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- Aus welchen Teilflächen setzt sich das Netz zusammen? Welche davon bilden die Grund- und Deckfläche? - Wie berechnet man das Volumen eines Prismas allgemein? - Schau dir die Maße am Dreieck an: Handelt es sich um ein spezielles Dreieck (z.B. rechtwinklig)? - Welche Länge im Netz entspricht der Höhe des aufgestellten Körpers?

1. Identifikation der Grundfläche \(G\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 cm und 4 cm (da \(3^2 + 4^2 = 5^2\) gilt). 2. Berechnung der Grundfläche: \(G = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe des Dreiecks} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\) cm². 3. Ablesen der Körperhöhe \(h\) des Prismas aus der Seitenlänge der Rechtecke im Netz: \(h = 3\) cm. 4. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot h = 6 \text{ cm}^2 \cdot 3 \text{ cm} = 18\) cm³.

a) 18 cm³

- Welche geometrische Form entsteht, wenn man die Blende flach auf den Boden legt? - Welche Eigenschaft des Kreises entspricht der Länge der Blende? - Achte darauf, alle Maße in dieselbe Einheit umzurechnen, bevor du den Flächeninhalt berechnest.

1. Berechnung des Umfangs des Beckens mit der Formel \(U = \pi d\): \(U = \pi \cdot 4{,}50\,\text{m} \approx 14{,}14\,\text{m}\). Die Länge der Blende entspricht diesem Umfang. 2. Umrechnung der Höhe der Blende in Meter: \(12\,\text{cm} = 0{,}12\,\text{m}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts der (ausgerollten) rechteckigen Blende mit \(A = U \cdot h\): \(A \approx 14{,}137\,\text{m} \cdot 0{,}12\,\text{m} \approx 1{,}70\,\text{m}^2\).

a) Die Blende ist ca. \(14{,}14\,\text{m}\) lang. b) Der Flächeninhalt der Blende beträgt ca. \(1{,}70\,\text{m}^2\).

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Was sagt dir das Material über das Verhältnis von Masse und Volumen aus? - Kannst du zuerst herausfinden, welche Masse ein einzelner Kubikzentimeter des Holzes hat? - Überlege, wie groß der Faktor zwischen den Volumina des zweiten und des ersten Quaders ist.

1. Berechnung des Volumens des ersten Quaders: \(V_1 = 10\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 200\,\text{cm}^3\). 2. Bestimmung der Dichte des Eichenholzes: \(\rho = \frac{140\,\text{g}}{200\,\text{cm}^3} = 0{,}7\,\text{g/cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens des zweiten Quaders: \(V_2 = 15\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 600\,\text{cm}^3\). 4. Berechnung der Masse des zweiten Quaders: \(m_2 = 600\,\text{cm}^3 \cdot 0{,}7\,\text{g/cm}^3 = 420\,\text{g}\). Alternativ über das Volumenverhältnis: Da \(V_2\) dreimal so groß ist wie \(V_1\) (\(600 : 200 = 3\)), muss auch die Masse dreimal so groß sein: \(140\,\text{g} \cdot 3 = 420\,\text{g}\).

Der zweite Quader hat eine Masse von \(420\,\text{g}\).

- Was genau ist die Mantelfläche eines Zylinders und wie berechnet man sie? - Achte darauf, den Durchmesser zuerst in den Radius umzuwandeln. - Rechne am Ende mit der Gesamtzahl der Säulen weiter. - Überlege beim Materialkauf, warum man hier aufrunden muss.

1. Bestimmung des Radius in Metern: \(r = \frac{0{,}60\,\text{m}}{2} = 0{,}30\,\text{m}\). 2. Berechnung der Mantelfläche einer Säule: \(M = 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}30\,\text{m} \cdot 4{,}00\,\text{m} = 2{,}4\pi\,\text{m}^2 \approx 7{,}54\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Gesamtfläche für 4 Säulen: \(M_{\text{ges}} = 4 \cdot 7{,}5398\dots\,\text{m}^2 \approx 30{,}16\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der benötigten Dosen: \(30{,}16\,\text{m}^2 : 12\,\text{m}^2/\text{Dose} \approx 2{,}51\). 5. Da nur ganze Dosen gekauft werden können, müssen \(3\,\text{Dosen}\) erworben werden.

a) Die gesamte zu streichende Fläche beträgt ca. \(30{,}16\,\text{m}^2\). b) Der Maler muss mindestens \(3\,\text{Dosen}\) Farbe kaufen.

- Welche Formel verbindet das Volumen, den Radius und die Höhe eines Zylinders? - Kannst du die Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe alleine auf einer Seite steht? - Achte darauf, dass alle Einheiten zueinander passen, bevor du rechnest.

1. Gegeben sind das Volumen \(V = 850\,\text{cm}^3\) und der Radius \(r = 4{,}5\,\text{cm}\). 2. Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet \(V = \pi r^2h\). 3. Umstellen der Formel nach der Höhe: \(h = \frac{V}{\pi r^2}\). 4. Einsetzen der Werte: \(h = \frac{850}{\pi \cdot 4{,}5^2} \approx \frac{850}{63{,}617} \approx 13{,}3617\,\text{cm}\). 5. Gerundet auf eine Nachkommastelle ergibt sich \(h \approx 13{,}4\,\text{cm}\).

Die Innenhöhe der Dose beträgt etwa \(13{,}4\,\text{cm}\).

- Was bedeutet es für deine Rechnung, wenn zwei Körper „das gleiche Volumen“ haben? - Berechne zuerst alles, was du über das erste Prisma wissen kannst. - Wie kannst du die Höhe eines Körpers finden, wenn du sein Volumen und seine Grundfläche kennst?

1. Berechnung des Volumens von Prisma A: \(V_A = 12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 960\,\text{cm}^3\). 2. Da beide Prismen das gleiche Volumen haben, gilt \(V_B = 960\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Grundfläche \(G_B\) von Prisma B: \(G_B = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g = \frac{1}{2} \cdot 16\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Körperhöhe \(h_B\): \(h_B = \frac{V_B}{G_B} = \frac{960\,\text{cm}^3}{48\,\text{cm}^2} = 20\,\text{cm}\).

Die Körperhöhe von Prisma B beträgt \(20\,\text{cm}\).

- Welche geometrische Form hat der Stab? - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Wie hängen Volumen, Dichte und Masse zusammen? - Wie berechnet man die Grundfläche eines Kreises?

1. Umrechnung der Einheiten in Zentimeter: Der Radius beträgt \(r = \frac{4\,\text{cm}}{2} = 2\,\text{cm}\). Die Länge, also die Höhe des Zylinders, beträgt \(h = 250\,\text{mm} = 25\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens \(V\) des Zylinders: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (2\,\text{cm})^2 \cdot 25\,\text{cm} = 100 \cdot \pi\,\text{cm}^3 \approx 314{,}16\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Masse \(m\): \(m = V\rho \approx 314{,}16\,\text{cm}^3 \cdot 2{,}7\,\text{g/cm}^3 \approx 848{,}23\,\text{g}\). 4. Umrechnung in Kilogramm: \(m \approx 0{,}85\,\text{kg}\).

Die Masse des Stabes beträgt etwa \(0{,}85\,\text{kg}\).

- Aus welchen geometrischen Formen besteht dieses Prisma? Identifiziere zuerst die Grundfläche. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Das Volumen eines geraden Prismas berechnet sich allgemein aus dem Produkt von Grundfläche und Körperhöhe. - Setze die gegebenen Werte in die Volumenformel ein.

1. Berechne den Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche \(A_g\) mit der Formel: \(A_g = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 20\,\text{cm}^2\) 2. Berechne das Volumen \(V\) des Prismas, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Prismas multiplizierst: \(V = A_g \cdot h_p = 20\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 300\,\text{cm}^3\)

Das Volumen des Prismas beträgt \(300\,\text{cm}^3\).

- Welche Formel beschreibt das Volumen eines Zylinders? - Wie hängen der Durchmesser und der Radius der kreisförmigen Grundfläche zusammen? - Achte darauf, welchen Wert du für die Kreiszahl \(\pi\) einsetzen sollst.

1. Bestimmung des Radius \(r\) aus dem Durchmesser \(d = 10\,\text{cm}\): \(r = \frac{10\,\text{cm}}{2} = 5\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens \(V\) des Zylinders mit der Formel \(V = \pi r^2h\): \(V \approx 3{,}14 \cdot (5\,\text{cm})^2 \cdot 12\,\text{cm} = 3{,}14 \cdot 25\,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} = 942\,\text{cm}^3\).

\(942\,\text{cm}^3\)

- Aus welchen einfacheren Formen setzt sich die L-förmige Grundfläche zusammen? - Berechne zuerst den Flächeninhalt der Grundfläche, indem du sie in zwei Rechtecke zerlegst. - Wie berechnet man das Volumen eines Prismas, wenn die Grundfläche und die Höhe (Länge) bekannt sind?

1. Zerlege die L-förmige Grundfläche in zwei Rechtecke: - Ein großes Rechteck links mit der Breite \(2\,\text{cm}\) und der Höhe \(6\,\text{cm}\). Seine Fläche beträgt: \(A_1 = 2\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\) - Ein kleineres Rechteck rechts mit der Breite \(5\,\text{cm} - 2\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\) und der Höhe \(2\,\text{cm}\). Seine Fläche beträgt: \(A_2 = 3\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\) 2. Berechne die gesamte Grundfläche \(A_{\text{G}}\): \(A_{\text{G}} = A_1 + A_2 = 12\,\text{cm}^2 + 6\,\text{cm}^2 = 18\,\text{cm}^2\) 3. Berechne das Volumen \(V\) des Prismas mit der Länge \(l = 10\,\text{cm}\): \(V = A_{\text{G}} \cdot l = 18\,\text{cm}^2 \cdot 10\,\text{cm} = 180\,\text{cm}^3\)

Das Volumen des Werkstücks beträgt \(180\,\text{cm}^3\).

- Skizziere die Grundfläche des Körpers und markiere die gegebenen Maße. Um welche Art von Dreieck handelt es sich? - Erinnere dich daran, wie das Volumen eines Prismas mit seiner Grundfläche und seiner Höhe zusammenhängt. - Um die Mantelfläche zu berechnen, benötigst du den Umfang der Grundfläche. Welcher mathematische Satz hilft dir, die fehlende Seite des rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen? - Wie setzt sich die Oberfläche eines Prismas aus Grund-, Deck- und Mantelfläche zusammen?

1. Berechnung des Flächeninhalts der Grundfläche \(G\): \(G = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\) 2. Berechnung des Volumens \(V\): \(V = G \cdot h = 30\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 450\,\text{cm}^3\) 3. Berechnung der Hypotenuse \(c\) mit dem Satz des Pythagoras: \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\,\text{cm}\) 4. Berechnung des Umfangs \(U\) der Grundfläche: \(U = a + b + c = 5\,\text{cm} + 12\,\text{cm} + 13\,\text{cm} = 30\,\text{cm}\) 5. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = U \cdot h = 30\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 450\,\text{cm}^2\) 6. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O\): \(O = 2G + M = 2 \cdot 30\,\text{cm}^2 + 450\,\text{cm}^2 = 510\,\text{cm}^2\)

a) \(G = 30\,\text{cm}^2\), \(V = 450\,\text{cm}^3\) b) \(c = 13\,\text{cm}\) c) \(O = 510\,\text{cm}^2\)

- Was für eine geometrische Form hat die Grundfläche dieses Prismas? - Wie berechnet man allgemein das Volumen eines Prismas, wenn man die Grundfläche und die Höhe (oder Länge) kennt? - Welche Formel hilft dir, den Flächeninhalt eines Dreiecks zu bestimmen? - Überlege, welche der gegebenen Maße zur Grundfläche gehören und welches Maß die Länge des Prismas beschreibt.

1. Berechne zuerst die Grundfläche \(G\) des dreiseitigen Prismas. Da die Grundfläche ein Dreieck ist, gilt: \(G = \frac{1}{2}gh = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 20\,\text{cm}^2\). 2. Berechne anschließend das Volumen \(V\) des Prismas, indem du die Grundfläche mit der Länge \(l\) multiplizierst: \(V = Gl = 20\,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} = 240\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Holzkeils beträgt \(240\,\text{cm}^3\).

- Überlege dir zuerst, welche Formeln für das Volumen und die Mantelfläche eines Zylinders gelten. - Beachte, dass die Regentonne oben offen ist. Aus welchen Flächen setzt sich die Tonne also zusammen? - Denke an den Zusammenhang zwischen Kubikdezimetern (\(\text{dm}^3\)) und Litern (\(\text{l}\)). - Runde die jeweiligen Endergebnisse auf eine Nachkommastelle.

1. Berechnung des maximalen Volumens mit der Zylinderformel \(V = \pi r^2h\): \(V = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 = 72\pi \approx 226{,}2\,\text{dm}^3\). Da \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) ist, passen maximal \(226{,}2\) Liter Wasser in die Tonne. 2. Berechnung der Mantelfläche mit der Formel \(M = 2\pi rh\): \(M = 2\pi \cdot 3 \cdot 8 = 48\pi \approx 150{,}8\,\text{dm}^2\). 3. Berechnung des benötigten Materials als Summe aus Bodenfläche und Mantelfläche, da die Tonne oben offen ist: \(A_{\text{gesamt}} = \pi r^2 + M = \pi \cdot 3^2 + 48\pi = 57\pi \approx 179{,}1\,\text{dm}^2\).

a) \(226{,}2\,\text{l}\) b) \(150{,}8\,\text{dm}^2\) c) \(179{,}1\,\text{dm}^2\)

- Stell dir vor, du teilst ein rechteckiges Blatt Papier diagonal in zwei Hälften. Welche Form entsteht? - Wie verhält sich das Volumen des halbierten Körpers zum Ganzen? - Du kannst auch zuerst die Fläche der dreieckigen Grundseite berechnen.

1. Das Volumen des ursprünglichen Quaders berechnet sich durch \(V_{\text{Quader}} = lbh = 12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 480\,\text{cm}^3\). 2. Da der Schnitt entlang der Diagonale erfolgt, wird der Quader in zwei volumengleiche Prismen geteilt. 3. Das Volumen eines Prismas beträgt somit die Hälfte des Quadervolumens: \(V_{\text{Prisma}} = \frac{1}{2}480\,\text{cm}^3 = 240\,\text{cm}^3\). Alternativ über die Prismenformel: Grundfläche \(G = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2\). Volumen \(V = Gh = 48\,\text{cm}^2 \cdot 5\,\text{cm} = 240\,\text{cm}^3\).

Das Volumen eines der entstandenen Prismen beträgt \(240\,\text{cm}^3\).

- Das Volumen eines Prismas berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe (bzw. Länge). - Überlege dir, wie du die U-Form am einfachsten in Rechtecke zerlegen oder ergänzen kannst. - Achte darauf, die Innenmaße korrekt aus der Wandstärke zu berechnen.

1. Berechnung des Flächeninhalts der U-förmigen Querschnittsfläche (\(G\)): Man kann die Fläche als großes Rechteck minus Ausschnitt betrachten: \(5 \cdot 4 - 3 \cdot 3 = 20 - 9 = 11\,\text{cm}^2\). Alternativ als Zerlegung: Boden (\(5 \cdot 1\)) plus zwei Seitenteile (\(2 \cdot (3 \cdot 1)\)): \(5 + 6 = 11\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens (\(V\)) mit der Länge \(l = 12\,\text{cm}\): \(V = Gl = 11 \cdot 12 = 132\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Bauteils beträgt \(132\,\text{cm}^3\).

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. - Multipliziere die Grundfläche mit der Länge des Körpers, um das Volumen zu erhalten. - Achte darauf, dass die parallelen Seiten des Trapezes die Werte \(a\) und \(c\) in der Formel sind.

1. Berechnung des Flächeninhalts der trapezförmigen Grundfläche (\(G\)): \(G = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{10 + 6}{2} \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens (\(V\)) mit der Länge des Prismas (\(l = 15\,\text{cm}\)): \(V = G \cdot l = 32 \cdot 15 = 480\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Betonklotzes beträgt \(480\,\text{cm}^3\).

- Bestimme zuerst den Flächeninhalt der dreieckigen Vorderseite. - Überlege, welche der angegebenen Maße die Grundseite und die Höhe des Dreiecks bilden. - Das Volumen eines Prismas berechnet man, indem man die Grundfläche mit der Körperhöhe multipliziert.

1. Identifikation der Grundfläche: Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(a = 15\,\text{cm}\) und \(b = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der Grundfläche \(G\): \(G = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 15\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Volumens \(V\) mit der Körperhöhe (Länge) \(l = 25\,\text{cm}\): \(V = G \cdot l = 60\,\text{cm}^2 \cdot 25\,\text{cm} = 1\,500\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt \(1\,500\,\text{cm}^3\).

- Suche zuerst die Grundfläche des Prismas in der Zeichnung. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn Grundseite und Höhe gegeben sind? - Multipliziere diesen Flächeninhalt mit der Ausdehnung des Körpers in die Tiefe.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) des Dreiecks: \(G = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g = \frac{1}{2} \cdot 14\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 42\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens \(V\) mit der Prismenlänge \(l = 30\,\text{cm}\): \(V = G \cdot l = 42\,\text{cm}^2 \cdot 30\,\text{cm} = 1\,260\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt \(1\,260\,\text{cm}^3\).

- Achte darauf, ob der Durchmesser oder der Radius gegeben ist. - Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen? - Die Grundfläche eines Zylinders ist ein Kreis.

1. Bestimmung des Radius \(r\): \(r = \frac{d}{2} = \frac{12\,\text{cm}}{2} = 6\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Grundfläche \(G\): \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (6\,\text{cm})^2 = 36\pi\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Volumens \(V\): \(V = G \cdot h = 36\pi\,\text{cm}^2 \cdot 20\,\text{cm} = 720\pi\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt \(720\pi\,\text{cm}^3\).

- Das Volumen ergibt sich aus Grundfläche und Höhe des Zylinders. - Nutze für \(\pi\) den Wert deines Taschenrechners oder \(3{,}14159\).

1. Grundfläche \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (2\,\text{cm})^2 = 4\pi\,\text{cm}^2 \approx 12{,}566\,\text{cm}^2\). 2. Volumen \(V = G \cdot h = 4\pi \cdot 50 = 200\pi \approx 628{,}3185\,\text{cm}^3\). 3. Rundung auf zwei Stellen: \(628{,}32\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt etwa \(628{,}32\,\text{cm}^3\).

- Welche der gegebenen Seitenlängen des Dreiecks benötigst du, um seinen Flächeninhalt zu berechnen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für das Volumen von Prismen.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\): Bei einem rechtwinkligen Dreieck nutzt man die Katheten als Grundseite und Höhe. \(G = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\) 2. Berechnung des Volumens \(V\): Das Volumen eines Prismas ist das Produkt aus Grundfläche und Körperhöhe \(h_k\). \(V = G \cdot h_k = 60\,\text{cm}^2 \cdot 10\,\text{cm} = 600\,\text{cm}^3\)

Das Volumen des Prismas beträgt \(600\,\text{cm}^3\).

- Überlege zuerst, welche Form die Grundfläche hat. - Berechne den Flächeninhalt dieser Grundfläche. - Wie wird aus der Grundfläche und der Länge das Volumen?

1. Berechnung der dreieckigen Querschnittsfläche \(G\): \(G = \frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 10\,\text{cm}^2\) 2. Berechnung des Volumens durch Multiplikation mit der Länge: \(V = 10\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 150\,\text{cm}^3\)

Der Briefbeschwerer hat ein Volumen von \(150\,\text{cm}^3\).

- Überlege zuerst, welche Fläche die Grundfläche dieses Prismas ist. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Das Volumen eines Prismas ist das Produkt aus der Grundfläche und der Körperhöhe (hier die Länge des Zelts).

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) der dreieckigen Vorderseite: \(G = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot 1{,}80\,\text{m} \cdot 1{,}20\,\text{m} = 1{,}08\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Volumens \(V\) des Prismas: \(V = G \cdot \text{Länge} = 1{,}08\,\text{m}^2 \cdot 2{,}50\,\text{m} = 2{,}7\,\text{m}^3\).

Das Volumen des Luftraums beträgt \(2{,}7\,\text{m}^3\).

- Bei einem rechtwinkligen Dreieck können die beiden Katheten als Grundseite und Höhe für die Flächenberechnung genutzt werden. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für das Volumen von Prismen.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) des rechtwinkligen Dreiecks: \(G = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens \(V\) durch Multiplikation mit der Körperhöhe (Länge): \(V = G \cdot l = 6\,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} = 72\,\text{cm}^3\).

Das Glasprisma hat ein Volumen von \(72\,\text{cm}^3\).

- Welche Form hat die Grundfläche des Prismas? - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms. - Wie berechnet man allgemein das Volumen eines Prismas, wenn Grundfläche und Höhe bekannt sind?

1. Berechnung des Flächeninhalts der Grundfläche (Parallelogramm): \(G = g \cdot h_g = 30\,\text{cm} \cdot 18\,\text{cm} = 540\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot L = 540\,\text{cm}^2 \cdot 50\,\text{cm} = 27\,000\,\text{cm}^3\).

Der Steinblock hat ein Volumen von \(27\,000\,\text{cm}^3\).

