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- Wie hoch ist die Chance, bei einer einzelnen Aufgabe mit vier Optionen richtig zu raten? - Wenn mehrere Ereignisse nacheinander eintreten müssen (Aufgabe 1 UND Aufgabe 2 UND Aufgabe 3), wie verknüpft man dann ihre Wahrscheinlichkeiten?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für eine korrekte Antwort bei einer einzelnen Aufgabe: \(P(\text{richtig}) = \frac{1}{4}\). 2. Da die Aufgaben unabhängig voneinander geraten werden, wird die Gesamtwahrscheinlichkeit durch das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten berechnet. 3. Rechnung für drei Aufgaben: \(P(\text{alle 3 richtig}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}\).

d) \(\frac{1}{64}\)

- Wie viele Kugeln liegen insgesamt in der Trommel? - Erstelle eine Liste der Zahlen, die die jeweilige Bedingung erfüllen. - Wie kannst du schnell herausfinden, wie viele Vielfache einer Zahl in einem bestimmten Bereich liegen? - Erinnere dich an die Definition von Quadratzahlen wie \(1 \cdot 1\), \(2 \cdot 2\) und so weiter.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: \(n = 150\). 2. Berechnung für a): Die Vielfachen von 15 im Bereich bis 150 sind 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150. Das sind 10 günstige Ergebnisse. \(P(a) = \frac{10}{150} = \frac{1}{15} \approx 6{,}67\,\%\). 3. Berechnung für b): Die Quadratzahlen bis 150 sind \(1^2, 2^2, \dots, 12^2\) (da \(12^2 = 144\) und \(13^2 = 169\)). Es gibt also 12 Quadratzahlen (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144). \(P(b) = \frac{12}{150} = \frac{2}{25} = 8\,\%\). 4. Berechnung für c): Zahlen, die auf 0 oder 5 enden, sind genau die Vielfachen von 5. Da \(150 : 5 = 30\), gibt es 30 solcher Zahlen. \(P(c) = \frac{30}{150} = \frac{1}{5} = 20\,\%\).

a) \(P = \frac{1}{15} \approx 6{,}67\,\%\) b) \(P = \frac{2}{25} = 8\,\%\) c) \(P = \frac{1}{5} = 20\,\%\)

- Wie viele Karten gibt es insgesamt im Spiel? - Wie viele Karten einer bestimmten Farbe gibt es? - Überlege dir, wie oft jeder Wert (wie zum Beispiel „König“) im gesamten Deck vorkommt. - Was bedeutet „Zahlkarte“ in diesem Zusammenhang und welche Karten gehören dazu?

1. Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse: \(n = 32\). 2. Ereignis a: Es gibt 8 Herz-Karten (7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass). Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(g = 8\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{Herz}) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 3. Ereignis b: Es gibt 4 Könige und 4 Asse, also insgesamt \(g = 4 + 4 = 8\) günstige Karten. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{König oder Ass}) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. Ereignis c: Es gibt 4 verschiedene Zahlenwerte (7, 8, 9, 10) in jeweils 4 Farben. Das ergibt \(g = 4 \cdot 4 = 16\) günstige Karten. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{Zahlkarte}) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

a) \(P(\text{Herz}) = \frac{1}{4} = 25\,\%\) b) \(P(\text{König oder Ass}) = \frac{1}{4} = 25\,\%\) c) \(P(\text{Zahlkarte}) = \frac{1}{2} = 50\,\%\)

- Zähle zuerst genau, wie viele Buchstaben das Wort insgesamt hat. - Erstelle eine Liste, wie oft jeder einzelne Buchstabe im Wort vorkommt. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit, wenn nach „kein H“ gefragt wird? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, wenn zwei verschiedene Buchstaben (wie C oder N) gesucht sind?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Buchstaben im Wort „TASCHENRECHNER“: \(14\) Buchstaben. 2. Häufigkeit der relevanten Buchstaben: E (\(3\)), Vokale (A: \(1\), E: \(3\); insgesamt \(4\)), H (\(2\)), C (\(2\)), N (\(2\)). 3. a) \(P(E) = \frac{3}{14}\). 4. b) \(P(\text{Vokal}) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}\). 5. c) Wahrscheinlichkeit für „H“ ist \(P(H) = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}\). Gegenereignis „kein H“: \(P(\text{kein } H) = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}\). 6. d) Günstige Ergebnisse für „C oder N“: \(2 + 2 = 4\). \(P(C \text{ oder } N) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}\).

a) \(P(E) = \frac{3}{14}\) b) \(P(\text{Vokal}) = \frac{2}{7}\) c) \(P(\text{kein } H) = \frac{6}{7}\) d) \(P(C \text{ oder } N) = \frac{2}{7}\)

- Was gibt die Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment über das Verhältnis von Teilmenge zu Gesamtmenge an? - Wenn du die Gesamtzahl kennst, wie findest du den Rest heraus? - Kannst du für den unbekannten Teil eine Variable (wie \(x\)) verwenden?

1. Berechnung der Gesamtanzahl \(T\): Da \(P(\text{rot}) = \frac{n_{\text{rot}}}{T}\) gilt, folgt \(0{,}25 = \frac{12}{T}\). Umstellen ergibt \(T = \frac{12}{0{,}25} = 48\). 2. Bestimmung der Summe von gelben und weißen Bärchen: \(T - n_{\text{rot}} = 48 - 12 = 36\). 3. Berechnung der Einzelanzahlen: Sei \(x\) die Anzahl der weißen Bärchen. Dann gilt für die gelben Bärchen \(2x\). Die Gleichung \(x + 2x = 36\) führt zu \(3x = 36\), also \(x = 12\). Damit gibt es \(2 \cdot 12 = 24\) gelbe Bärchen.

a) Es sind 48 Gummibärchen in der Tüte. b) Es sind insgesamt 36 gelbe und weiße Bärchen enthalten. c) Es sind 24 gelbe Bärchen in der Tüte.

- Zähle zuerst sorgfältig die Gesamtzahl der Buchstaben für jedes Wort. - Notiere dir, wie oft der gesuchte Buchstabe oder die Buchstabengruppe jeweils vorkommt. - Um Brüche zu vergleichen, kannst du sie entweder auf den gleichen Nenner bringen oder in Dezimalzahlen umwandeln.

1. Wort A „PROZENTRECHNUNG“ hat \(15\) Buchstaben. Das „N“ kommt \(3\)-mal vor. \(P_A(N) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0{,}2\). Die Vokale sind O, E, E, U (insgesamt \(4\)). \(P_A(\text{Vokal}) = \frac{4}{15} \approx 0{,}267\). 2. Wort B „ZINSEN“ hat \(6\) Buchstaben. Das „N“ kommt \(2\)-mal vor. \(P_B(N) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\). Die Vokale sind I, E (insgesamt \(2\)). \(P_B(\text{Vokal}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\). 3. Vergleich für a): Da \(\frac{1}{3} > \frac{1}{5}\), ist die Wahrscheinlichkeit für ein „N“ in Wort B höher. 4. Vergleich für b): Um \(\frac{4}{15}\) und \(\frac{1}{3}\) zu vergleichen, bringt man sie auf den Hauptnenner \(15\). \(\frac{1}{3} = \frac{5}{15}\). Da \(\frac{5}{15} > \frac{4}{15}\), ist die Wahrscheinlichkeit für einen Vokal in Wort B höher.

a) Wort A: \(P = 0{,}2\); Wort B: \(P \approx 0{,}333\). In Wort B ist die Wahrscheinlichkeit höher. b) Wort A: \(P = \frac{4}{15}\); Wort B: \(P = \frac{1}{3}\). In Wort B ist die Wahrscheinlichkeit höher, da \(\frac{1}{3} = \frac{5}{15} > \frac{4}{15}\).

- Wie viele Murmeln liegen insgesamt im Beutel? - Welche Murmeln erfüllen die Bedingung „keine grüne Murmel“? - Wie rechnet man einen Bruch geschickt in eine Prozentangabe um?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Murmeln im Beutel: \(12 + 8 + 5 = 25\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine rote Murmel: Es gibt 12 rote Murmeln. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{rot}) = \frac{12}{25}\). Umrechnung in Prozent: \(\frac{12 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{48}{100} = 48\,\%\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „keine grüne Murmel“: Das Ereignis umfasst rote und blaue Murmeln. Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(12 + 8 = 20\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{nicht grün}) = \frac{20}{25}\). Umrechnung in Prozent: \(\frac{20 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{80}{100} = 80\,\%\).

a) \(48\,\%\) b) \(80\,\%\)

- Wenn du die Gesamtzahl kennst, wie kannst du aus einer Wahrscheinlichkeit die absolute Anzahl berechnen? - Was bedeutet \(45\,\%\) als Bruch oder Dezimalzahl? - Wie viele Kugeln bleiben übrig, wenn du die schwarzen und weißen abgezogen hast?

1. Berechnung der Anzahl der schwarzen Kugeln: \(\frac{1}{3} \cdot 60 = 20\). 2. Umrechnung der Prozentangabe für weiße Kugeln in eine Dezimalzahl: \(45\,\% = 0{,}45\). 3. Berechnung der Anzahl der weißen Kugeln: \(0{,}45 \cdot 60 = 27\). 4. Bestimmung der Anzahl der grauen Kugeln durch Subtraktion von der Gesamtzahl: \(60 - 20 - 27 = 13\).

Es befinden sich 13 graue Kugeln in der Urne.

- Wie viele gleich große Sektoren hat das Glücksrad insgesamt? - Welche Zahlen auf dem Rad sind durch 5 teilbar? - Achte bei Teilaufgabe b) auf das Wort „oder“: Muss ein Feld beide Bedingungen erfüllen oder reicht eine davon aus? - Achte bei Teilaufgabe c) darauf, dass beide Bedingungen („ungerade“ und „nicht blau“) gleichzeitig erfüllt sein müssen. - Wie rechnet man den Anteil der günstigen Ergebnisse an den Gesamtergebnissen in einen Prozentsatz um?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: Das Glücksrad hat 8 gleich große Sektoren, daher ist die Gesamtzahl der möglichen, gleich wahrscheinlichen Ergebnisse \(N = 8\). 2. Teilaufgabe a) (Ereignis \(E_1\)): - Die Zahlen auf dem Glücksrad sind: 2, 3, 5, 8, 12, 15, 20, 25. - Durch 5 teilbar sind: 5, 15, 20 und 25 (4 günstige Ergebnisse). - Wahrscheinlichkeit: \(P(E_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 50\,\%\). 3. Teilaufgabe b) (Ereignis \(E_2\)): - Primzahlen auf dem Rad sind: 2, 3, 5 (3 günstige Ergebnisse). - Gelbe Sektoren enthalten die Zahlen: 12, 15 (2 günstige Ergebnisse). - Da die Zahl 15 gelb ist, aber keine Primzahl, und die Primzahl 5 blau ist, gibt es keine Überschneidung, die doppelt gezählt wurde. - Die günstigen Ergebnisse für „Primzahl oder gelb“ sind somit: 2 (rot), 3 (rot), 5 (blau), 12 (gelb), 15 (gelb) (insgesamt 5 günstige Ergebnisse). - Wahrscheinlichkeit: \(P(E_2) = \frac{5}{8} = 62{,}5\,\%\). 4. Teilaufgabe c) (Ereignis \(E_3\)): - Ungerade Zahlen auf dem Rad sind: 3 (rot), 5 (blau), 15 (gelb), 25 (grün). - Davon darf der Sektor nicht blau sein. Die Zahl 5 (blau) fällt also weg. - Die verbleibenden günstigen Ergebnisse sind: 3 (rot), 15 (gelb), 25 (grün) (insgesamt 3 günstige Ergebnisse). - Wahrscheinlichkeit: \(P(E_3) = \frac{3}{8} = 37{,}5\,\%\).

a) \(P(E_1) = \frac{1}{2} = 50\,\%\) b) \(P(E_2) = \frac{5}{8} = 62{,}5\,\%\) c) \(P(E_3) = \frac{3}{8} = 37{,}5\,\%\)

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Sektoren das Glücksrad insgesamt unterteilt ist. - Bestimme für jede Farbe die Anzahl der zugehörigen Felder auf dem Rad. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem Glücksrad mit gleich großen Sektoren? - Achte darauf, nach welchen Bedingungen in den Teilaufgaben gefragt wird (z. B. „nicht Rot“ oder „Grün oder Gelb“). - Denke daran, das Ergebnis am Ende in eine Prozentangabe umzurechnen.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Sektoren und der Verteilung der Farben: Das Rad hat insgesamt \(10\) gleich große Sektoren, davon sind \(4\) rot, \(3\) blau, \(2\) grün und \(1\) gelb. 2. Berechnung für a) „Nicht Rot“: Es gibt \(10 - 4 = 6\) günstige Sektoren. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{nicht Rot}) = \frac{6}{10} = 60\,\%\). 3. Berechnung für b) „Grün oder Gelb“: Es gibt \(2 + 1 = 3\) günstige Sektoren. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{Grün oder Gelb}) = \frac{3}{10} = 30\,\%\). 4. Berechnung für c) „Blau“: Es gibt \(3\) günstige Sektoren. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{Blau}) = \frac{3}{10} = 30\,\%\).

a) \(60\,\%\) b) \(30\,\%\) c) \(30\,\%\)

- Bestimme zunächst für jede Urne einzeln die Gesamtanzahl der Kugeln. - Welche Zahlen sind Primzahlen? Achte darauf, ob die Zahl 1 eine Primzahl ist. - Zähle für jede Urne die Anzahl der günstigen Ergebnisse (also wie viele Primzahlen oder gerade Zahlen darin liegen). - Berechne die Wahrscheinlichkeiten als Brüche oder Dezimalzahlen, um sie direkt miteinander vergleichen zu können.

