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- Kannst du die Wurzeln unter einem gemeinsamen Wurzelzeichen zusammenfassen? - Gibt es Quadrate in den Radikanden, die du teilweise oder ganz aus der Wurzel ziehen kannst? - Wann ist eine Division durch eine Variable problematisch? - Was passiert, wenn man eine Quadratwurzel mit sich selbst multipliziert?

1. Teilaufgabe a: Anwendung des Produktgesetzes \(\sqrt{7 \cdot 28} = \sqrt{196}\). Ergebnis: \(14\). Es ist keine zusätzliche Variablenbedingung erforderlich. 2. Teilaufgabe b: Anwendung des Quotientengesetzes \(\sqrt{\frac{45x^3}{5x}} = \sqrt{9x^2}\). Bedingung: \(x > 0\). Ergebnis: \(3x\). 3. Teilaufgabe c: Zusammenfassen der Koeffizienten und der Wurzeln \(2 \cdot 3 \cdot (\sqrt{a})^2 = 6a\). Bedingung: \(a \ge 0\). Ergebnis: \(6a\). 4. Teilaufgabe d: Teilweises Wurzelziehen \(\sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{16 \cdot 3} = 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}\). Zusammenfassen der gleichartigen Wurzeln ergibt \(6\sqrt{3}\). Es ist keine zusätzliche Variablenbedingung erforderlich.

a) \(14\) (keine zusätzliche Bedingung) b) \(3x\) (für \(x > 0\)) c) \(6a\) (für \(a \ge 0\)) d) \(6\sqrt{3}\) (keine zusätzliche Bedingung)

- Wie kannst du eine Zahl so umschreiben, dass sie als Quadratwurzel dargestellt wird? - Überlege, welche Rechenregel für das Produkt von zwei Wurzeln gilt. - Was passiert mit einem Faktor, wenn man ihn „rückwärts“ aus einer Wurzel ziehen würde? - Achte bei Brüchen darauf, sowohl den Zähler als auch den Nenner zu quadrieren.

1. Anwendung der Regel \(c\sqrt{d} = \sqrt{c^2 \cdot d}\) für \(c \ge 0\) in allen Teilaufgaben. 2. Für a): Berechnung von \(4^2 \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80\), daraus folgt \(\sqrt{80}\). 3. Für b): Quadrieren des Bruchs \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\) und Multiplikation mit \(18\), ergibt \(\frac{4 \cdot 18}{9} = 8\), daraus folgt \(\sqrt{8}\). 4. Für c): Quadrieren der Dezimalzahl \(0{,}2^2 = 0{,}04\) und Multiplikation mit \(200\), ergibt \(0{,}04 \cdot 200 = 8\), daraus folgt \(\sqrt{8}\). 5. Für d): Quadrieren der Variable \(k^2\) und Multiplikation mit \(k\), ergibt \(k^2 \cdot k = k^3\), daraus folgt \(\sqrt{k^3}\).

a) \(\sqrt{80}\) b) \(\sqrt{8}\) c) \(\sqrt{8}\) d) \(\sqrt{k^3}\)

- Überlege, welche der drei binomischen Formeln jeweils passt. - Denk daran, dass das Quadrat einer Wurzel die ursprüngliche Zahl ergibt, also \( (\sqrt{x})^2 = x \). - Achte beim Quadrieren von Produkten wie \( (\sqrt{3}x)^2 \) darauf, beide Faktoren zu quadrieren. - Beim mittleren Term der binomischen Formel kannst du Wurzeln zusammenfassen, indem du die Radikanden multiplizierst.

1. Anwendung der 1. binomischen Formel \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) auf a): \( (\sqrt{r})^2 + 2 \cdot \sqrt{r} \cdot 4 + 4^2 = r + 8\sqrt{r} + 16 \). 2. Anwendung der 2. binomischen Formel \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) auf b): \( 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{s} + (\sqrt{s})^2 = 25 - 10\sqrt{s} + s \). 3. Anwendung der 1. binomischen Formel auf c): \( (\sqrt{3}x)^2 + 2 \cdot \sqrt{3}x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3x^2 + 2\sqrt{6}x + 2 \). 4. Anwendung der 2. binomischen Formel auf d): \( \left(\frac{\sqrt{y}}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{y}}{3} \cdot 6 + 6^2 = \frac{y}{9} - 4\sqrt{y} + 36 \).

a) \( r + 8\sqrt{r} + 16 \) b) \( 25 - 10\sqrt{s} + s \) c) \( 3x^2 + 2\sqrt{6}x + 2 \) d) \( \frac{y}{9} - 4\sqrt{y} + 36 \) Bedingungen: \(r,s,y \ge 0\), \(x\in\mathbb R\).

- Kannst du den mittleren Teil des Ausdrucks so umformen, dass er die gleiche Form wie die anderen beiden Teile hat? - Überlege, welche Faktoren unter der Wurzel Quadratzahlen oder Quadrate von Variablen sind. - Welche Rechenregel erlaubt es dir, Wurzeln von Produkten aufzuteilen?

1. Teilweises Wurzelziehen im zweiten Summanden: \(\sqrt{9x^2 y} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{y} = 3x\sqrt{y}\) 2. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(4x\sqrt{y} - 3x\sqrt{y} + 2x\sqrt{y}\) 3. Zusammenfassen der gleichartigen Terme: \((4 - 3 + 2) \cdot x\sqrt{y} = 3x\sqrt{y}\)

\(3x\sqrt{y}\)

- Erkennst du im ersten Teil des Ausdrucks eine der binomischen Formeln wieder? - Was passiert, wenn du eine Quadratwurzel quadrierst? - Versuche, erst das Produkt vollständig zu berechnen, bevor du die hinteren Terme betrachtest.

1. Anwenden der dritten binomischen Formel \((A+B)(A-B) = A^2 - B^2\) auf das Produkt: \((\sqrt{2p})^2 - (\sqrt{3q})^2\) 2. Quadrieren der Wurzelterme: \(2p - 3q\) 3. Den restlichen Term hinzufügen: \(2p - 3q + 3q - p\) 4. Zusammenfassen der Terme: \((2p - p) + (-3q + 3q) = p\)

\(p\)

- Was weißt du über das Vorzeichen des Ausdrucks unter einer Quadratwurzel? - Wie verhält sich das Relationszeichen einer Ungleichung, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du eine Zahl einsetzt, die größer als dein berechneter Grenzwert ist.

1. Der Radikand (der Ausdruck unter der Wurzel) muss größer oder gleich Null sein: \(24 - 4x \ge 0\). 2. Subtraktion von 24 auf beiden Seiten führt zu \(-4x \ge -24\). 3. Division durch \(-4\) unter Umkehrung des Vergleichszeichens ergibt \(x \le 6\). 4. Der Term ist somit für alle \(x \in \mathbb{R}\) mit \(x \le 6\) definiert.

\(x \le 6\)

- Kannst du die gleichartigen Terme unter der Wurzel zuerst zusammenfassen? - Was passiert mit dem Exponenten einer Potenz, wenn man die Quadratwurzel daraus zieht? - Erinnerst du dich an die Quadratzahlen bis 20? Das könnte hier helfen.

1. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder unter der Wurzel: \(225z^4 - 81z^4 = 144z^4\). 2. Anwendung der Produktregel für Wurzeln: \(\sqrt{144 \cdot z^4} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{z^4}\). 3. Ziehen der Quadratwurzeln: \(\sqrt{144} = 12\) und \(\sqrt{z^4} = z^2\). 4. Zusammenfügen der Ergebnisse: \(12z^2\).

\(12z^2\)

- Welche Wurzelterme sind gleichartig und können durch Zusammenfassen ihrer Koeffizienten vereinfacht werden? - Welche Einschränkungen gelten für Variablen, die direkt unter einer Wurzel stehen? - Erinnerst du dich an die Regel für \(\sqrt{x^2}\)?

1. Zu a): Da \(\sqrt{a}\) nur für \(a \ge 0\) definiert ist, lautet die Bedingung \(a \ge 0\). Zusammenfassen der Koeffizienten ergibt \((2 + 5 - 1)\sqrt{a} = 6\sqrt{a}\). 2. Zu b): Der Term enthält \(\sqrt{3}\), was immer definiert ist. Ausklammern von \(x\sqrt{3}\) ergibt \((1 - 0{,}5)x\sqrt{3} = 0{,}5x\sqrt{3}\). Definiert für alle \(x \in \mathbb{R}\). 3. Zu c): Anwendung der Betragsregel ergibt \(5|z| + |z|\). Zusammenfassen ergibt \(6|z|\). Da Quadrate unter der Wurzel stehen, ist der Term für alle \(z \in \mathbb{R}\) definiert.

a) \(6\sqrt{a}\); definiert für \(a \ge 0\) b) \(0{,}5x\sqrt{3}\); definiert für \(x \in \mathbb{R}\) c) \(6|z|\); definiert für \(z \in \mathbb{R}\)

- Kannst du den Ausdruck unter der Wurzel in Potenzen mit geraden Exponenten zerlegen? - Achte darauf, ob die Terme in der Klammer positiv oder negativ sind. - Welche Rechenregel erlaubt es dir, eine Wurzel aus einem Produkt in ein Produkt aus Wurzeln zu verwandeln?

