Kostenlose Arbeitsblätter

- Wie hoch ist die Chance, bei einer einzelnen Aufgabe mit vier Optionen richtig zu raten? - Wenn mehrere Ereignisse nacheinander eintreten müssen (Aufgabe 1 UND Aufgabe 2 UND Aufgabe 3), wie verknüpft man dann ihre Wahrscheinlichkeiten?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für eine korrekte Antwort bei einer einzelnen Aufgabe: \(P(\text{richtig}) = \frac{1}{4}\). 2. Da die Aufgaben unabhängig voneinander geraten werden, wird die Gesamtwahrscheinlichkeit durch das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten berechnet. 3. Rechnung für drei Aufgaben: \(P(\text{alle 3 richtig}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}\).

d) \(\frac{1}{64}\)

- Wie viele Obststücke liegen insgesamt in der Schale? - Was bedeutet es für die Auswahlwahrscheinlichkeit der einzelnen Obststücke, wenn man „blind“ hineingreift? - Wie viele Stücke sind keine Äpfel?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse: In der Schale befinden sich insgesamt \(12 + 8 + 10 = 30\) Obststücke. Nach der ausdrücklich genannten Modellannahme wird jedes Stück mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt; daher liegt ein Laplace-Experiment vor. 2. Berechnung für a): Es gibt 8 Birnen, also 8 günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{Birne}) = \frac{8}{30} = \frac{4}{15} \approx 0{,}267\). 3. Begründung für b): Nach der Modellannahme hat jedes Obststück die gleiche Chance, ausgewählt zu werden. Dies ist die Voraussetzung für ein Laplace-Experiment. 4. Berechnung für c): Das Ereignis „kein Apfel“ umfasst alle Birnen und Orangen. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(8 + 10 = 18\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{kein Apfel}) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0{,}6\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{4}{15}\) (ca. \(26{,}7\,\%\)). b) Nach der angegebenen Modellannahme sind alle Obststücke gleich wahrscheinlich. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{3}{5}\) (\(60\,\%\)).

- Wie viele Kugeln liegen insgesamt in der Trommel? - Erstelle eine Liste der Zahlen, die die jeweilige Bedingung erfüllen. - Wie kannst du schnell herausfinden, wie viele Vielfache einer Zahl in einem bestimmten Bereich liegen? - Erinnere dich an die Definition von Quadratzahlen wie \(1 \cdot 1\), \(2 \cdot 2\) und so weiter.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: \(n = 150\). 2. Berechnung für a): Die Vielfachen von 15 im Bereich bis 150 sind 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150. Das sind 10 günstige Ergebnisse. \(P(a) = \frac{10}{150} = \frac{1}{15} \approx 6{,}67\,\%\). 3. Berechnung für b): Die Quadratzahlen bis 150 sind \(1^2, 2^2, \dots, 12^2\) (da \(12^2 = 144\) und \(13^2 = 169\)). Es gibt also 12 Quadratzahlen (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144). \(P(b) = \frac{12}{150} = \frac{2}{25} = 8\,\%\). 4. Berechnung für c): Zahlen, die auf 0 oder 5 enden, sind genau die Vielfachen von 5. Da \(150 : 5 = 30\), gibt es 30 solcher Zahlen. \(P(c) = \frac{30}{150} = \frac{1}{5} = 20\,\%\).

a) \(P = \frac{1}{15} \approx 6{,}67\,\%\) b) \(P = \frac{2}{25} = 8\,\%\) c) \(P = \frac{1}{5} = 20\,\%\)

- Worauf bezieht sich die Wahrscheinlichkeit bei einer Umfrage – auf die Anzahl der Antwortmöglichkeiten oder auf die Anzahl der Personen? - Wie berechnet man allgemein die Wahrscheinlichkeit in einem Laplace-Experiment? - Was bedeutet das Wort „oder“ für die Anzahl der günstigen Ergebnisse?

1. Begründung der Unrichtigkeit: Lukas geht fälschlicherweise davon aus, dass alle Hobbys gleich häufig vorkommen (Laplace-Annahme auf Ebene der Kategorien). Die Wahrscheinlichkeit hängt jedoch von der Anzahl der Personen pro Kategorie ab, und diese sind nicht gleich verteilt. 2. Berechnung für Lesen: Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(30\), die Gesamtzahl der Personen ist \(200\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{Lesen}) = \frac{30}{200} = 0{,}15\) bzw. \(15\,\%\). 3. Kombination Sport oder Musik: Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist die Summe der Personen in beiden Gruppen: \(80 + 50 = 130\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{Sport oder Musik}) = \frac{130}{200} = 0{,}65\) bzw. \(65\,\%\).

a) Die Aussage ist falsch, da die Hobbys nicht gleich häufig gewählt wurden. Die Wahrscheinlichkeit hängt von der Anzahl der Personen ab, nicht von der Anzahl der Kategorien. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(15\,\%\) (oder \(0{,}15\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(65\,\%\) (oder \(0{,}65\)).

- Wie viele Karten gibt es insgesamt im Spiel? - Wie viele Karten einer bestimmten Farbe gibt es? - Überlege dir, wie oft jeder Wert (wie zum Beispiel „König“) im gesamten Deck vorkommt. - Was bedeutet „Zahlkarte“ in diesem Zusammenhang und welche Karten gehören dazu?

1. Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse: \(n = 32\). 2. Ereignis a: Es gibt 8 Herz-Karten (7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass). Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(g = 8\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{Herz}) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 3. Ereignis b: Es gibt 4 Könige und 4 Asse, also insgesamt \(g = 4 + 4 = 8\) günstige Karten. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{König oder Ass}) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. Ereignis c: Es gibt 4 verschiedene Zahlenwerte (7, 8, 9, 10) in jeweils 4 Farben. Das ergibt \(g = 4 \cdot 4 = 16\) günstige Karten. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{Zahlkarte}) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

a) \(P(\text{Herz}) = \frac{1}{4} = 25\,\%\) b) \(P(\text{König oder Ass}) = \frac{1}{4} = 25\,\%\) c) \(P(\text{Zahlkarte}) = \frac{1}{2} = 50\,\%\)

- Zähle zuerst genau, wie viele Buchstaben das Wort insgesamt hat. - Erstelle eine Liste, wie oft jeder einzelne Buchstabe im Wort vorkommt. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit, wenn nach „kein H“ gefragt wird? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, wenn zwei verschiedene Buchstaben (wie C oder N) gesucht sind?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Buchstaben im Wort „TASCHENRECHNER“: \(14\) Buchstaben. 2. Häufigkeit der relevanten Buchstaben: E (\(3\)), Vokale (A: \(1\), E: \(3\); insgesamt \(4\)), H (\(2\)), C (\(2\)), N (\(2\)). 3. a) \(P(E) = \frac{3}{14}\). 4. b) \(P(\text{Vokal}) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}\). 5. c) Wahrscheinlichkeit für „H“ ist \(P(H) = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}\). Gegenereignis „kein H“: \(P(\text{kein } H) = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}\). 6. d) Günstige Ergebnisse für „C oder N“: \(2 + 2 = 4\). \(P(C \text{ oder } N) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}\).

a) \(P(E) = \frac{3}{14}\) b) \(P(\text{Vokal}) = \frac{2}{7}\) c) \(P(\text{kein } H) = \frac{6}{7}\) d) \(P(C \text{ oder } N) = \frac{2}{7}\)

- Was gibt die Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment über das Verhältnis von Teilmenge zu Gesamtmenge an? - Wenn du die Gesamtzahl kennst, wie findest du den Rest heraus? - Kannst du für den unbekannten Teil eine Variable (wie \(x\)) verwenden?

1. Berechnung der Gesamtanzahl \(T\): Da \(P(\text{rot}) = \frac{n_{\text{rot}}}{T}\) gilt, folgt \(0{,}25 = \frac{12}{T}\). Umstellen ergibt \(T = \frac{12}{0{,}25} = 48\). 2. Bestimmung der Summe von gelben und weißen Bärchen: \(T - n_{\text{rot}} = 48 - 12 = 36\). 3. Berechnung der Einzelanzahlen: Sei \(x\) die Anzahl der weißen Bärchen. Dann gilt für die gelben Bärchen \(2x\). Die Gleichung \(x + 2x = 36\) führt zu \(3x = 36\), also \(x = 12\). Damit gibt es \(2 \cdot 12 = 24\) gelbe Bärchen.

a) Es sind 48 Gummibärchen in der Tüte. b) Es sind insgesamt 36 gelbe und weiße Bärchen enthalten. c) Es sind 24 gelbe Bärchen in der Tüte.

- Überlege dir für jede Stelle der Zahl einzeln, wie viele Ziffern zur Auswahl stehen. - Wann ist eine Zahl durch 5 teilbar? Schau dir die Endziffern an. - In einem Laplace-Experiment berechnet man die Wahrscheinlichkeit als Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.

1. Berechnung für a): Da für jede der 3 Stellen 4 Ziffern zur Auswahl stehen, ergibt sich \(4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64\) Möglichkeiten. 2. Berechnung für b): Für die erste Stelle gibt es 4, für die zweite 3 und für die dritte 2 Möglichkeiten. Es ergeben sich \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\) Möglichkeiten. 3. Wahrscheinlichkeit für a): Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 5 endet. Die ersten beiden Stellen sind beliebig (\(4 \cdot 4 = 16\) günstige Fälle). \(P = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. Wahrscheinlichkeit für b): Die letzte Stelle muss die 5 sein (1 Möglichkeit). Für die ersten beiden Stellen bleiben 3 bzw. 2 Ziffern übrig (\(3 \cdot 2 = 6\) günstige Fälle). \(P = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0{,}25\).

a) 64 Zahlen. b) 24 Zahlen. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt in beiden Fällen \(\frac{1}{4}\) (oder \(25\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, den ersten Preis zu vergeben und wie viele dann noch für den zweiten Preis übrig bleiben. - Bei Teilaufgabe b) ist eine ganz bestimmte Reihenfolge gefragt. Wie viele der vielen Möglichkeiten erfüllen genau diese Bedingung? - Bei Teilaufgabe c) ist es egal, wer welchen der beiden Preise bekommt. Wie viele Kombinationen von Julia und Tim sind hier möglich?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten: Da es zwei unterschiedliche Preise gibt und jede Person nur einen gewinnen kann, gibt es für den ersten Preis 12 Möglichkeiten und für den zweiten Preis 11 Möglichkeiten. Gesamtzahl: \(12 \cdot 11 = 132\). 2. Wahrscheinlichkeit für ein spezifisches Ergebnis (Julia Hauptpreis, Tim Trostpreis): Es gibt genau 1 günstiges Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{1}{132}\). 3. Wahrscheinlichkeit, dass beide einen Preis gewinnen: Es gibt zwei günstige Fälle (Julia Hauptpreis und Tim Trostpreis ODER Tim Hauptpreis und Julia Trostpreis). Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist 2. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{2}{132} = \frac{1}{66}\).

a) Es gibt \(132\) mögliche Ergebnisse. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{132}\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{66}\).

- Wie viele Möglichkeiten hast du für die erste Ziffer und wie viele bleiben dann für die zweite übrig? - Dürfen Ziffern innerhalb des Codes wiederholt werden? - Überlege dir, wie viele Stellen des Codes durch die Bedingung in b) bereits fest vorgegeben sind.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten für einen vierstelligen Code ohne Wiederholung: Für die erste Stelle gibt es 6, für die zweite 5, für die dritte 4 und für die vierte 3 Möglichkeiten. \(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360\). 2. Bestimmung der günstigen Ergebnisse für Teilaufgabe b): Die ersten beiden Stellen sind durch 1 und 2 festgelegt (1 Möglichkeit). Für die verbleibenden zwei Stellen gibt es noch 4 bzw. 3 Möglichkeiten. \(1 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 = 12\). 3. Berechnung der Laplace-Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{12}{360} = \frac{1}{30}\).

a) Es sind 360 verschiedene Codes möglich. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{30}\).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es für jede einzelne Stelle des Codes? - Überlege, wie viele der vielen Kombinationen tatsächlich das Schloss öffnen. - Wenn du eine Information über eine Ziffer hast, reduziert das die Anzahl der Unbekannten. - Was ist das Gegenteil von „mindestens ein Fehler“?

