b\) auflösen: \(3b = 3600 \Rightarrow b = 1200{,}00\,\text{€}\). 5. Berechnung der weiteren Preise: Tourenrad \(4 \cdot 1200 = 4800{,}00\,\text{€}\), Rennrad \(1200 + 4800 = 6000{,}00\,\text{€}\).

Basismodell: \(1200{,}00\,\text{€}\), Tourenrad: \(4800{,}00\,\text{€}\), Rennrad: \(6000{,}00\,\text{€}\).

- Was bedeutet eine Senkung um \(10\,\%\) für den Faktor, mit dem du rechnest? - Stelle zuerst fest, wie viele Module von jedem Typ im letzten Monat produziert wurden. - Nutze ein Gleichungssystem, um die Werte des Vormonats zu finden. - Vergiss nicht, am Ende die neuen Produktionszahlen zu berechnen, bevor du sie vergleichst.

1. Variablen festlegen: \(a\) (Anzahl Typ A im Vormonat), \(b\) (Anzahl Typ B im Vormonat). 2. Gleichungssystem aufstellen: \(a + b = 800\) und \(1{,}15a + 0{,}9b = 810\). 3. Einsetzungsverfahren anwenden: \(b = 800 - a\). 4. In die zweite Gleichung einsetzen: \(1{,}15a + 0{,}9(800 - a) = 810\). 5. Klammer auflösen: \(1{,}15a + 720 - 0{,}9a = 810\). 6. Nach \(a\) auflösen: \(0{,}25a = 90 \Rightarrow a = 360\). 7. Wert für \(b\) berechnen: \(b = 800 - 360 = 440\). 8. Aktuelle Produktionszahlen berechnen: Typ A: \(360 \cdot 1{,}15 = 414\); Typ B: \(440 \cdot 0{,}9 = 396\). 9. Vergleich der Anteile: Da \(414 > 396\), hat Typ A den größeren Anteil an der Gesamtproduktion von \(810\) Modulen.

In diesem Monat wurden \(414\) Module vom Typ A und \(396\) Module vom Typ B produziert. Damit hat Typ A den größeren Anteil an der Gesamtproduktion.

- Kannst du die Informationen aus den beiden Beuteln als mathematische Gleichungen aufschreiben? - Welches Verfahren kennst du, um eine der Unbekannten zu eliminieren, wenn du zwei Gleichungen hast? - Wie könntest du eine Gleichung verändern, damit in beiden Gleichungen die gleiche Menge an Birnen vorkommt? - Überlege für den zweiten Teil, ob du die Einzelpreise aus dem ersten Teil direkt nutzen kannst.

1. Definition der Variablen: \(a\) für Preis pro \(\text{kg}\) Äpfel, \(b\) für Preis pro \(\text{kg}\) Birnen. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: I. \(3a + 2b = 9{,}30\) II. \(5a + 4b = 16{,}50\) 3. Gleichung I verdoppeln: \(6a + 4b = 18{,}60\). 4. Subtraktion von Gleichung II: \((6a - 5a) + (4b - 4b) = 18{,}60 - 16{,}50 \implies a = 2{,}10\). 5. Einsetzen in I: \(3 \cdot 2{,}10 + 2b = 9{,}30 \implies 6{,}30 + 2b = 9{,}30 \implies 2b = 3{,}00 \implies b = 1{,}50\). 6. Berechnung für b): \(5 \cdot 2{,}10 + 5 \cdot 1{,}50 = 10{,}50 + 7{,}50 = 18{,}00\).

a) Ein Kilogramm Äpfel kostet \(2{,}10\,\text{€}\) und ein Kilogramm Birnen kostet \(1{,}50\,\text{€}\). b) Der Beutel mit jeweils \(5\,\text{kg}\) kostet \(18{,}00\,\text{€}\).

- Was genau suchst du? Benenne diese Größen als Variablen. - Stelle für jeden Verkaufstag eine Gleichung auf. - Schau dir die Zahlen vor den Variablen an. Kannst du eine Gleichung so verändern, dass eine Variable beim Verrechnen wegfällt? - Wenn du die Einzelpreise hast, wie berechnest du den Gesamtpreis für die Familie?

1. Definition der Variablen: \(x\) ist der Preis einer Erwachsenenkarte, \(y\) der Preis einer Kinderkarte. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(40x + 60y = 700\) (II) \(50x + 30y = 650\) 3. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation von (II) mit \(2\) ergibt (III) \(100x + 60y = 1300\). 4. Subtraktion von (I) von (III): \((100x - 40x) + (60y - 60y) = 1300 - 700 \implies 60x = 600\). 5. Lösen nach \(x\): \(x = 10\). 6. Einsetzen von \(x = 10\) in (II): \(50 \cdot 10 + 30y = 650 \implies 500 + 30y = 650 \implies 30y = 150 \implies y = 5\). 7. Berechnung der Kosten für die Familie: \(2 \cdot 10{,}00\,\text{€} + 3 \cdot 5{,}00\,\text{€} = 20{,}00\,\text{€} + 15{,}00\,\text{€} = 35{,}00\,\text{€}\). 8. Vergleich mit dem Budget: Da \(35{,}00\,\text{€} \le 40{,}00\,\text{€}\) ist, reicht das Budget aus.

a) Eine Karte für Erwachsene kostet \(10{,}00\,\text{€}\) und eine Karte für Kinder kostet \(5{,}00\,\text{€}\). b) Ja, der Betrag reicht aus, da die Karten für die Familie insgesamt nur \(35{,}00\,\text{€}\) kosten.

- Kannst du für jede Information im Text (Anzahl Kisten, Anzahl Flaschen) eine eigene Gleichung aufstellen? - Wie hängen die Anzahl der Kisten und die Gesamtzahl der Flaschen zusammen? - Welches Verfahren kennst du, um zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gleichzeitig zu lösen? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende: Ergeben deine Kistenzahlen zusammen wirklich 11?

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Limonaden-Kisten und \(y\) für die Anzahl der Wasser-Kisten. 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: (I) \(x + y = 11\) (II) \(12x + 10y = 122\) 3. Auflösen von (I) nach \(y\): \(y = 11 - x\). 4. Einsetzen in (II): \(12x + 10(11 - x) = 122\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(12x + 110 - 10x = 122 \Rightarrow 2x + 110 = 122\). 6. Lösen nach \(x\): \(2x = 12 \Rightarrow x = 6\). 7. Berechnen von \(y\): \(y = 11 - 6 = 5\). 8. Ergebnis: Es wurden 6 Limonaden-Kisten und 5 Wasser-Kisten geliefert.

Es wurden 6 Limonaden-Kisten und 5 Wasser-Kisten geliefert.

- Was bleibt gleich, egal wie weit man fährt? - Kannst du ausrechnen, wie viel die zusätzlichen Kilometer zwischen den beiden Fahrten gekostet haben? - Stelle zwei mathematische Ausdrücke für die Gesamtkosten auf. - Wenn du die Differenz der Gesamtkosten durch die Differenz der Kilometer teilst, was erhältst du dann?

1. Variablen festlegen: \(G\) für die Grundgebühr in \(\text{€}\) und \(k\) für den Preis pro Kilometer in \(\text{€}\). 2. Gleichungssystem erstellen: I: \(G + 8 \cdot k = 21{,}40\) II: \(G + 15 \cdot k = 36{,}80\) 3. Differenz bilden (II - I): \(7 \cdot k = 15{,}40\) 4. Kilometerpreis \(k\) berechnen: \(k = 15{,}40 : 7 = 2{,}20\). Der Kilometerpreis beträgt \(2{,}20\,\text{€}\). 5. Grundgebühr \(G\) berechnen durch Einsetzen in I: \(G + 8 \cdot 2{,}20 = 21{,}40\) \(G + 17{,}60 = 21{,}40\) \(G = 21{,}40 - 17{,}60 = 3{,}80\). Die Grundgebühr beträgt \(3{,}80\,\text{€}\).

Die Grundgebühr beträgt \(3{,}80\,\text{€}\) und der Preis pro Kilometer liegt bei \(2{,}20\,\text{€}\).

- Stelle für jede Pause eine Gleichung auf. - Achte darauf, wie sich die Preise in der zweiten Pause verändern (Faktor für „günstiger“ und „teurer“). - Es hilft oft, die Gleichungen durch einen gemeinsamen Teiler zu vereinfachen, bevor man das Additions- oder Subtraktionsverfahren nutzt.

1. Variablen festlegen: \(b\) für den Preis einer Brezel und \(a\) für den Preis einer Schorle in der ersten Pause. 2. Gleichungssystem aufstellen: I: \(40b + 50a = 115\) II: \(30 \cdot 0{,}8b + 40 \cdot 1{,}5a = 102 \implies 24b + 60a = 102\) 3. Gleichung I durch 10 dividieren: \(4b + 5a = 11{,}5\). 4. Gleichung II durch 6 dividieren: \(4b + 10a = 17\). 5. Subtraktionsverfahren anwenden (Gleichung II' minus Gleichung I'): \((10a - 5a) = 17 - 11{,}5 \implies 5a = 5{,}5\). 6. Auflösen nach \(a\): \(a = 1{,}1\). 7. Einsetzen in \(4b + 5 \cdot 1{,}1 = 11{,}5 \implies 4b + 5{,}5 = 11{,}5 \implies 4b = 6 \implies b = 1{,}5\). In der ersten Pause kostete eine Brezel \(1{,}50\,\text{€}\) und eine Apfelschorle \(1{,}10\,\text{€}\).

In der ersten Pause kostete eine Brezel \(1{,}50\,\text{€}\) und eine Flasche Apfelschorle \(1{,}10\,\text{€}\).

- Bestimme zuerst die beiden Einzelgeschwindigkeiten wie in den vorherigen Aufgaben. - Berechne für Teil b) die Zeit für den Hinweg und den Rückweg separat. - Wie lange würde die gesamte Strecke von \(40\,\text{km}\) dauern, wenn der Radfahrer konstant mit seiner Eigengeschwindigkeit fährt? - Überlege, ob man länger gegen den Wind kämpft, als man vom Rückenwind profitiert.

