Kostenlose Arbeitsblätter

- Von welchem gemeinsamen Punkt gehen die beiden Tangentenstrecken aus? - Welche Längeneigenschaft gilt für zwei Tangentenabschnitte von demselben äußeren Punkt?

1. Tangentenabschnitte, die von demselben äußeren Punkt an einen Kreis führen, sind gleich lang. Daher gilt \(PA=PB\). 2. Aus der Abbildung liest man \(PA=12\,\text{cm}\) ab. 3. Somit gilt \(PB=12\,\text{cm}\).

Von demselben äußeren Punkt aus sind die beiden Tangentenabschnitte gleich lang, also \(PA=PB\). Daher ist \(PB=12\,\text{cm}\).

- Wie viele Grade hat ein ganzer Kreis? - Wenn etwas in gleich große Teile geteilt wird, welche Rechenoperation hilft dir dabei? - Überlege, wie sich der Gesamtwinkel auf die Anzahl der Stücke verteilt.

1. Ein voller Kreis umfasst einen Winkel von \(360^\circ\). 2. Da die Pizza in 10 gleich große Stücke geteilt wird, muss der Gesamtwinkel durch 10 dividiert werden. 3. Berechnung: \(360^\circ : 10 = 36^\circ\). Jedes Pizzastück hat einen Mittelpunktswinkel von \(36^\circ\).

Der Mittelpunktswinkel jedes Pizzastücks beträgt \(36^\circ\).

- Welche Formel verbindet Umfang und Durchmesser? - Wie hängt der Radius mit dem Durchmesser zusammen? - Welche Art von Zusammenhang besteht zwischen \(U\) und \(r\)?

1. Aus \(U=\pi d\) folgt \(d=\frac{U}{\pi}=\frac{15{,}70\,\text{m}}{\pi}\approx5{,}00\,\text{m}\). 2. Der neue Umfang beträgt \(31{,}40\,\text{m}\). Damit ist \(r_{\text{neu}}=\frac{31{,}40\,\text{m}}{2\pi}\approx5{,}00\,\text{m}\). 3. Weil \(U=2\pi r\) gilt, sind Umfang und Radius direkt proportional. Beim Verdoppeln des Umfangs verdoppelt sich der Radius.

a) \(d\approx5{,}00\,\text{m}\) b) \(r_{\text{neu}}\approx5{,}00\,\text{m}\) c) Der Radius verdoppelt sich.

- Welche Strecke legt ein Rad bei genau einer vollständigen Umdrehung zurück? - Bringe Radumfang und Zielstrecke vor der Division in dieselbe Einheit. - Beachte beim Runden die Zusatzbedingung, dass der Roboter nur nach einer vollständigen Umdrehung anhalten kann.

1. Der Radumfang beträgt \(U=\pi d=12\pi\,\text{cm}\approx37{,}70\,\text{cm}\). 2. Die Zielstrecke ist \(75\,\text{m}=7500\,\text{cm}\). 3. Ohne die Bedingung vollständiger Umdrehungen wären \(n=\frac{7500}{12\pi}\approx198{,}94\) Umdrehungen nötig. 4. Da der Roboter nur nach einer vollständigen Umdrehung anhalten kann und die Zielstrecke mindestens erreichen soll, wird auf die nächste ganze Zahl aufgerundet: \(n=199\).

Die Räder müssen mindestens \(199\) vollständige Umdrehungen machen.

- Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen? - Welche Formel verbindet den Umfang mit dem Durchmesser? - Kannst du die Formel für den Umfang so umstellen, dass du den Durchmesser berechnen kannst? - Achte auf die Einheiten in jeder Spalte.

1. Berechnung für a): Durchmesser \(d = 2r = 2 \cdot 5{,}5\,\text{cm} = 11\,\text{cm}\). Umfang \(U = \pi d = \pi \cdot 11\,\text{cm} \approx 34{,}56\,\text{cm}\). 2. Berechnung für b): Radius \(r = d : 2 = 18\,\text{m} : 2 = 9\,\text{m}\). Umfang \(U = \pi d = \pi \cdot 18\,\text{m} \approx 56{,}55\,\text{m}\). 3. Berechnung für c): Durchmesser \(d = U : \pi = 25\,\text{dm} : \pi \approx 7{,}96\,\text{dm}\). Radius \(r = d : 2 \approx 7{,}96\,\text{dm} : 2 \approx 3{,}98\,\text{dm}\).

a) \(d = 11\,\text{cm}\), \(U \approx 34{,}56\,\text{cm}\) b) \(r = 9\,\text{m}\), \(U \approx 56{,}55\,\text{m}\) c) \(d \approx 7{,}96\,\text{dm}\), \(r \approx 3{,}98\,\text{dm}\)

- Prüfe in jeder Tabellenzeile zuerst, welche Kreisgröße direkt aus der gegebenen Größe bestimmt werden kann. - Nutze die Beziehungen zwischen Radius, Durchmesser und Umfang, bevor du den Flächeninhalt berechnest. - Vermeide Zwischenrundungen, wenn ein gerundeter Wert anschließend noch in eine weitere Formel eingeht.

1. Zeile 1: Aus \(r=4\,\text{cm}\) folgt \(d=2r=8\,\text{cm}\). Der Umfang ist \(U=2\pi r=8\pi\,\text{cm}\approx25{,}13\,\text{cm}\), der Flächeninhalt ist \(A=\pi r^2=16\pi\,\text{cm}^2\approx50{,}27\,\text{cm}^2\). 2. Zeile 2: Aus \(U=\pi d\) folgt \(d=U:\pi=31{,}42\,\text{m}:\pi\approx10{,}00\,\text{m}\). Damit ist \(r=d:2\approx5{,}00\,\text{m}\). Ohne Zwischenrundung ergibt sich \(A=\pi r^2\approx78{,}56\,\text{m}^2\). 3. Zeile 3: Aus \(d=14\,\text{mm}\) folgt \(r=7\,\text{mm}\). Damit ist \(U=\pi d=14\pi\,\text{mm}\approx43{,}98\,\text{mm}\) und \(A=\pi r^2=49\pi\,\text{mm}^2\approx153{,}94\,\text{mm}^2\).

Zeile 1: \(d=8\,\text{cm}\), \(U\approx25{,}13\,\text{cm}\), \(A\approx50{,}27\,\text{cm}^2\) Zeile 2: \(d\approx10{,}00\,\text{m}\), \(r\approx5{,}00\,\text{m}\), \(A\approx78{,}56\,\text{m}^2\) Zeile 3: \(r=7\,\text{mm}\), \(U\approx43{,}98\,\text{mm}\), \(A\approx153{,}94\,\text{mm}^2\)

- Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? - Welche Formel benötigst du, um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen? - Wie bestimmst du anschließend die Differenz der beiden Flächeninhalte?

1. Berechnung des Radius für beide Pizzen: \(r_{\text{klein}} = 26\,\text{cm} : 2 = 13\,\text{cm}\) und \(r_{\text{groß}} = 40\,\text{cm} : 2 = 20\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der kleinen Pizza: \(A_{\text{klein}} = \pi \cdot (13\,\text{cm})^2 \approx 530{,}93\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts der großen Pizza: \(A_{\text{groß}} = \pi \cdot (20\,\text{cm})^2 \approx 1256{,}64\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Differenz: \(1256{,}64\,\text{cm}^2 - 530{,}93\,\text{cm}^2 = 725{,}71\,\text{cm}^2\).

Die kleine Pizza hat einen Flächeninhalt von ca. \(530{,}93\,\text{cm}^2\), die große Pizza von ca. \(1256{,}64\,\text{cm}^2\). Die große Pizza ist um ca. \(725{,}71\,\text{cm}^2\) größer.

- Setze den gegebenen Flächeninhalt in die Kreisflächenformel ein und vergleiche beide Seiten. - Überlege, welcher gemeinsame Faktor auf beiden Seiten der Gleichung entfernt werden kann. - Für den Radius kommt nur eine positive Länge infrage. Welche positive Länge besitzt das benötigte Quadrat?

1. Für den Flächeninhalt eines Kreises gilt \(A=\pi r^2\). 2. Einsetzen des gegebenen Flächeninhalts ergibt \(36\pi\,\text{m}^2=\pi r^2\). 3. Nach dem Kürzen von \(\pi\) folgt \(r^2=36\,\text{m}^2\). 4. Da ein Radius positiv ist und \((6\,\text{m})^2=36\,\text{m}^2\) gilt, ist \(r=6\,\text{m}\).

Der Radius beträgt \(6\,\text{m}\).

- Welche Formel verknüpft den Umfang direkt mit dem Durchmesser? - Wie kannst du den gefundenen Ausdruck für den Durchmesser in die Flächenformel einsetzen? - Runde möglichst erst beim Endergebnis.

1. Aus \(U=\pi d\) folgt \(d=\frac{12{,}00\,\text{m}}{\pi}\approx3{,}82\,\text{m}\). 2. Für die Fläche wird nicht mit dem gerundeten Durchmesser weitergerechnet: \(A=\frac{\pi}{4}\left(\frac{12}{\pi}\right)^2\,\text{m}^2=\frac{36}{\pi}\,\text{m}^2\approx11{,}46\,\text{m}^2\).

a) \(d\approx3{,}82\,\text{m}\) b) \(A\approx11{,}46\,\text{m}^2\)

- Welcher Anteil des Vollkreises steckt gleichzeitig in Sektorfläche und Kreisbogen? - Stelle die beiden entsprechenden Brüche einander gegenüber. - Forme erst danach nach der gesuchten Bogenlänge um.

1. Ein Kreissektor nimmt bei Fläche und Bogenlänge denselben Anteil am Vollkreis ein. Daher gilt \(\frac{A_S}{\pi r^2}=\frac{b}{2\pi r}\). 2. Durch Umformen folgt daraus \(A_S=\frac12br\) und damit \(b=\frac{2A_S}{r}\). 3. Einsetzen ergibt \(b=\frac{2\cdot24{,}5\,\text{cm}^2}{7\,\text{cm}}=7\,\text{cm}\).

Die Bogenlänge beträgt \(7\,\text{cm}\).

- Welcher Anteil des vollen Kreisumfangs wird durch den Winkel beschrieben? - Achte darauf, ob Radius oder Durchmesser gegeben ist. - Setze erst nach dieser Klärung in die Bogenlängenformel ein.

1. Für a) gilt \(b=2\pi r\frac{\alpha}{360^\circ}=2\pi\cdot7{,}5\,\text{cm}\cdot\frac{48}{360}=2\pi\,\text{cm}\approx6{,}28\,\text{cm}\). 2. Für b) ist zunächst \(r=\frac{1{,}20\,\text{m}}2=0{,}60\,\text{m}\). 3. Damit ist \(b=2\pi\cdot0{,}60\,\text{m}\cdot\frac{210}{360}=0{,}7\pi\,\text{m}\approx2{,}20\,\text{m}\).

a) \(b\approx6{,}28\,\text{cm}\) b) \(b\approx2{,}20\,\text{m}\)

- Welche Formel verbindet den Umfang eines Kreises mit seinem Durchmesser? - Überlege, wie du die bekannte Formel umstellen kannst, um die gesuchte Größe allein auf einer Seite zu haben. - Was ist in der Aufgabe gegeben und was wird gesucht?

1. Zusammenhang zwischen Umfang \(U\) und Durchmesser \(d\) eines Kreises nutzen: \(U = \pi d\). 2. Die Formel nach dem Durchmesser umstellen: \(d = \frac{U}{\pi}\). 3. Den gegebenen Umfang \(U = 15\,\text{m}\) einsetzen: \(d = \frac{15}{\pi}\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(d \approx 4{,}7746\,\text{m}\). 5. Das Beet darf einen maximalen Durchmesser von etwa \(4{,}77\,\text{m}\) haben.

Das Beet darf einen Durchmesser von höchstens \(4{,}77\,\text{m}\) haben.

- Stell dir vor, du würdest einmal um die ganze Pizza herumlaufen. Wie weit wäre das? - Wenn du die Pizza in 8 gleiche Teile teilst, welchen Bruchteil des gesamten Randes erhält dann jedes Stück? - Könnte dir der Winkel eines Stücks im Zentrum der Pizza weiterhelfen?

1. Berechnung des Gesamtumfangs der Pizza mit \(d = 32\,\text{cm}\): \(U = \pi \cdot 32 \approx 100{,}531\,\text{cm}\). 2. Da die Pizza in 8 gleich große Stücke geteilt wird, entspricht der Rand eines Stücks einem Achtel des Gesamtumfangs. 3. Berechnung der Bogenlänge \(b\): \(b = \frac{100{,}531}{8} \approx 12{,}566\,\text{cm}\). 4. Alternativ über den Mittelpunktswinkel: \(\alpha = 360^\circ : 8 = 45^\circ\). Bogenlänge \(b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 32 \approx 12{,}566\,\text{cm}\). 5. Rundung auf eine Dezimalstelle ergibt \(12{,}6\,\text{cm}\).

Der äußere Rand eines Pizzastücks ist etwa \(12{,}6\,\text{cm}\) lang.

- Setze in die gegebene Umfangsformel einmal \(d\) und einmal den veränderten Durchmesser ein. - Vergleiche die beiden Funktionswerte ohne einen konkreten Zahlenwert für \(d\) zu wählen. - Prüfe zusätzlich das Kennzeichen einer direkten Proportionalität über ein konstantes Verhältnis.

1. Für den ursprünglichen Durchmesser gilt \(U(d)=\pi d\). 2. Beim verdoppelten Durchmesser ist \(U(2d)=\pi(2d)=2\pi d=2U(d)\). 3. Außerdem gilt für jeden Durchmesser \(d>0\): \(\frac{U(d)}{d}=\pi\). Der Quotient ist konstant. 4. Damit ist der Umfang direkt proportional zum Durchmesser. Max' Behauptung ist korrekt.

Die Aussage ist korrekt. Es gilt \(U(2d)=2U(d)\) und \(\frac{U(d)}{d}=\pi\); daher ist der Umfang direkt proportional zum Durchmesser.

- Entscheide in jedem Teil zuerst, welche Kreisformel die gegebene Größe direkt mit der gesuchten Zwischengröße verbindet. - In Teil b) kannst du den gemeinsamen Faktor \(\pi\) zunächst aus der Flächengleichung entfernen. - Bestimme erst Radius oder Durchmesser und nutze diese Größe anschließend für die zweite gesuchte Kreisgröße.

1. a) Aus \(U=2\pi r\) folgt \(r=U:(2\pi)=25{,}13\,\text{cm}:(2\pi)\approx4{,}0\,\text{cm}\). 2. Ohne Zwischenrundung ergibt sich \(A=\pi r^2\approx50{,}3\,\text{cm}^2\). 3. b) Aus \(9\pi\,\text{cm}^2=\pi r^2\) folgt \(r^2=9\,\text{cm}^2\). Weil ein Radius positiv ist und \((3\,\text{cm})^2=9\,\text{cm}^2\), gilt \(r=3\,\text{cm}\). 4. Damit ist \(d=2r=6\,\text{cm}\) und \(U=\pi d=6\pi\,\text{cm}\approx18{,}8\,\text{cm}\).

a) \(r\approx4{,}0\,\text{cm}\); \(A\approx50{,}3\,\text{cm}^2\) b) \(d=6{,}0\,\text{cm}\); \(U\approx18{,}8\,\text{cm}\)

- Welche Strecke legt ein Rad bei genau einer Umdrehung zurück? - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Was bedeutet „volle Umdrehung“ für dein Endergebnis?

