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- Kannst du die Informationen aus dem Text in zwei mathematische Gleichungen übersetzen? - Überlege dir ein Verfahren, um eine der Unbekannten zu eliminieren (z. B. Einsetzungs- oder Additionsverfahren). - Was passiert, wenn du die zweite Einkaufssituation verdoppelst? Fällt dir ein Vergleich zur ersten Situation auf?

1. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems mit \(x\) (Melone) und \(y\) (Mango): (I) \(4x + 6y = 52\) (II) \(5x + 3y = 47\) 2. Vorbereiten des Additionsverfahrens durch Multiplikation von (II) mit 2: \(10x + 6y = 94\). 3. Subtraktion von (I) von der neuen Gleichung: \((10x - 4x) + (6y - 6y) = 94 - 52 \Rightarrow 6x = 42\). 4. Lösung nach \(x\): \(x = 7\). Eine Melone kostet \(7\,\text{€}\).

d) \(7\,\text{€}\)

- Kannst du die Situation mit zwei Variablen beschreiben? - Wie viel mehr muss Herr Weber bezahlen, wenn er mehr Datenvolumen verbraucht? - Was passiert, wenn du die Differenz der Kosten durch die Differenz des Verbrauchs teilst? - Überlege, wie du eine der Unbekannten eliminieren kannst, wenn du zwei Gleichungen hast.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems mit \(G\) als Grundgebühr in \(\text{€}\) und \(p\) als Preis pro \(\text{GB}\) in \(\text{€}\): I: \(G + 5 \cdot p = 17{,}50\) II: \(G + 12 \cdot p = 31{,}50\) 2. Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten zur Elimination von \(G\): \((G + 12p) - (G + 5p) = 31{,}50 - 17{,}50\) \(7p = 14{,}00\) 3. Berechnung von \(p\): \(p = 14 : 7 = 2{,}00\). Der Preis pro \(\text{GB}\) beträgt \(2{,}00\,\text{€}\). 4. Einsetzen von \(p = 2\) in Gleichung I zur Berechnung von \(G\): \(G + 5 \cdot 2 = 17{,}50\) \(G + 10 = 17{,}50\) \(G = 7{,}50\). Die Grundgebühr beträgt \(7{,}50\,\text{€}\).

Die monatliche Grundgebühr beträgt \(7{,}50\,\text{€}\) und der Preis pro Gigabyte liegt bei \(2{,}00\,\text{€}\).

- Identifiziere die zwei verschiedenen Arten von Informationen: die Gesamtzahl der verkauften Objekte und den Gesamtwert. - Erstelle für jede dieser Informationen eine eigene Gleichung. - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Definition der Variablen: Anzahl der Erwachsenen \(x\) und Anzahl der Kinder \(y\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(x + y = 120\) (Gesamtanzahl der Personen) und \(8x + 5y = 735\) (Gesamteinnahmen in Euro). 3. Umstellen der ersten Gleichung nach einer Variablen: \(y = 120 - x\). 4. Einsetzen in die Einnahmegleichung: \(8x + 5 \cdot (120 - x) = 735\). 5. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(8x + 600 - 5x = 735 \Rightarrow 3x + 600 = 735\). 6. Isolieren von \(x\): \(3x = 135 \Rightarrow x = 45\). 7. Berechnung von \(y\): \(y = 120 - 45 = 75\). 8. Ergebnis: Es besuchten \(45\) Erwachsene und \(75\) Kinder die Aufführung.

Es wurden \(45\) Karten an Erwachsene und \(75\) Karten an Kinder verkauft.

- Überlege dir zuerst, welche zwei Dinge gesucht sind und ordne ihnen Buchstaben zu. - Wie kannst du den Gesamtpreis für die Äpfel und Bananen als mathematischen Ausdruck schreiben? - Du hast zwei verschiedene Situationen gegeben – das hilft dir, zwei Gleichungen aufzustellen. - Gibt es ein Verfahren, mit dem du eine der beiden Unbekannten eliminieren kannst?

1. Definition der Variablen: \(a\) für den Preis eines Apfels und \(b\) für den Preis einer Banane in Euro. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(3a + 2b = 2{,}10\); II: \(2a + 3b = 2{,}40\). 3. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation von Gleichung I mit \(3\) und Gleichung II mit \(2\) ergibt: I': \(9a + 6b = 6{,}30\); II': \(4a + 6b = 4{,}80\). 4. Subtraktion der Gleichungen (I' \(-\) II'): \(5a = 1{,}50\). 5. Berechnung von \(a\): \(a = 0{,}30\). 6. Einsetzen von \(a = 0{,}30\) in Gleichung I: \(3 \cdot 0{,}30 + 2b = 2{,}10 \implies 0{,}90 + 2b = 2{,}10 \implies 2b = 1{,}20 \implies b = 0{,}60\).

Ein Apfel kostet \(0{,}30\,\text{€}\) und eine Banane kostet \(0{,}60\,\text{€}\).

- Überlege dir, wie viel mehr Herr Schmidt im zweiten Monat bezahlt hat und warum. - Kannst du den Preisunterschied direkt den zusätzlichen Saunabesuchen zuordnen? - Was bleibt vom Gesamtbetrag übrig, wenn man die Kosten für die Saunabesuche abzieht?

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit \(G\) als Grundgebühr und \(s\) als Preis pro Saunabesuch: I: \(G + 6s = 56\) II: \(G + 10s = 72\) 2. Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung zur Elimination von \(G\): \((G + 10s) - (G + 6s) = 72 - 56 \Rightarrow 4s = 16\) 3. Berechnung des Preises pro Saunabesuch: \(s = 16 : 4 = 4\) Ein Saunabesuch kostet \(4{,}00\,\text{€}\). 4. Einsetzen von \(s = 4\) in Gleichung I zur Berechnung von \(G\): \(G + 6 \cdot 4 = 56 \Rightarrow G + 24 = 56 \Rightarrow G = 32\) Die Grundgebühr beträgt \(32{,}00\,\text{€}\).

Die monatliche Grundgebühr beträgt \(32{,}00\,\text{€}\) und ein Saunabesuch kostet \(4{,}00\,\text{€}\).

- Wir suchen zwei verschiedene Anzahlen. Welche Buchstaben möchtest du dafür verwenden? - Es gibt zwei Gesamtsummen im Text: die Anzahl der Personen und den Geldbetrag. Kannst du für jede Summe eine Gleichung aufstellen? - Wie berechnet man den Gesamtpreis für alle Kinderkarten, wenn man die Anzahl noch nicht kennt? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Erwachsenen und \(y\) für die Anzahl der Kinder. 2. Aufstellen der Gleichung für die Anzahl der Personen: \(x + y = 20\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Einnahmen: \(12x + 7y = 190\). 4. Lösen des Systems: Aus der ersten Gleichung folgt \(x = 20 - y\). Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(12(20 - y) + 7y = 190\). 5. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(240 - 12y + 7y = 190 \implies 240 - 5y = 190\). 6. Isolieren von \(y\): \(5y = 50 \implies y = 10\). 7. Berechnung von \(x\): \(x = 20 - 10 = 10\). Es waren \(10\) Erwachsene und \(10\) Kinder.

Es haben \(10\) Erwachsene und \(10\) Kinder die Vorstellung besucht.

- Kannst du für jede der beiden Klassen eine eigene Gleichung aufstellen? - Überlege dir, welche Unbekannten gesucht sind, und gib ihnen Namen wie \(x\) und \(y\). - Welches Verfahren eignet sich am besten, um eine der Variablen verschwinden zu lassen? - Achte darauf, dass du am Ende beide Preise berechnest.

1. Variablen festlegen: \(x\) für den Preis eines Kastens Sprudel und \(y\) für den Preis eines Kastens Apfelsaft (in \(\text{€}\)). 2. Lineares Gleichungssystem aufstellen: \(5x + 3y = 46\) und \(3x + 4y = 43\). 3. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation der ersten Gleichung mit \(4\) und der zweiten mit \(-3\) ergibt \(20x + 12y = 184\) und \(-9x - 12y = -129\). 4. Addition der Gleichungen eliminiert \(y\): \(11x = 55 \Rightarrow x = 5\). 5. Einsetzen von \(x = 5\) in die zweite Gleichung: \(3 \cdot 5 + 4y = 43 \Rightarrow 15 + 4y = 43 \Rightarrow 4y = 28 \Rightarrow y = 7\). 6. Ergebnis: Ein Kasten Sprudel kostet \(5{,}00\,\text{€}\), ein Kasten Apfelsaft kostet \(7{,}00\,\text{€}\).

Ein Kasten Sprudel kostet \(5{,}00\,\text{€}\) und ein Kasten Apfelsaft kostet \(7{,}00\,\text{€}\).

- Welche zwei Mengen sind in der Aufgabe gesucht? - Überlege dir, welche zwei Bedingungen erfüllt sein müssen: eine für die Gesamtmenge der Flüssigkeit und eine für den Anteil des reinen Fruchtsafts. - Kannst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten aufstellen? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) eignet sich hier am besten?

1. Variablen festlegen: \(x\) für das Volumen von Sorte A in Litern und \(y\) für das Volumen von Sorte B in Litern. 2. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtmenge: \(x + y = 60\). 3. Aufstellen der Gleichung für den reinen Fruchtanteil: \(0{,}40x + 0{,}70y = 0{,}50 \cdot 60\), was zu \(0{,}4x + 0{,}7y = 30\) vereinfacht wird. 4. Umstellen der ersten Gleichung nach \(y\): \(y = 60 - x\). 5. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(0{,}4x + 0{,}7(60 - x) = 30\). 6. Klammer auflösen und nach \(x\) auflösen: \(0{,}4x + 42 - 0{,}7x = 30 \Rightarrow -0{,}3x = -12 \Rightarrow x = 40\). 7. Berechnen von \(y\): \(y = 60 - 40 = 20\). Es müssen \(40\,\text{Liter}\) der Sorte A und \(20\,\text{Liter}\) der Sorte B gemischt werden.

Es müssen \(40\,\text{Liter}\) von Sorte A und \(20\,\text{Liter}\) von Sorte B gemischt werden.

- Welche zwei Dinge suchen wir und wie können wir sie als Variablen benennen? - Kannst du für jede Information im Text eine mathematische Gleichung schreiben? - Wenn du weißt, wie viel teurer ein Gegenstand ist, kannst du ihn durch den anderen ausdrücken. - Wie kannst du eine Gleichung so verändern, dass nur noch eine Unbekannte darin vorkommt?

