Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Achte bei Dezimalzahlen auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Quadrieren. - Kannst du die Aufgabe vereinfachen, indem du die Zahl erst ohne Komma betrachtest?

1. Berechnung von \(\sqrt{900}\): Da \(30^2 = 900\), ist \(\sqrt{900} = 30\). 2. Berechnung von \(\sqrt{0{,}01}\): Da \(0{,}1^2 = 0{,}01\), ist \(\sqrt{0{,}01} = 0{,}1\). 3. Berechnung von \(\sqrt{1{,}96}\): Da \(1{,}4^2 = 1{,}96\), ist \(\sqrt{1{,}96} = 1{,}4\). 4. Berechnung von \(\sqrt{6{,}25}\): Da \(2{,}5^2 = 6{,}25\), ist \(\sqrt{6{,}25} = 2{,}5\).

a) \(30\) b) \(0{,}1\) c) \(1{,}4\) d) \(2{,}5\)

- Wie hängen der Flächeninhalt und die Seitenlänge bei einem Quadrat zusammen? - Welche Rechenoperation kehrt das Quadrieren einer Zahl um? - Denk an die Umrechnung von Metern in Zentimeter.

1. Berechnung der Seitenlänge in Metern durch Ziehen der Quadratwurzel aus dem Flächeninhalt: \(s = \sqrt{0{,}49\,\text{m}^2} = 0{,}7\,\text{m}\). 2. Umrechnung der Seitenlänge von Metern in Zentimeter: \(0{,}7 \cdot 100 = 70\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge der Glasplatte beträgt \(70\,\text{cm}\).

- Was weißt du über die Quadratwurzel von \(144\)? - Wie verändert sich die Anzahl der Nachkommastellen, wenn man eine Dezimalzahl quadriert? - Gibt es außer einer positiven Zahl noch eine andere Zahl, die mit sich selbst multipliziert ein positives Ergebnis liefert?

1. Zur Berechnung von \(\sqrt{0{,}0144}\) betrachte die zugrunde liegende Quadratzahl: \(12^2 = 144\). 2. Da der Radikand \(0{,}0144\) vier Nachkommastellen besitzt, muss die Quadratwurzel zwei Nachkommastellen haben: \(\sqrt{0{,}0144} = 0{,}12\). 3. Gesucht sind alle Zahlen \(x\), für die \(x^2 = 0{,}0144\) gilt. Dies sind die positive Wurzel und ihre Gegenzahl: \(x_1 = 0{,}12\) und \(x_2 = -0{,}12\).

\(\sqrt{0{,}0144} = 0{,}12\). Die Zahlen, deren Quadrat \(0{,}0144\) ergibt, sind \(0{,}12\) und \(-0{,}12\).

- Überlege dir für jede Aussage, welche Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss. - Was passiert, wenn du eine negative Zahl mit sich selbst multiplizierst? - Erinnere dich an die Definition von rationalen und irrationalen Zahlen. - Wie verändert sich das Komma beim Quadrieren einer Dezimalzahl?

1. Aussage a) ist wahr, da \(12^2 = 12 \cdot 12 = 144\) gilt. 2. Aussage b) ist falsch, da die Quadratwurzel im Bereich der reellen Zahlen nur für nichtnegative Zahlen definiert ist; zudem ist \((-5)^2 = 25\) und nicht \(-25\). 3. Aussage c) ist wahr, da \(0{,}2^2 = 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04\) gilt. 4. Aussage d) ist falsch, da \(\sqrt{7}\) eine irrationale Zahl ist und somit nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Falsch

- Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Achte genau darauf, ob ein Minuszeichen innerhalb oder außerhalb der Wurzel steht. - Bei Dezimalzahlen hilft es oft, diese kurzzeitig als Brüche zu betrachten (z. B. Hundertstel). - Potenzgesetze können beim Rechnen mit Zehnerpotenzen sehr nützlich sein.

1. Berechnung von \( \sqrt{1{,}69} \): Da \( 1{,}3^2 = 1{,}69 \), ist \( \sqrt{1{,}69} = 1{,}3 \). 2. Berechnung von \( \sqrt{(-7)^2} \): Zuerst wird das Quadrat berechnet, \( (-7)^2 = 49 \). Dann ist \( \sqrt{49} = 7 \). 3. Untersuchung von \( \sqrt{-0{,}04} \): Der Ausdruck ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert, da der Radikand \( -0{,}04 \) negativ ist. 4. Berechnung von \( -\sqrt{\frac{25}{144}} \): Die Wurzel aus dem Bruch ist \( \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{144}} = \frac{5}{12} \). Mit dem negativen Vorzeichen ergibt sich \( -\frac{5}{12} \). 5. Berechnung von \( \sqrt{10^4} \): Da \( 10^4 = 10\,000 \) und \( 100^2 = 10\,000 \), ist \( \sqrt{10^4} = 100 \) (oder allgemein \( \sqrt{10^4} = 10^{4/2} = 10^2 \)).

a) \( 1{,}3 \) b) \( 7 \) c) Nicht definiert, da der Radikand negativ ist. d) \( -\frac{5}{12} \) e) \( 100 \)

- Gibt es Rechenregeln, mit denen du zwei Wurzeln zusammenfassen kannst? - Wie verändert sich die Anzahl der Nullen oder Nachkommastellen beim Wurzelziehen? - Du kannst einen Bruch unter der Wurzel aufteilen in eine Wurzel im Zähler und eine im Nenner.

1. Bei \(\sqrt{\frac{144}{25}}\) können Zähler und Nenner getrennt radiziert werden: \(\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5} = 2{,}4\). 2. Für \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18}\) nutzt man das Produktgesetz: \(\sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6\). 3. Bei \(\sqrt{0{,}0004}\) ergibt sich wegen \(0{,}02 \cdot 0{,}02 = 0{,}0004\) der Wert \(0{,}02\). 4. \(\sqrt{10^4}\) entspricht \(\sqrt{10\,000}\). Da \(100^2 = 10\,000\), ist das Ergebnis \(100\).

a) \(2{,}4\) b) \(6\) c) \(0{,}02\) d) \(100\)

- Wie rechnet man eine gemischte Zahl in einen Bruch um? - Gibt es eine Regel, wie man die Wurzel aus einem Bruch zieht? - Erkennst du in den Zählern und Nennern bekannte Quadratzahlen?

1. Umwandlung der gemischten Zahlen in unechte Brüche: a) \(1\frac{11}{25} = \frac{25 \cdot 1 + 11}{25} = \frac{36}{25}\) b) \(1\frac{13}{36} = \frac{36 \cdot 1 + 13}{36} = \frac{49}{36}\) c) \(1\frac{15}{49} = \frac{49 \cdot 1 + 15}{49} = \frac{64}{49}\) d) \(1\frac{19}{81} = \frac{81 \cdot 1 + 19}{81} = \frac{100}{81}\) 2. Anwendung der Wurzelgesetze für Brüche \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\): a) \(\sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5}\) b) \(\sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6}\) c) \(\sqrt{\frac{64}{49}} = \frac{8}{7}\) d) \(\sqrt{\frac{100}{81}} = \frac{10}{9}\)

a) \(\frac{6}{5}\) b) \(\frac{7}{6}\) c) \(\frac{8}{7}\) d) \(\frac{10}{9}\)

- Überlege dir zuerst, welche Zahl mit sich selbst multipliziert die Grundzahl (ohne Komma oder Nullen) ergibt. - Wie viele Nullen oder Nachkommastellen kommen hinzu, wenn du eine Zahl wie 10 oder 0{,}1 quadrierst? - Was passiert mit der Anzahl der Nachkommastellen beim Wurzelziehen? - Kannst du ein Muster erkennen, wie sich das Ergebnis verändert, wenn das Komma im Radikanden um zwei Stellen wandert?

1. Bestimmung der Quadratwurzeln für Teil a): Da \(15^2 = 225\), ist \(\sqrt{225} = 15\). Eine Verschiebung des Kommas im Radikanden um zwei Stellen nach rechts oder links bewirkt eine Verschiebung des Kommas im Ergebnis um eine Stelle. Somit ist \(\sqrt{2{,}25} = 1{,}5\) und \(\sqrt{22\,500} = 150\). 2. Bestimmung der Quadratwurzeln für Teil b): Da \(12^2 = 144\), ist \(\sqrt{144} = 12\). Durch die Verschiebung des Kommas um zwei Stellen nach links ergibt sich \(\sqrt{1{,}44} = 1{,}2\). Eine weitere Verschiebung um zwei Stellen nach links im Radikanden führt zu \(\sqrt{0{,}0144} = 0{,}12\).

a) \(1{,}5\); \(15\); \(150\) b) \(0{,}12\); \(1{,}2\); \(12\)

- Kannst du die Dezimalzahlen als Brüche schreiben, deren Nenner eine Zehnerpotenz wie \(100\) oder \(10\,000\) ist? - Helfen dir die Quadratzahlen von 1 bis 20 bei der Lösung? - Wie viele Nullen hat das Quadrat einer Zahl im Vergleich zur Zahl selbst? - Überlege, wie sich das Komma beim Quadrieren einer Dezimalzahl verschiebt.

1. Berechnung von \( \sqrt{2{,}25} \): Umwandlung in einen Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{225}{100}} = \frac{15}{10} = 1{,}5 \). 2. Berechnung von \( \sqrt{0{,}0004} \): Umwandlung in einen Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{4}{10\,000}} = \frac{2}{100} = 0{,}02 \). 3. Berechnung von \( \sqrt{12\,100} \): Zerlegung in Faktoren ergibt \( \sqrt{121 \cdot 100} = 11 \cdot 10 = 110 \). 4. Berechnung von \( \sqrt{0{,}0169} \): Umwandlung in einen Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{169}{10\,000}} = \frac{13}{100} = 0{,}13 \). 5. Berechnung von \( \sqrt{90\,000} \): Zerlegung in Faktoren ergibt \( \sqrt{9 \cdot 10\,000} = 3 \cdot 100 = 300 \).

a) \( 1{,}5 \) b) \( 0{,}02 \) c) \( 110 \) d) \( 0{,}13 \) e) \( 300 \)

- Berechne zuerst den Wert jeder einzelnen Wurzel in den Termen. - Achte bei Term C darauf, zuerst den gemischten Bruch umzuwandeln, bevor du die Wurzel ziehst. - Vergleiche am Ende alle Ergebnisse in der gleichen Darstellung (zum Beispiel als Dezimalzahl).

1. Wert von Term A: \( \sqrt{0{,}64} = 0{,}8 \) und \( \sqrt{0{,}36} = 0{,}6 \). Summe: \( 0{,}8 + 0{,}6 = 1{,}4 \). 2. Wert von Term B: \( \sqrt{2{,}25} = 1{,}5 \) und \( \sqrt{0{,}04} = 0{,}2 \). Differenz: \( 1{,}5 - 0{,}2 = 1{,}3 \). 3. Wert von Term C: Umwandlung in einen unechten Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{25+11}{25}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} = 1{,}2 \). 4. Wert von Term D: \( \sqrt{0{,}01} = 0{,}1 \). Produkt: \( 0{,}1 \cdot 12 = 1{,}2 \). 5. Vergleich: \( 1{,}4 > 1{,}3 > 1{,}2 = 1{,}2 \). Der größte Wert ist \( 1{,}4 \).

Term A hat den größten Wert. Einzelwerte: A: \( 1{,}4 \) B: \( 1{,}3 \) C: \( 1{,}2 \) D: \( 1{,}2 \)

- Berechne zuerst die Seitenlänge des bekannten Quadrats. - Wie groß ist der Flächeninhalt des zweiten Quadrats? - Bestimme dann die neue Seitenlänge und vergleiche beide Ergebnisse.

1. Berechnung der Seitenlänge des ersten Grundstücks: \(s_1 = \sqrt{225\,\text{m}^2} = 15\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des zweiten Grundstücks: \(A_2 = 4 \cdot 225\,\text{m}^2 = 900\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Seitenlänge des zweiten Grundstücks: \(s_2 = \sqrt{900\,\text{m}^2} = 30\,\text{m}\). 4. Berechnung der Differenz der Seitenlängen: \(30\,\text{m} - 15\,\text{m} = 15\,\text{m}\).

Die Seitenlänge des größeren Grundstücks ist um \(15\,\text{m}\) länger als die des kleineren.

- Was passiert, wenn man eine Zahl zuerst quadriert und dann die Wurzel zieht? - Was passiert im Gegensatz dazu, wenn man erst die Wurzel zieht und das Ergebnis quadriert? - Achte genau darauf, ob ein Minuszeichen innerhalb oder außerhalb einer Klammer oder einer Wurzel steht. - Wie wirkt sich das Quadrieren auf das Vorzeichen einer Zahl aus?

1. Anwendung der Definition der Quadratwurzel \( (\sqrt{a})^2 = a \) für \( a \ge 0 \): \( (\sqrt{0{,}49})^2 = 0{,}49 \). 2. Quadrieren eines negativen Ausdrucks ergibt einen positiven Wert: \( (-\sqrt{0{,}49})^2 = (-0{,}7)^2 = 0{,}49 \). 3. Die Wurzel aus einem Quadrat \( \sqrt{a^2} \) ergibt \( |a| \). Mit dem vorangestellten Minuszeichen folgt: \( -\sqrt{0{,}49^2} = -(0{,}49) = -0{,}49 \). 4. Die Wurzel aus einem Quadrat einer negativen Zahl ergibt den Betrag dieser Zahl: \( \sqrt{(-0{,}49)^2} = |-0{,}49| = 0{,}49 \).

a) \( 0{,}49 \) b) \( 0{,}49 \) c) \( -0{,}49 \) d) \( 0{,}49 \)

- Zerlege die komplexeren Ausdrücke in einzelne Terme und berechne diese zuerst. - Erinnere dich daran, dass \( \sqrt{x^2} \) immer ein nichtnegatives Ergebnis liefert. - Achte bei Multiplikationen besonders auf die Vorzeichenregeln.

