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- Was bedeutet es für die Seitenlängen einer Figur, wenn sie ein Quadrat ist? - Kannst du eine Formel für den Umfang eines Rechtecks aufschreiben und die gegebenen Werte einsetzen? - Überlege dir, wie du die neuen Seitenlängen mithilfe der alten Seitenlängen ausdrücken kannst. - Skizziere das ursprüngliche Rechteck und das neue Quadrat.

1. Variablen festlegen: \(l\) für die längere Seite und \(w\) für die kürzere Seite in \(\text{cm}\). 2. Gleichung für den Umfang aufstellen: \(2 \cdot (l + w) = 30\), vereinfacht zu \(l + w = 15\). 3. Gleichung für die Quadrat-Eigenschaft aufstellen: Da nach der Änderung ein Quadrat entsteht, müssen die neuen Seiten gleich lang sein: \(l - 3 = w + 2\). Umgeformt ergibt dies \(l - w = 5\). 4. Lineares Gleichungssystem lösen: Addieren der Gleichungen \((l + w) + (l - w) = 15 + 5\) ergibt \(2l = 20\), also \(l = 10\). 5. Einsetzen in die erste Gleichung: \(10 + w = 15\) ergibt \(w = 5\). Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks sind \(10\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks betragen \(10\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\).

- Kannst du die Informationen aus dem Text in zwei separate Gleichungen übersetzen? - Welche Beziehung besteht zwischen der Seitenlänge des Quadrats und den Maßen des Rechtecks? - Wie hängen Umfang und Seitenlängen bei einem Rechteck und bei einem Quadrat zusammen?

1. Variablen \(l\) für die Länge und \(w\) für die Breite des rechteckigen Platzes festlegen. 2. Gleichungssystem aufstellen: \(2 \cdot (l + w) = 300\) und \(4 \cdot l = 300 + 160\). 3. Die zweite Gleichung nach \(l\) auflösen: \(4l = 460 \Rightarrow l = 115\). 4. Den Wert für \(l\) in die vereinfachte erste Gleichung \(l + w = 150\) einsetzen: \(115 + w = 150 \Rightarrow w = 35\). 5. Die Seitenlängen des rechteckigen Platzes betragen \(115\,\text{m}\) und \(35\,\text{m}\).

Der rechteckige Sportplatz ist \(115\,\text{m}\) lang und \(35\,\text{m}\) breit.

- Wie groß ist die Summe aller Winkel in einem Dreieck? - Kannst du alle Winkel durch den Winkel \(\alpha\) ausdrücken? - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt. - Überprüfe am Ende, ob deine drei Ergebnisse zusammen wirklich den erwarteten Gesamtwert ergeben.

1. Aufstellen der Gleichungen basierend auf den Informationen: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\). Die Beziehungen lauten \(\beta = 2\alpha\) und \(\gamma = \beta - 30^\circ = 2\alpha - 30^\circ\). 2. Einsetzen der Ausdrücke für \(\beta\) und \(\gamma\) in die Summengleichung: \(\alpha + 2\alpha + (2\alpha - 30^\circ) = 180^\circ\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(5\alpha - 30^\circ = 180^\circ\). 4. Lösen nach \(\alpha\): \(5\alpha = 210^\circ\), woraus \(\alpha = 42^\circ\) folgt. 5. Berechnen der weiteren Winkel: \(\beta = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ\) und \(\gamma = 84^\circ - 30^\circ = 54^\circ\).

