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- Wie hängen die Wurzeln von Zahlen mit ihren Quadraten zusammen? - Wenn eine Wurzel zwischen zwei Zahlen liegen soll, wo muss dann die ursprüngliche Zahl im Vergleich zu den Quadraten dieser zwei Zahlen liegen? - Berechne zuerst die Quadrate der Grenzwerte.

1. Berechnung der relevanten Quadratzahlen: \(13^2 = 169\) und \(14^2 = 196\). 2. Vergleich von \(150\): Da \(150 < 169\), ist \(\sqrt{150} < 13\). Die Zahl liegt nicht im Intervall. 3. Vergleich von \(180\): Da \(169 < 180 < 196\), liegt \(\sqrt{180}\) zwischen \(13\) und \(14\). 4. Vergleich von \(210\): Da \(210 > 196\), ist \(\sqrt{210} > 14\). Die Zahl liegt nicht im Intervall.

Nur die Quadratwurzel von \(180\) liegt zwischen \(13\) und \(14\), da \(13^2 = 169\) und \(14^2 = 196\) gilt und nur \(180\) zwischen diesen Quadratzahlen liegt (\(169 < 180 < 196\)).

- Welche Quadratzahlen liegen am nächsten an der Zahl unter der Wurzel? - Wie verändert sich das Quadrat einer Zahl, wenn du die letzte Stelle um 1 erhöhst? - Kannst du durch systematisches Probieren der Quadrate von Dezimalzahlen die Grenzen enger ziehen? - Verkleinere die Intervallbreite in jedem Schritt um den Faktor \(10\).

Beginne mit zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen, zwischen deren Quadraten \(11\) liegt. Verfeinere dieses Intervall anschließend auf Zehntel und dann auf Hundertstel. Die drei Intervalle haben somit die Breiten \(1\), \(0{,}1\) und \(0{,}01\) und müssen jeweils \(\sqrt{11}\) enthalten. 1. Bestimmung der ganzzahligen Grenzen: Da \(3^2 = 9\) und \(4^2 = 16\), liegt \(\sqrt{11}\) zwischen \(3\) und \(4\). Das erste Intervall ist \([3; 4]\). 2. Bestimmung der ersten Nachkommastelle: Es gilt \(3{,}3^2 = 10{,}89\) und \(3{,}4^2 = 11{,}56\). Da \(10{,}89 < 11 < 11{,}56\), liegt \(\sqrt{11}\) im Intervall \([3{,}3; 3{,}4]\). 3. Bestimmung der zweiten Nachkommastelle: Es gilt \(3{,}31^2 = 10{,}9561\) und \(3{,}32^2 = 11{,}0224\). Da \(10{,}9561 < 11 < 11{,}0224\), ist das dritte Intervall \([3{,}31; 3{,}32]\).

Die ersten drei Intervalle sind: 1. \([3; 4]\) 2. \([3{,}3; 3{,}4]\) 3. \([3{,}31; 3{,}32]\)

- Ein Näherungswert mit Mangel entsteht durch Abbrechen der Dezimalzahl an der gewünschten Stelle. - Ein Näherungswert mit Überschuss ist die kleinste Zahl mit der vorgegebenen Anzahl an Dezimalstellen, die größer als die ursprüngliche Zahl ist. - Die Ziffern einer Wurzel lassen sich durch systematisches Probieren oder mit einem Taschenrechner bestimmen.

1. Für \(\sqrt{15} \approx 3{,}8729833\ldots\) ergeben sich folgende Werte: - Bei Genauigkeit \(0{,}1\): Mangelwert \(3{,}8\); Überschusswert \(3{,}9\). - Bei Genauigkeit \(0{,}01\): Mangelwert \(3{,}87\); Überschusswert \(3{,}88\). - Bei Genauigkeit \(0{,}0001\): Mangelwert \(3{,}8729\); Überschusswert \(3{,}8730\). 2. Es gilt \(\sqrt{0{,}8} \approx 0{,}89442719\ldots\). Die ersten fünf Ziffern nach dem Komma lauten \(89442\).

1. \(0{,}1\): \(3{,}8\) (M), \(3{,}9\) (Ü); \(0{,}01\): \(3{,}87\) (M), \(3{,}88\) (Ü); \(0{,}0001\): \(3{,}8729\) (M), \(3{,}8730\) (Ü). 2. \(89442\).

