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- Wie lässt sich eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Kannst du die Dezimalzahl zuerst als Zehnerpotenz schreiben? - Was passiert mit dem Exponenten, wenn man die Quadratwurzel zieht?

1. Nach der Definition der Quadratwurzel als Potenz gilt \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). Unter Anwendung der Potenzgesetze \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) ergibt sich: \(\sqrt{10^{2n}} = (10^{2n})^{\frac{1}{2}} = 10^{2n \cdot \frac{1}{2}} = 10^n\). 2. Anwendung der Regel: a) \(\sqrt{10^6} = 10^{\frac{6}{2}} = 10^3 = 1\,000\) b) \(\sqrt{10^{-4}} = 10^{\frac{-4}{2}} = 10^{-2} = 0{,}01\) c) \(\sqrt{0{,}000001} = \sqrt{10^{-6}} = 10^{\frac{-6}{2}} = 10^{-3} = 0{,}001\)

1. \(\sqrt{10^{2n}} = (10^{2n})^{1/2} = 10^n\) 2. a) \(1\,000\), b) \(0{,}01\), c) \(0{,}001\)

- Kannst du die beiden Wurzeln zu einer einzigen Wurzel zusammenfassen? - Welches Wurzelgesetz hilft dir beim Dividieren von Wurzeln? - Vereinfache zuerst den Wert unter der Wurzel, bevor du den Näherungswert bestimmst. - Achte beim Runden auf die zweite Dezimalstelle.

1. Anwendung des Quotientengesetzes für Quadratwurzeln \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\) auf alle Teilaufgaben. 2. Berechnung der Radikanden: \(40 : 5 = 8\); \(45 : 3 = 15\); \(21 : 7 = 3\); \(120 : 6 = 20\). 3. Bestimmung der Quadratwurzeln: \(\sqrt{8} \approx 2{,}828\); \(\sqrt{15} \approx 3{,}873\); \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\); \(\sqrt{20} \approx 4{,}472\). 4. Rundung auf eine Dezimalstelle: \(\sqrt{8} \approx 2{,}8\); \(\sqrt{15} \approx 3{,}9\); \(\sqrt{3} \approx 1{,}7\); \(\sqrt{20} \approx 4{,}5\).

1) \(\approx 2{,}8\); 2) \(\approx 3{,}9\); 3) \(\approx 1{,}7\); 4) \(\approx 4{,}5\).

- Kannst du den Bruch unter der Wurzel zuerst vereinfachen, indem du die Potenzen mit der gleichen Basis zusammenfasst? - Erinnere dich an das Gesetz für das Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis. - Wie kannst du eine Wurzel aus einem Produkt ziehen? - Was ergibt ein Produkt aus zwei Potenzen, deren Exponenten sich genau aufheben?

1. Zusammenfassen der Potenzen unter der Wurzel: \(\frac{a^4}{a^{-2}} = a^{4 - (-2)} = a^6\). Der Term lautet nun \(\sqrt{a^6 \cdot b^6}\). 2. Anwendung des Wurzelgesetzes für Produkte: \(\sqrt{a^6 \cdot b^6} = \sqrt{a^6} \cdot \sqrt{b^6}\). 3. Ziehen der Wurzel durch Halbieren der Exponenten: \(a^{\frac{6}{2}} \cdot b^{\frac{6}{2}} = a^3 \cdot b^3 = (a \cdot b)^3\). 4. Einsetzen der Werte: \((10^{-1} \cdot 10)^3 = (10^{-1+1})^3 = (10^0)^3 = 1^3 = 1\).

Vereinfachter Term: \(a^3 b^3\) oder \((ab)^3\). Wert für die gegebenen Zahlen: \(1\).

- Die Hauptwurzel ist stets nichtnegativ. - Nutze \(\sqrt{u^2}=|u|\). - Welches Vorzeichen hat \(x^k\) bei negativer Basis und geradem beziehungsweise ungeradem Exponenten?

1. Für \(x=4\) und \(k=2\) gilt \[ \sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4=4^{2/2}. \] 2. Für \(x=-3\) und \(k=2\) gilt \[ \sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3, \] während die behauptete Regel \((-3)^{2/2}=-3\) liefert. Die Behauptung ist daher falsch. 3. Für \(k\in\mathbb N\) gilt im reellen Zahlenbereich: - Für \(x\ge0\): \(\sqrt{x^k}=x^{k/2}\). - Für \(x<0\) und gerades \(k\): \(\sqrt{x^k}=|x|^{k/2}\). - Für \(x<0\) und ungerades \(k\): \(x^k<0\), daher ist \(\sqrt{x^k}\) nicht reell definiert.

a) Die Behauptung stimmt in diesem Fall: \(\sqrt{4^2}=4\). b) Sie stimmt nicht: \(\sqrt{(-3)^2}=3\), aber \((-3)^{2/2}=-3\). c) Für \(x\ge0\) gilt \(\sqrt{x^k}=x^{k/2}\). Für \(x<0\) und gerades \(k\) gilt \(\sqrt{x^k}=|x|^{k/2}\). Für \(x<0\) und ungerades \(k\) ist der Term im reellen Zahlenbereich nicht definiert.

