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- Berechne zuerst den Wert jeder einzelnen Wurzel in den Termen. - Achte bei Term C darauf, zuerst den gemischten Bruch umzuwandeln, bevor du die Wurzel ziehst. - Vergleiche am Ende alle Ergebnisse in der gleichen Darstellung (zum Beispiel als Dezimalzahl).

1. Wert von Term A: \( \sqrt{0{,}64} = 0{,}8 \) und \( \sqrt{0{,}36} = 0{,}6 \). Summe: \( 0{,}8 + 0{,}6 = 1{,}4 \). 2. Wert von Term B: \( \sqrt{2{,}25} = 1{,}5 \) und \( \sqrt{0{,}04} = 0{,}2 \). Differenz: \( 1{,}5 - 0{,}2 = 1{,}3 \). 3. Wert von Term C: Umwandlung in einen unechten Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{25+11}{25}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} = 1{,}2 \). 4. Wert von Term D: \( \sqrt{0{,}01} = 0{,}1 \). Produkt: \( 0{,}1 \cdot 12 = 1{,}2 \). 5. Vergleich: \( 1{,}4 > 1{,}3 > 1{,}2 = 1{,}2 \). Der größte Wert ist \( 1{,}4 \).

Term A hat den größten Wert. Einzelwerte: A: \( 1{,}4 \) B: \( 1{,}3 \) C: \( 1{,}2 \) D: \( 1{,}2 \)

- Wie hängen die Ordnung von positiven Zahlen und deren Quadraten zusammen? - Wenn du weißt, welche von zwei positiven Zahlen größer ist, was kannst du dann über ihre Gegenzahlen (die negativen Werte) sagen? - Erinnere dich daran, wie man Dezimalzahlen wie \(3{,}5\) ohne Taschenrechner quadriert.

1. Vergleich der Beträge durch Quadrieren: Um \(\sqrt{13}\) mit \(3{,}5\) zu vergleichen, berechnet man deren Quadrate. 2. Quadrat des ersten Betrags: \((\sqrt{13})^2 = 13\). 3. Quadrat des zweiten Betrags: \(3{,}5^2 = (3{,}5 \cdot 3{,}5) = 12{,}25\). 4. Da \(13 > 12{,}25\), folgt \(\sqrt{13} > 3{,}5\). 5. Übergang zu negativen Zahlen: Bei negativen Zahlen ist diejenige Zahl größer (liegt weiter rechts), deren Betrag kleiner ist. 6. Da \(3{,}5 < \sqrt{13}\), gilt \(-3{,}5 > -\sqrt{13}\). Somit liegt \(b = -3{,}5\) weiter rechts.

Die Zahl \(b = -3{,}5\) liegt weiter rechts. Begründung: Es ist \(3{,}5^2 = 12{,}25\) und \((\sqrt{13})^2 = 13\). Da \(12{,}25 < 13\), ist \(3{,}5 < \sqrt{13}\). Bei negativen Zahlen kehrt sich die Ordnung um, daher gilt \(-3{,}5 > -\sqrt{13}\).

- Versuche zuerst, die Wurzeln aus den Nennern zu entfernen. - Wie kannst du eine Zahl vor einer Wurzel wieder unter das Wurzelzeichen bringen? - Ist es einfacher, Zahlen zu vergleichen, wenn sie beide unter einer Quadratwurzel stehen?

1. Den Nenner von \( A \) rational machen: \( A = \frac{12 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6} \). 2. Den Nenner von \( B \) rational machen: \( B = \frac{15 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5} \). 3. Beide Zahlen in die Form \( \sqrt{n} \) bringen, um sie zu vergleichen: \( A = 2\sqrt{6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24} \). \( B = 3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} \). 4. Da \( 45 > 24 \), gilt \( \sqrt{45} > \sqrt{24} \). Somit ist \( B > A \).

Die Zahl \( \frac{15}{\sqrt{5}} \) ist größer.

- Wandle Dezimalzahlen im Exponenten zuerst in Brüche um. - Erinnere dich an die Definition von Potenzen mit rationalen Exponenten: \(x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}\). - Prüfe, ob du die Radikanden als Potenzen kleinerer Basen (wie 2 oder 3) schreiben kannst. - Fasse Produkte von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten unter einer Wurzel zusammen.

