Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege dir, ob das Ergebnis eines Versuchs jedes Mal anders ausfallen könnte, auch wenn man ihn genau gleich wiederholt. - Welche Rolle spielt die Vorhersehbarkeit bei einem echten Zufallsexperiment? - Unterscheide zwischen Naturgesetzen oder mathematischen Regeln und Ereignissen mit ungewissem Ausgang.

1. Ein Zufallsexperiment muss unter gleichen Bedingungen wiederholbar sein, das Ergebnis darf nicht vorhersagbar sein und die möglichen Ergebnisse müssen bekannt sein. 2. Teilaufgabe a): Kein Zufallsexperiment. Unter gleichen physikalischen Bedingungen ist das Ergebnis (Sieden bei \(100\,^\circ\text{C}\)) sicher vorhersagbar. 3. Teilaufgabe b): Zufallsexperiment. Der Ausgang ist ungewiss, alle möglichen Augenzahlen \(\{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\) sind bekannt und der Wurf ist beliebig oft wiederholbar. 4. Teilaufgabe c): Zufallsexperiment. Man weiß vorab nicht, welche Nummer gezogen wird, auch wenn man die möglichen Nummern kennt. 5. Teilaufgabe d): Kein Zufallsexperiment. Das Ergebnis ist durch die Formel \(U = 2\pi r\) eindeutig festgelegt und nicht vom Zufall abhängig.

a) Kein Zufallsexperiment (Ergebnis ist physikalisch festgelegt). b) Zufallsexperiment (Ausgang ungewiss). c) Zufallsexperiment (Ausgang ungewiss). d) Kein Zufallsexperiment (Ergebnis ist mathematisch eindeutig bestimmt).

- Kannst du alle möglichen Ergebnisfolgen systematisch notieren? - Welche Folgen erfüllen die Bedingung genau einmal?

1. Ergebnismenge: \(\Omega=\{KK,KZ,ZK,ZZ\}\). 2. Günstige Ergebnisse: \(KZ\) und \(ZK\). 3. Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{genau einmal Kopf})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).

\(\Omega=\{KK,KZ,ZK,ZZ\}\); die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{1}{2}\).

- Zähle die Endpunkte des Diagramms. - Prüfe, ob jede Bestellung genau einem Endpunkt entspricht.

1. Möglichkeiten je Sorte: \(2\). 2. Gesamtzahl: \(3\cdot2=6\) Bestellungen.

6 verschiedene Bestellungen.

- Zähle die Wahlmöglichkeiten auf jeder Stufe. - Jeder Endpunkt steht für genau eine vollständige Kombination.

1. Möglichkeiten nach Oberteil und Hose: \(2\cdot3=6\). 2. Mit der Schuhwahl: \(6\cdot2=12\).

12 vollständige Kostüme.

- Wie viele Möglichkeiten hast du pro Ring? - Überlege, wie du die Möglichkeiten der einzelnen Ringe kombinieren musst. - Was ändert sich an der Auswahl pro Ring, wenn nur noch bestimmte Ziffern erlaubt sind? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment?

1. Berechnung der Gesamtmöglichkeiten: Da es 3 Ringe mit je 10 Ziffern (0-9) gibt, beträgt die Anzahl der Kombinationen \(10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3 = 1000\). 2. Berechnung mit eingeschränkten Ziffern: Bei 3 Ringen und 5 möglichen Ziffern (1-5) pro Ring ergeben sich \(5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3 = 125\) Möglichkeiten. 3. Wahrscheinlichkeit berechnen: Die Wahrscheinlichkeit bei \(1000\) gleich wahrscheinlichen Möglichkeiten beträgt \(P = \frac{1}{1000}\). 4. Umrechnung in Prozent: \(\frac{1}{1000} = 0{,}001 = 0{,}1\,\%\).

a) Es gibt \(1000\) mögliche Kombinationen. b) Es sind \(125\) Kombinationen möglich. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{1000}\) oder \(0{,}1\,\%\).