1. Teil a): Aufstellen des Systems mit \(v_R\) (Radfahrer) und \(v_W\) (Wind). \(v_R + v_W = 32\) und \(v_R - v_W = 24\). Addition liefert \(2v_R = 56 \Rightarrow v_R = 28\,\text{km/h}\). Einsetzen liefert \(28 + v_W = 32 \Rightarrow v_W = 4\,\text{km/h}\). 2. Teil b): Berechnung der Fahrzeiten mit Wind: Hinweg: \(t_{hin} = \frac{20}{32} = 0{,}625\,\text{h}\) (\(37{,}5\,\text{min}\)). Rückweg: \(t_{rück} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6} \approx 0{,}8333\,\text{h}\) (\(50\,\text{min}\)). Gesamtzeit mit Wind: \(\frac{5}{8} + \frac{5}{6} = \frac{35}{24} \approx 1{,}4583\,\text{h}\) (\(87{,}5\,\text{min}\)). 3. Berechnung der Fahrzeit ohne Wind (bei \(v_R = 28\,\text{km/h}\)): Gesamtstrecke \(40\,\text{km}\). \(t_{still} = \frac{40}{28} \approx 1{,}429\,\text{h}\) (\(\approx 85{,}7\,\text{min}\)). 4. Vergleich: Da \(1{,}458\,\text{h} > 1{,}429\,\text{h}\), dauert die Fahrt mit Wind länger. Die Behauptung ist falsch.

a) Die Eigengeschwindigkeit beträgt \(28\,\text{km/h}\), die Windgeschwindigkeit \(4\,\text{km/h}\). b) Die Behauptung ist falsch. Die Fahrt mit Wind dauert insgesamt etwa \(87{,}5\) Minuten, während sie ohne Wind nur etwa \(85{,}7\) Minuten dauern würde.

- Überlege dir, welchen Bruchteil des Auftrags die Drucker pro Stunde schaffen. - Was passiert mathematisch, wenn man die Anzahl der Geräte eines Typs verdoppelt? - Kannst du eine Gleichung für die gemeinsame Arbeitsleistung pro Stunde aufstellen? - Wie hängen Arbeitsrate und benötigte Gesamtdauer für einen Auftrag zusammen?

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit den Arbeitsraten \(r_X\) und \(r_Y\) (Auftrag pro Stunde): I. \(1 \cdot r_X + 1 \cdot r_Y = \frac{1}{4}\) II. \(2 \cdot r_X + 1 \cdot r_Y = \frac{1}{3}\) 2. Subtraktion von Gleichung I von Gleichung II: \((2r_X + r_Y) - (r_X + r_Y) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\) \(r_X = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}\) 3. Einsetzen von \(r_X\) in Gleichung I: \(\frac{1}{12} + r_Y = \frac{1}{4} \Rightarrow r_Y = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\) 4. Bestimmung der Einzelzeiten: Modell X benötigt \(1 : \frac{1}{12} = 12\,\text{Stunden}\). Modell Y benötigt \(1 : \frac{1}{6} = 6\,\text{Stunden}\).

Modell X benötigt alleine \(12\,\text{Stunden}\), Modell Y benötigt alleine \(6\,\text{Stunden}\).

- Stelle für beide Situationen eine Gleichung auf, die beschreibt, wie viel vom Park fertiggestellt wird. - Achte darauf, dass im ersten Fall nur die Hälfte der Fläche bearbeitet wurde. - Um die Raten zu vergleichen, kannst du die Brüche auf den gleichen Nenner bringen oder durcheinander teilen.

1. Definition der Variablen: \(g\) sei die Arbeitsrate von Herrn Grün, \(b\) die von Frau Blume. 2. Aufstellen der Gleichungen: I. \(4g + 2b = 0{,}5\) II. \(2g + 5b = 1\) 3. Lösen des Systems: Multiplikation von II mit 2: \(4g + 10b = 2\) Subtraktion von I: \((4g + 10b) - (4g + 2b) = 2 - 0{,}5 \Rightarrow 8b = 1{,}5\) \(b = \frac{1{,}5}{8} = \frac{3}{16}\) Einsetzen in II: \(2g + 5 \cdot \frac{3}{16} = 1 \Rightarrow 2g + \frac{15}{16} = 1 \Rightarrow 2g = \frac{1}{16} \Rightarrow g = \frac{1}{32}\) 4. Vergleich und Verhältnis: Frau Blume hat die höhere Arbeitsrate, da \(\frac{3}{16} > \frac{1}{32}\) (bzw. \(\frac{6}{32} > \frac{1}{32}\)). Das Verhältnis \(\frac{b}{g} = \frac{3}{16} : \frac{1}{32} = \frac{3}{16} \cdot \frac{32}{1} = 6\).

Frau Blume arbeitet schneller. Ihre Arbeitsrate ist genau \(6\)-mal so hoch wie die von Herrn Grün.

- Wie viel der Halle ist nach der gemeinsamen Zeit bereits gefüllt? - Der Rest der Füllung muss komplett von Band B übernommen werden – wie schnell arbeitet B also? - Wenn sich die Geschwindigkeit eines Bandes verdoppelt, verdoppelt sich sein Anteil an der Arbeit pro Stunde. - Überlege, ob eine Verdopplung von nur einem Teil des Teams ausreicht, um die Zeit für alle zu halbieren.

1. Teil a: Aufstellen der Raten \(r_A\) und \(r_B\). Gesamtleistung: \(r_A + r_B = \frac{1}{12}\). Testlauf: \(4 \cdot (r_A + r_B) + 20 \cdot r_B = 1\). Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite: \(4 \cdot \frac{1}{12} + 20 \cdot r_B = 1 \Rightarrow \frac{1}{3} + 20 \cdot r_B = 1 \Rightarrow 20 \cdot r_B = \frac{2}{3}\). \(r_B = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}\). Berechnung von \(r_A\): \(r_A = \frac{1}{12} - \frac{1}{30} = \frac{5}{60} - \frac{2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}\). Dauer allein: A benötigt \(20\,\text{Stunden}\), B benötigt \(30\,\text{Stunden}\). 2. Teil b: Neue Rate \(r_B' = 2 \cdot \frac{1}{30} = \frac{1}{15}\). Neue Gesamtleistung: \(r_{neu} = r_A + r_B' = \frac{1}{20} + \frac{1}{15} = \frac{3}{60} + \frac{4}{60} = \frac{7}{60}\). Neue Zeit: \(T = 1 : \frac{7}{60} = \frac{60}{7} \approx 8{,}57\,\text{Stunden}\). Vergleich: Die ursprüngliche Zeit war \(12\,\text{Stunden}\), die Hälfte wäre \(6\,\text{Stunden}\). Da \(8{,}57 > 6\), ist die Aussage falsch. Nur ein Teil des Systems wurde beschleunigt, was nicht zur Halbierung der Gesamtzeit führt.

a) Förderband A benötigt allein \(20\,\text{Stunden}\), Förderband B benötigt allein \(30\,\text{Stunden}\). b) Die Behauptung ist falsch. Die neue Zeit beträgt ca. \(8{,}57\,\text{Stunden}\), was mehr als die Hälfte der ursprünglichen Zeit (\(6\,\text{Stunden}\)) ist.

- Kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass in beiden Gleichungen die gleiche Anzahl an Heften vorkommt? - Wenn du die Preise für ein Heft und einen Stift kennst, wie berechnest du dann den Preis für eine beliebige Menge davon? - Vergleiche den berechneten Normalpreis mit dem Preis des Sonderangebots.

1. Aufstellen des Gleichungssystems (\(h\): Preis Heft, \(s\): Preis Stift): I: \(4h + 3s = 11\) II: \(2h + 5s = 9\) 2. Multiplikation von Gleichung II mit \(2\), um das Additionsverfahren anzuwenden: II': \(4h + 10s = 18\) 3. Subtraktion von I von II': \((4h + 10s) - (4h + 3s) = 18 - 11 \Rightarrow 7s = 7 \Rightarrow s = 1\) Ein Stift kostet \(1{,}00\,\text{€}\). 4. Einsetzen von \(s = 1\) in Gleichung II: \(2h + 5 \cdot 1 = 9 \Rightarrow 2h = 4 \Rightarrow h = 2\) Ein Heft kostet \(2{,}00\,\text{€}\). 5. Prüfung des Sonderangebots: Regulärer Preis für \(6\) Hefte und \(8\) Stifte: \(6 \cdot 2{,}00\,\text{€} + 8 \cdot 1{,}00\,\text{€} = 12{,}00\,\text{€} + 8{,}00\,\text{€} = 20{,}00\,\text{€}\). Vergleich: \(18{,}50\,\text{€} < 20{,}00\,\text{€}\). Das Angebot ist um \(1{,}50\,\text{€}\) günstiger.

a) Ein Heft kostet \(2{,}00\,\text{€}\) und ein Stift kostet \(1{,}00\,\text{€}\). b) Ja, das Angebot ist günstiger, da der reguläre Einzelkauf \(20{,}00\,\text{€}\) kosten würde. Man spart \(1{,}50\,\text{€}\).

- Wie drückt man eine prozentuale Zunahme oder Abnahme als Dezimalzahl aus? - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn eine Größe um \(20\,\%\) wächst? - Stelle zwei Gleichungen auf: eine für die jetzige Situation und eine für die Prognose. - Achte darauf, dass die Summe der Schüler am Ende eine ganze Zahl sein muss.

1. Variablen festlegen: \(a\) für die Anzahl in 8a und \(b\) für die Anzahl in 8b. 2. Erste Gleichung: \(a + b = 60\). 3. Zweite Gleichung (Prozentuale Änderung): \(1{,}2a + 0{,}8b = 62\). 4. Einsetzungsverfahren: \(b = 60 - a\) in die zweite Gleichung einsetzen. 5. Berechnung: \(1{,}2a + 0{,}8(60 - a) = 62 \implies 1{,}2a + 48 - 0{,}8a = 62\). 6. Zusammenfassen: \(0{,}4a + 48 = 62 \implies 0{,}4a = 14\). 7. Ergebnis für \(a\): \(a = 14 : 0{,}4 = 35\). 8. Ergebnis für \(b\): \(b = 60 - 35 = 25\). Klasse 8a hat 35 Kinder, Klasse 8b hat 25 Kinder.

In Klasse 8a sind aktuell \(35\) Kinder und in Klasse 8b sind es \(25\) Kinder.

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Überlege, wie die neuen Seitenlängen im Vergleich zu den alten aussehen. - Stelle zwei Gleichungen auf, indem du die neuen Flächeninhalte mit dem ursprünglichen Flächeninhalt \(l \cdot b\) vergleichst. - Beim Ausmultiplizieren der Klammern wird sich der Term \(l \cdot b\) auf beiden Seiten der Gleichung aufheben.