1. Zerlegung des Radikanden: \(\sqrt{(x-7)^5} = \sqrt{(x-7)^4 \cdot (x-7)}\). Da \(x \ge 7\), ist \(x-7 \ge 0\). Anwendung der Wurzelregel: \(\sqrt{(x-7)^4} = (x-7)^2\). Ergebnis: \((x-7)^2 \sqrt{x-7}\). 2. Aufspaltung des Produkts unter der Wurzel: \(\sqrt{a^3 \cdot (b+2)^2} = \sqrt{a^2 \cdot a \cdot (b+2)^2}\). Da \(a \ge 0\) und \(b \ge -2\) (somit \(b+2 \ge 0\)), gilt \(\sqrt{a^2} = a\) und \(\sqrt{(b+2)^2} = b+2\). Ergebnis: \(a(b+2)\sqrt{a}\).

1) \((x-7)^2 \sqrt{x-7}\) 2) \(a(b+2)\sqrt{a}\)

- Wie ändert sich ein Faktor, wenn man ihn unter eine Quadratwurzel zieht? - Versuche, den Ausdruck unter der Wurzel nach dem Hineinziehen des Faktors zu kürzen. - Prüfe am Ende, ob du aus dem Radikanden noch eine Quadratzahl als Faktor herausziehen kannst.

1. Teilaufgabe a): Um den Faktor \(6x\) unter die Quadratwurzel zu ziehen, wird er quadriert: \(6x \cdot \sqrt{\frac{y}{3x}} = \sqrt{(6x)^2 \cdot \frac{y}{3x}}\). 2. Berechnung des Radikanden: \((6x)^2 = 36x^2\), also \(\sqrt{36x^2 \cdot \frac{y}{3x}} = \sqrt{\frac{36x^2y}{3x}}\). 3. Kürzen des Bruchs im Radikanden: \(\frac{36x^2y}{3x} = 12xy\). 4. Teilweises Wurzelziehen: \(\sqrt{12xy} = \sqrt{4 \cdot 3xy} = 2\sqrt{3xy}\). 5. Teilaufgabe b): Der Faktor \(\frac{a}{2}\) wird quadriert unter die Wurzel gezogen: \(\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot \frac{20b}{a}} = \sqrt{\frac{a^2}{4} \cdot \frac{20b}{a}}\). 6. Kürzen des Bruchs: \(\frac{20a^2b}{4a} = 5ab\). 7. Endergebnis: \(\sqrt{5ab}\).

a) \(2\sqrt{3xy}\) b) \(\sqrt{5ab}\)

- Was bedeutet es, wenn zwei Wurzeln gleichartig sind? - Kannst du Faktoren unter der Wurzel finden, die Quadratzahlen sind, und diese vor die Wurzel ziehen? - Wie gehst du vor, wenn eine Wurzel im Nenner eines Bruchs steht? - Gibt es eine Rechenregel, mit der man Summen unter einer Wurzel (wie \(a^2+b^2\)) vereinfachen kann?

1. Teilweises Wurzelziehen für Paar a: \(\sqrt{20x^3} = \sqrt{4 \cdot 5 \cdot x^2 \cdot x} = 2x\sqrt{5x}\) und \(\sqrt{45x} = \sqrt{9 \cdot 5 \cdot x} = 3\sqrt{5x}\). Da beide Terme den Radikanden \(5x\) haben, sind sie gleichartig. 2. Analyse von Paar b: Die Terme \(\sqrt{a^2+b^2}\) und \(\sqrt{a^2-b^2}\) lassen sich nicht weiter vereinfachen. Da die Radikanden \(a^2+b^2\) und \(a^2-b^2\) verschieden sind, sind die Terme nicht gleichartig. 3. Rationalmachen des Nenners für Paar c: \(\sqrt{\frac{1}{3y}} = \frac{1}{\sqrt{3y}} = \frac{\sqrt{3y}}{3y}\). Der Vergleich mit \(\sqrt{3y}\) zeigt, dass beide Terme denselben Radikanden \(3y\) besitzen und somit gleichartig sind.

a) Gleichartig b) Nicht gleichartig c) Gleichartig

- Kannst du die Wurzeln aus den Zahlen \(49\) und \(100\) ziehen? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine Klammer mit einem Minus davor auflöst? - Achte darauf, zuerst die Ausdrücke innerhalb der Klammer zu vereinfachen, bevor du den Faktor davor multiplizierst.

1. Teilweises Wurzelziehen der Quadratwurzeln: \(\sqrt{49b} = 7\sqrt{b}\) und \(\sqrt{100b} = 10\sqrt{b}\). 2. Einsetzen der vereinfachten Wurzeln in den Term: \(3 \cdot 7\sqrt{b} - 2(10\sqrt{b} - 4\sqrt{b})\). 3. Zusammenfassen des Ausdrucks innerhalb der Klammer: \(10\sqrt{b} - 4\sqrt{b} = 6\sqrt{b}\). 4. Multiplikation der Koeffizienten: \(21\sqrt{b} - 2 \cdot 6\sqrt{b} = 21\sqrt{b} - 12\sqrt{b}\). 5. Subtraktion der gleichartigen Terme: \(9\sqrt{b}\).

\(9\sqrt{b}\)

- Achte bei Aufgaben mit Koeffizienten wie \(3\sqrt{5}\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Wurzel zu quadrieren. - Gibt es eine Struktur, die sich in allen Teilaufgaben wiederholt? - Bearbeite bei der letzten Teilaufgabe zuerst den Ausdruck innerhalb der großen Wurzel.

1. Zu a): Anwendung der dritten binomischen Formel \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\). Mit \(x = 3\sqrt{5}\) und \(y = 2\sqrt{2}\) folgt \((3\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 5 - 4 \cdot 2 = 45 - 8 = 37\). 2. Zu b): Anwendung der dritten binomischen Formel. Mit \(x = \frac{1}{3}\sqrt{a}\) und \(y = \sqrt{b}\) folgt \((\frac{1}{3}\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = \frac{1}{9}a - b\). 3. Zu c): Zuerst Vereinfachung des Terms unter der großen Wurzel mittels der dritten binomischen Formel: \((\sqrt{13} - 2)(\sqrt{13} + 2) = (\sqrt{13})^2 - 2^2 = 13 - 4 = 9\). Anschließend die äußere Wurzel ziehen: \(\sqrt{9} = 3\).

a) \(37\) b) \(\frac{1}{9}a - b\) c) \(3\)

- Kannst du die Zahlen unter ein gemeinsames Wurzelzeichen schreiben? - Wie gehst du mit den Zahlen vor der Wurzel um? Werden sie mit den Zahlen unter der Wurzel verrechnet? - Erinnerst du dich an die Potenzgesetze für Division bei gleichen Basen? - Überprüfe am Ende, ob du aus dem Ergebnis unter der Wurzel noch eine Quadratzahl ziehen kannst.

1. Anwendung der Regel \(\sqrt{a} {:} \sqrt{b} = \sqrt{a {:} b}\): \(\sqrt{108 {:} 3} = \sqrt{36} = 6\). 2. Zusammenfassen unter einer Wurzel: \(\sqrt{\frac{125x^3}{5x}}\). Kürzen des Bruchs unter der Wurzel ergibt \(\sqrt{25x^2}\). Ziehen der Wurzel führt zu \(5x\). 3. Getrennte Division der Koeffizienten und der Wurzelterme: \((12 {:} 3) \cdot \sqrt{10 {:} 2} = 4\sqrt{5}\).

1) \(6\) 2) \(5x\) 3) \(4\sqrt{5}\)

- Kannst du das Distributivgesetz anwenden, um die Klammer aufzulösen? - Welche Rechenregel kennst du für die Division von zwei Wurzeln? - Versuche, die Terme unter einer einzigen Wurzel zusammenzufassen und dann zu kürzen. - Denk daran, dass \(\sqrt{4a}\) auch als \(2 \cdot \sqrt{a}\) geschrieben werden kann.

1. Anwendung des Distributivgesetzes: Division jedes Summanden in der Klammer durch den Divisor \(\sqrt{5xy}\). 2. Zusammenfassen der Quotienten unter einer gemeinsamen Wurzel gemäß \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\): \(\sqrt{\frac{20x^3y}{5xy}} + \sqrt{\frac{5xy^3}{5xy}}\). 3. Kürzen der Brüche unter den Radikanden: \(\sqrt{4x^2} + \sqrt{y^2}\). 4. Radizieren der Terme unter Berücksichtigung positiver Variablen: \(2x + y\). 5. Für den zweiten Teil: Division jedes Terms durch \(\sqrt{a}\) ergibt \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{4a}}{\sqrt{a}}\). 6. Vereinfachen: \(1 - \sqrt{4} = 1 - 2 = -1\).

