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- Überlege zuerst, ob du den Ausdruck vereinfachen kannst, bevor du ihn einordnest. - Erinnere dich an die Definitionen der Zahlenmengen: Welche Zahlen gehören zu den natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen? - Was passiert, wenn man eine Wurzel aus einer Zahl zieht, die keine Quadratzahl ist?

1. Berechnung von a): \(\sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). Da dies ein endlicher Dezimalbruch ist, ist die kleinstmögliche Menge \(\mathbb{Q}\). 2. Analyse von b): \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\). Da 3 keine Quadratzahl ist, ist die Wurzel irrational. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{R}\). 3. Analyse von c): Die Differenz aus einer irrationalen Zahl (\(\pi\)) und einer rationalen Zahl (3) ist irrational. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{R}\). 4. Berechnung von d): \(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5\). Dies ist eine positive ganze Zahl. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{N}\). 5. Analyse von e): \(-3{,}14\) ist ein endlicher Dezimalbruch und negativ. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{Q}\).

a) \(\mathbb{Q}\); b) \(\mathbb{R}\); c) \(\mathbb{R}\); d) \(\mathbb{N}\); e) \(\mathbb{Q}\)

- Wie berechnet man genau die Mitte zwischen zwei Zahlen? - Wenn du eine Zahl gefunden hast, die zwischen zwei anderen liegt, kannst du das Verfahren dann auf die neuen Zwischenräume anwenden? - Was würde passieren, wenn du versuchst, die Zahl, die am nächsten an der Null liegt, immer wieder zu halbieren?

1. Berechnung der ersten Zahl als Mittelwert von \(a = \frac{3}{4}\) und \(b = 1\): \(m_1 = \frac{\frac{3}{4} + 1}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8}\). 2. Berechnung der zweiten Zahl als Mittelwert von \(a = \frac{3}{4}\) und \(m_1 = \frac{7}{8}\): \(m_2 = \frac{\frac{6}{8} + \frac{7}{8}}{2} = \frac{13}{16}\). 3. Berechnung der dritten Zahl als Mittelwert von \(m_1 = \frac{7}{8}\) und \(b = 1\): \(m_3 = \frac{\frac{7}{8} + \frac{8}{8}}{2} = \frac{15}{16}\). Die drei Zahlen sind \(\frac{7}{8}\), \(\frac{13}{16}\) und \(\frac{15}{16}\). 4. Begründung zur kleinsten positiven rationalen Zahl: Angenommen, es gäbe eine kleinste positive rationale Zahl \(r > 0\). Da die rationalen Zahlen dicht liegen, muss zwischen \(0\) und \(r\) eine weitere rationale Zahl liegen (z. B. der Mittelwert \(\frac{r}{2}\)). Da \(\frac{r}{2} < r\) und ebenfalls positiv und rational ist, kann \(r\) nicht die kleinste sein. Dies lässt sich unendlich oft wiederholen.

a) Drei mögliche Zahlen sind \(\frac{7}{8}\), \(\frac{13}{16}\) und \(\frac{15}{16}\). b) Da zwischen der Zahl \(0\) und jeder noch so kleinen positiven rationalen Zahl \(r\) wegen der Dichtheit (z. B. durch Halbieren) immer eine noch kleinere positive rationale Zahl liegt, kann es keine kleinste geben.

- Was bedeutet es, wenn es eine „Lücke“ zwischen zwei Zahlen gibt? - Kannst du eine Zahl in der Liste finden, die genau zwischen zwei vorgegebenen Werten liegt? - Überlege, ob der Abstand zwischen zwei benachbarten Zahlen in diesen Mengen immer gleich bleibt.

1. Definition der Dichte prüfen: Eine Menge ist nicht dicht, wenn man zwei Zahlen finden kann, zwischen denen keine weitere Zahl der Menge liegt. 2. Für \(\mathbb{Z}\): Wähle zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen, zum Beispiel \(1\) und \(2\). Es gibt keine ganze Zahl \(z\) mit \(1 < z < 2\). Somit ist \(\mathbb{Z}\) nicht dicht. 3. Für die Menge \(S\): Wähle zwei benachbarte Elemente, zum Beispiel \(0\) und \(0{,}5\). Jedes Element hat einen festen Abstand von \(0{,}5\) zum nächsten. 4. Da es zwischen \(0\) und \(0{,}5\) keine Zahl der Form \(\frac{n}{2}\) gibt, ist auch die Menge \(S\) nicht dicht.

a) \(\mathbb{Z}\) ist nicht dicht, da zum Beispiel zwischen den Zahlen \(1\) und \(2\) keine weitere ganze Zahl liegt. b) Die Menge \(S\) ist nicht dicht, da zwischen zwei benachbarten Werten wie \(0\) und \(0{,}5\) kein weiteres Element der Menge (z. B. \(0{,}25\)) existiert.

- Überlege dir, wie man den Punkt genau in der Mitte zwischen zwei Zahlen berechnet. - Was passiert, wenn du eine Gleichung umstellst? - Kannst du dir ein Intervall vorstellen, das so klein ist, dass keine „komplizierten“ Zahlen mehr hineinpassen?

1. Prüfung von Aussage a): Zwischen zwei rationalen Zahlen \(a\) und \(b\) liegt immer ihr Mittelwert \(\frac{a+b}{2}\). Da die Summe und Division rationaler Zahlen wieder rational ist, ist der Mittelwert rational. Die Aussage ist wahr. 2. Prüfung von Aussage b): Angenommen, die Summe einer rationalen Zahl \(r\) und einer irrationalen Zahl \(i\) wäre eine rationale Zahl \(s\). Dann müsste \(i = s - r\) gelten. Da die Differenz zweier rationaler Zahlen rational ist, wäre \(i\) rational, was im Widerspruch zur Voraussetzung steht. Die Aussage ist wahr. 3. Prüfung von Aussage c): In jedem noch so kleinen Intervall reeller Zahlen finden sich aufgrund der Dichtheit der irrationalen Zahlen stets unendlich viele irrationale Zahlen (z. B. durch Verschiebung von \(\sqrt{2}\)). Es gibt also kein Intervall ohne irrationale Zahlen. Die Aussage ist falsch.

a) Wahr. b) Wahr. c) Falsch.

- Das arithmetische Mittel liegt zwischen den beiden Grenzen. - Prüfe durch Quadrieren, ob \(\sqrt2\) bereits im Intervall liegt.

