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- Überlege, welche Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss, um den Wert unter der Wurzel zu ergeben. - Achte bei Dezimalzahlen auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Quadrieren. - Kannst du die Aufgabe vereinfachen, indem du die Zahl erst ohne Komma betrachtest?

1. Berechnung von \(\sqrt{900}\): Da \(30^2 = 900\), ist \(\sqrt{900} = 30\). 2. Berechnung von \(\sqrt{0{,}01}\): Da \(0{,}1^2 = 0{,}01\), ist \(\sqrt{0{,}01} = 0{,}1\). 3. Berechnung von \(\sqrt{1{,}96}\): Da \(1{,}4^2 = 1{,}96\), ist \(\sqrt{1{,}96} = 1{,}4\). 4. Berechnung von \(\sqrt{6{,}25}\): Da \(2{,}5^2 = 6{,}25\), ist \(\sqrt{6{,}25} = 2{,}5\).

a) \(30\) b) \(0{,}1\) c) \(1{,}4\) d) \(2{,}5\)

- Wie hängen der Flächeninhalt und die Seitenlänge bei einem Quadrat zusammen? - Welche Rechenoperation kehrt das Quadrieren einer Zahl um? - Denk an die Umrechnung von Metern in Zentimeter.

1. Berechnung der Seitenlänge in Metern durch Ziehen der Quadratwurzel aus dem Flächeninhalt: \(s = \sqrt{0{,}49\,\text{m}^2} = 0{,}7\,\text{m}\). 2. Umrechnung der Seitenlänge von Metern in Zentimeter: \(0{,}7\,\text{m} = 70\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge der Glasplatte beträgt \(70\,\text{cm}\).

- Was weißt du über die Quadratwurzel von \(144\)? - Wie verändert sich die Anzahl der Nachkommastellen, wenn man eine Dezimalzahl quadriert? - Gibt es außer einer positiven Zahl noch eine andere Zahl, die mit sich selbst multipliziert ein positives Ergebnis liefert?

1. Zur Berechnung von \(\sqrt{0{,}0144}\) betrachte die zugrunde liegende Quadratzahl: \(12^2 = 144\). 2. Da der Radikand \(0{,}0144\) vier Nachkommastellen besitzt, muss die Quadratwurzel zwei Nachkommastellen haben: \(\sqrt{0{,}0144} = 0{,}12\). 3. Gesucht sind alle Zahlen \(x\), für die \(x^2 = 0{,}0144\) gilt. Dies sind die positive Wurzel und ihre Gegenzahl: \(x_1 = 0{,}12\) und \(x_2 = -0{,}12\).

\(\sqrt{0{,}0144} = 0{,}12\). Die Zahlen, deren Quadrat \(0{,}0144\) ergibt, sind \(0{,}12\) und \(-0{,}12\).

- Überlege dir für jede Aussage, welche Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss. - Was passiert, wenn du eine negative Zahl mit sich selbst multiplizierst? - Erinnere dich an die Definition von rationalen und irrationalen Zahlen. - Wie verändert sich das Komma beim Quadrieren einer Dezimalzahl?

1. Aussage a) ist wahr, da \(12^2 = 12 \cdot 12 = 144\) gilt. 2. Aussage b) ist falsch, da die Quadratwurzel im Bereich der reellen Zahlen nur für nichtnegative Zahlen definiert ist; zudem ist \((-5)^2 = 25\) und nicht \(-25\). 3. Aussage c) ist wahr, da \(0{,}2^2 = 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04\) gilt. 4. Aussage d) ist falsch, da \(\sqrt{7}\) eine irrationale Zahl ist und somit nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Falsch

- Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss, um den Wert unter der Wurzel zu ergeben. - Achte genau darauf, ob ein Minuszeichen innerhalb oder außerhalb der Wurzel steht. - Bei Dezimalzahlen hilft es oft, diese kurzzeitig als Brüche zu betrachten (z. B. Hundertstel). - Potenzgesetze können beim Rechnen mit Zehnerpotenzen sehr nützlich sein.

1. Berechnung von \( \sqrt{1{,}69} \): Da \( 1{,}3^2 = 1{,}69 \), ist \( \sqrt{1{,}69} = 1{,}3 \). 2. Berechnung von \( \sqrt{(-7)^2} \): Zuerst wird das Quadrat berechnet, \( (-7)^2 = 49 \). Dann ist \( \sqrt{49} = 7 \). 3. Untersuchung von \( \sqrt{-0{,}04} \): Der Ausdruck ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert, da der Radikand \( -0{,}04 \) negativ ist. 4. Berechnung von \( -\sqrt{\frac{25}{144}} \): Die Wurzel aus dem Bruch ist \( \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{144}} = \frac{5}{12} \). Mit dem negativen Vorzeichen ergibt sich \( -\frac{5}{12} \). 5. Berechnung von \( \sqrt{10^4} \): Da \( 10^4 = 10\,000 \) und \( 100^2 = 10\,000 \), ist \( \sqrt{10^4} = 100 \) (oder allgemein \( \sqrt{10^4} = 10^{\frac{4}{2}} = 10^2 \)).

a) \( 1{,}3 \) b) \( 7 \) c) Nicht definiert, da der Radikand negativ ist. d) \( -\frac{5}{12} \) e) \( 100 \)

- Überlege dir zuerst, welche Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss, um die Grundzahl (ohne Komma oder Nullen) zu ergeben. - Wie viele Nullen oder Nachkommastellen kommen hinzu, wenn du eine Zahl wie \(10\) oder \(0{,}1\) quadrierst? - Was passiert mit der Anzahl der Nachkommastellen beim Wurzelziehen? - Kannst du ein Muster erkennen, wie sich das Ergebnis verändert, wenn das Komma im Radikanden um zwei Stellen wandert?

1. Bestimmung der Quadratwurzeln für Teil a): Da \(15^2 = 225\), ist \(\sqrt{225} = 15\). Eine Verschiebung des Kommas im Radikanden um zwei Stellen nach rechts oder links bewirkt eine Verschiebung des Kommas im Ergebnis um eine Stelle. Somit ist \(\sqrt{2{,}25} = 1{,}5\) und \(\sqrt{22\,500} = 150\). 2. Bestimmung der Quadratwurzeln für Teil b): Da \(12^2 = 144\), ist \(\sqrt{144} = 12\). Durch die Verschiebung des Kommas um zwei Stellen nach links ergibt sich \(\sqrt{1{,}44} = 1{,}2\). Eine weitere Verschiebung um zwei Stellen nach links im Radikanden führt zu \(\sqrt{0{,}0144} = 0{,}12\).

a) \(1{,}5\); \(15\); \(150\) b) \(0{,}12\); \(1{,}2\); \(12\)

- Kannst du die Dezimalzahlen als Brüche schreiben, deren Nenner eine Zehnerpotenz wie \(100\) oder \(10\,000\) ist? - Helfen dir die Quadratzahlen von 1 bis 20 bei der Lösung? - Wie viele Nullen hat das Quadrat einer Zahl im Vergleich zur Zahl selbst? - Überlege, wie sich das Komma beim Quadrieren einer Dezimalzahl verschiebt.

