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- Kannst du im Radikanden eine Struktur erkennen, die zu einer binomischen Formel passt? - Überlege, welche Zahl zum Quadrat den hinteren Teil des Ausdrucks ergibt. - Prüfe, ob der mittlere Teil des Ausdrucks genau das Doppelte des Produkts der beiden Basen ist. - Denk daran, dass das Ergebnis einer Quadratwurzel mit Variablen oft Betragsstriche benötigt.

1. Identifikation der binomischen Formeln für jeden Radikanden: a) Radikand \(x^2 + 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2\) entspricht \((x + 3)^2\). Die Wurzel ergibt \(|x + 3|\). b) Radikand \(y^2 - 2 \cdot 5 \cdot y + 5^2\) entspricht \((y - 5)^2\). Die Wurzel ergibt \(|y - 5|\). c) Radikand \(4^2 + 2 \cdot 4 \cdot a + a^2\) entspricht \((4 + a)^2\). Die Wurzel ergibt \(|4 + a|\). d) Radikand \(b^2 - 2 \cdot 1 \cdot b + 1^2\) entspricht \((b - 1)^2\). Die Wurzel ergibt \(|b - 1|\).

a) \(|x + 3|\) b) \(|y - 5|\) c) \(|4 + a|\) d) \(|b - 1|\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie zuerst quadriert und anschließend die Wurzel zieht? - Überlege dir, ob der Ausdruck in der Klammer positiv oder negativ ist, wenn du eine Zahl einsetzt, die die Bedingung erfüllt. - Erinnere dich an die Definition der Quadratwurzel und welche Werte sie annehmen kann. - Hilft dir der Begriff des Betrags weiter?

1. Anwendung der Identität \(\sqrt{x^2} = |x|\) auf Teilaufgabe a): \(\sqrt{(a-7)^2} = |a-7|\). 2. Bestimmung des Vorzeichens der Differenz: Da \(a < 7\), ist \(a-7 < 0\). 3. Auflösung des Betrags: Für negative Werte gilt \(|x| = -x\), also \(-(a-7) = 7-a\). 4. Anwendung auf Teilaufgabe b): \(\sqrt{(2x-6)^2} = |2x-6|\). 5. Da \(x > 3\), folgt \(2x > 6\) und somit \(2x-6 > 0\). Der Betrag bleibt unverändert: \(2x-6\). 6. Begründung: Die Quadratwurzel ist als die nichtnegative Zahl definiert, deren Quadrat den Radikanden ergibt. Wegen \(a < 7\) gilt \((a-7)^2 > 0\); daher ist auch \(\sqrt{(a-7)^2} = 7-a > 0\).

a) \(7-a\) b) \(2x-6\) Begründung: Die Quadratwurzel liefert per Definition stets nichtnegative Ergebnisse. Da \(a < 7\), ist \(a-7\) negativ und \(7-a\) positiv; deshalb gilt \(\sqrt{(a-7)^2}=7-a\).

- Überlege zuerst, ob der Wurzelexponent gerade oder ungerade ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie mit einer geraden Zahl potenziert? - Erinnere dich an die Definition des Betrags \(|x|\). - Prüfe für einen beispielhaften Wert aus dem angegebenen Bereich, ob dein vereinfachter Term das richtige Vorzeichen liefert.

1. Für a): Es gilt \(\sqrt{x^2} = |x|\). Da \(a \le 8\), ist der Ausdruck \(a-8 \le 0\). Somit ist \(|a-8| = -(a-8) = 8-a\). 2. Für b): Bei ungeraden Wurzelexponenten gilt \(\sqrt[n]{x^n} = x\). Da hier \(b+5 \ge 0\) durch die Bedingung gegeben ist, bleibt das Ergebnis \(b+5\). 3. Für c): Es gilt \(\sqrt[4]{x^4} = |x|\). Da \(c \le 2\), ist \(c-2 \le 0\). Somit ist \(|c-2| = -(c-2) = 2-c\). 4. Für d): Es gilt \(\sqrt[6]{x^6} = |x|\). Da \(x \ge 1\), ist \(1-x \le 0\). Somit ist \(|1-x| = -(1-x) = x-1\).

a) \(8-a\) b) \(b+5\) c) \(2-c\) d) \(x-1\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie quadriert? - Wie kann man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Überlege, welche Zahlen man in eine Quadratwurzel einsetzen darf. - Was bewirkt die Betragsfunktion bei einer negativen Zahl?

1. Berechnung für \(x = 16\): \(A = \sqrt[4]{16^2} = \sqrt[4]{256} = 4\); \(B = \sqrt{|16|} = \sqrt{16} = 4\). Beide Werte sind identisch. 2. Berechnung für \(x = -16\): \(A = \sqrt[4]{(-16)^2} = \sqrt[4]{256} = 4\); \(B = \sqrt{|-16|} = \sqrt{16} = 4\). Auch hier sind die Werte identisch. 3. Umformung für \(x > 0\): \(A = \sqrt[4]{x^2} = (x^2)^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}\). Da für \(x > 0\) gilt \(|x| = x\), ist \(B = \sqrt{x}\). Somit \(A = B\). 4. Begründung der Definition: Im Ausdruck \(A\) wird \(x\) zuerst quadriert, wodurch der Radikand \(x^2\) für jede reelle Zahl \(x\) nicht-negativ ist (\(x^2 \geq 0\)). Die vierte Wurzel ist somit immer definiert. Im Ausdruck \(B\) würde ohne Betragsstriche für negative \(x\) eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl entstehen, was im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert ist. Die Betragsstriche stellen sicher, dass der Radikand stets positiv oder null ist.

a) Für \(x = 16\) und \(x = -16\) ergibt sich jeweils der Wert \(4\). b) Durch die Potenzgesetze gilt \((x^2)^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}\). c) Das Quadrat in \(A\) macht den Radikanden nicht negativ; in \(B\) übernimmt der Betrag diese Funktion, damit die Wurzel auch für negative \(x\) definiert ist.

- Was passiert, wenn man eine negative Zahl quadriert und anschließend die Wurzel zieht? - Erinnere dich an die Definition des Betrags \(|a|\). - Wie verhält sich das Vorzeichen eines Terms in der Klammer, wenn die Bedingung (z. B. \(x < 1\)) erfüllt ist? - Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Wurzelexponenten nach dem Kürzen.

