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- Was verrät dir die Form der Gleichung über die Lage des tiefsten Punktes? - Wie verändert sich der Funktionswert, wenn du für die Variable den Wert Null einsetzt? - Überlege dir, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist und wo ihr tiefster oder höchster Punkt liegt. - Was muss gelten, damit ein Wert eine Nullstelle ist?

1. Aus der Scheitelpunktform \(a(x-d)^2 + e\) lässt sich der Scheitelpunkt \(S(d|e)\) direkt ablesen: Für \(g(x) = (x+4)^2 - 16\) ist \(d = -4\) und \(e = -16\), also \(S(-4|-16)\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x = 0\): \(g(0) = (0+4)^2 - 16 = 16 - 16 = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|0)\). 3. Da der Scheitelpunkt mit \(y = -16\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel wegen \(a = 1 > 0\) nach oben geöffnet ist, muss sie die \(x\)-Achse an zwei Stellen schneiden. Die Funktion hat somit zwei Nullstellen. 4. Prüfung von \(x = 2\): \(g(2) = (2+4)^2 - 16 = 6^2 - 16 = 36 - 16 = 20\). Da \(20 \neq 0\), ist \(x = 2\) keine Nullstelle.

a) \(S(-4|-16)\) b) \(S_y(0|0)\) c) Zwei Nullstellen, da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist. d) Nein, da \(g(2) = 20 \neq 0\).

- Was musst du tun, um den Scheitelpunkt einer Funktion in Normalform zu finden? - Schau dir die x-Werte der Scheitelpunkte an. Was sagen sie über die Symmetrie aus? - Wie erkennst du an den Funktionswerten (y-Werten) der Scheitelpunkte, welche Parabel weiter oben liegt?

1. Quadratische Ergänzung für \(g(x)\): \(g(x) = x^2 - 4x + 4 - 4 + 7\). 2. Vereinfachen zur Scheitelpunktform: \(g(x) = (x - 2)^2 + 3\). 3. Ablesen des Scheitelpunkts von \(g\): \(S_g(2 \mid 3)\). 4. Ablesen des Scheitelpunkts von \(h\): \(S_h(2 \mid 1)\). 5. Vergleich der Symmetrieachsen: Beide Scheitelpunkte haben die x-Koordinate \(2\), also haben beide Funktionen dieselbe Symmetrieachse \(x = 2\). 6. Vergleich der Lage: Da \(3 > 1\), liegt der Graph von \(g\) höher als der von \(h\). Der vertikale Abstand beträgt \(3 - 1 = 2\) Einheiten.

Der Scheitelpunkt von \(g\) ist \(S_g(2 \mid 3)\). Beide Parabeln haben dieselbe Symmetrieachse \(x = 2\). Der Graph von \(g\) liegt höher als der Graph von \(h\); der vertikale Abstand zwischen den Scheitelpunkten beträgt \(2\) Einheiten.

- Wie kannst du prüfen, welcher Funktionswert an einer bestimmten Stelle \(x\) erwartet wird? - Vergleiche den berechneten Wert mit der gegebenen \(y\)-Koordinate des Punktes. - Was bedeutet es für die Lage des Punktes, wenn die \(y\)-Koordinate größer oder kleiner als der Funktionswert ist?

1. Berechnung der Funktionswerte an den Stellen \(x\): Für \(P_1\): \(f(2) = 2^2 - 3{,}5 = 0{,}5\). Da \(y_1 = 0{,}5\), liegt \(P_1\) auf dem Graphen. Für \(P_2\): \(f(-1{,}5) = (-1{,}5)^2 - 3{,}5 = 2{,}25 - 3{,}5 = -1{,}25\). Da \(y_2 = -1{,}25\), liegt \(P_2\) auf dem Graphen. Für \(P_3\): \(f(0{,}5) = (0{,}5)^2 - 3{,}5 = 0{,}25 - 3{,}5 = -3{,}25\). Da \(-3{,}75 < -3{,}25\), liegt \(P_3\) unterhalb des Graphen. Für \(P_4\): \(f(-1) = (-1)^2 - 3{,}5 = 1 - 3{,}5 = -2{,}5\). Da \(1 > -2{,}5\), liegt \(P_4\) oberhalb des Graphen.

\(P_1\) liegt auf dem Graphen. \(P_2\) liegt auf dem Graphen. \(P_3\) liegt unterhalb des Graphen. \(P_4\) liegt oberhalb des Graphen.

- Erinnere dich an die allgemeine Scheitelpunktform \(y = (x - d)^2 + e\). - Welche Rolle spielen die Werte \(d\) und \(e\) für die Lage des Scheitelpunktes? - Wenn ein Wert in der Gleichung fehlt (also null ist), findet in diese Richtung keine Verschiebung statt.

1. Identifikation der Verschiebungen anhand der Parameter in der Funktionsgleichung: - \(f(x) = x^2 - 5\): Subtraktion von \(5\) außerhalb des Quadrats bewirkt eine Verschiebung nach unten. Scheitelpunkt \(S(0|-5)\). (Beschreibung 2) - \(g(x) = (x+4)^2\): Addition von \(4\) innerhalb des Quadrats bewirkt eine Verschiebung nach links. Scheitelpunkt \(S(-4|0)\). (Beschreibung 1) - \(h(x) = (x-1)^2 + 2\): Subtraktion von \(1\) innerhalb der Klammer und Addition von \(2\) außerhalb der Klammer bewirken Verschiebungen in beide Richtungen. Scheitelpunkt \(S(1|2)\). (Beschreibung 3)

1. \(g(x) = (x+4)^2\) mit \(S(-4|0)\) 2. \(f(x) = x^2 - 5\) mit \(S(0|-5)\) 3. \(h(x) = (x-1)^2 + 2\) mit \(S(1|2)\)

- Wie sieht die allgemeine Form einer Normalparabel aus, die nur nach oben oder unten verschoben ist? - Welche Koordinate des Scheitelpunkts ist bekannt, wenn er auf der \(y\)-Achse liegt? - Wie kannst du die Koordinaten eines gegebenen Punktes in eine Funktionsgleichung einsetzen? - Was muss für den Funktionswert an einer Nullstelle gelten?

1. Eine Normalparabel mit Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse hat die Form \(f(x) = x^2 + e\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(3 \mid 5)\): \(5 = 3^2 + e\), woraus \(5 = 9 + e\) und somit \(e = -4\) folgt. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 4\). 3. Zur Berechnung der Nullstellen wird \(f(x) = 0\) gesetzt: \(x^2 - 4 = 0\). 4. Dies führt zu \(x^2 = 4\), also \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 4\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

- Erinnere dich an die erste und zweite binomische Formel. - Wie sieht die Scheitelpunktform einer Parabel aus, deren Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Welche \(y\)-Koordinate haben alle Punkte, die auf der \(x\)-Achse liegen? - Du kannst die quadratische Ergänzung nutzen, um den Scheitelpunkt direkt abzulesen.

1. Untersuchung von \(f(x) = x^2 - 14x + 49\): Anwendung der zweiten binomischen Formel ergibt \(f(x) = (x - 7)^2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(7|0)\). Da die \(y\)-Koordinate \(0\) ist, liegt der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse. 2. Untersuchung von \(g(x) = x^2 + 5x + 6{,}25\): Anwendung der ersten binomischen Formel mit \(2 \cdot 2{,}5 = 5\) und \(2{,}5^2 = 6{,}25\) ergibt \(g(x) = (x + 2{,}5)^2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-2{,}5|0)\). Da die \(y\)-Koordinate \(0\) ist, liegt der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse. 3. Untersuchung von \(h(x) = x^2 - 2x - 1\): Ein perfektes Quadrat wäre \(x^2 - 2x + 1\). Durch quadratische Ergänzung folgt \(h(x) = (x - 1)^2 - 2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1|-2)\). Da die \(y\)-Koordinate ungleich \(0\) ist, liegt der Scheitelpunkt nicht auf der \(x\)-Achse. 4. Allgemein gilt für eine verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt \(S(d|0)\): \(f(x)=(x-d)^2\). Damit ist Anjas Behauptung richtig.

Anjas Behauptung ist richtig. a) Ja, der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse; \(S(7|0)\). b) Ja, der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse; \(S(-2{,}5|0)\). c) Nein, der Scheitelpunkt liegt nicht auf der \(x\)-Achse; \(S(1|-2)\).

- Was muss für die Scheitelpunktform gelten, damit der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts Null ist? - Erinnere dich an die erste und zweite binomische Formel. - Wie hängen der mittlere Koeffizient und die quadratische Ergänzung zusammen?

1. Damit der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, muss die Funktionsgleichung die Form eines perfekten Quadrats \(f(x) = (x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\) haben. 2. Vergleich der Koeffizienten von \(x\): \(2d = 14\), woraus \(d = 7\) folgt. 3. Berechnung des konstanten Glieds: \(c = d^2 = 7^2 = 49\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = (x + 7)^2\). Der Scheitelpunkt \(S\) liegt bei \((-d | 0)\), also \(S(-7 | 0)\).

\(c = 49\); Scheitelpunkt \(S(-7 | 0)\)

- Denk an die allgemeine Scheitelpunktform \(y = a(x - d)^2 + e\). Welche Rolle spielen \(d\) und \(e\)? - Was sagt das Vorzeichen von \(a\) über die Öffnung aus? - Wie beeinflusst der Betrag von \(a\) die Form der Parabel im Vergleich zur Normalparabel? - Überlege dir, ob der Scheitelpunkt der höchste oder der niedrigste Punkt der Kurve ist.

1. Der Scheitelpunkt lässt sich direkt aus der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s\) ablesen: \(S(3 \mid 5)\). 2. Der Formfaktor ist \(a = -1{,}5\). Da \(a < 0\), ist die Parabel nach unten geöffnet. Da \(|a| = 1{,}5 > 1\), ist die Parabel schmaler (gestreckt) als die Normalparabel. 3. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt. Der Wertebereich umfasst alle \(y\)-Werte kleiner oder gleich dem \(y\)-Wert des Scheitelpunkts: \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 5\}\) bzw. \(W = (-\infty; 5]\). 4. Die Normalparabel wird um 3 Einheiten nach rechts und um 5 Einheiten nach oben verschoben, an der \(x\)-Achse gespiegelt und mit dem Faktor \(1{,}5\) in \(y\)-Richtung gestreckt.

a) \(S(3 \mid 5)\) b) Nach unten geöffnet (\(a < 0\)) und schmaler/gestreckt (\(|a| > 1\)). c) \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 5\}\) d) Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts, 5 Einheiten nach oben, Spiegelung an der \(x\)-Achse und Streckung mit Faktor \(1{,}5\).

