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Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Empirisches Gesetz der großen Zahlen

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5563568
Eine faire Münze wird sehr oft geworfen. Das abgebildete Säulendiagramm zeigt für drei Zwischenstände die relative Häufigkeit von Kopf. a) Bei welcher Versuchszahl liegt die dargestellte relative Häufigkeit am nächsten bei \(50\,\%\)? b) Beschreibe die Entwicklung, die in der Abbildung bei wachsender Versuchszahl zu erkennen ist.
Abbildung zur Aufgabe 556356

Denkanstöße

- Vergleiche die Enden der drei Säulen mit der Marke bei \(50\,\%\). - Achte darauf, wie sich die Abstände zu dieser Marke von links nach rechts verändern. - Beschreibe nur die erkennbare Entwicklung; eine einzelne Versuchsreihe muss nicht bei jedem Zwischenstand gleichmäßig verlaufen.

Lösung

1. Die Säule für \(n=2000\) liegt mit \(50{,}5\,\%\) am nächsten bei \(50\,\%\). 2. In der dargestellten Versuchsreihe kommen die relativen Häufigkeiten mit wachsender Versuchszahl immer näher an \(50\,\%\) heran. Das veranschaulicht die Stabilisierung, die das empirische Gesetz der großen Zahlen beschreibt.

Antwort

a) Bei \(n=2000\). b) Mit wachsender Versuchszahl stabilisiert sich die dargestellte relative Häufigkeit zunehmend in der Nähe von \(50\,\%\).
4135648
Ein Computerprogramm simuliert das Ziehen einer Kugel aus einer Urne, in der sich zehn durchnummerierte Kugeln von \(1\) bis \(10\) befinden. Nach jedem Zug wird die Kugel wieder zurückgelegt. In der folgenden Tabelle ist festgehalten, wie oft die Zahl „7“ bei einer unterschiedlichen Anzahl von Versuchen gezogen wurde. <table> <tr><td>Anzahl der Versuche \(n\)</td><td>\(100\)</td><td>\(1000\)</td><td>\(10\,000\)</td><td>\(100\,000\)</td></tr> <tr><td>Häufigkeit der „7“</td><td>\(13\)</td><td>\(92\)</td><td>\(1045\)</td><td>\(9982\)</td></tr> </table> Das Ereignis \(A\) lautet „Es wird die 7 gezogen“. a) Berechne für jede Versuchsreihe die relative Häufigkeit \(h_n(A)\). b) Bestimme die theoretische Wahrscheinlichkeit \(P(A)\). c) Vergleiche die relativen Häufigkeiten mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit. Erkläre, welche Beobachtung man hinsichtlich des empirischen Gesetzes der großen Zahlen machen kann.

Denkanstöße

- Teile für jede Spalte die absolute Häufigkeit der 7 durch die jeweilige Versuchszahl. - Bestimme für b), wie viele der zehn gleich wahrscheinlichen Kugeln das Ereignis \(A\) erfüllen. - Vergleiche anschließend die Abstände zwischen \(h_n(A)\) und \(P(A)\) für die vier Versuchszahlen.

Lösung

1. Für \(n=100\) gilt \(h_{100}(A)=\frac{13}{100}=0{,}13\). 2. Für \(n=1000\) gilt \(h_{1000}(A)=\frac{92}{1000}=0{,}092\). 3. Für \(n=10\,000\) gilt \(h_{10000}(A)=\frac{1045}{10000}=0{,}1045\). 4. Für \(n=100\,000\) gilt \(h_{100000}(A)=\frac{9982}{100000}=0{,}09982\). 5. Da es \(10\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse gibt, gilt \(P(A)=\frac{1}{10}=0{,}1\). 6. Die Abweichungen von \(0{,}1\) werden in den dargestellten Versuchsreihen mit wachsendem \(n\) kleiner. Die relativen Häufigkeiten stabilisieren sich hier zunehmend in der Nähe der theoretischen Wahrscheinlichkeit. Dies veranschaulicht das empirische Gesetz der großen Zahlen.

