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- Ordne in jedem Einkauf die Anzahlen der beiden Produkte den passenden Variablen zu. - Jede Gleichung muss genau einen der beiden Gesamtpreise wiedergeben.

1. Der erste Einkauf enthält zwei Brötchen und einen Saft, also \(2b+s=11\). 2. Der zweite enthält ein Brötchen und zwei Säfte, also \(b+2s=10\). 3. Damit ist nur B korrekt.

B: \(\begin{cases}2b+s=11\\b+2s=10\end{cases}\)

- Eine Gleichung beschreibt nur die gesamte Flüssigkeitsmenge. - Für die zweite Gleichung muss dieselbe Größe auf beiden Seiten stehen: die Menge des Fruchtanteils. - Überlege, welcher Anteil von \(8\,\text{l}\) bei \(35\,\%\) tatsächlich Frucht ist.

1. Die Gesamtmenge beträgt \(8\,\text{l}\), also \(x+y=8\). 2. In der fertigen Mischung sind \(35\,\%\) von \(8\,\text{l}\) Fruchtanteil enthalten. Das sind \(0{,}35\cdot8=2{,}8\,\text{l}\). 3. Daher lautet die zweite Gleichung \(0{,}2x+0{,}5y=2{,}8\).

\(x+y=8\) \(0{,}2x+0{,}5y=2{,}8\)

- Bezeichne nur den Melonenpreis mit \(x\). - Wie kannst du den Mangopreis mit \(x\) ausdrücken? - Wie setzt sich der Gesamtpreis aus vier Melonen und sechs Mangos zusammen?

1. Bezeichne den Preis einer Melone mit \(x\). Dann kostet eine Mango \(x-2\) Euro. 2. Für den Einkauf gilt \(4x+6(x-2)=58\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(4x+6x-12=58\). 4. Damit gilt \(10x=70\), also \(x=7\).

Gleichung: \(4x+6(x-2)=58\). Eine Melone kostet \(7\,\text{€}\), eine Mango \(5\,\text{€}\).

- Welche beiden Größen sind in jeder Tabellenzeile unbekannt, aber gleichbleibend? - Übersetze jede Tabellenzeile in eine Kostengleichung. - Nutze zum Schluss beide Zeilen für eine Probe.

1. Setze \(h\) für den Preis einer Sperrholzplatte und \(a\) für den Preis einer Acrylplatte. 2. Aus der Tabelle folgt \(\begin{cases}2h+a=7\\h+3a=11\end{cases}\). 3. Aus der ersten Gleichung folgt \(a=7-2h\). 4. Einsetzen in die zweite ergibt \(h+3(7-2h)=11\), also \(-5h=-10\) und damit \(h=2\). 5. Aus der ersten Gleichung folgt \(a=3\). 6. Probe: \(2\cdot2+3=7\) und \(2+3\cdot3=11\).

Eine Sperrholzplatte kostet \(2{,}00\,\text{€}\), eine Acrylplatte \(3{,}00\,\text{€}\).

- Prüfe zuerst, welche Bedingungen das gewünschte Preispaar überhaupt erfüllt. - Eine passende zweite Bedingung darf nicht nur ein Vielfaches der ersten sein. - Unterscheide zwischen „enthält das gewünschte Paar“ und „bestimmt es eindeutig“.

1. Die gewünschten Preise erfüllen die erste Gleichung, denn \(2\cdot2+3=7\). 2. A wird ebenfalls erfüllt, ist aber nur das Doppelte der ersten Gleichung. Das System hätte damit unendlich viele Lösungen. 3. B wird erfüllt, denn \(2+3\cdot3=11\), und ist kein Vielfaches der ersten Gleichung. Das System hat daher genau eine Lösung. 4. C ist unabhängig, aber die gewünschten Preise erfüllen sie nicht, denn \(2+3\cdot3=11\ne10\).

B: \(h+3s=11\). Nur diese Bedingung enthält das gewünschte Preispaar und liefert zugleich eine unabhängige zweite Gleichung.

- Eine Gleichung beschreibt die gesamte Flüssigkeitsmenge. - In der zweiten Gleichung vergleichst du die reinen Fruchtmengen. - Rechne Prozentangaben als Anteile der jeweiligen Literzahl. - Prüfe am Ende beide Mengenbedingungen getrennt.

1. Für die Gesamtmenge gilt \(x+y=10\). 2. Die fertige Mischung enthält \(0{,}32\cdot10=3{,}2\,\text{l}\) Fruchtanteil. Daher gilt \(0{,}2x+0{,}5y=3{,}2\). 3. Aus \(x=10-y\) folgt \(0{,}2(10-y)+0{,}5y=3{,}2\). Damit ist \(0{,}3y=1{,}2\), also \(y=4\). 4. Daher ist \(x=6\). 5. Probe: \(6+4=10\) und \(0{,}2\cdot6+0{,}5\cdot4=3{,}2\).

a) \(\begin{cases}x+y=10\\0{,}2x+0{,}5y=3{,}2\end{cases}\) b) \(6\,\text{l}\) Sorte A und \(4\,\text{l}\) Sorte B c) Gesamtmenge \(10\,\text{l}\); Fruchtmenge \(3{,}2\,\text{l}\)

- Welche Einheit müssen die Koeffizienten vor den Personenzahlen haben? - Was verändert der Rabatt: die Personenzahl, den Einzelpreis oder das Budget? - Welche zusätzliche Gleichung folgt in Teil c) aus insgesamt 25 Personen?

1. Die Zahl \(12\) ist der Ticketpreis für einen Jugendlichen, \(18\) der Ticketpreis für einen Erwachsenen. 2. Mit dem Rabatt kostet ein Jugendticket \(10\,\text{€}\). Bei unverändertem Budget lautet die Gleichung daher \(10x+18y=360\). 3. Für Teil c) gilt zusammen mit der ursprünglichen Kostengleichung das LGS \(\begin{cases}12x+18y=360\\x+y=25\end{cases}\). 4. Aus \(x=25-y\) und \(12x+18y=360\) folgt \(12(25-y)+18y=360\), also \(y=10\) und \(x=15\).

a) \(12\,\text{€}\) ist der Preis für ein Jugendticket, \(18\,\text{€}\) der Preis für ein Erwachsenenticket. b) Die neue Gleichung lautet \(10x+18y=360\). c) Es fahren 15 Jugendliche und 10 Erwachsene mit.

- Welche Kostenart ist unabhängig vom Datenverbrauch? - Stelle für jeden Monat eine Gleichung auf. - Welche Variable verschwindet direkt, wenn du die beiden Gleichungen voneinander subtrahierst?

1. Setze \(G\) für die Grundgebühr und \(p\) für den Preis pro Gigabyte. Dann gilt \(\begin{cases}G+5p=17{,}50\\G+12p=31{,}50\end{cases}\). 2. Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten: \(7p=14\), also \(p=2\). 3. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(G+10=17{,}50\), also \(G=7{,}50\).

Die monatliche Grundgebühr beträgt \(7{,}50\,\text{€}\), der Preis pro Gigabyte \(2{,}00\,\text{€}\).

- Welche Kosten entstehen unabhängig von der Seitenzahl? - Übersetze beide Rechnungen in Gleichungen mit denselben zwei Variablen. - Was erhältst du, wenn du die beiden Gleichungen voneinander subtrahierst?

1. Setze \(B\) für die Bereitstellungsgebühr und \(s\) für den Preis pro Seite. Dann gilt \(\begin{cases}B+200s=18\\B+500s=33\end{cases}\). 2. Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten: \(300s=15\), also \(s=0{,}05\). 3. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(B+10=18\), also \(B=8\).

Die Bereitstellungsgebühr beträgt \(8{,}00\,\text{€}\), der Preis pro Seite \(0{,}05\,\text{€}\).

- Welche Variablen können die ursprünglichen Einzelpreise beschreiben? - Mit welchen Faktoren werden die beiden Preise in der zweiten Bestellung verändert? - Kannst du die erste Gleichung vor dem Lösen vereinfachen?

