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- An welcher Stelle ist der x-Wert immer null, wenn man einen Punkt auf der y-Achse betrachtet? - Welchen Wert muss die Funktionsgleichung annehmen, damit ein Punkt auf der x-Achse liegt? - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung wie \(x^2 = a\) zwei Lösungen haben kann.

1. Schnittpunkte von \(f\) berechnen: - y-Achsenabschnitt: \(f(0) = 1{,}5 \cdot 0 - 6 = -6\). Punkt: \((0|-6)\). - Nullstelle: \(1{,}5x - 6 = 0 \Rightarrow 1{,}5x = 6 \Rightarrow x = 4\). Punkt: \((4|0)\). 2. Schnittpunkte von \(g\) berechnen: - y-Achsenabschnitt: \(g(0) = 0^2 - 25 = -25\). Punkt: \((0|-25)\). - Nullstellen: \(x^2 - 25 = 0 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -5\). Punkte: \((5|0)\) und \((-5|0)\).

a) Schnittpunkt mit der y-Achse: \((0|-6)\); Schnittpunkt mit der x-Achse: \((4|0)\) b) Schnittpunkt mit der y-Achse: \((0|-25)\); Schnittpunkte mit der x-Achse: \((5|0)\) und \((-5|0)\)

- Wann wird ein Produkt aus zwei Zahlen genau null? - Erinnere dich an das Distributivgesetz zum Auflösen von Klammern. - Wie viele Nullstellen kann eine Gerade maximal haben? - Welche Form haben Gleichungen von Geraden normalerweise?

1. Bestimmung der Nullstellen: Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt). Aus \(x + 2 = 0\) folgt \(x_1 = -2\). Aus \(x - 5 = 0\) folgt \(x_2 = 5\). 2. Ausmultiplizieren des Terms: \(y = (x + 2) \cdot (x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10\). 3. Begründung gegen eine Gerade: Die Funktionsgleichung \(y = x^2 - 3x - 10\) ist quadratisch (höchste Potenz von \(x\) ist 2), während lineare Funktionen die Form \(y = mx + n\) haben. Zudem hat die Funktion zwei verschiedene Nullstellen; eine Gerade, die nicht mit der \(x\)-Achse zusammenfällt, kann jedoch höchstens eine Nullstelle besitzen.

a) Die Nullstellen sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 5\). Man nutzt den Satz vom Nullprodukt: Das Produkt ist null, wenn einer der Faktoren \((x+2)\) oder \((x-5)\) null wird. b) Der ausmultiplizierte Term lautet \(y = x^2 - 3x - 10\). c) Es handelt sich um eine quadratische Funktion (wegen des Terms \(x^2\)), deren Graph eine Parabel ist. Eine Gerade, die nicht mit der \(x\)-Achse zusammenfällt, kann zudem höchstens eine Nullstelle haben.

- Was musst du tun, damit eine Seite der Gleichung null wird? - Wie hängen die Lösungen einer Gleichung der Form \(... = 0\) mit den Nullstellen einer Funktion zusammen? - Schau dir die Koeffizienten von \(f(x)\) und \(g(x)\) genau an. Kannst du \(f(x)\) so multiplizieren, dass \(g(x)\) entsteht? - Verändert das Strecken einer Parabel in \(y\)-Richtung die Stellen, an denen sie die \(x\)-Achse schneidet?

1. Subtraktion von 6 auf beiden Seiten der Gleichung führt zur Form \(\frac{1}{2}x^2 - 2x - 6 = 0\). 2. Eine passende Funktion ist \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x - 6\). 3. Vergleich der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\): Es gilt \(g(x) = 2 \cdot f(x)\). Da die Multiplikation des gesamten Funktionsterms mit einem Faktor \(a \neq 0\) die Nullstellen nicht verändert (Streckung in \(y\)-Richtung), haben beide Funktionen dieselben Nullstellen. Dies lässt sich auch durch Lösen von \(x^2 - 4x - 12 = 0\) mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel bestätigen: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 12}\), also \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\).

a) \(\frac{1}{2}x^2 - 2x - 6 = 0\) b) \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x - 6\) (oder ein Vielfaches davon) c) Die Behauptung ist wahr, da \(g(x) = 2 \cdot f(x)\) gilt. Ein konstanter Faktor ungleich Null ändert die Lage der Nullstellen nicht. Beide Funktionen haben die Nullstellen \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\).

- Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn eine Stelle eine Nullstelle ist? - Wie hängen der Scheitelpunkt und der konstante Term in der Funktionsgleichung zusammen? - Überlege dir, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist.

1. Berechnung der Nullstellen für \(h_1\): \(x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -3\). 2. Berechnung der Nullstellen für \(h_2\): \(x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = -3\). Da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann, existieren keine reellen Nullstellen. 3. Berechnung der Nullstellen für \(h_3\): \(-x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1\). 4. Begründung für \(h_2\): Der Scheitelpunkt liegt bei \((0|3)\) auf der \(y\)-Achse oberhalb der \(x\)-Achse. Da der Koeffizient vor \(x^2\) positiv ist (\(a=1\)), ist die Parabel nach oben geöffnet. Sie entfernt sich somit von der \(x\)-Achse und kann diese niemals schneiden.

a) Nullstellen: \(h_1: x = \pm 3\); \(h_2\): keine reellen Nullstellen; \(h_3: x = \pm 1\). b) Bei \(h_2(x) = x^2 + 3\) liegt der Scheitelpunkt bei \((0|3)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, verläuft der gesamte Graph oberhalb der \(x\)-Achse.

- Überlege, welche Bedingung für Punkte auf der \(x\)-Achse gilt. - Wie lautet die Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen? - Der Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Geraden ist die Differenz ihrer Werte. - An welcher Stelle schneidet ein Graph die \(y\)-Achse? Welchen Wert hat \(x\) dort?