Antwort

a) \(h_{100}(A)=0{,}13\), \(h_{1000}(A)=0{,}092\), \(h_{10000}(A)=0{,}1045\), \(h_{100000}(A)=0{,}09982\) b) \(P(A)=0{,}1\) c) Mit steigender Versuchsanzahl liegen die dargestellten relativen Häufigkeiten zunehmend nahe bei \(0{,}1\); sie stabilisieren sich um die theoretische Wahrscheinlichkeit.
4136488
Lukas wirft eine faire Münze fünfmal hintereinander, und jedes Mal zeigt sie Kopf. Er sagt: „Beim sechsten Wurf ist die Wahrscheinlichkeit für Zahl viel höher als \(50\,\%\), weil sich das Ergebnis auf Dauer ausgleichen muss.“ Beurteile Lukas' Aussage und begründe deine Antwort mit dem empirischen Gesetz der großen Zahlen.

Denkanstöße

- Unterscheide die Wahrscheinlichkeit des nächsten einzelnen Wurfs von der relativen Häufigkeit in einer langen Serie. - Überlege, ob das empirische Gesetz einen Ausgleich schon beim unmittelbar nächsten Versuch verlangt. - Nutze die Angabe, dass die Münze fair ist.

Lösung

1. Bei einer fairen Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit für Zahl bei jedem einzelnen Wurf \(50\,\%\). Die fünf bisherigen Ergebnisse verändern diese Chance des nächsten Wurfs nicht. 2. Das empirische Gesetz der großen Zahlen sagt, dass sich relative Häufigkeiten in langen Versuchsreihen typischerweise in der Nähe der theoretischen Wahrscheinlichkeit stabilisieren. 3. Es verlangt aber keinen kurzfristigen Ausgleich nach einer auffälligen Serie. Deshalb bleibt die Wahrscheinlichkeit für Zahl beim sechsten Wurf \(50\,\%\).

Antwort

Lukas hat nicht recht. Beim sechsten Wurf beträgt die Wahrscheinlichkeit für Zahl weiterhin \(50\,\%\); das empirische Gesetz der großen Zahlen erzwingt keinen kurzfristigen Ausgleich.
4375078
Zwei Münzsimulationen liefern die in den beiden Säulendiagrammen gezeigten absoluten Häufigkeiten. Welche Simulation stützt die Annahme einer fairen Münze überzeugender? Begründe mit den relativen Häufigkeiten von Kopf.
Abbildung zur Aufgabe 437507

Denkanstöße

- Vergleiche nicht nur die absoluten Säulenhöhen der beiden Diagramme. - Berechne für jede Simulation den Anteil der Kopf-Ergebnisse an allen Versuchen. - Eine faire Münze hat für Kopf die theoretische Wahrscheinlichkeit \(0{,}5\).

Lösung

1. In Simulation A ist \(h_{50}(K)=\frac{31}{50}=0{,}62\). 2. In Simulation B ist \(h_{5000}(K)=\frac{2511}{5000}=0{,}5022\). 3. Für eine faire Münze ist \(P(K)=0{,}5\). Simulation B liegt mit \(0{,}5022\) deutlich näher an diesem Wert und beruht außerdem auf wesentlich mehr Versuchen. 4. Daher stützt Simulation B die Annahme einer fairen Münze überzeugender.

Antwort

Simulation B; \(h_{5000}(K)=0{,}5022\) liegt deutlich näher bei \(0{,}5\) als \(h_{50}(K)=0{,}62\) und stammt aus der größeren Versuchsreihe.
5530868
Drei Gruppen untersuchen dasselbe Zufallsexperiment und schätzen die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs über die relative Häufigkeit: - Gruppe A: \(20\) Versuche, \(14\) Erfolge - Gruppe B: \(200\) Versuche, \(96\) Erfolge - Gruppe C: \(2000\) Versuche, \(1018\) Erfolge Welche Gruppe liefert im Allgemeinen die verlässlichste Schätzung für die langfristige Erfolgswahrscheinlichkeit? Begründe, ohne vorauszusetzen, dass die wahre Wahrscheinlichkeit bekannt ist.

