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- Wann wird ein Produkt aus zwei Klammern genau Null? - Denke daran, dass beim Lösen von Gleichungen der Form \(x^2 = a\) oft zwei verschiedene Werte für \(x\) möglich sind. - Kannst du die Gleichung zuerst vereinfachen, bevor du die Wurzel ziehst?

Die Bedingung für eine Nullstelle ist \(y = 0\). 1. Für \(y = (x - 12)(x + 7)\): Nach der Nullproduktregel ist ein Produkt null, wenn einer der Faktoren null ist. \(x - 12 = 0 \implies x = 12\) oder \(x + 7 = 0 \implies x = -7\). 2. Für \(y = x^2 - 0{,}64\): \(0 = x^2 - 0{,}64 \implies x^2 = 0{,}64\). Die Lösungen sind \(x = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\) und \(x = -\sqrt{0{,}64} = -0{,}8\). 3. Für \(y = 4x^2 - 100\): \(0 = 4x^2 - 100 \implies 100 = 4x^2 \implies 25 = x^2\). Die Lösungen sind \(x = 5\) und \(x = -5\).

a) \(x_1 = 12, x_2 = -7\) b) \(x_1 = 0{,}8, x_2 = -0{,}8\) c) \(x_1 = 5, x_2 = -5\)

- Schau dir die Struktur der Gleichungen genau an. Welche Rechenregel hilft dir bei Produkten? - Wie isolierst du das \(x^2\), bevor du die Wurzel ziehst? - Achte darauf, dass beim Wurzelziehen zwei Lösungen entstehen können.

Setze \(y = 0\) für jede Funktion. 1. Für \(y = 2x(x - 4{,}5)\): Anwendung der Nullproduktregel ergibt \(2x = 0 \implies x = 0\) oder \(x - 4{,}5 = 0 \implies x = 4{,}5\). 2. Für \(y = \frac{1}{3}x^2 - 27\): \(0 = \frac{1}{3}x^2 - 27 \implies 27 = \frac{1}{3}x^2 \implies 81 = x^2\). Daraus folgen \(x = 9\) und \(x = -9\).

a) \(x_1 = 0, x_2 = 4{,}5\) b) \(x_1 = 9, x_2 = -9\)

- An welcher Stelle ist der x-Wert immer null, wenn man einen Punkt auf der y-Achse betrachtet? - Welchen Wert muss die Funktionsgleichung annehmen, damit ein Punkt auf der x-Achse liegt? - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung wie \(x^2 = a\) zwei Lösungen haben kann.

1. Schnittpunkte von \(f\) berechnen: - y-Achsenabschnitt: \(f(0) = 1{,}5 \cdot 0 - 6 = -6\). Punkt: \((0|-6)\). - Nullstelle: \(1{,}5x - 6 = 0 \Rightarrow 1{,}5x = 6 \Rightarrow x = 4\). Punkt: \((4|0)\). 2. Schnittpunkte von \(g\) berechnen: - y-Achsenabschnitt: \(g(0) = 0^2 - 25 = -25\). Punkt: \((0|-25)\). - Nullstellen: \(x^2 - 25 = 0 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -5\). Punkte: \((5|0)\) und \((-5|0)\).

a) Schnittpunkt mit der y-Achse: \((0|-6)\); Schnittpunkt mit der x-Achse: \((4|0)\) b) Schnittpunkt mit der y-Achse: \((0|-25)\); Schnittpunkte mit der x-Achse: \((5|0)\) und \((-5|0)\)

- Wo auf der \(y\)-Achse ist der \(x\)-Wert immer gleich null? - Was muss für den Funktionswert \(y\) gelten, wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Kannst du die Gleichung für die Nullstellen so umstellen, dass \(x^2\) alleine auf einer Seite steht?

1. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in den Funktionsterm ein: \(f(0) = 0{,}4 \cdot 0^2 - 2{,}5 = -2{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -2{,}5)\). 2. Berechnung der Nullstellen: Setze \(f(x) = 0\). Daraus folgt \(0{,}4x^2 - 2{,}5 = 0\). 3. Umformen der Gleichung: \(0{,}4x^2 = 2{,}5 \Rightarrow x^2 = \frac{2{,}5}{0{,}4} = 6{,}25\). 4. Ziehen der Wurzel: \(x_1 = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\) und \(x_2 = -\sqrt{6{,}25} = -2{,}5\). Die Nullstellen liegen bei \(x = 2{,}5\) und \(x = -2{,}5\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(2{,}5 | 0)\) und \(N_2(-2{,}5 | 0)\).

a) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 | -2{,}5)\). b) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 2{,}5\) und \(x_2 = -2{,}5\). Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \(N_1(2{,}5 | 0)\) und \(N_2(-2{,}5 | 0)\).

- Wann wird ein Produkt aus zwei Zahlen genau null? - Erinnere dich an das Distributivgesetz zum Auflösen von Klammern. - Wie viele Nullstellen kann eine Gerade maximal haben? - Welche Form haben Gleichungen von Geraden normalerweise?

1. Bestimmung der Nullstellen: Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt). Aus \(x + 2 = 0\) folgt \(x_1 = -2\). Aus \(x - 5 = 0\) folgt \(x_2 = 5\). 2. Ausmultiplizieren des Terms: \(y = (x + 2) \cdot (x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10\). 3. Begründung gegen eine Gerade: Die Funktionsgleichung \(y = x^2 - 3x - 10\) ist quadratisch (höchste Potenz von \(x\) ist 2), während lineare Funktionen die Form \(y = mx + n\) haben. Zudem hat die Funktion zwei verschiedene Nullstellen; eine Gerade, die nicht mit der \(x\)-Achse zusammenfällt, kann jedoch höchstens eine Nullstelle besitzen.

a) Die Nullstellen sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 5\). Man nutzt den Satz vom Nullprodukt: Das Produkt ist null, wenn einer der Faktoren \((x+2)\) oder \((x-5)\) null wird. b) Der ausmultiplizierte Term lautet \(y = x^2 - 3x - 10\). c) Es handelt sich um eine quadratische Funktion (wegen des Terms \(x^2\)), deren Graph eine Parabel ist. Eine Gerade, die nicht mit der \(x\)-Achse zusammenfällt, kann zudem höchstens eine Nullstelle haben.

- Nutze für \(g\) den Satz vom Nullprodukt. - Was bedeutet es rechnerisch, wenn ein Faktor eines Produkts gleich null ist? - Vergleiche die Terme der beiden Funktionen: Welcher zusätzliche Faktor kommt bei \(g\) vor?

1. Nullstelle von \(f\): \(3x-6=0\), also \(x=2\). 2. Nullstellen von \(g\): \(x(x-2)=0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt \(x_1=0\) oder \(x_2=2\). Beide Funktionen haben die gemeinsame Nullstelle \(x=2\). 3. \(f\) ist linear und hat genau eine Nullstelle. \(g\) ist quadratisch und besteht aus zwei linearen Faktoren; der Faktor \(x\) liefert die zusätzliche Nullstelle \(0\).

a) \(f\) hat die Nullstelle \(x=2\); \(g\) hat die Nullstellen \(x=0\) und \(x=2\). Gemeinsam ist \(x=2\). b) Der zusätzliche Faktor \(x\) erzeugt bei \(g\) die Nullstelle \(x=0\).

- Was musst du tun, damit eine Seite der Gleichung null wird? - Wie hängen die Lösungen einer Gleichung der Form \(... = 0\) mit den Nullstellen einer Funktion zusammen? - Schau dir die Koeffizienten von \(f(x)\) und \(g(x)\) genau an. Kannst du \(f(x)\) so multiplizieren, dass \(g(x)\) entsteht? - Verändert das Strecken einer Parabel in \(y\)-Richtung die Stellen, an denen sie die \(x\)-Achse schneidet?

