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- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel als Produkte schreiben, bei denen eine Zahl in beiden Termen vorkommt? - Denke an das Distributivgesetz: \(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)\). - Was passiert, wenn du eine Wurzel durch sich selbst teilst?

1. Zerlegung der Radikanden in Primfaktoren oder Produkte mit gemeinsamen Faktoren: \(\sqrt{5 \cdot 3} + \sqrt{5 \cdot 2}\). Ausklammern von \(\sqrt{5}\) ergibt \(\sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2})\). 2. Zerlegung: \(\sqrt{7 \cdot 3} - \sqrt{7 \cdot 2}\). Ausklammern von \(\sqrt{7}\) ergibt \(\sqrt{7}(\sqrt{3} - \sqrt{2})\). 3. Zerlegung: \(\sqrt{11 \cdot 3} + \sqrt{11 \cdot 2}\). Ausklammern von \(\sqrt{11}\) ergibt \(\sqrt{11}(\sqrt{3} + \sqrt{2})\). 4. Zerlegung: \(\sqrt{13 \cdot 2} - \sqrt{13 \cdot 1}\). Ausklammern von \(\sqrt{13}\) ergibt \(\sqrt{13}(\sqrt{2} - 1)\).

1) \(\sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2})\) 2) \(\sqrt{7}(\sqrt{3} - \sqrt{2})\) 3) \(\sqrt{11}(\sqrt{3} + \sqrt{2})\) 4) \(\sqrt{13}(\sqrt{2} - 1)\)

- Wie verändert sich ein Exponent, wenn man die Quadratwurzel aus einer Potenz zieht? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Wurzeln und rationalen Exponenten. - Kannst du eine Dezimalzahl wie \(0{,}49\) als Quadratzahl erkennen? - Bei Produkten unter der Wurzel darfst du die Wurzel für jeden Faktor einzeln ziehen.

1. Anwendung des Gesetzes \(\sqrt{a^n} = a^{\frac{n}{2}}\) für Teilaufgaben a) bis c). 2. Berechnung von a): \(\sqrt{5^4} = 5^2 = 25\). 3. Berechnung von b): \(\sqrt{2^{10}} = 2^5 = 32\). 4. Berechnung von c): \(\sqrt{10^{-6}} = 10^{-3} = 0{,}001\). 5. Berechnung von d): Anwendung der Produktregel für Wurzeln \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\). Es ergibt sich \(\sqrt{0{,}49} \cdot \sqrt{10^8} = 0{,}7 \cdot 10^4 = 0{,}7 \cdot 10\,000 = 7\,000\).

a) \(25\) b) \(32\) c) \(0{,}001\) d) \(7\,000\)

- Kannst du die Zahlen unter den Wurzeln erst multiplizieren oder dividieren, bevor du die Wurzel ziehst? - Denk daran, dass die Wurzel aus einer Quadratzahl wie \(x^2\) immer nicht-negativ ist. Welches Symbol nutzt man dafür? - Was ist das Ergebnis, wenn du die Wurzeln einzeln ausrechnest?

1. Anwendung des Multiplikationsgesetzes für Wurzeln: \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9\). 2. Anwendung des Divisionsgesetzes für Wurzeln: \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6\). 3. Radizieren des Produkts unter Berücksichtigung des Betrags: \(\sqrt{49 y^2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{y^2} = 7|y|\). 4. Einzelne Quadratwurzeln berechnen und subtrahieren: \(\sqrt{400} - \sqrt{144} = 20 - 12 = 8\).

a) \(9\) b) \(6\) c) \(7|y|\) d) \(8\)

- Wandle Dezimalzahlen im Exponenten zuerst in Brüche um. - Erinnere dich an die Definition von Potenzen mit rationalen Exponenten: \(x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}\). - Prüfe, ob du die Radikanden als Potenzen kleinerer Basen (wie 2 oder 3) schreiben kannst. - Fasse Produkte von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten unter einer Wurzel zusammen.

1. Berechnung von \(e\): Die \(n\)-te Wurzel aus \(0\) ist immer \(0\), also \(e = 0\). 2. Berechnung von \(d\): Der Exponent \(0{,}25\) entspricht dem Bruch \(\frac{1}{4}\). Somit ist \(d = \sqrt[4]{16} = 2\), da \(2^4 = 16\). 3. Berechnung von \(a\): Da \(3^4 = 81\), ist \(a = \sqrt[4]{81} = 3\). 4. Berechnung von \(b\): Der Exponent \(0{,}4\) entspricht \(\frac{2}{5}\). Es gilt \(b = (32)^{2/5} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4\). 5. Berechnung von \(c\): Nach den Wurzelgesetzen gilt \(c = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6\). 6. Vergleich der Ergebnisse: \(0 < 2 < 3 < 4 < 6\). Die Reihenfolge ist \(e, d, a, b, c\).

Die aufsteigende Reihenfolge ist \(e, d, a, b, c\) mit den Werten \(0 < 2 < 3 < 4 < 6\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten potenziert? - Wie verändert sich die Anzahl der Nachkommastellen beim Quadrieren oder Kubieren einer Dezimalzahl? - Kann das Ergebnis einer Quadratwurzel (oder einer anderen Wurzel mit geradem Exponenten) eine negative Zahl sein? - Versuche, die Umkehroperation der Wurzelbildung anzuwenden, um die Richtigkeit zu prüfen.

1. Überprüfung durch Potenzieren: \((-0{,}5)^3 = (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) = 0{,}25 \cdot (-0{,}5) = -0{,}125\). Die Aussage ist wahr. 2. Überprüfung durch Quadrieren: \(0{,}08^2 = 0{,}08 \cdot 0{,}08 = 0{,}0064\). Die Aussage ist wahr. 3. Überprüfung durch Potenzieren: \(25^4 = (25^2)^2 = 625^2 = 390\,625\). Da \(390\,625 \neq 625\), ist die Aussage falsch. Korrekt wäre \(\sqrt[4]{625} = 5\). 4. Da das Ergebnis einer Quadratwurzel nach Definition niemals negativ ist, gilt \(\sqrt{(-9)^2} = \sqrt{81} = 9\). Die Aussage ist falsch. 5. Überprüfung durch Potenzieren: \((-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32\). Die Aussage ist wahr.

Die Aussagen 1, 2 und 5 sind wahr. Die Aussagen 3 und 4 sind falsch.

- Überlege dir, welche kleine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Achte bei Dezimalzahlen auf die Anzahl der Nachkommastellen im Vergleich zum Wurzelexponenten. - Kannst du den Radikanden als Potenz einer anderen Zahl schreiben? - Bei Brüchen hilft es oft, Zähler und Nenner getrennt zu betrachten.

1. Bestimmung der dritten Wurzel von \(216\): Da \(6^3 = 216\), gilt \(\sqrt[3]{216} = 6\). 2. Berechnung der vierten Wurzel von \(0{,}0625\): Da \(5^4 = 625\) und die Zahl vier Nachkommastellen hat, ergibt sich \((0{,}5)^4 = 0{,}0625\), also \(\sqrt[4]{0{,}0625} = 0{,}5\). 3. Vereinfachung des Radikanden: \(32^{-1} = (2^5)^{-1} = (2^{-1})^5 = (0{,}5)^5\). Somit ist \(\sqrt[5]{32^{-1}} = 0{,}5\). 4. Anwendung der Wurzelgesetze auf den Bruch: \(\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{3}{10} = 0{,}3\).

a) \(6\) b) \(0{,}5\) c) \(0{,}5\) d) \(0{,}3\)

- Was bedeutet das Wurzelsymbol, wenn man es als Exponenten schreibt? - Gibt es eine Regel, wie man Potenzen innerhalb einer Wurzel behandelt? - Wie verändert sich das Vorzeichen eines Exponenten, wenn eine Potenz vom Nenner in den Zähler rückt? - Kannst du Brüche im Exponenten kürzen?

1. Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) auf alle Teilaufgaben. 2. Teilaufgabe a): \(\sqrt[3]{x^9} = x^{\frac{9}{3}} = x^3\). 3. Teilaufgabe b): \((a^{10} \cdot b^{20})^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{10}{5}} \cdot b^{\frac{20}{5}} = a^2 \cdot b^4\). 4. Teilaufgabe c): \(\frac{1}{y^{\frac{12}{4}}} = \frac{1}{y^3} = y^{-3}\). 5. Teilaufgabe d): \(z^{\frac{5k}{k}} = z^5\).

a) \(x^3\) b) \(a^2 \cdot b^4\) c) \(y^{-3}\) oder \(\frac{1}{y^3}\) d) \(z^5\)

- Kannst du Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten unter eine gemeinsame Wurzel schreiben? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst? - Hilft es dir, die Wurzeln als Potenzen mit Brüchen im Exponenten zu schreiben? - Überlege, ob du das Ergebnis am Ende wieder als Wurzel schreiben kannst.

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Wurzelgesetzes für Produkte mit gleichem Wurzelexponenten \(\sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung des Wurzelgesetzes für Quotienten \(\sqrt{x^3 : x} = \sqrt{x^2}\). Da \(x > 0\), vereinfacht sich dies zu \(x\). 3. Teilaufgabe c): Zusammenfassen unter eine gemeinsame dritte Wurzel \(\sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8}\). Da \(2^3 = 8\), ist das Ergebnis \(2\). 4. Teilaufgabe d): Umwandlung in Potenzen mit rationalen Exponenten \(a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{4}}\). Addition der Exponenten ergibt \(a^{\frac{2}{4} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{3}{4}}\). Rückumwandlung in die Wurzelschreibweise ergibt \(\sqrt[4]{a^3}\).

a) \(6\) b) \(x\) c) \(2\) d) \(\sqrt[4]{a^3}\)

- Kannst du die Wurzeln als Potenzen mit Brüchen schreiben? - Welche Rechenregeln gelten für Potenzen mit der gleichen Basis? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? - Könnte es helfen, Brüche in den Exponenten zuerst zu kürzen?

1. Teilaufgabe a: Umwandlung der Wurzeln in Potenzen ergibt \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{2}{6}}\). Da \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) ist, ergibt die Addition der Exponenten \(x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = x^1 = x\). 2. Teilaufgabe b: Darstellung als Potenzen führt zu \(a^{\frac{5}{2}} : a^{\frac{2}{4}}\). Kürzen des zweiten Exponenten ergibt \(a^{\frac{5}{2}} : a^{\frac{1}{2}}\). Die Subtraktion der Exponenten liefert \(a^{\frac{5}{2} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{2}} = a^2\). 3. Teilaufgabe c: Anwendung der dritten binomischen Formel \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\) auf die Wurzelterme ergibt \((\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2\). Durch das Quadrieren der Wurzeln erhält man das Ergebnis \(b - a\).

a) \(x\) b) \(a^2\) c) \(b - a\)

- Kannst du eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Was passiert, wenn du eine Potenz mit einer anderen Zahl potenzierst? - Überlege dir, wie man Brüche im Exponenten kürzen kann. - Wie gehst du mit negativen Vorzeichen im Exponenten um?

1. Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) auf Teilaufgabe a): \(\sqrt[3]{x^9} = x^{\frac{9}{3}} = x^3\). 2. Anwendung auf Teilaufgabe b): \(\sqrt[4]{16^8} = 16^{\frac{8}{4}} = 16^2 = 256\). Alternativ über die Basis \(2\): \(\sqrt[4]{(2^4)^8} = \sqrt[4]{2^{32}} = 2^8 = 256\). 3. Anwendung auf Teilaufgabe c): \(\sqrt[5]{y^{-20}} = y^{\frac{-20}{5}} = y^{-4}\). Dies entspricht \(\frac{1}{y^4}\). 4. Anwendung auf Teilaufgabe d): \(\sqrt[n]{a^{3n}} = a^{\frac{3n}{n}} = a^3\).

a) \(x^3\) b) \(256\) c) \(y^{-4}\) oder \(\frac{1}{y^4}\) d) \(a^3\)

- Kannst du die Dezimalzahlen in Brüche umschreiben, um die Wurzeln leichter zu erkennen? - Überlege, welche Zahl mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel ergibt. - Achte auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Potenzieren von Dezimalzahlen.

1. Berechnung der Quadratwurzel: \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{1{,}2^2} = 1{,}2\) 2. Berechnung der Kubikwurzel: \(\sqrt[3]{0{,}008} = \sqrt[3]{0{,}2^3} = 0{,}2\) 3. Berechnung der vierten Wurzel: \(\sqrt[4]{0{,}0001} = \sqrt[4]{0{,}1^4} = 0{,}1\) 4. Zusammenführung der Ergebnisse: \(1{,}2 + 0{,}2 - 0{,}1 = 1{,}3\)

\(1{,}3\)

- Kannst du die Wurzeln im Zähler zu einer einzigen Wurzel zusammenfassen? - Welche Regel erlaubt es dir, zwei Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten zu dividieren? - Wie lässt sich eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben?

1. Zusammenfassen der Wurzeln im Zähler mithilfe des Produktgesetzes für Wurzeln: \(\sqrt[4]{b^9 \cdot b^3} = \sqrt[4]{b^{12}}\). 2. Anwendung des Quotientengesetzes für Wurzeln zur Verrechnung mit dem Nenner: \(\sqrt[4]{\frac{b^{12}}{b^4}} = \sqrt[4]{b^8}\). 3. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz mit rationalem Exponenten: \(b^{\frac{8}{4}} = b^2\).

\(b^2\)

- Rechne zuerst den Wert unter der Wurzel aus, bevor du die Wurzel ziehst. - Suche nach Quadratzahlen wie \(4, 9, 16, 25, 36, \ldots\), die Teiler der Zahl unter der Wurzel sind. - Gibt es eine Regel, wie man die Wurzel aus einem Bruch zieht?

1. Berechnung des Ausdrucks unter der Wurzel: \(13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25\). Die Wurzel daraus ist \(\sqrt{25} = 5\). 2. Zerlegung von 72 in ein Produkt mit einer maximalen Quadratzahl: \(72 = 36 \cdot 2\). Anwendung der Wurzelgesetze ergibt \(\sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\). 3. Anwendung der Wurzelregel für Brüche: \(\sqrt{\frac{25}{81}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}}\). Da \(\sqrt{25} = 5\) und \(\sqrt{81} = 9\), ist das Ergebnis \(\frac{5}{9}\).

a) \(5\) b) \(6\sqrt{2}\) c) \(\frac{5}{9}\)

- Kannst du Wurzeln mit gleichem Exponenten unter eine gemeinsame Wurzel schreiben? - Überlege, welche Zahl hoch drei 27 ergibt. - Vereinfache zuerst die einzelnen Teile des Terms, bevor du addierst oder subtrahierst.

1. Multiplikation der ersten beiden Wurzeln: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{64} = 8\). 2. Bestimmung der Kubikwurzel: \(\sqrt[3]{27} = 3\). 3. Division der Quadratwurzeln: \(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5\). 4. Zusammenfassen der Ergebnisse: \(8 - 3 + 5 = 10\).

10

- Überlege dir für jeden Term, welche Zahl mit dem entsprechenden Exponenten potenziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Achte bei negativen Vorzeichen darauf, ob der Wurzelexponent (die kleine Zahl an der Wurzel) gerade oder ungerade ist. - Wandle Brüche gegebenenfalls in Dezimalzahlen um, um sie besser vergleichen zu können.

1. Berechnung der einzelnen Werte: a) \(\sqrt[3]{-0{,}125} = -0{,}5\), da \((-0{,}5)^3 = -0{,}125\) b) \(\sqrt[5]{243} = 3\), da \(3^5 = 243\) c) \(\sqrt[3]{-\frac{27}{64}} = -\frac{3}{4} = -0{,}75\), da \(\left(-\frac{3}{4}\right)^3 = -\frac{27}{64}\) d) \(\sqrt[4]{0{,}0001} = 0{,}1\), da \(0{,}1^4 = 0{,}0001\) 2. Vergleich der Werte: \(-0{,}75 < -0{,}5 < 0{,}1 < 3\) 3. Zuordnung der Terme: \(c < a < d < b\)

Die berechneten Werte sind: a) \(-0{,}5\); b) \(3\); c) \(-0{,}75\); d) \(0{,}1\). Die Reihenfolge lautet: \(\sqrt[3]{-\frac{27}{64}} < \sqrt[3]{-0{,}125} < \sqrt[4]{0{,}0001} < \sqrt[5]{243}\).

- Kannst du die Dezimalzahl als Potenz einer Zehnerpotenz schreiben? - Wie lässt sich ein rationaler Exponent in eine Wurzel mit einer Potenz umschreiben? - Gibt es eine Regel für das Wurzelziehen bei Brüchen? - Überlege, welche Zahl viermal mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt.

1. Berechnung der dritten Wurzel aus einer Dezimalzahl: Da \(0{,}1^3 = 0{,}001\), folgt \(\sqrt[3]{0{,}001} = 0{,}1\). 2. Anwendung der Potenzgesetze für rationale Exponenten: \(16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3\). Da \(2^4 = 16\), ist \(\sqrt[4]{16} = 2\). Es folgt \(2^3 = 8\). 3. Berechnung der Quadratwurzel eines Bruchs: \(\sqrt{\frac{25}{144}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{144}} = \frac{5}{12}\). 4. Bestimmung der vierten Wurzel: Da \(5^4 = 625\), ergibt sich \(\sqrt[4]{625} = 5\).

1) \(0{,}1\) 2) \(8\) 3) \(\frac{5}{12}\) 4) \(5\)

- Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Wurzelexponenten. - Was passiert, wenn du eine negative Zahl mit sich selbst multiplizierst? Betrachte dabei eine gerade und eine ungerade Anzahl an Faktoren. - Prüfe bei Termen wie \(\sqrt[n]{x^n}\) zuerst, welchen Wert der Ausdruck unter der Wurzel (der Radikand) hat.

1. Untersuchung von \(\sqrt[4]{-81}\): Der Wurzelexponent \(4\) ist gerade und der Radikand \(-81\) ist negativ. In \(\mathbb{R}\) ist dieser Term nicht definiert. 2. Untersuchung von \(\sqrt[5]{-32}\): Der Wurzelexponent \(5\) ist ungerade. Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten sind auch für negative Radikanden definiert. Ergebnis: \(-2\). 3. Untersuchung von \(\sqrt[6]{(-2)^6}\): Zuerst wird die Potenz berechnet: \((-2)^6 = 64\). Da der Radikand positiv ist, ist die Wurzel definiert. Ergebnis: \(\sqrt[6]{64} = 2\). 4. Untersuchung von \(\sqrt[3]{0{,}008}\): Der Radikand ist positiv, daher ist die Wurzel definiert. Ergebnis: \(0{,}2\). 5. Untersuchung von \(\sqrt[10]{-1}\): Der Wurzelexponent \(10\) ist gerade und der Radikand \(-1\) ist negativ. In \(\mathbb{R}\) ist dieser Term nicht definiert.

Definiert sind: 2) \(\sqrt[5]{-32}\) (ungerader Wurzelexponent) 3) \(\sqrt[6]{(-2)^6}\) (Radikand ist positiv, da \((-2)^6 = 64\)) 4) \(\sqrt[3]{0{,}008}\) (positiver Radikand) Nicht definiert sind: 1) \(\sqrt[4]{-81}\) und 5) \(\sqrt[10]{-1}\) (gerader Wurzelexponent bei negativem Radikanden)

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie zuerst quadriert und anschließend die Wurzel zieht? - Überlege dir, ob der Ausdruck in der Klammer positiv oder negativ ist, wenn du eine Zahl einsetzt, die die Bedingung erfüllt. - Erinnere dich an die Definition der Quadratwurzel und welche Werte sie annehmen kann. - Hilft dir der Begriff des Betrags weiter?

1. Anwendung der Identität \(\sqrt{x^2} = |x|\) auf Teilaufgabe a): \(\sqrt{(a-7)^2} = |a-7|\). 2. Bestimmung des Vorzeichens der Differenz: Da \(a < 7\), ist \(a-7 < 0\). 3. Auflösung des Betrags: Für negative Werte gilt \(|x| = -x\), also \(-(a-7) = 7-a\). 4. Anwendung auf Teilaufgabe b): \(\sqrt{(2x-6)^2} = |2x-6|\). 5. Da \(x > 3\), folgt \(2x > 6\) und somit \(2x-6 > 0\). Der Betrag bleibt unverändert: \(2x-6\). 6. Begründung: Die Quadratwurzel ist als die nichtnegative Zahl definiert, deren Quadrat den Radikanden ergibt. Wegen \(a < 7\) gilt \((a-7)^2 > 0\); daher ist auch \(\sqrt{(a-7)^2} = 7-a > 0\).

a) \(7-a\) b) \(2x-6\) Begründung: Die Quadratwurzel liefert per Definition stets nichtnegative Ergebnisse. Da \(a < 7\), ist \(a-7\) negativ und \(7-a\) positiv; deshalb gilt \(\sqrt{(a-7)^2}=7-a\).

- Überlege zuerst, ob der Wurzelexponent gerade oder ungerade ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie mit einer geraden Zahl potenziert? - Erinnere dich an die Definition des Betrags \(|x|\). - Prüfe für einen beispielhaften Wert aus dem angegebenen Bereich, ob dein vereinfachter Term das richtige Vorzeichen liefert.

1. Für a): Es gilt \(\sqrt{x^2} = |x|\). Da \(a \le 8\), ist der Ausdruck \(a-8 \le 0\). Somit ist \(|a-8| = -(a-8) = 8-a\). 2. Für b): Bei ungeraden Wurzelexponenten gilt \(\sqrt[n]{x^n} = x\). Da hier \(b+5 \ge 0\) durch die Bedingung gegeben ist, bleibt das Ergebnis \(b+5\). 3. Für c): Es gilt \(\sqrt[4]{x^4} = |x|\). Da \(c \le 2\), ist \(c-2 \le 0\). Somit ist \(|c-2| = -(c-2) = 2-c\). 4. Für d): Es gilt \(\sqrt[6]{x^6} = |x|\). Da \(x \ge 1\), ist \(1-x \le 0\). Somit ist \(|1-x| = -(1-x) = x-1\).

a) \(8-a\) b) \(b+5\) c) \(2-c\) d) \(x-1\)

- Was passiert, wenn man eine Zahl quadriert und anschließend die Wurzel zieht? Gilt das für alle Zahlen? - Überlege dir, ob das Ergebnis einer Quadratwurzel jemals negativ sein kann. - Wie kannst du feststellen, ob ein Ausdruck wie \(5 - \sqrt{26}\) positiv oder negativ ist, ohne einen Taschenrechner zu benutzen? - Erinnerst du dich an das teilweise Wurzelziehen für Zahlen wie \(\sqrt{12}\)?

1. Anwendung der Regel \(\sqrt{a^2} = |a|\) auf Teil a: \(\sqrt{(5 - \sqrt{26})^2} = |5 - \sqrt{26}|\). 2. Vergleich der Werte: Da \(5 = \sqrt{25}\) und \(\sqrt{25} < \sqrt{26}\), ist die Differenz negativ. 3. Auflösen des Betrags: \(|5 - \sqrt{26}| = -(5 - \sqrt{26}) = \sqrt{26} - 5\). 4. Anwendung auf Teil b: \(\sqrt{12 \cdot (\sqrt{3} - 2)^2} = \sqrt{12} \cdot |\sqrt{3} - 2|\). 5. Teilweises Wurzelziehen von \(\sqrt{12}\): \(\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\). 6. Vergleich der Werte: Da \(2 = \sqrt{4}\) und \(\sqrt{3} < \sqrt{4}\), ist die Differenz \(\sqrt{3} - 2\) negativ. 7. Auflösen des Betrags und Multiplikation: \(2\sqrt{3} \cdot (2 - \sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 2 \cdot 3 = 4\sqrt{3} - 6\).

a) \(\sqrt{26} - 5\) b) \(4\sqrt{3} - 6\)

- Kannst du den Ausdruck unter der Wurzel in Potenzen mit geraden Exponenten zerlegen? - Achte darauf, ob die Terme in der Klammer positiv oder negativ sind. - Welche Rechenregel erlaubt es dir, eine Wurzel aus einem Produkt in ein Produkt aus Wurzeln zu verwandeln?

1. Zerlegung des Radikanden: \(\sqrt{(x-7)^5} = \sqrt{(x-7)^4 \cdot (x-7)}\). Da \(x \ge 7\), ist \(x-7 \ge 0\). Anwendung der Wurzelregel: \(\sqrt{(x-7)^4} = (x-7)^2\). Ergebnis: \((x-7)^2 \sqrt{x-7}\). 2. Aufspaltung des Produkts unter der Wurzel: \(\sqrt{a^3 \cdot (b+2)^2} = \sqrt{a^2 \cdot a \cdot (b+2)^2}\). Da \(a \ge 0\) und \(b \ge -2\) (somit \(b+2 \ge 0\)), gilt \(\sqrt{a^2} = a\) und \(\sqrt{(b+2)^2} = b+2\). Ergebnis: \(a(b+2)\sqrt{a}\).

1) \((x-7)^2 \sqrt{x-7}\) 2) \(a(b+2)\sqrt{a}\)

- Was muss für den Radikanden gelten, damit eine Quadratwurzel definiert ist? - Überlege, wie du Potenzen im Radikanden so aufteilen kannst, dass ein Teil der Potenz den gleichen Exponenten wie der Wurzelexponent hat. - Gibt es Einschränkungen für den Definitionsbereich bei ungeraden Wurzelexponenten wie 3 oder 5?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs für \(\sqrt{a^5}\): Radikand \(a^5 \ge 0 \Rightarrow a \ge 0\). Zerlegung des Radikanden in \(\sqrt{a^4 \cdot a}\). Teilweises Wurzelziehen ergibt \(a^2 \sqrt{a}\). 2. Definitionsbereich für \(\sqrt[3]{(x-2)^4}\): Da der Wurzelexponent ungerade ist, ist der Ausdruck für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert. Zerlegung des Radikanden in \(\sqrt[3]{(x-2)^3 \cdot (x-2)}\). Teilweises Wurzelziehen ergibt \((x-2) \sqrt[3]{x-2}\). 3. Definitionsbereich für \(\sqrt[5]{(y+3)^5}\): Für ungerade Wurzelexponenten ist der Ausdruck für alle \(y \in \mathbb{R}\) definiert. Da der Exponent des Radikanden dem Wurzelexponenten entspricht, heben sich Wurzel und Potenz auf: Ergebnis \(y+3\).

1) \(a^2 \sqrt{a}\) für \(a \ge 0\) 2) \((x-2) \sqrt[3]{x-2}\) für \(x \in \mathbb{R}\) 3) \(y+3\) für \(y \in \mathbb{R}\)

- Wie kannst du eine Zahl so umschreiben, dass sie unter einer Wurzel denselben Wert behält? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil vom Wurzelziehen? - Achte bei Teil b) genau auf den Wurzelexponenten. - Überlege bei Teil c), wie man Potenzen potenziert.

1. Umformung von \(3\sqrt{7}\): \(3\) wird als \(3^2\) unter die Quadratwurzel gezogen, ergibt \(\sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}\). 2. Umformung von \(5\sqrt{3}\): \(5\) wird als \(5^2\) unter die Quadratwurzel gezogen, ergibt \(\sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}\). 3. Vergleich a): Da \(75 > 63\), ist \(\sqrt{75} > \sqrt{63}\), also \(5\sqrt{3} > 3\sqrt{7}\). 4. Umformung von \(2\sqrt[3]{5}\): \(2\) wird als \(2^3\) unter die Kubikwurzel gezogen, ergibt \(\sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}\). 5. Umformung von \(3\sqrt[3]{2}\): \(3\) wird als \(3^3\) unter die Kubikwurzel gezogen, ergibt \(\sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{54}\). 6. Vergleich b): Da \(54 > 40\), ist \(\sqrt[3]{54} > \sqrt[3]{40}\), also \(3\sqrt[3]{2} > 2\sqrt[3]{5}\). 7. Umformung c): Der Faktor \(a^2\) wird als \((a^2)^2 = a^4\) unter die Quadratwurzel gezogen. Multiplikation mit dem Radikanden ergibt \(\sqrt{a^4 \cdot a} = \sqrt{a^5}\).

a) \(5\sqrt{3}\) ist größer (\(\sqrt{75} > \sqrt{63}\)). b) \(3\sqrt[3]{2}\) ist größer (\(\sqrt[3]{54} > \sqrt[3]{40}\)). c) \(a^2 \sqrt{a} = \sqrt{(a^2)^2 \cdot a} = \sqrt{a^4 \cdot a} = \sqrt{a^5}\).

- Was musst du mit dem äußeren Teil machen, damit er unter die Wurzel passt? - Überlege, welcher Exponent zum jeweiligen Wurzelgrad passt. - Gibt es Rechenregeln für Brüche und Potenzen, die dir beim anschließenden Vereinfachen helfen? - Kannst du den neuen Ausdruck unter der Wurzel noch weiter zusammenfassen?

