Kostenlose Arbeitsblätter

- Achte darauf, welcher Koeffizient vor welcher Potenz von \(x\) steht. - Was bedeutet es für einen Koeffizienten, wenn ein Glied (wie \(x\) oder die Zahl ohne \(x\)) gar nicht im Term vorkommt? - Die Reihenfolge der Summanden ändert nichts an ihrer Bedeutung für \(a\), \(b\) oder \(c\).

1. Vergleich der gegebenen Terme mit der Grundform \(f(x) = ax^2 + bx + c\). 2. Für a): Umstellen zu \(f(x) = -x^2 + 4x + 7\). Daraus folgt \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = 7\). 3. Für b): Ergänzen des fehlenden linearen Glieds zu \(f(x) = 0{,}75x^2 + 0x - 2\). Daraus folgt \(a = 0{,}75\), \(b = 0\), \(c = -2\). 4. Für c): Umstellen und Ergänzen der Konstante zu \(f(x) = -2x^2 + 5x + 0\). Daraus folgt \(a = -2\), \(b = 5\), \(c = 0\).

a) \(a = -1; b = 4; c = 7\) b) \(a = 0{,}75; b = 0; c = -2\) c) \(a = -2; b = 5; c = 0\)

- Suche zuerst nach allen Gliedern mit \(x^2\), dann nach denen mit \(x\) und zum Schluss nach den reinen Zahlen. - Achte darauf, dass das Vorzeichen immer zu der Zahl gehört, die direkt dahinter steht. - Wenn vor einem \(x\) oder \(x^2\) keine Zahl steht, kannst du dir eine \(1\) denken. - Was bedeutet es für den Koeffizienten \(c\), wenn in der fertigen Form keine einzelne Zahl ohne Variable steht?

1. Zusammenfassen der \(x^2\)-Glieder: \(3x^2 - x^2 = 2x^2\). Ergebnis: \(f(x) = 2x^2 + 5x + 2\) mit \(a = 2, b = 5, c = 2\). 2. Ordnen der Glieder und Zusammenfassen der Konstanten: \(4 - 1{,}5 = 2{,}5\). Ergebnis: \(g(x) = 0{,}5x^2 - 2x + 2{,}5\) mit \(a = 0{,}5, b = -2, c = 2{,}5\). 3. Addition der Brüche \(\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2\) und Verrechnung der \(x\)-Glieder \(-3 + 4 = 1\). Ergebnis: \(h(x) = 2x^2 + x\) mit \(a = 2, b = 1, c = 0\).

a) \(f(x) = 2x^2 + 5x + 2\); \(a = 2, b = 5, c = 2\) b) \(g(x) = 0{,}5x^2 - 2x + 2{,}5\); \(a = 0{,}5, b = -2, c = 2{,}5\) c) \(h(x) = 2x^2 + x\); \(a = 2, b = 1, c = 0\)

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Eine davon passt hier perfekt. - Achte beim Ausmultiplizieren darauf, dass das \(x\) in der Klammer mit beiden Gliedern multipliziert wird. - Sortiere am Ende alle Terme mit \(x^2\), alle mit \(x\) und alle reinen Zahlenwerte, um sie leichter zusammenrechnen zu können.

1. Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((x + 4)(x - 4)\): \(x^2 - 16\) 2. Ausmultiplizieren der Klammer \(2x(x + 3)\): \(2x^2 + 6x\) 3. Zusammenfassen aller Terme: \(f(x) = x^2 - 16 + 2x^2 + 6x - 5\) 4. Ordnen nach Potenzen und Vereinfachen: \(f(x) = 3x^2 + 6x - 21\) 5. Bestimmung der Koeffizienten: \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = -21\)

\(f(x) = 3x^2 + 6x - 21\) mit \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = -21\)

- Welchen Wert muss \(a\) bei einer Normalparabel annehmen? - Welcher Parameter in der Form \(ax^2 + bx + c\) gibt direkt den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse an? - Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes in eine Funktionsgleichung einsetzen?

1. Aus der Eigenschaft „nach oben geöffnete Normalparabel“ folgt direkt \(a = 1\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse entspricht dem Wert \(c\), also ist \(c = -3\). 3. Einsetzen der bekannten Werte und des Punktes \(P(2 | 5)\) in \(f(x) = ax^2 + bx + c\): \(5 = 1 \cdot 2^2 + b \cdot 2 - 3\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(5 = 4 + 2b - 3\), also \(5 = 1 + 2b\). 5. Lösen nach \(b\): \(4 = 2b \implies b = 2\).

\(a = 1; b = 2; c = -3\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 + 2x - 3\).

