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- Welche binomische Formel ergibt einen linearen Term \(6x\)? - Wie groß ist der konstante Zusatz in diesem binomischen Quadrat? - Was muss passieren, damit sich der Wert des ursprünglichen Terms durch diesen Zusatz nicht ändert?

1. Es gilt \((x+3)^2=x^2+6x+9\). 2. Damit der ursprüngliche Term \(x^2+6x+1\) unverändert bleibt, müssen die zusätzlich enthaltenen \(9\) wieder ausgeglichen werden: \(x^2+6x+1=(x+3)^2-9+1\). 3. Daher ist \(f(x)=(x+3)^2-8\). Antwort B ist korrekt.

B ist korrekt: \(f(x)=(x+3)^2-8\). Beim Ergänzen wird zunächst \(9\) hinzugefügt; dieser Zusatz muss wieder ausgeglichen werden, damit der Term denselben Wert behält.

- Welche Zahl müsste in \((x-d)^2\) stehen, damit der mittlere Term \(-10x\) entsteht? - Was ist die Hälfte von \(-10\)? - Welches Quadrat gehört zu dieser Hälfte?

1. Beim Term \(x^2-10x\) ist die Hälfte des linearen Koeffizienten \(-5\). 2. Das Quadrat davon ist \(25\). 3. Daher gilt \(x^2-10x+25=(x-5)^2\). 4. Die Zahl \(25\) wird benötigt, weil der mittlere Term des Binomquadrats \(2\cdot x\cdot(-5)=-10x\) sein soll.

Fehlende Zahl: \(25\). Es gilt \(x^2-10x+25=(x-5)^2\), weil \(2\cdot(-5)=-10\) und \((-5)^2=25\).

- Welche besonderen Punkte des Graphen kannst du direkt aus der Formel ablesen? - Wo liegt der Scheitelpunkt einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Wenn du die \(x\)-Koordinate hast, wie findest du dann den passenden \(y\)-Wert?

1. Bestimmung der Nullstellen aus der Linearfaktorform: \(x_1 = 4, x_2 = -2\) 2. Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts als Mittelwert der Nullstellen: \(x_s = \frac{4 + (-2)}{2} = 1\) 3. Berechnung der \(y\)-Koordinate durch Einsetzen von \(x_s\) in die Funktionsgleichung: \(y_s = 3 \cdot (1 - 4) \cdot (1 + 2) = 3 \cdot (-3) \cdot 3 = -27\)

b) \(S(1 | -27)\)

- Wie kannst du die allgemeine Form durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform umwandeln? - Was verraten die \(x\)-Koordinaten der Scheitelpunkte über die Symmetrieachsen? - Wie erhältst du den vertikalen Abstand zweier Scheitelpunkte mit gleicher \(x\)-Koordinate?

1. Quadratische Ergänzung ergibt \(g(x)=x^2-4x+4-4+7=(x-2)^2+3\). 2. Daher ist der Scheitelpunkt von \(g\) gleich \(S_g(2\mid3)\). 3. Bei \(h(x)=(x-2)^2+1\) ist \(S_h(2\mid1)\). 4. Beide Scheitelpunkte haben die \(x\)-Koordinate \(2\); beide Parabeln besitzen also die Symmetrieachse \(x=2\). 5. Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt um \(3-1=2\) Einheiten höher als der von \(h\).

\(S_g(2\mid3)\); beide Symmetrieachsen sind \(x=2\); der Graph von \(g\) liegt um \(2\) Einheiten höher.

- Erinnere dich an die allgemeine Scheitelpunktform \(y = a(x - d)^2 + e\). - Achte besonders auf das Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Welcher Summand außerhalb des Quadrats gibt die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts an? - Wenn kein Term mit \(x\) in einer Klammer steht, wurde der Graph dann entlang der \(x\)-Achse verschoben?

1. Vergleich mit der Scheitelpunktform \(y = a(x - d)^2 + e\), wobei der Scheitelpunkt \(S(d|e)\) ist. 2. Für a) \(f(x) = (x - (-3{,}2))^2 - 1{,}5\): Hier ist \(d = -3{,}2\) und \(e = -1{,}5\). Somit ist \(S(-3{,}2 | -1{,}5)\). 3. Für b) \(g(x) = -1(x - 5)^2 + 2\): Hier ist \(d = 5\) und \(e = 2\). Somit ist \(S(5 | 2)\). 4. Für c) \(h(x) = (x - 0)^2 + 8{,}5\): Hier ist \(d = 0\) und \(e = 8{,}5\). Somit ist \(S(0 | 8{,}5)\).

a) \(S(-3{,}2 | -1{,}5)\) b) \(S(5 | 2)\) c) \(S(0 | 8{,}5)\)

- Welche Hälfte des linearen Koeffizienten brauchst du für die quadratische Ergänzung? - Welches Quadrat musst du jeweils ergänzen und wieder ausgleichen? - Wie liest du den Scheitelpunkt anschließend aus der Scheitelpunktform ab?

1. Für a) gilt \(x^2-10x+24=x^2-10x+25-25+24=(x-5)^2-1\). Daher ist \(S(5\mid-1)\). 2. Für b) gilt \(x^2+3x+1{,}25=(x+1{,}5)^2-2{,}25+1{,}25=(x+1{,}5)^2-1\). Daher ist \(S(-1{,}5\mid-1)\). 3. Für c) gilt \(x^2-0{,}8x+0{,}16=(x-0{,}4)^2\). Daher ist \(S(0{,}4\mid0)\).

a) \(S(5\mid-1)\) b) \(S(-1{,}5\mid-1)\) c) \(S(0{,}4\mid0)\)

- Welche Beziehung besteht zwischen dem linearen Koeffizienten und dem vollständigen Quadrat? - Welchen Funktionswert muss der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse besitzen? - Wie erkennst du in der allgemeinen Form, welchen konstanten Term du ergänzen musst?

1. Für einen Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse muss die allgemeine Form ein vollständiges Quadrat ergeben. 2. \(x^2+12x+36=(x+6)^2\), also \(S(-6\mid0)\). 3. \(x^2-18x+81=(x-9)^2\), also \(S(9\mid0)\). 4. \(x^2+7x+12{,}25=(x+3{,}5)^2\), also \(S(-3{,}5\mid0)\).

a) \(36\); \(S(-6\mid0)\) b) \(81\); \(S(9\mid0)\) c) \(12{,}25\); \(S(-3{,}5\mid0)\)

- Was folgt aus zwei Punkten mit gleichem \(y\)-Wert für die Symmetrieachse? - Welcher Teil des Scheitelpunkts entspricht dem kleinsten Funktionswert? - Wie setzt du die Scheitelpunktkoordinaten in die Scheitelpunktform ein?

1. Da \(A\) und \(B\) denselben Funktionswert besitzen, liegt die Symmetrieachse in der Mitte ihrer \(x\)-Koordinaten: \(x_S=\frac{-2+4}{2}=1\). 2. Der kleinste Funktionswert ist die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts, also \(y_S=2\). 3. Damit ist \(S(1\mid2)\) und folglich \(f(x)=(x-1)^2+2\).

\(S(1\mid2)\); \(f(x)=(x-1)^2+2\)

- Wie findet man die Zahl, die man addieren muss, um eine binomische Formel bilden zu können? - Überlege, wie sich das Vorzeichen in der Klammer der Scheitelpunktform auf die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes auswirkt. - Was sagt das Vorzeichen vor dem gesamten quadratischen Term über die Öffnung der Parabel aus?

1. Quadratische Ergänzung durchführen: Die Hälfte des linearen Koeffizienten \(10\) ist \(5\). Das Quadrat davon ist \(25\). 2. Ergänzen und Subtrahieren: \(f(x) = x^2 + 10x + 25 - 25 + 7\). 3. Binomische Formel anwenden: \(f(x) = (x + 5)^2 - 18\). 4. Scheitelpunkt ablesen: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-5 | -18)\). 5. Art des Extrempunktes bestimmen: Da der Koeffizient vor dem Quadrat positiv ist (\(1\)), ist die Parabel nach oben geöffnet. Der Scheitelpunkt ist somit ein Tiefpunkt.

Die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = (x + 5)^2 - 18\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-5 | -18)\) und es handelt sich um einen Tiefpunkt.

- Kannst du den Term so ergänzen, dass du eine binomische Formel anwenden kannst? - Welche Zahl ergänzt \(x^2 + 4x\) zu einem vollständigen Quadrat? - Erinnere dich daran, dass du denselben Wert, den du addierst, auch wieder abziehen musst, um den Wert des Terms nicht zu verändern.

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung: \(x^2 + 4x + 4 - 4 + 7\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf die ersten drei Summanden: \((x + 2)^2 - 4 + 7\). 3. Zusammenfassen der konstanten Werte am Ende des Terms: \(f(x) = (x + 2)^2 + 3\). 4. Ablesen des Scheitelpunkts aus der Form \(a(x - x_S)^2 + y_S\): \(S(-2 | 3)\).

\(f(x) = (x + 2)^2 + 3\); Scheitelpunkt \(S(-2 | 3)\)

- Was kannst du direkt aus der Form der Funktionsgleichung über die Lage des höchsten oder tiefsten Punktes ablesen? - Wie verändert sich das Vorzeichen der Zahl in der Klammer, wenn du die x-Koordinate des Scheitelpunkts bestimmst? - Was musst du für den Funktionswert einsetzen, um die Schnittpunkte mit der x-Achse zu finden? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \((x-d)^2 = r\) nach \(x\) auflösen?

1. Ablesen der Scheitelpunkte aus der Scheitelpunktform \(a(x-d)^2 + e\): Für \(f(x)\) ist \(S_f(-4|-9)\), für \(g(x)\) ist \(S_g(3|8)\). 2. Berechnung der Nullstellen für \(f(x)\): Setze \(0 = (x+4)^2 - 9\). Daraus folgt \((x+4)^2 = 9\). Ziehen der Wurzel ergibt \(x+4 = 3\) oder \(x+4 = -3\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = -7\). 3. Berechnung der Nullstellen für \(g(x)\): Setze \(0 = -2(x-3)^2 + 8\). Daraus folgt \(2(x-3)^2 = 8\), also \((x-3)^2 = 4\). Ziehen der Wurzel ergibt \(x-3 = 2\) oder \(x-3 = -2\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 1\).

a) Scheitelpunkt: \(S(-4|-9)\), Nullstellen: \(x_1 = -1, x_2 = -7\) b) Scheitelpunkt: \(S(3|8)\), Nullstellen: \(x_1 = 5, x_2 = 1\)

- Was musst du tun, um den Term in eine Form mit einer Klammer zum Quadrat zu bringen? - Wie hängen die Vorzeichen in der Scheitelpunktform mit den Koordinaten des Scheitelpunkts zusammen? - Was sagt die Zahl vor der Klammer über die Form und Ausrichtung der Parabel aus?