1. Teil a): \( \sqrt{12^2} = 12 \) und \( \sqrt{(-12)^2} = |-12| = 12 \). Die Differenz ist \( 12 - 12 = 0 \). 2. Teil b): \( (\sqrt{15})^2 = 15 \) und \( (-\sqrt{15})^2 = 15 \). Die Summe ist \( 15 + 15 = 30 \). 3. Teil c): \( \sqrt{(-8)^2} = 8 \) und \( -\sqrt{8^2} = -8 \). Das Produkt ist \( 8 \cdot (-8) = -64 \).

a) \( 0 \) b) \( 30 \) c) \( -64 \)

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Fläche eines Quadrats und seiner Seitenlänge? - Wie viele gleich lange Seiten begrenzen ein Quadrat? - Achte beim Wurzelziehen besonders auf die Anzahl der Nachkommastellen.

1. Berechnung der Seitenlänge \(a\) durch Ziehen der Quadratwurzel aus dem Flächeninhalt: \(a = \sqrt{A}\). 2. Berechnung des Umfangs \(U\) durch Multiplikation der Seitenlänge mit 4: \(U = 4 \cdot a\). 3. Fall (1): \(a = \sqrt{1{,}44\,\text{m}^2} = 1{,}2\,\text{m}\). Damit ergibt sich \(U = 4 \cdot 1{,}2\,\text{m} = 4{,}8\,\text{m}\). 4. Fall (2): \(a = \sqrt{0{,}0025\,\text{km}^2} = 0{,}05\,\text{km}\). Damit ergibt sich \(U = 4 \cdot 0{,}05\,\text{km} = 0{,}2\,\text{km}\). 5. Fall (3): \(a = \sqrt{169\,\text{cm}^2} = 13\,\text{cm}\). Damit ergibt sich \(U = 4 \cdot 13\,\text{cm} = 52\,\text{cm}\).

(1) \(a = 1{,}2\,\text{m}\); \(U = 4{,}8\,\text{m}\) (2) \(a = 0{,}05\,\text{km}\); \(U = 0{,}2\,\text{km}\) (3) \(a = 13\,\text{cm}\); \(U = 52\,\text{cm}\)

- Was passiert, wenn du eine negative Zahl quadrierst? - Wie ist die Quadratwurzel einer positiven Zahl definiert? Kann sie negativ sein? - Setze die Zahlen nacheinander in den Term ein und berechne Schritt für Schritt.

1. Überprüfung für \(x = 8\): Es gilt \(\sqrt{8^2} = \sqrt{64} = 8\). In diesem Fall ist das Ergebnis gleich dem eingesetzten Wert. 2. Überprüfung für \(x = -8\): Es gilt \(\sqrt{(-8)^2} = \sqrt{64} = 8\). Das Ergebnis ist \(8\), Julia behauptet jedoch, es müsse \(-8\) sein. 3. Bewertung: Julias Behauptung ist falsch. Die Quadratwurzel einer Zahl ist per Definition nie negativ. 4. Verallgemeinerung: Der korrekte Zusammenhang lautet \(\sqrt{x^2} = |x|\). Für negative Werte von \(x\) ist das Ergebnis der Betrag von \(x\).

Julia hat nicht recht. Während für \(x = 8\) das Ergebnis \(\sqrt{8^2} = 8\) korrekt ist, ergibt sich für \(x = -8\) der Wert \(\sqrt{(-8)^2} = \sqrt{64} = 8\). Da \(8 \neq -8\), ist ihre allgemeine Behauptung widerlegt. Allgemein gilt \(\sqrt{x^2} = |x|\).

- Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert auf der rechten Seite ergibt. - Was weißt du über das Vorzeichen eines Ergebnisses, wenn du eine Zahl quadrierst? - Bei Dezimalzahlen hilft es oft, diese kurzzeitig als Brüche zu betrachten (z. B. \( 1{,}44 = \frac{144}{100} \)). - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung der Form \( x^2 = a \) (mit \( a > 0 \)) immer zwei Lösungen hat.

1. a) Die Gleichung \( x^2 = 1{,}44 \) hat zwei Lösungen: \( x_1 = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2 \) und \( x_2 = -1{,}2 \). 2. b) Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, hat \( y^2 = -0{,}16 \) keine reelle Lösung. 3. c) Ziehen der Wurzel aus dem Bruch: \( z = \pm\sqrt{\frac{49}{100}} = \pm\frac{7}{10} \). Die Lösungen sind \( z_1 = 0{,}7 \) und \( z_2 = -0{,}7 \). 4. d) Umstellen der Gleichung: \( w^2 = 2\,500 \). Ziehen der Wurzel ergibt \( w_1 = 50 \) und \( w_2 = -50 \).

a) \( x = 1{,}2 \) oder \( x = -1{,}2 \) b) keine reelle Lösung c) \( z = 0{,}7 \) oder \( z = -0{,}7 \) d) \( w = 50 \) oder \( w = -50 \)

- Kürze jeden Dezimalbruch vollständig. - Wann ist die Wurzel aus einem vollständig gekürzten Bruch rational? - Prüfe, ob Zähler und Nenner Quadratzahlen sind.

1. \(A = \sqrt{0{,}64} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} = 0{,}8\). 2. \(D = \sqrt{0{,}0064} = \sqrt{\frac{4}{625}} = \frac{2}{25} = 0{,}08\). 3. Für \(B\) gilt \(6{,}4 = \frac{32}{5}\). Im vollständig gekürzten Bruch ist der Nenner \(5\) keine Quadratzahl. Daher kann \(\sqrt{\frac{32}{5}}\) nicht rational sein. 4. Für \(C\) gilt \(0{,}064 = \frac{8}{125}\). Im vollständig gekürzten Bruch sind weder Zähler noch Nenner Quadratzahlen. Daher ist auch \(\sqrt{\frac{8}{125}}\) irrational. Allgemein ist die Quadratwurzel eines positiven vollständig gekürzten Bruchs genau dann rational, wenn Zähler und Nenner Quadratzahlen sind.

a) \(A = 0{,}8\) und \(D = 0{,}08\). b) \(B = \sqrt{\frac{32}{5}}\) und \(C = \sqrt{\frac{8}{125}}\) sind irrational, weil in den vollständig gekürzten Brüchen Zähler und Nenner nicht beide Quadratzahlen sind.

- Was ist die Umkehroperation zum Wurzelziehen? - Wie berechnet man das Quadrat einer Dezimalzahl im Kopf? - Überlege, wie viele Nachkommastellen das Quadrat einer Zahl mit einer Nachkommastelle hat.

1. Berechnung der Quadrate der rechten Seiten: a) \(14^2 = 196\). Die Platzhalter sind \(9\) und \(6\). b) \(0{,}6^2 = 0{,}36\). Die Platzhalter sind \(3\) und \(6\). c) \(25^2 = 625\). Die Platzhalter sind \(2\) und \(5\). d) \(1{,}1^2 = 1{,}21\). Die Platzhalter sind \(2\) und \(1\).

a) \(\sqrt{196} = 14\) b) \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\) c) \(\sqrt{625} = 25\) d) \(\sqrt{1{,}21} = 1{,}1\)

- Kannst du die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln, um die Wurzel leichter zu ziehen? - Gibt es eine Rechenregel, mit der man einen Quotienten von Wurzeln unter einer gemeinsamen Wurzel schreiben kann? - Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch um?

1. Teilaufgabe a: Bestimmung der Einzelwurzeln \(\sqrt{225} = 15\) und \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\). Multiplikation der Ergebnisse: \(15 \cdot 0{,}2 = 3\). 2. Teilaufgabe b: Anwendung der Rechenregel für Quotienten von Wurzeln \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\). Berechnung von \(\sqrt{\frac{1000}{10}} = \sqrt{100} = 10\). 3. Teilaufgabe c: Umwandlung des gemischten Bruchs in einen unechten Bruch \(1\frac{7}{9} = \frac{16}{9}\). Anwendung der Wurzelregel für Brüche \(\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}\).

a) \(3\) b) \(10\) c) \(\frac{4}{3}\) (oder \(1\frac{1}{3}\))

- Darf man die Wurzel bei einer Subtraktion oder Addition einfach aufteilen? Probiere es aus, indem du erst den Wert unter der Wurzel berechnest. - Arbeite dich bei verschachtelten Wurzeln von innen nach außen vor. - Berechne für den Vergleich beide Seiten der Gleichung getrennt voneinander.

1. Teilaufgabe a: Berechnung der Quadrate \(17^2 = 289\) und \(15^2 = 225\). Berechnung der Differenz \(289 - 225 = 64\). Ziehen der Wurzel \(\sqrt{64} = 8\). 2. Teilaufgabe b: Auswertung der inneren Wurzel \(\sqrt{256} = 16\). Einsetzen in den Term: \(\sqrt{5 \cdot 16 + 1}\). Multiplikation und Addition unter der Wurzel: \(\sqrt{80 + 1} = \sqrt{81}\). Ergebnis ist \(9\). 3. Teilaufgabe c: Linke Seite: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). Rechte Seite: \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\). Da \(5 \neq 7\), ist die Ungleichheit gezeigt.

a) \(8\) b) \(9\) c) Linke Seite ergibt \(5\), rechte Seite ergibt \(7\). Wegen \(5 \neq 7\) gilt die Ungleichung.

- Wie hängen die Seitenlänge und der Flächeninhalt bei einem Quadrat zusammen? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil vom Quadrieren? - Wie viele Seiten hat ein Quadrat und wie berechnet man die Gesamtlänge der Außenkanten?

1. Die Seitenlänge \(a\) eines Quadrats berechnet sich aus der Quadratwurzel des Flächeninhalts \(A\): \(a = \sqrt{A} = \sqrt{5{,}76\,\text{m}^2} = 2{,}4\,\text{m}\). 2. Der Umfang \(U\) des Quadrats ergibt sich aus \(U = 4 \cdot a\). Einsetzen der Seitenlänge liefert \(U = 4 \cdot 2{,}4\,\text{m} = 9{,}6\,\text{m}\).

Die Seitenlänge beträgt \(2{,}4\,\text{m}\) und die Länge der Zierleiste beträgt \(9{,}6\,\text{m}\).

- Was bedeutet das Symbol \(\sqrt{}\) genau? - Gibt es außer einer positiven Zahl noch eine andere Zahl, die beim Quadrieren ein positives Ergebnis liefert? - Unterscheide zwischen einer Rechenoperation (Wurzelziehen) und dem Suchen nach Unbekannten in einer Gleichung.

1. Definition der Quadratwurzel: \(\sqrt{a}\) bezeichnet für \(a \ge 0\) diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat \(a\) ergibt. Somit ist \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\) ein eindeutiger, positiver Wert. 2. Lösen der Gleichung \(x^2 = 5\): Gesucht sind alle Zahlen, die quadriert \(5\) ergeben. 3. Überprüfung der Quadrate: Es gilt \((\sqrt{5})^2 = 5\) und auch \((-\sqrt{5})^2 = (-1)^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 1 \cdot 5 = 5\). 4. Ergebnis: Die Gleichung besitzt zwei Lösungen, \(x_1 = \sqrt{5}\) und \(x_2 = -\sqrt{5}\). Lukas hat recht damit, dass der Wert der Wurzel positiv ist, aber er zieht den falschen Schluss für die Lösungsmenge der Gleichung.

Lukas hat nicht recht. Zwar ist der Wert des Terms \(\sqrt{5}\) nach Definition stets positiv, aber die Gleichung \(x^2 = 5\) fragt nach allen Zahlen, deren Quadrat \(5\) ist. Da sowohl \((\sqrt{5})^2 = 5\) als auch \((-\sqrt{5})^2 = 5\) gilt, ist die Lösungsmenge \(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\).

- Wie hängen die Ordnung von positiven Zahlen und deren Quadraten zusammen? - Wenn du weißt, welche von zwei positiven Zahlen größer ist, was kannst du dann über ihre Gegenzahlen (die negativen Werte) sagen? - Erinnere dich daran, wie man Dezimalzahlen wie \(3{,}5\) ohne Taschenrechner quadriert.

1. Vergleich der Beträge durch Quadrieren: Um \(\sqrt{13}\) mit \(3{,}5\) zu vergleichen, berechnet man deren Quadrate. 2. Quadrat des ersten Betrags: \((\sqrt{13})^2 = 13\). 3. Quadrat des zweiten Betrags: \(3{,}5^2 = (3{,}5 \cdot 3{,}5) = 12{,}25\). 4. Da \(13 > 12{,}25\), folgt \(\sqrt{13} > 3{,}5\). 5. Übergang zu negativen Zahlen: Bei negativen Zahlen ist diejenige Zahl größer (liegt weiter rechts), deren Betrag kleiner ist. 6. Da \(3{,}5 < \sqrt{13}\), gilt \(-3{,}5 > -\sqrt{13}\). Somit liegt \(b = -3{,}5\) weiter rechts.

Die Zahl \(b = -3{,}5\) liegt weiter rechts. Begründung: Es ist \(3{,}5^2 = 12{,}25\) und \((\sqrt{13})^2 = 13\). Da \(12{,}25 < 13\), ist \(3{,}5 < \sqrt{13}\). Bei negativen Zahlen kehrt sich die Ordnung um, daher gilt \(-3{,}5 > -\sqrt{13}\).

- Überlege dir, was passiert, wenn du die Wurzel aus einer sehr kleinen Zahl (zwischen 0 und 1) ziehst. - Teste die Aussage mit verschiedenen Zahlen wie 4, 1 oder 0{,}01. - Gilt eine mathematische Regel auch dann noch als wahr, wenn es nur ein einziges Gegenbeispiel gibt?

