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- Welche Summe müssen die Äste an einer Verzweigung ergeben? - Lies anschließend nur den vollständigen gesuchten Pfad ab.

1. Fehlende erste Wahrscheinlichkeit: \(1-0{,}35=0{,}65\). 2. Pfad grün–Stern: \(0{,}65\cdot0{,}4=0{,}26\).

Fehlender Wert: \(0{,}65\); \(P(\text{grün und Stern})=0{,}26\).

- Prüfe die Summe der Wahrscheinlichkeiten an der Verzweigung. - Welche Gesamtwahrscheinlichkeit muss dort verteilt werden?

1. Astsumme im gezeichneten Diagramm: \(0{,}6+0{,}5=1{,}1\). 2. Ungültige Wahrscheinlichkeitsverteilung: Astsumme größer als \(1\). 3. Passender Ergänzungswert: \(1-0{,}6=0{,}4\).

Das Diagramm ist ungültig; statt \(0{,}5\) muss dort \(0{,}4\) stehen.

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es in jeder einzelnen Kategorie gibt. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten mehrerer unabhängiger Ereignisse nacheinander? - Wenn eine Option richtig ist, wie viele Optionen sind dann in dieser Kategorie automatisch falsch?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die spezifische Kombination: Da es für den Snack 4, für das Getränk 3 und für das Obst 5 Möglichkeiten gibt, ist die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne korrekte Wahl \(P(\text{Snack}) = \frac{1}{4}\), \(P(\text{Getränk}) = \frac{1}{3}\) und \(P(\text{Obst}) = \frac{1}{5}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit durch Multiplikation ergibt \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{60}\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass kein Produkt übereinstimmt: Die Gegenwahrscheinlichkeiten für jede Kategorie sind \(P(\text{Snack falsch}) = \frac{3}{4}\), \(P(\text{Getränk falsch}) = \frac{2}{3}\) und \(P(\text{Obst falsch}) = \frac{4}{5}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit durch Multiplikation ergibt \(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{60} = \frac{2}{5} = 0{,}4\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{60}\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{5}\) oder \(0{,}4\) (entspricht \(40\,\%\)).

- Überlege dir, wie viele Murmeln nach jedem Zug noch im Beutel sind. - Ändert sich die Anzahl der Murmeln einer bestimmten Farbe, wenn du eine davon ziehst? - Welche Rechenoperation verknüpft die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades im Baumdiagramm? - Stelle die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Schritte als Brüche dar.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Murmeln zu Beginn: \(4 + 5 + 3 = 12\). 2. Wahrscheinlichkeit für die erste rote Murmel: \(P(R_1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). 3. Wahrscheinlichkeit für die zweite rote Murmel, nachdem bereits eine rote entnommen wurde (noch 11 Murmeln im Beutel, davon 3 rote): \(P(R_2) = \frac{3}{11}\). 4. Wahrscheinlichkeit für die dritte gelbe Murmel, nachdem zwei rote entnommen wurden (noch 10 Murmeln im Beutel, davon 3 gelbe): \(P(G_3) = \frac{3}{10}\). 5. Anwendung der Pfadregel durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(R, R, G) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{11} \cdot \frac{3}{10}\). 6. Berechnung des Ergebnisses: \(P(R, R, G) = \frac{1 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 11 \cdot 10} = \frac{9}{330} = \frac{3}{110}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{3}{110}\) (ca. \(2{,}7\,\%\)).