1. Subtraktion von 6 auf beiden Seiten der Gleichung führt zur Form \(\frac{1}{2}x^2 - 2x - 6 = 0\). 2. Eine passende Funktion ist \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x - 6\). 3. Vergleich der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\): Es gilt \(g(x) = 2f(x)\). Da die Multiplikation des gesamten Funktionsterms mit einem Faktor \(a \neq 0\) die Nullstellen nicht verändert (Streckung in \(y\)-Richtung), haben beide Funktionen dieselben Nullstellen. Dies lässt sich auch durch Lösen von \(x^2 - 4x - 12 = 0\) mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel bestätigen: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 12}\), also \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\).

a) \(\frac{1}{2}x^2 - 2x - 6 = 0\) b) \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x - 6\) (oder ein Vielfaches davon) c) Die Behauptung ist wahr, da \(g(x) = 2f(x)\) gilt. Ein konstanter Faktor ungleich Null ändert die Lage der Nullstellen nicht. Beide Funktionen haben die Nullstellen \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\).

- Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn eine Stelle eine Nullstelle ist? - Wie hängen der Scheitelpunkt und der konstante Term in der Funktionsgleichung zusammen? - Überlege dir, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist.

1. Berechnung der Nullstellen für \(h_1\): \(x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -3\). 2. Berechnung der Nullstellen für \(h_2\): \(x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = -3\). Da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann, existieren keine reellen Nullstellen. 3. Berechnung der Nullstellen für \(h_3\): \(-x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1\). 4. Begründung für \(h_2\): Der Scheitelpunkt liegt bei \((0|3)\) auf der \(y\)-Achse oberhalb der \(x\)-Achse. Da der Koeffizient vor \(x^2\) positiv ist (\(a=1\)), ist die Parabel nach oben geöffnet. Sie entfernt sich somit von der \(x\)-Achse und kann diese niemals schneiden.

a) Nullstellen: \(h_1: x = \pm 3\); \(h_2\): keine reellen Nullstellen; \(h_3: x = \pm 1\). b) Bei \(h_2(x) = x^2 + 3\) liegt der Scheitelpunkt bei \((0|3)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, verläuft der gesamte Graph oberhalb der \(x\)-Achse.

- Überlege, welche Bedingung für Punkte auf der \(x\)-Achse gilt. - Wie lautet die Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen? - Der Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Geraden ist die Differenz ihrer Werte. - An welcher Stelle schneidet ein Graph die \(y\)-Achse? Welchen Wert hat \(x\) dort?

1. Berechnung der Nullstellen: Ansatz \(x^2 + 2x - 8 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p=2\) und \(q=-8\): \(x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1^2 - (-8)} = -1 \pm \sqrt{9} = -1 \pm 3\). Daraus folgen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -4\). 2. Berechnung des Abstands: Die Differenz der \(x\)-Werte der Nullstellen ist \(|2 - (-4)| = 6\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Berechnung von \(f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 8 = -8\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S_y(0 | -8)\). 4. Berechnung der Funktionswerte: \(f(-5) = (-5)^2 + 2 \cdot (-5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7\). \(f(1{,}5) = 1{,}5^2 + 2 \cdot 1{,}5 - 8 = 2{,}25 + 3 - 8 = -2{,}75\).

a) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -4\). b) Der Abstand beträgt \(6\) Längeneinheiten. c) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 | -8)\). d) Es gilt \(f(-5) = 7\) und \(f(1{,}5) = -2{,}75\).

- Welche Informationen kannst du direkt aus der Scheitelpunktform ablesen? - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen vor der Klammer für den Verlauf des Graphen? - Welchen Wert hat die Funktion an den Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet? - Wie kannst du die Gleichung schrittweise isolieren, um nach der Unbekannten aufzulösen?

1. Den Scheitelpunkt direkt aus der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - d)^2 + e\) ablesen: \(d = -1\) und \(e = 27\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-1|27)\). 2. Die Öffnung bestimmen: Da der Streckfaktor \(a = -3\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. 3. Die Nullstellen durch Gleichsetzen mit Null berechnen: \(-3(x + 1)^2 + 27 = 0\). 4. Die Gleichung umformen: \(-3(x + 1)^2 = -27 \Rightarrow (x + 1)^2 = 9\). 5. Die Wurzel ziehen: \(x + 1 = 3\) oder \(x + 1 = -3\). 6. Die Nullstellen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -4\).

a) Scheitelpunkt \(S(-1|27)\); die Parabel ist nach unten geöffnet und gestreckt. b) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -4\).

- Was bedeutet es rechnerisch für den Funktionswert, wenn ein Punkt eine Nullstelle ist? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass das Quadrat allein auf einer Seite steht? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in allen Gliedern, den man ausklammern könnte? - Wann ist ein Produkt aus zwei Faktoren gleich null? - Überlege, ob jede quadratische Gleichung eine Lösung haben muss.

1. Für \(f(x)\): Setze \(4x^2 - 100 = 0\). Daraus folgt \(4x^2 = 100\) und \(x^2 = 25\). Die Lösungen sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). 2. Für \(g(x)\): Setze \(x^2 + 12x = 0\). Durch Ausklammern von \(x\) erhält man \(x \cdot (x + 12) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -12\). 3. Für \(h(x)\): Setze \(0{,}5x^2 + 2 = 0\). Daraus folgt \(0{,}5x^2 = -2\) und \(x^2 = -4\). Da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann, hat die Funktion keine reellen Nullstellen.

a) \(x_1 = 5\), \(x_2 = -5\) b) \(x_1 = 0\), \(x_2 = -12\) c) Keine reellen Nullstellen.

- Kennst du eine Form der Funktionsgleichung, in der man die Nullstellen direkt einsetzen kann? - Wie kannst du den fehlenden Parameter \(a\) mithilfe eines weiteren Punktes berechnen? - Wie gelangst du durch Ausmultiplizieren von der Produktform zur allgemeinen Form?

1. Aufstellen der faktorisierten Form mit den Nullstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\): \(f(x) = a \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)\). 2. Einsetzen des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse \(S_y(0 \mid 6)\), um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen: \(6 = a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 3)\). 3. Berechnung von \(a\): \(6 = -3a \implies a = -2\). 4. Aufstellen der endgültigen faktorisierten Form: \(f(x) = -2(x + 1)(x - 3)\). 5. Ausmultiplizieren der Klammern zur Bestimmung der allgemeinen Form: \(f(x) = -2(x^2 - 3x + x - 3) = -2(x^2 - 2x - 3) = -2x^2 + 4x + 6\).

Die faktorisierte Form lautet \(f(x) = -2(x + 1)(x - 3)\). Die allgemeine Form lautet \(f(x) = -2x^2 + 4x + 6\).

- Kannst du die Stellen ablesen, an denen die Graphen die \(x\)-Achse schneiden? - Wie hängen diese Schnittpunkte (Nullstellen) mit den Werten \(x_1\) und \(x_2\) in der Formel zusammen? - Welcher Punkt auf dem Graphen lässt sich neben den Nullstellen noch besonders leicht und exakt ablesen? - Wie kannst du diesen zusätzlichen Punkt nutzen, um den Streckungsfaktor \(a\) zu berechnen?