1. Analyse von Urne A: Die Urne enthält die Zahlen: \(\{1; 2; 3; 4; 5\}\). Das sind insgesamt \(5\) Kugeln. - Primzahlen in Urne A: \(\{2; 3; 5\}\) (die Zahl 1 ist keine Primzahl). Das sind \(3\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{Primzahl, A}) = \frac{3}{5} = 0{,}6 = 60\,\%\). - Gerade Zahlen in Urne A: \(\{2; 4\}\). Das sind \(2\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{gerade, A}) = \frac{2}{5} = 0{,}4 = 40\,\%\). 2. Analyse von Urne B: Die Urne enthält die Zahlen: \(\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}\). Das sind insgesamt \(8\) Kugeln. - Primzahlen in Urne B: \(\{2; 3; 5; 7\}\). Das sind \(4\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{Primzahl, B}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%\). - Gerade Zahlen in Urne B: \(\{2; 4; 6; 8\}\). Das sind \(4\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{gerade, B}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%\). 3. Vergleich: - Für die Primzahl gilt: \(60\,\% > 50\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit ist in Urne A größer. - Für die gerade Zahl gilt: \(40\,\% < 50\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit ist in Urne B größer.

a) In Urne A ist die Wahrscheinlichkeit größer, eine Primzahl zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit in Urne A beträgt \(\frac{3}{5} = 60\,\%\), während sie in Urne B nur \(\frac{4}{8} = 50\,\%\) beträgt. b) In Urne B ist die Wahrscheinlichkeit größer, eine gerade Zahl zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit in Urne B beträgt \(\frac{4}{8} = 50\,\%\), während sie in Urne A nur \(\frac{2}{5} = 40\,\%\) beträgt.

- Bestimme zuerst für jede der beiden Urnen die Gesamtzahl aller darin enthaltenen Kugeln. - Zähle für die jeweilige Teilaufgabe, wie viele Kugeln die gesuchte Eigenschaft (Farbe oder Zahl) besitzen. - Berechne die Wahrscheinlichkeit als Anteil der günstigen Ergebnisse an den möglichen Ergebnissen (Laplace-Wahrscheinlichkeit). - Wandle die Brüche am besten in Prozentangaben um, um die Wahrscheinlichkeiten direkt miteinander vergleichen zu können.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Kugeln: - Urne 1 enthält insgesamt \(4 + 2 + 2 = 8\) Kugeln. - Urne 2 enthält insgesamt \(3 + 3 + 4 = 10\) Kugeln. 2. Teilaufgabe a) Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel: - Urne 1: Es gibt \(2\) blaue Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{blau}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 25\,\%\). - Urne 2: Es gibt \(3\) blaue Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{blau}) = \frac{3}{10} = 30\,\%\). - Vergleich: Da \(30\,\% > 25\,\%\) ist, ist die Chance in Urne 2 größer. 3. Teilaufgabe b) Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Zahl (1 oder 3): - Urne 1: Die Kugeln mit den Zahlen 1 und 3 sind ungerade. Das sind \(4\) rote (1) und \(2\) grüne (3) Kugeln, also insgesamt \(4 + 2 = 6\) Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{ungerade}) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 75\,\%\). - Urne 2: Das sind \(3\) rote (1) und \(4\) grüne (3) Kugeln, also insgesamt \(3 + 4 = 7\) Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{ungerade}) = \frac{7}{10} = 70\,\%\). - Vergleich: Da \(75\,\% > 70\,\%\) ist, ist die Chance in Urne 1 größer.

a) Aus Urne 2 (Wahrscheinlichkeit von \(30\,\%\) im Vergleich zu \(25\,\%\) bei Urne 1). b) Aus Urne 1 (Wahrscheinlichkeit von \(75\,\%\) im Vergleich zu \(70\,\%\) bei Urne 2).

- Lies die Frage genau durch und überlege, welche der Zahlen auf dem Glücksrad die jeweilige Bedingung erfüllen. - Wie viele Felder hat das Glücksrad insgesamt? Das ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse. - Bestimme für jedes Ereignis die Anzahl der günstigen Felder, die zu der Beschreibung passen. - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit, wenn du die Anzahl der günstigen und die Anzahl der möglichen Ergebnisse kennst? - Denke daran, deinen Bruch am Ende so weit wie möglich zu kürzen und ihn auch in eine Prozentzahl umzurechnen.

1. Anzahl der günstigen Ergebnisse für Ereignis a) bestimmen: Die grünen Felder sind 3, 7, 11 und 15. Alle diese 4 Zahlen sind ungerade. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(a) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 25\,\%\). 2. Anzahl der günstigen Ergebnisse für Ereignis b) bestimmen: Die Zahlen größer als 10 sind 11, 12, 13, 14, 15 und 16. Dies sind 6 Felder. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(b) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 37{,}5\,\%\). 3. Anzahl der günstigen Ergebnisse für Ereignis c) bestimmen: Die roten Felder sind 1, 5, 9 und 13 (4 ungerade Zahlen). Die geraden Zahlen sind 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 und 16 (8 Zahlen). Da die Mengen disjunkt sind, gibt es \(4 + 8 = 12\) günstige Felder. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(c) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 75\,\%\).

a) \(\frac{1}{4}\) bzw. \(25\,\%\) b) \(\frac{3}{8}\) bzw. \(37{,}5\,\%\) c) \(\frac{3}{4}\) bzw. \(75\,\%\)

- Lies die Aufgabe aufmerksam durch und zähle, wie viele Felder das Glücksrad insgesamt hat. - Überlege, ob alle Felder des Rades die gleiche Chance haben, getroffen zu werden. - Bestimme für jede Teilaufgabe, wie viele der Felder die gewünschte Eigenschaft erfüllen. - Setze die Anzahl der günstigen Felder ins Verhältnis zur Gesamtzahl aller Felder. - Denke daran, Brüche am Ende so weit wie möglich zu kürzen.

1. Das Glücksrad hat insgesamt 8 gleich große Felder. Da alle Felder die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, handelt es sich um ein Laplace-Experiment. Jedes Feld hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{8}\). 2. Teilaufgabe a): Es gibt genau 3 blaue Felder. Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit: \(P(\text{Blau}) = \frac{3}{8}\). 3. Teilaufgabe b): Ein Feld, das weder blau noch gelb ist, muss entweder rot oder grün sein. Auf dem Rad befinden sich 2 rote und 2 grüne Felder, also insgesamt 4 Felder. Die Wahrscheinlichkeit beträgt: \(P(\text{weder blau noch gelb}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\). 4. Teilaufgabe c): Es gibt 2 rote und 2 grüne Felder. Die Wahrscheinlichkeit, auf einem roten oder grünen Feld zu landen, beträgt: \(P(\text{rot oder grün}) = \frac{2 + 2}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).

a) \(\frac{3}{8}\) b) \(\frac{1}{2}\) c) \(\frac{1}{2}\)

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl aller Kugeln in der Urne. - Überlege dir für jeden Aufgabenteil, welche Kugeln die genannten Bedingungen erfüllen. - Verwende die Laplace-Formel, bei der du die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilst. - Kürze die Brüche am Ende so weit wie möglich.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: In der Urne befinden sich insgesamt 12 Kugeln, also ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse \(|\Omega| = 12\). Da jede Kugel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen wird, handelt es sich um ein Laplace-Experiment. 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(E_1\) (gerade Nummer): Die günstigen Ergebnisse sind die Kugeln mit den geraden Nummern 2, 4, 6, 8, 10 und 12. Das sind 6 günstige Ergebnisse. \(P(E_1) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(E_2\) (blau und Nummer > 5): Die blauen Kugeln haben die Nummern 2, 6 und 10. Davon sind die Nummern 6 und 10 größer als 5. Das sind 2 günstige Ergebnisse. \(P(E_2) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(E_3\) (durch 3 teilbar oder rot): Die durch 3 teilbaren Nummern sind 3, 6, 9 und 12. Die roten Kugeln haben die Nummern 1, 5 und 9. Die Vereinigungsmenge der günstigen Ergebnisse enthält die Nummern: 1, 3, 5, 6, 9, 12. Das sind 6 günstige Ergebnisse. \(P(E_3) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\).

a) \(P(E_1) = \frac{1}{2}\) b) \(P(E_2) = \frac{1}{6}\) c) \(P(E_3) = \frac{1}{2}\)

- Wie viele gleich große Felder hat das Glücksrad insgesamt? Dies bestimmt die Anzahl aller möglichen Ergebnisse im Nenner. - Lies für Ereignis A genau ab, welche Zahlen gleichzeitig größer als 4 und rot sind. Wie viele Felder erfüllen beide Bedingungen? - Bei Ereignis B wird nach „oder“ gefragt. Das bedeutet, ein Feld ist günstig, wenn es ungerade ist, blau ist, oder beides. Welche Zahlen erfüllen mindestens eine dieser Bedingungen? - Kürze die Brüche so weit wie möglich.

1. Bestimmung der Grundmenge aller möglichen Ergebnisse: \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) mit insgesamt 8 gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. 2. Bestimmung der günstigen Ergebnisse für Ereignis A (Zahl \(> 4\) und rot): Nur die Ergebnisse 5 und 6 erfüllen beide Kriterien. Daraus folgt die Wahrscheinlichkeit \(P(A) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). 3. Bestimmung der günstigen Ergebnisse für Ereignis B (Zahl ungerade oder blau): Die ungeraden Zahlen sind 1, 3, 5, 7 und die blauen Felder sind 1, 2. Die Vereinigungsmenge ist \(\{1, 2, 3, 5, 7\}\) mit 5 günstigen Ergebnissen. Daraus folgt die Wahrscheinlichkeit \(P(B) = \frac{5}{8}\).

- Wahrscheinlichkeit für Ereignis A: \(\frac{1}{4}\) - Wahrscheinlichkeit für Ereignis B: \(\frac{5}{8}\)

- Wie viele Murmeln liegen insgesamt in der Schachtel? Zähle die Zeilen und Spalten des Gitters. - Bestimme, wie viele dieser Murmeln blau (gefärbt) und wie viele weiß (nicht gefärbt) sind. - Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses berechnet sich aus dem Anteil der günstigen Fälle an allen möglichen Fällen. - Wie kannst du einen Bruch so erweitern oder umrechnen, dass du ihn leicht als Prozentsatz (Hundertstel) schreiben kannst?

1. Bestimme die Gesamtzahl der Murmeln sowie die Anzahl der blauen und weißen Murmeln: - Gesamtzahl der Murmeln: \(20\) (ein Gitter mit \(4\) Zeilen und \(5\) Spalten) - Anzahl der blauen Murmeln (gefärbt): \(8\) - Anzahl der weißen Murmeln (ungefärbt): \(20 - 8 = 12\) 2. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Murmel (Teilaufgabe a): - \(P(\text{blau}) = \frac{8}{20}\) - Kürzen mit \(4\) ergibt: \(\frac{2}{5}\) - Umrechnung in Prozent: \(\frac{2}{5} = 40\,\%\) 3. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine weiße Murmel (Teilaufgabe b): - \(P(\text{weiß}) = \frac{12}{20}\) - Kürzen mit \(4\) ergibt: \(\frac{3}{5}\) - Umrechnung in Prozent: \(\frac{3}{5} = 60\,\%\)

a) \(\frac{2}{5}\) (oder \(40\,\%\)) b) \(\frac{3}{5}\) (oder \(60\,\%\))

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis bei einem Laplace-Experiment? - Bestimme für jede Urne einzeln die Gesamtzahl der Kugeln und die Anzahl der roten Kugeln. - Drücke die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, für beide Urnen als Bruch aus. - Um zwei Brüche zu vergleichen, kannst du sie entweder auf denselben Nenner bringen oder in Prozentwerte umrechnen.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für Urne A: Urne A enthält \(3\) rote und \(5\) blaue Kugeln, also insgesamt \(8\) Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, beträgt \(P(\text{rot in A}) = \frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für Urne B: Urne B enthält \(2\) rote und \(3\) blaue Kugeln, also insgesamt \(5\) Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, beträgt \(P(\text{rot in B}) = \frac{2}{5} = 0{,}4 = 40\,\%\). 3. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: Da \(40\,\% > 37{,}5\,\%\) (bzw. \(\frac{2}{5} = \frac{16}{40} > \frac{15}{40} = \frac{3}{8}\)) ist, ist die Wahrscheinlichkeit bei Urne B größer.

In Urne B ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, größer. - Urne A: \(P(\text{rot}) = \frac{3}{8} = 37{,}5\,\%\) - Urne B: \(P(\text{rot}) = \frac{2}{5} = 40\,\%\) Wegen \(40\,\% > 37{,}5\,\%\) ist die Chance bei Urne B höher.

