Kostenlose Arbeitsblätter

- Kannst du die Wurzeln unter einem gemeinsamen Wurzelzeichen zusammenfassen? - Gibt es Quadrate in den Radikanden, die du teilweise oder ganz aus der Wurzel ziehen kannst? - Wann ist eine Division durch eine Variable problematisch? - Was passiert, wenn man eine Quadratwurzel mit sich selbst multipliziert?

1. Teilaufgabe a: Anwendung des Produktgesetzes \(\sqrt{7 \cdot 28} = \sqrt{196}\). Ergebnis: \(14\). 2. Teilaufgabe b: Anwendung des Quotientengesetzes \(\sqrt{\frac{45x^3}{5x}} = \sqrt{9x^2}\). Bedingung: \(x > 0\). Ergebnis: \(3x\). 3. Teilaufgabe c: Zusammenfassen der Koeffizienten und der Wurzeln \(2 \cdot 3 \cdot (\sqrt{a})^2 = 6a\). Bedingung: \(a \ge 0\). Ergebnis: \(6a\). 4. Teilaufgabe d: Teilweises Wurzelziehen \(\sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{16 \cdot 3} = 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}\). Zusammenfassen der gleichartigen Wurzeln ergibt \(6\sqrt{3}\).

a) \(14\) b) \(3x\) (für \(x > 0\)) c) \(6a\) (für \(a \ge 0\)) d) \(6\sqrt{3}\)

- Wie kannst du eine Zahl so umschreiben, dass sie als Quadratwurzel dargestellt wird? - Überlege, welche Rechenregel für das Produkt von zwei Wurzeln gilt. - Was passiert mit einem Faktor, wenn man ihn „rückwärts“ aus einer Wurzel ziehen würde? - Achte bei Brüchen darauf, sowohl den Zähler als auch den Nenner zu quadrieren.

1. Anwendung der Regel \(c\sqrt{d} = \sqrt{c^2 \cdot d}\) für \(c \ge 0\) in allen Teilaufgaben. 2. Für a): Berechnung von \(4^2 \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80\), daraus folgt \(\sqrt{80}\). 3. Für b): Quadrieren des Bruchs \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\) und Multiplikation mit \(18\), ergibt \(\frac{4 \cdot 18}{9} = 8\), daraus folgt \(\sqrt{8}\). 4. Für c): Quadrieren der Dezimalzahl \(0{,}2^2 = 0{,}04\) und Multiplikation mit \(200\), ergibt \(0{,}04 \cdot 200 = 8\), daraus folgt \(\sqrt{8}\). 5. Für d): Quadrieren der Variable \(k^2\) und Multiplikation mit \(k\), ergibt \(k^2 \cdot k = k^3\), daraus folgt \(\sqrt{k^3}\).

a) \(\sqrt{80}\) b) \(\sqrt{8}\) c) \(\sqrt{8}\) d) \(\sqrt{k^3}\)

- Überlege, welche der drei binomischen Formeln jeweils passt. - Denk daran, dass das Quadrat einer Wurzel die ursprüngliche Zahl ergibt, also \( (\sqrt{x})^2 = x \). - Achte beim Quadrieren von Produkten wie \( (\sqrt{3}x)^2 \) darauf, beide Faktoren zu quadrieren. - Beim mittleren Term der binomischen Formel kannst du Wurzeln zusammenfassen, indem du die Radikanden multiplizierst.

1. Anwendung der 1. binomischen Formel \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) auf a): \( (\sqrt{r})^2 + 2 \cdot \sqrt{r} \cdot 4 + 4^2 = r + 8\sqrt{r} + 16 \). 2. Anwendung der 2. binomischen Formel \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) auf b): \( 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{s} + (\sqrt{s})^2 = 25 - 10\sqrt{s} + s \). 3. Anwendung der 1. binomischen Formel auf c): \( (\sqrt{3}x)^2 + 2 \cdot \sqrt{3}x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3x^2 + 2\sqrt{6}x + 2 \). 4. Anwendung der 2. binomischen Formel auf d): \( \left(\frac{\sqrt{y}}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{y}}{3} \cdot 6 + 6^2 = \frac{y}{9} - 4\sqrt{y} + 36 \).

a) \( r + 8\sqrt{r} + 16 \) b) \( 25 - 10\sqrt{s} + s \) c) \( 3x^2 + 2\sqrt{6}x + 2 \) d) \( \frac{y}{9} - 4\sqrt{y} + 36 \) Bedingungen: \(r,s,y \ge 0\), \(x\in\mathbb R\).

- Kannst du im Radikanden eine Struktur erkennen, die zu einer binomischen Formel passt? - Überlege, welche Zahl zum Quadrat den hinteren Teil des Ausdrucks ergibt. - Prüfe, ob der mittlere Teil des Ausdrucks genau das Doppelte des Produkts der beiden Basen ist. - Denk daran, dass das Ergebnis einer Quadratwurzel mit Variablen oft Betragsstriche benötigt.

1. Identifikation der binomischen Formeln für jeden Radikanden: a) Radikand \(x^2 + 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2\) entspricht \((x + 3)^2\). Die Wurzel ergibt \(|x + 3|\). b) Radikand \(y^2 - 2 \cdot 5 \cdot y + 5^2\) entspricht \((y - 5)^2\). Die Wurzel ergibt \(|y - 5|\). c) Radikand \(4^2 + 2 \cdot 4 \cdot a + a^2\) entspricht \((4 + a)^2\). Die Wurzel ergibt \(|4 + a|\). d) Radikand \(b^2 - 2 \cdot 1 \cdot b + 1^2\) entspricht \((b - 1)^2\). Die Wurzel ergibt \(|b - 1|\).

a) \(|x + 3|\) b) \(|y - 5|\) c) \(|4 + a|\) d) \(|b - 1|\)

- Kannst du den mittleren Teil des Ausdrucks so umformen, dass er die gleiche Form wie die anderen beiden Teile hat? - Überlege, welche Faktoren unter der Wurzel Quadratzahlen oder Quadrate von Variablen sind. - Welche Rechenregel erlaubt es dir, Wurzeln von Produkten aufzuteilen?

1. Teilweises Wurzelziehen im zweiten Summanden: \(\sqrt{9x^2 y} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{y} = 3x\sqrt{y}\) 2. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(4x\sqrt{y} - 3x\sqrt{y} + 2x\sqrt{y}\) 3. Zusammenfassen der gleichartigen Terme: \((4 - 3 + 2) \cdot x\sqrt{y} = 3x\sqrt{y}\)

\(3x\sqrt{y}\)

- Erkennst du im ersten Teil des Ausdrucks eine der binomischen Formeln wieder? - Was passiert, wenn du eine Quadratwurzel quadrierst? - Versuche, erst das Produkt vollständig zu berechnen, bevor du die hinteren Terme betrachtest.

1. Anwenden der dritten binomischen Formel \((A+B)(A-B) = A^2 - B^2\) auf das Produkt: \((\sqrt{2p})^2 - (\sqrt{3q})^2\) 2. Quadrieren der Wurzelterme: \(2p - 3q\) 3. Den restlichen Term hinzufügen: \(2p - 3q + 3q - p\) 4. Zusammenfassen der Terme: \((2p - p) + (-3q + 3q) = p\)

\(p\)

- Kannst du die gleichartigen Terme unter der Wurzel zuerst zusammenfassen? - Was passiert mit dem Exponenten einer Potenz, wenn man die Quadratwurzel daraus zieht? - Erinnerst du dich an die Quadratzahlen bis 20? Das könnte hier helfen.

1. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder unter der Wurzel: \(225z^4 - 81z^4 = 144z^4\). 2. Anwendung der Produktregel für Wurzeln: \(\sqrt{144 \cdot z^4} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{z^4}\). 3. Ziehen der Quadratwurzeln: \(\sqrt{144} = 12\) und \(\sqrt{z^4} = z^2\). 4. Zusammenfügen der Ergebnisse: \(12z^2\).

\(12z^2\)

- Welche Wurzelterme sind gleichartig und können durch Zusammenfassen ihrer Koeffizienten vereinfacht werden? - Welche Einschränkungen gelten für Variablen, die direkt unter einer Wurzel stehen? - Erinnerst du dich an die Regel für \(\sqrt{x^2}\)?