1. Überprüfung für Zahlen größer als 1: Für \(x = 9\) gilt \(\sqrt{9} = 3\). Hier ist das Ergebnis kleiner als der Radikand (\(3 < 9\)). 2. Überprüfung für Zahlen zwischen 0 und 1: Für \(x = 0{,}25\) gilt \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\). Hier ist das Ergebnis größer als der Radikand (\(0{,}5 > 0{,}25\)). 3. Überprüfung für die Grenzfälle 0 und 1: Es gilt \(\sqrt{0} = 0\) und \(\sqrt{1} = 1\). Hier ist das Ergebnis gleich dem Radikanden. 4. Fazit: Die Behauptung ist falsch, da sie für Radikanden im Intervall \([0; 1]\) nicht zutrifft.

Die Behauptung ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), wobei das Ergebnis \(0{,}5\) größer ist als der Radikand \(0{,}25\). Auch für die Zahlen 0 und 1 ist das Ergebnis nicht kleiner, sondern gleich der Ausgangszahl (\(\sqrt{0}=0\) und \(\sqrt{1}=1\)).

- Was weißt du über das Vorzeichen des Ausdrucks unter einer Quadratwurzel? - Wie verhält sich das Relationszeichen einer Ungleichung, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du eine Zahl einsetzt, die größer als dein berechneter Grenzwert ist.

1. Der Radikand (der Ausdruck unter der Wurzel) muss größer oder gleich Null sein: \(24 - 4x \ge 0\). 2. Subtraktion von 24 auf beiden Seiten führt zu \(-4x \ge -24\). 3. Division durch \(-4\) unter Umkehrung des Vergleichszeichens ergibt \(x \le 6\). 4. Der Term ist somit für alle \(x \in \mathbb{R}\) mit \(x \le 6\) definiert.

\(x \le 6\)

- Überlege dir bei Gleichungen der Form \(x^2 = a\), wie viele Lösungen es geben kann, wenn \(a\) positiv ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl quadriert? - Erinnerst du dich an die Definition der Quadratwurzel? Von welchen Zahlen darf man die Wurzel ziehen?

1. Zur Lösung von \(x^2 = 169\) wird die Quadratwurzel gezogen: \(x_1 = \sqrt{169} = 13\) und \(x_2 = -\sqrt{169} = -13\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-13; 13\}\). 2. Die exakten Lösungen von \(x^2 = 18\) sind \(x = \pm \sqrt{18}\). Durch teilweises Wurzelziehen ergibt sich \(x = \pm \sqrt{9 \cdot 2} = \pm 3\sqrt{2}\). Als Näherungswert ergibt sich \(x \approx \pm 4{,}24\). 3. Für den Term \(\sqrt{(-7)^2}\) gilt: \(\sqrt{49} = 7\). Der Term \(\sqrt{-49}\) ist nicht definiert, da es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat eine negative Zahl (hier \(-49\)) ergibt.

a) \(L = \{-13; 13\}\) b) \(x = \pm 3\sqrt{2} \approx \pm 4{,}24\) c) \(\sqrt{(-7)^2} = 7\); \(\sqrt{-49}\) ist nicht definiert, da Quadrate reeller Zahlen nie negativ sind.

- Überlege dir, welche Umkehroperation zur Quadratwurzel gehört. - Wie verändert sich die Anzahl der Nachkommastellen, wenn man eine Zahl mit sich selbst multipliziert? - Was passiert mit den Nullen am Ende einer Zahl beim Quadrieren?

1. Um die Zahl zu finden, deren Wurzel \(0{,}13\) ist, berechnet man das Quadrat: \(0{,}13^2 = 0{,}13 \cdot 0{,}13 = 0{,}0169\). Die Ziffernfolge \(169\) wird also zu \(0{,}0169\). 2. Für die Wurzel \(1{,}4\) berechnet man \(1{,}4^2 = 1{,}4 \cdot 1{,}4 = 1{,}96\). Die Ziffernfolge \(196\) wird zu \(1{,}96\). 3. Für die Wurzel \(150\) berechnet man \(150^2 = 150 \cdot 150 = 22\,500\). Die Ziffernfolge \(225\) wird zu \(22\,500\). 4. Für die Wurzel \(0{,}08\) berechnet man \(0{,}08^2 = 0{,}08 \cdot 0{,}08 = 0{,}0064\). Die Ziffernfolge \(64\) wird zu \(0{,}0064\).

1. \(0{,}0169\) 2. \(1{,}96\) 3. \(22\,500\) 4. \(0{,}0064\)

- Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Wandle gemischte Zahlen vor dem Wurzelziehen in einen unechten Bruch um. - Achte bei Dezimalzahlen besonders auf die Anzahl der Nachkommastellen.

1. Berechnung der Quadratwurzeln: \( \sqrt{0{,}81} = 0{,}9 \); \( \sqrt{0{,}01} = 0{,}1 \); \( \sqrt{0{,}49} = 0{,}7 \); \( \sqrt{1\frac{7}{9}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3} \); \( \sqrt{1{,}44} = 1{,}2 \). 2. Durchführung der Grundrechenarten: a) \( 0{,}9 - 0{,}2 = 0{,}7 \) b) \( 0{,}1 + 0{,}7 = 0{,}8 \) c) \( \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \) d) \( 0{,}5 \cdot 1{,}2 = 0{,}6 \)

a) \( 0{,}7 \) b) \( 0{,}8 \) c) \( 1 \) d) \( 0{,}6 \)

- Welche Formel verbindet den Radius und die Fläche eines Kreises? - Wie kannst du eine Formel mit einer Quadratzahl so umstellen, dass du die Variable ohne Quadrat erhältst? - Achte beim Runden auf die dritte Nachkommastelle. - Vergiss nicht, die Einheiten in deine Lösung zu übernehmen.

1. Umstellen der Formel \(A = \pi \cdot r^2\) nach \(r\): \(r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\). 2. Berechnung für a): \(r = \sqrt{\frac{10}{\pi}} \approx 1{,}7841 \dots \approx 1{,}78\,\text{cm}\). 3. Berechnung für b): \(r = \sqrt{\frac{35{,}5}{\pi}} \approx 3{,}3615 \dots \approx 3{,}36\,\text{m}\). 4. Berechnung für c): \(r = \sqrt{\frac{0{,}8}{\pi}} \approx 0{,}5046 \dots \approx 0{,}50\,\text{dm}\).

a) \(r \approx 1{,}78\,\text{cm}\) b) \(r \approx 3{,}36\,\text{m}\) c) \(r \approx 0{,}50\,\text{dm}\)

- Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^2 = a\) im Vergleich zum Wert des Terms \(\sqrt{a}\)? - Überlege, welche Vorzeichen die Zahlen haben können, deren Quadrat eine bestimmte positive Zahl ergibt. - Was besagt die Definition der Quadratwurzel über das Vorzeichen des Ergebnisses? - Schreibe dir alle Kombinationen der gefundenen Einzelwerte für die Summenbildung systematisch auf.

1. Bestimmung der Lösungen für \(x^2 = 36\): \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -6\). 2. Bestimmung der Lösungen für \(y^2 = 4\): \(y_1 = 2\) und \(y_2 = -2\). 3. Berechnung aller möglichen Summenkombinationen: \(6 + 2 = 8\), \(6 + (-2) = 4\), \(-6 + 2 = -4\) und \(-6 + (-2) = -8\). Es gibt somit vier verschiedene Werte für \(x + y\). 4. Anwendung der Definition der arithmetischen Quadratwurzel: Die Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) ist als diejenige nichtnegative Zahl definiert, deren Quadrat \(a\) ergibt. 5. Berechnung des Terms: \(\sqrt{36} = 6\) und \(\sqrt{4} = 2\). Die Summe ist \(6 + 2 = 8\). Da die Wurzelwerte eindeutig als nichtnegativ festgelegt sind, ergibt sich nur ein einziger Wert für den Term.

a) Die möglichen Werte für \(x+y\) sind \(-8\), \(-4\), \(4\) und \(8\). b) Der Wert ist \(8\). Im Mathematikunterricht ist die Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) als die eindeutige, nichtnegative Zahl definiert, deren Quadrat \(a\) ist (arithmetische Wurzel).

- Welchen kleinstmöglichen Wert kann das Quadrat einer Zahl annehmen? - Wie wirkt sich dieser kleinste Wert auf den gesamten Ausdruck unter der Wurzel aus? - Was ist dann der kleinstmögliche Wert für das Ergebnis der Wurzel? - Vergleiche diesen kleinstmöglichen Wert mit der Zahl auf der rechten Seite der Gleichung.

1. Bestimmung des minimalen Wertes des Radikanden: Da \(x^2 \ge 0\) für alle reellen Zahlen gilt, ist der Ausdruck unter der Wurzel \(x^2 + 25 \ge 25\). 2. Anwendung der Wurzelfunktion: Da die Quadratwurzelfunktion für positive Argumente streng monoton steigend ist, folgt aus \(x^2 + 25 \ge 25\), dass \(\sqrt{x^2 + 25} \ge \sqrt{25}\). 3. Berechnung des minimalen Wertes der linken Seite: Es gilt \(\sqrt{25} = 5\). Somit ist die linke Seite der Gleichung für jedes reelle \(x\) mindestens \(5\). 4. Vergleich mit der rechten Seite: Da die rechte Seite der Gleichung \(4\) ist und \(5 > 4\) gilt, kann die Gleichung niemals erfüllt sein.

Die Gleichung hat keine Lösung, da der Radikand \(x^2 + 25\) für alle reellen Zahlen mindestens \(25\) ist. Somit ist die Wurzel \(\sqrt{x^2 + 25}\) immer mindestens \(\sqrt{25} = 5\). Da die rechte Seite der Gleichung jedoch \(4\) ist, kann kein \(x\) die Gleichung erfüllen.

- Was muss für den Wert unter einer Quadratwurzel immer gelten? - Wenn ein Ausdruck im Nenner eines Bruchs steht, welchen Wert darf er dann niemals annehmen? - Wenn zwei Wurzeln addiert werden, welche Werte für \(x\) sind dann für den gesamten Ausdruck erlaubt? - Überlege dir, wie man Bedingungen wie „größer als“ und „ungleich“ kombiniert.

1. Für \(A(x)\) muss der Radikand nichtnegativ sein: \(5x - 15 \ge 0 \Rightarrow 5x \ge 15 \Rightarrow x \ge 3\). Somit ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 3\}\) bzw. \(D = [3; \infty)\). 2. Für \(B(x)\) müssen beide Radikanden gleichzeitig nichtnegativ sein. Bedingung 1: \(12 - 4x \ge 0 \Rightarrow 12 \ge 4x \Rightarrow x \le 3\). Bedingung 2: \(x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2\). Die Schnittmenge ergibt \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x \le 3\}\) bzw. \(D = [-2; 3]\). 3. Für \(C(x)\) muss der Radikand im Nenner echt positiv sein, da die Wurzel nicht Null werden darf: \(2x - 8 > 0 \Rightarrow 2x > 8 \Rightarrow x > 4\). Somit ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 4\}\) bzw. \(D = (4; \infty)\).

a) \(x \ge 3\) bzw. \(D = [3; \infty)\) b) \(-2 \le x \le 3\) bzw. \(D = [-2; 3]\) c) \(x > 4\) bzw. \(D = (4; \infty)\)

- Welche Werte kann das Ergebnis einer Quadratwurzel annehmen? - Überlege, für welche \(x\)-Werte die Ausdrücke unter den Wurzeln überhaupt definiert sind. - Kannst du die Gleichung so umstellen, dass die Wurzel alleine auf einer Seite steht? - Gibt es Überschneidungen zwischen den Bedingungen für die verschiedenen Wurzeln in einer Gleichung?

1. Teilaufgabe a): Eine Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) ist im reellen Bereich per Definition stets nichtnegativ (\(\sqrt{a} \ge 0\)). Da \(-5 < 0\) ist, kann die Gleichung keine Lösung haben. 2. Teilaufgabe b): Der Definitionsbereich erfordert \(x-8 \ge 0 \Rightarrow x \ge 8\) und gleichzeitig \(2-x \ge 0 \Rightarrow x \le 2\). Es gibt keine reelle Zahl, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt, sodass die Definitionsmenge leer ist. 3. Teilaufgabe c): Subtrahiert man auf beiden Seiten \(10\), erhält man \(\sqrt{x-1} = -7\). Da das Ergebnis einer Quadratwurzel nicht negativ sein kann, besitzt die Gleichung keine Lösung.

a) Der Wertebereich einer Wurzel ist nichtnegativ, das Ergebnis \(-5\) ist also unmöglich. b) Die Definitionsmenge ist leer, da \(x \ge 8\) und \(x \le 2\) sich ausschließen. c) Umgeformt ergibt sich \(\sqrt{x-1} = -7\); eine Wurzel kann keinen negativen Wert annehmen.

- Wie kannst du die Zahlen vergleichbar machen, ohne ihren Wert mit dem Taschenrechner zu bestimmen? - Was passiert mit der Ordnung zweier positiver Zahlen, wenn man sie quadriert? - Kannst du einen Faktor vor einer Wurzel wieder in den Radikanden einbeziehen?