1. Berechnung von \(e\): Die \(n\)-te Wurzel aus \(0\) ist immer \(0\), also \(e = 0\). 2. Berechnung von \(d\): Der Exponent \(0{,}25\) entspricht dem Bruch \(\frac{1}{4}\). Somit ist \(d = \sqrt[4]{16} = 2\), da \(2^4 = 16\). 3. Berechnung von \(a\): Da \(3^4 = 81\), ist \(a = \sqrt[4]{81} = 3\). 4. Berechnung von \(b\): Der Exponent \(0{,}4\) entspricht \(\frac{2}{5}\). Es gilt \(b = (32)^{2/5} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4\). 5. Berechnung von \(c\): Nach den Wurzelgesetzen gilt \(c = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6\). 6. Vergleich der Ergebnisse: \(0 < 2 < 3 < 4 < 6\). Die Reihenfolge ist \(e, d, a, b, c\).

Die aufsteigende Reihenfolge ist \(e, d, a, b, c\) mit den Werten \(0 < 2 < 3 < 4 < 6\).

- Berechne zuerst den Zahlenwert für jeden Term einzeln. - Achte besonders auf das Minuszeichen: Steht es innerhalb oder außerhalb der Wurzel? - Erinnere dich daran, wie man Potenzen mit negativer Basis berechnet. - Was bewirkt das Quadrat unter einer Wurzel bei einer negativen Zahl?

1. Berechnung von \(a\): \(\sqrt[3]{-8} = -2\), da \((-2)^3 = -8\). 2. Berechnung von \(b\): \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), da \(0{,}5^2 = 0{,}25\). 3. Berechnung von \(c\): \(\sqrt[4]{81} = 3\), da \(3^4 = 81\). Somit ist \(c = -3\). 4. Berechnung von \(d\): \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\). 5. Berechnung von \(e\): \(\sqrt[5]{32} = 2\), da \(2^5 = 32\). 6. Vergleich der Werte: \(-3 < -2 < 0{,}5 < 2 < 3\). 7. Zuordnung der Terme: \(c < a < b < e < d\).

Die richtige Reihenfolge lautet: \(c < a < b < e < d\) (bzw. \(-3 < -2 < 0{,}5 < 2 < 3\)).

- Überlege dir für jeden Term, welche Zahl mit dem entsprechenden Exponenten potenziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Achte bei negativen Vorzeichen darauf, ob der Wurzelexponent (die kleine Zahl an der Wurzel) gerade oder ungerade ist. - Wandle Brüche gegebenenfalls in Dezimalzahlen um, um sie besser vergleichen zu können.

1. Berechnung der einzelnen Werte: a) \(\sqrt[3]{-0{,}125} = -0{,}5\), da \((-0{,}5)^3 = -0{,}125\) b) \(\sqrt[5]{243} = 3\), da \(3^5 = 243\) c) \(\sqrt[3]{-\frac{27}{64}} = -\frac{3}{4} = -0{,}75\), da \(\left(-\frac{3}{4}\right)^3 = -\frac{27}{64}\) d) \(\sqrt[4]{0{,}0001} = 0{,}1\), da \(0{,}1^4 = 0{,}0001\) 2. Vergleich der Werte: \(-0{,}75 < -0{,}5 < 0{,}1 < 3\) 3. Zuordnung der Terme: \(c < a < d < b\)

Die berechneten Werte sind: a) \(-0{,}5\); b) \(3\); c) \(-0{,}75\); d) \(0{,}1\). Die Reihenfolge lautet: \(\sqrt[3]{-\frac{27}{64}} < \sqrt[3]{-0{,}125} < \sqrt[4]{0{,}0001} < \sqrt[5]{243}\).

- Wie kannst du die Zahlen vergleichbar machen, ohne ihren Wert mit dem Taschenrechner zu bestimmen? - Was passiert mit der Ordnung zweier positiver Zahlen, wenn man sie quadriert? - Kannst du einen Faktor vor einer Wurzel wieder in den Radikanden einbeziehen?

1. Vergleich durch Quadrieren oder Einbringen des Faktors: \(2\sqrt{14} = \sqrt{4 \cdot 14} = \sqrt{56}\) und \(3\sqrt{6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}\). Da \(56 > 54\), folgt \(2\sqrt{14} > 3\sqrt{6}\). 2. Umformung: \(0{,}5\sqrt{80} = \sqrt{0{,}25 \cdot 80} = \sqrt{20}\) und \(2\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}\). Da \(20 = 20\), folgt \(0{,}5\sqrt{80} = 2\sqrt{5}\). 3. Vergleich der Quadrate: \(4^2 = 16\) und \((\sqrt{17})^2 = 17\). Da \(16 < 17\), folgt \(4 < \sqrt{17}\).

a) \(2\sqrt{14} > 3\sqrt{6}\) b) \(0{,}5\sqrt{80} = 2\sqrt{5}\) c) \(4 < \sqrt{17}\)

- Kannst du einige der Wurzeln direkt ausrechnen? - Um eine Zahl ohne Wurzel mit einer Wurzel zu vergleichen, kannst du beide Zahlen quadrieren. - Überlege dir, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen die Wurzeln liegen müssen.