1. Ausklammern des Faktors \(2\) aus den Termen mit \(x\): \(f(x) = 2(x^2 + 6x) + 16\). 2. Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer mit \((\frac{6}{2})^2 = 9\): \(f(x) = 2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 16\). 3. Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung: \(f(x) = 2((x+3)^2 - 9) + 16 = 2(x+3)^2 - 18 + 16 = 2(x+3)^2 - 2\). 4. Ablesen des Scheitelpunkts aus der Form \(a(x-d)^2 + e\): \(S(-3|-2)\). 5. Analyse des Streckfaktors \(a = 2\): Da \(|a| > 1\), ist die Parabel gestreckt (schmaler). Da \(a > 0\), ist sie nach oben geöffnet.

a) Die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = 2(x+3)^2 - 2\). b) Der Scheitelpunkt ist \(S(-3|-2)\). c) Die Parabel ist gestreckt (schmaler als die Normalparabel) und nach oben geöffnet.

- Welche quadratische Ergänzung macht aus \(x^2+6x\) ein vollständiges Quadrat? - Welche Information über den Graphen lässt sich direkt aus \((x+d)^2+e\) ablesen? - Für die rechnerische Bestätigung vergleichst du Funktionswerte mit gleichem Abstand links und rechts der Achse.

1. Quadratische Ergänzung liefert \(f(x)=x^2+6x+9-4=(x+3)^2-4\). 2. Aus der Scheitelpunktform folgt der Scheitelpunkt \(S(-3\mid-4)\) und damit die Symmetrieachse \(x=-3\). 3. Es ist \(f(-3+h)=h^2-4\) und \(f(-3-h)=(-h)^2-4=h^2-4\). 4. Somit gilt \(f(-3+h)=f(-3-h)\) für alle \(h\), was die Achsensymmetrie bestätigt.

a) \(f(x)=(x+3)^2-4\). b) Symmetrieachse: \(x=-3\). c) \(f(-3+h)=f(-3-h)=h^2-4\).

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor aus den Termen ausklammern, um die Arbeit mit den binomischen Formeln zu erleichtern? - Was sagt dir das Vorzeichen vor dem Quadrat über die Form der Kurve? - Überlege dir, wo der tiefste oder höchste Punkt der Kurve liegt. Berührt oder kreuzt er die waagerechte Achse? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Welche passt hier am besten?

1. Ausklammern des Faktors 2 aus den ersten beiden Gliedern: \(f(x) = 2(x^2 - 6x) + 18\). 2. Durchführung der quadratischen Ergänzung innerhalb der Klammer: \(f(x) = 2(x^2 - 6x + 3^2 - 3^2) + 18\). 3. Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung: \(f(x) = 2((x - 3)^2 - 9) + 18 = 2(x - 3)^2 - 18 + 18 = 2(x - 3)^2\). 4. Ablesen des Scheitelpunkts: \(S(3|0)\). 5. Bestimmung der Öffnung: Da der Koeffizient vor der Klammer (\(a = 2\)) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. 6. Bestimmung der Nullstellen: Da die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(0\) ist, liegt der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse und der Graph berührt sie dort. Es gibt somit genau eine Nullstelle bei \(x = 3\).

a) \(f(x) = 2(x-3)^2\) b) Scheitelpunkt \(S(3|0)\); die Parabel ist nach oben geöffnet. c) Es gibt genau eine Nullstelle, da der Scheitelpunkt direkt auf der \(x\)-Achse liegt.

- Multipliziere Sophies rechte Seite zur Kontrolle aus. - Welche zusätzliche Konstante enthält \((x+4)^2\)? - Wie musst du diese Ergänzung wieder ausgleichen?

1. Es gilt \((x+4)^2=x^2+8x+16\). 2. Sophie hat durch das Ergänzen also \(16\) hinzugefügt, ohne diesen Zusatz wieder auszugleichen. 3. Richtig ist \(x^2+8x+3=(x+4)^2-16+3=(x+4)^2-13\).

Sophie hat die zusätzlich entstandenen \(16\) nicht ausgeglichen. Korrekt ist \(x^2+8x+3=(x+4)^2-13\).

- Lies \(a\) und \(b\) aus der allgemeinen Form ab. - Setze beide Werte mit ihren Vorzeichen in die vorgegebene Formel ein. - Welcher Funktionswert gehört zur berechneten Scheitelpunktstelle?

1. Es gilt \(a=3\) und \(b=-12\). 2. Daher ist \(x_S=-\frac{-12}{2\cdot3}=2\). 3. Einsetzen liefert \(f(2)=3\cdot4-12\cdot2+7=12-24+7=-5\). 4. Somit ist der Scheitelpunkt \(S(2\mid-5)\).

\(x_S=2\), \(y_S=-5\); also \(S(2\mid-5)\).

- Welche Zahl steht tatsächlich vor \(x^2\)? - Schreibe den Nenner \(2a\) zuerst vollständig mit Vorzeichen hin. - Setze die korrigierte Scheitelpunktstelle in \(g\) ein.

1. Der quadratische Koeffizient ist \(a=-2\), nicht \(a=2\). 2. Daher gilt \(x_S=-\frac{-8}{2\cdot(-2)}=\frac{8}{-4}=-2\). 3. Es ist \(g(-2)=-2\cdot4+16+1=9\). 4. Der Scheitelpunkt ist \(S(-2\mid9)\).

Noah hat das Minuszeichen von \(a=-2\) verloren. Korrekt ist \(x_S=-2\) und damit \(S(-2\mid9)\).

- Worauf musst du achten, wenn vor dem \(x^2\) eine Zahl steht? - Wie findest du den Wert für die quadratische Ergänzung? - Was sagt dir das Vorzeichen in der Klammer über die Verschiebung entlang der \(x\)-Achse? - Wie wirkt sich ein Faktor vor der Klammer auf die Form der Parabel aus?

1. Ausklammern des Streckfaktors \(2\) aus den ersten beiden Gliedern: \(f(x) = 2(x^2 - 6x) + 10\). 2. Durchführung der quadratischen Ergänzung innerhalb der Klammer mit \((\frac{6}{2})^2 = 9\): \(f(x) = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 10\). 3. Anwendung der binomischen Formel: \(f(x) = 2((x-3)^2 - 9) + 10\). 4. Ausmultiplizieren und Vereinfachen: \(f(x) = 2(x-3)^2 - 18 + 10 = 2(x-3)^2 - 8\). 5. Ablesen des Scheitelpunkts: \(S(3 \mid -8)\). 6. Beschreibung der Transformation: Die Parabel ist mit dem Faktor \(2\) gestreckt, um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(8\) Einheiten nach unten verschoben.

Die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = 2(x-3)^2 - 8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(3 \mid -8)\). Die Parabel ist im Vergleich zur Normalparabel mit dem Faktor \(2\) gestreckt, um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(8\) Einheiten nach unten verschoben.

- Erinnerst du dich an den Trick, wie man einen Term so ergänzt, dass eine binomische Formel entsteht? - Achte beim Ausklammern des Minuszeichens besonders auf die Vorzeichen in der Klammer. - Wie findet man den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse rechnerisch? - Welche Gleichung musst du lösen, um die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu finden?

1. Quadratische Ergänzung: \(g(x) = -(x^2 - 6x) - 5\) \(g(x) = -(x^2 - 6x + 3^2 - 3^2) - 5\) \(g(x) = -((x-3)^2 - 9) - 5\) \(g(x) = -(x-3)^2 + 9 - 5\) \(g(x) = -(x-3)^2 + 4\). 2. Scheitelpunkt: Aus der Scheitelpunktform ergibt sich \(S(3 \mid 4)\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(g(0) = -0^2 + 6 \cdot 0 - 5 = -5\), also \(S_y(0 \mid -5)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(-(x-3)^2 + 4 = 0 \implies (x-3)^2 = 4 \implies x-3 = \pm 2\). \(x_1 = 5\), \(x_2 = 1\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(5 \mid 0)\) und \(N_2(1 \mid 0)\).

1. Scheitelpunktform: \(g(x) = -(x-3)^2 + 4\). 2. Scheitelpunkt \(S(3 \mid 4)\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 \mid -5)\); Nullstellen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\).

- Kannst du in den ersten beiden Teilaufgaben eine der binomischen Formeln entdecken? - Überlege bei Teilaufgabe c), welche Zahl du addieren müsstest, damit \(x^2 - 2x\) ein Teil einer binomischen Formel wird. - Wie kannst du die Zahl \(5\) so aufteilen, dass ein Teil davon perfekt in die binomische Formel passt?

1. Für a): Erkennen der zweiten binomischen Formel \(x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x + 6^2 = (x - 6)^2\). Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - 6)^2 + 0\). Scheitelpunkt: \(S(6 | 0)\). 2. Für b): Erkennen der ersten binomischen Formel mit \(2{,}5^2 = 6{,}25\). Es gilt \(x^2 + 2 \cdot 2{,}5 \cdot x + 2{,}5^2 = (x + 2{,}5)^2\). Scheitelpunktform: \(g(x) = (x + 2{,}5)^2 + 0\). Scheitelpunkt: \(S(-2{,}5 | 0)\). 3. Für c): Quadratische Ergänzung oder Zerlegung des konstanten Glieds: \(x^2 - 2x + 1 + 4\). Anwendung der zweiten binomischen Formel auf die ersten drei Terme ergibt \((x - 1)^2 + 4\). Scheitelpunktform: \(h(x) = (x - 1)^2 + 4\). Scheitelpunkt: \(S(1 | 4)\).

a) \(f(x) = (x - 6)^2\), \(S(6 | 0)\) b) \(g(x) = (x + 2{,}5)^2\), \(S(-2{,}5 | 0)\) c) \(h(x) = (x - 1)^2 + 4\), \(S(1 | 4)\)

- Prüfe bei den konkreten Termen, ob du ein vollständiges Binom erkennst oder quadratisch ergänzen musst. - Drei Beispiele allein beweisen keine Aussage mit dem Wort „immer“. - Wie lautet die Scheitelpunktform einer verschobenen Normalparabel mit Scheitelpunkt \(S(d\mid e)\)? - Welcher Wert gilt für \(e\), wenn der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt?

1. Es gilt \(f(x)=x^2-14x+49=(x-7)^2\). Daher ist \(S_f(7\mid0)\). 2. Es gilt \(g(x)=x^2+5x+6{,}25=(x+2{,}5)^2\). Daher ist \(S_g(-2{,}5\mid0)\). 3. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(h(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2\). Daher ist \(S_h(1\mid-2)\). 4. Eine verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt \(S(d\mid0)\) hat die Scheitelpunktform \(p(x)=(x-d)^2+0=(x-d)^2\). Das ist für jedes reelle \(d\) das Quadrat eines Binoms. Anjas Aussage ist daher allgemein richtig.

a) \(S_f(7\mid0)\) b) \(S_g(-2{,}5\mid0)\) c) \(S_h(1\mid-2)\) d) Anjas Aussage ist allgemein richtig, denn jede verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt \(S(d\mid0)\) hat die Form \(p(x)=(x-d)^2\).

