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- Überlege dir, welche Ergebnisse übrig bleiben, wenn man das beschriebene Ereignis aus der Menge aller Möglichkeiten entfernt. - Wie lässt sich die logische Verneinung von Wörtern wie „alle“, „kein“ oder „mindestens“ am einfachsten ausdrücken? - Stell dir vor, du müsstest beweisen, dass die Aussage des Ereignisses falsch ist. Was müsste dafür passieren?

1. Definition des Gegenereignisses: Das Gegenereignis umfasst alle Ergebnisse des Ergebnisraums, die nicht zum ursprünglichen Ereignis gehören. 2. Teilaufgabe a): Das Gegenteil von „alle“ ist „nicht alle“, was bedeutet, dass mindestens ein Schuss das Ziel verfehlt. Ergebnis: Mindestens ein Schuss trifft nicht ins Goldene. 3. Teilaufgabe b): Das Gegenteil von „kein“ ist „mindestens einer“. Ergebnis: Mindestens ein Schuss trifft ins Goldene. 4. Teilaufgabe c): Das Ereignis verlangt Treffer bei Schuss \(1\) UND Schuss \(2\). Das Gegenereignis tritt ein, wenn dies nicht der Fall ist. Ergebnis: Mindestens einer der ersten zwei Schüsse trifft nicht ins Goldene. 5. Teilaufgabe d): „Mindestens \(5\)“ bedeutet \(5\) oder \(6\) Treffer. Die verbleibenden Möglichkeiten sind \(0, 1, 2, 3\) oder \(4\) Treffer. Ergebnis: Höchstens vier Schüsse treffen ins Goldene.

a) Mindestens ein Schuss trifft nicht ins Goldene. b) Mindestens ein Schuss trifft ins Goldene. c) Mindestens einer der ersten zwei Schüsse trifft nicht ins Goldene. d) Höchstens vier Schüsse treffen ins Goldene.

- Überlege dir, welche Möglichkeiten es für die Anzahl (0, 1, 2 oder 3) insgesamt gibt. - Was bleibt übrig, wenn man die genannten Fälle aus der Gesamtmenge aller Möglichkeiten entfernt? - „Mindestens“ und „Höchstens“ sind oft Gegenspieler, aber achte genau auf die Grenzwerte. - Kannst du die Situation mit einer anderen Farbe beschreiben?

1. Bestimmung von \(\bar{A}\): Das Ereignis \(A\) umfasst den Fall (3 blau). Das Gegenereignis umfasst alle anderen Fälle, also (0, 1 oder 2 blau). In Worten: Mindestens ein Stift ist rot. 2. Bestimmung von \(\bar{B}\): Das Ereignis \(B\) umfasst (2 rot, 3 rot). Das Gegenereignis umfasst (0 rot, 1 rot). In Worten: Höchstens ein Stift ist rot. 3. Bestimmung von \(\bar{C}\): Das Ereignis \(C\) umfasst (0 blau, 1 blau). Das Gegenereignis umfasst (2 blau, 3 blau). In Worten: Mindestens zwei Stifte sind blau. 4. Bestimmung von \(\bar{D}\): Das Ereignis \(D\) umfasst genau den Fall (2 rot). Das Gegenereignis umfasst alle anderen Möglichkeiten für die Anzahl roter Stifte. In Worten: Es werden \(0\), \(1\) oder \(3\) rote Stifte gezogen.

a) \(\bar{A}\): Mindestens ein Stift ist rot. b) \(\bar{B}\): Höchstens ein Stift ist rot. c) \(\bar{C}\): Mindestens zwei Stifte sind blau. d) \(\bar{D}\): Es werden \(0\), \(1\) oder \(3\) rote Stifte gezogen.

- Was bedeutet es, wenn ein Ergebnis nicht zu einem Ereignis gehört? - Wie viele Elemente hat die gesamte Menge und wie viele davon gehören zum gesuchten Ereignis? - Erinnere dich an die Definition einer Quadratzahl.

