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- Überlege zuerst, ob du den Ausdruck vereinfachen kannst, bevor du ihn einordnest. - Erinnere dich an die Definitionen der Zahlenmengen: Welche Zahlen gehören zu den natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen? - Was passiert, wenn man eine Wurzel aus einer Zahl zieht, die keine Quadratzahl ist?

1. Berechnung von a): \(\sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). Da dies ein endlicher Dezimalbruch ist, ist die kleinstmögliche Menge \(\mathbb{Q}\). 2. Analyse von b): \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\). Da 3 keine Quadratzahl ist, ist die Wurzel irrational. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{R}\). 3. Analyse von c): Die Differenz aus einer irrationalen Zahl (\(\pi\)) und einer rationalen Zahl (3) ist irrational. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{R}\). 4. Berechnung von d): \(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5\). Dies ist eine positive ganze Zahl. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{N}\). 5. Analyse von e): \(-3{,}14\) ist ein endlicher Dezimalbruch und negativ. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{Q}\).

a) \(\mathbb{Q}\) b) \(\mathbb{R}\) c) \(\mathbb{R}\) d) \(\mathbb{N}\) e) \(\mathbb{Q}\)

- Wie berechnet man genau die Mitte zwischen zwei Zahlen? - Wenn du eine Zahl gefunden hast, die zwischen zwei anderen liegt, kannst du das Verfahren dann auf die neuen Zwischenräume anwenden? - Was würde passieren, wenn du versuchst, die Zahl, die am nächsten an der Null liegt, immer wieder zu halbieren?

1. Berechnung der ersten Zahl als Mittelwert von \(a = \frac{3}{4}\) und \(b = 1\): \(m_1 = \frac{\frac{3}{4} + 1}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8}\). 2. Berechnung der zweiten Zahl als Mittelwert von \(a = \frac{3}{4}\) und \(m_1 = \frac{7}{8}\): \(m_2 = \frac{\frac{6}{8} + \frac{7}{8}}{2} = \frac{13}{16}\). 3. Berechnung der dritten Zahl als Mittelwert von \(m_1 = \frac{7}{8}\) und \(b = 1\): \(m_3 = \frac{\frac{7}{8} + \frac{8}{8}}{2} = \frac{15}{16}\). Die drei Zahlen sind \(\frac{7}{8}\), \(\frac{13}{16}\) und \(\frac{15}{16}\). 4. Begründung zur kleinsten positiven rationalen Zahl: Angenommen, es gäbe eine kleinste positive rationale Zahl \(r > 0\). Da die rationalen Zahlen dicht liegen, muss zwischen \(0\) und \(r\) eine weitere rationale Zahl liegen (z. B. der Mittelwert \(\frac{r}{2}\)). Da \(\frac{r}{2} < r\) und ebenfalls positiv und rational ist, kann \(r\) nicht die kleinste sein. Dies lässt sich unendlich oft wiederholen.

a) Drei mögliche Zahlen sind \(\frac{7}{8}\), \(\frac{13}{16}\) und \(\frac{15}{16}\). b) Da zwischen der Zahl \(0\) und jeder noch so kleinen positiven rationalen Zahl \(r\) wegen der Dichtheit (z. B. durch Halbieren) immer eine noch kleinere positive rationale Zahl liegt, kann es keine kleinste geben.

- Überlege dir, wie man den Punkt genau in der Mitte zwischen zwei Zahlen berechnet. - Was passiert, wenn du eine Gleichung umstellst? - Kannst du dir ein Intervall vorstellen, das so klein ist, dass keine „komplizierten“ Zahlen mehr hineinpassen?