- Wann wird die allgemeine Form zu einem vollständigen Quadrat? - Welche Zahl ist die Hälfte des linearen Koeffizienten? - Welcher konstante Term entsteht beim Quadrieren dieser Zahl?

1. Liegt der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse, muss der Term ein vollständiges Quadrat sein. 2. Aus \(x^2+12x+q=(x+6)^2\) folgt \(q=36\). 3. Die Scheitelpunktform lautet daher \(f(x)=(x+6)^2\); der Scheitelpunkt ist \(S(-6\mid0)\).

\(q=36\); \(f(x)=(x+6)^2\)

- Wandle beide Funktionsgleichungen in die Scheitelpunktform um. - Skizziere dir im Kopf oder auf Papier, wo die Scheitelpunkte liegen und in welche Richtung die Parabeln geöffnet sind. - Überlege, ob die Parabel die \(x\)-Achse schneidet, berührt oder gar nicht erreicht.

1. Scheitelpunkt von \(p_1\): Der Term \(x^2 - 4x + 4\) entspricht \((x - 2)^2\). Der Scheitelpunkt ist \(S_1(2|0)\). 2. Nullstellen von \(p_1\): Da der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt (\(y = 0\)) und die Parabel nach oben geöffnet ist, berührt sie die \(x\)-Achse in genau einem Punkt. Es gibt also genau eine Nullstelle. 3. Scheitelpunkt von \(p_2\): Der Term \(x^2 - 4x + 5\) kann als \((x - 2)^2 + 1\) geschrieben werden. Der Scheitelpunkt ist \(S_2(2|1)\). 4. Nullstellen von \(p_2\): Da die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(1\) ist (oberhalb der \(x\)-Achse) und die Normalparabel nach oben geöffnet ist, kann sie die \(x\)-Achse nie erreichen. Es gibt keine Nullstellen.

Der Scheitelpunkt von \(p_1\) ist \(S_1(2|0)\). Er liegt auf der \(x\)-Achse, daher hat \(p_1\) genau eine Nullstelle (Berührpunkt). Der Scheitelpunkt von \(p_2\) ist \(S_2(2|1)\). Er liegt oberhalb der \(x\)-Achse. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, hat \(p_2\) keine Nullstellen.

- Wie geht man vor, um den Faktor vor dem \(x^2\) auszuklammern? - Welche Information liefert die Scheitelpunktform direkt über das Minimum oder Maximum? - Betrachte den Definitionsbereich und den Wertebereich der Funktion. - Was sagt uns das Ergebnis über die Schnittpunkte mit einer waagerechten Geraden aus?

1. Umformung in Scheitelpunktform: \(h(x) = 2(x^2 - 6x) + 10\). Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer: \(2(x^2 - 6x + 3^2 - 3^2) + 10 = 2((x-3)^2 - 9) + 10 = 2(x-3)^2 - 18 + 10 = 2(x-3)^2 - 8\). 2. Kleinster Funktionswert: Aus der Scheitelpunktform \(h(x) = 2(x-3)^2 - 8\) liest man den Scheitelpunkt \(S(3 | -8)\) ab. Da der Faktor \(2\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Der minimale Wert ist \(-8\) an der Stelle \(x = 3\). 3. Begründung für \(h(x) = -10\): Da der kleinste Funktionswert \(-8\) ist, kann die Funktion keine Werte annehmen, die kleiner als \(-8\) sind. Da \(-10 < -8\), gibt es keine Lösung. 4. Berechnung für \(h(x) = 10\): \(2x^2 - 12x + 10 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 12x = 0 \Rightarrow 2x(x - 6) = 0\). Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 6\). Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph die horizontale Gerade \(y = 10\) in den Punkten \((0 | 10)\) und \((6 | 10)\) schneidet. Der Punkt \((0 | 10)\) ist zugleich der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse.

a) Die Scheitelpunktform lautet \(h(x) = 2(x-3)^2 - 8\). b) Der kleinste Wert ist \(-8\) bei \(x = 3\). c) Da das Minimum bei \(-8\) liegt, kann der Wert \(-10\) niemals erreicht werden. d) Die Werte sind \(x = 0\) und \(x = 6\). Die Schnittpunkte mit der Geraden \(y = 10\) sind \((0 | 10)\) und \((6 | 10)\).

- Wo liegt die Symmetrieachse zwischen zwei Punkten mit gleichem Funktionswert? - Wie kannst du nach der Scheitelpunktstelle die noch unbekannte Scheitelpunkthöhe bestimmen? - Wie gelangst du von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form?

1. Weil \(P\) und \(Q\) denselben Funktionswert haben, liegt die Symmetrieachse genau in der Mitte ihrer \(x\)-Koordinaten. Daher ist \(x_S=\frac{1+5}{2}=3\). 2. Die Scheitelpunktform hat die Gestalt \(g(x)=(x-3)^2+y_S\). Mit \(Q(5\mid5)\) folgt \(5=4+y_S\), also \(y_S=1\). 3. Somit ist \(g(x)=(x-3)^2+1\). Ausmultiplizieren ergibt die allgemeine Form \(g(x)=x^2-6x+10\). 4. Durch Koeffizientenvergleich folgt \(p=-6\) und \(q=10\).

a) \(x_S=3\), weil die Punkte bei \(x=1\) und \(x=5\) denselben Funktionswert haben und ihre Mitte bei \(\frac{1+5}{2}=3\) liegt. b) \(p=-6\), \(q=10\)

- Nullstellen sind Punkte auf der x-Achse. Was bedeutet das für ihre y-Werte? - Wie hängen Nullstellen und die Symmetrieachse der Parabel zusammen? - Was bedeutet die Information „nach unten geöffnete Normalparabel“ für das Vorzeichen und den Wert vor der Klammer in der Funktionsgleichung?

1. Aufgrund der Achsensymmetrie von Parabeln liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts genau in der Mitte zwischen den Nullstellen: \(x_S = \frac{-3 + 5}{2} = 1\). 2. Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt, ist der Streckfaktor \(a = -1\). Der Ansatz für die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = -(x-1)^2 + y_S\). 3. Zur Berechnung von \(y_S\) wird eine der Nullstellen eingesetzt, z. B. \((5 | 0)\): \(0 = -(5-1)^2 + y_S \Rightarrow 0 = -16 + y_S \Rightarrow y_S = 16\). 4. Der Scheitelpunkt ist somit \(S(1 | 16)\). 5. Der maximale Funktionswert entspricht der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts, also \(16\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -(x-1)^2 + 16\).

Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1 | 16)\). Der maximale Funktionswert beträgt \(16\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -(x-1)^2 + 16\).

- Halbiere den Koeffizienten vor dem \(x\), um den Wert in der binomischen Formel zu finden. - Was bewirkt eine Änderung der Konstanten am Ende einer Funktionsgleichung in Scheitelpunktform für den Graphen? - Bleibt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts gleich, wenn du nur \(c\) änderst?

1. Für einen Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse muss \(h(x) = (x - d)^2 = x^2 - 2dx + d^2\) gelten. 2. Koeffizientenvergleich: \(-2d = -9 \Rightarrow d = 4{,}5\). 3. Berechnung von \(c\): \(c = d^2 = 4{,}5^2 = 20{,}25\). 4. Die Erhöhung von \(c\) um \(1{,}5\) entspricht einer Addition von \(1{,}5\) zum gesamten Funktionsterm: \(h_{neu}(x) = (x - 4{,}5)^2 + 1{,}5\). 5. Dies bewirkt eine vertikale Verschiebung des Graphen um \(1{,}5\) Einheiten nach oben. Der neue Scheitelpunkt liegt bei \(S(4{,}5 | 1{,}5)\).

a) \(c = 20{,}25\) b) Der Scheitelpunkt verschiebt sich um \(1{,}5\) Einheiten senkrecht nach oben auf die Koordinaten \(S(4{,}5 | 1{,}5)\).

- Was musst du tun, bevor du mit der eigentlichen quadratischen Ergänzung beginnst, wenn vor dem \(x^2\) eine Zahl steht? - Achte beim Ausmultiplizieren der Klammer besonders auf die Vorzeichen. - Erinnere dich daran, was Werte zwischen \(0\) und \(1\) (vom Betrag her) für die Form einer Parabel bedeuten.

1. Ausklammern des Faktors \(-0{,}5\) bei den \(x\)-Termen: \(g(x) = -0{,}5(x^2 - 8x) - 2\). 2. Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer: Die Hälfte von \(-8\) ist \(-4\), das Quadrat ist \(16\). 3. Ergänzen und Ausgleichen: \(g(x) = -0{,}5(x^2 - 8x + 16 - 16) - 2\). 4. Binomische Formel bilden: \(g(x) = -0{,}5((x - 4)^2 - 16) - 2\). 5. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(g(x) = -0{,}5(x - 4)^2 + 8 - 2\), woraus \(g(x) = -0{,}5(x - 4)^2 + 6\) folgt. 6. Interpretation des Streckfaktors: Das negative Vorzeichen bewirkt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse (Parabel ist nach unten geöffnet). Der Betrag \(0{,}5\) bewirkt eine Stauchung (Parabel ist breiter und flacher als die Normalparabel).

Die Scheitelpunktform ist \(g(x) = -0{,}5(x - 4)^2 + 6\). Der Graph ist im Vergleich zur Normalparabel nach unten geöffnet und gestaucht (breiter).

- Wie kannst du die allgemeine Form durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform umwandeln? - Welche Gleichung entsteht für die Nullstellen, wenn du die Scheitelpunktform gleich null setzt? - Wie verändert eine Verschiebung nach links die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts?

1. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(f(x)=x^2+6x+9-9+5=(x+3)^2-4\). Daher ist \(S(-3\mid-4)\). 2. Für die Nullstellen gilt \((x+3)^2-4=0\), also \((x+3)^2=4\). Damit sind \(x_1=-5\) und \(x_2=-1\). 3. Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links verschiebt den Scheitelpunkt nach \((-6\mid-4)\). Daher ist \(g(x)=(x+6)^2-4\).

a) \(S(-3\mid-4)\) b) \(x_1=-5\), \(x_2=-1\) c) \(g(x)=(x+6)^2-4\)

- Wie hilft dir das Ausklammern des Streckfaktors bei der quadratischen Ergänzung? - Was erhältst du, wenn du für die Nullstellen direkt in der Scheitelpunktform \(h(x)=0\) setzt? - Was passiert mit der \(y\)-Koordinate eines Punkts bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse und bei einer anschließenden Verschiebung nach oben?

1. Ausklammern und quadratisches Ergänzen ergibt \(h(x)=-0{,}5(x^2-4x)+6=-0{,}5((x-2)^2-4)+6=-0{,}5(x-2)^2+8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2\mid8)\). 2. Für die Nullstellen gilt \(-0{,}5(x-2)^2+8=0\). Daraus folgt \((x-2)^2=16\) und damit \(x-2=\pm4\). Also sind \(x_1=-2\) und \(x_2=6\). 3. Durch die Spiegelung an der \(x\)-Achse wird aus dem Scheitelpunkt \(S(2\mid8)\) der Punkt \(S_1(2\mid-8)\). 4. Die anschließende Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben ergibt den neuen Scheitelpunkt \(S_2(2\mid-6)\).

a) \(h(x)=-0{,}5(x-2)^2+8\); \(S(2\mid8)\) b) \(x_1=-2\), \(x_2=6\) c) \(S_2(2\mid-6)\)

- Was passiert, wenn du die Zahl vor dem \(x^2\) zuerst aus den Termen mit \(x\) ausklammerst? - Achte beim späteren Ausmultiplizieren besonders auf das Vorzeichen des Werts, den du ergänzt hast. - Wie lautet die passende binomische Formel für den Ausdruck in der Klammer?

