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- Überlege dir, welche Ergebnisse übrig bleiben, wenn man das beschriebene Ereignis aus der Menge aller Möglichkeiten entfernt. - Wie lässt sich die logische Verneinung von Wörtern wie „alle“, „kein“ oder „mindestens“ am einfachsten ausdrücken? - Stell dir vor, du müsstest beweisen, dass die Aussage des Ereignisses falsch ist. Was müsste dafür passieren?

1. Definition des Gegenereignisses: Das Gegenereignis umfasst alle Ergebnisse des Ergebnisraums, die nicht zum ursprünglichen Ereignis gehören. 2. Teilaufgabe a): Das Gegenteil von „alle“ ist „nicht alle“, was bedeutet, dass mindestens ein Schuss das Ziel verfehlt. Ergebnis: Mindestens ein Schuss trifft nicht ins Goldene. 3. Teilaufgabe b): Das Gegenteil von „kein“ ist „mindestens einer“. Ergebnis: Mindestens ein Schuss trifft ins Goldene. 4. Teilaufgabe c): Das Ereignis verlangt Treffer bei Schuss \(1\) UND Schuss \(2\). Das Gegenereignis tritt ein, wenn dies nicht der Fall ist. Ergebnis: Mindestens einer der ersten zwei Schüsse trifft nicht ins Goldene. 5. Teilaufgabe d): „Mindestens \(5\)“ bedeutet \(5\) oder \(6\) Treffer. Die verbleibenden Möglichkeiten sind \(0, 1, 2, 3\) oder \(4\) Treffer. Ergebnis: Höchstens vier Schüsse treffen ins Goldene.

a) Mindestens ein Schuss trifft nicht ins Goldene. b) Mindestens ein Schuss trifft ins Goldene. c) Mindestens einer der ersten zwei Schüsse trifft nicht ins Goldene. d) Höchstens vier Schüsse treffen ins Goldene.

- Überlege dir, welche Möglichkeiten es für die Anzahl (0, 1, 2 oder 3) insgesamt gibt. - Was bleibt übrig, wenn man die genannten Fälle aus der Gesamtmenge aller Möglichkeiten entfernt? - „Mindestens“ und „Höchstens“ sind oft Gegenspieler, aber achte genau auf die Grenzwerte. - Kannst du die Situation mit einer anderen Farbe beschreiben?

1. Bestimmung von \(\bar{A}\): Das Ereignis \(A\) umfasst den Fall (3 blau). Das Gegenereignis umfasst alle anderen Fälle, also (0, 1 oder 2 blau). In Worten: Mindestens ein Stift ist rot. 2. Bestimmung von \(\bar{B}\): Das Ereignis \(B\) umfasst (2 rot, 3 rot). Das Gegenereignis umfasst (0 rot, 1 rot). In Worten: Höchstens ein Stift ist rot. 3. Bestimmung von \(\bar{C}\): Das Ereignis \(C\) umfasst (0 blau, 1 blau). Das Gegenereignis umfasst (2 blau, 3 blau). In Worten: Mindestens zwei Stifte sind blau. 4. Bestimmung von \(\bar{D}\): Das Ereignis \(D\) umfasst genau den Fall (2 rot). Das Gegenereignis umfasst alle anderen Möglichkeiten für die Anzahl roter Stifte. In Worten: Es werden \(0\), \(1\) oder \(3\) rote Stifte gezogen.

a) \(\bar{A}\): Mindestens ein Stift ist rot. b) \(\bar{B}\): Höchstens ein Stift ist rot. c) \(\bar{C}\): Mindestens zwei Stifte sind blau. d) \(\bar{D}\): Es werden \(0\), \(1\) oder \(3\) rote Stifte gezogen.

- Was bedeutet es, wenn ein Ergebnis nicht zu einem Ereignis gehört? - Wie viele Elemente hat die gesamte Menge und wie viele davon gehören zum gesuchten Ereignis? - Erinnere dich an die Definition einer Quadratzahl.