1) \(2x+y\) 2) \(-1\)

- Kannst du eine ganze Zahl oder eine Variable als Quadrat einer Wurzel schreiben? - Suche nach einem gemeinsamen Faktor in beiden Teilen des Terms. - Was passiert, wenn du die Wurzel aus einer Zahl mit sich selbst multiplizierst? - Kannst du den Term \(\sqrt{xy}\) mithilfe der Rechenregeln für Wurzeln umschreiben?

1. Darstellung der Zahl \(6\) als Quadrat einer Wurzel: \(6 = (\sqrt{6})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{6}\): \((\sqrt{6})^2 + \sqrt{6} = \sqrt{6}(\sqrt{6} + 1)\). 2. Darstellung der Zahl \(3\) als Quadrat einer Wurzel: \(3 = (\sqrt{3})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{3}\): \((\sqrt{3})^2 - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)\). 3. Darstellung der Variable \(y\) als Quadrat einer Wurzel: \(y = (\sqrt{y})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{y}\): \((\sqrt{y})^2 - \sqrt{y} = \sqrt{y}(\sqrt{y} - 1)\). 4. Zerlegung von \(\sqrt{xy}\) in \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\) und Darstellung von \(x\) als \((\sqrt{x})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{x}\): \((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})\).

1) \(\sqrt{6}(\sqrt{6} + 1)\) 2) \(\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)\) 3) \(\sqrt{y}(\sqrt{y} - 1)\) 4) \(\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})\)

- Kannst du einen der Terme als Quadrat einer Wurzel schreiben? - Was passiert, wenn du einen Teil des Terms so umschreibst, dass er denselben Ausdruck wie ein anderer Teil enthält? - Kannst du einen gemeinsamen Faktor identifizieren, der in beiden Summanden vorkommt?

1. Den Term \(x\) als \((\sqrt{x})^2\) umschreiben und den gemeinsamen Faktor \(\sqrt{x}\) ausklammern: \(\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)\). 2. Den Ausdruck \(x+y\) als \((\sqrt{x+y})^2\) schreiben und \(\sqrt{x+y}\) ausklammern: \(\sqrt{x+y}(\sqrt{x+y} - 1)\).

1) \(\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)\) 2) \(\sqrt{x+y}(\sqrt{x+y} - 1)\)

- Kannst du zuerst die Summe und die Differenz der beiden gegebenen Ausdrücke einzeln berechnen? - Was passiert, wenn du Brüche mit dem gleichen Nenner addierst oder subtrahierst? - Wie dividiert man durch einen Bruch?

1. Berechnung des Zählers: \(x+y = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = 2\) 2. Berechnung des Nenners: \(x-y = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}} = \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\) 3. Bestimmung des Gesamtwerts: \(T = \frac{2}{\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) 4. Vereinfachung: \(T = \sqrt{\frac{a}{b}}\)

\(T = \sqrt{\frac{a}{b}}\)

- Welchen kleinstmöglichen Wert kann das Quadrat einer Zahl annehmen? - Wie wirkt sich dieser kleinste Wert auf den gesamten Ausdruck unter der Wurzel aus? - Was ist dann der kleinstmögliche Wert für das Ergebnis der Wurzel? - Vergleiche diesen kleinstmöglichen Wert mit der Zahl auf der rechten Seite der Gleichung.

1. Bestimmung des minimalen Wertes des Radikanden: Da \(x^2 \ge 0\) für alle reellen Zahlen gilt, ist der Ausdruck unter der Wurzel \(x^2 + 25 \ge 25\). 2. Anwendung der Wurzelfunktion: Da die Quadratwurzelfunktion für positive Argumente streng monoton steigend ist, folgt aus \(x^2 + 25 \ge 25\), dass \(\sqrt{x^2 + 25} \ge \sqrt{25}\). 3. Berechnung des minimalen Wertes der linken Seite: Es gilt \(\sqrt{25} = 5\). Somit ist die linke Seite der Gleichung für jedes reelle \(x\) mindestens \(5\). 4. Vergleich mit der rechten Seite: Da die rechte Seite der Gleichung \(4\) ist und \(5 > 4\) gilt, kann die Gleichung niemals erfüllt sein.

Die Gleichung hat keine Lösung, da der Radikand \(x^2 + 25\) für alle reellen Zahlen mindestens \(25\) ist. Somit ist die Wurzel \(\sqrt{x^2 + 25}\) immer mindestens \(\sqrt{25} = 5\). Da die rechte Seite der Gleichung jedoch \(4\) ist, kann kein \(x\) die Gleichung erfüllen.

- Was muss für den Wert unter einer Quadratwurzel immer gelten? - Wenn ein Ausdruck im Nenner eines Bruchs steht, welchen Wert darf er dann niemals annehmen? - Wenn zwei Wurzeln addiert werden, welche Werte für \(x\) sind dann für den gesamten Ausdruck erlaubt? - Überlege dir, wie man Bedingungen wie „größer als“ und „ungleich“ kombiniert.

1. Für \(A(x)\) muss der Radikand nichtnegativ sein: \(5x - 15 \ge 0 \Rightarrow 5x \ge 15 \Rightarrow x \ge 3\). Somit ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 3\}\) bzw. \(D = [3; \infty)\). 2. Für \(B(x)\) müssen beide Radikanden gleichzeitig nichtnegativ sein. Bedingung 1: \(12 - 4x \ge 0 \Rightarrow 12 \ge 4x \Rightarrow x \le 3\). Bedingung 2: \(x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2\). Die Schnittmenge ergibt \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x \le 3\}\) bzw. \(D = [-2; 3]\). 3. Für \(C(x)\) muss der Radikand im Nenner echt positiv sein, da die Wurzel nicht Null werden darf: \(2x - 8 > 0 \Rightarrow 2x > 8 \Rightarrow x > 4\). Somit ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 4\}\) bzw. \(D = (4; \infty)\).

a) \(x \ge 3\) bzw. \(D = [3; \infty)\) b) \(-2 \le x \le 3\) bzw. \(D = [-2; 3]\) c) \(x > 4\) bzw. \(D = (4; \infty)\)

- Welche Werte kann das Ergebnis einer Quadratwurzel annehmen? - Überlege, für welche \(x\)-Werte die Ausdrücke unter den Wurzeln überhaupt definiert sind. - Kannst du die Gleichung so umstellen, dass die Wurzel alleine auf einer Seite steht? - Gibt es Überschneidungen zwischen den Bedingungen für die verschiedenen Wurzeln in einer Gleichung?

1. Teilaufgabe a): Eine Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) ist im reellen Bereich per Definition stets nichtnegativ (\(\sqrt{a} \ge 0\)). Da \(-5 < 0\) ist, kann die Gleichung keine Lösung haben. 2. Teilaufgabe b): Der Definitionsbereich erfordert \(x-8 \ge 0 \Rightarrow x \ge 8\) und gleichzeitig \(2-x \ge 0 \Rightarrow x \le 2\). Es gibt keine reelle Zahl, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt, sodass die Definitionsmenge leer ist. 3. Teilaufgabe c): Subtrahiert man auf beiden Seiten \(10\), erhält man \(\sqrt{x-1} = -7\). Da das Ergebnis einer Quadratwurzel nicht negativ sein kann, besitzt die Gleichung keine Lösung.

a) Der Wertebereich einer Wurzel ist nichtnegativ, das Ergebnis \(-5\) ist also unmöglich. b) Die Definitionsmenge ist leer, da \(x \ge 8\) und \(x \le 2\) sich ausschließen. c) Umgeformt ergibt sich \(\sqrt{x-1} = -7\); eine Wurzel kann keinen negativen Wert annehmen.

- Untersuche zuerst, ob der Faktor vor der Wurzel positiv oder negativ ist. - Überlege, was mit dem Vorzeichen passiert, wenn man eine negative Zahl quadriert. - Wie kann man einen negativen Ausdruck so umschreiben, dass ein Minuszeichen vor einer positiven Klammer steht? - Gibt es im Radikanden Terme, die sich nach dem Hineinziehen kürzen lassen?

1. Bestimmung des Vorzeichens: Da \(a > 1\), ist die Differenz \(1 - a\) negativ. 2. Umformung des Faktors: Um den Faktor unter die Wurzel zu ziehen, wird er als \(-(a-1)\) geschrieben, wobei \((a-1)\) positiv ist. 3. Einbeziehen in die Wurzel: Der positive Teil wird quadriert unter die Wurzel geschrieben, während das Minuszeichen vor der Wurzel stehen bleibt: \(-\sqrt{(a-1)^2 \cdot \frac{5}{a-1}}\). 4. Vereinfachung des Radikanden: Durch Kürzen von \((a-1)\) im Zähler und Nenner ergibt sich das Resultat \(-\sqrt{5(a-1)}\).