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit \(b\) für den Preis eines Brötchens und \(s\) für den Preis einer Saftpackung: \(2b + 3s = 7{,}80\) und \(b = s + 0{,}60\). 2. Einsetzen des Ausdrucks für \(b\) in die erste Gleichung: \(2 \cdot (s + 0{,}60) + 3s = 7{,}80\). 3. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(2s + 1{,}20 + 3s = 7{,}80 \Rightarrow 5s + 1{,}20 = 7{,}80\). 4. Isolieren von \(s\): \(5s = 6{,}60 \Rightarrow s = 1{,}32\). 5. Einsetzen von \(s\) in die Gleichung für \(b\): \(b = 1{,}32 + 0{,}60 = 1{,}92\). Ein Brötchen kostet \(1{,}92\,\text{€}\) und eine Packung Saft kostet \(1{,}32\,\text{€}\).

Ein belegtes Brötchen kostet \(1{,}92\,\text{€}\) und eine Packung Saft kostet \(1{,}32\,\text{€}\).

- Stelle für beide Fälle eine Gleichung auf, die den Preis des Geschenks beschreibt. - Was passiert mit dem Gesamtpreis, wenn du die Beiträge der Schüler und den fehlenden oder überschüssigen Betrag kombinierst? - Wenn du zwei verschiedene Ausdrücke für denselben Preis hast, kannst du diese gleichsetzen. - Überlege für den zweiten Teil, wie man einen Gesamtpreis gleichmäßig auf eine Gruppe aufteilt.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Schüler und \(y\) für den Preis des Geschenks. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(4{,}50 \cdot x = y - 12{,}00 \Rightarrow y = 4{,}50x + 12{,}00\) II: \(5{,}50 \cdot x = y + 12{,}00 \Rightarrow y = 5{,}50x - 12{,}00\) 3. Gleichsetzen der Ausdrücke für \(y\): \(4{,}50x + 12{,}00 = 5{,}50x - 12{,}00\). 4. Lösen nach \(x\): \(24{,}00 = 1{,}00x \Rightarrow x = 24\). Es sind 24 Schüler in der Klasse. 5. Berechnung des Preises \(y\): \(y = 4{,}50 \cdot 24 + 12{,}00 = 108{,}00 + 12{,}00 = 120{,}00\,\text{€}\). 6. Berechnung des exakten Betrags pro Person: \(120{,}00\,\text{€} : 24 = 5{,}00\,\text{€}\).

a) In der Klasse sind 24 Schüler und das Geschenk kostet \(120{,}00\,\text{€}\). b) Jeder Schüler müsste exakt \(5{,}00\,\text{€}\) bezahlen.

- Was sind die gesuchten Größen in dieser Aufgabe? - Kannst du für jeden Einkauf eine eigene Gleichung aufstellen? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um eine der Variablen zu eliminieren? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Preise in die Sätze der Aufgabe einsetzt.

1. Definition der Variablen: \(x\) für den Preis pro Kilogramm Äpfel und \(y\) für den Preis pro Kilogramm Kartoffeln. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(2x + 5y = 13{,}50\) und (II) \(3x + 2y = 12{,}00\). 3. Anwendung des Additionsverfahrens: Gleichung (I) mit \(3\) multiplizieren (\(6x + 15y = 40{,}50\)) und Gleichung (II) mit \(2\) multiplizieren (\(6x + 4y = 24{,}00\)). 4. Subtraktion der Gleichungen: \(11y = 16{,}50 \implies y = 1{,}50\). 5. Einsetzen von \(y\) in (II): \(3x + 2 \cdot 1{,}50 = 12{,}00 \implies 3x + 3{,}00 = 12{,}00 \implies 3x = 9{,}00 \implies x = 3{,}00\).

Ein Kilogramm Äpfel kostet \(3{,}00\,\text{€}\) und ein Kilogramm Kartoffeln kostet \(1{,}50\,\text{€}\).

- Welche zwei Dinge wissen wir über die Anzahl der Gehege und deren Kosten? - Kannst du für jede dieser Informationen eine Gleichung mit zwei Unbekannten aufstellen? - Wie kannst du eine der Gleichungen umformen, um sie in die andere einzusetzen? - Überprüfe am Ende, ob deine berechneten Anzahlen zusammen \(42\) ergeben und die Kosten stimmen.

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit \(v\) für die Anzahl der Vogelgehege und \(s\) für die Anzahl der Kleinsäugergehege: I: \(v + s = 42\) II: \(8 \cdot v + 12 \cdot s = 400\) 2. Auflösen der ersten Gleichung nach einer Variablen: \(v = 42 - s\). 3. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(8 \cdot (42 - s) + 12 \cdot s = 400\). 4. Vereinfachen und Berechnen von \(s\): \(336 - 8s + 12s = 400 \Rightarrow 4s = 64 \Rightarrow s = 16\). 5. Berechnen von \(v\): \(v = 42 - 16 = 26\).

Es gibt \(26\) Vogelgehege und \(16\) Kleinsäugergehege.

- Kannst du für jede der beiden Informationen (Gesamtanzahl und Gesamtpreis) eine eigene Gleichung aufstellen? - Welche Unbekannten suchst du? Gib ihnen Namen wie \(x\) und \(y\). - Wie könntest du eine der Gleichungen so umformen, dass du eine Unbekannte durch die andere ausdrückst? - Überprüfe dein Ergebnis: Ergeben die Anzahlen zusammen 40 und passt der Gesamtpreis?

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der belegten Brötchen und \(y\) für die Anzahl der Obststücke. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(x + y = 40\) (Gesamtanzahl) und \(2{,}5x + 1{,}2y = 74\) (Gesamtpreis). 3. Umstellen der ersten Gleichung nach \(y\): \(y = 40 - x\). 4. Einsetzen in die Preisgleichung: \(2{,}5x + 1{,}2(40 - x) = 74\). 5. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(2{,}5x + 48 - 1{,}2x = 74 \implies 1{,}3x + 48 = 74\). 6. Isolieren von \(x\): \(1{,}3x = 26 \implies x = 20\). 7. Berechnung von \(y\): \(y = 40 - 20 = 20\).

Es wurden 20 belegte Brötchen und 20 Obststücke verkauft.

- Kannst du für die beiden unbekannten Preise Platzhalter wie \(x\) und \(y\) festlegen? - Wie lassen sich die Einkäufe der beiden Familien als mathematische Gleichungen schreiben? - Gibt es ein Verfahren, mit dem du eine der Variablen eliminieren kannst, zum Beispiel indem du eine Gleichung so vervielfachst, dass sie zur anderen passt? - Was passiert, wenn du die Ergebnisse in die ursprünglichen Sätze einsetzt?

1. Definition der Variablen: \(x\) sei der Preis eines Weltmeisterbrötchens in Euro, \(y\) der Preis einer Laugenstange in Euro. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(4x + 3y = 6{,}50\) II: \(2x + 5y = 7{,}10\) 3. Lösung durch das Additionsverfahren: Multiplikation von Gleichung II mit \(-2\) ergibt: II': \(-4x - 10y = -14{,}20\) 4. Addition von I und II': \((4x - 4x) + (3y - 10y) = 6{,}50 - 14{,}20\) \(-7y = -7{,}70\) \(y = 1{,}10\) 5. Einsetzen von \(y = 1{,}10\) in Gleichung II: \(2x + 5 \cdot 1{,}10 = 7{,}10\) \(2x + 5{,}50 = 7{,}10\) \(2x = 1{,}60\) \(x = 0{,}80\) 6. Ergebnis: Ein Weltmeisterbrötchen kostet \(0{,}80\,\text{€}\) und eine Laugenstange kostet \(1{,}10\,\text{€}\).

Ein Weltmeisterbrötchen kostet \(0{,}80\,\text{€}\) und eine Laugenstange kostet \(1{,}10\,\text{€}\).

- Überlege dir zuerst, welche zwei Werte unbekannt sind und ordne ihnen Buchstaben zu. - Kannst du die Informationen über die Mischungen als mathematische Gleichungen schreiben? - Wie oft sind die \(100\,\text{g}\)-Einheiten in den jeweiligen Mischungen enthalten? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Definition der Variablen: \(x\) ist der Energiegehalt von \(100\,\text{g}\) Walnüssen, \(y\) der von \(100\,\text{g}\) Cashews. 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems basierend auf den Mischungsverhältnissen: (I) \(x + 2y = 1850\) (II) \(3x + y = 2550\) 3. Umformen von Gleichung (II) nach \(y\): \(y = 2550 - 3x\). 4. Einsetzen von \(y\) in Gleichung (I): \(x + 2 \cdot (2550 - 3x) = 1850\). 5. Zusammenfassen und Lösen nach \(x\): \(x + 5100 - 6x = 1850 \implies -5x = -3250 \implies x = 650\). 6. Berechnen von \(y\) durch Einsetzen von \(x = 650\) in die umgeformte Gleichung: \(y = 2550 - 3 \cdot 650 = 2550 - 1950 = 600\). 7. Ergebnis: \(100\,\text{g}\) Walnüsse haben \(650\,\text{kcal}\), \(100\,\text{g}\) Cashews haben \(600\,\text{kcal}\).

Walnusskerne haben einen Energiegehalt von \(650\,\text{kcal}\) pro \(100\,\text{g}\) und Cashewkerne von \(600\,\text{kcal}\) pro \(100\,\text{g}\).

- Wenn \(x\) eine Anzahl ist, was muss dann die Zahl davor sein, damit am Ende ein Geldbetrag herauskommt? - Was bedeutet „Rabatt“ für den Einzelpreis eines Tickets? - Wenn du die Gesamtzahl der Personen kennst, wie kannst du das als einfache Gleichung mit \(x\) und \(y\) schreiben? - Versuche, eine der Variablen durch die andere auszudrücken.

1. Interpretation: Die Zahl \(12\) ist der Ticketpreis für einen Jugendlichen in Euro, \(18\) ist der Ticketpreis für einen Erwachsenen in Euro. 2. Veränderung der Gleichung: Der neue Preis für Jugendliche beträgt \(12 - 2 = 10\,\text{€}\). Die neue Gleichung lautet \(10x + 18y = 360\). 3. Berechnung mit Zusatzbedingung: Wir haben das System \(12x + 18y = 360\) und \(x + y = 25\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(x = 25 - y\). Einsetzen in die erste: \(12(25 - y) + 18y = 360 \Rightarrow 300 - 12y + 18y = 360 \Rightarrow 6y = 60 \Rightarrow y = 10\). Einsetzen in \(x = 25 - 10 = 15\). Es nehmen 15 Jugendliche und 10 Erwachsene teil.

a) \(12\,\text{€}\) ist der Preis für einen Jugendlichen, \(18\,\text{€}\) der Preis für einen Erwachsenen. b) Die neue Gleichung lautet \(10x + 18y = 360\). c) Es fahren 15 Jugendliche und 10 Erwachsene mit.