1. Eine mögliche rationale Zahl ist das arithmetische Mittel: \[ \frac{1{,}41+1{,}42}{2}=1{,}415. \] 2. Als irrationale Zahl eignet sich direkt \(\sqrt2\). Denn \[ 1{,}41^2=1{,}9881<2<2{,}0164=1{,}42^2. \] Da beide Grenzen positiv sind, folgt \[ 1{,}41<\sqrt2<1{,}42. \] Außerdem ist \(\sqrt2\) irrational.

a) Zum Beispiel \(1{,}415\). b) \(\sqrt2\), denn \(1{,}41^2<2<1{,}42^2\) und \(\sqrt2\) ist irrational.

- Bilde für ein arithmetisches Mittel zuerst die Summe und teile anschließend durch zwei. - Schreibe für Teil c) beide Grenzen mit dem Nenner \(80\). - Achte darauf, keine bereits gefundene Zahl erneut zu verwenden.

1. \[ m_1=\frac{\frac15+\frac14}{2} =\frac{\frac9{20}}2 =\frac9{40}. \] 2. \[ m_2=\frac{\frac15+\frac9{40}}2 =\frac{\frac{17}{40}}2 =\frac{17}{80}. \] 3. Es gilt \[ a=\frac{16}{80},\qquad b=\frac{20}{80}. \] Zwischen diesen Brüchen liegen \(\frac{17}{80}\), \(\frac{18}{80}\) und \(\frac{19}{80}\). Da \(\frac{17}{80}=m_2\) und \(\frac{18}{80}=\frac9{40}=m_1\), ist beispielsweise \(\frac{19}{80}\) eine weitere passende Zahl.

a) \(m_1=\frac9{40}\) b) \(m_2=\frac{17}{80}\) c) Zum Beispiel \(\frac{19}{80}\).

- Angenommen, du hättest eine sehr kleine Zahl – was könntest du mit ihr machen, um eine noch kleinere zu erhalten? - Bleibt eine Zahl rational, wenn man sie halbiert? - Wenn man immer wieder einen neuen Wert zwischen zwei vorhandenen Werten finden kann, was sagt das über die Gesamtanzahl der Werte aus?

1. Annahme: Es existiert eine kleinste positive rationale Zahl \(q > 0\). 2. Konstruktion einer kleineren Zahl: Da \(q\) rational ist, ist auch \(q' = \frac{q}{2}\) eine rationale Zahl (Division einer rationalen Zahl durch eine rationale Zahl ungleich Null). 3. Vergleich: Da \(q > 0\), gilt auch \(\frac{q}{2} > 0\). Zudem gilt \(\frac{q}{2} < q\). 4. Schlussfolgerung: Damit ist \(q'\) eine positive rationale Zahl, die kleiner als \(q\) ist. Dies widerspricht der Annahme, \(q\) sei die kleinste. 5. Konsequenz für das Intervall \([0; 1]\): Da man diesen Prozess (Halbierung) unendlich oft wiederholen kann, ohne jemals die Null zu erreichen, müssen unendlich viele rationale Zahlen zwischen \(0\) und \(1\) liegen.

Die Aussage ist falsch. Zu jeder positiven rationalen Zahl \(q\) ist auch \(\frac{q}{2}\) eine positive rationale Zahl, die jedoch kleiner als \(q\) ist. Daher kann es keine „kleinste“ positive rationale Zahl geben. Daraus folgt, dass zwischen \(0\) und \(1\) (und allgemein zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen) unendlich viele rationale Zahlen liegen.

- Wann ist die Wurzel aus einer natürlichen Zahl rational? - Was ist das entscheidende Merkmal einer rationalen Zahl in Bezug auf ihre Dezimaldarstellung? - Kannst du Ausdrücke mit Wurzeln vereinfachen, bevor du entscheidest? - Überlege, wie rationale Zahlen definiert sind.

1. \(\sqrt{121} = 11\), da \(11^2 = 121\). Da \(11\) eine natürliche Zahl ist, ist sie rational: \(\sqrt{121} \in \mathbb{Q}\). 2. \(0{,}\overline{45}\) ist eine rein periodische Dezimalzahl. Jede periodische Dezimalzahl lässt sich als Bruch darstellen (hier \(\frac{45}{99} = \frac{5}{11}\)), daher rational: \(0{,}\overline{45} \in \mathbb{Q}\). 3. \(\pi\) ist die Kreiszahl. Sie ist eine nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahl, daher irrational: \(\pi \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\). 4. Nach den Wurzelgesetzen gilt \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6\). Da \(6\) rational ist, ist das Ergebnis rational: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} \in \mathbb{Q}\). 5. \(\frac{22}{7}\) ist bereits als Quotient zweier ganzer Zahlen gegeben. Dies entspricht der Definition einer rationalen Zahl: \(\frac{22}{7} \in \mathbb{Q}\).

a) Rational (\(\mathbb{Q}\)) b) Rational (\(\mathbb{Q}\)), da periodische Dezimalzahlen als Bruch darstellbar sind. c) Irrational (\(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)) d) Rational (\(\mathbb{Q}\)), da das Produkt \(\sqrt{36} = 6\) ergibt. e) Rational (\(\mathbb{Q}\))

- Ein Näherungswert mit Mangel entsteht durch Abbrechen der Dezimalzahl an der gewünschten Stelle. - Ein Näherungswert mit Überschuss ist die kleinste Zahl mit der vorgegebenen Anzahl an Dezimalstellen, die größer als die ursprüngliche Zahl ist. - Um Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, kannst du schriftlich dividieren, bis sich die Ziffernfolge wiederholt. - Die Ziffern einer Wurzel lassen sich durch systematisches Probieren oder mit einem Taschenrechner bestimmen.

1. Für \(\sqrt{15} \approx 3{,}8729833\ldots\) ergeben sich folgende Werte: - Bei Genauigkeit \(0{,}1\): Mangelwert \(3{,}8\); Überschusswert \(3{,}9\). - Bei Genauigkeit \(0{,}01\): Mangelwert \(3{,}87\); Überschusswert \(3{,}88\). - Bei Genauigkeit \(0{,}0001\): Mangelwert \(3{,}8729\); Überschusswert \(3{,}8730\). 2. Umwandlung in periodische Dezimalbrüche durch Division: - \(\frac{7}{9} = 0{,}777\ldots = 0{,}\overline{7}\). - \(1\frac{2}{11} = \frac{13}{11} = 1{,}1818\ldots = 1{,}\overline{18}\). - \(\frac{5}{12} = 0{,}41666\ldots = 0{,}41\overline{6}\). 3. Berechnung von \(\sqrt{0{,}8}\): - \(\sqrt{0{,}8} \approx 0{,}89442719\ldots\) - Die ersten fünf Ziffern nach dem Komma lauten: \(89442\).