1. Bestimmung des Terms für die Funktion \(f\) (blaue Kurve): - Die Nullstellen (Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse) liegen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\). - Damit ergibt sich der Ansatz: \(f(x) = a(x + 2)(x - 4)\). - Ein weiterer gut ablesbarer Punkt auf dem Graphen ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(P(0 \mid 4)\). - Setze die Koordinaten von \(P\) in den Ansatz ein, um \(a\) zu berechnen: \(4 = a \cdot (0 + 2) \cdot (0 - 4)\) \(4 = -8a \implies a = -0{,}5\). - Der Funktionsterm lautet somit: \(f(x) = -0{,}5(x + 2)(x - 4)\). 2. Bestimmung des Terms für die Funktion \(g\) (rote Kurve): - Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). - Damit ergibt sich der Ansatz: \(g(x) = a(x - 1)(x - 5)\). - Ein weiterer gut ablesbarer Punkt ist der Scheitelpunkt \(S(3 \mid -4)\). - Setze die Koordinaten von \(S\) in den Ansatz ein, um \(a\) zu berechnen: \(-4 = a \cdot (3 - 1) \cdot (3 - 5)\) \(-4 = -4a \implies a = 1\). - Der Funktionsterm lautet somit: \(g(x) = (x - 1)(x - 5)\).

\(f(x) = -0{,}5(x + 2)(x - 4)\) und \(g(x) = (x - 1)(x - 5)\)

- Wo schneidet die Kurve die waagerechte Achse? - Wenn eine Nullstelle bei \(3\) liegt, heißt der Faktor im Produkt \((x - 3)\). Was passiert bei negativen Zahlen?

1. Ablesen der Nullstellen aus der Grafik: Die Parabel schneidet die x-Achse bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 2. Einsetzen in die Produktform mit \(a = 1\): \(f(x) = 1 \cdot (x - (-2)) \cdot (x - 2)\). 3. Vereinfachen: \(f(x) = (x + 2)(x - 2)\). Dies entspricht nach der dritten binomischen Formel \(x^2 - 4\).

Nullstellen: \(x_1=-2\) und \(x_2=2\) Funktionsterm: \(f(x) = (x + 2)(x - 2)\)

- Berechne zuerst für beide Funktionen getrennt die Punkte auf den Achsen. - Wie viele Nullstellen kann eine lineare Funktion maximal haben? Wie viele eine quadratische? - Vergiss nicht, auch den Punkt auf der y-Achse mitzuzählen.

1. Schnittpunkte von \(f\) bestimmen: - y-Achsenabschnitt: \(f(0) = 4 \Rightarrow (0|4)\). - Nullstelle: \(-x + 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow (4|0)\). - Anzahl der Schnittpunkte für \(f\): 2. 2. Schnittpunkte von \(g\) bestimmen: - y-Achsenabschnitt: \(g(0) = (0 - 3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \Rightarrow (0|5)\). - Nullstellen: \((x - 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 = 4\). Daraus folgt \(x - 3 = 2\) oder \(x - 3 = -2\). Somit \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 1\). Punkte: \((5|0)\) und \((1|0)\). - Anzahl der Schnittpunkte für \(g\): 3. 3. Vergleich: Der Graph von \(g\) hat mit 3 Schnittpunkten mehr Achsenschnittpunkte als der Graph von \(f\) mit 2 Schnittpunkten.

Der Graph der Funktion \(g\) hat insgesamt 3 Schnittpunkte (\((0|5)\), \((1|0)\), \((5|0)\)), während der Graph von \(f\) nur 2 Schnittpunkte (\((0|4)\), \((4|0)\)) besitzt. Somit hat \(g\) mehr Schnittpunkte.

- Nutze den Satz vom Nullprodukt, um die Nullstellen ohne Ausmultiplizieren zu finden. - Wo auf dem Koordinatensystem ist der x-Wert immer null? - Setze den x-Wert des Punktes in die Gleichung ein und schaue, ob das Ergebnis dem y-Wert entspricht. - Ist der y-Wert des Punktes größer oder kleiner als der berechnete Wert an dieser Stelle?

1. Berechnung der Nullstellen: Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. \(x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2\) oder \(2x + 6 = 0 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x_2 = -3\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ein: \(f(0) = (0 - 2)(2 \cdot 0 + 6) = (-2)(6) = -12\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|-12)\). 3. Punktprobe für \(R(3|12)\): Berechne \(f(3) = (3 - 2)(2 \cdot 3 + 6) = 1 \cdot (6 + 6) = 12\). Da der berechnete Wert mit der \(y\)-Koordinate des Punktes übereinstimmt, liegt \(R\) auf dem Graphen. 4. Lage von \(Q(-1|-8)\): Berechne den Funktionswert an der Stelle \(x = -1\): \(f(-1) = (-1 - 2)(2 \cdot (-1) + 6) = (-3)(4) = -12\). Da \(-8 > -12\), liegt der Punkt \(Q\) oberhalb des Graphen.

a) Die Nullstellen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -3\). b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0|-12)\). c) Ja, der Punkt \(R(3|12)\) liegt auf dem Graphen \(G_f\). d) Der Punkt \(Q(-1|-8)\) liegt oberhalb des Graphen \(G_f\).

- Wann wird ein Produkt aus zwei Klammern null? Muss man dafür alles ausmultiplizieren? - Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt zu einer Rechenvorschrift passt? - Setze die gegebenen Zahlen für \(x\) ein und berechne das Ergebnis Schritt für Schritt.

1. Nullstellenbestimmung: Der Term \((x - 2)(x + 3)\) wird null, wenn einer der Faktoren null ist. Dies ist für \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -3\) der Fall. 2. Punktprobe für \(P(4 \mid 14)\): Einsetzen von \(x = 4\) ergibt \(h(4) = (4 - 2) \cdot (4 + 3) = 2 \cdot 7 = 14\). Da der berechnete Wert dem \(y\)-Wert des Punktes entspricht, liegt \(P\) auf dem Graphen. 3. Vergleich der Werte: \(h(1) = (1 - 2) \cdot (1 + 3) = (-1) \cdot 4 = -4\). \(h(-2) = (-2 - 2) \cdot (-2 + 3) = (-4) \cdot 1 = -4\). Die Funktionswerte sind identisch.

a) Die Nullstellen liegen bei \(x = 2\) und \(x = -3\). b) Ja, der Punkt \(P(4 \mid 14)\) liegt auf dem Graphen, da \(h(4) = 14\) ist. c) Es gilt \(h(1) = -4\) und \(h(-2) = -4\). Die Funktionswerte sind also gleich groß.

- Was bedeutet der Begriff „verschobene Normalparabel“ für den Streckfaktor \(a\)? - Erinnere dich, wie die Symmetrieachse einer Parabel durch den Scheitelpunkt verläuft. - Wenn du einen Punkt auf der Parabel kennst, wie findest du den gespiegelten Punkt auf der anderen Seite der Achse? - Welche Verfahren kennst du, um die Nullstellen einer Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\) zu berechnen?

1. Scheitelpunktform aufstellen (Normalparabel bedeutet \(a=1\)): \(f(x) = (x - 1{,}5)^2 - 6{,}25\) 2. Umwandlung in Normalform durch Ausmultiplizieren: \(f(x) = x^2 - 3x + 2{,}25 - 6{,}25 = x^2 - 3x - 4\) 3. Symmetrie nutzen: Die Symmetrieachse liegt bei \(x = 1{,}5\). Der Abstand der ersten Nullstelle \(x_1 = 4\) zur Achse ist \(4 - 1{,}5 = 2{,}5\). Die zweite Nullstelle liegt im gleichen Abstand auf der anderen Seite: \(1{,}5 - 2{,}5 = -1\). 4. Rechnerische Überprüfung: \(x^2 - 3x - 4 = 0\) mit der \(p\)-\(q\)-Formel lösen: \(x = 1{,}5 \pm \sqrt{1{,}5^2 + 4} = 1{,}5 \pm \sqrt{6{,}25} = 1{,}5 \pm 2{,}5\). 5. Ergebnisse: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -1\)

a) Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - 1{,}5)^2 - 6{,}25\); Normalform: \(f(x) = x^2 - 3x - 4\) b) \(x_2 = -1\) (Abstand zur Symmetrieachse \(x = 1{,}5\) beträgt jeweils \(2{,}5\)) c) Die Rechnung bestätigt \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -1\).