- Welche Kosten fallen an, auch wenn gar keine Seite gedruckt wird? - Wie ändert sich der Gesamtpreis, wenn die Anzahl der Seiten steigt? - Könntest du ein Gleichungssystem aufstellen, in dem eine Variable die Fixkosten und eine die variablen Kosten darstellt? - Welches Rechenverfahren eignet sich am besten, um eine Variable direkt zu entfernen?

1. Definition der Variablen: \(B\) für die Bereitstellungsgebühr in \(\text{€}\) und \(s\) für den Preis pro Seite in \(\text{€}\). 2. Aufstellen der Gleichungen: I: \(B + 200s = 18\) II: \(B + 500s = 33\) 3. Anwendung des Additionsverfahrens (Subtraktion I von II): \(300s = 15\) 4. Berechnung des Seitenpreises \(s\): \(s = \frac{15}{300} = 0{,}05\). Eine Seite kostet \(0{,}05\,\text{€}\) (bzw. \(5\,\text{Cent}\)). 5. Berechnung der Bereitstellungsgebühr \(B\) durch Einsetzen in I: \(B + 200 \cdot 0{,}05 = 18\) \(B + 10 = 18\) \(B = 8\). Die Gebühr beträgt \(8{,}00\,\text{€}\).

Die monatliche Bereitstellungsgebühr beträgt \(8{,}00\,\text{€}\) und der Preis pro Seite beträgt \(0{,}05\,\text{€}\) (oder \(5\,\text{Cent}\)).

- Stelle für jede Bestellung eine Gleichung mit zwei Unbekannten auf. - Wie kannst du eine prozentuale Preiserhöhung mathematisch als Faktor ausdrücken? - Kannst du eine der Gleichungen vereinfachen, bevor du ein Lösungsverfahren anwendest?

1. Definition der Variablen: \(x\) für den Preis eines Trikots und \(y\) für den Preis einer Hose (in \(\text{€}\)). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(20x + 30y = 900\) II: \(20 \cdot 1{,}1x + 30 \cdot 1{,}2y = 1\,020 \implies 22x + 36y = 1\,020\) 3. Vereinfachung von Gleichung I durch Division durch \(10\): \(2x + 3y = 90 \implies x = 45 - 1{,}5y\). 4. Einsetzen in Gleichung II: \(22(45 - 1{,}5y) + 36y = 1\,020\). 5. Auflösen nach \(y\): \(990 - 33y + 36y = 1\,020 \implies 3y = 30 \implies y = 10\). 6. Berechnung von \(x\): \(x = 45 - 1{,}5 \cdot 10 = 30\). Ein Trikot kostete ursprünglich \(30\,\text{€}\) und eine Hose \(10\,\text{€}\).

Der ursprüngliche Preis für ein Trikot betrug \(30\,\text{€}\) und für eine Hose \(10\,\text{€}\).

- Was ist das Gesamtgewicht der Mischung und wie setzt es sich zusammen? - Wie berechnet man den Gesamtwert der Mischung aus den Einzelpreisen? - Könnte es helfen, zuerst den Wert der gesamten \(20\,\text{kg}\) auszurechnen? - Stelle eine Gleichung für das Gewicht und eine für den Geldwert auf.

1. Variablen festlegen: \(m\) für die Masse der milden Sorte und \(k\) für die Masse der kräftigen Sorte (in \(\text{kg}\)). 2. Gleichungssystem aufstellen: (I) \(m + k = 20\) (II) \(12m + 18k = 20 \cdot 16{,}50\) 3. Den Gesamtwert in (II) berechnen: \(20 \cdot 16{,}50 = 330\). 4. Einsetzungsverfahren anwenden: Aus (I) folgt \(m = 20 - k\). 5. In (II) einsetzen: \(12 \cdot (20 - k) + 18k = 330\). 6. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(240 - 12k + 18k = 330 \Rightarrow 6k = 90\). 7. Ergebnisse berechnen: \(k = 15\) und \(m = 20 - 15 = 5\). Es werden \(5\,\text{kg}\) der milden und \(15\,\text{kg}\) der kräftigen Sorte benötigt.

Es werden \(5\,\text{kg}\) der milden Sorte und \(15\,\text{kg}\) der kräftigen Sorte benötigt.

- Überlege dir zuerst, welche zwei Unbekannten gesucht sind und ordne ihnen Variablen zu. - Wie viel bezahlt Gruppe A ausgedrückt durch deine Variablen? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am sinnvollsten?

1. Variablen festlegen: \(x\) sei der Preis für einen Erwachsenen, \(y\) der Preis für ein Kind (in \(\text{€}\)). 2. Gleichungssystem aufstellen: (I) \(3x + 4y = 38\) (II) \(2x + 5y = 37\) 3. Gleichung (I) mit \(2\) und Gleichung (II) mit \(3\) multiplizieren: (I') \(6x + 8y = 76\) (II') \(6x + 15y = 111\) 4. Subtraktionsverfahren: (II') \(-\) (I') ergibt \(7y = 35 \Rightarrow y = 5\). 5. Wert für \(y\) in (I) einsetzen: \(3x + 4 \cdot 5 = 38 \Rightarrow 3x + 20 = 38 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6\). 6. Ergebnis: Eine Erwachsenenkarte kostet \(6{,}00\,\text{€}\), eine Kinderkarte \(5{,}00\,\text{€}\).

Eine Eintrittskarte für einen Erwachsenen kostet \(6{,}00\,\text{€}\) und eine für ein Kind \(5{,}00\,\text{€}\).

- Notiere dir zuerst, was genau gegeben ist und was gesucht wird. - Stelle eine Gleichung für die Gesamtmasse der Legierung auf. - Stelle eine zweite Gleichung auf, die nur den Anteil des reinen Goldes in den Legierungen betrachtet. - Wie kannst du eine der Unbekannten eliminieren, um die andere zu berechnen?

1. Variablen festlegen: \(m_1\) für die Masse der ersten Legierung (600er) und \(m_2\) für die Masse der zweiten Legierung (900er) in Gramm. 2. Aufstellen der Massenbilanz: \(m_1 + m_2 = 300\). 3. Aufstellen der Goldbilanz: \(0{,}60 m_1 + 0{,}90 m_2 = 0{,}80 \cdot 300\). 4. Vereinfachen der Goldbilanz: \(0{,}6 m_1 + 0{,}9 m_2 = 240\). 5. Lösen des Systems, zum Beispiel durch Einsetzen von \(m_1 = 300 - m_2\): \(0{,}6(300 - m_2) + 0{,}9 m_2 = 240\). 6. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(180 - 0{,}6 m_2 + 0{,}9 m_2 = 240 \Rightarrow 0{,}3 m_2 = 60\). 7. Ergebnis für \(m_2\): \(m_2 = 200\). 8. Ergebnis für \(m_1\): \(m_1 = 300 - 200 = 100\). Der Goldschmied muss \(100\,\text{g}\) der ersten Legierung und \(200\,\text{g}\) der zweiten Legierung verwenden.

Der Goldschmied muss \(100\,\text{g}\) der ersten Legierung (\(60\,\%\) Gold) und \(200\,\text{g}\) der zweiten Legierung (\(90\,\%\) Gold) verwenden.

- Was wissen wir über die Gesamtzahl der Karten? - Wie lässt sich der Gesamtwert der Karten mathematisch ausdrücken? - Kannst du eine der Unbekannten durch die andere ausdrücken? - Was bedeutet „gleich viele Karten von jeder Sorte“ für die Anzahl bei einer festen Gesamtsumme?

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Erwachsenenkarten und \(y\) für die Anzahl der Schülerkarten. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(x + y = 240\) (II) \(8x + 5y = 1440\) 3. Auflösen der ersten Gleichung nach \(y\): \(y = 240 - x\). 4. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(8x + 5(240 - x) = 1440\). 5. Vereinfachen und Lösen nach \(x\): \(8x + 1200 - 5x = 1440 \Rightarrow 3x = 240 \Rightarrow x = 80\). 6. Berechnen von \(y\): \(y = 240 - 80 = 160\). Es wurden \(80\) Erwachsenenkarten und \(160\) Schülerkarten verkauft. 7. Lösung von Teil b): Bei Gleichverteilung wären es jeweils \(240 : 2 = 120\) Karten. 8. Berechnung der neuen Einnahmen: \(120 \cdot 8 + 120 \cdot 5 = 120 \cdot 13 = 1560{,}00\,\text{€}\).

a) Es wurden \(80\) Erwachsenenkarten und \(160\) Schülerkarten verkauft. b) Die Einnahmen hätten \(1560{,}00\,\text{€}\) betragen.

- Was genau suchen wir und welche Buchstaben könnten wir dafür verwenden? - Kannst du für jede Mischung eine mathematische Gleichung aufschreiben? - Gibt es eine Möglichkeit, eine der Gleichungen so zu verändern, dass eine Variable beim Verrechnen wegfällt? - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Definition der Variablen: \(x\) für den Preis pro Liter Orangensaft und \(y\) für den Preis pro Liter Apfelsaft in Euro. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(3x + 2y = 10{,}10\) und \(5x + 4y = 18{,}10\). 3. Multiplikation der ersten Gleichung mit 2, um das Additionsverfahren vorzubereiten: \(6x + 4y = 20{,}20\). 4. Subtraktion der zweiten Gleichung von der neuen Gleichung: \((6x + 4y) - (5x + 4y) = 20{,}20 - 18{,}10\), woraus \(x = 2{,}10\) folgt. 5. Einsetzen von \(x\) in die erste Gleichung: \(3 \cdot 2{,}10 + 2y = 10{,}10 \Rightarrow 6{,}30 + 2y = 10{,}10 \Rightarrow 2y = 3{,}80 \Rightarrow y = 1{,}90\). 6. Ergebnis: Der Preis für einen Liter Orangensaft beträgt \(2{,}10\,\text{€}\) und für einen Liter Apfelsaft \(1{,}90\,\text{€}\).

Ein Liter Orangensaft kostet \(2{,}10\,\text{€}\) und ein Liter Apfelsaft kostet \(1{,}90\,\text{€}\).

- Achte darauf, ob es sinnvoll ist, mit Gramm oder mit Einheiten von \(100\,\text{g}\) zu rechnen. - Kannst du eine der Gleichungen vereinfachen, bevor du mit dem Rechnen beginnst? - Überlege dir zuerst die Einzelpreise, bevor du den Vergleich anstellst. - Was bedeutet das Ergebnis im Hinblick auf die Frage nach dem Preisunterschied?