\(\alpha = 42^\circ\), \(\beta = 84^\circ\), \(\gamma = 54^\circ\)

- Wie hängen Umfang, Länge und Breite bei einem Rechteck zusammen? - Was zeichnet die Seitenlängen eines Quadrats im Vergleich zu einem Rechteck aus? - Kannst du für beide Bedingungen jeweils eine Gleichung mit zwei Unbekannten aufstellen? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Variablen festlegen: \(l\) für die Länge und \(b\) für die Breite des ursprünglichen Rechtecks (in \(\text{cm}\)). 2. Gleichungssystem aufstellen: (I) \(2l + 2b = 34\) (Umfangsformel) (II) \(l - 2 = b + 3\) (Bedingung für das Quadrat: alle Seiten gleich lang) 3. Gleichung (I) vereinfachen: \(l + b = 17\). 4. Gleichung (II) umstellen: \(l - b = 5\). 5. LGS lösen (z. B. Additionsverfahren): \((l + b) + (l - b) = 17 + 5 \Rightarrow 2l = 22 \Rightarrow l = 11\). 6. Wert für \(b\) berechnen: \(11 + b = 17 \Rightarrow b = 6\). 7. Ergebnis: Die ursprüngliche Länge beträgt \(11\,\text{cm}\), die Breite \(6\,\text{cm}\).

Die ursprüngliche Länge des Rechtecks beträgt \(11\,\text{cm}\) und die ursprüngliche Breite beträgt \(6\,\text{cm}\).

- Stelle zuerst eine Gleichung für den Umfang auf und vereinfache sie so weit wie möglich. - Schreibe Terme für den alten und den neuen Flächeninhalt auf. - Achte beim Subtrahieren der Flächeninhalte besonders auf die Klammern und die Vorzeichen. - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier nach der Vereinfachung an?

1. Variablen definieren: \(l\) für die Länge und \(w\) für die Breite in \(\text{m}\). 2. Umfangsgleichung: \(2 \cdot (l + w) = 40 \implies l + w = 20\). 3. Flächengleichung aufstellen: Ursprüngliche Fläche \(A_1 = l \cdot w\). Neue Fläche \(A_2 = (l + 2) \cdot (w - 2)\). 4. Bedingung für die Flächenänderung: \(A_1 - A_2 = 12\). Einsetzen ergibt \(l \cdot w - (l + 2) \cdot (w - 2) = 12\). 5. Vereinfachen: \(l \cdot w - (l \cdot w - 2l + 2w - 4) = 12 \implies 2l - 2w + 4 = 12 \implies 2l - 2w = 8 \implies l - w = 4\). 6. LGS lösen: Aus \(l + w = 20\) und \(l - w = 4\) folgt durch Addition \(2l = 24\), also \(l = 12\). Durch Einsetzen erhält man \(w = 8\). Das Beet war ursprünglich \(12\,\text{m}\) lang und \(8\,\text{m}\) breit.

Das ursprüngliche Beet hat eine Länge von \(12\,\text{m}\) und eine Breite von \(8\,\text{m}\).

- Erinnere dich an die Formel für den Umfang eines Rechtecks. - Wie kannst du den Satz über das Verhältnis der Seitenlängen in eine mathematische Gleichung übersetzen? - Es ist oft hilfreich, eine der Variablen direkt durch die andere zu ersetzen, wenn eine Gleichung bereits nach einer Seite aufgelöst ist.

1. Definition der Variablen: Länge \(l\) (längere Seite) und Breite \(b\) (kürzere Seite). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(2 \cdot (l + b) = 54\) (Umfangsformel) und \(l = 2b - 3\) (Verhältnis der Seiten). 3. Vereinfachung der Umfangsgleichung: \(l + b = 27\). 4. Einsetzen des Ausdrucks für \(l\) in die vereinfachte Umfangsgleichung: \((2b - 3) + b = 27\). 5. Zusammenfassen und Lösen nach \(b\): \(3b - 3 = 27 \Rightarrow 3b = 30 \Rightarrow b = 10\). 6. Berechnung der Länge \(l\): \(l = 2 \cdot 10 - 3 = 17\). 7. Ergebnis: Die Seitenlängen betragen \(17\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\).

Die Seiten des Rechtecks sind \(17\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\) lang.

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Überlege dir, wie die neuen Seitenlängen im Vergleich zu den alten aussehen. - Versuche, für den ersten und den zweiten Zustand jeweils eine Formel aufzustellen. - Kannst du eine der Gleichungen so vereinfachen, dass eine Variable leicht wegfällt?

