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- Kannst du die Gleichung so umformen, dass eine binomische Formel erkennbar wird? - Welchen Wert musst du ergänzen, um den quadratischen Teil zu vervollständigen? - Wie hängen die Werte in der Klammer und am Ende der Gleichung mit den Koordinaten des Scheitelpunkts zusammen?

Um den Scheitelpunkt zu finden, wird die Funktionsgleichung durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform \(f(x) = (x - x_S)^2 + y_S\) umgeformt. a) \(f(x) = x^2 - 10x + 25 - 25 + 24 = (x - 5)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt ist \(S(5 | -1)\). b) \(f(x) = x^2 + 3x + 1{,}5^2 - 1{,}5^2 + 1{,}25 = (x + 1{,}5)^2 - 2{,}25 + 1{,}25 = (x + 1{,}5)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-1{,}5 | -1)\). c) \(f(x) = x^2 - 0{,}8x + 0{,}4^2 - 0{,}16 + 0{,}16 = (x - 0{,}4)^2\). Dies entspricht \((x - 0{,}4)^2 + 0\). Der Scheitelpunkt ist \(S(0{,}4 | 0)\).

a) \(S(5 | -1)\) b) \(S(-1{,}5 | -1)\) c) \(S(0{,}4 | 0)\)

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um Klammern mit Quadraten aufzulösen. - Wie multipliziert man zwei Klammern miteinander aus? - Wenn zwei Terme nach der Vereinfachung genau gleich aussehen, beschreiben sie dieselbe Funktion.

1. Umwandlung von \(g(x)\) in die Normalform durch Anwendung der ersten binomischen Formel: \((x+2)^2 - 9 = x^2 + 4x + 4 - 9 = x^2 + 4x - 5\). Damit gilt \(g(x) = f(x)\). 2. Umwandlung von \(h(x)\) in die Normalform durch Ausmultiplizieren der Klammern: \((x-1)(x+5) = x^2 + 5x - x - 5 = x^2 + 4x - 5\). Damit gilt \(h(x) = f(x)\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Alle drei Funktionsterme ergeben nach der Umformung \(x^2 + 4x - 5\). Somit beschreiben sie alle dieselbe Parabel.

Ja, alle drei Funktionsgleichungen beschreiben dieselbe Parabel, da sie alle in die Normalform \(x^2 + 4x - 5\) umgeformt werden können.

- Kannst du den Term in der Klammer mithilfe einer binomischen Formel auflösen? - Was passiert, wenn du beide Funktionen in die gleiche Form (z. B. die Normalform) bringst? - Wie gehst du mit der Konstanten außerhalb der Klammer um?

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf den Term von \(f(x)\): \((x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16\). 2. Addition der Konstanten \(3\) zum Ergebnis: \(x^2 - 8x + 16 + 3 = x^2 - 8x + 19\). 3. Vergleich der resultierenden Normalform mit \(g(x)\): Da beide Terme identisch sind (\(x^2 - 8x + 19\)), beschreiben sie dieselbe Funktion.

Ja, die Funktionen sind identisch, da die Umformung von \(f(x)\) in die Normalform \(x^2 - 8x + 19\) ergibt.

- Erkennst du eine der typischen Formen für quadratische Funktionen wieder? - Welche Information liefern die Zahlenwerte in den Klammern bei der Scheitelpunktform oder der faktorisierten Form? - Welcher Wert in der allgemeinen Form bleibt übrig, wenn du \(x = 0\) einsetzt? - Was sagt das Vorzeichen des Koeffizienten vor \(x^2\) über die Öffnung der Parabel aus?

1. Identifikation der Formen: a) Scheitelpunktform, b) Faktorisierte Form (oder Nullstellenform), c) Allgemeine Form. 2. Ablesbare Eigenschaften für a): Scheitelpunkt \(S(3 | 8)\), Streckfaktor \(-2\) (nach unten geöffnet und gestreckt). 3. Ablesbare Eigenschaften für b): Nullstellen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 5\), Streckfaktor \(0{,}5\) (nach oben geöffnet und gestaucht). 4. Ablesbare Eigenschaften für c): \(y\)-Achsenabschnitt bei \(c = 7\) (Punkt \((0 | 7)\)), Streckfaktor \(4\) (nach oben geöffnet und gestreckt).

a) Scheitelpunktform; Eigenschaften: Scheitelpunkt \(S(3 | 8)\) oder Öffnung nach unten. b) Faktorisierte Form; Eigenschaften: Nullstellen bei \(x = -1\) und \(x = 5\) oder Öffnung nach oben. c) Allgemeine Form; Eigenschaften: \(y\)-Achsenabschnitt bei \(7\) oder Öffnung nach oben.

- Welche Werte für \(x\) sorgen dafür, dass einer der Klammerausdrücke Null wird? - Wo liegt die Symmetrieachse einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Wie findet man den Funktionswert an einer bestimmten Stelle? - Welche Rolle spielt die Zahl vor den Klammern für die Öffnung und Form der Parabel?

1. Nullstellen aus der faktorisierten Form ablesen: Die Faktoren \((x + 1)\) und \((x - 5)\) ergeben die Nullstellen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 5\). 2. \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes berechnen: Der Scheitelpunkt liegt mittig zwischen den Nullstellen: \(x_S = \frac{-1 + 5}{2} = 2\). 3. \(y\)-Koordinate des Scheitelpunktes berechnen: \(f(2) = -0{,}5(2 + 1)(2 - 5) = -0{,}5 \cdot 3 \cdot (-3) = 4{,}5\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 \mid 4{,}5)\). 4. Form der Parabel bestimmen: Da der Streckfaktor \(a = -0{,}5\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Da \(|a| = 0{,}5 < 1\) ist, ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestaucht (weiter geöffnet).

Die Nullstellen liegen bei \(N_1(-1 \mid 0)\) und \(N_2(5 \mid 0)\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 \mid 4{,}5)\). Die Parabel ist nach unten geöffnet und gestaucht.

- Was sagt die Lage des Scheitelpunkts über den Parameter \(c\) in der Funktionsgleichung aus? - Wie verhält sich eine Parabel, wenn der Streckfaktor \(a\) positiv ist? - Überlege dir, wie der Graph aussehen muss, damit er die \(x\)-Achse gar nicht berührt.