1. Zu a): Da \(\sqrt{a}\) nur für \(a \ge 0\) definiert ist, lautet die Bedingung \(a \ge 0\). Zusammenfassen der Koeffizienten ergibt \((2 + 5 - 1)\sqrt{a} = 6\sqrt{a}\). 2. Zu b): Der Term enthält \(\sqrt{3}\), was immer definiert ist. Ausklammern von \(x\sqrt{3}\) ergibt \((1 - 0{,}5)x\sqrt{3} = 0{,}5x\sqrt{3}\). Definiert für alle \(x \in \mathbb{R}\). 3. Zu c): Anwendung der Betragsregel ergibt \(5|z| + |z|\). Zusammenfassen ergibt \(6|z|\). Da Quadrate unter der Wurzel stehen, ist der Term für alle \(z \in \mathbb{R}\) definiert.

a) \(6\sqrt{a}\); definiert für \(a \ge 0\) b) \(0{,}5x\sqrt{3}\); definiert für \(x \in \mathbb{R}\) c) \(6|z|\); definiert für \(z \in \mathbb{R}\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Quadratwurzel aus einem Quadrat und dem Betrag einer Zahl. - Wie löst man ein Betragszeichen auf, wenn man weiß, dass die Zahl darin negativ ist? - Überlege dir für den letzten Teil, für welche Zahlen ihr Betrag gleich ihrer Gegenzahl ist.

1. Anwendung der Regel \(\sqrt{x^2 \cdot y^4} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{(y^2)^2} = |x| \cdot |y^2|\). Da \(y^2\) für alle reellen \(y\) nicht-negativ ist, gilt \(|y^2| = y^2\). Da \(x < 0\) vorgegeben ist, gilt \(|x| = -x\). Das Ergebnis ist \(-x \cdot y^2\). 2. Anwendung der Regel \(\sqrt{\frac{25a^2}{b^2}} = \frac{5|a|}{|b|}\). Da \(a > 0\), ist \(|a| = a\). Da \(b < 0\), ist \(|b| = -b\). Der Term vereinfacht sich zu \(\frac{5a}{-b} = -\frac{5a}{b}\). 3. Die linke Seite \(\sqrt{z^2}\) ist per Definition gleich \(|z|\). Die Gleichung \(|z| = -z\) ist genau dann wahr, wenn \(z\) kleiner oder gleich Null ist. Ergebnis: \(z \le 0\).

a) \(-xy^2\) b) \(-\frac{5a}{b}\) c) \(z \le 0\)

- Was passiert, wenn du eine negative Zahl zuerst quadrierst und dann die Wurzel ziehst? - Überlege dir, welches Vorzeichen das Ergebnis einer Quadratwurzel immer haben muss. - Erinnere dich an die Definition des Betrags \( |a| \). - Setze beispielhaft Zahlen wie \( 5 \) und \( 3 \) in den Term ein und beobachte, was passiert.

1. Anwendung der Identität \( \sqrt{a^2} = |a| \): Der Term wird zu \( T(x) = |x-4| - x \). 2. Fall \( x \ge 4 \): Da der Ausdruck \( x-4 \) nicht negativ ist, gilt \( |x-4| = x-4 \). Einsetzen ergibt \( T(x) = (x-4) - x = -4 \). 3. Fall \( x < 4 \): Da der Ausdruck \( x-4 \) negativ ist, gilt \( |x-4| = -(x-4) = 4-x \). Einsetzen ergibt \( T(x) = (4-x) - x = 4-2x \). 4. Begründung: Die Quadratwurzel liefert stets nicht-negative Werte, weshalb \( \sqrt{a^2} \) als \( |a| \) definiert ist. Das Vorzeichen von \( x-4 \) ändert sich an der Stelle \( x=4 \), was die Fallunterscheidung erzwingt.

a) \(T(x) = -4\); b) \(T(x) = 4-2x\); c) Die Fallunterscheidung ist notwendig, da \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) gilt. Für \(x < 4\) ist \(x-4\) negativ, sodass der Betrag das Vorzeichen umkehrt.

- Kannst du die Wurzeln aus den Zahlen \(49\) und \(100\) ziehen? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine Klammer mit einem Minus davor auflöst? - Achte darauf, zuerst die Ausdrücke innerhalb der Klammer zu vereinfachen, bevor du den Faktor davor multiplizierst.

1. Teilweises Wurzelziehen der Quadratwurzeln: \(\sqrt{49b} = 7\sqrt{b}\) und \(\sqrt{100b} = 10\sqrt{b}\). 2. Einsetzen der vereinfachten Wurzeln in den Term: \(3 \cdot 7\sqrt{b} - 2(10\sqrt{b} - 4\sqrt{b})\). 3. Zusammenfassen des Ausdrucks innerhalb der Klammer: \(10\sqrt{b} - 4\sqrt{b} = 6\sqrt{b}\). 4. Multiplikation der Koeffizienten: \(21\sqrt{b} - 2 \cdot 6\sqrt{b} = 21\sqrt{b} - 12\sqrt{b}\). 5. Subtraktion der gleichartigen Terme: \(9\sqrt{b}\).

\(9\sqrt{b}\)

- Kannst du das Distributivgesetz anwenden, um die Klammer aufzulösen? - Welche Rechenregel kennst du für die Division von zwei Wurzeln? - Versuche, die Terme unter einer einzigen Wurzel zusammenzufassen und dann zu kürzen. - Denk daran, dass \(\sqrt{4a}\) auch als \(2 \cdot \sqrt{a}\) geschrieben werden kann.

1. Anwendung des Distributivgesetzes: Division jedes Summanden in der Klammer durch den Divisor \(\sqrt{5xy}\). 2. Zusammenfassen der Quotienten unter einer gemeinsamen Wurzel gemäß \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\): \(\sqrt{\frac{20x^3y}{5xy}} + \sqrt{\frac{5xy^3}{5xy}}\). 3. Kürzen der Brüche unter den Radikanden: \(\sqrt{4x^2} + \sqrt{y^2}\). 4. Radizieren der Terme unter Berücksichtigung positiver Variablen: \(2x + y\). 5. Für den zweiten Teil: Division jedes Terms durch \(\sqrt{a}\) ergibt \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{4a}}{\sqrt{a}}\). 6. Vereinfachen: \(1 - \sqrt{4} = 1 - 2 = -1\).

1) \(2x+y\) 2) \(-1\)

- Kannst du einen der Terme als Quadrat einer Wurzel schreiben? - Was passiert, wenn du einen Teil des Terms so umschreibst, dass er denselben Ausdruck wie ein anderer Teil enthält? - Kannst du einen gemeinsamen Faktor identifizieren, der in beiden Summanden vorkommt?

1. Den Term \(x\) als \((\sqrt{x})^2\) umschreiben und den gemeinsamen Faktor \(\sqrt{x}\) ausklammern: \(\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)\). 2. Den Ausdruck \(x+y\) als \((\sqrt{x+y})^2\) schreiben und \(\sqrt{x+y}\) ausklammern: \(\sqrt{x+y}(\sqrt{x+y} - 1)\).

1) \(\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)\) 2) \(\sqrt{x+y}(\sqrt{x+y} - 1)\)

- Welche der drei binomischen Formeln passt jeweils zu der Aufgabe? - Was passiert mit einer Wurzel, wenn man sie quadriert? - Denke daran, dass beim mittleren Term \(2ab\) alle Faktoren multipliziert werden müssen. - Kannst du Produkte von Wurzeln unter einer gemeinsamen Wurzel zusammenfassen?

1. Anwendung der ersten binomischen Formel \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) auf Teilaufgabe a): \((\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 7 + 7^2 = x + 14\sqrt{x} + 49\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel \((A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\) auf Teilaufgabe b): \(4^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = 16 - 8\sqrt{y} + y\). 3. Anwendung der ersten binomischen Formel auf Teilaufgabe c) unter Verwendung der Wurzelgesetze \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\): \((\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b\).

a) \(x + 14\sqrt{x} + 49\) b) \(16 - 8\sqrt{y} + y\) c) \(a + 2\sqrt{ab} + b\)

- Erinnere dich an die erste und zweite binomische Formel: \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\). - Was passiert, wenn du für \(a\) und \(b\) Quadratwurzeln einsetzt? - Kannst du den Term unter der großen Wurzel als ein Quadrat eines anderen Terms schreiben? - Suche nach zwei Zahlen, deren Summe und Produkt im Radikanden versteckt sind.

1. Anwendung der ersten binomischen Formel: \((\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}\). 2. Da \((\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}\) gilt und \(\sqrt{5} > \sqrt{2}\) ist, folgt \(\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}\). 3. Gesucht sind zwei Zahlen \(x\) und \(y\) mit \(x+y=12\) und \(xy=35\). Dies sind \(7\) und \(5\). Somit ist \((\sqrt{7}+\sqrt{5})^2 = 7+5+2\sqrt{35} = 12+2\sqrt{35}\). Daher gilt \(\sqrt{12+2\sqrt{35}} = \sqrt{7}+\sqrt{5}\).

1. \(7 + 2\sqrt{10}\) 2. \(\sqrt{5} - \sqrt{2}\) 3. \(\sqrt{7} + \sqrt{5}\)

- Kannst du zuerst die Summe und die Differenz der beiden gegebenen Ausdrücke einzeln berechnen? - Was passiert, wenn du Brüche mit dem gleichen Nenner addierst oder subtrahierst? - Wie dividiert man durch einen Bruch?

