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- Ereignis und Gegenereignis decken gemeinsam alle möglichen Fälle ab. - Welche Summe müssen ihre Wahrscheinlichkeiten deshalb ergeben? - Prüfe die beiden vorgeschlagenen Werte an dieser Bedingung.

1. Ein Ereignis und sein Gegenereignis erfassen zusammen alle möglichen Ergebnisse. Daher müssen ihre Wahrscheinlichkeiten zusammen \(1\) ergeben. 2. Bens Werte ergeben \(0{,}6+0{,}5=1{,}1\) und können deshalb nicht stimmen. 3. Richtig ist \(P(\bar A)=1-0{,}6=0{,}4\).

Bens Behauptung ist falsch. Es gilt \(P(\bar A)=0{,}4\).

- Zähle im Diagramm die Äste der ersten Stufe. - Prüfe, wie viele Fortsetzungen jeder Ast der ersten Stufe besitzt. - Alternativ kannst du direkt die Blätter zählen; jedes Blatt steht für genau eine Bestellung.

1. Im Baum gehen vom Start drei Äste zu Eissorten aus. 2. Von jeder Eissorte führen zwei Äste zu Soßen. Dadurch hat der Baum insgesamt \(6\) Blätter. 3. Da jedes Blatt genau einer Bestellung entspricht, sind \(6\) verschiedene Bestellungen dargestellt.

\(6\) verschiedene Bestellungen.

- Lies die Anzahl der Äste auf jeder Stufe direkt aus dem Diagramm ab. - Verfolge einen Ast bis zu einem Blatt, um zu erkennen, wie viele Stufen zu einem vollständigen Kostüm gehören. - Jeder Endpunkt steht für genau eine vollständige Kombination.

1. Im Baum gibt es auf der ersten Stufe \(2\) Möglichkeiten. 2. Von jedem dieser Äste gehen auf der zweiten Stufe \(3\) Möglichkeiten aus und danach jeweils \(2\) weitere. 3. Der Baum besitzt damit \(2\cdot3\cdot2=12\) Blätter. Also sind \(12\) vollständige Kostüme möglich.

\(12\) vollständige Kostüme.

- Verfolge jeden Ast vom Start so weit, bis kein weiterer Ast mehr folgt. - Ein vollständiger Pfad muss in diesem Baum nicht auf derselben Stufe enden wie die anderen. - Für c) achte darauf, an welchem Knoten keine weitere Verzweigung gezeichnet ist.

1. Vom Start führt ein Ast direkt zu „Stopp“ und endet dort. Der andere Ast führt zu „Weiter“ und verzweigt danach in „Kopf“ und „Zahl“. Insgesamt gibt es deshalb \(3\) vollständige Pfade. 2. Der gesuchte zweistufige Pfad lautet „Weiter – Zahl“. 3. Der Pfad „Stopp“ endet nach der ersten Stufe, weil vom Knoten „Stopp“ kein weiterer Ast ausgeht.

a) \(3\) vollständige Pfade b) Weiter – Zahl c) Stopp; der Knoten besitzt keinen weiterführenden Ast.

- Zähle zuerst alle vollständigen Menüs mit dem Zählprinzip. - Bei a) ist nur eine ganz bestimmte Auswahl günstig. - Bei b) überlege für jede Kategorie, wie viele Alternativen zur genannten Sorte übrig bleiben.

1. Insgesamt gibt es \(4\cdot3\cdot5=60\) gleich wahrscheinliche vollständige Menüs. 2. Für Brezel, Wasser und Apfel gibt es genau ein günstiges Menü. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{60}\). 3. Für b) stehen \(3\) andere Snacks, \(2\) andere Getränke und \(4\) andere Obstsorten zur Verfügung. Das ergibt \(3\cdot2\cdot4=24\) günstige Menüs. 4. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{24}{60}=\frac{2}{5}=40\,\%\).

a) \(\frac{1}{60}\) b) \(\frac{2}{5}=40\,\%\)

- Bestimme zuerst aus den Farbzahlen, wie viele Murmeln insgesamt im Beutel liegen. - Überlege für jeden Zug, wie sich Gesamtzahl und Farbanzahl nach einer entnommenen Murmel verändern. - Verknüpfe anschließend die Astwahrscheinlichkeiten der vorgegebenen Reihenfolge.

1. Zu Beginn liegen insgesamt \(4+5+3=12\) Murmeln im Beutel. 2. Für die erste rote Murmel beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\). 3. Nach einer roten Murmel bleiben \(3\) rote unter \(11\) Murmeln; für eine zweite rote Murmel beträgt die Astwahrscheinlichkeit \(\frac{3}{11}\). 4. Nach zwei roten Murmeln bleiben \(3\) gelbe unter \(10\) Murmeln; für eine gelbe Murmel im dritten Zug beträgt die Astwahrscheinlichkeit \(\frac{3}{10}\). 5. Nach der Produktregel ist die Wahrscheinlichkeit der vorgegebenen Reihenfolge \(\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{11}\cdot\frac{3}{10}=\frac{3}{110}\).

\(\frac{3}{110}\)

- Betrachte die konkreten Fruchtgummis als unterscheidbare mögliche Ziehungen. - Zähle alle geordneten Paare ohne Zurücklegen und danach die rot-roten Paare. - Für „mindestens ein gelbes“ ist das Gegenereignis besonders einfach.