- Stelle dir das Problem als ein mehrstufiges Zufallsexperiment vor. - Überlege dir für jede Stufe, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt und wie viele davon günstig sind. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines ganz bestimmten Pfades in einem Baumdiagramm? - Wenn nach „mindestens einmal“ gefragt wird, ist es oft einfacher, das Gegenteil zu berechnen.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Da alle 5 Sektoren gleich groß sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Grün \(P(g) = \frac{1}{5} = 0{,}2\) und für Nicht-Grün (Rot oder Blau) \(P(\bar{g}) = \frac{4}{5} = 0{,}8\). Für Rot gilt \(P(r) = \frac{2}{5} = 0{,}4\) und für Blau \(P(b) = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Berechnung zu a): Anwendung der Pfadmultiplikationsregel für den Pfad \((g, g, g)\): \(P(g, g, g) = (\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{125} = 0{,}008 = 0{,}8\,\%\). 3. Berechnung zu b): Anwendung der Pfadmultiplikationsregel für die feste Abfolge \((r, b, r)\): \(P(r, b, r) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{125} = 0{,}064 = 6{,}4\,\%\). 4. Berechnung zu c): Nutzung des Gegenereignisses „kein Grün“: \(P(\text{mind. einmal } g) = 1 - P(\bar{g}, \bar{g}, \bar{g}) = 1 - (\frac{4}{5})^3 = 1 - \frac{64}{125} = \frac{61}{125} = 0{,}488 = 48{,}8\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}8\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(6{,}4\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(48{,}8\,\%\).

- Was ist das Gegenteil davon, dass mindestens einmal eine Niete erzielt wird? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades in einem Baumdiagramm? - Überlege dir für Aufgabenteil c), welche Ergebnisse in den ersten beiden Runden erzielt werden müssen.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(\text{Gewinn}) = \frac{2}{10} = 0{,}2\) und \(P(\text{Niete}) = 0{,}8\). 2. Berechnung für a): Da die Drehungen unabhängig sind, gilt \(P(\text{GGG}) = 0{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}008\). 3. Berechnung für b): Das Gegenereignis zu „mindestens eine Niete“ ist „nur Gewinne“. Also \(P(\text{mind. eine Niete}) = 1 - P(\text{GGG}) = 1 - 0{,}008 = 0{,}992\). 4. Berechnung für c): Das Ereignis entspricht der Pfadfolge (Niete, Niete, Gewinn). \(P(\text{NNG}) = 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}128\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}008\) (oder \(0{,}8\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}992\) (oder \(99{,}2\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}128\) (oder \(12{,}8\,\%\)).

- Wie verändert sich die Anzahl der roten und die Gesamtzahl nach dem ersten roten Fruchtgummi? - Welches Gegenereignis ist leichter zu berechnen als „mindestens ein gelbes Fruchtgummi“?

1. Wahrscheinlichkeit für zwei rote Fruchtgummis: \(\frac{15}{25} \cdot \frac{14}{24} = \frac{210}{600} = \frac{7}{20} = 0{,}35 = 35\,\%\). 2. Das Ereignis „mindestens ein gelbes Fruchtgummi“ ist das Gegenereignis zu „beide Fruchtgummis sind rot“. \(P(\text{mindestens ein gelbes}) = 1 - \frac{7}{20} = \frac{13}{20} = 0{,}65 = 65\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{20} = 35\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{13}{20} = 65\,\%\).

- Verfolge beide möglichen Reihenfolgen der Farben. - Was ändert sich nach dem ersten Zug im Beutel?

1. Pfad rot–blau: \(\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}\). 2. Pfad blau–rot: \(\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{10}\). 3. Summe: \(P(\text{verschiedene Farben})=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{3}{5}\).

\(\frac{3}{5}=60\,\%\).

- Ergänze zuerst die Verzweigung vollständig. - Welcher einzelne Pfad beschreibt das gesuchte Ereignis?

1. Fehlender Ast nach \(A\): \(1-0{,}65=0{,}35\). 2. Pfadwahrscheinlichkeit: \(P(A\cap\overline{B})=0{,}4\cdot0{,}35=0{,}14\).

Fehlender Ast: \(0{,}35\); \(P(A\cap\overline{B})=0{,}14\).

- Lies aus dem ersten Nenner die Gesamtzahl ab. - Was verrät der zweite rote Ast über die Veränderung nach dem ersten Zug?

