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- Achte nur auf die Schnittpunkte des Graphen mit der \(x\)-Achse. - Welchen \(y\)-Wert haben alle Punkte auf der \(x\)-Achse? - Wie lässt sich diese Beobachtung mit der Gleichung \(f(x)=0\) ausdrücken?

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-2\) und \(x=1\). 2. Daher sind \(x_1=-2\) und \(x_2=1\) die Nullstellen. 3. Eine Nullstelle ist eine Stelle, an der der Funktionswert \(0\) ist; am Graphen ist das ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.

Die Nullstellen sind \(x_1=-2\) und \(x_2=1\). Eine Nullstelle ist eine Stelle mit \(f(x)=0\), also eine Stelle, an der der Graph die \(x\)-Achse trifft.

- Schneidet der Graph die \(x\)-Achse oder berührt er sie nur? - Wie viele verschiedene \(x\)-Werte mit Funktionswert \(0\) sind sichtbar? - Welche besondere Rolle hat der tiefste Punkt in diesem Fall?

1. Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=1\) und schneidet sie dort nicht. 2. Deshalb besitzt die Funktion genau eine reelle Nullstelle, nämlich \(x=1\). 3. Der Berührpunkt ist zugleich der Scheitelpunkt \(S(1\mid0)\).

Es gibt genau eine Nullstelle bei \(x=1\). Die Parabel berührt dort die \(x\)-Achse; der Berührpunkt ist der Scheitelpunkt \(S(1\mid0)\).

- Welchen \(y\)-Wert müssten Nullstellen am Graphen haben? - Wo liegt der tiefste Punkt der Parabel relativ zur \(x\)-Achse? - Kann der Graph die Achse erreichen, wenn schon sein Minimum positiv ist?

1. Der gesamte Graph liegt oberhalb der \(x\)-Achse. 2. Sein tiefster Punkt ist \(S(-1\mid1)\); auch dort ist der Funktionswert positiv. 3. Daher gibt es keinen Punkt mit \(g(x)=0\) und somit keine reelle Nullstelle.

\(g\) besitzt keine reelle Nullstelle, weil selbst der Scheitelpunkt \(S(-1\mid1)\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt und der Graph die \(x\)-Achse nirgends erreicht.

- Wann ist ein Produkt aus zwei Faktoren gleich null? - Was ist beim Lösen einer Gleichung der Form \(x^2=k\) zu beachten? - Kannst du vor dem Wurzelziehen den quadratischen Term isolieren?

1. Für \(y=(x-12)(x+7)\) liefert die Nullproduktregel \(x=12\) oder \(x=-7\). 2. Für \(y=x^2-0{,}64\) gilt \(x^2=0{,}64\). Daher ist \(x=0{,}8\) oder \(x=-0{,}8\). 3. Für \(y=4x^2-100\) gilt \(x^2=25\). Daher ist \(x=5\) oder \(x=-5\).

a) \(x_1=12\), \(x_2=-7\) b) \(x_1=0{,}8\), \(x_2=-0{,}8\) c) \(x_1=5\), \(x_2=-5\)

- Welche Regel hilft dir bei einem Produkt, das gleich null sein soll? - Wie isolierst du in Teil b) zunächst \(x^2\)? - Wie viele reelle Lösungen kann \(x^2=k\) für \(k>0\) haben?

1. Für \(y=2x(x-4{,}5)\) liefert die Nullproduktregel \(x=0\) oder \(x=4{,}5\). 2. Für \(y=\frac{1}{3}x^2-27\) gilt \(x^2=81\). Daher ist \(x=9\) oder \(x=-9\).

a) \(x_1=0\), \(x_2=4{,}5\) b) \(x_1=9\), \(x_2=-9\)

- Welchen \(x\)-Wert haben Punkte auf der \(y\)-Achse? - Welchen Funktionswert haben Punkte auf der \(x\)-Achse? - Was musst du bei einer Gleichung \(x^2=k\) beim Wurzelziehen beachten?

1. Für \(f\) gilt \(f(0)=-6\), also ist \((0\mid-6)\) der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. Aus \(1{,}5x-6=0\) folgt \(x=4\), also \((4\mid0)\). 2. Für \(g\) gilt \(g(0)=-25\), also \((0\mid-25)\). Aus \(x^2-25=0\) folgt \(x=5\) oder \(x=-5\), also \((5\mid0)\) und \((-5\mid0)\).

a) \((0\mid-6)\) und \((4\mid0)\) b) \((0\mid-25)\), \((5\mid0)\) und \((-5\mid0)\)

- Wo auf der \(y\)-Achse ist der \(x\)-Wert immer gleich null? - Was muss für den Funktionswert \(y\) gelten, wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Kannst du die Gleichung für die Nullstellen so umstellen, dass \(x^2\) alleine auf einer Seite steht?

1. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in den Funktionsterm ein: \(f(0) = 0{,}4 \cdot 0^2 - 2{,}5 = -2{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -2{,}5)\). 2. Berechnung der Nullstellen: Setze \(f(x) = 0\). Daraus folgt \(0{,}4x^2 - 2{,}5 = 0\). 3. Umformen der Gleichung: \(0{,}4x^2 = 2{,}5 \Rightarrow x^2 = \frac{2{,}5}{0{,}4} = 6{,}25\). 4. Ziehen der Wurzel: \(x_1 = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\) und \(x_2 = -\sqrt{6{,}25} = -2{,}5\). Die Nullstellen liegen bei \(x = 2{,}5\) und \(x = -2{,}5\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(2{,}5 | 0)\) und \(N_2(-2{,}5 | 0)\).

a) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 | -2{,}5)\). b) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 2{,}5\) und \(x_2 = -2{,}5\). Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \(N_1(2{,}5 | 0)\) und \(N_2(-2{,}5 | 0)\).

- Wann ist ein Produkt gleich null? - Wie wendest du das Distributivgesetz auf zwei Klammern an? - Was unterscheidet den höchsten Exponenten einer linearen von dem einer quadratischen Funktion?

1. Nach der Nullproduktregel gilt \(x+2=0\) oder \(x-5=0\). Daher sind die Nullstellen \(x_1=-2\) und \(x_2=5\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \(f(x)=x^2-3x-10\). 3. Der Term enthält \(x^2\) und beschreibt daher eine quadratische Funktion. Außerdem besitzt der Graph zwei verschiedene Nullstellen; eine Gerade, die nicht mit der \(x\)-Achse identisch ist, kann höchstens eine Nullstelle besitzen.

a) \(x_1=-2\), \(x_2=5\) b) \(f(x)=x^2-3x-10\) c) Der Term ist quadratisch und der Graph besitzt zwei verschiedene Nullstellen; deshalb kann er keine Gerade sein.

- Nutze für \(g\) den Satz vom Nullprodukt. - Was bedeutet es rechnerisch, wenn ein Faktor eines Produkts gleich null ist? - Vergleiche die Terme der beiden Funktionen: Welcher zusätzliche Faktor kommt bei \(g\) vor?

1. Nullstelle von \(f\): \(3x-6=0\), also \(x=2\). 2. Nullstellen von \(g\): \(x(x-2)=0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt \(x_1=0\) oder \(x_2=2\). Beide Funktionen haben die gemeinsame Nullstelle \(x=2\). 3. \(f\) ist linear und hat genau eine Nullstelle. \(g\) ist quadratisch und besteht aus zwei linearen Faktoren; der Faktor \(x\) liefert die zusätzliche Nullstelle \(0\).

a) \(f\) hat die Nullstelle \(x=2\); \(g\) hat die Nullstellen \(x=0\) und \(x=2\). Gemeinsam ist \(x=2\). b) Der zusätzliche Faktor \(x\) erzeugt bei \(g\) die Nullstelle \(x=0\).

- Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn eine Stelle eine Nullstelle ist? - Wie hängen der Scheitelpunkt und der konstante Term in der Funktionsgleichung zusammen? - Überlege dir, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist.

1. Berechnung der Nullstellen für \(h_1\): \(x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -3\). 2. Berechnung der Nullstellen für \(h_2\): \(x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = -3\). Da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann, existieren keine reellen Nullstellen. 3. Berechnung der Nullstellen für \(h_3\): \(-x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1\). 4. Begründung für \(h_2\): Der Scheitelpunkt liegt bei \((0|3)\) auf der \(y\)-Achse oberhalb der \(x\)-Achse. Da der Koeffizient vor \(x^2\) positiv ist (\(a=1\)), ist die Parabel nach oben geöffnet. Sie entfernt sich somit von der \(x\)-Achse und kann diese niemals schneiden.

a) Nullstellen: \(h_1: x = \pm 3\); \(h_2\): keine reellen Nullstellen; \(h_3: x = \pm 1\). b) Bei \(h_2(x) = x^2 + 3\) liegt der Scheitelpunkt bei \((0|3)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, verläuft der gesamte Graph oberhalb der \(x\)-Achse.

- Welche Informationen kannst du direkt aus der Scheitelpunktform ablesen? - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen vor der Klammer für den Verlauf des Graphen? - Welchen Wert hat die Funktion an den Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet? - Wie kannst du die Gleichung schrittweise isolieren, um nach der Unbekannten aufzulösen?