1. Berechnung von \( \sqrt{2{,}25} \): Umwandlung in einen Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{225}{100}} = \frac{15}{10} = 1{,}5 \). 2. Berechnung von \( \sqrt{0{,}0004} \): Umwandlung in einen Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{4}{10000}} = \frac{2}{100} = 0{,}02 \). 3. Berechnung von \( \sqrt{12\,100} \): Zerlegung in Faktoren ergibt \( \sqrt{121 \cdot 100} = 11 \cdot 10 = 110 \). 4. Berechnung von \( \sqrt{0{,}0169} \): Umwandlung in einen Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{169}{10000}} = \frac{13}{100} = 0{,}13 \). 5. Berechnung von \( \sqrt{90\,000} \): Zerlegung in Faktoren ergibt \( \sqrt{9 \cdot 10\,000} = 3 \cdot 100 = 300 \).

a) \( 1{,}5 \) b) \( 0{,}02 \) c) \( 110 \) d) \( 0{,}13 \) e) \( 300 \)

- Berechne zuerst die Seitenlänge des bekannten Quadrats. - Wie groß ist der Flächeninhalt des zweiten Quadrats? - Bestimme dann die neue Seitenlänge und vergleiche beide Ergebnisse.

1. Berechnung der Seitenlänge des ersten Grundstücks: \(s_1 = \sqrt{225\,\text{m}^2} = 15\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des zweiten Grundstücks: \(A_2 = 4 \cdot 225\,\text{m}^2 = 900\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Seitenlänge des zweiten Grundstücks: \(s_2 = \sqrt{900\,\text{m}^2} = 30\,\text{m}\). 4. Berechnung der Differenz der Seitenlängen: \(30\,\text{m} - 15\,\text{m} = 15\,\text{m}\).

Die Seitenlänge des größeren Grundstücks ist um \(15\,\text{m}\) länger als die des kleineren.

- Zerlege die komplexeren Ausdrücke in einzelne Terme und berechne diese zuerst. - Erinnere dich daran, dass \( \sqrt{x^2} \) immer ein nichtnegatives Ergebnis liefert. - Achte bei Multiplikationen besonders auf die Vorzeichenregeln.

1. Teil a): \( \sqrt{12^2} = 12 \) und \( \sqrt{(-12)^2} = |-12| = 12 \). Die Differenz ist \( 12 - 12 = 0 \). 2. Teil b): \( (\sqrt{15})^2 = 15 \) und \( (-\sqrt{15})^2 = 15 \). Die Summe ist \( 15 + 15 = 30 \). 3. Teil c): \( \sqrt{(-8)^2} = 8 \) und \( -\sqrt{8^2} = -8 \). Das Produkt ist \( 8 \cdot (-8) = -64 \).

a) \( 0 \) b) \( 30 \) c) \( -64 \)

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Fläche eines Quadrats und seiner Seitenlänge? - Wie viele gleich lange Seiten begrenzen ein Quadrat? - Achte beim Wurzelziehen besonders auf die Anzahl der Nachkommastellen.

1. Berechnung der Seitenlänge \(a\) durch Ziehen der Quadratwurzel aus dem Flächeninhalt: \(a = \sqrt{A}\). 2. Berechnung des Umfangs \(U\) durch Multiplikation der Seitenlänge mit 4: \(U = 4a\). 3. Fall (1): \(a = \sqrt{1{,}44\,\text{m}^2} = 1{,}2\,\text{m}\). Damit ergibt sich \(U = 4 \cdot 1{,}2\,\text{m} = 4{,}8\,\text{m}\). 4. Fall (2): \(a = \sqrt{0{,}0025\,\text{km}^2} = 0{,}05\,\text{km}\). Damit ergibt sich \(U = 4 \cdot 0{,}05\,\text{km} = 0{,}2\,\text{km}\). 5. Fall (3): \(a = \sqrt{169\,\text{cm}^2} = 13\,\text{cm}\). Damit ergibt sich \(U = 4 \cdot 13\,\text{cm} = 52\,\text{cm}\).

(1) \(a = 1{,}2\,\text{m}\); \(U = 4{,}8\,\text{m}\) (2) \(a = 0{,}05\,\text{km}\); \(U = 0{,}2\,\text{km}\) (3) \(a = 13\,\text{cm}\); \(U = 52\,\text{cm}\)

- Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss, um den Wert auf der rechten Seite zu ergeben. - Was weißt du über das Vorzeichen eines Ergebnisses, wenn du eine Zahl quadrierst? - Bei Dezimalzahlen hilft es oft, diese kurzzeitig als Brüche zu betrachten (z. B. \(1{,}44 = \frac{144}{100}\)). - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 = a\) (mit \(a > 0\)) immer zwei Lösungen hat.

1. a) Die Gleichung \( x^2 = 1{,}44 \) hat zwei Lösungen: \( x_1 = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2 \) und \( x_2 = -1{,}2 \). 2. b) Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, hat \( y^2 = -0{,}16 \) keine reelle Lösung. 3. c) Ziehen der Wurzel aus dem Bruch: \( z = \pm\sqrt{\frac{49}{100}} = \pm\frac{7}{10} \). Die Lösungen sind \( z_1 = 0{,}7 \) und \( z_2 = -0{,}7 \). 4. d) Umstellen der Gleichung: \( w^2 = 2500 \). Ziehen der Wurzel ergibt \( w_1 = 50 \) und \( w_2 = -50 \).

a) \( x = 1{,}2 \) oder \( x = -1{,}2 \) b) keine reelle Lösung c) \( z = 0{,}7 \) oder \( z = -0{,}7 \) d) \( w = 50 \) oder \( w = -50 \)

- Was ist die Umkehroperation zum Wurzelziehen? - Wie berechnet man das Quadrat einer Dezimalzahl im Kopf? - Überlege, wie viele Nachkommastellen das Quadrat einer Zahl mit einer Nachkommastelle hat.