1. Bestimmung bekannter Werte: \(\sqrt{16} = 4\). Somit sind \(4\) und \(\sqrt{16}\) gleich groß. 2. Vergleich von \(\sqrt{18}\) mit den anderen Werten: Da \(16 < 18 < 25\), gilt \(4 < \sqrt{18} < 5\). 3. Vergleich von \(4{,}1\) mit \(\sqrt{18}\): Es gilt \(4{,}1^2 = 16{,}81\). Da \(16{,}81 < 18\), ist \(4{,}1 < \sqrt{18}\). 4. Vergleich von \(\sqrt{20}\) mit den anderen Werten: Da \(18 < 20\), ist \(\sqrt{18} < \sqrt{20}\). 5. Zusammenführung der Ergebnisse: \(4 = \sqrt{16} < 4{,}1 < \sqrt{18} < \sqrt{20}\).

Die korrekte Reihenfolge lautet: \(4 = \sqrt{16} < 4{,}1 < \sqrt{18} < \sqrt{20}\)

- Du kannst beide Seiten eines Vergleichs quadrieren, um die Wurzeln zu eliminieren, solange beide Seiten positiv sind. - Überlege dir bei Zahlen zwischen 0 und 1 genau, was passiert, wenn man sie mit sich selbst multipliziert. Werden sie größer oder kleiner? - Nutze bekannte Quadratzahlen in der Nähe der gegebenen Werte zur Orientierung.

1. Vergleich \( \sqrt{0{,}09} \) und \( 0{,}09 \): Da \( 0{,}3^2 = 0{,}09 \), ist \( \sqrt{0{,}09} = 0{,}3 \). Da \( 0{,}3 > 0{,}09 \), gilt \( \sqrt{0{,}09} > 0{,}09 \). 2. Vergleich \( \sqrt{1{,}21} \) und \( 1{,}1 \): Da \( 1{,}1^2 = 1{,}21 \), ist \( \sqrt{1{,}21} = 1{,}1 \). Somit gilt \( \sqrt{1{,}21} = 1{,}1 \). 3. Vergleich \( \sqrt{20} \) und \( 4{,}5 \): Um \( \sqrt{20} \) mit \( 4{,}5 \) zu vergleichen, quadriert man beide Seiten. \( (\sqrt{20})^2 = 20 \) und \( 4{,}5^2 = 20{,}25 \). Da \( 20 < 20{,}25 \), gilt \( \sqrt{20} < 4{,}5 \). 4. Vergleich \( \sqrt{\frac{1}{2}} \) und \( \frac{1}{2} \): Es gilt \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \). Da \( 0{,}5^2 = 0{,}25 \) und \( 0{,}25 < 0{,}5 \), muss die Wurzel aus \( 0{,}5 \) größer sein als \( 0{,}5 \). Also \( \sqrt{\frac{1}{2}} > \frac{1}{2} \).

a) \( \sqrt{0{,}09} > 0{,}09 \) b) \( \sqrt{1{,}21} = 1{,}1 \) c) \( \sqrt{20} < 4{,}5 \) d) \( \sqrt{\frac{1}{2}} > \frac{1}{2} \)

- Überlege dir, was passiert, wenn du eine Zahl zwischen 0 und 1 mit sich selbst multiplizierst. Wird sie größer oder kleiner? - Probiere verschiedene Werte aus: eine Zahl zwischen 0 und 1, die Zahl 1 und eine Zahl größer als 1. - Was muss für das Quadrat einer Zahl gelten, damit es größer ist als die Zahl selbst?

1. Berechnung der Wurzeln für Teil a: (1) \(\sqrt{0{,}09} = 0{,}3\). Da \(0{,}09 < 0{,}3\), gilt \(x < \sqrt{x}\). (2) \(\sqrt{1} = 1\). Da \(1 = 1\), gilt \(x = \sqrt{x}\). (3) \(\sqrt{1{,}44} = 1{,}2\). Da \(1{,}44 > 1{,}2\), gilt \(x > \sqrt{x}\). 2. Untersuchung der Ungleichung \(\sqrt{x} < x\): Die Quadratwurzel ist nur für \(x \ge 0\) definiert. Für \(x = 0\) gilt \(\sqrt{0} = 0\), also \(0 = 0\) (falsch für \(<\)). Für \(0 < x < 1\) ist die Wurzel größer als die Zahl selbst (siehe Teil a(1)). Für \(x = 1\) gilt \(1 = 1\). Für \(x > 1\) wächst \(x\) schneller als \(\sqrt{x}\). Beispiel \(x=4 \implies 2 < 4\). Die Bedingung \(\sqrt{x} < x\) ist somit für alle \(x > 1\) erfüllt.

a) (1) \(<\); (2) \(=\); (3) \(>\). b) Die Aussage \(\sqrt{x} < x\) ist für alle \(x > 1\) wahr.