1. Berechnung der Gesamtmöglichkeiten: Da es 4 Ringe mit je 10 Ziffern gibt, beträgt die Anzahl der Kombinationen \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000\). 2. Wahrscheinlichkeit für einen Treffer: Da nur eine Kombination korrekt ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Richtig}) = \frac{1}{10\,000} = 0{,}0001 = 0{,}01\,\%\). 3. Einfluss der bekannten Ziffer: Wenn die erste Ziffer feststeht, gibt es nur noch \(10^3 = 1\,000\) Möglichkeiten für die restlichen drei Ringe. Die Wahrscheinlichkeit steigt auf \(\frac{1}{1\,000} = 0{,}001 = 0{,}1\,\%\). Sie verzehnfacht sich also, da der Suchraum kleiner wird. 4. Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fehler: Dies ist das Gegenereignis zu „alle Ziffern sind korrekt“. \(P(\text{mind. ein Fehler}) = 1 - P(\text{Richtig}) = 1 - \frac{1}{10\,000} = \frac{9\,999}{10\,000} = 0{,}9999 = 99{,}99\,\%\).

a) \(10\,000\) Möglichkeiten. b) \(P = 0{,}0001\) (oder \(0{,}01\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit steigt auf \(0{,}001\) (oder \(0{,}1\,\%\)), da nur noch \(1\,000\) Kombinationen möglich sind. d) \(P = 0{,}9999\) (oder \(99{,}99\,\%\)).

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es in jeder einzelnen Kategorie gibt. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten mehrerer unabhängiger Ereignisse nacheinander? - Wenn eine Option richtig ist, wie viele Optionen sind dann in dieser Kategorie automatisch falsch?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die spezifische Kombination: Da es für den Snack 4, für das Getränk 3 und für das Obst 5 Möglichkeiten gibt, ist die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne korrekte Wahl \(P(\text{Snack}) = \frac{1}{4}\), \(P(\text{Getränk}) = \frac{1}{3}\) und \(P(\text{Obst}) = \frac{1}{5}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit durch Multiplikation ergibt \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{60}\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass kein Produkt übereinstimmt: Die Gegenwahrscheinlichkeiten für jede Kategorie sind \(P(\text{Snack falsch}) = \frac{3}{4}\), \(P(\text{Getränk falsch}) = \frac{2}{3}\) und \(P(\text{Obst falsch}) = \frac{4}{5}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit durch Multiplikation ergibt \(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{60} = \frac{2}{5} = 0{,}4\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{60}\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{5}\) oder \(0{,}4\) (entspricht \(40\,\%\)).

- Überlege zuerst, wie viele Möglichkeiten es für jeden einzelnen Ring gibt. - Wie viele dieser Möglichkeiten sind jeweils falsch, wenn es nur einen richtigen Code gibt? - Kannst du die Gesamtzahl der Kombinationen nutzen, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen?

1. Berechnung der Gesamtmöglichkeiten: Multiplikation der Anzahl der Optionen pro Ring: \(10 \cdot 5 \cdot 4 = 200\). 2. Identifikation der Fehlversuche pro Ring: An Ring 1 gibt es 9 falsche Ziffern, an Ring 2 gibt es 4 falsche Buchstaben, an Ring 3 gibt es 3 falsche Symbole. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „überall falsch“: Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten für eine falsche Wahl: \(\frac{9}{10} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{108}{200} = \frac{27}{50} = 0{,}54\).

a) Es gibt insgesamt \(200\) verschiedene Kombinationen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{27}{50}\) oder \(0{,}54\) (entspricht \(54\,\%\)).

- Kannst du alle möglichen Kombinationen der Schlüsselzuordnung systematisch auflisten? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, drei Gegenstände auf drei Plätze zu verteilen? - Überlege dir für jedes Ereignis, wie viele der aufgelisteten Kombinationen die Bedingung erfüllen. - Was bedeutet es für den dritten Schlüssel, wenn bereits zwei Schlüssel ihren Schlössern fest zugeordnet sind?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten: Es gibt \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) verschiedene Arten, die drei Schlüssel auf die drei Schlösser zu verteilen. 2. Ereignis a): Es gibt nur eine einzige Kombination, bei der alle drei Schlüssel korrekt zugeordnet sind. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(a) = \frac{1}{6}\). 3. Ereignis b): Wir untersuchen die Fälle, in denen kein Schlüssel passt. Bezeichnen wir die richtigen Zuordnungen mit \((1, 2, 3)\), so sind die Fehlbesetzungen ohne Treffer \((2, 3, 1)\) und \((3, 1, 2)\). Dies sind \(2\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(b) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 4. Ereignis c): Wir suchen die Fälle mit genau einem Treffer. Dies sind \((1, 3, 2)\), \((3, 2, 1)\) und \((2, 1, 3)\). Dies sind \(3\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(c) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

a) \(P(\text{alle richtig}) = \frac{1}{6}\) b) \(P(\text{keiner richtig}) = \frac{1}{3}\) c) \(P(\text{genau einer richtig}) = \frac{1}{2}\)

- Notiere dir am besten alle Zahlen von 1 bis 20 und markiere die Zahlen, die die jeweilige Bedingung erfüllen. - Denk daran, dass die 1 keine Primzahl ist. - Was ist eine Quadratzahl? Erinnere dich an Zahlen wie \(3 \cdot 3\).

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Lose: Es gibt 20 Lose, also \(n = 20\). 2. Berechnung für a): Die durch 4 teilbaren Zahlen zwischen 1 und 20 sind \(\{4, 8, 12, 16, 20\}\). Das sind 5 günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{teilbar durch 4}) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}\). 3. Berechnung für b): Die Primzahlen zwischen 1 und 20 sind \(\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}\). Das sind 8 günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{Primzahl}) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}\). 4. Berechnung für c): Die Quadratzahlen zwischen 1 und 20 sind \(\{1, 4, 9, 16\}\). Das sind 4 günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{Quadratzahl}) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{4}\) (oder \(25\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{5}\) (oder \(40\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{5}\) (oder \(20\,\%\)).

- Überlege dir, wie viele Murmeln nach jedem Zug noch im Beutel sind. - Ändert sich die Anzahl der Murmeln einer bestimmten Farbe, wenn du eine davon ziehst? - Welche Rechenoperation verknüpft die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades im Baumdiagramm? - Stelle die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Schritte als Brüche dar.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Murmeln zu Beginn: \(4 + 5 + 3 = 12\). 2. Wahrscheinlichkeit für die erste rote Murmel: \(P(R_1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). 3. Wahrscheinlichkeit für die zweite rote Murmel, nachdem bereits eine rote entnommen wurde (noch 11 Murmeln im Beutel, davon 3 rote): \(P(R_2) = \frac{3}{11}\). 4. Wahrscheinlichkeit für die dritte gelbe Murmel, nachdem zwei rote entnommen wurden (noch 10 Murmeln im Beutel, davon 3 gelbe): \(P(G_3) = \frac{3}{10}\). 5. Anwendung der Pfadregel durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(R, R, G) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{11} \cdot \frac{3}{10}\). 6. Berechnung des Ergebnisses: \(P(R, R, G) = \frac{1 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 11 \cdot 10} = \frac{9}{330} = \frac{3}{110}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{3}{110}\) (ca. \(2{,}7\,\%\)).

- Stelle dir das Problem als ein mehrstufiges Zufallsexperiment vor. - Überlege dir für jede Stufe, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt und wie viele davon günstig sind. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines ganz bestimmten Pfades in einem Baumdiagramm? - Wenn nach „mindestens einmal“ gefragt wird, ist es oft einfacher, das Gegenteil zu berechnen.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Da alle 5 Sektoren gleich groß sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Grün \(P(g) = \frac{1}{5} = 0{,}2\) und für Nicht-Grün (Rot oder Blau) \(P(\bar{g}) = \frac{4}{5} = 0{,}8\). Für Rot gilt \(P(r) = \frac{2}{5} = 0{,}4\) und für Blau \(P(b) = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Berechnung zu a): Anwendung der Pfadmultiplikationsregel für den Pfad \((g, g, g)\): \(P(g, g, g) = (\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{125} = 0{,}008 = 0{,}8\,\%\). 3. Berechnung zu b): Anwendung der Pfadmultiplikationsregel für die feste Abfolge \((r, b, r)\): \(P(r, b, r) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{125} = 0{,}064 = 6{,}4\,\%\). 4. Berechnung zu c): Nutzung des Gegenereignisses „kein Grün“: \(P(\text{mind. einmal } g) = 1 - P(\bar{g}, \bar{g}, \bar{g}) = 1 - (\frac{4}{5})^3 = 1 - \frac{64}{125} = \frac{61}{125} = 0{,}488 = 48{,}8\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}8\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(6{,}4\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(48{,}8\,\%\).

- Was ist das Gegenteil davon, dass mindestens einmal eine Niete erzielt wird? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades in einem Baumdiagramm? - Überlege dir für Aufgabenteil c), welche Ergebnisse in den ersten beiden Runden erzielt werden müssen.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(\text{Gewinn}) = \frac{2}{10} = 0{,}2\) und \(P(\text{Niete}) = 0{,}8\). 2. Berechnung für a): Da die Drehungen unabhängig sind, gilt \(P(\text{GGG}) = 0{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}008\). 3. Berechnung für b): Das Gegenereignis zu „mindestens eine Niete“ ist „nur Gewinne“. Also \(P(\text{mind. eine Niete}) = 1 - P(\text{GGG}) = 1 - 0{,}008 = 0{,}992\). 4. Berechnung für c): Das Ereignis entspricht der Pfadfolge (Niete, Niete, Gewinn). \(P(\text{NNG}) = 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}128\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}008\) (oder \(0{,}8\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}992\) (oder \(99{,}2\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}128\) (oder \(12{,}8\,\%\)).

- Wie verändert sich die Anzahl der roten und die Gesamtzahl nach dem ersten roten Fruchtgummi? - Welches Gegenereignis ist leichter zu berechnen als „mindestens ein gelbes Fruchtgummi“?

1. Wahrscheinlichkeit für zwei rote Fruchtgummis: \(\frac{15}{25} \cdot \frac{14}{24} = \frac{210}{600} = \frac{7}{20} = 0{,}35 = 35\,\%\). 2. Das Ereignis „mindestens ein gelbes Fruchtgummi“ ist das Gegenereignis zu „beide Fruchtgummis sind rot“. \(P(\text{mindestens ein gelbes}) = 1 - \frac{7}{20} = \frac{13}{20} = 0{,}65 = 65\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{20} = 35\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{13}{20} = 65\,\%\).

- Zähle zuerst sorgfältig die Gesamtzahl der Buchstaben für jedes Wort. - Notiere dir, wie oft der gesuchte Buchstabe oder die Buchstabengruppe jeweils vorkommt. - Um Brüche zu vergleichen, kannst du sie entweder auf den gleichen Nenner bringen oder in Dezimalzahlen umwandeln.

1. Wort A „PROZENTRECHNUNG“ hat \(15\) Buchstaben. Das „N“ kommt \(3\)-mal vor. \(P_A(N) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0{,}2\). Die Vokale sind O, E, E, U (insgesamt \(4\)). \(P_A(\text{Vokal}) = \frac{4}{15} \approx 0{,}267\). 2. Wort B „ZINSEN“ hat \(6\) Buchstaben. Das „N“ kommt \(2\)-mal vor. \(P_B(N) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\). Die Vokale sind I, E (insgesamt \(2\)). \(P_B(\text{Vokal}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\). 3. Vergleich für a): Da \(\frac{1}{3} > \frac{1}{5}\), ist die Wahrscheinlichkeit für ein „N“ in Wort B höher. 4. Vergleich für b): Um \(\frac{4}{15}\) und \(\frac{1}{3}\) zu vergleichen, bringt man sie auf den Hauptnenner \(15\). \(\frac{1}{3} = \frac{5}{15}\). Da \(\frac{5}{15} > \frac{4}{15}\), ist die Wahrscheinlichkeit für einen Vokal in Wort B höher.

a) Wort A: \(P = 0{,}2\); Wort B: \(P \approx 0{,}333\). In Wort B ist die Wahrscheinlichkeit höher. b) Wort A: \(P = \frac{4}{15}\); Wort B: \(P = \frac{1}{3}\). In Wort B ist die Wahrscheinlichkeit höher, da \(\frac{1}{3} = \frac{5}{15} > \frac{4}{15}\).