1. Den Durchmesser in Meter umrechnen: \(d = 50\,\text{cm} = 0{,}5\,\text{m}\). 2. Den Umfang des Rades berechnen: \(U = \pi d = \pi \cdot 0{,}5\,\text{m} \approx 1{,}5708\,\text{m}\). 3. Die Anzahl der Umdrehungen durch Division der Gesamtstrecke durch den Umfang ermitteln: \(n = \frac{250\,\text{m}}{1{,}5708\,\text{m}} \approx 159{,}15\). 4. Da nach vollen Umdrehungen gefragt ist, das Ergebnis abrunden: \(159\) Umdrehungen.

Das Rad macht auf der Strecke \(159\) volle Umdrehungen.

- Vergleiche den gegebenen Flächeninhalt mit der Formel \(A=\pi r^2\). - Entferne zunächst den gemeinsamen Faktor \(\pi\) und suche dann eine passende positive Quadratzahl. - Wenn der Radius feststeht, lassen sich Durchmesser und Umfang mit ihren direkten Formeln bestimmen.

1. Aus \(16\pi\,\text{cm}^2=\pi r^2\) folgt nach dem Kürzen von \(\pi\), dass \(r^2=16\,\text{cm}^2\) gilt. 2. Da der Radius positiv ist und \((4\,\text{cm})^2=16\,\text{cm}^2\), ist \(r=4\,\text{cm}\). 3. Der Durchmesser ist \(d=2r=8\,\text{cm}\). 4. Der Umfang ist \(U=2\pi r=8\pi\,\text{cm}\approx25{,}1\,\text{cm}\).

\(r=4\,\text{cm}\) \(d=8\,\text{cm}\) \(U=8\pi\,\text{cm}\approx25{,}1\,\text{cm}\)

- Wie berechnest du die Quadratfläche? - Welcher Radius gehört zum Durchmesser der runden Pizza? - Vergleiche anschließend die beiden Flächenwerte.

1. Die quadratische Pizza hat die Fläche \(A_q=26^2\,\text{cm}^2=676\,\text{cm}^2\). 2. Der Radius der runden Pizza beträgt \(15\,\text{cm}\). 3. Ihre Fläche ist \(A_k=\pi\cdot15^2\,\text{cm}^2=225\pi\,\text{cm}^2\approx706{,}86\,\text{cm}^2\). 4. Da \(706{,}86\,\text{cm}^2>676\,\text{cm}^2\), bietet die runde Pizza mehr Fläche.

Die runde Pizza bietet mit etwa \(706{,}86\,\text{cm}^2\) mehr Fläche als die quadratische Pizza mit \(676\,\text{cm}^2\).

- Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen? - Welche Formeln verbinden den Radius mit dem Umfang und dem Flächeninhalt? - Wenn der Umfang gegeben ist, welche Kreisgröße kannst du daraus zuerst bestimmen?

1. Kreis A: \(d=2r=9\,\text{cm}\), \(U=2\pi r\approx28{,}26\,\text{cm}\) und \(A=\pi r^2\approx63{,}59\,\text{cm}^2\). 2. Kreis B: \(r=d:2=6\,\text{dm}\), \(U=\pi d\approx37{,}68\,\text{dm}\) und \(A=\pi r^2\approx113{,}04\,\text{dm}^2\). 3. Kreis C: \(d=U:\pi=5\,\text{m}\), \(r=d:2=2{,}5\,\text{m}\) und \(A=\pi r^2\approx19{,}63\,\text{m}^2\).

Kreis A: \(d=9\,\text{cm}\), \(U\approx28{,}26\,\text{cm}\), \(A\approx63{,}59\,\text{cm}^2\) Kreis B: \(r=6\,\text{dm}\), \(U\approx37{,}68\,\text{dm}\), \(A\approx113{,}04\,\text{dm}^2\) Kreis C: \(r=2{,}5\,\text{m}\), \(d=5\,\text{m}\), \(A\approx19{,}63\,\text{m}^2\)

- Wie lauten die Grundformeln für den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreises? - Vergleiche, wie der Radius in beiden Formeln vorkommt. - Was passiert mit \(r^2\), wenn du \(r\) verdoppelst?

1. a) Mit \(U=2\pi r\) gilt \(U_1=24\pi\,\text{cm}\approx75{,}40\,\text{cm}\) und \(U_2=48\pi\,\text{cm}\approx150{,}80\,\text{cm}\). 2. b) Mit \(A=\pi r^2\) gilt \(A_1=144\pi\,\text{cm}^2\approx452{,}39\,\text{cm}^2\) und \(A_2=576\pi\,\text{cm}^2\approx1809{,}56\,\text{cm}^2\). 3. c) Es ist \(\frac{A_2}{A_1}=\frac{576\pi}{144\pi}=4\). Der Flächeninhalt vervierfacht sich, weil bei verdoppeltem Radius \((2r)^2=4r^2\) gilt.

a) \(U_1\approx75{,}40\,\text{cm}\); \(U_2\approx150{,}80\,\text{cm}\) b) \(A_1\approx452{,}39\,\text{cm}^2\); \(A_2\approx1809{,}56\,\text{cm}^2\) c) Der Flächeninhalt vergrößert sich um den Faktor \(4\).

- Forme die Flächenformel zunächst so um, dass das Quadrat des Radius allein steht. - Vergleiche den erhaltenen Wert mit einer bekannten positiven Quadratzahl. - Nutze den Radius anschließend in der Umfangsformel und runde erst am Ende.

1. Aus \(A=\pi r^2\) folgt \(r^2=A:\pi=50{,}27\,\text{m}^2:\pi\approx16{,}00\,\text{m}^2\). 2. Da der Radius positiv ist und \((4{,}00\,\text{m})^2=16{,}00\,\text{m}^2\), beträgt der Radius näherungsweise \(r\approx4{,}00\,\text{m}\). 3. Ohne Zwischenrundung ergibt sich für den Umfang \(U=2\pi r\approx25{,}13\,\text{m}\).

\(r\approx4{,}00\,\text{m}\) \(U\approx25{,}13\,\text{m}\)

- Bestimme in beiden Teilaufgaben zuerst den Radius als gemeinsame Zwischengröße. - In Teil a) verbindet die Umfangsformel die gegebene Größe direkt mit dem Radius. - In Teil b) kannst du den Faktor \(\pi\) aus der Flächengleichung entfernen und eine bekannte positive Quadratzahl nutzen.

1. a) Aus \(U=2\pi r\) folgt \(r=31{,}4\,\text{cm}:(2\pi)\approx5{,}0\,\text{cm}\). Ohne Zwischenrundung ergibt sich \(A=\pi r^2\approx78{,}5\,\text{cm}^2\). 2. b) Aus \(25\pi\,\text{cm}^2=\pi r^2\) folgt \(r^2=25\,\text{cm}^2\). Da \((5\,\text{cm})^2=25\,\text{cm}^2\), ist \(r=5\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(U=2\pi r=10\pi\,\text{cm}\approx31{,}4\,\text{cm}\).

a) \(A\approx78{,}5\,\text{cm}^2\) b) \(U=10\pi\,\text{cm}\approx31{,}4\,\text{cm}\)

- Welche Umfangsformel verwendet den Durchmesser direkt? - Für die Flächenformel brauchst du den Radius. - Runde erst die fertigen Ergebnisse.

1. a) Mit \(d=4{,}80\,\text{m}\) ergibt sich \(U=\pi d=4{,}80\pi\,\text{m}\approx15{,}08\,\text{m}\). 2. b) Der Radius ist \(r=2{,}40\,\text{m}\). Daher gilt \(A=\pi r^2=5{,}76\pi\,\text{m}^2\approx18{,}10\,\text{m}^2\).

a) \(U\approx15{,}08\,\text{m}\) b) \(A\approx18{,}10\,\text{m}^2\)

- Bestimme aus der Flächenformel zunächst das Quadrat des Radius. - Vergleiche den erhaltenen Wert mit einer bekannten positiven Quadratzahl. - Nutze den gefundenen Radius anschließend in der Umfangsformel.

1. Mit \(A=\pi r^2\) gilt \(200{,}96\,\text{cm}^2=3{,}14r^2\). 2. Daraus folgt \(r^2=200{,}96\,\text{cm}^2:3{,}14=64\,\text{cm}^2\). 3. Da der Radius positiv ist und \((8\,\text{cm})^2=64\,\text{cm}^2\), ist \(r=8\,\text{cm}\). 4. Der Umfang beträgt \(U=2\pi r\approx2\cdot3{,}14\cdot8\,\text{cm}=50{,}24\,\text{cm}\).

\(U=50{,}24\,\text{cm}\)

- Welche Rechenoperation musst du laut der Formel zuerst ausführen? - Achte darauf, den Durchmesser korrekt zu quadrieren, bevor du weiterrechnest. - Was bedeutet es für die Ziffer nach dem Komma, wenn die darauffolgende Ziffer eine 4 oder eine 6 ist? - Setze die gegebenen Werte für \(d\) nacheinander in die Formel ein.

1. Berechnung des Flächeninhalts für \(d = 8\,\text{cm}\): \(A = \frac{3{,}14 \cdot 8^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 64}{4} = 3{,}14 \cdot 16 = 50{,}24 \approx 50{,}2\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts für \(d = 20\,\text{cm}\): \(A = \frac{3{,}14 \cdot 20^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 400}{4} = 3{,}14 \cdot 100 = 314{,}0\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts für \(d = 30\,\text{cm}\): \(A = \frac{3{,}14 \cdot 30^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 900}{4} = 3{,}14 \cdot 225 = 706{,}5\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung des Flächeninhalts für \(d = 44\,\text{cm}\): \(A = \frac{3{,}14 \cdot 44^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 1936}{4} = 3{,}14 \cdot 484 = 1519{,}76 \approx 1519{,}8\,\text{cm}^2\).

Die gesuchten Flächeninhalte sind \(50{,}2\,\text{cm}^2\), \(314{,}0\,\text{cm}^2\), \(706{,}5\,\text{cm}^2\) und \(1519{,}8\,\text{cm}^2\).

- Gesucht sind Punkte, die zugleich auf der Kreislinie und auf der gestrichelten Geraden liegen. - Für alle Punkte der Geraden \(y=6\) ist die zweite Koordinate schon festgelegt. - Lies an den beiden Schnittstellen nur noch die erste Koordinate ab.

1. Beide Schnittpunkte liegen auf der Geraden \(y=6\), also haben sie die zweite Koordinate \(6\). 2. Aus dem Diagramm liest man die beiden zugehörigen \(x\)-Koordinaten \(8\) und \(-8\) ab. 3. Damit lauten die Schnittpunkte \((8\mid6)\) und \((-8\mid6)\).

\((8\mid6)\) und \((-8\mid6)\)

- Welche Bedeutung haben die Strecken vom Kreismittelpunkt zu Punkten auf dem Kreis? - Vergleiche diese beiden Strecken mit der in der Aufgabe beschriebenen Sehne. - Welche Dreiecksart ergibt sich aus dieser Seitenbeziehung?

1. Die Strecken \(MA\) und \(MB\) sind Radien desselben Kreises. Daher gilt \(MA=MB=r\). 2. Nach der Aufgabenstellung gilt außerdem \(AB=r\). 3. Somit hat \(\triangle ABM\) drei gleich lange Seiten und ist gleichseitig. 4. In einem gleichseitigen Dreieck ist jeder Innenwinkel \(60^\circ\). Daher gilt \(\angle AMB=60^\circ\).

\(\angle AMB=60^\circ\), denn \(MA=MB=AB=r\) und damit ist \(\triangle ABM\) gleichseitig.

- Welche besondere Lage haben Radius und Tangente im Berührpunkt? - Welchen Winkel kannst du dadurch bei \(B\) bestimmen? - Nutze anschließend die Innenwinkelsumme des Dreiecks \(OBA\).

1. Da \(AB\) eine Tangente im Punkt \(B\) ist, steht der Radius \(OB\) senkrecht auf \(AB\). Somit gilt \(\angle OBA=90^\circ\). 2. Die Innenwinkelsumme im Dreieck \(OBA\) beträgt \(180^\circ\). 3. Daher ist \(\angle AOB=180^\circ-90^\circ-32^\circ=58^\circ\).

\(\angle AOB=58^\circ\)

- Wie hängen die Längen von Kreisbögen mit ihren Mittelpunktswinkeln zusammen? - Wie viele Verhältnisanteile gibt es insgesamt? - Welcher der drei Verhältniswerte gehört zum größten Winkel?

1. Das Verhältnis der Bogenlängen \(3:4:5\) entspricht dem Verhältnis der zugehörigen Mittelpunktswinkel. 2. Die Summe der Verhältnisanteile ist \(3+4+5=12\). 3. Ein voller Kreis hat \(360^\circ\). Ein Anteil entspricht daher \(360^\circ:12=30^\circ\). 4. Der größte Winkel umfasst fünf Anteile: \(5\cdot30^\circ=150^\circ\).

Der größte Mittelpunktswinkel beträgt \(150^\circ\).

- Der Rand des Kreisrings besteht aus zwei vollständigen Kreislinien. - Lies für beide Kreislinien den jeweiligen Radius aus der Abbildung ab. - Berechne beide Randlängen getrennt und addiere sie erst anschließend.

1. Der äußere Kreisrand hat die Länge \(2\pi \cdot 5\,\text{cm}=10\pi\,\text{cm}\). 2. Der innere Kreisrand hat die Länge \(2\pi \cdot 3\,\text{cm}=6\pi\,\text{cm}\). 3. Zusammen ergibt sich \(16\pi\,\text{cm}\approx50{,}27\,\text{cm}\).

\(16\pi\,\text{cm}\approx50{,}27\,\text{cm}\)

- Beginne bei der gegebenen Fläche auf der senkrechten Achse und gehe zuerst waagerecht bis zum Graphen. - Von welchem Radiuswert liegt der Schnittpunkt anschließend senkrecht über der waagerechten Achse? - Welche Eigenschaft müsste ein Graph haben, wenn zwei Größen proportional wären?

1. Von \(A=20\,\text{cm}^2\) geht man im Diagramm waagerecht bis zum Graphen und anschließend senkrecht zur Radiusachse. Man liest ungefähr \(r\approx2{,}5\,\text{cm}\) ab. 2. Für \(A=50\,\text{cm}^2\) ergibt sich auf dieselbe Weise ungefähr \(r\approx4{,}0\,\text{cm}\). 3. Der Radius wächst damit ungefähr um den Faktor \(4{,}0:2{,}5=1{,}6\), während die Fläche um den Faktor \(2{,}5\) wächst. 4. Bei einer proportionalen Zuordnung müssten beide Größen mit demselben Faktor wachsen und der Graph wäre eine Gerade durch den Ursprung. Der dargestellte Graph ist gekrümmt; daher ist \(A\) nicht proportional zu \(r\).

a) \(r\approx2{,}5\,\text{cm}\) b) \(r\approx4{,}0\,\text{cm}\) c) Der Radius wächst ungefähr um den Faktor \(1{,}6\), die Fläche aber um den Faktor \(2{,}5\). Der gekrümmte Graph zeigt daher keine Proportionalität.

