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- Überlege, welcher Zusammenhang zwischen dem mittleren Teil der Gleichung und der binomischen Formel besteht. - Was muss für den Funktionswert am Scheitelpunkt gelten, wenn dieser auf der \(x\)-Achse liegt? - Wie hängen die Koeffizienten in der Normalform \(x^2 + px + q\) zusammen, wenn es nur eine Nullstelle gibt?

1. Eine verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse hat die Form \(y = (x - x_S)^2 = x^2 - 2x_S \cdot x + x_S^2\). Der konstante Term entspricht also dem Quadrat der Hälfte des linearen Koeffizienten. 2. Für \(f(x)\): Der lineare Koeffizient ist \(12\). Die Hälfte ist \(6\), das Quadrat davon ist \(36\). Die Gleichung lautet \(f(x) = x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-6|0)\). 3. Für \(g(x)\): Der lineare Koeffizient ist \(-18\). Die Hälfte ist \(-9\), das Quadrat davon ist \(81\). Die Gleichung lautet \(g(x) = x^2 - 18x + 81 = (x - 9)^2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(9|0)\). 4. Für \(h(x)\): Der lineare Koeffizient ist \(7\). Die Hälfte ist \(3{,}5\), das Quadrat davon ist \(12{,}25\). Die Gleichung lautet \(h(x) = x^2 + 7x + 12{,}25 = (x + 3{,}5)^2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-3{,}5|0)\).

a) \(f(x) = x^2 + 12x + 36\); \(S(-6|0)\) b) \(g(x) = x^2 - 18x + 81\); \(S(9|0)\) c) \(h(x) = x^2 + 7x + 12{,}25\); \(S(-3{,}5|0)\)

- Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt, wie „breit“ oder „schmal“ eine Parabel ist? - Erinnere dich daran, welche Eigenschaft der Koeffizient vor dem \(x^2\) haben muss, damit eine Parabel nach oben oder unten offen ist. - Was bedeutet es für die Form der Parabel, wenn der Wert vor dem \(x^2\) betragsmäßig sehr groß oder sehr klein ist? - Vergleiche die Werte mit der Zahl \(1\), um die Form in Relation zur Normalparabel zu setzen.

1. Bestimmung der Weite durch den Betrag des Koeffizienten \(a\): \(|a_3| = 0{,}1\), \(|a_2| = 0{,}5\), \(|a_1| = 2\), \(|a_4| = 3\). Je kleiner der Betrag, desto weiter die Öffnung. Reihenfolge: \(f_3, f_2, f_1, f_4\). 2. Vergleich mit der Normalparabel (\(|a| = 1\)): Eine Parabel ist enger, wenn \(|a| > 1\). Dies trifft auf \(f_1\) (\(|2| > 1\)) und \(f_4\) (\(|-3| > 1\)) zu. 3. Die Öffnungsrichtung wird durch das Vorzeichen von \(a\) bestimmt. Ist \(a < 0\), ist die Parabel nach unten geöffnet. Dies gilt für \(f_3\) (\(a = -0{,}1\)) und \(f_4\) (\(a = -3\)).

a) \(f_3, f_2, f_1, f_4\) b) \(f_1\) und \(f_4\) c) \(f_3\) und \(f_4\), da ihr Streckfaktor \(a\) negativ ist.

- Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie verändert sich der Funktionsterm, wenn der Streckfaktor vervielfacht wird? - Wie kannst du überprüfen, ob ein Punkt die Bedingungen einer Gleichung erfüllt?

1. Einsetzen der Koordinaten von \(A(5 | 5)\) in die Funktionsgleichung: \(5 = a \cdot 5^2\). Daraus folgt \(5 = 25a\) und somit \(a = 0{,}2\). 2. Bestimmung des neuen Streckfaktors \(a'\): \(a' = 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8\). Die neue Funktionsgleichung lautet \(y = 0{,}8x^2\). 3. Punktprobe für \(B(2{,}5 | 5)\): Einsetzen von \(x = 2{,}5\) ergibt \(y = 0{,}8 \cdot 2{,}5^2 = 0{,}8 \cdot 6{,}25 = 5\). 4. Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate des Punktes \(B\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf der zweiten Parabel.

1. Der Parameter ist \(a = 0{,}2\). 2. Ja, der Punkt \(B(2{,}5 | 5)\) liegt auf der zweiten Parabel mit der Gleichung \(y = 0{,}8x^2\).

- Welche Eigenschaft hat die Funktionsgleichung einer Parabel, die symmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Kannst du die gegebenen Punkte in die allgemeine Form der Funktionsgleichung einsetzen? - Wie viele Unbekannte hast du und wie viele Gleichungen kannst du daraus bilden? - Gibt es ein Verfahren, mit dem du eine Unbekannte eliminieren kannst?

1. Aufstellen eines Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte in den Funktionsterm \(f(x) = ax^2 + c\): (I) \(a \cdot 2^2 + c = 1 \Rightarrow 4a + c = 1\) (II) \(a \cdot 4^2 + c = 7 \Rightarrow 16a + c = 7\) 2. Subtraktion von Gleichung (I) von Gleichung (II): \(12a = 6 \Rightarrow a = 0{,}5\). 3. Einsetzen von \(a\) in Gleichung (I): \(4 \cdot 0{,}5 + c = 1 \Rightarrow 2 + c = 1 \Rightarrow c = -1\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = 0{,}5x^2 - 1\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}5x^2 - 1\).

- Welchen Einfluss hat ein Vorzeichen vor dem gesamten Term auf die Öffnung der Parabel? - Wie verändern Werte innerhalb und außerhalb der Klammer die Lage des Scheitelpunkts? - Überlege dir, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist, um zwischen Maximum und Minimum zu unterscheiden. - Was passiert mit dem Graphen, wenn man \(x\) durch \((x-d)\) ersetzt?

1. Für \(f(x) = (x - 4)^2 + 3\): Verschiebung der Normalparabel um \(4\) Einheiten nach rechts und \(3\) Einheiten nach oben. Scheitelpunkt \(S(4|3)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegt ein Minimum bei \(y = 3\) für \(x = 4\) vor. 2. Für \(g(x) = -x^2 - 2\): Spiegelung der Normalparabel an der \(x\)-Achse und Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten. Scheitelpunkt \(S(0|-2)\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, liegt ein Maximum bei \(y = -2\) für \(x = 0\) vor. 3. Für \(h(x) = (x + 2)^2 - 5\): Verschiebung der Normalparabel um \(2\) Einheiten nach links und \(5\) Einheiten nach unten. Scheitelpunkt \(S(-2|-5)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegt ein Minimum bei \(y = -5\) für \(x = -2\) vor.

a) \(4\) nach rechts, \(3\) nach oben; \(S(4|3)\); Minimum. b) Spiegelung an der \(x\)-Achse, \(2\) nach unten; \(S(0|-2)\); Maximum. c) \(2\) nach links, \(5\) nach unten; \(S(-2|-5)\); Minimum.

