Kostenlose Arbeitsblätter

- Lies den Betrag als Abstand zu \(0\), nicht als Richtung auf der Zahlengeraden. - Vergleiche in b) die beiden in der Abbildung hervorgehobenen Strecken links und rechts von \(0\). - Überlege für einen negativen Wert von \(x\), welcher Ausdruck denselben positiven Abstand beschreibt.

1. Der Abstand von \(-4\) zu \(0\) beträgt \(4\), also \(|-4|=4\). Der Abstand von \(2\) zu \(0\) beträgt \(2\), also \(|2|=2\). Außerdem gilt \(|0|=0\). 2. Die Zahlen \(-4\) und \(4\) liegen auf verschiedenen Seiten von \(0\), aber jeweils gleich weit von \(0\) entfernt. Deshalb haben beide den Betrag \(4\). 3. Allgemein gilt \(|x|=x\) für \(x\ge0\) und \(|x|=-x\) für \(x<0\).

a) \(|-4|=4\), \(|2|=2\), \(|0|=0\) b) Beide Zahlen haben denselben Abstand \(4\) von \(0\). c) \(|x|=x\) für \(x\ge0\); \(|x|=-x\) für \(x<0\)

- Lies zuerst den Wert des markierten Punkts A aus der Zahlengeraden ab. - Eine Quadratwurzel liefert immer einen nichtnegativen Wert. - Vergleiche dein Ergebnis mit der Länge der markierten Strecke bis \(0\).

1. Aus der Zahlengeraden liest man \(u=-3\) ab. 2. Es gilt \(\sqrt{u^2}=\sqrt{(-3)^2}=3\). 3. Der Abstand von \(-3\) zu \(0\) beträgt ebenfalls \(3\). Das entspricht \(|u|\).

\(\sqrt{u^2}=3\). Das ist der Abstand von \(u=-3\) zu \(0\), also \(|u|=3\).

- Welches Vorzeichen kann der Wert einer Quadratwurzel niemals haben? - Vergleiche die Fälle \(x>0\) und \(x<0\). - Welcher Ausdruck beschreibt unabhängig vom Vorzeichen den Abstand von \(x\) zu \(0\)?

1. Die Quadratwurzel bezeichnet immer den nichtnegativen Hauptwert. Deshalb gilt für jede reelle Zahl \(x\): \(\sqrt{x^2}=|x|\). 2. Für \(x=-6\) ergibt sich \(\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6\) und zugleich \(|-6|=6\).

\(\sqrt{x^2}=|x|\); für \(x=-6\) sind beide Seiten gleich \(6\).

- Kannst du Terme unter der Wurzel erst wie normale Rechenausdrücke zusammenfassen? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine Wurzel aus einem Quadrat ziehst. - Wie verändert sich ein Wert, wenn du ihn durch eine Dezimalzahl teilst, die kleiner als 1 ist?

1. Zusammenfassen unter einer Wurzel: \(\sqrt{3a \cdot 12a} = \sqrt{36a^2}\). Da \(a \ge 0\), ist \(\sqrt{36a^2} = 6a\). 2. Subtraktion der gleichartigen Terme unter der Wurzel: \(\sqrt{(125 - 44)x^2} = \sqrt{81x^2}\). Radizieren ergibt \(9|x|\). 3. Wurzel aus Zähler und Nenner ziehen: \(\frac{\sqrt{16a^2}}{\sqrt{0{,}25}} = \frac{4|a|}{0{,}5}\). Division ergibt \(8|a|\). 4. Betrag berechnen: \(\sqrt{(-15)^2} = |-15| = 15\). Der zweite Teil ist \(\sqrt{b^2} = |b|\). Ergebnis: \(15 + |b|\).

a) \(6a\) b) \(9|x|\) c) \(8|a|\) d) \(15 + |b|\)

- Kannst du im Radikanden eine Struktur erkennen, die zu einer binomischen Formel passt? - Überlege, welche Zahl zum Quadrat den hinteren Teil des Ausdrucks ergibt. - Prüfe, ob der mittlere Teil des Ausdrucks genau das Doppelte des Produkts der beiden Basen ist. - Denk daran, dass das Ergebnis einer Quadratwurzel mit Variablen oft Betragsstriche benötigt.

1. Identifikation der binomischen Formeln für jeden Radikanden: a) Radikand \(x^2 + 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2\) entspricht \((x + 3)^2\). Die Wurzel ergibt \(|x + 3|\). b) Radikand \(y^2 - 2 \cdot 5 \cdot y + 5^2\) entspricht \((y - 5)^2\). Die Wurzel ergibt \(|y - 5|\). c) Radikand \(4^2 + 2 \cdot 4 \cdot a + a^2\) entspricht \((4 + a)^2\). Die Wurzel ergibt \(|4 + a|\). d) Radikand \(b^2 - 2 \cdot 1 \cdot b + 1^2\) entspricht \((b - 1)^2\). Die Wurzel ergibt \(|b - 1|\).

a) \(|x + 3|\) b) \(|y - 5|\) c) \(|4 + a|\) d) \(|b - 1|\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie zuerst quadriert und anschließend die Wurzel zieht? - Überlege dir, ob der Ausdruck in der Klammer positiv oder negativ ist, wenn du eine Zahl einsetzt, die die Bedingung erfüllt. - Erinnere dich an die Definition der Quadratwurzel und welche Werte sie annehmen kann. - Hilft dir der Begriff des Betrags weiter?