- Zähle zuerst, wie viele Buchstaben das Wort insgesamt hat. - Schreibe dir alle Buchstaben einzeln auf, um keine zu übersehen. - Überlege, welche Buchstaben zu den Vokalen gehören (A, E, I, O, U). - Prüfe am Ende, ob die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen (disjunkten) Fälle 1 ergibt.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: Das Wort „PARALLEL“ besteht aus den 8 Buchstaben P, A, R, A, L, L, E, L. Somit ist \(n = 8\). 2. Berechnung für Ereignis a): Der Buchstabe „L“ kommt dreimal vor. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{„L“}) = \frac{3}{8} = 0{,}375\). 3. Berechnung für Ereignis b): Die Vokale im Wort sind A, A und E. Es gibt also 3 Vokale. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{Vokal}) = \frac{3}{8} = 0{,}375\). 4. Berechnung für Ereignis c): Die Konsonanten sind P, R, L, L, L. Davon sind P und R nicht „L“. Es gibt also 2 solche Buchstaben. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{Konsonant ohne „L“}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0{,}25\).

a) \(P(\text{„L“}) = 0{,}375\) (oder \(\frac{3}{8}\)) b) \(P(\text{Vokal}) = 0{,}375\) (oder \(\frac{3}{8}\)) c) \(P(\text{Konsonant ohne „L“}) = 0{,}25\) (oder \(\frac{1}{4}\))

- Wie viele Murmeln liegen insgesamt im Beutel? - Welche Murmeln erfüllen die Bedingung „keine grüne Murmel“? - Wie rechnet man einen Bruch geschickt in eine Prozentangabe um?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Murmeln im Beutel: \(12 + 8 + 5 = 25\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine rote Murmel: Es gibt 12 rote Murmeln. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{rot}) = \frac{12}{25}\). Umrechnung in Prozent: \(\frac{12 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{48}{100} = 48\,\%\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „keine grüne Murmel“: Das Ereignis umfasst rote und blaue Murmeln. Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(12 + 8 = 20\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{nicht grün}) = \frac{20}{25}\). Umrechnung in Prozent: \(\frac{20 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{80}{100} = 80\,\%\).

a) \(48\,\%\) b) \(80\,\%\)

- Wenn du die Gesamtzahl kennst, wie kannst du aus einer Wahrscheinlichkeit die absolute Anzahl berechnen? - Was bedeutet \(45\,\%\) als Bruch oder Dezimalzahl? - Wie viele Kugeln bleiben übrig, wenn du die schwarzen und weißen abgezogen hast?

1. Berechnung der Anzahl der schwarzen Kugeln: \(\frac{1}{3} \cdot 60 = 20\). 2. Umrechnung der Prozentangabe für weiße Kugeln in eine Dezimalzahl: \(45\,\% = 0{,}45\). 3. Berechnung der Anzahl der weißen Kugeln: \(0{,}45 \cdot 60 = 27\). 4. Bestimmung der Anzahl der grauen Kugeln durch Subtraktion von der Gesamtzahl: \(60 - 20 - 27 = 13\).

Es befinden sich 13 graue Kugeln in der Urne.

- Schreibe dir am besten zuerst alle Zahlen von 1 bis 25 auf oder gehe sie im Kopf durch. - Erinnere dich daran, welche Zahlen als Primzahlen gelten (Hinweis: Die 1 gehört nicht dazu). - Wie viele Zahlen erfüllen die jeweilige Bedingung?

1. Bestimmung der Grundmenge: Die Ergebnismenge \(\Omega\) enthält 25 Elemente (\(|\Omega| = 25\)). 2. Ereignis A (Primzahlen): Die Primzahlen zwischen 1 und 25 sind \(\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}\). Das sind 9 günstige Ergebnisse. \(P(A) = \frac{9}{25} = 0{,}36\). 3. Ereignis B (Vielfache von 6): Die Vielfachen sind \(\{6, 12, 18, 24\}\). Das sind 4 günstige Ergebnisse. \(P(B) = \frac{4}{25} = 0{,}16\). 4. Ereignis C (Quadratzahlen): Die Quadratzahlen sind \(\{1, 4, 9, 16, 25\}\). Das sind 5 günstige Ergebnisse. \(P(C) = \frac{5}{25} = 0{,}2\). 5. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: \(0{,}16 < 0{,}2 < 0{,}36\). Die Reihenfolge ist also B, C, A.

Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(A) = \frac{9}{25} = 36\,\%\), \(P(B) = \frac{4}{25} = 16\,\%\) und \(P(C) = \frac{5}{25} = 20\,\%\). Die geordnete Reihenfolge lautet: Ereignis B, Ereignis C, Ereignis A.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt für jede der vier Stellen? - Überlege dir für Aufgabenteil a), wie viele verschiedene Ziffern es gibt, die viermal hintereinander stehen könnten. - Was bedeutet es für die restlichen Stellen, wenn die ersten beiden fest vorgegeben sind? - Welche Kombinationen von Ziffern ergeben addiert den Wert 2? Schreibe sie systematisch auf.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der möglichen Kombinationen: Da es vier Stellen mit jeweils 10 Ziffern gibt, ergeben sich \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000\) Möglichkeiten. 2. Berechnung für a): Es gibt genau 10 Kombinationen mit identischen Ziffern (0000, 1111, ..., 9999). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(A) = \frac{10}{10\,000} = \frac{1}{1\,000} = 0{,}1\,\%\). 3. Berechnung für b): Die ersten beiden Ziffern sind fest (1 und 9). Für die restlichen zwei Stellen gibt es jeweils 10 Möglichkeiten, also \(1 \cdot 1 \cdot 10 \cdot 10 = 100\) günstige Kombinationen. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(B) = \frac{100}{10\,000} = \frac{1}{100} = 1\,\%\). 4. Berechnung für c): Kombinationen mit Quersumme 2 finden. Fall 1: Eine Ziffer ist 2, drei sind 0 (2000, 0200, 0020, 0002; 4 Möglichkeiten). Fall 2: Zwei Ziffern sind 1, zwei sind 0 (1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011; 6 Möglichkeiten). Insgesamt gibt es 10 günstige Kombinationen. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(C) = \frac{10}{10\,000} = \frac{1}{1\,000} = 0{,}1\,\%\).

a) \(P = \frac{1}{1\,000} = 0{,}1\,\%\) b) \(P = \frac{1}{100} = 1\,\%\) c) \(P = \frac{1}{1\,000} = 0{,}1\,\%\)

- Stelle dir die \(60\) Minuten als Gesamtzahl der gleich wahrscheinlichen Zeitpunkte vor. - Wie hängen das Ereignis „Werbung“ und „keine Werbung“ zusammen? - Achte beim Vergleich von Wahrscheinlichkeiten auf den Unterschied zwischen dem absoluten Wert und der prozentualen Steigerung.

1. Wahrscheinlichkeit für Musik: Die gesamte Musikzeit beträgt \(27\,\text{min} + 15\,\text{min} = 42\,\text{min}\). Bei einer Gesamtdauer von \(60\,\text{min}\) ist \(P(\text{Musik}) = \frac{42}{60} = 0{,}7\), also \(70\,\%\). 2. Wahrscheinlichkeit für keine Werbung: Die Zeit ohne Werbung beträgt \(60\,\text{min} - 7\,\text{min} = 53\,\text{min}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{keine Werbung}) = \frac{53}{60} \approx 0{,}883\), also ca. \(88{,}3\,\%\). 3. Änderung der Wahrscheinlichkeit für Rock: Ursprüngliche Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Rock})_{\text{alt}} = \frac{15}{60} = 0{,}25\) (\(25\,\%\)). Neue Rockzeit ist \(15\,\text{min} + 3\,\text{min} = 18\,\text{min}\). Neue Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Rock})_{\text{neu}} = \frac{18}{60} = 0{,}3\) (\(30\,\%\)). Die Erhöhung beträgt \(30\,\% - 25\,\% = 5\) Prozentpunkte.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(70\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{53}{60}\) (ca. \(88{,}3\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit erhöht sich um \(5\) Prozentpunkte (von \(25\,\%\) auf \(30\,\%\)).

- Wie viele Tiere gibt es insgesamt im Tierheim? Das ist dein Nenner. - Wenn nach „kein Hund“ gefragt ist, welche Tiere kommen dann stattdessen infrage? - Um Wahrscheinlichkeiten zu vergleichen, ist es oft hilfreich, sie auf den gleichen Nenner zu bringen oder in Dezimalzahlen umzuwandeln.

1. Wahrscheinlichkeit Vogel: Es gibt \(4\) Vögel bei \(50\) Tieren. \(P(\text{Vogel}) = \frac{4}{50} = \frac{2}{25}\). In Prozent: \(0{,}08 = 8\,\%\). 2. Wahrscheinlichkeit kein Hund: Die Anzahl der Tiere, die keine Hunde sind, ist \(50 - 22 = 28\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{kein Hund}) = \frac{28}{50} = \frac{14}{25} = 0{,}56\), also \(56\,\%\). 3. Vergleich Katze vs. Kleintier: Wahrscheinlichkeit Katze \(P(\text{Katze}) = \frac{18}{50} = 0{,}36\). Wahrscheinlichkeit Kleintier (Vogel oder Kaninchen) \(P(\text{Kleintier}) = \frac{4 + 6}{50} = \frac{10}{50} = 0{,}20\). Da \(0{,}36 > 0{,}20\), ist die Auswahl einer Katze wahrscheinlicher.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{25}\) bzw. \(8\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(56\,\%\). c) Das Ereignis „Katze“ (\(36\,\%\)) ist wahrscheinlicher als das Ereignis „Kleintier“ (\(20\,\%\)).

- Notiere dir zuerst alle Zahlen von 1 bis 20. - Gehe die Definition einer Primzahl durch: Welche dieser Zahlen haben genau zwei Teiler? - Welche Zahlen zwischen 1 und 20 teilen die Zahl 24 ohne Rest? - Was ist eine Quadratzahl? Multipliziere kleine natürliche Zahlen mit sich selbst.

1. Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse: \(n = 20\). 2. Ereignis a: Die Primzahlen zwischen 1 und 20 sind \(\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}\). Es gibt \(g = 8\) günstige Ergebnisse. Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Primzahl}) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 3. Ereignis b: Die Teiler von 24 sind \(\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}\). Da der Würfel nur bis 20 geht, sind die günstigen Ergebnisse \(\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12\}\). Das sind \(g = 7\) günstige Ergebnisse. Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Teiler von 24}) = \frac{7}{20} = 0{,}35\). 4. Ereignis c: Die Quadratzahlen zwischen 1 und 20 sind 1 (\(1^2\)), 4 (\(2^2\)), 9 (\(3^2\)) und 16 (\(4^2\)). Das sind \(g = 4\) günstige Ergebnisse. Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Quadratzahl}) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0{,}2\).

a) \(P(\text{Primzahl}) = \frac{2}{5} = 40\,\%\) b) \(P(\text{Teiler von 24}) = \frac{7}{20} = 35\,\%\) c) \(P(\text{Quadratzahl}) = \frac{1}{5} = 20\,\%\)

- Schreibe dir die Vielfachen der 4 nacheinander auf, solange sie nicht größer als 30 sind. - Suche systematisch nach der Ziffer 5 in den Zahlen 1 bis 30. - Was bedeutet Quersumme? Addiere die Ziffern der zweistelligen Zahlen und prüfe das Ergebnis. - Achte darauf, dass bei Teilaufgabe c) nur zweistellige Zahlen gesucht sind.

1. Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse: \(n = 30\). 2. Ereignis a: Die Vielfachen von 4 im Bereich 1 bis 30 sind \(\{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28\}\). Es gibt \(g = 7\) günstige Ergebnisse. Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Vielfaches von 4}) = \frac{7}{30}\). 3. Ereignis b: Die Zahlen, die die Ziffer 5 enthalten, sind \(\{5, 15, 25\}\). Es gibt \(g = 3\) günstige Ergebnisse. Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{enthält Ziffer 5}) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} = 0{,}1\). 4. Ereignis c: Zweistellige Zahlen mit der Quersumme 5 im Bereich 1 bis 30 sind 14 (\(1+4=5\)) und 23 (\(2+3=5\)). Es gibt \(g = 2\) günstige Ergebnisse. Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Quersumme 5}) = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}\).

a) \(P(\text{Vielfaches von 4}) = \frac{7}{30} \approx 23{,}3\,\%\) b) \(P(\text{enthält Ziffer 5}) = \frac{1}{10} = 10\,\%\) c) \(P(\text{Quersumme 5}) = \frac{1}{15} \approx 6{,}7\,\%\)

- Versuche, die Informationen in einer Vierfeldertafel oder einem Venn-Diagramm darzustellen. - Denk daran, dass Personen, die beides machen, in beiden Gruppen (Instrument und Sport) mitgezählt wurden. - Wie viele verschiedene Personen sind insgesamt in der Sport- oder Instrumentengruppe?

1. Analyse der Mengen: Gesamtzahl \(n = 24\). Instrumentengruppe \(I = 14\), Sportgruppe \(S = 10\), Schnittmenge \(I \cap S = 6\). 2. a) Berechnung der Anzahl der Personen, die mindestens eines von beidem machen: \(|I \cup S| = |I| + |S| - |I \cap S| = 14 + 10 - 6 = 18\). Die Anzahl der Personen, die keines von beidem machen, ist \(24 - 18 = 6\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 3. b) Anzahl der Personen, die nur ein Instrument spielen: \(|I| - |I \cap S| = 14 - 6 = 8\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\). 4. c) Die bloße Summe der Teilnehmenden (\(14 + 10 = 24\)) berücksichtigt nicht, dass Personen in beiden Gruppen sein können. Da \(6\) Personen doppelt gezählt wurden, sind tatsächlich nur \(18\) verschiedene Personen in den Gruppen vertreten. Somit bleiben \(24 - 18 = 6\) Personen übrig, die weder ein Instrument spielen noch in einem Sportverein aktiv sind.

a) \(P = \frac{1}{4} = 0{,}25\) b) \(P = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\) c) Die Summe der Einzelgruppen ignoriert die Schnittmenge. Da \(6\) Jugendliche beides machen, sind sie in beiden Zahlen enthalten. Es sind nur \(18\) Jugendliche in mindestens einer Gruppe, sodass \(6\) Jugendliche übrig bleiben.

- Berechne für jedes Wort separat die Wahrscheinlichkeit als Bruch. - Um Brüche besser vergleichen zu können, kannst du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen oder in Dezimalzahlen umwandeln. - Achte darauf, bei „HONOLULU“ alle gesuchten Buchstaben (O und U) zusammenzuzählen.

1. Wort „MISSISSIPPI“ analysieren: Gesamtzahl der Buchstaben \(n_1 = 11\). Anzahl der „I“: \(4\). Wahrscheinlichkeit \(P(I) = \frac{4}{11}\). 2. Wort „HONOLULU“ analysieren: Gesamtzahl der Buchstaben \(n_2 = 8\). Anzahl der „O“ (\(2\)) und „U“ (\(2\)). Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(2 + 2 = 4\). Wahrscheinlichkeit \(P(O \text{ oder } U) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\). 3. Vergleich der Brüche: \(\frac{4}{11} \approx 0{,}364\) und \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). 4. Da \(\frac{1}{2} > \frac{4}{11}\) (bzw. \(0{,}5 > 0{,}364\)), ist die Wahrscheinlichkeit bei „HONOLULU“ höher.

Bei „HONOLULU“ ist die Wahrscheinlichkeit mit \(P = \frac{1}{2}\) höher als bei „MISSISSIPPI“ mit \(P = \frac{4}{11}\).

- Wenn du die Gesamtzahl und die Wahrscheinlichkeit kennst, wie findest du dann die Anzahl der günstigen Ergebnisse? - Überprüfe für das Wort „MATHEMATIKER“ jede Bedingung einzeln. - Reicht es aus, wenn nur eine der beiden Bedingungen (Vokale oder der Buchstabe M) erfüllt ist?

1. a) Berechnung der Anzahlen: Bei \(12\) Buchstaben entspricht \(P = \frac{1}{3}\) einer Anzahl von \(12 \cdot \frac{1}{3} = 4\) Vokalen. \(P = \frac{1}{6}\) entspricht \(12 \cdot \frac{1}{6} = 2\) Buchstaben „M“. 2. b) Analyse von „MATHEMATIKER“: Das Wort hat \(12\) Buchstaben. 3. Zählen der Vokale in „MATHEMATIKER“: A, E, A, I, E. Das sind \(5\) Vokale. 4. Zählen der „M“ in „MATHEMATIKER“: M, M. Das sind \(2\) Buchstaben „M“. 5. Vergleich: Die Anzahl der „M“ (\(2\)) passt zur Bedingung (\(P(M) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\)), aber die Anzahl der Vokale (\(5\)) passt nicht (\(\frac{5}{12} \neq \frac{1}{3}\)). Das Wort erfüllt die Bedingungen also nicht.

a) Das Wort enthält \(4\) Vokale und \(2\) Buchstaben „M“. b) Nein, „MATHEMATIKER“ erfüllt die Bedingungen nicht, da es \(5\) Vokale besitzt (\(P(\text{Vokal}) = \frac{5}{12}\)), gefordert sind jedoch genau \(4\) (\(P = \frac{1}{3}\)).

- Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeit für den ersten Beutel. - Wie hängen die Gesamtzahl im zweiten Beutel, die Anzahl der grünen Steine und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Was ändert sich an der Gesamtzahl und der Anzahl der roten Steine, wenn man alles zusammenmischt?

1. Wahrscheinlichkeit in Beutel A: \(P(\text{rot}_A) = \frac{15}{5+15} = \frac{15}{20} = 0{,}75\). 2. Bestimmung der Steine in Beutel B: Es gilt \(P(\text{grün}_B) = 0{,}75\). Mit \(n_{\text{grün}} = 12\) folgt \(\frac{12}{T_B} = 0{,}75\). Daraus ergibt sich \(T_B = \frac{12}{0{,}75} = 16\). Die Anzahl der gelben Steine ist \(16 - 12 = 4\). 3. Wahrscheinlichkeit im kombinierten Gefäß: Gesamtzahl der Steine \(T_{\text{gesamt}} = 20 + 16 = 36\). Anzahl der roten Steine ist weiterhin 15. Die neue Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{rot}_{\text{neu}}) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \approx 0{,}417\).

a) In Beutel B befinden sich 4 gelbe Steine. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{12}\) (oder ca. \(41{,}7\,\%\)).

- Stelle dir die zweistellige Zahl als Kombination aus Zehner- und Einerziffer vor. - Notiere dir alle Paare von Ziffern zwischen 1 und 6, deren Summe 7 ergibt. - Unterscheide bei der Wahrscheinlichkeit genau, wie viele Gesamtmöglichkeiten in a) und b) jeweils zur Verfügung stehen.

1. Anzahl für a): Jeder Wurf hat 6 Möglichkeiten, also \(6 \cdot 6 = 36\) mögliche Zahlen. 2. Anzahl für b): Der erste Wurf hat 6 Möglichkeiten, der zweite nur noch 5 (da er sich vom ersten unterscheiden muss). Es gibt \(6 \cdot 5 = 30\) Zahlen. 3. Günstige Ergebnisse für die Quersumme 7: Die Paare \((1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1)\) ergeben die Quersumme 7. Das sind 6 günstige Ergebnisse. 4. Da in allen 6 Paaren die Ziffern unterschiedlich sind, gelten sie sowohl für a) als auch für b). 5. Wahrscheinlichkeit für a): \(P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). 6. Wahrscheinlichkeit für b): \(P = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}\).

a) 36 Zahlen. b) 30 Zahlen. c) Für a) ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6}\), für b) ist sie \(\frac{1}{5}\).

- Denke bei der Gesamtzahl daran, dass auf jedem Ring die gleiche Anzahl an Ziffern zur Verfügung steht. - Für Teil b): Wie viele Möglichkeiten gibt es, die drei festen Ziffern 1, 2 und 3 auf die drei Positionen zu verteilen? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, drei gleiche Ziffern zu wählen?

1. Gesamtzahl der Kombinationen: Da es 3 Ringe mit jeweils 6 Möglichkeiten gibt, berechnet sich die Gesamtzahl durch \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\). 2. Günstige Ergebnisse für Teil b): Die Ziffern 1, 2 und 3 können in verschiedenen Reihenfolgen auftreten (123, 132, 213, 231, 312, 321). Das sind \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}\). 3. Günstige Ergebnisse für Teil c): Es gibt 6 Kombinationen mit drei gleichen Ziffern (111, 222, 333, 444, 555, 666). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}\).

a) Es gibt \(216\) verschiedene Kombinationen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{36}\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{36}\).

- Wie viele Plätze gibt es insgesamt und auf wie viele Arten können Personen darauf verteilt werden? - Wenn zwei Personen an festen Plätzen (den Enden) stehen sollen, wie viele Möglichkeiten gibt es für diese beiden? - Wie viele Personen können dann noch frei auf den restlichen Plätzen verteilt werden?

1. Gesamtzahl der Anordnungen (Permutationen von 5 Personen): \(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\). 2. Anzahl der günstigen Anordnungen für Teil b): Es gibt zwei Fälle für die Enden: (Anna links, Elias rechts) oder (Elias links, Anna rechts). In beiden Fällen können die restlichen 3 Personen auf den mittleren Plätzen auf \(3! = 6\) Arten angeordnet werden. Gesamtzahl günstiger Fälle: \(2 \cdot 6 = 12\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{12}{120} = 0{,}1 = 10\,\%\). 4. Ergebnis: Die Aussage von Tim ist korrekt.

a) Es gibt 120 mögliche Anordnungen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{12}{120} = 10\,\%\), somit hat Tim recht.

- Wie hoch ist die Chance, bei einer einzelnen Frage falsch zu liegen? - Nutze das Gegenereignis, um die Rechnung für „mindestens eins“ zu vereinfachen. - Überlege, wie viele Antwortmöglichkeiten übrig bleiben, wenn man eine ausschließen kann. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit einer Kette von unabhängigen Ereignissen?

1. Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort pro Frage: \(P(\text{falsch}) = \frac{2}{3}\). 2. Wahrscheinlichkeit für 6 falsche Antworten: Da die Fragen unabhängig sind, gilt \(P(\text{alle falsch}) = \left(\frac{2}{3}\right)^6 = \frac{64}{729} \approx 0{,}0878\). 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer: \(P(\text{mind. 1 richtig}) = 1 - P(\text{alle falsch}) = 1 - \frac{64}{729} = \frac{665}{729} \approx 0{,}9122\). 4. Wahrscheinlichkeit bei Ausschluss einer Option: Nun gibt es nur noch 2 Möglichkeiten pro Frage. \(P(\text{alle richtig neu}) = \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64} = 0{,}015625\). 5. Vergleich: Ohne Ausschluss war die Wahrscheinlichkeit für „alles richtig“ \(\left(\frac{1}{3}\right)^6 = \frac{1}{729} \approx 0{,}00137\). Durch das Ausschließen einer Option steigt die Chance auf einen perfekten Test um mehr als das Zehnfache (\(\frac{0{,}015625}{0{,}00137} \approx 11{,}4\)).

a) \(P \approx 0{,}0878\) (oder \(\frac{64}{729}\)). b) \(P \approx 0{,}9122\) (oder \(\frac{665}{729}\)). c) Neue Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{1}{64} = 0{,}015625\). Die Chance ist damit deutlich höher als beim rein zufälligen Raten (\(P \approx 0{,}00137\)).

- Wie viele Ergebnisse hat ein einzelner Würfelwurf? - Was bedeutet „fairer Würfel“ für die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ergebnisses? - Stell dir vor, du notierst jede Wurffolge als ein Zahlentripel. Wie viele solcher Tripel gibt es? - Betrachte die Wahrscheinlichkeit einer ganz bestimmten, festen Abfolge von Zahlen.

