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- Welche besonderen Punkte des Graphen kannst du direkt aus der Formel ablesen? - Wo liegt der Scheitelpunkt einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Wenn du die x-Koordinate hast, wie findest du dann den passenden y-Wert?

1. Bestimmung der Nullstellen aus der Linearfaktorform: \(x_1 = 4, x_2 = -2\) 2. Berechnung der x-Koordinate des Scheitelpunkts als Mittelwert der Nullstellen: \(x_s = \frac{4 + (-2)}{2} = 1\) 3. Berechnung der y-Koordinate durch Einsetzen von \(x_s\) in die Funktionsgleichung: \(y_s = 3(1 - 4)(1 + 2) = 3(-3)(3) = -27\)

b) \(S(1 | -27)\)

- Erinnere dich an die allgemeine Scheitelpunktform \(y = a(x - d)^2 + e\). - Achte besonders auf das Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Welcher Summand außerhalb des Quadrats gibt die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts an? - Wenn kein Term mit \(x\) in einer Klammer steht, wurde der Graph dann entlang der \(x\)-Achse verschoben?

1. Vergleich mit der Scheitelpunktform \(y = a(x - d)^2 + e\), wobei der Scheitelpunkt \(S(d|e)\) ist. 2. Für a) \(f(x) = (x - (-3{,}2))^2 - 1{,}5\): Hier ist \(d = -3{,}2\) und \(e = -1{,}5\). Somit ist \(S(-3{,}2 | -1{,}5)\). 3. Für b) \(g(x) = -1 \cdot (x - 5)^2 + 2\): Hier ist \(d = 5\) und \(e = 2\). Somit ist \(S(5 | 2)\). 4. Für c) \(h(x) = (x - 0)^2 + 8{,}5\): Hier ist \(d = 0\) und \(e = 8{,}5\). Somit ist \(S(0 | 8{,}5)\).

a) \(S(-3{,}2 | -1{,}5)\) b) \(S(5 | 2)\) c) \(S(0 | 8{,}5)\)

- Was weißt du über die Lage des Scheitelpunkts, wenn zwei Punkte auf derselben Höhe (gleicher y-Wert) liegen? - Welcher Teil des Scheitelpunkts entspricht dem „kleinsten Wert“ einer Funktion? - Wie sieht die allgemeine Form einer Funktionsgleichung aus, wenn man den Scheitelpunkt kennt?

1. Da die Funktionswerte an den Stellen \(x = -2\) und \(x = 4\) mit \(y = 11\) identisch sind, liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(x_S\) aufgrund der Symmetrie genau in der Mitte zwischen diesen Werten: \(x_S = \frac{-2 + 4}{2} = 1\). 2. Der kleinste Funktionswert einer nach oben geöffneten Normalparabel entspricht der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts, also ist \(y_S = 2\). 3. Daraus ergeben sich die Koordinaten des Scheitelpunkts zu \(S(1 | 2)\). 4. Durch Einsetzen von \(x_S\) und \(y_S\) in die Scheitelpunktform erhält man die Funktionsgleichung \(f(x) = (x-1)^2 + 2\).

Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1 | 2)\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = (x-1)^2 + 2\).

- Wie findet man die Zahl, die man addieren muss, um eine binomische Formel bilden zu können? - Überlege, wie sich das Vorzeichen in der Klammer der Scheitelpunktform auf die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes auswirkt. - Was sagt das Vorzeichen vor dem gesamten quadratischen Term über die Öffnung der Parabel aus?

1. Quadratische Ergänzung durchführen: Die Hälfte des linearen Koeffizienten \(10\) ist \(5\). Das Quadrat davon ist \(25\). 2. Ergänzen und Subtrahieren: \(f(x) = x^2 + 10x + 25 - 25 + 7\). 3. Binomische Formel anwenden: \(f(x) = (x + 5)^2 - 18\). 4. Scheitelpunkt ablesen: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-5 | -18)\). 5. Art des Extrempunktes bestimmen: Da der Koeffizient vor dem Quadrat positiv ist (\(1\)), ist die Parabel nach oben geöffnet. Der Scheitelpunkt ist somit ein Tiefpunkt.

Die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = (x + 5)^2 - 18\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-5 | -18)\) und es handelt sich um einen Tiefpunkt.

- Wie hängen die Koeffizienten der Normalform mit der \(p\)-\(q\)-Formel zusammen? - Welchen Einfluss hat eine Verschiebung entlang der \(x\)-Achse auf den Funktionsterm in der Scheitelpunktform? - Kannst du die Normalform in die Scheitelpunktform umwandeln?