1. Identifikation der Quadratzahlen in \(\Omega\): \(A = \{1, 4, 9\}\) 2. Bestimmung des Gegenereignisses \(\bar{A}\) durch Ausschluss von \(A\) aus \(\Omega\): \(\bar{A} = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 10\}\) 3. Identifikation der Zahlen größer als 7: \(B = \{8, 9, 10\}\) 4. Bestimmung des Gegenereignisses \(\bar{B}\): \(\bar{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(\bar{A})\) nach Laplace: Anzahl der günstigen Ergebnisse (\(7\)) dividiert durch Anzahl der möglichen Ergebnisse (\(10\)), resultierend in \(P(\bar{A}) = \frac{7}{10} = 0{,}7\)

- \(A = \{1, 4, 9\}\), \(\bar{A} = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 10\}\) - \(B = \{8, 9, 10\}\), \(\bar{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) - \(P(\bar{A}) = 0{,}7\)

- Was bedeutet das Wort „Gegenereignis“ im Zusammenhang mit einem Zufallsexperiment? - Überlege, welche Kugelfarben das Gegenteil von „gelb“ beschreiben. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und die Wahrscheinlichkeit seines Gegenereignisses zusammen? - Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis selbst, um dann das Gegenereignis zu bestimmen.

1. Formulierung des Gegenereignisses: Das Gegenereignis \(\bar{E}\) tritt genau dann ein, wenn das Ereignis \(E\) nicht eintritt. Wenn keine gelbe Kugel gezogen wird, bedeutet das, dass eine rote oder eine blaue Kugel gezogen wird. In Worten lautet das Gegenereignis: „Die gezogene Kugel ist nicht gelb“ (oder alternativ: „Die gezogene Kugel ist rot oder blau“). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: - Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\) („gelbe Kugel“) beträgt \(P(E) = \frac{7}{12}\), da 7 von 12 Kugeln gelb sind. - Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnet sich über die Formel \(P(\bar{E}) = 1 - P(E)\). - Einsetzen liefert \(P(\bar{E}) = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}\). - Alternativ kann man die günstigen Ergebnisse für das Gegenereignis direkt zählen: Es gibt \(4 + 1 = 5\) Kugeln, die nicht gelb sind (rot oder blau). Damit ist \(P(\bar{E}) = \frac{5}{12}\).

a) „Die gezogene Kugel ist nicht gelb“ (oder: „Die gezogene Kugel ist rot oder blau“) b) \(\frac{5}{12}\)

- Überlege zuerst, wie viele gleich große Felder das Glücksrad insgesamt hat und wie viele davon die jeweilige Farbe tragen. - Die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses lässt sich am einfachsten berechnen, indem man die Wahrscheinlichkeit des Hauptereignisses von der Gesamtwahrscheinlichkeit abzieht. - Überlege für den zweiten Teil, welche Farben übrig bleiben, wenn der Zeiger weder auf Gelb noch auf Blau landen darf.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\) (rotes Feld): Da das Glücksrad 8 gleich große Sektoren hat und 3 davon rot sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit \(P(E) = \frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses \(\bar{E}\): Das Gegenereignis \(\bar{E}\) bedeutet „nicht rot“ (also blau oder gelb). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\bar{E}) = 1 - P(E) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} = 0{,}625 = 62{,}5\,\%\). 3. Formulierung des Gegenereignisses \(\bar{A}\): Das Ereignis \(A\) umfasst gelbe und blaue Felder. Das Gegenereignis \(\bar{A}\) bedeutet demnach, dass der Zeiger weder auf Gelb noch auf Blau landet. Da es nur rote, blaue und gelbe Felder gibt, entspricht dies dem Ereignis „Der Zeiger landet auf einem roten Feld“. 4. Berechnung von \(P(\bar{A})\): Da \(\bar{A}\) identisch mit \(E\) ist, gilt \(P(\bar{A}) = P(E) = \frac{3}{8} = 37{,}5\,\%\).

a) \(P(E) = \frac{3}{8}\) (oder \(37{,}5\,\%\)) und \(P(\bar{E}) = \frac{5}{8}\) (oder \(62{,}5\,\%\)). b) Das Gegenereignis \(\bar{A}\) lautet: „Der Zeiger landet auf einem roten Feld“ (oder „weder auf Gelb noch auf Blau“). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\bar{A}) = \frac{3}{8}\) (oder \(37{,}5\,\%\)).

- Welche Ergebnisfolgen sind ausgeschlossen, wenn mindestens ein Treffer verlangt wird? - Beschreibe das Gegenteil mit möglichst wenigen Pfaden.

1. Gegenereignis: „keine rote Kugel“, also \(\overline{R}\,\overline{R}\). 2. Wahrscheinlichkeit: \(0{,}7\cdot0{,}7=0{,}49\).

Gegenereignis: „keine rote Kugel“; Wahrscheinlichkeit \(0{,}49\).

- Das gewünschte Ereignis hat mehrere Pfade. - Kannst du sein Gegenteil mit nur einem Pfad beschreiben?

1. Gegenereignis „keine 6“: \(\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}\). 2. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\).