\(-\sqrt{5(a-1)}\)

- Kannst du die Wurzelterme wie eine Variable behandeln und sie auf einer Seite der Gleichung sammeln? - Was ist der nächste logische Schritt, wenn die Wurzel allein auf einer Seite steht? - Denke daran, wie man Brüche mit gleichem Nenner voneinander abzieht. - Überprüfe am Ende, ob dein gefundenes \(x\) unter der Wurzel zu einem negativen Wert führen würde.

1. Sortieren der Terme, sodass alle Ausdrücke mit \(\sqrt{2x}\) auf einer Seite stehen: \(\frac{7}{4}\sqrt{2x} - \frac{3}{4}\sqrt{2x} = 13 - 5\). 2. Zusammenfassen der Koeffizienten: \(1 \cdot \sqrt{2x} = 8\). 3. Quadrieren der Gleichung zur Beseitigung der Wurzel: \((\sqrt{2x})^2 = 8^2\), woraus \(2x = 64\) folgt. 4. Berechnen des Wertes für \(x\): \(x = 32\). 5. Überprüfung der Definitionsmenge: Da \(32 \ge 0\), ist der Radikand positiv und die Lösung gültig. Somit ist die Lösungsmenge \(\mathbb{L} = \{32\}\).

\(\mathbb{L} = \{32\}\)

- Kannst du im Term unter der Wurzel etwas ausklammern? - Suchst du gezielt nach Faktoren, aus denen man glatt die Wurzel ziehen kann (Quadratzahlen oder Potenzen mit geraden Exponenten)? - Worauf musst du achten, wenn du eine Summe unter einer Wurzel hast?

1. Ausklammern des größten quadratischen Faktors unter der Wurzel: \(4x^2(2y + xy^2)\) 2. Anwendung des Wurzelgesetzes für Produkte: \(\sqrt{4x^2} \cdot \sqrt{2y + xy^2}\) 3. Radizieren des quadratischen Terms: \(2x \cdot \sqrt{2y + xy^2}\)

a) \(2x\sqrt{2y + xy^2}\)

- Erinnere dich an die Regel \(\sqrt{a^2} = |a|\). - Überlege bei Teil c), welche der beiden Zahlen größer ist: \(2\) oder \(\sqrt{5}\)? - Was bedeutet der Betrag einer Zahl, wenn die Zahl selbst negativ ist?

1. Teil a: \(\sqrt{(-15)^2} = \sqrt{225} = 15\). 2. Teil b: \(\sqrt{0{,}4^2} = 0{,}4\). 3. Teil c: Da \(2^2 = 4\) und \((\sqrt{5})^2 = 5\) ist, gilt \(2 < \sqrt{5}\). Somit ist die Differenz \(2 - \sqrt{5}\) negativ. Da das Ergebnis einer Quadratwurzel nicht negativ sein darf, gilt \(\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2\). 4. Teil d: Für \(y < 0\) ist \(\sqrt{y^2} = |y|\). Da \(y\) negativ ist, entspricht der Betrag \(-y\), damit das Endergebnis positiv ist.

a) \(15\) b) \(0{,}4\) c) \(\sqrt{5} - 2\) d) \(-y\) (da \(-y\) bei negativem \(y\) positiv ist)

- Kannst du den Term auf der linken Seite mithilfe des Betrags schreiben? - Wenn der Betrag eines Ausdrucks \(9\) ist, welche zwei Werte kann der Ausdruck im Inneren dann annehmen? - Denke daran, dass es mehr als eine Lösung geben könnte.

1. Anwendung der Identität \(\sqrt{a^2} = |a|\): Die Gleichung vereinfacht sich zu \(|x - 4| = 9\). 2. Fallunterscheidung für den Betrag: Fall 1: \(x - 4 = 9\) Fall 2: \(x - 4 = -9\) 3. Lösung von Fall 1: \(x = 9 + 4 = 13\). 4. Lösung von Fall 2: \(x = -9 + 4 = -5\). 5. Überprüfung: \(\sqrt{(13-4)^2} = \sqrt{9^2} = 9\) und \(\sqrt{(-5-4)^2} = \sqrt{(-9)^2} = 9\). Beide Werte sind korrekt.

Die Lösungen der Gleichung sind \(x_1 = 13\) und \(x_2 = -5\). Durch die Vereinfachung \(\sqrt{(x - 4)^2} = |x - 4|\) ergeben sich die zwei linearen Gleichungen \(x - 4 = 9\) und \(x - 4 = -9\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie quadriert? - Kannst du die Rechenregeln für Brüche innerhalb der Wurzel anwenden? - Wie kannst du eine Gleichung, in der eine Wurzel vorkommt, nach der Unbekannten auflösen?

1. Teilaufgabe a: Für \(x = 5\) ist \(\sqrt{5^2} = 5\). Für \(x = -5\) ist \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5\). Die Aussage stimmt nur für \(x \ge 0\); allgemein gilt \(\sqrt{x^2} = |x|\). 2. Teilaufgabe b: Zusammenfassen unter eine Wurzel ergibt \(\sqrt{\frac{32z^5}{2z}} = \sqrt{16z^4}\). Ziehen der Wurzel ergibt \(4z^2\). 3. Teilaufgabe c: Umformen der Gleichung zu \(\sqrt{8y} = 4\). Quadrieren beider Seiten ergibt \(8y = 16\). Division durch \(8\) liefert \(y = 2\).

a) Die Aussage ist falsch für negative \(x\), da das Ergebnis einer Quadratwurzel nie negativ ist. Korrekt ist \(\sqrt{x^2} = |x|\). b) \(4z^2\) c) \(y = 2\)

- Kannst du den Bruch unter der Wurzel zuerst vereinfachen, indem du die Potenzen mit der gleichen Basis zusammenfasst? - Erinnere dich an das Gesetz für das Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis. - Wie kannst du eine Wurzel aus einem Produkt ziehen? - Was ergibt ein Produkt aus zwei Potenzen, deren Exponenten sich genau aufheben?

1. Zusammenfassen der Potenzen unter der Wurzel: \(\frac{a^4}{a^{-2}} = a^{4 - (-2)} = a^6\). Der Term lautet nun \(\sqrt{a^6b^6}\). 2. Anwendung des Wurzelgesetzes für Produkte: \(\sqrt{a^6b^6} = \sqrt{a^6} \cdot \sqrt{b^6}\). 3. Ziehen der Wurzel durch Halbieren der Exponenten: \(a^{\frac{6}{2}}b^{\frac{6}{2}} = a^3b^3 = (ab)^3\). 4. Einsetzen der Werte: \((10^{-1} \cdot 10)^3 = (10^{-1+1})^3 = (10^0)^3 = 1^3 = 1\).

Vereinfachter Term: \(a^3b^3\) oder \((ab)^3\). Wert für die gegebenen Zahlen: \(1\).

- Erkennst du in den ersten beiden Teilaufgaben eine Struktur, bei der sich nur das Vorzeichen in der Mitte unterscheidet? - In Teilaufgabe c) kannst du das Produkt der Wurzeln unter einer Wurzel zusammenfassen und prüfen, ob du daraus die Wurzel ziehen kannst. - Achte in Teilaufgabe d) auf das Minuszeichen vor der Klammer und wie es die Vorzeichen beim Auflösen beeinflusst.

1. Anwendung der 3. binomischen Formel \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) auf a): \( (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{d})^2 = 11 - d \). 2. Anwendung der 3. binomischen Formel auf b): \( (x\sqrt{5})^2 - (2y)^2 = 5x^2 - 4y^2 \). 3. Anwendung der 1. binomischen Formel auf c): \( (\sqrt{8})^2 + 2\sqrt{8}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 8 + 2\sqrt{16} + 2 = 10 + 2 \cdot 4 = 18 \). 4. Anwendung der 1. binomischen Formel auf den ersten Teil von d): \( a + 2\sqrt{ab} + b \). Subtraktion von \( (a+b) \) ergibt: \( a + 2\sqrt{ab} + b - a - b = 2\sqrt{ab} \).

a) \( 11 - d \) b) \( 5x^2 - 4y^2 \) c) \( 18 \) d) \( 2\sqrt{ab} \) Bedingungen: \(d,a,b \ge 0\), \(x,y\in\mathbb R\).

- Vergleiche mit \((u\pm v)^2=u^2\pm2uv+v^2\). - Bestimme zuerst die Ausdrücke \(u\) und \(v\). - Achte auf die Bedingungen, unter denen die Wurzeln definiert sind.