- Wie verändert sich die Funktionsgleichung, wenn man den Graphen entlang der Achsen schiebt? - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um Klammern aufzulösen. - Wo liegt der tiefste Punkt der Parabel im Vergleich zur horizontalen Achse? - Welchen Wert hat die \(x\)-Koordinate immer, wenn ein Punkt auf der vertikalen Achse liegt?

1. Aufstellen der Scheitelpunktform durch Einsetzen der Verschiebungswerte (3 Einheiten rechts, 1 Einheit oben): \(p(x) = (x - 3)^2 + 1\). Umwandlung in die Normalform durch Anwendung der zweiten binomischen Formel: \(p(x) = x^2 - 6x + 9 + 1 = x^2 - 6x + 10\). 2. Begründung der fehlenden Nullstellen: Der Scheitelpunkt \(S(3 \mid 1)\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse (\(y_S = 1 > 0\)). Da die Parabel nach oben geöffnet ist (Streckfaktor \(a = 1\)), verläuft der gesamte Graph oberhalb der \(x\)-Achse. 3. Berechnung des Schnittpunktes mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung: \(p(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 10 = 10\). Resultierender Punkt: \(S_y(0 \mid 10)\).

1) Scheitelpunktform: \(p(x) = (x - 3)^2 + 1\); Normalform: \(p(x) = x^2 - 6x + 10\). 2) Der Scheitelpunkt \(S(3 \mid 1)\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet. 3) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 10)\).

- Was kannst du direkt aus der Form der Funktionsgleichungen über die Lage des höchsten Punktes ablesen? - Wie verändern die Zahlenwerte innerhalb und außerhalb der Klammer die Position des Graphen im Koordinatensystem? - Überlege, ob die Parabeln nach oben oder unten geöffnet sind, um zu bestimmen, welche \(y\)-Werte erreicht werden können.

1. Bestimmung der Scheitelpunkte aus der Scheitelpunktform \(y = a(x - d)^2 + e\): Für \(f(x) = -0{,}5(x - 0)^2 + 0\) ist der Scheitelpunkt \(S_f(0 \mid 0)\). Für \(g(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 3\) ist der Scheitelpunkt \(S_g(2 \mid 3)\). 2. Analyse der Verschiebung: Der Übergang von \(x^2\) zu \((x - 2)^2\) entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts. Der Summand \(+3\) am Ende entspricht einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben. 3. Bestimmung der Wertebereiche: Da der Streckfaktor \(a = -0{,}5\) negativ ist, sind beide Parabeln nach unten geöffnet. Der maximale Funktionswert entspricht jeweils der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunktes. Somit gilt \(W_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 0\}\) (oder \((-\infty; 0]\)) und \(W_g = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 3\}\) (oder \((-\infty; 3]\)).

a) \(S_f(0 \mid 0)\) und \(S_g(2 \mid 3)\) b) Der Graph von \(g\) entsteht durch Verschiebung des Graphen von \(f\) um \(2\) Einheiten nach rechts und \(3\) Einheiten nach oben. c) \(W_f = (-\infty; 0]\) und \(W_g = (-\infty; 3]\)

- Welchen Einfluss haben die Zahlenwerte in der Klammer und außerhalb der Klammer auf die Lage der Parabel? - Wie verändert sich das Vorzeichen der Funktionsgleichung, wenn eine Parabel „auf den Kopf gestellt“ wird? - Achte besonders auf das Vorzeichen innerhalb der Klammer bei Verschiebungen entlang der \(x\)-Achse. - Der Scheitelpunkt lässt sich direkt aus der Form \(y = (x - d)^2 + e\) ablesen.

1. Analyse der Funktion \(g(x) = (x - 5)^2 + 3\): Die Normalparabel wird um \(5\) Einheiten nach rechts und um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. 2. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(h\): Spiegelung an der \(x\)-Achse ergibt \(y = -x^2\). Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links ersetzt \(x\) durch \((x + 4)\). Die Gleichung lautet \(h(x) = -(x + 4)^2\). 3. Bestimmung der Scheitelpunkte: Aus der Scheitelpunktform \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\) ergeben sich für \(g\) der Scheitelpunkt \(S_g(5|3)\) und für \(h\) der Scheitelpunkt \(S_h(-4|0)\).

a) Die Normalparabel wird um \(5\) Einheiten nach rechts und um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. b) \(h(x) = -(x + 4)^2\) c) \(S_g(5|3)\) und \(S_h(-4|0)\)

- Erinnere dich daran, wie der Betrag des Faktors vor dem \(x^2\) die Form der Parabel beeinflusst. - Überlege dir, in welche Richtung eine Parabel geöffnet sein muss, um einen höchsten Punkt (Maximum) zu haben. - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn man einen Graphen an der \(x\)-Achse spiegelt?

1. Vergleich der Form: Da \(|-4| > 1\), ist der Graph von \(g\) schmaler (gestreckt) als die Normalparabel. Da \(|0{,}5| < 1\), ist der Graph von \(f\) breiter (gestaucht). 2. Bestimmung des Maximums: Eine Parabel der Form \(y = ax^2\) besitzt ein Maximum, wenn sie nach unten geöffnet ist, also \(a < 0\). Dies trifft auf \(g(x)\) zu. Da der Scheitelpunkt im Ursprung \((0|0)\) liegt, ist das Maximum \(y = 0\). 3. Spiegelung: Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse kehrt das Vorzeichen des Streckfaktors um. Für \(f(x) = 0{,}5x^2\) ergibt sich somit \(a = -0{,}5\).

a) \(g(x)\) ist schmaler, da der Betrag des Streckfaktors (\(|-4| = 4\)) größer als 1 ist. b) \(g(x)\) besitzt ein Maximum; der Wert ist \(y = 0\). c) Der Parameter muss \(a = -0{,}5\) sein.

- Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie beeinflusst ein Faktor vor dem \(x^2\) die Form der Parabel im Vergleich zur Normalparabel? - Überlege, ob die \(y\)-Werte bei gleichem \(x\) größer oder kleiner werden als bei der Normalparabel.

1. Einsetzen der Koordinaten von \(P(4 | 4)\) in die Funktionsgleichung: \(4 = a \cdot 4^2\). 2. Berechnung von \(a\): \(4 = 16 \cdot a \Rightarrow a = \frac{4}{16} = 0{,}25\). 3. Vergleich mit der Normalparabel: Da der Betrag von \(a\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt (\(0 < 0{,}25 < 1\)), handelt es sich um eine Stauchung in \(y\)-Richtung. Der Graph ist flacher als die Normalparabel.

a) \(a = 0{,}25\) b) Der Graph ist gegenüber der Normalparabel in \(y\)-Richtung gestaucht.

- Was sagt das Vorzeichen des Streckfaktors über die Öffnungsrichtung aus? - Was bedeutet es für die Form der Parabel, wenn der Betrag des Streckfaktors größer als 1 ist? - Beide Punkte \(A\) und \(B\) liegen auf derselben vertikalen Linie. Was fällt dir an ihrer Position im Vergleich zu den Nullstellen auf?