\(\frac{11}{36}\approx 30{,}6\,\%\).

- Suche eine gemeinsame Beschreibung für alle markierten Endpunkte. - Welcher einzige Endpunkt bleibt übrig?

1. Markierte Ergebnisse: \(KK\), \(KZ\), \(ZK\). 2. Passendes Ereignis: „mindestens einmal Kopf“. 3. Gegenereignis: „kein Kopf“, also \(ZZ\).

Ereignis: „mindestens einmal Kopf“; Gegenereignis: \(ZZ\).

- Versuche, die Informationen in einer Vierfeldertafel oder einem Venn-Diagramm darzustellen. - Denk daran, dass Personen, die beides machen, in beiden Gruppen (Instrument und Sport) mitgezählt wurden. - Wie viele verschiedene Personen sind insgesamt in der Sport- oder Instrumentengruppe?

1. Analyse der Mengen: Gesamtzahl \(n = 24\). Instrumentengruppe \(I = 14\), Sportgruppe \(S = 10\), Schnittmenge \(I \cap S = 6\). 2. a) Berechnung der Anzahl der Personen, die mindestens eines von beidem machen: \(|I \cup S| = |I| + |S| - |I \cap S| = 14 + 10 - 6 = 18\). Die Anzahl der Personen, die keines von beidem machen, ist \(24 - 18 = 6\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 3. b) Anzahl der Personen, die nur ein Instrument spielen: \(|I| - |I \cap S| = 14 - 6 = 8\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\). 4. c) Die bloße Summe der Teilnehmenden (\(14 + 10 = 24\)) berücksichtigt nicht, dass Personen in beiden Gruppen sein können. Da \(6\) Personen doppelt gezählt wurden, sind tatsächlich nur \(18\) verschiedene Personen in den Gruppen vertreten. Somit bleiben \(24 - 18 = 6\) Personen übrig, die weder ein Instrument spielen noch in einem Sportverein aktiv sind.

a) \(P = \frac{1}{4} = 0{,}25\) b) \(P = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\) c) Die Summe der Einzelgruppen ignoriert die Schnittmenge. Da \(6\) Jugendliche beides machen, sind sie in beiden Zahlen enthalten. Es sind nur \(18\) Jugendliche in mindestens einer Gruppe, sodass \(6\) Jugendliche übrig bleiben.

- Schreibe dir zuerst alle Zahlen von 1 bis 20 auf. - Markiere die Zahlen, die zum Ereignis gehören. Die restlichen gehören zum Gegenereignis. - Was bedeutet „höchstens“ mathematisch? Welches Zeichen (\(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\)) passt dazu? - Denke daran, dass die 1 keine Primzahl ist.

1. Beschreibung der Gegenereignisse: \(\bar{E}_1\): Die Zahl ist keine Primzahl. \(\bar{E}_2\): Die Zahl ist kein Vielfaches von 4. \(\bar{E}_3\): Die Zahl ist höchstens 15. \(\bar{E}_4\): Die Zahl ist größer als 18. 2. Berechnung der Anzahlen: - Primzahlen (\(E_1\)): \(\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}\), also 8 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_1\): \(20 - 8 = 12\). - Vielfache von 4 (\(E_2\)): \(\{4, 8, 12, 16, 20\}\), also 5 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_2\): \(20 - 5 = 15\). - Zahlen größer 15 (\(E_3\)): \(\{16, 17, 18, 19, 20\}\), also 5 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_3\): \(20 - 5 = 15\). - Zahlen bis 18 (\(E_4\)): \(\{1, 2, \dots, 18\}\), also 18 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_4\): \(20 - 18 = 2\) (nämlich 19 und 20).

1. \(\bar{E}_1\): Keine Primzahl; \(\bar{E}_2\): Kein Vielfaches von 4; \(\bar{E}_3\): Höchstens 15; \(\bar{E}_4\): Größer als 18. 2. Anzahl der Ergebnisse: \(\bar{E}_1: 12\); \(\bar{E}_2: 15\); \(\bar{E}_3: 15\); \(\bar{E}_4: 2\).

- Was sind Quadratzahlen? Multipliziere kleine natürliche Zahlen mit sich selbst. - Welche Zahlen zwischen 1 und 10 sind Primzahlen? - Wenn du die Gewinnzahlen kennst, welche Zahlen führen dann zum Verlust? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Glücksrad mit gleich großen Feldern?