1. Vergleich durch Quadrieren oder Einbringen des Faktors: \(2\sqrt{14} = \sqrt{4 \cdot 14} = \sqrt{56}\) und \(3\sqrt{6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}\). Da \(56 > 54\), folgt \(2\sqrt{14} > 3\sqrt{6}\). 2. Umformung: \(0{,}5\sqrt{80} = \sqrt{0{,}25 \cdot 80} = \sqrt{20}\) und \(2\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}\). Da \(20 = 20\), folgt \(0{,}5\sqrt{80} = 2\sqrt{5}\). 3. Vergleich der Quadrate: \(4^2 = 16\) und \((\sqrt{17})^2 = 17\). Da \(16 < 17\), folgt \(4 < \sqrt{17}\).

a) \(2\sqrt{14} > 3\sqrt{6}\) b) \(0{,}5\sqrt{80} = 2\sqrt{5}\) c) \(4 < \sqrt{17}\)

- Kannst du einige der Wurzeln direkt ausrechnen? - Um eine Zahl ohne Wurzel mit einer Wurzel zu vergleichen, kannst du beide Zahlen quadrieren. - Überlege dir, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen die Wurzeln liegen müssen.

1. Bestimmung bekannter Werte: \(\sqrt{16} = 4\). Somit sind \(4\) und \(\sqrt{16}\) gleich groß. 2. Vergleich von \(\sqrt{18}\) mit den anderen Werten: Da \(16 < 18 < 25\), gilt \(4 < \sqrt{18} < 5\). 3. Vergleich von \(4{,}1\) mit \(\sqrt{18}\): Es gilt \(4{,}1^2 = 16{,}81\). Da \(16{,}81 < 18\), ist \(4{,}1 < \sqrt{18}\). 4. Vergleich von \(\sqrt{20}\) mit den anderen Werten: Da \(18 < 20\), ist \(\sqrt{18} < \sqrt{20}\). 5. Zusammenführung der Ergebnisse: \(4 = \sqrt{16} < 4{,}1 < \sqrt{18} < \sqrt{20}\).

Die korrekte Reihenfolge lautet: \(4 = \sqrt{16} < 4{,}1 < \sqrt{18} < \sqrt{20}\)

- Setze beispielhaft positive Zahlen, negative Zahlen und die Null für die Variable ein. - Denk an die Definition der Quadratwurzel: Welches Vorzeichen hat das Ergebnis einer Wurzel immer? - Wann ist eine Wurzelrechnung im Bereich der reellen Zahlen überhaupt erlaubt?

1. Analyse von \( \sqrt{x^2} = x \): Die Quadratwurzel ist per Definition immer nichtnegativ. Für negative \( x \) (z. B. \( x = -3 \)) gilt \( \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \), was nicht \( x \) entspricht. Die Aussage ist daher nur für \( x \geq 0 \) wahr. 2. Analyse von \( (\sqrt{x})^2 = x \): Der Ausdruck \( \sqrt{x} \) ist nur definiert, wenn der Radikand nicht negativ ist, also \( x \geq 0 \). Für alle diese Werte gilt die Identität tatsächlich. Die Aussage ist daher nur für \( x \geq 0 \) wahr. 3. Analyse von \( \sqrt{-x} \): Damit die Wurzel im reellen Bereich definiert ist, muss der Radikand \( -x \geq 0 \) sein. Dies ist genau dann der Fall, wenn \( x \leq 0 \) ist. Die Aussage ist daher nur für \( x \leq 0 \) wahr.

a) Nur wahr für \( x \geq 0 \). b) Nur wahr für \( x \geq 0 \). c) Nur wahr für \( x \leq 0 \).

- Du kannst beide Seiten eines Vergleichs quadrieren, um die Wurzeln zu eliminieren, solange beide Seiten positiv sind. - Überlege dir bei Zahlen zwischen 0 und 1 genau, was passiert, wenn man sie mit sich selbst multipliziert. Werden sie größer oder kleiner? - Nutze bekannte Quadratzahlen in der Nähe der gegebenen Werte zur Orientierung.

1. Vergleich \( \sqrt{0{,}09} \) und \( 0{,}09 \): Da \( 0{,}3^2 = 0{,}09 \), ist \( \sqrt{0{,}09} = 0{,}3 \). Da \( 0{,}3 > 0{,}09 \), gilt \( \sqrt{0{,}09} > 0{,}09 \). 2. Vergleich \( \sqrt{1{,}21} \) und \( 1{,}1 \): Da \( 1{,}1^2 = 1{,}21 \), ist \( \sqrt{1{,}21} = 1{,}1 \). Somit gilt \( \sqrt{1{,}21} = 1{,}1 \). 3. Vergleich \( \sqrt{20} \) und \( 4{,}5 \): Um \( \sqrt{20} \) mit \( 4{,}5 \) zu vergleichen, quadriert man beide Seiten. \( (\sqrt{20})^2 = 20 \) und \( 4{,}5^2 = 20{,}25 \). Da \( 20 < 20{,}25 \), gilt \( \sqrt{20} < 4{,}5 \). 4. Vergleich \( \sqrt{\frac{1}{2}} \) und \( \frac{1}{2} \): Es gilt \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \). Da \( 0{,}5^2 = 0{,}25 \) und \( 0{,}25 < 0{,}5 \), muss die Wurzel aus \( 0{,}5 \) größer sein als \( 0{,}5 \). Also \( \sqrt{\frac{1}{2}} > \frac{1}{2} \).

a) \( \sqrt{0{,}09} > 0{,}09 \) b) \( \sqrt{1{,}21} = 1{,}1 \) c) \( \sqrt{20} < 4{,}5 \) d) \( \sqrt{\frac{1}{2}} > \frac{1}{2} \)

- Berechne zuerst den Wert unter der Wurzel (Radikand), bevor du die Wurzel ziehst. - Vergleiche die Ergebnisse der linken und rechten Seite sorgfältig. - Überlege, ob Rechenregeln für die Addition von Wurzeln existieren oder ob diese nur für Multiplikation und Division gelten.

1. Überprüfung von a): Linke Seite \(\sqrt{25} = 5\); Rechte Seite \(3 + 4 = 7\). Da \(5 \neq 7\), ist die Aussage falsch. 2. Überprüfung von b): Linke Seite \(\sqrt{400} = 20\); Rechte Seite \(10 \cdot 2 = 20\). Da \(20 = 20\), ist die Aussage wahr. 3. Überprüfung von c): Linke Seite \(1 - 0 = 1\); Rechte Seite \(\sqrt{1} = 1\). Da \(1 = 1\), ist die Aussage wahr. 4. Überprüfung von d): \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\). Da \(0{,}5 = \frac{1}{2}\), ist die Aussage wahr.

a) Falsch, da \(5 \neq 7\) b) Wahr, da \(20 = 20\) c) Wahr, da \(1 = 1\) d) Wahr, da \(0{,}5 = \frac{1}{2}\)

- Wann ist die Wurzel aus einem Bruch eine rationale Zahl? - Was muss für Zähler und Nenner des Bruchs gelten, damit die Wurzel rational ist? - Probier doch mal, die gemischten Zahlen zuerst umzuformen.

1. Umwandlung in unechte Brüche und Radizieren: a) \(3\frac{1}{16} = \frac{49}{16} \Rightarrow \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4}\). Ergebnis ist rational. b) \(2\frac{14}{25} = \frac{64}{25} \Rightarrow \sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{8}{5}\). Ergebnis ist rational. c) \(1\frac{4}{5} = \frac{9}{5} \Rightarrow \sqrt{\frac{9}{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}\). Ergebnis ist irrational, da \(5\) keine Quadratzahl ist. d) \(7\frac{1}{9} = \frac{64}{9} \Rightarrow \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{8}{3}\). Ergebnis ist rational.

a), b) und d) ergeben rationale Zahlen (\(\frac{7}{4}\), \(\frac{8}{5}\) und \(\frac{8}{3}\)). c) ergibt eine irrationale Zahl (\(\frac{3}{\sqrt{5}}\)).

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel als Produkt aus 5 und einer Zehnerpotenz (wie \(100\) oder \(10\,000\)) schreiben? - Welche Regel kennst du für die Wurzel aus einem Produkt? - Wie verändert sich eine Dezimalzahl, wenn du sie mit 10, 100 oder 0{,}1 multiplizierst? - Überlege, wie viele Stellen das Komma rückt, wenn der Faktor unter der Wurzel eine Quadratzahl ist.

1. Berechnung von \(\sqrt{500}\): Zerlegung des Radikanden in \(5 \cdot 100\). Anwendung der Wurzelregel \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) ergibt \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{100} = 2{,}236 \cdot 10 = 22{,}36\). 2. Berechnung von \(\sqrt{0{,}05}\): Zerlegung in \(5 \cdot 0{,}01\). Anwendung der Wurzelregel ergibt \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{0{,}01} = 2{,}236 \cdot 0{,}1 = 0{,}2236\). 3. Berechnung von \(\sqrt{50\,000}\): Zerlegung in \(5 \cdot 10\,000\). Anwendung der Wurzelregel ergibt \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{10\,000} = 2{,}236 \cdot 100 = 223{,}6\).

a) \(\approx 22{,}36\) b) \(\approx 0{,}2236\) c) \(\approx 223{,}6\)

- Rechne zuerst die Flächeneinheit Ar in Quadratmeter um. - Wie berechnet man die Seitenlänge eines Quadrats, wenn die Fläche bekannt ist? - Wenn die Fläche 100-mal größer ist, ist dann auch die Seite 100-mal länger? - Welche Rechenoperation verbindet die Fläche mit der Seite? - Was passiert mit der Wurzel, wenn der Wert unter der Wurzel mit 100 multipliziert wird?

1. Umrechnung und Seitenlänge 1: Der Flächeninhalt \(A_1 = 0{,}64\,\text{a} = 64\,\text{m}^2\). Die Seitenlänge ist \(s_1 = \sqrt{64\,\text{m}^2} = 8\,\text{m}\). 2. Umrechnung und Seitenlänge 2: Der Flächeninhalt \(A_2 = 64\,\text{m}^2 \cdot 100 = 6\,400\,\text{m}^2\). Die Seitenlänge ist \(s_2 = \sqrt{6\,400\,\text{m}^2} = 80\,\text{m}\). 3. Verhältnis der Seitenlängen: \(s_2 : s_1 = 80\,\text{m} : 8\,\text{m} = 10\). 4. Mathematischer Zusammenhang: Wenn sich die Fläche um den Faktor \(k\) vergrößert, vergrößert sich die Seitenlänge um den Faktor \(\sqrt{k}\). Hier ist \(k = 100\), also ist der Seitenfaktor \(\sqrt{100} = 10\). Die kleine Seitenlänge passt 10-mal in die große.

a) \(s_1 = 8\,\text{m}\); \(s_2 = 80\,\text{m}\) b) Die Seitenlänge passt 10-mal hinein. Wenn die Fläche um den Faktor 100 wächst, wächst die Seitenlänge um den Faktor \(\sqrt{100} = 10\).

- Berechne zuerst den Wert unter der Wurzel (Radikand), bevor du die Wurzel ziehst. - Vergleiche die Endergebnisse der beiden Rechenwege genau. - Überlege, ob man Operationen innerhalb der Wurzel einfach „trennen“ darf.

1. Berechnung für a): \(A = \sqrt{144} = 12\). \(B = 6 \cdot 2 = 12\). Ergebnis: \(A = B\). Für nichtnegative Faktoren gilt das Produktgesetz: \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\). 2. Berechnung für b): \(C = \sqrt{100} = 10\). \(D = 8 + 6 = 14\). Ergebnis: \(C \neq D\). 3. Schlussfolgerung für c): Die Quadratwurzel einer Summe ist im Allgemeinen nicht gleich der Summe der Quadratwurzeln der einzelnen Summanden. Es gilt \(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\) für \(a, b > 0\).

a) \(A = 12\), \(B = 12\). Die Ergebnisse sind gleich. b) \(C = 10\), \(D = 14\). Die Ergebnisse sind unterschiedlich. c) Im Allgemeinen gilt \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\).

- Wie geht man mit gemischten Zahlen unter der Wurzel um? Kann man sie in eine andere Form bringen? - Was bedeutet ein Minuszeichen vor der Wurzel im Gegensatz zu einem Minuszeichen unter der Wurzel? - Erinnerst du dich an die Quadratzahlen bis 20?

1. Berechnung von \( \sqrt{\frac{144}{289}} \): Da \( 12^2 = 144 \) und \( 17^2 = 289 \), ist das Ergebnis \( \frac{12}{17} \). 2. Berechnung von \( \sqrt{1\frac{13}{36}} \): Umwandlung des gemischten Bruchs in einen unechten Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{36+13}{36}} = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6} \). 3. Berechnung von \( -\sqrt{\frac{1}{10\,000}} \): Die Wurzel aus dem Bruch ist \( \frac{1}{100} \), mit dem Minuszeichen davor ergibt sich \( -0{,}01 \). 4. Untersuchung von \( \sqrt{-1{,}44} \): Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. 5. Berechnung von \( \sqrt{3\frac{1}{16}} \): Umwandlung in einen unechten Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{48+1}{16}} = \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4} \).

a) \( \frac{12}{17} \) b) \( \frac{7}{6} \) (oder \( 1\frac{1}{6} \)) c) \( -0{,}01 \) (oder \( -\frac{1}{100} \)) d) Nicht definiert (in \( \mathbb{R} \)) e) \( \frac{7}{4} \) (oder \( 1{,}75 \))

- Was bedeutet es für die Fläche, wenn ein Objekt umgeformt wird? - Wie findest du die Seitenlänge eines Quadrats, wenn du seinen Flächeninhalt kennst? - Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks und eines Quadrats?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Rechtecks: \(A = 2\,\text{cm} \cdot 18\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung der Seitenlänge des flächengleichen Quadrats: \(s = \sqrt{36\,\text{cm}^2} = 6\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Umfangs des ursprünglichen Rechtecks: \(U_{\text{Rechteck}} = 2 \cdot (2\,\text{cm} + 18\,\text{cm}) = 40\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Umfangs des Quadrats: \(U_{\text{Quadrat}} = 4 \cdot 6\,\text{cm} = 24\,\text{cm}\). 5. Vergleich der Umfänge: \(40\,\text{cm} - 24\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\).

