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- Was ist die wichtigste Voraussetzung für ein Laplace-Experiment? - Überlege, ob die beteiligten Objekte vollkommen symmetrisch sind. - Hat jedes mögliche Ergebnis physikalisch gesehen die exakt gleiche Chance? - Könnte die Form eines Objekts ein bestimmtes Ergebnis bevorzugen?

1. Teilaufgabe a): Keine Laplace-Annahme. Aufgrund der asymmetrischen Form (Kopf und Spitze) sind die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Lagen physikalisch nicht gleich groß. 2. Teilaufgabe b): Laplace-Annahme gerechtfertigt. Jede Karte ist identisch geformt und die Chance, eine bestimmte Karte zu ziehen, ist bei guter Durchmischung für alle 32 Karten gleich \(P = \frac{1}{32}\). 3. Teilaufgabe c): Laplace-Annahme gerechtfertigt. Ein herkömmlicher Spielwürfel ist hochgradig symmetrisch konstruiert. Die Rundungen betreffen alle Kanten gleichmäßig, sodass für jede Augenzahl näherungsweise \(P = \frac{1}{6}\) angenommen werden kann. 4. Teilaufgabe d): Laplace-Annahme gerechtfertigt. Da alle Sektoren den gleichen Mittelpunktswinkel von \(90^\circ\) haben, ist die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe gleich \(P = \frac{1}{4}\).

a) Nein, wegen mangelnder Symmetrie. b) Ja, da alle Karten die gleiche Ziehchance haben. c) Ja, da der Würfel symmetrisch bleibt. d) Ja, da die Sektoren gleich groß sind.

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, wenn man die Anzahl der günstigen und die Anzahl der möglichen Fälle kennt? - Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten der drei Pralinensorten. - Was müsste gelten, damit man von einem Laplace-Experiment spricht?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Pralinen: \(7 + 4 + 1 = 12\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(\text{Vollmilch}) = \frac{7}{12} \approx 0{,}583\), \(P(\text{Zartbitter}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\) und \(P(\text{weiß}) = \frac{1}{12} \approx 0{,}083\). 3. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: Die berechneten Werte \(\frac{7}{12}\), \(\frac{4}{12}\) und \(\frac{1}{12}\) sind alle voneinander verschieden. 4. Schlussfolgerung: Da für ein Laplace-Experiment alle Ergebnisse in \(\Omega\) die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen müssten (\(P = \frac{1}{3}\)), ist die Laplace-Annahme hier widerlegt.

a) \(P(\text{Vollmilch}) = \frac{7}{12}\), \(P(\text{Zartbitter}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\), \(P(\text{weiß}) = \frac{1}{12}\). b) Es handelt sich nicht um ein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse unterschiedlich sind (\(\frac{7}{12} \neq \frac{4}{12} \neq \frac{1}{12}\)).

- Überlege dir zuerst, welche verschiedenen Ergebnisse überhaupt möglich sind. - Berechne für jedes mögliche Ergebnis die Wahrscheinlichkeit. - Vergleiche die berechneten Wahrscheinlichkeiten miteinander. - Was muss für die Wahrscheinlichkeiten gelten, damit man von einem Laplace-Experiment spricht?

1. Ein Experiment ist ein Laplace-Experiment, wenn alle Ergebnisse in \(\Omega\) die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. 2. Fall a): Die Ergebnismenge ist \(\Omega = \{\text{rot}, \text{blau}\}\). Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(\text{rot}) = \frac{10}{20} = 0{,}5\) und \(P(\text{blau}) = \frac{10}{20} = 0{,}5\). Da die Wahrscheinlichkeiten gleich sind, ist es ein Laplace-Experiment. 3. Fall b): Die Ergebnismenge ist \(\Omega = \{\text{rot}, \text{blau}, \text{grün}, \text{gelb}\}\). Jede Farbe hat eine Wahrscheinlichkeit von \(P = \frac{5}{20} = 0{,}25\). Da alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind, ist es ein Laplace-Experiment. 4. Fall c): Die Ergebnismenge ist \(\Omega = \{\text{rot}, \text{blau}, \text{grün}\}\). Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(\text{rot}) = \frac{2}{20} = 0{,}1\), \(P(\text{blau}) = \frac{8}{20} = 0{,}4\) und \(P(\text{grün}) = \frac{10}{20} = 0{,}5\). Da die Wahrscheinlichkeiten verschieden sind, ist es kein Laplace-Experiment.

a) Ja, es ist ein Laplace-Experiment. \(\Omega = \{\text{rot}, \text{blau}\}\). b) Ja, es ist ein Laplace-Experiment. \(\Omega = \{\text{rot}, \text{blau}, \text{grün}, \text{gelb}\}\). c) Nein, es ist kein Laplace-Experiment. \(\Omega = \{\text{rot}, \text{blau}, \text{grün}\}\).

- Zähle zunächst alle gleich großen Sektoren. - Zähle dann die Sektoren, die nicht mit G gekennzeichnet sind. - Vergleiche günstige und mögliche Sektoren.

1. Das Rad hat \(6\) gleich große Sektoren. Davon tragen \(3\) die Kennzeichnung G. 2. Die übrigen \(3\) Sektoren gehören zum Ereignis „nicht G“. 3. Daher ist \(P(\text{nicht G})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\,\%\).

\(\frac{1}{2}=50\,\%\)

- Wie viele geordnete Ergebnisse sind bei drei Würfen insgesamt möglich? - Welche Werte darf nur der dritte Wurf annehmen, wenn die ersten beiden Würfe jeweils \(6\) zeigen sollen? - Teile die Zahl der günstigen gleich wahrscheinlichen Tripel durch die Gesamtzahl der Tripel.

1. Bei drei Würfen gibt es \(6^3=216\) gleich wahrscheinliche geordnete Würfeltripel. 2. Günstig sind genau die fünf Tripel \((6,6,1)\), \((6,6,2)\), \((6,6,3)\), \((6,6,4)\) und \((6,6,5)\). 3. Daher gilt \(P=\frac{5}{216}\).

\(\frac{5}{216}\)

- Vergleiche die Anzahl der Kugeln jeder Farbe. Was müsste gelten, damit jede Farbe die gleiche Chance hat? - Orientier dich an der Farbe, die am häufigsten vorkommt. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind?

1. Berechnung der Gesamtzahl und Wahrscheinlichkeiten: Gesamtzahl \(n = 12 + 8 + 4 = 24\). Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(\text{rot}) = \frac{12}{24} = 0{,}5\), \(P(\text{blau}) = \frac{8}{24} \approx 0{,}33\) und \(P(\text{grün}) = \frac{4}{24} \approx 0{,}17\). Da die Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind, ist es kein Laplace-Experiment bezüglich der Farben. 2. Anpassung für Laplace-Bedingung: Alle Farben müssen die gleiche Anzahl an Kugeln haben. Die höchste Anzahl ist 12 (rot). 3. Berechnung der hinzuzufügenden Kugeln: Für Blau müssen \(12 - 8 = 4\) Kugeln hinzugefügt werden. Für Grün müssen \(12 - 4 = 8\) Kugeln hinzugefügt werden. 4. Neue Wahrscheinlichkeit: Die neue Gesamtzahl ist \(12 + 12 + 12 = 36\). Da es drei gleich wahrscheinliche Farben gibt, gilt für jede Farbe \(P = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\).

a) Die Wahrscheinlichkeiten der Farben sind unterschiedlich (\(\frac{12}{24}\), \(\frac{8}{24}\), \(\frac{4}{24}\)). b) Es müssen 4 blaue und 8 grüne Kugeln hinzugefügt werden. c) Für jede der drei Farben beträgt die Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{1}{3}\).

- Zähle in der Abbildung, wie viele gleich große Felder zu jeder Farbe gehören. - Prüfe, ob die drei Farbergebnisse dadurch dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. - Überlege für b), welche feinere Beschreibung jedes gleich große Feld als eigenes Ergebnis auffassen könnte.

1. Das Glücksrad besitzt \(10\) gleich große Felder. Davon sind \(5\) blau, \(3\) rot und \(2\) gelb. 2. Daher gilt \(P(\text{blau})=\frac{5}{10}=0{,}5\), \(P(\text{rot})=\frac{3}{10}=0{,}3\) und \(P(\text{gelb})=\frac{2}{10}=0{,}2\). Die drei Farbergebnisse sind also nicht gleich wahrscheinlich. 3. Für eine Laplace-Ergebnismenge können die zehn einzelnen Felder unterschieden werden, zum Beispiel durch Nummerierung: \(\Omega'=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\). Jedes dieser Ergebnisse hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{10}\).

a) Die drei Farbergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich: \(P(\text{blau})=0{,}5\), \(P(\text{rot})=0{,}3\), \(P(\text{gelb})=0{,}2\). b) Zum Beispiel \(\Omega'=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), wenn die einzelnen gleich großen Felder unterschieden werden.

- Prüfe in jedem Fall, welche Ergebnisse in der gewählten Ergebnismenge unterschieden werden. - Für ein Laplace-Experiment müssen diese Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein. - Begründe die Gleichheit oder Ungleichheit aus der Fairness, den Anzahlen beziehungsweise den gleich großen Sektoren.

1. Münze: Die Ergebnismenge ist \(\Omega=\{\text{Kopf},\text{Zahl}\}\). Da die Münze fair ist, sind beide Ergebnisse gleich wahrscheinlich mit \(P=0{,}5\); es liegt ein Laplace-Experiment vor. 2. Urne: Die Ergebnismenge ist \(\Omega=\{\text{rot},\text{blau}\}\). Es ist kein Laplace-Experiment, da \(P(\text{rot})=\frac{4}{10}=0{,}4\) und \(P(\text{blau})=\frac{6}{10}=0{,}6\) verschieden sind. 3. Glücksrad: Die Ergebnismenge ist \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\). Da alle Sektoren gleich groß sind, hat jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit \(\frac18\); es handelt sich um ein Laplace-Experiment.

a) \(\Omega=\{\text{Kopf},\text{Zahl}\}\); Laplace-Experiment. b) \(\Omega=\{\text{rot},\text{blau}\}\); kein Laplace-Experiment, da \(0{,}4\neq0{,}6\). c) \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\); Laplace-Experiment.