- Könntest du die Zahlen vor der Wurzel in die Wurzel hineinziehen, um die Werte besser vergleichen zu können? - Wenn zwei positive Zahlen unter einer Quadratwurzel stehen, welche der Wurzeln ist dann größer? - Erinnere dich daran, dass \(0{,}5\) als Bruch \(\frac{1}{2}\) geschrieben werden kann.

1. Umwandlung der Terme in eine einzige Wurzel mittels \(c\sqrt{d} = \sqrt{c^2 \cdot d}\). 2. Paar a): \(6\sqrt{2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}\) und \(5\sqrt{3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}\). Vergleich der Radikanden: Da \(75 > 72\), gilt \(5\sqrt{3} > 6\sqrt{2}\). 3. Paar b): \(0{,}5\sqrt{80} = \sqrt{0{,}25 \cdot 80} = \sqrt{20}\) und \(\frac{1}{3}\sqrt{180} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 180} = \sqrt{20}\). Vergleich der Radikanden: Da \(20 = 20\), sind die Werte gleich.

a) \(5\sqrt{3}\) ist größer als \(6\sqrt{2}\), da \(\sqrt{75} > \sqrt{72}\). b) Die Werte sind gleich, da beide \(\sqrt{20}\) ergeben.

- Könntest du alle Ausdrücke so umformen, dass sie in der Form „Wurzel aus einer Zahl“ vorliegen? - Wie verhält sich der Wert einer Wurzel, wenn die Zahl darunter größer wird? - Welche Rechenregel hilft dir, Brüche mit Wurzeln im Nenner zu vereinfachen?

1. Term \( x \) vereinfachen: \( x = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \). 2. Alle Terme in die Form \( \sqrt{n} \) umwandeln: \( x = 6\sqrt{3} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{108} \). \( y = 10\sqrt{2} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{200} \). \( z = \sqrt{192} \). 3. Die Radikanden (Zahlen unter der Wurzel) vergleichen: \( 108 < 192 < 200 \). 4. Daraus folgt für die Wurzelwerte: \( \sqrt{108} < \sqrt{192} < \sqrt{200} \). 5. Die Reihenfolge ist somit \( x < z < y \).

Die richtige Reihenfolge ist \( \frac{18}{\sqrt{3}} < \sqrt{192} < 10\sqrt{2} \).

- Könntest du beide Seiten des Vergleichs so umformen, dass sie leichter vergleichbar sind? - Manchmal hilft es, beide Zahlen zu quadrieren, um die Wurzel zu eliminieren. - Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Achte bei Brüchen und Dezimalzahlen genau auf die Stellenwerte.

1. Berechnung von \(\sqrt{0{,}49}\): Da \(0{,}7^2 = 0{,}49\), ist \(\sqrt{0{,}49} = 0{,}7\). Da \(0{,}7 > 0{,}07\), folgt \(\sqrt{0{,}49} > 0{,}07\). 2. Berechnung beider Seiten: \(\sqrt[3]{27} = 3\) (da \(3^3 = 27\)) und \(\sqrt{9} = 3\) (da \(3^2 = 9\)). Also gilt \(\sqrt[3]{27} = \sqrt{9}\). 3. Berechnung von \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}}\): Da \((\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}\), ist die Wurzel \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Da \(0{,}5 > 0{,}25\) (was \(\frac{1}{4}\) entspricht), folgt \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}} > \frac{1}{4}\). 4. Vergleich durch Quadrieren: \((\sqrt{20})^2 = 20\) und \(4{,}5^2 = 20{,}25\). Da \(20 < 20{,}25\), folgt \(\sqrt{20} < 4{,}5\).

a) \(\sqrt{0{,}49} > 0{,}07\) b) \(\sqrt[3]{27} = \sqrt{9}\) c) \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}} > \frac{1}{4}\) d) \(\sqrt{20} < 4{,}5\)

- Kannst du die Produkte unter einer gemeinsamen Wurzel zusammenfassen? - Erinnere dich daran, dass ein Exponent der Form \(\frac{m}{n}\) bedeutet, dass man die \(n\)-te Wurzel zieht und dann mit \(m\) potenziert. - Rechne zuerst die Wurzel aus, bevor du die Zahl hochrechnest, um mit kleineren Werten zu arbeiten.