1. Prüfung von Aussage a): Zwischen zwei rationalen Zahlen \(a\) und \(b\) liegt immer ihr Mittelwert \(\frac{a+b}{2}\). Da die Summe rationaler Zahlen sowie der Quotient einer rationalen Zahl durch eine von null verschiedene rationale Zahl wieder rational sind, ist der Mittelwert rational. Die Aussage ist wahr. 2. Prüfung von Aussage b): Angenommen, die Summe einer rationalen Zahl \(r\) und einer irrationalen Zahl \(i\) wäre eine rationale Zahl \(s\). Dann müsste \(i = s - r\) gelten. Da die Differenz zweier rationaler Zahlen rational ist, wäre \(i\) rational, was im Widerspruch zur Voraussetzung steht. Die Aussage ist wahr. 3. Prüfung von Aussage c): In jedem noch so kleinen Intervall reeller Zahlen finden sich aufgrund der Dichtheit der irrationalen Zahlen stets unendlich viele irrationale Zahlen (z. B. durch Verschiebung von \(\sqrt{2}\)). Es gibt also kein Intervall ohne irrationale Zahlen. Die Aussage ist falsch.

a) Wahr. b) Wahr. c) Falsch.

- Bilde für ein arithmetisches Mittel zuerst die Summe und teile anschließend durch zwei. - Schreibe für Teil c) beide Grenzen mit dem Nenner \(80\). - Achte darauf, keine bereits gefundene Zahl erneut zu verwenden.

1. \(m_1 = \frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{4}}{2} = \frac{\frac{9}{20}}{2} = \frac{9}{40}\). 2. \(m_2 = \frac{\frac{1}{5}+\frac{9}{40}}{2} = \frac{\frac{17}{40}}{2} = \frac{17}{80}\). 3. Es gilt \(a = \frac{16}{80}\) und \(b = \frac{20}{80}\). Zwischen diesen Brüchen liegen \(\frac{17}{80}\), \(\frac{18}{80}\) und \(\frac{19}{80}\). Da \(\frac{17}{80}=m_2\) und \(\frac{18}{80}=\frac{9}{40}=m_1\), ist beispielsweise \(\frac{19}{80}\) eine weitere passende Zahl.

a) \(m_1=\frac9{40}\) b) \(m_2=\frac{17}{80}\) c) Zum Beispiel \(\frac{19}{80}\).

- Überlege zuerst, welche Zahl du für \(x\) einsetzen musst, damit die Gleichung stimmt. - Erinnere dich an die Definitionen: Sind natürliche Zahlen auch in den ganzen Zahlen enthalten? - Wann genau entsteht eine rationale Zahl, die keine ganze Zahl mehr ist? - Was passiert, wenn du die Wurzel aus einer Zahl ziehst, die keine Quadratzahl ist?

1. Lösung der Gleichung \(x + 15 = 11\): \(x = -4\). Da \(-4\) eine negative ganze Zahl ist, ist die kleinste Menge \(\mathbb{Z}\). 2. Lösung der Gleichung \(8x = 6\): \(x = \frac{6}{8} = 0{,}75\). Da dies ein endlicher Dezimalbruch ist, ist die kleinste Menge \(\mathbb{Q}\). 3. Lösung der Gleichung \(x^2 = 7\): \(x_1 = \sqrt{7}\) und \(x_2 = -\sqrt{7}\). Da \(7\) keine Quadratzahl ist, sind die Lösungen irrational. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{R}\). Begründung: Die Quadratwurzel aus einer Primzahl ist stets irrational und kann nicht als Bruch dargestellt werden. 4. Lösung der Gleichung \(x^2 = 1{,}21\): \(x_1 = 1{,}1\) und \(x_2 = -1{,}1\). Da \(1{,}1 = \frac{11}{10}\), handelt es sich um rationale Zahlen. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{Q}\). 5. Lösung der Gleichung \(x - 9 = 21\): \(x = 30\). Da \(30\) eine positive ganze Zahl ist, ist die kleinste Menge \(\mathbb{N}\).

a) \(\mathbb{Z}\) b) \(\mathbb{Q}\) c) \(\mathbb{R}\) (Begründung: \(\sqrt{7}\) ist irrational) d) \(\mathbb{Q}\) e) \(\mathbb{N}\)

- Suche nach einem Gegenbeispiel, um eine „Immer“-Aussage zu widerlegen. - Denke an periodische Dezimalbrüche. Was weißt du über ihre Darstellung als Bruch? - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Mengen „disjunkt“ sind? - Wie würdest du die Mitte zwischen zwei Zahlen auf dem Zahlenstrahl berechnen?