1. Da der Scheitelpunkt bei \(S(0|-4)\) liegt, ist \(c = -4\). Einsetzen von \(P(2|0)\) in \(f(x) = ax^2 - 4\): \(0 = a \cdot 2^2 - 4 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 4\). 2. Da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt (\(y_s = -4\)) und die Parabel wegen \(a=1 > 0\) nach oben geöffnet ist, muss der Graph die \(x\)-Achse zweimal schneiden. 3. Damit eine nach oben geöffnete Parabel keine Nullstellen hat, muss der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegen. Er muss also um mehr als \(4\) Einheiten nach oben verschoben werden. Ein möglicher neuer Scheitelpunkt ist \(S'(0|1)\).

a) \(f(x) = x^2 - 4\) b) Der Scheitelpunkt liegt unterhalb der \(x\)-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet. c) Verschiebung nach oben um mehr als \(4\) Einheiten; z. B. \(S'(0|1)\).

- Welche binomischen Formeln kennst du? - Wie sieht die Scheitelpunktform einer Parabel aus und was sagt sie über den Scheitelpunkt aus? - Schau dir die Vorzeichen der linearen Glieder (das Glied mit \(x\)) genau an. - Überlege, was passiert, wenn man ein \(x\) in einer Funktion durch \(-x\) ersetzt.

1. Umformung von \(f(x)\): Anwendung der ersten binomischen Formel ergibt \(f(x) = (x + 4)^2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_f(-4|0)\). 2. Umformung von \(g(x)\): Anwendung der zweiten binomischen Formel ergibt \(g(x) = (x - 4)^2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_g(4|0)\). 3. Vergleich der Graphen: Beide Parabeln sind nach oben geöffnete Normalparabeln mit Scheitelpunkten auf der \(x\)-Achse. 4. Geometrische Abbildung: Da die \(x\)-Koordinaten der Scheitelpunkte zueinander gegenzahlig sind (\(-4\) und \(4\)) und die Form identisch ist, geht der Graph von \(g\) durch eine Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse hervor.

a) \(f(x) = (x+4)^2 \Rightarrow S_f(-4|0)\); \(g(x) = (x-4)^2 \Rightarrow S_g(4|0)\). b) Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse.

- Kannst du einen Teil des Terms als Quadrat erkennen? - Was sagt die Form des Terms über die Verschiebung nach links oder rechts aus? - Wie hängen der Scheitelpunkt und die Anzahl der Berührungspunkte mit der \(x\)-Achse zusammen? - Überlege dir den Verlauf des Graphen von links kommend bis zum tiefsten Punkt.

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf \(x^2 - 6x + 9\): \(g(x) = (x - 3)^2\). 2. Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung der Normalparabel \(f\) um \(3\) Einheiten nach rechts entlang der \(x\)-Achse. 3. Aus der Scheitelpunktform \(g(x) = (x - 3)^2 + 0\) folgt der Scheitelpunkt \(S(3|0)\). Da der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, gibt es genau eine Nullstelle bei \(x = 3\). 4. Da die Parabel nach oben geöffnet ist und ihr tiefster Punkt bei \(x = 3\) liegt, fällt der Graph für alle \(x\)-Werte links vom Scheitelpunkt: \(x \le 3\).

1. \(g(x) = (x - 3)^2\) 2. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts. 3. Scheitelpunkt \(S(3|0)\); es gibt eine Nullstelle. 4. Für \(x \le 3\).

- Wo schneidet der Graph die x-Achse? Vergleiche diese Stellen mit den Formeln. - Wo schneidet der Graph die y-Achse? Welchen Wert muss \(x\) dort haben? - Ist die Parabel nach oben oder unten geöffnet und wie "steil" ist sie?

1. Ablesen der Nullstellen aus dem Graphen: \(x_1 = -2, x_2 = 4\) 2. Ablesen des y-Achsenabschnitts: \(y = -4\) 3. Überprüfung der Optionen: Option c) liefert Nullstellen bei \(x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{1} = 1 \pm 3 \in \{-2, 4\}\) und \(y(0) = -4\).

c) \(y = 0,5x^2 - x - 4\)

- Erinnerst du dich an den Trick, wie man einen Term so ergänzt, dass eine binomische Formel entsteht? - Achte beim Ausklammern des Minuszeichens besonders auf die Vorzeichen in der Klammer. - Wie findet man den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse rechnerisch? - Welche Gleichung musst du lösen, um die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu finden?

1. Quadratische Ergänzung: \(g(x) = -(x^2 - 6x) - 5\) \(g(x) = -(x^2 - 6x + 3^2 - 3^2) - 5\) \(g(x) = -((x-3)^2 - 9) - 5\) \(g(x) = -(x-3)^2 + 9 - 5\) \(g(x) = -(x-3)^2 + 4\). 2. Scheitelpunkt: Aus der Scheitelpunktform ergibt sich \(S(3 \mid 4)\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(g(0) = -0^2 + 6 \cdot 0 - 5 = -5\), also \(S_y(0 \mid -5)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(-(x-3)^2 + 4 = 0 \implies (x-3)^2 = 4 \implies x-3 = \pm 2\). \(x_1 = 5\), \(x_2 = 1\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(5 \mid 0)\) und \(N_2(1 \mid 0)\).

1. Scheitelpunktform: \(g(x) = -(x-3)^2 + 4\). 2. Scheitelpunkt \(S(3 \mid 4)\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 \mid -5)\); Nullstellen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\).

- Welche Form der Funktionsgleichung bietet sich an, wenn man eine Koordinate des Scheitelpunkts kennt? - Wie kannst du die Information nutzen, dass ein bestimmter Punkt auf der Parabel liegt? - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn der Scheitelpunkt auf einer Geraden wie \(x = -2\) liegt?

1. Da die Parabel eine verschobene Normalparabel ist und die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(x_S = -2\) bekannt ist, lautet der Ansatz in Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - (-2))^2 + y_S = (x + 2)^2 + y_S\). 2. Setze die Koordinaten des Punktes \(P(1 | 5)\) in die Gleichung ein, um \(y_S\) zu berechnen: \(5 = (1 + 2)^2 + y_S\). 3. Löse nach \(y_S\) auf: \(5 = 9 + y_S \Rightarrow y_S = -4\). Die Scheitelpunktform ist \(f(x) = (x + 2)^2 - 4\). 4. Wandle die Gleichung durch Ausmultiplizieren in die gewünschte Form um: \(f(x) = x^2 + 4x + 4 - 4 = x^2 + 4x\).