1. Gesamtzahl der Ergebnisse: Bei 3 Würfen mit je 6 Möglichkeiten gibt es \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216\) mögliche Folgen. 2. Wahrscheinlichkeit für keine 6: Bei jedem Wurf gibt es 5 Möglichkeiten (1, 2, 3, 4, 5). \(P(\text{keine 6}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{125}{216} \approx 0{,}5787\). 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 6: \(P(\text{mind. eine 6}) = 1 - P(\text{keine 6}) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} \approx 0{,}4213\). 4. Bewertung der Behauptung: Jede spezifische Wurffolge (wie \((6; 6; 6)\) oder \((1; 2; 3)\)) ist genau eines von 216 gleichwahrscheinlichen Ergebnissen im Laplace-Experiment. Daher ist \(P(6; 6; 6) = \frac{1}{216}\) und \(P(1; 2; 3) = \frac{1}{216}\). Die Behauptung von Jonas ist also falsch; beide Ereignisse sind exakt gleich wahrscheinlich.

a) \(216\) Wurffolgen. b) \(P = \frac{125}{216} \approx 0{,}5787\). c) \(P = \frac{91}{216} \approx 0{,}4213\). d) Die Behauptung ist falsch. Jede spezifische Folge hat die gleiche Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{216}\).

- Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis „nicht gold“ bei jedem Rad? - Das Ereignis „mindestens einmal“ lässt sich oft einfacher über das Gegenteil berechnen. - Was ist das Gegenteil davon, dass mindestens ein Rad Gold zeigt?

1. Wahrscheinlichkeit für drei goldene Felder: Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{480}\). 2. Wahrscheinlichkeit für kein goldenes Feld: Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten für die nicht-goldenen Felder \(\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{9}{10} = \frac{315}{480} = \frac{21}{32} = 0{,}65625\). 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens ein goldenes Feld: Anwendung der Komplementärregel (Gegenereignis zu „kein goldenes Feld“). Berechnung: \(1 - \frac{21}{32} = \frac{11}{32} = 0{,}34375\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{480}\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{21}{32}\) (oder \(0{,}65625\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{11}{32}\) (oder \(0{,}34375\)).

- Hilft dir ein Baumdiagramm, um die verschiedenen Pfade der Ziehung darzustellen? - Wie viele Socken sind nach dem ersten Zug noch in der Schublade? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für „verschiedene Farben“ direkt aus der Wahrscheinlichkeit für „gleiche Farbe“ berechnen? - Beachte, dass die Socken nicht zurückgelegt werden.

1. Berechnung der Gesamtmöglichkeiten: Beim ersten Zug gibt es \(8\) Socken, beim zweiten noch \(7\). Insgesamt gibt es \(8 \cdot 7 = 56\) mögliche Ziehungsfolgen. 2. Ereignis a): Für zwei schwarze Socken gibt es beim ersten Zug \(4\) Möglichkeiten und beim zweiten Zug \(3\) Möglichkeiten. Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(4 \cdot 3 = 12\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{zwei schwarze}) = \frac{12}{56} = \frac{3}{14}\). 3. Ereignis b): Für zwei weiße Socken gibt es ebenfalls \(4 \cdot 3 = 12\) Möglichkeiten. Die Gesamtzahl für „gleiche Farbe“ ist \(12 + 12 = 24\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{24}{56} = \frac{3}{7}\). 4. Ereignis c): Unterschiedliche Farben bedeutet entweder schwarz-weiß (\(4 \cdot 4 = 16\)) oder weiß-schwarz (\(4 \cdot 4 = 16\)). Gesamtzahl: \(16 + 16 = 32\). Alternativ über das Gegenereignis: \(1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{verschiedene Farben}) = \frac{4}{7}\).

a) \(P(\text{zwei schwarze}) = \frac{3}{14}\) b) \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{3}{7}\) c) \(P(\text{verschiedene Farben}) = \frac{4}{7}\)

- Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, vier Personen auf vier Plätze zu verteilen? - Stell dir vor, Anna ist bereits auf einem festen Platz am Rand. Wie viele Möglichkeiten gibt es dann noch für die anderen drei? - Wenn zwei Personen nebeneinander sitzen sollen, kannst du sie gedanklich zu einer Einheit zusammenfassen. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Namen alphabetisch zu sortieren?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Sitzordnungen: Es gibt \(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\) mögliche Anordnungen. 2. Ereignis a): Anna kann auf Platz 1 oder Platz 4 sitzen. Für jeden dieser Plätze gibt es für die restlichen drei Freunde \(3! = 6\) Möglichkeiten. Insgesamt \(2 \cdot 6 = 12\) Möglichkeiten. Wahrscheinlichkeit: \(P(a) = \frac{12}{24} = 0{,}5\). 3. Ereignis b): Wir betrachten Anna und Ben als einen Block. Es gibt drei mögliche Positionen für diesen Block auf der Bank: (Plätze \(1\) und \(2\), \(2\) und \(3\), \(3\) und \(4\)). Innerhalb des Blocks gibt es \(2\) Anordnungen (Anna-Ben oder Ben-Anna). Für die restlichen 2 Freunde gibt es \(2! = 2\) Möglichkeiten. Gesamtanzahl: \(3 \cdot 2 \cdot 2 = 12\). Wahrscheinlichkeit: \(P(b) = \frac{12}{24} = 0{,}5\). 4. Ereignis c): Es gibt nur genau eine Kombination, die der alphabetischen Reihenfolge entspricht. Wahrscheinlichkeit: \(P(c) = \frac{1}{24}\).

a) \(P = 0{,}5\) b) \(P = 0{,}5\) c) \(P = \frac{1}{24}\)

- Überlege zuerst, wie viele Jetons einer Farbe im Behälter sein müssen, wenn du die Gesamtzahl und die anderen Farben kennst. - „Nicht blau“ bedeutet, dass der Jeton eine der anderen vorhandenen Farben hat. - Wenn Jetons entfernt werden, ändert sich nicht nur die Anzahl dieser Farbe, sondern auch die Gesamtzahl aller Jetons im Behälter. - Kannst du eine kleine Gleichung aufstellen, um die neue Gesamtzahl zu finden?

1. Berechnung der Anzahl grüner Jetons: \(40 - 15 - 10 = 15\). 2. Lösung zu a): Die Wahrscheinlichkeit für Grün ist \(P(\text{Grün}) = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}\). 3. Lösung zu b): Es gibt \(15 + 15 = 30\) Jetons, die nicht blau sind. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{nicht Blau}) = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}\). 4. Lösung zu c): Sei \(x\) die Anzahl der entfernten roten Jetons. Die neue Gesamtzahl der Jetons ist \(40 - x\). Die Anzahl der blauen Jetons bleibt 10. Es gilt die Gleichung \(\frac{10}{40 - x} = \frac{1}{3}\). Durch Überkreuzmultiplizieren erhält man \(30 = 40 - x\). Daraus folgt \(x = 10\). Es wurden also 10 rote Jetons entfernt.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{3}{8}\) (oder \(37{,}5\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{3}{4}\) (oder \(75\,\%\)). c) Es wurden 10 rote Jetons entfernt.

- Manchmal ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils zu berechnen und diese von 1 abzuziehen. - Was ist das Gegenteil von „mindestens eine Vollmilchpraline“? - Beachte, dass die Pralinen nicht zurückgelegt werden. Wie beeinflusst das die Gesamtzahl im zweiten Schritt?

1. Berechnung über das Gegenereignis „keine Vollmilchpraline“ (also zwei Zartbitterpralinen). 2. Gesamtzahl der Pralinen: 15. Anzahl Zartbitter: 10. 3. Wahrscheinlichkeit, dass die erste Praline Zartbitter ist: \(P(Z_1) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\). 4. Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Praline Zartbitter ist, wenn die erste bereits Zartbitter war: \(P(Z_2) = \frac{9}{14}\). 5. Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis (zweimal Zartbitter): \(P(Z, Z) = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7}\). 6. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{mind. eine Vollmilch}) = 1 - P(Z, Z) = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{4}{7}\) (ca. \(57{,}1\,\%\)).

- Wie viele gerade Zahlen gibt es im Bereich von 1 bis 20? - Stell dir vor, du hast drei Plätze für die Zahlen. Wie viele Möglichkeiten gibt es für den ersten Platz, wie viele für den zweiten und so weiter? - Denk daran, dass die Kärtchen nach dem Ziehen nicht wieder in das Säckchen kommen.

1. Bestimmung der Anzahl der geraden Zahlen zwischen 1 und 20: Es gibt 10 gerade Zahlen (\(2, 4, 6, \dots, 20\)) und 10 ungerade Zahlen. 2. Gesamtzahl der Kärtchen: 20. 3. Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl im ersten Zug: \(P(G_1) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\). 4. Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl im zweiten Zug, wenn bereits eine gerade Zahl gezogen wurde: \(P(G_2) = \frac{9}{19}\). 5. Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl im dritten Zug, wenn bereits zwei gerade Zahlen gezogen wurden: \(P(G_3) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}\). 6. Gesamtwahrscheinlichkeit durch Multiplikation: \(P(G, G, G) = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{19} \cdot \frac{4}{9}\). 7. Kürzen und Berechnen: \(P(G, G, G) = \frac{1 \cdot 1 \cdot 4}{2 \cdot 19 \cdot 1} = \frac{4}{38} = \frac{2}{19}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{19}\) (ca. \(10{,}5\,\%\)).

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlwurf, wenn die Trefferchance bekannt ist? - Behandle die vier Würfe als hintereinander geschaltete Stufen eines Zufallsexperiments. - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn eine ganz bestimmte Reihenfolge von Treffern und Fehlwürfen verlangt wird? - Was ist das logische Gegenteil von „mindestens ein Treffer“?

1. Festlegung der Wahrscheinlichkeiten: Treffer \(P(T) = 0{,}8\), Fehlwurf \(P(F) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\). 2. Berechnung zu a): Wahrscheinlichkeit für vier Treffer hintereinander: \(P(T, T, T, T) = 0{,}8^4 = 0{,}4096 = 40{,}96\,\%\). 3. Berechnung zu b): Wahrscheinlichkeit für die spezifische Sequenz \((T, F, T, F)\): \(P(T, F, T, F) = 0{,}8 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}8^2 \cdot 0{,}2^2 = 0{,}64 \cdot 0{,}04 = 0{,}0256 = 2{,}56\,\%\). 4. Berechnung zu c): Nutzung des Gegenereignisses „nur Fehlwürfe“: \(P(\text{mind. ein } T) = 1 - P(F, F, F, F) = 1 - 0{,}2^4 = 1 - 0{,}0016 = 0{,}9984 = 99{,}84\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(40{,}96\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(2{,}56\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(99{,}84\,\%\).

- Wie viele Ziffern stehen auf jedem Ring zur Auswahl? - Überlege dir, wie wahrscheinlich es ist, bei einem einzelnen Ring die richtige Ziffer zu treffen. - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt für einen 4-stelligen Code? - Kannst du für Teilaufgabe c) das Ereignis beschreiben, das eintritt, wenn kein einziger Ring richtig eingestellt ist?

1. Einzelwahrscheinlichkeiten pro Ring: Wahrscheinlichkeit für die richtige Ziffer \(P(C) = \frac{1}{10} = 0{,}1\); Wahrscheinlichkeit für eine falsche Ziffer \(P(W) = \frac{9}{10} = 0{,}9\). 2. Berechnung zu a): Wahrscheinlichkeit, dass alle 4 Ringe korrekt sind: \(P(C, C, C, C) = (0{,}1)^4 = 0{,}0001 = 0{,}01\,\%\). 3. Berechnung zu b): Wahrscheinlichkeit für die Sequenz (Korrekt, Falsch, Falsch, Falsch): \(P(C, W, W, W) = 0{,}1 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}1 \cdot 0{,}9^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}729 = 0{,}0729 = 7{,}29\,\%\). 4. Berechnung zu c): Nutzung des Gegenereignisses „Kein einziger Ring ist korrekt“: \(P(\text{mind. ein } C) = 1 - P(W, W, W, W) = 1 - 0{,}9^4 = 1 - 0{,}6561 = 0{,}3439 = 34{,}39\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}01\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(7{,}29\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(34{,}39\,\%\).