1. Erste rote Wahrscheinlichkeit \(\frac{5}{8}\): insgesamt \(8\), davon \(5\) rot. 2. Verbleibende Kugeln nach rot: \(7\), davon \(4\) rot; passend zu \(\frac{4}{7}\). 3. Anfangsbestand: \(5\) rote und \(3\) blaue Kugeln.

5 rote und 3 blaue Kugeln.

- Wie hoch ist die Chance, bei einer einzelnen Frage falsch zu liegen? - Nutze das Gegenereignis, um die Rechnung für „mindestens eins“ zu vereinfachen. - Überlege, wie viele Antwortmöglichkeiten übrig bleiben, wenn man eine ausschließen kann. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit einer Kette von unabhängigen Ereignissen?

1. Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort pro Frage: \(P(\text{falsch}) = \frac{2}{3}\). 2. Wahrscheinlichkeit für 6 falsche Antworten: Da die Fragen unabhängig sind, gilt \(P(\text{alle falsch}) = \left(\frac{2}{3}\right)^6 = \frac{64}{729} \approx 0{,}0878\). 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer: \(P(\text{mind. 1 richtig}) = 1 - P(\text{alle falsch}) = 1 - \frac{64}{729} = \frac{665}{729} \approx 0{,}9122\). 4. Wahrscheinlichkeit bei Ausschluss einer Option: Nun gibt es nur noch 2 Möglichkeiten pro Frage. \(P(\text{alle richtig neu}) = \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64} = 0{,}015625\). 5. Vergleich: Ohne Ausschluss war die Wahrscheinlichkeit für „alles richtig“ \(\left(\frac{1}{3}\right)^6 = \frac{1}{729} \approx 0{,}00137\). Durch das Ausschließen einer Option steigt die Chance auf einen perfekten Test um mehr als das Zehnfache (\(\frac{0{,}015625}{0{,}00137} \approx 11{,}4\)).

a) \(P \approx 0{,}0878\) (oder \(\frac{64}{729}\)). b) \(P \approx 0{,}9122\) (oder \(\frac{665}{729}\)). c) Neue Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{1}{64} = 0{,}015625\). Die Chance ist damit deutlich höher als beim rein zufälligen Raten (\(P \approx 0{,}00137\)).

- Wie viele Ergebnisse hat ein einzelner Würfelwurf? - Was bedeutet „fairer Würfel“ für die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ergebnisses? - Stell dir vor, du notierst jede Wurffolge als ein Zahlentripel. Wie viele solcher Tripel gibt es? - Betrachte die Wahrscheinlichkeit einer ganz bestimmten, festen Abfolge von Zahlen.

1. Gesamtzahl der Ergebnisse: Bei 3 Würfen mit je 6 Möglichkeiten gibt es \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216\) mögliche Folgen. 2. Wahrscheinlichkeit für keine 6: Bei jedem Wurf gibt es 5 Möglichkeiten (1, 2, 3, 4, 5). \(P(\text{keine 6}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{125}{216} \approx 0{,}5787\). 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 6: \(P(\text{mind. eine 6}) = 1 - P(\text{keine 6}) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} \approx 0{,}4213\). 4. Bewertung der Behauptung: Jede spezifische Wurffolge (wie \((6; 6; 6)\) oder \((1; 2; 3)\)) ist genau eines von 216 gleichwahrscheinlichen Ergebnissen im Laplace-Experiment. Daher ist \(P(6; 6; 6) = \frac{1}{216}\) und \(P(1; 2; 3) = \frac{1}{216}\). Die Behauptung von Jonas ist also falsch; beide Ereignisse sind exakt gleich wahrscheinlich.

a) \(216\) Wurffolgen. b) \(P = \frac{125}{216} \approx 0{,}5787\). c) \(P = \frac{91}{216} \approx 0{,}4213\). d) Die Behauptung ist falsch. Jede spezifische Folge hat die gleiche Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{216}\).

- Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis „nicht gold“ bei jedem Rad? - Das Ereignis „mindestens einmal“ lässt sich oft einfacher über das Gegenteil berechnen. - Was ist das Gegenteil davon, dass mindestens ein Rad Gold zeigt?

1. Wahrscheinlichkeit für drei goldene Felder: Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{480}\). 2. Wahrscheinlichkeit für kein goldenes Feld: Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten für die nicht-goldenen Felder \(\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{9}{10} = \frac{315}{480} = \frac{21}{32} = 0{,}65625\). 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens ein goldenes Feld: Anwendung der Komplementärregel (Gegenereignis zu „kein goldenes Feld“). Berechnung: \(1 - \frac{21}{32} = \frac{11}{32} = 0{,}34375\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{480}\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{21}{32}\) (oder \(0{,}65625\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{11}{32}\) (oder \(0{,}34375\)).

- Hilft dir ein Baumdiagramm, um die verschiedenen Pfade der Ziehung darzustellen? - Wie viele Socken sind nach dem ersten Zug noch in der Schublade? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für „verschiedene Farben“ direkt aus der Wahrscheinlichkeit für „gleiche Farbe“ berechnen? - Beachte, dass die Socken nicht zurückgelegt werden.

1. Berechnung der Gesamtmöglichkeiten: Beim ersten Zug gibt es \(8\) Socken, beim zweiten noch \(7\). Insgesamt gibt es \(8 \cdot 7 = 56\) mögliche Ziehungsfolgen. 2. Ereignis a): Für zwei schwarze Socken gibt es beim ersten Zug \(4\) Möglichkeiten und beim zweiten Zug \(3\) Möglichkeiten. Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(4 \cdot 3 = 12\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{zwei schwarze}) = \frac{12}{56} = \frac{3}{14}\). 3. Ereignis b): Für zwei weiße Socken gibt es ebenfalls \(4 \cdot 3 = 12\) Möglichkeiten. Die Gesamtzahl für „gleiche Farbe“ ist \(12 + 12 = 24\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{24}{56} = \frac{3}{7}\). 4. Ereignis c): Unterschiedliche Farben bedeutet entweder schwarz-weiß (\(4 \cdot 4 = 16\)) oder weiß-schwarz (\(4 \cdot 4 = 16\)). Gesamtzahl: \(16 + 16 = 32\). Alternativ über das Gegenereignis: \(1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{verschiedene Farben}) = \frac{4}{7}\).

a) \(P(\text{zwei schwarze}) = \frac{3}{14}\) b) \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{3}{7}\) c) \(P(\text{verschiedene Farben}) = \frac{4}{7}\)

- Wie viele gerade Zahlen gibt es im Bereich von 1 bis 20? - Stell dir vor, du hast drei Plätze für die Zahlen. Wie viele Möglichkeiten gibt es für den ersten Platz, wie viele für den zweiten und so weiter? - Denk daran, dass die Kärtchen nach dem Ziehen nicht wieder in das Säckchen kommen.

1. Bestimmung der Anzahl der geraden Zahlen zwischen 1 und 20: Es gibt 10 gerade Zahlen (\(2, 4, 6, \dots, 20\)) und 10 ungerade Zahlen. 2. Gesamtzahl der Kärtchen: 20. 3. Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl im ersten Zug: \(P(G_1) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\). 4. Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl im zweiten Zug, wenn bereits eine gerade Zahl gezogen wurde: \(P(G_2) = \frac{9}{19}\). 5. Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl im dritten Zug, wenn bereits zwei gerade Zahlen gezogen wurden: \(P(G_3) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}\). 6. Gesamtwahrscheinlichkeit durch Multiplikation: \(P(G, G, G) = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{19} \cdot \frac{4}{9}\). 7. Kürzen und Berechnen: \(P(G, G, G) = \frac{1 \cdot 1 \cdot 4}{2 \cdot 19 \cdot 1} = \frac{4}{38} = \frac{2}{19}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{19}\) (ca. \(10{,}5\,\%\)).