- Welche Werte in der Formel entsprechen den Koordinaten des Scheitelpunkts? - Wie kannst du einen weiteren Punkt nutzen, um den Streckfaktor zu berechnen? - Achte beim Einsetzen der x-Koordinate in die Klammer auf das Vorzeichen.

1. Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts \(S(4 \mid -2)\) in die Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x-4)^2 - 2\). 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(2 \mid 6)\) in die Gleichung, um \(a\) zu bestimmen: \(6 = a(2-4)^2 - 2\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(6 = a(-2)^2 - 2 \Rightarrow 6 = 4a - 2\). 4. Lösen nach \(a\): \(8 = 4a \Rightarrow a = 2\). 5. Aufstellen der fertigen Funktionsgleichung: \(f(x) = 2(x-4)^2 - 2\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2(x-4)^2 - 2\).

- Welche Form der Parabelgleichung ist am nützlichsten, wenn der höchste oder tiefste Punkt bekannt ist? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den noch unbekannten Parameter in deiner Gleichung zu finden? - Was wissen wir über den \(x\)-Wert eines Punktes, der genau auf der vertikalen Achse des Koordinatensystems liegt?

1. Ansatz mit der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s\): Einsetzen des Scheitelpunkts \(S(-1 \mid 3)\) ergibt \(f(x) = a(x + 1)^2 + 3\). 2. Bestimmung des Streckfaktors \(a\) durch Einsetzen des Punktes \(P(1 \mid -5)\): \(-5 = a(1 + 1)^2 + 3\). 3. Auflösen der Gleichung: \(-5 = 4a + 3 \Rightarrow -8 = 4a \Rightarrow a = -2\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2(x + 1)^2 + 3\). 4. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = -2(0 + 1)^2 + 3 = -2 \cdot 1 + 3 = 1\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S_y(0 \mid 1)\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2(x + 1)^2 + 3\). b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid 1)\).

- Was musst du tun, um den Term in eine Form mit einer Klammer zum Quadrat zu bringen? - Wie hängen die Vorzeichen in der Scheitelpunktform mit den Koordinaten des Scheitelpunkts zusammen? - Was sagt die Zahl vor der Klammer über die Form und Ausrichtung der Parabel aus?

1. Ausklammern des Faktors \(2\) aus den Termen mit \(x\): \(f(x) = 2(x^2 + 6x) + 16\). 2. Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer mit \((\frac{6}{2})^2 = 9\): \(f(x) = 2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 16\). 3. Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung: \(f(x) = 2((x+3)^2 - 9) + 16 = 2(x+3)^2 - 18 + 16 = 2(x+3)^2 - 2\). 4. Ablesen des Scheitelpunkts aus der Form \(a(x-d)^2 + e\): \(S(-3|-2)\). 5. Analyse des Streckfaktors \(a = 2\): Da \(|a| > 1\), ist die Parabel gestreckt (schmaler). Da \(a > 0\), ist sie nach oben geöffnet.

a) Die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = 2(x+3)^2 - 2\). b) Der Scheitelpunkt ist \(S(-3|-2)\). c) Die Parabel ist gestreckt (schmaler als die Normalparabel) und nach oben geöffnet.

- Welche binomische Formel passt zur Struktur des Terms? - Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen? - Denke an die Form einer Parabel und die Bedeutung des Scheitelpunkts für den Verlauf. - Welcher Wert für \(x\) führt dazu, dass die Klammer Null wird?

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\): \(x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2\). 2. Da der Ausdruck \((x - 4)^2\) als Quadrat einer reellen Zahl minimal \(0\) sein kann, ist der kleinste Funktionswert \(y = 0\). Dieser wird an der Stelle \(x = 4\) erreicht. 3. Die Parabel ist nach oben geöffnet und hat ihren Scheitelpunkt bei \(S(4|0)\). Daraus folgt: Die Funktion ist für \(x \le 4\) streng monoton fallend und für \(x \ge 4\) streng monoton steigend. 4. Da der Funktionsterm als Quadrat \((x - 4)^2\) geschrieben werden kann und Quadrate reeller Zahlen stets größer oder gleich Null sind (\(a^2 \ge 0\)), kann \(f(x)\) niemals negativ sein.

1. \(f(x) = (x - 4)^2\) 2. Minimum \(0\) bei \(x = 4\) 3. Fallend für \(x \in (-\infty; 4]\), steigend für \(x \in [4; \infty)\) 4. Da \((x - 4)^2 \ge 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), sind keine negativen Werte möglich.

- Welche Zahl musst du addieren und subtrahieren, um den Term in eine binomische Formel zu bringen? - Wie hängen die Werte in der Scheitelpunktform mit der Lage des tiefsten Punktes zusammen? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf einer der Achsen liegt? - Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? Was sagt das über Extremwerte aus?

1. Umwandlung in die Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung: \(f(x) = x^2 + 8x + 16 - 16 + 12 = (x+4)^2 - 4\). 2. Ablesen des Scheitelpunktes aus der Form \(f(x) = (x-x_S)^2 + y_S\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-4 | -4)\). 3. Da die Parabel nach oben geöffnet ist (\(a=1 > 0\)), ist der \(y\)-Wert des Scheitelpunktes das Minimum: Das Minimum beträgt \(-4\) an der Stelle \(x = -4\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x=0\) ergibt \(f(0) = 0^2 + 8 \cdot 0 + 12 = 12\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | 12)\). 5. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): Lösen der Gleichung \((x+4)^2 - 4 = 0\) ergibt \((x+4)^2 = 4\), also \(x+4 = \pm 2\). Daraus folgen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = -6\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(-2 | 0)\) und \(N_2(-6 | 0)\).

a) \(f(x) = (x+4)^2 - 4\) b) \(S(-4 | -4)\) c) Minimum \(-4\) bei \(x = -4\) d) \(S_y(0 | 12)\), \(N_1(-2 | 0)\) und \(N_2(-6 | 0)\)

- Wie kannst du den Term \(x^2 - 6x\) so ergänzen, dass er einem Teil einer binomischen Formel entspricht? - Welche Information über den tiefsten Punkt der Parabel liefert dir die Scheitelpunktform direkt? - Überlege dir, wie der Graph im Koordinatensystem liegt. Wo befindet sich der Scheitelpunkt im Verhältnis zur \(x\)-Achse? - Was passiert mit dem Graphen einer Funktion, wenn man am Ende der Gleichung eine Zahl addiert oder subtrahiert?

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung: \(f(x) = x^2 - 6x + 9 - 9 + 13 = (x-3)^2 + 4\). Die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = (x-3)^2 + 4\). 2. Ablesen des Scheitelpunktes aus der Form \(y = (x-d)^2 + e\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3|4)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist (\(a=1 > 0\)), ist der kleinste Funktionswert \(y = 4\). 3. Untersuchung der Nullstellen: Da der kleinste Funktionswert \(4\) ist, gilt für alle \(x\), dass \(f(x) \ge 4\). Somit kann der Funktionswert niemals \(0\) werden, was bedeutet, dass keine reellen Nullstellen existieren. Alternativ: Die Gleichung \((x-3)^2 + 4 = 0\) führt zu \((x-3)^2 = -4\), was im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung hat. 4. Vergleich mit \(g(x)\): Die Funktion \(g(x) = x^2 - 6x + 9\) lässt sich als binomisches Quadrat schreiben: \(g(x) = (x-3)^2\). Hier liegt der Scheitelpunkt bei \(S(3|0)\), also direkt auf der \(x\)-Achse. Daher hat \(g(x)\) genau eine Nullstelle (einen Berührpunkt), während \(f(x)\) keine hat, da ihr Graph um \(4\) Einheiten nach oben verschoben ist.

1) \(f(x) = (x-3)^2 + 4\) 2) Scheitelpunkt \(S(3|4)\), kleinster Funktionswert \(4\). 3) Da der kleinste Wert \(4\) ist, wird die \(x\)-Achse (\(y=0\)) nie erreicht. 4) \(g(x)\) hat genau eine Nullstelle bei \(x=3\), da der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt.

- Wie sieht die allgemeine Scheitelpunktform aus? - Was sagt das Vorzeichen vor der Klammer über die Öffnung der Parabel aus? - Überlege dir, wo der tiefste oder höchste Punkt der Parabel liegt. Kann die Kurve dann die waagerechte Achse berühren? - Skizziere die Lage des Scheitelpunkts grob in einem Koordinatensystem.

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung: \(f(x) = x^2 - 4x + 4 - 4 + 7 = (x-2)^2 + 3\). 2. Ablesen des Scheitelpunkts: \(S(2|3)\). Da der Streckfaktor \(a = 1\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet, der Scheitelpunkt ist somit ein Tiefpunkt. 3. Da der tiefste Punkt der Parabel eine positive \(y\)-Koordinate (\(y = 3\)) besitzt und die Parabel nach oben geöffnet ist, liegen alle Funktionswerte oberhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \geq 3\)). Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) ist daher ausgeschlossen.

1. Scheitelpunktform: \(f(x) = (x-2)^2 + 3\) 2. Scheitelpunkt: \(S(2|3)\); es ist ein Tiefpunkt. 3. Der Scheitelpunkt liegt oberhalb der \(x\)-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet, daher gibt es keine Nullstellen.

- Überlege, wie man die Koordinaten direkt aus der Funktionsgleichung ablesen kann. - Was bedeutet der Scheitelpunkt für den Verlauf des Graphen? - Erinnere dich daran, wie man den Bereich der möglichen Ergebniswerte (\(y\)-Werte) nennt. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl quadriert?