1. Ergebnismenge \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\). 2. Bestimmung von \(G\): Quadratzahlen sind \(\{1, 4, 9\}\). Primzahlen sind \(\{2, 3, 5, 7\}\). Die Vereinigungsmenge ist \(G = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}\). 3. Gegenereignis \(\bar{G}\): Die verbleibenden Zahlen sind \(\{6, 8, 10\}\). In Worten: Die Zahl ist 6, 8 oder 10. 4. Wahrscheinlichkeiten: \(P(G) = \frac{7}{10} = 0{,}7\). \(P(\bar{G}) = \frac{3}{10} = 0{,}3\). 5. Zusammenhang: Für ein Ereignis und sein Gegenereignis gilt \(P(G) + P(\bar{G}) = 1\).

a) \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\); \(G = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}\). b) \(\bar{G}\): Die Zahl ist 6, 8 oder 10. c) \(P(G) = 0{,}7\); \(P(\bar{G}) = 0{,}3\). Für ein Ereignis und sein Gegenereignis ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten \(1\).

- Bei Aufgaben mit Anzahlen hilft es oft, die möglichen Werte als Liste aufzuschreiben (z. B. \(0, 1, 2, \dots\)). - Achte genau auf die Grenzen: Was ist das Gegenteil von „mehr als \(15\)“? Gehört die \(15\) dazu oder nicht? - Wenn eine Eigenschaft (wie „gerade“) nicht zutrifft, welche einzige andere Eigenschaft muss dann bei ganzen Zahlen vorliegen?

1. Analyse der Mengenkomplemente bei Anzahlen. 2. Teilaufgabe a): Das Ereignis ist die Menge \(\{1\}\). Das Gegenereignis umfasst alle anderen möglichen Anzahlen \(\{0, 2, 3, \dots, 20\}\). Ergebnis: Die Anzahl der defekten Akkus ist nicht eins (bzw. kein Akku oder mindestens zwei Akkus sind defekt). 3. Teilaufgabe b): „Höchstens \(3\)“ entspricht \(\{0, 1, 2, 3\}\). Das Komplement ist \(\{4, 5, \dots, 20\}\). Ergebnis: Mindestens vier Akkus sind defekt. 4. Teilaufgabe c): „Mehr als \(15\) voll funktionsfähig“ bedeutet \(16, 17, 18, 19\) oder \(20\) sind intakt. Das Gegenereignis umfasst \(0\) bis \(15\) intakte Akkus. Ergebnis: Höchstens \(15\) Akkus sind voll funktionsfähig. 5. Teilaufgabe d): Da die Anzahl der defekten Akkus nur ganzzahlig von \(0\) bis \(20\) sein kann, ist das Gegenteil von „gerade“ schlicht „ungerade“. Ergebnis: Die Anzahl der defekten Akkus ist eine ungerade Zahl.

a) Die Anzahl der defekten Akkus ist ungleich eins (bzw. kein Akku oder mindestens zwei Akkus sind defekt). b) Mindestens vier Akkus sind defekt. c) Höchstens \(15\) Akkus sind voll funktionsfähig. d) Die Anzahl der defekten Akkus ist eine ungerade Zahl.

- Überlege dir, welche Zeichenarten zur Auswahl stehen. Wenn etwas „keine Ziffer“ ist, was muss es dann sein? - Achte bei Teilaufgabe c) besonders darauf, dass das Gegenereignis schon eintritt, wenn nur eine der Bedingungen nicht erfüllt ist. - Kannst du die Ereignisse mit Symbolen wie \(<\), \(>\) oder \(\le\) ausdrücken, um das Gegenteil leichter zu finden?

1. Anwendung logischer Regeln für Ereignisse und ihre Komplemente. 2. Teilaufgabe a): Ereignis \(A\): „Buchstabe UND Buchstabe UND Buchstabe UND Buchstabe“. Gegenereignis \(\bar{A}\): Mindestens ein Zeichen ist kein Buchstabe. Da es nur Buchstaben oder Ziffern gibt, folgt: Mindestens ein Zeichen ist eine Ziffer. 3. Teilaufgabe b): Ereignis \(B\): „Anzahl Ziffern \(\ge 1\)“. Das Gegenereignis ist „Anzahl Ziffern \(< 1\)“, also genau \(0\). Ergebnis: Kein Zeichen ist eine Ziffer (bzw. alle Zeichen sind Buchstaben). 4. Teilaufgabe c): Ereignis \(C\): „Stelle 1 = Ziffer UND Stelle 4 = Ziffer“. Die Verneinung nach De Morgan lautet: „Stelle 1 \(\neq\) Ziffer ODER Stelle 4 \(\neq\) Ziffer“. Ergebnis: Das erste oder das letzte Zeichen (oder beide) ist ein Buchstabe (bzw. mindestens eines der beiden äußeren Zeichen ist ein Buchstabe). 5. Teilaufgabe d): Ereignis \(D\): „Anzahl Buchstaben \(\in \{0, 1, 2\}\)“. Das Gegenereignis umfasst die restlichen Möglichkeiten \(\{3, 4\}\). Ergebnis: Mindestens drei Zeichen sind Buchstaben.