1. Den Scheitelpunkt direkt aus der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - d)^2 + e\) ablesen: \(d = -1\) und \(e = 27\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-1|27)\). 2. Die Öffnung bestimmen: Da der Streckfaktor \(a = -3\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. 3. Die Nullstellen durch Gleichsetzen mit Null berechnen: \(-3(x + 1)^2 + 27 = 0\). 4. Die Gleichung umformen: \(-3(x + 1)^2 = -27 \Rightarrow (x + 1)^2 = 9\). 5. Die Wurzel ziehen: \(x + 1 = 3\) oder \(x + 1 = -3\). 6. Die Nullstellen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -4\).

a) Scheitelpunkt \(S(-1|27)\); die Parabel ist nach unten geöffnet und gestreckt. b) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -4\).

- Was bedeutet es rechnerisch für den Funktionswert, wenn ein Punkt eine Nullstelle ist? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass das Quadrat allein auf einer Seite steht? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in allen Gliedern, den man ausklammern könnte? - Wann ist ein Produkt aus zwei Faktoren gleich null? - Überlege, ob jede quadratische Gleichung eine Lösung haben muss.

1. Für \(f(x)\): Setze \(4x^2 - 100 = 0\). Daraus folgt \(4x^2 = 100\) und \(x^2 = 25\). Die Lösungen sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). 2. Für \(g(x)\): Setze \(x^2 + 12x = 0\). Durch Ausklammern von \(x\) erhält man \(x \cdot (x + 12) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -12\). 3. Für \(h(x)\): Setze \(0{,}5x^2 + 2 = 0\). Daraus folgt \(0{,}5x^2 = -2\) und \(x^2 = -4\). Da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann, hat die Funktion keine reellen Nullstellen.

a) \(x_1 = 5\), \(x_2 = -5\) b) \(x_1 = 0\), \(x_2 = -12\) c) Keine reellen Nullstellen.

- Versuche, den Term mit der Klammer schrittweise zu isolieren. - Welche Operation macht das Quadrieren rückgängig? - Denke daran, dass beim Wurzelziehen aus einer positiven Zahl zwei Fälle entstehen können. - Wie gehst du mit dem Vorfaktor vor der Klammer um?

1. Für \(f(x)\): Setze \((x + 4)^2 - 49 = 0\). Addiere \(49\), um \((x + 4)^2 = 49\) zu erhalten. Ziehe die Wurzel: \(x + 4 = 7\) oder \(x + 4 = -7\). Dies ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -11\). 2. Für \(g(x)\): Setze \(-3(x - 2)^2 + 27 = 0\). Subtrahiere \(27\), was \(-3(x - 2)^2 = -27\) ergibt. Dividiere durch \(-3\), um \((x - 2)^2 = 9\) zu erhalten. Ziehe die Wurzel: \(x - 2 = 3\) oder \(x - 2 = -3\). Dies ergibt \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\).

a) \(x_1 = 3\), \(x_2 = -11\) b) \(x_1 = 5\), \(x_2 = -1\)

- Steht die Gleichung bereits in der Normalform \(x^2 + px + q = 0\)? - Was musst du tun, wenn vor dem \(x^2\) eine andere Zahl als \(1\) steht? - Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man solche Gleichungen direkt lösen kann? - Achte besonders auf die Vorzeichen von \(p\) und \(q\) beim Einsetzen.

1. Für \(f(x)\): Nutze die \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p = -8\) und \(q = 12\). \(x_{1,2} = - \frac{-8}{2} \pm \sqrt{(\frac{-8}{2})^2 - 12} = 4 \pm \sqrt{16 - 12} = 4 \pm \sqrt{4}\). Somit sind \(x_1 = 6\) und \(x_2 = 2\). 2. Für \(g(x)\): Normiere die Gleichung zuerst durch Division durch \(2\): \(x^2 - 2x - 15 = 0\). Nutze die \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p = -2\) und \(q = -15\). \(x_{1,2} = - \frac{-2}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - (-15)} = 1 \pm \sqrt{1 + 15} = 1 \pm \sqrt{16}\). Somit sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -3\).

a) \(x_1 = 6\), \(x_2 = 2\) b) \(x_1 = 5\), \(x_2 = -3\)

- Was kannst du direkt aus der Form der Funktionsgleichung über die Lage des höchsten oder tiefsten Punktes ablesen? - Wie verändert sich das Vorzeichen der Zahl in der Klammer, wenn du die x-Koordinate des Scheitelpunkts bestimmst? - Was musst du für den Funktionswert einsetzen, um die Schnittpunkte mit der x-Achse zu finden? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \((x-d)^2 = r\) nach \(x\) auflösen?

1. Ablesen der Scheitelpunkte aus der Scheitelpunktform \(a(x-d)^2 + e\): Für \(f(x)\) ist \(S_f(-4|-9)\), für \(g(x)\) ist \(S_g(3|8)\). 2. Berechnung der Nullstellen für \(f(x)\): Setze \(0 = (x+4)^2 - 9\). Daraus folgt \((x+4)^2 = 9\). Ziehen der Wurzel ergibt \(x+4 = 3\) oder \(x+4 = -3\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = -7\). 3. Berechnung der Nullstellen für \(g(x)\): Setze \(0 = -2(x-3)^2 + 8\). Daraus folgt \(2(x-3)^2 = 8\), also \((x-3)^2 = 4\). Ziehen der Wurzel ergibt \(x-3 = 2\) oder \(x-3 = -2\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 1\).

a) Scheitelpunkt: \(S(-4|-9)\), Nullstellen: \(x_1 = -1, x_2 = -7\) b) Scheitelpunkt: \(S(3|8)\), Nullstellen: \(x_1 = 5, x_2 = 1\)

- Kennst du eine Form der Funktionsgleichung, in der man die Nullstellen direkt einsetzen kann? - Wie kannst du den fehlenden Parameter \(a\) mithilfe eines weiteren Punktes berechnen? - Wie gelangst du durch Ausmultiplizieren von der Produktform zur allgemeinen Form?

1. Aufstellen der faktorisierten Form mit den Nullstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\): \(f(x) = a \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)\). 2. Einsetzen des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse \(S_y(0 \mid 6)\), um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen: \(6 = a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 3)\). 3. Berechnung von \(a\): \(6 = -3a \implies a = -2\). 4. Aufstellen der endgültigen faktorisierten Form: \(f(x) = -2(x + 1)(x - 3)\). 5. Ausmultiplizieren der Klammern zur Bestimmung der allgemeinen Form: \(f(x) = -2(x^2 - 3x + x - 3) = -2(x^2 - 2x - 3) = -2x^2 + 4x + 6\).

Die faktorisierte Form lautet \(f(x) = -2(x + 1)(x - 3)\). Die allgemeine Form lautet \(f(x) = -2x^2 + 4x + 6\).

- Überlege dir, welches Verfahren (Ausklammern, Wurzelziehen oder die Lösungsformel) für den jeweiligen Funktionstyp am schnellsten zum Ziel führt. - Kannst du eine Gleichung durch Division vereinfachen, bevor du die Lösungsformel anwendest? - Wann ist ein Produkt von zwei Termen gleich Null? - Überlege dir, welche Werte \(x^2\) annehmen kann. Kann die Summe aus \(x^2\) und einer positiven Zahl jemals Null ergeben?

1. Für \(p(x) = 2x^2 - 12x + 10\): Nullsetzen ergibt \(2x^2 - 12x + 10 = 0\). Division durch \(2\) führt auf \(x^2 - 6x + 5 = 0\). Mit der \(p\)-\(q\)-Formel folgt \(x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 5} = 3 \pm 2\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 2. Für \(q(x) = x^2 + 4\): Die Gleichung \(x^2 + 4 = 0\) führt zu \(x^2 = -4\). Da Quadrate reeller Zahlen stets nichtnegativ sind (\(x^2 \ge 0\)), ist \(x^2 = -4\) unlösbar. Die Funktion hat keine Nullstellen. 3. Für \(r(x) = 5x^2 - 10x\): Nullsetzen ergibt \(5x^2 - 10x = 0\). Ausklammern von \(5x\) führt zu \(5x \cdot (x - 2) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt sind die Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\).

a) \(x_1 = 1\); \(x_2 = 5\) b) Keine Nullstellen, da \(x^2 = -4\) keine reelle Lösung hat. c) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 2\)

- Kannst du die Stellen ablesen, an denen die Graphen die \(x\)-Achse schneiden? - Wie hängen diese Schnittpunkte (Nullstellen) mit den Werten \(x_1\) und \(x_2\) in der Formel zusammen? - Welcher Punkt auf dem Graphen lässt sich neben den Nullstellen noch besonders leicht und exakt ablesen? - Wie kannst du diesen zusätzlichen Punkt nutzen, um den Streckungsfaktor \(a\) zu berechnen?

1. Bestimmung des Terms für die Funktion \(f\) (blaue Kurve): - Die Nullstellen (Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse) liegen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\). - Damit ergibt sich der Ansatz: \(f(x) = a(x + 2)(x - 4)\). - Ein weiterer gut ablesbarer Punkt auf dem Graphen ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(P(0 \mid 4)\). - Setze die Koordinaten von \(P\) in den Ansatz ein, um \(a\) zu berechnen: \(4 = a \cdot (0 + 2) \cdot (0 - 4)\) \(4 = -8a \implies a = -0{,}5\). - Der Funktionsterm lautet somit: \(f(x) = -0{,}5(x + 2)(x - 4)\). 2. Bestimmung des Terms für die Funktion \(g\) (rote Kurve): - Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). - Damit ergibt sich der Ansatz: \(g(x) = a(x - 1)(x - 5)\). - Ein weiterer gut ablesbarer Punkt ist der Scheitelpunkt \(S(3 \mid -4)\). - Setze die Koordinaten von \(S\) in den Ansatz ein, um \(a\) zu berechnen: \(-4 = a \cdot (3 - 1) \cdot (3 - 5)\) \(-4 = -4a \implies a = 1\). - Der Funktionsterm lautet somit: \(g(x) = (x - 1)(x - 5)\).

