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- Welche Form einer Funktionsgleichung ist besonders nützlich, wenn man die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse kennt? - Wie kannst du einen weiteren Punkt auf dem Graphen nutzen, um den Streckfaktor zu berechnen? - Wo liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts im Verhältnis zu den beiden Nullstellen? - Wie gelangst du von der faktorisierten Form zur allgemeinen Form?

1. Aufstellen der Nullstellenform: \(f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)\). 2. Einsetzen der gegebenen Nullstellen: \(f(x) = a \cdot (x + 2) \cdot (x - 4)\). 3. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid -4)\): \(-4 = a \cdot (0 + 2) \cdot (0 - 4)\), woraus \(-4 = -8a\) und somit \(a = 0{,}5\) folgt. 4. Umwandlung in die allgemeine Form: \(f(x) = 0{,}5 \cdot (x^2 - 2x - 8) = 0{,}5x^2 - x - 4\). 5. Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts als Mittelwert der Nullstellen: \(x_S = \frac{-2 + 4}{2} = 1\). 6. Berechnung der \(y\)-Koordinate durch Einsetzen von \(x_S\): \(f(1) = 0{,}5 \cdot (1 + 2) \cdot (1 - 4) = 0{,}5 \cdot 3 \cdot (-3) = -4{,}5\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1 \mid -4{,}5)\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}5x^2 - x - 4\). Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten \(S(1 \mid -4{,}5)\).

- Was passiert, wenn du die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Form der Parabelgleichung einsetzt? - Wie viele Unbekannte hast du und wie viele Gleichungen ergeben sich daraus? - Gibt es zwei Gleichungen, die sich besonders leicht kombinieren lassen, um eine Variable zu eliminieren? - Welches Verfahren (Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren) erscheint dir hier am effizientesten?

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte in \(f(x) = ax^2 + bx + c\): (I) \(a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 0 \Rightarrow a + b + c = 0\) (II) \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 1 \Rightarrow 4a + 2b + c = 1\) (III) \(a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = 10 \Rightarrow a - b + c = 10\) 2. Elimination von \(b\) durch Subtraktion von (III) von (I): \((a + b + c) - (a - b + c) = 0 - 10 \Rightarrow 2b = -10 \Rightarrow b = -5\). 3. Einsetzen von \(b = -5\) in (I) und (II): (I') \(a - 5 + c = 0 \Rightarrow a + c = 5\) (II') \(4a - 10 + c = 1 \Rightarrow 4a + c = 11\) 4. Elimination von \(c\) durch Subtraktion von (I') von (II'): \((4a + c) - (a + c) = 11 - 5 \Rightarrow 3a = 6 \Rightarrow a = 2\). 5. Bestimmung von \(c\) durch Einsetzen von \(a = 2\) in (I'): \(2 + c = 5 \Rightarrow c = 3\). 6. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = 2x^2 - 5x + 3\).

\(f(x) = 2x^2 - 5x + 3\)

- Schau dir die \(y\)-Koordinaten der gegebenen Punkte genau an. Haben einige Punkte den Wert 0? - Es gibt verschiedene Darstellungsformen für quadratische Funktionen. Welche Form nutzt Nullstellen direkt? - Wenn du zwei Punkte auf der \(x\)-Achse hast, kannst du den Streckfaktor \(a\) mit dem dritten Punkt berechnen.

1. Da die Punkte \(A(-2|0)\) und \(B(4|0)\) auf der \(x\)-Achse liegen, handelt es sich um die Nullstellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\). Daher ist der Ansatz über die Nullstellenform (faktorisierte Form) \(y = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)\) am effizientesten. 2. Einsetzen der Nullstellen: \(y = a \cdot (x + 2) \cdot (x - 4)\). 3. Einsetzen des dritten Punktes \(C(0|-4)\) zur Bestimmung von \(a\): \(-4 = a \cdot (0 + 2) \cdot (0 - 4)\). 4. Berechnung von \(a\): \(-4 = a \cdot (-8) \Rightarrow a = 0{,}5\). 5. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(y = 0{,}5 \cdot (x + 2) \cdot (x - 4)\). 6. Ausmultiplizieren in die allgemeine Form: \(y = 0{,}5 \cdot (x^2 - 2x - 8) = 0{,}5x^2 - x - 4\).

