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- Welche Gleichung muss die Gesamtzahl aller beantworteten Aufgaben ausdrücken? - Welches Vorzeichen braucht die Zahl der falschen Antworten in der Punktebilanz?

1. Weil alle Aufgaben entweder richtig oder falsch beantwortet wurden, gilt \(r+f=12\). 2. Die Punktebilanz ist \(2r-f=18\), weil falsche Antworten jeweils einen Punkt abziehen. 3. Damit passt nur System C.

C: \(\begin{cases}r+f=12\\2r-f=18\end{cases}\)

- Übersetze „um \(5\) kleiner“ sorgfältig in einen Term. - Nutze anschließend die bereits gegebene Differenzbedingung zusammen mit der ausgewählten Gleichung. - Prüfe zum Schluss beide Aussagen des Zahlenrätsels.

1. „Das Doppelte der kleineren Zahl“ ist \(2y\). „Um \(5\) kleiner als die größere Zahl“ ist \(x-5\). Daher ist A korrekt: \(2y=x-5\). 2. Aus \(x-y=7\) folgt \(x=y+7\). 3. Einsetzen in \(2y=x-5\) ergibt \(2y=y+2\), also \(y=2\). 4. Damit ist \(x=9\).

a) A: \(2y=x-5\) b) \(x=9\), \(y=2\)

- Ordne jeder Zahl im Text zuerst ihre Bedeutung zu: Welche Zahl beschreibt eine Differenz, welche eine Summe? - Prüfe Nikos Gleichungen einzeln gegen die beiden Sätze im Text. - Die gefundenen Alter müssen sowohl die Altersdifferenz als auch die Summe erfüllen.

1. Die Differenz der Alter beträgt \(4\), nicht \(30\). Daher muss \(l-k=4\) gelten. 2. Die Summe der Alter beträgt \(30\). Daher gilt \(l+k=30\). 3. Addieren liefert \(2l=34\), also \(l=17\). 4. Damit ist \(k=13\).

Niko hat Summe und Differenz vertauscht. Richtig ist \(l-k=4\) und \(l+k=30\). Lena ist \(17\), Karim \(13\) Jahre alt.

- Kannst du für jede Information im Text (Anzahl Kisten, Anzahl Flaschen) eine eigene Gleichung aufstellen? - Wie hängen die Anzahl der Kisten und die Gesamtzahl der Flaschen zusammen? - Welches Verfahren kennst du, um zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gleichzeitig zu lösen? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende: Ergeben deine Kistenzahlen zusammen wirklich 11?

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Limonaden-Kisten und \(y\) für die Anzahl der Wasser-Kisten. 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: (I) \(x + y = 11\) (II) \(12x + 10y = 122\) 3. Auflösen von (I) nach \(y\): \(y = 11 - x\). 4. Einsetzen in (II): \(12x + 10 \cdot (11 - x) = 122\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(12x + 110 - 10x = 122 \Rightarrow 2x + 110 = 122\). 6. Lösen nach \(x\): \(2x = 12 \Rightarrow x = 6\). 7. Berechnen von \(y\): \(y = 11 - 6 = 5\). 8. Ergebnis: Es wurden 6 Limonaden-Kisten und 5 Wasser-Kisten geliefert.

Es wurden 6 Limonaden-Kisten und 5 Wasser-Kisten geliefert.

- Welche zwei unbekannten Geldbeträge suchst du? - Welche Gleichung beschreibt die gesamte angelegte Summe? - Wie kannst du die beiden Zinserträge zusammen in einer zweiten Gleichung darstellen?

1. Setze \(x\) für den Betrag auf dem ersten Konto und \(y\) für den Betrag auf dem zweiten Konto. 2. Die Bedingungen ergeben das Gleichungssystem \(\begin{cases}x+y=10\,000\\0{,}02x+0{,}03y=260\end{cases}\). 3. Aus der ersten Gleichung folgt \(x=10\,000-y\). Einsetzen in die zweite ergibt \(0{,}02(10\,000-y)+0{,}03y=260\). 4. Daraus folgt \(200+0{,}01y=260\), also \(y=6000\). 5. Mit der ersten Gleichung erhältst du \(x=4000\).

Frau Müller hat \(4000\,\text{€}\) auf dem Konto mit \(2\,\%\) und \(6000\,\text{€}\) auf dem Konto mit \(3\,\%\) angelegt.

- Drücke zuerst den Unterschied zwischen Jans und Kims Erspartem als Gleichung aus. - Was bedeuten „verdoppeln“ und „verdreifachen“ für die beiden Variablen? - Welche Gleichung ist bereits günstig nach einer Variablen aufgelöst?

1. Setze \(x\) für Jans Erspartes und \(y\) für Kims Erspartes. 2. Die Bedingungen ergeben das Gleichungssystem \(\begin{cases}x=y+20\\2x+3y=240\end{cases}\). 3. Setze den Ausdruck aus der ersten Gleichung in die zweite ein: \(2(y+20)+3y=240\). 4. Daraus folgt \(5y+40=240\), also \(y=40\). 5. Mit der ersten Gleichung erhältst du \(x=60\).

Jan hat \(60\,\text{€}\) gespart und Kim \(40\,\text{€}\).

- Kannst du die Informationen aus dem Text in zwei mathematische Gleichungen übersetzen? - Welche Unbekannten suchen wir in dieser Aufgabe? - Wie verändern sich die Beträge im beschriebenen „Was-wäre-wenn“-Szenario? - Welches Verfahren kennst du, um zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen?

1. Variablen festlegen: \(L\) für Leons Erspartes und \(M\) für Mias Erspartes. 2. Erste Gleichung aufstellen: \(L + M = 30\). 3. Zweite Bedingung als Gleichung formulieren: \(2L + 0{,}5M = 36\). 4. Einsetzungsverfahren anwenden: \(M = 30 - L\) in die zweite Gleichung einsetzen. 5. Berechnung: \(2L + 0{,}5 \cdot (30 - L) = 36 \implies 2L + 15 - 0{,}5L = 36 \implies 1{,}5L = 21\). 6. Ergebnis für \(L\): \(L = 14\). 7. Ergebnis für \(M\): \(M = 30 - 14 = 16\). Leon hat \(14\,\text{€}\) gespart und Mia \(16\,\text{€}\).

Leon hat \(14\,\text{€}\) gespart und Mia \(16\,\text{€}\).

- Wie drückt man eine prozentuale Zunahme oder Abnahme als Dezimalzahl aus? - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn eine Größe um \(20\,\%\) wächst? - Stelle zwei Gleichungen auf: eine für die jetzige Situation und eine für die Prognose. - Achte darauf, dass die Anzahl der Schülerinnen und Schüler am Ende eine ganze Zahl sein muss.

1. Variablen festlegen: \(a\) für die Anzahl in 8a und \(b\) für die Anzahl in 8b. 2. Erste Gleichung: \(a + b = 60\). 3. Zweite Gleichung (prozentuale Änderung): \(1{,}2a + 0{,}8b = 62\). 4. Einsetzungsverfahren: \(b = 60 - a\) in die zweite Gleichung einsetzen. 5. Berechnung: \(1{,}2a + 0{,}8 \cdot (60 - a) = 62 \implies 1{,}2a + 48 - 0{,}8a = 62\). 6. Zusammenfassen: \(0{,}4a + 48 = 62 \implies 0{,}4a = 14\). 7. Ergebnis für \(a\): \(a = 14 : 0{,}4 = 35\). 8. Ergebnis für \(b\): \(b = 60 - 35 = 25\). Klasse 8a hat \(35\) Schülerinnen und Schüler, Klasse 8b hat \(25\) Schülerinnen und Schüler.

In Klasse 8a sind aktuell \(35\) Schülerinnen und Schüler und in Klasse 8b sind es \(25\) Schülerinnen und Schüler.

- Schreibe für jede der beiden Bedingungen eine eigene Gleichung auf. - Du hast nun ein System aus zwei Gleichungen. Kannst du eine Variable durch die andere ersetzen? - Wenn du einen Wert gefunden hast, kannst du ihn in eine der Gleichungen einsetzen, um den zweiten Wert zu finden.