1. Identifikation der Quadratzahlen in \(\Omega\): \(A = \{1, 4, 9\}\) 2. Bestimmung des Gegenereignisses \(\bar{A}\) durch Ausschluss von \(A\) aus \(\Omega\): \(\bar{A} = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 10\}\) 3. Identifikation der Zahlen größer als 7: \(B = \{8, 9, 10\}\) 4. Bestimmung des Gegenereignisses \(\bar{B}\): \(\bar{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(\bar{A})\) nach Laplace: Anzahl der günstigen Ergebnisse (\(7\)) dividiert durch Anzahl der möglichen Ergebnisse (\(10\)), resultierend in \(P(\bar{A}) = \frac{7}{10} = 0{,}7\)

- \(A = \{1, 4, 9\}\), \(\bar{A} = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 10\}\) - \(B = \{8, 9, 10\}\), \(\bar{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) - \(P(\bar{A}) = 0{,}7\)

- Schreibe dir zuerst alle Zahlen von 1 bis 20 auf. - Markiere die Zahlen, die zum Ereignis gehören. Die restlichen gehören zum Gegenereignis. - Was bedeutet „höchstens“ mathematisch? Welches Zeichen (\(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\)) passt dazu? - Denke daran, dass die 1 keine Primzahl ist.

1. Beschreibung der Gegenereignisse: \(\bar{E}_1\): Die Zahl ist keine Primzahl. \(\bar{E}_2\): Die Zahl ist kein Vielfaches von 4. \(\bar{E}_3\): Die Zahl ist höchstens 15. \(\bar{E}_4\): Die Zahl ist größer als 18. 2. Berechnung der Anzahlen: - Primzahlen (\(E_1\)): \(\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}\), also 8 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_1\): \(20 - 8 = 12\). - Vielfache von 4 (\(E_2\)): \(\{4, 8, 12, 16, 20\}\), also 5 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_2\): \(20 - 5 = 15\). - Zahlen größer 15 (\(E_3\)): \(\{16, 17, 18, 19, 20\}\), also 5 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_3\): \(20 - 5 = 15\). - Zahlen bis 18 (\(E_4\)): \(\{1, 2, \dots, 18\}\), also 18 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_4\): \(20 - 18 = 2\) (nämlich 19 und 20).

1. \(\bar{E}_1\): Keine Primzahl; \(\bar{E}_2\): Kein Vielfaches von 4; \(\bar{E}_3\): Höchstens 15; \(\bar{E}_4\): Größer als 18. 2. Anzahl der Ergebnisse: \(\bar{E}_1: 12\); \(\bar{E}_2: 15\); \(\bar{E}_3: 15\); \(\bar{E}_4: 2\).

- Bei Aufgaben mit Anzahlen hilft es oft, die möglichen Werte als Liste aufzuschreiben (z. B. \(0, 1, 2, \dots\)). - Achte genau auf die Grenzen: Was ist das Gegenteil von „mehr als \(15\)“? Gehört die \(15\) dazu oder nicht? - Wenn eine Eigenschaft (wie „gerade“) nicht zutrifft, welche einzige andere Eigenschaft muss dann bei ganzen Zahlen vorliegen?