- Zähle nach, wie viele Zahlen zwischen 000 und 999 liegen (vergiss die 000 nicht). - Sind bei einer zufälligen Ziehung bestimmte Muster wahrscheinlicher als andere? - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die letzte Ziffer, wenn sie \(7\) sein muss? Wie viele Möglichkeiten bleiben für die ersten beiden Stellen?

1. Bestimmung der Ergebnismenge: Die Nummern von 000 bis 999 umfassen genau \(1000\) verschiedene Möglichkeiten. 2. Beurteilung der Aussage: Es handelt sich um ein Laplace-Experiment. Jede Losnummer hat die gleiche Wahrscheinlichkeit von \(P = \frac{1}{1000}\). Die „Besonderheit“ einer Ziffernfolge beeinflusst die Wahrscheinlichkeit nicht. 3. Günstige Ergebnisse für Endziffer 7 bestimmen: Die Nummern sind 007, 017, 027, ..., 997. Da es 100 Zehnerblöcke gibt (00x bis 99x) und in jedem Block genau eine Zahl auf 7 endet, gibt es \(100\) günstige Ergebnisse. Alternativ: Die letzte Stelle muss eine 7 sein (1 Möglichkeit), während die ersten beiden Stellen beliebig (je 10 Möglichkeiten) sind: \(10 \cdot 10 \cdot 1 = 100\). 4. Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P = \frac{100}{1000} = \frac{1}{10} = 0{,}1 = 10\,\%\).

a) Es gibt \(1000\) verschiedene Losnummern. b) Die Aussage ist falsch. Jede Nummer ist gleich wahrscheinlich (\(P = \frac{1}{1000}\)), da es sich um ein Laplace-Experiment handelt. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{10}\) (oder \(10\,\%\)).

- Überlege dir für jede Stelle der Zahl einzeln, wie viele Ziffern zur Auswahl stehen. - Wann ist eine Zahl durch 5 teilbar? Schau dir die Endziffern an. - In einem Laplace-Experiment berechnet man die Wahrscheinlichkeit als Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.

1. Berechnung für a): Da für jede der 3 Stellen 4 Ziffern zur Auswahl stehen, ergibt sich \(4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64\) Möglichkeiten. 2. Berechnung für b): Für die erste Stelle gibt es 4, für die zweite 3 und für die dritte 2 Möglichkeiten. Es ergeben sich \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\) Möglichkeiten. 3. Wahrscheinlichkeit für a): Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 5 endet. Die ersten beiden Stellen sind beliebig (\(4 \cdot 4 = 16\) günstige Fälle). \(P = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. Wahrscheinlichkeit für b): Die letzte Stelle muss die 5 sein (1 Möglichkeit). Für die ersten beiden Stellen bleiben 3 bzw. 2 Ziffern übrig (\(3 \cdot 2 = 6\) günstige Fälle). \(P = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0{,}25\).

a) 64 Zahlen. b) 24 Zahlen. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt in beiden Fällen \(\frac{1}{4}\) (oder \(25\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, den ersten Preis zu vergeben und wie viele dann noch für den zweiten Preis übrig bleiben. - Bei Teilaufgabe b) ist eine ganz bestimmte Reihenfolge gefragt. Wie viele der vielen Möglichkeiten erfüllen genau diese Bedingung? - Bei Teilaufgabe c) ist es egal, wer welchen der beiden Preise bekommt. Wie viele Kombinationen von Julia und Tim sind hier möglich?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten: Da es zwei unterschiedliche Preise gibt und jede Person nur einen gewinnen kann, gibt es für den ersten Preis 12 Möglichkeiten und für den zweiten Preis 11 Möglichkeiten. Gesamtzahl: \(12 \cdot 11 = 132\). 2. Wahrscheinlichkeit für ein spezifisches Ergebnis (Julia Hauptpreis, Tim Trostpreis): Es gibt genau 1 günstiges Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{1}{132}\). 3. Wahrscheinlichkeit, dass beide einen Preis gewinnen: Es gibt zwei günstige Fälle (Julia Hauptpreis und Tim Trostpreis ODER Tim Hauptpreis und Julia Trostpreis). Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist 2. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{2}{132} = \frac{1}{66}\).

a) Es gibt \(132\) mögliche Ergebnisse. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{132}\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{66}\).