1. Zwei geordnete Ziehungen ohne Zurücklegen ergeben \(25\cdot24=600\) gleich wahrscheinliche Paare konkreter Fruchtgummis. 2. Für rot-rot gibt es \(15\cdot14=210\) günstige Paare. Daher ist \(P(\text{rot, rot})=\frac{210}{600}=\frac{7}{20}=35\,\%\). 3. „Mindestens ein gelbes“ ist das Gegenereignis zu „beide rot“. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(1-\frac{7}{20}=\frac{13}{20}=65\,\%\).

a) \(\frac{7}{20}=35\,\%\) b) \(\frac{13}{20}=65\,\%\)

- Lies zuerst aus dem Baum ab, wie viele vollständige Pfade es insgesamt gibt. - Markiere alle Pfade, deren erste Stufe blau ist. - Ergänze die noch nicht markierten Pfade, deren zweite Stufe Zahl ist, ohne doppelt zu zählen.

1. Aus dem Baum liest man \(6\) vollständige Pfade ab: Für jede der drei Möglichkeiten der ersten Stufe gibt es zwei Fortsetzungen. 2. Günstig sind die beiden Pfade, die mit blau beginnen, sowie die beiden weiteren Zahl-Pfade nach rot beziehungsweise grün. Damit sind \(4\) von \(6\) Pfaden günstig. 3. Daher gilt \(P(E)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).

\(\frac{2}{3}\)

- Suche im Baum alle vollständigen Pfade, die mit zwei verschiedenen Farben enden. - Berechne jeden günstigen Pfad zunächst mit den Astwahrscheinlichkeiten des Baums. - Fasse die günstigen Pfade erst anschließend zusammen.

1. Für zwei verschiedene Farben sind im Baum die vollständigen Pfade rot–blau und blau–rot günstig. 2. Nach der Produktregel gilt für rot–blau \(\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}\) und für blau–rot \(\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{10}\). 3. Nach der Summenregel ergibt sich \(P=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{3}{5}\).

\(\frac{3}{5}=60\,\%\)

- Welche Summe müssen die Äste an einer Verzweigung ergeben? - Lies anschließend nur den vollständigen gesuchten Pfad ab.

1. Fehlende erste Wahrscheinlichkeit: \(1-0{,}35=0{,}65\). 2. Pfad grün–Stern: \(0{,}65\cdot0{,}4=0{,}26\).

Fehlender Wert: \(0{,}65\); \(P(\text{grün und Stern})=0{,}26\).

- Verfolge jeden Ast vom Start bis zu einem Blatt und zähle die vollständigen Pfade. - Prüfe bei jedem vollständigen Pfad, wie oft K auftritt. - Zähle nur Pfade mit genau zwei K und vergleiche diese Anzahl mit allen Blättern.

1. Aus dem Baum liest man \(8\) vollständige Pfade mit jeweils drei Stufen ab. 2. Genau zwei K enthalten die Pfade K-K-Z, K-Z-K und Z-K-K. Damit sind \(3\) vollständige Pfade günstig. 3. Weil alle vollständigen Pfade gleich wahrscheinlich sind, gilt \(P(E)=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\).

\(\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\)

- Sammle alle Endknoten, die zum Ereignis gehören. - Beziehe ihre Gesamtzahl auf die Zahl aller Durchläufe.

1. Häufigkeit von \(B\): \(72+20=92\). 2. Relative Häufigkeit: \(h(B)=92:200=0{,}46\).

\(0{,}46=46\,\%\).

- Lies jeden vollständigen Weg im Baum als einen Code. - Schließe zuerst die Pfade aus, die mit A beginnen. - Prüfe unter den verbleibenden Pfaden, welche auf \(2\) enden.

1. Aus dem Baum liest man \(6\) vollständige Codes ab. 2. Die Bedingung „nicht mit A beginnen und auf \(2\) enden“ erfüllen genau B2 und C2. Damit sind \(2\) von \(6\) Pfaden günstig. 3. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).

\(\frac{1}{3}\)

- Ergänze zuerst die Verzweigung vollständig. - Welcher einzelne Pfad beschreibt das gesuchte Ereignis?

1. Fehlender Ast nach \(A\): \(1-0{,}65=0{,}35\). 2. Pfadwahrscheinlichkeit: \(P(A\cap\overline{B})=0{,}4\cdot0{,}35=0{,}14\).

Fehlender Ast: \(0{,}35\); \(P(A\cap\overline{B})=0{,}14\).

- Betrachte vollständige Wege vom Start bis zu einem Endpunkt. - Überlege, wie sich die Zahl möglicher Fortsetzungen nach jeder Entscheidung verändert. - Prüfe, ob das Addieren von Astzahlen tatsächlich vollständige Kombinationen zählt.

1. Jeder vollständige Pfad besteht aus einer Wahl auf jeder der drei Stufen. 2. Aus den \(2\) Möglichkeiten der ersten Stufe, jeweils \(3\) Möglichkeiten der zweiten Stufe und jeweils \(2\) Möglichkeiten der dritten Stufe entstehen \(2\cdot3\cdot2=12\) vollständige Pfade. 3. Die Addition \(2+3+2\) zählt nur die Anzahl der Wahlmöglichkeiten innerhalb der einzelnen Stufen zusammen, nicht die möglichen vollständigen Kombinationen.

Es gibt \(12\) Endmöglichkeiten.