- Achte darauf, wo die beiden Endpunkte der markierten Strecke liegen und ob sie durch den Mittelpunkt verläuft. - Welche Kreisgröße verbindet zwei gegenüberliegende Randpunkte durch den Mittelpunkt? - Welche Umfangsformel verwendet diese Größe direkt?

1. Die markierte Strecke verbindet zwei Punkte des Kreisrandes und verläuft durch den Mittelpunkt \(M\). Sie ist daher ein Durchmesser. 2. Somit gilt \(d=8\,\text{cm}\). 3. Mit \(U=\pi d\) folgt \(U=8\pi\,\text{cm}\).

a) Die \(8\,\text{cm}\) geben den Durchmesser an, weil die markierte Strecke durch den Mittelpunkt von einem Kreisrand zum gegenüberliegenden Kreisrand verläuft. b) \(U=8\pi\,\text{cm}\)

- Wo liegen die Kreisbögen der einzelnen Sektoren nach dem abwechselnden Anordnen: alle auf derselben Seite oder auf zwei Seiten verteilt? - Vergleiche die Summe der beiden langen Randlinien mit dem ursprünglichen Kreisumfang. - Welche Flächenformel gilt für die angenäherte Rechteckform?

1. Beim abwechselnden Anordnen liegen die Kreisbögen der Sektoren teils am oberen und teils am unteren langen Rand. 2. Alle diese Bogenstücke zusammen ergeben genau den ursprünglichen Kreisumfang \(U\). Daher haben die beiden langen Ränder zusammen ungefähr die Länge \(U\), nicht jeder einzelne Rand. 3. Eine lange Randlinie ist deshalb ungefähr \(\frac{U}{2}\) lang. Die Höhe der angenäherten Rechteckform entspricht \(r\). 4. Damit ist \(A\approx\frac{U}{2}\cdot r=\frac{2\pi r}{2}\cdot r=\pi r^2\). Bei immer schmaleren Sektoren wird die Rechteckannäherung immer genauer.

a) Jona zählt den Kreisumfang doppelt. Oberer und unterer langer Rand enthalten zusammen alle Kreisbögen und haben zusammen ungefähr die Länge \(U\). b) Eine lange Randlinie ist ungefähr \(\frac{U}{2}\) lang. Daher gilt \(A\approx\frac{U}{2}\cdot r=\pi r^2\).

- Berechne zuerst den ursprünglichen Umfang. - Überlege, wie sich die Änderung des Umfangs auf die Formel auswirkt. - Welche Größen kommen in einer Formel für die Radiusänderung überhaupt vor?

1. Umfangsberechnung: \(U = 2 \cdot \pi \cdot 20\,\text{cm} \approx 125{,}66\,\text{cm}\). 2. Zunahme des Radius: Die Differenz der Umfänge ist \(\Delta U = 10\,\text{cm}\). Aus \(\Delta U = 2\pi \Delta r\) folgt \(\Delta r = \frac{10\,\text{cm}}{2\pi} \approx 1{,}59\,\text{cm}\). 3. Die Formel \(\Delta r = \frac{\Delta U}{2\pi}\) enthält den ursprünglichen Radius nicht. Die Zunahme bleibt daher gleich.

a) Der Umfang beträgt ca. \(125{,}66\,\text{cm}\). b) Der Radius nimmt um ca. \(1{,}59\,\text{cm}\) zu. c) Nein, die Zunahme bleibt gleich, da \(\Delta r = \frac{\Delta U}{2\pi}\) unabhängig vom Ausgangsradius ist.

- Welche Umfangsformel gilt für einen Kreis mit Radius \(r\)? - Schreibe für c) die beiden Umfänge mit den Radien \(r\) und \(r+s\) auf, bevor du sie vergleichst. - Welche Terme verschwinden beim Bilden der Differenz?

1. Für die innere Bahn gilt \(U_i=2\pi\cdot36\,\text{m}\approx226{,}19\,\text{m}\). 2. Der äußere Radius ist \(37{,}22\,\text{m}\). Daher ist \(U_a=2\pi\cdot37{,}22\,\text{m}\approx233{,}86\,\text{m}\). 3. Die Differenz beträgt \(U_a-U_i\approx7{,}67\,\text{m}\). 4. Allgemein gilt \(\Delta U=2\pi(r+s)-2\pi r=2\pi s\). Der innere Radius \(r\) fällt beim Subtrahieren weg; die Umfangsdifferenz hängt nur vom Abstand \(s\) ab.

a) \(U_i\approx226{,}19\,\text{m}\) b) \(\Delta U\approx7{,}67\,\text{m}\) c) \(\Delta U=2\pi s\); die Differenz ist unabhängig vom inneren Radius \(r\).

- Wie hängen Radius und Umfang zusammen? - Achte auf die Einheiten, besonders wenn Zentimeter und Meter in einer Aufgabe vorkommen. - Was bedeutet „eine volle Umdrehung“ für die zurückgelegte Strecke? - Wie erhältst du aus Gesamtstrecke und Radumfang die Anzahl der Umdrehungen?

1. Berechnung des Umfangs des Vorderrads: \(U_1 = 2\pi r_1 = 2 \cdot \pi \cdot 28\,\text{cm} \approx 175{,}93\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Umfangs des Hinterrads: \(U_2 = U_1 - 25\,\text{cm} \approx 150{,}93\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Radius des Hinterrads: \(r_2 = \frac{U_2}{2\pi} \approx 24{,}02\,\text{cm}\). 4. Auf \(100\,\text{m}=10\,000\,\text{cm}\) ergeben sich für das Vorderrad etwa \(56{,}84\), also 56 vollständig abgeschlossene Umdrehungen, und für das Hinterrad etwa \(66{,}26\), also 66 vollständig abgeschlossene Umdrehungen. 5. Die Anzahlen unterscheiden sich um \(66-56=10\) Umdrehungen.

a) Der Umfang des Vorderrads beträgt ca. \(175{,}93\,\text{cm}\). b) Der Radius des Hinterrads beträgt ca. \(24{,}02\,\text{cm}\). c) Das Vorderrad schließt 56, das Hinterrad 66 volle Umdrehungen ab. Die Anzahlen unterscheiden sich um 10 Umdrehungen.

- Skizziere die Situation mit konzentrischen Kreisen. - Wie verändert sich der Radius, wenn ein Weg um den Pool angelegt wird? - Untersuche den Umfangsunterschied algebraisch. - Welche Größe fällt beim Bilden der Differenz heraus?

1. Durchmesser des Pools: \(d_1 = \frac{U_1}{\pi}=\frac{18{,}85\,\text{m}}{\pi}\approx6{,}00\,\text{m}\). 2. Radius des Pools: \(r_1=\frac{d_1}{2}\approx3{,}00\,\text{m}\). 3. Radius der äußeren Begrenzung: \(r_2=r_1+1{,}20\,\text{m}\approx4{,}20\,\text{m}\). 4. Äußerer Umfang: \(U_2=2\pi r_2\approx26{,}39\,\text{m}\). 5. Bei doppelter Wegbreite beträgt der Außenradius \(r_3=r_1+2{,}40\,\text{m}\), also \(U_3\approx33{,}93\,\text{m}\). Gegenüber Teil b) wächst der Umfang um etwa \(7{,}54\,\text{m}\). 6. Allgemein gilt bei Wegbreite \(b\): \(2\pi(r+2b)-2\pi(r+b)=2\pi b\). Die Zunahme hängt nicht vom Poolradius ab.

a) Der Durchmesser beträgt ca. \(6{,}00\,\text{m}\). b) Der äußere Umfang beträgt ca. \(26{,}39\,\text{m}\). c) Der äußere Umfang vergrößert sich um ca. \(7{,}54\,\text{m}\). Diese Zunahme ist unabhängig vom ursprünglichen Pooldurchmesser.

- Wenn der Umfang mit einem Faktor multipliziert wird, was passiert dann mit dem Radius? - Welche Formeln brauchst du für Umfang und Flächeninhalt? - Welche Faktoren kürzen sich in einem Flächenverhältnis? - Wie verändern sich Flächen allgemein, wenn alle Längen mit demselben Faktor wachsen?

1. Umfang Kreis 1: \(U_1 = \pi d_1 = 12\pi\,\text{cm}\approx37{,}70\,\text{cm}\). 2. Flächeninhalt Kreis 1: \(A_1 = \pi\left(\frac{d_1}{2}\right)^2=36\pi\,\text{cm}^2\approx113{,}10\,\text{cm}^2\). 3. Umfang Kreis 2: \(U_2=2{,}5U_1=30\pi\,\text{cm}\). 4. Radius Kreis 2: \(r_2=\frac{U_2}{2\pi}=15\,\text{cm}\). 5. Flächenverhältnis: \(\frac{A_2}{A_1}=\frac{\pi\cdot15^2}{\pi\cdot6^2}=6{,}25\). 6. Wenn Umfang und Radius mit dem Faktor \(k\) wachsen, wächst die Fläche mit \(k^2\). Hier gilt \(2{,}5^2=6{,}25\).

a) \(U_1\approx37{,}70\,\text{cm}\); \(A_1\approx113{,}10\,\text{cm}^2\) b) \(r_2=15\,\text{cm}\) c) Der Flächeninhalt ist \(6{,}25\)-mal so groß; der Flächenfaktor ist das Quadrat des Umfangsfaktors.

- Beide Räder legen die exakt gleiche Strecke auf dem Boden zurück. - Kannst du zuerst die Gesamtlänge der gefahrenen Strecke bestimmen? - Wie berechnet man den Umfang eines Kreises, wenn der Durchmesser gegeben ist?

1. Berechnung der zurückgelegten Gesamtstrecke \(s\) mit dem Umfang des Vorderrads \(U_V = 4{,}20\,\text{m}\) und der Anzahl der Umdrehungen \(n_V = 120\): \(s = 120 \cdot 4{,}20\,\text{m} = 504\,\text{m}\). 2. Berechnung des Umfangs des Hinterrads \(U_H\) mit dem Durchmesser \(d_H = 35\,\text{cm} = 0{,}35\,\text{m}\): \(U_H = \pi \cdot 0{,}35\,\text{m} \approx 1{,}09956\,\text{m}\). 3. Berechnung der Anzahl der Umdrehungen des Hinterrads \(n_H\) durch Division der Gesamtstrecke durch den Umfang des Hinterrads: \(n_H = \frac{504\,\text{m}}{1{,}09956\ldots\,\text{m}} \approx 458{,}37\). 4. Rundung auf eine ganze Zahl ergibt \(458\).

Das kleine Hinterrad dreht sich etwa \(458\)-mal.

- Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? - Wie berechnest du die Kreisfläche für jede Pizza? - Wie erhältst du aus Fläche und Preis die Fläche pro Euro?

1. Die Radien betragen \(r_1=13\,\text{cm}\) und \(r_2=16\,\text{cm}\). 2. Die Flächen sind \(A_1=169\pi\,\text{cm}^2\) und \(A_2=256\pi\,\text{cm}^2\). 3. Pro Euro erhält man bei der kleinen Pizza \(\frac{169\pi}{7{,}50}\,\text{cm}^2/\text{€}\approx70{,}79\,\text{cm}^2/\text{€}\) und bei der großen Pizza \(\frac{256\pi}{11}\,\text{cm}^2/\text{€}\approx73{,}11\,\text{cm}^2/\text{€}\). 4. Die größere Pizza bietet damit mehr Fläche pro Euro.

Die Pizza mit \(32\,\text{cm}\) Durchmesser bietet mehr Fläche pro Euro: etwa \(73{,}11\,\text{cm}^2/\text{€}\) statt \(70{,}79\,\text{cm}^2/\text{€}\).

- Wie kann man die Fläche eines Kreisrings aus zwei Kreisflächen zusammensetzen? - Was passiert mit jeder Kreisfläche, wenn ihr Radius verdoppelt wird? - Vergleiche die alte und die neue Ringfläche als Faktor.

1. Die Ringfläche ist die Differenz aus äußerer und innerer Kreisfläche: \(A=\pi(r_a^2-r_i^2)\). 2. Damit gilt \(A=\pi(8^2-5^2)=39\pi\,\text{cm}^2\approx122{,}52\,\text{cm}^2\). 3. Bei verdoppelten Radien ist \(A_{\text{neu}}=\pi(16^2-10^2)=156\pi\,\text{cm}^2\). 4. Wegen \(\frac{156\pi}{39\pi}=4\) vervierfacht sich die Fläche.

a) \(A=39\pi\,\text{cm}^2\approx122{,}52\,\text{cm}^2\) b) Der Flächeninhalt vervierfacht sich.

- Stelle dir die Laufbahn als einen Ring vor. Wie berechnet man die Fläche eines Rings? - Wie hängen der Innenradius und der Außenradius mit der Breite der Bahn zusammen? - Kannst du zuerst den Radius des inneren Kreises bestimmen?

1. Bestimmung des inneren Radius \(r_i\) aus \(U_i = 300\,\text{m}\): \(r_i = \frac{300}{2\pi} \approx 47{,}75\,\text{m}\). 2. Der äußere Radius ist \(r_a = r_i + 4\,\text{m}\). 3. Ohne Zwischenrundung erhält man \(A_i = \pi r_i^2 \approx 7161{,}97\,\text{m}^2\) und \(A_a = \pi r_a^2 \approx 8412{,}24\,\text{m}^2\). 4. Die Laufbahnfläche beträgt \(A_{\text{Bahn}} = A_a-A_i \approx 1250{,}27\,\text{m}^2\). 5. Auf ganze Quadratmeter gerundet sind das \(\approx 1250\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Laufbahn beträgt \(\approx 1250\,\text{m}^2\).

- Was bedeutet die Drahtlänge für den Umfang der beiden Formen? - Welche Maße musst du aus dem Umfang zuerst bestimmen? - Welcher Flächeninhalt ist beim Prozentvergleich der Grundwert?

1. Beim Quadrat ist \(a=120\,\text{cm}:4=30\,\text{cm}\), also \(A_Q=30^2\,\text{cm}^2=900\,\text{cm}^2\). 2. Beim Kreis gilt \(r=\frac{120\,\text{cm}}{2\pi}=\frac{60}{\pi}\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(A_K=\pi\left(\frac{60}{\pi}\right)^2\,\text{cm}^2=\frac{3600}{\pi}\,\text{cm}^2\approx1145{,}9\,\text{cm}^2\). 4. Der prozentuale Unterschied ist \(\frac{\frac{3600}{\pi}-900}{900}\cdot100\,\%\approx27{,}3\,\%\).

a) Quadrat: \(900\,\text{cm}^2\); Kreis: \(A_K\approx1145{,}9\,\text{cm}^2\) b) Die Kreisfläche ist um etwa \(27{,}3\,\%\) größer.

