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- Kürze jeden Dezimalbruch vollständig. - Wann ist die Wurzel aus einem vollständig gekürzten Bruch rational? - Prüfe, ob Zähler und Nenner Quadratzahlen sind.

1. \(A = \sqrt{0{,}64} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} = 0{,}8\). 2. \(D = \sqrt{0{,}0064} = \sqrt{\frac{4}{625}} = \frac{2}{25} = 0{,}08\). 3. Für \(B\) gilt \(6{,}4 = \frac{32}{5}\). Im vollständig gekürzten Bruch ist der Nenner \(5\) keine Quadratzahl. Daher kann \(\sqrt{\frac{32}{5}}\) nicht rational sein. 4. Für \(C\) gilt \(0{,}064 = \frac{8}{125}\). Im vollständig gekürzten Bruch sind weder Zähler noch Nenner Quadratzahlen. Daher ist auch \(\sqrt{\frac{8}{125}}\) irrational. Allgemein ist die Quadratwurzel eines positiven vollständig gekürzten Bruchs genau dann rational, wenn Zähler und Nenner Quadratzahlen sind.

a) \(A = 0{,}8\) und \(D = 0{,}08\). b) \(B = \sqrt{\frac{32}{5}}\) und \(C = \sqrt{\frac{8}{125}}\) sind irrational, weil in den vollständig gekürzten Brüchen Zähler und Nenner nicht beide Quadratzahlen sind.

- Wann ist die Wurzel aus einer natürlichen Zahl rational? - Was ist das entscheidende Merkmal einer rationalen Zahl in Bezug auf ihre Dezimaldarstellung? - Kannst du Ausdrücke mit Wurzeln vereinfachen, bevor du entscheidest? - Überlege, wie rationale Zahlen definiert sind.

1. \(\sqrt{121} = 11\), da \(11^2 = 121\). Da \(11\) eine natürliche Zahl ist, ist sie rational: \(\sqrt{121} \in \mathbb{Q}\). 2. \(0{,}\overline{45}\) ist eine rein periodische Dezimalzahl. Jede periodische Dezimalzahl lässt sich als Bruch darstellen (hier \(\frac{45}{99} = \frac{5}{11}\)), daher rational: \(0{,}\overline{45} \in \mathbb{Q}\). 3. \(\pi\) ist die Kreiszahl. Sie ist eine nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahl, daher irrational: \(\pi \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\). 4. Nach den Wurzelgesetzen gilt \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6\). Da \(6\) rational ist, ist das Ergebnis rational: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} \in \mathbb{Q}\). 5. \(\frac{22}{7}\) ist bereits als Quotient zweier ganzer Zahlen gegeben. Dies entspricht der Definition einer rationalen Zahl: \(\frac{22}{7} \in \mathbb{Q}\).

a) Rational (\(\mathbb{Q}\)) b) Rational (\(\mathbb{Q}\)), da periodische Dezimalzahlen als Bruch darstellbar sind. c) Irrational (\(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)) d) Rational (\(\mathbb{Q}\)), da das Produkt \(\sqrt{36} = 6\) ergibt. e) Rational (\(\mathbb{Q}\))

- Denk an die Definition von irrationalen Zahlen. - Was passiert, wenn du eine Wurzel mit sich selbst multiplizierst? - Reicht ein einziges Beispiel aus, um eine allgemeine Regel zu beweisen oder zu widerlegen?

1. Prüfung der Behauptung durch Suche nach einem Gegenbeispiel. 2. Wähle zwei irrationale Zahlen, zum Beispiel \(a = \sqrt{2}\) und \(b = \sqrt{2}\). 3. Berechne das Produkt: \(a \cdot b = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\). 4. Die Zahl \(2\) ist eine rationale Zahl (da sie als Bruch \(\frac{2}{1}\) darstellbar ist). 5. Da das Produkt zweier irrationaler Zahlen eine rationale Zahl ergeben kann, ist die ursprüngliche Behauptung falsch.

Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist das Produkt \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\). Hier sind beide Faktoren irrational, das Ergebnis \(2\) ist jedoch rational.

- Erinnere dich an den Satz des Pythagoras. - Wann ist die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl rational? - Suche nach speziellen Zahlenkombinationen, die du vielleicht schon aus der Geometrie kennst.

