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- Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen? - Welche Formel verbindet den Umfang mit dem Durchmesser? - Kannst du die Formel für den Umfang so umstellen, dass du den Durchmesser berechnen kannst? - Achte auf die Einheiten in jeder Spalte.

1. Berechnung für a): Durchmesser \(d = 2 \cdot r = 2 \cdot 5{,}5\,\text{cm} = 11\,\text{cm}\). Umfang \(U = \pi \cdot d = \pi \cdot 11\,\text{cm} \approx 34{,}56\,\text{cm}\). 2. Berechnung für b): Radius \(r = d : 2 = 18\,\text{m} : 2 = 9\,\text{m}\). Umfang \(U = \pi \cdot d = \pi \cdot 18\,\text{m} \approx 56{,}55\,\text{m}\). 3. Berechnung für c): Durchmesser \(d = U : \pi = 25\,\text{dm} : \pi \approx 7{,}96\,\text{dm}\). Radius \(r = d : 2 \approx 7{,}96\,\text{dm} : 2 \approx 3{,}98\,\text{dm}\).

a) \(d = 11\,\text{cm}\), \(U \approx 34{,}56\,\text{cm}\) b) \(r = 9\,\text{m}\), \(U \approx 56{,}55\,\text{m}\) c) \(d \approx 7{,}96\,\text{dm}\), \(r \approx 3{,}98\,\text{dm}\)

- Überlege, wie der Radius mit dem Durchmesser zusammenhängt. - Welche Formel benötigst du für die Linie um den Kreis herum? - Welche Formel berechnet den Inhalt der Kreisfläche?

1. Berechnung des Umfangs: Mit dem Durchmesser \(d = 4{,}80\,\text{m}\) ergibt sich \(U = \pi \cdot d = \pi \cdot 4{,}80\,\text{m} \approx 15{,}08\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts: Zuerst Bestimmung des Radius \(r = \frac{d}{2} = 2{,}40\,\text{m}\). Dann Anwendung der Formel \(A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (2{,}40\,\text{m})^2 \approx 18{,}10\,\text{m}^2\).

a) Der Umfang beträgt ca. \(15{,}08\,\text{m}\). b) Die Fläche beträgt ca. \(18{,}10\,\text{m}^2\).

- Überlege, wie Umfang und Durchmesser mathematisch zusammenhängen. - Wie berechnet man den Radius, wenn man den Durchmesser kennt? - Was passiert mit dem Radius, wenn der Umfang bei unverändertem Proportionalitätsfaktor verdoppelt wird?

1. Berechnung des Durchmessers aus dem Umfang: \(d = \frac{U}{\pi} = \frac{15{,}70\,\text{m}}{\pi} \approx 5{,}00\,\text{m}\). 2. Berechnung des neuen Radius: Der neue Umfang beträgt \(U_{\text{neu}} = 2 \cdot 15{,}70\,\text{m} = 31{,}40\,\text{m}\). Der neue Durchmesser ist \(d_{\text{neu}} = \frac{31{,}40\,\text{m}}{\pi} \approx 10{,}00\,\text{m}\). Der neue Radius ist die Hälfte des Durchmessers: \(r_{\text{neu}} \approx 5{,}00\,\text{m}\). 3. Allgemeiner Zusammenhang: Da \(U = 2 \cdot \pi \cdot r\) gilt, ist der Radius direkt proportional zum Umfang. Wenn der Umfang verdoppelt wird, verdoppelt sich auch der Radius.

a) Der Durchmesser beträgt ca. \(5{,}00\,\text{m}\). b) Der neue Radius beträgt ca. \(5{,}00\,\text{m}\). c) Wenn der Umfang verdoppelt wird, verdoppelt sich auch der Radius.

- Welche geometrische Form entsteht, wenn man die Blende flach auf den Boden legt? - Welche Eigenschaft des Kreises entspricht der Länge der Blende? - Achte darauf, alle Maße in dieselbe Einheit umzurechnen, bevor du den Flächeninhalt berechnest.

1. Berechnung des Umfangs des Beckens mit der Formel \(U = \pi \cdot d\): \(U = \pi \cdot 4{,}50\,\text{m} \approx 14{,}14\,\text{m}\). Die Länge der Blende entspricht diesem Umfang. 2. Umrechnung der Höhe der Blende in Meter: \(12\,\text{cm} = 0{,}12\,\text{m}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts der (ausgerollten) rechteckigen Blende mit \(A = U \cdot h\): \(A \approx 14{,}137\,\text{m} \cdot 0{,}12\,\text{m} \approx 1{,}70\,\text{m}^2\).

a) Die Blende ist ca. \(14{,}14\,\text{m}\) lang. b) Der Flächeninhalt der Blende beträgt ca. \(1{,}70\,\text{m}^2\).

- Überlege zuerst, welche Strecke der Roboter bei einer einzigen Radumdrehung zurücklegt. - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit (zum Beispiel Zentimeter oder Meter) vorliegen, bevor du rechnest. - Was bedeutet „vollständige Umdrehung“ für dein Ergebnis, wenn eine Dezimalzahl herauskommt?

1. Berechnung des Radumfangs \(U\) mit dem Durchmesser \(d = 12\,\text{cm}\): \(U = \pi \cdot d = \pi \cdot 12\,\text{cm} \approx 37{,}70\,\text{cm}\). 2. Umrechnung der Zielstrecke \(s = 75\,\text{m}\) in Zentimeter: \(s = 7500\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Anzahl der Umdrehungen \(n\) durch Division der Gesamtstrecke durch den Umfang: \(n = \frac{7500\,\text{cm}}{37{,}6991\ldots\,\text{cm}} \approx 198{,}94\). 4. Da nach den vollständigen Umdrehungen gefragt ist, die nötig sind, um die Strecke zu erreichen, muss auf die nächste ganze Zahl aufgerundet werden: \(n = 199\).

Die Räder müssen mindestens \(199\) vollständige Umdrehungen machen.

- Welche Formel benötigst du für den Flächeninhalt eines Kreises? - Wie kommst du vom Flächeninhalt zurück zum Radius? Welches Rechenzeichen ist das Gegenteil vom Quadrieren? - Überlege dir zuerst, welchen Wert du aus den gegebenen Informationen als Nächstes berechnen kannst.

1. Zeile 1: \(U = 2 \cdot \pi \cdot 4\,\text{cm} \approx 25{,}13\,\text{cm}\). \(A = \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 \approx 50{,}27\,\text{cm}^2\). 2. Zeile 2: \(r = \frac{31{,}42\,\text{m}}{2\pi} \approx 5{,}00\,\text{m}\). Ohne Zwischenrundung gilt \(A = \pi r^2 = \frac{(31{,}42\,\text{m})^2}{4\pi} \approx 78{,}56\,\text{m}^2\). 3. Zeile 3: \(r = \sqrt{\frac{153{,}94\,\text{mm}^2}{\pi}} \approx 7{,}00\,\text{mm}\). Ohne Zwischenrundung gilt \(U = 2\pi\sqrt{\frac{153{,}94}{\pi}}\,\text{mm} \approx 43{,}98\,\text{mm}\).

Zeile 1: \(U \approx 25{,}13\,\text{cm}\), \(A \approx 50{,}27\,\text{cm}^2\) Zeile 2: \(r \approx 5{,}00\,\text{m}\), \(A \approx 78{,}56\,\text{m}^2\) Zeile 3: \(r \approx 7{,}00\,\text{mm}\), \(U \approx 43{,}98\,\text{mm}\)

- Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? - Welche Formel benötigst du, um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen? - Wie bestimmst du anschließend die Differenz der beiden Flächeninhalte?

1. Berechnung des Radius für beide Pizzen: \(r_{\text{klein}} = 26\,\text{cm} : 2 = 13\,\text{cm}\) und \(r_{\text{groß}} = 40\,\text{cm} : 2 = 20\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der kleinen Pizza: \(A_{\text{klein}} = \pi \cdot (13\,\text{cm})^2 \approx 530{,}93\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts der großen Pizza: \(A_{\text{groß}} = \pi \cdot (20\,\text{cm})^2 \approx 1256{,}64\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Differenz: \(1256{,}64\,\text{cm}^2 - 530{,}93\,\text{cm}^2 = 725{,}71\,\text{cm}^2\).

Die kleine Pizza hat einen Flächeninhalt von ca. \(530{,}93\,\text{cm}^2\), die große Pizza von ca. \(1256{,}64\,\text{cm}^2\). Die große Pizza ist um ca. \(725{,}71\,\text{cm}^2\) größer.

- Welche Formel verbindet den Flächeninhalt mit dem Radius? - Wie kannst du eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen, die im Quadrat steht? - Wie hängen der Durchmesser und der Radius eines Kreises zusammen?

1. Verwendung der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises: \(A = \pi \cdot r^2\). 2. Umstellen der Formel nach dem Radius: \(r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\). 3. Berechnung für Teilaufgabe a): \(r = \sqrt{\frac{28{,}27\,\text{cm}^2}{\pi}} \approx 3{,}00\,\text{cm}\). 4. Berechnung für Teilaufgabe b): Zuerst den Radius berechnen mit \(r = \sqrt{\frac{314{,}16\,\text{m}^2}{\pi}} \approx 10{,}00\,\text{m}\). 5. Bestimmung des Durchmessers durch Verdopplung des Radius: \(d = 2 \cdot r = 2 \cdot 10{,}00\,\text{m} = 20{,}00\,\text{m}\).

a) \(r \approx 3{,}00\,\text{cm}\) b) \(d \approx 20{,}00\,\text{m}\)

- Welche Formel verknüpft den Umfang direkt mit dem Durchmesser? - Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen? - Welche Formel benötigst du für die Fläche eines Kreises?

1. Berechnung des Durchmessers \(d\) aus dem Umfang \(U = 12{,}00\,\text{m}\) mit der Formel \(U = \pi \cdot d\): \(d = \frac{12{,}00\,\text{m}}{\pi} \approx 3{,}82\,\text{m}\). 2. Bestimmung des Radius \(r\): \(r = \frac{d}{2} \approx 1{,}91\,\text{m}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts \(A\) mit der Formel \(A = \pi \cdot r^2\): \(A = \pi \cdot (1{,}91\,\text{m})^2 \approx 11{,}46\,\text{m}^2\) (oder direkt über \(d\): \(A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \approx 11{,}46\,\text{m}^2\)).

a) Der Durchmesser beträgt ca. \(3{,}82\,\text{m}\). b) Der Flächeninhalt beträgt ca. \(11{,}46\,\text{m}^2\).

- Welche Formeln verknüpfen den Radius und die Bogenlänge mit dem Winkel? - Gibt es eine Formel für den Flächeninhalt, die direkt die Bogenlänge nutzt? - Überlege, welcher Bruchteil des gesamten Kreisumfangs die Bogenlänge ist.

1. Berechnung des Mittelpunktswinkels \(\alpha\): Aus der Formel für die Bogenlänge \(b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r\) folgt durch Umstellen \(\alpha = \frac{b \cdot 360^\circ}{2\pi r}\). Einsetzen der Werte ergibt \(\alpha = \frac{12 \cdot 360}{2\pi \cdot 15} = \frac{144}{\pi} \approx 45{,}84^\circ\). 2. Berechnung des Flächeninhalts \(A\): Unter Verwendung der Formel \(A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r\) ergibt sich \(A = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 90\,\text{cm}^2\). Alternativ führt die Formel \(A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2\) mit dem berechneten Winkel zum gleichen Ergebnis.

Der Mittelpunktswinkel beträgt \(\alpha \approx 45{,}84^\circ\) und der Flächeninhalt ist \(A = 90\,\text{cm}^2\).

- Welche Größen sind gegeben und welche wird gesucht? - Kennst du eine Formel, die den Flächeninhalt, den Radius und die Bogenlänge miteinander verknüpft? - Versuche, die bekannte Formel so umzustellen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht.

1. Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreissektors lautet \(A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r\). 2. Umstellen der Formel nach der gesuchten Bogenlänge \(b\): \(b = \frac{2 \cdot A}{r}\). 3. Einsetzen der gegebenen Werte \(A = 24{,}5\,\text{cm}^2\) und \(r = 7\,\text{cm}\): \(b = \frac{2 \cdot 24{,}5\,\text{cm}^2}{7\,\text{cm}}\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(b = \frac{49\,\text{cm}^2}{7\,\text{cm}} = 7\,\text{cm}\).

Die Bogenlänge beträgt \(7\,\text{cm}\).

- Überlege, welcher Anteil des vollen Kreisumfangs durch den gegebenen Winkel abgedeckt wird. - Achte genau darauf, ob der Radius oder der Durchmesser gegeben ist. - Wie lautet die Formel für den gesamten Umfang eines Kreises?

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Nutzung der Formel \(b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}\). Einsetzen der Werte \(r = 7{,}5\,\text{cm}\) und \(\alpha = 48^\circ\) ergibt \(b = 2 \cdot \pi \cdot 7{,}5 \cdot \frac{48}{360} = 15\pi \cdot \frac{2}{15} = 2\pi \approx 6{,}28\,\text{cm}\). 2. Vorbereitung für Teilaufgabe b): Bestimmung des Radius aus dem Durchmesser \(r = \frac{d}{2} = \frac{1{,}20\,\text{m}}{2} = 0{,}60\,\text{m}\). 3. Berechnung für Teilaufgabe b): Einsetzen in die Formel \(b = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}60 \cdot \frac{210}{360} = 1{,}2\pi \cdot \frac{7}{12} = 0{,}7\pi \approx 2{,}20\,\text{m}\).

a) \(b \approx 6{,}28\,\text{cm}\) b) \(b \approx 2{,}20\,\text{m}\)

- Welche geometrische Form beschreibt der Bewässerungsarm, wenn er sich dreht? - Welche Formel benötigst du für den Flächeninhalt und welche für den Weg, den die Spitze zurücklegt? - Achte darauf, die Zeitangabe von Stunden in Minuten umzurechnen, um die gewünschte Einheit zu erhalten.

1. Berechnung der Fläche: Die bewässerte Fläche ist ein Kreis mit dem Radius \(r = 120\,\text{m}\). Mit der Formel \(A = \pi \cdot r^2\) ergibt sich \(A = \pi \cdot (120\,\text{m})^2 = 14\,400 \cdot \pi\,\text{m}^2 \approx 45\,238{,}93\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Umfangs: Die äußerste Düse legt bei einer Umdrehung den Kreisumfang \(U = 2 \cdot \pi \cdot r\) zurück. Es gilt \(U = 2 \cdot \pi \cdot 120\,\text{m} = 240 \cdot \pi\,\text{m} \approx 753{,}98\,\text{m}\). 3. Umrechnung der Zeit: Die Zeit für eine Umdrehung beträgt \(10\,\text{Stunden} = 10 \cdot 60\,\text{Minuten} = 600\,\text{Minuten}\). 4. Berechnung der Geschwindigkeit: Die Geschwindigkeit \(v\) ist Strecke pro Zeit, also \(v = \frac{U}{t} = \frac{753{,}98\,\text{m}}{600\,\text{min}} \approx 1{,}26\,\text{m/min}\).

a) Die bewässerte Fläche beträgt ca. \(45\,238{,}93\,\text{m}^2\). b) Die Geschwindigkeit der äußersten Düse beträgt ca. \(1{,}26\,\text{m/min}\).

- Welche Formel verbindet den Umfang eines Kreises mit seinem Durchmesser? - Überlege, wie du die bekannte Formel umstellen kannst, um die gesuchte Größe allein auf einer Seite zu haben. - Was ist in der Aufgabe gegeben und was wird gesucht?

1. Zusammenhang zwischen Umfang \(U\) und Durchmesser \(d\) eines Kreises nutzen: \(U = \pi \cdot d\). 2. Die Formel nach dem Durchmesser umstellen: \(d = \frac{U}{\pi}\). 3. Den gegebenen Umfang \(U = 15\,\text{m}\) einsetzen: \(d = \frac{15}{\pi}\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(d \approx 4{,}7746\,\text{m}\). 5. Das Beet darf einen maximalen Durchmesser von etwa \(4{,}77\,\text{m}\) haben.

Das Beet darf einen Durchmesser von höchstens \(4{,}77\,\text{m}\) haben.