- Welche Fläche dient hier als Grundfläche des Prismas? Beachte, dass die Grundfläche nicht immer „unten“ liegen muss. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. - Multipliziere die Grundfläche mit der Ausdehnung in der dritten Dimension.

1. Grundfläche (Seitenwand) als Trapez berechnen: \(G = \frac{2{,}80\,\text{m} + 2{,}20\,\text{m}}{2} \cdot 3{,}00\,\text{m} = 2{,}50\,\text{m} \cdot 3{,}00\,\text{m} = 7{,}50\,\text{m}^2\). 2. Volumen des Prismas durch Multiplikation von Grundfläche und Breite berechnen: \(V = G \cdot l = 7{,}50\,\text{m}^2 \cdot 4{,}50\,\text{m} = 33{,}75\,\text{m}^3\).

Das Luftvolumen beträgt \(33{,}75\,\text{m}^3\).

- Zerlege die Querschnittsfläche in zwei bekannte Formen: ein Rechteck und ein Dreieck. - Wie berechnest du die Fläche eines Dreiecks? - Das Volumen eines Prismas ist immer Grundfläche mal Höhe (oder Länge).

1. Grundfläche des Querschnitts als Summe von Rechteck und Dreieck berechnen: - Rechteckfläche: \(A_{\text{Re}} = 4\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 8\,\text{m}^2\). - Dreiecksfläche: \(A_{\text{Dr}} = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} = 2\,\text{m}^2\). - Gesamtgrundfläche: \(G = 8\,\text{m}^2 + 2\,\text{m}^2 = 10\,\text{m}^2\). 2. Volumen des Prismas berechnen: \(V = G \cdot l = 10\,\text{m}^2 \cdot 10\,\text{m} = 100\,\text{m}^3\).

Das Volumen des Gewächshauses beträgt \(100\,\text{m}^3\).

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises. - Das Volumen eines Zylinders berechnet sich nach dem gleichen Prinzip wie bei einem Prisma: Grundfläche mal Höhe.

1. Berechnung des Grundflächeninhalts \(G\) des Kreises: \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (6\,\text{cm})^2 = 36\pi\,\text{cm}^2 \approx 113{,}10\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens \(V\) durch Multiplikation von Grundfläche und Höhe \(h\): \(V = G \cdot h = 36\pi \cdot 15\,\text{cm} = 540\pi\,\text{cm}^3 \approx 1696{,}46\,\text{cm}^3\). 3. Rundung auf eine Dezimalstelle: \(V \approx 1696{,}5\,\text{cm}^3\).

Das Volumen der Vorratsdose beträgt ca. \(1696{,}5\,\text{cm}^3\).

- Der Körper besteht aus zwei Teilen. Berechne die Rauminhalte einzeln. - Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Zylinders?

1. Berechnung des Volumens des unteren Zylinders: \(V_1 = \pi \cdot 6^2 \cdot 3 = 108\pi \approx 339{,}29\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens des oberen Zylinders: \(V_2 = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 = 72\pi \approx 226{,}19\,\text{cm}^3\). 3. Gesamtvolumen: \(V_{\text{ges}} = V_1 + V_2 = 108\pi + 72\pi = 180\pi \approx 565{,}487\,\text{cm}^3\). 4. Rundung: \(565{,}5\,\text{cm}^3\).

Das Gesamtvolumen des Sockels beträgt etwa \(565{,}5\,\text{cm}^3\).

- Überlege dir zuerst, welche geometrische Form die Grundfläche des Zeltes hat. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Das Volumen eines Prismas ergibt sich aus der Grundfläche und der Ausdehnung in die Tiefe.

1. Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche berechnen: \(G = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g = \frac{1}{2} \cdot 4{,}0\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} = 5{,}0\,\text{m}^2\). 2. Volumen des Prismas als Produkt aus Grundfläche und Körperhöhe berechnen: \(V = G \cdot h_k = 5{,}0\,\text{m}^2 \cdot 6{,}0\,\text{m} = 30{,}0\,\text{m}^3\).

Das Volumen des Luftraums beträgt \(30{,}0\,\text{m}^3\).

- Wie verändert sich der Radius eines Kreises, wenn sich sein Umfang halbiert? - Wie wirkt sich diese Änderung des Radius auf die Fläche der kreisförmigen Grundfläche aus? - Wenn das Volumen eines Zylinders gleich bleiben soll, die Grundfläche aber kleiner wird – was muss dann mit der Höhe passieren?

1. Analyse des Zusammenhangs zwischen Umfang und Radius: Da \(U = 2\pi r\), bedeutet eine Halbierung des Umfangs (von 8 auf 4) eine Halbierung des Radius (\(r_B = \frac{1}{2} r_A\)). 2. Analyse der Grundfläche \(G = \pi r^2\): Wird der Radius halbiert, viertelt sich die Grundfläche (\(G_B = (\frac{1}{2})^2 \cdot G_A = \frac{1}{4} G_A\)). 3. Da das Volumen \(V = G \cdot h\) gleich bleiben soll (\(V_B = V_A\)), muss die geringere Grundfläche durch eine proportional größere Höhe ausgeglichen werden. 4. Berechnung der neuen Höhe: \(V = \frac{1}{4} G_A \cdot h_B = G_A \cdot 10 \Rightarrow h_B = 10 \cdot 4 = 40\) cm.

d) 40 cm

- Wie hängen Flächeninhalt, Höhe und Länge bei einem Rechteck zusammen? - Was sagt die Länge des Etiketts über die Dose aus? - Wie kommt man vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser?

1. Das Etikett bildet im ausgebreiteten Zustand ein Rechteck. Aus dem Flächeninhalt \(A = 180\,\text{cm}^2\) und der Höhe \(h = 6\,\text{cm}\) ergibt sich die Länge \(L\) (der Umfang \(U\)) durch \(U = A : h\): \(U = 180\,\text{cm}^2 : 6\,\text{cm} = 30\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Durchmessers \(d\) aus dem Umfang mit der Formel \(U = \pi d\): \(d = U : \pi = 30\,\text{cm} : \pi \approx 9{,}55\,\text{cm}\).

a) Der Umfang der Dose beträgt \(30\,\text{cm}\). b) Der Durchmesser der Dose beträgt ca. \(9{,}55\,\text{cm}\).

- Erinnere dich an die Volumenformel für Zylinder. Welcher Teil der Formel ändert sich wie? - Wenn sich der Durchmesser halbiert, was passiert dann mit dem Radius? - Wie wirkt sich die Änderung des Radius auf das Volumen aus, im Vergleich zur Änderung der Höhe? - Du musst die Dichte nicht unbedingt explizit ausrechnen, wenn du das Verhältnis der Volumina kennst.

1. Bestimmung der Maße: Kerze 1 hat \(r_1 = 3\,\text{cm}\), \(h_1 = 10\,\text{cm}\). Kerze 2 hat \(r_2 = 1{,}5\,\text{cm}\), \(h_2 = 20\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens von Kerze 1: \(V_1 = \pi \cdot (3\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 90\pi\,\text{cm}^3 \approx 282{,}74\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens von Kerze 2: \(V_2 = \pi \cdot (1{,}5\,\text{cm})^2 \cdot 20\,\text{cm} = \pi \cdot 2{,}25\,\text{cm}^2 \cdot 20\,\text{cm} = 45\pi\,\text{cm}^3 \approx 141{,}37\,\text{cm}^3\). 4. Vergleich der Volumina: \(V_2\) ist genau halb so groß wie \(V_1\) (\(45\pi : 90\pi = 0{,}5\)). 5. Berechnung der Masse: Da das Material identisch ist, ist die Masse proportional zum Volumen: \(m_2 = 0{,}5 \cdot 250\,\text{g} = 125\,\text{g}\).

Die zweite Kerze hat eine Masse von \(125\,\text{g}\).

- Achte darauf, alle Einheiten vor dem Rechnen anzugleichen. Denke daran, dass \(1\,\text{Liter}\) genau \(1\,\text{Kubikdezimeter}\) entspricht. - Welche Formel beschreibt das Volumen eines Zylinders? - Wenn du den Radius gefunden hast, wie kommst du dann auf den Durchmesser?

1. Umrechnung der Einheiten: \(V = 450\,\text{l} = 450\,\text{dm}^3\). Die Höhe \(h = 1{,}10\,\text{m} = 11\,\text{dm}\). 2. Anwendung der Volumenformel für Zylinder: \(V = \pi r^2h\). 3. Umstellen nach \(r^2\): \(r^2 = \frac{V}{\pi h} = \frac{450}{\pi \cdot 11} \approx 13{,}022\,\text{dm}^2\). 4. Berechnung des Radius \(r\): \(r = \sqrt{13{,}022} \approx 3{,}6086\,\text{dm}\). 5. Berechnung des Durchmessers \(d\): \(d = 2r \approx 7{,}217\,\text{dm}\). 6. Umrechnung in Zentimeter: \(d \approx 72{,}17\,\text{cm}\). Gerundet ergibt dies \(72{,}2\,\text{cm}\).

Der Innendurchmesser des Fasses beträgt ca. \(72{,}2\,\text{cm}\).

- Setze für den Radius den Ausdruck \(3r\) in die Formel ein und achte auf die Klammern beim Quadrieren. - Vergleiche das neue Volumen mit dem ursprünglichen Volumen. Um welchen Faktor ist es gewachsen? - Wie müsste sich das Volumen verändern, damit die Zuordnung proportional wäre?

1. Ausgangsformel für das Volumen: \(V(r) = \pi r^2 h\). 2. Einsetzen des verdreifachten Radius \(3r\): \(V(3r) = \pi(3r)^2 h\). 3. Vereinfachung des Terms: \(V(3r) = \pi \cdot 9r^2 \cdot h = 9 \cdot (\pi r^2 h)\). 4. Schlussfolgerung: Eine Verdreifachung des Radius führt zu einer Verneunfachung des Volumens (\(V(3r) = 9V(r)\)). 5. Begründung der Nicht-Proportionalität: Bei einer proportionalen Funktion müsste eine Verdreifachung des Radius auch zu einer exakten Verdreifachung des Volumens führen. Da dies hier nicht der Fall ist, ist die Zuordnung nicht proportional.

Das Volumen verneunfacht sich, wenn der Radius verdreifacht wird (\(V(3r) = 9V(r)\)). Da das Volumen nicht im gleichen Verhältnis wie der Radius wächst, ist die Funktion nicht proportional.

- Zerlege das Trapez gedanklich, um die Länge der schrägen Seiten (Schenkel) zu finden. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes? - Denke daran, dass beim Prisma die Mantelfläche aus allen Seitenflächen besteht.

1. Berechnung der Schenkellänge \(b\) des Trapezes: Die Differenz der parallelen Seiten wird halbiert (\(x = (14 - 8) : 2 = 3\,\text{cm}\)). Mit Pythagoras gilt \(b = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Grundfläche \(G\): \(G = \frac{14 + 8}{2} \cdot 4 = 11 \cdot 4 = 44\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Umfangs der Grundfläche \(u\): \(u = 14 + 8 + 5 + 5 = 32\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = u \cdot 20 = 32 \cdot 20 = 640\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O\): \(O = 2 \cdot 44 + 640 = 88 + 640 = 728\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt beträgt \(728\,\text{cm}^2\).

- Wie berechnet man das Volumen und die Oberfläche eines Quaders? - Was bedeutet „Materialverbrauch“ im geometrischen Sinne für einen Körper? - Vergleiche die Ergebnisse aus Aufgabenteil b.

1. Volumenprüfung: \(V_A = 10^3 = 1000\,\text{cm}^3\); \(V_B = 25 \cdot 8 \cdot 5 = 1000\,\text{cm}^3\). Beide Volumina entsprechen dem geforderten Volumen. 2. Oberflächeninhalt Design A (Würfel): \(O_A = 6a^2 = 6 \cdot 10^2 = 600\,\text{cm}^2\). 3. Oberflächeninhalt Design B (Quader): \(O_B = 2 \cdot (25 \cdot 8 + 25 \cdot 5 + 8 \cdot 5) = 2 \cdot (200 + 125 + 40) = 2 \cdot 365 = 730\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich: \(O_A < O_B\). Da Design A bei gleichem Volumen eine geringere Oberfläche hat, wird weniger Material für die Herstellung benötigt.

a) \(V_A = 1000\,\text{cm}^3\), \(V_B = 1000\,\text{cm}^3\). b) \(O_A = 600\,\text{cm}^2\), \(O_B = 730\,\text{cm}^2\). c) Design A ist sinnvoller, da es bei gleichem Volumen \(130\,\text{cm}^2\) weniger Material benötigt.

- Welche Formeln kennst du für den Flächeninhalt eines Quadrats und eines Kreises? - Wie hängen Grundfläche, Höhe und Volumen bei Prismen und Zylindern zusammen? - Was passiert mathematisch in einer Multiplikation, wenn ein Faktor gleich bleibt und der andere vergrößert wird?

1. Berechnung der Grundfläche des Prismas: \(G_{\text{Prisma}} = a^2 = (5\,\text{cm})^2 = 25\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Grundfläche des Zylinders: \(G_{\text{Zylinder}} = \pi r^2 = \pi \cdot (3\,\text{cm})^2 \approx 28{,}27\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Volumens des Prismas: \(V_{\text{Prisma}} = G_{\text{Prisma}}h = 25\,\text{cm}^2 \cdot 10\,\text{cm} = 250\,\text{cm}^3\). 4. Berechnung des Volumens des Zylinders: \(V_{\text{Zylinder}} = G_{\text{Zylinder}}h \approx 28{,}27\,\text{cm}^2 \cdot 10\,\text{cm} = 282{,}7\,\text{cm}^3\). 5. Begründung der Aussage: Da das Volumen \(V\) das Produkt aus Grundfläche \(G\) und der konstanten Höhe \(h\) ist, ist \(V\) direkt proportional zu \(G\). Wenn \(h\) für beide Körper identisch ist, führt ein größerer Wert für \(G\) zwangsläufig zu einem größeren Produkt \(Gh\). Die Aussage ist also korrekt.

a) \(G_{\text{Prisma}} = 25\,\text{cm}^2\); \(G_{\text{Zylinder}} \approx 28{,}27\,\text{cm}^2\). b) \(V_{\text{Prisma}} = 250\,\text{cm}^3\); \(V_{\text{Zylinder}} \approx 282{,}7\,\text{cm}^3\). c) Die Aussage ist wahr, da bei konstanter Höhe \(h\) das Volumen \(V\) proportional zur Grundfläche \(G\) ist (\(V = Gh\)). Ein größeres \(G\) ergibt bei gleichem \(h\) stets ein größeres \(V\).

- Wie kannst du die Grundfläche berechnen, wenn du das Volumen und die Höhe kennst? - Wenn eine Fläche aus drei gleichen Teilen besteht, wie findest du die Größe eines Teils? - Wie berechnet man die fehlende Seite eines Rechtecks, wenn der Flächeninhalt und eine Seite bekannt sind?

1. Berechnung der gesamten Grundfläche: Aus \(V = G \cdot h\) folgt \(G = \frac{V}{h}\). Also \(G = \frac{720\,\text{cm}^3}{15\,\text{cm}} = 48\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Teilfläche: Da die Grundfläche aus drei deckungsgleichen Rechtecken besteht, gilt für ein Rechteck \(A_{\text{R}} = \frac{G}{3} = \frac{48\,\text{cm}^2}{3} = 16\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Länge: Da \(A_{\text{R}} = \text{Länge} \cdot \text{Breite}\), berechnet man die Länge durch \(\text{Länge} = \frac{16\,\text{cm}^2}{4\,\text{cm}} = 4\,\text{cm}\).

a) \(G = 48\,\text{cm}^2\). b) \(A_{\text{R}} = 16\,\text{cm}^2\). c) Die Länge beträgt \(4\,\text{cm}\).

- Achte darauf, alle Einheiten vor dem Rechnen in ein einheitliches System (z. B. cm und g) umzuwandeln. - Wie hängen Masse, Volumen und Dichte zusammen? - Welche geometrische Form hat ein langer, dünner Draht? - Wie berechnet man das Volumen eines Zylinders, wenn der Querschnitt und die Länge bekannt sind?

1. Umrechnung der Masse in Gramm: \(m = 5{,}2\,\text{kg} = 5200\,\text{g}\). 2. Berechnung des Volumens über die Dichte: \(V = \frac{m}{\rho} = \frac{5200\,\text{g}}{8{,}9\,\text{g/cm}^3} \approx 584{,}27\,\text{cm}^3\). 3. Bestimmung des Radius in Zentimetern: \(r = \frac{d}{2} = \frac{0{,}8\,\text{mm}}{2} = 0{,}4\,\text{mm} = 0{,}04\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Querschnittsfläche des Drahtes: \(A = \pi r^2 = \pi \cdot (0{,}04\,\text{cm})^2 \approx 0{,}0050265\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung der Länge: \(l = \frac{V}{A} \approx \frac{584{,}27\,\text{cm}^3}{0{,}0050265\,\text{cm}^2} \approx 116\,237\,\text{cm}\). 6. Umrechnung in Meter: \(l \approx 1162{,}4\,\text{m}\).

Die Länge des Kupferdrahtes beträgt ungefähr \(1162{,}4\,\text{m}\).

- Überlege zuerst, welches Volumen der Bolzen aufgrund seiner Masse und seines Materials einnehmen muss. - Wenn du das Volumen und die Länge eines Zylinders kennst, wie kannst du dann die Fläche der kreisförmigen Oberseite bestimmen? - Wie kommst du von der Fläche eines Kreises zu seinem Durchmesser?

1. Berechnung des Volumens aus Masse und Dichte: \(V = \frac{m}{\rho} = \frac{850\,\text{g}}{7{,}85\,\text{g/cm}^3} \approx 108{,}28\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Grundfläche des Zylinders: \(G = \frac{V}{h} = \frac{108{,}28\,\text{cm}^3}{12\,\text{cm}} \approx 9{,}023\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Radius aus der Grundfläche: \(r = \sqrt{\frac{G}{\pi}} = \sqrt{\frac{9{,}023\,\text{cm}^2}{\pi}} \approx 1{,}695\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Durchmessers: \(d = 2r \approx 3{,}39\,\text{cm}\). 5. Umrechnung in Millimeter: \(d \approx 33{,}9\,\text{mm}\).

Der Durchmesser des Bolzens beträgt ca. \(33{,}9\,\text{mm}\).

- Überlege zuerst, wie die Formel für das Volumen eines Zylinders nach der Höhe umgestellt werden kann. - Wie setzt sich die Oberfläche eines Zylinders zusammen? Denke an die Grundfläche, die Deckfläche und den Mantel. - Was fällt dir an den Ergebnissen auf, wenn der Radius verdoppelt wird, das Volumen aber gleich bleibt?

1. Berechnung der Höhe für Kerze A: \(h_A = \frac{V}{\pi r_A^2} = \frac{500}{\pi \cdot 25} \approx 6{,}37\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhe für Kerze B: \(h_B = \frac{V}{\pi r_B^2} = \frac{500}{\pi \cdot 100} \approx 1{,}59\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Oberfläche für Kerze A: \(O_A = 2\pi r_A^2 + 2\pi r_Ah_A = 2 \cdot \pi \cdot 25 + 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 6{,}366 \approx 157{,}08 + 200 = 357{,}08\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Oberfläche für Kerze B: \(O_B = 2\pi r_B^2 + 2\pi r_Bh_B = 2 \cdot \pi \cdot 100 + 2 \cdot \pi \cdot 10 \cdot 1{,}592 \approx 628{,}32 + 100 = 728{,}32\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: Kerze B hat einen deutlich größeren Oberflächeninhalt und benötigt daher mehr Farbe.

a) Die Höhe von Kerze A beträgt ca. \(6{,}37\,\text{cm}\), die von Kerze B ca. \(1{,}59\,\text{cm}\). b) Der Oberflächeninhalt von Kerze A beträgt ca. \(357{,}08\,\text{cm}^2\), der von Kerze B ca. \(728{,}32\,\text{cm}^2\). Kerze B benötigt somit mehr Farbe.

- Aus wie vielen verschiedenen Teilflächen besteht dieser Körper? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rings? - Stelle dir das Rohr als einen großen Zylinder vor, aus dem ein kleinerer Zylinder herausgeschnitten wurde. Welche neuen Flächen entstehen dadurch?

1. Radien bestimmen: \(r_a = 10\,\text{cm}\), \(r_i = 8\,\text{cm}\). 2. Äußere Mantelfläche: \(M_a = 2 \cdot \pi \cdot 10 \cdot 50 = 1000\pi \approx 3141{,}59\,\text{cm}^2\). 3. Innere Mantelfläche: \(M_i = 2 \cdot \pi \cdot 8 \cdot 50 = 800\pi \approx 2513{,}27\,\text{cm}^2\). 4. Fläche einer Stirnseite (Kreisring): \(A_{\text{Ring}} = \pi r_a^2 - \pi r_i^2 = \pi(100 - 64) = 36\pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^2\). 5. Gesamtoberfläche: \(O = M_a + M_i + 2A_{\text{Ring}} = 1000\pi + 800\pi + 72\pi = 1872\pi \approx 5881{,}06\,\text{cm}^2\).

Der gesamte Oberflächeninhalt des Rohres beträgt ca. \(5881{,}06\,\text{cm}^2\).