- Überlege zuerst, wie viele Möglichkeiten es für jeden einzelnen Ring gibt. - Wie viele dieser Möglichkeiten sind jeweils falsch, wenn es nur einen richtigen Code gibt? - Kannst du die Gesamtzahl der Kombinationen nutzen, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen?

1. Berechnung der Gesamtmöglichkeiten: Multiplikation der Anzahl der Optionen pro Ring: \(10 \cdot 5 \cdot 4 = 200\). 2. Identifikation der Fehlversuche pro Ring: An Ring 1 gibt es 9 falsche Ziffern, an Ring 2 gibt es 4 falsche Buchstaben, an Ring 3 gibt es 3 falsche Symbole. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „überall falsch“: Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten für eine falsche Wahl: \(\frac{9}{10} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{108}{200} = \frac{27}{50} = 0{,}54\).

a) Es gibt insgesamt \(200\) verschiedene Kombinationen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{27}{50}\) oder \(0{,}54\) (entspricht \(54\,\%\)).

- Kannst du alle möglichen Kombinationen der Schlüsselzuordnung systematisch auflisten? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, drei Gegenstände auf drei Plätze zu verteilen? - Überlege dir für jedes Ereignis, wie viele der aufgelisteten Kombinationen die Bedingung erfüllen. - Was bedeutet es für den dritten Schlüssel, wenn bereits zwei Schlüssel ihren Schlössern fest zugeordnet sind?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten: Es gibt \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) verschiedene Arten, die drei Schlüssel auf die drei Schlösser zu verteilen. 2. Ereignis a): Es gibt nur eine einzige Kombination, bei der alle drei Schlüssel korrekt zugeordnet sind. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(a) = \frac{1}{6}\). 3. Ereignis b): Wir untersuchen die Fälle, in denen kein Schlüssel passt. Bezeichnen wir die richtigen Zuordnungen mit \((1, 2, 3)\), so sind die Fehlbesetzungen ohne Treffer \((2, 3, 1)\) und \((3, 1, 2)\). Dies sind \(2\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(b) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 4. Ereignis c): Wir suchen die Fälle mit genau einem Treffer. Dies sind \((1, 3, 2)\), \((3, 2, 1)\) und \((2, 1, 3)\). Dies sind \(3\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(c) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

a) \(P(\text{alle richtig}) = \frac{1}{6}\) b) \(P(\text{keiner richtig}) = \frac{1}{3}\) c) \(P(\text{genau einer richtig}) = \frac{1}{2}\)

- Stelle dir vor, du führst den Versuch durch. Was könntest du am Ende auf deinem Notizzettel stehen haben? - Achte bei mehrstufigen Versuchen darauf, alle Kombinationen der einzelnen Stufen zu berücksichtigen. - In einer Menge werden die einzelnen Möglichkeiten meist durch Kommas getrennt und in geschweifte Klammern geschrieben.

1. Für Teilaufgabe a) besteht das Experiment aus einer Drehung. Die möglichen Ausgänge sind die vier Farben. Somit gilt: \(\Omega = \{R, B, G, Gr\}\). 2. Für Teilaufgabe b) handelt es sich um ein zweistufiges Experiment. Jedes Ergebnis besteht aus einem Paar. Die Möglichkeiten sind: (Kopf, Kopf), (Kopf, Zahl), (Zahl, Kopf) und (Zahl, Zahl). Somit gilt: \(\Omega = \{(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)\}\). 3. Für Teilaufgabe c) sind die möglichen Ergebnisse die Ziffern auf den Karten. Somit gilt: \(\Omega = \{1, 3, 5, 7\}\).

a) \(\Omega = \{R, B, G, Gr\}\) b) \(\Omega = \{(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)\}\) c) \(\Omega = \{1, 3, 5, 7\}\)

- Zähle vollständige Pfade statt einzelner Äste. - Wie viele Endpunkte entstehen aus jeder ersten Wahl?

1. Anzahl der vollständigen Pfade: \(2\cdot3\cdot2=12\). 2. Fehler: Wahlmöglichkeiten verschiedener Stufen werden nicht addiert, sondern zu vollständigen Kombinationen verknüpft.