1. Berechnung der Quadrate der rechten Seiten: a) \(14^2 = 196\). Die Platzhalter sind \(9\) und \(6\). b) \(0{,}6^2 = 0{,}36\). Die Platzhalter sind \(3\) und \(6\). c) \(25^2 = 625\). Die Platzhalter sind \(2\) und \(5\). d) \(1{,}1^2 = 1{,}21\). Die Platzhalter sind \(2\) und \(1\).

a) \(\sqrt{196} = 14\) b) \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\) c) \(\sqrt{625} = 25\) d) \(\sqrt{1{,}21} = 1{,}1\)

- Was bedeutet das Symbol \(\sqrt{}\) genau? - Gibt es außer einer positiven Zahl noch eine andere Zahl, die beim Quadrieren ein positives Ergebnis liefert? - Unterscheide zwischen einer Rechenoperation (Wurzelziehen) und dem Suchen nach Unbekannten in einer Gleichung.

1. Definition der Quadratwurzel: \(\sqrt{a}\) bezeichnet für \(a \ge 0\) diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat \(a\) ergibt. Somit ist \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\) ein eindeutiger, positiver Wert. 2. Lösen der Gleichung \(x^2 = 5\): Gesucht sind alle Zahlen, die quadriert \(5\) ergeben. 3. Überprüfung der Quadrate: Es gilt \((\sqrt{5})^2 = 5\) und auch \((-\sqrt{5})^2 = (-1)^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 1 \cdot 5 = 5\). 4. Ergebnis: Die Gleichung besitzt zwei Lösungen, \(x_1 = \sqrt{5}\) und \(x_2 = -\sqrt{5}\). Lukas hat recht damit, dass der Wert der Wurzel positiv ist, aber er zieht den falschen Schluss für die Lösungsmenge der Gleichung.

Lukas hat nicht recht. Zwar ist der Wert des Terms \(\sqrt{5}\) nach Definition stets positiv, aber die Gleichung \(x^2 = 5\) fragt nach allen Zahlen, deren Quadrat \(5\) ist. Da sowohl \((\sqrt{5})^2 = 5\) als auch \((-\sqrt{5})^2 = 5\) gilt, ist die Lösungsmenge \(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\).

- Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss, um den Wert unter der Wurzel zu ergeben. - Wandle gemischte Zahlen vor dem Wurzelziehen in einen unechten Bruch um. - Achte bei Dezimalzahlen besonders auf die Anzahl der Nachkommastellen.

1. Berechnung der Quadratwurzeln: \( \sqrt{0{,}81} = 0{,}9 \); \( \sqrt{0{,}01} = 0{,}1 \); \( \sqrt{0{,}49} = 0{,}7 \); \( \sqrt{1\frac{7}{9}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3} \); \( \sqrt{1{,}44} = 1{,}2 \). 2. Durchführung der Grundrechenarten: a) \( 0{,}9 - 0{,}2 = 0{,}7 \) b) \( 0{,}1 + 0{,}7 = 0{,}8 \) c) \( \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \) d) \( 0{,}5 \cdot 1{,}2 = 0{,}6 \)

a) \( 0{,}7 \) b) \( 0{,}8 \) c) \( 1 \) d) \( 0{,}6 \)

- Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^2 = a\) im Vergleich zum Wert des Terms \(\sqrt{a}\)? - Überlege, welche Vorzeichen die Zahlen haben können, deren Quadrat eine bestimmte positive Zahl ergibt. - Was besagt die Definition der Quadratwurzel über das Vorzeichen des Ergebnisses? - Schreibe dir alle Kombinationen der gefundenen Einzelwerte für die Summenbildung systematisch auf.

1. Bestimmung der Lösungen für \(x^2 = 36\): \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -6\). 2. Bestimmung der Lösungen für \(y^2 = 4\): \(y_1 = 2\) und \(y_2 = -2\). 3. Berechnung aller möglichen Summenkombinationen: \(6 + 2 = 8\), \(6 + (-2) = 4\), \(-6 + 2 = -4\) und \(-6 + (-2) = -8\). Es gibt somit vier verschiedene Werte für \(x + y\). 4. Anwendung der Definition der arithmetischen Quadratwurzel: Die Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) ist als diejenige nichtnegative Zahl definiert, deren Quadrat \(a\) ergibt. 5. Berechnung des Terms: \(\sqrt{36} = 6\) und \(\sqrt{4} = 2\). Die Summe ist \(6 + 2 = 8\). Da die Wurzelwerte eindeutig als nichtnegativ festgelegt sind, ergibt sich nur ein einziger Wert für den Term.

a) Die möglichen Werte für \(x+y\) sind \(-8\), \(-4\), \(4\) und \(8\). b) Der Wert ist \(8\). Im Mathematikunterricht ist die Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) als die eindeutige, nichtnegative Zahl definiert, deren Quadrat \(a\) ist (arithmetische Wurzel).

- Überlege dir, für welche Zahlen die Quadratwurzel definiert ist. - Welche typische Form haben Graphen von Quadrat- oder Kehrwertfunktionen? - Setze einfache Zahlen wie 1, 4 oder 9 für \(x\) ein und berechne die zugehörigen \(y\)-Werte. - Vergleiche die berechneten Punkte mit dem Verlauf der gezeigten Graphen.

1. Analyse der Graphenformen: Graph a stellt eine Parabel dar (\(y=x^2\)), Graph c eine Hyperbel (\(y=\frac{1}{x}\)) und Graph d eine lineare Funktion (Gerade). 2. Charakteristik der Wurzelfunktion: Die Funktion \(f(x) = \sqrt{x}\) ist nur für \(x \ge 0\) definiert und beginnt im Ursprung \((0 \mid 0)\). Ihr Graph (Graph b) steigt zunächst steil an und wird dann zunehmend flacher. 3. Punktprobe: Wir setzen \(x=4\) in die Funktionsgleichung ein: \(f(4) = \sqrt{4} = 2\). Der Punkt \(P(4 \mid 2)\) muss also auf dem Graphen liegen. 4. Abgleich mit der Grafik: Nur Graph b verläuft durch den Punkt \((4 \mid 2)\).

Graph b stellt die Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{x}\) dar, denn \(f(4) = 2\) und damit liegt \(P(4 \mid 2)\) auf diesem Graphen.

- Setze beispielhaft positive Zahlen, negative Zahlen und die Null für die Variable ein. - Denk an die Definition der Quadratwurzel: Welches Vorzeichen hat das Ergebnis einer Wurzel immer? - Wann ist eine Wurzelrechnung im Bereich der reellen Zahlen überhaupt erlaubt?