1. Berechnung für Fall a): \(d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\). Da \(2\) keine Quadratzahl ist, ist \(\sqrt{2}\) irrational. 2. Berechnung für Fall b): \(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). 3. Die Zahl \(5\) ist eine rationale Zahl (natürliche Zahl). 4. Bewertung der Aussage: Da im Fall b) die Seitenlängen ganzzahlig sind (\(3\) und \(4\)), die Diagonale aber rational (\(5\)) ist, ist die Aussage „niemals rational“ widerlegt.

a) \(d = \sqrt{2}\) (irrational). b) \(d = 5\) (rational). Die Aussage ist falsch, da es Rechtecke mit ganzzahligen Seiten (wie \(3\) und \(4\)) gibt, deren Diagonale eine rationale Zahl (hier \(5\)) ist.

- Wann ist die Wurzel aus einem Bruch eine rationale Zahl? - Was muss für Zähler und Nenner des Bruchs gelten, damit die Wurzel rational ist? - Probier doch mal, die gemischten Zahlen zuerst umzuformen.

1. Umwandlung in unechte Brüche und Radizieren: a) \(3\frac{1}{16} = \frac{49}{16} \Rightarrow \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4}\). Ergebnis ist rational. b) \(2\frac{14}{25} = \frac{64}{25} \Rightarrow \sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{8}{5}\). Ergebnis ist rational. c) \(1\frac{4}{5} = \frac{9}{5} \Rightarrow \sqrt{\frac{9}{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}\). Ergebnis ist irrational, da \(5\) keine Quadratzahl ist. d) \(7\frac{1}{9} = \frac{64}{9} \Rightarrow \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{8}{3}\). Ergebnis ist rational.

a) \(\frac{7}{4}\), rational b) \(\frac{8}{5}\), rational c) \(\frac{3}{\sqrt{5}}\), irrational d) \(\frac{8}{3}\), rational

- Denk an die Definitionen der Mengen: Was muss für eine rationale Zahl gelten? - Suche nach Ausnahmen (Gegenbeispielen), besonders bei Quadratzahlen. - Überlege, wie man periodische Dezimalzahlen als Brüche schreiben kann. - Probiere einfache Wurzeln aus, um Produkte zu testen.

1. Aussage a): Wahr. Jede ganze Zahl \(z\) lässt sich als Bruch \(\frac{z}{1}\) schreiben und ist somit rational. 2. Aussage b): Falsch. Gegenbeispiel: \(\sqrt{9} = 3\). Da \(3\) eine natürliche Zahl ist, ist die Wurzel in diesem Fall rational. 3. Aussage c): Wahr. Jede periodische Dezimalzahl lässt sich durch ein systematisches Verfahren in einen Bruch aus zwei ganzen Zahlen umwandeln (z. B. \(0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}\)). 4. Aussage d): Falsch. Gegenbeispiel: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\). Die Zahl \(2\) ist rational, obwohl beide Faktoren irrational sind.

a) Wahr (Darstellung als \(\frac{z}{1}\) möglich). b) Falsch (Gegenbeispiel: \(\sqrt{4} = 2\)). c) Wahr (Jede periodische Dezimalzahl ist als Bruch darstellbar). d) Falsch (Gegenbeispiel: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\)).

- Was ist der entscheidende Unterschied zwischen einer periodischen und einer nichtperiodischen unendlichen Dezimalzahl? - Wie kann man eine rein periodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln? Erinnere dich an den Trick mit der Multiplikation mit einer Zehnerpotenz. - Überlege, ob sich bei der zweiten Zahl wirklich ein Muster wiederholt oder ob es sich nur nach einer Regel verändert.

1. Analyse von \(x\): Die Ziffernfolge ist periodisch (\(1{,}\overline{23}\)). Periodische Dezimalbrüche sind immer rational, da sie als Bruch darstellbar sind. 2. Analyse von \(y\): Die Ziffernfolge ist unendlich und nichtperiodisch, da sich das Muster (Anzahl der Zweien) ständig ändert. Solche Zahlen sind irrational. 3. Umwandlung von \(x\) in einen Bruch: Sei \(x = 1{,}\overline{23}\). \(100x = 123{,}\overline{23}\) \(100x - x = 123{,}\overline{23} - 1{,}\overline{23}\) \(99x = 122\) \(x = \frac{122}{99}\). Prüfung auf Kürzbarkeit: \(122 = 2 \cdot 61\), \(99 = 3^2 \cdot 11\). Es gibt keine gemeinsamen Teiler; der Bruch ist bereits gekürzt.