\(f(x) = -0{,}5(x + 2)(x - 4)\) und \(g(x) = (x - 1)(x - 5)\)

- Wo schneidet die Kurve die waagerechte Achse? - Wenn eine Nullstelle bei \(3\) liegt, heißt der Faktor im Produkt \((x - 3)\). Was passiert bei negativen Zahlen?

1. Ablesen der Nullstellen aus der Grafik: Die Parabel schneidet die x-Achse bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 2. Einsetzen in die Produktform mit \(a = 1\): \(f(x) = 1 \cdot (x - (-2)) \cdot (x - 2)\). 3. Vereinfachen: \(f(x) = (x + 2)(x - 2)\). Dies entspricht nach der dritten binomischen Formel \(x^2 - 4\).

Nullstellen: \(x_1=-2\) und \(x_2=2\) Funktionsterm: \(f(x) = (x + 2)(x - 2)\)

- Welche Gleichung muss für eine Nullstelle erfüllt sein? - Isoliere zunächst den quadratischen Ausdruck. - Was musst du beim Ziehen der Quadratwurzel beachten, wenn zwei Lösungen möglich sind?

1. Für eine Nullstelle gilt \((x-2)^2-3=0\). 2. Daraus folgt \((x-2)^2=3\). 3. Somit ist \(x-2=\pm\sqrt{3}\), also \(x_1=2-\sqrt{3}\) und \(x_2=2+\sqrt{3}\).

\(x_1=2-\sqrt{3}\), \(x_2=2+\sqrt{3}\)

- Welches vollständige Quadrat entsteht aus \(x^2+4x\)? - Welcher Ausgleich ist nötig, damit der Term unverändert bleibt? - Löse anschließend die Quadratsgleichung in beide Richtungen.

1. Es gilt \(x^2+4x+1=(x+2)^2-3\). 2. Für die Nullstellen folgt \((x+2)^2-3=0\), also \((x+2)^2=3\). 3. Damit ist \(x+2=\pm\sqrt{3}\) und somit \(x=-2\pm\sqrt{3}\).

\(x_1=-2-\sqrt{3}\), \(x_2=-2+\sqrt{3}\)

- Berechne zuerst für beide Funktionen getrennt die Punkte auf den Achsen. - Wie viele Nullstellen kann eine lineare Funktion maximal haben? Wie viele eine quadratische? - Vergiss nicht, auch den Punkt auf der y-Achse mitzuzählen.

1. Schnittpunkte von \(f\) bestimmen: - y-Achsenabschnitt: \(f(0) = 4 \Rightarrow (0|4)\). - Nullstelle: \(-x + 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow (4|0)\). - Anzahl der Schnittpunkte für \(f\): 2. 2. Schnittpunkte von \(g\) bestimmen: - y-Achsenabschnitt: \(g(0) = (0 - 3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \Rightarrow (0|5)\). - Nullstellen: \((x - 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 = 4\). Daraus folgt \(x - 3 = 2\) oder \(x - 3 = -2\). Somit \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 1\). Punkte: \((5|0)\) und \((1|0)\). - Anzahl der Schnittpunkte für \(g\): 3. 3. Vergleich: Der Graph von \(g\) hat mit 3 Schnittpunkten mehr Achsenschnittpunkte als der Graph von \(f\) mit 2 Schnittpunkten.

Der Graph der Funktion \(g\) hat insgesamt 3 Schnittpunkte (\((0|5)\), \((1|0)\), \((5|0)\)), während der Graph von \(f\) nur 2 Schnittpunkte (\((0|4)\), \((4|0)\)) besitzt. Somit hat \(g\) mehr Schnittpunkte.

- Untersuche, ob die beiden Faktoren zwingend verschiedene Nullstellen erzeugen müssen. - Berechne die drei Funktionswerte direkt aus der Produktform. - Vergleiche für c) die Änderungen zwischen aufeinanderfolgenden Punkten mit dem Verhalten einer Geraden.

1. Die Behauptung ist falsch. Sind die beiden Faktoren gleich, also \(a=b\), erhält man \((x-a)^2\) mit nur einer Nullstelle \(x=a\). Zum Beispiel hat \((x-2)^2\) nur die Nullstelle \(x=2\). 2. Es gilt \(h(0)=(-1)(-3)=3\), \(h(2)=(1)(-1)=-1\) und \(h(4)=(3)(1)=3\). 3. Die Steigung von \((0 \mid 3)\) nach \((2 \mid -1)\) ist \(\frac{-1-3}{2-0}=-2\). Die Steigung von \((2 \mid -1)\) nach \((4 \mid 3)\) ist \(\frac{3-(-1)}{4-2}=2\). 4. Da diese Steigungen verschieden sind, liegen die drei Punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden.

a) Die Behauptung ist falsch. Zum Beispiel hat \((x-2)^2\) nur die Nullstelle \(x=2\). b) \(h(0)=3\), \(h(2)=-1\), \(h(4)=3\) c) Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden, weil die Steigung zwischen den ersten beiden Punkten \(-2\) und zwischen den letzten beiden Punkten \(2\) beträgt.

- Welche Regel hilft dir bei der Nullstellengleichung in Produktform? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Wie funktioniert eine Punktprobe? - Welchen Funktionswert musst du mit der \(y\)-Koordinate von \(Q\) vergleichen?

1. Aus \((x-2)(2x+6)=0\) folgt \(x_1=2\) oder \(x_2=-3\). 2. Für die \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Daher ist \(f(0)=(-2)\cdot6=-12\) und \(S_y(0\mid-12)\). 3. Für \(x=3\) gilt \(f(3)=1\cdot12=12\). Somit liegt \(R(3\mid12)\) auf dem Graphen. 4. Für \(x=-1\) gilt \(f(-1)=(-3)\cdot4=-12\). Da \(-8>-12\), liegt \(Q(-1\mid-8)\) oberhalb des Graphen.

a) \(x_1=2\), \(x_2=-3\) b) \(S_y(0\mid-12)\) c) Ja. d) \(Q\) liegt oberhalb des Graphen.

- Wann wird ein Produkt aus zwei Klammern null? Muss man dafür alles ausmultiplizieren? - Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt zu einer Rechenvorschrift passt? - Setze die gegebenen Zahlen für \(x\) ein und berechne das Ergebnis Schritt für Schritt.

1. Nullstellenbestimmung: Der Term \((x - 2)(x + 3)\) wird null, wenn einer der Faktoren null ist. Dies ist für \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -3\) der Fall. 2. Punktprobe für \(P(4 \mid 14)\): Einsetzen von \(x = 4\) ergibt \(h(4) = (4 - 2) \cdot (4 + 3) = 2 \cdot 7 = 14\). Da der berechnete Wert dem \(y\)-Wert des Punktes entspricht, liegt \(P\) auf dem Graphen. 3. Vergleich der Werte: \(h(1) = (1 - 2) \cdot (1 + 3) = (-1) \cdot 4 = -4\). \(h(-2) = (-2 - 2) \cdot (-2 + 3) = (-4) \cdot 1 = -4\). Die Funktionswerte sind identisch.

a) Die Nullstellen liegen bei \(x = 2\) und \(x = -3\). b) Ja, der Punkt \(P(4 \mid 14)\) liegt auf dem Graphen, da \(h(4) = 14\) ist. c) Es gilt \(h(1) = -4\) und \(h(-2) = -4\). Die Funktionswerte sind also gleich groß.

- Welchen Faktor \(a\) hat eine verschobene Normalparabel? - Wo liegt die Symmetrieachse in Bezug auf den Scheitelpunkt? - Wie weit liegt die gegebene Nullstelle von der Symmetrieachse entfernt? - Welche zwei ganzen Zahlen liefern beim Faktorisieren das passende Produkt und die passende Summe?

1. Da es sich um eine verschobene Normalparabel handelt, gilt \(f(x)=(x-1{,}5)^2-6{,}25\). 2. Ausmultiplizieren ergibt die allgemeine Form \(f(x)=x^2-3x-4\). 3. Die Symmetrieachse liegt bei \(x=1{,}5\). Der Abstand von \(x_1=4\) zur Achse beträgt \(2{,}5\). Daher liegt die zweite Nullstelle bei \(x_2=1{,}5-2{,}5=-1\). 4. Zur Kontrolle gilt \(x^2-3x-4=(x-4)(x+1)\). Daraus folgen erneut die Nullstellen \(4\) und \(-1\).

a) \(f(x)=(x-1{,}5)^2-6{,}25=x^2-3x-4\) b) \(x_2=-1\) c) \(x^2-3x-4=(x-4)(x+1)\), also \(x=4\) oder \(x=-1\)

- Stelle dir vor, wie sich die Parabel entlang der \(y\)-Achse bewegt, wenn du \(c\) veränderst. - Wann liegt eine nach oben geöffnete Parabel vollständig oberhalb der \(x\)-Achse? - Vergleiche die Koordinaten des alten Scheitelpunkts mit denen des neuen Scheitelpunkts. - Wie verändert sich eine Funktionsgleichung, wenn man sie in \(x\)-Richtung oder \(y\)-Richtung verschiebt?

