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- Setze die x-Werte nacheinander in die Funktionsgleichung ein, um die y-Werte zu erhalten. - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen auf die Klammern, zum Beispiel \((-2)^2\). - Suche in der Tabelle nach einem Punkt, an dem die y-Werte links und rechts davon paarweise gleich sind. - Nullstellen sind die Stellen, an denen der Funktionswert genau Null ist.

1. Berechnung der Funktionswerte für die Tabelle: \(f(-2) = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5\) \(f(-1) = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0\) \(f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3\) \(f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4\) \(f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3\) \(f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0\) \(f(4) = 4^2 - 2 \cdot 4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5\) 2. Bestimmung des Scheitelpunkts: Die Funktionswerte sind symmetrisch um den Wert \(x = 1\). Der kleinste Funktionswert liegt bei \(x = 1\) mit \(f(1) = -4\). Der Scheitelpunkt ist somit \(S(1 \mid -4)\). 3. Bestimmung der Nullstellen: Die Nullstellen sind die \(x\)-Werte, für die \(f(x) = 0\) gilt. Aus der Tabelle lassen sich \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\) ablesen.

a) Werte: \(5, 0, -3, -4, -3, 0, 5\). b) Der Scheitelpunkt ist \(S(1 \mid -4)\). c) Die Nullstellen sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\).

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass eine binomische Formel erkennbar wird? - Welchen Wert musst du ergänzen, um den quadratischen Teil zu vervollständigen? - Wie hängen die Werte in der Klammer und am Ende der Gleichung mit den Koordinaten des Scheitelpunkts zusammen?

Um den Scheitelpunkt zu finden, wird die Funktionsgleichung durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform \(f(x) = (x - x_S)^2 + y_S\) umgeformt. a) \(f(x) = x^2 - 10x + 25 - 25 + 24 = (x - 5)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt ist \(S(5 | -1)\). b) \(f(x) = x^2 + 3x + 1{,}5^2 - 1{,}5^2 + 1{,}25 = (x + 1{,}5)^2 - 2{,}25 + 1{,}25 = (x + 1{,}5)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-1{,}5 | -1)\). c) \(f(x) = x^2 - 0{,}8x + 0{,}4^2 - 0{,}16 + 0{,}16 = (x - 0{,}4)^2\). Dies entspricht \((x - 0{,}4)^2 + 0\). Der Scheitelpunkt ist \(S(0{,}4 | 0)\).

a) \(S(5 | -1)\) b) \(S(-1{,}5 | -1)\) c) \(S(0{,}4 | 0)\)

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um Klammern mit Quadraten aufzulösen. - Wie multipliziert man zwei Klammern miteinander aus? - Wenn zwei Terme nach der Vereinfachung genau gleich aussehen, beschreiben sie dieselbe Funktion.

1. Umwandlung von \(g(x)\) in die Normalform durch Anwendung der ersten binomischen Formel: \((x+2)^2 - 9 = x^2 + 4x + 4 - 9 = x^2 + 4x - 5\). Damit gilt \(g(x) = f(x)\). 2. Umwandlung von \(h(x)\) in die Normalform durch Ausmultiplizieren der Klammern: \((x-1)(x+5) = x^2 + 5x - x - 5 = x^2 + 4x - 5\). Damit gilt \(h(x) = f(x)\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Alle drei Funktionsterme ergeben nach der Umformung \(x^2 + 4x - 5\). Somit beschreiben sie alle dieselbe Parabel.

Ja, alle drei Funktionsgleichungen beschreiben dieselbe Parabel, da sie alle in die Normalform \(x^2 + 4x - 5\) umgeformt werden können.

- Kannst du den Term in der Klammer mithilfe einer binomischen Formel auflösen? - Was passiert, wenn du beide Funktionen in die gleiche Form (z. B. die Normalform) bringst? - Wie gehst du mit der Konstanten außerhalb der Klammer um?

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf den Term von \(f(x)\): \((x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16\). 2. Addition der Konstanten \(3\) zum Ergebnis: \(x^2 - 8x + 16 + 3 = x^2 - 8x + 19\). 3. Vergleich der resultierenden Normalform mit \(g(x)\): Da beide Terme identisch sind (\(x^2 - 8x + 19\)), beschreiben sie dieselbe Funktion.

Ja, die Funktionen sind identisch, da die Umformung von \(f(x)\) in die Normalform \(x^2 - 8x + 19\) ergibt.

- Erkennst du eine der typischen Formen für quadratische Funktionen wieder? - Welche Information liefern die Zahlenwerte in den Klammern bei der Scheitelpunktform oder der faktorisierten Form? - Welcher Wert in der allgemeinen Form bleibt übrig, wenn du \(x = 0\) einsetzt? - Was sagt das Vorzeichen des Koeffizienten vor \(x^2\) über die Öffnung der Parabel aus?

1. Identifikation der Formen: a) Scheitelpunktform, b) Faktorisierte Form (oder Nullstellenform), c) Allgemeine Form. 2. Ablesbare Eigenschaften für a): Scheitelpunkt \(S(3 | 8)\), Streckfaktor \(-2\) (nach unten geöffnet und gestreckt). 3. Ablesbare Eigenschaften für b): Nullstellen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 5\), Streckfaktor \(0{,}5\) (nach oben geöffnet und gestaucht). 4. Ablesbare Eigenschaften für c): \(y\)-Achsenabschnitt bei \(c = 7\) (Punkt \((0 | 7)\)), Streckfaktor \(4\) (nach oben geöffnet und gestreckt).

a) Scheitelpunktform; Eigenschaften: Scheitelpunkt \(S(3 | 8)\) oder Öffnung nach unten. b) Faktorisierte Form; Eigenschaften: Nullstellen bei \(x = -1\) und \(x = 5\) oder Öffnung nach oben. c) Allgemeine Form; Eigenschaften: \(y\)-Achsenabschnitt bei \(7\) oder Öffnung nach oben.

- Welche Werte für \(x\) sorgen dafür, dass einer der Klammerausdrücke Null wird? - Wo liegt die Symmetrieachse einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Wie findet man den Funktionswert an einer bestimmten Stelle? - Welche Rolle spielt die Zahl vor den Klammern für die Öffnung und Form der Parabel?

1. Nullstellen aus der faktorisierten Form ablesen: Die Faktoren \((x + 1)\) und \((x - 5)\) ergeben die Nullstellen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 5\). 2. \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes berechnen: Der Scheitelpunkt liegt mittig zwischen den Nullstellen: \(x_S = \frac{-1 + 5}{2} = 2\). 3. \(y\)-Koordinate des Scheitelpunktes berechnen: \(f(2) = -0{,}5(2 + 1)(2 - 5) = -0{,}5 \cdot 3 \cdot (-3) = 4{,}5\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 \mid 4{,}5)\). 4. Form der Parabel bestimmen: Da der Streckfaktor \(a = -0{,}5\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Da \(|a| = 0{,}5 < 1\) ist, ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestaucht (weiter geöffnet).

Die Nullstellen liegen bei \(N_1(-1 \mid 0)\) und \(N_2(5 \mid 0)\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 \mid 4{,}5)\). Die Parabel ist nach unten geöffnet und gestaucht.

- Was sagt die Lage des Scheitelpunkts über den Parameter \(c\) in der Funktionsgleichung aus? - Wie verhält sich eine Parabel, wenn der Streckfaktor \(a\) positiv ist? - Überlege dir, wie der Graph aussehen muss, damit er die \(x\)-Achse gar nicht berührt.

1. Da der Scheitelpunkt bei \(S(0|-4)\) liegt, ist \(c = -4\). Einsetzen von \(P(2|0)\) in \(f(x) = ax^2 - 4\): \(0 = a \cdot 2^2 - 4 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 4\). 2. Da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt (\(y_s = -4\)) und die Parabel wegen \(a=1 > 0\) nach oben geöffnet ist, muss der Graph die \(x\)-Achse zweimal schneiden. 3. Damit eine nach oben geöffnete Parabel keine Nullstellen hat, muss der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegen. Er muss also um mehr als \(4\) Einheiten nach oben verschoben werden. Ein möglicher neuer Scheitelpunkt ist \(S'(0|1)\).

a) \(f(x) = x^2 - 4\) b) Der Scheitelpunkt liegt unterhalb der \(x\)-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet. c) Verschiebung nach oben um mehr als \(4\) Einheiten; z. B. \(S'(0|1)\).

- Betrachte, wie sich die Werte von einem Schritt zum nächsten verändern. - Was passiert, wenn du die Differenzen der Differenzen bildest? - Erinnerst du dich an die Merkmale linearer und quadratischer Verläufe?

1. Prüfung von Experiment A: Berechnung der Differenzen aufeinanderfolgender \(y\)-Werte: \(10{,}0 - 12{,}0 = -2{,}0\); \(8{,}0 - 10{,}0 = -2{,}0\); \(6{,}0 - 8{,}0 = -2{,}0\). Da die ersten Differenzen konstant sind, handelt es sich um eine lineare Funktion. 2. Prüfung von Experiment B: Berechnung der ersten Differenzen: \(4{,}5 - 2{,}0 = 2{,}5\); \(6{,}0 - 4{,}5 = 1{,}5\); \(6{,}5 - 6{,}0 = 0{,}5\). Die ersten Differenzen sind nicht konstant (keine lineare Funktion). 3. Berechnung der zweiten Differenzen für Experiment B: \(1{,}5 - 2{,}5 = -1{,}0\); \(0{,}5 - 1{,}5 = -1{,}0\). Da die zweiten Differenzen konstant sind, handelt es sich um eine quadratische Funktion.

Experiment A wird durch eine lineare Funktion beschrieben, da die Differenzen der \(y\)-Werte konstant \(-2{,}0\) betragen. Experiment B wird durch eine quadratische Funktion beschrieben, da erst die zweiten Differenzen (die Differenzen der Differenzen) mit \(-1{,}0\) konstant sind.

- Welche binomischen Formeln kennst du? - Wie sieht die Scheitelpunktform einer Parabel aus und was sagt sie über den Scheitelpunkt aus? - Schau dir die Vorzeichen der linearen Glieder (das Glied mit \(x\)) genau an. - Überlege, was passiert, wenn man ein \(x\) in einer Funktion durch \(-x\) ersetzt.

1. Umformung von \(f(x)\): Anwendung der ersten binomischen Formel ergibt \(f(x) = (x + 4)^2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_f(-4|0)\). 2. Umformung von \(g(x)\): Anwendung der zweiten binomischen Formel ergibt \(g(x) = (x - 4)^2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_g(4|0)\). 3. Vergleich der Graphen: Beide Parabeln sind nach oben geöffnete Normalparabeln mit Scheitelpunkten auf der \(x\)-Achse. 4. Geometrische Abbildung: Da die \(x\)-Koordinaten der Scheitelpunkte zueinander gegenzahlig sind (\(-4\) und \(4\)) und die Form identisch ist, geht der Graph von \(g\) durch eine Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse hervor.

a) \(f(x) = (x+4)^2 \Rightarrow S_f(-4|0)\); \(g(x) = (x-4)^2 \Rightarrow S_g(4|0)\). b) Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse.

- Kannst du einen Teil des Terms als Quadrat erkennen? - Was sagt die Form des Terms über die Verschiebung nach links oder rechts aus? - Wie hängen der Scheitelpunkt und die Anzahl der Berührungspunkte mit der \(x\)-Achse zusammen? - Überlege dir den Verlauf des Graphen von links kommend bis zum tiefsten Punkt.

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf \(x^2 - 6x + 9\): \(g(x) = (x - 3)^2\). 2. Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung der Normalparabel \(f\) um \(3\) Einheiten nach rechts entlang der \(x\)-Achse. 3. Aus der Scheitelpunktform \(g(x) = (x - 3)^2 + 0\) folgt der Scheitelpunkt \(S(3|0)\). Da der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, gibt es genau eine Nullstelle bei \(x = 3\). 4. Da die Parabel nach oben geöffnet ist und ihr tiefster Punkt bei \(x = 3\) liegt, fällt der Graph für alle \(x\)-Werte links vom Scheitelpunkt: \(x \le 3\).