- Worauf bezieht sich die Wahrscheinlichkeit bei einer Umfrage – auf die Anzahl der Antwortmöglichkeiten oder auf die Anzahl der Personen? - Wie berechnet man allgemein die Wahrscheinlichkeit in einem Laplace-Experiment? - Was bedeutet das Wort „oder“ für die Anzahl der günstigen Ergebnisse?

1. Begründung der Unrichtigkeit: Lukas geht fälschlicherweise davon aus, dass alle Hobbys gleich häufig vorkommen (Laplace-Annahme auf Ebene der Kategorien). Die Wahrscheinlichkeit hängt jedoch von der Anzahl der Personen pro Kategorie ab, und diese sind nicht gleich verteilt. 2. Berechnung für Lesen: Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(30\), die Gesamtzahl der Personen ist \(200\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{Lesen}) = \frac{30}{200} = 0{,}15\) bzw. \(15\,\%\). 3. Kombination Sport oder Musik: Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist die Summe der Personen in beiden Gruppen: \(80 + 50 = 130\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{Sport oder Musik}) = \frac{130}{200} = 0{,}65\) bzw. \(65\,\%\).

a) Die Aussage ist falsch, da die Hobbys nicht gleich häufig gewählt wurden. Die Wahrscheinlichkeit hängt von der Anzahl der Personen ab, nicht von der Anzahl der Kategorien. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(15\,\%\) (oder \(0{,}15\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(65\,\%\) (oder \(0{,}65\)).

- Zähle nach, wie viele Zahlen zwischen 000 und 999 liegen (vergiss die 000 nicht). - Sind bei einer zufälligen Ziehung bestimmte Muster wahrscheinlicher als andere? - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die letzte Ziffer, wenn sie \(7\) sein muss? Wie viele Möglichkeiten bleiben für die ersten beiden Stellen?

1. Bestimmung der Ergebnismenge: Die Nummern von 000 bis 999 umfassen genau \(1000\) verschiedene Möglichkeiten. 2. Beurteilung der Aussage: Es handelt sich um ein Laplace-Experiment. Jede Losnummer hat die gleiche Wahrscheinlichkeit von \(P = \frac{1}{1000}\). Die „Besonderheit“ einer Ziffernfolge beeinflusst die Wahrscheinlichkeit nicht. 3. Günstige Ergebnisse für Endziffer 7 bestimmen: Die Nummern sind 007, 017, 027, ..., 997. Da es 100 Zehnerblöcke gibt (00x bis 99x) und in jedem Block genau eine Zahl auf 7 endet, gibt es \(100\) günstige Ergebnisse. Alternativ: Die letzte Stelle muss eine 7 sein (1 Möglichkeit), während die ersten beiden Stellen beliebig (je 10 Möglichkeiten) sind: \(10 \cdot 10 \cdot 1 = 100\). 4. Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P = \frac{100}{1000} = \frac{1}{10} = 0{,}1 = 10\,\%\).

a) Es gibt \(1000\) verschiedene Losnummern. b) Die Aussage ist falsch. Jede Nummer ist gleich wahrscheinlich (\(P = \frac{1}{1000}\)), da es sich um ein Laplace-Experiment handelt. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{10}\) (oder \(10\,\%\)).

- Bestimme für jedes Spiel zuerst die Anzahl aller gleich wahrscheinlichen geordneten Ergebnisse. - Wie viele dieser Ergebnisse erfüllen jeweils genau die Gewinnbedingung? - Vergleiche die beiden entstandenen Brüche.

1. Bei Spiel A gibt es \(6^3=216\) gleich wahrscheinliche geordnete Würfeltripel. Nur \((6,6,6)\) ist günstig. Daher gilt \(P(A)=\frac{1}{216}\approx0{,}00463\). 2. Bei Spiel B gibt es wegen des Zurücklegens \(32^2=1024\) gleich wahrscheinliche geordnete Kartenpaare. Nur das Paar Herz-Ass–Herz-Ass ist günstig. Daher gilt \(P(B)=\frac{1}{1024}\approx0{,}00098\). 3. Wegen \(\frac{1}{216}>\frac{1}{1024}\) ist die Gewinnchance bei Spiel A größer.

Spiel A: \(\frac{1}{216}\approx0{,}46\,\%\) Spiel B: \(\frac{1}{1024}\approx0{,}10\,\%\) Die Gewinnchance ist bei Spiel A größer.

- Wie viele gleich wahrscheinliche vierstellige Einstellungen gibt es insgesamt? - Wie viele davon öffnen das Schloss? - Setze günstige und mögliche Ergebnisse ins Verhältnis.

1. Es gibt \(10^4=10\,000\) gleich wahrscheinliche vierstellige Einstellungen. 2. Genau eine dieser Einstellungen ist günstig. 3. Nach dem Laplace-Modell gilt daher \(P=\frac{1}{10000}=0{,}0001=0{,}01\,\%\).

\(\frac{1}{10000}=0{,}0001=0{,}01\,\%\)

- Wie viele Möglichkeiten gibt es unabhängig voneinander an jeder der vier Stellen? - Wie verändert sich die Auswahl, wenn bereits verwendete Ziffern nicht noch einmal vorkommen dürfen? - Welche wenigen Codes erfüllen bei c) die Bedingung „alle vier Stellen gleich“?

1. Für jede der vier Stellen gibt es \(6\) Möglichkeiten. Daher gibt es insgesamt \(6^4=1296\) Codes. 2. Für vier verschiedene Ziffern stehen nacheinander \(6\), \(5\), \(4\) und \(3\) Möglichkeiten zur Verfügung. Damit gibt es \(6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) solche Codes. 3. Für c) sind genau die sechs Codes \(1111\), \(2222\), \(3333\), \(4444\), \(5555\) und \(6666\) günstig. 4. Bei \(1296\) gleich wahrscheinlichen Codes gilt daher \(P=\frac{6}{1296}=\frac{1}{216}\approx0{,}00463\).

a) \(1296\) b) \(360\) c) \(\frac{1}{216}\approx0{,}00463\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare entstehen bei zwei Drehungen? - Zähle aus der Abbildung die Sektoren jeder Farbe. - Für b) kannst du die günstigen Paare für jede Farbe getrennt zählen und anschließend addieren.

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(8\cdot8=64\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Grün liegt auf \(2\) Sektoren. Für zweimal Grün sind daher \(2\cdot2=4\) Paare günstig. Somit gilt \(P(E_1)=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}=6{,}25\,\%\). 3. Für zweimal dieselbe Farbe sind \(3^2\) rote, \(3^2\) blaue und \(2^2\) grüne Sektorenpaare günstig. Insgesamt sind das \(9+9+4=22\) Paare. Daher gilt \(P(E_2)=\frac{22}{64}=\frac{11}{32}=34{,}375\,\%\).

a) \(P(E_1)=\frac{1}{16}=6{,}25\,\%\) b) \(P(E_2)=\frac{11}{32}=34{,}375\,\%\)

- Prüfe für jede Urne, wie viele Kugeln zu jeder möglichen Farbe gehören. - Für ein Laplace-Experiment müssen die Farbergebnisse gleich wahrscheinlich sein. - Vergleiche für b) jeweils die Zahl der roten Kugeln mit der Gesamtzahl der Kugeln in derselben Urne.

1. Bei Urne A sind von insgesamt \(9\) Kugeln jeweils \(3\) blau, \(3\) rot und \(3\) gelb. Damit gilt für jede Farbe \(P=\frac{3}{9}=\frac13\). Die drei Farbergebnisse sind gleich wahrscheinlich; Urne A liefert bezüglich der Farbe ein Laplace-Experiment. 2. Bei Urne B sind von \(9\) Kugeln \(4\) blau, \(2\) rot und \(3\) gelb. Daher gilt \(P(\text{blau})=\frac49\), \(P(\text{rot})=\frac29\) und \(P(\text{gelb})=\frac39=\frac13\). Die Farbergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich; Urne B liefert kein Laplace-Experiment. 3. Für eine rote Kugel gilt bei Urne A \(P(\text{rot})=\frac13\) und bei Urne B \(P(\text{rot})=\frac29\).

a) Nur Urne A ist bezüglich der Farbe ein Laplace-Experiment. b) Urne A: \(\frac13\); Urne B: \(\frac29\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare entstehen insgesamt? - Für a) ist die Reihenfolge der beiden Farben fest. - Für b) ist das Gegenereignis „kein Rot“ einfacher zu zählen.

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(5^2=25\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Für a) stehen beim ersten Dreh \(2\) grüne und beim zweiten \(1\) gelber Sektor zur Verfügung. Daher sind \(2\cdot1=2\) Paare günstig und \(P=\frac{2}{25}=8\,\%\). 3. Für b) ist das Gegenereignis „kein Rot“. Auf \(3\) der \(5\) Sektoren liegt kein Rot, also sind \(3^2=9\) Paare für das Gegenereignis günstig. Damit gilt \(P=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}=64\,\%\).

a) \(\frac{2}{25}=8\,\%\) b) \(\frac{16}{25}=64\,\%\)

- Lies die möglichen Zahlen direkt an beiden Glücksrädern ab und beachte ihre Reihenfolge. - Stelle die Ergebnisse als Paare \((A,B)\) dar. - Zähle für jedes Ereignis systematisch die günstigen Paare.