1. Anwendung der Regel \(\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{|a|^m}\): Der Term \(\sqrt[6]{(b-3)^2}\) wird zu \(\sqrt[3]{|b-3|}\) vereinfacht. 2. Berücksichtigung der Bedingung \(b < 3\): Da \(b-3\) negativ ist, gilt für den Betrag \(|b-3| = -(b-3) = 3-b\). Der vereinfachte Term lautet \(\sqrt[3]{3-b}\). 3. Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\) für gerade \(n\): Der Term \(\sqrt[10]{(x-1)^{10}}\) wird zu \(|x-1|\) vereinfacht. 4. Berücksichtigung der Bedingung \(x < 1\): Da \(x-1\) negativ ist, gilt \(|x-1| = -(x-1) = 1-x\). Der vereinfachte Term lautet \(1-x\).

1) \(\sqrt[3]{3-b}\) 2) \(1-x\)

- Was passiert, wenn du eine negative Zahl zuerst quadrierst und dann die Wurzel ziehst? - Überlege dir, welches Vorzeichen das Ergebnis einer Quadratwurzel immer haben muss. - Erinnere dich an die Definition des Betrags \( |a| \). - Setze beispielhaft Zahlen wie \( 5 \) und \( 3 \) in den Term ein und beobachte, was passiert.

1. Anwendung der Identität \( \sqrt{a^2} = |a| \): Der Term wird zu \( T(x) = |x-4| - x \). 2. Fall \( x \ge 4 \): Da der Ausdruck \( x-4 \) nicht negativ ist, gilt \( |x-4| = x-4 \). Einsetzen ergibt \( T(x) = (x-4) - x = -4 \). 3. Fall \( x < 4 \): Da der Ausdruck \( x-4 \) negativ ist, gilt \( |x-4| = -(x-4) = 4-x \). Einsetzen ergibt \( T(x) = (4-x) - x = 4-2x \). 4. Begründung: Die Quadratwurzel liefert stets nicht-negative Werte, weshalb \( \sqrt{a^2} \) als \( |a| \) definiert ist. Das Vorzeichen von \( x-4 \) ändert sich an der Stelle \( x=4 \), was die Fallunterscheidung erzwingt.

a) \(T(x) = -4\); b) \(T(x) = 4-2x\); c) Die Fallunterscheidung ist notwendig, da \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) gilt. Für \(x < 4\) ist \(x-4\) negativ, sodass der Betrag das Vorzeichen umkehrt.

- Kannst du Terme unter der Wurzel erst wie normale Rechenausdrücke zusammenfassen? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine Wurzel aus einem Quadrat ziehst. - Wie verändert sich ein Wert, wenn du ihn durch eine Dezimalzahl teilst, die kleiner als 1 ist?

1. Zusammenfassen unter einer Wurzel: \(\sqrt{3a \cdot 12a} = \sqrt{36a^2}\). Da \(a \ge 0\), ist \(\sqrt{36a^2} = 6a\). 2. Subtraktion der gleichartigen Terme unter der Wurzel: \(\sqrt{(125 - 44)x^2} = \sqrt{81x^2}\). Radizieren ergibt \(9|x|\). 3. Wurzel aus Zähler und Nenner ziehen: \(\frac{\sqrt{16a^2}}{\sqrt{0{,}25}} = \frac{4|a|}{0{,}5}\). Division ergibt \(8|a|\). 4. Betrag berechnen: \(\sqrt{(-15)^2} = |-15| = 15\). Der zweite Teil ist \(\sqrt{b^2} = |b|\). Ergebnis: \(15 + |b|\).

a) \(6a\) b) \(9|x|\) c) \(8|a|\) d) \(15 + |b|\)

- Die Hauptwurzel ist stets nichtnegativ. - Nutze \(\sqrt{u^2}=|u|\). - Welches Vorzeichen hat \(x^k\) bei negativer Basis und geradem beziehungsweise ungeradem Exponenten?

1. Für \(x=4\) und \(k=2\) gilt \(\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4=4^{2/2}\). 2. Für \(x=-3\) und \(k=2\) gilt \(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\), während die behauptete Regel \((-3)^{2/2}=-3\) liefert. Die Behauptung ist daher falsch. 3. Für positive natürliche Zahlen \(k\) gilt im reellen Zahlenbereich: - Für \(x\ge0\): \(\sqrt{x^k}=x^{k/2}\). - Für \(x<0\) und gerades \(k\): \(\sqrt{x^k}=|x|^{k/2}\). - Für \(x<0\) und ungerades \(k\): \(x^k<0\), daher ist \(\sqrt{x^k}\) nicht reell definiert.

a) Die Behauptung stimmt in diesem Fall: \(\sqrt{4^2}=4\). b) Sie stimmt nicht: \(\sqrt{(-3)^2}=3\), aber \((-3)^{2/2}=-3\). c) Für \(x\ge0\) gilt \(\sqrt{x^k}=x^{k/2}\). Für \(x<0\) und gerades \(k\) gilt \(\sqrt{x^k}=|x|^{k/2}\). Für \(x<0\) und ungerades \(k\) ist der Term im reellen Zahlenbereich nicht definiert.

- Achte bei Aufgabenteil b) darauf, ob es eine Rechenregel gibt, mit der man Summen unter der Wurzel trennen darf. - Bei Koeffizienten vor den Variablen musst du auch von diesen die Wurzel ziehen, um die Basis für die binomische Formel zu finden. - Brüche im Radikanden lassen sich oft als Quadrat eines anderen Bruchs schreiben.

1. Überprüfung auf Quadratzahlen und binomische Strukturen: a) \(9z^2 = (3z)^2\), \(4 = 2^2\), Mischterm \(-2 \cdot 3z \cdot 2 = -12z\). Radikand ist \((3z - 2)^2\). Ergebnis: \(|3z - 2|\). b) \(r^2 + s^2\) ist keine binomische Formel (Mischterm fehlt). Nicht weiter vereinfachbar. c) \(4m^2 = (2m)^2\), \(25n^2 = (5n)^2\), Mischterm \(2 \cdot 2m \cdot 5n = 20mn\). Radikand ist \((2m + 5n)^2\). Ergebnis: \(|2m + 5n|\). d) \(c^2\), \(\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2\), Mischterm \(2 \cdot c \cdot \frac{1}{2} = c\). Radikand ist \((c + \frac{1}{2})^2\). Ergebnis: \(|c + \frac{1}{2}|\).

a) \(|3z - 2|\) b) Nicht weiter vereinfachbar, da \(r^2 + s^2\) kein vollständiges Quadrat ist. c) \(|2m + 5n|\) d) \(|c + \frac{1}{2}|\)

- Setze die Zahl für die Variable ein und berechne Schritt für Schritt. - Erinnere dich an die Definition der Quadratwurzel im reellen Bereich. - Wie kommst du vom Ergebnis einer Wurzelrechnung zurück zum Term unter der Wurzel?