1. Analyse von \( \sqrt{x^2} = x \): Die Quadratwurzel ist per Definition immer nichtnegativ. Für negative \( x \) (z. B. \( x = -3 \)) gilt \( \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \), was nicht \( x \) entspricht. Die Aussage ist daher nur für \( x \geq 0 \) wahr. 2. Analyse von \( (\sqrt{x})^2 = x \): Der Ausdruck \( \sqrt{x} \) ist nur definiert, wenn der Radikand nicht negativ ist, also \( x \geq 0 \). Für alle diese Werte gilt die Identität tatsächlich. Die Aussage ist daher nur für \( x \geq 0 \) wahr. 3. Analyse von \( \sqrt{-x} \): Damit die Wurzel im reellen Bereich definiert ist, muss der Radikand \( -x \geq 0 \) sein. Dies ist genau dann der Fall, wenn \( x \leq 0 \) ist. Die Aussage ist daher nur für \( x \leq 0 \) wahr.

a) Nur wahr für \( x \geq 0 \). b) Nur wahr für \( x \geq 0 \). c) Nur wahr für \( x \leq 0 \).

- Rechne zuerst die Flächeneinheit Ar in Quadratmeter um. - Wie berechnet man die Seitenlänge eines Quadrats, wenn die Fläche bekannt ist? - Wenn die Fläche 100-mal größer ist, ist dann auch die Seite 100-mal länger? - Welche Rechenoperation verbindet die Fläche mit der Seite? - Was passiert mit der Wurzel, wenn der Wert unter der Wurzel mit 100 multipliziert wird?

1. Umrechnung und Seitenlänge 1: Der Flächeninhalt \(A_1 = 0{,}64\,\text{a} = 64\,\text{m}^2\). Die Seitenlänge ist \(s_1 = \sqrt{64\,\text{m}^2} = 8\,\text{m}\). 2. Umrechnung und Seitenlänge 2: Der Flächeninhalt \(A_2 = 64\,\text{m}^2 \cdot 100 = 6400\,\text{m}^2\). Die Seitenlänge ist \(s_2 = \sqrt{6400\,\text{m}^2} = 80\,\text{m}\). 3. Verhältnis der Seitenlängen: \(s_2 {:} s_1 = 80\,\text{m} {:} 8\,\text{m} = 10\). 4. Mathematischer Zusammenhang: Wenn sich die Fläche um den Faktor \(k\) vergrößert, vergrößert sich die Seitenlänge um den Faktor \(\sqrt{k}\). Hier ist \(k = 100\), also ist der Seitenfaktor \(\sqrt{100} = 10\). Die kleine Seitenlänge passt 10-mal in die große.

a) \(s_1 = 8\,\text{m}\); \(s_2 = 80\,\text{m}\) b) Die Seitenlänge passt 10-mal hinein. Wenn die Fläche um den Faktor 100 wächst, wächst die Seitenlänge um den Faktor \(\sqrt{100} = 10\).

- Wie geht man mit gemischten Zahlen unter der Wurzel um? Kann man sie in eine andere Form bringen? - Was bedeutet ein Minuszeichen vor der Wurzel im Gegensatz zu einem Minuszeichen unter der Wurzel? - Erinnerst du dich an die Quadratzahlen bis 20?

1. Berechnung von \( \sqrt{\frac{144}{289}} \): Da \( 12^2 = 144 \) und \( 17^2 = 289 \), ist das Ergebnis \( \frac{12}{17} \). 2. Berechnung von \( \sqrt{1\frac{13}{36}} \): Umwandlung des gemischten Bruchs in einen unechten Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{36+13}{36}} = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6} \). 3. Berechnung von \( -\sqrt{\frac{1}{10000}} \): Die Wurzel aus dem Bruch ist \( \frac{1}{100} \), mit dem Minuszeichen davor ergibt sich \( -0{,}01 \). 4. Untersuchung von \( \sqrt{-1{,}44} \): Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. 5. Berechnung von \( \sqrt{3\frac{1}{16}} \): Umwandlung in einen unechten Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{48+1}{16}} = \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4} \).

a) \( \frac{12}{17} \) b) \( \frac{7}{6} \) (oder \( 1\frac{1}{6} \)) c) \( -0{,}01 \) (oder \( -\frac{1}{100} \)) d) Nicht definiert (in \( \mathbb{R} \)) e) \( \frac{7}{4} \) (oder \( 1{,}75 \))

- Was bedeutet es für die Fläche, wenn ein Objekt umgeformt wird? - Wie findest du die Seitenlänge eines Quadrats, wenn du seinen Flächeninhalt kennst? - Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks und eines Quadrats?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Rechtecks: \(A = 2\,\text{cm} \cdot 18\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung der Seitenlänge des flächengleichen Quadrats: \(s = \sqrt{36\,\text{cm}^2} = 6\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Umfangs des ursprünglichen Rechtecks: \(U_{\text{Rechteck}} = 2 \cdot (2\,\text{cm} + 18\,\text{cm}) = 40\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Umfangs des Quadrats: \(U_{\text{Quadrat}} = 4 \cdot 6\,\text{cm} = 24\,\text{cm}\). 5. Vergleich der Umfänge: \(40\,\text{cm} - 24\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\).

Der Umfang des Quadrats ist mit \(24\,\text{cm}\) um \(16\,\text{cm}\) kürzer als der Umfang des Rechtecks (\(40\,\text{cm}\)).

- Kannst du die Dezimalzahlen als Brüche schreiben oder sie gedanklich mit 100 multiplizieren, um bekannte Quadratzahlen zu finden? - Wie hängen die Einheiten Ar und Quadratmeter zusammen? - Gibt es eine Regel, wie man die Wurzel aus einem Bruch zieht?

1. Teilaufgabe a): Berechnung der Quadratwurzel aus \(5{,}29\). Da \(23^2 = 529\), folgt \(\sqrt{5{,}29} = 2{,}3\). Die Seitenlänge beträgt \(a = 2{,}3\,\text{cm}\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Wurzelgesetze für Brüche \(\sqrt{\frac{z}{n}} = \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{n}}\). Mit \(\sqrt{144} = 12\) und \(\sqrt{289} = 17\) ergibt sich \(a = \frac{12}{17}\,\text{dm}\). 3. Teilaufgabe c): Umrechnung der Einheit Ar in Quadratmeter: \(0{,}0121\,\text{a} = 1{,}21\,\text{m}^2\). Ziehen der Wurzel: \(\sqrt{1{,}21} = 1{,}1\). Die Seitenlänge beträgt \(a = 1{,}1\,\text{m}\).

a) \(a = 2{,}3\,\text{cm}\) b) \(a = \frac{12}{17}\,\text{dm}\) c) \(a = 1{,}1\,\text{m}\)

- Wie berechnet man die Seitenlänge eines Quadrats, wenn man den Flächeninhalt kennt? - Wenn der Umfang eines Quadrats doppelt so groß ist, was bedeutet das für seine Seitenlänge? - Wie ändert sich der Flächeninhalt, wenn sich die Seitenlänge verdoppelt?