1. Zu a): Setze \(u=\sqrt{x}\) und \(v=\sqrt{7}\). Dann ist \(2uv=2\sqrt{x}\sqrt{7}=2\sqrt{7x}\). Daher muss \(\square=v^2=7\) gelten, und der Term lautet \((\sqrt{x}+\sqrt{7})^2\). 2. Zu b): Setze \(u=\sqrt{3a}\) und \(v=\sqrt{2}\). Dann ist \(2uv=2\sqrt{3a}\sqrt{2}=2\sqrt{6a}=\sqrt{24a}\). Daher muss \(\square=v^2=2\) gelten, und der Term lautet \((\sqrt{3a}-\sqrt{2})^2\).

a) \(\square=7\), also \((\sqrt x+\sqrt7)^2\). b) \(\square=2\), also \((\sqrt{3a}-\sqrt2)^2\).

- Könnte es hilfreich sein, den Bruch in zwei einzelne Brüche aufzuteilen? - Erinnerst du dich an das Quotientengesetz für Quadratwurzeln? - Gibt es im Zähler einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern könntest?

1. Umformen des Terms \(\sqrt{a^3}\) im Zähler: \(\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = a\sqrt{a}\) 2. Vereinfachen des Zählers: \(a\sqrt{a} + 2a\sqrt{a} = 3a\sqrt{a}\) 3. Kürzen des Bruchs: \(\frac{3a\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = 3a\) 4. Subtraktion des letzten Glieds: \(3a - a = 2a\) Alternativer Weg: 1. Aufteilen des Bruchs: \(\frac{\sqrt{a^3}}{\sqrt{a}} + \frac{2a\sqrt{a}}{\sqrt{a}} - a\) 2. Anwenden der Wurzelgesetze: \(\sqrt{\frac{a^3}{a}} + 2a - a = \sqrt{a^2} + a = a + a = 2a\)

\(2a\)

- Welche zwei mathematischen Regeln müssen hier gleichzeitig beachtet werden (Wurzelziehen und Division)? - Wann ist ein Bruch insgesamt positiv? - Kann der Nenner eines Bruchs jemals Null werden?

1. Der gesamte Bruch unter der Wurzel muss nichtnegativ sein: \(\frac{5}{a - 3} \ge 0\). 2. Da der Zähler \(5\) positiv ist, muss auch der Nenner \(a - 3\) positiv sein. 3. Der Nenner darf nicht Null sein, daher gilt die strikte Bedingung \(a - 3 > 0\). 4. Daraus folgt \(a > 3\). 5. Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen größer als 3.

\(a > 3\)

- Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen wie \(k^2\) oder \((k-2)^2\)? - Überlege dir für jeden Teil, ob es Werte gibt, die den Ausdruck unter der Wurzel negativ machen könnten. - Gibt es in einem der Fälle vielleicht nur eine einzige Lösung oder gar keine Einschränkung?

1. Teil a: Da \(k^2 \ge 0\) für alle reellen \(k\), ist \(k^2 + 10 \ge 10\). Da der Radikand immer positiv ist, ist der Term für alle \(k \in \mathbb{R}\) definiert. 2. Teil b: Ein Quadrat \((k - 2)^2\) ist stets \(\ge 0\). Das negative Vorzeichen davor macht den Ausdruck \(-(k - 2)^2 \le 0\). Eine Wurzel ist nur für Radikanden \(\ge 0\) definiert. Dies ist nur erfüllt, wenn \(-(k - 2)^2 = 0\), also bei \(k = 2\). 3. Teil c: Der Nenner \(k^2\) muss ungleich Null sein, also \(k \neq 0\). Da \(4 > 0\) und \(k^2 > 0\) für alle \(k \neq 0\), ist der Bruch \(\frac{4}{k^2}\) immer positiv. Der Term ist somit für alle \(k \neq 0\) definiert.

a) Alle reellen Zahlen (\(k \in \mathbb{R}\)) b) Nur für \(k = 2\) c) Alle reellen Zahlen außer Null (\(k \neq 0\))

- Wie verändert sich ein Term, wenn du ihn unter eine Quadratwurzel schreibst? - Nutze die Rechenregeln für Brüche und Potenzen, um den Ausdruck unter der Wurzel am Ende zu vereinfachen. - Erinnere dich daran, dass \((m \cdot n)^2 = m^2 \cdot n^2\) gilt. - Achte beim Kürzen unter der Wurzel genau auf die Exponenten der Variablen.

1. Einbringen des Faktors \(\frac{a}{2}\) unter die Wurzel durch Quadrieren: \(\sqrt{(\frac{a}{2})^2 \cdot \frac{8}{a}} = \sqrt{\frac{a^2}{4} \cdot \frac{8}{a}}\). Kürzen von \(a\) und Verrechnung der Zahlen: \(\sqrt{\frac{8a^2}{4a}} = \sqrt{2a}\). 2. Einbringen des Faktors \(3b^2\): \(\sqrt{(3b^2)^2 \cdot \frac{1}{3b^3}} = \sqrt{9b^4 \cdot \frac{1}{3b^3}}\). Kürzen der Potenzen von \(b\) und der Zahlen: \(\sqrt{\frac{9b^4}{3b^3}} = \sqrt{3b}\). 3. Einbringen des Faktors \(\frac{2}{3x}\): \(\sqrt{(\frac{2}{3x})^2 \cdot 18x^3} = \sqrt{\frac{4}{9x^2} \cdot 18x^3}\). Verrechnung der Brüche: \(\frac{4 \cdot 18}{9} = 4 \cdot 2 = 8\) und \(\frac{x^3}{x^2} = x\). Ergebnis: \(\sqrt{8x}\).

a) \(\sqrt{2a}\) b) \(\sqrt{3b}\) c) \(\sqrt{8x}\)

- Überlege, welcher Teil des Terms \(u\) und welcher \(v\) in der Formel \((u-v)(u+v)\) entspricht. - Denk daran, dass beim Quadrieren eines Produkts wie \(2\sqrt{3}\) jeder Faktor quadriert werden muss. - Klammern sind wichtig, wenn du einen ganzen Ausdruck subtrahierst, der aus einer Wurzel entstanden ist.

1. Anwendung der dritten binomischen Formel \((u-v)(u+v) = u^2 - v^2\) auf alle Teilaufgaben. 2. Berechnung von 1): \(5^2 - (2\sqrt{3})^2 = 25 - 4 \cdot 3 = 25 - 12 = 13\). 3. Berechnung von 2): \((x\sqrt{y})^2 - (y\sqrt{x})^2 = x^2 y - y^2 x\) bzw. \(xy(x-y)\). 4. Berechnung von 3): \((2\sqrt{a+b})^2 - (\sqrt{a-b})^2 = 4(a+b) - (a-b) = 4a + 4b - a + b = 3a + 5b\).

1) \(13\); 2) \(x^2 y - xy^2\); 3) \(3a + 5b\).

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel in Produkte zerlegen, bei denen ein Faktor eine Quadratzahl ist? - Untersuche, ob sich alle Wurzelterme auf eine gemeinsame Form mit demselben Radikanden bringen lassen. - Wie verhält es sich mit dem Addieren und Subtrahieren von Wurzeln, die den gleichen Ausdruck unter der Wurzel haben?

1. Teilweises Wurzelziehen der einzelnen Glieder: \(2\sqrt{18x} = 2 \cdot 3\sqrt{2x} = 6\sqrt{2x}\), \(3\sqrt{8x} = 3 \cdot 2\sqrt{2x} = 6\sqrt{2x}\) und \(\sqrt{50x} = 5\sqrt{2x}\) 2. Einsetzen der vereinfachten Terme: \(T = (6\sqrt{2x} - 5\sqrt{2x} + 4) + (5\sqrt{2x} - 6\sqrt{2x})\) 3. Zusammenfassen der Koeffizienten von \(\sqrt{2x}\): \((6 - 5 + 5 - 6) \cdot \sqrt{2x} = 0 \cdot \sqrt{2x} = 0\) 4. Endergebnis nach Addition der Konstante: \(T = 0 + 4 = 4\)

\(4\)

- Versuche, alle drei Wurzelterme so umzuformen, dass unter der Wurzel jeweils derselbe Ausdruck steht. - Welche Quadratzahlen sind Teiler von \(27\), \(48\) und \(147\)? - Darf man Wurzeln einfach addieren, indem man die Zahlen unter der Wurzel addiert? Überprüfe dies kritisch durch Einsetzen.

1. Teilweises Wurzelziehen auf der linken Seite: \(\sqrt{27y} = \sqrt{9 \cdot 3y} = 3\sqrt{3y}\) und \(\sqrt{48y} = \sqrt{16 \cdot 3y} = 4\sqrt{3y}\) 2. Addition der Terme auf der linken Seite: \(3\sqrt{3y} + 4\sqrt{3y} = 7\sqrt{3y}\) 3. Teilweises Wurzelziehen auf der rechten Seite: \(\sqrt{147y} = \sqrt{49 \cdot 3y} = 7\sqrt{3y}\) 4. Vergleich der Ergebnisse: Da die linke Seite und die rechte Seite identisch zu \(7\sqrt{3y}\) vereinfacht werden können, ist die Gleichung für alle \(y \ge 0\) wahr.