1. Berechnung der Nullstellen: Ansatz \(x^2 + 2x - 8 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p=2\) und \(q=-8\): \(x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1^2 - (-8)} = -1 \pm \sqrt{9} = -1 \pm 3\). Daraus folgen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -4\). 2. Berechnung des Abstands: Die Differenz der \(x\)-Werte der Nullstellen ist \(|2 - (-4)| = 6\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Berechnung von \(f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 8 = -8\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S_y(0 | -8)\). 4. Berechnung der Funktionswerte: \(f(-5) = (-5)^2 + 2 \cdot (-5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7\). \(f(1{,}5) = 1{,}5^2 + 2 \cdot 1{,}5 - 8 = 2{,}25 + 3 - 8 = -2{,}75\).

a) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -4\). b) Der Abstand beträgt \(6\) Längeneinheiten. c) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 | -8)\). d) Es gilt \(f(-5) = 7\) und \(f(1{,}5) = -2{,}75\).

- Welche Informationen kannst du direkt aus der Scheitelpunktform ablesen? - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen vor der Klammer für den Verlauf des Graphen? - Welchen Wert hat die Funktion an den Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet? - Wie kannst du die Gleichung schrittweise isolieren, um nach der Unbekannten aufzulösen?

1. Den Scheitelpunkt direkt aus der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - d)^2 + e\) ablesen: \(d = -1\) und \(e = 27\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-1|27)\). 2. Die Öffnung bestimmen: Da der Streckfaktor \(a = -3\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. 3. Die Nullstellen durch Gleichsetzen mit Null berechnen: \(-3(x + 1)^2 + 27 = 0\). 4. Die Gleichung umformen: \(-3(x + 1)^2 = -27 \Rightarrow (x + 1)^2 = 9\). 5. Die Wurzel ziehen: \(x + 1 = 3\) oder \(x + 1 = -3\). 6. Die Nullstellen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -4\).

a) Scheitelpunkt \(S(-1|27)\); die Parabel ist nach unten geöffnet und gestreckt. b) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -4\).

- Was bedeutet es rechnerisch für den Funktionswert, wenn ein Punkt eine Nullstelle ist? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass das Quadrat allein auf einer Seite steht? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in allen Gliedern, den man ausklammern könnte? - Wann ist ein Produkt aus zwei Faktoren gleich null? - Überlege, ob jede quadratische Gleichung eine Lösung haben muss.

1. Für \(f(x)\): Setze \(4x^2 - 100 = 0\). Daraus folgt \(4x^2 = 100\) und \(x^2 = 25\). Die Lösungen sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). 2. Für \(g(x)\): Setze \(x^2 + 12x = 0\). Durch Ausklammern von \(x\) erhält man \(x \cdot (x + 12) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -12\). 3. Für \(h(x)\): Setze \(0{,}5x^2 + 2 = 0\). Daraus folgt \(0{,}5x^2 = -2\) und \(x^2 = -4\). Da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann, hat die Funktion keine reellen Nullstellen.

a) \(x_1 = 5\), \(x_2 = -5\) b) \(x_1 = 0\), \(x_2 = -12\) c) Keine reellen Nullstellen.

- Kennst du eine Form der Funktionsgleichung, in der man die Nullstellen direkt einsetzen kann? - Wie kannst du den fehlenden Parameter \(a\) mithilfe eines weiteren Punktes berechnen? - Wie gelangst du durch Ausmultiplizieren von der Produktform zur allgemeinen Form?

1. Aufstellen der faktorisierten Form mit den Nullstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\): \(f(x) = a \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)\). 2. Einsetzen des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse \(S_y(0 \mid 6)\), um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen: \(6 = a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 3)\). 3. Berechnung von \(a\): \(6 = -3a \implies a = -2\). 4. Aufstellen der endgültigen faktorisierten Form: \(f(x) = -2(x + 1)(x - 3)\). 5. Ausmultiplizieren der Klammern zur Bestimmung der allgemeinen Form: \(f(x) = -2(x^2 - 3x + x - 3) = -2(x^2 - 2x - 3) = -2x^2 + 4x + 6\).

Die faktorisierte Form lautet \(f(x) = -2(x + 1)(x - 3)\). Die allgemeine Form lautet \(f(x) = -2x^2 + 4x + 6\).

- Wann wird ein Produkt aus zwei Klammern genau Null? - Denke daran, dass beim Lösen von Gleichungen der Form \(x^2 = a\) oft zwei verschiedene Werte für \(x\) möglich sind. - Kannst du die Gleichung zuerst vereinfachen, bevor du die Wurzel ziehst?

Die Bedingung für eine Nullstelle ist \(y = 0\). 1. Für \(y = (x - 12)(x + 7)\): Nach der Nullproduktregel ist ein Produkt null, wenn einer der Faktoren null ist. \(x - 12 = 0 \implies x = 12\) oder \(x + 7 = 0 \implies x = -7\). 2. Für \(y = x^2 - 0{,}64\): \(0 = x^2 - 0{,}64 \implies x^2 = 0{,}64\). Die Lösungen sind \(x = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\) und \(x = -\sqrt{0{,}64} = -0{,}8\). 3. Für \(y = 4x^2 - 100\): \(0 = 4x^2 - 100 \implies 100 = 4x^2 \implies 25 = x^2\). Die Lösungen sind \(x = 5\) und \(x = -5\).

a) \(x_1 = 12, x_2 = -7\) b) \(x_1 = 0{,}8, x_2 = -0{,}8\) c) \(x_1 = 5, x_2 = -5\)

- Berechne zuerst für beide Funktionen getrennt die Punkte auf den Achsen. - Wie viele Nullstellen kann eine lineare Funktion maximal haben? Wie viele eine quadratische? - Vergiss nicht, auch den Punkt auf der y-Achse mitzuzählen.