1. Bedingung für keine Nullstellen: Da die Parabel nach oben geöffnet ist (\(a=1\)), hat sie keine Nullstellen, wenn der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Das ist für \(c > 0\) der Fall. 2. Nullstellen für \(c = -16\): \((x + 3)^2 - 16 = 0 \Rightarrow (x + 3)^2 = 16 \Rightarrow x + 3 = \pm 4\). 3. Berechnete Werte: \(x_1 = -3 + 4 = 1\) und \(x_2 = -3 - 4 = -7\). 4. Verschiebung analysieren: Der ursprüngliche Scheitelpunkt ist \(S(-3 \mid -16)\). Um nach \(S'(0 \mid 0)\) zu gelangen, muss die Parabel um 3 Einheiten nach rechts und um 16 Einheiten nach oben verschoben werden. 5. Neue Funktionsgleichung: \(h_{\mathrm{neu}}(x) = x^2\).

a) Für \(c > 0\), da der Scheitelpunkt dann oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist. b) \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -7\) c) Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 16 Einheiten nach oben; neue Gleichung: \(h_{\mathrm{neu}}(x) = x^2\)

- Welche Form einer Funktionsgleichung ist besonders nützlich, wenn man die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse kennt? - Wie kannst du einen weiteren Punkt auf dem Graphen nutzen, um den Streckfaktor zu berechnen? - Wo liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts im Verhältnis zu den beiden Nullstellen? - Wie gelangst du von der faktorisierten Form zur allgemeinen Form?

1. Aufstellen der Nullstellenform: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\). 2. Einsetzen der gegebenen Nullstellen: \(f(x) = a(x + 2)(x - 4)\). 3. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid -4)\): \(-4 = a \cdot (0 + 2) \cdot (0 - 4)\), woraus \(-4 = -8a\) und somit \(a = 0{,}5\) folgt. 4. Umwandlung in die allgemeine Form: \(f(x) = 0{,}5 \cdot (x^2 - 2x - 8) = 0{,}5x^2 - x - 4\). 5. Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts als Mittelwert der Nullstellen: \(x_S = \frac{-2 + 4}{2} = 1\). 6. Berechnung der \(y\)-Koordinate durch Einsetzen von \(x_S\): \(f(1) = 0{,}5 \cdot (1 + 2) \cdot (1 - 4) = 0{,}5 \cdot 3 \cdot (-3) = -4{,}5\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1 \mid -4{,}5)\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}5x^2 - x - 4\). Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten \(S(1 \mid -4{,}5)\).

- Wo muss der Scheitelpunkt einer Parabel liegen, wenn du die beiden Nullstellen kennst? - Wie kannst du die Koordinaten des Scheitelpunkts nutzen, um die noch unbekannte Variable in der Nullstellenform zu finden? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Symmetrie der Parabel und ihren Nullstellen.

1. Bestimmung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts: Da die Parabel symmetrisch zu ihrem Scheitelpunkt ist, liegt \(x_S\) genau in der Mitte der Nullstellen: \(x_S = \frac{-3 + 1}{2} = -1\). 2. Der Scheitelpunkt ist somit \(S(-1 \mid 4)\). 3. Ansatz mit der Nullstellenform: \(f(x) = a(x + 3)(x - 1)\). 4. Einsetzen der Scheitelpunktkoordinaten zur Bestimmung von \(a\): \(4 = a \cdot (-1 + 3) \cdot (-1 - 1) \Rightarrow 4 = a \cdot 2 \cdot (-2) \Rightarrow 4 = -4a \Rightarrow a = -1\). 5. Ausmultiplizieren der Nullstellenform: \(f(x) = -1 \cdot (x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -x^2 - 2x + 3\).

- Welche Umformung bringt alle Terme auf eine Seite? - Wie hängen Lösungen einer Gleichung mit rechter Seite \(0\) und Nullstellen einer Funktion zusammen? - Mit welchem konstanten Faktor hängt \(g\) mit \(f\) zusammen? - Was passiert mit einem Funktionswert \(0\), wenn er mit einer von null verschiedenen Zahl multipliziert wird?

1. Subtraktion von \(6\) ergibt \(\frac{1}{2}x^2-2x-6=0\). 2. Eine passende Funktion ist \(f(x)=\frac{1}{2}x^2-2x-6\). 3. Es gilt \(g(x)=2f(x)\). Die Multiplikation aller Funktionswerte mit einem von null verschiedenen Faktor verändert die Stellen mit Funktionswert \(0\) nicht. 4. Daher besitzen \(f\) und \(g\) genau dieselben Nullstellen; die Behauptung ist wahr.

a) \(\frac{1}{2}x^2-2x-6=0\) b) Zum Beispiel \(f(x)=\frac{1}{2}x^2-2x-6\) c) Wahr, denn \(g(x)=2f(x)\); ein von null verschiedener Gesamtfaktor verändert die Nullstellen nicht.

- Erkennst du in dem Term \(x^2 + 4x + 4\) eine binomische Formel? - Wie viele Werte für \(x\) erfüllen die Gleichung? - Was bedeutet es für den Graphen einer Funktion, wenn es nur eine einzige Nullstelle gibt? - Überlege, ob der Graph die \(x\)-Achse kreuzt oder nur „antippt“.

1. Eine quadratische Funktion ist \(f(x) = x^2 + 4x + 4\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf die Gleichung ergibt \((x+2)^2 = 0\). 3. Daraus folgt die einzige Lösung \(x = -2\). 4. Da die Gleichung genau eine Lösung hat, besitzt die Funktion \(f\) genau eine Nullstelle. Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph (die Parabel) die \(x\)-Achse im Punkt \((-2|0)\) berührt. Da \(f(x) = (x+2)^2\) die Scheitelpunktform mit \(S(-2|0)\) ist, ist dies der tiefste Punkt der nach oben geöffneten Parabel.

a) \(f(x) = x^2 + 4x + 4\) b) Die Gleichung hat genau eine Lösung: \(x = -2\). c) Der Graph berührt die \(x\)-Achse im Punkt \((-2|0)\). Da es nur eine Lösung gibt, fällt der Scheitelpunkt der Parabel genau auf die \(x\)-Achse.

- Wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt, kannst du seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen. - Welchen Wert hat \(y\) an einer Nullstelle? - Erinnere dich an die Symmetrie von Parabeln, deren Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse liegt.

1. Bestimmung von \(k\): Setze den Punkt \((4|0)\) in die Gleichung ein: \(0 = 4^2 - k \Rightarrow 0 = 16 - k \Rightarrow k = 16\). 2. Berechnung der zweiten Nullstelle: Für \(k=16\) lautet die Gleichung \(x^2 - 16 = 0\). Daraus folgt \(x^2 = 16\), also \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). Die zweite Nullstelle ist \(x = -4\). 3. Analyse für negatives \(k\): Wenn \(k < 0\), dann ist \(-k\) positiv. Die Gleichung \(x^2 - k = 0\) führt zu \(x^2 = k\). Da \(k\) negativ ist, gibt es keine reelle Zahl, deren Quadrat \(k\) ergibt. Graphisch gesehen ist der Scheitelpunkt \((0|-k)\) bei negativem \(k\) nach oben verschoben (da \(-k > 0\)). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, hat sie keine Nullstellen.

a) \(k = 16\) b) Die zweite Nullstelle ist \(x = -4\). c) Die Funktion hat keine Nullstellen, da der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist.

- Was bedeutet „Normalparabel“ für den Koeffizienten vor dem \(x^2\)? - Wenn der Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse liegt, wie sieht dann die Funktionsgleichung aus? - Wann berührt eine Parabel die \(x\)-Achse nur in einem einzigen Punkt?

1. Ansatz für die Funktionsgleichung: Da es eine Normalparabel mit Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse ist, lautet die Form \(f(x) = x^2 + c\). 2. Einsetzen einer Nullstelle: \(0 = (2{,}5)^2 + c \Rightarrow 0 = 6{,}25 + c \Rightarrow c = -6{,}25\). Die Gleichung ist \(f(x) = x^2 - 6{,}25\). 3. Bedingung für genau eine Nullstelle: Damit eine nach oben geöffnete Parabel die \(x\)-Achse berührt, muss ihr Scheitelpunkt genau auf der \(x\)-Achse liegen. Das bedeutet, der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts muss \(0\) sein. Die neue Gleichung ist \(g(x) = x^2\). 4. Koordinaten des neuen Scheitelpunkts: \(S(0|0)\). 5. Berechnung der Verschiebung: Der ursprüngliche Scheitelpunkt lag bei \((0|-6{,}25)\), der neue bei \((0|0)\). Die Parabel wurde um \(0 - (-6{,}25) = 6{,}25\) Einheiten nach oben verschoben.

a) \(f(x) = x^2 - 6{,}25\) b) Neue Gleichung: \(g(x) = x^2\); neuer Scheitelpunkt: \(S(0|0)\). c) Die Parabel wurde um \(6{,}25\) Einheiten nach oben verschoben.

- Lässt sich der quadratische Term in zwei Linearfaktoren zerlegen? - Wie berechnest du den Abstand zweier Zahlen auf der Zahlengeraden? - Welchen \(x\)-Wert hat jeder Punkt auf der \(y\)-Achse? - Setze bei Teil d) die beiden gegebenen Werte sorgfältig ein.

1. Für die Nullstellen faktorisiert man \(x^2+2x-8=(x+4)(x-2)\). Daher sind \(x_1=-4\) und \(x_2=2\). 2. Der Abstand auf der \(x\)-Achse beträgt \(|2-(-4)|=6\). 3. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=-8\). Daher ist der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(S_y(0\mid-8)\). 4. Es gilt \(f(-5)=25-10-8=7\) und \(f(1{,}5)=2{,}25+3-8=-2{,}75\).

a) \(x_1=-4\), \(x_2=2\) b) \(6\) Längeneinheiten c) \(S_y(0\mid-8)\) d) \(f(-5)=7\), \(f(1{,}5)=-2{,}75\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl eine Nullstelle einer Funktion ist? - Setze die Funktionsgleichung mit dem gesuchten Wert gleich und löse nach \(x\) auf. - Nutze die Symmetrie der Parabel. Wenn zwei Punkte dieselbe Höhe haben, wo muss dann die Mitte sein? - Wie findet man den höchsten Punkt einer nach unten geöffneten Parabel?