\(f(x) = x^2 + 4x\)

- Wo liegt der Scheitelpunkt im Koordinatensystem (über, unter oder auf der x-Achse)? - Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? - Skizziere dir den Verlauf der Parabel grob im Kopf oder auf Papier.

1. Für \(f(x)\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3|2)\) oberhalb der \(x\)-Achse. Da der Streckfaktor \(0{,}5\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Sie entfernt sich also von der \(x\)-Achse und hat keine Nullstellen. 2. Für \(g(x)\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0|5)\) oberhalb der \(x\)-Achse. Da der Streckfaktor \(-1\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Sie muss die \(x\)-Achse also zweimal schneiden und hat zwei Nullstellen. 3. Für \(h(x)\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-4|0)\) direkt auf der \(x\)-Achse. Unabhängig von der Öffnungsrichtung berührt die Parabel die \(x\)-Achse genau in diesem Punkt und hat somit genau eine Nullstelle.

\(f(x)\) hat keine Nullstellen (Scheitelpunkt über der \(x\)-Achse, nach oben geöffnet). \(g(x)\) hat zwei Nullstellen (Scheitelpunkt über der \(x\)-Achse, nach unten geöffnet). \(h(x)\) hat genau eine Nullstelle (Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse).

- Wie kannst du das Produkt der beiden Klammern zuerst in die Normalform \(x^2 + px + q\) bringen? - Erinnerst du dich an das Verfahren der quadratischen Ergänzung? - Welche Werte in der Scheitelpunktform geben dir direkt die Koordinaten des tiefsten oder höchsten Punktes an?

1. Ausmultiplizieren der Faktorenform: \(k(x) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8\). 2. Bestimmung der quadratischen Ergänzung für den Ausdruck \(x^2 - 2x\): \((\frac{-2}{2})^2 = 1\). 3. Durchführung der quadratischen Ergänzung: \(x^2 - 2x + 1 - 1 - 8\). 4. Zusammenfassen zur Scheitelpunktform mithilfe der zweiten binomischen Formel: \(k(x) = (x - 1)^2 - 9\). 5. Ablesen des Scheitelpunkts aus der Form \(a(x - x_S)^2 + y_S\): \(S(1 | -9)\).

Die Scheitelpunktform lautet \(k(x) = (x - 1)^2 - 9\). Der Scheitelpunkt ist \(S(1 | -9)\).

- Nutze zuerst die Koordinaten des Scheitelpunkts, um das Grundgerüst der Funktionsgleichung aufzustellen. - Wie kannst du den fehlenden Streckfaktor bestimmen, wenn du einen weiteren Punkt auf der Parabel kennst? - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die Klammer aufzulösen. - Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn du \(x = 0\) setzt? Welcher Buchstabe bleibt in der allgemeinen Form stehen?

1. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x - 1)^2 + 2\). 2. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen von \(P(3 | 10)\): \(10 = a(3 - 1)^2 + 2 \Rightarrow 8 = 4a \Rightarrow a = 2\). Ergebnis: \(f(x) = 2(x - 1)^2 + 2\). 3. Umwandlung in die allgemeine Form: \(f(x) = 2(x^2 - 2x + 1) + 2 = 2x^2 - 4x + 2 + 2 = 2x^2 - 4x + 4\). 4. Interpretation von \(c\): Der Wert \(c\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt. Für diese Funktion gilt \(c = 4\).

a) \(f(x) = 2(x - 1)^2 + 2\) b) \(f(x) = 2x^2 - 4x + 4\) c) Der Wert \(c\) gibt den \(y\)-Achsenabschnitt an; hier ist \(c = 4\).

- Wie kannst du nachweisen, dass zwei unterschiedliche Terme eigentlich die gleiche Funktion beschreiben? - Wann wird ein Produkt aus zwei Faktoren Null? - Welcher Punkt einer Parabel ist entweder der höchste oder der tiefste Punkt? In welcher Form steckt dieser Name bereits drin?

1. Nachweis der Äquivalenz (a): Ausmultiplizieren von \((x - 3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5\). 2. Bestimmung der Nullstellen (b): Anwendung des Nullprodukt-Satzes auf \((x - 1)(x - 5) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 3. Vergleich und Begründung (c): Die Scheitelpunktform ist am besten geeignet. Da der Streckfaktor \(a = 1\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt \(S(3 | -4)\) stellt den tiefsten Punkt dar. Dieser kann direkt abgelesen werden.

a) Rechnung: \((x - 3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5\). b) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). c) Die Scheitelpunktform, da der tiefste Punkt der Scheitelpunkt \(S(3 | -4)\) ist, dessen Koordinaten man direkt ablesen kann.

- Wie gehst du vor, um den quadratischen Teil eines Terms zu vervollständigen? - Was sagt die Öffnungsrichtung der Parabel über die Art des Scheitelpunkts aus? - Welche Werte kann eine Funktion annehmen, wenn du den tiefsten oder höchsten Punkt kennst? - Wie berechnet man den Durchschnitt zweier Zahlen auf der Zahlengeraden?

1. Quadratische Ergänzung: Ausklammern der \(2\), Ergänzen von \((\frac{6}{2})^2 = 9\), Zusammenfassen zum Binom ergibt \(g(x) = 2(x-3)^2 - 8\). 2. Scheitelpunkt und Wertebereich: Der Scheitelpunkt ist \(S(3 | -8)\). Da \(a = 2 > 0\), ist die Parabel nach oben geöffnet; der Scheitelpunkt ist ein Minimum. Der Wertebereich ist \(W = \{y \in \mathbb{R} | y \geq -8\}\). 3. Nullstellen und Symmetrie: Lösen von \(2(x-3)^2 - 8 = 0\) ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). Der Mittelwert der Nullstellen ist \(\frac{1 + 5}{2} = 3\), was dem \(x\)-Wert des Scheitelpunkts entspricht.

a) \(g(x) = 2(x-3)^2 - 8\) b) \(S(3 | -8)\); Wertebereich: \(y \geq -8\). Da \(a = 2 > 0\), ist die Parabel nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt ein Minimum. c) Nullstellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\). Mittelwert: \(\frac{1+5}{2} = 3\), dies entspricht \(x_S = 3\).