1. Variablen festlegen: \(x\) für die ursprüngliche Länge und \(y\) für die ursprüngliche Breite in \(\text{cm}\). 2. Gleichung für den ursprünglichen Umfang: \(2x + 2y = 50\), vereinfacht zu \(x + y = 25\). 3. Gleichung für den neuen Umfang: \(2(x + 5) + 2(2y) = 80\). 4. Vereinfachung der zweiten Gleichung: \(2x + 10 + 4y = 80 \implies 2x + 4y = 70 \implies x + 2y = 35\). 5. Subtraktionsverfahren: \((x + 2y) - (x + y) = 35 - 25 \implies y = 10\). 6. Berechnung von \(x\): \(x + 10 = 25 \implies x = 15\). Die ursprüngliche Länge beträgt \(15\,\text{cm}\) und die Breite \(10\,\text{cm}\).

Die ursprüngliche Länge beträgt \(15\,\text{cm}\) und die Breite \(10\,\text{cm}\).

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Was passiert mit der Formel für den Umfang, wenn sich nur eine Seite ändert? - Schreibe auf, wie lang die Seiten vor und nach der Änderung sind. - Welche Information im Text hilft dir, eine Beziehung zwischen Länge und Breite herzustellen?

1. Definition der Variablen: \(l\) für die ursprüngliche Länge und \(b\) für die ursprüngliche Breite in \(\text{cm}\). 2. Aufstellen der ersten Gleichung: \(l = b + 4\). 3. Aufstellen der Umfangsformeln: Der ursprüngliche Umfang ist \(U_1 = 2l + 2b\). Der neue Umfang ist \(U_2 = 2 \cdot (2l) + 2b = 4l + 2b\). 4. Aufstellen der zweiten Gleichung aus der Umfangsdifferenz: \(U_2 - U_1 = 20 \implies (4l + 2b) - (2l + 2b) = 20\). 5. Vereinfachen der zweiten Gleichung: \(2l = 20 \implies l = 10\). 6. Berechnung von \(b\): Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(10 = b + 4 \implies b = 6\). Die ursprüngliche Länge beträgt \(10\,\text{cm}\) und die Breite \(6\,\text{cm}\).

Die ursprüngliche Länge beträgt \(10\,\text{cm}\) und die ursprüngliche Breite beträgt \(6\,\text{cm}\).

- Was weißt du über die Summe aller Winkel in einem Dreieck? - Was ist das Besondere an den Basiswinkeln eines gleichschenkligen Dreiecks? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die den Zusammenhang zwischen den Winkeln beschreibt? - Überprüfe am Ende, ob deine berechneten Winkel zusammen \(180^\circ\) ergeben.

1. Definition der Variablen: Sei \(\alpha\) der Basiswinkel und \(\gamma\) der Winkel an der Spitze. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: - Winkelsumme im Dreieck: \(2\alpha + \gamma = 180^\circ\) (da Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind). - Bedingung aus dem Text: \(\gamma = \alpha + 15^\circ\). 3. Einsetzen der Bedingung in die Winkelsumme: \(2\alpha + (\alpha + 15^\circ) = 180^\circ\). 4. Zusammenfassen: \(3\alpha + 15^\circ = 180^\circ \implies 3\alpha = 165^\circ\). 5. Lösen nach \(\alpha\): \(\alpha = 55^\circ\). 6. Berechnen von \(\gamma\): \(\gamma = 55^\circ + 15^\circ = 70^\circ\). 7. Die Winkel betragen \(55^\circ\), \(55^\circ\) und \(70^\circ\).

Die beiden Basiswinkel betragen jeweils \(55^\circ\) und der Winkel an der Spitze beträgt \(70^\circ\).

- Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) eignet sich hier am besten für die jeweiligen Paare? - Kannst du die Gleichungen so umstellen, dass eine Variable alleine steht? - Überprüfe deine Ergebnisse, indem du die Koordinaten in die jeweils andere Gleichung des Paares einsetzt.