Denkanstöße

- Die Frage verlangt keine Entscheidung danach, welcher Wert „schöner“ aussieht. - Vergleiche die Anzahl der Wiederholungen der drei Gruppen. - Denke daran, was das empirische Gesetz der großen Zahlen über Schwankungen bei langen Versuchsreihen aussagt.

Lösung

1. Die relativen Häufigkeiten sind bei A \(\frac{14}{20}=0{,}70\), bei B \(\frac{96}{200}=0{,}48\) und bei C \(\frac{1018}{2000}=0{,}509\). 2. Gruppe C hat mit \(2000\) Versuchen die mit Abstand größte Stichprobe. 3. Nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen schwanken relative Häufigkeiten bei langen Versuchsreihen typischerweise weniger stark. Deshalb liefert C im Allgemeinen die verlässlichste Schätzung, unabhängig davon, welcher der drei beobachteten Werte zufällig näher am unbekannten wahren Wert liegt.

Antwort

Gruppe C, weil ihre Schätzung auf \(2000\) Versuchen und damit auf der längsten Versuchsreihe beruht.
5530878
Drei Klassen führen unabhängig voneinander jeweils \(100\) Würfe mit derselben Münze durch. Sie beobachten \(47\), \(55\) und \(51\) Mal Kopf. a) Widersprechen die unterschiedlichen relativen Häufigkeiten dem empirischen Gesetz der großen Zahlen? Begründe. b) Bestimme die relative Häufigkeit von Kopf, wenn alle drei Versuchsreihen zusammengefasst werden.

Denkanstöße

- Vergleiche die Aussage „Stabilisierung bei vielen Versuchen“ mit der Forderung „jede Versuchsreihe muss gleich ausfallen“. - Addiere für b) zuerst alle Kopfergebnisse und alle Würfe. - Bilde die relative Häufigkeit erst aus den zusammengefassten Gesamtzahlen.

Lösung

1. Unterschiedliche Ergebnisse bei mehreren Versuchsreihen sind normale zufällige Schwankungen und widersprechen dem empirischen Gesetz der großen Zahlen nicht. 2. Zusammen wurden \(47+55+51=153\) Kopfergebnisse in \(300\) Würfen beobachtet. 3. Die gemeinsame relative Häufigkeit ist \(\frac{153}{300}=0{,}51=51\,\%\).

Antwort

a) Nein. Verschiedene Versuchsreihen können unterschiedliche relative Häufigkeiten liefern. b) \(0{,}51=51\,\%\)
4135568
Drei Arbeitsgruppen einer Klasse untersuchen die Häufigkeit des Buchstabens S in verschiedenen deutschen Texten, um eine typische relative Häufigkeit in vergleichbaren Texten zu schätzen. Dabei bezeichnet \(A\) die Kategorie „Der betrachtete Buchstabe ist S“. Gruppe A untersucht \(50\) Buchstaben und zählt \(2\)-mal S. Gruppe B untersucht \(500\) Buchstaben und zählt \(36\)-mal S. Gruppe C fasst Ergebnisse zusammen: In \(5000\) Buchstaben wurde S \(310\)-mal gefunden. a) Bestimme für jede Gruppe die relative Häufigkeit von S. b) Welcher Wert liefert unter der Annahme vergleichbarer Texte vermutlich die stabilste empirische Schätzung? Begründe mit dem empirischen Gesetz der großen Zahlen.

Denkanstöße

- Berechne jede relative Häufigkeit als absolute Häufigkeit geteilt durch die jeweilige Gesamtzahl. - Vergleiche danach besonders die unterschiedlichen Beobachtungszahlen. - Das empirische Gesetz der großen Zahlen beschreibt Stabilisierung bei vielen Wiederholungen, nicht eine Garantie für einen exakt festen Wert.