- Kannst du die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit der eine einzelne Leuchte einwandfrei ist? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass in einer Stichprobe von vier Leuchten genau eine fehlerhaft ist? - Stell dir ein Baumdiagramm vor: Welche Pfade führen zum gesuchten Ergebnis?

1. Festlegen der Wahrscheinlichkeiten: \(P(\text{defekt}) = 0{,}1\) und \(P(\text{einwandfrei}) = 0{,}9\). 2. Berechnung für a): Alle vier müssen einwandfrei sein. Mit \(E\) für „einwandfrei“ gilt: \(P(EEEE) = 0{,}9^4 = 0{,}6561\). 3. Berechnung für b): Mit \(D\) für „defekt“ gibt es vier mögliche Pfade mit genau einer defekten Leuchte: \(DEEE\), \(EDEE\), \(EEDE\) und \(EEED\). Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}1 \cdot 0{,}9^3 = 0{,}0729\). 4. Gesamtwahrscheinlichkeit für b): \(4 \cdot 0{,}0729 = 0{,}2916\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}6561\) (oder \(65{,}61\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}2916\) (oder \(29{,}16\,\%\)).

- Schreibe dir zuerst auf, wie oft jeder Buchstabe in dem Wort vorkommt. - „Gleichzeitig ziehen“ bedeutet mathematisch dasselbe wie „nacheinander ziehen ohne Zurücklegen“. - Nutze bei „mindestens“ am besten das Gegenereignis.

1. Häufigkeiten im Wort STATISTIK (9 Buchstaben): S erscheint 2-mal, T erscheint 3-mal, A erscheint 1-mal, I erscheint 2-mal, K erscheint 1-mal. 2. Wahrscheinlichkeit für zwei „T“: Beim ersten Kärtchen \(\frac{3}{9}\), beim zweiten \(\frac{2}{8}\). Ergebnis: \(\frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12} \approx 0{,}083\) bzw. \(8{,}3\,\%\). 3. Wahrscheinlichkeit für kein „S“: Es gibt \(9 - 2 = 7\) Kärtchen, die kein „S“ sind. Rechnung: \(\frac{7}{9} \cdot \frac{6}{8} = \frac{42}{72} = \frac{7}{12} \approx 0{,}583\) bzw. \(58{,}3\,\%\). 4. Wahrscheinlichkeit für mindestens ein „I“: Gegenereignis zu „kein I“. Es gibt \(9 - 2 = 7\) Kärtchen ohne „I“. Wahrscheinlichkeit für kein „I“ ist \(\frac{7}{9} \cdot \frac{6}{8} = \frac{7}{12}\). Wahrscheinlichkeit für mindestens ein „I“: \(1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12} \approx 0{,}417\) bzw. \(41{,}7\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{12} \approx 8{,}3\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{12} \approx 58{,}3\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{12} \approx 41{,}7\,\%\).

- Berechne für beide Höhlen separat, wie viele verschiedene Wege insgesamt möglich sind. - Nutze das Produkt der Möglichkeiten an den einzelnen Abzweigungen. - Vergleiche am Ende die beiden Wahrscheinlichkeiten: Welcher Bruch stellt einen größeren Anteil dar?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Pfade für Höhle A: Es gibt zwei Stufen mit je \(5\) Optionen, also \(5 \cdot 5 = 25\) mögliche Pfade. Die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg ist \(P(A) = \frac{1}{25}\). 2. Berechnung der Gesamtzahl der Pfade für Höhle B: Es gibt drei Stufen mit je \(3\) Optionen, also \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) mögliche Pfade. Die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg ist \(P(B) = \frac{1}{27}\). 3. Vergleich der Brüche: Da \(25 < 27\), ist der Bruch \(\frac{1}{25}\) größer als \(\frac{1}{27}\) (\(0{,}04 > 0{,}037\)). 4. Schlussfolgerung: In Höhle A ist die Wahrscheinlichkeit größer.

In Höhle A ist die Wahrscheinlichkeit mit \(\frac{1}{25}\) größer als in Höhle B mit \(\frac{1}{27}\).

- Erstelle dir eine Liste aller möglichen Ergebnisse von 1 bis 12. - Achte bei der „oder“-Bedingung darauf, Zahlen nicht doppelt zu zählen, wenn sie beide Bedingungen erfüllen. - Überlege bei Teilaufgabe c), wie viele der 12 Felder genau gewonnen werden müssen, um auf die Zielwahrscheinlichkeit zu kommen.

1. Der Würfel hat \(12\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse. 2. Ereignis a): Primzahlen zwischen \(1\) und \(12\) sind \(2, 3, 5, 7, 11\). Das sind \(5\) günstige Ergebnisse. \(P(\text{Primzahl}) = \frac{5}{12}\). 3. Ereignis b): Durch \(3\) teilbar sind \(\{3, 6, 9, 12\}\). Durch \(4\) teilbar sind \(\{4, 8, 12\}\). Die Menge der günstigen Ergebnisse (Oder-Verknüpfung) ist \(\{3, 4, 6, 8, 9, 12\}\). Das sind \(6\) Zahlen. \(P(\text{durch 3 oder 4}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 4. Ereignis c): Für eine Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{3}\) bei \(12\) Möglichkeiten werden \(12 \cdot \frac{1}{3} = 4\) günstige Ergebnisse benötigt. Die aktuelle Regel „größer als 9“ umfasst die Zahlen \(\{10, 11, 12\}\) (also \(3\) Zahlen). Um auf \(4\) Zahlen zu kommen, kann man die Grenze senken: „Die Zahl ist größer als \(8\)“. Dann sind \(\{9, 10, 11, 12\}\) günstig.

a) \(P = \frac{5}{12}\) b) \(P = 0{,}5\) c) Mögliche Regel: „Die Zahl ist größer als \(8\)“ (oder: „Die Zahl ist kleiner als \(5\)“).

- Erstelle eine Liste der Zahlen von 1 bis 20 und ordne jede Zahl einer Klasse zu. - Beachte, dass die Zahl 1 weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl ist. - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl „zusammengesetzt“ ist? - Stelle sicher, dass jede Zahl in genau einer Kategorie landet.

1. Bestimmung der Gesamtzahl: Es gibt 20 Kugeln, also \(n = 20\). 2. Bestimmung der günstigen Ergebnisse für Klasse \(A\) (Primzahlen bis 20): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Das sind 8 Zahlen. \(P(A) = \frac{8}{20} = 0{,}4\). 3. Bestimmung der günstigen Ergebnisse für Klasse \(B\) (zusammengesetzt und durch 4 teilbar): Die Vielfachen von 4 sind 4, 8, 12, 16, 20. Da alle diese Zahlen mehr als zwei Teiler haben, gehören alle 5 zur Klasse \(B\). \(P(B) = \frac{5}{20} = 0{,}25\). 4. Bestimmung der günstigen Ergebnisse für Klasse \(C\): Dies sind die restlichen Zahlen (1, 6, 9, 10, 14, 15, 18). Es sind \(20 - 8 - 5 = 7\) Zahlen. \(P(C) = \frac{7}{20} = 0{,}35\). 5. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist somit \(P(A) = 0{,}4\); \(P(B) = 0{,}25\); \(P(C) = 0{,}35\).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet: \(P(A) = 0{,}4\) \(P(B) = 0{,}25\) \(P(C) = 0{,}35\)

- Manchmal ist es einfacher zu zählen, wie viele Zahlen keine „5“ enthalten, und dies von der Gesamtzahl abzuziehen. - Wie verändert sich die Anzahl der verfügbaren Karten im zweiten Schritt, wenn du die Karte nicht zurücklegst? - Vergleiche die Brüche, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst oder in Dezimalzahlen umwandelst.

1. Teilaufgabe a (mit Zurücklegen): Gesamtzahl der Zahlen ist \(5 \cdot 5 = 25\). Die Anzahl der Zahlen ohne eine „5“ ist \(4 \cdot 4 = 16\). Die Anzahl der Zahlen mit mindestens einer „5“ ist \(25 - 16 = 9\) (oder Aufzählung: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{9}{25} = 0{,}36\). 2. Teilaufgabe b (ohne Zurücklegen): Gesamtzahl der Zahlen ist \(5 \cdot 4 = 20\). Die Anzahl der Zahlen ohne eine „5“ ist \(4 \cdot 3 = 12\). Die Anzahl der Zahlen mit mindestens einer „5“ ist \(20 - 12 = 8\) (Aufzählung wie oben, aber ohne 55). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 3. Vergleich: Die Wahrscheinlichkeit in b) ist höher (\(0{,}40 > 0{,}36\)). Dies liegt daran, dass beim Ziehen ohne Zurücklegen die Gesamtzahl der Möglichkeiten stärker abnimmt als die Anzahl der günstigen Möglichkeiten, da im zweiten Schritt die Chance auf die „5“ steigt, wenn sie im ersten Schritt nicht gezogen wurde.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}36\) (oder \(36\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}4\) (oder \(40\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit ist im Fall b) höher, da durch das fehlende Zurücklegen die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen stärker sinkt als die Anzahl der Kombinationen mit einer „5“.

- Wie hoch ist der Anteil der süßen Bärchen an der Gesamtzahl in der jeweiligen Packung? - Kannst du die Gewinnchancen besser vergleichen, wenn du beide als Dezimalzahl oder Prozentsatz schreibst? - Achte darauf, immer die Gesamtzahl aller Bärchen in einer Packung als Nenner zu verwenden.

1. Analyse von Packung A: Gesamtzahl der Bärchen ist \(4 + 16 = 20\). Die Wahrscheinlichkeit für ein süßes Bärchen beträgt \(P_A(\text{süß}) = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0{,}8 = 80\,\%\). 2. Analyse von Packung B: Gesamtzahl der Bärchen ist \(7 + 21 = 28\). Die Wahrscheinlichkeit für ein süßes Bärchen beträgt \(P_B(\text{süß}) = \frac{21}{28} = \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\,\%\). 3. Vergleich: Da \(80\,\% > 75\,\%\) ist, ist die Chance in Packung A größer.

Paul sollte aus Packung A ziehen. Die Wahrscheinlichkeit für ein süßes Bärchen beträgt dort \(80\,\%\), während sie in Packung B nur \(75\,\%\) beträgt.

- Wie verändert sich die Gesamtzahl der Kugeln, wenn du schwarze Kugeln hinzufügst? - Kannst du ein Verhältnis zwischen den schwarzen Kugeln und allen Kugeln aufstellen? - Welcher Bruch entspricht \(75\,\%\)? - Könntest du eine kleine Gleichung aufstellen, in der die Anzahl der schwarzen Kugeln die Unbekannte ist?

1. Sei \(x\) die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt werden. 2. Die Gesamtzahl der Kugeln in der Urne ist dann \(5 + x\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel wird durch den Bruch \(\frac{x}{5 + x}\) beschrieben. 4. Die Zielwahrscheinlichkeit ist \(75\,\% = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 5. Aufstellen der Gleichung: \(\frac{x}{5 + x} = \frac{3}{4}\). 6. Lösen der Gleichung durch Überkreuzmultiplikation: \(4 \cdot x = 3 \cdot (5 + x)\). 7. Ausmultiplizieren: \(4x = 15 + 3x\). 8. Subtraktion von \(3x\) auf beiden Seiten ergibt \(x = 15\).

Es müssen 15 schwarze Kugeln hinzugefügt werden.

- Gehe die Zahlen von 1 bis 25 systematisch durch, um keine zu vergessen. - Achte bei Ereignis B darauf, dass auch Zahlen wie 20 oder 22 die Bedingung erfüllen. - Vergleiche die Anzahl der günstigen Ergebnisse für beide Fälle.

1. Die Gesamtzahl der Lose beträgt 25. 2. Für Ereignis A (durch 4 teilbar) sind die günstigen Zahlen: \(4, 8, 12, 16, 20, 24\). Das sind 6 Ergebnisse. 3. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(A) = \frac{6}{25} = 0{,}24 = 24\,\%\). 4. Für Ereignis B (enthält Ziffer „2“) sind die günstigen Zahlen: \(2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25\). Das sind 8 Ergebnisse. 5. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(B) = \frac{8}{25} = 0{,}32 = 32\,\%\). 6. Da \(0{,}32 > 0{,}24\), ist Ereignis B wahrscheinlicher.