- Lies aus dem ersten Nenner die Gesamtzahl ab. - Was verrät der zweite rote Ast über die Veränderung nach dem ersten Zug?

1. Erste rote Wahrscheinlichkeit \(\frac{5}{8}\): insgesamt \(8\), davon \(5\) rot. 2. Verbleibende Kugeln nach rot: \(7\), davon \(4\) rot; passend zu \(\frac{4}{7}\). 3. Anfangsbestand: \(5\) rote und \(3\) blaue Kugeln.

5 rote und 3 blaue Kugeln.

- Lies die Äste direkt vom Start aus für die erste Stufe. - Verfolge anschließend jeden Knoten der ersten Stufe und notiere seine möglichen Fortsetzungen. - Für ein vollständiges Ergebnis werden die Beschriftungen eines Pfads in ihrer Reihenfolge zusammengefügt.

1. Auf der ersten Stufe sind A, B oder C möglich. Von jedem dieser Knoten führt die zweite Stufe zu K oder Z. 2. Daher ist \(\Omega=\{\text{AK},\text{AZ},\text{BK},\text{BZ},\text{CK},\text{CZ}\}\). 3. Beim Pfad A-Z liest man die Knoten in ihrer Reihenfolge vom Start bis zum Blatt: zuerst A, danach Z. Das vollständige Ergebnis ist deshalb AZ.

a) Erste Stufe: A, B oder C; zweite Stufe nach jedem dieser Ergebnisse: K oder Z. b) \(\Omega=\{\text{AK},\text{AZ},\text{BK},\text{BZ},\text{CK},\text{CZ}\}\) c) Der Pfad A-Z wird in Stufenreihenfolge gelesen und ergibt das Ergebnis AZ.

- Vergleiche die zweiten Äste nach X mit den zweiten Ästen nach Y. - Laut Text müssen nach jedem ersten Ergebnis dieselben drei Zahlen möglich sein. - Zähle erst nach der Korrektur alle Endpunkte des Baums.

1. Nach X sind die drei zweiten Möglichkeiten \(1,2,3\) vollständig eingetragen. 2. Nach Y sind nur \(1\) und \(3\) eingetragen. Es fehlt der Ast Y–2. 3. Nach der Korrektur gibt es zu X drei und zu Y drei vollständige Pfade, insgesamt also \(6\).

a) Es fehlt der Ast Y–2. b) \(6\) vollständige Pfade

- Vergleiche die im Text genannten Möglichkeiten der zweiten Stufe mit jedem zweiten Astpaar im Bild. - Jede Möglichkeit einer Stufe darf an einem Knoten genau einmal vorkommen. - Schreibe anschließend jeden vollständigen Pfad als Kombination der beiden Stufen auf.

1. Nach dem ersten Ergebnis R muss in der zweiten Stufe je ein Ast zu u und zu v führen. Im gezeichneten Baum steht dort u zweimal; v fehlt. 2. Die korrekten vollständigen Ergebnisfolgen sind Lu, Lv, Ru und Rv.

a) Nach R ist u doppelt eingetragen und v fehlt. b) \(\{\text{Lu},\text{Lv},\text{Ru},\text{Rv}\}\)

- Zähle die Äste, die direkt vom Start ausgehen. - Prüfe, wie viele zweite Äste an jedem Knoten der ersten Stufe folgen. - Suche eine Rechnung, die diese wiederholte Struktur beschreibt, statt jeden Endpunkt einzeln zu zählen.

1. In der ersten Stufe gibt es \(4\) Möglichkeiten: A, B, C und D. 2. Nach jeder dieser Möglichkeiten gibt es in der zweiten Stufe \(3\) Möglichkeiten: \(1,2,3\). 3. Daher besitzt der vollständige Baum \(4\cdot3=12\) vollständige Pfade.

a) \(12\) vollständige Pfade b) \(4\cdot3=12\), weil zu jeder der \(4\) Möglichkeiten der ersten Stufe \(3\) Möglichkeiten der zweiten Stufe gehören.

- Verfolge jeden Pfad immer vom Start bis zu einem Endpunkt. - Die Reihenfolge der Buchstaben in einer Ergebnisfolge entspricht der Reihenfolge der Stufen. - Prüfe bei BA, ob es vom Knoten B tatsächlich einen Ast zu A gibt.

1. Nach R kann in der zweiten Stufe A oder B folgen. Daraus entstehen RA und RB. 2. Nach B kann in der zweiten Stufe C, D oder E folgen. Daraus entstehen BC, BD und BE. 3. Damit lauten alle vollständigen Ergebnisfolgen RA, RB, BC, BD und BE. 4. BA ist nicht möglich, weil die Reihenfolge der Stufen fest ist: B kommt hier als Ergebnis der ersten Stufe vor, aber A ist nach dem ersten Ergebnis B kein angebotener zweiter Ast.

a) \(\{\text{RA},\text{RB},\text{BC},\text{BD},\text{BE}\}\) b) BA ist kein vollständiger Pfad des Baums; nach dem ersten Ergebnis B sind nur C, D und E möglich.

- Lies die Beschriftungen der ersten Stufe direkt am ersten Astfächer ab. - Verfolge danach jeden dieser Äste bis zur zweiten Stufe und kombiniere die Beschriftungen in Pfadreihenfolge. - Die Tabelle ordnet dieselben vollständigen Pfade nur anders an; sie darf keine zusätzlichen Kombinationen enthalten.