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Multiplikation, wenn man einen der Faktoren verdoppelt? - Erinnere dich an die Definition der Proportionalität: Was muss mit dem Funktionswert passieren, wenn man den Eingabewert verdoppelt? - Untersuche das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser. Bleibt dieser Wert immer gleich?

1. Aufstellen der Formel für den Umfang: \(U(d) = \pi \cdot d\). 2. Berechnung des Umfangs bei verdoppeltem Durchmesser: \(U(2d) = \pi \cdot (2 \cdot d) = 2 \cdot (\pi \cdot d)\). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(U(2d) = 2 \cdot U(d)\). Eine Verdopplung des Durchmessers führt exakt zu einer Verdopplung des Umfangs. 4. Prüfung der Proportionalität: Da der Quotient \(\frac{U}{d} = \pi\) für alle Durchmesser konstant ist (Quotientengleichheit), handelt es sich um eine proportionale Zuordnung. Die Aussage des Schülers ist korrekt.

Die Aussage ist korrekt. Da \(U(2d) = 2 \cdot U(d)\) gilt und der Quotient \(\frac{U}{d} = \pi\) konstant ist, ist der Umfang proportional zum Durchmesser.

- Überlege dir, wie der Umfang und der Flächeninhalt mit dem Radius zusammenhängen. - Welche Rechenoperation kehrt das Quadrieren um? - Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen?

1. Berechnung von \(r\) aus \(U\): \(r = \frac{U}{2\pi} = \frac{25{,}13\,\text{cm}}{2\pi} \approx 4{,}0\,\text{cm}\). 2. Berechnung von \(A\) aus \(r\): \(A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (4{,}0\,\text{cm})^2 \approx 50{,}3\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung von \(r\) aus \(A\): \(r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} = \sqrt{\frac{28{,}27\,\text{cm}^2}{\pi}} \approx 3{,}0\,\text{cm}\). 4. Berechnung von \(d\): \(d = 2 \cdot r = 2 \cdot 3{,}0\,\text{cm} = 6{,}0\,\text{cm}\). 5. Berechnung von \(U\) aus \(d\): \(U = \pi \cdot d = \pi \cdot 6{,}0\,\text{cm} \approx 18{,}8\,\text{cm}\).

a) \(r \approx 4{,}0\,\text{cm}\); \(A \approx 50{,}3\,\text{cm}^2\) b) \(d \approx 6{,}0\,\text{cm}\); \(U \approx 18{,}8\,\text{cm}\)

- Wie viele Kreise liegen in einer Reihe nebeneinander? - Wie hängen die Seitenlänge des Quadrats und der Durchmesser eines Kreises zusammen? - Wie berechnet man die Fläche, die übrig bleibt, wenn man Kreise aus einem Quadrat entfernt? - Vergiss nicht, dass es insgesamt vier Kreise sind.

1. Berechnung der Gesamtfläche des quadratischen Beetes: \(A_{\text{Beet}} = (2{,}40\,\text{m})^2 = 5{,}76\,\text{m}^2\). 2. Bestimmung des Durchmessers der Rosenkreise: Da zwei Kreise nebeneinander die gesamte Breite von \(2{,}40\,\text{m}\) ausfüllen, beträgt der Durchmesser eines Kreises \(d = 2{,}40\,\text{m} : 2 = 1{,}20\,\text{m}\). 3. Berechnung des Radius: \(r = 0{,}60\,\text{m}\). 4. Berechnung der Fläche der vier Rosenkreise: \(A_{\text{Rosen}} = 4 \cdot \pi \cdot (0{,}60\,\text{m})^2 = 4 \cdot \pi \cdot 0{,}36\,\text{m}^2 \approx 4{,}52389\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der Rasenfläche: \(A_{\text{Rasen}} = A_{\text{Beet}} - A_{\text{Rosen}} = 5{,}76\,\text{m}^2 - 4{,}52389\,\text{m}^2 \approx 1{,}23611\,\text{m}^2\). Ergebnis: Die Rasenfläche beträgt ca. \(1{,}24\,\text{m}^2\).

Die Rasenfläche beträgt ca. \(1{,}24\,\text{m}^2\).

- Welche Strecke legt ein Rad bei genau einer Umdrehung zurück? - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Was bedeutet „volle Umdrehung“ für dein Endergebnis?

1. Den Durchmesser in Meter umrechnen: \(d = 50\,\text{cm} = 0{,}5\,\text{m}\). 2. Den Umfang des Rades berechnen: \(U = \pi \cdot d = \pi \cdot 0{,}5\,\text{m} \approx 1{,}5708\,\text{m}\). 3. Die Anzahl der Umdrehungen durch Division der Gesamtstrecke durch den Umfang ermitteln: \(n = \frac{250\,\text{m}}{1{,}5708\,\text{m}} \approx 159{,}15\). 4. Da nach vollen Umdrehungen gefragt ist, das Ergebnis abrunden: \(159\) Umdrehungen.

Das Rad macht auf der Strecke \(159\) volle Umdrehungen.

- Welche Formel stellt eine Verbindung zwischen dem Flächeninhalt und dem Radius her? - Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen? - Wie berechnet man den Umfang, wenn der Radius bekannt ist? - Achte darauf, erst am Ende der Rechnung zu runden, um Genauigkeitsverluste zu vermeiden.

1. Berechnung des Radius \(r\) aus der Flächeninhaltsformel \(A = \pi \cdot r^2\): \(r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} = \sqrt{\frac{50}{\pi}} \approx 3{,}989\,\text{cm}\). Gerundet: \(r \approx 4{,}0\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Durchmessers \(d\): \(d = 2 \cdot r \approx 2 \cdot 3{,}989 \approx 7{,}978\,\text{cm}\). Gerundet: \(d \approx 8{,}0\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Umfangs \(U\) mit \(U = 2 \cdot \pi \cdot r\): \(U = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{50}{\pi}} \approx 25{,}066\,\text{cm}\). Gerundet: \(U \approx 25{,}1\,\text{cm}\).

\(r \approx 4{,}0\,\text{cm}\) \(d \approx 8{,}0\,\text{cm}\) \(U \approx 25{,}1\,\text{cm}\)

- Überlege zuerst, wie man die Fläche eines Quadrats berechnet. - Wie hängen der Durchmesser und der Radius eines Kreises zusammen? - Welche Formel benötigst du für die Fläche eines Kreises? - Vergleiche am Ende die beiden berechneten Flächeninhalte direkt miteinander.

1. Berechnung der Fläche der quadratischen Pizza mit der Formel \(A_q = a^2\): \(A_q = (26\,\text{cm})^2 = 676\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung des Radius der runden Pizza: \(r = \frac{d}{2} = \frac{30\,\text{cm}}{2} = 15\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Fläche der runden Pizza mit der Formel \(A_k = \pi \cdot r^2\): \(A_k = \pi \cdot (15\,\text{cm})^2 \approx 3{,}14159 \cdot 225\,\text{cm}^2 \approx 706{,}86\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \(706{,}86\,\text{cm}^2 > 676\,\text{cm}^2\), bietet die runde Pizza eine größere Fläche.

Die runde Pizza bietet mit ca. \(706{,}86\,\text{cm}^2\) mehr Fläche als die quadratische Pizza mit \(676\,\text{cm}^2\).

- Überlege zuerst, welche Strecke eine Person bei einer vollen Umdrehung zurücklegt. - Wie hängen Radius und Umfang eines Kreises zusammen? - Die Zeit für eine Umdrehung ist für beide Sitze gleich. - Kannst du die Geschwindigkeit berechnen, wenn du die Strecke und die Zeit kennst?

1. Berechnung der Umfänge der beiden Kreisbahnen: \(U_{\text{innen}} = 2 \cdot \pi \cdot 3\,\text{m} \approx 18{,}850\,\text{m}\) \(U_{\text{außen}} = 2 \cdot \pi \cdot 5{,}5\,\text{m} \approx 34{,}558\,\text{m}\) 2. Berechnung der Geschwindigkeiten (\(v = \frac{s}{t}\)): \(v_{\text{innen}} = \frac{18{,}850\,\text{m}}{10\,\text{s}} = 1{,}885\,\text{m/s}\) \(v_{\text{außen}} = \frac{34{,}558\,\text{m}}{10\,\text{s}} = 3{,}456\,\text{m/s}\) 3. Bestimmung der Differenz: \(\Delta v = 3{,}456\,\text{m/s} - 1{,}885\,\text{m/s} = 1{,}571\,\text{m/s}\) Alternativer Weg über die Radiendifferenz: \(\Delta v = \frac{2\pi \cdot (5{,}5\,\text{m} - 3\,\text{m})}{10\,\text{s}} = \frac{2\pi \cdot 2{,}5\,\text{m}}{10\,\text{s}} \approx 1{,}57\,\text{m/s}\).

Eine Person auf dem äußeren Sitz bewegt sich um etwa \(1{,}57\,\text{m/s}\) schneller als eine Person auf dem inneren Sitz.

- Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen? - Welche Formeln verbinden den Radius mit dem Umfang und dem Flächeninhalt? - Wenn der Umfang gegeben ist, wie kannst du zuerst den Durchmesser oder Radius bestimmen?

1. Kreis A: Gegeben ist \(r = 4{,}5\,\text{cm}\). Berechnung Durchmesser: \(d = 2 \cdot r = 2 \cdot 4{,}5\,\text{cm} = 9\,\text{cm}\). Berechnung Umfang: \(U = 2 \cdot \pi \cdot r \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 4{,}5\,\text{cm} = 28{,}26\,\text{cm}\). Berechnung Flächeninhalt: \(A = \pi \cdot r^2 \approx 3{,}14 \cdot (4{,}5\,\text{cm})^2 = 3{,}14 \cdot 20{,}25\,\text{cm}^2 = 63{,}585\,\text{cm}^2\). 2. Kreis B: Gegeben ist \(d = 12\,\text{dm}\). Berechnung Radius: \(r = d : 2 = 12\,\text{dm} : 2 = 6\,\text{dm}\). Berechnung Umfang: \(U = \pi \cdot d \approx 3{,}14 \cdot 12\,\text{dm} = 37{,}68\,\text{dm}\). Berechnung Flächeninhalt: \(A = \pi \cdot r^2 \approx 3{,}14 \cdot (6\,\text{dm})^2 = 3{,}14 \cdot 36\,\text{dm}^2 = 113{,}04\,\text{dm}^2\). 3. Kreis C: Gegeben ist \(U = 15{,}7\,\text{m}\). Berechnung Durchmesser: \(d = U : \pi \approx 15{,}7\,\text{m} : 3{,}14 = 5\,\text{m}\). Berechnung Radius: \(r = d : 2 = 5\,\text{m} : 2 = 2{,}5\,\text{m}\). Berechnung Flächeninhalt: \(A = \pi \cdot r^2 \approx 3{,}14 \cdot (2{,}5\,\text{m})^2 = 3{,}14 \cdot 6{,}25\,\text{m}^2 = 19{,}625\,\text{m}^2\).

Kreis A: \(d = 9\,\text{cm}\), \(U \approx 28{,}26\,\text{cm}\), \(A \approx 63{,}59\,\text{cm}^2\). Kreis B: \(r = 6\,\text{dm}\), \(U \approx 37{,}68\,\text{dm}\), \(A \approx 113{,}04\,\text{dm}^2\). Kreis C: \(r = 2{,}5\,\text{m}\), \(d = 5\,\text{m}\), \(A \approx 19{,}63\,\text{m}^2\).

- Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen? - Aus welchen zwei Kreisen setzt sich die Fahrbahn zusammen? - Kannst du die Fahrbahn als eine Differenz zweier Flächen betrachten? - Überlege, wie sich der Radius für den äußeren Rand verändert.

1. Berechnung des Flächeninhalts der Mittelinsel: Der Radius beträgt \(r_i = \frac{16\,\text{m}}{2} = 8\,\text{m}\). Der Flächeninhalt ist \(A_i = \pi \cdot (8\,\text{m})^2 = 64\pi\,\text{m}^2 \approx 201{,}06\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der Fahrbahn: Der Außenradius ist \(r_a = 8\,\text{m} + 6\,\text{m} = 14\,\text{m}\). Die Gesamtfläche inklusive Insel ist \(A_a = \pi \cdot (14\,\text{m})^2 = 196\pi\,\text{m}^2 \approx 615{,}75\,\text{m}^2\). Die Fahrbahnfläche ist die Differenz \(A_{\text{Fahrbahn}} = A_a - A_i = 196\pi - 64\pi = 132\pi\,\text{m}^2 \approx 414{,}69\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Umfangsdifferenz: Der innere Umfang ist \(U_i = 2 \cdot \pi \cdot 8\,\text{m} = 16\pi\,\text{m} \approx 50{,}27\,\text{m}\). Der äußere Umfang ist \(U_a = 2 \cdot \pi \cdot 14\,\text{m} = 28\pi\,\text{m} \approx 87{,}96\,\text{m}\). Die Differenz beträgt \(28\pi - 16\pi = 12\pi\,\text{m} \approx 37{,}70\,\text{m}\).

a) Der Flächeninhalt der Mittelinsel beträgt ca. \(201{,}06\,\text{m}^2\). b) Der Flächeninhalt der Fahrbahn beträgt ca. \(414{,}69\,\text{m}^2\). c) Der Weg des äußeren Autos ist um ca. \(37{,}70\,\text{m}\) länger.

- Wie lauten die Grundformeln für den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreises? - Was passiert in einer Formel mit einem Wert, wenn dieser quadriert wird? - Kannst du die Radien zueinander ins Verhältnis setzen?

1. Berechnung der Umfänge mit der Formel \(U = 2 \cdot \pi \cdot r\): - Kleiner Spiegel: \(U_1 = 2 \cdot \pi \cdot 12\,\text{cm} \approx 75{,}40\,\text{cm}\) - Großer Spiegel: \(U_2 = 2 \cdot \pi \cdot 24\,\text{cm} \approx 150{,}80\,\text{cm}\) 2. Berechnung der Flächeninhalte mit der Formel \(A = \pi \cdot r^2\): - Kleiner Spiegel: \(A_1 = \pi \cdot (12\,\text{cm})^2 = 144 \cdot \pi\,\text{cm}^2 \approx 452{,}39\,\text{cm}^2\) - Großer Spiegel: \(A_2 = \pi \cdot (24\,\text{cm})^2 = 576 \cdot \pi\,\text{cm}^2 \approx 1809{,}56\,\text{cm}^2\) 3. Vergleich der Flächeninhalte: - Berechnung des Faktors: \(\frac{A_2}{A_1} = \frac{576\pi}{144\pi} = 4\) - Der Flächeninhalt vervierfacht sich, da der Radius in der Formel quadratisch eingeht: \((2r)^2 = 4r^2\).

a) \(U_1 \approx 75{,}40\,\text{cm}\); \(U_2 \approx 150{,}80\,\text{cm}\) b) \(A_1 \approx 452{,}39\,\text{cm}^2\); \(A_2 \approx 1809{,}56\,\text{cm}^2\) c) Der Flächeninhalt vergrößert sich um den Faktor \(4\).

- Welche Formel verknüpft die Fläche mit dem Radius? - Wie kannst du eine Formel umstellen, um eine gesuchte Größe zu isolieren? - Welche Größe benötigst du, um den Umfang zu berechnen?

1. Berechnung des Radius aus dem Flächeninhalt: \(r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} = \sqrt{\frac{50{,}27}{\pi}} \approx 4{,}00\,\text{m}\). 2. Berechnung des Umfangs mit dem Radius: \(U = 2 \cdot \pi \cdot r \approx 2 \cdot \pi \cdot 4{,}00 \approx 25{,}13\,\text{m}\).

Der Radius beträgt etwa \(4{,}00\,\text{m}\) und der Umfang etwa \(25{,}13\,\text{m}\).

- Welche Variable in der Flächenformel muss sich ändern, damit der Flächeninhalt größer wird? - Wie hängen der Radius und der Flächeninhalt zusammen? Ist das ein linearer Zusammenhang? - Schau dir an, wie der Radius in der Umfangsberechnung vorkommt. - Was passiert mit einem Produkt, wenn man einen der Faktoren verdoppelt?

