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- Aus welchen Teilflächen setzt sich das Netz zusammen? Welche davon bilden die Grund- und Deckfläche? - Wie berechnet man das Volumen eines Prismas allgemein? - Schau dir die Maße am Dreieck an: Handelt es sich um ein spezielles Dreieck (z.B. rechtwinklig)? - Welche Länge im Netz entspricht der Höhe des aufgestellten Körpers?

1. Identifikation der Grundfläche \(G\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 cm und 4 cm (da \(3^2 + 4^2 = 5^2\) gilt). 2. Berechnung der Grundfläche: \(G = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe des Dreiecks} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\) cm². 3. Ablesen der Körperhöhe \(h\) des Prismas aus der Seitenlänge der Rechtecke im Netz: \(h = 3\) cm. 4. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot h = 6 \text{ cm}^2 \cdot 3 \text{ cm} = 18\) cm³.

a) 18 cm³

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Was sagt dir das Material über das Verhältnis von Masse und Volumen aus? - Kannst du zuerst herausfinden, welche Masse ein einzelner Kubikzentimeter des Holzes hat? - Überlege, wie groß der Faktor zwischen den Volumina des zweiten und des ersten Quaders ist.

1. Berechnung des Volumens des ersten Quaders: \(V_1 = 10\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 200\,\text{cm}^3\). 2. Bestimmung der Dichte des Eichenholzes: \(\rho = \frac{140\,\text{g}}{200\,\text{cm}^3} = 0{,}7\,\text{g/cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens des zweiten Quaders: \(V_2 = 15\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 600\,\text{cm}^3\). 4. Berechnung der Masse des zweiten Quaders: \(m_2 = 600\,\text{cm}^3 \cdot 0{,}7\,\text{g/cm}^3 = 420\,\text{g}\). Alternativ über das Volumenverhältnis: Da \(V_2\) dreimal so groß ist wie \(V_1\) (\(600 : 200 = 3\)), muss auch die Masse dreimal so groß sein: \(140\,\text{g} \cdot 3 = 420\,\text{g}\).

Der zweite Quader hat eine Masse von \(420\,\text{g}\).

- Überlege zuerst, welches Volumen der Bolzen aufgrund seiner Masse und seines Materials einnehmen muss. - Wenn du das Volumen und die Länge eines Zylinders kennst, wie kannst du dann die Fläche der kreisförmigen Oberseite bestimmen? - Wie kommst du von der Fläche eines Kreises zu seinem Durchmesser?

1. Berechnung des Volumens aus Masse und Dichte: \(V = \frac{m}{\rho} = \frac{850\,\text{g}}{7{,}85\,\text{g/cm}^3} \approx 108{,}28\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Grundfläche des Zylinders: \(G = \frac{V}{h} = \frac{108{,}28\,\text{cm}^3}{12\,\text{cm}} \approx 9{,}023\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Radius aus der Grundfläche: \(r = \sqrt{\frac{G}{\pi}} = \sqrt{\frac{9{,}023\,\text{cm}^2}{\pi}} \approx 1{,}695\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Durchmessers: \(d = 2 \cdot r \approx 3{,}39\,\text{cm}\). 5. Umrechnung in Millimeter: \(d \approx 33{,}9\,\text{mm}\).

Der Durchmesser des Bolzens beträgt ca. \(33{,}9\,\text{mm}\).

- Was genau ist die Mantelfläche eines Zylinders und wie berechnet man sie? - Achte darauf, den Durchmesser zuerst in den Radius umzuwandeln. - Rechne am Ende mit der Gesamtzahl der Säulen weiter. - Überlege beim Materialkauf, warum man hier aufrunden muss.

1. Bestimmung des Radius in Metern: \(r = \frac{0{,}60\,\text{m}}{2} = 0{,}30\,\text{m}\). 2. Berechnung der Mantelfläche einer Säule: \(M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}30\,\text{m} \cdot 4{,}00\,\text{m} = 2{,}4\pi\,\text{m}^2 \approx 7{,}54\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Gesamtfläche für 4 Säulen: \(M_{ges} = 4 \cdot 7{,}5398\dots\,\text{m}^2 \approx 30{,}16\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der benötigten Dosen: \(30{,}16\,\text{m}^2 : 12\,\text{m}^2/\text{Dose} \approx 2{,}51\). 5. Da nur ganze Dosen gekauft werden können, müssen \(3\,\text{Dosen}\) erworben werden.

a) Die gesamte zu streichende Fläche beträgt ca. \(30{,}16\,\text{m}^2\). b) Der Maler muss mindestens \(3\,\text{Dosen}\) Farbe kaufen.

- Stelle sicher, dass alle Maßeinheiten (Liter, Meter, Millimeter) zueinander passen, bevor du rechnest. - Überlege dir, wie das Volumen eines Körpers mit seiner Grundfläche und seiner Höhe (oder Dicke) zusammenhängt. - Was passiert mit dem benötigten Volumen, wenn man bei gleicher Fläche die Dicke der Schicht verändert?

1. Umrechnung der Einheiten für Teil a: \(1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3 = 1\,000\,\text{cm}^3\) und \(10\,\text{m}^2 = 100\,000\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Schichtdicke \(d\): \(d = \frac{V}{A} = \frac{1\,000\,\text{cm}^3}{100\,000\,\text{cm}^2} = 0{,}01\,\text{cm}\). 3. Umrechnung in Millimeter: \(0{,}01\,\text{cm} = 0{,}1\,\text{mm}\). 4. Berechnung der Wandfläche für Teil b: \(A_{\text{Wand}} = 4\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} = 10\,\text{m}^2\). 5. Da die Fläche genau der Herstellerangabe entspricht, würde für eine normale Schicht \(1\,\text{Liter}\) benötigt. 6. Bei doppelter Schichtdicke verdoppelt sich das benötigte Volumen: \(V_{\text{neu}} = 1\,\text{l} \cdot 2 = 2\,\text{Liter}\).

a) Die theoretische Dicke der Farbschicht beträgt \(0{,}1\,\text{mm}\). b) Der Maler benötigt \(2\,\text{Liter}\) Farbe.

- Achte darauf, alle Maße vor dem Rechnen in dieselbe Einheit umzuwandeln. - Wie hängen Kubikdezimeter und Liter zusammen? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die Oberfläche zusammen, wenn der Deckel fehlt? - Überlege, welche Formeln für Grundfläche und Mantelfläche eines Zylinders gelten.

1. Umrechnung der Einheiten: \(r = 4\,\text{dm}\), \(h = 10\,\text{dm}\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot (4\,\text{dm})^2 \cdot 10\,\text{dm} \approx 502{,}65\,\text{dm}^3\). Da \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\), fasst das Fass ca. \(502{,}7\,\text{l}\). 3. Berechnung der Mantelfläche: \(M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 40\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} \approx 25\,132{,}74\,\text{cm}^2 \approx 2{,}51\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der zu streichenden Fläche (Boden + Mantel): \(A = G + M = \pi \cdot r^2 + M = \pi \cdot (0{,}4\,\text{m})^2 + 2{,}513\,\text{m}^2 \approx 0{,}503\,\text{m}^2 + 2{,}513\,\text{m}^2 \approx 3{,}02\,\text{m}^2\).

a) Das Fassungsvermögen beträgt ca. \(502{,}7\,\text{l}\). b) Die Mantelfläche beträgt ca. \(2{,}51\,\text{m}^2\). c) Es müssen ca. \(3{,}02\,\text{m}^2\) gestrichen werden.

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit (z. B. Meter) vorliegen. - Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? - Überlege dir, wie man die Fläche eines Rings aus dem äußeren und dem inneren Kreis berechnet. - Was genau gibt die Wandstärke für den inneren Radius an?

1. Bestimmung der Radien in der Einheit Meter: Der Außenradius beträgt \(r_a = 10{,}8\,\text{m} : 2 = 5{,}4\,\text{m}\). Die Wandstärke ist \(s = 0{,}45\,\text{m}\). Der Innenradius berechnet sich zu \(r_i = r_a - s = 5{,}4\,\text{m} - 0{,}45\,\text{m} = 4{,}95\,\text{m}\). 2. Berechnung der Grundfläche des Hohlzylinders (Ringfläche): \(G = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2) = \pi \cdot (5{,}4^2 - 4{,}95^2) \approx 14{,}631\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot h = 14{,}631\,\text{m}^2 \cdot 165\,\text{m} \approx 2\,414{,}1\,\text{m}^3\). 4. Endergebnis: Das Betonvolumen beträgt etwa \(2\,414\,\text{m}^3\).

Das Volumen des verwendeten Betons beträgt etwa \(2\,414\,\text{m}^3\).

- Welche physikalische Größe verbindet Masse und Volumen? - Wie lautet die Formel für das Volumen eines Zylinders? - Nach welcher Größe musst du die Formel im zweiten Teil umstellen? - Achte darauf, alle Einheiten vor dem Rechnen anzugleichen.

1. Berechnung des Volumens über die Dichteformel: \(V = \frac{m}{\rho} = \frac{1\,215\,\text{g}}{2{,}7\,\text{g/cm}^3} = 450\,\text{cm}^3\). 2. Verwendung der Volumenformel für Zylinder \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\), um die Höhe zu isolieren: \(h = \frac{V}{\pi \cdot r^2}\). 3. Einsetzen der Werte: \(h = \frac{450\,\text{cm}^3}{\pi \cdot (3\,\text{cm})^2} = \frac{450}{9\pi}\,\text{cm} = \frac{50}{\pi}\,\text{cm} \approx 15{,}92\,\text{cm}\).

a) Das Volumen des Werkstücks beträgt \(450\,\text{cm}^3\). b) Die Höhe des Zylinders beträgt etwa \(15{,}92\,\text{cm}\).

- Welche Formel verbindet das Volumen, den Radius und die Höhe eines Zylinders? - Kannst du die Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe alleine auf einer Seite steht? - Achte darauf, dass alle Einheiten zueinander passen, bevor du rechnest.

1. Gegeben sind das Volumen \(V = 850\,\text{cm}^3\) und der Radius \(r = 4{,}5\,\text{cm}\). 2. Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\). 3. Umstellen der Formel nach der Höhe: \(h = \frac{V}{\pi \cdot r^2}\). 4. Einsetzen der Werte: \(h = \frac{850}{\pi \cdot 4{,}5^2} \approx \frac{850}{63{,}617} \approx 13{,}3617\,\text{cm}\). 5. Gerundet auf eine Nachkommastelle ergibt sich \(h \approx 13{,}4\,\text{cm}\).

Die Innenhöhe der Dose beträgt etwa \(13{,}4\,\text{cm}\).

- Was bedeutet es für deine Rechnung, wenn zwei Körper „das gleiche Volumen“ haben? - Berechne zuerst alles, was du über das erste Prisma wissen kannst. - Wie kannst du die Höhe eines Körpers finden, wenn du sein Volumen und seine Grundfläche kennst?

1. Berechnung des Volumens von Prisma A: \(V_A = 12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 960\,\text{cm}^3\). 2. Da beide Prismen das gleiche Volumen haben, gilt \(V_B = 960\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Grundfläche \(G_B\) von Prisma B: \(G_B = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g = \frac{1}{2} \cdot 16\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Körperhöhe \(h_B\): \(h_B = \frac{V_B}{G_B} = \frac{960\,\text{cm}^3}{48\,\text{cm}^2} = 20\,\text{cm}\).

Die Körperhöhe von Prisma B beträgt \(20\,\text{cm}\).

- Erinnere dich an die allgemeine Formel für das Volumen eines Zylinders. - Ersetze den Radius in der Formel durch den gegebenen Ausdruck für die Höhe. - Überlege dir, wie sich eine Änderung einer Basisgröße auf das Gesamtergebnis auswirkt, wenn diese Größe in der Formel quadriert wird.