1. Anwendung der Identität \(\sqrt{x^2} = |x|\) auf Teilaufgabe a): \(\sqrt{(a-7)^2} = |a-7|\). 2. Bestimmung des Vorzeichens der Differenz: Da \(a < 7\), ist \(a-7 < 0\). 3. Auflösung des Betrags: Für negative Werte gilt \(|x| = -x\), also \(-(a-7) = 7-a\). 4. Anwendung auf Teilaufgabe b): \(\sqrt{(2x-6)^2} = |2x-6|\). 5. Da \(x > 3\), folgt \(2x > 6\) und somit \(2x-6 > 0\). Der Betrag bleibt unverändert: \(2x-6\). 6. Begründung: Die Quadratwurzel ist als die nichtnegative Zahl definiert, deren Quadrat den Radikanden ergibt. Wegen \(a < 7\) gilt \((a-7)^2 > 0\); daher ist auch \(\sqrt{(a-7)^2} = 7-a > 0\).

a) \(7-a\) b) \(2x-6\) Begründung: Die Quadratwurzel liefert per Definition stets nichtnegative Ergebnisse. Da \(a < 7\), ist \(a-7\) negativ und \(7-a\) positiv; deshalb gilt \(\sqrt{(a-7)^2}=7-a\).

- Was passiert, wenn du eine negative Zahl zuerst quadrierst und dann die Wurzel ziehst? - Überlege dir, welches Vorzeichen das Ergebnis einer Quadratwurzel immer haben muss. - Erinnere dich an die Definition des Betrags \( |a| \). - Setze beispielhaft Zahlen wie \( 5 \) und \( 3 \) in den Term ein und beobachte, was passiert.

1. Anwendung der Identität \( \sqrt{a^2} = |a| \): Der Term wird zu \( T(x) = |x-4| - x \). 2. Fall \( x \ge 4 \): Da der Ausdruck \( x-4 \) nicht negativ ist, gilt \( |x-4| = x-4 \). Einsetzen ergibt \( T(x) = (x-4) - x = -4 \). 3. Fall \( x < 4 \): Da der Ausdruck \( x-4 \) negativ ist, gilt \( |x-4| = -(x-4) = 4-x \). Einsetzen ergibt \( T(x) = (4-x) - x = 4-2x \). 4. Begründung: Die Quadratwurzel liefert stets nichtnegative Werte, weshalb \( \sqrt{a^2} \) als \( |a| \) definiert ist. Das Vorzeichen von \( x-4 \) ändert sich an der Stelle \( x=4 \), was die Fallunterscheidung erzwingt.

a) \(T(x) = -4\) b) \(T(x) = 4-2x\) c) Die Fallunterscheidung ist notwendig, da \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) gilt. Für \(x < 4\) ist \(x-4\) negativ, sodass der Betrag das Vorzeichen umkehrt.

- Schreibe den Radikanden als vollständiges Quadrat. - Denke daran, dass die Quadratwurzel den nichtnegativen Hauptwert liefert. - Welcher Ausdruck berücksichtigt beide möglichen Vorzeichen von \(a\)?

1. Es gilt \(36a^2=(6a)^2\). 2. Daher ist \(\sqrt{36a^2}=|6a|=6|a|\).

\(6|a|\)

- Welche Faktoren im Radikanden sind bereits vollständige Quadrate? - Prüfe nach dem Wurzelziehen, welche Faktoren unabhängig vom Vorzeichen nie negativ sind. - Bei welchem Variablenfaktor bleibt deshalb ein Betrag erforderlich?

1. Der Radikand lässt sich als \((2p^2q)^2\) schreiben. 2. Daher ist \(\sqrt{4p^4q^2}=|2p^2q|\). 3. Weil \(p^2\ge0\) gilt, folgt \(|2p^2q|=2p^2|q|\).

\(2p^2|q|\)

- Vergleiche bei den beiden eingesetzten Werten insbesondere das Vorzeichen von \(x-4\). - Nutze die Bedeutung des Betrags als nichtnegative Größe. - Bestimme, unter welcher Vorzeichenbedingung ein Ausdruck mit seinem Betrag übereinstimmt.