1. Den Flächeninhalt eines Kreises berechnet man mit \(A = \pi \cdot r^2\). Wird der Flächeninhalt vervierfacht, gilt für den neuen Flächeninhalt \(A' = 4 \cdot A = 4 \cdot \pi \cdot r^2\). 2. Um den neuen Radius \(r'\) zu finden, setzt man \(A' = \pi \cdot (r')^2\). Durch Gleichsetzen folgt \(4 \cdot \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (r')^2\), woraus durch Kürzen von \(\pi\) und Radizieren \(r' = 2r\) resultiert. Der Radius verdoppelt sich also. 3. Der Umfang berechnet sich durch \(U = 2 \cdot \pi \cdot r\). Für den neuen Umfang \(U'\) ergibt sich mit dem neuen Radius \(U' = 2 \cdot \pi \cdot (2r) = 2 \cdot (2 \cdot \pi \cdot r) = 2 \cdot U\). 4. Der Umfang des Kreises verdoppelt sich somit.

Der Umfang des Kreises verdoppelt sich (\(U' = 2U\)).

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Radius und dem Umfang bzw. dem Flächeninhalt? - Kannst du eine Formel so umstellen, dass du zuerst den Radius isolierst? - Überlege, welchen Zwischenschritt du benötigst, um von einer Kreisgröße zur anderen zu gelangen.

1. Berechnung von \(A\) aus \(U\): Zuerst den Radius bestimmen mit \(r = \frac{U}{2\pi} = \frac{31{,}4\,\text{cm}}{2\pi} \approx 4{,}997\,\text{cm}\). Dann den Flächeninhalt berechnen mit \(A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (4{,}997\,\text{cm})^2 \approx 78{,}46\,\text{cm}^2\). Ergebnis: \(A \approx 78{,}5\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung von \(U\) aus \(A\): Zuerst den Radius bestimmen mit \(r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} = \sqrt{\frac{50{,}27\,\text{cm}^2}{\pi}} \approx 4{,}000\,\text{cm}\). Dann den Umfang berechnen mit \(U = 2\pi \cdot r = 2\pi \cdot 4{,}000\,\text{cm} \approx 25{,}13\,\text{cm}\). Ergebnis: \(U \approx 25{,}1\,\text{cm}\).

a) \(A \approx 78{,}5\,\text{cm}^2\) b) \(U \approx 25{,}1\,\text{cm}\)

- Welche Formel verknüpft den Flächeninhalt mit dem Radius? - Kannst du aus dem gegebenen Flächeninhalt zuerst den Radius bestimmen? - Überlege, welche Rechenoperation die Umkehrung zum Quadrieren ist. - Welche Formel benötigst du am Ende, um den Umfang aus dem Radius zu berechnen?

1. Aufstellen der Formel für den Flächeninhalt: \(A = \pi \cdot r^2\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte zur Bestimmung des Radius: \(200{,}96 = 3{,}14 \cdot r^2\). 3. Isolieren von \(r^2\): \(r^2 = 200{,}96 : 3{,}14 = 64\). 4. Bestimmung des Radius durch Radizieren: \(r = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\). 5. Berechnung des Umfangs mit der Formel \(U = 2 \cdot \pi \cdot r\): \(U = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 8 = 50{,}24\,\text{cm}\).

Der Umfang des Kreises beträgt \(50{,}24\,\text{cm}\).

- Welche Rechenoperation musst du laut der Formel zuerst ausführen? - Achte darauf, den Durchmesser korrekt zu quadrieren, bevor du weiterrechnest. - Was bedeutet es für die Ziffer nach dem Komma, wenn die darauffolgende Ziffer eine 4 oder eine 6 ist? - Setze die gegebenen Werte für \(d\) nacheinander in die Formel ein.

1. Berechnung des Flächeninhalts für \(d = 8\,\text{cm}\): \(A = \frac{3{,}14 \cdot 8^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 64}{4} = 3{,}14 \cdot 16 = 50{,}24 \approx 50{,}2\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts für \(d = 20\,\text{cm}\): \(A = \frac{3{,}14 \cdot 20^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 400}{4} = 3{,}14 \cdot 100 = 314{,}0\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts für \(d = 30\,\text{cm}\): \(A = \frac{3{,}14 \cdot 30^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 900}{4} = 3{,}14 \cdot 225 = 706{,}5\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung des Flächeninhalts für \(d = 44\,\text{cm}\): \(A = \frac{3{,}14 \cdot 44^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 1936}{4} = 3{,}14 \cdot 484 = 1519{,}76 \approx 1519{,}8\,\text{cm}^2\).

Die gesuchten Flächeninhalte sind \(50{,}2\,\text{cm}^2\), \(314{,}0\,\text{cm}^2\), \(706{,}5\,\text{cm}^2\) und \(1519{,}8\,\text{cm}^2\).

- Berechne zuerst den ursprünglichen Umfang. - Überlege, wie sich die Änderung des Umfangs auf die Formel auswirkt. - Schau dir die Formel für den Umfang genau an: Welche Teile sind konstant und welche können sich ändern?

1. Umfangsberechnung: \(U = 2 \cdot \pi \cdot 20\,\text{cm} \approx 125{,}66\,\text{cm}\). 2. Zunahme des Radius: Die Differenz der Umfänge ist \(\Delta U = 10\,\text{cm}\). Aus \(\Delta U = 2 \cdot \pi \cdot \Delta r\) folgt \(\Delta r = \frac{10\,\text{cm}}{2 \cdot \pi} \approx 1{,}59\,\text{cm}\). 3. Abhängigkeit vom Ausgangsradius: Die Formel für die Radiusänderung \(\Delta r = \frac{\Delta U}{2\pi}\) enthält keinen Term für den ursprünglichen Radius \(r\). Somit ist die Zunahme des Radius nur von der absoluten Änderung des Umfangs abhängig und bleibt gleich, egal wie groß der Ring vorher war.

a) Der Umfang beträgt ca. \(125{,}66\,\text{cm}\). b) Der Radius nimmt um ca. \(1{,}59\,\text{cm}\) zu. c) Nein, die Zunahme bleibt gleich, da \(\Delta r = \frac{\Delta U}{2\pi}\) unabhängig vom Ausgangsradius \(r\) ist.

- Wie hängen Radius und Umfang zusammen? - Achte auf die Einheiten, besonders wenn Zentimeter und Meter in einer Aufgabe vorkommen. - Was bedeutet „eine volle Umdrehung“ für die zurückgelegte Strecke? - Überlege, wie du die Anzahl der Umdrehungen berechnest, wenn die Gesamtlänge und der Radumfang bekannt sind.

1. Berechnung des Umfangs des Vorderrads: \(U_1 = 2 \cdot \pi \cdot r_1 = 2 \cdot \pi \cdot 28\,\text{cm} \approx 175{,}93\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Umfangs des Hinterrads: \(U_2 = U_1 - 25\,\text{cm} \approx 150{,}93\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Radius des Hinterrads: \(r_2 = \frac{U_2}{2 \cdot \pi} \approx 24{,}02\,\text{cm}\). 4. Anzahl der Umdrehungen auf \(100\,\text{m} = 10\,000\,\text{cm}\): Vorderrad: \(n_1 = \frac{10\,000}{175{,}93} \approx 56{,}84\), also \(56\) vollständig abgeschlossene Umdrehungen. Hinterrad: \(n_2 = \frac{10\,000}{150{,}93} \approx 66{,}26\), also \(66\) vollständig abgeschlossene Umdrehungen. 5. Differenz: \(66 - 56 = 10\) Umdrehungen.

a) Der Umfang des Vorderrads beträgt ca. \(175{,}93\,\text{cm}\). b) Der Radius des Hinterrads beträgt ca. \(24{,}02\,\text{cm}\). c) Das Vorderrad schließt \(56\), das Hinterrad \(66\) volle Umdrehungen ab. Die Anzahlen unterscheiden sich um \(10\) Umdrehungen.

- Skizziere die Situation mit zwei konzentrischen Kreisen. - Wie verändert sich der Radius, wenn ein Weg um den Pool angelegt wird? - Untersuche die Formel für den Umfangsunterschied zweier Kreise mathematisch. - Spielt die Größe des inneren Kreises eine Rolle, wenn man nur die Differenz der Umfänge betrachtet?

1. Durchmesser des Pools: \(d_1 = \frac{U_1}{\pi} = \frac{18{,}85\,\text{m}}{\pi} \approx 6{,}00\,\text{m}\). 2. Radius des Pools: \(r_1 = \frac{d_1}{2} \approx 3{,}00\,\text{m}\). 3. Radius der äußeren Begrenzung: \(r_2 = r_1 + 1{,}20\,\text{m} \approx 4{,}20\,\text{m}\). 4. Äußerer Umfang: \(U_2 = 2 \cdot \pi \cdot r_2 \approx 26{,}39\,\text{m}\). 5. Bei doppelter Wegbreite beträgt der Außenradius \(r_3 = r_1 + 2{,}40\,\text{m}\), also \(U_3 \approx 33{,}93\,\text{m}\). Gegenüber dem Weg aus Teil b) wächst der Umfang um \(U_3-U_2 \approx 33{,}93-26{,}39 = 7{,}54\,\text{m}\). 6. Allgemein gilt bei einer ursprünglichen Wegbreite \(b\): \(2\pi(r+2b)-2\pi(r+b)=2\pi b\). Die Zunahme hängt daher nicht vom Poolradius ab.

a) Der Durchmesser beträgt ca. \(6{,}00\,\text{m}\). b) Der äußere Umfang beträgt ca. \(26{,}39\,\text{m}\). c) Beim Verdoppeln der Wegbreite von \(1{,}20\,\text{m}\) auf \(2{,}40\,\text{m}\) vergrößert sich der äußere Umfang um ca. \(7{,}54\,\text{m}\). Diese Zunahme ist unabhängig vom ursprünglichen Pooldurchmesser.

- Wie hängen Flächeninhalt, Höhe und Länge bei einem Rechteck zusammen? - Was sagt die Länge des Etiketts über die Dose aus? - Wie kommt man vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser?

1. Das Etikett bildet im ausgebreiteten Zustand ein Rechteck. Aus dem Flächeninhalt \(A = 180\,\text{cm}^2\) und der Höhe \(h = 6\,\text{cm}\) ergibt sich die Länge \(L\) (der Umfang \(U\)) durch \(U = A : h\): \(U = 180\,\text{cm}^2 : 6\,\text{cm} = 30\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Durchmessers \(d\) aus dem Umfang mit der Formel \(U = \pi \cdot d\): \(d = U : \pi = 30\,\text{cm} : \pi \approx 9{,}55\,\text{cm}\).

a) Der Umfang der Dose beträgt \(30\,\text{cm}\). b) Der Durchmesser der Dose beträgt ca. \(9{,}55\,\text{cm}\).

- Beide Räder legen die exakt gleiche Strecke auf dem Boden zurück. - Kannst du zuerst die Gesamtlänge der gefahrenen Strecke bestimmen? - Wie berechnet man den Umfang eines Kreises, wenn der Durchmesser gegeben ist?

1. Berechnung der zurückgelegten Gesamtstrecke \(s\) mit dem Umfang des Vorderrads \(U_V = 4{,}20\,\text{m}\) und der Anzahl der Umdrehungen \(n_V = 120\): \(s = 120 \cdot 4{,}20\,\text{m} = 504\,\text{m}\). 2. Berechnung des Umfangs des Hinterrads \(U_H\) mit dem Durchmesser \(d_H = 35\,\text{cm} = 0{,}35\,\text{m}\): \(U_H = \pi \cdot 0{,}35\,\text{m} \approx 1{,}09956\,\text{m}\). 3. Berechnung der Anzahl der Umdrehungen des Hinterrads \(n_H\) durch Division der Gesamtstrecke durch den Umfang des Hinterrads: \(n_H = \frac{504\,\text{m}}{1{,}09956\ldots\,\text{m}} \approx 458{,}37\). 4. Rundung auf eine ganze Zahl ergibt \(458\).

Das kleine Hinterrad dreht sich etwa \(458\)-mal.

- Berechne zuerst alle Maße für den ersten Kreis. - Wie groß ist der Durchmesser des zweiten Kreises, wenn er das Dreifache des ersten ist? - Vergleiche die beiden Flächeninhalte, indem du sie dividierst. - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn sich der Radius verdreifacht? Denke an das Quadrat in der Formel.

1. Kreis 1: \(d_1 = 2 \cdot 6\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). Flächeninhalt \(A_1 = \pi \cdot (6\,\text{cm})^2 = 36\pi\,\text{cm}^2 \approx 113{,}10\,\text{cm}^2\). 2. Kreis 2: \(d_2 = 3 \cdot 12\,\text{cm} = 36\,\text{cm}\). Radius \(r_2 = 18\,\text{cm}\). 3. Umfang Kreis 2: \(U_2 = \pi \cdot 36\,\text{cm} \approx 113{,}10\,\text{cm}\). 4. Flächeninhalt Kreis 2: \(A_2 = \pi \cdot (18\,\text{cm})^2 = 324\pi\,\text{cm}^2 \approx 1\,017{,}88\,\text{cm}^2\). 5. Verhältnis: \(\frac{A_2}{A_1} = \frac{324\pi}{36\pi} = 9\). Der Flächeninhalt ist 9-mal so groß.

a) \(U_2 \approx 113{,}10\,\text{cm}\), \(A_2 \approx 1\,017{,}88\,\text{cm}^2\) b) Das Verhältnis beträgt \(9\). Der Flächeninhalt von Kreis 2 ist 9-mal so groß wie der von Kreis 1.

- Du kennst das Ergebnis der Flächenberechnung bereits. Kannst du die Formel rückwärts anwenden? - Welche Rechenoperation ist die Umkehroperation zum Quadrieren? - Achte darauf, den Wert für \(\pi\) erst ganz am Ende zu runden oder direkt mit der Taste am Taschenrechner zu rechnen.

1. Aufstellen der Formel für den Flächeninhalt: \(A = \pi \cdot r^2\). 2. Einsetzen des gegebenen Wertes: \(20 = \pi \cdot r^2\). 3. Umformen nach \(r^2\): \(r^2 = \frac{20}{\pi} \approx 6{,}366\). 4. Ziehen der Quadratwurzel: \(r = \sqrt{\frac{20}{\pi}} \approx 2{,}52\,\text{m}\).

Der Gärtner muss für das Beet einen Radius von ca. \(2{,}52\,\text{m}\) wählen.

- Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? - Wie berechnest du, wie viel Fläche man für einen einzigen Euro bekommt? - Vergleiche die Ergebnisse für beide Angebote.

1. Bestimmung der Radien: \(r_1 = 13\,\text{cm}\) und \(r_2 = 16\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Flächeninhalte: \(A_1 = \pi \cdot 13^2 \approx 530{,}93\,\text{cm}^2\) und \(A_2 = \pi \cdot 16^2 \approx 804{,}25\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Fläche pro Euro: Für die kleine Pizza \(530{,}93 : 7{,}50 \approx 70{,}79\,\text{cm}^2/\text{€}\), für die große Pizza \(804{,}25 : 11{,}00 \approx 73{,}11\,\text{cm}^2/\text{€}\). 4. Vergleich: Die größere Pizza bietet pro ausgegebenem Euro mehr Fläche.

Die Pizza mit \(32\,\text{cm}\) Durchmesser bietet mehr Fläche pro Euro (ca. \(73{,}11\,\text{cm}^2/\text{€}\) im Vergleich zu \(70{,}79\,\text{cm}^2/\text{€}\)).

- Stelle dir die Laufbahn als einen Ring vor. Wie berechnet man die Fläche eines Rings? - Wie hängen der Innenradius und der Außenradius mit der Breite der Bahn zusammen? - Kannst du zuerst den Radius des inneren Kreises bestimmen?

1. Bestimmung des inneren Radius \(r_i\) aus \(U_i = 300\,\text{m}\): \(r_i = \frac{300}{2\pi} \approx 47{,}75\,\text{m}\). 2. Der äußere Radius ist \(r_a = r_i + 4\,\text{m}\). 3. Ohne Zwischenrundung erhält man \(A_i = \pi r_i^2 \approx 7\,161{,}97\,\text{m}^2\) und \(A_a = \pi r_a^2 \approx 8\,412{,}24\,\text{m}^2\). 4. Die Laufbahnfläche beträgt \(A_{\text{Bahn}} = A_a-A_i \approx 1\,250{,}27\,\text{m}^2\). 5. Auf ganze Quadratmeter gerundet sind das \(1\,250\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Laufbahn beträgt ca. \(1\,250\,\text{m}^2\).