- Welche Formel verbindet den Radius und die Fläche eines Kreises? - Wie kannst du eine Formel mit einer Quadratzahl so umstellen, dass du die Variable ohne Quadrat erhältst? - Achte beim Runden auf die dritte Nachkommastelle. - Vergiss nicht, die Einheiten in deine Lösung zu übernehmen.

1. Umstellen der Formel \(A = \pi r^2\) nach \(r\): \(r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\). 2. Berechnung für a): \(r = \sqrt{\frac{10}{\pi}} \approx 1{,}7841 \dots \approx 1{,}78\,\text{cm}\). 3. Berechnung für b): \(r = \sqrt{\frac{35{,}5}{\pi}} \approx 3{,}3615 \dots \approx 3{,}36\,\text{m}\). 4. Berechnung für c): \(r = \sqrt{\frac{0{,}8}{\pi}} \approx 0{,}5046 \dots \approx 0{,}50\,\text{dm}\).

a) \(r \approx 1{,}78\,\text{cm}\) b) \(r \approx 3{,}36\,\text{m}\) c) \(r \approx 0{,}50\,\text{dm}\)

- Welche ungefähren Werte haben die Quadratwurzeln, wenn du sie auf zwei oder drei Stellen nach dem Komma bestimmst? - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn du die Wurzel mit dem Faktor davor multiplizierst? - Achte beim Vergleichen darauf, dass beide Werte auf dieselbe Anzahl an Dezimalstellen gerundet sind.

1. Berechnung von \(A\): Unter Verwendung des Näherungswerts \(\sqrt{13} \approx 3{,}6056\) ergibt sich \(2 \cdot 3{,}6056 = 7{,}2112\). Gerundet auf eine Dezimalstelle erhält man \(A \approx 7{,}2\). 2. Berechnung von \(B\): Unter Verwendung des Näherungswerts \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\) ergibt sich \(5 \cdot 1{,}4142 = 7{,}0710\). Gerundet auf eine Dezimalstelle erhält man \(B \approx 7{,}1\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(7{,}2 > 7{,}1\), ist der Wert von \(A\) größer als der von \(B\).

\(A \approx 7{,}2\) und \(B \approx 7{,}1\). Somit ist \(A\) größer.

- Setze zuerst die gegebenen Zahlenwerte für die Wurzeln in die Terme ein. - Achte bei der Multiplikation und Division auf die richtige Reihenfolge der Rechenschritte (Punkt- vor Strichrechnung). - Runde erst ganz am Ende deiner Rechnung auf zwei Stellen nach dem Komma. - Erinnere dich an die Rundungsregeln: Bei einer 0, 1, 2, 3 oder 4 an der dritten Stelle wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8 oder 9 wird aufgerundet.

1. Berechnung von Teil a: \(1{,}5 \cdot 1{,}414 + 2 = 2{,}121 + 2 = 4{,}121\). Gerundet auf zwei Dezimalstellen ergibt dies \(4{,}12\). 2. Berechnung von Teil b: \(2 \cdot 1{,}732 - 1{,}414 = 3{,}464 - 1{,}414 = 2{,}05\). Der Näherungswert besitzt bereits zwei Dezimalstellen. 3. Berechnung von Teil c: \((1{,}732 + 1{,}414) {:} 2 = 3{,}146 {:} 2 = 1{,}573\). Gerundet auf zwei Dezimalstellen ergibt dies \(1{,}57\).

a) \(\approx 4{,}12\) b) \(\approx 2{,}05\) c) \(\approx 1{,}57\)

- Wie viele Nachkommastellen sind nötig, um ein Ergebnis sicher auf zwei Stellen zu runden? - Kannst du Wurzeln wie \(\sqrt{8}\) vereinfachen, bevor du den Taschenrechner nutzt? - Achte beim Runden auf die dritte Nachkommastelle. - Was genau bedeutet eine Genauigkeit von \(0{,}01\)?