- Erkennst du in dem Term \(x^2 + 4x + 4\) eine binomische Formel? - Wie viele Werte für \(x\) erfüllen die Gleichung? - Was bedeutet es für den Graphen einer Funktion, wenn es nur eine einzige Nullstelle gibt? - Überlege, ob der Graph die \(x\)-Achse kreuzt oder nur „antippt“.

1. Eine quadratische Funktion ist \(f(x) = x^2 + 4x + 4\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf die Gleichung ergibt \((x+2)^2 = 0\). 3. Daraus folgt die einzige Lösung \(x = -2\). 4. Da die Gleichung genau eine Lösung hat, besitzt die Funktion \(f\) genau eine Nullstelle. Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph (die Parabel) die \(x\)-Achse im Punkt \((-2|0)\) berührt. Da \(f(x) = (x+2)^2\) die Scheitelpunktform mit \(S(-2|0)\) ist, ist dies der tiefste Punkt der nach oben geöffneten Parabel.

a) \(f(x) = x^2 + 4x + 4\) b) Die Gleichung hat genau eine Lösung: \(x = -2\). c) Der Graph berührt die \(x\)-Achse im Punkt \((-2|0)\). Da es nur eine Lösung gibt, fällt der Scheitelpunkt der Parabel genau auf die \(x\)-Achse.

- Wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt, kannst du seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen. - Welchen Wert hat \(y\) an einer Nullstelle? - Erinnere dich an die Symmetrie von Parabeln, deren Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse liegt.

1. Bestimmung von \(k\): Setze den Punkt \((4|0)\) in die Gleichung ein: \(0 = 4^2 - k \Rightarrow 0 = 16 - k \Rightarrow k = 16\). 2. Berechnung der zweiten Nullstelle: Für \(k=16\) lautet die Gleichung \(x^2 - 16 = 0\). Daraus folgt \(x^2 = 16\), also \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). Die zweite Nullstelle ist \(x = -4\). 3. Analyse für negatives \(k\): Wenn \(k < 0\), dann ist \(-k\) positiv. Die Gleichung \(x^2 - k = 0\) führt zu \(x^2 = k\). Da \(k\) negativ ist, gibt es keine reelle Zahl, deren Quadrat \(k\) ergibt. Graphisch gesehen ist der Scheitelpunkt \((0|-k)\) bei negativem \(k\) nach oben verschoben (da \(-k > 0\)). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, hat sie keine Nullstellen.

a) \(k = 16\) b) Die zweite Nullstelle ist \(x = -4\). c) Die Funktion hat keine Nullstellen, da der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl eine Nullstelle einer Funktion ist? - Setze die Funktionsgleichung mit dem gesuchten Wert gleich und löse nach \(x\) auf. - Nutze die Symmetrie der Parabel. Wenn zwei Punkte dieselbe Höhe haben, wo muss dann die Mitte sein? - Wie findet man den höchsten Punkt einer nach unten geöffneten Parabel?

1. Überprüfung der Nullstelle: Einsetzen von \(x = -1\) in \(g(x)\): \(g(-1) = -(-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 5 = -1 - 4 + 5 = 0\). Damit ist \(x = -1\) eine Nullstelle. 2. Bestimmung der \(x\)-Werte für \(g(x) = 5\): Ansatz \(-x^2 + 4x + 5 = 5 \Rightarrow -x^2 + 4x = 0\). Ausklammern ergibt \(x(-x + 4) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). 3. \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts: Da \(g(0) = 5\) und \(g(4) = 5\), liegt der Scheitelpunkt bei \(x_S = \frac{0 + 4}{2} = 2\). 4. Maximaler Funktionswert: Einsetzen von \(x_S = 2\) in die Funktion: \(g(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist (negativer Streckfaktor), ist dies das Maximum.

a) \(g(-1) = 0\), also ist \(-1\) eine Nullstelle. b) Die Funktion nimmt den Wert \(5\) an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 4\) an. c) Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts ist \(x = 2\). d) Der maximale Funktionswert ist \(9\).

- Wo liegt der Scheitelpunkt im Koordinatensystem (über, unter oder auf der x-Achse)? - Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? - Skizziere dir den Verlauf der Parabel grob im Kopf oder auf Papier.

1. Für \(f(x)\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3|2)\) oberhalb der \(x\)-Achse. Da der Streckfaktor \(0{,}5\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Sie entfernt sich also von der \(x\)-Achse und hat keine Nullstellen. 2. Für \(g(x)\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0|5)\) oberhalb der \(x\)-Achse. Da der Streckfaktor \(-1\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Sie muss die \(x\)-Achse also zweimal schneiden und hat zwei Nullstellen. 3. Für \(h(x)\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-4|0)\) direkt auf der \(x\)-Achse. Unabhängig von der Öffnungsrichtung berührt die Parabel die \(x\)-Achse genau in diesem Punkt und hat somit genau eine Nullstelle.

\(f(x)\) hat keine Nullstellen (Scheitelpunkt über der \(x\)-Achse, nach oben geöffnet). \(g(x)\) hat zwei Nullstellen (Scheitelpunkt über der \(x\)-Achse, nach unten geöffnet). \(h(x)\) hat genau eine Nullstelle (Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse).

- Wo liegt die Symmetrieachse einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Kennst du eine Darstellungsform für quadratische Funktionen, in der man die Nullstellen direkt verwenden kann? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den Streckfaktor einer Funktion zu finden? - Wie gelangst du von der Lage des Scheitelpunkts zur gesuchten Form der Gleichung?

1. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts \(x_s\) liegt genau in der Mitte der Nullstellen: \(x_s = \frac{-4 + 2}{2} = -1\). 2. Den Ansatz in der Produktform (Nullstellenform) wählen: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x + 4)(x - 2)\). 3. Den Punkt \(P(0|-4)\) einsetzen, um \(a\) zu bestimmen: \(-4 = a(0 + 4)(0 - 2) \Rightarrow -4 = -8a \Rightarrow a = 0{,}5\). 4. Die y-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen: \(f(-1) = 0{,}5(-1 + 4)(-1 - 2) = 0{,}5 \cdot 3 \cdot (-3) = -4{,}5\). 5. Die Scheitelpunktform aufstellen: \(f(x) = 0{,}5(x + 1)^2 - 4{,}5\).

Die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform lautet \(f(x) = 0{,}5(x + 1)^2 - 4{,}5\).

- Versuche, den Term mit der Klammer schrittweise zu isolieren. - Welche Operation macht das Quadrieren rückgängig? - Denke daran, dass beim Wurzelziehen aus einer positiven Zahl zwei Fälle entstehen können. - Wie gehst du mit dem Vorfaktor vor der Klammer um?

1. Für \(f(x)\): Setze \((x + 4)^2 - 49 = 0\). Addiere \(49\), um \((x + 4)^2 = 49\) zu erhalten. Ziehe die Wurzel: \(x + 4 = 7\) oder \(x + 4 = -7\). Dies ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -11\). 2. Für \(g(x)\): Setze \(-3(x - 2)^2 + 27 = 0\). Subtrahiere \(27\), was \(-3(x - 2)^2 = -27\) ergibt. Dividiere durch \(-3\), um \((x - 2)^2 = 9\) zu erhalten. Ziehe die Wurzel: \(x - 2 = 3\) oder \(x - 2 = -3\). Dies ergibt \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\).

a) \(x_1 = 3\), \(x_2 = -11\) b) \(x_1 = 5\), \(x_2 = -1\)

- Welches Verfahren nutzt du am liebsten, um quadratische Gleichungen zu lösen? - Was passiert mit einer Gleichung, wenn du sie mit einer Zahl multiplizierst oder durch eine Zahl dividierst? - Schau dir die Koeffizienten der beiden Funktionen genau an — erkennst du ein Muster?