1. Der Scheitelpunkt lässt sich direkt aus der Scheitelpunktform ablesen: \(S(3 \mid 2)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, ist der kleinste Funktionswert \(y = 2\). Der Wertebereich ist somit \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge 2\}\). 2. Links vom Scheitelpunkt fällt der Graph, rechts davon steigt er. Die Funktion ist für \(x \le 3\) streng monoton fallend und für \(x \ge 3\) streng monoton steigend. 3. Einsetzen von \(3 - d\) und \(3 + d\) in die Funktionsgleichung: \(f(3 - d) = (3 - d - 3)^2 + 2 = (-d)^2 + 2 = d^2 + 2\). Analog gilt \(f(3 + d) = (3 + d - 3)^2 + 2 = d^2 + 2\). Da \(f(3 - d) = f(3 + d)\) gilt, ist die Symmetrie zur Achse \(x = 3\) bewiesen.

1. Scheitelpunkt \(S(3 \mid 2)\), Wertebereich \(W = [2; \infty)\). 2. Streng monoton fallend für \(x \in (-\infty; 3]\), streng monoton steigend für \(x \in [3; \infty)\). 3. Der Nachweis erfolgt durch Einsetzen: Beide Ausdrücke ergeben \(d^2 + 2\).

- Welchen Wert hat die Funktion \(f\) an der Stelle \(x=0\)? - Was musst du für \(x\) in die Gleichung von \(g\) einsetzen, damit das Ergebnis in der Klammer \(0\) wird? - Vergleiche die Lage der beiden Punkte, an denen der Funktionswert \(0\) ist, auf der \(x\)-Achse.

1. Bestimmung des Scheitelpunkts: Die Funktion \(g(x) = (x+5)^2\) liegt in der Scheitelpunktform \(y = (x-d)^2 + e\) vor, wobei \(d = -5\) und \(e = 0\). Der Scheitelpunkt ist somit \(S(-5 | 0)\). 2. Erklärung der Verschiebung: Der Funktionswert \(f(0) = 0^2 = 0\) wird bei der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 0\) erreicht. Damit die Funktion \(g(x) = (x+5)^2\) ebenfalls den Wert \(0\) annimmt, muss der Ausdruck in der Klammer Null ergeben: \(x + 5 = 0\). Dies ist für \(x = -5\) der Fall. Da der charakteristische Punkt (der Scheitelpunkt) von \(x = 0\) auf \(x = -5\) wandert, entspricht dies einer Verschiebung um \(5\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links).

a) Der Scheitelpunkt ist \(S(-5 | 0)\). b) Damit \(g(x) = 0\) gilt (wie \(f(0) = 0\)), muss \(x = -5\) sein. Der Punkt wurde also von \(x=0\) zu \(x=-5\) verschoben, was einer Verschiebung nach links entspricht.

- Überlege dir, welches Vorzeichen \(d\) in der Form \((x-d)^2\) haben muss, wenn der Graph nach links oder rechts verschoben wird. - Was gibt der Wert außerhalb der Klammer in der Scheitelpunktform an? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Parametern in der Funktionsgleichung und den Koordinaten des tiefsten Punktes.

1. Überprüfung der Aussage: Eine Verschiebung um \(d\) Einheiten in \(x\)-Richtung und \(e\) Einheiten in \(y\)-Richtung transformiert \(y = x^2\) zu \(y = (x - d)^2 + e\). Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links entspricht \(d = -3\). Eingesetzt ergibt dies \((x - (-3))^2 = (x+3)^2\). Eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben entspricht \(e = 2\). Die Gleichung \(y = (x+3)^2 + 2\) ist somit korrekt. 2. Bestimmung der zweiten Gleichung: Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts bedeutet \(d = 3\), Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten bedeutet \(e = -2\). Die Funktionsgleichung lautet \(y = (x - 3)^2 - 2\). 3. Bestimmung des Scheitelpunkts: Aus der Scheitelpunktform \(y = (x - d)^2 + e\) lässt sich der Scheitelpunkt \(S(d|e)\) direkt ablesen. Für die Gleichung aus b) ergibt sich \(S(3 | -2)\).

a) Die Aussage ist korrekt, da eine Verschiebung um \(3\) nach links einem Wert von \(d = -3\) in der Form \(y = (x-d)^2 + e\) entspricht. b) \(y = (x-3)^2 - 2\) c) \(S(3 | -2)\)

- Welche Form der Funktionsgleichung bietet sich an, wenn der Scheitelpunkt direkt gegeben ist? - Wie kannst du den gegebenen Punkt auf der \(x\)-Achse nutzen, um den Streckfaktor zu bestimmen? - Wie kommst du von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form?

1. Ansatz mit der Scheitelpunktform unter Verwendung von \(S(3 | 8)\): \(y = a(x - 3)^2 + 8\). 2. Einsetzen des Punktes \((5 | 0)\) in die Gleichung: \(0 = a(5 - 3)^2 + 8\). 3. Berechnung von \(a\): \(0 = 4a + 8 \implies 4a = -8 \implies a = -2\). 4. Umformung in die allgemeine Form durch Ausmultiplizieren: \(y = -2(x^2 - 6x + 9) + 8\). 5. Zusammenfassen der Terme: \(y = -2x^2 + 12x - 18 + 8 = -2x^2 + 12x - 10\). 6. Identifikation der Koeffizienten: \(a = -2\), \(b = 12\), \(c = -10\).

\(a = -2, b = 12, c = -10\)

- Welchen Einfluss hat die Zahl vor der Klammer auf die Öffnungsrichtung der Kurve? - Wie kannst du feststellen, welche \(y\)-Werte die Funktion überhaupt annehmen kann? - Vergleiche den gegebenen \(y\)-Wert eines Punktes mit dem Wert, den die Funktion an derselben Stelle liefert.

1. Bestimmung der Wertemenge: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1|3)\). Da der Streckungsfaktor \(a = -2\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Der maximale Funktionswert ist somit \(y = 3\). Die Wertemenge ist \(W_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 3\}\). 2. Prüfung für Punkt \(A(0|2)\): Berechne den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\): \(f(0) = -2(0-1)^2 + 3 = -2(1) + 3 = 1\). Da der \(y\)-Wert des Punktes \(A\) mit \(2\) größer als der Funktionswert \(1\) ist, liegt Punkt \(A\) oberhalb des Graphen. 3. Prüfung für Punkt \(B(2|0)\): Berechne den Funktionswert an der Stelle \(x = 2\): \(f(2) = -2(2-1)^2 + 3 = -2(1) + 3 = 1\). Da der \(y\)-Wert des Punktes \(B\) mit \(0\) kleiner als der Funktionswert \(1\) ist, liegt Punkt \(B\) unterhalb des Graphen.

a) \(W_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 3\}\) b) Punkt \(A\) liegt oberhalb des Graphen, da \(f(0) = 1 < 2\). Punkt \(B\) liegt unterhalb des Graphen, da \(f(2) = 1 > 0\).

- Worauf musst du achten, wenn vor dem \(x^2\) eine Zahl steht? - Wie findest du den Wert für die quadratische Ergänzung? - Was sagt dir das Vorzeichen in der Klammer über die Verschiebung entlang der \(x\)-Achse? - Wie wirkt sich ein Faktor vor der Klammer auf die Form der Parabel aus?

1. Ausklammern des Streckfaktors \(2\) aus den ersten beiden Gliedern: \(f(x) = 2(x^2 - 6x) + 10\). 2. Durchführung der quadratischen Ergänzung innerhalb der Klammer mit \((\frac{6}{2})^2 = 9\): \(f(x) = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 10\). 3. Anwendung der binomischen Formel: \(f(x) = 2((x-3)^2 - 9) + 10\). 4. Ausmultiplizieren und Vereinfachen: \(f(x) = 2(x-3)^2 - 18 + 10 = 2(x-3)^2 - 8\). 5. Ablesen des Scheitelpunkts: \(S(3 \mid -8)\). 6. Beschreibung der Transformation: Die Parabel ist mit dem Faktor \(2\) gestreckt, um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(8\) Einheiten nach unten verschoben.

Die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = 2(x-3)^2 - 8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(3 \mid -8)\). Die Parabel ist im Vergleich zur Normalparabel mit dem Faktor \(2\) gestreckt, um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(8\) Einheiten nach unten verschoben.

- Welche Informationen liefert dir der Scheitelpunkt direkt für die Formel? - Wie kannst du den Punkt \(P\) nutzen, um den Streckfaktor zu berechnen? - Welche Rechenregel musst du beachten, wenn du eine Klammer mit einem Minuszeichen davor auflöst? - Wie kommst du von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form?

1. Ansatz der Scheitelpunktform \(y = a(x - x_s)^2 + y_s\) mit dem gegebenen Scheitelpunkt \(S(-2 \mid 5)\): \(y = a(x + 2)^2 + 5\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid 1)\) zur Bestimmung von \(a\): \(1 = a(0 + 2)^2 + 5\). 3. Auflösen nach \(a\): \(1 = 4a + 5 \Rightarrow -4 = 4a \Rightarrow a = -1\). 4. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(y = -(x + 2)^2 + 5\). 5. Umwandeln in die allgemeine Form durch Auflösen der Klammer (binomische Formel): \(y = -(x^2 + 4x + 4) + 5\). 6. Zusammenfassen: \(y = -x^2 - 4x - 4 + 5 = -x^2 - 4x + 1\).

Die Scheitelpunktform lautet \(y = -(x + 2)^2 + 5\). Die allgemeine Form lautet \(y = -x^2 - 4x + 1\).

- Was passiert mit der Funktionsgleichung, wenn du die Koordinaten eines Punktes für \(x\) und \(y\) einsetzt? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass der gesuchte Parameter allein auf einer Seite steht? - Berechne den Wert für jeden Punkt einzeln und schaue, welche Ergebnisse zusammenfallen.

1. Einsetzen der Punktkoordinaten in die Gleichung \(e = y - x^2\): Für \(A(2|1{,}5)\): \(e = 1{,}5 - 2^2 = 1{,}5 - 4 = -2{,}5\). Für \(B(-1|-1{,}5)\): \(e = -1{,}5 - (-1)^2 = -1{,}5 - 1 = -2{,}5\). Für \(C(0|4)\): \(e = 4 - 0^2 = 4\). Für \(D(3|13)\): \(e = 13 - 3^2 = 13 - 9 = 4\). Für \(E(1|-2)\): \(e = -2 - 1^2 = -3\). 2. Zusammenfassung der berechneten Werte: Die drei Werte für \(e\) sind \(-2{,}5\), \(4\) und \(-3\).

Die drei Werte für \(e\) sind \(-2{,}5\), \(4\) und \(-3\).