1. Überprüfung der Nullstelle: Einsetzen von \(x = -1\) in \(g(x)\): \(g(-1) = -(-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 5 = -1 - 4 + 5 = 0\). Damit ist \(x = -1\) eine Nullstelle. 2. Bestimmung der \(x\)-Werte für \(g(x) = 5\): Ansatz \(-x^2 + 4x + 5 = 5 \Rightarrow -x^2 + 4x = 0\). Ausklammern ergibt \(x(-x + 4) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). 3. \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts: Da \(g(0) = 5\) und \(g(4) = 5\), liegt der Scheitelpunkt bei \(x_S = \frac{0 + 4}{2} = 2\). 4. Maximaler Funktionswert: Einsetzen von \(x_S = 2\) in die Funktion: \(g(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist (negativer Streckfaktor), ist dies das Maximum.

a) \(g(-1) = 0\), also ist \(-1\) eine Nullstelle. b) Die Funktion nimmt den Wert \(5\) an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 4\) an. c) Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts ist \(x = 2\). d) Der maximale Funktionswert ist \(9\).

- Überlege dir, wie die Gleichung aussehen muss, wenn es nur eine einzige Nullstelle gibt. - Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert \(64\)? Beachte, dass es zwei Möglichkeiten gibt. - Wie hängen der Scheitelpunkt und die Klammerschreibweise der binomischen Formel zusammen?

1. Eine Parabel berührt die \(x\)-Achse genau dann in einem Punkt, wenn sie ein vollständiges Quadrat der Form \((x - x_s)^2 = x^2 - 2x_sx + x_s^2\) ist. 2. Vergleich des konstanten Glieds: \(x_s^2 = 64\). Dies liefert zwei Lösungen für \(x_s\): \(x_{s,1} = 8\) und \(x_{s,2} = -8\). 3. Berechnung von \(b\): Da \(b = -2x_s\), ergeben sich \(b_1 = -2 \cdot 8 = -16\) und \(b_2 = -2 \cdot (-8) = 16\). 4. Für den positiven Wert \(b = 16\) ist \(x_s = -8\). Der Scheitelpunkt liegt somit bei \(S(-8 | 0)\).

a) \(b = 16\) oder \(b = -16\) b) \(S(-8 | 0)\)

- Wo liegt der Scheitelpunkt im Koordinatensystem (über, unter oder auf der x-Achse)? - Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? - Skizziere dir den Verlauf der Parabel grob im Kopf oder auf Papier.

1. Für \(f(x)\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3|2)\) oberhalb der \(x\)-Achse. Da der Streckfaktor \(0{,}5\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Sie entfernt sich also von der \(x\)-Achse und hat keine Nullstellen. 2. Für \(g(x)\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0|5)\) oberhalb der \(x\)-Achse. Da der Streckfaktor \(-1\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Sie muss die \(x\)-Achse also zweimal schneiden und hat zwei Nullstellen. 3. Für \(h(x)\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-4|0)\) direkt auf der \(x\)-Achse. Unabhängig von der Öffnungsrichtung berührt die Parabel die \(x\)-Achse genau in diesem Punkt und hat somit genau eine Nullstelle.

\(f(x)\) hat keine Nullstellen (Scheitelpunkt über der \(x\)-Achse, nach oben geöffnet). \(g(x)\) hat zwei Nullstellen (Scheitelpunkt über der \(x\)-Achse, nach unten geöffnet). \(h(x)\) hat genau eine Nullstelle (Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse).

- Wo liegt die Symmetrieachse einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Kennst du eine Darstellungsform für quadratische Funktionen, in der man die Nullstellen direkt verwenden kann? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den Streckfaktor einer Funktion zu finden? - Wie gelangst du von der Lage des Scheitelpunkts zur gesuchten Form der Gleichung?

1. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts \(x_s\) liegt genau in der Mitte der Nullstellen: \(x_s = \frac{-4 + 2}{2} = -1\). 2. Den Ansatz in der Produktform (Nullstellenform) wählen: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x + 4)(x - 2)\). 3. Den Punkt \(P(0|-4)\) einsetzen, um \(a\) zu bestimmen: \(-4 = a(0 + 4)(0 - 2) \Rightarrow -4 = -8a \Rightarrow a = 0{,}5\). 4. Die y-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen: \(f(-1) = 0{,}5(-1 + 4)(-1 - 2) = 0{,}5 \cdot 3 \cdot (-3) = -4{,}5\). 5. Die Scheitelpunktform aufstellen: \(f(x) = 0{,}5(x + 1)^2 - 4{,}5\).

Die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform lautet \(f(x) = 0{,}5(x + 1)^2 - 4{,}5\).

- Welche Funktionsform nutzt gegebene Nullstellen unmittelbar? - Wie kann der zusätzliche Punkt den Faktor \(a\) bestimmen? - Wie gelangst du von der Nullstellenform zur allgemeinen Form?

1. Mit den gegebenen Nullstellen ist die Nullstellenform \(f(x)=a(x+1)(x-3)\) zweckmäßig. 2. Einsetzen von \(P(1\mid-4)\) ergibt \(-4=a\cdot2\cdot(-2)\), also \(a=1\). 3. Damit ist \(f(x)=(x+1)(x-3)\). 4. Ausmultiplizieren liefert die allgemeine Form \(f(x)=x^2-2x-3\).

\(f(x)=x^2-2x-3\)

- Lässt sich der Term von \(f\) in zwei Linearfaktoren zerlegen? - Welcher einfache Zusammenhang besteht zwischen den beiden Funktionstermen? - Was geschieht mit einem Funktionswert \(0\), wenn er mit \(0{,}5\) multipliziert wird?

1. Für \(f\) gilt \(x^2-10x+21=(x-3)(x-7)\). Daher sind die Nullstellen \(x_1=3\) und \(x_2=7\). 2. Es gilt \(g(x)=0{,}5f(x)\). Daher besitzt \(g\) dieselben Nullstellen \(3\) und \(7\). 3. Für beide Funktionen beträgt der Abstand der Nullstellen \(|7-3|=4\). 4. Ein von null verschiedener Gesamtfaktor verändert die Stellen mit Funktionswert \(0\) nicht. Deshalb bleiben die Nullstellen beim Übergang von \(f\) zu \(g\) unverändert.

a) Für beide Funktionen: \(x_1=3\), \(x_2=7\) b) Abstand \(4\) c) \(g(x)=0{,}5f(x)\); ein von null verschiedener Gesamtfaktor verändert die Nullstellen nicht.

- Kannst du die Nullstellengleichung nach einer einfachen Skalierung faktorisieren? - Wie hängt die Scheitelpunktstelle mit zwei Nullstellen zusammen? - Welche Seite des Dreiecks liegt auf der \(x\)-Achse, und wie erhältst du die zugehörige Höhe?

1. Für die Nullstellen gilt nach Multiplikation mit \(-2\): \(x^2-4x-12=0\). Faktorisieren ergibt \((x+2)(x-6)=0\). Daher sind \(N_1(-2\mid0)\) und \(N_2(6\mid0)\). 2. Die Scheitelpunktstelle liegt wegen der Symmetrie in der Mitte der Nullstellen: \(x_S=2\). Mit \(f(2)=8\) folgt \(S(2\mid8)\). 3. Die Grundseite des Dreiecks hat die Länge \(8\), die zugehörige Höhe ebenfalls \(8\). 4. Damit ist \(A=\frac{1}{2}\cdot8\cdot8=32\) Flächeneinheiten.

a) \(x_1=-2\), \(x_2=6\) b) \(S(2\mid8)\) c) \(A=32\) Flächeneinheiten

- Was sagt das Vorzeichen der Diskriminante unter der Wurzel über die Anzahl der Lösungen aus? - Kannst du die Lage des Scheitelpunkts und die Öffnungsrichtung der Parabel nutzen, um die Existenz von Nullstellen zu prüfen? - Gibt es eine binomische Formel, die dir beim Vereinfachen helfen könnte? - Was passiert, wenn du versuchst, eine Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen?

1. Für \(f(x) = x^2 + 10x + 21\): Ansatz \(x^2 + 10x + 21 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p = 10\) und \(q = 21\). Die Diskriminante ist \(D = (\frac{10}{2})^2 - 21 = 25 - 21 = 4\). Da \(D > 0\), gibt es zwei Nullstellen: \(x_{1,2} = -5 \pm \sqrt{4}\). Ergebnisse: \(x_1 = -3\) und \(x_2 = -7\). 2. Für \(g(x) = -3(x + 1)^2 - 6\): Ansatz \(-3(x + 1)^2 - 6 = 0\). Umformung zu \((x + 1)^2 = -2\). Da das Quadrat eines reellen Terms nicht negativ sein kann, besitzt die Funktion keine Nullstellen. Alternativ: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-1|-6)\) und die Parabel ist nach unten geöffnet (\(a = -3\)), daher gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. 3. Für \(h(x) = 0{,}5x^2 - 4x + 8\): Ansatz \(0{,}5x^2 - 4x + 8 = 0\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x^2 - 8x + 16 = 0\). Anwendung der binomischen Formel liefert \((x - 4)^2 = 0\). Die Diskriminante ist \(D = (-4)^2 - 16 = 0\). Es gibt genau eine Nullstelle (doppelte Nullstelle) bei \(x = 4\).

a) Zwei Nullstellen: \(x_1 = -3\); \(x_2 = -7\) b) Keine Nullstellen c) Eine Nullstelle: \(x = 4\)

- Lässt sich die Nullstellengleichung nach einer einfachen Skalierung faktorisieren? - Welche Symmetriebeziehung verbindet zwei Nullstellen mit der Scheitelpunktstelle? - Wo liegt eine nach oben geöffnete Parabel zwischen ihren beiden Nullstellen?