1. Setze \(x\) für den ursprünglichen Trikotpreis und \(y\) für den ursprünglichen Hosenpreis. Dann gilt \(\begin{cases}20x+30y=900\\22x+36y=1020\end{cases}\). 2. Teile die erste Gleichung durch \(10\): \(2x+3y=90\), also \(x=45-1{,}5y\). 3. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(22(45-1{,}5y)+36y=1020\), also \(3y=30\) und damit \(y=10\). 4. Rückeinsetzen liefert \(x=30\).

Ein Trikot kostete ursprünglich \(30\,\text{€}\), eine Hose \(10\,\text{€}\).

- Wenn \(x\) Karten an Erwachsene verkauft wurden, wie viele der 120 Karten sind Kinderkarten? - Wie groß sind die Einnahmen aus beiden Kartensorten jeweils? - Zusammen ergeben diese Einnahmen 735 Euro.

1. Es wurden \(x\) Erwachsenenkarten und \(120-x\) Kinderkarten verkauft. 2. Für die Einnahmen gilt \(8x+5(120-x)=735\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(8x+600-5x=735\). 4. Daraus folgt \(3x=135\), also \(x=45\). 5. Es wurden \(120-45=75\) Kinderkarten verkauft.

Gleichung: \(8x+5(120-x)=735\). Es wurden 45 Erwachsenenkarten und 75 Kinderkarten verkauft.

- Wähle je eine Variable für die beiden Stückpreise. - Welche zwei Gleichungen beschreiben die beiden Bestellungen? - Welche Vielfachen erzeugen bei einer Variablen gleiche Koeffizienten?

1. Setze \(k\) für den Preis eines Kabelhalters und \(p\) für den Preis eines Klettpads. 2. Dann gilt \(\begin{cases}3k+2p=2{,}10\\2k+3p=2{,}40\end{cases}\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(3\) und die zweite mit \(2\): \(9k+6p=6{,}30\) und \(4k+6p=4{,}80\). 4. Subtraktion ergibt \(5k=1{,}50\), also \(k=0{,}30\). 5. Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(0{,}90+2p=2{,}10\), also \(p=0{,}60\).

Ein Kabelhalter kostet \(0{,}30\,\text{€}\), ein Klettpad \(0{,}60\,\text{€}\).

- Stelle aus jeder Bestellung eine Gleichung für die beiden unbekannten Stückpreise auf. - Welcher Multiplikationsfaktor macht einen Koeffizienten in beiden Gleichungen gleich? - Berechne für Teil b zuerst den regulären Gesamtpreis des Paketinhalts.

1. Setze \(s\) für den Preis eines Saatgutpäckchens und \(p\) für den Preis eines Sets Pflanzschilder. 2. Es gilt \(\begin{cases}4s+3p=11\\2s+5p=9\end{cases}\). 3. Multipliziere die zweite Gleichung mit \(2\): \(4s+10p=18\). Subtraktion der ersten Gleichung ergibt \(7p=7\), also \(p=1\). 4. Einsetzen in die zweite Gleichung liefert \(2s+5=9\), also \(s=2\). 5. Regulär kosten sechs Saatgutpäckchen und acht Sets Pflanzschilder \(6\cdot2+8\cdot1=20\,\text{€}\). 6. Das Aktionspaket kostet \(1{,}50\,\text{€}\) weniger.

a) Saatgutpäckchen: \(2{,}00\,\text{€}\); Set Pflanzschilder: \(1{,}00\,\text{€}\) b) Ja. Das Aktionspaket spart \(1{,}50\,\text{€}\).

- Definiere Variablen für die beiden Stückpreise. - Welche Gleichungen ergeben sich aus den beiden Bestellungen? - Bereite die Koeffizienten so vor, dass eine Variable beim Addieren verschwindet.

1. Setze \(e\) für den Preis eines Sacks Pflanzerde und \(a\) für den Preis einer Anzuchtschale. 2. Es gilt \(\begin{cases}5e+3a=46\\3e+4a=43\end{cases}\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(4\) und die zweite mit \(-3\): \(20e+12a=184\) und \(-9e-12a=-129\). 4. Addition ergibt \(11e=55\), also \(e=5\). 5. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(15+4a=43\), also \(a=7\).

Ein Sack Pflanzerde kostet \(5{,}00\,\text{€}\), eine Anzuchtschale \(7{,}00\,\text{€}\).

- Wenn \(x\) Liter Saft A verwendet werden, wie viele Liter fehlen dann noch bis 20 Liter? - Schreibe die Kosten beider Saftmengen als Terme. - Zusammen kosten beide Mengen 32,80 Euro.

1. Von Saft A werden \(x\) Liter und von Saft B \(20-x\) Liter verwendet. 2. Für den Gesamtpreis gilt \(1{,}2x+2(20-x)=32{,}8\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(1{,}2x+40-2x=32{,}8\). 4. Daraus folgt \(-0{,}8x=-7{,}2\), also \(x=9\). 5. Von Saft B werden \(20-9=11\) Liter benötigt.

Gleichung: \(1{,}2x+2(20-x)=32{,}8\). Es werden \(9\,\text{l}\) Saft A und \(11\,\text{l}\) Saft B benötigt.

- Wenn \(x\) Kilogramm milden Kaffee verwendet werden, wie viel fehlt dann noch bis 20 Kilogramm? - Schreibe die Kosten beider Kaffeemengen getrennt auf. - Wie viel sollen \(20\,\text{kg}\) Mischung insgesamt kosten, wenn ein Kilogramm \(16{,}50\,\text{€}\) kostet?

1. Von der milden Sorte werden \(x\) Kilogramm und von der kräftigen Sorte \(20-x\) Kilogramm verwendet. 2. \(20\,\text{kg}\) zu \(16{,}50\,\text{€}\) pro Kilogramm kosten zusammen \(330\,\text{€}\). Daher gilt \(12x+18(20-x)=330\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(12x+360-18x=330\). 4. Daraus folgt \(-6x=-30\), also \(x=5\). 5. Von der kräftigen Sorte werden \(20-5=15\) Kilogramm benötigt.

Gleichung: \(12x+18(20-x)=330\). Es werden \(5\,\text{kg}\) der milden und \(15\,\text{kg}\) der kräftigen Sorte benötigt.

- Welche beiden unbekannten Einzelpreise kommen in beiden Buchungen vor? - Schreibe für jede Gruppe eine Kostengleichung. - Welche Vielfachen der Gleichungen ermöglichen eine direkte Subtraktion?

1. Setze \(t\) für den Preis eines Trainings-Zeitslots und \(s\) für die Leihgebühr eines Paars Kletterschuhe. 2. Es gilt \(\begin{cases}3t+4s=38\\2t+5s=37\end{cases}\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(2\) und die zweite mit \(3\): \(6t+8s=76\) und \(6t+15s=111\). 4. Subtraktion ergibt \(7s=35\), also \(s=5\). 5. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(3t+20=38\), also \(t=6\).

Ein Trainings-Zeitslot kostet \(6{,}00\,\text{€}\), die Leihgebühr für ein Paar Kletterschuhe beträgt \(5{,}00\,\text{€}\).

- Welche zwei Bedingungen muss die Mischung gleichzeitig erfüllen? - Wie viel Fruchtanteil muss in \(60\,\text{l}\) mit \(50\,\%\) insgesamt enthalten sein? - Wie kannst du eine unbekannte Menge wählen, sodass sich die zweite Menge aus der Gesamtmenge ergibt?

1. Sei \(x\) die Menge von Sorte A in Litern. Dann werden \(60-x\) Liter von Sorte B verwendet. 2. Im fertigen Getränk müssen \(60\,\text{l}\cdot0{,}50=30\,\text{l}\) Fruchtanteil enthalten sein. 3. Für die beiden Sorten gilt deshalb \(0{,}40x+0{,}70(60-x)=30\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(0{,}40x+42-0{,}70x=30\), also \(-0{,}30x=-12\). 5. Damit ist \(x=40\). Von Sorte B werden \(60-40=20\) Liter benötigt. 6. Kontrolle: \(40\cdot0{,}40+20\cdot0{,}70=16+14=30\) Liter Fruchtanteil.

