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- Beim Produktgesetz werden zwei nichtnegative Radikanden unter einer gemeinsamen Wurzel multipliziert. - Beim Quotientengesetz darf der Radikand im Nenner nicht null sein. - Prüfe nach dem Zusammenfassen, ob der neue Radikand eine Quadratzahl ist.

1. Bei a) wird das Produktgesetz verwendet: \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3\cdot27}=\sqrt{81}=9\). 2. Bei b) wird das Quotientengesetz verwendet: \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{72}{2}}=\sqrt{36}=6\).

a) \(9\); Produktgesetz b) \(6\); Quotientengesetz

- Berechne bei jeder Gleichung die linke und die rechte Seite getrennt. - Achte darauf, welche Rechenart innerhalb der Wurzel steht. - Eine vermutete Wurzelgleichung kannst du hier mit den kleinen Quadratzahlen direkt überprüfen.

1. Zu a): Links ist \(\sqrt{36}=6\), rechts ist \(3\cdot2=6\). Die Gleichung ist richtig. 2. Zu b): Links ist \(\sqrt{13}\), rechts ist \(3+2=5\). Da \(\sqrt{13}\ne5\), ist die Gleichung falsch.

a) richtig b) falsch

- Gibt es Rechenregeln, mit denen du zwei Wurzeln zusammenfassen kannst? - Wie verändert sich die Anzahl der Nullen oder Nachkommastellen beim Wurzelziehen? - Du kannst einen Bruch unter der Wurzel aufteilen in eine Wurzel im Zähler und eine im Nenner.

1. Bei \(\sqrt{\frac{144}{25}}\) können Zähler und Nenner getrennt radiziert werden: \(\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5} = 2{,}4\). 2. Für \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18}\) nutzt man das Produktgesetz: \(\sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6\). 3. Bei \(\sqrt{0{,}0004}\) ergibt sich wegen \(0{,}02 \cdot 0{,}02 = 0{,}0004\) der Wert \(0{,}02\). 4. \(\sqrt{10^4}\) entspricht \(\sqrt{10\,000}\). Da \(100^2 = 10\,000\), ist das Ergebnis \(100\).

a) \(2{,}4\) b) \(6\) c) \(0{,}02\) d) \(100\)

- Wie rechnet man eine gemischte Zahl in einen Bruch um? - Gibt es eine Regel, wie man die Wurzel aus einem Bruch zieht? - Erkennst du in den Zählern und Nennern bekannte Quadratzahlen?

1. Umwandlung der gemischten Zahlen in unechte Brüche: a) \(1\frac{11}{25} = \frac{25 \cdot 1 + 11}{25} = \frac{36}{25}\) b) \(1\frac{13}{36} = \frac{36 \cdot 1 + 13}{36} = \frac{49}{36}\) c) \(1\frac{15}{49} = \frac{49 \cdot 1 + 15}{49} = \frac{64}{49}\) d) \(1\frac{19}{81} = \frac{81 \cdot 1 + 19}{81} = \frac{100}{81}\) 2. Anwendung der Wurzelgesetze für Brüche \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\): a) \(\sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5}\) b) \(\sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6}\) c) \(\sqrt{\frac{64}{49}} = \frac{8}{7}\) d) \(\sqrt{\frac{100}{81}} = \frac{10}{9}\)

a) \(\frac{6}{5}\) b) \(\frac{7}{6}\) c) \(\frac{8}{7}\) d) \(\frac{10}{9}\)

- Bei Quotienten von Wurzeln kannst du die Radikanden unter bestimmten Bedingungen als Quotienten zusammenfassen. - Vereinfache bei 2) zuerst den Bruch, der unter der Wurzel entsteht. - Bei 3) kannst du die Zahlenfaktoren vor den Wurzeln getrennt von den Wurzeltermen betrachten.

1. \(\sqrt{108} {:} \sqrt3=\sqrt{108 {:} 3}=\sqrt{36}=6\). 2. \(\sqrt{\frac{75}{8}} {:} \sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{75}{8} {:} \frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\). 3. \(12\sqrt{10} {:} 3\sqrt2=4\sqrt{10 {:} 2}=4\sqrt5\).

1) \(6\) 2) \(\frac{5}{2}\) 3) \(4\sqrt5\)

- Die verlangte Zwischenform enthält nur noch ein Wurzelzeichen. - Vergleiche Quotient der Wurzeln und Wurzel des Quotienten. - Vereinfache erst den Bruch unter der Wurzel und ziehe danach die Wurzel.