1. Aus \(0{,}5x^2-2x-6=0\) wird nach Multiplikation mit \(2\) die Gleichung \(x^2-4x-12=0\). Faktorisieren ergibt \((x+2)(x-6)=0\). Daher sind die Nullstellen \(x_1=-2\) und \(x_2=6\). 2. Wegen der Symmetrie liegt die Scheitelpunktstelle in der Mitte der Nullstellen: \(x_S=2\). Mit \(g(2)=-8\) folgt \(S(2\mid-8)\). 3. Da \(a=0{,}5>0\), ist die Parabel nach oben geöffnet. Zwischen den beiden Nullstellen liegt sie unterhalb der \(x\)-Achse. Somit gilt \(g(x)<0\) für \(-2<x<6\).

1. \(x_1=-2\), \(x_2=6\) 2. \(S(2\mid-8)\) 3. \(-2<x<6\)

- Wo befindet sich der tiefste oder höchste Punkt der Parabel im Verhältnis zur \(x\)-Achse? - In welche Richtung öffnet sich die Kurve? - Was bedeutet es für die Anzahl der Lösungen, wenn die Kurve die \(x\)-Achse überquert? - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit den Lösungen der Gleichung \(f(x) = 0\) zusammen?

1. Der Scheitelpunkt \(S(x_s | y_s)\) wird berechnet. Mit \(a = 1\) und \(b = -6\) ergibt sich \(x_s = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\). Einsetzen in die Funktionsgleichung liefert \(y_s = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = -4\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3 | -4)\). 2. Da der Streckfaktor \(a = 1\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Da der Scheitelpunkt (der tiefste Punkt) mit \(y = -4\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt, muss die Parabel die \(x\)-Achse auf dem Weg nach oben zweimal schneiden. 3. Beim Zeichnen der Parabel (z. B. mit einer Wertetabelle oder ausgehend vom Scheitelpunkt) erkennt man die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\).

1. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3 | -4)\). 2. Da die Parabel nach oben geöffnet ist und ihr Minimum unterhalb der \(x\)-Achse liegt, gibt es zwei Nullstellen. 3. Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\).

- Bestimme zuerst die Schnittstellen des Graphen mit der x-Achse. - Welche Information im Funktionsterm zeigt dir, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist? - Nutze anschließend die Lage des Graphen relativ zur x-Achse in den drei entstehenden Bereichen.

1. Aus \(0{,}5x^2+2x-6=0\) folgt nach Multiplikation mit \(2\) die Gleichung \(x^2+4x-12=0\). Deren Lösungen sind \(x_1=-6\) und \(x_2=2\). 2. Da der Leitkoeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Zwischen den beiden Nullstellen liegen ihre Funktionswerte unterhalb der x-Achse, außerhalb oberhalb. 3. Positiv ist \(f\) für \(x\in]-\infty;-6[\cup]2;+\infty[\), negativ für \(x\in]-6;2[\).

1. \(x_1=-6\), \(x_2=2\) 2. Positiv für \(x\in]-\infty;-6[\cup]2;+\infty[\); negativ für \(x\in]-6;2[\).

- Die Scheitelpunktform erlaubt es, die Nullstellen ohne Ausmultiplizieren zu bestimmen. - Welche Öffnungsrichtung hat der Graph? - Entscheide danach, ob der Graph zwischen oder außerhalb der Nullstellen oberhalb der x-Achse liegt.

1. Aus \(-3(x-1)^2+27=0\) folgt \((x-1)^2=9\). Daher ist \(x-1=3\) oder \(x-1=-3\), also \(x=4\) oder \(x=-2\). 2. Wegen des negativen Leitkoeffizienten ist die Parabel nach unten geöffnet. Zwischen ihren Nullstellen liegt sie oberhalb der x-Achse. 3. Somit gilt \(g(x)>0\) genau für \(x\in]-2;4[\).

1. \(x_1=-2\), \(x_2=4\) 2. \(g(x)>0\) für \(x\in]-2;4[\).

- Multipliziere zuerst alle Klammern aus und fasse den Term so weit wie möglich zusammen. - Woran erkennt man am fertigen Term, welchen Grad die Funktion hat? - Überlege dir, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit ein Graph die x-Achse schneidet und nicht nur berührt. - Untersuche die Vielfachheit der berechneten Nullstellen.

1. Term vereinfachen durch Ausmultiplizieren: \((x + 1)(2x - 4) = 2x^2 - 4x + 2x - 4 = 2x^2 - 2x - 4\). 2. Zweiter Teil des Terms mit der binomischen Formel: \((x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4\). 3. Gesamten Funktionsterm zusammenfassen: \(f(x) = (2x^2 - 2x - 4) - (x^2 - 4x + 4) = x^2 + 2x - 8\). Da der Term die Form \(ax^2 + bx + c\) mit \(a \neq 0\) hat, ist \(f\) eine quadratische Funktion. 4. Nullstellen bestimmen: \(x^2 + 2x - 8 = 0\) führt mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung \((x + 4)(x - 2) = 0\) zu \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 2\). 5. Art der Nullstellen prüfen: Da es sich um zwei einfache Nullstellen handelt, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt.

Die vereinfachte Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 + 2x - 8\). Da dies ein Polynom zweiten Grades ist, handelt es sich um eine quadratische Funktion. Ein Vorzeichenwechsel findet an den einfachen Nullstellen \(x = -4\) und \(x = 2\) statt.

- Welcher Teil der Mitternachtsformel oder \(p\)-\(q\)-Formel gibt an, wie viele Lösungen eine Gleichung hat? - Überlege, was passieren muss, damit der Ausdruck unter der Wurzel positiv, null oder negativ wird. - Kannst du die Bedingung für den Parameter als Ungleichung formulieren? - Wie verhält sich das Quadrat einer Zahl im Vergleich zu einer festen Zahl wie 64?

1. Ansatz der Nullstellengleichung \(x^2 + tx + 16 = 0\). 2. Berechnung der Diskriminante \(D = t^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = t^2 - 64\). 3. Untersuchung der Fälle für \(D\): - Zwei Nullstellen: \(D > 0 \iff t^2 > 64 \iff t < -8\) oder \(t > 8\). - Eine Nullstelle: \(D = 0 \iff t^2 = 64 \iff t = -8\) oder \(t = 8\). - Keine Nullstellen: \(D < 0 \iff t^2 < 64 \iff -8 < t < 8\).

Für \(t < -8\) oder \(t > 8\) gibt es zwei Nullstellen. Für \(t = 8\) oder \(t = -8\) gibt es genau eine Nullstelle. Für \(-8 < t < 8\) gibt es keine Nullstellen.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Diskriminante und der Anzahl der gemeinsamen Punkte mit der \(x\)-Achse. - Setze die Funktionsgleichung gleich null und betrachte die Diskriminante der resultierenden Gleichung. - Was bewirkt das negative Vorzeichen vor dem \(x^2\) für die Form der Parabel und wie beeinflusst \(k\) die Lage? - Löse die Ungleichungen nach dem Parameter auf, um die Grenzen der Fälle zu finden.

1. Bedingung für Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(g_k(x) = 0 \iff -x^2 + 4x + k = 0\). 2. Bestimmung der Diskriminante \(D = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot k = 16 + 4k\). 3. Fallunterscheidung basierend auf dem Vorzeichen von \(D\): - Zwei Schnittpunkte: \(D > 0 \iff 16 + 4k > 0 \iff 4k > -16 \iff k > -4\). - Ein Schnittpunkt (Berührpunkt): \(D = 0 \iff 16 + 4k = 0 \iff k = -4\). - Keine Schnittpunkte: \(D < 0 \iff 16 + 4k < 0 \iff k < -4\).

Zwei Schnittpunkte für \(k > -4\). Ein Schnittpunkt für \(k = -4\). Keine Schnittpunkte für \(k < -4\).

- Welche Informationen der Scheitelpunktform kannst du direkt aus jedem Graphen gewinnen? - Wo liegen die Nullstellen eines Funktionsgraphen im Koordinatensystem? - Wie kannst du einen grafisch abgelesenen Nullstellenwert mit dem Funktionsterm kontrollieren? - Welche Gleichung beschreibt algebraisch einen Punkt auf der \(x\)-Achse?