1. Definition der Variablen: \(a\) für den Preis von \(100\,\text{g}\) Arabica und \(r\) für den Preis von \(100\,\text{g}\) Robusta in Euro. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(4a + 6r = 15{,}20\) und \(5a + 5r = 15{,}50\). 3. Vereinfachung der zweiten Gleichung durch Division durch 5: \(a + r = 3{,}10\). 4. Umstellen nach einer Variablen: \(r = 3{,}10 - a\). 5. Einsetzen in die erste Gleichung: \(4a + 6(3{,}10 - a) = 15{,}20 \Rightarrow 4a + 18{,}60 - 6a = 15{,}20 \Rightarrow -2a = -3{,}40 \Rightarrow a = 1{,}70\). 6. Berechnung von \(r\): \(r = 3{,}10 - 1{,}70 = 1{,}40\). 7. Vergleich und Differenzbildung: Arabica (\(1{,}70\,\text{€}\)) ist teurer als Robusta (\(1{,}40\,\text{€}\)). Der Unterschied beträgt \(1{,}70\,\text{€} - 1{,}40\,\text{€} = 0{,}30\,\text{€}\).

Die Sorte „Arabica“ ist teurer. Der Preisunterschied beträgt \(0{,}30\,\text{€}\) pro \(100\,\text{g}\).

- Überlege dir zuerst Variablen für die beiden gesuchten Kartenpreise. - Kannst du die Einnahmen der beiden Abende jeweils als Summe darstellen? - Es hilft oft, große Zahlen in den Gleichungen durch Division zu vereinfachen, bevor man ein Lösungsverfahren anwendet. - Wie viel müsste die Gruppe bezahlen, wenn sie kein Spezial-Angebot nutzt? Vergleiche diesen Wert mit dem Angebotspreis.

1. Definition der Variablen: \(s\) für den Preis einer Schülerkarte und \(e\) für den Preis einer Erwachsenenkarte in Euro. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(60s + 20e = 440\) und \(45s + 30e = 480\). 3. Vereinfachen der Gleichungen durch Division (Gleichung 1 durch 20, Gleichung 2 durch 15): \(3s + e = 22\) und \(3s + 2e = 32\). 4. Subtraktion der ersten von der zweiten vereinfachten Gleichung zur Elimination von \(s\): \((3s + 2e) - (3s + e) = 32 - 22 \Rightarrow e = 10\). 5. Einsetzen von \(e = 10\) in die Gleichung \(3s + e = 22\): \(3s + 10 = 22 \Rightarrow 3s = 12 \Rightarrow s = 4\). 6. Teil b: Berechnung des Preises für die Gruppe zum regulären Preis: \(5 \cdot 4{,}00\,\text{€} + 2 \cdot 10{,}00\,\text{€} = 40{,}00\,\text{€}\). 7. Vergleich mit dem Sonderangebot: Da \(35{,}00\,\text{€} < 40{,}00\,\text{€}\), ist das Angebot um \(5{,}00\,\text{€}\) günstiger.

a) Eine Schülerkarte kostet \(4{,}00\,\text{€}\) und eine Erwachsenenkarte kostet \(10{,}00\,\text{€}\). b) Ja, das Angebot ist günstiger, da der Einzelkauf \(40{,}00\,\text{€}\) kosten würde, das Gruppenangebot hingegen nur \(35{,}00\,\text{€}\).

- Überlege dir zuerst, welche zwei Größen unbekannt sind und gib ihnen Namen wie \(x\) und \(y\). - Kannst du den ersten Satz in eine mathematische Gleichung übersetzen? - Achte auf die Formulierung „kostet ... mehr als“. Wie kannst du das als Differenz oder Summe ausdrücken? - Wenn du zwei Gleichungen hast, welches Verfahren kennst du, um solche Systeme zu lösen? - Überprüfe am Ende, ob deine Preise sinnvoll sind und beide Bedingungen erfüllen.

1. Definition der Variablen: \(x\) für den Preis einer Erwachsenenkarte und \(y\) für den Preis einer Schülerkarte in \(\text{€}\). 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: \(3x + 5y = 75\) und \(2x = 3y + 12\). 3. Umformen der zweiten Gleichung in die Standardform: \(2x - 3y = 12\). 4. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation der ersten Gleichung mit 3 und der zweiten mit 5 führt zu \(9x + 15y = 225\) und \(10x - 15y = 60\). 5. Addition der beiden Gleichungen: \(19x = 285\), was zu \(x = 15\) führt. 6. Berechnung von \(y\) durch Einsetzen von \(x\) in die umgeformte zweite Gleichung: \(2 \cdot 15 - 3y = 12 \implies 30 - 3y = 12 \implies 3y = 18 \implies y = 6\).

Eine Eintrittskarte für einen Erwachsenen kostet \(15{,}00\,\text{€}\), eine für einen Schüler kostet \(6{,}00\,\text{€}\).

- Achte darauf, wie sich die Anzahl der Personen im zweiten Szenario verändert. - Wie kannst du die Gesamtkosten der Miete jeweils durch die Beiträge der Teilnehmer ausdrücken? - Vergiss nicht, die Klammern korrekt zu setzen, wenn sich der Beitrag auf die gesamte neue Gruppe bezieht. - Kannst du eine Variable eliminieren, indem du die Gleichungen gleichsetzt?

1. Variablen festlegen: \(x\) für die ursprüngliche Anzahl der Personen, \(M\) für die Miete. 2. Gleichungen aufstellen: Fall 1: \(20x = M - 40 \Rightarrow M = 20x + 40\) Fall 2: \(18(x + 5) = M + 20 \Rightarrow M = 18(x + 5) - 20\) 3. Gleichsetzen: \(20x + 40 = 18(x + 5) - 20\). 4. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(20x + 40 = 18x + 90 - 20 \Rightarrow 20x + 40 = 18x + 70\). 5. Nach \(x\) auflösen: \(2x = 30 \Rightarrow x = 15\). Ursprünglich waren 15 Personen in der Gruppe. 6. Miete berechnen: \(M = 20 \cdot 15 + 40 = 340{,}00\,\text{€}\). 7. Überprüfung mit Fall 2: \(18 \cdot (15 + 5) - 20 = 18 \cdot 20 - 20 = 360 - 20 = 340\,\text{€}\).

Ursprünglich waren 15 Personen in der Gruppe. Die Miete für die Hütte beträgt \(340{,}00\,\text{€}\).

- Kannst du für beide Tage jeweils eine Gleichung aufstellen, die den Gesamteinkauf beschreibt? - Wie lassen sich die neuen Preise nach der Erhöhung mithilfe von Faktoren wie \(1{,}1\) ausdrücken? - Welches Verfahren erscheint dir hier am einfachsten? - Um den Prozentsatz zu finden, teile den Teilwert durch den Gesamtwert.

1. Definition der Variablen: \(s\) für den Preis eines Brötchens und \(a\) für den Preis eines Apfels in Euro. 2. Aufstellen der ersten Gleichung für Montag: \(30s + 20a = 90\). Vereinfacht: \(3s + 2a = 9\). 3. Aufstellen der zweiten Gleichung für Dienstag mit den Preiserhöhungen (\(1{,}1s\) und \(1{,}2a\)): \(30 \cdot (1{,}1s) + 20 \cdot (1{,}2a) = 102\), was zu \(33s + 24a = 102\) führt. 4. Lösen des linearen Gleichungssystems: Aus der ersten Gleichung folgt \(2a = 9 - 3s\), also \(8a = 36 - 12s\). Einsetzen in die zweite Gleichung (\(33s + 3(8a) = 102\)): \(33s + 3(36 - 12s) = 102 \Rightarrow 33s + 108 - 36s = 102 \Rightarrow -3s = -6 \Rightarrow s = 2\). 5. Berechnung von \(a\): \(3(2) + 2a = 9 \Rightarrow 6 + 2a = 9 \Rightarrow 2a = 3 \Rightarrow a = 1{,}5\). 6. Ergebnis für Teil a: Ein Brötchen kostete ursprünglich \(2{,}00\,\text{€}\), ein Apfel \(1{,}50\,\text{€}\). 7. Berechnung für Teil b: Kosten der Brötchen am Montag: \(30 \cdot 2{,}00\,\text{€} = 60{,}00\,\text{€}\). Anteil an Gesamtkosten: \(60 : 90 = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\).

a) Ein Brötchen kostete ursprünglich \(2{,}00\,\text{€}\) und ein Apfel \(1{,}50\,\text{€}\). b) Der Anteil der Brötchen an den Gesamtkosten betrug am Montag ca. \(66{,}7\,\%\).

- Überlege dir zuerst, welche zwei Dinge unbekannt sind, und gib ihnen Namen wie \(x\) und \(y\). - Kannst du eine Gleichung für den Gesamtwert aller Bälle aufstellen? - Wie berechnet man den Wert eines Teils des Bestands, wenn man den Prozentsatz kennt? - Versuche, eine der Gleichungen zu vereinfachen, bevor du ein Lösungsverfahren anwendest.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Basketbälle und \(y\) für die Anzahl der Volleybälle. 2. Aufstellen der Gleichung für den Gesamtwert: \(15x + 20y = 1225\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Wert der abgenutzten Bälle: \(0{,}20 \cdot 15x + 0{,}30 \cdot 20y = 285\). 4. Vereinfachung der zweiten Gleichung: \(3x + 6y = 285\), was durch Division durch 3 zu \(x + 2y = 95\) führt. 5. Umstellen nach \(x\): \(x = 95 - 2y\). 6. Einsetzen in die erste Gleichung: \(15(95 - 2y) + 20y = 1225 \Rightarrow 1425 - 30y + 20y = 1225\). 7. Zusammenfassen und Lösen nach \(y\): \(-10y = -200 \Rightarrow y = 20\). 8. Berechnung von \(x\): \(x = 95 - 2 \cdot 20 = 55\).

Der Verein hat ursprünglich \(55\) Basketbälle und \(20\) Volleybälle gekauft.

- Was bleibt bei allen Szenarien unverändert? - Wie hängen die Anzahl der Personen, der Preis pro Person und die Gesamtkosten zusammen? - Kannst du für jede der beiden Bedingungen eine Gleichung aufstellen, die den Zusammenhang beschreibt? - Versuche, die Klammern in deinen Gleichungen aufzulösen, um ein einfaches System mit zwei Unbekannten zu erhalten.