1. Überprüfung für \( x = 3 \): \( \sqrt{(3-7)^2} = \sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 \). Der Term \( x-7 \) ergibt jedoch \( 3-7 = -4 \). Die Behauptung ist falsch, da das Ergebnis einer Quadratwurzel nie negativ ist. Korrekt ist \( |x-7| \). 2. Bestimmung des Radikanden: Anwendung der zweiten binomischen Formel \( (4a-3b)^2 = (4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot 3b + (3b)^2 \). 3. Berechnung: \( 16a^2 - 24ab + 9b^2 \).

a) Für \( x=3 \) ist \( \sqrt{(3-7)^2} = 4 \), aber \( x-7 = -4 \). Die Behauptung ist falsch. b) \( \sqrt{16a^2 - 24ab + 9b^2} = |4a - 3b| \)

- Achte auf die Brüche und wie sie sich beim Quadrieren verhalten. - Wann ist eine Wurzel im Bereich der reellen Zahlen definiert? - Was passiert mit dem Vorzeichen innerhalb eines Quadrats oder innerhalb von Betragsstrichen?

1. Vereinfachung von \( T(x) \): Der Radikand entspricht \( (\frac{1}{3}x - 1)^2 \), da \( (\frac{1}{3}x)^2 = \frac{1}{9}x^2 \), \( 2 \cdot \frac{1}{3}x \cdot 1 = \frac{2}{3}x \) und \( 1^2 = 1 \). Das Ergebnis ist \( |\frac{1}{3}x - 1| \). 2. Definitionsbereich: Da \( (\frac{1}{3}x - 1)^2 \ge 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \), ist der Radikand nie negativ. Somit ist \( D = \mathbb{R} \). 3. Vergleich: \( \sqrt{(x-3)^2} = |x-3| \) und \( \sqrt{(3-x)^2} = |3-x| \). Da \( |a| = |-a| \), gilt \( |x-3| = |-(3-x)| = |3-x| \). Die Ergebnisse sind identisch.

a) \( |\frac{1}{3}x - 1| \) b) \( D = \mathbb{R} \), da der Term unter der Wurzel als Quadrat eines reellen Ausdrucks immer größer oder gleich Null ist. c) Ja, sie sind identisch, da \( |x-3| = |3-x| \) für alle \( x \) gilt.

- Kannst du eine große Zahl unter der Wurzel in ein Produkt aus einer Quadratzahl und einer anderen Zahl zerlegen? - Gibt es eine Regel, wie man zwei Wurzeln dividiert? - Was weißt du über den Abstand zwischen zwei Zahlen \(a\) und \(b\) auf dem Zahlenstrahl, egal in welcher Reihenfolge man sie betrachtet? - Überlege, ob das Ergebnis im Fall b) noch ein Betragszeichen benötigt, wenn \(y\) positiv sein muss.

1. Zu a): Teilweises Wurzelziehen durch Zerlegung des Radikanden: \(\sqrt{9 \cdot 2 \cdot x^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2} = 3\sqrt{2}|x|\). 2. Zu b): Anwendung des Wurzelgesetzes für Division: \(\sqrt{\frac{12y^3}{3y}} = \sqrt{4y^2}\). Da \(y > 0\) vorgegeben ist, gilt \(\sqrt{4y^2} = 2|y| = 2y\). 3. Zu c): Anwendung der Betragsregel ergibt \(|a-b| - |b-a|\). Da für alle reellen Zahlen \(|x| = |-x|\) gilt und \(a-b = -(b-a)\) ist, folgt \(|a-b| = |b-a|\). Die Subtraktion ergibt somit \(0\).

a) \(3\sqrt{2}|x|\) b) \(2y\) c) \(0\)

- Achte darauf, ob der Wurzelexponent und der Exponent im Inneren gerade oder ungerade sind. - Wenn du Zahlen für die Variablen einsetzt, kannst du prüfen, ob dein vereinfachter Term das richtige Vorzeichen liefert. - Wie verhalten sich Potenzen mit geraden Exponenten im Vergleich zu Potenzen mit ungeraden Exponenten bei negativen Basen?

1. Teilaufgabe a): Es gilt \(\sqrt[4]{(x-y)^4} = |x-y|\). Da \(x < y\), ist die Differenz \(x-y\) negativ. Die Vereinfachung ergibt \(|x-y| = -(x-y) = y-x\). 2. Teilaufgabe b): Der Term lässt sich zu \(((a-b)^{12})^{\frac{1}{6}} = (a-b)^2\) vereinfachen. Für \(a=3, b=5\) ergibt sich \((3-5)^2 = (-2)^2 = 4\). Für \(a=5, b=3\) ergibt sich \((5-3)^2 = 2^2 = 4\). Das Ergebnis bleibt gleich, da das Quadrat einer Zahl und ihres Gegenteils identisch ist. 3. Teilaufgabe c): Es gilt \(\sqrt{(z-10)^6} = |(z-10)^3|\). Da \(z < 10\), ist \(z-10 < 0\). Eine negative Zahl mit ungeradem Exponenten (hier 3) ergibt einen negativen Wert. Um den Betrag aufzulösen, muss mit \(-1\) multipliziert werden: \(-(z-10)^3\) oder \((10-z)^3\).

a) \(y-x\) b) Wert: \(4\). Das Ergebnis ändert sich nicht, da \((a-b)^2 = (b-a)^2\). c) \((10-z)^3\) oder \(-(z-10)^3\)

- Was passiert, wenn man eine negative Zahl quadriert und danach die Wurzel zieht? - Überprüfe die Ergebnisse der Rechnungen in Zeile 5 einzeln. - Welche Eigenschaft haben Ergebnisse von Quadratwurzeln immer? - Gibt es einen Unterschied zwischen \(\sqrt{(-1)^2}\) und \(-1\)?