1. Ansatz für beide Funktionen in Nullstellenform: \(f(x) = a \cdot (x - 1) \cdot (x - 5)\). 2. Berechnung für Parabel 1 mit \(A(3 \mid -4)\): \(-4 = a_1 \cdot (3 - 1) \cdot (3 - 5) \Rightarrow -4 = a_1 \cdot 2 \cdot (-2) \Rightarrow -4 = -4a_1 \Rightarrow a_1 = 1\). 3. Berechnung für Parabel 2 mit \(B(3 \mid 8)\): \(8 = a_2 \cdot (3 - 1) \cdot (3 - 5) \Rightarrow 8 = a_2 \cdot 2 \cdot (-2) \Rightarrow 8 = -4a_2 \Rightarrow a_2 = -2\). 4. Vergleich: \(a_1 = 1\) bedeutet, dass es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt. \(a_2 = -2\) bedeutet, dass die Parabel nach unten geöffnet ist und im Vergleich zur Normalparabel in \(y\)-Richtung gestreckt wurde.

Für die erste Parabel gilt \(a_1 = 1\); sie ist eine nach oben geöffnete Normalparabel. Für die zweite Parabel gilt \(a_2 = -2\); sie ist nach unten geöffnet und schmaler (gestreckt) als eine Normalparabel.

- Überlege, welche Form die Funktionsgleichungen haben und wo der Scheitelpunkt bei Gleichungen ohne lineares Glied (also ohne ein einfaches \(x\)) liegt. - Um Nullstellen zu finden, musst du die Gleichung \(y = 0\) nach \(x\) auflösen. - Wie beeinflusst die Zahl vor dem \(x^2\) die Form der Parabel? - Stell dir vor, wie steil die Kurven nach oben gehen, wenn sie am selben Punkt starten.

1. Bestimmung der Scheitelpunkte: Beide Funktionen liegen in der Form \(f(x) = ax^2 + c\) vor. Hier ist der Scheitelpunkt immer \(S(0 | c)\). Für \(f(x)\): \(S_f(0 | -4)\). Für \(g(x)\): \(S_g(0 | -4)\). Beide Parabeln haben denselben Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse. 2. Berechnung der Nullstellen: Für \(f(x)\): \(x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2; x_2 = 2\). Für \(g(x)\): \(2x^2 - 4 = 0 \implies 2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x_1 \approx -1{,}41; x_2 \approx 1{,}41\). 3. Vergleich der Öffnung: Der Streckfaktor \(a\) bei \(g(x)\) ist \(2\), bei \(f(x)\) ist er \(1\). Da \(2 > 1\), ist die Parabel zu \(g\) enger (gestreckt). Bei einer engeren Parabel mit gleichem Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegen die Nullstellen näher beieinander, da die Funktionswerte schneller ansteigen. Der Abstand der Nullstellen bei \(f\) beträgt \(4\), bei \(g\) nur etwa \(2{,}82\).

a) Beide haben den Scheitelpunkt \(S(0 | -4)\). b) Nullstellen von \(f\): \(x = \pm 2\); Nullstellen von \(g\): \(x \approx \pm 1{,}41\). c) Die Parabel zu \(g\) ist enger. Dadurch liegen ihre Nullstellen näher zusammen als die von \(f\).

- Was weißt du über den \(y\)-Wert des Scheitelpunkts, wenn dieser auf der \(x\)-Achse liegt? - Wie sieht die Scheitelpunktform einer verschobenen Normalparabel aus, wenn \(y_S = 0\) ist? - Setze den gegebenen Punkt in deine allgemeine Formel ein. - Denke daran, dass das Quadrieren einer Zahl das Vorzeichen „verschwinden“ lässt – was bedeutet das für die Umkehroperation?

1. Da der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt (\(y_S = 0\)), hat die Scheitelpunktform die Gestalt \(f(x) = (x - x_S)^2\). 2. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist durch \(P(0|6{,}25)\) gegeben, also gilt \(f(0) = 6{,}25\). Einsetzen in die Form ergibt \((0 - x_S)^2 = 6{,}25\), woraus \(x_S^2 = 6{,}25\) folgt. 3. Das Ziehen der Wurzel liefert zwei Lösungen für die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts: \(x_{S1} = 2{,}5\) und \(x_{S2} = -2{,}5\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichungen: \(f_1(x) = (x - 2{,}5)^2 = x^2 - 5x + 6{,}25\) \(f_2(x) = (x + 2{,}5)^2 = x^2 + 5x + 6{,}25\) 5. Erklärung: Es gibt zwei Lösungen, da der Scheitelpunkt sowohl im positiven als auch im negativen Bereich der \(x\)-Achse liegen kann, um den gleichen \(y\)-Achsenabschnitt zu erzeugen (Symmetrie zur \(y\)-Achse beim Quadrieren von \(x_S\)).

Die beiden Gleichungen lauten \(f_1(x) = x^2 - 5x + 6{,}25\) und \(f_2(x) = x^2 + 5x + 6{,}25\). Es gibt zwei Lösungen, weil \((2{,}5)^2 = (-2{,}5)^2 = 6{,}25\) gilt und der Scheitelpunkt daher bei \(x = 2{,}5\) oder \(x = -2{,}5\) liegen kann.

- Versuche zuerst, die Funktionsgleichungen in die Form \((x - d)^2\) umzuschreiben. - Wo liegen die tiefsten Punkte der beiden Parabeln? - Stell dir die Lage der beiden Punkte auf der \(x\)-Achse vor. Wie weit sind sie voneinander entfernt?

1. Umwandlung in die Scheitelpunktform mittels binomischer Formeln: \(f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \Rightarrow S_f(2|0)\) \(g(x) = x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 \Rightarrow S_g(-5|0)\) 2. Vergleich der Scheitelpunkte: Beide liegen auf der \(x\)-Achse. 3. Berechnung der Verschiebung in \(x\)-Richtung: Differenz der \(x\)-Werte ist \(-5 - 2 = -7\). 4. Ergebnis: Der Graph von \(f\) muss um \(7\) Einheiten nach links verschoben werden, um mit \(g\) deckungsgleich zu sein.

a) Der Scheitelpunkt von \(f\) ist \(S_f(2|0)\), der von \(g\) ist \(S_g(-5|0)\). b) Der Graph von \(f\) muss um \(7\) Einheiten nach links verschoben werden.

- Stell dir vor, du hättest eine Tabelle mit Werten. Was passiert mit den Ergebnissen, wenn du die vordere Zahl verdoppelst? - Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob ein Punkt die Bedingung einer Gleichung erfüllt? - Erinnere dich an die Punktprobe: Einsetzen und schauen, ob eine wahre Aussage entsteht.