Ereignis B ist wahrscheinlicher. Die Wahrscheinlichkeit für A beträgt \(24\,\%\) und für B \(32\,\%\).

- Was bedeutet „fair“ im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeiten? - Erinnere dich daran, welche Zahlen als Primzahlen definiert sind (ist die 1 dabei?). - Suche für den zweiten Teil nach Zahlen, die in beiden Gewinnmengen gleichzeitig vorkommen.

1. Gesamtzahl der Felder: 8. 2. Günstige Ergebnisse für Tim (Primzahlen): \(\{2, 3, 5, 7\}\). Anzahl: 4. 3. Gewinnwahrscheinlichkeit Tim: \(P(\text{Tim}) = \frac{4}{8} = 0{,}5 = 50\,\%\). 4. Günstige Ergebnisse für Sarah (Zahlen > 4): \(\{5, 6, 7, 8\}\). Anzahl: 4. 5. Gewinnwahrscheinlichkeit Sarah: \(P(\text{Sarah}) = \frac{4}{8} = 0{,}5 = 50\,\%\). 6. Da beide Wahrscheinlichkeiten gleich groß sind (\(50\,\%\)), ist das Spiel fair. 7. Für das gleichzeitige Gewinnen müssen beide Bedingungen erfüllt sein (Primzahl UND Zahl > 4). Dies trifft auf die Zahlen \(\{5, 7\}\) zu. Anzahl: 2. 8. Die Wahrscheinlichkeit für einen gleichzeitigen Gewinn beträgt \(P(\text{beide}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 25\,\%\).

a) Ja, das Spiel ist fair, da beide eine Gewinnwahrscheinlichkeit von \(50\,\%\) haben. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide gleichzeitig gewinnen, beträgt \(\frac{1}{4}\) (oder \(25\,\%\)).

- Berechne zuerst für beide Klassen den Anteil der Gewinne an der Gesamtzahl der Lose. - Wie kannst du Brüche mit unterschiedlichen Nennern am besten vergleichen? - In Teil b) soll die Wahrscheinlichkeit der Klasse 8b auf den Wert der Klasse 8a sinken. Wie verändert sich dabei die Gesamtzahl der Lose, wenn die Anzahl der Gewinne gleich bleibt?

1. Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit für Klasse 8a: \(P(8a) = \frac{30}{120} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit für Klasse 8b: \(P(8b) = \frac{40}{150} = \frac{4}{15} \approx 0{,}267\). 3. Vergleich: Da \(0{,}267 > 0{,}25\), ist die Gewinnwahrscheinlichkeit in Klasse 8b höher. 4. Zielbedingung für Teil b): Die Wahrscheinlichkeit in 8b soll \(0{,}25\) betragen. Sei \(x\) die neue Gesamtzahl der Lose bei gleichbleibenden 40 Gewinnen: \(\frac{40}{x} = 0{,}25\). 5. Berechnung der neuen Gesamtzahl: \(x = \frac{40}{0{,}25} = 160\). 6. Ermittlung der zusätzlichen Nieten: \(160 - 150 = 10\).

a) In Klasse 8b ist die Gewinnwahrscheinlichkeit mit ca. \(26{,}7\,\%\) höher als in Klasse 8a (\(25\,\%\)). b) Es müssten 10 zusätzliche Nieten hinzugefügt werden.

- Bestimme zuerst, wie viele verschiedene T-Shirts es insgesamt im Laden gibt. - Wie viele dieser T-Shirts erfüllen genau die im Aufgabentext genannten Bedingungen? - Nutze die Formel für die Laplace-Wahrscheinlichkeit: Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.

1. Gesamtanzahl der Varianten berechnen: \(4 \text{ Farben} \cdot 3 \text{ Größen} \cdot 2 \text{ Schnitte} = 24\) Varianten. 2. Wahrscheinlichkeit für ein rotes T-Shirt in Größe L: Es gibt 2 günstige Varianten (Rot-L-V-Ausschnitt und Rot-L-Rundhals). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}\). 3. Wahrscheinlichkeit für einen Rundhals-Ausschnitt: Es gibt \(4 \cdot 3 \cdot 1 = 12\) günstige Varianten. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 50\,\%\).

a) Es gibt insgesamt \(24\) Varianten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{12} \approx 8{,}3\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{2} = 50\,\%\).

- Zerlege das Los in seine Bestandteile: Farbe, 1. Ziffer, 2. Ziffer, 3. Ziffer. - Wie viele Möglichkeiten hast du für jede Stelle? - Was muss für die letzten beiden Ziffern gelten, damit es ein „Super-Los“ ist?

1. Gesamtanzahl der Lose: \(2 \text{ Farben} \cdot 3 \text{ Möglichkeiten für Ziffer 1} \cdot 10 \text{ Möglichkeiten für Ziffer 2} \cdot 10 \text{ Möglichkeiten für Ziffer 3} = 2 \cdot 3 \cdot 10 \cdot 10 = 600\). 2. Anzahl der Super-Lose: Die Farbe (2) und die erste Ziffer (3) sind frei wählbar. Für das Paar aus zweiter und dritter Ziffer gibt es 10 Möglichkeiten (\(00, 11, \dots, 99\)). Also \(2 \cdot 3 \cdot 10 = 60\) Super-Lose. 3. Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P(\text{Super-Los}) = \frac{60}{600} = \frac{1}{10} = 10\,\%\).

Es gibt insgesamt \(600\) verschiedene Lose. Davon sind \(60\) Stück „Super-Lose“. Die Wahrscheinlichkeit, ein solches zu ziehen, liegt bei \(10\,\%\).

- Bestimme zuerst, wie viele blaue und wie viele weiße Murmeln am Anfang in der Schachtel sind. - Wenn du Murmeln hinzufügst, ändert sich nicht nur die Anzahl der blauen Murmeln, sondern auch die Gesamtzahl. - Welcher Anteil der Murmeln ist weiß, wenn \(40\,\%\) blau sein sollen? - Bleibt die Anzahl der weißen Murmeln während des Vorgangs gleich?

1. Berechnung des Anfangszustands: \(25\,\%\) von 40 Murmeln sind \(0{,}25 \cdot 40 = 10\) blaue Murmeln. Die Anzahl der weißen Murmeln beträgt somit \(40 - 10 = 30\). 2. Modellierung des Endzustands: Sei \(x\) die Anzahl der hinzuzufügenden blauen Murmeln. Die neue Anzahl blauer Murmeln ist \(10 + x\), und die neue Gesamtzahl der Murmeln ist \(40 + x\). 3. Aufstellen der Gleichung: Da die Zielwahrscheinlichkeit \(40\,\%\) (\(0{,}4\)) ist, gilt: \(\frac{10 + x}{40 + x} = 0{,}4\). 4. Lösen der Gleichung: Multiplikation mit \((40 + x)\) ergibt \(10 + x = 0{,}4 \cdot (40 + x)\), also \(10 + x = 16 + 0{,}4x\). Umformen führt zu \(0{,}6x = 6\), woraus \(x = 10\) folgt. 5. Alternativer Weg über die weißen Murmeln: Da nur blaue Murmeln hinzugefügt werden, bleibt die Anzahl der weißen Murmeln (30) konstant. Diese 30 Murmeln müssen im Zielzustand \(60\,\%\) (\(100\,\% - 40\,\%\)) der Gesamtmenge entsprechen. \(30 : 0{,}6 = 50\) Murmeln insgesamt. Die Differenz zur Startmenge ist \(50 - 40 = 10\).

Es müssen 10 blaue Murmeln hinzugefügt werden.

- Was ist die Definition einer Primzahl? Beachte besonders die Zahl 1. - Überlege dir, welche Zahlen die 20 ohne Rest teilen. - Kannst du die Ungleichung nach \(x\) umstellen, um zu sehen, welche Zahlen infrage kommen? - Zähle genau nach, wie viele Zahlen aus der Menge \(\{1, 2, \dots, 20\}\) die jeweilige Bedingung erfüllen.

1. Die Ergebnismenge umfasst 20 gleich wahrscheinliche Ergebnisse: \(\Omega = \{1, 2, \dots, 20\}\). 2. Zu a): Die Primzahlen zwischen 1 und 20 sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Das sind 8 günstige Ergebnisse. \(P(A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 40\,\%\). 3. Zu b): Die Teiler von 20 sind 1, 2, 4, 5, 10, 20. Das sind 6 günstige Ergebnisse. \(P(B) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 30\,\%\). 4. Zu c): Lösen der Ungleichung: \(3x + 4 < 20 \Rightarrow 3x < 16 \Rightarrow x < 5{,}333\dots\). Die natürlichen Zahlen im Bereich 1 bis 20, die kleiner als \(5{,}333\) sind, lauten 1, 2, 3, 4, 5. Das sind 5 günstige Ergebnisse. \(P(C) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 25\,\%\).

a) \(P = \frac{2}{5} = 40\,\%\) b) \(P = \frac{3}{10} = 30\,\%\) c) \(P = \frac{1}{4} = 25\,\%\)

- Wie viele Kugeln gibt es insgesamt im Beutel? - Überlege dir für jedes Ereignis genau, welche und wie viele Kugeln die Bedingung erfüllen. - Achte bei „oder“-Verknüpfungen darauf, ob es Kugeln gibt, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen, damit du sie nicht doppelt zählst. - Bei „weder ... noch ...“ kann es hilfreich sein, erst das Gegenteil zu berechnen.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: \(n = 40\). 2. a) Es gibt in jeder der \(4\) Farben eine Kugel mit der Zahl \(5\). Günstige Ergebnisse: \(4\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} = 0{,}1\). 3. b) Es gibt \(10\) gelbe Kugeln. Günstige Ergebnisse: \(10\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. c) Es gibt genau eine rote Kugel mit der Zahl \(7\). Günstiges Ergebnis: \(1\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{1}{40} = 0{,}025\). 5. d) Es gibt \(10\) blaue Kugeln, davon trägt eine die Zahl \(10\). Günstige Ergebnisse: \(10 - 1 = 9\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{9}{40} = 0{,}225\). 6. e) Es gibt \(10\) grüne Kugeln. Zusätzlich gibt es \(3\) weitere Kugeln mit der Zahl \(2\) (rot, blau, gelb). Günstige Ergebnisse: \(10 + 3 = 13\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{13}{40} = 0{,}325\). 7. f) Es gibt \(10\) rote Kugeln und \(4\) Kugeln mit der Zahl \(1\). Die rote \(1\) ist in beiden Gruppen enthalten. Die Anzahl der Kugeln, die rot sind oder eine \(1\) tragen, ist \(10 + 4 - 1 = 13\). Die Anzahl der Kugeln, auf die beides nicht zutrifft, ist \(40 - 13 = 27\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{27}{40} = 0{,}675\).

a) \(P = \frac{1}{10} = 0{,}1\) b) \(P = \frac{1}{4} = 0{,}25\) c) \(P = \frac{1}{40} = 0{,}025\) d) \(P = \frac{9}{40} = 0{,}225\) e) \(P = \frac{13}{40} = 0{,}325\) f) \(P = \frac{27}{40} = 0{,}675\)

- Erstelle dir eine kleine Tabelle, um den Überblick über Lieferanten und Zustand (defekt/einwandfrei) zu behalten. - Was bedeutet „weder A noch defekt“ in Bezug auf den Lieferanten B? - Achte bei Aufgabe c) darauf, die defekten Bauteile von Lieferant B nicht doppelt zu zählen.