- Wann wird ein Produkt gleich Null? - Wo liegt die Symmetrieachse einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Wie findest du den passenden Funktionswert zu einer \(x\)-Stelle? - Welche binomische Formel hilft dir beim Auflösen der Klammer in der Scheitelpunktform?

1. Nullstellen: Direktes Ablesen aus der faktorisierten Form ergibt \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 6\). 2. Scheitelpunkt bestimmen: Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts liegt mittig zwischen den Nullstellen: \(x_S = \frac{-2 + 6}{2} = 2\). Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(f(2) = -0{,}5(2 + 2)(2 - 6) = -0{,}5 \cdot 4 \cdot (-4) = 8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 | 8)\). 3. Umwandlung: Scheitelpunktform ist \(f(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 8\). Ausmultiplizieren: \(-0{,}5(x^2 - 4x + 4) + 8 = -0{,}5x^2 + 2x - 2 + 8 = -0{,}5x^2 + 2x + 6\).

a) Nullstellen: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 6\) b) Scheitelpunkt: \(S(2 | 8)\) c) Scheitelpunktform: \(f(x) = -0{,}5(x-2)^2 + 8\); Allgemeine Form: \(f(x) = -0{,}5x^2 + 2x + 6\)

- Erinnere dich an die erste binomische Formel, um die Klammer aufzulösen. - Achte beim Multiplizieren mit \(-\frac{1}{2}\) auf die Vorzeichen aller Glieder in der Klammer. - Welche Methode bietet sich an, um die Nullstellen einer Gleichung der Form \(ax^2 + bx = 0\) schnell zu finden? - Wie hängen die Nullstellen mit den Faktoren der faktorisierten Form zusammen?

1. Umwandlung in die allgemeine Form durch Auflösen der Klammer (binomische Formel) und Zusammenfassen: \(g(x) = -\frac{1}{2}(x^2 + 8x + 16) + 8\) \(g(x) = -0{,}5x^2 - 4x - 8 + 8\) \(g(x) = -0{,}5x^2 - 4x\) 2. Berechnung der Nullstellen (hier durch Ausklammern in der allgemeinen Form oder direkt aus der Scheitelpunktform): \(-0{,}5x^2 - 4x = 0\) \(x(-0{,}5x - 4) = 0\) \(x_1 = 0\) \(-0{,}5x - 4 = 0 \Rightarrow -0{,}5x = 4 \Rightarrow x_2 = -8\) 3. Aufstellen der faktorisierten Form: Mit \(a = -0{,}5\), \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -8\) folgt: \(g(x) = -0{,}5(x - 0)(x + 8)\) bzw. \(g(x) = -0{,}5x(x + 8)\).

a) Die allgemeine Form ist \(g(x) = -0{,}5x^2 - 4x\). b) Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -8\). c) Die faktorisierte Form lautet \(g(x) = -0{,}5x(x + 8)\).

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn einer der Faktoren in der Klammer Null wird? - Wie findet man einen unbekannten Parameter, wenn ein Punkt auf dem Graphen gegeben ist? - Nutze die Symmetrie der Parabel: Wo muss der Scheitelpunkt im Verhältnis zu den Nullstellen liegen?

1. Alle Funktionen der Schar haben dieselben Nullstellen bei \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\), da dies die Werte sind, für die die Klammerausdrücke Null werden. 2. Einsetzen von \(R(0|3)\) in die Funktionsgleichung: \(3 = a \cdot (0 + 3) \cdot (0 - 1) \Rightarrow 3 = -3a \Rightarrow a = -1\). 3. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts liegt genau in der Mitte der Nullstellen: \(x_s = \frac{-3 + 1}{2} = -1\). Einsetzen in die Funktion mit \(a = -1\): \(f(-1) = -1 \cdot (-1 + 3) \cdot (-1 - 1) = -1 \cdot 2 \cdot (-2) = 4\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-1|4)\).

a) Gemeinsame Nullstellen bei \(x = -3\) und \(x = 1\). b) \(a = -1\) c) \(S(-1|4)\)

- Wie kannst du die Klammer mit Hilfe der binomischen Formeln auflösen? - Vergiss nicht, den Faktor vor der Klammer auf jedes Glied in der Klammer anzuwenden. - Um die Nullstellenform zu finden, musst du zuerst die Werte finden, für die die Funktion Null wird. - Überlege, welche Parameter in den Formeln direkt den Koordinaten wichtiger Punkte (wie dem höchsten/tiefsten Punkt oder dem Schnittpunkt mit der y-Achse) entsprechen.

1. Umwandlung in die allgemeine Form durch Auflösen der Klammer (1. Binomische Formel): \(g(x) = -0{,}5(x^2 + 2x + 1) + 2 = -0{,}5x^2 - x - 0{,}5 + 2 = -0{,}5x^2 - x + 1{,}5\). 2. Berechnung der Nullstellen zur Bestimmung der Nullstellenform: \(-0{,}5(x + 1)^2 + 2 = 0 \Rightarrow (x + 1)^2 = 4 \Rightarrow x + 1 = \pm 2\). Dies ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\). 3. Aufstellen der Nullstellenform: \(g(x) = -0{,}5(x - 1)(x + 3)\). 4. Interpretation: In der Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt \(S(-1 \mid 2)\) direkt ablesen. In der allgemeinen Form lässt sich der y-Achsenabschnitt \(c = 1{,}5\) direkt ablesen. In beiden Formen ist der Streckfaktor \(a = -0{,}5\) sichtbar (Parabel nach unten geöffnet und gestaucht).

a) Allgemeine Form: \(g(x) = -0{,}5x^2 - x + 1{,}5\) b) Nullstellenform: \(g(x) = -0{,}5(x - 1)(x + 3)\) c) Scheitelpunktform: Scheitelpunkt \(S(-1 \mid 2)\) und Streckfaktor \(a\) sind direkt ablesbar. Allgemeine Form: y-Achsenabschnitt \(c = 1{,}5\) und Streckfaktor \(a\) sind direkt ablesbar.