- Was gibt das Vorzeichen der Zahl vor dem \(x^2\) über die Form der Parabel an? - Achte darauf, dass die Terme nicht immer in der Reihenfolge \(ax^2 + bx + c\) sortiert sind. - Welche Zahl im Funktionsterm entspricht dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Wenn ein Teil des Terms (wie \(x\) oder die Zahl ohne \(x\)) fehlt, welchen Wert hat dann der entsprechende Koeffizient?

1. Für \(f_1(x) = -3x^2 + 4x - 5\) ist \(a = -3\) und \(c = -5\). Da \(a < 0\), ist die Parabel nach unten geöffnet. 2. Für \(f_2(x) = x^2 - 7\) ist \(a = 1\) und \(c = -7\). Da \(a > 0\), ist die Parabel nach oben geöffnet. 3. Durch Umstellen von \(f_3(x) = 2x^2 - 5x + 8\) ergibt sich \(a = 2\) und \(c = 8\). Da \(a > 0\), ist die Parabel nach oben geöffnet. 4. Durch Umstellen von \(f_4(x) = -x^2 + 1{,}5x + 0{,}25\) ergibt sich \(a = -1\) und \(c = 0{,}25\). Da \(a < 0\), ist die Parabel nach unten geöffnet.

1. \(a = -3\), \(c = -5\), nach unten geöffnet. 2. \(a = 1\), \(c = -7\), nach oben geöffnet. 3. \(a = 2\), \(c = 8\), nach oben geöffnet. 4. \(a = -1\), \(c = 0{,}25\), nach unten geöffnet.

- Multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Teil innerhalb der Klammer. - Beim Multiplizieren von zwei Klammern musst du jedes Element der ersten Klammer mit jedem Element der zweiten Klammer multiplizieren. - Überlege dir, welche Bedingung für den Koeffizienten \(a\) gelten muss, damit eine Funktion „quadratisch“ genannt wird.

1. Ausmultiplizieren der Klammer: \(2x \cdot x - 2x \cdot 4 + 5 = 2x^2 - 8x + 5\). Ergebnis: \(a = 2, b = -8, c = 5\). Da \(a \neq 0\), ist es eine quadratische Funktion. 2. Ausmultiplizieren der Klammern (jedes Glied mit jedem): \(x^2 - 2x + 3x - 6 - x^2\). Zusammenfassen: \(x - 6\). Ergebnis: \(a = 0, b = 1, c = -6\). Da \(a = 0\), ist es keine quadratische Funktion, sondern eine lineare Funktion.

a) \(f(x) = 2x^2 - 8x + 5\); \(a = 2, b = -8, c = 5\). Es ist eine quadratische Funktion. b) \(g(x) = x - 6\); \(a = 0, b = 1, c = -6\). Es ist keine quadratische Funktion (sondern eine lineare Funktion).

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die Klammern aufzulösen. - Multipliziere den Faktor vor der Klammer erst dann mit jedem Glied in der Klammer, wenn das Quadrat aufgelöst ist. - Wo schneidet eine Parabel die vertikale Achse, wenn man sich die allgemeine Form ansieht?

1. Umwandlung von \(f(x)\): Anwendung der zweiten binomischen Formel ergibt \(f(x) = 3(x^2 - 4x + 4) - 5\). Ausmultiplizieren und Zusammenfassen führt zu \(f(x) = 3x^2 - 12x + 12 - 5\), also \(f(x) = 3x^2 - 12x + 7\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Wert \(c\), hier \(7\). 2. Umwandlung von \(g(x)\): Anwendung der ersten binomischen Formel ergibt \(g(x) = -0{,}5(x^2 + 8x + 16) + 10\). Ausmultiplizieren und Zusammenfassen führt zu \(g(x) = -0{,}5x^2 - 4x - 8 + 10\), also \(g(x) = -0{,}5x^2 - 4x + 2\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(2\).

a) \(f(x) = 3x^2 - 12x + 7\); \(y\)-Achsenabschnitt: \(7\) b) \(g(x) = -0{,}5x^2 - 4x + 2\); \(y\)-Achsenabschnitt: \(2\)

- Multipliziere erst die beiden Klammern aus, indem du jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multiplizierst. - Vergiss nicht, das gesamte Ergebnis am Ende mit dem Faktor \(2\) zu multiplizieren. - In der Form \(ax^2 + bx + c\) ist \(b\) die Zahl direkt vor dem \(x\).

1. Zuerst werden die beiden Klammern miteinander multipliziert (Distributivgesetz): \((x + 4)(x - 1) = x^2 - x + 4x - 4 = x^2 + 3x - 4\). 2. Anschließend wird das Ergebnis mit dem Faktor \(2\) multipliziert: \(A(x) = 2(x^2 + 3x - 4) = 2x^2 + 6x - 8\). 3. In der allgemeinen Form \(ax^2 + bx + c\) entspricht der Koeffizient \(b\) dem Wert vor dem \(x\). Somit ist \(b = 6\).