1. Aus den Abbildungen liest man für A drei und für B vier gleich wahrscheinliche Zahlen ab. Damit gibt es \(3\cdot 4=12\) gleich wahrscheinliche geordnete Paare. 2. Zu a) sind \((1,4)\), \((2,3)\) und \((3,2)\) günstig. Daher gilt \(P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=25\,\%\). 3. Zu b) sind \((1,2)\), \((1,3)\), \((1,4)\), \((2,3)\), \((2,4)\) und \((3,4)\) günstig. Also gilt \(P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}=50\,\%\). 4. Zu c) sind \((1,1)\), \((2,2)\) und \((3,3)\) günstig. Damit gilt \(P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=25\,\%\).

a) \(\frac{1}{4}=25\,\%\) b) \(\frac{1}{2}=50\,\%\) c) \(\frac{1}{4}=25\,\%\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen gibt es bei drei Drehungen? - An welcher der drei Positionen kann die einzige gelbe Drehung stehen? - Für jede blaue Position gibt es mehrere mögliche blaue Sektoren.

1. Auf dem Rad gibt es \(1\) gelben und \(3\) blaue Sektoren. Insgesamt entstehen \(4^3=64\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen. 2. Die gelbe Drehung kann an der ersten, zweiten oder dritten Position stehen. Die möglichen Farbfolgen sind Gelb–Blau–Blau, Blau–Gelb–Blau und Blau–Blau–Gelb. 3. Für jede dieser drei Farbfolgen gibt es für die beiden blauen Positionen jeweils \(3\) mögliche Sektoren. Damit sind \(3\cdot3^2=27\) Sektorenfolgen günstig. 4. Daher gilt \(P(E)=\frac{27}{64}\).

a) Gelb–Blau–Blau, Blau–Gelb–Blau, Blau–Blau–Gelb. b) \(P(E)=\frac{27}{64}\)

- Bestimme die Gesamtzahl der gleich wahrscheinlichen Sektorenpaare. - Wie viele grüne Sektoren können in jeder Position auftreten? - Für b) ist das Gegenereignis „kein Rot“ einfacher zu zählen.

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(10^2=100\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Für zweimal Grün sind \(2\cdot2=4\) Paare günstig. Daher gilt \(P=\frac{4}{100}=4\,\%\). 3. Für b) ist das Gegenereignis „kein Rot“. Auf \(7\) Sektoren liegt kein Rot, also sind \(7^2=49\) Paare für das Gegenereignis günstig. Damit sind \(100-49=51\) Paare günstig und \(P=\frac{51}{100}=51\,\%\).

a) \(4\,\%\) b) \(51\,\%\)

- Betrachte die einzelnen Sektoren, nicht nur die verschiedenen aufgedruckten Zahlen. - Welche geordneten Zahlenpaare haben die Summe \(4\)? - Prüfe bei einer mehrfach vorkommenden Zahl, wie viele verschiedene Sektorenpaare zu demselben Zahlenpaar gehören.

1. Bei jeder Drehung sind fünf Sektoren gleich wahrscheinlich. Daher gibt es bei zwei Drehungen \(5\cdot5=25\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Für die Werte \(1+3\) und \(3+1\) gibt es jeweils genau ein günstiges Sektorenpaar. 3. Die Zahl \(2\) steht auf zwei Sektoren. Für \(2+2\) gibt es deshalb \(2\cdot2=4\) günstige Sektorenpaare. 4. Insgesamt sind \(1+1+4=6\) der \(25\) Paare günstig. Somit gilt \(P(E)=\frac{6}{25}=0{,}24=24\,\%\).

\(P(E)=\frac{6}{25}=0{,}24=24\,\%\)

- Lies aus der Abbildung ab, wie oft jede der beiden Farben vorkommt. - Zwei mögliche Farbergebnisse sind nur dann gleich wahrscheinlich, wenn die zugrunde liegenden gleichartigen Kugeln entsprechend verteilt sind. - Überlege für b), wie sechs Kugeln auf zwei Farben verteilt werden müssen, damit beide Anteile gleich groß sind.

1. In der Urne befinden sich \(5\) rote und \(1\) blaue Kugel, insgesamt also \(6\) Kugeln. 2. Die beiden Farbergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich. Für Rot gilt \(P(\text{rot})=\frac56\), nicht \(\frac12\). 3. Damit Rot und Blau bei insgesamt \(6\) Kugeln gleich wahrscheinlich sind, müssen beide Farben gleich oft vorkommen. Es müssen also \(3\) rote und \(3\) blaue Kugeln vorhanden sein. 4. Eine mögliche Änderung ist, \(2\) rote Kugeln durch \(2\) blaue Kugeln zu ersetzen.

a) Die Aussage ist falsch; \(P(\text{rot})=\frac56\). b) Es müssen \(3\) rote und \(3\) blaue Kugeln vorhanden sein, zum Beispiel durch Ersetzen von \(2\) roten Kugeln durch \(2\) blaue.

- Wie viele geordnete Kugelpaare sind wegen des Zurücklegens insgesamt gleich wahrscheinlich? - Zähle in der Abbildung, wie viele A- und N-Kugeln zur Verfügung stehen. - Multipliziere beim Zählen die Anzahl der möglichen Einzelkugeln für die erste und zweite Position.

1. Die Urne enthält \(6\) Kugeln. Wegen des Zurücklegens gibt es \(6^2=36\) gleich wahrscheinliche geordnete Kugelpaare. 2. Für „AN“ können beim ersten Zug \(3\) A-Kugeln und beim zweiten \(2\) N-Kugeln auftreten. Damit sind \(3\cdot2=6\) Paare günstig und \(P(\text{AN})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\). 3. Für „AA“ gibt es \(3\cdot3=9\) günstige Paare. Daher gilt \(P(\text{AA})=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\).

a) \(P(\text{AN})=\frac{1}{6}\) b) \(P(\text{AA})=\frac{1}{4}\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Kugeltripel entstehen wegen des Zurücklegens? - An welcher der drei Positionen kann die eine blaue Kugel stehen? - Zähle für jede Position die möglichen einzelnen roten beziehungsweise blauen Kugeln.

1. Die Urne enthält \(5\) Kugeln. Wegen des Zurücklegens gibt es \(5^3=125\) gleich wahrscheinliche geordnete Kugeltripel. 2. Die eine blaue Position kann auf \(3\) Arten gewählt werden. Für jede rote Position stehen \(2\) einzelne rote Kugeln und für die blaue Position \(3\) einzelne blaue Kugeln zur Verfügung. 3. Damit sind \(3\cdot2^2\cdot3=36\) Tripel günstig. Es gilt \(P=\frac{36}{125}=0{,}288=28{,}8\,\%\).

\(\frac{36}{125}=0{,}288=28{,}8\,\%\)

- Lies die möglichen Zahlen direkt auf den Kugeln der Urne ab. - Behandle die beiden Ziehungen als geordnetes Zahlenpaar. - Liste nur die Paare auf, deren Summe die Grenze \(8\) überschreitet.

1. Aus der Abbildung liest man fünf gleich wahrscheinliche Zahlen pro Zug ab. Mit Zurücklegen gibt es daher \(5\cdot5=25\) gleich wahrscheinliche geordnete Zahlenpaare. 2. Eine Summe größer als \(8\) entsteht bei \((4,5)\), \((5,4)\) und \((5,5)\). 3. Somit gilt \(P=\frac{3}{25}=0{,}12\).

\(P=\frac{3}{25}=12\,\%\)

- Bestimme für jedes Ereignis zuerst die passenden nummerierten Kugeln. - Für die Wahrscheinlichkeit vergleichst du die Zahl der günstigen Kugeln mit allen acht Kugeln. - Prüfe für die Laplace-Frage, ob die einzelnen nummerierten Kugeln dieselbe Ziehchance haben.

1. Die Ergebnismenge ist \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), also \(|\Omega|=8\). 2. Für \(A=\{2,4,6,8\}\) gilt \(P(A)=\frac48=\frac12=0{,}5\). 3. Die blau markierten Kugeln tragen die Zahlen \(1,2,3,4\). Damit ist \(B=\{1,2,3,4\}\) und \(P(B)=\frac48=\frac12=0{,}5\). 4. Für \(C=\{6,7,8\}\) gilt \(P(C)=\frac38=0{,}375\). 5. Jede der acht gleichartigen Kugeln hat dieselbe Ziehchance. Bezogen auf die einzelnen nummerierten Kugeln liegt daher ein Laplace-Experiment vor.

\(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}5\), \(P(C)=0{,}375\). Es ist ein Laplace-Experiment, weil jede der acht nummerierten Kugeln gleich wahrscheinlich gezogen wird.

- Lies zuerst aus dem Baum ab, wie viele vollständige Pfade es insgesamt gibt. - Markiere alle Pfade, deren erste Stufe blau ist. - Ergänze die noch nicht markierten Pfade, deren zweite Stufe Zahl ist, ohne doppelt zu zählen.

1. Aus dem Baum liest man \(6\) vollständige Pfade ab: Für jede der drei Möglichkeiten der ersten Stufe gibt es zwei Fortsetzungen. 2. Günstig sind die beiden Pfade, die mit blau beginnen, sowie die beiden weiteren Zahl-Pfade nach rot beziehungsweise grün. Damit sind \(4\) von \(6\) Pfaden günstig. 3. Daher gilt \(P(E)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).

\(\frac{2}{3}\)

- Lies jeden vollständigen Weg im Baum als einen Code. - Schließe zuerst die Pfade aus, die mit A beginnen. - Prüfe unter den verbleibenden Pfaden, welche auf \(2\) enden.

1. Aus dem Baum liest man \(6\) vollständige Codes ab. 2. Die Bedingung „nicht mit A beginnen und auf \(2\) enden“ erfüllen genau B2 und C2. Damit sind \(2\) von \(6\) Pfaden günstig. 3. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).

\(\frac{1}{3}\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Würfelpaare gibt es insgesamt? - Das Gegenereignis „keine \(6\)“ ist leichter zu zählen. - Ziehe die Zahl der Gegenereignis-Paare von der Gesamtzahl ab.