1. \(\sqrt{12}:\sqrt3=\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt4=2\). 2. \(\sqrt{45}:\sqrt5=\sqrt{\frac{45}{5}}=\sqrt9=3\). 3. \(\sqrt{112}:\sqrt7=\sqrt{\frac{112}{7}}=\sqrt{16}=4\). 4. \(\sqrt{125}:\sqrt5=\sqrt{\frac{125}{5}}=\sqrt{25}=5\).

1) \(\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt4=2\) 2) \(\sqrt{\frac{45}{5}}=\sqrt9=3\) 3) \(\sqrt{\frac{112}{7}}=\sqrt{16}=4\) 4) \(\sqrt{\frac{125}{5}}=\sqrt{25}=5\)

- Prüfe zuerst, wann eine Quadratwurzel im reellen Zahlenbereich definiert ist. - Bei einem Bruch kommt zusätzlich eine Bedingung hinzu, die es bei einem Produkt nicht gibt. - Setze gedanklich \(b=0\) in beide linken Seiten ein und vergleiche.

1. Für das Produktgesetz müssen beide einzelnen Quadratwurzeln definiert sein. Daher gilt \(a\ge0\) und \(b\ge0\). 2. Für das Quotientengesetz muss zusätzlich der Nenner \(\sqrt{b}\) von null verschieden sein. Daher gilt \(a\ge0\) und \(b>0\). 3. Im Produkt darf \(b=0\) sein, weil Multiplikation mit \(\sqrt0=0\) erlaubt ist. Im Quotienten würde \(b=0\) dagegen eine Division durch null erzeugen.

a) \(a\ge0\) und \(b\ge0\) b) \(a\ge0\) und \(b>0\) c) Bei \(b=0\) wäre der Nenner \(\sqrt b=0\); Division durch null ist nicht definiert.

- Berechne in Teil a) zunächst beide konkreten Ausdrücke getrennt. - Für die allgemeine Begründung reicht die gleiche Quadratzahl allein noch nicht: Prüfe zusätzlich, dass beide Seiten nichtnegativ sind. - Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um zu zeigen, dass eine vermeintliche allgemeine Additionsregel nicht gilt.

1. Es ist \(A = \sqrt{144} = 12\) und \(B = 6 \cdot 2 = 12\). 2. Für \(a,b \ge 0\) sind sowohl \(\sqrt{ab}\) als auch \(\sqrt{a}\sqrt{b}\) nichtnegativ. Außerdem gilt \((\sqrt{a}\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2(\sqrt{b})^2 = ab\). Damit ist \(\sqrt{a}\sqrt{b}\) die nichtnegative Zahl, deren Quadrat \(ab\) ist. Nach der Definition der Quadratwurzel folgt \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\). 3. Für Teil b) gilt \(C = \sqrt{100} = 10\), während \(D = 8 + 6 = 14\) ist. Somit ist \(C \ne D\). 4. Daher darf die Quadratwurzel im Allgemeinen nicht über eine Summe verteilt werden. Für positive \(a\) und \(b\) gilt insbesondere \(\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}\).

a) \(A = B = 12\). Für \(a,b \ge 0\) gilt \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\); die Gleichheit folgt daraus, dass beide Seiten nichtnegativ sind und dasselbe Quadrat \(ab\) besitzen. b) \(C = 10\), \(D = 14\); also \(C \ne D\). c) Eine Quadratwurzel darf im Allgemeinen nicht über eine Summe verteilt werden.

- Schreibe die Quadratwurzel als Potenz mit dem Exponenten \(\frac12\). - Welches Potenzgesetz gilt, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Schreibe die Dezimalzahl in d) zuerst als Zehnerpotenz.

1. Für a) gilt mit \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\): \(\sqrt{10^{2n}}=(10^{2n})^{\frac12}=10^{2n\cdot\frac12}=10^n\). 2. Bei b) ist \(\sqrt{10^6}=10^3=1000\). 3. Bei c) ist \(\sqrt{10^{-4}}=10^{-2}=0{,}01\). 4. Bei d) gilt \(0{,}000001=10^{-6}\), also \(\sqrt{0{,}000001}=10^{-3}=0{,}001\).

a) \(\sqrt{10^{2n}}=10^n\) b) \(1000\) c) \(0{,}01\) d) \(0{,}001\)

- Wann ist eine Quadratwurzel im Bereich der reellen Zahlen definiert? - Welches Vorzeichen muss der Ausdruck unter der Wurzel (der Radikand) haben? - Bedenke, dass ein Minuszeichen vor einer Variablen nicht automatisch bedeutet, dass der Wert negativ ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Produkts oder Quotienten, wenn beide Faktoren negativ sind?