1. Aufstellen der Gleichungen: Bedingung 1 ergibt \(x = 1{,}5y\). Bedingung 2 ergibt \(x + y = 35\). 2. Einsetzungsverfahren: Ersetze \(x\) in der zweiten Gleichung durch den Ausdruck aus der ersten Gleichung: \(1{,}5y + y = 35\). 3. Zusammenfassen: \(2{,}5y = 35\). 4. Berechnung von \(y\): \(y = 35 : 2{,}5 = 14\). 5. Berechnung von \(x\): Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(x = 1{,}5 \cdot 14 = 21\). 6. Überprüfung: \(21 + 14 = 35\) und \(21 : 14 = 1{,}5\).

Die Gleichungen lauten \(x = 1{,}5y\) und \(x + y = 35\). Das gesuchte Zahlenpaar ist \((21|14)\).

- Kannst du Variablen für die beiden unbekannten Alter festlegen? - Wie drücken wir das Alter der beiden in fünf Jahren aus? - Versuche, für jede Information im Text eine mathematische Beziehung aufzuschreiben. - Könntest du eine der Unbekannten durch die andere ersetzen, um nur noch eine Variable in der Gleichung zu haben?

1. Definition der Variablen: \(s\) für Sarahs heutiges Alter und \(v\) für das heutige Alter des Vaters. 2. Aufstellen der Gleichungen: Aus der ersten Bedingung folgt \(v = 3s\). In \(5\) Jahren sind sie \(s+5\) und \(v+5\) Jahre alt. Die zweite Bedingung lautet \(v + 5 = 2 \cdot (s + 5) + 6\). 3. Einsetzen von \(v = 3s\) in die zweite Gleichung: \(3s + 5 = 2s + 10 + 6\). 4. Zusammenfassen und Lösen nach \(s\): \(3s + 5 = 2s + 16 \implies s = 11\). 5. Berechnung von \(v\): \(v = 3 \cdot 11 = 33\). Sarah ist heute \(11\) Jahre alt und ihr Vater \(33\) Jahre.

Sarah ist \(11\) Jahre alt und ihr Vater ist \(33\) Jahre alt.

- Was passiert mit dem Geldbetrag einer Person, wenn sie etwas abgibt? Was passiert bei der Person, die es bekommt? - Kannst du die Bedingungen „doppelt so viel“ und „gleich viel“ in mathematische Zeichen übersetzen? - Stelle für jede der beiden Aussagen eine Gleichung auf. - Es hilft, die Gleichungen erst einmal zu vereinfachen, bevor du ein Lösungsverfahren wählst.

1. Variablen festlegen: \(a\) für Annas Erspartes und \(b\) für Bens Erspartes. 2. Modellieren der ersten Aussage: Erhält Anna \(15\,\text{€}\), hat sie \(a + 15\) und Ben \(b - 15\). Die Gleichung lautet \(a + 15 = 2 \cdot (b - 15)\). 3. Modellieren der zweiten Aussage: Gibt Anna \(5\,\text{€}\) ab, hat sie \(a - 5\) und Ben \(b + 5\). Die Gleichung lautet \(a - 5 = b + 5\). 4. Umformen des Systems: \(a - 2b = -45\) und \(a - b = 10\). 5. Lösen des Systems: Aus der zweiten Gleichung folgt \(a = b + 10\). Einsetzen in die erste: \((b + 10) - 2b = -45 \Rightarrow -b = -55 \Rightarrow b = 55\). 6. Berechnung von \(a\): \(a = 55 + 10 = 65\).

Anna hat \(65{,}00\,\text{€}\) und Ben hat \(55{,}00\,\text{€}\) gespart.

- Welche Gleichung beschreibt die Gesamtzahl der Tiere? - Welche Gleichung beschreibt die Gesamtzahl der Beine? - Welche Eigenschaft haben die Beinanzahlen beider Tierarten gemeinsam, die für Teil b) entscheidend ist?

1. Setze \(x\) für die Anzahl der Hühner und \(y\) für die Anzahl der Schafe. Dann gilt \(\begin{cases}x+y=25\\2x+4y=72\end{cases}\). 2. Aus der ersten Gleichung folgt \(x=25-y\). Einsetzen in die zweite ergibt \(2(25-y)+4y=72\), also \(y=11\) und damit \(x=14\). 3. Für Teil b) genügt die Parität: Hühner und Schafe haben jeweils eine gerade Anzahl Beine. Daher muss auch die Gesamtzahl der Beine gerade sein; \(75\) ist ungerade.

a) Es sind 14 Hühner und 11 Schafe. b) Jede mögliche Gesamtzahl der Beine ist gerade; 75 ist ungerade und daher unmöglich.

- Übersetze jede der beiden Aussagen in eine Gleichung mit zwei Variablen. - Wie kannst du die Gleichungen so vervielfachen, dass beim Addieren eine Variable verschwindet? - Prüfe am Ende, ob beide Zahlen die beiden Textbedingungen erfüllen.

1. Mit \(x\) als erster und \(y\) als zweiter Zahl gilt \(\begin{cases}2x+3y=50\\5x-2y=11\end{cases}\). 2. Multipliziere die erste Gleichung mit \(2\) und die zweite mit \(3\): \(4x+6y=100\) und \(15x-6y=33\). 3. Addition ergibt \(19x=133\), also \(x=7\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(14+3y=50\), also \(y=12\).

Die erste Zahl ist \(7\), die zweite Zahl ist \(12\).

- Wähle je eine Variable für die beiden unbekannten Einzelgewichte. - Welche zwei Gleichungen ergeben sich aus den beiden Wägungen? - Wie kannst du die Gleichungen vervielfachen, damit beim Subtrahieren eine Variable verschwindet?

1. Setze \(g\) für das Gewicht einer Goldkugel und \(s\) für das Gewicht einer Silbermünze. Dann gilt \(\begin{cases}2g+3s=48\\3g+2s=57\end{cases}\). 2. Multipliziere die erste Gleichung mit \(3\) und die zweite mit \(2\): \(6g+9s=144\) und \(6g+4s=114\). 3. Subtraktion ergibt \(5s=30\), also \(s=6\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(2g+18=48\), also \(g=15\).

Eine Goldkugel wiegt \(15\,\text{g}\), eine Silbermünze \(6\,\text{g}\).

- Wie lässt sich eine zweistellige Zahl aus Zehner- und Einerziffer als Term schreiben? - Welche Gleichung beschreibt die Quersumme? - Wie verändert sich der Term, wenn die beiden Ziffern vertauscht werden?

1. Setze \(x\) als Zehnerziffer und \(y\) als Einerziffer. Die Zahl lautet \(10x+y\), die vertauschte Zahl \(10y+x\). 2. Aus der Quersumme folgt \(x+y=12\). Aus der zweiten Bedingung folgt \(10y+x=10x+y+18\), also \(-x+y=2\). Zusammen ergibt sich \(\begin{cases}x+y=12\\-x+y=2\end{cases}\). 3. Addiere die beiden Gleichungen: \(2y=14\), also \(y=7\). 4. Mit der ersten Gleichung folgt \(x=5\). Die ursprüngliche Zahl ist daher \(10\cdot5+7=57\).

Die ursprüngliche Zahl ist \(57\).

- Unterscheide zwischen den geplanten und den tatsächlich verkauften Karten. - Welche Gleichung beschreibt die insgesamt geplanten 500 Karten? - Wie kannst du die Prozentangaben in Faktoren für die tatsächlich verkauften Mengen übersetzen?

1. Setze \(x\) für die geplante Anzahl der Schülerkarten und \(y\) für die geplante Anzahl der Erwachsenenkarten. Dann gilt \(\begin{cases}x+y=500\\1{,}05x+0{,}90y=495\end{cases}\). 2. Aus der ersten Gleichung folgt \(y=500-x\). Einsetzen in die zweite ergibt \(1{,}05x+0{,}90(500-x)=495\). 3. Daraus folgt \(0{,}15x=45\), also \(x=300\) und \(y=200\). 4. Tatsächlich verkauft wurden \(300\cdot1{,}05=315\) Schülerkarten und \(200\cdot0{,}90=180\) Erwachsenenkarten.