1. Definition der Variablen: \(n\) für die Anzahl der Schüler und \(p\) für den Preis pro Person in Euro. Die Gesamtkosten für den Bus betragen \(G = n \cdot p\). 2. Aufstellen der ersten Gleichung basierend auf der Preiserhöhung: \((n - 5) \cdot (p + 2{,}4) = n \cdot p\). Durch Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt sich \(2{,}4n - 5p = 12\). 3. Aufstellen der zweiten Gleichung basierend auf der Preisverringerung: \((n + 10) \cdot (p - 3{,}2) = n \cdot p\). Durch Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt sich \(-3{,}2n + 10p = 32\). 4. Lösen des linearen Gleichungssystems: Multiplikation der ersten Gleichung mit 2 führt zu \(4{,}8n - 10p = 24\). Addition dieser Gleichung zur zweiten Gleichung ergibt \(1{,}6n = 56\), woraus \(n = 35\) folgt. 5. Einsetzen von \(n = 35\) in die erste vereinfachte Gleichung: \(2{,}4 \cdot 35 - 5p = 12 \implies 84 - 5p = 12 \implies 5p = 72 \implies p = 14{,}4\).

Es sind ursprünglich 35 Schüler eingeplant, und die Kosten pro Person betragen \(14{,}40\,\text{€}\).

- Beginne damit, Symbole für die beiden gesuchten Preise festzulegen. - Kannst du die Informationen aus den beiden Gruppenbesuchen als mathematische Sätze schreiben? - Versuche, die Gleichungen zu vereinfachen, bevor du ein Lösungsverfahren (wie Einsetzungs- oder Additionsverfahren) anwendest. - Für den zweiten Teil: Berechne erst, was die Personen einzeln zahlen würden, und vergleiche das Ergebnis mit dem Pauschalpreis.

1. Festlegen der Variablen: \(x\) für den Preis eines Erwachsenen, \(y\) für den Preis eines Kindes. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(5x + 10y = 90\) und \(3x + 12y = 84\). 3. Vereinfachen der Gleichungen durch Division: \(x + 2y = 18\) und \(x + 4y = 28\). 4. Anwendung des Subtraktionsverfahrens: \((x + 4y) - (x + 2y) = 28 - 18 \implies 2y = 10 \implies y = 5\). 5. Einsetzen von \(y = 5\) in die erste vereinfachte Gleichung: \(x + 10 = 18 \implies x = 8\). 6. Die Einzelpreise betragen \(8{,}00\,\text{€}\) für Erwachsene und \(5{,}00\,\text{€}\) für Kinder. 7. Berechnung des Preises für \(2\) Erwachsene und \(3\) Kinder mit Einzelkarten: \(2 \cdot 8 + 3 \cdot 5 = 16 + 15 = 31\). 8. Vergleich: \(31{,}00\,\text{€} < 35{,}00\,\text{€}\). Die Familienkarte ist teurer als die Einzelkarten.

a) Ein Erwachsener zahlt \(8{,}00\,\text{€}\), ein Kind zahlt \(5{,}00\,\text{€}\). b) Nein, man spart nicht. Die Einzelkarten kosten zusammen nur \(31{,}00\,\text{€}\), während die Familienkarte \(35{,}00\,\text{€}\) kostet.

- Kannst du die Gesamtkosten als Summe der Einzelkosten ausdrücken? - Überlege, wie viel \(1\,\text{g}\) jeder Sorte kostet, wenn der Preis für \(100\,\text{g}\) gegeben ist. - Welche zwei Dinge wissen wir über die Mengen der beiden Teesorten? - Könnte es helfen, eine der Unbekannten durch die andere auszudrücken?

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit \(x\) für Masse „Frühlingsgruß“ und \(y\) für Masse „Abendruhe“ in Gramm: \(x + y = 500\) und \(0{,}045x + 0{,}03y = 18\) (Preise pro Gramm). 2. Umformen der ersten Gleichung nach \(y = 500 - x\) und Einsetzen in die zweite Gleichung: \(0{,}045x + 0{,}03 \cdot (500 - x) = 18\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(0{,}045x + 15 - 0{,}03x = 18\), woraus \(0{,}015x = 3\) folgt. 4. Berechnen der Massen: \(x = 200\) und \(y = 500 - 200 = 300\). Die Mischung enthält \(200\,\text{g}\) der Sorte „Frühlingsgruß“ und \(300\,\text{g}\) der Sorte „Abendruhe“.

Die Mischung enthält \(200\,\text{g}\) der Sorte „Frühlingsgruß“ und \(300\,\text{g}\) der Sorte „Abendruhe“.

- Was genau soll am Ende herauskommen und welche Informationen hast du über die Ausgangsstoffe? - Kannst du für die unbekannten Mengen Buchstaben festlegen? - Stelle eine Gleichung für die Gesamtmenge der Flüssigkeit auf. - Stelle eine zweite Gleichung auf, die nur den Anteil des reinen Stoffes (hier Essig) berücksichtigt. - Wie hängen die Anteile in den Ausgangslösungen mit dem Anteil in der fertigen Mischung zusammen?

1. Definition der Variablen: \(x\) ist das Volumen der \(25\,\%\)-igen Lösung in Litern, \(y\) das Volumen der \(5\,\%\)-igen Lösung in Litern. 2. Aufstellen der Gleichung für das Gesamtvolumen: \(x + y = 10\). 3. Aufstellen der Gleichung für die reine Essigmenge: \(0{,}25x + 0{,}05y = 0{,}12 \cdot 10\), also \(0{,}25x + 0{,}05y = 1{,}2\). 4. Umstellen der ersten Gleichung nach \(y\): \(y = 10 - x\). 5. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(0{,}25x + 0{,}05(10 - x) = 1{,}2\). 6. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(0{,}25x + 0{,}5 - 0{,}05x = 1{,}2 \implies 0{,}20x = 0{,}7\). 7. Berechnung von \(x\): \(x = 0{,}7 : 0{,}20 = 3{,}5\). 8. Berechnung von \(y\): \(y = 10 - 3{,}5 = 6{,}5\). Es müssen \(3{,}5\,\text{Liter}\) der \(25\,\%\)-igen und \(6{,}5\,\text{Liter}\) der \(5\,\%\)-igen Lösung gemischt werden.

Es müssen \(3{,}5\,\text{Liter}\) der \(25\,\%\)-igen Essigessenz und \(6{,}5\,\text{Liter}\) der \(5\,\%\)-igen Essiglösung verwendet werden.

- Welche Größen sind unbekannt? Weise ihnen Variablen zu. - Kannst du für jede der beiden Mischungen eine Gleichung aufstellen? - Überlege, wie sich das Gesamtgewicht aus den Einzelgewichten der Öle zusammensetzt. - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) eignet sich hier am besten?

1. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems mit \(x\) als Masse von \(1\,\text{l}\) Öl \(A\) und \(y\) als Masse von \(1\,\text{l}\) Öl \(B\) in \(\text{kg}\): I: \(3x + 2y = 4{,}4\) II: \(x + 4y = 4{,}8\) 2. Auflösen der zweiten Gleichung nach \(x\): \(x = 4{,}8 - 4y\) 3. Einsetzen in die erste Gleichung: \(3(4{,}8 - 4y) + 2y = 4{,}4 \implies 14{,}4 - 12y + 2y = 4{,}4\) 4. Zusammenfassen und nach \(y\) auflösen: \(14{,}4 - 10y = 4{,}4 \implies -10y = -10 \implies y = 1\) 5. Berechnen von \(x\): \(x = 4{,}8 - 4 \cdot 1 = 0{,}8\) 6. Ergebnis: Ein Liter Öl \(A\) wiegt \(0{,}8\,\text{kg}\), ein Liter Öl \(B\) wiegt \(1\,\text{kg}\).

Ein Liter Öl \(A\) wiegt \(0{,}8\,\text{kg}\), ein Liter Öl \(B\) wiegt \(1\,\text{kg}\).

- Stelle für jede Mischung eine Gleichung auf, die die Menge des reinen Stickstoffs beschreibt. - Wie berechnet man die Gesamtmenge an Stickstoff in einer Mischung, wenn man das Volumen und den Prozentsatz kennt? - Überlege dir, welche Variable du am einfachsten durch die andere ausdrücken kannst. - Achte darauf, dass die Summe der Einzelmengen das Gesamtvolumen der Mischung ergibt.

1. Definition der Variablen \(x\) und \(y\) für die Stickstoffkonzentrationen der Sorten A und B. 2. Aufstellen des Gleichungssystems basierend auf der Gesamtmenge an Stickstoff: I: \(3x + 2y = 5 \cdot 0{,}14 = 0{,}70\) II: \(x + 4y = 5 \cdot 0{,}10 = 0{,}50\) 3. Auflösen von Gleichung II nach \(x\): \(x = 0{,}50 - 4y\). 4. Einsetzen in Gleichung I: \(3(0{,}50 - 4y) + 2y = 0{,}70 \implies 1{,}50 - 12y + 2y = 0{,}70\). 5. Zusammenfassen und Lösen nach \(y\): \(-10y = -0{,}80 \implies y = 0{,}08\). 6. Berechnen von \(x\): \(x = 0{,}50 - 4 \cdot 0{,}08 = 0{,}18\). 7. Die Konzentrationen sind \(18\,\%\) für Sorte A und \(8\,\%\) für Sorte B.

Die Sorte A hat einen Stickstoffgehalt von \(18\,\%\), die Sorte B einen Gehalt von \(8\,\%\).

- Stelle zunächst fest, wie viel eine gesamte Packung (\(10\,\text{kg}\)) jeder Mischung kostet. - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, bei dem eine Variable durch Multiplikation einer Gleichung eliminiert werden kann? - Vergleiche nach der Berechnung die Preise der beiden Kaffeesorten. - Welche Sorte ist teurer und wie wirkt sich ihr Anteil auf den Gesamtpreis der Mischung aus?

1. Variablen festlegen: \(a\) für Preis Arabica (\(\text{€}/\text{kg}\)), \(r\) für Preis Robusta (\(\text{€}/\text{kg}\)). 2. Gleichungssystem für die Gesamtkosten der \(10\,\text{kg}\)-Chargen aufstellen: I: \(4a + 6r = 10 \cdot 12{,}80 = 128\) II: \(7a + 3r = 10 \cdot 14{,}30 = 143\) 3. Gleichung II mit 2 multiplizieren: \(14a + 6r = 286\). 4. Subtraktionsverfahren (II' - I): \(10a = 158 \implies a = 15{,}80\). 5. Wert für \(a\) in I einsetzen: \(4 \cdot 15{,}80 + 6r = 128 \implies 63{,}20 + 6r = 128 \implies 6r = 64{,}80 \implies r = 10{,}80\). 6. Vergleich der Preise: Arabica ist mit \(15{,}80\,\text{€}/\text{kg}\) teurer als Robusta mit \(10{,}80\,\text{€}/\text{kg}\). 7. Mischung 2 enthält einen deutlich höheren Anteil der teureren Sorte Arabica (\(7\,\text{kg}\) statt \(4\,\text{kg}\)), was den höheren Durchschnittspreis erklärt.

a) Ein Kilogramm Arabica kostet \(15{,}80\,\text{€}\) und ein Kilogramm Robusta kostet \(10{,}80\,\text{€}\). b) Mischung 2 ist teurer, da sie einen höheren Anteil der kostspieligeren Sorte Arabica enthält (\(70\,\%\) gegenüber \(40\,\%\) in Mischung 1).