1. Einsetzen von \(r = \frac{1}{4}h\) in die allgemeine Volumenformel \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\): \(V = \pi \cdot \left(\frac{1}{4}h\right)^2 \cdot h = \pi \cdot \frac{h^2}{16} \cdot h = \frac{\pi \cdot h^3}{16}\). 2. Analyse der Auswirkung einer Radiusverdopplung (\(r_{neu} = 2r\)): Da der Radius in der Formel quadratisch eingeht (\(r^2\)), führt eine Verdopplung des Radius zu einem Faktor \(2^2 = 4\). 3. Das Volumen vervierfacht sich somit bei gleichbleibender Höhe.

a) \(V = \frac{\pi \cdot h^3}{16}\) b) Das Volumen vervierfacht sich, weil bei konstanter Höhe \(V\) proportional zu \(r^2\) ist.

- Welche geometrische Form hat der Stab? - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Wie hängen Volumen, Dichte und Masse zusammen? - Wie berechnet man die Grundfläche eines Kreises?

1. Umrechnung der Einheiten in Zentimeter: Der Radius beträgt \(r = \frac{4\,\text{cm}}{2} = 2\,\text{cm}\). Die Länge, also die Höhe des Zylinders, beträgt \(h = 250\,\text{mm} = 25\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens \(V\) des Zylinders: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot (2\,\text{cm})^2 \cdot 25\,\text{cm} = 100 \cdot \pi\,\text{cm}^3 \approx 314{,}16\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Masse \(m\): \(m = V \cdot \rho \approx 314{,}16\,\text{cm}^3 \cdot 2{,}7\,\text{g/cm}^3 \approx 848{,}23\,\text{g}\). 4. Umrechnung in Kilogramm: \(m \approx 0{,}85\,\text{kg}\).

Die Masse des Stabes beträgt etwa \(0{,}85\,\text{kg}\).

- Wie verändert sich der Radius eines Kreises, wenn sich sein Umfang halbiert? - Wie wirkt sich diese Änderung des Radius auf die Fläche der kreisförmigen Grundfläche aus? - Wenn das Volumen eines Zylinders gleich bleiben soll, die Grundfläche aber kleiner wird – was muss dann mit der Höhe passieren?

1. Analyse des Zusammenhangs zwischen Umfang und Radius: Da \(U = 2\pi r\), bedeutet eine Halbierung des Umfangs (von 8 auf 4) eine Halbierung des Radius (\(r_B = \frac{1}{2} r_A\)). 2. Analyse der Grundfläche \(G = \pi r^2\): Wird der Radius halbiert, viertelt sich die Grundfläche (\(G_B = (\frac{1}{2})^2 \cdot G_A = \frac{1}{4} G_A\)). 3. Da das Volumen \(V = G \cdot h\) gleich bleiben soll (\(V_B = V_A\)), muss die geringere Grundfläche durch eine proportional größere Höhe ausgeglichen werden. 4. Berechnung der neuen Höhe: \(V = \frac{1}{4} G_A \cdot h_B = G_A \cdot 10 \Rightarrow h_B = 10 \cdot 4 = 40\) cm.

d) 40 cm

- Erinnere dich an die Volumenformel für Zylinder. Welcher Teil der Formel ändert sich wie? - Wenn sich der Durchmesser halbiert, was passiert dann mit dem Radius? - Wie wirkt sich die Änderung des Radius auf das Volumen aus, im Vergleich zur Änderung der Höhe? - Du musst die Dichte nicht unbedingt explizit ausrechnen, wenn du das Verhältnis der Volumina kennst.

1. Bestimmung der Maße: Kerze 1 hat \(r_1 = 3\,\text{cm}\), \(h_1 = 10\,\text{cm}\). Kerze 2 hat \(r_2 = 1{,}5\,\text{cm}\), \(h_2 = 20\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens von Kerze 1: \(V_1 = \pi \cdot (3\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 90\pi\,\text{cm}^3 \approx 282{,}74\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens von Kerze 2: \(V_2 = \pi \cdot (1{,}5\,\text{cm})^2 \cdot 20\,\text{cm} = \pi \cdot 2{,}25\,\text{cm}^2 \cdot 20\,\text{cm} = 45\pi\,\text{cm}^3 \approx 141{,}37\,\text{cm}^3\). 4. Vergleich der Volumina: \(V_2\) ist genau halb so groß wie \(V_1\) (\(45\pi : 90\pi = 0{,}5\)). 5. Berechnung der Masse: Da das Material identisch ist, ist die Masse proportional zum Volumen: \(m_2 = 0{,}5 \cdot 250\,\text{g} = 125\,\text{g}\).

Die zweite Kerze hat eine Masse von \(125\,\text{g}\).

- Achte darauf, alle Einheiten vor dem Rechnen anzugleichen. Denke daran, dass \(1\,\text{Liter}\) genau \(1\,\text{Kubikdezimeter}\) entspricht. - Welche Formel beschreibt das Volumen eines Zylinders? - Wenn du den Radius gefunden hast, wie kommst du dann auf den Durchmesser?

1. Umrechnung der Einheiten: \(V = 450\,\text{l} = 450\,\text{dm}^3\). Die Höhe \(h = 1{,}10\,\text{m} = 11\,\text{dm}\). 2. Anwendung der Volumenformel für Zylinder: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\). 3. Umstellen nach \(r^2\): \(r^2 = \frac{V}{\pi \cdot h} = \frac{450}{\pi \cdot 11} \approx 13{,}022\,\text{dm}^2\). 4. Berechnung des Radius \(r\): \(r = \sqrt{13{,}022} \approx 3{,}6086\,\text{dm}\). 5. Berechnung des Durchmessers \(d\): \(d = 2 \cdot r \approx 7{,}217\,\text{dm}\). 6. Umrechnung in Zentimeter: \(d \approx 72{,}17\,\text{cm}\). Gerundet ergibt dies \(72{,}2\,\text{cm}\).

Der Innendurchmesser des Fasses beträgt ca. \(72{,}2\,\text{cm}\).

- Setze für den Radius den Ausdruck \(3r\) in die Formel ein und achte auf die Klammern beim Quadrieren. - Vergleiche das neue Volumen mit dem ursprünglichen Volumen. Um welchen Faktor ist es gewachsen? - Wie müsste sich das Volumen verändern, damit die Zuordnung proportional wäre?

1. Ausgangsformel für das Volumen: \(V(r) = \pi \cdot r^2 \cdot h\). 2. Einsetzen des verdreifachten Radius \(3r\): \(V(3r) = \pi \cdot (3r)^2 \cdot h\). 3. Vereinfachung des Terms: \(V(3r) = \pi \cdot 9r^2 \cdot h = 9 \cdot (\pi \cdot r^2 \cdot h)\). 4. Schlussfolgerung: Eine Verdreifachung des Radius führt zu einer Verneunfachung des Volumens (\(V(3r) = 9 \cdot V(r)\)). 5. Begründung der Nicht-Proportionalität: Bei einer proportionalen Funktion müsste eine Verdreifachung des Radius auch zu einer exakten Verdreifachung des Volumens führen. Da dies hier nicht der Fall ist, ist die Zuordnung nicht proportional.

Das Volumen verneunfacht sich, wenn der Radius verdreifacht wird (\(V(3r) = 9 \cdot V(r)\)). Da das Volumen nicht im gleichen Verhältnis wie der Radius wächst, ist die Funktion nicht proportional.

- Zerlege das Trapez gedanklich, um die Länge der schrägen Seiten (Schenkel) zu finden. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes? - Denke daran, dass beim Prisma die Mantelfläche aus allen Seitenflächen besteht.

1. Berechnung der Schenkellänge \(b\) des Trapezes: Die Differenz der parallelen Seiten wird halbiert (\(x = (14 - 8) : 2 = 3\,\text{cm}\)). Mit Pythagoras gilt \(b = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Grundfläche \(G\): \(G = \frac{14 + 8}{2} \cdot 4 = 11 \cdot 4 = 44\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Umfangs der Grundfläche \(u\): \(u = 14 + 8 + 5 + 5 = 32\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = u \cdot 20 = 32 \cdot 20 = 640\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O\): \(O = 2 \cdot 44 + 640 = 88 + 640 = 728\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt beträgt \(728\,\text{cm}^2\).

- Welche Formeln kennst du für den Flächeninhalt eines Quadrats und eines Kreises? - Wie hängen Grundfläche, Höhe und Volumen bei Prismen und Zylindern zusammen? - Was passiert mathematisch in einer Multiplikation, wenn ein Faktor gleich bleibt und der andere vergrößert wird?

1. Berechnung der Grundfläche des Prismas: \(G_{\text{Prisma}} = a^2 = (5\,\text{cm})^2 = 25\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Grundfläche des Zylinders: \(G_{\text{Zylinder}} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (3\,\text{cm})^2 \approx 28{,}27\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Volumens des Prismas: \(V_{\text{Prisma}} = G_{\text{Prisma}} \cdot h = 25\,\text{cm}^2 \cdot 10\,\text{cm} = 250\,\text{cm}^3\). 4. Berechnung des Volumens des Zylinders: \(V_{\text{Zylinder}} = G_{\text{Zylinder}} \cdot h \approx 28{,}27\,\text{cm}^2 \cdot 10\,\text{cm} = 282{,}7\,\text{cm}^3\). 5. Begründung der Aussage: Da das Volumen \(V\) das Produkt aus Grundfläche \(G\) und der konstanten Höhe \(h\) ist, ist \(V\) direkt proportional zu \(G\). Wenn \(h\) für beide Körper identisch ist, führt ein größerer Wert für \(G\) zwangsläufig zu einem größeren Produkt \(G \cdot h\). Die Aussage ist also korrekt.

a) \(G_{\text{Prisma}} = 25\,\text{cm}^2\); \(G_{\text{Zylinder}} \approx 28{,}27\,\text{cm}^2\). b) \(V_{\text{Prisma}} = 250\,\text{cm}^3\); \(V_{\text{Zylinder}} \approx 282{,}7\,\text{cm}^3\). c) Die Aussage ist wahr, da bei konstanter Höhe \(h\) das Volumen \(V\) proportional zur Grundfläche \(G\) ist (\(V = G \cdot h\)). Ein größeres \(G\) ergibt bei gleichem \(h\) stets ein größeres \(V\).

- Wie kannst du die Grundfläche berechnen, wenn du das Volumen und die Höhe kennst? - Wenn eine Fläche aus drei gleichen Teilen besteht, wie findest du die Größe eines Teils? - Wie berechnet man die fehlende Seite eines Rechtecks, wenn der Flächeninhalt und eine Seite bekannt sind?

1. Berechnung der gesamten Grundfläche: Aus \(V = G \cdot h\) folgt \(G = \frac{V}{h}\). Also \(G = \frac{720\,\text{cm}^3}{15\,\text{cm}} = 48\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Teilfläche: Da die Grundfläche aus drei deckungsgleichen Rechtecken besteht, gilt für ein Rechteck \(A_{\text{R}} = \frac{G}{3} = \frac{48\,\text{cm}^2}{3} = 16\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Länge: Da \(A_{\text{R}} = \text{Länge} \cdot \text{Breite}\), berechnet man die Länge durch \(\text{Länge} = \frac{16\,\text{cm}^2}{4\,\text{cm}} = 4\,\text{cm}\).

a) \(G = 48\,\text{cm}^2\). b) \(A_{\text{R}} = 16\,\text{cm}^2\). c) Die Länge beträgt \(4\,\text{cm}\).