Der Umfang des Quadrats ist mit \(24\,\text{cm}\) um \(16\,\text{cm}\) kürzer als der Umfang des Rechtecks (\(40\,\text{cm}\)).

- Kannst du die Dezimalzahlen als Brüche schreiben oder sie gedanklich mit 100 multiplizieren, um bekannte Quadratzahlen zu finden? - Wie hängen die Einheiten Ar und Quadratmeter zusammen? - Gibt es eine Regel, wie man die Wurzel aus einem Bruch zieht?

1. Teilaufgabe a): Berechnung der Quadratwurzel aus \(5{,}29\). Da \(23^2 = 529\), folgt \(\sqrt{5{,}29} = 2{,}3\). Die Seitenlänge beträgt \(a = 2{,}3\,\text{cm}\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Wurzelgesetze für Brüche \(\sqrt{\frac{z}{n}} = \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{n}}\). Mit \(\sqrt{144} = 12\) und \(\sqrt{289} = 17\) ergibt sich \(a = \frac{12}{17}\,\text{dm}\). 3. Teilaufgabe c): Umrechnung der Einheit Ar in Quadratmeter: \(0{,}0121\,\text{a} = 1{,}21\,\text{m}^2\). Ziehen der Wurzel: \(\sqrt{1{,}21} = 1{,}1\). Die Seitenlänge beträgt \(a = 1{,}1\,\text{m}\).

a) \(a = 2{,}3\,\text{cm}\) b) \(a = \frac{12}{17}\,\text{dm}\) c) \(a = 1{,}1\,\text{m}\)

- Wie berechnet man die Seitenlänge eines Quadrats, wenn man den Flächeninhalt kennt? - Wenn der Umfang eines Quadrats doppelt so groß ist, was bedeutet das für seine Seitenlänge? - Wie ändert sich der Flächeninhalt, wenn sich die Seitenlänge verdoppelt?

1. Berechnung der Seitenlänge des ersten Quadrats: \(a_1 = \sqrt{7{,}84\,\text{m}^2} = 2{,}8\,\text{m}\) (da \(28^2 = 784\)). 2. Bestimmung des Zusammenhangs zwischen Umfang und Seitenlänge: Da der Umfang \(U = 4 \cdot a\) proportional zur Seitenlänge ist, führt eine Verdopplung des Umfangs zu einer Verdopplung der Seitenlänge. 3. Berechnung der neuen Seitenlänge: \(a_2 = 2 \cdot 2{,}8\,\text{m} = 5{,}6\,\text{m}\). 4. Berechnung des neuen Flächeninhalts: \(A_2 = (5{,}6\,\text{m})^2 = 31{,}36\,\text{m}^2\).

Die Seitenlänge des zweiten Plakats beträgt \(5{,}6\,\text{m}\) und der Flächeninhalt beträgt \(31{,}36\,\text{m}^2\).

- Berechne für jeden Term Schritt für Schritt den Wert. - Überlege dir, welche Operationen (Quadrieren, Wurzelziehen) sich gegenseitig aufheben und unter welchen Bedingungen das gilt. - Achte darauf, an welcher Stelle das Minuszeichen steht und ob es durch ein Quadrat beeinflusst wird.

1. Berechnung von \( A \): \( \sqrt{(\frac{4}{9})^2} = \frac{4}{9} \). 2. Berechnung von \( B \): \( (\sqrt{\frac{4}{9}})^2 = \frac{4}{9} \). 3. Berechnung von \( C \): Da \( (-\frac{4}{9})^2 = (\frac{4}{9})^2 \), gilt \( \sqrt{(-\frac{4}{9})^2} = \frac{4}{9} \). 4. Berechnung von \( D \): Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv, also \( (-\sqrt{\frac{4}{9}})^2 = \frac{4}{9} \). 5. Berechnung von \( E \): Das Minuszeichen steht außerhalb der Wurzel und wird nicht mitquadriert, daher \( -\sqrt{(\frac{4}{9})^2} = -\frac{4}{9} \). 6. Ergebnis: Der gemeinsame Wert ist \( \frac{4}{9} \); Term \( E \) passt nicht.

Der gemeinsame Wert ist \( \frac{4}{9} \). Der Term \( E \) passt nicht zu den anderen.

- Aus wie vielen Einzelflächen besteht die Oberfläche eines Würfels? - Wenn du die Fläche einer Seite kennst, wie findest du dann die Länge einer Kante heraus? - Welche Formel benötigst du am Ende für den Rauminhalt?

1. Berechnung des Flächeninhalts einer einzelnen Quadratseite des Würfels: \(A_{\text{Seite}} = O : 6 = 486\,\text{cm}^2 : 6 = 81\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Kantenlänge \(a\) durch Ziehen der Quadratwurzel: \(a = \sqrt{81\,\text{cm}^2} = 9\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Volumens \(V\) mit der Formel \(V = a^3\): \(V = (9\,\text{cm})^3 = 729\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Würfels beträgt \(V = 729\,\text{cm}^3\).

- Berechne zuerst die konkreten Längen für die gegebenen Zahlen. - Was fällt dir auf, wenn du die Ergebnisse aus Teil a) vergleichst? - Wie wirkt sich ein Faktor unter einer Quadratwurzel auf das Ergebnis aus? - Versuche, in der Formel den Faktor 4 „nach draußen“ vor die Wurzel zu ziehen.

1. Berechnung der Kantenlängen: \(a_1 = \sqrt{150 : 6} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}\) und \(a_2 = \sqrt{600 : 6} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\). 2. Bestimmung des Verhältnisses: \(a_2 : a_1 = 10 : 5 = 2\). Die Kantenlänge des größeren Würfels ist doppelt so lang. 3. Allgemeine Begründung: Setzt man den neuen Oberflächeninhalt \(O_{\text{neu}} = 4 \cdot O\) in die Formel ein, erhält man \(a_{\text{neu}} = \sqrt{\frac{4 \cdot O}{6}} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{\frac{O}{6}} = 2 \cdot a\). 4. Schlussfolgerung: Bei einer Vervierfachung des Oberflächeninhalts verdoppelt sich die Kantenlänge.

a) \(a_1 = 5\,\text{cm}\); \(a_2 = 10\,\text{cm}\) b) Das Verhältnis ist \(2 : 1\). c) Wenn der Oberflächeninhalt vervierfacht wird, verdoppelt sich die Kantenlänge, da \(\sqrt{4} = 2\) gilt.

- Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert \(169\)? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst? - Kann ein Quadrat in den reellen Zahlen jemals einen negativen Wert annehmen?

1. Für \(a = 1{,}69\) lautet die Gleichung \(x^2 = 1{,}69\). Da \(13^2 = 169\) ist, folgt \(\sqrt{1{,}69} = 1{,}3\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1{,}3\) und \(x_2 = -1{,}3\). 2. Das Quadrat einer jeden reellen Zahl \(x\) ist stets größer oder gleich Null (\(x^2 \geq 0\)). 3. Da \(a = -1{,}69\) negativ ist, gibt es keine reelle Zahl \(x\), deren Quadrat diesen Wert ergibt. Die Tatsache, dass \((-1{,}3)^2 = 1{,}69\) positiv ist, bestätigt lediglich, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist.

a) Die Lösungen sind \(1{,}3\) und \(-1{,}3\). b) Quadrate reeller Zahlen sind niemals negativ, daher hat \(x^2 = -1{,}69\) keine Lösung.

- Achte bei Aufgabenteil a) auf die Reihenfolge der Rechenoperationen: Was berechnest du zuerst? - Welche Bedingung muss eine Zahl erfüllen, damit man aus ihr die Quadratwurzel ziehen kann? - Kannst du eine Zahl finden, die quadriert \(121\) ergibt? Überlege, ob es mehr als eine gibt.

1. Berechnung von \(A\): Zuerst wird der Term unter der Wurzel berechnet: \((-8)^2 = 64\). Dann wird die Wurzel gezogen: \(\sqrt{64} = 8\). 2. Definition von \(B\): Die Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) ist im Bereich der reellen Zahlen nur für Radikanden \(a \geq 0\) definiert. Da \(-8 < 0\) ist, existiert \(\sqrt{-8}\) nicht als reelle Zahl. 3. Lösung für \(c\): Der Ausdruck \(\sqrt{x^2}\) entspricht dem Betrag von \(x\), also \(|x|\). Die Gleichung \(|x| = 11\) wird durch \(x_1 = 11\) und \(x_2 = -11\) erfüllt.

a) \(A = 8\). b) Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist in den reellen Zahlen nicht definiert. c) \(x_1 = 11\) und \(x_2 = -11\).

- Wie kannst du eine große Zahl systematisch in kleine Teiler zerlegen? - Was passiert mit den Exponenten einer Potenz, wenn man die Quadratwurzel zieht? - Erinnere dich an die Teilbarkeitsregeln, um Primfaktoren wie 2, 3 oder 5 schnell zu finden.

1. Durchführung der Primfaktorzerlegung für \( 1\,764 \): \( 1\,764 = 2 \cdot 882 = 2^2 \cdot 441 = 2^2 \cdot 3 \cdot 147 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 49 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \). Da alle Exponenten gerade sind, ist die Wurzel das Produkt der Faktoren mit halbierten Exponenten: \( \sqrt{1\,764} = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 42 \). 2. Durchführung der Primfaktorzerlegung für \( 3\,136 \): \( 3\,136 = 2 \cdot 1\,568 = 2^2 \cdot 784 = 2^3 \cdot 392 = 2^4 \cdot 196 = 2^5 \cdot 98 = 2^6 \cdot 49 = 2^6 \cdot 7^2 \). Berechnung der Wurzel: \( \sqrt{3\,136} = 2^3 \cdot 7^1 = 8 \cdot 7 = 56 \). 3. Eine natürliche Zahl ist genau dann eine Quadratzahl, wenn in ihrer Primfaktorzerlegung jeder vorkommende Primfaktor einen geraden Exponenten besitzt.

a) \( 1\,764 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \); \( \sqrt{1\,764} = 42 \) b) \( 3\,136 = 2^6 \cdot 7^2 \); \( \sqrt{3\,136} = 56 \) c) Eine Zahl ist eine Quadratzahl, wenn alle Exponenten ihrer Primfaktorzerlegung gerade sind.

- Schau dir die Hochzahlen (Exponenten) der Primfaktoren genau an. - Was muss für die Exponenten gelten, damit man die Wurzel glatt ziehen kann? - Überlege dir, wie die Primfaktorzerlegung einer Primzahl aussieht.

1. Prüfung der Exponenten: Eine Zahl ist eine Quadratzahl, wenn alle Exponenten in der Primfaktorzerlegung gerade sind. Bei \( a \) sind die Exponenten \( 4, 2, 2 \) (alle gerade). Bei \( b \) ist der Exponent der Basis \( 2 \) ungerade (\( 3 \)). Somit ist \( a \) eine Quadratzahl. 2. Berechnung der Wurzel von \( a \): \( \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = 2^{4/2} \cdot 3^{2/2} \cdot 5^{2/2} = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \). 3. Eine Primzahl \( p \) hat die Primfaktorzerlegung \( p^1 \). Da der Exponent \( 1 \) ungerade ist, kann \( p \) keine Quadratzahl einer natürlichen Zahl sein. Wäre \( \sqrt{p} = n \) (\( n \in \mathbb{N} \)), müsste \( n^2 = p \) gelten, was bedeutet, dass in der Primfaktorzerlegung von \( p \) nur gerade Exponenten vorkommen dürften.

a) \( a \) ist eine Quadratzahl, da alle Exponenten (\( 4, 2, 2 \)) gerade sind. Bei \( b \) ist der Exponent \( 3 \) ungerade. b) \( \sqrt{a} = 60 \) c) Die Primfaktorzerlegung einer Primzahl \( p \) ist \( p^1 \). Da der Exponent \( 1 \) ungerade ist, kann die Wurzel keine natürliche Zahl sein.

- Wie hängen Flächeninhalt und Seitenlänge bei einem Quadrat zusammen? - Nutze die Quersummenregel, um zu prüfen, ob die Zahl durch 3 oder 9 teilbar ist. - Welche Quadratzahlen von 1 bis 20 kennst du auswendig? Das hilft oft am Ende der Zerlegung.

1. Primfaktorzerlegung von \( 4\,356 \): \( 4\,356 = 2 \cdot 2\,178 \) \( 2\,178 = 2 \cdot 1\,089 \) \( 1\,089 \) ist durch \( 9 \) teilbar (Quersumme \( 18 \)): \( 1\,089 = 9 \cdot 121 = 3^2 \cdot 11^2 \) Zusammengefasst: \( 4\,356 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2 \). 2. Berechnung der Seitenlänge: \( s = \sqrt{4\,356} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2} = 2 \cdot 3 \cdot 11 = 66 \). Die Seitenlänge beträgt \( 66\,\text{m} \). 3. Überschlagsrechnung: \( 60^2 = 3\,600 \) und \( 70^2 = 4\,900 \). Da \( 3\,600 < 4\,356 < 4\,900 \), muss die Wurzel zwischen \( 60 \) und \( 70 \) liegen. Das Ergebnis \( 66 \) ist also plausibel.

a) \( s = 66\,\text{m} \) (da \( 4\,356 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2 \)) b) Da \( 60^2 = 3\,600 \) und \( 70^2 = 4\,900 \), liegt \( 66 \) im richtigen Bereich.

- Überlege dir, was passiert, wenn du eine Zahl zwischen 0 und 1 mit sich selbst multiplizierst. Wird sie größer oder kleiner? - Probiere verschiedene Werte aus: eine Zahl zwischen 0 und 1, die Zahl 1 und eine Zahl größer als 1. - Was muss für das Quadrat einer Zahl gelten, damit es größer ist als die Zahl selbst?