1. \(0{,}1\): \(3{,}8\) (M), \(3{,}9\) (Ü); \(0{,}01\): \(3{,}87\) (M), \(3{,}88\) (Ü); \(0{,}0001\): \(3{,}8729\) (M), \(3{,}8730\) (Ü). 2. \(0{,}\overline{7}\); \(1{,}\overline{18}\); \(0{,}41\overline{6}\). 3. \(89442\).

- Überlege zuerst, welche Zahl du für \(x\) einsetzen musst, damit die Gleichung stimmt. - Erinnere dich an die Definitionen: Sind natürliche Zahlen auch in den ganzen Zahlen enthalten? - Wann genau entsteht eine rationale Zahl, die keine ganze Zahl mehr ist? - Was passiert, wenn du die Wurzel aus einer Zahl ziehst, die keine Quadratzahl ist?

1. Lösung der Gleichung \(x + 15 = 11\): \(x = -4\). Da \(-4\) eine negative ganze Zahl ist, ist die kleinste Menge \(\mathbb{Z}\). 2. Lösung der Gleichung \(8x = 6\): \(x = \frac{6}{8} = 0{,}75\). Da dies ein endlicher Dezimalbruch ist, ist die kleinste Menge \(\mathbb{Q}\). 3. Lösung der Gleichung \(x^2 = 7\): \(x_1 = \sqrt{7}\) und \(x_2 = -\sqrt{7}\). Da \(7\) keine Quadratzahl ist, sind die Lösungen irrational. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{R}\). Begründung: Die Quadratwurzel aus einer Primzahl ist stets irrational und kann nicht als Bruch dargestellt werden. 4. Lösung der Gleichung \(x^2 = 1{,}21\): \(x_1 = 1{,}1\) und \(x_2 = -1{,}1\). Da \(1{,}1 = \frac{11}{10}\), handelt es sich um rationale Zahlen. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{Q}\). 5. Lösung der Gleichung \(x - 9 = 21\): \(x = 30\). Da \(30\) eine positive ganze Zahl ist, ist die kleinste Menge \(\mathbb{N}\).

a) \(\mathbb{Z}\) b) \(\mathbb{Q}\) c) \(\mathbb{R}\) (Begründung: \(\sqrt{7}\) ist irrational) d) \(\mathbb{Q}\) e) \(\mathbb{N}\)

- Was passiert, wenn du annimmst, das Ergebnis wäre rational? Kannst du die Gleichung dann umstellen? - Denke an Quadratwurzeln, die sich beim Multiplizieren oder Dividieren zu einer Quadratzahl ergänzen. - Reicht ein einziges Beispiel aus, um eine allgemeine Aussage zu widerlegen?

1. Aussage a: Wahr. Wäre die Summe \(r + i = q\) eine rationale Zahl, dann müsste auch \(i = q - r\) rational sein, da die Differenz zweier rationaler Zahlen stets rational ist. Dies widerspricht der Voraussetzung, dass \(i\) irrational ist. 2. Aussage b: Falsch. Ein Gegenbeispiel ist das Produkt \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2\). Hier sind beide Faktoren irrational, das Ergebnis ist jedoch rational. 3. Aussage c: Wahr. Ein Beispiel ist der Quotient \(\sqrt{8} : \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2\). Beide Ausgangszahlen sind irrational, das Ergebnis ist jedoch rational.

a) Wahr (Begründung über die Abgeschlossenheit der rationalen Zahlen bezüglich der Subtraktion). b) Falsch (Gegenbeispiel: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\)). c) Wahr (Beispiel: \(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = 2\)).

- Überlege dir, wie die Lösung \(x\) aussieht, wenn du die Gleichung nach \(x\) umstellst. - Setze für \(a\) und \(b\) verschiedene kleine natürliche Zahlen ein, um zu sehen, welche Art von Ergebnis herauskommt. - Denke daran, dass eine Menge nur dann die richtige Antwort ist, wenn die Lösung immer (für jede Wahl von \(a\) und \(b\)) darin liegt. - Erinnere dich an die Definitionen der Zahlenbereiche: Wann entstehen negative Zahlen, Brüche oder Wurzeln, die nicht aufgehen?

1. Auflösen nach \(x\): \(x = a + ab = a(1+b)\). Da \(a\) und \(b\) natürliche Zahlen sind, ist auch deren Produkt und Summe eine natürliche Zahl. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{N}\). 2. Auflösen nach \(x\): \(x = b - a^2\). Da \(a^2\) größer als \(b\) sein kann (z. B. \(a=2, b=1 \implies x=-3\)), ist die Lösung nicht immer in \(\mathbb{N}\), aber stets eine ganze Zahl. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{Z}\). 3. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{b+1}{a}\). Da \(a\) kein Teiler von \(b+1\) sein muss (z. B. \(a=3, b=1 \implies x=\frac{2}{3}\)), ist die Lösung ein Bruch. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{Q}\). 4. Auflösen nach \(x\): \(x = \pm \sqrt{ab+1}\). Da \(ab+1\) keine Quadratzahl sein muss (z. B. \(a=1, b=1 \implies x=\pm \sqrt{2}\)), kann die Lösung irrational sein. Da \(a, b \ge 1\), ist der Radikand immer positiv, also existieren stets reelle Lösungen. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{R}\).

1) \(\mathbb{N}\) 2) \(\mathbb{Z}\) 3) \(\mathbb{Q}\) 4) \(\mathbb{R}\)

- Suche nach einem Gegenbeispiel, um eine „Immer“-Aussage zu widerlegen. - Denke an periodische Dezimalbrüche. Was weißt du über ihre Darstellung als Bruch? - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Mengen „disjunkt“ sind? - Wie würdest du die Mitte zwischen zwei Zahlen auf dem Zahlenstrahl berechnen?

1. Aussage 1 ist falsch. Gegenbeispiel: \(\sqrt{2}\) und \(-\sqrt{2}\) sind beide irrational, aber ihre Summe \(\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0\) ist rational. 2. Aussage 2 ist falsch. Periodische Dezimalzahlen wie \(0{,}\bar{3} = \frac{1}{3}\) haben unendlich viele Nachkommastellen, sind aber rational. 3. Aussage 3 ist wahr. Eine Zahl kann nicht gleichzeitig rational (als Bruch darstellbar) und irrational (nicht als Bruch darstellbar) sein. Die Mengen sind disjunkt. 4. Aussage 4 ist wahr. Man kann zum Beispiel immer den Mittelwert \(\frac{a+b}{2}\) zweier rationaler Zahlen \(a\) und \(b\) bilden, der ebenfalls rational ist.