Die allgemeine Form lautet \(A(x) = 2x^2 + 6x - 8\). Der Koeffizient \(b\) hat den Wert \(6\).

- Überlege, wie der Funktionsterm aussehen muss, damit die Nullstellen durch die gegebene Gleichung berechnet werden können. - Was weißt du über den \(x\)-Wert eines Punktes, der auf der \(y\)-Achse liegt? - Welcher Teil des Funktionsterms gibt direkt den Wert an der Stelle \(x = 0\) an?

1. Zur Bestimmung der Funktionsvorschriften wird jeweils die linke Seite der Gleichung als Funktionsterm verwendet. 2. Für a) ergibt sich \(f(x) = 4x^2 - 5x + 2\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(x = 0\), also \(f(0) = 2\). Ergebnis: \(S_y(0|2)\). 3. Für b) ergibt sich \(g(x) = -0{,}5x^2 + 3x\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(x = 0\), also \(g(0) = 0\). Ergebnis: \(S_y(0|0)\).

a) \(f(x) = 4x^2 - 5x + 2\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0|2)\) b) \(g(x) = -0{,}5x^2 + 3x\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0|0)\)

- Welche binomische Formel hilft dir, die Klammer aufzulösen? - Achte auf die Reihenfolge der Rechenschritte: Potenz vor Multiplikation vor Strichrechnung. - Vergiss nicht, den Faktor vor der Klammer auf jeden Summanden in der Klammer anzuwenden.

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf den Term \((x - 0{,}5)^2\): \(x^2 - x + 0{,}25\). 2. Multiplikation des Ergebnisses mit dem Streckfaktor \(4\): \(4 \cdot (x^2 - x + 0{,}25) = 4x^2 - 4x + 1\). 3. Subtraktion der Konstanten \(3\): \(4x^2 - 4x + 1 - 3 = 4x^2 - 4x - 2\). Die allgemeine Form lautet \(f(x) = 4x^2 - 4x - 2\).

\(f(x) = 4x^2 - 4x - 2\)

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor aus den Termen ausklammern, um die Arbeit mit den binomischen Formeln zu erleichtern? - Was sagt dir das Vorzeichen vor dem Quadrat über die Form der Kurve? - Überlege dir, wo der tiefste oder höchste Punkt der Kurve liegt. Berührt oder kreuzt er die waagerechte Achse? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Welche passt hier am besten?

1. Ausklammern des Faktors 2 aus den ersten beiden Gliedern: \(f(x) = 2(x^2 - 6x) + 18\). 2. Durchführung der quadratischen Ergänzung innerhalb der Klammer: \(f(x) = 2(x^2 - 6x + 3^2 - 3^2) + 18\). 3. Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung: \(f(x) = 2((x - 3)^2 - 9) + 18 = 2(x - 3)^2 - 18 + 18 = 2(x - 3)^2\). 4. Ablesen des Scheitelpunkts: \(S(3|0)\). 5. Bestimmung der Öffnung: Da der Koeffizient vor der Klammer (\(a = 2\)) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. 6. Bestimmung der Nullstellen: Da die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(0\) ist, liegt der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse und der Graph berührt sie dort. Es gibt somit genau eine Nullstelle bei \(x = 3\).

a) \(f(x) = 2(x-3)^2\) b) Scheitelpunkt \(S(3|0)\); die Parabel ist nach oben geöffnet. c) Es gibt genau eine Nullstelle, da der Scheitelpunkt direkt auf der \(x\)-Achse liegt.

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Denk an die Rechenregel „Potenzen vor Punkt vor Strich“ – löse also zuerst das Quadrat auf. - Achte darauf, den Faktor vor der Klammer auf jedes einzelne Glied im Inneren anzuwenden.

1. Auflösen des Quadrats mit der zweiten binomischen Formel: \((x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4\) 2. Multiplikation mit dem Faktor \(3\): \(3(x^2 - 4x + 4) = 3x^2 - 12x + 12\) 3. Auflösen der Minusklammer (Vorzeichenumkehr aller Glieder): \(-(x^2 - 5x + 4) = -x^2 + 5x - 4\) 4. Zusammenfassen der Teilterme: \(g(x) = 3x^2 - 12x + 12 - x^2 + 5x - 4\) 5. Endergebnis in Normalform: \(g(x) = 2x^2 - 7x + 8\) 6. Koeffizienten: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 8\)

\(g(x) = 2x^2 - 7x + 8\) mit \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 8\)

- Beginne mit dem Wert für \(x = 0\), um eine Unbekannte sofort zu bestimmen. - Stelle für die anderen beiden Werte ein kleines Gleichungssystem auf. - Kannst du die beiden Gleichungen so addieren oder subtrahieren, dass eine Variable wegfällt?