1. Überprüfung der Identität in Zeile 3: Da \((-1)^2 = 1\) und \(1^2 = 1\) gilt, ist die Gleichung korrekt. 2. Identifikation des Fehlers: Der Fehler liegt in Zeile 5 beim Entfernen des Wurzelzeichens. 3. Anwendung der Wurzelregel: Die Quadratwurzel aus einem Quadrat ist definiert als der Betrag der Basis, also \(\sqrt{x^2} = |x|\). 4. Korrektur von Zeile 5: Die korrekte Umformung lautet \(|2 - 3| = |4 - 3|\). 5. Auswertung der Beträge: Dies führt zu \(|-1| = |1|\), woraus die wahre Aussage \(1 = 1\) folgt. Der Schluss \(2 = 4\) ist damit widerlegt.

Der Fehler liegt in Zeile 5. Leon hat missachtet, dass \(\sqrt{x^2} = |x|\) gilt. Korrekt müsste die Zeile \(|2 - 3| = |4 - 3|\) (oder \(1 = 1\)) lauten.

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie erst quadriert und dann die Wurzel zieht? - Überlege dir, ob das Ergebnis einer Wurzel (mit geradem Exponenten) jemals negativ sein kann. - Vergleiche die Größen der Zahlen unter der Wurzel, indem du sie beide als Wurzeln schreibst (z. B. \(4 = \sqrt{16}\)). - Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Wurzelexponenten.

1. Anwendung der Regel \(\sqrt{a^2} = |a|\): \(\sqrt{(-13)^2} = |-13| = 13\). 2. Da der Wurzelexponent gerade ist, gilt \(\sqrt[4]{a^4} = |a|\): \(\sqrt[4]{(-3)^4} = |-3| = 3\). 3. Es gilt \(\sqrt{(4-\sqrt{17})^2} = |4-\sqrt{17}|\). Da \(4 = \sqrt{16}\) und \(\sqrt{16} < \sqrt{17}\), ist die Differenz \(4-\sqrt{17}\) negativ. Somit ist \(|4-\sqrt{17}| = -(4-\sqrt{17}) = \sqrt{17}-4\). 4. Es gilt \(\sqrt[6]{(2-\sqrt{3})^6} = |2-\sqrt{3}|\). Da \(2 = \sqrt{4}\) und \(\sqrt{4} > \sqrt{3}\), ist die Differenz \(2-\sqrt{3}\) positiv. Somit ist \(|2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}\).

1) 13; 2) 3; 3) \(\sqrt{17}-4\); 4) \(2-\sqrt{3}\).

- Schau dir den Teil unter der Wurzel genau an. Gibt es eine Möglichkeit, diesen als Quadrat zu schreiben? - Was passiert mit dem Betrag einer Zahl, wenn die Zahl selbst negativ ist? - Untersuche separat, was passiert, wenn die Variable größer oder kleiner als \(5\) ist.

1. Den Ausdruck unter der Wurzel mithilfe der zweiten binomischen Formel umschreiben: \(\sqrt{(y-5)^2}\) 2. Den Wurzelterm durch den Betrag ersetzen: \(\frac{y + |y-5|}{2}\) 3. Fallunterscheidung für \(y \geq 5\): Da \(y-5 \geq 0\), ist \(|y-5| = y-5\). Einsetzen ergibt \(\frac{y + y - 5}{2} = \frac{2y - 5}{2} = y - 2{,}5\). 4. Fallunterscheidung für \(y < 5\): Da \(y-5 < 0\), ist \(|y-5| = -(y-5) = 5-y\). Einsetzen ergibt \(\frac{y + 5 - y}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5\).

1) Für \(y \geq 5\): \(y - 2{,}5\) 2) Für \(y < 5\): \(2{,}5\)

- Setze die Zahlen für \(a\) ein und beachte die Vorrangregeln (Klammer zuerst). - Erinnere dich an die Definition der Quadratwurzel: Kann das Ergebnis einer Wurzelrechnung negativ sein? - Was bewirken Betragsstriche bei einer negativen Differenz? - Wie verhält sich der Term, wenn der Wert in der Klammer negativ wird?

1. Berechnung für \(a = 15\): \(T = \sqrt{(15 - 12)^2} = \sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3\). 2. Berechnung für \(a = 7\): \(T = \sqrt{(7 - 12)^2} = \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5\). 3. Begründung zu Teil b: Nach der Definition der Quadratwurzel ist das Ergebnis einer Wurzeloperation niemals negativ. Während \((7-12)^2 = 25\) positiv ist, ist die daraus gezogene Wurzel nichtnegativ und hat hier den Wert \(5\), nicht \(-5\). 4. Verallgemeinerung für Teil c: Da das Ergebnis dem positiven Abstand der Zahl \(a\) von \(12\) entspricht, lautet die allgemeine Vereinfachung \(T = |a - 12|\). Dies stellt sicher, dass für \(a < 12\) das Ergebnis positiv bleibt (z. B. \(-(-5) = 5\)).

a) Für \(a = 15\) ist \(T = 3\); für \(a = 7\) ist \(T = 5\). b) Das Ergebnis einer Quadratwurzel ist per Definition immer nicht-negativ. Da \((-5)^2 = 25\) ist, ist \(\sqrt{25} = 5\). c) Die allgemeine Vereinfachung lautet \(T = |a - 12|\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Quadratwurzel aus einem Quadrat und dem Betrag einer Zahl. - Wie löst man ein Betragszeichen auf, wenn man weiß, dass die Zahl darin negativ ist? - Überlege dir für den letzten Teil, für welche Zahlen ihr Betrag gleich ihrer Gegenzahl ist.

1. Anwendung der Regel \(\sqrt{x^2 \cdot y^4} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{(y^2)^2} = |x| \cdot |y^2|\). Da \(y^2\) für alle reellen \(y\) nicht-negativ ist, gilt \(|y^2| = y^2\). Da \(x < 0\) vorgegeben ist, gilt \(|x| = -x\). Das Ergebnis ist \(-x \cdot y^2\). 2. Anwendung der Regel \(\sqrt{\frac{25a^2}{b^2}} = \frac{5|a|}{|b|}\). Da \(a > 0\), ist \(|a| = a\). Da \(b < 0\), ist \(|b| = -b\). Der Term vereinfacht sich zu \(\frac{5a}{-b} = -\frac{5a}{b}\). 3. Die linke Seite \(\sqrt{z^2}\) ist per Definition gleich \(|z|\). Die Gleichung \(|z| = -z\) ist genau dann wahr, wenn \(z\) kleiner oder gleich Null ist. Ergebnis: \(z \le 0\).

a) \(-xy^2\) b) \(-\frac{5a}{b}\) c) \(z \le 0\)

- Was passiert, wenn man eine Zahl quadriert und anschließend die Wurzel zieht? Gilt das für alle Zahlen? - Überlege dir, ob das Ergebnis einer Quadratwurzel jemals negativ sein kann. - Wie kannst du feststellen, ob ein Ausdruck wie \(5 - \sqrt{26}\) positiv oder negativ ist, ohne einen Taschenrechner zu benutzen? - Erinnerst du dich an das teilweise Wurzelziehen für Zahlen wie \(\sqrt{12}\)?