- Wie viele Ziffern stehen auf jedem Ring zur Auswahl? - Überlege dir, wie wahrscheinlich es ist, bei einem einzelnen Ring die richtige Ziffer zu treffen. - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt für einen 4-stelligen Code? - Kannst du für Teilaufgabe c) das Ereignis beschreiben, das eintritt, wenn kein einziger Ring richtig eingestellt ist?

1. Einzelwahrscheinlichkeiten pro Ring: Wahrscheinlichkeit für die richtige Ziffer \(P(C) = \frac{1}{10} = 0{,}1\); Wahrscheinlichkeit für eine falsche Ziffer \(P(W) = \frac{9}{10} = 0{,}9\). 2. Berechnung zu a): Wahrscheinlichkeit, dass alle 4 Ringe korrekt sind: \(P(C, C, C, C) = (0{,}1)^4 = 0{,}0001 = 0{,}01\,\%\). 3. Berechnung zu b): Wahrscheinlichkeit für die Sequenz (Korrekt, Falsch, Falsch, Falsch): \(P(C, W, W, W) = 0{,}1 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}1 \cdot 0{,}9^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}729 = 0{,}0729 = 7{,}29\,\%\). 4. Berechnung zu c): Nutzung des Gegenereignisses „Kein einziger Ring ist korrekt“: \(P(\text{mind. ein } C) = 1 - P(W, W, W, W) = 1 - 0{,}9^4 = 1 - 0{,}6561 = 0{,}3439 = 34{,}39\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}01\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(7{,}29\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(34{,}39\,\%\).

- Kannst du die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit der eine einzelne Leuchte einwandfrei ist? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass in einer Stichprobe von vier Leuchten genau eine fehlerhaft ist? - Stell dir ein Baumdiagramm vor: Welche Pfade führen zum gesuchten Ergebnis?

1. Festlegen der Wahrscheinlichkeiten: \(P(\text{defekt}) = 0{,}1\) und \(P(\text{einwandfrei}) = 0{,}9\). 2. Berechnung für a): Alle vier müssen einwandfrei sein. Mit \(E\) für „einwandfrei“ gilt: \(P(EEEE) = 0{,}9^4 = 0{,}6561\). 3. Berechnung für b): Mit \(D\) für „defekt“ gibt es vier mögliche Pfade mit genau einer defekten Leuchte: \(DEEE\), \(EDEE\), \(EEDE\) und \(EEED\). Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}1 \cdot 0{,}9^3 = 0{,}0729\). 4. Gesamtwahrscheinlichkeit für b): \(4 \cdot 0{,}0729 = 0{,}2916\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}6561\) (oder \(65{,}61\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}2916\) (oder \(29{,}16\,\%\)).

- Schreibe dir zuerst auf, wie oft jeder Buchstabe in dem Wort vorkommt. - „Gleichzeitig ziehen“ bedeutet mathematisch dasselbe wie „nacheinander ziehen ohne Zurücklegen“. - Nutze bei „mindestens“ am besten das Gegenereignis.

1. Häufigkeiten im Wort STATISTIK (9 Buchstaben): S erscheint 2-mal, T erscheint 3-mal, A erscheint 1-mal, I erscheint 2-mal, K erscheint 1-mal. 2. Wahrscheinlichkeit für zwei „T“: Beim ersten Kärtchen \(\frac{3}{9}\), beim zweiten \(\frac{2}{8}\). Ergebnis: \(\frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12} \approx 0{,}083\) bzw. \(8{,}3\,\%\). 3. Wahrscheinlichkeit für kein „S“: Es gibt \(9 - 2 = 7\) Kärtchen, die kein „S“ sind. Rechnung: \(\frac{7}{9} \cdot \frac{6}{8} = \frac{42}{72} = \frac{7}{12} \approx 0{,}583\) bzw. \(58{,}3\,\%\). 4. Wahrscheinlichkeit für mindestens ein „I“: Gegenereignis zu „kein I“. Es gibt \(9 - 2 = 7\) Kärtchen ohne „I“. Wahrscheinlichkeit für kein „I“ ist \(\frac{7}{9} \cdot \frac{6}{8} = \frac{7}{12}\). Wahrscheinlichkeit für mindestens ein „I“: \(1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12} \approx 0{,}417\) bzw. \(41{,}7\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{12} \approx 8{,}3\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{12} \approx 58{,}3\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{12} \approx 41{,}7\,\%\).