- Wie viele Sektoren hat das Glücksrad insgesamt? Da alle Sektoren gleich groß sind, handelt es sich um ein Laplace-Experiment. - Welche der Zahlen auf dem Glücksrad erfüllen die Bedingung, größer als 5 zu sein? Zähle, auf wie vielen Sektoren diese Zahlen insgesamt vorkommen. - Welche der Zahlen auf dem Glücksrad sind gerade? Zähle alle Sektoren zusammen, die eine dieser geraden Zahlen zeigen. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment mit der Anzahl der günstigen und der Gesamtzahl der Ergebnisse?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: Das Glücksrad ist in 12 gleich große Sektoren unterteilt, die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben (Laplace-Experiment). 2. Berechnung für Ereignis a) „Zahl größer als 5“: Die Zahlen auf dem Rad sind 2, 5, 10 und 20. Größer als 5 sind die 10 und die 20. Anzahl der günstigen Sektoren: \(3 \text{ Sektoren mit der 10} + 2 \text{ Sektoren mit der 20} = 5\) Sektoren. Damit gilt: \(P(\text{Zahl} > 5) = \frac{5}{12}\) 3. Berechnung für Ereignis b) „Gerade Zahl“: Die geraden Zahlen auf dem Rad sind 2, 10 und 20. Anzahl der günstigen Sektoren: \(4 \text{ Sektoren mit der 2} + 3 \text{ Sektoren mit der 10} + 2 \text{ Sektoren mit der 20} = 9\) Sektoren. Damit gilt: \(P(\text{gerade Zahl}) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\)

a) \(\frac{5}{12}\) b) \(\frac{3}{4}\)

- Wie viele Sektoren hat das Glücksrad insgesamt? - Sind alle Felder gleich groß? Was bedeutet das für die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Feldes? - Zähle die Anzahl der Felder, die für das jeweilige Ereignis günstig sind. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind? - Denke bei Aufgabenteil b) an das Gegenereignis: Wie wahrscheinlich ist es, dass das Rad auf Blau stehen bleibt?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der gleich wahrscheinlichen Ergebnisse: Da das Glücksrad in 12 gleich große Sektoren unterteilt ist, handelt es sich um ein Laplace-Experiment mit insgesamt \(12\) möglichen Ergebnissen. 2. Berechnung für Ereignis a) („rotes oder gelbes Feld“): Es gibt \(5\) rote Sektoren und \(4\) gelbe Sektoren. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse beträgt somit \(5 + 4 = 9\). Die Wahrscheinlichkeit ist: \(P(A) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 75\,\%\) 3. Berechnung für Ereignis b) („nicht blaues Feld“): Es gibt genau \(1\) blauen Sektor. Das Gegenereignis „blaues Feld“ hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{12}\). Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, nicht auf Blau stehenzubleiben, ist: \(P(B) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} \approx 91{,}67\,\%\)

a) \(P(A) = \frac{3}{4} = 75\,\%\) b) \(P(B) = \frac{11}{12} \approx 91{,}67\,\%\)

- Wie viele Sektoren hat das Glücksrad insgesamt und sind alle Sektoren gleich groß? - Schreibe dir für jede Teilaufgabe auf, welche der Zahlen auf dem Glücksrad die jeweilige Bedingung erfüllen. - Weißt du noch, was eine Primzahl ist? Überprüfe jede Zahl auf dem Rad einzeln. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment, wenn alle Sektoren gleich wahrscheinlich sind? - Vergiss nicht, die Brüche am Ende vollständig zu kürzen und auch in Prozent anzugeben.

Da alle 8 Sektoren des Glücksrads gleich groß sind, handelt es sich um ein Laplace-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet sich als der Anteil der günstigen Sektoren an der Gesamtzahl der Sektoren (8). 1. Teilaufgabe a): Ungerade Zahlen auf dem Rad sind: 3, 5, 5, 9. Das sind 4 günstige Sektoren. \(P(\text{ungerade}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 50\,\%\) 2. Teilaufgabe b): Primzahlen auf dem Rad sind: 2, 3, 5, 5 (die Zahl 9 ist keine Primzahl, da sie durch 3 teilbar ist; die Zahl 8 ist durch 2 und 4 teilbar). Das sind 4 günstige Sektoren. \(P(\text{Primzahl}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 50\,\%\) 3. Teilaufgabe c): Zahlen größer als 4 auf dem Rad sind: 5, 5, 8, 8, 8, 9. Das sind 6 günstige Sektoren. \(P(\text{größer als 4}) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 75\,\%\) 4. Teilaufgabe d): Durch 3 teilbare Zahlen auf dem Rad sind: 3, 9. Das sind 2 günstige Sektoren. \(P(\text{durch 3 teilbar}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 25\,\%\)

a) \(\frac{1}{2} = 50\,\%\) b) \(\frac{1}{2} = 50\,\%\) c) \(\frac{3}{4} = 75\,\%\) d) \(\frac{1}{4} = 25\,\%\)

- Wie viele gleich große Felder hat das Glücksrad insgesamt? - Wie viele dieser Felder führen zu einem Gewinn? - Bei einem Laplace-Experiment berechnet man die Wahrscheinlichkeit, indem man die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilt. - Um einen Bruch in Prozent umzurechnen, kannst du versuchen, den Nenner auf 100 zu erweitern.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse: Das Glücksrad ist in 10 gleich große Sektoren unterteilt. 2. Bestimmung der Anzahl der günstigen Ergebnisse: Es sind 4 Sektoren markiert. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit als Bruch: \(P(\text{Gewinn}) = \frac{4}{10}\). 4. Kürzen des Bruchs: \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\). 5. Umrechnung in Prozent: \(\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 40\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn beträgt \(\frac{2}{5}\) oder \(40\,\%\).

- Überlege dir, wie viele Felder der Zeiger insgesamt treffen kann. - Wie viele dieser Felder führen zu einem Gewinn (sind rot)? - Bei einem Laplace-Experiment teilt man die Anzahl der Treffer durch die Gesamtzahl der Möglichkeiten.

1. Anzahl der möglichen Ergebnisse bestimmen: Da das Sechseck 6 gleich große Felder hat, gibt es 6 gleich wahrscheinliche Ergebnisse. 2. Anzahl der günstigen Ergebnisse bestimmen: Es gibt 2 schattierte (rote) Felder. 3. Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P(\text{rot}) = \frac{\text{Anzahl günstige Ergebnisse}}{\text{Anzahl mögliche Ergebnisse}} = \frac{2}{6}\). 4. Ergebnis kürzen: \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{3}\).

- Wie viele Felder gibt es insgesamt auf dem Glücksrad? - Wie viele dieser Felder haben die Farbe Gelb? - Die Wahrscheinlichkeit berechnest du, indem du die Anzahl der gelben Felder durch die Gesamtzahl der Felder teilst.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: Es gibt \(10\) gleich große Sektoren. 2. Bestimmung der günstigen Ergebnisse: Es sind \(6\) gelbe Sektoren vorhanden. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit (Laplace): \(P(\text{gelb}) = \frac{\text{Anzahl gelber Sektoren}}{\text{Gesamtanzahl Sektoren}} = \frac{6}{10}\). 4. Kürzen des Bruchs: \(\frac{6}{10} = \frac{3}{5}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{3}{5}\).

- Wie viele Pralinen sind es insgesamt und wie viele davon sind markiert? - Ein Anteil lässt sich als Bruch aus der Teilmenge und der Gesamtmenge darstellen. - Überlege, ob du den Bruch noch weiter vereinfachen kannst. - Erinnere dich, wie man einen Bruch in eine Prozentangabe umwandelt. - Bei einem Zufallsexperiment, bei dem jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist, entspricht die Wahrscheinlichkeit dem entsprechenden Anteil.

1. Ermittle die Gesamtzahl der Pralinen in der Schachtel: \(25\). 2. Zähle die Anzahl der orange markierten Pralinen: \(9\). 3. Berechne den Anteil als Bruch: \(\frac{9}{25}\). Da 9 und 25 keine gemeinsamen Teiler außer 1 haben, ist der Bruch bereits vollständig gekürzt. 4. Berechne die Wahrscheinlichkeit für das zufällige Ziehen einer orangefarbenen Praline: \(P(\text{orange}) = \frac{9}{25}\). 5. Wandle den Bruch in eine Prozentangabe um: \(\frac{9}{25} = \frac{9 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{36}{100} = 36\,\%\).

a) \(\frac{9}{25}\) b) \(36\,\%\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Felder jedes Glücksrad insgesamt hat. - Erstelle eine Liste aller Zahlen, die für die jeweilige Gewinnregel infrage kommen. - Denke daran, dass die Zahl 1 keine Primzahl ist. - Um Wahrscheinlichkeiten zu vergleichen, ist es oft hilfreich, sie in Prozent umzurechnen. - Wenn du eine Zielwahrscheinlichkeit hast, kannst du den Anteil an der Gesamtzahl der Felder berechnen.

1. Analyse von Glücksrad A: Es gibt insgesamt \(15\) gleich große Felder. Die günstigen Ergebnisse für einen Gewinn sind die Primzahlen im Bereich von 1 bis 15, also \(\{2; 3; 5; 7; 11; 13\}\). Dies sind \(6\) Felder. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(A) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0{,}4 = 40\,\%\). 2. Analyse von Glücksrad B: Es gibt insgesamt \(20\) gleich große Felder. Die günstigen Ergebnisse sind die Vielfachen von 3 im Bereich von 1 bis 20, also \(\{3; 6; 9; 12; 15; 18\}\). Dies sind \(6\) Felder. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(B) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0{,}3 = 30\,\%\). 3. Vergleich der Gewinnchancen: Da \(40\,\% > 30\,\%\) gilt, ist die Gewinnchance bei Glücksrad A höher. 4. Berechnung für \(45\,\%\) bei Glücksrad B: Um bei \(20\) Feldern eine Wahrscheinlichkeit von \(45\,\%\) zu erreichen, berechnet man die Anzahl der Felder durch \(0{,}45 \cdot 20 = 9\). Es müssten also \(9\) Felder als Gewinnfelder markiert sein.

a) Glücksrad A: \(40\,\%\); Glücksrad B: \(30\,\%\). b) Die Chance bei Glücksrad A ist höher, da \(40\,\% > 30\,\%\). c) Es müssten \(9\) Gewinnfelder markiert sein.

- Zähle zuerst, wie viele gleich große Felder das Glücksrad insgesamt hat. - Überlege dir, wie viele Felder zu jeder Farbe gehören. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment, wenn alle Felder gleich groß sind? - Was bedeutet das Wort „Gegenereignis“ im Zusammenhang mit der Farbe Grün?

1. Bestimmung der Ergebnismenge: Die möglichen Einzelergebnisse sind die Farben auf dem Rad, somit \(\Omega = \{\text{Grün, Orange, Lila}\}\). 2. Bestimmung der Gesamtzahl der Felder: \(n = 10\). 3. Abzählen der Felder für jede Farbe: Grün: 2, Orange: 3, Lila: 5. 4. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(C = \text{Grün}) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\) \(P(C = \text{Orange}) = \frac{3}{10}\) \(P(C = \text{Lila}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\) 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „nicht Grün“: \(P(\text{nicht Grün}) = 1 - P(\text{Grün}) = 1 - \frac{2}{10} = \frac{8}{10} = 80\,\%\).

a) \(\Omega = \{\text{Grün, Orange, Lila}\}\) b) Tabelle: Grün: \(\frac{1}{5}\); Orange: \(\frac{3}{10}\); Lila: \(\frac{1}{2}\) c) \(80\,\%\)

- Wie viele Kugeln befinden sich insgesamt in der Urne? - Die Wahrscheinlichkeit berechnest du, indem du die Anzahl der passenden Kugeln durch die Gesamtzahl aller Kugeln teilst. - Bei „oder“-Ereignissen musst du die Anzahlen der betreffenden Farben zusammenzählen. - Überlege bei „nicht“-Ereignissen, welche Farben dann erlaubt sind oder nutze die Regel für das Gegenereignis.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Kugeln: \(4 + 7 + 9 = 20\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(A\) (blau): \(P(A) = \frac{4}{20} = 0{,}2\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(B\) (orange oder grau): Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(7 + 9 = 16\). Somit \(P(B) = \frac{16}{20} = 0{,}8\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(C\) (nicht grau): Anzahl der günstigen Ergebnisse (blau oder orange) ist \(4 + 7 = 11\). Somit \(P(C) = \frac{11}{20} = 0{,}55\). Alternativ über das Gegenereignis: \(1 - \frac{9}{20} = 0{,}55\).

Die Wahrscheinlichkeiten lauten: \(P(A) = 0{,}2\) \(P(B) = 0{,}8\) \(P(C) = 0{,}55\)

- Zähle zuerst, wie viele Kugeln es insgesamt gibt. - Bestimme für jedes Ereignis die Anzahl der Kugeln, die die Bedingung erfüllen. - Die Wahrscheinlichkeit berechnest du, indem du die Anzahl der passenden Kugeln durch die Gesamtzahl teilst.

1. Identifikation der Gesamtzahl der Kugeln in der Urne: \(n = 12\). 2. Ereignis \(A\): Es gibt 3 rote Kugeln mit der Ziffer 2. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 3. Ereignis \(B\): Zahlen größer als 1 sind die 2 (3 Kugeln) und die 3 (5 Kugeln). Insgesamt \(3 + 5 = 8\) günstige Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(B) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667\). 4. Ereignis \(C\): Ungerade Zahlen sind die 1 (4 Kugeln) und die 3 (5 Kugeln). Insgesamt \(4 + 5 = 9\) günstige Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(C) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0{,}75\).

\(P(A) = \frac{1}{4} = 25\,\%\) \(P(B) = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\) \(P(C) = \frac{3}{4} = 75\,\%\)

- Welche vollständigen Pfade führen zum gewünschten Ereignis? - Prüfe, ob sich die Zusammensetzung nach dem ersten Zug verändert.

1. Pfad rot–rot: \(\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{25}\). 2. Pfad blau–blau: \(\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}=\frac{4}{25}\). 3. Summe: \(P(\text{gleiche Farbe})=\frac{9}{25}+\frac{4}{25}=\frac{13}{25}\).

\(\frac{13}{25}=52\,\%\).

- Markiere zuerst alle Pfade mit der verlangten Anzahl an Treffern. - Haben diese vollständigen Pfade dieselbe Wahrscheinlichkeit?

1. Günstige Pfade: \(KKZ\), \(KZK\), \(ZKK\). 2. Wahrscheinlichkeit jedes Pfades: \(\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\). 3. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(3\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\).

\(\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\).

- Auf welchen vollständigen Pfaden endet die Fahrt mit dem Bus? - Berücksichtige beide möglichen Wetterlagen.

1. Pfad trocken–Bus: \(0{,}7\cdot0{,}2=0{,}14\). 2. Pfad Regen–Bus: \(0{,}3\cdot0{,}6=0{,}18\). 3. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(0{,}14+0{,}18=0{,}32\).

\(0{,}32=32\,\%\).

- In welchen zwei Reihenfolgen kann genau ein Treffer auftreten? - Sind die beiden Pfade gleich wahrscheinlich?

1. Pfad Treffer–Fehlschuss: \(0{,}8\cdot0{,}2=0{,}16\). 2. Pfad Fehlschuss–Treffer: \(0{,}2\cdot0{,}8=0{,}16\). 3. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(0{,}16+0{,}16=0{,}32\).

\(0{,}32=32\,\%\).