1. Ausklammern des Faktors \(-2\) aus den ersten beiden Gliedern: \(-2(x^2 - 6x) - 10\). 2. Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer durchführen: \(-2(x^2 - 6x + 3^2 - 3^2) - 10\). 3. Umwandeln in ein Binom: \(-2((x - 3)^2 - 9) - 10\). 4. Ausmultiplizieren der äußeren Klammer: \(-2(x - 3)^2 + 18 - 10\). 5. Vereinfachen des Terms: \(g(x) = -2(x - 3)^2 + 8\).

\(g(x) = -2(x - 3)^2 + 8\)

- Kennst du eine Eigenschaft von Parabeln, mit der du die Position des Scheitelpunkts direkt aus den Nullstellen finden kannst? - Wo genau zwischen den Nullstellen liegt die Symmetrieachse der Parabel? - Wie findest du den passenden Funktionswert, wenn du die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts bereits kennst?

1. Identifikation der Nullstellen aus der gegebenen Form: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 7\). 2. Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts (\(x_S\)) als Mittelwert der Nullstellen aufgrund der Symmetrie der Parabel: \(x_S = \frac{-1 + 7}{2} = 3\). 3. Berechnung der \(y\)-Koordinate (\(y_S\)) durch Einsetzen von \(x_S\) in die Funktionsgleichung: \(h(3) = 0{,}25(3 + 1)(3 - 7) = 0{,}25 \cdot 4 \cdot (-4) = -4\). 4. Aufstellen der Scheitelpunktform mit dem Streckfaktor \(a = 0{,}25\): \(h(x) = 0{,}25(x - 3)^2 - 4\). Alternativer Weg: Ausmultiplizieren zu \(h(x) = 0{,}25x^2 - 1{,}5x - 1{,}75\) und anschließende quadratische Ergänzung.

\(h(x) = 0{,}25(x - 3)^2 - 4\)

- Wie gehst du vor, um den quadratischen Teil eines Terms zu vervollständigen? - Was sagt die Öffnungsrichtung der Parabel über die Art des Scheitelpunkts aus? - Welche Werte kann eine Funktion annehmen, wenn du den tiefsten oder höchsten Punkt kennst? - Wie berechnet man den Durchschnitt zweier Zahlen auf der Zahlengeraden?

1. Quadratische Ergänzung: Ausklammern der \(2\), Ergänzen von \((\frac{6}{2})^2 = 9\), Zusammenfassen zum Binom ergibt \(g(x) = 2(x-3)^2 - 8\). 2. Scheitelpunkt und Wertebereich: Der Scheitelpunkt ist \(S(3 | -8)\). Da \(a = 2 > 0\), ist die Parabel nach oben geöffnet; der Scheitelpunkt ist ein Minimum. Der Wertebereich ist \(W = \{y \in \mathbb{R} | y \geq -8\}\). 3. Nullstellen und Symmetrie: Lösen von \(2(x-3)^2 - 8 = 0\) ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). Der Mittelwert der Nullstellen ist \(\frac{1 + 5}{2} = 3\), was dem \(x\)-Wert des Scheitelpunkts entspricht.

a) \(g(x) = 2(x-3)^2 - 8\) b) \(S(3 | -8)\); Wertebereich: \(y \geq -8\). Da \(a = 2 > 0\), ist die Parabel nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt ein Minimum. c) Nullstellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\). Mittelwert: \(\frac{1+5}{2} = 3\), dies entspricht \(x_S = 3\).

- Wie lässt sich \(x^2+kx\) allgemein quadratisch ergänzen? - Welche Koordinate des Scheitelpunkts muss null sein, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt? - Welche Gleichung für \(k\) entsteht aus dieser Bedingung?

1. Durch quadratische Ergänzung gilt \(f_k(x)=\left(x+\frac{k}{2}\right)^2+9-\frac{k^2}{4}\). 2. Der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse genau dann, wenn seine \(y\)-Koordinate \(0\) ist. Daher muss \(9-\frac{k^2}{4}=0\) gelten. 3. Daraus folgt \(k^2=36\), also \(k=6\) oder \(k=-6\). 4. Für \(k=6\) ist \(f(x)=(x+3)^2\) mit \(S_1(-3\mid0)\). Für \(k=-6\) ist \(f(x)=(x-3)^2\) mit \(S_2(3\mid0)\).

\(k=6\) mit \(S_1(-3\mid0)\) oder \(k=-6\) mit \(S_2(3\mid0)\)

- Wie kannst du die allgemeine Form durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform überführen? - Welche \(y\)-Koordinate hat jeder Punkt auf der \(x\)-Achse? - Um wie viel muss sich die Scheitelpunkthöhe ändern?

1. Durch quadratische Ergänzung gilt \(f(x)=x^2-10x+25-25+21=(x-5)^2-4\). Daher ist \(S(5\mid-4)\). 2. Damit die Scheitelpunkthöhe von \(-4\) auf \(0\) steigt, muss die Parabel um \(4\) Einheiten nach oben verschoben werden. Also ist \(d=4\).

1. \(S(5\mid-4)\) 2. \(d=4\) Einheiten nach oben

- Welche Gleichung musst du für die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse lösen? - Wo liegt die Symmetrieachse im Verhältnis zu zwei Nullstellen einer Parabel? - Welche Information über die Form der Parabel muss bei einer reinen Verschiebung unverändert bleiben? - Wie sieht die Scheitelpunktform aus, wenn der neue Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse liegt?

1. Für die Nullstellen gilt \(-x^2 + 4x - 3 = 0\), also \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Daraus folgen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(1 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\). 2. Die Symmetrieachse liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen: \(x_S = \frac{1+3}{2} = 2\). Mit \(h(2) = -4 + 8 - 3 = 1\) erhält man den ursprünglichen Scheitelpunkt \(S(2 \mid 1)\). 3. Die neue Parabel soll den Scheitelpunkt \(S'(0 \mid 2)\) besitzen. Da Öffnung und Streckung erhalten bleiben, bleibt \(a = -1\). 4. In Scheitelpunktform ist damit \(g(x) = -(x - 0)^2 + 2 = -x^2 + 2\).

a) \(N_1(1 \mid 0)\), \(N_2(3 \mid 0)\) und \(S(2 \mid 1)\) b) \(g(x) = -x^2 + 2\)

- Was sagt die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts über die Lage der Parabel aus? - Kannst du den Scheitelpunkt von \(g(x)\) direkt sehen oder musst du dort auch etwas rechnen? - Wie gehst du mit dem Minuszeichen vor dem \(x^2\) bei der quadratischen Ergänzung um? - Vergleiche am Ende die beiden \(y\)-Werte der Scheitelpunkte.

1. Umformung von \(f(x)\) durch Ausklammern von \(-1\): \(-(x^2 - 4x) - 1\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{4}{2})^2 = 4\): \(-(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1\). 3. Binomische Formel anwenden: \(-((x-2)^2 - 4) - 1\). 4. Klammer auflösen: \(-(x-2)^2 + 4 - 1\), was zu \(f(x) = -(x-2)^2 + 3\) führt. 5. Scheitelpunkt von \(f\) bestimmen: \(S_f(2|3)\). 6. Scheitelpunkt von \(g\) direkt aus der Gleichung ablesen: \(S_g(3|4)\). 7. Vergleich der \(y\)-Koordinaten: Da \(4 > 3\) ist, liegt der Scheitelpunkt von \(g\) höher.

Die Parabel \(g\) hat ihren Scheitelpunkt weiter oben. Die Scheitelpunktform von \(f\) ist \(f(x) = -(x-2)^2 + 3\) mit \(S_f(2|3)\), während \(g\) den Scheitelpunkt \(S_g(3|4)\) besitzt. Da \(4 > 3\), liegt \(S_g\) höher.

- Was musst du zuerst tun, wenn vor dem \(x^2\) eine Zahl steht, die nicht \(1\) ist? - Achte beim Ausmultiplizieren darauf, dass der Faktor vor der Klammer auch mit der abgezogenen Zahl verrechnet wird. - Welcher Teil der Scheitelpunktform gibt an, ob die Parabel gestreckt, gestaucht oder gespiegelt ist?

1. Ausklammern des Streckfaktors \(2\) aus den ersten beiden Gliedern: \(g(x) = 2(x^2 - 6x) + 7\). 2. Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer: Die Hälfte von \(-6\) ist \(-3\), das Quadrat davon ist \(9\). Also: \(g(x) = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 7\). 3. Umwandlung in das Binom innerhalb der Klammer: \(g(x) = 2((x - 3)^2 - 9) + 7\). 4. Ausmultiplizieren der äußeren Klammer: \(g(x) = 2(x - 3)^2 - 18 + 7\). 5. Zusammenfassen der Konstanten ergibt die Scheitelpunktform: \(g(x) = 2(x - 3)^2 - 11\). 6. Da der Streckfaktor \(a = 2\) positiv ist (\(a > 0\)), ist die Parabel nach oben geöffnet.

Die Scheitelpunktform ist \(g(x) = 2(x-3)^2 - 11\). Da der Faktor \(2\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

- Bestimme zuerst für beide Funktionen die Scheitelpunktform. - Achte bei der Funktion \(f(x)\) besonders auf das Vorzeichen beim Ausklammern. - Vergleiche am Ende nur die Werte, die außerhalb der Klammer stehen.

1. Umformung von \(f(x)\): Ausklammern von \(-0{,}5\) ergibt \(-0{,}5(x^2 + 8x)\). Ergänzung mit \((\frac{8}{2})^2 = 16\). Es folgt \(f(x) = -0{,}5(x^2 + 8x + 16 - 16) = -0{,}5((x+4)^2 - 16) = -0{,}5(x+4)^2 + 8\). Die \(y\)-Koordinate ist \(y_{S_f} = 8\). 2. Umformung von \(h(x)\): Quadratische Ergänzung mit \((\frac{8}{2})^2 = 16\). Es folgt \(h(x) = (x^2 + 8x + 16) - 16 + 10 = (x+4)^2 - 6\). Die \(y\)-Koordinate ist \(y_{S_h} = -6\). 3. Vergleich der \(y\)-Werte: Da \(8 > -6\), hat der Scheitelpunkt von \(f(x)\) die größere \(y\)-Koordinate.

Der Scheitelpunkt von \(f(x)\) liegt bei \(y = 8\), der von \(h(x)\) bei \(y = -6\). Somit hat die Parabel zu \(f(x)\) den höheren Scheitelpunkt.

