Kostenlose Arbeitsblätter

- Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts mit der Scheitelpunktform zusammen? - Erinnere dich an die erste binomische Formel, um die Klammer aufzulösen. - Überlege, ob der tiefste Punkt der Parabel innerhalb des gesuchten Bereichs liegt. - Was passiert an den Grenzen des Definitionsbereichs?

1. Aufstellen der Scheitelpunktform: Da es sich um eine Normalparabel handelt, ist der Streckfaktor \(a = 1\). Mit dem Scheitelpunkt \(S(3 | -2)\) ergibt sich \(f(x) = (x - 3)^2 - 2\). 2. Umwandeln in die Normalform: Durch Auflösen der binomischen Formel erhält man \(f(x) = x^2 - 6x + 9 - 2\), also \(f(x) = x^2 - 6x + 7\). 3. Bestimmung des Wertebereichs: Der Scheitelpunkt \(x_s = 3\) liegt innerhalb des Intervalls \([1 ; 5]\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegt hier das Minimum \(y_{min} = -2\). 4. Berechnung der Randwerte: \(f(1) = (1 - 3)^2 - 2 = 4 - 2 = 2\) und \(f(5) = (5 - 3)^2 - 2 = 4 - 2 = 2\). 5. Der Wertebereich ist somit \(W = \{y \in \mathbb{R} | -2 \le y \le 2\}\) bzw. das Intervall \([-2 ; 2]\).

a) Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - 3)^2 - 2\); Normalform: \(f(x) = x^2 - 6x + 7\) b) Wertebereich: \(W = [-2 ; 2]\)

- Um gemeinsame Punkte zu finden, musst du die Funktionsterme gleichsetzen. - Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben und was bedeutet das für die Anzahl der Schnittpunkte? - Was sagt das Vorzeichen vor dem quadratischen Term über die Öffnung der Parabel aus? - Welche Rolle spielt die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts für den Wertebereich?

1. Gleichsetzen der Funktionsausdrücke: \(x^2 = -(x - 2)^2 + 2\). 2. Auflösen der Gleichung: \(x^2 = -(x^2 - 4x + 4) + 2 \implies x^2 = -x^2 + 4x - 4 + 2 \implies x^2 = -x^2 + 4x - 2\). 3. Umstellen zur Normalform einer quadratischen Gleichung: \(2x^2 - 4x + 2 = 0 \implies x^2 - 2x + 1 = 0\). 4. Anwendung der binomischen Formel oder der \(pq\)-Formel: \((x - 1)^2 = 0 \implies x = 1\). Es gibt genau einen Berührpunkt. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(1) = 1^2 = 1\). Der Schnittpunkt ist \(P(1 | 1)\). 6. Wertebereich von \(g\): Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(S_g(2 | 2)\). Da der Koeffizient vor der Klammer negativ ist (\(a = -1\)), ist die Parabel nach unten geöffnet. 7. Der höchste Punkt ist somit der Scheitelpunkt mit \(y = 2\). Der Wertebereich umfasst alle Werte kleiner oder gleich \(2\): \(W = \{y \in \mathbb{R} | y \le 2\}\).

a) Es gibt genau einen Schnittpunkt (Berührpunkt) bei \(P(1 | 1)\). b) Der Wertebereich ist \(W = \{y \in \mathbb{R} | y \le 2\}\), da die Parabel nach unten geöffnet ist und ihr Maximum im Scheitelpunkt bei \(y = 2\) erreicht.

- Was weißt du über die Lage zweier Punkte mit gleichem \(y\)-Wert bei einer Parabel? - Wie hilft dir der Abstand der \(x\)-Werte zur Symmetrieachse weiter? - Wenn du die Symmetrieachse kennst, wie kannst du dann die Höhe des Scheitelpunkts finden? - Achte beim Wertebereich darauf, ob der Scheitelpunkt im betrachteten Bereich liegt.

1. Bestimmung der Symmetrieachse: Da \(P\) und \(Q\) dieselbe \(y\)-Koordinate haben, liegt die Symmetrieachse genau in der Mitte: \(x_s = \frac{-2 + 4}{2} = 1\). 2. Bestimmung der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts: Ansatz Scheitelpunktform \(f(x) = (x - 1)^2 + y_s\). Punkt \(Q(4 | 6)\) einsetzen: \(6 = (4 - 1)^2 + y_s \implies 6 = 9 + y_s \implies y_s = -3\). Der Scheitelpunkt ist \(S(1 | -3)\). 3. Aufstellen der Normalform: \(f(x) = (x - 1)^2 - 3 = x^2 - 2x + 1 - 3 = x^2 - 2x - 2\). 4. Wertebereich auf \([-3; 3]\): Der Scheitelpunkt \(x_s = 1\) liegt im Intervall, also ist das Minimum \(y_{min} = -3\). 5. Funktionswerte an den Intervallgrenzen: \(f(-3) = (-3 - 1)^2 - 3 = 16 - 3 = 13\) und \(f(3) = (3 - 1)^2 - 3 = 4 - 3 = 1\). 6. Der größte Wert im Intervall ist \(13\), der kleinste \(-3\). Der Wertebereich ist \(W = [-3; 13]\).

a) Der Scheitelpunkt ist \(S(1 | -3)\). b) Die Normalform lautet \(f(x) = x^2 - 2x - 2\). c) Der Wertebereich für das Intervall \([-3; 3]\) ist \(W = [-3; 13]\).