1. Bei zwei Würfen gibt es \(6^2=36\) gleich wahrscheinliche geordnete Würfelpaare. 2. Für das Gegenereignis „keine \(6\)“ sind \(5^2=25\) Paare günstig. 3. Daher gehören \(36-25=11\) Paare zum Ereignis „mindestens eine \(6\)“ und es gilt \(P=\frac{11}{36}\).

\(\frac{11}{36}\)

- Vergleiche in der Abbildung die Größen der drei Felder, nicht nur ihre Beschriftungen. - Überlege, in wie viele gleich große Flächenstücke sich das Rad gedanklich zerlegen lässt. - Erst auf der Ebene gleich großer Teilflächen darfst du günstige und alle Möglichkeiten zählen.

1. Die drei beschrifteten Felder sind nicht gleich groß und daher nicht gleich wahrscheinlich. Man darf deshalb nicht einfach zwei günstige Beschriftungen durch drei Beschriftungen teilen. 2. In der Abbildung sind A und B gleich groß; C nimmt zusammen so viel Fläche ein wie A und B. Damit besteht das Rad aus vier gleich großen Vierteln: A belegt eines, B eines und C zwei. 3. A oder B bedeckt somit \(2\) von \(4\) gleich großen Vierteln. Daher ist \(P(\text{A oder B})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\), nicht \(\frac{2}{3}\).

\(P(\text{A oder B})=\frac{1}{2}\). Jonas zählt die drei Beschriftungen, obwohl die zugehörigen Felder unterschiedlich groß und damit nicht gleich wahrscheinlich sind.

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Seitenpaare gibt es bei zwei Würfen? - Das Gegenereignis „zweimal dieselbe Farbe“ ist leichter zu zählen. - Zähle die gleichfarbigen Paare für Rot, Blau und Grün getrennt.

1. Bei zwei Würfen gibt es \(6^2=36\) gleich wahrscheinliche geordnete Seitenpaare. 2. Für zweimal dieselbe Farbe sind \(3^2=9\) rote, \(2^2=4\) blaue und \(1^2=1\) grüne Seitenpaare günstig. Insgesamt sind das \(14\) Paare. 3. Für zwei verschiedene Farben bleiben \(36-14=22\) günstige Paare. Daher gilt \(P=\frac{22}{36}=\frac{11}{18}\).

\(\frac{11}{18}\approx61{,}1\,\%\)

- Prüfe, ob alle sechs möglichen Auflageflächen geometrisch gleichartig sind. - Überlege, welche Symmetrieeigenschaft einen gewöhnlichen fairen Würfel auszeichnet und ob sie hier vorliegt. - Unterscheide zwischen einem geometrischen Hinweis auf Ungleichheit und einer exakten Berechnung von Landewahrscheinlichkeiten.

1. Die beiden quadratischen Flächen haben den Flächeninhalt \(3\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=9\,\text{cm}^2\). 2. Die vier rechteckigen Flächen haben den Flächeninhalt \(3\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}=18\,\text{cm}^2\). 3. Der Körper besitzt damit nicht die Symmetrie eines gewöhnlichen Würfels. Seine möglichen Auflageflächen unterscheiden sich in Form und Größe; auch die geometrische Lage des Schwerpunkts relativ zu den verschiedenen Auflageflächen ist nicht gleichartig. 4. Aus der bloßen Zahl von sechs Flächen folgt deshalb nicht \(P(1)=\dots=P(6)=\frac16\). Aus den Flächeninhalten allein lassen sich die tatsächlichen Landewahrscheinlichkeiten allerdings ebenfalls nicht exakt bestimmen. 5. Für exakte Wahrscheinlichkeiten wären ein geeignetes physikalisches Modell oder Versuchsdaten nötig. Die Laplace-Annahme ist für diesen Körper daher nicht begründet.

Jonas' Aussage ist nicht begründet. Der Quader hat sechs Flächen, aber nicht die Symmetrie eines fairen Würfels. Deshalb folgt aus der Anzahl der Flächen nicht automatisch eine Wahrscheinlichkeit von \(\frac16\) für jede Zahl. Die tatsächlichen Landewahrscheinlichkeiten müssten experimentell oder mit einem geeigneten physikalischen Modell bestimmt werden.

- Unterscheide zwischen den drei Symbolarten und den einzelnen Plättchen. - Für ein Laplace-Modell müssen die Ergebnisse der gewählten Ergebnismenge gleich wahrscheinlich sein. - Prüfe bei a), ob die drei Symbolarten von gleich vielen Plättchen getragen werden. - Verwende bei c) die Ergebnismenge aus b), nicht nur die drei Symbolnamen.

1. In \(\Omega_1\) sind die drei Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich, weil sie von unterschiedlich vielen einzelnen Plättchen vertreten werden: \(12\), \(8\) und \(10\). Daher ist \(\Omega_1\) keine Laplace-Ergebnismenge. 2. Man kann die \(30\) einzelnen Plättchen als Ergebnisse unterscheiden, zum Beispiel als \(A_1,\ldots,A_{12},B_1,\ldots,B_8,O_1,\ldots,O_{10}\). Nach der Modellannahme sind diese \(30\) Einzelergebnisse gleich wahrscheinlich; damit liegt auf dieser Ergebnismenge ein Laplace-Modell vor. 3. Für Birne sind \(8\) von \(30\) Einzelergebnissen günstig. Daher gilt \(P(\text{Birne})=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}\). 4. Für „kein Apfel“ sind die \(8+10=18\) Birnen- und Orangenplättchen günstig. Daher gilt \(P(\text{kein Apfel})=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}\).

a) Nein. In \(\Omega_1\) sind Apfel, Birne und Orange nicht gleich wahrscheinlich. b) Zum Beispiel die \(30\) einzelnen Plättchen als getrennte Ergebnisse. c) \(P(\text{Birne})=\frac{4}{15}\); \(P(\text{kein Apfel})=\frac{3}{5}\).

- Lies die Mittelpunktswinkel direkt aus der Abbildung ab und vergleiche jeden Sektor mit dem Vollkreis. - Prüfe für b), ob alle vier Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen. - Überlege für c), wie ein Vollkreis auf vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse verteilt werden müsste.

1. Ein voller Kreis hat \(360^\circ\). Aus den dargestellten Sektorwinkeln folgt \(P(A)=\frac{120}{360}=\frac13\), \(P(B)=\frac{120}{360}=\frac13\), \(P(C)=\frac{60}{360}=\frac16\) und \(P(D)=\frac{60}{360}=\frac16\). 2. Die vier Ergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich. Damit ist die Laplace-Bedingung für \(\Omega=\{A,B,C,D\}\) nicht erfüllt. 3. Für vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse muss jeder Sektor ein Viertel des Vollkreises einnehmen. Daher beträgt jeder neue Mittelpunktswinkel \(\frac{360^\circ}{4}=90^\circ\).

a) \(P(A)=\frac13\), \(P(B)=\frac13\), \(P(C)=\frac16\), \(P(D)=\frac16\) b) Kein Laplace-Experiment, weil die vier Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind. c) Jeder Sektor muss einen Mittelpunktswinkel von \(90^\circ\) haben.

- Liste für die Summen \(2\) und \(7\) die geordneten Würfelpaare auf, die sie erzeugen. - Zähle, wie viele geordnete Paare zweier Würfel insgesamt möglich sind. - Achte darauf, dass in a) Summen die Ergebnisse sind, in b) dagegen die einzelnen geordneten Würfelpaare.

1. Die Summe \(2\) entsteht nur beim Paar \((1;1)\). Die Summe \(7\) entsteht bei \((1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1)\). 2. Unter den \(6\cdot6=36\) gleich wahrscheinlichen geordneten Würfelpaaren hat die Summe \(2\) daher die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{36}\), die Summe \(7\) die Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\). Die Summen sind nicht gleich wahrscheinlich; in a) liegt kein Laplace-Experiment vor. 3. Bei b) werden die \(36\) geordneten Würfelpaare selbst als Ergebnisse betrachtet. Im Modell mit zwei fairen Würfeln sind diese geordneten Paare gleich wahrscheinlich. Daher ist b) ein Laplace-Experiment mit \(|\Omega|=36\).

a) Nein. Zum Beispiel gilt \(P(2)=\frac{1}{36}\) und \(P(7)=\frac{1}{6}\). b) Ja. Die \(36\) geordneten Paare sind gleich wahrscheinlich; \(|\Omega|=36\).

- Wie viele Felder gibt es insgesamt und wie viele davon entfallen auf ein bestimmtes Ergebnis? - Ein Laplace-Experiment erfordert immer die exakt gleiche Wahrscheinlichkeit für alle möglichen Ausgänge. - Fasse bei Teilaufgabe c) die Ergebnisse „1“ und „3“ zu einer Gruppe zusammen.

1. Zu a): Damit das Experiment bezüglich \(\Omega = \{1, 2, 3\}\) ein Laplace-Experiment ist, muss jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{1}{3}\) haben. Bei 12 Feldern entspricht das \(\frac{1}{3} \cdot 12 = 4\) Feldern pro Zahl. 2. Zu b): Die Gesamtzahl der Felder ist 12. Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(1) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\), \(P(2) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) und \(P(3) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). Da die Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind (\(\frac{1}{6} \neq \frac{1}{3} \neq \frac{1}{2}\)), ist es kein Laplace-Experiment. 3. Zu c): Die Ergebnismenge ist \(\Omega' = \{\text{gerade}, \text{ungerade}\}\). Gerade Zahlen auf dem Rad sind nur die 2 (4 Felder). Ungerade Zahlen sind die 1 und die 3 (zusammen \(2 + 6 = 8\) Felder). 4. Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(\text{gerade}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) und \(P(\text{ungerade}) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\). Da \(\frac{1}{3} \neq \frac{2}{3}\), ist die Aussage falsch; es ist kein Laplace-Experiment.

a) Es müssen jeweils genau 4 Felder mit jeder der Zahlen 1, 2 und 3 beschriftet sein. b) \(P(1) = \frac{1}{6}\), \(P(2) = \frac{1}{3}\), \(P(3) = \frac{1}{2}\). Es ist kein Laplace-Experiment. c) Die Aussage ist falsch. Da \(P(\text{gerade}) = \frac{1}{3}\) und \(P(\text{ungerade}) = \frac{2}{3}\) gilt, sind die Wahrscheinlichkeiten nicht gleich.