- Schreibe zuerst die allgemeine Formel für das Volumen eines Zylinders auf. - Was passiert in der Formel, wenn du nur einen der Werte (entweder \(r\) oder \(h\)) veränderst? - Achte besonders darauf, welche Variable in der Formel quadriert wird. - Vergleiche das Ergebnis der beiden Varianten mit dem ursprünglichen Volumen \(V\).

1. Das Volumen eines Zylinders ist \(V = \pi r^2h\). 2. Analyse Variante A: Die neue Höhe ist \(h_A = 2h\). Das neue Volumen ist \(V_A = \pi r^2(2h) = 2(\pi r^2h) = 2V\). Das Volumen verdoppelt sich. 3. Analyse Variante B: Der neue Radius ist \(r_B = 2r\). Das neue Volumen ist \(V_B = \pi (2r)^2h = \pi \cdot 4 \cdot r^2 \cdot h = 4(\pi r^2h) = 4V\). Das Volumen vervierfacht sich. 4. Ergebnis: Nur Variante A erreicht das Ziel einer exakten Verdopplung des Volumens.

Variante A führt zu einer Verdopplung des Volumens (\(V_A = 2V\)), da die Höhe linear in die Formel eingeht. Variante B führt zu einer Vervierfachung des Volumens (\(V_B = 4V\)), da der Radius quadriert wird. Somit ist nur Vorschlag A korrekt, um das Volumen zu verdoppeln.

- Denk daran, alle Maße in dieselbe Einheit umzurechnen, bevor du rechnest. - Welche Einheit eignet sich am besten, wenn das Ergebnis in Litern gefragt ist? - Überlege, wie viele Minuten eine Stunde hat, um das Endergebnis umzurechnen.

1. Berechnung des Radius in Dezimetern: \(r = \frac{d}{2} = \frac{2{,}40\,\text{m}}{2} = 1{,}20\,\text{m} = 12\,\text{dm}\). 2. Angabe der Höhe in Dezimetern: \(h = 50\,\text{cm} = 5\,\text{dm}\). 3. Berechnung des Volumens: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (12\,\text{dm})^2 \cdot 5\,\text{dm} = 720\pi\,\text{dm}^3 \approx 2261{,}95\,\text{dm}^3\). 4. Umrechnung in Liter (\(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\)): Es befinden sich ca. \(2262\,\text{Liter}\) im Becken. 5. Berechnung der Zeit in Minuten: \(t = \frac{2261{,}95\,\text{l}}{15\,\text{l/min}} \approx 150{,}80\,\text{min}\). 6. Umrechnung in Stunden: \(150{,}80\,\text{min} : 60 \approx 2{,}51\,\text{h}\). Das Füllen dauert etwa \(2{,}5\,\text{Stunden}\).

a) Es befinden sich ca. \(2262\,\text{Liter}\) Wasser im Becken. b) Die Füllung dauert etwa \(2{,}5\,\text{Stunden}\).

- Wie hängen Milliliter und Kubikzentimeter zusammen? - Du kennst das Volumen und die Höhe – welche Größe in der Formel fehlt dir noch? - Kannst du die Volumenformel so umstellen, dass du den Radius isolierst? - Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks, das genau um einen Zylinder passt?

1. Zusammenhang zwischen Milliliter und Kubikzentimeter nutzen: \(425\,\text{ml} = 425\,\text{cm}^3\). 2. Formel für das Volumen nach \(r^2\) umstellen: \(V = \pi r^2h \Rightarrow r^2 = \frac{V}{\pi h}\). 3. Werte einsetzen: \(r^2 = \frac{425\,\text{cm}^3}{\pi \cdot 10\,\text{cm}} = \frac{42{,}5}{\pi} \approx 13{,}528\dots\,\text{cm}^2\). 4. Radius und Durchmesser berechnen: \(r = \sqrt{13{,}528\dots} \approx 3{,}678\,\text{cm} \Rightarrow d \approx 7{,}356\,\text{cm}\). Der Durchmesser beträgt ca. \(7{,}4\,\text{cm}\). 5. Berechnung der Mantelfläche (Etikett): \(M = \pi dh = \pi \cdot 7{,}356\dots \cdot 10 \approx 231{,}10\,\text{cm}^2\).

a) Der Durchmesser der Dose beträgt ca. \(7{,}4\,\text{cm}\). b) Das Etikett hat eine Fläche von ca. \(231{,}1\,\text{cm}^2\).

- Welche Teilflächen des Zylinders müssen hier berücksichtigt werden? - Achte darauf, den Durchmesser zuerst in den Radius umzuwandeln. - Wie berechnet man die Fläche eines Kreises und die Fläche des Mantels? - Überlege am Ende, wie viel Fläche ein einziger Liter abdeckt, um die Gesamtmenge zu finden.

1. Bestimmung des Radius: \(r = \frac{d}{2} = \frac{2{,}40\,\text{m}}{2} = 1{,}20\,\text{m}\). 2. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot 1{,}20\,\text{m} \cdot 3{,}50\,\text{m} \approx 26{,}389\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Grundfläche (Deckel) \(G\): \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (1{,}20\,\text{m})^2 \approx 4{,}524\,\text{m}^2\). 4. Gesamte zu streichende Fläche \(A\): \(A = M + G \approx 26{,}389\,\text{m}^2 + 4{,}524\,\text{m}^2 = 30{,}913\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der Farbmenge: \(V_{\text{Farbe}} = \frac{30{,}913\,\text{m}^2}{8{,}5\,\text{m}^2/\text{l}} \approx 3{,}637\,\text{l}\). 6. Ergebnis auf eine Dezimalstelle gerundet: \(3{,}6\,\text{Liter}\).

Für den Anstrich werden rechnerisch etwa \(3{,}6\,\text{Liter}\) Farbe benötigt.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Kubikmetern, Kubikdezimetern und Litern. - Bleibt die Grundfläche beim Umfüllen in das zweite Gefäß gleich? - Wie verändert sich die Höhe, wenn das Gefäß schmaler wird, aber die Wassermenge gleich bleibt?

1. Radius des Fasses: \(r_1 = 40\,\text{cm} = 0{,}4\,\text{m}\). 2. Maximales Volumen: \(V_{\text{max}} = \pi \cdot r_1^2 \cdot h = \pi \cdot (0{,}4\,\text{m})^2 \cdot 1{,}20\,\text{m} \approx 0{,}60318\,\text{m}^3\). Da \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\), ergibt sich \(V_{\text{max}} \approx 603{,}2\,\text{l}\). 3. Wassermenge bei \(45\,\text{cm} = 0{,}45\,\text{m}\) Höhe: \(V_{\text{Wasser}} = \pi \cdot (0{,}4\,\text{m})^2 \cdot 0{,}45\,\text{m} \approx 0{,}22619\,\text{m}^3 \approx 226{,}2\,\text{l}\). 4. Umfüllen in Gefäß mit \(r_2 = 0{,}3\,\text{m}\): Die Wassermenge bleibt gleich (\(V \approx 0{,}22619\,\text{m}^3\)). 5. Neue Höhe berechnen: \(h_2 = \frac{V_{\text{Wasser}}}{\pi \cdot r_2^2} = \frac{0{,}22619\,\text{m}^3}{\pi \cdot (0{,}3\,\text{m})^2} = \frac{0{,}22619}{0{,}09 \cdot \pi} = 0{,}8\,\text{m}\).

a) Das Fass fasst maximal etwa \(603{,}2\,\text{Liter}\). b) Es befinden sich etwa \(226{,}2\,\text{Liter}\) im Fass. c) Das Wasser steht im schmaleren Gefäß \(80\,\text{cm}\) hoch.

- Wie hängen Volumen, Grundfläche und Höhe bei einem Prisma oder Zylinder zusammen? - Welche geometrische Form hat die Grundfläche eines Zylinders und wie berechnet man deren Inhalt? - Schau dir die Volumenformel genau an: Was passiert mit dem Quadrat einer Zahl, wenn man die Zahl selbst halbiert?

1. Umrechnung des Volumens: \(1{,}5\,\text{l} = 1500\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Höhe: \(V = G \cdot h \implies h = \frac{V}{G} = \frac{1500\,\text{cm}^3}{120\,\text{cm}^2} = 12{,}5\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Radius: \(G = \pi r^2 \implies r = \sqrt{\frac{G}{\pi}} = \sqrt{\frac{120\,\text{cm}^2}{\pi}} \approx 6{,}18\,\text{cm}\). 4. Analyse der Volumenänderung: Die Formel lautet \(V = \pi r^2h\). Wird der Radius halbiert, verviertelt sich der Faktor \(r^2\) (wegen \((\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)). Wird die Höhe verdoppelt, verdoppelt sich das Volumen. Insgesamt ergibt sich eine Änderung um den Faktor \(\frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}\). Das Volumen halbiert sich also.

a) Die Höhe beträgt \(12{,}5\,\text{cm}\). b) Der Radius beträgt ca. \(6{,}18\,\text{cm}\). c) Das Volumen halbiert sich, da die Halbierung des Radius zu einer Viertelung des Volumens führt, während die Verdopplung der Höhe das Volumen verdoppelt (\(\frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}\)).

- Stelle sicher, dass alle Maßeinheiten (Liter, Meter, Millimeter) zueinander passen, bevor du rechnest. - Überlege dir, wie das Volumen eines Körpers mit seiner Grundfläche und seiner Höhe (oder Dicke) zusammenhängt. - Was passiert mit dem benötigten Volumen, wenn man bei gleicher Fläche die Dicke der Schicht verändert?

1. Umrechnung der Einheiten für Teil a: \(1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3 = 1\,000\,\text{cm}^3\) und \(10\,\text{m}^2 = 100\,000\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Schichtdicke \(d\): \(d = \frac{V}{A} = \frac{1\,000\,\text{cm}^3}{100\,000\,\text{cm}^2} = 0{,}01\,\text{cm}\). 3. Umrechnung in Millimeter: \(0{,}01\,\text{cm} = 0{,}1\,\text{mm}\). 4. Berechnung der Wandfläche für Teil b: \(A_{\text{Wand}} = 4\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} = 10\,\text{m}^2\). 5. Da die Fläche genau der Herstellerangabe entspricht, würde für eine normale Schicht \(1\,\text{Liter}\) benötigt. 6. Bei doppelter Schichtdicke verdoppelt sich das benötigte Volumen: \(V_{\text{neu}} = 1\,\text{l} \cdot 2 = 2\,\text{Liter}\).

a) Die theoretische Dicke der Farbschicht beträgt \(0{,}1\,\text{mm}\). b) Der Maler benötigt \(2\,\text{Liter}\) Farbe.

- Das Volumen des Metalls ändert sich beim Ziehen des Drahtes nicht. - Ein Draht kann mathematisch als ein sehr langer, dünner Zylinder betrachtet werden. - Achte besonders auf die Umrechnung von Quadratmillimetern in Quadratzentimeter. - Wie viele Zentimeter ergeben einen Kilometer?

1. Bestimmung des Radius des Kupferstabs: \(r = 1\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens \(V\) des Zylinders: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (1\,\text{cm})^2 \cdot 20\,\text{cm} = 20\pi\,\text{cm}^3 \approx 62{,}83\,\text{cm}^3\). 3. Umrechnung der Querschnittsfläche \(A\) des Drahtes in \(\text{cm}^2\): \(0{,}1\,\text{mm}^2 = 0{,}001\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Drahtlänge \(L\) durch Division des Volumens durch die Querschnittsfläche: \(L = \frac{20\pi\,\text{cm}^3}{0{,}001\,\text{cm}^2} = 20\,000\pi\,\text{cm} \approx 62\,831{,}85\,\text{cm}\). 5. Umrechnung der Länge in Kilometer: \(62\,831{,}85\,\text{cm} = 628{,}3185\,\text{m} \approx 0{,}628\,\text{km}\).

Der Draht hat eine Länge von ca. \(0{,}628\,\text{km}\) (bzw. \(200\pi\,\text{m}\)).

- Vergleiche die Flächeninhalte erst, wenn du sie in derselben Einheit berechnet hast. - Wie berechnet man die Mantelfläche eines Zylinders? - Ein Verhältnis gibt an, wie oft eine Größe in einer anderen enthalten ist. - Musst du \(\pi\) unbedingt als Dezimalzahl einsetzen, um die Flächen zu vergleichen?

1. Umrechnung aller Maße in Zentimeter: \(r_1 = 4\,\text{cm}\), \(h_1 = 10\,\text{cm}\); \(r_2 = 8\,\text{cm}\), \(h_2 = 2{,}5\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Mantelfläche \(M_1 = 2\pi r_1h_1 = 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 10 = 80\pi\,\text{cm}^2 \approx 251{,}33\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Mantelfläche \(M_2 = 2\pi r_2h_2 = 2 \cdot \pi \cdot 8 \cdot 2{,}5 = 40\pi\,\text{cm}^2 \approx 125{,}66\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(M_1 = 80\pi\) ist größer als \(M_2 = 40\pi\). 5. Bestimmung des Verhältnisses: \(M_1 : M_2 = 80\pi : 40\pi = 2 : 1\).

Zylinder \(C_1\) hat die größere Mantelfläche. Das Verhältnis der Mantelflächen \(M_1 : M_2\) beträgt \(2 : 1\).

- Achte darauf, alle Maße vor dem Rechnen in dieselbe Einheit umzuwandeln. - Wie hängen Kubikdezimeter und Liter zusammen? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die Oberfläche zusammen, wenn der Deckel fehlt? - Überlege, welche Formeln für Grundfläche und Mantelfläche eines Zylinders gelten.

1. Umrechnung der Einheiten: \(r = 4\,\text{dm}\), \(h = 10\,\text{dm}\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (4\,\text{dm})^2 \cdot 10\,\text{dm} \approx 502{,}65\,\text{dm}^3\). Da \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\), fasst das Fass ca. \(502{,}7\,\text{l}\). 3. Berechnung der Mantelfläche: \(M = 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot 40\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} \approx 25\,132{,}74\,\text{cm}^2 \approx 2{,}51\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der zu streichenden Fläche (Boden + Mantel): \(A = G + M = \pi r^2 + M = \pi \cdot (0{,}4\,\text{m})^2 + 2{,}513\,\text{m}^2 \approx 0{,}503\,\text{m}^2 + 2{,}513\,\text{m}^2 \approx 3{,}02\,\text{m}^2\).

a) Das Fassungsvermögen beträgt ca. \(502{,}7\,\text{l}\). b) Die Mantelfläche beträgt ca. \(2{,}51\,\text{m}^2\). c) Es müssen ca. \(3{,}02\,\text{m}^2\) gestrichen werden.

- Wie berechnet man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks? - Welchen Satz kannst du nutzen, um die fehlende Seite im Dreieck zu finden? - Die Mantelfläche eines Prismas lässt sich als ein großes Rechteck vorstellen. Wie lang und wie breit ist dieses? - Aus wie vielen Flächen besteht die gesamte Oberfläche dieses Prismas?

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) (rechtwinkliges Dreieck): \(G = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = Gh = 24\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 360\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Hypotenuse \(c\) mit dem Satz des Pythagoras: \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Umfangs der Grundfläche: \(u = 6\,\text{cm} + 8\,\text{cm} + 10\,\text{cm} = 24\,\text{cm}\). 5. Berechnung der Mantelfläche: \(M = uh = 24\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 360\,\text{cm}^2\). 6. Berechnung der Oberfläche: \(O = 2G + M = 2 \cdot 24\,\text{cm}^2 + 360\,\text{cm}^2 = 408\,\text{cm}^2\).

a) Das Volumen beträgt \(360\,\text{cm}^3\). b) Die Hypotenuse ist \(10\,\text{cm}\) lang. Die Oberfläche beträgt \(408\,\text{cm}^2\).

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit (z. B. Meter) vorliegen. - Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? - Überlege dir, wie man die Fläche eines Rings aus dem äußeren und dem inneren Kreis berechnet. - Was genau gibt die Wandstärke für den inneren Radius an?

1. Bestimmung der Radien in der Einheit Meter: Der Außenradius beträgt \(r_a = 10{,}8\,\text{m} : 2 = 5{,}4\,\text{m}\). Die Wandstärke ist \(s = 0{,}45\,\text{m}\). Der Innenradius berechnet sich zu \(r_i = r_a - s = 5{,}4\,\text{m} - 0{,}45\,\text{m} = 4{,}95\,\text{m}\). 2. Berechnung der Grundfläche des Hohlzylinders (Ringfläche): \(G = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2) = \pi \cdot (5{,}4^2 - 4{,}95^2) \approx 14{,}631\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot h = 14{,}631\,\text{m}^2 \cdot 165\,\text{m} \approx 2\,414{,}1\,\text{m}^3\). 4. Endergebnis: Das Betonvolumen beträgt etwa \(2\,414\,\text{m}^3\).

Das Volumen des verwendeten Betons beträgt etwa \(2\,414\,\text{m}^3\).

- Berechne zuerst die Volumina mit der bekannten Formel für Hohlzylinder. - Nutze für Teil b) \(r_a^2 - r_i^2 = (r_a - r_i) \cdot (r_a + r_i)\). Welcher Faktor ist bei beiden Rohren gleich, und welcher ist bei Rohr B größer?

1. Berechnung für Rohr A: \(r_a = 5\,\text{cm}\), \(r_i = 4\,\text{cm}\), \(h = 200\,\text{cm}\). \(V_A = \pi \cdot (5^2 - 4^2) \cdot 200 = \pi \cdot 9 \cdot 200 \approx 5\,654{,}9\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung für Rohr B: \(r_a = 10\,\text{cm}\), \(r_i = 9\,\text{cm}\), \(h = 200\,\text{cm}\). \(V_B = \pi \cdot (10^2 - 9^2) \cdot 200 = \pi \cdot 19 \cdot 200 \approx 11\,938{,}1\,\text{cm}^3\). 3. Begründung zu b): Es gilt \(r_a^2 - r_i^2 = (r_a - r_i) \cdot (r_a + r_i)\). Der erste Faktor ist bei beiden Rohren wegen der gleichen Wandstärke \(1\,\text{cm}\). Bei Rohr B ist jedoch \(r_a + r_i\) größer. Deshalb sind die Kreisringfläche und damit das Materialvolumen von Rohr B größer.

a) Das Volumen von Rohr A beträgt ca. \(5\,655\,\text{cm}^3\), das von Rohr B ca. \(11\,938\,\text{cm}^3\). b) Obwohl die Wandstärke gleich ist, ist die Summe aus Außen- und Innenradius bei Rohr B größer. Daher sind die Kreisringfläche und das Kunststoffvolumen größer.

- Welche physikalische Größe verbindet Masse und Volumen? - Wie lautet die Formel für das Volumen eines Zylinders? - Nach welcher Größe musst du die Formel im zweiten Teil umstellen? - Achte darauf, alle Einheiten vor dem Rechnen anzugleichen.

1. Berechnung des Volumens über die Dichteformel: \(V = \frac{m}{\rho} = \frac{1\,215\,\text{g}}{2{,}7\,\text{g/cm}^3} = 450\,\text{cm}^3\). 2. Verwendung der Volumenformel für Zylinder \(V = \pi r^2h\), um die Höhe zu isolieren: \(h = \frac{V}{\pi r^2}\). 3. Einsetzen der Werte: \(h = \frac{450\,\text{cm}^3}{\pi \cdot (3\,\text{cm})^2} = \frac{450}{9\pi}\,\text{cm} = \frac{50}{\pi}\,\text{cm} \approx 15{,}92\,\text{cm}\).

a) Das Volumen des Werkstücks beträgt \(450\,\text{cm}^3\). b) Die Höhe des Zylinders beträgt etwa \(15{,}92\,\text{cm}\).

- Bleibt das Volumen der Flüssigkeit beim Umgießen gleich? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks? - Welche Formel nutzt man allgemein für das Volumen eines Prismas, egal welche Grundfläche es hat? - Überlege, welche Werte du aus dem ersten Teil für den zweiten Teil übernehmen kannst.

1. Volumen des Zylinders berechnen: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 160\pi\,\text{cm}^3 \approx 502{,}65\,\text{cm}^3\). 2. Masse des Öls berechnen: \(m = V \cdot \rho \approx 502{,}65\,\text{cm}^3 \cdot 0{,}92\,\text{g/cm}^3 \approx 462{,}4\,\text{g}\). 3. Grundfläche des Prismas (Dreieck) berechnen: \(G = \frac{1}{2}g h_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\). 4. Neue Füllhöhe berechnen: \(h_{\text{Prisma}} = \frac{V}{G} = \frac{160\pi\,\text{cm}^3}{40\,\text{cm}^2} = 4\pi\,\text{cm} \approx 12{,}57\,\text{cm}\).

a) Die Masse des Öls beträgt etwa \(462{,}4\,\text{g}\). b) Das Öl steht im neuen Gefäß etwa \(12{,}57\,\text{cm}\) hoch.

- Was ist der Unterschied zwischen Radius und Durchmesser? - Wie hängen Innenradius, Außenradius und Wandstärke zusammen? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche eines Hohlzylinders zusammen? - Achte darauf, alle Maße vor dem Rechnen in dieselbe Einheit umzuwandeln.

1. Umrechnung der Maße in Zentimeter: \(d_i = 4\,\text{cm} \Rightarrow r_i = 2\,\text{cm}\); Wandstärke \(s = 1\,\text{cm} \Rightarrow r_a = 2\,\text{cm} + 1\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\); Höhe \(h = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = \pi(r_a^2 - r_i^2)h = \pi \cdot (3^2 - 2^2) \cdot 8 = 40\pi \approx 125{,}66\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Oberfläche: \(O = 2\pi(r_a^2 - r_i^2) + 2\pi r_ah + 2\pi r_ih = 2\pi \cdot 5 + 48\pi + 32\pi = 90\pi \approx 282{,}74\,\text{cm}^2\).