1. Bestimmung des Scheitelpunkts durch quadratische Ergänzung oder Formel: \(x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2} = -3\). Einsetzen in \(f(x)\) ergibt \(y_S = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-3 | -4)\). 2. Berechnung der Nullstellen mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x^2 + 6x + 5 = 0 \Rightarrow x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{3^2 - 5} = -3 \pm \sqrt{4}\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -5\) und \(x_2 = -1\). 3. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links: Der \(x\)-Wert des Scheitelpunkts ändert sich von \(-3\) auf \(-6\). Die \(y\)-Koordinate bleibt gleich. Die neue Gleichung in Scheitelpunktform lautet \(g(x) = (x + 6)^2 - 4\).

a) \(S(-3 | -4)\) b) \(x_1 = -5; x_2 = -1\) c) \(g(x) = (x + 6)^2 - 4\)

- Kannst du den Term so ergänzen, dass du eine binomische Formel anwenden kannst? - Welche Zahl ergänzt \(x^2 + 4x\) zu einem vollständigen Quadrat? - Erinnere dich daran, dass du denselben Wert, den du addierst, auch wieder abziehen musst, um den Wert des Terms nicht zu verändern.

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung: \(x^2 + 4x + 4 - 4 + 7\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf die ersten drei Summanden: \((x + 2)^2 - 4 + 7\). 3. Zusammenfassen der konstanten Werte am Ende des Terms: \(f(x) = (x + 2)^2 + 3\). 4. Ablesen des Scheitelpunkts aus der Form \(a(x - x_S)^2 + y_S\): \(S(-2 | 3)\).

\(f(x) = (x + 2)^2 + 3\); Scheitelpunkt \(S(-2 | 3)\)

- Was kannst du direkt aus der Form der Funktionsgleichung über die Lage des höchsten oder tiefsten Punktes ablesen? - Wie verändert sich das Vorzeichen der Zahl in der Klammer, wenn du die x-Koordinate des Scheitelpunkts bestimmst? - Was musst du für den Funktionswert einsetzen, um die Schnittpunkte mit der x-Achse zu finden? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \((x-d)^2 = r\) nach \(x\) auflösen?

1. Ablesen der Scheitelpunkte aus der Scheitelpunktform \(a(x-d)^2 + e\): Für \(f(x)\) ist \(S_f(-4|-9)\), für \(g(x)\) ist \(S_g(3|8)\). 2. Berechnung der Nullstellen für \(f(x)\): Setze \(0 = (x+4)^2 - 9\). Daraus folgt \((x+4)^2 = 9\). Ziehen der Wurzel ergibt \(x+4 = 3\) oder \(x+4 = -3\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = -7\). 3. Berechnung der Nullstellen für \(g(x)\): Setze \(0 = -2(x-3)^2 + 8\). Daraus folgt \(2(x-3)^2 = 8\), also \((x-3)^2 = 4\). Ziehen der Wurzel ergibt \(x-3 = 2\) oder \(x-3 = -2\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 1\).

a) Scheitelpunkt: \(S(-4|-9)\), Nullstellen: \(x_1 = -1, x_2 = -7\) b) Scheitelpunkt: \(S(3|8)\), Nullstellen: \(x_1 = 5, x_2 = 1\)

- Welche Form der Funktionsgleichung bietet sich an, wenn die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse gegeben sind? - Wo liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts im Verhältnis zu den Nullstellen? - Wie findest du den \(y\)-Wert eines Punktes, wenn du seinen \(x\)-Wert und die Funktionsgleichung kennst?

1. Verwendung der Nullstellenform: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x + 2)(x - 6)\) 2. Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid 3)\) zur Bestimmung von \(a\): \(3 = a(0 + 2)(0 - 6) = -12a\) 3. Berechnung von \(a\): \(a = \frac{3}{-12} = -0{,}25\) 4. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}25(x + 2)(x - 6)\) 5. Bestimmung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts (\(x_s\)) als Mittelwert der Nullstellen: \(x_s = \frac{-2 + 6}{2} = 2\) 6. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts (\(y_s\)) durch Einsetzen von \(x_s\): \(y_s = f(2) = -0{,}25(2 + 2)(2 - 6) = -0{,}25 \cdot 4 \cdot (-4) = 4\) 7. Koordinaten des Scheitelpunkts: \(S(2 \mid 4)\)

Der Scheitelpunkt der Parabel hat die Koordinaten \(S(2 \mid 4)\).

- Wie findet man den höchsten oder tiefsten Punkt einer Parabel? - Was weißt du über den \(x\)-Wert eines Punktes, der auf der \(y\)-Achse liegt? - Welche Gleichung musst du lösen, um die Stellen zu finden, an denen der Funktionswert Null ist? - Schau dir den Koeffizienten vor dem \(x^2\) an – was verrät er dir über die Form?

1. Berechnung des Scheitelpunktes: Verwendung der Formel \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt \(y_s = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2 | -2)\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f(0) = 6\). Der Schnittpunkt ist \(P_y(0 | 6)\). 3. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Lösen der Gleichung \(2x^2 - 8x + 6 = 0\). Division durch \(2\) führt zu \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(1 | 0)\) und \(N_2(3 | 0)\). 4. Form und Öffnung: Da der Streckfaktor \(a = 2\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Da \(|a| > 1\), ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt (schmaler).

a) \(S(2 | -2)\) b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 | 6)\); Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \((1 | 0)\) und \((3 | 0)\) c) Die Parabel ist nach oben geöffnet und im Vergleich zur Normalparabel gestreckt (schmaler).

