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- Ereignis und Gegenereignis decken gemeinsam alle möglichen Fälle ab. - Welche Summe müssen ihre Wahrscheinlichkeiten deshalb ergeben? - Prüfe die beiden vorgeschlagenen Werte an dieser Bedingung.

1. Ein Ereignis und sein Gegenereignis erfassen zusammen alle möglichen Ergebnisse. Daher müssen ihre Wahrscheinlichkeiten zusammen \(1\) ergeben. 2. Bens Werte ergeben \(0{,}6+0{,}5=1{,}1\) und können deshalb nicht stimmen. 3. Richtig ist \(P(\bar A)=1-0{,}6=0{,}4\).

Bens Behauptung ist falsch. Es gilt \(P(\bar A)=0{,}4\).

- Prüfe, ob Toms \(\omega\) genau einen möglichen Ausgang oder mehrere Ausgänge enthält. - Für das Ereignis \(A\) müssen alle Ergebnisse aus \(\Omega\) gesammelt werden, die die Bedingung erfüllen. - Kontrolliere, ob deine beiden Schreibweisen unterschiedliche Rollen haben: einzelnes Ergebnis und Ereignismenge.

1. Ein einzelnes Ergebnis ist genau ein möglicher Ausgang des Würfelwurfs. Beispielsweise ist \(\omega=4\) ein einzelnes Ergebnis. 2. Das Ereignis „Es fällt eine gerade Zahl“ umfasst alle geraden Ergebnisse aus \(\Omega\). Daher gilt \(A=\{2,4,6\}\).

Zum Beispiel \(\omega=4\); für das Ereignis „Es fällt eine gerade Zahl“ gilt \(A=\{2,4,6\}\).

- Betrachte zuerst die beiden Randpunkte der Wahrscheinlichkeitsskala. - Was bedeutet eine Wahrscheinlichkeit von \(0\) für das Eintreten eines Ereignisses? - Was bedeutet eine Wahrscheinlichkeit von \(1\)? - Werte echt zwischen \(0\) und \(1\) beschreiben weder ein unmögliches noch ein sicheres Ereignis.

1. A liegt bei \(0\). Ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit \(0\) ist unmöglich. 2. B liegt bei \(0{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit liegt echt zwischen \(0\) und \(1\); das Ereignis ist möglich, aber nicht sicher. 3. C liegt bei \(1\). Ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit \(1\) ist sicher.

A: unmöglich B: möglich, aber nicht sicher C: sicher

- Überlege dir, welche Möglichkeiten es für die Anzahl (0, 1, 2 oder 3) insgesamt gibt. - Was bleibt übrig, wenn man die genannten Fälle aus der Gesamtmenge aller Möglichkeiten entfernt? - „Mindestens“ und „Höchstens“ sind oft Gegenspieler, aber achte genau auf die Grenzwerte. - Kannst du die Situation mit einer anderen Farbe beschreiben?

1. Bestimmung von \(\bar{A}\): Das Ereignis \(A\) umfasst den Fall (3 blau). Das Gegenereignis umfasst alle anderen Fälle, also (0, 1 oder 2 blau). In Worten: Mindestens ein Stift ist rot. 2. Bestimmung von \(\bar{B}\): Das Ereignis \(B\) umfasst (2 rot, 3 rot). Das Gegenereignis umfasst (0 rot, 1 rot). In Worten: Höchstens ein Stift ist rot. 3. Bestimmung von \(\bar{C}\): Das Ereignis \(C\) umfasst (0 blau, 1 blau). Das Gegenereignis umfasst (2 blau, 3 blau). In Worten: Mindestens zwei Stifte sind blau. 4. Bestimmung von \(\bar{D}\): Das Ereignis \(D\) umfasst genau den Fall (2 rot). Das Gegenereignis umfasst alle anderen Möglichkeiten für die Anzahl roter Stifte. In Worten: Es werden \(0\), \(1\) oder \(3\) rote Stifte gezogen.

a) \(\bar{A}\): Mindestens ein Stift ist rot. b) \(\bar{B}\): Höchstens ein Stift ist rot. c) \(\bar{C}\): Mindestens zwei Stifte sind blau. d) \(\bar{D}\): Es werden \(0\), \(1\) oder \(3\) rote Stifte gezogen.