1. Berechnung der Wurzeln für Teil a: (1) \(\sqrt{0{,}09} = 0{,}3\). Da \(0{,}09 < 0{,}3\), gilt \(x < \sqrt{x}\). (2) \(\sqrt{1} = 1\). Da \(1 = 1\), gilt \(x = \sqrt{x}\). (3) \(\sqrt{1{,}44} = 1{,}2\). Da \(1{,}44 > 1{,}2\), gilt \(x > \sqrt{x}\). 2. Untersuchung der Ungleichung \(\sqrt{x} < x\): Die Quadratwurzel ist nur für \(x \ge 0\) definiert. Für \(x = 0\) gilt \(\sqrt{0} = 0\), also \(0 = 0\) (falsch für \(<\)). Für \(0 < x < 1\) ist die Wurzel größer als die Zahl selbst (siehe Teil a(1)). Für \(x = 1\) gilt \(1 = 1\). Für \(x > 1\) wächst \(x\) schneller als \(\sqrt{x}\). Beispiel \(x=4 \implies 2 < 4\). Die Bedingung \(\sqrt{x} < x\) ist somit für alle \(x > 1\) erfüllt.

a) (1) \(<\); (2) \(=\); (3) \(>\). b) Die Aussage \(\sqrt{x} < x\) ist für alle \(x > 1\) wahr.

- Erinnere dich an die Regel \(\sqrt{a^2} = |a|\). - Überlege bei Teil c), welche der beiden Zahlen größer ist: \(2\) oder \(\sqrt{5}\)? - Was bedeutet der Betrag einer Zahl, wenn die Zahl selbst negativ ist?

1. Teil a: \(\sqrt{(-15)^2} = \sqrt{225} = 15\). 2. Teil b: \(\sqrt{0{,}4^2} = 0{,}4\). 3. Teil c: Da \(2^2 = 4\) und \((\sqrt{5})^2 = 5\) ist, gilt \(2 < \sqrt{5}\). Somit ist die Differenz \(2 - \sqrt{5}\) negativ. Da das Ergebnis einer Quadratwurzel nicht negativ sein darf, gilt \(\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2\). 4. Teil d: Für \(y < 0\) ist \(\sqrt{y^2} = |y|\). Da \(y\) negativ ist, entspricht der Betrag \(-y\), damit das Endergebnis positiv ist.

a) \(15\) b) \(0{,}4\) c) \(\sqrt{5} - 2\) d) \(-y\) (da \(-y\) bei negativem \(y\) positiv ist)

- Kannst du den Term auf der linken Seite mithilfe des Betrags schreiben? - Wenn der Betrag eines Ausdrucks \(9\) ist, welche zwei Werte kann der Ausdruck im Inneren dann annehmen? - Denke daran, dass es mehr als eine Lösung geben könnte.

1. Anwendung der Identität \(\sqrt{a^2} = |a|\): Die Gleichung vereinfacht sich zu \(|x - 4| = 9\). 2. Fallunterscheidung für den Betrag: Fall 1: \(x - 4 = 9\) Fall 2: \(x - 4 = -9\) 3. Lösung von Fall 1: \(x = 9 + 4 = 13\). 4. Lösung von Fall 2: \(x = -9 + 4 = -5\). 5. Überprüfung: \(\sqrt{(13-4)^2} = \sqrt{9^2} = 9\) und \(\sqrt{(-5-4)^2} = \sqrt{(-9)^2} = 9\). Beide Werte sind korrekt.

Die Lösungen der Gleichung sind \(x_1 = 13\) und \(x_2 = -5\). Durch die Vereinfachung \(\sqrt{(x - 4)^2} = |x - 4|\) ergeben sich die zwei linearen Gleichungen \(x - 4 = 9\) und \(x - 4 = -9\).

- Isoliere zuerst den Term mit dem Quadrat auf einer Seite der Gleichung. - Achte genau auf die Vorzeichen, wenn du Zahlen von einer Seite auf die andere bringst. - Kannst du eine Zahl finden, deren Quadrat negativ ist?

1. a) Division durch 4 ergibt \( x^2 = 16 \). Die Wurzeln sind \( x_1 = 4 \) und \( x_2 = -4 \). 2. b) Subtraktion von \( 0{,}7 \) ergibt \( x^2 = 0{,}09 \). Die Wurzeln sind \( x_1 = 0{,}3 \) und \( x_2 = -0{,}3 \). 3. c) Addition von 5 ergibt \( y^2 = 16 \). Die Wurzeln sind \( y_1 = 4 \) und \( y_2 = -4 \). 4. d) Subtraktion von 10 ergibt \( z^2 = -6 \). Da \( -6 < 0 \), gibt es keine reelle Lösung.

a) \( x = 4 \) oder \( x = -4 \) b) \( x = 0{,}3 \) oder \( x = -0{,}3 \) c) \( y = 4 \) oder \( y = -4 \) d) keine reelle Lösung

- Achte auf den Unterschied zwischen \( (-a)^2 \) und \( -a^2 \). Wo genau steht das Minuszeichen? - Rechne zuerst die Werte auf den Seiten aus, bevor du versuchst, die Wurzel zu ziehen. - Bei Brüchen hilft es, alles auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

1. a) Berechnung der rechten Seite: \( (-12)^2 = 144 \). Die Gleichung \( x^2 = 144 \) hat die Lösungen \( x_1 = 12 \) und \( x_2 = -12 \). 2. b) Beachtung der Priorität (Potenz vor Vorzeichen): \( -8^2 = -(8 \cdot 8) = -64 \). Die Gleichung \( x^2 = -64 \) hat keine reelle Lösung. 3. c) Umformung: \( 3x^2 = 27 \), dann \( x^2 = 9 \). Die Lösungen sind \( x_1 = 3 \) und \( x_2 = -3 \). 4. d) Umformung: \( x^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{16}{16} - \frac{7}{16} = \frac{9}{16} \). Die Wurzeln sind \( x_1 = \frac{3}{4} \) (oder \( 0{,}75 \)) und \( x_2 = -\frac{3}{4} \) (oder \( -0{,}75 \)).

a) \( x = 12 \) oder \( x = -12 \) b) keine reelle Lösung c) \( x = 3 \) oder \( x = -3 \) d) \( x = 0{,}75 \) oder \( x = -0{,}75 \)

- Wie hängen die Ungleichungen für die Wurzel und die Ungleichungen für die Quadrate zusammen? - Betrachte nur die letzte Ziffer, wenn du eine Zahl mit sich selbst multiplizierst. - Welche Ziffern kommen in deiner Liste aus b) gar nicht vor?

1. Für Teil a): Die Ungleichung \(4 < \sqrt{n} < 5\) ist äquivalent zu \(4^2 < n < 5^2\), also \(16 < n < 25\). Die natürlichen Zahlen sind \(17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24\). 2. Für Teil b): Die Quadrate der Ziffern sind \(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81\). Die Endziffern sind somit \(0, 1, 4, 5, 6, 9\). 3. Für Teil c): Da Quadratzahlen nur auf \(0, 1, 4, 5, 6\) oder \(9\) enden können, kann eine Zahl mit der Endziffer \(7\) (wie \(157\)) niemals eine Quadratzahl einer natürlichen Zahl sein.

a) \(n \in \{17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24\}\) b) Mögliche Endziffern sind \(0, 1, 4, 5, 6, 9\). c) \(157\) endet auf \(7\). Da keine Quadratzahl einer natürlichen Zahl auf \(7\) enden kann (siehe b), ist \(157\) keine Quadratzahl.

- Welche zweistelligen Zahlen sind überhaupt Quadratzahlen? Teste diese systematisch. - Kennst du ein Gesetz, mit dem man die Wurzel aus einem Produkt zerlegen kann? - Wie viele Nachkommastellen hat das Ergebnis, wenn man eine Zahl mit zwei Nachkommastellen quadriert?

1. Zu a): Gesucht ist eine zweistellige Quadratzahl, deren Wurzel gleich der Quersumme ist. Mögliche Quadratzahlen: \(16, 25, 36, 49, 64, 81\). Prüfung: \(\sqrt{81}=9\) und \(8+1=9\). Die Zahl ist \(81\). 2. Zu b): Für \(x \ge 0\) gilt \(\sqrt{4x} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x} = 2 \cdot \sqrt{x}\). Der Wert der Wurzel verdoppelt sich also. 3. Zu c): Es gilt \(0{,}09^2 = (9 \cdot 10^{-2})^2 = 81 \cdot 10^{-4} = 0{,}0081\). Die Ziffern für die Platzhalter sind \(8\) und \(1\).

a) Die Zahl ist \(81\) (da \(\sqrt{81} = 8 + 1 = 9\)). b) Für \(x \ge 0\) verdoppelt sich der Wert, da \(\sqrt{4 \cdot x} = 2 \cdot \sqrt{x}\). c) Die Platzhalter sind \(8\) und \(1\), da \(\sqrt{0{,}0081} = 0{,}09\).

- Kannst du eine Zahl finden, deren Quadrat genau \(32\) ergibt? - Überlege dir, welche Quadratzahlen du auswendig kennst, die nah an \(32\) liegen. - Was passiert mit dem Flächeninhalt eines Quadrats, wenn man die Seitenlänge verändert? Probier es mal mit einem einfachen Beispiel wie \(2\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) aus.

1. Berechnung der Seitenlänge: \(s = \sqrt{32}\,\text{m} \approx 5{,}66\,\text{m}\). 2. Abschätzung: Da \(5^2 = 25\) und \(6^2 = 36\) gilt, muss \(\sqrt{32}\) zwischen \(5\) und \(6\) liegen, da \(25 < 32 < 36\). 3. Skalierung der Fläche: Bei Verdopplung der Seitenlänge (\(2s\)) vervierfacht sich der Flächeninhalt (\(A_{\text{neu}} = (2s)^2 = 4s^2\)). Die neue Fläche beträgt \(4 \cdot 32\,\text{m}^2 = 128\,\text{m}^2\).

a) \(s = \sqrt{32}\,\text{m} \approx 5{,}66\,\text{m}\) b) Zwischen \(5\,\text{m}\) und \(6\,\text{m}\), da \(5^2 = 25\) und \(6^2 = 36\). c) Die neue Fläche beträgt \(128\,\text{m}^2\).

- Wandle gemischte Brüche immer zuerst in unechte Brüche um. - Berechne erst das Ergebnis auf der rechten Seite der Gleichung vollständig, bevor du entscheidest, wie viele Lösungen es gibt. - Achte bei Subtraktionen mit Dezimalzahlen genau auf die Stellenwerte. - Was bedeutet es für die Lösung, wenn auf einer Seite eine Wurzel steht, die erst noch ausgerechnet werden muss?

1. Für a): Das Produkt ergibt \(x^2 = 0{,}0025\). Da \(0{,}0025 > 0\), gibt es zwei Lösungen. Wurzelziehen ergibt \(x = \pm 0{,}05\). 2. Für b): Der gemischte Bruch wird in einen unechten Bruch umgewandelt: \(y^2 = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{49}{16}\). Da der Wert positiv ist, gibt es zwei Lösungen: \(y = \pm \sqrt{\frac{49}{16}} = \pm \frac{7}{4}\) (oder \(\pm 1{,}75\)). 3. Für c): Die Gleichung wird umgeformt zu \(z^2 = 0{,}01 - 0{,}1 = -0{,}09\). Da \(-0{,}09\) negativ ist, besitzt die Gleichung keine reelle Lösung. 4. Für d): Zuerst wird die Wurzel auf der rechten Seite berechnet: \(\sqrt{625} = 25\). Die Gleichung lautet also \(w^2 = 25\). Dies ergibt zwei Lösungen: \(w = \pm 5\).

a) Zwei Lösungen: \(x = \pm 0{,}05\) b) Zwei Lösungen: \(y = \pm 1{,}75\) (oder \(\pm \frac{7}{4}\)) c) Keine reelle Lösung d) Zwei Lösungen: \(w = \pm 5\)

- Achte genau auf die Position des Minuszeichens und der Klammern. - Was passiert zuerst: das Quadrieren oder das Vorzeichen setzen? - Überlege, ob der Radikand (die Zahl unter der Wurzel) positiv, null oder negativ ist.

1. Analyse von Term (1): \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36}\). Da \(36 > 0\), ist die Wurzel definiert. Das Ergebnis ist \(6\). 2. Analyse von Term (2): \(-\sqrt{6^2} = -\sqrt{36}\). Die Wurzel aus \(36\) ist \(6\). Das Minuszeichen davor macht das Gesamtergebnis zu \(-6\). 3. Analyse von Term (3): \(\sqrt{-6^2} = \sqrt{-(6 \cdot 6)} = \sqrt{-36}\). In den reellen Zahlen ist die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert, da kein Quadrat einer reellen Zahl negativ sein kann.

(1) \(\sqrt{(-6)^2} = 6\) (2) \(-\sqrt{6^2} = -6\) (3) \(\sqrt{-6^2}\) ist nicht definiert, da der Radikand \(-36\) negativ ist. Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat \(-36\) ergibt.

- Welche zwei mathematischen Regeln müssen hier gleichzeitig beachtet werden (Wurzelziehen und Division)? - Wann ist ein Bruch insgesamt positiv? - Kann der Nenner eines Bruchs jemals Null werden?

1. Der gesamte Bruch unter der Wurzel muss nichtnegativ sein: \(\frac{5}{a - 3} \ge 0\). 2. Da der Zähler \(5\) positiv ist, muss auch der Nenner \(a - 3\) positiv sein. 3. Der Nenner darf nicht Null sein, daher gilt die strikte Bedingung \(a - 3 > 0\). 4. Daraus folgt \(a > 3\). 5. Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen größer als 3.