- Was genau suchen wir und welche Einheiten bieten sich für die Unbekannten an? - Kannst du für jede Mischung eine Gleichung aufstellen, die den Gesamtpreis beschreibt? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um ein System aus zwei Gleichungen zu lösen? - Achte darauf, ob du die Preise für eine bestimmte Menge (z. B. \(100\,\text{g}\)) oder pro Kilogramm berechnest.

1. Definition der Variablen: \(x\) für den Preis von \(100\,\text{g}\) Cashewkernen und \(y\) für den Preis von \(100\,\text{g}\) Erdnüssen (in \(\text{€}\)). 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: I: \(2x + 3y = 5{,}50\) II: \(3x + 2y = 7{,}00\) 3. Anwendung des Additionsverfahrens (Multiplikation zur Elimination von \(x\)): \(I \cdot 3: 6x + 9y = 16{,}50\) \(II \cdot (-2): -6x - 4y = -14{,}00\) 4. Addition der Gleichungen: \(5y = 2{,}50 \implies y = 0{,}50\). 5. Einsetzen von \(y\) in Gleichung I: \(2x + 3 \cdot 0{,}50 = 5{,}50 \implies 2x + 1{,}50 = 5{,}50 \implies 2x = 4{,}00 \implies x = 2{,}00\). 6. Ergebnis: Der Preis für \(100\,\text{g}\) Cashewkerne beträgt \(2{,}00\,\text{€}\), für \(100\,\text{g}\) Erdnüsse \(0{,}50\,\text{€}\).

\(100\,\text{g}\) Cashewkerne kosten \(2{,}00\,\text{€}\) und \(100\,\text{g}\) Erdnüsse kosten \(0{,}50\,\text{€}\).

- Kannst du die Mengen der beiden Sorten mit Variablen benennen? - Wie lässt sich der Anteil an reinem Direktsaft mathematisch ausdrücken? - Welcher Zusammenhang zwischen den beiden Mengen lässt sich aus der ersten Information ableiten? - Überlege, wie sich die Gesamtmenge und die Menge des Direktsafts ändern, wenn man von beidem etwas hinzufügt.

1. Festlegen der Variablen: \(x\) für das Volumen von Sorte A und \(y\) für das Volumen von Sorte B in Litern. 2. Aufstellen der Gleichung für die erste Mischung: \(0{,}1x + 0{,}4y = 0{,}2(x + y)\). Durch Umformen erhält man \(0{,}2y = 0{,}1x\), was zu \(x = 2y\) führt. 3. Aufstellen der Gleichung für die zweite Mischung: \(\frac{0{,}1(x + 3) + 0{,}4(y + 3)}{x + 3 + y + 3} = 0{,}225\). 4. Einsetzen von \(x = 2y\) in die zweite Gleichung: \(\frac{0{,}1(2y + 3) + 0{,}4(y + 3)}{3y + 6} = 0{,}225\). 5. Vereinfachen des Zählers: \(0{,}2y + 0{,}3 + 0{,}4y + 1{,}2 = 0{,}6y + 1{,}5\). 6. Lösen der Gleichung \(0{,}6y + 1{,}5 = 0{,}225(3y + 6)\): \(0{,}6y + 1{,}5 = 0{,}675y + 1{,}35\). Dies ergibt \(0{,}15 = 0{,}075y\), woraus \(y = 2\) folgt. 7. Berechnen von \(x\): \(x = 2 \cdot 2 = 4\). Die ursprüngliche Mischung bestand aus \(4\,\text{Litern}\) der Sorte A und \(2\,\text{Litern}\) der Sorte B.

Für die ursprüngliche Mischung waren \(4\,\text{Liter}\) der Sorte A und \(2\,\text{Liter}\) der Sorte B vorgesehen.

- Was sind die unbekannten Größen in dieser Aufgabe? - Kannst du die beiden Bedingungen in mathematische Gleichungen übersetzen? - Wie hängen die Preise der Bikes zusammen, wenn man die Kosten für die Helme berücksichtigt? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier an?

1. Variablen festlegen: \(x\) für den Preis von Jans Mountainbike und \(y\) für den Preis von Leos Mountainbike in \(\text{€}\). 2. Erste Gleichung aufstellen: \(x + 120 = 3 \cdot (y + 40)\). 3. Zweite Gleichung aufstellen: \(y + 120 = \frac{1}{2} \cdot (x + 40)\). 4. Erste Gleichung vereinfachen: \(x + 120 = 3y + 120 \Rightarrow x = 3y\). 5. \(x = 3y\) in die zweite Gleichung einsetzen: \(y + 120 = \frac{1}{2} \cdot (3y + 40)\). 6. Gleichung nach \(y\) auflösen: \(2y + 240 = 3y + 40 \Rightarrow y = 200\). 7. \(x\) berechnen: \(x = 3 \cdot 200 = 600\).

Jans Mountainbike kostet \(600{,}00\,\text{€}\) und Leos Mountainbike kostet \(200{,}00\,\text{€}\).

- Überlege dir, wie du die Preise der verschiedenen Räder mithilfe einer einzigen Variable ausdrücken kannst. - Kannst du für einen der Preise zwei verschiedene Rechenausdrücke finden, die denselben Wert beschreiben müssen? - Stelle eine Gleichung auf, indem du diese beiden Ausdrücke gleichsetzt.

1. Variable \(b\) für den Preis des Basismodells festlegen; Preis des Tourenrads als \(4b\) ausdrücken. 2. Zwei Ausdrücke für den Preis des Rennrads \(R\) aufstellen: \(R = 4b + 1200\) und \(R = b + 4800\). 3. Gleichung durch Gleichsetzen bilden: \(4b + 1200 = b + 4800\). 4. Gleichung nach \(b\) auflösen: \(3b = 3600 \Rightarrow b = 1200{,}00\,\text{€}\). 5. Berechnung der weiteren Preise: Tourenrad \(4 \cdot 1200 = 4800{,}00\,\text{€}\), Rennrad \(1200 + 4800 = 6000{,}00\,\text{€}\).

Basismodell: \(1200{,}00\,\text{€}\), Tourenrad: \(4800{,}00\,\text{€}\), Rennrad: \(6000{,}00\,\text{€}\).

- Was bleibt gleich, egal wie weit man fährt? - Kannst du ausrechnen, wie viel die zusätzlichen Kilometer zwischen den beiden Fahrten gekostet haben? - Stelle zwei mathematische Ausdrücke für die Gesamtkosten auf. - Wenn du die Differenz der Gesamtkosten durch die Differenz der Kilometer teilst, was erhältst du dann?

1. Variablen festlegen: \(G\) für die Grundgebühr in \(\text{€}\) und \(k\) für den Preis pro Kilometer in \(\text{€}\). 2. Gleichungssystem erstellen: I: \(G + 8 \cdot k = 21{,}40\) II: \(G + 15 \cdot k = 36{,}80\) 3. Differenz bilden (II - I): \(7 \cdot k = 15{,}40\) 4. Kilometerpreis \(k\) berechnen: \(k = 15{,}40 : 7 = 2{,}20\). Der Kilometerpreis beträgt \(2{,}20\,\text{€}\). 5. Grundgebühr \(G\) berechnen durch Einsetzen in I: \(G + 8 \cdot 2{,}20 = 21{,}40\) \(G + 17{,}60 = 21{,}40\) \(G = 21{,}40 - 17{,}60 = 3{,}80\). Die Grundgebühr beträgt \(3{,}80\,\text{€}\).

Die Grundgebühr beträgt \(3{,}80\,\text{€}\) und der Preis pro Kilometer liegt bei \(2{,}20\,\text{€}\).

- Stelle für jede Pause eine Gleichung auf. - Achte darauf, wie sich die Preise in der zweiten Pause verändern (Faktor für „günstiger“ und „teurer“). - Es hilft oft, die Gleichungen durch einen gemeinsamen Teiler zu vereinfachen, bevor man das Additions- oder Subtraktionsverfahren nutzt.

1. Variablen festlegen: \(b\) für den Preis einer Brezel und \(a\) für den Preis einer Schorle in der ersten Pause. 2. Gleichungssystem aufstellen: I: \(40b + 50a = 115\) II: \(30 \cdot 0{,}8b + 40 \cdot 1{,}5a = 102 \implies 24b + 60a = 102\) 3. Gleichung I durch 10 dividieren: \(4b + 5a = 11{,}5\). 4. Gleichung II durch 6 dividieren: \(4b + 10a = 17\). 5. Subtraktionsverfahren anwenden (Gleichung II' minus Gleichung I'): \((10a - 5a) = 17 - 11{,}5 \implies 5a = 5{,}5\). 6. Auflösen nach \(a\): \(a = 1{,}1\). 7. Einsetzen in \(4b + 5 \cdot 1{,}1 = 11{,}5 \implies 4b + 5{,}5 = 11{,}5 \implies 4b = 6 \implies b = 1{,}5\). In der ersten Pause kostete eine Brezel \(1{,}50\,\text{€}\) und eine Apfelschorle \(1{,}10\,\text{€}\).

In der ersten Pause kostete eine Brezel \(1{,}50\,\text{€}\) und eine Flasche Apfelschorle \(1{,}10\,\text{€}\).

- Kannst du eine der Gleichungen so verändern, dass in beiden Gleichungen die gleiche Anzahl an Heften vorkommt? - Wenn du die Preise für ein Heft und einen Stift kennst, wie berechnest du dann den Preis für eine beliebige Menge davon? - Vergleiche den berechneten Normalpreis mit dem Preis des Sonderangebots.