1. Term \(A\): Anwendung des Wurzelgesetzes ergibt \(\sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8} = 2\). 2. Term \(B\): Anwendung des Wurzelgesetzes ergibt \(\sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4\). Da \(4 > 2\), ist \(B > A\). 3. Term \(C\): Umformung zu \((\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\). 4. Term \(D\): Umformung zu \((\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8\). Da \(9 > 8\), ist \(C > D\).

a) \(B\) ist größer, da \(B = 4\) und \(A = 2\). b) \(C\) ist größer, da \(C = 9\) und \(D = 8\).

- Was passiert mit dem Wert einer Wurzel, wenn der Wurzelexponent größer wird, während die Zahl unter der Wurzel gleich bleibt? - Was passiert, wenn die Zahl unter der Wurzel größer wird, aber der Wurzelexponent gleich bleibt? - Könntest du die Brüche im Exponenten auf einen Hauptnenner bringen, um sie besser vergleichen zu können?

1. Vergleich bei gleicher Basis: Da \(5 > 1\), ist die vierte Wurzel kleiner als die dritte Wurzel, also \(b < a\). Ebenso gilt bei Basis 10: \(d < c\). 2. Vergleich bei gleichem Wurzelexponenten: Da \(10 > 5\), ist \(\sqrt[3]{10} > \sqrt[3]{5}\) (also \(c > a\)) und \(\sqrt[4]{10} > \sqrt[4]{5}\) (also \(d > b\)). 3. Vergleich von \(a\) und \(d\): Umformung auf den gleichen Wurzelexponenten 12: \(a = 5^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{4}{12}} = \sqrt[12]{625}\) und \(d = 10^{\frac{1}{4}} = 10^{\frac{3}{12}} = \sqrt[12]{1000}\). Da \(625 < 1000\), folgt \(a < d\). 4. Gesamtreihenfolge: \(b < a < d < c\). 5. Numerische Überprüfung: \(b \approx 1{,}50\); \(a \approx 1{,}71\); \(d \approx 1{,}78\); \(c \approx 2{,}15\). Die Reihenfolge stimmt.

Reihenfolge: \(b < a < d < c\). Werte: \(b \approx 1{,}50\); \(a \approx 1{,}71\); \(d \approx 1{,}78\); \(c \approx 2{,}15\).

- Versuche, alle Werte in die gleiche Form zu bringen, zum Beispiel in Dezimalzahlen. - Was bedeutet das Prozentzeichen für die Umwandlung in eine Dezimalzahl? - Berechne zuerst die Wurzeln und Potenzen einzeln.

1. Berechnung von \(A\): \(\sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}\) 2. Berechnung von \(B\): \(0{,}3^2 = 0{,}09\) 3. Berechnung von \(C\): \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\) 4. Umwandlung von \(D\): \(12{,}5\,\% = 0{,}125\) 5. Vergleich der Dezimalzahlen: \(0{,}09 < 0{,}125 < 0{,}2 < 0{,}\overline{3}\) 6. Reihenfolge: \(B < D < C < A\)

\(B < D < C < A\) (bzw. \(0{,}09 < 0{,}125 < 0{,}2 < 0{,}\overline{3}\))

- Berechne zuerst den genauen Wert von Term \( A \). - Fasse die Zahlen unter der Wurzel in Term \( B \) zusammen. - Wie kannst du eine normale Zahl und eine Wurzel miteinander vergleichen? Hilft es vielleicht, beide Werte zu quadrieren?

1. Berechnung des Wertes von Term \( A \): \( \sqrt{0{,}36} + \sqrt{0{,}25} = 0{,}6 + 0{,}5 = 1{,}1 \). 2. Vereinfachung des Wertes unter der Wurzel in Term \( B \): \( 0{,}36 + 0{,}25 = 0{,}61 \), also \( B = \sqrt{0{,}61} \). 3. Vergleich der beiden Werte durch Quadrieren: Um \( 1{,}1 \) mit \( \sqrt{0{,}61} \) zu vergleichen, wird \( 1{,}1 \) quadriert: \( 1{,}1^2 = 1{,}21 \). 4. Da \( 1{,}21 > 0{,}61 \), gilt \( \sqrt{1{,}21} > \sqrt{0{,}61} \). Somit ist \( 1{,}1 > \sqrt{0{,}61} \), woraus folgt, dass Term \( A \) größer als Term \( B \) ist.