- Achte darauf, alle Einheiten vor dem Rechnen in ein einheitliches System (z. B. cm und g) umzuwandeln. - Wie hängen Masse, Volumen und Dichte zusammen? - Welche geometrische Form hat ein langer, dünner Draht? - Wie berechnet man das Volumen eines Zylinders, wenn der Querschnitt und die Länge bekannt sind?

1. Umrechnung der Masse in Gramm: \(m = 5{,}2\,\text{kg} = 5200\,\text{g}\). 2. Berechnung des Volumens über die Dichte: \(V = \frac{m}{\rho} = \frac{5200\,\text{g}}{8{,}9\,\text{g/cm}^3} \approx 584{,}27\,\text{cm}^3\). 3. Bestimmung des Radius in Zentimetern: \(r = \frac{d}{2} = \frac{0{,}8\,\text{mm}}{2} = 0{,}4\,\text{mm} = 0{,}04\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Querschnittsfläche des Drahtes: \(A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0{,}04\,\text{cm})^2 \approx 0{,}0050265\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung der Länge: \(l = \frac{V}{A} \approx \frac{584{,}27\,\text{cm}^3}{0{,}0050265\,\text{cm}^2} \approx 116\,238\,\text{cm}\). 6. Umrechnung in Meter: \(l \approx 1162\,\text{m}\).

Die Länge des Kupferdrahtes beträgt ca. \(1162\,\text{m}\).

- Überlege zuerst, wie die Formel für das Volumen eines Zylinders nach der Höhe umgestellt werden kann. - Wie setzt sich die Oberfläche eines Zylinders zusammen? Denke an die Grundfläche, die Deckfläche und den Mantel. - Was fällt dir an den Ergebnissen auf, wenn der Radius verdoppelt wird, das Volumen aber gleich bleibt?

1. Berechnung der Höhe für Kerze A: \(h_A = \frac{V}{\pi \cdot r_A^2} = \frac{500}{\pi \cdot 25} \approx 6{,}37\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhe für Kerze B: \(h_B = \frac{V}{\pi \cdot r_B^2} = \frac{500}{\pi \cdot 100} \approx 1{,}59\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Oberfläche für Kerze A: \(O_A = 2 \cdot \pi \cdot r_A^2 + 2 \cdot \pi \cdot r_A \cdot h_A = 2 \cdot \pi \cdot 25 + 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 6{,}366 \approx 157{,}08 + 200 = 357{,}08\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Oberfläche für Kerze B: \(O_B = 2 \cdot \pi \cdot r_B^2 + 2 \cdot \pi \cdot r_B \cdot h_B = 2 \cdot \pi \cdot 100 + 2 \cdot \pi \cdot 10 \cdot 1{,}592 \approx 628{,}32 + 100 = 728{,}32\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: Kerze B hat einen deutlich größeren Oberflächeninhalt und benötigt daher mehr Farbe.

a) Die Höhe von Kerze A beträgt ca. \(6{,}37\,\text{cm}\), die von Kerze B ca. \(1{,}59\,\text{cm}\). b) Der Oberflächeninhalt von Kerze A beträgt ca. \(357{,}08\,\text{cm}^2\), der von Kerze B ca. \(728{,}32\,\text{cm}^2\). Kerze B benötigt somit mehr Farbe.

- Aus wie vielen verschiedenen Teilflächen besteht dieser Körper? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rings? - Stelle dir das Rohr als einen großen Zylinder vor, aus dem ein kleinerer Zylinder herausgeschnitten wurde. Welche neuen Flächen entstehen dadurch?

1. Radien bestimmen: \(r_a = 10\,\text{cm}\), \(r_i = 8\,\text{cm}\). 2. Äußere Mantelfläche: \(M_a = 2 \cdot \pi \cdot 10 \cdot 50 = 1000\pi \approx 3141{,}59\,\text{cm}^2\). 3. Innere Mantelfläche: \(M_i = 2 \cdot \pi \cdot 8 \cdot 50 = 800\pi \approx 2513{,}27\,\text{cm}^2\). 4. Fläche einer Stirnseite (Kreisring): \(A_{Ring} = \pi \cdot r_a^2 - \pi \cdot r_i^2 = \pi(100 - 64) = 36\pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^2\). 5. Gesamtoberfläche: \(O = M_a + M_i + 2 \cdot A_{Ring} = 1000\pi + 800\pi + 72\pi = 1872\pi \approx 5881{,}06\,\text{cm}^2\).

Der gesamte Oberflächeninhalt des Rohres beträgt ca. \(5881{,}06\,\text{cm}^2\).

- Welcher Bruchteil des Kreises bleibt übrig, wenn man ein Stück herausschneidet? - Stell dir den Käse nach dem Schnitt vor: Welche neuen Flächen sind dazugekommen, die vorher im Inneren des Käses waren? - Aus welchen geometrischen Formen bestehen die Schnittflächen?

1. Bestimmung des Radius: \(r = \frac{d}{2} = 12\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Anteils des verbleibenden Körpers: Da ein \(60^\circ\)-Sektor entfernt wurde, bleiben \(360^\circ - 60^\circ = 300^\circ\) des Kreises übrig. Der Anteil beträgt \(\frac{300}{360} = \frac{5}{6}\). 3. Volumen des verbleibenden Käses: \(V = \frac{5}{6} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{5}{6} \cdot \pi \cdot 12^2 \cdot 10 = 1200\pi \approx 3769{,}91\,\text{cm}^3\). 4. Oberflächeninhalt der zwei Grundflächen (oben und unten): \(2 \cdot A_{\text{Sektor}} = 2 \cdot \frac{5}{6} \cdot \pi \cdot 12^2 = 240\pi \approx 753{,}98\,\text{cm}^2\). 5. Inhalt der gekrümmten Mantelfläche: \(M_{\text{Bogen}} = \frac{5}{6} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 200\pi \approx 628{,}32\,\text{cm}^2\). 6. Inhalt der zwei rechteckigen Schnittflächen: \(2 \cdot (r \cdot h) = 2 \cdot (12 \cdot 10) = 240\,\text{cm}^2\). 7. Gesamter Oberflächeninhalt: \(O = 753{,}98 + 628{,}32 + 240 = 1622{,}30\,\text{cm}^2\).

a) Das Volumen beträgt ca. \(3769{,}91\,\text{cm}^3\). b) Der Oberflächeninhalt beträgt ca. \(1622{,}30\,\text{cm}^2\).

- Schreibe zuerst die allgemeine Formel für das Volumen eines Zylinders auf. - Was passiert in der Formel, wenn du nur einen der Werte (entweder \(r\) oder \(h\)) veränderst? - Achte besonders darauf, welche Variable in der Formel quadriert wird. - Vergleiche das Ergebnis der beiden Varianten mit dem ursprünglichen Volumen \(V\).

1. Das Volumen eines Zylinders ist \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\). 2. Analyse Variante A: Die neue Höhe ist \(h_A = 2 \cdot h\). Das neue Volumen ist \(V_A = \pi \cdot r^2 \cdot (2 \cdot h) = 2 \cdot (\pi \cdot r^2 \cdot h) = 2 \cdot V\). Das Volumen verdoppelt sich. 3. Analyse Variante B: Der neue Radius ist \(r_B = 2 \cdot r\). Das neue Volumen ist \(V_B = \pi \cdot (2 \cdot r)^2 \cdot h = \pi \cdot 4 \cdot r^2 \cdot h = 4 \cdot (\pi \cdot r^2 \cdot h) = 4 \cdot V\). Das Volumen vervierfacht sich. 4. Ergebnis: Nur Variante A erreicht das Ziel einer exakten Verdopplung des Volumens.

Variante A führt zu einer Verdopplung des Volumens (\(V_A = 2 \cdot V\)), da die Höhe linear in die Formel eingeht. Variante B führt zu einer Vervierfachung des Volumens (\(V_B = 4 \cdot V\)), da der Radius quadriert wird. Somit ist nur Vorschlag A korrekt, um das Volumen zu verdoppeln.

- Denk daran, alle Maße in dieselbe Einheit umzurechnen, bevor du rechnest. - Welche Einheit eignet sich am besten, wenn das Ergebnis in Litern gefragt ist? - Überlege, wie viele Minuten eine Stunde hat, um das Endergebnis umzurechnen.

1. Berechnung des Radius in Dezimetern: \(r = \frac{d}{2} = \frac{2{,}40\,\text{m}}{2} = 1{,}20\,\text{m} = 12\,\text{dm}\). 2. Angabe der Höhe in Dezimetern: \(h = 50\,\text{cm} = 5\,\text{dm}\). 3. Berechnung des Volumens: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot (12\,\text{dm})^2 \cdot 5\,\text{dm} = 720\pi\,\text{dm}^3 \approx 2261{,}95\,\text{dm}^3\). 4. Umrechnung in Liter (\(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\)): Es befinden sich ca. \(2262\,\text{Liter}\) im Becken. 5. Berechnung der Zeit in Minuten: \(t = \frac{2261{,}95\,\text{l}}{15\,\text{l/min}} \approx 150{,}80\,\text{min}\). 6. Umrechnung in Stunden: \(150{,}80\,\text{min} : 60 \approx 2{,}51\,\text{h}\). Das Füllen dauert etwa \(2{,}5\,\text{Stunden}\).

a) Es befinden sich ca. \(2262\,\text{Liter}\) Wasser im Becken. b) Die Füllung dauert etwa \(2{,}5\,\text{Stunden}\).

- Wie hängen Milliliter und Kubikzentimeter zusammen? - Du kennst das Volumen und die Höhe – welche Größe in der Formel fehlt dir noch? - Kannst du die Volumenformel so umstellen, dass du den Radius isolierst? - Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks, das genau um einen Zylinder passt?

1. Zusammenhang zwischen Milliliter und Kubikzentimeter nutzen: \(425\,\text{ml} = 425\,\text{cm}^3\). 2. Formel für das Volumen nach \(r^2\) umstellen: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h \Rightarrow r^2 = \frac{V}{\pi \cdot h}\). 3. Werte einsetzen: \(r^2 = \frac{425\,\text{cm}^3}{\pi \cdot 10\,\text{cm}} = \frac{42{,}5}{\pi} \approx 13{,}528\dots\,\text{cm}^2\). 4. Radius und Durchmesser berechnen: \(r = \sqrt{13{,}528\dots} \approx 3{,}678\,\text{cm} \Rightarrow d \approx 7{,}356\,\text{cm}\). Der Durchmesser beträgt ca. \(7{,}4\,\text{cm}\). 5. Berechnung der Mantelfläche (Etikett): \(M = \pi \cdot d \cdot h = \pi \cdot 7{,}356\dots \cdot 10 \approx 231{,}10\,\text{cm}^2\).

a) Der Durchmesser der Dose beträgt ca. \(7{,}4\,\text{cm}\). b) Das Etikett hat eine Fläche von ca. \(231{,}1\,\text{cm}^2\).

- Welche Teilflächen des Zylinders müssen hier berücksichtigt werden? - Achte darauf, den Durchmesser zuerst in den Radius umzuwandeln. - Wie berechnet man die Fläche eines Kreises und die Fläche des Mantels? - Überlege am Ende, wie viel Fläche ein einziger Liter abdeckt, um die Gesamtmenge zu finden.

1. Bestimmung des Radius: \(r = \frac{d}{2} = \frac{2{,}40\,\text{m}}{2} = 1{,}20\,\text{m}\). 2. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 1{,}20\,\text{m} \cdot 3{,}50\,\text{m} \approx 26{,}389\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Grundfläche (Deckel) \(G\): \(G = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (1{,}20\,\text{m})^2 \approx 4{,}524\,\text{m}^2\). 4. Gesamte zu streichende Fläche \(A\): \(A = M + G \approx 26{,}389\,\text{m}^2 + 4{,}524\,\text{m}^2 = 30{,}913\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der Farbmenge: \(V_{\text{Farbe}} = \frac{30{,}913\,\text{m}^2}{8{,}5\,\text{m}^2/\text{l}} \approx 3{,}637\,\text{l}\). 6. Ergebnis auf eine Dezimalstelle gerundet: \(3{,}6\,\text{Liter}\).