1. Schnittpunkte von \(f\) bestimmen: - y-Achsenabschnitt: \(f(0) = 4 \Rightarrow (0|4)\). - Nullstelle: \(-x + 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow (4|0)\). - Anzahl der Schnittpunkte für \(f\): 2. 2. Schnittpunkte von \(g\) bestimmen: - y-Achsenabschnitt: \(g(0) = (0 - 3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \Rightarrow (0|5)\). - Nullstellen: \((x - 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 = 4\). Daraus folgt \(x - 3 = 2\) oder \(x - 3 = -2\). Somit \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 1\). Punkte: \((5|0)\) und \((1|0)\). - Anzahl der Schnittpunkte für \(g\): 3. 3. Vergleich: Der Graph von \(g\) hat mit 3 Schnittpunkten mehr Achsenschnittpunkte als der Graph von \(f\) mit 2 Schnittpunkten.

Der Graph der Funktion \(g\) hat insgesamt 3 Schnittpunkte (\((0|5)\), \((1|0)\), \((5|0)\)), während der Graph von \(f\) nur 2 Schnittpunkte (\((0|4)\), \((4|0)\)) besitzt. Somit hat \(g\) mehr Schnittpunkte.

- Nutze für \(g\) den Satz vom Nullprodukt. - Welche Form hat eine proportionale Funktion? - Wie muss sich der konstante Summand von \(f\) ändern, damit der Graph durch den Ursprung verläuft?

1. Nullstelle von \(f\): \(3x-6=0\), also \(x=2\). 2. Nullstellen von \(g\): \(x(x-2)=0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt \(x_1=0\) oder \(x_2=2\). Beide Funktionen haben die gemeinsame Nullstelle \(x=2\). 3. \(f\) ist linear und hat genau eine Nullstelle. \(g\) ist quadratisch und besteht aus zwei linearen Faktoren; der Faktor \(x\) liefert die zusätzliche Nullstelle \(0\). 4. Eine proportionale Funktion hat die Form \(y=mx\). Verschiebt man den Graphen von \(f(x)=3x-6\) um \(6\) Einheiten nach oben, erhält man \(y=3x\). Der Graph von \(g\) bleibt bei jeder vertikalen Verschiebung eine Parabel und wird nicht proportional.

a) \(f\) hat die Nullstelle \(x=2\); \(g\) hat die Nullstellen \(x=0\) und \(x=2\). Gemeinsam ist \(x=2\). b) Der zusätzliche Faktor \(x\) erzeugt bei \(g\) die Nullstelle \(x=0\). c) \(f\) lässt sich durch eine Verschiebung um \(6\) Einheiten nach oben in die proportionale Funktion \(y=3x\) überführen.

- Nutze den Satz vom Nullprodukt, um die Nullstellen ohne Ausmultiplizieren zu finden. - Wo auf dem Koordinatensystem ist der x-Wert immer null? - Setze den x-Wert des Punktes in die Gleichung ein und schaue, ob das Ergebnis dem y-Wert entspricht. - Ist der y-Wert des Punktes größer oder kleiner als der berechnete Wert an dieser Stelle?

1. Berechnung der Nullstellen: Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. \(x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2\) oder \(2x + 6 = 0 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x_2 = -3\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ein: \(f(0) = (0 - 2)(2 \cdot 0 + 6) = (-2)(6) = -12\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|-12)\). 3. Punktprobe für \(R(3|12)\): Berechne \(f(3) = (3 - 2)(2 \cdot 3 + 6) = 1 \cdot (6 + 6) = 12\). Da der berechnete Wert mit der \(y\)-Koordinate des Punktes übereinstimmt, liegt \(R\) auf dem Graphen. 4. Lage von \(Q(-1|-8)\): Berechne den Funktionswert an der Stelle \(x = -1\): \(f(-1) = (-1 - 2)(2 \cdot (-1) + 6) = (-3)(4) = -12\). Da \(-8 > -12\), liegt der Punkt \(Q\) oberhalb des Graphen.

a) Die Nullstellen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -3\). b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0|-12)\). c) Ja, der Punkt \(R(3|12)\) liegt auf dem Graphen \(G_f\). d) Der Punkt \(Q(-1|-8)\) liegt oberhalb des Graphen \(G_f\).

- Was bedeutet der Begriff „verschobene Normalparabel“ für den Streckfaktor \(a\)? - Erinnere dich, wie die Symmetrieachse einer Parabel durch den Scheitelpunkt verläuft. - Wenn du einen Punkt auf der Parabel kennst, wie findest du den gespiegelten Punkt auf der anderen Seite der Achse? - Welche Verfahren kennst du, um die Nullstellen einer Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\) zu berechnen?

1. Scheitelpunktform aufstellen (Normalparabel bedeutet \(a=1\)): \(f(x) = (x - 1{,}5)^2 - 6{,}25\) 2. Umwandlung in Normalform durch Ausmultiplizieren: \(f(x) = x^2 - 3x + 2{,}25 - 6{,}25 = x^2 - 3x - 4\) 3. Symmetrie nutzen: Die Symmetrieachse liegt bei \(x = 1{,}5\). Der Abstand der ersten Nullstelle \(x_1 = 4\) zur Achse ist \(4 - 1{,}5 = 2{,}5\). Die zweite Nullstelle liegt im gleichen Abstand auf der anderen Seite: \(1{,}5 - 2{,}5 = -1\). 4. Rechnerische Überprüfung: \(x^2 - 3x - 4 = 0\) mit der \(p\)-\(q\)-Formel lösen: \(x = 1{,}5 \pm \sqrt{1{,}5^2 + 4} = 1{,}5 \pm \sqrt{6{,}25} = 1{,}5 \pm 2{,}5\). 5. Ergebnisse: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -1\)

a) Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - 1{,}5)^2 - 6{,}25\); Normalform: \(f(x) = x^2 - 3x - 4\) b) \(x_2 = -1\) (Abstand zur Symmetrieachse \(x = 1{,}5\) beträgt jeweils \(2{,}5\)) c) Die Rechnung bestätigt \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -1\).