- Betrachte nicht nur die vier Farbnamen, sondern die einzelnen gleich großen Sektoren. - Wie viele geordnete Sektorpaare entstehen bei zwei Drehungen insgesamt? - Vergleiche die Zahl der Sektorpaare für blau-blau und gelb-gelb.

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(10\cdot10=100\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorpaare. 2. Für blau-blau kann bei jeder Drehung einer von \(7\) blauen Sektoren getroffen werden. Es gibt \(7\cdot7=49\) günstige Sektorpaare. Daher ist \(P(\text{blau, blau})=\frac{49}{100}=49\,\%\). 3. Die vier Farbreihenfolgen fassen unterschiedlich viele gleich wahrscheinliche Sektorpaare zusammen. Zum Beispiel gibt es für gelb-gelb nur \(3\cdot3=9\) Sektorpaare. Deshalb sind die vier Farbreihenfolgen nicht gleich wahrscheinlich.

a) \(49\,\%\) b) Die vier Farbreihenfolgen bestehen aus unterschiedlich vielen gleich wahrscheinlichen Sektorpaaren; daher darf man nicht durch \(4\) teilen.

- Zähle die gleich wahrscheinlichen geordneten Tripel einzelner Gummibärchen. - Zähle die günstigen Tripel für Rot, Gelb und Grün getrennt. - Addiere die günstigen Anzahlen, bevor du durch die Gesamtzahl der Ergebnisse teilst.

1. Wegen des Zurücklegens gibt es \(20^3=8000\) gleich wahrscheinliche geordnete Tripel einzelner Gummibärchen. 2. Für drei rote Gummibärchen sind \(10^3=1000\) Tripel günstig, für drei gelbe \(6^3=216\) und für drei grüne \(4^3=64\). 3. Insgesamt sind \(1000+216+64=1280\) Tripel günstig. Daher gilt \(P=\frac{1280}{8000}=\frac{4}{25}=0{,}16\).

\(\frac{4}{25}=0{,}16=16\,\%\)

- Wie viele geordnete Auswahlen von drei verschiedenen Personen sind insgesamt möglich? - Für genau zwei Frauen kann der Mann an drei verschiedenen Positionen stehen. - Welches Gegenereignis zu (3) wurde bereits in (1) gezählt?

1. Insgesamt gibt es \(10\cdot9\cdot8=720\) gleich wahrscheinliche geordnete Auswahlen. 2. Für (1) sind \(4\cdot3\cdot2=24\) Auswahlen günstig. Daher gilt \(P=\frac{24}{720}=\frac{1}{30}\). 3. Für (2) kann die Position des einen Mannes auf \(3\) Arten gewählt werden. Die beiden Frauen können geordnet auf \(6\cdot5\) Arten und der Mann auf \(4\) Arten gewählt werden. Damit sind \(3\cdot6\cdot5\cdot4=360\) Auswahlen günstig und \(P=\frac{360}{720}=\frac{1}{2}\). 4. Für (3) ist das Gegenereignis „nur Männer“. Daher gilt \(P=1-\frac{1}{30}=\frac{29}{30}\).

(1) \(\frac{1}{30}\approx3{,}3\,\%\) (2) \(\frac{1}{2}=50\,\%\) (3) \(\frac{29}{30}\approx96{,}7\,\%\)

- Zähle geordnete Auswahlen einzelner Früchte, nicht nur Farbfolgen. - Für b) ist das Gegenereignis „drei Äpfel“ einfacher zu zählen. - Welche Gesamtzahl und welche Apfelzahl gelten zu Beginn von c)?

1. Für drei Ziehungen gibt es \(15\cdot14\cdot13=2730\) gleich wahrscheinliche geordnete Auswahlen. Für Birne–Apfel–Birne sind \(6\cdot9\cdot5=270\) Auswahlen günstig. Daher gilt in a) \(P=\frac{270}{2730}=\frac{9}{91}\). 2. Für b) ist das Gegenereignis „drei Äpfel“. Dafür sind \(9\cdot8\cdot7=504\) Auswahlen günstig. Somit gilt \(P=1-\frac{504}{2730}=\frac{53}{65}\). 3. Nach dem bereits gezogenen Apfel bleiben \(14\) Früchte, darunter \(8\) Äpfel. Für die zwei weiteren Ziehungen gibt es \(14\cdot13=182\) geordnete Auswahlen, davon \(8\cdot7=56\) mit zwei Äpfeln. Daher gilt in c) \(P=\frac{56}{182}=\frac{4}{13}\).

a) \(\frac{9}{91}\) b) \(\frac{53}{65}\) c) \(\frac{4}{13}\)

- Zähle zuerst die geordneten Möglichkeiten für die erste und zweite Socke. - Für „gleiche Farbe“ kannst du die günstigen grauen und blauen Paare getrennt zählen. - Welches Gegenereignis zu „mindestens eine blaue Socke“ hat nur eine Farbart?

1. Für die erste Socke gibt es \(10\) und für die zweite noch \(9\) Möglichkeiten. Insgesamt gibt es \(10\cdot9=90\) gleich wahrscheinliche geordnete Paare. 2. Für zwei graue Socken gibt es \(6\cdot5=30\) günstige Paare, für zwei blaue \(4\cdot3=12\). Damit sind \(42\) Paare günstig und \(P(\text{gleiche Farbe})=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}\). 3. Das Gegenereignis zu „mindestens eine blaue Socke“ ist „zwei graue Socken“. Dafür sind \(30\) der \(90\) Paare günstig. Somit gilt \(P(\text{mindestens eine blau})=1-\frac{30}{90}=\frac{2}{3}\).

a) \(90\) geordnete Paare. b) \(\frac{7}{15}\approx46{,}7\,\%\) c) \(\frac{2}{3}\approx66{,}7\,\%\)

- Welche Bedingungen gelten bei jedem Ereignis für die erste, zweite und dritte Stelle? - Wie viele gleich wahrscheinliche Tripel sind bei drei Drehungen insgesamt möglich? - Welche Ergebnisse erfüllen jeweils die geforderte Bedingung?

1. Für \(A\) muss die erste Zahl \(1\) sein, während die zweite und dritte Zahl jeweils \(2\) oder \(3\) sind. Daher gilt \(A=\{(1,2,2),(1,2,3),(1,3,2),(1,3,3)\}\). 2. Für \(B\) dürfen die ersten beiden Zahlen nicht \(1\) sein, die dritte Zahl ist \(1\). Daher gilt \(B=\{(2,2,1),(2,3,1),(3,2,1),(3,3,1)\}\). 3. Für \(C\) ist die dritte Stelle fest, die ersten beiden Stellen haben jeweils drei Möglichkeiten. Es gibt also \(3\cdot3=9\) Ergebnisse. Für \(D\) hat die dritte Stelle zwei Möglichkeiten, also gibt es \(3\cdot3\cdot2=18\) Ergebnisse. 4. Insgesamt gibt es \(3^3=27\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Damit gilt \(P(A)=\frac{4}{27}\), \(P(B)=\frac{4}{27}\), \(P(C)=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\) und \(P(D)=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}\).

a) \(A=\{(1,2,2),(1,2,3),(1,3,2),(1,3,3)\}\); \(B=\{(2,2,1),(2,3,1),(3,2,1),(3,3,1)\}\) b) \(C\): \(9\) Ergebnisse; \(D\): \(18\) Ergebnisse c) \(P(A)=\frac{4}{27}\); \(P(B)=\frac{4}{27}\); \(P(C)=\frac{1}{3}\); \(P(D)=\frac{2}{3}\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Tripel einzelner Kugeln entstehen durch das Zurücklegen? - Bei genau zwei blauen Kugeln kann die rote Kugel an drei Positionen stehen. - Für „mindestens eine rote Kugel“ ist das Gegenereignis kürzer zu zählen.

1. Wegen des Zurücklegens gibt es insgesamt \(5^3=125\) gleich wahrscheinliche geordnete Kugeltripel. 2. Für a) kann in jeder Position eine von \(2\) roten Kugeln auftreten. Damit sind \(2^3=8\) Tripel günstig und \(P=\frac{8}{125}\). 3. Für b) wird die Position der einen roten Kugel auf \(3\) Arten gewählt. Für die beiden blauen Positionen gibt es jeweils \(3\) Möglichkeiten und für die rote \(2\). Damit sind \(3\cdot3^2\cdot2=54\) Tripel günstig und \(P=\frac{54}{125}\). 4. Für c) ist das Gegenereignis „drei blaue Kugeln“. Dafür gibt es \(3^3=27\) Tripel. Somit gilt \(P=1-\frac{27}{125}=\frac{98}{125}\).

a) \(\frac{8}{125}=6{,}4\,\%\) b) \(\frac{54}{125}=43{,}2\,\%\) c) \(\frac{98}{125}=78{,}4\,\%\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Zahlenpaare sind bei zwei Ziehungen mit Zurücklegen möglich? - Welche Zahlenpaare erfüllen jeweils die Bedingung des Ereignisses? - Arbeite bei jeder Teilaufgabe systematisch, damit kein günstiger Fall fehlt oder doppelt gezählt wird.