- Stell dir vor, du hast eine große Kreisscheibe und schneidest in der Mitte einen kleineren Kreis aus. Wie viel Fläche bleibt übrig? - Achte genau darauf, ob ein Radius oder ein Durchmesser gegeben ist. - Du kannst die Flächen der beiden Kreise einzeln berechnen und dann voneinander abziehen.

1. Die Fläche eines Kreisrings berechnet sich aus der Differenz der Flächeninhalte des äußeren und des inneren Kreises: \(A_{\text{Ring}} = A_a - A_i = \pi \cdot r_a^2 - \pi \cdot r_i^2 = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2)\). 2. Berechnung für a): \(A = \pi \cdot (10^2 - 6^2) = \pi \cdot (100 - 36) = 64\pi \approx 201{,}06\,\text{cm}^2\). 3. Vorbereitung für b): Bestimmung des inneren Radius \(r_i = d_i : 2 = 14\,\text{m} : 2 = 7\,\text{m}\). 4. Berechnung für b): \(A = \pi \cdot (9^2 - 7^2) = \pi \cdot (81 - 49) = 32\pi \approx 100{,}53\,\text{m}^2\).

a) \(A \approx 201{,}06\,\text{cm}^2\) b) \(A \approx 100{,}53\,\text{m}^2\)

- Wie verändert sich die Fläche eines Kreises, wenn man den Durchmesser verdoppelt? - Vergleiche, um welchen Faktor die Fläche wächst und um welchen Faktor der Preis steigt. - Denk an das Verhältnis von Radius zu Fläche.

1. Bestimmung des Verhältnisses der Durchmesser: \(d_2 : d_1 = 40\,\text{cm} : 20\,\text{cm} = 2\). Der Durchmesser (und damit der Radius) verdoppelt sich. 2. Anwendung des quadratischen Zusammenhangs beim Flächeninhalt: Da \(A \sim r^2\), führt eine Verdopplung des Radius zu einer Vervierfachtung des Flächeninhalts (\(2^2 = 4\)). 3. Vergleich der Preissteigerung: Der Preis steigt von \(6{,}00\,\text{€}\) auf \(18{,}00\,\text{€}\), was einer Verdreifachung entspricht (\(18 : 6 = 3\)). 4. Schlussfolgerung: Da man für den dreifachen Preis die vierfache Pizza-Fläche erhält, bietet die große Pizza das bessere Preis-Leistungs-Verhältnis.

Bei der großen Pizza erhält man mehr Fläche pro Euro. Da sich der Durchmesser verdoppelt, vervierfacht sich der Flächeninhalt. Da der Preis jedoch nur auf das Dreifache gestiegen ist, ist die große Pizza im Verhältnis günstiger.

- Wie verändert sich der Radius, wenn sich der Umfang um einen bestimmten Faktor vergrößert? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Längenverhältnissen und Flächenverhältnissen bei ähnlichen Figuren. - Musst du die tatsächlichen Flächeninhalte kennen, um ihr Verhältnis zu bestimmen?

1. Bestimmung des Verhältnisses der Umfänge: \(k = \frac{100\,\text{cm}}{80\,\text{cm}} = 1{,}25\). 2. Da der Umfang proportional zum Radius ist (\(U = 2\pi r\)), vergrößert sich der Radius ebenfalls um den Faktor \(k = 1{,}25\). 3. Der Flächeninhalt \(A = \pi r^2\) wächst quadratisch mit dem Radius. Das Verhältnis der Flächen ist somit \(k^2 = 1{,}25^2 = 1{,}5625\). 4. Berechnung der prozentualen Zunahme: \((1{,}5625 - 1) \cdot 100\,\% = 56{,}25\,\%\). 5. Begründung: Da alle Kreise zueinander ähnlich sind, verhalten sich ihre Flächen wie die Quadrate ihrer entsprechenden Längenmaße (hier die Umfänge).

Die Fläche von Pizza B ist um \(56{,}25\,\%\) größer als die von Pizza A. Da die Fläche quadratisch vom Radius (und damit vom Umfang) abhängt, führt ein \(1{,}25\)-facher Umfang zu einer \(1{,}25^2\)-fachen Fläche.

- Schau dir die Formeln für die Bogenlänge und den Flächeninhalt genau an. - Welche Variable steht im Quadrat und welche nicht? - Was passiert mit einem Produkt, wenn man einen Faktor mit einer Zahl multipliziert?

1. Analyse für Fall a): In den Formeln \(b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r\) und \(A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2\) ist \(\alpha\) jeweils ein linearer Faktor. Wird \(\alpha\) verdreifacht (\(3\alpha\)), so verdreifachen sich sowohl die Bogenlänge \(b\) als auch der Flächeninhalt \(A\). 2. Analyse für Fall b): In der Formel für \(b\) ist \(r\) ein linearer Faktor. Eine Verdopplung von \(r\) führt zu einer Verdopplung von \(b\). In der Formel für \(A\) tritt \(r\) quadratisch auf (\(r^2\)). Wird \(r\) verdoppelt, vervierfacht sich der Flächeninhalt (\((2r)^2 = 4r^2\)).

a) Sowohl die Bogenlänge \(b\) als auch der Flächeninhalt \(A\) verdreifachen sich. b) Die Bogenlänge \(b\) verdoppelt sich, während sich der Flächeninhalt \(A\) vervierfacht.

- Berechne zuerst den aktuellen Flächeninhalt mit den gegebenen Maßen. - Betrachte die Formel genau: Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du eine der Zahlen in der Multiplikation verdoppelst? - Du kannst den neuen Flächeninhalt auch einfach testweise mit dem neuen Radius ausrechnen.

1. Berechnung des Flächeninhalts mit der Formel \(A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r\). 2. Einsetzen von \(r = 12\,\text{m}\) und \(b = 15\,\text{m}\): \(A = \frac{1}{2} \cdot 15\,\text{m} \cdot 12\,\text{m} = 90\,\text{m}^2\). 3. Analyse der Veränderung: Da in der Formel \(A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r\) der Radius \(r\) linear eingeht, führt eine Verdopplung von \(r\) (bei konstantem \(b\)) zu einer Verdopplung des Flächeninhalts. 4. Überprüfung durch Rechnung: \(A_{\text{neu}} = \frac{1}{2} \cdot 15\,\text{m} \cdot 24\,\text{m} = 180\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(90\,\text{m}^2\). Bei Verdopplung des Radius (Reichweite) verdoppelt sich auch der Flächeninhalt auf \(180\,\text{m}^2\).

- Der Flächeninhalt lässt sich direkt aus dem Radius und der Bogenlänge berechnen. - Für den Winkel musst du die Beziehung zwischen dem Teil des Bogens und dem gesamten Umfang des Kreises nutzen. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für die Bogenlänge, in der der Winkel vorkommt.

1. Gegeben sind \(r = 10\,\text{cm}\) und \(b = 10\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 50\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Mittelpunktswinkels \(\alpha\) mit der Formel für die Bogenlänge \(b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r\). 4. Umstellen nach \(\alpha\): \(\alpha = \frac{b \cdot 360^\circ}{2 \cdot \pi \cdot r} = \frac{10\,\text{cm} \cdot 360^\circ}{20 \cdot \pi\,\text{cm}} = \frac{180^\circ}{\pi}\). 5. Numerische Berechnung: \(\alpha \approx 57{,}3^\circ\).

Der Flächeninhalt beträgt \(50\,\text{cm}^2\) und der Mittelpunktswinkel beträgt ungefähr \(57{,}3^\circ\).

- Kannst du die bekannte Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht? - Schau dir das Verhältnis zwischen Winkel und Bogenlänge an: Wenn der Winkel größer wird, was passiert bei gleichem Radius mit dem Bogen? - In welchem Verhältnis stehen Radius und Winkel zueinander, wenn das Ergebnis der Multiplikation gleich bleiben soll?

1. Umstellen der Formel für die Bogenlänge \(b = 2\pi r \frac{\alpha}{360^\circ}\) nach dem Radius: \(r = \frac{b \cdot 360^\circ}{2\pi \alpha}\). 2. Einsetzen der Werte für a): \(r = \frac{15{,}7 \cdot 360}{2 \cdot \pi \cdot 90} = \frac{15{,}7 \cdot 2}{\pi} \approx 9{,}995\,\text{cm}\). Gerundet ergibt sich \(r \approx 10{,}0\,\text{cm}\). 3. Logische Begründung für b): Da die Bogenlänge proportional zum Produkt aus Radius und Winkel ist (\(b \sim r \cdot \alpha\)), muss bei einer Verdopplung des Winkels der Radius halbiert werden, damit das Produkt und somit die Bogenlänge konstant bleibt. Der neue Radius betrüge also \(5{,}0\,\text{cm}\).

a) \(r \approx 10{,}0\,\text{cm}\) b) Der Radius müsste halbiert werden (auf \(5{,}0\,\text{cm}\)), da sich bei doppeltem Winkel und halbem Radius die Änderungen gegenseitig aufheben.

- Überlege dir, welche Formeln für die Fläche und den Umfang eines Kreises gelten und wie man davon nur einen Teil (Sektor) berechnet. - Was gibt der Bruch \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) im Verhältnis zum ganzen Kreis an? - Rechne erst mit den Radien und Winkeln, bevor du vergleichst.

1. Berechnung der Flächeninhalte: Für Stück A gilt \(A_A = \pi \cdot r_A^2 \cdot \frac{\alpha_A}{360^\circ} = \pi \cdot 15^2 \cdot \frac{45}{360} = 28{,}125 \cdot \pi \approx 88{,}36\,\text{cm}^2\). Für Stück B gilt \(A_B = \pi \cdot r_B^2 \cdot \frac{\alpha_B}{360^\circ} = \pi \cdot 18^2 \cdot \frac{30}{360} = 27 \cdot \pi \approx 84{,}82\,\text{cm}^2\). Somit ist \(A_A > A_B\). 2. Berechnung der Bogenlängen: Für Stück A gilt \(b_A = 2 \cdot \pi \cdot r_A \cdot \frac{\alpha_A}{360^\circ} = 2 \cdot \pi \cdot 15 \cdot \frac{45}{360} = 3{,}75 \cdot \pi \approx 11{,}78\,\text{cm}\). Für Stück B gilt \(b_B = 2 \cdot \pi \cdot r_B \cdot \frac{\alpha_B}{360^\circ} = 2 \cdot \pi \cdot 18 \cdot \frac{30}{360} = 3 \cdot \pi \approx 9{,}42\,\text{cm}\). Somit ist \(b_A > b_B\).

a) Stück A hat mit ca. \(88{,}36\,\text{cm}^2\) den größeren Flächeninhalt (Stück B hat ca. \(84{,}82\,\text{cm}^2\)). b) Der Randbogen von Stück A ist mit ca. \(11{,}78\,\text{cm}\) länger als der von Stück B (ca. \(9{,}42\,\text{cm}\)).

- Wie hängt der Umfang mit dem Durchmesser zusammen? - Erinnere dich an die Formel für Geschwindigkeit, Weg und Zeit. - Achte bei Teil b) darauf, dass du die Zeit erst in Sekunden umrechnest, bevor du sie mit der Geschwindigkeit in \(\text{m/s}\) multiplizierst.

1. Berechnung des Umfangs: Der Durchmesser ist \(d = 160\,\text{m}\). Der Umfang ist \(U = \pi \cdot d = \pi \cdot 160\,\text{m} \approx 502{,}65\,\text{m}\). 2. Berechnung der Zeit für eine Umdrehung: Mit \(v = 0{,}25\,\text{m/s}\) ergibt sich \(t = \frac{s}{v} = \frac{502{,}65\,\text{m}}{0{,}25\,\text{m/s}} = 2010{,}6\,\text{s}\). 3. Umrechnung in Minuten: \(2010{,}6 : 60 \approx 33{,}51\,\text{Minuten}\). 4. Berechnung der Strecke für 15 Minuten: Zeit \(T = 15 \cdot 60\,\text{s} = 900\,\text{s}\). Die Strecke ist \(s = v \cdot T = 0{,}25\,\text{m/s} \cdot 900\,\text{s} = 225\,\text{m}\). 5. Umrechnung in Kilometer: \(225\,\text{m} = 0{,}225\,\text{km}\).

a) Eine Umdrehung dauert ca. \(33{,}5\,\text{Minuten}\). b) Ein Fahrgast legt in \(15\) Minuten eine Strecke von \(0{,}225\,\text{km}\) zurück.

- Wie hängen Radius und Umfang mathematisch zusammen? - Du kannst zuerst den alten Radius bestimmen oder direkt überlegen, wie viel Umfang pro Zentimeter Radius dazukommt. - Schritt für Schritt: Finde erst heraus, wie groß der Baum vorher war, und dann, wie groß er nach dem Wachstum ist.

1. Berechnung des ursprünglichen Radius \(r_{\text{alt}}\) aus dem Umfang \(U_{\text{alt}} = 120\,\text{cm}\): \(r_{\text{alt}} = \frac{120}{2\pi} \approx 19{,}0986\,\text{cm}\). 2. Berechnung des neuen Radius \(r_{\text{neu}}\) durch Addition des Zuwachses: \(r_{\text{neu}} = 19{,}0986 + 0{,}8 = 19{,}8986\,\text{cm}\). 3. Berechnung des neuen Umfangs \(U_{\text{neu}}\) mit dem neuen Radius: \(U_{\text{neu}} = 2 \cdot \pi \cdot 19{,}8986 \approx 125{,}0265\,\text{cm}\). 4. Alternativer Weg über die Umfangsdifferenz: \(\Delta U = 2 \cdot \pi \cdot \Delta r = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}8 \approx 5{,}0265\,\text{cm}\). 5. Addition der Differenz zum alten Umfang: \(120 + 5{,}0265 = 125{,}0265\,\text{cm}\).

Der neue Umfang des Baumstamms beträgt etwa \(125{,}03\,\text{cm}\).

- Stell dir vor, du würdest einmal um die ganze Pizza herumlaufen. Wie weit wäre das? - Wenn du die Pizza in 8 gleiche Teile teilst, welchen Bruchteil des gesamten Randes erhält dann jedes Stück? - Könnte dir der Winkel eines Stücks im Zentrum der Pizza weiterhelfen?

1. Berechnung des Gesamtumfangs der Pizza mit \(d = 32\,\text{cm}\): \(U = \pi \cdot 32 \approx 100{,}531\,\text{cm}\). 2. Da die Pizza in 8 gleich große Stücke geteilt wird, entspricht der Rand eines Stücks einem Achtel des Gesamtumfangs. 3. Berechnung der Bogenlänge \(b\): \(b = \frac{100{,}531}{8} \approx 12{,}566\,\text{cm}\). 4. Alternativ über den Mittelpunktswinkel: \(\alpha = 360^\circ : 8 = 45^\circ\). Bogenlänge \(b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 32 \approx 12{,}566\,\text{cm}\). 5. Rundung auf eine Dezimalstelle ergibt \(12{,}6\,\text{cm}\).

Der äußere Rand eines Pizzastücks ist etwa \(12{,}6\,\text{cm}\) lang.

- Wie verändert sich der Durchmesser eines Kreises, wenn sich sein Umfang verdoppelt? - Denke an das Verhältnis von Radien und Flächeninhalten bei einer Vergrößerung. - Um den Prozentsatz zu finden, teile den kleineren Flächeninhalt durch den größeren.