Für den Anstrich werden rechnerisch etwa \(3{,}6\,\text{Liter}\) Farbe benötigt.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Kubikmetern, Kubikdezimetern und Litern. - Bleibt die Grundfläche beim Umfüllen in das zweite Gefäß gleich? - Wie verändert sich die Höhe, wenn das Gefäß schmaler wird, aber die Wassermenge gleich bleibt?

1. Radius des Fasses: \(r_1 = 40\,\text{cm} = 0{,}4\,\text{m}\). 2. Maximales Volumen: \(V_{\text{max}} = \pi \cdot r_1^2 \cdot h = \pi \cdot (0{,}4\,\text{m})^2 \cdot 1{,}20\,\text{m} \approx 0{,}60318\,\text{m}^3\). Da \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\), ergibt sich \(V_{\text{max}} \approx 603{,}2\,\text{l}\). 3. Wassermenge bei \(45\,\text{cm} = 0{,}45\,\text{m}\) Höhe: \(V_{\text{Wasser}} = \pi \cdot (0{,}4\,\text{m})^2 \cdot 0{,}45\,\text{m} \approx 0{,}22619\,\text{m}^3 \approx 226{,}2\,\text{l}\). 4. Umfüllen in Gefäß mit \(r_2 = 0{,}3\,\text{m}\): Die Wassermenge bleibt gleich (\(V \approx 0{,}22619\,\text{m}^3\)). 5. Neue Höhe berechnen: \(h_2 = \frac{V_{\text{Wasser}}}{\pi \cdot r_2^2} = \frac{0{,}22619\,\text{m}^3}{\pi \cdot (0{,}3\,\text{m})^2} = \frac{0{,}22619}{0{,}09 \cdot \pi} = 0{,}8\,\text{m}\).

a) Das Fass fasst maximal etwa \(603{,}2\,\text{Liter}\). b) Es befinden sich etwa \(226{,}2\,\text{Liter}\) im Fass. c) Das Wasser steht im schmaleren Gefäß \(80\,\text{cm}\) hoch.

- Wie hängen Volumen, Grundfläche und Höhe bei einem Prisma oder Zylinder zusammen? - Welche geometrische Form hat die Grundfläche eines Zylinders und wie berechnet man deren Inhalt? - Schau dir die Volumenformel genau an: Was passiert mit dem Quadrat einer Zahl, wenn man die Zahl selbst halbiert?

1. Umrechnung des Volumens: \(1{,}5\,\text{l} = 1500\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Höhe: \(V = G \cdot h \implies h = \frac{V}{G} = \frac{1500\,\text{cm}^3}{120\,\text{cm}^2} = 12{,}5\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Radius: \(G = \pi \cdot r^2 \implies r = \sqrt{\frac{G}{\pi}} = \sqrt{\frac{120\,\text{cm}^2}{\pi}} \approx 6{,}18\,\text{cm}\). 4. Analyse der Volumenänderung: Die Formel lautet \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\). Wird der Radius halbiert, verviertelt sich der Faktor \(r^2\) (wegen \((\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)). Wird die Höhe verdoppelt, verdoppelt sich das Volumen. Insgesamt ergibt sich eine Änderung um den Faktor \(\frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}\). Das Volumen halbiert sich also.

a) Die Höhe beträgt \(12{,}5\,\text{cm}\). b) Der Radius beträgt ca. \(6{,}18\,\text{cm}\). c) Das Volumen halbiert sich, da die Halbierung des Radius zu einer Viertelung des Volumens führt, während die Verdopplung der Höhe das Volumen verdoppelt (\(\frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}\)).

- Das Volumen des Metalls ändert sich beim Ziehen des Drahtes nicht. - Ein Draht kann mathematisch als ein sehr langer, dünner Zylinder betrachtet werden. - Achte besonders auf die Umrechnung von Quadratmillimetern in Quadratzentimeter. - Wie viele Zentimeter ergeben einen Kilometer?

1. Bestimmung des Radius des Kupferstabs: \(r = 1\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens \(V\) des Zylinders: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot (1\,\text{cm})^2 \cdot 20\,\text{cm} = 20\pi\,\text{cm}^3 \approx 62{,}83\,\text{cm}^3\). 3. Umrechnung der Querschnittsfläche \(A\) des Drahtes in \(\text{cm}^2\): \(0{,}1\,\text{mm}^2 = 0{,}001\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Drahtlänge \(L\) durch Division des Volumens durch die Querschnittsfläche: \(L = \frac{20\pi\,\text{cm}^3}{0{,}001\,\text{cm}^2} = 20\,000\pi\,\text{cm} \approx 62\,831{,}85\,\text{cm}\). 5. Umrechnung der Länge in Kilometer: \(62\,831{,}85\,\text{cm} = 628{,}3185\,\text{m} \approx 0{,}628\,\text{km}\).

Der Draht hat eine Länge von ca. \(0{,}628\,\text{km}\) (bzw. \(200\pi\,\text{m}\)).

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen Litern und Volumeneinheiten wie \(\text{cm}^3\) oder \(\text{dm}^3\)? - Stelle sicher, dass Radius und Volumen in zueinander passenden Einheiten vorliegen. - Wie lautet die Formel für das Volumen eines Zylinders? - Kannst du die Formel so umformen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht?

1. Umrechnung des Volumens und des Radius in konsistente Einheiten: \(V = 1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3\) und \(r = 50\,\text{mm} = 5\,\text{cm}\). 2. Verwendung der Volumenformel für den Zylinder: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\). 3. Umstellen der Formel nach der Höhe: \(h = \frac{V}{\pi \cdot r^2}\). 4. Einsetzen der Werte: \(h = \frac{1000}{\pi \cdot 5^2} = \frac{1000}{25 \cdot \pi} = \frac{40}{\pi} \approx 12{,}73239\ldots\,\text{cm}\). 5. Gerundetes Ergebnis: \(h \approx 12{,}73\,\text{cm}\).

Die Innenhöhe des Gefäßes beträgt etwa \(12{,}73\,\text{cm}\).

- Vergleiche die Flächeninhalte erst, wenn du sie in derselben Einheit berechnet hast. - Wie berechnet man die Mantelfläche eines Zylinders? - Ein Verhältnis gibt an, wie oft eine Größe in einer anderen enthalten ist. - Musst du \(\pi\) unbedingt als Dezimalzahl einsetzen, um die Flächen zu vergleichen?

1. Umrechnung aller Maße in Zentimeter: \(r_1 = 4\,\text{cm}\), \(h_1 = 10\,\text{cm}\); \(r_2 = 8\,\text{cm}\), \(h_2 = 2{,}5\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Mantelfläche \(M_1 = 2 \cdot \pi \cdot r_1 \cdot h_1 = 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 10 = 80\pi\,\text{cm}^2 \approx 251{,}33\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Mantelfläche \(M_2 = 2 \cdot \pi \cdot r_2 \cdot h_2 = 2 \cdot \pi \cdot 8 \cdot 2{,}5 = 40\pi\,\text{cm}^2 \approx 125{,}66\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(M_1 = 80\pi\) ist größer als \(M_2 = 40\pi\). 5. Bestimmung des Verhältnisses: \(M_1 : M_2 = 80\pi : 40\pi = 2 : 1\).

Zylinder \(C_1\) hat die größere Mantelfläche. Das Verhältnis der Mantelflächen \(M_1 : M_2\) beträgt \(2 : 1\).

- Wie berechnet man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks? - Welchen Satz kannst du nutzen, um die fehlende Seite im Dreieck zu finden? - Die Mantelfläche eines Prismas lässt sich als ein großes Rechteck vorstellen. Wie lang und wie breit ist dieses? - Aus wie vielen Flächen besteht die gesamte Oberfläche dieses Prismas?

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) (rechtwinkliges Dreieck): \(G = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot h = 24\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 360\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Hypotenuse \(c\) mit dem Satz des Pythagoras: \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Umfangs der Grundfläche: \(u = 6\,\text{cm} + 8\,\text{cm} + 10\,\text{cm} = 24\,\text{cm}\). 5. Berechnung der Mantelfläche: \(M = u \cdot h = 24\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 360\,\text{cm}^2\). 6. Berechnung der Oberfläche: \(O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 24\,\text{cm}^2 + 360\,\text{cm}^2 = 408\,\text{cm}^2\).

a) Das Volumen beträgt \(360\,\text{cm}^3\). b) Die Hypotenuse ist \(10\,\text{cm}\) lang. Die Oberfläche beträgt \(408\,\text{cm}^2\).

- Berechne zuerst die Volumina mit der bekannten Formel für Hohlzylinder. - Nutze für Teil b) \(r_a^2 - r_i^2 = (r_a - r_i) \cdot (r_a + r_i)\). Welcher Faktor ist bei beiden Rohren gleich, und welcher ist bei Rohr B größer?

1. Berechnung für Rohr A: \(r_a = 5\,\text{cm}\), \(r_i = 4\,\text{cm}\), \(h = 200\,\text{cm}\). \(V_A = \pi \cdot (5^2 - 4^2) \cdot 200 = \pi \cdot 9 \cdot 200 \approx 5\,654{,}9\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung für Rohr B: \(r_a = 10\,\text{cm}\), \(r_i = 9\,\text{cm}\), \(h = 200\,\text{cm}\). \(V_B = \pi \cdot (10^2 - 9^2) \cdot 200 = \pi \cdot 19 \cdot 200 \approx 11\,938{,}1\,\text{cm}^3\). 3. Begründung zu b): Es gilt \(r_a^2 - r_i^2 = (r_a - r_i) \cdot (r_a + r_i)\). Der erste Faktor ist bei beiden Rohren wegen der gleichen Wandstärke \(1\,\text{cm}\). Bei Rohr B ist jedoch \(r_a + r_i\) größer. Deshalb sind die Kreisringfläche und damit das Materialvolumen von Rohr B größer.

a) Das Volumen von Rohr A beträgt ca. \(5\,655\,\text{cm}^3\), das von Rohr B ca. \(11\,938\,\text{cm}^3\). b) Obwohl die Wandstärke gleich ist, ist die Summe aus Außen- und Innenradius bei Rohr B größer. Daher sind die Kreisringfläche und das Kunststoffvolumen größer.

- Bleibt das Volumen der Flüssigkeit beim Umgießen gleich? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks? - Welche Formel nutzt man allgemein für das Volumen eines Prismas, egal welche Grundfläche es hat? - Überlege, welche Werte du aus dem ersten Teil für den zweiten Teil übernehmen kannst.

1. Volumen des Zylinders berechnen: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 160\pi\,\text{cm}^3 \approx 502{,}65\,\text{cm}^3\). 2. Masse des Öls berechnen: \(m = V \cdot \rho \approx 502{,}65\,\text{cm}^3 \cdot 0{,}92\,\text{g/cm}^3 \approx 462{,}4\,\text{g}\). 3. Grundfläche des Prismas (Dreieck) berechnen: \(G = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\). 4. Neue Füllhöhe berechnen: \(h_{\text{Prisma}} = \frac{V}{G} = \frac{160\pi\,\text{cm}^3}{40\,\text{cm}^2} = 4\pi\,\text{cm} \approx 12{,}57\,\text{cm}\).

a) Die Masse des Öls beträgt etwa \(462{,}4\,\text{g}\). b) Das Öl steht im neuen Gefäß etwa \(12{,}57\,\text{cm}\) hoch.