- Schreibe dir am besten zuerst alle Zahlen von 1 bis 25 auf oder gehe sie im Kopf durch. - Erinnere dich daran, welche Zahlen als Primzahlen gelten (Hinweis: Die 1 gehört nicht dazu). - Wie viele Zahlen erfüllen die jeweilige Bedingung?

1. Bestimmung der Grundmenge: Die Ergebnismenge \(\Omega\) enthält 25 Elemente (\(|\Omega| = 25\)). 2. Ereignis A (Primzahlen): Die Primzahlen zwischen 1 und 25 sind \(\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}\). Das sind 9 günstige Ergebnisse. \(P(A) = \frac{9}{25} = 0{,}36\). 3. Ereignis B (Vielfache von 6): Die Vielfachen sind \(\{6, 12, 18, 24\}\). Das sind 4 günstige Ergebnisse. \(P(B) = \frac{4}{25} = 0{,}16\). 4. Ereignis C (Quadratzahlen): Die Quadratzahlen sind \(\{1, 4, 9, 16, 25\}\). Das sind 5 günstige Ergebnisse. \(P(C) = \frac{5}{25} = 0{,}2\). 5. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: \(0{,}16 < 0{,}2 < 0{,}36\). Die Reihenfolge ist also B, C, A.

Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(A) = \frac{9}{25} = 36\,\%\), \(P(B) = \frac{4}{25} = 16\,\%\) und \(P(C) = \frac{5}{25} = 20\,\%\). Die geordnete Reihenfolge lautet: Ereignis B, Ereignis C, Ereignis A.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt für jede der vier Stellen? - Überlege dir für Aufgabenteil a), wie viele verschiedene Ziffern es gibt, die viermal hintereinander stehen könnten. - Was bedeutet es für die restlichen Stellen, wenn die ersten beiden fest vorgegeben sind? - Welche Kombinationen von Ziffern ergeben addiert den Wert 2? Schreibe sie systematisch auf.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der möglichen Kombinationen: Da es vier Stellen mit jeweils 10 Ziffern gibt, ergeben sich \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000\) Möglichkeiten. 2. Berechnung für a): Es gibt genau 10 Kombinationen mit identischen Ziffern (0000, 1111, ..., 9999). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(A) = \frac{10}{10\,000} = \frac{1}{1000} = 0{,}1\,\%\). 3. Berechnung für b): Die ersten beiden Ziffern sind fest (1 und 9). Für die restlichen zwei Stellen gibt es jeweils 10 Möglichkeiten, also \(1 \cdot 1 \cdot 10 \cdot 10 = 100\) günstige Kombinationen. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(B) = \frac{100}{10\,000} = \frac{1}{100} = 1\,\%\). 4. Berechnung für c): Kombinationen mit Quersumme 2 finden. Fall 1: Eine Ziffer ist 2, drei sind 0 (2000, 0200, 0020, 0002; 4 Möglichkeiten). Fall 2: Zwei Ziffern sind 1, zwei sind 0 (1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011; 6 Möglichkeiten). Insgesamt gibt es 10 günstige Kombinationen. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(C) = \frac{10}{10\,000} = \frac{1}{1000} = 0{,}1\,\%\).

a) \(P = \frac{1}{1000} = 0{,}1\,\%\) b) \(P = \frac{1}{100} = 1\,\%\) c) \(P = \frac{1}{1000} = 0{,}1\,\%\)

- Was ist die Definition einer Primzahl? Beachte besonders die Zahl 1. - Überlege dir, welche Zahlen die 20 ohne Rest teilen. - Kannst du die Ungleichung nach \(x\) umstellen, um zu sehen, welche Zahlen infrage kommen? - Zähle genau nach, wie viele Zahlen aus der Menge \(\{1, 2, \dots, 20\}\) die jeweilige Bedingung erfüllen.

1. Die Ergebnismenge umfasst 20 gleich wahrscheinliche Ergebnisse: \(\Omega = \{1, 2, \dots, 20\}\). 2. Zu a): Die Primzahlen zwischen 1 und 20 sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Das sind 8 günstige Ergebnisse. \(P(A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 40\,\%\). 3. Zu b): Die Teiler von 20 sind 1, 2, 4, 5, 10, 20. Das sind 6 günstige Ergebnisse. \(P(B) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 30\,\%\). 4. Zu c): Lösen der Ungleichung: \(3x + 4 < 20 \Rightarrow 3x < 16 \Rightarrow x < 5{,}333\dots\). Die natürlichen Zahlen im Bereich 1 bis 20, die kleiner als \(5{,}333\) sind, lauten 1, 2, 3, 4, 5. Das sind 5 günstige Ergebnisse. \(P(C) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 25\,\%\).

a) \(P = \frac{2}{5} = 40\,\%\) b) \(P = \frac{3}{10} = 30\,\%\) c) \(P = \frac{1}{4} = 25\,\%\)

- Bei einem gleichverteilten Einschaltzeitpunkt entspricht die Wahrscheinlichkeit dem Anteil der jeweiligen Programmdauer an den \(60\) Minuten. - Wie hängen das Ereignis „Werbung“ und „keine Werbung“ zusammen? - Achte beim Vergleich von Wahrscheinlichkeiten auf den Unterschied zwischen dem absoluten Wert und der prozentualen Steigerung.

1. Wahrscheinlichkeit für Musik: Die gesamte Musikzeit beträgt \(27\,\text{min} + 15\,\text{min} = 42\,\text{min}\). Bei einer Gesamtdauer von \(60\,\text{min}\) ist \(P(\text{Musik}) = \frac{42}{60} = 0{,}7\), also \(70\,\%\). 2. Wahrscheinlichkeit für keine Werbung: Die Zeit ohne Werbung beträgt \(60\,\text{min} - 7\,\text{min} = 53\,\text{min}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{keine Werbung}) = \frac{53}{60} \approx 0{,}883\), also ca. \(88{,}3\,\%\). 3. Änderung der Wahrscheinlichkeit für Rock: Ursprüngliche Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Rock})_{\text{alt}} = \frac{15}{60} = 0{,}25\) (\(25\,\%\)). Neue Rockzeit ist \(15\,\text{min} + 3\,\text{min} = 18\,\text{min}\). Neue Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Rock})_{\text{neu}} = \frac{18}{60} = 0{,}3\) (\(30\,\%\)). Die Erhöhung beträgt \(30\,\% - 25\,\% = 5\) Prozentpunkte.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(70\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{53}{60}\) (ca. \(88{,}3\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit erhöht sich um \(5\) Prozentpunkte (von \(25\,\%\) auf \(30\,\%\)).

- Wie viele Tiere gibt es insgesamt im Tierheim? Das ist dein Nenner. - Wenn nach „kein Hund“ gefragt ist, welche Tiere kommen dann stattdessen infrage? - Um Wahrscheinlichkeiten zu vergleichen, ist es oft hilfreich, sie auf den gleichen Nenner zu bringen oder in Dezimalzahlen umzuwandeln.

1. Wahrscheinlichkeit Vogel: Es gibt \(4\) Vögel bei \(50\) Tieren. \(P(\text{Vogel}) = \frac{4}{50} = \frac{2}{25}\). In Prozent: \(0{,}08 = 8\,\%\). 2. Wahrscheinlichkeit kein Hund: Die Anzahl der Tiere, die keine Hunde sind, ist \(50 - 22 = 28\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{kein Hund}) = \frac{28}{50} = \frac{14}{25} = 0{,}56\), also \(56\,\%\). 3. Vergleich Katze vs. Kleintier: Wahrscheinlichkeit Katze \(P(\text{Katze}) = \frac{18}{50} = 0{,}36\). Wahrscheinlichkeit Kleintier (Vogel oder Kaninchen) \(P(\text{Kleintier}) = \frac{4 + 6}{50} = \frac{10}{50} = 0{,}20\). Da \(0{,}36 > 0{,}20\), ist die Auswahl einer Katze wahrscheinlicher.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{25}\) bzw. \(8\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(56\,\%\). c) Das Ereignis „Katze“ (\(36\,\%\)) ist wahrscheinlicher als das Ereignis „Kleintier“ (\(20\,\%\)).

- Schreibe dir die Vielfachen der 4 nacheinander auf, solange sie nicht größer als 30 sind. - Suche systematisch nach der Ziffer 5 in den Zahlen 1 bis 30. - Was bedeutet Quersumme? Addiere die Ziffern der zweistelligen Zahlen und prüfe das Ergebnis. - Achte darauf, dass bei Teilaufgabe c) nur zweistellige Zahlen gesucht sind.

1. Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse: \(n = 30\). 2. Ereignis a: Die Vielfachen von 4 im Bereich 1 bis 30 sind \(\{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28\}\). Es gibt \(g = 7\) günstige Ergebnisse. Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Vielfaches von 4}) = \frac{7}{30}\). 3. Ereignis b: Die Zahlen, die die Ziffer 5 enthalten, sind \(\{5, 15, 25\}\). Es gibt \(g = 3\) günstige Ergebnisse. Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{enthält Ziffer 5}) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} = 0{,}1\). 4. Ereignis c: Zweistellige Zahlen mit der Quersumme 5 im Bereich 1 bis 30 sind 14 (\(1+4=5\)) und 23 (\(2+3=5\)). Es gibt \(g = 2\) günstige Ergebnisse. Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Quersumme 5}) = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}\).

a) \(P(\text{Vielfaches von 4}) = \frac{7}{30} \approx 23{,}3\,\%\) b) \(P(\text{enthält Ziffer 5}) = \frac{1}{10} = 10\,\%\) c) \(P(\text{Quersumme 5}) = \frac{1}{15} \approx 6{,}7\,\%\)

- Wenn du die Gesamtzahl und die Wahrscheinlichkeit kennst, wie findest du dann die Anzahl der günstigen Ergebnisse? - Überprüfe für das Wort „MATHEMATIKER“ jede Bedingung einzeln. - Reicht es aus, wenn nur eine der beiden Bedingungen (Vokale oder der Buchstabe M) erfüllt ist?

1. a) Berechnung der Anzahlen: Bei \(12\) Buchstaben entspricht \(P = \frac{1}{3}\) einer Anzahl von \(12 \cdot \frac{1}{3} = 4\) Vokalen. \(P = \frac{1}{6}\) entspricht \(12 \cdot \frac{1}{6} = 2\) Buchstaben „M“. 2. b) Analyse von „MATHEMATIKER“: Das Wort hat \(12\) Buchstaben. 3. Zählen der Vokale in „MATHEMATIKER“: A, E, A, I, E. Das sind \(5\) Vokale. 4. Zählen der „M“ in „MATHEMATIKER“: M, M. Das sind \(2\) Buchstaben „M“. 5. Vergleich: Die Anzahl der „M“ (\(2\)) passt zur Bedingung (\(P(M) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\)), aber die Anzahl der Vokale (\(5\)) passt nicht (\(\frac{5}{12} \neq \frac{1}{3}\)). Das Wort erfüllt die Bedingungen also nicht.

a) Das Wort enthält \(4\) Vokale und \(2\) Buchstaben „M“. b) Nein, „MATHEMATIKER“ erfüllt die Bedingungen nicht, da es \(5\) Vokale besitzt (\(P(\text{Vokal}) = \frac{5}{12}\)), gefordert sind jedoch genau \(4\) (\(P = \frac{1}{3}\)).

- Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeit für den ersten Beutel. - Wie hängen die Gesamtzahl im zweiten Beutel, die Anzahl der grünen Steine und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Was ändert sich an der Gesamtzahl und der Anzahl der roten Steine, wenn man alles zusammenmischt?

1. Wahrscheinlichkeit in Beutel A: \(P(\text{rot}_A) = \frac{15}{5+15} = \frac{15}{20} = 0{,}75\). 2. Bestimmung der Steine in Beutel B: Es gilt \(P(\text{grün}_B) = 0{,}75\). Mit \(n_{\text{grün}} = 12\) folgt \(\frac{12}{T_B} = 0{,}75\). Daraus ergibt sich \(T_B = \frac{12}{0{,}75} = 16\). Die Anzahl der gelben Steine ist \(16 - 12 = 4\). 3. Wahrscheinlichkeit im kombinierten Gefäß: Gesamtzahl der Steine \(T_{\text{gesamt}} = 20 + 16 = 36\). Anzahl der roten Steine ist weiterhin 15. Die neue Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{rot}_{\text{neu}}) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \approx 0{,}417\).

a) In Beutel B befinden sich 4 gelbe Steine. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{12}\) (oder ca. \(41{,}7\,\%\)).

- Überlege zuerst, wie viele Jetons einer Farbe im Behälter sein müssen, wenn du die Gesamtzahl und die anderen Farben kennst. - „Nicht blau“ bedeutet, dass der Jeton eine der anderen vorhandenen Farben hat. - Wenn Jetons entfernt werden, ändert sich nicht nur die Anzahl dieser Farbe, sondern auch die Gesamtzahl aller Jetons im Behälter. - Kannst du eine kleine Gleichung aufstellen, um die neue Gesamtzahl zu finden?

1. Berechnung der Anzahl grüner Jetons: \(40 - 15 - 10 = 15\). 2. Lösung zu a): Die Wahrscheinlichkeit für Grün ist \(P(\text{Grün}) = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}\). 3. Lösung zu b): Es gibt \(15 + 15 = 30\) Jetons, die nicht blau sind. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{nicht Blau}) = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}\). 4. Lösung zu c): Sei \(x\) die Anzahl der entfernten roten Jetons. Die neue Gesamtzahl der Jetons ist \(40 - x\). Die Anzahl der blauen Jetons bleibt 10. Es gilt die Gleichung \(\frac{10}{40 - x} = \frac{1}{3}\). Durch Überkreuzmultiplizieren erhält man \(30 = 40 - x\). Daraus folgt \(x = 10\). Es wurden also 10 rote Jetons entfernt.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{3}{8}\) (oder \(37{,}5\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{3}{4}\) (oder \(75\,\%\)). c) Es wurden 10 rote Jetons entfernt.

- Wie viele Kugeln jeder Farbe sind nach den drei Zügen jeweils noch im Beutel? - In welchem Fall ändert sich die Grundmenge (die Gesamtzahl der Möglichkeiten)? - Überlege, was „unabhängige Ereignisse“ für die Wahrscheinlichkeit bedeuten.