Es gibt 12 Endmöglichkeiten.

- Berechne zuerst, wie viele Kombinationen es für jedes System gibt. - Was bedeutet „sicherer“ im Zusammenhang mit der Anzahl der Möglichkeiten? - Probiere für Aufgabenteil c) nacheinander verschiedene Anzahlen von Stellen aus.

1. Berechnung System A: \(6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^4 = 1296\) Möglichkeiten. 2. Berechnung System B: \(10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3 = 1000\) Möglichkeiten. 3. Vergleich der Sicherheit: System A ist sicherer, da es mit \(1296\) Kombinationen mehr Möglichkeiten bietet als System B mit \(1000\). Die Wahrscheinlichkeit für einen korrekten Rateversuch ist bei System A geringer (\(\frac{1}{1296} < \frac{1}{1000}\)). 4. Bestimmung der Stellenanzahl für System A: \(6^5 = 7776\) \(6^6 = 46\,656\) \(6^7 = 279\,936\) Somit sind mindestens 7 Stellen erforderlich, da \(6^6 < 50\,000\) und \(6^7 > 50\,000\).

a) System A hat \(1296\) Möglichkeiten, System B hat \(1000\) Möglichkeiten. b) System A ist sicherer, da es mehr Kombinationsmöglichkeiten bietet und die Trefferwahrscheinlichkeit beim Raten somit geringer ist. c) System A müsste mindestens 7 Stellen haben.

- Stelle dir die zweistellige Zahl als Kombination aus Zehner- und Einerziffer vor. - Notiere dir alle Paare von Ziffern zwischen 1 und 6, deren Summe 7 ergibt. - Unterscheide bei der Wahrscheinlichkeit genau, wie viele Gesamtmöglichkeiten in a) und b) jeweils zur Verfügung stehen.

1. Anzahl für a): Jeder Wurf hat 6 Möglichkeiten, also \(6 \cdot 6 = 36\) mögliche Zahlen. 2. Anzahl für b): Der erste Wurf hat 6 Möglichkeiten, der zweite nur noch 5 (da er sich vom ersten unterscheiden muss). Es gibt \(6 \cdot 5 = 30\) Zahlen. 3. Günstige Ergebnisse für die Quersumme 7: Die Paare \((1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1)\) ergeben die Quersumme 7. Das sind 6 günstige Ergebnisse. 4. Da in allen 6 Paaren die Ziffern unterschiedlich sind, gelten sie sowohl für a) als auch für b). 5. Wahrscheinlichkeit für a): \(P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). 6. Wahrscheinlichkeit für b): \(P = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}\).

a) 36 Zahlen. b) 30 Zahlen. c) Für a) ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6}\), für b) ist sie \(\frac{1}{5}\).

- Denke bei der Gesamtzahl daran, dass auf jedem Ring die gleiche Anzahl an Ziffern zur Verfügung steht. - Für Teil b): Wie viele Möglichkeiten gibt es, die drei festen Ziffern 1, 2 und 3 auf die drei Positionen zu verteilen? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, drei gleiche Ziffern zu wählen?

1. Gesamtzahl der Kombinationen: Da es 3 Ringe mit jeweils 6 Möglichkeiten gibt, berechnet sich die Gesamtzahl durch \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\). 2. Günstige Ergebnisse für Teil b): Die Ziffern 1, 2 und 3 können in verschiedenen Reihenfolgen auftreten (123, 132, 213, 231, 312, 321). Das sind \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}\). 3. Günstige Ergebnisse für Teil c): Es gibt 6 Kombinationen mit drei gleichen Ziffern (111, 222, 333, 444, 555, 666). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}\).

a) Es gibt \(216\) verschiedene Kombinationen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{36}\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{36}\).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es für jede einzelne Stelle des Codes? - Überlege, wie viele der vielen Kombinationen tatsächlich das Schloss öffnen. - Wenn du eine Information über eine Ziffer hast, reduziert das die Anzahl der Unbekannten. - Was ist das Gegenteil von „mindestens ein Fehler“?