- Schreibe zuerst den Flächeninhalt von \(K_1\) mit der Kreisflächenformel auf. - Übertrage die angegebenen Flächenfaktoren auf den Ausdruck \(\pi r^2\) und achte dabei besonders auf das Quadrat des Radius. - In Teil b) wird am Ende der Durchmesser verlangt. Prüfe, welche Kreisgröße du unmittelbar davor bestimmt hast.

1. Für \(K_1\) gilt \(A_1=\pi(3\,\text{cm})^2=9\pi\,\text{cm}^2\). 2. a) Damit ist \(A_2=4A_1=36\pi\,\text{cm}^2\). Also muss \(r_2^2=36\,\text{cm}^2\) gelten. Da der Radius positiv ist und \((6\,\text{cm})^2=36\,\text{cm}^2\), folgt \(r_2=6\,\text{cm}\). 3. b) Für \(K_3\) gilt \(A_3=\frac{1}{9}A_2=4\pi\,\text{cm}^2\). Daher ist \(r_3^2=4\,\text{cm}^2\) und somit \(r_3=2\,\text{cm}\). 4. Der Durchmesser ist \(d_3=2r_3=4\,\text{cm}\).

a) \(r_2=6\,\text{cm}\) b) \(d_3=4\,\text{cm}\)

- Stell dir vor, du hast eine große Kreisscheibe und schneidest in der Mitte einen kleineren Kreis aus. Wie viel Fläche bleibt übrig? - Achte genau darauf, ob ein Radius oder ein Durchmesser gegeben ist. - Du kannst die Flächen der beiden Kreise einzeln berechnen und dann voneinander abziehen.

1. Die Fläche eines Kreisrings berechnet sich aus der Differenz der Flächeninhalte des äußeren und des inneren Kreises: \(A_{\text{Ring}} = A_a - A_i = \pi \cdot r_a^2 - \pi \cdot r_i^2 = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2)\). 2. Berechnung für a): \(A = \pi \cdot (10^2 - 6^2) = \pi \cdot (100 - 36) = 64\pi \approx 201{,}06\,\text{cm}^2\). 3. Vorbereitung für b): Bestimmung des inneren Radius \(r_i = d_i : 2 = 14\,\text{m} : 2 = 7\,\text{m}\). 4. Berechnung für b): \(A = \pi \cdot (9^2 - 7^2) = \pi \cdot (81 - 49) = 32\pi \approx 100{,}53\,\text{m}^2\).

a) \(A \approx 201{,}06\,\text{cm}^2\) b) \(A \approx 100{,}53\,\text{m}^2\)

- Wie verändert sich die Fläche eines Kreises, wenn man den Durchmesser verdoppelt? - Vergleiche, um welchen Faktor die Fläche wächst und um welchen Faktor der Preis steigt. - Denk an das Verhältnis von Radius zu Fläche.

1. Bestimmung des Verhältnisses der Durchmesser: \(d_2 : d_1 = 40\,\text{cm} : 20\,\text{cm} = 2\). Der Durchmesser (und damit der Radius) verdoppelt sich. 2. Anwendung des quadratischen Zusammenhangs beim Flächeninhalt: Da \(A \sim r^2\), führt eine Verdopplung des Radius zu einer Vervierfachtung des Flächeninhalts (\(2^2 = 4\)). 3. Vergleich der Preissteigerung: Der Preis steigt von \(6{,}00\,\text{€}\) auf \(18{,}00\,\text{€}\), was einer Verdreifachung entspricht (\(18 : 6 = 3\)). 4. Schlussfolgerung: Da man für den dreifachen Preis die vierfache Pizza-Fläche erhält, bietet die große Pizza das bessere Preis-Leistungs-Verhältnis.

Bei der großen Pizza erhält man mehr Fläche pro Euro. Da sich der Durchmesser verdoppelt, vervierfacht sich der Flächeninhalt. Da der Preis jedoch nur auf das Dreifache gestiegen ist, ist die große Pizza im Verhältnis günstiger.

- Bestimme zunächst nur das Verhältnis der beiden Umfänge, nicht ihre Radien. - Überlege mit \(U=2\pi r\), welches Verhältnis die Radien dann haben müssen. - Prüfe mit \(A=\pi r^2\), wie derselbe Radiusfaktor auf das Verhältnis der Flächen wirkt.

1. Das Verhältnis der Umfänge beträgt \(\frac{100}{80}=1{,}25\). 2. Wegen \(U=2\pi r\) haben die Radien dasselbe Verhältnis. Der Radius von Pizza B ist also \(1{,}25\)-mal so groß wie der von Pizza A. 3. Mit \(A=\pi r^2\) ergibt sich für die Flächen das Verhältnis \(1{,}25^2=1{,}5625\). 4. Die prozentuale Zunahme beträgt \((1{,}5625-1)\cdot100\,\%=56{,}25\,\%\). 5. Die Radien müssen nicht einzeln berechnet werden, weil die Umfangsformel den Radiusfaktor direkt liefert und die Flächenformel zeigt, dass dieser Faktor für die Fläche quadriert wird.

Die Fläche von Pizza B ist um \(56{,}25\,\%\) größer als die Fläche von Pizza A. Das Ergebnis folgt direkt aus \(U=2\pi r\) und \(A=\pi r^2\), ohne die beiden Radien einzeln auszurechnen.

- Welcher Anteil des gesamten Kreisumfangs entspricht dem gegebenen Kreisbogen? - Wie kannst du daraus den Mittelpunktswinkel bestimmen? - Verwende anschließend denselben Anteil des Vollkreises für die Sektorfläche.

1. Aus der Bogenlänge \(b=\frac{\alpha}{360^\circ}\,2\pi r\) folgt \(\alpha=\frac{b\cdot360^\circ}{2\pi r}\). 2. Einsetzen ergibt \(\alpha=\frac{12\cdot360^\circ}{2\pi\cdot15}=\frac{144^\circ}{\pi}\approx45{,}84^\circ\). 3. Für die Sektorfläche gilt \(A_S=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2\). 4. Mit dem exakten Ausdruck \(\alpha=\frac{144^\circ}{\pi}\) erhält man \(A_S=\frac{144/\pi}{360}\pi\cdot15^2\,\text{cm}^2=90\,\text{cm}^2\).

\(\alpha\approx45{,}84^\circ\) und \(A_S=90\,\text{cm}^2\).

- Schau dir die Formeln für die Bogenlänge und den Flächeninhalt genau an. - Welche Variable steht im Quadrat und welche nicht? - Was passiert mit einem Produkt, wenn man einen Faktor mit einer Zahl multipliziert?

Wegen \(0^\circ<\alpha<120^\circ\) gilt nach der Verdreifachung \(0^\circ<3\alpha<360^\circ\), sodass weiterhin ein gewöhnlicher Kreissektor vorliegt. 1. Analyse für Fall a): In den Formeln \(b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r\) und \(A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2\) ist \(\alpha\) jeweils ein linearer Faktor. Wird \(\alpha\) verdreifacht (\(3\alpha\)), so verdreifachen sich sowohl die Bogenlänge \(b\) als auch der Flächeninhalt \(A\). 2. Analyse für Fall b): In der Formel für \(b\) ist \(r\) ein linearer Faktor. Eine Verdopplung von \(r\) führt zu einer Verdopplung von \(b\). In der Formel für \(A\) tritt \(r\) quadratisch auf (\(r^2\)). Wird \(r\) verdoppelt, vervierfacht sich der Flächeninhalt (\((2r)^2 = 4r^2\)).

a) Sowohl die Bogenlänge \(b\) als auch der Flächeninhalt \(A\) verdreifachen sich. b) Die Bogenlänge \(b\) verdoppelt sich, während sich der Flächeninhalt \(A\) vervierfacht.

- Vergleiche den Anteil der Sektorfläche am Vollkreis mit dem Anteil des Kreisbogens am gesamten Umfang. - Welche einfache Beziehung zwischen \(A_S\), \(b\) und \(r\) ergibt sich daraus? - Welche Größe bleibt im zweiten Fall konstant und welche wird verdoppelt?

1. Für einen Sektor gilt \(\frac{A_S}{\pi r^2}=\frac{b}{2\pi r}\). Daraus folgt \(A_S=\frac12br\). 2. Mit \(b=15\,\text{m}\) und \(r=12\,\text{m}\) ergibt sich \(A_S=\frac12\cdot15\cdot12\,\text{m}^2=90\,\text{m}^2\). 3. Bei fester Bogenlänge ist \(A_S=\frac12br\) direkt proportional zu \(r\). Verdoppelt sich der Radius, verdoppelt sich deshalb die Fläche. 4. Für \(r=24\,\text{m}\) erhält man \(A_{S,\text{neu}}=180\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(90\,\text{m}^2\). Bei gleicher Bogenlänge und doppeltem Radius verdoppelt er sich auf \(180\,\text{m}^2\).

- Welcher Anteil des Vollkreises entspricht zugleich dem Bogen und der Sektorfläche? - Nutze diesen Zusammenhang zunächst für die Fläche. - Für den Winkel hilft anschließend die Bogenlängenformel.

1. Gegeben sind \(r=10\,\text{cm}\) und \(b=10\,\text{cm}\). 2. Für einen Kreissektor gilt \(\frac{A_S}{\pi r^2}=\frac{b}{2\pi r}\), also \(A_S=\frac12br\). 3. Damit ist \(A_S=\frac12\cdot10\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=50\,\text{cm}^2\). 4. Aus \(b=\frac{\alpha}{360^\circ}\,2\pi r\) folgt \(\alpha=\frac{b\cdot360^\circ}{2\pi r}=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57{,}3^\circ\).

Der Flächeninhalt beträgt \(50\,\text{cm}^2\) und der Mittelpunktswinkel etwa \(57{,}3^\circ\).

- Stelle die Bogenlängenformel nach dem Radius um. - Welche Größen müssen zusammen gleich bleiben, wenn die Bogenlänge konstant ist? - Wie muss sich eine Größe verändern, wenn die andere verdoppelt wird und ihr Produkt gleich bleiben soll?

1. Aus \(b=2\pi r\frac{\alpha}{360^\circ}\) folgt \(r=\frac{b\cdot360^\circ}{2\pi\alpha}\). 2. Für a) ist \(r=\frac{15{,}7\cdot360}{2\pi\cdot90}\,\text{cm}=\frac{31{,}4}{\pi}\,\text{cm}\approx10{,}0\,\text{cm}\). 3. Bei fester Bogenlänge ist das Produkt \(r\alpha\) konstant. Wird \(\alpha\) verdoppelt, muss \(r\) halbiert werden. 4. Der neue Radius beträgt daher etwa \(5{,}0\,\text{cm}\).

a) \(r\approx10{,}0\,\text{cm}\) b) Der Radius muss halbiert werden, also auf etwa \(5{,}0\,\text{cm}\).

- Welcher Bruchteil des Vollkreises entspricht der Sektorfläche? - Nutze für b) möglichst den exakten Winkelterm statt eines gerundeten Zwischenwerts. - Setze für die Überprüfung nur die bereits bestimmten Größen in die angegebene Beziehung ein.

1. Aus \(A_S=\pi r^2\frac{\alpha}{360^\circ}\) folgt \(25=25\pi\frac{\alpha}{360^\circ}\), also \(\alpha=\frac{360^\circ}{\pi}\approx114{,}6^\circ\). 2. Für die Bogenlänge wird mit dem exakten Winkelterm gerechnet: \(b=2\pi\cdot5\,\text{cm}\cdot\frac{360^\circ/\pi}{360^\circ}=10\,\text{cm}\). 3. Die Probe mit \(A_S=\frac12br\) ergibt \(\frac12\cdot10\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}=25\,\text{cm}^2\) und bestätigt den Zusammenhang.

a) \(\alpha\approx114{,}6^\circ\) b) \(b=10\,\text{cm}\) c) \(\frac12\cdot10\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}=25\,\text{cm}^2\); der Zusammenhang ist bestätigt.

- Welcher Bruchteil des Vollkreises gehört jeweils zum Mittelpunktswinkel? - Berechne Fläche und Bogenlänge zunächst getrennt für jedes Stück. - Vergleiche am Ende Werte derselben Größe miteinander.

1. Für Stück A gilt \(A_A=\pi\cdot15^2\frac{45}{360}=28{,}125\pi\,\text{cm}^2\approx88{,}36\,\text{cm}^2\). 2. Für Stück B gilt \(A_B=\pi\cdot18^2\frac{30}{360}=27\pi\,\text{cm}^2\approx84{,}82\,\text{cm}^2\). Damit ist \(A_A>A_B\). 3. Für die Bogenlängen gilt \(b_A=2\pi\cdot15\frac{45}{360}\,\text{cm}=3{,}75\pi\,\text{cm}\approx11{,}78\,\text{cm}\). 4. Ebenso ist \(b_B=2\pi\cdot18\frac{30}{360}\,\text{cm}=3\pi\,\text{cm}\approx9{,}42\,\text{cm}\). Damit ist auch \(b_A>b_B\).

a) Stück A hat mit etwa \(88{,}36\,\text{cm}^2\) den größeren Flächeninhalt; Stück B hat etwa \(84{,}82\,\text{cm}^2\). b) Stück A hat mit etwa \(11{,}78\,\text{cm}\) den längeren Randbogen; bei Stück B sind es etwa \(9{,}42\,\text{cm}\).

- Vergleiche den Flächenanteil des Sektors mit dem Bogenanteil am Kreisumfang. - Welche Beziehung zwischen \(A_S\), \(b\) und \(r\) ergibt sich daraus? - Wenn der Radius bekannt ist, kannst du die Bogenlängenformel nach dem Winkel umstellen.

1. Für denselben Kreissektor gilt \(\frac{A_S}{\pi r^2}=\frac{b}{2\pi r}\). Daraus folgt \(A_S=\frac12br\). 2. Nach \(r\) umgestellt ist \(r=\frac{2A_S}{b}=\frac{2\cdot40\,\text{m}^2}{8\,\text{m}}=10\,\text{m}\). 3. Mit \(b=2\pi r\frac{\alpha}{360^\circ}\) folgt \(8=20\pi\frac{\alpha}{360^\circ}\). 4. Damit ist \(\alpha=\frac{144^\circ}{\pi}\approx45{,}84^\circ\).

\(r=10\,\text{m}\) und \(\alpha\approx45{,}84^\circ\).

- Welche Fläche überstreicht der Arm bei einer vollständigen Drehung? - Welchen Weg legt die äußerste Düse bei einer Umdrehung zurück? - Welche Zeiteinheit wird in der gesuchten Geschwindigkeit verlangt?

1. Die bewässerte Fläche ist ein Kreis mit \(r=120\,\text{m}\): \(A=\pi\cdot120^2\,\text{m}^2=14\,400\pi\,\text{m}^2\approx45\,238{,}93\,\text{m}^2\). 2. Die Spitze legt pro Umdrehung den Umfang \(U=2\pi\cdot120\,\text{m}=240\pi\,\text{m}\) zurück. 3. Zehn Stunden entsprechen \(600\,\text{min}\). 4. Somit ist \(v=\frac{240\pi\,\text{m}}{600\,\text{min}}=0{,}4\pi\,\text{m/min}\approx1{,}26\,\text{m/min}\).

a) \(A\approx45\,238{,}93\,\text{m}^2\) b) \(v\approx1{,}26\,\text{m/min}\)

- Welche beiden Radien haben die Laufbahnen? - Kannst du die Differenz der beiden Umfangsformeln direkt bilden? - Welche Größe verschwindet beim Vereinfachen der Differenz?