1. Für Teilaufgabe a): Den Faktor \(4a\) mit dem Wurzelexponenten 2 potenzieren und unter die Quadratwurzel ziehen: \(\sqrt{(4a)^2 \cdot 3a} = \sqrt{16a^2 \cdot 3a}\). Zusammenfassen der Terme unter der Wurzel ergibt \(\sqrt{48a^3}\). 2. Für Teilaufgabe b): Den Bruch \(\frac{x}{y}\) mit dem Wurzelexponenten 3 potenzieren: \(\sqrt[3]{(\frac{x}{y})^3 \cdot \frac{y^4}{x^2}} = \sqrt[3]{\frac{x^3}{y^3} \cdot \frac{y^4}{x^2}}\). Durch Kürzen von \(x^2\) und \(y^3\) im Zähler und Nenner ergibt sich \(\sqrt[3]{x \cdot y}\). 3. Für Teilaufgabe c): Den Faktor \(b^2\) mit dem Wurzelexponenten 5 potenzieren: \(\sqrt[5]{(b^2)^5 \cdot \frac{2}{b^7}} = \sqrt[5]{\frac{b^{10} \cdot 2}{b^7}}\). Durch Anwenden der Potenzgesetze (\(b^{10} : b^7 = b^3\)) vereinfacht sich der Ausdruck zu \(\sqrt[5]{2b^3}\).

a) \(\sqrt{48a^3}\) b) \(\sqrt[3]{xy}\) c) \(\sqrt[5]{2b^3}\)

- Wie kannst du eine Zahl oder Variable als Wurzel schreiben, die denselben Exponenten wie die vorliegende Wurzel hat? - Welche Rechenregel gilt für das Potenzieren einer Potenz, also \((x^a)^b\)? - Wie multipliziert man Potenzen mit der gleichen Basis? - Überlege dir, wie du den Faktor vor der Wurzel „verpacken“ musst, damit er unter das Wurzelzeichen passt, ohne den Wert des Ausdrucks zu verändern.

1. Um den Faktor \(a^3\) unter die 5. Wurzel zu bringen, wird er mit dem Wurzelexponenten 5 potenziert: \(\sqrt[5]{(a^3)^5 \cdot a^2} = \sqrt[5]{a^{15} \cdot a^2} = \sqrt[5]{a^{17}}\). 2. Die Faktoren vor der \(n\)-ten Wurzel werden mit \(n\) potenziert und in den Radikanden multipliziert: \(\sqrt[n]{x^n \cdot (y^2)^n \cdot x^2 \cdot y} = \sqrt[n]{x^n \cdot y^{2n} \cdot x^2 \cdot y}\). Durch Zusammenfassen der Potenzen mit gleicher Basis ergibt sich \(\sqrt[n]{x^{n+2} \cdot y^{2n+1}}\). 3. Der Faktor \(b^k\) wird unter die 3. Wurzel gezogen: \(\sqrt[3]{(b^k)^3 \cdot b} = \sqrt[3]{b^{3k} \cdot b} = \sqrt[3]{b^{3k+1}}\).

1) \(\sqrt[5]{a^{17}}\) 2) \(\sqrt[n]{x^{n+2} \cdot y^{2n+1}}\) 3) \(\sqrt[3]{b^{3k+1}}\)

- Kannst du den Wurzelexponenten und den Potenzexponenten durch eine gemeinsame Zahl teilen? - Was passiert, wenn du eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreibst? - Überlege dir für jeden Teil, welche Zahl mit sich selbst multipliziert die Basis unter der vereinfachten Wurzel ergibt.

1. Anwendung des Gesetzes \(\sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}} = \sqrt[n]{a^m}\) zur Vereinfachung der Wurzelexponenten. 2. Für a): \(\sqrt[6]{125^2} = \sqrt[3]{125}\). Da \(5^3 = 125\), ist das Ergebnis \(5\). 3. Für b): \(\sqrt[4]{2{,}25^2} = \sqrt{2{,}25}\). Da \(1{,}5^2 = 2{,}25\), ist das Ergebnis \(1{,}5\). 4. Für c): \(\sqrt[8]{16^2} = \sqrt[4]{16}\). Da \(2^4 = 16\), ist das Ergebnis \(2\). 5. Für d): \(\sqrt[6]{0{,}001^2} = \sqrt[3]{0{,}001}\). Da \(0{,}1^3 = 0{,}001\), ist das Ergebnis \(0{,}1\).

a) \(5\); b) \(1{,}5\); c) \(2\); d) \(0{,}1\)

- Suche zuerst zwei ganze Zahlen, zwischen denen das Ergebnis liegen muss. - Probiere dann Werte mit einer Nachkommastelle aus. - Wie kannst du sicherstellen, ob du auf- oder abrunden musst?

1. Grobe Eingrenzung durch Potenzen ganzer Zahlen: \(2^5 = 32\) und \(3^5 = 243\). Der Wert liegt zwischen \(2\) und \(3\). 2. Systematisches Testen von Dezimalzahlen: - \(2{,}5^5 = 97{,}65625\) - \(2{,}6^5 = 118{,}81376\) 3. Da \(97{,}65625 < 100 < 118{,}81376\), liegt \(\sqrt[5]{100}\) im Intervall \([2{,}5; 2{,}6]\). 4. Für die Rundung auf eine Dezimalstelle wird die Mitte \(2{,}55\) geprüft: \(2{,}55^5 \approx 107{,}82\). Da \(100 < 107{,}82\), gilt \(\sqrt[5]{100} < 2{,}55\), also wird auf \(2{,}5\) gerundet.

\(\sqrt[5]{100} \approx 2{,}5\)

- Überlege dir, mit welcher Zahl du den Nenner unter der Wurzel multiplizieren musst, damit er eine Quadratzahl (oder Kubikzahl etc.) wird. - Erinnere dich an die Regel \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\). - Wie kannst du den Nenner im Radikanden so ergänzen, dass die Wurzel daraus eine ganze Zahl ergibt? - Manchmal hilft es, den Nenner zuerst in seine Primfaktoren zu zerlegen.

1. Um den Bruch unter der Quadratwurzel zu beseitigen, wird der Bruch so erweitert, dass der Nenner eine Quadratzahl wird: \(\sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5}} = \sqrt{\frac{15}{25}} = \frac{\sqrt{15}}{5}\). 2. Bei der dritten Wurzel muss der Nenner eine Kubikzahl werden. Da \(9 = 3^2\), wird mit \(3\) erweitert: \(\sqrt[3]{\frac{2}{3^2}} = \sqrt[3]{\frac{2 \cdot 3}{3^2 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\frac{6}{3^3}} = \frac{\sqrt[3]{6}}{3}\). 3. Bei der vierten Wurzel muss der Nenner eine vierte Potenz werden. Da \(8 = 2^3\), wird mit \(2\) erweitert: \(\sqrt[4]{\frac{1}{2^3}} = \sqrt[4]{\frac{1 \cdot 2}{2^3 \cdot 2}} = \sqrt[4]{\frac{2}{2^4}} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2}\). 4. Für die \(n\)-te Wurzel wird der Nenner so erweitert, dass er eine \(n\)-te Potenz bildet. Hier wird mit \(3^{n-1}\) erweitert: \(\sqrt[n]{\frac{1}{3}} = \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3^{n-1}}{3 \cdot 3^{n-1}}} = \sqrt[n]{\frac{3^{n-1}}{3^n}} = \frac{\sqrt[n]{3^{n-1}}}{3}\).

a) \(\frac{\sqrt{15}}{5}\) b) \(\frac{\sqrt[3]{6}}{3}\) c) \(\frac{\sqrt[4]{2}}{2}\) d) \(\frac{\sqrt[n]{3^{n-1}}}{3}\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie quadriert? - Wie kann man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Überlege, welche Zahlen man in eine Quadratwurzel einsetzen darf. - Was bewirkt die Betragsfunktion bei einer negativen Zahl?

1. Berechnung für \(x = 16\): \(A = \sqrt[4]{16^2} = \sqrt[4]{256} = 4\); \(B = \sqrt{|16|} = \sqrt{16} = 4\). Beide Werte sind identisch. 2. Berechnung für \(x = -16\): \(A = \sqrt[4]{(-16)^2} = \sqrt[4]{256} = 4\); \(B = \sqrt{|-16|} = \sqrt{16} = 4\). Auch hier sind die Werte identisch. 3. Umformung für \(x > 0\): \(A = \sqrt[4]{x^2} = (x^2)^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}\). Da für \(x > 0\) gilt \(|x| = x\), ist \(B = \sqrt{x}\). Somit \(A = B\). 4. Begründung der Definition: Im Ausdruck \(A\) wird \(x\) zuerst quadriert, wodurch der Radikand \(x^2\) für jede reelle Zahl \(x\) nicht-negativ ist (\(x^2 \geq 0\)). Die vierte Wurzel ist somit immer definiert. Im Ausdruck \(B\) würde ohne Betragsstriche für negative \(x\) eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl entstehen, was im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert ist. Die Betragsstriche stellen sicher, dass der Radikand stets positiv oder null ist.

a) Für \(x = 16\) und \(x = -16\) ergibt sich jeweils der Wert \(4\). b) Durch die Potenzgesetze gilt \((x^2)^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{2}{4}} = x^{0{,}5} = \sqrt{x}\). c) Das Quadrat in \(A\) macht den Radikanden nicht negativ; in \(B\) übernimmt der Betrag diese Funktion, damit die Wurzel auch für negative \(x\) definiert ist.

- Was passiert, wenn man eine negative Zahl quadriert und anschließend die Wurzel zieht? - Erinnere dich an die Definition des Betrags \(|a|\). - Wie verhält sich das Vorzeichen eines Terms in der Klammer, wenn die Bedingung (z. B. \(x < 1\)) erfüllt ist? - Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Wurzelexponenten nach dem Kürzen.

1. Anwendung der Regel \(\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{|a|^m}\): Der Term \(\sqrt[6]{(b-3)^2}\) wird zu \(\sqrt[3]{|b-3|}\) vereinfacht. 2. Berücksichtigung der Bedingung \(b < 3\): Da \(b-3\) negativ ist, gilt für den Betrag \(|b-3| = -(b-3) = 3-b\). Der vereinfachte Term lautet \(\sqrt[3]{3-b}\). 3. Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\) für gerade \(n\): Der Term \(\sqrt[10]{(x-1)^{10}}\) wird zu \(|x-1|\) vereinfacht. 4. Berücksichtigung der Bedingung \(x < 1\): Da \(x-1\) negativ ist, gilt \(|x-1| = -(x-1) = 1-x\). Der vereinfachte Term lautet \(1-x\).

1) \(\sqrt[3]{3-b}\) 2) \(1-x\)

- Wie ändert sich ein Faktor, wenn man ihn unter eine Quadratwurzel zieht? - Versuche, den Ausdruck unter der Wurzel nach dem Hineinziehen des Faktors zu kürzen. - Prüfe am Ende, ob du aus dem Radikanden noch eine Quadratzahl als Faktor herausziehen kannst.

1. Teilaufgabe a): Um den Faktor \(6x\) unter die Quadratwurzel zu ziehen, wird er quadriert: \(6x \cdot \sqrt{\frac{y}{3x}} = \sqrt{(6x)^2 \cdot \frac{y}{3x}}\). 2. Berechnung des Radikanden: \((6x)^2 = 36x^2\), also \(\sqrt{36x^2 \cdot \frac{y}{3x}} = \sqrt{\frac{36x^2y}{3x}}\). 3. Kürzen des Bruchs im Radikanden: \(\frac{36x^2y}{3x} = 12xy\). 4. Teilweises Wurzelziehen: \(\sqrt{12xy} = \sqrt{4 \cdot 3xy} = 2\sqrt{3xy}\). 5. Teilaufgabe b): Der Faktor \(\frac{a}{2}\) wird quadriert unter die Wurzel gezogen: \(\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot \frac{20b}{a}} = \sqrt{\frac{a^2}{4} \cdot \frac{20b}{a}}\). 6. Kürzen des Bruchs: \(\frac{20a^2b}{4a} = 5ab\). 7. Endergebnis: \(\sqrt{5ab}\).

a) \(2\sqrt{3xy}\) b) \(\sqrt{5ab}\)

- Überlege, welche Faktoren unter der Wurzel Quadratzahlen (oder bei der dritten Wurzel Kubikzahlen) sind. - Du kannst die Wurzel eines Produkts als Produkt der einzelnen Wurzeln schreiben. - Denke daran, dass Potenzen mit geraden Exponenten wie \(x^4\) als Quadrate geschrieben werden können, zum Beispiel \((x^2)^2\).

1. Zerlegung des Radikanden in Quadratfaktoren: \(\sqrt{25 \cdot 3 \cdot x^4 \cdot x \cdot y^2}\). 2. Anwendung der Wurzelgesetze und teilweises Wurzelziehen: \(5 \cdot x^2 \cdot y \cdot \sqrt{3x}\). 3. Zerlegung des Radikanden des zweiten Terms in Kubikfaktoren: \(\sqrt[3]{\frac{2^3 \cdot a^3 \cdot a}{3^3 \cdot b^3}}\). 4. Anwendung der Wurzelgesetze für die dritte Wurzel: \(\frac{2a}{3b} \cdot \sqrt[3]{a}\).

1) \(5x^2 y \sqrt{3x}\) 2) \(\frac{2a}{3b} \sqrt[3]{a}\)

- Suche für jede Zahl unter der Wurzel nach Quadratzahlen (\(4, 9, 16, 25, 36, \dots\)) als Teiler. - Wenn ein Term gleichartig zu \(\sqrt{7}\) ist, muss er sich als \(k \cdot \sqrt{7}\) darstellen lassen. - Prüfe, ob du die Zahl \(70\) so zerlegen kannst, dass eine Quadratzahl vorkommt.

1. Vereinfachung von \(\sqrt{112}\): \(\sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}\) 2. Vereinfachung von \(\sqrt{175}\): \(\sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7}\) 3. Vereinfachung von \(\sqrt{252}\): \(\sqrt{36 \cdot 7} = 6\sqrt{7}\) 4. Vereinfachung von \(\sqrt{\frac{7}{16}}\): \(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}\sqrt{7} = 0{,}25\sqrt{7}\) 5. Für \(\sqrt{70}\) gilt \(\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}} = \sqrt{10}\). Da \(\sqrt{10}\) irrational ist, ist \(\sqrt{70}\) kein rationales Vielfaches von \(\sqrt{7}\). 6. Somit passt \(\sqrt{70}\) nicht in die Reihe.

Der Term \(\sqrt{70}\) passt nicht in die Reihe. Für die anderen Terme ist der Quotient durch \(\sqrt{7}\) rational; bei \(\sqrt{70}\) ist dieser Quotient \(\sqrt{10}\) und damit irrational.

- Was bedeutet es, wenn zwei Wurzeln gleichartig sind? - Kannst du Faktoren unter der Wurzel finden, die Quadratzahlen sind, und diese vor die Wurzel ziehen? - Wie gehst du vor, wenn eine Wurzel im Nenner eines Bruchs steht? - Gibt es eine Rechenregel, mit der man Summen unter einer Wurzel (wie \(a^2+b^2\)) vereinfachen kann?

1. Teilweises Wurzelziehen für Paar a: \(\sqrt{20x^3} = \sqrt{4 \cdot 5 \cdot x^2 \cdot x} = 2x\sqrt{5x}\) und \(\sqrt{45x} = \sqrt{9 \cdot 5 \cdot x} = 3\sqrt{5x}\). Da beide Terme den Radikanden \(5x\) haben, sind sie gleichartig. 2. Analyse von Paar b: Die Terme \(\sqrt{a^2+b^2}\) und \(\sqrt{a^2-b^2}\) lassen sich nicht weiter vereinfachen. Da die Radikanden \(a^2+b^2\) und \(a^2-b^2\) verschieden sind, sind die Terme nicht gleichartig. 3. Rationalmachen des Nenners für Paar c: \(\sqrt{\frac{1}{3y}} = \frac{1}{\sqrt{3y}} = \frac{\sqrt{3y}}{3y}\). Der Vergleich mit \(\sqrt{3y}\) zeigt, dass beide Terme denselben Radikanden \(3y\) besitzen und somit gleichartig sind.

a) Gleichartig; b) Nicht gleichartig; c) Gleichartig.

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel als Produkt einer Kubikzahl (wie 8, 27, 64, 125, ...) und einer weiteren Zahl schreiben? - Erinnerst du dich an die Regel, wie man eine Wurzel aus einem Produkt zieht? - Was musst du tun, um Terme mit derselben Wurzel zusammenfassen zu können?

1. Zerlegung der Radikanden in Faktoren, von denen einer eine möglichst große Kubikzahl ist: \(16 = 8 \cdot 2\), \(54 = 27 \cdot 2\), \(250 = 125 \cdot 2\) und \(128 = 64 \cdot 2\). 2. Teilweises Wurzelziehen unter Anwendung des Gesetzes \(\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\): - \(2\sqrt[3]{16} = 2 \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{2} = 4\sqrt[3]{2}\) - \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}\) - \(\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}\) - \(\sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{2} = 4\sqrt[3]{2}\) 3. Einsetzen der vereinfachten Terme: \(4\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{2} - 5\sqrt[3]{2} + 4\sqrt[3]{2}\). 4. Zusammenfassen der Koeffizienten: \((4 + 3 - 5 + 4) \cdot \sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}\).

\(6\sqrt[3]{2}\)

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel in Produkte zerlegen, bei denen ein Faktor eine Quadratzahl ist? - Erinnerst du dich daran, wie man Wurzeln zusammenfasst? Das geht nur, wenn die Zahl unter der Wurzel (der Radikand) identisch ist. - Achte beim Weglassen der Klammern auf die Rechenzeichen.

1. Teilweises Wurzelziehen der einzelnen Terme: \(2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\), \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) und \(3\sqrt{27} = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\). 2. Einsetzen der vereinfachten Wurzeln in den Ausdruck: \((6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) + (2\sqrt{2} - 9\sqrt{3})\). 3. Zusammenfassen der Terme mit gleichen Radikanden: \(6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\) und \(2\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = -7\sqrt{3}\). 4. Endergebnis: \(8\sqrt{2} - 7\sqrt{3}\).

\(8\sqrt{2} - 7\sqrt{3}\)

- Achte bei Aufgaben mit Koeffizienten wie \(3\sqrt{5}\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Wurzel zu quadrieren. - Gibt es eine Struktur, die sich in allen Teilaufgaben wiederholt? - Bearbeite bei der letzten Teilaufgabe zuerst den Ausdruck innerhalb der großen Wurzel.

1. Zu a): Anwendung der dritten binomischen Formel \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\). Mit \(x = 3\sqrt{5}\) und \(y = 2\sqrt{2}\) folgt \((3\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 5 - 4 \cdot 2 = 45 - 8 = 37\). 2. Zu b): Anwendung der dritten binomischen Formel. Mit \(x = \frac{1}{3}\sqrt{a}\) und \(y = \sqrt{b}\) folgt \((\frac{1}{3}\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = \frac{1}{9}a - b\). 3. Zu c): Zuerst Vereinfachung des Terms unter der großen Wurzel mittels der dritten binomischen Formel: \((\sqrt{13} - 2)(\sqrt{13} + 2) = (\sqrt{13})^2 - 2^2 = 13 - 4 = 9\). Anschließend die äußere Wurzel ziehen: \(\sqrt{9} = 3\).

a) \(37\) b) \(\frac{1}{9}a - b\) c) \(3\)

- Können Wurzeln mit demselben Index direkt zusammengefasst werden? - Wie lassen sich Wurzeln als Potenzen mit Brüchen schreiben? - Welche Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis kennst du? - Ist es hilfreich, Brüche in den Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen?

1. Anwendung der Divisionsregel für Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten: \(\sqrt[4]{x^5 : x} = \sqrt[4]{x^4}\). Da \(x > 0\), ist das Ergebnis \(x\). 2. Umwandlung in Potenzen mit rationalen Exponenten: \(a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}}\). Addition der Exponenten: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Zurückschreiben in Wurzelschreibweise: \(\sqrt{a}\). 3. Umwandlung in rationale Exponenten: \(\frac{y^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{1}{4}}}\). Subtraktion der Exponenten: \(\frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{6}{4} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\). Ergebnis als Wurzel: \(\sqrt[4]{y^5}\).

1) \(x\) 2) \(\sqrt{a}\) 3) \(\sqrt[4]{y^5}\)

- Wie hängen die Seitenlänge und der Flächeninhalt bei einem Quadrat zusammen? - Kannst du das Verhältnis der Seiten als einen einzigen Wurzelterm schreiben? - Was passiert mit einem Bruch, wenn du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst?

1. Berechnung des Verhältnisses der Seitenlängen über die Wurzeln der Flächeninhalte: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{\sqrt{162}}{\sqrt{2}}\). 2. Anwendung der Quotientenregel: \(\sqrt{\frac{162}{2}} = \sqrt{81} = 9\). Somit gilt \(a_1 : a_2 = 9 : 1\). 3. Nach der Verdoppelung lautet das Verhältnis \(\frac{\sqrt{2A_1}}{\sqrt{2A_2}} = \sqrt{\frac{2A_1}{2A_2}} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}}\). 4. Der gemeinsame Faktor \(2\) kürzt sich; das Verhältnis bleibt \(9 : 1\).

a) \(a_1 : a_2 = 9 : 1\) b) Das Verhältnis bleibt \(9 : 1\), da sich der gemeinsame Faktor \(2\) unter der Wurzel kürzt.

- Kannst du die Zahlen unter ein gemeinsames Wurzelzeichen schreiben? - Wie gehst du mit den Zahlen vor der Wurzel um? Werden sie mit den Zahlen unter der Wurzel verrechnet? - Erinnerst du dich an die Potenzgesetze für Division bei gleichen Basen? - Überprüfe am Ende, ob du aus dem Ergebnis unter der Wurzel noch eine Quadratzahl ziehen kannst.

1. Anwendung der Regel \(\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}\): \(\sqrt{108 : 3} = \sqrt{36} = 6\). 2. Zusammenfassen unter einer Wurzel: \(\sqrt{\frac{125x^3}{5x}}\). Kürzen des Bruchs unter der Wurzel ergibt \(\sqrt{25x^2}\). Ziehen der Wurzel führt zu \(5x\). 3. Getrennte Division der Koeffizienten und der Wurzelterme: \((12 : 3) \cdot \sqrt{10 : 2} = 4\sqrt{5}\).

1) \(6\) 2) \(5x\) 3) \(4\sqrt{5}\)

- Kannst du eine Zahl oder Variable unter der Wurzel so zerlegen, dass ein Teil davon in beiden Summanden vorkommt? - Erinnere dich daran, dass man eine Variable ohne Wurzel auch als Quadrat einer Wurzel schreiben kann. - Welche Rechenregel erlaubt es dir, eine Wurzel aus einem Produkt in ein Produkt aus zwei Wurzeln aufzuteilen? - Untersuche die Exponenten der Variablen, wenn du sie in der Potenzschreibweise betrachtest.

1. Identifikation des gemeinsamen Faktors \(\sqrt{5a}\) im ersten Ausdruck: \(\sqrt{15a} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5a}\). Ausklammern ergibt \(\sqrt{5a}(1 + \sqrt{3})\). 2. Umschreiben von \(b\) als \((\sqrt{b})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{b}\) führt zu \(\sqrt{b}(\sqrt{b} - 1)\). 3. Zerlegung der Radikanden in Faktoren: \(\sqrt[3]{x \cdot x \cdot y} + \sqrt[3]{x \cdot y \cdot y}\). Anwendung der Wurzelgesetze liefert den gemeinsamen Faktor \(\sqrt[3]{xy}\). Das Ergebnis ist \(\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})\).

1) \(\sqrt{5a}(1 + \sqrt{3})\) 2) \(\sqrt{b}(\sqrt{b} - 1)\) 3) \(\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})\)

- Kannst du die Wurzelgesetze für die Division von zwei Wurzeln anwenden? - Erinnerst du dich, wie man eine Wurzel vereinfacht, indem man eine Quadratzahl unter der Wurzel ausklammert? - Gibt es eine Regel, wie man Klammern auflöst, wenn eine Division dahinter steht? - Was passiert mit dem Wurzelzeichen, wenn du eine Zahl durch sich selbst teilst?

1. Berechnung mittels Distributivgesetz: \((6\sqrt{28} : \sqrt{7}) - (2\sqrt{63} : \sqrt{7}) + (\sqrt{112} : \sqrt{7}) = 6\sqrt{4} - 2\sqrt{9} + \sqrt{16}\) \(6 \cdot 2 - 2 \cdot 3 + 4 = 12 - 6 + 4 = 10\) 2. Berechnung durch teilweises Wurzelziehen: \(\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}\) \(\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}\) \(\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}\) Zusammenfassen in der Klammer: \(6 \cdot (2\sqrt{7}) - 2 \cdot (3\sqrt{7}) + 4\sqrt{7} = 12\sqrt{7} - 6\sqrt{7} + 4\sqrt{7} = 10\sqrt{7}\) Division: \(10\sqrt{7} : \sqrt{7} = 10\) 3. Vergleich: Beide Wege führen zum Ergebnis \(10\), da sowohl die Rechengesetze für Wurzeln (\(\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}\)) als auch das Distributivgesetz der Multiplikation/Division mathematisch äquivalent angewendet werden können.

Das Ergebnis für beide Rechenwege ist \(10\).

- Kannst du eine ganze Zahl oder eine Variable als Quadrat einer Wurzel schreiben? - Suche nach einem gemeinsamen Faktor in beiden Teilen des Terms. - Was passiert, wenn du die Wurzel aus einer Zahl mit sich selbst multiplizierst? - Kannst du den Term \(\sqrt{xy}\) mithilfe der Rechenregeln für Wurzeln umschreiben?

1. Darstellung der Zahl \(6\) als Quadrat einer Wurzel: \(6 = (\sqrt{6})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{6}\): \((\sqrt{6})^2 + \sqrt{6} = \sqrt{6}(\sqrt{6} + 1)\). 2. Darstellung der Zahl \(3\) als Quadrat einer Wurzel: \(3 = (\sqrt{3})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{3}\): \((\sqrt{3})^2 - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)\). 3. Darstellung der Variable \(y\) als Quadrat einer Wurzel: \(y = (\sqrt{y})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{y}\): \((\sqrt{y})^2 - \sqrt{y} = \sqrt{y}(\sqrt{y} - 1)\). 4. Zerlegung von \(\sqrt{xy}\) in \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\) und Darstellung von \(x\) als \((\sqrt{x})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{x}\): \((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})\).

1) \(\sqrt{6}(\sqrt{6} + 1)\) 2) \(\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)\) 3) \(\sqrt{y}(\sqrt{y} - 1)\) 4) \(\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})\)

- Wie kannst du eine Wurzel allgemein als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Welches Potenzgesetz gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Achte darauf, die Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Kannst du das Ergebnis am Ende noch kürzen oder vereinfachen?

1. Umwandlung in Potenzen mit rationalen Exponenten: \(\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}\) und \(\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}\). Anwendung des Potenzgesetzes für die Multiplikation: \(7^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = 7^{\frac{2}{6} + \frac{3}{6}} = 7^{\frac{5}{6}}\). Rückführung in die Wurzelschreibweise ergibt \(\sqrt[6]{7^5}\). 2. Umwandlung: \(x^{\frac{3}{4}} : x^{\frac{1}{8}}\). Anwendung des Potenzgesetzes für die Division: \(x^{\frac{3}{4} - \frac{1}{8}} = x^{\frac{6}{8} - \frac{1}{8}} = x^{\frac{5}{8}}\). In Wurzelschreibweise: \(\sqrt[8]{x^5}\). 3. Umwandlung: \(a^{\frac{2}{5}} \cdot a^{\frac{1}{10}}\). Addition der Exponenten: \(\frac{2}{5} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Das Ergebnis ist \(a^{\frac{1}{2}}\), was \(\sqrt{a}\) entspricht.

1) \(\sqrt[6]{7^5}\) (oder \(\sqrt[6]{16\,807}\)) 2) \(\sqrt[8]{x^5}\) 3) \(\sqrt{a}\)

- Welche binomische Formel passt zu welcher Teilaufgabe? - Denk daran, dass \( (\sqrt{a})^2 = a \) für \( a \ge 0 \) gilt. - Achte beim Quadrieren von Ausdrücken wie \( 3\sqrt{2} \) darauf, sowohl die Zahl als auch die Wurzel zu quadrieren. - Kannst du aus einem Produkt unter der Wurzel eine Quadratzahl herausziehen?

1. Anwendung der ersten binomischen Formel: \( (3\sqrt{2} + 2)^2 = (3\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2 + 2^2 = 18 + 12\sqrt{2} + 4 = 22 + 12\sqrt{2} \) 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel: \( (2 - \sqrt{7})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 4 - 4\sqrt{7} + 7 = 11 - 4\sqrt{7} \) 3. Anwendung der ersten binomischen Formel und teilweises Wurzelziehen: \( (\sqrt{10} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{10}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 10 + 2\sqrt{50} + 5 = 15 + 2 \cdot 5\sqrt{2} = 15 + 10\sqrt{2} \)

1) \( 22 + 12\sqrt{2} \); 2) \( 11 - 4\sqrt{7} \); 3) \( 15 + 10\sqrt{2} \)

- Was passiert, wenn man eine Quadratwurzel quadriert? - Gibt es eine ähnliche Regel für die dritte Wurzel und die dritte Potenz? - Berechne zuerst den Wert innerhalb der Klammer, bevor du die äußere Potenz betrachtest.