1. Berechnung der Seitenlänge des ersten Quadrats: \(a_1 = \sqrt{7{,}84\,\text{m}^2} = 2{,}8\,\text{m}\) (da \(28^2 = 784\)). 2. Bestimmung des Zusammenhangs zwischen Umfang und Seitenlänge: Da der Umfang \(U = 4a\) proportional zur Seitenlänge ist, führt eine Verdopplung des Umfangs zu einer Verdopplung der Seitenlänge. 3. Berechnung der neuen Seitenlänge: \(a_2 = 2 \cdot 2{,}8\,\text{m} = 5{,}6\,\text{m}\). 4. Berechnung des neuen Flächeninhalts: \(A_2 = (5{,}6\,\text{m})^2 = 31{,}36\,\text{m}^2\).

Die Seitenlänge des zweiten Plakats beträgt \(5{,}6\,\text{m}\) und der Flächeninhalt beträgt \(31{,}36\,\text{m}^2\).

- Wandle den gemischten Bruch zuerst in einen unechten Bruch um. - Was passiert mit der Wurzel eines Wertes, wenn man den Wert unter der Wurzel durch 4 teilt? - Versuche, die Seitenlänge erst als Bruch und dann als Dezimalzahl anzugeben.

1. Umwandlung des gemischten Bruchs in einen unechten Bruch: \(6\frac{19}{25} = \frac{6 \cdot 25 + 19}{25} = \frac{150 + 19}{25} = \frac{169}{25}\). 2. Berechnung der Seitenlänge durch Wurzelziehen: \(a = \sqrt{\frac{169}{25}} = \frac{13}{5}\,\text{cm} = 2{,}6\,\text{cm}\). 3. Analyse der Flächenänderung: Da \(A = a^2\) gilt, führt eine Reduktion der Fläche auf ein Viertel (\(\frac{1}{4} \cdot A\)) zu einer neuen Seitenlänge von \(\sqrt{\frac{1}{4}} \cdot a = \frac{1}{2} \cdot a\). Die Seitenlänge halbiert sich also. 4. Berechnung der neuen Seitenlänge: \(a_{\text{neu}} = \frac{1}{2} \cdot 2{,}6\,\text{cm} = 1{,}3\,\text{cm}\).

a) \(a = 2{,}6\,\text{cm}\) b) Die Seitenlänge halbiert sich (Faktor \(\frac{1}{2}\)). Die neue Seitenlänge beträgt \(1{,}3\,\text{cm}\).

- Berechne für jeden Term Schritt für Schritt den Wert. - Überlege dir, welche Operationen (Quadrieren, Wurzelziehen) sich gegenseitig aufheben und unter welchen Bedingungen das gilt. - Achte darauf, an welcher Stelle das Minuszeichen steht und ob es durch ein Quadrat beeinflusst wird.

1. Berechnung von \( A \): \( \sqrt{(\frac{4}{9})^2} = \frac{4}{9} \). 2. Berechnung von \( B \): \( (\sqrt{\frac{4}{9}})^2 = \frac{4}{9} \). 3. Berechnung von \( C \): Da \( (-\frac{4}{9})^2 = (\frac{4}{9})^2 \), gilt \( \sqrt{(-\frac{4}{9})^2} = \frac{4}{9} \). 4. Berechnung von \( D \): Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv, also \( (-\sqrt{\frac{4}{9}})^2 = \frac{4}{9} \). 5. Berechnung von \( E \): Das Minuszeichen steht außerhalb der Wurzel und wird nicht mitquadriert, daher \( -\sqrt{(\frac{4}{9})^2} = -\frac{4}{9} \). 6. Ergebnis: Der gemeinsame Wert ist \( \frac{4}{9} \); Term \( E \) passt nicht.

Der gemeinsame Wert ist \( \frac{4}{9} \). Der Term \( E \) passt nicht zu den anderen.

- Aus wie vielen Einzelflächen besteht die Oberfläche eines Würfels? - Wenn du die Fläche einer Seite kennst, wie findest du dann die Länge einer Kante heraus? - Welche Formel benötigst du am Ende für den Rauminhalt?

1. Berechnung des Flächeninhalts einer einzelnen Quadratseite des Würfels: \(A_{\text{Seite}} = O {:} 6 = 486\,\text{cm}^2 {:} 6 = 81\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Kantenlänge \(a\) durch Ziehen der Quadratwurzel: \(a = \sqrt{81\,\text{cm}^2} = 9\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Volumens \(V\) mit der Formel \(V = a^3\): \(V = (9\,\text{cm})^3 = 729\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Würfels beträgt \(V = 729\,\text{cm}^3\).

- Berechne zuerst die konkreten Längen für die gegebenen Zahlen. - Was fällt dir auf, wenn du die Ergebnisse aus Teil a) vergleichst? - Wie wirkt sich ein Faktor unter einer Quadratwurzel auf das Ergebnis aus? - Versuche, in der Formel den Faktor 4 „nach draußen“ vor die Wurzel zu ziehen.

1. Berechnung der Kantenlängen: \(a_1 = \sqrt{150 {:} 6} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}\) und \(a_2 = \sqrt{600 {:} 6} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\). 2. Bestimmung des Verhältnisses: \(a_2 {:} a_1 = 10 {:} 5 = 2\). Die Kantenlänge des größeren Würfels ist doppelt so lang. 3. Allgemeine Begründung: Setzt man den neuen Oberflächeninhalt \(O_{\text{neu}} = 4O\) in die Formel ein, erhält man \(a_{\text{neu}} = \sqrt{\frac{4O}{6}} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{\frac{O}{6}} = 2a\). 4. Schlussfolgerung: Bei einer Vervierfachung des Oberflächeninhalts verdoppelt sich die Kantenlänge.

a) \(a_1 = 5\,\text{cm}\); \(a_2 = 10\,\text{cm}\) b) Das Verhältnis ist \(2 {:} 1\). c) Wenn der Oberflächeninhalt vervierfacht wird, verdoppelt sich die Kantenlänge, da \(\sqrt{4} = 2\) gilt.