1. Nutzung von \(f(0) = -4\): Einsetzen ergibt \(a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = -4\), woraus direkt \(c = -4\) folgt. 2. Aufstellen der Gleichungen für die anderen Punkte mit \(c = -4\): I: \(a \cdot 1^2 + b \cdot 1 - 4 = -2 \implies a + b = 2\) II: \(a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) - 4 = -10 \implies a - b = -6\) 3. Additionsverfahren für I und II: \((a + b) + (a - b) = 2 + (-6) \implies 2a = -4 \implies a = -2\). 4. Einsetzen von \(a = -2\) in Gleichung I: \(-2 + b = 2 \implies b = 4\).

\(a = -2; b = 4; c = -4\). Die Funktion lautet \(f(x) = -2x^2 + 4x - 4\).

- Setze für die Teilaufgabe b) einfach die Zahl 1 für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein. - Was passiert mit den Variablen \(x^2\) und \(x\), wenn man für \(x\) den Wert 1 einsetzt? - Kannst du eine allgemeine Regel finden, wie man die Summe der Koeffizienten direkt aus dem Funktionswert an einer bestimmten Stelle ablesen kann?

1. Identifikation der Koeffizienten für \(g(x)\): \(a = 0{,}25\), \(b = -2\), \(c = 0{,}75\). 2. Berechnung der Summe: \(S = 0{,}25 + (-2) + 0{,}75 = -1\). 3. Berechnung von \(g(1) = 0{,}25 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 0{,}75 = 0{,}25 - 2 + 0{,}75 = -1\). Die Werte sind identisch. 4. Erkenntnis: Für jede Funktion \(f(x) = ax^2 + bx + c\) gilt \(f(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c\). 5. Anwendung auf \(h(x)\): \(S = h(1) = -123 \cdot 1^2 + 45 \cdot 1 + 18 = -123 + 45 + 18 = -60\).

a) \(S = -1\) b) \(g(1) = -1\); die Summe der Koeffizienten entspricht genau dem Funktionswert an der Stelle \(x = 1\). c) \(S = -60\)

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie helfen dir, die Klammern mit dem Quadrat schnell aufzulösen. - Achte bei Teil b darauf, erst die Potenz (die Klammer zum Quadrat) zu berechnen und das Ergebnis danach mit der Zahl davor zu multiplizieren. - Vergiss nicht, am Ende alle gleichartigen Glieder (alle \(x^2\), alle \(x\) und alle Zahlen) miteinander zu verrechnen.

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel: \(x^2 - 10x + 25 + 2x - 10\). Zusammenfassen: \(x^2 - 8x + 15\). Ergebnis: \(a = 1, b = -8, c = 15\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel: \(2(x^2 + 2x + 1) - 3x^2 + 4\). Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(2x^2 + 4x + 2 - 3x^2 + 4 = -x^2 + 4x + 6\). Ergebnis: \(a = -1, b = 4, c = 6\).

a) \(f(x) = x^2 - 8x + 15\); \(a = 1, b = -8, c = 15\) b) \(g(x) = -x^2 + 4x + 6\); \(a = -1, b = 4, c = 6\)

- Wandle jede Funktion Schritt für Schritt um, indem du Klammern auflöst und zusammenfasst. - Achte bei der zweiten Funktion besonders auf das Quadrat von \(2x\). - Vergleiche am Ende die Zahlen, die direkt vor dem \(x\) stehen. Denke daran, dass bei negativen Zahlen diejenige mit dem größeren Betrag die kleinere Zahl ist.

1. Umformung \(f_1(x)\): \(-2(x^2 + 5x - 3x - 15) = -2(x^2 + 2x - 15) = -2x^2 - 4x + 30\). Hier ist \(b = -4\). 2. Umformung \(f_2(x)\): Anwendung der binomischen Formel ergibt \((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 + 4x = 4x^2 - 4x + 1 + 4x = 4x^2 + 1\). Hier ist \(b = 0\). 3. Umformung \(f_3(x)\): \(0{,}25(x^2 - 8x + 16) - 4 = 0{,}25x^2 - 2x + 4 - 4 = 0{,}25x^2 - 2x\). Hier ist \(b = -2\). 4. Vergleich der \(b\)-Werte: \(-4\) ist der kleinste Wert (da \(-4 < -2 < 0\)).