1. Bestimmung der Näherungswerte für die Wurzeln: \(\sqrt{3} \approx 1{,}7321\), \(\sqrt{10} \approx 3{,}1623\), \(\sqrt{8} \approx 2{,}8284\), \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\), \(\sqrt{5} \approx 2{,}2361\). 2. Durchführung der Berechnungen: - \(2{,}45 + 1{,}7321 \approx 4{,}1821\) - \(7{,}18 - 3{,}1623 \approx 4{,}0177\) - \(2{,}8284 + 1{,}4142 \approx 4{,}2426\) - \(3 \cdot 2{,}2361 - 4 \approx 6{,}7083 - 4 = 2{,}7083\) 3. Runden der Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen: \(4{,}18\); \(4{,}02\); \(4{,}24\); \(2{,}71\).

1) \(\approx 4{,}18\) 2) \(\approx 4{,}02\) 3) \(\approx 4{,}24\) 4) \(\approx 2{,}71\)

- Kannst du die Wurzeln zuerst mit einem Näherungsverfahren oder dem Taschenrechner bestimmen? - Wie viele Nachkommastellen solltest du bei den Zwischenschritten verwenden, um am Ende sicher auf zwei Stellen runden zu können? - Erinnere dich an die Rundungsregeln: Ab 5 wird aufgerundet.

1. Bestimmung des Näherungswerts für \(\sqrt{7} \approx 2{,}64575\). Multiplikation: \(4 \cdot 2{,}64575 = 10{,}583\). Gerundet: \(10{,}58\). 2. Bestimmung des Näherungswerts für \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421\). Multiplikation: \(9 \cdot 1{,}41421 = 12{,}72789\). Gerundet: \(12{,}73\). 3. Bestimmung des Näherungswerts für \(\sqrt{15} \approx 3{,}87298\). Multiplikation: \(2 \cdot 3{,}87298 = 7{,}74596\). Gerundet: \(7{,}75\).

1) \(\approx 10{,}58\) 2) \(\approx 12{,}73\) 3) \(\approx 7{,}75\)

- Forme die Gleichung zuerst so um, dass \(x^2\) alleine auf einer Seite steht. - Vergiss beim Wurzelziehen nicht, dass es sowohl eine positive als auch eine negative Lösung geben kann. - Achte beim Runden auf die dritte Nachkommastelle: Ist sie 5 oder höher, rundest du auf.

1. Umstellen nach \(x^2\): \(x^2 = 13\). Ziehen der Quadratwurzel ergibt \(x = \pm \sqrt{13}\). Mit dem Taschenrechner berechnet und gerundet: \(x \approx \pm 3{,}61\). 2. Multiplikation mit 2 isoliert \(x^2\): \(x^2 = 22\). Ziehen der Quadratwurzel ergibt \(x = \pm \sqrt{22}\). Gerundeter Wert: \(x \approx \pm 4{,}69\). 3. Addition von 30 und Division durch 4 führt zu \(4x^2 = 80\) bzw. \(x^2 = 20\). Ziehen der Quadratwurzel ergibt \(x = \pm \sqrt{20}\). Gerundeter Wert: \(x \approx \pm 4{,}47\).

1) \(x \approx \pm 3{,}61\) 2) \(x \approx \pm 4{,}69\) 3) \(x \approx \pm 4{,}47\)

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel als Produkt aus \(5\) und einer Zehnerpotenz (wie \(100\) oder \(10\,000\)) schreiben? - Welche Regel kennst du für die Wurzel aus einem Produkt? - Wie verändert sich eine Dezimalzahl, wenn du sie mit \(10\), \(100\) oder \(0{,}1\) multiplizierst? - Überlege, wie viele Stellen das Komma rückt, wenn der Faktor unter der Wurzel eine Quadratzahl ist.

1. Berechnung von \(\sqrt{500}\): Zerlegung des Radikanden in \(5 \cdot 100\). Anwendung der Wurzelregel \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) ergibt \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{100} = 2{,}236 \cdot 10 = 22{,}36\). 2. Berechnung von \(\sqrt{0{,}05}\): Zerlegung in \(5 \cdot 0{,}01\). Anwendung der Wurzelregel ergibt \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{0{,}01} = 2{,}236 \cdot 0{,}1 = 0{,}2236\). 3. Berechnung von \(\sqrt{50\,000}\): Zerlegung in \(5 \cdot 10\,000\). Anwendung der Wurzelregel ergibt \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{10\,000} = 2{,}236 \cdot 100 = 223{,}6\).

a) \(\approx 22{,}36\) b) \(\approx 0{,}2236\) c) \(\approx 223{,}6\)

- Kannst du eine Zahl finden, deren Quadrat genau \(32\) ergibt? - Überlege dir, welche Quadratzahlen du auswendig kennst, die nah an \(32\) liegen. - Was passiert mit dem Flächeninhalt eines Quadrats, wenn man die Seitenlänge verändert? Probier es mal mit einem einfachen Beispiel wie \(2\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) aus.