1. Wird \(a\) durch \(2a\) ersetzt, verdoppeln sich für jedes \(x\) die Funktionswerte. Der Betrag des Streckfaktors verdoppelt sich, daher wird die Parabel enger; ihre Öffnungsrichtung bleibt unverändert. 2. Bestimmung von \(a\) für \(p(x)\): Einsetzen von \(P(2 | -2)\) ergibt \(-2 = a \cdot 2^2 \implies -2 = 4a \implies a = -0{,}5\). Die Gleichung lautet \(p(x) = -0{,}5x^2\). 3. Punktprobe für \(R(-3 | -4{,}5)\): \(p(-3) = -0{,}5 \cdot (-3)^2 = -0{,}5 \cdot 9 = -4{,}5\). Da der berechnete Wert mit der \(y\)-Koordinate von \(R\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen.

a) Der Betrag des Streckfaktors verdoppelt sich; die Parabel wird enger, und die Öffnungsrichtung bleibt gleich. b) Die Funktionsgleichung lautet \(p(x) = -0{,}5x^2\). c) Ja, der Punkt \(R\) liegt auf dem Graphen, da \(p(-3) = -4{,}5\) gilt.

- Überlege dir zuerst, was die Begriffe „gestreckt“ und „gestaucht“ mathematisch für den Wert vor dem \(x^2\) bedeuten. - Was muss für den Koeffizienten gelten, damit eine Parabel „enger“ oder „weiter“ als eine andere ist? - Achte bei Teil b) darauf, dass alle drei Bedingungen für denselben Wert erfüllt sein müssen.

1. Analyse von \(f(x) = -5x^2\): Wegen \(a = -5 < 0\) nach unten geöffnet; wegen \(|-5| > 1\) gestreckt (enger als die Normalparabel). 2. Analyse von \(g(x) = \frac{2}{3}x^2\): Wegen \(a = \frac{2}{3} > 0\) nach oben geöffnet; wegen \(|\frac{2}{3}| < 1\) gestaucht (weiter als die Normalparabel). 3. Bedingungen für \(k(x) = ax^2\): - Weiter als \(f \implies |a| < 5\). - Enger als \(g \implies |a| > \frac{2}{3}\). - Gleiche Richtung wie \(f \implies a < 0\). 4. Kombiniert: \(-5 < a < -\frac{2}{3}\). Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel \(a = -2\), also \(k(x) = -2x^2\).

a) \(f\) ist nach unten geöffnet und gestreckt. \(g\) ist nach oben geöffnet und gestaucht. b) Mögliche Lösung: \(k(x) = -2x^2\) (Jedes \(a\) mit \(-5 < a < -\frac{2}{3}\) ist korrekt).

- Wenn ein Punkt auf einer Kurve liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. - Setze die bekannten Koordinaten in die Gleichung ein, um die fehlende Unbekannte zu finden. - Nutze die vervollständigte Gleichung, um die Position des zweiten Punktes wie gewohnt zu prüfen.

1. Berechnung von \(q\): Einsetzen der Koordinaten von \(P(3 | 11)\) in die Funktionsgleichung: \(11 = 3^2 + q \implies 11 = 9 + q \implies q = 2\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 + 2\). 2. Lage von \(Q(-2 | 5)\): Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = -2\): \(f(-2) = (-2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6\). Vergleich des gegebenen \(y\)-Wertes von \(Q\) mit dem Funktionswert: Da \(5 < 6\), liegt der Punkt \(Q\) unterhalb der Parabel.

1. \(q = 2\) 2. Der Punkt \(Q\) liegt unterhalb der Parabel.

- Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt die Gleichung einer Funktion erfüllt? - Erinnere dich daran, dass die erste Zahl eines Punktes für den \(x\)-Wert und die zweite für den \(y\)-Wert steht.

1. Einsetzen von \(P(3|4{,}5)\) in \(y = ax^2\): \(4{,}5 = a \cdot 3^2 = 9a\). Division durch 9 ergibt \(a = 0{,}5\). Die Funktionsgleichung lautet \(y = 0{,}5x^2\). 2. Punktprobe für \(Q(-4|8)\): \(0{,}5 \cdot (-4)^2 = 0{,}5 \cdot 16 = 8\). Da der berechnete Wert mit der \(y\)-Koordinate von \(Q\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf der Parabel. 3. Berechnung der \(y\)-Koordinate für \(x = 2\): \(y_R = 0{,}5 \cdot 2^2 = 0{,}5 \cdot 4 = 2\). Der Punkt ist \(R(2|2)\).

1. \(a = 0{,}5\) 2. Ja, der Punkt \(Q\) liegt auf der Parabel. 3. Die Koordinate ist \(y_R = 2\).

- Wie hängen die Vorzeichen in der Klammer der Scheitelpunktform mit der Verschiebung auf der \(x\)-Achse zusammen? - Was bedeutet es für die Anzahl der Nullstellen, wenn der tiefste Punkt einer nach oben geöffneten Parabel über der \(x\)-Achse liegt? - Kannst du die Nullstellen finden, indem du die Gleichung nach der Klammer auflöst?

1. Den Scheitelpunkt direkt aus der Form \(f(x) = (x-d)^2 + e\) ablesen: \(S(-3 | -4)\). 2. Zur Berechnung der Nullstellen den Ansatz \(f(x) = 0\) nutzen: \((x+3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4\). Durch Wurzelziehen ergibt sich \(x+3 = 2\) oder \(x+3 = -2\), woraus die Nullstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = -5\) folgen. 3. Für die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts den \(x\)-Wert des Scheitelpunkts um \(2\) erhöhen (\(-3 + 2 = -1\)) und für die Verschiebung um \(6\) Einheiten nach oben den \(y\)-Wert um \(6\) erhöhen (\(-4 + 6 = 2\)). Der neue Scheitelpunkt ist \(S'(-1 | 2)\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = (x+1)^2 + 2\). 4. Da der Scheitelpunkt \(S'(-1 | 2)\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt (\(y_S = 2 > 0\)) und die Parabel nach oben geöffnet ist (positiver Vorfaktor \(1\)), besitzt die Funktion \(g\) keine Nullstellen.

a) Scheitelpunkt \(S(-3 | -4)\); Nullstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = -5\). b) \(g(x) = (x+1)^2 + 2\). c) Keine Nullstellen, da der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist.

- Wie gehst du vor, wenn ein Punkt gegeben ist und du einen Parameter in der Gleichung suchst? - Was ist der Unterschied zwischen einer Stelle und einem Funktionswert? - Denke daran, dass eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 = c\) zwei Lösungen haben kann.

1. Berechnung von \(a\) durch Einsetzen von \(P\): \(-5 = a \cdot (-5)^2 \Rightarrow -5 = 25a \Rightarrow a = -0{,}2\). 2. Berechnung des Funktionswerts: \(f(3) = -0{,}2 \cdot 3^2 = -0{,}2 \cdot 9 = -1{,}8\). 3. Bestimmung der Stellen für \(y = -10\): \(-10 = -0{,}2 \cdot x^2 \Rightarrow x^2 = 50\). 4. Ziehen der Quadratwurzel ergibt \(x_1 = \sqrt{50} \approx 7{,}07\) und \(x_2 = -\sqrt{50} \approx -7{,}07\).

a) \(a = -0{,}2\) b) \(f(3) = -1{,}8\) c) \(x_1 = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\) und \(x_2 = -\sqrt{50} = -5\sqrt{2} \approx -7{,}07\)

- Achte auf die Zahl vor dem Quadrat bzw. vor der Klammer: Was sagt sie über die Breite der Parabel aus? - Wann ist eine Parabel „gestreckt“ und wann „gestaucht“? - Wie erkennst du an der Funktionsgleichung, ob die Parabel nach oben oder unten offen ist? - Der Scheitelpunkt gibt dir direkt den höchsten oder tiefsten Punkt an. Wie liest du ihn aus der Form ab?