Es werden \(40\,\text{l}\) von Sorte A und \(20\,\text{l}\) von Sorte B benötigt.

- Wenn \(x\) Karten Erwachsenenkarten sind, wie viele der 240 Karten sind dann Schülerkarten? - Wie setzen sich die Einnahmen aus beiden Kartensorten zusammen? - In b) teilst du die feste Gesamtzahl der Karten gleichmäßig auf beide Sorten auf.

1. Es wurden \(x\) Erwachsenenkarten und \(240-x\) Schülerkarten verkauft. 2. Für die Einnahmen gilt \(8x+5(240-x)=1440\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(8x+1200-5x=1440\). 4. Daraus folgt \(3x=240\), also \(x=80\). Damit wurden 160 Schülerkarten verkauft. 5. Bei gleich vielen Karten jeder Sorte wären es jeweils \(240:2=120\) Karten. 6. Die Einnahmen wären \(120\cdot8+120\cdot5=1560\) Euro gewesen.

a) Gleichung: \(8x+5(240-x)=1440\). Es wurden 80 Erwachsenenkarten und 160 Schülerkarten verkauft. b) Die Einnahmen hätten \(1560{,}00\,\text{€}\) betragen.

- Drücke den Brötchenpreis direkt mit dem Saftpreis \(x\) aus. - Wie setzt sich der Gesamtpreis aus zwei Brötchen und drei Saftpackungen zusammen? - Prüfe am Ende, ob der Preisunterschied 60 Cent beträgt.

1. Eine Saftpackung kostet \(x\) Euro, ein Brötchen \(x+0{,}60\) Euro. 2. Für den Einkauf gilt \(2(x+0{,}60)+3x=7{,}80\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(2x+1{,}20+3x=7{,}80\). 4. Daraus folgt \(5x=6{,}60\), also \(x=1{,}32\). 5. Ein Brötchen kostet \(1{,}32+0{,}60=1{,}92\) Euro.

Gleichung: \(2(x+0{,}60)+3x=7{,}80\). Eine Saftpackung kostet \(1{,}32\,\text{€}\), ein belegtes Brötchen \(1{,}92\,\text{€}\).

- Lege Variablen für die beiden Zubehörpreise fest. - Welches Vielfache von Paket A macht die Koeffizienten von \(k\) gleich? - Nutze anschließend einen der beiden Paketpreise zur Rückrechnung.

1. Setze \(r\) für den Preis eines Reflektor-Sets und \(k\) für den Preis eines Reifenheber-Sets. 2. Es gilt \(\begin{cases}3r+2k=10{,}10\\5r+4k=18{,}10\end{cases}\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(2\): \(6r+4k=20{,}20\). 4. Subtrahiere die zweite Gleichung: \(r=2{,}10\). 5. Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(6{,}30+2k=10{,}10\), also \(k=1{,}90\).

Ein Reflektor-Set kostet \(2{,}10\,\text{€}\), ein Reifenheber-Set \(1{,}90\,\text{€}\).

- Rechne die Grammangaben in Einheiten von \(100\,\text{g}\) um. - Stelle für jeden Prototyp eine Materialkostengleichung auf. - Ein System lässt sich hier günstig vereinfachen, bevor du einsetzt.

1. Setze \(p\) für den Preis von \(100\,\text{g}\) PLA und \(g\) für den Preis von \(100\,\text{g}\) PETG. 2. Es gilt \(\begin{cases}4p+6g=15{,}20\\5p+5g=15{,}50\end{cases}\). 3. Teile die zweite Gleichung durch \(5\): \(p+g=3{,}10\), also \(g=3{,}10-p\). 4. Einsetzen in die erste ergibt \(4p+6(3{,}10-p)=15{,}20\), also \(p=1{,}70\). 5. Damit ist \(g=1{,}40\). 6. PLA ist um \(0{,}30\,\text{€}\) pro \(100\,\text{g}\) teurer.

Recyceltes PLA kostet \(1{,}70\,\text{€}\) pro \(100\,\text{g}\), PETG \(1{,}40\,\text{€}\). PLA ist um \(0{,}30\,\text{€}\) teurer.

- Welche zwei Leistungen werden in beiden Zeitabschnitten abgerechnet? - Vereinfache beide Gleichungen, bevor du sie vergleichst. - Für Teil b brauchst du die gefundenen Einzelpreise nur noch auf die Paketmenge anzuwenden.

1. Setze \(t\) für den Preis eines Werkstattpasses und \(m\) für den Preis einer Materialbox. 2. Es gilt \(\begin{cases}60t+20m=440\\45t+30m=480\end{cases}\). 3. Vereinfacht lautet das LGS \(\begin{cases}3t+m=22\\3t+2m=32\end{cases}\). 4. Subtraktion ergibt \(m=10\). 5. Einsetzen in \(3t+m=22\) ergibt \(t=4\). 6. Die Einzelabrechnung für \(5\) Werkstattpässe und \(2\) Materialboxen beträgt \(5\cdot4+2\cdot10=40\,\text{€}\). 7. Das Paket ist daher um \(5\,\text{€}\) günstiger.

a) Werkstattpass: \(4{,}00\,\text{€}\); Materialbox: \(10{,}00\,\text{€}\) b) Ja. Das Paket spart \(5{,}00\,\text{€}\).

- Lege je eine Variable für Zeitslot und Materialplatte fest. - Die Aussage „\(12\,\text{€}\) mehr“ lässt sich als Differenzgleichung schreiben. - Welche Multiplikatoren sorgen dafür, dass sich die Materialkosten beim Addieren aufheben?

1. Setze \(x\) für den Preis eines Lasercutter-Zeitslots und \(y\) für den Preis einer Materialplatte. 2. Es gilt \(\begin{cases}3x+5y=75\\2x-3y=12\end{cases}\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(3\) und die zweite mit \(5\): \(9x+15y=225\) und \(10x-15y=60\). 4. Addition ergibt \(19x=285\), also \(x=15\). 5. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(30-3y=12\), also \(y=6\).

Ein Lasercutter-Zeitslot kostet \(15{,}00\,\text{€}\), eine Materialplatte \(6{,}00\,\text{€}\).

- Drücke den Geschenkpreis in beiden Beitragssituationen aus. - Was bedeutet „fehlen“ bzw. „übrig bleiben“ für den Zusammenhang zwischen Beiträgen und Geschenkpreis? - Wenn zwei Ausdrücke denselben Preis darstellen, welche Beziehung haben sie zueinander?

1. Setze \(x\) für die Anzahl der Schüler und \(y\) für den Geschenkpreis. Dann gilt \(\begin{cases}y=4{,}50x+12\\y=5{,}50x-12\end{cases}\). 2. Gleichsetzen ergibt \(4{,}50x+12=5{,}50x-12\), also \(x=24\). 3. Einsetzen liefert \(y=4{,}50\cdot24+12=120\,\text{€}\). 4. Der exakt passende Beitrag beträgt \(120\,\text{€}:24=5\,\text{€}\) pro Person.

a) In der Klasse sind 24 Schüler; das Geschenk kostet \(120{,}00\,\text{€}\). b) Jeder Schüler müsste \(5{,}00\,\text{€}\) bezahlen.

- Achte darauf, wie sich die Anzahl der Personen im zweiten Szenario verändert. - Wie kannst du die Gesamtkosten der Miete jeweils durch die Beiträge der Teilnehmer ausdrücken? - Vergiss nicht, die Klammern korrekt zu setzen, wenn sich der Beitrag auf die gesamte neue Gruppe bezieht. - Kannst du eine Variable eliminieren, indem du die Gleichungen gleichsetzt?