1. Anwendung der Regel \(\sqrt{a^2} = |a|\) auf Teil a: \(\sqrt{(5 - \sqrt{26})^2} = |5 - \sqrt{26}|\). 2. Vergleich der Werte: Da \(5 = \sqrt{25}\) und \(\sqrt{25} < \sqrt{26}\), ist die Differenz negativ. 3. Auflösen des Betrags: \(|5 - \sqrt{26}| = -(5 - \sqrt{26}) = \sqrt{26} - 5\). 4. Anwendung auf Teil b: \(\sqrt{12 \cdot (\sqrt{3} - 2)^2} = \sqrt{12} \cdot |\sqrt{3} - 2|\). 5. Teilweises Wurzelziehen von \(\sqrt{12}\): \(\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\). 6. Vergleich der Werte: Da \(2 = \sqrt{4}\) und \(\sqrt{3} < \sqrt{4}\), ist die Differenz \(\sqrt{3} - 2\) negativ. 7. Auflösen des Betrags und Multiplikation: \(2\sqrt{3} \cdot (2 - \sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 2 \cdot 3 = 4\sqrt{3} - 6\).

a) \(\sqrt{26} - 5\) b) \(4\sqrt{3} - 6\)

- Überlege zuerst, ob das Ergebnis einer geraden Wurzel jemals negativ sein kann. - Wie kannst du feststellen, welche der beiden Zahlen in der Differenz größer ist, ohne einen Taschenrechner zu benutzen? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn sie quadriert und anschließend die Wurzel gezogen wird? - Erinnere dich an die Definition des Betrags \(\sqrt{x^2} = |x|\).

Die Vereinfachung basiert auf der Regel \(\sqrt[2n]{A^2} = \sqrt[n]{|A|}\). 1. Teilaufgabe a: Kürzen des Exponenten ergibt \(\sqrt{|3-\sqrt{11}|}\). Da \(3 = \sqrt{9}\) und \(\sqrt{9} < \sqrt{11}\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist somit \(\sqrt{11}-3\). Ergebnis: \(\sqrt{\sqrt{11}-3}\). 2. Teilaufgabe b: Kürzen ergibt \(\sqrt[3]{|\sqrt{2}-\sqrt{7}|}\). Da \(\sqrt{2} < \sqrt{7}\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist \(\sqrt{7}-\sqrt{2}\). Ergebnis: \(\sqrt[3]{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\). 3. Teilaufgabe c: Kürzen ergibt \(\sqrt[5]{|4-\sqrt{17}|}\). Da \(4 = \sqrt{16}\) und \(\sqrt{16} < \sqrt{17}\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist \(\sqrt{17}-4\). Ergebnis: \(\sqrt[5]{\sqrt{17}-4}\).

a) \(\sqrt{\sqrt{11}-3}\) b) \(\sqrt[3]{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\) c) \(\sqrt[5]{\sqrt{17}-4}\)

- Was passiert, wenn du eine Zahl unter einer Quadratwurzel hast, die kleiner als Null ist? - Untersuche den Definitionsbereich der vorgeschlagenen Vereinfachung. - Wie verhält sich der Ausdruck \((x-5)\), wenn \(x\) kleiner als \(5\) ist? Ist er positiv oder negativ? - Wie löst man Betragsstriche auf, wenn man weiß, dass der Inhalt negativ ist?

1. Berechnung für \(x = 1\): Einsetzen ergibt \(\sqrt[4]{(1-5)^2} = \sqrt[4]{(-4)^2} = \sqrt[4]{16}\). Da \(2^4 = 16\), ist das Ergebnis \(2\). 2. Überprüfung der Behauptung: Setzt man \(x = 1\) in \(\sqrt{x-5}\) ein, erhält man \(\sqrt{1-5} = \sqrt{-4}\). Dieser Ausdruck ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert, da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht existiert. Das Ergebnis \(2\) aus Teil a) widerspricht also der Behauptung. 3. Vereinfachung für \(x < 5\): Allgemein gilt \(\sqrt[4]{(x-5)^2} = \sqrt{|x-5|}\). Wenn \(x < 5\) ist, dann ist die Differenz \((x-5)\) negativ. Um den Betrag aufzulösen, muss das Vorzeichen umgekehrt werden: \(|x-5| = -(x-5) = 5-x\). Somit lautet die vereinfachte Form \(\sqrt{5-x}\).

a) \(2\) b) Für \(x=1\) wäre \(\sqrt{1-5} = \sqrt{-4}\) nicht definiert, während der ursprüngliche Term den Wert \(2\) liefert. c) \(\sqrt{5-x}\)

- Kannst du den Bruch unter der Wurzel aufteilen? - Wie vereinfacht sich der Ausdruck \( \sqrt{a^2} \), wenn \( a \) negativ ist? - Untersuche separat den Zähler und den Nenner des entstandenen Bruchs. - Was passiert beim Kürzen, wenn im Nenner ein Betrag steht?

1. Anwendung der Rechenregeln für Wurzeln: \( \sqrt{\frac{5}{(k-2)^2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{(k-2)^2}} = \frac{\sqrt{5}}{|k-2|} \). 2. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \( Q(k) = (k-2) \cdot \frac{\sqrt{5}}{|k-2|} \). 3. Fallunterscheidung für \( k > 2 \): Hier ist \( k-2 > 0 \), also \( |k-2| = k-2 \). Der Term vereinfacht sich zu \( (k-2) \cdot \frac{\sqrt{5}}{k-2} = \sqrt{5} \). 4. Fallunterscheidung für \( k < 2 \): Hier ist \( k-2 < 0 \), also \( |k-2| = -(k-2) \). Der Term vereinfacht sich zu \( (k-2) \cdot \frac{\sqrt{5}}{-(k-2)} = \frac{\sqrt{5}}{-1} = -\sqrt{5} \). 5. Für \(k=2\) ist der ursprüngliche Term wegen des Nenners \((k-2)^2=0\) nicht definiert.