1. Für \(x=1\) gilt \(T(1)=\sqrt{(-3)^2}=3\). Für \(x=7\) gilt \(T(7)=\sqrt{3^2}=3\). 2. Allgemein ist \(\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|\), weil die Quadratwurzel nichtnegativ ist. 3. Die Gleichung \(|x-4|=x-4\) gilt genau dann, wenn \(x-4\ge0\). Somit ist Laras Behauptung genau für \(x\ge4\) richtig und für \(x<4\) falsch.

a) \(T(1)=3\), \(T(7)=3\) b) Allgemein gilt \(\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|\). Die behauptete Gleichheit mit \(x-4\) gilt genau für \(x\ge4\).

- Nutze bei jedem Teil die Beziehung \(\sqrt{u^2}=|u|\). - Bestimme in c) zuerst das Vorzeichen von \(2-\sqrt{5}\), ohne die Wurzel als Dezimalzahl auszurechnen. - Für eine negative Zahl \(y\) ist ihr Betrag gleich \(-y\).

1. Zu a): \(\sqrt{(-15)^2}=|-15|=15\). 2. Zu b): \(\sqrt{(0{,}4)^2}=|0{,}4|=0{,}4\). 3. Zu c): Weil \(2^2<5\), gilt \(2<\sqrt{5}\). Somit ist \(2-\sqrt{5}<0\) und daher \(\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2\). 4. Zu d): Allgemein gilt \(\sqrt{y^2}=|y|\). Für \(y<0\) ist \(|y|=-y\).

a) \(15\) b) \(0{,}4\) c) \(\sqrt{5}-2\) d) \(-y\)

- Ersetze zuerst \(\sqrt{u^2}\) durch \(|u|\). - Welche zwei Werte kann ein Ausdruck annehmen, wenn sein Betrag \(9\) ist? - Prüfe beide gefundenen Werte in der ursprünglichen Gleichung.

1. Es gilt \(\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|\). Die Gleichung lautet daher \(|x-4|=9\). 2. Ein Betrag ist genau dann \(9\), wenn der Ausdruck im Betrag \(9\) oder \(-9\) ist. Es entstehen die beiden Gleichungen \(x-4=9\) und \(x-4=-9\). 3. Aus \(x-4=9\) folgt \(x=13\); aus \(x-4=-9\) folgt \(x=-5\). 4. Beide Werte erfüllen die Ausgangsgleichung: \(\sqrt{9^2}=9\) und \(\sqrt{(-9)^2}=9\).

Die Lösungen sind \(x=13\) und \(x=-5\).

- Gibt es ein Gesetz, mit dem du die Klammer auflösen kannst? - Was passiert mit Variablen, die sowohl im Zähler als auch im Nenner stehen? - Überlege, ob der Ausdruck unter der Wurzel und der abgezogene Wert am Ende identisch sind. - Wie oft passt \(1{,}3\) in die Zahl \(13\)?

1. Distributivgesetz anwenden: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{36} + \sqrt{100} = 6 + 10 = 16\). 2. Wurzeln im Zähler und Nenner vereinfachen: \(\frac{0{,}2|z|}{0{,}1|z|}\). Da \(z \neq 0\), kürzt sich \(|z|\) heraus: \(\frac{0{,}2}{0{,}1} = 2\). 3. Radizieren des Produkts: \(\sqrt{x^2 \cdot y^2} = |x| \cdot |y| = |xy|\). Subtraktion: \(|xy| - |xy| = 0\). 4. Terme einzeln radizieren: \(\frac{13|c|}{1{,}3}\). Division der Koeffizienten: \(10|c|\).

a) \(16\) b) \(2\) c) \(0\) d) \(10|c|\)

- Prüfe zuerst, welches Vorzeichen \(x^k\) in den verschiedenen Fällen besitzt. - Beachte, dass eine reelle Quadratwurzel immer nichtnegativ ist. - Unterscheide genau zwischen geraden und ungeraden Exponenten, bevor du die Potenz mit dem Exponenten \(\frac{k}{2}\) interpretierst.

1. Für \(x=4\) und \(k=2\) gilt \(\sqrt{4^2}=4=4^{2/2}\). Die Behauptung stimmt in diesem Fall. 2. Für \(x=-3\) und \(k=2\) gilt \(\sqrt{(-3)^2}=3\), während \((-3)^{2/2}=-3\) ist. Die Behauptung ist also nicht allgemein richtig. 3. Für \(x\ge0\) gilt \(\sqrt{x^k}=x^{k/2}\). 4. Für \(x<0\) und gerades \(k\) ist \(k/2\) ganzzahlig und \(\sqrt{x^k}=|x|^{k/2}\). 5. Für \(x<0\) und ungerades \(k\) ist \(x^k<0\); daher ist \(\sqrt{x^k}\) in \(\mathbb{R}\) nicht definiert.

a) Die Behauptung stimmt für \(x=4\) und \(k=2\). b) Sie ist für \(x=-3\) und \(k=2\) falsch. c) Für \(x\ge0\): \(\sqrt{x^k}=x^{k/2}\). Für \(x<0\) und gerades \(k\): \(\sqrt{x^k}=|x|^{k/2}\). Für \(x<0\) und ungerades \(k\) ist die Wurzel in \(\mathbb{R}\) nicht definiert.