- Erkennst du in dem Term \(x^2 + 4x + 4\) eine binomische Formel? - Wie viele Werte für \(x\) erfüllen die Gleichung? - Was bedeutet es für den Graphen einer Funktion, wenn es nur eine einzige Nullstelle gibt? - Überlege, ob der Graph die \(x\)-Achse kreuzt oder nur „antippt“.

1. Eine quadratische Funktion ist \(f(x) = x^2 + 4x + 4\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf die Gleichung ergibt \((x+2)^2 = 0\). 3. Daraus folgt die einzige Lösung \(x = -2\). 4. Da die Gleichung genau eine Lösung hat, besitzt die Funktion \(f\) genau eine Nullstelle. Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph (die Parabel) die \(x\)-Achse im Punkt \((-2|0)\) berührt. Da \(f(x) = (x+2)^2\) die Scheitelpunktform mit \(S(-2|0)\) ist, ist dies der tiefste Punkt der nach oben geöffneten Parabel.

a) \(f(x) = x^2 + 4x + 4\) b) Die Gleichung hat genau eine Lösung: \(x = -2\). c) Der Graph berührt die \(x\)-Achse im Punkt \((-2|0)\). Da es nur eine Lösung gibt, fällt der Scheitelpunkt der Parabel genau auf die \(x\)-Achse.

- Wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt, kannst du seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen. - Welchen Wert hat \(y\) an einer Nullstelle? - Erinnere dich an die Symmetrie von Parabeln, deren Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse liegt.

1. Bestimmung von \(k\): Setze den Punkt \((4|0)\) in die Gleichung ein: \(0 = 4^2 - k \Rightarrow 0 = 16 - k \Rightarrow k = 16\). 2. Berechnung der zweiten Nullstelle: Für \(k=16\) lautet die Gleichung \(x^2 - 16 = 0\). Daraus folgt \(x^2 = 16\), also \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). Die zweite Nullstelle ist \(x = -4\). 3. Analyse für negatives \(k\): Wenn \(k < 0\), dann ist \(-k\) positiv. Die Gleichung \(x^2 - k = 0\) führt zu \(x^2 = k\). Da \(k\) negativ ist, gibt es keine reelle Zahl, deren Quadrat \(k\) ergibt. Graphisch gesehen ist der Scheitelpunkt \((0|-k)\) bei negativem \(k\) nach oben verschoben (da \(-k > 0\)). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, hat sie keine Nullstellen.

a) \(k = 16\) b) Die zweite Nullstelle ist \(x = -4\). c) Die Funktion hat keine Nullstellen, da der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl eine Nullstelle einer Funktion ist? - Setze die Funktionsgleichung mit dem gesuchten Wert gleich und löse nach \(x\) auf. - Nutze die Symmetrie der Parabel. Wenn zwei Punkte dieselbe Höhe haben, wo muss dann die Mitte sein? - Wie findet man den höchsten Punkt einer nach unten geöffneten Parabel?

1. Überprüfung der Nullstelle: Einsetzen von \(x = -1\) in \(g(x)\): \(g(-1) = -(-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 5 = -1 - 4 + 5 = 0\). Damit ist \(x = -1\) eine Nullstelle. 2. Bestimmung der \(x\)-Werte für \(g(x) = 5\): Ansatz \(-x^2 + 4x + 5 = 5 \Rightarrow -x^2 + 4x = 0\). Ausklammern ergibt \(x(-x + 4) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). 3. \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts: Da \(g(0) = 5\) und \(g(4) = 5\), liegt der Scheitelpunkt bei \(x_S = \frac{0 + 4}{2} = 2\). 4. Maximaler Funktionswert: Einsetzen von \(x_S = 2\) in die Funktion: \(g(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist (negativer Streckfaktor), ist dies das Maximum.

a) \(g(-1) = 0\), also ist \(-1\) eine Nullstelle. b) Die Funktion nimmt den Wert \(5\) an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 4\) an. c) Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts ist \(x = 2\). d) Der maximale Funktionswert ist \(9\).

- Wo liegt die Symmetrieachse einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Kennst du eine Darstellungsform für quadratische Funktionen, in der man die Nullstellen direkt verwenden kann? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den Streckfaktor einer Funktion zu finden? - Wie gelangst du von der Lage des Scheitelpunkts zur gesuchten Form der Gleichung?

1. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts \(x_s\) liegt genau in der Mitte der Nullstellen: \(x_s = \frac{-4 + 2}{2} = -1\). 2. Den Ansatz in der Produktform (Nullstellenform) wählen: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x + 4)(x - 2)\). 3. Den Punkt \(P(0|-4)\) einsetzen, um \(a\) zu bestimmen: \(-4 = a(0 + 4)(0 - 2) \Rightarrow -4 = -8a \Rightarrow a = 0{,}5\). 4. Die y-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen: \(f(-1) = 0{,}5(-1 + 4)(-1 - 2) = 0{,}5 \cdot 3 \cdot (-3) = -4{,}5\). 5. Die Scheitelpunktform aufstellen: \(f(x) = 0{,}5(x + 1)^2 - 4{,}5\).

Die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform lautet \(f(x) = 0{,}5(x + 1)^2 - 4{,}5\).

- Versuche, den Term mit der Klammer schrittweise zu isolieren. - Welche Operation macht das Quadrieren rückgängig? - Denke daran, dass beim Wurzelziehen aus einer positiven Zahl zwei Fälle entstehen können. - Wie gehst du mit dem Vorfaktor vor der Klammer um?