1. Aussage 1 ist falsch. Gegenbeispiel: \(\sqrt{2}\) und \(-\sqrt{2}\) sind beide irrational, aber ihre Summe \(\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0\) ist rational. 2. Aussage 2 ist falsch. Periodische Dezimalzahlen wie \(0{,}\bar{3} = \frac{1}{3}\) haben unendlich viele Nachkommastellen, sind aber rational. 3. Aussage 3 ist wahr. Eine Zahl kann nicht gleichzeitig rational (als Bruch darstellbar) und irrational (nicht als Bruch darstellbar) sein. Die Mengen sind disjunkt. 4. Aussage 4 ist wahr. Man kann zum Beispiel immer den Mittelwert \(\frac{a+b}{2}\) zweier rationaler Zahlen \(a\) und \(b\) bilden, der ebenfalls rational ist.

1. Falsch (Gegenbeispiel: \(\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0\)). 2. Falsch (Gegenbeispiel: \(0{,}\bar{3} = \frac{1}{3}\)). 3. Wahr (Rationale und irrationale Zahlen schließen sich gegenseitig aus). 4. Wahr (Man kann stets den Mittelwert bilden).

- Nutze deinen Taschenrechner, um die Dezimalwerte der Wurzeln zu schätzen. - Um eine Wurzel \(\sqrt{n}\) in einem Intervall zu finden, hilft es, die Grenzen des Intervalls zu quadrieren. - Erinnere dich an die Definition von „dicht“: Gilt sie wirklich für *jedes* Paar von Zahlen aus der Menge?

1. Bestimmung einer rationalen Zahl zwischen \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\) und \(\sqrt{6} \approx 2{,}449\): Jede rationale Zahl in diesem Bereich ist korrekt, z. B. \(q = 2{,}3\) oder \(q = 2{,}4\). 2. Suche nach einer irrationalen Zahl \(\sqrt{n}\) zwischen \(2{,}5\) und \(3\): Es muss gelten \(2{,}5^2 < n < 3^2\), also \(6{,}25 < n < 9\). Mögliche Werte für \(n\) sind \(7\) oder \(8\). Da \(\sqrt{7}\) und \(\sqrt{8}\) irrational sind, sind dies gültige Lösungen. 3. Untersuchung der Dichtheit: Zwischen \(\sqrt{1} = 1\) und \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) liegt keine weitere Zahl der Form \(\sqrt{n}\), da es zwischen den Radikanden \(1\) und \(2\) keine weitere natürliche Zahl gibt. Da die Bedingung „zwischen zwei beliebigen Zahlen liegt mindestens eine weitere der Menge“ hier verletzt ist, liegt diese Menge nicht dicht.

a) Zum Beispiel \(q = 2{,}3\). b) Zum Beispiel \(\sqrt{7}\) oder \(\sqrt{8}\). c) Nein, die Menge ist nicht dicht. Zwischen \(\sqrt{1}\) und \(\sqrt{2}\) liegt keine weitere Zahl der Form \(\sqrt{n}\), da keine natürliche Zahl zwischen \(1\) und \(2\) existiert.

- Wie berechnet man das arithmetische Mittel zweier Brüche? - Um Brüche zu vergleichen, ist es hilfreich, sie auf denselben Nenner zu bringen. - Wenn man immer wieder einen neuen Punkt in der Mitte finden kann, nimmt dieser Prozess jemals ein Ende?