1. Variablen festlegen: \(l\) für die ursprüngliche Länge und \(b\) für die ursprüngliche Breite (in \(\text{cm}\)). Der ursprüngliche Flächeninhalt ist \(l \cdot b\). 2. Erste Bedingung aufstellen: \((l + 2)(b - 1) = l \cdot b\). Ausmultiplizieren ergibt \(l \cdot b - l + 2b - 2 = l \cdot b\), was sich zu \(-l + 2b = 2\) vereinfacht. 3. Zweite Bedingung aufstellen: \((l - 1)(b + 2) = l \cdot b + 12\). Ausmultiplizieren ergibt \(l \cdot b + 2l - b - 2 = l \cdot b + 12\), was sich zu \(2l - b = 14\) vereinfacht. 4. Gleichungssystem lösen: Aus der ersten Gleichung folgt \(l = 2b - 2\). Einsetzen in die zweite: \(2(2b - 2) - b = 14 \Rightarrow 4b - 4 - b = 14 \Rightarrow 3b = 18 \Rightarrow b = 6\). 5. Länge berechnen: \(l = 2 \cdot 6 - 2 = 10\). 6. Ergebnis: Die Länge ist \(10\,\text{cm}\) und die Breite ist \(6\,\text{cm}\).

Die ursprüngliche Länge des Rechtecks beträgt \(10\,\text{cm}\) und die ursprüngliche Breite beträgt \(6\,\text{cm}\).

- Skizziere ein gleichschenkliges Trapez und markiere, welche Seiten laut Text gleich lang sind. - Wie berechnet man den Umfang eines Trapezes? - Stelle eine Gleichung für den Umfang und eine für das Verhältnis der Seiten auf. - Überlege dir, wie man die Höhe eines solchen Trapezes berechnen kann. Was sagt eine Höhe von Null über die Form aus? - Kann ein Dreieck (als Teil des Trapezes) existieren, wenn eine Seite so lang ist wie die Summe der anderen oder länger?

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Länge der drei kürzeren Seiten (Schenkel \(s\) und kürzere Basis \(c\)) und \(y\) die Länge der längeren Basis \(a\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: - Umfang: \(y + 3x = 24\). - Seitenverhältnis: \(y = 3x\). 3. Lösen des Systems: \(3x + 3x = 24 \implies 6x = 24 \implies x = 4\). 4. Berechnen von \(y\): \(y = 3 \cdot 4 = 12\). 5. Die Seitenlängen sind \(4\,\text{cm}, 4\,\text{cm}, 4\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\). 6. Existenzprüfung: In einem gleichschenkligen Trapez mit Basen \(a, c\) und Schenkel \(s\) gilt für die Höhe \(h\): \(h^2 = s^2 - \left(\frac{a-c}{2}\right)^2\). 7. Einsetzen der Werte: \(h^2 = 4^2 - \left(\frac{12-4}{2}\right)^2 = 16 - 4^2 = 0\). 8. Da die Höhe \(h = 0\) ist, liegen alle Eckpunkte auf einer Geraden. Die Figur ist entartet und kein Trapez mit positivem Flächeninhalt.

Die Seitenlängen betragen \(12\,\text{cm}\) (lange Basis) und dreimal \(4\,\text{cm}\). Ein nicht entartetes Trapez mit diesen Seitenlängen existiert nicht, da seine Höhe \(0\,\text{cm}\) betragen würde und die Figur somit zu einer Strecke entartet.

- Was sind die beiden Unbekannten, nach denen gefragt wird? - Wie viele Liter müssen die beiden Säfte zusammen ergeben? - Wie lässt sich der Preis für die gesamte Mischung aus den Einzelpreisen zusammensetzen?

1. Variablen festlegen: \(x\) für die Menge von Saft A in Litern, \(y\) für die Menge von Saft B in Litern. 2. Gleichungssystem aufstellen: I: \(x + y = 20\) (Gesamtvolumen) und II: \(1{,}20 \cdot x + 2{,}00 \cdot y = 32{,}80\) (Gesamtkosten). 3. Gleichung I nach \(y\) auflösen: \(y = 20 - x\). 4. Einsetzen in Gleichung II: \(1{,}2x + 2 \cdot (20 - x) = 32{,}8\). 5. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(1{,}2x + 40 - 2x = 32{,}8 \implies -0{,}8x + 40 = 32{,}8\). 6. Nach \(x\) auflösen: \(-0{,}8x = -7{,}2 \implies x = 9\). 7. \(y\) berechnen: \(y = 20 - 9 = 11\). 8. Ergebnis: Es werden \(9\,\text{Liter}\) von Saft A und \(11\,\text{Liter}\) von Saft B benötigt.

Es müssen \(9\,\text{Liter}\) von Saft A und \(11\,\text{Liter}\) von Saft B gemischt werden.

- Kannst du zuerst die Kosten pro Gigabyte für Tarif A bestimmen, indem du den Preisunterschied und den Volumenunterschied betrachtest? - Wie berechnet man die Grundgebühr, wenn man den Preis pro Gigabyte und die Gesamtkosten für eine bestimmte Menge kennt? - Wie hängen die Werte von Tarif B von denen des Tarifs A ab? - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Tarife „gleich teuer“ sind?

1. Aufstellen der Gleichungen für Tarif A mit Grundgebühr \(G_A\) und Preis \(p_A\): \(G_A + 3p_A = 14\) und \(G_A + 5p_A = 20\). 2. Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung: \(2p_A = 6\), woraus \(p_A = 3\,\text{€}/\text{GB}\) folgt. 3. Einsetzen in die erste Gleichung: \(G_A + 3 \cdot 3 = 14 \Rightarrow G_A = 5\,\text{€}\). 4. Bestimmung der Werte für Tarif B: \(G_B = 5 - 2 = 3\,\text{€}\) und \(p_B = 3 + 0{,}5 = 3{,}50\,\text{€}/\text{GB}\). 5. Gleichsetzen der Kostenfunktionen für ein Volumen \(x\): \(5 + 3x = 3 + 3{,}5x\). 6. Auflösen nach \(x\): \(2 = 0{,}5x \Rightarrow x = 4\). Bei einem Datenverbrauch von \(4\,\text{GB}\) sind beide Tarife gleich teuer.

Tarif A: \(5\,\text{€}\) Grundgebühr und \(3\,\text{€}/\text{GB}\). Tarif B: \(3\,\text{€}\) Grundgebühr und \(3{,}50\,\text{€}/\text{GB}\). Beide Tarife kosten bei einem Datenvolumen von \(4\,\text{GB}\) gleich viel.

- Welche Strecke legen beide zusammen zurück, wenn sie sich treffen? - Wie hängen Geschwindigkeit, Zeit und Strecke zusammen? - Kannst du eine Beziehung zwischen den beiden Geschwindigkeiten formulieren? - Überlege, wie weit jeder einzelne in der gegebenen Zeit fährt.

1. Variablen definieren: \(v_A\) für Annas Geschwindigkeit und \(v_B\) für Bens Geschwindigkeit (in \(\text{km/h}\)). 2. Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten aufstellen: \(v_B = v_A + 6\). 3. Zusammenhang für die zurückgelegte Strecke aufstellen: Da sie einander entgegenfahren, ist die Summe ihrer Wege nach \(1{,}5\) Stunden gleich der Gesamtdistanz: \(1{,}5 \cdot v_A + 1{,}5 \cdot v_B = 45\). 4. Einsetzen von \(v_B\) in die Streckengleichung: \(1{,}5 v_A + 1{,}5 \cdot (v_A + 6) = 45\). 5. Gleichung lösen: \(1{,}5 v_A + 1{,}5 v_A + 9 = 45 \Rightarrow 3 v_A = 36\). 6. Ergebnisse: \(v_A = 12\) und \(v_B = 12 + 6 = 18\). Anna fährt mit \(12\,\text{km/h}\) und Ben mit \(18\,\text{km/h}\).

Anna fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von \(12\,\text{km/h}\), Ben mit \(18\,\text{km/h}\).

- Wie groß ist die Summe der beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck? - Kannst du ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten aufstellen? - Welches Verfahren (Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren) eignet sich hier am besten?

1. Aufstellen des Gleichungssystems: Da das Dreieck rechtwinklig ist, beträgt die Summe der beiden spitzen Winkel \(\alpha + \beta = 90^\circ\). Die zweite Bedingung lautet \(\alpha = 3\beta + 12^\circ\). 2. Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste: \((3\beta + 12^\circ) + \beta = 90^\circ\). 3. Zusammenfassen und Lösen nach \(\beta\): \(4\beta + 12^\circ = 90^\circ\), also \(4\beta = 78^\circ\). Dies ergibt \(\beta = 19{,}5^\circ\). 4. Berechnen von \(\alpha\): \(\alpha = 90^\circ - 19{,}5^\circ = 70{,}5^\circ\) (oder über die zweite Gleichung: \(3 \cdot 19{,}5^\circ + 12^\circ = 58{,}5^\circ + 12^\circ = 70{,}5^\circ\)).

\(\alpha = 70{,}5^\circ\), \(\beta = 19{,}5^\circ\)

- Welche geometrischen Eigenschaften hat ein Quadrat im Vergleich zu einem Rechteck? - Wie berechnet man den Flächeninhalt beider Figuren? - Kannst du eine Beziehung zwischen der ursprünglichen Länge und Breite herstellen, indem du die Information über die Entstehung des Quadrats nutzt? - Versuche, eine der Seitenlängen durch die andere auszudrücken, um die Flächengleichung zu vereinfachen.

1. Variablen festlegen: \(L\) für die Länge und \(B\) für die Breite des Rechtecks in \(\text{cm}\). 2. Bedingung für das Quadrat aufstellen: Da bei einem Quadrat alle Seiten gleich lang sind, gilt \(L - 3 = B + 2\). Daraus folgt \(L = B + 5\). 3. Bedingung für den Flächeninhalt aufstellen: Der Flächeninhalt des Rechtecks (\(L \cdot B\)) ist gleich dem des Quadrats (\((L-3) \cdot (B+2)\)), also \(L \cdot B = (L - 3) \cdot (B + 2)\). 4. Substitution von \(L = B + 5\) in die Flächengleichung: \((B + 5) \cdot B = (B + 5 - 3) \cdot (B + 2)\). 5. Vereinfachen: \(B^2 + 5B = (B + 2) \cdot (B + 2) = B^2 + 4B + 4\). 6. Lösen der Gleichung: \(B^2 + 5B = B^2 + 4B + 4 \Rightarrow 5B = 4B + 4 \Rightarrow B = 4\). 7. Berechnung der Länge: \(L = 4 + 5 = 9\). 8. Ergebnis: Die ursprüngliche Länge beträgt \(9\,\text{cm}\) und die Breite \(4\,\text{cm}\).