1. Die Umfangsdifferenz kann direkt berechnet werden: \(\Delta U=2\pi(r+1{,}25\,\text{m})-2\pi r\). 2. Der Radius kürzt sich heraus: \(\Delta U=2\pi\cdot1{,}25\,\text{m}=2{,}5\pi\,\text{m}\approx7{,}85\,\text{m}\). 3. Allgemein gilt bei einer Bahnbreite \(w\): \(\Delta U=2\pi(r+w)-2\pi r=2\pi w\). Der Unterschied hängt daher nur von \(w\), nicht vom Ausgangsradius ab.

a) \(\Delta U\approx7{,}85\,\text{m}\) b) Nein. Bei gleicher Bahnbreite bleibt die Umfangsdifferenz gleich, weil \(\Delta U=2\pi w\) gilt.

- Welchen Weg legt eine Gondel bei einer vollständigen Umdrehung zurück? - Bestimme für b) zuerst den in \(15\) Minuten zurückgelegten Weg auf der Kreisbahn. - Welchem Anteil von \(360^\circ\) entspricht dieser Weg im Vergleich zum gesamten Kreisumfang?

1. Der Umfang beträgt \(U=\pi d=160\pi\,\text{m}\). 2. Für eine Umdrehung ist \(t=U:v=160\pi\,\text{m}:0{,}25\,\text{m/s}=640\pi\,\text{s}\approx33{,}5\,\text{min}\). 3. In \(15\) Minuten legt die Gondel \(s=0{,}25\,\text{m/s}\cdot900\,\text{s}=225\,\text{m}\) auf der Kreisbahn zurück. 4. Dieser Weg ist der Anteil \(\frac{225}{160\pi}\) einer vollständigen Umdrehung. Der zugehörige Mittelpunktswinkel ist \(\alpha=360^\circ\cdot\frac{225}{160\pi}\approx161{,}14^\circ\). 5. Gerundet hat sich die Gondel um etwa \(161^\circ\) bewegt.

a) Eine Umdrehung dauert etwa \(33{,}5\,\text{min}\). b) Die Gondel bewegt sich in \(15\) Minuten um etwa \(161^\circ\) um den Mittelpunkt.

- Wie hängen Radius und Umfang mathematisch zusammen? - Du kannst zuerst den alten Radius bestimmen oder direkt überlegen, wie viel Umfang pro Zentimeter Radius dazukommt. - Schritt für Schritt: Finde erst heraus, wie groß der Baum vorher war, und dann, wie groß er nach dem Wachstum ist.

1. Berechnung des ursprünglichen Radius \(r_{\text{alt}}\) aus dem Umfang \(U_{\text{alt}} = 120\,\text{cm}\): \(r_{\text{alt}} = \frac{120}{2\pi} \approx 19{,}0986\,\text{cm}\). 2. Berechnung des neuen Radius \(r_{\text{neu}}\) durch Addition des Zuwachses: \(r_{\text{neu}} = 19{,}0986 + 0{,}8 = 19{,}8986\,\text{cm}\). 3. Berechnung des neuen Umfangs \(U_{\text{neu}}\) mit dem neuen Radius: \(U_{\text{neu}} = 2 \cdot \pi \cdot 19{,}8986 \approx 125{,}0265\,\text{cm}\). 4. Alternativer Weg über die Umfangsdifferenz: \(\Delta U = 2\pi\Delta r = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}8 \approx 5{,}0265\,\text{cm}\). 5. Addition der Differenz zum alten Umfang: \(120 + 5{,}0265 = 125{,}0265\,\text{cm}\).

Der neue Umfang des Baumstamms beträgt etwa \(125{,}03\,\text{cm}\).

- Berechne zuerst die Flächeninhalte für beide Radien. - Teile jeweils die Fläche durch den zugehörigen Radius. - Was müsste bei einer proportionalen Zuordnung für diese Quotienten gelten? - Wie wirkt sich ein Längenfaktor auf eine Fläche aus?

1. Für \(r_1=2\,\text{m}\) ist \(A_1=4\pi\,\text{m}^2\), also \(\frac{A_1}{r_1}=2\pi\,\text{m}\). 2. Für \(r_2=5\,\text{m}\) ist \(A_2=25\pi\,\text{m}^2\), also \(\frac{A_2}{r_2}=5\pi\,\text{m}\). 3. Da die Quotienten verschieden sind, ist die Zuordnung Radius \(\to\) Flächeninhalt nicht proportional. 4. Bei einem Radiusfaktor \(k=2{,}5\) wächst die Fläche mit \(k^2=2{,}5^2=6{,}25\).

1. \(\frac{A_1}{r_1}=2\pi\,\text{m}\), \(\frac{A_2}{r_2}=5\pi\,\text{m}\) 2. Die Zuordnung ist nicht proportional. 3. Der Flächeninhalt wächst um den Faktor \(6{,}25\).

- Wie verändert sich der Durchmesser eines Kreises, wenn sich sein Umfang verdoppelt? - Denke an das Verhältnis von Radien und Flächeninhalten bei einer Vergrößerung. - Um den Prozentsatz zu finden, teile den kleineren Flächeninhalt durch den größeren.

1. Durchmesser Beet A: \(d_A = 4\,\text{m}\). Umfang Beet A: \(U_A = \pi d_A = 4\pi\,\text{m}\). 2. Umfang Beet B: \(U_B = 2U_A = 8\pi\,\text{m}\). 3. Durchmesser Beet B: \(d_B = \frac{U_B}{\pi} = 8\,\text{m}\). 4. Flächeninhalt Beet A (\(r_A = 2\,\text{m}\)): \(A_A = \pi \cdot (2\,\text{m})^2 = 4\pi\,\text{m}^2 \approx 12{,}57\,\text{m}^2\). 5. Flächeninhalt Beet B (\(r_B = 4\,\text{m}\)): \(A_B = \pi \cdot (4\,\text{m})^2 = 16\pi\,\text{m}^2 \approx 50{,}27\,\text{m}^2\). 6. Prozentsatz: \(\frac{A_A}{A_B} = \frac{4\pi}{16\pi} = \frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%\).

a) Der Durchmesser von Beet B beträgt \(8\,\text{m}\). b) \(A_A \approx 12{,}57\,\text{m}^2\); \(A_B \approx 50{,}27\,\text{m}^2\). Beet A nimmt \(25\,\%\) der Fläche von Beet B ein.

- Welche beiden Radien gehören zum inneren und äußeren Kreis? - Wie erhältst du die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen? - Welche Kreislinie bildet die äußere Begrenzung?

1. Der Innenradius beträgt \(r_i=3\,\text{m}\), der Außenradius \(r_a=4\,\text{m}\). 2. Die Wegfläche ist \(A_{\text{Weg}}=\pi(r_a^2-r_i^2)=7\pi\,\text{m}^2\approx22{,}0\,\text{m}^2\). 3. Die äußere Begrenzung ist der Umfang des großen Kreises: \(U_a=2\pi\cdot4\,\text{m}=8\pi\,\text{m}\approx25{,}1\,\text{m}\).

a) \(A_{\text{Weg}}\approx22{,}0\,\text{m}^2\) b) \(U_a\approx25{,}1\,\text{m}\)

- Wie viele Kreise liegen in einer Reihe nebeneinander? - Wie hängen die Seitenlänge des Quadrats und der Durchmesser eines Kreises zusammen? - Wie berechnet man die Fläche, die übrig bleibt, wenn man Kreise aus einem Quadrat entfernt? - Vergiss nicht, dass es insgesamt vier Kreise sind.

1. Berechnung der Gesamtfläche des quadratischen Beetes: \(A_{\text{Beet}} = (2{,}40\,\text{m})^2 = 5{,}76\,\text{m}^2\). 2. Bestimmung des Durchmessers der Rosenkreise: Da zwei Kreise nebeneinander die gesamte Breite von \(2{,}40\,\text{m}\) ausfüllen, beträgt der Durchmesser eines Kreises \(d = 2{,}40\,\text{m} : 2 = 1{,}20\,\text{m}\). 3. Berechnung des Radius: \(r = 0{,}60\,\text{m}\). 4. Berechnung der Fläche der vier Rosenkreise: \(A_{\text{Rosen}} = 4 \cdot \pi \cdot (0{,}60\,\text{m})^2 = 4 \cdot \pi \cdot 0{,}36\,\text{m}^2 \approx 4{,}52389\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der Rasenfläche: \(A_{\text{Rasen}} = A_{\text{Beet}} - A_{\text{Rosen}} = 5{,}76\,\text{m}^2 - 4{,}52389\,\text{m}^2 \approx 1{,}23611\,\text{m}^2\). Ergebnis: Die Rasenfläche beträgt ca. \(1{,}24\,\text{m}^2\).

Die Rasenfläche beträgt ca. \(1{,}24\,\text{m}^2\).

- Welche Gesamtfläche hat das Tablett? - Berechne die gesamte Kreisfläche aller Gläser in jeder Anordnung. - Vergleiche die beiden Gesamtflächen, bevor du erneut einen Prozentwert berechnest.

1. Das Tablett hat die Fläche \(45\cdot30\,\text{cm}^2=1350\,\text{cm}^2\). 2. Sechs große Gläser bedecken zusammen \(6\pi\cdot7{,}5^2\,\text{cm}^2=337{,}5\pi\,\text{cm}^2\). 3. Der Anteil ist \(\frac{337{,}5\pi}{1350}\cdot100\,\%=25\pi\,\%\approx78{,}5\,\%\). 4. Bei 24 kleineren Gläsern ist \(r=3{,}75\,\text{cm}\). Ihre Gesamtfläche ist \(24\pi\cdot3{,}75^2\,\text{cm}^2=337{,}5\pi\,\text{cm}^2\). 5. Deshalb bleibt der prozentuale Anteil unverändert bei etwa \(78{,}5\,\%\).

a) Etwa \(78{,}5\,\%\) b) Der Anteil bleibt bei etwa \(78{,}5\,\%\), weil die gesamte Bodenfläche der Gläser gleich bleibt.

- Bringe zunächst alle Längen in dieselbe Einheit. - Wie viele Radumfänge passen jeweils in die Gesamtstrecke? - Runde die beiden Umdrehungszahlen nicht schon vor dem Bilden der Differenz.

1. In Metern gilt \(d_{\text{vorn}}=0{,}8\,\text{m}\), \(d_{\text{hinten}}=1{,}6\,\text{m}\) und \(s=1000\,\text{m}\). 2. Die Umdrehungszahlen sind \(n_{\text{vorn}}=\frac{1000}{0{,}8\pi}\) und \(n_{\text{hinten}}=\frac{1000}{1{,}6\pi}\). 3. Ohne Zwischenrundung ergibt sich die Differenz \(\Delta n=\frac{1250}{\pi}-\frac{625}{\pi}=\frac{625}{\pi}\approx198{,}94\). 4. Auf eine ganze Umdrehung gerundet sind das 199 Umdrehungen.

Die Vorderräder machen etwa 199 Umdrehungen mehr.

- Welche Strecke hat die Walze zurückgelegt, wenn du Fläche und Walzenbreite kennst? - Wie groß ist der Umfang der Walze? - Wie oft passt dieser Umfang in die zurückgelegte Strecke?

1. Aus Fläche und Walzenbreite ergibt sich die gefahrene Strecke: \(s=\frac{1200\,\text{m}^2}{2\,\text{m}}=600\,\text{m}\). 2. Der Umfang der Walze beträgt \(U=\pi d=1{,}2\pi\,\text{m}\). 3. Die Umdrehungszahl ist \(n=\frac{s}{U}=\frac{600}{1{,}2\pi}=\frac{500}{\pi}\approx159{,}15\).

Die Walze macht etwa \(159{,}15\) Umdrehungen.

- Welche beiden Radien begrenzen den Weg? - Welche Fläche erhältst du als Differenz zweier Kreisflächen? - Wie kannst du die Differenz der beiden Umfänge direkt vereinfachen? - Verwende für die Kosten möglichst den ungerundeten Flächenwert.

1. Der Innenradius ist \(r_i=3{,}0\,\text{m}\), der Außenradius \(r_a=4{,}5\,\text{m}\). 2. Die Wegfläche beträgt \(A=\pi(r_a^2-r_i^2)=11{,}25\pi\,\text{m}^2\approx35{,}34\,\text{m}^2\). 3. Die Differenz der Randlängen ist \(\Delta U=2\pi(r_a-r_i)=3\pi\,\text{m}\approx9{,}42\,\text{m}\). 4. Die Kosten werden mit dem ungerundeten Flächenwert berechnet: \(K=11{,}25\pi\cdot48\,\text{€}=540\pi\,\text{€}\approx1696{,}46\,\text{€}\).

a) \(A\approx35{,}34\,\text{m}^2\) b) \(\Delta U\approx9{,}42\,\text{m}\) c) \(K\approx1696{,}46\,\text{€}\)

- Welche beiden Radien begrenzen die vom Wischer überstrichene Fläche? - Welcher Anteil eines Kreisrings wird durch den Winkel beschrieben? - Für den äußeren Bogen brauchst du nur den äußeren Radius. - Wie verändert sich eine Sektorfläche bei festen Radien mit dem Winkel?

1. Der innere Radius beträgt \(r_i=15\,\text{cm}\), der äußere Radius \(r_a=15\,\text{cm}+40\,\text{cm}=55\,\text{cm}\). 2. Die gereinigte Fläche ist ein Kreisringsektor: \(A=\frac{155}{360}\pi(55^2-15^2)\,\text{cm}^2\approx3787{,}36\,\text{cm}^2\). 3. Der äußere Bogen ist \(b=\frac{155}{360}\cdot2\pi\cdot55\,\text{cm}\approx148{,}79\,\text{cm}\). 4. Bei unveränderten Radien ist die Fläche proportional zum Winkel. Der relative Zuwachs beträgt \(\frac{180-155}{155}\cdot100\,\%\approx16{,}1\,\%\).

a) \(A\approx3787{,}36\,\text{cm}^2\) b) \(b\approx148{,}79\,\text{cm}\) c) Die Fläche würde sich um etwa \(16{,}1\,\%\) vergrößern.

- Wie verändert sich die Fläche eines Kreises, wenn du den Radius mit einem Faktor multiplizierst? - Schau dir die Formel für den Umfang an. Wenn der Umfang doppelt so groß wird, was passiert dann mit dem Radius? - Versuche, die neuen Werte (\(2r\) oder \(2U\)) in die Grundformeln einzusetzen und zu vereinfachen.

1. Analyse von Idee A: Die Fläche eines Kreises ist \(A = \pi r^2\). Wird der Radius verdoppelt (\(r_{\text{neu}} = 2r\)), ergibt sich die neue Fläche zu \(A_{\text{neu}} = \pi \cdot (2r)^2 = \pi \cdot 4r^2 = 4 \cdot (\pi \cdot r^2)\). Die Fläche vervierfacht sich also. 2. Analyse von Idee B: Der Umfang eines Kreises ist \(U = 2\pi r\). Da der Umfang direkt proportional zum Radius ist (\(U \sim r\)), bedeutet eine Verdopplung des Umfangs auch eine Verdopplung des Radius. 3. Schlussfolgerung: Da bei Idee B der Radius ebenfalls verdoppelt wird, ist die Auswirkung auf die Fläche identisch mit Idee A. In beiden Fällen vervierfacht sich der Flächeninhalt des Beetes.