1. Berechnung des Zählers: \(x+y = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = 2\) 2. Berechnung des Nenners: \(x-y = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}} = \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\) 3. Bestimmung des Gesamtwerts: \(T = \frac{2}{\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) 4. Vereinfachung: \(T = \sqrt{\frac{a}{b}}\)

\(T = \sqrt{\frac{a}{b}}\)

- Untersuche zuerst, ob der Faktor vor der Wurzel positiv oder negativ ist. - Überlege, was mit dem Vorzeichen passiert, wenn man eine negative Zahl quadriert. - Wie kann man einen negativen Ausdruck so umschreiben, dass ein Minuszeichen vor einer positiven Klammer steht? - Gibt es im Radikanden Terme, die sich nach dem Hineinziehen kürzen lassen?

1. Bestimmung des Vorzeichens: Da \(a > 1\), ist die Differenz \(1 - a\) negativ. 2. Umformung des Faktors: Um den Faktor unter die Wurzel zu ziehen, wird er als \(-(a-1)\) geschrieben, wobei \((a-1)\) positiv ist. 3. Einbeziehen in die Wurzel: Der positive Teil wird quadriert unter die Wurzel geschrieben, während das Minuszeichen vor der Wurzel stehen bleibt: \(-\sqrt{(a-1)^2 \cdot \frac{5}{a-1}}\). 4. Vereinfachung des Radikanden: Durch Kürzen von \((a-1)\) im Zähler und Nenner ergibt sich das Resultat \(-\sqrt{5(a-1)}\).

\(-\sqrt{5(a-1)}\)

- Kannst du die Wurzelterme wie eine Variable behandeln und sie auf einer Seite der Gleichung sammeln? - Was ist der nächste logische Schritt, wenn die Wurzel allein auf einer Seite steht? - Denke daran, wie man Brüche mit gleichem Nenner voneinander abzieht. - Überprüfe am Ende, ob dein gefundenes \(x\) unter der Wurzel zu einem negativen Wert führen würde.

1. Sortieren der Terme, sodass alle Ausdrücke mit \(\sqrt{2x}\) auf einer Seite stehen: \(\frac{7}{4}\sqrt{2x} - \frac{3}{4}\sqrt{2x} = 13 - 5\). 2. Zusammenfassen der Koeffizienten: \(1 \cdot \sqrt{2x} = 8\). 3. Quadrieren der Gleichung zur Beseitigung der Wurzel: \((\sqrt{2x})^2 = 8^2\), woraus \(2x = 64\) folgt. 4. Berechnen des Wertes für \(x\): \(x = 32\). 5. Überprüfung der Definitionsmenge: Da \(32 \ge 0\), ist der Radikand positiv und die Lösung gültig. Somit ist die Lösungsmenge \(\mathbb{L} = \{32\}\).

\(\mathbb{L} = \{32\}\)

- Kannst du im Term unter der Wurzel etwas ausklammern? - Suchst du gezielt nach Faktoren, aus denen man glatt die Wurzel ziehen kann (Quadratzahlen oder Potenzen mit geraden Exponenten)? - Worauf musst du achten, wenn du eine Summe unter einer Wurzel hast?

1. Ausklammern des größten quadratischen Faktors unter der Wurzel: \(4x^2(2y + xy^2)\) 2. Anwendung des Wurzelgesetzes für Produkte: \(\sqrt{4x^2} \cdot \sqrt{2y + xy^2}\) 3. Radizieren des quadratischen Terms: \(2x \cdot \sqrt{2y + xy^2}\)

a) \(2x\sqrt{2y + xy^2}\)

- Kannst du Terme unter der Wurzel erst wie normale Rechenausdrücke zusammenfassen? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine Wurzel aus einem Quadrat ziehst. - Wie verändert sich ein Wert, wenn du ihn durch eine Dezimalzahl teilst, die kleiner als 1 ist?

1. Zusammenfassen unter einer Wurzel: \(\sqrt{3a \cdot 12a} = \sqrt{36a^2}\). Da \(a \ge 0\), ist \(\sqrt{36a^2} = 6a\). 2. Subtraktion der gleichartigen Terme unter der Wurzel: \(\sqrt{(125 - 44)x^2} = \sqrt{81x^2}\). Radizieren ergibt \(9|x|\). 3. Wurzel aus Zähler und Nenner ziehen: \(\frac{\sqrt{16a^2}}{\sqrt{0{,}25}} = \frac{4|a|}{0{,}5}\). Division ergibt \(8|a|\). 4. Betrag berechnen: \(\sqrt{(-15)^2} = |-15| = 15\). Der zweite Teil ist \(\sqrt{b^2} = |b|\). Ergebnis: \(15 + |b|\).

a) \(6a\) b) \(9|x|\) c) \(8|a|\) d) \(15 + |b|\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie quadriert? - Kannst du die Rechenregeln für Brüche innerhalb der Wurzel anwenden? - Wie kannst du eine Gleichung, in der eine Wurzel vorkommt, nach der Unbekannten auflösen?

1. Teilaufgabe a: Für \(x = 5\) ist \(\sqrt{5^2} = 5\). Für \(x = -5\) ist \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5\). Die Aussage stimmt nur für \(x \ge 0\); allgemein gilt \(\sqrt{x^2} = |x|\). 2. Teilaufgabe b: Zusammenfassen unter eine Wurzel ergibt \(\sqrt{\frac{32z^5}{2z}} = \sqrt{16z^4}\). Ziehen der Wurzel ergibt \(4z^2\). 3. Teilaufgabe c: Umformen der Gleichung zu \(\sqrt{8y} = 4\). Quadrieren beider Seiten ergibt \(8y = 16\). Division durch \(8\) liefert \(y = 2\).

a) Die Aussage ist falsch für negative \(x\), da das Ergebnis einer Quadratwurzel nie negativ ist. Korrekt ist \(\sqrt{x^2} = |x|\). b) \(4z^2\) c) \(y = 2\)

- Könntest du die Zahlen vor der Wurzel in die Wurzel hineinziehen, um die Werte besser vergleichen zu können? - Wenn zwei positive Zahlen unter einer Quadratwurzel stehen, welche der Wurzeln ist dann größer? - Erinnere dich daran, dass \(0{,}5\) als Bruch \(\frac{1}{2}\) geschrieben werden kann.

1. Umwandlung der Terme in eine einzige Wurzel mittels \(c\sqrt{d} = \sqrt{c^2 \cdot d}\). 2. Paar a): \(6\sqrt{2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}\) und \(5\sqrt{3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}\). Vergleich der Radikanden: Da \(75 > 72\), gilt \(5\sqrt{3} > 6\sqrt{2}\). 3. Paar b): \(0{,}5\sqrt{80} = \sqrt{0{,}25 \cdot 80} = \sqrt{20}\) und \(\frac{1}{3}\sqrt{180} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 180} = \sqrt{20}\). Vergleich der Radikanden: Da \(20 = 20\), sind die Werte gleich.

a) \(5\sqrt{3}\) ist größer als \(6\sqrt{2}\), da \(\sqrt{75} > \sqrt{72}\). b) Die Werte sind gleich, da beide \(\sqrt{20}\) ergeben.

- Erkennst du in den ersten beiden Teilaufgaben eine Struktur, bei der sich nur das Vorzeichen in der Mitte unterscheidet? - In Teilaufgabe c) kannst du das Produkt der Wurzeln unter einer Wurzel zusammenfassen und prüfen, ob du daraus die Wurzel ziehen kannst. - Achte in Teilaufgabe d) auf das Minuszeichen vor der Klammer und wie es die Vorzeichen beim Auflösen beeinflusst.

1. Anwendung der 3. binomischen Formel \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) auf a): \( (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{d})^2 = 11 - d \). 2. Anwendung der 3. binomischen Formel auf b): \( (x\sqrt{5})^2 - (2y)^2 = 5x^2 - 4y^2 \). 3. Anwendung der 1. binomischen Formel auf c): \( (\sqrt{8})^2 + 2\sqrt{8}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 8 + 2\sqrt{16} + 2 = 10 + 2 \cdot 4 = 18 \). 4. Anwendung der 1. binomischen Formel auf den ersten Teil von d): \( a + 2\sqrt{ab} + b \). Subtraktion von \( (a+b) \) ergibt: \( a + 2\sqrt{ab} + b - a - b = 2\sqrt{ab} \).

a) \( 11 - d \) b) \( 5x^2 - 4y^2 \) c) \( 18 \) d) \( 2\sqrt{ab} \) Bedingungen: \(d,a,b \ge 0\), \(x,y\in\mathbb R\).

- Vergleiche mit \((u\pm v)^2=u^2\pm2uv+v^2\). - Bestimme zuerst die Ausdrücke \(u\) und \(v\). - Achte auf die Bedingungen, unter denen die Wurzeln definiert sind.