- Wenn der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, wie lautet dann der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts? - Erinnere dich an die Scheitelpunktform \(f(x) = (x-d)^2 + e\). Was bedeutet die Information über die Lage des Scheitelpunkts für \(e\)? - Wie viele Lösungen erhältst du beim Lösen einer Gleichung der Form \(x^2 = a\), wenn \(a\) positiv ist? - Kann ein Quadrat einer Zahl ein negatives Ergebnis liefern?

1. Eine verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse hat die Form \(f(x) = (x - d)^2\). 2. Zu Teil a): Einsetzen von \(A(1 \mid 4)\) ergibt \(4 = (1 - d)^2\). 3. Ziehen der Wurzel führt zu zwei Fällen: \(1 - d = 2\) oder \(1 - d = -2\). Daraus ergeben sich \(d_1 = -1\) und \(d_2 = 3\). 4. Die möglichen Gleichungen sind \(f_1(x) = (x + 1)^2\) und \(f_2(x) = (x - 3)^2\). 5. Zu Teil b): Einsetzen von \(B(1 \mid -4)\) führt zu \(-4 = (1 - d)^2\). 6. Da das Quadrat einer reellen Zahl \((1 - d)^2\) niemals negativ sein kann, gibt es keine Lösung für \(d\).

a) Die möglichen Funktionsgleichungen sind \(f_1(x) = (x + 1)^2\) und \(f_2(x) = (x - 3)^2\). b) Da die Funktionsgleichung die Form \(f(x) = (x - d)^2\) hat und Quadrate reeller Zahlen stets größer oder gleich Null sind, kann kein negativer \(y\)-Wert wie \(-4\) erreicht werden.

- Was muss für die Konstante am Ende der Normalform gelten, damit man die binomischen Formeln rückwärts anwenden kann? - Wenn eine Parabel den Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse hat, wie viele Nullstellen hat sie dann? - Überlege dir, wie der lineare Teil \(12x\) mit dem binomischen Term zusammenhängt.

1. Bedingung für Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse: Die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunktes muss \(0\) sein. Dies ist der Fall, wenn der Term ein perfektes Quadrat der Form \((x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\) ist. 2. Vergleich der Koeffizienten: Der lineare Koeffizient ist \(12\). Es gilt \(2d = 12\), woraus \(d = 6\) folgt. 3. Berechnung von \(q\): Der konstante Term \(q\) muss demnach \(d^2\) entsprechen, also \(q = 6^2 = 36\). 4. Aufstellen der Scheitelpunktform: Mit \(d = 6\) lautet die Gleichung \(f(x) = (x + 6)^2\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-6|0)\).

Der Wert ist \(q = 36\). Die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = (x + 6)^2\).

- Überlege dir, wie die Gleichung aussehen muss, wenn es nur eine einzige Nullstelle gibt. - Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert \(64\)? Beachte, dass es zwei Möglichkeiten gibt. - Wie hängen der Scheitelpunkt und die Klammerschreibweise der binomischen Formel zusammen?

1. Eine Parabel berührt die \(x\)-Achse genau dann in einem Punkt, wenn sie ein vollständiges Quadrat der Form \((x - x_s)^2 = x^2 - 2x_s \cdot x + x_s^2\) ist. 2. Vergleich des konstanten Glieds: \(x_s^2 = 64\). Dies liefert zwei Lösungen für \(x_s\): \(x_{s,1} = 8\) und \(x_{s,2} = -8\). 3. Berechnung von \(b\): Da \(b = -2x_s\), ergeben sich \(b_1 = -2 \cdot 8 = -16\) und \(b_2 = -2 \cdot (-8) = 16\). 4. Für den positiven Wert \(b = 16\) ist \(x_s = -8\). Der Scheitelpunkt liegt somit bei \(S(-8 | 0)\).

a) \(b = 16\) oder \(b = -16\) b) \(S(-8 | 0)\)

- Halbiere den Koeffizienten vor dem \(x\), um den Wert in der binomischen Formel zu finden. - Was bewirkt eine Änderung der Konstanten am Ende einer Funktionsgleichung in Scheitelpunktform für den Graphen? - Bleibt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts gleich, wenn du nur \(c\) änderst?

1. Für einen Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse muss \(h(x) = (x - d)^2 = x^2 - 2dx + d^2\) gelten. 2. Koeffizientenvergleich: \(-2d = -9 \Rightarrow d = 4{,}5\). 3. Berechnung von \(c\): \(c = d^2 = 4{,}5^2 = 20{,}25\). 4. Die Erhöhung von \(c\) um \(1{,}5\) entspricht einer Addition von \(1{,}5\) zum gesamten Funktionsterm: \(h_{neu}(x) = (x - 4{,}5)^2 + 1{,}5\). 5. Dies bewirkt eine vertikale Verschiebung des Graphen um \(1{,}5\) Einheiten nach oben. Der neue Scheitelpunkt liegt bei \(S(4{,}5 | 1{,}5)\).

a) \(c = 20{,}25\) b) Der Scheitelpunkt verschiebt sich um \(1{,}5\) Einheiten senkrecht nach oben auf die Koordinaten \(S(4{,}5 | 1{,}5)\).

- Was weißt du über die Lage der Symmetrieachse, wenn zwei Punkte denselben \(y\)-Wert haben? - Wie sieht die allgemeine Scheitelpunktform einer Normalparabel aus? - Wie viele Unbekannte hat die Scheitelpunktform und wie viele Informationen liefern dir die zwei Punkte?

1. Da \(g\) eine verschobene Normalparabel ist, lautet der Ansatz \(g(x) = (x - d)^2 + e\). 2. Die Punkte \(A(-2 | 3)\) und \(B(4 | 3)\) haben denselben \(y\)-Wert. Aufgrund der Achsensymmetrie von Normalparabeln muss die Symmetrieachse genau in der Mitte der \(x\)-Werte liegen: \(d = \frac{-2 + 4}{2} = 1\). 3. Einsetzen von \(d = 1\) und dem Punkt \(B(4 | 3)\) in die Gleichung: \(3 = (4 - 1)^2 + e \implies 3 = 9 + e \implies e = -6\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = (x - 1)^2 - 6\). 5. Zur Begründung der Eindeutigkeit: Bei einer Normalparabel (Streckfaktor \(a=1\)) ist der Abstand der \(x\)-Werte zum Scheitelpunkt bei festem \(y\)-Abstand zum Scheitelpunkt eindeutig festgelegt. Da zwei Punkte mit gleichem \(y\)-Wert gegeben sind, ist die horizontale Lage des Scheitels fixiert. Der \(y\)-Wert des Scheitels ergibt sich dann zwingend aus dem quadratischen Wachstum.

a) \(g(x) = (x - 1)^2 - 6\) b) Da beide Punkte denselben \(y\)-Wert haben, muss die Symmetrieachse bei \(x = 1\) liegen. Da der Streckfaktor \(a=1\) feststeht, ist durch die Lage der Symmetrieachse und einen Punkt auch der \(y\)-Wert des Scheitelpunktes eindeutig bestimmt.

- Überlege dir zuerst, wie die Grundstruktur der Scheitelpunktform aussieht. - Welche Werte für \(a\) sorgen dafür, dass eine Parabel „flacher“ oder „breiter“ wird? - Skizziere dir grob die Lage des Scheitelpunkts und die Öffnungsrichtung, um den Wertebereich zu bestimmen. - Was passiert grafisch mit einer Parabel, wenn man das Vorzeichen von \(a\) umkehrt?

1. Ansatz der Scheitelpunktform: \(g(x) = a(x - (-2))^2 + (-4) = a(x + 2)^2 - 4\). 2. Bedingung „nach oben geöffnet“ bedeutet \(a > 0\). Bedingung „breiter als Normalparabel“ bedeutet \(|a| < 1\). Eine mögliche Wahl ist \(a = 0{,}5\). Die Gleichung lautet dann z. B. \(g(x) = 0{,}5(x + 2)^2 - 4\). 3. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt. Der Wertebereich ist \(W = [-4; \infty)\). 4. Multiplikation von \(a\) mit \(-1\) spiegelt die Parabel an einer Parallelen zur \(x\)-Achse durch den Scheitelpunkt (sie öffnet sich dann nach unten). Der Scheitelpunkt bleibt gleich, aber er wird zum höchsten Punkt. Der neue Wertebereich wäre \(W_{neu} = (-\infty; -4]\).

a) Zum Beispiel \(g(x) = 0{,}5(x + 2)^2 - 4\) (jedes \(a\) mit \(0 < a < 1\) ist korrekt). b) \(W = [-4; \infty)\). c) Der Wertebereich würde sich zu \(W = (-\infty; -4]\) ändern, da die Parabel dann nach unten geöffnet ist und der Scheitelpunkt das Maximum darstellt.

- Schau dir die Struktur der Terme genau an. Welche Teile sind identisch? - Wo wechselt eine Parabel ihr Steigungsverhalten (Monotonie)? - Wie prüft man mathematisch, ob ein Punkt zu einer Funktion gehört? - Erinnerst du dich, wie man den \(x\)-Wert eines Punktes in eine Funktionsgleichung einsetzt?

1. Beide Funktionen haben die Form \(a(x - d)^2 + e\) mit \(d = -2\) und \(e = -1\). Somit haben beide den identischen Scheitelpunkt \(S(-2 \mid -1)\). Da die Symmetrieachse durch den \(x\)-Wert des Scheitelpunkts verläuft, haben beide die Symmetrieachse \(x = -2\). 2. Da bei beiden \(a > 0\) gilt (\(0{,}5\) bzw. \(3\)), sind beide Parabeln nach oben geöffnet. Eine nach oben geöffnete Parabel fällt links vom Scheitelpunkt. Beide Funktionen sind also für \(x \leq -2\), also auf dem Intervall \((-\infty; -2]\) streng monoton fallend. 3. Punktprobe für \(f(0)\): \(f(0) = 0{,}5(0 + 2)^2 - 1 = 0{,}5 \cdot 4 - 1 = 2 - 1 = 1\). Der Punkt \(P(0 \mid 1)\) liegt auf dem Graphen von \(f\). 4. Punktprobe für \(h(0)\): \(h(0) = 3(0 + 2)^2 - 1 = 3 \cdot 4 - 1 = 12 - 1 = 11\). Da \(11 \neq 1\), liegt der Punkt \(P\) nicht auf dem Graphen von \(h\).

a) Beide Graphen haben denselben Scheitelpunkt \(S(-2 \mid -1)\) und dieselbe Symmetrieachse \(x = -2\). b) Für \(x \le -2\) (bzw. im Intervall \((-\infty; -2]\)). c) Der Punkt \(P(0 \mid 1)\) liegt nur auf dem Graphen von \(f\), da \(f(0) = 1\), aber \(h(0) = 11\).