Lösung

1. Gruppe A: \(h_{50}(A)=\frac{2}{50}=0{,}04=4\,\%\). 2. Gruppe B: \(h_{500}(A)=\frac{36}{500}=0{,}072=7{,}2\,\%\). 3. Gruppe C: \(h_{5000}(A)=\frac{310}{5000}=0{,}062=6{,}2\,\%\). 4. Bei vergleichbaren Versuchsbedingungen schwanken relative Häufigkeiten bei größeren Beobachtungszahlen typischerweise weniger stark. Deshalb liefert Gruppe C mit \(5000\) Beobachtungen vermutlich die stabilste empirische Schätzung. Das bedeutet nicht, dass jeder andere Text denselben Anteil haben muss.

Antwort

a) Gruppe A: \(h_{50}(A)=4\,\%\); Gruppe B: \(h_{500}(A)=7{,}2\,\%\); Gruppe C: \(h_{5000}(A)=6{,}2\,\%\) b) Gruppe C liefert vermutlich die stabilste Schätzung, weil relative Häufigkeiten bei größeren Beobachtungszahlen typischerweise weniger stark schwanken.
4135658
Zwei Schulklassen untersuchen, ob eine Münze fair ist. Das Ereignis \(A\) lautet „Zahl“. Klasse 8a wirft die Münze \(250\)-mal und zählt \(140\)-mal Zahl. Klasse 8b wirft die Münze \(2500\)-mal und zählt \(1280\)-mal Zahl. a) Berechne für beide Klassen die relative Häufigkeit von \(A\). b) Bei einer fairen Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit für Zahl \(50\,\%\). Begründe mit dem empirischen Gesetz der großen Zahlen, welches Ergebnis eine verlässlichere Aussage über die Fairness der Münze zulässt.

Denkanstöße

- Bestimme für jede Klasse den Anteil der Zahl-Ergebnisse an allen Würfen. - Vergleiche danach besonders die beiden Versuchszahlen. - Das empirische Gesetz der großen Zahlen beschreibt eine typische Stabilisierung bei vielen Wiederholungen, keine monotone Annäherung nach jedem zusätzlichen Wurf.

Lösung

1. Klasse 8a: \(h_{250}(A)=\frac{140}{250}=0{,}56\). 2. Klasse 8b: \(h_{2500}(A)=\frac{1280}{2500}=0{,}512\). 3. Bei wachsender Versuchszahl stabilisiert sich die relative Häufigkeit typischerweise in der Nähe der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeit. Eine monotone Annäherung bei jeder Vergrößerung ist nicht garantiert. 4. Deshalb ist das Ergebnis der Klasse 8b mit \(2500\) Würfen aussagekräftiger als das Ergebnis aus nur \(250\) Würfen. Sein Wert \(0{,}512\) liegt zudem nahe bei \(0{,}5\).

Antwort

a) Klasse 8a: \(h_{250}(A)=0{,}56\); Klasse 8b: \(h_{2500}(A)=0{,}512\) b) Das Ergebnis der Klasse 8b ist verlässlicher, weil es auf deutlich mehr Würfen beruht und sich relative Häufigkeiten bei großen Versuchszahlen typischerweise stärker stabilisieren.
4136498
Ein fairer sechsseitiger Würfel wird \(600\)-mal geworfen. Die Augenzahl \(6\) tritt dabei \(85\)-mal auf. a) Berechne die relative Häufigkeit der \(6\). b) Mira behauptet: „Da die theoretische Wahrscheinlichkeit für eine \(6\) gleich \(\frac{1}{6}\) ist, muss in den nächsten \(600\) Würfen die \(6\) öfter als \(100\)-mal vorkommen, damit sich alles wieder ausgleicht.“ Erkläre, warum diese Aussage das empirische Gesetz der großen Zahlen falsch deutet.

Denkanstöße

- Teile die Zahl der Sechsen durch die Gesamtzahl der Würfe. - Unterscheide eine langfristige Aussage über relative Häufigkeiten von einer Vorhersage für den nächsten Versuchsblock. - Prüfe, ob das empirische Gesetz tatsächlich eine bestimmte Zahl von Sechsen in den nächsten \(600\) Würfen vorschreibt.

