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- Wie viele Kugeln jeder Farbe sind nach den drei Zügen jeweils noch im Beutel? - In welchem Fall ändert sich die Grundmenge (die Gesamtzahl der Möglichkeiten)? - Überlege, was „unabhängige Ereignisse“ für die Wahrscheinlichkeit bedeuten.

1. Analyse Experiment A (mit Zurücklegen): Da die Kugeln zurückgelegt werden, bleibt die Zusammensetzung des Beutels immer gleich (\(5\) rote, \(5\) blaue). Die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel im 4. Zug ist unverändert \(P = \frac{5}{10} = 0{,}5\). Die Vorereignisse haben keinen Einfluss. 2. Analyse Experiment B (ohne Zurücklegen): Nach drei roten Zügen befinden sich nur noch \(10 - 3 = 7\) Kugeln im Beutel. Davon sind immer noch \(5\) blau, aber nur noch \(2\) rot. Die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel ist nun \(P = \frac{5}{7} \approx 0{,}714\). 3. Vergleich: In Experiment A ist das Ereignis „blaue Kugel“ unabhängig von den vorherigen Zügen. In Experiment B sind die Züge abhängig voneinander; hier hat die Serie von roten Kugeln die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel tatsächlich erhöht.

In Experiment A bleibt die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel konstant bei \(0{,}5\), da die Züge unabhängig sind. In Experiment B steigt die Wahrscheinlichkeit auf \(\frac{5}{7} \approx 0{,}714\), da durch das Nicht-Zurücklegen die Anzahl der roten Kugeln im Beutel abgenommen hat.

- Welche Pfade im Baumdiagramm führen zu dem Ereignis „verschiedene Farben“? - Wie verändern sich die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Schritt, wenn das erste Fruchtgummi nicht zurückgelegt wird? - Achte bei der Addition von Brüchen auf den gemeinsamen Hauptnenner.

1. Baumdiagramm mit Zurücklegen: \(P(\text{r}) = \frac{5}{8}\), \(P(\text{g}) = \frac{3}{8}\). Die Pfade für zwei verschiedene Farben sind \((\text{r}, \text{g})\) und \((\text{g}, \text{r})\). 2. Berechnung mit Zurücklegen: \(P(\text{verschieden}) = P(\text{r}, \text{g}) + P(\text{g}, \text{r}) = (\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8}) + (\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8}) = \frac{15}{64} + \frac{15}{64} = \frac{30}{64} = \frac{15}{32} \approx 0{,}4688\). 3. Berechnung ohne Zurücklegen: Im ersten Zug \(P(\text{r}) = \frac{5}{8}\) und \(P(\text{g}) = \frac{3}{8}\). Im zweiten Zug ändern sich die Nenner auf 7. \(P(\text{r}, \text{g}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{56}\). \(P(\text{g}, \text{r}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}\). Summe: \(P(\text{verschieden, ohne Zurücklegen}) = \frac{15}{56} + \frac{15}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28} \approx 0{,}5357\). 4. Vergleich: Die Wahrscheinlichkeit für verschiedene Farben ist beim Ziehen ohne Zurücklegen höher (\(\approx 53{,}6\,\%\) gegenüber \(\approx 46{,}9\,\%\)).

a) Erste Stufe: Rot mit \(\frac{5}{8}\), Grün mit \(\frac{3}{8}\). Nach jedem Ast gelten wegen des Zurücklegens erneut die Wahrscheinlichkeiten \(\frac{5}{8}\) für Rot und \(\frac{3}{8}\) für Grün. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{15}{32} = 0{,}46875\) (ca. \(46{,}9\,\%\)). c) Ohne Zurücklegen beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{15}{28} \approx 0{,}536\) (ca. \(53{,}6\,\%\)). Die Wahrscheinlichkeit ist in diesem Fall also größer.