1. Analyse Experiment A (mit Zurücklegen): Da die Kugeln zurückgelegt werden, bleibt die Zusammensetzung des Beutels immer gleich (\(5\) rote, \(5\) blaue). Die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel im 4. Zug ist unverändert \(P = \frac{5}{10} = 0{,}5\). Die Vorereignisse haben keinen Einfluss. 2. Analyse Experiment B (ohne Zurücklegen): Nach drei roten Zügen befinden sich nur noch \(10 - 3 = 7\) Kugeln im Beutel. Davon sind immer noch \(5\) blau, aber nur noch \(2\) rot. Die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel ist nun \(P = \frac{5}{7} \approx 0{,}714\). 3. Vergleich: In Experiment A ist das Ereignis „blaue Kugel“ unabhängig von den vorherigen Zügen. In Experiment B sind die Züge abhängig voneinander; hier hat die Serie von roten Kugeln die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel tatsächlich erhöht.

In Experiment A bleibt die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel konstant bei \(0{,}5\), da die Züge unabhängig sind. In Experiment B steigt die Wahrscheinlichkeit auf \(\frac{5}{7} \approx 0{,}714\), da durch das Nicht-Zurücklegen die Anzahl der roten Kugeln im Beutel abgenommen hat.

- Erstelle dir eine Liste aller möglichen Ergebnisse von 1 bis 12. - Achte bei der „oder“-Bedingung darauf, Zahlen nicht doppelt zu zählen, wenn sie beide Bedingungen erfüllen. - Überlege bei Teilaufgabe c), wie viele der 12 Felder genau gewonnen werden müssen, um auf die Zielwahrscheinlichkeit zu kommen.

1. Der Würfel hat \(12\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse. 2. Ereignis a): Primzahlen zwischen \(1\) und \(12\) sind \(2, 3, 5, 7, 11\). Das sind \(5\) günstige Ergebnisse. \(P(\text{Primzahl}) = \frac{5}{12}\). 3. Ereignis b): Durch \(3\) teilbar sind \(\{3, 6, 9, 12\}\). Durch \(4\) teilbar sind \(\{4, 8, 12\}\). Die Menge der günstigen Ergebnisse (Oder-Verknüpfung) ist \(\{3, 4, 6, 8, 9, 12\}\). Das sind \(6\) Zahlen. \(P(\text{durch 3 oder 4}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 4. Ereignis c): Für eine Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{3}\) bei \(12\) Möglichkeiten werden \(12 \cdot \frac{1}{3} = 4\) günstige Ergebnisse benötigt. Die aktuelle Regel „größer als 9“ umfasst die Zahlen \(\{10, 11, 12\}\) (also \(3\) Zahlen). Um auf \(4\) Zahlen zu kommen, kann man die Grenze senken: „Die Zahl ist größer als \(8\)“. Dann sind \(\{9, 10, 11, 12\}\) günstig.

a) \(P = \frac{5}{12}\) b) \(P = 0{,}5\) c) Mögliche Regel: „Die Zahl ist größer als \(8\)“ (oder: „Die Zahl ist kleiner als \(5\)“).

- Erstelle eine Liste der Zahlen von 1 bis 20 und ordne jede Zahl einer Klasse zu. - Beachte, dass die Zahl 1 weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl ist. - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl „zusammengesetzt“ ist? - Stelle sicher, dass jede Zahl in genau einer Kategorie landet.

1. Bestimmung der Gesamtzahl: Es gibt 20 Kugeln, also \(n = 20\). 2. Bestimmung der günstigen Ergebnisse für Klasse \(A\) (Primzahlen bis 20): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Das sind 8 Zahlen. \(P(A) = \frac{8}{20} = 0{,}4\). 3. Bestimmung der günstigen Ergebnisse für Klasse \(B\) (zusammengesetzt und durch 4 teilbar): Die Vielfachen von 4 sind 4, 8, 12, 16, 20. Da alle diese Zahlen mehr als zwei Teiler haben, gehören alle 5 zur Klasse \(B\). \(P(B) = \frac{5}{20} = 0{,}25\). 4. Bestimmung der günstigen Ergebnisse für Klasse \(C\): Dies sind die restlichen Zahlen (1, 6, 9, 10, 14, 15, 18). Es sind \(20 - 8 - 5 = 7\) Zahlen. \(P(C) = \frac{7}{20} = 0{,}35\). 5. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist somit \(P(A) = 0{,}4\); \(P(B) = 0{,}25\); \(P(C) = 0{,}35\).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet: \(P(A) = 0{,}4\) \(P(B) = 0{,}25\) \(P(C) = 0{,}35\)

- Was bedeutet „verschiedene Buchstaben“? Schreibe das Wort auf und streiche alle Buchstaben durch, die du schon einmal notiert hast. - Unterscheide klar zwischen der Menge aller Buchstaben im Wort und der Menge der *verschiedenen* Buchstaben. - Gehe die Liste der verschiedenen Buchstaben Buchstabe für Buchstabe durch und ordne sie den Farbregeln zu. - Prüfe, ob ein Konsonant aus der Liste im Wort „ZINS“ enthalten ist, um die blauen Steine zu finden.

1. Bestimmung der verschiedenen Buchstaben im Wort „PROZENTSATZ“: P, R, O, Z, E, N, T, S, A. (Die Buchstaben T und Z kommen doppelt vor, werden aber nur einmal gezählt). Es gibt insgesamt 9 verschiedene Buchstaben, also 9 Steine. 2. Identifikation der roten Steine (Vokale aus der Liste): O, E, A. Das sind 3 Steine. \(P(\text{Rot}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\). 3. Identifikation der blauen Steine (Konsonanten aus der Liste, die in „ZINS“ vorkommen): Z, N, S. Das sind 3 Steine. \(P(\text{Blau}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\). 4. Identifikation der grünen Steine (restliche Buchstaben): P, R, T. Das sind 3 Steine. \(P(\text{Grün}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\). 5. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist gleichmäßig: Jede Farbe hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{3}\).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist: \(P(\text{Rot}) = \frac{1}{3}\) \(P(\text{Blau}) = \frac{1}{3}\) \(P(\text{Grün}) = \frac{1}{3}\)

- Wie hoch ist der Anteil der süßen Bärchen an der Gesamtzahl in der jeweiligen Packung? - Kannst du die Gewinnchancen besser vergleichen, wenn du beide als Dezimalzahl oder Prozentsatz schreibst? - Achte darauf, immer die Gesamtzahl aller Bärchen in einer Packung als Nenner zu verwenden.

1. Analyse von Packung A: Gesamtzahl der Bärchen ist \(4 + 16 = 20\). Die Wahrscheinlichkeit für ein süßes Bärchen beträgt \(P_A(\text{süß}) = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0{,}8 = 80\,\%\). 2. Analyse von Packung B: Gesamtzahl der Bärchen ist \(7 + 21 = 28\). Die Wahrscheinlichkeit für ein süßes Bärchen beträgt \(P_B(\text{süß}) = \frac{21}{28} = \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\,\%\). 3. Vergleich: Da \(80\,\% > 75\,\%\) ist, ist die Chance in Packung A größer.

Paul sollte aus Packung A ziehen. Die Wahrscheinlichkeit für ein süßes Bärchen beträgt dort \(80\,\%\), während sie in Packung B nur \(75\,\%\) beträgt.

- Gehe die Zahlen von 1 bis 25 systematisch durch, um keine zu vergessen. - Achte bei Ereignis B darauf, dass auch Zahlen wie 20 oder 22 die Bedingung erfüllen. - Vergleiche die Anzahl der günstigen Ergebnisse für beide Fälle.

1. Die Gesamtzahl der Lose beträgt 25. 2. Für Ereignis A (durch 4 teilbar) sind die günstigen Zahlen: \(4, 8, 12, 16, 20, 24\). Das sind 6 Ergebnisse. 3. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(A) = \frac{6}{25} = 0{,}24 = 24\,\%\). 4. Für Ereignis B (enthält Ziffer „2“) sind die günstigen Zahlen: \(2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25\). Das sind 8 Ergebnisse. 5. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(B) = \frac{8}{25} = 0{,}32 = 32\,\%\). 6. Da \(0{,}32 > 0{,}24\), ist Ereignis B wahrscheinlicher.

Ereignis B ist wahrscheinlicher. Die Wahrscheinlichkeit für A beträgt \(24\,\%\) und für B \(32\,\%\).

- Berechne zuerst für beide Klassen den Anteil der Gewinne an der Gesamtzahl der Lose. - Wie kannst du Brüche mit unterschiedlichen Nennern am besten vergleichen? - In Teil b) soll die Wahrscheinlichkeit der Klasse 8b auf den Wert der Klasse 8a sinken. Wie verändert sich dabei die Gesamtzahl der Lose, wenn die Anzahl der Gewinne gleich bleibt?

1. Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit für Klasse 8a: \(P(8a) = \frac{30}{120} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit für Klasse 8b: \(P(8b) = \frac{40}{150} = \frac{4}{15} \approx 0{,}267\). 3. Vergleich: Da \(0{,}267 > 0{,}25\), ist die Gewinnwahrscheinlichkeit in Klasse 8b höher. 4. Zielbedingung für Teil b): Die Wahrscheinlichkeit in 8b soll \(0{,}25\) betragen. Sei \(x\) die neue Gesamtzahl der Lose bei gleichbleibenden 40 Gewinnen: \(\frac{40}{x} = 0{,}25\). 5. Berechnung der neuen Gesamtzahl: \(x = \frac{40}{0{,}25} = 160\). 6. Ermittlung der zusätzlichen Nieten: \(160 - 150 = 10\).

a) In Klasse 8b ist die Gewinnwahrscheinlichkeit mit ca. \(26{,}7\,\%\) höher als in Klasse 8a (\(25\,\%\)). b) Es müssten 10 zusätzliche Nieten hinzugefügt werden.

- Überlege dir zuerst, wie viele gleich große Felder das Glücksrad insgesamt hat. - Zähle, wie viele dieser Felder blau gefärbt sind. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Glücksrad, bei dem alle Felder gleich groß sind? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Dreh kennst, wie kannst du diese auf 150 Drehungen hochrechnen?

1. Bestimmung der Anzahl der blau gefärbten Sektoren (günstige Ergebnisse): 4 Sektoren. 2. Bestimmung der Gesamtzahl der Sektoren des Glücksrads (mögliche Ergebnisse): 12 Sektoren. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn als Bruch: \(P = \frac{4}{12}\). 4. Kürzen des Bruchs zum Endergebnis für Teilaufgabe a: \(P = \frac{1}{3}\). 5. Berechnung der statistisch zu erwartenden Gewinne bei 150 Drehungen für Teilaufgabe b durch Multiplikation: \(150 \cdot \frac{1}{3} = 50\).

a) \(\frac{1}{3}\) b) 50-mal

- Zähle zuerst die Anzahl der blauen Sektoren und die Gesamtanzahl der Sektoren auf dem Glücksrad. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment (günstige Ergebnisse geteilt durch mögliche Ergebnisse)? - Das Ereignis „kein blaues Feld“ ist das Gegenereignis zu „ein blaues Feld“. Wie hängen ihre Wahrscheinlichkeiten zusammen? - Um die erwartete Häufigkeit zu finden, kannst du die Gesamtzahl der Drehungen mit der Wahrscheinlichkeit für ein blaues Feld multiplizieren.

1. Bestimme die Anzahl der günstigen und der möglichen Ergebnisse: Es gibt \(3\) blaue Sektoren von insgesamt \(8\) Sektoren. 2. Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein blaues Feld: \(P(\text{blau}) = \frac{3}{8}\). Als Prozentsatz ausgedrückt: \(\frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\). 3. Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis (kein blaues Feld): \(P(\text{nicht blau}) = 1 - P(\text{blau}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}\) (oder \(62{,}5\,\%\)). 4. Berechne die erwartete Anzahl der Treffer bei \(120\) Drehungen: \(\text{Erwartete Anzahl} = 120 \cdot \frac{3}{8} = 45\).

a) \(\frac{3}{8}\) (oder \(37{,}5\,\%\)) b) \(\frac{5}{8}\) (oder \(62{,}5\,\%\)) c) \(45\)-mal

- Wie viele Sektoren hat das Glücksrad insgesamt? - Welche Zahlen auf dem Glücksrad sind Primzahlen? Denke daran, dass die Zahl 1 keine Primzahl ist. - Welche Sektoren erfüllen die Bedingung für das jeweilige Ereignis? Zähle sie sorgfältig ab. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment, wenn man die Anzahl der günstigen und der möglichen Ergebnisse kennt?

1. Das Glücksrad hat insgesamt 12 gleich große Sektoren, sodass für jeden Sektor eine Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{12}\) vorliegt (Laplace-Experiment). 2. Für Ereignis \(A\) („rotes Feld oder Primzahl“): - Die roten Sektoren tragen die Zahlen 1, 5, 9 und 13. - Die Primzahlen auf dem Rad sind 2, 3, 5, 7, 11 und 13. - Die Sektoren, die rot sind oder eine Primzahl tragen, sind: 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11 und 13. - Das sind 8 günstige Sektoren von insgesamt 12. - Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(A) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\). 3. Für Ereignis \(B\) („gelbes Feld mit einer geraden Zahl“): - Die gelben Sektoren tragen die Zahlen 3, 8, 12 und 15. - Davon sind 8 und 12 gerade. - Das sind 2 günstige Sektoren von insgesamt 12. - Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%\).

a) \(P(A) = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\) b) \(P(B) = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%\)

- Lies die Aufgabenstellung genau durch und betrachte die Farben und Zahlen auf dem Glücksrad. - Wie viele Sektoren hat das Glücksrad insgesamt und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Sektor? - Bestimme für Teilaufgabe a), welche Zahlen sowohl ungerade als auch rot sind. - Finde für Teilaufgabe b) alle Sektoren, auf die mindestens eine der beiden Eigenschaften zutrifft. Achtung: Zähle Sektoren, die beide Eigenschaften erfüllen, nicht doppelt! - Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, teile die Anzahl der günstigen Sektoren durch die Gesamtzahl der Sektoren.

