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- Wie hängen die Seitenlängen eines Rechtecks mit seinem Flächeninhalt zusammen? - Was bedeutet „Mittelwert“ mathematisch für zwei Zahlen? - Wenn eine Seite des Rechtecks länger wird, was muss mit der anderen passieren, damit die Fläche gleich bleibt? - Wie prüft man, wie nah eine Zahl an der Quadratwurzel von 18 liegt?

1. Berechnung von \(b_0\): Da \(A = a_0 \cdot b_0\), folgt \(b_0 = \frac{18}{6} = 3\,\text{cm}\). 2. Berechnung von \(a_1\): Der Mittelwert ist \(a_1 = \frac{6 + 3}{2} = 4{,}5\,\text{cm}\). 3. Berechnung von \(b_1\): Es gilt \(b_1 = \frac{18}{4{,}5} = 4\,\text{cm}\). 4. Überprüfung der Annäherung: \(a_1^2 = 4{,}5^2 = 20{,}25\). 5. Absolute Abweichung: \(|20{,}25 - 18| = 2{,}25\).

a) \(b_0 = 3\,\text{cm}\) b) \(a_1 = 4{,}5\,\text{cm}\) c) \(b_1 = 4\,\text{cm}\) d) \(a_1^2 = 20{,}25\); die absolute Abweichung zum Zielwert \(18\) beträgt \(2{,}25\).

- Was ist der erste Schritt im Heron-Verfahren, um vom Startwert zum nächsten Wert zu gelangen? - Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Was bedeutet es, die Differenz zwischen dem Quadrat eines Wertes und der Zielzahl zu bilden?

1. Berechnung von \(x_2\): \(x_2 = \frac{1}{2} \cdot (x_1 + \frac{2}{x_1}) = \frac{1}{2} \cdot (1 + 2) = \frac{3}{2}\). 2. Berechnung von \(x_3\): \(x_3 = \frac{1}{2} \cdot (x_2 + \frac{2}{x_2}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{2} + \frac{2}{3/2}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{2} + \frac{4}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{9 + 8}{6}) = \frac{17}{12}\). 3. Berechnung von \(x_3^2\): \((\frac{17}{12})^2 = \frac{289}{144}\). 4. Berechnung der Differenz: \(x_3^2 - 2 = \frac{289}{144} - \frac{288}{144} = \frac{1}{144}\).

Die Näherungswerte sind \(x_2 = \frac{3}{2}\) und \(x_3 = \frac{17}{12}\). Die Differenz beträgt \(x_3^2 - 2 = \frac{1}{144}\).

- Nutze die Iterationsformel \(x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{A}{x_n})\) mit \(A = 10\). - Rechne in den ersten Schritten mit Brüchen, um Rundungsfehler zu vermeiden. - Wie dividiert man einen Bruch durch eine Zahl? - Denke daran, dass \(\frac{10}{19/6}\) dasselbe ist wie \(10 \cdot \frac{6}{19}\).

1. Erster Schritt \(x_1\): \(x_1 = \frac{1}{2} \cdot (3 + \frac{10}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{9+10}{3} = \frac{19}{6}\). 2. Zweiter Schritt \(x_2\): \(x_2 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{6} + \frac{10}{19/6}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{6} + \frac{60}{19}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{361 + 360}{114} = \frac{721}{228}\). 3. Dezimalwert von \(x_2\): \(721 : 228 \approx 3{,}162281\). 4. Quadrat von \(x_2\): \((\frac{721}{228})^2 = \frac{519\,841}{51\,984} \approx 10{,}0000192\). 5. Differenz zu \(10\): \(10{,}0000192 - 10 = 0{,}0000192\).

a) \(x_1 = \frac{19}{6}\) und \(x_2 = \frac{721}{228}\) b) \(x_2 \approx 3{,}162281\) c) Das Quadrat \(x_2^2\) weicht um ca. \(0{,}0000192\) von \(10\) ab.

- Wie berechnet man das arithmetische Mittel zweier Zahlen? - Wenn eine Zahl größer als die Wurzel ist, was passiert dann mit ihrem Quadrat? - Überlege dir, was mit einem Bruch passiert, wenn der Nenner größer wird. - Wie hängen Multiplikation und Division bei der Wurzelbildung zusammen?

1. Berechnung von \(x_2\): \(x_2 = \frac{1}{2} \cdot (3 + \frac{10}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{19}{3} = \frac{19}{6}\). 2. Vergleich durch Quadrieren: \(x_2^2 = (\frac{19}{6})^2 = \frac{361}{36}\). Da \(361 : 36 \approx 10{,}0278 > 10\), ist \(x_2 > \sqrt{10}\). 3. Logische Begründung: Wenn \(x_n > \sqrt{10}\), dann gilt für den Kehrwert \(\frac{1}{x_n} < \frac{1}{\sqrt{10}}\). Multipliziert man diese Ungleichung mit \(10\), erhält man \(\frac{10}{x_n} < \frac{10}{\sqrt{10}}\). Da \(\frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}\), folgt \(\frac{10}{x_n} < \sqrt{10}\).

a) \(x_2 = \frac{19}{6}\). b) \(x_2^2 = \frac{361}{36} \approx 10{,}028\). Da \(10{,}028 > 10\), ist \(x_2 > \sqrt{10}\). c) Wenn \(x_n \cdot \frac{10}{x_n} = 10\) ist und ein Faktor \(x_n > \sqrt{10}\) ist, muss der andere Faktor \(\frac{10}{x_n}\) kleiner als \(\sqrt{10}\) sein, damit das Produkt genau \(10\) ergibt.