1. Aufstellen des Gleichungssystems (\(h\): Preis Heft, \(s\): Preis Stift): I: \(4h + 3s = 11\) II: \(2h + 5s = 9\) 2. Multiplikation von Gleichung II mit \(2\), um das Additionsverfahren anzuwenden: II': \(4h + 10s = 18\) 3. Subtraktion von I von II': \((4h + 10s) - (4h + 3s) = 18 - 11 \Rightarrow 7s = 7 \Rightarrow s = 1\) Ein Stift kostet \(1{,}00\,\text{€}\). 4. Einsetzen von \(s = 1\) in Gleichung II: \(2h + 5 \cdot 1 = 9 \Rightarrow 2h = 4 \Rightarrow h = 2\) Ein Heft kostet \(2{,}00\,\text{€}\). 5. Prüfung des Sonderangebots: Regulärer Preis für \(6\) Hefte und \(8\) Stifte: \(6 \cdot 2{,}00\,\text{€} + 8 \cdot 1{,}00\,\text{€} = 12{,}00\,\text{€} + 8{,}00\,\text{€} = 20{,}00\,\text{€}\). Vergleich: \(18{,}50\,\text{€} < 20{,}00\,\text{€}\). Das Angebot ist um \(1{,}50\,\text{€}\) günstiger.

a) Ein Heft kostet \(2{,}00\,\text{€}\) und ein Stift kostet \(1{,}00\,\text{€}\). b) Ja, das Angebot ist günstiger, da der reguläre Einzelkauf \(20{,}00\,\text{€}\) kosten würde. Man spart \(1{,}50\,\text{€}\).

- Was sind die beiden Unbekannten, nach denen gefragt wird? - Wie viele Liter müssen die beiden Säfte zusammen ergeben? - Wie lässt sich der Preis für die gesamte Mischung aus den Einzelpreisen zusammensetzen?

1. Variablen festlegen: \(x\) für die Menge von Saft A in Litern, \(y\) für die Menge von Saft B in Litern. 2. Gleichungssystem aufstellen: I: \(x + y = 20\) (Gesamtvolumen) und II: \(1{,}20 \cdot x + 2{,}00 \cdot y = 32{,}80\) (Gesamtkosten). 3. Gleichung I nach \(y\) auflösen: \(y = 20 - x\). 4. Einsetzen in Gleichung II: \(1{,}2x + 2 \cdot (20 - x) = 32{,}8\). 5. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(1{,}2x + 40 - 2x = 32{,}8 \implies -0{,}8x + 40 = 32{,}8\). 6. Nach \(x\) auflösen: \(-0{,}8x = -7{,}2 \implies x = 9\). 7. \(y\) berechnen: \(y = 20 - 9 = 11\). 8. Ergebnis: Es werden \(9\,\text{Liter}\) von Saft A und \(11\,\text{Liter}\) von Saft B benötigt.

Es müssen \(9\,\text{Liter}\) von Saft A und \(11\,\text{Liter}\) von Saft B gemischt werden.

- Kannst du zuerst die Kosten pro Gigabyte für Tarif A bestimmen, indem du den Preisunterschied und den Volumenunterschied betrachtest? - Wie berechnet man die Grundgebühr, wenn man den Preis pro Gigabyte und die Gesamtkosten für eine bestimmte Menge kennt? - Wie hängen die Werte von Tarif B von denen des Tarifs A ab? - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Tarife „gleich teuer“ sind?

1. Aufstellen der Gleichungen für Tarif A mit Grundgebühr \(G_A\) und Preis \(p_A\): \(G_A + 3p_A = 14\) und \(G_A + 5p_A = 20\). 2. Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung: \(2p_A = 6\), woraus \(p_A = 3\,\text{€}/\text{GB}\) folgt. 3. Einsetzen in die erste Gleichung: \(G_A + 3 \cdot 3 = 14 \Rightarrow G_A = 5\,\text{€}\). 4. Bestimmung der Werte für Tarif B: \(G_B = 5 - 2 = 3\,\text{€}\) und \(p_B = 3 + 0{,}5 = 3{,}50\,\text{€}/\text{GB}\). 5. Gleichsetzen der Kostenfunktionen für ein Volumen \(x\): \(5 + 3x = 3 + 3{,}5x\). 6. Auflösen nach \(x\): \(2 = 0{,}5x \Rightarrow x = 4\). Bei einem Datenverbrauch von \(4\,\text{GB}\) sind beide Tarife gleich teuer.

Tarif A: \(5\,\text{€}\) Grundgebühr und \(3\,\text{€}/\text{GB}\). Tarif B: \(3\,\text{€}\) Grundgebühr und \(3{,}50\,\text{€}/\text{GB}\). Beide Tarife kosten bei einem Datenvolumen von \(4\,\text{GB}\) gleich viel.

- Was genau wird am Ende der Aufgabe gefragt? Achte darauf, ob nach dem Anfangsbestand oder dem Endbestand gesucht wird. - Stelle zuerst das Gleichungssystem für die Situation vor dem Verkauf auf. - Wie hängen die verkauften Mengen mit dem Erlös zusammen? - Wenn du die ursprüngliche Anzahl kennst, wie berechnest du dann, wie viele Geräte übrig geblieben sind?

1. Variablen festlegen: \(x\) sei die Anzahl der Tablets, \(y\) die Anzahl der Laptops zu Beginn. 2. Gleichungssystem aufstellen: I: \(300x + 800y = 110\,000\) II: \(0{,}4 \cdot 300x + 0{,}6 \cdot 800y = 60\,000\) 3. Vereinfachung von II: \(120x + 480y = 60\,000\), dividiert durch 120 ergibt \(x + 4y = 500\). 4. Auflösen von II nach \(x\): \(x = 500 - 4y\). 5. Einsetzen in I: \(300(500 - 4y) + 800y = 110\,000 \Rightarrow 150\,000 - 1200y + 800y = 110\,000\). 6. Lösen nach \(y\): \(-400y = -40\,000 \Rightarrow y = 100\). 7. Berechnung von \(x\): \(x = 500 - 4 \cdot 100 = 100\). 8. Berechnung des Restbestands: Da \(40\,\%\) der Tablets verkauft wurden, verbleiben \(60\,\%\) von \(100\), also \(60\) Tablets. Da \(60\,\%\) der Laptops verkauft wurden, verbleiben \(40\,\%\) von \(100\), also \(40\) Laptops.

Nach der Aktion befinden sich noch \(60\) Tablets und \(40\) Laptops im Lager.

- Was bedeutet ein Verhältnis von \(4 : 1\) für den prozentualen Anteil des ersten Stoffes? - Überlege dir zuerst, wie viel Kupfer insgesamt in den \(50\,\text{kg}\) der Ziel-Legierung enthalten sein muss. - Kannst du zwei Gleichungen aufstellen – eine für die Gesamtmasse und eine nur für das Kupfer? - Achte darauf, dass die Summe der Anteile der Einzelkomponenten die Gesamtmenge des Kupfers ergeben muss.

1. Bestimmung der Kupferanteile: In Legierung A ist der Anteil \(\frac{4}{4+1} = 0{,}8\) (\(80\,\%\)). In Legierung B ist der Anteil \(\frac{1}{1+3} = 0{,}25\) (\(25\,\%\)). 2. Definition der Variablen: \(x\) sei die Masse von Legierung A in \(\text{kg}\), \(y\) die Masse von Legierung B in \(\text{kg}\). 3. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(x + y = 50\) (Gesamtmasse) II: \(0{,}8x + 0{,}25y = 0{,}47 \cdot 50\) (Kupferanteil) 4. Vereinfachung der zweiten Gleichung: \(0{,}8x + 0{,}25y = 23{,}5\). 5. Lösen durch Einsetzungsverfahren: Aus I folgt \(y = 50 - x\). Einsetzen in II: \(0{,}8x + 0{,}25(50 - x) = 23{,}5\). 6. Berechnung: \(0{,}8x + 12{,}5 - 0{,}25x = 23{,}5 \implies 0{,}55x = 11\). 7. Ergebnis für \(x\): \(x = 11 : 0{,}55 = 20\). 8. Ergebnis für \(y\): \(y = 50 - 20 = 30\). Es werden \(20\,\text{kg}\) von Legierung A und \(30\,\text{kg}\) von Legierung B benötigt.

Man benötigt \(20\,\text{kg}\) der Legierung A und \(30\,\text{kg}\) der Legierung B.

- Wie viel Salz muss am Ende insgesamt in den \(10\,\text{kg}\) Lösung enthalten sein? - Berücksichtige, dass bereits \(1\,\text{kg}\) Wasser im Gefäß ist. Wie viel Masse müssen die Lösungen A und B zusammen also noch liefern? - Enthält das reine Wasser Salz? Wie wirkt sich das auf deine Salz-Gleichung aus? - Stelle ein System aus zwei Gleichungen auf: eine für die Massen und eine für die Salzmengen.

1. Variablen festlegen: \(x\) für die Masse von Lösung A (in \(\text{kg}\)) und \(y\) für die Masse von Lösung B (in \(\text{kg}\)). 2. Bilanzgleichung für die Gesamtmasse aufstellen: \(x + y + 1 = 10\), woraus folgt \(x + y = 9\). 3. Bilanzgleichung für die Salzmasse aufstellen: Der Zielgehalt an Salz ist \(0{,}12 \cdot 10\,\text{kg} = 1{,}2\,\text{kg}\). Da reines Wasser \(0\,\%\) Salz enthält, gilt: \(0{,}05x + 0{,}20y + 0 = 1{,}2\). 4. Das System lösen: Aus der ersten Gleichung folgt \(x = 9 - y\). Einsetzen in die zweite Gleichung: \(0{,}05(9 - y) + 0{,}2y = 1{,}2\). 5. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(0{,}45 - 0{,}05y + 0{,}2y = 1{,}2 \implies 0{,}45 + 0{,}15y = 1{,}2\). 6. Nach \(y\) auflösen: \(0{,}15y = 0{,}75 \implies y = 5\). 7. \(x\) berechnen: \(x = 9 - 5 = 4\). Es müssen \(4\,\text{kg}\) von Lösung A und \(5\,\text{kg}\) von Lösung B hinzugefügt werden.

Es müssen \(4\,\text{kg}\) der Lösung A und \(5\,\text{kg}\) der Lösung B hinzugefügt werden.

- Wie viel Liter reiner Wirkstoff befinden sich insgesamt in den \(5\,\text{l}\) der fertigen Mischung? - Stelle eine Gleichung auf, die die Summe der Wirkstoffmengen der einzelnen Flüssigkeiten mit der Gesamtmenge in der Mischung vergleicht. - Denk daran, Prozentangaben für die Rechnung in Dezimalzahlen umzuwandeln. - Welche Unbekannten repräsentieren die gesuchten Konzentrationen?