1. Da das Glücksrad 8 gleich große Sektoren besitzt, handelt es sich um ein Laplace-Experiment. Jedes Einzelergebnis hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{8}\). 2. Für Ereignis a) („Die Zahl ist ungerade und der Sektor ist rot“): - Die ungeraden Zahlen sind 1, 3, 5 und 7. - Davon sind die Sektoren mit den Zahlen 1 und 5 rot gefärbt. - Es gibt also 2 günstige Ergebnisse: \(\{1, 5\}\). - Die Wahrscheinlichkeit beträgt: \(P(\text{ungerade und rot}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 25\,\%\). 3. Für Ereignis b) („Die Zahl ist größer als 4 oder der Sektor ist blau“): - Die Zahlen größer als 4 sind: \(\{5, 6, 7, 8\}\). - Die blauen Sektoren sind: \(\{2, 6\}\). - Die Menge der günstigen Ergebnisse (Vereinigung beider Bedingungen) ist: \(\{2, 5, 6, 7, 8\}\). - Dies sind 5 günstige Ergebnisse. - Die Wahrscheinlichkeit beträgt: \(P(\text{größer als 4 oder blau}) = \frac{5}{8} = 62{,}5\,\%\).

a) \(\frac{1}{4}\) (oder \(25\,\%\)) b) \(\frac{5}{8}\) (oder \(62{,}5\,\%\))

- Wie viele Sektoren hat jedes der beiden Glücksräder insgesamt? - Wie viele davon führen jeweils zu einem Gewinn? - Formuliere das Verhältnis als Bruch: Anzahl der Gewinnfelder geteilt durch die Gesamtzahl der Felder. - Wandle die Brüche in Dezimalzahlen oder Prozente um, um sie leichter vergleichen zu können. - Welcher Wert ist größer?

1. Wahrscheinlichkeit für Glücksrad A: Glücksrad A ist in \(10\) gleich große Sektoren unterteilt. Davon sind \(4\) Sektoren blau gefärbt. Die Wahrscheinlichkeit, auf Blau zu drehen, beträgt nach der Laplace-Formel: \(P(\text{Gewinn A}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0{,}4 = 40\,\%\). 2. Wahrscheinlichkeit für Glücksrad B: Glücksrad B ist in \(8\) gleich große Sektoren unterteilt. Davon sind \(3\) Sektoren grün gefärbt. Die Wahrscheinlichkeit, auf Grün zu drehen, beträgt: \(P(\text{Gewinn B}) = \frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\). 3. Vergleich: Da \(40\,\% > 37{,}5\,\%\) ist, hat man bei Glücksrad A die höhere Gewinnwahrscheinlichkeit.

a) Glücksrad A: \(\frac{4}{10}\) (oder \(\frac{2}{5}\)) bzw. \(40\,\%\); Glücksrad B: \(\frac{3}{8}\) bzw. \(37{,}5\,\%\) b) Bei Glücksrad A ist die Gewinnchance höher.

- Überlege dir zuerst, wie viele verschiedene dreistellige Zahlen insgesamt gebildet werden können, wenn nacheinander ohne Zurücklegen gezogen wird. - Für Aufgabenteil a): Welche Ziffern müssen an der Hunderterstelle stehen, damit die Zahl größer als \(700\) ist? Wie viele Möglichkeiten gibt es dann für die restlichen Stellen? - Für Aufgabenteil b): Welche drei Ziffern aus der Urne ergeben zusammengezählt genau \(15\)? Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es für diese drei Ziffern? - Für Aufgabenteil c): Wann ist eine Zahl gerade? Schau dir die Ziffern auf den Kugeln genau an.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der möglichen dreistelligen Zahlen: Da drei Kugeln aus vier ohne Zurücklegen gezogen werden, gibt es insgesamt \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\) mögliche Zahlen. Da alle Ausgänge gleichwahrscheinlich sind, handelt es sich um ein Laplace-Experiment. 2. Zu Teilaufgabe a): Eine Zahl ist größer als \(700\), wenn ihre Hunderterstelle eine \(7\) oder eine \(9\) ist. Für jede dieser beiden Ziffern an der ersten Stelle gibt es für die restlichen Stellen noch \(3 \cdot 2 = 6\) Möglichkeiten. Das ergibt insgesamt \(2 \cdot 6 = 12\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit \(P(\text{Zahl} > 700) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 50\,\%\). 3. Zu Teilaufgabe b): Die Quersumme einer dreistelligen Zahl aus den Ziffern \(\{3, 5, 7, 9\}\) kann nur dann genau \(15\) betragen, wenn die Ziffernkombination \(\{3, 5, 7\}\) gewählt wird, da \(3 + 5 + 7 = 15\) (andere Kombinationen wie \(3+5+9=17\) sind zu groß). Die Anzahl der Möglichkeiten, diese drei Ziffern anzuordnen, beträgt \(3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit \(P(\text{Quersumme } 15) = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 25\,\%\). 4. Zu Teilaufgabe c): Eine Zahl ist gerade, wenn ihre Einerstelle gerade ist. Da in der Urne nur ungerade Ziffern (\(3\), \(5\), \(7\), \(9\)) vorhanden sind, kann keine gerade Zahl gebildet werden. Das Ereignis ist unmöglich. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{Zahl ist gerade}) = 0 = 0\,\%\).

a) \(P(\text{Zahl} > 700) = \frac{1}{2} = 50\,\%\) b) \(P(\text{Quersumme } 15) = \frac{1}{4} = 25\,\%\) c) \(P(\text{Zahl ist gerade}) = 0 = 0\,\%\)

- Kannst du dir überlegen, wie viele Kugeln insgesamt zur Auswahl stehen? - Was bedeutet es für ein Ereignis, wenn zwei verschiedene Eigenschaften mit „oder“ verknüpft sind? Worauf musst du beim Zählen achten? - Wenn eine Eigenschaft ausgeschlossen wird (wie „nicht grün“), wie verändert das die Menge der Kugeln, die du betrachten musst? - Wie hängen Brüche, Dezimalzahlen und Prozentangaben zusammen? Wie rechnest du sie ineinander um?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Kugeln in der Urne anhand der Abbildung: Es sind insgesamt \(8\) Kugeln vorhanden. 2. Für Ereignis \(A\) („rot oder gerade Zahl“): - Die roten Kugeln sind: Rot-\(1\), Rot-\(2\), Rot-\(3\) (\(3\) Kugeln). - Die Kugeln mit geraden Zahlen sind: Rot-\(2\), Blau-\(2\), Grün-\(2\) (\(3\) Kugeln). - Die Vereinigungsmenge dieser beiden Eigenschaften umfasst die Kugeln: Rot-\(1\), Rot-\(2\), Rot-\(3\), Blau-\(2\) und Grün-\(2\). Das sind insgesamt \(5\) günstige Kugeln. - Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit: \(P(A) = \frac{5}{8} = 62{,}5\,\%\). 3. Für Ereignis \(B\) („nicht grün und Zahl \(> 1\)“): - Die Kugeln, die nicht grün sind, sind alle roten und blauen Kugeln: Rot-\(1\), Rot-\(2\), Rot-\(3\), Blau-\(1\), Blau-\(2\), Blau-\(3\) (\(6\) Kugeln). - Davon haben folgende Kugeln eine Zahl, die größer als \(1\) ist: Rot-\(2\), Rot-\(3\), Blau-\(2\), Blau-\(3\) (\(4\) günstige Kugeln). - Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit: \(P(B) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 50\,\%\).

a) \(P(A) = \frac{5}{8} = 62{,}5\,\%\) b) \(P(B) = \frac{1}{2} = 50\,\%\)

- Bestimme für Aufgabenteil a) zuerst die Gesamtzahl aller Kugeln sowie die Anzahl der blauen Kugeln. - Wie berechnet man bei einem Laplace-Experiment die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses mit einem Bruch? - Für Aufgabenteil b): Wenn die Wahrscheinlichkeit \(25\,\%\) (also \(\frac{1}{4}\)) betragen soll, in welchem Verhältnis müssen dann die blauen Kugeln zur Gesamtzahl aller Kugeln stehen? - Da sich die Anzahl der blauen Kugeln nicht verändert, kannst du berechnen, wie viele Kugeln insgesamt in der Urne sein müssen.

1. Teilaufgabe a): In der Urne befinden sich insgesamt 15 Kugeln, von denen 6 blau (gefärbt) sind. Die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen, beträgt somit: \(P(\text{blau}) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}\). Umgerechnet in Prozent ergibt das: \(\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 40\,\%\). 2. Teilaufgabe b): Die Anzahl der blauen Kugeln bleibt mit 6 unverändert. Damit die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen, genau \(25\,\%\) (also \(\frac{1}{4}\)) beträgt, muss die Gesamtzahl aller Kugeln das Vierfache der blauen Kugeln betragen: \(\text{Gesamtzahl} = 6 \cdot 4 = 24\). Da bereits 15 Kugeln in der Urne liegen, müssen zusätzlich folgende Anzahl an weißen Kugeln hinzugefügt werden: \(24 - 15 = 9\).

a) \(\frac{2}{5}\) (oder \(40\,\%\)) b) \(9\) weiße Kugeln

- Bestimme für jedes Glücksrad die Gesamtzahl der Sektoren und die Anzahl der farbigen Sektoren. - Drücke die Wahrscheinlichkeit für jedes Rad als einen Bruch aus (günstige Ergebnisse geteilt durch mögliche Ergebnisse). - Wie kannst du zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern vergleichen? - Versuche, beide Brüche auf denselben Nenner (Hauptnenner) zu bringen oder sie in Prozentwerte umzurechnen.

1. Wahrscheinlichkeit für Glücksrad A bestimmen: Das Glücksrad A hat insgesamt 12 gleich große Sektoren, von denen 8 farbig markiert sind. Die Wahrscheinlichkeit, auf einem farbigen Feld zu landen, beträgt: \(P(A) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\). 2. Wahrscheinlichkeit für Glücksrad B bestimmen: Das Glücksrad B hat insgesamt 10 gleich große Sektoren, von denen 7 farbig markiert sind. Die Wahrscheinlichkeit, auf einem farbigen Feld zu landen, beträgt: \(P(B) = \frac{7}{10}\). 3. Wahrscheinlichkeiten vergleichen: Bringt man beide Brüche auf den Hauptnenner 30, erhält man: \(P(A) = \frac{20}{30}\) \(P(B) = \frac{21}{30}\) Da \(\frac{21}{30} > \frac{20}{30}\) gilt, ist die Wahrscheinlichkeit bei Glücksrad B größer (Alternativvergleich in Prozent: \(70\,\% > 66{,}7\,\%\)).

Bei Glücksrad B ist die Wahrscheinlichkeit mit \(\frac{7}{10}\) (bzw. \(70\,\%\)) größer als bei Glücksrad A mit \(\frac{2}{3}\) (bzw. ca. \(66{,}7\,\%\)).

- Was zeichnet ein Laplace-Experiment aus? Denke an die Gewinnchancen für jedes einzelne Feld. - Wie viele Sektoren hat das Glücksrad insgesamt? Das ist die Anzahl aller möglichen Ergebnisse. - Zähle die blauen Sektoren, um die Anzahl der günstigen Ergebnisse für Ereignis \(E_1\) zu bestimmen. - Wie verhalten sich die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse zueinander? Handelt es sich vielleicht um Gegenereignisse?

1. Begründung für das Laplace-Experiment: Da das Glücksrad in 12 exakt gleich große Sektoren unterteilt ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger auf einem bestimmten Sektor stehen bleibt, für alle Sektoren gleich groß. Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, nennt man Laplace-Experiment. 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: - Das Glücksrad hat insgesamt 12 Felder. - Es gibt 3 blaue Felder (Sektoren). Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E_1\) (blaues Feld) ist: \(P(E_1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 25\,\%\) - Es gibt \(12 - 3 = 9\) weiße Felder (Sektoren). Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E_2\) (weißes Feld) ist: \(P(E_2) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 75\,\%\)

a) Da alle 12 Sektoren des Glücksrads gleich groß sind, ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Einzelergebnis gleich groß. b) \(P(E_1) = \frac{1}{4} = 25\,\%\); \(P(E_2) = \frac{3}{4} = 75\,\%\)

- Verschaffe dir zuerst einen Überblick darüber, welche Kugeln sich in der Urne befinden. Es hilft, alle 10 Kugeln einzeln aufzuschreiben. - Da jede Kugel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen wird, kannst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, indem du die Anzahl der günstigen Kugeln durch die Gesamtzahl der Kugeln (10) teilst. - Achte bei „oder“ darauf, dass du Kugeln, die beide Bedingungen erfüllen, nicht doppelt zählst. - Achte bei „weder ... noch ...“ darauf, alle Kugeln auszuschließen, auf die mindestens eine der beiden genannten Eigenschaften zutrifft.