1. Für \(f(x)\): Setze \((x + 4)^2 - 49 = 0\). Addiere \(49\), um \((x + 4)^2 = 49\) zu erhalten. Ziehe die Wurzel: \(x + 4 = 7\) oder \(x + 4 = -7\). Dies ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -11\). 2. Für \(g(x)\): Setze \(-3(x - 2)^2 + 27 = 0\). Subtrahiere \(27\), was \(-3(x - 2)^2 = -27\) ergibt. Dividiere durch \(-3\), um \((x - 2)^2 = 9\) zu erhalten. Ziehe die Wurzel: \(x - 2 = 3\) oder \(x - 2 = -3\). Dies ergibt \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\).

a) \(x_1 = 3\), \(x_2 = -11\) b) \(x_1 = 5\), \(x_2 = -1\)

- Welches Verfahren nutzt du am liebsten, um quadratische Gleichungen zu lösen? - Was passiert mit einer Gleichung, wenn du sie mit einer Zahl multiplizierst oder durch eine Zahl dividierst? - Schau dir die Koeffizienten der beiden Funktionen genau an — erkennst du ein Muster?

1. Nullstellen von \(f\) berechnen: \(x^2 - 10x + 21 = 0\) liefert mit der \(p\)-\(q\)-Formel \(x_{1,2} = 5 \pm \sqrt{25 - 21}\), also \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 7\). 2. Nullstellen von \(g\) berechnen: \(0{,}5x^2 - 5x + 10{,}5 = 0\). Multiplikation mit \(2\) führt auf dieselbe Gleichung \(x^2 - 10x + 21 = 0\), also ebenfalls \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 7\). 3. Abstand berechnen: Für beide Funktionen gilt \(d = |7 - 3| = 4\). 4. Begründung: Die Funktion \(g\) lässt sich als \(g(x) = 0{,}5 \cdot f(x)\) schreiben. Da ein konstanter Faktor ungleich Null die Lösungen der Gleichung \(f(x) = 0\) nicht beeinflusst, bleiben die Nullstellen gleich.

a) Die Nullstellen sind für beide Funktionen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 7\). b) Der Abstand der Nullstellen beträgt bei beiden Funktionen \(4\). c) Da \(g(x) = 0{,}5 \cdot f(x)\) ist, haben beide Funktionen dieselben Nullstellen, da der Faktor \(0{,}5\) keinen Einfluss auf die Lösungen der Gleichung \(f(x) = 0\) hat.

- Welche Formel hilft dir, die Stellen zu finden, an denen der Funktionswert Null ist? - Erinnerst du dich an einen Zusammenhang zwischen der Lage der Nullstellen und der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts bei Parabeln? - Wie hilft dir die Öffnungsrichtung der Parabel dabei, den Bereich der negativen Werte zu finden? - Überlege, wie der Graph skizziert aussehen müsste, wenn du die Nullstellen und den Scheitelpunkt kennst.

1. Nullstellenberechnung durch Lösen von \(0{,}5x^2 - 2x - 6 = 0\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x^2 - 4x - 12 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - (-12)} = 2 \pm \sqrt{16}\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\). 2. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts liegt mittig zwischen den Nullstellen: \(x_s = \frac{-2 + 6}{2} = 2\). Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(g(2) = 0{,}5 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 - 6 = 2 - 4 - 6 = -8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 \mid -8)\). Alternativ über die Formel \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 0{,}5} = 2\). 3. Da der Streckfaktor \(a = 0{,}5\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Die Funktionswerte sind daher zwischen den beiden Nullstellen negativ. Dies entspricht dem Intervall \(-2 < x < 6\).

1. Nullstellen: \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\) 2. Scheitelpunkt: \(S(2 \mid -8)\) 3. Die Funktionswerte sind im Bereich \(-2 < x < 6\) negativ.

- Schau dir die Struktur der Gleichungen genau an. Welche Rechenregel hilft dir bei Produkten? - Wie isolierst du das \(x^2\), bevor du die Wurzel ziehst? - Achte auf die Vorzeichen beim Umstellen der linearen Gleichung.

Setze \(y = 0\) für jede Gleichung. 1. Für \(y = 2x(x - 4{,}5)\): Anwendung der Nullproduktregel ergibt \(2x = 0 \implies x = 0\) oder \(x - 4{,}5 = 0 \implies x = 4{,}5\). 2. Für \(y = \frac{1}{3}x^2 - 27\): \(0 = \frac{1}{3}x^2 - 27 \implies 27 = \frac{1}{3}x^2 \implies 81 = x^2\). Daraus folgen \(x = 9\) und \(x = -9\). 3. Für \(y = 15 - 1{,}5x\): \(0 = 15 - 1{,}5x \implies 1{,}5x = 15 \implies x = \frac{15}{1{,}5} = 10\).

a) \(x_1 = 0, x_2 = 4{,}5\) b) \(x_1 = 9, x_2 = -9\) c) \(x = 10\)

- Was passiert, wenn die beiden Zahlen in den Klammern identisch sind? - Berechne die Werte Schritt für Schritt durch Einsetzen. - Denk an die Steigung: Wenn du von einem Punkt zum nächsten gehst, müsste sich der Wert bei einer Geraden immer gleichmäßig ändern. - Wie verändern sich die Funktionswerte von \(x=0\) zu \(x=2\) und von \(x=2\) zu \(x=4\)?