Lösung

1. Die relative Häufigkeit ist \(\frac{85}{600}=\frac{17}{120}\approx0{,}1417\approx14{,}17\,\%\). 2. Die theoretische Wahrscheinlichkeit einer \(6\) beträgt bei jedem Wurf \(\frac{1}{6}\approx16{,}67\,\%\). 3. Das empirische Gesetz der großen Zahlen beschreibt, dass sich relative Häufigkeiten bei sehr vielen Wiederholungen typischerweise in der Nähe der theoretischen Wahrscheinlichkeit stabilisieren. 4. Es verlangt aber nicht, dass ein bisheriges „Defizit“ in der unmittelbar folgenden Versuchsserie durch besonders viele Sechsen ausgeglichen wird. Miras Schlussfolgerung ist daher falsch.

Antwort

a) \(\frac{17}{120}\approx0{,}1417\approx14{,}17\,\%\) b) Die Aussage ist falsch. Das empirische Gesetz der großen Zahlen beschreibt langfristige Stabilisierung, erzwingt aber keinen kurzfristigen Ausgleich in den nächsten \(600\) Würfen.
4136628
In einem blickdichten Beutel befinden sich insgesamt \(10\) schwarze und weiße Kugeln. Um die Zusammensetzung zu schätzen, wird \(200\)-mal eine Kugel gezogen, die Farbe notiert und die Kugel wieder zurückgelegt. Dabei wird \(124\)-mal Schwarz und \(76\)-mal Weiß beobachtet. Das Ereignis \(A\) lautet „Schwarz“. a) Schätze, wie viele schwarze Kugeln sich im Beutel befinden. Begründe deine Schätzung. b) Bei einer zweiten, längeren Versuchsreihe beträgt die relative Häufigkeit \(h_{2000}(A)=0{,}603\). Welche der möglichen Zusammensetzungen „\(5\) schwarz, \(5\) weiß“, „\(6\) schwarz, \(4\) weiß“ und „\(7\) schwarz, \(3\) weiß“ wird dadurch am stärksten gestützt? Begründe.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die relative Häufigkeit von Schwarz in der ersten Versuchsreihe. - Übersetze jede der drei möglichen Beutelzusammensetzungen in einen theoretischen Schwarz-Anteil. - Vergleiche die beobachteten relativen Häufigkeiten mit diesen drei möglichen Anteilen.

Lösung

1. In der ersten Reihe ist \(h_{200}(A)=\frac{124}{200}=0{,}62\). 2. Bei \(10\) Kugeln entsprechen \(5\), \(6\) beziehungsweise \(7\) schwarze Kugeln den theoretischen Wahrscheinlichkeiten \(0{,}5\), \(0{,}6\) beziehungsweise \(0{,}7\). Der beobachtete Wert \(0{,}62\) liegt am nächsten bei \(0{,}6\). Daher sind \(6\) schwarze Kugeln die sinnvollste Schätzung. 3. Der Wert \(h_{2000}(A)=0{,}603\) liegt ebenfalls sehr nahe bei \(0{,}6\) und deutlich weiter von \(0{,}5\) und \(0{,}7\) entfernt. 4. Nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen stützt die längere Versuchsreihe daher die Zusammensetzung mit \(6\) schwarzen und \(4\) weißen Kugeln am stärksten.

Antwort

a) Vermutlich \(6\) schwarze Kugeln; \(h_{200}(A)=0{,}62\) liegt am nächsten bei \(0{,}6\). b) „\(6\) schwarz, \(4\) weiß“, weil \(h_{2000}(A)=0{,}603\) am nächsten beim theoretischen Wert \(0{,}6\) liegt und die Schätzung auf einer langen Versuchsreihe beruht.
4375948
Mit gleich wahrscheinlichen Zufallsziffern von \(0\) bis \(9\) soll ein Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(0{,}3\) simuliert werden. a) Gib eine mögliche Zuordnung der zehn Ziffern zu „Erfolg“ und „Misserfolg“ an. b) Verwende für diese Teilaufgabe die Zuordnung „Erfolg bei \(0,1,2\)“. Die erzeugten Zufallsziffern lauten \(7,0,4,2,9,1,3,8,2,5\). Bestimme die absolute und relative Häufigkeit der Erfolge. c) Erkläre, warum die relative Häufigkeit aus diesen zehn simulierten Versuchen nicht genau \(0{,}3\) sein muss.