1. Berechnung des Mittelwerts: \(m = \frac{a+b}{2} = \frac{\frac{2}{3} + \frac{3}{4}}{2}\). Hauptnenner bilden: \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) und \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\). 2. Summe bilden: \(\frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}\). Mittelwert: \(m = \frac{17}{12} {:} 2 = \frac{17}{24}\). Da \(17\) und \(24\) ganze Zahlen sind, ist \(m\) rational. 3. Größenvergleich: Um \(a, m, b\) zu vergleichen, bringen wir sie auf den Nenner \(24\). \(a = \frac{16}{24}\), \(m = \frac{17}{24}\), \(b = \frac{18}{24}\). Es gilt offensichtlich \(16 < 17 < 18\), also \(a < m < b\). 4. Schlussfolgerung: Da man zwischen zwei beliebige rationale Zahlen immer wieder deren Mittelwert (der rational ist) legen kann, gibt es unendlich viele rationale Zahlen zwischen \(a\) und \(b\).

a) \(m = \frac{17}{24}\). Da es als Bruch ganzer Zahlen darstellbar ist, ist es rational. b) Mit dem Nenner \(24\) ergibt sich \(\frac{16}{24} < \frac{17}{24} < \frac{18}{24}\). c) Es gibt unendlich viele rationale Zahlen zwischen \(a\) und \(b\).

- Eine endliche Dezimalzahl ist rational. - Für eine irrationale Zahl kannst du eine bekannte irrationale Zahl geeignet verkleinern und verschieben. - Welche Zahl liegt genau in der Mitte zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen?

1. Eine mögliche rationale Zahl ist \(q = 3{,}05\). 2. Eine mögliche irrationale Zahl ist \(i = 3 + \frac{\sqrt{2}}{20}\). Wegen \(1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5\) gilt \(3{,}07 < 3 + \frac{\sqrt{2}}{20} < 3{,}075\), also liegt \(i\) im verlangten Intervall. Die Zahl ist irrational, weil \(\frac{\sqrt{2}}{20}\) irrational ist und die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl irrational ist. 3. Für beliebige reelle Zahlen \(x < y\) liegt ihr arithmetisches Mittel \(m = \frac{x+y}{2}\) ebenfalls in \(\mathbb{R}\), und es gilt \(x < m < y\). Daher ist \(\mathbb{R}\) dicht geordnet.

a) Zum Beispiel \(q = 3{,}05\). b) Zum Beispiel \(i = 3 + \frac{\sqrt{2}}{20}\). c) Für \(x < y\) ist \(\frac{x+y}{2}\) eine reelle Zahl mit \(x < \frac{x+y}{2} < y\).

- Was muss für eine Zahl gelten, damit sie in einem Intervall \([a; b]\) liegt? - Wie kannst du eine Wurzel mit den Grenzen vergleichen, ohne die Wurzel direkt zu ziehen? - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, um sie direkt vergleichen zu können.

1. Überprüfung von \(\sqrt{29}\): Berechne die Quadrate der Intervallgrenzen: \(5{,}38^2 = 28{,}9444\) und \(5{,}39^2 = 29{,}0521\). Da \(28{,}9444 < 29 < 29{,}0521\), liegt \(\sqrt{29}\) im Intervall. 2. Überprüfung von \(\frac{43}{8}\): Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um: \(43 {:} 8 = 5{,}375\). Da \(5{,}375 < 5{,}38\), liegt die Zahl unterhalb des Intervalls. 3. Überprüfung von \(5{,}382\): Da \(5{,}38 < 5{,}382 < 5{,}39\), liegt diese Dezimalzahl innerhalb des Intervalls.

a) Ja, da \(5{,}38^2 < 29 < 5{,}39^2\). b) Nein, da \(\frac{43}{8} = 5{,}375 < 5{,}38\). c) Ja, da \(5{,}38 < 5{,}382 < 5{,}39\).

- Denk an die Definition einer rationalen Zahl als Verhältnis zweier ganzer Zahlen. - Was muss für \(a\) gelten, damit die Wurzel aus \(a\) eine rationale Zahl ergibt? - Suche nach zwei Wurzeln, die einzeln nicht aufgehen, deren Produkt unter der Wurzel aber eine Quadratzahl ergibt.