- Kannst du in den ersten beiden Teilaufgaben eine der binomischen Formeln entdecken? - Überlege bei Teilaufgabe c), welche Zahl du addieren müsstest, damit \(x^2 - 2x\) ein Teil einer binomischen Formel wird. - Wie kannst du die Zahl \(5\) so aufteilen, dass ein Teil davon perfekt in die binomische Formel passt?

1. Für a): Erkennen der zweiten binomischen Formel \(x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x + 6^2 = (x - 6)^2\). Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - 6)^2 + 0\). Scheitelpunkt: \(S(6 | 0)\). 2. Für b): Erkennen der ersten binomischen Formel mit \(2{,}5^2 = 6{,}25\). Es gilt \(x^2 + 2 \cdot 2{,}5 \cdot x + 2{,}5^2 = (x + 2{,}5)^2\). Scheitelpunktform: \(g(x) = (x + 2{,}5)^2 + 0\). Scheitelpunkt: \(S(-2{,}5 | 0)\). 3. Für c): Quadratische Ergänzung oder Zerlegung des konstanten Glieds: \(x^2 - 2x + 1 + 4\). Anwendung der zweiten binomischen Formel auf die ersten drei Terme ergibt \((x - 1)^2 + 4\). Scheitelpunktform: \(h(x) = (x - 1)^2 + 4\). Scheitelpunkt: \(S(1 | 4)\).

a) \(S(6 | 0)\) b) \(S(-2{,}5 | 0)\) c) \(S(1 | 4)\)

- Überlege dir, wie eine Parabel geformt ist. Wo muss die Mitte sein, wenn zwei Punkte links und rechts auf gleicher Höhe liegen? - Wenn du die x-Koordinate des Scheitelpunkts hast, wie kannst du die Gleichung zunächst aufschreiben? - Wie kommst du von der Klammerform (Scheitelpunktform) zur Normalform ohne Klammern?

1. Da die Punkte \(P\) und \(Q\) denselben \(y\)-Wert haben, muss die Symmetrieachse der Parabel genau mittig zwischen ihren \(x\)-Koordinaten verlaufen. Somit gilt für die Stelle des Scheitelpunkts: \(x_S = \frac{1+5}{2} = 3\). 2. Die Scheitelpunktform der Funktion lautet \(g(x) = (x-3)^2 + y_S\). Um \(y_S\) zu finden, setzt man einen der gegebenen Punkte ein, zum Beispiel \(Q(5 | 5)\): \(5 = (5-3)^2 + y_S \Rightarrow 5 = 4 + y_S \Rightarrow y_S = 1\). 3. Um \(p\) und \(q\) zu bestimmen, wird die Scheitelpunktform \(g(x) = (x-3)^2 + 1\) in die Normalform überführt: \(g(x) = (x^2 - 6x + 9) + 1 = x^2 - 6x + 10\). 4. Durch Koeffizientenvergleich mit \(g(x) = x^2 + px + q\) erhält man \(p = -6\) und \(q = 10\).

a) Der Scheitelpunkt liegt bei \(x = 3\), da dies die Mitte zwischen den x-Werten der Punkte mit gleichem y-Wert ist. b) Die Parameter sind \(p = -6\) und \(q = 10\).

- Was passiert mit den Koordinaten eines Punktes, wenn man ihn an der \(x\)-Achse spiegelt? - Wie hilft dir das Ausklammern des Streckfaktors bei der quadratischen Ergänzung? - Kannst du die Nullstellen direkt aus der Scheitelpunktform bestimmen, ohne die Mitternachtsformel zu nutzen?

1. Umwandlung in Scheitelpunktform: \(h(x) = -0{,}5(x^2 - 4x) + 6 = -0{,}5((x - 2)^2 - 4) + 6 = -0{,}5(x - 2)^2 + 2 + 6 = -0{,}5(x - 2)^2 + 8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 | 8)\). 2. Nullstellen berechnen: \(-0{,}5(x - 2)^2 + 8 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 16 \Rightarrow x - 2 = \pm 4\). Somit ist \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\). 3. Spiegelung an der \(x\)-Achse: Das Vorzeichen der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts kehrt sich um, der Scheitelpunkt wandert zu \((2 | -8)\). 4. Verschiebung um \(2\) nach oben: Die \(y\)-Koordinate erhöht sich um \(2\). Neuer Scheitelpunkt: \(S'(2 | -6)\).

a) \(h(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 8\); \(S(2 | 8)\) b) \(x_1 = 6; x_2 = -2\) c) \(S'(2 | -6)\)

- Was passiert, wenn du die Zahl vor dem \(x^2\) zuerst aus den Termen mit \(x\) ausklammerst? - Achte beim späteren Ausmultiplizieren besonders auf das Vorzeichen des Werts, den du ergänzt hast. - Wie lautet die passende binomische Formel für den Ausdruck in der Klammer?