1. Für den Ausdruck \(\sqrt{-a}\) muss \(-a \ge 0\) gelten, also \(a \le 0\). Analog muss für \(\sqrt{-b}\) gelten, dass \(b \le 0\). Wenn \(a \le 0\) und \(b \le 0\), dann ist das Produkt \(a \cdot b \ge 0\), wodurch auch die linke Seite \(\sqrt{a \cdot b}\) definiert ist. Die Gleichung ist unter diesen Bedingungen wahr, da \(\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} = \sqrt{(-a) \cdot (-b)} = \sqrt{ab}\). Ergebnis: \(a \le 0\) und \(b \le 0\). 2. Für die rechte Seite müssen \(-a \ge 0\) (also \(a \le 0\)) und \(-b > 0\) (da der Nenner nicht Null sein darf, also \(b < 0\)) erfüllt sein. Unter diesen Bedingungen ist der Quotient \(\frac{a}{b} \ge 0\), sodass die linke Seite definiert ist. Die Gleichung ist wahr, da \(\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}} = \sqrt{\frac{-a}{-b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\). Ergebnis: \(a \le 0\) und \(b < 0\).

1) \(a \le 0\) und \(b \le 0\) 2) \(a \le 0\) und \(b < 0\)

- Welche Zahl muss unter der Wurzel zusätzlich als Quadrat erscheinen, wenn der Faktor \(4\) vor die Wurzel gezogen wurde? - Vergleiche anschließend den neuen Radikanden mit benachbarten Quadratzahlen. - Verwende für b) einen ausreichend genauen Näherungswert von \(\sqrt{5}\) und runde erst das Endergebnis.

1. Umformung: \(4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{80}\). 2. Da \(8^2 = 64 < 80 < 81 = 9^2\), gilt \(8 < \sqrt{80} < 9\). Der Term liegt also zwischen \(8\) und \(9\). 3. Mit \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\) ergibt sich \(4\sqrt{5} \approx 8{,}944\), also auf eine Dezimalstelle gerundet \(8{,}9\).

a) Zwischen \(8\) und \(9\) b) \(4\sqrt{5} \approx 8{,}9\)

- Welche Regel erlaubt es, einen Quotienten zweier Wurzeln unter einem Wurzelzeichen zusammenzufassen? - Vereinfache den Quotienten der Radikanden vollständig, bevor du die Wurzel ziehst. - Bei c) kannst du zuerst die beiden Wurzeln im Zähler zusammenfassen.

1. \(\sqrt{180} {:} \sqrt5=\sqrt{180 {:} 5}=\sqrt{36}=6\). 2. \(\frac{\sqrt{1{,}2}}{\sqrt{0{,}3}}=\sqrt{1{,}2 {:} 0{,}3}=\sqrt4=2\). 3. Im Zähler gilt \(\sqrt5\cdot\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\). Mit \(\sqrt4=2\) ergibt sich \(10 {:} 2=5\). 4. \(\frac{\sqrt{\frac{5}{12}}}{\sqrt{\frac{5}{108}}}=\sqrt{\frac{5}{12} {:} \frac{5}{108}}=\sqrt9=3\).

a) \(6\) b) \(2\) c) \(5\) d) \(3\)

- Fasse Produkte oder Quotienten von Quadratwurzeln zuerst mithilfe der passenden Wurzelgesetze zusammen. - Prüfe nach dem Zusammenfassen, ob sich aus dem Radikanden noch eine Quadratzahl herausziehen lässt. - Bestimme den Dezimalwert erst nach der exakten Vereinfachung und runde erst am Ende.

1. Zu 1): Im Nenner gilt \(\sqrt{3}\sqrt{2} = \sqrt{6}\). Daher ist \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{6}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\). 2. Zu 2): \(\sqrt{\frac{3}{4}}\sqrt{8} = \sqrt{\frac{3}{4}\cdot 8} = \sqrt{6} \approx 2{,}45\). 3. Zu 3): \(\frac{\sqrt{5{,}4}}{\sqrt{0{,}3}} = \sqrt{5{,}4 {:} 0{,}3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\). 4. Zu 4): \(\frac{\sqrt{14}\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{28}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7} \approx 2{,}65\).