Es wurden 315 Schülerkarten und 180 Erwachsenenkarten verkauft.

- Wie hoch sind die Zinsen insgesamt nach einem Jahr? - Welche Gleichung beschreibt das gesamte Anfangskapital? - Wie kannst du die beiden Zinserträge in einer zweiten Gleichung darstellen?

1. Setze \(x\) und \(y\) für die beiden ursprünglichen Anlagebeträge. Die gesamten Zinsen betragen \(12\,230-12\,000=230\,\text{€}\). 2. Damit gilt \(\begin{cases}x+y=12\,000\\0{,}015x+0{,}025y=230\end{cases}\). 3. Aus der ersten Gleichung folgt \(y=12\,000-x\). Einsetzen in die zweite ergibt \(0{,}015x+0{,}025(12\,000-x)=230\). 4. Daraus folgt \(-0{,}01x=-70\), also \(x=7000\) und mit der ersten Gleichung \(y=5000\).

Auf dem ersten Konto wurden \(7000{,}00\,\text{€}\), auf dem zweiten \(5000{,}00\,\text{€}\) angelegt.

- Welche zwei Bestandteile tragen zum Gesamtgewicht bei? - Wenn drei Viertel der Äpfel weg sind, welcher Anteil der Äpfel ist dann noch in der Kiste? - Kannst du für den Anfangszustand und den Endzustand jeweils eine Gleichung aufstellen? - Überlege, wie du eine der Unbekannten eliminieren kannst, indem du die Gleichungen voneinander abziehst.

1. Variablen festlegen: \(x\) für das Gewicht der leeren Kiste und \(y\) für das ursprüngliche Gewicht der Äpfel. 2. Gleichungssystem aufstellen: \(x + y = 15{,}5\) und \(x + \frac{1}{4}y = 5\). 3. Die erste Gleichung nach \(y\) auflösen: \(y = 15{,}5 - x\). 4. Den Ausdruck für \(y\) in die zweite Gleichung einsetzen: \(x + \frac{1}{4} \cdot (15{,}5 - x) = 5\). 5. Die Gleichung nach \(x\) auflösen: \(x + 3{,}875 - 0{,}25x = 5 \implies 0{,}75x = 1{,}125 \implies x = 1{,}5\). 6. Das Gewicht der leeren Kiste beträgt \(1{,}5\,\text{kg}\).

Die leere Kiste wiegt \(1{,}5\,\text{kg}\).

- Wähle je eine Variable für die beiden unbekannten Gewichte. - Übersetze die beiden Wägungen in zwei Gleichungen. - Welche Gleichung lässt sich besonders leicht nach einer Variablen auflösen?

1. Setze \(r\) für das Gewicht eines Rucksacks und \(s\) für das Gewicht eines Schlafsacks. Dann gilt \(\begin{cases}r+2s=4{,}2\\2r+s=3{,}9\end{cases}\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(s=3{,}9-2r\). Einsetzen in die erste ergibt \(r+2(3{,}9-2r)=4{,}2\). 3. Daraus folgt \(-3r=-3{,}6\), also \(r=1{,}2\). 4. Mit der zweiten Gleichung erhältst du \(s=1{,}5\).

Ein Rucksack wiegt \(1{,}2\,\text{kg}\), ein Schlafsack \(1{,}5\,\text{kg}\).

- Kannst du für jeden Tank einen Term aufstellen, der die Wassermenge nach einer bestimmten Zeit beschreibt? - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn am Ende in beiden Tanks „die gleiche Menge“ ist? - Stelle ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten auf. - Überlege dir zuerst, wie viel Wasser insgesamt aus jedem Tank nach der angegebenen Zeit abgeflossen ist.

1. Definition der Variablen \(x\) für die Wassermenge in Tank 1 und \(y\) für Tank 2 in Litern. 2. Aufstellen der ersten Gleichung für die Gesamtmenge: \(x + y = 3500\). 3. Berechnung der abgeflossenen Mengen nach \(50\,\text{min}\): Tank 1 verliert \(12 \cdot 50 = 600\,\text{l}\), Tank 2 verliert \(18 \cdot 50 = 900\,\text{l}\). 4. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingung: \(x - 600 = y - 900\). 5. Umformen der zweiten Gleichung nach \(x\): \(x = y - 300\). 6. Einsetzen in die erste Gleichung: \((y - 300) + y = 3500 \implies 2y = 3800 \implies y = 1900\). 7. Berechnung von \(x\): \(x = 1900 - 300 = 1600\).

Im ersten Tank waren ursprünglich \(1600\,\text{l}\) und im zweiten Tank \(1900\,\text{l}\) Wasser.

- Achte darauf, dass eine Person Geld verliert (Minus) und die andere Person Geld dazu bekommt (Plus). - Wie viel Geld hat Paul nach den 12 Wochen insgesamt ausgegeben? - Wie viel Geld hat Marie nach den 12 Wochen insgesamt dazugewonnen? - Kannst du eine Gleichung schreiben, die besagt, dass ihre Endbeträge gleich sind?

1. Festlegen der Variablen \(p\) für Pauls Anfangsbetrag und \(m\) für Maries Anfangsbetrag. 2. Summengleichung aufstellen: \(p + m = 150\). 3. Terme für die Beträge nach \(12\,\text{Wochen}\) aufstellen: Paul hat \(p - 4 \cdot 12 = p - 48\), Marie hat \(m + 2 \cdot 12 = m + 24\). 4. Gleichsetzen der Terme: \(p - 48 = m + 24\). 5. Umformen der Gleichung zu \(p - m = 72\). 6. Addition der beiden Gleichungen \((p + m) + (p - m) = 150 + 72 \implies 2p = 222\). 7. Ergebnis für Paul: \(p = 111\). 8. Ergebnis für Marie durch Einsetzen: \(111 + m = 150 \implies m = 39\).

Paul hatte am Anfang \(111{,}00\,\text{€}\) und Marie hatte \(39{,}00\,\text{€}\).

- Überlege dir, wie du das Alter der beiden Personen heute bezeichnen kannst. - Wie verändert sich das Alter beider Personen, wenn 12 Jahre vergehen? - Kannst du die Beziehung der Alterswerte in der Zukunft in einer Gleichung festhalten? - Versuche, eine Variable durch die andere zu ersetzen, um die Gleichung lösbar zu machen.

1. Festlegen der Variablen \(v\) für das aktuelle Alter des Vaters und \(s\) für das aktuelle Alter des Sohnes. 2. Aufstellen der Gleichungen: \(v = 4s\) für den Ist-Zustand und \(v + 12 = 2 \cdot (s + 12)\) für den Zustand in 12 Jahren. 3. Einsetzen von \(v\) in die zweite Gleichung: \(4s + 12 = 2 \cdot (s + 12)\). 4. Auflösen der Klammer und Berechnen von \(s\): \(4s + 12 = 2s + 24 \Rightarrow 2s = 12 \Rightarrow s = 6\). 5. Einsetzen von \(s\) zur Bestimmung von \(v\): \(v = 4 \cdot 6 = 24\). Der Vater ist heute 24 Jahre alt und der Sohn ist 6 Jahre alt.

Der Vater ist aktuell 24 Jahre alt und der Sohn ist 6 Jahre alt.

- Wähle je eine Variable für das Gewicht eines Zebras und des Elefanten. - Welche zwei Beziehungen zwischen diesen Gewichten nennt der Text? - Welche der beiden Gleichungen eignet sich direkt zum Einsetzen?

1. Setze \(x\) für das Gewicht eines Zebras und \(y\) für das Gewicht des Elefanten. Dann gilt \(\begin{cases}y+4x=5500\\y=12x+100\end{cases}\). 2. Setze die zweite Gleichung in die erste ein: \(12x+100+4x=5500\). 3. Daraus folgt \(16x=5400\), also \(x=337{,}5\). 4. Mit der zweiten Gleichung erhältst du \(y=12\cdot337{,}5+100=4150\).