- Was verrät dir der Wertebereich über die Lage des Scheitelpunkts und die Öffnung der Parabel? - Wo liegt der Scheitelpunkt im Verhältnis zur Symmetrieachse? - Welchen Punkt kannst du aus der Information über die Nullstelle ableiten?

1. Bestimmen des Scheitelpunkts: Aus dem Wertebereich \(y \leq 4\) folgt, dass die Parabel nach unten geöffnet ist und der maximale \(y\)-Wert \(y_s = 4\) beträgt. Die Symmetrieachse \(x = 2\) gibt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts an (\(x_s = 2\)). Der Scheitelpunkt ist somit \(S(2 \mid 4)\). 2. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(g(x) = a(x - 2)^2 + 4\). 3. Bestimmen von \(a\) über die Nullstelle: Da \(x = 0\) eine Nullstelle ist, gilt \(g(0) = 0\). Einsetzen ergibt \(0 = a(0 - 2)^2 + 4\), also \(0 = 4a + 4\). 4. Berechnung: \(4a = -4\), also \(a = -1\). 5. Umwandeln in die allgemeine Form: \(g(x) = -1(x - 2)^2 + 4 = -(x^2 - 4x + 4) + 4 = -x^2 + 4x - 4 + 4\). 6. Endergebnis: \(g(x) = -x^2 + 4x\).

\(g(x) = -x^2 + 4x\)

- Was sagt die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts über die Lage der Parabel aus? - Kannst du den Scheitelpunkt von \(g(x)\) direkt sehen oder musst du dort auch etwas rechnen? - Wie gehst du mit dem Minuszeichen vor dem \(x^2\) bei der quadratischen Ergänzung um? - Vergleiche am Ende die beiden \(y\)-Werte der Scheitelpunkte.

1. Umformung von \(f(x)\) durch Ausklammern von \(-1\): \(-(x^2 - 4x) - 1\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{4}{2})^2 = 4\): \(-(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1\). 3. Binomische Formel anwenden: \(-((x-2)^2 - 4) - 1\). 4. Klammer auflösen: \(-(x-2)^2 + 4 - 1\), was zu \(f(x) = -(x-2)^2 + 3\) führt. 5. Scheitelpunkt von \(f\) bestimmen: \(S_f(2|3)\). 6. Scheitelpunkt von \(g\) direkt aus der Gleichung ablesen: \(S_g(3|4)\). 7. Vergleich der \(y\)-Koordinaten: Da \(4 > 3\) ist, liegt der Scheitelpunkt von \(g\) höher.

Die Parabel \(g\) hat ihren Scheitelpunkt weiter oben. Die Scheitelpunktform von \(f\) ist \(f(x) = -(x-2)^2 + 3\) mit \(S_f(2|3)\), während \(g\) den Scheitelpunkt \(S_g(3|4)\) besitzt. Da \(4 > 3\), liegt \(S_g\) höher.

- Was musst du zuerst tun, wenn vor dem \(x^2\) eine Zahl steht, die nicht \(1\) ist? - Achte beim Ausmultiplizieren darauf, dass der Faktor vor der Klammer auch mit der abgezogenen Zahl verrechnet wird. - Welcher Teil der Scheitelpunktform gibt an, ob die Parabel gestreckt, gestaucht oder gespiegelt ist?

1. Ausklammern des Streckfaktors \(2\) aus den ersten beiden Gliedern: \(g(x) = 2(x^2 - 6x) + 7\). 2. Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer: Die Hälfte von \(-6\) ist \(-3\), das Quadrat davon ist \(9\). Also: \(g(x) = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 7\). 3. Umwandlung in das Binom innerhalb der Klammer: \(g(x) = 2((x - 3)^2 - 9) + 7\). 4. Ausmultiplizieren der äußeren Klammer: \(g(x) = 2(x - 3)^2 - 18 + 7\). 5. Zusammenfassen der Konstanten ergibt die Scheitelpunktform: \(g(x) = 2(x - 3)^2 - 11\). 6. Da der Streckfaktor \(a = 2\) positiv ist (\(a > 0\)), ist die Parabel nach oben geöffnet.

Die Scheitelpunktform ist \(g(x) = 2(x-3)^2 - 11\). Da der Faktor \(2\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

- Was muss für den Wert \(a\) gelten, damit eine Parabel gestaucht ist? - In welchem Bereich liegen \(x\)- und \(y\)-Werte im zweiten Quadranten? - Skizziere dir grob die Lage der Parabel, um die Anzahl der Nullstellen zu prüfen.

1. Bedingung 1 (nach unten geöffnet und gestaucht): Der Parameter \(a\) muss negativ sein und sein Betrag muss zwischen 0 und 1 liegen, z. B. \(a = -0{,}5\). 2. Bedingung 2 (Scheitelpunkt im 2. Quadranten): Die \(x\)-Koordinate muss negativ (\(x_s < 0\)) und die \(y\)-Koordinate muss positiv (\(y_s > 0\)) sein. Beispiel: \(S(-3 \mid 4)\). 3. Bedingung 3 (zwei Nullstellen): Da die Parabel nach unten geöffnet ist (\(a < 0\)), muss der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegen (\(y_s > 0\)), damit es zwei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse gibt. Dies ist durch die Wahl im 2. Quadranten bereits erfüllt. 4. Zusammenfügen der gewählten Parameter: \(f(x) = -0{,}5(x+3)^2 + 4\).

Ein mögliches Beispiel ist \(f(x) = -0{,}5(x+3)^2 + 4\). (Andere Lösungen sind möglich, solange \(-1 < a < 0\), \(x_s < 0\) und \(y_s > 0\) gilt.)

- Wie verändert sich das Vorzeichen von \(a\), wenn die Parabel gespiegelt wird? - Was bewirkt eine Verschiebung nach links in der Klammer der Scheitelpunktform? - Stell dir vor, wo der Scheitelpunkt liegt und in welche Richtung die „Arme“ der Parabel gehen.

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse bedeutet \(a = -1\). 2. Verschiebung um \(5\) nach links bedeutet \(x_s = -5\). In der Formel steht dann \((x - (-5))\), also \((x+5)\). 3. Verschiebung um \(3\) nach oben bedeutet \(y_s = 3\). 4. Funktionsgleichung: \(f(x) = -(x+5)^2 + 3\). 5. Nullstellen: Da die Parabel nach unten geöffnet ist (\(a = -1\)) und ihr Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt (\(y_s = 3\)), muss der Graph die \(x\)-Achse zweimal schneiden. Es existieren also zwei Nullstellen.

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -(x+5)^2 + 3\). Die Funktion besitzt zwei Nullstellen, da die Parabel nach unten geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt.

- Wie kannst du den Term umformen, um den Scheitelpunkt direkt abzulesen? - Achte auf das Vorzeichen vor dem quadratischen Glied, um die Öffnungsrichtung zu bestimmen. - Setze den Funktionsterm gleich Null, um die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu finden. - Skizziere den Verlauf der Parabel im Kopf: Wo liegt sie über der Achse, wenn sie nach unten geöffnet ist?

1. Quadratische Ergänzung: \(h(x) = -(x^2 - 6x) - 5 = -(x^2 - 6x + 3^2 - 3^2) - 5 = -((x - 3)^2 - 9) - 5 = -(x - 3)^2 + 9 - 5 = -(x - 3)^2 + 4\). 2. Die Parabel ist wegen des negativen Vorzeichens vor der Klammer nach unten geöffnet. Der höchste Punkt ist der Scheitelpunkt \(S(3|4)\). Das Maximum ist somit \(y = 4\) bei \(x = 3\). 3. Nullstellenberechnung: \(0 = -(x - 3)^2 + 4 \Rightarrow (x - 3)^2 = 4 \Rightarrow x - 3 = 2\) oder \(x - 3 = -2\). Daraus ergeben sich \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 4. Da die Parabel nach unten geöffnet ist und die Nullstellen bei \(1\) und \(5\) liegen, verlaufen die Funktionswerte zwischen den Nullstellen oberhalb der \(x\)-Achse. Das gesuchte Intervall ist \(1 < x < 5\).

1. \(h(x) = -(x - 3)^2 + 4\) 2. Maximum bei \(S(3|4)\), da die Parabel nach unten geöffnet ist. 3. \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\) 4. \(x \in (1; 5)\) bzw. \(1 < x < 5\)

- Welche Informationen kannst du direkt aus der Scheitelpunktform ablesen? - Überlege dir, wie das Vorzeichen des Faktors vor der Klammer die Form der Parabel beeinflusst. - Wo befindet sich bei einer Parabel immer der höchste oder tiefste Punkt? - Wie berechnet man allgemein den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Welchen Wert hat die \(y\)-Koordinate an jeder Stelle, an der der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet?

1. Der Scheitelpunkt lässt sich direkt aus der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x-d)^2 + e\) ablesen: \(S(-4|6)\). Da der Streckfaktor \(a = -1{,}5\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. 2. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, besitzt sie ein Maximum am Scheitelpunkt. Der maximale Funktionswert beträgt \(y = 6\) an der Stelle \(x = -4\). 3. Eine nach unten geöffnete Parabel steigt links von ihrem Scheitelpunkt an. Die Funktion ist also im Intervall \((-\infty; -4]\) (bzw. für \(x \le -4\)) monoton steigend. 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = -1{,}5(0+4)^2 + 6 = -1{,}5 \cdot 16 + 6 = -24 + 6 = -18\). Somit ist der Schnittpunkt \(S_y(0|-18)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): Setze \(f(x) = 0\): \(-1{,}5(x+4)^2 + 6 = 0 \iff (x+4)^2 = 4 \iff x+4 = 2\) oder \(x+4 = -2\). Dies ergibt \(x_1 = -2\) und \(x_2 = -6\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(-2|0)\) und \(N_2(-6|0)\).