- Welche Pfade im Baumdiagramm führen zu dem Ereignis „verschiedene Farben“? - Wie verändern sich die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Schritt, wenn das erste Fruchtgummi nicht zurückgelegt wird? - Achte bei der Addition von Brüchen auf den gemeinsamen Hauptnenner.

1. Baumdiagramm mit Zurücklegen: \(P(\text{r}) = \frac{5}{8}\), \(P(\text{g}) = \frac{3}{8}\). Die Pfade für zwei verschiedene Farben sind \((\text{r}, \text{g})\) und \((\text{g}, \text{r})\). 2. Berechnung mit Zurücklegen: \(P(\text{verschieden}) = P(\text{r}, \text{g}) + P(\text{g}, \text{r}) = (\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8}) + (\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8}) = \frac{15}{64} + \frac{15}{64} = \frac{30}{64} = \frac{15}{32} \approx 0{,}4688\). 3. Berechnung ohne Zurücklegen: Im ersten Zug \(P(\text{r}) = \frac{5}{8}\) und \(P(\text{g}) = \frac{3}{8}\). Im zweiten Zug ändern sich die Nenner auf 7. \(P(\text{r}, \text{g}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{56}\). \(P(\text{g}, \text{r}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}\). Summe: \(P(\text{verschieden, ohne Zurücklegen}) = \frac{15}{56} + \frac{15}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28} \approx 0{,}5357\). 4. Vergleich: Die Wahrscheinlichkeit für verschiedene Farben ist beim Ziehen ohne Zurücklegen höher (\(\approx 53{,}6\,\%\) gegenüber \(\approx 46{,}9\,\%\)).

a) Erste Stufe: Rot mit \(\frac{5}{8}\), Grün mit \(\frac{3}{8}\). Nach jedem Ast gelten wegen des Zurücklegens erneut die Wahrscheinlichkeiten \(\frac{5}{8}\) für Rot und \(\frac{3}{8}\) für Grün. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{15}{32} = 0{,}46875\) (ca. \(46{,}9\,\%\)). c) Ohne Zurücklegen beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{15}{28} \approx 0{,}536\) (ca. \(53{,}6\,\%\)). Die Wahrscheinlichkeit ist in diesem Fall also größer.

- Manchmal ist es einfacher zu zählen, wie viele Zahlen keine „5“ enthalten, und dies von der Gesamtzahl abzuziehen. - Wie verändert sich die Anzahl der verfügbaren Karten im zweiten Schritt, wenn du die Karte nicht zurücklegst? - Vergleiche die Brüche, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst oder in Dezimalzahlen umwandelst.

1. Teilaufgabe a (mit Zurücklegen): Gesamtzahl der Zahlen ist \(5 \cdot 5 = 25\). Die Anzahl der Zahlen ohne eine „5“ ist \(4 \cdot 4 = 16\). Die Anzahl der Zahlen mit mindestens einer „5“ ist \(25 - 16 = 9\) (oder Aufzählung: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{9}{25} = 0{,}36\). 2. Teilaufgabe b (ohne Zurücklegen): Gesamtzahl der Zahlen ist \(5 \cdot 4 = 20\). Die Anzahl der Zahlen ohne eine „5“ ist \(4 \cdot 3 = 12\). Die Anzahl der Zahlen mit mindestens einer „5“ ist \(20 - 12 = 8\) (Aufzählung wie oben, aber ohne 55). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 3. Vergleich: Die Wahrscheinlichkeit in b) ist höher (\(0{,}40 > 0{,}36\)). Dies liegt daran, dass beim Ziehen ohne Zurücklegen die Gesamtzahl der Möglichkeiten stärker abnimmt als die Anzahl der günstigen Möglichkeiten, da im zweiten Schritt die Chance auf die „5“ steigt, wenn sie im ersten Schritt nicht gezogen wurde.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}36\) (oder \(36\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}4\) (oder \(40\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit ist im Fall b) höher, da durch das fehlende Zurücklegen die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen stärker sinkt als die Anzahl der Kombinationen mit einer „5“.