- Wenn du die Stellen kennst, an denen der Graph die x-Achse berührt oder schneidet, welche Form der Gleichung hilft dir dann weiter? - Wo liegt die x-Koordinate des Scheitelpunkts im Verhältnis zu den beiden Nullstellen? - Wie findest du den y-Wert eines Punktes heraus, wenn du seinen x-Wert und die Funktionsgleichung kennst?

1. Ansatz mit der Nullstellenform (faktorisierte Form): \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\). 2. Einsetzen der Nullstellen: \(f(x) = a(x - 1)(x - 5)\). 3. Bestimmung von \(a\) mit dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \((0 \mid -5)\): \(-5 = a(0 - 1)(0 - 5) \Rightarrow -5 = 5a \Rightarrow a = -1\). 4. Funktionsgleichung: \(f(x) = -(x - 1)(x - 5) = -x^2 + 6x - 5\). 5. Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts als Mittelwert der Nullstellen: \(x_s = \frac{1 + 5}{2} = 3\). 6. Berechnung der \(y\)-Koordinate durch Einsetzen in die Funktion: \(f(3) = -(3 - 1)(3 - 5) = -(2)(-2) = 4\). 7. Ergebnis: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3 \mid 4)\).

Funktionsgleichung: \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\) (oder \(f(x) = -(x - 1)(x - 5)\)); Scheitelpunkt: \(S(3 \mid 4)\).

- Was gibt die Diskriminante über die Anzahl der Nullstellen an? - Wie hängen Nullstellen und die Klammern in der faktorisierten Form zusammen? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? - Was passiert mit der Wurzel in der Lösungsformel, wenn der Wert unter der Wurzel negativ ist?

1. Bedingung für genau eine Nullstelle: Diskriminante \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 36 - 4c = 0\). 2. Berechnung von \(c\): \(36 = 4c \Rightarrow c = 9\). 3. Faktorisierte Form für \(c = 9\): Anwendung der zweiten binomischen Formel ergibt \(f_9(x) = (x - 3)^2\). 4. Analyse für \(c > 9\): Die Diskriminante \(D = 36 - 4c\) wird negativ, da \(4c > 36\). Ohne reelle Nullstellen existiert keine Zerlegung in reelle Linearfaktoren. 5. Berechnung für \(c = 5\): Nullstellen über \(x^2 - 6x + 5 = 0\) mittels \(p\)-\(q\)-Formel ergeben \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 6. Faktorisierte Form für \(c = 5\): \(f_5(x) = (x - 1)(x - 5)\).

a) \(c = 9\); faktorisierte Form: \(f_9(x) = (x - 3)^2\). b) Für \(c > 9\) ist die Diskriminante negativ, es gibt also keine reellen Nullstellen und somit keine Zerlegung in reelle Linearfaktoren. c) Nullstellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\); faktorisierte Form: \(f_5(x) = (x - 1)(x - 5)\).

- Wie liest man die Koordinaten direkt aus der Klammer und dem Summanden am Ende ab? - Welche Koordinate gibt die Höhe des Scheitelpunkts an? - Erinnere dich an die erste binomische Formel beim Auflösen der Klammer. - Was muss man für \(x\) einsetzen, um den Punkt auf der senkrechten Achse zu finden?

1. Scheitelpunkt von \(h\): Da \(h(x) = -2(x - 0)^2 + 4\), ist \(S_h(0|4)\). Scheitelpunkt von \(k\): Aus der Form \(k(x) = -2(x - (-1))^2 + 6\) folgt \(S_k(-1|6)\). 2. Der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts gibt das Maximum an. Da \(6 > 4\), liegt der Scheitelpunkt von \(k\) höher als der von \(h\). 3. Ausmultiplizieren von \(k(x) = -2(x^2 + 2x + 1) + 6\): \(-2x^2 - 4x - 2 + 6 = -2x^2 - 4x + 4\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(x = 0\). Berechnung: \(k(0) = -2(0)^2 - 4(0) + 4 = 4\). Der Schnittpunkt ist \(P_y(0|4)\).

1. \(S_h(0|4)\) und \(S_k(-1|6)\). 2. Die Parabel \(k\) hat den höheren Scheitelpunkt. 3. \(k(x) = -2x^2 - 4x + 4\) 4. \(P_y(0|4)\)

- Was bedeutet es grafisch und rechnerisch, wenn sich zwei Funktionsgraphen schneiden? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(ax^2 + bx + c = 0\) lösen? - Kannst du die Scheitelpunkte bestimmen, ohne den Graphen zu zeichnen? - Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck zwischen den beiden Scheitelpunkten vor, um deren Abstand zu berechnen.

1. Gleichsetzen der Funktionsausdrücke: \(x^2 - 4 = -x^2 + 2x\). Umformen: \(2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0\). Lösen mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisieren: \((x-2)(x+1) = 0\). \(x_1 = 2 \implies y_1 = 2^2 - 4 = 0\). \(x_2 = -1 \implies y_2 = (-1)^2 - 4 = -3\). Schnittpunkte: \(P_1(2 \mid 0)\) und \(P_2(-1 \mid -3)\). 2. Scheitelpunkte: Für \(p_1\): \(y = x^2 - 4\) ist bereits fast in Scheitelpunktform (\(x_s=0\)), also \(S_1(0 \mid -4)\). Für \(p_2\): \(y = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -(x-1)^2 + 1\). Also \(S_2(1 \mid 1)\). 3. Abstand der Scheitelpunkte \(S_1(0 \mid -4)\) und \(S_2(1 \mid 1)\) mit dem Satz des Pythagoras im Koordinatensystem: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) \(d = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \approx 5{,}10\).

1. Schnittpunkte: \((2 \mid 0)\) und \((-1 \mid -3)\). 2. Scheitelpunkte: \(S_1(0 \mid -4)\) und \(S_2(1 \mid 1)\). 3. Der Abstand beträgt \(\sqrt{26} \approx 5{,}10\) Längeneinheiten.