Term \( A \) ist größer, da \( 1{,}1 > \sqrt{0{,}61} \).

- Versuche, alle Zahlen als Dezimalzahlen mit mindestens vier Nachkommastellen zu schreiben. - Was bedeutet der Strich über einer Ziffer bei einer Dezimalzahl? - Wie kannst du den Wert einer Wurzel abschätzen oder berechnen, um ihn mit einer Dezimalzahl zu vergleichen? - Reicht es aus, nur zwei Nachkommastellen zu betrachten, oder gibt es Zahlen, die sich erst später unterscheiden?

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimaldarstellungen mit ausreichender Genauigkeit: \(2{,}\overline{2} = 2{,}2222\ldots\) \(2{,}23 = 2{,}2300\ldots\) \(2{,}236 = 2{,}2360\ldots\) \(\sqrt{5} \approx 2{,}2360679\ldots\) \(\frac{9}{4} = 2{,}25\) 2. Vergleich der Stellenwerte: \(2{,}22\ldots < 2{,}230\ldots < 2{,}2360 < 2{,}23606\ldots < 2{,}25\) 3. Ergebnis durch Einsetzen der ursprünglichen Zahlenformate: \(2{,}\overline{2} < 2{,}23 < 2{,}236 < \sqrt{5} < \frac{9}{4}\)

\(2{,}\overline{2} < 2{,}23 < 2{,}236 < \sqrt{5} < \frac{9}{4}\)

- Wie verhalten sich die Werte von Wurzeln, wenn man die Zahlen unter der Wurzel vergleicht? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie quadriert? - Ist das Ergebnis einer Quadratwurzel stets nichtnegativ? - Probiere, beide Seiten der Gleichung getrennt voneinander auszurechnen.

1. a) Umformung durch Einbringen des Faktors unter die Wurzel: \(4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}\) und \(3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\). Da \(48 > 45\), gilt \(4\sqrt{3} > 3\sqrt{5}\). 1. b) Umformung: \(2\sqrt{10} = \sqrt{2^2 \cdot 10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}\) und \(3\sqrt{4{,}5} = \sqrt{3^2 \cdot 4{,}5} = \sqrt{9 \cdot 4{,}5} = \sqrt{40{,}5}\). Da \(40 < 40{,}5\), gilt \(2\sqrt{10} < 3\sqrt{4{,}5}\). 2. Einsetzen von \(x = -3\): Linke Seite \(L = -3\sqrt{2} \approx -4{,}24\); Rechte Seite \(R = \sqrt{2 \cdot (-3)^2} = \sqrt{2 \cdot 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\). Da \(L \neq R\), ist die Aussage falsch. Die Regel \(x\sqrt{a} = \sqrt{x^2a}\) gilt nur für \(x \ge 0\), da eine Quadratwurzel per Definition nie negativ ist, der Ausdruck \(x\sqrt{2}\) für negative \(x\) jedoch negativ wird.

1. a) \(4\sqrt{3} > 3\sqrt{5}\); b) \(2\sqrt{10} < 3\sqrt{4{,}5}\) 2. Für \(x = -3\) ergibt sich \(-3\sqrt{2} \neq \sqrt{18}\) (bzw. \(-3\sqrt{2} \neq 3\sqrt{2}\)). Die Aussage ist falsch, da die linke Seite für negative \(x\) negativ ist, die rechte Seite (eine Quadratwurzel) jedoch immer nicht-negativ.

- Welche ganze Zahl ergibt hoch drei etwa 30? - Überlege, wie du durch Probieren mit einer Nachkommastelle den Bereich eingrenzen kannst. - Kannst du die beiden Zahlen mit einem festen Wert wie \(3{,}1\) vergleichen?

1. Eingrenzung von \(a = \sqrt[3]{30}\): Da \(3^3 = 27\) und \(4^3 = 64\), liegt der Wert zwischen \(3\) und \(4\). 2. Prüfung für \(a\): \(3{,}1^3 = 29{,}791\) und \(3{,}2^3 = 32{,}768\). Somit gilt \(3{,}1 < \sqrt[3]{30} < 3{,}2\). Ein mögliches Intervall der Länge \(0{,}1\) ist \([3{,}1; 3{,}2]\). 3. Eingrenzung von \(b = \sqrt[4]{90}\): Da \(3^4 = 81\) und \(4^4 = 256\), liegt der Wert zwischen \(3\) und \(4\). 4. Prüfung für \(b\): \(3{,}0^4 = 81\) und \(3{,}1^4 = 92{,}3521\). Somit gilt \(3{,}0 < \sqrt[4]{90} < 3{,}1\). Ein mögliches Intervall der Länge \(0{,}1\) ist \([3{,}0; 3{,}1]\). 5. Vergleich: Da \(\sqrt[3]{30} > 3{,}1\) und \(\sqrt[4]{90} < 3{,}1\), folgt \(a > b\).