1. Falsch (Gegenbeispiel: \(\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0\)). 2. Falsch (Gegenbeispiel: \(0{,}\bar{3} = \frac{1}{3}\)). 3. Wahr (Rationale und irrationale Zahlen schließen sich gegenseitig aus). 4. Wahr (Man kann stets den Mittelwert bilden).

- Denk an die Definitionen der Mengen: Was muss für eine rationale Zahl gelten? - Suche nach Ausnahmen (Gegenbeispielen), besonders bei Quadratzahlen. - Überlege, wie man periodische Dezimalzahlen als Brüche schreiben kann. - Probiere einfache Wurzeln aus, um Produkte zu testen.

1. Aussage a): Wahr. Jede ganze Zahl \(z\) lässt sich als Bruch \(\frac{z}{1}\) schreiben und ist somit rational. 2. Aussage b): Falsch. Gegenbeispiel: \(\sqrt{9} = 3\). Da \(3\) eine natürliche Zahl ist, ist die Wurzel in diesem Fall rational. 3. Aussage c): Wahr. Jede periodische Dezimalzahl lässt sich durch ein systematisches Verfahren in einen Bruch aus zwei ganzen Zahlen umwandeln (z. B. \(0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}\)). 4. Aussage d): Falsch. Gegenbeispiel: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\). Die Zahl \(2\) ist rational, obwohl beide Faktoren irrational sind.

a) Wahr (Darstellung als \(\frac{z}{1}\) möglich). b) Falsch (Gegenbeispiel: \(\sqrt{4} = 2\)). c) Wahr (Jede periodische Dezimalzahl ist als Bruch darstellbar). d) Falsch (Gegenbeispiel: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\)).

- Suche nach Beispielen, die eine allgemeine Behauptung widerlegen könnten (Gegenbeispiele). - Überlege dir, wie periodische Dezimalzahlen in Brüche umgewandelt werden können. - Denke an die Definition von rationalen Zahlen als Quotienten zweier ganzer Zahlen.

1. Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0\). Die Zahl 0 ist rational (\(0 \in \mathbb{Q}\)), obwohl beide Summanden irrational sind. 2. Die Aussage ist wahr. Jede ganze Zahl \(z\) kann als \(\frac{z}{1}\) geschrieben werden, was der Definition einer rationalen Zahl entspricht. Somit gilt \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\). 3. Die Aussage ist wahr. Primzahlen haben keine Teiler außer 1 und sich selbst, insbesondere sind sie keine Quadratzahlen. Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist stets irrational. 4. Die Aussage ist falsch. Jede periodische Dezimalzahl lässt sich durch ein systematisches Verfahren in einen Bruch umwandeln und ist somit eine rationale Zahl (\(\mathbb{Q}\)).

1. Falsch; 2. Wahr; 3. Wahr; 4. Falsch.

- Nutze die Rechenregeln für Wurzeln (Multiplikation und Division unter einer Wurzel). - Erinnere dich bei Teilaufgabe c) an die binomischen Formeln. - Beachte bei Teilaufgabe e) die Definition der Quadratwurzel: Das Ergebnis einer Quadratwurzel ist immer nichtnegativ.

1. Berechnung von A: \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2 = \frac{1}{5}\). Das Ergebnis ist ein positiver Bruch. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{Q}\). 2. Berechnung von B: \(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3\). Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{N}\). 3. Berechnung von C: Anwendung der zweiten binomischen Formel: \((1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}\). Da \(\sqrt{2}\) irrational ist, ist das gesamte Ergebnis irrational. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{R}\). 4. Berechnung von D: \(\sqrt{10 \cdot 0{,}4} = \sqrt{4} = 2\). Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{N}\). 5. Berechnung von E: \(\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7\). Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{N}\).

a) \(0{,}2 \in \mathbb{Q}\); b) \(3 \in \mathbb{N}\); c) \(3 - 2\sqrt{2} \in \mathbb{R}\); d) \(2 \in \mathbb{N}\); e) \(7 \in \mathbb{N}\)

- Nutze deinen Taschenrechner, um die Dezimalwerte der Wurzeln zu schätzen. - Um eine Wurzel \(\sqrt{n}\) in einem Intervall zu finden, hilft es, die Grenzen des Intervalls zu quadrieren. - Erinnere dich an die Definition von „dicht“: Gilt sie wirklich für *jedes* Paar von Zahlen aus der Menge?

1. Bestimmung einer rationalen Zahl zwischen \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\) und \(\sqrt{6} \approx 2{,}449\): Jede rationale Zahl in diesem Bereich ist korrekt, z. B. \(q = 2{,}3\) oder \(q = 2{,}4\). 2. Suche nach einer irrationalen Zahl \(\sqrt{n}\) zwischen \(2{,}5\) und \(3\): Es muss gelten \(2{,}5^2 < n < 3^2\), also \(6{,}25 < n < 9\). Mögliche Werte für \(n\) sind \(7\) oder \(8\). Da \(\sqrt{7}\) und \(\sqrt{8}\) irrational sind, sind dies gültige Lösungen. 3. Untersuchung der Dichtheit: Zwischen \(\sqrt{1} = 1\) und \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) liegt keine weitere Zahl der Form \(\sqrt{n}\), da es zwischen den Radikanden \(1\) und \(2\) keine weitere natürliche Zahl gibt. Da die Bedingung „zwischen zwei beliebigen Zahlen liegt mindestens eine weitere der Menge“ hier verletzt ist, liegt diese Menge nicht dicht.

a) Zum Beispiel \(q = 2{,}3\). b) Zum Beispiel \(\sqrt{7}\) oder \(\sqrt{8}\). c) Nein, die Menge ist nicht dicht. Zwischen \(\sqrt{1}\) und \(\sqrt{2}\) liegt keine weitere Zahl der Form \(\sqrt{n}\), da keine natürliche Zahl zwischen \(1\) und \(2\) existiert.

- Wie berechnet man das arithmetische Mittel zweier Brüche? - Um Brüche zu vergleichen, ist es hilfreich, sie auf denselben Nenner zu bringen. - Wenn man immer wieder einen neuen Punkt in der Mitte finden kann, nimmt dieser Prozess jemals ein Ende?