1. Schnittpunkt von \(L_1\) und \(L_2\): Addition der Gleichungen \(x - y = -2\) und \(2x + y = 8\) eliminiert \(y\) und ergibt \(3x = 6\), also \(x = 2\). Einsetzen in \(L_1\) liefert \(2 - y = -2\), woraus \(y = 4\) folgt. Eckpunkt: \((2|4)\). 2. Schnittpunkt von \(L_1\) und \(L_3\): Auflösen von \(L_1\) nach \(y = x + 2\) und Einsetzen in \(L_3\) ergibt \(x + 2(x + 2) = 4\). Vereinfachen führt zu \(3x + 4 = 4\), also \(x = 0\). Daraus folgt \(y = 0 + 2 = 2\). Eckpunkt: \((0|2)\). 3. Schnittpunkt von \(L_2\) und \(L_3\): Auflösen von \(L_2\) nach \(y = 8 - 2x\) und Einsetzen in \(L_3\) ergibt \(x + 2(8 - 2x) = 4\). Dies führt zu \(-3x + 16 = 4\), also \(-3x = -12\) und \(x = 4\). Daraus folgt \(y = 8 - 2 \cdot 4 = 0\). Eckpunkt: \((4|0)\).

Die Eckpunkte des Dreiecks liegen bei \((2|4)\), \((0|2)\) und \((4|0)\).

- Stelle eine Formel für den Umfang und eine für den Flächeninhalt auf. - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn sich der Flächeninhalt „nicht verändert“? - Wie kannst du das Produkt zweier Klammern wie \((x + 3) \cdot (y - 2)\) vereinfachen?

1. Seitenlängen als \(x\) und \(y\) definieren und Gleichungssystem aufstellen: \(2 \cdot (x + y) = 40\) und \((x + 3) \cdot (y - 2) = x \cdot y\). 2. Erste Gleichung zu \(x = 20 - y\) umformen. 3. Zweite Gleichung ausmultiplizieren und vereinfachen: \(x \cdot y - 2x + 3y - 6 = x \cdot y \Rightarrow -2x + 3y = 6\). 4. Substitution von \(x\): \(-2 \cdot (20 - y) + 3y = 6 \Rightarrow -40 + 2y + 3y = 6 \Rightarrow 5y = 46 \Rightarrow y = 9{,}2\). 5. Berechnung der zweiten Seite: \(x = 20 - 9{,}2 = 10{,}8\). 6. Die ursprünglichen Seitenlängen sind \(10{,}8\,\text{cm}\) und \(9{,}2\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des Rechtecks betragen \(10{,}8\,\text{cm}\) und \(9{,}2\,\text{cm}\).

- Was bedeutet es für die Winkel, wenn ein Dreieck gleichschenklig ist? - Versuche, den Winkel \(\gamma\) mithilfe von \(\alpha\) zu beschreiben. - Nutze die Information über die Summe der Innenwinkel, um eine Gleichung zu bilden.

1. Festlegen der Bedingungen: Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt \(\alpha = \beta\). Die Winkelsumme ist \(2\alpha + \gamma = 180^\circ\). 2. Nutzen der gegebenen Beziehung: \(\gamma = 1{,}5 \cdot (\alpha + \beta) = 1{,}5 \cdot (2\alpha) = 3\alpha\). 3. Einsetzen in die Winkelsumme: \(2\alpha + 3\alpha = 180^\circ\). 4. Lösen der Gleichung: \(5\alpha = 180^\circ\), also \(\alpha = 36^\circ\). 5. Bestimmen aller Winkel: Da \(\alpha = \beta\), ist \(\beta = 36^\circ\). Der Spitzenwinkel ist \(\gamma = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ\).

\(\alpha = 36^\circ\), \(\beta = 36^\circ\), \(\gamma = 108^\circ\)

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Kannst du die Beziehung zwischen Länge und Breite als Gleichung schreiben? - Wenn du die Breite berechnet hast, vergleiche sie mit dem Wert aus der Behauptung. - Vergiss nicht, dass der Umfang aus zwei Längen und zwei Breiten besteht.