- Welche Zahl muss mit sich selbst multipliziert werden, um \(169\) zu ergeben? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst? - Kann ein Quadrat in den reellen Zahlen jemals einen negativen Wert annehmen?

1. Für \(a = 1{,}69\) lautet die Gleichung \(x^2 = 1{,}69\). Da \(13^2 = 169\) ist, folgt \(\sqrt{1{,}69} = 1{,}3\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1{,}3\) und \(x_2 = -1{,}3\). 2. Das Quadrat einer jeden reellen Zahl \(x\) ist stets größer oder gleich Null (\(x^2 \geq 0\)). 3. Da \(a = -1{,}69\) negativ ist, gibt es keine reelle Zahl \(x\), deren Quadrat diesen Wert ergibt. Die Tatsache, dass \((-1{,}3)^2 = 1{,}69\) positiv ist, bestätigt lediglich, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist.

a) Die Lösungen sind \(1{,}3\) und \(-1{,}3\). b) Quadrate reeller Zahlen sind niemals negativ, daher hat \(x^2 = -1{,}69\) keine Lösung.

- Achte bei Aufgabenteil a) auf die Reihenfolge der Rechenoperationen: Was berechnest du zuerst? - Welche Bedingung muss eine Zahl erfüllen, damit man aus ihr die Quadratwurzel ziehen kann? - Kannst du eine Zahl finden, die quadriert \(121\) ergibt? Überlege, ob es mehr als eine gibt.

1. Berechnung von \(A\): Zuerst wird der Term unter der Wurzel berechnet: \((-8)^2 = 64\). Dann wird die Wurzel gezogen: \(\sqrt{64} = 8\). 2. Definition von \(B\): Die Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) ist im Bereich der reellen Zahlen nur für Radikanden \(a \geq 0\) definiert. Da \(-8 < 0\) ist, existiert \(\sqrt{-8}\) nicht als reelle Zahl. 3. Lösung für \(c\): Der Ausdruck \(\sqrt{x^2}\) entspricht dem Betrag von \(x\), also \(|x|\). Die Gleichung \(|x| = 11\) wird durch \(x_1 = 11\) und \(x_2 = -11\) erfüllt.

a) \(A = 8\). b) Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist in den reellen Zahlen nicht definiert. c) \(x_1 = 11\) und \(x_2 = -11\).

- Wie kannst du eine große Zahl systematisch in kleine Teiler zerlegen? - Was passiert mit den Exponenten einer Potenz, wenn man die Quadratwurzel zieht? - Erinnere dich an die Teilbarkeitsregeln, um Primfaktoren wie 2, 3 oder 5 schnell zu finden.

1. Durchführung der Primfaktorzerlegung für \( 1764 \): \( 1764 = 2 \cdot 882 = 2^2 \cdot 441 = 2^2 \cdot 3 \cdot 147 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 49 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \). Da alle Exponenten gerade sind, ist die Wurzel das Produkt der Faktoren mit halbierten Exponenten: \( \sqrt{1764} = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 42 \). 2. Durchführung der Primfaktorzerlegung für \( 3136 \): \( 3136 = 2 \cdot 1568 = 2^2 \cdot 784 = 2^3 \cdot 392 = 2^4 \cdot 196 = 2^5 \cdot 98 = 2^6 \cdot 49 = 2^6 \cdot 7^2 \). Berechnung der Wurzel: \( \sqrt{3136} = 2^3 \cdot 7^1 = 8 \cdot 7 = 56 \). 3. Eine natürliche Zahl ist genau dann eine Quadratzahl, wenn in ihrer Primfaktorzerlegung jeder vorkommende Primfaktor einen geraden Exponenten besitzt.

a) \( 1764 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \); \( \sqrt{1764} = 42 \) b) \( 3136 = 2^6 \cdot 7^2 \); \( \sqrt{3136} = 56 \) c) Eine Zahl ist eine Quadratzahl, wenn alle Exponenten ihrer Primfaktorzerlegung gerade sind.

- Schau dir die Hochzahlen (Exponenten) der Primfaktoren genau an. - Was muss für die Exponenten gelten, damit man die Wurzel glatt ziehen kann? - Überlege dir, wie die Primfaktorzerlegung einer Primzahl aussieht.

1. Prüfung der Exponenten: Eine Zahl ist eine Quadratzahl, wenn alle Exponenten in der Primfaktorzerlegung gerade sind. Bei \( a \) sind die Exponenten \( 4, 2, 2 \) (alle gerade). Bei \( b \) ist der Exponent der Basis \( 2 \) ungerade (\( 3 \)). Somit ist \( a \) eine Quadratzahl. 2. Berechnung der Wurzel von \( a \): \( \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = 2^{\frac{4}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}} \cdot 5^{\frac{2}{2}} = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \). 3. Eine Primzahl \( p \) hat die Primfaktorzerlegung \( p^1 \). Da der Exponent \( 1 \) ungerade ist, kann \( p \) keine Quadratzahl einer natürlichen Zahl sein. Wäre \( \sqrt{p} = n \) (\( n \in \mathbb{N} \)), müsste \( n^2 = p \) gelten, was bedeutet, dass in der Primfaktorzerlegung von \( p \) nur gerade Exponenten vorkommen dürften.

a) \( a \) ist eine Quadratzahl, da alle Exponenten (\( 4, 2, 2 \)) gerade sind. Bei \( b \) ist der Exponent \( 3 \) ungerade. b) \( \sqrt{a} = 60 \) c) Die Primfaktorzerlegung einer Primzahl \( p \) ist \( p^1 \). Da der Exponent \( 1 \) ungerade ist, kann die Wurzel keine natürliche Zahl sein.

- Wie hängen Flächeninhalt und Seitenlänge bei einem Quadrat zusammen? - Nutze die Quersummenregel, um zu prüfen, ob die Zahl durch 3 oder 9 teilbar ist. - Welche Quadratzahlen von 1 bis 20 kennst du auswendig? Das hilft oft am Ende der Zerlegung.

1. Primfaktorzerlegung von \( 4356 \): \( 4356 = 2 \cdot 2178 \) \( 2178 = 2 \cdot 1089 \) \( 1089 \) ist durch \( 9 \) teilbar (Quersumme \( 18 \)): \( 1089 = 9 \cdot 121 = 3^2 \cdot 11^2 \) Zusammengefasst: \( 4356 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2 \). 2. Berechnung der Seitenlänge: \( s = \sqrt{4356} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2} = 2 \cdot 3 \cdot 11 = 66 \). Die Seitenlänge beträgt \( 66\,\text{m} \). 3. Überschlagsrechnung: \( 60^2 = 3600 \) und \( 70^2 = 4900 \). Da \( 3600 < 4356 < 4900 \), muss die Wurzel zwischen \( 60 \) und \( 70 \) liegen. Das Ergebnis \( 66 \) ist also plausibel.

a) \( s = 66\,\text{m} \) (da \( 4356 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2 \)) b) Da \( 60^2 = 3600 \) und \( 70^2 = 4900 \), liegt \( 66 \) im richtigen Bereich.