1. Berechnung des Mittelwerts: \(m = \frac{a+b}{2} = \frac{\frac{2}{3} + \frac{3}{4}}{2}\). Hauptnenner bilden: \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) und \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\). 2. Summe bilden: \(\frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}\). Mittelwert: \(m = \frac{17}{12} : 2 = \frac{17}{24}\). Da \(17\) und \(24\) ganze Zahlen sind, ist \(m\) rational. 3. Größenvergleich: Um \(a, m, b\) zu vergleichen, bringen wir sie auf den Nenner \(24\). \(a = \frac{16}{24}\), \(m = \frac{17}{24}\), \(b = \frac{18}{24}\). Es gilt offensichtlich \(16 < 17 < 18\), also \(a < m < b\). 4. Schlussfolgerung: Da man zwischen zwei beliebige rationale Zahlen immer wieder deren Mittelwert (der rational ist) legen kann, gibt es unendlich viele rationale Zahlen zwischen \(a\) und \(b\).

a) \(m = \frac{17}{24}\). Da es als Bruch ganzer Zahlen darstellbar ist, ist es rational. b) Mit dem Nenner \(24\) ergibt sich \(\frac{16}{24} < \frac{17}{24} < \frac{18}{24}\). c) Es gibt unendlich viele rationale Zahlen zwischen \(a\) und \(b\).

- Eine endliche Dezimalzahl ist rational. - Für eine irrationale Zahl kannst du eine bekannte irrationale Zahl geeignet verkleinern und verschieben. - Welche Zahl liegt genau in der Mitte zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen?

1. Eine mögliche rationale Zahl ist \(q = 3{,}05\). 2. Eine mögliche irrationale Zahl ist \(i = 3 + \frac{\sqrt{2}}{20}\). Wegen \(1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5\) gilt \[ 3{,}07 < 3 + \frac{\sqrt{2}}{20} < 3{,}075, \] also liegt \(i\) im verlangten Intervall. Die Zahl ist irrational, weil die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl irrational ist. 3. Für beliebige reelle Zahlen \(x<y\) liegt ihr arithmetisches Mittel \[ m=\frac{x+y}{2} \] ebenfalls in \(\mathbb R\), und es gilt \(x<m<y\). Daher ist \(\mathbb R\) dicht geordnet.

a) Zum Beispiel \(q = 3{,}05\). b) Zum Beispiel \(i = 3 + \frac{\sqrt{2}}{20}\). c) Für \(x<y\) ist \(\frac{x+y}{2}\) eine reelle Zahl mit \[ x<\frac{x+y}{2}<y. \]

- Kannst du die Wurzeln unter einem gemeinsamen Wurzelzeichen zusammenfassen? - Versuche, die größere Wurzel teilweise zu ziehen (Radizieren). - Was bedeutet es für ein Ergebnis, wenn eine Wurzel nicht exakt als ganze Zahl oder Bruch gezogen werden kann?

1. Berechnung von \(x \cdot y\): \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6\). Das Ergebnis \(6\) ist eine rationale Zahl. 2. Berechnung von \(y : x\): \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2\). Das Ergebnis \(2\) ist eine rationale Zahl. 3. Berechnung von \(x + y\): \(\sqrt{3} + \sqrt{12} = \sqrt{3} + \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\). Da \(\sqrt{3}\) irrational ist, ist auch das dreifache davon irrational. Das Ergebnis ist eine irrationale Zahl. 4. Berechnung von \(x^2\): \((\sqrt{3})^2 = 3\). Das Ergebnis \(3\) ist eine rationale Zahl.

1. Rational (\(6\)) 2. Rational (\(2\)) 3. Irrational (\(3\sqrt{3}\)) 4. Rational (\(3\))

- Wie kannst du durch Quadrieren prüfen, ob eine Zahl größer oder kleiner als \(\sqrt{7}\) ist? - Was ist das Hauptmerkmal, das rationale von irrationalen Zahlen unterscheidet? - Denke an die Dezimaldarstellung von irrationalen Zahlen.

1. Bestimmung der Intervalle für \(\sqrt{7}\): Es gilt \(2^2 = 4\) und \(3^2 = 9\), also \(2 < \sqrt{7} < 3\). Testen von Dezimalzahlen: \(2{,}6^2 = 6{,}76\) und \(2{,}7^2 = 7{,}29\). Somit liegt \(\sqrt{7}\) im Intervall \([2{,}6; 2{,}7]\). 2. Analyse der Behauptung: Eine irrationale Zahl wie \(\sqrt{7}\) kann per Definition nicht als Bruch \(\frac{p}{q}\) (mit ganzen Zahlen \(p, q\)) dargestellt werden. 3. Jede rationale Zahl mit endlich vielen Nachkommastellen lässt sich als Bruch darstellen. Würde der Prozess der Intervallschachtelung bei einer rationalen Zahl enden, wäre \(\sqrt{7}\) rational. 4. Da \(\sqrt{7}\) irrational ist, ist ihre Dezimalbruchdarstellung unendlich und nicht periodisch. Man kann sich dem Wert zwar beliebig genau nähern, ihn aber nie mit einer endlichen Anzahl an rationalen Nachkommastellen exakt erreichen.

a) \(2{,}6 < \sqrt{7} < 2{,}7\) b) Die Behauptung ist falsch, da \(\sqrt{7}\) irrational ist und somit eine unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellung besitzt. Jede rationale Zahl mit einer festen Anzahl an Nachkommastellen wäre eine exakte Bruchdarstellung, was für \(\sqrt{7}\) ausgeschlossen ist.

- Wie viele Nachkommastellen kannst du hinzufügen, um zwischen zwei Werten zu landen? - Erinnere dich daran, dass Brüche mit Neunern im Nenner periodische Dezimalzahlen erzeugen. - Wie kannst du sicherstellen, dass ein Dezimalbruch niemals periodisch wird?

1. Eine abbrechende Dezimalzahl ist beispielsweise \(0{,}455\). 2. Eine rein periodische Dezimalzahl ist beispielsweise \[ 0{,}\overline{455}=\frac{455}{999}\approx 0{,}455455\ldots, \] also liegt sie zwischen \(0{,}45\) und \(0{,}46\). 3. Für einen Bruch \(\frac z{200}\) muss \[ 0{,}45<\frac z{200}<0{,}46 \] gelten. Multiplikation mit \(200\) ergibt \(90<z<92\), also \(z=91\). Damit ist die gesuchte Zahl \(\frac{91}{200}=0{,}455\). 4. Eine irrationale Zahl ist beispielsweise \[ 0{,}4501001000100001\ldots, \] wobei die Anzahl der Nullen zwischen zwei Einsen jeweils wächst. Diese Dezimaldarstellung bricht nicht ab und wird nicht periodisch.