1. Zu a): Setze \(u=\sqrt x\) und \(v=\sqrt7\). Dann ist \[ 2uv=2\sqrt x\sqrt7=2\sqrt{7x}. \] Daher muss \(\square=v^2=7\) gelten, und der Term lautet \[ (\sqrt x+\sqrt7)^2. \] 2. Zu b): Setze \(u=\sqrt{3a}\) und \(v=\sqrt2\). Dann ist \[ 2uv=2\sqrt{3a}\sqrt2=2\sqrt{6a}=\sqrt{24a}. \] Daher muss \(\square=v^2=2\) gelten, und der Term lautet \[ (\sqrt{3a}-\sqrt2)^2. \]

a) \(\square=7\), also \((\sqrt x+\sqrt7)^2\). b) \(\square=2\), also \((\sqrt{3a}-\sqrt2)^2\).

- Achte bei Aufgabenteil b) darauf, ob es eine Rechenregel gibt, mit der man Summen unter der Wurzel trennen darf. - Bei Koeffizienten vor den Variablen musst du auch von diesen die Wurzel ziehen, um die Basis für die binomische Formel zu finden. - Brüche im Radikanden lassen sich oft als Quadrat eines anderen Bruchs schreiben.

1. Überprüfung auf Quadratzahlen und binomische Strukturen: a) \(9z^2 = (3z)^2\), \(4 = 2^2\), Mischterm \(-2 \cdot 3z \cdot 2 = -12z\). Radikand ist \((3z - 2)^2\). Ergebnis: \(|3z - 2|\). b) \(r^2 + s^2\) ist keine binomische Formel (Mischterm fehlt). Nicht weiter vereinfachbar. c) \(4m^2 = (2m)^2\), \(25n^2 = (5n)^2\), Mischterm \(2 \cdot 2m \cdot 5n = 20mn\). Radikand ist \((2m + 5n)^2\). Ergebnis: \(|2m + 5n|\). d) \(c^2\), \(\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2\), Mischterm \(2 \cdot c \cdot \frac{1}{2} = c\). Radikand ist \((c + \frac{1}{2})^2\). Ergebnis: \(|c + \frac{1}{2}|\).

a) \(|3z - 2|\) b) Nicht weiter vereinfachbar, da \(r^2 + s^2\) kein vollständiges Quadrat ist. c) \(|2m + 5n|\) d) \(|c + \frac{1}{2}|\)

- Setze die Zahl für die Variable ein und berechne Schritt für Schritt. - Erinnere dich an die Definition der Quadratwurzel im reellen Bereich. - Wie kommst du vom Ergebnis einer Wurzelrechnung zurück zum Term unter der Wurzel?

1. Überprüfung für \( x = 3 \): \( \sqrt{(3-7)^2} = \sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 \). Der Term \( x-7 \) ergibt jedoch \( 3-7 = -4 \). Die Behauptung ist falsch, da das Ergebnis einer Quadratwurzel nie negativ ist. Korrekt ist \( |x-7| \). 2. Bestimmung des Radikanden: Anwendung der zweiten binomischen Formel \( (4a-3b)^2 = (4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot 3b + (3b)^2 \). 3. Berechnung: \( 16a^2 - 24ab + 9b^2 \).

a) Für \( x=3 \) ist \( \sqrt{(3-7)^2} = 4 \), aber \( x-7 = -4 \). Die Behauptung ist falsch. b) \( \sqrt{16a^2 - 24ab + 9b^2} = |4a - 3b| \)

- Achte auf die Brüche und wie sie sich beim Quadrieren verhalten. - Wann ist eine Wurzel im Bereich der reellen Zahlen definiert? - Was passiert mit dem Vorzeichen innerhalb eines Quadrats oder innerhalb von Betragsstrichen?

1. Vereinfachung von \( T(x) \): Der Radikand entspricht \( (\frac{1}{3}x - 1)^2 \), da \( (\frac{1}{3}x)^2 = \frac{1}{9}x^2 \), \( 2 \cdot \frac{1}{3}x \cdot 1 = \frac{2}{3}x \) und \( 1^2 = 1 \). Das Ergebnis ist \( |\frac{1}{3}x - 1| \). 2. Definitionsbereich: Da \( (\frac{1}{3}x - 1)^2 \ge 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \), ist der Radikand nie negativ. Somit ist \( D = \mathbb{R} \). 3. Vergleich: \( \sqrt{(x-3)^2} = |x-3| \) und \( \sqrt{(3-x)^2} = |3-x| \). Da \( |a| = |-a| \), gilt \( |x-3| = |-(3-x)| = |3-x| \). Die Ergebnisse sind identisch.

a) \( |\frac{1}{3}x - 1| \) b) \( D = \mathbb{R} \), da der Term unter der Wurzel als Quadrat eines reellen Ausdrucks immer größer oder gleich Null ist. c) Ja, sie sind identisch, da \( |x-3| = |3-x| \) für alle \( x \) gilt.

- Könnte es hilfreich sein, den Bruch in zwei einzelne Brüche aufzuteilen? - Erinnerst du dich an die Regeln für das Dividieren von Wurzeln mit derselben Basis? - Gibt es im Zähler einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern könntest?

1. Umformen des Terms \(\sqrt{a^3}\) im Zähler: \(\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = a\sqrt{a}\) 2. Vereinfachen des Zählers: \(a\sqrt{a} + 2a\sqrt{a} = 3a\sqrt{a}\) 3. Kürzen des Bruchs: \(\frac{3a\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = 3a\) 4. Subtraktion des letzten Glieds: \(3a - a = 2a\) Alternativer Weg: 1. Aufteilen des Bruchs: \(\frac{\sqrt{a^3}}{\sqrt{a}} + \frac{2a\sqrt{a}}{\sqrt{a}} - a\) 2. Anwenden der Wurzelgesetze: \(\sqrt{\frac{a^3}{a}} + 2a - a = \sqrt{a^2} + a = a + a = 2a\)

\(2a\)

- Kannst du eine große Zahl unter der Wurzel in ein Produkt aus einer Quadratzahl und einer anderen Zahl zerlegen? - Gibt es eine Regel, wie man zwei Wurzeln dividiert? - Was weißt du über den Abstand zwischen zwei Zahlen \(a\) und \(b\) auf dem Zahlenstrahl, egal in welcher Reihenfolge man sie betrachtet? - Überlege, ob das Ergebnis im Fall b) noch ein Betragszeichen benötigt, wenn \(y\) positiv sein muss.

1. Zu a): Teilweises Wurzelziehen durch Zerlegung des Radikanden: \(\sqrt{9 \cdot 2 \cdot x^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2} = 3\sqrt{2}|x|\). 2. Zu b): Anwendung des Wurzelgesetzes für Division: \(\sqrt{\frac{12y^3}{3y}} = \sqrt{4y^2}\). Da \(y > 0\) vorgegeben ist, gilt \(\sqrt{4y^2} = 2|y| = 2y\). 3. Zu c): Anwendung der Betragsregel ergibt \(|a-b| - |b-a|\). Da für alle reellen Zahlen \(|x| = |-x|\) gilt und \(a-b = -(b-a)\) ist, folgt \(|a-b| = |b-a|\). Die Subtraktion ergibt somit \(0\).

a) \(3\sqrt{2}|x|\) b) \(2y\) c) \(0\)

- Wie verändert sich ein Term, wenn du ihn unter eine Quadratwurzel schreibst? - Nutze die Rechenregeln für Brüche und Potenzen, um den Ausdruck unter der Wurzel am Ende zu vereinfachen. - Erinnere dich daran, dass \((m \cdot n)^2 = m^2 \cdot n^2\) gilt. - Achte beim Kürzen unter der Wurzel genau auf die Exponenten der Variablen.

1. Einbringen des Faktors \(\frac{a}{2}\) unter die Wurzel durch Quadrieren: \(\sqrt{(\frac{a}{2})^2 \cdot \frac{8}{a}} = \sqrt{\frac{a^2}{4} \cdot \frac{8}{a}}\). Kürzen von \(a\) und Verrechnung der Zahlen: \(\sqrt{\frac{8a^2}{4a}} = \sqrt{2a}\). 2. Einbringen des Faktors \(3b^2\): \(\sqrt{(3b^2)^2 \cdot \frac{1}{3b^3}} = \sqrt{9b^4 \cdot \frac{1}{3b^3}}\). Kürzen der Potenzen von \(b\) und der Zahlen: \(\sqrt{\frac{9b^4}{3b^3}} = \sqrt{3b}\). 3. Einbringen des Faktors \(\frac{2}{3x}\): \(\sqrt{(\frac{2}{3x})^2 \cdot 18x^3} = \sqrt{\frac{4}{9x^2} \cdot 18x^3}\). Verrechnung der Brüche: \(\frac{4 \cdot 18}{9} = 4 \cdot 2 = 8\) und \(\frac{x^3}{x^2} = x\). Ergebnis: \(\sqrt{8x}\).

a) \(\sqrt{2a}\) b) \(\sqrt{3b}\) c) \(\sqrt{8x}\)

- Kannst du den Bruch unter der Wurzel aufteilen? - Wie vereinfacht sich der Ausdruck \( \sqrt{a^2} \), wenn \( a \) negativ ist? - Untersuche separat den Zähler und den Nenner des entstandenen Bruchs. - Was passiert beim Kürzen, wenn im Nenner ein Betrag steht?