1. Anwendung der Identität \( (\sqrt[n]{a})^n = a \) für den ersten Ausdruck: \( 3{,}5 \cdot 4 + 11 = 14 + 11 = 25 \). 2. Anwendung der Identität auf den zweiten Ausdruck: \( 5^2 + 2 = 25 + 2 = 27 \). 3. Anwendung der Identität auf den dritten Ausdruck unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs: \( x + \sqrt{x} \).

a) \( 25 \) b) \( 27 \) c) \( x + \sqrt{x} \)

- Kannst du Wurzeln mit dem gleichen Radikanden wie Variablen (z. B. \( x \)) behandeln? - Erinnerst du dich an die drei binomischen Formeln? - Was passiert, wenn du eine Quadratwurzel quadrierst? - Probier für die Widerlegung einer allgemeinen Aussage einfache Zahlen wie 1, 4 oder 9 aus.

1. Berechnung von a) durch Zusammenfassen: \( \sqrt{7} + 2\sqrt{7} = 3\sqrt{7} \). Quadrieren ergibt \( (3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63 \). 2. Berechnung von a) mit binomischer Formel: \( (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 = 7 + 4 \cdot 7 + 4 \cdot 7 = 7 + 28 + 28 = 63 \). 3. Vereinfachung von b): Partielles Wurzelziehen ergibt \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \). Der Klammerinhalt ist \( 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2} \). Das Quadrat ist \( (\sqrt{2})^2 = 2 \). 4. Überprüfung von c): Für \( a=1 \) und \( b=1 \) gilt \( (\sqrt{1} + \sqrt{1})^2 = (1+1)^2 = 4 \), während \( a+b = 1+1 = 2 \) ist. Die Behauptung ist falsch. Es fehlt das doppelte Produkt \( 2\sqrt{ab} \) der ersten binomischen Formel \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).

a) \( 63 \); b) \( 2 \); c) Die Behauptung ist falsch; es fehlt der Term \( 2\sqrt{ab} \).

- Kannst du den Ausdruck in der Klammer vereinfachen, bevor du quadrierst? - Erinnere dich an die binomischen Formeln oder das Ausmultiplizieren von Klammern. - Achte auf Wurzeln, die den gleichen Radikanden haben. - Kannst du Wurzeln teilweise radizieren, um sie zusammenzufassen?

1. Anwendung der Formel \((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\) auf Teilaufgabe a): \((\sqrt{7})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2^2 + 2\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{3} + 2\cdot\sqrt{7}\cdot 2 + 2\cdot\sqrt{3}\cdot 2\) \(7 + 3 + 4 + 2\sqrt{21} + 4\sqrt{7} + 4\sqrt{3} = 14 + 2\sqrt{21} + 4\sqrt{7} + 4\sqrt{3}\) 2. Vereinfachung des Terms in der Klammer für Teilaufgabe b): Da \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\), ergibt sich: \((2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2\) 3. Berechnung des Quadrats: \((\sqrt{2})^2 = 2\)

a) \(14 + 2\sqrt{21} + 4\sqrt{7} + 4\sqrt{3}\) b) \(2\)

- Womit müsste man die Wurzel im Nenner multiplizieren, damit der Exponent des Radikanden genau dem Wurzelexponenten entspricht? - Erinnere dich an die Potenzgesetze: \( \sqrt[n]{a^k} \cdot \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n]{a^{k+m}} \). - Kannst du den Bruch so erweitern, dass im Nenner eine ganze Zahl entsteht? - Überprüfe am Ende, ob du den Zähler und den neu entstandenen Nenner noch kürzen kannst.

1. Den Bruch mit \( \sqrt[3]{2^2} \) erweitern: \( \frac{4 \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{4\sqrt[3]{4}}{2} \). Durch Kürzen mit 2 ergibt sich \( 2\sqrt[3]{4} \). 2. Den Bruch mit \( \sqrt[4]{5^3} \) erweitern: \( \frac{1 \cdot \sqrt[4]{125}}{\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125}} = \frac{\sqrt[4]{125}}{5} \). 3. Den Bruch mit \( \sqrt[5]{3^3} \) erweitern: \( \frac{3 \cdot \sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{3^2} \cdot \sqrt[5]{3^3}} = \frac{3\sqrt[5]{27}}{3} \). Durch Kürzen mit 3 ergibt sich \( \sqrt[5]{27} \).

1) \( 2\sqrt[3]{4} \); 2) \( \frac{\sqrt[4]{125}}{5} \); 3) \( \sqrt[5]{27} \)

- Was passiert, wenn du den gegebenen Wert direkt in den Ausdruck einsetzt? - Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man Ausdrücke wie \((a+b)^2\) leichter ausrechnen kann? - Achte beim Vereinfachen darauf, welche Teile des Ausdrucks sich gegenseitig aufheben könnten.

1. Einsetzen des Wertes für \(x\) in den Term: \((2 + \sqrt{5})^2 - 4(2 + \sqrt{5}) + 9\) 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf das Quadrat: \((2 + \sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}\) 3. Ausmultiplizieren des linearen Teils: \(-4 \cdot (2 + \sqrt{5}) = -8 - 4\sqrt{5}\) 4. Zusammenfassen aller Termglieder: \(9 + 4\sqrt{5} - 8 - 4\sqrt{5} + 9 = 10\)

\(10\)

- Kannst du den Radikanden als Potenz einer kleineren Zahl schreiben? - Wie kann man eine Zahl vor einer Wurzel in den Bereich unter der Wurzel bringen? - Mit welchem Ausdruck müsste man den Nenner multiplizieren, damit die Wurzel dort verschwindet? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Wurzeln und Potenzen mit Brüchen im Exponenten.

1. Teilaufgabe a): Den Radikanden als Potenz schreiben: \(27 = 3^3\). Den Term als Potenz mit rationalem Exponenten ausdrücken: \(\sqrt[6]{3^3} = 3^{\frac{3}{6}}\). Den Exponenten kürzen: \(3^{\frac{1}{2}}\). Zurück in Wurzelschreibweise wandeln: \(\sqrt{3}\). 2. Teilaufgabe b): Den Faktor \(5\) als dritte Wurzel schreiben: \(5 = \sqrt[3]{5^3} = \sqrt[3]{125}\). Die Wurzeln multiplizieren: \(\sqrt[3]{125 \cdot \frac{2}{25}}\). Den Ausdruck unter der Wurzel berechnen: \(\sqrt[3]{5 \cdot 2} = \sqrt[3]{10}\). 3. Teilaufgabe c): Um den Nenner rational zu machen, wird der Bruch so erweitert, dass im Nenner ein Radikand entsteht, der eine perfekte Kubikzahl ist. Erweiterung mit \(\sqrt[3]{2}\): \(\frac{1 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}\). Da \(\sqrt[3]{8} = 2\), ergibt sich \(\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\).

a) \(\sqrt{3}\) b) \(\sqrt[3]{10}\) c) \(\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\)

- Darf man die Wurzel aus einer Summe einfach aufteilen? Probiere es im Kopf mit einfachen Zahlen aus. - Wie verhalten sich Potenzen, wenn die Basis eine Dezimalzahl zwischen 0 und 1 ist? - Erinnere dich an die Bedeutung des Exponenten \(-1\).

1. Teilaufgabe a): Die Summe der Wurzeln \(\sqrt{64} + \sqrt{36} = 8 + 6 = 14\) ist größer als die Wurzel der Summe \(\sqrt{100} = 10\). Allgemein gilt für positive Zahlen \(\sqrt{a+b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}\). Das korrekte Zeichen ist \(<\). 2. Teilaufgabe b): Bei einer Basis zwischen \(0\) und \(1\) wird der Wert der Potenz kleiner, je größer der Exponent ist. Da \(4 > 2\), ist \(0{,}5^4 < 0{,}5^2\). Das Zeichen ist \(<\). 3. Teilaufgabe c): Der negative Exponent \(-1\) bildet den Kehrwert der Basis. Somit ist \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). Da \(1{,}5 > \frac{2}{3}\), ist das Zeichen \(>\).

a) \(<\) b) \(<\) c) \(>\)

- Welche Rechengesetze kennst du für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis oder gleichem Exponenten? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Kannst du den Ausdruck auf der linken Seite von Teilaufgabe c) zusammenfassen?

1. Teilaufgabe a): Nach dem Potenzgesetz für gleiche Exponenten gilt \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\). Hier ist \(2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3\). Die Terme sind also gleich, das Zeichen ist \(=\). 2. Teilaufgabe b): Nach dem Gesetz für das Potenzieren von Potenzen gilt \((2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}\). Nach dem Gesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis gilt \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7\). Da \(2^{12} > 2^7\), ist das Zeichen \(>\). 3. Teilaufgabe c): Der Term \(\sqrt{2} + \sqrt{2}\) entspricht \(2 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8}\). Da \(\sqrt{8} > \sqrt{4}\), ist das Zeichen \(>\).

a) \(=\) b) \(>\) c) \(>\)

- Wie hängen die Seitenlänge und der Flächeninhalt eines Quadrats zusammen? - Versuche, die Zahl unter der Wurzel in ein Produkt zu zerlegen, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist. - Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man die beiden Seitenlängen kennt? - Wurzelterme mit demselben Radikanden (der Zahl unter der Wurzel) können wie Variablen addiert werden.

1. Berechnung der Seitenlänge \(a\): \(a = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Seitenlänge \(b\): \(b = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Umfangs \(U\) des Rechtecks: \(U = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (4\sqrt{2} + 5\sqrt{2})\). 4. Zusammenfassen der Wurzelterme: \(4\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 9\sqrt{2}\). 5. Endergebnis für den Umfang: \(U = 2 \cdot 9\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\,\text{cm}\).

a) \(a = 4\sqrt{2}\,\text{cm}\) und \(b = 5\sqrt{2}\,\text{cm}\) b) Der Umfang beträgt \(18\sqrt{2}\,\text{cm}\).

- Könntest du beide Seiten des Vergleichs so umformen, dass sie leichter vergleichbar sind? - Manchmal hilft es, beide Zahlen zu quadrieren, um die Wurzel zu eliminieren. - Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Achte bei Brüchen und Dezimalzahlen genau auf die Stellenwerte.

1. Berechnung von \(\sqrt{0{,}49}\): Da \(0{,}7^2 = 0{,}49\), ist \(\sqrt{0{,}49} = 0{,}7\). Da \(0{,}7 > 0{,}07\), folgt \(\sqrt{0{,}49} > 0{,}07\). 2. Berechnung beider Seiten: \(\sqrt[3]{27} = 3\) (da \(3^3 = 27\)) und \(\sqrt{9} = 3\) (da \(3^2 = 9\)). Also gilt \(\sqrt[3]{27} = \sqrt{9}\). 3. Berechnung von \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}}\): Da \((\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}\), ist die Wurzel \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Da \(0{,}5 > 0{,}25\) (was \(\frac{1}{4}\) entspricht), folgt \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}} > \frac{1}{4}\). 4. Vergleich durch Quadrieren: \((\sqrt{20})^2 = 20\) und \(4{,}5^2 = 20{,}25\). Da \(20 < 20{,}25\), folgt \(\sqrt{20} < 4{,}5\).

a) \(\sqrt{0{,}49} > 0{,}07\) b) \(\sqrt[3]{27} = \sqrt{9}\) c) \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}} > \frac{1}{4}\) d) \(\sqrt{20} < 4{,}5\)

- Kannst du die Produkte unter einer gemeinsamen Wurzel zusammenfassen? - Erinnere dich daran, dass ein Exponent der Form \(\frac{m}{n}\) bedeutet, dass man die \(n\)-te Wurzel zieht und dann mit \(m\) potenziert. - Rechne zuerst die Wurzel aus, bevor du die Zahl hochrechnest, um mit kleineren Werten zu arbeiten.

1. Term \(A\): Anwendung des Wurzelgesetzes ergibt \(\sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8} = 2\). 2. Term \(B\): Anwendung des Wurzelgesetzes ergibt \(\sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4\). Da \(4 > 2\), ist \(B > A\). 3. Term \(C\): Umformung zu \((\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\). 4. Term \(D\): Umformung zu \((\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8\). Da \(9 > 8\), ist \(C > D\).

a) \(B\) ist größer, da \(B = 4\) und \(A = 2\). b) \(C\) ist größer, da \(C = 9\) und \(D = 8\).

- Was passiert mit dem Wert einer Wurzel, wenn der Wurzelexponent größer wird, während die Zahl unter der Wurzel gleich bleibt? - Was passiert, wenn die Zahl unter der Wurzel größer wird, aber der Wurzelexponent gleich bleibt? - Könntest du die Brüche im Exponenten auf einen Hauptnenner bringen, um sie besser vergleichen zu können?

1. Vergleich bei gleicher Basis: Da \(5 > 1\), ist die vierte Wurzel kleiner als die dritte Wurzel, also \(b < a\). Ebenso gilt bei Basis 10: \(d < c\). 2. Vergleich bei gleichem Wurzelexponenten: Da \(10 > 5\), ist \(\sqrt[3]{10} > \sqrt[3]{5}\) (also \(c > a\)) und \(\sqrt[4]{10} > \sqrt[4]{5}\) (also \(d > b\)). 3. Vergleich von \(a\) und \(d\): Umformung auf den gleichen Wurzelexponenten 12: \(a = 5^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{4}{12}} = \sqrt[12]{625}\) und \(d = 10^{\frac{1}{4}} = 10^{\frac{3}{12}} = \sqrt[12]{1000}\). Da \(625 < 1000\), folgt \(a < d\). 4. Gesamtreihenfolge: \(b < a < d < c\). 5. Numerische Überprüfung: \(b \approx 1{,}50\); \(a \approx 1{,}71\); \(d \approx 1{,}78\); \(c \approx 2{,}15\). Die Reihenfolge stimmt.

Reihenfolge: \(b < a < d < c\). Werte: \(b \approx 1{,}50\); \(a \approx 1{,}71\); \(d \approx 1{,}78\); \(c \approx 2{,}15\).

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel als Potenzen mit dem gleichen Exponenten wie der Wurzelexponent schreiben? - Wie verhalten sich die Exponenten, wenn man eine Wurzel aus einer Wurzel zieht? - Gibt es ein Gesetz für die Division von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird?

1. Teilaufgabe a): Darstellung der Konstanten als Potenz \(81 = 3^4\), dann \((3^4 \cdot a^{12})^{\frac{1}{4}} = 3^1 \cdot a^3 = 3a^3\). 2. Teilaufgabe b): Multiplikation der Wurzelexponenten \(\sqrt[2 \cdot 3]{x^{18}} = \sqrt[6]{x^{18}}\) und Division der Exponenten \(18 : 6 = 3\), Ergebnis \(x^3\). 3. Teilaufgabe c): Zusammenfassen unter eine Wurzel \(\sqrt[5]{\frac{b^{13}}{b^3}} = \sqrt[5]{b^{10}}\) und Vereinfachen zu \(b^2\). 4. Teilaufgabe d): Umwandlung in Potenzschreibweise \((y^{\frac{1}{3}})^{-6}\) und Multiplikation der Exponenten \(\frac{1}{3} \cdot (-6) = -2\), Ergebnis \(y^{-2}\).

a) \(3a^3\) b) \(x^3\) c) \(b^2\) d) \(y^{-2}\) oder \(\frac{1}{y^2}\)

- Schreibe die Wurzeln zuerst in die Form \(x^{\frac{1}{n}}\) um. - Welches Gesetz kennst du für das Multiplizieren von Potenzen, die denselben Exponenten haben? - Fasse im zweiten Teil zuerst die Zahlen unter einer einzigen Wurzel zusammen.

1. Begründung über Potenzschreibweise: \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes für gleiche Exponenten: \(a^k \cdot b^k = (a \cdot b)^k\). Hier ist \(k = \frac{1}{n}\), also \(a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = (a \cdot b)^{\frac{1}{n}}\). 3. Rückumwandlung in Wurzelschreibweise: \((a \cdot b)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a \cdot b}\). 4. Berechnung des Beispiels: \(\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} = \sqrt[4]{16}\). 5. Bestimmung der 4. Wurzel aus 16: Da \(2^4 = 16\), ist \(\sqrt[4]{16} = 2\).

a) Die Herleitung erfolgt über \(a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = (a \cdot b)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a \cdot b}\). b) \(\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{16} = 2\).

- Wie verhalten sich die Exponenten, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Kannst du die Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Was musst du tun, wenn die Wurzelexponenten unterschiedlich sind?

1. Teilaufgabe a): Da die Wurzelexponenten gleich sind, können die Radikanden multipliziert werden: \(\sqrt[n]{x^2 \cdot x^3} = \sqrt[n]{x^{2+3}} = \sqrt[n]{x^5}\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung in Potenzschreibweise: \(y^{\frac{2}{3}} : y^{\frac{1}{6}}\). Subtraktion der Exponenten durch Erweitern auf den Hauptnenner: \(\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Das Ergebnis ist \(y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{y}\). 3. Teilaufgabe c): Umwandlung aller Faktoren in Potenzen: \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}}\). Addition der Exponenten auf dem Hauptnenner \(6\): \(\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1\). Der Term vereinfacht sich zu \(x^1 = x\).

a) \(\sqrt[n]{x^5}\) b) \(\sqrt{y}\) c) \(x\)

- Achte bei Binomen darauf, auch die Koeffizienten vor den Wurzeln zu quadrieren. - Kannst du Brüche in den Exponenten auf den gleichen Nenner bringen, um sie zu addieren oder zu subtrahieren? - Wie verrechnet man Exponenten im Zähler und Nenner eines Bruches?

1. Teilaufgabe a: Anwendung der ersten binomischen Formel liefert \((2\sqrt{a})^2 + 2 \cdot (2\sqrt{a}) \cdot (3\sqrt{b}) + (3\sqrt{b})^2\). Das Quadrieren der einzelnen Faktoren und das Zusammenfassen des mittleren Terms ergibt \(4a + 12\sqrt{ab} + 9b\). 2. Teilaufgabe b: Umwandlung in Potenzen ergibt \(x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{2}{8}}\). Da \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) ist, addieren sich die Exponenten zu \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1\). Das Ergebnis ist \(x\). 3. Teilaufgabe c: Darstellung als Potenzen ergibt \(\frac{y^2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2}{3}}}\). Die Verrechnung der Exponenten lautet \(2 + \frac{1}{2} - \frac{2}{3}\). Mit dem Hauptnenner 6 ergibt dies \(\frac{12}{6} + \frac{3}{6} - \frac{4}{6} = \frac{11}{6}\). Das Ergebnis ist \(y^{\frac{11}{6}}\) oder \(\sqrt[6]{y^{11}}\).

a) \(4a + 12\sqrt{ab} + 9b\) b) \(x\) c) \(y^{\frac{11}{6}}\) oder \(\sqrt[6]{y^{11}}\)

- Versuche, alle Werte in die gleiche Form zu bringen, zum Beispiel in Dezimalzahlen. - Was bedeutet das Prozentzeichen für die Umwandlung in eine Dezimalzahl? - Berechne zuerst die Wurzeln und Potenzen einzeln.

1. Berechnung von \(A\): \(\sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}\) 2. Berechnung von \(B\): \(0{,}3^2 = 0{,}09\) 3. Berechnung von \(C\): \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\) 4. Umwandlung von \(D\): \(12{,}5\,\% = 0{,}125\) 5. Vergleich der Dezimalzahlen: \(0{,}09 < 0{,}125 < 0{,}2 < 0{,}\overline{3}\) 6. Reihenfolge: \(B < D < C < A\)

\(B < D < C < A\) (bzw. \(0{,}09 < 0{,}125 < 0{,}2 < 0{,}\overline{3}\))

- Wie verhalten sich die Wurzelexponenten, wenn man eine Wurzel aus einer anderen Wurzel zieht? - Vereinfache beide Terme unabhängig voneinander so weit wie möglich. - Nutze die Potenzgesetze, um die Ausdrücke unter den Wurzeln zusammenzufassen, bevor du die Wurzel ziehst.

1. Vereinfachung von \(T_1\) durch Multiplikation der Wurzelexponenten (Wurzel aus einer Wurzel): \(\sqrt[3 \cdot 2]{a^{18}} = \sqrt[6]{a^{18}}\). 2. Berechnung des Ergebnisses für \(T_1\) durch Division des Exponenten durch den Wurzelexponenten: \(a^{\frac{18}{6}} = a^3\). 3. Vereinfachung des Zählers von \(T_2\) mithilfe des Produktgesetzes für Wurzeln: \(\sqrt{a^5 \cdot a^7} = \sqrt{a^{12}}\). 4. Division durch den Nenner unter der Wurzel: \(\sqrt{\frac{a^{12}}{a^6}} = \sqrt{a^6}\). 5. Berechnung des Ergebnisses für \(T_2\): \(a^{\frac{6}{2}} = a^3\). 6. Vergleich der Resultate: Da beide Terme zu \(a^3\) vereinfacht werden können, sind sie äquivalent.

Ja, beide Terme sind äquivalent, da sie sich jeweils zu \(a^3\) vereinfachen lassen.

- Versuche, den Term von innen nach außen zu vereinfachen. - Was ergibt die Quadratwurzel aus einer Potenz wie \(x^4\)? - Wie kannst du Potenzen mit gleicher Basis unter einer Wurzel zusammenfassen? - Schritt für Schritt: Löse erst die innerste Wurzel auf und schau, was übrig bleibt.

1. Vereinfachung der innersten Wurzel: \(\sqrt{x^4} = x^2\) 2. Zusammenfassen unter der vierten Wurzel: \(x^2 \cdot x^2 = x^4\) 3. Auflösen der vierten Wurzel: \(\sqrt[4]{x^4} = x\) 4. Zusammenfassen unter der äußeren Quadratwurzel: \(x^3 \cdot x = x^4\) 5. Auflösen der äußeren Quadratwurzel: \(\sqrt{x^4} = x^2\)

\(x^2\)

- Hilft es dir, die Wurzeln in den Klammern zuerst teilweise zu ziehen? - Kannst du Ausdrücke wie \(3x - 2x\) innerhalb der Klammer zusammenfassen? - Vergiss nicht die Regel „Punkt vor Strich“.

1. Vereinfachung der ersten Klammer durch teilweises Wurzelziehen: \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\). 2. Berechnung des Quadrats: \((3\sqrt{2} - 2\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2\). 3. Vereinfachung der Wurzeln in der zweiten Klammer: \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) und \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\). 4. Berechnung des Produkts: \(\sqrt{3} \cdot (2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} = 5 \cdot 3 = 15\). 5. Addition der Teilergebnisse: \(2 + 15 = 17\).

17

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie mit einem ungeraden Exponenten potenziert? - Erinnere dich an die Definition der Wurzel: Ist das Ergebnis einer Wurzeloperation immer eindeutig positiv oder negativ festgelegt? - Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Wurzelexponenten.

1. Wahr: Es gilt \((-5)^3 = -125\). Da der Exponent ungerade ist, ist die dritte Wurzel aus einer negativen Zahl definiert und ergibt hier \(-5\). 2. Falsch: Nach der Definition ist der Wert einer geraden Wurzel (\(n\)-te Wurzel mit geradem \(n\)) einer reellen Zahl immer größer oder gleich Null. 3. Falsch: Wurzeln mit ungeraden Exponenten (wie \(n=5\)) sind auch für negative Radikanden definiert. Es gilt \(\sqrt[5]{-1} = -1\), da \((-1)^5 = -1\).

1. Wahr, da \((-5)^3 = -125\). 2. Falsch, da Ergebnisse von geraden Wurzeln (\(\sqrt[4]{...}\)) per Definition nicht negativ sind. 3. Falsch, da ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen definiert sind (hier \(-1\)).

- Berechne zunächst die Werte auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens getrennt voneinander. - Erinnere dich daran, wie man Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten multipliziert. - Was bedeutet ein Exponent von \(\frac{1}{2}\) oder \(\frac{1}{3}\)? - Bei geschachtelten Wurzeln fange am besten von innen nach außen an. - Wie viele Nachkommastellen hat das Ergebnis, wenn man eine Dezimalzahl mit sich selbst multipliziert?

1. Überprüfung von Aussage a): Linke Seite \(\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 = 6\). Rechte Seite \(\sqrt[3]{216} = 6\), da \(6^3 = 216\). Die Aussage ist wahr. 2. Überprüfung von Aussage b): \(100^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10\). \(64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4\). Die Differenz ist \(10 - 4 = 6\). Die Aussage ist falsch; das korrekte Ergebnis ist \(6\). 3. Überprüfung von Aussage c): Innere Wurzel \(\sqrt{16} = 4\). Äußere Wurzel \(\sqrt{4} = 2\). Die Aussage ist wahr. 4. Überprüfung von Aussage d): Da \(0{,}1^4 = 0{,}0001\), ist \(\sqrt[4]{0{,}0001} = 0{,}1\). Die Aussage ist falsch; das korrekte Ergebnis ist \(0{,}1\).

a) Wahr b) Falsch (korrektes Ergebnis: \(6\)) c) Wahr d) Falsch (korrektes Ergebnis: \(0{,}1\))

- Berechne zuerst die einzelnen Wurzelwerte, bevor du die Grundrechenarten ausführst. - Erinnere dich daran, welche Bedingung für den Radikanden gelten muss, wenn der Wurzelexponent eine gerade Zahl ist. - Achte bei Subtraktionen besonders auf das Vorzeichen der Ergebnisse.

1. Ausdruck a): \(\sqrt[3]{-125} = -5\) (ungerade Wurzel) und \(\sqrt[4]{16} = 2\). Die Summe ist \(-5 + 2 = -3\). 2. Ausdruck b): \(\sqrt[6]{-64}\) hat einen geraden Wurzelexponenten (6) und einen negativen Radikanden (\(-64\)). Dieser Teil ist in \(\mathbb{R}\) nicht definiert, daher hat der gesamte Ausdruck keinen reellen Wert. 3. Ausdruck c): \(\sqrt[5]{-1} = -1\) und \(\sqrt[3]{-1} = -1\). Die Differenz ist \(-1 - (-1) = -1 + 1 = 0\). 4. Ausdruck d): \(\sqrt[4]{0{,}0001} = 0{,}1\) (da \(0{,}1^4 = 0{,}0001\)) und \(\sqrt[3]{-0{,}001} = -0{,}1\) (da \((-0{,}1)^3 = -0{,}001\)). Der Quotient ist \(\frac{0{,}1}{-0{,}1} = -1\).

a) \(-3\) b) Nicht definiert (gerade Wurzel aus einer negativen Zahl) c) \(0\) d) \(-1\)

- Achte darauf, ob der Wurzelexponent und der Exponent im Inneren gerade oder ungerade sind. - Wenn du Zahlen für die Variablen einsetzt, kannst du prüfen, ob dein vereinfachter Term das richtige Vorzeichen liefert. - Wie verhalten sich Potenzen mit geraden Exponenten im Vergleich zu Potenzen mit ungeraden Exponenten bei negativen Basen?

1. Teilaufgabe a): Es gilt \(\sqrt[4]{(x-y)^4} = |x-y|\). Da \(x < y\), ist die Differenz \(x-y\) negativ. Die Vereinfachung ergibt \(|x-y| = -(x-y) = y-x\). 2. Teilaufgabe b): Der Term lässt sich zu \(((a-b)^{12})^{\frac{1}{6}} = (a-b)^2\) vereinfachen. Für \(a=3, b=5\) ergibt sich \((3-5)^2 = (-2)^2 = 4\). Für \(a=5, b=3\) ergibt sich \((5-3)^2 = 2^2 = 4\). Das Ergebnis bleibt gleich, da das Quadrat einer Zahl und ihres Gegenteils identisch ist. 3. Teilaufgabe c): Es gilt \(\sqrt{(z-10)^6} = |(z-10)^3|\). Da \(z < 10\), ist \(z-10 < 0\). Eine negative Zahl mit ungeradem Exponenten (hier 3) ergibt einen negativen Wert. Um den Betrag aufzulösen, muss mit \(-1\) multipliziert werden: \(-(z-10)^3\) oder \((10-z)^3\).

a) \(y-x\) b) Wert: \(4\). Das Ergebnis ändert sich nicht, da \((a-b)^2 = (b-a)^2\). c) \((10-z)^3\) oder \(-(z-10)^3\)

- Was passiert, wenn man eine negative Zahl quadriert und danach die Wurzel zieht? - Überprüfe die Ergebnisse der Rechnungen in Zeile 5 einzeln. - Welche Eigenschaft haben Ergebnisse von Quadratwurzeln immer? - Gibt es einen Unterschied zwischen \(\sqrt{(-1)^2}\) und \(-1\)?

1. Überprüfung der Identität in Zeile 3: Da \((-1)^2 = 1\) und \(1^2 = 1\) gilt, ist die Gleichung korrekt. 2. Identifikation des Fehlers: Der Fehler liegt in Zeile 5 beim Entfernen des Wurzelzeichens. 3. Anwendung der Wurzelregel: Die Quadratwurzel aus einem Quadrat ist definiert als der Betrag der Basis, also \(\sqrt{x^2} = |x|\). 4. Korrektur von Zeile 5: Die korrekte Umformung lautet \(|2 - 3| = |4 - 3|\). 5. Auswertung der Beträge: Dies führt zu \(|-1| = |1|\), woraus die wahre Aussage \(1 = 1\) folgt. Der Schluss \(2 = 4\) ist damit widerlegt.