1. Ausklammern des Faktors \(-2\) aus den ersten beiden Gliedern: \(-2(x^2 - 6x) - 10\). 2. Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer durchführen: \(-2(x^2 - 6x + 3^2 - 3^2) - 10\). 3. Umwandeln in ein Binom: \(-2((x - 3)^2 - 9) - 10\). 4. Ausmultiplizieren der äußeren Klammer: \(-2(x - 3)^2 + 18 - 10\). 5. Vereinfachen des Terms: \(g(x) = -2(x - 3)^2 + 8\).

\(g(x) = -2(x - 3)^2 + 8\)

- Was muss für die Diskriminante gelten, damit es nur eine einzige Nullstelle gibt? - Wie sieht die Funktionsgleichung aus, wenn der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Nutze die \(p\)-\(q\)-Formel oder die quadratische Ergänzung, um die Bedingung für \(k\) zu finden.

1. Bedingung für Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse: Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(x^2 + kx + 9 = 0\) muss gleich Null sein. 2. Aufstellen der Gleichung: \(D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = k^2 - 36\). 3. Lösen der Gleichung \(k^2 - 36 = 0\): Errechnen von \(k_1 = 6\) und \(k_2 = -6\). 4. Bestimmung der Scheitelpunkte: Für \(k = 6\) lautet die Funktion \(f(x) = x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\), der Scheitelpunkt ist \(S_1(-3|0)\). Für \(k = -6\) lautet die Funktion \(f(x) = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\), der Scheitelpunkt ist \(S_2(3|0)\).

Der Scheitelpunkt liegt für \(k = 6\) und \(k = -6\) auf der \(x\)-Achse. Die zugehörigen Scheitelpunkte sind \(S_1(-3|0)\) und \(S_2(3|0)\).

- Wie berechnet man die Nullstellen einer quadratischen Funktion? - Welcher Teil der Funktionsgleichung ist für die „Form“ (breit, schmal, nach oben/unten offen) verantwortlich? - Wie sieht die Scheitelpunktform aus, wenn der Scheitelpunkt direkt auf der \(y\)-Achse liegt?

1. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Lösen von \(-x^2 + 4x - 3 = 0\) bzw. \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Mit der \(p-q\)-Formel ergibt sich \(x = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(1 | 0)\) und \(N_2(3 | 0)\). 2. Bestimmung der Form: Der Koeffizient vor dem quadratischen Glied bestimmt die Form. Da die Form gleich bleiben soll, gilt für die neue Funktion \(a = -1\). 3. Lage des neuen Scheitelpunkts: Der neue Scheitelpunkt soll bei \(S'(0 | 2)\) liegen. 4. Aufstellen der neuen Gleichung: Eine Parabel mit Scheitelpunkt \(S(x_s | y_s)\) hat die Form \(g(x) = a(x - x_s)^2 + y_s\). Mit \(S'(0 | 2)\) und \(a = -1\) folgt \(g(x) = -1(x - 0)^2 + 2\), vereinfacht \(g(x) = -x^2 + 2\).

a) Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \(N_1(1 | 0)\) und \(N_2(3 | 0)\). b) Die neue Funktionsgleichung lautet \(g(x) = -x^2 + 2\).

- Welche Zahl musst du addieren und subtrahieren, um den vorderen Teil des Terms in ein Binom zu verwandeln? - Erinnerst du dich an die erste oder zweite binomische Formel? - Gibt es eine Formel, mit der man Nullstellen direkt aus der Normalform berechnen kann? - Kannst du dein Ergebnis kontrollieren, indem du die berechneten x-Werte in die ursprüngliche Gleichung einsetzt?

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung: \(f(x) = x^2 - 4x + 4 - 4 - 5 = (x-2)^2 - 9\). 2. Bestimmung des Scheitelpunkts aus der neuen Form: \(S(2|-9)\). 3. Berechnung der Nullstellen durch Lösen der Gleichung \(x^2 - 4x - 5 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{2^2 - (-5)} = 2 \pm \sqrt{9}\). Dies ergibt \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Alternativ kann die Scheitelpunktform genutzt werden: \((x-2)^2 = 9 \Rightarrow x-2 = \pm 3\).

a) Scheitelpunktform: \(f(x) = (x-2)^2 - 9\), Scheitelpunkt: \(S(2|-9)\) b) Nullstellen: \(x_1 = 5, x_2 = -1\)

- Achte beim Ausklammern darauf, dass sich die Vorzeichen innerhalb der Klammer ändern können. - Vergiss nicht, beim Auflösen der großen Klammer den Faktor vor der Klammer mit beiden Termen zu multiplizieren. - Skizziere dir kurz die vier Quadranten, um die Lage des Punktes zu bestimmen.

