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- Überlege dir, mit welcher Wurzel du den Bruch erweitern musst, damit im Nenner eine Quadratzahl unter der Wurzel steht. - Manchmal hilft es, eine Wurzel im Nenner zuerst teilweise zu radizieren (Faktoren herauszuziehen). - Denk daran, dass du beim Erweitern eines Bruchs mit einer Summe im Zähler jedes Glied einzeln multiplizieren musst.

1. Bei Teilaufgabe a) wird der Bruch mit \(\sqrt{7}\) erweitert: \(\frac{7 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{7}}{7} = \sqrt{7}\). 2. Bei Teilaufgabe b) wird mit \(\sqrt{6}\) erweitert oder zunächst gekürzt: \(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\). Erweitern mit \(\sqrt{2}\) ergibt \(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}\). 3. Bei Teilaufgabe c) wird der Zähler aufgeteilt oder mit \(\sqrt{2}\) erweitert: \(\frac{(4 - \sqrt{2})\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2}{2} = 2\sqrt{2} - 1\). 4. Bei Teilaufgabe d) wird der Nenner teilweise radiziert: \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\). Der Bruch \(\frac{15}{5\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}\) wird mit \(\sqrt{3}\) erweitert zu \(\frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\).

a) \(\sqrt{7}\) b) \(\frac{\sqrt{2}}{4}\) c) \(2\sqrt{2} - 1\) d) \(\sqrt{3}\)

- Womit musst du den Bruch erweitern, damit das Wurzelzeichen im Nenner verschwindet? - Kannst du die Wurzel im Zähler oder Nenner teilweise ziehen, um den Ausdruck zu vereinfachen? - Denke beim Erweitern daran, den gesamten Zähler mit der Wurzel zu multiplizieren. - Kannst du am Ende noch gemeinsame Faktoren im Zähler und Nenner kürzen?

1. Teilaufgabe a): Erweitern mit \( \sqrt{20} \) ergibt \( \frac{10 \cdot \sqrt{20}}{20} \). Kürzen mit 10 führt zu \( \frac{\sqrt{20}}{2} \). Da \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \), folgt \( \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \). 2. Teilaufgabe b): Erweitern mit \( \sqrt{5} \) ergibt im Zähler \( (\sqrt{5} + 2) \cdot \sqrt{5} = 5 + 2\sqrt{5} \) und im Nenner \( 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 3 \cdot 5 = 15 \). Das Ergebnis ist \( \frac{5 + 2\sqrt{5}}{15} \).

a) \( \sqrt{5} \) b) \( \frac{5 + 2\sqrt{5}}{15} \)

- Womit müsste man einen Bruch multiplizieren, damit eine Wurzel im Nenner quadriert wird? - Kannst du eine große Zahl unter der Wurzel als Produkt einer Quadratzahl und einer anderen Zahl schreiben? - Gibt es eine Regel, wie man zwei Wurzeln dividiert, die denselben Wurzelexponenten haben? - Was passiert, wenn du den Zähler und den Nenner mit derselben Wurzel multiplizierst?

1. Erweitern des Bruchs mit \(\sqrt{7}\): \(\frac{14\sqrt{7}}{7}\). Durch Kürzen mit \(7\) ergibt sich \(2\sqrt{7}\). 2. Teilweises Wurzelziehen im Zähler: \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\). Durch Einsetzen und Kürzen mit \(4\) erhält man \(\sqrt{2}\). 3. Teilweises Wurzelziehen im Nenner: \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\). Erweitern mit \(\sqrt{5}\) führt zu \(\frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}\). 4. Anwendung der Rechenregeln für Wurzeln: \(\sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25}\). Das Ergebnis ist \(5\).

a) \(2\sqrt{7}\) b) \(\sqrt{2}\) c) \(\frac{\sqrt{5}}{10}\) d) \(5\)

- Womit müsste man einen Bruch multiplizieren, damit eine Wurzel im Nenner mit sich selbst multipliziert wird? - Denke daran, dass du den Zähler und den Nenner mit derselben Zahl multiplizieren musst, um den Wert des Bruches nicht zu verändern. - Kannst du nach dem Erweitern Faktoren im Zähler und Nenner kürzen? - Wie vereinfacht sich ein Ausdruck wie \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\)?

1. Erweitern mit \(\sqrt{6}\): \(\frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}\). 2. Erweitern mit \(\sqrt{10}\): \(\frac{5\sqrt{10}}{2 \cdot 10} = \frac{5\sqrt{10}}{20} = \frac{\sqrt{10}}{4}\). 3. Erweitern mit \(\sqrt{z}\): \(\frac{z^2\cdot\sqrt{z}}{z} = z\sqrt{z}\). 4. Erweitern mit \(\sqrt{2k}\): \(\frac{6k\cdot\sqrt{2k}}{2k} = 3\sqrt{2k}\).

a) \(2\sqrt{6}\) b) \(\frac{\sqrt{10}}{4}\) c) \(z\sqrt{z}\) d) \(3\sqrt{2k}\)

- Wie kannst du einen Bruch umformen, damit im Nenner keine Wurzel mehr steht? - Was ist einfacher: durch eine Kommazahl zu teilen oder mit einer Kommazahl zu multiplizieren? - Achte beim Runden genau auf die dritte Nachkommastelle.