- Bestimme zuerst, wie viele Brötchen aus jedem der beiden Öfen kommen. - Berechne dann für jeden Ofen einzeln, wie viele davon die Eigenschaft „perfekt“ haben. - Addiere zum Schluss die Ergebnisse beider Pfade, die zum Ziel „perfekt“ führen. - Du kannst auch zuerst die Gesamtwahrscheinlichkeit für „perfekt“ berechnen und diese dann mit der Gesamtzahl multiplizieren.

1. Berechnung der Anzahl der Brötchen pro Ofen: Ofen 1: \(2000 \cdot 0{,}60 = 1200\) Brötchen Ofen 2: \(2000 \cdot 0{,}40 = 800\) Brötchen 2. Berechnung der perfekten Brötchen aus Ofen 1: \(1200 \cdot 0{,}95 = 1140\) Brötchen 3. Berechnung der perfekten Brötchen aus Ofen 2: \(800 \cdot 0{,}85 = 680\) Brötchen 4. Berechnung der Gesamtzahl der perfekten Brötchen: \(1140 + 680 = 1820\) Brötchen

Voraussichtlich werden insgesamt \(1820\) Brötchen als „perfekt“ eingestuft.

- Überlege dir, wie viele Bonbons nach jedem Zug noch in der Schüssel sind. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten an den zwei Zweigen eines Knotens zusammen? - Erinnere dich an die Regel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Pfades. - Was passiert mathematisch, wenn du die Brüche entlang eines Pfades multiplizierst?

1. Bestimmung der fehlenden Werte: Da es zu Beginn \(20\) Bonbons gibt, ist die Wahrscheinlichkeit für „keine Zitrone“ \(a = \frac{19}{20}\). In der zweiten Stufe sind noch \(19\) Bonbons in der Schüssel. Davon ist eines Zitrone, also \(b = \frac{1}{19}\) und \(c = \frac{18}{19}\). 2. Wahrscheinlichkeit für das zweite Kind: Nach der ersten Pfadregel multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades \(\overline{Z} \to Z\): \(P(\text{2. Kind hat } Z) = \frac{19}{20} \cdot \frac{1}{19} = \frac{1}{20}\). 3. Wahrscheinlichkeit für das dritte Kind: Der Pfad lautet \(\overline{Z} \to \overline{Z} \to Z\). Die Rechnung ergibt \(\frac{19}{20} \cdot \frac{18}{19} \cdot \frac{1}{18} = \frac{1}{20}\). Durch das sukzessive Kürzen der Faktoren \(\frac{19}{19}\) und \(\frac{18}{18}\) bleibt stets der ursprüngliche Nenner \(20\) erhalten.

a) \(a = \frac{19}{20}\), \(b = \frac{1}{19}\), \(c = \frac{18}{19}\) b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{20}\). c) Die Wahrscheinlichkeit ist ebenfalls \(\frac{1}{20}\), da sich die Brüche entlang des Pfades \(\frac{19}{20} \cdot \frac{18}{19} \cdot \frac{1}{18}\) gegenseitig kürzen.

- Teile die gleich wahrscheinlichen Ziffern passend auf. - Kannst du das Gegenteil mit weniger Fällen beschreiben?