1. Bei zwei Ziehungen mit Zurücklegen gibt es \(4\cdot4=16\) gleich wahrscheinliche geordnete Ergebnisse. 2. Für a) sind \((1,4)\), \((2,3)\), \((3,2)\) und \((4,1)\) günstig. Daher gilt \(P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0{,}25\). 3. Für b) sind \((1,1)\), \((1,4)\), \((2,2)\), \((3,3)\), \((4,1)\) und \((4,4)\) günstig. Daher gilt \(P=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}=0{,}375\). 4. Für c) sind \((2,1)\), \((3,1)\), \((3,2)\), \((4,1)\), \((4,2)\) und \((4,3)\) günstig. Daher gilt \(P=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}=0{,}375\).

a) \(\frac{1}{4}=0{,}25\) b) \(\frac{3}{8}=0{,}375\) c) \(\frac{3}{8}=0{,}375\)

- Wie viele Möglichkeiten gibt es an jeder Position, solange Wiederholungen erlaubt sind? - Was verändert sich bei jeder weiteren Position, wenn ein Zeichen nicht erneut verwendet werden darf? - Bei c) sind alle erzeugten fünfstelligen Codes gleich wahrscheinlich; du kannst günstige und mögliche Strukturen vergleichen.

1. Insgesamt stehen \(10+8=18\) Zeichen zur Verfügung. 2. Bei Wiederholung gibt es an jeder der fünf Stellen \(18\) Möglichkeiten. Daher sind \(18^5=1\,889\,568\) Codes möglich. 3. Ohne Wiederholung gibt es nacheinander \(18\), \(17\), \(16\), \(15\) und \(14\) Möglichkeiten. Damit erhält man \(18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14=1\,028\,160\) Codes. 4. Für c) sind \(10^5=100\,000\) der \(18^5=1\,889\,568\) gleich wahrscheinlichen Codes günstig. Daher gilt \(P=\frac{100000}{1889568}=\frac{3125}{59049}\approx0{,}05292\).

a) \(1\,889\,568\) Codes b) \(1\,028\,160\) Codes c) \(\frac{3125}{59049}\approx5{,}29\,\%\)

- Welche Auswahlmöglichkeiten bleiben an einer Position übrig, wenn bereits verwendete Ziffern ausgeschlossen sind? - Bei b) ist nur die unmittelbar vorherige Ziffer für die nächste Position gesperrt. - Welche beiden ersten Entscheidungen legen bei einem abwechselnden Code bereits die restlichen Stellen fest?

1. Für a) stehen nacheinander \(6\), \(5\), \(4\) und \(3\) Ziffern zur Verfügung. Daher gibt es \(6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) Codes. 2. Für b) gibt es für die erste Stelle \(6\) Möglichkeiten. An jeder weiteren Stelle sind \(5\) Ziffern zulässig. Somit gibt es \(6\cdot5^3=750\) zulässige Codes. 3. Für c) kann die erste Ziffer auf \(6\) Arten gewählt werden und die zweite auf \(5\) andere Arten. Danach ist das Wechselmuster festgelegt. Es gibt also \(6\cdot5=30\) günstige zulässige Codes. 4. Damit gilt \(P=\frac{30}{750}=\frac{1}{25}=0{,}04\).

a) \(360\) b) \(750\) c) \(\frac{1}{25}=4\,\%\)

- Wie viele Farbentscheidungen gibt es an jeder Position, wenn Wiederholungen erlaubt sind? - Wie verändert sich die Zahl der noch verfügbaren Farben, wenn keine Farbe erneut vorkommen darf? - Welches Gegenereignis zu c) lässt sich durch eine einzige Folge von Auswahlzahlen erfassen?

1. Bei erlaubter Wiederholung gibt es an jeder der fünf Positionen \(12\) Möglichkeiten. Daher sind \(12^5=248\,832\) Muster möglich. 2. Ohne Wiederholung stehen nacheinander \(12\), \(11\), \(10\), \(9\) und \(8\) Farben zur Verfügung. Damit gibt es \(12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8=95\,040\) Muster. 3. Das Gegenereignis zu „mindestens eine Farbe kommt mehrfach vor“ lautet „alle fünf Farben sind verschieden“. 4. Von den \(248\,832\) gleich wahrscheinlichen Mustern haben \(95\,040\) fünf verschiedene Farben. Daher gilt \(P(\text{alle Farben verschieden})=\frac{95040}{248832}=\frac{55}{144}\). Somit ist \(P(\text{mindestens eine Wiederholung})=1-\frac{55}{144}=\frac{89}{144}\approx0{,}6181\).

a) \(248\,832\) b) \(95\,040\) c) \(\frac{89}{144}\approx61{,}81\,\%\)

- Liste für die kleine Zielsumme die geordneten Tripel systematisch auf. - Überlege bei drei verschiedenen Zahlen, wie viele ihrer möglichen Reihenfolgen streng fallend sind. - Bei „größte Zahl höchstens \(4\)“ muss jede der drei Stellen aus derselben Teilmenge stammen.

1. Bei drei Ziehungen gibt es \(10^3=1000\) gleich wahrscheinliche Zahlentripel. Die Summe \(5\) entsteht bei \((1,1,3)\), \((1,3,1)\), \((3,1,1)\), \((1,2,2)\), \((2,1,2)\) und \((2,2,1)\). Daher gilt \(P=\frac{6}{1000}=0{,}006\). 2. Für drei verschiedene Zahlen gibt es \(10\cdot9\cdot8=720\) geordnete Tripel. Zu jeder Auswahl von drei verschiedenen Zahlen gehören sechs Reihenfolgen; genau eine davon ist streng fallend. Daher gibt es \(720:6=120\) günstige Tripel und somit \(P=\frac{120}{1000}=0{,}12\). 3. Die größte Zahl ist höchstens \(4\), wenn bei jeder Ziehung eine Zahl aus \(1\) bis \(4\) erscheint. Es gibt \(4^3=64\) günstige Tripel. Daher gilt \(P=\frac{64}{1000}=0{,}064\).

1. \(P=0{,}006\) 2. \(P=0{,}12\) 3. \(P=0{,}064\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare entstehen insgesamt? - Welche Farben kommen auf beiden Rädern vor? - Welche geordneten Zahlenpaare haben eine Summe von mindestens \(6\)?

1. Glücksrad A hat \(5\) und Glücksrad B \(4\) gleich große Sektoren. Daher gibt es \(5\cdot4=20\) gleich wahrscheinliche geordnete Kombinationen. 2. Für dieselbe Farbe gibt es \(2\cdot1=2\) Rot-Rot-Kombinationen und \(2\cdot2=4\) Blau-Blau-Kombinationen. Damit gilt \(P=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=30\,\%\). 3. Für eine Summe von mindestens \(6\) gibt es zehn günstige Zahlenpaare. Daher gilt \(P=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}=50\,\%\).

a) \(\frac{3}{10}=30\,\%\) b) \(\frac{1}{2}=50\,\%\)

- Wie oft kommen die einzelnen Zahlen und Farben auf dem Rad vor? - Welche geordneten Zahlenpaare erfüllen a) beziehungsweise b)? - Wie viele geordnete Sektorenpaare sind insgesamt gleich wahrscheinlich?

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(6\cdot6=36\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Die Zahl \(1\) steht auf zwei, die Zahl \(2\) auf drei und die Zahl \(3\) auf einem Sektor. Daher gilt \(P(\text{zweimal gleiche Zahl})=\frac{2^2+3^2+1^2}{36}=\frac{7}{18}\approx0{,}3889\). 3. Eine Summe größer als \(4\) entsteht durch die Zahlenpaare \((2,3)\), \((3,2)\) und \((3,3)\). Unter Berücksichtigung der Sektorhäufigkeiten gibt es \(3\cdot1+1\cdot3+1\cdot1=7\) günstige Sektorenpaare. Damit gilt \(P=\frac{7}{36}\approx0{,}1944\). 4. Für c) gibt es \(2\cdot2=4\) günstige Sektorenpaare. Daher ist \(P=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\approx0{,}1111\).

a) \(\frac{7}{18}\approx38{,}9\,\%\) b) \(\frac{7}{36}\approx19{,}4\,\%\) c) \(\frac{1}{9}\approx11{,}1\,\%\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare gibt es insgesamt? - Wie viele rote Sektoren besitzt jedes Rad? - Welche Zahlenpaare ergeben die Summe \(6\)?

1. Glücksrad A hat \(4\) und Glücksrad B \(6\) gleich große Sektoren. Daher gibt es \(4\cdot6=24\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Auf A ist ein Sektor rot, auf B sind drei Sektoren rot. Damit sind \(1\cdot3=3\) Sektorenpaare für a) günstig und \(P=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}\). 3. Für b) sind die Zahlenpaare \((1,5)\), \((2,4)\), \((3,3)\) und \((4,2)\) günstig. Sie entsprechen vier gleich wahrscheinlichen Sektorenpaaren. Daher gilt \(P=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}\).

a) \(\frac{1}{8}\) b) \(\frac{1}{6}\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare entstehen insgesamt? - Welche Zahlenpaare haben eine Summe von mindestens \(6\)? - Wie oft werden diese Zahlenpaare durch die mehrfach vorkommenden Sektoren tatsächlich dargestellt?

1. Die Zahlen \(1\) und \(2\) stehen jeweils auf einem Sektor; die Zahlen \(3\) und \(5\) jeweils auf zwei Sektoren. Bei zwei Drehungen gibt es insgesamt \(6\cdot6=36\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Günstig sind die Zahlenpaare \((1,5)\), \((2,5)\), \((3,3)\), \((3,5)\), \((5,1)\), \((5,2)\), \((5,3)\) und \((5,5)\). 3. Unter Berücksichtigung der Sektorhäufigkeiten entsprechen diese Fälle \(2+2+4+4+2+2+4+4=24\) günstigen Sektorenpaaren. 4. Daher gilt \(P=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}\).

\(\frac{2}{3}\)

- Zähle zuerst die \(64\) gleich wahrscheinlichen geordneten Sektorenpaare. - Für a) werden die günstigen Paare für Rot, Blau und Grün getrennt gezählt. - Bei b) ist das Gegenereignis „kein Grün“ einfacher zu zählen. - Für c) ist die Reihenfolge fest vorgegeben.