- Was ist der Unterschied zwischen Radius und Durchmesser? - Wie hängen Innenradius, Außenradius und Wandstärke zusammen? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche eines Hohlzylinders zusammen? - Achte darauf, alle Maße vor dem Rechnen in dieselbe Einheit umzuwandeln.

1. Umrechnung der Maße in Zentimeter: \(d_i = 4\,\text{cm} \Rightarrow r_i = 2\,\text{cm}\); Wandstärke \(s = 1\,\text{cm} \Rightarrow r_a = 2\,\text{cm} + 1\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\); Höhe \(h = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2) \cdot h = \pi \cdot (3^2 - 2^2) \cdot 8 = 40\pi \approx 125{,}66\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Oberfläche: \(O = 2 \cdot \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2) + 2\pi \cdot r_a \cdot h + 2\pi \cdot r_i \cdot h = 2\pi \cdot 5 + 48\pi + 32\pi = 90\pi \approx 282{,}74\,\text{cm}^2\).

Das Volumen beträgt ca. \(125{,}66\,\text{cm}^3\) und der Oberflächeninhalt ca. \(282{,}74\,\text{cm}^2\).

- Wie hängen Volumen, Grundfläche und Höhe bei diesem Körper zusammen? - Kannst du zuerst den Flächeninhalt des kreisringförmigen Querschnitts bestimmen? - Wenn du den Außenradius kennst, wie findest du dann die Wandstärke?

1. Aufstellen der Volumenformel für den Hohlzylinder: \(V = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2) \cdot h\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte (\(600 = \pi \cdot (r_a^2 - 3^2) \cdot 15\)) und Umstellen nach \(r_a^2\): \(r_a^2 = \frac{600}{15\pi} + 9 \approx 12{,}732 + 9 = 21{,}732\). 3. Berechnung des Außenradius: \(r_a = \sqrt{21{,}732} \approx 4{,}66\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Wandstärke: \(s = r_a - r_i = 4{,}66\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 1{,}66\,\text{cm}\).

Die Wandstärke des Werkstücks beträgt ca. \(1{,}66\,\text{cm}\).

- Achte darauf, alle Einheiten vor dem Rechnen anzugleichen. Wie viele Kubikzentimeter sind ein Liter? - Stell dir das Wasser im Aquarium selbst als einen Körper vor. Welche Form hat dieser Körper? - Wenn das Becken zur Hälfte voll ist, in welchem Verhältnis stehen dann Wasserhöhe und Gesamthöhe?

1. Umrechnung des Wasservolumens in \(\text{cm}^3\): \(48\,\text{l} = 48\,\text{dm}^3 = 48\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Grundfläche \(G\): \(G = 80\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 3\,200\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Wasserhöhe \(h_w\): \(h_w = \frac{V}{G} = \frac{48\,000\,\text{cm}^3}{3\,200\,\text{cm}^2} = 15\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Gesamthöhe des Aquariums \(H\): Da das Becken zur Hälfte gefüllt ist, gilt \(H = 2 \cdot h_w = 2 \cdot 15\,\text{cm} = 30\,\text{cm}\).

1. Das Wasser steht \(15\,\text{cm}\) hoch. 2. Das Aquarium ist insgesamt \(30\,\text{cm}\) hoch.

- Welche Grundform hat die Grundfläche eines Zylinders? - Wie setzt sich die Oberfläche eines Zylinders zusammen? Denke an Deckel, Boden und Mantel. - Überlege dir für den Vergleich, wie sich die Formel verhält, wenn du Faktoren für die Variablen einsetzt. - Was passiert mit dem Quadrat in der Volumenformel, wenn der Radius halbiert wird?

1. Berechnung des Volumens: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot (5\,\text{cm})^2 \cdot 12\,\text{cm} = 300\pi\,\text{cm}^3 \approx 942{,}48\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts: \(O = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot (5\,\text{cm})^2 + 2 \cdot \pi \cdot 5\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 50\pi + 120\pi = 170\pi\,\text{cm}^2 \approx 534{,}07\,\text{cm}^2\). 3. Untersuchung der Änderungen: Neuer Radius \(r_n = 2{,}5\,\text{cm}\), neue Höhe \(h_n = 24\,\text{cm}\). Neues Volumen: \(V_n = \pi \cdot (2{,}5\,\text{cm})^2 \cdot 24\,\text{cm} = 150\pi\,\text{cm}^3 \approx 471{,}24\,\text{cm}^3\). Das Volumen halbiert sich. Neuer Oberflächeninhalt: \(O_n = 2 \cdot \pi \cdot (2{,}5\,\text{cm})^2 + 2 \cdot \pi \cdot 2{,}5\,\text{cm} \cdot 24\,\text{cm} = 12{,}5\pi + 120\pi = 132{,}5\pi\,\text{cm}^2 \approx 416{,}26\,\text{cm}^2\). Der Oberflächeninhalt verringert sich.

a) \(V \approx 942{,}48\,\text{cm}^3\) b) \(O \approx 534{,}07\,\text{cm}^2\) c) Das Volumen halbiert sich (\(150\pi \approx 471{,}24\,\text{cm}^3\)), da der Radius quadratisch eingeht. Der Oberflächeninhalt sinkt auf \(132{,}5\pi \approx 416{,}26\,\text{cm}^2\).

- Wie hängen die Seitenlängen der Grundfläche mit den Breiten der Rechtecke im Mantel zusammen? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke. - Die Höhe des Prismas ist für alle Rechtecke der Mantelfläche gleich. - Wie berechnet man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks?

1. Berechnung der Hypotenuse \(c\) mit dem Satz des Pythagoras: \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\). 2. Identifikation der Körperhöhe: Da ein Rechteck des Mantels die Maße \(10\,\text{cm} \times 15\,\text{cm}\) hat und eine Seite der Grundfläche \(10\,\text{cm}\) lang ist, muss die Körperhöhe \(h = 15\,\text{cm}\) sein. 3. Maße der anderen Rechtecke: Die Rechtecke des Mantels grenzen an die Seiten der Grundfläche. Die Maße sind also \(a \times h\) und \(b \times h\), also \(6\,\text{cm} \times 15\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm} \times 15\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Grundfläche: \(G = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot h = 24\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 360\,\text{cm}^3\).

a) \(c = 10\,\text{cm}\) b) \(6\,\text{cm} \times 15\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm} \times 15\,\text{cm}\) c) \(V = 360\,\text{cm}^3\)

- Berechne zuerst das Volumen des ersten Zylinders. - Nutze das bekannte Volumen und die neue Höhe, um den fehlenden Radius zu bestimmen. - Was ist die Formel für die Mantelfläche eines Zylinders? Welche Größen benötigst du dafür?

1. Berechnung des Volumens von \(Z_1\): \(V_1 = \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 \cdot 9\,\text{cm} = 144\pi\,\text{cm}^3 \approx 452{,}39\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung von \(r_2\) über \(V_2 = V_1\): \(144\pi = \pi \cdot r_2^2 \cdot 4\). Durch Teilen durch \(4\pi\) folgt \(r_2^2 = 36\), also \(r_2 = 6\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Mantelfläche \(M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\). 4. Für \(Z_1\): \(M_1 = 2 \cdot \pi \cdot 4\,\text{cm} \cdot 9\,\text{cm} = 72\pi\,\text{cm}^2 \approx 226{,}19\,\text{cm}^2\). 5. Für \(Z_2\): \(M_2 = 2 \cdot \pi \cdot 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 48\pi\,\text{cm}^2 \approx 150{,}80\,\text{cm}^2\). 6. Vergleich: \(M_1 > M_2\). Zylinder \(Z_1\) hat die größere Mantelfläche.

a) Der Radius \(r_2\) beträgt \(6\,\text{cm}\). b) Zylinder \(Z_1\) hat die größere Mantelfläche (\(M_1 \approx 226{,}19\,\text{cm}^2\) gegenüber \(M_2 \approx 150{,}80\,\text{cm}^2\)).

- Was passiert mit den Faktoren \(L\) und \(\pi\), wenn du ein Verhältnis berechnest? - Setze die gegebenen Werte in die Formel ein. - Vergleiche die Werte des Terms \((D - s)\) für beide Rohre.

1. Berechnung des Volumens für Rohr 1: \(V_1 = \pi \cdot L \cdot 2 \cdot (20 - 2) = \pi \cdot L \cdot 2 \cdot 18 = 36 \cdot \pi \cdot L\,\text{mm}^3\). 2. Berechnung des Volumens für Rohr 2: \(V_2 = \pi \cdot L \cdot 2 \cdot (40 - 2) = \pi \cdot L \cdot 2 \cdot 38 = 76 \cdot \pi \cdot L\,\text{mm}^3\). 3. Vergleich der Massen: Da beide Rohre aus demselben Material bestehen, ist ihre Masse proportional zu ihrem Volumen. Daher gilt \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{76 \cdot \pi \cdot L}{36 \cdot \pi \cdot L} = \frac{76}{36} = \frac{19}{9} \approx 2{,}11\). 4. Schlussfolgerung: Das zweite Rohr ist etwa \(2{,}11\)-mal so schwer. Der Faktor ist größer als \(2\), weil der Term \((D - s)\) von \(18\) auf \(38\) und damit um den Faktor \(\frac{38}{18} = \frac{19}{9}\) wächst.

a) \(V_1 = 36 \cdot \pi \cdot L\,\text{mm}^3\); \(V_2 = 76 \cdot \pi \cdot L\,\text{mm}^3\) b) Nein. Das zweite Rohr ist etwa \(2{,}11\)-mal so schwer, da \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{19}{9} \approx 2{,}11\) gilt.

- Skizziere die Grundfläche und beschrifte sie mit den gegebenen Maßen. - Es ist oft hilfreich, alle Maße direkt in Dezimeter umzurechnen, da die Dichte in \(\text{kg/dm}^3\) gegeben ist. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes? - Wie wird das Volumen eines Prismas aus der Grundfläche und der Körperhöhe bestimmt?

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) des Trapezes in \(\text{dm}^2\): \(a = 6\,\text{dm}\), \(c = 4\,\text{dm}\), \(h_{\text{Trapez}} = 5\,\text{dm}\). \(G = \frac{a + c}{2} \cdot h_{\text{Trapez}} = \frac{6\,\text{dm} + 4\,\text{dm}}{2} \cdot 5\,\text{dm} = 25\,\text{dm}^2\). 2. Umrechnung der Körperlänge in Dezimeter: \(L = 2{,}5\,\text{m} = 25\,\text{dm}\). 3. Berechnung des Volumens \(V\): \(V = G \cdot L = 25\,\text{dm}^2 \cdot 25\,\text{dm} = 625\,\text{dm}^3\). 4. Berechnung der Masse \(m\): \(m = V \cdot \rho = 625\,\text{dm}^3 \cdot 2{,}5\,\text{kg/dm}^3 = 1562{,}5\,\text{kg}\).

Das Bauelement hat eine Masse von \(1562{,}5\,\text{kg}\).

- Berechne zuerst das Volumen des Prismas. - Wie hängen Masse, Volumen und die Materialeigenschaft (Dichte) zusammen? - Wenn du die Dichte kennst, kannst du bestimmen, welches Volumen der Zylinder haben muss, um die angegebene Masse zu erreichen. - Nutze die Volumenformel des Zylinders, um die fehlende Höhe zu finden.