Für \( k > 2 \) nimmt der Term den Wert \( \sqrt{5} \) an. Für \( k < 2 \) nimmt der Term den Wert \( -\sqrt{5} \) an. Für \(k=2\) ist der Term nicht definiert.

- Kannst du die Terme unter den Wurzeln mithilfe der binomischen Formeln umschreiben? - Was passiert, wenn man die Quadratwurzel aus einem quadrierten Ausdruck zieht? Denke an Betragsstriche. - Prüfe, ob die Ausdrücke innerhalb der Betragsstriche für den angegebenen Bereich von \(x\) positiv oder negativ sind. - Wie verändert sich ein Betragsterm \(|z|\), wenn \(z\) negativ ist?

1. Erkennen der binomischen Formeln unter den Wurzeln: \(4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2\) und \(4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2\). 2. Anwendung der Regel \(\sqrt{a^2} = |a|\): \(A = |2x - 3| + |2x + 3|\). 3. Untersuchung der Vorzeichen im gegebenen Intervall \(-1{,}5 \le x \le 1{,}5\): - Für \(x \le 1{,}5\) ist \(2x \le 3\), also \(2x - 3 \le 0\). Daher gilt \(|2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x\). - Für \(x \ge -1{,}5\) ist \(2x \ge -3\), also \(2x + 3 \ge 0\). Daher gilt \(|2x + 3| = 2x + 3\). 4. Einsetzen und Zusammenfassen: \(A = (3 - 2x) + (2x + 3) = 6\).

\(6\)

- Erkennst du im ersten Radikanden eine binomische Formel, wenn du einen gemeinsamen Faktor ausklammerst? - Was musst du beachten, wenn du die Wurzel aus einem Quadrat ziehst? - Nutze die Information \(a > b\), um zu entscheiden, ob ein Ausdruck in einer Wurzel positiv oder negativ ist.

1. Faktorisieren des ersten Radikanden: \(4a^2 - 8ab + 4b^2 = 4(a^2 - 2ab + b^2) = 4(a-b)^2\). 2. Radizieren des ersten Terms: Da \(a > b\), ist \(a-b > 0\), also \(\sqrt{4(a-b)^2} = 2(a-b)\). 3. Radizieren der weiteren Terme: \(\sqrt{a^2} = a\) und \(\sqrt{(a+b)^2} = a+b\). 4. Aufstellen des vereinfachten Terms: \(2(a-b) + a - (a+b)\). 5. Auflösen der Klammern und Zusammenfassen: \(2a - 2b + a - a - b = 2a - 3b\).

\(2a - 3b\)

- Gibt es ein Gesetz, mit dem du die Klammer auflösen kannst? - Was passiert mit Variablen, die sowohl im Zähler als auch im Nenner stehen? - Überlege, ob der Ausdruck unter der Wurzel und der abgezogene Wert am Ende identisch sind. - Wie oft passt \(1{,}3\) in die Zahl \(13\)?

1. Distributivgesetz anwenden: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{36} + \sqrt{100} = 6 + 10 = 16\). 2. Wurzeln im Zähler und Nenner vereinfachen: \(\frac{0{,}2|z|}{0{,}1|z|}\). Da \(z \neq 0\), kürzt sich \(|z|\) heraus: \(\frac{0{,}2}{0{,}1} = 2\). 3. Radizieren des Produkts: \(\sqrt{x^2 \cdot y^2} = |x| \cdot |y| = |xy|\). Subtraktion: \(|xy| - |xy| = 0\). 4. Terme einzeln radizieren: \(\frac{13|c|}{1{,}3}\). Division der Koeffizienten: \(10|c|\).

a) \(16\) b) \(2\) c) \(0\) d) \(10|c|\)

- Manchmal hilft es, zuerst einen gemeinsamen Faktor aus allen Summanden unter der Wurzel auszuklammern. - Lass dich von der Reihenfolge der Summanden nicht verwirren; sortiere sie gegebenenfalls um. - Dezimalzahlen lassen sich oft leichter verarbeiten, wenn man sie als Brüche betrachtet oder gezielt nach ihren Wurzeln sucht.

1. Faktorisierung und Anwendung binomischer Formeln: a) Faktor \(2\) ausklammern: \(\sqrt{2(x^2 + 2x + 1)} = \sqrt{2(x + 1)^2} = \sqrt{2} \cdot |x + 1|\). b) Erkennen der Basen: \(0{,}01u^2 = (0{,}1u)^2\), \(4v^2 = (2v)^2\). Mischterm \(-2 \cdot 0{,}1u \cdot 2v = -0{,}4uv\). Radikand ist \((0{,}1u - 2v)^2\). Ergebnis: \(|0{,}1u - 2v|\). c) Terme umordnen: \(\sqrt{p^2 - 4pq + 4q^2} = \sqrt{(p - 2q)^2} = |p - 2q|\). d) Erkennen der Basen: \(\frac{4}{9}a^2 = (\frac{2}{3}a)^2\), \(b^2\). Mischterm \(2 \cdot \frac{2}{3}a \cdot b = \frac{4}{3}ab\). Radikand ist \((\frac{2}{3}a + b)^2\). Ergebnis: \(|\frac{2}{3}a + b|\).

a) \(\sqrt{2} \cdot |x + 1|\) b) \(|0{,}1u - 2v|\) c) \(|p - 2q|\) d) \(|\frac{2}{3}a + b|\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie quadriert? - Wie ist das Ergebnis einer Quadratwurzel (oder einer Potenz mit \(0{,}5\)) definiert? - Gibt es eine mathematische Schreibweise, die den Wert einer Zahl ohne ihr Vorzeichen angibt?