1. Berechnung der Seitenlänge: \(s = \sqrt{32}\,\text{m} \approx 5{,}66\,\text{m}\). 2. Abschätzung: Da \(5^2 = 25\) und \(6^2 = 36\) gilt, muss \(\sqrt{32}\) zwischen \(5\) und \(6\) liegen, da \(25 < 32 < 36\). 3. Skalierung der Fläche: Bei Verdopplung der Seitenlänge (\(2s\)) vervierfacht sich der Flächeninhalt (\(A_{\text{neu}} = (2s)^2 = 4s^2\)). Die neue Fläche beträgt \(4 \cdot 32\,\text{m}^2 = 128\,\text{m}^2\).

a) \(s = \sqrt{32}\,\text{m} \approx 5{,}66\,\text{m}\) b) Zwischen \(5\,\text{m}\) und \(6\,\text{m}\), da \(5^2 = 25\) und \(6^2 = 36\). c) Die neue Fläche beträgt \(128\,\text{m}^2\).

- Wie kannst du ohne Taschenrechner prüfen, ob eine Wurzel kleiner oder größer als eine Dezimalzahl ist? - Was sagt die obere Grenze eines Intervalls über die darin enthaltene Zahl aus? - Die Intervallnummer gibt hier zugleich die geforderte Dezimalstelle der Grenzen an.

Verwende folgende Nummerierung der Intervallschachtelung: \(I_1\) hat die Breite \(1\) und ganzzahlige Grenzen, \(I_2\) die Breite \(0{,}1\) und \(I_3\) die Breite \(0{,}01\). Jedes Intervall soll \(\sqrt{45}\) enthalten. 1. Bestimmung von \(I_3\) für \(\sqrt{45}\): Es gilt \(6^2 = 36\) und \(7^2 = 49\), also \(I_1 = [6; 7]\). Da \(6{,}7^2 = 44{,}89\) und \(6{,}8^2 = 46{,}24\), ist \(I_2 = [6{,}7; 6{,}8]\). Prüfung der Hundertstel: \(6{,}70^2 = 44{,}89\) und \(6{,}71^2 = 45{,}0241\). Da \(44{,}89 < 45 < 45{,}0241\), ist \(I_3 = [6{,}70; 6{,}71]\). 2. Vergleich: Da \(\sqrt{45}\) im Intervall \([6{,}70; 6{,}71]\) liegt, ist \(\sqrt{45} < 6{,}71\), weil die obere Intervallgrenze \(6{,}71\) bereits ein Quadrat größer als \(45\) besitzt (\(6{,}71^2 = 45{,}0241\)). Somit ist \(y > x\).

a) \(I_3 = [6{,}70; 6{,}71]\) b) \(y\) ist größer als \(x\), da \(6{,}71^2 = 45{,}0241 > 45\) ist und somit \(\sqrt{45} < 6{,}71\) gilt.

- Wie ändert sich die Länge eines Intervalls, wenn man es in zehn gleiche Teile zerlegt? - Erinnere dich daran, wie man prüft, ob eine Wurzel in einem bestimmten Bereich liegt, indem man die Grenzen quadriert. - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl genau auf der Grenze eines Intervalls liegt?

1. Berechnung der Intervallbreiten: Das erste Intervall \(I_1\) hat die Breite \(1\). Jede weitere Unterteilung reduziert die Breite um den Faktor \(10\). Somit hat \(I_2\) die Breite \(0{,}1\), \(I_3\) die Breite \(0{,}01\) und \(I_4\) die Breite \(0{,}001\). 2. Bestimmung von \(I_4\): Durch sukzessives Quadrieren findet man \(1{,}4^2 = 1{,}96\) und \(1{,}5^2 = 2{,}25\), also \(I_2 = [1{,}4; 1{,}5]\). Weiter ist \(1{,}41^2 = 1{,}9881\) und \(1{,}42^2 = 2{,}0164\), also \(I_3 = [1{,}41; 1{,}42]\). Für die dritte Nachkommastelle gilt \(1{,}414^2 = 1{,}999396\) und \(1{,}415^2 = 2{,}002225\). Damit ist \(I_4 = [1{,}414; 1{,}415]\). 3. Prüfung der Enthaltensein: Da \(1{,}414\) die untere Grenze des abgeschlossenen Intervalls \([1{,}414; 1{,}415]\) ist, liegt die Zahl im Intervall.