1. Variablen festlegen: \(x\) für die ursprüngliche Anzahl der Personen, \(M\) für die Miete. 2. Gleichungen aufstellen: Fall 1: \(20x = M - 40 \Rightarrow M = 20x + 40\) Fall 2: \(18 \cdot (x + 5) = M + 20 \Rightarrow M = 18 \cdot (x + 5) - 20\) 3. Gleichsetzen: \(20x + 40 = 18 \cdot (x + 5) - 20\). 4. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(20x + 40 = 18x + 90 - 20 \Rightarrow 20x + 40 = 18x + 70\). 5. Nach \(x\) auflösen: \(2x = 30 \Rightarrow x = 15\). Ursprünglich waren 15 Personen in der Gruppe. 6. Miete berechnen: \(M = 20 \cdot 15 + 40 = 340{,}00\,\text{€}\). 7. Überprüfung mit Fall 2: \(18 \cdot (15 + 5) - 20 = 18 \cdot 20 - 20 = 360 - 20 = 340\,\text{€}\).

Ursprünglich waren 15 Personen in der Gruppe. Die Miete für die Hütte beträgt \(340{,}00\,\text{€}\).

- Lege Variablen für die beiden ursprünglichen Stückpreise fest. - Wie verändern \(10\,\%\) beziehungsweise \(20\,\%\) Aufschlag die Koeffizienten der zweiten Gleichung? - Für den Prozentanteil brauchst du die Montagskosten nur in Teilkosten und Gesamtkosten zu zerlegen.

1. Setze \(s\) für den ursprünglichen Preis eines Steckverbinder-Sets und \(m\) für den Preis eines Montageclip-Packs. 2. Es gilt \(\begin{cases}30s+20m=90\\33s+24m=102\end{cases}\). 3. Vereinfache die erste Gleichung zu \(3s+2m=9\). Daraus folgt \(8m=36-12s\). 4. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(33s+3(36-12s)=102\), also \(s=2\). 5. Aus der ersten Gleichung folgt \(m=1{,}50\). 6. Die Steckverbinder kosten am Montag \(30\cdot2=60\,\text{€}\). Ihr Anteil beträgt \(60:90=\frac{2}{3}\approx66{,}7\,\%\).

a) Steckverbinder-Set: \(2{,}00\,\text{€}\); Montageclip-Pack: \(1{,}50\,\text{€}\) b) Auf die Steckverbinder-Sets entfielen \(\approx66{,}7\,\%\) der Kosten.

- Überlege dir zuerst, welche zwei Dinge unbekannt sind, und gib ihnen Namen wie \(x\) und \(y\). - Kannst du eine Gleichung für den Gesamtwert aller Bälle aufstellen? - Wie berechnet man den Wert eines Teils des Bestands, wenn man den Prozentsatz kennt? - Versuche, eine der Gleichungen zu vereinfachen, bevor du ein Lösungsverfahren anwendest.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Basketbälle und \(y\) für die Anzahl der Volleybälle. 2. Aufstellen der Gleichung für den Gesamtwert: \(15x + 20y = 1225\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Wert der abgenutzten Bälle: \(0{,}20 \cdot 15x + 0{,}30 \cdot 20y = 285\). 4. Vereinfachung der zweiten Gleichung: \(3x + 6y = 285\), was durch Division durch 3 zu \(x + 2y = 95\) führt. 5. Umstellen nach \(x\): \(x = 95 - 2y\). 6. Einsetzen in die erste Gleichung: \(15 \cdot (95 - 2y) + 20y = 1225 \Rightarrow 1425 - 30y + 20y = 1225\). 7. Zusammenfassen und Lösen nach \(y\): \(-10y = -200 \Rightarrow y = 20\). 8. Berechnung von \(x\): \(x = 95 - 2 \cdot 20 = 55\).

Der Verein hat ursprünglich \(55\) Basketbälle und \(20\) Volleybälle gekauft.

- Formuliere aus jeder Ausleihe eine Kostengleichung. - Beide Gleichungen lassen sich zunächst stark vereinfachen. - Vergleiche in Teil b den Paketpreis mit der Summe der gefundenen Einzelpreise.

1. Setze \(l\) für den Tagespreis einer Lötstation und \(w\) für den eines Werkzeugsets. 2. Es gilt \(\begin{cases}5l+10w=90\\3l+12w=84\end{cases}\). 3. Vereinfacht lautet das LGS \(\begin{cases}l+2w=18\\l+4w=28\end{cases}\). 4. Subtraktion ergibt \(2w=10\), also \(w=5\). 5. Damit ist \(l=8\). 6. Einzeln kosten \(2\) Lötstationen und \(3\) Werkzeugsets \(2\cdot8+3\cdot5=31\,\text{€}\). 7. Das Paket für \(35\,\text{€}\) ist daher \(4\,\text{€}\) teurer.

a) Lötstation: \(8{,}00\,\text{€}\) pro Tag; Werkzeugset: \(5{,}00\,\text{€}\) pro Tag b) Nein. Die Einzelpreise ergeben \(31{,}00\,\text{€}\); das Paket ist \(4{,}00\,\text{€}\) teurer.

- Benenne die beiden unbekannten Stückpreise. - Stelle die zwei Bestellgleichungen auf. - Welche Vielfachen erzeugen beim Kartonpreis denselben Koeffizienten?

1. Setze \(k\) für den Preis eines Faltkartons und \(b\) für den Preis einer Rolle Papierklebeband. 2. Es gilt \(\begin{cases}2k+5b=13{,}50\\3k+2b=12\end{cases}\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(3\) und die zweite mit \(2\): \(6k+15b=40{,}50\) und \(6k+4b=24\). 4. Subtraktion ergibt \(11b=16{,}50\), also \(b=1{,}50\). 5. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(3k+3=12\), also \(k=3\).

Ein Faltkarton kostet \(3{,}00\,\text{€}\), eine Rolle Papierklebeband \(1{,}50\,\text{€}\).

- Rechne die beiden Preise zunächst auf ein Gramm um. - Wenn \(x\) Gramm von der ersten Sorte verwendet werden, wie viel Gramm bleiben für die zweite Sorte? - Die beiden Teilwerte ergeben zusammen 18 Euro.

1. „Frühlingsgruß“ kostet \(0{,}045\,\text{€}\) pro Gramm, „Abendruhe“ \(0{,}03\,\text{€}\) pro Gramm. 2. Von „Frühlingsgruß“ sind \(x\) Gramm und von „Abendruhe“ \(500-x\) Gramm in der Mischung. 3. Für den Gesamtpreis gilt \(0{,}045x+0{,}03(500-x)=18\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(0{,}045x+15-0{,}03x=18\). 5. Daraus folgt \(0{,}015x=3\), also \(x=200\). 6. Von „Abendruhe“ sind \(500-200=300\) Gramm enthalten.

Gleichung: \(0{,}045x+0{,}03(500-x)=18\). Die Mischung enthält \(200\,\text{g}\) „Frühlingsgruß“ und \(300\,\text{g}\) „Abendruhe“.

- Welche zwei Bedingungen muss die Mischung gleichzeitig erfüllen? - Wie viel Essig steckt insgesamt in \(10\,\text{l}\) mit \(12\,\%\)? - Wie kannst du eine unbekannte Menge wählen, sodass sich die zweite aus der Gesamtmenge ergibt?

1. Setze \(x\) für die Menge der \(25\,\%\)-igen Lösung in Litern. Dann werden \(10-x\) Liter der \(5\,\%\)-igen Lösung benötigt. 2. In \(10\,\text{l}\) mit \(12\,\%\) Essig sind \(0{,}12\cdot10=1{,}2\,\text{l}\) Essig enthalten. 3. Für die beiden Ausgangslösungen gilt daher \(0{,}25x+0{,}05(10-x)=1{,}2\). 4. Auflösen ergibt \(0{,}25x+0{,}5-0{,}05x=1{,}2\), also \(0{,}20x=0{,}7\) und damit \(x=3{,}5\). 5. Von der \(5\,\%\)-igen Lösung werden \(10-3{,}5=6{,}5\) Liter benötigt.