1. Gesamtzahl der Bauteile: \(n = 50\). 2. a) Gesamtzahl defekter Bauteile: \(5 + 2 = 7\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{defekt}) = \frac{7}{50} = 0{,}14\). 3. b) Bauteile von A, die einwandfrei sind: \(30 - 5 = 25\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{A und einwandfrei}) = \frac{25}{50} = 0{,}5\). 4. c) Bauteile von B (\(20\)) plus defekte Bauteile von A (\(5\)). Die defekten Bauteile von B sind bereits in den \(20\) enthalten. Günstige Ergebnisse: \(20 + 5 = 25\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{B oder defekt}) = \frac{25}{50} = 0{,}5\). 5. d) „Nicht von Lieferant A und nicht defekt“ bedeutet: Das Bauteil stammt von Lieferant B und ist einwandfrei. Bauteile von B: \(20\), davon sind \(2\) defekt. Einwandfreie Bauteile von B: \(20 - 2 = 18\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{18}{50} = \frac{9}{25} = 0{,}36\).

a) \(P = 0{,}14\) b) \(P = 0{,}5\) c) \(P = 0{,}5\) d) \(P = 0{,}36\)

- Wenn du alle Gewinnwahrscheinlichkeiten kennst, wie groß muss dann die Wahrscheinlichkeit für eine Niete sein? - Wie hängen die Anzahl der Nieten, die Wahrscheinlichkeit für eine Niete und die Gesamtzahl der Lose zusammen?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine Niete: Da es nur diese drei Kategorien gibt, gilt \(P(\text{Niete}) = 1 - P(\text{Hauptgewinn}) - P(\text{Kleingewinn})\). Also \(P(\text{Niete}) = 1 - \frac{1}{50} - \frac{10}{50} = 1 - \frac{11}{50} = \frac{39}{50}\). In Dezimalzahlen: \(P(\text{Niete}) = 1 - 0{,}02 - 0{,}2 = 0{,}78\). 2. Bestimmung der Gesamtzahl \(T\): Es gilt \(P(\text{Niete}) = \frac{n_{\text{Niete}}}{T}\), also \(0{,}78 = \frac{390}{T}\). Daraus folgt \(T = \frac{390}{0{,}78} = 500\). 3. Anzahl der Hauptgewinne: \(n_{\text{Hauptgewinn}} = T \cdot P(\text{Hauptgewinn}) = 500 \cdot \frac{1}{50} = 10\).

a) Insgesamt wurden 500 Lose vorbereitet. b) Es gibt 10 Hauptgewinne.

- Wie viele Buchstaben hat das Wort insgesamt? Das hilft dir bei der Gesamtzahl der Möglichkeiten. - Wenn zwei Buchstaben an festen Positionen stehen, wie viele Plätze sind dann noch frei variierbar? - Wenn zwei Buchstaben nebeneinander stehen sollen, kannst du sie gedanklich zu einer Einheit zusammenfassen. Vergiss aber nicht, dass sie innerhalb dieser Einheit ihren Platz tauschen können.

1. Gesamtzahl der Buchstabenfolgen bei 6 verschiedenen Buchstaben: \(6! = 720\). 2. Zu a): Die ersten beiden Stellen sind durch „F“ und „A“ fest belegt. Für die restlichen 4 Stellen gibt es \(4! = 24\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{24}{720} = \frac{1}{30}\). 3. Zu b): Die Vokale A und O werden als ein Block betrachtet. Es gibt 5 Einheiten zu sortieren (der Block \(\{A, O\}\) und die Konsonanten F, K, T, R), was \(5! = 120\) Möglichkeiten ergibt. Da der Block intern als (A, O) oder (O, A) angeordnet sein kann, gibt es \(2 \cdot 120 = 240\) günstige Fälle. 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für b): \(P = \frac{240}{720} = \frac{1}{3}\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{30}\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{3}\).

- Wenn ein Buchstabe gar nicht vorkommen darf, verringert sich die Anzahl der Wahlmöglichkeiten pro Stelle. - Wenn ein Code mit einer bestimmten Folge beginnt, sind diese Stellen bereits fest belegt. - Überlege bei Teil d), welche Buchstaben für die restlichen Plätze noch übrig sind.

1. Anzahl für a): \(4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^4 = 256\). 2. Anzahl für b): \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4! = 24\). 3. Wahrscheinlichkeit für c): Wenn kein „A“ vorkommen darf, stehen pro Stelle nur 3 Buchstaben (B, C, D) zur Verfügung. Günstige Fälle: \(3^4 = 81\). Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{81}{256}\). 4. Wahrscheinlichkeit für d): Der Code muss die Form ADxx haben. Da jeder Buchstabe nur einmal vorkommt, müssen die restlichen Stellen mit B und C gefüllt werden. Dafür gibt es \(2 \cdot 1 = 2\) Möglichkeiten (ADBC, ADCB). Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}\).

a) 256 Codes. b) 24 Codes. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{81}{256}\). d) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{12}\).

- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, den ersten, zweiten und dritten Platz aus 8 Läufern zu besetzen? - Überlege dir für Teil b), wie viele verschiedene Anordnungen es für die drei Läufer auf den ersten drei Plätzen gibt. - Wenn die Läufer 1, 2 und 3 keine Medaille gewinnen, aus wie vielen Läufern müssen dann die ersten drei Plätze bestehen?

1. Gesamtzahl der möglichen Belegungen der ersten drei Plätze: Es gibt \(8 \cdot 7 \cdot 6 = 336\) Möglichkeiten. 2. Wahrscheinlichkeit für die exakte Reihenfolge (1, 2, 3): Es gibt nur 1 günstiges Ergebnis. \(P(a) = \frac{1}{336}\). 3. Wahrscheinlichkeit für die Bahnen 1, 2, 3 in beliebiger Reihenfolge: Es gibt \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) mögliche Reihenfolgen für diese drei Läufer auf den ersten drei Plätzen. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(b) = \frac{6}{336} = \frac{1}{56}\). Da \(6 \cdot \frac{1}{336} = \frac{6}{336}\), ist die Wahrscheinlichkeit genau sechsmal so hoch. 4. Wahrscheinlichkeit, dass keiner der drei eine Medaille gewinnt: Die ersten drei Plätze müssen durch die restlichen \(8 - 3 = 5\) Läufer besetzt werden. Anzahl der Möglichkeiten: \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(c) = \frac{60}{336} = \frac{5}{28}\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{336}\). b) Da es \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) verschiedene Reihenfolgen für die drei Läufer gibt, ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{336}\), was genau \(6 \cdot \frac{1}{336}\) entspricht. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{28}\).

- Spielt die Reihenfolge (bzw. welches Amt wer bekommt) hier eine Rolle? - Wie viele Personen kommen für das erste Amt infrage? Wie viele sind es dann noch für das zweite? - Wie ändert sich die Anzahl der Möglichkeiten, wenn du nur eine bestimmte Gruppe (z. B. nur Mädchen) betrachtest?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten (Variation ohne Wiederholung): Für das erste Amt gibt es 12, für das zweite 11 und für das dritte 10 Kandidaten. \(|\Omega| = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1\,320\). 2. Berechnung der günstigen Fälle (nur Mädchen): Es gibt 4 Mädchen für das erste Amt, 3 für das zweite und 2 für das dritte. \(|A| = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{24}{1\,320}\). Durch Kürzen (beide durch 24 teilbar) ergibt sich \(P = \frac{1}{55}\).

a) Es gibt \(1\,320\) Möglichkeiten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{55}\) (ca. \(1{,}8\,\%\)).

- Wie hängen die Ereignisse „genau eine Sechs“ und „mindestens eine Sechs“ zusammen? Ist das eine im anderen enthalten? - Nutze für „mindestens eine“ den Trick mit dem Gegenereignis. - Wie viele verschiedene Pfade im Baumdiagramm enthalten genau eine Sechs bei vier Würfen?

1. Grundlagen: \(P(6) = \frac{1}{6}\) und \(P(\text{keine } 6) = \frac{5}{6}\). 2. Berechnung von \(P(E)\): Über das Gegenereignis „keine Sechs bei 4 Würfen“. \(P(\text{keine } 6) = (\frac{5}{6})^4 = \frac{625}{1\,296}\). Somit \(P(E) = 1 - \frac{625}{1\,296} = \frac{671}{1\,296} \approx 0{,}5177\). 3. Berechnung von \(P(F)\): Es gibt 4 Pfade mit genau einer Sechs (z. B. \(6, \text{keine 6}, \text{keine 6}, \text{keine 6}\)). Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^3 = \frac{125}{1\,296}\). Also \(P(F) = 4 \cdot \frac{125}{1\,296} = \frac{500}{1\,296} \approx 0{,}3858\). 4. Vergleich: Da \(\frac{671}{1\,296} > \frac{500}{1\,296}\), ist Ereignis E wahrscheinlicher. Logische Begründung: Ereignis F ist eine Teilmenge von Ereignis E (wenn genau eine Sechs fällt, fällt auch mindestens eine Sechs). Da es in E noch weitere Möglichkeiten gibt (z. B. zwei Sechsen), muss E wahrscheinlicher sein.

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis E beträgt \(\frac{671}{1\,296} \approx 51{,}77\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis F beträgt \(\frac{500}{1\,296} \approx 38{,}58\,\%\). Ereignis E ist wahrscheinlicher, da es das Ereignis F sowie die Fälle mit zwei, drei oder vier Sechsen umfasst.

- Achte bei b) darauf, dass die Reihenfolge der Ziehung (erst Mädchen, dann Junge oder umgekehrt) eine Rolle für die Pfade spielt. - Wie viele Personen kommen in Teil c) noch für die Gruppe infrage, wenn Lukas sich selbst ausschließt? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein bestimmtes Paar aus einer Gruppe zu ziehen?

1. Wahrscheinlichkeit für zwei Jungen: \(\frac{8}{20} \cdot \frac{7}{19} = \frac{56}{380} = \frac{14}{95} \approx 0{,}147\) bzw. \(14{,}7\,\%\). 2. Wahrscheinlichkeit für ein Mädchen und einen Jungen: Es gibt zwei Pfade im Baumdiagramm (Mädchen-Junge oder Junge-Mädchen). Rechnung: \((\frac{12}{20} \cdot \frac{8}{19}) + (\frac{8}{20} \cdot \frac{12}{19}) = \frac{96}{380} + \frac{96}{380} = \frac{192}{380} = \frac{48}{95} \approx 0{,}505\) bzw. \(50{,}5\,\%\). 3. Bedingte Sichtweise von Lukas: Da Lukas weiß, dass er nicht dabei ist, gibt es für ihn nur noch 19 mögliche Personen für die 2 Plätze. Die Anzahl der Möglichkeiten, 2 Personen aus 19 zu wählen, ist \(\frac{19 \cdot 18}{2} = 171\). Da es nur genau eine Kombination seiner beiden Freunde gibt, ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{171} \approx 0{,}0058\) bzw. \(0{,}58\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{14}{95} \approx 14{,}7\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{48}{95} \approx 50{,}5\,\%\). c) Aus Lukas' Sicht beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{171} \approx 0{,}58\,\%\).

- Was bedeutet „verschiedene Buchstaben“? Schreibe das Wort auf und streiche alle Buchstaben durch, die du schon einmal notiert hast. - Unterscheide klar zwischen der Menge aller Buchstaben im Wort und der Menge der *verschiedenen* Buchstaben. - Gehe die Liste der verschiedenen Buchstaben Buchstabe für Buchstabe durch und ordne sie den Farbregeln zu. - Prüfe, ob ein Konsonant aus der Liste im Wort „ZINS“ enthalten ist, um die blauen Steine zu finden.

1. Bestimmung der verschiedenen Buchstaben im Wort „PROZENTSATZ“: P, R, O, Z, E, N, T, S, A. (Die Buchstaben T und Z kommen doppelt vor, werden aber nur einmal gezählt). Es gibt insgesamt 9 verschiedene Buchstaben, also 9 Steine. 2. Identifikation der roten Steine (Vokale aus der Liste): O, E, A. Das sind 3 Steine. \(P(\text{Rot}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\). 3. Identifikation der blauen Steine (Konsonanten aus der Liste, die in „ZINS“ vorkommen): Z, N, S. Das sind 3 Steine. \(P(\text{Blau}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\). 4. Identifikation der grünen Steine (restliche Buchstaben): P, R, T. Das sind 3 Steine. \(P(\text{Grün}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\). 5. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist gleichmäßig: Jede Farbe hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{3}\).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist: \(P(\text{Rot}) = \frac{1}{3}\) \(P(\text{Blau}) = \frac{1}{3}\) \(P(\text{Grün}) = \frac{1}{3}\)