Die allgemeinen Formen sind: 1) \(f_1(x) = -2x^2 - 4x + 30\) 2) \(f_2(x) = 4x^2 + 1\) 3) \(f_3(x) = 0{,}25x^2 - 2x\) Die Funktion \(f_1\) hat mit \(b = -4\) den kleinsten Wert für den Koeffizienten \(b\).

- Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“ für den Funktionswert? - Wie verändert sich der Term einer Funktion, wenn man den gesamten Graphen entlang der vertikalen Achse bewegt? - Kannst du die Verschiebung zuerst allgemein als \(f(x) + d\) aufschreiben?

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird der Funktionsterm gleich Null gesetzt: \(-2x^2 + 8x - 6 = 0\). 2. Eine Verschiebung um \(4\) Einheiten nach unten verändert den Funktionsterm zu \(g(x) = f(x) - 4\). 3. Einsetzen und Vereinfachen: \(g(x) = -2x^2 + 8x - 6 - 4 = -2x^2 + 8x - 10\). 4. Die neue Gleichung für die Nullstellen lautet somit \(-2x^2 + 8x - 10 = 0\).

a) \(-2x^2 + 8x - 6 = 0\) b) \(-2x^2 + 8x - 10 = 0\)

- Wie gehst du vor, wenn vor der Klammer ein Minuszeichen steht? - Wo in der allgemeinen Form \(ax^2 + bx + c\) kannst du den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse direkt ablesen? - Was passiert mit dem Wert einer Funktion, wenn du für \(x\) die Zahl Null einsetzt?

1. Expansion von \(g(x)\): Anwendung der ersten binomischen Formel auf \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\). 2. Multiplikation mit \(-2\): \(-2(x^2 + 6x + 9) = -2x^2 - 12x - 18\). 3. Addition der Konstanten \(5\): \(-2x^2 - 12x - 18 + 5 = -2x^2 - 12x - 13\). Dies entspricht \(h(x)\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x = 0\) in die allgemeine Form ergibt den \(y\)-Wert \(-13\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -13)\).

a) Nach Umformung ergibt sich \(g(x) = -2x^2 - 12x - 13\), was identisch mit \(h(x)\) ist. b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 | -13)\).

- Versuche zuerst, die Terme so umzuformen, dass du die binomischen Formeln anwenden kannst. - Was haben die beiden Funktionsterme gemeinsam und worin unterscheiden sie sich? - Wenn eine Parabel nach unten offen ist, wo muss ihr höchster Punkt liegen, damit sie die waagerechte Achse nie erreicht? - Skizziere die Lage der Scheitelpunkte im Kopf oder auf Papier.

1. Umformung von \(p_1(x)\): Ausklammern von \(-1\) ergibt \(-(x^2 - 4x + 4)\). Anwendung der zweiten binomischen Formel führt zu \(p_1(x) = -(x - 2)^2\). Der Scheitelpunkt ist \(S_1(2|0)\). 2. Umformung von \(p_2(x)\): Analog ergibt sich \(-(x^2 - 4x + 4) - 1\), was zu \(p_2(x) = -(x - 2)^2 - 1\) führt. Der Scheitelpunkt ist \(S_2(2|-1)\). 3. Vergleich: Beide Parabeln haben denselben \(x\)-Wert für den Scheitelpunkt (\(x = 2\)) und sind wegen des Faktors \(-1\) nach unten geöffnet. \(S_2\) liegt jedoch eine Einheit tiefer als \(S_1\). 4. Nullstellen-Analyse: Die Funktion \(p_2\) hat keine Nullstellen. Da ihr Scheitelpunkt bei \(y = -1\) (unterhalb der \(x\)-Achse) liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist, entfernen sich alle weiteren Punkte der Parabel noch weiter von der \(x\)-Achse nach unten.

a) \(p_1(x) = -(x-2)^2\) und \(p_2(x) = -(x-2)^2 - 1\). b) Beide Parabeln sind nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt von \(p_1\) ist \(S_1(2|0)\), der von \(p_2\) ist \(S_2(2|-1)\). c) \(p_2\) hat keine Nullstellen, da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist.

- Wie lautet die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion und wie setzt man den gegebenen Punkt ein? - Wie hängen die Nullstellen einer nach oben geöffneten Parabel mit dem Bereich zusammen, in dem die Kurve unterhalb der \(x\)-Achse verläuft? - Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Graphen schneiden? Welche Gleichung musst du aufstellen? - Kannst du eine quadratische Gleichung ohne die \(p\)-\(q\)-Formel lösen, wenn kein konstantes Glied (Zahl ohne \(x\)) vorhanden ist?

1. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - 3)^2 - 4\). 2. Umwandeln in die Normalform: \(f(x) = x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5\). Ergebnis: \(p = -6\), \(q = 5\). 3. Berechnung der Nullstellen: \(x^2 - 6x + 5 = 0\) führt über die \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung \((x - 1)(x - 5) = 0\) zu \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 4. Bestimmung des Intervalls für \(f(x) < 0\): Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegen die negativen Funktionswerte zwischen den Nullstellen: \(1 < x < 5\) bzw. \(x \in (1; 5)\). 5. Berechnung der Schnittpunkte: Gleichsetzen \(x^2 - 6x + 5 = -x^2 + 5\) ergibt \(2x^2 - 6x = 0\). Ausklammern führt zu \(2x(x - 3) = 0\), also \(x_3 = 0\) und \(x_4 = 3\). Einsetzen in eine der Gleichungen liefert die \(y\)-Koordinaten: \(g(0) = 5\) und \(g(3) = -4\). Die Schnittpunkte sind \(P_1(0 \mid 5)\) und \(P_2(3 \mid -4)\).

a) \(p = -6\), \(q = 5\) b) \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\) c) \(1 < x < 5\) bzw. \(x \in (1; 5)\) d) \(P_1(0 \mid 5)\) und \(P_2(3 \mid -4)\)

- Wie gehst du vor, um die Stellen zu finden, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Welche Formel hilft dir, den höchsten oder tiefsten Punkt einer Parabel direkt aus der allgemeinen Form zu bestimmen? - Was verrät dir das Vorzeichen des Koeffizienten vor dem \(x^2\) über die Form der Parabel? - Skizziere den Graphen grob mit den Nullstellen und dem Scheitelpunkt, um zu sehen, wo er oberhalb der \(x\)-Achse verläuft.

1. Berechnung der Nullstellen: Ansatz \(f(x) = 0\), also \(-2x^2 + 4x + 6 = 0\). Division durch \(-2\) ergibt \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel liefert \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 3}\), also \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 2. Berechnung des Scheitelpunktes: Die \(x\)-Koordinate liegt mittig zwischen den Nullstellen bei \(x_s = \frac{3 + (-1)}{2} = 1\). Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 6 = -2 + 4 + 6 = 8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(1|8)\). Da der Koeffizient vor \(x^2\) negativ ist (\(a = -2\)), ist die Parabel nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt ein Maximum. 3. Bestimmung des positiven Bereichs: Da die Parabel nach unten geöffnet ist und die Nullstellen bei \(-1\) und \(3\) liegen, verlaufen die Funktionswerte zwischen den Nullstellen oberhalb der \(x\)-Achse. Somit gilt \(f(x) > 0\) für \(x \in (-1; 3)\). 4. Graphverlauf: Der Koeffizient \(a = -2\) gibt an, dass die Parabel nach unten geöffnet ist. Da \(|a| > 1\), ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt (schmaler).

a) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). b) Der Scheitelpunkt ist \(S(1|8)\); es handelt sich um ein Maximum. c) Die Funktionswerte sind positiv für \(-1 < x < 3\). d) Die Parabel ist nach unten geöffnet und gestreckt.

- Setze die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um zwei Gleichungen zu erhalten. - Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunktes mit dem Parameter \(c\) zusammen? - Skizziere dir grob die Lage des Scheitelpunktes und die Öffnungsrichtung der Parabel.

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte: \(a \cdot 1^2 + c = 1\) und \(a \cdot 3^2 + c = -7\). 2. Lösen des Systems: Aus \(a + c = 1\) folgt \(c = 1 - a\). Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(9a + (1 - a) = -7\), also \(8a = -8\). Daraus folgt \(a = -1\). 3. Berechnung von \(c\): \(c = 1 - (-1) = 2\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -x^2 + 2\). 4. Analyse der Nullstellen: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0|2)\), also oberhalb der \(x\)-Achse. Da \(a = -1\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Da der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist, muss der Graph die \(x\)-Achse zweimal schneiden.

a) \(a = -1\) und \(c = 2\). b) Ja, der Graph schneidet die \(x\)-Achse, da der Scheitelpunkt \((0|2)\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist.

- Was sagt die Symmetrieachse über die Lage des Scheitelpunkts aus? - Wie hängen die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts und der Parameter \(p\) zusammen? - Welche Information liefert ein Punkt auf dem Graphen für die Funktionsgleichung? - Wie berechnet man den \(y\)-Wert eines Punktes, wenn man die \(x\)-Koordinate und die Funktionsgleichung kennt?