1. Scheitelpunkt \(S(-4|6)\), nach unten geöffnet. 2. Maximum \(y = 6\) bei \(x = -4\). 3. Monoton steigend für \(x \in (-\infty; -4]\). 4. Schnittpunkt \(y\)-Achse: \((0|-18)\); Schnittpunkte \(x\)-Achse: \((-2|0)\) und \((-6|0)\).

- Vergleiche die Parameter \(d\) und \(e\) in beiden Gleichungen. - Was bewirkt ein Faktor, dessen Betrag größer als 1 ist, im Vergleich zu einem Faktor zwischen 0 und 1? - Wie findest du den Punkt auf der \(y\)-Achse? Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte dort? - Überlege dir, welches Vorzeichen ein Ergebnis einer Quadrierung immer hat. Welchen Einfluss hat dann das Vorzeichen des Faktors \(a\) davor?

1. Beide Funktionsgleichungen haben die Form \(a(x-d)^2 + e\) mit \(d=1\) und \(e=0\). Somit haben beide Parabeln denselben Scheitelpunkt \(S(1|0)\), der auf der \(x\)-Achse liegt. 2. Für \(f(x)\) ist \(|a| = 2 > 1\), die Parabel ist also gestreckt (schmaler) als die Normalparabel und wegen \(a > 0\) nach oben geöffnet. Für \(g(x)\) ist \(|a| = 0{,}5 < 1\), die Parabel ist also gestaucht (breiter) und wegen \(a < 0\) nach unten geöffnet. 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): Für \(f\): \(f(0) = 2(0-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2 \implies S_{y,f}(0|2)\). Für \(g\): \(g(0) = -0{,}5(0-1)^2 = -0{,}5 \cdot 1 = -0{,}5 \implies S_{y,g}(0|-0{,}5)\). 4. Das Quadrat \((x - 1)^2\) ist für jede reelle Zahl \(x\) nichtnegativ. Da der Vorfaktor bei \(f\) positiv (\(2\)) und bei \(g\) negativ (\(-0{,}5\)) ist, liefert \(f(x)\) für alle \(x \neq 1\) positive Werte und \(g(x)\) negative Werte. Daher ist \(f(100)\) positiv.

1. Beide haben den Scheitelpunkt \(S(1|0)\). 2. \(f\) ist gestreckt und nach oben geöffnet; \(g\) ist gestaucht und nach unten geöffnet. 3. \(S_{y,f}(0|2)\) und \(S_{y,g}(0|-0{,}5)\). 4. Die Funktion \(f\), da der Faktor \(a = 2\) positiv ist und \((100 - 1)^2 > 0\) gilt.

- Achte beim Umformen auf das Vorzeichen vor dem \(x^2\). - Überlege dir, wie der Graph der Funktion aussieht (nach oben oder unten geöffnet?). - Wo genau ändert sich das Steigungsverhalten einer Parabel? - Wie hängen die Bereiche über und unter der \(x\)-Achse mit den Nullstellen zusammen?

1. Scheitelpunktform: Ausklammern des Minuszeichens ergibt \(g(x) = -(x^2 - 4x) - 1\). Quadratische Ergänzung im Klammerterm: \(-(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1 = -((x-2)^2 - 4) - 1 = -(x-2)^2 + 4 - 1 = -(x-2)^2 + 3\). 2. Nullstellen berechnen: \(-(x-2)^2 + 3 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 3 \Rightarrow x-2 = \pm\sqrt{3}\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 2 - \sqrt{3}\) und \(x_2 = 2 + \sqrt{3}\). 3. Monotonie: Die Parabel ist wegen \(a = -1\) nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt liegt bei \(x = 2\). Daher steigt die Funktion für alle Werte links vom Scheitelpunkt an, also im Intervall \(x \in (-\infty; 2]\). 4. Positivität: Da die Parabel nach unten geöffnet ist, liegen die Funktionswerte oberhalb der \(x\)-Achse zwischen den beiden Nullstellen. Es gilt \(g(x) > 0\) für \(2 - \sqrt{3} < x < 2 + \sqrt{3}\).

a) \(g(x) = -(x-2)^2 + 3\) b) \(x_1 = 2 - \sqrt{3}\) und \(x_2 = 2 + \sqrt{3}\) c) Streng monoton steigend für \(x \le 2\) (bzw. im Intervall \((-\infty; 2]\)). d) Für \(x \in (2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3})\).

- Denk daran, beim Ausklammern des Faktors vor dem \(x^2\) auch das Vorzeichen zu berücksichtigen. - Welche Auswirkung hat ein negativer Wert vor der Klammer in der Scheitelpunktform auf die Öffnung der Parabel? - Wenn der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel bereits unterhalb der \(x\)-Achse liegt, kann sie die Achse dann jemals erreichen? - Nutze die Symmetrie der Parabel zum Scheitelpunkt, um Rechenarbeit bei der Wertetabelle zu sparen.

1. Ausklammern des Faktors \(-2\) aus den ersten beiden Termen: \(h(x) = -2(x^2 - 4x) - 11\). Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer: \(h(x) = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 11\). Umformung: \(h(x) = -2((x-2)^2 - 4) - 11 = -2(x-2)^2 + 8 - 11 = -2(x-2)^2 - 3\). 2. Der Scheitelpunkt ist \(S(2|-3)\). Da der Streckfaktor \(a = -2\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Das Maximum der Funktion ist somit \(y = -3\). 3. Nullstellenprüfung: Da das Maximum der Funktion bei \(-3\) liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist, sind alle Funktionswerte kleiner oder gleich \(-3\). Da der gesamte Graph unterhalb der \(x\)-Achse liegt (\(h(x) \le -3\)), gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. 4. Berechnung der Tabellenwerte: \(h(0) = -2 \cdot 0^2 + 8 \cdot 0 - 11 = -11\) \(h(1) = -2 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 - 11 = -5\) \(h(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 11 = -3\) (Scheitelpunkt) \(h(3) = -2 \cdot 3^2 + 8 \cdot 3 - 11 = -5\) (Symmetrie zu \(x = 2\)) \(h(4) = -2 \cdot 4^2 + 8 \cdot 4 - 11 = -11\)

1) \(h(x) = -2(x-2)^2 - 3\) 2) Scheitelpunkt \(S(2|-3)\), Maximum \(-3\). 3) Keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse, da das Maximum unterhalb der Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist. 4) Werte: \(h(0)=-11\), \(h(1)=-5\), \(h(2)=-3\), \(h(3)=-5\), \(h(4)=-11\).

- Nutze die erste binomische Formel, um die quadratische Ergänzung zu finden. - Um Nullstellen zu finden, kannst du entweder die Scheitelpunktform umstellen oder die \(p\)-\(q\)-Formel auf die Normalform anwenden. - Die Koordinaten des Scheitelpunkts lassen sich direkt aus der Form \(y = (x-d)^2 + e\) ablesen, achte dabei auf das Vorzeichen in der Klammer. - Die Öffnungsrichtung der Parabel verrät dir, ob der Scheitelpunkt der höchste oder tiefste Punkt ist.

1. Quadratische Ergänzung durchführen: \(p(x) = x^2 + 4x + 2^2 - 2^2 - 5 = (x+2)^2 - 4 - 5\). Die Scheitelpunktform lautet \(p(x) = (x+2)^2 - 9\). 2. Nullstellen berechnen: Ansatz \(p(x) = 0 \Rightarrow (x+2)^2 - 9 = 0\). Daraus folgt \((x+2)^2 = 9\). Radizieren ergibt \(x+2 = 3\) oder \(x+2 = -3\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -5\). 3. Scheitelpunkt und Extremwert: Aus der Scheitelpunktform liest man \(S(-2|-9)\) ab. Da der Koeffizient vor dem quadratischen Term positiv ist (\(a=1\)), ist die Parabel nach oben geöffnet. Es handelt sich um ein Minimum mit dem Wert \(y = -9\) an der Stelle \(x = -2\).

1. Scheitelpunktform: \(p(x) = (x+2)^2 - 9\). 2. Nullstellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -5\). 3. Scheitelpunkt \(S(-2|-9)\); es ist ein Minimum mit dem Wert \(-9\).

- Wie kannst du die Scheitelpunkte direkt aus den Funktionsgleichungen ablesen? - Überlege dir, wie viele Schritte du vom ersten Scheitelpunkt gehen musst, um zum zweiten zu gelangen. - Was gilt für den \(x\)-Wert an jedem Punkt, der auf der \(y\)-Achse liegt?

1. Identifikation der Scheitelpunkte: Aus \(f(x) = (x-2)^2 + 3\) folgt \(S_f(2 | 3)\). Aus \(h(x) = (x+3)^2 - 1\) folgt \(S_h(-3 | -1)\). 2. Berechnung der Verschiebung: Um von \(S_f\) zu \(S_h\) zu gelangen, berechnet man die Differenz der Koordinaten. In \(x\)-Richtung: \(-3 - 2 = -5\) (also \(5\) Einheiten nach links). In \(y\)-Richtung: \(-1 - 3 = -4\) (also \(4\) Einheiten nach unten). 3. Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): Für \(f\): \(f(0) = (0-2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7\). Schnittpunkt \(S_{y,f}(0 | 7)\). Für \(h\): \(h(0) = (0+3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8\). Schnittpunkt \(S_{y,h}(0 | 8)\). 4. Vergleich: Da \(8 > 7\), schneidet der Graph von \(h\) die \(y\)-Achse weiter oben.

a) Verschiebung um \(5\) Einheiten nach links und \(4\) Einheiten nach unten. b) Die Schnittpunkte sind \(S_{y,f}(0 | 7)\) und \(S_{y,h}(0 | 8)\). Die Parabel \(h\) schneidet die \(y\)-Achse weiter oben.

- Wie kannst du den Term \(x^2 + 8x\) so ergänzen, dass er eine binomische Formel bildet? - Was musst du beim Vorzeichen in der Klammer beachten, wenn du die Verschiebung entlang der \(x\)-Achse beschreibst? - Skizziere dir gedanklich, wo der tiefste Punkt der Parabel liegt und in welche Richtung sie sich öffnet.