1. Überprüfung der Behauptung: Wenn \(a = b\), lautet die Gleichung \(y = (x - a)(x - a) = (x - a)^2\). In diesem Fall gibt es nur eine Nullstelle bei \(x = a\). Die Behauptung ist also falsch. 2. Berechnung der Funktionswerte für \(h(x) = (x - 1)(x - 3)\): \(h(0) = (0 - 1) \cdot (0 - 3) = (-1) \cdot (-3) = 3\) \(h(2) = (2 - 1) \cdot (2 - 3) = 1 \cdot (-1) = -1\) \(h(4) = (4 - 1) \cdot (4 - 3) = 3 \cdot 1 = 3\) 3. Analyse der Steigung: Die Steigung zwischen \((0|3)\) und \((2|-1)\) ist \(m_1 = \frac{-1 - 3}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2\). Die Steigung zwischen \((2|-1)\) und \((4|3)\) ist \(m_2 = \frac{3 - (-1)}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2\). Da die Steigungen unterschiedlich sind (\(-2 \neq 2\)), liegen die Punkte nicht auf einer Geraden.

a) Die Behauptung ist falsch. Wenn \(a = b\), z. B. \(y = (x - 2)(x - 2)\), gibt es nur die Nullstelle \(x = 2\). b) Die Werte sind: \(h(0) = 3\), \(h(2) = -1\) und \(h(4) = 3\). c) Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden, da die Werte erst fallen (von 3 auf -1) und dann wieder steigen (von -1 auf 3). Eine Gerade mit einer festen Steigung kann nicht erst fallen und dann steigen.

- Wann wird ein Produkt aus zwei Klammern null? Muss man dafür alles ausmultiplizieren? - Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt zu einer Rechenvorschrift passt? - Setze die gegebenen Zahlen für \(x\) ein und berechne das Ergebnis Schritt für Schritt.

1. Nullstellenbestimmung: Der Term \((x - 2)(x + 3)\) wird null, wenn einer der Faktoren null ist. Dies ist für \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -3\) der Fall. 2. Punktprobe für \(P(4 \mid 14)\): Einsetzen von \(x = 4\) ergibt \(h(4) = (4 - 2) \cdot (4 + 3) = 2 \cdot 7 = 14\). Da der berechnete Wert dem \(y\)-Wert des Punktes entspricht, liegt \(P\) auf dem Graphen. 3. Vergleich der Werte: \(h(1) = (1 - 2) \cdot (1 + 3) = (-1) \cdot 4 = -4\). \(h(-2) = (-2 - 2) \cdot (-2 + 3) = (-4) \cdot 1 = -4\). Die Funktionswerte sind identisch.

a) Die Nullstellen liegen bei \(x = 2\) und \(x = -3\). b) Ja, der Punkt \(P(4 \mid 14)\) liegt auf dem Graphen, da \(h(4) = 14\) ist. c) Es gilt \(h(1) = -4\) und \(h(-2) = -4\). Die Funktionswerte sind also gleich groß.

- Stelle dir vor, wie sich die Parabel entlang der \(y\)-Achse bewegt, wenn du \(c\) veränderst. - Wann liegt eine nach oben geöffnete Parabel vollständig oberhalb der \(x\)-Achse? - Vergleiche die Koordinaten des alten Scheitelpunkts mit denen des neuen Scheitelpunkts. - Wie verändert sich eine Funktionsgleichung, wenn man sie in \(x\)-Richtung oder \(y\)-Richtung verschiebt?

1. Bedingung für keine Nullstellen: Da die Parabel nach oben geöffnet ist (\(a=1\)), hat sie keine Nullstellen, wenn der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Das ist für \(c > 0\) der Fall. 2. Nullstellen für \(c = -16\): \((x + 3)^2 - 16 = 0 \Rightarrow (x + 3)^2 = 16 \Rightarrow x + 3 = \pm 4\). 3. Berechnete Werte: \(x_1 = -3 + 4 = 1\) und \(x_2 = -3 - 4 = -7\). 4. Verschiebung analysieren: Der ursprüngliche Scheitelpunkt ist \(S(-3 \mid -16)\). Um nach \(S'(0 \mid 0)\) zu gelangen, muss die Parabel um 3 Einheiten nach rechts und um 16 Einheiten nach oben verschoben werden. 5. Neue Funktionsgleichung: \(h_{\mathrm{neu}}(x) = x^2\).

a) Für \(c > 0\), da der Scheitelpunkt dann oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist. b) \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -7\) c) Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 16 Einheiten nach oben; neue Gleichung: \(h_{\mathrm{neu}}(x) = x^2\)

- Wann liefert die \(p\)-\(q\)-Formel genau ein Ergebnis? Schau dir den Teil unter der Wurzel an. - Setze für Aufgabenteil b) einfach die Zahl für den Platzhalter ein und löse wie gewohnt. - Wie verändert sich die Position einer Parabel, wenn man die Zahl am Ende des Funktionsterms (das \(k\)) vergrößert? - Erinnere dich an die Scheitelpunktform. Wo liegt der tiefste Punkt der Parabel, wenn \(k\) sehr groß wird?

1. Eine quadratische Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn die Diskriminante der \(p\)-\(q\)-Formel null ist: \(D = (\frac{-6}{2})^2 - k = 9 - k\). Aus \(9 - k = 0\) folgt \(k = 9\). 2. Für \(k = 5\) lautet die Gleichung \(x^2 - 6x + 5 = 0\). Mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{3^2 - 5} = 3 \pm \sqrt{4}\). Damit sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 1\). 3. Die Scheitelpunktform von \(f_k\) ist \(f_k(x) = (x-3)^2 + k - 9\). Für \(k=9\) liegt der Scheitelpunkt bei \(S(3|0)\). Erhöht man \(k\) auf \(10\), verschiebt sich die nach oben geöffnete Parabel um eine Einheit nach oben auf \(S(3|1)\). Da der Scheitelpunkt (der tiefste Punkt) nun oberhalb der \(x\)-Achse liegt, kann die Parabel die \(x\)-Achse nicht mehr erreichen oder schneiden, wodurch es keine Nullstellen und somit keine Lösungen für die Gleichung gibt.

a) Für \(k = 9\) hat die Funktion genau eine Nullstelle. b) Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). c) Für \(k = 10\) liegt der Scheitelpunkt der nach oben geöffneten Parabel bei \(S(3|1)\), also oberhalb der \(x\)-Achse. Somit gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse und die Gleichung hat keine Lösung.