1. Analyse von \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\): Der Streckfaktor \(a = 0{,}5\) ist positiv und erfüllt \(0 < |a| < 1\), daher ist die Parabel nach oben geöffnet und gestaucht (breiter als die Normalparabel). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0|-2)\). Da sie nach oben geöffnet ist, hat sie ein Minimum bei \(y = -2\) an der Stelle \(x = 0\). 2. Analyse von \(g(x) = -2(x - 3)^2 + 4\): Der Streckfaktor \(a = -2\) ist negativ und erfüllt \(|a| > 1\), daher ist die Parabel nach unten geöffnet (an der \(x\)-Achse gespiegelt) und gestreckt (schmaler als die Normalparabel). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3|4)\). Da sie nach unten geöffnet ist, hat sie ein Maximum bei \(y = 4\) an der Stelle \(x = 3\).

1. \(f(x)\): nach oben geöffnet, gestaucht; \(g(x)\): nach unten geöffnet, gestreckt. 2. \(f(x)\): Minimum bei \((0|-2)\); \(g(x)\): Maximum bei \((3|4)\).

- Wie kannst du die Koordinaten des Scheitelpunkts direkt in eine Funktionsgleichung übersetzen? - Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“ für den Funktionswert? - Wenn ein Funktionswert gegeben ist, für welche Variable in der Gleichung setzt du diesen ein? - Denke daran, dass beim Ziehen einer Quadratwurzel oft zwei Lösungen entstehen können.

1. Beschreibung der Verschiebung: Der Scheitelpunkt wurde vom Ursprung \((0 \mid 0)\) zum Punkt \(S(2 \mid -9)\) bewegt, was einer Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 9 Einheiten nach unten entspricht. 2. Aufstellen der Funktionsgleichung und Berechnung der Nullstellen: \(g(x) = (x - 2)^2 - 9\). Aus \(g(x) = 0\) folgt \((x - 2)^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 9 \Rightarrow x - 2 = \pm 3\). Daraus folgen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). 3. Berechnung der \(x\)-Koordinaten für den Funktionswert 7: \(g(x) = 7 \Rightarrow (x - 2)^2 - 9 = 7 \Rightarrow (x - 2)^2 = 16 \Rightarrow x - 2 = \pm 4\). Daraus folgen \(x = 6\) und \(x = -2\).

1) Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 9 Einheiten nach unten. 2) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). 3) Die gesuchten \(x\)-Koordinaten sind \(x = 6\) und \(x = -2\).

- Wie ändert sich das Vorzeichen vor dem Hauptterm, wenn ein Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt wird? - Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt die vertikale Linie, an der die Parabel gespiegelt werden kann? - Stelle dir den Verlauf einer nach unten geöffneten Parabel vor: Wo geht es „bergauf“ und wo „bergab“? - Hat die vertikale Verschiebung oder die Spiegelung einen Einfluss auf die Links-Rechts-Position des Scheitelpunktes?

1. Aufstellen der Gleichung für \(p_2\): Die Spiegelung von \(y = 2(x + 4)^2\) an der \(x\)-Achse kehrt das Vorzeichen des Streckfaktors um, also \(y = -2(x + 4)^2\). Die anschließende Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben ergibt \(y = -2(x + 4)^2 + 3\). 2. Bestimmung der Symmetrieachse: Die Symmetrieachse einer Parabel in Scheitelpunktform verläuft vertikal durch die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes. Für beide Gleichungen ist \(d = -4\), also lautet die Symmetrieachse \(x = -4\). 3. Analyse der Monotonie von \(p_2\): Da der Streckfaktor \(a = -2\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Der Graph steigt links vom Scheitelpunkt bis zum Maximum an und fällt danach ab. Somit ist die Funktion für \(x \le -4\) monoton steigend und für \(x \ge -4\) monoton fallend.

a) \(y = -2(x + 4)^2 + 3\) b) Die Symmetrieachse ist für beide Parabeln \(x = -4\). c) Der Graph von \(p_2\) ist monoton steigend für \(x \in (-\infty; -4]\) und monoton fallend für \(x \in [-4; \infty)\).

- Wie weit muss man von der ersten \(x\)-Koordinate zur zweiten \(x\)-Koordinate wandern? - Überlege dir, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. - Wo liegt der tiefste Punkt der Parabel im Vergleich zur \(x\)-Achse? - Wenn eine Parabel nach oben offen ist und ihr tiefster Punkt über der \(x\)-Achse liegt, kann sie die Achse dann berühren?

1. Bestimmung des ursprünglichen Scheitelpunktes: Aus \(y = (x + 2)^2 - 1\) folgt \(S_1(-2 | -1)\). 2. Berechnung der Verschiebung zum neuen Scheitelpunkt \(S_2(3 | 4)\): In \(x\)-Richtung: \(3 - (-2) = 5\) Einheiten nach rechts. In \(y\)-Richtung: \(4 - (-1) = 5\) Einheiten nach oben. 3. Aufstellen der neuen Funktionsgleichung: Mit \(S_2(3 | 4)\) und gleichbleibender Form (\(a = 1\)) lautet die Gleichung \(p_2: y = (x - 3)^2 + 4\). 4. Analyse der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Beide Parabeln sind nach oben geöffnet (\(a = 1 > 0\)). 5. Prüfung von \(p_1\): Der Scheitelpunkt \(S_1(-2 | -1)\) liegt unterhalb der \(x\)-Achse. Da sie nach oben geöffnet ist, muss sie die \(x\)-Achse zweimal schneiden. 6. Prüfung von \(p_2\): Der Scheitelpunkt \(S_2(3 | 4)\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse. Da sie nach oben geöffnet ist, entfernt sie sich von der \(x\)-Achse und hat somit keine Schnittpunkte.

a) Verschiebung um \(5\) Einheiten nach rechts und \(5\) Einheiten nach oben; Gleichung \(p_2: y = (x - 3)^2 + 4\). b) Nur \(p_1\) schneidet die \(x\)-Achse, da ihr Scheitelpunkt unterhalb der Achse liegt und sie nach oben geöffnet ist. \(p_2\) liegt komplett oberhalb der \(x\)-Achse.

- Wie wirkt sich eine Verschiebung in \(x\)-Richtung auf den Term in der Klammer aus? - Was gibt der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts über das Minimum der Funktion an? - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die Klammern aufzulösen. - Skizziere dir die Lage der Scheitelpunkte grob in einem Koordinatensystem.