1. Nullstellen von \(f\) berechnen: \(x^2 - 10x + 21 = 0\) liefert mit der \(p\)-\(q\)-Formel \(x_{1,2} = 5 \pm \sqrt{25 - 21}\), also \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 7\). 2. Nullstellen von \(g\) berechnen: \(0{,}5x^2 - 5x + 10{,}5 = 0\). Multiplikation mit \(2\) führt auf dieselbe Gleichung \(x^2 - 10x + 21 = 0\), also ebenfalls \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 7\). 3. Abstand berechnen: Für beide Funktionen gilt \(d = |7 - 3| = 4\). 4. Begründung: Die Funktion \(g\) lässt sich als \(g(x) = 0{,}5f(x)\) schreiben. Da ein konstanter Faktor ungleich Null die Lösungen der Gleichung \(f(x) = 0\) nicht beeinflusst, bleiben die Nullstellen gleich.

a) Die Nullstellen sind für beide Funktionen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 7\). b) Der Abstand der Nullstellen beträgt bei beiden Funktionen \(4\). c) Da \(g(x) = 0{,}5f(x)\) ist, haben beide Funktionen dieselben Nullstellen, da der Faktor \(0{,}5\) keinen Einfluss auf die Lösungen der Gleichung \(f(x) = 0\) hat.

- Welche Formel hilft dir, die Stellen zu finden, an denen der Funktionswert Null ist? - Erinnerst du dich an einen Zusammenhang zwischen der Lage der Nullstellen und der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts bei Parabeln? - Wie hilft dir die Öffnungsrichtung der Parabel dabei, den Bereich der negativen Werte zu finden? - Überlege, wie der Graph skizziert aussehen müsste, wenn du die Nullstellen und den Scheitelpunkt kennst.

1. Nullstellenberechnung durch Lösen von \(0{,}5x^2 - 2x - 6 = 0\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x^2 - 4x - 12 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - (-12)} = 2 \pm \sqrt{16}\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\). 2. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts liegt mittig zwischen den Nullstellen: \(x_s = \frac{-2 + 6}{2} = 2\). Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(g(2) = 0{,}5 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 - 6 = 2 - 4 - 6 = -8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 \mid -8)\). Alternativ über die Formel \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 0{,}5} = 2\). 3. Da der Streckfaktor \(a = 0{,}5\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Die Funktionswerte sind daher zwischen den beiden Nullstellen negativ. Dies entspricht dem Intervall \(-2 < x < 6\).

1. Nullstellen: \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\) 2. Scheitelpunkt: \(S(2 \mid -8)\) 3. Die Funktionswerte sind im Bereich \(-2 < x < 6\) negativ.

- Erinnere dich daran, wie man den Scheitelpunkt einer Parabel direkt aus der Zeichnung ablesen kann. - Der Streckfaktor einer Parabel lässt sich bestimmen, indem man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts geht und schaut, wie weit man nach oben oder unten gehen muss, um wieder auf den Graphen zu treffen. - Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, musst du den Funktionsterm gleich Null setzen und die entstandene Gleichung nach der Variablen auflösen. - Überprüfe deine berechneten Nullstellen, indem du auf der horizontalen Achse des Koordinatensystems nachzählst, wo die Graphen diese Achse schneiden.

1. **Bestimmung der Funktionsgleichungen aus dem Graphen:** - Funktion \(f\) (blau): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2 \mid -4)\). Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt, ist der Streckfaktor \(a = 1\). Die Funktionsgleichung lautet: \(f(x) = (x - 2)^2 - 4\). - Funktion \(g\) (grün): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-1 \mid 1)\). Die Parabel ist nach unten geöffnet und nicht gestreckt oder gestaucht, also ist \(a = -1\). Die Funktionsgleichung lautet: \(g(x) = -(x + 1)^2 + 1\). - Funktion \(h\) (rot): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1 \mid -2)\). Vom Scheitelpunkt aus geht man \(2\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben (anstatt \(4\) wie bei einer Normalparabel), also ist der Streckfaktor \(a = \frac{2}{4} = 0{,}5\). Die Funktionsgleichung lautet: \(h(x) = 0{,}5(x - 1)^2 - 2\). 2. **Rechnerische Bestimmung der Nullstellen durch Nullsetzen:** - Für \(f(x) = 0\): \((x - 2)^2 - 4 = 0 \implies (x - 2)^2 = 4 \implies x - 2 = \pm 2 \implies x_1 = 4\), \(x_2 = 0\). - Für \(g(x) = 0\): \(-(x + 1)^2 + 1 = 0 \implies (x + 1)^2 = 1 \implies x + 1 = \pm 1 \implies x_1 = 0\), \(x_2 = -2\). - Für \(h(x) = 0\): \(0{,}5 \cdot (x - 1)^2 - 2 = 0 \implies 0{,}5 \cdot (x - 1)^2 = 2 \implies (x - 1)^2 = 4 \implies x - 1 = \pm 2 \implies x_1 = 3\), \(x_2 = -1\). 3. **Vergleich mit der Grafik:** Die Schnittpunkte der Graphen mit der \(x\)-Achse liegen genau bei den berechneten Stellen: für \(f\) bei \(x = 0\) und \(x = 4\), für \(g\) bei \(x = -2\) und \(x = 0\), sowie für \(h\) bei \(x = -1\) und \(x = 3\). Rechnerische und grafische Werte stimmen überein.

a) \(f(x) = (x - 2)^2 - 4\); \(g(x) = -(x + 1)^2 + 1\); \(h(x) = 0{,}5(x - 1)^2 - 2\) b) \(f\): \(x_1=0\), \(x_2=4\); \(g\): \(x_1=-2\), \(x_2=0\); \(h\): \(x_1=-1\), \(x_2=3\) c) Die berechneten Nullstellen stimmen exakt mit den Schnittpunkten der Graphen mit der \(x\)-Achse überein.

- Wo schneidet der Graph die waagerechte Achse? Das sind deine Nullstellen. - In der Form \(a(x - x_1)(x - x_2)\) stehen \(x_1\) und \(x_2\) für diese Schnittstellen. Achte auf die Vorzeichen beim Einsetzen! - Findest du einen Punkt auf dem Graphen, der nicht auf der \(x\)-Achse liegt? Nutze ihn, um die Unbekannte \(a\) zu berechnen. - Was passiert, wenn eine Parabel gar keine Nullstellen hat? Könnte man diese Methode dann immer noch anwenden?

1. Ablesen der Nullstellen: Die Parabel schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 7\). Der Ansatz für die Linearfaktorform ist somit \(g(x) = a(x + 1)(x - 7)\). 2. Ablesen des Scheitelpunkts: Der tiefste Punkt der Parabel liegt genau zwischen den Nullstellen bei \(x = 3\). Der zugehörige \(y\)-Wert ist \(-4\), also \(S(3 \mid -4)\). 3. Berechnung des Streckfaktors \(a\): Einsetzen von \(S(3 \mid -4)\) in den Ansatz: \(-4 = a \cdot (3 + 1) \cdot (3 - 7)\) \(-4 = a \cdot 4 \cdot (-4)\) \(-4 = -16a\) \(a = \frac{-4}{-16} = 0{,}25\) Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 0{,}25(x + 1)(x - 7)\). 4. Bedingung für Linearfaktorform: Diese Form kann nur verwendet werden, wenn die Funktion tatsächlich reelle Nullstellen besitzt, die man aus dem Graphen ablesen oder aus der Aufgabenstellung entnehmen kann.

a) \(x_1 = -1\); \(x_2 = 7\) b) \(g(x) = 0{,}25(x + 1)(x - 7)\) c) Die Linearfaktorform setzt voraus, dass die Funktion Nullstellen hat.