Das Volumen beträgt ca. \(125{,}66\,\text{cm}^3\) und der Oberflächeninhalt ca. \(282{,}74\,\text{cm}^2\).

- Wie hängen Volumen, Grundfläche und Höhe bei diesem Körper zusammen? - Kannst du zuerst den Flächeninhalt des kreisringförmigen Querschnitts bestimmen? - Wenn du den Außenradius kennst, wie findest du dann die Wandstärke?

1. Aufstellen der Volumenformel für den Hohlzylinder: \(V = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2) \cdot h\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte (\(600 = \pi \cdot (r_a^2 - 3^2) \cdot 15\)) und Umstellen nach \(r_a^2\): \(r_a^2 = \frac{600}{15\pi} + 9 \approx 12{,}732 + 9 = 21{,}732\). 3. Berechnung des Außenradius: \(r_a = \sqrt{21{,}732} \approx 4{,}66\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Wandstärke: \(s = r_a - r_i = 4{,}66\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 1{,}66\,\text{cm}\).

Die Wandstärke des Werkstücks beträgt ca. \(1{,}66\,\text{cm}\).

- Achte darauf, alle Einheiten vor dem Rechnen anzugleichen. Wie viele Kubikzentimeter sind ein Liter? - Stell dir das Wasser im Aquarium selbst als einen Körper vor. Welche Form hat dieser Körper? - Wenn das Becken zur Hälfte voll ist, in welchem Verhältnis stehen dann Wasserhöhe und Gesamthöhe?

1. Umrechnung des Wasservolumens in \(\text{cm}^3\): \(48\,\text{l} = 48\,\text{dm}^3 = 48\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Grundfläche \(G\): \(G = 80\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 3\,200\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Wasserhöhe \(h_w\): \(h_w = \frac{V}{G} = \frac{48\,000\,\text{cm}^3}{3\,200\,\text{cm}^2} = 15\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Gesamthöhe des Aquariums \(H\): Da das Becken zur Hälfte gefüllt ist, gilt \(H = 2h_w = 2 \cdot 15\,\text{cm} = 30\,\text{cm}\).

1. Das Wasser steht \(15\,\text{cm}\) hoch. 2. Das Aquarium ist insgesamt \(30\,\text{cm}\) hoch.

- Welche Grundform hat die Grundfläche eines Zylinders? - Wie setzt sich die Oberfläche eines Zylinders zusammen? Denke an Deckel, Boden und Mantel. - Überlege dir für den Vergleich, wie sich die Formel verhält, wenn du Faktoren für die Variablen einsetzt. - Was passiert mit dem Quadrat in der Volumenformel, wenn der Radius halbiert wird?

1. Berechnung des Volumens: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (5\,\text{cm})^2 \cdot 12\,\text{cm} = 300\pi\,\text{cm}^3 \approx 942{,}48\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts: \(O = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot (5\,\text{cm})^2 + 2 \cdot \pi \cdot 5\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 50\pi + 120\pi = 170\pi\,\text{cm}^2 \approx 534{,}07\,\text{cm}^2\). 3. Untersuchung der Änderungen: Neuer Radius \(r_n = 2{,}5\,\text{cm}\), neue Höhe \(h_n = 24\,\text{cm}\). Neues Volumen: \(V_n = \pi \cdot (2{,}5\,\text{cm})^2 \cdot 24\,\text{cm} = 150\pi\,\text{cm}^3 \approx 471{,}24\,\text{cm}^3\). Das Volumen halbiert sich. Neuer Oberflächeninhalt: \(O_n = 2 \cdot \pi \cdot (2{,}5\,\text{cm})^2 + 2 \cdot \pi \cdot 2{,}5\,\text{cm} \cdot 24\,\text{cm} = 12{,}5\pi + 120\pi = 132{,}5\pi\,\text{cm}^2 \approx 416{,}26\,\text{cm}^2\). Der Oberflächeninhalt verringert sich.

a) \(V \approx 942{,}48\,\text{cm}^3\) b) \(O \approx 534{,}07\,\text{cm}^2\) c) Das Volumen halbiert sich (\(150\pi \approx 471{,}24\,\text{cm}^3\)), da der Radius quadratisch eingeht. Der Oberflächeninhalt sinkt auf \(132{,}5\pi \approx 416{,}26\,\text{cm}^2\).

- Erinnere dich an die allgemeine Formel für das Volumen eines Zylinders. - Ersetze den Radius in der Formel durch den gegebenen Ausdruck für die Höhe. - Überlege dir, wie sich eine Änderung einer Basisgröße auf das Gesamtergebnis auswirkt, wenn diese Größe in der Formel quadriert wird.

1. Einsetzen von \(r = \frac{1}{4}h\) in die allgemeine Volumenformel \(V = \pi r^2h\): \(V = \pi \cdot \left(\frac{1}{4}h\right)^2 \cdot h = \pi \cdot \frac{h^2}{16} \cdot h = \frac{\pi h^3}{16}\). 2. Analyse der Auswirkung einer Radiusverdopplung (\(r_{\text{neu}} = 2r\)): Da der Radius in der Formel quadratisch eingeht (\(r^2\)), führt eine Verdopplung des Radius zu einem Faktor \(2^2 = 4\). 3. Das Volumen vervierfacht sich somit bei gleichbleibender Höhe.

a) \(V = \frac{\pi h^3}{16}\) b) Das Volumen vervierfacht sich, weil bei konstanter Höhe \(V\) proportional zu \(r^2\) ist.

- Berechne zuerst das Volumen des ersten Zylinders. - Nutze das bekannte Volumen und die neue Höhe, um den fehlenden Radius zu bestimmen. - Was ist die Formel für die Mantelfläche eines Zylinders? Welche Größen benötigst du dafür?

1. Berechnung des Volumens von \(Z_1\): \(V_1 = \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 \cdot 9\,\text{cm} = 144\pi\,\text{cm}^3 \approx 452{,}39\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung von \(r_2\) über \(V_2 = V_1\): \(144\pi = \pi \cdot r_2^2 \cdot 4\). Durch Teilen durch \(4\pi\) folgt \(r_2^2 = 36\), also \(r_2 = 6\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Mantelfläche \(M = 2\pi rh\). 4. Für \(Z_1\): \(M_1 = 2 \cdot \pi \cdot 4\,\text{cm} \cdot 9\,\text{cm} = 72\pi\,\text{cm}^2 \approx 226{,}19\,\text{cm}^2\). 5. Für \(Z_2\): \(M_2 = 2 \cdot \pi \cdot 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 48\pi\,\text{cm}^2 \approx 150{,}80\,\text{cm}^2\). 6. Vergleich: \(M_1 > M_2\). Zylinder \(Z_1\) hat die größere Mantelfläche.

a) Der Radius \(r_2\) beträgt \(6\,\text{cm}\). b) Zylinder \(Z_1\) hat die größere Mantelfläche (\(M_1 \approx 226{,}19\,\text{cm}^2\) gegenüber \(M_2 \approx 150{,}80\,\text{cm}^2\)).

- Was passiert mit den Faktoren \(L\) und \(\pi\), wenn du ein Verhältnis berechnest? - Setze die gegebenen Werte in die Formel ein. - Vergleiche die Werte des Terms \((D - s)\) für beide Rohre.

1. Berechnung des Volumens für Rohr 1: \(V_1 = \pi \cdot L \cdot 2 \cdot (20 - 2) = \pi \cdot L \cdot 2 \cdot 18 = 36 \cdot \pi \cdot L\,\text{mm}^3\). 2. Berechnung des Volumens für Rohr 2: \(V_2 = \pi \cdot L \cdot 2 \cdot (40 - 2) = \pi \cdot L \cdot 2 \cdot 38 = 76 \cdot \pi \cdot L\,\text{mm}^3\). 3. Vergleich der Massen: Da beide Rohre aus demselben Material bestehen, ist ihre Masse proportional zu ihrem Volumen. Daher gilt \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{76 \cdot \pi \cdot L}{36 \cdot \pi \cdot L} = \frac{76}{36} = \frac{19}{9} \approx 2{,}11\). 4. Schlussfolgerung: Das zweite Rohr ist etwa \(2{,}11\)-mal so schwer. Der Faktor ist größer als \(2\), weil der Term \((D - s)\) von \(18\) auf \(38\) und damit um den Faktor \(\frac{38}{18} = \frac{19}{9}\) wächst.

a) \(V_1 = 36 \cdot \pi \cdot L\,\text{mm}^3\); \(V_2 = 76 \cdot \pi \cdot L\,\text{mm}^3\) b) Nein. Das zweite Rohr ist etwa \(2{,}11\)-mal so schwer, da \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{19}{9} \approx 2{,}11\) gilt.

- Skizziere die Grundfläche und beschrifte sie mit den gegebenen Maßen. - Es ist oft hilfreich, alle Maße direkt in Dezimeter umzurechnen, da die Dichte in \(\text{kg/dm}^3\) gegeben ist. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes? - Wie wird das Volumen eines Prismas aus der Grundfläche und der Körperhöhe bestimmt?

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) des Trapezes in \(\text{dm}^2\): \(a = 6\,\text{dm}\), \(c = 4\,\text{dm}\), \(h_{\text{Trapez}} = 5\,\text{dm}\). \(G = \frac{a + c}{2} \cdot h_{\text{Trapez}} = \frac{6\,\text{dm} + 4\,\text{dm}}{2} \cdot 5\,\text{dm} = 25\,\text{dm}^2\). 2. Umrechnung der Körperlänge in Dezimeter: \(L = 2{,}5\,\text{m} = 25\,\text{dm}\). 3. Berechnung des Volumens \(V\): \(V = G \cdot L = 25\,\text{dm}^2 \cdot 25\,\text{dm} = 625\,\text{dm}^3\). 4. Berechnung der Masse \(m\): \(m = V \cdot \rho = 625\,\text{dm}^3 \cdot 2{,}5\,\text{kg/dm}^3 = 1562{,}5\,\text{kg}\).

Das Bauelement hat eine Masse von \(1562{,}5\,\text{kg}\).

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. - Wie hängen die Grundfläche eines Prismas und seine Höhe mit dem Gesamtvolumen zusammen? - Aus welchen einzelnen Rechtecken setzt sich die Mantelfläche des Prismas zusammen? - Wie berechnet man die gesamte Oberfläche aus Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche?

1. Berechnung der Grundfläche \(G\): Die Grundfläche ist ein Dreieck mit der Grundseite \(a = 12\,\text{cm}\) und der Höhe \(h_a = 8\,\text{cm}\). \(G = \frac{1}{2}a h_a = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens \(V\): \(V = G \cdot h = 48\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 720\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Mantelfläche \(M\): Der Umfang der dreieckigen Grundfläche beträgt \(U = a + 2s = 12\,\text{cm} + 2 \cdot 10\,\text{cm} = 32\,\text{cm}\). Die Mantelfläche des Prismas ergibt sich aus dem Umfang multipliziert mit der Höhe: \(M = U \cdot h = 32\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 480\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der gesamten Oberfläche \(O\): \(O = 2G + M = 2 \cdot 48\,\text{cm}^2 + 480\,\text{cm}^2 = 96\,\text{cm}^2 + 480\,\text{cm}^2 = 576\,\text{cm}^2\).

a) Die Grundfläche beträgt \(48\,\text{cm}^2\). b) Das Volumen beträgt \(720\,\text{cm}^3\). c) Die Mantelfläche beträgt \(480\,\text{cm}^2\). d) Die gesamte Oberfläche beträgt \(576\,\text{cm}^2\).

- Erinnere dich an die allgemeine Formel für das Volumen eines Prismas. Welche Fläche dient hier als Grundfläche? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezs? Welche Maße aus der Aufgabenstellung brauchst du dafür? - Aus wie vielen und welchen geometrischen Formen setzt sich die Mantelfläche dieses Prismas zusammen? - Wie hängen der Umfang der Grundfläche, die Länge des Prismas und die Mantelfläche zusammen? - Achte darauf, für das Volumen und den Oberflächeninhalt die jeweils richtigen Einheiten zu verwenden.

1. Berechnung der Grundfläche \(A_{\text{G}}\) des trapezförmigen Querschnitts: \(A_{\text{G}} = \frac{12\,\text{cm} + 6\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens \(V\) des Prismas als Produkt aus Grundfläche und Länge: \(V = 36\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 540\,\text{cm}^3\). 3. Bestimmung des Umfangs \(U\) der Grundfläche: \(U = 12\,\text{cm} + 5\,\text{cm} + 6\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 28\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = 28\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 420\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung der gesamten Oberfläche \(O\): \(O = 2 \cdot 36\,\text{cm}^2 + 420\,\text{cm}^2 = 492\,\text{cm}^2\).

Das Volumen des Werkstücks beträgt \(540\,\text{cm}^3\) und sein Oberflächeninhalt beträgt \(492\,\text{cm}^2\).

- Erinnere dich an die Formeln für das Volumen und den Oberflächeninhalt eines Zylinders. - Welche Maße sind jeweils gegeben und wie setzt du sie in die Formeln ein? - Für den Materialverbrauch einer geschlossenen Dose musst du den gesamten Oberflächeninhalt berechnen, der aus Deckel, Boden und Mantelfläche besteht. - Vergleiche nach der Berechnung die beiden Ergebnisse direkt.

1. Berechnung der Volumina der beiden Dosen: - Dose A: \(V_A = \pi r^2h = \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 160\pi\,\text{cm}^3 \approx 502{,}7\,\text{cm}^3\). - Dose B: \(V_B = \pi r^2h = \pi \cdot (5\,\text{cm})^2 \cdot 6{,}4\,\text{cm} = 160\pi\,\text{cm}^3 \approx 502{,}7\,\text{cm}^3\). Beide Dosen haben folglich das gleiche Volumen. 2. Berechnung der Oberflächeninhalte der beiden geschlossenen Dosen: - Dose A: \(O_A = 2\pi r(r + h) = 2\pi \cdot 4\,\text{cm} \cdot (4\,\text{cm} + 10\,\text{cm}) = 112\pi\,\text{cm}^2 \approx 351{,}9\,\text{cm}^2\). - Dose B: \(O_B = 2\pi r(r + h) = 2\pi \cdot 5\,\text{cm} \cdot (5\,\text{cm} + 6{,}4\,\text{cm}) = 114\pi\,\text{cm}^2 \approx 358{,}1\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich der Oberflächeninhalte: Da \(O_A < O_B\) ist, wird für Dose A weniger Material benötigt.

a) Beide Dosen besitzen das gleiche Volumen von etwa \(502{,}7\,\text{cm}^3\). b) Für Dose A wird weniger Material benötigt, da ihr Oberflächeninhalt mit etwa \(351{,}9\,\text{cm}^2\) geringer ist als der von Dose B mit etwa \(358{,}1\,\text{cm}^2\).

- Erinnere dich an die Formel für die Grundfläche eines Zylinders, die ein Kreis ist. - Wie hängt das Volumen eines Zylinders mit seiner Grundfläche und seiner Höhe zusammen? - Aus welchen Teilen setzt sich die Oberfläche eines Zylinders zusammen? Denke an die beiden Kreisflächen und den Mantel. - Nutze die \(\pi\)-Taste deines Taschenrechners für eine genaue Berechnung und runde das Ergebnis erst am Ende.

1. Berechnung des Volumens \(V\) des Zylinders mit der Formel \(V = \pi r^2h\): \(V = \pi \cdot 5^2 \cdot 12\,\text{cm}^3 = 300\pi\,\text{cm}^3 \approx 942{,}5\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O\) des Zylinders mit der Formel \(O = 2\pi r(r + h)\): \(O = 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot (5 + 12)\,\text{cm}^2 = 170\pi\,\text{cm}^2 \approx 534{,}1\,\text{cm}^2\).

a) \(V \approx 942{,}5\,\text{cm}^3\) b) \(O \approx 534{,}1\,\text{cm}^2\)

- Zerlege die kompliziertere Grundfläche in einfache Teilflächen (wie Rechtecke). - Wie berechnet man das Volumen eines Prismas allgemein mit Grundfläche und Höhe? - Wie berechnet man das Volumen eines Quaders?

1. Berechnung des Volumens von Körper A: Die L-förmige Grundfläche \(G_{\text{A}}\) kann in zwei Rechtecke zerlegt werden: - Ein unteres Rechteck mit den Maßen \(6\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) (Fläche \(12\,\text{cm}^2\)) - Ein oberes Rechteck mit den Maßen \(3\,\text{cm} \times (4\,\text{cm} - 2\,\text{cm}) = 3\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) (Fläche \(6\,\text{cm}^2\)) Die gesamte Grundfläche beträgt: \(G_{\text{A}} = 12\,\text{cm}^2 + 6\,\text{cm}^2 = 18\,\text{cm}^2\) Das Volumen von Körper A beträgt mit der Länge \(l = 10\,\text{cm}\): \(V_{\text{A}} = G_{\text{A}} \cdot l = 18\,\text{cm}^2 \cdot 10\,\text{cm} = 180\,\text{cm}^3\) 2. Berechnung des Volumens von Körper B: Körper B ist ein Quader mit den Maßen \(6\,\text{cm} \times 10\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\): \(V_{\text{B}} = 6\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 180\,\text{cm}^3\) 3. Vergleich: Da \(V_{\text{A}} = V_{\text{B}} = 180\,\text{cm}^3\), haben beide Schokoladenriegel dasselbe Volumen.

Ja, beide Schokoladenriegel haben dasselbe Volumen von \(180\,\text{cm}^3\).

- Kannst du das Werkstück in einfachere Körper zerlegen oder als ein Prisma betrachten? - Überlege, wie sich die Grundfläche (die U-Form) aus einem großen Rechteck und einer ausgesparten Fläche zusammensetzt. - Wie hängen der Umfang der Grundfläche, die Tiefe des Körpers und die Mantelfläche zusammen? - Vergiss nicht, dass der Oberflächeninhalt aus der vorderen und hinteren Grundfläche sowie der Mantelfläche besteht.

1. Berechne den Flächeninhalt der U-förmigen Grundfläche \(G\). Diese lässt sich als großes Rechteck abzüglich des inneren Ausschnitts berechnen: \(G = 8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} - 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2 - 16\,\text{cm}^2 = 32\,\text{cm}^2\) 2. Berechne den Umfang \(U\) der U-förmigen Grundfläche: \(U = 8\,\text{cm} + 6\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}\) 3. Berechne die Mantelfläche \(M\) des Prismas mit der Tiefe (Höhe des Prismas) \(h = 12\,\text{cm}\): \(M = U \cdot h = 36\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 432\,\text{cm}^2\) 4. Berechne den gesamten Oberflächeninhalt \(O\): \(O = 2G + M = 2 \cdot 32\,\text{cm}^2 + 432\,\text{cm}^2 = 64\,\text{cm}^2 + 432\,\text{cm}^2 = 496\,\text{cm}^2\)

Der Oberflächeninhalt des Werkstücks beträgt \(496\,\text{cm}^2\).

- Es hilft, alle Längenmaße zuerst in Dezimeter (\(\text{dm}\)) umzurechnen, da die Ergebnisse in \(\text{dm}^3\) und \(\text{dm}^2\) gefragt sind. - Aus wie vielen kleinen Quadraten besteht die Vorderseite (der Querschnitt) des Balkens? - Wie viele Seitenflächen begrenzen den Balken entlang seiner Länge? Zähle die Kanten des kreuzförmigen Querschnitts. - Die Gesamtoberfläche setzt sich aus der Mantelfläche und den beiden kreuzförmigen Endflächen zusammen.

1. Umrechnung aller Maße in Dezimeter (\(\text{dm}\)): Die Seitenlänge der Quadrate beträgt \(1\,\text{dm}\). Die Länge des Balkens beträgt \(h = 2\,\text{m} = 20\,\text{dm}\). 2. Berechnung der Grundfläche \(G\) (kreuzförmiger Querschnitt): Der Querschnitt besteht aus 5 Quadraten: \(G = 5 \cdot (1\,\text{dm} \cdot 1\,\text{dm}) = 5\,\text{dm}^2\) 3. Berechnung des Volumens \(V\): \(V = Gh = 5\,\text{dm}^2 \cdot 20\,\text{dm} = 100\,\text{dm}^3\) 4. Berechnung des Umfangs \(U\) des Querschnitts: Der Umfang des Kreuzes besteht aus genau 12 Segmenten der Länge \(1\,\text{dm}\): \(U = 12 \cdot 1\,\text{dm} = 12\,\text{dm}\) 5. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = Uh = 12\,\text{dm} \cdot 20\,\text{dm} = 240\,\text{dm}^2\) 6. Berechnung der gesamten Oberfläche \(O\): Die Oberfläche besteht aus den beiden Endflächen und der Mantelfläche: \(O = 2G + M = 2 \cdot 5\,\text{dm}^2 + 240\,\text{dm}^2 = 250\,\text{dm}^2\)

a) \(100\,\text{dm}^3\) b) \(250\,\text{dm}^2\)

- Um welche geometrische Körperform handelt es sich bei dem Keil? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks? - Welcher berühmte mathematische Satz hilft dir, die dritte, schräge Seite der dreieckigen Vorderseite zu berechnen? - Aus welchen einzelnen Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche dieses Prismas zusammen?