1. Direkte Division durch den Näherungswert: \(10 {:} 1{,}414 \approx 7{,}0721\), gerundet auf zwei Nachkommastellen ergibt sich \(7{,}07\). 2. Rationalmachen des Nenners: Erweiterung mit \(\sqrt{2}\) führt zu \(\frac{10 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\). 3. Berechnung mit dem rationalen Nenner: \(5 \cdot 1{,}414 = 7{,}07\). 4. Vergleich der Wege: Der zweite Weg ist vorteilhafter, da eine Multiplikation mit einer Dezimalzahl (\(5 \cdot 1{,}414\)) im Kopf oder schriftlich wesentlich einfacher und weniger fehleranfällig ist als eine Division durch eine mehrstellige Dezimalzahl (\(10 {:} 1{,}414\)).

Beide Wege führen zum Ergebnis \(7{,}07\). Der zweite Weg ist vorteilhafter, da die Multiplikation einfacher auszuführen ist als die Division durch eine Dezimalzahl.

- Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel? Wie könnte sie dir helfen, eine Wurzel im Nenner zu eliminieren? - Mit welchem Ausdruck müsste man eine Summe wie \(a + b\) multiplizieren, damit die Quadrate der einzelnen Teile entstehen? - Kannst du den Zähler im zweiten Aufgabenteil so umschreiben, dass ein Teil des Nenners darin vorkommt?

1. Erweitern des ersten Bruchs mit dem konjugierten Ausdruck des Nenners \(\sqrt{7} - \sqrt{2}\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel im Nenner: \((\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2}) = 7 - 2 = 5\). 3. Kürzen des Faktors 10 im Zähler gegen die 5 im Nenner ergibt \(2(\sqrt{7} - \sqrt{2})\). 4. Beim zweiten Bruch kann der Zähler \(x - 25\) mithilfe der dritten binomischen Formel als \((\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)\) faktorisiert werden. 5. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((\sqrt{x} - 5)\) führt zum Ergebnis \(\sqrt{x} + 5\). Alternativ führt das Erweitern mit \(\sqrt{x} + 5\) zum gleichen Resultat.

a) \(2(\sqrt{7} - \sqrt{2})\) b) \(\sqrt{x} + 5\)

- Wie kann man einen Ausdruck der Form \( \sqrt{u}-v \) multiplizieren, damit die Wurzel verschwindet? - Erinnere dich an die 3. binomische Formel \( (u-v)(u+v) = u^2 - v^2 \). - Kannst du eine Variable wie \( a \) als Quadrat einer Wurzel schreiben? - Welche Faktoren im Zähler und Nenner sind identisch und können gekürzt werden?

1. Teilaufgabe a): Erweiterung des Bruchs mit dem konjugierten Ausdruck des Nenners \( \sqrt{x+1}+1 \). Im Nenner entsteht durch die 3. binomische Formel \( (\sqrt{x+1})^2 - 1^2 = x+1-1 = x \). Der Term lautet dann \( \frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{x} \). Nach dem Kürzen von \( x \) ergibt sich \( \sqrt{x+1}+1 \). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der 3. binomischen Formel auf den Zähler \( a-16 \). Da \( a = (\sqrt{a})^2 \) und \( 16 = 4^2 \), gilt \( a-16 = (\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+4) \). Einsetzen in den Bruch ergibt \( \frac{(\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+4)}{\sqrt{a}+4} \). Nach dem Kürzen des Faktors \( (\sqrt{a}+4) \) verbleibt \( \sqrt{a}-4 \).

a) \( \sqrt{x+1}+1 \) b) \( \sqrt{a}-4 \)

- Erinnere dich an die dritte binomische Formel \((u+v)(u-v)=u^2-v^2\). - Mit welchem Ausdruck kannst du erweitern, damit die Wurzeln im Nenner verschwinden? - Prüfe, ob der neue Nenner im angegebenen Definitionsbereich von null verschieden ist.

1. Erweitere den Bruch mit \(\sqrt{x}-\sqrt{y}\). 2. Im Nenner gilt nach der dritten binomischen Formel \((\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})=x-y\). 3. Damit ergibt sich \(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}\).

\(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}\)

- Welche binomische Formel hilft dabei, Wurzeln in einer Differenz oder Summe im Nenner zu eliminieren? - Wie verändert sich ein Bruch, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert? - Kannst du nach dem Erweitern Faktoren im Zähler und Nenner kürzen? - Vergiss nicht, beim Ausmultiplizieren von Wurzeln die Wurzelgesetze anzuwenden.