a) Mindestens ein Zeichen ist eine Ziffer. b) Alle Zeichen sind Buchstaben (bzw. kein Zeichen ist eine Ziffer). c) Mindestens eines der beiden Zeichen (das erste oder das letzte) ist ein Buchstabe. d) Mindestens drei Zeichen sind Buchstaben.

- Gehe die Zahlen nacheinander durch und prüfe die Bedingungen für Primzahlen und Quersummen. - Wie hängen die Anzahl der Elemente in einer Menge und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Was musst du tun, um alle Elemente zu finden, die NICHT in einer Menge sind?

1. Identifikation der Primzahlen in \(\Omega\): \(E = \{11, 13, 17, 19\}\) 2. Bestimmung des Gegenereignisses durch Komplementbildung: \(\bar{E} = \{12, 14, 15, 16, 18, 20\}\) 3. Prüfung der Quersummen (1+1=2, 1+2=3, ...): Durch 3 teilbare Quersummen haben 12, 15 und 18. Somit \(F = \{12, 15, 18\}\) 4. Bestimmung des Gegenereignisses: \(\bar{F} = \{11, 13, 14, 16, 17, 19, 20\}\) 5. Vergleich der Mächtigkeiten: \(|E| = 4\) und \(|F| = 3\). Da \(|E| > |F|\), ist das Ereignis \(E\) wahrscheinlicher, da bei einer Laplace-Wahrscheinlichkeit mehr günstige Ergebnisse vorliegen.

1. \(E = \{11, 13, 17, 19\}\), \(\bar{E} = \{12, 14, 15, 16, 18, 20\}\) 2. \(F = \{12, 15, 18\}\), \(\bar{F} = \{11, 13, 14, 16, 17, 19, 20\}\) 3. \(E\) ist wahrscheinlicher, da es mit 4 Elementen mehr Ergebnisse umfasst als \(F\) mit 3 Elementen.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es für jede Stelle der Zahl? Erstelle am besten einen Baum oder eine Liste. - Was ist das logische Gegenteil von „mindestens zwei“? - Denke daran, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis immer feststeht.

1. Systematische Auflistung aller Kombinationen von 1 und 2: \(\Omega = \{111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222\}\). Die Gesamtanzahl ist \(|\Omega| = 8\). 2. Identifikation der Zahlen mit zwei oder drei Einsen: \(G = \{111, 112, 121, 211\}\) 3. Formulierung des Gegenereignisses: \(\bar{G}\) bedeutet „weniger als zweimal die Ziffer 1“ oder „höchstens einmal die Ziffer 1“. Die Menge ist \(\bar{G} = \{122, 212, 221, 222\}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(G) = \frac{4}{8} = 0{,}5\) und \(P(\bar{G}) = \frac{4}{8} = 0{,}5\). 5. Nachweis der Summe: \(P(G) + P(\bar{G}) = 0{,}5 + 0{,}5 = 1\).

1. \(\Omega = \{111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222\}\) 2. \(G = \{111, 112, 121, 211\}\) 3. \(\bar{G}\): „Die Zahl enthält höchstens einmal die Ziffer 1“. \(\bar{G} = \{122, 212, 221, 222\}\) 4. \(P(G) = 0{,}5\); \(P(\bar{G}) = 0{,}5\); Summe: \(0{,}5 + 0{,}5 = 1\)

- Was bedeutet „fair“ im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeiten? - Erinnere dich daran, welche Zahlen als Primzahlen definiert sind (ist die 1 dabei?). - Suche für den zweiten Teil nach Zahlen, die in beiden Gewinnmengen gleichzeitig vorkommen.