- Welche Zahl ergänzt \(x^2-4x\) zu einem vollständigen Quadrat? - Welche Informationen kannst du direkt aus der Scheitelpunktform ablesen? - Wie kannst du dieselbe Scheitelpunktform für die Nullstellenberechnung nutzen?

1. Quadratische Ergänzung ergibt \(f(x)=x^2-4x+4-4-5=(x-2)^2-9\). 2. Daher ist der Scheitelpunkt \(S(2\mid-9)\). 3. Für die Nullstellen nutzt man die bereits erhaltene Scheitelpunktform: \((x-2)^2-9=0\), also \((x-2)^2=9\). 4. Damit folgt \(x-2=3\) oder \(x-2=-3\), also \(x_1=5\) und \(x_2=-1\).

a) \(f(x)=(x-2)^2-9\); \(S(2\mid-9)\) b) \(x_1=5\), \(x_2=-1\)

- Achte beim Ausklammern darauf, dass sich die Vorzeichen innerhalb der Klammer ändern können. - Vergiss nicht, beim Auflösen der großen Klammer den Faktor vor der Klammer mit beiden Termen zu multiplizieren. - Skizziere dir kurz die vier Quadranten, um die Lage des Punktes zu bestimmen.

1. Ausklammern des Faktors \(-2\) aus den Termen mit \(x\): \(g(x) = -2(x^2 - 4x) - 5\). 2. Bestimmen der quadratischen Ergänzung für den Klammerinhalt: \((\frac{4}{2})^2 = 4\). 3. Ergänzen und Abziehen innerhalb der Klammer: \(g(x) = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 5\). 4. Umformen mit der zweiten binomischen Formel: \(g(x) = -2((x-2)^2 - 4) - 5\). 5. Ausmultiplizieren der äußeren Klammer: \(g(x) = -2(x-2)^2 + 8 - 5\). 6. Zusammenfassen zur Scheitelpunktform: \(g(x) = -2(x-2)^2 + 3\). 7. Ablesen des Scheitelpunktes: \(S(2 \mid 3)\). 8. Bestimmung des Quadranten: Da sowohl die x-Koordinate als auch die y-Koordinate positiv sind, liegt der Scheitelpunkt im I. Quadranten.

Die Scheitelpunktform lautet \(g(x) = -2(x-2)^2 + 3\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 \mid 3)\) und liegt somit im I. Quadranten.

- Welche Form der Funktionsgleichung bietet sich an, wenn die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse gegeben sind? - Wo liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts im Verhältnis zu den Nullstellen? - Wie findest du den \(y\)-Wert eines Punktes, wenn du seinen \(x\)-Wert und die Funktionsgleichung kennst?

1. Verwendung der Nullstellenform: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x + 2)(x - 6)\) 2. Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid 3)\) zur Bestimmung von \(a\): \(3 = a(0 + 2)(0 - 6) = -12a\) 3. Berechnung von \(a\): \(a = \frac{3}{-12} = -0{,}25\) 4. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}25(x + 2)(x - 6)\) 5. Bestimmung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts (\(x_s\)) als Mittelwert der Nullstellen: \(x_s = \frac{-2 + 6}{2} = 2\) 6. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts (\(y_s\)) durch Einsetzen von \(x_s\): \(y_s = f(2) = -0{,}25(2 + 2)(2 - 6) = -0{,}25 \cdot 4 \cdot (-4) = 4\) 7. Koordinaten des Scheitelpunkts: \(S(2 \mid 4)\)

Der Scheitelpunkt der Parabel hat die Koordinaten \(S(2 \mid 4)\).

- Welche binomische Formel passt zur Struktur des Terms? - Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen? - Denke an die Form einer Parabel und die Bedeutung des Scheitelpunkts für den Verlauf. - Welcher Wert für \(x\) führt dazu, dass die Klammer Null wird?

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\): \(x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2\). 2. Da der Ausdruck \((x - 4)^2\) als Quadrat einer reellen Zahl minimal \(0\) sein kann, ist der kleinste Funktionswert \(y = 0\). Dieser wird an der Stelle \(x = 4\) erreicht. 3. Die Parabel ist nach oben geöffnet und hat ihren Scheitelpunkt bei \(S(4|0)\). Daraus folgt: Die Funktion ist für \(x \le 4\) streng monoton fallend und für \(x \ge 4\) streng monoton steigend. 4. Da der Funktionsterm als Quadrat \((x - 4)^2\) geschrieben werden kann und Quadrate reeller Zahlen stets größer oder gleich Null sind (\(a^2 \ge 0\)), kann \(f(x)\) niemals negativ sein.

1. \(f(x) = (x - 4)^2\) 2. Minimum \(0\) bei \(x = 4\) 3. Fallend für \(x \in (-\infty; 4]\), steigend für \(x \in [4; \infty)\) 4. Da \((x - 4)^2 \ge 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), sind keine negativen Werte möglich.

- Wie kannst du den Term umformen, um den Scheitelpunkt direkt abzulesen? - Achte auf das Vorzeichen vor dem quadratischen Glied, um die Öffnungsrichtung zu bestimmen. - Setze den Funktionsterm gleich Null, um die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu finden. - Skizziere den Verlauf der Parabel im Kopf: Wo liegt sie über der Achse, wenn sie nach unten geöffnet ist?

1. Quadratische Ergänzung: \(h(x) = -(x^2 - 6x) - 5 = -(x^2 - 6x + 3^2 - 3^2) - 5 = -((x - 3)^2 - 9) - 5 = -(x - 3)^2 + 9 - 5 = -(x - 3)^2 + 4\). 2. Die Parabel ist wegen des negativen Vorzeichens vor der Klammer nach unten geöffnet. Der höchste Punkt ist der Scheitelpunkt \(S(3|4)\). Das Maximum ist somit \(y = 4\) bei \(x = 3\). 3. Nullstellenberechnung: \(0 = -(x - 3)^2 + 4 \Rightarrow (x - 3)^2 = 4 \Rightarrow x - 3 = 2\) oder \(x - 3 = -2\). Daraus ergeben sich \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 4. Da die Parabel nach unten geöffnet ist und die Nullstellen bei \(1\) und \(5\) liegen, verlaufen die Funktionswerte zwischen den Nullstellen oberhalb der \(x\)-Achse. Das gesuchte Intervall ist \(1 < x < 5\).

1. \(h(x) = -(x - 3)^2 + 4\) 2. Maximum bei \(S(3|4)\), da die Parabel nach unten geöffnet ist. 3. \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\) 4. \(x \in (1; 5)\) bzw. \(1 < x < 5\)

- Kannst du ein Minuszeichen aus dem gesamten Term ausklammern? - Was verrät dir die Zahl vor dem \(x^2\) über die Form der Parabel? - Wo schneidet eine Kurve die \(y\)-Achse? Welchen Wert hat \(x\) dort? - Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen?

1. Bestimmung des Scheitelpunkts: Ausklammern von \(-1\) führt zu \(h(x) = -(x^2 - 10x + 25)\). Anwendung der zweiten binomischen Formel ergibt die Scheitelpunktform \(h(x) = -(x - 5)^2\). Der Scheitelpunkt ist \(S(5|0)\). 2. Öffnungsrichtung: Da der Streckfaktor \(a = -1\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x = 0\) in die Ausgangsgleichung ergibt \(h(0) = -0^2 + 10 \cdot 0 - 25 = -25\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|-25)\). 4. Begründung der Funktionswerte: Der Ausdruck \((x - 5)^2\) ist als Quadrat einer reellen Zahl immer größer oder gleich \(0\). Durch das Minuszeichen davor wird der gesamte Term \(-(x - 5)^2\) immer kleiner oder gleich \(0\). Somit ist der maximale Funktionswert \(0\) (am Scheitelpunkt), und es gibt keine Werte \(h(x) > 0\).

a) Scheitelpunkt \(S(5|0)\), die Parabel ist nach unten geöffnet. b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0|-25)\). c) Da \(h(x) = -(x-5)^2\) und Quadrate nie negativ sind, ist der Term \(-(x-5)^2\) stets \(\le 0\).

- Versuche zuerst, die Terme so umzuformen, dass du die binomischen Formeln anwenden kannst. - Was haben die beiden Funktionsterme gemeinsam und worin unterscheiden sie sich? - Wenn eine Parabel nach unten offen ist, wo muss ihr höchster Punkt liegen, damit sie die waagerechte Achse nie erreicht? - Skizziere die Lage der Scheitelpunkte im Kopf oder auf Papier.

1. Umformung von \(p_1(x)\): Ausklammern von \(-1\) ergibt \(-(x^2 - 4x + 4)\). Anwendung der zweiten binomischen Formel führt zu \(p_1(x) = -(x - 2)^2\). Der Scheitelpunkt ist \(S_1(2|0)\). 2. Umformung von \(p_2(x)\): Analog ergibt sich \(-(x^2 - 4x + 4) - 1\), was zu \(p_2(x) = -(x - 2)^2 - 1\) führt. Der Scheitelpunkt ist \(S_2(2|-1)\). 3. Vergleich: Beide Parabeln haben denselben \(x\)-Wert für den Scheitelpunkt (\(x = 2\)) und sind wegen des Faktors \(-1\) nach unten geöffnet. \(S_2\) liegt jedoch eine Einheit tiefer als \(S_1\). 4. Nullstellen-Analyse: Die Funktion \(p_2\) hat keine Nullstellen. Da ihr Scheitelpunkt bei \(y = -1\) (unterhalb der \(x\)-Achse) liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist, entfernen sich alle weiteren Punkte der Parabel noch weiter von der \(x\)-Achse nach unten.

a) \(p_1(x) = -(x-2)^2\) und \(p_2(x) = -(x-2)^2 - 1\). b) Beide Parabeln sind nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt von \(p_1\) ist \(S_1(2|0)\), der von \(p_2\) ist \(S_2(2|-1)\). c) \(p_2\) hat keine Nullstellen, da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist.

- Welche Zahl musst du addieren und subtrahieren, um den Term in eine binomische Formel zu bringen? - Wie hängen die Werte in der Scheitelpunktform mit der Lage des tiefsten Punktes zusammen? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf einer der Achsen liegt? - Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? Was sagt das über Extremwerte aus?

1. Umwandlung in die Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung: \(f(x) = x^2 + 8x + 16 - 16 + 12 = (x+4)^2 - 4\). 2. Ablesen des Scheitelpunktes aus der Form \(f(x) = (x-x_S)^2 + y_S\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-4 | -4)\). 3. Da die Parabel nach oben geöffnet ist (\(a=1 > 0\)), ist der \(y\)-Wert des Scheitelpunktes das Minimum: Das Minimum beträgt \(-4\) an der Stelle \(x = -4\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x=0\) ergibt \(f(0) = 0^2 + 8 \cdot 0 + 12 = 12\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | 12)\). 5. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): Lösen der Gleichung \((x+4)^2 - 4 = 0\) ergibt \((x+4)^2 = 4\), also \(x+4 = \pm 2\). Daraus folgen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = -6\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(-2 | 0)\) und \(N_2(-6 | 0)\).

a) \(f(x) = (x+4)^2 - 4\) b) \(S(-4 | -4)\) c) Minimum \(-4\) bei \(x = -4\) d) \(S_y(0 | 12)\), \(N_1(-2 | 0)\) und \(N_2(-6 | 0)\)

- Achte beim Umformen auf das Vorzeichen vor dem \(x^2\). - Überlege dir, wie der Graph der Funktion aussieht (nach oben oder unten geöffnet?). - Wo genau ändert sich das Steigungsverhalten einer Parabel? - Wie hängen die Bereiche über und unter der \(x\)-Achse mit den Nullstellen zusammen?