1. Überprüfung für \(x = 4\): \((4^2)^{0{,}5} = 16^{0{,}5} = \sqrt{16} = 4\). Die Aussage ist wahr. 2. Überprüfung für \(x = -4\): \(((-4)^2)^{0{,}5} = 16^{0{,}5} = \sqrt{16} = 4\). Da \(4 \neq -4\), ist die Aussage falsch. 3. Begründung: Das Quadrieren einer negativen Zahl liefert ein positives Ergebnis (\((-4)^2 = 16\)). Die Potenz mit dem Exponenten \(0{,}5\) entspricht der Quadratwurzel. Die Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl ist per Definition immer nicht negativ. Daher kann das Ergebnis niemals der ursprünglichen negativen Zahl \(x\) entsprechen. 4. Korrektur: Damit das Ergebnis für alle \(x\) stimmt, muss der Betrag verwendet werden. Die korrekte Gleichung lautet \((x^2)^{0{,}5} = |x|\).

a) Für \(x = 4\) ist die Gleichung wahr (\(4 = 4\)), für \(x = -4\) ist sie falsch (\(4 \neq -4\)). b) Durch das Quadrieren wird das Vorzeichen von \(x\) „gelöscht“ (das Ergebnis ist immer nicht negativ). Da die Quadratwurzel (Exponent \(0{,}5\)) einer nicht negativen Zahl ebenfalls nicht negativ ist, kann am Ende nicht die negative Ausgangszahl stehen. c) Die korrekte rechte Seite lautet \(|x|\) (der Betrag von \(x\)).

- Versuche zuerst, den Ausdruck unter der Wurzel mithilfe einer binomischen Formel umzuschreiben. - Setze die Zahlen für \(x\) in die Formel des Schülers ein und vergleiche sie mit deinen Ergebnissen. - Kann eine Quadratwurzel jemals ein negatives Ergebnis liefern? - Wann ist der Ausdruck \(x - 5\) negativ?

1. Termstruktur erkennen: Der Ausdruck unter der Wurzel ist eine binomische Formel: \(x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\). 2. Berechnung für \(x = 8\): \(T(8) = \sqrt{(8-5)^2} = \sqrt{3^2} = 3\). 3. Berechnung für \(x = 2\): \(T(2) = \sqrt{(2-5)^2} = \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\). 4. Prüfung der Schülerbehauptung für \(x = 8\): \(x - 5 = 8 - 5 = 3\). Das Ergebnis stimmt mit \(T(8)\) überein. 5. Prüfung der Schülerbehauptung für \(x = 2\): \(x - 5 = 2 - 5 = -3\). Da \(T(2) = 3\) ist, ist die Behauptung für \(x = 2\) falsch. 6. Bestimmung des Definitionsbereichs der Vereinfachung: Da \(\sqrt{(x-5)^2} = |x - 5|\) ist, gilt die Vereinfachung \(T(x) = x - 5\) nur, wenn \(x - 5 \ge 0\) ist, also für alle \(x \ge 5\).

a) Für \(x = 8\) ist \(T(8) = 3\); für \(x = 2\) ist \(T(2) = 3\). b) Die Behauptung ist für \(x = 8\) wahr, aber für \(x = 2\) falsch (da \(3 \neq -3\)). Die Vereinfachung ist nur für \(x \ge 5\) korrekt.

- Erinnere dich an den Unterschied zwischen \(\sqrt[n]{a^n}\) bei geradem und ungeradem \(n\). - Wie ist der Betrag einer Zahl definiert, wenn die Zahl selbst negativ ist? - Schätze die Werte von \(\sqrt{5}\) und \(\pi\) grob ab, um das Vorzeichen der Differenz zu bestimmen. - Wann ist der Betrag einer Zahl gleich ihrer Gegenzahl?

1. Bei ungeradem Exponenten gilt \(\sqrt[n]{a^n} = a\), also \(\sqrt[3]{(-5)^3} = -5\). Bei geradem Exponenten gilt \(\sqrt{a^2} = |a|\), also \(\sqrt{(-5)^2} = 5\). Die Summe ist \(-5 + 5 = 0\). 2. Es gilt \(\sqrt[4]{(\sqrt{5}-3)^4} = |\sqrt{5}-3|\). Da \(\sqrt{5} \approx 2{,}236 < 3\), ist die Basis negativ. Der Betrag ist \(3-\sqrt{5}\). 3. Es gilt \(\sqrt{(3-\pi)^2} = |3-\pi|\). Da \(\pi \approx 3{,}141 > 3\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist \(\pi-3\). 4. Die linke Seite \(\sqrt[8]{x^8}\) entspricht \(|x|\). Die Gleichung \(|x| = -x\) ist nach der Definition des Betrags genau dann erfüllt, wenn \(x \le 0\).

a) 0; b) \(3-\sqrt{5}\); c) \(\pi-3\); d) \(x \le 0\).

- Erinnerst du dich an einen Zusammenhang zwischen der Quadratwurzel eines Quadrats und dem Betrag? - Kannst du die Ausdrücke unter den Wurzeln als Quadrate von Binomen schreiben? - Überlege dir, welches Vorzeichen die Terme innerhalb der Betragsstriche für Werte zwischen \(-2\) und \(2\) annehmen. - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen innerhalb eines Betrags für das Auflösen der Betragsstriche?

1. Faktorisieren der Radikanden mithilfe der binomischen Formeln: \(\sqrt{(x+2)^2} - \sqrt{(x-2)^2}\) 2. Anwendung der Identität \(\sqrt{a^2} = |a|\): \(|x+2| - |x-2|\) 3. Untersuchung der Vorzeichen innerhalb der Beträge für \(-2 < x < 2\): Da \(x > -2\), gilt \(x+2 > 0\). Da \(x < 2\), gilt \(x-2 < 0\). 4. Auflösen der Betragsstriche: \(|x+2| = x+2\) und \(|x-2| = -(x-2) = 2-x\) 5. Subtraktion und Vereinfachung des Gesamtausdrucks: \((x+2) - (2-x) = x + 2 - 2 + x = 2x\)

\(2x\)

- Rechne zuerst den Wert innerhalb der Wurzel aus (die Potenz). - Beachte den Unterschied im Ergebnis, wenn du eine negative Zahl mit einer geraden oder einer ungeraden Zahl potenzierst. - Ist das Ergebnis einer Wurzelrechnung in der Schule immer positiv oder kann es auch negativ sein? - Wie kannst du mathematisch sicherstellen, dass ein Ergebnis niemals negativ ist, egal welche Zahl du einsetzt?