- Überlege dir, welche Ergebnisse übrig bleiben, wenn man das beschriebene Ereignis aus der Menge aller Möglichkeiten entfernt. - Wie lässt sich die logische Verneinung von Wörtern wie „alle“, „kein“ oder „mindestens“ am einfachsten ausdrücken? - Stell dir vor, du müsstest beweisen, dass die Aussage des Ereignisses falsch ist. Was müsste dafür passieren?

1. Definition des Gegenereignisses: Das Gegenereignis umfasst alle Ergebnisse des Ergebnisraums, die nicht zum ursprünglichen Ereignis gehören. 2. Teilaufgabe a): Das Gegenteil von „alle“ ist „nicht alle“, was bedeutet, dass mindestens ein Schuss das Ziel verfehlt. Ergebnis: Mindestens ein Schuss trifft nicht ins Goldene. 3. Teilaufgabe b): Das Gegenteil von „kein“ ist „mindestens einer“. Ergebnis: Mindestens ein Schuss trifft ins Goldene. 4. Teilaufgabe c): Das Ereignis verlangt Treffer bei Schuss \(1\) UND Schuss \(2\). Das Gegenereignis tritt ein, wenn dies nicht der Fall ist. Ergebnis: Mindestens einer der ersten zwei Schüsse trifft nicht ins Goldene. 5. Teilaufgabe d): „Mindestens \(5\)“ bedeutet \(5\) oder \(6\) Treffer. Die verbleibenden Möglichkeiten sind \(0, 1, 2, 3\) oder \(4\) Treffer. Ergebnis: Höchstens vier Schüsse treffen ins Goldene.

a) Mindestens ein Schuss trifft nicht ins Goldene. b) Mindestens ein Schuss trifft ins Goldene. c) Mindestens einer der ersten zwei Schüsse trifft nicht ins Goldene. d) Höchstens vier Schüsse treffen ins Goldene.

- Was bedeutet es, wenn ein Ergebnis nicht zu einem Ereignis gehört? - Wie viele Elemente hat die gesamte Menge und wie viele davon gehören zum gesuchten Ereignis? - Erinnere dich an die Definition einer Quadratzahl.

1. Identifikation der Quadratzahlen in \(\Omega\): \(A = \{1, 4, 9\}\) 2. Bestimmung des Gegenereignisses \(\bar{A}\) durch Ausschluss von \(A\) aus \(\Omega\): \(\bar{A} = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 10\}\) 3. Identifikation der Zahlen größer als 7: \(B = \{8, 9, 10\}\) 4. Bestimmung des Gegenereignisses \(\bar{B}\): \(\bar{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(\bar{A})\) nach Laplace: Anzahl der günstigen Ergebnisse (\(7\)) dividiert durch Anzahl der möglichen Ergebnisse (\(10\)), resultierend in \(P(\bar{A}) = \frac{7}{10} = 0{,}7\)

- \(A = \{1, 4, 9\}\), \(\bar{A} = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 10\}\) - \(B = \{8, 9, 10\}\), \(\bar{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) - \(P(\bar{A}) = 0{,}7\)

- Nutze die gleich großen Sektoren als gleich wahrscheinliche Ergebnisse. - Für das Ereignis zählen nur die Sektoren, die das Zeichen \(M\) tragen. - Ereignis und Gegenereignis müssen zusammen alle Sektoren des Rads erfassen.

1. Das Glücksrad hat \(10\) gleich große Sektoren. Davon sind \(4\) mit \(M\) markiert. Daher ist \(P(E)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\). 2. Das Gegenereignis tritt ein, wenn der Zeiger auf einem Feld ohne Markierung \(M\) stehen bleibt. 3. Es gibt \(6\) nicht markierte Sektoren. Daher ist \(P(\bar E)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\). Außerdem gilt \(\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1\).