1. Ausklammern des Faktors \(-2\) aus den Termen mit \(x\): \(g(x) = -2(x^2 - 4x) - 5\). 2. Bestimmen der quadratischen Ergänzung für den Klammerinhalt: \((\frac{4}{2})^2 = 4\). 3. Ergänzen und Abziehen innerhalb der Klammer: \(g(x) = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 5\). 4. Umformen mit der zweiten binomischen Formel: \(g(x) = -2((x-2)^2 - 4) - 5\). 5. Ausmultiplizieren der äußeren Klammer: \(g(x) = -2(x-2)^2 + 8 - 5\). 6. Zusammenfassen zur Scheitelpunktform: \(g(x) = -2(x-2)^2 + 3\). 7. Ablesen des Scheitelpunktes: \(S(2 \mid 3)\). 8. Bestimmung des Quadranten: Da sowohl die x-Koordinate als auch die y-Koordinate positiv sind, liegt der Scheitelpunkt im I. Quadranten.

Die Scheitelpunktform lautet \(g(x) = -2(x-2)^2 + 3\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 \mid 3)\) und liegt somit im I. Quadranten.

- Kannst du ein Minuszeichen aus dem gesamten Term ausklammern? - Was verrät dir die Zahl vor dem \(x^2\) über die Form der Parabel? - Wo schneidet eine Kurve die \(y\)-Achse? Welchen Wert hat \(x\) dort? - Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen?

1. Bestimmung des Scheitelpunkts: Ausklammern von \(-1\) führt zu \(h(x) = -(x^2 - 10x + 25)\). Anwendung der zweiten binomischen Formel ergibt die Scheitelpunktform \(h(x) = -(x - 5)^2\). Der Scheitelpunkt ist \(S(5|0)\). 2. Öffnungsrichtung: Da der Streckfaktor \(a = -1\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x = 0\) in die Ausgangsgleichung ergibt \(h(0) = -0^2 + 10 \cdot 0 - 25 = -25\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|-25)\). 4. Begründung der Funktionswerte: Der Ausdruck \((x - 5)^2\) ist als Quadrat einer reellen Zahl immer größer oder gleich \(0\). Durch das Minuszeichen davor wird der gesamte Term \(-(x - 5)^2\) immer kleiner oder gleich \(0\). Somit ist der maximale Funktionswert \(0\) (am Scheitelpunkt), und es gibt keine Werte \(h(x) > 0\).

a) Scheitelpunkt \(S(5|0)\), die Parabel ist nach unten geöffnet. b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0|-25)\). c) Da \(h(x) = -(x-5)^2\) und Quadrate nie negativ sind, ist der Term \(-(x-5)^2\) stets \(\le 0\).

- Wie lässt sich ein Scheitelpunkt direkt aus einer Funktionsgleichung ablesen, wenn diese in einer bestimmten Form steht? - Überlege dir, wo der Scheitelpunkt im Koordinatensystem liegt und in welche Richtung die Parabel geöffnet ist. Muss sie dann die \(x\)-Achse kreuzen? - Wenn ein Scheitelpunkt genau auf der \(x\)-Achse liegt, wie viele Nullstellen hat die Funktion dann? - Wie berechnet man den Wert einer Funktion an der Stelle \(x = 0\)?

1. Scheitelpunkt von \(p_1\): Die Gleichung liegt in Scheitelpunktform vor. Der Scheitelpunkt ist direkt ablesbar: \(S_1(-2 | -1)\). 2. Scheitelpunkt von \(p_2\): Berechnung der \(x\)-Koordinate über \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-0{,}5)} = 2\). Einsetzen ergibt \(y_s = -0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 - 2 = -2 + 4 - 2 = 0\). Der Scheitelpunkt ist \(S_2(2 | 0)\). 3. Anzahl der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(p_1\) ist eine nach oben geöffnete Normalparabel (\(a=1\)) mit einem Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse (\(y = -1\)). Daher muss sie die \(x\)-Achse zweimal schneiden. Der Scheitelpunkt von \(p_2\) liegt direkt auf der \(x\)-Achse (\(y = 0\)), weshalb es dort nur einen Berührpunkt (eine Nullstelle) gibt. Somit hat \(p_1\) mehr Schnittpunkte. 4. Schnittpunkt von \(p_1\) mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x = 0\) in \(p_1(x) = (x+2)^2 - 1\) ergibt \(p_1(0) = (0+2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3\). Der Schnittpunkt ist \(P_y(0 | 3)\).

a) \(S_1(-2 | -1)\) und \(S_2(2 | 0)\) b) \(p_1\) besitzt zwei Schnittpunkte, da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist. \(p_2\) hat nur einen Berührpunkt, da der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt. c) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 | 3)\)

- Kannst du die Scheitelpunkte bestimmen, indem du die Funktionen in die Scheitelpunktform bringst oder eine Formel nutzt? - Wie geht man vor, wenn man Punkte finden möchte, die auf beiden Graphen gleichzeitig liegen? - Achte beim Gleichsetzen darauf, alle Terme auf eine Seite zu bringen, um eine quadratische Gleichung zu erhalten. - Was sagt der Koeffizient vor dem \(x^2\) über die Form und die Richtung der Parabel aus?