1. Anwendung der Rechenregeln für Wurzeln: \( \sqrt{\frac{5}{(k-2)^2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{(k-2)^2}} = \frac{\sqrt{5}}{|k-2|} \). 2. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \( Q(k) = (k-2) \cdot \frac{\sqrt{5}}{|k-2|} \). 3. Fallunterscheidung für \( k > 2 \): Hier ist \( k-2 > 0 \), also \( |k-2| = k-2 \). Der Term vereinfacht sich zu \( (k-2) \cdot \frac{\sqrt{5}}{k-2} = \sqrt{5} \). 4. Fallunterscheidung für \( k < 2 \): Hier ist \( k-2 < 0 \), also \( |k-2| = -(k-2) \). Der Term vereinfacht sich zu \( (k-2) \cdot \frac{\sqrt{5}}{-(k-2)} = \frac{\sqrt{5}}{-1} = -\sqrt{5} \). 5. Für \(k=2\) ist der ursprüngliche Term wegen des Nenners \((k-2)^2=0\) nicht definiert.

Für \( k > 2 \) nimmt der Term den Wert \( \sqrt{5} \) an. Für \( k < 2 \) nimmt der Term den Wert \( -\sqrt{5} \) an. Für \(k=2\) ist der Term nicht definiert.

- Kannst du die Terme unter den Wurzeln mithilfe der binomischen Formeln umschreiben? - Was passiert, wenn man die Quadratwurzel aus einem quadrierten Ausdruck zieht? Denke an Betragsstriche. - Prüfe, ob die Ausdrücke innerhalb der Betragsstriche für den angegebenen Bereich von \(x\) positiv oder negativ sind. - Wie verändert sich ein Betragsterm \(|z|\), wenn \(z\) negativ ist?

1. Erkennen der binomischen Formeln unter den Wurzeln: \(4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2\) und \(4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2\). 2. Anwendung der Regel \(\sqrt{a^2} = |a|\): \(A = |2x - 3| + |2x + 3|\). 3. Untersuchung der Vorzeichen im gegebenen Intervall \(-1{,}5 \le x \le 1{,}5\): - Für \(x \le 1{,}5\) ist \(2x \le 3\), also \(2x - 3 \le 0\). Daher gilt \(|2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x\). - Für \(x \ge -1{,}5\) ist \(2x \ge -3\), also \(2x + 3 \ge 0\). Daher gilt \(|2x + 3| = 2x + 3\). 4. Einsetzen und Zusammenfassen: \(A = (3 - 2x) + (2x + 3) = 6\).

\(6\)

- Erkennst du im ersten Radikanden eine binomische Formel, wenn du einen gemeinsamen Faktor ausklammerst? - Was musst du beachten, wenn du die Wurzel aus einem Quadrat ziehst? - Nutze die Information \(a > b\), um zu entscheiden, ob ein Ausdruck in einer Wurzel positiv oder negativ ist.

1. Faktorisieren des ersten Radikanden: \(4a^2 - 8ab + 4b^2 = 4(a^2 - 2ab + b^2) = 4(a-b)^2\). 2. Radizieren des ersten Terms: Da \(a > b\), ist \(a-b > 0\), also \(\sqrt{4(a-b)^2} = 2(a-b)\). 3. Radizieren der weiteren Terme: \(\sqrt{a^2} = a\) und \(\sqrt{(a+b)^2} = a+b\). 4. Aufstellen des vereinfachten Terms: \(2(a-b) + a - (a+b)\). 5. Auflösen der Klammern und Zusammenfassen: \(2a - 2b + a - a - b = 2a - 3b\).

\(2a - 3b\)

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel in Produkte zerlegen, bei denen ein Faktor eine Quadratzahl ist? - Untersuche, ob sich alle Wurzelterme auf eine gemeinsame Form mit demselben Radikanden bringen lassen. - Wie verhält es sich mit dem Addieren und Subtrahieren von Wurzeln, die den gleichen Ausdruck unter der Wurzel haben?

1. Teilweises Wurzelziehen der einzelnen Glieder: \(2\sqrt{18x} = 2 \cdot 3\sqrt{2x} = 6\sqrt{2x}\), \(3\sqrt{8x} = 3 \cdot 2\sqrt{2x} = 6\sqrt{2x}\) und \(\sqrt{50x} = 5\sqrt{2x}\) 2. Einsetzen der vereinfachten Terme: \(T = (6\sqrt{2x} - 5\sqrt{2x} + 4) + (5\sqrt{2x} - 6\sqrt{2x})\) 3. Zusammenfassen der Koeffizienten von \(\sqrt{2x}\): \((6 - 5 + 5 - 6) \cdot \sqrt{2x} = 0 \cdot \sqrt{2x} = 0\) 4. Endergebnis nach Addition der Konstante: \(T = 0 + 4 = 4\)

\(4\)

- Versuche, alle drei Wurzelterme so umzuformen, dass unter der Wurzel jeweils derselbe Ausdruck steht. - Welche Quadratzahlen sind Teiler von \(27\), \(48\) und \(147\)? - Darf man Wurzeln einfach addieren, indem man die Zahlen unter der Wurzel addiert? Überprüfe dies kritisch durch Einsetzen.

1. Teilweises Wurzelziehen auf der linken Seite: \(\sqrt{27y} = \sqrt{9 \cdot 3y} = 3\sqrt{3y}\) und \(\sqrt{48y} = \sqrt{16 \cdot 3y} = 4\sqrt{3y}\) 2. Addition der Terme auf der linken Seite: \(3\sqrt{3y} + 4\sqrt{3y} = 7\sqrt{3y}\) 3. Teilweises Wurzelziehen auf der rechten Seite: \(\sqrt{147y} = \sqrt{49 \cdot 3y} = 7\sqrt{3y}\) 4. Vergleich der Ergebnisse: Da die linke Seite und die rechte Seite identisch zu \(7\sqrt{3y}\) vereinfacht werden können, ist die Gleichung für alle \(y \ge 0\) wahr.

Die Aussage ist wahr, da beide Seiten der Gleichung den Wert \(7\sqrt{3y}\) ergeben.

- Wie dividiert man durch einen Bruch? Gilt das auch innerhalb oder für Wurzeln? - Du kannst die Division durch eine Wurzel als Multiplikation mit der Kehrwert-Wurzel schreiben. - Verwende das Distributivgesetz, um jeden Teil der Klammer einzeln zu multiplizieren. - Kannst du die Terme unter der Wurzel so weit kürzen, dass du die Wurzel einfach ziehen kannst?

1. Umwandlung der Division durch eine Wurzel in eine Multiplikation mit dem Kehrwert unter der Wurzel: \(: \sqrt{\frac{1}{x}}\) entspricht \(\cdot \sqrt{x}\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes: \(\sqrt{x^3} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\). 3. Zusammenfassen unter der Wurzel: \(\sqrt{x^4} + \sqrt{x^2}\). 4. Radizieren: \(x^2 + x\). 5. Für den zweiten Teil: Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors: \((\sqrt{a^2b} - \sqrt{b^3}) \cdot \sqrt{\frac{a^2}{b}}\). 6. Distributivgesetz anwenden: \(\sqrt{a^2b \cdot \frac{a^2}{b}} - \sqrt{b^3 \cdot \frac{a^2}{b}}\). 7. Kürzen der Variablen unter der Wurzel: \(\sqrt{a^4} - \sqrt{a^2b^2}\). 8. Radizieren: \(a^2 - ab\).

1) \(x^2+x\) 2) \(a^2-ab\)

- Kannst du die Terme in Paare aufteilen, die etwas gemeinsam haben? - Gibt es in den Teilgruppen Faktoren, die nach dem Ausklammern in beiden Klammern identisch sind? - Lässt sich ein Teil des Ausdrucks mit einer binomischen Formel umschreiben, um neue Faktoren zu erzeugen? - Was passiert, wenn du Variablen wie \( x \) als Quadrat einer Wurzel betrachtest?

1. Gruppierung der Summanden: \( (\sqrt{uv} - \sqrt{3u}) + (\sqrt{2v} - \sqrt{6}) \). Aus der ersten Gruppe \( \sqrt{u} \) und aus der zweiten Gruppe \( \sqrt{2} \) ausklammern: \( \sqrt{u}(\sqrt{v} - \sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{v} - \sqrt{3}) \). Den gemeinsamen Faktor \( (\sqrt{v} - \sqrt{3}) \) ausklammern: \( (\sqrt{u} + \sqrt{2})(\sqrt{v} - \sqrt{3}) \). 2. Den Ausdruck \( x - y \) mithilfe der dritten binomischen Formel als \( (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) \) schreiben. Den hinteren Teil \( -3\sqrt{x} + 3\sqrt{y} \) durch Ausklammern von \( -3 \) zu \( -3(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \) umformen. Den gemeinsamen Faktor \( (\sqrt{x} - \sqrt{y}) \) ausklammern: \( (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y} - 3) \).