1. Aus dem Baum liest man auf der ersten Stufe \(1\) und \(2\), auf der zweiten Stufe jeweils R, G und B ab. Die vollständigen Pfade sind deshalb 1R, 1G, 1B, 2R, 2G und 2B. 2. Diese Pfade werden in eine Tabelle mit den Zeilen \(1,2\) und den Spalten R, G, B übertragen. 3. Damit ist \(\Omega=\{\text{1R},\text{1G},\text{1B},\text{2R},\text{2G},\text{2B}\}\). 4. Für \(E\) muss die zweite Stelle G sein. Daher gehören 1G und 2G zu \(E\).

a) <table> <tr><th></th><th>R</th><th>G</th><th>B</th></tr> <tr><th>1</th><td>\(1R\)</td><td>\(1G\)</td><td>\(1B\)</td></tr> <tr><th>2</th><td>\(2R\)</td><td>\(2G\)</td><td>\(2B\)</td></tr> </table> b) \(\Omega=\{\text{1R},\text{1G},\text{1B},\text{2R},\text{2G},\text{2B}\}\) c) \(1G\) und \(2G\)

- Zähle vollständige Antwortfolgen mit dem Zählprinzip. - Für „keine richtig“ gibt es bei jeder Frage nur die falschen Antwortmöglichkeiten. - Für „mindestens eine richtig“ ist das Gegenereignis einfacher zu zählen. - Vergleiche in c) die Zahl aller noch möglichen vollständigen Antwortfolgen für Mina und Elias.

1. Für Elias gibt es \(3^6=729\) gleich wahrscheinliche vollständige Antwortfolgen. 2. Für „alle sechs falsch“ stehen bei jeder Frage \(2\) falsche Antworten zur Verfügung. Daher gibt es \(2^6=64\) günstige Antwortfolgen und \(P(\text{keine richtig})=\frac{64}{729}\approx0{,}0878\). 3. Das Gegenereignis lautet „mindestens eine richtig“. Daher ist \(P(\text{mindestens eine richtig})=1-\frac{64}{729}=\frac{665}{729}\approx0{,}9122\). 4. Mina hat pro Frage noch \(2\) mögliche Antworten, also insgesamt \(2^6=64\) gleich wahrscheinliche Antwortfolgen. Nur eine davon ist vollständig richtig. Ihre Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{1}{64}=0{,}015625\). 5. Elias hat für sechs richtige Antworten ebenfalls nur eine günstige Antwortfolge unter \(729\), also \(\frac{1}{729}\). Minas Chance ist damit deutlich größer.

a) \(\frac{64}{729}\approx0{,}0878\) b) \(\frac{665}{729}\approx0{,}9122\) c) Mina: \(\frac{1}{64}=0{,}015625\); Elias: \(\frac{1}{729}\). Minas Chance ist größer.

- Zähle vollständige geordnete Wurffolgen mit dem Zählprinzip. - Für „keine 6“ sind bei jedem Wurf nur fünf Augenzahlen erlaubt. - „Mindestens eine 6“ lässt sich über sein Gegenereignis zählen. - Vergleiche bei d) nicht die auffällige Form der Folgen, sondern ihre Rolle als einzelne Ergebnisse.

1. Bei drei Würfen gibt es \(6^3=216\) gleich wahrscheinliche geordnete Wurffolgen. 2. Ohne eine \(6\) stehen pro Wurf nur \(5\) Augenzahlen zur Verfügung. Es gibt \(5^3=125\) günstige Folgen. Daher ist \(P(\text{keine 6})=\frac{125}{216}\approx0{,}5787\). 3. Das Gegenereignis zu „keine 6“ ist „mindestens eine 6“. Daher ist \(P(\text{mindestens eine 6})=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}\approx0{,}4213\). 4. Sowohl \((6;6;6)\) als auch \((1;2;3)\) ist genau eine der \(216\) gleich wahrscheinlichen Folgen. Beide haben daher die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{216}\). Jonas' Aussage ist falsch.

a) \(216\) b) \(\frac{125}{216}\approx0{,}5787\) c) \(\frac{91}{216}\approx0{,}4213\) d) Die Aussage ist falsch; beide konkreten Folgen haben die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{216}\).

- Betrachte vollständige Sektortripel der drei Räder als gleich wahrscheinliche Ergebnisse. - Zähle für „kein G“ auf jedem Rad die nicht markierten Sektoren. - Für „mindestens ein G“ ist das Gegenereignis einfacher zu bestimmen.

1. Ein vollständiges Ergebnis besteht aus je einem Sektor der drei Räder. Insgesamt gibt es \(6\cdot8\cdot10=480\) gleich wahrscheinliche Sektortripel. 2. Für dreimal G gibt es genau ein günstiges Sektortripel. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{480}\). 3. Für kein G stehen auf den drei Rädern \(5,7\) und \(9\) Sektoren zur Verfügung. Das sind \(5\cdot7\cdot9=315\) günstige Sektortripel. Daher ist \(P(\text{kein G})=\frac{315}{480}=\frac{21}{32}\). 4. „Mindestens einmal G“ ist das Gegenereignis. Daher ist \(P=1-\frac{21}{32}=\frac{11}{32}\).

a) \(\frac{1}{480}\) b) \(\frac{21}{32}\) c) \(\frac{11}{32}\)

- Hilft dir ein Baumdiagramm, um die verschiedenen Pfade der Ziehung darzustellen? - Wie viele Socken sind nach dem ersten Zug noch in der Schublade? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für „verschiedene Farben“ direkt aus der Wahrscheinlichkeit für „gleiche Farbe“ berechnen? - Beachte, dass die Socken nicht zurückgelegt werden.