Mögliche Lösungen: a) \(0{,}455\) b) \(0{,}\overline{455}\) c) \(\frac{91}{200}\) d) \(0{,}45010010001...\) (die Anzahl der Nullen steigt stetig an)

- Vergleiche zwei Dezimalzahlen Stelle für Stelle von links nach rechts. - Um eine irrationale Zahl zwischen zwei Werten zu finden, kannst du eine bekannte Wurzel nutzen oder ein Bildungsgesetz für eine unendliche, nicht-periodische Ziffernfolge entwerfen. - Nutze Rechenregeln für Wurzeln, um Ausdrücke zusammenzufassen, bevor du den Wert bestimmst.

1. a) Division von \(22\) durch \(7\): \(\frac{22}{7} = 3{,}\overline{142857}\). b) Vergleich: \(\frac{22}{7} = 3{,}1428\ldots\) und \(\pi = 3{,}1415\ldots\). Die Zahlen stimmen in der Einerstelle sowie der ersten und zweiten Nachkommastelle überein. Sie stimmen also bis zur zweiten Nachkommastelle überein. c) Differenz berechnen: \(3{,}14285714\ldots - 3{,}14159265\ldots \approx 0{,}0012644\ldots\). Der Näherungswert mit Mangel und mit vier Nachkommastellen ist \(0{,}0012\). 2. Eine bekannte irrationale Zahl ist \(\sqrt{2} \approx 1{,}414213\ldots\). Diese liegt zwischen \(1{,}41\) und \(1{,}42\). Alternativ kann eine nichtperiodische Zahl wie \(1{,}41010010001\ldots\) konstruiert werden. 3. Das Produkt ist \(\sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10}\). - \(\sqrt{10} \approx 3{,}162277\ldots\) - Die ersten vier Ziffern nach dem Komma sind \(1622\).

1. a) \(3{,}\overline{142857}\); b) Bis zur zweiten Nachkommastelle; c) \(0{,}0012\). 2. Beispiel: \(\sqrt{2}\). 3. \(1622\).

- Versuche, alle Zahlen als Dezimalzahlen mit mindestens vier Nachkommastellen zu schreiben. - Was bedeutet der Strich über einer Ziffer bei einer Dezimalzahl? - Wie kannst du den Wert einer Wurzel abschätzen oder berechnen, um ihn mit einer Dezimalzahl zu vergleichen? - Reicht es aus, nur zwei Nachkommastellen zu betrachten, oder gibt es Zahlen, die sich erst später unterscheiden?

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimaldarstellungen mit ausreichender Genauigkeit: \(2{,}\overline{2} = 2{,}2222\ldots\) \(2{,}23 = 2{,}2300\ldots\) \(2{,}236 = 2{,}2360\ldots\) \(\sqrt{5} \approx 2{,}2360679\ldots\) \(\frac{9}{4} = 2{,}25\) 2. Vergleich der Stellenwerte: \(2{,}22\ldots < 2{,}230\ldots < 2{,}2360 < 2{,}23606\ldots < 2{,}25\) 3. Ergebnis durch Einsetzen der ursprünglichen Zahlenformate: \(2{,}\overline{2} < 2{,}23 < 2{,}236 < \sqrt{5} < \frac{9}{4}\)

\(2{,}\overline{2} < 2{,}23 < 2{,}236 < \sqrt{5} < \frac{9}{4}\)

- Was passiert mit den Wurzeltermen, wenn du die Zahlen addierst? - Erinnere dich an die Definition von rationalen Zahlen: Kann man das Ergebnis als Bruch ganzer Zahlen schreiben? - Für den zweiten Teil hilft es, den Ausdruck für die Differenz zuerst so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du Näherungswerte einsetzt. - Wie verändert sich die Genauigkeit eines Bereichs, wenn du ihn mit einer Zahl multiplizierst?

1. Berechnung der Summe: \(s = \sqrt{2} + (2 - \sqrt{2}) = 2\). Da \(2\) als Bruch \(\frac{2}{1}\) darstellbar ist, ist die Summe eine rationale Zahl. 2. Berechnung der Differenz: \(d = \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2\). 3. Eingrenzung von \(\sqrt{2}\): \(1{,}4142 < \sqrt{2} < 1{,}4143\). 4. Multiplikation der Schranken mit \(2\): \(2{,}8284 < 2\sqrt{2} < 2{,}8286\). 5. Subtraktion von \(2\): \(0{,}8284 < d < 0{,}8286\). 6. In diesem gesamten Intervall lauten die ersten drei Ziffern nach dem Komma \(828\).

a) Die Summe \(s = 2\) ist eine rationale Zahl. b) Die ersten drei Ziffern nach dem Komma der Differenz lauten \(828\).

- Denk an die Definition einer rationalen Zahl als Verhältnis zweier ganzer Zahlen. - Was muss für \(a\) gelten, damit die Wurzel aus \(a\) eine rationale Zahl ergibt? - Suche nach zwei Wurzeln, die einzeln nicht aufgehen, deren Produkt unter der Wurzel aber eine Quadratzahl ergibt.

1. Abgeschlossenheit der Division in \(\mathbb{Q}\): Rationale Zahlen sind als Brüche \(\frac{p}{q}\) mit \(p, q \in \mathbb{Z}\) definiert. Die Division zweier Brüche führt nach der Regel \(\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\) wieder auf einen Bruch aus ganzen Zahlen, sofern der Nenner nicht Null ist. 2. Wurzelziehen in \(\mathbb{Q}\): Die Operation \(\sqrt{x}\) führt für viele rationale Zahlen (z. B. \(x=2\)) auf nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahlen, die nicht als Bruch darstellbar sind. Daher ist \(\mathbb{Q}\) hierfür nicht abgeschlossen. 3. Beispiele für \(x^2 = a\): In \(\mathbb{Q}\) lösbar: \(x^2 = 4\) (Lösungen \(x = \pm 2\)). Nur in \(\mathbb{R}\) lösbar: \(x^2 = 2\) (Lösungen \(x = \pm \sqrt{2}\)). 4. Überprüfung der Behauptung zum Produkt: Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2\). Die Zahl \(\sqrt{2}\) ist irrational, aber ihr Produkt mit sich selbst ist die rationale Zahl \(2\). Ein weiteres Beispiel wäre \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\).

a) Division zweier Brüche ergibt wieder einen Bruch; Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen sind irrational. b) Lösbar in \(\mathbb{Q}\): z. B. \(x^2 = 9\); Nur in \(\mathbb{R}\) lösbar: z. B. \(x^2 = 5\). c) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\) (rational).