1. Aufstellen der Scheitelpunktform für \(G_1\): Da die Parabel um \(3\) nach rechts und \(4\) nach unten verschoben wurde, lautet die Gleichung \(y = (x - 3)^2 - 4\). 2. Umwandlung in die Normalform für \(G_1\): Durch Ausmultiplizieren erhält man \(y = x^2 - 6x + 9 - 4\), also \(y = x^2 - 6x + 5\). 3. Beschreibung der Verschiebung für \(G_2\): Der Scheitelpunkt \(S(-2|1)\) entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach oben. 4. Bestimmung der Gleichung für \(G_2\): Scheitelpunktform \(y = (x + 2)^2 + 1\). Ausmultipliziert ergibt dies \(y = x^2 + 4x + 4 + 1\), also \(y = x^2 + 4x + 5\). 5. Analyse der Nullstellen: \(G_1\) hat ihren tiefsten Punkt (Scheitelpunkt) bei \(y = -4\). Da sie nach oben geöffnet ist, muss sie die \(x\)-Achse zweimal schneiden (zwei Nullstellen). \(G_2\) hat ihren tiefsten Punkt bei \(y = 1\). Da sie nach oben geöffnet ist, liegt der gesamte Graph oberhalb der \(x\)-Achse (keine Nullstellen).

a) \(y = x^2 - 6x + 5\) b) Verschiebung um \(2\) nach links und \(1\) nach oben; Gleichung: \(y = x^2 + 4x + 5\) c) \(G_1\) hat zwei Nullstellen, da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben offen ist. \(G_2\) hat keine Nullstellen, da der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt.

- Welche Zahl musst du addieren und subtrahieren, um den vorderen Teil des Terms als Binom schreiben zu können? - An welcher Stelle im Koordinatensystem muss der Scheitelpunkt liegen, damit es genau eine Berührstelle mit der \(x\)-Achse gibt? - Wie verändert sich der Funktionsterm, wenn man den Graphen nach oben oder unten verschiebt?

1. Quadratische Ergänzung: \(f(x) = x^2 - 6x + 9 - 9 + 8 = (x - 3)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3|-1)\). 2. Berechnung der Nullstellen: Ansatz \((x - 3)^2 - 1 = 0 \implies (x - 3)^2 = 1\). Daraus folgt \(x - 3 = 1\) oder \(x - 3 = -1\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = 2\). 3. Verschiebung für genau eine Nullstelle: Damit die Parabel die \(x\)-Achse nur berührt, muss der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts \(0\) sein. Da der aktuelle \(y\)-Wert \(-1\) ist, muss die Parabel um \(1\) Einheit nach oben verschoben werden. 4. Neue Funktionsgleichung: Durch die Verschiebung um \(1\) nach oben fällt der konstante Term \(-1\) in der Scheitelpunktform weg. Die neue Gleichung lautet \(y = (x - 3)^2\).

a) Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - 3)^2 - 1\); Scheitelpunkt: \(S(3|-1)\) b) Nullstellen bei \(x = 2\) und \(x = 4\) c) Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben; neue Gleichung: \(y = (x - 3)^2\)

- Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet? - Was sagt das Vorzeichen vor dem quadratischen Term über die Öffnung der Parabel aus? - Wie prüft man, ob ein Punkt die Gleichung einer Funktion erfüllt? - Vergleiche die Lage des Scheitelpunktes mit dem Ursprung.

1. Nullstellenberechnung durch \(0 = -x^2 + 4\). Dies führt zu \(x^2 = 4\), woraus \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) folgen. Die Nullstellen liegen bei \((2 \mid 0)\) und \((-2 \mid 0)\). 2. Da der Koeffizient vor \(x^2\) negativ ist (\(a = -1\)), ist die Parabel nach unten geöffnet. Sie besitzt daher ein Maximum. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0 \mid 4)\), das Maximum ist also \(y = 4\). 3. Punktprobe durch Einsetzen von \(x = 1{,}5\): \(g(1{,}5) = -(1{,}5)^2 + 4 = -2{,}25 + 4 = 1{,}75\). Da der berechnete Wert mit der \(y\)-Koordinate von \(P\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen. 4. Der Graph entsteht durch Spiegelung der Normalparabel an der \(x\)-Achse (wegen \(-x^2\)) und anschließende Verschiebung um 4 Einheiten nach oben entlang der \(y\)-Achse.

1. Nullstellen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 2. Maximum bei \(y = 4\), da die Parabel nach unten geöffnet ist. 3. Ja, der Punkt liegt auf dem Graphen, da \(g(1{,}5) = 1{,}75\). 4. Spiegelung an der \(x\)-Achse und Verschiebung um 4 Einheiten nach oben.

- Wie lässt sich der vertikale Abstand zwischen zwei Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle mathematisch ausdrücken? - Wenn du den Funktionswert der Normalparabel an der Stelle \(x = 5\) kennst, wie groß muss dann der Funktionswert der gestreckten Parabel sein? - Nutze den gefundenen Streckfaktor, um die \(y\)-Werte für die neue Position zu bestimmen.

1. Berechnung des Funktionswertes der Normalparabel an der Stelle \(x = 5\): \(f(5) = 5^2 = 25\). 2. Bestimmung des Funktionswertes von \(g\) an der Stelle \(x = 5\): Da der Abstand \(50\) beträgt und \(g\) oberhalb liegt, gilt \(g(5) = f(5) + 50 = 25 + 50 = 75\). 3. Berechnung von \(a\): Setze \(g(5) = 75\) in \(g(x) = a \cdot x^2\) ein: \(75 = a \cdot 5^2 \Rightarrow 75 = 25 \cdot a \Rightarrow a = 3\). 4. Berechnung der Funktionswerte an der Stelle \(x = 10\): \(f(10) = 10^2 = 100\) und \(g(10) = 3 \cdot 10^2 = 300\). 5. Berechnung des Abstands an der Stelle \(x = 10\): \(300 - 100 = 200\).

a) \(a = 3\) b) Der Abstand an der Stelle \(x = 10\) beträgt \(200\) Längeneinheiten.

- Welche allgemeine Form einer quadratischen Gleichung nutzt man am besten, wenn der Scheitelpunkt bekannt ist? - Wie kann man einen gegebenen Punkt auf dem Graphen nutzen, um eine unbekannte Variable in der Gleichung zu berechnen? - Was bedeutet ein Faktor \(a > 1\) für das Aussehen der Parabel im Vergleich zur Normalparabel? - Achte auf den Unterschied zwischen der Verschiebung des Graphen und den Koordinaten des Scheitelpunkts.

1. Ansatz der Scheitelpunktform \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\) mit den Koordinaten des Scheitelpunkts \(S(2 | -3)\): \(y = a(x - 2)^2 - 3\). 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(4 | 5)\) in die Gleichung: \(5 = a(4 - 2)^2 - 3\). 3. Vereinfachung der Gleichung: \(5 = a \cdot 2^2 - 3\), also \(5 = 4a - 3\). 4. Isolieren von \(a\): \(8 = 4a \Rightarrow a = 2\). 5. Aufstellen der fertigen Gleichung: \(p_2: y = 2(x - 2)^2 - 3\). 6. Interpretation der Parameter: \(a = 2\) bewirkt eine Streckung in \(y\)-Richtung (die Parabel ist schmaler als die Normalparabel); der Wert \(2\) in der Klammer bewirkt eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts; der Wert \(-3\) bewirkt eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten.

a) \(a = 2\); Funktionsgleichung: \(y = 2(x - 2)^2 - 3\) b) Die Parabel ist im Vergleich zur Normalparabel gestreckt (schmaler), um \(2\) Einheiten nach rechts und um \(3\) Einheiten nach unten verschoben.