- Wo schneidet der Graph die horizontale Achse? Diese Werte sind deine Nullstellen. - Nutze einen weiteren Punkt auf der Parabel (zum Beispiel den Scheitelpunkt), um den Faktor \(a\) zu berechnen. - Achte beim Einsetzen der Nullstellen in die Klammern auf die Vorzeichen.

1. Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) aus dem Graphen ablesen: Die Parabel schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\). 2. In die Form einsetzen: \(f(x) = a(x - (-3))(x - 1) = a(x + 3)(x - 1)\). 3. Den Streckfaktor \(a\) bestimmen: Den Scheitelpunkt \(S(-1 \mid -2)\) ablesen und einsetzen: \(-2 = a(-1 + 3)(-1 - 1) \Rightarrow -2 = a \cdot 2 \cdot (-2) \Rightarrow -2 = -4a \Rightarrow a = 0{,}5\). 4. Die vollständige Gleichung lautet: \(f(x) = 0{,}5(x + 3)(x - 1)\).

Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\). Mit dem Scheitelpunkt \((-1 \mid -2)\) lässt sich der Streckfaktor \(a = 0{,}5\) berechnen. Die Gleichung lautet: \(f(x) = 0{,}5(x + 3)(x - 1)\).

- Stimmen die Nullstellen in der Gleichung mit denen im Bild überein? - Berechne den Funktionswert an der Stelle des Scheitelpunkts (\(x=4\)) und vergleiche ihn mit dem Graphen. - Ist die Parabel eher steil (gestreckt) oder flach (gestaucht)? Was bedeutet das für den Wert von \(a\)?

1. Nullstellen prüfen: Laut Gleichung liegen sie bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 6\). Dies stimmt mit dem Graphen überein. 2. Scheitelpunkt prüfen: Der Scheitelpunkt muss genau zwischen den Nullstellen bei \(x = 4\) liegen. Im Graphen hat der Scheitelpunkt den \(y\)-Wert \(2\). 3. Streckfaktor \(a\) berechnen: Einsetzen von \(x = 4\) in die Schülergleichung: \(p(4) = -2(4-2)(4-6) = -2 \cdot 2 \cdot (-2) = 8\). 4. Vergleich: Der \(y\)-Wert der Schülergleichung (\(8\)) ist viel größer als der im Graphen (\(2\)). 5. Richtigen Faktor bestimmen: \(2 = a(4-2)(4-6) \Rightarrow 2 = -4a \Rightarrow a = -0{,}5\). Die Behauptung ist falsch. Der richtige Faktor ist \(-0{,}5\).

Nein, der Schüler hat nicht recht. Zwar stimmen die Nullstellen \(x_1=2\) und \(x_2=6\), aber der Streckfaktor ist falsch. Die Parabel im Graphen ist gestaucht mit \(a = -0{,}5\), während die Gleichung eine Streckung mit \(a = -2\) beschreibt. Die richtige Gleichung ist \(p(x) = -0{,}5(x-2)(x-6)\).

- Setze die gegebenen Nullstellen zuerst in die allgemeine Form der Linearfaktorzerlegung ein. - Nutze den Punkt \(P\), um den unbekannten Parameter \(a\) zu finden. - Denke daran, dass das Vorzeichen in der Klammer das Gegenteil des Vorzeichens der Nullstelle ist.

1. Nullstellen in die Form einsetzen: \(f(x) = a(x - (-2{,}5))(x - 0{,}5) = a(x + 2{,}5)(x - 0{,}5)\). 2. Streckfaktor \(a\) mit dem Punkt \(P(-1 \mid 4{,}5)\) berechnen: \(4{,}5 = a(-1 + 2{,}5)(-1 - 0{,}5) \Rightarrow 4{,}5 = a \cdot 1{,}5 \cdot (-1{,}5) \Rightarrow 4{,}5 = -2{,}25a \). 3. Auflösen nach \(a\): \(a = \frac{4{,}5}{-2{,}25} = -2\). 4. Ergebnis: \(f(x) = -2(x + 2{,}5)(x - 0{,}5)\). 5. Abgleich mit dem Graphen: Die Nullstellen und der Scheitelpunkt bei \((-1 \mid 4{,}5)\) passen perfekt zum Bild.

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2(x + 2{,}5)(x - 0{,}5)\).

- Überprüfe, an welchen Stellen der Graph die waagerechte Achse kreuzt. - Denke daran, die Funktionsgleichung gleich Null zu setzen, um die Nullstellen rechnerisch zu bestimmen. - Versuche, die Gleichung so umzuformen, dass der Klammerausdruck mit dem Quadrat allein auf einer Seite steht. - Beim Ziehen der Wurzel aus einer positiven Zahl musst du sowohl die positive als auch die negative Lösung berücksichtigen.

1. Ablesen der Nullstellen aus der Grafik: Aus der Grafik liest man näherungsweise \(x_1 \approx -1\) und \(x_2 \approx 5\) ab. 2. Ansatz zur Berechnung: \(-0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5 = 0\). 3. Isolieren des Quadrats: \(-0{,}5(x - 2)^2 = -4{,}5 \implies (x - 2)^2 = 9\). 4. Radizieren: \(x - 2 = 3\) oder \(x - 2 = -3\). 5. Lösen nach \(x\): \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\).

a) \(x_1 \approx -1\) und \(x_2 \approx 5\) b) \(-0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 9 \Rightarrow x - 2 = \pm 3 \Rightarrow x_1 = 5\), \(x_2 = -1\)

- An welchen Stellen schneidet der Graph die waagerechte Achse? - Wie hängen die Schnittpunkte mit der x-Achse mit den Zahlen in den Klammern der Gleichung zusammen? Denke an das Vorzeichen. - Schau dir an, ob die Kurve wie eine Schüssel (nach oben offen) oder wie ein Berg (nach unten offen) aussieht. - Überprüfe den tiefsten Punkt der Kurve und rechne nach, ob dieser Punkt zu deiner Vermutung passt.

1. Nullstellen ablesen: Der Graph schneidet die x-Achse bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 2. Nullstellenform aufstellen: Die allgemeine Form lautet \(y = a(x - x_1)(x - x_2)\). Mit den abgelesenen Werten ergibt sich \(y = a(x - (-1))(x - 3)\), also \(y = a(x + 1)(x - 3)\). Damit fällt Gleichung (1) weg. 3. Öffnungsrichtung bestimmen: Die Parabel ist nach oben geöffnet, was bedeutet, dass der Faktor \(a\) positiv sein muss (\(a > 0\)). Bei Gleichung (3) ist \(a = -0{,}5\), was eine nach unten geöffnete Parabel beschreiben würde. 4. Scheitelpunkt zur Kontrolle: Der Scheitelpunkt liegt genau zwischen den Nullstellen bei \(x = 1\). Der zugehörige y-Wert im Graphen ist \(y = -2\). Punktprobe mit Gleichung (2): \(y = 0{,}5(1 + 1)(1 - 3) = 0{,}5 \cdot 2 \cdot (-2) = -2\). Dies bestätigt Gleichung (2). 5. Ergebnis: Der Funktionsterm (2) ist korrekt.

Die korrekte Gleichung ist **(2)**. Die Parabel besitzt die Nullstellen \(-1\) und \(3\) und ist nach oben geöffnet.

- Was passiert, wenn die beiden Zahlen in den Klammern identisch sind? - Berechne die Werte Schritt für Schritt durch Einsetzen. - Denk an die Steigung: Wenn du von einem Punkt zum nächsten gehst, müsste sich der Wert bei einer Geraden immer gleichmäßig ändern. - Wie verändern sich die Funktionswerte von \(x=0\) zu \(x=2\) und von \(x=2\) zu \(x=4\)?