Das ursprüngliche Rechteck ist \(9\,\text{cm}\) lang und \(4\,\text{cm}\) breit.

- Stelle zuerst je eine Gleichung für die Anzahl der Fahrzeuge und für die Anzahl der Räder auf. - Behandle \(n\) und \(r\) beim Umformen wie feste Zahlen. - Welche Variable lässt sich besonders leicht isolieren? - Prüfe anschließend, wann beide Formeln ganze, nichtnegative Werte liefern: Welche kleinste und größte Radzahl ist bei \(n\) Fahrzeugen möglich?

1. Gleichungssystem aufstellen: I: \(m + a = n\) II: \(2m + 4a = r\) 2. Die erste Gleichung nach \(m\) umstellen: \(m = n - a\). 3. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(2(n-a) + 4a = r\). 4. Nach \(a\) auflösen: \(2n - 2a + 4a = r \implies 2a = r - 2n \implies a = \frac{r-2n}{2} = \frac{r}{2}-n\). 5. \(a\) in \(m=n-a\) einsetzen: \(m = n-\left(\frac{r}{2}-n\right)=2n-\frac{r}{2}=\frac{4n-r}{2}\). 6. Für Fahrzeugzahlen müssen \(n,r\in\mathbb{N}_0\) gelten. Aus \(a\ge 0\) folgt \(r\ge 2n\), aus \(m\ge 0\) folgt \(r\le 4n\). Damit beide Formeln ganze Zahlen liefern, muss \(r\) gerade sein.

Die Anzahl der Autos ist \(a = \frac{r-2n}{2}\), die Anzahl der Motorräder ist \(m = \frac{4n-r}{2}\). Sinnvolle Fahrzeugzahlen erhält man für \(n,r\in\mathbb{N}_0\), \(2n\le r\le 4n\) und gerades \(r\).

- Achte darauf, dass eine Person Geld verliert (Minus) und die andere Person Geld dazu bekommt (Plus). - Wie viel Geld hat Paul nach den 12 Wochen insgesamt ausgegeben? - Wie viel Geld hat Marie nach den 12 Wochen insgesamt dazugewonnen? - Kannst du eine Gleichung schreiben, die besagt, dass ihre Endbeträge gleich sind?

1. Festlegen der Variablen \(p\) für Pauls Anfangsbetrag und \(m\) für Maries Anfangsbetrag. 2. Summengleichung aufstellen: \(p + m = 150\). 3. Terme für die Beträge nach \(12\,\text{Wochen}\) aufstellen: Paul hat \(p - 4 \cdot 12 = p - 48\), Marie hat \(m + 2 \cdot 12 = m + 24\). 4. Gleichsetzen der Terme: \(p - 48 = m + 24\). 5. Umformen der Gleichung zu \(p - m = 72\). 6. Addition der beiden Gleichungen \((p + m) + (p - m) = 150 + 72 \implies 2p = 222\). 7. Ergebnis für Paul: \(p = 111\). 8. Ergebnis für Marie durch Einsetzen: \(111 + m = 150 \implies m = 39\).

Paul hatte am Anfang \(111{,}00\,\text{€}\) und Marie hatte \(39{,}00\,\text{€}\).

- Stelle zuerst ein System aus zwei Gleichungen auf, wobei eine die alte und eine die neue Situation beschreibt. - Achte darauf, wie du eine Zeitverringerung mathematisch ausdrückst, zum Beispiel mit dem Faktor \(0{,}8\) bei einer Verringerung um \(20\,\%\). - Überlege dir für den zweiten Teil, für welches Modell insgesamt mehr Zeit verbraucht wurde. Welchen Einfluss hat das auf den gewichteten Gesamtdurchschnitt?

1. Variablen festlegen: \(x\) für die ursprüngliche Zeit pro Standard-Regal, \(y\) für die ursprüngliche Zeit pro Luxus-Regal (in Stunden). 2. Erste Gleichung: \(50x + 40y = 130\). Vereinfacht: \(5x + 4y = 13\). 3. Zweite Gleichung mit Zeitreduktion (\(0{,}8x\) und \(0{,}9y\)): \(50 \cdot (0{,}8x) + 40 \cdot (0{,}9y) = 111 \Rightarrow 40x + 36y = 111\). 4. Lösen des Systems: Aus der ersten Gleichung folgt \(40x = 8 \cdot (13 - 4y) = 104 - 32y\). Einsetzen in die zweite: \(104 - 32y + 36y = 111 \Rightarrow 4y = 7 \Rightarrow y = 1{,}75\). 5. Berechnung von \(x\): \(5x + 4(1{,}75) = 13 \Rightarrow 5x + 7 = 13 \Rightarrow 5x = 6 \Rightarrow x = 1{,}2\). 6. Ergebnis Teil a: Das Standard-Regal benötigte \(1{,}2\,\text{Stunden}\) (\(72\,\text{Minuten}\)), das Luxus-Regal \(1{,}75\,\text{Stunden}\) (\(105\,\text{Minuten}\)). 7. Erklärung Teil b): Die Gesamtersparnis ist ein gewichteter Durchschnitt. Da für die Luxus-Regale insgesamt mehr Zeit aufgewendet wurde (\(40 \cdot 1{,}75 = 70\,\text{h}\)) als für die Standard-Regale (\(50 \cdot 1{,}2 = 60\,\text{h}\)), fällt die geringere Ersparnis (\(10\,\%\)) stärker ins Gewicht. Deshalb liegt der Gesamtwert näher bei \(10\,\%\) als bei \(20\,\%\).

a) Ursprünglich benötigte ein Standard-Regal \(1{,}2\,\text{Stunden}\) und ein Luxus-Regal \(1{,}75\,\text{Stunden}\). b) Die Gesamtersparnis liegt näher bei \(10\,\%\), weil für die Luxus-Regale (mit der geringeren Ersparnis) insgesamt mehr Arbeitszeit aufgewendet wurde als für die Standard-Regale.

- Welche Formel verbindet Weg, Zeit und Geschwindigkeit? - Wie verändert sich die Geschwindigkeit des Bootes, wenn es mit oder gegen die Strömung fährt? - Kannst du die Gesamtfahrzeit als Summe zweier einzelner Zeitabschnitte darstellen? - Es könnte hilfreich sein, zuerst die Geschwindigkeiten relativ zum Ufer als unbekannte Größen zu behandeln. - Erinnerst du dich an ein Verfahren, um Gleichungen mit Variablen im Nenner einfacher zu lösen?

1. Definition der Variablen: \(v_b\) als Eigengeschwindigkeit des Bootes und \(v_s\) als Strömungsgeschwindigkeit des Wassers. 2. Bestimmung der Geschwindigkeiten relativ zum Ufer: mit der Strömung \(x = v_b + v_s\), gegen die Strömung \(y = v_b - v_s\). 3. Aufstellen des Gleichungssystems basierend auf \(t = \frac{s}{v}\): \(\frac{60}{x} + \frac{36}{y} = 6\) und \(\frac{40}{x} + \frac{60}{y} = 7\). 4. Substitution zur Vereinfachung (\(u = \frac{1}{x}\), \(w = \frac{1}{y}\)): \(60u + 36w = 6\) und \(40u + 60w = 7\). 5. Lösen des linearen Systems: Aus der ersten Gleichung folgt \(10u + 6w = 1 \Rightarrow w = \frac{1 - 10u}{6}\). Einsetzen in die zweite Gleichung: \(40u + 60 \cdot \frac{1 - 10u}{6} = 7 \Rightarrow 40u + 10 - 100u = 7 \Rightarrow -60u = -3 \Rightarrow u = \frac{1}{20}\). Daraus folgt \(w = \frac{1 - 0{,}5}{6} = \frac{1}{12}\). 6. Rücksubstitution: \(x = 20\,\text{km/h}\) und \(y = 12\,\text{km/h}\). 7. Berechnung der gesuchten Werte: \(v_b = \frac{20 + 12}{2} = 16\,\text{km/h}\) und \(v_s = 20 - 16 = 4\,\text{km/h}\).

Die Eigengeschwindigkeit des Dampfers beträgt \(16\,\text{km/h}\) und die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses beträgt \(4\,\text{km/h}\).

- Was genau wird am Ende der Aufgabe gefragt? Achte darauf, ob nach dem Anfangsbestand oder dem Endbestand gesucht wird. - Stelle zuerst das Gleichungssystem für die Situation vor dem Verkauf auf. - Wie hängen die verkauften Mengen mit dem Erlös zusammen? - Wenn du die ursprüngliche Anzahl kennst, wie berechnest du dann, wie viele Geräte übrig geblieben sind?

1. Variablen festlegen: \(x\) sei die Anzahl der Tablets, \(y\) die Anzahl der Laptops zu Beginn. 2. Gleichungssystem aufstellen: I: \(300x + 800y = 110\,000\) II: \(0{,}4 \cdot 300x + 0{,}6 \cdot 800y = 60\,000\) 3. Vereinfachung von II: \(120x + 480y = 60\,000\), dividiert durch 120 ergibt \(x + 4y = 500\). 4. Auflösen von II nach \(x\): \(x = 500 - 4y\). 5. Einsetzen in I: \(300(500 - 4y) + 800y = 110\,000 \Rightarrow 150\,000 - 1200y + 800y = 110\,000\). 6. Lösen nach \(y\): \(-400y = -40\,000 \Rightarrow y = 100\). 7. Berechnung von \(x\): \(x = 500 - 4 \cdot 100 = 100\). 8. Berechnung des Restbestands: Da \(40\,\%\) der Tablets verkauft wurden, verbleiben \(60\,\%\) von \(100\), also \(60\) Tablets. Da \(60\,\%\) der Laptops verkauft wurden, verbleiben \(40\,\%\) von \(100\), also \(40\) Laptops.

Nach der Aktion befinden sich noch \(60\) Tablets und \(40\) Laptops im Lager.

- Wähle eines der Fahrzeuge als Bezugspunkt für deine Unbekannten. - Achte genau darauf, auf welches Fahrzeug sich die Angaben „schneller“ oder „weniger Zeit“ beziehen. - Stelle für den Lkw und den Rennwagen jeweils eine Gleichung im Vergleich zum Traktor auf. - In allen Fällen ist das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit identisch. - Vereinfache die Gleichungen so, dass du ein lineares System mit zwei Variablen erhältst.