Denkanstöße

- Überlege, wie die zehn gleich wahrscheinlichen Ziffern auf die beiden Ergebnisse verteilt werden müssen, damit der gewünschte Erfolgsanteil entsteht. - Prüfe in b) jede erzeugte Ziffer anhand der dort vorgegebenen Erfolgszuordnung. - Vergleiche bei c) eine kurze Versuchsreihe mit der langfristigen Aussage des empirischen Gesetzes der großen Zahlen.

Lösung

1. Für Erfolgswahrscheinlichkeit \(0{,}3\) müssen genau \(3\) der \(10\) gleich wahrscheinlichen Ziffern als Erfolg festgelegt werden. Eine mögliche Zuordnung ist Erfolg bei \(0,1,2\), Misserfolg bei \(3,4,5,6,7,8,9\). 2. In der angegebenen Folge sind \(0,2,1,2\) Erfolge. Die absolute Häufigkeit beträgt daher \(4\). 3. Die relative Häufigkeit ist \(\frac{4}{10}=0{,}4=40\,\%\). 4. Bei nur zehn Versuchen können relative Häufigkeiten merklich von der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeit abweichen. Erst bei vielen Wiederholungen ist eine stärkere Stabilisierung zu erwarten.

Antwort

a) Zum Beispiel: Erfolg bei \(0,1,2\), Misserfolg bei \(3,4,5,6,7,8,9\). b) Absolute Häufigkeit: \(4\); relative Häufigkeit: \(0{,}4=40\,\%\). c) Zehn Versuche sind eine kurze Reihe; zufällige Schwankungen können deshalb noch deutlich sichtbar sein.
5530888
Das Diagramm zeigt die relative Häufigkeit eines Erfolgs nach immer längeren Abschnitten derselben Versuchsreihe. a) Beschreibe, wie sich die relative Häufigkeit mit wachsender Versuchszahl verändert. b) Schätze die unbekannte Erfolgswahrscheinlichkeit anhand der längsten dargestellten Versuchsreihe. c) Erkläre, warum die vier Balken nicht exakt gleich lang sein müssen.
Abbildung zur Aufgabe 553088

Denkanstöße

- Lies die Balken in der Reihenfolge der wachsenden Versuchszahlen. - Achte nicht nur darauf, ob die Werte steigen oder fallen, sondern darauf, wie groß die Änderungen werden. - Für b) ist die längste Versuchsreihe die wichtigste dargestellte Information. - Unterscheide „sich annähern und stabilisieren“ von „ab einem Zeitpunkt exakt gleich bleiben“.

Lösung

1. Die relative Häufigkeit verändert sich von \(65\,\%\) über \(54\,\%\) und \(51{,}2\,\%\) auf \(50{,}6\,\%\). Die Schwankungen werden kleiner und die Werte stabilisieren sich in der Nähe von etwa \(51\,\%\). 2. Die längste dargestellte Reihe umfasst \(2000\) Versuche und liefert die Schätzung \(0{,}506=50{,}6\,\%\). 3. Zufällige Schwankungen bleiben auch bei längeren Reihen möglich. Das empirische Gesetz der großen Zahlen verlangt keine exakt konstanten relativen Häufigkeiten.

Antwort

a) Die relative Häufigkeit stabilisiert sich zunehmend; die Änderungen werden kleiner. b) ungefähr \(0{,}506=50{,}6\,\%\) c) Zufällige Schwankungen bleiben möglich; Stabilisierung bedeutet nicht exakte Gleichheit.
5530898
Ein Glücksrad besitzt \(10\) gleich große Sektoren: \(2\) tragen A, \(3\) tragen B und \(5\) tragen C. Das Experiment soll mit gleich wahrscheinlichen Zufallsziffern von \(0\) bis \(9\) simuliert werden. a) Gib eine passende Zuordnung der Ziffern zu A, B und C an. b) Wie viele Zufallsziffern werden für \(500\) simulierte Drehungen benötigt? c) Welche drei relativen Häufigkeiten sollten sich bei sehr vielen Simulationen ungefähr stabilisieren?