1. Multiplikation des ersten Bruchs mit dem konjugierten Ausdruck \(\sqrt{10}+\sqrt{7}\) im Zähler und Nenner: \(\frac{6(\sqrt{10}+\sqrt{7})}{(\sqrt{10}-\sqrt{7})(\sqrt{10}+\sqrt{7})}\). 2. Anwendung der 3. binomischen Formel im Nenner: \((\sqrt{10})^2 - (\sqrt{7})^2 = 10 - 7 = 3\). 3. Kürzen des Faktors \(6\) im Zähler gegen die \(3\) im Nenner ergibt \(2(\sqrt{10}+\sqrt{7}) = 2\sqrt{10} + 2\sqrt{7}\). 4. Multiplikation des zweiten Bruchs mit \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\): \(\frac{2\sqrt{5}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}\). 5. Nenner vereinfachen: \(5 - 3 = 2\). 6. Kürzen der \(2\) und Ausmultiplizieren des Zählers: \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 5 - \sqrt{15}\).

1) \(2\sqrt{10} + 2\sqrt{7}\) 2) \(5 - \sqrt{15}\)

- Kannst du den Nenner mithilfe einer binomischen Formel in eine Zahl ohne Wurzel umwandeln? - Was passiert, wenn du Zähler und Nenner mit demselben geschickt gewählten Ausdruck multiplizierst? - Erinnere dich an den Zusammenhang \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

1. Erweiterung des Bruchs mit dem konjugierten Ausdruck des Nenners \( 2\sqrt{3} + 1 \). 2. Anwendung der 3. binomischen Formel im Nenner: \( (2\sqrt{3})^2 - 1^2 = 4 \cdot 3 - 1 = 11 \). 3. Ausmultiplizieren des Zählers: \( (\sqrt{3} + 2)(2\sqrt{3} + 1) = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 + \sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 2 = 6 + 5\sqrt{3} + 2 = 8 + 5\sqrt{3} \). 4. Zusammenfassen des Terms zu \( \frac{8 + 5\sqrt{3}}{11} \).

\( \frac{8 + 5\sqrt{3}}{11} \)

- Erinnere dich an die dritte binomische Formel: Wie kannst du eine Summe oder Differenz im Nenner so multiplizieren, dass die Wurzeln verschwinden? - Mit welchem Ausdruck musst du den Zähler und den Nenner erweitern, damit im Nenner eine Differenz von Quadraten entsteht? - Prüfe nach dem Erweitern, ob du den entstandenen Nenner gegen den Faktor im Zähler kürzen kannst.

1. Erweitern des ersten Bruchs mit dem konjugierten Ausdruck \(4 + \sqrt{5}\). Berechnung des Nenners mittels der dritten binomischen Formel: \(4^2 - (\sqrt{5})^2 = 16 - 5 = 11\). Kürzen des Faktors 22 durch 11 ergibt \(2 \cdot (4 + \sqrt{5}) = 8 + 2\sqrt{5}\). 2. Erweitern des zweiten Bruchs mit \(2\sqrt{6} - 3\). Berechnung des Nenners: \((2\sqrt{6})^2 - 3^2 = 4 \cdot 6 - 9 = 15\). Kürzen des Faktors 15 durch 15 ergibt \(2\sqrt{6} - 3\).

a) \(8 + 2\sqrt{5}\) b) \(2\sqrt{6} - 3\)

- Wie wird man Wurzeln im Nenner eines Bruchs los? - Kennst du einen Trick, um einen Ausdruck wie \((a - b)\) so zu multiplizieren, dass die Quadratwurzeln verschwinden? - Erinnere dich an die binomischen Formeln.

1. Nenner rational machen durch Erweitern mit der dritten binomischen Formel: Multiplikation mit \((\sqrt{7} + \sqrt{5})\) 2. Zähler ausrechnen: \(\sqrt{7} \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5}) = 7 + \sqrt{35}\) 3. Nenner berechnen: \((\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = 7 - 5 = 2\) 4. Endergebnis: \(\frac{7 + \sqrt{35}}{2}\)

b) \(\frac{7 + \sqrt{35}}{2}\)

- Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Stelle die Formel zuerst nach der gesuchten Größe um. - Wenn du am Ende einen Bruch mit einer Wurzel im Nenner hast, versuche diesen durch Erweitern zu vereinfachen.

1. Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks: \(A = \frac{1}{2}ab\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot b\). 3. Auflösen nach \(b\): Multiplikation mit \(2\) ergibt \(\frac{12}{\sqrt{2}} = 3b\). Division durch \(3\) ergibt \(b = \frac{4}{\sqrt{2}}\). 4. Nenner rational machen: Erweitern mit \(\sqrt{2}\) führt zu \(b = \frac{4\sqrt{2}}{2}\). 5. Kürzen: \(b = 2\sqrt{2}\). 6. Numerische Berechnung: Mit \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\) ergibt sich \(b \approx 2 \cdot 1{,}41 = 2{,}82\,\text{cm}\).

Die Kathete \(b\) ist \(2\sqrt{2}\,\text{cm}\) lang, was etwa \(2{,}82\,\text{cm}\) entspricht.

- Wie kannst du einen Ausdruck der Form \(\sqrt{a} - b\) im Nenner so erweitern, dass die Wurzel verschwindet? - Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel \((x-y)(x+y) = x^2 - y^2\)? - Achte beim Runden am Ende genau auf die dritte Nachkommastelle.