1) \(2\sqrt{3} \approx 3{,}46\) 2) \(\sqrt{6} \approx 2{,}45\) 3) \(3\sqrt{2} \approx 4{,}24\) 4) \(\sqrt{7} \approx 2{,}65\)

- Für a) kann das Produkt der Radikanden eine Quadratzahl sein, obwohl die einzelnen Radikanden keine Quadratzahlen sind. - Für b) eignen sich kleine Quadratzahlen, weil du beide Seiten der behaupteten Gleichung direkt vergleichen kannst. - Überlege bei c) rückwärts, welcher Quotient der Radikanden unter der Wurzel den Wert \(9\) ergeben müsste.

1. Für a) ist zum Beispiel \(a=2\) und \(b=8\) möglich. Dann gilt \(\sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{16}=4\), obwohl beide einzelnen Wurzeln nicht natürlich sind. 2. Für b) ist zum Beispiel \(a=9\) und \(b=16\) möglich. Dann ist \(\sqrt{9+16}=5\), aber \(\sqrt9+\sqrt{16}=7\). 3. Für c) ist zum Beispiel \(a=18\) und \(b=2\) möglich. Dann gilt \(\sqrt{18} {:} \sqrt2=\sqrt9=3\), obwohl \(\sqrt{18}\) und \(\sqrt2\) nicht natürlich sind. 4. Andere Beispiele sind zulässig, sofern sie die verlangten Eigenschaften erfüllen.

a) Zum Beispiel \(a=2\), \(b=8\) b) Zum Beispiel \(a=9\), \(b=16\) c) Zum Beispiel \(a=18\), \(b=2\)

- Beginne mit dem Quadrat des gegebenen Quotienten und nutze nur die Definition der Quadratwurzel. - Welche Vorzeichen haben Hauptwurzeln stets? - Um eine Zahl als Quadratwurzel zu identifizieren, brauchst du ihr Quadrat und ihr Vorzeichen. - Prüfe für d), was im Nenner bei \(b=0\) passiert.

1. Wegen \(b>0\) ist \(\sqrt b>0\), also ist der Quotient definiert. Es gilt \(q^2=\frac{(\sqrt a)^2}{(\sqrt b)^2}=\frac{a}{b}\). 2. Sowohl \(\sqrt a\) als auch \(\sqrt b\) sind nichtnegativ, und der Nenner ist positiv. Daher ist \(q\ge0\). 3. \(q\) ist also die nichtnegative Zahl, deren Quadrat \(\frac{a}{b}\) ist. Nach der Definition der Quadratwurzel gilt deshalb \(q=\sqrt{\frac{a}{b}}\). 4. Für \(b=0\) wäre der Nenner \(\sqrt b=0\); eine Division durch \(0\) ist nicht definiert.

a) \(q^2=\frac{a}{b}\) b) \(q\ge0\) c) \(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) d) \(b>0\) ist nötig, weil der Nenner sonst \(0\) sein kann.

- Vergleiche in a) die beiden Seiten getrennt. - Nutze in b) die vorgegebene Idee des Quadrierens und achte dabei auf den vollständigen binomischen Ausdruck. - Berücksichtige beim Schluss von den Quadraten auf die ursprünglichen Ausdrücke deren Vorzeichen.

1. Für \(a=9\) und \(b=16\) gilt \(\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7\), während \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\) ist. Die Gleichung ist hier falsch. 2. Für \(a,b>0\) ergibt das Quadrieren der linken Seite \((\sqrt a+\sqrt b)^2=a+b+2\sqrt{ab}\). 3. Das Quadrat der rechten Seite ist \((\sqrt{a+b})^2=a+b\). 4. Wegen \(a,b>0\) gilt \(2\sqrt{ab}>0\). Daher ist \((\sqrt a+\sqrt b)^2>(\sqrt{a+b})^2\). 5. Beide Seiten der ursprünglichen Gleichung sind positiv. Deshalb folgt \(\sqrt a+\sqrt b>\sqrt{a+b}\) für alle \(a,b>0\). Lenas Vermutung ist richtig.

a) Die Gleichung ist falsch, da \(7\neq5\). b) Die Vermutung ist richtig. Für \(a,b>0\) gilt \((\sqrt a+\sqrt b)^2=a+b+2\sqrt{ab}>a+b=(\sqrt{a+b})^2\), also \(\sqrt a+\sqrt b>\sqrt{a+b}\).