Die Aussage ist wahr, da beide Seiten der Gleichung den Wert \(7\sqrt{3y}\) ergeben.

- Gibt es eine Regel, mit der man zwei Wurzeln, die dividiert werden, zusammenfassen kann? - Kannst du Dezimalzahlen in Brüche umwandeln oder das Komma verschieben, um einfacher zu dividieren? - Bei Teil d: Was passiert mit den Exponenten der Variablen, wenn du sie dividierst? - Erinnerst du dich an die Regel \(\sqrt{x^2} = |x|\)?

1. Zu a): Anwendung der Regel \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}\) ergibt \(\sqrt{\frac{180}{5}} = \sqrt{36} = 6\). 2. Zu b): Umwandlung in einen gemeinsamen Wurzelterm \(\sqrt{\frac{1{,}2}{0{,}3}} = \sqrt{4} = 2\). 3. Zu c): Zusammenfassen des Zählers zu \(\sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100} = 10\). Division durch \(\sqrt{4} = 2\) ergibt \(10 {:} 2 = 5\). Alternativ: \(\sqrt{\frac{100}{4}} = \sqrt{25} = 5\). 4. Zu d): Zusammenfassen unter einer Wurzel \(\sqrt{\frac{27 \cdot a^3}{3 \cdot a}} = \sqrt{9 \cdot a^2}\). Da \(a > 0\), ist das Ergebnis \(3a\).

a) \(6\) b) \(2\) c) \(5\) d) \(3a\)

- Erinnere dich daran, dass jede positive Zahl \(a\) auch als \((\sqrt{a})^2\) geschrieben werden kann. - Kannst du Variablen unter der Wurzel teilweise herausziehen? - Schau dir bei Brüchen den Zähler genau an: Gibt es dort einen gemeinsamen Faktor, der auch im Nenner steht? - Überprüfe, ob du aus den Zahlen unter der Wurzel Quadratzahlen herausziehen kannst.

1. Darstellung der Zahl \(5\) als \((\sqrt{5})^2\): \((\sqrt{5})^2 + \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)\). 2. Anwendung der Regel \(\sqrt{x^3} = x\sqrt{x}\): \(x\sqrt{x} + \sqrt{x} = \sqrt{x}(x + 1)\). 3. Ausklammern des größten gemeinsamen Wurzelfaktors \(\sqrt{12}\): \(\sqrt{12 \cdot 2} - \sqrt{12} = \sqrt{12}(\sqrt{2} - 1)\). Vereinfachung von \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) ergibt \(2\sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)\). 4. Ausklammern von \(\sqrt{5}\) im Zähler: \(\frac{\sqrt{5}(\sqrt{6} + \sqrt{4})}{\sqrt{5}}\). Kürzen von \(\sqrt{5}\) und Ersetzen von \(\sqrt{4} = 2\) führt zu \(\sqrt{6} + 2\).

1) \(\sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)\) 2) \(\sqrt{x}(x + 1)\) 3) \(2\sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)\) 4) \(\sqrt{6} + 2\)

- Wie dividiert man durch einen Bruch? Gilt das auch innerhalb oder für Wurzeln? - Du kannst die Division durch eine Wurzel als Multiplikation mit der Kehrwert-Wurzel schreiben. - Verwende das Distributivgesetz, um jeden Teil der Klammer einzeln zu multiplizieren. - Kannst du die Terme unter der Wurzel so weit kürzen, dass du die Wurzel einfach ziehen kannst?

1. Umwandlung der Division durch eine Wurzel in eine Multiplikation mit dem Kehrwert unter der Wurzel: \({:} \sqrt{\frac{1}{x}}\) entspricht \(\cdot \sqrt{x}\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes: \(\sqrt{x^3} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\). 3. Zusammenfassen unter der Wurzel: \(\sqrt{x^4} + \sqrt{x^2}\). 4. Radizieren: \(x^2 + x\). 5. Für den zweiten Teil: Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors: \((\sqrt{a^2b} - \sqrt{b^3}) \cdot \sqrt{\frac{a^2}{b}}\). 6. Distributivgesetz anwenden: \(\sqrt{a^2b \cdot \frac{a^2}{b}} - \sqrt{b^3 \cdot \frac{a^2}{b}}\). 7. Kürzen der Variablen unter der Wurzel: \(\sqrt{a^4} - \sqrt{a^2b^2}\). 8. Radizieren: \(a^2 - ab\).

1) \(x^2+x\) 2) \(a^2-ab\)

- Versuche zuerst, den Zähler so umzuformen, dass du einen Faktor ausklammern kannst, der auch im Nenner vorkommt. - Kannst du eine Wurzel im Zähler finden, die in beiden Summanden (oder Subtrahenden) „versteckt“ ist? - Erinnere dich daran, wie man Wurzeln aus Produkten (wie \(\sqrt{15}\)) zerlegt. - Wie lässt sich eine Variable wie \(a\) mithilfe einer Wurzel ausdrücken?

1. Im Zähler wird \(7\) als \((\sqrt{7})^2\) geschrieben. Ausklammern von \(\sqrt{7}\) ergibt \(\sqrt{7}(1 + \sqrt{7})\). Nach dem Kürzen durch \(\sqrt{7}\) verbleibt \(1 + \sqrt{7}\). 2. Im Zähler wird \(a\) als \((\sqrt{a})^2\) geschrieben. Ausklammern von \(\sqrt{a}\) ergibt \(\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)\). Nach dem Kürzen durch den Faktor \((\sqrt{a} - 1)\) verbleibt \(\sqrt{a}\). 3. Im Zähler wird \(\sqrt{15}\) als \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}\) geschrieben. Ausklammern von \(\sqrt{5}\) ergibt \(\sqrt{5}(\sqrt{3} - 1)\). Nach dem Kürzen durch \(\sqrt{5}\) verbleibt \(\sqrt{3} - 1\).

1) \(1 + \sqrt{7}\) 2) \(\sqrt{a}\) 3) \(\sqrt{3} - 1\)

- Kannst du die Terme in Paare aufteilen, die etwas gemeinsam haben? - Gibt es in den Teilgruppen Faktoren, die nach dem Ausklammern in beiden Klammern identisch sind? - Lässt sich ein Teil des Ausdrucks mit einer binomischen Formel umschreiben, um neue Faktoren zu erzeugen? - Was passiert, wenn du Variablen wie \( x \) als Quadrat einer Wurzel betrachtest?

1. Gruppierung der Summanden: \( (\sqrt{uv} - \sqrt{3u}) + (\sqrt{2v} - \sqrt{6}) \). Aus der ersten Gruppe \( \sqrt{u} \) und aus der zweiten Gruppe \( \sqrt{2} \) ausklammern: \( \sqrt{u}(\sqrt{v} - \sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{v} - \sqrt{3}) \). Den gemeinsamen Faktor \( (\sqrt{v} - \sqrt{3}) \) ausklammern: \( (\sqrt{u} + \sqrt{2})(\sqrt{v} - \sqrt{3}) \). 2. Den Ausdruck \( x - y \) mithilfe der dritten binomischen Formel als \( (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) \) schreiben. Den hinteren Teil \( -3\sqrt{x} + 3\sqrt{y} \) durch Ausklammern von \( -3 \) zu \( -3(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \) umformen. Den gemeinsamen Faktor \( (\sqrt{x} - \sqrt{y}) \) ausklammern: \( (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y} - 3) \).

1) \( (\sqrt{u} + \sqrt{2})(\sqrt{v} - \sqrt{3}) \) 2) \( (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y} - 3) \)

- Schau dir die Ausdrücke unter den Wurzeln genau an – lassen sie sich in Produkte zerlegen? - Ein Term ohne Wurzel kann oft als Quadrat einer Wurzel geschrieben werden, um das Ausklammern zu ermöglichen. - Achte bei Teilaufgabe 2 besonders auf den Zusammenhang zwischen dem Quadrat einer Differenz und der Wurzel daraus.

1. Zerlegung von \(x^2 - 16\) in \((x - 4)(x + 4)\) und Darstellung von \(x - 4\) als \((\sqrt{x - 4})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{x - 4}\) führt zu: \(\sqrt{x - 4}(\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 4})\). 2. Erkennen der zweiten binomischen Formel unter der Wurzel: \(\sqrt{(x - y)^2} = x - y\) (da \(x \ge y\)). Der Term lautet dann \((x - y) + \sqrt{x - y}\). Ausklammern von \(\sqrt{x - y}\) ergibt: \(\sqrt{x - y}(\sqrt{x - y} + 1)\).

1) \(\sqrt{x - 4}(\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 4})\) 2) \(\sqrt{x - y}(\sqrt{x - y} + 1)\)

- Achte beim Quadrieren von Termen wie \(5\sqrt{z}\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Wurzel zu quadrieren. - Wie lässt sich ein Term wie \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{xy}\) durch teilweises Wurzelziehen vereinfachen? - Gehe Schritt für Schritt vor: Erst die Formel allgemein hinschreiben, dann die Quadrate und Produkte einzeln ausrechnen.