1. \(g(x) = (x - 3)^2\) 2. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts. 3. Scheitelpunkt \(S(3|0)\); es gibt eine Nullstelle. 4. Für \(x \le 3\).

- Wo befindet sich der tiefste Punkt (Scheitelpunkt) der Parabel? Lies seine Koordinaten ab. - Wie lautet die allgemeine Scheitelpunktform und welche Werte für \(d\) und \(e\) ergeben sich aus deinem abgelesenen Scheitelpunkt? - Suche einen weiteren Punkt auf dem Graphen, der genau auf einem Gitterkreuz liegt, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die Klammer in der Scheitelpunktform aufzulösen. - Achte beim Ausmultiplizieren darauf, den Faktor vor der Klammer auf jedes Glied in der Klammer anzuwenden.

1. Ablesen des Scheitelpunkts: Der tiefste Punkt der Parabel (der Scheitelpunkt) liegt bei \(S(2 \mid -1)\). Somit ist \(d = 2\) und \(e = -1\). 2. Bestimmung der Scheitelpunktform: Wir setzen den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform ein: \(f(x) = a(x - 2)^2 - 1\) Um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen, wählen wir einen gut ablesbaren Punkt auf der Parabel, zum Beispiel den y-Achsenabschnitt \(P(0 \mid 1)\). Wir setzen seine Koordinaten in die Gleichung ein: \(1 = a(0 - 2)^2 - 1\) \(1 = 4a - 1 \quad \mid +1\) \(2 = 4a \quad \mid :4\) \(a = 0{,}5\) Damit lautet die Scheitelpunktform: \(f(x) = 0{,}5(x - 2)^2 - 1\) 3. Umwandlung in die allgemeine Form: Wir wenden die zweite binomische Formel an: \(f(x) = 0{,}5(x^2 - 4x + 4) - 1\) Multiplizieren der Klammer mit \(0{,}5\) liefert: \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2x + 2 - 1\) Zusammenfassen ergibt die allgemeine Form: \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2x + 1\)

a) \(S(2 \mid -1)\) b) \(f(x) = 0{,}5(x - 2)^2 - 1\) c) \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2x + 1\)

- Bestimme für jeden Graphen die Koordinaten des tiefsten Punktes (Scheitelpunkt). - Nutze die Scheitelpunktform \(y = (x - d)^2 + e\), wobei \((d \mid e)\) die Koordinaten des Scheitelpunkts sind. - Achte darauf, dass ein Minuszeichen in der Klammer eine Verschiebung nach rechts bedeutet.

Analyse der Graphen und Gleichungen: - Graph \(f\): Scheitelpunkt bei \((-2 \mid 0)\). Das entspricht Gleichung (1) \(y = (x + 2)^2\). - Graph \(g\): Scheitelpunkt bei \((1{,}5 \mid 0)\). Das entspricht Gleichung (2) \(y = (x - 1{,}5)^2\). - Graph \(h\): Scheitelpunkt bei \((0 \mid -3)\). Das entspricht Gleichung (3) \(y = x^2 - 3\). - Graph \(k\): Scheitelpunkt bei \((4 \mid 1)\). Das entspricht Gleichung (4) \(y = (x - 4)^2 + 1\). - Die Gleichung (5) \(y = (x + 3)^2\) hätte den Scheitelpunkt \((-3 \mid 0)\), welcher im Graph nicht als Scheitelpunkt vorkommt.

\(f \rightarrow (1)\), \(g \rightarrow (2)\), \(h \rightarrow (3)\), \(k \rightarrow (4)\); Gleichung (5) bleibt übrig.

- Überlege dir, wo der Scheitelpunkt der Funktion \(f(x)\) liegt. - Wie verändert sich die Lage des Scheitelpunkts, wenn du eine Konstante addierst oder subtrahierst? - Achte auf das Vorzeichen vor dem quadratischen Term, um die Öffnungsrichtung der Parabel zu bestimmen. - Kannst du die Nullstellen der Funktionen berechnen oder aus dem Graphen ablesen?

1. \(u(x) = (x-2)^2 + 1\): Die Scheitelpunktform zeigt den Scheitelpunkt bei \((2 \mid 1)\). Da der Koeffizient vor dem quadratischen Term positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Da der kleinste Funktionswert \(1\) ist, hat der Graph keine Nullstellen. Dies passt zu Graph a). 2. \(v(x) = (x-2)^2 - 1\): Der Scheitelpunkt liegt bei \((2 \mid -1)\). Die Parabel ist nach oben geöffnet und schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=1\) und \(x=3\). Dies entspricht Graph b). 3. \(w(x) = g(x) - f(x) = 1 - (x-2)^2\): Hier liegt der Scheitelpunkt ebenfalls bei \((2 \mid 1)\), jedoch ist die Parabel aufgrund des negativen Vorzeichens vor der Klammer nach unten geöffnet. Sie hat Nullstellen bei \(x=1\) und \(x=3\). Dies passt zu Graph c).

a) \(u(x) = f(x) + g(x)\), b) \(v(x) = f(x) - g(x)\), c) \(w(x) = g(x) - f(x)\)

- Überlege dir zuerst, wo die Graphen die x-Achse schneiden. - Wie kannst du aus der Funktionsgleichung erkennen, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist? - Setze einfache x-Werte in die Gleichungen ein, um Punkte zu prüfen.

1. Für \(f(x) = x^2 - 4\) ergeben sich die Nullstellen durch \(x^2 - 4 = 0\) zu \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). Die Parabel ist nach oben geöffnet. Dies entspricht Graph B. 2. Für \(g(x) = x^2 - 3x = x(x - 3)\) liegen die Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). Die Parabel ist nach oben geöffnet. Dies entspricht Graph C. 3. Für \(h(x) = -x^2 + 2x = -x(x - 2)\) liegen die Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). Da der Koeffizient vor \(x^2\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Dies entspricht Graph A.

1 \(\rightarrow\) B, 2 \(\rightarrow\) C, 3 \(\rightarrow\) A

- Schau dir die Form der Graphen an: Ist es ein Hochpunkt (Berg) oder ein Tiefpunkt (Tal)? - Lies die Koordinaten der markanten Punkte genau an den Achsen ab. - Überprüfe für jedes Kärtchen einzeln, ob der angegebene Punkt ein Extrempunkt eines der Graphen ist.

1. Analyse von Graph \(f\) (rot): Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel. Der höchste Punkt (Scheitelpunkt) liegt bei \(x = 2\) und \(y = 3\). Somit passt Kärtchen 1 zu Graph \(f\). 2. Analyse von Graph \(g\) (blau): Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel. Der tiefste Punkt (Scheitelpunkt) liegt bei \(x = -2\) und \(y = 1\). Somit passt Kärtchen 2 zu Graph \(g\). 3. Überprüfung von Kärtchen 3: Der Punkt \((0 \mid 2)\) liegt zwar auf dem Graphen von \(g\), ist dort aber kein Tiefpunkt. Kärtchen 3 passt zu keinem der dargestellten Extrempunkte.

Kärtchen 1 \(\rightarrow f\), Kärtchen 2 \(\rightarrow g\), Kärtchen 3 \(\rightarrow\) kein Graph

- Schaue dir die Lage der Punkte im Koordinatensystem genau an. - Setze die x-Koordinate jedes Punktes in die Funktionsgleichung ein und vergleiche das Ergebnis mit der y-Koordinate. - Erinnere dich daran, dass ein Punkt nur dann zum Graphen gehört, wenn die Gleichung für seine Koordinaten erfüllt ist.

1. Überprüfung von \(P(0 \mid 2)\): \(f(0) = -0{,}5 \cdot 0^2 + 2 = 2\). Das Ergebnis stimmt mit der y-Koordinate überein, also liegt \(P\) auf dem Graphen. 2. Überprüfung von \(Q(2 \mid 0)\): \(f(2) = -0{,}5 \cdot 2^2 + 2 = -0{,}5 \cdot 4 + 2 = -2 + 2 = 0\). Das Ergebnis stimmt mit der y-Koordinate überein, also liegt \(Q\) auf dem Graphen. 3. Überprüfung von \(R(1 \mid 2)\): \(f(1) = -0{,}5 \cdot 1^2 + 2 = -0{,}5 + 2 = 1{,}5\). Da \(1{,}5 \neq 2\), liegt der Punkt \(R\) nicht auf dem Graphen.

Die Punkte \(P(0 \mid 2)\) und \(Q(2 \mid 0)\) gehören zum Graphen der Funktion. Der Punkt \(R(1 \mid 2)\) gehört nicht dazu.

- Wo schneidet der Graph die x-Achse? Vergleiche diese Stellen mit den Formeln. - Wo schneidet der Graph die y-Achse? Welchen Wert muss \(x\) dort haben? - Ist die Parabel nach oben oder unten geöffnet und wie "steil" ist sie?

1. Ablesen der Nullstellen aus dem Graphen: \(x_1 = -2, x_2 = 4\) 2. Ablesen des y-Achsenabschnitts: \(y = -4\) 3. Überprüfung der Optionen: Option c) liefert Nullstellen bei \(x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{1} = 1 \pm 3 \in \{-2, 4\}\) und \(y(0) = -4\).

c) \(y = 0,5x^2 - x - 4\)

- Erinnerst du dich an den Trick, wie man einen Term so ergänzt, dass eine binomische Formel entsteht? - Achte beim Ausklammern des Minuszeichens besonders auf die Vorzeichen in der Klammer. - Wie findet man den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse rechnerisch? - Welche Gleichung musst du lösen, um die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu finden?

1. Quadratische Ergänzung: \(g(x) = -(x^2 - 6x) - 5\) \(g(x) = -(x^2 - 6x + 3^2 - 3^2) - 5\) \(g(x) = -((x-3)^2 - 9) - 5\) \(g(x) = -(x-3)^2 + 9 - 5\) \(g(x) = -(x-3)^2 + 4\). 2. Scheitelpunkt: Aus der Scheitelpunktform ergibt sich \(S(3 \mid 4)\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(g(0) = -0^2 + 6 \cdot 0 - 5 = -5\), also \(S_y(0 \mid -5)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(-(x-3)^2 + 4 = 0 \implies (x-3)^2 = 4 \implies x-3 = \pm 2\). \(x_1 = 5\), \(x_2 = 1\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(5 \mid 0)\) und \(N_2(1 \mid 0)\).

1. Scheitelpunktform: \(g(x) = -(x-3)^2 + 4\). 2. Scheitelpunkt \(S(3 \mid 4)\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 \mid -5)\); Nullstellen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\).

- Welche Form der Funktionsgleichung bietet sich an, wenn man eine Koordinate des Scheitelpunkts kennt? - Wie kannst du die Information nutzen, dass ein bestimmter Punkt auf der Parabel liegt? - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn der Scheitelpunkt auf einer Geraden wie \(x = -2\) liegt?

1. Da die Parabel eine verschobene Normalparabel ist und die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(x_S = -2\) bekannt ist, lautet der Ansatz in Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - (-2))^2 + y_S = (x + 2)^2 + y_S\). 2. Setze die Koordinaten des Punktes \(P(1 | 5)\) in die Gleichung ein, um \(y_S\) zu berechnen: \(5 = (1 + 2)^2 + y_S\). 3. Löse nach \(y_S\) auf: \(5 = 9 + y_S \Rightarrow y_S = -4\). Die Scheitelpunktform ist \(f(x) = (x + 2)^2 - 4\). 4. Wandle die Gleichung durch Ausmultiplizieren in die gewünschte Form um: \(f(x) = x^2 + 4x + 4 - 4 = x^2 + 4x\).

\(f(x) = x^2 + 4x\)

- Wie kannst du das Produkt der beiden Klammern zuerst in die Normalform \(x^2 + px + q\) bringen? - Erinnerst du dich an das Verfahren der quadratischen Ergänzung? - Welche Werte in der Scheitelpunktform geben dir direkt die Koordinaten des tiefsten oder höchsten Punktes an?