1. Gesamtzahl der Felder: 8. 2. Günstige Ergebnisse für Tim (Primzahlen): \(\{2, 3, 5, 7\}\). Anzahl: 4. 3. Gewinnwahrscheinlichkeit Tim: \(P(\text{Tim}) = \frac{4}{8} = 0{,}5 = 50\,\%\). 4. Günstige Ergebnisse für Sarah (Zahlen > 4): \(\{5, 6, 7, 8\}\). Anzahl: 4. 5. Gewinnwahrscheinlichkeit Sarah: \(P(\text{Sarah}) = \frac{4}{8} = 0{,}5 = 50\,\%\). 6. Da beide Wahrscheinlichkeiten gleich groß sind (\(50\,\%\)), ist das Spiel fair. 7. Für das gleichzeitige Gewinnen müssen beide Bedingungen erfüllt sein (Primzahl UND Zahl > 4). Dies trifft auf die Zahlen \(\{5, 7\}\) zu. Anzahl: 2. 8. Die Wahrscheinlichkeit für einen gleichzeitigen Gewinn beträgt \(P(\text{beide}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 25\,\%\).

a) Ja, das Spiel ist fair, da beide eine Gewinnwahrscheinlichkeit von \(50\,\%\) haben. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide gleichzeitig gewinnen, beträgt \(\frac{1}{4}\) (oder \(25\,\%\)).

- Zähle zunächst, in wie viele gleich große Teile das Glücksrad insgesamt aufgeteilt ist. Das ist dein Nenner. - Zähle dann die gefärbten Sektoren für das gesuchte Ereignis. Das ist dein Zähler. - Denke daran, den entstandenen Bruch so weit wie möglich zu kürzen. - Das Gegenereignis beschreibt das genaue Gegenteil des ursprünglichen Ereignisses. Wie viele Sektoren gehören dazu? - Die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses ist immer gleich \(1\).

1. Schritt: Bestimmung der Gesamtzahl der Sektoren und der Anzahl der gefärbten Sektoren. - Das Glücksrad hat insgesamt \(10\) gleich große Sektoren. - Davon sind \(4\) Sektoren gefärbt. 2. Schritt: Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(E)\). - Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\) beträgt: \(P(E) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\) 3. Schritt: Beschreibung des Gegenereignisses \(\bar{E}\). - Das Gegenereignis \(\bar{E}\) tritt ein, wenn das Ereignis \(E\) nicht eintritt. In Worten: „Das Rad stoppt auf einem nicht gefärbten (weißen) Feld“. 4. Schritt: Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(\bar{E})\). - Da insgesamt \(10 - 4 = 6\) Sektoren weiß sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: \(P(\bar{E}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\) - Alternativ über das Gegenereignis berechnet: \(P(\bar{E}) = 1 - P(E) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\)

1. \(P(E) = \frac{2}{5}\) 2. Das Gegenereignis \(\bar{E}\) lautet in Worten: „Das Rad stoppt auf einem weißen (nicht gefärbten) Feld“. 3. \(P(\bar{E}) = \frac{3}{5}\)

- Überlege dir zuerst, was das Gegenteil davon ist, dass mindestens einmal Grün gedreht wird. - Wie viele Sektoren auf dem Glücksrad sind nicht grün? - Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Dreh kein Grün zu erhalten. - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für zwei aufeinanderfolgende, unabhängige Ereignisse? - Nutze den Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und der seines Gegenereignisses.

1. Bestimmung des Gegenereignisses \(\bar{E}\): Das Gegenereignis zu „Mindestens einmal wird Grün gedreht“ lautet „Kein einziges Mal wird Grün gedreht“ (oder „Zweimal wird eine andere Farbe als Grün gedreht“). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Dreh ohne Grün: Es gibt 3 Sektoren, die nicht grün sind (2 gelbe und 1 roter). Bei insgesamt 8 Sektoren ist die Wahrscheinlichkeit \(P(\text{nicht Grün}) = \frac{3}{8}\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses \(\bar{E}\) bei zwei Drehungen: Da die Drehungen unabhängig voneinander sind, gilt \(P(\bar{E}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{64}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit von \(E\): Über die Gegenwahrscheinlichkeit ergibt sich \(P(E) = 1 - P(\bar{E}) = 1 - \frac{9}{64} = \frac{55}{64}\).

Das Gegenereignis \(\bar{E}\) lautet: „Kein einziges Mal wird Grün gedreht“ (oder „Es wird zweimal eine andere Farbe als Grün gedreht“). Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\) beträgt \(\frac{55}{64}\).

- Was bedeutet es für das Ergebnis der drei Drehungen, wenn das Ereignis „mindestens einmal Rot“ nicht eintrifft? - Kannst du das Gegenteil dieses Ereignisses beschreiben? - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung kein Rot (also Blau) zu erhalten? - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen drei Drehungen nur Blau erscheint? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und der seines Gegenereignisses?