1. Rationalisieren des Nenners: Erweiterung des Bruchs mit dem konjugierten Ausdruck \((\sqrt{11} + 3)\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel im Nenner: \((\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3) = (\sqrt{11})^2 - 3^2 = 11 - 9 = 2\). 3. Zähler berechnen: \(4 \cdot (\sqrt{11} + 3)\). 4. Vereinfachen des Bruchs: \(T = \frac{4(\sqrt{11} + 3)}{2} = 2(\sqrt{11} + 3)\). 5. Einsetzen des Näherungswerts: \(T \approx 2(3{,}317 + 3) = 2 \cdot 6{,}317 = 12{,}634\). 6. Runden auf zwei Nachkommastellen: \(12{,}63\).

a) \(2(\sqrt{11} + 3)\) oder \(2\sqrt{11} + 6\) b) \(12{,}63\)

- Kannst du eine Wurzel im Term so umschreiben, dass sie besser zum restlichen Term passt? - Erinnere dich an die Wurzelgesetze für die Division: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\). - Um zu zeigen, dass zwei Ausdrücke gleich sind, kannst du einen davon so lange umformen, bis er wie der andere aussieht.

1. In Teilaufgabe a) wird \(\sqrt{12}\) zu \(2\sqrt{3}\) vereinfacht. Der Bruch \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) wird mit \(\sqrt{3}\) erweitert zu \(\frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\). Die Subtraktion ergibt \(2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}\). 2. In Teilaufgabe b) wird der Bruch aufgeteilt: \(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}\). Unter Anwendung der Wurzelgesetze ergibt sich \(\sqrt{\frac{10}{5}} + \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{2} + \sqrt{4} = \sqrt{2} + 2\). 3. In Teilaufgabe c) wird \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) mit \(\sqrt{2}\) erweitert: \(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\). Damit ist die Gleichheit gezeigt.

a) \(\sqrt{3}\) b) \(2 + \sqrt{2}\) c) Nachweis durch Erweitern mit \(\sqrt{2}\): \(\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\).

- Welche binomische Formel hilft dir dabei, eine Differenz aus einer Zahl und einer Wurzel im Nenner zu eliminieren? - Wie muss der Faktor aussehen, mit dem du erweitern musst, damit im Nenner ein Ausdruck der Form \( x^2 - y^2 \) entsteht? - Multipliziere den Zähler erst einmal nicht aus – vielleicht lässt sich später etwas kürzen.

1. Um den Nenner rational zu machen, wird mit dem konjugierten Ausdruck \( 4 + \sqrt{5} \) erweitert. 2. Anwendung der dritten binomischen Formel im Nenner: \( (4 - \sqrt{5})(4 + \sqrt{5}) = 4^2 - (\sqrt{5})^2 = 16 - 5 = 11 \). 3. Der Zähler lautet nach dem Erweitern \( 11 \cdot (4 + \sqrt{5}) \). 4. Der gesamte Bruch ist somit \( \frac{11(4 + \sqrt{5})}{11} \). 5. Durch Kürzen der Zahl 11 ergibt sich das Endergebnis \( 4 + \sqrt{5} \).

\( 4 + \sqrt{5} \)

- Konzentriere dich zuerst nur auf den Bruch und versuche, dort die Wurzel aus dem Nenner zu entfernen. - Welche binomischen Formeln kannst du im Zähler und im Nenner des Bruchs anwenden? - Was passiert, wenn du das vereinfachte Ergebnis des Bruchs mit dem restlichen Teil des Terms zusammenfügst?

1. Rationalmachen des Nenners von \( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \): Erweitern mit \( \sqrt{3} - 1 \). 2. Nenner berechnen: \( (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2 \). 3. Zähler berechnen: \( (\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3} \). 4. Den Bruch vereinfachen: \( \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \). 5. Gesamten Term berechnen: \( T = (2 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = 2 \).

\( 2 \)

- Wie kannst du einen Bruch umformen, damit im Nenner keine Wurzel mehr steht? - Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel für den Nenner? - Kannst du \(\sqrt{48}\) durch teilweises Wurzelziehen vereinfachen? - Fasse anschließend die gleichartigen Wurzelterme zusammen.

1. Rationalmachen des Nenners: \(\frac{4(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{4(1 + \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{4(1 + \sqrt{3})}{-2} = -2 - 2\sqrt{3}\). 2. Teilweises Wurzelziehen: \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\). 3. Zusammenfassen: \((-2 - 2\sqrt{3}) + 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = -2 + 4\sqrt{3}\).

\(-2 + 4\sqrt{3}\)

- Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man ein Produkt aus zwei Klammern wie \((a-b)(a+b)\) vereinfachen kann? - Womit musst du den Nenner multiplizieren, damit die Wurzeln beim Ausmultiplizieren verschwinden? - Setze die Näherungswerte erst ganz am Ende in den vereinfachten Term ein.

1. Erweiterung des Bruchs mit dem konjugierten Ausdruck \((\sqrt{5} + \sqrt{3})\), um die dritte binomische Formel im Nenner anzuwenden: \(\frac{2 \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3})}\). 2. Vereinfachung des Nenners gemäß \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\): \((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2\). 3. Kürzen des Faktors \(2\) im Zähler und Nenner: \(\frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}\). 4. Einsetzen der Näherungswerte: \(2{,}236 + 1{,}732 = 3{,}968\). 5. Rundung auf zwei Nachkommastellen: \(3{,}97\).

a) Der Term mit rationalem Nenner lautet \(\sqrt{5} + \sqrt{3}\). b) Der Näherungswert ist \(3{,}97\).