1. Für \(f\) liest man \(S(2 \mid -4)\) und \(a = 1\) ab. Daher ist \(f(x) = (x - 2)^2 - 4\). Für \(g\) liest man \(S(-1 \mid 1)\) und \(a = -1\) ab. Daher ist \(g(x) = -(x + 1)^2 + 1\). Für \(h\) liest man \(S(1 \mid -2)\) und \(a = 0{,}5\) ab. Daher ist \(h(x) = 0{,}5(x - 1)^2 - 2\). 2. Grafisch liest man für \(f\) die Nullstellen \(0\) und \(4\), für \(g\) die Nullstellen \(-2\) und \(0\) und für \(h\) die Nullstellen \(-1\) und \(3\) ab. 3. Rechnerische Kontrolle: \(f(0)=0\), \(f(4)=0\); \(g(-2)=0\), \(g(0)=0\); \(h(-1)=0\), \(h(3)=0\). 4. Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse hat die \(y\)-Koordinate \(0\). Deshalb beschreibt das grafische Schneiden der \(x\)-Achse genau dieselbe Bedingung wie die Gleichung \(f(x)=0\), entsprechend auch für \(g\) und \(h\).

a) \(f(x) = (x - 2)^2 - 4\); \(g(x) = -(x + 1)^2 + 1\); \(h(x) = 0{,}5(x - 1)^2 - 2\) b) \(f\): \(0\) und \(4\); \(g\): \(-2\) und \(0\); \(h\): \(-1\) und \(3\). Alle sechs Werte ergeben beim Einsetzen den Funktionswert \(0\). c) Nullstellen sind genau die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit der \(x\)-Achse.

- Wo schneidet der Graph die waagerechte Achse? Das sind deine Nullstellen. - In der Form \(a(x - x_1)(x - x_2)\) stehen \(x_1\) und \(x_2\) für diese Schnittstellen. Achte auf die Vorzeichen beim Einsetzen! - Findest du einen Punkt auf dem Graphen, der nicht auf der \(x\)-Achse liegt? Nutze ihn, um die Unbekannte \(a\) zu berechnen. - Was passiert, wenn eine Parabel gar keine Nullstellen hat? Könnte man diese Methode dann immer noch anwenden?

1. Ablesen der Nullstellen: Die Parabel schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 7\). Der Ansatz für die Linearfaktorform ist somit \(g(x) = a(x + 1)(x - 7)\). 2. Ablesen des Scheitelpunkts: Der tiefste Punkt der Parabel liegt genau zwischen den Nullstellen bei \(x = 3\). Der zugehörige \(y\)-Wert ist \(-4\), also \(S(3 \mid -4)\). 3. Berechnung des Streckfaktors \(a\): Einsetzen von \(S(3 \mid -4)\) in den Ansatz: \(-4 = a \cdot (3 + 1) \cdot (3 - 7)\) \(-4 = a \cdot 4 \cdot (-4)\) \(-4 = -16a\) \(a = \frac{-4}{-16} = 0{,}25\) Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 0{,}25(x + 1)(x - 7)\). 4. Bedingung für Linearfaktorform: Diese Form kann nur verwendet werden, wenn die Funktion tatsächlich reelle Nullstellen besitzt, die man aus dem Graphen ablesen oder aus der Aufgabenstellung entnehmen kann.

a) \(x_1 = -1\); \(x_2 = 7\) b) \(g(x) = 0{,}25(x + 1)(x - 7)\) c) Die Linearfaktorform setzt voraus, dass die Funktion Nullstellen hat.

- Wo schneidet der Graph die horizontale Achse? Diese Werte sind deine Nullstellen. - Nutze einen weiteren Punkt auf der Parabel (zum Beispiel den Scheitelpunkt), um den Faktor \(a\) zu berechnen. - Achte beim Einsetzen der Nullstellen in die Klammern auf die Vorzeichen.

1. Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) aus dem Graphen ablesen: Die Parabel schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\). 2. In die Form einsetzen: \(f(x) = a(x - (-3))(x - 1) = a(x + 3)(x - 1)\). 3. Den Streckfaktor \(a\) bestimmen: Den Scheitelpunkt \(S(-1 \mid -2)\) ablesen und einsetzen: \(-2 = a(-1 + 3)(-1 - 1) \Rightarrow -2 = a \cdot 2 \cdot (-2) \Rightarrow -2 = -4a \Rightarrow a = 0{,}5\). 4. Die vollständige Gleichung lautet: \(f(x) = 0{,}5(x + 3)(x - 1)\).

Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\). Mit dem Scheitelpunkt \((-1 \mid -2)\) lässt sich der Streckfaktor \(a = 0{,}5\) berechnen. Die Gleichung lautet: \(f(x) = 0{,}5(x + 3)(x - 1)\).

- Vergleiche zunächst Merkmale, die sich aus der Produktform direkt ablesen lassen, mit dem Graphen. - Nutze anschließend einen weiteren gut ablesbaren Punkt des Graphen, um den Faktor vor den Klammern zu prüfen. - Achte darauf, dass Nullstellen allein den Streckfaktor einer Parabel nicht bestimmen.

1. Die behauptete Gleichung hat die Nullstellen \(x_1=2\) und \(x_2=6\). Diese stimmen mit dem Graphen überein. 2. Der Scheitel liegt wegen der Symmetrie bei \(x=4\). Im Graphen ist sein \(y\)-Wert \(2\). 3. Die behauptete Gleichung liefert dagegen \(p(4)=-2(4-2)(4-6)=8\). Sie passt daher nicht zum Graphen. 4. Für eine Gleichung der Form \(p(x)=a(x-2)(x-6)\) muss am Scheitel \(2=a(4-2)(4-6)=-4a\) gelten. Daraus folgt \(a=-0{,}5\). 5. Die passende Funktionsgleichung lautet \(p(x)=-0{,}5(x-2)(x-6)\).

Nein. Die Nullstellen stimmen, aber der Streckfaktor nicht. Der Graph gehört zu \(p(x)=-0{,}5(x-2)(x-6)\), nicht zu \(p(x)=-2(x-2)(x-6)\).

- Setze die gegebenen Nullstellen zuerst in die allgemeine Form der Linearfaktorzerlegung ein. - Nutze den Punkt \(P\), um den unbekannten Parameter \(a\) zu finden. - Denke daran, dass das Vorzeichen in der Klammer das Gegenteil des Vorzeichens der Nullstelle ist.

1. Nullstellen in die Form einsetzen: \(f(x) = a(x - (-2{,}5))(x - 0{,}5) = a(x + 2{,}5)(x - 0{,}5)\). 2. Streckfaktor \(a\) mit dem Punkt \(P(-1 \mid 4{,}5)\) berechnen: \(4{,}5 = a(-1 + 2{,}5)(-1 - 0{,}5) \Rightarrow 4{,}5 = a \cdot 1{,}5 \cdot (-1{,}5) \Rightarrow 4{,}5 = -2{,}25a \). 3. Auflösen nach \(a\): \(a = \frac{4{,}5}{-2{,}25} = -2\). 4. Ergebnis: \(f(x) = -2(x + 2{,}5)(x - 0{,}5)\). 5. Abgleich mit dem Graphen: Die Nullstellen und der Scheitelpunkt bei \((-1 \mid 4{,}5)\) passen perfekt zum Bild.

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2(x + 2{,}5)(x - 0{,}5)\).

- Bestimme zuerst die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. - Wo liegt der Scheitelpunkt (der tiefste Punkt) genau? Nutze seine Koordinaten für die Berechnung von \(a\). - Wenn das Ergebnis für \(a\) ein Dezimalbruch ist, versuche ihn als gekürzten Bruch zu schreiben.

1. Nullstellen ablesen: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1 = 1{,}5\) und \(x_2 = 4{,}5\). 2. Ansatz wählen: \(f(x) = a(x - 1{,}5)(x - 4{,}5)\). 3. Punkt zur Bestimmung von \(a\) wählen: Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte der Nullstellen bei \(x = 3\) mit dem \(y\)-Wert \(-1{,}5\). Punkt \(S(3 \mid -1{,}5)\). 4. \(a\) berechnen: \(-1{,}5 = a(3 - 1{,}5)(3 - 4{,}5) \Rightarrow -1{,}5 = a \cdot 1{,}5 \cdot (-1{,}5) \Rightarrow -1{,}5 = -2{,}25a \). 5. Auflösen: \(a = \frac{-1{,}5}{-2{,}25} = \frac{150}{225} = \frac{2}{3}\). 6. Funktionsgleichung: \(f(x) = \frac{2}{3}(x - 1{,}5)(x - 4{,}5)\).

Aus den Nullstellen \(x_1 = 1{,}5\) und \(x_2 = 4{,}5\) sowie dem Scheitelpunkt \(S(3 \mid -1{,}5)\) ergibt sich die Gleichung: \(f(x) = \frac{2}{3}(x - 1{,}5)(x - 4{,}5)\).

- Überprüfe, an welchen Stellen der Graph die waagerechte Achse kreuzt. - Denke daran, die Funktionsgleichung gleich Null zu setzen, um die Nullstellen rechnerisch zu bestimmen. - Versuche, die Gleichung so umzuformen, dass der Klammerausdruck mit dem Quadrat allein auf einer Seite steht. - Beim Ziehen der Wurzel aus einer positiven Zahl musst du sowohl die positive als auch die negative Lösung berücksichtigen.

1. Ablesen der Nullstellen aus der Grafik: Aus der Grafik liest man näherungsweise \(x_1 \approx -1\) und \(x_2 \approx 5\) ab. 2. Ansatz zur Berechnung: \(-0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5 = 0\). 3. Isolieren des Quadrats: \(-0{,}5(x - 2)^2 = -4{,}5 \implies (x - 2)^2 = 9\). 4. Radizieren: \(x - 2 = 3\) oder \(x - 2 = -3\). 5. Lösen nach \(x\): \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\).

a) \(x_1 \approx -1\) und \(x_2 \approx 5\) b) \(-0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 9 \Rightarrow x - 2 = \pm 3 \Rightarrow x_1 = 5\), \(x_2 = -1\)

- Welche Nullstellen kannst du am Graphen ablesen? - Wie erscheinen diese Nullstellen in der Nullstellenform? - Welches Vorzeichen muss \(a\) wegen der Öffnungsrichtung haben? - Welcher weitere Punkt eignet sich zur Kontrolle?