1. Abgeschlossenheit der Division in \(\mathbb{Q}\): Rationale Zahlen sind als Brüche \(\frac{p}{q}\) mit \(p, q \in \mathbb{Z}\) definiert. Die Division zweier Brüche führt nach der Regel \(\frac{a}{b} {:} \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\) wieder auf einen Bruch aus ganzen Zahlen, sofern der Nenner nicht Null ist. 2. Wurzelziehen in \(\mathbb{Q}\): Die Operation \(\sqrt{x}\) führt für viele rationale Zahlen (z. B. \(x=2\)) auf nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahlen, die nicht als Bruch darstellbar sind. Daher ist \(\mathbb{Q}\) hierfür nicht abgeschlossen. 3. Beispiele für \(x^2 = a\): In \(\mathbb{Q}\) lösbar: \(x^2 = 4\) (Lösungen \(x = \pm 2\)). Nur in \(\mathbb{R}\) lösbar: \(x^2 = 2\) (Lösungen \(x = \pm \sqrt{2}\)). 4. Überprüfung der Behauptung zum Produkt: Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2\). Die Zahl \(\sqrt{2}\) ist irrational, aber ihr Produkt mit sich selbst ist die rationale Zahl \(2\). Ein weiteres Beispiel wäre \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\).

a) Division zweier Brüche ergibt wieder einen Bruch; Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen sind irrational. b) Lösbar in \(\mathbb{Q}\): z. B. \(x^2 = 9\); Nur in \(\mathbb{R}\) lösbar: z. B. \(x^2 = 5\). c) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\) (rational).

- Gibt es Punkte auf der Zahlengeraden, die man konstruieren kann (z. B. mit dem Satz des Pythagoras), die aber keinem Bruch entsprechen? - Was passiert, wenn man eine rationale Zahl und eine Zahl mit unendlich vielen, nichtperiodischen Nachkommastellen addiert? - Überlege, wie die Menge aller Zahlen heißt, die wir im Mathematikunterricht der 9. Klasse verwenden.

1. Stellungnahme: Die Behauptung ist falsch. Die rationalen Zahlen liegen zwar dicht auf der Zahlengeraden, das heißt, zwischen je zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegt wieder eine rationale Zahl. Trotzdem gibt es Punkte, die keiner rationalen Zahl entsprechen, zum Beispiel \(\sqrt{2}\) oder \(\pi\). Dichte bedeutet daher nicht, dass alle Punkte erfasst sind. 2. Ergänzung: Man muss die Menge der irrationalen Zahlen hinzufügen. Die Vereinigung der rationalen und irrationalen Zahlen bildet die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\). 3. Analyse von \(x\): Die Zahl \(x = 2 + \sqrt{3}\) entspricht einer exakten Position auf der Zahlengeraden. Da \(\sqrt{3}\) irrational ist, ist auch die Summe aus der rationalen Zahl \(2\) und der irrationalen Zahl \(\sqrt{3}\) irrational. Wäre \(x\) rational, so wäre auch \(x - 2 = \sqrt{3}\) rational, was ein Widerspruch ist.

1) Die Behauptung ist falsch: \(\mathbb{Q}\) ist dicht, erfasst aber nicht alle Punkte der Zahlengeraden. 2) Die Menge der irrationalen Zahlen. 3) \(x\) entspricht einer exakten Position und ist irrational.

- Überlege dir, wie die Lösung \(x\) aussieht, wenn du die Gleichung nach \(x\) umstellst. - Setze für \(a\) und \(b\) verschiedene kleine natürliche Zahlen ein, um zu sehen, welche Art von Ergebnis herauskommt. - Denke daran, dass eine Menge nur dann die richtige Antwort ist, wenn die Lösung immer (für jede Wahl von \(a\) und \(b\)) darin liegt. - Erinnere dich an die Definitionen der Zahlenbereiche: Wann entstehen negative Zahlen, Brüche oder Wurzeln, die nicht aufgehen?