1. Scheitelpunkt \(p_1\): \(x_{s1} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\); \(y_{s1} = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1\). Somit \(S_1(2 | -1)\). Scheitelpunkt \(p_2\): \(x_{s2} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2\); \(y_{s2} = -2^2 + 4 \cdot 2 - 1 = 3\). Somit \(S_2(2 | 3)\). 2. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 4x - 1\). Umformen ergibt \(2x^2 - 8x + 4 = 0\) bzw. \(x^2 - 4x + 2 = 0\). Die \(p\)-\(q\)-Formel liefert \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{2}\). Einsetzen in \(p_1\) ergibt für beide Stellen \(y = 1\). Die Schnittpunkte sind \(P_1(2 - \sqrt{2} | 1)\) und \(P_2(2 + \sqrt{2} | 1)\). 3. Der Betrag des Streckfaktors ist bei beiden Funktionen \(|a| = 1\). Das bedeutet, beide Graphen sind kongruent zur Normalparabel. \(p_1\) ist nach oben geöffnet (\(a=1\)), \(p_2\) ist nach unten geöffnet (\(a=-1\)).

1. Scheitelpunkte: \(S_1(2 | -1)\) und \(S_2(2 | 3)\). 2. Schnittpunkte: \(P_1(2 - \sqrt{2} | 1)\) und \(P_2(2 + \sqrt{2} | 1)\). 3. Beide Parabeln sind zur Normalparabel kongruent (\(|a| = 1\)). \(p_1\) ist nach oben geöffnet, \(p_2\) ist nach unten geöffnet.

- Wann hat eine quadratische Gleichung genau eine Lösung? - Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts mit der Anzahl der Nullstellen zusammen? - Was sagt das Vorzeichen vor dem \(x^2\) über die Öffnung der Parabel aus? - Wie hängen die Parameter der Scheitelpunktform \(f(x) = (x-d)^2 + e\) mit der Normalform zusammen?

1. Eine Parabel berührt die \(x\)-Achse genau dann, wenn sie dort ihren Scheitelpunkt hat, also nur eine Nullstelle existiert. Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante \(D = (\frac{p}{2})^2 - q\) den Wert \(0\) annimmt. Daraus folgt die Bedingung \(q = \frac{p^2}{4}\). Alternativ lässt sich der Term dann als binomisches Quadrat \((x + \frac{p}{2})^2\) schreiben. 2. Aus der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(x_s = 5\) folgt mit der Formel \(x_s = -\frac{p}{2}\) der Wert \(p = -10\). Da der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt (\(y_s = 0\)), muss die Bedingung für ein vollständiges Quadrat erfüllt sein: \(q = \frac{p^2}{4} = \frac{(-10)^2}{4} = \frac{100}{4} = 25\). Die Werte sind \(p = -10\) und \(q = 25\). 3. Da der Koeffizient vor dem \(x^2\) positiv ist (\(a = 1 > 0\)), ist die Parabel nach oben geöffnet. Eine nach oben geöffnete Parabel fällt bis zum Scheitelpunkt und steigt danach wieder an, weshalb der Scheitelpunkt ein Minimum (Tiefpunkt) ist. Da die Funktionswerte für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte beliebig groß werden, gibt es keinen höchsten Punkt.

1. Bedingung: \(q = \frac{p^2}{4}\) (oder \(p^2 - 4q = 0\)). 2. \(p = -10\) und \(q = 25\). 3. Da \(a = 1\) (positiv), ist die Parabel nach oben geöffnet und besitzt daher einen Tiefpunkt.

- Was muss in der Klammer stehen, damit man eine binomische Formel anwenden kann? - Wie hängen die Koeffizienten in der Normalform mit der binomischen Formel zusammen? - Welche \(y\)-Koordinate hat ein Scheitelpunkt, wenn die Funktion ein reines Quadrat ohne addierte Konstante ist?

1. Ausklammern des Faktors \(2\): \(f(x) = 2 \cdot (x^2 + 4x + \frac{c}{2})\). Damit der Ausdruck in der Klammer ein vollständiges Quadrat der Form \((x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\) ist, muss \(2d = 4\) gelten, also \(d = 2\). Daraus folgt \(d^2 = 4\). Durch Gleichsetzen von \(\frac{c}{2} = 4\) ergibt sich \(c = 8\). 2. Mit \(c = 8\) lautet die Funktionsgleichung \(f(x) = 2 \cdot (x + 2)^2\). Dies entspricht der Scheitelpunktform \(a \cdot (x - x_s)^2 + y_s\). Der Scheitelpunkt liegt somit bei \(S(-2 | 0)\).

1. \(c = 8\) 2. \(S(-2 | 0)\)

- Was bedeutet es für die Scheitelpunktform \(y = (x - d)^2 + e\), wenn der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt? Welchen Wert hat \(e\)? - Wenn \(e = 0\) ist, muss der Ausdruck \(x^2 + kx + 16\) ein perfektes Quadrat (eine binomische Formel) sein. - Welche Zahl ergibt quadriert \(16\)? Berücksichtige dabei sowohl positive als auch negative Möglichkeiten.