1. Die Gesamtanzahl der Kugeln in der Urne beträgt \(10\). Da jede Kugel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen wird, liegt ein Laplace-Experiment vor. 2. Teilaufgabe a): Wir suchen alle Kugeln, die rot sind oder die Zahl 2 tragen. - Die roten Kugeln sind: (Rot, 1), (Rot, 2), (Rot, 3) (3 Kugeln). - Die weiteren Kugeln mit der Zahl 2 sind: (Blau, 2), (Grün, 2) (2 Kugeln). - Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist somit \(3 + 2 = 5\). - Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 50\,\%\). 3. Teilaufgabe b): Wir suchen alle Kugeln, die blau sind und gleichzeitig eine ungerade Zahl tragen. - Dies sind die Kugeln: (Blau, 1), (Blau, 3) (2 Kugeln). - Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(2\). - Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 20\,\%\). 4. Teilaufgabe c): Wir suchen alle Kugeln, auf die weder „rot“ noch „Zahl 1“ zutrifft. - Alle nicht-roten Kugeln sind: (Blau, 1), (Blau, 2), (Blau, 3), (Blau, 4), (Grün, 1), (Grün, 2), (Grün, 3) (7 Kugeln). - Davon schließen wir die Kugeln mit der Zahl 1 aus, also (Blau, 1) und (Grün, 1). - Es verbleiben die günstigen Kugeln: (Blau, 2), (Blau, 3), (Blau, 4), (Grün, 2), (Grün, 3) (5 Kugeln). - Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 50\,\%\).

a) \(50\,\%\) (oder \(\frac{1}{2}\)) b) \(20\,\%\) (oder \(\frac{1}{5}\)) c) \(50\,\%\) (oder \(\frac{1}{2}\))

- Wie viele Felder hat das Glücksrad insgesamt und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Feld? - Schreibe dir für jede Teilaufgabe alle Nummern der Felder auf, auf die die Beschreibung zutrifft. - Achte bei Teilaufgabe c) darauf, dass du Felder, die beide Bedingungen erfüllen (Zahl kleiner als 6 und gleichzeitig blau), nicht doppelt zählst. - Was bedeutet „weder grün noch ungerade“ für die Eigenschaften der gesuchten Zahlen? Welche Nummern bleiben übrig? - Teile die Anzahl der günstigen Felder durch die Gesamtzahl der Felder, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, und kürze den Bruch wenn möglich.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: Da das Glücksrad 10 gleich große Felder hat, ist die Anzahl aller möglichen Ergebnisse \(N = 10\). Jedes Feld hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{10}\). 2. Ereignis a) „Gerade Zahl“: - Günstige Zahlen: 2, 4, 6, 8, 10 (5 Ergebnisse). - Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{gerade}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 50\,\%\). 3. Ereignis b) „Grünes oder gelbes Feld“: - Günstige Felder (Farben Grün oder Gelb): Felder 1, 2, 5, 7, 8, 10 (6 Ergebnisse). - Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{grün oder gelb}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 60\,\%\). 4. Ereignis c) „Zahl kleiner als 6 oder blaues Feld“: - Zahlen kleiner als 6: 1, 2, 3, 4, 5. - Blaue Felder: 4, 9. - Günstige Felder (Vereinigungsmenge): 1, 2, 3, 4, 5, 9 (6 Ergebnisse). - Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Zahl < 6 oder blau}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 60\,\%\). 5. Ereignis d) „Weder eine grüne noch eine ungerade Zahl“: - Bedingung bedeutet: Das Feld darf nicht grün sein und die Zahl muss gerade sein (da nicht ungerade). - Gerade Felder: 2, 4, 6, 8, 10. - Davon nicht grün: Feld 2 ist grün, Feld 8 ist grün. Es verbleiben die Felder 4, 6, 10 (3 Ergebnisse). - Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{weder grün noch ungerade}) = \frac{3}{10} = 30\,\%\).

a) \(P(\text{gerade}) = \frac{1}{2} = 50\,\%\) b) \(P(\text{grün oder gelb}) = \frac{3}{5} = 60\,\%\) c) \(P(\text{Zahl < 6 oder blau}) = \frac{3}{5} = 60\,\%\) d) \(P(\text{weder grün noch ungerade}) = \frac{3}{10} = 30\,\%\)

- Überlege dir, wie viele Felder es insgesamt gibt und wie viele davon markiert sind. - Die Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment berechnet sich aus dem Verhältnis der günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Brüchen, Dezimalzahlen und Prozentwerten.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse (Gesamtzahl der Felder): \(n = 16\). 2. Bestimmung der Anzahl der günstigen Ergebnisse (markierte Felder): \(g = 6\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit als Bruch: \(P = \frac{6}{16}\). 4. Kürzen des Bruchs: \(\frac{6}{16} = \frac{3}{8}\). 5. Umwandlung in eine Dezimalzahl: \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375\). 6. Umwandlung in Prozent: \(0{,}375 = 37{,}5\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie viele gleich wahrscheinliche Ergebnisse es insgesamt gibt, wenn man das Rad zweimal dreht. - Zähle für jedes Ereignis genau ab, wie viele Sektoren auf dem Rad die jeweilige Bedingung erfüllen. - Manchmal ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils zu berechnen und diese von 1 (oder \(100\,\%\)) abzuziehen. - Achte darauf, dass jede Zahl und jede Farbe mehrfach vorkommen kann.

Das Glücksrad hat insgesamt 8 gleich große Sektoren. Bei zwei Drehungen gibt es insgesamt \(8 \cdot 8 = 64\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse. 1. Ereignis a: Es gibt vier verschiedene Zahlen (1, 2, 3, 4), die jeweils zweimal vorkommen. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse für „zweimal die gleiche Zahl“ ist \(4 \cdot (2 \cdot 2) = 16\) (für jede Zahl \(k\) gibt es die Paare \((k_1, k_1), (k_1, k_2), (k_2, k_1), (k_2, k_2)\)). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{gleiche Zahl}) = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} = 25\,\%\). 2. Ereignis b: Günstige Zahlenpaare für die Summe 4 sind (1,3), (2,2) und (3,1). Da jede Zahl zweimal vorhanden ist, gibt es für jedes Paar \(2 \cdot 2 = 4\) Kombinationsmöglichkeiten der Sektoren. Insgesamt ergeben sich \(3 \cdot 4 = 12\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{Summe 4}) = \frac{12}{64} = \frac{3}{16} = 18{,}75\,\%\). 3. Ereignis c: Es gibt 4 Farben mit jeweils 2 Sektoren. Die Wahrscheinlichkeit für die gleiche Farbe ist \(4 \cdot \frac{2}{8} \cdot \frac{2}{8} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}\). Das Gegenereignis ist „unterschiedliche Farben“. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{unterschiedliche Farben}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 75\,\%\). 4. Ereignis d: Das Gegenereignis ist „keine 1“. Es gibt 6 Sektoren ohne die 1. Die Wahrscheinlichkeit für „keine 1“ bei zwei Drehungen ist \(\frac{6}{8} \cdot \frac{6}{8} = \frac{36}{64} = \frac{9}{16}\). Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 1 ist \(P(\text{mind. eine 1}) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} = 43{,}75\,\%\).

a) \(P = \frac{1}{4} = 25\,\%\) b) \(P = \frac{3}{16} = 18{,}75\,\%\) c) \(P = \frac{3}{4} = 75\,\%\) d) \(P = \frac{7}{16} = 43{,}75\,\%\)

- Überlege zuerst, wie viele gleich wahrscheinliche Ergebnisse es insgesamt gibt. - Gehe die Bedingungen für die Preise nacheinander durch und notiere dir alle Zahlen aus der Abbildung, die zu einem Gewinn führen. - Achte darauf, ob eine Zahl vielleicht zu mehreren Gewinnklassen gehört, damit du sie bei der Gesamtzählung nicht doppelt zählst. - Wie berechnet man bei einem Laplace-Experiment die Wahrscheinlichkeit aus der Anzahl der günstigen und der Gesamtzahl der Ergebnisse?

1. Identifikation der Ergebnismenge: Das Glücksrad hat 10 gleich große Sektoren, also ist die Gesamtzahl der Ergebnisse \(|S| = 10\). Es handelt sich um ein Laplace-Experiment. 2. Bestimmung der günstigen Ergebnisse für jede Gewinnklasse anhand der Abbildung: - Hauptgewinn (gelbes Feld und Primzahl): Die gelben Felder sind 1, 2, 4, 7 und 9. Davon sind 2 und 7 Primzahlen. Somit sind die Ergebnisse \(\{2; 7\}\) günstig. - Kleiner Preis (lila Feld und gerade Zahl): Die lila Felder sind 3, 5, 6, 8 und 10. Davon sind 6, 8 und 10 gerade Zahlen. Somit sind die Ergebnisse \(\{6; 8; 10\}\) günstig. - Trostpreis (Zahl 1 oder 10): Hier sind die Ergebnisse \(\{1; 10\}\) günstig. 3. Bildung der Ergebnismenge \(E\) für „mindestens einen Preis gewinnen“ durch Vereinigung der Mengen: \(E = \{1; 2; 6; 7; 8; 10\}\). 4. Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(|E| = 6\). 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(E) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\). 6. Umrechnung in Prozent: \(\frac{3}{5} = 0{,}6 = 60\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen Preis zu gewinnen, beträgt \(\frac{3}{5}\) (oder \(60\,\%\)).

- Überlege zuerst, wie viele verschiedene Kombinationen aus beiden Rädern insgesamt möglich sind. - Zähle für jedes Rad einzeln, wie viele Sektoren die gesuchte Eigenschaft (Farbe oder Zahlentyp) erfüllen. - Wie kannst du die Anzahl der günstigen Kombinationen aus den Einzelzahlen der Räder berechnen? - Erinnere dich daran, welche Definition für eine Primzahl gilt. Ist die Zahl 1 eine Primzahl? - Du kannst die Wahrscheinlichkeit auch berechnen, indem du die Einzelwahrscheinlichkeiten der beiden Räder miteinander multiplizierst.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse: Da Rad 1 acht Sektoren und Rad 2 sechs Sektoren hat, gibt es insgesamt \(8 \cdot 6 = 48\) gleich wahrscheinliche Kombinationen. 2. Lösung zu a): Auf Rad 1 sind 4 Sektoren blau, auf Rad 2 sind 2 Sektoren blau. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(4 \cdot 2 = 8\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{beide blau}) = \frac{8}{48} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%\). 3. Lösung zu b): Die Primzahlen auf Rad 1 sind 2, 3, 5 und 7 (4 Sektoren). Auf Rad 2 sind es 2, 3 und 5 (3 Sektoren). Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(4 \cdot 3 = 12\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{beide Primzahl}) = \frac{12}{48} = \frac{1}{4} = 25\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Räder auf Blau zeigen, beträgt \(\frac{1}{6}\) bzw. ca. \(16{,}7\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Räder eine Primzahl zeigen, beträgt \(\frac{1}{4}\) bzw. \(25\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für jede der drei Zahlen (1, 2 und 3) bei einem einzelnen Dreh ist. - Welche Kombinationen aus zwei Zahlen ergeben zusammen addiert genau 4? - Erinnere dich an die Pfadregeln: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades und addiere die Ergebnisse der verschiedenen Pfade, die zum Ziel führen. - Was ist das Gegenteil davon, dass die Summe mindestens 3 ist? Überlege, ob es einfacher ist, die Wahrscheinlichkeit für dieses Gegenteil zu berechnen.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die Einzelergebnisse bei einem Dreh: \(P(1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) \(P(2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) \(P(3) = \frac{1}{6}\) 2. Für Teilaufgabe a) werden die Pfade identifiziert, die zur Summe 4 führen: \((1, 3)\), \((3, 1)\) und \((2, 2)\). 3. Anwendung der Pfadregeln zur Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(\text{Summe } 4) = P(1, 3) + P(3, 1) + P(2, 2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\) \(P(\text{Summe } 4) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{9} = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{5}{18}\) 4. Für Teilaufgabe b) wird das Gegenereignis zu „Summe mindestens 3“ bestimmt. Da die kleinste mögliche Summe \(1 + 1 = 2\) ist, besteht das Gegenereignis nur aus dem Ergebnis \((1, 1)\). 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: \(P(\text{Summe } < 3) = P(1, 1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\) 6. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit über die Formel für das Gegenereignis: \(P(\text{Summe } \ge 3) = 1 - P(\text{Summe } < 3) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{18}\) (ca. \(27{,}8\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{3}{4}\) (\(75\,\%\)).

- Überlege dir, wie viele Pfade im Baumdiagramm zu dem jeweiligen Ereignis gehören. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit entlang eines einzelnen Pfades? - Was bedeutet „kein grünes Feld“ für die Auswahl der möglichen Farben bei jeder Drehung? - Kannst du die Einzelwahrscheinlichkeiten der Farben als Brüche angeben, bevor du rechnest?

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(\text{Blau}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\), \(P(\text{Gelb}) = \frac{3}{8}\) und \(P(\text{Grün}) = \frac{3}{8}\). Die Wahrscheinlichkeit für „nicht Gelb“ und für „nicht Grün“ beträgt jeweils \(\frac{5}{8}\). 2. Zu a): Nach der Pfadregel gilt \(P(\text{dreimal Blau}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{64} \approx 0{,}0156 = 1{,}56\,\%\). 3. Zu b): Das gelbe Ergebnis kann an jeder der drei Positionen auftreten. Jeder der drei günstigen Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{75}{512}\). Daher gilt \(P(\text{genau einmal Gelb}) = 3 \cdot \frac{75}{512} = \frac{225}{512} \approx 0{,}4395 = 43{,}95\,\%\). 4. Zu c): In allen drei Drehungen muss ein nicht grünes Feld erscheinen. Daher gilt \(P(\text{kein Grün}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{125}{512} \approx 0{,}2441 = 24{,}41\,\%\).

a) \(P \approx 1{,}56\,\%\) b) \(P \approx 43{,}95\,\%\) c) \(P \approx 24{,}41\,\%\)

- Überlege dir zuerst, wie viele verschiedene vierstellige Zahlen man insgesamt aus den vier Ziffern bilden kann. - Bei Teilaufgabe a) hilft es zu wissen, welche Ziffern am Ende einer Zahl stehen müssen, damit sie durch 2 teilbar ist. - Für Teilaufgabe b) schau dir an, welche Ziffern an der Tausenderstelle stehen dürfen. - Erinnere dich an die Quersummenregel für die Teilbarkeit durch 3. Was bedeutet das für die Eigenschaft „Primzahl“?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der möglichen Zahlenfolgen: Da alle vier unterschiedlichen Ziffern nacheinander gezogen werden, gibt es \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\) mögliche vierstellige Zahlen. 2. Ereignis a: Eine Zahl ist gerade, wenn ihre letzte Ziffer (Einerstelle) gerade ist. In der Urne sind die geraden Ziffern 2 und 8. Es gibt also 2 Möglichkeiten für die letzte Stelle. Für die verbleibenden drei Stellen gibt es \(3! = 6\) Möglichkeiten. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(2 \cdot 6 = 12\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 3. Ereignis b: Eine Zahl ist größer als \(5000\), wenn die Tausenderstelle eine 5 oder eine 8 ist. Dies sind 2 Möglichkeiten für die erste Stelle. Die restlichen Ziffern können auf \(3! = 6\) Arten angeordnet werden. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(2 \cdot 6 = 12\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 4. Ereignis c: Jede aus diesen Ziffern gebildete Zahl hat die Quersumme \(2 + 3 + 5 + 8 = 18\). Da die Quersumme durch 3 teilbar ist, ist jede dieser Zahlen durch 3 teilbar. Da die kleinste mögliche Zahl (\(2358\)) größer als 3 ist, kann keine der Zahlen eine Primzahl sein. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist 0. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = 0\).

a) \(P = \frac{1}{2} = 0{,}5\) b) \(P = \frac{1}{2} = 0{,}5\) c) \(P = 0\)

- Ein Baumdiagramm kann helfen, die Pfade „orange-orange“ und „violett-violett“ zu finden. - Achte darauf, dass sich beim Ziehen ohne Zurücklegen sowohl die Anzahl der gewünschten Kugeln als auch die Gesamtzahl im zweiten Schritt verringert. - Addiere die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Pfade und vergleiche das Ergebnis mit \(\frac{1}{2}\).