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1=-1\) und \(x_2=3\). 2. Die passende Nullstellenform muss daher \(y=a(x+1)(x-3)\) enthalten. Gleichung (1) scheidet aus. 3. Der Graph ist nach oben geöffnet, also muss \(a>0\) gelten. Damit scheidet Gleichung (3) aus. 4. Zur Kontrolle liegt die Scheitelpunktstelle bei \(x=1\). Für Gleichung (2) ergibt sich dort \(y=0{,}5\cdot2\cdot(-2)=-2\), passend zum Graphen. 5. Somit ist Gleichung (2) korrekt.

Gleichung (2). Die Nullstellen sind \(-1\) und \(3\), und die Parabel ist nach oben geöffnet.

- Wo liegt der Scheitelpunkt in Abhängigkeit von \(c\)? - In welche Richtung ist die Parabel für alle \(c\) geöffnet? - Was passiert mit den Achsenschnittpunkten, wenn der Scheitelpunkt unter, auf oder über der \(x\)-Achse liegt?

1. Der Scheitelpunkt ist \(S(1\mid c)\), und die Parabel ist nach oben geöffnet. 2. Für \(c<0\) liegt der Scheitelpunkt unter der \(x\)-Achse. Dann schneidet die Parabel die Achse zweimal. 3. Für \(c=0\) liegt der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse. Dann gibt es genau eine Nullstelle bei \(x=1\). 4. Für \(c>0\) liegt der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse. Dann gibt es keine reelle Nullstelle.

Zwei Nullstellen für \(c<0\); genau eine für \(c=0\); keine reelle Nullstelle für \(c>0\). Entscheidend ist die Scheitelpunkthöhe \(c\).

- Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob zwei Gleichungen die gleichen Lösungen haben? - Welche besondere Eigenschaft haben Punkte, die auf beiden Graphen gleichzeitig liegen? - Was weißt du über die Anzahl der möglichen Schnittpunkte zweier Parabeln? - Was passiert mit dem Funktionswert an einer Nullstelle?

1. Nullstellen von \(h_1\) berechnen: \(2(x - 5)^2 - 18 = 0 \Rightarrow (x - 5)^2 = 9 \Rightarrow x - 5 = \pm 3 \Rightarrow x_1 = 8, x_2 = 2\). 2. Nullstellen von \(h_2\) berechnen: \(-0{,}5(x - 5)^2 + 4{,}5 = 0 \Rightarrow 0{,}5(x - 5)^2 = 4{,}5 \Rightarrow (x - 5)^2 = 9 \Rightarrow x - 5 = \pm 3 \Rightarrow x_1 = 8, x_2 = 2\). Die Nullstellen sind identisch. 3. Scheitelpunkte ablesen: \(S_1(5|-18)\) und \(S_2(5|4{,}5)\). 4. Begründung für die Schnittpunkte: Es gilt für alle \(x\) die Beziehung \(h_2(x)=-0{,}25\,h_1(x)\). Daher folgt aus \(h_1(x)=h_2(x)\), dass \(1{,}25\,h_1(x)=0\) und somit \(h_1(x)=0\). Die Graphen schneiden sich also genau an den gemeinsamen Nullstellen \(x=2\) und \(x=8\).

a) Beide Funktionen haben die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 8\). b) Die Scheitelpunkte sind \(S_1(5|-18)\) und \(S_2(5|4{,}5)\). c) Wegen \(h_2(x)=-0{,}25\,h_1(x)\) kann \(h_1(x)=h_2(x)\) nur für \(h_1(x)=0\) gelten. Daher schneiden sich die Graphen genau bei \(x=2\) und \(x=8\).

- Wann berührt eine Parabel die x-Achse nur in einem einzigen Punkt? Wo muss dann der Scheitelpunkt liegen? - Versuche, die Funktionsgleichung so umzuformen, dass du den Scheitelpunkt in Abhängigkeit von \(k\) ablesen kannst. - Was passiert mit dem Graphen der Funktion im Koordinatensystem, wenn du den Wert von \(k\) erhöhst? - Überlege dir, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist.

1. Bestimmung der Scheitelpunktform in Abhängigkeit von \(k\) durch quadratische Ergänzung: \(h_k(x) = (x^2 + 6x + 9) - 9 + k = (x + 3)^2 + (k - 9)\). 2. Eine quadratische Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt (y-Koordinate des Scheitelpunkts ist 0). Also: \(k - 9 = 0 \Rightarrow k = 9\). 3. Für \(k = 9\) lautet die Scheitelpunktform: \(h_9(x) = (x + 3)^2\). 4. Analyse der Nullstellenanzahl für \(k > 9\): Da der Streckfaktor \(a = 1\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Wenn \(k > 9\), ist der Term \((k - 9)\) positiv, d. h. die y-Koordinate des Scheitelpunkts liegt oberhalb der x-Achse. Eine nach oben geöffnete Parabel, deren tiefster Punkt über der x-Achse liegt, hat keine Nullstellen.

a) \(k = 9\) b) \(h_9(x) = (x + 3)^2\) c) Wenn \(k > 9\), gibt es keine Nullstellen mehr. Da die Parabel nach oben geöffnet ist (\(a > 0\)) und der Scheitelpunkt für \(k > 9\) oberhalb der x-Achse liegt (\(y_S > 0\)), kann der Graph die x-Achse nicht schneiden.

- Wie kannst du eine monische quadratische Funktion direkt aus ihren beiden Nullstellen aufstellen? - Wie lässt sich \(x^2-2x+q\) so schreiben, dass die Scheitelpunkthöhe sichtbar wird? - Wo muss der Scheitelpunkt liegen, wenn die Parabel die \(x\)-Achse genau einmal berührt?

1. Da die Parabel die Nullstellen \(-2\) und \(4\) hat und der Leitkoeffizient \(1\) ist, gilt \(f(x)=(x+2)(x-4)=x^2-2x-8\). Daher sind \(p=-2\) und \(q=-8\). 2. Bei unverändertem \(p=-2\) lautet die Familie \(x^2-2x+q=(x-1)^2+(q-1)\). 3. Die Parabel berührt die \(x\)-Achse genau dann, wenn ihr Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt. Dafür muss \(q-1=0\) gelten, also \(q=1\). 4. Von \(-8\) auf \(1\) muss \(q\) um \(9\) vergrößert werden.

a) \(p=-2\), \(q=-8\) b) \(q\) muss um \(9\) vergrößert werden, also auf \(q=1\).

- Nutze die binomischen Formeln, um die Klammern effizient aufzulösen. - Was passiert mit den Termen, die eine höhere Potenz als \(x^2\) haben? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen dem „Schneiden“ und dem „Berühren“ der x-Achse im Kontext von Nullstellen. - Wie verhält sich das Vorzeichen eines quadrierten Ausdrucks wie \((x - a)^2\)?

1. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den ersten Teil: \((x^2 - 3)(x^2 + 3) = x^4 - 9\). 2. Vereinfachung des ersten Abschnitts: \(x^4 - (x^4 - 9) = 9\). 3. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf den zweiten Teil: \((x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25\). 4. Zusammenfassen des gesamten Terms: \(h(x) = 9 + x^2 - 10x + 25 - 9 = x^2 - 10x + 25\). Dies ist eine quadratische Funktion. 5. Faktorisierung des Ergebnisses: \(h(x) = (x - 5)^2\). 6. Bestimmung der Nullstelle: Es gibt eine doppelte Nullstelle bei \(x = 5\). 7. Da es eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit ist (der Graph berührt die x-Achse nur), tritt an der Stelle \(x = 5\) kein Vorzeichenwechsel auf. Es gibt somit keine Stelle mit Vorzeichenwechsel.

Durch Vereinfachung ergibt sich \(h(x) = x^2 - 10x + 25\), was eine quadratische Funktion ist. Da \(h(x) = (x - 5)^2\) nur eine doppelte Nullstelle bei \(x = 5\) besitzt, findet an keiner Stelle ein Vorzeichenwechsel statt.

- Wo schneidet die Kurve die \(x\)-Achse? In welchem Bereich liegt sie unterhalb der \(x\)-Achse? - Denke dir eine waagerechte Linie bei \(y = 3\). Wo liegt die Kurve oberhalb dieser Linie oder genau darauf? - Welche Funktionswerte hat \(f\) an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 4\)?

1. Die Bedingung \(f(x) < 0\) bedeutet, dass der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen muss. Dies geschieht zwischen den Nullstellen \(x = 1\) und \(x = 3\). Die Lösungsmenge ist \(1 < x < 3\). 2. Für \(f(x) \ge 3\) suchen wir die Bereiche, in denen der Graph auf oder oberhalb der Geraden \(y = 3\) liegt. Der Graph schneidet \(y = 3\) bei \(x = 0\) und \(x = 4\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt die Bedingung für \(x \le 0\) oder \(x \ge 4\). 3. Das Intervall \(]0; 4[\) entspricht dem Bereich, in dem der Graph unterhalb des Wertes \(y = 3\) liegt. Eine passende Ungleichung ist daher \(x^2 - 4x + 3 < 3\), was vereinfacht \(x^2 - 4x < 0\) ergibt.

a) \(1 < x < 3\) b) \(x \le 0\) oder \(x \ge 4\) c) \(x^2 - 4x + 3 < 3\) (oder vereinfacht \(x^2 - 4x < 0\))