1. Ausmultiplizieren der Faktorenform: \(k(x) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8\). 2. Bestimmung der quadratischen Ergänzung für den Ausdruck \(x^2 - 2x\): \((\frac{-2}{2})^2 = 1\). 3. Durchführung der quadratischen Ergänzung: \(x^2 - 2x + 1 - 1 - 8\). 4. Zusammenfassen zur Scheitelpunktform mithilfe der zweiten binomischen Formel: \(k(x) = (x - 1)^2 - 9\). 5. Ablesen des Scheitelpunkts aus der Form \(a(x - x_S)^2 + y_S\): \(S(1 | -9)\).

Die Scheitelpunktform lautet \(k(x) = (x - 1)^2 - 9\). Der Scheitelpunkt ist \(S(1 | -9)\).

- Wie gehst du vor, wenn vor dem \(x^2\) eine Zahl (ein Streckfaktor) steht? - Kannst du \(q(x)\) erst ausmultiplizieren, um es mit \(p(x)\) besser vergleichen zu können? - Wenn zwei Funktionen dieselbe Scheitelpunktform haben, was bedeutet das für ihre Graphen?

1. Umformung von \(p(x)\) in die Scheitelpunktform: Ausklammern der \(2\) ergibt \(2(x^2 - 2x) - 6\). Quadratische Ergänzung im Klammerausdruck: \(2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 6 = 2((x - 1)^2 - 1) - 6 = 2(x - 1)^2 - 2 - 6 = 2(x - 1)^2 - 8\). 2. Umformung von \(q(x)\) in die Normalform: Zuerst Klammern ausmultiplizieren: \(2(x^2 - 3x + x - 3) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6\). 3. Umformung von \(q(x)\) in die Scheitelpunktform: Analog zu Schritt 1 ergibt sich ebenfalls \(2(x - 1)^2 - 8\). 4. Vergleich: Da beide Funktionen dieselbe Scheitelpunktform besitzen, ist die Aussage von Lukas korrekt.

Lukas hat recht. Beide Funktionen besitzen die Scheitelpunktform \(2(x - 1)^2 - 8\).

- Nutze zuerst die Koordinaten des Scheitelpunkts, um das Grundgerüst der Funktionsgleichung aufzustellen. - Wie kannst du den fehlenden Streckfaktor bestimmen, wenn du einen weiteren Punkt auf der Parabel kennst? - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die Klammer aufzulösen. - Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn du \(x = 0\) setzt? Welcher Buchstabe bleibt in der allgemeinen Form stehen?

1. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x - 1)^2 + 2\). 2. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen von \(P(3 | 10)\): \(10 = a(3 - 1)^2 + 2 \Rightarrow 8 = 4a \Rightarrow a = 2\). Ergebnis: \(f(x) = 2(x - 1)^2 + 2\). 3. Umwandlung in die allgemeine Form: \(f(x) = 2(x^2 - 2x + 1) + 2 = 2x^2 - 4x + 2 + 2 = 2x^2 - 4x + 4\). 4. Interpretation von \(c\): Der Wert \(c\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt. Für diese Funktion gilt \(c = 4\).

a) \(f(x) = 2(x - 1)^2 + 2\) b) \(f(x) = 2x^2 - 4x + 4\) c) Der Wert \(c\) gibt den \(y\)-Achsenabschnitt an; hier ist \(c = 4\).

- Wie kannst du nachweisen, dass zwei unterschiedliche Terme eigentlich die gleiche Funktion beschreiben? - Wann wird ein Produkt aus zwei Faktoren Null? - Welcher Punkt einer Parabel ist entweder der höchste oder der tiefste Punkt? In welcher Form steckt dieser Name bereits drin?

1. Nachweis der Äquivalenz (a): Ausmultiplizieren von \((x - 3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5\). 2. Bestimmung der Nullstellen (b): Anwendung des Nullprodukt-Satzes auf \((x - 1)(x - 5) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 3. Vergleich und Begründung (c): Die Scheitelpunktform ist am besten geeignet. Da der Streckfaktor \(a = 1\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt \(S(3 | -4)\) stellt den tiefsten Punkt dar. Dieser kann direkt abgelesen werden.

a) Rechnung: \((x - 3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5\). b) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). c) Die Scheitelpunktform, da der tiefste Punkt der Scheitelpunkt \(S(3 | -4)\) ist, dessen Koordinaten man direkt ablesen kann.

- Wie gehst du vor, um den quadratischen Teil eines Terms zu vervollständigen? - Was sagt die Öffnungsrichtung der Parabel über die Art des Scheitelpunkts aus? - Welche Werte kann eine Funktion annehmen, wenn du den tiefsten oder höchsten Punkt kennst? - Wie berechnet man den Durchschnitt zweier Zahlen auf der Zahlengeraden?

1. Quadratische Ergänzung: Ausklammern der \(2\), Ergänzen von \((\frac{6}{2})^2 = 9\), Zusammenfassen zum Binom ergibt \(g(x) = 2(x-3)^2 - 8\). 2. Scheitelpunkt und Wertebereich: Der Scheitelpunkt ist \(S(3 | -8)\). Da \(a = 2 > 0\), ist die Parabel nach oben geöffnet; der Scheitelpunkt ist ein Minimum. Der Wertebereich ist \(W = \{y \in \mathbb{R} | y \geq -8\}\). 3. Nullstellen und Symmetrie: Lösen von \(2(x-3)^2 - 8 = 0\) ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). Der Mittelwert der Nullstellen ist \(\frac{1 + 5}{2} = 3\), was dem \(x\)-Wert des Scheitelpunkts entspricht.

a) \(g(x) = 2(x-3)^2 - 8\) b) \(S(3 | -8)\); Wertebereich: \(y \geq -8\). Da \(a = 2 > 0\), ist die Parabel nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt ein Minimum. c) Nullstellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\). Mittelwert: \(\frac{1+5}{2} = 3\), dies entspricht \(x_S = 3\).

- Wann wird ein Produkt gleich Null? - Wo liegt die Symmetrieachse einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Wie findest du den passenden Funktionswert zu einer \(x\)-Stelle? - Welche binomische Formel hilft dir beim Auflösen der Klammer in der Scheitelpunktform?

1. Nullstellen: Direktes Ablesen aus der faktorisierten Form ergibt \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 6\). 2. Scheitelpunkt bestimmen: Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts liegt mittig zwischen den Nullstellen: \(x_S = \frac{-2 + 6}{2} = 2\). Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(f(2) = -0{,}5(2 + 2)(2 - 6) = -0{,}5 \cdot 4 \cdot (-4) = 8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 | 8)\). 3. Umwandlung: Scheitelpunktform ist \(f(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 8\). Ausmultiplizieren: \(-0{,}5(x^2 - 4x + 4) + 8 = -0{,}5x^2 + 2x - 2 + 8 = -0{,}5x^2 + 2x + 6\).

a) Nullstellen: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 6\) b) Scheitelpunkt: \(S(2 | 8)\) c) Scheitelpunktform: \(f(x) = -0{,}5(x-2)^2 + 8\); Allgemeine Form: \(f(x) = -0{,}5x^2 + 2x + 6\)

- Erinnere dich an die erste binomische Formel, um die Klammer aufzulösen. - Achte beim Multiplizieren mit \(-\frac{1}{2}\) auf die Vorzeichen aller Glieder in der Klammer. - Welche Methode bietet sich an, um die Nullstellen einer Gleichung der Form \(ax^2 + bx = 0\) schnell zu finden? - Wie hängen die Nullstellen mit den Faktoren der faktorisierten Form zusammen?

1. Umwandlung in die allgemeine Form durch Auflösen der Klammer (binomische Formel) und Zusammenfassen: \(g(x) = -\frac{1}{2}(x^2 + 8x + 16) + 8\) \(g(x) = -0{,}5x^2 - 4x - 8 + 8\) \(g(x) = -0{,}5x^2 - 4x\) 2. Berechnung der Nullstellen (hier durch Ausklammern in der allgemeinen Form oder direkt aus der Scheitelpunktform): \(-0{,}5x^2 - 4x = 0\) \(x(-0{,}5x - 4) = 0\) \(x_1 = 0\) \(-0{,}5x - 4 = 0 \Rightarrow -0{,}5x = 4 \Rightarrow x_2 = -8\) 3. Aufstellen der faktorisierten Form: Mit \(a = -0{,}5\), \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -8\) folgt: \(g(x) = -0{,}5(x - 0)(x + 8)\) bzw. \(g(x) = -0{,}5x(x + 8)\).

a) Die allgemeine Form ist \(g(x) = -0{,}5x^2 - 4x\). b) Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -8\). c) Die faktorisierte Form lautet \(g(x) = -0{,}5x(x + 8)\).

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn einer der Faktoren in der Klammer Null wird? - Wie findet man einen unbekannten Parameter, wenn ein Punkt auf dem Graphen gegeben ist? - Nutze die Symmetrie der Parabel: Wo muss der Scheitelpunkt im Verhältnis zu den Nullstellen liegen?

1. Alle Funktionen der Schar haben dieselben Nullstellen bei \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\), da dies die Werte sind, für die die Klammerausdrücke Null werden. 2. Einsetzen von \(R(0|3)\) in die Funktionsgleichung: \(3 = a \cdot (0 + 3) \cdot (0 - 1) \Rightarrow 3 = -3a \Rightarrow a = -1\). 3. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts liegt genau in der Mitte der Nullstellen: \(x_s = \frac{-3 + 1}{2} = -1\). Einsetzen in die Funktion mit \(a = -1\): \(f(-1) = -1 \cdot (-1 + 3) \cdot (-1 - 1) = -1 \cdot 2 \cdot (-2) = 4\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-1|4)\).

a) Gemeinsame Nullstellen bei \(x = -3\) und \(x = 1\). b) \(a = -1\) c) \(S(-1|4)\)

- Wie kannst du die Klammer mit Hilfe der binomischen Formeln auflösen? - Vergiss nicht, den Faktor vor der Klammer auf jedes Glied in der Klammer anzuwenden. - Um die Nullstellenform zu finden, musst du zuerst die Werte finden, für die die Funktion Null wird. - Überlege, welche Parameter in den Formeln direkt den Koordinaten wichtiger Punkte (wie dem höchsten/tiefsten Punkt oder dem Schnittpunkt mit der y-Achse) entsprechen.

1. Umwandlung in die allgemeine Form durch Auflösen der Klammer (1. Binomische Formel): \(g(x) = -0{,}5(x^2 + 2x + 1) + 2 = -0{,}5x^2 - x - 0{,}5 + 2 = -0{,}5x^2 - x + 1{,}5\). 2. Berechnung der Nullstellen zur Bestimmung der Nullstellenform: \(-0{,}5(x + 1)^2 + 2 = 0 \Rightarrow (x + 1)^2 = 4 \Rightarrow x + 1 = \pm 2\). Dies ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\). 3. Aufstellen der Nullstellenform: \(g(x) = -0{,}5(x - 1)(x + 3)\). 4. Interpretation: In der Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt \(S(-1 \mid 2)\) direkt ablesen. In der allgemeinen Form lässt sich der y-Achsenabschnitt \(c = 1{,}5\) direkt ablesen. In beiden Formen ist der Streckfaktor \(a = -0{,}5\) sichtbar (Parabel nach unten geöffnet und gestaucht).

a) Allgemeine Form: \(g(x) = -0{,}5x^2 - x + 1{,}5\) b) Nullstellenform: \(g(x) = -0{,}5(x - 1)(x + 3)\) c) Scheitelpunktform: Scheitelpunkt \(S(-1 \mid 2)\) und Streckfaktor \(a\) sind direkt ablesbar. Allgemeine Form: y-Achsenabschnitt \(c = 1{,}5\) und Streckfaktor \(a\) sind direkt ablesbar.

- Wenn du die Stellen kennst, an denen der Graph die x-Achse berührt oder schneidet, welche Form der Gleichung hilft dir dann weiter? - Wo liegt die x-Koordinate des Scheitelpunkts im Verhältnis zu den beiden Nullstellen? - Wie findest du den y-Wert eines Punktes heraus, wenn du seinen x-Wert und die Funktionsgleichung kennst?