1. Überprüfung für \(n = 4, a = -3\): \(\sqrt[4]{(-3)^4} = \sqrt[4]{81} = 3\). Da \(3 \neq -3\), ist die Behauptung für negative \(a\) und gerade \(n\) falsch. 2. Überprüfung für \(n = 3, a = -2\): \(\sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8} = -2\). Hier gilt \(-2 = -2\), die Behauptung ist für ungerade \(n\) korrekt (sofern Wurzeln aus negativen Zahlen definiert sind). 3. Korrektur für gerade \(n\): Das Ergebnis einer Wurzel mit geradem Exponenten ist per Definition stets nicht-negativ. Da \(a^n\) für gerade \(n\) positiv ist, ergibt die Wurzel den Betrag der Basis. Die korrekte Formel lautet: \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\).

a) Die Behauptung ist falsch, da \(\sqrt[4]{(-3)^4} = 3\) und nicht \(-3\). b) Die Behauptung ist wahr, da \(\sqrt[3]{(-2)^3} = -2\). c) Die korrekte Formel für gerade \(n\) lautet \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\).

- Suche im ersten Schritt nach dem größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten und der kleinsten Potenz von \(x\). - Erkennst du in der Klammer eine Struktur der Form \(a^2 - 2ab + b^2\)? - Was passiert, wenn du die Wurzel aus einem Quadrat ziehst? Denke an die Definition \(\sqrt{a^2} = |a|\). - Wann ist eine Quadratwurzel im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert?

1. Ausklammern von \(2x\) im Radikanden: \(18x^3 - 24x^2 + 8x = 2x(9x^2 - 12x + 4)\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf die Klammer: \(9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2\). 3. Einsetzen in den Wurzelterm: \(T(x) = \sqrt{2x \cdot (3x - 2)^2}\). 4. Teilweises Wurzelziehen unter Beachtung des Betrags: \(\sqrt{(3x - 2)^2} = |3x - 2|\). Somit ist \(T(x) = |3x - 2| \cdot \sqrt{2x}\). 5. Bestimmung des Definitionsbereichs: Der Radikand \(2x(3x - 2)^2\) muss größer oder gleich Null sein. Da \((3x - 2)^2\) für alle \(x\) nichtnegativ ist, muss \(2x \ge 0\) gelten, also \(x \ge 0\).

a) \(2x(3x - 2)^2\) b) \(T(x) = |3x - 2|\sqrt{2x}\); Bedingung: \(x \ge 0\)

- Gibt es einen gemeinsamen Faktor unter den Wurzeln, den du ausklammern kannst? - Welche binomischen Formeln lassen sich hier anwenden? - Berücksichtige die Bedingungen für \(a\) und \(b\), um zu entscheiden, wie die Betragsstriche aufgelöst werden können. - Achte beim Subtrahieren der Terme besonders auf die Vorzeichen und Klammern.

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(c\) unter den Wurzeln: \(T = \sqrt{c(a^2 - 2ab + b^2)} - \sqrt{c(a^2 + 2ab + b^2)}\). 2. Anwendung der binomischen Formeln: \(T = \sqrt{c(a - b)^2} - \sqrt{c(a + b)^2}\). 3. Teilweises Wurzelziehen unter Beachtung der Beträge: \(T = \sqrt{c} \cdot |a - b| - \sqrt{c} \cdot |a + b|\). 4. Auflösen der Beträge unter Berücksichtigung der Bedingungen \(a > b > 0\): - Da \(a > b\), ist \(a - b > 0\), also \(|a - b| = a - b\). - Da \(a > 0\) und \(b > 0\), ist \(a + b > 0\), also \(|a + b| = a + b\). 5. Einsetzen und Vereinfachen: \(T = \sqrt{c}(a - b) - \sqrt{c}(a + b) = \sqrt{c}(a - b - a - b) = \sqrt{c}(-2b) = -2b\sqrt{c}\).

\(-2b\sqrt{c}\)

- Kannst du Faktoren aus den Wurzeln ziehen, indem du Quadratzahlen identifizierst? - Überlege, was mit einer Wurzel passiert, wenn ihr Radikand ein Quadrat ist. - Wie beeinflusst die Bedingung \(x > y\) das Vorzeichen von Termen wie \(x-y\)? - Versuche, Terme mit gleichen Wurzelanteilen am Ende zusammenzufassen.

1. Vereinfachung der Wurzeln mit dem Faktor \(z\): Da \(x > 0\), gilt \(\sqrt{9x^2 z} = 3x\sqrt{z}\) und \(\sqrt{4x^2 z} = 2x\sqrt{z}\). 2. Vereinfachung der Wurzeln von Quadraten: Da \(x > y\), ist \(x-y > 0\), woraus \(\sqrt{(x-y)^2} = x-y\) folgt. Ebenso ist \(\sqrt{(x+y)^2} = x+y\). 3. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(x\sqrt{z} + 3x\sqrt{z} - 2x\sqrt{z} + (x-y) - (x+y)\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(\sqrt{z}\): \((1 + 3 - 2)x\sqrt{z} = 2x\sqrt{z}\). 5. Zusammenfassen der restlichen Terme: \(x - y - x - y = -2y\). 6. Endergebnis: \(2x\sqrt{z} - 2y\).

\(2x\sqrt{z} - 2y\)

- Versuche zuerst, den Doppelbruch zu vermeiden, indem du den Nenner des Hauptterms rationalisierst. - Wie lässt sich der Ausdruck \(1-x^2\) vereinfachen, wenn du die Substitution einsetzt? - Erinnerst du dich daran, dass \(\sqrt{y^2} = |y|\) gilt? Warum ist das hier wichtig? - Untersuche das Vorzeichen des Ausdrucks \(m^2-1\) für die beiden angegebenen Fälle.

1. Rationalisieren des Nenners: \(A = \frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^2}{(1+x)-(1-x)} = \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\). 2. Mit \(x=\frac{2m}{m^2+1}\) gilt \(1-x^2 = \frac{(m^2-1)^2}{(m^2+1)^2}\), also \(\sqrt{1-x^2}=\frac{|m^2-1|}{m^2+1}\). 3. Daher ist \(A=\frac{m^2+1-|m^2-1|}{2m}\). 4. Für \(0<m<1\) ist \(|m^2-1|=1-m^2\), also \(A=m\). Für \(m=1\) gilt unmittelbar \(A=1\). Für \(m>1\) ist \(|m^2-1|=m^2-1\), also \(A=\frac{1}{m}\).

Für \(0<m<1\) gilt \(A=m\), für \(m=1\) gilt \(A=1\), und für \(m>1\) gilt \(A=\frac{1}{m}\).