Ein Zebra wiegt \(337{,}5\,\text{kg}\), der Elefant \(4150\,\text{kg}\).

- Welche zwei Unbekannten suchen wir in dieser Aufgabe? - Kannst du die Zusammenhänge aus dem Text in zwei mathematische Gleichungen übersetzen? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier besonders an, wenn eine Variable bereits fast alleine steht? - Hast du am Ende geprüft, ob deine Werte in beide Sätze der Aufgabenstellung passen?

1. Definition der Variablen: \(x\) für das Volumen eines großen Kanisters und \(y\) für das eines kleinen Kanisters in Litern. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(2x + 6y = 54\) und \(x = 2y + 2\). 3. Anwendung des Einsetzungsverfahrens durch Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste: \(2 \cdot (2y + 2) + 6y = 54\). 4. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der Terme: \(4y + 4 + 6y = 54 \Rightarrow 10y + 4 = 54\). 5. Isolieren der Variable \(y\): \(10y = 50 \Rightarrow y = 5\). 6. Berechnung von \(x\) durch Einsetzen von \(y = 5\) in die zweite Gleichung: \(x = 2 \cdot 5 + 2 = 12\). 7. Ergebnis: Ein großer Kanister fasst \(12\,\text{l}\) und ein kleiner Kanister fasst \(5\,\text{l}\).

Ein großer Kanister hat eine Füllmenge von \(12\,\text{l}\) und ein kleiner Kanister eine Füllmenge von \(5\,\text{l}\).

- Was bleibt in beiden Situationen gleich? - Kannst du für die Anzahl der Kisten und die Anzahl der Äpfel jeweils eine Variable festlegen? - Wie viele Äpfel passen in die Kisten, wenn zwei Kisten leer bleiben? - Versuche, für beide Szenarien einen Term für die Gesamtzahl der Äpfel aufzustellen.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Kisten und \(y\) für die Anzahl der Äpfel. 2. Aufstellen der Gleichungen aus den Bedingungen: \(y = 12x + 15\) (erste Verteilung) und \(y = 15 \cdot (x - 2)\) (zweite Verteilung). 3. Gleichsetzen der Ausdrücke für \(y\): \(12x + 15 = 15 \cdot (x - 2)\). 4. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(12x + 15 = 15x - 30\). 5. Isolieren der Variable \(x\): \(3x = 45\), woraus \(x = 15\) Kisten folgt. 6. Einsetzen von \(x\) in eine der Ausgangsgleichungen: \(y = 12 \cdot 15 + 15 = 195\) Äpfel.

Es sind \(195\) Äpfel und \(15\) Kisten.

- Kannst du für jede Abteilung eine Variable festlegen, die die ursprüngliche Mitgliederzahl beschreibt? - Wie hängen die Mitgliederzahlen im Vorjahr zusammen? - Wie verändern sich die Zahlen durch die prozentualen Angaben? - Kannst du eine der Variablen durch die andere ausdrücken, um die Anzahl der Unbekannten zu reduzieren?

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Mitglieder beim Fußball und \(y\) für die Anzahl beim Tennis im Vorjahr. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(x + y = 200\) und \(1{,}1x + 0{,}9y = 202\). 3. Auflösen der ersten Gleichung nach \(y\): \(y = 200 - x\). 4. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(1{,}1x + 0{,}9 \cdot (200 - x) = 202\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(1{,}1x + 180 - 0{,}9x = 202 \Rightarrow 0{,}2x + 180 = 202\). 6. Berechnung von \(x\): \(0{,}2x = 22 \Rightarrow x = 110\). 7. Berechnung von \(y\): \(y = 200 - 110 = 90\).

Im vergangenen Jahr hatte die Fußballabteilung 110 Mitglieder und die Tennisabteilung 90 Mitglieder.

- Was sind die gesuchten Größen und welche Zwischenschritte sind nötig? - Wie stellst du eine Abnahme um \(5\,\%\) oder eine Zunahme um \(20\,\%\) mathematisch dar? - Achte darauf, ob nach den Werten vom letzten Monat oder von diesem Monat gefragt wird. - Könnte eine Tabelle helfen, die Werte von „letztem Monat“ und „diesem Monat“ gegenüberzustellen?

1. Definition der Variablen für den letzten Monat: \(b\) (Basic) und \(p\) (Premium). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(b + p = 600\) und \(0{,}95b + 1{,}2p = 630\). 3. Anwendung des Einsetzungsverfahrens: \(p = 600 - b\), also \(0{,}95b + 1{,}2 \cdot (600 - b) = 630\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(0{,}95b + 720 - 1{,}2b = 630 \Rightarrow -0{,}25b + 720 = 630\). 5. Auflösen nach \(b\): \(-0{,}25b = -90 \Rightarrow b = 360\). 6. Berechnung von \(p\): \(p = 600 - 360 = 240\). 7. Berechnung der aktuellen Mitgliederzahlen für diesen Monat: Basic: \(0{,}95 \cdot 360 = 342\); Premium: \(1{,}2 \cdot 240 = 288\).

In diesem Monat nutzen 342 Mitglieder den Basic-Tarif und 288 Mitglieder den Premium-Tarif.

- Stelle zuerst fest, wie viele Werkstücke die beiden zusammen in einer einzigen Stunde schaffen. - Wie lässt sich die gesamte produzierte Menge (180 Stück) aus den Einzelzeiten der beiden Personen zusammensetzen? - Kannst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten aufstellen? - Überlege, wie du den bekannten Wert für die gemeinsame Stundenleistung in die zweite Situation einsetzen kannst.

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Anzahl der Werkstücke pro Stunde von Herrn Abel, \(y\) die von Frau Bekker. 2. Aufstellen der ersten Gleichung aus der gemeinsamen Arbeitszeit: \(8(x + y) = 240\), vereinfacht zu \(x + y = 30\). 3. Aufstellen der zweiten Gleichung aus dem Teilarbeitsgang: \(3x + 4(x + y) = 180\). 4. Substitution von \((x + y)\) durch \(30\) in der zweiten Gleichung: \(3x + 4 \cdot 30 = 180\). 5. Lösung nach \(x\): \(3x + 120 = 180 \implies 3x = 60 \implies x = 20\). 6. Lösung nach \(y\): \(20 + y = 30 \implies y = 10\). 7. Ergebnis: Herr Abel bearbeitet \(20\,\text{Werkstücke}/\text{h}\), Frau Bekker \(10\,\text{Werkstücke}/\text{h}\).

Herr Abel bearbeitet \(20\,\text{Werkstücke}\) pro Stunde und Frau Bekker \(10\,\text{Werkstücke}\) pro Stunde.

- Welche Einheit sollten die beiden gesuchten Zuflussraten haben? - Wie setzt sich die gesammelte Wassermenge aus Rate und Zeit zusammen? - Für Teil b brauchst du nach dem Lösen nur noch die beiden Raten zu addieren.

1. Setze \(a\) und \(b\) für die Zuflussraten in \(\text{l}/\text{h}\). 2. Es gilt \(\begin{cases}3a+2b=110\\2a+4b=140\end{cases}\). 3. Teile die zweite Gleichung durch \(2\): \(a+2b=70\), also \(a=70-2b\). 4. Einsetzen in die erste ergibt \(3(70-2b)+2b=110\), also \(b=25\). 5. Damit ist \(a=20\). Die Zuflussraten sind \(20\,\text{l}/\text{h}\) und \(25\,\text{l}/\text{h}\). 6. Gemeinsam liefern beide \(45\,\text{l}/\text{h}\). 7. Für \(225\,\text{l}\) werden \(225:45=5\,\text{h}\) benötigt.

a) Dachfläche A: \(20\,\text{l}/\text{h}\); Dachfläche B: \(25\,\text{l}/\text{h}\) b) Gemeinsam werden \(5\,\text{h}\) benötigt.