1. Mögliche Zuordnung: Erfolg \(\{0,1,2\}\), Misserfolg \(\{3,4,5,6,7,8,9\}\). 2. Wahrscheinlichkeit für keinen Erfolg: \(0{,}7^2=0{,}49\). 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg: \(1-0{,}49=0{,}51\).

Zum Beispiel Erfolg bei 0, 1 oder 2; \(P(\text{mindestens ein Erfolg})=0{,}51\).

- Wie hängen die Ereignisse „genau eine Sechs“ und „mindestens eine Sechs“ zusammen? Ist das eine im anderen enthalten? - Nutze für „mindestens eine“ den Trick mit dem Gegenereignis. - Wie viele verschiedene Pfade im Baumdiagramm enthalten genau eine Sechs bei vier Würfen?

1. Grundlagen: \(P(6) = \frac{1}{6}\) und \(P(\text{keine } 6) = \frac{5}{6}\). 2. Berechnung von \(P(E)\): Über das Gegenereignis „keine Sechs bei 4 Würfen“. \(P(\text{keine } 6) = (\frac{5}{6})^4 = \frac{625}{1296}\). Somit \(P(E) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0{,}5177\). 3. Berechnung von \(P(F)\): Es gibt 4 Pfade mit genau einer Sechs (z. B. \(6, \text{keine 6}, \text{keine 6}, \text{keine 6}\)). Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^3 = \frac{125}{1296}\). Also \(P(F) = 4 \cdot \frac{125}{1296} = \frac{500}{1296} \approx 0{,}3858\). 4. Vergleich: Da \(\frac{671}{1296} > \frac{500}{1296}\), ist Ereignis E wahrscheinlicher. Logische Begründung: Ereignis F ist eine Teilmenge von Ereignis E (wenn genau eine Sechs fällt, fällt auch mindestens eine Sechs). Da es in E noch weitere Möglichkeiten gibt (z. B. zwei Sechsen), muss E wahrscheinlicher sein.

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis E beträgt \(\frac{671}{1296} \approx 51{,}77\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis F beträgt \(\frac{500}{1296} \approx 38{,}58\,\%\). Ereignis E ist wahrscheinlicher, da es das Ereignis F sowie die Fälle mit zwei, drei oder vier Sechsen umfasst.

- Achte bei b) darauf, dass die Reihenfolge der Ziehung (erst Mädchen, dann Junge oder umgekehrt) eine Rolle für die Pfade spielt. - Wie viele Personen kommen in Teil c) noch für die Gruppe infrage, wenn Lukas sich selbst ausschließt? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein bestimmtes Paar aus einer Gruppe zu ziehen?

1. Wahrscheinlichkeit für zwei Jungen: \(\frac{8}{20} \cdot \frac{7}{19} = \frac{56}{380} = \frac{14}{95} \approx 0{,}147\) bzw. \(14{,}7\,\%\). 2. Wahrscheinlichkeit für ein Mädchen und einen Jungen: Es gibt zwei Pfade im Baumdiagramm (Mädchen-Junge oder Junge-Mädchen). Rechnung: \((\frac{12}{20} \cdot \frac{8}{19}) + (\frac{8}{20} \cdot \frac{12}{19}) = \frac{96}{380} + \frac{96}{380} = \frac{192}{380} = \frac{48}{95} \approx 0{,}505\) bzw. \(50{,}5\,\%\). 3. Bedingte Sichtweise von Lukas: Da Lukas weiß, dass er nicht dabei ist, gibt es für ihn nur noch 19 mögliche Personen für die 2 Plätze. Die Anzahl der Möglichkeiten, 2 Personen aus 19 zu wählen, ist \(\frac{19 \cdot 18}{2} = 171\). Da es nur genau eine Kombination seiner beiden Freunde gibt, ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{171} \approx 0{,}0058\) bzw. \(0{,}58\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{14}{95} \approx 14{,}7\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{48}{95} \approx 50{,}5\,\%\). c) Aus Lukas' Sicht beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{171} \approx 0{,}58\,\%\).