1. Berechnung von a) mit der zweiten binomischen Formel: \((5\sqrt{z})^2 - 2 \cdot 5\sqrt{z} \cdot 1 + 1^2 = 25z - 10\sqrt{z} + 1\). 2. Berechnung von b) mit der ersten binomischen Formel: \((\frac{1}{2}\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{x} \cdot 4\sqrt{y} + (4\sqrt{y})^2 = \frac{1}{4}x + 4\sqrt{xy} + 16y\). 3. Berechnung von c) mit der zweiten binomischen Formel: \((\sqrt{xy})^2 - 2 \cdot \sqrt{xy} \cdot 3\sqrt{x} + (3\sqrt{x})^2\). 4. Vereinfachung des mittleren Terms in c): \(2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{xy} = 6 \cdot \sqrt{x^2y} = 6x\sqrt{y}\). 5. Endergebnis für c): \(xy - 6x\sqrt{y} + 9x\).

a) \(25z - 10\sqrt{z} + 1\) b) \(\frac{1}{4}x + 4\sqrt{xy} + 16y\) c) \(xy - 6x\sqrt{y} + 9x\)

- Kannst du den Term unter der Wurzel so umformen, dass er ein Quadrat ergibt? - Was passiert, wenn du den gegebenen Ausdruck für \( x \) direkt einsetzt und ausmultiplizierst? - Achte auf die Bedingung \( a > 1 \). Warum ist diese beim Ziehen der Wurzel wichtig? - Kannst du den Zähler und den Nenner getrennt voneinander vereinfachen?

1. Einsetzen von \( x = a + \frac{1}{a} \) in den Radikanden: \( x^2 - 4 = (a + \frac{1}{a})^2 - 4 \). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel: \( a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} - 4 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} - 4 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} \). 3. Rückführung auf die zweite binomische Formel: \( a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = (a - \frac{1}{a})^2 \). 4. Ziehen der Wurzel: Da \( a > 1 \), ist \( a - \frac{1}{a} > 0 \), woraus folgt \( \sqrt{x^2 - 4} = a - \frac{1}{a} \). 5. Berechnung des Nenners: \( x - \sqrt{x^2 - 4} = (a + \frac{1}{a}) - (a - \frac{1}{a}) = \frac{2}{a} \). 6. Einsetzen in den Bruch: \( \frac{a - \frac{1}{a}}{\frac{2}{a}} = \frac{\frac{a^2 - 1}{a}}{\frac{2}{a}} = \frac{a^2 - 1}{2} \).

\( \frac{a^2 - 1}{2} \)

- Was passiert, wenn du die Zahl \(2\) in die ursprünglichen Wurzelterme einsetzt? - Erinnere dich an die Regel für Radikanden (die Zahlen unter der Wurzel). - Warum ist es wichtig, den Definitionsbereich zu prüfen, bevor man eine Gleichung quadriert?

1. Bestimmung der Definitionsbedingungen: Für \(\sqrt{x-3}\) muss \(x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3\) gelten. Für \(\sqrt{1-x}\) muss \(1-x \ge 0 \Rightarrow x \le 1\) gelten. 2. Vergleich der Bedingungen: Es gibt keine reelle Zahl \(x\), die gleichzeitig \(\ge 3\) und \(\le 1\) ist. Die Definitionsmenge \(D\) ist somit die leere Menge (\(D = \emptyset\)). 3. Prüfung der Scheinlösung: Da \(x=2\) nicht im Definitionsbereich liegt, ist es keine Lösung. Setzt man \(x=2\) ein, erhält man \(\sqrt{-1}\), was in den reellen Zahlen nicht definiert ist. Die Gleichung hat keine Lösung.

\(x = 2\) ist keine Lösung, da die Zahl nicht im Definitionsbereich der Gleichung liegt. Die Definitionsmenge ist leer, da die Bedingungen \(x \ge 3\) und \(x \le 1\) nicht gleichzeitig erfüllt werden können.

- Schau dir die Zahlen unter den Wurzeln genau an. Gibt es Quadratzahlen, die in 12 oder 75 als Teiler stecken? - Wie kannst du Terme wie \(a\sqrt{c}\) und \(b\sqrt{c}\) zusammenfassen? - Versuche zuerst, die Wurzeln so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du quadrierst. - Was musst du tun, um eine Wurzel ganz aus der Gleichung zu entfernen?

1. Anwendung des partiellen Wurzelziehens auf beide Terme: \(\sqrt{12x} = \sqrt{4 \cdot 3x} = 2\sqrt{3x}\) und \(\sqrt{75x} = \sqrt{25 \cdot 3x} = 5\sqrt{3x}\). 2. Einsetzen der vereinfachten Terme in die Gleichung: \(2\sqrt{3x} + 5\sqrt{3x} = 14\). 3. Addieren der gleichartigen Wurzelterme: \(7\sqrt{3x} = 14\). 4. Isolieren der verbleibenden Wurzel durch Division durch 7: \(\sqrt{3x} = 2\). 5. Quadrieren beider Seiten der Gleichung: \(3x = 4\). 6. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{4}{3}\).

\(x = \frac{4}{3}\)

- Achte bei Summen unter der Wurzel darauf, ob du sie erst zusammenfassen kannst. - Darf man die Wurzel aus einer Summe ziehen, indem man die Wurzel aus jedem Summanden einzeln zieht? - Eine „Wurzel aus einer Wurzel“ lässt sich durch nacheinander ausgeführtes Potenzieren vereinfachen.

1. Zu a): Linke Seite zusammenfassen zu \(\sqrt{2x^2}\). Anwendung der Produktregel ergibt \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2} = x\sqrt{2}\). Da \(\sqrt{2} \neq 2\), ist die Aussage \(x\sqrt{2} = 2x\) für \(x > 0\) falsch. 2. Zu b): Innere Wurzel berechnen: \(\sqrt{y^{16}} = y^8\). Äußere Wurzel auf das Ergebnis anwenden: \(\sqrt{y^8} = y^4\). Alternativ: \(((y^{16})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = y^{16 \cdot \frac{1}{4}} = y^4\).

a) Falsch, da \(\sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}\) und \(x\sqrt{2} \neq 2x\). b) \(y^4\)

- Erinnere dich an das Ergebnis einer Quadratwurzel: Kann dieses jemals negativ sein? - Setze einmal eine Zahl kleiner als 4 in den Ausdruck \(x-4\) ein und vergleiche das Ergebnis mit dem Wert der Wurzel. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie zuerst quadriert und dann die Wurzel zieht?

1. Berechnung der Termwerte für Teil a: Für \(x = 1\): \(T(1) = \sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\). Für \(x = 7\): \(T(7) = \sqrt{(7-4)^2} = \sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3\). 2. Analyse der Behauptung für Teil b: Die Definition der Quadratwurzel besagt, dass \(\sqrt{a^2} = |a|\) (der Betrag von \(a\)). Somit gilt \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\). Die Gleichung \(|x-4| = x-4\) ist nur dann erfüllt, wenn der Ausdruck innerhalb des Betrags nicht negativ ist. Es muss also gelten: \(x - 4 \ge 0\). Daraus folgt durch Umformung: \(x \ge 4\). Für \(x < 4\) ist der Wert des Terms positiv, während \(x-4\) negativ wäre, was einen Widerspruch ergibt.

a) Für \(x = 1\) ist der Wert \(3\); für \(x = 7\) ist der Wert \(3\). b) Die Behauptung ist falsch. Die Gleichung gilt genau für alle \(x \ge 4\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine Quadratwurzel aus einem quadrierten negativen Term ziehst? - Kannst du den Betrag eines Terms auflösen, wenn du weißt, dass der Term kleiner als null ist? - Welche Potenz von \(a\) lässt sich vollständig aus der Quadratwurzel ziehen?

1. Zerlegung des Radikanden: \(\sqrt{a^7(b-3)^2} = \sqrt{a^6 \cdot a \cdot (b-3)^2}\). 2. Für \(a \ge 0\) ist \(\sqrt{a^6} = a^3\). 3. Da \(b < 3\), ist \(b-3 < 0\). Es gilt \(\sqrt{(b-3)^2} = |b-3| = 3-b\). 4. Ergebnis: \(a^3(3-b)\sqrt{a}\).

\(a^3(3-b)\sqrt{a}\)

- Überlege, wie du den Ausdruck unter der Wurzel faktorisieren kannst, um Quadrate zu finden. - Wann ist eine Quadratwurzel in den reellen Zahlen nicht definiert? - Welche Einschränkungen ergeben sich durch den Nenner eines Bruchs? - Kannst du die Wurzel eines Bruchs als Bruch zweier Wurzeln schreiben?