- Bring beide Gleichungen in die gleiche Form, um sie besser vergleichen zu können. - Wenn zwei Parabeln die gleiche Form haben (beide sind Normalparabeln) und dieselbe Symmetrieachse besitzen, wie liegen sie dann zueinander? - Was passiert, wenn du versuchst, die Terme der beiden Funktionen gleichzusetzen?

1. Scheitelpunkt \(S_1\) direkt aus \(p_1\) ablesen: \(S_1(2|-1)\). 2. Gleichung von \(p_2\) umformen: \(y = x^2 - 4x + 4 - 4 + 5 = (x-2)^2 + 1\). Scheitelpunkt \(S_2(2|1)\). 3. Da beide Scheitelpunkte denselben \(x\)-Wert \(x=2\) haben, liegen sie senkrecht übereinander. Der vertikale Abstand ist die Differenz der \(y\)-Werte: \(1 - (-1) = 2\). 4. Begründung der Schnittpunktfreiheit: Rechnerischer Ansatz: \((x-2)^2 - 1 = (x-2)^2 + 1 \Rightarrow -1 = 1\). Dies ist ein Widerspruch, also gibt es keinen Schnittpunkt. Logischer Ansatz: Beide Parabeln sind nach oben geöffnete Normalparabeln mit derselben Symmetrieachse \(x=2\). Da \(p_2\) einen höheren Scheitelpunkt hat als \(p_1\), verläuft \(p_2\) für alle \(x\) genau \(2\) Einheiten oberhalb von \(p_1\).

a) \(S_1(2|-1)\) und \(S_2(2|1)\) b) Der vertikale Abstand beträgt \(2\) Längeneinheiten. c) Ein Gleichsetzen der Funktionsausdrücke führt auf den Widerspruch \(-1 = 1\). Da beide Parabeln die gleiche Form haben und \(p_2\) überall oberhalb von \(p_1\) liegt, schneiden sie sich nie.

- Wie findet man rechnerisch heraus, wo sich zwei Graphen treffen? - Bringe beide Funktionsgleichungen in dieselbe Darstellungsform und setze sie gleich. - Wie viele Lösungen kann die entstehende quadratische Gleichung besitzen? - Setze anschließend jede gefundene \(x\)-Koordinate in eine der Funktionen ein.

1. Umformung von \(p_2\) in die allgemeine Form: \(y=-(x-1)^2+3=-(x^2-2x+1)+3=-x^2+2x+2\). 2. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2-2x+3=-x^2+2x+2\). 3. Zusammenfassen: \(2x^2-4x+1=0\), also \(x^2-2x+\frac12=0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x=1\pm\sqrt{1-\frac12}=1\pm\frac{\sqrt2}{2}\). 5. Für beide Lösungen gilt mit \(p_1(x)=(x-1)^2+2\): \(y=\frac12+2=\frac52\). Die Schnittpunkte sind daher \(P_1\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac52\right)\) und \(P_2\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac52\right)\).

Die Parabeln schneiden sich in den Punkten \(P_1\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac52\right)\) und \(P_2\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac52\right)\).

- Wie gehst du vor, wenn vor dem \(x^2\) eine Zahl (ein Streckfaktor) steht? - Kannst du \(q(x)\) erst ausmultiplizieren, um es mit \(p(x)\) besser vergleichen zu können? - Wenn zwei Funktionen dieselbe Scheitelpunktform haben, was bedeutet das für ihre Graphen?

1. Umformung von \(p(x)\) in die Scheitelpunktform: Ausklammern der \(2\) ergibt \(2(x^2 - 2x) - 6\). Quadratische Ergänzung im Klammerausdruck: \(2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 6 = 2((x - 1)^2 - 1) - 6 = 2(x - 1)^2 - 2 - 6 = 2(x - 1)^2 - 8\). 2. Umformung von \(q(x)\) in die Normalform: Zuerst Klammern ausmultiplizieren: \(2(x^2 - 3x + x - 3) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6\). 3. Umformung von \(q(x)\) in die Scheitelpunktform: Analog zu Schritt 1 ergibt sich ebenfalls \(2(x - 1)^2 - 8\). 4. Vergleich: Da beide Funktionen dieselbe Scheitelpunktform besitzen, ist die Aussage von Lukas korrekt.

Lukas hat recht. Beide Funktionen besitzen die Scheitelpunktform \(2(x - 1)^2 - 8\).

- Wie nutzt du einen Punkt und den Scheitelpunkt, um den Streckfaktor \(a\) zu finden? - Was bedeutet Symmetrie für die Abstände der Nullstellen zur Mitte der Parabel? - Wie verändert eine Spiegelung an der \(x\)-Achse das Vorzeichen der Funktionswerte? - Was passiert mit dem höchsten oder tiefsten Punkt einer Funktion bei einer Spiegelung?

1. Scheitelpunktform: Ansatz \(p(x) = a(x-4)^2 - 2\). Punkt \(P(2|0)\) einsetzen: \(0 = a(2-4)^2 - 2 \Rightarrow 2 = 4a \Rightarrow a = 0{,}5\). Somit \(p(x) = 0{,}5(x-4)^2 - 2\). 2. Zweite Nullstelle: Da \(P(2|0)\) eine Nullstelle ist und die Symmetrieachse bei \(x=4\) liegt, muss die zweite Nullstelle den gleichen Abstand zur Symmetrieachse haben wie \(x=2\). Abstand ist \(|4-2|=2\). Die zweite Nullstelle liegt bei \(x = 4+2=6\). 3. Faktorisierte Form: Mit \(a=0{,}5\) und den Nullstellen \(2\) und \(6\) folgt \(p(x) = 0{,}5(x-2)(x-6)\). 4. Spiegelung und Wertebereich: Der ursprüngliche Wertebereich von \(p\) ist \(W_p = \{y \in \mathbb{R} | y \geq -2\}\). Durch die Spiegelung an der \(x\)-Achse kehrt sich die Öffnungsrichtung um (\(a = -0{,}5\)) und der Scheitelpunkt wird zu \(S'(4 | 2)\). Der neue Wertebereich ist \(W_q = \{y \in \mathbb{R} | y \leq 2\}\).

a) \(p(x) = 0{,}5(x-4)^2 - 2\) b) \(x_2 = 6\). Da \(x=2\) eine Nullstelle ist und die Parabel achsensymmetrisch zu \(x=4\) verläuft, muss die zweite Nullstelle im gleichen Abstand (\(2\) Einheiten) rechts von der Symmetrieachse liegen. c) \(p(x) = 0{,}5(x-2)(x-6)\) d) Der Wertebereich ändert sich von \(y \geq -2\) zu \(y \leq 2\).