1. Definition der Variablen: \(b\) für die Breite in \(\text{m}\) und \(l\) für die Länge in \(\text{m}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems basierend auf Umfang und Längenverhältnis: I: \(2l + 2b = 84\) (bzw. \(l + b = 42\)) II: \(l = 3b - 6\) 3. Einsetzen von Gleichung II in die vereinfachte Gleichung I: \((3b - 6) + b = 42\). 4. Lösen nach \(b\): \(4b - 6 = 42 \Rightarrow 4b = 48 \Rightarrow b = 12\). 5. Bestimmung der Länge \(l\): \(l = 3 \cdot 12 - 6 = 30\). 6. Überprüfung der Behauptung: Die Breite beträgt \(12\,\text{m}\). Da \(12 < 15\), ist die Behauptung des Auszubildenden falsch.

Der Auszubildende hat nicht recht. Das Beet ist \(12\,\text{m}\) breit und \(30\,\text{m}\) lang.

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Überlege, wie die neuen Seitenlängen im Vergleich zu den alten aussehen. - Stelle zwei Gleichungen auf, indem du die neuen Flächeninhalte mit dem ursprünglichen Flächeninhalt \(l \cdot b\) vergleichst. - Beim Ausmultiplizieren der Klammern wird sich der Term \(l \cdot b\) auf beiden Seiten der Gleichung aufheben.

1. Variablen festlegen: \(l\) für die ursprüngliche Länge und \(b\) für die ursprüngliche Breite (in \(\text{cm}\)). Der ursprüngliche Flächeninhalt ist \(l \cdot b\). 2. Erste Bedingung aufstellen: \((l + 2)(b - 1) = l \cdot b\). Ausmultiplizieren ergibt \(l \cdot b - l + 2b - 2 = l \cdot b\), was sich zu \(-l + 2b = 2\) vereinfacht. 3. Zweite Bedingung aufstellen: \((l - 1)(b + 2) = l \cdot b + 12\). Ausmultiplizieren ergibt \(l \cdot b + 2l - b - 2 = l \cdot b + 12\), was sich zu \(2l - b = 14\) vereinfacht. 4. Gleichungssystem lösen: Aus der ersten Gleichung folgt \(l = 2b - 2\). Einsetzen in die zweite: \(2(2b - 2) - b = 14 \Rightarrow 4b - 4 - b = 14 \Rightarrow 3b = 18 \Rightarrow b = 6\). 5. Länge berechnen: \(l = 2 \cdot 6 - 2 = 10\). 6. Ergebnis: Die Länge ist \(10\,\text{cm}\) und die Breite ist \(6\,\text{cm}\).

Die ursprüngliche Länge des Rechtecks beträgt \(10\,\text{cm}\) und die ursprüngliche Breite beträgt \(6\,\text{cm}\).

- Wie groß ist die Summe der beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck? - Kannst du ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten aufstellen? - Welches Verfahren (Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren) eignet sich hier am besten?

1. Aufstellen des Gleichungssystems: Da das Dreieck rechtwinklig ist, beträgt die Summe der beiden spitzen Winkel \(\alpha + \beta = 90^\circ\). Die zweite Bedingung lautet \(\alpha = 3\beta + 12^\circ\). 2. Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste: \((3\beta + 12^\circ) + \beta = 90^\circ\). 3. Zusammenfassen und Lösen nach \(\beta\): \(4\beta + 12^\circ = 90^\circ\), also \(4\beta = 78^\circ\). Dies ergibt \(\beta = 19{,}5^\circ\). 4. Berechnen von \(\alpha\): \(\alpha = 90^\circ - 19{,}5^\circ = 70{,}5^\circ\) (oder über die zweite Gleichung: \(3 \cdot 19{,}5^\circ + 12^\circ = 58{,}5^\circ + 12^\circ = 70{,}5^\circ\)).

\(\alpha = 70{,}5^\circ\), \(\beta = 19{,}5^\circ\)

- Welche geometrischen Eigenschaften hat ein Quadrat im Vergleich zu einem Rechteck? - Wie berechnet man den Flächeninhalt beider Figuren? - Kannst du eine Beziehung zwischen der ursprünglichen Länge und Breite herstellen, indem du die Information über die Entstehung des Quadrats nutzt? - Versuche, eine der Seitenlängen durch die andere auszudrücken, um die Flächengleichung zu vereinfachen.