- Was bedeutet „Normalparabel“ für den Koeffizienten vor dem \(x^2\)? - Wenn der Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse liegt, wie sieht dann die Funktionsgleichung aus? - Wann berührt eine Parabel die \(x\)-Achse nur in einem einzigen Punkt?

1. Ansatz für die Funktionsgleichung: Da es eine Normalparabel mit Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse ist, lautet die Form \(f(x) = x^2 + c\). 2. Einsetzen einer Nullstelle: \(0 = (2{,}5)^2 + c \Rightarrow 0 = 6{,}25 + c \Rightarrow c = -6{,}25\). Die Gleichung ist \(f(x) = x^2 - 6{,}25\). 3. Bedingung für genau eine Nullstelle: Damit eine nach oben geöffnete Parabel die \(x\)-Achse berührt, muss ihr Scheitelpunkt genau auf der \(x\)-Achse liegen. Das bedeutet, der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts muss \(0\) sein. Die neue Gleichung ist \(g(x) = x^2\). 4. Koordinaten des neuen Scheitelpunkts: \(S(0|0)\). 5. Berechnung der Verschiebung: Der ursprüngliche Scheitelpunkt lag bei \((0|-6{,}25)\), der neue bei \((0|0)\). Die Parabel wurde um \(0 - (-6{,}25) = 6{,}25\) Einheiten nach oben verschoben.

a) \(f(x) = x^2 - 6{,}25\) b) Neue Gleichung: \(g(x) = x^2\); neuer Scheitelpunkt: \(S(0|0)\). c) Die Parabel wurde um \(6{,}25\) Einheiten nach oben verschoben.

- Wie geht man vor, um den Faktor vor dem \(x^2\) auszuklammern? - Welche Information liefert die Scheitelpunktform direkt über das Minimum oder Maximum? - Betrachte den Definitionsbereich und den Wertebereich der Funktion. - Was sagt uns das Ergebnis über die Schnittpunkte mit einer waagerechten Geraden aus?

1. Umformung in Scheitelpunktform: \(h(x) = 2(x^2 - 6x) + 10\). Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer: \(2(x^2 - 6x + 3^2 - 3^2) + 10 = 2((x-3)^2 - 9) + 10 = 2(x-3)^2 - 18 + 10 = 2(x-3)^2 - 8\). 2. Kleinster Funktionswert: Aus der Scheitelpunktform \(h(x) = 2(x-3)^2 - 8\) liest man den Scheitelpunkt \(S(3 | -8)\) ab. Da der Faktor \(2\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Der minimale Wert ist \(-8\) an der Stelle \(x = 3\). 3. Begründung für \(h(x) = -10\): Da der kleinste Funktionswert \(-8\) ist, kann die Funktion keine Werte annehmen, die kleiner als \(-8\) sind. Da \(-10 < -8\), gibt es keine Lösung. 4. Berechnung für \(h(x) = 10\): \(2x^2 - 12x + 10 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 12x = 0 \Rightarrow 2x(x - 6) = 0\). Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 6\). Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph die horizontale Gerade \(y = 10\) in den Punkten \((0 | 10)\) und \((6 | 10)\) schneidet. Der Punkt \((0 | 10)\) ist zugleich der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse.

a) Die Scheitelpunktform lautet \(h(x) = 2(x-3)^2 - 8\). b) Der kleinste Wert ist \(-8\) bei \(x = 3\). c) Da das Minimum bei \(-8\) liegt, kann der Wert \(-10\) niemals erreicht werden. d) Die Werte sind \(x = 0\) und \(x = 6\). Die Schnittpunkte mit der Geraden \(y = 10\) sind \((0 | 10)\) und \((6 | 10)\).

- Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob zwei Gleichungen die gleichen Lösungen haben? - Welche besondere Eigenschaft haben Punkte, die auf beiden Graphen gleichzeitig liegen? - Was weißt du über die Anzahl der möglichen Schnittpunkte zweier Parabeln? - Was passiert mit dem Funktionswert an einer Nullstelle?

1. Nullstellen von \(h_1\) berechnen: \(2(x - 5)^2 - 18 = 0 \Rightarrow (x - 5)^2 = 9 \Rightarrow x - 5 = \pm 3 \Rightarrow x_1 = 8, x_2 = 2\). 2. Nullstellen von \(h_2\) berechnen: \(-0{,}5(x - 5)^2 + 4{,}5 = 0 \Rightarrow 0{,}5(x - 5)^2 = 4{,}5 \Rightarrow (x - 5)^2 = 9 \Rightarrow x - 5 = \pm 3 \Rightarrow x_1 = 8, x_2 = 2\). Die Nullstellen sind identisch. 3. Scheitelpunkte ablesen: \(S_1(5|-18)\) und \(S_2(5|4{,}5)\). 4. Begründung für die Schnittpunkte: Es gilt für alle \(x\) die Beziehung \(h_2(x)=-0{,}25\,h_1(x)\). Daher folgt aus \(h_1(x)=h_2(x)\), dass \(1{,}25\,h_1(x)=0\) und somit \(h_1(x)=0\). Die Graphen schneiden sich also genau an den gemeinsamen Nullstellen \(x=2\) und \(x=8\).

a) Beide Funktionen haben die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 8\). b) Die Scheitelpunkte sind \(S_1(5|-18)\) und \(S_2(5|4{,}5)\). c) Wegen \(h_2(x)=-0{,}25\,h_1(x)\) kann \(h_1(x)=h_2(x)\) nur für \(h_1(x)=0\) gelten. Daher schneiden sich die Graphen genau bei \(x=2\) und \(x=8\).