1. \(x\) ist rational (\(\mathbb{Q}\)), \(y\) ist irrational (\(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)). 2. \(x\) ist periodisch (\(1{,}\overline{23}\)); periodische Dezimalzahlen sind rational. \(y\) ist unendlich und nichtperiodisch; daher ist \(y\) irrational. 3. \(x = \frac{122}{99}\).

- Überlege dir, was passieren würde, wenn das Ergebnis der Rechnung rational wäre. - Könnte man die Gleichung so umstellen, dass die irrationale Zahl allein auf einer Seite steht? - Was weißt du über das Rechnen mit Brüchen (rationalen Zahlen)? Bleibt das Ergebnis ein Bruch? - Suche für das Gegenbeispiel nach zwei Zahlen, die sich gegenseitig „aufheben“.

1. Annahme zum Widerspruch: Die Summe \(q = r + s\) sei eine rationale Zahl. 2. Da \(r\) und \(q\) rational sind, lässt sich die Gleichung nach \(s\) umstellen: \(s = q - r\). 3. Die Differenz zweier rationaler Zahlen ist stets rational. Daraus würde folgen, dass \(s\) eine rationale Zahl ist. 4. Dies steht im Widerspruch zur Voraussetzung, dass \(s\) irrational ist. Somit muss die Summe \(r + s\) irrational sein. 5. Gegenbeispiel für b): Wählt man zwei irrationale Zahlen wie \(a = \sqrt{2}\) und \(b = -\sqrt{2}\), so ergibt deren Summe \(a + b = 0\). Da \(0\) eine rationale Zahl ist, ist die Summe zweier irrationaler Zahlen nicht zwingend irrational.

a) Angenommen, die Summe \(r+s=q\) wäre rational. Dann wäre \(s=q-r\) ebenfalls rational (Differenz zweier rationaler Zahlen), was der Voraussetzung widerspricht. b) Nein, die Summe muss nicht irrational sein. Ein Gegenbeispiel ist \(\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0\).

- Kannst du die Wurzelterme mithilfe von Rechenregeln zusammenfassen? - Versuche, bei größeren Zahlen unter der Wurzel Faktoren zu finden, die Quadratzahlen sind. - Erkennst du in Teilaufgabe c) eine bekannte Formel aus der Algebra? - Was passiert mit einer Wurzel, wenn man sie mit sich selbst multipliziert oder quadriert?

1. Zu a): Anwendung der Produktregel für Wurzeln: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16}\). Das Ergebnis ist \(4\), eine rationale Zahl. 2. Zu b): Teilweises Wurzelziehen bei \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\). Die Summe ist \(\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\). Da \(\sqrt{3}\) irrational ist, ist auch das Produkt mit der rationalen Zahl \(4\) irrational. 3. Zu c): Anwendung der dritten binomischen Formel: \((5 - \sqrt{6}) \cdot (5 + \sqrt{6}) = 5^2 - (\sqrt{6})^2\). Dies ergibt \(25 - 6 = 19\). Das Ergebnis ist eine rationale Zahl.

a) Rational, da \(\sqrt{16} = 4\). b) Irrational, da \(\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\). c) Rational, da \(25 - 6 = 19\) (3. binomische Formel).

- Wie kannst du durch Quadrieren prüfen, ob eine Zahl größer oder kleiner als \(\sqrt{7}\) ist? - Was ist das Hauptmerkmal, das rationale von irrationalen Zahlen unterscheidet? - Denke an die Dezimaldarstellung von irrationalen Zahlen.

1. Bestimmung der Intervalle für \(\sqrt{7}\): Es gilt \(2^2 = 4\) und \(3^2 = 9\), also \(2 < \sqrt{7} < 3\). Testen von Dezimalzahlen: \(2{,}6^2 = 6{,}76\) und \(2{,}7^2 = 7{,}29\). Somit liegt \(\sqrt{7}\) im Intervall \([2{,}6; 2{,}7]\). 2. Analyse der Behauptung: Eine irrationale Zahl wie \(\sqrt{7}\) kann per Definition nicht als Bruch \(\frac{p}{q}\) (mit ganzen Zahlen \(p, q\)) dargestellt werden. 3. Jede rationale Zahl mit endlich vielen Nachkommastellen lässt sich als Bruch darstellen. Würde der Prozess der Intervallschachtelung bei einer rationalen Zahl enden, wäre \(\sqrt{7}\) rational. 4. Da \(\sqrt{7}\) irrational ist, ist ihre Dezimalbruchdarstellung unendlich und nichtperiodisch. Man kann sich dem Wert zwar beliebig genau nähern, ihn aber nie mit einer endlichen Anzahl an rationalen Nachkommastellen exakt erreichen.