1. Variablen festlegen: \(L\) für die Länge und \(B\) für die Breite des Rechtecks in \(\text{cm}\). 2. Bedingung für das Quadrat aufstellen: Da bei einem Quadrat alle Seiten gleich lang sind, gilt \(L - 3 = B + 2\). Daraus folgt \(L = B + 5\). 3. Bedingung für den Flächeninhalt aufstellen: Der Flächeninhalt des Rechtecks (\(L \cdot B\)) ist gleich dem des Quadrats (\((L-3) \cdot (B+2)\)), also \(L \cdot B = (L - 3) \cdot (B + 2)\). 4. Substitution von \(L = B + 5\) in die Flächengleichung: \((B + 5) \cdot B = (B + 5 - 3) \cdot (B + 2)\). 5. Vereinfachen: \(B^2 + 5B = (B + 2) \cdot (B + 2) = B^2 + 4B + 4\). 6. Lösen der Gleichung: \(B^2 + 5B = B^2 + 4B + 4 \Rightarrow 5B = 4B + 4 \Rightarrow B = 4\). 7. Berechnung der Länge: \(L = 4 + 5 = 9\). 8. Ergebnis: Die ursprüngliche Länge beträgt \(9\,\text{cm}\) und die Breite \(4\,\text{cm}\).

Das ursprüngliche Rechteck ist \(9\,\text{cm}\) lang und \(4\,\text{cm}\) breit.

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Stelle für jede der beiden Änderungen eine Gleichung auf, die den neuen Flächeninhalt mit dem alten vergleicht. - Kürzen sich Terme weg, wenn du die Klammern auflöst? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um das entstandene Gleichungssystem zu lösen?

1. Definition der Variablen: \(l\) für die ursprüngliche Länge und \(w\) für die ursprüngliche Breite in Metern. Der Flächeninhalt ist \(A = l \cdot w\). 2. Aufstellen der ersten Gleichung: \((l + 2) \cdot (w - 1) = l \cdot w\). Ausmultiplizieren ergibt \(lw - l + 2w - 2 = lw\), was zu \(-l + 2w = 2\) vereinfacht wird. 3. Aufstellen der zweiten Gleichung: \((l - 3) \cdot (w + 3) = l \cdot w + 6\). Ausmultiplizieren ergibt \(lw + 3l - 3w - 9 = lw + 6\), was zu \(3l - 3w = 15\) bzw. \(l - w = 5\) vereinfacht wird. 4. Lösen des Systems: Aus der zweiten Gleichung folgt \(l = w + 5\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(-(w + 5) + 2w = 2 \implies -w - 5 + 2w = 2 \implies w = 7\). 5. Berechnung der Länge: \(l = 7 + 5 = 12\).

Das Beet ist ursprünglich \(12\,\text{m}\) lang und \(7\,\text{m}\) breit.

- Stelle für jede der beiden Bedingungen eine Gleichung mit zwei Variablen auf. - Achte darauf, wie die Klammern gesetzt werden müssen, wenn sich die Längenänderung auf die gesamte Stange bezieht. - Überlege, wie du den Bruch in der zweiten Gleichung am geschicktesten eliminieren kannst. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die berechneten Längen in die ursprünglichen Bedingungen einsetzt.

1. Variablen festlegen: \(a\) für die Länge von Stange \(A\) und \(b\) für die Länge von Stange \(B\) in \(\text{cm}\). 2. Bedingung 1 als Gleichung: \(a + 50 = 2 \cdot (b + 10)\). 3. Bedingung 2 als Gleichung: \(b + 50 = \frac{3}{4} \cdot (a + 10)\). 4. Erste Gleichung nach \(a\) umformen: \(a = 2b + 20 - 50 = 2b - 30\). 5. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(b + 50 = \frac{3}{4} \cdot (2b - 30 + 10) = \frac{3}{4} \cdot (2b - 20)\). 6. Mit \(4\) multiplizieren, um den Bruch zu eliminieren: \(4b + 200 = 3 \cdot (2b - 20) \Rightarrow 4b + 200 = 6b - 60\). 7. Nach \(b\) auflösen: \(260 = 2b \Rightarrow b = 130\). 8. \(a\) berechnen: \(a = 2 \cdot 130 - 30 = 230\).