1. Ansatz mit der Nullstellenform (faktorisierte Form): \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\). 2. Einsetzen der Nullstellen: \(f(x) = a(x - 1)(x - 5)\). 3. Bestimmung von \(a\) mit dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \((0 \mid -5)\): \(-5 = a(0 - 1)(0 - 5) \Rightarrow -5 = 5a \Rightarrow a = -1\). 4. Funktionsgleichung: \(f(x) = -(x - 1)(x - 5) = -x^2 + 6x - 5\). 5. Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts als Mittelwert der Nullstellen: \(x_s = \frac{1 + 5}{2} = 3\). 6. Berechnung der \(y\)-Koordinate durch Einsetzen in die Funktion: \(f(3) = -(3 - 1)(3 - 5) = -(2)(-2) = 4\). 7. Ergebnis: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3 \mid 4)\).

Funktionsgleichung: \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\) (oder \(f(x) = -(x - 1)(x - 5)\)); Scheitelpunkt: \(S(3 \mid 4)\).

- Wie liest man die Koordinaten direkt aus der Klammer und dem Summanden am Ende ab? - Welche Koordinate gibt die Höhe des Scheitelpunkts an? - Erinnere dich an die erste binomische Formel beim Auflösen der Klammer. - Was muss man für \(x\) einsetzen, um den Punkt auf der senkrechten Achse zu finden?

1. Scheitelpunkt von \(h\): Da \(h(x) = -2(x - 0)^2 + 4\), ist \(S_h(0|4)\). Scheitelpunkt von \(k\): Aus der Form \(k(x) = -2(x - (-1))^2 + 6\) folgt \(S_k(-1|6)\). 2. Der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts gibt das Maximum an. Da \(6 > 4\), liegt der Scheitelpunkt von \(k\) höher als der von \(h\). 3. Ausmultiplizieren von \(k(x) = -2(x^2 + 2x + 1) + 6\): \(-2x^2 - 4x - 2 + 6 = -2x^2 - 4x + 4\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(x = 0\). Berechnung: \(k(0) = -2(0)^2 - 4(0) + 4 = 4\). Der Schnittpunkt ist \(P_y(0|4)\).

1. \(S_h(0|4)\) und \(S_k(-1|6)\). 2. Die Parabel \(k\) hat den höheren Scheitelpunkt. 3. \(k(x) = -2x^2 - 4x + 4\) 4. \(P_y(0|4)\)

- Schaue dir zuerst die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse (Nullstellen) an. Wie hängen diese mit den Vorzeichen in der Produktform zusammen? - Wie kannst du den Streckfaktor bestimmen, indem du einen bekannten Punkt des Graphen in deine Gleichung einsetzt und nach dem unbekannten Faktor auflöst? - Bestimme für den zweiten Graphen den Scheitelpunkt direkt aus der Abbildung. Wie wird eine Verschiebung nach links in der Scheitelpunktform mathematisch ausgedrückt? - Achte auf das Vorzeichen des Streckfaktors: Öffnet sich die Parabel nach oben oder nach unten? Ist sie im Vergleich zur Normalparabel gestreckt oder gestaucht?

1. Analyse von Graph a): Bestimmung der Nullstellen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). Ansatz der Linearfaktorzerlegung \(f(x) = a(x+1)(x-3)\). Bestimmung des Streckfaktors durch Einsetzen des Scheitelpunkts \((1 \mid -2)\): \(-2 = a(1+1)(1-3) \implies -2 = -4a \implies a = 0{,}5\). Korrekte Gleichung ist \(f(x) = 0{,}5(x+1)(x-3)\). Mias Fehler: Vorzeichen in den Linearfaktoren vertauscht und falschen Streckfaktor (\(a = 2\)) gewählt. 2. Analyse von Graph b): Bestimmung des Scheitelpunkts bei \(S(-2 \mid 3)\). Ansatz der Scheitelpunktform \(g(x) = a(x+2)^2 + 3\). Bestimmung des Streckfaktors durch Einsetzen des Punktes \((-1 \mid 1)\): \(1 = a(-1+2)^2 + 3 \implies 1 = a + 3 \implies a = -2\). Korrekte Gleichung ist \(g(x) = -2(x+2)^2 + 3\). Mias Fehler: Vorzeichen in der Klammer vertauscht (Verschiebung nach rechts statt links) und falschen Streckfaktor (\(a = -1\)) gewählt.

a) Mia hat die Vorzeichen der Nullstellen vertauscht und \(a=2\) statt \(a=0{,}5\) verwendet; korrekt ist \(f(x) = 0{,}5(x+1)(x-3)\). b) Mia hat die Verschiebungsrichtung und den Streckfaktor falsch gewählt; korrekt ist \(g(x) = -2(x+2)^2 + 3\).

- Kannst du den Scheitelpunkt (den höchsten oder tiefsten Punkt) des Graphen ablesen? - Wie lautet die allgemeine Scheitelpunktform einer Parabel? Wie setzt man dort den Scheitelpunkt ein? - Um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen, kannst du die Koordinaten eines beliebigen anderen Punktes auf dem Graphen in deine Funktionsgleichung einsetzen. - Wo schneidet der rote Graph \(g\) die x-Achse? Diese Punkte sind die Nullstellen, die du direkt in die Produktform einsetzen kannst. - Wie kannst du eine Klammer der Form \((x - d)^2\) oder ein Produkt zweier Klammern ausmultiplizieren, um die allgemeine Form zu erhalten?

1. Teilaufgabe a): - Scheitelpunkt ablesen: Der Scheitelpunkt des blauen Graphen \(f\) liegt bei \(S_1(2 \mid -3)\). - Scheitelpunktform aufstellen: \(f(x) = a(x - 2)^2 - 3\). - Parameter \(a\) bestimmen: Einsetzen eines gut ablesbaren Punktes, z. B. \(P(0 \mid -1)\): \(-1 = a(0 - 2)^2 - 3 \implies 2 = 4a \implies a = 0{,}5\). Die Scheitelpunktform lautet somit: \(f(x) = 0{,}5(x - 2)^2 - 3\). - In die allgemeine Form umwandeln: \(f(x) = 0{,}5(x^2 - 4x + 4) - 3 = 0{,}5x^2 - 2x + 2 - 3 = 0{,}5x^2 - 2x - 1\). 2. Teilaufgabe b): - Nullstellen ablesen: Der rote Graph \(g\) schneidet die x-Achse bei \(x_1 = -5\) und \(x_2 = -1\). - Produktform (Linearfaktorzerlegung) aufstellen: \(g(x) = a(x + 5)(x + 1)\). - Parameter \(a\) bestimmen: Einsetzen des y-Achsenabschnitts \(Q(0 \mid -5)\): \(-5 = a(0 + 5)(0 + 1) \implies -5 = 5a \implies a = -1\). Die Produktform lautet somit: \(g(x) = -(x + 5)(x + 1)\). - Ausmultiplizieren der Produktform: \(g(x) = -(x^2 + 6x + 5) = -x^2 - 6x - 5\). - Alternative über die Scheitelpunktform: Mit Scheitelpunkt \(S_2(-3 \mid 4)\) und \(a = -1\): \(g(x) = -(x + 3)^2 + 4 = -(x^2 + 6x + 9) + 4 = -x^2 - 6x - 5\). Beide Wege führen zur selben allgemeinen Form \(g(x) = -x^2 - 6x - 5\).

a) Scheitelpunktform: \(f(x) = 0{,}5(x - 2)^2 - 3\); allgemeine Form: \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2x - 1\). b) Produktform: \(g(x) = -(x + 5)(x + 1)\); Scheitelpunktform: \(g(x) = -(x + 3)^2 + 4\). Beide Formen ergeben ausmultipliziert die allgemeine Form \(g(x) = -x^2 - 6x - 5\).

- Schau dir zuerst das Vorzeichen vor dem quadratischen Glied (\(x^2\)) an. Was verrät es dir über die Öffnungsrichtung der Parabel? - Achte auf die Zahl vor dem \(x^2\) (den Streckungsfaktor). Ist die Parabel schmaler oder breiter als eine Normalparabel? - Wo liegt der Scheitelpunkt (der höchste oder tiefste Punkt) bei jedem der Graphen? Vergleiche diese Punkte mit den Termen. - Die Nullstellen sind die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet. Lies diese direkt auf der horizontalen Achse ab. - Überlege für die Wertemenge, welche \(y\)-Werte die Funktionen annehmen können. Welcher Punkt der Parabel begrenzt diese Werte nach oben oder unten?

1. **Zuordnung der Graphen**: - Der Graph \(C\) ist nach oben geöffnet, schmaler als eine Normalparabel und hat seinen Scheitelpunkt bei \((2 \mid -2)\). Dies passt zur Funktion \(f_1(x) = 2x^2 - 8x + 6\), da der Streckungsfaktor \(a = 2 > 1\) ist. Somit gilt: **\(f_1\) gehört zu Graph \(C\)**. - Der Graph \(A\) ist nach unten geöffnet, breiter als eine Normalparabel und hat seinen Scheitelpunkt bei \((-2 \mid 2)\). Dies passt zur Funktion \(f_2(x) = -0{,}5x^2 - 2x\), da \(a < 0\) die Öffnung nach unten und \(\lvert a \rvert = 0{,}5 < 1\) die größere Breite erklärt. Somit gilt: **\(f_2\) gehört zu Graph \(A\)**. - Der Graph \(B\) ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt bei \((1 \mid -4)\). Dies passt zur Funktion \(f_3(x) = x^2 - 2x - 3\), da der Streckungsfaktor \(a = 1\) ist und der \(y\)-Achsenabschnitt bei \(-3\) liegt. Somit gilt: **\(f_3\) gehört zu Graph \(B\)**. 2. **Nullstellen ablesen**: - Für \(f_1\) (Graph \(C\)): Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). - Für \(f_2\) (Graph \(A\)): Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse liegen bei \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 0\). - Für \(f_3\) (Graph \(B\)): Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse liegen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 3. **Wertemengen bestimmen**: - Für \(f_1\) (Graph \(C\)): Der Scheitelpunkt \((2 \mid -2)\) ist der tiefste Punkt der Parabel. Die Wertemenge ist \(W_1 = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge -2\}\) bzw. \([-2; \infty[\). - Für \(f_2\) (Graph \(A\)): Der Scheitelpunkt \((-2 \mid 2)\) ist der höchste Punkt der Parabel. Die Wertemenge ist \(W_2 = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 2\}\) bzw. \(]-\infty; 2]\). - Für \(f_3\) (Graph \(B\)): Der Scheitelpunkt \((1 \mid -4)\) ist der tiefste Punkt der Parabel. Die Wertemenge ist \(W_3 = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge -4\}\) bzw. \([-4; \infty[\).

a) \(f_1 \rightarrow C\) (orange), \(f_2 \rightarrow A\) (grün), \(f_3 \rightarrow B\) (blau). b) \(f_1\): \(x=1\) und \(x=3\); \(f_2\): \(x=-4\) und \(x=0\); \(f_3\): \(x=-1\) und \(x=3\). c) \(W_1 = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge -2\}\), \(W_2 = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 2\}\), \(W_3 = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge -4\}\).

- Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel mit ihrer Scheitelpunktform zusammen? - Wie kannst du den Streckfaktor bestimmen, nachdem du den Scheitelpunkt abgelesen hast? Nutze dafür einen weiteren gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen. - Welche binomische Formel hilft dir dabei, die Klammer der Scheitelpunktform aufzulösen? - Um die Nullstellen zu berechnen, kannst du entweder die Scheitelpunktform direkt nach \(x\) auflösen oder die allgemeine Form gleich null setzen. Welcher Weg fällt dir leichter?