Du brauchst \(3{,}5\,\text{l}\) der \(25\,\%\)-igen Lösung und \(6{,}5\,\text{l}\) der \(5\,\%\)-igen Lösung.

- Wähle je eine Variable für die Masse eines Liters der beiden Ölsorten. - Wie setzt sich die Gesamtmasse jeder Mischung zusammen? - Welche Gleichung lässt sich direkt nach einer Variablen auflösen?

1. Setze \(x\) für die Masse von \(1\,\text{l}\) Öl A und \(y\) für die Masse von \(1\,\text{l}\) Öl B. Dann gilt \(\begin{cases}3x+2y=4{,}54\\x+4y=4{,}58\end{cases}\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(x=4{,}58-4y\). Einsetzen in die erste ergibt \(3(4{,}58-4y)+2y=4{,}54\). 3. Daraus folgt \(-10y=-9{,}20\), also \(y=0{,}92\). 4. Mit der zweiten Gleichung erhältst du \(x=0{,}90\).

Ein Liter Öl A hat eine Masse von \(0{,}90\,\text{kg}\), ein Liter Öl B von \(0{,}92\,\text{kg}\).

- Wandle den durchschnittlichen Meterpreis zunächst in Gesamtkosten für \(10\,\text{m}\) um. - Stelle für beide Mischungen je eine Kostengleichung auf. - Vergleiche nach dem Lösen die Anteile der teureren Stoffart.

1. Setze \(a\) für den Meterpreis von Stoff A und \(b\) für den Meterpreis von Stoff B. 2. Die Gesamtkosten der beiden \(10\,\text{m}\)-Mixe betragen \(128\,\text{€}\) beziehungsweise \(143\,\text{€}\). Daher gilt \(\begin{cases}4a+6b=128\\7a+3b=143\end{cases}\). 3. Multipliziere die zweite Gleichung mit \(2\): \(14a+6b=286\). 4. Subtraktion der ersten Gleichung ergibt \(10a=158\), also \(a=15{,}80\). 5. Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(b=10{,}80\). 6. Der zweite Mix enthält mit \(7\,\text{m}\) mehr von der teureren Sorte A als der erste Mix.

a) Stoff A: \(15{,}80\,\text{€}/\text{m}\); Stoff B: \(10{,}80\,\text{€}/\text{m}\) b) Der zweite Mix enthält einen größeren Anteil der teureren Sorte A und ist deshalb teurer.

- Welche zwei unbekannten Stückpreise werden in beiden Bestellungen kombiniert? - Suche Multiplikatoren, mit denen sich eine Variable direkt eliminieren lässt. - Prüfe die gefundenen Preise an beiden Bestellungen.

1. Setze \(s\) für den Preis eines Sensorhalters und \(k\) für den Preis eines Kabel-Sets. 2. Es gilt \(\begin{cases}2s+3k=5{,}50\\3s+2k=7\end{cases}\). 3. Multipliziere die erste Gleichung mit \(3\) und die zweite mit \(-2\): \(6s+9k=16{,}50\) und \(-6s-4k=-14\). 4. Addition ergibt \(5k=2{,}50\), also \(k=0{,}50\). 5. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(2s+1{,}50=5{,}50\), also \(s=2\).

Ein Sensorhalter kostet \(2{,}00\,\text{€}\), ein Kabel-Set \(0{,}50\,\text{€}\).

- Was sind die unbekannten Größen in dieser Aufgabe? - Kannst du die beiden Bedingungen in mathematische Gleichungen übersetzen? - Wie hängen die Preise der Bikes zusammen, wenn man die Kosten für die Helme berücksichtigt? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier an?

1. Variablen festlegen: \(x\) für den Preis von Jans Mountainbike und \(y\) für den Preis von Leos Mountainbike in \(\text{€}\). 2. Erste Gleichung aufstellen: \(x + 120 = 3 \cdot (y + 40)\). 3. Zweite Gleichung aufstellen: \(y + 120 = \frac{1}{2} \cdot (x + 40)\). 4. Erste Gleichung vereinfachen: \(x + 120 = 3y + 120 \Rightarrow x = 3y\). 5. \(x = 3y\) in die zweite Gleichung einsetzen: \(y + 120 = \frac{1}{2} \cdot (3y + 40)\). 6. Gleichung nach \(y\) auflösen: \(2y + 240 = 3y + 40 \Rightarrow y = 200\). 7. \(x\) berechnen: \(x = 3 \cdot 200 = 600\).

Jans Mountainbike kostet \(600{,}00\,\text{€}\) und Leos Mountainbike kostet \(200{,}00\,\text{€}\).

- Drücke möglichst viele Preise mit nur einer Variablen aus. - Für welchen Fahrradtyp kannst du zwei verschiedene Preis-Ausdrücke bilden? - Was gilt für zwei Ausdrücke, die denselben Preis beschreiben?

1. Setze \(b\) für den Preis des Basismodells. Dann kostet das Tourenrad \(4b\). 2. Für das Rennrad erhältst du die beiden Ausdrücke \(4b+1200\) und \(b+4800\). Da sie denselben Preis beschreiben, gilt \(4b+1200=b+4800\). 3. Daraus folgt \(3b=3600\), also \(b=1200\). 4. Das Tourenrad kostet \(4\cdot1200=4800\,\text{€}\), das Rennrad \(1200+4800=6000\,\text{€}\).

Basismodell: \(1200{,}00\,\text{€}\); Tourenrad: \(4800{,}00\,\text{€}\); Profi-Rennrad: \(6000{,}00\,\text{€}\).

- Welche zwei Preisbestandteile tauchen in beiden Abrechnungen auf? - Übersetze jede Abrechnung in eine Gleichung. - Welches Vielfache der zweiten Gleichung eliminiert die Freischaltgebühr beim Addieren?

1. Mit \(f\) für die Freischaltgebühr und \(z\) für den Preis eines Zusatzblocks gilt \(\begin{cases}4f+3z=6{,}50\\2f+5z=7{,}10\end{cases}\). 2. Multipliziere die zweite Gleichung mit \(-2\): \(-4f-10z=-14{,}20\). 3. Addition mit der ersten Gleichung ergibt \(-7z=-7{,}70\), also \(z=1{,}10\). 4. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(2f+5{,}50=7{,}10\), also \(f=0{,}80\).

Die Freischaltgebühr beträgt \(0{,}80\,\text{€}\), ein \(15\)-Minuten-Zusatzblock kostet \(1{,}10\,\text{€}\).

- Lege Variablen für die beiden Modulpreise fest. - Welche Gleichungen beschreiben die beiden Sets? - Eine Gleichung lässt sich besonders einfach nach einem Preis auflösen.

1. Setze \(a\) für den Preis eines Sensormoduls A und \(b\) für den Preis eines Sensormoduls B. 2. Es gilt \(\begin{cases}a+2b=18{,}50\\3a+b=25{,}50\end{cases}\). 3. Forme die zweite Gleichung nach \(b\) um: \(b=25{,}50-3a\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(a+2(25{,}50-3a)=18{,}50\). 5. Damit gilt \(-5a=-32{,}50\), also \(a=6{,}50\). 6. Einsetzen in die zweite Gleichung liefert \(b=6{,}00\).

Sensormodul A kostet \(6{,}50\,\text{€}\), Sensormodul B \(6{,}00\,\text{€}\).

- Prüfe, welche physikalische Größe jede Seite der zweiten Gleichung beschreibt. - Prozentangaben können als Dezimalanteile oder einheitlich skaliert verwendet werden, aber beide Seiten müssen zusammenpassen. - Kontrolliere die gefundene Mischung sowohl über die Gesamtmasse als auch über die Salzmasse.