1. Definition der Variablen für den Traktor: Geschwindigkeit \(v_T\) in \(\text{km/h}\) und Zeit \(t_T\) in \(\text{h}\). 2. Ausdruck der Werte für die anderen Fahrzeuge: Lkw: \(v_L = v_T + 20\); \(t_L = t_T - 3\) Rennwagen: \(v_R = v_L + 30 = v_T + 50\); \(t_R = t_L - 2 = t_T - 5\) 3. Aufstellen des Gleichungssystems über die konstante Strecke \(s = v \cdot t\): I: \(v_T \cdot t_T = (v_T + 20) \cdot (t_T - 3) \Rightarrow 20t_T - 3v_T = 60\) II: \(v_T \cdot t_T = (v_T + 50) \cdot (t_T - 5) \Rightarrow 50t_T - 5v_T = 250 \Rightarrow 10t_T - v_T = 50\) 4. Lösen des Systems: Aus II folgt \(v_T = 10t_T - 50\). Einsetzen in I ergibt \(20t_T - 3(10t_T - 50) = 60\), woraus \(-10t_T = -90\) und somit \(t_T = 9\,\text{h}\) folgt. 5. Berechnung der Geschwindigkeiten: \(v_T = 10 \cdot 9 - 50 = 40\,\text{km/h}\). Daraus folgt \(v_L = 60\,\text{km/h}\) und \(v_R = 90\,\text{km/h}\). 6. Berechnung der Streckenlänge: \(s = 40\,\text{km/h} \cdot 9\,\text{h} = 360\,\text{km}\).

Der Traktor fährt \(40\,\text{km/h}\), der Lkw \(60\,\text{km/h}\) und der Rennwagen \(90\,\text{km/h}\). Die Teststrecke ist \(360\,\text{km}\) lang.

- Was bleibt bei allen Szenarien gleich? Überlege, wie du die gesamte Arbeitsleistung beschreiben kannst. - Stelle zwei Gleichungen auf, die den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Maschinen und der benötigten Zeit beschreiben. - Wie kannst du die Gleichungen so umformen, dass die Produkte der Unbekannten wegfallen? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um das lineare Gleichungssystem am Ende zu lösen?

1. Variablen festlegen: \(m\) für die Anzahl der Mähdrescher und \(d\) für die Anzahl der Tage. Die Gesamtarbeitsleistung ist \(m \cdot d\). 2. Gleichungssystem aufstellen: \((m + 2)(d - 2) = md\) und \((m - 3)(d + 6) = md\). 3. Erste Gleichung vereinfachen: \(md - 2m + 2d - 4 = md \Rightarrow -2m + 2d = 4 \Rightarrow -m + d = 2\). 4. Zweite Gleichung vereinfachen: \(md + 6m - 3d - 18 = md \Rightarrow 6m - 3d = 18 \Rightarrow 2m - d = 6\). 5. Lösen des Systems durch Addition der vereinfachten Gleichungen: \((-m + d) + (2m - d) = 2 + 6 \Rightarrow m = 8\). 6. Berechnung von \(d\): \(-8 + d = 2 \Rightarrow d = 10\). Ergebnis: Geplant waren 8 Mähdrescher für eine Dauer von 10 Tagen.

Ursprünglich waren 8 Mähdrescher und eine Dauer von 10 Tagen geplant.

- Überlege dir, wie man die Strecke \(s\) auf verschiedene Arten ausdrücken kann. - Vergiss nicht, die Zeitangaben in Minuten in Stunden umzurechnen, damit die Einheiten zur Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\) passen. - Wenn du die Klammern in deinen Gleichungen auflöst, fällt das Produkt der Unbekannten oft weg. - Welches Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen bietet sich hier an?

1. Variablen festlegen: \(v\) als übliche Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\) und \(t\) als übliche Zeit in \(\text{h}\). Die Strecke ist \(s = v \cdot t\). 2. Umrechnung der Zeitdifferenzen in Stunden: \(4\,\text{min} = \frac{1}{15}\,\text{h}\) und \(6\,\text{min} = \frac{1}{10}\,\text{h}\). 3. Aufstellen des Gleichungssystems: - Szenario 1: \(vt = (v + 10) \cdot (t - \frac{1}{15})\) - Szenario 2: \(vt = (v - 10) \cdot (t + \frac{1}{10})\) 4. Vereinfachen der ersten Gleichung: \(vt = vt - \frac{1}{15}v + 10t - \frac{2}{3} \implies 10t - \frac{1}{15}v = \frac{2}{3} \implies 150t - v = 10\). 5. Vereinfachen der zweiten Gleichung: \(vt = vt + \frac{1}{10}v - 10t - 1 \implies \frac{1}{10}v - 10t = 1 \implies v - 100t = 10\). 6. Lösen des Systems durch Addition der beiden umgeformten Gleichungen: \((150t - v) + (v - 100t) = 10 + 10 \implies 50t = 20 \implies t = 0{,}4\,\text{h}\). 7. Geschwindigkeit berechnen: \(v = 100 \cdot 0{,}4 + 10 = 50\,\text{km/h}\). 8. Strecke berechnen: \(s = 50\,\text{km/h} \cdot 0{,}4\,\text{h} = 20\,\text{km}\).

Die übliche Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(50\,\text{km/h}\) und die Strecke ist \(20\,\text{km}\) lang.

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Stelle für jede der beiden Änderungen eine Gleichung auf, die den neuen Flächeninhalt mit dem alten vergleicht. - Kürzen sich Terme weg, wenn du die Klammern auflöst? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um das entstandene Gleichungssystem zu lösen?

1. Definition der Variablen: \(l\) für die ursprüngliche Länge und \(w\) für die ursprüngliche Breite in Metern. Der Flächeninhalt ist \(A = l \cdot w\). 2. Aufstellen der ersten Gleichung: \((l + 2) \cdot (w - 1) = l \cdot w\). Ausmultiplizieren ergibt \(lw - l + 2w - 2 = lw\), was zu \(-l + 2w = 2\) vereinfacht wird. 3. Aufstellen der zweiten Gleichung: \((l - 3) \cdot (w + 3) = l \cdot w + 6\). Ausmultiplizieren ergibt \(lw + 3l - 3w - 9 = lw + 6\), was zu \(3l - 3w = 15\) bzw. \(l - w = 5\) vereinfacht wird. 4. Lösen des Systems: Aus der zweiten Gleichung folgt \(l = w + 5\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(-(w + 5) + 2w = 2 \implies -w - 5 + 2w = 2 \implies w = 7\). 5. Berechnung der Länge: \(l = 7 + 5 = 12\).

Das Beet ist ursprünglich \(12\,\text{m}\) lang und \(7\,\text{m}\) breit.

- Überlege dir, was der Begriff „Personenstunden“ (Anzahl Personen mal Stunden pro Person) bedeutet. - Welche zwei Größen sind unbekannt? - Stelle ein Gleichungssystem auf, indem du den Gesamtaufwand auf zwei verschiedene Arten ausdrückst. - Achte beim Rechnen auf den Umgang mit Dezimalzahlen. - Wie kannst du überprüfen, ob deine Lösung für beide Szenarien den gleichen Gesamtaufwand ergibt?

1. Variablen festlegen: \(n\) für die Anzahl der Reinigungskräfte, \(t\) für die Arbeitszeit pro Person in Stunden. Der Gesamtaufwand ist \(A = n \cdot t\). 2. Gleichungen aufstellen: I: \(n \cdot t = (n + 4) \cdot (t - 1)\) II: \(n \cdot t = (n - 3) \cdot (t + 1{,}5)\) 3. Gleichungen vereinfachen: I: \(nt = nt - n + 4t - 4 \implies -n + 4t = 4\) II: \(nt = nt + 1{,}5n - 3t - 4{,}5 \implies 1{,}5n - 3t = 4{,}5\) 4. Gleichungssystem lösen: Aus I folgt \(n = 4t - 4\). Einsetzen in II: \(1{,}5 \cdot (4t - 4) - 3t = 4{,}5\) \(6t - 6 - 3t = 4{,}5 \implies 3t = 10{,}5 \implies t = 3{,}5\). 5. \(n\) berechnen: \(n = 4 \cdot 3{,}5 - 4 = 14 - 4 = 10\). 6. Gesamtaufwand berechnen: \(A = 10 \cdot 3{,}5 = 35\). Ergebnis: Es waren 10 Reinigungskräfte geplant; die Arbeitszeit betrug \(3{,}5\) Stunden pro Person; der Gesamtaufwand beträgt 35 Personenstunden.

Ursprünglich waren 10 Reinigungskräfte geplant, die jeweils \(3{,}5\) Stunden arbeiten sollten. Der gesamte Arbeitsaufwand beträgt 35 Personenstunden.

- Stelle zuerst ein Gleichungssystem für die Arbeitsraten auf. - Was bedeuten „die Hälfte“ und „ein Drittel“ für deine Gleichungen? - Für Teil b) benötigst du die gemeinsame Zeit für \(100\,\%\) der Fläche. - Vergleiche diese Dauer mit der Dauer des schnelleren Betriebs.

1. Definition der Raten \(x\) (Betrieb 1) und \(y\) (Betrieb 2) in Fassadenfläche pro Stunde. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(2 \cdot (x + y) = \frac{1}{3}\) und \(4x + y = \frac{1}{2}\). 3. Umstellen der zweiten Gleichung nach \(y\): \(y = \frac{1}{2} - 4x\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung: \(2 \cdot (x + \frac{1}{2} - 4x) = \frac{1}{3} \implies 2 \cdot (\frac{1}{2} - 3x) = \frac{1}{3} \implies 1 - 6x = \frac{1}{3}\). 5. Lösung für die Raten: \(6x = \frac{2}{3} \implies x = \frac{1}{9}\) und \(y = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{9}{18} - \frac{8}{18} = \frac{1}{18}\). 6. Berechnung der Einzelzeiten: Betrieb 1 benötigt \(9\,\text{Stunden}\), Betrieb 2 benötigt \(18\,\text{Stunden}\). 7. Berechnung der gemeinsamen Zeit für die ganze Fassade: \(1 : (x + y) = 1 : (\frac{1}{9} + \frac{1}{18}) = 1 : \frac{3}{18} = 6\,\text{Stunden}\). 8. Berechnung der Zeitersparnis gegenüber dem schnelleren Betrieb (\(9\,\text{h}\)): \(9\,\text{h} - 6\,\text{h} = 3\,\text{h}\).

a) Der erste Betrieb benötigt allein \(9\,\text{Stunden}\), der zweite Betrieb \(18\,\text{Stunden}\). b) Man spart \(3\,\text{Stunden}\) Zeit ein.