1. Berechnung des Volumens des Prismas: \(V_P = G \cdot k = (\frac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm}) \cdot 10\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2 \cdot 10\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^3\). 2. Bestimmung der Dichte von Aluminium: \(\rho = \frac{m}{V_P} = \frac{162\,\text{g}}{60\,\text{cm}^3} = 2{,}7\,\text{g/cm}^3\). 3. Berechnung des benötigten Volumens des Zylinders für die gegebene Masse: \(V_Z = \frac{m_Z}{\rho} = \frac{270\,\text{g}}{2{,}7\,\text{g/cm}^3} = 100\,\text{cm}^3\). 4. Aufstellen der Formel für das Zylindervolumen: \(V_Z = \pi \cdot r^2 \cdot h\). 5. Einsetzen und nach \(h\) auflösen: \(100\,\text{cm}^3 = \pi \cdot (2\,\text{cm})^2 \cdot h \implies 100 = 4\pi \cdot h \implies h = \frac{100}{4\pi} = \frac{25}{\pi} \approx 7{,}9577\,\text{cm}\). 6. Das Ergebnis gerundet auf eine Dezimalstelle beträgt \(8{,}0\,\text{cm}\).

Die Höhe des Zylinders beträgt etwa \(8{,}0\,\text{cm}\).

- Schreibe die Formeln für beide Volumina auf und überlege, was gleich ist und was sich unterscheidet. - Setze die Volumina gleich. - Kannst du Variablen, die auf beiden Seiten vorkommen, wegkürzen? - Wie verändert sich eine quadratische Größe, wenn das Ergebnis der Multiplikation gleich bleiben soll, aber ein anderer Faktor halbiert wird?

1. Aufstellen der Volumenformeln: \(V_1 = \pi \cdot r_1^2 \cdot h_1\) und \(V_2 = \pi \cdot r_2^2 \cdot h_2\). 2. Nutzen der Bedingungen: \(V_1 = V_2\) und \(h_2 = \frac{1}{2} \cdot h_1\). 3. Gleichsetzen der Formeln: \(\pi \cdot r_1^2 \cdot h_1 = \pi \cdot r_2^2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot h_1)\). 4. Kürzen von \(\pi\) und \(h_1\): \(r_1^2 = r_2^2 \cdot \frac{1}{2}\). 5. Umstellen nach \(r_2\): \(r_2^2 = 2 \cdot r_1^2\). 6. Ziehen der Wurzel: \(r_2 = \sqrt{2} \cdot r_1\). 7. Der Faktor ist somit \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\).

Der Radius der zweiten Kerze ist \(\sqrt{2}\)-mal so groß wie der Radius der ersten Kerze; der Faktor beträgt \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\).

- Wie berechnet man das Volumen und die Oberfläche eines Quaders? - Was bedeutet „Materialverbrauch“ im geometrischen Sinne für einen Körper? - Vergleiche die Ergebnisse aus Aufgabenteil b.

1. Volumenprüfung: \(V_A = 10^3 = 1000\,\text{cm}^3\); \(V_B = 25 \cdot 8 \cdot 5 = 1000\,\text{cm}^3\). Beide Volumina entsprechen dem geforderten Volumen. 2. Oberflächeninhalt Design A (Würfel): \(O_A = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot 10^2 = 600\,\text{cm}^2\). 3. Oberflächeninhalt Design B (Quader): \(O_B = 2 \cdot (25 \cdot 8 + 25 \cdot 5 + 8 \cdot 5) = 2 \cdot (200 + 125 + 40) = 2 \cdot 365 = 730\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich: \(O_A < O_B\). Da Design A bei gleichem Volumen eine geringere Oberfläche hat, wird weniger Material für die Herstellung benötigt.

a) \(V_A = 1000\,\text{cm}^3\), \(V_B = 1000\,\text{cm}^3\). b) \(O_A = 600\,\text{cm}^2\), \(O_B = 730\,\text{cm}^2\). c) Design A ist sinnvoller, da es bei gleichem Volumen \(130\,\text{cm}^2\) weniger Material benötigt.

- Denk an die einzelnen Bestandteile des Stapels. Ändert eine Karte ihre Größe, nur weil sie woanders liegt? - Erinnere dich an den Namen des Prinzips, das Körper mit gleichen Querschnittsflächen vergleicht. - Was ist entscheidend für den Rauminhalt: die Schräglage oder die Menge an Material?

1. Begründung des Volumens: Jede einzelne Karte behält ihre Grundfläche \(G_i\) und ihre Dicke \(d_i\) bei. Das Volumen einer Karte ist \(V_i = G_i \cdot d_i\). Da sich weder die Form noch die Anzahl der Karten ändert, bleibt die Summe aller Einzelvolumina (das Gesamtvolumen) gleich, unabhängig davon, ob sie exakt übereinander oder versetzt liegen. 2. Identifikation des Prinzips: Es handelt sich um das Cavalieri-Prinzip. Es besagt, dass zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn alle ihre Schnittflächen in gleicher Höhe den gleichen Flächeninhalt haben und sie gleich hoch sind. 3. Übertragung auf die Formel: Ja, die Formel \(V = G \cdot h\) gilt auch für schiefe Prismen, da die Querschnittsflächen parallel zur Grundfläche überall identisch mit \(G\) sind und die Gesamthöhe \(h\) den vertikalen Abstand definiert.

a) Das Volumen bleibt gleich, da die Summe der Volumina der einzelnen Karten unverändert ist; jede Karte hat weiterhin die gleiche Fläche und Dicke. b) Cavalieri-Prinzip. c) Ja, die Formel gilt auch für schiefe Prismen, da das Volumen nur von der Grundfläche und der vertikalen Höhe abhängt.

- Stelle dir das Rohr als einen großen Zylinder vor, aus dem ein kleinerer Zylinder in der Mitte entfernt wurde. - Achte genau darauf, wie sich der Innenradius aus dem Außenradius und der Wandstärke ergibt. - Welche Einheit bietet sich für die Längenmaße an, wenn die Dichte in \(\text{kg/dm}^3\) gegeben ist?

1. Bestimmung der Radien in Dezimetern für eine einfachere Berechnung: Äußerer Radius \(R = \frac{60\,\text{cm}}{2} = 30\,\text{cm} = 3\,\text{dm}\). 2. Innerer Radius berechnen: \(r = R - \text{Wandstärke} = 30\,\text{cm} - 8\,\text{cm} = 22\,\text{cm} = 2{,}2\,\text{dm}\). 3. Länge in Dezimetern: \(h = 2{,}5\,\text{m} = 25\,\text{dm}\). 4. Berechnung des Volumens des Hohlzylinders: \(V = \pi \cdot (R^2 - r^2) \cdot h = \pi \cdot (3^2 - 2{,}2^2) \cdot 25 = \pi \cdot (9 - 4{,}84) \cdot 25 = \pi \cdot 4{,}16 \cdot 25 = 104\pi \approx 326{,}73\,\text{dm}^3\). 5. Berechnung der Masse: \(m = V \cdot \rho \approx 326{,}73\,\text{dm}^3 \cdot 2{,}4\,\text{kg/dm}^3 \approx 784{,}15\,\text{kg}\).

Die Masse des Betonrohres beträgt ca. \(784{,}15\,\text{kg}\).

- Stelle dir vor, du schaust von oben exakt senkrecht auf den Turm. Welche Fläche siehst du insgesamt? - Vergiss nicht, dass beim Stapeln einige Flächen verdeckt werden. Welche Teile der Mantelflächen bleiben sichtbar? - Kannst du eine Liste aller Radien machen, um bei der Summenbildung den Überblick zu behalten?

1. Berechnung der Einzeloberflächen: Für jede Scheibe gilt \(O_i = 2 \cdot \pi \cdot r_i^2 + 2 \cdot \pi \cdot r_i \cdot h\). 2. Summe der Einzeloberflächen: \(\sum O_i = 2\pi(5^2+5) + 2\pi(6^2+6) + 2\pi(7^2+7) + 2\pi(8^2+8) + 2\pi(9^2+9) = 2\pi(30+42+56+72+90) = 580\pi \approx 1822{,}12\,\text{cm}^2\). 3. Sichtbarer Oberflächeninhalt des Stapels: - Unterseite: \(\pi \cdot 9^2 = 81\pi\). - Die sichtbaren horizontalen Flächen auf der Oberseite (die obere Kreisfläche der kleinsten Scheibe und die vier Ringflächen) ergeben zusammen genau die Fläche der größten Scheibe: \(\pi \cdot 9^2 = 81\pi\). - Mantelflächen aller 5 Scheiben: \(2\pi \cdot 1 \cdot (5+6+7+8+9) = 70\pi\). 4. Gesamtsumme Stapel: \(81\pi + 81\pi + 70\pi = 232\pi \approx 728{,}85\,\text{cm}^2\).

a) Die Summe der Einzeloberflächen beträgt ca. \(1822{,}12\,\text{cm}^2\). b) Die sichtbare Oberfläche des Turms beträgt ca. \(728{,}85\,\text{cm}^2\).

- Achte darauf, alle Maße in dieselbe Einheit (cm) umzurechnen, bevor du rechnest. - Ein Viertelzylinder hat eine Grundfläche, die ein Viertel eines Kreises ist. - Wie viele Begrenzungsflächen hat dieser Körper insgesamt? - Die Masse berechnet man, indem man das Volumen mit der Dichte multipliziert.

1. Umrechnung der Höhe: \(h = 200\,\text{cm}\). 2. Grundfläche (Viertelkreis): \(A_G = \frac14\pi\cdot 25^2 = 156{,}25\pi \approx 490{,}87\,\text{cm}^2\). 3. Gekrümmte Mantelfläche: \(M_{\text{Bogen}} = \frac14\cdot 2\pi\cdot 25\cdot 200 = 2500\pi \approx 7\,853{,}98\,\text{cm}^2\). 4. Die beiden rechteckigen Seitenflächen haben zusammen \(2\cdot 25\cdot 200 = 10\,000\,\text{cm}^2\). 5. Ohne Zwischenrundung ist \(O = 2A_G + M_{\text{Bogen}} + 10\,000 = 2812{,}5\pi + 10\,000 \approx 18\,835{,}73\,\text{cm}^2\). 6. Volumen: \(V=A_G\cdot h=31\,250\pi \approx 98\,174{,}77\,\text{cm}^3\). 7. Masse: \(m=V\cdot 2{,}7\,\text{g/cm}^3 \approx 265\,071{,}88\,\text{g} \approx 265{,}07\,\text{kg}\).

a) Der Oberflächeninhalt beträgt ca. \(18\,835{,}73\,\text{cm}^2\). b) Die Stele hat eine Masse von ca. \(265{,}07\,\text{kg}\).

- Überlege dir die Formeln für Volumen, Mantelfläche und Oberfläche eines allgemeinen Prismas. - Welche Teile der Oberfläche hängen von der Höhe ab und welche nicht? - Wenn du die Höhe änderst, bleiben die Deck- und Grundfläche gleich groß. Wie wirkt sich das auf die Gesamtsumme der Flächen aus? - Versuche, die neue Oberfläche als Formel aufzuschreiben und mit dem Dreifachen der alten Oberfläche zu vergleichen.