- Beschreibe für beide Rechnerprofile eine Rate in Bildern pro Minute. - Welche Beziehung folgt daraus, dass beide zusammen \(5000\) Bilder in \(50\) Minuten schaffen? - Wie verändert sich die Gesamtrate, wenn drei gleich schnelle Rechner parallel an unabhängigen Bildern arbeiten?

1. Setze \(a\) und \(b\) als Rendergeschwindigkeiten in Bildern pro Minute. 2. Aus dem gemeinsamen Rendern folgt \(50(a+b)=5000\), also \(a+b=100\). Aus dem Test folgt \(20a+30b=2600\). Damit lautet das LGS \(\begin{cases}a+b=100\\20a+30b=2600\end{cases}\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(20\): \(20a+20b=2000\). Subtraktion von der zweiten Gleichung ergibt \(10b=600\), also \(b=60\) und damit \(a=40\). 4. Drei Alpha-Rechner rendern zusammen \(3\cdot40=120\) Bilder pro Minute. 5. Für \(5000\) Bilder benötigen sie \(5000:120=\frac{125}{3}\,\text{Minuten}=41\,\text{Minuten}\;40\,\text{Sekunden}\).

a) Alpha: \(40\) Bilder pro Minute; Beta: \(60\) Bilder pro Minute b) Drei Alpha-Rechner benötigen \(41\,\text{Minuten}\;40\,\text{Sekunden}\).

- Kannst du die Aussagen von Lukas und Mia in mathematische Gleichungen übersetzen? - Welche Unbekannten suchen wir in dieser Aufgabe? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier an? - Achte darauf, dass „zwei Fünftel deines Geldes“ als Bruch oder Dezimalzahl geschrieben werden kann.

1. Definition der Variablen: \(L\) für das Geld von Lukas und \(M\) für das Geld von Mia in Euro. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(L + \frac{2}{5}M = 30\) (II) \(M + \frac{1}{2}L = 30\) 3. Umstellen von Gleichung (II) nach \(M\): \(M = 30 - 0{,}5L\). 4. Einsetzen in Gleichung (I): \(L + 0{,}4 \cdot (30 - 0{,}5L) = 30\). 5. Vereinfachen und nach \(L\) auflösen: \(L + 12 - 0{,}2L = 30 \Rightarrow 0{,}8L = 18 \Rightarrow L = 22{,}5\). 6. Berechnung von \(M\): \(M = 30 - 0{,}5 \cdot 22{,}5 = 30 - 11{,}25 = 18{,}75\).

Lukas hat \(22{,}50\,\text{€}\) und Mia hat \(18{,}75\,\text{€}\).

- Stelle für jeden der beiden beschriebenen Fälle eine Gleichung auf. - Was passiert mit der Wassermenge im jeweils anderen Becher in deiner Rechnung? - Hast du am Ende geprüft, ob deine Lösung für beide Bedingungen der Aufgabe passt? - Wie berechnet man die Gesamtmenge, wenn man die Einzelmengen kennt?

1. Definition der Variablen: \(x\) für Becher A und \(y\) für Becher B in \(\text{ml}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(x + \frac{1}{3}y = 120\) (II) \(y + \frac{1}{2}x = 150\) 3. Lösung des Systems (z. B. Additionsverfahren): Multiplikation von (I) mit \(3\) ergibt \(3x + y = 360\), also \(y = 360 - 3x\). 4. Einsetzen in (II): \(360 - 3x + 0{,}5x = 150 \Rightarrow -2{,}5x = -210 \Rightarrow x = 84\). 5. Berechnung von \(y\): \(y = 360 - 3 \cdot 84 = 360 - 252 = 108\). 6. Gesamtmenge berechnen: \(84\,\text{ml} + 108\,\text{ml} = 192\,\text{ml}\).

a) In Becher A befanden sich ursprünglich \(84\,\text{ml}\) und in Becher B \(108\,\text{ml}\). b) Insgesamt befinden sich \(192\,\text{ml}\) Wasser in den Bechern.

- Stelle für jede der beiden Bedingungen eine Gleichung mit zwei Variablen auf. - Achte darauf, wie die Klammern gesetzt werden müssen, wenn sich die Längenänderung auf die gesamte Stange bezieht. - Überlege, wie du den Bruch in der zweiten Gleichung am geschicktesten eliminieren kannst. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die berechneten Längen in die ursprünglichen Bedingungen einsetzt.

1. Variablen festlegen: \(a\) für die Länge von Stange \(A\) und \(b\) für die Länge von Stange \(B\) in \(\text{cm}\). 2. Bedingung 1 als Gleichung: \(a + 50 = 2 \cdot (b + 10)\). 3. Bedingung 2 als Gleichung: \(b + 50 = \frac{3}{4} \cdot (a + 10)\). 4. Erste Gleichung nach \(a\) umformen: \(a = 2b + 20 - 50 = 2b - 30\). 5. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(b + 50 = \frac{3}{4} \cdot (2b - 30 + 10) = \frac{3}{4} \cdot (2b - 20)\). 6. Mit \(4\) multiplizieren, um den Bruch zu eliminieren: \(4b + 200 = 3 \cdot (2b - 20) \Rightarrow 4b + 200 = 6b - 60\). 7. Nach \(b\) auflösen: \(260 = 2b \Rightarrow b = 130\). 8. \(a\) berechnen: \(a = 2 \cdot 130 - 30 = 230\).

Stange \(A\) ist \(230\,\text{cm}\) lang und Stange \(B\) ist \(130\,\text{cm}\) lang.

- Kannst du für beide Personen eine Variable festlegen? - Wie verändert sich die Anzahl der Karten bei jeder Person, wenn Karten getauscht werden? - Versuche, für jede der beiden Aussagen eine eigene Gleichung aufzustellen. - Was bedeutet „doppelt so viele“ mathematisch ausgedrückt? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um das Gleichungssystem zu lösen?

1. Variablen festlegen: \(x\) für die Anzahl der Karten von Lukas, \(y\) für die Anzahl der Karten von Marie 2. Erste Bedingung (Lukas erhält 10 Karten): \(x + 10 = 2 \cdot (y - 10)\) 3. Zweite Bedingung (Marie erhält 10 Karten): \(x - 10 = y + 10\) 4. Zweite Gleichung nach \(x\) auflösen: \(x = y + 20\) 5. \(x\) in die erste Gleichung einsetzen: \((y + 20) + 10 = 2y - 20\) 6. Gleichung vereinfachen: \(y + 30 = 2y - 20\) 7. Nach \(y\) auflösen: \(y = 50\) 8. \(x\) berechnen: \(x = 50 + 20 = 70\)

Lukas hatte zu Beginn 70 Karten und Marie hatte 50 Karten.

- Welche Informationen über die Flaschenmengen und die Saftmengen kannst du nutzen? - Versuche, eine Gleichung für die gesamte Saftmenge aufzustellen. - Überlege dir für den zweiten Teil, was passiert, wenn du Saft von vielen kleinen in wenige große Gefäße umfüllst.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der \(0{,}5\,\text{Liter}\)-Flaschen und \(y\) für die Anzahl der \(0{,}75\,\text{Liter}\)-Flaschen. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(x + y = 200\) (Gesamtanzahl) und \(0{,}5x + 0{,}75y = 120\) (Gesamtvolumen). 3. Auflösen der ersten Gleichung nach \(x\): \(x = 200 - y\). 4. Einsetzen in die Volumengleichung: \(0{,}5 \cdot (200 - y) + 0{,}75y = 120\). 5. Vereinfachen und Lösen: \(100 - 0{,}5y + 0{,}75y = 120 \implies 0{,}25y = 20 \implies y = 80\). 6. Berechnung von \(x\): \(x = 200 - 80 = 120\). 7. Zu Aufgabenteil b): Da die \(0{,}75\,\text{Liter}\)-Flaschen ein größeres Einzelvolumen haben als die \(0{,}5\,\text{Liter}\)-Flaschen, wird pro Flasche mehr Saft transportiert. Erhöht man den Anteil der größeren Flaschen, sinkt die benötigte Gesamtzahl der Gefäße für die konstante Saftmenge von \(120\,\text{Litern}\).

a) Es wurden 120 Flaschen der Größe \(0{,}5\,\text{Liter}\) und 80 Flaschen der Größe \(0{,}75\,\text{Liter}\) befüllt. b) Die Gesamtzahl der Flaschen würde sinken, da die größeren Flaschen mehr Inhalt fassen und somit insgesamt weniger Gefäße für dieselbe Menge Saft benötigt werden.