- Beginne damit, die Druckraten pro Minute als Unbekannte festzulegen. - Nutze die Information über die \(50\,\text{Minuten}\), um eine einfache Beziehung zwischen den beiden Raten zu finden. - Was ändert sich an der Gesamtrate, wenn du mehrere Geräte desselben Typs benutzt? - Achte beim Umrechnen der Zeit am Ende darauf, dass ein Bruchteil einer Minute in Sekunden angegeben werden kann.

1. Variablen festlegen: \(a\) sei die Geschwindigkeit von Modell Alpha und \(b\) die von Modell Beta in Seiten pro Minute. 2. Gleichungssystem aufstellen: Aus der gemeinsamen Arbeit folgt \(50 \cdot (a + b) = 5\,000\), was zu \(a + b = 100\) vereinfacht wird. Aus dem Testlauf folgt \(20a + 30b = 2\,600\). 3. System lösen: Multiplikation der ersten Gleichung mit 20 ergibt \(20a + 20b = 2\,000\). Subtraktion von der zweiten Gleichung liefert \(10b = 600\), also \(b = 60\). Daraus folgt \(a = 40\). 4. Ergebnisse für Teil a: Modell Alpha druckt \(40\) Seiten pro Minute, Modell Beta druckt \(60\) Seiten pro Minute. 5. Teil b berechnen: Die Gesamtrate von drei Alpha-Druckern beträgt \(3 \cdot 40 = 120\) Seiten pro Minute. Die Zeit für den Auftrag ist \(5\,000 : 120 = \frac{500}{12} = \frac{125}{3}\,\text{Minuten}\). Dies entspricht \(41\,\text{Minuten}\) und \(40\,\text{Sekunden}\).

a) Modell Alpha druckt \(40\,\text{Seiten}\) pro Minute, Modell Beta druckt \(60\,\text{Seiten}\) pro Minute. b) Drei Drucker vom Typ Alpha würden zusammen \(41\,\text{Minuten}\) und \(40\,\text{Sekunden}\) benötigen.

- Was bedeutet ein Verhältnis von \(4 : 1\) für den prozentualen Anteil des ersten Stoffes? - Überlege dir zuerst, wie viel Kupfer insgesamt in den \(50\,\text{kg}\) der Ziel-Legierung enthalten sein muss. - Kannst du zwei Gleichungen aufstellen – eine für die Gesamtmasse und eine nur für das Kupfer? - Achte darauf, dass die Summe der Anteile der Einzelkomponenten die Gesamtmenge des Kupfers ergeben muss.

1. Bestimmung der Kupferanteile: In Legierung A ist der Anteil \(\frac{4}{4+1} = 0{,}8\) (\(80\,\%\)). In Legierung B ist der Anteil \(\frac{1}{1+3} = 0{,}25\) (\(25\,\%\)). 2. Definition der Variablen: \(x\) sei die Masse von Legierung A in \(\text{kg}\), \(y\) die Masse von Legierung B in \(\text{kg}\). 3. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(x + y = 50\) (Gesamtmasse) II: \(0{,}8x + 0{,}25y = 0{,}47 \cdot 50\) (Kupferanteil) 4. Vereinfachung der zweiten Gleichung: \(0{,}8x + 0{,}25y = 23{,}5\). 5. Lösen durch Einsetzungsverfahren: Aus I folgt \(y = 50 - x\). Einsetzen in II: \(0{,}8x + 0{,}25(50 - x) = 23{,}5\). 6. Berechnung: \(0{,}8x + 12{,}5 - 0{,}25x = 23{,}5 \implies 0{,}55x = 11\). 7. Ergebnis für \(x\): \(x = 11 : 0{,}55 = 20\). 8. Ergebnis für \(y\): \(y = 50 - 20 = 30\). Es werden \(20\,\text{kg}\) von Legierung A und \(30\,\text{kg}\) von Legierung B benötigt.

Man benötigt \(20\,\text{kg}\) der Legierung A und \(30\,\text{kg}\) der Legierung B.

- Wie viel Salz muss am Ende insgesamt in den \(10\,\text{kg}\) Lösung enthalten sein? - Berücksichtige, dass bereits \(1\,\text{kg}\) Wasser im Gefäß ist. Wie viel Masse müssen die Lösungen A und B zusammen also noch liefern? - Enthält das reine Wasser Salz? Wie wirkt sich das auf deine Salz-Gleichung aus? - Stelle ein System aus zwei Gleichungen auf: eine für die Massen und eine für die Salzmengen.

1. Variablen festlegen: \(x\) für die Masse von Lösung A (in \(\text{kg}\)) und \(y\) für die Masse von Lösung B (in \(\text{kg}\)). 2. Bilanzgleichung für die Gesamtmasse aufstellen: \(x + y + 1 = 10\), woraus folgt \(x + y = 9\). 3. Bilanzgleichung für die Salzmasse aufstellen: Der Zielgehalt an Salz ist \(0{,}12 \cdot 10\,\text{kg} = 1{,}2\,\text{kg}\). Da reines Wasser \(0\,\%\) Salz enthält, gilt: \(0{,}05x + 0{,}20y + 0 = 1{,}2\). 4. Das System lösen: Aus der ersten Gleichung folgt \(x = 9 - y\). Einsetzen in die zweite Gleichung: \(0{,}05(9 - y) + 0{,}2y = 1{,}2\). 5. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(0{,}45 - 0{,}05y + 0{,}2y = 1{,}2 \implies 0{,}45 + 0{,}15y = 1{,}2\). 6. Nach \(y\) auflösen: \(0{,}15y = 0{,}75 \implies y = 5\). 7. \(x\) berechnen: \(x = 9 - 5 = 4\). Es müssen \(4\,\text{kg}\) von Lösung A und \(5\,\text{kg}\) von Lösung B hinzugefügt werden.

Es müssen \(4\,\text{kg}\) der Lösung A und \(5\,\text{kg}\) der Lösung B hinzugefügt werden.

- Wie viel Liter reiner Wirkstoff befinden sich insgesamt in den \(5\,\text{l}\) der fertigen Mischung? - Stelle eine Gleichung auf, die die Summe der Wirkstoffmengen der einzelnen Flüssigkeiten mit der Gesamtmenge in der Mischung vergleicht. - Denk daran, Prozentangaben für die Rechnung in Dezimalzahlen umzuwandeln. - Welche Unbekannten repräsentieren die gesuchten Konzentrationen?

1. Variablen festlegen: \(a\) ist die Konzentration der ersten Flüssigkeit, \(b\) die der zweiten (als Dezimalzahl). 2. Gesamtmenge der Mischungen bestimmen: In beiden Fällen werden \(2\,\text{l} + 3\,\text{l} = 5\,\text{l}\) Flüssigkeit gemischt. 3. Aufstellen der Gleichungen für die reine Wirkstoffmenge: I: \(2a + 3b = 5 \cdot 0{,}40 = 2\) II: \(3a + 2b = 5 \cdot 0{,}50 = 2{,}5\) 4. Lösen des Systems (z. B. Additionsverfahren): \(I \cdot 3: 6a + 9b = 6\) \(II \cdot 2: 6a + 4b = 5\) Subtraktion der Gleichungen: \(5b = 1 \implies b = 0{,}2\) (entspricht \(20\,\%\)). 5. Wert für \(b\) einsetzen in I: \(2a + 3 \cdot 0{,}2 = 2 \implies 2a + 0{,}6 = 2 \implies 2a = 1{,}4 \implies a = 0{,}7\) (entspricht \(70\,\%\)). 6. Ergebnis: Die Konzentrationen sind \(70\,\%\) und \(20\,\%\).

Die erste Flüssigkeit hat eine Wirkstoffkonzentration von \(70\,\%\), die zweite eine von \(20\,\%\).

- Stelle ein Gleichungssystem auf, wobei eine Gleichung das Mischverhältnis der ersten Mischung beschreibt. - Wie berechnet man die Menge des gelösten Salzes in einer Mischung? - Überlege für Teil b, ob die hinzugefügte Lösung „stärker“ oder „schwächer“ konzentriert ist als das Zielgemisch.

1. Teil a: Definition der Variablen: \(x\) (Volumen der \(5\,\%\)-igen Lösung) und \(y\) (Volumen der \(20\,\%\)-igen Lösung). 2. Erste Mischungsgleichung: \(0{,}05x + 0{,}2y = 0{,}1(x+y) \implies 0{,}1y = 0{,}05x \implies x = 2y\). 3. Gleichung nach Zugabe von \(3\,\text{l}\) der \(20\,\%\)-igen Lösung: \(\frac{0{,}1(x+y) + 0{,}2 \cdot 3}{x+y+3} = 0{,}15\). 4. Substitution von \(x = 2y\): \(\frac{0{,}1(3y) + 0{,}6}{3y + 3} = 0{,}15 \implies 0{,}3y + 0{,}6 = 0{,}15(3y+3) \implies 0{,}3y + 0{,}6 = 0{,}45y + 0{,}45\). 5. Lösen nach \(y\): \(0{,}15 = 0{,}15y \implies y = 1\). Daraus folgt \(x = 2\). 6. Teil b: Die hinzugefügte Lösung hat eine Konzentration von \(5\,\%\), was niedriger ist als die Konzentration der ersten Mischung (\(10\,\%\)). Daher wird die Gesamtmischung „verdünnt“ und der Salzgehalt sinkt unter \(10\,\%\).

a) Es wurden \(2\,\text{l}\) der \(5\,\%\)-igen Lösung und \(1\,\text{l}\) der \(20\,\%\)-igen Lösung verwendet. b) Der Salzgehalt würde sinken, da die hinzugefügte Lösung eine geringere Konzentration (\(5\,\%\)) besitzt als die vorhandene Mischung (\(10\,\%\)).

- Was passiert mit der Gesamtmasse der Mischung im zweiten Fall, wenn von einer Sorte etwas abgezogen und der anderen Sorte genau dieselbe Menge hinzugefügt wird? - Kannst du ein Verhältnis zwischen den beiden Massen aus der ersten Mischung bestimmen? - Stelle für beide Szenarien eine Bilanz für das reine Silber auf.