1. Volumen: Das ursprüngliche Volumen ist \(V = G \cdot h\). Mit der neuen Höhe \(h' = 3 \cdot h\) ist das neue Volumen \(V' = G \cdot (3 \cdot h) = 3 \cdot V\). Das Volumen verdreifacht sich. 2. Mantelfläche: Die Mantelfläche ist \(M = u \cdot h\), wobei \(u\) der Umfang der Grundfläche ist. Mit \(h' = 3 \cdot h\) wird \(M' = u \cdot (3 \cdot h) = 3 \cdot M\). Die Mantelfläche verdreifacht sich ebenfalls. 3. Oberfläche: Die Gesamtoberfläche ist \(O = 2 \cdot G + M\). Die neue Oberfläche ist \(O' = 2 \cdot G + 3 \cdot M\). 4. Vergleich: Eine Verdreifachung der Oberfläche entspräche \(3 \cdot O = 3 \cdot (2 \cdot G + M) = 6 \cdot G + 3 \cdot M\). 5. Da \(2 \cdot G + 3 \cdot M < 6 \cdot G + 3 \cdot M\) (da \(G > 0\)), ist die neue Oberfläche kleiner als das Dreifache der ursprünglichen Oberfläche. Die Grundflächen werden nämlich nicht mit verdreifacht.

a) Das Volumen verdreifacht sich (\(V' = 3 \cdot V\)). b) Die Mantelfläche verdreifacht sich ebenfalls (\(M' = 3 \cdot M\)). c) Die Behauptung ist falsch. Die Oberfläche besteht aus der Mantelfläche und den zwei Grundflächen (\(O = M + 2 \cdot G\)). Während sich die Mantelfläche verdreifacht, bleiben die Grundflächen gleich. Daher vergrößert sich die Gesamtoberfläche auf weniger als das Dreifache ihres ursprünglichen Werts.

- Wie hängen Radius, Höhe und Volumen zusammen? Kannst du den Radius bestimmen, wenn die anderen Werte bekannt sind? - Berechne zuerst für beide Behälter den jeweiligen Radius. - Was genau ist die Mantelfläche und wie berechnet man sie? - Vergleiche am Ende die beiden berechneten Flächenwerte.

1. Volumen in \(\text{cm}^3\): \(V = 50\,\text{l} = 50\,000\,\text{cm}^3\). 2. Radius von Behälter A: \(r_A = \sqrt{\frac{50\,000}{40\pi}} \approx 19{,}947\,\text{cm}\). 3. Mantelfläche von Behälter A: \(M_A = 2\pi r_A h_A \approx 5\,013{,}26\,\text{cm}^2\). 4. Radius von Behälter B: \(r_B = \sqrt{\frac{50\,000}{60\pi}} \approx 16{,}287\,\text{cm}\). 5. Mantelfläche von Behälter B: \(M_B = 2\pi r_B h_B \approx 6\,139{,}96\,\text{cm}^2\). 6. Da \(M_A<M_B\), besitzt Behälter A die kleinere Mantelfläche.

Behälter A hat die kleinere Mantelfläche: \(M_A \approx 5\,013{,}26\,\text{cm}^2\) gegenüber \(M_B \approx 6\,139{,}96\,\text{cm}^2\).

- Setze das gegebene Volumen in die Formel ein, um die unbekannte Höhe zu isolieren. - Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus zwei Kreisen und einem Rechteck (dem Mantel). - Berücksichtige beim Materialbedarf zuerst die Anzahl der Dosen und schlage dann den Prozentsatz für den Verschnitt auf. - Denk an die Umrechnungszahl für Flächeneinheiten (\(\text{cm}^2\) zu \(\text{m}^2\)).

1. Für \(V = 425\,\text{cm}^3\) gilt \(h_A = \frac{425}{\pi\cdot 3{,}5^2} \approx 11{,}04\,\text{cm}\) und \(h_B = \frac{425}{\pi\cdot 4{,}2^2} \approx 7{,}67\,\text{cm}\). 2. Mit \(O=2\pi r^2+2\pi rh\) und \(2\pi rh=\frac{2V}{r}\) erhält man ohne Zwischenrundung: Dose A: \(O_A = 2\pi\cdot 3{,}5^2 + \frac{2\cdot 425}{3{,}5} \approx 319{,}83\,\text{cm}^2\). Dose B: \(O_B = 2\pi\cdot 4{,}2^2 + \frac{2\cdot 425}{4{,}2} \approx 313{,}22\,\text{cm}^2\). 3. Dose B ist materialsparender. Für 1000 Stück einschließlich \(15\,\%\) Verschnitt werden \(1000\cdot O_B\cdot 1{,}15 \approx 360\,198{,}79\,\text{cm}^2\) benötigt. 4. Das sind \(36{,}02\,\text{m}^2\).

a) Höhe Dose A: ca. \(11{,}04\,\text{cm}\); Höhe Dose B: ca. \(7{,}67\,\text{cm}\). b) Oberfläche Dose A: ca. \(319{,}83\,\text{cm}^2\); Oberfläche Dose B: ca. \(313{,}22\,\text{cm}^2\). c) Für 1000 Stück der Dose B werden einschließlich Verschnitt ca. \(36{,}02\,\text{m}^2\) Blech benötigt.

- Berechne zuerst für beide Körper die fehlende Höhe, indem du die Volumenformel nach der Höhe auflöst. - Verwende für die Oberfläche die Summe aus der Mantelfläche und den beiden Grundflächen. - Vergleiche am Ende die beiden berechneten Oberflächenwerte.

1. Umrechnung des Volumens: \(1\,\text{l} = 1\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Höhe \(h_A\) für Modell A: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h_A \implies 1\,000 = \pi \cdot 5^2 \cdot h_A \implies h_A = \frac{40}{\pi} \approx 12{,}73\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Oberfläche \(O_A\): \(O_A = 2\pi r^2 + 2\pi r h_A = 2\pi \cdot 25 + 2\pi \cdot 5 \cdot \frac{40}{\pi} = 50\pi + 400 \approx 557{,}08\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Höhe \(h_B\) für Modell B: \(V = a^2 \cdot h_B \implies 1\,000 = 10^2 \cdot h_B \implies h_B = 10\,\text{cm}\). 5. Berechnung der Oberfläche \(O_B\): \(O_B = 2 \cdot a^2 + 4 \cdot a \cdot h_B = 2 \cdot 100 + 4 \cdot 10 \cdot 10 = 200 + 400 = 600\,\text{cm}^2\). 6. Vergleich: Da \(557{,}08\,\text{cm}^2 < 600\,\text{cm}^2\), hat Modell A die geringere Oberfläche.

Modell A (der Zylinder) ist mit einer Oberfläche von ca. \(557\,\text{cm}^2\) sparsamer als Modell B (das Prisma) mit \(600\,\text{cm}^2\).

- Berechne zuerst für beide Zylinder das Volumen mit der entsprechenden Formel. - Was genau passiert mit dem Radius und der Höhe im Vergleich der beiden Gefäße? - Vergleiche die Ergebnisse der Oberflächenberechnung. Welcher Wert ist größer? - Denk an die Kosten: Welches Gefäß benötigt mehr Material für die Außenhülle?

1. Volumen Gefäß A: \(V_A = \pi \cdot r_A^2 \cdot h_A = \pi \cdot 25 \cdot 20 = 500\pi \approx 1570{,}8\,\text{cm}^3\). 2. Volumen Gefäß B: \(V_B = \pi \cdot r_B^2 \cdot h_B = \pi \cdot 100 \cdot 5 = 500\pi \approx 1570{,}8\,\text{cm}^3\). Damit ist \(V_A = V_B\). 3. Oberfläche Gefäß A: \(O_A = 2 \cdot \pi \cdot r_A^2 + 2 \cdot \pi \cdot r_A \cdot h_A = 2\pi \cdot 25 + 2\pi \cdot 5 \cdot 20 = 50\pi + 200\pi = 250\pi \approx 785{,}4\,\text{cm}^2\). 4. Oberfläche Gefäß B: \(O_B = 2 \cdot \pi \cdot r_B^2 + 2 \cdot \pi \cdot r_B \cdot h_B = 2\pi \cdot 100 + 2\pi \cdot 10 \cdot 5 = 200\pi + 100\pi = 300\pi \approx 942{,}5\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: Gefäß B hat eine größere Oberfläche (\(300\pi > 250\pi\)). 6. Begründung: Für die Herstellung ist die Oberfläche entscheidend für den Materialverbrauch (Blech). Gefäß A ist materialsparender bei gleichem Inhalt.

a) Beide Volumina betragen \(500\pi\,\text{cm}^3 \approx 1570{,}8\,\text{cm}^3\). b) Gefäß B hat mit ca. \(942{,}5\,\text{cm}^2\) eine größere Oberfläche als Gefäß A (ca. \(785{,}4\,\text{cm}^2\)). Ein geringerer Materialverbrauch (kleinere Oberfläche) senkt die Produktionskosten.

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Wie hängen Volumen, Fläche und Dicke bei einer sehr dünnen Schicht zusammen? - Achte besonders auf die Umrechnung von Millimetern in Zentimeter und von Quadratzentimetern in Quadratmeter. - Wenn du die Fläche eines Quadrats kennst, wie kommst du auf die Länge einer Seite?

1. Volumen des Quaders berechnen: \(V = 5\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm} = 10\,\text{cm}^3\). 2. Masse berechnen: \(m = V \cdot \rho = 10\,\text{cm}^3 \cdot 19{,}3\,\text{g/cm}^3 = 193\,\text{g}\). 3. Dicke des Blattgolds in \(\text{cm}\) umrechnen: \(h = 0{,}0001\,\text{mm} = 0{,}00001\,\text{cm}\). 4. Fläche des Blatts berechnen: \(A = \frac{V}{h} = \frac{10\,\text{cm}^3}{0{,}00001\,\text{cm}} = 1\,000\,000\,\text{cm}^2\). 5. Umrechnung der Fläche in Quadratmeter: \(A = 100\,\text{m}^2\). 6. Seitenlänge des Quadrats berechnen: \(a = \sqrt{100\,\text{m}^2} = 10\,\text{m}\).

a) Die Masse des Goldbarrens beträgt \(193\,\text{g}\). b) Das quadratische Goldblatt hat eine Seitenlänge von \(10\,\text{m}\).

- Es ist oft hilfreich, Längen sofort in Dezimeter umzurechnen, wenn nach Litern gefragt ist. - Überlege dir zuerst, wie hoch das Wasser jetzt steht und wie hoch es am Ende stehen soll. - Die Differenz dieser Höhen ist die Höhe des Zylinders, dessen Volumen du berechnen musst. - Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen?

1. Umrechnung in Dezimeter für die direkte Berechnung von Litern (\(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\)): \(d = 7\,\text{dm}\) (also \(r = 3{,}5\,\text{dm}\)), \(h_{\text{gesamt}} = 11\,\text{dm}\). 2. Aktuelle Füllhöhe: \(h_{\text{ist}} = \frac{1}{3} \cdot 11\,\text{dm} = \frac{11}{3}\,\text{dm} \approx 3{,}67\,\text{dm}\). 3. Ziel-Füllhöhe: \(h_{\text{ziel}} = 11\,\text{dm} - 1\,\text{dm} = 10\,\text{dm}\). 4. Differenz der Füllhöhen: \(\Delta h = 10\,\text{dm} - \frac{11}{3}\,\text{dm} = \frac{30-11}{3}\,\text{dm} = \frac{19}{3}\,\text{dm} \approx 6{,}33\,\text{dm}\). 5. Zusätzliches Volumen: \(V_{\text{zusätzlich}} = \pi \cdot r^2 \cdot \Delta h = \pi \cdot (3{,}5)^2 \cdot \frac{19}{3} \approx 3{,}1416 \cdot 12{,}25 \cdot 6{,}3333 \approx 243{,}73\,\text{dm}^3\). 6. Rundung auf ganze Liter: \(244\,\text{l}\).

Es müssen etwa \(244\,\text{Liter}\) Wasser hinzugefügt werden.

- Welche neuen Flächen entstehen durch das Bohren und welche Teile der ursprünglichen Oberfläche fallen weg? - Berechne am besten zuerst die Oberfläche des vollen Zylinders. - Wie berechnet man den Oberflächeninhalt der Innenseite des Lochs? - Denk an die Formel für die prozentuale Veränderung: \(\frac{\text{neuer Wert}-\text{alter Wert}}{\text{alter Wert}}\).