Bei beiden Ideen vervierfacht sich die Fläche des Beetes. Da der Umfang proportional zum Radius ist, führt eine Verdopplung des Umfangs zwangsläufig auch zu einer Verdopplung des Radius.

- Wenn eine Größe um \(20\,\%\) wächst, mit welchem Faktor wird sie dann multipliziert? - Wie wirkt sich diese Änderung des Umfangs auf den Radius aus? - Setze den veränderten Radius in die Formel für den Flächeninhalt ein. - Wie rechnet man den Faktor am Ende wieder in eine prozentuale Steigerung um?

1. Der Umfang von \(K_2\) ist \(U_2 = 1{,}2U_1\). 2. Da der Umfang proportional zum Radius ist (\(U = 2\pi r\)), folgt daraus für den Radius: \(r_2 = 1{,}2r_1\). 3. Berechnung des neuen Flächeninhalts: \(A_2 = \pi r_2^2 = \pi \cdot (1{,}2r_1)^2 = \pi \cdot 1{,}44 \cdot r_1^2 = 1{,}44A_1\). 4. Ein Faktor von \(1{,}44\) entspricht einer Steigerung um \(44\,\%\).

Der Flächeninhalt von \(K_2\) ist um \(44\,\%\) größer als der von \(K_1\).

- Überlege zuerst, welche Strecke eine Person bei einer vollen Umdrehung zurücklegt. - Wie hängen Radius und Umfang eines Kreises zusammen? - Die Zeit für eine Umdrehung ist für beide Sitze gleich. - Kannst du die Geschwindigkeit berechnen, wenn du die Strecke und die Zeit kennst?

1. Berechnung der Umfänge der beiden Kreisbahnen: \(U_{\text{innen}} = 2 \cdot \pi \cdot 3\,\text{m} \approx 18{,}850\,\text{m}\) \(U_{\text{außen}} = 2 \cdot \pi \cdot 5{,}5\,\text{m} \approx 34{,}558\,\text{m}\) 2. Berechnung der Geschwindigkeiten (\(v = \frac{s}{t}\)): \(v_{\text{innen}} = \frac{18{,}850\,\text{m}}{10\,\text{s}} = 1{,}885\,\text{m/s}\) \(v_{\text{außen}} = \frac{34{,}558\,\text{m}}{10\,\text{s}} = 3{,}456\,\text{m/s}\) 3. Bestimmung der Differenz: \(\Delta v = 3{,}456\,\text{m/s} - 1{,}885\,\text{m/s} = 1{,}571\,\text{m/s}\) Alternativer Weg über die Radiendifferenz: \(\Delta v = \frac{2\pi \cdot (5{,}5\,\text{m} - 3\,\text{m})}{10\,\text{s}} = \frac{2\pi \cdot 2{,}5\,\text{m}}{10\,\text{s}} \approx 1{,}57\,\text{m/s}\).

Eine Person auf dem äußeren Sitz bewegt sich um etwa \(1{,}57\,\text{m/s}\) schneller als eine Person auf dem inneren Sitz.

- Achte darauf, dass die ISS nicht auf der Erdoberfläche kreist, sondern in einer bestimmten Höhe darüber. Wie groß ist also der Abstand zum Erdmittelpunkt? - Wie viele Minuten hat ein ganzer Tag? - Wie oft passt die Zeit für einen Umlauf in die Gesamtzeit eines Tages? - Überlege, wie du aus dem Umfang eines Umlaufs und der Anzahl der Umläufe die Gesamtstrecke berechnest.

1. Bestimmung des Bahnradius der ISS: \(r = R_{\text{Erde}} + h = 6370\,\text{km} + 400\,\text{km} = 6770\,\text{km}\) 2. Berechnung des Umfangs einer Umlaufbahn: \(U = 2 \cdot \pi \cdot 6770\,\text{km} \approx 42\,537{,}16\,\text{km}\) 3. Berechnung der Anzahl der Umlaufbahnen pro Tag: Ein Tag hat \(24 \cdot 60 = 1440\,\text{min}\). Anzahl der Umläufe \(n = \frac{1440\,\text{min}}{93\,\text{min}} \approx 15{,}48387\) 4. Berechnung der Gesamtstrecke: \(s_{\text{gesamt}} = nU \approx 15{,}48387 \cdot 42\,537{,}16\,\text{km} \approx 658\,639{,}97\,\text{km}\). Gerundet ergibt dies \(658\,640\,\text{km}\).

Die ISS legt in 24 Stunden eine Strecke von etwa \(658\,640\,\text{km}\) zurück.

- Berechne zuerst für jedes Beet den alten und den neuen Umfang. - Wie kannst du den neuen Radius allgemein als Summe aus dem alten Radius und dem zusätzlichen Abstand schreiben? - Welche Terme heben sich auf, wenn du neuen und alten Umfang voneinander abziehst?

1. Berechnung für Beet A: \(U_{\text{alt},A}=2\pi\cdot2\,\text{m}\approx12{,}57\,\text{m}\) und \(U_{\text{neu},A}=2\pi\cdot3\,\text{m}\approx18{,}85\,\text{m}\). Daher ist \(\Delta U_A\approx6{,}28\,\text{m}\). 2. Berechnung für Beet B: \(U_{\text{alt},B}=2\pi\cdot6\,\text{m}\approx37{,}70\,\text{m}\) und \(U_{\text{neu},B}=2\pi\cdot7\,\text{m}\approx43{,}98\,\text{m}\). Daher ist \(\Delta U_B\approx6{,}28\,\text{m}\). 3. Allgemein gilt für den zusätzlichen Abstand \(s\): \(U_{\text{neu}}-U_{\text{alt}}=2\pi(r+s)-2\pi r=2\pi s\). 4. Der ursprüngliche Radius \(r\) fällt bei der Subtraktion weg. Der Umfangszuwachs hängt daher nur von \(s\) ab.

a) Die Differenz der Umfänge beträgt bei beiden Beeten etwa \(6{,}28\,\text{m}\). b) Die Differenz ist bei beiden Beeten gleich. Allgemein gilt \(2\pi(r+s)-2\pi r=2\pi s\); der ursprüngliche Radius \(r\) beeinflusst den Umfangszuwachs nicht.

- Nutze in Teil a) den vorgegebenen Näherungswert für \(\pi\) und vereinfache zuerst die Flächengleichung. - Welche Kreisgröße beschreibt die Länge des Zauns? - Vergleiche in Teil c), wie der Radius in der Umfangsformel und in der Flächenformel vorkommt.

1. a) Aus \(A=\pi r^2\) folgt mit \(\pi\approx3{,}14\): \(r^2=28{,}26\,\text{m}^2:3{,}14=9\,\text{m}^2\). Da der Radius positiv ist und \((3\,\text{m})^2=9\,\text{m}^2\), gilt \(r=3\,\text{m}\). 2. b) Die Zaunlänge entspricht dem Umfang: \(U=2\pi r\approx2\cdot3{,}14\cdot3\,\text{m}=18{,}84\,\text{m}\). 3. c) Wegen \(U=2\pi r\) verdoppelt sich der Umfang bei doppeltem Radius. 4. Wegen \(A=\pi r^2\) wird der Flächeninhalt bei doppeltem Radius mit \(2^2=4\) multipliziert und damit vervierfacht.

a) \(r=3\,\text{m}\) b) Nach der vorgegebenen Näherung ist der Zaun etwa \(18{,}84\,\text{m}\) lang. c) Der Umfang verdoppelt sich, der Flächeninhalt vervierfacht sich.

- Bestimme zuerst die Seitenlänge des Quadrats aus dem Umfang. - Bestimme dann den Radius des Kreises aus demselben Umfang. - Berechne nun beide Flächeninhalte und vergleiche sie.

1. Berechnung für das Quadrat: Seitenlänge \(a = U : 4 = 20\,\text{cm} : 4 = 5\,\text{cm}\). Flächeninhalt \(A_{\text{Quadrat}} = a^2 = (5\,\text{cm})^2 = 25\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung für den Kreis: Radius \(r = U : (2\pi) \approx 20\,\text{cm} : (2 \cdot 3{,}14) = 20\,\text{cm} : 6{,}28 \approx 3{,}1847\,\text{cm}\). Flächeninhalt \(A_{\text{Kreis}} = \pi r^2 \approx 3{,}14 \cdot (3{,}1847\,\text{cm})^2 \approx 3{,}14 \cdot 10{,}1423\,\text{cm}^2 \approx 31{,}85\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich: \(31{,}85\,\text{cm}^2 > 25\,\text{cm}^2\). Der Kreis hat bei gleichem Umfang einen größeren Flächeninhalt.

Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von \(25\,\text{cm}^2\), der Kreis einen Flächeninhalt von ca. \(31{,}85\,\text{cm}^2\). Somit umschließt der Kreis die größere Fläche.

- Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen? - Aus welchen zwei Kreisflächen setzt sich die Fahrbahn als Ringfläche zusammen? - Für Teil c): Welche zwei Umfänge musst du vergleichen?

1. Der Radius der Mittelinsel beträgt \(r_i=8\,\text{m}\). Damit ist \(A_i=\pi(8\,\text{m})^2=64\pi\,\text{m}^2\approx201{,}06\,\text{m}^2\). 2. Der Außenradius ist \(r_a=14\,\text{m}\). Die Fahrbahnfläche ist \(A_{\text{Fahrbahn}}=\pi(14\,\text{m})^2-\pi(8\,\text{m})^2=132\pi\,\text{m}^2\approx414{,}69\,\text{m}^2\). 3. Die Wegdifferenz entspricht der Umfangsdifferenz: \(2\pi\cdot14\,\text{m}-2\pi\cdot8\,\text{m}=12\pi\,\text{m}\approx37{,}70\,\text{m}\).

a) \(A_i\approx201{,}06\,\text{m}^2\) b) \(A_{\text{Fahrbahn}}\approx414{,}69\,\text{m}^2\) c) Der äußere Weg ist etwa \(37{,}70\,\text{m}\) länger.

- Achte bei den Flächenberechnungen darauf, zuerst vom Durchmesser zum Radius zu wechseln. - Für den Preisvergleich hilft es, jede Pizza auf dieselbe Bezugsfläche von \(100\,\text{cm}^2\) umzurechnen. - Formuliere in Teil c) den gewünschten Flächeninhalt als Vielfaches der Standardfläche und suche anschließend eine passende positive Quadratzahl für den Radius.

1. a) Für die Standard-Pizza ist \(r_1=14\,\text{cm}\), also \(A_1=196\pi\,\text{cm}^2\approx615{,}75\,\text{cm}^2\). Für die Familien-Pizza ist \(r_2=16\,\text{cm}\), also \(A_2=256\pi\,\text{cm}^2\approx804{,}25\,\text{cm}^2\). 2. b) Standard-Pizza: \(8{,}50\,\text{€}:(615{,}75:100)\approx1{,}38\,\text{€}\) pro \(100\,\text{cm}^2\). Familien-Pizza: \(11{,}00\,\text{€}:(804{,}25:100)\approx1{,}37\,\text{€}\) pro \(100\,\text{cm}^2\). Damit ist die Familien-Pizza geringfügig preisgünstiger. 3. c) Der neue Flächeninhalt soll \(2{,}25A_1=2{,}25\cdot196\pi\,\text{cm}^2=441\pi\,\text{cm}^2\) betragen. Daher gilt \(r_{\text{neu}}^2=441\,\text{cm}^2\). 4. Weil \((21\,\text{cm})^2=441\,\text{cm}^2\), ist \(r_{\text{neu}}=21\,\text{cm}\) und damit \(d_{\text{neu}}=42\,\text{cm}\).

a) Standard-Pizza: \(A_1\approx615{,}75\,\text{cm}^2\); Familien-Pizza: \(A_2\approx804{,}25\,\text{cm}^2\) b) Standard-Pizza: etwa \(1{,}38\,\text{€}\) pro \(100\,\text{cm}^2\); Familien-Pizza: etwa \(1{,}37\,\text{€}\) pro \(100\,\text{cm}^2\). Die Familien-Pizza ist preisgünstiger. c) \(d_{\text{neu}}=42\,\text{cm}\)

- Behandle \(x\) wie eine ganz normale Zahl in deinen Rechnungen. - Wie hängen Umfang und Radius mathematisch zusammen? - Achte beim Quadrieren von Ausdrücken wie \(5x\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Variable zu quadrieren.

1. Bestimmung des Radius \(r\) aus der Umfangsformel \(U = 2 \pi r\): - \(2 \pi r = 10 \pi x\) - Division durch \(2 \pi\): \(r = 5x\) 2. Bestimmung des Durchmessers \(d\): - \(d = 2r = 2 \cdot 5x = 10x\) 3. Berechnung des Flächeninhalts \(A\) mit \(A = \pi r^2\): - Einsetzen von \(r = 5x\): \(A = \pi(5x)^2\) - Auflösen der Klammer: \(A = \pi \cdot 25x^2 = 25\pi x^2\)

a) \(r = 5x\); \(d = 10x\) b) \(A = 25\pi x^2\)

- Bestimme zunächst aus dem Umfang nur den Radius des ersten Banners. - Überlege anschließend, welcher Radiusfaktor in der Flächenformel einen Flächenfaktor von \(4\) erzeugt. - Nutze den Skalierungszusammenhang direkt, statt den zweiten Flächeninhalt vollständig auszurechnen.

1. a) Aus \(U=2\pi r\) folgt \(r_1=U:(2\pi)=9{,}42\,\text{m}:(2\pi)\approx1{,}50\,\text{m}\). 2. b) Nach \(A=\pi r^2\) bewirkt eine Verdopplung des Radius den Flächenfaktor \(2^2=4\). 3. Da das zweite Banner die vierfache Fläche haben soll, muss sein Radius doppelt so groß sein: \(r_2=2r_1\approx3{,}00\,\text{m}\).

a) \(r_1\approx1{,}50\,\text{m}\) b) \(r_2\approx3{,}00\,\text{m}\). Die Vervierfachung der Fläche entsteht durch die Verdopplung des Radius, weil der Radius in \(A=\pi r^2\) quadriert wird.

- Prüfe mit \(A=\pi r^2\), welcher einfache Radiusfaktor eine vierfache Fläche erzeugt. - Setze diesen Radiusfaktor anschließend in die Umfangsformel ein. - Vergleiche, ob der Radius in beiden Formeln linear oder quadriert vorkommt.

1. Für den ursprünglichen Kreis gilt \(A=\pi r^2\). Ein Kreis mit dem Radius \(2r\) hat den Flächeninhalt \(\pi(2r)^2=4\pi r^2=4A\). 2. Da der neue Kreis genau die vierfache Fläche besitzt, ist sein Radius daher \(2r\). 3. Für den Umfang gilt \(U=2\pi r\). Mit dem neuen Radius ergibt sich \(U_{\text{neu}}=2\pi(2r)=2U\). 4. Der Umfang verdoppelt sich.