Der Fehler liegt in Zeile 5. Leon hat missachtet, dass \(\sqrt{x^2} = |x|\) gilt. Korrekt müsste die Zeile \(|2 - 3| = |4 - 3|\) (oder \(1 = 1\)) lauten.

- Kannst du den Ausdruck unter der Wurzel mithilfe einer binomischen Formel umschreiben? - Welches Vorzeichen haben Ergebnisse von Quadratwurzeln in der Menge der reellen Zahlen immer? - Setze die Zahl \(x=2\) in den Vorschlag des Schülers ein und vergleiche es mit deinem berechneten Wert. - Was muss man beim Auflösen einer Wurzel beachten, wenn das Innere der Klammer negativ sein könnte?

1. Berechnung durch Einsetzen: \(T(2) = \sqrt{2^2 - 10 \cdot 2 + 25} = \sqrt{4 - 20 + 25} = \sqrt{9} = 3\). \(T(8) = \sqrt{8^2 - 10 \cdot 8 + 25} = \sqrt{64 - 80 + 25} = \sqrt{9} = 3\). 2. Umformung unter der Wurzel: \(x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2\) (2. binomische Formel). Es gilt \(\sqrt{(x-5)^2} = |x-5|\). Für den Fall \(x < 5\) ist die Differenz \(x-5\) negativ, daher ist der Betrag \(|x-5| = -(x-5) = 5-x\). 3. Die Aussage ist falsch. Zwar heben sich Quadrat und Wurzel im Reellen teilweise auf, jedoch ist das Ergebnis einer Quadratwurzel per Definition nie negativ. Für \(x=2\) würde die Formel des Schülers \(2-5 = -3\) ergeben, der tatsächliche Wert des Terms ist jedoch \(3\).

1. \(T(2) = 3\) und \(T(8) = 3\) 2. \(T(x) = 5-x\) 3. Die Aussage ist falsch, da die Quadratwurzel einer Quadratzahl immer der Betrag der Basis ist (\(\sqrt{a^2} = |a|\)). Für \(x=2\) ist \(\sqrt{(-3)^2} = 3\) und nicht \(-3\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie erst quadriert und dann die Wurzel zieht? - Überlege dir, ob das Ergebnis einer Wurzel (mit geradem Exponenten) jemals negativ sein kann. - Vergleiche die Größen der Zahlen unter der Wurzel, indem du sie beide als Wurzeln schreibst (z. B. \(4 = \sqrt{16}\)). - Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Wurzelexponenten.

1. Anwendung der Regel \(\sqrt{a^2} = |a|\): \(\sqrt{(-13)^2} = |-13| = 13\). 2. Da der Wurzelexponent gerade ist, gilt \(\sqrt[4]{a^4} = |a|\): \(\sqrt[4]{(-3)^4} = |-3| = 3\). 3. Es gilt \(\sqrt{(4-\sqrt{17})^2} = |4-\sqrt{17}|\). Da \(4 = \sqrt{16}\) und \(\sqrt{16} < \sqrt{17}\), ist die Differenz \(4-\sqrt{17}\) negativ. Somit ist \(|4-\sqrt{17}| = -(4-\sqrt{17}) = \sqrt{17}-4\). 4. Es gilt \(\sqrt[6]{(2-\sqrt{3})^6} = |2-\sqrt{3}|\). Da \(2 = \sqrt{4}\) und \(\sqrt{4} > \sqrt{3}\), ist die Differenz \(2-\sqrt{3}\) positiv. Somit ist \(|2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}\).

1) 13; 2) 3; 3) \(\sqrt{17}-4\); 4) \(2-\sqrt{3}\).

- Schau dir den Teil unter der Wurzel genau an. Gibt es eine Möglichkeit, diesen als Quadrat zu schreiben? - Was passiert mit dem Betrag einer Zahl, wenn die Zahl selbst negativ ist? - Untersuche separat, was passiert, wenn die Variable größer oder kleiner als \(5\) ist.

1. Den Ausdruck unter der Wurzel mithilfe der zweiten binomischen Formel umschreiben: \(\sqrt{(y-5)^2}\) 2. Den Wurzelterm durch den Betrag ersetzen: \(\frac{y + |y-5|}{2}\) 3. Fallunterscheidung für \(y \geq 5\): Da \(y-5 \geq 0\), ist \(|y-5| = y-5\). Einsetzen ergibt \(\frac{y + y - 5}{2} = \frac{2y - 5}{2} = y - 2{,}5\). 4. Fallunterscheidung für \(y < 5\): Da \(y-5 < 0\), ist \(|y-5| = -(y-5) = 5-y\). Einsetzen ergibt \(\frac{y + 5 - y}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5\).

1) Für \(y \geq 5\): \(y - 2{,}5\) 2) Für \(y < 5\): \(2{,}5\)

- Setze die Zahlen für \(a\) ein und beachte die Vorrangregeln (Klammer zuerst). - Erinnere dich an die Definition der Quadratwurzel: Kann das Ergebnis einer Wurzelrechnung negativ sein? - Was bewirken Betragsstriche bei einer negativen Differenz? - Wie verhält sich der Term, wenn der Wert in der Klammer negativ wird?

1. Berechnung für \(a = 15\): \(T = \sqrt{(15 - 12)^2} = \sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3\). 2. Berechnung für \(a = 7\): \(T = \sqrt{(7 - 12)^2} = \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5\). 3. Begründung zu Teil b: Nach der Definition der Quadratwurzel ist das Ergebnis einer Wurzeloperation niemals negativ. Während \((7-12)^2 = 25\) positiv ist, ist die daraus gezogene Wurzel nichtnegativ und hat hier den Wert \(5\), nicht \(-5\). 4. Verallgemeinerung für Teil c: Da das Ergebnis dem positiven Abstand der Zahl \(a\) von \(12\) entspricht, lautet die allgemeine Vereinfachung \(T = |a - 12|\). Dies stellt sicher, dass für \(a < 12\) das Ergebnis positiv bleibt (z. B. \(-(-5) = 5\)).

a) Für \(a = 15\) ist \(T = 3\); für \(a = 7\) ist \(T = 5\). b) Das Ergebnis einer Quadratwurzel ist per Definition immer nicht-negativ. Da \((-5)^2 = 25\) ist, ist \(\sqrt{25} = 5\). c) Die allgemeine Vereinfachung lautet \(T = |a - 12|\).

- Kannst du den Bruch unter der Wurzel im ersten Teil vereinfachen, bevor du die Wurzel ziehst? - Welche Regel gilt für die Wurzel aus einem Bruch? - Prüfe immer, ob der Ausdruck im Betrag positiv oder negativ ist, indem du die Zahlen als Wurzeln darstellst (z. B. \(4 = \sqrt{16}\)). - Es ist oft hilfreich, Klammern erst ganz am Ende aufzulösen.

1. Vereinfachung des Bruchs unter der Wurzel in Teil a: \(\frac{20}{5} = 4\). Der Term wird zu \(\sqrt{4 \cdot (4 - \sqrt{15})^2}\). 2. Wurzelziehen: \(2 \cdot |4 - \sqrt{15}|\). 3. Vorzeichenprüfung: Da \(4 = \sqrt{16}\) und \(\sqrt{16} > \sqrt{15}\), ist der Ausdruck \(4 - \sqrt{15}\) positiv. 4. Endergebnis a: \(2(4 - \sqrt{15}) = 8 - 2\sqrt{15}\). 5. Anwendung der Wurzelgesetze auf den Quotienten in Teil b: \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2}} = \frac{\sqrt{3}}{|2 - \sqrt{7}|}\). 6. Vorzeichenprüfung: Da \(2 = \sqrt{4}\) und \(\sqrt{4} < \sqrt{7}\), ist der Ausdruck \(2 - \sqrt{7}\) negativ. 7. Auflösen des Betrags im Nenner: \(|2 - \sqrt{7}| = \sqrt{7} - 2\). 8. Rationalisieren des Nenners: \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} - 2} \cdot \frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2} = \frac{\sqrt{21} + 2\sqrt{3}}{7 - 4} = \frac{\sqrt{21} + 2\sqrt{3}}{3}\).

a) \(8 - 2\sqrt{15}\) b) \(\frac{\sqrt{21} + 2\sqrt{3}}{3}\)

- Überlege, wie du den Ausdruck unter der Wurzel faktorisieren kannst, um Quadrate zu finden. - Wann ist eine Quadratwurzel in den reellen Zahlen nicht definiert? - Welche Einschränkungen ergeben sich durch den Nenner eines Bruchs? - Kannst du die Wurzel eines Bruchs als Bruch zweier Wurzeln schreiben?

1. Die Terme unter der Wurzel werden zusammengefasst: \(T = \sqrt{\frac{a^5-a^4}{b^4}} = \sqrt{\frac{a^4(a-1)}{b^4}}\). 2. Für \(b \ne 0\) ist \(\frac{a^4}{b^4} \ge 0\). Der Radikand ist daher genau dann nicht negativ, wenn \(a=0\) oder \(a-1 \ge 0\). Somit gilt \(a \in \{0\} \cup [1,\infty)\) und \(b \ne 0\). 3. Für \(a \ge 1\) kann die Wurzel produktweise zerlegt werden: \(T = \sqrt{\frac{a^4}{b^4}}\sqrt{a-1} = \frac{a^2}{b^2}\sqrt{a-1}\). 4. Für den Sonderfall \(a=0\) ist der ursprüngliche Radikand gleich \(0\), also \(T=0\).

a) \(T = \frac{a^2}{b^2}\sqrt{a-1}\) für \(a \ge 1\); für \(a=0\) gilt \(T=0\). b) Der Term ist für \(b \ne 0\) und \(a \in \{0\} \cup [1,\infty)\) definiert.

- Kannst du den Ausdruck unter der Wurzel in ein Produkt zerlegen, bei dem ein Faktor eine passende Potenz (z. B. eine Hochzahl wie der Wurzelexponent) ist? - Welche Rechenregel für Wurzeln erlaubt es dir, die Wurzel eines Produkts aufzuteilen? - Überlege dir, welche Zahlen oder Terme entstehen, wenn man sie mit sich selbst so oft multipliziert, wie es der Wurzelexponent angibt. - Gibt es bei Variablen unter einer Wurzel mit geradem Exponenten (wie der 4. Wurzel) Einschränkungen für die Werte, die sie annehmen dürfen?

1. Zerlegung des Radikanden in Faktoren mit dem Exponenten 3: \(\sqrt[3]{54 a^4} = \sqrt[3]{27 \cdot 2 \cdot a^3 \cdot a}\). Anwendung der Wurzelgesetze ergibt \(3 a \sqrt[3]{2 a}\). 2. Identifikation von Kubikzahlen und entsprechenden Potenzen: \(\sqrt[3]{16(x+2)^5} = \sqrt[3]{8 \cdot 2 \cdot (x+2)^3 \cdot (x+2)^2}\). Herausziehen der Faktoren \(2\) und \((x+2)\) führt zu \(2(x+2) \sqrt[3]{2(x+2)^2}\). 3. Zerlegung für die vierte Wurzel: \(\sqrt[4]{80 y^7} = \sqrt[4]{16 \cdot 5 \cdot y^4 \cdot y^3}\). Da der Term definiert ist, muss \(y \ge 0\) gelten. Das Ergebnis lautet \(2 y \sqrt[4]{5 y^3}\).

1) \(3 a \sqrt[3]{2 a}\) 2) \(2(x+2) \sqrt[3]{2(x+2)^2}\) 3) \(2 y \sqrt[4]{5 y^3}\)

- Wie verhalten sich die Werte von Wurzeln, wenn man die Zahlen unter der Wurzel vergleicht? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie quadriert? - Ist das Ergebnis einer Quadratwurzel stets nichtnegativ? - Probiere, beide Seiten der Gleichung getrennt voneinander auszurechnen.

1. a) Umformung durch Einbringen des Faktors unter die Wurzel: \(4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}\) und \(3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\). Da \(48 > 45\), gilt \(4\sqrt{3} > 3\sqrt{5}\). 1. b) Umformung: \(2\sqrt{10} = \sqrt{2^2 \cdot 10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}\) und \(3\sqrt{4{,}5} = \sqrt{3^2 \cdot 4{,}5} = \sqrt{9 \cdot 4{,}5} = \sqrt{40{,}5}\). Da \(40 < 40{,}5\), gilt \(2\sqrt{10} < 3\sqrt{4{,}5}\). 2. Einsetzen von \(x = -3\): Linke Seite \(L = -3\sqrt{2} \approx -4{,}24\); Rechte Seite \(R = \sqrt{2 \cdot (-3)^2} = \sqrt{2 \cdot 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\). Da \(L \neq R\), ist die Aussage falsch. Die Regel \(x\sqrt{a} = \sqrt{x^2a}\) gilt nur für \(x \ge 0\), da eine Quadratwurzel per Definition nie negativ ist, der Ausdruck \(x\sqrt{2}\) für negative \(x\) jedoch negativ wird.

1. a) \(4\sqrt{3} > 3\sqrt{5}\); b) \(2\sqrt{10} < 3\sqrt{4{,}5}\) 2. Für \(x = -3\) ergibt sich \(-3\sqrt{2} \neq \sqrt{18}\) (bzw. \(-3\sqrt{2} \neq 3\sqrt{2}\)). Die Aussage ist falsch, da die linke Seite für negative \(x\) negativ ist, die rechte Seite (eine Quadratwurzel) jedoch immer nicht-negativ.

- Was passiert mit einem Faktor, wenn er unter eine Wurzel mit dem Exponenten \(n\) gezogen wird? - Denk an die Regel \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\). - Welches Vorzeichen hat das Ergebnis einer Quadratwurzel immer? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie quadriert?

1. Umformung a): Der Faktor \(x\) wird mit dem Wurzelexponenten \(4\) potenziert und unter die Wurzel geschrieben: \(\sqrt[4]{x^4 \cdot x^3}\). Anwendung der Potenzgesetze ergibt \(\sqrt[4]{x^{4+3}} = \sqrt[4]{x^7}\). 2. Überprüfung b): Der Faktor \(2y^2\) muss mit dem Exponenten \(3\) potenziert werden: \((2y^2)^3 = 2^3 \cdot (y^2)^3 = 8y^6\). 3. Multiplikation unter der Wurzel: \(8y^6 \cdot 3y = 24y^7\). Die Behauptung \(\sqrt[3]{6y^7}\) ist falsch, da der Faktor \(2\) nicht korrekt potenziert wurde. Richtig ist \(\sqrt[3]{24y^7}\). 4. Erklärung c): Für \(a<0\) und \(b>0\) ist \(a\sqrt{b}<0\), während \(\sqrt{a^2b}>0\) ist. Für \(b=0\) sind zwar beide Seiten gleich \(0\); für negative \(a\) gilt die Regel daher dennoch nicht allgemein.

a) \(\sqrt[4]{x^7}\) b) Die Behauptung ist falsch. Korrekt ist: \(2y^2 \cdot \sqrt[3]{3y} = \sqrt[3]{(2y^2)^3 \cdot 3y} = \sqrt[3]{8y^6 \cdot 3y} = \sqrt[3]{24y^7}\). c) Für \(a < 0\) und \(b>0\) ist die linke Seite \(a\sqrt{b}\) negativ, die rechte Seite \(\sqrt{a^2b}\) jedoch positiv. Deshalb gilt die Regel für negative \(a\) nicht allgemein.

- Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel in eine Potenz mit einem Bruch als Exponenten umschreibt. - Kannst du die Brüche in den Exponenten der drei Terme kürzen? - Was fällt dir auf, wenn du die gekürzten Brüche miteinander vergleichst?

1. Umwandlung der Wurzelterme in die Potenzschreibweise mit rationalen Exponenten unter Verwendung der Regel \(\sqrt[n]{y^m} = y^{\frac{m}{n}}\). 2. Term A: \(y^{\frac{3}{6}} = y^{\frac{1}{2}}\). 3. Term B: \(y^{\frac{2}{4}} = y^{\frac{1}{2}}\). 4. Term C: \(y^{\frac{5}{10}} = y^{\frac{1}{2}}\). 5. Da alle drei Terme nach dem Kürzen der Brüche im Exponenten den gleichen Exponenten \(\frac{1}{2}\) besitzen, sind sie für alle \(y \ge 0\) äquivalent. 6. Die einfachste Form ist \(y^{\frac{1}{2}}\) oder \(\sqrt{y}\).

Alle Terme sind äquivalent zu \(y^{\frac{1}{2}}\) bzw. \(\sqrt{y}\), da sich die rationalen Exponenten \(\frac{3}{6}\), \(\frac{2}{4}\) und \(\frac{5}{10}\) alle auf \(\frac{1}{2}\) kürzen lassen.

- Welche ganze Zahl ergibt hoch drei etwa 30? - Überlege, wie du durch Probieren mit einer Nachkommastelle den Bereich eingrenzen kannst. - Kannst du die beiden Zahlen mit einem festen Wert wie \(3{,}1\) vergleichen?

1. Eingrenzung von \(a = \sqrt[3]{30}\): Da \(3^3 = 27\) und \(4^3 = 64\), liegt der Wert zwischen \(3\) und \(4\). 2. Prüfung für \(a\): \(3{,}1^3 = 29{,}791\) und \(3{,}2^3 = 32{,}768\). Somit gilt \(3{,}1 < \sqrt[3]{30} < 3{,}2\). Ein mögliches Intervall der Länge \(0{,}1\) ist \([3{,}1; 3{,}2]\). 3. Eingrenzung von \(b = \sqrt[4]{90}\): Da \(3^4 = 81\) und \(4^4 = 256\), liegt der Wert zwischen \(3\) und \(4\). 4. Prüfung für \(b\): \(3{,}0^4 = 81\) und \(3{,}1^4 = 92{,}3521\). Somit gilt \(3{,}0 < \sqrt[4]{90} < 3{,}1\). Ein mögliches Intervall der Länge \(0{,}1\) ist \([3{,}0; 3{,}1]\). 5. Vergleich: Da \(\sqrt[3]{30} > 3{,}1\) und \(\sqrt[4]{90} < 3{,}1\), folgt \(a > b\).

\(a = \sqrt[3]{30}\) ist größer als \(b = \sqrt[4]{90}\). Intervalle: \(3{,}1 < a < 3{,}2\) und \(3{,}0 < b < 3{,}1\).

- Kannst du den Faktor vor der Wurzel als eine Wurzel mit demselben Wurzelexponenten schreiben? - Was passiert mit dem Exponenten eines Terms, wenn du ihn unter eine Wurzel ziehst? - Kannst du im Radikanden der zweiten Aufgabe eine binomische Formel erkennen? - Versuche, die Brüche unter der Wurzel erst zusammenzufassen oder direkt mit dem Faktor zu multiplizieren.

1. Teilaufgabe a): Den Faktor \(2x^2\) als Quadratwurzel schreiben: \(2x^2 = \sqrt{(2x^2)^2} = \sqrt{4x^4}\). Den Faktor unter die Wurzel ziehen: \(\sqrt{4x^4 \cdot \left(\frac{1}{4x^3} + \frac{3}{2x^4}\right)}\). Ausmultiplizieren: \(\sqrt{\frac{4x^4}{4x^3} + \frac{12x^4}{2x^4}} = \sqrt{x + 6}\). 2. Teilaufgabe b): Den Faktor \(\frac{a-b}{a}\) als Kubikwurzel schreiben: \(\sqrt[3]{\left(\frac{a-b}{a}\right)^3}\). Unter die Wurzel ziehen: \(\sqrt[3]{\frac{(a-b)^3}{a^3} \cdot \frac{a^4}{a^2 - 2ab + b^2}}\). Den Nenner des zweiten Bruchs als Binom schreiben: \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\). Einsetzen und kürzen: \(\sqrt[3]{\frac{(a-b)^3 \cdot a^4}{a^3 \cdot (a-b)^2}} = \sqrt[3]{(a-b) \cdot a} = \sqrt[3]{a(a-b)}\).

a) \(\sqrt{x+6}\) b) \(\sqrt[3]{a(a-b)}\)

- Wie viele Faktoren von \(a\) fehlen im Nenner noch, um genau \(a^n\) zu erreichen? - Nutze die Potenzgesetze für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis. - Was passiert, wenn der Exponent im Nenner bereits durch den Wurzelexponenten teilbar ist?

1. Um den Bruch unter der \(n\)-ten Wurzel zu beseitigen, wird der Radikand mit \(a^{n-k}\) erweitert, damit der Nenner zu \(a^n\) wird: \(\sqrt[n]{\frac{x \cdot a^{n-k}}{a^k \cdot a^{n-k}}} = \sqrt[n]{\frac{x \cdot a^{n-k}}{a^n}} = \frac{\sqrt[n]{x \cdot a^{n-k}}}{a}\). 2. Anwendung auf \(\sqrt[5]{\frac{2}{a^2}}\): Hier ist \(n=5, k=2, x=2\). Erweiterungsfaktor ist \(a^{5-2} = a^3\). Ergebnis: \(\frac{\sqrt[5]{2a^3}}{a}\). 3. Wenn \(k = m \cdot n\) für ein \(m \in \mathbb{N}\), dann gilt \(\sqrt[n]{\frac{x}{a^{m \cdot n}}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{(a^m)^n}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{a^m}\). Beispiel: \(\sqrt[3]{\frac{5}{2^6}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{2^2} = \frac{\sqrt[3]{5}}{4}\). Die Aussage ist korrekt, da der Nenner bereits eine perfekte \(n\)-te Potenz ist.

a) \(\frac{\sqrt[n]{x \cdot a^{n-k}}}{a}\) b) \(\frac{\sqrt[5]{2a^3}}{a}\) c) Die Aussage ist wahr. Beispiel: \(\sqrt[3]{\frac{5}{2^6}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{4}\).

- Überlege zuerst, ob das Ergebnis einer geraden Wurzel jemals negativ sein kann. - Wie kannst du feststellen, welche der beiden Zahlen in der Differenz größer ist, ohne einen Taschenrechner zu benutzen? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn sie quadriert und anschließend die Wurzel gezogen wird? - Erinnere dich an die Definition des Betrags \(\sqrt{x^2} = |x|\).

Die Vereinfachung basiert auf der Regel \(\sqrt[2n]{A^2} = \sqrt[n]{|A|}\). 1. Teilaufgabe a: Kürzen des Exponenten ergibt \(\sqrt{|3-\sqrt{11}|}\). Da \(3 = \sqrt{9}\) und \(\sqrt{9} < \sqrt{11}\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist somit \(\sqrt{11}-3\). Ergebnis: \(\sqrt{\sqrt{11}-3}\). 2. Teilaufgabe b: Kürzen ergibt \(\sqrt[3]{|\sqrt{2}-\sqrt{7}|}\). Da \(\sqrt{2} < \sqrt{7}\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist \(\sqrt{7}-\sqrt{2}\). Ergebnis: \(\sqrt[3]{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\). 3. Teilaufgabe c: Kürzen ergibt \(\sqrt[5]{|4-\sqrt{17}|}\). Da \(4 = \sqrt{16}\) und \(\sqrt{16} < \sqrt{17}\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist \(\sqrt{17}-4\). Ergebnis: \(\sqrt[5]{\sqrt{17}-4}\).

a) \(\sqrt{\sqrt{11}-3}\) b) \(\sqrt[3]{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\) c) \(\sqrt[5]{\sqrt{17}-4}\)

- Was passiert, wenn du eine Zahl unter einer Quadratwurzel hast, die kleiner als Null ist? - Untersuche den Definitionsbereich der vorgeschlagenen Vereinfachung. - Wie verhält sich der Ausdruck \((x-5)\), wenn \(x\) kleiner als \(5\) ist? Ist er positiv oder negativ? - Wie löst man Betragsstriche auf, wenn man weiß, dass der Inhalt negativ ist?

1. Berechnung für \(x = 1\): Einsetzen ergibt \(\sqrt[4]{(1-5)^2} = \sqrt[4]{(-4)^2} = \sqrt[4]{16}\). Da \(2^4 = 16\), ist das Ergebnis \(2\). 2. Überprüfung der Behauptung: Setzt man \(x = 1\) in \(\sqrt{x-5}\) ein, erhält man \(\sqrt{1-5} = \sqrt{-4}\). Dieser Ausdruck ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert, da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht existiert. Das Ergebnis \(2\) aus Teil a) widerspricht also der Behauptung. 3. Vereinfachung für \(x < 5\): Allgemein gilt \(\sqrt[4]{(x-5)^2} = \sqrt{|x-5|}\). Wenn \(x < 5\) ist, dann ist die Differenz \((x-5)\) negativ. Um den Betrag aufzulösen, muss das Vorzeichen umgekehrt werden: \(|x-5| = -(x-5) = 5-x\). Somit lautet die vereinfachte Form \(\sqrt{5-x}\).

a) \(2\) b) Für \(x=1\) wäre \(\sqrt{1-5} = \sqrt{-4}\) nicht definiert, während der ursprüngliche Term den Wert \(2\) liefert. c) \(\sqrt{5-x}\)

- Kannst du Terme im Nenner des Radikanden faktorisieren, zum Beispiel mit binomischen Formeln? - Achte beim Einbringen von Brüchen darauf, sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dem Wurzelexponenten zu potenzieren. - Manchmal lässt sich eine Wurzel mit einem höheren Exponenten (wie der vierten Wurzel) nach dem Kürzen in eine einfachere Quadratwurzel umwandeln.

1. In Teilaufgabe a) den Term \((x+y)\) quadrieren und unter die Wurzel ziehen: \(\sqrt{\frac{(x+y)^2}{x^2-y^2}}\). Durch Anwendung der dritten binomischen Formel im Nenner (\(x^2-y^2 = (x+y)(x-y)\)) und anschließendes Kürzen ergibt sich \(\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}\). 2. In Teilaufgabe b) den Bruch \(\frac{a^2}{b}\) mit dem Wurzelexponenten 3 potenzieren: \(\sqrt[3]{\frac{(a^2)^3}{b^3} \cdot \frac{b^4}{a^5}} = \sqrt[3]{\frac{a^6 \cdot b^4}{b^3 \cdot a^5}}\). Durch Kürzen der Potenzen erhält man \(\sqrt[3]{ab}\). 3. In Teilaufgabe c) den Term \((m-5)\) mit 4 potenzieren und unter die vierte Wurzel ziehen: \(\sqrt[4]{\frac{(m-5)^4}{m^2-10m+25}}\). Den Nenner mithilfe der zweiten binomischen Formel als \((m-5)^2\) umschreiben: \(\sqrt[4]{\frac{(m-5)^4}{(m-5)^2}} = \sqrt[4]{(m-5)^2}\). Durch Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\) vereinfacht sich dies zu \((m-5)^{\frac{2}{4}} = (m-5)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{m-5}\).

a) \(\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}\) b) \(\sqrt[3]{ab}\) c) \(\sqrt{m-5}\)

- Mit welchem Exponenten musst du eine Variable potenzieren, um sie unter eine \(n\)-te Wurzel zu schreiben? - Welche Gesetze für das Rechnen mit Potenzen kannst du anwenden, wenn Variablen im Zähler und Nenner stehen? - Was passiert mit den Exponenten bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis?

1. Umwandlung von \(x\) in \(\sqrt{x^2}\) und Multiplikation mit dem Radikanden ergibt \(\sqrt{x^2 \cdot \frac{3}{x}}\); Kürzen durch \(x\) liefert das Ergebnis \(\sqrt{3x}\). 2. Umwandlung von \(a\) in \(\sqrt[3]{a^3}\) und Multiplikation mit dem Radikanden ergibt \(\sqrt[3]{a^3 \cdot \frac{b}{a^2}}\); Kürzen durch \(a^2\) liefert das Ergebnis \(\sqrt[3]{ab}\). 3. Umwandlung von \(y^2\) in \(\sqrt[4]{(y^2)^4} = \sqrt[4]{y^8}\) und Multiplikation mit dem Radikanden ergibt \(\sqrt[4]{y^8 \cdot \frac{1}{y^7}}\); Kürzen durch \(y^7\) liefert das Ergebnis \(\sqrt[4]{y}\).

a) \(\sqrt{3x}\); b) \(\sqrt[3]{ab}\); c) \(\sqrt[4]{y}\)

- Kannst du den Faktor vor der Wurzel so umschreiben, dass er als Wurzel mit demselben Exponenten erscheint? - Was passiert mit den Exponenten der Variablen, wenn du sie unter die Wurzel ziehst oder kürzt? - Gibt es unter der Wurzel Quadrat- oder Kubikzahlen, die du teilweise radizieren kannst?