1. Die Terme unter der Wurzel werden zusammengefasst: \(T = \sqrt{\frac{a^5-a^4}{b^4}} = \sqrt{\frac{a^4(a-1)}{b^4}}\). 2. Für \(b \ne 0\) ist \(\frac{a^4}{b^4} \ge 0\). Der Radikand ist daher genau dann nicht negativ, wenn \(a=0\) oder \(a-1 \ge 0\). Somit gilt \(a \in \{0\} \cup [1,\infty)\) und \(b \ne 0\). 3. Für \(a \ge 1\) kann die Wurzel produktweise zerlegt werden: \(T = \sqrt{\frac{a^4}{b^4}}\sqrt{a-1} = \frac{a^2}{b^2}\sqrt{a-1}\). 4. Für den Sonderfall \(a=0\) ist der ursprüngliche Radikand gleich \(0\), also \(T=0\).

a) \(T = \frac{a^2}{b^2}\sqrt{a-1}\) für \(a \ge 1\); für \(a=0\) gilt \(T=0\). b) Der Term ist für \(b \ne 0\) und \(a \in \{0\} \cup [1,\infty)\) definiert.

- Sieht die Struktur des Terms einer bekannten binomischen Formel ähnlich? - Was passiert, wenn du die Wurzel durch eine neue Hilfsvariable ersetzt? - Kannst du den Term wie eine quadratische Gleichung behandeln, um Nullstellen zu finden? - Achte darauf, am Ende wieder die ursprüngliche Variable einzusetzen.

1. Erkennen der Struktur der zweiten binomischen Formel \( A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2 \) mit \( A = \sqrt{x} \) und \( B = 5 \). Überprüfung des mittleren Terms: \( 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 5 = 10\sqrt{x} \). Ergebnis: \( (\sqrt{x} - 5)^2 \). 2. Substitution \( u = \sqrt{a} \) führt auf den quadratischen Term \( 3u^2 - 5u - 2 \). Bestimmung der Nullstellen über die quadratische Lösungsformel: \( u_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6} \). Die Nullstellen sind \( u_1 = 2 \) und \( u_2 = -\frac{1}{3} \). Linearfaktorzerlegung: \( 3(u - 2)(u + \frac{1}{3}) = (u - 2)(3u + 1) \). Rücksubstitution ergibt: \( (\sqrt{a} - 2)(3\sqrt{a} + 1) \).

1) \( (\sqrt{x} - 5)^2 \) 2) \( (\sqrt{a} - 2)(3\sqrt{a} + 1) \)

- Setze die Ausdrücke für \(x\) und \(y\) ein und bringe Zähler und Nenner jeweils auf einen Hauptnenner. - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie sind hier beim Ausmultiplizieren der Zähler sehr nützlich. - Denke daran, dass \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a\) gilt. - Welchen Vorteil bietet es, den Hauptnenner in der Form \((a-1)\) stehen zu lassen, anstatt ihn sofort wegzukürzen?

1. Berechnung von \(x-y\): Hauptnenner ist \((\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1) = a-1\). Der Zähler ergibt sich zu \((\sqrt{a}+1)^2 - (\sqrt{a}-1)^2 = (a+2\sqrt{a}+1) - (a-2\sqrt{a}+1) = 4\sqrt{a}\). Also \(x-y = \frac{4\sqrt{a}}{a-1}\). 2. Berechnung von \(x+y\): Mit dem gleichen Hauptnenner \(a-1\) ergibt sich der Zähler zu \((\sqrt{a}+1)^2 + (\sqrt{a}-1)^2 = (a+2\sqrt{a}+1) + (a-2\sqrt{a}+1) = 2a+2 = 2(a+1)\). Also \(x+y = \frac{2(a+1)}{a-1}\). 3. Division der Ergebnisse: \(S = \frac{x-y}{x+y} = \frac{4\sqrt{a}}{a-1} {:} \frac{2(a+1)}{a-1} = \frac{4\sqrt{a}}{a-1} \cdot \frac{a-1}{2(a+1)}\). 4. Kürzen und Vereinfachen: Nach dem Kürzen von \((a-1)\) und der Zahl 2 bleibt \(S = \frac{2\sqrt{a}}{a+1}\).

Der Ausdruck vereinfacht sich zu \(S = \frac{2\sqrt{a}}{a+1}\).

- Setze den Term für \( x \) in den Ausdruck \( x^2 - 1 \) ein und versuche, diesen als ein vollständiges Quadrat zu schreiben. - Welche Rolle spielt die Bedingung \( a > 1 \) beim Auflösen der Wurzel? - Kannst du den Zähler und den Nenner einzeln berechnen, um den Bruch übersichtlicher zu machen?

1. Berechnung von \( x^2 - 1 \): \( x^2 - 1 = \left( \frac{1}{2} (\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}) \right)^2 - 1 = \frac{1}{4} (a + 2 + \frac{1}{a}) - 1 = \frac{a + 2 + \frac{1}{a} - 4}{4} = \frac{a - 2 + \frac{1}{a}}{4} = \left( \frac{1}{2} (\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}) \right)^2 \). 2. Bestimmung von \( \sqrt{x^2-1} \): Da \( a > 1 \), ist \( \sqrt{a} > \frac{1}{\sqrt{a}} \), daher ist \( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \) positiv. Es folgt \( \sqrt{x^2-1} = \frac{1}{2} (\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}) \). 3. Vereinfachung des Zählers: \( x + \sqrt{x^2-1} = \frac{1}{2} (\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}) + \frac{1}{2} (\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}) = \sqrt{a} \). 4. Vereinfachung des Nenners: \( x - \sqrt{x^2-1} = \frac{1}{2} (\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}) - \frac{1}{2} (\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}) = \frac{1}{\sqrt{a}} \). 5. Berechnung des Gesamtausdrucks: \( E = \frac{\sqrt{a}}{\frac{1}{\sqrt{a}}} = (\sqrt{a})^2 = a \).

\( E = a \)

- Versuche zuerst, die Ausdrücke \( x+2 \) und \( x-2 \) auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Erkennst du in den Zählern der neuen Brüche eine bekannte Formel? - Warum ist die Information \( a > b \) für das Vereinfachen der Wurzeln von Bedeutung? - Kannst du den großen Bruch am Ende durch Kürzen vereinfachen?

1. Einsetzen von \( x \) in die Radikanden: \( x + 2 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{ab} \) und \( x - 2 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} \). 2. Anwendung der binomischen Formeln: \( x + 2 = \frac{(a+b)^2}{ab} \) und \( x - 2 = \frac{(a-b)^2}{ab} \). 3. Ziehen der Wurzeln: \( \sqrt{x+2} = \frac{a+b}{\sqrt{ab}} \) und \( \sqrt{x-2} = \frac{a-b}{\sqrt{ab}} \) (da \( a > b > 0 \)). 4. Berechnung des Zählers: \( \frac{a+b}{\sqrt{ab}} + \frac{a-b}{\sqrt{ab}} = \frac{2a}{\sqrt{ab}} \). 5. Berechnung des Nenners: \( \frac{a+b}{\sqrt{ab}} - \frac{a-b}{\sqrt{ab}} = \frac{2b}{\sqrt{ab}} \). 6. Division der Terme: \( \frac{2a}{\sqrt{ab}} {:} \frac{2b}{\sqrt{ab}} = \frac{2a}{2b} = \frac{a}{b} \).

\( \frac{a}{b} \)

- Prüfe die Bedingungen für \(x\) und \(y\), um das Vorzeichen des Faktors vor der Wurzel zu bestimmen. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um den Ausdruck unter der Wurzel zu faktorisieren. - Achte darauf, dass beim Einziehen eines negativen Wertes ein Minuszeichen vor der Wurzel erhalten bleibt. - Welche Potenzen von Variablen lassen sich im Radikanden gegeneinander kürzen?

1. Vorzeichenanalyse: Aufgrund der Bedingung \(0 < x < y\) ist die Differenz \(x - y\) negativ und \(x\) positiv. Somit ist der gesamte Faktor \(\frac{x-y}{x}\) negativ. 2. Termvorbereitung: Der Faktor wird als \(-\frac{y-x}{x}\) umgeschrieben, sodass der Bruch \(\frac{y-x}{x}\) positiv ist. 3. Einziehen unter die Wurzel: Das Quadrat des positiven Bruchs wird mit dem Radikanden multipliziert: \(-\sqrt{\frac{(y-x)^2}{x^2} \cdot \frac{x^3}{y^2-x^2}}\). 4. Faktorisierung und Kürzen: Mit der dritten binomischen Formel \(y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)\) wird der Radikand zu \(\frac{(y-x)^2 \cdot x^3}{x^2 \cdot (y-x)(y+x)}\) vereinfacht. Nach dem Kürzen von \(x^2\) und \((y-x)\) verbleibt \(-\sqrt{\frac{x(y-x)}{y+x}}\).

\(-\sqrt{\frac{x(y-x)}{x+y}}\)