- Achte bei Aufgabenteil b) darauf, ob es eine Rechenregel gibt, mit der man Summen unter der Wurzel trennen darf. - Bei Koeffizienten vor den Variablen musst du auch von diesen die Wurzel ziehen, um die Basis für die binomische Formel zu finden. - Brüche im Radikanden lassen sich oft als Quadrat eines anderen Bruchs schreiben.

1. Überprüfung auf Quadratzahlen und binomische Strukturen: a) \(9z^2 = (3z)^2\), \(4 = 2^2\), Mischterm \(-2 \cdot 3z \cdot 2 = -12z\). Radikand ist \((3z - 2)^2\). Ergebnis: \(|3z - 2|\). b) \(r^2 + s^2\) ist keine binomische Formel (Mischterm fehlt). Nicht weiter vereinfachbar. c) \(4m^2 = (2m)^2\), \(25n^2 = (5n)^2\), Mischterm \(2 \cdot 2m \cdot 5n = 20mn\). Radikand ist \((2m + 5n)^2\). Ergebnis: \(|2m + 5n|\). d) \(c^2\), \(\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2\), Mischterm \(2 \cdot c \cdot \frac{1}{2} = c\). Radikand ist \((c + \frac{1}{2})^2\). Ergebnis: \(|c + \frac{1}{2}|\).

a) \(|3z - 2|\) b) Nicht weiter vereinfachbar, da \(r^2 + s^2\) kein vollständiges Quadrat ist. c) \(|2m + 5n|\) d) \(|c + \frac{1}{2}|\)

- Manchmal hilft es, zuerst einen gemeinsamen Faktor aus allen Summanden unter der Wurzel auszuklammern. - Lass dich von der Reihenfolge der Summanden nicht verwirren; sortiere sie gegebenenfalls um. - Dezimalzahlen lassen sich oft leichter verarbeiten, wenn man sie als Brüche betrachtet oder gezielt nach ihren Wurzeln sucht.

1. Faktorisierung und Anwendung binomischer Formeln: a) Faktor \(2\) ausklammern: \(\sqrt{2(x^2 + 2x + 1)} = \sqrt{2(x + 1)^2} = \sqrt{2} \cdot |x + 1|\). b) Erkennen der Basen: \(0{,}01u^2 = (0{,}1u)^2\), \(4v^2 = (2v)^2\). Mischterm \(-2 \cdot 0{,}1u \cdot 2v = -0{,}4uv\). Radikand ist \((0{,}1u - 2v)^2\). Ergebnis: \(|0{,}1u - 2v|\). c) Terme umordnen: \(\sqrt{p^2 - 4pq + 4q^2} = \sqrt{(p - 2q)^2} = |p - 2q|\). d) Erkennen der Basen: \(\frac{4}{9}a^2 = (\frac{2}{3}a)^2\), \(b^2\). Mischterm \(2 \cdot \frac{2}{3}a \cdot b = \frac{4}{3}ab\). Radikand ist \((\frac{2}{3}a + b)^2\). Ergebnis: \(|\frac{2}{3}a + b|\).

a) \(\sqrt{2} \cdot |x + 1|\) b) \(|0{,}1u - 2v|\) c) \(|p - 2q|\) d) \(|\frac{2}{3}a + b|\)

- Prüfe in a) die beiden behauptet gleichen Ausdrücke getrennt. - Nutze in b) die allgemeine Beziehung zwischen \(\sqrt{u^2}\) und \(|u|\). - Entwickle anschließend das benötigte Quadrat mit einer passenden binomischen Formel.

1. Für \(x=3\) gilt \(\sqrt{(3-7)^2}=\sqrt{16}=4\), während \(x-7=-4\) ist. Die Behauptung ist falsch. Allgemein gilt \(\sqrt{(x-7)^2}=|x-7|\). 2. Damit rechts \(|4a-3b|\) entsteht, muss unter der Wurzel \((4a-3b)^2\) stehen. 3. Mit der zweiten binomischen Formel ist \((4a-3b)^2=16a^2-24ab+9b^2\). Daher gilt für alle reellen \(a,b\): \(\sqrt{16a^2-24ab+9b^2}=|4a-3b|\).

a) Für \(x=3\) ist \(\sqrt{(3-7)^2}=4\), aber \(x-7=-4\). Die Behauptung ist falsch. b) \(16a^2-24ab+9b^2\)

- Achte auf die Brüche und wie sie sich beim Quadrieren verhalten. - Wann ist eine Wurzel im Bereich der reellen Zahlen definiert? - Was passiert mit dem Vorzeichen innerhalb eines Quadrats oder innerhalb von Betragsstrichen?