a) Die Breite des vierten Intervalls \(I_4\) beträgt \(0{,}001\). b) Ja, \(1{,}414\) liegt im Intervall \(I_4\), da \(1{,}414^2 = 1{,}999396 < 2\) und \(1{,}415^2 = 2{,}002225 > 2\), woraus \(I_4 = [1{,}414; 1{,}415]\) folgt.

- Bestimme zunächst benachbarte Quadratzahlen. - Zum Vergleich zweier Näherungswerte ist ihr Mittelpunkt entscheidend. - Quadriere den Mittelpunkt \(4{,}25\) und vergleiche mit \(18\).

1. Da \(4^2 = 16 < 18 < 25 = 5^2\), gilt \(4 < \sqrt{18} < 5\). Damit liegt \(\sqrt{18}\) im Intervall \([4; 5]\). 2. Es gilt \(4{,}2^2 = 17{,}64 < 18\) und \(4{,}25^2 = 18{,}0625 > 18\). Daher liegt \(\sqrt{18}\) zwischen \(4{,}2\) und dem Mittelpunkt \(4{,}25\) der Zahlen \(4{,}2\) und \(4{,}3\). Somit ist \(\sqrt{18}\) näher an \(4{,}2\) als an \(4{,}3\).

a) \([4; 5]\) b) \(\sqrt{18}\) liegt näher an \(4{,}2\), denn \(4{,}2 < \sqrt{18} < 4{,}25\). Dabei ist \(4{,}25\) der Mittelpunkt von \(4{,}2\) und \(4{,}3\).

- Nutze benachbarte Quadratzahlen. - Zum Vergleich von \(3{,}6\) und \(3{,}61\) quadriere ihren Mittelpunkt. - Eine positive Zahl ist größer als \(\sqrt{13}\), wenn ihr Quadrat größer als \(13\) ist.

1. Da \(3^2 = 9 < 13 < 16 = 4^2\), gilt \(3 < \sqrt{13} < 4\). 2. Der Mittelpunkt von \(3{,}6\) und \(3{,}61\) ist \(3{,}605\). Es gilt \(3{,}605^2 = 12{,}996025 < 13\) und \(3{,}61^2 = 13{,}0321 > 13\). Somit liegt \(\sqrt{13}\) zwischen \(3{,}605\) und \(3{,}61\) und daher näher an \(3{,}61\). 3. Außerdem ist \(\left(\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{121}{9} > 13\). Da \(\frac{11}{3} > 0\), folgt \(\frac{11}{3} > \sqrt{13}\).

a) \(3 < \sqrt{13} < 4\). b) \(\sqrt{13}\) liegt näher an \(3{,}61\), denn \(3{,}605^2 < 13 < 3{,}61^2\). c) \(\left(\frac{11}{3}\right)^2 > 13\), also \(\frac{11}{3} > \sqrt{13}\).

- Quadriere zunächst beide Näherungswerte. - Bestimme dann den Mittelpunkt der beiden Vorschläge. - Auf welcher Seite dieses Mittelpunkts liegt \(\sqrt{5}\)?

1. Es gilt \(2{,}236^2 = 4{,}999696 < 5\) und \(2{,}25^2 = 5{,}0625 > 5\). 2. Der Mittelpunkt der beiden Näherungswerte ist \(m = \frac{2{,}236 + 2{,}25}{2} = 2{,}243\). Da \(2{,}243^2 = 5{,}031049 > 5\), gilt \(\sqrt{5} < 2{,}243\). 3. Zusammen mit \(2{,}236 < \sqrt{5}\) folgt \(2{,}236 < \sqrt{5} < 2{,}243\). Damit liegt \(\sqrt{5}\) näher an \(2{,}236\) als an \(2{,}25\).