1. Scheitelpunktform: Ausklammern des Minuszeichens ergibt \(g(x) = -(x^2 - 4x) - 1\). Quadratische Ergänzung im Klammerterm: \(-(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1 = -((x-2)^2 - 4) - 1 = -(x-2)^2 + 4 - 1 = -(x-2)^2 + 3\). 2. Nullstellen berechnen: \(-(x-2)^2 + 3 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 3 \Rightarrow x-2 = \pm\sqrt{3}\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 2 - \sqrt{3}\) und \(x_2 = 2 + \sqrt{3}\). 3. Monotonie: Die Parabel ist wegen \(a = -1\) nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt liegt bei \(x = 2\). Daher steigt die Funktion für alle Werte links vom Scheitelpunkt an, also im Intervall \(x \in (-\infty; 2]\). 4. Positivität: Da die Parabel nach unten geöffnet ist, liegen die Funktionswerte oberhalb der \(x\)-Achse zwischen den beiden Nullstellen. Es gilt \(g(x) > 0\) für \(2 - \sqrt{3} < x < 2 + \sqrt{3}\).

a) \(g(x) = -(x-2)^2 + 3\) b) \(x_1 = 2 - \sqrt{3}\) und \(x_2 = 2 + \sqrt{3}\) c) Streng monoton steigend für \(x \le 2\) (bzw. im Intervall \((-\infty; 2]\)). d) Für \(x \in (2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3})\).

- Wie kannst du den Term \(x^2 - 6x\) so ergänzen, dass er einem Teil einer binomischen Formel entspricht? - Welche Information über den tiefsten Punkt der Parabel liefert dir die Scheitelpunktform direkt? - Überlege dir, wie der Graph im Koordinatensystem liegt. Wo befindet sich der Scheitelpunkt im Verhältnis zur \(x\)-Achse? - Was passiert mit dem Graphen einer Funktion, wenn man am Ende der Gleichung eine Zahl addiert oder subtrahiert?

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung: \(f(x) = x^2 - 6x + 9 - 9 + 13 = (x-3)^2 + 4\). Die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = (x-3)^2 + 4\). 2. Ablesen des Scheitelpunktes aus der Form \(y = (x-d)^2 + e\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3|4)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist (\(a=1 > 0\)), ist der kleinste Funktionswert \(y = 4\). 3. Untersuchung der Nullstellen: Da der kleinste Funktionswert \(4\) ist, gilt für alle \(x\), dass \(f(x) \ge 4\). Somit kann der Funktionswert niemals \(0\) werden, was bedeutet, dass keine reellen Nullstellen existieren. Alternativ: Die Gleichung \((x-3)^2 + 4 = 0\) führt zu \((x-3)^2 = -4\), was im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung hat. 4. Vergleich mit \(g(x)\): Die Funktion \(g(x) = x^2 - 6x + 9\) lässt sich als binomisches Quadrat schreiben: \(g(x) = (x-3)^2\). Hier liegt der Scheitelpunkt bei \(S(3|0)\), also direkt auf der \(x\)-Achse. Daher hat \(g(x)\) genau eine Nullstelle (einen Berührpunkt), während \(f(x)\) keine hat, da ihr Graph um \(4\) Einheiten nach oben verschoben ist.

1) \(f(x) = (x-3)^2 + 4\) 2) Scheitelpunkt \(S(3|4)\), kleinster Funktionswert \(4\). 3) Da der kleinste Wert \(4\) ist, wird die \(x\)-Achse (\(y=0\)) nie erreicht. 4) \(g(x)\) hat genau eine Nullstelle bei \(x=3\), da der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt.

- Denk daran, beim Ausklammern des Faktors vor dem \(x^2\) auch das Vorzeichen zu berücksichtigen. - Welche Auswirkung hat ein negativer Wert vor der Klammer in der Scheitelpunktform auf die Öffnung der Parabel? - Wenn der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel bereits unterhalb der \(x\)-Achse liegt, kann sie die Achse dann jemals erreichen? - Nutze die Symmetrie der Parabel zum Scheitelpunkt, um Rechenarbeit bei der Wertetabelle zu sparen.

1. Ausklammern des Faktors \(-2\) aus den ersten beiden Termen: \(h(x) = -2(x^2 - 4x) - 11\). Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer: \(h(x) = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 11\). Umformung: \(h(x) = -2((x-2)^2 - 4) - 11 = -2(x-2)^2 + 8 - 11 = -2(x-2)^2 - 3\). 2. Der Scheitelpunkt ist \(S(2|-3)\). Da der Streckfaktor \(a = -2\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Das Maximum der Funktion ist somit \(y = -3\). 3. Nullstellenprüfung: Da das Maximum der Funktion bei \(-3\) liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist, sind alle Funktionswerte kleiner oder gleich \(-3\). Da der gesamte Graph unterhalb der \(x\)-Achse liegt (\(h(x) \le -3\)), gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. 4. Berechnung der Tabellenwerte: \(h(0) = -2 \cdot 0^2 + 8 \cdot 0 - 11 = -11\) \(h(1) = -2 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 - 11 = -5\) \(h(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 11 = -3\) (Scheitelpunkt) \(h(3) = -2 \cdot 3^2 + 8 \cdot 3 - 11 = -5\) (Symmetrie zu \(x = 2\)) \(h(4) = -2 \cdot 4^2 + 8 \cdot 4 - 11 = -11\)

1) \(h(x) = -2(x-2)^2 - 3\) 2) Scheitelpunkt \(S(2|-3)\), Maximum \(-3\). 3) Keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse, da das Maximum unterhalb der Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist. 4) Werte: \(h(0)=-11\), \(h(1)=-5\), \(h(2)=-3\), \(h(3)=-5\), \(h(4)=-11\).

- Welche Zahl musst du addieren und subtrahieren, um den vorderen Teil des Terms als Binom schreiben zu können? - An welcher Stelle im Koordinatensystem muss der Scheitelpunkt liegen, damit es genau eine Berührstelle mit der \(x\)-Achse gibt? - Wie verändert sich der Funktionsterm, wenn man den Graphen nach oben oder unten verschiebt?

1. Quadratische Ergänzung: \(f(x) = x^2 - 6x + 9 - 9 + 8 = (x - 3)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3|-1)\). 2. Berechnung der Nullstellen: Ansatz \((x - 3)^2 - 1 = 0 \implies (x - 3)^2 = 1\). Daraus folgt \(x - 3 = 1\) oder \(x - 3 = -1\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = 2\). 3. Verschiebung für genau eine Nullstelle: Damit die Parabel die \(x\)-Achse nur berührt, muss der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts \(0\) sein. Da der aktuelle \(y\)-Wert \(-1\) ist, muss die Parabel um \(1\) Einheit nach oben verschoben werden. 4. Neue Funktionsgleichung: Durch die Verschiebung um \(1\) nach oben fällt der konstante Term \(-1\) in der Scheitelpunktform weg. Die neue Gleichung lautet \(y = (x - 3)^2\).

a) Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - 3)^2 - 1\); Scheitelpunkt: \(S(3|-1)\) b) Nullstellen bei \(x = 2\) und \(x = 4\) c) Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben; neue Gleichung: \(y = (x - 3)^2\)

- Wie sieht die allgemeine Scheitelpunktform aus? - Was sagt das Vorzeichen vor der Klammer über die Öffnung der Parabel aus? - Überlege dir, wo der tiefste oder höchste Punkt der Parabel liegt. Kann die Kurve dann die waagerechte Achse berühren? - Skizziere die Lage des Scheitelpunkts grob in einem Koordinatensystem.

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung: \(f(x) = x^2 - 4x + 4 - 4 + 7 = (x-2)^2 + 3\). 2. Ablesen des Scheitelpunkts: \(S(2|3)\). Da der Streckfaktor \(a = 1\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet, der Scheitelpunkt ist somit ein Tiefpunkt. 3. Da der tiefste Punkt der Parabel eine positive \(y\)-Koordinate (\(y = 3\)) besitzt und die Parabel nach oben geöffnet ist, liegen alle Funktionswerte oberhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \geq 3\)). Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) ist daher ausgeschlossen.

1. Scheitelpunktform: \(f(x) = (x-2)^2 + 3\) 2. Scheitelpunkt: \(S(2|3)\); es ist ein Tiefpunkt. 3. Der Scheitelpunkt liegt oberhalb der \(x\)-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet, daher gibt es keine Nullstellen.

- Welche quadratische Ergänzung macht aus \(x^2+4x\) den Anfang eines binomischen Quadrats? - Welche Form des Terms hast du nach der quadratischen Ergänzung, und wie kann sie dir bei der Nullstellensuche helfen? - Welche Angaben kannst du direkt aus einer Scheitelpunktform ablesen? - Was sagt das Vorzeichen des Leitkoeffizienten über die Art des Extremums aus?

1. Quadratische Ergänzung durchführen: \(p(x) = x^2 + 4x + 2^2 - 2^2 - 5 = (x+2)^2 - 4 - 5\). Die Scheitelpunktform lautet \(p(x) = (x+2)^2 - 9\). 2. Nullstellen berechnen: Ansatz \(p(x) = 0 \Rightarrow (x+2)^2 - 9 = 0\). Daraus folgt \((x+2)^2 = 9\). Radizieren ergibt \(x+2 = 3\) oder \(x+2 = -3\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -5\). 3. Aus der Scheitelpunktform liest man \(S(-2|-9)\) ab. Da der Koeffizient vor dem quadratischen Term positiv ist (\(a=1\)), ist die Parabel nach oben geöffnet. Es handelt sich um ein Minimum mit dem Wert \(-9\) an der Stelle \(x=-2\).

1. Scheitelpunktform: \(p(x) = (x+2)^2 - 9\). 2. Nullstellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -5\). 3. Scheitelpunkt \(S(-2|-9)\); es ist ein Minimum mit dem Wert \(-9\).

- Wie kannst du den Term \(x^2 + 8x\) so ergänzen, dass er eine binomische Formel bildet? - Was musst du beim Vorzeichen in der Klammer beachten, wenn du die Verschiebung entlang der \(x\)-Achse beschreibst? - Skizziere dir gedanklich, wo der tiefste Punkt der Parabel liegt und in welche Richtung sie sich öffnet.