1. Damit der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, muss die Funktionsgleichung die Form \(p(x) = (x - d)^2\) haben (keine Verschiebung in \(y\)-Richtung). 2. Vergleich von \(x^2 + kx + 16\) mit \((x \pm d)^2 = x^2 \pm 2dx + d^2\). 3. Es muss \(d^2 = 16\) gelten, also \(d = 4\) oder \(d = -4\). 4. Fall 1: \((x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\). Hier ist \(k = 8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-4 | 0)\). 5. Fall 2: \((x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16\). Hier ist \(k = -8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(4 | 0)\).

a) \(k_1 = 8\) und \(k_2 = -8\) b) Für \(k = 8\): \(S(-4 | 0)\); für \(k = -8\): \(S(4 | 0)\)

- Nullstellen sind Punkte auf der x-Achse. Was bedeutet das für ihre y-Werte? - Wie hängen Nullstellen und die Symmetrieachse der Parabel zusammen? - Was bedeutet die Information „nach unten geöffnete Normalparabel“ für das Vorzeichen und den Wert vor der Klammer in der Funktionsgleichung?

1. Aufgrund der Achsensymmetrie von Parabeln liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts genau in der Mitte zwischen den Nullstellen: \(x_S = \frac{-3 + 5}{2} = 1\). 2. Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt, ist der Streckfaktor \(a = -1\). Der Ansatz für die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = -(x-1)^2 + y_S\). 3. Zur Berechnung von \(y_S\) wird eine der Nullstellen eingesetzt, z. B. \((5 | 0)\): \(0 = -(5-1)^2 + y_S \Rightarrow 0 = -16 + y_S \Rightarrow y_S = 16\). 4. Der Scheitelpunkt ist somit \(S(1 | 16)\). 5. Der maximale Funktionswert entspricht der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts, also \(16\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -(x-1)^2 + 16\).

Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1 | 16)\). Der maximale Funktionswert beträgt \(16\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -(x-1)^2 + 16\).

- Was musst du tun, bevor du mit der eigentlichen quadratischen Ergänzung beginnst, wenn vor dem \(x^2\) eine Zahl steht? - Achte beim Ausmultiplizieren der Klammer besonders auf die Vorzeichen. - Erinnere dich daran, was Werte zwischen \(0\) und \(1\) (vom Betrag her) für die Form einer Parabel bedeuten.

1. Ausklammern des Faktors \(-0{,}5\) bei den \(x\)-Termen: \(g(x) = -0{,}5(x^2 - 8x) - 2\). 2. Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer: Die Hälfte von \(-8\) ist \(-4\), das Quadrat ist \(16\). 3. Ergänzen und Ausgleichen: \(g(x) = -0{,}5(x^2 - 8x + 16 - 16) - 2\). 4. Binomische Formel bilden: \(g(x) = -0{,}5((x - 4)^2 - 16) - 2\). 5. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(g(x) = -0{,}5(x - 4)^2 + 8 - 2\), woraus \(g(x) = -0{,}5(x - 4)^2 + 6\) folgt. 6. Interpretation des Streckfaktors: Das negative Vorzeichen bewirkt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse (Parabel ist nach unten geöffnet). Der Betrag \(0{,}5\) bewirkt eine Stauchung (Parabel ist breiter und flacher als die Normalparabel).

Die Scheitelpunktform ist \(g(x) = -0{,}5(x - 4)^2 + 6\). Der Graph ist im Vergleich zur Normalparabel nach unten geöffnet und gestaucht (breiter).

- Was bedeutet es für die Lage des Scheitelpunkts, wenn eine Funktion nur genau eine Nullstelle besitzt? - Wie verändert sich die Lage des Scheitelpunkts, wenn du den Parameter \(c\) variierst? - Welche einfache Form hat eine Parabelgleichung, wenn der Scheitelpunkt im Ursprung liegt?

1. Scheitelpunktform von \(p_c(x)\): \(x^2 - 4x + c = (x - 2)^2 - 4 + c\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 | c - 4)\). Damit \(S\) auf der \(x\)-Achse liegt, muss die \(y\)-Koordinate Null sein: \(c - 4 = 0 \Rightarrow c = 4\). 2. Für \(c = 1\): Der Scheitelpunkt ist \(S(2 | 1 - 4) = S(2 | -3)\). 3. Nullstellen für \(c = 1\): \(x^2 - 4x + 1 = 0 \Rightarrow x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 2 - \sqrt{3}\) und \(x_2 = 2 + \sqrt{3}\). 4. Verschiebung zum Ursprung: Um von \(S(2 | -3)\) nach \((0 | 0)\) zu gelangen, muss der Graph um \(2\) Einheiten nach links und um \(3\) Einheiten nach oben verschoben werden. Die neue Gleichung ist die Normalparabel \(q(x) = x^2\).

a) \(c = 4\) b) \(S(2 | -3)\); \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{3}\) c) Verschiebung: \(2\) Einheiten nach links, \(3\) Einheiten nach oben; Gleichung: \(q(x) = x^2\)

- Kennst du eine Eigenschaft von Parabeln, mit der du die Position des Scheitelpunkts direkt aus den Nullstellen finden kannst? - Wo genau zwischen den Nullstellen liegt die Symmetrieachse der Parabel? - Wie findest du den passenden Funktionswert, wenn du die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts bereits kennst?