Stange \(A\) ist \(230\,\text{cm}\) lang und Stange \(B\) ist \(130\,\text{cm}\) lang.

- Stelle für jedes Szenario eine Gleichung auf, die den neuen Zustand mit dem alten Zustand vergleicht. - Achte beim Ausmultiplizieren der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Nach dem Vereinfachen erhältst du ein klassisches System mit zwei Variablen. - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du die Werte in die ursprünglichen Bedingungen einsetzt.

1. Variablen festlegen: \(x\) für die Anzahl der Reihen, \(y\) für die Anzahl der Plätze pro Reihe. 2. Gleichungssystem aufstellen: \((x + 2) \cdot (y + 5) = xy + 200\) und \((x - 5) \cdot (y - 2) = xy - 150\). 3. Terme vereinfachen: Gleichung 1: \(xy + 5x + 2y + 10 = xy + 200 \implies 5x + 2y = 190\). Gleichung 2: \(xy - 2x - 5y + 10 = xy - 150 \implies 2x + 5y = 160\). 4. System lösen (z. B. Additionsverfahren): Erste Gleichung mit 5 multiplizieren (\(25x + 10y = 950\)), zweite Gleichung mit \(-2\) multiplizieren (\(-4x - 10y = -320\)). 5. Addition der Gleichungen: \(21x = 630 \implies x = 30\). 6. Einsetzen zur Bestimmung von \(y\): \(2 \cdot 30 + 5y = 160 \implies 60 + 5y = 160 \implies 5y = 100 \implies y = 20\).

Der Theatersaal hat aktuell 30 Reihen mit jeweils 20 Plätzen pro Reihe.

- Skizziere ein gleichschenkliges Trapez und markiere, welche Seiten laut Text gleich lang sind. - Wie berechnet man den Umfang eines Trapezes? - Stelle eine Gleichung für den Umfang und eine für das Verhältnis der Seiten auf. - Überlege dir, wie man die Höhe eines solchen Trapezes berechnen kann. Was sagt eine Höhe von Null über die Form aus? - Kann ein Dreieck (als Teil des Trapezes) existieren, wenn eine Seite so lang ist wie die Summe der anderen oder länger?

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Länge der drei kürzeren Seiten (Schenkel \(s\) und kürzere Basis \(c\)) und \(y\) die Länge der längeren Basis \(a\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: - Umfang: \(y + 3x = 24\). - Seitenverhältnis: \(y = 3x\). 3. Lösen des Systems: \(3x + 3x = 24 \implies 6x = 24 \implies x = 4\). 4. Berechnen von \(y\): \(y = 3 \cdot 4 = 12\). 5. Die Seitenlängen sind \(4\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\). 6. Existenzprüfung: In einem gleichschenkligen Trapez mit Basen \(a, c\) und Schenkel \(s\) gilt für die Höhe \(h\): \(h^2 = s^2 - \left(\frac{a-c}{2}\right)^2\). 7. Einsetzen der Werte: \(h^2 = 4^2 - \left(\frac{12-4}{2}\right)^2 = 16 - 16 = 0\). 8. Da die Höhe \(h = 0\) ist, liegen alle Eckpunkte auf einer Geraden. Die Figur ist entartet und kein Trapez mit positivem Flächeninhalt.

Die Seitenlängen betragen \(12\,\text{cm}\) (lange Basis) und dreimal \(4\,\text{cm}\). Ein nicht entartetes Trapez mit diesen Seitenlängen existiert nicht, da seine Höhe \(0\,\text{cm}\) betragen würde und die Figur somit zu einer Strecke entartet.