- Kannst du die Zahl 1 und die Variable \(a\) als Quadrate von anderen Ausdrücken betrachten? - Wie lässt sich ein Ausdruck der Form \(\frac{y}{\sqrt{y}}\) vereinfachen? - Überlege, wie du den Zähler in ein Produkt verwandeln kannst, in dem ein Teil dem Radikanden (dem Ausdruck unter der Wurzel) im Nenner entspricht.

1. Zerlegung des Zählers \(1 - a\) unter Verwendung der dritten binomischen Formel in \((1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})\). 2. Umschreiben des Bruchs zu \(\frac{(1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})}{\sqrt{1 + \sqrt{a}}}\). 3. Anwendung der Regel \(\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}\) auf den Faktor \((1 + \sqrt{a})\) und den Nenner \(\sqrt{1 + \sqrt{a}}\). 4. Dies ergibt den vereinfachten Term \((1 - \sqrt{a})\sqrt{1 + \sqrt{a}}\).

\((1 - \sqrt{a})\sqrt{1 + \sqrt{a}}\)

- Kannst du den ersten Ausdruck so erweitern, dass im Zähler eine binomische Formel entsteht? - Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? Hilft es hier, erst die einzelnen Nenner rational zu machen? - Schau dir die Nenner im zweiten Teil genau an – sie sind konjugiert zueinander. Was bedeutet das für ihr Produkt?

1. Teilaufgabe a: Erweitern des Bruchs mit \(\sqrt{5}+2\). Im Nenner ergibt sich nach der dritten binomischen Formel \((\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1\). Der Zähler wird mit der ersten binomischen Formel berechnet: \((\sqrt{5}+2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}\). 2. Teilaufgabe b: Beide Brüche werden auf den gemeinsamen Nenner \((\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)\) gebracht, welcher nach der dritten binomischen Formel \(2 - 1 = 1\) ergibt. Die Addition der erweiterten Zähler ergibt \((\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2}\). Alternativ können beide Brüche einzeln rational gemacht werden, was ebenfalls zu \((\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2}\) führt.

a) \(9+4\sqrt{5}\) b) \(2\sqrt{2}\)

- Was passiert, wenn man eine Summe von Wurzeln mit ihrer Differenz multipliziert? - Jede positive Zahl lässt sich als Quadrat ihrer eigenen Wurzel darstellen. - Denke an die Definition von Quadratwurzeln: Welche Zahlen darf man unter eine Wurzel schreiben? - Wann genau wird die Summe zweier Wurzeln gleich null?

1. Für \(b,c \ge 0\), \((b,c)\ne(0,0)\) und \(b\ne c\) erweitert man mit \(\sqrt{b}-\sqrt{c}\): \(A=\frac{(b-c)(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{b-c}=\sqrt{b}-\sqrt{c}\). Für \(b=c>0\) ist der ursprüngliche Term \(A=0\); auch \(\sqrt{b}-\sqrt{c}=0\). Somit gilt das Ergebnis im gesamten Definitionsbereich. 2. Alternativ faktorisiert man \(b-c=(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})\). Da der ursprüngliche Nenner im Definitionsbereich nicht null ist, kann \(\sqrt{b}+\sqrt{c}\) gekürzt werden. Es bleibt \(\sqrt{b}-\sqrt{c}\). 3. Der Term ist definiert für \(b\ge0\), \(c\ge0\) und \((b,c)\ne(0,0)\).

a) \(\sqrt{b}-\sqrt{c}\); für \(b=c>0\) ergibt sich auf beiden Seiten \(0\). b) \(b-c=(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})\), danach kürzen. c) \(b\ge0\), \(c\ge0\) und \((b,c)\ne(0,0)\).

- Erinnere dich an die dritte binomische Formel, um einen Nenner mit einer Wurzeldifferenz rational zu machen. - Achte nach dem Erweitern auf gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner. - Kannst du den Nenner weiter faktorisieren?

1. Erweitern mit \(\sqrt{x^2-9}\): \(\frac{(x-3)\sqrt{x^2-9}}{x^2-9}\). Mit \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) wird \(x-3\) gekürzt. Ergebnis: \(\frac{\sqrt{x^2-9}}{x+3}\). 2. Erweitern mit \(\sqrt{y+4}+\sqrt{y}\): Der Nenner ist \((y+4)-y=4\). Nach dem Kürzen ergibt sich \(\sqrt{y+4}+\sqrt{y}\).

1) \(\frac{\sqrt{x^2-9}}{x+3}\) für \(x < -3\) oder \(x > 3\) 2) \(\sqrt{y+4}+\sqrt{y}\) für \(y \ge 0\)

- Erweitere den Bruch zuerst so, dass die Wurzel im Nenner verschwindet. - Nutze für das Quadrieren von \(A\) die binomischen Formeln. - Setze deinen vereinfachten Wert für \(A\) konsequent in den gesamten Ausdruck ein. - Achte auf das Minuszeichen vor der Klammer beim Subtrahieren von \(2A\).