- Vergleiche die Terme von \(f(x)\) und \(g(x)\). Was ist identisch, was unterscheidet sich? - Wann berührt der Graph einer Parabel die x-Achse genau an einem Punkt? - Was sagt die y-Koordinate des Scheitelpunkts über die Anzahl der Nullstellen aus, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist? - Wie verändert der Parameter \(c\) die Lage des Graphen im Koordinatensystem?

1. Scheitelpunktform von \(f\) durch quadratische Ergänzung: \(f(x) = x^2 - 6x + 3^2 - 3^2 + 5\) \(f(x) = (x - 3)^2 - 9 + 5\) \(f(x) = (x - 3)^2 - 4\) 2. Nullstellen von \(f\): \((x - 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 = 4 \Rightarrow x - 3 = \pm 2\) \(x_1 = 5\), \(x_2 = 1\) 3. Untersuchung von \(g(x) = x^2 - 6x + c\): Die quadratische Ergänzung liefert analog \(g(x) = (x - 3)^2 - 9 + c\). Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(S(3 | c - 9)\). Eine quadratische Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt, also die y-Koordinate des Scheitelpunkts Null ist. \(c - 9 = 0 \Rightarrow c = 9\).

a) Die Scheitelpunktform von \(f\) ist \(f(x) = (x - 3)^2 - 4\). b) Die Nullstellen von \(f\) sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). c) Für \(c = 9\) hat \(g\) genau eine Nullstelle. Begründung: In der Scheitelpunktform \(g(x) = (x - 3)^2 + (c - 9)\) muss der konstante Teil \(c - 9\) gleich Null sein, damit der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt.

- Wie viele unabhängige Informationen benötigst du im Allgemeinen, um die drei Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) festzulegen? - Stell dir grafisch vor, wie viele Parabeln durch zwei gegebene Punkte auf der \(x\)-Achse gehen können. - Welche Koordinaten hat ein Punkt, der auf der \(y\)-Achse liegt?

1. Teilaufgabe a): Die Angabe von zwei Nullstellen reicht nicht aus. Es gibt unendlich viele Parabeln, die durch diese zwei Punkte auf der \(x\)-Achse verlaufen, da der Streckfaktor \(a\) (und damit die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts) beliebig gewählt werden kann. Die Funktionsschar lautet \(h(x) = a(x + 1)(x - 5)\) mit \(a \neq 0\). 2. Teilaufgabe b): Die Angabe ist ausreichend. Der Scheitelpunkt liefert zwei Bedingungen (\(x_s\) und \(y_s\)), und der \(y\)-Achsenabschnitt liefert den Punkt \(P(0 \mid 5)\) als dritte Bedingung. 3. Berechnung für b): Ansatz \(h(x) = a(x - 2)^2 - 3\). Einsetzen von \(P(0 \mid 5)\) ergibt \(5 = a(0 - 2)^2 - 3\), also \(5 = 4a - 3\). 4. Lösen nach \(a\): \(8 = 4a \Rightarrow a = 2\). 5. Umwandeln: \(h(x) = 2(x - 2)^2 - 3 = 2(x^2 - 4x + 4) - 3 = 2x^2 - 8x + 8 - 3\). 6. Ergebnis für b): \(h(x) = 2x^2 - 8x + 5\).

a) Nicht eindeutig bestimmbar, da ein dritter Punkt oder der Streckfaktor fehlt. b) Eindeutig bestimmbar: \(h(x) = 2x^2 - 8x + 5\).

- Spiegele den Punkt \(A\) an der Symmetrieachse. Wie ändert sich die \(x\)-Koordinate? - In der Scheitelpunktform ist die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts durch die Symmetrieachse bereits festgelegt. - Stelle eine Gleichung auf, die die Parameter \(a\) und \(y_s\) verbindet, indem du einen bekannten Punkt einsetzt. - Wann ist ein Wert kleiner als Null? Löse die entsprechende Ungleichung.

1. Da der Graph symmetrisch zu \(x = 2\) ist, muss ein Punkt mit demselben \(y\)-Wert denselben Abstand zur Symmetrieachse haben. Punkt \(A(0|5)\) hat den Abstand \(2\) zur Achse \(x = 2\). Der gespiegelte Punkt \(B\) liegt also bei \(x = 2 + 2 = 4\) mit \(y = 5\). Somit ist \(B(4|5)\). 2. Die Scheitelpunktform ist \(g(x) = a(x - 2)^2 + y_s\). Punkt \(A(0|5)\) einsetzen: \(5 = a(0 - 2)^2 + y_s \Rightarrow 5 = 4a + y_s \Rightarrow y_s = 5 - 4a\). Wähle \(a = 1 \Rightarrow y_s = 1 \Rightarrow g_1(x) = (x - 2)^2 + 1\). Wähle \(a = 2 \Rightarrow y_s = -3 \Rightarrow g_2(x) = 2(x - 2)^2 - 3\). 3. Der Scheitelpunkt liegt unterhalb der \(x\)-Achse, wenn \(y_s < 0\). Mit \(y_s = 5 - 4a\) folgt: \(5 - 4a < 0 \Rightarrow 5 < 4a \Rightarrow a > 1{,}25\).

a) \(B(4|5)\) b) Mögliche Lösungen: \(g(x) = (x - 2)^2 + 1\) und \(g(x) = 2(x - 2)^2 - 3\) c) \(a > 1{,}25\)

- Wann berührt eine Parabel die x-Achse nur in einem einzigen Punkt? Wo muss dann der Scheitelpunkt liegen? - Versuche, die Funktionsgleichung so umzuformen, dass du den Scheitelpunkt in Abhängigkeit von \(k\) ablesen kannst. - Was passiert mit dem Graphen der Funktion im Koordinatensystem, wenn du den Wert von \(k\) erhöhst? - Überlege dir, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist.