1. Definition der Variablen: \(m_1\) für die Masse der \(60\,\%\)-Legierung und \(m_2\) für die Masse der \(90\,\%\)-Legierung in Gramm. 2. Erste Bedingung als Gleichung: \(0{,}6m_1 + 0{,}9m_2 = 0{,}7(m_1 + m_2)\). Vereinfachung: \(0{,}2m_2 = 0{,}1m_1 \implies m_1 = 2m_2\). 3. Zweite Bedingung als Gleichung: \(0{,}6(m_1 - 100) + 0{,}9(m_2 + 100) = 0{,}8(m_1 - 100 + m_2 + 100)\). Die Gesamtmasse bleibt hierbei gleich: \(m_1 + m_2\). 4. Einsetzen von \(m_1 = 2m_2\) in die zweite Gleichung: \(0{,}6(2m_2 - 100) + 0{,}9(m_2 + 100) = 0{,}8(3m_2)\). 5. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(1{,}2m_2 - 60 + 0{,}9m_2 + 90 = 2{,}4m_2\). Dies führt zu \(2{,}1m_2 + 30 = 2{,}4m_2\). 6. Auflösen nach \(m_2\): \(30 = 0{,}3m_2 \implies m_2 = 100\). 7. Berechnung von \(m_1\): \(m_1 = 2 \cdot 100 = 200\). Die ursprünglich geplanten Massen betragen \(200\,\text{g}\) für die erste und \(100\,\text{g}\) für die zweite Legierung.

Ursprünglich waren \(200\,\text{g}\) der ersten Legierung (\(60\,\%\)) und \(100\,\text{g}\) der zweiten Legierung (\(90\,\%\)) geplant.

- Stelle für jede der beiden Bedingungen eine Gleichung mit zwei Variablen auf. - Achte darauf, wie die Klammern gesetzt werden müssen, wenn sich die Längenänderung auf die gesamte Stange bezieht. - Überlege, wie du den Bruch in der zweiten Gleichung am geschicktesten eliminieren kannst. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die berechneten Längen in die ursprünglichen Bedingungen einsetzt.

1. Variablen festlegen: \(a\) für die Länge von Stange \(A\) und \(b\) für die Länge von Stange \(B\) in \(\text{cm}\). 2. Bedingung 1 als Gleichung: \(a + 50 = 2 \cdot (b + 10)\). 3. Bedingung 2 als Gleichung: \(b + 50 = \frac{3}{4} \cdot (a + 10)\). 4. Erste Gleichung nach \(a\) umformen: \(a = 2b + 20 - 50 = 2b - 30\). 5. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(b + 50 = \frac{3}{4} \cdot (2b - 30 + 10) = \frac{3}{4} \cdot (2b - 20)\). 6. Mit \(4\) multiplizieren, um den Bruch zu eliminieren: \(4b + 200 = 3 \cdot (2b - 20) \Rightarrow 4b + 200 = 6b - 60\). 7. Nach \(b\) auflösen: \(260 = 2b \Rightarrow b = 130\). 8. \(a\) berechnen: \(a = 2 \cdot 130 - 30 = 230\).

Stange \(A\) ist \(230\,\text{cm}\) lang und Stange \(B\) ist \(130\,\text{cm}\) lang.

- Wie setzen sich die Geschwindigkeiten zusammen, wenn man mit oder gegen die Strömung fährt? - Berechne zuerst, wie schnell das Schiff in beiden Richtungen relativ zum Ufer ist. - Kannst du zwei Unbekannte festlegen, zum Beispiel für das Schiff und für das Wasser? - Was wissen wir über die Geschwindigkeit eines Objekts, das keinen eigenen Antrieb hat?

1. Berechnung der Geschwindigkeiten über Grund: Flussaufwärts beträgt die Geschwindigkeit \(v_{\text{auf}} = 24\,\text{km} : 2\,\text{h} = 12\,\text{km/h}\). Flussabwärts beträgt sie \(v_{\text{ab}} = 24\,\text{km} : 1{,}5\,\text{h} = 16\,\text{km/h}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: Sei \(x\) die Eigengeschwindigkeit des Schiffes und \(y\) die Fließgeschwindigkeit des Flusses. Es ergeben sich die Gleichungen \(x - y = 12\) (flussaufwärts) und \(x + y = 16\) (flussabwärts). 3. Lösen des Systems: Durch Addition der Gleichungen erhält man \(2x = 28\), woraus \(x = 14\,\text{km/h}\) folgt. Durch Einsetzen ergibt sich \(y = 2\,\text{km/h}\). 4. Berechnung der Floßzeit: Ein Floß bewegt sich nur mit der Fließgeschwindigkeit \(y = 2\,\text{km/h}\). Die benötigte Zeit für \(24\,\text{km}\) ist \(t = 24\,\text{km} : 2\,\text{km/h} = 12\,\text{h}\).

a) Die Eigengeschwindigkeit des Schiffes beträgt \(14\,\text{km/h}\) und die Fließgeschwindigkeit des Flusses beträgt \(2\,\text{km/h}\). b) Ein Floß würde \(12\) Stunden benötigen.

- Überlege dir, wie viel Zeit ein Drucker für einen Bruchteil der Arbeit braucht, wenn du seine Gesamtzeit als Unbekannte bezeichnest. - Kannst du für jede der beiden Situationen eine Gleichung aufstellen? - Wie kannst du ein System mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten am besten lösen? - Es hilft oft, die Gleichungen so umzuformen, dass die Brüche verschwinden.

1. Definition der Variablen: \(t_A\) ist die Zeit in Minuten, die Drucker A für den gesamten Auftrag benötigt; \(t_B\) ist die Zeit für Drucker B. 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems basierend auf den Szenarien: Szenario 1: \(\frac{2}{5} t_A + \frac{3}{5} t_B = 100\) Szenario 2: \(\frac{3}{5} t_A + \frac{2}{5} t_B = 80\) 3. Multiplikation beider Gleichungen mit \(5\), um die Brüche zu eliminieren: I: \(2 t_A + 3 t_B = 500\) II: \(3 t_A + 2 t_B = 400\) 4. Lösen des Systems (z. B. Additionsverfahren): Multipliziere I mit \(3\) und II mit \(2\): I': \(6 t_A + 9 t_B = 1500\) II': \(6 t_A + 4 t_B = 800\) Subtraktion II' von I': \(5 t_B = 700 \Rightarrow t_B = 140\). 5. Einsetzen von \(t_B = 140\) in Gleichung I: \(2 t_A + 3(140) = 500 \Rightarrow 2 t_A + 420 = 500 \Rightarrow 2 t_A = 80 \Rightarrow t_A = 40\). 6. Ergebnis: Drucker A benötigt \(40\) Minuten, Drucker B benötigt \(140\) Minuten.

Drucker A benötigt \(40\) Minuten, Drucker B benötigt \(140\) Minuten (bzw. \(2\) Stunden und \(20\) Minuten).

- Stelle zwei Gleichungen auf: eine für die Gesamtmasse der Mischung und eine für die Masse des darin enthaltenen reinen Salzes. - Wie hängen Prozentangaben und die absolute Menge des Stoffes zusammen? - Versuche, eine der Variablen in der zweiten Gleichung zu ersetzen, indem du die erste Gleichung nutzt. - Achte darauf, die Variablen \(a, b, k, M\) wie normale Zahlen zu behandeln, während du nach \(x\) und \(y\) auflöst.

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Masse von Lösung A in \(\text{g}\), \(y\) ist die Masse von Lösung B in \(\text{g}\). 2. Aufstellen des Systems: \(x + y = M\) (Gesamtmasse) und \(\frac{a}{100}x + \frac{b}{100}y = \frac{k}{100}M\) (Masse des reinen Salzes). 3. Vereinfachung der Salzgleichung durch Multiplikation mit 100: \(ax + by = kM\). 4. Ausdruck von \(y\) durch \(x\): \(y = M - x\). 5. Einsetzen in die Salzgleichung: \(ax + b(M - x) = kM\). 6. Auflösen nach \(x\): \(ax + bM - bx = kM \implies x(a - b) = M(k - b) \implies x = \frac{M(k - b)}{a - b}\). 7. Bestimmung von \(y\): \(y = M - \frac{M(k - b)}{a - b} = \frac{M(a - b) - M(k - b)}{a - b} = \frac{M(a - k)}{a - b}\).

Die Menge der Lösung A ist \(x = \frac{M(k - b)}{a - b}\,\text{g}\) und die Menge der Lösung B ist \(y = \frac{M(a - k)}{a - b}\,\text{g}\).

- Schau dir die Mengen und die Preise in der ersten und zweiten Bestellung genau an. Fällt dir ein bestimmtes Verhältnis auf? - Wenn eine Information nur eine Verdopplung oder Halbierung einer anderen ist, hilft sie dir dann weiter, zwei verschiedene Unbekannte zu finden? - Kombiniere für den zweiten Teil eine der ersten beiden Gleichungen mit der neuen Information aus der dritten Bestellung. - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Analyse zu Teil a): Vergleicht man die Mengen der ersten Bestellung (10 Kisten Apfelsaft, 8 Kisten Mineralwasser) mit der zweiten (5 Kisten Apfelsaft, 4 Kisten Mineralwasser), erkennt man, dass die zweite Bestellung genau die Hälfte der ersten ist (\(10:2 = 5\) und \(8:2 = 4\)). Auch der Preis der zweiten Bestellung ist genau die Hälfte der ersten (\(184{,}00\,\text{€} : 2 = 92{,}00\,\text{€}\)). Da beide Informationen mathematisch äquivalent sind (linear abhängig), liefern sie keine neuen Informationen zur Bestimmung der Einzelpreise. Es gibt unendlich viele Preispaare, die diese Bedingungen erfüllen. 2. Teil b) - Definition der Variablen: \(a\) für Preis Apfelsaft, \(w\) für Preis Mineralwasser. 3. Gleichungssystem aufstellen: I: \(10a + 8w = 184\) (bzw. gekürzt \(5a + 4w = 92\)) III: \(3a + 5w = 76\) 4. Lösungsweg (z. B. Einsetzungsverfahren aus I): \(5a = 92 - 4w \implies a = 18{,}4 - 0{,}8w\) 5. Einsetzen in III: \(3 \cdot (18{,}4 - 0{,}8w) + 5w = 76\) \(55{,}2 - 2{,}4w + 5w = 76\) \(2{,}6w = 20{,}8\) \(w = 8\) 6. Berechnung von \(a\): \(3a + 5 \cdot 8 = 76 \implies 3a + 40 = 76 \implies 3a = 36 \implies a = 12\) 7. Ergebnis: Eine Kiste Apfelsaft kostet \(12{,}00\,\text{€}\), eine Kiste Mineralwasser kostet \(8{,}00\,\text{€}\).

a) Die zweite Bestellung liefert keine neue Information, da sie lediglich die Hälfte der ersten Bestellung ist (lineare Abhängigkeit). b) Eine Kiste Apfelsaft kostet \(12{,}00\,\text{€}\) und eine Kiste Mineralwasser kostet \(8{,}00\,\text{€}\).