1. Ablesen der Scheitelpunkte aus dem Graphen: \(S_f(2 \mid -3)\) und \(S_g(-1 \mid 4)\). 2. Aufstellen der Scheitelpunktform: - Für \(f\): Einsetzen des Scheitelpunkts liefert \(f(x) = a(x-2)^2 - 3\). Mit einem weiteren ablesbaren Punkt wie \((4 \mid -1)\) ergibt sich \(-1 = a(4-2)^2 - 3 \implies 2 = 4a \implies a = 0{,}5\). Somit ist \(f(x) = 0{,}5(x-2)^2 - 3\). - Für \(g\): Einsetzen des Scheitelpunkts liefert \(g(x) = a(x+1)^2 + 4\). Mit einem weiteren ablesbaren Punkt wie \((0 \mid 3)\) ergibt sich \(3 = a(0+1)^2 + 4 \implies -1 = a\). Somit ist \(g(x) = -(x+1)^2 + 4\). 3. Umformung von \(g(x)\) in die allgemeine Form durch Ausmultiplizieren mit der ersten binomischen Formel: \(g(x) = -(x^2 + 2x + 1) + 4 = -x^2 - 2x - 1 + 4 = -x^2 - 2x + 3\). 4. Berechnung der Nullstellen von \(g\): Ansatz \(g(x) = 0 \implies -(x+1)^2 + 4 = 0 \implies (x+1)^2 = 4 \implies x+1 = 2\) oder \(x+1 = -2\). Daraus ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\).

a) \(S_f(2 \mid -3)\) mit \(f(x) = 0{,}5(x-2)^2 - 3\); \(S_g(-1 \mid 4)\) mit \(g(x) = -(x+1)^2 + 4\). b) \(g(x) = -x^2 - 2x + 3\) c) \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\)

- Kannst du die Koordinaten des tiefsten bzw. höchsten Punktes der Parabeln ablesen? - Wie sieht die allgemeine Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion aus? - Wenn du den Scheitelpunkt in die Formel eingesetzt hast, wie kannst du einen weiteren Punkt des Graphen nutzen, um den Streckfaktor zu berechnen? - Welche binomische Formel hilft dir beim Ausmultiplizieren der Scheitelpunktform? - Wo schneidet der Graph der Funktion die waagerechte Achse? Was bedeutet das für den Funktionswert an diesen Stellen?

1. **Bestimmung der Scheitelpunktformen (Teilaufgabe a):** - **Funktion \(f\):** Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_f(1 \mid -4)\). Der Ansatz für die Scheitelpunktform lautet: \(f(x) = a(x - d)^2 + e\). Mit dem Scheitelpunkt ergibt sich \(f(x) = a(x - 1)^2 - 4\). Um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen, lesen wir einen weiteren Punkt auf dem Graphen ab, zum Beispiel den \(y\)-Achsenabschnitt bei \((0 \mid -2)\) oder den Punkt \((2 \mid -2)\). Einsetzen von \((2 \mid -2)\): \(-2 = a \cdot (2 - 1)^2 - 4 \implies -2 = a - 4 \implies a = 2\). Die Scheitelpunktform von \(f\) lautet somit: \(f(x) = 2(x - 1)^2 - 4\). - **Funktion \(g\):** Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_g(-2 \mid 2)\). Der Ansatz mit dem Scheitelpunkt ergibt: \(g(x) = a(x + 2)^2 + 2\). Um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen, lesen wir einen weiteren gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen ab, zum Beispiel \((0 \mid 0)\) oder \((-4 \mid 0)\). Einsetzen von \((0 \mid 0)\): \(0 = a \cdot (0 + 2)^2 + 2 \implies 0 = 4a + 2 \implies a = -0{,}5\). Die Scheitelpunktform von \(g\) lautet somit: \(g(x) = -0{,}5(x + 2)^2 + 2\). 2. **Umformen in die allgemeine Form (Teilaufgabe b):** Wir multiplizieren die Scheitelpunktform von \(f\) unter Verwendung der zweiten binomischen Formel aus: \(f(x) = 2(x - 1)^2 - 4\) \(f(x) = 2 \cdot (x^2 - 2x + 1) - 4\) \(f(x) = 2x^2 - 4x + 2 - 4\) \(f(x) = 2x^2 - 4x - 2\). 3. **Bestimmung und Überprüfung der Nullstellen von \(g\) (Teilaufgabe c):** - **Ablesen aus der Grafik:** Die Parabel \(g\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 0\). - **Rechnerische Überprüfung:** - Für \(x_1 = -4\): \(g(-4) = -0{,}5 \cdot (-4 + 2)^2 + 2 = -0{,}5 \cdot (-2)^2 + 2 = -0{,}5 \cdot 4 + 2 = -2 + 2 = 0\). (korrekt) - Für \(x_2 = 0\): \(g(0) = -0{,}5 \cdot (0 + 2)^2 + 2 = -0{,}5 \cdot 2^2 + 2 = -0{,}5 \cdot 4 + 2 = -2 + 2 = 0\). (korrekt)

a) \(S_f(1 \mid -4)\) mit der Scheitelpunktform \(f(x) = 2(x - 1)^2 - 4\) und \(S_g(-2 \mid 2)\) mit der Scheitelpunktform \(g(x) = -0{,}5(x + 2)^2 + 2\) b) Allgemeine Form von \(f\): \(f(x) = 2x^2 - 4x - 2\) c) Die Nullstellen von \(g\) liegen bei \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 0\). Die Überprüfung durch Einsetzen in den Funktionsterm ergibt jeweils \(0\).

- Bestimme zuerst die Koordinaten des Scheitelpunkts für jede Parabel im Koordinatensystem. - Überlege, wie weit die Parabel im Vergleich zu einer Normalparabel nach oben oder unten gestreckt ist, um den Streckungsfaktor zu bestimmen. - Erinnere dich an die allgemeine Struktur der Scheitelpunktform. Wie setzt man den Scheitelpunkt und den Streckungsfaktor dort ein? - Um eine quadrierte Klammer aufzulösen, kannst du eine der binomischen Formeln verwenden oder die Klammer mit sich selbst multiplizieren. - Lies für die Nullstellenform die Schnittpunkte des Graphen mit der horizontalen Achse ab.

1. Scheitelpunktformen bestimmen: - Parabel \(f\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2 \mid -1)\). Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt (\(a = 1\)), lautet die Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - 2)^2 - 1\) - Parabel \(g\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-1 \mid 2)\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist und die Form einer Normalparabel hat (\(a = -1\)), lautet die Scheitelpunktform: \(g(x) = -(x + 1)^2 + 2\) - Parabel \(h\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0 \mid -3)\). Die Parabel ist nach oben geöffnet. Geht man vom Scheitelpunkt \(2\) Einheiten nach rechts, geht die Kurve um \(2\) Einheiten nach oben (statt \(4\) bei der Normalparabel). Der Streckungsfaktor ist somit \(a = \frac{2}{4} = 0{,}5\). Die Scheitelpunktform lautet: \(h(x) = 0{,}5x^2 - 3\) 2. Umwandlung von \(g\) in die allgemeine Form: - Wir wenden die erste binomische Formel auf den quadratischen Term an: \(g(x) = -(x^2 + 2x + 1) + 2\) - Auflösen der Klammer und Zusammenfassen liefert: \(g(x) = -x^2 - 2x - 1 + 2 = -x^2 - 2x + 1\) 3. Nullstellenform von \(f\) bestimmen: - Die Nullstellen von \(f\) lassen sich direkt am Graphen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) ablesen. - Mit dem Streckungsfaktor \(a = 1\) ergibt sich die Nullstellenform: \(f(x) = (x - 1)(x - 3)\)

a) \(f(x) = (x - 2)^2 - 1\); \(g(x) = -(x + 1)^2 + 2\); \(h(x) = 0{,}5x^2 - 3\) b) \(g(x) = -x^2 - 2x + 1\) c) \(f(x) = (x - 1)(x - 3)\)

- Kannst du den Scheitelpunkt der Parabel direkt aus der Abbildung ablesen? - Welche Form einer quadratischen Funktion eignet sich besonders gut, wenn der Scheitelpunkt bekannt ist? - Wenn du die Nullstellen einer Parabel gut ablesen kannst, welche Form bietet sich dann an? - Wie kannst du den Streckungsfaktor \(a\) bestimmen, nachdem du den Scheitelpunkt oder die Nullstellen eingesetzt hast? - Kannst du einen weiteren Punkt auf dem Graphen ablesen und dessen Koordinaten in deine Gleichung einsetzen?

1. Für die Parabel \(f\): - Ablesen des Scheitelpunkts: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_1(2 \mid 3)\). - Ansatz in der Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x - 2)^2 + 3\). - Einsetzen eines weiteren Punktes, zum Beispiel \(P(1 \mid 1)\): \(1 = a(1 - 2)^2 + 3 \implies 1 = a(-1)^2 + 3 \implies 1 = a + 3 \implies a = -2\). - Der Funktionsterm lautet: \(f(x) = -2(x - 2)^2 + 3\) (oder in allgemeiner Form: \(f(x) = -2x^2 + 8x - 5\)). 2. Für die Parabel \(g\): - Weg A (Scheitelpunktform): - Ablesen des Scheitelpunkts: \(S_2(-1 \mid -2)\). - Ansatz: \(g(x) = a(x + 1)^2 - 2\). - Einsetzen der Nullstelle \((1 \mid 0)\): \(0 = a(1 + 1)^2 - 2 \implies 0 = 4a - 2 \implies a = 0{,}5\). - Der Funktionsterm lautet: \(g(x) = 0{,}5(x + 1)^2 - 2\). - Weg B (Nullstellenform): - Ablesen der Nullstellen bei \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\). - Ansatz: \(g(x) = a(x + 3)(x - 1)\). - Einsetzen des Scheitelpunkts \(S_2(-1 \mid -2)\): \(-2 = a(-1 + 3)(-1 - 1) \implies -2 = -4a \implies a = 0{,}5\). - Der Funktionsterm lautet: \(g(x) = 0{,}5(x + 3)(x - 1)\) (oder in allgemeiner Form: \(g(x) = 0{,}5x^2 + x - 1{,}5\)).

\(f(x) = -2(x - 2)^2 + 3\) (oder \(f(x) = -2x^2 + 8x - 5\)); \(g(x) = 0{,}5(x + 1)^2 - 2\) (oder \(g(x) = 0{,}5(x + 3)(x - 1)\) bzw. \(g(x) = 0{,}5x^2 + x - 1{,}5\))

- Schaue dir zuerst die Scheitelpunkte der Graphen an. Welche der Terme liegen in der Scheitelpunktform vor und passen dazu? - Bestimme die Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) jedes Graphen. Welche Terme zeigen diese Nullstellen direkt (faktorisierte Form)? - Überlege, wie du eine bekannte Form (wie die Scheitelpunktform) durch Ausmultiplizieren in die allgemeine Form umwandeln kannst. - Achte auf die Öffnungsrichtung der Parabeln (nach oben oder unten geöffnet) und ob sie gestreckt oder gestaucht sind.

1. **Identifikation von \(f\) (blau):** Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_f(2 \mid -1)\) (Scheitelpunktform: \(y = (x-2)^2 - 1\), Term 8). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) (faktorisierte Form: \(y = (x-1)(x-3)\), Term 4). Ausmultiplizieren liefert die allgemeine Form \(y = x^2 - 4x + 3\) (Term 1). Somit gehören zu \(f\) die Terme 1, 4 und 8. 2. **Identifikation von \(g\) (rot):** Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_g(-1 \mid 4)\), die Parabel ist nach unten geöffnet (Scheitelpunktform: \(y = -(x+1)^2 + 4\), Term 3). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\) (faktorisierte Form: \(y = -(x+3)(x-1)\), Term 7). Ausmultiplizieren liefert die allgemeine Form \(y = -x^2 - 2x + 3\) (Term 5). Somit gehören zu \(g\) die Terme 3, 5 und 7. 3. **Identifikation von \(h\) (grün):** Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_h(1 \mid -2)\), der Streckungsfaktor beträgt \(0{,}5\) (Scheitelpunktform: \(y = 0{,}5(x-1)^2 - 2\), Term 6). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\) (faktorisierte Form: \(y = 0{,}5(x-3)(x+1)\), Term 2). Ausmultiplizieren liefert die allgemeine Form \(y = 0{,}5x^2 - x - 1{,}5\) (Term 9). Somit gehören zu \(h\) die Terme 2, 6 und 9.