1. Variablen festlegen: \(a\) ist die Konzentration der ersten Flüssigkeit, \(b\) die der zweiten (als Dezimalzahl). 2. Gesamtmenge der Mischungen bestimmen: In beiden Fällen werden \(2\,\text{l} + 3\,\text{l} = 5\,\text{l}\) Flüssigkeit gemischt. 3. Aufstellen der Gleichungen für die reine Wirkstoffmenge: I: \(2a + 3b = 5 \cdot 0{,}40 = 2\) II: \(3a + 2b = 5 \cdot 0{,}50 = 2{,}5\) 4. Lösen des Systems (z. B. Additionsverfahren): \(I \cdot 3: 6a + 9b = 6\) \(II \cdot 2: 6a + 4b = 5\) Subtraktion der Gleichungen: \(5b = 1 \implies b = 0{,}2\) (entspricht \(20\,\%\)). 5. Wert für \(b\) einsetzen in I: \(2a + 3 \cdot 0{,}2 = 2 \implies 2a + 0{,}6 = 2 \implies 2a = 1{,}4 \implies a = 0{,}7\) (entspricht \(70\,\%\)). 6. Ergebnis: Die Konzentrationen sind \(70\,\%\) und \(20\,\%\).

Die erste Flüssigkeit hat eine Wirkstoffkonzentration von \(70\,\%\), die zweite eine von \(20\,\%\).

- Stelle ein Gleichungssystem auf, wobei eine Gleichung das Mischverhältnis der ersten Mischung beschreibt. - Wie berechnet man die Menge des gelösten Salzes in einer Mischung? - Überlege für Teil b, ob die hinzugefügte Lösung „stärker“ oder „schwächer“ konzentriert ist als das Zielgemisch.

1. Teil a: Definition der Variablen: \(x\) (Volumen der \(5\,\%\)-igen Lösung) und \(y\) (Volumen der \(20\,\%\)-igen Lösung). 2. Erste Mischungsgleichung: \(0{,}05x + 0{,}2y = 0{,}1(x+y) \implies 0{,}1y = 0{,}05x \implies x = 2y\). 3. Gleichung nach Zugabe von \(3\,\text{l}\) der \(20\,\%\)-igen Lösung: \(\frac{0{,}1(x+y) + 0{,}2 \cdot 3}{x+y+3} = 0{,}15\). 4. Substitution von \(x = 2y\): \(\frac{0{,}1(3y) + 0{,}6}{3y + 3} = 0{,}15 \implies 0{,}3y + 0{,}6 = 0{,}15(3y+3) \implies 0{,}3y + 0{,}6 = 0{,}45y + 0{,}45\). 5. Lösen nach \(y\): \(0{,}15 = 0{,}15y \implies y = 1\). Daraus folgt \(x = 2\). 6. Teil b: Die hinzugefügte Lösung hat eine Konzentration von \(5\,\%\), was niedriger ist als die Konzentration der ersten Mischung (\(10\,\%\)). Daher wird die Gesamtmischung „verdünnt“ und der Salzgehalt sinkt unter \(10\,\%\).

a) Es wurden \(2\,\text{l}\) der \(5\,\%\)-igen Lösung und \(1\,\text{l}\) der \(20\,\%\)-igen Lösung verwendet. b) Der Salzgehalt würde sinken, da die hinzugefügte Lösung eine geringere Konzentration (\(5\,\%\)) besitzt als die vorhandene Mischung (\(10\,\%\)).

- Was passiert mit der Gesamtmasse der Mischung im zweiten Fall, wenn von einer Sorte etwas abgezogen und der anderen Sorte genau dieselbe Menge hinzugefügt wird? - Kannst du ein Verhältnis zwischen den beiden Massen aus der ersten Mischung bestimmen? - Stelle für beide Szenarien eine Bilanz für das reine Silber auf.

1. Definition der Variablen: \(m_1\) für die Masse der \(60\,\%\)-Legierung und \(m_2\) für die Masse der \(90\,\%\)-Legierung in Gramm. 2. Erste Bedingung als Gleichung: \(0{,}6m_1 + 0{,}9m_2 = 0{,}7(m_1 + m_2)\). Vereinfachung: \(0{,}2m_2 = 0{,}1m_1 \implies m_1 = 2m_2\). 3. Zweite Bedingung als Gleichung: \(0{,}6(m_1 - 100) + 0{,}9(m_2 + 100) = 0{,}8(m_1 - 100 + m_2 + 100)\). Die Gesamtmasse bleibt hierbei gleich: \(m_1 + m_2\). 4. Einsetzen von \(m_1 = 2m_2\) in die zweite Gleichung: \(0{,}6(2m_2 - 100) + 0{,}9(m_2 + 100) = 0{,}8(3m_2)\). 5. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(1{,}2m_2 - 60 + 0{,}9m_2 + 90 = 2{,}4m_2\). Dies führt zu \(2{,}1m_2 + 30 = 2{,}4m_2\). 6. Auflösen nach \(m_2\): \(30 = 0{,}3m_2 \implies m_2 = 100\). 7. Berechnung von \(m_1\): \(m_1 = 2 \cdot 100 = 200\). Die ursprünglich geplanten Massen betragen \(200\,\text{g}\) für die erste und \(100\,\text{g}\) für die zweite Legierung.

Ursprünglich waren \(200\,\text{g}\) der ersten Legierung (\(60\,\%\)) und \(100\,\text{g}\) der zweiten Legierung (\(90\,\%\)) geplant.

- Stelle zwei Gleichungen auf: eine für die Gesamtmasse der Mischung und eine für die Masse des darin enthaltenen reinen Salzes. - Wie hängen Prozentangaben und die absolute Menge des Stoffes zusammen? - Versuche, eine der Variablen in der zweiten Gleichung zu ersetzen, indem du die erste Gleichung nutzt. - Achte darauf, die Variablen \(a, b, k, M\) wie normale Zahlen zu behandeln, während du nach \(x\) und \(y\) auflöst.

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Masse von Lösung A in \(\text{g}\), \(y\) ist die Masse von Lösung B in \(\text{g}\). 2. Aufstellen des Systems: \(x + y = M\) (Gesamtmasse) und \(\frac{a}{100}x + \frac{b}{100}y = \frac{k}{100}M\) (Masse des reinen Salzes). 3. Vereinfachung der Salzgleichung durch Multiplikation mit 100: \(ax + by = kM\). 4. Ausdruck von \(y\) durch \(x\): \(y = M - x\). 5. Einsetzen in die Salzgleichung: \(ax + b(M - x) = kM\). 6. Auflösen nach \(x\): \(ax + bM - bx = kM \implies x(a - b) = M(k - b) \implies x = \frac{M(k - b)}{a - b}\). 7. Bestimmung von \(y\): \(y = M - \frac{M(k - b)}{a - b} = \frac{M(a - b) - M(k - b)}{a - b} = \frac{M(a - k)}{a - b}\).

Die Menge der Lösung A ist \(x = \frac{M(k - b)}{a - b}\,\text{g}\) und die Menge der Lösung B ist \(y = \frac{M(a - k)}{a - b}\,\text{g}\).

- Stelle dir vor, wie viel Gramm reines Kupfer in jeder Teilmenge enthalten ist. - Wie groß ist die Gesamtmasse der neuen Legierung in beiden Fällen? - Kannst du das Problem vereinfachen, indem du die Gleichungen durch \(100\) teilst? - Welches Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Definition der Variablen: \(x\) sei der Kupferanteil der ersten Legierung, \(y\) der Anteil der zweiten Legierung. 2. Aufstellen des Gleichungssystems für die Kupfermasse in Gramm: Mischung 1: \(400x + 600y = 1000 \cdot 0{,}52 = 520\) Mischung 2: \(700x + 300y = 1000 \cdot 0{,}61 = 610\) 3. Vereinfachung durch Division: (I) \(4x + 6y = 5{,}2\) (II) \(7x + 3y = 6{,}1\) 4. Lösen durch Elimination: Multiplikation von (II) mit \(2\) ergibt \(14x + 6y = 12{,}2\). 5. Subtraktion von (I) von der neuen Gleichung: \(10x = 7\), also \(x = 0{,}7\). 6. Einsetzen in (II): \(7 \cdot 0{,}7 + 3y = 6{,}1 \implies 4{,}9 + 3y = 6{,}1 \implies 3y = 1{,}2 \implies y = 0{,}4\). 7. Die erste Legierung besteht zu \(70\,\%\) aus Kupfer, die zweite zu \(40\,\%\).

Die erste Legierung hat einen Kupferanteil von \(70\,\%\), die zweite Legierung einen von \(40\,\%\).

- Stelle zuerst eine Formel für die Kosten von Anbieter A in Abhängigkeit von der Zeit auf. - Wie könnte eine allgemeine Formel für die Kosten von Anbieter B aussehen? - Nutze die Informationen über 4 und 8 Stunden, um zwei Gleichungen mit den unbekannten Werten von Anbieter B aufzustellen. - Was bedeutet es für den Preisvergleich, wenn Anbieter B einen höheren Stundenpreis, aber eine niedrigere Grundgebühr hat? - Wann genau liegt der „Schnittpunkt“, an dem ein Angebot das andere überholt?

1. Kostenfunktion für Anbieter A: \(K_A(t) = 10 \cdot t + 40\). 2. Kostenfunktion für Anbieter B: \(K_B(t) = m \cdot t + b\), wobei \(m\) der Stundenpreis und \(b\) die Grundgebühr ist. 3. Erste Bedingung (4 Stunden): \(K_B(4) = K_A(4) \implies 4m + b = 10 \cdot 4 + 40 = 80\). 4. Zweite Bedingung (8 Stunden): \(K_B(8) = K_A(8) + 20 \implies 8m + b = (10 \cdot 8 + 40) + 20 = 140\). 5. Lineares Gleichungssystem lösen: I: \(b + 4m = 80\); II: \(b + 8m = 140\). 6. Subtraktion II - I ergibt: \(4m = 60 \implies m = 15\). Der Stundenpreis von B beträgt \(15{,}00\,\text{€}\). 7. Einsetzen in I: \(b + 4 \cdot 15 = 80 \implies b + 60 = 80 \implies b = 20\). Die Grundgebühr von B beträgt \(20{,}00\,\text{€}\). 8. Vergleich der Kosten: Anbieter A ist günstiger, wenn \(10t + 40 < 15t + 20\). Dies führt zu \(20 < 5t \implies t > 4\). 9. Anbieter A ist bei einer Mietdauer von mehr als 4 Stunden günstiger.

Anbieter B hat eine Grundgebühr von \(20{,}00\,\text{€}\) und einen Stundenpreis von \(15{,}00\,\text{€}\). Anbieter A ist bei einer Mietdauer von mehr als \(4\) Stunden die günstigere Wahl.