1. Analyse der Mengenkomplemente bei Anzahlen. 2. Teilaufgabe a): Das Ereignis ist die Menge \(\{1\}\). Das Gegenereignis umfasst alle anderen möglichen Anzahlen \(\{0, 2, 3, \dots, 20\}\). Ergebnis: Die Anzahl der defekten Akkus ist nicht eins (bzw. kein Akku oder mindestens zwei Akkus sind defekt). 3. Teilaufgabe b): „Höchstens \(3\)“ entspricht \(\{0, 1, 2, 3\}\). Das Komplement ist \(\{4, 5, \dots, 20\}\). Ergebnis: Mindestens vier Akkus sind defekt. 4. Teilaufgabe c): „Mehr als \(15\) voll funktionsfähig“ bedeutet \(16, 17, 18, 19\) oder \(20\) sind intakt. Das Gegenereignis umfasst \(0\) bis \(15\) intakte Akkus. Ergebnis: Höchstens \(15\) Akkus sind voll funktionsfähig. 5. Teilaufgabe d): Da die Anzahl der defekten Akkus nur ganzzahlig von \(0\) bis \(20\) sein kann, ist das Gegenteil von „gerade“ schlicht „ungerade“. Ergebnis: Die Anzahl der defekten Akkus ist eine ungerade Zahl.

a) Die Anzahl der defekten Akkus ist ungleich eins (bzw. kein Akku oder mindestens zwei Akkus sind defekt). b) Mindestens vier Akkus sind defekt. c) Höchstens \(15\) Akkus sind voll funktionsfähig. d) Die Anzahl der defekten Akkus ist eine ungerade Zahl.

- Überlege dir, welche Zeichenarten zur Auswahl stehen. Wenn etwas „keine Ziffer“ ist, was muss es dann sein? - Achte bei Teilaufgabe c) besonders darauf, dass das Gegenereignis schon eintritt, wenn nur eine der Bedingungen nicht erfüllt ist. - Kannst du die Ereignisse mit Symbolen wie \(<\), \(>\) oder \(\le\) ausdrücken, um das Gegenteil leichter zu finden?

1. Anwendung logischer Regeln für Ereignisse und ihre Komplemente. 2. Teilaufgabe a): Ereignis \(A\): „Buchstabe UND Buchstabe UND Buchstabe UND Buchstabe“. Gegenereignis \(\bar{A}\): Mindestens ein Zeichen ist kein Buchstabe. Da es nur Buchstaben oder Ziffern gibt, folgt: Mindestens ein Zeichen ist eine Ziffer. 3. Teilaufgabe b): Ereignis \(B\): „Anzahl Ziffern \(\ge 1\)“. Das Gegenereignis ist „Anzahl Ziffern \(< 1\)“, also genau \(0\). Ergebnis: Kein Zeichen ist eine Ziffer (bzw. alle Zeichen sind Buchstaben). 4. Teilaufgabe c): Ereignis \(C\): „Stelle 1 = Ziffer UND Stelle 4 = Ziffer“. Die Verneinung nach De Morgan lautet: „Stelle 1 \(\neq\) Ziffer ODER Stelle 4 \(\neq\) Ziffer“. Ergebnis: Das erste oder das letzte Zeichen (oder beide) ist ein Buchstabe (bzw. mindestens eines der beiden äußeren Zeichen ist ein Buchstabe). 5. Teilaufgabe d): Ereignis \(D\): „Anzahl Buchstaben \(\in \{0, 1, 2\}\)“. Das Gegenereignis umfasst die restlichen Möglichkeiten \(\{3, 4\}\). Ergebnis: Mindestens drei Zeichen sind Buchstaben.

a) Mindestens ein Zeichen ist eine Ziffer. b) Alle Zeichen sind Buchstaben (bzw. kein Zeichen ist eine Ziffer). c) Mindestens eines der beiden Zeichen (das erste oder das letzte) ist ein Buchstabe. d) Mindestens drei Zeichen sind Buchstaben.

- Gehe die Zahlen nacheinander durch und prüfe die Bedingungen für Primzahlen und Quersummen. - Wie hängen die Anzahl der Elemente in einer Menge und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Was musst du tun, um alle Elemente zu finden, die NICHT in einer Menge sind?