\(f\): 1, 4, 8; \(g\): 3, 5, 7; \(h\): 2, 6, 9

- Wie verhalten sich die Graphen bezüglich ihrer Öffnung (nach oben oder nach unten geöffnet)? Welches Vorzeichen des quadratischen Terms bestimmt dies? - Welche Nullstellen oder Scheitelpunkte kannst du direkt aus den Graphen ablesen? - Berechne für jede der drei zusammengesetzten Funktionen die Nullstellen oder den Scheitelpunkt, um sie eindeutig zuzuweisen. - Setze beispielhaft einen Wert wie \(x = 2\) in die Funktionsterme ein und vergleiche das Ergebnis mit den Funktionswerten in den Graphen.

1. Aufstellen der zusammengesetzten Funktionsterme: - \(u(x) = f(x) + g(x) = 0{,}5x^2 + 2x\) - \(v(x) = f(x) - g(x) = 0{,}5x^2 - 2x\) - \(w(x) = g(x) - f(x) = -0{,}5x^2 + 2x\) 2. Zuordnung anhand des Öffnungsverhaltens: - Nur die Parabel \(w(x) = -0{,}5x^2 + 2x\) hat einen negativen Koeffizienten vor dem \(x^2\)-Glied und ist daher nach unten geöffnet. Dies entspricht dem Graphen \(C\). 3. Zuordnung anhand der Scheitelpunkte oder Nullstellen: - Für \(u(x) = 0{,}5x^2 + 2x\): Die Nullstellen liegen bei \(x = 0\) und \(x = -4\). Der Scheitelpunkt liegt bei \((-2 \mid -2)\). Dies entspricht dem Graphen \(A\). - Für \(v(x) = 0{,}5x^2 - 2x\): Die Nullstellen liegen bei \(x = 0\) und \(x = 4\). Der Scheitelpunkt liegt bei \((2 \mid -2)\). Dies entspricht dem Graphen \(B\).

\(A \rightarrow u(x) = f(x) + g(x)\), \(B \rightarrow v(x) = f(x) - g(x)\), \(C \rightarrow w(x) = g(x) - f(x)\)

- Wo schneidet der Graph die x-Achse? Diese Stellen nennt man Nullstellen. - In der Form \(y = a(x - x_1)(x - x_2)\) stehen \(x_1\) und \(x_2\) für die Nullstellen. Achte auf die Vorzeichen beim Einsetzen. - Überprüfe den y-Achsenabschnitt im Graphen und vergleiche ihn mit dem Wert, den du erhältst, wenn du \(x = 0\) in die Gleichungen einsetzt.

1. Die Nullstellen aus dem Graphen ablesen: Die Parabel schneidet die x-Achse bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 2. Die faktorisierte Form (Nullstellenform) nutzen: \(y = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x - 1)(x - 3)\). 3. Den y-Achsenabschnitt ablesen: Die Parabel schneidet die y-Achse bei \(y = 3\), also im Punkt \((0 \mid 3)\). 4. Den Punkt \((0 \mid 3)\) einsetzen, um \(a\) zu bestimmen: \(3 = a(0 - 1)(0 - 3) \Rightarrow 3 = a(-1)(-3) \Rightarrow 3 = 3a \Rightarrow a = 1\). 5. Die Gleichung lautet \(y = (x - 1)(x - 3)\). Dies entspricht Option a).

Die korrekte Darstellung ist a) \(y = (x - 1)(x - 3)\).

- Bestimme zuerst die Scheitelpunkte der gezeichneten Graphen im Koordinatensystem. - Vergleiche diese Punkte mit der Scheitelpunktform der gegebenen Funktionsgleichungen \(y = (x - d)^2 + e\). - Achte besonders auf das Vorzeichen innerhalb der Klammer bei einer Verschiebung entlang der x-Achse.

1. Überprüfung der Graphen anhand der Scheitelpunkte: - Graph \(a\): Scheitelpunkt bei \((3 \mid 0)\). Dies passt zur Gleichung (1) \(y = (x - 3)^2\). (Richtig) - Graph \(b\): Scheitelpunkt bei \((2 \mid 0)\). Die Gleichung (2) \(y = (x + 2)^2\) müsste den Scheitelpunkt bei \((-2 \mid 0)\) haben. (Falsch) - Graph \(c\): Scheitelpunkt bei \((0 \mid 1{,}5)\). Dies passt zur Gleichung (3) \(y = x^2 + 1{,}5\). (Richtig) - Graph \(d\): Scheitelpunkt bei \((-1 \mid -2)\). Die Gleichung (4) \(y = (x - 1)^2 - 2\) müsste den Scheitelpunkt bei \((1 \mid -2)\) haben. (Falsch) 2. Korrektur der Gleichungen für die gezeichneten Graphen: - Für Graph \(b\): \(y = (x - 2)^2\) - Für Graph \(d\): \(y = (x + 1)^2 - 2\)

Richtig gezeichnet sind \(a\) und \(c\); falsch gezeichnet sind \(b\) und \(d\). Korrekturen: \(b: y = (x - 2)^2\), \(d: y = (x + 1)^2 - 2\).

- Lies zuerst die Koordinaten des Scheitelpunkts \(S(x_s \mid y_s)\) aus dem Graphen ab. - Verwende die Scheitelpunktform \(y = a(x - x_s)^2 + y_s\). - Suche dir einen weiteren gut ablesbaren Punkt auf der Parabel, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen. - Um zur Form \(ax^2 + bx + c\) zu gelangen, musst du die Klammer mit einer binomischen Formel auflösen und den Term zusammenfassen.

1. Parabel a: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1 \mid 2)\). Damit lautet der Ansatz der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x-1)^2 + 2\). Durch Einsetzen des Punktes \((0 \mid 4)\) ergibt sich \(4 = a(0-1)^2 + 2\), woraus \(a = 2\) folgt. Scheitelpunktform: \(f(x) = 2(x-1)^2 + 2\). Allgemeine Form: \(f(x) = 2(x^2 - 2x + 1) + 2 = 2x^2 - 4x + 4\). 2. Parabel b: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-2 \mid 1)\). Der Ansatz ist \(g(x) = a(x+2)^2 + 1\). Mit dem Punkt \((0 \mid -1)\) folgt \(-1 = a(0+2)^2 + 1\), also \(-2 = 4a\) und \(a = -0{,}5\). Scheitelpunktform: \(g(x) = -0{,}5(x+2)^2 + 1\). Allgemeine Form: \(g(x) = -0{,}5(x^2 + 4x + 4) + 1 = -0{,}5x^2 - 2x - 1\).

a) Scheitelpunktform: \(f(x) = 2(x-1)^2 + 2\); allgemeine Form: \(f(x) = 2x^2 - 4x + 4\) b) Scheitelpunktform: \(g(x) = -0{,}5(x+2)^2 + 1\); allgemeine Form: \(g(x) = -0{,}5x^2 - 2x - 1\)

- Wo schneidet der blaue Graph die x-Achse? Diese Werte helfen dir bei der Linearfaktorform. - Suche den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabeln, um den Scheitelpunkt zu finden. - Um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen, kannst du einen gut ablesbaren Punkt in deinen Ansatz einsetzen. - Achte beim Aufstellen der Klammern auf die Vorzeichen der Koordinaten.

1. Nullstellen von \(f\) ablesen: \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 2. Ansatz für die faktorierte Form: \(f(x) = a(x - 1)(x - 5)\). 3. Beliebigen Punkt vom Graphen \(f\) wählen, z. B. den Scheitelpunkt \(S_f(3 \mid -2)\), und in den Ansatz einsetzen: \(-2 = a \cdot (3 - 1) \cdot (3 - 5) \Rightarrow -2 = a \cdot 2 \cdot (-2) \Rightarrow -2 = -4a \Rightarrow a = 0{,}5\). 4. Funktionsterm von \(f\): \(f(x) = 0{,}5(x - 1)(x - 5)\). 5. Scheitelpunkt von \(g\) ablesen: \(S_g(-2 \mid 3)\). 6. Ansatz für die Scheitelpunktform: \(g(x) = a(x + 2)^2 + 3\). 7. Weiteren Punkt vom Graphen \(g\) wählen, z. B. den Schnittpunkt mit der y-Achse \(P(0 \mid 1)\), und einsetzen: \(1 = a \cdot (0 + 2)^2 + 3 \Rightarrow 1 = 4a + 3 \Rightarrow -2 = 4a \Rightarrow a = -0{,}5\). 8. Funktionsterm von \(g\): \(g(x) = -0{,}5(x + 2)^2 + 3\).

a) \(f(x) = 0{,}5(x - 1)(x - 5)\) b) \(g(x) = -0{,}5(x + 2)^2 + 3\)

- Schau dir zuerst an, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Was bedeutet das für das Vorzeichen vor dem Quadrat? - Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts direkt aus der Abbildung. - Überprüfe deine Vermutung, indem du einen weiteren Punkt vom Graphen abliest und in den Funktionsterm einsetzt. - Achte darauf, ob die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt oder gestaucht aussieht.

1. Graph a) zeigt eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt \(S(2 \mid -1)\). Dies entspricht dem Term \(f(x) = (x - 2)^2 - 1\). Die Nullstellen liegen bei \(x = 1\) und \(x = 3\), was durch Einsetzen bestätigt wird: \(f(1) = (1 - 2)^2 - 1 = 0\). 2. Graph b) zeigt eine nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt \(S(-1 \mid 3)\). Dies entspricht dem Term \(g(x) = -(x + 1)^2 + 3\). Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(g(0) = -(0 + 1)^2 + 3 = 2\), was mit dem Graphen übereinstimmt. 3. Graph c) zeigt eine nach oben geöffnete, gestauchte Parabel mit dem Scheitelpunkt \(S(0 \mid -2)\). Der Term \(h(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2\) passt hierzu. Die Nullstellen liegen bei \(x = 2\) und \(x = -2\), da \(h(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - 2 = 0\). 4. Der Term \(k(x) = -x^2 + 4\) bleibt übrig; keiner der drei dargestellten Graphen hat den Scheitelpunkt \(S(0 \mid 4)\).

a) \(f(x) = (x - 2)^2 - 1\), b) \(g(x) = -(x + 1)^2 + 3\), c) \(h(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2\); \(k(x) = -x^2 + 4\) bleibt übrig.

- Schau dir das Vorzeichen vor dem \(x^2\) an, um zu entscheiden, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. - Überlege, wie ein Faktor vor dem \(x^2\), der kleiner als 1 ist, die Form der Parabel verändert. - Die Nullstellen sind die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet. - Die Wertemenge umfasst alle \(y\)-Werte, die die Funktion annehmen kann. Sie beginnt oder endet am Scheitelpunkt.

1. Zuordnung: - Graph \(I\) (grün) gehört zu \(h(x) = 0{,}2x^2 - 0{,}8\), da die Parabel nach oben geöffnet und gegenüber der Normalparabel deutlich gestaucht (breiter) ist (\(a = 0{,}2\)). - Graph \(II\) (rot) gehört zu \(g(x) = -0{,}5x^2 - x + 1{,}5\), da die Parabel als einzige nach unten geöffnet ist (\(a = -0{,}5\)). - Graph \(III\) (blau) gehört zu \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), da sie nach oben geöffnet ist und die Form einer Normalparabel hat (\(a = 1\)). 2. Nullstellen ablesen: - \(h(x)\) (Graph \(I\)): \(x_1 = -2\); \(x_2 = 2\) - \(g(x)\) (Graph \(II\)): \(x_1 = -3\); \(x_2 = 1\) - \(f(x)\) (Graph \(III\)): \(x_1 = 1\); \(x_2 = 3\) 3. Wertemengen bestimmen: - Für \(h(x)\) liegt der Scheitelpunkt bei \((0 \mid -0{,}8)\), sie ist nach oben geöffnet: \(W_h = \{y \in \mathbb{R} \mid y \geq -0{,}8\}\). - Für \(g(x)\) liegt der Scheitelpunkt bei \((-1 \mid 2)\), sie ist nach unten geöffnet: \(W_g = \{y \in \mathbb{R} \mid y \leq 2\}\). - Für \(f(x)\) liegt der Scheitelpunkt bei \((2 \mid -1)\), sie ist nach oben geöffnet: \(W_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y \geq -1\}\).

a) \(I \rightarrow h(x)\); \(II \rightarrow g(x)\); \(III \rightarrow f(x)\). b) Nullstellen: \(h: \{-2; 2\}\); \(g: \{-3; 1\}\); \(f: \{1; 3\}\). c) Wertemengen: \(W_h = [-0{,}8; \infty[\); \(W_g = ]-\infty; 2]\); \(W_f = [-1; \infty[\).