1. Tara verwendet links Prozentzahlen als ganze Zahlen, rechts aber die tatsächliche Salzmasse in Kilogramm. Die Einheiten beziehungsweise Skalierungen passen daher nicht zusammen. 2. Mit Dezimalanteilen lautet die Stoffbilanz \(0{,}1x+0{,}5y=3{,}6\), denn \(30\,\%\) von \(12\,\text{kg}\) sind \(3{,}6\,\text{kg}\). 3. Aus \(x+y=12\) folgt \(x=12-y\). 4. Einsetzen ergibt \(0{,}1(12-y)+0{,}5y=3{,}6\), also \(1{,}2+0{,}4y=3{,}6\). Damit ist \(y=6\) und \(x=6\).

Die zweite Gleichung mischt Prozentzahlen mit Kilogramm. Korrekt ist \(0{,}1x+0{,}5y=3{,}6\). Es werden jeweils \(6\,\text{kg}\) der beiden Lösungen benötigt.

- Vergleiche die Einheit deiner Variablen mit der Einheit der angegebenen Preise. - Vor dem Rechnen müssen Preis und Masse auf dieselbe Masseneinheit bezogen sein. - Prüfe nach dem Lösen, ob Gesamtmasse und Gesamtpreis stimmen.

1. Die Variablen messen Gramm. Deshalb müssen auch die Preise als Euro pro Gramm verwendet werden: \(1{,}80\,\text{€}:100\,\text{g}=0{,}018\,\text{€}/\text{g}\) und \(3{,}00\,\text{€}:100\,\text{g}=0{,}03\,\text{€}/\text{g}\). Modell B ist korrekt. 2. Aus \(x+y=600\) folgt \(x=600-y\). 3. Einsetzen in die Kostengleichung ergibt \(0{,}018(600-y)+0{,}03y=13{,}2\). 4. Daraus folgt \(10{,}8+0{,}012y=13{,}2\), also \(y=200\). 5. Damit ist \(x=400\).

Modell B ist einheitenrichtig. Die Mischung enthält \(400\,\text{g}\) Sorte A und \(200\,\text{g}\) Sorte B.

- Prüfe zuerst die Einheiten aller Zahlen in der Kostengleichung. - Entscheide dich für Euro oder Cent und verwende diese Einheit durchgehend. - Nach der Korrektur kannst du eine Variable mit der Mengengleichung ausdrücken.

1. In (II) werden Centpreise \(120\) und \(180\) mit einem Gesamtpreis in Euro \(7{,}80\) vermischt. Die Einheiten sind nicht konsistent. 2. In Euro lauten die korrigierten Gleichungen \((I)\;x+y=5\) und \((II)\;1{,}20x+1{,}80y=7{,}80\). 3. Aus (I) folgt \(x=5-y\). Einsetzen in (II) ergibt \(1{,}20(5-y)+1{,}80y=7{,}80\). 4. Daraus folgt \(0{,}60y=1{,}80\), also \(y=3\) und \(x=2\).

Der Fehler ist die Mischung von Cent und Euro. Korrekt sind \((I)\;x+y=5\) und \((II)\;1{,}20x+1{,}80y=7{,}80\). Es werden \(2\,\text{Liter}\) Sorte A und \(3\,\text{Liter}\) Sorte B verwendet.

- Bei einem Massenanteil kannst du die Salzmasse als Anteil der gesamten Mischungsmasse beschreiben. - Formuliere für jeden Mischversuch eine eigene Gleichung in \(x\) und \(y\). - Welche Variable lässt sich aus den beiden Gleichungen durch direktes Subtrahieren eliminieren?

1. Beim ersten Mischversuch beträgt die Salzmasse insgesamt \(0{,}14\cdot2\,\text{kg}\). Mit \(x\) und \(y\) als Prozentzahlen folgt nach Multiplikation mit 100 die Gleichung \(x+y=28\). 2. Beim zweiten Mischversuch beträgt die Salzmasse \(0{,}17\cdot4\,\text{kg}\). Entsprechend gilt \(3x+y=68\). Das LGS lautet \(\begin{cases}x+y=28\\3x+y=68\end{cases}\). 3. Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten: \(2x=40\), also \(x=20\). 4. Aus \(x+y=28\) folgt \(y=8\). 5. Probe: Die Mischungen ergeben \(14\,\%\) bzw. \(17\,\%\) Salzanteil.

\(\begin{cases}x+y=28\\3x+y=68\end{cases}\). Salzlösung A enthält \(20\,\%\) Salz, Salzlösung B \(8\,\%\).

- Lege Variablen für die ursprünglichen Stückpreise fest. - Wie verändern sich die Preise bei \(20\,\%\) Rabatt beziehungsweise \(50\,\%\) Aufschlag? - Vereinfache die beiden Gleichungen, bevor du sie voneinander abziehst.

1. Setze \(h\) für den ursprünglichen Preis einer Sperrholzplatte und \(a\) für den ursprünglichen Preis einer Acrylplatte. 2. Aus der ersten Bestellung folgt \(40h+50a=115\). 3. Bei der zweiten Bestellung kosten die Platten \(0{,}8h\) beziehungsweise \(1{,}5a\). Daher gilt \(30\cdot0{,}8h+40\cdot1{,}5a=102\), also \(24h+60a=102\). Das LGS ist damit \(\begin{cases}40h+50a=115\\24h+60a=102\end{cases}\). 4. Vereinfache die erste Gleichung zu \(4h+5a=11{,}5\) und die zweite zu \(4h+10a=17\). 5. Subtraktion ergibt \(5a=5{,}5\), also \(a=1{,}10\). 6. Einsetzen liefert \(h=1{,}50\).

Eine Sperrholzplatte kostete ursprünglich \(1{,}50\,\text{€}\), eine Acrylplatte \(1{,}10\,\text{€}\).

- Trenne bei Tarif A die feste Grundgebühr vom verbrauchsabhängigen Anteil. - Jede der beiden beobachteten Monatsrechnungen liefert eine eigene Gleichung. - Prüfe deine beiden Tarif-A-Werte in beiden Rechnungen, bevor du Tarif B ableitest. - Für den Schnittpunkt der Tarife müssen die beiden Gesamtkosten gleich sein.

1. Setze \(g\) für die Grundgebühr von Tarif A in Euro und \(p\) für den Preis pro Gigabyte in Euro. Dann gilt \(\begin{cases}g+3p=14\\g+5p=20\end{cases}\). 2. Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten ergibt \(2p=6\), also \(p=3\). Aus der ersten Gleichung folgt \(g=5\). 3. Kontrolle: \(5+3\cdot3=14\) und \(5+5\cdot3=20\). 4. Tarif B hat Grundgebühr \(3\,\text{€}\) und einen Preis von \(3{,}50\,\text{€}\) pro Gigabyte. 5. Bei gleichem Datenverbrauch \(x\) gilt \(5+3x=3+3{,}5x\). Daraus folgt \(x=4\). Beide Tarife kosten dann \(17\,\text{€}\).

a) Zum Beispiel \(g\) = Grundgebühr, \(p\) = Preis pro \(\text{GB}\) von Tarif A; \(\begin{cases}g+3p=14\\g+5p=20\end{cases}\). Tarif A: \(g=5\,\text{€}\), \(p=3\,\text{€}/\text{GB}\). b) Beide Angaben ergeben mit diesen Werten \(14\,\text{€}\) bzw. \(20\,\text{€}\). c) Tarif B: \(3\,\text{€}\) Grundgebühr und \(3{,}50\,\text{€}/\text{GB}\). Gleich teuer bei \(4\,\text{GB}\), jeweils \(17\,\text{€}\).

- Gesucht ist der Restbestand, aber zunächst brauchst du den Anfangsbestand. - Wie setzt sich der gesamte Warenwert vor der Aktion zusammen? - Welche Anteile der beiden Gerätetypen werden verkauft, und wie erscheint das in der Erlösgleichung?

1. Setze \(x\) für die ursprüngliche Anzahl der Tablets und \(y\) für die ursprüngliche Anzahl der Laptops. Dann gilt \(\begin{cases}300x+800y=110\,000\\120x+480y=60\,000\end{cases}\). 2. Vereinfache die zweite Gleichung zu \(x+4y=500\), also \(x=500-4y\). 3. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(300(500-4y)+800y=110\,000\), also \(y=100\) und \(x=100\). 4. Nach dem Verkauf bleiben \(60\,\%\) der Tablets und \(40\,\%\) der Laptops übrig. Das sind 60 Tablets und 40 Laptops.