1. Insgesamt befinden sich \(4 + 2 = 6\) Kugeln in der Urne. 2. Die Wahrscheinlichkeit für zwei orangefarbene Kugeln beträgt \(P(O,O) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{30}\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für zwei violette Kugeln beträgt \(P(V,V) = \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{30}\). 4. Für zwei gleichfarbige Kugeln gilt daher \(P(E) = \frac{12}{30} + \frac{2}{30} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}\). 5. Es ist \(\frac{7}{15} \approx 0{,}467 = 46{,}7\,\%\). Die Gewinnwahrscheinlichkeit liegt somit unter \(50\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{15} \approx 46{,}7\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit liegt unter \(50\,\%\).

- Zähle zuerst, wie viele Kugeln insgesamt in der Urne liegen. - Liste für jedes Ereignis alle Zahlen aus der Urne auf, die die Bedingung erfüllen. - Nutze die Laplace-Regel: Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Gesamtzahl der Ergebnisse.

1. Gesamtzahl der Ergebnisse: \(n = 20\). 2. Ereignis \(E_1\): Primzahlen zwischen \(1\) und \(20\) sind \(\{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19\}\). Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(8\). Wahrscheinlichkeit: \(P(E_1) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 3. Ereignis \(E_2\): Vielfache von \(4\) sind \(\{4; 8; 12; 16; 20\}\). Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(5\). Wahrscheinlichkeit: \(P(E_2) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. Ereignis \(E_3\): Quadratzahlen sind \(\{1; 4; 9; 16\}\). Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(4\). Wahrscheinlichkeit: \(P(E_3) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0{,}2\).

a) \(E_1 = \{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19\}\); \(P(E_1) = 0{,}4\) b) \(E_2 = \{4; 8; 12; 16; 20\}\); \(P(E_2) = 0{,}25\) c) \(E_3 = \{1; 4; 9; 16\}\); \(P(E_3) = 0{,}2\)

- Wie viele Schlüssel stehen bei jedem neuen Versuch noch zur Auswahl? - Identifiziere den Pfad im Baumdiagramm, der genau zum vierten Versuch als Treffer führt. - Welche mathematische Operation nutzt man, um die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades zu verknüpfen? - Überlege, wie du Wahrscheinlichkeiten mehrerer Pfade kombinieren kannst, wenn nach „spätestens“ gefragt ist.

1. Wahrscheinlichkeit für Treffer im 4. Versuch: Man folgt dem Pfad \(N \to N \to N \to T\). Die Rechnung lautet: \(P(N, N, N, T) = \frac{14}{15} \cdot \frac{13}{14} \cdot \frac{12}{13} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{15}\). 2. Gesamtwahrscheinlichkeit für Erfolg in den ersten vier Versuchen: Da das Ereignis „spätestens beim 4. Versuch“ die Möglichkeiten Treffer im 1., 2., 3. oder 4. Versuch umfasst, addiert man diese Einzelwahrscheinlichkeiten (Summenregel): \(P = \frac{1}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{15} = \frac{4}{15}\). 3. Vergleich: Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg im ersten Versuch ist \(\frac{1}{15}\). Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg im vierten Versuch ist ebenfalls \(\frac{1}{15}\). Beide Wahrscheinlichkeiten sind identisch.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{15}\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{4}{15}\). c) Die Wahrscheinlichkeiten sind mit jeweils \(\frac{1}{15}\) genau gleich groß.

- Berechne in beiden Modellen die beiden gleichfarbigen Pfade. - Achte darauf, ob sich die Anteile nach dem ersten Zug ändern.

1. Mit Zurücklegen: \(\left(\frac{4}{6}\right)^2+\left(\frac{2}{6}\right)^2=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}\). 2. Ohne Zurücklegen: \(\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}+\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{14}{30}=\frac{7}{15}\). 3. Vergleich: \(\frac{5}{9}>\frac{7}{15}\); mit Zurücklegen ist das Ereignis wahrscheinlicher.

Mit Zurücklegen: \(\frac{5}{9}\); ohne Zurücklegen: \(\frac{7}{15}\).

- Versuche das Ereignis über sein Gegenteil zu erfassen. - Berücksichtige, dass das erste Los nicht zurückgelegt wird.

1. Gegenereignis „zwei Nieten“: \(\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}=\frac{7}{15}\). 2. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(1-\frac{7}{15}=\frac{8}{15}\).

\(\frac{8}{15}\approx 53{,}3\,\%\).

- Berechne beide vollständigen Pfade getrennt. - Eine größere erste Wahrscheinlichkeit kann durch den zweiten Ast ausgeglichen werden.

1. Pfad rot–blau: \(\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}\). 2. Pfad blau–rot: \(\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{10}\). 3. Beide Reihenfolgen sind gleich wahrscheinlich; Mias Aussage ist falsch.

Beide Pfade haben Wahrscheinlichkeit \(\frac{3}{10}\).

- Bestimme zuerst, wie viele blaue und wie viele weiße Murmeln am Anfang in der Schachtel sind. - Wenn du Murmeln hinzufügst, ändert sich nicht nur die Anzahl der blauen Murmeln, sondern auch die Gesamtzahl. - Welcher Anteil der Murmeln ist weiß, wenn \(40\,\%\) blau sein sollen? - Bleibt die Anzahl der weißen Murmeln während des Vorgangs gleich?

1. Berechnung des Anfangszustands: \(25\,\%\) von 40 Murmeln sind \(0{,}25 \cdot 40 = 10\) blaue Murmeln. Die Anzahl der weißen Murmeln beträgt somit \(40 - 10 = 30\). 2. Modellierung des Endzustands: Sei \(x\) die Anzahl der hinzuzufügenden blauen Murmeln. Die neue Anzahl blauer Murmeln ist \(10 + x\), und die neue Gesamtzahl der Murmeln ist \(40 + x\). 3. Aufstellen der Gleichung: Da die Zielwahrscheinlichkeit \(40\,\%\) (\(0{,}4\)) ist, gilt: \(\frac{10 + x}{40 + x} = 0{,}4\). 4. Lösen der Gleichung: Multiplikation mit \((40 + x)\) ergibt \(10 + x = 0{,}4 \cdot (40 + x)\), also \(10 + x = 16 + 0{,}4x\). Umformen führt zu \(0{,}6x = 6\), woraus \(x = 10\) folgt. 5. Alternativer Weg über die weißen Murmeln: Da nur blaue Murmeln hinzugefügt werden, bleibt die Anzahl der weißen Murmeln (30) konstant. Diese 30 Murmeln müssen im Zielzustand \(60\,\%\) (\(100\,\% - 40\,\%\)) der Gesamtmenge entsprechen. \(30 : 0{,}6 = 50\) Murmeln insgesamt. Die Differenz zur Startmenge ist \(50 - 40 = 10\).

Es müssen 10 blaue Murmeln hinzugefügt werden.

- Wenn du alle Gewinnwahrscheinlichkeiten kennst, wie groß muss dann die Wahrscheinlichkeit für eine Niete sein? - Wie hängen die Anzahl der Nieten, die Wahrscheinlichkeit für eine Niete und die Gesamtzahl der Lose zusammen?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine Niete: Da es nur diese drei Kategorien gibt, gilt \(P(\text{Niete}) = 1 - P(\text{Hauptgewinn}) - P(\text{Kleingewinn})\). Also \(P(\text{Niete}) = 1 - \frac{1}{50} - \frac{10}{50} = 1 - \frac{11}{50} = \frac{39}{50}\). In Dezimalzahlen: \(P(\text{Niete}) = 1 - 0{,}02 - 0{,}2 = 0{,}78\). 2. Bestimmung der Gesamtzahl \(T\): Es gilt \(P(\text{Niete}) = \frac{n_{\text{Niete}}}{T}\), also \(0{,}78 = \frac{390}{T}\). Daraus folgt \(T = \frac{390}{0{,}78} = 500\). 3. Anzahl der Hauptgewinne: \(n_{\text{Hauptgewinn}} = T \cdot P(\text{Hauptgewinn}) = 500 \cdot \frac{1}{50} = 10\).

a) Insgesamt wurden 500 Lose vorbereitet. b) Es gibt 10 Hauptgewinne.

- Stell dir das Experiment als einen dreistufigen Vorgang vor, bei dem jedes Rad nacheinander betrachtet wird. - Wie viele Felder hat jedes Rad insgesamt und wie viele davon haben die jeweils gesuchte Eigenschaft (Ziffer oder Farbe)? - Ein Baumdiagramm kann dir helfen, alle möglichen Pfade für die Ereignisse übersichtlich darzustellen. - Überlege, wie du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades kombinieren musst und was zu tun ist, wenn mehrere Pfade zum Ziel führen.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die Einzelergebnisse an jedem Rad: Rad 1: \(P(1) = \frac{1}{4}\), \(P(\text{Blau}) = \frac{3}{4}\), \(P(\text{Rot}) = \frac{1}{4}\) Rad 2: \(P(1) = \frac{1}{5}\), \(P(\text{Blau}) = \frac{3}{5}\), \(P(\text{Rot}) = \frac{2}{5}\) Rad 3: \(P(1) = \frac{1}{6}\), \(P(\text{Blau}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\), \(P(\text{Rot}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Ereignis a) durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(1, 1, 1) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{120}\) 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Ereignis b) durch Addition der Wahrscheinlichkeiten aller zutreffenden Pfade (Blau, Blau, Rot), (Blau, Rot, Blau) und (Rot, Blau, Blau): \(P(\text{genau 2 Blau}) = \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{9}{40} + \frac{6}{40} + \frac{3}{40} = \frac{18}{40} = \frac{9}{20}\)

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{120}\) (ca. \(0{,}83\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{9}{20}\) (oder \(45\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele Felder es insgesamt gibt und wie viele auf jede Farbe entfallen. - Ein Baumdiagramm kann dir helfen, alle möglichen Ergebnisse für zwei Drehungen zu visualisieren. - Erinnere dich an die Pfadregeln: Entlang eines Pfades wird multipliziert, verschiedene Pfade werden addiert. - Überlege bei Aufgabenteil b), ob es einfacher ist, das direkte Ereignis oder das Gegenereignis zu berechnen. - Denke bei c) darüber nach, wie sich die Anzahl der verfügbaren Kugeln einer Farbe ändert, wenn du bereits eine Kugel dieser Farbe entnommen hast.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten beim Glücksrad: Da es 10 gleich große Felder gibt, sind die Wahrscheinlichkeiten \(P(\text{Grün}) = \frac{4}{10} = 0{,}4\), \(P(\text{Blau}) = \frac{3}{10} = 0{,}3\) und \(P(\text{Rot}) = \frac{3}{10} = 0{,}3\). 2. Berechnung für a): Das Ereignis umfasst die Ergebnisse (Grün, Grün), (Blau, Blau) und (Rot, Rot). Nach den Pfadregeln gilt: \(P(\text{gleich}) = 0{,}4 \cdot 0{,}4 + 0{,}3 \cdot 0{,}3 + 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}16 + 0{,}09 + 0{,}09 = 0{,}34\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(34\,\%\). 3. Berechnung für b): Das Gegenereignis zu „mindestens einmal Rot“ ist „keinmal Rot“. Die Wahrscheinlichkeit für „nicht Rot“ in einem Wurf ist \(1 - 0{,}3 = 0{,}7\). Also ist \(P(\text{mind. ein Rot}) = 1 - P(\text{kein Rot}) = 1 - (0{,}7 \cdot 0{,}7) = 1 - 0{,}49 = 0{,}51\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(51\,\%\). 4. Begründung für c): Beim Ziehen ohne Zurücklegen verringert sich nach dem ersten Zug sowohl die Gesamtzahl der Kugeln (von 10 auf 9) als auch die Anzahl der Kugeln der bereits gezogenen Farbe (um 1). Die Wahrscheinlichkeit für den zweiten Zug bei gleicher Farbe ist daher geringer (z. B. \(\frac{3}{9} \approx 0{,}33\) statt \(0{,}4\) für Grün). Die Gesamtwahrscheinlichkeit sinkt auf \(P(\text{gleich})_{\text{Urne}} = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} + \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{24}{90} \approx 0{,}267\). Da \(0{,}267 < 0{,}34\), ist die Wahrscheinlichkeit kleiner.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(34\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(51\,\%\). c) Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist im zweiten Zug eine Kugel der zuerst gezogenen Farbe weniger vorhanden. Dadurch sinkt die Wahrscheinlichkeit, erneut dieselbe Farbe zu ziehen (z. B. von \(40\,\%\) auf ca. \(33\,\%\)), was die Gesamtwahrscheinlichkeit für „zweimal die gleiche Farbe“ im Vergleich zum Glücksrad verringert.