- Isoliere zuerst den Term mit dem Quadrat auf einer Seite der Gleichung. - Achte genau auf die Vorzeichen, wenn du Zahlen von einer Seite auf die andere bringst. - Kannst du eine Zahl finden, deren Quadrat negativ ist?

1. a) Division durch 4 ergibt \( x^2 = 16 \). Die Wurzeln sind \( x_1 = 4 \) und \( x_2 = -4 \). 2. b) Subtraktion von \( 0{,}7 \) ergibt \( x^2 = 0{,}09 \). Die Wurzeln sind \( x_1 = 0{,}3 \) und \( x_2 = -0{,}3 \). 3. c) Addition von 5 ergibt \( y^2 = 16 \). Die Wurzeln sind \( y_1 = 4 \) und \( y_2 = -4 \). 4. d) Subtraktion von 10 ergibt \( z^2 = -6 \). Da \( -6 < 0 \), gibt es keine reelle Lösung.

a) \( x = 4 \) oder \( x = -4 \) b) \( x = 0{,}3 \) oder \( x = -0{,}3 \) c) \( y = 4 \) oder \( y = -4 \) d) keine reelle Lösung

- Achte auf den Unterschied zwischen \( (-a)^2 \) und \( -a^2 \). Wo genau steht das Minuszeichen? - Rechne zuerst die Werte auf den Seiten aus, bevor du versuchst, die Wurzel zu ziehen. - Bei Brüchen hilft es, alles auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

1. a) Berechnung der rechten Seite: \( (-12)^2 = 144 \). Die Gleichung \( x^2 = 144 \) hat die Lösungen \( x_1 = 12 \) und \( x_2 = -12 \). 2. b) Beachtung der Priorität (Potenz vor Vorzeichen): \( -8^2 = -(8 \cdot 8) = -64 \). Die Gleichung \( x^2 = -64 \) hat keine reelle Lösung. 3. c) Umformung: \( 3x^2 = 27 \), dann \( x^2 = 9 \). Die Lösungen sind \( x_1 = 3 \) und \( x_2 = -3 \). 4. d) Umformung: \( x^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{16}{16} - \frac{7}{16} = \frac{9}{16} \). Die Wurzeln sind \( x_1 = \frac{3}{4} \) (oder \( 0{,}75 \)) und \( x_2 = -\frac{3}{4} \) (oder \( -0{,}75 \)).

a) \( x = 12 \) oder \( x = -12 \) b) keine reelle Lösung c) \( x = 3 \) oder \( x = -3 \) d) \( x = 0{,}75 \) oder \( x = -0{,}75 \)

- Wie hängen die Ungleichungen für die Wurzel und die Ungleichungen für die Quadrate zusammen? - Betrachte nur die letzte Ziffer, wenn du eine Zahl mit sich selbst multiplizierst. - Welche Ziffern kommen in deiner Liste aus b) gar nicht vor?

1. Für Teil a): Die Ungleichung \(4 < \sqrt{n} < 5\) ist äquivalent zu \(4^2 < n < 5^2\), also \(16 < n < 25\). Die natürlichen Zahlen sind \(17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24\). 2. Für Teil b): Die Quadrate der Ziffern sind \(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81\). Die Endziffern sind somit \(0, 1, 4, 5, 6, 9\). 3. Für Teil c): Da Quadratzahlen nur auf \(0, 1, 4, 5, 6\) oder \(9\) enden können, kann eine Zahl mit der Endziffer \(7\) (wie \(157\)) niemals eine Quadratzahl einer natürlichen Zahl sein.

a) \(n \in \{17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24\}\) b) Mögliche Endziffern sind \(0, 1, 4, 5, 6, 9\). c) \(157\) endet auf \(7\). Da keine Quadratzahl einer natürlichen Zahl auf \(7\) enden kann (siehe b), ist \(157\) keine Quadratzahl.

- Welche zweistelligen Zahlen sind überhaupt Quadratzahlen? Teste diese systematisch. - Kennst du ein Gesetz, mit dem man die Wurzel aus einem Produkt zerlegen kann? - Wie viele Nachkommastellen hat das Ergebnis, wenn man eine Zahl mit zwei Nachkommastellen quadriert?

1. Zu a): Gesucht ist eine zweistellige Quadratzahl, deren Wurzel gleich der Quersumme ist. Mögliche Quadratzahlen: \(16, 25, 36, 49, 64, 81\). Prüfung: \(\sqrt{81}=9\) und \(8+1=9\). Die Zahl ist \(81\). 2. Zu b): Für \(x \ge 0\) gilt \(\sqrt{4x} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x} = 2 \cdot \sqrt{x}\). Der Wert der Wurzel verdoppelt sich also. 3. Zu c): Es gilt \(0{,}09^2 = (9 \cdot 10^{-2})^2 = 81 \cdot 10^{-4} = 0{,}0081\). Die Ziffern für die Platzhalter sind \(8\) und \(1\).

a) Die Zahl ist \(81\) (da \(\sqrt{81} = 8 + 1 = 9\)). b) Für \(x \ge 0\) verdoppelt sich der Wert, da \(\sqrt{4x} = 2 \cdot \sqrt{x}\). c) Die Platzhalter sind \(8\) und \(1\), da \(\sqrt{0{,}0081} = 0{,}09\).

- Wandle gemischte Brüche immer zuerst in unechte Brüche um. - Berechne erst das Ergebnis auf der rechten Seite der Gleichung vollständig, bevor du entscheidest, wie viele Lösungen es gibt. - Achte bei Subtraktionen mit Dezimalzahlen genau auf die Stellenwerte. - Was bedeutet es für die Lösung, wenn auf einer Seite eine Wurzel steht, die erst noch ausgerechnet werden muss?