1. Durchmesser Beet A: \(d_A = 4\,\text{m}\). Umfang Beet A: \(U_A = \pi \cdot d_A = 4\pi\,\text{m}\). 2. Umfang Beet B: \(U_B = 2 \cdot U_A = 8\pi\,\text{m}\). 3. Durchmesser Beet B: \(d_B = \frac{U_B}{\pi} = 8\,\text{m}\). 4. Flächeninhalt Beet A (\(r_A = 2\,\text{m}\)): \(A_A = \pi \cdot (2\,\text{m})^2 = 4\pi\,\text{m}^2 \approx 12{,}57\,\text{m}^2\). 5. Flächeninhalt Beet B (\(r_B = 4\,\text{m}\)): \(A_B = \pi \cdot (4\,\text{m})^2 = 16\pi\,\text{m}^2 \approx 50{,}27\,\text{m}^2\). 6. Prozentsatz: \(\frac{A_A}{A_B} = \frac{4\pi}{16\pi} = \frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%\).

a) Der Durchmesser von Beet B beträgt \(8\,\text{m}\). b) \(A_A \approx 12{,}57\,\text{m}^2\); \(A_B \approx 50{,}27\,\text{m}^2\). Beet A nimmt \(25\,\%\) der Fläche von Beet B ein.

- Berechne zuerst die Fläche des Tabletts. - Wie viele Gläser stehen in einer Reihe und wie viele Reihen gibt es? - Nutze die Formel für den Flächeninhalt des Kreises und multipliziere sie mit der Anzahl der Gläser. - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Rechnungen miteinander.

1. Gesamtfläche des Tabletts: \(A_{\text{Tablett}} = 45 \cdot 30 = 1350\,\text{cm}^2\). 2. Teilaufgabe a: Radius eines Glases \(r_1 = 7{,}5\,\text{cm}\). Gesamtfläche der 6 Gläser: \(A_{\text{Gläser1}} = 6 \cdot \pi \cdot 7{,}5^2 = 6 \cdot 56{,}25\pi = 337{,}5\pi \approx 1060{,}29\,\text{cm}^2\). 3. Prozentualer Anteil a: \((1060{,}29 / 1350) \cdot 100 \approx 78{,}54\,\%\). 4. Teilaufgabe b: Radius der kleinen Gläser \(r_2 = 3{,}75\,\text{cm}\). Gesamtfläche der 24 Gläser: \(A_{\text{Gläser2}} = 24 \cdot \pi \cdot 3{,}75^2 = 24 \cdot 14{,}0625\pi = 337{,}5\pi \approx 1060{,}29\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich b: Da die Gesamtfläche der Gläser in beiden Fällen \(337{,}5\pi\) beträgt, bleibt der Prozentsatz mit ca. \(78{,}54\,\%\) unverändert.

a) Die Bodenflächen nehmen ca. \(78{,}5\,\%\) der Tablettfläche ein. b) Der Anteil bleibt mit ca. \(78{,}5\,\%\) völlig gleich, da die Summe der Kreisflächen in beiden Anordnungen identisch ist.

- Berechne zuerst den Umfang für beide Radtypen einzeln. - Wie oft passt der jeweilige Umfang in die Gesamtlänge der Strecke? - Überlege am Ende, ob du die Differenz der Umdrehungszahlen gesucht hast.

1. Einheiten angleichen: \(s = 1000\,\text{m}\), \(d_{\text{vorn}} = 0{,}8\,\text{m}\), \(d_{\text{hinten}} = 1{,}6\,\text{m}\). 2. Umfang der Vorderräder berechnen: \(U_{\text{vorn}} = \pi \cdot 0{,}8\,\text{m} \approx 2{,}5133\,\text{m}\). 3. Umfang der Hinterräder berechnen: \(U_{\text{hinten}} = \pi \cdot 1{,}6\,\text{m} \approx 5{,}0265\,\text{m}\). 4. Anzahl der Umdrehungen berechnen: \(n_{\text{vorn}} = \frac{1000}{0{,}8\pi} \approx 397{,}89\) und \(n_{\text{hinten}} = \frac{1000}{1{,}6\pi} \approx 198{,}94\). 5. Die Differenz bilden: \(397{,}89 - 198{,}94 = 198{,}95\).

Die Vorderräder machen etwa \(199\) Umdrehungen mehr als die Hinterräder.

- Überlege zuerst, wie groß der Radius des Brunnens und der Radius des gesamten Bereichs (Brunnen plus Weg) sind. - Welche geometrische Form beschreibt die Fläche des Weges? - Wie berechnet man den Umfang eines Kreises und was ändert sich, wenn der Radius größer wird?

1. Radien bestimmen: Der Innenradius beträgt \(r_i = 3{,}0\,\text{m}\). Der Außenradius ist \(r_a = 3{,}0\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m} = 4{,}5\,\text{m}\). 2. Flächeninhalt des Weges (Kreisring): \(A = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2) = \pi \cdot (4{,}5^2 - 3^2) = \pi \cdot (20{,}25 - 9) = 11{,}25\pi \approx 35{,}34\,\text{m}^2\). 3. Umfangsdifferenz berechnen: \(\Delta U = 2\pi \cdot r_a - 2\pi \cdot r_i = 2\pi \cdot (r_a - r_i) = 2\pi \cdot 1{,}5 = 3\pi \approx 9{,}42\,\text{m}\). 4. Materialkosten berechnen: \(K = 35{,}3429 \dots \cdot 48 \approx 1\,696{,}46\,\text{€}\).

a) Der Flächeninhalt des Weges beträgt ca. \(35{,}34\,\text{m}^2\). b) Der Unterschied der Strecken beträgt ca. \(9{,}42\,\text{m}\). c) Die Materialkosten belaufen sich auf ca. \(1\,696{,}46\,\text{€}\).

- Skizziere die Situation: Der Wischer reinigt keinen vollen Kreis, sondern nur einen Ausschnitt. - Das Wischerblatt beginnt nicht direkt am Drehpunkt. Wie beeinflusst das die Form der gereinigten Fläche? - Bei der Prozentaufgabe: Musst du die neuen Flächeninhalte wirklich komplett neu berechnen oder gibt es einen Zusammenhang zwischen Winkel und Fläche?

1. Radien identifizieren: Der innere Radius des Kreissektors ist \(r_1 = 15\,\text{cm}\), der äußere Radius ist \(r_2 = 15 + 40 = 55\,\text{cm}\). 2. Fläche des Kreisringsektors berechnen: \(A = \frac{155}{360} \cdot \pi \cdot (55^2 - 15^2) = \frac{155}{360} \cdot \pi \cdot (3025 - 225) = \frac{155}{360} \cdot 2800\pi \approx 3\,787{,}36\,\text{cm}^2\). 3. Bogenlänge des äußeren Endes berechnen: \(b = \frac{155}{360} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 55 = \frac{155 \cdot 110}{360} \pi \approx 148{,}79\,\text{cm}\). 4. Prozentuale Vergrößerung: Da die Fläche proportional zum Winkel ist, berechnet man den Zuwachs über die Winkel: \(\frac{180 - 155}{155} = \frac{25}{155} \approx 0{,}1613\) bzw. \(16{,}1\,\%\).

a) Die gereinigte Fläche beträgt ca. \(3\,787{,}36\,\text{cm}^2\). b) Die Bogenlänge beträgt ca. \(148{,}79\,\text{cm}\). c) Die Fläche würde sich um ca. \(16{,}1\,\%\) vergrößern.

- Wie verändert sich die Fläche eines Kreises, wenn du den Radius mit einem Faktor multiplizierst? - Schau dir die Formel für den Umfang an. Wenn der Umfang doppelt so groß wird, was passiert dann mit dem Radius? - Versuche, die neuen Werte (\(2r\) oder \(2U\)) in die Grundformeln einzusetzen und zu vereinfachen.

1. Analyse von Idee A: Die Fläche eines Kreises ist \(A = \pi \cdot r^2\). Wird der Radius verdoppelt (\(r_{neu} = 2r\)), ergibt sich die neue Fläche zu \(A_{neu} = \pi \cdot (2r)^2 = \pi \cdot 4r^2 = 4 \cdot (\pi \cdot r^2)\). Die Fläche vervierfacht sich also. 2. Analyse von Idee B: Der Umfang eines Kreises ist \(U = 2 \cdot \pi \cdot r\). Da der Umfang direkt proportional zum Radius ist (\(U \sim r\)), bedeutet eine Verdopplung des Umfangs auch eine Verdopplung des Radius. 3. Schlussfolgerung: Da bei Idee B der Radius ebenfalls verdoppelt wird, ist die Auswirkung auf die Fläche identisch mit Idee A. In beiden Fällen vervierfacht sich der Flächeninhalt des Beetes.

Bei beiden Ideen vervierfacht sich die Fläche des Beetes. Da der Umfang proportional zum Radius ist, führt eine Verdopplung des Umfangs zwangsläufig auch zu einer Verdopplung des Radius.

- Achte darauf, dass die ISS nicht auf der Erdoberfläche kreist, sondern in einer bestimmten Höhe darüber. Wie groß ist also der Abstand zum Erdmittelpunkt? - Wie viele Minuten hat ein ganzer Tag? - Wie oft passt die Zeit für einen Umlauf in die Gesamtzeit eines Tages? - Überlege, wie du aus dem Umfang eines Umlaufs und der Anzahl der Umläufe die Gesamtstrecke berechnest.

1. Bestimmung des Bahnradius der ISS: \(r = R_{\text{Erde}} + h = 6370\,\text{km} + 400\,\text{km} = 6770\,\text{km}\) 2. Berechnung des Umfangs einer Umlaufbahn: \(U = 2 \cdot \pi \cdot 6770\,\text{km} \approx 42\,537{,}16\,\text{km}\) 3. Berechnung der Anzahl der Umlaufbahnen pro Tag: Ein Tag hat \(24 \cdot 60 = 1440\,\text{min}\). Anzahl der Umläufe \(n = \frac{1440\,\text{min}}{93\,\text{min}} \approx 15{,}48387\) 4. Berechnung der Gesamtstrecke: \(s_{\text{gesamt}} = n \cdot U \approx 15{,}48387 \cdot 42\,537{,}16\,\text{km} \approx 658\,639{,}97\,\text{km}\). Gerundet ergibt dies \(658\,640\,\text{km}\).

Die ISS legt in 24 Stunden eine Strecke von etwa \(658\,640\,\text{km}\) zurück.

- Wie kannst du die Flächenformel nach dem Radius umstellen? - Was ist mit der "Länge des Zauns" im mathematischen Sinne gemeint? - Schau dir die Formeln für Umfang und Fläche genau an: Wo steht der Radius einfach und wo steht er im Quadrat?

1. Berechnung des Radius: Aus \(A = \pi \cdot r^2\) folgt \(r^2 = A : \pi \approx 28{,}26\,\text{m}^2 : 3{,}14 = 9\,\text{m}^2\). Somit ist \(r = \sqrt{9\,\text{m}^2} = 3\,\text{m}\). 2. Berechnung der Zaunlänge (Umfang): \(U = 2 \cdot \pi \cdot r \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 3\,\text{m} = 18{,}84\,\text{m}\). 3. Untersuchung der Verdopplung: Der Umfang ist proportional zum Radius (\(U = 2\pi \cdot r\)). Verdoppelt sich \(r\), verdoppelt sich auch \(U\). Der Flächeninhalt ist proportional zum Quadrat des Radius (\(A = \pi \cdot r^2\)). Verdoppelt sich \(r\), so wird der Flächeninhalt vervierfacht (\(2^2 = 4\)).

a) Der Radius beträgt \(3\,\text{m}\). b) Der Zaun muss mindestens \(18{,}84\,\text{m}\) lang sein. c) Bei einer Verdopplung des Radius verdoppelt sich der Umfang (Zaunlänge), während sich der Flächeninhalt vervierfacht.

- Bestimme zuerst die Seitenlänge des Quadrats aus dem Umfang. - Bestimme dann den Radius des Kreises aus demselben Umfang. - Berechne nun beide Flächeninhalte und vergleiche sie.

1. Berechnung für das Quadrat: Seitenlänge \(a = U : 4 = 20\,\text{cm} : 4 = 5\,\text{cm}\). Flächeninhalt \(A_{Quadrat} = a^2 = (5\,\text{cm})^2 = 25\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung für den Kreis: Radius \(r = U : (2 \cdot \pi) \approx 20\,\text{cm} : (2 \cdot 3{,}14) = 20\,\text{cm} : 6{,}28 \approx 3{,}1847\,\text{cm}\). Flächeninhalt \(A_{Kreis} = \pi \cdot r^2 \approx 3{,}14 \cdot (3{,}1847\,\text{cm})^2 \approx 3{,}14 \cdot 10{,}1423\,\text{cm}^2 \approx 31{,}85\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich: \(31{,}85\,\text{cm}^2 > 25\,\text{cm}^2\). Der Kreis hat bei gleichem Umfang einen größeren Flächeninhalt.

Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von \(25\,\text{cm}^2\), der Kreis einen Flächeninhalt von ca. \(31{,}85\,\text{cm}^2\). Somit umschließt der Kreis die größere Fläche.

- Achte darauf, mit dem Radius und nicht mit dem Durchmesser zu rechnen. - Wie berechnet man, wie viel ein bestimmter Teil der Fläche kostet? - Wenn sich die Fläche verdoppelt, verdoppelt sich dann auch der Durchmesser? - Versuche eine Gleichung für den neuen Flächeninhalt aufzustellen.

1. Flächeninhalte: Für \(d_1 = 28\,\text{cm}\) ist \(r_1 = 14\,\text{cm}\), also \(A_1 = \pi \cdot 14^2 \approx 615{,}75\,\text{cm}^2\). Für \(d_2 = 32\,\text{cm}\) ist \(r_2 = 16\,\text{cm}\), also \(A_2 = \pi \cdot 16^2 \approx 804{,}25\,\text{cm}^2\). 2. Preisvergleich: Preis pro \(100\,\text{cm}^2\) für die kleine Pizza: \(\frac{8{,}50}{6{,}1575} \approx 1{,}38\,\text{€}\). Für die große Pizza: \(\frac{11{,}00}{8{,}0425} \approx 1{,}37\,\text{€}\). Die große Pizza ist geringfügig preisgünstiger. 3. Doppelter Flächeninhalt: \(A_{\text{neu}} = 2 \cdot A_1 = 2 \cdot 196\pi = 392\pi\). Es gilt \(\pi \cdot r_{\text{neu}}^2 = 392\pi\), also \(r_{\text{neu}}^2 = 392\). Daraus folgt \(r_{\text{neu}} = \sqrt{392} \approx 19{,}80\,\text{cm}\). Der Durchmesser ist \(d_{\text{neu}} \approx 39{,}60\,\text{cm}\).

a) Die Standard-Pizza hat ca. \(615{,}75\,\text{cm}^2\), die Familien-Pizza ca. \(804{,}25\,\text{cm}^2\). b) Standard: ca. \(1{,}38\,\text{€}/100\,\text{cm}^2\); Familien-Pizza: ca. \(1{,}37\,\text{€}/100\,\text{cm}^2\). Die Familien-Pizza ist preisgünstiger. c) Der Durchmesser müsste ca. \(39{,}60\,\text{cm}\) betragen.

- Welche Größe musst du zuerst berechnen, um den Umfang bestimmen zu können? - Wie kannst du eine Formel umstellen, um von der Fläche zum Radius zu gelangen? - Welche Rechenoperation ist die Umkehroperation zum Quadrieren?

1. Berechnung des Radius aus dem Flächeninhalt \(A = \pi \cdot r^2\): - \(28{,}27\,\text{m}^2 = \pi \cdot r^2\) - \(r^2 = \frac{28{,}27\,\text{m}^2}{\pi} \approx 8{,}9987\,\text{m}^2\) - \(r = \sqrt{8{,}9987\,\text{m}^2} \approx 3{,}00\,\text{m}\) 2. Berechnung des Umfangs (Länge der Beeteinfassung) mit \(U = 2 \cdot \pi \cdot r\): - \(U = 2 \cdot \pi \cdot 3{,}00\,\text{m} \approx 18{,}85\,\text{m}\)

a) \(r \approx 3{,}00\,\text{m}\) b) Es müssen mindestens \(18{,}85\,\text{m}\) Material gekauft werden.

- Behandle \(x\) wie eine ganz normale Zahl in deinen Rechnungen. - Wie hängen Umfang und Radius mathematisch zusammen? - Achte beim Quadrieren von Ausdrücken wie \(5x\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Variable zu quadrieren.