1. Zur Berechnung des Volumens bestimmen wir zunächst den Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche \(A_G\). Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, gilt mit den Katheten \(a = 5\,\text{cm}\) und \(b = 12\,\text{cm}\): \(A_G = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\). Das Volumen \(V\) des Prismas berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe (Länge \(L = 20\,\text{cm}\)): \(V = A_G \cdot L = 30\,\text{cm}^2 \cdot 20\,\text{cm} = 600\,\text{cm}^3\). 2. Zur Berechnung der Oberfläche benötigen wir die Länge der dritten Seite (Hypotenuse \(c\)) des rechtwinkligen Dreiecks. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\,\text{cm}\). Der Umfang der Grundfläche \(U_G\) beträgt somit: \(U_G = a + b + c = 5\,\text{cm} + 12\,\text{cm} + 13\,\text{cm} = 30\,\text{cm}\). Die Mantelfläche \(M\) (die drei rechteckigen Seitenflächen) berechnet sich wie folgt: \(M = U_G \cdot L = 30\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 600\,\text{cm}^2\). Die gesamte Oberfläche \(O\) besteht aus den beiden dreieckigen Grundflächen (Vorder- und Rückseite) und der Mantelfläche: \(O = 2A_G + M = 2 \cdot 30\,\text{cm}^2 + 600\,\text{cm}^2 = 60\,\text{cm}^2 + 600\,\text{cm}^2 = 660\,\text{cm}^2\).

a) Das Volumen beträgt \(V = 600\,\text{cm}^3\). b) Die Oberfläche beträgt \(O = 660\,\text{cm}^2\).

- Welche geometrische Form hat die Mantelfläche eines Zylinders, wenn man sie flach ausrollt? - Wie hängen der Durchmesser und der Radius eines Kreises zusammen? - Welche Formel hilft dir, das Volumen eines Zylinders aus Radius und Höhe zu berechnen? - Wie rechnet man Kubikzentimeter in Liter um? Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Kubikdezimetern und Litern.

1. Bestimmung des Radius der kreisförmigen Grundfläche: \(r = \frac{d}{2} = \frac{10\,\text{cm}}{2} = 5\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Mantelfläche \(M\), welche der Fläche des Etiketts entspricht: \(M = 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot 5\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 120\pi\,\text{cm}^2 \approx 377{,}0\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Volumens \(V\) in Kubikzentimetern: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (5\,\text{cm})^2 \cdot 12\,\text{cm} = 300\pi\,\text{cm}^3 \approx 942{,}48\,\text{cm}^3\). 4. Umrechnung des Volumens in Liter: \(V = \frac{942{,}48}{1000}\,\text{l} \approx 0{,}94\,\text{l}\).

a) \(M \approx 377{,}0\,\text{cm}^2\) b) \(V \approx 0{,}94\,\text{l}\)

- Kannst du die Grundfläche des Profils in einfache, bekannte Teilflächen zerlegen? - Wie berechnet man allgemein das Volumen eines Prismas, wenn man die Grundfläche kennt? - Welche Beziehung besteht zwischen dem Volumen, der Dichte und der Gesamtmasse eines Körpers? - Achte am Ende sorgfältig auf die Einheiten, insbesondere beim Umrechnen von Gramm in Kilogramm.

1. Berechnung der Querschnittsfläche: Das L-Profil wird in zwei Rechtecke zerlegt. Das erste Rechteck (vertikaler Schenkel) hat die Maße \(2\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm}\) und somit eine Fläche von \(A_1 = 16\,\text{cm}^2\). Das zweite Rechteck (horizontaler Schenkel) hat eine verbleibende Breite von \(6\,\text{cm} - 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(2\,\text{cm}\). Seine Fläche beträgt \(A_2 = 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\). Die Gesamtfläche der Grundfläche beträgt somit: \(A = A_1 + A_2 = 16\,\text{cm}^2 + 8\,\text{cm}^2 = 24\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens: Das Volumen des Prismas ergibt sich aus der Grundfläche multipliziert mit der Länge: \(V = A \cdot l = 24\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 360\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Masse: Die Masse \(m\) des Profils berechnet sich aus dem Volumen und der Dichte: \(m = 360\,\text{cm}^3 \cdot 8{,}4\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 3024\,\text{g}\). 4. Umrechnung in Kilogramm: \(3024\,\text{g} = 3{,}024\,\text{kg}\).

Das Volumen des Metallprofils beträgt \(360\,\text{cm}^3\) und seine Masse beträgt \(3{,}024\,\text{kg}\).

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks. - Wie hängen das Volumen eines Prismas, seine Grundfläche und seine Höhe zusammen? - Um die Mantelfläche zu bestimmen, benötigst du alle drei Seitenlängen des Dreiecks. Welcher berühmte Satz hilft dir bei einem rechtwinkligen Dreieck weiter? - Die Mantelfläche besteht aus den drei rechteckigen Seitenflächen des Prismas. - Die Gesamtoberfläche setzt sich aus den beiden Grundflächen (Boden und Deckel) und der Mantelfläche zusammen.

1. Grundfläche des rechtwinkligen Dreiecks: \(G = \frac{1}{2} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). 2. Volumen des Prismas: \(V = G \cdot h = 6\,\text{cm}^2 \cdot 8\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^3\). 3. Hypotenuse der Grundfläche mit Pythagoras: \(c = \sqrt{3^2 + 4^2}\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\). 4. Umfang der Grundfläche: \(U = 3\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). 5. Mantelfläche: \(M = U \cdot h = 12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 96\,\text{cm}^2\). 6. Gesamte Oberfläche: \(O = 2G + M = 2 \cdot 6\,\text{cm}^2 + 96\,\text{cm}^2 = 108\,\text{cm}^2\).

a) \(48\,\text{cm}^3\) b) \(96\,\text{cm}^2\) c) \(108\,\text{cm}^2\)

- Stell dir vor, du schaust direkt von vorne auf das Zelt. Welche geometrische Form siehst du? - Wie berechnet man die Fläche dieser vorderen Form? - Wie hängt das Gesamtvolumen eines Prismas mit dieser Vorderfläche und der Länge des Zeltes zusammen? - Wenn du die Oberfläche berechnen möchtest, aus welchen einzelnen Flächen setzt sich die Zeltplane zusammen? - Kannst du ein rechtwinkliges Dreieck in der Vorderseite finden, um die noch fehlende Seitenlänge der Schräge zu berechnen?

1. Berechnung der dreieckigen Grundfläche \(G\): \(G = \frac{1}{2}gh = \frac{1}{2} \cdot 2{,}4\,\text{m} \cdot 1{,}6\,\text{m} = 1{,}92\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Volumens \(V\): \(V = G \cdot l = 1{,}92\,\text{m}^2 \cdot 3{,}0\,\text{m} = 5{,}76\,\text{m}^3\). 3. Berechnung der Schenkellänge \(s\) des gleichschenkligen Dreiecks (Satz des Pythagoras): Die Höhe teilt die Grundseite in zwei Hälften von je \(1{,}2\,\text{m}\). \(s = \sqrt{1{,}2^2 + 1{,}6^2} = \sqrt{1{,}44 + 2{,}56} = \sqrt{4{,}0} = 2{,}0\,\text{m}\). 4. Berechnung des Umfangs \(U\) der Grundfläche: \(U = 2{,}4\,\text{m} + 2 \cdot 2{,}0\,\text{m} = 6{,}4\,\text{m}\). 5. Berechnung der Gesamtoberfläche \(O\) (Stoffbedarf): \(O = 2G + U \cdot l = 2 \cdot 1{,}92\,\text{m}^2 + 6{,}4\,\text{m} \cdot 3{,}0\,\text{m} = 3{,}84\,\text{m}^2 + 19{,}2\,\text{m}^2 = 23{,}04\,\text{m}^2\).

a) Das Volumen des Innenraums beträgt \(5{,}76\,\text{m}^3\). b) Es wurden insgesamt \(23{,}04\,\text{m}^2\) Stoff verwendet.

- Kannst du die komplizierte L-Form der Vorderseite in einfachere, bekannte Formen zerlegen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Grundfläche und der Länge eines Körpers bei der Volumenberechnung. - Wie kannst du aus dem Volumen und der Dichte die Masse berechnen? - Aus welchen einzelnen Begrenzungsflächen besteht die gesamte Oberfläche des Körpers? Vergiss nicht, alle Seitenflächen mitzuzählen.

1. Berechnung der Querschnittsfläche des L-Profils: Das L-Profil lässt sich in zwei Rechtecke zerlegen: eine horizontale Bodenplatte mit \(5\,\text{dm} \cdot 1\,\text{dm} = 5\,\text{dm}^2\) und eine vertikale Wand mit \(7\,\text{dm} \cdot 1\,\text{dm} = 7\,\text{dm}^2\). Die Gesamtfläche der Grundfläche beträgt \(G = 12\,\text{dm}^2\). 2. Berechnung des Volumens: Mit der Länge \(l = 12\,\text{dm}\) ergibt sich ein Volumen von \(V = G \cdot l = 12\,\text{dm}^2 \cdot 12\,\text{dm} = 144\,\text{dm}^3\). 3. Berechnung der Masse: Die Masse berechnet sich über \(m = V \cdot \rho = 144\,\text{dm}^3 \cdot 2{,}5\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3} = 360\,\text{kg}\). 4. Berechnung der Oberfläche: Der Umfang der Grundfläche beträgt \(U = 5\,\text{dm} + 1\,\text{dm} + 4\,\text{dm} + 7\,\text{dm} + 1\,\text{dm} + 8\,\text{dm} = 26\,\text{dm}\). Die Gesamtoberfläche des Prismas ist \(O = 2G + U \cdot l = 2 \cdot 12\,\text{dm}^2 + 26\,\text{dm} \cdot 12\,\text{dm} = 24\,\text{dm}^2 + 312\,\text{dm}^2 = 336\,\text{dm}^2\).

a) \(144\,\text{dm}^3\) b) \(360\,\text{kg}\) c) \(336\,\text{dm}^2\)

- Überlege zuerst, aus welchen geometrischen Formen die Grundfläche und die Mantelfläche des Körpers bestehen. - Wie berechnet man allgemein das Volumen eines geraden Prismas, wenn die Grundfläche und die Höhe bekannt sind? - Für die Mantelfläche benötigst du alle Seitenlängen der Grundfläche. Kannst du eine fehlende Seite mithilfe eines bekannten Satzes für rechtwinklige Dreiecke berechnen? - Aus welchen Teilen setzt sich die gesamte Oberfläche des Prismas zusammen?

1. Berechnung der Grundfläche \(G\): \(G = \frac{1}{2}g h_g = \frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\) 2. Berechnung des Volumens \(V\): \(V = G \cdot l = 12\,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} = 144\,\text{cm}^3\) 3. Berechnung der Schenkellänge \(s\) des gleichschenkligen Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras (die Höhe teilt die Basis in zwei Hälften von je \(3\,\text{cm}\)): \(s = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}\) 4. Berechnung des Umfangs \(U\) der Grundfläche: \(U = g + 2s = 6\,\text{cm} + 2 \cdot 5\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\) 5. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = U \cdot l = 16\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 192\,\text{cm}^2\) 6. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O\): \(O = 2G + M = 2 \cdot 12\,\text{cm}^2 + 192\,\text{cm}^2 = 216\,\text{cm}^2\)

a) \(G = 12\,\text{cm}^2\), \(V = 144\,\text{cm}^3\) b) \(s = 5\,\text{cm}\), \(M = 192\,\text{cm}^2\), \(O = 216\,\text{cm}^2\)

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. - Das Volumen berechnet sich auch hier durch das Produkt aus Grundfläche und Körperhöhe. - Der Umfang des Trapezes setzt sich aus allen vier Seiten der Grundfläche zusammen. - Vergiss nicht, dass das Prisma zwei Grundflächen (Boden und Deckel) hat, wenn du die Oberfläche berechnest.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\): Die Grundfläche ist ein Trapez mit den parallelen Seiten \(a = 10\,\text{cm}\) und \(c = 4\,\text{cm}\) sowie der Höhe \(h = 4\,\text{cm}\). \(G = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{10\,\text{cm} + 4\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = 7\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 28\,\text{cm}^2\) 2. Berechnung des Volumens \(V\): Das Volumen ist das Produkt aus der Grundfläche \(G\) und der Körperhöhe \(h_k = 12\,\text{cm}\). \(V = G \cdot h_k = 28\,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} = 336\,\text{cm}^3\) 3. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O\): Der Umfang \(U\) der trapezförmigen Grundfläche beträgt: \(U = 10\,\text{cm} + 5\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 24\,\text{cm}\) Die Mantelfläche \(M\) beträgt: \(M = U \cdot h_k = 24\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 288\,\text{cm}^2\) Der Oberflächeninhalt ist die Summe aus den beiden Grundflächen und der Mantelfläche: \(O = 2G + M = 2 \cdot 28\,\text{cm}^2 + 288\,\text{cm}^2 = 56\,\text{cm}^2 + 288\,\text{cm}^2 = 344\,\text{cm}^2\)

a) \(G = 28\,\text{cm}^2\) b) \(V = 336\,\text{cm}^3\) c) \(O = 344\,\text{cm}^2\)

- Kannst du die Grundfläche in einfachere, dir bekannte Formen zerlegen? - Wie berechnet man allgemein das Volumen eines Körpers mit gleichbleibender Grundfläche? - Welche Begrenzungsflächen gehören zur Mantelfläche und welche zur Grund- bzw. Deckfläche? - Wie hilft dir der Umfang der Grundfläche bei der Berechnung der Mantelfläche?

1. Zerlegung der Grundfläche in zwei Rechtecke mit den Flächen \(2\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\) und \((5\,\text{cm} - 2\,\text{cm}) \cdot 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). Gesamte Grundfläche \(A_G = 14\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = A_G \cdot l = 14\,\text{cm}^2 \cdot 8\,\text{cm} = 112\,\text{cm}^3\). 3. Bestimmung des Umfangs der Grundfläche: \(U = 5\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 18\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Mantelfläche: \(M = U \cdot l = 18\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 144\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung der gesamten Oberfläche: \(O = 2A_G + M = 28\,\text{cm}^2 + 144\,\text{cm}^2 = 172\,\text{cm}^2\).

Das Volumen beträgt \(V = 112\,\text{cm}^3\) und die Oberfläche beträgt \(O = 172\,\text{cm}^2\).

- Aus welchen zwei einfachen geometrischen Formen setzt sich die vordere Fläche des Hauses zusammen? - Wie lässt sich die Höhe des oberen dreieckigen Teils bestimmen? - Welche Kanten musst du zusammenrechnen, um einmal ganz um die Vorderseite herumzugehen? - Wie hängen die Mantelfläche, die Grundfläche und die gesamte Oberfläche zusammen?

1. Zerlegung der Grundfläche in ein Rechteck und ein Dreieck. 2. Berechnung der Teilflächen: Rechteckfläche \(A_{\text{Rechteck}} = 8\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). Dreieckshöhe \(h_{\text{Dreieck}} = 6\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\). Dreiecksfläche \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\). 3. Gesamte Grundfläche: \(A_G = 24\,\text{cm}^2 + 12\,\text{cm}^2 = 36\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung des Volumens: \(V = A_G \cdot l = 36\,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} = 432\,\text{cm}^3\). 5. Bestimmung des Umfangs der Grundfläche: \(U = 8\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 5\,\text{cm} + 5\,\text{cm} + 3\,\text{cm} = 24\,\text{cm}\). 6. Berechnung der Mantelfläche: \(M = U \cdot l = 24\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 288\,\text{cm}^2\). 7. Berechnung der gesamten Oberfläche: \(O = 2A_G + M = 2 \cdot 36\,\text{cm}^2 + 288\,\text{cm}^2 = 360\,\text{cm}^2\).

Das Volumen beträgt \(V = 432\,\text{cm}^3\) und der Oberflächeninhalt beträgt \(O = 360\,\text{cm}^2\).

- Überlege zuerst, wie man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet. - Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Prismas: Grundfläche mal Höhe. - Für die Mantelfläche benötigst du alle drei Seitenlängen der Grundfläche. Wie kannst du die fehlende Seite des rechtwinkligen Dreiecks berechnen? - Die Oberfläche setzt sich aus den beiden Grundflächen (Boden und Deckel) und der Mantelfläche zusammen.

1. Die Grundfläche \(G\) des Prismas ist ein rechtwinkliges Dreieck. Ihre Fläche berechnet sich aus den beiden Katheten: \(G = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\) 2. Das Volumen \(V\) des Prismas ist das Produkt aus der Grundfläche \(G\) und der Höhe \(h = 15\,\text{cm}\): \(V = G \cdot h = 24\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 360\,\text{cm}^3\) 3. Um die Mantelfläche zu berechnen, benötigen wir die Länge der Hypotenuse \(c\) des Dreiecks. Mit dem Satz des Pythagoras gilt: \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\) 4. Der Umfang \(U\) der Grundfläche beträgt: \(U = a + b + c = 6\,\text{cm} + 8\,\text{cm} + 10\,\text{cm} = 24\,\text{cm}\) 5. Die Mantelfläche \(M\) ist das Produkt aus dem Umfang \(U\) und der Höhe \(h\): \(M = U \cdot h = 24\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 360\,\text{cm}^2\) 6. Die gesamte Oberfläche \(O\) des Prismas setzt sich aus der doppelten Grundfläche und der Mantelfläche zusammen: \(O = 2G + M = 2 \cdot 24\,\text{cm}^2 + 360\,\text{cm}^2 = 48\,\text{cm}^2 + 360\,\text{cm}^2 = 408\,\text{cm}^2\)

a) \(V = 360\,\text{cm}^3\) b) \(M = 360\,\text{cm}^2\) c) \(O = 408\,\text{cm}^2\)

- Wie berechnet man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks? - Welche Formel verbindet die Grundfläche und die Höhe eines Prismas mit seinem Volumen? - Wie kannst du die Länge der dritten Seite (Hypotenuse) des Dreiecks bestimmen? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche des Prismas zusammen?

1. Die Grundfläche \(G\) ist ein rechtwinkliges Dreieck. Ihr Flächeninhalt berechnet sich durch: \(G = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen \(V\) des Prismas berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe: \(V = G \cdot h = 24\,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} = 288\,\text{cm}^3\). 3. Um den Oberflächeninhalt zu bestimmen, berechnen wir zuerst die Länge der Hypotenuse \(c\) des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras: \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\). 4. Der Umfang \(U\) der Grundfläche beträgt: \(U = a + b + c = 6\,\text{cm} + 8\,\text{cm} + 10\,\text{cm} = 24\,\text{cm}\). 5. Die Mantelfläche \(M\) ist das Produkt aus Umfang und Höhe des Prismas: \(M = U \cdot h = 24\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 288\,\text{cm}^2\). 6. Der gesamte Oberflächeninhalt \(O\) ergibt sich aus: \(O = 2G + M = 2 \cdot 24\,\text{cm}^2 + 288\,\text{cm}^2 = 48\,\text{cm}^2 + 288\,\text{cm}^2 = 336\,\text{cm}^2\).

Das Volumen des Prismas beträgt \(288\,\text{cm}^3\) und der Oberflächeninhalt beträgt \(336\,\text{cm}^2\).

- Ein Prisma hat zwei identische Grundflächen und eine Mantelfläche. - Bestimme zuerst den Flächeninhalt der L-Form. - Der Umfang der L-Form multipliziert mit der Länge ergibt die Mantelfläche. - Vergiss nicht, beide Endflächen zur Mantelfläche zu addieren.

1. Berechnung des Flächeninhalts der L-förmigen Grundfläche (\(G\)): Das L kann in zwei Rechtecke zerlegt werden, zum Beispiel ein \(4 \cdot 1\) Rechteck und ein \(3 \cdot 1\) Rechteck. \(G = 4 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 7\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Umfangs der Grundfläche (\(U\)): Die Kantenlängen sind \(4 + 4 + 1 + 3 + 3 + 1 = 16\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Mantelfläche (\(M\)) bei einer Länge von \(l = 10\,\text{cm}\): \(M = U \cdot l = 16 \cdot 10 = 160\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Gesamtoberfläche (\(O\)): \(O = 2G + M = 2 \cdot 7 + 160 = 174\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Profils beträgt \(174\,\text{cm}^2\).

- Identifiziere die Grundfläche des Prismas und berechne ihren Inhalt. - Die Mantelfläche besteht hier aus drei unterschiedlichen Rechtecken. - Nutze den Umfang der Grundfläche, um die Mantelfläche in einem Schritt zu berechnen.

1. Berechnung der Grundfläche (\(G\)) des rechtwinkligen Dreiecks: \(G = \frac{1}{2} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Umfangs (\(U\)) der Grundfläche: \(U = 3 + 4 + 5 = 12\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Mantelfläche (\(M\)) bei einer Länge von \(l = 10\,\text{cm}\): \(M = U \cdot l = 12 \cdot 10 = 120\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Gesamtoberfläche (\(O\)): \(O = 2G + M = 2 \cdot 6 + 120 = 132\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Türstoppers beträgt \(132\,\text{cm}^2\).

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes? - Das Volumen eines Prismas berechnet man durch Grundfläche mal Körperhöhe (Länge). - Achte auf die Umrechnung von Kubikzentimetern in Liter.