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung: \(f(x) = x^2 + 8x + 13\). Ergänzung mit \(\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16\): \(f(x) = (x^2 + 8x + 16) - 16 + 13\). Anwendung der ersten binomischen Formel: \(f(x) = (x+4)^2 - 3\). 2. Beschreibung der Transformation: Der Term \((x+4)^2\) zeigt eine Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links (negative \(x\)-Richtung). Der Term \(-3\) zeigt eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten (negative \(y\)-Richtung). 3. Analyse der Nullstellen: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-4 | -3)\). Da der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts negativ ist und die Parabel nach oben geöffnet ist (der Koeffizient vor \(x^2\) ist \(1 > 0\)), muss der Graph die \(x\)-Achse an zwei Stellen schneiden. Die Funktion hat somit zwei Nullstellen.

a) \(f(x) = (x+4)^2 - 3\) b) Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links und um \(3\) Einheiten nach unten. c) Zwei Nullstellen, da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist.

- Wie findet man den höchsten oder tiefsten Punkt einer Parabel? - Was weißt du über den \(x\)-Wert eines Punktes, der auf der \(y\)-Achse liegt? - Welche Gleichung musst du lösen, um die Stellen zu finden, an denen der Funktionswert Null ist? - Schau dir den Koeffizienten vor dem \(x^2\) an – was verrät er dir über die Form?

1. Berechnung des Scheitelpunktes: Verwendung der Formel \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt \(y_s = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2 | -2)\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f(0) = 6\). Der Schnittpunkt ist \(P_y(0 | 6)\). 3. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Lösen der Gleichung \(2x^2 - 8x + 6 = 0\). Division durch \(2\) führt zu \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(1 | 0)\) und \(N_2(3 | 0)\). 4. Form und Öffnung: Da der Streckfaktor \(a = 2\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Da \(|a| > 1\), ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt (schmaler).

a) \(S(2 | -2)\) b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 | 6)\); Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \((1 | 0)\) und \((3 | 0)\) c) Die Parabel ist nach oben geöffnet und im Vergleich zur Normalparabel gestreckt (schmaler).

- Wie lässt sich ein Scheitelpunkt direkt aus einer Funktionsgleichung ablesen, wenn diese in einer bestimmten Form steht? - Überlege dir, wo der Scheitelpunkt im Koordinatensystem liegt und in welche Richtung die Parabel geöffnet ist. Muss sie dann die \(x\)-Achse kreuzen? - Wenn ein Scheitelpunkt genau auf der \(x\)-Achse liegt, wie viele Nullstellen hat die Funktion dann? - Wie berechnet man den Wert einer Funktion an der Stelle \(x = 0\)?

1. Scheitelpunkt von \(p_1\): Die Gleichung liegt in Scheitelpunktform vor. Der Scheitelpunkt ist direkt ablesbar: \(S_1(-2 | -1)\). 2. Scheitelpunkt von \(p_2\): Berechnung der \(x\)-Koordinate über \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-0{,}5)} = 2\). Einsetzen ergibt \(y_s = -0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 - 2 = -2 + 4 - 2 = 0\). Der Scheitelpunkt ist \(S_2(2 | 0)\). 3. Anzahl der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(p_1\) ist eine nach oben geöffnete Normalparabel (\(a=1\)) mit einem Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse (\(y = -1\)). Daher muss sie die \(x\)-Achse zweimal schneiden. Der Scheitelpunkt von \(p_2\) liegt direkt auf der \(x\)-Achse (\(y = 0\)), weshalb es dort nur einen Berührpunkt (eine Nullstelle) gibt. Somit hat \(p_1\) mehr Schnittpunkte. 4. Schnittpunkt von \(p_1\) mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x = 0\) in \(p_1(x) = (x+2)^2 - 1\) ergibt \(p_1(0) = (0+2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3\). Der Schnittpunkt ist \(P_y(0 | 3)\).

a) \(S_1(-2 | -1)\) und \(S_2(2 | 0)\) b) \(p_1\) besitzt zwei Schnittpunkte, da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist. \(p_2\) hat nur einen Berührpunkt, da der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt. c) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 | 3)\)

- Welche Form der Funktion macht den Scheitelpunkt unmittelbar sichtbar? - Vergleiche nach der Umformung die beiden Scheitelhöhen und die Vorzeichen vor dem Quadrat. - Wie kannst du algebraisch ausdrücken, dass zwei Funktionswerte denselben Abstand von einer waagrechten Geraden haben? - Welche Rolle spielt der Betrag des Leitkoeffizienten für die Weite einer Parabel?

1. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(p_1(x)=(x-2)^2-1\) und \(p_2(x)=-(x-2)^2+3\). Daher sind \(S_1(2|-1)\) und \(S_2(2|3)\). 2. Die gesuchte Spiegelachse liegt genau zwischen den beiden Scheitelhöhen, also bei \(y=1\). Algebraisch gilt für jedes \(x\): \(p_1(x)+p_2(x)=2\). Damit ist der Mittelwert der beiden zugehörigen Funktionswerte stets \(1\); die Punkte der beiden Graphen liegen also gleich weit ober- und unterhalb der Geraden \(y=1\). 3. Für beide Parabeln gilt \(|a|=1\), sie sind also gleich weit wie die Normalparabel. \(p_1\) ist nach oben, \(p_2\) nach unten geöffnet.

1. \(p_1(x)=(x-2)^2-1\), \(S_1(2|-1)\); \(p_2(x)=-(x-2)^2+3\), \(S_2(2|3)\). 2. Spiegelgerade: \(y=1\), denn \(p_1(x)+p_2(x)=2\) für alle \(x\). 3. Beide Parabeln sind gleich weit wie die Normalparabel; \(p_1\) ist nach oben, \(p_2\) nach unten geöffnet.

- Was muss in der Klammer stehen, damit du eine binomische Formel anwenden kannst? - Vergleiche die Koeffizienten der allgemeinen Form mit denen eines ausmultiplizierten binomischen Quadrats. - Welche \(y\)-Koordinate hat der Scheitelpunkt, wenn zur Quadratform keine Konstante addiert wird?

1. Ausklammern des Faktors \(2\): \(f(x)=2\left(x^2+4x+\frac{c}{2}\right)\). Damit der Ausdruck in der Klammer ein vollständiges Quadrat der Form \((x+d)^2=x^2+2dx+d^2\) ist, muss \(2d=4\) gelten, also \(d=2\). Daraus folgt \(d^2=4\). Mit \(\frac{c}{2}=4\) ergibt sich \(c=8\). 2. Für \(c=8\) gilt \(f(x)=2(x+2)^2\). Daher liegt der Scheitelpunkt bei \(S(-2|0)\).

1. \(c=8\). 2. \(S(-2|0)\).

- Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts vom Parameter ab? - Kannst du den Parameter aus der Gleichung für die x-Koordinate eliminieren? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt „oberhalb“ einer waagerechten Geraden liegt? - Denk daran, beim Lösen von quadratischen Ungleichungen die Form der zugehörigen Parabel zu berücksichtigen.

1. Bestimmung der Scheitelpunktkoordinaten: Für eine Parabel der Form \(x^2 + bx + c\) liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts bei \(x_S = -\frac{b}{2}\). Hier ist \(b = -2k\), also \(x_S = k\). Einsetzen in \(p_k(x)\) liefert die \(y\)-Koordinate \(y = k^2 - 2k^2 + 3k = -k^2 + 3k\). Der Scheitelpunkt ist somit \(S(k \mid -k^2 + 3k)\). 2. Ermittlung der Ortskurve: Aus \(x = k\) folgt durch Einsetzen in den Ausdruck für \(y\): \(y = -x^2 + 3x\). Die Ortskurve ist eine Parabel mit der Gleichung \(y = -x^2 + 3x\). 3. Bedingung für die Lage des Scheitelpunkts: Die Bedingung \(y > 2\) führt auf die Ungleichung \(-k^2 + 3k > 2\), was äquivalent zu \(k^2 - 3k + 2 < 0\) ist. 4. Lösen der Ungleichung: Die Nullstellen von \(k^2 - 3k + 2 = 0\) sind \(k_1 = 1\) und \(k_2 = 2\). Da die nach oben geöffnete Parabel \(k^2 - 3k + 2\) zwischen ihren Nullstellen negative Werte annimmt, gilt die Bedingung für \(1 < k < 2\).

a) Die Ortskurve hat die Gleichung \(y = -x^2 + 3x\). b) Der Scheitelpunkt liegt für \(1 < k < 2\) oberhalb der Geraden \(y = 2\).

- Prüfe, ob der Funktionswert an einer bestimmten Stelle unabhängig vom Parameter ist. - Nutze die Scheitelpunktformel für quadratische Funktionen. - Stelle die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts nach dem Parameter um und setze diesen Ausdruck in die \(y\)-Koordinate ein. - Überlege dir, welchen Wertebereich die \(x\)-Koordinate der Hochpunkte annehmen kann, da der Parameter eingeschränkt ist.

1. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(0\): \(g_a(0) = \sqrt{a} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0\). Damit verlaufen alle Graphen durch \((0|0)\). 2. Für \(g_a(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \sqrt{a} \cdot x\) ist die Parabel nach unten geöffnet. Die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts erhält man mit der Scheitelpunktformel: \(x_H = -\frac{\sqrt{a}}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{a}\). 3. \(y\)-Koordinate des Hochpunkts berechnen: \(g_a(\sqrt{a}) = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} - \frac{1}{2}(\sqrt{a})^2 = a - \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}a\). Der Hochpunkt ist \(H_a(\sqrt{a} \mid \frac{1}{2}a)\). 4. Ortskurve bestimmen: Aus \(x = \sqrt{a}\) folgt \(a = x^2\) (für \(x > 0\)). Einsetzen in \(y = \frac{1}{2}a\) ergibt \(y = \frac{1}{2}x^2\).

a) Nachweis durch \(g_a(0) = 0\). b) Hochpunkt: \(H_a(\sqrt{a} \mid \frac{1}{2}a)\) c) Ortskurve: \(y = \frac{1}{2}x^2\) (für \(x > 0\))

- Welche quadratische Ergänzung passt zu \(x^2 - 4x\)? - Wie kannst du aus der Scheitelpunktform eine Gleichung lösen, in der nur noch ein Quadrat vorkommt? - Wie hängt die Nullstellenform mit den beiden berechneten Nullstellen zusammen? - Welche einfache Probe bestätigt, dass ein berechneter \(x\)-Wert wirklich eine Nullstelle ist?

1. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(f(x) = 1{,}5(x^2 - 4x) + 4{,}5 = 1{,}5((x - 2)^2 - 4) + 4{,}5 = 1{,}5(x - 2)^2 - 1{,}5\). 2. Für die Nullstellen gilt \(1{,}5(x - 2)^2 - 1{,}5 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 1\). Damit sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Die Nullstellenform lautet \(f(x) = 1{,}5(x - 1)(x - 3)\). 4. Kontrolle: \(f(1) = 1{,}5 - 6 + 4{,}5 = 0\) und \(f(3) = 13{,}5 - 18 + 4{,}5 = 0\). Beide Werte sind damit bestätigt.

a) \(f(x) = 1{,}5(x - 2)^2 - 1{,}5\) b) \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) c) \(f(x) = 1{,}5(x - 1)(x - 3)\) d) \(f(1) = 0\) und \(f(3) = 0\)

- Darf sich der Wert eines Terms beim quadratischen Ergänzen verändern? - Welche binomische Formel steckt in \(x^2-4x+4\)? - Was musst du berücksichtigen, wenn du innerhalb einer Klammer einen Term ergänzt?