a) \(2{,}6 < \sqrt{7} < 2{,}7\) b) Die Behauptung ist falsch, da \(\sqrt{7}\) irrational ist und somit eine unendliche, nichtperiodische Dezimaldarstellung besitzt. Jede rationale Zahl mit einer festen Anzahl an Nachkommastellen wäre eine exakte Bruchdarstellung, was für \(\sqrt{7}\) ausgeschlossen ist.

- Was unterscheidet die Dezimaldarstellung einer rationalen von der einer irrationalen Zahl? - Wie kannst du sicherstellen, dass sich eine Ziffernfolge immer wiederholt? - Wie kannst du eine Folge entwerfen, die zwar einer Regel folgt, aber nie in eine feste Wiederholung (Periode) verfällt?

1. Definition einer rationalen Zahl: Ein Dezimalbruch ist rational, wenn er abbricht oder unendlich periodisch ist. 2. Konstruktion einer rationalen Zahl: Durch Wiederholung des Blocks \(45\) entsteht die rein periodische Zahl \(0{,}\overline{45} = 0{,}4545454545...\). Die nächsten zehn Ziffern sind \(4, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5\). 3. Definition einer irrationalen Zahl: Ein Dezimalbruch ist irrational, wenn er unendlich und nichtperiodisch ist. 4. Konstruktion einer irrationalen Zahl: Ein Muster mit zunehmender Anzahl an Nullen zwischen den Einsen, zum Beispiel \(0{,}450100100010...\). Die nächsten zehn Ziffern sind \(0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0\). Da sich die Anzahl der Nullen ständig vergrößert, kann sich kein fester Ziffernblock unendlich oft wiederholen.

a) Beispiel: \(0{,}454545454545...\) (Ziffern: \(4, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5\)). Die Zahl ist rational, da sie periodisch ist. b) Beispiel: \(0{,}450100100010...\) (Ziffern: \(0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0\)). Die Zahl ist irrational, da das Muster (immer eine Null mehr) sicherstellt, dass die Dezimaldarstellung nichtperiodisch und unendlich ist.

- Wie viele Nachkommastellen kannst du hinzufügen, um zwischen zwei Werten zu landen? - Erinnere dich daran, dass Brüche mit Neunern im Nenner periodische Dezimalzahlen erzeugen. - Wie kannst du sicherstellen, dass ein Dezimalbruch niemals periodisch wird?

1. Eine abbrechende Dezimalzahl ist beispielsweise \(0{,}455\). 2. Eine rein periodische Dezimalzahl ist beispielsweise \(0{,}\overline{455} = \frac{455}{999} \approx 0{,}455455\ldots\), also liegt sie zwischen \(0{,}45\) und \(0{,}46\). 3. Für einen Bruch \(\frac{z}{200}\) muss \(0{,}45 < \frac{z}{200} < 0{,}46\) gelten. Multiplikation mit \(200\) ergibt \(90 < z < 92\), also \(z=91\). Damit ist die gesuchte Zahl \(\frac{91}{200}=0{,}455\). 4. Eine irrationale Zahl ist beispielsweise \(0{,}4501001000100001\ldots\), wobei die Anzahl der Nullen zwischen zwei Einsen jeweils wächst. Diese Dezimaldarstellung bricht nicht ab und wird nicht periodisch.

Mögliche Lösungen: a) \(0{,}455\) b) \(0{,}\overline{455}\) c) \(\frac{91}{200}\) d) \(0{,}4501001000100001\ldots\) (die Anzahl der Nullen zwischen zwei Einsen wächst jeweils)

- Was passiert mit den Wurzeltermen, wenn du die Zahlen addierst? - Erinnere dich an die Definition von rationalen Zahlen: Kann man das Ergebnis als Bruch ganzer Zahlen schreiben? - Für den zweiten Teil hilft es, den Ausdruck für die Differenz zuerst so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du Näherungswerte einsetzt. - Wie verändert sich die Genauigkeit eines Bereichs, wenn du ihn mit einer Zahl multiplizierst?