Nach der Aktion befinden sich noch 60 Tablets und 40 Laptops im Lager.

- Was bleibt bei allen Szenarien unverändert? - Wie hängen die Anzahl der Personen, der Preis pro Person und die Gesamtkosten zusammen? - Kannst du für jede der beiden Bedingungen eine Gleichung aufstellen, die den Zusammenhang beschreibt? - Versuche, die Klammern in deinen Gleichungen aufzulösen, um ein einfaches System mit zwei Unbekannten zu erhalten.

1. Definition der Variablen: \(n\) für die Anzahl der Schüler und \(p\) für den Preis pro Person in Euro. Die Gesamtkosten für den Bus betragen \(G = np\). 2. Aufstellen der ersten Gleichung basierend auf der Preiserhöhung: \((n - 5) \cdot (p + 2{,}4) = np\). Durch Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt sich \(2{,}4n - 5p = 12\). 3. Aufstellen der zweiten Gleichung basierend auf der Preisverringerung: \((n + 10) \cdot (p - 3{,}2) = np\). Durch Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt sich \(-3{,}2n + 10p = 32\). 4. Lösen des linearen Gleichungssystems: Multiplikation der ersten Gleichung mit 2 führt zu \(4{,}8n - 10p = 24\). Addition dieser Gleichung zur zweiten Gleichung ergibt \(1{,}6n = 56\), woraus \(n = 35\) folgt. 5. Einsetzen von \(n = 35\) in die erste vereinfachte Gleichung: \(2{,}4 \cdot 35 - 5p = 12 \implies 84 - 5p = 12 \implies 5p = 72 \implies p = 14{,}4\).

Es sind ursprünglich 35 Schüler eingeplant, und die Kosten pro Person betragen \(14{,}40\,\text{€}\).

- Welcher Anteil der Teile besteht bei jeder Mischung aus Kupfer? - Welche Gesamtmasse und welche Kupfermasse soll die fertige Mischung haben? - Wie kannst du die beiden unbekannten Massen mit nur einer Variablen beschreiben?

1. Der Kupferanteil beträgt bei Mischung A \(\frac{4}{5}=0{,}8\) und bei Mischung B \(\frac{1}{4}=0{,}25\). 2. Setze \(x\) für die Masse von Mischung A. Dann beträgt die Masse von Mischung B \(50-x\) Kilogramm. 3. In der Zielmischung müssen \(0{,}47\cdot50\,\text{kg}=23{,}5\,\text{kg}\) Kupfer enthalten sein. Daher gilt \(0{,}8x+0{,}25(50-x)=23{,}5\). 4. Auflösen ergibt \(0{,}8x+12{,}5-0{,}25x=23{,}5\), also \(0{,}55x=11\) und damit \(x=20\). 5. Von Mischung B werden \(50-20=30\) Kilogramm benötigt.

Es werden \(20\,\text{kg}\) von Mischung A und \(30\,\text{kg}\) von Mischung B benötigt.

- Drücke die beiden unbekannten Konzentrationen als Anteile aus. - Wie viel Stickstoff enthalten die beiden \(5\,\text{kg}\)-Mischungen jeweils? - Welche der beiden Gleichungen lässt sich leicht nach einer Variablen auflösen?

1. Setze \(x\) und \(y\) für die Stickstoff-Massenanteile der Sorten A und B als Dezimalzahlen. Dann gilt \(\begin{cases}3x+2y=0{,}70\\x+4y=0{,}50\end{cases}\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(x=0{,}50-4y\). Einsetzen in die erste ergibt \(3(0{,}50-4y)+2y=0{,}70\). 3. Daraus folgt \(-10y=-0{,}80\), also \(y=0{,}08\). 4. Mit der zweiten Gleichung erhältst du \(x=0{,}18\).

Sorte A enthält \(18\,\%\) Stickstoff, Sorte B \(8\,\%\).

- Welche zwei Bedingungen muss die fertige Mischung erfüllen? - Welchen Beitrag zur Salzmenge liefert das reine Wasser? - Wie hängen die beiden Mengen der Salzlösungen mit der Gesamtmasse zusammen?

1. Die Lösungen A und B müssen zusammen noch \(10\,\text{kg}-1\,\text{kg}=9\,\text{kg}\) liefern. 2. Setze \(x\) für die Masse von Lösung A. Dann beträgt die Masse von Lösung B \(9-x\) Kilogramm. 3. Am Ende müssen \(0{,}12\cdot10\,\text{kg}=1{,}2\,\text{kg}\) Salz enthalten sein. Das Wasser trägt kein Salz bei. Daher gilt \(0{,}05x+0{,}20(9-x)=1{,}2\). 4. Auflösen ergibt \(0{,}05x+1{,}8-0{,}20x=1{,}2\), also \(-0{,}15x=-0{,}6\) und damit \(x=4\). 5. Von Lösung B werden \(9-4=5\) Kilogramm benötigt.

Es werden \(4\,\text{kg}\) der Lösung A und \(5\,\text{kg}\) der Lösung B benötigt.

- Stelle ein Gleichungssystem auf, wobei eine Gleichung das Mischverhältnis der ersten Mischung beschreibt. - Wie berechnet man die Menge des gelösten Salzes in einer Mischung? - Überlege für Teil b, ob die hinzugefügte Lösung „stärker“ oder „schwächer“ konzentriert ist als das Zielgemisch.

1. Teil a: Definition der Variablen: \(x\) (Volumen der \(5\,\%\)-igen Lösung) und \(y\) (Volumen der \(20\,\%\)-igen Lösung). 2. Erste Mischungsgleichung: \(0{,}05x + 0{,}2y = 0{,}1 \cdot (x+y) \implies 0{,}1y = 0{,}05x \implies x = 2y\). 3. Gleichung nach Zugabe von \(3\,\text{l}\) der \(20\,\%\)-igen Lösung: \(\frac{0{,}1 \cdot (x+y) + 0{,}2 \cdot 3}{x+y+3} = 0{,}15\). 4. Substitution von \(x = 2y\): \(\frac{0{,}1 \cdot (3y) + 0{,}6}{3y + 3} = 0{,}15 \implies 0{,}3y + 0{,}6 = 0{,}15 \cdot (3y+3) \implies 0{,}3y + 0{,}6 = 0{,}45y + 0{,}45\). 5. Lösen nach \(y\): \(0{,}15 = 0{,}15y \implies y = 1\). Daraus folgt \(x = 2\). 6. Teil b: Die hinzugefügte Lösung hat eine Konzentration von \(5\,\%\), was niedriger ist als die Konzentration der ersten Mischung (\(10\,\%\)). Daher wird die Gesamtmischung „verdünnt“ und der Salzgehalt sinkt unter \(10\,\%\).

a) Es wurden \(2\,\text{l}\) der \(5\,\%\)-igen Lösung und \(1\,\text{l}\) der \(20\,\%\)-igen Lösung verwendet. b) Der Salzgehalt würde sinken, da die hinzugefügte Lösung eine geringere Konzentration (\(5\,\%\)) besitzt als die vorhandene Mischung (\(10\,\%\)).

- Kannst du die Mengen der beiden Sorten mit Variablen benennen? - Wie lässt sich der Anteil an reinem Direktsaft mathematisch ausdrücken? - Welcher Zusammenhang zwischen den beiden Mengen lässt sich aus der ersten Information ableiten? - Überlege, wie sich die Gesamtmenge und die Menge des Direktsafts ändern, wenn man von beidem etwas hinzufügt.