1. \(P(E)=\frac{2}{5}\) 2. \(\bar E\): „Der Zeiger bleibt auf einem Feld ohne Markierung \(M\) stehen.“ 3. \(P(\bar E)=\frac{3}{5}\)

- Welche Ergebnisse gehören genau dann zum Gegenereignis, wenn „gelb“ nicht eintritt? - Lies aus der Abbildung ab, wie viele Kugeln insgesamt und wie viele davon nicht gelb sind. - Für eine Laplace-Auswahl aus den Kugeln vergleichst du günstige mit allen möglichen Kugeln.

1. Das Gegenereignis tritt genau dann ein, wenn keine gelbe Kugel gezogen wird. Es lautet: „Die gezogene Kugel ist nicht gelb“, also „rot oder blau“. 2. In der Abbildung sind \(7\) von \(12\) Kugeln gelb. Damit sind \(5\) Kugeln nicht gelb. 3. Daher gilt \(P(\bar{E})=\frac{5}{12}\).

a) „Die gezogene Kugel ist nicht gelb“ (oder: „Die gezogene Kugel ist rot oder blau“). b) \(\frac{5}{12}\)

- Wie lautet das Gegenteil von „mindestens einmal Grün“? - Wie viele Sektoren sind nicht grün? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses zusammen?

1. Das Gegenereignis zu „mindestens einmal Grün“ lautet „kein einziges Mal Grün“. 2. Drei der acht Sektoren sind nicht grün. Daher gilt für eine Drehung \(P(\text{nicht Grün})=\frac{3}{8}\). 3. Für das Gegenereignis bei zwei Drehungen gilt nach der Produktregel \(P(\bar E)=\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{8}=\frac{9}{64}\). 4. Damit ist \(P(E)=1-P(\bar E)=1-\frac{9}{64}=\frac{55}{64}\).

Gegenereignis: „Kein einziges Mal wird Grün gedreht.“ \(P(E)=\frac{55}{64}\)

- Zähle für jedes Ereignis die passenden gleich großen Felder in der Abbildung. - Beim Gegenereignis gehören genau die Felder dazu, die nicht zum ursprünglichen Ereignis gehören. - Welche Farbe bleibt in b) übrig, wenn Blau und Rot ausgeschlossen sind?

1. Von \(8\) gleich großen Feldern sind \(3\) rot. Daher gilt \(P(E)=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\). 2. Das Gegenereignis zu „rot“ ist „nicht rot“. Somit gilt \(P(\bar{E})=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}=62{,}5\,\%\). 3. Das Gegenereignis zu „blau oder rot“ ist „weder blau noch rot“. Da nur die drei dargestellten Farben vorkommen, ist damit genau „gelb“ gemeint. 4. Ein von \(8\) Feldern ist gelb. Daher gilt \(P(\bar{A})=\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\).

a) \(P(E)=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\) und \(P(\bar{E})=\frac{5}{8}=62{,}5\,\%\). b) \(\bar{A}\): „Der Zeiger landet auf einem gelben Feld“ (oder: „weder auf Blau noch auf Rot“). \(P(\bar{A})=\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\).

- Was bedeutet es für die drei Drehungen, wenn „mindestens einmal Rot“ nicht eintritt? - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung kein Rot zu erhalten? - Über welchen vollständigen Pfad lässt sich das Gegenereignis berechnen? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses zusammen?

1. Das Gegenereignis \(\bar A\) lautet: „Das Rad zeigt kein einziges Mal Rot“, also „dreimal Blau“. 2. Da vier von fünf Sektoren blau sind, gilt \(P(\text{Blau})=\frac{4}{5}\). 3. Mit der Produktregel erhält man \(P(\bar A)=\left(\frac{4}{5}\right)^3=\frac{64}{125}\). 4. Mit dem Gegenereignis folgt \(P(A)=1-P(\bar A)=1-\frac{64}{125}=\frac{61}{125}\).

a) Das Gegenereignis \(\bar A\) lautet: „Das Rad zeigt kein einziges Mal Rot“ (oder „Das Rad zeigt dreimal Blau“). b) \(P(\bar A)=\frac{64}{125}\) c) \(P(A)=\frac{61}{125}\)

- Welche Ergebnisfolgen sind ausgeschlossen, wenn mindestens ein Treffer verlangt wird? - Beschreibe das Gegenteil mit möglichst wenigen Pfaden.