Der Umfang verdoppelt sich: \(U_{\text{neu}}=2U\).

- Welche Kreisgröße ist direkt proportional zum Durchmesser? - Wie wirkt sich ein Faktor beim Durchmesser auf eine Größe aus, in deren Formel der Durchmesser quadriert vorkommt? - Wenn eine Fläche neunmal so groß ist wie eine andere, welchen Bruchteil macht die kleinere aus?

1. Es gilt \(d_2=3d_1\). 2. Der Umfang ist proportional zum Durchmesser: \(U_2=\pi d_2=3\pi d_1=3U_1\). Daher ist \(U_1:U_2=1:3\). 3. Für die Fläche gilt \(A=\frac{\pi}{4}d^2\). Damit ist \(A_2=\frac{\pi}{4}(3d_1)^2=9A_1\). 4. Also beträgt der Anteil von \(A_1\) an \(A_2\) \(\frac{1}{9}\approx0{,}1111\), also etwa \(11{,}11\,\%\).

a) Das Verhältnis der Umfänge beträgt \(1:3\). b) Der Kreis \(K_1\) nimmt etwa \(11{,}11\,\%\) der Fläche von \(K_2\) ein.

- Setze beide Radien in die Umfangs- und Flächenformel ein. - Vergleiche anschließend die neuen Werte mit den alten durch Division. - Beachte, dass der Radius im Flächeninhalt quadriert vorkommt.

1. Für \(r_1=2\,\text{cm}\) gilt \(U_1=4\pi\,\text{cm}\approx12{,}6\,\text{cm}\) und \(A_1=4\pi\,\text{cm}^2\approx12{,}6\,\text{cm}^2\). 2. Für \(r_2=6\,\text{cm}\) gilt \(U_2=12\pi\,\text{cm}\approx37{,}7\,\text{cm}\) und \(A_2=36\pi\,\text{cm}^2\approx113{,}1\,\text{cm}^2\). 3. Weil \(r_2=3r_1\), gilt für den Umfang \(U_2=3U_1\). 4. Für den Flächeninhalt gilt \(A_2=\pi(3r_1)^2=9A_1\). Der Flächeninhalt verneunfacht sich.

a) \(U_1\approx12{,}6\,\text{cm}\), \(A_1\approx12{,}6\,\text{cm}^2\); \(U_2\approx37{,}7\,\text{cm}\), \(A_2\approx113{,}1\,\text{cm}^2\) b) Der Umfang vergrößert sich um den Faktor \(3\), der Flächeninhalt um den Faktor \(9\).

- Forme die Umfangsformel in Teil a) nach dem Durchmesser um. - In Teil b) entspricht jede volle Umdrehung genau einem Radumfang. - Für Teil c) müssen Strecke und Radumfang in derselben Einheit vorliegen.

1. a) Aus \(U=\pi d\) folgt \(d=100\,\text{cm}:\pi\approx31{,}83\,\text{cm}\). 2. b) Die Wegstrecke ist \(235\cdot1{,}00\,\text{m}=235\,\text{m}\). 3. c) Der Umfang des zweiten Rades beträgt \(U_2=25\pi\,\text{cm}=0{,}25\pi\,\text{m}\). 4. Damit ist \(n=235\,\text{m}:(0{,}25\pi\,\text{m})\approx299{,}21\).

a) \(d\approx31{,}83\,\text{cm}\) b) \(235\,\text{m}\) c) etwa \(299{,}21\) Umdrehungen

- Bestimme bei Scheibe A zuerst das Quadrat des Radius, indem du den gemeinsamen Faktor \(\pi\) entfernst. - Bei Scheibe B führt die Umfangsformel direkt zum Radius oder Durchmesser. - Vergleiche für die Entscheidung die Durchmesser in derselben Einheit.

1. Für Scheibe A gilt \(225\pi\,\text{cm}^2=\pi r_A^2\). Daher ist \(r_A^2=225\,\text{cm}^2\). Weil \((15\,\text{cm})^2=225\,\text{cm}^2\), folgt \(r_A=15\,\text{cm}\) und \(d_A=30\,\text{cm}\). 2. Für Scheibe B gilt \(r_B=95\,\text{cm}:(2\pi)\approx15{,}12\,\text{cm}\). Damit ist \(d_B=95\,\text{cm}:\pi\approx30{,}24\,\text{cm}\). 3. Weil \(30{,}24\,\text{cm}>30\,\text{cm}\), hat Scheibe B den größeren Durchmesser.

Scheibe A: \(r_A=15\,\text{cm}\), \(d_A=30\,\text{cm}\) Scheibe B: \(r_B\approx15{,}12\,\text{cm}\), \(d_B\approx30{,}24\,\text{cm}\) Scheibe B hat den größeren Durchmesser.

- Untersuche zuerst, wie ein Radiusfaktor in \(A=\pi r^2\) auf die Fläche wirkt. - Suche in Teil b) einen positiven Radiusfaktor, dessen Quadrat den Flächenfaktor \(9\) ergibt. - Übertrage diesen Radiusfaktor anschließend mit \(U=2\pi r\) auf den Umfang.

1. a) Mit \(A=\pi r^2\) führt der Radius \(3r\) zur Fläche \(\pi(3r)^2=9\pi r^2=9A\). Der Flächeninhalt vergrößert sich um den Faktor \(9\). 2. b) Der Flächenfaktor \(9\) entsteht durch den Radiusfaktor \(3\), denn \(3^2=9\). Der Radius muss also verdreifacht werden. 3. Da \(U=2\pi r\) linear vom Radius abhängt, wird dann auch der Umfang verdreifacht: \(U_{\text{neu}}=3U\).

a) Der Flächeninhalt vergrößert sich um den Faktor \(9\). b) Der Umfang muss verdreifacht werden.

- Vergleiche zuerst die Radien mit dem Faktor \(12:8\). - Untersuche anschließend, ob dieser Faktor in der Umfangs- und in der Flächenformel gleich wirkt. - Achte beim Prozentvergleich darauf, zwischen dem neuen Gesamtwert und dem prozentualen Zuwachs gegenüber dem Ausgangswert zu unterscheiden.

a) 1. Der Radiusfaktor ist \(12:8=1{,}5\). Da \(U=2\pi r\) linear vom Radius abhängt, hat auch der Umfang den Faktor \(1{,}5\). Der Umfang ist also tatsächlich um \(50\,\%\) größer. b) 1. Für den Flächeninhalt wirkt der Radiusfaktor quadratisch: \(1{,}5^2=2{,}25\). 2. Kreis B hat damit \(225\,\%\) des Flächeninhalts von Kreis A. Der Flächeninhalt ist also um \(125\,\%\) größer, nicht um \(50\,\%\). c) 1. In \(U=2\pi r\) kommt der Radius in erster Potenz vor; in \(A=\pi r^2\) wird er quadriert. Deshalb wirkt derselbe Radiusfaktor auf die Fläche zweimal.

a) Noahs Aussage zum Umfang ist richtig: Er ist um \(50\,\%\) größer. b) Noahs Aussage zur Fläche ist falsch: Der Flächeninhalt ist um \(125\,\%\) größer. c) Der Umfang hängt linear von \(r\) ab, der Flächeninhalt quadratisch von \(r\).

- Entscheide für jede Spalte, ob du die Formel vorwärts mit dem Durchmesser oder rückwärts mit dem Flächeninhalt verwendest. - Bei den rückwärts gerichteten Fällen kannst du zunächst das Quadrat des Durchmessers bestimmen und mit bekannten positiven Quadratzahlen vergleichen. - Runde erst das jeweilige Endergebnis auf eine ganze Zahl.

1. Kreis 1: \(A=\frac{3{,}14\cdot12^2}{4}\,\text{cm}^2=113{,}04\,\text{cm}^2\approx113\,\text{cm}^2\). 2. Kreis 2: Aus \(1256=\frac{3{,}14d^2}{4}\) folgt \(d^2=1600\,\text{cm}^2\). Da \((40\,\text{cm})^2=1600\,\text{cm}^2\), ist \(d=40\,\text{cm}\). 3. Kreis 3: \(A=\frac{3{,}14\cdot50^2}{4}\,\text{cm}^2=1962{,}5\,\text{cm}^2\approx1963\,\text{cm}^2\). 4. Kreis 4: Aus \(2826=\frac{3{,}14d^2}{4}\) folgt \(d^2=3600\,\text{cm}^2\). Da \((60\,\text{cm})^2=3600\,\text{cm}^2\), ist \(d=60\,\text{cm}\).

Kreis 1: \(A\approx113\,\text{cm}^2\) Kreis 2: \(d=40\,\text{cm}\) Kreis 3: \(A\approx1963\,\text{cm}^2\) Kreis 4: \(d=60\,\text{cm}\)

- Welche Winkel entstehen zwischen einem Radius und einer Tangente im Berührpunkt? - Betrachte die vier Punkte \(A\), \(B\), \(M\) und \(C\) als Viereck. - Welche Winkelsumme gilt in diesem Viereck, nachdem du die beiden Winkel an den Berührpunkten bestimmt hast?

1. Die Radien \(MB\) und \(MC\) stehen in den Berührpunkten senkrecht auf den Tangenten. Daher gilt \(\angle MBA=90^\circ\) und \(\angle MCA=90^\circ\). 2. Im Viereck \(ABMC\) beträgt die Innenwinkelsumme \(360^\circ\). 3. Somit gilt \(44^\circ+90^\circ+\angle BMC+90^\circ=360^\circ\). 4. Daraus folgt \(\angle BMC=136^\circ\).

\(\angle BMC=136^\circ\)

- Welche Eigenschaft haben die Innenwinkel in einem gleichseitigen Dreieck? - In welchem Winkel treffen ein Radius und eine Tangente im Berührungspunkt aufeinander? - Kannst du ein Viereck in der Zeichnung identifizieren und dessen Winkelsumme nutzen?

1. Da das Dreieck \(ABP\) gleichseitig ist, beträgt jeder seiner Innenwinkel \(60^\circ\). Insbesondere gilt \(\angle APB = 60^\circ\). 2. In den Berührungspunkten \(A\) und \(B\) stehen die Radien senkrecht auf den Tangenten. Somit sind die Winkel \(\angle MAP\) und \(\angle MBP\) jeweils \(90^\circ\) groß. 3. Die Summe der Innenwinkel im Viereck \(AMBP\) beträgt \(360^\circ\). 4. Der gesuchte Mittelpunktswinkel berechnet sich daher zu: \(\angle AMB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).

Der Winkel \(\angle AMB\) beträgt \(120^\circ\).

- Betrachte zunächst den vollständigen Kreisring und zerlege ihn gedanklich in einen äußeren und einen inneren Kreis. - Vergleiche den angegebenen Mittelpunktswinkel mit einem Vollwinkel. - Bestimme erst den Flächeninhalt des ganzen Kreisrings und anschließend den passenden Anteil davon.

1. Der Flächeninhalt des ganzen Kreisrings ist \(\pi\cdot6^2-\pi\cdot2^2=32\pi\,\text{cm}^2\). 2. Ein Winkel von \(90^\circ\) entspricht einem Viertel des Vollkreises. 3. Der Ausschnitt hat daher den Flächeninhalt \(\frac{1}{4}\cdot32\pi\,\text{cm}^2=8\pi\,\text{cm}^2\approx25{,}13\,\text{cm}^2\).

\(8\pi\,\text{cm}^2\approx25{,}13\,\text{cm}^2\)

- Untersuche in der Abbildung, welche Bedeutung die Seitenlänge des Quadrats für den einbeschriebenen Kreis hat. - Die gesuchte Fläche entsteht als Differenz zweier Flächen. - Für den Prozentanteil brauchst du die Restfläche im Verhältnis zur gesamten quadratischen Platte.

a) 1. Die Seitenlänge des Quadrats ist zugleich der Durchmesser des Kreises. Lea verwendet \(8\,\text{cm}\) fälschlich als Radius. 2. Der Radius ist \(r=4\,\text{cm}\). Die Quadratfläche beträgt \(8^2=64\,\text{cm}^2\), die Kreisfläche \(\pi\cdot4^2=16\pi\,\text{cm}^2\). 3. Außerhalb des Kreises bleiben \(64\,\text{cm}^2-16\pi\,\text{cm}^2\approx13{,}73\,\text{cm}^2\). b) 1. Der prozentuale Anteil ist \(\frac{64-16\pi}{64}\cdot100\,\%\approx21{,}46\,\%\). 2. Gerundet liegen \(21\,\%\) der Platte außerhalb des Kreises.

a) Lea verwechselt Durchmesser und Radius. Außerhalb des Kreises liegen \(64-16\pi\,\text{cm}^2\approx13{,}73\,\text{cm}^2\). b) ungefähr \(21\,\%\)

- Vergleiche in b) die Richtung benachbarter Sektorspitzen. - Verfolge getrennt die Kreisbögen der Sektoren, deren Spitzen nach oben bzw. nach unten zeigen. - Welche ursprüngliche Kreislänge verteilt sich auf die obere und die untere Begrenzung? - Welche Größe eines Sektors bestimmt den Abstand zwischen den beiden langen Seiten?

1. Die Sektoren werden nebeneinander gelegt, wobei ihre Spitzen abwechselnd an der oberen und an der unteren Seite liegen. Dadurch entsteht eine immer weniger gezackte, annähernd rechteckige Form. 2. Die Hälfte der Kreisbögen liegt oben und die andere Hälfte unten. Bei immer schmaleren Sektoren nähern sich beide langen Begrenzungen deshalb jeweils der Länge \(\frac{U}{2}\). Der Abstand zwischen ihnen nähert sich der Sektorenhöhe und damit dem Radius \(r\). 3. Die Kreisfläche bleibt beim Umordnen erhalten und nähert sich dem Inhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen \(\frac{U}{2}\) und \(r\): \(A=\frac{U}{2}\cdot r\). 4. Mit \(U=2\pi r\) folgt \(A=\frac{2\pi r}{2}\cdot r=\pi r^2\).

a) Die Sektoren liegen nebeneinander und ihre Spitzen zeigen abwechselnd nach oben und nach unten. b) Oben und unten liegt jeweils die Hälfte der Kreisbögen, also nähert sich jede lange Seite \(\frac{U}{2}\); der Abstand der langen Seiten nähert sich \(r\). c) \(A=\frac{U}{2}\cdot r=\frac{2\pi r}{2}\cdot r=\pi r^2\).

- Welcher Graph ist eine Gerade durch den Ursprung und welcher ist gekrümmt? - Vergleiche in jedem Diagramm dieselben beiden Radiuswerte. - Welche Potenz von \(r\) steht in der Umfangsformel und welche in der Flächenformel?