1. Aus der Symmetrie zur Geraden \(x = -3\) folgt, dass die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(x_s = -3\) ist. 2. Da \(x_s = -\frac{p}{2}\) gilt, folgt \(-\frac{p}{2} = -3\) und damit \(p = 6\). 3. Da der Punkt \(Q(0 | 5)\) auf der Parabel liegt, gilt \(f(0) = 5\). Einsetzen in \(f(x) = x^2 + 6x + q\) ergibt \(0^2 + 6 \cdot 0 + q = 5\), also \(q = 5\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 + 6x + 5\). 5. Die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts berechnet sich durch \(f(-3) = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4\). 6. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-3 | -4)\).

a) \(p = 6\) und \(q = 5\) b) \(S(-3 | -4)\)

- Achte beim Einsetzen negativer Zahlen oder beim Quadrieren besonders auf die Vorzeichen. - Erinnere dich daran, wie man prüft, ob eine Koordinate eine Gleichung erfüllt. - Was bedeutet „oberhalb“ mathematisch für den Vergleich zweier Zahlen?

1. Punktprüfung für \(P(2 | 3)\): Einsetzen von \(x = 2\) in \(h(x)\) ergibt \(h(2) = -0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = -2 + 4 + 1 = 3\). Da \(y_P = 3\), liegt der Punkt \(P\) auf dem Graphen. 2. Lage von \(Q(4 | 0)\): Einsetzen von \(x = 4\) ergibt \(h(4) = -0{,}5 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 + 1 = -8 + 8 + 1 = 1\). Da der \(y\)-Wert von \(Q\) mit \(0\) kleiner ist als der Funktionswert \(1\), liegt \(Q\) unterhalb des Graphen. 3. Bedingung für \(R(1 | y_R)\): Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 1\): \(h(1) = -0{,}5 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 + 1 = 2{,}5\). Damit der Punkt oberhalb liegt, muss sein \(y\)-Wert größer als der Funktionswert sein, also \(y_R > 2{,}5\).

a) Der Punkt \(P\) liegt auf dem Graphen \(G_h\). b) Der Punkt \(Q\) liegt unterhalb des Graphen \(G_h\). c) Es muss gelten: \(y_R > 2{,}5\).

- Hier sind mehrere binomische Formeln versteckt. Findest du sie alle? - Der Bruch \(\frac{1}{2}\) bezieht sich auf das gesamte Ergebnis der ersten Klammer. - Pass besonders gut auf die Vorzeichen auf, wenn du die Terme voneinander abziehst.

1. Auflösen des ersten Quadrats mittels der ersten binomischen Formel: \((2x + 6)^2 = 4x^2 + 24x + 36\) 2. Multiplikation mit \(\frac{1}{2}\): \(\frac{1}{2}(4x^2 + 24x + 36) = 2x^2 + 12x + 18\) 3. Auflösen des Produkts \((x + 1)(x - 1)\) mit der dritten binomischen Formel: \(x^2 - 1\) 4. Subtraktion unter Berücksichtigung der Klammer: \(-(x^2 - 1) = -x^2 + 1\) 5. Zusammenführen aller Bestandteile: \(h(x) = 2x^2 + 12x + 18 - x^2 + 1 - 10x\) 6. Zusammenfassen gleicher Glieder: \(h(x) = x^2 + 2x + 19\) 7. Identifikation: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 19\)

\(h(x) = x^2 + 2x + 19\) mit \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 19\)

- Erinnere dich an die binomischen Formeln für das Auflösen von Klammern der Form \((a+b)^2\). - Achte beim Auflösen von Minusklammern darauf, dass sich alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehren. - Beim Dividieren eines gesamten Terms durch eine Zahl musst du jedes Glied im Zähler einzeln dividieren. - Vergiss nicht, am Ende alle Terme mit \(x^2\), alle mit \(x\) und alle konstanten Zahlen zusammenzufassen.

1. Ausmultiplizieren von \(f(x) = 2x(x - 4) + 10 = 2x^2 - 8x + 10\). Koeffizienten: \(a = 2, b = -8, c = 10\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf \(f(x) = (x + 5)^2 - 3 = x^2 + 10x + 25 - 3 = x^2 + 10x + 22\). Koeffizienten: \(a = 1, b = 10, c = 22\). 3. Kürzen des Bruchs: \(f(x) = \frac{6x^2}{3} - \frac{9x}{3} + 4 = 2x^2 - 3x + 4\). Koeffizienten: \(a = 2, b = -3, c = 4\). 4. Auflösen der Klammer mit Minuszeichen: \(f(x) = 0{,}5x^2 - x^2 + 2x - 1 = -0{,}5x^2 + 2x - 1\). Koeffizienten: \(a = -0{,}5, b = 2, c = -1\).