1. Gegenereignis: „keine rote Kugel“, also \(\overline{R}\,\overline{R}\). 2. Wahrscheinlichkeit: \(0{,}7\cdot0{,}7=0{,}49\).

Gegenereignis: „keine rote Kugel“; Wahrscheinlichkeit \(0{,}49\).

- Wann kann ein Produkt ungerade sein? - Kannst du das Gegenteil des gesuchten Ereignisses einfacher beschreiben?

1. Gegenereignis „Produkt ungerade“: beide Zahlen ungerade. 2. Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: \(\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{4}=\frac{1}{4}\). 3. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\).

\(\frac{3}{4}=75\,\%\).

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Würfelpaare gibt es insgesamt? - Das Gegenereignis „keine \(6\)“ ist leichter zu zählen. - Ziehe die Zahl der Gegenereignis-Paare von der Gesamtzahl ab.

1. Bei zwei Würfen gibt es \(6^2=36\) gleich wahrscheinliche geordnete Würfelpaare. 2. Für das Gegenereignis „keine \(6\)“ sind \(5^2=25\) Paare günstig. 3. Daher gehören \(36-25=11\) Paare zum Ereignis „mindestens eine \(6\)“ und es gilt \(P=\frac{11}{36}\).

\(\frac{11}{36}\)

- Suche eine gemeinsame Beschreibung, die für alle drei markierten Endpunkte gilt. - Prüfe, welcher Endpunkt als einziger nicht markiert ist. - Das Gegenereignis muss genau die nicht markierten möglichen Ergebnisse enthalten.

1. Die markierten Ergebnisse sind \(KK\), \(KZ\) und \(ZK\). 2. Eine gemeinsame Beschreibung lautet: „mindestens einmal Kopf“. 3. Der einzige nicht markierte Endpunkt ist \(ZZ\). Das Gegenereignis lautet daher „kein Kopf“.

Ereignis: „mindestens einmal Kopf“; Gegenereignis: „kein Kopf“, also \(ZZ\).

- Ereignis und Gegenereignis decken zusammen alle möglichen Fälle ab. - Überlege bei b), welche Größe bis zur Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\) noch fehlt. - Prüfe bei c) nicht nur jeden Einzelwert, sondern die Beziehung zwischen Ereignis und Gegenereignis.

1. Ereignis und Gegenereignis ergänzen sich zur Wahrscheinlichkeit \(1\). Daher gilt \(P(\bar A)=1-0{,}35=0{,}65\). 2. Ebenso gilt \(P(B)=1-P(\bar B)=1-0{,}42=0{,}58\). 3. Für \(C\) und \(\bar C\) müsste die Summe genau \(1\) sein. Hier ist \(0{,}58+0{,}52=1{,}10\). Die Behauptung ist daher falsch.

a) \(0{,}65\) b) \(0{,}58\) c) Falsch, denn \(0{,}58+0{,}52=1{,}10\neq1\).

- Nutze zuerst den Zusammenhang zwischen einem Ereignis und seinem Gegenereignis. - Übersetze die gefundene Wahrscheinlichkeit anschließend in einen Anteil von \(250\) Losen. - Prüfe, ob Gewinnlose und Nieten zusammen wieder alle \(250\) Lose ergeben könnten.

1. A und \(\bar A\) ergänzen sich. Daher ist \(P(A)=1-0{,}72=0{,}28\). 2. Bei \(250\) gleich wahrscheinlichen Losen entsprechen \(0{,}28\cdot250=70\) Lose dem Ereignis A.

a) \(P(A)=0{,}28=28\,\%\) b) \(70\) Gewinnlose

- Formuliere zuerst, was genau nicht eintreten darf, wenn das jeweilige Ereignis nicht eintritt. - Prüfe, ob Ereignis und Gegenereignis zusammen wirklich alle \(40\) Kugeln erfassen. - Bei einer Bedingung mit „und“ lohnt es sich, das Gegenereignis an konkreten Kugeln zu testen.