\(a > 3\)

- Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen wie \(k^2\) oder \((k-2)^2\)? - Überlege dir für jeden Teil, ob es Werte gibt, die den Ausdruck unter der Wurzel negativ machen könnten. - Gibt es in einem der Fälle vielleicht nur eine einzige Lösung oder gar keine Einschränkung?

1. Teil a: Da \(k^2 \ge 0\) für alle reellen \(k\), ist \(k^2 + 10 \ge 10\). Da der Radikand immer positiv ist, ist der Term für alle \(k \in \mathbb{R}\) definiert. 2. Teil b: Ein Quadrat \((k - 2)^2\) ist stets \(\ge 0\). Das negative Vorzeichen davor macht den Ausdruck \(-(k - 2)^2 \le 0\). Eine Wurzel ist nur für Radikanden \(\ge 0\) definiert. Dies ist nur erfüllt, wenn \(-(k - 2)^2 = 0\), also bei \(k = 2\). 3. Teil c: Der Nenner \(k^2\) muss ungleich Null sein, also \(k \neq 0\). Da \(4 > 0\) und \(k^2 > 0\) für alle \(k \neq 0\), ist der Bruch \(\frac{4}{k^2}\) immer positiv. Der Term ist somit für alle \(k \neq 0\) definiert.

a) Alle reellen Zahlen (\(k \in \mathbb{R}\)) b) Nur für \(k = 2\) c) Alle reellen Zahlen außer Null (\(k \neq 0\))

- Rechne bei Summen unter der Wurzel erst das Ergebnis der Addition aus, bevor du die Wurzel ziehst. - Gibt es eine Rechenregel, mit der man zwei Wurzeln zusammenfassen kann, wenn sie multipliziert werden? - Wie macht man das Wurzelziehen rückgängig, um an die Zahl unter der Wurzel zu kommen?

1. Linke Seite: \(\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\). Rechte Seite: \(\sqrt{36} + \sqrt{64} = 6 + 8 = 14\). Da \(10 \neq 14\), ist die Aussage falsch. 2. Anwendung des Wurzelgesetzes für Multiplikation: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8\). 3. Um \(z\) zu finden, wird die Gleichung quadriert: \((\sqrt{z})^2 = 1{,}5^2\). Daraus folgt \(z = 2{,}25\).

a) Falsch, da \(10 \neq 14\). b) \(8\) c) \(z = 2{,}25\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn eine negative Zahl quadriert wird? - Welche Bedingung muss für den Wert unter einer Wurzel gelten, damit das Ergebnis eine reelle Zahl ist? - Isoliere zuerst den quadratischen Term, bevor du die Wurzel ziehst.

1. Zuerst wird die Potenz berechnet: \((-10)^2 = 100\). Die Wurzel daraus ist \(\sqrt{100} = 10\). 2. Ein Wurzelausdruck ist in \(\mathbb{R}\) definiert, wenn der Radikand nicht negativ ist: \(x + 3 \ge 0\). Umstellen ergibt \(x \ge -3\). 3. Division der Gleichung durch 5 ergibt \(x^2 = 15\). Ziehen der Wurzel führt zu den exakten Lösungen \(x_1 = \sqrt{15}\) und \(x_2 = -\sqrt{15}\). Da 15 keinen quadratischen Faktor größer als 1 besitzt, ist keine weitere Vereinfachung möglich.

a) \(10\) b) \(x \ge -3\) c) \(x_1 = \sqrt{15}\); \(x_2 = -\sqrt{15}\)

- Wie hängen der Flächeninhalt eines Quadrats und seine Seitenlänge zusammen? - Was muss für den Wert unter einer Wurzel immer gelten, damit das Ergebnis eine reelle Zahl ist? - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 = a\) zwei Lösungen haben kann.

1. Geometrische Anwendung: Die Seitenlänge \(s\) des Quadrats ist \(s = \sqrt{12\,100\,\text{m}^2} = 110\,\text{m}\). Der Umfang \(U\) berechnet sich durch \(U = 4 \cdot s = 4 \cdot 110\,\text{m} = 440\,\text{m}\). 2. Definitionsbereich: Eine Quadratwurzel ist in \(\mathbb{R}\) nur für nichtnegative Radikanden definiert. Es muss gelten: \(x - 5 \ge 0\). Daraus folgt durch Umformung \(x \ge 5\). 3. Lösen der Gleichung: Die Gleichung \(x^2 - 0{,}09 = 0\) wird zu \(x^2 = 0{,}09\) umgeformt. Die Lösungen sind \(x_1 = \sqrt{0{,}09} = 0{,}3\) und \(x_2 = -\sqrt{0{,}09} = -0{,}3\).

a) \(440\,\text{m}\) b) \(x \ge 5\) c) \(x_1 = 0{,}3\) und \(x_2 = -0{,}3\)

- Betrachte, um welchen Faktor (wie zum Beispiel \(100\), \(10\,000\) oder \(0{,}01\)) sich der Radikand vom Ausgangswert unterscheidet. - Wie wirkt sich das Wurzelziehen auf diese Faktoren aus? - Zähle die Nachkommastellen im Radikanden und vergleiche sie mit denen im Ergebnis.

1. Grundlage ist \(\sqrt{10{,}24} = 3{,}2\). 2. Zu a): Der Radikand \(1024\) ist das \(100\)-fache von \(10{,}24\). Da \(\sqrt{100} = 10\), verzehnfacht sich der Wurzelwert: \(3{,}2 \cdot 10 = 32\). 3. Zu b): Der Radikand \(0{,}1024\) ist ein Hundertstel von \(10{,}24\). Da \(\sqrt{0{,}01} = 0{,}1\), verschiebt sich das Komma im Wurzelwert um eine Stelle nach links: \(3{,}2 \cdot 0{,}1 = 0{,}32\). 4. Zu c): Der Radikand \(102\,400\) ist das \(10\,000\)-fache von \(10{,}24\). Da \(\sqrt{10\,000} = 100\), wird der Wurzelwert mit \(100\) multipliziert: \(3{,}2 \cdot 100 = 320\). 5. Zu d): Der Radikand \(0{,}001024\) ist ein Zehntausendstel von \(10{,}24\). Der Wurzelwert wird durch \(100\) geteilt: \(3{,}2 : 100 = 0{,}032\). 6. Zusammenhang: Verschiebt man das Komma im Radikanden um zwei Stellen, verschiebt es sich im Ergebnis um eine Stelle in die gleiche Richtung.

a) \(32\) b) \(0{,}32\) c) \(320\) d) \(0{,}032\) Zusammenhang: Eine Verschiebung des Kommas um zwei Stellen im Radikanden bewirkt eine Verschiebung um eine Stelle im Wurzelwert.

- Berechne zuerst alle Wurzeln, die keine Unbekannte enthalten. - Behandle die Gleichungen wie gewohnt und isoliere die Unbekannte \( x \) oder den Ausdruck mit \( x \). - Wenn am Ende noch eine Wurzel über dem \( x \) steht, wie kannst du diese „rückgängig“ machen?

1. Auswerten der bekannten Wurzeln: \( \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 \); \( \sqrt{0{,}81} = 0{,}9 \); \( \sqrt{\frac{1}{4}} = 0{,}5 \); \( \sqrt{\frac{9}{16}} = 0{,}75 \); \( \sqrt{1{,}21} = 1{,}1 \); \( \sqrt{0{,}04} = 0{,}2 \). 2. Aufstellen und Lösen der Gleichungen: a) \( 0{,}5 + x = 0{,}9 \Rightarrow x = 0{,}4 \) b) \( 0{,}5 \cdot x = 0{,}75 \Rightarrow x = 1{,}5 \) c) \( 1{,}1 - \sqrt{x} = 0{,}6 \Rightarrow \sqrt{x} = 0{,}5 \Rightarrow x = 0{,}5^2 = 0{,}25 \) d) \( 0{,}2 : \sqrt{x} = 0{,}1 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4 \)

a) \( x = 0{,}4 \) b) \( x = 1{,}5 \) c) \( x = 0{,}25 \) d) \( x = 4 \)

- Berechne zuerst den genauen Wert von Term \( A \). - Fasse die Zahlen unter der Wurzel in Term \( B \) zusammen. - Wie kannst du eine normale Zahl und eine Wurzel miteinander vergleichen? Hilft es vielleicht, beide Werte zu quadrieren?

1. Berechnung des Wertes von Term \( A \): \( \sqrt{0{,}36} + \sqrt{0{,}25} = 0{,}6 + 0{,}5 = 1{,}1 \). 2. Vereinfachung des Wertes unter der Wurzel in Term \( B \): \( 0{,}36 + 0{,}25 = 0{,}61 \), also \( B = \sqrt{0{,}61} \). 3. Vergleich der beiden Werte durch Quadrieren: Um \( 1{,}1 \) mit \( \sqrt{0{,}61} \) zu vergleichen, wird \( 1{,}1 \) quadriert: \( 1{,}1^2 = 1{,}21 \). 4. Da \( 1{,}21 > 0{,}61 \), gilt \( \sqrt{1{,}21} > \sqrt{0{,}61} \). Somit ist \( 1{,}1 > \sqrt{0{,}61} \), woraus folgt, dass Term \( A \) größer als Term \( B \) ist.

Term \( A \) ist größer, da \( 1{,}1 > \sqrt{0{,}61} \).

- Wie ändert sich das Ergebnis einer Quadratwurzel, wenn der Wert unter der Wurzel mit 4 multipliziert wird? - Setze für den Radius in der Formel das Doppelte ein und schaue, was mit dem gesamten Ausdruck passiert. - Überlege dir, ob der Zusammenhang zwischen Fläche und Radius linear oder quadratisch ist.

1. Berechnung für a): \(r = \sqrt{\frac{50}{\pi}} \approx 3{,}9894 \dots \approx 3{,}99\,\text{cm}\). 2. Berechnung für b): Der neue Radius ist \(r_{\text{neu}} = 2 \cdot r\). Eingesetzt in die Flächenformel ergibt sich \(A_{\text{neu}} = \pi \cdot (2r)^2 = \pi \cdot 4r^2 = 4 \cdot (\pi r^2) = 4 \cdot A\). Mit \(A = 50\,\text{cm}^2\) folgt \(A_{\text{neu}} = 4 \cdot 50\,\text{cm}^2 = 200\,\text{cm}^2\). 3. Analyse für c): Aus \(r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\) folgt bei Vervierfachung der Fläche (\(4A\)): \(r_{\text{neu}} = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{\frac{A}{\pi}} = 2 \cdot r\). Der Radius verdoppelt sich also.

a) \(r \approx 3{,}99\,\text{cm}\) b) \(A_{\text{neu}} = 200\,\text{cm}^2\) c) Wenn die Fläche vervierfacht wird, verdoppelt sich der Radius, da \(\sqrt{4} = 2\).

- Berechne zunächst beide Zeiten einzeln, wie du es in einfacheren Aufgaben gelernt hast. - Um einen Faktor zwischen zwei Werten zu finden, teilst du den größeren Wert durch den kleineren. - Überlege dir, wie sich das Verhältnis der Höhen (\(180\) zu \(45\)) unter der Quadratwurzel in der Formel auswirkt.

1. Umstellen der Formel nach \(t\): \(t = \sqrt{\frac{2s}{g}}\) 2. Berechnung für \(h_1 = 45\,\text{m}\): \(t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 45}{9{,}81}} = \sqrt{\frac{90}{9{,}81}} \approx 3{,}0289\,\text{s} \approx 3{,}03\,\text{s}\) 3. Berechnung für \(h_2 = 180\,\text{m}\): \(t_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 180}{9{,}81}} = \sqrt{\frac{360}{9{,}81}} \approx 6{,}0578\,\text{s} \approx 6{,}06\,\text{s}\) 4. Bestimmung des Faktors: \(\frac{t_2}{t_1} = \frac{6{,}06}{3{,}03} = 2\) beziehungsweise exakt \(\frac{\sqrt{360/g}}{\sqrt{90/g}} = \sqrt{\frac{360}{90}} = \sqrt{4} = 2\). 5. Ergebnis: Die Fallzeit verdoppelt sich.

a) \(t_1 \approx 3{,}03\,\text{s}\) und \(t_2 \approx 6{,}06\,\text{s}\) b) Die Fallzeit vergrößert sich um den Faktor \(2\) (sie verdoppelt sich).

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie quadriert? - Denke an die Definition der Quadratwurzel: Kann das Ergebnis einer Wurzelrechnung negativ sein? - Gibt es eine Funktion oder ein Symbol, das eine Zahl immer in ihren positiven Wert umwandelt? - Probiere den Rechenweg schrittweise aus: Erst quadrieren, dann die Wurzel ziehen.

1. Überprüfung für \(a = 5\): Einsetzen ergibt \(\sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5\). In diesem Fall stimmt die Aussage \(5 = 5\). 2. Überprüfung für \(a = -5\): Einsetzen ergibt \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25}\). Da die Quadratwurzel per Definition nichtnegativ ist, gilt \(\sqrt{25} = 5\). 3. Vergleich für \(a = -5\): Da \(5 \neq -5\), ist die ursprüngliche Behauptung \(\sqrt{a^2} = a\) für negative Zahlen falsch. 4. Korrektur der Identität: Da das Ergebnis von \(\sqrt{a^2}\) immer dem Betrag von \(a\) entspricht, lautet die korrekte allgemeine Formel \(\sqrt{a^2} = |a|\) (Betrag von \(a\)).

a) Für \(a = 5\) ist \(\sqrt{5^2} = 5\) (wahr). Für \(a = -5\) ist \(\sqrt{(-5)^2} = 5\), aber \(5 \neq -5\) (falsch). b) Die korrekte Identität lautet \(\sqrt{a^2} = |a|\).