1. Berechnung des Flächeninhalts der trapezförmigen Grundfläche: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{25 + 15}{2} \cdot 12 = 20 \cdot 12 = 240\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = A \cdot \text{Länge} = 240 \cdot 80 = 19\,200\,\text{cm}^3\). 3. Umrechnung in Liter: Da \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{l}\) gilt, ist \(V = 19{,}2\,\text{l}\).

Das Fassungsvermögen des Trogs beträgt \(19{,}2\,\text{l}\).

- Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus zwei Kreisflächen und einem Rechteck (dem Mantel) zusammen. - Wie lang ist die eine Seite des Mantels im Vergleich zum Kreisumfang?

1. Grundfläche \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (10\,\text{cm})^2 = 100\pi\,\text{cm}^2\). 2. Mantelfläche \(M = 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot 10\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 100\pi\,\text{cm}^2\). 3. Oberfläche \(O = 2G + M = 2 \cdot 100\pi\,\text{cm}^2 + 100\pi\,\text{cm}^2 = 300\pi\,\text{cm}^2\).

Die Oberfläche beträgt \(300\pi\,\text{cm}^2\).

- Bestimme für jeden Körper die passende Volumenformel. - Setze die gegebenen Werte vorsichtig ein. Denke beim Prisma daran, zuerst die Grundfläche zu berechnen. - Nutze für den Zylinder die Kreiszahl \(\pi \approx 3{,}14\). - Vergleiche die Ergebnisse, um die Rangfolge festzulegen.

1. Volumen von Modell A (Würfel/Quader): \(V_A = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,\text{cm}^3\). 2. Volumen von Modell B (Prisma): \(V_B = G \cdot k = (\frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 10) \cdot 10 = 100 \cdot 10 = 1000\,\text{cm}^3\). 3. Volumen von Modell C (Zylinder): \(V_C = \pi r^2h = \pi \cdot 5^2 \cdot 14 = \pi \cdot 25 \cdot 14 \approx 3{,}1416 \cdot 350 \approx 1099{,}56\,\text{cm}^3\). Die Reihenfolge nach absteigendem Volumen ist: Modell C (\(\approx 1100\,\text{cm}^3\)), gefolgt von Modell A und Modell B (beide \(1000\,\text{cm}^3\)).

Die Reihenfolge nach dem Volumen lautet: C > A = B.

- Überlege dir zuerst, aus welchen einzelnen Teilflächen sich die gesamte Oberfläche des Prismas zusammensetzt. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks? - Was versteht man unter der Mantelfläche eines Prismas und wie hängt sie mit dem Umfang der Grundfläche zusammen?

1. Berechnung der Grundfläche \(G\): Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, sind die beiden kürzeren Seiten die Katheten. \(G = \frac{1}{2} \cdot 9\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 54\,\text{cm}^2\) 2. Berechnung der Mantelfläche \(M\): Die Mantelfläche ergibt sich aus dem Umfang der Grundfläche multipliziert mit der Körperhöhe \(h_k\). \(M = (9\,\text{cm} + 12\,\text{cm} + 15\,\text{cm}) \cdot 20\,\text{cm} = 36\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 720\,\text{cm}^2\) 3. Berechnung der Gesamtoberfläche \(O\): \(O = 2G + M = 2 \cdot 54\,\text{cm}^2 + 720\,\text{cm}^2 = 108\,\text{cm}^2 + 720\,\text{cm}^2 = 828\,\text{cm}^2\)

Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt \(828\,\text{cm}^2\).

- Wie lautet die Formel für das Volumen eines Zylinders? - Achte auf die Einheiten: Das Ergebnis soll in Litern angegeben werden. Wie hängen Kubikzentimeter und Liter zusammen? - Denke daran, am Ende auf eine Stelle nach dem Komma zu runden.

1. Berechnung des Volumens in Kubikzentimetern: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (50\,\text{cm})^2 \cdot 120\,\text{cm} = 300\,000 \cdot \pi\,\text{cm}^3\) 2. Numerische Berechnung: \(V \approx 300\,000 \cdot 3{,}14159\,\text{cm}^3 \approx 942\,477{,}8\,\text{cm}^3\) 3. Umrechnung in Liter: Da \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) gilt, dividieren wir durch \(1000\). \(V \approx 942{,}4778\,\text{l} \approx 942{,}5\,\text{l}\)

Das Fassungsvermögen des Behälters beträgt etwa \(942{,}5\,\text{l}\).

- Zerlege die Grundfläche in bekannte Teilfiguren, um ihren Flächeninhalt zu berechnen. - Wie hoch ist das Dreieck, wenn das gesamte „Haus“ \(22\,\text{cm}\) hoch ist? - Der Umfang der Grundfläche wird für die Berechnung der Mantelfläche benötigt. - Addiere am Ende die beiden Grundflächen und die Mantelfläche.

1. Analyse der Grundfläche \(G\): Sie besteht aus einem Quadrat (\(10 \cdot 10 = 100\,\text{cm}^2\)) und einem Dreieck. Die Höhe des Dreiecks ist \(22 - 10 = 12\,\text{cm}\). Die Basis des Dreiecks ist \(10\,\text{cm}\). Somit ist die Fläche des Dreiecks \(\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60\,\text{cm}^2\). Gesamtfläche \(G = 100 + 60 = 160\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung des Umfangs \(U\) der Grundfläche: \(U = 10\,\text{cm}\) (Boden) + \(10\,\text{cm}\) (linke Wand) + \(13\,\text{cm}\) (Dach links) + \(13\,\text{cm}\) (Dach rechts) + \(10\,\text{cm}\) (rechte Wand) \(= 56\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = U \cdot h = 56 \cdot 20 = 1120\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Oberfläche \(O\): \(O = 2G + M = 2 \cdot 160 + 1120 = 320 + 1120 = 1440\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt \(1440\,\text{cm}^2\).

- Berechne zuerst den Flächeninhalt der L-förmigen Vorderseite. - Das Volumen eines Prismas berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe (hier die Länge der Stufe). - Achte am Ende auf die richtige Maßeinheit und die Umrechnung in Liter.

1. Berechnung der Querschnittsfläche (L-Form): - Zerlegung in zwei Rechtecke: \(40\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 600\,\text{cm}^2\) und \(20\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 300\,\text{cm}^2\). - Gesamtfläche der Vorderseite \(A = 600 + 300 = 900\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens: - \(V = A \cdot \text{Länge} = 900\,\text{cm}^2 \cdot 80\,\text{cm} = 72\,000\,\text{cm}^3\). 3. Umrechnung in Liter: - \(72\,000\,\text{cm}^3 = 72\,\text{dm}^3 = 72\,\text{l}\).

Für eine Treppenstufe werden \(72\,\text{l}\) Beton benötigt.

- Betrachte die Vorderseite als Grundfläche des Prismas. - Zerlege die Vorderseite in ein Rechteck und ein aufgesetztes Dreieck. - Wie hoch ist das Dreieck, wenn die Gesamthöhe und die Wandhöhe bekannt sind?

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) (Vorderseite). Diese besteht aus einem Rechteck und einem Dreieck: Fläche Rechteck: \(6\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} = 24\,\text{dm}^2\) Höhe des Dreiecks: \(7\,\text{dm} - 4\,\text{dm} = 3\,\text{dm}\) Fläche Dreieck: \(\frac{1}{2} \cdot 6\,\text{dm} \cdot 3\,\text{dm} = 9\,\text{dm}^2\) Gesamtgrundfläche: \(G = 24 + 9 = 33\,\text{dm}^2\) 2. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot \text{Tiefe} = 33\,\text{dm}^2 \cdot 10\,\text{dm} = 330\,\text{dm}^3\)

Das Innenvolumen der Hundehütte beträgt \(330\,\text{dm}^3\).

- Welche Fläche bleibt beim „Durchschieben“ des Körpers in seiner Form gleich? Das ist die Grundfläche. - Berechne den Flächeninhalt dieses Trapezes. - Multipliziere das Ergebnis mit der Länge des Unterstands.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) (trapezförmige Seitenwand): \(G = \frac{3\,\text{m} + 5\,\text{m}}{2} \cdot 5\,\text{m} = 20\,\text{m}^2\) 2. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot \text{Länge} = 20\,\text{m}^2 \cdot 8\,\text{m} = 160\,\text{m}^3\)

Der Rauminhalt unter dem Dach beträgt \(160\,\text{m}^3\).

- Zerlege die vordere Fläche in bekannte geometrische Figuren. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Das Volumen eines Prismas ergibt sich aus dem Produkt von Grundfläche und Körperhöhe (hier die Länge).

1. Aufteilung der Grundfläche in ein Quadrat (\(4\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\)) und ein Dreieck (Basis \(4\,\text{cm}\), Höhe \(7\,\text{cm} - 4\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\)). 2. Berechnung der Grundfläche: \(A_G = (4 \cdot 4) + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 16 + 6 = 22\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Volumens: \(V = A_G \cdot \text{Länge} = 22\,\text{cm}^2 \cdot 10\,\text{cm} = 220\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Bausteins beträgt \(220\,\text{cm}^3\).

- Die Oberfläche eines Prismas besteht aus zwei identischen Grundflächen und der Mantelfläche. - Wie berechnet man den Umfang der dreieckigen Grundfläche? - Die Mantelfläche lässt sich als großes Rechteck vorstellen, dessen Seitenlängen dem Umfang der Grundfläche und der Länge des Prismas entsprechen.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\): \(G = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Umfangs \(U\) der Grundfläche: \(U = 8\,\text{cm} + 5\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 18\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = U \cdot l = 18\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 360\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung des gesamten Oberflächeninhalts \(O\): \(O = 2G + M = 2 \cdot 12\,\text{cm}^2 + 360\,\text{cm}^2 = 384\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt der Schachtel beträgt \(384\,\text{cm}^2\).

- Aus wie vielen und welchen Teilflächen setzt sich dieser Körper zusammen? - Erinnere dich an die Formel für den Oberflächeninhalt eines Prismas: \(O = 2G + M\). - Achte darauf, für die Mantelfläche alle drei Seiten des Grunddreiecks zu berücksichtigen.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) des rechtwinkligen Dreiecks: \(G = \frac{1}{2} \cdot 15\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Umfangs \(U\) der Grundfläche: \(U = 15\,\text{cm} + 8\,\text{cm} + 17\,\text{cm} = 40\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = U \cdot \text{Breite} = 40\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 200\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung des gesamten Oberflächeninhalts \(O\): \(O = 2G + M = 2 \cdot 60\,\text{cm}^2 + 200\,\text{cm}^2 = 320\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Türstoppers beträgt \(320\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir, aus welchen einfachen geometrischen Flächen die Seitenansicht (der Querschnitt) zusammengesetzt ist. - Wie berechnet man das Volumen eines Körpers, der über seine gesamte Breite denselben Querschnitt hat? - Achte darauf, die Länge der Rampe korrekt aus der Gesamtlänge und der Podestlänge zu ermitteln.

1. Bestimmung der Querschnittsfläche \(A_G\): Die Fläche setzt sich aus einem Rechteck (Podest) und einem rechtwinkligen Dreieck (Rampe) zusammen. - Fläche des Rechtecks: \(A_R = 4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\) - Länge der Rampe: \(10\,\text{cm} - 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\) - Fläche des Dreiecks: \(A_D = \frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 9\,\text{cm}^2\) - Gesamtquerschnitt: \(A_G = 12\,\text{cm}^2 + 9\,\text{cm}^2 = 21\,\text{cm}^2\) 2. Berechnung des Volumens: Das Volumen eines Prismas berechnet sich aus Grundfläche mal Tiefe (Breite). - \(V = A_G \cdot \text{Breite} = 21\,\text{cm}^2 \cdot 8\,\text{cm} = 168\,\text{cm}^3\)

Das Volumen des Bauteils beträgt \(168\,\text{cm}^3\).

- Der Querschnitt ist die Grundfläche des Prismas. - Zerlege die L-Form in zwei einfache Rechtecke, um den Flächeninhalt zu bestimmen. - Multipliziere die Grundfläche mit der Länge des Profils.

1. Berechnung der Querschnittsfläche (Grundfläche \(G\)) durch Zerlegung in zwei Rechtecke: - Ein Rechteck mit \(5\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) (\(A_1 = 10\,\text{cm}^2\)). - Ein verbleibendes Rechteck mit \(3\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) (\(A_2 = 6\,\text{cm}^2\)). - \(G = 10\,\text{cm}^2 + 6\,\text{cm}^2 = 16\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot l = 16\,\text{cm}^2 \cdot 80\,\text{cm} = 1280\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Metallprofils beträgt \(1280\,\text{cm}^3\).

- Überlege zuerst, aus welchen Teilflächen sich die Oberfläche zusammensetzt. - Wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks? - Für die Mantelfläche benötigst du alle Seitenlängen der Grundfläche. Kannst du die fehlenden Seiten mit einem bekannten Satz berechnen? - Das Volumen eines Prismas lässt sich allgemein durch das Produkt aus Grundfläche und Körperhöhe bestimmen.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\): \(G = \frac{1}{2}g h_g = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens \(V\): \(V = G \cdot h_k = 12\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 180\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Schenkellänge \(s\) des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras: \(s = \sqrt{(4\,\text{cm})^2 + (3\,\text{cm})^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Umfangs \(U\) der Grundfläche: \(U = g + 2s = 8\,\text{cm} + 2 \cdot 5\,\text{cm} = 18\,\text{cm}\). 5. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = U \cdot h_k = 18\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 270\,\text{cm}^2\). 6. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O\): \(O = 2G + M = 2 \cdot 12\,\text{cm}^2 + 270\,\text{cm}^2 = 24\,\text{cm}^2 + 270\,\text{cm}^2 = 294\,\text{cm}^2\).

Das Volumen beträgt \(V = 180\,\text{cm}^3\) und der Oberflächeninhalt ist \(O = 294\,\text{cm}^2\).

- Achte darauf, ob der Durchmesser oder der Radius gegeben ist. - Welche Formel wird zur Berechnung des Volumens eines Zylinders verwendet? - Denke an die Zahl \(\pi\) bei deiner Rechnung.

1. Radius des Zylinders aus dem Durchmesser bestimmen: \(r = \frac{4\,\text{m}}{2} = 2\,\text{m}\). 2. Volumenformel für den Zylinder anwenden: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (2\,\text{m})^2 \cdot 10\,\text{m}\). 3. Numerischen Wert berechnen: \(V = 40\pi \approx 125{,}6637\ldots\,\text{m}^3\). 4. Auf eine Dezimalstelle runden: \(125{,}7\,\text{m}^3\).

Es passen maximal \(125{,}7\,\text{m}^3\) Wasser in den Turm.

- Berechne zuerst, wie viel Gitter man braucht, um den Stamm genau einmal zu umschließen. - Was bedeutet „Überlappung“ für die Gesamtlänge des Materials? - Achte beim Flächeninhalt auf die Einheiten (Zentimeter und Meter). - Vergiss am Ende nicht, das Ergebnis für die Anzahl der Bäume hochzurechnen.

1. Berechnung des Stammumfangs \(U\): \(U = \pi \cdot 16\,\text{cm} \approx 50{,}27\,\text{cm}\). 2. Addition der Überlappung zur Ermittlung der Gesamtlänge \(L\) pro Baum: \(L = 50{,}27\,\text{cm} + 15\,\text{cm} = 65{,}27\,\text{cm}\). In Metern: \(L \approx 0{,}6527\,\text{m}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts \(A_1\) für einen Baum: \(A_1 = L \cdot h = 0{,}6527\,\text{m} \cdot 1{,}50\,\text{m} \approx 0{,}979\,\text{m}^2\). 4. Berechnung des Gesamtbedarfs für 8 Bäume: \(A_{\text{gesamt}} = 8A_1 \approx 8 \cdot 0{,}97905\,\text{m}^2 \approx 7{,}83\,\text{m}^2\).

a) Das Gitterstück muss ca. \(65{,}27\,\text{cm}\) lang sein. b) Für 8 Bäume werden insgesamt ca. \(7{,}83\,\text{m}^2\) Drahtgitter benötigt.

- Berechne zuerst das Volumen des Prismas. - Wie hängen Masse, Volumen und die Materialeigenschaft (Dichte) zusammen? - Wenn du die Dichte kennst, kannst du bestimmen, welches Volumen der Zylinder haben muss, um die angegebene Masse zu erreichen. - Nutze die Volumenformel des Zylinders, um die fehlende Höhe zu finden.

1. Berechnung des Volumens des Prismas: \(V_P = G \cdot k = (\frac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm}) \cdot 10\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2 \cdot 10\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^3\). 2. Bestimmung der Dichte von Aluminium: \(\rho = \frac{m}{V_P} = \frac{162\,\text{g}}{60\,\text{cm}^3} = 2{,}7\,\text{g/cm}^3\). 3. Berechnung des benötigten Volumens des Zylinders für die gegebene Masse: \(V_Z = \frac{m_Z}{\rho} = \frac{270\,\text{g}}{2{,}7\,\text{g/cm}^3} = 100\,\text{cm}^3\). 4. Aufstellen der Formel für das Zylindervolumen: \(V_Z = \pi r^2h\). 5. Einsetzen und nach \(h\) auflösen: \(100\,\text{cm}^3 = \pi \cdot (2\,\text{cm})^2 \cdot h \implies 100 = 4\pi h \implies h = \frac{100}{4\pi} = \frac{25}{\pi} \approx 7{,}9577\,\text{cm}\). 6. Das Ergebnis gerundet auf eine Dezimalstelle beträgt \(8{,}0\,\text{cm}\).

Die Höhe des Zylinders beträgt etwa \(8{,}0\,\text{cm}\).

- Schreibe die Formeln für beide Volumina auf und überlege, was gleich ist und was sich unterscheidet. - Setze die Volumina gleich. - Kannst du Variablen, die auf beiden Seiten vorkommen, wegkürzen? - Wie verändert sich eine quadratische Größe, wenn das Ergebnis der Multiplikation gleich bleiben soll, aber ein anderer Faktor halbiert wird?

1. Aufstellen der Volumenformeln: \(V_1 = \pi r_1^2 h_1\) und \(V_2 = \pi r_2^2 h_2\). 2. Nutzen der Bedingungen: \(V_1 = V_2\) und \(h_2 = \frac{1}{2}h_1\). 3. Gleichsetzen der Formeln: \(\pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 \cdot (\frac{1}{2}h_1)\). 4. Kürzen von \(\pi\) und \(h_1\): \(r_1^2 = r_2^2 \cdot \frac{1}{2}\). 5. Umstellen nach \(r_2\): \(r_2^2 = 2r_1^2\). 6. Ziehen der Wurzel: \(r_2 = \sqrt{2}r_1\). 7. Der Faktor ist somit \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\).

Der Radius der zweiten Kerze ist \(\sqrt{2}\)-mal so groß wie der Radius der ersten Kerze; der Faktor beträgt \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\).

- Stelle dir das Rohr als einen großen Zylinder vor, aus dem ein kleinerer Zylinder in der Mitte entfernt wurde. - Achte genau darauf, wie sich der Innenradius aus dem Außenradius und der Wandstärke ergibt. - Welche Einheit bietet sich für die Längenmaße an, wenn die Dichte in \(\text{kg/dm}^3\) gegeben ist?

1. Bestimmung der Radien in Dezimetern für eine einfachere Berechnung: Äußerer Radius \(R = \frac{60\,\text{cm}}{2} = 30\,\text{cm} = 3\,\text{dm}\). 2. Innerer Radius berechnen: \(r = R - \text{Wandstärke} = 30\,\text{cm} - 8\,\text{cm} = 22\,\text{cm} = 2{,}2\,\text{dm}\). 3. Länge in Dezimetern: \(h = 2{,}5\,\text{m} = 25\,\text{dm}\). 4. Berechnung des Volumens des Hohlzylinders: \(V = \pi \cdot (R^2 - r^2) \cdot h = \pi \cdot (3^2 - 2{,}2^2) \cdot 25 = \pi \cdot (9 - 4{,}84) \cdot 25 = \pi \cdot 4{,}16 \cdot 25 = 104\pi \approx 326{,}73\,\text{dm}^3\). 5. Berechnung der Masse: \(m = V \cdot \rho \approx 326{,}73\,\text{dm}^3 \cdot 2{,}4\,\text{kg/dm}^3 \approx 784{,}15\,\text{kg}\).

Die Masse des Betonrohres beträgt ca. \(784{,}15\,\text{kg}\).

- Stelle dir vor, du schaust von oben exakt senkrecht auf den Turm. Welche Fläche siehst du insgesamt? - Vergiss nicht, dass beim Stapeln einige Flächen verdeckt werden. Welche Teile der Mantelflächen bleiben sichtbar? - Kannst du eine Liste aller Radien machen, um bei der Summenbildung den Überblick zu behalten?