1. Zu \(A\) gehören die \(10\) gelben Kugeln. Das Gegenereignis lautet: „Die gezogene Kugel ist nicht gelb.“ Dazu gehören \(40-10=30\) Kugeln. 2. Zu \(B\) gehören die vier Kugeln mit der Zahl \(5\), je eine pro Farbe. Das Gegenereignis lautet: „Die gezogene Kugel trägt nicht die Zahl \(5\).“ Dazu gehören \(40-4=36\) Kugeln. 3. Zu \(C\) gehören die \(9\) blauen Kugeln mit den Zahlen \(1\) bis \(9\). Das Gegenereignis lautet: „Die gezogene Kugel ist nicht blau oder sie trägt die Zahl \(10\).“ Dazu gehören \(40-9=31\) Kugeln.

a) \(\bar A\): „Die gezogene Kugel ist nicht gelb.“; \(10\) Kugeln gehören zu \(A\), \(30\) zu \(\bar A\). b) \(\bar B\): „Die gezogene Kugel trägt nicht die Zahl \(5\).“; \(4\) Kugeln gehören zu \(B\), \(36\) zu \(\bar B\). c) \(\bar C\): „Die gezogene Kugel ist nicht blau oder sie trägt die Zahl \(10\).“; \(9\) Kugeln gehören zu \(C\), \(31\) zu \(\bar C\).

- Versuche, die Informationen in einer Vierfeldertafel oder einem Mengendiagramm darzustellen. - Denk daran, dass Personen, die beides machen, in beiden Gruppen (Instrument und Sport) mitgezählt wurden. - Wie viele verschiedene Personen sind insgesamt in der Sport- oder Instrumentengruppe?

1. Die Gesamtzahl beträgt \(24\). Für Instrument gilt \(H(I)=14\), für Sport \(H(S)=10\), und \(H(I\cap S)=6\). 2. Mindestens eines von beidem machen \(H(I\cup S)=14+10-6=18\) Jugendliche. Also machen \(24-18=6\) keines von beidem. Damit ist die Wahrscheinlichkeit in a) \(\frac{6}{24}=\frac{1}{4}\). 3. Nur ein Instrument spielen \(14-6=8\) Jugendliche. Damit ist die Wahrscheinlichkeit in b) \(\frac{8}{24}=\frac{1}{3}\). 4. Nils' Rechnung zählt die \(6\) Jugendlichen aus der Schnittmenge zweimal. Deshalb sind nur \(18\) verschiedene Jugendliche in mindestens einer der beiden Gruppen.

a) \(P=\frac{1}{4}\) b) \(P=\frac{1}{3}\) c) Die Summe \(14+10\) zählt die \(6\) Jugendlichen aus der Schnittmenge doppelt. Nur \(18\) Jugendliche machen mindestens eines von beidem; \(6\) machen keines.

- Ordne die Angaben zunächst nach Herkunft und Zustand in einer Übersicht. - Beachte bei „oder“, dass defekte Rheintec-Bauteile bereits zur Gruppe Rheintec gehören. - Übersetze „nicht von Nordwerk und nicht defekt“ in eine positive Beschreibung der Herkunft und des Zustands.

1. Gesamtzahl der Bauteile: \(n=50\). 2. Insgesamt sind \(5+2=7\) Bauteile defekt. Daher ist \(P(\text{defekt})=\frac{7}{50}=0{,}14\). 3. Von Nordwerk sind \(30-5=25\) Bauteile einwandfrei. Daher ist \(P(\text{Nordwerk und einwandfrei})=\frac{25}{50}=0{,}5\). 4. Für „Rheintec oder defekt“ zählen alle \(20\) Rheintec-Bauteile sowie zusätzlich die \(5\) defekten Nordwerk-Bauteile. Somit sind \(25\) Ergebnisse günstig und \(P(\text{Rheintec oder defekt})=\frac{25}{50}=0{,}5\). 5. „Nicht von Nordwerk und nicht defekt“ bedeutet: von Rheintec und einwandfrei. Das trifft auf \(20-2=18\) Bauteile zu. Daher ist \(P=\frac{18}{50}=\frac{9}{25}=0{,}36\).

a) \(P=0{,}14\) b) \(P=0{,}5\) c) \(P=0{,}5\) d) \(P=0{,}36\)

- Schreibe dir zuerst alle Zahlen von 1 bis 20 auf. - Markiere die Zahlen, die zum Ereignis gehören. Die restlichen gehören zum Gegenereignis. - Was bedeutet „höchstens“ mathematisch? Welches Zeichen (\(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\)) passt dazu? - Denke daran, dass die 1 keine Primzahl ist.