1) \( (\sqrt{u} + \sqrt{2})(\sqrt{v} - \sqrt{3}) \) 2) \( (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y} - 3) \)

- Schau dir die Ausdrücke unter den Wurzeln genau an – lassen sie sich in Produkte zerlegen? - Ein Term ohne Wurzel kann oft als Quadrat einer Wurzel geschrieben werden, um das Ausklammern zu ermöglichen. - Achte bei Teilaufgabe 2 besonders auf den Zusammenhang zwischen dem Quadrat einer Differenz und der Wurzel daraus.

1. Zerlegung von \(x^2 - 16\) in \((x - 4)(x + 4)\) und Darstellung von \(x - 4\) als \((\sqrt{x - 4})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{x - 4}\) führt zu: \(\sqrt{x - 4}(\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 4})\). 2. Erkennen der zweiten binomischen Formel unter der Wurzel: \(\sqrt{(x - y)^2} = x - y\) (da \(x \ge y\)). Der Term lautet dann \((x - y) + \sqrt{x - y}\). Ausklammern von \(\sqrt{x - y}\) ergibt: \(\sqrt{x - y}(\sqrt{x - y} + 1)\).

1) \(\sqrt{x - 4}(\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 4})\) 2) \(\sqrt{x - y}(\sqrt{x - y} + 1)\)

- Achte beim Quadrieren von Termen wie \(5\sqrt{z}\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Wurzel zu quadrieren. - Wie lässt sich ein Term wie \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{xy}\) durch teilweises Wurzelziehen vereinfachen? - Gehe Schritt für Schritt vor: Erst die Formel allgemein hinschreiben, dann die Quadrate und Produkte einzeln ausrechnen.

1. Berechnung von a) mit der zweiten binomischen Formel: \((5\sqrt{z})^2 - 2 \cdot 5\sqrt{z} \cdot 1 + 1^2 = 25z - 10\sqrt{z} + 1\). 2. Berechnung von b) mit der ersten binomischen Formel: \((\frac{1}{2}\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{x} \cdot 4\sqrt{y} + (4\sqrt{y})^2 = \frac{1}{4}x + 4\sqrt{xy} + 16y\). 3. Berechnung von c) mit der zweiten binomischen Formel: \((\sqrt{xy})^2 - 2 \cdot \sqrt{xy} \cdot 3\sqrt{x} + (3\sqrt{x})^2\). 4. Vereinfachung des mittleren Terms in c): \(2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{xy} = 6 \cdot \sqrt{x^2y} = 6x\sqrt{y}\). 5. Endergebnis für c): \(xy - 6x\sqrt{y} + 9x\).

a) \(25z - 10\sqrt{z} + 1\) b) \(\frac{1}{4}x + 4\sqrt{xy} + 16y\) c) \(xy - 6x\sqrt{y} + 9x\)

- Versuche zuerst, den Ausdruck unter der Wurzel zu vereinfachen, nachdem du \( x \) eingesetzt hast. - Erkennst du eine binomische Formel in dem Ausdruck für \( 1+x^2 \)? - Achte beim Ziehen der Wurzel auf das Vorzeichen der Basis. - Vereinfache Zähler und Nenner des Hauptbruchs getrennt voneinander, bevor du den Doppelbruch auflöst.

1. Berechnung von \( 1+x^2 \): \( 1 + \left( \frac{1}{2} (a - \frac{1}{a}) \right)^2 = 1 + \frac{1}{4} (a^2 - 2 + \frac{1}{a^2}) = \frac{4 + a^2 - 2 + \frac{1}{a^2}}{4} = \frac{a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}}{4} = \left( \frac{1}{2} (a + \frac{1}{a}) \right)^2 \). 2. Bestimmung von \( \sqrt{1+x^2} \): Da \( a > 1 \), ist \( a + \frac{1}{a} > 0 \), also \( \sqrt{1+x^2} = \frac{1}{2} (a + \frac{1}{a}) \). 3. Einsetzen in den Zähler: \( \sqrt{1+x^2} + x = \frac{1}{2} (a + \frac{1}{a}) + \frac{1}{2} (a - \frac{1}{a}) = a \). 4. Einsetzen in den Nenner: \( \sqrt{1+x^2} - x = \frac{1}{2} (a + \frac{1}{a}) - \frac{1}{2} (a - \frac{1}{a}) = \frac{1}{a} \). 5. Division der Ergebnisse: \( T = \frac{a}{\frac{1}{a}} = a^2 \).

\( T = a^2 \)

- Kannst du den ursprünglichen Term vereinfachen, indem du den Nenner wurzelfrei machst? - Was passiert, wenn du die gegebene Substitution für \(x\) in den Ausdruck \(x^2+1\) einsetzt? - Achte darauf, ob du unter der Wurzel eine binomische Formel erkennen kannst. - Nutze die Bedingung \(0 < t < 1\), um das Vorzeichen beim Ziehen der Wurzel zu bestimmen.

1. Rationalisieren des Nenners von \(T(x)\) durch Erweitern mit \(\sqrt{x^2+1}+1\): \(T(x) = \frac{x(\sqrt{x^2+1}+1)}{(\sqrt{x^2+1}-1)(\sqrt{x^2+1}+1)} = \frac{x(\sqrt{x^2+1}+1)}{x^2+1-1} = \frac{\sqrt{x^2+1}+1}{x}\). 2. Berechnung von \(x^2+1\) mit \(x = \frac{2t}{1-t^2}\): \(x^2+1 = \frac{4t^2}{(1-t^2)^2} + 1 = \frac{4t^2 + (1-t^2)^2}{(1-t^2)^2} = \frac{4t^2 + 1 - 2t^2 + t^4}{(1-t^2)^2} = \frac{(1+t^2)^2}{(1-t^2)^2}\). 3. Ziehen der Quadratwurzel: Da \(0 < t < 1\) gilt, ist \(1-t^2 > 0\), woraus \(\sqrt{x^2+1} = \frac{1+t^2}{1-t^2}\) folgt. 4. Einsetzen in den vereinfachten Term: \(T = \frac{\frac{1+t^2}{1-t^2} + 1}{\frac{2t}{1-t^2}} = \frac{\frac{1+t^2 + 1-t^2}{1-t^2}}{\frac{2t}{1-t^2}} = \frac{2}{2t} = \frac{1}{t}\).

\(T = \frac{1}{t}\)

- Kannst du den Term unter der Wurzel so umformen, dass er ein Quadrat ergibt? - Was passiert, wenn du den gegebenen Ausdruck für \( x \) direkt einsetzt und ausmultiplizierst? - Achte auf die Bedingung \( a > 1 \). Warum ist diese beim Ziehen der Wurzel wichtig? - Kannst du den Zähler und den Nenner getrennt voneinander vereinfachen?

1. Einsetzen von \( x = a + \frac{1}{a} \) in den Radikanden: \( x^2 - 4 = (a + \frac{1}{a})^2 - 4 \). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel: \( a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} - 4 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} - 4 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} \). 3. Rückführung auf die zweite binomische Formel: \( a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = (a - \frac{1}{a})^2 \). 4. Ziehen der Wurzel: Da \( a > 1 \), ist \( a - \frac{1}{a} > 0 \), woraus folgt \( \sqrt{x^2 - 4} = a - \frac{1}{a} \). 5. Berechnung des Nenners: \( x - \sqrt{x^2 - 4} = (a + \frac{1}{a}) - (a - \frac{1}{a}) = \frac{2}{a} \). 6. Einsetzen in den Bruch: \( \frac{a - \frac{1}{a}}{\frac{2}{a}} = \frac{\frac{a^2 - 1}{a}}{\frac{2}{a}} = \frac{a^2 - 1}{2} \).

\( \frac{a^2 - 1}{2} \)

- Schau dir die Zahlen unter den Wurzeln genau an. Gibt es Quadratzahlen, die in 12 oder 75 als Teiler stecken? - Wie kannst du Terme wie \(a\sqrt{c}\) und \(b\sqrt{c}\) zusammenfassen? - Versuche zuerst, die Wurzeln so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du quadrierst. - Was musst du tun, um eine Wurzel ganz aus der Gleichung zu entfernen?

1. Anwendung des partiellen Wurzelziehens auf beide Terme: \(\sqrt{12x} = \sqrt{4 \cdot 3x} = 2\sqrt{3x}\) und \(\sqrt{75x} = \sqrt{25 \cdot 3x} = 5\sqrt{3x}\). 2. Einsetzen der vereinfachten Terme in die Gleichung: \(2\sqrt{3x} + 5\sqrt{3x} = 14\). 3. Addieren der gleichartigen Wurzelterme: \(7\sqrt{3x} = 14\). 4. Isolieren der verbleibenden Wurzel durch Division durch 7: \(\sqrt{3x} = 2\). 5. Quadrieren beider Seiten der Gleichung: \(3x = 4\). 6. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{4}{3}\).