1. Berechnung der Gesamtmöglichkeiten: Da es 4 Ringe mit je 10 Ziffern gibt, beträgt die Anzahl der Kombinationen \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000\). 2. Wahrscheinlichkeit für einen Treffer: Da nur eine Kombination korrekt ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Richtig}) = \frac{1}{10\,000} = 0{,}0001 = 0{,}01\,\%\). 3. Einfluss der bekannten Ziffer: Wenn die erste Ziffer feststeht, gibt es nur noch \(10^3 = 1000\) Möglichkeiten für die restlichen drei Ringe. Die Wahrscheinlichkeit steigt auf \(\frac{1}{1000} = 0{,}001 = 0{,}1\,\%\). Sie verzehnfacht sich also, da der Suchraum kleiner wird. 4. Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fehler: Dies ist das Gegenereignis zu „alle Ziffern sind korrekt“. \(P(\text{mind. ein Fehler}) = 1 - P(\text{Richtig}) = 1 - \frac{1}{10\,000} = \frac{9999}{10\,000} = 0{,}9999 = 99{,}99\,\%\).

a) \(10\,000\) Möglichkeiten. b) \(P = 0{,}0001\) (oder \(0{,}01\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit steigt auf \(0{,}001\) (oder \(0{,}1\,\%\)), da nur noch \(1000\) Kombinationen möglich sind. d) \(P = 0{,}9999\) (oder \(99{,}99\,\%\)).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, vier Personen auf vier Plätze zu verteilen? - Stell dir vor, Anna ist bereits auf einem festen Platz am Rand. Wie viele Möglichkeiten gibt es dann noch für die anderen drei? - Wenn zwei Personen nebeneinander sitzen sollen, kannst du sie gedanklich zu einer Einheit zusammenfassen. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Namen alphabetisch zu sortieren?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Sitzordnungen: Es gibt \(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\) mögliche Anordnungen. 2. Ereignis a): Anna kann auf Platz 1 oder Platz 4 sitzen. Für jeden dieser Plätze gibt es für die restlichen drei Freunde \(3! = 6\) Möglichkeiten. Insgesamt \(2 \cdot 6 = 12\) Möglichkeiten. Wahrscheinlichkeit: \(P(a) = \frac{12}{24} = 0{,}5\). 3. Ereignis b): Wir betrachten Anna und Ben als einen Block. Es gibt drei mögliche Positionen für diesen Block auf der Bank: (Plätze \(1\) und \(2\), \(2\) und \(3\), \(3\) und \(4\)). Innerhalb des Blocks gibt es \(2\) Anordnungen (Anna-Ben oder Ben-Anna). Für die restlichen 2 Freunde gibt es \(2! = 2\) Möglichkeiten. Gesamtanzahl: \(3 \cdot 2 \cdot 2 = 12\). Wahrscheinlichkeit: \(P(b) = \frac{12}{24} = 0{,}5\). 4. Ereignis c): Es gibt nur genau eine Kombination, die der alphabetischen Reihenfolge entspricht. Wahrscheinlichkeit: \(P(c) = \frac{1}{24}\).

a) \(P = 0{,}5\) b) \(P = 0{,}5\) c) \(P = \frac{1}{24}\)

- Berechne für beide Höhlen separat, wie viele verschiedene Wege insgesamt möglich sind. - Nutze das Produkt der Möglichkeiten an den einzelnen Abzweigungen. - Vergleiche am Ende die beiden Wahrscheinlichkeiten: Welcher Bruch stellt einen größeren Anteil dar?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Pfade für Höhle A: Es gibt zwei Stufen mit je \(5\) Optionen, also \(5 \cdot 5 = 25\) mögliche Pfade. Die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg ist \(P(A) = \frac{1}{25}\). 2. Berechnung der Gesamtzahl der Pfade für Höhle B: Es gibt drei Stufen mit je \(3\) Optionen, also \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) mögliche Pfade. Die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg ist \(P(B) = \frac{1}{27}\). 3. Vergleich der Brüche: Da \(25 < 27\), ist der Bruch \(\frac{1}{25}\) größer als \(\frac{1}{27}\) (\(0{,}04 > 0{,}037\)). 4. Schlussfolgerung: In Höhle A ist die Wahrscheinlichkeit größer.