Die Näherung \(2{,}236\) ist präziser. Der Mittelpunkt der beiden Vorschläge ist \(2{,}243\), und es gilt \(2{,}236 < \sqrt{5} < 2{,}243\). Daher liegt \(\sqrt{5}\) näher an \(2{,}236\).

- Welche Quadratzahlen kennst du, die in der Nähe von 18 liegen? - Wie verändert sich das Quadrat einer Zahl, wenn du die Zahl in kleinen Schritten vergrößerst? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen.

1. Eingrenzung durch Quadratzahlen: \(4^2 = 16\) und \(5^2 = 25\). Da \(16 < 18 < 25\), gilt \(4 < s < 5\). 2. Berechnung der Quadrate für die erste Nachkommastelle: \(4{,}1^2 = 16{,}81\); \(4{,}2^2 = 17{,}64\); \(4{,}3^2 = 18{,}49\). 3. Bestimmung des Intervalls: Da \(17{,}64 < 18 < 18{,}49\), liegt \(s\) im Intervall \([4{,}2; 4{,}3]\). Die erste Nachkommastelle ist somit eine 2. 4. Begründung zur Irrationalität: Da 18 keine Quadratzahl einer rationalen Zahl ist, ist \(\sqrt{18}\) eine irrationale Zahl. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch.

a) Die Seitenlänge liegt zwischen \(4\,\text{m}\) und \(5\,\text{m}\). b) Die erste Nachkommastelle ist 2, da \(4{,}2^2 = 17{,}64\) und \(4{,}3^2 = 18{,}49\). Somit gilt \(4{,}2 < \sqrt{18} < 4{,}3\). c) Da 18 keine Quadratzahl ist, ist \(\sqrt{18}\) irrational. Die Dezimalbruchdarstellung bricht nie ab und ist nicht periodisch.

- Wie ändert sich das Ergebnis einer Quadratwurzel, wenn der Wert unter der Wurzel mit 4 multipliziert wird? - Setze für den Radius in der Formel das Doppelte ein und schaue, was mit dem gesamten Ausdruck passiert. - Überlege dir, ob der Zusammenhang zwischen Fläche und Radius linear oder quadratisch ist.

1. Berechnung für a): \(r = \sqrt{\frac{50}{\pi}} \approx 3{,}9894 \dots \approx 3{,}99\,\text{cm}\). 2. Berechnung für b): Der neue Radius ist \(r_{\text{neu}} = 2r\). Eingesetzt in die Flächenformel ergibt sich \(A_{\text{neu}} = \pi (2r)^2 = \pi \cdot 4r^2 = 4(\pi r^2) = 4A\). Mit \(A = 50\,\text{cm}^2\) folgt \(A_{\text{neu}} = 4 \cdot 50\,\text{cm}^2 = 200\,\text{cm}^2\). 3. Analyse für c): Aus \(r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\) folgt bei Vervierfachung der Fläche (\(4A\)): \(r_{\text{neu}} = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{\frac{A}{\pi}} = 2r\). Der Radius verdoppelt sich also.

a) \(r \approx 3{,}99\,\text{cm}\) b) \(A_{\text{neu}} = 200\,\text{cm}^2\) c) Wenn die Fläche vervierfacht wird, verdoppelt sich der Radius, da \(\sqrt{4} = 2\).

- Berechne zunächst beide Zeiten einzeln, wie du es in einfacheren Aufgaben gelernt hast. - Um einen Faktor zwischen zwei Werten zu finden, teilst du den größeren Wert durch den kleineren. - Überlege dir, wie sich das Verhältnis der Höhen (\(180\) zu \(45\)) unter der Quadratwurzel in der Formel auswirkt.

1. Umstellen der Formel nach \(t\): \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\). 2. Berechnung für \(h_1 = 45\,\text{m}\): \(t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 45}{9{,}81}} = \sqrt{\frac{90}{9{,}81}} \approx 3{,}0289\,\text{s} \approx 3{,}03\,\text{s}\). 3. Berechnung für \(h_2 = 180\,\text{m}\): \(t_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 180}{9{,}81}} = \sqrt{\frac{360}{9{,}81}} \approx 6{,}0578\,\text{s} \approx 6{,}06\,\text{s}\). 4. Bestimmung des Faktors: \(\frac{t_2}{t_1} = \frac{6{,}06}{3{,}03} = 2\) beziehungsweise exakt \(\frac{\sqrt{\frac{360}{g}}}{\sqrt{\frac{90}{g}}} = \sqrt{\frac{360}{90}} = \sqrt{4} = 2\). 5. Ergebnis: Die Fallzeit verdoppelt sich.

a) \(t_1 \approx 3{,}03\,\text{s}\) und \(t_2 \approx 6{,}06\,\text{s}\) b) Die Fallzeit vergrößert sich um den Faktor \(2\) (sie verdoppelt sich).