1. Für Teilaufgabe a): Den Faktor \(b^2\) unter die Quadratwurzel ziehen, indem er quadriert wird: \(\sqrt{(b^2)^2 \cdot \frac{18}{b^3}} = \sqrt{b^4 \cdot \frac{18}{b^3}}\). 2. Den Bruch unter der Wurzel kürzen: \(\sqrt{18b}\). 3. Teilweise radizieren durch Zerlegung von \(18\) in \(9 \cdot 2\): \(\sqrt{9 \cdot 2b} = 3\sqrt{2b}\). 4. Für Teilaufgabe b): Den Faktor \(\frac{x}{3}\) unter die Kubikwurzel ziehen, indem er mit der dritten Potenz potenziert wird: \(\sqrt[3]{(\frac{x}{3})^3 \cdot \frac{54}{x^2}} = \sqrt[3]{\frac{x^3}{27} \cdot \frac{54}{x^2}}\). 5. Den Ausdruck unter der Wurzel vereinfachen: \(\frac{54}{27} = 2\) und \(\frac{x^3}{x^2} = x\). 6. Ergebnis für b): \(\sqrt[3]{2x}\).

a) \(3\sqrt{2b}\) b) \(\sqrt[3]{2x}\)

- Welche Potenz erhält ein Faktor, wenn man ihn unter eine Kubikwurzel (3. Wurzel) zieht? - Denke daran, den Faktor mit jedem Teil des Ausdrucks unter der Wurzel zu multiplizieren (Distributivgesetz). - Kannst du Brüche innerhalb der Wurzel kürzen, nachdem du den Faktor hineingezogen hast?

1. Den Faktor \(2x\) als \((2x)^3 = 8x^3\) unter die Wurzel ziehen. Multiplikation mit dem Radikanden: \(8x^3 \cdot (1 + \frac{1}{8x^3}) = 8x^3 + \frac{8x^3}{8x^3} = 8x^3 + 1\). Das Ergebnis ist \(\sqrt[3]{8x^3 + 1}\). 2. Den Faktor \(\frac{a}{b}\) als \((\frac{a}{b})^3 = \frac{a^3}{b^3}\) unter die Wurzel ziehen. Multiplikation mit dem Radikanden: \(\frac{a^3}{b^3} \cdot (\frac{b^3}{a^2} - \frac{b^4}{a^3}) = \frac{a^3 \cdot b^3}{b^3 \cdot a^2} - \frac{a^3 \cdot b^4}{b^3 \cdot a^3} = a - b\). Das Ergebnis ist \(\sqrt[3]{a - b}\).

1) \(\sqrt[3]{8x^3 + 1}\) 2) \(\sqrt[3]{a - b}\)

- Kannst du den Ausdruck unter der Wurzel in Faktoren aufteilen, bei denen der Exponent ein Vielfaches des Wurzelexponenten ist? - Überlege, wie man Potenzen aus einer Wurzel zieht, wenn der Exponent und der Wurzelexponent gleich sind. - Welche Teile des Terms vor der Wurzel lassen sich mit den Faktoren aus der Wurzel kürzen?

1. Den Radikanden unter der Wurzel in Faktoren zerlegen, die Potenzen von \(k\) sind: \(\sqrt[k]{x^k \cdot x^3 \cdot (y^2)^k}\) 2. Die Faktoren \(x^k\) und \((y^2)^k\) teilweise aus der Wurzel ziehen: \(x \cdot y^2 \cdot \sqrt[k]{x^3}\) 3. Den gesamten Ausdruck mit dem Vorfaktor multiplizieren: \(\frac{2}{x \cdot y^2} \cdot x \cdot y^2 \cdot \sqrt[k]{x^3}\) 4. Die Variablen \(x\) und \(y^2\) kürzen: \(2 \cdot \sqrt[k]{x^3}\)

\(2 \sqrt[k]{x^3}\) (oder \(2 x^{\frac{3}{k}}\))

- Wie kannst du eine Zahl oder Variable so umschreiben, dass sie als \(n\)-te Wurzel dargestellt wird? - Welches Wurzelgesetz erlaubt es dir, ein Produkt zweier Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten zusammenzufassen? - Erinnere dich an die Potenzgesetze für die Division von Potenzen mit gleicher Basis.

1. Den Faktor \(a^2\) als \(n\)-te Wurzel ausdrücken: \(a^2 = \sqrt[n]{(a^2)^n} = \sqrt[n]{a^{2n}}\) 2. Die Faktoren unter einer gemeinsamen Wurzel zusammenfassen: \(\sqrt[n]{a^{2n} \cdot \frac{b}{a^{2n-1}}}\) 3. Den Bruch unter der Wurzel durch Anwendung der Potenzgesetze \(\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}\) kürzen: \(a^{2n - (2n-1)} = a^1 = a\) 4. Endergebnis notieren: \(\sqrt[n]{a \cdot b}\)

\(\sqrt[n]{ab}\)

- Kannst du die Zahl unter der Wurzel in ein Produkt zerlegen, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist? - Erinnere dich daran, wie man einen Bruch unter einer Wurzel aufteilt. - Wie wird man eine Wurzel im Nenner eines Bruchs los? - Was passiert mit den Wurzelteilen, wenn du den einen Term durch den anderen teilst?

1. Teilweises Wurzelziehen bei \(A\): \(\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}\) 2. Umwandeln des gemischten Bruchs in einen unechten Bruch bei \(B\): \(\sqrt{3\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{16}{5}}\) 3. Rationalmachen des Nenners bei \(B\): \(\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} = 0{,}8\sqrt{5}\) 4. Feststellung der Gleichartigkeit: Da beide Terme ein rationales Vielfaches von \(\sqrt{5}\) sind, sind sie gleichartig. 5. Berechnung des Quotienten: \(\frac{A}{B} = \frac{6\sqrt{5}}{0{,}8\sqrt{5}} = \frac{6}{0{,}8} = 7{,}5\)

a) \(A = 6\sqrt{5}\) und \(B = \frac{4}{5}\sqrt{5}\) (oder \(0{,}8\sqrt{5}\)) b) Die Terme sind gleichartig, da beide den Radikanden \(5\) besitzen. c) \(\frac{A}{B} = 7{,}5\)

- Wann nennt man zwei Wurzelterme gleichartig? - Versuche, die Radikanden so zu zerlegen, dass du Potenzen erhältst, deren Exponent ein Vielfaches des Wurzelexponenten ist. - Kannst du Brüche unter der Wurzel so erweitern, dass der Nenner eine vollständige Potenz des Wurzelexponenten wird?

1. Teilaufgabe a: \(\sqrt[3]{x^3 \cdot x \cdot y^3 \cdot y^2} = xy \sqrt[3]{xy^2}\). 2. Der zweite Term wird zu \(\sqrt[3]{x \cdot y^6 \cdot y^2} = y^2 \sqrt[3]{xy^2}\). Beide Terme besitzen denselben Wurzelrest und sind gleichartig. 3. Teilaufgabe b: \(\sqrt[n]{a^{2n} \cdot a^3 \cdot b} = a^2 \sqrt[n]{a^3b}\). 4. Beim zweiten Term wird der Bruch unter der Wurzel mit \(b\) erweitert: \(\sqrt[n]{\frac{a^2b}{b^n}} = \frac{1}{b}\sqrt[n]{a^2b}\). 5. Die Wurzelreste \(\sqrt[n]{a^3b}\) und \(\sqrt[n]{a^2b}\) sind verschieden; die Terme sind nicht gleichartig.

a) Die Wurzelterme sind gleichartig. b) Die Wurzelterme sind nicht gleichartig.

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel als Produkt einer Quadratzahl und einer anderen Zahl schreiben? - Versuche, alle Summanden auf denselben Radikanden (die Zahl unter der Wurzel) zu bringen. - Erinnere dich an die Regeln zum Runden: Ab 5 wird aufgerundet.

1. Vereinfachung von Teil a: Die Radikanden werden faktorisiert, um Quadratzahlen zu isolieren: \(4\sqrt{9 \cdot 2} - 2\sqrt{25 \cdot 2} + \sqrt{4 \cdot 2}\). Durch teilweises Wurzelziehen ergibt sich \(4 \cdot 3\sqrt{2} - 2 \cdot 5\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 12\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\). 2. Berechnung von Teil a: Mit \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\) ergibt sich \(4 \cdot 1{,}4142 \approx 5{,}66\). 3. Vereinfachung von Teil b: Faktorisierung der Radikanden ergibt \(\frac{1}{3}\sqrt{9 \cdot 3} + \sqrt{4 \cdot 3} - 0{,}5\sqrt{16 \cdot 3}\). Teilweises Wurzelziehen führt zu \(\frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 0{,}5 \cdot 4\sqrt{3} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}\). 4. Berechnung von Teil b: Mit \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\) ergibt sich gerundet \(1{,}73\).

a) \(4\sqrt{2} \approx 5{,}66\) b) \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\)

- Wie kannst du einen Faktor vor einer Wurzel in den Radikanden (das Innere der Wurzel) verschieben? - Suche nach Quadratzahlen oder hohen Potenzen, die du innerhalb einer Summe ausklammern kannst. - Kannst du eine große Zahl im Radikanden als Potenz einer kleineren Zahl schreiben? - Überlege, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben kann und ob man diesen Bruch kürzen kann.

1. In Aufgabenteil a) wird der Faktor \(2y\) unter die vierte Wurzel gezogen, indem er mit dem Exponenten 4 potenziert wird: \(\sqrt[4]{(2y)^4 \cdot \frac{3}{8y^3}} = \sqrt[4]{16y^4 \cdot \frac{3}{8y^3}}\). Durch Kürzen von \(16\) gegen \(8\) und \(y^4\) gegen \(y^3\) ergibt sich im Radikanden \(2y \cdot 3 = 6y\). Das Ergebnis ist \(\sqrt[4]{6y}\). 2. In Aufgabenteil b) wird unter der Wurzel der gemeinsame Faktor \(9a^4\) ausgeklammert: \(\sqrt{9a^4 \cdot (2a + 3)}\). Durch teilweises Wurzelziehen (\(\sqrt{9}=3\) und \(\sqrt{a^4}=a^2\)) erhält man \(3a^2 \cdot \sqrt{2a + 3}\). 3. In Aufgabenteil c) wird die Basis \(64\) als \(2^6\) geschrieben, sodass der Ausdruck zu \(\sqrt[6]{2^6 \cdot x^2}\) wird. Die Wurzel kann auf die Faktoren aufgeteilt werden: \(\sqrt[6]{2^6} \cdot \sqrt[6]{x^2} = 2 \cdot \sqrt[6]{x^2}\). Durch Kürzen des Wurzelexponenten mit dem Potenzexponenten (\(x^{\frac{2}{6}} = x^{\frac{1}{3}}\)) ergibt sich \(2 \cdot \sqrt[3]{x}\).

a) \(\sqrt[4]{6y}\) b) \(3a^2 \sqrt{2a+3}\) c) \(2\sqrt[3]{x}\)

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel als Produkt einer Quadratzahl und einer anderen Zahl schreiben? - Überlege, welche Quadratzahlen in 75, 27 oder 108 stecken. - Wurzeln mit demselben Radikanden kannst du wie Variablen (z. B. \(x\)) addieren oder subtrahieren. - Wie lässt sich ein Dezimalbruch oder ein Bruch unter der Wurzel so umformen, dass im Nenner keine Wurzel mehr steht?

1. Teilweises Radizieren: \(3 \cdot 5\sqrt{3} - 2 \cdot 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 15\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3}\). Zusammenfassen ergibt \(15\sqrt{3}\). 2. Teilweises Radizieren: \(5\sqrt{2} + 2 \cdot 2\sqrt{2} - 9\sqrt{2} = 5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 9\sqrt{2}\). Zusammenfassen ergibt \(0\). 3. Umformen der Radikanden: \(2\sqrt{5} - \sqrt{\frac{45}{100}} + \frac{\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} - \frac{3\sqrt{5}}{10} + \frac{2\sqrt{5}}{10} = 2\sqrt{5} - 0{,}3\sqrt{5} + 0{,}2\sqrt{5}\). Zusammenfassen ergibt \(1{,}9\sqrt{5}\).

1) \(15\sqrt{3}\) 2) \(0\) 3) \(1{,}9\sqrt{5}\) (oder \(\frac{19}{10}\sqrt{5}\))

- Kannst du die Potenzen unter der Wurzel so umschreiben, dass die Exponenten Vielfache des Wurzelexponenten sind? - Welche Rechenregel erlaubt es dir, ein Produkt unter einer Wurzel aufzuteilen? - Wie hängen Wurzeln und Brüche im Exponenten zusammen? - Denk daran, dass \(\sqrt[n]{a^n} = a\) für positive \(a\) gilt.

1. Zerlegung des Radikanden in Faktoren mit Exponenten, die Vielfache von \(n\) sind: \(\sqrt[n]{x^{3n} \cdot y^n \cdot y^2}\). Anwendung der Wurzelgesetze ergibt \(x^3 y \sqrt[n]{y^2}\). 2. Aufspalten der Potenzen im Radikanden: \(\sqrt[k]{a^{2k} \cdot a \cdot b^k \cdot b^{-1}}\). Herausziehen der Faktoren \(a^2\) und \(b\) führt zu \(a^2 b \sqrt[k]{a \cdot b^{-1}}\) bzw. \(a^2 b \sqrt[k]{\frac{a}{b}}\). 3. Trennung von Zähler und Nenner: \(\frac{\sqrt[n]{p^n \cdot p^3}}{\sqrt[n]{(q^2)^n}}\). Vereinfachung der Wurzeln ergibt \(\frac{p \sqrt[n]{p^3}}{q^2}\).

1) \(x^3 y \sqrt[n]{y^2}\) 2) \(a^2 b \sqrt[k]{\frac{a}{b}}\) 3) \(\frac{p}{q^2} \sqrt[n]{p^3}\)

- Überlege, welche Zahlen unter den Wurzeln Kubikzahlen und welche Quadratzahlen sind. - Denk daran, dass man nur Terme zusammenfassen kann, die denselben Wurzelexponenten und denselben Radikanden haben. - Was musst du beim Auflösen der zweiten Klammer beachten?

1. Vereinfachen der Kubikwurzeln: \(\sqrt[3]{27x} = 3\sqrt[3]{x}\) und \(\sqrt[3]{8x} = 2\sqrt[3]{x}\). 2. Vereinfachen der Quadratwurzeln: \(\sqrt{64y} = 8\sqrt{y}\) und \(\sqrt{4y} = 2\sqrt{y}\). 3. Einsetzen der Ergebnisse in den Gesamtausdruck: \((3\sqrt[3]{x} + 8\sqrt{y}) - (2 \cdot 2\sqrt[3]{x} - 2\sqrt{y})\). 4. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens: \(3\sqrt[3]{x} + 8\sqrt{y} - 4\sqrt[3]{x} + 2\sqrt{y}\). 5. Zusammenfassen der Terme mit gleichen Radikanden: \((3 - 4)\sqrt[3]{x} + (8 + 2)\sqrt{y} = -1\sqrt[3]{x} + 10\sqrt{y}\).

\(-\sqrt[3]{x} + 10\sqrt{y}\)

- Wie kannst du die Klammer auflösen? - Gibt es eine Regel, um zwei Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten zu multiplizieren oder zu dividieren? - Prüfe, ob die Radikanden nach der Multiplikation oder Division bekannte Kubikzahlen sind.

1. Anwendung des Distributivgesetzes auf die Klammer: \(\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24}\). 2. Multiplikation der Wurzeln nach dem Gesetz \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}\): - \(\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{27} = 3\) - \(\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{216} = 6\) 3. Division der Wurzeln im hinteren Teil des Terms nach dem Gesetz \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\): - \(\frac{\sqrt[3]{375}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{375}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5\) 4. Zusammenfügen der Ergebnisse: \(3 + 6 - 5 = 4\). 5. Da 4 eine natürliche Zahl ist, ist die Behauptung gezeigt.

Der Wert des Terms ist \(4\), was eine natürliche Zahl ist.

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Versuche zuerst, jede einzelne Wurzel durch teilweises Wurzelziehen zu vereinfachen. - Welche Terme darfst du addieren oder subtrahieren?

1. Teilweises Wurzelziehen für alle Terme: \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\), \(1{,}5\sqrt{12} = 1{,}5 \cdot 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\), \(2\sqrt{20} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}\), \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) und \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\). 2. Einsetzen der Ergebnisse: \((3\sqrt{5} - 3\sqrt{3}) - (4\sqrt{5} - 4\sqrt{3}) + 3\sqrt{3}\). 3. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer: \(3\sqrt{5} - 3\sqrt{3} - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(\sqrt{5}\): \(3\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = -\sqrt{5}\). 5. Zusammenfassen der Terme mit \(\sqrt{3}\): \(-3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\). 6. Endergebnis: \(4\sqrt{3} - \sqrt{5}\).

\(4\sqrt{3} - \sqrt{5}\)

- Welche binomischen Formeln erkennst du in den Termen? - Was passiert mit den Wurzeln, wenn man sie quadriert? - Überlege, bei welcher Formel ein „Mittelteil“ stehen bleibt und bei welcher nicht.

1. Berechnung von \(A\): Anwendung der ersten binomischen Formel \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) mit \(a = \sqrt{7}\) und \(b = \sqrt{2}\). Es ergibt sich \((\sqrt{7})^2 + 2\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{14} + 2 = 9 + 2\sqrt{14}\). 2. Berechnung von \(B\): Anwendung der dritten binomischen Formel \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) mit \(a = \sqrt{7}\) und \(b = \sqrt{2}\). Es ergibt sich \((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5\). 3. Begründung: Bei Term \(A\) entsteht durch das gemischte Glied \(2ab\) der Ausdruck \(2\sqrt{14}\), der nicht weiter vereinfacht werden kann und somit irrational ist. Bei Term \(B\) heben sich die gemischten Glieder gegenseitig auf, sodass nur die Quadrate der Wurzeln übrig bleiben. Da das Quadrat einer Quadratwurzel einer natürlichen Zahl wieder eine rationale Zahl ist, ist das Gesamtergebnis rational.

a) \(A = 9 + 2\sqrt{14}\); \(B = 5\). b) Bei \(A\) bleibt das gemischte Glied \(2\sqrt{14}\) erhalten, welches irrational ist. Bei \(B\) (3. binomische Formel) fallen die gemischten Glieder weg, sodass nur die Differenz der Quadrate \(7 - 2\) berechnet wird.

- Kannst du in den Zahlen unter der Wurzel Quadratzahlen als Faktoren finden? - Schreibe Dezimalzahlen als Brüche um, um das Wurzelziehen zu erleichtern. - Überlege dir, wie du Brüche in der Wurzel so umformen kannst, dass keine Wurzel mehr im Nenner steht. - Fasse am Ende alle Terme mit der gleichen Wurzel zusammen, so wie du es bei Variablen wie \(x\) tun würdest.

1. Anwendung des teilweisen Wurzelziehens auf alle Terme: \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\) \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\) \(\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}\) \(\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}\) \(\sqrt{0{,}2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} = 0{,}2\sqrt{5}\) \(\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}\) 2. Einsetzen der vereinfachten Terme in den Gesamtausdruck: \(3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 5\sqrt{5} - 4\sqrt{5} + 0{,}2\sqrt{5} + 1\sqrt{5} - 6\sqrt{5}\) 3. Zusammenfassen der Koeffizienten: \((3 - 2 + 5 - 4 + 0{,}2 + 1 - 6) \cdot \sqrt{5} = -2{,}8\sqrt{5}\)

\(-2{,}8\sqrt{5}\) (oder \(-\frac{14}{5}\sqrt{5}\))

- Überlege, welcher Teil des Terms \(u\) und welcher \(v\) in der Formel \((u-v)(u+v)\) entspricht. - Denk daran, dass beim Quadrieren eines Produkts wie \(2\sqrt{3}\) jeder Faktor quadriert werden muss. - Klammern sind wichtig, wenn du einen ganzen Ausdruck subtrahierst, der aus einer Wurzel entstanden ist.

1. Anwendung der dritten binomischen Formel \((u-v)(u+v) = u^2 - v^2\) auf alle Teilaufgaben. 2. Berechnung von 1): \(5^2 - (2\sqrt{3})^2 = 25 - 4 \cdot 3 = 25 - 12 = 13\). 3. Berechnung von 2): \((x\sqrt{y})^2 - (y\sqrt{x})^2 = x^2 y - y^2 x\) bzw. \(xy(x-y)\). 4. Berechnung von 3): \((2\sqrt{a+b})^2 - (\sqrt{a-b})^2 = 4(a+b) - (a-b) = 4a + 4b - a + b = 3a + 5b\).

1) \(13\); 2) \(x^2 y - xy^2\); 3) \(3a + 5b\).

- Hast du eine Vermutung, welche binomische Formel oder Identität hier passen könnte? - Was passiert, wenn du die Klammern probeweise ausmultiplizierst? - Kannst du die Zahlen unter den Wurzeln als Potenzen schreiben? - Schau dir die Struktur des ersten Faktors genau an – wie hängen die Zahlen 49, 14 und 4 mit 7 und 2 zusammen?

1. Struktur des Terms als Produkt der Form \((a^2 + ab + b^2) \cdot (a - b)\) erkennen 2. Identifikation der Werte: \(a = \sqrt[3]{7}\) und \(b = \sqrt[3]{2}\) 3. Überprüfung der Quadrat- und Produktterme: \(a^2 = (\sqrt[3]{7})^2 = \sqrt[3]{49}\), \(b^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}\) und \(ab = \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{14}\) 4. Anwendung der Formel für die Differenz von Potenzen: \((a^2 + ab + b^2)(a - b) = a^3 - b^3\) 5. Einsetzen der Werte: \((\sqrt[3]{7})^3 - (\sqrt[3]{2})^3 = 7 - 2 = 5\)

\( A = 5 \)

- Wie verhalten sich die Wurzelexponenten, wenn Wurzeln ineinander verschachtelt sind? - Kannst du einen Faktor von außerhalb einer Wurzel unter die Wurzel ziehen? - Hilft es dir, den gesamten Ausdruck Schritt für Schritt von innen nach außen in die Potenzschreibweise zu übersetzen? - Kann man Brüche im Exponenten kürzen, bevor man sie wieder als Wurzel schreibt?

1. Anwendung der Regel für verschachtelte Wurzeln: Multiplikation der Wurzelexponenten \(3 \cdot 2 = 6\). Ergebnis: \(\sqrt[6]{b}\). 2. Schrittweise Umwandlung in Potenzen: \((c \cdot c^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = (c^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}}\). Multiplikation der Exponenten: \(\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Ergebnis in Wurzelschreibweise: \(\sqrt[3]{c^2}\). 3. Umwandlung des inneren Terms in eine Potenz: \(d^2 \cdot d^{\frac{1}{2}} = d^{\frac{5}{2}}\). Anwendung des äußeren Wurzelexponenten: \((d^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{5}} = d^{\frac{5}{10}} = d^{\frac{1}{2}}\). Ergebnis: \(\sqrt{d}\).

1) \(\sqrt[6]{b}\) 2) \(\sqrt[3]{c^2}\) 3) \(\sqrt{d}\)

- Gibt es eine Regel, mit der man zwei Wurzeln, die dividiert werden, zusammenfassen kann? - Kannst du Dezimalzahlen in Brüche umwandeln oder das Komma verschieben, um einfacher zu dividieren? - Bei Teil d: Was passiert mit den Exponenten der Variablen, wenn du sie dividierst? - Erinnerst du dich an die Regel \(\sqrt{x^2} = |x|\)?

1. Zu a): Anwendung der Regel \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}\) ergibt \(\sqrt{\frac{180}{5}} = \sqrt{36} = 6\). 2. Zu b): Umwandlung in einen gemeinsamen Wurzelterm \(\sqrt{\frac{1{,}2}{0{,}3}} = \sqrt{4} = 2\). 3. Zu c): Zusammenfassen des Zählers zu \(\sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100} = 10\). Division durch \(\sqrt{4} = 2\) ergibt \(10 : 2 = 5\). Alternativ: \(\sqrt{\frac{100}{4}} = \sqrt{25} = 5\). 4. Zu d): Zusammenfassen unter einer Wurzel \(\sqrt{\frac{27 \cdot a^3}{3 \cdot a}} = \sqrt{9 \cdot a^2}\). Da \(a > 0\), ist das Ergebnis \(3a\).

a) \(6\) b) \(2\) c) \(5\) d) \(3a\)

- Gilt die Regel für das Zusammenfassen von Wurzeln auch für dritte Wurzeln oder höhere Exponenten? - Was passiert mit den Exponenten der Variablen, wenn du die Potenzen dividierst? - Könnte es helfen, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, bevor du die Wurzel ziehst? - Achte darauf, Faktoren außerhalb der Wurzel und Terme innerhalb der Wurzel strikt getrennt zu behandeln.

1. Anwendung der Quotientenregel für dritte Wurzeln: \(\sqrt[3]{250 : 2} = \sqrt[3]{125}\). Da \(5^3 = 125\), ist das Ergebnis \(5\). 2. Zusammenfassen unter der dritten Wurzel: \(\sqrt[3]{\frac{54a^7}{2a}} = \sqrt[3]{27a^6}\). Da \(\sqrt[3]{27} = 3\) und \(\sqrt[3]{a^6} = a^{6/3} = a^2\), ergibt sich \(3a^2\). 3. Division der Faktoren vor den Wurzeln: \(10 : 2 = 5\). Division der Radikanden unter der Wurzel: \(\sqrt{0{,}2 : 5} = \sqrt{0{,}04}\). Da \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), folgt \(5 \cdot 0{,}2 = 1\).

1) \(5\) 2) \(3a^2\) 3) \(1\)

- Erinnere dich daran, dass jede positive Zahl \(a\) auch als \((\sqrt{a})^2\) geschrieben werden kann. - Kannst du Variablen unter der Wurzel teilweise herausziehen? - Schau dir bei Brüchen den Zähler genau an: Gibt es dort einen gemeinsamen Faktor, der auch im Nenner steht? - Überprüfe, ob du aus den Zahlen unter der Wurzel Quadratzahlen herausziehen kannst.

1. Darstellung der Zahl \(5\) als \((\sqrt{5})^2\): \((\sqrt{5})^2 + \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)\). 2. Anwendung der Regel \(\sqrt{x^3} = x\sqrt{x}\): \(x\sqrt{x} + \sqrt{x} = \sqrt{x}(x + 1)\). 3. Ausklammern des größten gemeinsamen Wurzelfaktors \(\sqrt{12}\): \(\sqrt{12 \cdot 2} - \sqrt{12} = \sqrt{12}(\sqrt{2} - 1)\). Vereinfachung von \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) ergibt \(2\sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)\). 4. Ausklammern von \(\sqrt{5}\) im Zähler: \(\frac{\sqrt{5}(\sqrt{6} + \sqrt{4})}{\sqrt{5}}\). Kürzen von \(\sqrt{5}\) und Ersetzen von \(\sqrt{4} = 2\) führt zu \(\sqrt{6} + 2\).

1) \(\sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)\) 2) \(\sqrt{x}(x + 1)\) 3) \(2\sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)\) 4) \(\sqrt{6} + 2\)

- Siehst du innerhalb einer Wurzel einen Ausdruck, der an eine binomische Formel erinnert? - Kannst du einen Term der Form \(a^2 - b^2\) erkennen, auch wenn die Exponenten Brüche sind oder Wurzeln vorkommen? - Überlege, welcher Faktor in allen Teilen des Terms enthalten ist, indem du Potenzen mit gleicher Basis vergleichst. - Hilft es dir, die Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten zu schreiben?

1. Anwendung der dritten binomischen Formel unter der ersten Wurzel: \(\sqrt{a^2 - 4} = \sqrt{(a-2)(a+2)}\). Aufteilen der Wurzel ergibt \(\sqrt{a-2} \cdot \sqrt{a+2}\). Ausklammern von \(\sqrt{a+2}\) führt zum Ergebnis \(\sqrt{a+2}(\sqrt{a-2} - 1)\). 2. Interpretation des Ausdrucks als Differenz von Quadraten: \((\sqrt[3]{x})^2 - (\sqrt[3]{y})^2\). Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \((\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})\). 3. Ausklammern des Faktors \(z\): \(z(\sqrt{z} - 1)\). Alternativ kann \(\sqrt{z}\) ausgeklammert werden, was zu \(\sqrt{z}(z - \sqrt{z}) = \sqrt{z}(\sqrt{z}^2 - \sqrt{z}) = z(\sqrt{z}-1)\) führt.

1) \(\sqrt{a+2}(\sqrt{a-2} - 1)\) 2) \((\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})\) 3) \(z(\sqrt{z} - 1)\)

- Versuche zuerst, den Zähler so umzuformen, dass du einen Faktor ausklammern kannst, der auch im Nenner vorkommt. - Kannst du eine Wurzel im Zähler finden, die in beiden Summanden (oder Subtrahenden) „versteckt“ ist? - Erinnere dich daran, wie man Wurzeln aus Produkten (wie \(\sqrt{15}\)) zerlegt. - Wie lässt sich eine Variable wie \(a\) mithilfe einer Wurzel ausdrücken?