- Woran erkennt man eine rationale Zahl an ihrer Kommaschreibweise? - Was bedeutet es, wenn ein Muster in den Nachkommastellen zwar erkennbar ist, sich aber nicht exakt wiederholt? - Überlege, ob die Wurzel aus jeder beliebigen Zahl eine rationale Zahl ergibt. - Erinnere dich an die Definition von rationalen Zahlen als Brüche.

1. Zuordnung: \(a = 0{,}\overline{45}\) ist eine periodische Dezimalzahl und somit rational. \(b = 0{,}1010010001\ldots\) ist unendlich und nichtperiodisch, da sich die Anzahl der Nullen ständig ändert, und somit irrational. \(c = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) ist die Wurzel aus einer Nicht-Quadratzahl und somit irrational. 2. Dezimaldarstellung: Rationale Zahlen besitzen eine endliche oder eine unendlich periodische Dezimaldarstellung. Irrationale Zahlen besitzen eine unendliche, nichtperiodische Dezimaldarstellung. 3. Darstellung als Bruch: Die Zahl \(b\) kann nicht als Bruch \(\frac{p}{q}\) dargestellt werden. Da \(b\) eine unendliche, nichtperiodische Dezimalzahl ist, gehört sie zur Menge der irrationalen Zahlen, welche per Definition nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellbar sind.

1) \(a\) ist rational; \(b\) und \(c\) sind irrational. 2) Rationale Zahlen besitzen eine endliche oder unendlich periodische Dezimaldarstellung. Irrationale Zahlen besitzen eine unendliche, nichtperiodische Dezimaldarstellung. 3) Nein, da \(b\) irrational ist und irrationale Zahlen nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können.

- Kannst du \(\sqrt{12}\) teilweise radizieren, um den Ausdruck zu vereinfachen? - Erinnerst du dich an die Rechenregeln für Wurzeln bei Multiplikation und Division? - Welche binomische Formel könnte bei Teilaufgabe 5 hilfreich sein? - Wann ist die Wurzel aus einer natürlichen Zahl rational?

1. \(a + b = \sqrt{3} + \sqrt{12} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\). Da \(\sqrt{3}\) irrational ist, ist das Ergebnis irrational. 2. \(a \cdot b = \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6\). Das Ergebnis ist rational. 3. \(b : a = \sqrt{12} : \sqrt{3} = \sqrt{12 : 3} = \sqrt{4} = 2\). Das Ergebnis ist rational. 4. \(a^2 + b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{12})^2 = 3 + 12 = 15\). Das Ergebnis ist rational. 5. \((b - a)^2 = (\sqrt{12} - \sqrt{3})^2 = (2\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2 = 3\). Das Ergebnis ist rational. Alternativ über die binomische Formel: \(12 - 2\sqrt{36} + 3 = 12 - 12 + 3 = 3\).

1) \(3\sqrt{3}\) (irrational) 2) \(6\) (rational) 3) \(2\) (rational) 4) \(15\) (rational) 5) \(3\) (rational)

- Isoliere zuerst das \(x^2\) auf einer Seite der Gleichung. - Was weißt du über die Quadratwurzel aus positiven Zahlen im Vergleich zu negativen Zahlen? - Wie muss ein Bruch aussehen, damit seine Quadratwurzel wieder rational ist? - Überlege dir für die Behauptung des Schülers einen Spezialfall, in dem \(a\) und \(b\) zwar Primzahlen sind, sich aber gegenseitig aufheben.

1. Umstellen der Gleichung ergibt \(x^2 = \frac{b}{a}\). Da \(a, b \in \mathbb{N}\), ist der Quotient \(\frac{b}{a}\) stets eine positive rationale Zahl. Die Gleichung \(x^2 = c\) hat für \(c > 0\) in \(\mathbb{R}\) immer die zwei Lösungen \(x_1 = \sqrt{c}\) und \(x_2 = -\sqrt{c}\). 2. Für rationale, nicht ganzzahlige Lösungen muss \(\frac{b}{a}\) das Quadrat eines Bruches sein, der keine ganze Zahl ist. Beispiel: \(a=4, b=1\). Dann ist \(x^2 = \frac{1}{4}\) und \(x = \pm \frac{1}{2}\). 3. Die Aussage ist falsch. Wenn \(a\) und \(b\) dieselbe Primzahl sind (z. B. \(a=2, b=2\)), dann gilt \(x^2 = \frac{2}{2} = 1\). Die Lösungen sind \(x = \pm 1\), welche rationale (sogar ganze) Zahlen sind. Nur wenn \(a \neq b\) gilt, ist \(\sqrt{\frac{b}{a}}\) bei Primzahlen stets irrational.

a) Wegen \(x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}\) und \(\frac{b}{a} > 0\) gibt es stets eine positive und eine negative reelle Lösung. b) Beispiel: \(a=9, b=4\) führt zu \(x = \pm \frac{2}{3}\). c) Die Aussage ist falsch; Gegenbeispiel: \(a=3, b=3\) (beides Primzahlen) ergibt \(x^2 = 1\), also \(x = \pm 1 \in \mathbb{Q}\).

- Für a) betrachte die negativen Zahlen auf dem Zahlenstrahl. - Bei b) überlege dir, ob das Quadrat eines Bruchs (der keine ganze Zahl ist) jemals eine ganze Zahl ergeben kann. - Bei c) denke an die Umkehroperation des Quadrierens und achte auf das Vorzeichen. - Für d) kannst du eine Zahl zwischen \(16\) und \(25\) wählen und daraus die Wurzel ziehen.

1. Teil a): Gesucht ist eine negative ganze Zahl oder Null (falls \(0 \notin \mathbb{N}\) definiert ist). Beispiel: \(x = -3\). 2. Teil b): Wenn \(x\) rational und keine ganze Zahl ist, kann \(x^2\) keine natürliche Zahl sein. Beweis: Sei \(x = \frac{p}{q}\) gekürzt. Dann ist \(x^2 = \frac{p^2}{q^2}\). Damit dies eine natürliche Zahl ist, müsste \(q^2\) ein Teiler von \(p^2\) sein, was nur für \(q=1\) möglich ist (da der Bruch gekürzt ist). Dann wäre \(x\) aber eine ganze Zahl. Ergebnis: Eine solche Zahl existiert nicht. 3. Teil c): Die Gleichung \(x^2 = 5\) hat die Lösungen \(x = \sqrt{5}\) und \(x = -\sqrt{5}\). Da \(x < 0\) sein muss, ist die Lösung \(x = -\sqrt{5}\). 4. Teil d): Gesucht ist eine Wurzel einer natürlichen Zahl \(a\), die keine Quadratzahl ist, wobei \(4 < \sqrt{a} < 5\). Das entspricht \(16 < a < 25\). Beispiel: \(x = \sqrt{17}\) oder \(x = \sqrt{20}\).

a) Zum Beispiel \(x = -1\). b) Eine solche Zahl existiert nicht. c) \(x = -\sqrt{5}\). d) Zum Beispiel \(x = \sqrt{18}\) (oder jede andere Wurzel aus einer Nicht-Quadratzahl zwischen \(16\) und \(25\)).