In Höhle A ist die Wahrscheinlichkeit mit \(\frac{1}{25}\) größer als in Höhle B mit \(\frac{1}{27}\).

- Was bedeutet es, wenn ein Experiment „unter gleichen Bedingungen“ wiederholt wird? - Haben die Personen bei einer Wahl jedes Mal die exakt gleiche Entscheidungsgrundlage wie beim ersten Mal? - Überlege, was den Unterschied zwischen einer bewussten Entscheidung und einem mechanischen Zufallsprozess ausmacht.

1. Ein mathematisches Zufallsexperiment setzt voraus, dass es unter exakt gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist. 2. Bei einer Wahl entscheiden Menschen individuell. Eine Wiederholung der Wahl am nächsten Tag findet nicht unter exakt gleichen Bedingungen statt, da sich Meinungen, Absprachen oder die Stimmung in der Klasse geändert haben können. Das Ergebnis ist also nicht nur vom Zufall, sondern von psychologischen und sozialen Faktoren abhängig. 3. Im Gegensatz dazu ist das Ziehen eines Namens aus einer Lostrommel (bei gutem Mischen) ein klassisches Zufallsexperiment. Hier sind die physikalischen Bedingungen bei jeder Ziehung gleich und jeder Name hat die gleiche Chance, gezogen zu werden, ohne dass persönliche Entscheidungen den Prozess während der Durchführung beeinflussen. 4. Fazit: Eine Wahl ist im Alltag zwar „ungewiss“, erfüllt aber nicht die strengen Kriterien der mathematischen Wiederholbarkeit unter identischen Bedingungen.

Die Klassensprecherwahl ist kein Zufallsexperiment im strengen mathematischen Sinne, da sie nicht unter exakt gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist (Meinungsbildung ist kein Zufallsprozess). Das Ziehen aus einer Lostrommel hingegen ist ein Zufallsexperiment, da der physikalische Prozess des Ziehens stets unter den gleichen Voraussetzungen stattfindet und das Ergebnis rein zufällig ist.

- Bestimme zuerst, wie viele verschiedene T-Shirts es insgesamt im Laden gibt. - Wie viele dieser T-Shirts erfüllen genau die im Aufgabentext genannten Bedingungen? - Nutze die Formel für die Laplace-Wahrscheinlichkeit: Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.

1. Gesamtanzahl der Varianten berechnen: \(4 \text{ Farben} \cdot 3 \text{ Größen} \cdot 2 \text{ Schnitte} = 24\) Varianten. 2. Wahrscheinlichkeit für ein rotes T-Shirt in Größe L: Es gibt 2 günstige Varianten (Rot-L-V-Ausschnitt und Rot-L-Rundhals). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}\). 3. Wahrscheinlichkeit für einen Rundhals-Ausschnitt: Es gibt \(4 \cdot 3 \cdot 1 = 12\) günstige Varianten. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 50\,\%\).

a) Es gibt insgesamt \(24\) Varianten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{12} \approx 8{,}3\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{2} = 50\,\%\).

- Zerlege das Los in seine Bestandteile: Farbe, 1. Ziffer, 2. Ziffer, 3. Ziffer. - Wie viele Möglichkeiten hast du für jede Stelle? - Was muss für die letzten beiden Ziffern gelten, damit es ein „Super-Los“ ist?

1. Gesamtanzahl der Lose: \(2 \text{ Farben} \cdot 3 \text{ Möglichkeiten für Ziffer 1} \cdot 10 \text{ Möglichkeiten für Ziffer 2} \cdot 10 \text{ Möglichkeiten für Ziffer 3} = 2 \cdot 3 \cdot 10 \cdot 10 = 600\). 2. Anzahl der Super-Lose: Die Farbe (2) und die erste Ziffer (3) sind frei wählbar. Für das Paar aus zweiter und dritter Ziffer gibt es 10 Möglichkeiten (\(00, 11, \dots, 99\)). Also \(2 \cdot 3 \cdot 10 = 60\) Super-Lose. 3. Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P(\text{Super-Los}) = \frac{60}{600} = \frac{1}{10} = 10\,\%\).