- Setze den jeweils letzten Näherungswert in die Iterationsformel ein. - Rechne zunächst mit Brüchen, um Rundungsfehler zu vermeiden. - Bilde für den absoluten Fehler den Betrag der Differenz. - Runde beide Werte nacheinander auf vier und fünf Nachkommastellen.

1. \[ x_1 = \frac{1}{2}\left(2 + \frac{5}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{9}{4} = 2{,}25. \] 2. \[ x_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{9}{4} + \frac{5}{\frac{9}{4}}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{9}{4} + \frac{20}{9}\right) = \frac{161}{72} \approx 2{,}236111. \] 3. Mit \(\sqrt{5} \approx 2{,}236068\) beträgt der absolute Fehler \[ \left|\frac{161}{72} - \sqrt{5}\right| \approx 0{,}000043. \] 4. Auf vier Nachkommastellen gerundet ergeben beide Werte \(2{,}2361\). Auf fünf Nachkommastellen unterscheiden sie sich: \[ x_2 \approx 2{,}23611,\qquad \sqrt{5} \approx 2{,}23607. \] Daher stimmen sie gerundet auf vier Nachkommastellen überein.

a) \(x_1 = \frac{9}{4} = 2{,}25\), \(x_2 = \frac{161}{72} \approx 2{,}236111\). b) Absoluter Fehler: ungefähr \(0{,}000043\). Gerundet stimmen \(x_2\) und \(\sqrt{5}\) auf vier Nachkommastellen überein.

- Was passiert, wenn du den aktuellen Wert in die Formel einsetzt, um den nächsten zu erhalten? - Achte beim Rechnen mit Brüchen auf den gemeinsamen Nenner. - Wie kannst du feststellen, wie weit zwei Zahlen voneinander entfernt sind?

1. Berechnung von \(x_1\): Einsetzen von \(x_0 = 3\) in die Formel ergibt \(x_1 = \frac{1}{2} \cdot (3 + \frac{11}{3}) = \frac{10}{3} \approx 3{,}3333\). 2. Berechnung von \(x_2\): Einsetzen von \(x_1 = \frac{10}{3}\) ergibt \(x_2 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{10}{3} + \frac{11}{10/3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{10}{3} + \frac{33}{10}) = \frac{199}{60} \approx 3{,}3167\). 3. Vergleich mit dem exakteren Wert: Die Differenz beträgt \(|3{,}316667 - 3{,}316625| \approx 0{,}000042\).

a) \(x_1 = \frac{10}{3} \approx 3{,}3333\) und \(x_2 = \frac{199}{60} \approx 3{,}3167\). b) Die Differenz zum Taschenrechnerwert beträgt etwa \(0{,}000042\).

- Führe die Formel für beide Startwerte getrennt aus. - Vergleiche den Abstand der berechneten Werte zum Zielwert. - Was fällt dir auf, wenn du die Quadrate der Startwerte (\(1{,}5^2\) und \(2^2\)) betrachtest?

1. Berechnung für Schüler A (\(x_0 = 1{,}5 = \frac{3}{2}\)): \(x_1 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{2} + \frac{2}{3/2}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{2} + \frac{4}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{9+8}{6} = \frac{17}{12} \approx 1{,}4166667\). 2. Berechnung für Schüler B (\(x_0 = 2\)): \(x_1 = \frac{1}{2} \cdot (2 + \frac{2}{2}) = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5\). 3. Vergleich der Fehler: Fehler A: \(|1{,}4166667 - 1{,}4142136| \approx 0{,}0024531\). Fehler B: \(|1{,}5 - 1{,}4142136| \approx 0{,}0857864\). 4. Ergebnis: Der Startwert \(x_0 = 1{,}5\) ist genauer. 5. Begründung: Je näher der Startwert bereits am tatsächlichen Wert der Wurzel liegt, desto weniger Iterationsschritte werden für eine hohe Genauigkeit benötigt. Da \(1{,}5^2 = 2{,}25\) näher an \(2\) liegt als \(2^2 = 4\), ist \(1{,}5\) der bessere Schätzwert.

a) Schüler A erhält \(x_1 \approx 1{,}4167\); Schüler B erhält \(x_1 = 1{,}5\). b) Der Startwert \(1{,}5\) liefert ein genaueres Ergebnis, da die Abweichung zu \(\sqrt{2}\) deutlich geringer ist. c) Ein Startwert, dessen Quadrat bereits näher an der Zielzahl liegt, führt schneller zu einer präzisen Annäherung.

- Führe die Zwischenrechnungen mit möglichst vielen Stellen durch, um Rundungsfehler zu vermeiden. - Vergleiche die Ziffern nach dem Komma nacheinander von links nach rechts. - Wann genau spricht man davon, dass eine Stelle übereinstimmt?

1. Berechnung von \(x_2\): \(x_2 = \frac{1}{2} \cdot (3{,}5 + \frac{13}{3{,}5}) = \frac{1}{2} \cdot (3{,}5 + 3{,}7142857\ldots) = 3{,}6071428\ldots\). Gerundet: \(3{,}6071\). 2. Berechnung von \(x_3\): \(x_3 = \frac{1}{2} \cdot (3{,}6071428\ldots + \frac{13}{3{,}6071428\ldots}) \approx 3{,}6055516\ldots\). 3. Vergleich mit \(\sqrt{13} \approx 3{,}605551275\). 4. Die Ziffernfolge nach dem Komma ist bei \(x_3\): \(6055516\ldots\) und bei \(\sqrt{13}\): \(6055512\ldots\). 5. Die ersten sechs Nachkommastellen (\(605551\)) sind identisch.

a) \(x_2 \approx 3{,}6071\) und \(x_3 \approx 3{,}6055516\). b) Es stimmen bereits 6 Nachkommastellen überein.