1. Oberfläche des massiven Zylinders: \(O_{\text{alt}} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi \cdot 6^2 + 2\pi \cdot 6 \cdot 15 = 72\pi + 180\pi = 252\pi \approx 791{,}68\,\text{cm}^2\). 2. Oberfläche des Hohlzylinders: Die Grundflächen verringern sich um \(2 \cdot \pi \cdot 2^2 = 8\pi\), die äußere Mantelfläche bleibt gleich (\(180\pi\)), und eine innere Mantelfläche kommt hinzu (\(M_i = 2\pi \cdot 2 \cdot 15 = 60\pi\)). 3. Neue Oberfläche: \(O_{\text{neu}} = 2\pi(6^2 - 2^2) + 180\pi + 60\pi = 64\pi + 180\pi + 60\pi = 304\pi \approx 955{,}04\,\text{cm}^2\). 4. Prozentuale Zunahme: \(\frac{304\pi - 252\pi}{252\pi} = \frac{52}{252} \approx 0{,}2063\). Dies entspricht einer Zunahme von ca. \(20{,}6\,\%\).

Der Oberflächeninhalt vergrößert sich um ca. \(20{,}6\,\%\).

- Stelle dir vor, wie die Grundfläche aussieht, nachdem das Loch gebohrt wurde. - Vergiss beim Oberflächeninhalt nicht, dass durch die Bohrung eine neue Fläche im Inneren entstanden ist. - Welche Flächen gehören zur „Außenseite“ und welche zur „Innenseite“? - Wie berechnet man den Umfang eines Kreises für die Mantelfläche des Lochs?

1. Grundfläche des Prismas: \(G_{\text{Prisma}}=s^2=100\,\text{cm}^2\). 2. Querschnittsfläche des Lochs mit \(r=3\,\text{cm}\): \(G_{\text{Loch}}=9\pi\,\text{cm}^2\). 3. Verbleibende Querschnittsfläche: \(G_{\text{neu}}=100-9\pi\,\text{cm}^2\). 4. Volumen: \(V=(100-9\pi)\cdot 20 = 2000-180\pi \approx 1\,434{,}51\,\text{cm}^3\). 5. Die Oberfläche besteht aus den beiden durchbohrten quadratischen Flächen, dem äußeren Prismenmantel und der Innenwand der Bohrung: \(O=2(100-9\pi)+4\cdot 10\cdot 20+2\pi\cdot 3\cdot 20 = 1000+102\pi \approx 1\,320{,}44\,\text{cm}^2\).

a) \(V \approx 1\,434{,}51\,\text{cm}^3\) b) \(O \approx 1\,320{,}44\,\text{cm}^2\)

- Wie drückst du eine Zunahme um \(25\,\%\) als Dezimalfaktor aus? - Wenn das Volumen gleich bleibt, wie hängen Radius und Höhe voneinander ab? - Denke daran, dass der Radius in der Formel quadriert wird. Welchen Faktor ergibt das für die Grundfläche? - Wie viel fehlt von der neuen Höhe bis zu \(100\,\%\) der alten Höhe?

1. Definition der neuen Maße: \(r_2 = 1{,}25 \cdot r_1\). 2. Aufstellen der Volumengleichung für konstantes Volumen: \(V = \pi \cdot r_1^2 \cdot h_1 = \pi \cdot r_2^2 \cdot h_2\). 3. Einsetzen von \(r_2\): \(\pi \cdot r_1^2 \cdot h_1 = \pi \cdot (1{,}25 \cdot r_1)^2 \cdot h_2 = \pi \cdot 1{,}5625 \cdot r_1^2 \cdot h_2\). 4. Kürzen von \(\pi \cdot r_1^2\) ergibt \(h_1 = 1{,}5625 \cdot h_2\). 5. Auflösen nach der neuen Höhe: \(h_2 = \frac{1}{1{,}5625} \cdot h_1 = 0{,}64 \cdot h_1\). 6. Berechnung der prozentualen Verringerung: \(1 - 0{,}64 = 0{,}36\), was einer Abnahme um \(36\,\%\) entspricht.

Die Höhe muss um \(36\,\%\) verringert werden.

- Wie berechnet man die Grundfläche eines Kreisrings? - Denke an die dritte binomische Formel, um die Differenz der Quadrate umzuformen. - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit, zum Beispiel Zentimeter, vorliegen, bevor du rechnest. - Wie hängen Volumen, Dichte und Masse zusammen? - Überlege, an welcher Stelle der Formel die Länge \(l\) steht.

1. Aufstellen der Volumenformel: Das Volumen eines Hohlzylinders berechnet sich aus der Differenz der Volumina des Außen- und Innenzylinders: \(V = \frac{\pi \cdot D^2}{4} \cdot l - \frac{\pi \cdot d^2}{4} \cdot l = \frac{\pi \cdot l}{4} \cdot (D^2 - d^2)\). 2. Faktorisierung: Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \(V = \frac{\pi \cdot l}{4} \cdot (D - d) \cdot (D + d)\). 3. Umrechnung der Einheiten: \(l = 2{,}5\,\text{m} = 250\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Volumens: \(V = \frac{3{,}14 \cdot 250}{4} \cdot (12^2 - 10^2) = 196{,}25 \cdot (144 - 100) = 196{,}25 \cdot 44 = 8635\,\text{cm}^3\). 5. Berechnung der Masse: \(m = V \cdot \rho = 8635\,\text{cm}^3 \cdot 7{,}85\,\text{g/cm}^3 = 67\,784{,}75\,\text{g} = 67{,}78475\,\text{kg}\). Auf zwei Dezimalstellen gerundet ergibt sich \(m \approx 67{,}78\,\text{kg}\). 6. Proportionalität: Da das Volumen und damit die Masse direkt proportional zur Länge \(l\) sind, verdoppelt sich bei doppelter Länge auch die Masse.

a) \(V = \frac{\pi \cdot l}{4} \cdot (D^2 - d^2)\) b) \(V = \frac{\pi \cdot l}{4} \cdot (D - d) \cdot (D + d)\) c) \(m \approx 67{,}78\,\text{kg}\) d) Die Masse verdoppelt sich, da sie direkt proportional zur Länge ist.

- Wie hängen \(\text{cm}^3\) und \(\text{dm}^3\) zusammen? - Stell dir den Ring von oben vor: Was misst man, wenn man vom Außenrand zum Innenrand misst? - Wie verändert sich der Rauminhalt eines Körpers, wenn man ihn in alle drei Richtungen gleichmäßig streckt?

1. Berechnung der Grundfläche: \(A = \pi \cdot (R^2 - r^2) = 3{,}14 \cdot (50^2 - 40^2) = 3{,}14 \cdot (2500 - 1600) = 3{,}14 \cdot 900 = 2826\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens in \(\text{cm}^3\): \(V = A \cdot h = 2826\,\text{cm}^2 \cdot 80\,\text{cm} = 226\,080\,\text{cm}^3\). 3. Umrechnung in \(\text{dm}^3\) (Liter): \(226\,080 : 1000 = 226{,}08\,\text{dm}^3\) bzw. \(226{,}08\,\text{l}\). 4. Berechnung der Masse: \(m = V \cdot \rho = 226{,}08\,\text{dm}^3 \cdot 2{,}4\,\text{kg/dm}^3 = 542{,}592\,\text{kg}\). 5. Geometrische Interpretation: Der Ausdruck \((R - r)\) entspricht der Differenz zwischen Außen- und Innenradius, was der Wandstärke des Rings entspricht. 6. Skalierungsfaktor: Bei Verdoppelung aller Längenmaße wächst das Volumen eines Körpers mit dem Faktor \(2^3 = 8\).

a) \(V = 226{,}08\,\text{l}\) b) \(m = 542{,}592\,\text{kg}\) c) \((R - r)\) ist die Wandstärke des Rings. d) Das Volumen vergrößert sich um den Faktor \(8\).

- Wie berechnet man das Volumen eines Körpers, aus dem ein Teil herausgeschnitten wurde? - Welchen Radius musst du für die Bohrung verwenden, wenn der Durchmesser gegeben ist? - Musst du für die Prozentrechnung in Teil b) die tatsächliche Masse berechnen oder gibt es einen kürzeren Weg? - Was bedeutet „leichter sein“ im mathematischen Sinne für das Verhältnis der Massen?

1. Bestimmung der Radien: Außenradius \(R = 10\,\text{cm}\), Innenradius der Bohrung \(r = 4\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens des massiven Zylinders: \(V_{\text{außen}} = \pi \cdot R^2 \cdot h = \pi \cdot (10\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 1000 \cdot \pi\,\text{cm}^3 \approx 3141{,}59\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens der Bohrung: \(V_{\text{innen}} = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 160 \cdot \pi\,\text{cm}^3 \approx 502{,}65\,\text{cm}^3\). 4. Berechnung des Restvolumens für Teil a): \(V_{\text{Werkstück}} = V_{\text{außen}} - V_{\text{innen}} = 840 \cdot \pi\,\text{cm}^3 \approx 2638{,}94\,\text{cm}^3\). 5. Berechnung der prozentualen Verringerung für Teil b): Da das Material gleich bleibt, entspricht die prozentuale Massenabnahme der prozentualen Volumenabnahme: \(\frac{V_{\text{innen}}}{V_{\text{außen}}} = \frac{160 \cdot \pi}{1000 \cdot \pi} = 0{,}16 = 16\,\%\).

a) Das Volumen beträgt etwa \(2638{,}94\,\text{cm}^3\). b) Das Werkstück ist um \(16\,\%\) leichter.

- Skizziere den Querschnitt des Baumstamms. Wenn ein \(90^\circ\)-Segment entfernt wird, bleibt ein Sektor und ein Dreieck übrig. - Wie berechnet man die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, wenn die beiden kurzen Seiten bekannt sind? - Vergiss nicht, am Ende die Gesamtmasse mit der maximalen Tragkraft der Personen zu vergleichen.

1. Bestimmung der Maße: \(r = 30\,\text{cm}\), \(l = 200\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Grundfläche des verbleibenden Baumstamms (großes Kreissegment): - Diese setzt sich zusammen aus einem Dreiviertel-Kreissektor (\(270^\circ\)) und einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten \(r\). - \(A_{\text{Sektor}} = \frac{270}{360} \cdot \pi \cdot 30^2 = 675\pi \approx 2120{,}58\,\text{cm}^2\). - \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 30 = 450\,\text{cm}^2\). - \(A_G = 2120{,}58 + 450 = 2570{,}58\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Volumens: \(V = A_G \cdot l = 2570{,}58 \cdot 200 = 514\,116\,\text{cm}^3\). 4. Breite der Sitzfläche (Sehne des Segments): Da der Mittelpunktswinkel \(90^\circ\) beträgt, bildet die Breite die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten \(r = 30\,\text{cm}\). - \(c = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1800} \approx 42{,}43\,\text{cm}\). 5. Berechnung der Masse: \(m = V \cdot \rho = 514\,116 \cdot 0{,}6 = 308\,469{,}6\,\text{g} \approx 308{,}47\,\text{kg}\). 6. Vergleich mit der Tragkraft: Drei Personen können \(3 \cdot 50\,\text{kg} = 150\,\text{kg}\) tragen. Da \(308{,}47\,\text{kg} > 150\,\text{kg}\), können sie die Bank nicht tragen.

a) Das Volumen beträgt ca. \(514\,116\,\text{cm}^3\). b) Die Sitzfläche ist ca. \(42{,}43\,\text{cm}\) breit. c) Nein, die drei Personen können die Bank nicht tragen, da ihre Masse von ca. \(308{,}47\,\text{kg}\) die gemeinsame Tragfähigkeit von \(150\,\text{kg}\) deutlich überschreitet.