1. Vereinfachung von \( T(x) \): Der Radikand entspricht \( (\frac{1}{3}x - 1)^2 \), da \( (\frac{1}{3}x)^2 = \frac{1}{9}x^2 \), \( 2 \cdot \frac{1}{3}x \cdot 1 = \frac{2}{3}x \) und \( 1^2 = 1 \). Das Ergebnis ist \( |\frac{1}{3}x - 1| \). 2. Definitionsbereich: Da \( (\frac{1}{3}x - 1)^2 \ge 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \), ist der Radikand nie negativ. Somit ist \( D = \mathbb{R} \). 3. Vergleich: \( \sqrt{(x-3)^2} = |x-3| \) und \( \sqrt{(3-x)^2} = |3-x| \). Da \( |a| = |-a| \), gilt \( |x-3| = |-(3-x)| = |3-x| \). Die Ergebnisse sind identisch.

a) \( |\frac{1}{3}x - 1| \) b) \( D = \mathbb{R} \), da der Term unter der Wurzel als Quadrat eines reellen Ausdrucks immer größer oder gleich Null ist. c) Ja, sie sind identisch, da \( |x-3| = |3-x| \) für alle \( x \) gilt.

- Vergleiche die beiden Seiten zuerst für einen positiven und einen negativen Wert mit gleichem Betrag. - Welche Bedeutung hat der Exponent \(0{,}5\) für nichtnegative Zahlen? - Suche für Teil c) nach einer Schreibweise, die unabhängig vom Vorzeichen von \(x\) stets nichtnegativ ist.

1. Für \(x=4\) gilt \((4^2)^{0{,}5}=16^{0{,}5}=\sqrt{16}=4\). Die Gleichung ist wahr. 2. Für \(x=-4\) gilt \(((-4)^2)^{0{,}5}=16^{0{,}5}=4\ne-4\). Die Gleichung ist falsch. 3. Der Exponent \(0{,}5\) entspricht der Quadratwurzel. Nach dem Quadrieren ist das Vorzeichen der Ausgangszahl nicht mehr erkennbar, und die Quadratwurzel liefert stets den nichtnegativen Wert. 4. Für alle reellen \(x\) gilt daher \((x^2)^{0{,}5}=|x|\).

a) Für \(x=4\) wahr; für \(x=-4\) falsch. b) Die Potenz mit Exponent \(0{,}5\) liefert wie die Quadratwurzel einen nichtnegativen Wert. c) \((x^2)^{0{,}5}=|x|\)

- Kannst du eine große Zahl unter der Wurzel in ein Produkt aus einer Quadratzahl und einer anderen Zahl zerlegen? - Gibt es eine Regel, wie man zwei Wurzeln dividiert? - Was weißt du über den Abstand zwischen zwei Zahlen \(a\) und \(b\) auf dem Zahlenstrahl, egal in welcher Reihenfolge man sie betrachtet? - Überlege, ob das Ergebnis im Fall b) noch ein Betragszeichen benötigt, wenn \(y\) positiv sein muss.

1. Zu a): Teilweises Wurzelziehen durch Zerlegung des Radikanden: \(\sqrt{9 \cdot 2 \cdot x^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2} = 3\sqrt{2}|x|\). 2. Zu b): Anwendung des Wurzelgesetzes für Division: \(\sqrt{\frac{12y^3}{3y}} = \sqrt{4y^2}\). Da \(y > 0\) vorgegeben ist, gilt \(\sqrt{4y^2} = 2|y| = 2y\). 3. Zu c): Anwendung der Betragsregel ergibt \(|a-b| - |b-a|\). Da für alle reellen Zahlen \(|x| = |-x|\) gilt und \(a-b = -(b-a)\) ist, folgt \(|a-b| = |b-a|\). Die Subtraktion ergibt somit \(0\).

a) \(3\sqrt{2}|x|\) b) \(2y\) c) \(0\)

- Prüfe bei jedem Übergang, ob beide Seiten der Gleichung wirklich denselben Wert behalten. - Was geschieht, wenn eine negative Zahl zuerst quadriert und danach die Quadratwurzel gezogen wird? - Welche Vorzeichen kann der Wert einer Quadratwurzel haben? - Wie muss \(\sqrt{u^2}\) geschrieben werden, damit die Aussage für positive und negative Werte von \(u\) gilt?

1. Die Aussagen bis einschließlich Zeile 4 sind korrekt: Beide Quadrate haben den Wert \(1\), und aus gleichen nichtnegativen Zahlen dürfen auf beiden Seiten die Quadratwurzeln gebildet werden. 2. Der erste Fehler liegt in Zeile 5. Für eine reelle Zahl \(u\) gilt allgemein \(\sqrt{u^2}=|u|\), nicht \(\sqrt{u^2}=u\). 3. Deshalb muss Zeile 5 lauten: \(|2-3|=|4-3|\). 4. Auswerten ergibt \(|-1|=|1|\), also \(1=1\). Daraus folgt nicht \(2=4\).

Der erste Fehler liegt in Zeile 5. Korrekt ist \(|2-3|=|4-3|\), denn allgemein gilt \(\sqrt{u^2}=|u|\).