- Steht die Gleichung bereits in der Normalform \(x^2 + px + q = 0\)? - Was musst du tun, wenn vor dem \(x^2\) eine andere Zahl als \(1\) steht? - Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man solche Gleichungen direkt lösen kann? - Achte besonders auf die Vorzeichen von \(p\) und \(q\) beim Einsetzen.

1. Für \(f(x)\): Nutze die \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p = -8\) und \(q = 12\). \(x_{1,2} = - \frac{-8}{2} \pm \sqrt{(\frac{-8}{2})^2 - 12} = 4 \pm \sqrt{16 - 12} = 4 \pm \sqrt{4}\). Somit sind \(x_1 = 6\) und \(x_2 = 2\). 2. Für \(g(x)\): Normiere die Gleichung zuerst durch Division durch \(2\): \(x^2 - 2x - 15 = 0\). Nutze die \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p = -2\) und \(q = -15\). \(x_{1,2} = - \frac{-2}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - (-15)} = 1 \pm \sqrt{1 + 15} = 1 \pm \sqrt{16}\). Somit sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -3\).

a) \(x_1 = 6\), \(x_2 = 2\) b) \(x_1 = 5\), \(x_2 = -3\)

- In Teil a) kannst du die Gleichung lösen, indem du zuerst die Konstante auf die andere Seite bringst und dann die Wurzel ziehst, ohne die Klammer vorher aufzulösen. - Wann berührt eine Parabel die x-Achse nur an einem einzigen Punkt? Wo muss dieser Punkt liegen? - In welcher Form ist die Funktion gegeben? Welche besonderen Punkte des Graphen lassen sich daraus direkt ablesen?

1. Teil a): Setze \((x + 3)^2 - 16 = 0\). Daraus folgt \((x + 3)^2 = 16\). 2. Ziehen der Wurzel ergibt zwei Fälle: \(x + 3 = 4\) oder \(x + 3 = -4\). 3. Auflösen nach \(x\): \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -7\). 4. Teil b): Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform hat genau dann eine Nullstelle, wenn der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt. 5. Der Scheitelpunkt von \(h(x) = (x + 3)^2 + e\) ist \(S(-3|e)\). Damit dieser auf der x-Achse liegt, muss die y-Koordinate \(e = 0\) sein. 6. Der Wert \(-16\) muss also durch \(0\) ersetzt werden. Die Funktion lautet dann \(h^*(x) = (x + 3)^2\).

a) \(x_1 = 1\), \(x_2 = -7\) b) Der Wert \(-16\) muss durch \(0\) ersetzt werden. Eine Parabel hat genau dann eine Nullstelle, wenn ihr Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt (y-Koordinate des Scheitelpunkts ist \(0\)).

- Wie hängen die Lage der Nullstellen und die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts zusammen? - Welche Maße eines Dreiecks kannst du direkt aus den Koordinaten der Nullstellen und des Scheitelpunkts ablesen? - Skizziere die Situation kurz, um die Grundseite und die Höhe des Dreiecks besser zu erkennen.

1. Nullstellen berechnen: \(-0{,}5x^2 + 2x + 6 = 0 \implies x^2 - 4x - 12 = 0\). Mit der \(p\)-\(q\)-Formel ergibt sich \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 12} = 2 \pm 4\). Somit \(N_1(-2 \mid 0)\) und \(N_2(6 \mid 0)\). 2. Scheitelpunkt bestimmen: Der \(x\)-Wert des Scheitelpunkts liegt genau in der Mitte der Nullstellen bei \(x_s = \frac{-2 + 6}{2} = 2\). Der \(y\)-Wert ist \(f(2) = -0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 6 = -2 + 4 + 6 = 8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 \mid 8)\). 3. Flächeninhalt berechnen: Die Grundseite des Dreiecks ist der Abstand der Nullstellen \(g = |6 - (-2)| = 8\). Die Höhe entspricht dem \(y\)-Wert des Scheitelpunkts \(h = 8\). 4. Anwendung der Formel \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\): \(A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32\).

a) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 6\). b) Der Scheitelpunkt ist \(S(2 \mid 8)\). c) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(32\) Flächeneinheiten.

- Wie kannst du die Nullstellen nutzen, um ein Gleichungssystem für \(p\) und \(q\) aufzustellen? - Was bedeutet es für die Lage der Parabel, wenn sie die \(x\)-Achse nur berührt? - Welche Bedingung muss die Diskriminante der quadratischen Gleichung erfüllen, damit es nur eine Lösung gibt? - Wo liegt der Scheitelpunkt einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen?

1. Aufstellen eines Gleichungssystems mit den Nullstellen: \((-2)^2 + p \cdot (-2) + q = 0\) und \(4^2 + p \cdot 4 + q = 0\). 2. Vereinfachen ergibt \(4 - 2p + q = 0\) und \(16 + 4p + q = 0\). 3. Subtraktion der Gleichungen führt zu \(12 + 6p = 0\), woraus \(p = -2\) folgt. 4. Einsetzen von \(p = -2\) in eine Gleichung ergibt \(4 - 2(-2) + q = 0\), also \(8 + q = 0\), woraus \(q = -8\) folgt. 5. Eine Parabel berührt die \(x\)-Achse genau dann, wenn ihr Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt (Diskriminante ist null). 6. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts liegt bei \(x_s = -\frac{p}{2} = -\frac{-2}{2} = 1\). 7. Der zugehörige \(y\)-Wert muss \(0\) sein: \(1^2 - 2 \cdot 1 + q_{\text{neu}} = 0\), also \(-1 + q_{\text{neu}} = 0\), woraus \(q_{\text{neu}} = 1\) folgt. 8. Um von \(q = -8\) auf \(q_{\text{neu}} = 1\) zu kommen, muss \(q\) um \(9\) Einheiten vergrößert werden.

a) \(p = -2\) und \(q = -8\) b) \(q\) muss um \(9\) vergrößert werden (auf den Wert \(q = 1\)).