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung: \(f(x) = x^2 + 8x + 13\). Ergänzung mit \(\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16\): \(f(x) = (x^2 + 8x + 16) - 16 + 13\). Anwendung der ersten binomischen Formel: \(f(x) = (x+4)^2 - 3\). 2. Beschreibung der Transformation: Der Term \((x+4)^2\) zeigt eine Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links (negative \(x\)-Richtung). Der Term \(-3\) zeigt eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten (negative \(y\)-Richtung). 3. Analyse der Nullstellen: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-4 | -3)\). Da der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts negativ ist und die Parabel nach oben geöffnet ist (der Koeffizient vor \(x^2\) ist \(1 > 0\)), muss der Graph die \(x\)-Achse an zwei Stellen schneiden. Die Funktion hat somit zwei Nullstellen.

a) \(f(x) = (x+4)^2 - 3\) b) Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links und um \(3\) Einheiten nach unten. c) Zwei Nullstellen, da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist.

- Was bedeutet der Begriff „Maximum“ für die Lage des Scheitelpunkts und die Öffnung der Parabel? - Welche Koordinaten hat der Koordinatenursprung? - Parabeln sind symmetrisch. Wie hilft dir die Lage des Scheitelpunkts und einer Nullstelle, die andere zu finden? - Kannst du die Gleichung aus Teil a) nutzen, um die Nullstellen rechnerisch zu bestimmen?

1. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3 \mid 4{,}5)\). 2. Ansatz Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x - 3)^2 + 4{,}5\). 3. Punktprobe mit dem Ursprung \((0 \mid 0)\): \(0 = a(0 - 3)^2 + 4{,}5 \Rightarrow 0 = 9a + 4{,}5 \Rightarrow 9a = -4{,}5 \Rightarrow a = -0{,}5\). 4. Ausmultiplizieren für Teilaufgabe a): \(f(x) = -0{,}5(x^2 - 6x + 9) + 4{,}5 = -0{,}5x^2 + 3x - 4{,}5 + 4{,}5 = -0{,}5x^2 + 3x\). 5. Bestimmung der zweiten Nullstelle für Teilaufgabe b): Da die Parabel achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 3\) ist und eine Nullstelle bei \(x_1 = 0\) liegt (Abstand \(3\) zur Symmetrieachse \(x = 3\)), liegt die zweite Nullstelle bei \(x_2 = 3 + 3 = 6\). Alternativ über die Gleichung: \(-0{,}5x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(-0{,}5x + 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 6\).

a) \(f(x) = -0{,}5x^2 + 3x\); b) Die zweite Nullstelle liegt bei \(x = 6\).

- Erinnere dich daran, welche Koordinate des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse immer Null ist. - Welche Rechenschritte sind nötig, um eine Gleichung der Form \(ax^2 + bx + c = 0\) nach \(x\) aufzulösen? - Gibt es eine Formel, die dir hilft, die Nullstellen direkt zu finden, sobald die Gleichung in der Normalform vorliegt?

1. Aufstellen der Scheitelpunktform mit \(S(1 | 4{,}5)\): \(g(x) = a(x - 1)^2 + 4{,}5\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(P(0 | 4)\). Einsetzen ergibt: \(4 = a(0 - 1)^2 + 4{,}5 \Rightarrow 4 = a + 4{,}5 \Rightarrow a = -0{,}5\). 3. Umwandlung in die Normalform: \(g(x) = -0{,}5(x^2 - 2x + 1) + 4{,}5 = -0{,}5x^2 + x - 0{,}5 + 4{,}5 = -0{,}5x^2 + x + 4\). Die Koeffizienten sind \(a = -0{,}5\), \(b = 1\), \(c = 4\). 4. Nullstellenberechnung: Setze \(g(x) = 0 \Rightarrow -0{,}5x^2 + x + 4 = 0\). 5. Multiplikation mit \(-2\): \(x^2 - 2x - 8 = 0\). 6. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 - (-8)} = 1 \pm \sqrt{9} = 1 \pm 3\). 7. Ergebnisse: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\).

a) \(g(x) = -0{,}5x^2 + x + 4\) b) \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\)

- Was verrät dir die Symmetrieachse über die Lage des Scheitelpunkts? - Welche Koordinaten hat der Punkt auf der \(y\)-Achse, wenn der Achsenabschnitt \(-3\) ist? - Du hast zwei Unbekannte (\(a\) und \(y_S\)) in der Scheitelpunktform. Wie kannst du zwei Gleichungen aufstellen, um beide zu finden? - Was sagt das Vorzeichen von \(a\) über die Öffnung der Parabel aus?

1. Aus der Symmetrie zur Geraden \(x = 2\) folgt für die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(x_S = 2\). 2. Ansatz der Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x - 2)^2 + y_S\). 3. Nutzen der Punkte \(P(0 | -3)\) und \(Q(1 | 3)\) zur Aufstellung eines Gleichungssystems: (I) \(-3 = a(0 - 2)^2 + y_S \implies -3 = 4a + y_S\) (II) \(3 = a(1 - 2)^2 + y_S \implies 3 = a + y_S\) 4. Lösen des Systems: Subtraktion von (I) und (II) ergibt \(6 = -3a \implies a = -2\). 5. Berechnung von \(y_S\): Einsetzen von \(a\) in (II) ergibt \(3 = -2 + y_S \implies y_S = 5\). 6. Bestimmung der allgemeinen Form: \(f(x) = -2(x - 2)^2 + 5 = -2(x^2 - 4x + 4) + 5 = -2x^2 + 8x - 3\). Daraus folgt \(a = -2, b = 8, c = -3\). 7. Scheitelpunkt ist \(S(2 | 5)\). Da \(a = -2 < 0\) ist, ist die Parabel nach unten geöffnet, folglich ist der Scheitelpunkt ein Hochpunkt.

a) \(a = -2, b = 8, c = -3\) b) \(S(2 | 5)\); es ist ein Hochpunkt, da \(a < 0\) ist (die Parabel ist nach unten geöffnet).

- Was verrät dir die Symmetrieachse und der tiefste Punkt über die Lage des Scheitelpunkts? - Welche Koordinaten hat ein Punkt, der auf der \(y\)-Achse liegt? - Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Kannst du die Gleichung direkt nach \(x\) auflösen, ohne die Klammern zu öffnen?

1. Bestimmung des Scheitelpunkts: Aus der Symmetrieachse \(x = 1\) und dem minimalen Wert \(-4\) ergibt sich \(S(1 \mid -4)\). 2. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(g(x) = a(x - 1)^2 - 4\). 3. Nutzung des \(y\)-Achsenabschnitts: Der Punkt ist \(Q(0 \mid -3)\). Einsetzen in die Gleichung: \(-3 = a(0 - 1)^2 - 4\). 4. Berechnung von \(a\): \(-3 = a - 4 \implies a = 1\). 5. Funktionsgleichung: \(g(x) = (x - 1)^2 - 4\). 6. Berechnung der Nullstellen (Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse): Setze \(g(x) = 0 \implies (x - 1)^2 - 4 = 0\). 7. Lösen der Gleichung: \((x - 1)^2 = 4 \implies x - 1 = \pm 2\). Daraus folgen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 8. Angabe der Koordinaten: \(N_1(-1 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\).

\(N_1(-1 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\)

- Wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt, muss er die Funktionsgleichung erfüllen. - Beachte, dass beim Lösen der Gleichung nach \(d\) durch Wurzelziehen zwei Fälle entstehen können. - Welcher Wert für \(d\) passt zu mehreren der angegebenen Punkte?

1. Bestimmung von \(d\) durch Einsetzen in \(y = (x+d)^2\), woraus folgt \(x+d = \sqrt{y}\) oder \(x+d = -\sqrt{y}\). Für \(A(-3|4)\): \(-3+d = 2 \Rightarrow d=5\) oder \(-3+d = -2 \Rightarrow d=1\). Für \(B(0|1)\): \(0+d = 1 \Rightarrow d=1\) oder \(0+d = -1 \Rightarrow d=-1\). Da \(d=1\) bei beiden möglich ist, prüfen wir \(C(-2|1)\): \(-2+d = 1 \Rightarrow d=3\) oder \(-2+d = -1 \Rightarrow d=1\). Somit gehören \(A, B, C\) zur Funktion mit \(d=1\). 2. Prüfung der restlichen Punkte für die zweite Gruppe: Für \(F(2|0)\): \(2+d = 0 \Rightarrow d=-2\). Überprüfung für \(D(1|1)\): \(1+d = 1 \Rightarrow d=0\) oder \(1+d = -1 \Rightarrow d=-2\). Überprüfung für \(E(4|4)\): \(4+d = 2 \Rightarrow d=-2\) oder \(4+d = -2 \Rightarrow d=-6\). Somit gehören \(D, E, F\) zur Funktion mit \(d=-2\).

Die beiden Werte sind \(d_1 = 1\) und \(d_2 = -2\). Zum Graphen mit \(d = 1\) gehören die Punkte \(A, B\) und \(C\). Zum Graphen mit \(d = -2\) gehören die Punkte \(D, E\) und \(F\).

- Was sagt dir die Information „Scheitelpunkt liegt auf der Geraden \(y = 2\)“ über die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts aus? - Setze die bekannte Koordinate in die Scheitelpunktform ein. - Wie gehst du vor, um die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu finden? - Überlege dir die Form und Lage der Parabel: Wo ist der tiefste Punkt und in welche Richtung ist sie geöffnet?

1. Da der Scheitelpunkt auf der Geraden \(y = 2\) liegt, ist sein \(y\)-Wert \(y_s = 2\). Die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = (x - d)^2 + 2\). 2. Einsetzen von \(P(4 \mid 6)\): \(6 = (4 - d)^2 + 2\), also \(4 = (4 - d)^2\). 3. Lösen der Gleichung: \(4 - d = 2 \Rightarrow d = 2\) oder \(4 - d = -2 \Rightarrow d = 6\). 4. Die Funktionen sind \(f_1(x) = (x - 2)^2 + 2\) und \(f_2(x) = (x - 6)^2 + 2\). 5. Untersuchung auf Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \((x - d)^2 + 2 = 0 \Rightarrow (x - d)^2 = -2\). 6. Da ein Quadrat nicht negativ sein kann, gibt es keine reellen Lösungen. Alternativ: Da der Scheitelpunkt bei \(y = 2\) liegt und die Parabeln nach oben geöffnet sind, sind alle Funktionswerte mindestens \(2\). Es gibt keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.