1. Berechnung der Gesamtmöglichkeiten: Beim ersten Zug gibt es \(8\) Socken, beim zweiten noch \(7\). Insgesamt gibt es \(8 \cdot 7 = 56\) mögliche Ziehungsfolgen. 2. Ereignis a): Für zwei schwarze Socken gibt es beim ersten Zug \(4\) Möglichkeiten und beim zweiten Zug \(3\) Möglichkeiten. Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(4 \cdot 3 = 12\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{zwei schwarze}) = \frac{12}{56} = \frac{3}{14}\). 3. Ereignis b): Für zwei weiße Socken gibt es ebenfalls \(4 \cdot 3 = 12\) Möglichkeiten. Die Gesamtzahl für „gleiche Farbe“ ist \(12 + 12 = 24\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{24}{56} = \frac{3}{7}\). 4. Ereignis c): Unterschiedliche Farben bedeutet entweder schwarz-weiß (\(4 \cdot 4 = 16\)) oder weiß-schwarz (\(4 \cdot 4 = 16\)). Gesamtzahl: \(16 + 16 = 32\). Alternativ über das Gegenereignis: \(1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{verschiedene Farben}) = \frac{4}{7}\).

a) \(P(\text{zwei schwarze}) = \frac{3}{14}\) b) \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{3}{7}\) c) \(P(\text{verschiedene Farben}) = \frac{4}{7}\)

- Zähle zunächst, wie viele gerade Zahlen zwischen \(1\) und \(20\) liegen. - Betrachte vollständige geordnete Dreierziehungen als Ergebnisse. - Da nicht zurückgelegt wird, nimmt die Zahl der verfügbaren Kärtchen nach jeder Ziehung ab.

1. Für drei geordnete Ziehungen ohne Zurücklegen gibt es insgesamt \(20\cdot19\cdot18=6840\) gleich wahrscheinliche Kärtchentripel. 2. Unter den Zahlen \(1\) bis \(20\) sind \(10\) gerade. Für drei gerade Kärtchen gibt es daher \(10\cdot9\cdot8=720\) günstige geordnete Tripel. 3. Die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{720}{6840}=\frac{2}{19}\approx10{,}5\,\%\).

\(\frac{2}{19}\approx10{,}5\,\%\)

- Lies zuerst aus der Abbildung ab, wie viele der gleich großen Sektoren zu R, B und G gehören. - Für eine feste Farbreihenfolge kannst du die passenden Sektormöglichkeiten in den drei Stufen zählen. - Bei „mindestens einmal G“ ist es hilfreich, zunächst alle Folgen ohne G zu betrachten.

1. Bei drei Drehungen gibt es \(5^3=125\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektortripel. 2. Für G-G-G gibt es nur \(1^3=1\) günstiges Sektortripel. Daher ist \(P=\frac{1}{125}=0{,}8\,\%\). 3. Für R-B-R stehen \(2\), \(2\) und \(2\) passende Sektoren zur Verfügung. Das sind \(2\cdot2\cdot2=8\) günstige Tripel. Daher ist \(P=\frac{8}{125}=6{,}4\,\%\). 4. Ohne G stehen bei jeder Drehung \(4\) Sektoren zur Verfügung. Es gibt \(4^3=64\) Tripel ohne G. Daher ist \(P(\text{mindestens einmal G})=1-\frac{64}{125}=\frac{61}{125}=48{,}8\,\%\).

a) \(\frac{1}{125}=0{,}8\,\%\) b) \(\frac{8}{125}=6{,}4\,\%\) c) \(\frac{61}{125}=48{,}8\,\%\)

- Zähle zuerst alle vierstelligen Codes. - Wenn eine Stelle falsch sein soll, gibt es dort neun mögliche Ziffern. - Für „mindestens eine Stelle richtig“ ist das Gegenereignis „keine Stelle richtig“ leichter zu zählen.

1. Insgesamt gibt es \(10^4=10\,000\) gleich wahrscheinliche Codes. 2. In a) ist genau ein Code richtig. Daher ist \(P=\frac{1}{10000}=0{,}0001=0{,}01\,\%\). 3. In b) ist die erste Stelle fest richtig. Für jede der drei übrigen Stellen gibt es \(9\) falsche Ziffern. Das ergibt \(9^3=729\) günstige Codes und \(P=\frac{729}{10000}=0{,}0729=7{,}29\,\%\). 4. Für das Gegenereignis „keine Stelle ist richtig“ gibt es \(9^4=6561\) Codes. Daher ist \(P(\text{mindestens eine richtig})=1-\frac{6561}{10000}=\frac{3439}{10000}=34{,}39\,\%\).

a) \(0{,}01\,\%\) b) \(7{,}29\,\%\) c) \(34{,}39\,\%\)

- Lies aus der Abbildung ab, wie viele Sektoren bei einer Drehung Gewinn und wie viele Niete bedeuten. - Für b) suche ein Gegenereignis, das sich als einzige feste Ergebnisfolge beschreiben lässt. - Übersetze „erster Gewinn beim dritten Drehen“ in eine eindeutige Folge aus G und N, bevor du konkrete Sektorfolgen zählst.