1. Rationalmachen des Nenners von \(A\) durch Erweitern mit \(\sqrt{5}+1\): \(A = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}\). 2. Nenner berechnen: \((\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4\). 3. Kürzen der \(4\) ergibt den vereinfachten Wert \(A = \sqrt{5} + 1\). 4. Berechnung von \(A^2\) unter Verwendung der 1. binomischen Formel: \((\sqrt{5}+1)^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}\). 5. Einsetzen von \(A\) und \(A^2\) in den Term: \((6 + 2\sqrt{5}) - 2(\sqrt{5}+1) - 4\). 6. Klammern auflösen und zusammenfassen: \(6 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 2 - 4 = 0\).

a) \(A = \sqrt{5} + 1\) b) Der Wert ist \(0\).

- Konzentriere dich zuerst nur auf den Bruch. Wie kannst du den Nenner wurzelfrei machen? - Was passiert mit dem Term \(\sqrt{7}\), wenn du ihn vom vereinfachten Bruch subtrahierst? - Welche Art von Zahlen gehören zur Menge der ganzen Zahlen?

1. Rationalisieren des Nenners des Bruchs durch Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck \(\sqrt{7} + 1\). 2. Berechnung des Nenners: \((\sqrt{7})^2 - 1^2 = 7 - 1 = 6\). 3. Vereinfachung des Bruchs durch Kürzen der Zahl 6 im Zähler und Nenner: \(\frac{6(\sqrt{7} + 1)}{6} = \sqrt{7} + 1\). 4. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \((\sqrt{7} + 1) - \sqrt{7} = 1\). 5. Da das Ergebnis \(1\) ist, handelt es sich um eine ganze Zahl.

Der Term lässt sich zu \(1\) vereinfachen, was eine ganze Zahl ist.

- Kannst du die Brüche vereinfachen, indem du die Nenner rational machst? - Schau dir die Struktur von \(x\) und \(y\) genau an – fällt dir eine Beziehung zwischen den beiden Zahlen auf? - Es könnte hilfreich sein, zuerst \(xy\) und \(x+y\) zu berechnen. - Überlege, wie du binomische Formeln nutzen kannst, um die Quadrate der Summen leichter zu berechnen.

1. Nenner von \(x\) rational machen durch Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck \(\sqrt{7}+\sqrt{3}\): \(x = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}{7-3} = \frac{7+3+2\sqrt{21}}{4} = \frac{10+2\sqrt{21}}{4} = \frac{5+\sqrt{21}}{2}\). 2. Analog den Nenner von \(y\) rational machen: \(y = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{7-3} = \frac{5-\sqrt{21}}{2}\). 3. Das Produkt \(xy\) berechnen: \(xy = \frac{5+\sqrt{21}}{2} \cdot \frac{5-\sqrt{21}}{2} = \frac{25-21}{4} = 1\). 4. Die Quadrate \(x^2\) und \(y^2\) berechnen: \(x^2 = \frac{25+21+10\sqrt{21}}{4} = \frac{46+10\sqrt{21}}{4} = \frac{23+5\sqrt{21}}{2}\) und \(y^2 = \frac{23-5\sqrt{21}}{2}\). 5. Die Summe \(x^2+y^2\) bestimmen: \(x^2+y^2 = \frac{23+5\sqrt{21} + 23-5\sqrt{21}}{2} = \frac{46}{2} = 23\). 6. In den Gesamtausdruck einsetzen: \(x^2 - 4xy + y^2 = 23 - 4 \cdot 1 = 19\).

\(19\)

- Was passiert, wenn du die Nenner der Brüche rational machst, bevor du quadrierst? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie könnten hier beim Quadrieren sehr nützlich sein. - Kannst du den Term so umformen, dass die Wurzeln im Nenner verschwinden? - Manchmal ist es einfacher, erst die Brüche zu vereinfachen und dann die Operationen (wie das Quadrieren) auszuführen.

1. Die Terme in den Klammern einzeln rational machen, indem die Brüche mit dem jeweils konjugierten Ausdruck erweitert werden: \(\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2\). 2. Entsprechend für den zweiten Bruch: \(\frac{1}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5}-2\). 3. Die quadrierten Ausdrücke berechnen: \((\sqrt{5}+2)^2 = 5 + 4 + 4\sqrt{5} = 9 + 4\sqrt{5}\). 4. Den zweiten quadrierten Ausdruck berechnen: \((\sqrt{5}-2)^2 = 5 + 4 - 4\sqrt{5} = 9 - 4\sqrt{5}\). 5. Die beiden Ergebnisse addieren: \((9 + 4\sqrt{5}) + (9 - 4\sqrt{5}) = 18\).

\(18\)

- Kannst du den ursprünglichen Term vereinfachen, indem du den Nenner wurzelfrei machst? - Was passiert, wenn du die gegebene Substitution für \(x\) in den Ausdruck \(x^2+1\) einsetzt? - Achte darauf, ob du unter der Wurzel eine binomische Formel erkennen kannst. - Nutze die Bedingung \(0 < t < 1\), um das Vorzeichen beim Ziehen der Wurzel zu bestimmen.