1. Im Zähler wird \(7\) als \((\sqrt{7})^2\) geschrieben. Ausklammern von \(\sqrt{7}\) ergibt \(\sqrt{7}(1 + \sqrt{7})\). Nach dem Kürzen durch \(\sqrt{7}\) verbleibt \(1 + \sqrt{7}\). 2. Im Zähler wird \(a\) als \((\sqrt{a})^2\) geschrieben. Ausklammern von \(\sqrt{a}\) ergibt \(\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)\). Nach dem Kürzen durch den Faktor \((\sqrt{a} - 1)\) verbleibt \(\sqrt{a}\). 3. Im Zähler wird \(\sqrt{15}\) als \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}\) geschrieben. Ausklammern von \(\sqrt{5}\) ergibt \(\sqrt{5}(\sqrt{3} - 1)\). Nach dem Kürzen durch \(\sqrt{5}\) verbleibt \(\sqrt{3} - 1\).

1) \(1 + \sqrt{7}\) 2) \(\sqrt{a}\) 3) \(\sqrt{3} - 1\)

- Was bedeutet ein Bruchstrich für die Verrechnung der Exponenten? - Wenn der Exponent ein unechter Bruch ist (Zähler größer als Nenner), kannst du einen Teil vor die Wurzel ziehen. - Vergiss nicht, Brüche im Exponenten so weit wie möglich zu kürzen.

1. Umwandlung aller Terme in die Potenzschreibweise: \(y^{\frac{2}{3}} \cdot y^{\frac{5}{6}} \cdot y^{-\frac{1}{2}}\). Zusammenfassen der Exponenten durch Addition und Subtraktion: \(\frac{2}{3} + \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{6}{6} = 1\). Das Ergebnis ist \(y^1 = y\). 2. Umwandlung in rationale Exponenten: \(k^{\frac{2}{3}} \cdot k^{\frac{3}{4}} : k^{\frac{1}{12}}\). Berechnung des Gesamtexponenten: \(\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{12} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} - \frac{1}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\). In Wurzelschreibweise: \(\sqrt[3]{k^4} = k \cdot \sqrt[3]{k}\). 3. Umwandlung: \(z^{\frac{4}{5}} : z^{\frac{2}{15}}\). Subtraktion der Exponenten: \(\frac{4}{5} - \frac{2}{15} = \frac{12}{15} - \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\). Das Ergebnis in Wurzelschreibweise ist \(\sqrt[3]{z^2}\).

1) \(y\) 2) \(k \cdot \sqrt[3]{k}\) 3) \(\sqrt[3]{z^2}\)

- Wie kannst du zwei Wurzeln vergleichen, wenn sie nicht denselben Wurzelexponenten haben? - Suche nach einer Möglichkeit, beide Wurzeln so umzuformen, dass sie denselben „Namen“ (Index) haben. - Was passiert mit dem Radikanden (der Zahl unter der Wurzel), wenn du den Wurzelexponenten vergrößerst?

1. Um Wurzeln mit unterschiedlichen Exponenten zu vergleichen, werden sie auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten (das kleinste gemeinsame Vielfache der Indizes) gebracht. 2. Teil a): \( \text{kgV}(3, 2) = 6 \). Es gilt \( \sqrt[3]{5} = \sqrt[6]{5^2} = \sqrt[6]{25} \) und \( \sqrt{3} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27} \). Da \( 25 < 27 \), folgt \( \sqrt[3]{5} < \sqrt{3} \). 3. Teil b): \( \text{kgV}(4, 3) = 12 \). Es gilt \( \sqrt[4]{10} = \sqrt[12]{10^3} = \sqrt[12]{1000} \) und \( \sqrt[3]{4} = \sqrt[12]{4^4} = \sqrt[12]{256} \). Da \( 1000 > 256 \), folgt \( \sqrt[4]{10} > \sqrt[3]{4} \). 4. Teil c): \( \text{kgV}(6, 3) = 6 \). Es gilt \( \sqrt[6]{10} \) und \( \sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9} \). Da \( 10 > 9 \), folgt \( \sqrt[6]{10} > \sqrt[3]{3} \).

a) \( \sqrt[3]{5} < \sqrt{3} \) b) \( \sqrt[4]{10} > \sqrt[3]{4} \) c) \( \sqrt[6]{10} > \sqrt[3]{3} \)

- Berechne zuerst das Quadrat mithilfe der binomischen Formeln. - Versuche, die große Zahl unter der Wurzel durch kleine Quadratzahlen wie \(4\), \(9\), \(16\) oder \(25\) zu teilen, um sie zu vereinfachen. - Heben sich am Ende vielleicht einige Terme mit Wurzeln gegenseitig auf?

1. Ausmultiplizieren mit der zweiten binomischen Formel: \( (4 - 3\sqrt{3})^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{3} + (3\sqrt{3})^2 = 16 - 24\sqrt{3} + 27 = 43 - 24\sqrt{3} \) 2. Teilweises Wurzelziehen beim zweiten Summanden: \( \sqrt{1728} = \sqrt{576 \cdot 3} = 24\sqrt{3} \) 3. Zusammenfassen der Teilergebnisse: \( 43 - 24\sqrt{3} + 24\sqrt{3} = 43 \)

\( 43 \)

- Welche binomische Formel passt zur Struktur des Terms? - Was passiert, wenn man eine Quadratwurzel quadriert? - Kannst du die Terme unter der Wurzel mit einer weiteren binomischen Formel vereinfachen? - Achte beim Zusammenfassen darauf, welche Summanden sich gegenseitig aufheben.

1. Für Teil a) wird die erste binomische Formel \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) angewendet: \( a^2 = 9+\sqrt{17} \), \( b^2 = 9-\sqrt{17} \), \( 2ab = 2\sqrt{(9+\sqrt{17})(9-\sqrt{17})} \). 2. Unter der Wurzel des gemischten Terms wird die dritte binomische Formel genutzt: \( 2\sqrt{81-17} = 2\sqrt{64} = 2 \cdot 8 = 16 \). 3. Addition der Teile: \( (9+\sqrt{17}) + 16 + (9-\sqrt{17}) = 18 + 16 = 34 \). 4. Für Teil b) wird die zweite binomische Formel \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) angewendet: \( a^2 = 10-2\sqrt{21} \), \( b^2 = 10+2\sqrt{21} \), \( 2ab = 2\sqrt{(10-2\sqrt{21})(10+2\sqrt{21})} \). 5. Berechnung des gemischten Terms: \( 2\sqrt{100-4 \cdot 21} = 2\sqrt{100-84} = 2\sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8 \). 6. Zusammenfassen: \( (10-2\sqrt{21}) - 8 + (10+2\sqrt{21}) = 20 - 8 = 12 \).

a) \( 34 \) b) \( 12 \)

- Wie verhalten sich die Exponenten unter der Wurzel beim Multiplizieren von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten? - Was muss ergänzt werden, damit die Potenz unter der Wurzel den gleichen Wert wie der Wurzelexponent erreicht? - Achte darauf, sowohl den Zähler als auch den Nenner mit demselben Term zu multiplizieren. - Schau dir das Ergebnis von Teilaufgabe 3 genau an – lässt sich hier eine Variable kürzen?

1. Den Bruch mit \( \sqrt[n]{v^{n-1}} \) erweitern: \( \frac{u \cdot \sqrt[n]{v^{n-1}}}{\sqrt[n]{v} \cdot \sqrt[n]{v^{n-1}}} = \frac{u\sqrt[n]{v^{n-1}}}{\sqrt[n]{v^n}} = \frac{u\sqrt[n]{v^{n-1}}}{v} \). 2. Den Bruch mit \( \sqrt[4]{y} \) erweitern: \( \frac{1 \cdot \sqrt[4]{y}}{x\sqrt[4]{y^3} \cdot \sqrt[4]{y}} = \frac{\sqrt[4]{y}}{x\sqrt[4]{y^4}} = \frac{\sqrt[4]{y}}{xy} \). 3. Den Bruch mit \( \sqrt[m]{z} \) erweitern: \( \frac{z \cdot \sqrt[m]{z}}{\sqrt[m]{z^{m-1}} \cdot \sqrt[m]{z}} = \frac{z\sqrt[m]{z}}{\sqrt[m]{z^m}} = \frac{z\sqrt[m]{z}}{z} \). Durch Kürzen von \( z \) ergibt sich \( \sqrt[m]{z} \).

1) \( \frac{u\sqrt[n]{v^{n-1}}}{v} \); 2) \( \frac{\sqrt[4]{y}}{xy} \); 3) \( \sqrt[m]{z} \)

- Um Wurzeln zu vergleichen, ist es oft hilfreich, alles unter ein Wurzelzeichen zu schreiben. - Welchen Exponenten benötigt eine Zahl, um unter eine vierte Wurzel geschoben zu werden? - Wurzeln lassen sich einfacher verrechnen, wenn man sie in die Potenzschreibweise umschreibt. - Welche Rechenregel gilt für Potenzen, die nochmals potenziert werden?

1. Teilaufgabe a): Den Faktor \(2\) in die vierte Wurzel einbringen: \(2 = \sqrt[4]{2^4} = \sqrt[4]{16}\). Das Produkt bilden: \(\sqrt[4]{16 \cdot 3} = \sqrt[4]{48}\). Vergleich der Radikanden: Da \(48 < 50\) gilt, ist \(\sqrt[4]{48} < \sqrt[4]{50}\). Somit ist \(\sqrt[4]{50}\) der größere Wert. 2. Teilaufgabe b): Den inneren Ausdruck als Potenz schreiben: \(x \cdot \sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}\). Die äußere dritte Wurzel als Exponenten anwenden: \((x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}}\). Die Exponenten multiplizieren: \(x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}}\). Das Ergebnis in Wurzelschreibweise angeben: \(\sqrt{x}\).

a) \(\sqrt[4]{50}\) ist größer, da \(2 \cdot \sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{48}\). b) \(\sqrt{x}\)

- Achte beim teilweisen Wurzelziehen bei dritten Wurzeln auf Kubikzahlen wie \(8\), \(27\), \(64\) oder \(125\). - Was ist der Unterschied zwischen dem Wurzelexponenten und dem Radikanden? - Können Wurzeln mit unterschiedlichen Exponenten (z. B. Quadratwurzel und Kubikwurzel) jemals gleichartig sein? - Wandle Dezimalzahlen und Brüche in eine einheitliche Form um, um die Koeffizienten besser vergleichen zu können.

1. Analyse von Paar a: \(\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}\) und \(\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{3}\). Beide Terme haben den Exponenten \(3\) und den Radikanden \(3\), sie sind gleichartig. 2. Analyse von Paar b: \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) (Exponent \(2\)) und \(\sqrt[3]{12}\) (Exponent \(3\)). Da die Wurzelexponenten unterschiedlich sind, können die Wurzeln nicht gleichartig sein. 3. Analyse von Paar c: \(\frac{3}{5} \sqrt[3]{250} = \frac{3}{5} \cdot \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \frac{3}{5} \cdot 5 \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}\). Der zweite Term ist \(0{,}5 \sqrt[3]{128} = 0{,}5 \cdot \sqrt[3]{64 \cdot 2} = 0{,}5 \cdot 4 \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}\). Da beide den Exponenten \(3\) und den Radikanden \(2\) haben, sind sie gleichartig.

a) Gleichartig (\(2\sqrt[3]{3}\) und \(3\sqrt[3]{3}\)) b) Nicht gleichartig (unterschiedliche Wurzelexponenten) c) Gleichartig (\(3\sqrt[3]{2}\) und \(2\sqrt[3]{2}\))

- Wende die Rechenregeln für Brüche und Potenzen nacheinander an. - Achte bei Summen unter der Wurzel darauf, ob du sie erst zusammenfassen kannst. - Darf man die Wurzel aus einer Summe ziehen, indem man die Wurzel aus jedem Summanden einzeln zieht? - Eine „Wurzel aus einer Wurzel“ lässt sich durch Multiplikation der Wurzelexponenten oder durch nacheinander ausgeführtes Potenzieren vereinfachen.

1. Zu a): Zähler vereinfachen zu \(a^{\frac{10}{2}} = a^5\). Nenner vereinfachen zu \(a^{\frac{8}{4}} = a^2\). Division der Potenzen ergibt \(a^{5-2} = a^3\). 2. Zu b): Linke Seite zusammenfassen zu \(\sqrt{2x^2}\). Anwendung der Produktregel ergibt \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2} = x\sqrt{2}\). Da \(\sqrt{2} \neq 2\), ist die Aussage \(x\sqrt{2} = 2x\) für \(x > 0\) falsch. 3. Zu c): Innere Wurzel berechnen: \(\sqrt{y^{16}} = y^8\). Äußere Wurzel auf das Ergebnis anwenden: \(\sqrt{y^8} = y^4\). Alternativ: \(((y^{16})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = y^{16 \cdot \frac{1}{4}} = y^4\).

a) \(a^3\) b) Falsch, da \(\sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}\) und \(x\sqrt{2} \neq 2x\). c) \(y^4\)

- Behandle zuerst die Fälle \(x=0\) oder \(y=0\). - Quadriere anschließend die Gleichung. - Was folgt aus der Rationalität von \(\sqrt{xy}\), wenn \(xy\) eine natürliche Zahl ist? - Nutze die Zerlegung einer natürlichen Zahl in einen quadratfreien Anteil und ein Quadrat.

1. Es gilt \(\sqrt{27}=3\sqrt3\). 2. Falls \(x=0\), folgt \(\sqrt y=3\sqrt3\) und damit \(y=27\). Entsprechend liefert \(y=0\) die Lösung \(x=27\). 3. Sei nun \(x,y>0\). Quadrieren der Gleichung ergibt \[ x+y+2\sqrt{xy}=27. \] Daraus folgt, dass \(\sqrt{xy}\) rational ist. Da \(xy\) eine natürliche Zahl ist, muss \(xy\) eine Quadratzahl sein. 4. Deshalb besitzen \(x\) und \(y\) denselben quadratfreien Anteil: Es gibt eine quadratfreie natürliche Zahl \(d\) und positive natürliche Zahlen \(a,b\) mit \[ x=da^2,\qquad y=db^2. \] Dann wird die Ausgangsgleichung zu \[ (a+b)\sqrt d=3\sqrt3. \] Daraus folgt \(d=3\) und \(a+b=3\). 5. Für positive \(a,b\) sind damit nur \((a,b)=(1,2)\) und \((2,1)\) möglich. Sie ergeben \[ (x,y)=(3,12)\quad\text{oder}\quad(12,3). \] Zusammen mit den Nullfällen erhält man alle vier Lösungen.

Die vollständige Lösungsmenge ist \[ \{(0,27),(3,12),(12,3),(27,0)\}. \]

- Versuche zuerst, \(\sqrt{8}\) zu vereinfachen. - Es könnte helfen, die Gleichung so umzustellen, dass alle Terme positiv sind. - Welchen Aufbau müssen \(x\) und \(y\) haben, damit die Subtraktion der Wurzeln wieder ein Vielfaches von \(\sqrt{2}\) ergibt? - Wähle einfache Werte für \(y\), die eine Wurzel der Form \(k\sqrt{2}\) besitzen.

1. Vereinfachung der rechten Seite: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). 2. Umstellen der Gleichung nach \(\sqrt{x}\): \(\sqrt{x} = 2\sqrt{2} + \sqrt{y}\). 3. Ein geeigneter Ansatz ist \(\sqrt{y} = k\sqrt{2}\), also \(y = 2k^2\) mit \(k \in \mathbb{N}_0\). Dann ist auch \(\sqrt{x} = (k+2)\sqrt{2}\) und damit \(x = 2(k+2)^2\) eine natürliche Zahl. 4. Wahl von drei Werten für \(k\) und Berechnung von \(y\) und \(x\): - Sei \(k = 0\): \(y = 2 \cdot 0^2 = 0\). Dann \(\sqrt{x} = 2\sqrt{2} + 0 \implies x = (2\sqrt{2})^2 = 8\). Paar: \((8, 0)\). - Sei \(k = 1\): \(y = 2 \cdot 1^2 = 2\). Dann \(\sqrt{x} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \implies x = (3\sqrt{2})^2 = 18\). Paar: \((18, 2)\). - Sei \(k = 2\): \(y = 2 \cdot 2^2 = 8\). Dann \(\sqrt{x} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \implies x = (4\sqrt{2})^2 = 32\). Paar: \((32, 8)\).

Drei mögliche Lösungen für \((x, y)\) sind: \((8, 0)\), \((18, 2)\) und \((32, 8)\). (Andere Lösungen wie \((50, 18)\) sind ebenfalls möglich.)

- Vereinfache zuerst \(\sqrt{125}\) durch teilweises Wurzelziehen. - In Aufgabenteil a) kannst du die Variable \(y\) einfach durch \(x\) ersetzen und schauen, ob eine natürliche Zahl als Ergebnis herauskommt. - In Aufgabenteil b) hilft es, auch \(\sqrt{20}\) teilweise zu radizieren, um mit dem Term auf der rechten Seite rechnen zu können.

1. Vereinfachung der rechten Seite: \(\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}\). 2. Zu Teil a): Setze \(x = y\) in die Gleichung ein: \(\sqrt{x} + \sqrt{x} = 5\sqrt{5} \implies 2\sqrt{x} = 5\sqrt{5}\). 3. Auflösen nach \(x\): \(\sqrt{x} = \frac{5}{2}\sqrt{5} = \sqrt{\frac{25}{4} \cdot 5} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \sqrt{31{,}25}\). Da \(31{,}25\) keine ganze Zahl ist, gibt es keine Lösung mit \(x, y \in \mathbb{N}_0\) und \(x = y\). 4. Zu Teil b): Setze \(x = 20\) ein: \(\sqrt{20} + \sqrt{y} = 5\sqrt{5}\). 5. Vereinfachen von \(\sqrt{20}\): \(2\sqrt{5} + \sqrt{y} = 5\sqrt{5}\). 6. Auflösen nach \(y\): \(\sqrt{y} = 5\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}\). 7. Quadrieren: \(y = (3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45\).

a) Nein, es gibt keine solche Lösung, da \(x = 31{,}25\) keine natürliche Zahl ist. b) Wenn \(x = 20\) ist, muss \(y = 45\) sein.

- Wie kann man Brüche vergleichen, die unterschiedliche Nenner haben? Kannst du dieses Prinzip auf die Wurzelexponenten übertragen? - Erinnere dich daran, dass \(\sqrt[n]{x} = \sqrt[n \cdot k]{x^k}\) gilt. - Suche nach einem gemeinsamen Wurzelexponenten für beide Zahlen. - Wenn die Wurzelexponenten gleich sind, musst du nur noch die Zahlen unter der Wurzel (die Radikanden) vergleichen.

1. Um die Wurzeln vergleichen zu können, bringen wir sie auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 4 ist 12. 2. Umformung von \(u\): \(u = \sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[12]{625}\). 3. Umformung von \(v\): \(v = \sqrt[4]{8} = \sqrt[4 \cdot 3]{8^3} = \sqrt[12]{512}\). 4. Vergleich der Radikanden: Da \(625 > 512\), gilt auch \(\sqrt[12]{625} > \sqrt[12]{512}\). 5. Ergebnis: Somit ist \(u > v\), also \(\sqrt[3]{5} > \sqrt[4]{8}\).

Die Zahl \(u = \sqrt[3]{5}\) ist größer als \(v = \sqrt[4]{8}\), da \(\sqrt[12]{625} > \sqrt[12]{512}\).

- Berechne zuerst den Zahlenwert für jeden Term einzeln. - Achte besonders auf das Minuszeichen: Steht es innerhalb oder außerhalb der Wurzel? - Erinnere dich daran, wie man Potenzen mit negativer Basis berechnet. - Was bewirkt das Quadrat unter einer Wurzel bei einer negativen Zahl?

1. Berechnung von \(a\): \(\sqrt[3]{-8} = -2\), da \((-2)^3 = -8\). 2. Berechnung von \(b\): \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), da \(0{,}5^2 = 0{,}25\). 3. Berechnung von \(c\): \(\sqrt[4]{81} = 3\), da \(3^4 = 81\). Somit ist \(c = -3\). 4. Berechnung von \(d\): \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\). 5. Berechnung von \(e\): \(\sqrt[5]{32} = 2\), da \(2^5 = 32\). 6. Vergleich der Werte: \(-3 < -2 < 0{,}5 < 2 < 3\). 7. Zuordnung der Terme: \(c < a < b < e < d\).

Die richtige Reihenfolge lautet: \(c < a < b < e < d\) (bzw. \(-3 < -2 < 0{,}5 < 2 < 3\)).

- Gibt es Regeln, um Wurzeln zusammenzufassen, die den gleichen Wurzelexponenten haben? - Wie kann man eine Wurzel aus einer Wurzel umschreiben? - Kannst du die Dezimalzahl als Bruch schreiben, um die Potenz mit negativem Exponenten leichter zu berechnen?

1. Teil a): Anwendung der Regel \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\) ergibt \(\sqrt[3]{\frac{2^7}{2^1}} = \sqrt[3]{2^6} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^2 = 4\). 2. Teil b): Anwendung der Regel \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\) ergibt \(\sqrt[6]{729}\). Da \(3^6 = 729\), ist das Ergebnis \(3\). 3. Teil c): Anwendung der Regel \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) ergibt \(8^{\frac{1}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 = 6\). 4. Teil d): Umformung \(0{,}5 = \frac{1}{2}\). Also \((\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4\). Die vierte Wurzel aus 16 ist 2. Berechnung: \(4 \cdot 2 = 8\).

a) \(4\) b) \(3\) c) \(6\) d) \(8\)

- Erinnere dich daran, wie man negative Exponenten in positive umwandelt. - Kannst du Terme im Zähler erst zusammenfassen, bevor du die Wurzel ziehst oder dividierst? - Behandle Ausdrücke in Klammern wie eine einzelne Basis. - Wie geht man vor, wenn im Exponenten einer Potenz eine Variable steht?

1. Teilaufgabe a): Umschreiben des Nenners \(\frac{1}{x^{-6}} = x^6\), dann \(\sqrt[3]{3^3 \cdot x^6} = 3 \cdot x^2\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung der Wurzel im Nenner zu \((a^{3n} \cdot b^{2n})^{\frac{1}{n}} = a^3 \cdot b^2\), dann Invertierung zu \(a^{-3} \cdot b^{-2}\). 3. Teilaufgabe c): Multiplikation im Zähler ergibt \(\sqrt[3]{x^{2+7}} = \sqrt[3]{x^9} = x^3\). Division durch den Nenner \(x^3 : x^2 = x^1 = x\). 4. Teilaufgabe d): Anwendung der Regel für rationale Exponenten auf die Differenz \((a-b)^{\frac{12}{4}} = (a-b)^3\).

a) \(3x^2\) b) \(a^{-3} \cdot b^{-2}\) oder \(\frac{1}{a^3 \cdot b^2}\) c) \(x\) d) \((a-b)^3\)

- Setze die Zahlen ein und berechne beide Seiten der Gleichung getrennt voneinander. - Was passiert, wenn du eine Summe wie \((x+y)^2\) ausrechnest? - Vergleiche das Ergebnis von \((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2\) mit dem einfachen Ausdruck \(a+b\). Welcher Teil kommt zusätzlich hinzu?

1. Überprüfung mit Zahlen: Linke Seite \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). Rechte Seite \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\). Da \(5 \neq 7\), ist die Behauptung für dieses Beispiel falsch. 2. Quadrat der linken Seite: \((\sqrt{a+b})^2 = a + b\). 3. Quadrat der rechten Seite mit 1. binomischer Formel: \((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b\). 4. Vergleich der Quadrate: Da \(a, b > 0\), ist der gemischte Term \(2\sqrt{ab}\) positiv. Somit ist \(a + 2\sqrt{ab} + b > a + b\). 5. Schlussfolgerung: Da das Quadrat der rechten Seite größer ist als das der linken Seite, muss (für positive Werte) auch gelten: \(\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}\). Die Terme sind also nicht äquivalent.

a) Für \(a=9, b=16\) ergibt sich \(5 \neq 7\), die Behauptung ist also falsch. b) Durch Quadrieren der rechten Seite erhält man \(a + 2\sqrt{ab} + b\). Da dieser Ausdruck um \(2\sqrt{ab}\) größer ist als \(a+b\) (das Quadrat der linken Seite), gilt stets \(\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}\) für \(a, b > 0\).

- Was passiert mit dem Exponenten, wenn eine Wurzel in einer anderen Wurzel steht? - Versuche bei verschachtelten Ausdrücken, Schritt für Schritt von innen nach außen zu arbeiten. - Kannst du die Platzhalter \(k\) oder \(m\) wie ganz normale Zahlen behandeln?

1. Teilaufgabe a): Umwandlung in Potenzen: \(a^{\frac{1}{k}} \cdot a^{\frac{3}{2k}}\). Bringen der Exponenten auf den Nenner \(2k\): \(\frac{2}{2k} + \frac{3}{2k} = \frac{5}{2k}\). Das Ergebnis ist \(\sqrt[2k]{a^5}\). 2. Teilaufgabe b): Schrittweise Auflösung von innen nach außen: \(\sqrt{a \cdot a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{a^{\frac{3}{2}}}\). Anwendung der Regel für geschachtelte Wurzeln (Exponenten multiplizieren): \((a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{4}}\). In Wurzelschreibweise: \(\sqrt[4]{a^3}\). 3. Teilaufgabe c): Umwandlung in Potenzen: \(a^{\frac{2}{m}} : a^{\frac{1}{2m}}\). Subtraktion der Exponenten auf dem Hauptnenner \(2m\): \(\frac{4}{2m} - \frac{1}{2m} = \frac{3}{2m}\). Rückumwandlung ergibt \(\sqrt[2m]{a^3}\).

a) \(\sqrt[2k]{a^5}\) b) \(\sqrt[4]{a^3}\) c) \(\sqrt[2m]{a^3}\)

- Wie geht man vor, wenn eine Wurzel in einer anderen Wurzel steht? - Was passiert mit den Exponenten, wenn man eine Potenz nochmals potenziert? - Denke bei der binomischen Formel daran, wie sich Potenzen mit entgegengesetzten Vorzeichen im Exponenten beim Multiplizieren verhalten. - Hilft es dir, alle Terme auf eine gemeinsame Basis mit einem einzigen Exponenten zu bringen?

1. Teilaufgabe a: Die innere Wurzel wird als Potenz geschrieben: \(\sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}\). Zusammenfassen unter der äußeren Wurzel ergibt \(\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}\). Die Anwendung der Regel für geschachtelte Wurzeln (oder Potenzieren von Potenzen) führt zu \((x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}}\), was \(\sqrt[4]{x^3}\) entspricht. 2. Teilaufgabe b: Anwendung der ersten binomischen Formel ergibt \((y^{\frac{1}{3}})^2 + 2 \cdot y^{\frac{1}{3}} \cdot y^{-\frac{1}{3}} + (y^{-\frac{1}{3}})^2\). Durch Verrechnung der Exponenten erhält man \(y^{\frac{2}{3}} + 2 \cdot y^0 + y^{-\frac{2}{3}}\). Da \(y^0 = 1\) ist, lautet das Ergebnis \(y^{\frac{2}{3}} + 2 + y^{-\frac{2}{3}}\). 3. Teilaufgabe c: Umwandlung aller Terme in Potenzen ergibt \(z^{\frac{4}{3}} \cdot z^{-1} \cdot z^{-\frac{1}{6}}\). Die Addition der Exponenten mit dem Hauptnenner 6 führt zu \(\frac{8}{6} - \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}\). Das Ergebnis ist \(z^{\frac{1}{6}}\) bzw. \(\sqrt[6]{z}\).

a) \(x^{\frac{3}{4}}\) oder \(\sqrt[4]{x^3}\) b) \(y^{\frac{2}{3}} + 2 + y^{-\frac{2}{3}}\) c) \(z^{\frac{1}{6}}\) oder \(\sqrt[6]{z}\)

- Es hilft oft, zuerst alle Wurzeln in Brüche im Exponenten umzuwandeln. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du einen negativen Exponenten im Nenner subtrahierst. - Bringe die Brüche in den Exponenten auf einen gemeinsamen Hauptnenner, um sie leichter verrechnen zu können.

1. Umwandlung beider Wurzeln in Potenzschreibweise: Zähler \((x^2 y)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}}\), Nenner \((x y^{-1})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} y^{-\frac{1}{2}}\). 2. Trennung der Variablen nach Basen: \(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{-\frac{1}{2}}}\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes für die Division (Subtraktion der Exponenten): Für \(x\): \(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}\). Für \(y\): \(\frac{1}{3} - (-\frac{1}{2}) = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}\). 4. Zusammenführung der Ergebnisse: \(x^{\frac{1}{6}} \cdot y^{\frac{5}{6}}\).

\(x^{\frac{1}{6}} y^{\frac{5}{6}}\) oder \(\sqrt[6]{x \cdot y^5}\)

- Gibt es eine Regel, wie man Wurzeln mit dem gleichen Index dividiert? - Setze dein Ergebnis aus dem ersten Teil ein, um den Wert zu berechnen. - Probiere die Regeländerung Schritt für Schritt am Beispiel aus und vergleiche die Exponenten.