1. Die Funktionsgleichungen lauten \(f_1(x) = (x - 2)^2 + 2\) und \(f_2(x) = (x - 6)^2 + 2\). 2. Die Parabeln schneiden die \(x\)-Achse nicht, da ihr kleinster Funktionswert (der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts) \(2\) ist und sie nach oben geöffnet sind. Rechnerisch führt der Ansatz \(f(x)=0\) auf die nicht lösbare Gleichung \((x-d)^2 = -2\).

- Wandle beide Funktionsgleichungen in die Scheitelpunktform um. - Skizziere dir im Kopf oder auf Papier, wo die Scheitelpunkte liegen und in welche Richtung die Parabeln geöffnet sind. - Überlege, ob die Parabel die \(x\)-Achse schneidet, berührt oder gar nicht erreicht.

1. Scheitelpunkt von \(p_1\): Der Term \(x^2 - 4x + 4\) entspricht \((x - 2)^2\). Der Scheitelpunkt ist \(S_1(2|0)\). 2. Nullstellen von \(p_1\): Da der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt (\(y = 0\)) und die Parabel nach oben geöffnet ist, berührt sie die \(x\)-Achse in genau einem Punkt. Es gibt also genau eine Nullstelle. 3. Scheitelpunkt von \(p_2\): Der Term \(x^2 - 4x + 5\) kann als \((x - 2)^2 + 1\) geschrieben werden. Der Scheitelpunkt ist \(S_2(2|1)\). 4. Nullstellen von \(p_2\): Da die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(1\) ist (oberhalb der \(x\)-Achse) und die Normalparabel nach oben geöffnet ist, kann sie die \(x\)-Achse nie erreichen. Es gibt keine Nullstellen.

Der Scheitelpunkt von \(p_1\) ist \(S_1(2|0)\). Er liegt auf der \(x\)-Achse, daher hat \(p_1\) genau eine Nullstelle (Berührpunkt). Der Scheitelpunkt von \(p_2\) ist \(S_2(2|1)\). Er liegt oberhalb der \(x\)-Achse. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, hat \(p_2\) keine Nullstellen.

- Berechne zuerst die konkreten Zahlenwerte für die Bedingungen. - Setze die allgemeine Form der verschobenen Normalparabel an. - Wie kannst du ein System aus zwei quadratischen Gleichungen vereinfachen, wenn in beiden derselbe Parameter \(e\) vorkommt? - Was bedeutet es rechnerisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegen soll?

1. Funktionswerte von \(f\) berechnen: \(f(3) = 3^2 = 9\) und \(f(1) = 1^2 = 1\). 2. Bedingungen für \(g(x) = (x - d)^2 + e\) aufstellen: I: \((1 - d)^2 + e = 9\) II: \((3 - d)^2 + e = 1\) 3. Gleichungssystem lösen durch Subtraktion (I - II): \((1 - d)^2 - (3 - d)^2 = 9 - 1\) \((1 - 2d + d^2) - (9 - 6d + d^2) = 8\) \(4d - 8 = 8 \implies 4d = 16 \implies d = 4\). 4. \(e\) berechnen durch Einsetzen von \(d=4\) in II: \((3 - 4)^2 + e = 1 \implies 1 + e = 1 \implies e = 0\). 5. Funktionsgleichung: \(g(x) = (x - 4)^2\). 6. Punktprobe für \(P(2 | 0)\): \(g(2) = (2 - 4)^2 = (-2)^2 = 4\). Da \(4 \neq 0\), liegt der Punkt \(P\) nicht auf dem Graphen.

Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = (x - 4)^2\). Der Punkt \(P(2 | 0)\) liegt nicht auf dem Graphen, da \(g(2) = 4 \neq 0\).

- Wie sieht die allgemeine Scheitelpunktform aus und welche Werte von \(S(4|2)\) kannst du dort direkt einsetzen? - Wie kannst du den Punkt \(P(0|-6)\) nutzen, um den noch unbekannten Streckfaktor \(a\) zu berechnen? - Denk beim Auflösen der binomischen Formel an die Struktur \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). - Vergiss nicht, am Ende alle Terme mit dem Faktor \(a\) zu multiplizieren, bevor du die Konstante addierst.

1. Ansatz der Scheitelpunktform mit \(S(4|2)\): \(p(x) = a(x-4)^2 + 2\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(0|-6)\) zur Bestimmung von \(a\): \(-6 = a(0-4)^2 + 2\). 3. Gleichung nach \(a\) auflösen: \(-6 = 16a + 2 \Rightarrow -8 = 16a \Rightarrow a = -0{,}5\). 4. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(p(x) = -0{,}5(x-4)^2 + 2\). 5. Ausmultiplizieren der binomischen Formel: \(p(x) = -0{,}5(x^2 - 8x + 16) + 2\). 6. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(p(x) = -0{,}5x^2 + 4x - 8 + 2 = -0{,}5x^2 + 4x - 6\).

a) Die Scheitelpunktform ist \(p(x) = -0{,}5(x-4)^2 + 2\). b) Die allgemeine Form ist \(p(x) = -0{,}5x^2 + 4x - 6\).

- Bestimme zuerst für beide Funktionen die Scheitelpunktform. - Achte bei der Funktion \(f(x)\) besonders auf das Vorzeichen beim Ausklammern. - Vergleiche am Ende nur die Werte, die außerhalb der Klammer stehen.

1. Umformung von \(f(x)\): Ausklammern von \(-0{,}5\) ergibt \(-0{,}5(x^2 + 8x)\). Ergänzung mit \((\frac{8}{2})^2 = 16\). Es folgt \(f(x) = -0{,}5(x^2 + 8x + 16 - 16) = -0{,}5((x+4)^2 - 16) = -0{,}5(x+4)^2 + 8\). Die \(y\)-Koordinate ist \(y_{S_f} = 8\). 2. Umformung von \(h(x)\): Quadratische Ergänzung mit \((\frac{8}{2})^2 = 16\). Es folgt \(h(x) = (x^2 + 8x + 16) - 16 + 10 = (x+4)^2 - 6\). Die \(y\)-Koordinate ist \(y_{S_h} = -6\). 3. Vergleich der \(y\)-Werte: Da \(8 > -6\), hat der Scheitelpunkt von \(f(x)\) die größere \(y\)-Koordinate.

Der Scheitelpunkt von \(f(x)\) liegt bei \(y = 8\), der von \(h(x)\) bei \(y = -6\). Somit hat die Parabel zu \(f(x)\) den höheren Scheitelpunkt.

- Nutze die Koordinaten des Scheitelpunkts direkt für den Ansatz der Scheitelpunktform. - Wie kannst du den unbekannten Streckfaktor \(a\) mithilfe eines weiteren Punktes berechnen? - Welche Bedingung muss für einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gelten, welche für die \(y\)-Achse? - Überlege dir die Symmetrie der Parabel: Wenn der Graph bei \(x=3\) den Wert \(6\) hat, wo muss er diesen Wert auf der anderen Seite des Scheitelpunkts erreichen?

1. Ansatz Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x - 1)^2 - 2\). Punkt \(P(3 \mid 6)\) einsetzen: \(6 = a(3 - 1)^2 - 2 \Rightarrow 8 = 4a \Rightarrow a = 2\). Scheitelpunktform: \(f(x) = 2(x - 1)^2 - 2\). Allgemeine Form: \(f(x) = 2(x^2 - 2x + 1) - 2 = 2x^2 - 4x\). 2. \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = 2(0)^2 - 4(0) = 0 \Rightarrow S_y(0 \mid 0)\). Nullstellen: \(2x^2 - 4x = 0 \Rightarrow 2x(x - 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 2\). Schnittpunkte: \(N_1(0 \mid 0)\) und \(N_2(2 \mid 0)\). 3. Bedingung \(f(x) > 6\): \(2(x - 1)^2 - 2 > 6 \Rightarrow 2(x - 1)^2 > 8 \Rightarrow (x - 1)^2 > 4\). Dies gilt für \(x - 1 > 2\) (also \(x > 3\)) oder \(x - 1 < -2\) (also \(x < -1\)). 4. Da \(a = 2 > 0\), ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt. Der kleinste Funktionswert ist \(y = -2\) bei \(x = 1\).

1. Scheitelpunktform: \(f(x) = 2(x - 1)^2 - 2\); allgemeine Form: \(f(x) = 2x^2 - 4x\) 2. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \((0 \mid 0)\) und \((2 \mid 0)\); mit der \(y\)-Achse: \((0 \mid 0)\) 3. \(f(x) > 6\) für \(x < -1\) oder \(x > 3\) 4. Minimum: \(y = -2\) bei \(x = 1\)

- Welchen Zusammenhang gibt dir die Geradengleichung für die Koordinaten des Scheitelpunkts? - Ersetze eine der Variablen in der Scheitelpunktform durch den Ausdruck der Geraden. - Welche Art von Gleichung musst du lösen, nachdem du den Punkt \(P\) eingesetzt hast? - Gibt es vielleicht mehr als eine Lösung für den Parameter?

1. Da der Scheitelpunkt auf der Geraden \(y = x - 2\) liegt, gilt für seine Koordinaten \(e = d - 2\). 2. Die Scheitelpunktform der Normalparabel lautet \(g(x) = (x - d)^2 + e\). Ersetze \(e\) durch \(d - 2\): \(g(x) = (x - d)^2 + d - 2\). 3. Punkt \(P(4 | 2)\) einsetzen: \(2 = (4 - d)^2 + d - 2\). 4. Gleichung nach \(d\) auflösen: \(2 = 16 - 8d + d^2 + d - 2\) \(2 = d^2 - 7d + 14\) \(0 = d^2 - 7d + 12\). 5. Quadratische Gleichung lösen (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder durch Faktorisieren): \((d - 3)(d - 4) = 0\). Daraus ergeben sich \(d_1 = 3\) und \(d_2 = 4\). 6. Zugehörige \(e\)-Werte berechnen: Für \(d_1 = 3\): \(e_1 = 3 - 2 = 1\). Für \(d_2 = 4\): \(e_2 = 4 - 2 = 2\). 7. Die möglichen Funktionsgleichungen sind \(g_1(x) = (x - 3)^2 + 1\) und \(g_2(x) = (x - 4)^2 + 2\).

Es gibt zwei mögliche Funktionen: \(g_1(x) = (x - 3)^2 + 1\) \(g_2(x) = (x - 4)^2 + 2\)