- Was passiert mit einem kleinen Fehler, wenn man die Zahl danach mit einer großen Zahl multipliziert? - Überlege, an welcher Stelle der Rechnung Informationen durch das Runden verloren gehen. - Berechne für Methode b zunächst das Quadrat von 15.

1. Methode a: Bestimmung von \(\sqrt{2} \approx 1{,}4\). Multiplikation: \(15 \cdot 1{,}4 = 21{,}0\). 2. Methode b: Umformung zu \(\sqrt{15^2 \cdot 2} = \sqrt{225 \cdot 2} = \sqrt{450}\). Näherungsweise Berechnung der Wurzel: Da \(21{,}2^2 = 449{,}44 < 450\) und \(21{,}25^2 = 451{,}5625 > 450\), gilt \(21{,}2 < \sqrt{450} < 21{,}25\). Daher ergibt sich auf eine Nachkommastelle gerundet \(21{,}2\). 3. Vergleich: Das Ergebnis von Methode b (\(21{,}2\)) stimmt exakt mit dem gerundeten Zielwert überein, während Methode a (\(21{,}0\)) eine Abweichung von \(0{,}2\) aufweist. 4. Begründung: Bei Methode a wird der Rundungsfehler von \(\sqrt{2}\) (ca. \(0{,}014\)) mit 15 multipliziert, wodurch der Fehler im Endergebnis deutlich ansteigt. Bei Methode b findet die Rundung erst am Ende statt.

a) \(21{,}0\) b) \(21{,}2\) Methode b) ist genauer, da der Rundungsfehler der Wurzel bei Methode a) durch die Multiplikation mit 15 ebenfalls verfünfzehnfacht wird.

- Wie kannst du eine Zahl, die vor einer Wurzel steht, mit in das Wurzelzeichen hineinnehmen? - Welche Quadratzahlen liegen in der Nähe des Wertes, der unter der umgeformten Wurzel steht? - Denke daran, für die Berechnung des Näherungswerts eine ausreichend genaue Darstellung der Wurzel zu wählen, bevor du am Ende rundest.

1. Umformung in eine einzelne Wurzel: Der Faktor vor der Wurzel wird quadriert unter die Wurzel gezogen: \(4 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}\). 2. Bestimmung des Intervalls: Da \(8^2 = 64\) und \(9^2 = 81\) ist, liegt \(\sqrt{80}\) zwischen \(\sqrt{64}\) und \(\sqrt{81}\). Somit liegt der Wert zwischen den natürlichen Zahlen 8 und 9. 3. Berechnung des Näherungswerts: Mit \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\) ergibt sich \(4 \cdot 2{,}236 = 8{,}944\). Auf eine Dezimalstelle gerundet ergibt dies \(8{,}9\).

a) Der Wert liegt zwischen 8 und 9. b) Der Näherungswert ist \(\approx 8{,}9\).

- Wie hängen Flächeninhalt und Seitenlänge bei einem Quadrat zusammen? - Welche Formel benötigst du für den Umfang eines Quadrats? - Nutze für die Diagonale entweder die angegebene Formel oder den Satz des Pythagoras. - Verwende für Zwischenschritte mehr Nachkommastellen als für das Endergebnis gefordert sind.

1. Berechnung der Seitenlänge \(s\) aus dem Flächeninhalt: \(s = \sqrt{A} = \sqrt{7} \approx 2{,}6458\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Umfangs: \(U = 4s = 4 \cdot \sqrt{7} \approx 10{,}5830\,\text{cm}\). Gerundet ergibt dies \(10{,}58\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Diagonale: \(d = \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{14} \approx 3{,}7417\,\text{cm}\). Gerundet ergibt dies \(3{,}74\,\text{cm}\).

a) \(s \approx 2{,}65\,\text{cm}\) und \(U \approx 10{,}58\,\text{cm}\) b) \(d \approx 3{,}74\,\text{cm}\)

- Welche Quadratzahlen kennst du, die in der Nähe von 40 liegen? - Wie hängen die Seitenlänge eines Quadrats und sein Flächeninhalt zusammen? - Wenn eine positive Zahl quadriert 40 ergibt, was passiert dann, wenn man die Gegenzahl quadriert?