1. Überprüfung der Behauptung: Wenn \(a = b\), lautet die Gleichung \(y = (x - a)(x - a) = (x - a)^2\). In diesem Fall gibt es nur eine Nullstelle bei \(x = a\). Die Behauptung ist also falsch. 2. Berechnung der Funktionswerte für \(h(x) = (x - 1)(x - 3)\): \(h(0) = (0 - 1) \cdot (0 - 3) = (-1) \cdot (-3) = 3\) \(h(2) = (2 - 1) \cdot (2 - 3) = 1 \cdot (-1) = -1\) \(h(4) = (4 - 1) \cdot (4 - 3) = 3 \cdot 1 = 3\) 3. Analyse der Steigung: Die Steigung zwischen \((0|3)\) und \((2|-1)\) ist \(m_1 = \frac{-1 - 3}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2\). Die Steigung zwischen \((2|-1)\) und \((4|3)\) ist \(m_2 = \frac{3 - (-1)}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2\). Da die Steigungen unterschiedlich sind (\(-2 \neq 2\)), liegen die Punkte nicht auf einer Geraden.

a) Die Behauptung ist falsch. Wenn \(a = b\), z. B. \(y = (x - 2)(x - 2)\), gibt es nur die Nullstelle \(x = 2\). b) Die Werte sind: \(h(0) = 3\), \(h(2) = -1\) und \(h(4) = 3\). c) Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden, da die Werte erst fallen (von 3 auf -1) und dann wieder steigen (von -1 auf 3). Eine Gerade mit einer festen Steigung kann nicht erst fallen und dann steigen.

- Stelle dir vor, wie sich die Parabel entlang der \(y\)-Achse bewegt, wenn du \(c\) veränderst. - Wann liegt eine nach oben geöffnete Parabel vollständig oberhalb der \(x\)-Achse? - Vergleiche die Koordinaten des alten Scheitelpunkts mit denen des neuen Scheitelpunkts. - Wie verändert sich eine Funktionsgleichung, wenn man sie in \(x\)-Richtung oder \(y\)-Richtung verschiebt?

1. Bedingung für keine Nullstellen: Da die Parabel nach oben geöffnet ist (\(a=1\)), hat sie keine Nullstellen, wenn der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Das ist für \(c > 0\) der Fall. 2. Nullstellen für \(c = -16\): \((x + 3)^2 - 16 = 0 \Rightarrow (x + 3)^2 = 16 \Rightarrow x + 3 = \pm 4\). 3. Berechnete Werte: \(x_1 = -3 + 4 = 1\) und \(x_2 = -3 - 4 = -7\). 4. Verschiebung analysieren: Der ursprüngliche Scheitelpunkt ist \(S(-3 \mid -16)\). Um nach \(S'(0 \mid 0)\) zu gelangen, muss die Parabel um 3 Einheiten nach rechts und um 16 Einheiten nach oben verschoben werden. 5. Neue Funktionsgleichung: \(h_{\mathrm{neu}}(x) = x^2\).

a) Für \(c > 0\), da der Scheitelpunkt dann oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist. b) \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -7\) c) Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 16 Einheiten nach oben; neue Gleichung: \(h_{\mathrm{neu}}(x) = x^2\)

- Was bedeutet „Normalparabel“ für den Koeffizienten vor dem \(x^2\)? - Wenn der Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse liegt, wie sieht dann die Funktionsgleichung aus? - Wann berührt eine Parabel die \(x\)-Achse nur in einem einzigen Punkt?

1. Ansatz für die Funktionsgleichung: Da es eine Normalparabel mit Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse ist, lautet die Form \(f(x) = x^2 + c\). 2. Einsetzen einer Nullstelle: \(0 = (2{,}5)^2 + c \Rightarrow 0 = 6{,}25 + c \Rightarrow c = -6{,}25\). Die Gleichung ist \(f(x) = x^2 - 6{,}25\). 3. Bedingung für genau eine Nullstelle: Damit eine nach oben geöffnete Parabel die \(x\)-Achse berührt, muss ihr Scheitelpunkt genau auf der \(x\)-Achse liegen. Das bedeutet, der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts muss \(0\) sein. Die neue Gleichung ist \(g(x) = x^2\). 4. Koordinaten des neuen Scheitelpunkts: \(S(0|0)\). 5. Berechnung der Verschiebung: Der ursprüngliche Scheitelpunkt lag bei \((0|-6{,}25)\), der neue bei \((0|0)\). Die Parabel wurde um \(0 - (-6{,}25) = 6{,}25\) Einheiten nach oben verschoben.

a) \(f(x) = x^2 - 6{,}25\) b) Neue Gleichung: \(g(x) = x^2\); neuer Scheitelpunkt: \(S(0|0)\). c) Die Parabel wurde um \(6{,}25\) Einheiten nach oben verschoben.

- Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob zwei Gleichungen die gleichen Lösungen haben? - Welche besondere Eigenschaft haben Punkte, die auf beiden Graphen gleichzeitig liegen? - Was weißt du über die Anzahl der möglichen Schnittpunkte zweier Parabeln? - Was passiert mit dem Funktionswert an einer Nullstelle?

1. Nullstellen von \(h_1\) berechnen: \(2(x - 5)^2 - 18 = 0 \Rightarrow (x - 5)^2 = 9 \Rightarrow x - 5 = \pm 3 \Rightarrow x_1 = 8, x_2 = 2\). 2. Nullstellen von \(h_2\) berechnen: \(-0{,}5(x - 5)^2 + 4{,}5 = 0 \Rightarrow 0{,}5(x - 5)^2 = 4{,}5 \Rightarrow (x - 5)^2 = 9 \Rightarrow x - 5 = \pm 3 \Rightarrow x_1 = 8, x_2 = 2\). Die Nullstellen sind identisch. 3. Scheitelpunkte ablesen: \(S_1(5|-18)\) und \(S_2(5|4{,}5)\). 4. Begründung für die Schnittpunkte: Es gilt für alle \(x\) die Beziehung \(h_2(x)=-0{,}25\,h_1(x)\). Daher folgt aus \(h_1(x)=h_2(x)\), dass \(1{,}25\,h_1(x)=0\) und somit \(h_1(x)=0\). Die Graphen schneiden sich also genau an den gemeinsamen Nullstellen \(x=2\) und \(x=8\).

a) Beide Funktionen haben die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 8\). b) Die Scheitelpunkte sind \(S_1(5|-18)\) und \(S_2(5|4{,}5)\). c) Wegen \(h_2(x)=-0{,}25\,h_1(x)\) kann \(h_1(x)=h_2(x)\) nur für \(h_1(x)=0\) gelten. Daher schneiden sich die Graphen genau bei \(x=2\) und \(x=8\).

- Steht die Gleichung bereits in der Normalform \(x^2 + px + q = 0\)? - Was musst du tun, wenn vor dem \(x^2\) eine andere Zahl als \(1\) steht? - Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man solche Gleichungen direkt lösen kann? - Achte besonders auf die Vorzeichen von \(p\) und \(q\) beim Einsetzen.

1. Für \(f(x)\): Nutze die \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p = -8\) und \(q = 12\). \(x_{1,2} = - \frac{-8}{2} \pm \sqrt{(\frac{-8}{2})^2 - 12} = 4 \pm \sqrt{16 - 12} = 4 \pm \sqrt{4}\). Somit sind \(x_1 = 6\) und \(x_2 = 2\). 2. Für \(g(x)\): Normiere die Gleichung zuerst durch Division durch \(2\): \(x^2 - 2x - 15 = 0\). Nutze die \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p = -2\) und \(q = -15\). \(x_{1,2} = - \frac{-2}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - (-15)} = 1 \pm \sqrt{1 + 15} = 1 \pm \sqrt{16}\). Somit sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -3\).

a) \(x_1 = 6\), \(x_2 = 2\) b) \(x_1 = 5\), \(x_2 = -3\)

- Wann berührt eine Parabel die x-Achse nur in einem einzigen Punkt? Wo muss dann der Scheitelpunkt liegen? - Versuche, die Funktionsgleichung so umzuformen, dass du den Scheitelpunkt in Abhängigkeit von \(k\) ablesen kannst. - Was passiert mit dem Graphen der Funktion im Koordinatensystem, wenn du den Wert von \(k\) erhöhst? - Überlege dir, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist.