- Wann ist eine Quadratwurzel im Bereich der reellen Zahlen definiert? - Welches Vorzeichen muss der Ausdruck unter der Wurzel (der Radikand) haben? - Bedenke, dass ein Minuszeichen vor einer Variablen nicht automatisch bedeutet, dass der Wert negativ ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Produkts oder Quotienten, wenn beide Faktoren negativ sind?

1. Für den Ausdruck \(\sqrt{-a}\) muss \(-a \ge 0\) gelten, also \(a \le 0\). Analog muss für \(\sqrt{-b}\) gelten, dass \(b \le 0\). Wenn \(a \le 0\) und \(b \le 0\), dann ist das Produkt \(a \cdot b \ge 0\), wodurch auch die linke Seite \(\sqrt{a \cdot b}\) definiert ist. Die Gleichung ist unter diesen Bedingungen wahr, da \(\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} = \sqrt{(-a) \cdot (-b)} = \sqrt{ab}\). Ergebnis: \(a \le 0\) und \(b \le 0\). 2. Für die rechte Seite müssen \(-a \ge 0\) (also \(a \le 0\)) und \(-b > 0\) (da der Nenner nicht Null sein darf, also \(b < 0\)) erfüllt sein. Unter diesen Bedingungen ist der Quotient \(\frac{a}{b} \ge 0\), sodass die linke Seite definiert ist. Die Gleichung ist wahr, da \(\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}} = \sqrt{\frac{-a}{-b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\). Ergebnis: \(a \le 0\) und \(b < 0\).

1) \(a \le 0\) und \(b \le 0\) 2) \(a \le 0\) und \(b < 0\)

- Kannst du den gesamten Term unter ein einziges Wurzelzeichen schreiben? - Überlege, welche Rechenvorteile entstehen, wenn du erst multiplizierst oder dividierst und dann die Wurzel ziehst. - Achte bei Teilaufgabe 3 auf das Komma beim Dividieren. - Wie lautet die Rundungsregel für die zweite Dezimalstelle?

1. Zusammenfassen der Wurzeln mithilfe von \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\) und \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\). 2. Vereinfachung der Radikanden: - \(72 : (3 \cdot 2) = 12\) - \(\frac{3}{4} \cdot 8 = 6\) - \(5{,}4 : 0{,}3 = 18\) - \((14 \cdot 2) : 4 = 7\) 3. Berechnung der Näherungswerte: \(\sqrt{12} \approx 3{,}4641\); \(\sqrt{6} \approx 2{,}4494\); \(\sqrt{18} \approx 4{,}2426\); \(\sqrt{7} \approx 2{,}6457\). 4. Rundung auf zwei Dezimalstellen: \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\); \(\sqrt{6} \approx 2{,}45\); \(\sqrt{18} \approx 4{,}24\); \(\sqrt{7} \approx 2{,}65\).

1) \(\approx 3{,}46\); 2) \(\approx 2{,}45\); 3) \(\approx 4{,}24\); 4) \(\approx 2{,}65\).

- Setze zuerst die konkreten Zahlen ein und rechne beide Seiten getrennt aus. - Was passiert, wenn du eine Summe wie \((x+y)^2\) quadrierst? Denke an die binomischen Formeln. - Vergleiche die Ergebnisse nach dem Quadrieren beider Seiten: Wo kommt mehr heraus?

1. Einsetzen für a): \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\). \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\). Da \(7 \neq 5\), ist die Gleichung für diese Werte falsch. 2. Quadrieren der linken Seite: \((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}\). 3. Quadrieren der rechten Seite: \((\sqrt{a+b})^2 = a + b\). 4. Vergleich: Da \(a, b > 0\) sind, ist der Term \(2\sqrt{ab}\) immer größer als \(0\). Folglich ist \(a + b + 2\sqrt{ab} > a + b\). 5. Schlussfolgerung: Damit ist \(\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}\) für alle positiven Zahlen \(a, b\). Die Vermutung des Schülers ist korrekt.

a) Die Gleichung ist falsch, da \(7 \neq 5\). b) Die Vermutung ist richtig. Durch Quadrieren zeigt sich, dass \((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}\) immer größer ist als \((\sqrt{a+b})^2 = a + b\), sofern \(a, b > 0\).