1. Berechnung der Einzeloberflächen: Für jede Scheibe gilt \(O_i = 2\pi r_i^2 + 2\pi r_ih\). 2. Summe der Einzeloberflächen: \(\sum O_i = 2\pi(5^2+5) + 2\pi(6^2+6) + 2\pi(7^2+7) + 2\pi(8^2+8) + 2\pi(9^2+9) = 2\pi(30+42+56+72+90) = 580\pi \approx 1822{,}12\,\text{cm}^2\). 3. Sichtbarer Oberflächeninhalt des Stapels: - Unterseite: \(\pi \cdot 9^2 = 81\pi\). - Die sichtbaren horizontalen Flächen auf der Oberseite (die obere Kreisfläche der kleinsten Scheibe und die vier Ringflächen) ergeben zusammen genau die Fläche der größten Scheibe: \(\pi \cdot 9^2 = 81\pi\). - Mantelflächen aller 5 Scheiben: \(2\pi \cdot 1 \cdot (5+6+7+8+9) = 70\pi\). 4. Gesamtsumme Stapel: \(81\pi + 81\pi + 70\pi = 232\pi \approx 728{,}85\,\text{cm}^2\).

a) Die Summe der Einzeloberflächen beträgt ca. \(1822{,}12\,\text{cm}^2\). b) Die sichtbare Oberfläche des Turms beträgt ca. \(728{,}85\,\text{cm}^2\).

- Welcher Bruchteil des Kreises bleibt übrig, wenn man ein Stück herausschneidet? - Stell dir den Käse nach dem Schnitt vor: Welche neuen Flächen sind dazugekommen, die vorher im Inneren des Käses waren? - Aus welchen geometrischen Formen bestehen die Schnittflächen?

1. Bestimmung des Radius: \(r = \frac{d}{2} = 12\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Anteils des verbleibenden Körpers: Da ein \(60^\circ\)-Sektor entfernt wurde, bleiben \(360^\circ - 60^\circ = 300^\circ\) des Kreises übrig. Der Anteil beträgt \(\frac{300}{360} = \frac{5}{6}\). 3. Volumen des verbleibenden Käses: \(V = \frac{5}{6}\pi r^2h = \frac{5}{6} \cdot \pi \cdot 12^2 \cdot 10 = 1200\pi \approx 3769{,}91\,\text{cm}^3\). 4. Oberflächeninhalt der zwei Grundflächen (oben und unten): \(2A_{\text{Sektor}} = 2 \cdot \frac{5}{6} \cdot \pi \cdot 12^2 = 240\pi \approx 753{,}98\,\text{cm}^2\). 5. Inhalt der gekrümmten Mantelfläche: \(M_{\text{Bogen}} = \frac{5}{6} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 200\pi \approx 628{,}32\,\text{cm}^2\). 6. Inhalt der zwei rechteckigen Schnittflächen: \(2 \cdot (r \cdot h) = 2 \cdot (12 \cdot 10) = 240\,\text{cm}^2\). 7. Gesamter Oberflächeninhalt: \(O = 753{,}98 + 628{,}32 + 240 = 1622{,}30\,\text{cm}^2\).

a) Das Volumen beträgt ca. \(3769{,}91\,\text{cm}^3\). b) Der Oberflächeninhalt beträgt ca. \(1622{,}30\,\text{cm}^2\).

- Achte darauf, alle Maße in dieselbe Einheit (cm) umzurechnen, bevor du rechnest. - Ein Viertelzylinder hat eine Grundfläche, die ein Viertel eines Kreises ist. - Wie viele Begrenzungsflächen hat dieser Körper insgesamt? - Die Masse berechnet man, indem man das Volumen mit der Dichte multipliziert.

1. Umrechnung der Höhe: \(h = 200\,\text{cm}\). 2. Grundfläche (Viertelkreis): \(A_G = \frac14\pi\cdot 25^2 = 156{,}25\pi \approx 490{,}87\,\text{cm}^2\). 3. Gekrümmte Mantelfläche: \(M_{\text{Bogen}} = \frac14\cdot 2\pi\cdot 25\cdot 200 = 2500\pi \approx 7\,853{,}98\,\text{cm}^2\). 4. Die beiden rechteckigen Seitenflächen haben zusammen \(2\cdot 25\cdot 200 = 10\,000\,\text{cm}^2\). 5. Ohne Zwischenrundung ist \(O = 2A_G + M_{\text{Bogen}} + 10\,000 = 2812{,}5\pi + 10\,000 \approx 18\,835{,}73\,\text{cm}^2\). 6. Volumen: \(V=A_G\cdot h=31\,250\pi \approx 98\,174{,}77\,\text{cm}^3\). 7. Masse: \(m=V\cdot 2{,}7\,\text{g/cm}^3 \approx 265\,071{,}88\,\text{g} \approx 265{,}07\,\text{kg}\).

a) Der Oberflächeninhalt beträgt ca. \(18\,835{,}73\,\text{cm}^2\). b) Die Stele hat eine Masse von ca. \(265{,}07\,\text{kg}\).

- Überlege dir die Formeln für Volumen, Mantelfläche und Oberfläche eines geraden Prismas. - Welche Teile der Oberfläche hängen von der Höhe ab und welche nicht? - Wenn du die Höhe änderst, bleiben die Deck- und Grundfläche gleich groß. Wie wirkt sich das auf die Gesamtsumme der Flächen aus? - Versuche, die neue Oberfläche als Formel aufzuschreiben und mit dem Dreifachen der alten Oberfläche zu vergleichen.

1. Volumen: Das ursprüngliche Volumen ist \(V = Gh\). Mit der neuen Höhe \(h' = 3h\) ist das neue Volumen \(V' = G(3h) = 3V\). Das Volumen verdreifacht sich. 2. Mantelfläche: Für ein gerades Prisma ist die Mantelfläche \(M = uh\), wobei \(u\) der Umfang der Grundfläche ist. Mit \(h' = 3h\) wird \(M' = u(3h) = 3M\). Die Mantelfläche verdreifacht sich ebenfalls. 3. Oberfläche: Die Gesamtoberfläche ist \(O = 2G + M\). Die neue Oberfläche ist \(O' = 2G + 3M\). 4. Vergleich: Eine Verdreifachung der Oberfläche entspräche \(3O = 3(2G + M) = 6G + 3M\). 5. Da \(2G + 3M < 6G + 3M\) (da \(G > 0\)), ist die neue Oberfläche kleiner als das Dreifache der ursprünglichen Oberfläche. Die Grundflächen werden nämlich nicht mit verdreifacht.

a) Das Volumen verdreifacht sich (\(V' = 3V\)). b) Die Mantelfläche verdreifacht sich ebenfalls (\(M' = 3M\)). c) Die Behauptung ist falsch. Die Oberfläche besteht aus der Mantelfläche und den zwei Grundflächen (\(O = M + 2G\)). Während sich die Mantelfläche verdreifacht, bleiben die Grundflächen gleich. Daher vergrößert sich die Gesamtoberfläche auf weniger als das Dreifache ihres ursprünglichen Werts.

- Wie hängen Radius, Höhe und Volumen zusammen? Kannst du den Radius bestimmen, wenn die anderen Werte bekannt sind? - Berechne zuerst für beide Behälter den jeweiligen Radius. - Was genau ist die Mantelfläche und wie berechnet man sie? - Vergleiche am Ende die beiden berechneten Flächenwerte.

1. Volumen in \(\text{cm}^3\): \(V = 50\,\text{l} = 50\,000\,\text{cm}^3\). 2. Radius von Behälter A: \(r_A = \sqrt{\frac{50\,000}{40\pi}} \approx 19{,}947\,\text{cm}\). 3. Mantelfläche von Behälter A: \(M_A = 2\pi r_A h_A \approx 5\,013{,}26\,\text{cm}^2\). 4. Radius von Behälter B: \(r_B = \sqrt{\frac{50\,000}{60\pi}} \approx 16{,}287\,\text{cm}\). 5. Mantelfläche von Behälter B: \(M_B = 2\pi r_B h_B \approx 6\,139{,}96\,\text{cm}^2\). 6. Da \(M_A<M_B\), besitzt Behälter A die kleinere Mantelfläche.

Behälter A hat die kleinere Mantelfläche: \(M_A \approx 5\,013{,}26\,\text{cm}^2\) gegenüber \(M_B \approx 6\,139{,}96\,\text{cm}^2\).

- Setze das gegebene Volumen in die Formel ein, um die unbekannte Höhe zu isolieren. - Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus zwei Kreisen und einem Rechteck (dem Mantel). - Berücksichtige beim Materialbedarf zuerst die Anzahl der Dosen und schlage dann den Prozentsatz für den Verschnitt auf. - Denk an die Umrechnungszahl für Flächeneinheiten (\(\text{cm}^2\) zu \(\text{m}^2\)).

1. Für \(V = 425\,\text{cm}^3\) gilt \(h_A = \frac{425}{\pi\cdot 3{,}5^2} \approx 11{,}04\,\text{cm}\) und \(h_B = \frac{425}{\pi\cdot 4{,}2^2} \approx 7{,}67\,\text{cm}\). 2. Mit \(O=2\pi r^2+2\pi rh\) und \(2\pi rh=\frac{2V}{r}\) erhält man ohne Zwischenrundung: Dose A: \(O_A = 2\pi\cdot 3{,}5^2 + \frac{2\cdot 425}{3{,}5} \approx 319{,}83\,\text{cm}^2\). Dose B: \(O_B = 2\pi\cdot 4{,}2^2 + \frac{2\cdot 425}{4{,}2} \approx 313{,}22\,\text{cm}^2\). 3. Dose B ist materialsparender. Für 1000 Stück einschließlich \(15\,\%\) Verschnitt werden \(1000\cdot O_B\cdot 1{,}15 \approx 360\,198{,}79\,\text{cm}^2\) benötigt. 4. Das sind \(36{,}02\,\text{m}^2\).

a) Höhe Dose A: ca. \(11{,}04\,\text{cm}\); Höhe Dose B: ca. \(7{,}67\,\text{cm}\). b) Oberfläche Dose A: ca. \(319{,}83\,\text{cm}^2\); Oberfläche Dose B: ca. \(313{,}22\,\text{cm}^2\). c) Für 1000 Stück der Dose B werden einschließlich Verschnitt ca. \(36{,}02\,\text{m}^2\) Blech benötigt.

- Berechne zuerst für beide Körper die fehlende Höhe, indem du die Volumenformel nach der Höhe auflöst. - Verwende für die Oberfläche die Summe aus der Mantelfläche und den beiden Grundflächen. - Vergleiche am Ende die beiden berechneten Oberflächenwerte.

1. Umrechnung des Volumens: \(1\,\text{l} = 1\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Höhe \(h_A\) für Modell A: \(V = \pi r^2h_A \implies 1\,000 = \pi \cdot 5^2 \cdot h_A \implies h_A = \frac{40}{\pi} \approx 12{,}73\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Oberfläche \(O_A\): \(O_A = 2\pi r^2 + 2\pi r h_A = 2\pi \cdot 25 + 2\pi \cdot 5 \cdot \frac{40}{\pi} = 50\pi + 400 \approx 557{,}08\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Höhe \(h_B\) für Modell B: \(V = a^2h_B \implies 1\,000 = 10^2 \cdot h_B \implies h_B = 10\,\text{cm}\). 5. Berechnung der Oberfläche \(O_B\): \(O_B = 2a^2 + 4ah_B = 2 \cdot 100 + 4 \cdot 10 \cdot 10 = 200 + 400 = 600\,\text{cm}^2\). 6. Vergleich: Da \(557{,}08\,\text{cm}^2 < 600\,\text{cm}^2\), hat Modell A die geringere Oberfläche.

Modell A (der Zylinder) ist mit einer Oberfläche von ca. \(557\,\text{cm}^2\) sparsamer als Modell B (das Prisma) mit \(600\,\text{cm}^2\).

- Berechne zuerst für beide Zylinder das Volumen mit der entsprechenden Formel. - Was genau passiert mit dem Radius und der Höhe im Vergleich der beiden Gefäße? - Vergleiche die Ergebnisse der Oberflächenberechnung. Welcher Wert ist größer? - Denk an die Kosten: Welches Gefäß benötigt mehr Material für die Außenhülle?

1. Volumen Gefäß A: \(V_A = \pi r_A^2h_A = \pi \cdot 25 \cdot 20 = 500\pi \approx 1570{,}8\,\text{cm}^3\). 2. Volumen Gefäß B: \(V_B = \pi r_B^2h_B = \pi \cdot 100 \cdot 5 = 500\pi \approx 1570{,}8\,\text{cm}^3\). Damit ist \(V_A = V_B\). 3. Oberfläche Gefäß A: \(O_A = 2\pi r_A^2 + 2\pi r_Ah_A = 2\pi \cdot 25 + 2\pi \cdot 5 \cdot 20 = 50\pi + 200\pi = 250\pi \approx 785{,}4\,\text{cm}^2\). 4. Oberfläche Gefäß B: \(O_B = 2\pi r_B^2 + 2\pi r_Bh_B = 2\pi \cdot 100 + 2\pi \cdot 10 \cdot 5 = 200\pi + 100\pi = 300\pi \approx 942{,}5\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: Gefäß B hat eine größere Oberfläche (\(300\pi > 250\pi\)). 6. Begründung: Für die Herstellung ist die Oberfläche entscheidend für den Materialverbrauch (Blech). Gefäß A ist materialsparender bei gleichem Inhalt.

a) Beide Volumina betragen \(500\pi\,\text{cm}^3 \approx 1570{,}8\,\text{cm}^3\). b) Gefäß B hat mit ca. \(942{,}5\,\text{cm}^2\) eine größere Oberfläche als Gefäß A (ca. \(785{,}4\,\text{cm}^2\)). Ein geringerer Materialverbrauch (kleinere Oberfläche) senkt die Produktionskosten.

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Wie hängen Volumen, Fläche und Dicke bei einer sehr dünnen Schicht zusammen? - Achte besonders auf die Umrechnung von Millimetern in Zentimeter und von Quadratzentimetern in Quadratmeter. - Wenn du die Fläche eines Quadrats kennst, wie kommst du auf die Länge einer Seite?

1. Volumen des Quaders berechnen: \(V = 5\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm} = 10\,\text{cm}^3\). 2. Masse berechnen: \(m = V \cdot \rho = 10\,\text{cm}^3 \cdot 19{,}3\,\text{g/cm}^3 = 193\,\text{g}\). 3. Dicke des Blattgolds in \(\text{cm}\) umrechnen: \(h = 0{,}0001\,\text{mm} = 0{,}00001\,\text{cm}\). 4. Fläche des Blatts berechnen: \(A = \frac{V}{h} = \frac{10\,\text{cm}^3}{0{,}00001\,\text{cm}} = 1\,000\,000\,\text{cm}^2\). 5. Umrechnung der Fläche in Quadratmeter: \(A = 100\,\text{m}^2\). 6. Seitenlänge des Quadrats berechnen: \(a = \sqrt{100\,\text{m}^2} = 10\,\text{m}\).

a) Die Masse des Goldbarrens beträgt \(193\,\text{g}\). b) Das quadratische Goldblatt hat eine Seitenlänge von \(10\,\text{m}\).

- Es ist oft hilfreich, Längen sofort in Dezimeter umzurechnen, wenn nach Litern gefragt ist. - Überlege dir zuerst, wie hoch das Wasser jetzt steht und wie hoch es am Ende stehen soll. - Die Differenz dieser Höhen ist die Höhe des Zylinders, dessen Volumen du berechnen musst. - Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen?

1. Umrechnung in Dezimeter für die direkte Berechnung von Litern (\(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\)): \(d = 7\,\text{dm}\) (also \(r = 3{,}5\,\text{dm}\)), \(h_{\text{gesamt}} = 11\,\text{dm}\). 2. Aktuelle Füllhöhe: \(h_{\text{ist}} = \frac{1}{3} \cdot 11\,\text{dm} = \frac{11}{3}\,\text{dm} \approx 3{,}67\,\text{dm}\). 3. Ziel-Füllhöhe: \(h_{\text{ziel}} = 11\,\text{dm} - 1\,\text{dm} = 10\,\text{dm}\). 4. Differenz der Füllhöhen: \(\Delta h = 10\,\text{dm} - \frac{11}{3}\,\text{dm} = \frac{30-11}{3}\,\text{dm} = \frac{19}{3}\,\text{dm} \approx 6{,}33\,\text{dm}\). 5. Zusätzliches Volumen: \(V_{\text{zusätzlich}} = \pi r^2\Delta h = \pi \cdot (3{,}5)^2 \cdot \frac{19}{3} \approx 3{,}1416 \cdot 12{,}25 \cdot 6{,}3333 \approx 243{,}73\,\text{dm}^3\). 6. Rundung auf ganze Liter: \(244\,\text{l}\).

Es müssen etwa \(244\,\text{Liter}\) Wasser hinzugefügt werden.

- Welche neuen Flächen entstehen durch das Bohren und welche Teile der ursprünglichen Oberfläche fallen weg? - Berechne am besten zuerst die Oberfläche des vollen Zylinders. - Wie berechnet man den Oberflächeninhalt der Innenseite des Lochs? - Denk an die Formel für die prozentuale Veränderung: \(\frac{\text{neuer Wert}-\text{alter Wert}}{\text{alter Wert}}\).

1. Oberfläche des massiven Zylinders: \(O_{\text{alt}} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi \cdot 6^2 + 2\pi \cdot 6 \cdot 15 = 72\pi + 180\pi = 252\pi \approx 791{,}68\,\text{cm}^2\). 2. Oberfläche des Hohlzylinders: Die Grundflächen verringern sich um \(2 \cdot \pi \cdot 2^2 = 8\pi\), die äußere Mantelfläche bleibt gleich (\(180\pi\)), und eine innere Mantelfläche kommt hinzu (\(M_i = 2\pi \cdot 2 \cdot 15 = 60\pi\)). 3. Neue Oberfläche: \(O_{\text{neu}} = 2\pi(6^2 - 2^2) + 180\pi + 60\pi = 64\pi + 180\pi + 60\pi = 304\pi \approx 955{,}04\,\text{cm}^2\). 4. Prozentuale Zunahme: \(\frac{304\pi - 252\pi}{252\pi} = \frac{52}{252} \approx 0{,}2063\). Dies entspricht einer Zunahme von ca. \(20{,}6\,\%\).

Der Oberflächeninhalt vergrößert sich um ca. \(20{,}6\,\%\).

- Stelle dir vor, wie die Grundfläche aussieht, nachdem das Loch gebohrt wurde. - Vergiss beim Oberflächeninhalt nicht, dass durch die Bohrung eine neue Fläche im Inneren entstanden ist. - Welche Flächen gehören zur „Außenseite“ und welche zur „Innenseite“? - Wie berechnet man den Umfang eines Kreises für die Mantelfläche des Lochs?

1. Grundfläche des Prismas: \(G_{\text{Prisma}}=s^2=100\,\text{cm}^2\). 2. Querschnittsfläche des Lochs mit \(r=3\,\text{cm}\): \(G_{\text{Loch}}=9\pi\,\text{cm}^2\). 3. Verbleibende Querschnittsfläche: \(G_{\text{neu}}=100-9\pi\,\text{cm}^2\). 4. Volumen: \(V=(100-9\pi)\cdot 20 = 2000-180\pi \approx 1\,434{,}51\,\text{cm}^3\). 5. Die Oberfläche besteht aus den beiden durchbohrten quadratischen Flächen, dem äußeren Prismenmantel und der Innenwand der Bohrung: \(O=2(100-9\pi)+4\cdot 10\cdot 20+2\pi\cdot 3\cdot 20 = 1000+102\pi \approx 1\,320{,}44\,\text{cm}^2\).

a) \(V \approx 1\,434{,}51\,\text{cm}^3\) b) \(O \approx 1\,320{,}44\,\text{cm}^2\)

- Wie drückst du eine Zunahme um \(25\,\%\) als Dezimalfaktor aus? - Wenn das Volumen gleich bleibt, wie hängen Radius und Höhe voneinander ab? - Denke daran, dass der Radius in der Formel quadriert wird. Welchen Faktor ergibt das für die Grundfläche? - Wie viel fehlt von der neuen Höhe bis zu \(100\,\%\) der alten Höhe?

1. Definition der neuen Maße: \(r_2 = 1{,}25r_1\). 2. Aufstellen der Volumengleichung für konstantes Volumen: \(V = \pi r_1^2h_1 = \pi r_2^2h_2\). 3. Einsetzen von \(r_2\): \(\pi r_1^2h_1 = \pi (1{,}25r_1)^2h_2 = \pi \cdot 1{,}5625 \cdot r_1^2 \cdot h_2\). 4. Kürzen von \(\pi r_1^2\) ergibt \(h_1 = 1{,}5625h_2\). 5. Auflösen nach der neuen Höhe: \(h_2 = \frac{1}{1{,}5625}h_1 = 0{,}64h_1\). 6. Berechnung der prozentualen Verringerung: \(1 - 0{,}64 = 0{,}36\), was einer Abnahme um \(36\,\%\) entspricht.

Die Höhe muss um \(36\,\%\) verringert werden.

- Wie berechnet man die Grundfläche eines Kreisrings? - Denke an die dritte binomische Formel, um die Differenz der Quadrate umzuformen. - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit, zum Beispiel Zentimeter, vorliegen, bevor du rechnest. - Wie hängen Volumen, Dichte und Masse zusammen? - Überlege, an welcher Stelle der Formel die Länge \(l\) steht.