1. Bestimmung des Radius \(r\) aus der Umfangsformel \(U = 2 \pi r\): - \(2 \pi r = 10 \pi x\) - Division durch \(2 \pi\): \(r = 5x\) 2. Bestimmung des Durchmessers \(d\): - \(d = 2r = 2 \cdot 5x = 10x\) 3. Berechnung des Flächeninhalts \(A\) mit \(A = \pi r^2\): - Einsetzen von \(r = 5x\): \(A = \pi \cdot (5x)^2\) - Auflösen der Klammer: \(A = \pi \cdot 25x^2 = 25\pi x^2\)

a) \(r = 5x\); \(d = 10x\) b) \(A = 25\pi x^2\)

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen. - Welche Strecke legt ein Rad bei genau einer vollen Umdrehung zurück? - Wie oft passt dieser Weg in die Gesamtstrecke?

1. Umrechnung der Einheiten: \(d = 0{,}2\,\text{m}\) und \(s = 1500\,\text{m}\). 2. Berechnung des Radumfangs: \(U = \pi \cdot d = \pi \cdot 0{,}2 \approx 0{,}6283\,\text{m}\). 3. Berechnung der Anzahl der Umdrehungen: \(n = \frac{s}{U} = \frac{1500}{0{,}6283} \approx 2387{,}32\). 4. Bestimmung der vollen Umdrehungen: \(2387\).

Das Rad macht auf der Strecke insgesamt \(2387\) volle Umdrehungen.

- Wie verändert sich das Quadrat einer Zahl, wenn man die Zahl selbst verdreifacht? - Überlege dir, welche Formel den Durchmesser direkt mit dem Umfang verknüpft. - Wenn eine Fläche 9-mal so groß ist wie eine andere, welchen Bruchteil macht dann die kleinere Fläche aus?

1. Es gilt der Zusammenhang \(d_2 = 3 \cdot d_1\). 2. Der Umfang ist proportional zum Durchmesser (\(U = \pi \cdot d\)). Daher gilt \(U_2 = \pi \cdot d_2 = \pi \cdot (3 \cdot d_1) = 3 \cdot (\pi \cdot d_1) = 3 \cdot U_1\). Das Verhältnis \(U_1 : U_2\) ist somit \(1 : 3\). 3. Der Flächeninhalt berechnet sich mit \(A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2\). Für \(K_2\) ergibt sich \(A_2 = \frac{\pi}{4} \cdot (3 \cdot d_1)^2 = \frac{\pi}{4} \cdot 9 \cdot d_1^2 = 9 \cdot A_1\). 4. Um den Anteil von \(A_1\) an \(A_2\) zu bestimmen, berechnet man \(\frac{A_1}{A_2} = \frac{A_1}{9 \cdot A_1} = \frac{1}{9}\). 5. Umwandlung in Prozent: \(\frac{1}{9} \approx 0{,}1111 = 11{,}11\,\%\).

a) Das Verhältnis der Umfänge beträgt \(1 : 3\). b) Der Kreis \(K_1\) nimmt etwa \(11{,}11\,\%\) der Fläche von \(K_2\) ein.

- Was passiert in der Formel für den Umfang, wenn du für den Radius den dreifachen Wert einsetzt? - Was passiert in der Formel für die Fläche, wenn du den Radius innerhalb der Klammer quadrierst? - Vergleiche die neuen Werte direkt mit den alten Werten durch Division.

1. Berechnungen für \(r_1 = 2\,\text{cm}\): \(U_1 = 2 \cdot \pi \cdot 2 \approx 12{,}6\,\text{cm}\); \(A_1 = \pi \cdot 2^2 \approx 12{,}6\,\text{cm}^2\). 2. Berechnungen für \(r_2 = 6\,\text{cm}\): \(U_2 = 2 \cdot \pi \cdot 6 \approx 37{,}7\,\text{cm}\); \(A_2 = \pi \cdot 6^2 \approx 113{,}1\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich des Umfangs: \(\frac{U_2}{U_1} = \frac{2\pi \cdot (3r)}{2\pi \cdot r} = 3\). Der Umfang verdreifacht sich. 4. Vergleich des Flächeninhalts: \(\frac{A_2}{A_1} = \frac{\pi \cdot (3r)^2}{\pi \cdot r^2} = \frac{9\pi r^2}{\pi r^2} = 9\). Der Flächeninhalt verneunfacht sich, da der Radius im Quadrat in die Formel eingeht (\(3^2 = 9\)).

a) \(r_1 = 2\,\text{cm} \implies U_1 \approx 12{,}6\,\text{cm}, A_1 \approx 12{,}6\,\text{cm}^2\); \(r_2 = 6\,\text{cm} \implies U_2 \approx 37{,}7\,\text{cm}, A_2 \approx 113{,}1\,\text{cm}^2\). b) Der Umfang verdreifacht sich (Faktor 3); der Flächeninhalt verneunfacht sich (Faktor 9).

- Wie oft passt der Umfang eines Rades in die gesamte Strecke? - Achte auf die Einheiten Meter und Zentimeter. - Runde die Anzahl der Umdrehungen erst am Ende auf zwei Dezimalstellen.

1. Durchmesser: Aus \(U=\pi d\) folgt \(d=\frac{100\,\text{cm}}{\pi} \approx 31{,}83\,\text{cm}\). 2. Wegstrecke: \(s=235\cdot 1{,}00\,\text{m}=235\,\text{m}\). 3. Umfang des zweiten Rades: \(U_2=\pi\cdot 25\,\text{cm} \approx 78{,}54\,\text{cm}=0{,}7854\,\text{m}\). 4. Anzahl der Umdrehungen: \(n=\frac{235\,\text{m}}{0{,}25\pi\,\text{m}} \approx 299{,}21\).

a) Der Durchmesser beträgt ca. \(31{,}83\,\text{cm}\). b) Der Weg ist \(235\,\text{m}\) lang. c) Das zweite Rad dreht sich ca. \(299{,}21\)-mal.

- Welche Rolle spielt das Quadrat in der Flächenformel? - Wenn du weißt, wie sich die Fläche ändert, wie kommst du dann zurück auf die Änderung des Radius? - Denke an den Zusammenhang zwischen Umfang und Radius.

1. Für Teil a): Der Flächeninhalt \(A\) ist proportional zum Quadrat des Radius (\(A = \pi \cdot r^2\)). Bei einer Verdreifachung des Radius (\(3 \cdot r\)) wird der Flächeninhalt um den Faktor \(3^2 = 9\) größer. 2. Für Teil b): Damit der Flächeninhalt \(9\)-mal so groß ist (\(A' = 9 \cdot A\)), muss wegen \(r' = \sqrt{9} \cdot r\) der Radius verdreifacht werden. 3. Da der Umfang \(U = 2\pi \cdot r\) linear vom Radius abhängt, führt ein dreifacher Radius zu einem dreifachen Umfang (\(U' = 3 \cdot U\)).

a) Der Flächeninhalt vergrößert sich um den Faktor 9. b) Der Umfang muss verdreifacht werden.

- Wie hängen Umfang und Durchmesser in der Formel zusammen? Ist das ein linearer Zusammenhang? - Musst du den Umfang des ersten Kreises wirklich berechnen, um den zweiten Durchmesser zu finden? - Was passiert mit einem Wert in einer Formel, wenn die Variable, die im Quadrat steht, verdreifacht wird? - Erinnere dich an die Ähnlichkeitslehre: Wie verhalten sich Flächen, wenn sich die Längenmaße verändern?

1. Analyse des Umfangs: Da die Formel für den Umfang \(U = \pi \cdot d\) eine direkte Proportionalität zwischen Umfang und Durchmesser beschreibt, führt eine Verdreifachung des Umfangs zu einer Verdreifachung des Durchmessers. 2. Berechnung von \(d_2\): \(d_2 = 3 \cdot d_1 = 3 \cdot 12\,\text{cm} = 36\,\text{cm}\). 3. Analyse des Flächeninhalts: Die Flächeninhaltsformel \(A = \pi \cdot r^2\) zeigt, dass die Fläche quadratisch vom Radius (und damit auch vom Durchmesser) abhängt. 4. Bestimmung des Faktors: Da der Durchmesser um den Faktor \(3\) vergrößert wurde, vergrößert sich der Flächeninhalt um den Faktor \(3^2 = 9\).

a) Der Durchmesser \(d_2\) beträgt \(36\,\text{cm}\), da der Umfang proportional zum Durchmesser ist. b) Der Flächeninhalt des zweiten Kreises ist \(9\)-mal so groß wie der des ersten.

- Wie kannst du die Formel so umstellen, dass der Durchmesser allein auf einer Seite steht? - Welche Rechenoperation ist die Umkehrung des Quadrierens? - Überprüfe bei den Flächenberechnungen, ob du zuerst quadrierst oder zuerst multiplizierst. - Achte beim Runden auf die erste Stelle nach dem Komma.

1. Berechnung für Kreis 1 (\(d = 12\)): \(A = \frac{3{,}14 \cdot 12^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 144}{4} = 3{,}14 \cdot 36 = 113{,}04 \approx 113\). 2. Umstellung der Formel nach \(d\) für Kreis 2 und 4: \(d = \sqrt{\frac{4 \cdot A}{\pi}}\). 3. Berechnung für Kreis 2 (\(A = 1256\)): \(d = \sqrt{\frac{4 \cdot 1256}{3{,}14}} = \sqrt{\frac{5024}{3{,}14}} = \sqrt{1600} = 40\). 4. Berechnung für Kreis 3 (\(d = 50\)): \(A = \frac{3{,}14 \cdot 50^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 2500}{4} = 3{,}14 \cdot 625 = 1962{,}5 \approx 1963\). 5. Berechnung für Kreis 4 (\(A = 2826\)): \(d = \sqrt{\frac{4 \cdot 2826}{3{,}14}} = \sqrt{\frac{11\,304}{3{,}14}} = \sqrt{3600} = 60\).

1. \(A = 113\,\text{cm}^2\) 2. \(d = 40\,\text{cm}\) 3. \(A = 1963\,\text{cm}^2\) 4. \(d = 60\,\text{cm}\)

- Wie groß ist der Radius der äußeren Bahn im Vergleich zur inneren? - Was bedeutet es für die Startposition, wenn eine Bahn länger ist als die andere? - Kannst du den Unterschied der Umfänge berechnen, ohne beide Umfänge einzeln zu bestimmen?

1. Umfang Innenbahn: \(U_i = 2 \cdot \pi \cdot 36\,\text{m} \approx 226{,}19\,\text{m}\). 2. Radius Außenbahn: \(r_a = 36\,\text{m} + 1{,}22\,\text{m} = 37{,}22\,\text{m}\). 3. Umfang Außenbahn: \(U_a = 2 \cdot \pi \cdot 37{,}22\,\text{m} \approx 233{,}86\,\text{m}\). 4. Längendifferenz: \(\Delta U = U_a - U_i \approx 233{,}86\,\text{m} - 226{,}19\,\text{m} = 7{,}67\,\text{m}\). Alternativ direkt über die Differenz der Radien: \(\Delta U = 2 \cdot \pi \cdot 1{,}22\,\text{m} \approx 7{,}67\,\text{m}\). 5. Der Vorsprung muss genau dieser Differenz entsprechen, damit die Gesamtlänge der Strecke identisch ist: \(7{,}67\,\text{m}\).

a) Die innere Runde ist ca. \(226{,}19\,\text{m}\) lang. b) Die äußere Runde ist ca. \(7{,}67\,\text{m}\) länger. c) Der Läufer auf der äußeren Bahn benötigt einen Vorsprung von ca. \(7{,}67\,\text{m}\).

- Wenn der Umfang mit einem Faktor multipliziert wird, was passiert dann mit dem Radius? - Erinnere dich an die Formeln für Umfang und Flächeninhalt. - Setze die Formeln ins Verhältnis, um zu sehen, welche Werte sich kürzen lassen. - Wie verändern sich Längen und Flächen allgemein, wenn eine Figur vergrößert wird?

1. Umfang Kreis 1: \(U_1 = \pi \cdot d_1 = \pi \cdot 12\,\text{cm} \approx 37{,}70\,\text{cm}\). 2. Flächeninhalt Kreis 1: \(A_1 = \pi \cdot (\frac{d_1}{2})^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^2\). 3. Umfang Kreis 2: \(U_2 = 2{,}5 \cdot U_1 = 2{,}5 \cdot 12\pi = 30\pi \approx 94{,}25\,\text{cm}\). 4. Radius Kreis 2: \(r_2 = \frac{U_2}{2\pi} = \frac{30\pi}{2\pi} = 15\,\text{cm}\). 5. Flächeninhalt Kreis 2: \(A_2 = \pi \cdot r_2^2 = \pi \cdot 15^2 = 225\pi \approx 706{,}86\,\text{cm}^2\). 6. Verhältnis der Flächen: \(\frac{A_2}{A_1} = \frac{225\pi}{36\pi} = 6{,}25\). 7. Zusammenhang: Wenn der Umfang (und damit der Radius) um den Faktor \(k\) wächst, wächst der Flächeninhalt um den Faktor \(k^2\). Hier ist \(2{,}5^2 = 6{,}25\).

a) \(U_1 \approx 37{,}70\,\text{cm}\); \(A_1 \approx 113{,}10\,\text{cm}^2\). b) \(r_2 = 15\,\text{cm}\). c) Der Flächeninhalt des zweiten Kreises ist \(6{,}25\)-mal so groß wie der des ersten. Der Flächenfaktor ist das Quadrat des Umfangsfaktors: \(2{,}5^2 = 6{,}25\).

- Berechne zuerst, wie viel Gitter man braucht, um den Stamm genau einmal zu umschließen. - Was bedeutet „Überlappung“ für die Gesamtlänge des Materials? - Achte beim Flächeninhalt auf die Einheiten (Zentimeter und Meter). - Vergiss am Ende nicht, das Ergebnis für die Anzahl der Bäume hochzurechnen.

1. Berechnung des Stammumfangs \(U\): \(U = \pi \cdot 16\,\text{cm} \approx 50{,}27\,\text{cm}\). 2. Addition der Überlappung zur Ermittlung der Gesamtlänge \(L\) pro Baum: \(L = 50{,}27\,\text{cm} + 15\,\text{cm} = 65{,}27\,\text{cm}\). In Metern: \(L \approx 0{,}6527\,\text{m}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts \(A_1\) für einen Baum: \(A_1 = L \cdot h = 0{,}6527\,\text{m} \cdot 1{,}50\,\text{m} \approx 0{,}979\,\text{m}^2\). 4. Berechnung des Gesamtbedarfs für 8 Bäume: \(A_{\text{gesamt}} = 8 \cdot A_1 \approx 8 \cdot 0{,}97905\,\text{m}^2 \approx 7{,}83\,\text{m}^2\).

a) Das Gitterstück muss ca. \(65{,}27\,\text{cm}\) lang sein. b) Für 8 Bäume werden insgesamt ca. \(7{,}83\,\text{m}^2\) Drahtgitter benötigt.

- Überlege, ob der Tacho zu viel oder zu wenig anzeigt, wenn der eingestellte Durchmesser kleiner als der echte ist. - Die Anzahl der Radumdrehungen ist die verbindende Größe zwischen der Anzeige und der Wirklichkeit. - Musst du \(\pi\) unbedingt am Anfang ausrechnen oder kürzt es sich vielleicht in einem Verhältnis weg?

1. Der Tacho berechnet die Strecke \(s_{\text{Anzeige}}\) auf Grundlage des eingestellten Umfangs \(U_{\text{eingestellt}} = \pi \cdot 68\,\text{cm}\). Die Anzahl der registrierten Umdrehungen ist \(n = \frac{s_{\text{Anzeige}}}{U_{\text{eingestellt}}}\). 2. Die tatsächliche Strecke \(s_{\text{tatsächlich}}\) ergibt sich aus derselben Anzahl an Umdrehungen multipliziert mit dem tatsächlichen Umfang \(U_{\text{tatsächlich}} = \pi \cdot 71\,\text{cm}\). 3. Es gilt das Verhältnis: \(\frac{s_{\text{tatsächlich}}}{s_{\text{Anzeige}}} = \frac{n \cdot \pi \cdot d_{\text{tatsächlich}}}{n \cdot \pi \cdot d_{\text{eingestellt}}} = \frac{d_{\text{tatsächlich}}}{d_{\text{eingestellt}}}\). 4. Einsetzen der Werte: \(s_{\text{tatsächlich}} = 34{,}0\,\text{km} \cdot \frac{71\,\text{cm}}{68\,\text{cm}} = 34{,}0 \cdot 1{,}044117\ldots = 35{,}5\,\text{km}\).