1. Auflösen nach \(x\): \(x = a + ab = a(1+b)\). Da \(a\) und \(b\) natürliche Zahlen sind, ist auch deren Produkt und Summe eine natürliche Zahl. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{N}\). 2. Auflösen nach \(x\): \(x = b - a^2\). Da \(a^2\) größer als \(b\) sein kann (z. B. \(a=2, b=1 \implies x=-3\)), ist die Lösung nicht immer in \(\mathbb{N}\), aber stets eine ganze Zahl. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{Z}\). 3. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{b+1}{a}\). Da \(a\) kein Teiler von \(b+1\) sein muss (z. B. \(a=3, b=1 \implies x=\frac{2}{3}\)), ist die Lösung ein Bruch. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{Q}\). 4. Auflösen nach \(x\): \(x = \pm \sqrt{ab+1}\). Da \(ab+1\) keine Quadratzahl sein muss (z. B. \(a=1, b=1 \implies x=\pm \sqrt{2}\)), kann die Lösung irrational sein. Da \(a, b \ge 1\), ist der Radikand immer positiv, also existieren stets reelle Lösungen. Die kleinste Menge ist \(\mathbb{R}\).

1) \(\mathbb{N}\) 2) \(\mathbb{Z}\) 3) \(\mathbb{Q}\) 4) \(\mathbb{R}\)

- Isoliere zuerst das \(x^2\) auf einer Seite der Gleichung. - Was weißt du über die Quadratwurzel aus positiven Zahlen im Vergleich zu negativen Zahlen? - Wie muss ein Bruch aussehen, damit seine Quadratwurzel wieder rational ist? - Überlege dir für die Behauptung des Schülers einen Spezialfall, in dem \(a\) und \(b\) zwar Primzahlen sind, sich aber gegenseitig aufheben.

1. Umstellen der Gleichung ergibt \(x^2 = \frac{b}{a}\). Da \(a, b \in \mathbb{N}\), ist der Quotient \(\frac{b}{a}\) stets eine positive rationale Zahl. Die Gleichung \(x^2 = c\) hat für \(c > 0\) in \(\mathbb{R}\) immer die zwei Lösungen \(x_1 = \sqrt{c}\) und \(x_2 = -\sqrt{c}\). 2. Für rationale, nicht ganzzahlige Lösungen muss \(\frac{b}{a}\) das Quadrat eines Bruches sein, der keine ganze Zahl ist. Beispiel: \(a=4, b=1\). Dann ist \(x^2 = \frac{1}{4}\) und \(x = \pm \frac{1}{2}\). 3. Die Aussage ist falsch. Wenn \(a\) und \(b\) dieselbe Primzahl sind (z. B. \(a=2, b=2\)), dann gilt \(x^2 = \frac{2}{2} = 1\). Die Lösungen sind \(x = \pm 1\), welche rationale (sogar ganze) Zahlen sind. Nur wenn \(a \neq b\) gilt, ist \(\sqrt{\frac{b}{a}}\) bei Primzahlen stets irrational.

a) Wegen \(x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}\) und \(\frac{b}{a} > 0\) gibt es stets eine positive und eine negative reelle Lösung. b) Beispiel: \(a=9, b=4\) führt zu \(x = \pm \frac{2}{3}\). c) Die Aussage ist falsch; Gegenbeispiel: \(a=3, b=3\) (beides Primzahlen) ergibt \(x^2 = 1\), also \(x = \pm 1 \in \mathbb{Q}\).

- Für a) betrachte die negativen Zahlen auf dem Zahlenstrahl. - Bei b) überlege dir, ob das Quadrat eines Bruchs (der keine ganze Zahl ist) jemals eine ganze Zahl ergeben kann. - Bei c) denke an die Umkehroperation des Quadrierens und achte auf das Vorzeichen. - Für d) kannst du eine Zahl zwischen \(16\) und \(25\) wählen und daraus die Wurzel ziehen.