1. Aufstellen der Volumenformel: Das Volumen eines Hohlzylinders berechnet sich aus der Differenz der Volumina des Außen- und Innenzylinders: \(V = \frac{\pi D^2}{4}l - \frac{\pi d^2}{4}l = \frac{\pi l}{4}(D^2 - d^2)\). 2. Faktorisierung: Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \(V = \frac{\pi l}{4}(D - d)(D + d)\). 3. Umrechnung der Einheiten: \(l = 2{,}5\,\text{m} = 250\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Volumens: \(V = \frac{3{,}14 \cdot 250}{4} \cdot (12^2 - 10^2) = 196{,}25 \cdot (144 - 100) = 196{,}25 \cdot 44 = 8635\,\text{cm}^3\). 5. Berechnung der Masse: \(m = V\rho = 8635\,\text{cm}^3 \cdot 7{,}85\,\text{g/cm}^3 = 67\,784{,}75\,\text{g} = 67{,}78475\,\text{kg}\). Auf zwei Dezimalstellen gerundet ergibt sich \(m \approx 67{,}78\,\text{kg}\). 6. Proportionalität: Da das Volumen und damit die Masse direkt proportional zur Länge \(l\) sind, verdoppelt sich bei doppelter Länge auch die Masse.

a) \(V = \frac{\pi l}{4}(D^2 - d^2)\) b) \(V = \frac{\pi l}{4}(D - d)(D + d)\) c) \(m \approx 67{,}78\,\text{kg}\) d) Die Masse verdoppelt sich, da sie direkt proportional zur Länge ist.

- Wie hängen \(\text{cm}^3\) und \(\text{dm}^3\) zusammen? - Stell dir den Ring von oben vor: Was misst man, wenn man vom Außenrand zum Innenrand misst? - Wie verändert sich der Rauminhalt eines Körpers, wenn man ihn in alle drei Richtungen gleichmäßig streckt?

1. Berechnung der Grundfläche: \(A = \pi (R^2 - r^2) = 3{,}14 \cdot (50^2 - 40^2) = 3{,}14 \cdot (2500 - 1600) = 3{,}14 \cdot 900 = 2826\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens in \(\text{cm}^3\): \(V = Ah = 2826\,\text{cm}^2 \cdot 80\,\text{cm} = 226\,080\,\text{cm}^3\). 3. Umrechnung in \(\text{dm}^3\) (Liter): \(226\,080 : 1000 = 226{,}08\,\text{dm}^3\) bzw. \(226{,}08\,\text{l}\). 4. Berechnung der Masse: \(m = V\rho = 226{,}08\,\text{dm}^3 \cdot 2{,}4\,\text{kg/dm}^3 = 542{,}592\,\text{kg}\). 5. Geometrische Interpretation: Der Ausdruck \((R - r)\) entspricht der Differenz zwischen Außen- und Innenradius, was der Wandstärke des Rings entspricht. 6. Skalierungsfaktor: Bei Verdoppelung aller Längenmaße wächst das Volumen eines Körpers mit dem Faktor \(2^3 = 8\).

a) \(V = 226{,}08\,\text{l}\) b) \(m = 542{,}592\,\text{kg}\) c) \((R - r)\) ist die Wandstärke des Rings. d) Das Volumen vergrößert sich um den Faktor \(8\).

- Wie berechnet man das Volumen eines Körpers, aus dem ein Teil herausgeschnitten wurde? - Welchen Radius musst du für die Bohrung verwenden, wenn der Durchmesser gegeben ist? - Musst du für die Prozentrechnung in Teil b) die tatsächliche Masse berechnen oder gibt es einen kürzeren Weg? - Was bedeutet „leichter sein“ im mathematischen Sinne für das Verhältnis der Massen?

1. Bestimmung der Radien: Außenradius \(R = 10\,\text{cm}\), Innenradius der Bohrung \(r = 4\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens des massiven Zylinders: \(V_{\text{außen}} = \pi R^2h = \pi \cdot (10\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 1000 \cdot \pi\,\text{cm}^3 \approx 3141{,}59\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens der Bohrung: \(V_{\text{innen}} = \pi r^2h = \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 160 \cdot \pi\,\text{cm}^3 \approx 502{,}65\,\text{cm}^3\). 4. Berechnung des Restvolumens für Teil a): \(V_{\text{Werkstück}} = V_{\text{außen}} - V_{\text{innen}} = 840 \cdot \pi\,\text{cm}^3 \approx 2638{,}94\,\text{cm}^3\). 5. Berechnung der prozentualen Verringerung für Teil b): Da das Material gleich bleibt, entspricht die prozentuale Massenabnahme der prozentualen Volumenabnahme: \(\frac{V_{\text{innen}}}{V_{\text{außen}}} = \frac{160 \cdot \pi}{1000 \cdot \pi} = 0{,}16 = 16\,\%\).

a) Das Volumen beträgt etwa \(2638{,}94\,\text{cm}^3\). b) Das Werkstück ist um \(16\,\%\) leichter.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. - Wie hängen Grundfläche, Höhe und Volumen eines Prismas zusammen? - Um die schräge Seite des Trapezes zu berechnen, kannst du ein rechtwinkliges Dreieck an den Seiten einzeichnen. Welcher berühmte Satz hilft dir dabei? - Aus welchen Teilen setzt sich die gesamte Oberfläche eines Prismas zusammen?

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) und des Volumens \(V\): - Die Grundfläche ist ein symmetrisches Trapez: \(G = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{10\,\text{cm} + 4\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = 7\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 28\,\text{cm}^2\) - Das Volumen des Prismas ist: \(V = G \cdot l = 28\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 420\,\text{cm}^3\) 2. Berechnung der schrägen Seitenkanten \(b\) und der Oberfläche \(O\): - Zur Berechnung der schrägen Seite \(b\) nutzen wir ein rechtwinkliges Dreieck an der Seite des Trapezes. Die Katheten dieses Dreiecks sind die Höhe \(h = 4\,\text{cm}\) und der Abschnitt \(x = \frac{a - c}{2} = \frac{10\,\text{cm} - 4\,\text{cm}}{2} = 3\,\text{cm}\). - Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich: \(b = \sqrt{h^2 + x^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}\) - Der Umfang der Grundfläche ist: \(U = a + b + c + b = 10\,\text{cm} + 5\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 24\,\text{cm}\) - Die Mantelfläche des Prismas ist: \(M = U \cdot l = 24\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 360\,\text{cm}^2\) - Die gesamte Oberfläche des Prismas beträgt: \(O = 2G + M = 2 \cdot 28\,\text{cm}^2 + 360\,\text{cm}^2 = 56\,\text{cm}^2 + 360\,\text{cm}^2 = 416\,\text{cm}^2\)

a) Die Grundfläche beträgt \(G = 28\,\text{cm}^2\) und das Volumen beträgt \(V = 420\,\text{cm}^3\). b) Die schrägen Seitenkanten der Grundfläche sind jeweils \(5\,\text{cm}\) lang. Die gesamte Oberfläche des Prismas beträgt \(O = 416\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Formeln für die Mantelfläche und die Grundfläche eines Zylinders aufschreiben? - Wie hängen die Mantelfläche und die Grundfläche laut der Aufgabenstellung zusammen? Kannst du daraus eine Gleichung aufstellen? - Versuche, die Gleichung so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du die bekannten Werte einsetzt. - Wenn du den Radius bestimmt hast, wie berechnest du das Volumen und die Gesamtoberfläche?

1. Aufstellen des Verhältnisses von Mantelfläche \(M\) zu Grundfläche \(G\): Die Formeln lauten: \(M = 2\pi rh\) \(G = \pi r^2\) Da die Mantelfläche dreimal so groß wie die Grundfläche ist, gilt: \(M = 3G \implies 2\pi rh = 3\pi r^2\) Teilen durch \(\pi r\) (da \(r > 0\)) ergibt: \(2h = 3r\) 2. Einsetzen der Höhe \(h = 15\,\text{cm}\) zur Berechnung von \(r\): \(2 \cdot 15\,\text{cm} = 3r \implies 30\,\text{cm} = 3r \implies r = 10\,\text{cm}\) Der Radius der Grundfläche beträgt somit \(10\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Volumens \(V\): \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (10\,\text{cm})^2 \cdot 15\,\text{cm} = 1500\pi\,\text{cm}^3 \approx 4712{,}4\,\text{cm}^3\) 4. Berechnung der gesamten Oberfläche \(O\): \(O = 2G + M = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi \cdot (10\,\text{cm})^2 + 2\pi \cdot 10\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 200\pi\,\text{cm}^2 + 300\pi\,\text{cm}^2 = 500\pi\,\text{cm}^2 \approx 1570{,}8\,\text{cm}^2\)

a) \(r = 10\,\text{cm}\) b) \(V \approx 4712{,}4\,\text{cm}^3\) c) \(O \approx 1570{,}8\,\text{cm}^2\)

- Kannst du die fünfseitige Grundfläche in zwei einfachere, dir bekannte geometrische Formen zerlegen? - Wie berechnet man das Volumen eines geraden Prismas, wenn die Grundfläche und die Länge bekannt sind? - Betrachte das obere Dreieck der Hausseite. Wie kannst du durch Einzeichnen einer Symmetrieachse ein rechtwinkliges Dreieck erzeugen, um die Dachschräge zu berechnen? - Aus welchen einzelnen Rechtecken setzt sich die Mantelfläche dieses Prismas zusammen? Wie hängen der Umfang der Grundfläche und die Mantelfläche zusammen? - Vergiss bei der Berechnung der Gesamtoberfläche nicht, dass das Prisma zwei identische Grundflächen besitzt.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\): Aufteilung der Grundfläche in ein Rechteck (unten) und ein Dreieck (oben). Das Rechteck hat einen Flächeninhalt von \(A_{\text{Rechteck}} = 8 \cdot 5 = 40\,\text{cm}^2\). Das Dreieck hat die Grundseite \(8\,\text{cm}\) und die Höhe \(8 - 5 = 3\,\text{cm}\), woraus sich ein Flächeninhalt von \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12\,\text{cm}^2\) ergibt. Die gesamte Grundfläche beträgt \(G = 40 + 12 = 52\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens \(V\): Das Volumen ergibt sich aus Grundfläche mal Länge des Prismas: \(V = Gl = 52 \cdot 15 = 780\,\text{cm}^3\). 3. Bestimmung der Dachschräge \(s\): Die schräge Dachseite bildet mit der halben Hausbreite (\(4\,\text{cm}\)) und der Dreieckshöhe (\(3\,\text{cm}\)) ein rechtwinkliges Dreieck. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: \(s = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Mantelfläche \(M\) und der Oberfläche \(O\): Der Umfang der Grundfläche ist \(U = 8 + 5 + 5 + 5 + 5 = 28\,\text{cm}\). Die Mantelfläche beträgt \(M = Ul = 28 \cdot 15 = 420\,\text{cm}^2\). Die Oberfläche ist \(O = 2G + M = 2 \cdot 52 + 420 = 524\,\text{cm}^2\).

a) \(G = 52\,\text{cm}^2\) b) \(V = 780\,\text{cm}^3\) c) Die schräge Dachseite ist \(5\,\text{cm}\) lang. d) \(M = 420\,\text{cm}^2\), \(O = 524\,\text{cm}^2\)

- Aus welchen Teilen besteht die Gesamtoberfläche eines Zylinders? Vergiss nicht, dass er oben und unten eine Fläche hat. - Welche Rolle spielt der Umfang des Kreises bei der Berechnung der Mantelfläche? - Nutze die \(\pi\)-Taste deines Taschenrechners für eine genauere Berechnung vor dem Runden.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\): \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (4{,}5\,\text{cm})^2 = 20{,}25\pi\,\text{cm}^2\) 2. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = 2\pi rh = 2\pi \cdot 4{,}5\,\text{cm} \cdot 12{,}2\,\text{cm} = 109{,}8\pi\,\text{cm}^2\) 3. Berechnung der Gesamtoberfläche \(O\): \(O = 2G + M = 2 \cdot 20{,}25\pi + 109{,}8\pi = 150{,}3\pi\,\text{cm}^2\) 4. Numerische Berechnung und Rundung: \(O \approx 150{,}3 \cdot 3{,}14159\,\text{cm}^2 \approx 472{,}18\,\text{cm}^2 \approx 472\,\text{cm}^2\)

Der Oberflächeninhalt des Zylinders beträgt etwa \(472\,\text{cm}^2\).

- Das Zelt besteht aus mehreren Teilflächen. Welche davon sind für den Stoff relevant? - Erinnere dich an die Flächenformel für Dreiecke und Rechtecke. - Um die Fläche der schrägen Zeltwände zu berechnen, benötigst du deren Breite. Diese entspricht der Schenkellänge des Dreiecks.

1. Berechnung der Vorder- und Rückseite: - Zwei Dreiecke mit Grundseite \(g = 1{,}6\,\text{m}\) und Höhe \(h = 1{,}5\,\text{m}\). - Fläche beider Dreiecke zusammen: \(2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1{,}6 \cdot 1{,}5) = 2{,}4\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der beiden Dachflächen: - Berechnung der Schenkellänge \(s\) des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Teildreieck: \(s = \sqrt{(0{,}8\,\text{m})^2 + (1{,}5\,\text{m})^2} = \sqrt{0{,}64 + 2{,}25} = \sqrt{2{,}89} = 1{,}7\,\text{m}\). - Zwei rechteckige Dachflächen mit den Maßen \(1{,}7\,\text{m} \times 2{,}4\,\text{m}\). - Fläche beider Rechtecke zusammen: \(2 \cdot (1{,}7 \cdot 2{,}4) = 8{,}16\,\text{m}^2\). 3. Gesamtfläche des Stoffes: \(A = 2{,}4\,\text{m}^2 + 8{,}16\,\text{m}^2 = 10{,}56\,\text{m}^2\).

Es werden insgesamt \(10{,}56\,\text{m}^2\) Zeltstoff benötigt.

- Kannst du die Vorderseite der Box in bekannte Teilflächen wie Rechtecke und Dreiecke zerlegen? - Erinnere dich daran, wie man das Volumen eines Prismas berechnet, wenn die Grundfläche bekannt ist. - Überlege für die Oberfläche genau, welche Kantenlängen die einzelnen rechteckigen Außenwände haben. - Wie lässt sich die Länge der schrägen Kante berechnen, wenn man ein rechtwinkliges Dreieck zu Hilfe nimmt? - Achte am Ende auf die geforderten Einheiten Liter und Quadratmeter.

1. Berechnung der Querschnittsfläche (Vorderseite): Zerlegung in ein Rechteck (\(80\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} = 4000\,\text{cm}^2\)), ein zweites Rechteck (\(40\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 800\,\text{cm}^2\)) und ein rechtwinkliges Dreieck (\(\frac{1}{2} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 600\,\text{cm}^2\)). Gesamtquerschnittsfläche: \(A_G = 4000\,\text{cm}^2 + 800\,\text{cm}^2 + 600\,\text{cm}^2 = 5400\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = A_G \cdot \text{Tiefe} = 5400\,\text{cm}^2 \cdot 100\,\text{cm} = 540\,000\,\text{cm}^3\). Umrechnung in Liter: \(540\,000\,\text{cm}^3 = 540\,\text{dm}^3 = 540\,\text{l}\). 3. Berechnung der Oberfläche: Bestimmung der schrägen Kante mit dem Satz des Pythagoras: \(\sqrt{(120 - 80)^2 + (50 - 20)^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = 50\,\text{cm}\). Einzelne Flächen: Vorder- und Rückseite (\(2 \cdot 5400\,\text{cm}^2 = 10\,800\,\text{cm}^2\)), Boden (\(120\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 12\,000\,\text{cm}^2\)), linke Seite (\(50\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 5000\,\text{cm}^2\)), rechte Seite (\(20\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 2000\,\text{cm}^2\)), waagerechter Deckelteil (\(80\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 8000\,\text{cm}^2\)), schräger Deckelteil (\(50\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 5000\,\text{cm}^2\)). Gesamtoberfläche: \(O = 10\,800 + 12\,000 + 5000 + 2000 + 8000 + 5000 = 42\,800\,\text{cm}^2\). Umrechnung in Quadratmeter: \(42\,800\,\text{cm}^2 = 4{,}28\,\text{m}^2\).

a) Das Volumen der Box beträgt \(540\,\text{l}\). b) Die gesamte Oberfläche beträgt \(4{,}28\,\text{m}^2\).

- Ersetze in der Volumenformel für den Zylinder die Höhe durch den entsprechenden Ausdruck für den Radius. - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass nur noch die Unbekannte \(r\) übrig bleibt? - Denke daran, dass der Oberflächeninhalt aus zwei Kreisflächen und der Mantelfläche besteht. - Achte beim Runden auf die zweite Nachkommastelle.

1. Aufstellen der Volumenformel mit der Bedingung \(h = 2r\): \(V = \pi r^2h = \pi r^2(2r) = 2\pi r^3\). 2. Gleichsetzen mit dem gegebenen Volumen: \(250\pi = 2\pi r^3\). 3. Auflösen nach \(r\): \(125 = r^3 \Rightarrow r = \sqrt[3]{125} = 5\,\text{cm}\). 4. Bestimmung der Höhe: \(h = 2 \cdot 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\). 5. Berechnung des Oberflächeninhalts: \(O = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi \cdot 5^2 + 2\pi \cdot 5 \cdot 10 = 50\pi + 100\pi = 150\pi\,\text{cm}^2\). 6. Numerischer Wert: \(150\pi \approx 471{,}24\,\text{cm}^2\).

1. Der Radius beträgt \(r = 5\,\text{cm}\). 2. Der Oberflächeninhalt beträgt \(O = 150\pi\,\text{cm}^2 \approx 471{,}24\,\text{cm}^2\).

- Aus welchen Teilflächen besteht die gesamte äußere Hülle des Hauses? Vergiss die Rückseite und den Boden nicht. - Für die schrägen Dachflächen musst du zuerst die Länge der Dachkante berechnen. Erinnere dich an den Satz des Pythagoras. - Addiere alle Einzelflächen (Vorderseite, Rückseite, Boden, Seitenwände, Dachflächen) zum Gesamtergebnis.

1. Berechnung der Grundfläche \(A_G\) (Vorder- und Rückseite): - Rechteckiger Teil: \(8\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\) - Dreieckiger Giebelteil: Grundseite \(8\,\text{m}\), Höhe \(8\,\text{m} - 5\,\text{m} = 3\,\text{m}\). Fläche: \(\frac{1}{2} \cdot 8\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\) - \(A_G = 40\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 = 52\,\text{m}^2\) - Zwei solche Flächen (vorne und hinten): \(2 \cdot 52\,\text{m}^2 = 104\,\text{m}^2\) 2. Berechnung der Mantelflächen und des Bodens: - Bodenfläche: \(8\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 80\,\text{m}^2\) - Zwei Seitenwände: \(2 \cdot (5\,\text{m} \cdot 10\,\text{m}) = 100\,\text{m}^2\) - Zwei Dachschrägen: Die Länge der Dachkante \(s\) ergibt sich aus der halben Breite (\(4\,\text{m}\)) und der Giebelhöhe (\(3\,\text{m}\)) per Pythagoras: \(s = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\,\text{m}\). - Fläche der Dachschrägen: \(2 \cdot (5\,\text{m} \cdot 10\,\text{m}) = 100\,\text{m}^2\) 3. Gesamtfläche: \(O = 104\,\text{m}^2 + 80\,\text{m}^2 + 100\,\text{m}^2 + 100\,\text{m}^2 = 384\,\text{m}^2\)

Der Oberflächeninhalt des Hauses beträgt \(384\,\text{m}^2\).

- Skizziere den Querschnitt des Baumstamms. Wenn ein \(90^\circ\)-Segment entfernt wird, bleibt ein Sektor und ein Dreieck übrig. - Wie berechnet man die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, wenn die beiden kurzen Seiten bekannt sind? - Vergiss nicht, am Ende die Gesamtmasse mit der maximalen Tragkraft der Personen zu vergleichen.

1. Bestimmung der Maße: \(r = 30\,\text{cm}\), \(l = 200\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Grundfläche des verbleibenden Baumstamms (großes Kreissegment): - Diese setzt sich zusammen aus einem Dreiviertel-Kreissektor (\(270^\circ\)) und einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten \(r\). - \(A_{\text{Sektor}} = \frac{270}{360} \cdot \pi \cdot 30^2 = 675\pi \approx 2120{,}58\,\text{cm}^2\). - \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 30 = 450\,\text{cm}^2\). - \(A_G = 2120{,}58 + 450 = 2570{,}58\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Volumens: \(V = A_Gl = 2570{,}58 \cdot 200 = 514\,116\,\text{cm}^3\). 4. Breite der Sitzfläche (Sehne des Segments): Da der Mittelpunktswinkel \(90^\circ\) beträgt, bildet die Breite die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten \(r = 30\,\text{cm}\). - \(c = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1800} \approx 42{,}43\,\text{cm}\). 5. Berechnung der Masse: \(m = V\rho = 514\,116 \cdot 0{,}6 = 308\,469{,}6\,\text{g} \approx 308{,}47\,\text{kg}\). 6. Vergleich mit der Tragkraft: Drei Personen können \(3 \cdot 50\,\text{kg} = 150\,\text{kg}\) tragen. Da \(308{,}47\,\text{kg} > 150\,\text{kg}\), können sie die Bank nicht tragen.

a) Das Volumen beträgt ca. \(514\,116\,\text{cm}^3\). b) Die Sitzfläche ist ca. \(42{,}43\,\text{cm}\) breit. c) Nein, die drei Personen können die Bank nicht tragen, da ihre Masse von ca. \(308{,}47\,\text{kg}\) die gemeinsame Tragfähigkeit von \(150\,\text{kg}\) deutlich überschreitet.