- Wie verändert sich die Wassermenge jedes Tanks pro Stunde? - Stelle für beide Tanks einen Term für die Wassermenge nach \(t\) Stunden auf. - Welche Bedingung gilt zu dem Zeitpunkt, an dem beide Tanks gleich viel Wasser enthalten?

1. Für die Füllmengen nach \(t\) Stunden gelten \(V_A(t)=-50t+500\) und \(V_B(t)=150t+100\). 2. Bei gleichem Füllstand gilt \(-50t+500=150t+100\). 3. Daraus folgt \(400=200t\), also \(t=2\). 4. Einsetzen ergibt \(V_A(2)=V_B(2)=400\,\text{l}\).

Nach \(2\,\text{Stunden}\) enthalten beide Tanks jeweils \(400\,\text{l}\) Wasser.

- Lege zuerst fest, welche beiden unbekannten Einzelmassen deine Variablen beschreiben. - Übersetze jede Wägung getrennt in eine Gleichung. - Prüfe nach dem Lösen beide ursprünglichen Wägungen mit deinen Werten.

1. Sei \(r\) die Masse einer roten und \(b\) die Masse einer blauen Kiste in Kilogramm. Dann gilt \(3r+2b=34\) und \(r+4b=38\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(r=38-4b\). 3. Einsetzen ergibt \(3(38-4b)+2b=34\), also \(114-10b=34\). Daher ist \(b=8\). 4. Damit ist \(r=38-4\cdot8=6\). 5. Probe: \(3\cdot6+2\cdot8=34\) und \(6+4\cdot8=38\).

a) Zum Beispiel: \(r\) = Masse einer roten Kiste, \(b\) = Masse einer blauen Kiste; \(3r+2b=34\), \(r+4b=38\) b) \((r|b)=(6|8)\) c) Eine rote Kiste wiegt \(6\,\text{kg}\), eine blaue \(8\,\text{kg}\); beide Angaben werden erfüllt.

- Lege zuerst fest, wofür jede Variable steht. - Welche Gleichung zählt Zimmer, welche Schlafplätze? - Beim Doppelzimmer gehören zu einem Zimmer zwei Schlafplätze.

1. Setze \(x\) für die Anzahl der Einzelzimmer und \(y\) für die Anzahl der Doppelzimmer. 2. Aus der Zimmerzahl folgt \(x+y=38\). Aus der Zahl der Schlafplätze folgt \(x+2y=62\). Damit lautet das LGS \(\begin{cases}x+y=38\\x+2y=62\end{cases}\). 3. Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten: \(y=24\). 4. Mit der ersten Gleichung folgt \(x=14\). Die Werte sind nichtnegativ und erfüllen beide Angaben.

Zum Beispiel: \(x\) = Anzahl der Einzelzimmer, \(y\) = Anzahl der Doppelzimmer. \(\begin{cases}x+y=38\\x+2y=62\end{cases}\). Es gibt 14 Einzelzimmer und 24 Doppelzimmer.

- Übersetze beide Beobachtungen zunächst jeweils in eine Gleichung. - Prüfe, ob eine der neuen Gleichungen nur ein Vielfaches der bereits bekannten Summengleichung ist. - Eine unabhängige zweite Gleichung muss tatsächlich neue Information über das Verhältnis von \(r\) und \(b\) liefern.

1. Beobachtung A enthält keine neue Information: Sie entspricht nur \(2r+2b=60\), also dem Doppelten von \(r+b=30\). 2. Beobachtung B liefert \(r-6=b\), äquivalent zu \(r-b=6\). Diese Gleichung ist nicht nur ein Vielfaches der ersten. 3. Das LGS lautet \(\begin{cases}r+b=30\\r-b=6\end{cases}\). 4. Addieren ergibt \(2r=36\), also \(r=18\) und \(b=12\).

Beobachtung B ist unabhängig. Das LGS lautet \(\begin{cases}r+b=30\\r-b=6\end{cases}\). Es gibt 18 rote und 12 blaue Spielsteine.

- Welche Größe bleibt bei beiden Anordnungen gleich? - Schreibe die Sitzplatzzahl für beide Anordnungen als Produkt aus Reihen und Stühlen pro Reihe. - Multipliziere die veränderte Produktform aus und beobachte, welcher Term auf beiden Seiten vorkommt. - Übersetze zusätzlich „3 Reihen mehr als Stühle pro Reihe“ in eine lineare Gleichung.

1. Die geplante Sitzplatzzahl beträgt \(nt\). Bei der veränderten Anordnung wären es \((n+2)(t-1)\). Daher gilt \(nt=(n+2)(t-1)\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \(nt=nt-n+2t-2\). Der gemeinsame Produktterm \(nt\) fällt weg, sodass \(n-2t=-2\) entsteht. 3. Aus „3 Reihen mehr als Stühle pro Reihe“ folgt \(n-t=3\). Damit lautet das lineare LGS \(\begin{cases}n-2t=-2\\n-t=3\end{cases}\). 4. Aus der zweiten Gleichung folgt \(n=t+3\). Einsetzen in die erste ergibt \(t+3-2t=-2\), also \(t=5\) und \(n=8\). 5. Probe: \(8\cdot5=40\) und \(10\cdot4=40\) Sitzplätze.

Geplant sind 8 Reihen mit jeweils 5 Stühlen. Die Produktgleichung führt zum LGS \(\begin{cases}n-2t=-2\\n-t=3\end{cases}\).

- Beschreibe zunächst, welchen Anteil des gesamten Auftrags jedes Modell pro Stunde schafft. - Wie verändert sich die gemeinsame Rate, wenn zwei Geräte desselben Modells gleichzeitig arbeiten? - Wie hängen Arbeitsrate und benötigte Zeit für genau einen ganzen Auftrag zusammen?

1. Setze \(r_X\) und \(r_Y\) als Arbeitsraten in Aufträgen pro Stunde. Dann gilt \(\begin{cases}r_X+r_Y=\frac{1}{4}\\2r_X+r_Y=\frac{1}{3}\end{cases}\). 2. Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten: \(r_X=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}\). 3. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(r_Y=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{6}\). 4. Die benötigte Zeit ist jeweils der Kehrwert der Rate. Modell X benötigt \(12\,\text{Stunden}\), Modell Y \(6\,\text{Stunden}\).

Modell X benötigt allein \(12\,\text{Stunden}\), Modell Y allein \(6\,\text{Stunden}\).

- Welche Größe soll deine Variable messen, damit Beiträge aus verschiedenen Laufzeiten addiert werden können? - Wie übersetzt du „die Hälfte der Zielenergiemenge“ und „die gesamte Zielenergiemenge“ in Gleichungen? - Welches Vielfache einer Gleichung erleichtert die Elimination einer Variablen?

1. Setze \(a\) für die Rate von Modulgruppe A und \(b\) für die Rate von Modulgruppe B, jeweils als Anteil der Zielenergiemenge pro Stunde. 2. Aus den beiden Tests folgt das LGS \(\begin{cases}4a+2b=\frac{1}{2}\\2a+5b=1\end{cases}\). 3. Multipliziere die zweite Gleichung mit \(2\) und subtrahiere die erste: \(8b=\frac{3}{2}\), also \(b=\frac{3}{16}\). 4. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(2a+\frac{15}{16}=1\), also \(a=\frac{1}{32}\). 5. Damit gilt \(b:a=\frac{3}{16}:\frac{1}{32}=6:1\). Modulgruppe B hat die höhere Rate.

Modulgruppe B liefert pro Stunde mehr Energie. Ihre Rate ist \(6\)-mal so groß wie die von Modulgruppe A.