1. Mila ergänzt innerhalb der Klammer \(+4\), ohne diesen Zusatz wieder auszugleichen. Dadurch verändert sie den Funktionsterm. 2. Richtig ist \(x^2-4x=(x-2)^2-4\). Daher gilt \(f(x)=2((x-2)^2-4)+5\). 3. Zusammenfassen ergibt \(f(x)=2(x-2)^2-8+5=2(x-2)^2-3\). 4. Somit ist der Scheitelpunkt \(S(2 \mid -3)\).

Der ergänzte Wert \(+4\) wurde nicht ausgeglichen. Korrekt ist \(f(x)=2(x-2)^2-3\) mit \(S(2 \mid -3)\).

- Welche Ergänzung macht aus \(x^2-8x\) ein vollständiges Quadrat? - Lässt sich der ursprüngliche Term auch als Produkt zweier Linearfaktoren schreiben? - Welche geometrische Beziehung besteht zwischen zwei Nullstellen und der Symmetrieachse? - Welche Information ist in Scheitelpunktform beziehungsweise Nullstellenform unmittelbar ablesbar?

1. Durch quadratische Ergänzung gilt \(f(x)=x^2-8x+16-16+7=(x-4)^2-9\). Daher ist der Scheitelpunkt \(S(4|-9)\). 2. Faktorisieren liefert \(f(x)=(x-1)(x-7)\). Die Nullstellen sind \(1\) und \(7\). 3. Die Symmetrieachse liegt in der Mitte der Nullstellen bei \(x=4\). Einsetzen ergibt \(f(4)=-9\), also erneut \(S(4|-9)\). 4. Die quadratische Ergänzung macht den Scheitelpunkt direkt sichtbar. Die Faktorisierung macht zuerst die Nullstellen sichtbar; aus ihnen folgt die Symmetrieachse.

a) \(f(x)=(x-4)^2-9\), also \(S(4|-9)\). b) \(f(x)=(x-1)(x-7)\), Nullstellen \(1\) und \(7\), Symmetrieachse \(x=4\), also ebenfalls \(S(4|-9)\). Die quadratische Ergänzung zeigt den Scheitelpunkt direkt; die Faktorisierung zeigt zuerst die Nullstellen.

- Welche beiden Größen in der Scheitelpunktformel sind bereits bekannt? - Löse die Gleichung zunächst nach \(b\) auf. - Berechne danach den Funktionswert an der vorgegebenen Achsenstelle.

1. Hier gilt \(a=2\) und \(x_S=-3\). 2. Einsetzen in \(-3=-\frac{b}{4}\) ergibt \(b=12\). 3. Damit ist \(h(x)=2x^2+12x+5\). 4. Es gilt \(h(-3)=18-36+5=-13\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-3\mid-13)\).

\(b=12\); der Scheitelpunkt ist \(S(-3\mid-13)\).

- Trenne bei a) die Berechnung von \(x_S\) und \(y_S\). - Klammere bei b) zuerst den Faktor \(2\) aus den x-Termen aus. - Welche Informationen stehen nach der Ergänzung direkt in der Scheitelpunktform?

1. Mit \(a=2\) und \(b=8\) folgt \(x_S=-\frac{8}{4}=-2\). Einsetzen ergibt \(p(-2)=8-16+3=-5\), also \(S(-2\mid-5)\). 2. Quadratische Ergänzung: \(p(x)=2(x^2+4x)+3=2((x+2)^2-4)+3=2(x+2)^2-5\). Daraus liest man ebenfalls \(S(-2\mid-5)\) ab. 3. Die Formel liefert die Scheitelpunktstelle mit weniger Umformungen; die Scheitelpunktform zeigt zusätzlich Öffnungsfaktor, Verschiebung und Extremwert unmittelbar.

a) \(S(-2\mid-5)\) b) \(p(x)=2(x+2)^2-5\), also ebenfalls \(S(-2\mid-5)\) c) Die Formel ist für \(x_S\) kürzer; die Scheitelpunktform macht zusätzlich \(a=2\) und den Minimalwert \(-5\) direkt sichtbar.

- Was bedeutet es für die Scheitelpunktform \(y = (x - d)^2 + e\), wenn der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt? Welchen Wert hat \(e\)? - Wenn \(e = 0\) ist, muss der Ausdruck \(x^2 + kx + 16\) ein perfektes Quadrat (eine binomische Formel) sein. - Welche Zahl ergibt quadriert \(16\)? Berücksichtige dabei sowohl positive als auch negative Möglichkeiten.

1. Damit der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, muss die Funktionsgleichung die Form \(p(x) = (x - d)^2\) haben (keine Verschiebung in \(y\)-Richtung). 2. Vergleich von \(x^2 + kx + 16\) mit \((x \pm d)^2 = x^2 \pm 2dx + d^2\). 3. Es muss \(d^2 = 16\) gelten, also \(d = 4\) oder \(d = -4\). 4. Fall 1: \((x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\). Hier ist \(k = 8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-4 | 0)\). 5. Fall 2: \((x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16\). Hier ist \(k = -8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(4 | 0)\).

a) \(k_1 = 8\) und \(k_2 = -8\) b) Für \(k = 8\): \(S(-4 | 0)\); für \(k = -8\): \(S(4 | 0)\)

- Was bedeutet es für die Lage des Scheitelpunkts, wenn eine Funktion nur genau eine Nullstelle besitzt? - Wie verändert sich die Lage des Scheitelpunkts, wenn du den Parameter \(c\) variierst? - Welche einfache Form hat eine Parabelgleichung, wenn der Scheitelpunkt im Ursprung liegt?

1. Scheitelpunktform von \(p_c(x)\): \(x^2 - 4x + c = (x - 2)^2 - 4 + c\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 | c - 4)\). Damit \(S\) auf der \(x\)-Achse liegt, muss die \(y\)-Koordinate Null sein: \(c - 4 = 0 \Rightarrow c = 4\). 2. Für \(c = 1\): Der Scheitelpunkt ist \(S(2 | 1 - 4) = S(2 | -3)\). 3. Nullstellen für \(c = 1\): \(x^2 - 4x + 1 = 0 \Rightarrow x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 2 - \sqrt{3}\) und \(x_2 = 2 + \sqrt{3}\). 4. Verschiebung zum Ursprung: Um von \(S(2 | -3)\) nach \((0 | 0)\) zu gelangen, muss der Graph um \(2\) Einheiten nach links und um \(3\) Einheiten nach oben verschoben werden. Die neue Gleichung ist die Normalparabel \(q(x) = x^2\).

a) \(c = 4\) b) \(S(2 | -3)\); \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{3}\) c) Verschiebung: \(2\) Einheiten nach links, \(3\) Einheiten nach oben; Gleichung: \(q(x) = x^2\)

- Wie kannst du die Schar so quadratisch ergänzen, dass der Scheitelpunkt direkt ablesbar ist? - Welche Scheitelpunktkoordinate muss für Teil a) null sein? - Welche Scheitelpunktkoordinate muss für eine Berührung der \(x\)-Achse null sein?

1. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(p_k(x)=2\left(x+\frac{k}{4}\right)^2+8-\frac{k^2}{8}\). 2. Die Scheitelpunktstelle ist damit \(x_S=-\frac{k}{4}\). Für einen Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse muss \(x_S=0\) gelten. Daher ist \(k=0\). 3. Für eine Berührung der \(x\)-Achse muss die Scheitelpunkthöhe \(0\) sein: \(8-\frac{k^2}{8}=0\). 4. Daraus folgt \(k^2=64\), also \(k=8\) oder \(k=-8\). 5. In beiden Fällen liegt der Scheitelpunkt selbst auf der \(x\)-Achse und ist der einzige Berührpunkt.

a) \(k=0\) b) \(k=8\) oder \(k=-8\); dann liegt der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse.

- Was muss für die y-Koordinate eines Punktes gelten, damit er auf der x-Achse liegt? - Behandle den Buchstaben \(p\) beim Ergänzen einfach wie eine normale Zahl. - Achte am Ende darauf, welche der möglichen Lösungen die Bedingung aus der Aufgabenstellung erfüllt.

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung mit dem Parameter \(p\): quadratische Ergänzung ist \((\frac{p}{2})^2 = \frac{p^2}{4}\). 2. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(h_p(x) = (x^2 - px + \frac{p^2}{4}) - \frac{p^2}{4} + 9 = (x - \frac{p}{2})^2 - \frac{p^2}{4} + 9\). 3. Bedingung für die Lage auf der x-Achse: Die y-Koordinate des Scheitelpunktes muss \(0\) sein. 4. Gleichung aufstellen: \(-\frac{p^2}{4} + 9 = 0\). 5. Lösen der Gleichung nach \(p\): \(\frac{p^2}{4} = 9 \implies p^2 = 36 \implies p = \pm 6\). 6. Berücksichtigung der Bedingung \(p > 0\): Es folgt \(p = 6\).

Der gesuchte Wert ist \(p = 6\).

- Welche Scheitelpunktform entsteht, wenn du \(x^2+px\) quadratisch ergänzt? - Welche Bedingung muss die Scheitelhöhe erfüllen, damit die Parabel die \(x\)-Achse genau im Scheitelpunkt berührt? - Wie lautet die Scheitelpunktform einer Parabel mit Scheitelpunkt \(S(5|0)\) und Leitkoeffizient \(1\)? - Was verrät das Vorzeichen des Leitkoeffizienten über die Öffnungsrichtung und damit über die Art des Extremums?

1. Quadratische Ergänzung liefert \(f(x)=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+q-\frac{p^2}{4}\). Der Graph berührt die \(x\)-Achse genau dann im Scheitelpunkt, wenn dessen \(y\)-Koordinate \(0\) ist. Also muss \(q-\frac{p^2}{4}=0\) gelten, somit \(q=\frac{p^2}{4}\). 2. Ein Scheitelpunkt bei \(S(5|0)\) bedeutet \(f(x)=(x-5)^2\). Ausmultipliziert ist das \(x^2-10x+25\). Daher gilt \(p=-10\) und \(q=25\). 3. Der Leitkoeffizient ist positiv. Deshalb ist die Parabel nach oben geöffnet; ihr Scheitelpunkt ist ein Minimum. Nach oben sind die Funktionswerte nicht beschränkt, daher gibt es keinen Hochpunkt.

1. \(q=\frac{p^2}{4}\). 2. \(p=-10\), \(q=25\). 3. Wegen des positiven Leitkoeffizienten ist die Parabel nach oben geöffnet und besitzt einen Tiefpunkt, aber keinen Hochpunkt.