- Erinnerst du dich an einen Zusammenhang zwischen der Quadratwurzel eines Quadrats und dem Betrag? - Kannst du die Ausdrücke unter den Wurzeln als Quadrate von Binomen schreiben? - Überlege dir, welches Vorzeichen die Terme innerhalb der Betragsstriche für Werte zwischen \(-2\) und \(2\) annehmen. - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen innerhalb eines Betrags für das Auflösen der Betragsstriche?

1. Faktorisieren der Radikanden mithilfe der binomischen Formeln: \(\sqrt{(x+2)^2} - \sqrt{(x-2)^2}\) 2. Anwendung der Identität \(\sqrt{a^2} = |a|\): \(|x+2| - |x-2|\) 3. Untersuchung der Vorzeichen innerhalb der Beträge für \(-2 < x < 2\): Da \(x > -2\), gilt \(x+2 > 0\). Da \(x < 2\), gilt \(x-2 < 0\). 4. Auflösen der Betragsstriche: \(|x+2| = x+2\) und \(|x-2| = -(x-2) = 2-x\) 5. Subtraktion und Vereinfachung des Gesamtausdrucks: \((x+2) - (2-x) = x + 2 - 2 + x = 2x\)

\(2x\)

- Prüfe, ob der Radikand als vollständiges Quadrat geschrieben werden kann. - Nach dem Wurzelziehen hängt der Betrag davon ab, welches Vorzeichen \(y-5\) hat. - Bearbeite die beiden im Text vorgegebenen Fälle getrennt.

1. Unter der Wurzel gilt \(y^2-10y+25=(y-5)^2\). Damit ist \(E(y)=\frac{y+|y-5|}{2}\). 2. Für \(y\ge5\) gilt \(|y-5|=y-5\). Daher ist \(E(y)=\frac{2y-5}{2}=y-2{,}5\). 3. Für \(y<5\) gilt \(|y-5|=5-y\). Daher ist \(E(y)=\frac{5}{2}=2{,}5\).

1) Für \(y\ge5\): \(y-2{,}5\) 2) Für \(y<5\): \(2{,}5\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Quadratwurzel aus einem Quadrat und dem Betrag einer Zahl. - Wie löst man ein Betragszeichen auf, wenn man weiß, dass die Zahl darin negativ ist? - Überlege dir für den letzten Teil, für welche Zahlen ihr Betrag gleich ihrer Gegenzahl ist.

1. Anwendung der Regel \(\sqrt{x^2 \cdot y^4} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{(y^2)^2} = |x| \cdot |y^2|\). Da \(y^2\) für alle reellen \(y\) nichtnegativ ist, gilt \(|y^2| = y^2\). Da \(x < 0\) vorgegeben ist, gilt \(|x| = -x\). Das Ergebnis ist \(-xy^2\). 2. Anwendung der Regel \(\sqrt{\frac{25a^2}{b^2}} = \frac{5|a|}{|b|}\). Da \(a > 0\), ist \(|a| = a\). Da \(b < 0\), ist \(|b| = -b\). Der Term vereinfacht sich zu \(\frac{5a}{-b} = -\frac{5a}{b}\). 3. Die linke Seite \(\sqrt{z^2}\) ist per Definition gleich \(|z|\). Die Gleichung \(|z| = -z\) ist genau dann wahr, wenn \(z\) kleiner oder gleich Null ist. Ergebnis: \(z \le 0\).

a) \(-xy^2\) b) \(-\frac{5a}{b}\) c) \(z \le 0\)

- Was passiert, wenn man eine Zahl quadriert und anschließend die Wurzel zieht? Gilt das für alle Zahlen? - Überlege dir, ob das Ergebnis einer Quadratwurzel jemals negativ sein kann. - Wie kannst du feststellen, ob ein Ausdruck wie \(5 - \sqrt{26}\) positiv oder negativ ist, ohne einen Taschenrechner zu benutzen? - Erinnerst du dich an das teilweise Wurzelziehen für Zahlen wie \(\sqrt{12}\)?

1. Anwendung der Regel \(\sqrt{a^2} = |a|\) auf Teil a: \(\sqrt{(5 - \sqrt{26})^2} = |5 - \sqrt{26}|\). 2. Vergleich der Werte: Da \(5 = \sqrt{25}\) und \(\sqrt{25} < \sqrt{26}\), ist die Differenz negativ. 3. Auflösen des Betrags: \(|5 - \sqrt{26}| = -(5 - \sqrt{26}) = \sqrt{26} - 5\). 4. Anwendung auf Teil b: \(\sqrt{12 \cdot (\sqrt{3} - 2)^2} = \sqrt{12} \cdot |\sqrt{3} - 2|\). 5. Teilweises Wurzelziehen von \(\sqrt{12}\): \(\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\). 6. Vergleich der Werte: Da \(2 = \sqrt{4}\) und \(\sqrt{3} < \sqrt{4}\), ist die Differenz \(\sqrt{3} - 2\) negativ. 7. Auflösen des Betrags und Multiplikation: \(2\sqrt{3} \cdot (2 - \sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 2 \cdot 3 = 4\sqrt{3} - 6\).

a) \(\sqrt{26} - 5\) b) \(4\sqrt{3} - 6\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine Quadratwurzel aus einem quadrierten negativen Term ziehst? - Kannst du den Betrag eines Terms auflösen, wenn du weißt, dass der Term kleiner als null ist? - Welche Potenz von \(a\) lässt sich vollständig aus der Quadratwurzel ziehen?