1. Beschreibung der Gegenereignisse: \(\bar{E}_1\): Die Zahl ist keine Primzahl. \(\bar{E}_2\): Die Zahl ist kein Vielfaches von 4. \(\bar{E}_3\): Die Zahl ist höchstens 15. \(\bar{E}_4\): Die Zahl ist größer als 18. 2. Berechnung der Anzahlen: - Primzahlen (\(E_1\)): \(\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}\), also 8 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_1\): \(20 - 8 = 12\). - Vielfache von 4 (\(E_2\)): \(\{4, 8, 12, 16, 20\}\), also 5 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_2\): \(20 - 5 = 15\). - Zahlen größer 15 (\(E_3\)): \(\{16, 17, 18, 19, 20\}\), also 5 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_3\): \(20 - 5 = 15\). - Zahlen bis 18 (\(E_4\)): \(\{1, 2, \dots, 18\}\), also 18 Stück. Anzahl für \(\bar{E}_4\): \(20 - 18 = 2\) (nämlich 19 und 20).

1. \(\bar{E}_1\): Keine Primzahl; \(\bar{E}_2\): Kein Vielfaches von 4; \(\bar{E}_3\): Höchstens 15; \(\bar{E}_4\): Größer als 18. 2. Anzahl der Ergebnisse: \(\bar{E}_1: 12\); \(\bar{E}_2: 15\); \(\bar{E}_3: 15\); \(\bar{E}_4: 2\).

- Was sind Quadratzahlen? Multipliziere kleine natürliche Zahlen mit sich selbst. - Welche Zahlen zwischen 1 und 10 sind Primzahlen? - Wenn du die Gewinnzahlen kennst, welche Zahlen führen dann zum Verlust? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Glücksrad mit gleich großen Feldern?

1. Ergebnismenge \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\). 2. Bestimmung von \(G\): Quadratzahlen sind \(\{1, 4, 9\}\). Primzahlen sind \(\{2, 3, 5, 7\}\). Die Vereinigungsmenge ist \(G = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}\). 3. Gegenereignis \(\bar{G}\): Die verbleibenden Zahlen sind \(\{6, 8, 10\}\). In Worten: Die Zahl ist 6, 8 oder 10. 4. Wahrscheinlichkeiten: \(P(G) = \frac{7}{10} = 0{,}7\). \(P(\bar{G}) = \frac{3}{10} = 0{,}3\). 5. Zusammenhang: Für ein Ereignis und sein Gegenereignis gilt \(P(G) + P(\bar{G}) = 1\).

a) \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\); \(G = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}\). b) \(\bar{G}\): Die Zahl ist 6, 8 oder 10. c) \(P(G) = 0{,}7\); \(P(\bar{G}) = 0{,}3\). Für ein Ereignis und sein Gegenereignis ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten \(1\).

- Schreibe dir für Aussagen über Anzahlen zunächst die möglichen Werte von \(0\) bis \(20\) auf. - Achte bei Formulierungen wie „höchstens“ und „mehr als“ darauf, ob der Grenzwert dazugehört. - Ein Gegenereignis muss genau alle möglichen Ergebnisse enthalten, die nicht zum ursprünglichen Ereignis gehören.

1. Bei a) umfasst das Ereignis genau den Wert \(1\). Das Gegenereignis umfasst alle anderen möglichen Anzahlen von \(0\) bis \(20\): Kein Akku oder mindestens zwei Akkus sind defekt. 2. „Höchstens drei“ umfasst \(0,1,2,3\) defekte Akkus. Das Gegenereignis lautet daher: Mindestens vier Akkus sind defekt. 3. „Mehr als \(15\) voll funktionsfähig“ bedeutet \(16\) bis \(20\) voll funktionsfähige Akkus. Das Gegenereignis lautet: Höchstens \(15\) Akkus sind voll funktionsfähig. 4. Für eine ganze Anzahl von Akkus ist das Gegenereignis zu „gerade“ die Aussage „ungerade“.

a) Kein Akku oder mindestens zwei Akkus sind defekt. b) Mindestens vier Akkus sind defekt. c) Höchstens \(15\) Akkus sind voll funktionsfähig. d) Die Anzahl der defekten Akkus ist ungerade.