1. Formulierung des Gegenereignisses \(\bar{A}\): Das Gegenteil von „mindestens einmal Rot“ bei drei Drehungen ist „kein einziges Mal Rot“ beziehungsweise „dreimal Blau“. 2. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeit: Da vier von fünf Sektoren blau sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Blau bei einer Drehung \(P(B) = \frac{4}{5}\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: Da bei allen drei Drehungen Blau auftreten muss, gilt nach der Pfadmultiplikationsregel: \(P(\bar{A}) = \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{64}{125}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(A\): Mithilfe der Gegenereignisformel gilt: \(P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{64}{125} = \frac{61}{125}\).

a) Das Gegenereignis \(\bar{A}\) lautet: „Das Rad zeigt kein einziges Mal Rot“ (oder „Das Rad zeigt dreimal Blau“). b) Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses beträgt \(P(\bar{A}) = \frac{64}{125}\). c) Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses beträgt \(P(A) = \frac{61}{125}\).

- Erinnere dich daran, welche Zahlen im Bereich von 1 bis 12 Primzahlen sind. Ist die 1 eine Primzahl? - Schreibe dir zuerst alle Zahlen auf, die eine Primzahl sind oder auf einem blauen Feld liegen. Das ist die Ergebnismenge von \(A\). - Das Gegenereignis \(\bar{A}\) enthält genau alle Ergebnisse aus der Gesamtmenge \(\{1, 2, \dots, 12\}\), die nicht zu \(A\) gehören. - Wie lautet das logische Gegenteil von „Bedingung 1 ODER Bedingung 2“? - Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die Anzahl der günstigen Ergebnisse für das Gegenereignis durch die Gesamtzahl der Sektoren teilst.

1. Bestimmung der Ergebnismenge des Ereignisses \(A\): - Die Primzahlen im Bereich von 1 bis 12 sind: 2, 3, 5, 7, 11 (Hinweis: Die Zahl 1 ist keine Primzahl). - Die blauen Sektoren zeigen die Zahlen: 9, 10, 11, 12. - Da \(A\) eintritt, wenn mindestens eine der beiden Bedingungen erfüllt ist, vereinigen wir diese Mengen: \(A = \{2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12\}\) 2. Beschreibung des Gegenereignisses \(\bar{A}\) in Worten: Das Gegenereignis von „Zahl ist Primzahl oder Sektor ist blau“ ist das logische Gegenteil. In Worten: „Die gedrehte Zahl ist keine Primzahl und der Sektor ist nicht blau.“ 3. Bestimmung der Ergebnismenge von \(\bar{A}\): Es sind alle Zahlen von 1 bis 12, die nicht im Ereignis \(A\) vorkommen: \(\bar{A} = \{1, 4, 6, 8\}\) 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(\bar{A})\): Da alle 12 Sektoren gleich groß sind, ist es ein Laplace-Experiment. Es gibt 4 günstige Ergebnisse für das Gegenereignis. \(P(\bar{A}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%\)

a) \(A = \{2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12\}\) b) In Worten: „Die gedrehte Zahl ist keine Primzahl und der Sektor ist nicht blau.“ Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\bar{A}) = \frac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%\).

- Überlege dir, was passieren muss, damit die Farben *nicht* unterschiedlich sind. - Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe bei einer einzelnen Drehung. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades (zum Beispiel Blau gefolgt von Blau) in einem Baumdiagramm? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für „zweimal die gleiche Farbe“ kennst, wie groß ist dann der Rest bis zum sicheren Ereignis (\(100\,\%\))?

1. Bestimmung des Gegenereignisses \(\bar{E}\): Das Gegenereignis zu „Bei den beiden Drehungen erscheinen zwei verschiedene Farben“ lautet „Bei beiden Drehungen erscheint dieselbe Farbe“. Das bedeutet, es treten die Ergebnisse (Orange, Orange), (Blau, Blau) oder (Gelb, Gelb) auf. 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die Einzelfarben bei einer Drehung: \(P(\text{Orange}) = \frac{5}{10} = 0{,}5\) \(P(\text{Blau}) = \frac{3}{10} = 0{,}3\) \(P(\text{Gelb}) = \frac{2}{10} = 0{,}2\) 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses \(\bar{E}\) mithilfe der Pfadregeln: \(P(\bar{E}) = P(\text{Orange, Orange}) + P(\text{Blau, Blau}) + P(\text{Gelb, Gelb})\) \(P(\bar{E}) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 + 0{,}3 \cdot 0{,}3 + 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}25 + 0{,}09 + 0{,}04 = 0{,}38\). 4. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) über die Komplementärregel: \(P(E) = 1 - P(\bar{E}) = 1 - 0{,}38 = 0{,}62\). Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\) beträgt \(0{,}62\) (bzw. \(62\,\%\)).