Denkanstöße

- Jede der zehn Zufallsziffern ist gleich wahrscheinlich und kann genau einem Sektoranteil entsprechen. - Die Zahl der zugeordneten Ziffern muss die Sektoranzahlen \(2:3:5\) widerspiegeln. - Eine simulierte Drehung braucht genau eine Zufallsziffer. - Überlege bei c), welche Anteile die drei Kategorien am ursprünglichen Glücksrad haben.

Lösung

1. Zwei der zehn Ziffern müssen A, drei Ziffern B und fünf Ziffern C zugeordnet werden. Eine mögliche Zuordnung ist A bei \(0,1\), B bei \(2,3,4\) und C bei \(5,6,7,8,9\). 2. Jede Zufallsziffer simuliert genau eine Drehung. Für \(500\) Drehungen werden daher \(500\) Zufallsziffern benötigt. 3. Bei vielen Wiederholungen sollten sich die relativen Häufigkeiten ungefähr bei \(\frac{2}{10}=0{,}2\), \(\frac{3}{10}=0{,}3\) und \(\frac{5}{10}=0{,}5\) stabilisieren.

Antwort

a) Zum Beispiel A: \(0,1\); B: \(2,3,4\); C: \(5,6,7,8,9\) b) \(500\) Zufallsziffern c) ungefähr A: \(0{,}2\), B: \(0{,}3\), C: \(0{,}5\)
5563578
Ein Tabellenkalkulationsprogramm simuliert wiederholte Würfe einer fairen Münze. In Spalte B wird bei jeder Neuberechnung für jeden Wurf unabhängig zufällig \(1\) für Kopf oder \(0\) für Zahl erzeugt. Spalte C soll die bisherige Anzahl von Kopf, Spalte D die laufende relative Häufigkeit von Kopf enthalten. <table> <tr><th>Zeile</th><th>A: Wurfzahl</th><th>B: Ergebnis</th><th>C: Kopf bisher</th><th>D: relative Häufigkeit</th></tr> <tr><td>2</td><td>\(1\)</td><td>\(1\)</td><td>\(1\)</td><td>\(1\)</td></tr> <tr><td>3</td><td>\(2\)</td><td>\(0\)</td><td>?</td><td>?</td></tr> <tr><td>4</td><td>\(3\)</td><td>\(1\)</td><td>...</td><td>...</td></tr> </table> a) Gib für C3 und D3 Formeln an, die nach unten kopiert werden können. b) Welche Werte ergeben sich mit den gezeigten Daten in C3 und D3? c) Erkläre, was der Wert in D1001 nach \(1000\) simulierten Würfen bedeutet und warum er sich nach einer Neuberechnung ändern kann. d) Welche Entwicklung erwartest du bei D mit wachsender Wurfzahl nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen?

Denkanstöße

- Spalte C muss den bisherigen Stand mit dem Ergebnis der neuen Zeile verbinden. - Spalte D soll einen Anteil bilden: bisherige Kopfzahl im Verhältnis zur bisherigen Wurfzahl. - Überlege bei c), welche Zellen durch eine neue Zufallsfolge verändert werden. - Trenne bei d) kurzfristige Schwankungen von der langfristigen Stabilisierung.