1. Berechnung der Summe: \(s = \sqrt{2} + (2 - \sqrt{2}) = 2\). Da \(2\) als Bruch \(\frac{2}{1}\) darstellbar ist, ist die Summe eine rationale Zahl. 2. Berechnung der Differenz: \(d = \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2\). 3. Eingrenzung von \(\sqrt{2}\): \(1{,}4142 < \sqrt{2} < 1{,}4143\). 4. Multiplikation der Schranken mit \(2\): \(2{,}8284 < 2\sqrt{2} < 2{,}8286\). 5. Subtraktion von \(2\): \(0{,}8284 < d < 0{,}8286\). 6. In diesem gesamten Intervall lauten die ersten drei Ziffern nach dem Komma \(828\).

a) Die Summe \(s = 2\) ist eine rationale Zahl. b) Die ersten drei Ziffern nach dem Komma der Differenz lauten \(828\).

- Wähle zuerst einen einfachen rationalen Wurzelwert mit genau einer Nachkommastelle und quadriere ihn. - Schreibe eine rationale Zahl als vollständig gekürzten Bruch und überlege, welche Primfaktoren ihr Nenner haben darf, wenn ihr Quadrat ein endlicher Dezimalbruch ist. - Wie verändert sich die Anzahl der Nachkommastellen beim Quadrieren einer endlichen Dezimalzahl?

1. Wähle beispielsweise \(\sqrt{z} = 0{,}5\). Dann ist \(z = 0{,}5^2 = 0{,}25\), und es gilt \(0{,}01 < 0{,}25 < 1\). 2. Sei eine endliche Dezimalzahl das Quadrat einer rationalen Zahl. Schreibe diese rationale Zahl als vollständig gekürzten Bruch \(\frac{p}{q}\). Da \(\frac{p^2}{q^2}\) eine endliche Dezimalzahl ist, kann \(q\) nur die Primfaktoren 2 und 5 enthalten. Damit besitzt auch \(\frac{p}{q}\) eine endliche Dezimaldarstellung. Hat diese Darstellung ohne überflüssige Endnullen \(n\) Nachkommastellen, so besitzt ihr Quadrat zunächst \(2n\) Nachkommastellen. Beim Entfernen von Endnullen verschwinden wegen des Quadrierens stets jeweils zwei Stellen. Daher bleibt die Anzahl der Nachkommastellen gerade. 3. Die Zahl \(0{,}1\) hat in ihrer Darstellung ohne überflüssige Endnullen genau eine Nachkommastelle. Sie kann daher nicht das Quadrat einer rationalen Zahl sein. Folglich ist \(\sqrt{0{,}1}\) irrational.

a) Zum Beispiel \(z = 0{,}25\), denn \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\). b) Ist eine endliche Dezimalzahl das Quadrat einer rationalen Zahl, so hat ihre Darstellung ohne überflüssige Endnullen eine gerade Anzahl an Nachkommastellen. c) \(\sqrt{0{,}1}\) ist irrational.

- Schau dir an, wie sich die Länge der Blöcke aus Einsen oder Dreien verändert. - Wann ist ein Dezimalbruch rational und wann irrational? Hat das etwas mit Mustern oder Wiederholungen zu tun? - Addiere die Zahlen Stelle für Stelle untereinander. Fällt dir ein Muster im Ergebnis auf? - Erinnerst du dich, wie man rein periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandelt?

1. Bildungsgesetz \(x\): Nach dem Komma folgen Blöcke aus \(n\) Einsen, die jeweils von einer einzelnen Null abgeschlossen werden (\(n = 1, 2, 3, \ldots\)). 2. Bildungsgesetz \(y\): Nach dem Komma folgen Blöcke aus \(n\) Dreien, die jeweils von einer einzelnen Vier abgeschlossen werden (\(n = 1, 2, 3, \ldots\)). 3. Begründung der Irrationalität: Da die Anzahl der Einsen bzw. Dreien in jedem Block um eins zunimmt, kann die Ziffernfolge niemals periodisch werden. Unendliche, nichtperiodische Dezimalbrüche sind irrational. 4. Berechnung der Summe: An jeder Nachkommastelle \(k\) werden entweder die Ziffern \(1\) und \(3\) oder die Ziffern \(0\) und \(4\) addiert. In beiden Fällen ergibt die Summe der Ziffern \(4\). 5. Ergebnis: Die Summe ist \(0{,}4444\ldots = 0{,}\overline{4}\). 6. Umwandlung in einen Bruch: \(0{,}\overline{4} = \frac{4}{9}\).