Das Gegenereignis \(\bar{E}\) lautet: „Bei beiden Drehungen erscheint dieselbe Farbe“. Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses beträgt \(P(\bar{E}) = 0{,}38\). Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\) beträgt \(P(E) = 0{,}62\) (bzw. \(62\,\%\)).

- Wann kann ein Produkt ungerade sein? - Kannst du das Gegenteil des gesuchten Ereignisses einfacher beschreiben?

1. Gegenereignis „Produkt ungerade“: beide Zahlen ungerade. 2. Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: \(\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{4}=\frac{1}{4}\). 3. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\).

\(\frac{3}{4}=75\,\%\).

- Wie viele Kugeln gibt es insgesamt im Beutel? - Überlege dir für jedes Ereignis genau, welche und wie viele Kugeln die Bedingung erfüllen. - Achte bei „oder“-Verknüpfungen darauf, ob es Kugeln gibt, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen, damit du sie nicht doppelt zählst. - Bei „weder ... noch ...“ kann es hilfreich sein, erst das Gegenteil zu berechnen.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: \(n = 40\). 2. a) Es gibt in jeder der \(4\) Farben eine Kugel mit der Zahl \(5\). Günstige Ergebnisse: \(4\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} = 0{,}1\). 3. b) Es gibt \(10\) gelbe Kugeln. Günstige Ergebnisse: \(10\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. c) Es gibt genau eine rote Kugel mit der Zahl \(7\). Günstiges Ergebnis: \(1\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{1}{40} = 0{,}025\). 5. d) Es gibt \(10\) blaue Kugeln, davon trägt eine die Zahl \(10\). Günstige Ergebnisse: \(10 - 1 = 9\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{9}{40} = 0{,}225\). 6. e) Es gibt \(10\) grüne Kugeln. Zusätzlich gibt es \(3\) weitere Kugeln mit der Zahl \(2\) (rot, blau, gelb). Günstige Ergebnisse: \(10 + 3 = 13\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{13}{40} = 0{,}325\). 7. f) Es gibt \(10\) rote Kugeln und \(4\) Kugeln mit der Zahl \(1\). Die rote \(1\) ist in beiden Gruppen enthalten. Die Anzahl der Kugeln, die rot sind oder eine \(1\) tragen, ist \(10 + 4 - 1 = 13\). Die Anzahl der Kugeln, auf die beides nicht zutrifft, ist \(40 - 13 = 27\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{27}{40} = 0{,}675\).

a) \(P = \frac{1}{10} = 0{,}1\) b) \(P = \frac{1}{4} = 0{,}25\) c) \(P = \frac{1}{40} = 0{,}025\) d) \(P = \frac{9}{40} = 0{,}225\) e) \(P = \frac{13}{40} = 0{,}325\) f) \(P = \frac{27}{40} = 0{,}675\)

- Erstelle dir eine kleine Tabelle, um den Überblick über Lieferanten und Zustand (defekt/einwandfrei) zu behalten. - Was bedeutet „weder A noch defekt“ in Bezug auf den Lieferanten B? - Achte bei Aufgabe c) darauf, die defekten Bauteile von Lieferant B nicht doppelt zu zählen.

1. Gesamtzahl der Bauteile: \(n = 50\). 2. a) Gesamtzahl defekter Bauteile: \(5 + 2 = 7\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{defekt}) = \frac{7}{50} = 0{,}14\). 3. b) Bauteile von A, die einwandfrei sind: \(30 - 5 = 25\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{A und einwandfrei}) = \frac{25}{50} = 0{,}5\). 4. c) Bauteile von B (\(20\)) plus defekte Bauteile von A (\(5\)). Die defekten Bauteile von B sind bereits in den \(20\) enthalten. Günstige Ergebnisse: \(20 + 5 = 25\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{B oder defekt}) = \frac{25}{50} = 0{,}5\). 5. d) „Nicht von Lieferant A und nicht defekt“ bedeutet: Das Bauteil stammt von Lieferant B und ist einwandfrei. Bauteile von B: \(20\), davon sind \(2\) defekt. Einwandfreie Bauteile von B: \(20 - 2 = 18\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{18}{50} = \frac{9}{25} = 0{,}36\).

a) \(P = 0{,}14\) b) \(P = 0{,}5\) c) \(P = 0{,}5\) d) \(P = 0{,}36\)