- Prüfe für jede Aussage, welche möglichen Ergebnisse sie ausschließt. - Bei c) reicht es für das Gegenereignis bereits aus, dass eine der beiden geforderten Stellen keine Ziffer ist. - Formulierungen über Anzahlen kannst du zunächst mit den möglichen Werten \(0,1,2,3,4\) prüfen.

1. Wenn nicht alle vier Zeichen Buchstaben sind, muss mindestens ein Zeichen eine Ziffer sein. 2. Wenn das Passwort nicht mindestens eine Ziffer enthält, enthält es keine Ziffer; damit sind alle vier Zeichen Buchstaben. 3. Das Ereignis aus c) tritt nur ein, wenn beide äußeren Zeichen Ziffern sind. Sein Gegenereignis tritt deshalb ein, sobald mindestens eines der beiden äußeren Zeichen ein Buchstabe ist. 4. Möglich sind \(0,1,2,3\) oder \(4\) Buchstaben. Wenn es nicht höchstens zwei sind, müssen es mindestens drei sein.

a) Mindestens ein Zeichen ist eine Ziffer. b) Alle vier Zeichen sind Buchstaben. c) Mindestens eines der beiden äußeren Zeichen ist ein Buchstabe. d) Mindestens drei Zeichen sind Buchstaben.

- Gehe die Zahlen nacheinander durch und prüfe die Bedingungen für Primzahlen und Quersummen. - Wie hängen die Anzahl der Elemente in einer Menge und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Was musst du tun, um alle Elemente zu finden, die NICHT in einer Menge sind?

1. Identifikation der Primzahlen in \(\Omega\): \(E = \{11, 13, 17, 19\}\) 2. Bestimmung des Gegenereignisses durch Komplementbildung: \(\bar{E} = \{12, 14, 15, 16, 18, 20\}\) 3. Prüfung der Quersummen (1+1=2, 1+2=3, ...): Durch 3 teilbare Quersummen haben 12, 15 und 18. Somit \(F = \{12, 15, 18\}\) 4. Bestimmung des Gegenereignisses: \(\bar{F} = \{11, 13, 14, 16, 17, 19, 20\}\) 5. Vergleich der Mächtigkeiten: \(|E| = 4\) und \(|F| = 3\). Da \(|E| > |F|\), ist das Ereignis \(E\) wahrscheinlicher, da bei einer Laplace-Wahrscheinlichkeit mehr günstige Ergebnisse vorliegen.

1. \(E = \{11, 13, 17, 19\}\), \(\bar{E} = \{12, 14, 15, 16, 18, 20\}\) 2. \(F = \{12, 15, 18\}\), \(\bar{F} = \{11, 13, 14, 16, 17, 19, 20\}\) 3. \(E\) ist wahrscheinlicher, da es mit 4 Elementen mehr Ergebnisse umfasst als \(F\) mit 3 Elementen.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es für jede Stelle der Zahl? Erstelle am besten einen Baum oder eine Liste. - Was ist das logische Gegenteil von „mindestens zwei“? - Denke daran, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis immer feststeht.

1. Systematische Auflistung aller Kombinationen von 1 und 2: \(\Omega = \{111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222\}\). Die Gesamtanzahl ist \(|\Omega| = 8\). 2. Identifikation der Zahlen mit zwei oder drei Einsen: \(G = \{111, 112, 121, 211\}\) 3. Formulierung des Gegenereignisses: \(\bar{G}\) bedeutet „weniger als zweimal die Ziffer 1“ oder „höchstens einmal die Ziffer 1“. Die Menge ist \(\bar{G} = \{122, 212, 221, 222\}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(G) = \frac{4}{8} = 0{,}5\) und \(P(\bar{G}) = \frac{4}{8} = 0{,}5\). 5. Nachweis der Summe: \(P(G) + P(\bar{G}) = 0{,}5 + 0{,}5 = 1\).