- Untersuche die Gleichung \(x^2=-c\). - Für welche reellen Zahlen kann ein Quadrat stehen? - Wie hängt das Vorzeichen von \(-c\) vom Vorzeichen von \(c\) ab?

1. Für \(c=-16\) gilt \(h(x)=x^2-16\). - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(h(0)=-16\), also \((0|-16)\). - Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(x^2-16=0\), also \(x=4\) oder \(x=-4\). Die Punkte sind \((4|0)\) und \((-4|0)\). 2. Allgemein gilt für Nullstellen \(x^2+c=0\), also \(x^2=-c\). Über den reellen Zahlen existiert mindestens eine Lösung genau dann, wenn \(-c\ge 0\), also \(c\le 0\). Für \(c>0\) besitzt der Graph keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.

a) Die Schnittpunkte sind \((0|-16)\), \((4|0)\) und \((-4|0)\). b) Für \(c>0\) gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse, weil \(x^2=-c\) dann keine reelle Lösung besitzt.

- Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt die vertikale Verschiebung des Graphen? - Wie hängen die vertikale Lage des tiefsten Punktes und die Anzahl der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zusammen? - Was passiert mit dem Graphen, wenn du den Wert am Ende der Gleichung veränderst?

1. Die Wertemenge einer nach oben geöffneten Parabel (\(a=1\)) beginnt beim \(y\)-Wert des Scheitelpunkts. Der Scheitelpunkt von \(p_c\) ist \(S(3|c)\). Damit die Wertemenge bei \(4\) beginnt, muss \(c = 4\) gelten. 2. Für \(c = -1\) lautet die Gleichung \(p_{-1}(x) = (x-3)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3|-1)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist und der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt, gibt es genau zwei Nullstellen. 3. Allgemeiner Zusammenhang: Ist \(c < 0\), liegt der Scheitelpunkt unter der \(x\)-Achse und es gibt zwei Nullstellen. Ist \(c = 0\), liegt der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse (eine Nullstelle). Ist \(c > 0\), liegt er darüber (keine Nullstelle).

a) \(c = 4\) b) Für \(c = -1\) gibt es zwei Nullstellen. Allgemein gilt: Bei \(c < 0\) gibt es zwei Nullstellen, bei \(c = 0\) eine und bei \(c > 0\) keine, da \(c\) die Höhe des Scheitelpunkts einer nach oben geöffneten Parabel festlegt.

- Du kannst den Scheitelpunkt entweder durch quadratische Ergänzung oder mit einer Formel finden. - Eine Verschiebung nach unten ändert nur den konstanten Teil (das \(c\)) der Funktionsgleichung. - Überlege dir, wo der Scheitelpunkt liegt und ob die Parabel nach oben oder unten „schaut“. - Kann eine nach unten geöffnete Parabel die \(x\)-Achse schneiden, wenn ihr höchster Punkt bereits unter der \(x\)-Achse liegt?

1. Berechnung des Scheitelpunkts von \(f\): Die \(x\)-Koordinate ist \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2\). Die \(y\)-Koordinate ist \(f(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1\). Der Scheitelpunkt ist \(S_f(2 | 1)\). 2. Berechnung der Nullstellen von \(f\): \(-x^2 + 4x - 3 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0\). Mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1\). \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Funktionsgleichung von \(g\): Verschiebung um \(2\) nach unten bedeutet \(g(x) = f(x) - 2\). \(g(x) = -x^2 + 4x - 3 - 2 = -x^2 + 4x - 5\). 4. Überprüfung auf Nullstellen für \(g\): Der neue Scheitelpunkt ist \(S_g(2 | 1 - 2) = S_g(2 | -1)\). Da der Koeffizient vor \(x^2\) negativ ist (\(a = -1\)), ist die Parabel nach unten geöffnet. Da der höchste Punkt (Scheitelpunkt) bei \(y = -1\) liegt, also unterhalb der \(x\)-Achse, und die Parabel nach unten geöffnet ist, kann sie die \(x\)-Achse nie erreichen. Es gibt keine Nullstellen.

a) Scheitelpunkt \(S(2 | 1)\), Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). b) \(g(x) = -x^2 + 4x - 5\). c) Nein, \(g\) hat keine Nullstellen. Da der Scheitelpunkt \(S_g(2 | -1)\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist, gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.

- Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um eine Unbekannte in einer Gleichung zu finden? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn ein \(y\)-Wert bei gleichem \(x\) größer ist als ein anderer? - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften von Parabeln, deren Scheitelpunkt im Ursprung liegt.

1. Einsetzen von \(P(3 \mid 4{,}5)\) in \(y = ax^2\): \(4{,}5 = a \cdot 3^2 \implies 4{,}5 = 9a \implies a = 0{,}5\). Die Gleichung lautet \(p(x) = 0{,}5x^2\). 2. Berechnung der \(y\)-Werte bei \(x = 10\): \(p(10) = 0{,}5 \cdot 10^2 = 0{,}5 \cdot 100 = 50\). Für \(q\): \(q(10) = 0{,}4 \cdot 10^2 = 0{,}4 \cdot 100 = 40\). Da \(50 > 40\), liegt die Parabel \(p\) an dieser Stelle höher. 3. Punkt \(R(-3 \mid 4{,}5)\) liegt auf dem Graphen, da Parabeln der Form \(y = ax^2\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse sind. Da \(P(3 \mid 4{,}5)\) auf dem Graphen liegt, muss auch der an der \(y\)-Achse gespiegelte Punkt \(R(-3 \mid 4{,}5)\) darauf liegen.

a) \(a = 0{,}5\) b) \(p(10) = 50\) und \(q(10) = 40\). Parabel \(p\) verläuft höher. c) Ja, aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse.

- Was passiert mit der Gleichung, wenn du den \(x\)-Wert eines Punktes einsetzt? - Überlege dir, wie sich der \(y\)-Wert eines Punktes verändern muss, damit er senkrecht nach oben wandert. - Wie hängen die Begriffe „Gleichung“, „größer als“ und „kleiner als“ mit den Lagen „auf“, „oberhalb“ und „unterhalb“ zusammen?

1. Punkt \(M(2 | y)\) auf der Parabel: Setze \(x = 2\) in \(g(x)\) ein: \(g(2) = -2(2 - 1)^2 + 5 = -2(1)^2 + 5 = -2 + 5 = 3\). Damit \(M\) auf der Parabel liegt, muss \(y = 3\) gelten. 2. Bedingung für „oberhalb“: Ein Punkt liegt oberhalb des Graphen, wenn sein \(y\)-Wert größer ist als der Funktionswert an der entsprechenden \(x\)-Stelle. Da \(g(2) = 3\), lautet die Bedingung: \(y > 3\). 3. Lage von \(N(4 | -13)\): Berechne \(g(4) = -2(4 - 1)^2 + 5 = -2(3)^2 + 5 = -2 \cdot 9 + 5 = -18 + 5 = -13\). Da der gegebene \(y\)-Wert \(-13\) exakt dem Funktionswert entspricht, liegt der Punkt \(N\) auf der Parabel.