Die tatsächlich gefahrene Strecke war \(35{,}5\,\text{km}\) lang.

- Wie kann man die Fläche eines Rings aus zwei Kreisen zusammensetzen? - Stell dir vor, du schneidest den kleinen Kreis aus dem großen Kreis aus. - Gilt die Regel zur Flächenänderung bei Radiusverdopplung auch für zusammengesetzte Flächen?

1. Berechnung der Ringfläche als Differenz der Flächen des äußeren und inneren Kreises: \(A = \pi \cdot r_a^2 - \pi \cdot r_i^2 = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2)\). 2. Einsetzen der Werte: \(A = \pi \cdot (8^2 - 5^2) = \pi \cdot (64 - 25) = 39\pi \approx 122{,}52\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung mit verdoppelten Radien (\(r_{a,neu} = 16\,\text{cm}\), \(r_{i,neu} = 10\,\text{cm}\)): \(A_{neu} = \pi \cdot (16^2 - 10^2) = \pi \cdot (256 - 100) = 156\pi \approx 490{,}09\,\text{cm}^2\). 4. Verhältnisbildung: \(156\pi : 39\pi = 4\). Die Fläche vervierfacht sich.

a) Der Flächeninhalt des Kreisrings beträgt ca. \(122{,}52\,\text{cm}^2\). b) Der Flächeninhalt vervierfacht sich.

- Was bedeutet die Drahtlänge für den Umfang der beiden Formen? - Berechne zuerst die notwendigen Maße (Seitenlänge bzw. Radius) für beide Formen einzeln. - Wie berechnet man, um wie viel Prozent ein Wert größer ist als ein Grundwert?

1. Quadrat: Der Umfang ist \(U_Q = 120\,\text{cm}\). Die Seitenlänge ist \(a = \frac{120}{4} = 30\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt ist \(A_Q = 30^2 = 900\,\text{cm}^2\). 2. Kreis: Der Umfang ist \(U_K = 120\,\text{cm}\). Der Radius ist \(r = \frac{120}{2 \cdot \pi} \approx 19{,}0986\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt ist \(A_K = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot \left(\frac{60}{\pi}\right)^2 = \frac{3600}{\pi} \approx 1\,145{,}92\,\text{cm}^2\). 3. Prozentualer Vergleich: Differenz \(A_K - A_Q \approx 1\,145{,}92 - 900 = 245{,}92\,\text{cm}^2\). 4. Prozentsatz berechnen: \(\frac{245{,}92}{900} \cdot 100 \approx 27{,}32\,\%\).

a) Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von \(900\,\text{cm}^2\), der Kreis ca. \(1\,145{,}9\,\text{cm}^2\). b) Die Fläche des Kreises ist um ca. \(27{,}3\,\%\) größer als die des Quadrats.

- Wenn der Flächeninhalt mit dem Quadrat des Radius wächst, wie kommt man dann vom Flächenfaktor zurück zum Radiusfaktor? - Welche Rechenoperation ist die Umkehroperation zum Quadrieren? - Wie hängen Umfang und Radius zusammen? Ist das ein linearer oder ein quadratischer Zusammenhang?

1. Zusammenhang zwischen Flächeninhalten und Radien nutzen: \(A_2 = 16 \cdot A_1\). Da \(A = \pi \cdot r^2\), gilt \(\pi \cdot r_2^2 = 16 \cdot \pi \cdot r_1^2\). 2. Kürzen von \(\pi\) und Radizieren: \(r_2^2 = 16 \cdot r_1^2 \implies r_2 = \sqrt{16} \cdot r_1 = 4 \cdot r_1\). Der Radius vergrößert sich um den Faktor \(4\). 3. Auswirkung auf den Umfang: Da der Umfang direkt proportional zum Radius ist (\(U = 2 \cdot \pi \cdot r\)), gilt \(U_2 = 2 \cdot \pi \cdot (4 \cdot r_1) = 4 \cdot (2 \cdot \pi \cdot r_1) = 4 \cdot U_1\). Der Umfang vervierfacht sich.

a) Der Radius des Logos vergrößert sich um den Faktor \(4\). b) Der Umfang des Logos vervierfacht sich (wächst ebenfalls um den Faktor \(4\)).

- Wie kannst du die Flächenformel nach dem Radius umstellen? - Aus welchen Linien besteht die Umrandung eines „Kuchenstücks“ (Sektors)? - Vergiss beim Umfang nicht die geraden Teilstrecken.

1. Berechnung des Radius \(r\): Aus \(A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2\) folgt \(r = \sqrt{\frac{A \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot \pi}}\). Einsetzen der Werte: \(r = \sqrt{\frac{62{,}83 \cdot 360}{72 \cdot \pi}} = \sqrt{\frac{62{,}83 \cdot 5}{\pi}} \approx \sqrt{99{,}997} \approx 10\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Bogenlänge \(b\): \(b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r = \frac{72}{360} \cdot 2\pi \cdot 10 = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi \approx 12{,}57\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Gesamtumfangs: Der Umfang des Kreissektors ist die Summe aus der Bogenlänge und den zwei begrenzenden Radien: \(U_{\text{Sektor}} = b + 2r \approx 12{,}57\,\text{cm} + 2 \cdot 10\,\text{cm} = 32{,}57\,\text{cm}\).

a) Der Radius beträgt \(r \approx 10\,\text{cm}\). b) Der Umfang des Kreissektors beträgt \(U_{\text{Sektor}} \approx 32{,}57\,\text{cm}\).

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Kreissektors. - Wie hängen der Flächenanteil und der Winkelanteil am Vollkreis zusammen? - Gibt es eine Formel, die die Bogenlänge direkt mit dem Flächeninhalt verbindet?

1. Berechnung des Winkels \(\alpha\): Nutzung der Flächenformel \(A_s = \pi r^2 \frac{\alpha}{360^\circ}\). Einsetzen der Werte: \(25 = \pi \cdot 5^2 \cdot \frac{\alpha}{360}\). Vereinfachen zu \(25 = 25\pi \cdot \frac{\alpha}{360}\), woraus folgt \(1 = \pi \cdot \frac{\alpha}{360}\). Damit ist \(\alpha = \frac{360}{\pi} \approx 114{,}59^\circ\). 2. Berechnung der Bogenlänge \(b\): \(b = 2\pi r \frac{\alpha}{360^\circ}\). Einsetzen des exakten Winkels: \(b = 2\pi \cdot 5 \cdot \frac{360/\pi}{360} = 10\,\text{cm}\). 3. Überprüfung der Beziehung: Einsetzen in \(A_s = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r\) ergibt \(\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25\). Dies entspricht dem gegebenen Flächeninhalt von \(25\,\text{cm}^2\).

a) \(\alpha \approx 114{,}6^\circ\) b) \(b = 10\,\text{cm}\) c) Die Rechnung \(\frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 25\,\text{cm}^2\) bestätigt den Zusammenhang.

- Gibt es eine Formel, die den Flächeninhalt direkt mit der Bogenlänge und dem Radius verknüpft? - Wenn du den Radius gefunden hast, kannst du ihn in die Formel für die Bogenlänge oder den Flächeninhalt einsetzen, um den Winkel zu bestimmen. - Achte darauf, die Formeln nach der gesuchten Größe umzustellen.

1. Berechnung des Radius: Verwendung der Formel \(A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r\). Umstellen nach \(r\): \(r = \frac{2 \cdot A}{b} = \frac{2 \cdot 40\,\text{m}^2}{8\,\text{m}} = 10\,\text{m}\). 2. Berechnung des Mittelpunktswinkels: Verwendung der Formel für die Bogenlänge \(b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}\). Einsetzen der bekannten Werte: \(8 = 2 \cdot \pi \cdot 10 \cdot \frac{\alpha}{360}\). Vereinfachen: \(8 = \frac{20 \cdot \pi \cdot \alpha}{360} = \frac{\pi \cdot \alpha}{18}\). Umstellen nach \(\alpha\): \(\alpha = \frac{8 \cdot 18}{\pi} = \frac{144}{\pi} \approx 45{,}84^\circ\).

Der Radius des Beets beträgt \(r = 10\,\text{m}\) und der Mittelpunktswinkel ist \(\alpha \approx 45{,}84^\circ\).

- Überlege dir zuerst die Radien der beiden Kreise. - Wie berechnet man den Umfang eines Kreises? - Schau dir die Differenz der Umfänge in einer allgemeinen Formel an: Was passiert mit dem Radius, wenn du die Differenz bildest?

1. Berechnung des inneren Umfangs: Mit \(r_1 = 30\,\text{m}\) ist \(U_1 = 2 \cdot \pi \cdot 30\,\text{m} = 60\pi\,\text{m} \approx 188{,}50\,\text{m}\). 2. Berechnung des äußeren Umfangs: Mit \(r_2 = 30\,\text{m} + 1{,}25\,\text{m} = 31{,}25\,\text{m}\) ist \(U_2 = 2 \cdot \pi \cdot 31{,}25\,\text{m} = 62{,}5\pi\,\text{m} \approx 196{,}35\,\text{m}\). 3. Berechnung der Differenz: \(\Delta U = U_2 - U_1 = 62{,}5\pi - 60\pi = 2{,}5\pi \approx 7{,}85\,\text{m}\). 4. Untersuchung der Radiusabhängigkeit: Sei \(r\) der Radius und \(w\) die Bahnbreite. Die Differenz ist \(\Delta U = 2\pi(r + w) - 2\pi r = 2\pi r + 2\pi w - 2\pi r = 2\pi w\). Die Differenz hängt also nur von der Breite \(w\) ab, nicht vom Radius \(r\). Somit bleibt der Unterschied bei gleicher Bahnbreite immer gleich.

a) Der Läufer auf der äußeren Bahn läuft pro Runde ca. \(7{,}85\,\text{m}\) weiter. b) Nein, der Unterschied wäre genau gleich (\(2 \cdot \pi \cdot 1{,}25\,\text{m}\)), da der Radius \(r\) bei der Subtraktion der Umfänge herausfällt.

- Berechne zuerst die Flächeninhalte für beide Radien. - Teile dann den jeweiligen Flächeninhalt durch den zugehörigen Radius. Was stellst du fest? - Erinnere dich daran, dass bei proportionalen Zuordnungen alle Paare von Werten den gleichen Quotienten haben müssen. - Wie wirkt sich ein Streckungsfaktor auf eine Fläche aus, wenn eine Dimension im Quadrat in die Formel eingeht?

1. Berechnung für \(r_1 = 2\,\text{m}\): \(A_1 = \pi \cdot (2\,\text{m})^2 = 4\pi\,\text{m}^2 \approx 12{,}57\,\text{m}^2\). Quotient \(Q_1 = \frac{4\pi}{2} = 2\pi \approx 6{,}28\,\text{m}\). 2. Berechnung für \(r_2 = 5\,\text{m}\): \(A_2 = \pi \cdot (5\,\text{m})^2 = 25\pi\,\text{m}^2 \approx 78{,}54\,\text{m}^2\). Quotient \(Q_2 = \frac{25\pi}{5} = 5\pi \approx 15{,}71\,\text{m}\). 3. Da \(Q_1 \neq Q_2\), liegt keine Quotientengleichheit vor; die Zuordnung ist somit nicht proportional. 4. Wachstumsfaktor berechnen: Wenn der Radius um den Faktor \(k = 2{,}5\) wächst, vergrößert sich der Flächeninhalt um den Faktor \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).

Die Quotienten sind \(\frac{A_1}{r_1} = 2\pi \approx 6{,}28\,\text{m}\) und \(\frac{A_2}{r_2} = 5\pi \approx 15{,}71\,\text{m}\). Da die Quotienten unterschiedlich sind, ist die Zuordnung nicht proportional. Der Flächeninhalt vergrößert sich um den Faktor \(6{,}25\).

- Skizziere die Situation: Ein Kreis liegt innerhalb eines größeren Kreises. - Welchen Radius hat der gesamte Bereich (Beet und Weg zusammen)? - Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen?

1. Innenradius des Beetes: \(r_i = \frac{6\,\text{m}}{2} = 3\,\text{m}\). 2. Außenradius (Beet plus Weg): \(r_a = 3\,\text{m} + 1\,\text{m} = 4\,\text{m}\). 3. Fläche des Weges (Kreisring): \(A_{\text{Weg}} = \pi \cdot r_a^2 - \pi \cdot r_i^2 = \pi \cdot (4^2 - 3^2)\,\text{m}^2 = 7\pi\,\text{m}^2 \approx 22{,}0\,\text{m}^2\). 4. Äußere Begrenzung (Umfang des großen Kreises): \(U_a = 2\pi \cdot r_a = 2\pi \cdot 4\,\text{m} = 8\pi\,\text{m} \approx 25{,}1\,\text{m}\).

a) Die Fläche des Weges beträgt ca. \(22{,}0\,\text{m}^2\). b) Die äußere Begrenzung ist ca. \(25{,}1\,\text{m}\) lang.

- Berechne zuerst den Radius für beide Fälle. - Wie viele kleine Kreise passen in eine Reihe, wenn es insgesamt 25 sind? - Vergleiche die Summe der Flächen der kleinen Kreise mit der Fläche des einen großen Kreises. - Was stellst du fest, wenn du die Formeln für die Flächeninhalte aufstellst, ohne direkt \(\pi\) einzutippen?

1. Fläche der quadratischen Platten: \(A_{\text{Platte}} = 50^2 = 2500\,\text{cm}^2\). 2. Variante 1 (1 großer Kreis): Durchmesser \(d_1 = 50\,\text{cm}\), Radius \(r_1 = 25\,\text{cm}\). Fläche \(A_1 = \pi \cdot 25^2 = 625\pi \approx 1963{,}50\,\text{cm}^2\). 3. Variante 2 (25 kleine Kreise): Durchmesser \(d_2 = 50\,\text{cm} : 5 = 10\,\text{cm}\), Radius \(r_2 = 5\,\text{cm}\). Gesamtfläche \(A_2 = 25 \cdot \pi \cdot 5^2 = 25 \cdot 25\pi = 625\pi \approx 1963{,}50\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich: In beiden Fällen ist die Fläche der Kreise identisch (\(625\pi\)). 5. Berechnung des Verschnitts: \(2500 - 625\pi \approx 536{,}50\,\text{cm}^2\). Ergebnis: Bei beiden Varianten entsteht genau die gleiche Menge an Verschnitt.

Bei beiden Varianten entsteht exakt die gleiche Menge an Verschnitt (ca. \(536{,}50\,\text{cm}^2\)).

- Stelle dir vor, die Walze würde ihre Spur wie einen langen Teppich ausrollen. Wie lang ist dieser Teppich? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Fläche, der Breite der Walze und der zurückgelegten Strecke? - Wie oft muss sich die Walze drehen, um diese Strecke abzufahren?

1. Die gefahrene Strecke \(s\) aus der Fläche \(A\) und der Breite \(b\) der Walze berechnen: \(s = \frac{A}{b} = \frac{1200\,\text{m}^2}{2\,\text{m}} = 600\,\text{m}\). 2. Den Umfang der Walze berechnen: \(U = \pi \cdot d = \pi \cdot 1{,}20\,\text{m} \approx 3{,}7699\,\text{m}\). 3. Die Anzahl der Umdrehungen berechnen: \(n = \frac{s}{U} = \frac{600\,\text{m}}{3{,}7699\,\text{m}} \approx 159{,}15\).

Die Walze hat insgesamt etwa \(159\) Umdrehungen gemacht.

- Kannst du eine Gleichung aufstellen, die die Bedingung aus dem Text beschreibt? - Nutze die allgemeinen Formeln für Umfang und Fläche und setze sie in deine Gleichung ein. - Welche Variable kannst du durch Umformen der Gleichung isolieren?

1. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Aufgabenstellung: \(A = 4 \cdot U\). 2. Einsetzen der Formeln für \(A\) und \(U\): \(\pi \cdot r^2 = 4 \cdot (2 \cdot \pi \cdot r)\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(\pi \cdot r^2 = 8 \cdot \pi \cdot r\). 4. Teilen durch \(\pi \cdot r\) (da \(r \neq 0\)): \(r = 8\). Der Radius beträgt also \(r = 8\,\text{cm}\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \pi \cdot 8^2 = 64 \cdot \pi \approx 201{,}06\ldots\,\text{cm}^2\). Gerundet: \(A \approx 201{,}1\,\text{cm}^2\).

\(r = 8\,\text{cm}\) \(A \approx 201{,}1\,\text{cm}^2\)

- Nutze Variablen wie \(r\), um allgemeine Verhältnisse zu untersuchen. - Wenn ein Ring eine bestimmte Breite hat, wie verändert das den Radius für die Flächenberechnung? - Denke an den Zusammenhang zwischen dem Streckfaktor von Längen und dem Faktor, um den sich Flächen verändern.

1. Verhältnis berechnen: Innenkreis \(A_1 = \pi r^2\). Außenradius \(R = r + r = 2r\). Fläche des äußeren Rings \(A_{\text{Ring}} = \pi (2r)^2 - \pi r^2 = 4\pi r^2 - \pi r^2 = 3\pi r^2\). Das Verhältnis \(A_1 : A_{\text{Ring}}\) ist \(1 : 3\). 2. Dritter Ring: Radius des dritten Rings von \(20\,\text{cm}\) bis \(30\,\text{cm}\). \(A_3 = \pi(30^2 - 20^2) = 500\pi \approx 1\,570{,}8\,\text{cm}^2\). Zweiter Ring (von \(10\) bis \(20\)): \(A_2 = \pi(20^2 - 10^2) = 300\pi \approx 942{,}5\,\text{cm}^2\). Da \(500\pi > 300\pi\), ist die Fläche größer. 3. Flächenverdopplung: \(2 \cdot (\pi r^2) = \pi (r_{neu})^2 \Rightarrow 2r^2 = r_{neu}^2 \Rightarrow r_{neu} = \sqrt{2} \cdot r\). Der Radius muss mit dem Faktor \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\) multipliziert werden.

a) Das Verhältnis ist \(1 : 3\). Der äußere Ring ist dreimal so groß wie der innere Kreis. b) Der zweite Ring hat einen Flächeninhalt von \(300\pi\,\text{cm}^2\), der dritte Ring \(500\pi\,\text{cm}^2\). Somit ist der dritte Ring größer. c) Der Radius muss auf das \(\sqrt{2}\)-Fache (ca. das \(1{,}41\)-Fache) vergrößert werden.

- Wenn eine Größe um \(20\,\%\) wächst, mit welchem Faktor wird sie dann multipliziert? - Wie wirkt sich diese Änderung des Umfangs auf den Radius aus? - Setze den veränderten Radius in die Formel für den Flächeninhalt ein. - Wie rechnet man den Faktor am Ende wieder in eine prozentuale Steigerung um?

1. Der Umfang von \(K_2\) ist \(U_2 = 1{,}2 \cdot U_1\). 2. Da der Umfang proportional zum Radius ist (\(U = 2\pi r\)), folgt daraus für den Radius: \(r_2 = 1{,}2 \cdot r_1\). 3. Berechnung des neuen Flächeninhalts: \(A_2 = \pi \cdot r_2^2 = \pi \cdot (1{,}2 \cdot r_1)^2 = \pi \cdot 1{,}44 \cdot r_1^2 = 1{,}44 \cdot A_1\). 4. Ein Faktor von \(1{,}44\) entspricht einer Steigerung um \(44\,\%\).

Der Flächeninhalt von \(K_2\) ist um \(44\,\%\) größer als der von \(K_1\).

- Berechne zuerst die Umfänge für beide Beete einzeln, bevor sie vergrößert werden und nachdem sie vergrößert wurden. - Was passiert, wenn du in der Formel für den Umfang Klammern setzt? - Versuche, den Term für den neuen Umfang so umzuformen, dass du den alten Umfang darin wiederfindest. - Erinnere dich an das Distributivgesetz: \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\).

1. Berechnung für Beet A: \(U_{\text{alt},A} = 2 \cdot \pi \cdot 2 \approx 12{,}57\,\text{m}\) \(U_{\text{neu},A} = 2 \cdot \pi \cdot 3 \approx 18{,}85\,\text{m}\) Differenz \(\Delta U_A = 18{,}85 - 12{,}57 = 6{,}28\,\text{m}\) (bzw. \(2\pi \cdot 1\)) 2. Berechnung für Beet B: \(U_{\text{alt},B} = 2 \cdot \pi \cdot 6 \approx 37{,}70\,\text{m}\) \(U_{\text{neu},B} = 2 \cdot \pi \cdot 7 \approx 43{,}98\,\text{m}\) Differenz \(\Delta U_B = 43{,}98 - 37{,}70 = 6{,}28\,\text{m}\) (bzw. \(2\pi \cdot 1\)) 3. Mathematische Erklärung: Sei \(r\) der ursprüngliche Radius und \(d\) der zusätzliche Abstand (hier \(1\,\text{m}\)). \(U_{\text{neu}} - U_{\text{alt}} = 2 \cdot \pi \cdot (r + d) - 2 \cdot \pi \cdot r\) Durch Anwenden des Distributivgesetzes: \(2 \cdot \pi \cdot r + 2 \cdot \pi \cdot d - 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot d\). Da der Term \(2 \cdot \pi \cdot r\) wegfällt, hängt die Differenz nur von \(d\) ab, nicht vom ursprünglichen Radius \(r\).

a) Die Differenz der Umfänge beträgt bei beiden Beeten etwa \(6{,}28\,\text{m}\). b) Die Differenz ist bei beiden Beeten identisch. Die allgemeine Rechnung \(2\pi(r+d) - 2\pi r = 2\pi d\) zeigt, dass der ursprüngliche Radius \(r\) keine Rolle für den Zuwachs des Umfangs spielt.

- Skizziere dir die Situation: Ein Kreis in einem Quadrat. - Wie berechnet man den Anteil einer Teilfläche an der Gesamtfläche? - Was bleibt übrig, wenn man den Kreis vom Quadrat abzieht? - Welche Strecke im Quadrat ist am längsten und muss vom Sprenger erreicht werden? - Erinnerst du dich an den Satz des Pythagoras?

1. Flächeninhalt Quadrat: \(A_Q = 14\,\text{m} \cdot 14\,\text{m} = 196\,\text{m}^2\). Bewässerte Fläche: \(A_K = \pi \cdot (7\,\text{m})^2 = 49\pi\,\text{m}^2 \approx 153{,}94\,\text{m}^2\). Anteil: \(\frac{153{,}94}{196} \approx 0{,}7854 = 78{,}54\,\%\). 2. Trockene Ecken: Gesamte trockene Fläche \(A_T = A_Q - A_K = 196 - 153{,}94 = 42{,}06\,\text{m}^2\). Da das Quadrat und der Kreis symmetrisch liegen, ist jede der vier Ecken gleich groß: \(A_{\text{Ecke}} = \frac{42{,}06\,\text{m}^2}{4} \approx 10{,}52\,\text{m}^2\). 3. Radius für die Ecken: Der Sprenger muss bis zur Ecke des Quadrats reichen. Dies entspricht der halben Diagonale des Quadrats. Diagonale \(d = \sqrt{14^2 + 14^2} = \sqrt{392} \approx 19{,}80\,\text{m}\). Der Radius ist \(r = \frac{d}{2} = \sqrt{\frac{392}{4}} = \sqrt{98} \approx 9{,}90\,\text{m}\).

a) Das Quadrat ist \(196\,\text{m}^2\) groß; ca. \(78{,}54\,\%\) werden bewässert. b) Eine trockene Eckfläche ist ca. \(10{,}52\,\text{m}^2\) groß. c) Der Radius muss auf ca. \(9{,}90\,\text{m}\) erhöht werden.

- Wie hängen Umfang und Radius zusammen? - Wenn du den Radius kennst, wie berechnest du die Fläche? - Überlege, wie sich die Fläche verändert, wenn du den Radius verdoppelst oder verdreifachst.

1. Berechnung des Radius \(r_1\) des ersten Banners aus dem Umfang: \(r_1 = \frac{U}{2 \cdot \pi} = \frac{9{,}42}{2 \cdot \pi} \approx 1{,}50\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts \(A_1\): \(A_1 = \pi \cdot r_1^2 \approx \pi \cdot 1{,}5^2 \approx 7{,}07\,\text{m}^2\). 3. Zielvorgabe für Banner 2: \(A_2 = 4 \cdot A_1 \approx 28{,}27\,\text{m}^2\). 4. Berechnung des Radius \(r_2\) für Banner 2: \(r_2 = \sqrt{\frac{A_2}{\pi}} \approx \sqrt{\frac{28{,}27}{\pi}} \approx 3{,}00\,\text{m}\). 5. Mathematischer Zusammenhang: Da der Radius quadratisch in die Flächenformel (\(A = \pi \cdot r^2\)) eingeht, führt eine Verdopplung des Radius (\(k = 2\)) zu einer Vervierfachung der Fläche (\(k^2 = 4\)).

a) Der Radius des ersten Banners beträgt etwa \(1{,}50\,\text{m}\). b) Das zweite Banner muss einen Radius von \(3{,}00\,\text{m}\) haben. Eine Vervierfachung der Fläche entspricht einer Verdopplung des Radius, da der Radius quadratisch in die Flächenberechnung eingeht.

- Wenn der Umfang dreimal so lang ist, was bedeutet das für die Größe des Kreises (den Radius)? - Erinnere dich daran, dass bei der Flächenberechnung der Radius quadriert wird. Was passiert dann mit dem Streckungsfaktor? - In Teil b musst du nicht den Radius selbst ausrechnen. Es reicht zu wissen, wie sich der Faktor auf die Fläche auswirkt. - Was ergibt \(\sqrt{5}\) zum Quadrat?

1. Zu a): Der Umfang ist \(U = 2 \cdot \pi \cdot r\). Wird \(U\) verdreifacht (\(U' = 3U\)), muss auch der Radius \(r\) verdreifacht werden (\(r' = 3r\)), da \(2 \cdot \pi\) konstant ist. 2. Der Flächeninhalt ist \(A = \pi \cdot r^2\). Mit dem neuen Radius \(r' = 3r\) folgt \(A' = \pi \cdot (3r)^2 = \pi \cdot 9 \cdot r^2 = 9 \cdot (\pi \cdot r^2) = 9A\). Die Aussage ist also wahr. 3. Zu b): Gegeben ist \(A = 50\,\text{cm}^2\) und \(r' = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot r\). 4. Der neue Flächeninhalt ist \(A' = \pi \cdot (r')^2 = \pi \cdot \left(\frac{r}{\sqrt{5}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{r^2}{5} = \frac{1}{5} \cdot A\). 5. Einsetzen des Wertes: \(A' = \frac{50\,\text{cm}^2}{5} = 10\,\text{cm}^2\).

a) Die Aussage ist wahr, da sich bei einer Verdreifachung des Radius der Flächeninhalt wegen \(3^2 = 9\) verneunfacht. b) Der neue Flächeninhalt beträgt \(10\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Formeln für Fläche und Umfang so umstellen, dass du den Radius erhältst? - Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen? - Vergleiche am Ende die berechneten Werte direkt miteinander.

1. Radius von Scheibe A: Aus \(A = \pi \cdot r^2\) folgt \(r_A = \sqrt{\frac{700\,\text{cm}^2}{\pi}} \approx 14{,}93\,\text{cm}\). Der Durchmesser ist \(d_A = 2 \cdot r_A \approx 29{,}86\,\text{cm}\). 2. Radius von Scheibe B: Aus \(U = 2 \cdot \pi \cdot r\) folgt \(r_B = \frac{95\,\text{cm}}{2 \cdot \pi} \approx 15{,}12\,\text{cm}\). Der Durchmesser ist \(d_B = 2 \cdot r_B \approx 30{,}24\,\text{cm}\). 3. Vergleich: Da \(d_B > d_A\) (\(30{,}24\,\text{cm} > 29{,}86\,\text{cm}\)), ist Scheibe B größer.

Scheibe A hat einen Radius von ca. \(14{,}93\,\text{cm}\) und einen Durchmesser von ca. \(29{,}86\,\text{cm}\). Scheibe B hat einen Radius von ca. \(15{,}12\,\text{cm}\) und einen Durchmesser von ca. \(30{,}24\,\text{cm}\). Somit hat Scheibe B den größeren Durchmesser.

- Wenn sich Flächen verhalten wie \(k^2\), wie verhalten sich dann die Radien? - Gibt es einen Unterschied zwischen dem Verhältnis der Radien und dem Verhältnis der Umfänge? - Was passiert mit einem Bruch, wenn man ihn quadriert?

1. Das Verhältnis der Flächeninhalte ist \(A_2 : A_1 = 16 : 1\). Da \(A = \pi \cdot r^2\), gilt für die Radien \(r_2^2 : r_1^2 = 16 : 1\). Durch Ziehen der Wurzel ergibt sich \(r_2 : r_1 = 4 : 1\), also \(r_1 : r_2 = 1 : 4\). 2. Der Umfang \(U = 2\pi \cdot r\) ist proportional zum Radius. Da \(r_2 = 4 \cdot r_1\), ist auch \(U_2 = 4 \cdot U_1\). Der Umfang von Kreis 1 passt also genau \(4\)-mal in den Umfang von Kreis 2. 3. Bei einer Halbierung des Radius (\(r' = \frac{1}{2}r\)) ändert sich der Flächeninhalt um den Faktor \((\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\). Es bleibt also ein Viertel des ursprünglichen Flächeninhalts übrig.

a) Das Verhältnis der Radien ist \(1 : 4\). b) Der Umfang von Kreis 1 passt \(4\)-mal in den von Kreis 2. c) Es bleibt ein Viertel (\(\frac{1}{4}\)) des Flächeninhalts übrig.

- Welche Maße muss der Kreis haben, damit er gerade noch in das Quadrat passt? - Wie berechnest du den Teil, der nach dem Ausstanzen übrig bleibt? - Was bedeutet „Prozent“ im Zusammenhang mit zwei Flächen? - Versuche für den letzten Teil, die Flächeninhalte allgemein mit einer Variablen für die Seitenlänge auszudrücken.

1. Berechnung der Flächen für Teil a): Fläche des Quadrats: \(A_{Q} = a^2 = (60\,\text{cm})^2 = 3\,600\,\text{cm}^2\). Der Durchmesser des Kreises entspricht der Seitenlänge (\(d = 60\,\text{cm}\)), also \(r = 30\,\text{cm}\). Fläche des Kreises: \(A_{K} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (30\,\text{cm})^2 = 900\pi \approx 2\,827{,}43\,\text{cm}^2\). Abfall: \(A_{Abfall} = 3\,600\,\text{cm}^2 - 2\,827{,}43\,\text{cm}^2 \approx 772{,}57\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Prozentsatzes für Teil b): Anteil: \(\frac{772{,}57}{3\,600} \approx 0{,}2146\), also \(21{,}46\,\%\). 3. Begründung für Teil c): Sei \(a\) die Seitenlänge. Dann ist \(A_{Q} = a^2\) und \(A_{K} = \pi \cdot (\frac{a}{2})^2 = \frac{\pi}{4} \cdot a^2\). Der Abfall ist \(a^2 - \frac{\pi}{4} a^2 = a^2 \cdot (1 - \frac{\pi}{4})\). Der prozentuale Anteil ist \(\frac{a^2 \cdot (1 - \frac{\pi}{4})}{a^2} = 1 - \frac{\pi}{4}\). Da sich \(a^2\) im Bruch kürzt, hängt das Verhältnis nur von der Konstante \(\pi\) ab.

a) Es bleiben etwa \(772{,}57\,\text{cm}^2\) Abfall übrig. b) Der Abfall beträgt etwa \(21{,}46\,\%\). c) Da sowohl die Fläche des Quadrats (\(a^2\)) als auch die Fläche des Kreises (\(\frac{\pi}{4}a^2\)) proportional zum Quadrat der Seitenlänge sind, kürzt sich diese bei der Verhältnisbildung heraus.