1. Identifikation der Nullstellen aus der gegebenen Form: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 7\). 2. Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts (\(x_S\)) als Mittelwert der Nullstellen aufgrund der Symmetrie der Parabel: \(x_S = \frac{-1 + 7}{2} = 3\). 3. Berechnung der \(y\)-Koordinate (\(y_S\)) durch Einsetzen von \(x_S\) in die Funktionsgleichung: \(h(3) = 0{,}25(3 + 1)(3 - 7) = 0{,}25 \cdot 4 \cdot (-4) = -4\). 4. Aufstellen der Scheitelpunktform mit dem Streckfaktor \(a = 0{,}25\): \(h(x) = 0{,}25(x - 3)^2 - 4\). Alternativer Weg: Ausmultiplizieren zu \(h(x) = 0{,}25x^2 - 1{,}5x - 1{,}75\) und anschließende quadratische Ergänzung.

\(h(x) = 0{,}25(x - 3)^2 - 4\)

- Wie findet man den Scheitelpunkt einer Parabel, wenn die Normalform gegeben ist? - Welche Koordinaten hat ein Punkt, der auf der \(x\)-Achse liegt? - Wie verändert eine Verschiebung in \(y\)-Richtung die Funktionsgleichung?

1. Umwandlung in die Scheitelpunktform mittels quadratischer Ergänzung: \(y = x^2 - 10x + 25 - 25 + 21\). Dies ergibt \(y = (x - 5)^2 - 4\). 2. Ablesen des Scheitelpunkts: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(5|-4)\). 3. Bestimmung der Verschiebung: Damit der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, muss seine \(y\)-Koordinate \(0\) sein. Da die aktuelle \(y\)-Koordinate \(-4\) ist, muss die Parabel um \(d = 4\) Einheiten nach oben verschoben werden.

1. Der Scheitelpunkt der Parabel ist \(S(5|-4)\). 2. Die Parabel muss um \(d = 4\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung (nach oben) verschoben werden.

- Welche Bedingung muss die \(x\)-Koordinate eines Punktes erfüllen, damit er auf der \(y\)-Achse liegt? - Wie viele Nullstellen hat eine quadratische Funktion, wenn die Parabel die \(x\)-Achse nur berührt? - Erinnerst du dich an den Teil der Mitternachtsformel oder \(p-q\)-Formel, der bestimmt, wie viele Lösungen es gibt?

1. Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse: Ein Punkt liegt auf der \(y\)-Achse, wenn seine \(x\)-Koordinate \(0\) ist. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts einer Funktion \(ax^2 + bx + c\) ist \(x_s = -\frac{b}{2a}\). Hier gilt \(a = 2\) und \(b = k\). Also \(-\frac{k}{2 \cdot 2} = 0\), woraus \(k = 0\) folgt. 2. Berührung der \(x\)-Achse: Eine quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) gleich Null ist. Hier: \(k^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 0\). 3. Berechnung von \(k\): \(k^2 - 64 = 0 \Rightarrow k^2 = 64 \Rightarrow k_1 = 8\) und \(k_2 = -8\). 4. Interpretation: Wenn die Parabel die \(x\)-Achse in genau einem Punkt berührt, ist dieser Berührpunkt gleichzeitig der Scheitelpunkt. Der Scheitelpunkt liegt in diesem Fall also direkt auf der \(x\)-Achse.

a) Der Scheitelpunkt liegt für \(k = 0\) auf der \(y\)-Achse. b) Die Parabel berührt die \(x\)-Achse für \(k = 8\) oder \(k = -8\). In diesen Fällen liegt der Scheitelpunkt genau auf der \(x\)-Achse.

- Was muss für die y-Koordinate eines Punktes gelten, damit er auf der x-Achse liegt? - Behandle den Buchstaben \(p\) beim Ergänzen einfach wie eine normale Zahl. - Achte am Ende darauf, welche der möglichen Lösungen die Bedingung aus der Aufgabenstellung erfüllt.

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung mit dem Parameter \(p\): quadratische Ergänzung ist \((\frac{p}{2})^2 = \frac{p^2}{4}\). 2. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(h_p(x) = (x^2 - px + \frac{p^2}{4}) - \frac{p^2}{4} + 9 = (x - \frac{p}{2})^2 - \frac{p^2}{4} + 9\). 3. Bedingung für die Lage auf der x-Achse: Die y-Koordinate des Scheitelpunktes muss \(0\) sein. 4. Gleichung aufstellen: \(-\frac{p^2}{4} + 9 = 0\). 5. Lösen der Gleichung nach \(p\): \(\frac{p^2}{4} = 9 \implies p^2 = 36 \implies p = \pm 6\). 6. Berücksichtigung der Bedingung \(p > 0\): Es folgt \(p = 6\).

Der gesuchte Wert ist \(p = 6\).