\(a = \sqrt[3]{30}\) ist größer als \(b = \sqrt[4]{90}\). Intervalle: \(3{,}1 < a < 3{,}2\) und \(3{,}0 < b < 3{,}1\).

- Wie kannst du eine Zahl vor einer Wurzel in das Wurzelzeichen hineinziehen? - Wenn du zwei positive Zahlen vergleichst, bleibt die Größenbeziehung dieselbe, wenn du beide Zahlen quadrierst. - Nutze die binomischen Formeln, um Ausdrücke wie \((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2\) zu vereinfachen. - Kannst du eine ganze Zahl als Wurzel einer Quadratzahl schreiben, um sie besser mit anderen Wurzeln vergleichen zu können?

1. Vergleich für Teil a: Umformung von \(2\sqrt{5}\) zu \(\sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}\). Da \(20 > 19\) gilt, ist \(\sqrt{20} > \sqrt{19}\). Somit ist \(2\sqrt{5}\) größer als \(\sqrt{19}\). 2. Vergleich für Teil b durch Quadrieren: \((\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 2 + 2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} + 3 = 5 + 2\sqrt{6} = 5 + \sqrt{4 \cdot 6} = 5 + \sqrt{24}\). 3. Quadrieren des zweiten Wertes: \((\sqrt{10})^2 = 10\). Um dies besser vergleichen zu können, schreibe \(10 = 5 + 5 = 5 + \sqrt{25}\). 4. Da \(\sqrt{24} < \sqrt{25}\) ist, folgt \(5 + \sqrt{24} < 5 + \sqrt{25}\). Damit ist \(\sqrt{10}\) größer als \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\).

a) \(2\sqrt{5}\) ist größer. b) \(\sqrt{10}\) ist größer.

- Wie kannst du zwei Wurzeln vergleichen, wenn sie nicht denselben Wurzelexponenten haben? - Suche nach einer Möglichkeit, beide Wurzeln so umzuformen, dass sie denselben „Namen“ (Index) haben. - Was passiert mit dem Radikanden (der Zahl unter der Wurzel), wenn du den Wurzelexponenten vergrößerst?

1. Um Wurzeln mit unterschiedlichen Exponenten zu vergleichen, werden sie auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten (das kleinste gemeinsame Vielfache der Indizes) gebracht. 2. Teil a): \( \text{kgV}(3, 2) = 6 \). Es gilt \( \sqrt[3]{5} = \sqrt[6]{5^2} = \sqrt[6]{25} \) und \( \sqrt{3} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27} \). Da \( 25 < 27 \), folgt \( \sqrt[3]{5} < \sqrt{3} \). 3. Teil b): \( \text{kgV}(4, 3) = 12 \). Es gilt \( \sqrt[4]{10} = \sqrt[12]{10^3} = \sqrt[12]{1000} \) und \( \sqrt[3]{4} = \sqrt[12]{4^4} = \sqrt[12]{256} \). Da \( 1000 > 256 \), folgt \( \sqrt[4]{10} > \sqrt[3]{4} \). 4. Teil c): \( \text{kgV}(6, 3) = 6 \). Es gilt \( \sqrt[6]{10} \) und \( \sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9} \). Da \( 10 > 9 \), folgt \( \sqrt[6]{10} > \sqrt[3]{3} \).

a) \( \sqrt[3]{5} < \sqrt{3} \) b) \( \sqrt[4]{10} > \sqrt[3]{4} \) c) \( \sqrt[6]{10} > \sqrt[3]{3} \)

- Wie kannst du die Zahlen in eine einheitliche Form bringen, um sie besser vergleichen zu können? - Wenn du die Quadrate der Zahlen vergleichst, was lässt sich daraus für die ursprünglichen Zahlen schließen? - Achte beim Berechnen des Quadrats einer Dezimalzahl sorgfältig auf die Stelle des Kommas.

1. Berechnung der Quadrate der drei Zahlen: \((2\sqrt{11})^2 = 4 \cdot 11 = 44\); \((3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45\); \(6{,}5^2 = 42{,}25\). 2. Vergleich der berechneten Quadratwerte: \(42{,}25 < 44 < 45\). 3. Übertragung der Ordnung auf die ursprünglichen positiven Zahlen: \(6{,}5 < 2\sqrt{11} < 3\sqrt{5}\).