1. Teil a): Anwendung der Rechenregeln für Wurzeln mit gleichem Index: \(\frac{\sqrt[3]{z^7}}{\sqrt[3]{z}} = \sqrt[3]{\frac{z^7}{z}} = \sqrt[3]{z^6}\). Umwandlung in Potenzschreibweise: \(z^{\frac{6}{3}} = z^2\). 2. Teil b): Einsetzen von \(z = 8\) in das Ergebnis \(z^2\): \(8^2 = 64\). 3. Teil c): Der ursprüngliche Term ist \(\sqrt[4]{x^{12}} = x^{\frac{12}{4}} = x^3\). Nach der Änderung (Wurzelexponent verdoppelt: \(4 \cdot 2 = 8\); Exponent halbiert: \(12 : 2 = 6\)) lautet der neue Term \(\sqrt[8]{x^6}\). In Potenzschreibweise ist dies \(x^{\frac{6}{8}} = x^{\frac{3}{4}}\). Da \(x^3 \neq x^{\frac{3}{4}}\) für allgemeine \(x\), ist die Aussage falsch.

a) \(z^2\) b) \(64\) c) Die Aussage ist falsch. Beispiel: \(\sqrt[4]{x^{12}} = x^3\), aber \(\sqrt[8]{x^6} = x^{\frac{3}{4}}\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie quadriert? - Wie ist das Ergebnis einer Quadratwurzel (oder einer Potenz mit \(0{,}5\)) definiert? - Gibt es eine mathematische Schreibweise, die den Wert einer Zahl ohne ihr Vorzeichen angibt?

1. Überprüfung für \(x = 4\): \((4^2)^{0{,}5} = 16^{0{,}5} = \sqrt{16} = 4\). Die Aussage ist wahr. 2. Überprüfung für \(x = -4\): \(((-4)^2)^{0{,}5} = 16^{0{,}5} = \sqrt{16} = 4\). Da \(4 \neq -4\), ist die Aussage falsch. 3. Begründung: Das Quadrieren einer negativen Zahl liefert ein positives Ergebnis (\((-4)^2 = 16\)). Die Potenz mit dem Exponenten \(0{,}5\) entspricht der Quadratwurzel. Die Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl ist per Definition immer nicht negativ. Daher kann das Ergebnis niemals der ursprünglichen negativen Zahl \(x\) entsprechen. 4. Korrektur: Damit das Ergebnis für alle \(x\) stimmt, muss der Betrag verwendet werden. Die korrekte Gleichung lautet \((x^2)^{0{,}5} = |x|\).

a) Für \(x = 4\) ist die Gleichung wahr (\(4 = 4\)), für \(x = -4\) ist sie falsch (\(4 \neq -4\)). b) Durch das Quadrieren wird das Vorzeichen von \(x\) „gelöscht“ (das Ergebnis ist immer nicht negativ). Da die Quadratwurzel (Exponent \(0{,}5\)) einer nicht negativen Zahl ebenfalls nicht negativ ist, kann am Ende nicht die negative Ausgangszahl stehen. c) Die korrekte rechte Seite lautet \(|x|\) (der Betrag von \(x\)).

- Versuche zuerst, den Ausdruck unter der Wurzel mithilfe einer binomischen Formel umzuschreiben. - Setze die Zahlen für \(x\) in die Formel des Schülers ein und vergleiche sie mit deinen Ergebnissen. - Kann eine Quadratwurzel jemals ein negatives Ergebnis liefern? - Wann ist der Ausdruck \(x - 5\) negativ?

1. Termstruktur erkennen: Der Ausdruck unter der Wurzel ist eine binomische Formel: \(x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\). 2. Berechnung für \(x = 8\): \(T(8) = \sqrt{(8-5)^2} = \sqrt{3^2} = 3\). 3. Berechnung für \(x = 2\): \(T(2) = \sqrt{(2-5)^2} = \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\). 4. Prüfung der Schülerbehauptung für \(x = 8\): \(x - 5 = 8 - 5 = 3\). Das Ergebnis stimmt mit \(T(8)\) überein. 5. Prüfung der Schülerbehauptung für \(x = 2\): \(x - 5 = 2 - 5 = -3\). Da \(T(2) = 3\) ist, ist die Behauptung für \(x = 2\) falsch. 6. Bestimmung des Definitionsbereichs der Vereinfachung: Da \(\sqrt{(x-5)^2} = |x - 5|\) ist, gilt die Vereinfachung \(T(x) = x - 5\) nur, wenn \(x - 5 \ge 0\) ist, also für alle \(x \ge 5\).

a) Für \(x = 8\) ist \(T(8) = 3\); für \(x = 2\) ist \(T(2) = 3\). b) Die Behauptung ist für \(x = 8\) wahr, aber für \(x = 2\) falsch (da \(3 \neq -3\)). Die Vereinfachung ist nur für \(x \ge 5\) korrekt.

- Erinnere dich an den Unterschied zwischen \(\sqrt[n]{a^n}\) bei geradem und ungeradem \(n\). - Wie ist der Betrag einer Zahl definiert, wenn die Zahl selbst negativ ist? - Schätze die Werte von \(\sqrt{5}\) und \(\pi\) grob ab, um das Vorzeichen der Differenz zu bestimmen. - Wann ist der Betrag einer Zahl gleich ihrer Gegenzahl?

1. Bei ungeradem Exponenten gilt \(\sqrt[n]{a^n} = a\), also \(\sqrt[3]{(-5)^3} = -5\). Bei geradem Exponenten gilt \(\sqrt{a^2} = |a|\), also \(\sqrt{(-5)^2} = 5\). Die Summe ist \(-5 + 5 = 0\). 2. Es gilt \(\sqrt[4]{(\sqrt{5}-3)^4} = |\sqrt{5}-3|\). Da \(\sqrt{5} \approx 2{,}236 < 3\), ist die Basis negativ. Der Betrag ist \(3-\sqrt{5}\). 3. Es gilt \(\sqrt{(3-\pi)^2} = |3-\pi|\). Da \(\pi \approx 3{,}141 > 3\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist \(\pi-3\). 4. Die linke Seite \(\sqrt[8]{x^8}\) entspricht \(|x|\). Die Gleichung \(|x| = -x\) ist nach der Definition des Betrags genau dann erfüllt, wenn \(x \le 0\).

a) 0; b) \(3-\sqrt{5}\); c) \(\pi-3\); d) \(x \le 0\).

- Erinnerst du dich an einen Zusammenhang zwischen der Quadratwurzel eines Quadrats und dem Betrag? - Kannst du die Ausdrücke unter den Wurzeln als Quadrate von Binomen schreiben? - Überlege dir, welches Vorzeichen die Terme innerhalb der Betragsstriche für Werte zwischen \(-2\) und \(2\) annehmen. - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen innerhalb eines Betrags für das Auflösen der Betragsstriche?

1. Faktorisieren der Radikanden mithilfe der binomischen Formeln: \(\sqrt{(x+2)^2} - \sqrt{(x-2)^2}\) 2. Anwendung der Identität \(\sqrt{a^2} = |a|\): \(|x+2| - |x-2|\) 3. Untersuchung der Vorzeichen innerhalb der Beträge für \(-2 < x < 2\): Da \(x > -2\), gilt \(x+2 > 0\). Da \(x < 2\), gilt \(x-2 < 0\). 4. Auflösen der Betragsstriche: \(|x+2| = x+2\) und \(|x-2| = -(x-2) = 2-x\) 5. Subtraktion und Vereinfachung des Gesamtausdrucks: \((x+2) - (2-x) = x + 2 - 2 + x = 2x\)

\(2x\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine Quadratwurzel aus einem quadrierten negativen Term ziehst? - Unterscheiden sich die Regeln für ungerade Wurzelexponenten (wie bei der dritten Wurzel) von denen für gerade Exponenten? - Kannst du den Betrag eines Terms auflösen, wenn du weißt, dass der Term kleiner als Null ist?

1. Zerlegung für die dritte Wurzel: \(\sqrt[3]{x^3 \cdot x \cdot (y-1)^3 \cdot (y-1)^2}\). Da die dritte Wurzel für alle reellen Zahlen definiert ist, gilt \(\sqrt[3]{x^3} = x\) und \(\sqrt[3]{(y-1)^3} = y-1\). Ergebnis: \(x(y-1)\sqrt[3]{x(y-1)^2}\). 2. Analyse der Quadratwurzel: \(\sqrt{a^7(b-3)^2} = \sqrt{a^6 \cdot a \cdot (b-3)^2}\). Für \(a \ge 0\) ist \(\sqrt{a^6} = a^3\). Da \(b < 3\), ist der Ausdruck \(b-3\) negativ. Es gilt \(\sqrt{(b-3)^2} = |b-3|\). Da \(b-3 < 0\), ist \(|b-3| = -(b-3) = 3-b\). Ergebnis: \(a^3(3-b)\sqrt{a}\).

1) \(x(y-1)\sqrt[3]{x(y-1)^2}\) 2) \(a^3(3-b)\sqrt{a}\)

- Suche unter der Kubikwurzel nach Faktoren, deren Exponent ein Vielfaches von 3 ist. - Erinnere dich an den Unterschied zwischen \(\sqrt{x^2}\) und \(\sqrt[3]{x^3}\). - Ist eine Kubikwurzel aus einer negativen Zahl definiert? - Wie verhält sich das Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie erst hoch 3 nimmt und dann die 3. Wurzel zieht?

1. Zerlegung des Radikanden in Faktoren, die Potenzen von 3 sind: \(\frac{(x^2)^3 \cdot y^3 \cdot y}{3^3 \cdot z^3}\). 2. Anwendung der Wurzelgesetze für Kubikwurzeln: \(\frac{\sqrt[3]{(x^2)^3} \cdot \sqrt[3]{y^3} \cdot \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{z^3}}\). 3. Radizieren der Kubikzahlen ergibt \(\frac{x^2 \cdot y \cdot \sqrt[3]{y}}{3 \cdot z}\). 4. Gültigkeit für negative Werte: Da der Wurzelexponent 3 ungerade ist, ist die Kubikwurzel für alle reellen Zahlen definiert und es gilt allgemein \(\sqrt[3]{a^3} = a\) für jedes \(a \in \mathbb{R}\). Im Gegensatz zu Quadratwurzeln sind keine Betragsstriche erforderlich, und das Vorzeichen bleibt erhalten. Die Vereinfachung ist somit für alle \(x, y, z \in \mathbb{R}\) mit \(z \neq 0\) gültig.

a) \(A = \frac{x^2 y \sqrt[3]{y}}{3z}\) b) Ja, die Vereinfachung ist auch für negative Werte von \(y\) und \(z\) gültig, da bei ungeraden Wurzelexponenten \(\sqrt[n]{a^n} = a\) für alle \(a \in \mathbb{R}\) gilt (keine Betragsstriche nötig).

- Wie kannst du Brüche mit unterschiedlichen Nennern unter einer Wurzel zusammenfassen? - Kannst du einen gemeinsamen Faktor aus einer Summe oder Differenz unter der Wurzel ausklammern? - Achte darauf, wie sich Potenzen verhalten, wenn man sie radiziert – dividiere den Exponenten der Potenz durch den Wurzelexponenten. - Hilft es dir, die Ausdrücke als Potenzen mit rationalen Exponenten zu schreiben?

1. Aufteilen der Wurzel auf Zähler und Nenner sowie Zerlegung der Potenzen: \(\sqrt[3]{\frac{2^3 \cdot b^3 \cdot b}{3^3 \cdot (c^2)^3}}\). Radizieren der Faktoren mit dem Exponenten 3 ergibt \(\frac{2 b}{3 c^2} \sqrt[3]{b}\). 2. Zusammenfassen der Brüche unter der Wurzel durch Erweitern auf den Hauptnenner \(a^9\): \(\sqrt[4]{\frac{a+1}{a^9}}\). Umschreiben des Nenners als \(a^8 \cdot a\) ermöglicht das Radizieren von \(a^8\): \(\sqrt[4]{\frac{a+1}{a^8 \cdot a}} = \frac{1}{a^2} \sqrt[4]{\frac{a+1}{a}}\). Im angegebenen Definitionsbereich gilt \(a^2>0\), sodass kein Betrag erforderlich ist. 3. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(a^6\) unter der Wurzel: \(\sqrt[3]{a^6(b-c)}\). Da \(a^6 = (a^2)^3\) eine Kubikzahl ist, ergibt das teilweise Radizieren \(a^2 \sqrt[3]{b-c}\).

1) \(\frac{2 b}{3 c^2} \sqrt[3]{b}\) 2) \(\frac{1}{a^2} \sqrt[4]{\frac{a+1}{a}}\) 3) \(a^2 \sqrt[3]{b-c}\)

- Kannst du Zahlen im Radikanden in Faktoren zerlegen, von denen einer eine perfekte Potenz (Quadratzahl, Kubikzahl etc.) passend zum Wurzelexponenten ist? - Wie verhält sich das Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl unter einer ungeraden Wurzel betrachtet? - Kannst du den Ausdruck unter der Wurzel durch Ausklammern faktorisieren, um das teilweise Wurzelziehen zu ermöglichen?

1. Definitionsbereich für \(\sqrt[4]{48(b-2)^5}\): Da der Wurzelexponent gerade ist, muss \(48(b-2)^5 \ge 0\) gelten, woraus \(b \ge 2\) folgt. Zerlegung des Radikanden: \(\sqrt[4]{16 \cdot 3 \cdot (b-2)^4 \cdot (b-2)}\). Teilweises Wurzelziehen: \(2(b-2) \sqrt[4]{3(b-2)}\). 2. Definitionsbereich für \(\sqrt[3]{-24(c+1)^7}\): Ungerader Wurzelexponent, daher für alle \(c \in \mathbb{R}\) definiert. Zerlegung des Radikanden: \(\sqrt[3]{-8 \cdot 3 \cdot (c+1)^6 \cdot (c+1)}\). Teilweises Wurzelziehen (\(\sqrt[3]{-8} = -2\) und \(\sqrt[3]{((c+1)^2)^3} = (c+1)^2\)): \(-2(c+1)^2 \sqrt[3]{3(c+1)}\). 3. Definitionsbereich für \(\sqrt{x^5 + x^4}\): Faktorisierung des Radikanden zu \(x^4(x+1)\). Bedingung \(x^4(x+1) \ge 0\) führt zu \(x \ge -1\). Teilweises Wurzelziehen: \(\sqrt{x^4} \cdot \sqrt{x+1} = x^2 \sqrt{x+1}\). Da \(x^2\) stets nicht-negativ ist, entfällt der Betrag.

1) \(2(b-2) \sqrt[4]{3(b-2)}\) für \(b \ge 2\) 2) \(-2(c+1)^2 \sqrt[3]{3(c+1)}\) für \(c \in \mathbb{R}\) 3) \(x^2 \sqrt{x+1}\) für \(x \ge -1\)

- Prüfe bei negativen Vorfaktoren, ob das Ergebnis das gleiche Vorzeichen wie der Startwert hat. - Welche Eigenschaft haben Ergebnisse von Quadratwurzeln immer? - Kannst du den Term unter der Wurzel durch Kürzen von Zahlen und Variablen noch übersichtlicher machen? - Überlege dir, ob das Vorzeichen des Gesamtausdrucks durch die Umformung erhalten bleibt.

1. Teilaufgabe a): Der Faktor \(\frac{k}{2}\) wird mit 3 potenziert und unter die Wurzel geschrieben: \(\sqrt[3]{\frac{k^3}{2^3} \cdot \frac{24}{k^2}} = \sqrt[3]{\frac{k^3}{8} \cdot \frac{24}{k^2}}\). Das Kürzen der Zahlen (\(24 : 8 = 3\)) und der Variablen (\(k^3 : k^2 = k\)) liefert das Ergebnis \(\sqrt[3]{3k}\). 2. Teilaufgabe b): Die Umformung ist fehlerhaft, da eine Quadratwurzel per Definition niemals negativ ist. Der ursprüngliche Term \(-3 \cdot \sqrt{2}\) ist jedoch negativ. Beim Hineinziehen eines negativen Faktors unter eine Wurzel mit geradem Exponenten muss das negative Vorzeichen vor der Wurzel stehen bleiben. 3. Korrekte Umformung: \(-3 \cdot \sqrt{2} = - \sqrt{3^2 \cdot 2} = - \sqrt{18}\).

a) \(\sqrt[3]{3k}\) b) Die Behauptung ist falsch, da \(-3 \cdot \sqrt{2}\) negativ ist, \(\sqrt{18}\) aber positiv. Korrekt ist: \(- \sqrt{18}\).

- Kannst du den Radikanden in Faktoren zerlegen, deren Exponenten durch den Wurzelexponenten teilbar sind? - Erinnere dich daran, dass \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\) gilt. Hilft dir diese Schreibweise beim Vereinfachen? - Wenn im Zähler und Nenner die gleiche Basis steht, wie kannst du die Exponenten verrechnen? - Was passiert mit dem Exponenten einer Variablen, wenn du sie aus einer \(n\)-ten Wurzel herausziehst?

1. Der Radikand wird so zerlegt, dass Faktoren mit dem Exponenten 4 entstehen: \(\sqrt[4]{x^8 \cdot x \cdot y^4}\). Durch teilweises Wurzelziehen erhält man \(x^{8/4} \cdot y^{4/4} \cdot \sqrt[4]{x} = x^2 \cdot y \cdot \sqrt[4]{x}\). 2. Der Ausdruck unter der Wurzel wird faktorisiert in Terme, deren Exponent ein Vielfaches von \(n\) ist: \(\sqrt[n]{a^n \cdot a^2 \cdot (b^3)^n}\). Das Herausziehen dieser Faktoren ergibt \(a \cdot b^3 \cdot \sqrt[n]{a^2}\). 3. Zuerst wird die Wurzel im Zähler teilweise gezogen: \(\sqrt[k]{z^{2k} \cdot z} = z^2 \cdot \sqrt[k]{z}\). Der gesamte Bruch lautet dann \(\frac{z^2 \cdot \sqrt[k]{z}}{z}\). Durch Kürzen mit \(z\) vereinfacht sich der Ausdruck zu \(z \cdot \sqrt[k]{z}\). Alternativ kann der Ausdruck über rationale Exponenten berechnet werden: \(z^{\frac{2k+1}{k}} \cdot z^{-1} = z^{\frac{2k+1-k}{k}} = z^{\frac{k+1}{k}} = z \cdot z^{\frac{1}{k}}\).

1) \(x^2 \cdot y \cdot \sqrt[4]{x}\) 2) \(a \cdot b^3 \cdot \sqrt[n]{a^2}\) 3) \(z \cdot \sqrt[k]{z}\)

- Erinnerst du dich an die Potenzgesetze für das Einbringen von Faktoren in Wurzeln? - Schau dir in Aufgabenteil a) den Zähler genau an. Kannst du dort schrittweise ausklammern, um den Term zu vereinfachen? - In Aufgabenteil b) hilft es, im Radikanden zuerst \(y^3\) auszuklammern. - Achte darauf, dass der Exponent beim Einziehen unter eine Kubikwurzel eine 3 sein muss.

1. Teilaufgabe a): Den Faktor \(\frac{1}{k+1}\) unter die Quadratwurzel ziehen ergibt \(\sqrt{\frac{k^3 + 3k^2 + 3k + 1}{(k+1)^2}}\). Den Zähler durch Ausklammern oder Erkennen der kubischen Binomialformel faktorisieren: \(k^3 + 3k^2 + 3k + 1 = (k+1)^3\). Division durch den Nenner: \(\sqrt{\frac{(k+1)^3}{(k+1)^2}} = \sqrt{k+1}\). 2. Teilaufgabe b): Den Faktor \(\frac{x}{y}\) unter die Kubikwurzel ziehen ergibt \(\sqrt[3]{\left(\frac{x}{y}\right)^3 \cdot \left(\frac{y^4 + y^3}{x^2}\right)}\). Den Radikanden umformen: \(\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^3} \cdot \frac{y^3(y + 1)}{x^2}}\). Kürzen der Terme \(x^2\) und \(y^3\): \(\sqrt[3]{x \cdot (y + 1)}\).

a) \(\sqrt{k+1}\) b) \(\sqrt[3]{x(y+1)}\)

- Rechne zuerst den Wert innerhalb der Wurzel aus (die Potenz). - Beachte den Unterschied im Ergebnis, wenn du eine negative Zahl mit einer geraden oder einer ungeraden Zahl potenzierst. - Ist das Ergebnis einer Wurzelrechnung in der Schule immer positiv oder kann es auch negativ sein? - Wie kannst du mathematisch sicherstellen, dass ein Ergebnis niemals negativ ist, egal welche Zahl du einsetzt?

1. Überprüfung für \(n = 4, a = -3\): \(\sqrt[4]{(-3)^4} = \sqrt[4]{81} = 3\). Da \(3 \neq -3\), ist die Behauptung für negative \(a\) und gerade \(n\) falsch. 2. Überprüfung für \(n = 3, a = -2\): \(\sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8} = -2\). Hier gilt \(-2 = -2\), die Behauptung ist für ungerade \(n\) korrekt (sofern Wurzeln aus negativen Zahlen definiert sind). 3. Korrektur für gerade \(n\): Das Ergebnis einer Wurzel mit geradem Exponenten ist per Definition stets nicht-negativ. Da \(a^n\) für gerade \(n\) positiv ist, ergibt die Wurzel den Betrag der Basis. Die korrekte Formel lautet: \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\).

a) Die Behauptung ist falsch, da \(\sqrt[4]{(-3)^4} = 3\) und nicht \(-3\). b) Die Behauptung ist wahr, da \(\sqrt[3]{(-2)^3} = -2\). c) Die korrekte Formel für gerade \(n\) lautet \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\).

- Mit welchem Exponenten musst du einen Faktor versehen, um ihn unter eine dritte oder vierte Wurzel zu schreiben? - Nach dem Kürzen steht oft noch eine Zahl im Nenner unter der Wurzel. Mit welcher Zahl musst du den Bruch erweitern, damit im Nenner eine passende Potenz (z. B. eine Kubikzahl) entsteht? - Erinnerst du dich an das Verfahren, den Nenner unter einer Wurzel rational zu machen?

1. Teilaufgabe a): Den Faktor \(m\) als \(m^3\) unter die dritte Wurzel ziehen: \(\sqrt[3]{m^3 \cdot \frac{n}{2m^2}} = \sqrt[3]{\frac{m^3n}{2m^2}}\). 2. Kürzen des Radikanden: \(\frac{m^3n}{2m^2} = \frac{mn}{2}\). 3. Den Nenner im Radikanden rational machen (erweitern mit \(4\), um im Nenner \(8 = 2^3\) zu erhalten): \(\sqrt[3]{\frac{mn \cdot 4}{2 \cdot 4}} = \sqrt[3]{\frac{4mn}{8}}\). 4. Die Wurzel aus dem Nenner ziehen: \(\frac{\sqrt[3]{4mn}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}\sqrt[3]{4mn}\). 5. Teilaufgabe b): Den Faktor \(y\) als \(y^4\) unter die vierte Wurzel ziehen: \(\sqrt[4]{y^4 \cdot \frac{x}{8y^3}} = \sqrt[4]{\frac{y^4x}{8y^3}} = \sqrt[4]{\frac{xy}{8}}\). 6. Den Nenner im Radikanden rational machen (erweitern mit \(2\), um im Nenner \(16 = 2^4\) zu erhalten): \(\sqrt[4]{\frac{xy \cdot 2}{8 \cdot 2}} = \sqrt[4]{\frac{2xy}{16}}\). 7. Die Wurzel aus dem Nenner ziehen: \(\frac{\sqrt[4]{2xy}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2}\sqrt[4]{2xy}\).

a) \(\frac{1}{2}\sqrt[3]{4mn}\) b) \(\frac{1}{2}\sqrt[4]{2xy}\)

- Welchen Exponenten muss ein Faktor haben, damit du ihn unter eine vierte Wurzel ziehen kannst? - Wie kannst du einen Bruch innerhalb einer Wurzel so erweitern, dass der Nenner eine perfekte vierte Potenz wird? - Achte darauf, erst alle Terme unter einer Wurzel zusammenzufassen und dann zu kürzen.

1. Den Faktor vor der Wurzel unter die vierte Wurzel ziehen: \(\sqrt[4]{(\frac{2a^2}{3b})^4 \cdot \frac{27b^5}{8a^6}}\). 2. Potenzieren des Faktors: \((\frac{2a^2}{3b})^4 = \frac{16a^8}{81b^4}\). 3. Multiplikation der Brüche unter der Wurzel: \(\frac{16a^8}{81b^4} \cdot \frac{27b^5}{8a^6} = \frac{16 \cdot 27}{81 \cdot 8} \cdot \frac{a^8}{a^6} \cdot \frac{b^5}{b^4}\). 4. Kürzen der Zahlenkoeffizienten: \(\frac{16}{8} = 2\) und \(\frac{27}{81} = \frac{1}{3}\), woraus der Koeffizient \(\frac{2}{3}\) resultiert. 5. Vereinfachen der Variablenpotenzen: \(a^{8-6} = a^2\) und \(b^{5-4} = b\). 6. Der Term unter der Wurzel lautet nun \(\frac{2a^2b}{3}\). 7. Um den Nenner unter der Wurzel zu eliminieren, wird der Bruch mit \(3^3 = 27\) erweitert: \(\sqrt[4]{\frac{2a^2b \cdot 27}{3 \cdot 27}} = \sqrt[4]{\frac{54a^2b}{81}}\). 8. Den Nenner \(81\) aus der Wurzel ziehen: \(\frac{1}{\sqrt[4]{81}} \cdot \sqrt[4]{54a^2b} = \frac{1}{3} \sqrt[4]{54a^2b}\).

\(\frac{1}{3} \sqrt[4]{54a^2b}\)

- Suche im ersten Schritt nach dem größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten und der kleinsten Potenz von \(x\). - Erkennst du in der Klammer eine Struktur der Form \(a^2 - 2ab + b^2\)? - Was passiert, wenn du die Wurzel aus einem Quadrat ziehst? Denke an die Definition \(\sqrt{a^2} = |a|\). - Wann ist eine Quadratwurzel im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert?

1. Ausklammern von \(2x\) im Radikanden: \(18x^3 - 24x^2 + 8x = 2x(9x^2 - 12x + 4)\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf die Klammer: \(9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2\). 3. Einsetzen in den Wurzelterm: \(T(x) = \sqrt{2x \cdot (3x - 2)^2}\). 4. Teilweises Wurzelziehen unter Beachtung des Betrags: \(\sqrt{(3x - 2)^2} = |3x - 2|\). Somit ist \(T(x) = |3x - 2| \cdot \sqrt{2x}\). 5. Bestimmung des Definitionsbereichs: Der Radikand \(2x(3x - 2)^2\) muss größer oder gleich Null sein. Da \((3x - 2)^2\) für alle \(x\) nichtnegativ ist, muss \(2x \ge 0\) gelten, also \(x \ge 0\).

a) \(2x(3x - 2)^2\) b) \(T(x) = |3x - 2|\sqrt{2x}\); Bedingung: \(x \ge 0\)

- Wie verändert sich ein Ausdruck, wenn du ihn unter eine 3. Wurzel schreibst? - Versuche, den Term vor der Wurzel in die Wurzel hineinzuziehen, um die beiden Ausdrücke besser vergleichen zu können. - Achte beim Multiplizieren in der Wurzel auf die Rechenregeln für Brüche und Potenzen.

1. Den Vorfaktor \(\frac{x}{3}\) in die Kubikwurzel ziehen, indem er mit 3 potenziert wird: \((\frac{x}{3})^3 = \frac{x^3}{27}\). 2. Den neuen Faktor mit dem ursprünglichen Radikanden multiplizieren: \(\frac{x^3}{27} \cdot (\frac{54}{x^3} + \frac{27}{x^2})\). 3. Distributivgesetz anwenden: \(\frac{x^3 \cdot 54}{27 \cdot x^3} + \frac{x^3 \cdot 27}{27 \cdot x^2} = \frac{54}{27} + \frac{x^3}{x^2} = 2 + x\). 4. Der umgeformte Term lautet \(\sqrt[3]{2 + x}\), was identisch mit \(\sqrt[3]{x + 2}\) ist. Die Behauptung ist korrekt.

Die Behauptung ist wahr, da \(A = \sqrt[3]{\frac{x^3}{27} \cdot (\frac{54}{x^3} + \frac{27}{x^2})} = \sqrt[3]{2 + x} = B\).

- Gibt es eine Möglichkeit, den Bruch vor der Wurzel zu vereinfachen, bevor du dich mit der Wurzel beschäftigst? - Erinnerst du dich an eine binomische Formel, die hier passen könnte? - Wie kann man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten umschreiben? - Welche Rechenregeln gelten für das Dividieren von Potenzen mit der gleichen Basis?