1. Bestimmung der Scheitelpunktform in Abhängigkeit von \(k\) durch quadratische Ergänzung: \(h_k(x) = (x^2 + 6x + 9) - 9 + k = (x + 3)^2 + (k - 9)\). 2. Eine quadratische Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt (y-Koordinate des Scheitelpunkts ist 0). Also: \(k - 9 = 0 \Rightarrow k = 9\). 3. Für \(k = 9\) lautet die Scheitelpunktform: \(h_9(x) = (x + 3)^2\). 4. Analyse der Nullstellenanzahl für \(k > 9\): Da der Streckfaktor \(a = 1\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Wenn \(k > 9\), ist der Term \((k - 9)\) positiv, d. h. die y-Koordinate des Scheitelpunkts liegt oberhalb der x-Achse. Eine nach oben geöffnete Parabel, deren tiefster Punkt über der x-Achse liegt, hat keine Nullstellen.

a) \(k = 9\) b) \(h_9(x) = (x + 3)^2\) c) Wenn \(k > 9\), gibt es keine Nullstellen mehr. Da die Parabel nach oben geöffnet ist (\(a > 0\)) und der Scheitelpunkt für \(k > 9\) oberhalb der x-Achse liegt (\(y_S > 0\)), kann der Graph die x-Achse nicht schneiden.

- Wie hängen die Lage der Nullstellen und die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts zusammen? - Welche Maße eines Dreiecks kannst du direkt aus den Koordinaten der Nullstellen und des Scheitelpunkts ablesen? - Skizziere die Situation kurz, um die Grundseite und die Höhe des Dreiecks besser zu erkennen.

1. Nullstellen berechnen: \(-0{,}5x^2 + 2x + 6 = 0 \implies x^2 - 4x - 12 = 0\). Mit der \(p\)-\(q\)-Formel ergibt sich \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 12} = 2 \pm 4\). Somit \(N_1(-2 \mid 0)\) und \(N_2(6 \mid 0)\). 2. Scheitelpunkt bestimmen: Der \(x\)-Wert des Scheitelpunkts liegt genau in der Mitte der Nullstellen bei \(x_s = \frac{-2 + 6}{2} = 2\). Der \(y\)-Wert ist \(f(2) = -0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 6 = -2 + 4 + 6 = 8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 \mid 8)\). 3. Flächeninhalt berechnen: Die Grundseite des Dreiecks ist der Abstand der Nullstellen \(g = |6 - (-2)| = 8\). Die Höhe entspricht dem \(y\)-Wert des Scheitelpunkts \(h = 8\). 4. Anwendung der Formel \(A = \frac{1}{2}gh\): \(A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32\).

a) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 6\). b) Der Scheitelpunkt ist \(S(2 \mid 8)\). c) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(32\) Flächeneinheiten.

- Wie kannst du die Nullstellen nutzen, um ein Gleichungssystem für \(p\) und \(q\) aufzustellen? - Was bedeutet es für die Lage der Parabel, wenn sie die \(x\)-Achse nur berührt? - Welche Bedingung muss die Diskriminante der quadratischen Gleichung erfüllen, damit es nur eine Lösung gibt? - Wo liegt der Scheitelpunkt einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen?

1. Aufstellen eines Gleichungssystems mit den Nullstellen: \((-2)^2 + p \cdot (-2) + q = 0\) und \(4^2 + p \cdot 4 + q = 0\). 2. Vereinfachen ergibt \(4 - 2p + q = 0\) und \(16 + 4p + q = 0\). 3. Subtraktion der Gleichungen führt zu \(12 + 6p = 0\), woraus \(p = -2\) folgt. 4. Einsetzen von \(p = -2\) in eine Gleichung ergibt \(4 - 2(-2) + q = 0\), also \(8 + q = 0\), woraus \(q = -8\) folgt. 5. Eine Parabel berührt die \(x\)-Achse genau dann, wenn ihr Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt (Diskriminante ist null). 6. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts liegt bei \(x_s = -\frac{p}{2} = -\frac{-2}{2} = 1\). 7. Der zugehörige \(y\)-Wert muss \(0\) sein: \(1^2 - 2 \cdot 1 + q_{\text{neu}} = 0\), also \(-1 + q_{\text{neu}} = 0\), woraus \(q_{\text{neu}} = 1\) folgt. 8. Um von \(q = -8\) auf \(q_{\text{neu}} = 1\) zu kommen, muss \(q\) um \(9\) Einheiten vergrößert werden.

a) \(p = -2\) und \(q = -8\) b) \(q\) muss um \(9\) vergrößert werden (auf den Wert \(q = 1\)).

- Bestimme zuerst die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. - Wo liegt der Scheitelpunkt (der tiefste Punkt) genau? Nutze seine Koordinaten für die Berechnung von \(a\). - Wenn das Ergebnis für \(a\) ein Dezimalbruch ist, versuche ihn als gekürzten Bruch zu schreiben.

1. Nullstellen ablesen: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1 = 1{,}5\) und \(x_2 = 4{,}5\). 2. Ansatz wählen: \(f(x) = a(x - 1{,}5)(x - 4{,}5)\). 3. Punkt zur Bestimmung von \(a\) wählen: Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte der Nullstellen bei \(x = 3\) mit dem \(y\)-Wert \(-1{,}5\). Punkt \(S(3 \mid -1{,}5)\). 4. \(a\) berechnen: \(-1{,}5 = a(3 - 1{,}5)(3 - 4{,}5) \Rightarrow -1{,}5 = a \cdot 1{,}5 \cdot (-1{,}5) \Rightarrow -1{,}5 = -2{,}25a \). 5. Auflösen: \(a = \frac{-1{,}5}{-2{,}25} = \frac{150}{225} = \frac{2}{3}\). 6. Funktionsgleichung: \(f(x) = \frac{2}{3}(x - 1{,}5)(x - 4{,}5)\).

Aus den Nullstellen \(x_1 = 1{,}5\) und \(x_2 = 4{,}5\) sowie dem Scheitelpunkt \(S(3 \mid -1{,}5)\) ergibt sich die Gleichung: \(f(x) = \frac{2}{3}(x - 1{,}5)(x - 4{,}5)\).

- Wo schneidet die Kurve die \(x\)-Achse? In welchem Bereich liegt sie unterhalb der \(x\)-Achse? - Denke dir eine waagerechte Linie bei \(y = 3\). Wo liegt die Kurve oberhalb dieser Linie oder genau darauf? - Welche Funktionswerte hat \(f\) an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 4\)?

1. Die Bedingung \(f(x) < 0\) bedeutet, dass der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen muss. Dies geschieht zwischen den Nullstellen \(x = 1\) und \(x = 3\). Die Lösungsmenge ist \(1 < x < 3\). 2. Für \(f(x) \ge 3\) suchen wir die Bereiche, in denen der Graph auf oder oberhalb der Geraden \(y = 3\) liegt. Der Graph schneidet \(y = 3\) bei \(x = 0\) und \(x = 4\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt die Bedingung für \(x \le 0\) oder \(x \ge 4\). 3. Das Intervall \(]0; 4[\) entspricht dem Bereich, in dem der Graph unterhalb des Wertes \(y = 3\) liegt. Eine passende Ungleichung ist daher \(x^2 - 4x + 3 < 3\), was vereinfacht \(x^2 - 4x < 0\) ergibt.

a) \(1 < x < 3\) b) \(x \le 0\) oder \(x \ge 4\) c) \(x^2 - 4x + 3 < 3\) (oder vereinfacht \(x^2 - 4x < 0\))