- Gibt es eine Zahl mit nur zwei Nachkommastellen, die größer als \(0{,}01\) und kleiner als \(0{,}02\) ist? - Wenn du zwei Zahlen mit vielen Nachkommastellen addierst und durch \(2\) teilst, wie verändert sich die Anzahl der Nachkommastellen? - Denk an ein Mikroskop: Wenn du bei einer dichten Menge immer stärker vergrößerst, wirst du dann jemals einen leeren Raum zwischen den Zahlen finden?

1. Untersuchung von \(D\): Zwischen \(0{,}01\) und \(0{,}02\) müsste eine Zahl mit höchstens zwei Nachkommastellen liegen. Da es zwischen \(1\) und \(2\) (Hundertsteln) keine weitere ganze Zahl gibt, enthält \(D\) keine Zahl in diesem Intervall. Somit ist \(D\) nicht dicht. 2. Erweiterung auf endlich viele Nachkommastellen: Diese Menge ist dicht. Zwischen zwei beliebigen solchen Zahlen \(x\) und \(y\) (mit \(x < y\)) liegt immer ihr Mittelwert \(\frac{x+y}{2}\). Da \(x\) und \(y\) endlich viele Nachkommastellen haben, hat auch ihre Summe und deren Hälfte endlich viele Nachkommastellen (maximal eine Stelle mehr als die Ausgangszahlen). 3. Unterschied: Eine dichte Menge hat keine „Lücken“ im Sinne von kleinsten Abständen; man kann immer weiter „hineinzoomen“ und findet neue Elemente. Eine Menge mit festen Abständen (wie Millimeter-Markierungen) erscheint zwar fein verteilt, hat aber eine feste Grenze der Auflösung, unterhalb derer man keine weiteren Elemente der Menge mehr findet.

a) Nein, sie ist nicht dicht, da zwischen \(0{,}01\) und \(0{,}02\) keine weitere Zahl aus \(D\) liegt. b) Ja, diese Menge ist dicht, da der Mittelwert zweier Zahlen mit endlich vielen Nachkommastellen ebenfalls nur endlich viele Nachkommastellen besitzt und zwischen ihnen liegt. c) Bei einer dichten Menge gibt es keinen kleinsten Abstand zwischen zwei Elementen; man findet in jedem noch so kleinen Intervall weitere Elemente. Mengen mit festen Abständen (wie Millimeter) haben eine minimale Distanz, unterhalb derer keine weiteren Punkte der Menge liegen.

- Was ist der entscheidende Unterschied zwischen einer periodischen und einer nicht-periodischen unendlichen Dezimalzahl? - Wie kann man eine rein periodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln? Erinnere dich an den Trick mit der Multiplikation mit einer Zehnerpotenz. - Überlege, ob sich bei der zweiten Zahl wirklich ein Muster wiederholt oder ob es sich nur nach einer Regel verändert.

1. Analyse von \(x\): Die Ziffernfolge ist periodisch (\(1{,}\overline{23}\)). Periodische Dezimalbrüche sind immer rational, da sie als Bruch darstellbar sind. 2. Analyse von \(y\): Die Ziffernfolge ist unendlich und nicht periodisch, da sich das Muster (Anzahl der Zweien) ständig ändert. Solche Zahlen sind irrational. 3. Umwandlung von \(x\) in einen Bruch: Sei \(x = 1{,}\overline{23}\). \(100x = 123{,}\overline{23}\) \(100x - x = 123{,}\overline{23} - 1{,}\overline{23}\) \(99x = 122\) \(x = \frac{122}{99}\). Prüfung auf Kürzbarkeit: \(122 = 2 \cdot 61\), \(99 = 3^2 \cdot 11\). Keine gemeinsamen Teiler, der Bruch ist bereits gekürzt.

1. \(x\) ist rational (\(\mathbb{Q}\)), \(y\) ist irrational (\(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)). 2. \(x\) ist periodisch (\(1{,}\overline{23}\)); periodische Dezimalzahlen sind rational. \(y\) ist nicht periodisch, obwohl ein Bildungsgesetz erkennbar ist; nicht periodische, unendliche Dezimalzahlen sind irrational. 3. \(x = \frac{122}{99}\).

- Gibt es Punkte auf der Zahlengeraden, die man konstruieren kann (z. B. mit dem Satz des Pythagoras), die aber keinem Bruch entsprechen? - Was passiert, wenn man eine rationale Zahl und eine Zahl mit unendlich vielen, nicht-periodischen Nachkommastellen addiert? - Überlege, wie die Menge aller Zahlen heißt, die wir im Mathematikunterricht der 9. Klasse verwenden.

1. Stellungnahme: Die Behauptung ist falsch. Die rationalen Zahlen liegen zwar dicht auf der Zahlengeraden, das heißt, zwischen je zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegt wieder eine rationale Zahl. Trotzdem gibt es Punkte, die keiner rationalen Zahl entsprechen, zum Beispiel \(\sqrt{2}\) oder \(\pi\). Dichte bedeutet daher nicht, dass alle Punkte erfasst sind. 2. Ergänzung: Man muss die Menge der irrationalen Zahlen hinzufügen. Die Vereinigung der rationalen und irrationalen Zahlen bildet die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\). 3. Analyse von \(x\): Die Zahl \(x = 2 + \sqrt{3}\) entspricht einer exakten Position auf der Zahlengeraden. Da \(\sqrt{3}\) irrational ist, ist auch die Summe aus der rationalen Zahl \(2\) und der irrationalen Zahl \(\sqrt{3}\) irrational. Wäre \(x\) rational, so wäre auch \(x - 2 = \sqrt{3}\) rational, was ein Widerspruch ist.

1) Die Behauptung ist falsch: \(\mathbb{Q}\) ist dicht, erfasst aber nicht alle Punkte der Zahlengeraden. 2) Die Menge der irrationalen Zahlen. 3) \(x\) entspricht einer exakten Position und ist irrational.