1. \(y = 3\) 2. \(y > 3\) 3. Der Punkt \(N\) liegt auf der Parabel.

- Was bedeutet es für das Aussehen des Graphen, wenn der Wert von \(a\) sehr groß ist? - Erinnere dich an die Symmetrie der Parabel: Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du das Vorzeichen von \(x\) änderst?

1. Bestimmung der Parameter: Für \(f\): \(2 = a \cdot 2^2 = 4a \Rightarrow a = 0{,}5\). Also \(f(x) = 0{,}5x^2\). Für \(g\): \(2 = b \cdot 1^2 = 1b \Rightarrow b = 2\). Also \(g(x) = 2x^2\). 2. Vergleich der Graphen: Da \(|2| > |0{,}5|\) ist, verläuft der Graph von \(g\) enger an der \(y\)-Achse (er ist stärker gestreckt). 3. Symmetrie: Parabeln der Form \(y = ax^2\) sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Ein Punkt \((x|y)\) wird an der \(y\)-Achse auf \((-x|y)\) gespiegelt. Für \(f\): Aus \(A(2|2)\) folgt \(A'(-2|2)\). Für \(g\): Aus \(B(1|2)\) folgt \(B'(-1|2)\).

1. \(f(x) = 0{,}5x^2\) und \(g(x) = 2x^2\). 2. Die Parabel von \(g\) ist enger, da \(|b| > |a|\). 3. \(A'(-2|2)\) und \(B'(-1|2)\).

- Achte auf das Vorzeichen des Parameters, wenn der Punkt im negativen \(y\)-Bereich liegt. - Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung für \(x^2 = c\) haben? - Setze für die letzte Teilaufgabe die Koordinaten als Platzhalter in die Funktionsgleichung ein und löse nach der Unbekannten auf.

1. Bestimmung der Gleichung: Einsetzen von \(P(4 | -4)\) ergibt \(-4 = a \cdot 4^2 \Rightarrow -4 = 16a \Rightarrow a = -0{,}25\). Die Gleichung lautet \(y = -0{,}25x^2\). 2. Berechnung der \(x\)-Koordinaten für \(T\): Einsetzen von \(y = -36\) in die Gleichung ergibt \(-36 = -0{,}25x^2\). Multiplikation mit \(-4\) liefert \(144 = x^2\). Daraus ergeben sich die Lösungen \(x_1 = 12\) und \(x_2 = -12\). 3. Berechnung von \(k\): Einsetzen von \(U(k | -k)\) in \(y = -0{,}25x^2\) führt zu der Gleichung \(-k = -0{,}25k^2\). Da \(k \neq 0\) vorausgesetzt ist, kann die Gleichung durch \(-k\) dividiert werden: \(1 = 0{,}25k\). Daraus folgt durch Multiplikation mit \(4\), dass \(k = 4\) ist.

a) Die Gleichung lautet \(y = -0{,}25x^2\). b) Die möglichen \(x\)-Koordinaten sind \(12\) und \(-12\). c) Der Wert für \(k\) ist \(4\).

- Erinnere dich an den Prozess der quadratischen Ergänzung: Welches Glied musst du addieren und subtrahieren, um ein Binom zu bilden? - Überlege dir, wie sich der Graph bewegt, wenn du eine Zahl zum gesamten Funktionsterm addierst. - Wo muss der Scheitelpunkt liegen, damit die Parabel die \(x\)-Achse gerade noch berührt?

1. Quadratische Ergänzung durchführen: \(f(x) = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x+3)^2 - 4\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-3 | -4)\). 2. Nullstellen von \(f\) berechnen: \((x+3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4 \Rightarrow x+3 = \pm 2\). Dies ergibt \(x_1 = -1\) und \(x_2 = -5\). 3. Die neue Funktion \(h(x) = (x+3)^2 - 4 + k\) hat den Scheitelpunkt \(S_h(-3 | -4+k)\). 4. Eine nach oben geöffnete Parabel hat zwei Nullstellen, wenn der Scheitelpunkt unter der \(x\)-Achse liegt: \(-4+k < 0 \Rightarrow k < 4\). 5. Sie hat genau eine Nullstelle (Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse), wenn \(-4+k = 0 \Rightarrow k = 4\). 6. Sie hat keine Nullstellen (Scheitelpunkt über der \(x\)-Achse), wenn \(-4+k > 0 \Rightarrow k > 4\).

a) Scheitelpunktform: \(f(x) = (x+3)^2 - 4\); Nullstellen: \(x_1 = -1, x_2 = -5\). b) 1. Zwei Nullstellen für \(k < 4\); 2. Eine Nullstelle für \(k = 4\); 3. Keine Nullstellen für \(k > 4\).

- Vergleiche den Abstand der ursprünglichen Nullstellen mit dem Abstand der neuen Nullstellen in Aufgabenteil b. - Was sagt dir die Mitte zwischen zwei Nullstellen über die Position des Scheitelpunkts? - Welche Koordinaten hat der Scheitelpunkt einer Funktion der Form \(y = x^2\)?

1. Quadratische Ergänzung für \(f\): \(f(x) = x^2 - 8x + 16 - 16 + 12 = (x-4)^2 - 4\). Der Scheitelpunkt ist \(S(4 | -4)\). 2. Nullstellen berechnen: \((x-4)^2 = 4 \Rightarrow x-4 = \pm 2\), also \(x_1 = 6\) und \(x_2 = 2\). 3. Die ursprünglichen Nullstellen \(2\) und \(6\) haben einen Abstand von \(4\). Die Ziel-Nullstellen \(0\) und \(4\) haben ebenfalls einen Abstand von \(4\). Da die Form der Parabel (Öffnung) gleich bleibt, muss sich nur die horizontale Lage ändern, während der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts gleich bleibt. 4. Die Mitte der ursprünglichen Nullstellen liegt bei \(x=4\), die Mitte der neuen Nullstellen bei \(x=2\). Die Parabel muss also um \(2\) Einheiten nach links verschoben werden. Die Verschiebung in \(y\)-Richtung ist \(0\). Die neue Gleichung ist \(g(x) = (x-2)^2 - 4 = x^2 - 4x\). 5. Um den Scheitelpunkt \(S(4 | -4)\) in den Ursprung \((0 | 0)\) zu schieben, muss der Graph um \(4\) Einheiten nach links (\(x\)-Richtung) und um \(4\) Einheiten nach oben (\(y\)-Richtung) verschoben werden. Die Gleichung lautet dann \(j(x) = x^2\).

a) \(f(x) = (x-4)^2 - 4\); Nullstellen: \(x_1 = 2, x_2 = 6\). b) Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links (\(x\)-Richtung) und \(0\) Einheiten in \(y\)-Richtung; \(g(x) = (x-2)^2 - 4\). c) Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links und \(4\) Einheiten nach oben.