Lösung

1. In C3 kann <code>=C2+B3</code> stehen. Beim Kopieren wird daraus jeweils „bisherige Kopfzahl plus neues Ergebnis“. 2. In D3 kann <code>=C3/A3</code> stehen. Beim Kopieren wird die jeweilige bisherige Kopfzahl durch die jeweilige Wurfzahl geteilt. 3. Mit den gezeigten Daten ist C3 gleich \(1\) und D3 gleich \(\frac{1}{2}=0{,}5\). 4. D1001 ist nach \(1000\) simulierten Würfen die relative Häufigkeit von Kopf. Bei einer Neuberechnung werden neue zufällige Werte in Spalte B erzeugt; dadurch können sich die kumulierten Häufigkeiten und damit D1001 ändern. 5. Bei wachsender Wurfzahl sollte die laufende relative Häufigkeit trotz weiterer Schwankungen zunehmend in der Nähe der theoretischen Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Kopf})=\frac{1}{2}\) liegen.

Antwort

a) C3: <code>=C2+B3</code>; D3: <code>=C3/A3</code> b) C3: \(1\); D3: \(0{,}5\) c) D1001 ist die relative Häufigkeit von Kopf nach \(1000\) simulierten Würfen. Sie kann sich ändern, weil bei einer Neuberechnung eine neue Zufallsfolge entsteht. d) Die laufende relative Häufigkeit sollte sich mit wachsender Wurfzahl zunehmend in der Nähe von \(\frac{1}{2}\) stabilisieren.
4135668
In einer Qualitätskontrolle werden drei Maschinen (A, B und C) geprüft, die Bauteile herstellen. Für jede Maschine ist als Sollwert eine Ausschusswahrscheinlichkeit von \(5\,\%\) angegeben. Die Kontrolle liefert folgende Daten: - Maschine A: \(12\) defekte Teile bei \(200\) geprüften Bauteilen. - Maschine B: \(105\) defekte Teile bei \(2000\) geprüften Bauteilen. - Maschine C: \(1160\) defekte Teile bei \(20\,000\) geprüften Bauteilen. a) Bestimme für jede Maschine die relative Häufigkeit der defekten Teile. b) Bei welcher Maschine weicht die beobachtete relative Häufigkeit am stärksten vom Sollwert \(0{,}05\) ab? Erkläre anschließend, warum das empirische Gesetz der großen Zahlen allein nicht ausreicht, um aus diesen drei Stichproben sicher zu entscheiden, bei welcher Maschine die tatsächliche Ausschusswahrscheinlichkeit am stärksten vom Sollwert abweicht.

Denkanstöße

- Berechne zunächst für jede Maschine den Anteil der defekten Teile an allen geprüften Teilen. - Vergleiche für den ersten Teil von b) jeweils den Abstand der beobachteten relativen Häufigkeit zum Sollwert. - Unterscheide anschließend zwischen einer beobachteten relativen Häufigkeit und der unbekannten Wahrscheinlichkeit, die hinter einem Zufallsprozess steht. - Überlege, was das empirische Gesetz über viele Wiederholungen aussagt und was es aus einer einzelnen Stichprobe gerade nicht garantiert.

Lösung

1. Für Maschine A beträgt die relative Häufigkeit \(\frac{12}{200}=0{,}06\), für B \(\frac{105}{2000}=0{,}0525\) und für C \(\frac{1160}{20000}=0{,}058\). 2. Die beobachteten Abweichungen vom Sollwert \(0{,}05\) betragen bei A \(0{,}01\), bei B \(0{,}0025\) und bei C \(0{,}008\). Damit ist die beobachtete Abweichung bei A am größten. 3. Das empirische Gesetz der großen Zahlen sagt, dass sich relative Häufigkeiten bei vielen Wiederholungen typischerweise um die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit stabilisieren. Es liefert aber aus einzelnen Stichproben keine sichere Entscheidung darüber, wie weit die unbekannten tatsächlichen Ausschusswahrscheinlichkeiten vom Sollwert entfernt sind.

Antwort

a) A: \(0{,}06\); B: \(0{,}0525\); C: \(0{,}058\) b) Die größte beobachtete Abweichung hat A mit \(0{,}01\). Aus dem empirischen Gesetz allein folgt daraus aber keine sichere Rangfolge der tatsächlichen Ausschusswahrscheinlichkeiten, weil die relativen Häufigkeiten Stichprobenschwankungen unterliegen.

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