1. \(\Omega = \{111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222\}\) 2. \(G = \{111, 112, 121, 211\}\) 3. \(\bar{G}\): „Die Zahl enthält höchstens einmal die Ziffer 1“. \(\bar{G} = \{122, 212, 221, 222\}\) 4. \(P(G) = 0{,}5\); \(P(\bar{G}) = 0{,}5\); Summe: \(0{,}5 + 0{,}5 = 1\)

- Lies die möglichen Zahlen direkt aus dem Glücksrad ab und bestimme getrennt die Gewinnmenge von Tim und Sarah. - „Fair“ bedeutet hier, dass beide Gewinnereignisse gleich wahrscheinlich sind. - Für b) suchst du die Zahlen, die beide Gewinnbedingungen gleichzeitig erfüllen.

1. Das Glücksrad hat \(8\) gleich große Felder mit den Zahlen \(1\) bis \(8\). 2. Für Tim sind die Primzahlen \(\{2,3,5,7\}\) günstig. Daher gilt \(P(\text{Tim})=\frac48=\frac12=50\,\%\). 3. Für Sarah sind \(\{5,6,7,8\}\) günstig. Daher gilt \(P(\text{Sarah})=\frac48=\frac12=50\,\%\). Das Spiel ist bezüglich der Gewinnchancen fair. 4. Beide gewinnen gleichzeitig bei den Zahlen \(5\) und \(7\). Somit gilt \(P(\text{beide})=\frac28=\frac14=25\,\%\).

a) Ja. Beide haben die Gewinnwahrscheinlichkeit \(50\,\%\). b) \(\frac14=25\,\%\)

- Bestimme zuerst die Primzahlen im dargestellten Zahlenbereich. - Nimm anschließend alle Ergebnisse hinzu, deren Sektor als blau gekennzeichnet ist. - Für das Gegenereignis müssen beide Bedingungen des ODER-Ereignisses gleichzeitig verneint sein. - Zähle am Ende die Ergebnisse des Gegenereignisses unter allen gleich großen Sektoren.

1. Die Primzahlen von \(1\) bis \(12\) sind \(2,3,5,7,11\). Die blauen Sektoren tragen die Zahlen \(9,10,11,12\). 2. Für „Primzahl oder blau“ ergibt sich \(A=\{2,3,5,7,9,10,11,12\}\). 3. Das Gegenereignis lautet: „Die gedrehte Zahl ist keine Primzahl und der Sektor ist nicht blau.“ Damit ist \(\bar{A}=\{1,4,6,8\}\). 4. Alle \(12\) Sektoren sind gleich groß. Daher gilt \(P(\bar{A})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\approx33{,}3\,\%\).

a) \(A=\{2,3,5,7,9,10,11,12\}\) b) „Die gedrehte Zahl ist keine Primzahl und der Sektor ist nicht blau.“ \(P(\bar{A})=\frac{1}{3}\approx33{,}3\,\%\).

- Überlege, was passieren muss, damit die beiden Farben nicht verschieden sind. - Bestimme die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe bei einer einzelnen Drehung aus der Abbildung. - Welche gleichfarbigen Pfade gehören zum Gegenereignis? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses zusammen?

1. Das Gegenereignis zu „zwei verschiedene Farben“ lautet „zweimal dieselbe Farbe“. Dazu gehören die Pfade Orange-Orange, Blau-Blau und Gelb-Gelb. 2. Aus der Abbildung folgt \(P(\text{Orange})=\frac{5}{10}=0{,}5\), \(P(\text{Blau})=\frac{3}{10}=0{,}3\) und \(P(\text{Gelb})=\frac{2}{10}=0{,}2\). Mit Produktregel und Summenregel erhält man \(P(\bar E)=0{,}5\cdot0{,}5+0{,}3\cdot0{,}3+0{,}2\cdot0{,}2=0{,}38\). 3. Über das Gegenereignis folgt \(P(E)=1-P(\bar E)=1-0{,}38=0{,}62=62\,\%\).

1. \(\bar E\): „Bei beiden Drehungen erscheint dieselbe Farbe.“ 2. \(P(\bar E)=0{,}38\) 3. \(P(E)=0{,}62=62\,\%\)