1. Den Bruch vor der Wurzel mithilfe der dritten binomischen Formel vereinfachen: \(\frac{(a-b)(a+b)}{a+b} = a-b\) 2. Die Wurzel auf Zähler und Nenner aufteilen: \(\frac{\sqrt[n]{(a+b)^n}}{\sqrt[n]{(a-b)^{n-1}}} = \frac{a+b}{\sqrt[n]{(a-b)^{n-1}}}\) 3. Die Teilergebnisse multiplizieren: \((a-b) \cdot \frac{a+b}{(a-b)^{\frac{n-1}{n}}}\) 4. Die Potenzen von \((a-b)\) zusammenfassen: \((a-b)^{1 - \frac{n-1}{n}} = (a-b)^{\frac{1}{n}}\) 5. Das Endergebnis als Wurzel schreiben: \((a+b) \cdot \sqrt[n]{a-b}\)

\((a+b) \sqrt[n]{a-b}\)

- Ziel ist es, den Nenner unter der Wurzel zu einer Potenz mit dem Exponenten \(n\) zu machen. - Mit welchem Ausdruck musst du den Nenner \((x+y)^{n-2}\) multiplizieren, um \((x+y)^n\) zu erhalten? - Denke daran, dass du beim Erweitern eines Bruches sowohl den Zähler als auch den Nenner mit demselben Faktor multiplizieren musst. - Nutze das Wurzelgesetz \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\).

1. Den Bruch unter der Wurzel so erweitern, dass der Nenner eine exakte \(n\)-te Potenz bildet: Erweiterung mit \((x+y)^2\), da \((x+y)^{n-2} \cdot (x+y)^2 = (x+y)^n\) 2. Den erweiterten Radikanden aufschreiben: \(\sqrt[n]{\frac{x \cdot y^2 \cdot (x+y)^2}{(x+y)^n}}\) 3. Die Wurzel auf Zähler und Nenner aufteilen: \(\frac{\sqrt[n]{xy^2(x+y)^2}}{\sqrt[n]{(x+y)^n}}\) 4. Den Nenner vereinfachen, indem die \(n\)-te Wurzel aus der \(n\)-ten Potenz gezogen wird: \(\frac{1}{x+y} \sqrt[n]{xy^2(x+y)^2}\)

\(\frac{1}{x+y} \sqrt[n]{xy^2(x+y)^2}\)

- Was ändert sich beim Hineinziehen, wenn die Wurzel keine Quadratwurzel, sondern eine dritte oder vierte Wurzel ist? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Potenzen und Wurzeln: Wann heben sich eine Potenz und eine Wurzel genau auf? - Überprüfe bei der Aussage des Schülers, ob \(x \cdot \sqrt[4]{2}\) das Gleiche ist wie \(\sqrt[4]{4x \cdot 2}\).

1. Teilaufgabe a): Den Faktor \(3y^2\) mit dem Exponenten \(3\) potenzieren, um ihn unter die dritte Wurzel zu ziehen: \(\sqrt[3]{(3y^2)^3 \cdot \frac{2}{9y^4}}\). 2. Potenz anwenden: \(\sqrt[3]{27y^6 \cdot \frac{2}{9y^4}}\). 3. Radikanden berechnen und kürzen: \(\frac{27}{9} = 3\) und \(\frac{y^6}{y^4} = y^2\). Ergebnis: \(\sqrt[3]{6y^2}\). 4. Teilaufgabe b): Korrekte Umformung: \(x \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{x^4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{2x^4}\). 5. Fehleranalyse: Der Schüler verwechselt das Potenzieren mit dem Multiplizieren. Um einen Faktor unter eine \(n\)-te Wurzel zu ziehen, muss er mit \(n\) potenziert werden, nicht mit \(n\) multipliziert werden.

a) \(\sqrt[3]{6y^2}\) b) Korrekte Umformung: \(\sqrt[4]{2x^4}\). Der Fehler liegt darin, dass der Faktor potenziert werden muss (\(x^4\)) und nicht mit dem Wurzelexponenten multipliziert werden darf (\(4 \cdot x\)).

- Überlege zuerst, ob die Terme gleichartig sind, indem du sie auf die einfachste Form bringst. - Was musst du tun, um einen Nenner unter einer vierten Wurzel oder einer Kubikwurzel zu einer vollständigen Potenz zu ergänzen? - Gleichartige Wurzelterme kannst du zusammenfassen, indem du ihre Koeffizienten addierst oder subtrahierst; der gemeinsame Wurzelteil bleibt unverändert.

1. Teil a): Vereinfachung von \(\sqrt[4]{48} = \sqrt[4]{16 \cdot 3} = 2\sqrt[4]{3}\). Somit ist \(2\sqrt[4]{48} = 4\sqrt[4]{3}\). Vereinfachung von \(\sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{81 \cdot 3} = 3\sqrt[4]{3}\). Die Differenz ist \(4\sqrt[4]{3} - 3\sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{3}\). 2. Teil b): Vereinfachung von \(\sqrt[3]{\frac{2}{9}} = \sqrt[3]{\frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\frac{6}{27}} = \frac{\sqrt[3]{6}}{3}\). Vereinfachung von \(\sqrt[3]{0{,}75} = \sqrt[3]{\frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\frac{6}{8}} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}\). Zusammenfassung: \(\frac{1}{3}\sqrt[3]{6} + \frac{1}{2}\sqrt[3]{6} = (\frac{2}{6} + \frac{3}{6})\sqrt[3]{6} = \frac{5}{6}\sqrt[3]{6}\).

a) Ja, Ergebnis: \(\sqrt[4]{3}\) b) Ja, Ergebnis: \(\frac{5}{6}\sqrt[3]{6}\)

- Versuche zuerst, die Brüche innerhalb der Wurzel zu einem einzigen Bruch zusammenzufassen. - Gibt es im Zähler des neuen Bruchs Faktoren, die Potenzen von 3 sind? - Kannst du Faktoren aus der Wurzel ziehen, die sich mit dem Ausdruck vor der Wurzel verrechnen lassen?

1. Den Ausdruck unter der Wurzel auf den Hauptnenner \(27u^3\) bringen: \(\frac{3u \cdot v^7}{27u^3} - \frac{v^6}{27u^3} = \frac{3uv^7 - v^6}{27u^3}\). 2. Im Zähler den gemeinsamen Faktor \(v^6\) ausklammern: \(\frac{v^6(3uv - 1)}{27u^3}\). 3. Teilweises Wurzelziehen anwenden: \(\sqrt[3]{\frac{v^6(3uv - 1)}{27u^3}} = \frac{\sqrt[3]{v^6}}{\sqrt[3]{27u^3}} \cdot \sqrt[3]{3uv - 1} = \frac{v^2}{3u} \cdot \sqrt[3]{3uv - 1}\). 4. Den gesamten Term berechnen: \(\frac{3u}{v^2} \cdot \frac{v^2}{3u} \cdot \sqrt[3]{3uv - 1}\). 5. Die Brüche vor der verbleibenden Wurzel kürzen sich gegenseitig zu \(1\) weg. 6. Das Endergebnis lautet \(\sqrt[3]{3uv - 1}\).

\(\sqrt[3]{3uv - 1}\)

- Nutze die Regel \(\sqrt[n]{x^n \cdot y} = x \cdot \sqrt[n]{y}\) für positive Variablen. - Bei Brüchen unter der Wurzel hilft es oft, den Nenner so zu erweitern, dass er eine \(n\)-te Potenz wird. - Behandle den allgemeinen Exponenten \(n\) genauso wie eine feste Zahl wie 2 oder 3.

1. Erster Term: \(\sqrt[n]{a^n \cdot a^2 \cdot b} = a\sqrt[n]{a^2b}\). Zweiter Term: \(a\sqrt[n]{a^2b}\). Dritter Term: \(\frac{1}{a}\sqrt[n]{a^{2n} \cdot a^2 \cdot b} = \frac{1}{a} \cdot a^2\sqrt[n]{a^2b} = a\sqrt[n]{a^2b}\). Alle drei Terme sind identisch und damit gleichartig. 2. Erster Term: Durch Erweitern des Bruchs mit \(y\) erhält man \(\sqrt[4]{\frac{x^4 \cdot x \cdot y}{y^4}} = \frac{x}{y}\sqrt[4]{xy}\). Zweiter Term: \(\frac{x}{y}\sqrt[4]{xy}\). Dritter Term: \(\frac{1}{x}\sqrt[4]{x^8 \cdot x \cdot y} = \frac{1}{x} \cdot x^2 \sqrt[4]{xy} = x\sqrt[4]{xy}\). Alle Terme besitzen denselben Wurzelexponenten \(4\) und denselben Wurzelrest \(\sqrt[4]{xy}\); sie sind gleichartig.

Beide Gruppen bestehen jeweils aus gleichartigen Wurzeltermen.

- Kannst du unter der Wurzel einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie könnten beim Umformen des Radikanden helfen. - Wann lässt sich ein Faktor ganz aus einer dritten Wurzel ziehen? - Vergleiche die Ergebnisse: Haben sie denselben Wurzelexponenten und denselben Ausdruck unter der Wurzel?

1. Vereinfachung von \(T_1\): Ausklammern unter der Wurzel ergibt \(\sqrt[3]{k^3(k-1)}\). Teilweises Wurzelziehen führt zu \(k \cdot \sqrt[3]{k-1}\). 2. Vereinfachung von \(T_2\): Ausklammern unter der Wurzel ergibt \(\sqrt[3]{125(k-1)}\). Da \(125 = 5^3\), folgt \(5 \cdot \sqrt[3]{k-1}\). 3. Vereinfachung von \(T_3\): Mit der dritten binomischen Formel ergibt sich \(\sqrt[3]{(k-1)(k+1)}\). Dieser Ausdruck lässt sich nicht weiter vereinfachen. 4. Vergleich: \(T_1\) und \(T_2\) besitzen denselben Wurzelteil \(\sqrt[3]{k-1}\). \(T_3\) hat einen anderen Radikanden. Somit sind nur \(T_1\) und \(T_2\) gleichartig.

Nur die Terme \(T_1\) und \(T_2\) sind zueinander gleichartig.

- Was muss passieren, damit man eine Variable unter einer \(k\)-ten Wurzel nach vorne ziehen kann? - Wenn unter der Wurzel ein Bruch steht, wie kannst du den Nenner „wurzelfrei“ machen? - Überlege, was mit dem Exponenten im Nenner passiert, wenn du den Bruch geschickt erweiterst.

1. Vereinfachung von Term \(A\): Der Radikand wird zerlegt in \(x^{2k} \cdot x \cdot y\). Da \(x^{2k} = (x^2)^k\), kann \(x^2\) vor die Wurzel gezogen werden: \(A = x^2 \sqrt[k]{xy}\). 2. Vereinfachung von Term \(B\): Um den Nenner aus der Wurzel zu ziehen, wird der Bruch innerhalb der Wurzel mit \(y\) erweitert: \(\frac{x \cdot y}{y^{k-1} \cdot y} = \frac{xy}{y^k}\). 3. Teilweises Wurzelziehen ergibt \(B = \frac{1}{y} \sqrt[k]{xy}\). 4. Vergleich: Beide Terme lassen sich auf ein Vielfaches von \(\sqrt[k]{xy}\) bringen. 5. Schlussfolgerung: Die Aussage des Schülers ist wahr; der gemeinsame Wurzelrest ist \(\sqrt[k]{xy}\).

Die Aussage ist wahr. Der gemeinsame Wurzelrest ist \(\sqrt[k]{xy}\).

- Welche Quadratzahlen stecken als Faktoren in 150, 54 und 24? - Was unterscheidet rationale von irrationalen Zahlen? Denk an die Darstellung als Bruch oder Dezimalzahl. - Wie kannst du \(\sqrt{0{,}5}\) als Wurzel eines Bruchs schreiben und den dabei entstehenden Wurzelausdruck im Nenner beseitigen? - Kannst du den Dezimalbruch \(0{,}5\) als gewöhnlichen Bruch schreiben, um die Wurzel einfacher zu ziehen?

1. Teil a: Zerlegung der Radikanden in Faktoren mit Quadratzahlen: \(\sqrt{25 \cdot 6} - \sqrt{9 \cdot 6} + \sqrt{4 \cdot 6}\). Anwendung des Wurzelgesetzes ergibt \(5\sqrt{6} - 3\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}\). 2. Teil b: Das Ergebnis \(4\sqrt{6}\) ist eine irrationale Zahl, da \(\sqrt{6}\) nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann (6 ist keine Quadratzahl) und das Produkt einer rationalen Zahl (ungleich Null) mit einer irrationalen Zahl wieder irrational ist. 3. Teil c: Umformung des ersten Summanden: \(2\sqrt{0{,}5} = 2\sqrt{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\). Umformung des zweiten Summanden: \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\). Addition der Ergebnisse: \(\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\). Damit ist die Gleichheit gezeigt.

a) \(T = 4\sqrt{6}\) b) Irrationale Zahl, da \(\sqrt{6}\) irrational ist. c) \(2\sqrt{0{,}5} + \sqrt{18} = \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\).

- Erinnere dich daran, dass \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\) gilt. - Bei verschachtelten Wurzeln ist es oft hilfreich, von innen nach außen zu arbeiten. - Welche Rechenregel gilt für das Multiplizieren von Potenzen mit der gleichen Basis? - Kannst du einen Wurzelexponenten und einen Potenzexponenten wie einen Bruch kürzen?

1. In Aufgabenteil a) wird die innere Wurzel als Potenz geschrieben: \(b \cdot b^{\frac{1}{3}} = b^{1 + \frac{1}{3}} = b^{\frac{4}{3}}\). Die äußere Quadratwurzel entspricht dem Exponenten \(\frac{1}{2}\), also \((b^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{4}{6}} = b^{\frac{2}{3}}\). Als einzelne Wurzel geschrieben ergibt dies \(\sqrt[3]{b^2}\). 2. In Aufgabenteil b) wird der Radikand als Quadrat geschrieben: \(49p^2 = (7p)^2\). Der Ausdruck \(\sqrt[4]{(7p)^2}\) kann als Potenz \((7p)^{\frac{2}{4}}\) dargestellt werden. Kürzen des Bruchs im Exponenten führt zu \((7p)^{\frac{1}{2}}\), was der Quadratwurzel \(\sqrt{7p}\) entspricht. 3. In Aufgabenteil c) werden die Wurzeln der linken Seite als Potenzen geschrieben: \(2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{6}}\). Nach den Potenzgesetzen werden die Exponenten addiert: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Somit gilt \(2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}\), was der rechten Seite der Gleichung entspricht.

a) \(\sqrt[3]{b^2}\) b) \(\sqrt{7p}\) c) Der Nachweis erfolgt über die Addition der Exponenten: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\).

- Darf man Wurzeln einfach addieren, indem man die Zahlen unter der Wurzel addiert? Probiere es mit einem einfachen Beispiel wie \(\sqrt{9} + \sqrt{16}\). - Versuche zuerst, jeden einzelnen Wurzelterm so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du die Klammern auflöst. - Was ist die Definition einer rationalen Zahl? - Kann ein Ergebnis, das ursprünglich Wurzeln enthielt, am Ende eine ganz normale Zahl ohne Wurzelzeichen sein?

1. Für Teil a): Teilweises Radizieren der Summanden: \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) und \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\). Addition ergibt \(2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\). Prüfung des Zielwerts: \(\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\). Die Aussage ist wahr. 2. Für Teil b): Vereinfachung der einzelnen Wurzeln: \(3\sqrt{20} = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\); \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\); \(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\). Einsetzen in den Term: \((6\sqrt{5} - 3\sqrt{5}) - (4\sqrt{5} - \sqrt{5}) = 3\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 0\). Da \(0\) als Bruch ganzer Zahlen darstellbar ist, handelt es sich um eine rationale Zahl.

a) Die Aussage ist wahr, da \(2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) und \(\sqrt{108} = 6\sqrt{3}\) gilt. b) Der Wert des Terms ist \(0\). Dies ist eine rationale Zahl.

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Könnten sie dir helfen, den Bruch unter der Wurzel zu kürzen? - Kannst du im Radikanden von Term \(A\) in Aufgabenteil b etwas ausklammern? - Was passiert, wenn du bei einem Bruch unter einer Kubikwurzel versuchst, den Nenner oder Zähler teilweise zu radizieren?

1. Vereinfachung von Term \(A\) in Paar a: Anwendung der dritten binomischen Formel im Zähler ergibt \(\sqrt{\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}} = \sqrt{x+y}\). Da dies exakt dem Term \(B\) entspricht, sind sie gleichartig. 2. Umformung von Paar b: Bei Term \(A\) wird \(a^3\) unter der Kubikwurzel ausgeklammert, woraus \(a\sqrt[3]{a-b}\) folgt. Bei Term \(B\) wird der Nenner teilweise radiziert, was \(\frac{1}{a}\sqrt[3]{a-b}\) ergibt. Beide Terme besitzen den Radikanden \(a-b\) und den Wurzelexponenten 3, sie sind also gleichartig.

a) Gleichartig; b) Gleichartig.

- Versuche, die linke Seite der Gleichung schrittweise zu vereinfachen und schaue, ob du beim Ausdruck auf der rechten Seite ankommst. - Wie kannst du eine Potenz wie \(a^{2n+1}\) in ein Produkt aus zwei Potenzen zerlegen, von denen eine durch \(n\) teilbar im Exponenten ist? - Gibt es eine Regel für Wurzeln aus Brüchen?

1. Umformung der linken Seite: \(\sqrt[n]{a^{2n} \cdot a^1 \cdot b^n \cdot b^2}\). Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}\) ergibt \(\sqrt[n]{(a^2)^n} \cdot \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b^n} \cdot \sqrt[n]{b^2}\). Dies vereinfacht sich zu \(a^2 \cdot \sqrt[n]{a} \cdot b \cdot \sqrt[n]{b^2} = a^2 b \sqrt[n]{a b^2}\). Die Aussage ist korrekt. 2. Umformung der linken Seite: Aufteilen des Bruchs in \(\frac{\sqrt[k+1]{x^{k+1} \cdot x}}{\sqrt[k+1]{y^{k+1}}}\). Da \(x, y > 0\), vereinfacht sich der Zähler zu \(x \sqrt[k+1]{x}\) und der Nenner zu \(y\). Zusammengefasst ergibt dies \(\frac{x}{y} \sqrt[k+1]{x}\). Die Aussage ist korrekt.

Beide Umformungen sind korrekt.

- Sortiere die Terme zuerst danach, welche Wurzel nach dem teilweisen Wurzelziehen übrig bleibt. - Wandle gemischte Zahlen unter der Wurzel in unechte Brüche um. - Erinnere dich daran, wie man den Nenner eines Bruchs rationalisiert, wenn dort eine Wurzel steht. - Beachte die Vorzeichen vor jedem Summanden genau.

1. Vereinfachung der Terme mit \(\sqrt{2}\): \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) \(\sqrt{0{,}5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = 0{,}5\sqrt{2}\) \(\sqrt{200} = 10\sqrt{2}\) Zusammengefasst: \(3\sqrt{2} + 0{,}5\sqrt{2} + 10\sqrt{2} = 13{,}5\sqrt{2}\) 2. Vereinfachung der Terme mit \(\sqrt{3}\): \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) \(\sqrt{5\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\) \(\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\) Zusammengefasst: \(-2\sqrt{3} - \frac{4}{3}\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -\frac{28}{3}\sqrt{3}\) 3. Gesamtergebnis durch Kombination der beiden Gruppen: \(13{,}5\sqrt{2} - \frac{28}{3}\sqrt{3}\)

\(13{,}5\sqrt{2} - \frac{28}{3}\sqrt{3}\) (oder \(\frac{27}{2}\sqrt{2} - \frac{28}{3}\sqrt{3}\))

- Wie lässt sich die Division einer Klammer durch eine Wurzel vereinfachen? - Gibt es eine Regel für die Division von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten? - Was ist das Ergebnis, wenn man eine Wurzel durch genau dieselbe Wurzel teilt? - Überlege, welche Zahlen zu den natürlichen Zahlen gehören.

1. Anwendung des Distributivgesetzes zur Division jedes Summanden durch \(\sqrt[3]{2}\): \(\frac{1}{2}(\sqrt[3]{16} : \sqrt[3]{2}) + \frac{1}{3}(\sqrt[3]{54} : \sqrt[3]{2}) - (\sqrt[3]{2} : \sqrt[3]{2})\) 2. Anwendung des Wurzelgesetzes für Division (\(\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a:b}\)): \(\frac{1}{2}\sqrt[3]{8} + \frac{1}{3}\sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{1}\) 3. Berechnen der Kubikwurzeln: \(\sqrt[3]{8} = 2\), \(\sqrt[3]{27} = 3\), \(\sqrt[3]{1} = 1\) 4. Einsetzen und Zusammenfassen: \(\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 3 - 1 = 1 + 1 - 1 = 1\) 5. Überprüfung der Zahlenmenge: Da \(1\) eine positive ganze Zahl ohne Nachkommastellen ist, gehört sie zur Menge der natürlichen Zahlen (\(1 \in \mathbb{N}\)).

Der vereinfachte Wert des Ausdrucks ist \(1\). Dies ist eine natürliche Zahl.

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl mit einer ungeraden Zahl potenziert? - Wie hängen Wurzeln und Potenzen zusammen? Denke an die Schreibweise mit rationalen Exponenten. - Kannst du den Ausdruck im Nenner einer Wurzel so erweitern, dass der Radikand eine perfekte Potenz (Quadratzahl, Kubikzahl etc.) wird? - Versuche, die Potenzen außerhalb der Wurzel und die Ausdrücke innerhalb der Wurzel getrennt zu betrachten, bevor du sie kombinierst.

1. Anwendung des Potenzgesetzes auf das Produkt ergibt \( 4a^4 \cdot \sqrt[3]{\frac{b^2}{16a^2}} \). Durch teilweises Radizieren und Aufteilen der Wurzel erhält man \( 4a^4 \cdot \frac{\sqrt[3]{b^2}}{2\sqrt[3]{2a^2}} \). Kürzen führt zu \( 2a^4 \cdot \frac{\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{2a^2}} \). Das Erweitern mit \( \sqrt[3]{4a} \) macht den Nenner zu \( 2a \) rational. Nach dem Kürzen von \( 2a \) ergibt sich \( a^3 \sqrt[3]{4ab^2} \). 2. Das Potenzieren des negativen Ausdrucks ergibt \( -\frac{x^3}{y^3} \cdot \sqrt{\frac{8y^3}{x^9}} \). Teilweises Radizieren des Zählers (\( 2y\sqrt{2y} \)) und des Nenners (\( x^4\sqrt{x} \)) führt nach dem Kürzen von \( x^3 \) und \( y \) zu \( -\frac{2\sqrt{2y}}{y^2 x \sqrt{x}} \). Das Erweitern mit \( \sqrt{x} \) liefert das Endergebnis \( -\frac{2\sqrt{2xy}}{x^2 y^2} \).

1) \( a^3 \sqrt[3]{4ab^2} \); 2) \( -\frac{2\sqrt{2xy}}{x^2 y^2} \)

- Welche Auswirkung hat das Quadrieren auf eine vierte Wurzel? - Kannst du den Bruch unter der Wurzel zunächst in einzelne Wurzeln für Zähler und Nenner aufteilen? - Wie geht man vor, um eine Wurzel aus dem Nenner eines Bruches zu entfernen? - Überprüfe am Ende, ob alle Faktoren und Exponenten mit dem Zielterm übereinstimmen.

1. Das Quadrieren der Faktoren von \( A \) ergibt \( \frac{a^2}{9b^2} \cdot \sqrt{\frac{27b^3}{a}} \). 2. Die Wurzel wird durch teilweises Radizieren zu \( \frac{3b\sqrt{3b}}{\sqrt{a}} \) vereinfacht. 3. Multiplikation der Brüche und Kürzen durch \( 3b \) führt zu \( \frac{a^2 \sqrt{3b}}{3b \sqrt{a}} \). 4. Rationalmachen des Nenners durch Erweitern mit \( \sqrt{a} \) ergibt \( \frac{a^2 \sqrt{3ab}}{3ab} \). 5. Finales Kürzen durch \( a \) liefert \( \frac{a \sqrt{3ab}}{3b} \). Da dies exakt Term \( B \) entspricht, ist die Aussage wahr.

Die Aussage \( A = B \) ist wahr. Die schrittweise Vereinfachung von \( A \) ergibt den Term \( \frac{a \sqrt{3ab}}{3b} \).

- Wie kannst du eine Wurzel vereinfachen, wenn unter ihr eine Quadratzahl als Faktor steht? - Achte beim Quadrieren von Ausdrücken wie \( 3\sqrt{5} \) darauf, sowohl die Zahl als auch die Wurzel zu quadrieren. - Um zu zeigen, dass \( \sqrt{A} = B \) gilt, reicht es oft aus zu prüfen, ob \( B^2 = A \) ist.

1. Berechnung von a): Partielles Wurzelziehen ergibt \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\). Einsetzen führt zu \(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} + \sqrt{3}\right)^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12\). 2. Berechnung von b): \((3\sqrt{5} - 2\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2 = 45 - 12\sqrt{15} + 12 = 57 - 12\sqrt{15}\). 3. Nachweis für c): \((2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}\). Außerdem ist \(2 + \sqrt{3} > 0\). Daher ist \(2 + \sqrt{3}\) die arithmetische Quadratwurzel von \(7 + 4\sqrt{3}\), also \(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}\).

a) \(12\); b) \(57 - 12\sqrt{15}\); c) \((2+\sqrt{3})^2 = 7+4\sqrt{3}\) und \(2+\sqrt{3}>0\).

- Konzentriere dich zuerst auf den Ausdruck in der großen Klammer. - Wie lässt sich das Produkt der beiden Wurzelterme unter einer einzigen Wurzel zusammenfassen? - Erinnerst du dich an die Definition einer Quadratzahl? - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis die Bedingung einer Quadratzahl erfüllt.

1. Zuerst wird der Ausdruck in der Klammer mithilfe der ersten binomischen Formel quadriert: \( (\sqrt{11+\sqrt{72}})^2 + 2\sqrt{(11+\sqrt{72})(11-\sqrt{72})} + (\sqrt{11-\sqrt{72}})^2 \). 2. Vereinfachung der äußeren Quadrate: \( 11+\sqrt{72} + 11-\sqrt{72} = 22 \). 3. Berechnung des gemischten Terms unter Verwendung der dritten binomischen Formel: \( 2\sqrt{11^2 - (\sqrt{72})^2} = 2\sqrt{121-72} = 2\sqrt{49} = 2 \cdot 7 = 14 \). 4. Addition der Ergebnisse innerhalb der Klammer: \( 22 + 14 = 36 \). 5. Multiplikation mit dem Vorfaktor: \( T = \frac{1}{4} \cdot 36 = 9 \). 6. Da \( 9 = 3^2 \) gilt, ist der Wert eine Quadratzahl.

Der Wert des Terms ist \( 9 \). Da \( 9 = 3^2 \) ist, ist dies eine Quadratzahl.

- Überlege, ob du Wurzeln wie \(\sqrt{12}\) oder \(\sqrt{8}\) teilweise radizieren kannst. - Fasse alle gleichartigen Wurzelterme zusammen, bevor du die Klammer quadrierst. - Was muss passieren, damit das Endergebnis eine natürliche Zahl ohne Wurzelzeichen ist? - Prüfe, ob du die zweite binomische Formel korrekt anwendest.

1. Teilaufgabe a): Vereinfachung der Wurzel \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\). Zusammenfassen in der Klammer: \(2\sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 3\sqrt{3} - \sqrt{2}\). Anwendung der binomischen Formel: \((3\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\). Berechnung der Werte: \(27 - 6\sqrt{6} + 2 = 29 - 6\sqrt{6}\). 2. Teilaufgabe b): Teilweises Radizieren der Terme: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) und \(\sqrt{32} = 4\sqrt{2}\). Addition der Wurzelterme: \(\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2}\). Quadrieren des Ergebnisses: \((7\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98\). Da \(98\) eine natürliche Zahl ist, ist die Aussage gezeigt.

a) \(29 - 6\sqrt{6}\) b) Das Ergebnis ist \(98\), was eine natürliche Zahl ist.

- Könntest du die Gleichung für \(x\) so umstellen, dass die Wurzel alleine steht, und dann beide Seiten quadrieren? - Welchen Wert hat der Ausdruck, den du nach dem Quadrieren und Umstellen erhältst? - Gibt es eine Möglichkeit, den großen Term \(2x^3 - 2x^2 + 3x + 2\) durch einen kleineren Ausdruck auszudrücken, der den Wert Null hat? - Überlege, ob eine Polynomdivision oder ein geschicktes Ausklammern den Grad des Terms verringern könnte.

1. Umformen der Gleichung \(x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\) durch Multiplikation mit \(2\) und Subtraktion von \(1\): \(2x - 1 = \sqrt{3}\) 2. Quadrieren beider Seiten zur Beseitigung der Wurzel: \((2x - 1)^2 = 3\), was zu \(4x^2 - 4x + 1 = 3\) bzw. \(4x^2 - 4x - 2 = 0\) führt 3. Vereinfachen der quadratischen Gleichung durch Division durch \(2\): \(2x^2 - 2x - 1 = 0\) 4. Zerlegung des ursprünglichen Terms unter Ausnutzung dieser Gleichung: \(2x^3 - 2x^2 + 3x + 2 = x(2x^2 - 2x - 1) + 4x + 2\) 5. Da \(2x^2 - 2x - 1 = 0\) ist, reduziert sich der Wert des Terms auf den Rest \(4x + 2\) 6. Einsetzen von \(x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\) in den Restterm: \(4 \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + 2 = 2(1 + \sqrt{3}) + 2 = 4 + 2\sqrt{3}\)

\(4 + 2\sqrt{3}\)