1. Rationalisieren des Nenners von \(T(x)\) durch Erweitern mit \(\sqrt{x^2+1}+1\): \(T(x) = \frac{x(\sqrt{x^2+1}+1)}{(\sqrt{x^2+1}-1)(\sqrt{x^2+1}+1)} = \frac{x(\sqrt{x^2+1}+1)}{x^2+1-1} = \frac{\sqrt{x^2+1}+1}{x}\). 2. Berechnung von \(x^2+1\) mit \(x = \frac{2t}{1-t^2}\): \(x^2+1 = \frac{4t^2}{(1-t^2)^2} + 1 = \frac{4t^2 + (1-t^2)^2}{(1-t^2)^2} = \frac{4t^2 + 1 - 2t^2 + t^4}{(1-t^2)^2} = \frac{(1+t^2)^2}{(1-t^2)^2}\). 3. Ziehen der Quadratwurzel: Da \(0 < t < 1\) gilt, ist \(1-t^2 > 0\), woraus \(\sqrt{x^2+1} = \frac{1+t^2}{1-t^2}\) folgt. 4. Einsetzen in den vereinfachten Term: \(T = \frac{\frac{1+t^2}{1-t^2} + 1}{\frac{2t}{1-t^2}} = \frac{\frac{1+t^2 + 1-t^2}{1-t^2}}{\frac{2t}{1-t^2}} = \frac{2}{2t} = \frac{1}{t}\).

\(T = \frac{1}{t}\)

- Bei Summen im Nenner hilft oft das Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck (Differenz statt Summe), um eine binomische Formel zu nutzen. - Um die Größe einer Wurzel abzuschätzen, kannst du sie in die Form \(\sqrt{n}\) bringen und mit bekannten Quadratzahlen vergleichen. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks. Wie stellt man sie nach einer Seitenlänge um?

1. In Teilaufgabe a) wird mit der Differenz \(2 - \sqrt{3}\) erweitert: \(\frac{1 \cdot (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}\). Im Nenner ergibt sich nach der dritten binomischen Formel \(2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1\). Das Ergebnis ist \(2 - \sqrt{3}\). 2. In Teilaufgabe b) wird \(\frac{12}{\sqrt{3}}\) mit \(\sqrt{3}\) erweitert zu \(\frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\). Dies entspricht \(\sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}\). Da \(6^2 = 36\) und \(7^2 = 49\) gilt, liegt \(\sqrt{48}\) zwischen 6 und 7. 3. In Teilaufgabe c) gilt \(l = \frac{A}{b} = \frac{10}{\sqrt{5}}\). Erweitern mit \(\sqrt{5}\) ergibt \(l = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}\,\text{cm}\).

a) \(2 - \sqrt{3}\) b) Zwischen 6 und 7, da \(\frac{12}{\sqrt{3}} = \sqrt{48}\). c) \(l = 2\sqrt{5}\,\text{cm}\)

- Kannst du den Bruch unter der Wurzel im ersten Teil vereinfachen, bevor du die Wurzel ziehst? - Welche Regel gilt für die Wurzel aus einem Bruch? - Prüfe, ob der Ausdruck im Betrag positiv oder negativ ist, indem du die Zahlen als Wurzeln darstellst, zum Beispiel \(4 = \sqrt{16}\). - Mit welchem konjugierten Term kannst du einen Nenner der Form \(\sqrt{7} - 2\) rational machen?

1. Vereinfachung des Bruchs unter der Wurzel in Teil a: \(\frac{20}{5} = 4\). Der Term wird zu \(\sqrt{4 \cdot (4 - \sqrt{15})^2}\). 2. Wurzelziehen: \(2 \cdot |4 - \sqrt{15}|\). 3. Vorzeichenprüfung: Da \(4 = \sqrt{16}\) und \(\sqrt{16} > \sqrt{15}\), ist der Ausdruck \(4 - \sqrt{15}\) positiv. 4. Endergebnis a: \(2(4 - \sqrt{15}) = 8 - 2\sqrt{15}\). 5. Anwendung der Wurzelgesetze auf den Quotienten in Teil b: \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2}} = \frac{\sqrt{3}}{|2 - \sqrt{7}|}\). 6. Vorzeichenprüfung: Da \(2 = \sqrt{4}\) und \(\sqrt{4} < \sqrt{7}\), ist der Ausdruck \(2 - \sqrt{7}\) negativ. 7. Auflösen des Betrags im Nenner: \(|2 - \sqrt{7}| = \sqrt{7} - 2\). 8. Rationalisieren des Nenners: \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} - 2} \cdot \frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2} = \frac{\sqrt{21} + 2\sqrt{3}}{7 - 4} = \frac{\sqrt{21} + 2\sqrt{3}}{3}\).

a) \(8 - 2\sqrt{15}\) b) \(\frac{\sqrt{21} + 2\sqrt{3}}{3}\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man einen negativen Ausdruck mit einer ungeraden Zahl potenziert? - Wie hängen Quadratwurzeln und Potenzen zusammen? - Kannst du den Wurzelausdruck im Nenner durch geeignetes Erweitern beseitigen? - Betrachte die Potenzen außerhalb und innerhalb der Wurzel zunächst getrennt.