\(x = \frac{4}{3}\)

- Gibt es ein Gesetz, mit dem du die Klammer auflösen kannst? - Was passiert mit Variablen, die sowohl im Zähler als auch im Nenner stehen? - Überlege, ob der Ausdruck unter der Wurzel und der abgezogene Wert am Ende identisch sind. - Wie oft passt \(1{,}3\) in die Zahl \(13\)?

1. Distributivgesetz anwenden: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{36} + \sqrt{100} = 6 + 10 = 16\). 2. Wurzeln im Zähler und Nenner vereinfachen: \(\frac{0{,}2|z|}{0{,}1|z|}\). Da \(z \neq 0\), kürzt sich \(|z|\) heraus: \(\frac{0{,}2}{0{,}1} = 2\). 3. Radizieren des Produkts: \(\sqrt{x^2 \cdot y^2} = |x| \cdot |y| = |xy|\). Subtraktion: \(|xy| - |xy| = 0\). 4. Terme einzeln radizieren: \(\frac{13|c|}{1{,}3}\). Division der Koeffizienten: \(10|c|\).

a) \(16\) b) \(2\) c) \(0\) d) \(10|c|\)

- Was passiert mit einem Term, wenn du ihn quadrierst und anschließend die Wurzel ziehst? - Kannst du den Faktor vor der Wurzel als Bruch in die Wurzel schreiben? - Vergiss nicht, nach dem Zusammenfassen unter der Wurzel so weit wie möglich zu kürzen. - Beachte die Potenzgesetze, wenn du Variablen mit Exponenten multiplizierst oder dividierst.

1. Einbringen der Faktoren vor der Wurzel durch Quadrieren unter das Wurzelzeichen. 2. Teilaufgabe a): \(\frac{a}{2}\) wird zu \(\sqrt{(\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4}}\). Multiplikation der Radikanden ergibt \(\sqrt{\frac{a^2}{4} \cdot \frac{8}{a}} = \sqrt{\frac{8a^2}{4a}}\). Kürzen durch \(4a\) führt zum Ergebnis \(\sqrt{2a}\). 3. Teilaufgabe b): \(3x^2\) wird zu \(\sqrt{(3x^2)^2} = \sqrt{9x^4}\). Multiplikation der Radikanden ergibt \(\sqrt{9x^4 \cdot \frac{1}{9x^3}} = \sqrt{\frac{9x^4}{9x^3}}\). Kürzen durch \(9x^3\) führt zum Ergebnis \(\sqrt{x}\).

a) \(\sqrt{2a}\) b) \(\sqrt{x}\)

- Manchmal hilft es, zuerst einen gemeinsamen Faktor aus allen Summanden unter der Wurzel auszuklammern. - Lass dich von der Reihenfolge der Summanden nicht verwirren; sortiere sie gegebenenfalls um. - Dezimalzahlen lassen sich oft leichter verarbeiten, wenn man sie als Brüche betrachtet oder gezielt nach ihren Wurzeln sucht.

1. Faktorisierung und Anwendung binomischer Formeln: a) Faktor \(2\) ausklammern: \(\sqrt{2(x^2 + 2x + 1)} = \sqrt{2(x + 1)^2} = \sqrt{2} \cdot |x + 1|\). b) Erkennen der Basen: \(0{,}01u^2 = (0{,}1u)^2\), \(4v^2 = (2v)^2\). Mischterm \(-2 \cdot 0{,}1u \cdot 2v = -0{,}4uv\). Radikand ist \((0{,}1u - 2v)^2\). Ergebnis: \(|0{,}1u - 2v|\). c) Terme umordnen: \(\sqrt{p^2 - 4pq + 4q^2} = \sqrt{(p - 2q)^2} = |p - 2q|\). d) Erkennen der Basen: \(\frac{4}{9}a^2 = (\frac{2}{3}a)^2\), \(b^2\). Mischterm \(2 \cdot \frac{2}{3}a \cdot b = \frac{4}{3}ab\). Radikand ist \((\frac{2}{3}a + b)^2\). Ergebnis: \(|\frac{2}{3}a + b|\).

a) \(\sqrt{2} \cdot |x + 1|\) b) \(|0{,}1u - 2v|\) c) \(|p - 2q|\) d) \(|\frac{2}{3}a + b|\)

- Gibt es einen gemeinsamen Faktor unter den Wurzeln, den du ausklammern kannst? - Welche binomischen Formeln lassen sich hier anwenden? - Berücksichtige die Bedingungen für \(a\) und \(b\), um zu entscheiden, wie die Betragsstriche aufgelöst werden können. - Achte beim Subtrahieren der Terme besonders auf die Vorzeichen und Klammern.

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(c\) unter den Wurzeln: \(T = \sqrt{c(a^2 - 2ab + b^2)} - \sqrt{c(a^2 + 2ab + b^2)}\). 2. Anwendung der binomischen Formeln: \(T = \sqrt{c(a - b)^2} - \sqrt{c(a + b)^2}\). 3. Teilweises Wurzelziehen unter Beachtung der Beträge: \(T = \sqrt{c} \cdot |a - b| - \sqrt{c} \cdot |a + b|\). 4. Auflösen der Beträge unter Berücksichtigung der Bedingungen \(a > b > 0\): - Da \(a > b\), ist \(a - b > 0\), also \(|a - b| = a - b\). - Da \(a > 0\) und \(b > 0\), ist \(a + b > 0\), also \(|a + b| = a + b\). 5. Einsetzen und Vereinfachen: \(T = \sqrt{c}(a - b) - \sqrt{c}(a + b) = \sqrt{c}(a - b - a - b) = \sqrt{c}(-2b) = -2b\sqrt{c}\).

\(-2b\sqrt{c}\)

- Kannst du Faktoren aus den Wurzeln ziehen, indem du Quadratzahlen identifizierst? - Überlege, was mit einer Wurzel passiert, wenn ihr Radikand ein Quadrat ist. - Wie beeinflusst die Bedingung \(x > y\) das Vorzeichen von Termen wie \(x-y\)? - Versuche, Terme mit gleichen Wurzelanteilen am Ende zusammenzufassen.

1. Vereinfachung der Wurzeln mit dem Faktor \(z\): Da \(x > 0\), gilt \(\sqrt{9x^2 z} = 3x\sqrt{z}\) und \(\sqrt{4x^2 z} = 2x\sqrt{z}\). 2. Vereinfachung der Wurzeln von Quadraten: Da \(x > y\), ist \(x-y > 0\), woraus \(\sqrt{(x-y)^2} = x-y\) folgt. Ebenso ist \(\sqrt{(x+y)^2} = x+y\). 3. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(x\sqrt{z} + 3x\sqrt{z} - 2x\sqrt{z} + (x-y) - (x+y)\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(\sqrt{z}\): \((1 + 3 - 2)x\sqrt{z} = 2x\sqrt{z}\). 5. Zusammenfassen der restlichen Terme: \(x - y - x - y = -2y\). 6. Endergebnis: \(2x\sqrt{z} - 2y\).

\(2x\sqrt{z} - 2y\)

- Sieht die Struktur des Terms einer bekannten binomischen Formel ähnlich? - Was passiert, wenn du die Wurzel durch eine neue Hilfsvariable ersetzt? - Kannst du den Term wie eine quadratische Gleichung behandeln, um Nullstellen zu finden? - Achte darauf, am Ende wieder die ursprüngliche Variable einzusetzen.

1. Erkennen der Struktur der zweiten binomischen Formel \( A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2 \) mit \( A = \sqrt{x} \) und \( B = 5 \). Überprüfung des mittleren Terms: \( 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 5 = 10\sqrt{x} \). Ergebnis: \( (\sqrt{x} - 5)^2 \). 2. Substitution \( u = \sqrt{a} \) führt auf den quadratischen Term \( 3u^2 - 5u - 2 \). Bestimmung der Nullstellen über die quadratische Lösungsformel: \( u_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6} \). Die Nullstellen sind \( u_1 = 2 \) und \( u_2 = -\frac{1}{3} \). Linearfaktorzerlegung: \( 3(u - 2)(u + \frac{1}{3}) = (u - 2)(3u + 1) \). Rücksubstitution ergibt: \( (\sqrt{a} - 2)(3\sqrt{a} + 1) \).

1) \( (\sqrt{x} - 5)^2 \) 2) \( (\sqrt{a} - 2)(3\sqrt{a} + 1) \)

- Wie kannst du eine Gleichung mit einer Wurzel auf einer Seite vereinfachen? - Wenn zwei Terme der Form \(A + \sqrt{B}\) und \(C + \sqrt{D}\) gleich sein sollen, was muss dann für die einzelnen Bestandteile gelten? - Nutze die Erkenntnisse aus dem Quadrieren, um ein kleines Gleichungssystem für die unbekannten Werte aufzustellen. - Achte beim Vergleich der Terme in Teilaufgabe 3 genau auf die Position der Faktoren vor den Wurzeln.