- Bestimme zuerst die Koordinaten der Scheitelpunkte durch genaues Ablesen im Gitter. - Eine Spiegelung an der x-Achse erkennst du daran, dass die Parabel nach unten geöffnet ist. Dies wird durch ein Minuszeichen vor der Klammer im Funktionsterm ausgedrückt. - Überlege, wie sich der Term vereinfacht, wenn eine der Koordinaten des Scheitelpunkts Null ist.

1. Analyse von \(p_1\) (grün): Der Scheitelpunkt liegt am höchsten Punkt bei \(S_1(2 \mid 4)\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, muss ein Minuszeichen vor die Klammer gesetzt werden: \(p_1(x) = -(x - 2)^2 + 4\). 2. Analyse von \(p_2\) (orange): Der Scheitelpunkt liegt am tiefsten Punkt bei \(S_2(-3 \mid -2)\). Die Parabel ist nach oben geöffnet, also lautet der Term \(p_2(x) = (x + 3)^2 - 2\). 3. Analyse von \(p_3\) (lila): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_3(0 \mid -4)\). Da keine Verschiebung in x-Richtung vorliegt, vereinfacht sich der Term zu \(p_3(x) = x^2 - 4\).

a) \(S_1(2 \mid 4)\), \(S_2(-3 \mid -2)\), \(S_3(0 \mid -4)\) b) \(p_1(x) = -(x - 2)^2 + 4\); \(p_2(x) = (x + 3)^2 - 2\); \(p_3(x) = x^2 - 4\)

- Schau dir die Skalierung der Achsen genau an, um den Scheitelpunkt exakt zu bestimmen. - Der Scheitelpunkt liegt hier zwischen zwei ganzzahligen Werten. - Vergiss am Ende nicht, das Quadrat der Dezimalzahl korrekt zu berechnen.

1. Den Scheitelpunkt aus dem Graphen ablesen: \(S(2{,}5 \mid 1)\). 2. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - 2{,}5)^2 + 1\). 3. Auflösen der Klammer mit der zweiten binomischen Formel: \(f(x) = x^2 - 5x + 6{,}25 + 1\). 4. Zusammenfassen: \(f(x) = x^2 - 5x + 7{,}25\).

Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - 2{,}5)^2 + 1\) Allgemeine Form: \(f(x) = x^2 - 5x + 7{,}25\)

- Bestimme zuerst den Scheitelpunkt für jeden Graphen und vergleiche ihn mit den Werten in der Scheitelpunktform \(y = a(x-d)^2 + e\). - Achte auf die Öffnungsrichtung: Ein negatives Vorzeichen vor dem quadratischen Teil bedeutet, dass die Parabel nach unten geöffnet ist. - Überprüfe, ob die Nullstellen eines Graphen mit der faktorisierten Form \(y = a(x-x_1)(x-x_2)\) übereinstimmen. - Du kannst verschiedene Darstellungsformen ineinander umwandeln (z. B. durch Ausmultiplizieren), um zu sehen, ob sie dieselbe Funktion beschreiben.

1. Analyse von Graph \(f\) (rot): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2 \mid 1)\). Die Parabel ist nach unten geöffnet und hat Nullstellen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). - Term 3 ist die Scheitelpunktform: \(y = -(x-2)^2 + 1\). - Ausmultiplizieren von Term 3 ergibt Term 1: \(y = -(x^2 - 4x + 4) + 1 = -x^2 + 4x - 3\). - Term 5 ist die faktorisierte Form: \(y = -(x-1)(x-3) = -(x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 4x - 3\). Graph \(f\) passen also die Terme 1, 3 und 5 zu. 2. Analyse von Graph \(g\) (blau): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-1 \mid -2)\). Die Parabel ist nach oben geöffnet und gestreckt (Faktor 2). Sie verläuft durch den Ursprung. - Term 2 ist die Scheitelpunktform: \(y = 2(x+1)^2 - 2\). - Ausmultiplizieren ergibt Term 4: \(y = 2(x^2 + 2x + 1) - 2 = 2x^2 + 4x\). Graph \(g\) passen also die Terme 2 und 4 zu. 3. Analyse von Graph \(h\) (grün): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0 \mid -2)\). Die Parabel ist nach oben geöffnet und gestaucht (Faktor 0,5). - Term 6 passt: \(y = 0{,}5x^2 - 2\). 4. Term 7 beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt \((2 \mid 1)\), was zu keinem der gezeichneten Graphen passt.

\(f\): 1, 3, 5; \(g\): 2, 4; \(h\): 6; Term 7 bleibt übrig.

- Erinnere dich an die Schritte der quadratischen Ergänzung. - Wenn du die Scheitelpunktform hast, kannst du sie leicht nach \(x\) auflösen. - Achte beim Umstellen der Gleichung auf das Vorzeichen, bevor du die Wurzel ziehst.

1. Scheitelpunktform: \(f(x) = 1{,}5(x^2 - 4x) + 4{,}5 = 1{,}5((x - 2)^2 - 4) + 4{,}5 = 1{,}5(x - 2)^2 - 6 + 4{,}5 = 1{,}5(x - 2)^2 - 1{,}5\). 2. Nullstellen: \(1{,}5(x - 2)^2 - 1{,}5 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)^2 = 1 \Leftrightarrow x - 2 = \pm 1\). Dies ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Nullstellenform: \(f(x) = 1{,}5(x - 1)(x - 3)\). 4. Grafik: Der Scheitelpunkt liegt bei \((2 \mid -1{,}5)\), die Nullstellen bei \(1\) und \(3\).

a) \(f(x) = 1{,}5(x - 2)^2 - 1{,}5\) b) \(x_1 = 1\); \(x_2 = 3\) c) \(f(x) = 1{,}5(x - 1)(x - 3)\) d) Der Graph bestätigt den Scheitelpunkt \(S(2 \mid -1{,}5)\) und die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\).

- Welche Stellen auf der x-Achse schneidet der Graph von \(h\)? - Wie kannst du diese Nullstellen in die Nullstellenform \(y = a(x - x_1)(x - x_2)\) einbauen? - Bei der Parabel \(k\) ist der Scheitelpunkt sehr gut ablesbar. Welcher Ansatz bietet sich hier an? - Vergiss nicht, am Ende einen weiteren Punkt einzusetzen, um den Wert für den Parameter \(a\) zu berechnen.

1. Bestimmung der Gleichung für \(h\) (Nullstellenform): - Ablesen der Nullstellen: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). - Ansatz: \(h(x) = a(x + 1)(x - 3)\). - Ablesen des Scheitelpunkts als Hilfspunkt: \(S(1 \mid 2)\). - Einsetzen zur Bestimmung von \(a\): \(2 = a \cdot (1 + 1)(1 - 3) \Rightarrow 2 = -4a \Rightarrow a = -0{,}5\). - Ergebnis: \(h(x) = -0{,}5(x + 1)(x - 3)\). 2. Bestimmung der Gleichung für \(k\) (z. B. Scheitelpunktform): - Ablesen des Scheitelpunkts: \(S(4 \mid -3)\). - Ansatz: \(k(x) = a(x - 4)^2 - 3\). - Ablesen des Schnittpunkts mit der y-Achse: \(P(0 \mid 1)\). - Einsetzen: \(1 = a \cdot (0 - 4)^2 - 3 \Rightarrow 4 = 16a \Rightarrow a = 0{,}25\). - Ergebnis: \(k(x) = 0{,}25(x - 4)^2 - 3\).

\(h(x) = -0{,}5(x + 1)(x - 3)\); \(k(x) = 0{,}25(x - 4)^2 - 3\)

- Überlege zuerst, welche Informationen du direkt aus dem Graphen ablesen kannst: Scheitelpunkt oder Nullstellen? - Wähle den Ansatz, der am besten zu den abgelesenen Werten passt. - Nutze einen weiteren gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen. - Prüfe am Ende, ob das Vorzeichen von \(a\) zur Öffnung der Parabel passt.

1. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(f\) (rot): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1 \mid 4)\). Mit der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s\) ergibt sich \(f(x) = a(x - 1)^2 + 4\). Ein weiterer Punkt auf dem Graphen ist \((0 \mid 2)\). Einsetzen liefert \(2 = a \cdot (0 - 1)^2 + 4 \Rightarrow 2 = a + 4 \Rightarrow a = -2\). Somit ist \(f(x) = -2(x - 1)^2 + 4\). 2. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(g\) (blau): Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -6\) und \(x_2 = -2\). Mit der Nullstellenform \(g(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) ergibt sich \(g(x) = a(x + 6)(x + 2)\). Der Scheitelpunkt liegt bei \((-4 \mid -1)\). Einsetzen liefert \(-1 = a \cdot (-4 + 6)(-4 + 2) \Rightarrow -1 = a \cdot 2 \cdot (-2) \Rightarrow -1 = -4a \Rightarrow a = 0{,}25\). Somit ist \(g(x) = 0{,}25(x + 6)(x + 2)\) (oder in Scheitelpunktform: \(g(x) = 0{,}25(x + 4)^2 - 1\)). 3. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(h\) (grün): Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). Mit dem Ansatz \(h(x) = a(x - 1)(x - 5)\) und dem Scheitelpunkt \((3 \mid -2)\) folgt: \(-2 = a \cdot (3 - 1)(3 - 5) \Rightarrow -2 = a \cdot 2 \cdot (-2) \Rightarrow -2 = -4a \Rightarrow a = 0{,}5\). Somit ist \(h(x) = 0{,}5(x - 1)(x - 5)\) (oder in Scheitelpunktform: \(h(x) = 0{,}5(x - 3)^2 - 2\)).

\(f(x) = -2(x - 1)^2 + 4\); \(g(x) = 0{,}25(x + 4)^2 - 1\) oder \(g(x) = 0{,}25(x + 6)(x + 2)\); \(h(x) = 0{,}5(x - 3)^2 - 2\) oder \(h(x) = 0{,}5(x - 1)(x - 5)\)

- Was bedeutet es grafisch und rechnerisch, wenn sich zwei Funktionsgraphen schneiden? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(ax^2 + bx + c = 0\) lösen? - Kannst du die Scheitelpunkte bestimmen, ohne den Graphen zu zeichnen? - Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck zwischen den beiden Scheitelpunkten vor, um deren Abstand zu berechnen.

1. Gleichsetzen der Funktionsausdrücke: \(x^2 - 4 = -x^2 + 2x\). Umformen: \(2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0\). Lösen mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisieren: \((x-2)(x+1) = 0\). \(x_1 = 2 \implies y_1 = 2^2 - 4 = 0\). \(x_2 = -1 \implies y_2 = (-1)^2 - 4 = -3\). Schnittpunkte: \(P_1(2 \mid 0)\) und \(P_2(-1 \mid -3)\). 2. Scheitelpunkte: Für \(p_1\): \(y = x^2 - 4\) ist bereits fast in Scheitelpunktform (\(x_s=0\)), also \(S_1(0 \mid -4)\). Für \(p_2\): \(y = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -(x-1)^2 + 1\). Also \(S_2(1 \mid 1)\). 3. Abstand der Scheitelpunkte \(S_1(0 \mid -4)\) und \(S_2(1 \mid 1)\) mit dem Satz des Pythagoras im Koordinatensystem: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) \(d = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \approx 5{,}10\).

1. Schnittpunkte: \((2 \mid 0)\) und \((-1 \mid -3)\). 2. Scheitelpunkte: \(S_1(0 \mid -4)\) und \(S_2(1 \mid 1)\). 3. Der Abstand beträgt \(\sqrt{26} \approx 5{,}10\) Längeneinheiten.

- Bring beide Gleichungen in die gleiche Form, um sie besser vergleichen zu können. - Wenn zwei Parabeln die gleiche Form haben (beide sind Normalparabeln) und dieselbe Symmetrieachse besitzen, wie liegen sie dann zueinander? - Was passiert, wenn du versuchst, die Terme der beiden Funktionen gleichzusetzen?