- Beschreibe die Ladeleistung als Anteil des gesamten Speichers pro Stunde. - Welche Information liefert die gemeinsame Ladezeit über die Summe der beiden Raten? - Für Teil b: Verdoppelt wird nur die Rate von B, nicht die Rate von A.

1. Setze \(r_A\) und \(r_B\) für die Ladeanteile pro Stunde. Dann gilt \(r_A+r_B=\frac{1}{12}\). 2. Aus dem Test folgt \(4(r_A+r_B)+20r_B=1\). 3. Einsetzen der gemeinsamen Rate ergibt \(4\cdot\frac{1}{12}+20r_B=1\), also \(r_B=\frac{1}{30}\). 4. Damit ist \(r_A=\frac{1}{12}-\frac{1}{30}=\frac{1}{20}\). A benötigt allein \(20\,\text{h}\), B allein \(30\,\text{h}\). 5. Bei verdoppelter Leistung von B beträgt die gemeinsame Rate \(\frac{1}{20}+2\cdot\frac{1}{30}=\frac{7}{60}\). 6. Die neue Ladezeit ist \(1:\frac{7}{60}=\frac{60}{7}\,\text{h}\approx8{,}57\,\text{h}\). 7. Die Hälfte von \(12\,\text{h}\) wären \(6\,\text{h}\). Daher ist die Behauptung falsch.

a) Ladegerät A: \(20\,\text{h}\); Ladegerät B: \(30\,\text{h}\) b) Die Behauptung ist falsch. Die neue gemeinsame Ladezeit beträgt \(\frac{60}{7}\,\text{h}\approx8{,}57\,\text{h}\), nicht \(6\,\text{h}\).

- Stelle zuerst ein System aus zwei Gleichungen auf, wobei eine die alte und eine die neue Situation beschreibt. - Achte darauf, wie du eine Zeitverringerung mathematisch ausdrückst, zum Beispiel mit dem Faktor \(0{,}8\) bei einer Verringerung um \(20\,\%\). - Überlege dir für den zweiten Teil, für welches Modell insgesamt mehr Zeit verbraucht wurde. Welchen Einfluss hat das auf den gewichteten Gesamtdurchschnitt?

1. Variablen festlegen: \(x\) für die ursprüngliche Zeit pro Standard-Regal, \(y\) für die ursprüngliche Zeit pro Luxus-Regal (in Stunden). 2. Erste Gleichung: \(50x + 40y = 130\). Vereinfacht: \(5x + 4y = 13\). 3. Zweite Gleichung mit Zeitreduktion (\(0{,}8x\) und \(0{,}9y\)): \(50 \cdot (0{,}8x) + 40 \cdot (0{,}9y) = 111 \Rightarrow 40x + 36y = 111\). 4. Lösen des Systems: Aus der ersten Gleichung folgt \(40x = 8 \cdot (13 - 4y) = 104 - 32y\). Einsetzen in die zweite: \(104 - 32y + 36y = 111 \Rightarrow 4y = 7 \Rightarrow y = 1{,}75\). 5. Berechnung von \(x\): \(5x + 4 \cdot 1{,}75 = 13 \Rightarrow 5x + 7 = 13 \Rightarrow 5x = 6 \Rightarrow x = 1{,}2\). 6. Ergebnis zu Teil a): Das Standard-Regal benötigte \(1{,}2\,\text{Stunden}\) (\(72\,\text{Minuten}\)), das Luxus-Regal \(1{,}75\,\text{Stunden}\) (\(105\,\text{Minuten}\)). 7. Erklärung zu Teil b): Die Gesamtersparnis ist ein gewichteter Durchschnitt. Auf die Luxus-Regale entfällt ursprünglich ein größerer Anteil der gesamten Arbeitszeit als auf die Standard-Regale. Deshalb beeinflusst die geringere Einzelersparnis von \(10\,\%\) den Gesamtwert stärker, sodass er unter \(15\,\%\) liegt und näher bei \(10\,\%\) als bei \(20\,\%\).

a) Ursprünglich benötigte ein Standard-Regal \(1{,}2\,\text{Stunden}\) und ein Luxus-Regal \(1{,}75\,\text{Stunden}\). b) Die Gesamtersparnis liegt näher bei \(10\,\%\), weil für die Luxus-Regale (mit der geringeren Ersparnis) insgesamt mehr Arbeitszeit aufgewendet wurde als für die Standard-Regale.

- Welche Größe bleibt in allen drei Planungsszenarien gleich? - Multipliziere die veränderte Zahl der Knoten mit der veränderten Laufzeit und vergleiche mit \(nt\). - Welche Terme fallen beim Ausmultiplizieren auf beiden Seiten weg?

1. Setze \(n\) für die Zahl der Renderknoten und \(t\) für die geplante Laufzeit in Stunden. Der gesamte Rechenaufwand ist proportional zu \(nt\). 2. Aus den beiden Szenarien folgt \((n+2)(t-2)=nt\) und \((n-3)(t+6)=nt\). 3. Ausmultiplizieren der ersten Gleichung ergibt \(-2n+2t=4\), also \(-n+t=2\). 4. Ausmultiplizieren der zweiten Gleichung ergibt \(6n-3t=18\), also \(2n-t=6\). Damit erhält man das lineare Gleichungssystem \(\begin{cases}-n+t=2\\2n-t=6\end{cases}\). 5. Addition der beiden Gleichungen ergibt \(n=8\). 6. Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(t=10\).

Geplant waren \(8\) Renderknoten für \(10\,\text{h}\).

- Welche Größe muss bei identischen Scanstationen in allen Varianten gleich bleiben? - Schreibe für jede Variante „Anzahl der Stationen mal Laufzeit“. - Nach dem Ausmultiplizieren entsteht ein lineares System in \(n\) und \(t\).

1. Setze \(n\) für die Zahl der Scanstationen und \(t\) für die Betriebszeit pro Station. Der konstante Gesamtaufwand ist proportional zu \(nt\). 2. Es gilt \(nt=(n+4)(t-1)\) und \(nt=(n-3)(t+1{,}5)\). 3. Ausmultiplizieren und Kürzen von \(nt\) liefert das lineare LGS \(\begin{cases}-n+4t=4\\1{,}5n-3t=4{,}5\end{cases}\). 4. Aus der ersten Gleichung folgt \(n=4t-4\). Einsetzen in die zweite ergibt \(1{,}5(4t-4)-3t=4{,}5\), also \(t=3{,}5\). 5. Damit ist \(n=10\). 6. Der Gesamtaufwand beträgt \(10\cdot3{,}5=35\) Stationsstunden.

Ursprünglich waren \(10\) Scanstationen mit jeweils \(3{,}5\,\text{h}\) Betriebszeit geplant. Der Gesamtaufwand beträgt \(35\) Stationsstunden.

- Beschreibe die Förderleistung jeder Pumpe als Anteil eines ganzen Tankinhalts pro Stunde. - Welche zwei Gleichungen folgen aus den beiden Betriebsplänen? - Wie erhältst du aus einem geförderten Anteil pro Stunde die Zeit für einen ganzen Tankinhalt?

1. Setze \(x\) und \(y\) als Förderanteile des Tankinhalts pro Stunde für Pumpe A und B. 2. Aus den beiden Betriebsplänen folgt das LGS \(\begin{cases}x+y=\frac{1}{12}\\6x+3y=0{,}4\end{cases}\). 3. Setze \(y=\frac{1}{12}-x\) in die zweite Gleichung ein: \(6x+3(\frac{1}{12}-x)=\frac{2}{5}\). 4. Daraus folgt \(3x+\frac{1}{4}=\frac{2}{5}\), also \(x=\frac{1}{20}\) und \(y=\frac{1}{30}\). 5. Die Kehrwerte der Raten ergeben \(20\,\text{Stunden}\) für Pumpe A und \(30\,\text{Stunden}\) für Pumpe B.

Pumpe A benötigt allein \(20\,\text{Stunden}\), Pumpe B \(30\,\text{Stunden}\).