a) Bei \(x\) folgt auf \(n\) Einsen eine Null; bei \(y\) folgt auf \(n\) Dreien eine Vier (\(n\) steigt jeweils an). b) Die Zahlen sind irrational, da die Ziffernfolgen durch die wachsenden Blocklängen nicht periodisch sind. c) Die Summe ist \(0{,}\overline{4}\), was dem Bruch \(\frac{4}{9}\) entspricht.

- Rationalität verlangt eine abbrechende oder schließlich periodische Dezimaldarstellung. - Betrachte die Blöcke \(10\), \(100\), \(1000\), \(\dots\). - Können in einer festen Periode beliebig lange Nullfolgen auftreten?

1. Eine reelle Zahl ist genau dann rational, wenn ihre Dezimaldarstellung abbricht oder ab einer Stelle periodisch wird. 2. Die Dezimaldarstellung von \(a\) bricht nicht ab, weil immer weitere natürliche Zahlen angefügt werden. 3. Sie kann auch nicht schließlich periodisch sein. Für jedes \(m\in\mathbb N\) enthält die angefügte Zahl \(10^m\) nach der Ziffer \(1\) eine Folge von \(m\) Nullen. Daher treten in der Dezimaldarstellung beliebig lange Nullfolgen auf. 4. In einer schließlich periodischen Dezimaldarstellung mit einer festen Periode sind die Längen von Nullfolgen beschränkt, sofern die Periode nicht nur aus Nullen besteht. Bestünde die Periode nur aus Nullen, würde die Dezimaldarstellung schließlich abbrechen. Beides trifft auf \(a\) nicht zu. 5. Somit ist die Dezimaldarstellung nicht periodisch und \(a\) irrational. Ein vorhersagbares Bildungsgesetz allein macht eine Zahl nicht rational.

Die Behauptung ist falsch. Die Dezimaldarstellung bricht nicht ab und ist nicht schließlich periodisch: Durch die Blöcke \(10^m\) entstehen beliebig lange Nullfolgen. Eine feste, nicht nur aus Nullen bestehende Periode könnte solche beliebig langen Nullfolgen nicht erzeugen. Daher ist \(a\) irrational.

- Wie wandelt man rein periodische Dezimalzahlen in Brüche um? Welche Rolle spielt die Neun im Nenner? - Vergleiche die Zahlen Stelle für Stelle von links nach rechts, um ihre Größe zu bestimmen. - Erinnere dich daran, dass jeder abbrechende Dezimalbruch eine rationale Zahl ist.

1. Umwandlung von \(x\): Da \(x = 0{,}1212...\) eine rein periodische Zahl mit der Periodenlänge 2 ist, gilt \(x = \frac{12}{99}\). Kürzen durch 3 ergibt \(x = \frac{4}{33}\). 2. Analyse von \(y\): Das Bildungsgesetz von \(y\) sieht Blöcke von Einsen und Zweien mit jeweils zunehmender Länge vor. Da die Blocklängen ständig wachsen, gibt es keine feste Periode. Eine unendliche, nichtperiodische Dezimalzahl ist irrational. 3. Vergleich der Stellen: \(x = 0{,}121212...\) \(y = 0{,}121122...\) An der vierten Nachkommastelle hat \(x\) eine \(2\) und \(y\) eine \(1\). Somit ist \(y < x\). 4. Konstruktion von \(z\): Eine rationale Zahl zwischen \(y\) und \(x\) ist zum Beispiel der abbrechende Dezimalbruch \(z = 0{,}1212\). Es gilt \(0{,}121122... < 0{,}121200 < 0{,}121212...\).

a) \(x = \frac{4}{33}\) b) \(y\) ist irrational, da die Ziffernfolge durch die systematische Vergrößerung der Blöcke unendlich und nichtperiodisch ist. c) Beispiel: \(z = 0{,}1212\). Begründung: \(0{,}121122\ldots < 0{,}121200 < 0{,}121212\ldots\). Daher liegt \(z\) zwischen \(y\) und \(x\).