1. Bei drei Drehungen gibt es \(10^3=1000\) gleich wahrscheinliche geordnete Sektortripel. 2. Für G-G-G sind bei jeder Drehung \(2\) Sektoren günstig. Es gibt \(2^3=8\) günstige Tripel, also \(P(\text{G-G-G})=\frac{8}{1000}=0{,}008=0{,}8\,\%\). 3. Das Gegenereignis zu „mindestens einmal N“ ist G-G-G. Daher gilt \(P(\text{mindestens einmal N})=1-0{,}008=0{,}992=99{,}2\,\%\). 4. „Erster Gewinn beim dritten Drehen“ bedeutet N-N-G. Dafür gibt es \(8\cdot8\cdot2=128\) günstige Tripel. Somit ist \(P=\frac{128}{1000}=0{,}128=12{,}8\,\%\).

a) \(0{,}008=0{,}8\,\%\) b) \(0{,}992=99{,}2\,\%\) c) \(0{,}128=12{,}8\,\%\)

- Zähle alle vierstelligen Wurffolgen mit dem Zählprinzip. - Für „mindestens eine \(6\)“ ist das Gegenereignis „keine \(6\)“ leichter zu zählen. - Für „genau eine \(6\)“ musst du zusätzlich berücksichtigen, an welcher der vier Positionen die \(6\) steht.

1. Insgesamt gibt es \(6^4=1296\) gleich wahrscheinliche Wurffolgen. 2. Ohne eine \(6\) gibt es \(5^4=625\) Folgen. Daher gehören zu \(E\) genau \(1296-625=671\) Folgen und \(P(E)=\frac{671}{1296}\approx51{,}77\,\%\). 3. Für genau eine \(6\) kann deren Position auf \(4\) Arten gewählt werden. An den drei übrigen Positionen sind jeweils \(5\) andere Augenzahlen möglich. Somit gibt es \(4\cdot5^3=500\) günstige Folgen und \(P(F)=\frac{500}{1296}\approx38{,}58\,\%\). 4. Da \(671>500\), ist \(E\) wahrscheinlicher. Außerdem enthält \(E\) neben allen Folgen aus \(F\) auch Folgen mit zwei, drei oder vier Sechsen.

\(P(E)=\frac{671}{1296}\approx51{,}77\,\%\) \(P(F)=\frac{500}{1296}\approx38{,}58\,\%\) \(E\) ist wahrscheinlicher.

- Zähle geordnete Paare verschiedener Personen; dann sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. - Bei b) gibt es zwei mögliche Geschlechterreihenfolgen. - Bei c) zählen Mädchen-Mädchen und Jungen-Jungen als zwei getrennte günstige Gruppen.

1. Als geordnete Auswahl zweier verschiedener Personen gibt es \(20\cdot19=380\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse. 2. Für zwei Jungen gibt es \(8\cdot7=56\) geordnete Paare. Daher ist \(P=\frac{56}{380}=\frac{14}{95}\approx14{,}7\,\%\). 3. Für genau ein Mädchen und einen Jungen gibt es \(12\cdot8\) Paare in der Reihenfolge Mädchen-Junge und \(8\cdot12\) in der Reihenfolge Junge-Mädchen. Das sind \(192\) günstige Paare. Daher ist \(P=\frac{192}{380}=\frac{48}{95}\approx50{,}5\,\%\). 4. Für gleiches Geschlecht gibt es \(12\cdot11=132\) Mädchen-Mädchen-Paare und \(8\cdot7=56\) Jungen-Jungen-Paare. Insgesamt sind \(188\) Paare günstig. Daher ist \(P=\frac{188}{380}=\frac{47}{95}\approx49{,}5\,\%\).

a) \(\frac{14}{95}\approx14{,}7\,\%\) b) \(\frac{48}{95}\approx50{,}5\,\%\) c) \(\frac{47}{95}\approx49{,}5\,\%\)

- Bestimme zuerst, wie oft die einzelnen Buchstaben auf den neun Kärtchen vorkommen. - Zähle geordnete Paare konkreter Kärtchen ohne Zurücklegen. - Für „mindestens ein I“ kannst du zuerst die Paare ohne I zählen.

1. In STATISTIK kommt S zweimal, T dreimal, A einmal, I zweimal und K einmal vor. Für zwei geordnete Ziehungen gibt es \(9\cdot8=72\) gleich wahrscheinliche Paare konkreter Kärtchen. 2. Für T-T gibt es \(3\cdot2=6\) günstige Paare. Daher ist \(P=\frac{6}{72}=\frac{1}{12}\approx8{,}3\,\%\). 3. Es gibt \(7\) Kärtchen ohne S. Für zwei davon gibt es \(7\cdot6=42\) günstige Paare. Daher ist \(P(\text{kein S})=\frac{42}{72}=\frac{7}{12}\approx58{,}3\,\%\). 4. Es gibt ebenfalls \(7\) Kärtchen ohne I. Das Gegenereignis „kein I“ hat daher die Wahrscheinlichkeit \(\frac{42}{72}=\frac{7}{12}\). Somit ist \(P(\text{mindestens ein I})=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}\approx41{,}7\,\%\).

a) \(\frac{1}{12}\approx8{,}3\,\%\) b) \(\frac{7}{12}\approx58{,}3\,\%\) c) \(\frac{5}{12}\approx41{,}7\,\%\)

- Welche Astwahrscheinlichkeiten gelten nach dem Zurücklegen in der zweiten Stufe? - Welche vollständigen Pfade führen zu „verschiedene Farben“? - Vergleiche für c) die Zusammensetzung der Dose nach einem roten und nach einem grünen ersten Zug.