1. Quadrieren der rechten Seite: \((\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21}\). Da \(2\sqrt{21} = \sqrt{84}\), ist die Gleichung wahr; außerdem ist \(\sqrt{7}-\sqrt{3}>0\). 2. Quadrieren ergibt \(4{,}5 + \sqrt{8} = x+y+2\sqrt{xy}\). Wegen \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) gilt \(x+y=4{,}5\) und \(xy=2\). Daraus folgen \(x=4\) und \(y=0{,}5\) oder umgekehrt. 3. Für \(x,y \ge 0\) gilt \((\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=x+y+2\sqrt{xy}\). Daher müssen \(x+y=a\) und \(xy=b\) gelten.

1. Die Gleichung ist wahr. 2. \(x=4\) und \(y=0{,}5\) oder umgekehrt. 3. Es müssen \(x,y \ge 0\), \(x+y=a\) und \(xy=b\) gelten.

- Setze die Ausdrücke für \(x\) und \(y\) ein und bringe Zähler und Nenner jeweils auf einen Hauptnenner. - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie sind hier beim Ausmultiplizieren der Zähler sehr nützlich. - Denke daran, dass \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a\) gilt. - Welchen Vorteil bietet es, den Hauptnenner in der Form \((a-1)\) stehen zu lassen, anstatt ihn sofort wegzukürzen?

1. Berechnung von \(x-y\): Hauptnenner ist \((\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1) = a-1\). Der Zähler ergibt sich zu \((\sqrt{a}+1)^2 - (\sqrt{a}-1)^2 = (a+2\sqrt{a}+1) - (a-2\sqrt{a}+1) = 4\sqrt{a}\). Also \(x-y = \frac{4\sqrt{a}}{a-1}\). 2. Berechnung von \(x+y\): Mit dem gleichen Hauptnenner \(a-1\) ergibt sich der Zähler zu \((\sqrt{a}+1)^2 + (\sqrt{a}-1)^2 = (a+2\sqrt{a}+1) + (a-2\sqrt{a}+1) = 2a+2 = 2(a+1)\). Also \(x+y = \frac{2(a+1)}{a-1}\). 3. Division der Ergebnisse: \(S = \frac{x-y}{x+y} = \frac{4\sqrt{a}}{a-1} : \frac{2(a+1)}{a-1} = \frac{4\sqrt{a}}{a-1} \cdot \frac{a-1}{2(a+1)}\). 4. Kürzen und Vereinfachen: Nach dem Kürzen von \((a-1)\) und der Zahl 2 bleibt \(S = \frac{2\sqrt{a}}{a+1}\).

Der Ausdruck vereinfacht sich zu \(S = \frac{2\sqrt{a}}{a+1}\).

- Setze den Term für \( x \) in den Ausdruck \( x^2 - 1 \) ein und versuche, diesen als ein vollständiges Quadrat zu schreiben. - Welche Rolle spielt die Bedingung \( a > 1 \) beim Auflösen der Wurzel? - Kannst du den Zähler und den Nenner einzeln berechnen, um den Bruch übersichtlicher zu machen?

1. Berechnung von \( x^2 - 1 \): \( x^2 - 1 = \left( \frac{1}{2} (\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}) \right)^2 - 1 = \frac{1}{4} (a + 2 + \frac{1}{a}) - 1 = \frac{a + 2 + \frac{1}{a} - 4}{4} = \frac{a - 2 + \frac{1}{a}}{4} = \left( \frac{1}{2} (\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}) \right)^2 \). 2. Bestimmung von \( \sqrt{x^2-1} \): Da \( a > 1 \), ist \( \sqrt{a} > \frac{1}{\sqrt{a}} \), daher ist \( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \) positiv. Es folgt \( \sqrt{x^2-1} = \frac{1}{2} (\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}) \). 3. Vereinfachung des Zählers: \( x + \sqrt{x^2-1} = \frac{1}{2} (\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}) + \frac{1}{2} (\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}) = \sqrt{a} \). 4. Vereinfachung des Nenners: \( x - \sqrt{x^2-1} = \frac{1}{2} (\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}) - \frac{1}{2} (\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}) = \frac{1}{\sqrt{a}} \). 5. Berechnung des Gesamtausdrucks: \( E = \frac{\sqrt{a}}{\frac{1}{\sqrt{a}}} = (\sqrt{a})^2 = a \).

\( E = a \)

- Versuche zuerst, den Doppelbruch zu vermeiden, indem du den Nenner des Hauptterms rationalisierst. - Wie lässt sich der Ausdruck \(1-x^2\) vereinfachen, wenn du die Substitution einsetzt? - Erinnerst du dich daran, dass \(\sqrt{y^2} = |y|\) gilt? Warum ist das hier wichtig? - Untersuche das Vorzeichen des Ausdrucks \(m^2-1\) für die beiden angegebenen Fälle.

1. Rationalisieren des Nenners: \(A = \frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^2}{(1+x)-(1-x)} = \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\). 2. Mit \(x=\frac{2m}{m^2+1}\) gilt \(1-x^2 = \frac{(m^2-1)^2}{(m^2+1)^2}\), also \(\sqrt{1-x^2}=\frac{|m^2-1|}{m^2+1}\). 3. Daher ist \(A=\frac{m^2+1-|m^2-1|}{2m}\). 4. Für \(0<m<1\) ist \(|m^2-1|=1-m^2\), also \(A=m\). Für \(m=1\) gilt unmittelbar \(A=1\). Für \(m>1\) ist \(|m^2-1|=m^2-1\), also \(A=\frac{1}{m}\).

Für \(0<m<1\) gilt \(A=m\), für \(m=1\) gilt \(A=1\), und für \(m>1\) gilt \(A=\frac{1}{m}\).

- Versuche zuerst, die Ausdrücke \( x+2 \) und \( x-2 \) auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Erkennst du in den Zählern der neuen Brüche eine bekannte Formel? - Warum ist die Information \( a > b \) für das Vereinfachen der Wurzeln von Bedeutung? - Kannst du den großen Bruch am Ende durch Kürzen vereinfachen?

1. Einsetzen von \( x \) in die Radikanden: \( x + 2 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{ab} \) und \( x - 2 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} \). 2. Anwendung der binomischen Formeln: \( x + 2 = \frac{(a+b)^2}{ab} \) und \( x - 2 = \frac{(a-b)^2}{ab} \). 3. Ziehen der Wurzeln: \( \sqrt{x+2} = \frac{a+b}{\sqrt{ab}} \) und \( \sqrt{x-2} = \frac{a-b}{\sqrt{ab}} \) (da \( a > b > 0 \)). 4. Berechnung des Zählers: \( \frac{a+b}{\sqrt{ab}} + \frac{a-b}{\sqrt{ab}} = \frac{2a}{\sqrt{ab}} \). 5. Berechnung des Nenners: \( \frac{a+b}{\sqrt{ab}} - \frac{a-b}{\sqrt{ab}} = \frac{2b}{\sqrt{ab}} \). 6. Division der Terme: \( \frac{2a}{\sqrt{ab}} : \frac{2b}{\sqrt{ab}} = \frac{2a}{2b} = \frac{a}{b} \).

\( \frac{a}{b} \)

- Prüfe die Bedingungen für \(x\) und \(y\), um das Vorzeichen des Faktors vor der Wurzel zu bestimmen. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um den Ausdruck unter der Wurzel zu faktorisieren. - Achte darauf, dass beim Einziehen eines negativen Wertes ein Minuszeichen vor der Wurzel erhalten bleibt. - Welche Potenzen von Variablen lassen sich im Radikanden gegeneinander kürzen?

1. Vorzeichenanalyse: Aufgrund der Bedingung \(0 < x < y\) ist die Differenz \(x - y\) negativ und \(x\) positiv. Somit ist der gesamte Faktor \(\frac{x-y}{x}\) negativ. 2. Termvorbereitung: Der Faktor wird als \(-\frac{y-x}{x}\) umgeschrieben, sodass der Bruch \(\frac{y-x}{x}\) positiv ist. 3. Einziehen unter die Wurzel: Das Quadrat des positiven Bruchs wird mit dem Radikanden multipliziert: \(-\sqrt{\frac{(y-x)^2}{x^2} \cdot \frac{x^3}{y^2-x^2}}\). 4. Faktorisierung und Kürzen: Mit der dritten binomischen Formel \(y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)\) wird der Radikand zu \(\frac{(y-x)^2 \cdot x^3}{x^2 \cdot (y-x)(y+x)}\) vereinfacht. Nach dem Kürzen von \(x^2\) und \((y-x)\) verbleibt \(-\sqrt{\frac{x(y-x)}{y+x}}\).

\(-\sqrt{\frac{x(y-x)}{x+y}}\)