1. Zerlegung des Radikanden: \(\sqrt{a^7(b-3)^2} = \sqrt{a^6 \cdot a \cdot (b-3)^2}\). 2. Für \(a \ge 0\) ist \(\sqrt{a^6} = a^3\). 3. Da \(b < 3\), ist \(b-3 < 0\). Es gilt \(\sqrt{(b-3)^2} = |b-3| = 3-b\). 4. Ergebnis: \(a^3(3-b)\sqrt{a}\).

\(a^3(3-b)\sqrt{a}\)

- Suche im ersten Schritt nach dem größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten und der kleinsten Potenz von \(x\). - Erkennst du in der Klammer eine Struktur der Form \(a^2 - 2ab + b^2\)? - Was passiert, wenn du die Wurzel aus einem Quadrat ziehst? Denke an die Definition \(\sqrt{a^2} = |a|\). - Wann ist eine Quadratwurzel im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert?

1. Ausklammern von \(2x\) im Radikanden: \(18x^3 - 24x^2 + 8x = 2x(9x^2 - 12x + 4)\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf die Klammer: \(9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2\). 3. Einsetzen in den Wurzelterm: \(T(x) = \sqrt{2x \cdot (3x - 2)^2}\). 4. Teilweises Wurzelziehen unter Beachtung des Betrags: \(\sqrt{(3x - 2)^2} = |3x - 2|\). Somit ist \(T(x) = |3x - 2| \cdot \sqrt{2x}\). 5. Bestimmung des Definitionsbereichs: Der Radikand \(2x(3x - 2)^2\) muss größer oder gleich Null sein. Da \((3x - 2)^2\) für alle \(x\) nichtnegativ ist, muss \(2x \ge 0\) gelten, also \(x \ge 0\).

a) \(2x(3x - 2)^2\) b) \(T(x) = |3x - 2|\sqrt{2x}\); Bedingung: \(x \ge 0\)

- Kannst du den Bruch unter der Wurzel aufteilen? - Wie vereinfacht sich der Ausdruck \( \sqrt{a^2} \), wenn \( a \) negativ ist? - Untersuche separat den Zähler und den Nenner des entstandenen Bruchs. - Was passiert beim Kürzen, wenn im Nenner ein Betrag steht?

1. Anwendung der Rechenregeln für Wurzeln: \( \sqrt{\frac{5}{(k-2)^2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{(k-2)^2}} = \frac{\sqrt{5}}{|k-2|} \). 2. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \( Q(k) = (k-2) \cdot \frac{\sqrt{5}}{|k-2|} \). 3. Fallunterscheidung für \( k > 2 \): Hier ist \( k-2 > 0 \), also \( |k-2| = k-2 \). Der Term vereinfacht sich zu \( (k-2) \cdot \frac{\sqrt{5}}{k-2} = \sqrt{5} \). 4. Fallunterscheidung für \( k < 2 \): Hier ist \( k-2 < 0 \), also \( |k-2| = -(k-2) \). Der Term vereinfacht sich zu \( (k-2) \cdot \frac{\sqrt{5}}{-(k-2)} = \frac{\sqrt{5}}{-1} = -\sqrt{5} \). 5. Für \(k=2\) ist der ursprüngliche Term wegen des Nenners \((k-2)^2=0\) nicht definiert.

Für \( k > 2 \) nimmt der Term den Wert \( \sqrt{5} \) an. Für \( k < 2 \) nimmt der Term den Wert \( -\sqrt{5} \) an. Für \(k=2\) ist der Term nicht definiert.

- Kannst du die Terme unter den Wurzeln mithilfe der binomischen Formeln umschreiben? - Was passiert, wenn man die Quadratwurzel aus einem quadrierten Ausdruck zieht? Denke an Betragsstriche. - Prüfe, ob die Ausdrücke innerhalb der Betragsstriche für den angegebenen Bereich von \(x\) positiv oder negativ sind. - Wie verändert sich ein Betragsterm \(|z|\), wenn \(z\) negativ ist?

1. Erkennen der binomischen Formeln unter den Wurzeln: \(4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2\) und \(4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2\). 2. Anwendung der Regel \(\sqrt{a^2} = |a|\): \(A = |2x - 3| + |2x + 3|\). 3. Untersuchung der Vorzeichen im gegebenen Intervall \(-1{,}5 \le x \le 1{,}5\): - Für \(x \le 1{,}5\) ist \(2x \le 3\), also \(2x - 3 \le 0\). Daher gilt \(|2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x\). - Für \(x \ge -1{,}5\) ist \(2x \ge -3\), also \(2x + 3 \ge 0\). Daher gilt \(|2x + 3| = 2x + 3\). 4. Einsetzen und Zusammenfassen: \(A = (3 - 2x) + (2x + 3) = 6\).