1. Mit Zurücklegen gilt in jeder Stufe \(P(\text{Rot})=\frac{5}{8}\) und \(P(\text{Grün})=\frac{3}{8}\). Nach Rot wie nach Grün verzweigt die zweite Stufe deshalb wieder in Rot mit \(\frac{5}{8}\) und Grün mit \(\frac{3}{8}\). 2. Die Pfade für zwei verschiedene Farben sind Rot–Grün und Grün–Rot. Mit Zurücklegen ist \(P(\text{verschieden})=\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{8}+\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{8}=\frac{15}{32}\). 3. Ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe. Es gilt \(P(\text{Rot, Grün})=\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}=\frac{15}{56}\) und \(P(\text{Grün, Rot})=\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7}=\frac{15}{56}\). 4. Daher ist ohne Zurücklegen \(P(\text{verschieden})=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}\). 5. Weil \(\frac{15}{28}>\frac{15}{32}\), ist das Ereignis ohne Zurücklegen wahrscheinlicher.

a) Erste Stufe: Rot mit \(\frac{5}{8}\), Grün mit \(\frac{3}{8}\). Nach jedem dieser Äste gilt in der zweiten Stufe wieder: Rot mit \(\frac{5}{8}\), Grün mit \(\frac{3}{8}\). b) \(\frac{15}{32}\) c) Ohne Zurücklegen: \(\frac{15}{28}\); diese Wahrscheinlichkeit ist größer.

- Manchmal ist es einfacher zu zählen, wie viele Zahlen keine „5“ enthalten, und dies von der Gesamtzahl abzuziehen. - Wie verändert sich die Anzahl der verfügbaren Karten im zweiten Schritt, wenn du die Karte nicht zurücklegst? - Vergleiche die Brüche, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst oder in Dezimalzahlen umwandelst.

1. Teilaufgabe a (mit Zurücklegen): Gesamtzahl der Zahlen ist \(5 \cdot 5 = 25\). Die Anzahl der Zahlen ohne eine „5“ ist \(4 \cdot 4 = 16\). Die Anzahl der Zahlen mit mindestens einer „5“ ist \(25 - 16 = 9\) (oder Aufzählung: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{9}{25} = 0{,}36\). 2. Teilaufgabe b (ohne Zurücklegen): Gesamtzahl der Zahlen ist \(5 \cdot 4 = 20\). Die Anzahl der Zahlen ohne eine „5“ ist \(4 \cdot 3 = 12\). Die Anzahl der Zahlen mit mindestens einer „5“ ist \(20 - 12 = 8\) (Aufzählung wie oben, aber ohne 55). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 3. Vergleich: Die Wahrscheinlichkeit in b) ist höher (\(0{,}40 > 0{,}36\)). Dies liegt daran, dass beim Ziehen ohne Zurücklegen die Gesamtzahl der Möglichkeiten stärker abnimmt als die Anzahl der günstigen Möglichkeiten, da im zweiten Schritt die Chance auf die „5“ steigt, wenn sie im ersten Schritt nicht gezogen wurde.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}36\) (oder \(36\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}4\) (oder \(40\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit ist im Fall b) höher, da durch das fehlende Zurücklegen die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen stärker sinkt als die Anzahl der Kombinationen mit einer „5“.

- Bestimme zuerst, wie viele Brötchen aus jedem der beiden Öfen kommen. - Berechne dann für jeden Ofen einzeln, wie viele davon die Eigenschaft „perfekt“ haben. - Addiere zum Schluss die Ergebnisse beider Pfade, die zum Ziel „perfekt“ führen. - Du kannst auch zuerst die Gesamtwahrscheinlichkeit für „perfekt“ berechnen und diese dann mit der Gesamtzahl multiplizieren.

1. Berechnung der Anzahl der Brötchen pro Ofen: Ofen 1: \(2000 \cdot 0{,}60 = 1200\) Brötchen Ofen 2: \(2000 \cdot 0{,}40 = 800\) Brötchen 2. Berechnung der perfekten Brötchen aus Ofen 1: \(1200 \cdot 0{,}95 = 1140\) Brötchen 3. Berechnung der perfekten Brötchen aus Ofen 2: \(800 \cdot 0{,}85 = 680\) Brötchen 4. Berechnung der Gesamtzahl der perfekten Brötchen: \(1140 + 680 = 1820\) Brötchen

Voraussichtlich werden insgesamt \(1820\) Brötchen als „perfekt“ eingestuft.

- Überlege dir, wie viele Bonbons nach jedem Zug noch in der Schüssel sind. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten an den zwei Ästen eines Knotens zusammen? - Welche Regel gilt für die Wahrscheinlichkeit eines vollständigen Pfades? - Was passiert beim Multiplizieren der Brüche entlang des Pfades zum dritten Kind?