1. Identifikation der umgebenden Quadratzahlen: \(6^2 = 36\) und \(7^2 = 49\). Da \(36 < 40 < 49\) gilt, muss die positive Lösung \(\sqrt{40}\) zwischen den natürlichen Zahlen 6 und 7 liegen. 2. Berechnung der Näherungswerte mit dem Taschenrechner: \(\sqrt{40} \approx 6{,}32455\ldots\). Rundung auf zwei Stellen ergibt \(x_1 \approx 6{,}32\). 3. Berücksichtigung der negativen Lösung aufgrund der Symmetrie der Quadratfunktion: \(x_2 \approx -6{,}32\).

a) Die positive Lösung liegt zwischen 6 und 7, da \(6^2 = 36\) und \(7^2 = 49\). b) \(x \approx \pm 6{,}32\)

- Beginne mit der innersten Wurzel. Zwischen welchen Quadratzahlen liegt diese? - Nutze diese Grenzen, um den gesamten Wert unter der großen Wurzel abzuschätzen. - Welche Quadratzahlen liegen in der Nähe des so ermittelten Ergebnisses?

1. Innere Wurzel abschätzen: \(\sqrt{125}\). Da \(11^2 = 121\) und \(12^2 = 144\), gilt \(11 < \sqrt{125} < 12\). 2. Den Ausdruck unter der äußeren Wurzel eingrenzen: Addiere \(40\) zu den Grenzen. Es gilt \(40 + 11 < 40 + \sqrt{125} < 40 + 12\), also \(51 < 40 + \sqrt{125} < 52\). 3. Äußere Wurzel abschätzen: Wir suchen \(n\), sodass \(n^2 < T^2 < (n+1)^2\). Hier ist \(T^2 = 40 + \sqrt{125}\). 4. Da \(51 < T^2 < 52\), suchen wir Quadratzahlen um \(51\) und \(52\). 5. Es gilt \(7^2 = 49\) und \(8^2 = 64\). 6. Da \(49 < 51 < T^2 < 52 < 64\), folgt durch Wurzelziehen: \(7 < T < 8\).

Der Wert des Ausdrucks \(T\) liegt zwischen den natürlichen Zahlen \(7\) und \(8\).

- Prüfe zuerst durch Quadrieren, auf welcher Seite von \(\sqrt{10}\) die beiden Brüche liegen. - Bei zwei Werten auf verschiedenen Seiten entscheidet der Mittelpunkt über die größere Nähe. - Quadriere den Mittelpunkt der beiden Brüche.

1. Die beiden Vorschläge liegen auf verschiedenen Seiten von \(\sqrt{10}\): \(\left(\frac{22}{7}\right)^2 = \frac{484}{49} < 10\) und \(\left(\frac{19}{6}\right)^2 = \frac{361}{36} > 10\). 2. Ihr Mittelpunkt ist \(m = \frac{1}{2}\left(\frac{22}{7} + \frac{19}{6}\right) = \frac{265}{84}\). Es gilt \(m^2 = \frac{70225}{7056} < \frac{70560}{7056} = 10\). Also ist \(m < \sqrt{10}\). Damit liegt \(\sqrt{10}\) rechts vom Mittelpunkt und näher am größeren Wert \(\frac{19}{6}\). 3. Mit \(\sqrt{10} \approx 3{,}162278\) erhält man \(\left|\frac{19}{6} - \sqrt{10}\right| \approx 0{,}004389\) und \(\left|\frac{22}{7} - \sqrt{10}\right| \approx 0{,}019421\). Lukas hat recht.

a) \(\frac{19}{6}\) liegt näher an \(\sqrt{10}\). Der Mittelpunkt \(\frac{265}{84}\) hat ein Quadrat kleiner als \(10\), daher liegt \(\sqrt{10}\) auf der Seite von \(\frac{19}{6}\). b) Fehler von Lukas: ungefähr \(0{,}004389\); Fehler von Sophie: ungefähr \(0{,}019421\). Lukas hat recht.