1. Das Potenzieren des negativen Ausdrucks ergibt \(-\frac{x^3}{y^3} \cdot \sqrt{\frac{8y^3}{x^9}}\). 2. Teilweises Wurzelziehen des Zählers (\(2y\sqrt{2y}\)) und des Nenners (\(x^4\sqrt{x}\)) führt nach dem Kürzen von \(x^3\) und \(y\) zu \(-\frac{2\sqrt{2y}}{y^2 x \sqrt{x}}\). 3. Das Erweitern mit \(\sqrt{x}\) liefert das Endergebnis \(-\frac{2\sqrt{2xy}}{x^2 y^2}\).

\(-\frac{2\sqrt{2xy}}{x^2 y^2}\)

- Wenn im Nenner eine Summe oder Differenz mit Wurzeln steht, hilft oft die dritte binomische Formel. - Mit welchem Ausdruck müsste man \((a - b)\) multiplizieren, um \(a^2 - b^2\) zu erhalten? - Achte darauf, dass du beim Erweitern den gesamten Zähler und den gesamten Nenner multiplizierst. - Kannst du das Ergebnis am Ende noch durch teilweises Wurzelziehen oder Kürzen vereinfachen?

1. Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck \((\sqrt{5} + \sqrt{2})\). Anwendung der dritten binomischen Formel im Nenner: \((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3\). Kürzen der \(6\) gegen die \(3\) ergibt \(2(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}\). 2. Erweitern mit \((\sqrt{3} + 1)\). Im Nenner ergibt sich durch die dritte binomische Formel \(3 - 1 = 2\). Im Zähler wird die erste binomische Formel angewendet: \((\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}\). Division durch \(2\) ergibt \(2 + \sqrt{3}\). 3. Erweitern mit \(\sqrt{6}\) ergibt \(\frac{3\sqrt{12}}{6}\). Kürzen führt zu \(\frac{\sqrt{12}}{2}\). Durch teilweises Wurzelziehen (\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)) und anschließendes Kürzen erhält man \(\sqrt{3}\). Alternativ: \(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{\frac{2}{6}} = 3\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\).

a) \(2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}\) b) \(2 + \sqrt{3}\) c) \(\sqrt{3}\)

- Behandle die Ausdrücke unter den Wurzeln wie einzelne Einheiten beim Erweitern. - Achte beim Quadrieren von Summen im Zähler auf die erste binomische Formel. - Kannst du im Nenner Terme zusammenfassen, nachdem du die Wurzeln beseitigt hast?

1. Erweiterung mit \( \sqrt{u+v} + \sqrt{u-v} \). Nenner: \( (u+v) - (u-v) = 2v \). Zähler: \( (\sqrt{u+v} + \sqrt{u-v})^2 = (u+v) + 2\sqrt{(u+v)(u-v)} + (u-v) = 2u + 2\sqrt{u^2 - v^2} \). Kürzen durch 2 ergibt \( \frac{u + \sqrt{u^2 - v^2}}{v} \). 2. Erweiterung mit \( \sqrt{x^2 + y^2} + x \). Nenner: \( (\sqrt{x^2 + y^2})^2 - x^2 = x^2 + y^2 - x^2 = y^2 \). Zähler: \( y^2(\sqrt{x^2 + y^2} + x) \). Kürzen von \( y^2 \) führt zu \( \sqrt{x^2 + y^2} + x \).

1) \( \frac{u + \sqrt{u^2 - v^2}}{v} \) 2) \( \sqrt{x^2 + y^2} + x \)

- Wie sieht der „Gegenspieler“ zum Nenner aus, um die Differenz von Quadraten zu nutzen? - Achte beim Ausmultiplizieren im Zähler auf Produkte wie \( \sqrt{15} \cdot \sqrt{3} \). - Kannst du unter der Wurzel Faktoren finden, die Quadratzahlen sind? - Prüfe am Ende, ob du den gesamten Bruch durch eine gemeinsame Zahl kürzen kannst.

1. Erweiterung des Bruchs mit dem konjugierten Ausdruck \( 4\sqrt{3} - \sqrt{15} \). 2. Berechnung des Nenners mittels der 3. binomischen Formel: \( (4\sqrt{3})^2 - (\sqrt{15})^2 = 16 \cdot 3 - 15 = 48 - 15 = 33 \). 3. Ausmultiplizieren des Zählers: \( (2\sqrt{15} - 3\sqrt{3})(4\sqrt{3} - \sqrt{15}) = 8\sqrt{45} - 2 \cdot 15 - 12 \cdot 3 + 3\sqrt{45} = 11\sqrt{45} - 30 - 36 = 11\sqrt{45} - 66 \). 4. Teilweises Wurzelziehen im Zähler: \( \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \). Einsetzen ergibt \( 11 \cdot 3\sqrt{5} - 66 = 33\sqrt{5} - 66 \). 5. Kürzen des Bruchs durch 33: \( \frac{33\sqrt{5} - 66}{33} = \sqrt{5} - 2 \).

\( \sqrt{5} - 2 \)