1. Bestimmung der Scheitelpunktform in Abhängigkeit von \(k\) durch quadratische Ergänzung: \(h_k(x) = (x^2 + 6x + 9) - 9 + k = (x + 3)^2 + (k - 9)\). 2. Eine quadratische Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt (y-Koordinate des Scheitelpunkts ist 0). Also: \(k - 9 = 0 \Rightarrow k = 9\). 3. Für \(k = 9\) lautet die Scheitelpunktform: \(h_9(x) = (x + 3)^2\). 4. Analyse der Nullstellenanzahl für \(k > 9\): Da der Streckfaktor \(a = 1\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Wenn \(k > 9\), ist der Term \((k - 9)\) positiv, d. h. die y-Koordinate des Scheitelpunkts liegt oberhalb der x-Achse. Eine nach oben geöffnete Parabel, deren tiefster Punkt über der x-Achse liegt, hat keine Nullstellen.

a) \(k = 9\) b) \(h_9(x) = (x + 3)^2\) c) Wenn \(k > 9\), gibt es keine Nullstellen mehr. Da die Parabel nach oben geöffnet ist (\(a > 0\)) und der Scheitelpunkt für \(k > 9\) oberhalb der x-Achse liegt (\(y_S > 0\)), kann der Graph die x-Achse nicht schneiden.

- Setze die x- und y-Werte der Punkte nacheinander in die allgemeine Form ein. - Du erhältst drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Welches Verfahren kennst du, um solche Systeme zu lösen? - Versuche zuerst eine der Variablen (zum Beispiel c) zu eliminieren, indem du die Gleichungen voneinander abziehst.

1. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte in \(f(x) = ax^2 + bx + c\): I: \(4a - 2b + c = 10\) II: \(a + b + c = -2\) III: \(9a + 3b + c = 0\) 2. Elimination von \(c\) durch Subtraktion der Gleichungen: (I - II): \(3a - 3b = 12 \Rightarrow a - b = 4\) (Gleichung IV) (III - II): \(8a + 2b = 2 \Rightarrow 4a + b = 1\) (Gleichung V) 3. Lösen des Systems aus IV und V: Addieren von IV und V: \(5a = 5 \Rightarrow a = 1\). Einsetzen in IV: \(1 - b = 4 \Rightarrow b = -3\). 4. Einsetzen von \(a\) und \(b\) in II zur Bestimmung von \(c\): \(1 + (-3) + c = -2 \Rightarrow -2 + c = -2 \Rightarrow c = 0\). 5. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = x^2 - 3x\).

\(f(x) = x^2 - 3x\)

- Wo liegt die Symmetrieachse einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Was gibt der Wert \(c\) in der Normalform \(ax^2 + bx + c\) grafisch an? - Wie kannst du die Nullstellen direkt in eine Funktionsgleichung einbauen? - Nutze den gegebenen Punkt, um den Streckfaktor zu berechnen.

1. Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes: Aufgrund der Symmetrie liegt der Scheitelpunkt genau in der Mitte der Nullstellen: \(x_S = \frac{-2 + 4}{2} = 1\). 2. Analyse des Vorzeichens von \(c\): Da \(a < 0\) ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Da die Nullstellen bei \(-2\) und \(4\) liegen, muss der Bereich dazwischen (einschließlich \(x = 0\)) oberhalb der \(x\)-Achse liegen. Somit ist \(f(0) = c > 0\). 3. Aufstellen der faktorisierten Form: \(f(x) = a(x - (-2))(x - 4) = a(x + 2)(x - 4)\). 4. Bestimmung von \(a\) mit \(P(0 \mid 4)\): \(4 = a(0 + 2)(0 - 4) \Rightarrow 4 = -8a \Rightarrow a = -0{,}5\). 5. Faktorisierte Form: \(f(x) = -0{,}5(x + 2)(x - 4)\). 6. Umwandlung in Normalform: \(f(x) = -0{,}5(x^2 - 2x - 8) = -0{,}5x^2 + x + 4\).

a) \(x_S = 1\), da der Scheitelpunkt mittig zwischen den Nullstellen liegt. b) \(c > 0\), da die Parabel nach unten geöffnet ist und die Nullstellen links und rechts von der \(y\)-Achse liegen. c) Faktorisierte Form: \(f(x) = -0{,}5(x + 2)(x - 4)\); Normalform: \(f(x) = -0{,}5x^2 + x + 4\).

- Wann hat eine quadratische Gleichung reelle Lösungen? - Wo liegt die Mitte zwischen zwei Nullstellen? - Wie hängen die Koeffizienten der Normalform mit den Nullstellen zusammen? - Was bedeutet „symmetrisch zum Ursprung“ für die Summe der beiden Werte?

1. Bedingung für faktorisierte Form: Existenz reeller Nullstellen erfordert eine nicht-negative Diskriminante \(D = k^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = k^2 - 64 \geq 0\). 2. Lösung der Ungleichung: \(k^2 \geq 64 \Rightarrow k \leq -8\) oder \(k \geq 8\). 3. Untersuchung der Schüleraussage: Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes ist \(x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{k}{4}\). Wenn \(k\) sehr groß wird, entfernt sich der Scheitelpunkt (und damit die Mitte der Nullstellen) immer weiter vom Ursprung nach links. Die Aussage ist falsch. 4. Beweis der Symmetrie-Bedingung: Seien \(x_1\) und \(x_2\) die Nullstellen. In der faktorisierten Form gilt \(g(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)\). 5. Vergleich mit der Normalform \(ax^2 + bx + c\): Es gilt \(b = -a(x_1 + x_2)\). 6. Abschluss des Beweises: Wenn \(x_1 = -x_2\), dann ist \(x_1 + x_2 = 0\). Daraus folgt \(b = -a \cdot 0 = 0\).

a) Für \(k \leq -8\) oder \(k \geq 8\). b) Die Aussage ist falsch. Da \(x_S = -k/4\), verschiebt sich die Mitte der Nullstellen bei großem \(k\) weit weg vom Ursprung. c) Da die Mitte der Nullstellen \(x_S = -b/(2a)\) ist, folgt aus der Symmetrie zum Ursprung (\(x_S = 0\)), dass \(b = 0\) sein muss (da \(a \neq 0\)).