1. Identifikation der Primzahlen in \(\Omega\): \(E = \{11, 13, 17, 19\}\) 2. Bestimmung des Gegenereignisses durch Komplementbildung: \(\bar{E} = \{12, 14, 15, 16, 18, 20\}\) 3. Prüfung der Quersummen (1+1=2, 1+2=3, ...): Durch 3 teilbare Quersummen haben 12, 15 und 18. Somit \(F = \{12, 15, 18\}\) 4. Bestimmung des Gegenereignisses: \(\bar{F} = \{11, 13, 14, 16, 17, 19, 20\}\) 5. Vergleich der Mächtigkeiten: \(|E| = 4\) und \(|F| = 3\). Da \(|E| > |F|\), ist das Ereignis \(E\) wahrscheinlicher, da bei einer Laplace-Wahrscheinlichkeit mehr günstige Ergebnisse vorliegen.

1. \(E = \{11, 13, 17, 19\}\), \(\bar{E} = \{12, 14, 15, 16, 18, 20\}\) 2. \(F = \{12, 15, 18\}\), \(\bar{F} = \{11, 13, 14, 16, 17, 19, 20\}\) 3. \(E\) ist wahrscheinlicher, da es mit 4 Elementen mehr Ergebnisse umfasst als \(F\) mit 3 Elementen.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es für jede Stelle der Zahl? Erstelle am besten einen Baum oder eine Liste. - Was ist das logische Gegenteil von „mindestens zwei“? - Denke daran, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis immer feststeht.

1. Systematische Auflistung aller Kombinationen von 1 und 2: \(\Omega = \{111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222\}\). Die Gesamtanzahl ist \(|\Omega| = 8\). 2. Identifikation der Zahlen mit zwei oder drei Einsen: \(G = \{111, 112, 121, 211\}\) 3. Formulierung des Gegenereignisses: \(\bar{G}\) bedeutet „weniger als zweimal die Ziffer 1“ oder „höchstens einmal die Ziffer 1“. Die Menge ist \(\bar{G} = \{122, 212, 221, 222\}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(G) = \frac{4}{8} = 0{,}5\) und \(P(\bar{G}) = \frac{4}{8} = 0{,}5\). 5. Nachweis der Summe: \(P(G) + P(\bar{G}) = 0{,}5 + 0{,}5 = 1\).

1. \(\Omega = \{111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222\}\) 2. \(G = \{111, 112, 121, 211\}\) 3. \(\bar{G}\): „Die Zahl enthält höchstens einmal die Ziffer 1“. \(\bar{G} = \{122, 212, 221, 222\}\) 4. \(P(G) = 0{,}5\); \(P(\bar{G}) = 0{,}5\); Summe: \(0{,}5 + 0{,}5 = 1\)

- Was sind Quadratzahlen? Multipliziere kleine natürliche Zahlen mit sich selbst. - Welche Zahlen zwischen 1 und 10 sind Primzahlen? - Wenn du die Gewinnzahlen kennst, welche Zahlen führen dann zum Verlust? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Glücksrad mit gleich großen Feldern?

1. Ergebnismenge \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\). 2. Bestimmung von \(G\): Quadratzahlen sind \(\{1, 4, 9\}\). Primzahlen sind \(\{2, 3, 5, 7\}\). Die Vereinigungsmenge ist \(G = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}\). 3. Gegenereignis \(\bar{G}\): Die verbleibenden Zahlen sind \(\{6, 8, 10\}\). In Worten: Die Zahl ist eine gerade Zahl, die keine Primzahl und keine Quadratzahl ist (oder einfach: Die Zahl ist 6, 8 oder 10). 4. Wahrscheinlichkeiten: \(P(G) = \frac{7}{10} = 0{,}7\). \(P(\bar{G}) = \frac{3}{10} = 0{,}3\). 5. Zusammenhang: \(P(G) + P(\bar{G}) = 1\).

a) \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\); \(G = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}\). b) \(\bar{G}\): Die Zahl ist 6, 8 oder 10. c) \(P(G) = 0{,}7\); \(P(\bar{G}) = 0{,}3\). Die Summe beider Wahrscheinlichkeiten ergibt immer 1.