- Stelle dir vor, wie viel Gramm reines Kupfer in jeder Teilmenge enthalten ist. - Wie groß ist die Gesamtmasse der neuen Legierung in beiden Fällen? - Kannst du das Problem vereinfachen, indem du die Gleichungen durch \(100\) teilst? - Welches Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Definition der Variablen: \(x\) sei der Kupferanteil der ersten Legierung, \(y\) der Anteil der zweiten Legierung. 2. Aufstellen des Gleichungssystems für die Kupfermasse in Gramm: Mischung 1: \(400x + 600y = 1000 \cdot 0{,}52 = 520\) Mischung 2: \(700x + 300y = 1000 \cdot 0{,}61 = 610\) 3. Vereinfachung durch Division: (I) \(4x + 6y = 5{,}2\) (II) \(7x + 3y = 6{,}1\) 4. Lösen durch Elimination: Multiplikation von (II) mit \(2\) ergibt \(14x + 6y = 12{,}2\). 5. Subtraktion von (I) von der neuen Gleichung: \(10x = 7\), also \(x = 0{,}7\). 6. Einsetzen in (II): \(7 \cdot 0{,}7 + 3y = 6{,}1 \implies 4{,}9 + 3y = 6{,}1 \implies 3y = 1{,}2 \implies y = 0{,}4\). 7. Die erste Legierung besteht zu \(70\,\%\) aus Kupfer, die zweite zu \(40\,\%\).

Die erste Legierung hat einen Kupferanteil von \(70\,\%\), die zweite Legierung einen von \(40\,\%\).

- Welche Informationen über die Flaschenmengen und die Saftmengen kannst du nutzen? - Versuche, eine Gleichung für die gesamte Saftmenge aufzustellen. - Überlege dir für den zweiten Teil, was passiert, wenn du Saft von vielen kleinen in wenige große Gefäße umfüllst.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der \(0{,}5\,\text{Liter}\)-Flaschen und \(y\) für die Anzahl der \(0{,}75\,\text{Liter}\)-Flaschen. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(x + y = 200\) (Gesamtanzahl) und \(0{,}5x + 0{,}75y = 120\) (Gesamtvolumen). 3. Auflösen der ersten Gleichung nach \(x\): \(x = 200 - y\). 4. Einsetzen in die Volumengleichung: \(0{,}5 \cdot (200 - y) + 0{,}75y = 120\). 5. Vereinfachen und Lösen: \(100 - 0{,}5y + 0{,}75y = 120 \implies 0{,}25y = 20 \implies y = 80\). 6. Berechnung von \(x\): \(x = 200 - 80 = 120\). 7. Zu Aufgabenteil b): Da die \(0{,}75\,\text{Liter}\)-Flaschen ein größeres Einzelvolumen haben als die \(0{,}5\,\text{Liter}\)-Flaschen, wird pro Flasche mehr Saft transportiert. Erhöht man den Anteil der größeren Flaschen, sinkt die benötigte Gesamtzahl der Gefäße für die konstante Saftmenge von \(120\,\text{Litern}\).

a) Es wurden 120 Flaschen der Größe \(0{,}5\,\text{Liter}\) und 80 Flaschen der Größe \(0{,}75\,\text{Liter}\) befüllt. b) Die Gesamtzahl der Flaschen würde sinken, da die größeren Flaschen mehr Inhalt fassen und somit insgesamt weniger Gefäße für dieselbe Menge Saft benötigt werden.

- Achte darauf, alle Zeitangaben in der gleichen Einheit (Stunden) zu verwenden. - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das die Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Zeit beschreibt? - Was bleibt bei allen Szenarien gleich? - Wie kannst du eine der Unbekannten eliminieren, wenn du zwei Gleichungen hast?

1. Definition der Variablen: \(v\) für Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\), \(t\) für Zeit in \(\text{h}\). Umrechnung: \(30\,\text{Minuten} = 0{,}5\,\text{h}\). 2. Aufstellen der Gleichungen basierend auf \(s = v \cdot t\): \((v + 20) \cdot (t - 0{,}5) = v \cdot t\) und \((v + 50) \cdot (t - 1) = v \cdot t\). 3. Vereinfachung der ersten Gleichung: \(v \cdot t - 0{,}5v + 20t - 10 = v \cdot t \Rightarrow -0{,}5v + 20t = 10\). 4. Vereinfachung der zweiten Gleichung: \(v \cdot t - v + 50t - 50 = v \cdot t \Rightarrow -v + 50t = 50\). 5. Multiplikation der ersten vereinfachten Gleichung mit \(2\): \(-v + 40t = 20\). 6. Subtraktion der neuen Gleichung von der zweiten vereinfachten Gleichung: \((-v + 50t) - (-v + 40t) = 50 - 20 \Rightarrow 10t = 30 \Rightarrow t = 3\). 7. Einsetzen von \(t = 3\) in \(-v + 40t = 20\): \(-v + 120 = 20 \Rightarrow v = 100\). 8. Berechnung der Entfernung: \(s = 100\,\text{km/h} \cdot 3\,\text{h} = 300\,\text{km}\).

Die planmäßige Geschwindigkeit beträgt \(100\,\text{km/h}\), die normale Fahrzeit \(3\,\text{Stunden}\) und die Entfernung \(300\,\text{km}\).

- Stelle zuerst eine Formel für die Kosten von Anbieter A in Abhängigkeit von der Zeit auf. - Wie könnte eine allgemeine Formel für die Kosten von Anbieter B aussehen? - Nutze die Informationen über 4 und 8 Stunden, um zwei Gleichungen mit den unbekannten Werten von Anbieter B aufzustellen. - Was bedeutet es für den Preisvergleich, wenn Anbieter B einen höheren Stundenpreis, aber eine niedrigere Grundgebühr hat? - Wann genau liegt der „Schnittpunkt“, an dem ein Angebot das andere überholt?

1. Kostenfunktion für Anbieter A: \(K_A(t) = 10 \cdot t + 40\). 2. Kostenfunktion für Anbieter B: \(K_B(t) = m \cdot t + b\), wobei \(m\) der Stundenpreis und \(b\) die Grundgebühr ist. 3. Erste Bedingung (4 Stunden): \(K_B(4) = K_A(4) \implies 4m + b = 10 \cdot 4 + 40 = 80\). 4. Zweite Bedingung (8 Stunden): \(K_B(8) = K_A(8) + 20 \implies 8m + b = (10 \cdot 8 + 40) + 20 = 140\). 5. Lineares Gleichungssystem lösen: I: \(b + 4m = 80\); II: \(b + 8m = 140\). 6. Subtraktion II - I ergibt: \(4m = 60 \implies m = 15\). Der Stundenpreis von B beträgt \(15{,}00\,\text{€}\). 7. Einsetzen in I: \(b + 4 \cdot 15 = 80 \implies b + 60 = 80 \implies b = 20\). Die Grundgebühr von B beträgt \(20{,}00\,\text{€}\). 8. Vergleich der Kosten: Anbieter A ist günstiger, wenn \(10t + 40 < 15t + 20\). Dies führt zu \(20 < 5t \implies t > 4\). 9. Anbieter A ist bei einer Mietdauer von mehr als 4 Stunden günstiger.

Anbieter B hat eine Grundgebühr von \(20{,}00\,\text{€}\) und einen Stundenpreis von \(15{,}00\,\text{€}\). Anbieter A ist bei einer Mietdauer von mehr als \(4\) Stunden die günstigere Wahl.

- Stelle für jedes Szenario eine Gleichung auf, die den neuen Zustand mit dem alten Zustand vergleicht. - Achte beim Ausmultiplizieren der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Nach dem Vereinfachen erhältst du ein klassisches System mit zwei Variablen. - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du die Werte in die ursprünglichen Bedingungen einsetzt.

1. Variablen festlegen: \(x\) für die Anzahl der Reihen, \(y\) für die Anzahl der Plätze pro Reihe. 2. Gleichungssystem aufstellen: \((x + 2) \cdot (y + 5) = xy + 200\) und \((x - 5) \cdot (y - 2) = xy - 150\). 3. Terme vereinfachen: Gleichung 1: \(xy + 5x + 2y + 10 = xy + 200 \implies 5x + 2y = 190\). Gleichung 2: \(xy - 2x - 5y + 10 = xy - 150 \implies 2x + 5y = 160\). 4. System lösen (z. B. Additionsverfahren): Erste Gleichung mit 5 multiplizieren (\(25x + 10y = 950\)), zweite Gleichung mit \(-2\) multiplizieren (\(-4x - 10y = -320\)). 5. Addition der Gleichungen: \(21x = 630 \implies x = 30\). 6. Einsetzen zur Bestimmung von \(y\): \(2 \cdot 30 + 5y = 160 \implies 60 + 5y = 160 \implies 5y = 100 \implies y = 20\).

Der Theatersaal hat aktuell 30 Reihen mit jeweils 20 Plätzen pro Reihe.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Masse, Volumen und Dichte. - Wie berechnet man das Volumen einer Teilmenge, wenn Masse und Dichte gegeben sind? - Das Gesamtsystem sieht zunächst nicht linear aus. Könnte eine Ersetzung (Substitution) helfen, die Brüche zu eliminieren? - Was passiert, wenn du für die Kehrwerte der Dichten neue Buchstaben einsetzt?

1. Unter der Annahme additiver Volumina gilt mit \(V=\frac{m}{\rho}\): I: \(\frac{100}{\rho_1}+\frac{100}{\rho_2}=150\) II: \(\frac{120}{\rho_1}+\frac{40}{\rho_2}=100\). 2. Setze \(u=\frac{1}{\rho_1}\) und \(v=\frac{1}{\rho_2}\): I: \(100u+100v=150\Rightarrow u+v=1{,}5\) II: \(120u+40v=100\Rightarrow3u+v=2{,}5\). 3. Subtraktion: \((3u+v)-(u+v)=2{,}5-1{,}5\Rightarrow2u=1\Rightarrow u=0{,}5\). 4. Dann gilt \(v=1\). 5. Rücksubstitution: \(\rho_1=\frac1u=2\) und \(\rho_2=\frac1v=1\). 6. Somit \(\rho_1=2\,\text{g/cm}^3\) und \(\rho_2=1\,\text{g/cm}^3\).

Die Dichte der ersten Flüssigkeit beträgt \(2\,\text{g/cm}^3\), die der zweiten Flüssigkeit \(1\,\text{g/cm}^3\).