- Wie kannst du eine Zahl vor einer Wurzel in das Wurzelzeichen hineinziehen? - Wenn du zwei positive Zahlen vergleichst, bleibt die Größenbeziehung dieselbe, wenn du beide Zahlen quadrierst. - Nutze die binomischen Formeln, um Ausdrücke wie \((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2\) zu vereinfachen. - Kannst du eine ganze Zahl als Wurzel einer Quadratzahl schreiben, um sie besser mit anderen Wurzeln vergleichen zu können?

1. Vergleich für Teil a: Umformung von \(2\sqrt{5}\) zu \(\sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}\). Da \(20 > 19\) gilt, ist \(\sqrt{20} > \sqrt{19}\). Somit ist \(2\sqrt{5}\) größer als \(\sqrt{19}\). 2. Vergleich für Teil b durch Quadrieren: \((\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 2 + 2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} + 3 = 5 + 2\sqrt{6} = 5 + \sqrt{4 \cdot 6} = 5 + \sqrt{24}\). 3. Quadrieren des zweiten Wertes: \((\sqrt{10})^2 = 10\). Um dies besser vergleichen zu können, schreibe \(10 = 5 + 5 = 5 + \sqrt{25}\). 4. Da \(\sqrt{24} < \sqrt{25}\) ist, folgt \(5 + \sqrt{24} < 5 + \sqrt{25}\). Damit ist \(\sqrt{10}\) größer als \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\).

a) \(2\sqrt{5}\) ist größer. b) \(\sqrt{10}\) ist größer.

- Wann ist eine Quadratwurzel im Bereich der reellen Zahlen überhaupt definiert? - Welche Einschränkung ergibt sich daraus für \(x\) im ersten Term? - Welche Einschränkung ergibt sich für \(x\) im zweiten Term? - Gibt es eine Zahl, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt?

1. Bedingung für den ersten Wurzelterm: Damit \(\sqrt{x - 8}\) definiert ist, muss der Radikand nichtnegativ sein: \(x - 8 \ge 0 \implies x \ge 8\). 2. Bedingung für den zweiten Wurzelterm: Damit \(\sqrt{3 - x}\) definiert ist, muss ebenfalls gelten: \(3 - x \ge 0 \implies x \le 3\). 3. Analyse der gemeinsamen Lösungsmenge: Eine Lösung \(x\) müsste gleichzeitig beide Bedingungen erfüllen, also \(x \ge 8\) und \(x \le 3\). 4. Schlussfolgerung: Es existiert keine reelle Zahl, die gleichzeitig größer oder gleich \(8\) und kleiner oder gleich \(3\) ist. Der gemeinsame Definitionsbereich ist leer, weshalb die Gleichung keine Lösung besitzt.

Die Gleichung ist unlösbar, da der Definitionsbereich leer ist. Der Term \(\sqrt{x - 8}\) erfordert \(x \ge 8\), während der Term \(\sqrt{3 - x}\) gleichzeitig \(x \le 3\) erfordert. Da keine Zahl beide Bedingungen erfüllt, gibt es kein \(x\), für das die Gleichung definiert ist.

- In welcher Reihenfolge werden die Rechenoperationen bei den beiden Termen ausgeführt? - Gibt es Zahlen, die man zwar quadrieren kann, aus denen man aber keine Wurzel ziehen darf? - Probiere doch mal eine negative Zahl wie \(-5\) für beide Terme aus. Was passiert jeweils?

1. Untersuchung von \(T_1(x) = \sqrt{x^2}\): Da das Quadrat einer reellen Zahl \(x^2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets nichtnegativ ist (\(x^2 \ge 0\)), ist der Definitionsbereich \(D_1 = \mathbb{R}\). Das Ergebnis der Wurzel ist der Betrag von \(x\), also \(\sqrt{x^2} = |x|\). 2. Untersuchung von \(T_2(x) = (\sqrt{x})^2\): Hier muss zuerst die Wurzel \(\sqrt{x}\) berechnet werden. Dies ist nur für \(x \ge 0\) definiert. Daher ist der Definitionsbereich \(D_2 = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0\}\). Für diese Werte gilt \((\sqrt{x})^2 = x\). 3. Vergleich: Die Definitionsbereiche sind verschieden (\(\mathbb{R}\) gegenüber \([0; \infty)\)). Für negative \(x\) ist \(T_2\) nicht definiert, während \(T_1\) einen positiven Wert liefert. Für \(x \ge 0\) liefern beide Terme dasselbe Ergebnis \(x\).

Die Definitionsbereiche sind unterschiedlich: \(D_1 = \mathbb{R}\) und \(D_2 = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0\}\). Sie liefern nur für \(x \ge 0\) dasselbe Ergebnis (\(x\)). Für negative \(x\) ist nur \(T_1\) definiert und ergibt \(|x|\).

- Was passiert, wenn du die Zahl \(2\) in die ursprünglichen Wurzelterme einsetzt? - Erinnere dich an die Regel für Radikanden (die Zahlen unter der Wurzel). - Warum ist es wichtig, den Definitionsbereich zu prüfen, bevor man eine Gleichung quadriert?

1. Bestimmung der Definitionsbedingungen: Für \(\sqrt{x-3}\) muss \(x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3\) gelten. Für \(\sqrt{1-x}\) muss \(1-x \ge 0 \Rightarrow x \le 1\) gelten. 2. Vergleich der Bedingungen: Es gibt keine reelle Zahl \(x\), die gleichzeitig \(\ge 3\) und \(\le 1\) ist. Die Definitionsmenge \(D\) ist somit die leere Menge (\(D = \emptyset\)). 3. Prüfung der Scheinlösung: Da \(x=2\) nicht im Definitionsbereich liegt, ist es keine Lösung. Setzt man \(x=2\) ein, erhält man \(\sqrt{-1}\), was in den reellen Zahlen nicht definiert ist. Die Gleichung hat keine Lösung.

\(x = 2\) ist keine Lösung, da die Zahl nicht im Definitionsbereich der Gleichung liegt. Die Definitionsmenge ist leer, da die Bedingungen \(x \ge 3\) und \(x \le 1\) nicht gleichzeitig erfüllt werden können.

- Wie kannst du die Zahlen in eine einheitliche Form bringen, um sie besser vergleichen zu können? - Wenn du die Quadrate der Zahlen vergleichst, was lässt sich daraus für die ursprünglichen Zahlen schließen? - Achte beim Berechnen des Quadrats einer Dezimalzahl sorgfältig auf die Stelle des Kommas.

1. Berechnung der Quadrate der drei Zahlen: \((2\sqrt{11})^2 = 4 \cdot 11 = 44\); \((3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45\); \(6{,}5^2 = 42{,}25\). 2. Vergleich der berechneten Quadratwerte: \(42{,}25 < 44 < 45\). 3. Übertragung der Ordnung auf die ursprünglichen positiven Zahlen: \(6{,}5 < 2\sqrt{11} < 3\sqrt{5}\).

\(6{,}5 < 2\sqrt{11} < 3\sqrt{5}\)

- Ist es einfacher, erst die einzelnen Wurzeln zu ziehen oder die Rechengesetze für Wurzeln anzuwenden? - Achte bei Teilaufgabe c) darauf, ob du unter der Wurzel kürzen kannst, bevor du radizierst. - Wie dividiert man zwei Brüche miteinander?

1. Schrittweise Berechnung für a): \(\sqrt{\frac{16}{9}} \cdot \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{6} = 2\). 2. Schrittweise Berechnung für b): \(\sqrt{\frac{49}{16}} : \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{7}{4} : \frac{5}{4} = \frac{7}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{7}{5}\). 3. Schrittweise Berechnung für c): Zuerst Umwandlung im Radikanden: \(\sqrt{\frac{36}{25} \cdot \frac{25}{16}}\). Kürzen unter der Wurzel ergibt \(\sqrt{\frac{36}{16}}\). Radizieren liefert \(\frac{6}{4} = \frac{3}{2}\).

a) \(2\) b) \(\frac{7}{5}\) c) \(\frac{3}{2}\)

- Wandle den gemischten Bruch zuerst in einen unechten Bruch um. - Was passiert mit der Wurzel eines Wertes, wenn man den Wert unter der Wurzel durch 4 teilt? - Versuche, die Seitenlänge erst als Bruch und dann als Dezimalzahl anzugeben.

1. Umwandlung des gemischten Bruchs in einen unechten Bruch: \(6\frac{19}{25} = \frac{6 \cdot 25 + 19}{25} = \frac{150 + 19}{25} = \frac{169}{25}\). 2. Berechnung der Seitenlänge durch Wurzelziehen: \(a = \sqrt{\frac{169}{25}} = \frac{13}{5}\,\text{cm} = 2{,}6\,\text{cm}\). 3. Analyse der Flächenänderung: Da \(A = a^2\) gilt, führt eine Reduktion der Fläche auf ein Viertel (\(\frac{1}{4} \cdot A\)) zu einer neuen Seitenlänge von \(\sqrt{\frac{1}{4}} \cdot a = \frac{1}{2} \cdot a\). Die Seitenlänge halbiert sich also. 4. Berechnung der neuen Seitenlänge: \(a_{\text{neu}} = \frac{1}{2} \cdot 2{,}6\,\text{cm} = 1{,}3\,\text{cm}\).

a) \(a = 2{,}6\,\text{cm}\) b) Die Seitenlänge halbiert sich (Faktor \(\frac{1}{2}\)). Die neue Seitenlänge beträgt \(1{,}3\,\text{cm}\).

- Erinnere dich an das Ergebnis einer Quadratwurzel: Kann dieses jemals negativ sein? - Setze einmal eine Zahl kleiner als 4 in den Ausdruck \(x-4\) ein und vergleiche das Ergebnis mit dem Wert der Wurzel. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie zuerst quadriert und dann die Wurzel zieht?

1. Berechnung der Termwerte für Teil a: Für \(x = 1\): \(T(1) = \sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\). Für \(x = 7\): \(T(7) = \sqrt{(7-4)^2} = \sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3\). 2. Analyse der Behauptung für Teil b: Die Definition der Quadratwurzel besagt, dass \(\sqrt{a^2} = |a|\) (der Betrag von \(a\)). Somit gilt \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\). Die Gleichung \(|x-4| = x-4\) ist nur dann erfüllt, wenn der Ausdruck innerhalb des Betrags nicht negativ ist. Es muss also gelten: \(x - 4 \ge 0\). Daraus folgt durch Umformung: \(x \ge 4\). Für \(x < 4\) ist der Wert des Terms positiv, während \(x-4\) negativ wäre, was einen Widerspruch ergibt.

a) Für \(x = 1\) ist der Wert \(3\); für \(x = 7\) ist der Wert \(3\). b) Die Behauptung ist falsch. Die Gleichung gilt genau für alle \(x \ge 4\).

- Zu (1): Teste einfache Quadratzahlen wie 9 und 16. - Zu (2): Was ist \(\sqrt{(-5)^2}\)? Vergleiche das Ergebnis mit \(-(-5)\). - Zu (3): Welche Werte kann ein Quadrat \((\ldots)^2\) annehmen? Was passiert, wenn ein Minuszeichen davor steht? Wann ist dieser Ausdruck nicht negativ?

1. Überprüfung von Aussage (1): Wähle ein Gegenbeispiel: \(a = 9, b = 16\). Linke Seite: \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\). Rechte Seite: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). Da \(7 \neq 5\), ist die Aussage falsch. 2. Überprüfung von Aussage (2): Es gilt \(\sqrt{x^2} = |x|\). Die Gleichung lautet also \(|x| = -x\). Diese Gleichung ist nach der Definition des Betrags für alle \(x \le 0\) wahr. Da es unendlich viele Zahlen kleiner oder gleich Null gibt, ist die Aussage wahr. 3. Überprüfung von Aussage (3): Der Radikand einer Quadratwurzel muss nichtnegativ sein: \(-(x-5)^2 \ge 0\). Multiplikation mit \(-1\) dreht das Relationszeichen: \((x-5)^2 \le 0\). Ein Quadrat einer reellen Zahl ist niemals negativ, es kann nur \(\ge 0\) sein. Die einzige Möglichkeit, die Bedingung zu erfüllen, ist \((x-5)^2 = 0\). Dies ist nur für \(x = 5\) der Fall. Die Aussage ist wahr.

(1) Falsch. Gegenbeispiel: \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7 \neq \sqrt{25} = 5\). (2) Wahr. Die Gleichung gilt für alle \(x \le 0\). (3) Wahr. Der Ausdruck ist nur für \(x = 5\) definiert.

- Was passiert, wenn du eine Quadratwurzel quadrierst? - Wie berechnest du die Seitenlänge, wenn du den verdoppelten Flächeninhalt kennst? - Erinnerst du dich, wie man Wurzelterme vereinfacht oder den Nenner rational macht?

1. Der Flächeninhalt des ersten Quadrats ist \(A_1 = a_1^2 = (\sqrt{18}\,\text{cm})^2 = 18\,\text{cm}^2\). 2. Der Flächeninhalt des zweiten Quadrats ist \(A_2 = 2 \cdot A_1 = 36\,\text{cm}^2\). Die Seitenlänge ist somit \(a_2 = \sqrt{36\,\text{cm}^2} = 6\,\text{cm}\). 3. Das Verhältnis der Seitenlängen ist \(\frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{\sqrt{18}}\). Durch teilweises Wurzelziehen im Nenner (\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\)) ergibt sich \(\frac{6}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}\). Durch Rationalmachen des Nenners folgt \(\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\).

1. \(A_1 = 18\,\text{cm}^2\) 2. \(a_2 = 6\,\text{cm}\) 3. Das Verhältnis ist \(\sqrt{2}\).