- Verwende für beide Roboter eine Rate „Anteil der Gesamtfläche pro Stunde“. - Übersetze die beiden Einsatzpläne in Gleichungen, bevor du Einzelzeiten berechnest. - Für Teil b brauchst du die Summe der beiden Raten und einen Vergleich mit dem schnelleren Roboter.

1. Setze \(x\) und \(y\) als gereinigte Flächenanteile pro Stunde. Dann gilt \(\begin{cases}2(x+y)=\frac{1}{3}\\4x+y=\frac{1}{2}\end{cases}\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(y=\frac{1}{2}-4x\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(2(\frac{1}{2}-3x)=\frac{1}{3}\). 3. Daraus folgt \(x=\frac{1}{9}\) und \(y=\frac{1}{18}\). 4. Allein benötigt A \(9\,\text{Stunden}\), B \(18\,\text{Stunden}\). 5. Gemeinsam ist die Rate \(\frac{1}{9}+\frac{1}{18}=\frac{1}{6}\); die gesamte Fläche dauert also \(6\,\text{Stunden}\). 6. Gegenüber Roboter A werden \(9-6=3\,\text{Stunden}\) gespart.

a) Roboter A: \(9\,\text{Stunden}\); Roboter B: \(18\,\text{Stunden}\) b) Der gemeinsame Einsatz spart \(3\,\text{Stunden}\).

- Wenn ein Rechner nur einen Bruchteil des Videos bearbeitet, welcher Bruchteil seiner vollständigen Exportzeit fällt dann an? - Übersetze beide Aufteilungen in je eine Gleichung. - Beseitige zunächst die Fünftel, bevor du das LGS löst.

1. Setze \(t_A\) und \(t_B\) für die Zeiten, die A beziehungsweise B allein für das vollständige Video benötigen. 2. Für die beiden Aufteilungen gilt \(\begin{cases}\frac{2}{5}t_A+\frac{3}{5}t_B=100\\\frac{3}{5}t_A+\frac{2}{5}t_B=80\end{cases}\). 3. Multipliziere beide Gleichungen mit \(5\). Es entsteht \(\begin{cases}2t_A+3t_B=500\\3t_A+2t_B=400\end{cases}\). 4. Multipliziere die erste Gleichung mit \(3\) und die zweite mit \(2\). Subtraktion ergibt \(5t_B=700\), also \(t_B=140\). 5. Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(2t_A+420=500\), also \(t_A=40\).

Rechner A benötigt allein \(40\,\text{min}\), Rechner B allein \(140\,\text{min}\).

- Stelle für jedes Szenario eine Gleichung auf, die den neuen Zustand mit dem alten Zustand vergleicht. - Achte beim Ausmultiplizieren der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Nach dem Vereinfachen erhältst du ein klassisches System mit zwei Variablen. - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du die Werte in die ursprünglichen Bedingungen einsetzt.

1. Variablen festlegen: \(x\) für die Anzahl der Reihen, \(y\) für die Anzahl der Plätze pro Reihe. 2. Gleichungssystem aufstellen: \((x + 2) \cdot (y + 5) = xy + 200\) und \((x - 5) \cdot (y - 2) = xy - 150\). 3. Terme vereinfachen: Gleichung 1: \(xy + 5x + 2y + 10 = xy + 200 \implies 5x + 2y = 190\). Gleichung 2: \(xy - 2x - 5y + 10 = xy - 150 \implies 2x + 5y = 160\). 4. System lösen (z. B. Additionsverfahren): Erste Gleichung mit 5 multiplizieren (\(25x + 10y = 950\)), zweite Gleichung mit \(-2\) multiplizieren (\(-4x - 10y = -320\)). 5. Addition der Gleichungen: \(21x = 630 \implies x = 30\). 6. Einsetzen zur Bestimmung von \(y\): \(2 \cdot 30 + 5y = 160 \implies 60 + 5y = 160 \implies 5y = 100 \implies y = 20\).

Der Theatersaal hat aktuell 30 Reihen mit jeweils 20 Plätzen pro Reihe.

- Stelle zuerst je eine Gleichung für die Anzahl der Fahrzeuge und für die Anzahl der Räder auf. - Behandle \(n\) und \(r\) beim Umformen wie feste Zahlen. - Welche Variable lässt sich besonders leicht isolieren? - Prüfe anschließend, wann beide Formeln ganze, nichtnegative Werte liefern: Welche kleinste und größte Radzahl ist bei \(n\) Fahrzeugen möglich?

1. Gleichungssystem aufstellen: I: \(m + a = n\) II: \(2m + 4a = r\) 2. Die erste Gleichung nach \(m\) umstellen: \(m = n - a\). 3. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(2 \cdot (n-a) + 4a = r\). 4. Nach \(a\) auflösen: \(2n - 2a + 4a = r \implies 2a = r - 2n \implies a = \frac{r-2n}{2} = \frac{r}{2}-n\). 5. \(a\) in \(m=n-a\) einsetzen: \(m = n-\left(\frac{r}{2}-n\right)=2n-\frac{r}{2}=\frac{4n-r}{2}\). 6. Für Fahrzeugzahlen müssen \(n,r\in\mathbb{N}_0\) gelten. Aus \(a\ge 0\) folgt \(r\ge 2n\), aus \(m\ge 0\) folgt \(r\le 4n\). Damit beide Formeln ganze Zahlen liefern, muss \(r\) gerade sein.

Die Anzahl der Autos ist \(a = \frac{r-2n}{2}\), die Anzahl der Motorräder ist \(m = \frac{4n-r}{2}\). Sinnvolle Fahrzeugzahlen erhält man für \(n,r\in\mathbb{N}_0\), \(2n\le r\le 4n\) und gerades \(r\).

- Für a) muss deine selbst erfundene Gleichung zunächst das vorgegebene Wertepaar erfüllen. - Zwei verschiedene Koeffizienten für die Gruppen können dafür sorgen, dass die zweite Bedingung eine andere Information trägt als die Gesamtzahl. - Bei c) soll die zweite Gleichung dieselbe Information nur skaliert wiederholen. - Für d) kannst du ein geeignetes Vielfaches von \(x+y=28\) von der allgemeinen zweiten Gleichung abziehen.

1. Eine mögliche unabhängige Bedingung ist: Jugendliche erhalten je \(2\) Wertmarken und Erwachsene je \(3\); insgesamt werden \(68\) Wertmarken ausgegeben. Das ergibt \(2x+3y=68\), denn \(2\cdot16+3\cdot12=68\). 2. Zusammen mit \(x+y=28\) folgt nach Verdoppeln der ersten Gleichung \(2x+2y=56\). Subtraktion von \(2x+3y=68\) ergibt \(y=12\), also \(x=16\). Andere passende Beispiele mit \(a\ne b\) sind ebenfalls möglich. 3. Eine abhängige Bedingung wäre zum Beispiel \(2x+2y=56\). Sie ist nur das Doppelte von \(x+y=28\) und schränkt die möglichen Verteilungen nicht weiter ein. 4. Allgemein gilt als zweite Gleichung \(ax+by=16a+12b\). Subtrahiere \(b(x+y=28)\): \((a-b)x=16a+12b-28b=16(a-b)\). 5. Für \(a\ne b\) folgt daraus eindeutig \(x=16\) und damit \(y=12\). Für \(a=b\) wird die zweite Gleichung zu \(a(x+y)=28a\) und ist somit nur ein Vielfaches der ersten Gleichung.

a) Zum Beispiel: \(2x+3y=68\), gedeutet als \(2\) Wertmarken je jugendlicher und \(3\) je erwachsener Person. b) Zusammen mit \(x+y=28\) ergibt sich eindeutig \((x|y)=(16|12)\). c) Zum Beispiel \(2x+2y=56\); diese Gleichung ist nur das Doppelte von \(x+y=28\) und daher abhängig. d) Aus \(ax+by=16a+12b\) und \(x+y=28\) folgt \((a-b)x=16(a-b)\). Für \(a\ne b\) ist daher \(x=16\), \(y=12\); für \(a=b\) ist die zweite Gleichung abhängig.