a) \(f(x) = 2x^2 - 8x + 10 \Rightarrow a = 2, b = -8, c = 10\) b) \(f(x) = x^2 + 10x + 22 \Rightarrow a = 1, b = 10, c = 22\) c) \(f(x) = 2x^2 - 3x + 4 \Rightarrow a = 2, b = -3, c = 4\) d) \(f(x) = -0{,}5x^2 + 2x - 1 \Rightarrow a = -0{,}5, b = 2, c = -1\)

- Beginne damit, die beiden Terme mit einem Gleichheitszeichen zu verbinden. - Wie kannst du eine Gleichung so umformen, dass alle Terme auf einer Seite stehen und auf der anderen Seite nur noch die Null? - Fasse gleiche Potenzen von \(x\) (also die \(x^2\)-Glieder, die \(x\)-Glieder und die Zahlen ohne \(x\)) zusammen.

1. Ansatz durch Gleichsetzen der Funktionsterme: \(1{,}5x^2 - 4x + 1 = 0{,}5x^2 + 2\). 2. Subtraktion von \(0{,}5x^2\) auf beiden Seiten: \(x^2 - 4x + 1 = 2\). 3. Subtraktion von \(2\) auf beiden Seiten, um die Form \(= 0\) zu erhalten: \(x^2 - 4x - 1 = 0\). 4. Die resultierende quadratische Gleichung ist \(x^2 - 4x - 1 = 0\).

\(x^2 - 4x - 1 = 0\)

- Wie sieht die allgemeine Form aus, wenn die Konstante am Ende wegfällt? - Welche Verfahren kennst du, um eine quadratische Gleichung zu lösen? - Was bedeutet eine Nullstelle im Kontext einer Brücke, die auf dem Boden steht?

1. Expansion von \(p(x)\): \((x - 10)^2 = x^2 - 20x + 100\). 2. Multiplikation mit \(-0{,}1\): \(-0{,}1x^2 + 2x - 10\). 3. Addition von \(10\): \(p(x) = -0{,}1x^2 + 2x\). 4. Nullstellenberechnung: Setze \(-0{,}1x^2 + 2x = 0\). 5. Division durch \(-0{,}1\) führt zu \(x^2 - 20x = 0\). 6. Ausklammern oder \(p\)-\(q\)-Formel: \(x(x - 20) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 20\). 7. Breite: \(20\,\text{m} - 0\,\text{m} = 20\,\text{m}\).

a) \(p(x) = -0{,}1x^2 + 2x\) b) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 20\). Der Bogen hat eine Breite von \(20\,\text{m}\).

- Welche besonderen Koordinaten liefert dir die Information über den „maximalen Wert“ einer Funktion? - Wie kannst du eine Funktionsgleichung von der Scheitelpunktform in die Normalform überführen? - Was musst du tun, um zu prüfen, ob ein Punkt die Bedingung einer Funktionsgleichung erfüllt? - Wenn du eine Ungleichung wie \(f(x) > 3\) hast, hilft es oft, zuerst die Gleichung \(f(x) = 3\) zu lösen.

1. Interpretation der Extremstelle: Das Maximum bei \(x = -1\) mit dem Wert \(4\) entspricht dem Scheitelpunkt \(S(-1 \mid 4)\). 2. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(f(x) = -(x - (-1))^2 + 4 = -(x + 1)^2 + 4\). 3. Umwandeln in die Normalform: \(f(x) = -(x^2 + 2x + 1) + 4 = -x^2 - 2x + 3\). Ergebnis: \(p = -2\), \(q = 3\). 4. Punktprobe für \(P(1 \mid 0)\): Einsetzen von \(x = 1\) in \(f(x)\) ergibt \(-(1)^2 - 2 \cdot 1 + 3 = -1 - 2 + 3 = 0\). Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate des Punktes übereinstimmt, liegt \(P\) auf dem Graphen. 5. Lösen der Ungleichung \(f(x) > 3\): \(-x^2 - 2x + 3 > 3 \Leftrightarrow -x^2 - 2x > 0 \Leftrightarrow -x(x + 2) > 0\). Die Nullstellen des Terms \(-x^2 - 2x\) liegen bei \(x = 0\) und \(x = -2\). Da die zugehörige Parabel nach unten geöffnet ist, sind die Werte zwischen den Nullstellen positiv. Ergebnis: \(-2 < x < 0\) bzw. \(x \in (-2; 0)\).

a) \(p = -2\), \(q = 3\) b) Ja, der Punkt \(P(1 \mid 0)\) liegt auf dem Graphen, da \(f(1) = 0\) gilt. c) \(x \in (-2; 0)\) bzw. \(-2 < x < 0\)