1. Diagramm a) ist eine Gerade durch den Ursprung und gehört zum Umfang \(U\). Diagramm b) ist gekrümmt und gehört zum Flächeninhalt \(A\). 2. In a) liest man bei \(r=2\,\text{cm}\) ungefähr \(13\) und bei \(r=4\,\text{cm}\) ungefähr \(25\) ab. Der Umfang wird beim Verdoppeln des Radius ungefähr verdoppelt. 3. In b) liest man bei \(r=2\,\text{cm}\) ungefähr \(13\) und bei \(r=4\,\text{cm}\) ungefähr \(50\) ab. Der Flächeninhalt wird ungefähr vervierfacht. 4. Die Formeln sind \(U=2\pi r\) und \(A=\pi r^2\). Der Radius steht beim Umfang in erster Potenz, bei der Fläche quadratisch. Deshalb entstehen beim Verdoppeln die Faktoren \(2\) beziehungsweise \(4\).

a) Diagramm a): Umfang \(U\); Diagramm b): Flächeninhalt \(A\). b) a): ungefähr \(13\) zu \(25\), also Faktor \(2\); b): ungefähr \(13\) zu \(50\), also Faktor \(4\). c) \(U=2\pi r\) und \(A=\pi r^2\); daraus folgen die Faktoren \(2\) und \(4\).

- Welche bekannte Gesamtfigur ergeben zwei gleich große Halbkreise zusammen? - Welche Teile der Rechteckbegrenzung liegen nach dem Ansetzen der Halbkreise noch außen? - Trenne Flächeninhalt und Randlänge: Welche Teilflächen beziehungsweise Randstücke gehören jeweils dazu?

1. Die beiden Halbkreise bilden zusammen einen Kreis mit Radius \(r=4\,\text{m}\). 2. Die Fläche des Rechtecks ist \(12\,\text{m}\cdot8\,\text{m}=96\,\text{m}^2\). Die Fläche der beiden Halbkreise zusammen ist \(\pi\cdot4^2\,\text{m}^2=16\pi\,\text{m}^2\). Insgesamt gilt \(A=(96+16\pi)\,\text{m}^2\). 3. Zur äußeren Begrenzung gehören die beiden langen Rechteckseiten mit zusammen \(24\,\text{m}\) und die beiden Halbkreisbögen. Diese Bögen bilden zusammen einen Kreisumfang von \(2\pi\cdot4\,\text{m}=8\pi\,\text{m}\). Also ist \(U=(24+8\pi)\,\text{m}\). 4. Zwei Halbkreise mit gleichem Radius besitzen zusammen genau die Fläche und die Bogenlänge eines ganzen Kreises.

a) \(A=(96+16\pi)\,\text{m}^2\) b) \(U=(24+8\pi)\,\text{m}\) c) Die beiden Halbkreise haben denselben Radius und ergänzen sich hinsichtlich Fläche und Bogenlänge zu einem ganzen Kreis.

- Schreibe in Teil a) beide gegebenen Formeln als einen Quotienten übereinander. - Welche Faktoren kommen sowohl im Zähler als auch im Nenner vor und können gekürzt werden? - Verwende in Teil b) erst die in a) hergeleitete Beziehung.

1. Beim Quotienten kürzen sich der Winkelanteil und \(\pi\): \(\frac{A_S}{b}=\frac{\frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2}{\frac{\alpha}{360^\circ}2\pi r}=\frac{r}{2}\). 2. Multiplikation mit \(b\) ergibt \(A_S=\frac{1}{2}br\). 3. Für \(r=6\,\text{cm}\) und \(b=5\pi\,\text{cm}\) gilt \(A_S=\frac{1}{2}\cdot5\pi\cdot6\,\text{cm}^2=15\pi\,\text{cm}^2\).

a) \(\frac{A_S}{b}=\frac{r}{2}\), also \(A_S=\frac{1}{2}br\) b) \(A_S=15\pi\,\text{cm}^2\)

- Überlege, ob der Tacho zu viel oder zu wenig anzeigt, wenn der eingestellte Durchmesser kleiner als der echte ist. - Die Anzahl der Radumdrehungen ist die verbindende Größe zwischen der Anzeige und der Wirklichkeit. - Musst du \(\pi\) unbedingt am Anfang ausrechnen oder kürzt es sich vielleicht in einem Verhältnis weg?

1. Der Tacho berechnet die Strecke \(s_{\text{Anzeige}}\) auf Grundlage des eingestellten Umfangs \(U_{\text{eingestellt}} = \pi \cdot 68\,\text{cm}\). Die Anzahl der registrierten Umdrehungen ist \(n = \frac{s_{\text{Anzeige}}}{U_{\text{eingestellt}}}\). 2. Die tatsächliche Strecke \(s_{\text{tatsächlich}}\) ergibt sich aus derselben Anzahl an Umdrehungen multipliziert mit dem tatsächlichen Umfang \(U_{\text{tatsächlich}} = \pi \cdot 71\,\text{cm}\). 3. Es gilt das Verhältnis: \(\frac{s_{\text{tatsächlich}}}{s_{\text{Anzeige}}} = \frac{n \cdot \pi \cdot d_{\text{tatsächlich}}}{n \cdot \pi \cdot d_{\text{eingestellt}}} = \frac{d_{\text{tatsächlich}}}{d_{\text{eingestellt}}}\). 4. Einsetzen der Werte: \(s_{\text{tatsächlich}} = 34{,}0\,\text{km} \cdot \frac{71\,\text{cm}}{68\,\text{cm}} = 34{,}0 \cdot 1{,}044117\ldots = 35{,}5\,\text{km}\).

Die tatsächlich gefahrene Strecke war \(35{,}5\,\text{km}\) lang.

- Vergleiche in der Formel \(A=\pi r^2\), wie ein Faktor am Radius auf den Flächeninhalt wirkt. - Suche einen positiven Radiusfaktor, dessen Quadrat den gegebenen Flächenfaktor erzeugt. - Prüfe anschließend mit der Umfangsformel, ob derselbe Faktor dort linear oder quadratisch wirkt.

1. Aus \(A_2=16A_1\) und \(A=\pi r^2\) folgt \(\pi r_2^2=16\pi r_1^2\), also \(r_2^2=16r_1^2\). 2. Es gilt \((4r_1)^2=16r_1^2\). Da Radien positive Längen sind, folgt daraus \(r_2=4r_1\). Der Radius vergrößert sich um den Faktor \(4\). 3. Mit \(U=2\pi r\) gilt dann \(U_2=2\pi(4r_1)=4U_1\). Der Umfang vervierfacht sich ebenfalls.

a) Der Radius vergrößert sich um den Faktor \(4\). b) Der Umfang vergrößert sich ebenfalls um den Faktor \(4\).

- Setze den Winkel als Anteil eines Vollkreises in die Sektorflächenformel ein. - Welche positive Zahl hat das Quadrat, das sich für \(r^2\) ergibt? - Welche drei Randstücke bilden gemeinsam den Umfang eines Kreissektors?

1. Mit \(A_S=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2\) gilt \(20\pi\,\text{cm}^2=\frac{72^\circ}{360^\circ}\pi r^2=\frac15\pi r^2\). 2. Daraus folgt \(r^2=100\,\text{cm}^2\). Da der Radius positiv ist und \((10\,\text{cm})^2=100\,\text{cm}^2\), gilt \(r=10\,\text{cm}\). 3. Die Bogenlänge beträgt \(b=\frac{72^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot10\,\text{cm}=4\pi\,\text{cm}\). 4. Zum Bogen kommen zwei Radien hinzu: \(U_{\text{Sektor}}=(20+4\pi)\,\text{cm}\approx32{,}57\,\text{cm}\).

a) \(r=10\,\text{cm}\) b) \(U_{\text{Sektor}}=(20+4\pi)\,\text{cm}\approx32{,}57\,\text{cm}\)

- Bestimme den Radius des großen Kreises und den Radius der kleinen Kreise. - Vergleiche die gesamte Kreisfläche beider Varianten zunächst exakt. - Was folgt für den Verschnitt, wenn die Ausgangsflächen gleich sind?

1. Jede Platte hat die Fläche \(50^2\,\text{cm}^2=2500\,\text{cm}^2\). 2. Beim großen Kreis ist \(r=25\,\text{cm}\), also \(A_1=625\pi\,\text{cm}^2\). 3. Bei den kleinen Kreisen ist der Durchmesser \(10\,\text{cm}\), also \(r=5\,\text{cm}\). Ihre Gesamtfläche ist \(A_2=25\cdot25\pi\,\text{cm}^2=625\pi\,\text{cm}^2\). 4. In beiden Fällen ist der Verschnitt daher \((2500-625\pi)\,\text{cm}^2\).

Bei beiden Platten entsteht exakt gleich viel Verschnitt: \((2500-625\pi)\,\text{cm}^2\).

- Die Aussage vergleicht die Maßzahlen, nicht Größen mit verschiedenen Einheiten direkt. - Schreibe Radius, Umfangsmaßzahl und Flächenmaßzahl mit einer Variablen. - Welche gemeinsame positive Größe kannst du nach dem Aufstellen der Gleichung kürzen?

1. Schreibe \(r=x\,\text{cm}\) mit \(x>0\). Dann ist die Maßzahl des Umfangs \(u=2\pi x\) und die Maßzahl des Flächeninhalts \(a=\pi x^2\). 2. Aus \(a=4u\) folgt \(\pi x^2=8\pi x\). 3. Weil \(x>0\), kann durch \(\pi x\) geteilt werden. Es ergibt sich \(x=8\), also \(r=8\,\text{cm}\). 4. Damit ist \(A=\pi\cdot8^2\,\text{cm}^2=64\pi\,\text{cm}^2\).

\(r=8\,\text{cm}\) und \(A=64\pi\,\text{cm}^2\).

- Stelle jede Ringfläche als Differenz zweier Kreisflächen dar. - Achte in Teil b) darauf, welche Innen- und Außenradien zu den beiden Ringen gehören. - Formuliere in Teil c) allgemein, wie ein Faktor am Radius durch das Quadrat in \(A=\pi r^2\) auf die Fläche wirkt.

1. a) Der innere Kreis hat den Flächeninhalt \(A_1=\pi r^2\). Der Außenradius des zweiten Bereichs ist \(2r\). Daher ist die Ringfläche \(A_2=\pi(2r)^2-\pi r^2=3\pi r^2\). Somit gilt \(A_1:A_2=1:3\). 2. b) Der zweite Ring reicht von \(10\,\text{cm}\) bis \(20\,\text{cm}\). Seine Fläche ist \(\pi(20^2-10^2)\,\text{cm}^2=300\pi\,\text{cm}^2\). 3. Der dritte Ring reicht von \(20\,\text{cm}\) bis \(30\,\text{cm}\). Seine Fläche ist \(\pi(30^2-20^2)\,\text{cm}^2=500\pi\,\text{cm}^2\). Da \(500\pi>300\pi\), ist der dritte Ring größer. 4. c) Wird der Radius mit dem Faktor \(k\) verändert, so wird die Fläche wegen \(A=\pi r^2\) mit dem Faktor \(k^2\) verändert. Für den Flächenfaktor \(9\) passt \(k=3\), denn \(3^2=9\). Der Radius muss also verdreifacht werden.

a) \(1:3\) b) Zweiter Ring: \(300\pi\,\text{cm}^2\); dritter Ring: \(500\pi\,\text{cm}^2\). Der dritte Ring ist größer. c) Der Radius muss mit dem Faktor \(3\) verändert werden.

- Vergleiche in Teil a) die Kreisfläche mit der gesamten Quadratfläche. - Nutze in Teil b) die Symmetrie der vier gleich großen Eckbereiche. - Übersetze die prozentuale Radiusänderung in einen Faktor und beachte, dass der Radius in der Flächenformel quadriert wird.

1. a) Die quadratische Rasenfläche hat den Flächeninhalt \(A_Q=(14\,\text{m})^2=196\,\text{m}^2\). Der Kreis hat \(A_K=\pi(7\,\text{m})^2=49\pi\,\text{m}^2\). 2. Der bewässerte Anteil beträgt \(\frac{49\pi}{196}=\frac{\pi}{4}\approx0{,}7854\), also etwa \(78{,}54\,\%\). 3. b) Insgesamt bleiben \(196\,\text{m}^2-49\pi\,\text{m}^2\) trocken. Wegen der Symmetrie sind die vier Eckflächen gleich groß. Eine Eckfläche hat daher \(\frac{196-49\pi}{4}\,\text{m}^2\approx10{,}52\,\text{m}^2\). 4. c) Eine Vergrößerung des Radius um \(20\,\%\) entspricht dem Faktor \(1{,}2\). Wegen \(A=\pi r^2\) erhält die Kreisfläche den Faktor \(1{,}2^2=1{,}44\). Sie wächst also um \(44\,\%\).

a) Quadrat: \(196\,\text{m}^2\); bewässerter Anteil: etwa \(78{,}54\,\%\) b) Eine trockene Eckfläche ist etwa \(10{,}52\,\text{m}^2\) groß. c) Der Flächeninhalt des kreisförmigen Beregnungsbereichs wächst um \(44\,\%\).

- Nutze in Teil a) zuerst die Umfangsformel, um den Radiusfaktor zu bestimmen. - Übertrage denselben Radiusfaktor anschließend auf die Flächenformel und beachte das Quadrat. - In Teil b) genügt es, den gegebenen Radiusfaktor zu quadrieren; der ursprüngliche Radius selbst ist nicht nötig.

1. a) Mit \(U=2\pi r\) bedeutet der dreifache Umfang auch den dreifachen Radius: \(r_{\text{neu}}=3r\). 2. Für die Fläche gilt dann \(A_{\text{neu}}=\pi(3r)^2=9\pi r^2=9A\). Die Behauptung ist richtig. 3. b) Beim Radiusfaktor \(\frac{2}{5}\) erhält die Fläche den Faktor \(\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}\). 4. Daher ist \(A_{\text{neu}}=\frac{4}{25}\cdot50\,\text{cm}^2=8\,\text{cm}^2\).

a) Die Aussage ist richtig: Der dreifache Umfang führt zum dreifachen Radius und damit zur neunfachen Fläche. b) \(A_{\text{neu}}=8\,\text{cm}^2\)

- Welche Maße muss der größtmögliche Kreis im Quadrat haben? - Wie erhältst du den Abfall aus den beiden Flächen? - Schreibe für Teil c) beide Flächen allgemein mit der Seitenlänge \(a\) auf und bilde ein Verhältnis.

1. a) Die Quadratfläche ist \(A_Q=(60\,\text{cm})^2=3600\,\text{cm}^2\). Der größtmögliche Kreis hat \(d=60\,\text{cm}\) und damit \(r=30\,\text{cm}\). 2. Die Kreisfläche ist \(A_K=900\pi\,\text{cm}^2\). Somit ist \(A_{\text{Abfall}}=3600\,\text{cm}^2-900\pi\,\text{cm}^2\approx772{,}57\,\text{cm}^2\). 3. b) Der Abfallanteil beträgt \(\frac{3600-900\pi}{3600}\cdot100\,\%\approx21{,}46\,\%\). 4. c) Allgemein gilt \(A_Q=a^2\) und \(A_K=\pi(\frac{a}{2})^2=\frac{\pi}{4}a^2\). Daher ist der Abfallanteil \(1-\frac{\pi}{4}\); der Faktor \(a^2\) kürzt sich heraus.

a) \(A_{\text{Abfall}}\approx772{,}57\,\text{cm}^2\) b) Der Abfall beträgt etwa \(21{,}46\,\%\). c) Der prozentuale Abfall ist \(1-\frac{\pi}{4}\) und damit unabhängig von der Seitenlänge.