1. Scheitelpunkt \(S_1\) direkt aus \(p_1\) ablesen: \(S_1(2|-1)\). 2. Gleichung von \(p_2\) umformen: \(y = x^2 - 4x + 4 - 4 + 5 = (x-2)^2 + 1\). Scheitelpunkt \(S_2(2|1)\). 3. Da beide Scheitelpunkte denselben \(x\)-Wert \(x=2\) haben, liegen sie senkrecht übereinander. Der vertikale Abstand ist die Differenz der \(y\)-Werte: \(1 - (-1) = 2\). 4. Begründung der Schnittpunktfreiheit: Rechnerischer Ansatz: \((x-2)^2 - 1 = (x-2)^2 + 1 \Rightarrow -1 = 1\). Dies ist ein Widerspruch, also gibt es keinen Schnittpunkt. Logischer Ansatz: Beide Parabeln sind nach oben geöffnete Normalparabeln mit derselben Symmetrieachse \(x=2\). Da \(p_2\) einen höheren Scheitelpunkt hat als \(p_1\), verläuft \(p_2\) für alle \(x\) genau \(2\) Einheiten oberhalb von \(p_1\).

a) \(S_1(2|-1)\) und \(S_2(2|1)\) b) Der vertikale Abstand beträgt \(2\) Längeneinheiten. c) Ein Gleichsetzen der Funktionsausdrücke führt auf den Widerspruch \(-1 = 1\). Da beide Parabeln die gleiche Form haben und \(p_2\) überall oberhalb von \(p_1\) liegt, schneiden sie sich nie.

- Wie findet man rechnerisch heraus, wo sich zwei Graphen treffen? - Bringe beide Funktionsgleichungen in dieselbe Darstellungsform und setze sie gleich. - Wie viele Lösungen kann die entstehende quadratische Gleichung besitzen? - Setze anschließend jede gefundene \(x\)-Koordinate in eine der Funktionen ein.

1. Umformung von \(p_2\) in die allgemeine Form: \(y=-(x-1)^2+3=-(x^2-2x+1)+3=-x^2+2x+2\). 2. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2-2x+3=-x^2+2x+2\). 3. Zusammenfassen: \(2x^2-4x+1=0\), also \(x^2-2x+\frac12=0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x=1\pm\sqrt{1-\frac12}=1\pm\frac{\sqrt2}{2}\). 5. Für beide Lösungen gilt mit \(p_1(x)=(x-1)^2+2\): \(y=\frac12+2=\frac52\). Die Schnittpunkte sind daher \(P_1\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac52\right)\) und \(P_2\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac52\right)\).

Die Parabeln schneiden sich in den Punkten \(P_1\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac52\right)\) und \(P_2\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac52\right)\).

- Wie nutzt du einen Punkt und den Scheitelpunkt, um den Streckfaktor \(a\) zu finden? - Was bedeutet Symmetrie für die Abstände der Nullstellen zur Mitte der Parabel? - Wie verändert eine Spiegelung an der \(x\)-Achse das Vorzeichen der Funktionswerte? - Was passiert mit dem höchsten oder tiefsten Punkt einer Funktion bei einer Spiegelung?

1. Scheitelpunktform: Ansatz \(p(x) = a(x-4)^2 - 2\). Punkt \(P(2|0)\) einsetzen: \(0 = a(2-4)^2 - 2 \Rightarrow 2 = 4a \Rightarrow a = 0{,}5\). Somit \(p(x) = 0{,}5(x-4)^2 - 2\). 2. Zweite Nullstelle: Da \(P(2|0)\) eine Nullstelle ist und die Symmetrieachse bei \(x=4\) liegt, muss die zweite Nullstelle den gleichen Abstand zur Symmetrieachse haben wie \(x=2\). Abstand ist \(|4-2|=2\). Die zweite Nullstelle liegt bei \(x = 4+2=6\). 3. Faktorisierte Form: Mit \(a=0{,}5\) und den Nullstellen \(2\) und \(6\) folgt \(p(x) = 0{,}5(x-2)(x-6)\). 4. Spiegelung und Wertebereich: Der ursprüngliche Wertebereich von \(p\) ist \(W_p = \{y \in \mathbb{R} | y \geq -2\}\). Durch die Spiegelung an der \(x\)-Achse kehrt sich die Öffnungsrichtung um (\(a = -0{,}5\)) und der Scheitelpunkt wird zu \(S'(4 | 2)\). Der neue Wertebereich ist \(W_q = \{y \in \mathbb{R} | y \leq 2\}\).

a) \(p(x) = 0{,}5(x-4)^2 - 2\) b) \(x_2 = 6\). Da \(x=2\) eine Nullstelle ist und die Parabel achsensymmetrisch zu \(x=4\) verläuft, muss die zweite Nullstelle im gleichen Abstand (\(2\) Einheiten) rechts von der Symmetrieachse liegen. c) \(p(x) = 0{,}5(x-2)(x-6)\) d) Der Wertebereich ändert sich von \(y \geq -2\) zu \(y \leq 2\).

- Vergleiche die Terme von \(f(x)\) und \(g(x)\). Was ist identisch, was unterscheidet sich? - Wann berührt der Graph einer Parabel die x-Achse genau an einem Punkt? - Was sagt die y-Koordinate des Scheitelpunkts über die Anzahl der Nullstellen aus, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist? - Wie verändert der Parameter \(c\) die Lage des Graphen im Koordinatensystem?

1. Scheitelpunktform von \(f\) durch quadratische Ergänzung: \(f(x) = x^2 - 6x + 3^2 - 3^2 + 5\) \(f(x) = (x - 3)^2 - 9 + 5\) \(f(x) = (x - 3)^2 - 4\) 2. Nullstellen von \(f\): \((x - 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 = 4 \Rightarrow x - 3 = \pm 2\) \(x_1 = 5\), \(x_2 = 1\) 3. Untersuchung von \(g(x) = x^2 - 6x + c\): Die quadratische Ergänzung liefert analog \(g(x) = (x - 3)^2 - 9 + c\). Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(S(3 | c - 9)\). Eine quadratische Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt, also die y-Koordinate des Scheitelpunkts Null ist. \(c - 9 = 0 \Rightarrow c = 9\).

a) Die Scheitelpunktform von \(f\) ist \(f(x) = (x - 3)^2 - 4\). b) Die Nullstellen von \(f\) sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). c) Für \(c = 9\) hat \(g\) genau eine Nullstelle. Begründung: In der Scheitelpunktform \(g(x) = (x - 3)^2 + (c - 9)\) muss der konstante Teil \(c - 9\) gleich Null sein, damit der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt.

- Wie viele unabhängige Informationen benötigst du im Allgemeinen, um die drei Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) festzulegen? - Stell dir grafisch vor, wie viele Parabeln durch zwei gegebene Punkte auf der \(x\)-Achse gehen können. - Welche Koordinaten hat ein Punkt, der auf der \(y\)-Achse liegt?

1. Teilaufgabe a): Die Angabe von zwei Nullstellen reicht nicht aus. Es gibt unendlich viele Parabeln, die durch diese zwei Punkte auf der \(x\)-Achse verlaufen, da der Streckfaktor \(a\) (und damit die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts) beliebig gewählt werden kann. Die Funktionsschar lautet \(h(x) = a(x + 1)(x - 5)\) mit \(a \neq 0\). 2. Teilaufgabe b): Die Angabe ist ausreichend. Der Scheitelpunkt liefert zwei Bedingungen (\(x_s\) und \(y_s\)), und der \(y\)-Achsenabschnitt liefert den Punkt \(P(0 \mid 5)\) als dritte Bedingung. 3. Berechnung für b): Ansatz \(h(x) = a(x - 2)^2 - 3\). Einsetzen von \(P(0 \mid 5)\) ergibt \(5 = a(0 - 2)^2 - 3\), also \(5 = 4a - 3\). 4. Lösen nach \(a\): \(8 = 4a \Rightarrow a = 2\). 5. Umwandeln: \(h(x) = 2(x - 2)^2 - 3 = 2(x^2 - 4x + 4) - 3 = 2x^2 - 8x + 8 - 3\). 6. Ergebnis für b): \(h(x) = 2x^2 - 8x + 5\).

a) Nicht eindeutig bestimmbar, da ein dritter Punkt oder der Streckfaktor fehlt. b) Eindeutig bestimmbar: \(h(x) = 2x^2 - 8x + 5\).

- Spiegele den Punkt \(A\) an der Symmetrieachse. Wie ändert sich die \(x\)-Koordinate? - In der Scheitelpunktform ist die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts durch die Symmetrieachse bereits festgelegt. - Stelle eine Gleichung auf, die die Parameter \(a\) und \(y_s\) verbindet, indem du einen bekannten Punkt einsetzt. - Wann ist ein Wert kleiner als Null? Löse die entsprechende Ungleichung.

1. Da der Graph symmetrisch zu \(x = 2\) ist, muss ein Punkt mit demselben \(y\)-Wert denselben Abstand zur Symmetrieachse haben. Punkt \(A(0|5)\) hat den Abstand \(2\) zur Achse \(x = 2\). Der gespiegelte Punkt \(B\) liegt also bei \(x = 2 + 2 = 4\) mit \(y = 5\). Somit ist \(B(4|5)\). 2. Die Scheitelpunktform ist \(g(x) = a(x - 2)^2 + y_s\). Punkt \(A(0|5)\) einsetzen: \(5 = a(0 - 2)^2 + y_s \Rightarrow 5 = 4a + y_s \Rightarrow y_s = 5 - 4a\). Wähle \(a = 1 \Rightarrow y_s = 1 \Rightarrow g_1(x) = (x - 2)^2 + 1\). Wähle \(a = 2 \Rightarrow y_s = -3 \Rightarrow g_2(x) = 2(x - 2)^2 - 3\). 3. Der Scheitelpunkt liegt unterhalb der \(x\)-Achse, wenn \(y_s < 0\). Mit \(y_s = 5 - 4a\) folgt: \(5 - 4a < 0 \Rightarrow 5 < 4a \Rightarrow a > 1{,}25\).

a) \(B(4|5)\) b) Mögliche Lösungen: \(g(x) = (x - 2)^2 + 1\) und \(g(x) = 2(x - 2)^2 - 3\) c) \(a > 1{,}25\)

- Wo liegt die Symmetrieachse einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Was gibt der Wert \(c\) in der Normalform \(ax^2 + bx + c\) grafisch an? - Wie kannst du die Nullstellen direkt in eine Funktionsgleichung einbauen? - Nutze den gegebenen Punkt, um den Streckfaktor zu berechnen.

1. Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes: Aufgrund der Symmetrie liegt der Scheitelpunkt genau in der Mitte der Nullstellen: \(x_S = \frac{-2 + 4}{2} = 1\). 2. Analyse des Vorzeichens von \(c\): Da \(a < 0\) ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Da die Nullstellen bei \(-2\) und \(4\) liegen, muss der Bereich dazwischen (einschließlich \(x = 0\)) oberhalb der \(x\)-Achse liegen. Somit ist \(f(0) = c > 0\). 3. Aufstellen der faktorisierten Form: \(f(x) = a(x - (-2))(x - 4) = a(x + 2)(x - 4)\). 4. Bestimmung von \(a\) mit \(P(0 \mid 4)\): \(4 = a(0 + 2)(0 - 4) \Rightarrow 4 = -8a \Rightarrow a = -0{,}5\). 5. Faktorisierte Form: \(f(x) = -0{,}5(x + 2)(x - 4)\). 6. Umwandlung in Normalform: \(f(x) = -0{,}5(x^2 - 2x - 8) = -0{,}5x^2 + x + 4\).

a) \(x_S = 1\), da der Scheitelpunkt mittig zwischen den Nullstellen liegt. b) \(c > 0\), da die Parabel nach unten geöffnet ist und die Nullstellen links und rechts von der \(y\)-Achse liegen. c) Faktorisierte Form: \(f(x) = -0{,}5(x + 2)(x - 4)\); Normalform: \(f(x) = -0{,}5x^2 + x + 4\).