1. Da es zu Beginn \(20\) Bonbons gibt, ist die Wahrscheinlichkeit für „keine Zitrone“ \(a=\frac{19}{20}\). In der zweiten Stufe sind noch \(19\) Bonbons in der Schüssel. Davon ist eines Zitrone, also \(b=\frac{1}{19}\) und \(c=\frac{18}{19}\). 2. Für das zweite Kind gilt nach der Produktregel entlang des Pfades \(\overline{Z}\to Z\): \(P(\text{2. Kind hat }Z)=\frac{19}{20}\cdot\frac{1}{19}=\frac{1}{20}\). 3. Für das dritte Kind lautet der Pfad \(\overline{Z}\to\overline{Z}\to Z\). Es gilt \(\frac{19}{20}\cdot\frac{18}{19}\cdot\frac{1}{18}=\frac{1}{20}\). Durch das Kürzen bleibt der ursprüngliche Nenner \(20\) erhalten.

a) \(a=\frac{19}{20}\), \(b=\frac{1}{19}\), \(c=\frac{18}{19}\) b) \(\frac{1}{20}\) c) Ebenfalls \(\frac{1}{20}\), da \(\frac{19}{20}\cdot\frac{18}{19}\cdot\frac{1}{18}=\frac{1}{20}\).

- Lies aus dem Baum ab, welche Zahlen auf der ersten und zweiten Stufe vorkommen. - Prüfe für jeden Ast der ersten Stufe, welche Fortsetzungen eine größere Zahl tragen. - Zähle anschließend günstige und alle vollständigen Pfade.

1. Aus dem Baum liest man \(16\) vollständige Pfade ab. 2. Günstig sind die Pfade \((1;2)\), \((1;3)\), \((1;4)\), \((2;3)\), \((2;4)\) und \((3;4)\). Das sind \(6\) Pfade. 3. Da alle vollständigen Pfade gleich wahrscheinlich sind, gilt \(P(E)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\).

\(\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\)

- Überlege, wie die zehn gleich wahrscheinlichen Ziffern auf die beiden Ergebnisse verteilt werden müssen, damit der gewünschte Erfolgsanteil entsteht. - Prüfe in b) jede erzeugte Ziffer anhand der dort vorgegebenen Erfolgszuordnung. - Vergleiche bei c) eine kurze Versuchsreihe mit der langfristigen Aussage des empirischen Gesetzes der großen Zahlen.

1. Für Erfolgswahrscheinlichkeit \(0{,}3\) müssen genau \(3\) der \(10\) gleich wahrscheinlichen Ziffern als Erfolg festgelegt werden. Eine mögliche Zuordnung ist Erfolg bei \(0,1,2\), Misserfolg bei \(3,4,5,6,7,8,9\). 2. In der angegebenen Folge sind \(0,2,1,2\) Erfolge. Die absolute Häufigkeit beträgt daher \(4\). 3. Die relative Häufigkeit ist \(\frac{4}{10}=0{,}4=40\,\%\). 4. Bei nur zehn Versuchen können relative Häufigkeiten merklich von der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeit abweichen. Erst bei vielen Wiederholungen ist eine stärkere Stabilisierung zu erwarten.

a) Zum Beispiel: Erfolg bei \(0,1,2\), Misserfolg bei \(3,4,5,6,7,8,9\). b) Absolute Häufigkeit: \(4\); relative Häufigkeit: \(0{,}4=40\,\%\). c) Zehn Versuche sind eine kurze Reihe; zufällige Schwankungen können deshalb noch deutlich sichtbar sein.

- Lies zuerst aus dem Baum ab, wie viele vollständige Pfade vorhanden sind. - Markiere alle Pfade, deren erster Eintrag P ist. - Ergänze anschließend nur die noch nicht markierten Pfade mit einer Zahl kleiner als \(3\). - Vergleiche günstige und alle gleich wahrscheinlichen Blätter.

1. Aus dem Baum liest man \(8\) vollständige Pfade ab. 2. Das Ereignis \(E\) enthält alle vier Pfade, die mit P beginnen. Zusätzlich gehören nach Q noch die Pfade Q-1 und Q-2 dazu. Insgesamt sind \(6\) Pfade günstig. 3. Da alle vollständigen Pfade gleich wahrscheinlich sind, gilt \(P(E)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=75\,\%\).

\(P(E)=\frac{3}{4}=75\,\%\)

- Überlege, wie die Zahl der Blätter eines gleichmäßig verzweigten zweistufigen Baums mit den Astzahlen der beiden Stufen zusammenhängt. - Die beiden gesuchten Astzahlen sind positive ganze Zahlen. - Nutze neben der Gesamtzahl \(24\) auch die Information über den Unterschied der beiden Astzahlen. - Prüfe deine gefundenen Astzahlen anschließend an beiden Bedingungen.

1. Die Zahl der vollständigen Pfade ist das Produkt aus der Zahl der Möglichkeiten der ersten Stufe und der Zahl der Möglichkeiten der zweiten Stufe. 2. Gesucht sind daher zwei positive ganze Zahlen mit Produkt \(24\), wobei die erste Zahl um \(2\) größer ist als die zweite. 3. Die Faktoren \(6\) und \(4\) erfüllen beide Bedingungen: \(6\cdot4=24\) und \(6-4=2\). 4. Vom Start gehen also \(6\) Äste aus; an jedem der sechs Knoten folgen \(4\) zweite Äste.

Erste Stufe: \(6\) Äste; zweite Stufe: jeweils \(4\) Äste.