1. Festlegen der Variablen: \(x\) für das Volumen von Sorte A und \(y\) für das Volumen von Sorte B in Litern. 2. Aufstellen der Gleichung für die erste Mischung: \(0{,}1x + 0{,}4y = 0{,}2 \cdot (x + y)\). Durch Umformen erhält man \(0{,}2y = 0{,}1x\), was zu \(x = 2y\) führt. 3. Aufstellen der Gleichung für die zweite Mischung: \(\frac{0{,}1 \cdot (x + 3) + 0{,}4 \cdot (y + 3)}{x + 3 + y + 3} = 0{,}225\). 4. Einsetzen von \(x = 2y\) in die zweite Gleichung: \(\frac{0{,}1 \cdot (2y + 3) + 0{,}4 \cdot (y + 3)}{3y + 6} = 0{,}225\). 5. Vereinfachen des Zählers: \(0{,}2y + 0{,}3 + 0{,}4y + 1{,}2 = 0{,}6y + 1{,}5\). 6. Lösen der Gleichung \(0{,}6y + 1{,}5 = 0{,}225 \cdot (3y + 6)\): \(0{,}6y + 1{,}5 = 0{,}675y + 1{,}35\). Dies ergibt \(0{,}15 = 0{,}075y\), woraus \(y = 2\) folgt. 7. Berechnen von \(x\): \(x = 2 \cdot 2 = 4\). Die ursprüngliche Mischung bestand aus \(4\,\text{Litern}\) der Sorte A und \(2\,\text{Litern}\) der Sorte B.

Für die ursprüngliche Mischung waren \(4\,\text{Liter}\) der Sorte A und \(2\,\text{Liter}\) der Sorte B vorgesehen.

- Was passiert mit der Gesamtmasse der Mischung im zweiten Fall, wenn von einer Sorte etwas abgezogen und der anderen Sorte genau dieselbe Menge hinzugefügt wird? - Kannst du ein Verhältnis zwischen den beiden Massen aus der ersten Mischung bestimmen? - Stelle für beide Szenarien eine Bilanz für das reine Silber auf.

1. Definition der Variablen: \(m_1\) für die Masse der \(60\,\%\)-Legierung und \(m_2\) für die Masse der \(90\,\%\)-Legierung in Gramm. 2. Erste Bedingung als Gleichung: \(0{,}6m_1 + 0{,}9m_2 = 0{,}7 \cdot (m_1 + m_2)\). Vereinfachung: \(0{,}2m_2 = 0{,}1m_1 \implies m_1 = 2m_2\). 3. Zweite Bedingung als Gleichung: \(0{,}6 \cdot (m_1 - 100) + 0{,}9 \cdot (m_2 + 100) = 0{,}8 \cdot (m_1 - 100 + m_2 + 100)\). Die Gesamtmasse bleibt hierbei gleich: \(m_1 + m_2\). 4. Einsetzen von \(m_1 = 2m_2\) in die zweite Gleichung: \(0{,}6 \cdot (2m_2 - 100) + 0{,}9 \cdot (m_2 + 100) = 0{,}8 \cdot (3m_2)\). 5. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(1{,}2m_2 - 60 + 0{,}9m_2 + 90 = 2{,}4m_2\). Dies führt zu \(2{,}1m_2 + 30 = 2{,}4m_2\). 6. Auflösen nach \(m_2\): \(30 = 0{,}3m_2 \implies m_2 = 100\). 7. Berechnung von \(m_1\): \(m_1 = 2 \cdot 100 = 200\). Die ursprünglich geplanten Massen betragen \(200\,\text{g}\) für die erste und \(100\,\text{g}\) für die zweite Legierung.

Ursprünglich waren \(200\,\text{g}\) der ersten Legierung (\(60\,\%\)) und \(100\,\text{g}\) der zweiten Legierung (\(90\,\%\)) geplant.

- Stelle zwei Gleichungen auf: eine für die Gesamtmasse der Mischung und eine für die Masse des darin enthaltenen reinen Salzes. - Wie hängen Prozentangaben und die absolute Menge des Stoffes zusammen? - Versuche, eine der Variablen in der zweiten Gleichung zu ersetzen, indem du die erste Gleichung nutzt. - Achte darauf, die Variablen \(a, b, k, M\) wie normale Zahlen zu behandeln, während du nach \(x\) und \(y\) auflöst.

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Masse von Lösung A in \(\text{g}\), \(y\) ist die Masse von Lösung B in \(\text{g}\). 2. Aufstellen des Systems: \(x + y = M\) (Gesamtmasse) und \(\frac{a}{100}x + \frac{b}{100}y = \frac{k}{100}M\) (Masse des reinen Salzes). 3. Vereinfachung der Salzgleichung durch Multiplikation mit 100: \(ax + by = kM\). 4. Ausdruck von \(y\) durch \(x\): \(y = M - x\). 5. Einsetzen in die Salzgleichung: \(ax + b \cdot (M - x) = kM\). 6. Auflösen nach \(x\): \(ax + bM - bx = kM \implies x \cdot (a - b) = M \cdot (k - b) \implies x = \frac{M \cdot (k - b)}{a - b}\). 7. Bestimmung von \(y\): \(y = M - \frac{M \cdot (k - b)}{a - b} = \frac{M \cdot (a - b) - M \cdot (k - b)}{a - b} = \frac{M \cdot (a - k)}{a - b}\).

Die Menge der Lösung A ist \(x = \frac{M \cdot (k - b)}{a - b}\,\text{g}\) und die Menge der Lösung B ist \(y = \frac{M \cdot (a - k)}{a - b}\,\text{g}\).

- Stelle zunächst die Kostenfunktion von Anbieter A auf und eine allgemeine lineare Kostenfunktion für Anbieter B. - Welche zwei Gleichungen folgen aus den Angaben für 4 und 8 Stunden? - Vergleiche nach der Bestimmung von Anbieter B beide Kostenfunktionen für die Frage „günstiger als“.

1. Für Anbieter A gilt \(K_A(t)=10t+40\). Für Anbieter B setze \(K_B(t)=mt+b\). 2. Aus den beiden Angaben folgt \(\begin{cases}4m+b=80\\8m+b=140\end{cases}\). 3. Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten ergibt \(4m=60\), also \(m=15\). Mit der ersten Gleichung folgt \(b=20\). 4. Anbieter A ist günstiger, wenn \(10t+40<15t+20\). Daraus folgt \(t>4\).

Anbieter B hat eine Grundgebühr von \(20{,}00\,\text{€}\) und einen Stundenpreis von \(15{,}00\,\text{€}\). Anbieter A ist bei einer Mietdauer von mehr als 4 Stunden günstiger.

- Welcher Zusammenhang verbindet Masse \(m\), Volumen \(V\) und Dichte \(\rho\)? - Schreibe für jede Mischung die Summe der beiden Teilvolumina auf. - In beiden Gleichungen kommen dieselben beiden Kehrwerte der Dichten vor. Wie kannst du diese Wiederholungen übersichtlicher behandeln?

1. Unter der Annahme additiver Volumina gilt mit \(V=\frac{m}{\rho}\): I: \(\frac{100}{\rho_1}+\frac{100}{\rho_2}=150\) II: \(\frac{120}{\rho_1}+\frac{40}{\rho_2}=100\). 2. Setze \(u=\frac{1}{\rho_1}\) und \(v=\frac{1}{\rho_2}\): I: \(100u+100v=150\Rightarrow u+v=1{,}5\) II: \(120u+40v=100\Rightarrow3u+v=2{,}5\). 3. Subtraktion: \((3u+v)-(u+v)=2{,}5-1{,}5\Rightarrow2u=1\Rightarrow u=0{,}5\). 4. Dann gilt \(v=1\). 5. Rücksubstitution: \(\rho_1=\frac{1}{u}=2\) und \(\rho_2=\frac{1}{v}=1\). 6. Somit \(\rho_1=2\,\text{g/cm}^3\) und \(\rho_2=1\,\text{g/cm}^3\).

Die Dichte der ersten Flüssigkeit beträgt \(2\,\text{g/cm}^3\), die der zweiten Flüssigkeit \(1\,\text{g/cm}^3\).