1. Teil a): Gesucht ist eine negative ganze Zahl oder Null (falls \(0 \notin \mathbb{N}\) definiert ist). Beispiel: \(x = -3\). 2. Teil b): Wenn \(x\) rational und keine ganze Zahl ist, kann \(x^2\) keine natürliche Zahl sein. Beweis: Sei \(x = \frac{p}{q}\) gekürzt. Dann ist \(x^2 = \frac{p^2}{q^2}\). Damit dies eine natürliche Zahl ist, müsste \(q^2\) ein Teiler von \(p^2\) sein, was nur für \(q=1\) möglich ist (da der Bruch gekürzt ist). Dann wäre \(x\) aber eine ganze Zahl. Ergebnis: Eine solche Zahl existiert nicht. 3. Teil c): Die Gleichung \(x^2 = 5\) hat die Lösungen \(x = \sqrt{5}\) und \(x = -\sqrt{5}\). Da \(x < 0\) sein muss, ist die Lösung \(x = -\sqrt{5}\). 4. Teil d): Gesucht ist eine Wurzel einer natürlichen Zahl \(a\), die keine Quadratzahl ist, wobei \(4 < \sqrt{a} < 5\). Das entspricht \(16 < a < 25\). Beispiel: \(x = \sqrt{17}\) oder \(x = \sqrt{20}\).

a) Zum Beispiel \(x = -1\). b) Eine solche Zahl existiert nicht. c) \(x = -\sqrt{5}\). d) Zum Beispiel \(x = \sqrt{18}\) (oder jede andere Wurzel aus einer Nicht-Quadratzahl zwischen \(16\) und \(25\)).

- Gibt es eine Zahl mit nur zwei Nachkommastellen, die größer als \(0{,}01\) und kleiner als \(0{,}02\) ist? - Wenn du zwei Zahlen mit vielen Nachkommastellen addierst und durch \(2\) teilst, wie verändert sich die Anzahl der Nachkommastellen? - Denk an ein Mikroskop: Wenn du bei einer dichten Menge immer stärker vergrößerst, wirst du dann jemals einen leeren Raum zwischen den Zahlen finden?

1. Untersuchung von \(D\): Zwischen \(0{,}01\) und \(0{,}02\) müsste eine Zahl mit höchstens zwei Nachkommastellen liegen. Da es zwischen \(1\) und \(2\) (Hundertsteln) keine weitere ganze Zahl gibt, enthält \(D\) keine Zahl in diesem Intervall. Somit ist \(D\) nicht dicht. 2. Erweiterung auf endlich viele Nachkommastellen: Diese Menge ist dicht. Zwischen zwei beliebigen solchen Zahlen \(x\) und \(y\) (mit \(x < y\)) liegt immer ihr Mittelwert \(\frac{x+y}{2}\). Da \(x\) und \(y\) endlich viele Nachkommastellen haben, hat auch ihre Summe und deren Hälfte endlich viele Nachkommastellen (maximal eine Stelle mehr als die Ausgangszahlen). 3. Unterschied: Eine dichte Menge hat keine „Lücken“ im Sinne von kleinsten Abständen; man kann immer weiter „hineinzoomen“ und findet neue Elemente. Eine Menge mit festen Abständen (wie Millimeter-Markierungen) erscheint zwar fein verteilt, hat aber eine feste Grenze der Auflösung, unterhalb derer man keine weiteren Elemente der Menge mehr findet.

a) Nein, sie ist nicht dicht, da zwischen \(0{,}01\) und \(0{,}02\) keine weitere Zahl aus \(D\) liegt. b) Ja, diese Menge ist dicht, da der Mittelwert zweier Zahlen mit endlich vielen Nachkommastellen ebenfalls nur endlich viele Nachkommastellen besitzt und zwischen ihnen liegt. c) Bei einer dichten Menge gibt es keinen kleinsten Abstand zwischen zwei Elementen; man findet in jedem noch so kleinen Intervall weitere Elemente. Mengen mit festen Abständen (wie Millimeter) haben eine minimale Distanz, unterhalb derer keine weiteren Punkte der Menge liegen.