\(6\)

- Gibt es einen gemeinsamen Faktor unter den Wurzeln, den du ausklammern kannst? - Welche binomischen Formeln lassen sich hier anwenden? - Berücksichtige die Bedingungen für \(a\) und \(b\), um zu entscheiden, wie die Betragsstriche aufgelöst werden können. - Achte beim Subtrahieren der Terme besonders auf die Vorzeichen und Klammern.

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(c\) unter den Wurzeln: \(T = \sqrt{c(a^2 - 2ab + b^2)} - \sqrt{c(a^2 + 2ab + b^2)}\). 2. Anwendung der binomischen Formeln: \(T = \sqrt{c(a - b)^2} - \sqrt{c(a + b)^2}\). 3. Teilweises Wurzelziehen unter Beachtung der Beträge: \(T = \sqrt{c} \cdot |a - b| - \sqrt{c} \cdot |a + b|\). 4. Auflösen der Beträge unter Berücksichtigung der Bedingungen \(a > b > 0\): - Da \(a > b\), ist \(a - b > 0\), also \(|a - b| = a - b\). - Da \(a > 0\) und \(b > 0\), ist \(a + b > 0\), also \(|a + b| = a + b\). 5. Einsetzen und Vereinfachen: \(T = \sqrt{c}(a - b) - \sqrt{c}(a + b) = \sqrt{c}(a - b - a - b) = \sqrt{c}(-2b) = -2b\sqrt{c}\).

\(-2b\sqrt{c}\)

- Kannst du Faktoren aus den Wurzeln ziehen, indem du Quadratzahlen identifizierst? - Überlege, was mit einer Wurzel passiert, wenn ihr Radikand ein Quadrat ist. - Wie beeinflusst die Bedingung \(x > y\) das Vorzeichen von Termen wie \(x-y\)? - Versuche, Terme mit gleichen Wurzelanteilen am Ende zusammenzufassen.

1. Vereinfachung der Wurzeln mit dem Faktor \(z\): Da \(x > 0\), gilt \(\sqrt{9x^2 z} = 3x\sqrt{z}\) und \(\sqrt{4x^2 z} = 2x\sqrt{z}\). 2. Vereinfachung der Wurzeln von Quadraten: Da \(x > y\), ist \(x-y > 0\), woraus \(\sqrt{(x-y)^2} = x-y\) folgt. Ebenso ist \(\sqrt{(x+y)^2} = x+y\). 3. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(x\sqrt{z} + 3x\sqrt{z} - 2x\sqrt{z} + (x-y) - (x+y)\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(\sqrt{z}\): \((1 + 3 - 2)x\sqrt{z} = 2x\sqrt{z}\). 5. Zusammenfassen der restlichen Terme: \(x - y - x - y = -2y\). 6. Endergebnis: \(2x\sqrt{z} - 2y\).

\(2x\sqrt{z} - 2y\)

- Suche im ersten Radikanden nach einer Quadratstruktur und behandle anschließend alle Wurzeln aus Quadraten einheitlich. - Nutze das vorgegebene Zahlenpaar in b) als direkten Vergleich zwischen allgemeiner Vereinfachung und Behauptung. - Leite in c) aus \(a>b>0\) die Vorzeichen der Ausdrücke innerhalb der Beträge ab.

1. Der erste Radikand ist \(4(a-b)^2\). Daher gilt \(\sqrt{4(a-b)^2}=2|a-b|\). 2. Außerdem ist \(\sqrt{a^2}=|a|\) und \(\sqrt{(a+b)^2}=|a+b|\). Somit lautet die allgemeine Vereinfachung \(T=2|a-b|+|a|-|a+b|\). 3. Für \(a=-1\) und \(b=0\) ergibt sich \(T=2|-1|+|-1|-|-1|=2\). Die behauptete Formel liefert dagegen \(2a-3b=-2\). Damit ist die allgemeine Behauptung widerlegt. 4. Unter \(a>b>0\) gelten \(a-b>0\), \(a>0\) und \(a+b>0\). Daher wird \(T=2(a-b)+a-(a+b)\). 5. Vereinfachen ergibt \(T=2a-3b\). Unter der angegebenen Bedingung ist die Behauptung also korrekt.

a) \(T=2|a-b|+|a|-|a+b|\) b) Für \(a=-1\), \(b=0\) ist \(T=2\), aber \(2a-3b=-2\). Die Behauptung ist im Allgemeinen falsch. c) Für \(a>b>0\) gilt \(|a-b|=a-b\), \(|a|=a\) und \(|a+b|=a+b\); daher folgt \(T=2a-3b\).