Es gibt insgesamt \(600\) verschiedene Lose. Davon sind \(60\) Stück „Super-Lose“. Die Wahrscheinlichkeit, ein solches zu ziehen, liegt bei \(10\,\%\).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es pro Stelle beim Zahlenschloss? - Wie verändert sich die Anzahl der Möglichkeiten pro Stelle in den verschiedenen Szenarien? - Überlege dir: Je weniger Codes möglich sind, desto einfacher ist es, den richtigen zu finden. - Wie viele gerade Ziffern gibt es zwischen \(0\) und \(9\)? Vergiss die Null nicht.

1. Gesamtzahl der Codes: Für jede der \(4\) Stellen gibt es \(10\) Ziffern. \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000\). 2. Codes mit Ziffern \(1, 2, 3\): Für jede Stelle gibt es \(3\) Möglichkeiten. \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 = 81\). 3. Vergleich der Fälle: In Fall 1 ist die erste Stelle fest (\(1\) Möglichkeit), die anderen drei sind beliebig (\(10\) Möglichkeiten). Anzahl: \(1 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\). In Fall 2 gibt es für jede der \(4\) Stellen \(5\) Möglichkeiten (die Ziffern \(0, 2, 4, 6, 8\)). Anzahl: \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 = 625\). Da Fall 2 weniger mögliche Codes umfasst (\(625 < 1000\)), ist die Wahrscheinlichkeit, den richtigen Code zu erraten, in Fall 2 höher.

a) Es gibt \(10\,000\) verschiedene Codes. b) Es gibt \(81\) solcher Codes. c) In Fall 2 ist die Wahrscheinlichkeit höher, da es mit \(625\) Möglichkeiten weniger Kombinationen gibt als in Fall 1 mit \(1000\) Möglichkeiten.

- Wie viele Buchstaben hat das Wort insgesamt? Das hilft dir bei der Gesamtzahl der Möglichkeiten. - Wenn zwei Buchstaben an festen Positionen stehen, wie viele Plätze sind dann noch frei variierbar? - Wenn zwei Buchstaben nebeneinander stehen sollen, kannst du sie gedanklich zu einer Einheit zusammenfassen. Vergiss aber nicht, dass sie innerhalb dieser Einheit ihren Platz tauschen können.

1. Gesamtzahl der Buchstabenfolgen bei 6 verschiedenen Buchstaben: \(6! = 720\). 2. Zu a): Die ersten beiden Stellen sind durch „F“ und „A“ fest belegt. Für die restlichen 4 Stellen gibt es \(4! = 24\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{24}{720} = \frac{1}{30}\). 3. Zu b): Die Vokale A und O werden als ein Block betrachtet. Es gibt 5 Einheiten zu sortieren (der Block \(\{A, O\}\) und die Konsonanten F, K, T, R), was \(5! = 120\) Möglichkeiten ergibt. Da der Block intern als (A, O) oder (O, A) angeordnet sein kann, gibt es \(2 \cdot 120 = 240\) günstige Fälle. 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für b): \(P = \frac{240}{720} = \frac{1}{3}\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{30}\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{3}\).

- Wenn ein Buchstabe gar nicht vorkommen darf, verringert sich die Anzahl der Wahlmöglichkeiten pro Stelle. - Wenn ein Code mit einer bestimmten Folge beginnt, sind diese Stellen bereits fest belegt. - Überlege bei Teil d), welche Buchstaben für die restlichen Plätze noch übrig sind.

1. Anzahl für a): \(4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^4 = 256\). 2. Anzahl für b): \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4! = 24\). 3. Wahrscheinlichkeit für c): Wenn kein „A“ vorkommen darf, stehen pro Stelle nur 3 Buchstaben (B, C, D) zur Verfügung. Günstige Fälle: \(3^4 = 81\). Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{81}{256}\). 4. Wahrscheinlichkeit für d): Der Code muss die Form ADxx haben. Da jeder Buchstabe nur einmal vorkommt, müssen die restlichen Stellen mit B und C gefüllt werden. Dafür gibt es \(2 \cdot 1 = 2\) Möglichkeiten (ADBC, ADCB). Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}\).

a) 256 Codes. b) 24 Codes. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{81}{256}\). d) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{12}\).

- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, den ersten, zweiten und dritten Platz aus 8 Läufern zu besetzen? - Überlege dir für Teil b), wie viele verschiedene Anordnungen es für die drei Läufer auf den ersten drei Plätzen gibt. - Wenn die Läufer 1, 2 und 3 keine Medaille gewinnen, aus wie vielen Läufern müssen dann die ersten drei Plätze bestehen?

1. Gesamtzahl der möglichen Belegungen der ersten drei Plätze: Es gibt \(8 \cdot 7 \cdot 6 = 336\) Möglichkeiten. 2. Wahrscheinlichkeit für die exakte Reihenfolge (1, 2, 3): Es gibt nur 1 günstiges Ergebnis. \(P(a) = \frac{1}{336}\). 3. Wahrscheinlichkeit für die Bahnen 1, 2, 3 in beliebiger Reihenfolge: Es gibt \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) mögliche Reihenfolgen für diese drei Läufer auf den ersten drei Plätzen. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(b) = \frac{6}{336} = \frac{1}{56}\). Da \(6 \cdot \frac{1}{336} = \frac{6}{336}\), ist die Wahrscheinlichkeit genau sechsmal so hoch. 4. Wahrscheinlichkeit, dass keiner der drei eine Medaille gewinnt: Die ersten drei Plätze müssen durch die restlichen \(8 - 3 = 5\) Läufer besetzt werden. Anzahl der Möglichkeiten: \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(c) = \frac{60}{336} = \frac{5}{28}\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{336}\). b) Da es \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) verschiedene Reihenfolgen für die drei Läufer gibt, ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{336}\), was genau \(6 \cdot \frac{1}{336}\) entspricht. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{28}\).

- Spielt die Reihenfolge (bzw. welches Amt wer bekommt) hier eine Rolle? - Wie viele Personen kommen für das erste Amt infrage? Wie viele sind es dann noch für das zweite? - Wie ändert sich die Anzahl der Möglichkeiten, wenn du nur eine bestimmte Gruppe (z. B. nur Mädchen) betrachtest?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten (Variation ohne Wiederholung): Für das erste Amt gibt es 12, für das zweite 11 und für das dritte 10 Kandidaten. \(|\Omega| = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320\). 2. Berechnung der günstigen Fälle (nur Mädchen): Es gibt 4 Mädchen für das erste Amt, 3 für das zweite und 2 für das dritte. \(|A| = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{24}{1320}\). Durch Kürzen (beide durch 24 teilbar) ergibt sich \(P = \frac{1}{55}\).

a) Es gibt \(1320\) Möglichkeiten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{55}\) (ca. \(1{,}8\,\%\)).

- Was bedeutet „ohne Zurücklegen“ für die Anzahl der verfügbaren Kugeln beim zweiten Zug? - Kannst du alle Ergebnisse, die den Buchstaben „A“ enthalten, systematisch auflisten? - Welche der Buchstaben A bis F sind Vokale? Wie viele Paare lassen sich nur aus diesen bilden?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Ergebnisse beim Ziehen ohne Zurücklegen: Für die erste Kugel gibt es 6 Möglichkeiten, für die zweite Kugel verbleiben 5 Möglichkeiten: \(6 \cdot 5 = 30\). 2. Ermittlung der Ergebnisse mit „A“: A kann an erster Stelle stehen (gefolgt von B, C, D, E oder F; 5 Möglichkeiten) oder an zweiter Stelle stehen (nach B, C, D, E oder F; 5 Möglichkeiten). Die Kombination (A; A) ist nicht möglich. Gesamtzahl: \(5 + 5 = 10\). 3. Identifikation der Vokale in der Menge: A und E sind die einzigen Vokale. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, gibt es nur die Paare (A; E) und (E; A). Anzahl: \(2 \cdot 1 = 2\).

a) Es gibt 30 mögliche Ergebnisse. b) Es gibt 10 Ergebnisse, die den Buchstaben „A“ enthalten. c) Es gibt 2 Ergebnisse, die nur aus Vokalen bestehen.