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- Schreibe für jede der beiden Bedingungen eine eigene Gleichung auf. - Du hast nun ein System aus zwei Gleichungen. Kannst du eine Variable durch die andere ersetzen? - Wenn du einen Wert gefunden hast, kannst du ihn in eine der Gleichungen einsetzen, um den zweiten Wert zu finden.

1. Aufstellen der Gleichungen: Bedingung 1 ergibt \(x = 1{,}5y\). Bedingung 2 ergibt \(x + y = 35\). 2. Einsetzungsverfahren: Ersetze \(x\) in der zweiten Gleichung durch den Ausdruck aus der ersten Gleichung: \(1{,}5y + y = 35\). 3. Zusammenfassen: \(2{,}5y = 35\). 4. Berechnung von \(y\): \(y = 35 : 2{,}5 = 14\). 5. Berechnung von \(x\): Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(x = 1{,}5 \cdot 14 = 21\). 6. Überprüfung: \(21 + 14 = 35\) und \(21 : 14 = 1{,}5\).

Die Gleichungen lauten \(x = 1{,}5y\) und \(x + y = 35\). Das gesuchte Zahlenpaar ist \((21|14)\).

- Kannst du die Sätze in mathematische Gleichungen mit zwei Variablen übersetzen? - Welches Verfahren (Einsetzen, Gleichsetzen oder Addieren) erscheint dir hier am einfachsten? - Wie kannst du eine der Variablen verschwinden lassen, indem du die Gleichungen geschickt multiplizierst? - Hast du am Ende geprüft, ob deine Zahlen beide Bedingungen aus dem Text erfüllen?

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit den Zahlen \(x\) und \(y\): (I) \(2x + 3y = 50\) (II) \(5x - 2y = 11\) 2. Anwendung des Additionsverfahrens: Multiplikation von (I) mit \(2\) und (II) mit \(3\): (I') \(4x + 6y = 100\) (II') \(15x - 6y = 33\) 3. Addition der Gleichungen (I') und (II'): \(19x = 133\). 4. Berechnen von \(x\): \(x = 133 : 19 = 7\). 5. Einsetzen von \(x = 7\) in Gleichung (I): \(2 \cdot 7 + 3y = 50 \Rightarrow 14 + 3y = 50 \Rightarrow 3y = 36 \Rightarrow y = 12\). Die gesuchten Zahlen sind \(7\) und \(12\).

Die erste Zahl ist \(7\) und die zweite Zahl ist \(12\).

- Wie lässt sich eine zweistellige Zahl mithilfe ihrer Zehner- und Einerziffer allgemein als Term schreiben? - Was bedeutet „Quersumme“ mathematisch für die Ziffern? - Wie verändert sich der Wert der Zahl, wenn die Ziffern ihre Plätze tauschen? - Stelle für jede Bedingung im Text eine Gleichung auf.

1. Definition der Variablen: \(x\) sei die Zehnerziffer und \(y\) die Einerziffer. Die Zahl lautet somit \(10x + y\). 2. Aufstellen der ersten Gleichung (Quersumme): \(x + y = 12\). 3. Aufstellen der zweiten Gleichung (Vertauschen der Ziffern): \((10y + x) = (10x + y) + 18\). 4. Vereinfachen der zweiten Gleichung: \(9y - 9x = 18\), was durch Division durch 9 zu \(y - x = 2\) wird. 5. Lösen des Systems: I: \(x + y = 12\) II: \(-x + y = 2\) Addition der Gleichungen ergibt \(2y = 14\), also \(y = 7\). Einsetzen in I ergibt \(x + 7 = 12\), also \(x = 5\). 6. Die ursprüngliche Zahl ist \(10 \cdot 5 + 7 = 57\).

Die ursprüngliche Zahl lautet 57.

- Stelle für jede Bedingung eine lineare Gleichung mit den Variablen für die Ziffern auf. - Wie lässt sich der Wert einer Zahl durch ihre Ziffern ausdrücken? - Überlege beim Wegfall einer Bedingung, welche Einschränkungen für die verbleibenden Variablen durch den Kontext „Ziffer“ bestehen. - Nutze das Additionsverfahren, um Variablen schrittweise zu eliminieren.

Es sei \(x\) die Hunderter-, \(y\) die Zehner- und \(z\) die Einerziffer. Die Bedingungen führen auf das Gleichungssystem: 1. \(x + y + z = 12\) 2. \(y + z = 3x \implies 3x - y - z = 0\) 3. \(100y + 10x + z = (100x + 10y + z) - 180 \implies -90x + 90y = -180 \implies x - y = 2\) Durch Addition von (1) und (2) erhält man \(4x = 12\), woraus \(x = 3\) folgt. Einsetzen in (3) ergibt \(3 - y = 2\), also \(y = 1\). Einsetzen in (1) liefert \(3 + 1 + z = 12\), woraus \(z = 8\) folgt. Die gesuchte Zahl lautet \(318\). Ohne die dritte Bedingung bleibt das System aus \(x = 3\) und \(y + z = 9\). Da es sich um Ziffern handelt, muss \(y, z \in \{0, 1, \dots, 9\}\) gelten. Die möglichen Zahlen sind somit \(309, 318, 327, 336, 345, 354, 363, 372, 381\) und \(390\).

Die Zahl lautet \(318\). Ohne die dritte Bedingung kommen die Zahlen \(309, 318, 327, 336, 345, 354, 363, 372, 381, 390\) infrage.

- Bezeichne die vier Ziffern mit Variablen und übersetze die Sätze in Gleichungen. - Kombiniere die erste und zweite Gleichung, um die Summen von Ziffernpaaren direkt zu bestimmen. - Versuche, alle Variablen durch eine einzige Variable auszudrücken, um die Lösung zu finden. - Prüfe am Ende, ob alle Ziffern im Bereich von 0 bis 9 liegen und die Tausenderziffer nicht null ist.

Die Ziffern seien \(a\) (Tausender), \(b\) (Hunderter), \(c\) (Zehner) und \(d\) (Einer). Das Gleichungssystem lautet: 1. \(a + b + c + d = 16\) 2. \(a + d = b + c \implies a - b - c + d = 0\) 3. \(a = 3b \implies a - 3b = 0\) 4. \(c - d = 4\) Addition von (1) und (2) liefert \(2a + 2d = 16 \implies a + d = 8\). Subtraktion (1) minus (2) liefert \(2b + 2c = 16 \implies b + c = 8\). Aus (3) folgt \(a = 3b\). Einsetzen in \(a + d = 8\) ergibt \(3b + d = 8 \implies d = 8 - 3b\). Aus (4) folgt \(c = d + 4\). Einsetzen in \(b + c = 8\) ergibt \(b + (d + 4) = 8 \implies b + d = 4\). Nun ersetzt man \(d\) durch \(8 - 3b\): \(b + (8 - 3b) = 4 \implies -2b = -4 \implies b = 2\). Daraus folgt \(a = 3 \cdot 2 = 6\). Mit \(a + d = 8\) folgt \(d = 2\). Mit \(c - d = 4\) folgt \(c = 6\). Die Ziffern sind \(a=6, b=2, c=6, d=2\).

Die Zahl lautet \(6262\).