1. Insgesamt gibt es \(8^2=64\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Für a) sind \(3^2+4^2+1^2=26\) Paare günstig. Daher gilt \(P=\frac{26}{64}=\frac{13}{32}=40{,}625\,\%\). 3. Für b) sind beim Gegenereignis „kein Grün“ \(7^2=49\) Paare günstig. Somit gehören \(64-49=15\) Paare zum Ereignis und \(P=\frac{15}{64}=23{,}4375\,\%\). 4. Für c) gibt es \(3\) mögliche rote Sektoren beim ersten und \(4\) blaue beim zweiten Dreh. Daher sind \(3\cdot4=12\) Paare günstig und \(P=\frac{12}{64}=\frac{3}{16}=18{,}75\,\%\).

a) \(\frac{13}{32}=40{,}625\,\%\) b) \(\frac{15}{64}=23{,}4375\,\%\) c) \(\frac{3}{16}=18{,}75\,\%\)

- Betrachte jede Drehung als Auswahl eines von acht gleich wahrscheinlichen Sektoren. - Ordne jedem Ergebnis ein geordnetes Paar aus erstem und zweitem Sektor zu. - Zähle für jedes Ereignis die günstigen Paare; bei der Summe kannst du mit den größten Zahlen beginnen.

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(8\cdot 8=64\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Für \(A\) sind bei jeder Drehung vier ungerade Zahlen möglich. Daher sind \(4\cdot 4=16\) Paare günstig und \(P(A)=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}=25\,\%\). 3. Für \(B\) sind die zehn geordneten Zahlenpaare \((8,5)\), \((8,6)\), \((8,7)\), \((8,8)\), \((7,6)\), \((7,7)\), \((7,8)\), \((6,7)\), \((6,8)\) und \((5,8)\) günstig. Somit gilt \(P(B)=\frac{10}{64}=\frac{5}{32}=15{,}625\,\%\). 4. Für \(C\) gibt es vier mögliche blaue Sektoren beim ersten und zwei mögliche rote Sektoren beim zweiten Drehen. Damit sind \(4\cdot 2=8\) Paare günstig und \(P(C)=\frac{8}{64}=\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\).

\(P(A)=\frac{1}{4}=25\,\%\) \(P(B)=\frac{5}{32}=15{,}625\,\%\) \(P(C)=\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen entstehen insgesamt? - Für drei verschiedene Farben wird die Auswahlmöglichkeit von Drehung zu Drehung kleiner. - Bei genau zweimal Rot musst du die Position und die Farbe der einen nicht-roten Drehung zählen.

1. Insgesamt gibt es \(4^3=64\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen. 2. Für a) kann die erste Farbe auf \(4\) Arten gewählt werden, die zweite auf \(3\) und die dritte auf \(2\) Arten. Damit sind \(4\cdot3\cdot2=24\) Folgen günstig und \(P=\frac{24}{64}=\frac{3}{8}\). 3. Für b) kann die eine nicht-rote Position auf \(3\) Arten gewählt werden. Dort sind \(3\) nicht-rote Sektoren möglich. Damit sind \(3\cdot3=9\) Folgen günstig und \(P=\frac{9}{64}\).

a) \(\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\) b) \(\frac{9}{64}\approx14{,}1\,\%\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche Sektorenfolgen gibt es insgesamt? - Für a) zählst du nur Folgen aus den nicht-gelben Sektoren. - Bei b) kann die eine nicht-rote Drehung an drei Positionen stehen. - Vergleiche die beiden Brüche in derselben Form.

1. Insgesamt entstehen \(8^3=512\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen. 2. Für \(E_1\) sind bei jeder Drehung \(6\) nicht-gelbe Sektoren möglich. Daher sind \(6^3=216\) Folgen günstig und \(P(E_1)=\frac{216}{512}=\frac{27}{64}\). 3. Für \(E_2\) kann die eine nicht-rote Position auf \(3\) Arten gewählt werden. Für die beiden roten Positionen gibt es jeweils \(4\) rote Sektoren und für die nicht-rote Position \(4\) andere Sektoren. Damit sind \(3\cdot4^2\cdot4=192\) Folgen günstig und \(P(E_2)=\frac{192}{512}=\frac{3}{8}\). 4. Es gilt \(\frac{27}{64}>\frac{3}{8}\). Daher ist \(E_1\) wahrscheinlicher.

a) \(P(E_1)=\frac{27}{64}\approx42{,}2\,\%\) b) \(P(E_2)=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\) c) \(E_1\) ist wahrscheinlicher, weil \(\frac{27}{64}>\frac{3}{8}\).

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen gibt es insgesamt? - Für a) und d) kann es helfen, zwischen gelben und nicht-gelben Sektoren zu unterscheiden. - Für b) ist das Gegenereignis „kein Orange“ kürzer zu zählen. - Bei c) ist die Reihenfolge der Farben fest vorgegeben.

1. Insgesamt gibt es \(8^3=512\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen. 2. Für a) kann die eine nicht-gelbe Position auf \(3\) Arten gewählt werden. Für jede gelbe Position gibt es \(4\) Sektoren und für die nicht-gelbe Position ebenfalls \(4\). Damit sind \(3\cdot4^2\cdot4=192\) Folgen günstig und \(P=\frac{192}{512}=\frac{3}{8}\). 3. Für b) ist das Gegenereignis „kein Orange“. Dafür stehen bei jeder Drehung \(7\) Sektoren zur Verfügung. Somit gilt \(P=1-\frac{7^3}{8^3}=1-\frac{343}{512}=\frac{169}{512}\). 4. Für c) gibt es \(3\) grüne Sektoren für die erste, \(4\) gelbe für die zweite und \(1\) orangefarbenen für die dritte Drehung. Damit sind \(3\cdot4\cdot1=12\) Folgen günstig und \(P=\frac{12}{512}=\frac{3}{128}\). 5. Für d) sind entweder keine oder genau eine gelbe Drehung günstig. Ohne Gelb gibt es \(4^3=64\) Folgen; bei genau einer gelben Drehung gibt es \(3\cdot4\cdot4^2=192\) Folgen. Insgesamt sind \(256\) Folgen günstig und \(P=\frac{256}{512}=\frac{1}{2}\).

a) \(\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\) b) \(\frac{169}{512}\approx33{,}01\,\%\) c) \(\frac{3}{128}\approx2{,}34\,\%\) d) \(\frac{1}{2}=50\,\%\)

- Bestimme zuerst, wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Folgen bei drei Drehungen insgesamt möglich sind. - Ordne die acht Zahlen für jede Teilaufgabe in die jeweils benötigten Gruppen ein. - Zähle die günstigen Folgen über die Anzahl der zulässigen Möglichkeiten an jeder Position.

1. Bei drei Drehungen gibt es \(8^3=512\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen. 2. Zu a): Vier Zahlen sind gerade und vier ungerade. Für gerade-ungerade-gerade gibt es \(4\cdot4\cdot4=64\) günstige Folgen. Daher ist \(P=\frac{64}{512}=\frac{1}{8}\). 3. Zu b): Die Quadratzahlen sind \(1\) und \(4\); sechs Zahlen sind keine Quadratzahlen. Es gibt \(2\cdot6\cdot6=72\) günstige Folgen. Somit gilt \(P=\frac{72}{512}=\frac{9}{64}\). 4. Zu c): Größer als \(5\) sind \(6\), \(7\) und \(8\). Daher gibt es \(3^3=27\) günstige Folgen und \(P=\frac{27}{512}\approx5{,}27\,\%\). 5. Zu d): Für jede der acht Zahlen gibt es genau eine Folge mit dreimal derselben Zahl. Somit gilt \(P=\frac{8}{512}=\frac{1}{64}\).

a) \(\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\) b) \(\frac{9}{64}=14{,}0625\,\%\) c) \(\frac{27}{512}\approx5{,}27\,\%\) d) \(\frac{1}{64}=1{,}5625\,\%\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen gibt es bei drei Drehungen? - Für b) wird jede der vier Farben als dreifach gleiche Folge gezählt. - Für c) musst du bestimmen, welche Farbe doppelt und welche nur einmal vorkommt. - Für d) ist das Gegenereignis „kein Gelb“ einfacher zu zählen.

1. Insgesamt gibt es \(4^3=64\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenfolgen. 2. Für a) ist genau eine Farbfolge günstig. Daher gilt \(P=\frac{1}{64}\). 3. Für b) sind die vier Folgen mit dreimal derselben Farbe günstig. Daher gilt \(P=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}\). 4. Für c) kann die doppelt vorkommende Farbe auf \(4\) Arten und die zweite Farbe anschließend auf \(3\) Arten gewählt werden. Die einmal vorkommende Farbe kann an \(3\) Positionen stehen. Damit sind \(4\cdot3\cdot3=36\) Folgen günstig und \(P=\frac{36}{64}=\frac{9}{16}\). 5. Für d) ist das Gegenereignis „kein Gelb“. Dafür stehen bei jeder Drehung \(3\) Sektoren zur Verfügung. Somit gilt \(P=1-\frac{3^3}{4^3}=\frac{37}{64}\).

a) \(\frac{1}{64}\) b) \(\frac{1}{16}\) c) \(\frac{9}{16}\) d) \(\frac{37}{64}\)

- Betrachte die einzelnen Sektoren als gleich wahrscheinliche Ergebnisse. - Zähle für a) und b), wie viele Sektoren an der ersten und zweiten Position zulässig sind. - Gruppiere für c) die Sektoren nach ihrer Farbe und zähle die gleichfarbigen Paare.