\(6{,}5 < 2\sqrt{11} < 3\sqrt{5}\)

- Wie kann man eine Zahl vor einer Wurzel unter die Wurzel ziehen? - Was passiert mit dem Wert einer Wurzel, wenn die Zahl unter der Wurzel (der Radikand) größer wird? - Kannst du eine Zahl wie 10 als Quadratwurzel schreiben?

1. Vergleich durch Umformung: a) \(3\sqrt{11} = \sqrt{3^2 \cdot 11} = \sqrt{9 \cdot 11} = \sqrt{99}\). Da \(10 = \sqrt{100}\) und \(\sqrt{99} < \sqrt{100}\), gilt \(3\sqrt{11} < 10\). b) \(5\sqrt{6} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{150}\) und \(6\sqrt{5} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{180}\). Da \(\sqrt{150} < \sqrt{180}\), gilt \(5\sqrt{6} < 6\sqrt{5}\). 2. Numerische Überprüfung: a) \(3\sqrt{11} \approx 3 \cdot 3{,}3166 = 9{,}9498 \approx 9{,}95\). Vergleich: \(9{,}95 < 10\). b) \(5\sqrt{6} \approx 5 \cdot 2{,}4495 = 12{,}2475 \approx 12{,}25\) und \(6\sqrt{5} \approx 6 \cdot 2{,}2361 = 13{,}4166 \approx 13{,}42\). Vergleich: \(12{,}25 < 13{,}42\).

a) \(3\sqrt{11} < 10\), da \(\sqrt{99} < \sqrt{100}\) (Näherungswerte: \(9{,}95 < 10\)). b) \(5\sqrt{6} < 6\sqrt{5}\), da \(\sqrt{150} < \sqrt{180}\) (Näherungswerte: \(12{,}25 < 13{,}42\)).

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um den Nenner rational zu machen. - Wenn du zwei positive Zahlen vergleichst, bleibt ihre Größenbeziehung erhalten, wenn du beide quadrierst. - Kannst du den Vergleich schrittweise vereinfachen, indem du auf beiden Seiten dieselben Rechenoperationen ausführst?

1. Den Nenner des ersten Terms durch Erweitern mit der dritten binomischen Formel rational machen: \( \frac{1 \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} \). 2. Vergleich von \( \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} \) mit \( \sqrt{6} \) durch Quadrieren beider Seiten (da beide positiv sind): Linke Seite quadriert: \( \left(\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{7 + 5 + 2\sqrt{35}}{4} = \frac{12 + 2\sqrt{35}}{4} = 3 + \frac{\sqrt{35}}{2} \). Rechte Seite quadriert: \( (\sqrt{6})^2 = 6 \). 3. Vergleich von \( 3 + \frac{\sqrt{35}}{2} \) mit \( 6 \): Dies entspricht dem Vergleich von \( \frac{\sqrt{35}}{2} \) mit \( 3 \). Multiplikation mit 2: Vergleich von \( \sqrt{35} \) mit \( 6 \). 4. Da \( 6 = \sqrt{36} \) und \( \sqrt{35} < \sqrt{36} \), ist die linke Seite kleiner. 5. Ergebnis: \( \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} < \sqrt{6} \).

Die Zahl \( \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} \) ist kleiner als \( \sqrt{6} \).

- Wie kann man Brüche vergleichen, die unterschiedliche Nenner haben? Kannst du dieses Prinzip auf die Wurzelexponenten übertragen? - Erinnere dich daran, dass \(\sqrt[n]{x} = \sqrt[n \cdot k]{x^k}\) gilt. - Suche nach einem gemeinsamen Wurzelexponenten für beide Zahlen. - Wenn die Wurzelexponenten gleich sind, musst du nur noch die Zahlen unter der Wurzel (die Radikanden) vergleichen.

1. Um die Wurzeln vergleichen zu können, bringen wir sie auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 4 ist 12. 2. Umformung von \(u\): \(u = \sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[12]{625}\). 3. Umformung von \(v\): \(v = \sqrt[4]{8} = \sqrt[4 \cdot 3]{8^3} = \sqrt[12]{512}\). 4. Vergleich der Radikanden: Da \(625 > 512\), gilt auch \(\sqrt[12]{625} > \sqrt[12]{512}\). 5. Ergebnis: Somit ist \(u > v\), also \(\sqrt[3]{5} > \sqrt[4]{8}\).

Die Zahl \(u = \sqrt[3]{5}\) ist größer als \(v = \sqrt[4]{8}\), da \(\sqrt[12]{625} > \sqrt[12]{512}\).