1. Für a): Das Produkt ergibt \(x^2 = 0{,}0025\). Da \(0{,}0025 > 0\), gibt es zwei Lösungen. Wurzelziehen ergibt \(x = \pm 0{,}05\). 2. Für b): Der gemischte Bruch wird in einen unechten Bruch umgewandelt: \(y^2 = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{49}{16}\). Da der Wert positiv ist, gibt es zwei Lösungen: \(y = \pm \sqrt{\frac{49}{16}} = \pm \frac{7}{4}\) (oder \(\pm 1{,}75\)). 3. Für c): Die Gleichung wird umgeformt zu \(z^2 = 0{,}01 - 0{,}1 = -0{,}09\). Da \(-0{,}09\) negativ ist, besitzt die Gleichung keine reelle Lösung. 4. Für d): Zuerst wird die Wurzel auf der rechten Seite berechnet: \(\sqrt{625} = 25\). Die Gleichung lautet also \(w^2 = 25\). Dies ergibt zwei Lösungen: \(w = \pm 5\).

a) Zwei Lösungen: \(x = \pm 0{,}05\) b) Zwei Lösungen: \(y = \pm 1{,}75\) (oder \(\pm \frac{7}{4}\)) c) Keine reelle Lösung d) Zwei Lösungen: \(w = \pm 5\)

- Achte genau auf die Position des Minuszeichens und der Klammern. - Was passiert zuerst: das Quadrieren oder das Vorzeichen setzen? - Überlege, ob der Radikand (die Zahl unter der Wurzel) positiv, null oder negativ ist.

1. Analyse von Term (1): \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36}\). Da \(36 > 0\), ist die Wurzel definiert. Das Ergebnis ist \(6\). 2. Analyse von Term (2): \(-\sqrt{6^2} = -\sqrt{36}\). Die Wurzel aus \(36\) ist \(6\). Das Minuszeichen davor macht das Gesamtergebnis zu \(-6\). 3. Analyse von Term (3): \(\sqrt{-6^2} = \sqrt{-(6 \cdot 6)} = \sqrt{-36}\). In den reellen Zahlen ist die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert, da kein Quadrat einer reellen Zahl negativ sein kann.

(1) \(\sqrt{(-6)^2} = 6\) (2) \(-\sqrt{6^2} = -6\) (3) \(\sqrt{-6^2}\) ist nicht definiert, da der Radikand \(-36\) negativ ist. Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat \(-36\) ergibt.

- Berechne zuerst alle Wurzeln, die keine Unbekannte enthalten. - Behandle die Gleichungen wie gewohnt und isoliere die Unbekannte \( x \) oder den Ausdruck mit \( x \). - Wenn am Ende noch eine Wurzel über dem \( x \) steht, wie kannst du diese „rückgängig“ machen?

1. Auswerten der bekannten Wurzeln: \( \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 \); \( \sqrt{0{,}81} = 0{,}9 \); \( \sqrt{\frac{1}{4}} = 0{,}5 \); \( \sqrt{\frac{9}{16}} = 0{,}75 \); \( \sqrt{1{,}21} = 1{,}1 \); \( \sqrt{0{,}04} = 0{,}2 \). 2. Aufstellen und Lösen der Gleichungen: a) \( 0{,}5 + x = 0{,}9 \Rightarrow x = 0{,}4 \) b) \( 0{,}5x = 0{,}75 \Rightarrow x = 1{,}5 \) c) \( 1{,}1 - \sqrt{x} = 0{,}6 \Rightarrow \sqrt{x} = 0{,}5 \Rightarrow x = 0{,}5^2 = 0{,}25 \) d) \( 0{,}2 {:} \sqrt{x} = 0{,}1 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4 \)

a) \( x = 0{,}4 \) b) \( x = 1{,}5 \) c) \( x = 0{,}25 \) d) \( x = 4 \)

- Schnittpunkte sind Stellen, an denen beide Funktionen denselben Wert haben. - Schau dir genau an, welcher Graph in welchem Bereich „höher“ im Koordinatensystem liegt. - Was passiert genau an der Stelle \(x = 4\)?

1. Bestimmung der Schnittpunkte: Durch Ablesen im Koordinatensystem erkennt man, dass sich die blaue Kurve \(f\) und die rote Gerade \(g\) in den Punkten \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(4 \mid 2)\) schneiden. 2. Vergleich der Graphenverläufe: Im Intervall zwischen den Schnittpunkten, also für \(0 < x < 4\), verläuft der Graph der Wurzelfunktion (blau) oberhalb der Geraden (rot). Das bedeutet, dass in diesem Bereich \(\sqrt{x} > 0{,}5x\) gilt. 3. Verhalten für \(x > 4\): Ab \(x = 4\) steigt die lineare Funktion schneller an als die Wurzelfunktion, sodass die Gerade für \(x > 4\) oberhalb der Kurve liegt.

1. Die Schnittpunkte liegen bei \((0 \mid 0)\) und \((4 \mid 2)\). 2. Die Wurzelfunktion liegt für \(0 < x < 4\) oberhalb der Geraden.

- Zu (1): Teste einfache Quadratzahlen wie 9 und 16. - Zu (2): Was ist \(\sqrt{(-5)^2}\)? Vergleiche das Ergebnis mit \(-(-5)\). - Zu (3): Welche Werte kann ein Quadrat \((\ldots)^2\) annehmen? Was passiert, wenn ein Minuszeichen davor steht? Wann ist dieser Ausdruck nicht negativ?

1. Überprüfung von Aussage (1): Wähle ein Gegenbeispiel: \(a = 9, b = 16\). Linke Seite: \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\). Rechte Seite: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). Da \(7 \neq 5\), ist die Aussage falsch. 2. Überprüfung von Aussage (2): Es gilt \(\sqrt{x^2} = |x|\). Die Gleichung lautet also \(|x| = -x\). Diese Gleichung ist nach der Definition des Betrags für alle \(x \le 0\) wahr. Da es unendlich viele Zahlen kleiner oder gleich Null gibt, ist die Aussage wahr. 3. Überprüfung von Aussage (3): Der Radikand einer Quadratwurzel muss nichtnegativ sein: \(-(x-5)^2 \ge 0\). Multiplikation mit \(-1\) dreht das Relationszeichen: \((x-5)^2 \le 0\). Das Quadrat einer reellen Zahl ist niemals negativ; es ist stets größer oder gleich \(0\). Die einzige Möglichkeit, die Bedingung zu erfüllen, ist \((x-5)^2 = 0\). Dies ist nur für \(x = 5\) der Fall. Die Aussage ist wahr.

(1) Falsch. Gegenbeispiel: \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7 \neq \sqrt{25} = 5\). (2) Wahr. Die Gleichung gilt für alle \(x \le 0\). (3) Wahr. Der Ausdruck ist nur für \(x = 5\) definiert.