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(8\cdot8=64\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. 2. Zu a): Die Zahl \(1\) steht auf zwei Sektoren und die Zahl \(2\) auf drei. Für \((1,2)\) gibt es \(2\cdot3=6\), für \((2,1)\) ebenfalls \(6\) günstige Sektorenpaare. Daher ist \(P=\frac{12}{64}=\frac{3}{16}\). 3. Zu b): Für die erste Drehung gibt es zwei Sektoren mit \(1\), für die zweite sechs Sektoren mit einer Zahl größer als \(1\). Somit ist \(P=\frac{2\cdot6}{64}=\frac{3}{16}\). 4. Zu c): Die fünf Farben kommen auf \(2\), \(3\), \(1\), \(1\) und \(1\) Sektoren vor. Daher sind \(2^2+3^2+1^2+1^2+1^2=16\) Sektorenpaare günstig und \(P=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\).

a) \(\frac{3}{16}\) b) \(\frac{3}{16}\) c) \(\frac{1}{4}\)

- Zähle in der Abbildung die Sektoren jeder Farbe. - Wie viele gleich wahrscheinliche Sektorenpaare entstehen bei zwei Drehungen? - Für dieselbe Farbe werden die günstigen Paare jeder Farbe getrennt gezählt. - Bei c) ist das Gegenereignis „kein Gelb“ einfacher zu zählen.

1. Auf dem Rad liegen \(5\) blaue, \(3\) rote und \(2\) gelbe Sektoren. Daher gelten \(P(\text{Blau})=\frac{5}{10}=0{,}5\), \(P(\text{Rot})=\frac{3}{10}=0{,}3\) und \(P(\text{Gelb})=\frac{2}{10}=0{,}2\). 2. Bei zwei Drehungen gibt es \(10^2=100\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektorenpaare. Für zweimal dieselbe Farbe sind \(5^2+3^2+2^2=38\) Paare günstig. Damit gilt \(P=\frac{38}{100}=38\,\%\). 3. Für c) ist das Gegenereignis „kein Gelb“. Dafür sind \(8^2=64\) Paare günstig. Also gehören \(100-64=36\) Paare zum Ereignis und \(P=36\,\%\). 4. Da \(36\,\%>35\,\%\), hat Mira recht.

a) Blau: \(0{,}5\); Rot: \(0{,}3\); Gelb: \(0{,}2\) b) \(38\,\%\) c) Ja. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(36\,\%\) und liegt damit über \(35\,\%\).

- Welche gleich wahrscheinlichen geordneten Zahlenpaare können bei zwei Drehungen entstehen? - Welche Paare erfüllen jeweils die Bedingung von \(A\) beziehungsweise \(B\)? - Vergleiche die Anzahlen der günstigen Paare mit derselben Gesamtzahl möglicher Ergebnisse.

1. Bei zwei Drehungen entstehen \(5\cdot5=25\) gleich wahrscheinliche geordnete Zahlenpaare. 2. Für \(A\) sind \((1,5)\), \((2,4)\), \((3,3)\), \((4,2)\) und \((5,1)\) günstig. Daher gilt \(P(A)=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}=0{,}2\). 3. Für \(B\) sind zehn geordnete Paare günstig: \((2,1)\), \((3,1)\), \((3,2)\), \((4,1)\), \((4,2)\), \((4,3)\), \((5,1)\), \((5,2)\), \((5,3)\), \((5,4)\). Daher gilt \(P(B)=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}=0{,}4\). 4. Da \(0{,}4>0{,}2\), ist \(B\) wahrscheinlicher.

Ereignis \(B\) ist wahrscheinlicher. Es gilt \(P(A)=20\,\%\) und \(P(B)=40\,\%\).

- Lies die fünf Zahlen direkt auf den Kugeln ab. - Stelle die beiden Ziehungen als geordnetes Paar dar. - Nutze entweder eine systematische Liste oder die Symmetrie zwischen „zweite größer“ und „erste größer“.

1. Aus der Abbildung liest man die Zahlen \(1\) bis \(5\) ab. Ohne Zurücklegen entstehen \(5\cdot4=20\) gleich wahrscheinliche geordnete Paare. 2. Günstig sind \((1,2)\), \((1,3)\), \((1,4)\), \((1,5)\), \((2,3)\), \((2,4)\), \((2,5)\), \((3,4)\), \((3,5)\) und \((4,5)\). Das sind \(10\) Paare. 3. Daher gilt \(P=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\). Alternativ sind „zweite Zahl größer“ und „erste Zahl größer“ symmetrisch; Gleichheit ist ohne Zurücklegen unmöglich.

\(P=\frac{1}{2}=50\,\%\)

- Lies aus dem Baum ab, welche Zahlen auf der ersten und zweiten Stufe vorkommen. - Prüfe für jeden Ast der ersten Stufe, welche Fortsetzungen eine größere Zahl tragen. - Zähle anschließend günstige und alle vollständigen Pfade.

1. Aus dem Baum liest man \(16\) vollständige Pfade ab. 2. Günstig sind die Pfade \((1;2)\), \((1;3)\), \((1;4)\), \((2;3)\), \((2;4)\) und \((3;4)\). Das sind \(6\) Pfade. 3. Da alle vollständigen Pfade gleich wahrscheinlich sind, gilt \(P(E)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\).

\(\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\)

- Unterscheide beobachtete relative Häufigkeiten von theoretischen Wahrscheinlichkeiten. - Frage, ob \(200\) Versuche überhaupt exakt gleiche Häufigkeiten erwarten lassen. - Überlege, wodurch die Gleichwahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment begründet werden muss.

1. Die vier beobachteten Häufigkeiten liegen tatsächlich nahe beieinander; die relativen Häufigkeiten sind \(0{,}24\), \(0{,}265\), \(0{,}25\) und \(0{,}245\). 2. Diese empirischen Werte sind mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen vereinbar, beweisen sie aber nicht. 3. Ob ein Laplace-Experiment vorliegt, wird durch das Modell beziehungsweise die Bauart des Zufallsgeräts begründet: Die einzelnen Ergebnisse müssen theoretisch gleich wahrscheinlich sein. Endliche Versuchsreihen können nur empirische Hinweise liefern und schwanken zufällig.

Kaans Aussage ist zu stark. Die Daten passen zu einem Laplace-Modell, beweisen aber nicht, dass A, B, C und D theoretisch gleich wahrscheinlich sind.

- Zähle zunächst die Sektoren jeder Farbe. - Teile die Gesamtzahl \(6\) gleichmäßig auf die drei gewünschten Farbergebnisse auf. - Vergleiche die Zielanzahlen mit den aktuellen Anzahlen und ändere genau einen Sektor.

1. Im Ausgangszustand gibt es \(3\) rote, \(2\) blaue und \(1\) grünen Sektor. 2. Für drei gleich wahrscheinliche Farbergebnisse müssen bei insgesamt \(6\) Sektoren auf jede Farbe \(2\) Sektoren entfallen. 3. Daher muss einer der roten Sektoren grün gefärbt werden. Danach gibt es je \(2\) rote, blaue und grüne Sektoren, also für jede Farbe die Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).

Einen roten Sektor grün färben. Danach gibt es von jeder Farbe \(2\) Sektoren und jede Farbe hat Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{3}\).

- Prüfe kleine natürliche Werte für \(n\) nacheinander. - Wie viele Stationszuordnungen sind bei einem festen \(n\) insgesamt gleich wahrscheinlich? - Wie viele Zuordnungen bleiben günstig, wenn jede Station höchstens einmal vergeben werden darf? - Für die Minimalität musst du den letzten Wert oberhalb und den ersten Wert unterhalb der Grenze vergleichen.

1. Für \(n=1\) gibt es genau eine Zuordnung; sie ist günstig. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(1\). 2. Für \(n=2\) gibt es \(2^2=4\) gleich wahrscheinliche Zuordnungen. In \(2\) davon erhalten die beiden Gruppen verschiedene Stationen. Daher ist \(P=\frac{2}{4}=0{,}5\). 3. Für \(n=3\) gibt es \(3^3=27\) Zuordnungen. Für drei verschiedene Stationen gibt es \(3\cdot2\cdot1=6\) günstige Zuordnungen. Daher ist \(P=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}\approx0{,}2222\). 4. Für \(n=4\) gibt es \(4^4=256\) Zuordnungen. Für vier verschiedene Stationen gibt es \(4\cdot3\cdot2\cdot1=24\) günstige Zuordnungen. Daher ist \(P=\frac{24}{256}=\frac{3}{32}=0{,}09375\). 5. Bei \(n=3\) liegt die Wahrscheinlichkeit noch über \(10\,\%\), bei \(n=4\) erstmals darunter. Der kleinste gesuchte Wert ist daher \(n=4\).

\(n=4\)

- Betrachte das Gegenereignis „alle Geburtsmonate verschieden“. - Wie viele gleich wahrscheinliche Monatszuordnungen gibt es für einen festen Wert von \(k\)? - Wie viele Möglichkeiten bleiben für die nächste Person, wenn bisher alle Monate verschieden sind? - Vergleiche benachbarte Werte von \(k\), damit die Minimalität gesichert ist.

1. Das Gegenereignis lautet: Alle \(k\) Jugendlichen haben verschiedene Geburtsmonate. 2. Für \(k=4\) gibt es \(12^4\) gleich wahrscheinliche Monatszuordnungen. Für vier verschiedene Monate sind \(12\cdot11\cdot10\cdot9\) Zuordnungen günstig. Daher gilt \(P(\text{alle verschieden})=\frac{55}{96}\approx0{,}5729\) und somit \(P(\text{mindestens zwei gleich})\approx0{,}4271\). 3. Für \(k=5\) gibt es \(12^5\) gleich wahrscheinliche Zuordnungen. Für fünf verschiedene Monate sind \(12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\) günstig. Damit gilt \(P(\text{alle verschieden})=\frac{55}{144}\approx0{,}3819\) und \(P(\text{mindestens zwei gleich})=1-\frac{55}{144}=\frac{89}{144}\approx0{,}6181\). 4. Mit jeder zusätzlichen Person kann eine bereits vorhandene Monatsübereinstimmung nicht wieder verschwinden; die Kollisionswahrscheinlichkeit nimmt daher nicht ab. Da die Grenze bei \(k=4\) noch nicht und bei \(k=5\) überschritten wird, ist \(k=5\) minimal.

\(k=5\)