\(y = 0{,}5x^2 - x - 4\)

- Schau dir die \(y\)-Koordinaten der Punkte genau an. Fällt dir eine Besonderheit auf? - Überlege, ob einer der Punkte aufgrund seiner Lage auf der \(y\)-Achse eine spezielle Rolle spielen könnte. - Welche Form der Gleichung ist am einfachsten zu verwenden, wenn man den höchsten oder tiefsten Punkt kennt?

1. Symmetrie erkennen: Da \(A(-2|1)\) und \(C(2|1)\) denselben \(y\)-Wert haben, liegt die Symmetrieachse der Parabel genau in der Mitte bei \(x = 0\). 2. Scheitelpunkt identifizieren: Da der Punkt \(B(0|5)\) auf der Symmetrieachse liegt, muss dies der Scheitelpunkt \(S(0|5)\) sein. 3. Ansatz wählen: Die Scheitelpunktform \(y = a(x - x_s)^2 + y_s\) ist am besten geeignet. 4. Werte einsetzen: Mit \(x_s = 0\) und \(y_s = 5\) ergibt sich \(y = a \cdot x^2 + 5\). 5. Parameter \(a\) berechnen: Einsetzen von \(C(2|1)\) liefert \(1 = a \cdot 2^2 + 5\), also \(1 = 4a + 5\). Daraus folgt \(-4 = 4a\) und somit \(a = -1\). 6. Ergebnis formulieren: Die Funktionsgleichung lautet \(y = -x^2 + 5\).

Die Funktionsgleichung lautet \(y = -x^2 + 5\). Da der Punkt \(B(0|5)\) aufgrund der Symmetrie von \(A\) und \(C\) der Scheitelpunkt ist, ist die Scheitelpunktform am besten geeignet.

- Was verrät dir der Punkt auf der \(y\)-Achse direkt über den Wert von \(c\)? - Schau dir die \(y\)-Werte der Punkte \(P\) und \(R\) an. Was fällt dir auf? - Kannst du die Anzahl der Unbekannten sofort reduzieren, wenn du einen Punkt mit \(x = 0\) hast?

1. Aus dem Punkt \(P(0 \mid 4)\) folgt direkt der \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = c = 4\). 2. Einsetzen der Punkte \(Q\) und \(R\) mit \(c = 4\) in die Funktionsgleichung: Für \(Q(2 \mid 0)\): \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 4 = 0 \Rightarrow 4a + 2b = -4 \Rightarrow 2a + b = -2\) (I) Für \(R(4 \mid 4)\): \(a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + 4 = 4 \Rightarrow 16a + 4b = 0 \Rightarrow 4a + b = 0\) (II) 3. Lösen des Systems aus (I) und (II): Subtraktion von (I) von (II): \((4a - 2a) + (b - b) = 0 - (-2) \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1\) Einsetzen von \(a = 1\) in (II): \(4 \cdot 1 + b = 0 \Rightarrow b = -4\) 4. Die Parameter sind \(a = 1\), \(b = -4\) und \(c = 4\). Die Funktion lautet \(f(x) = x^2 - 4x + 4\).

Die Parameter sind \(a = 1\), \(b = -4\) und \(c = 4\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = x^2 - 4x + 4\).

- Kannst du die Steigung zwischen zwei Punkten berechnen? - Was müsste für die Steigungen gelten, damit die Punkte auf einer Geraden liegen? - Welchen Wert der allgemeinen Form kannst du direkt ablesen, wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Wie kannst du ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen?

1. Berechnung der Steigungen zwischen den Punkten: \(m_{AB} = \frac{2 - 10}{0 - (-2)} = -4\) und \(m_{BC} = \frac{2 - 2}{2 - 0} = 0\). 2. Da \(m_{AB} \neq m_{BC}\), liegen die Punkte nicht auf einer Geraden. 3. Aufstellen des Gleichungssystems mit \(f(x) = ax^2 + bx + c\): Aus \(B(0 \mid 2)\) folgt \(f(0) = c = 2\). Aus \(A(-2 \mid 10)\) folgt \(4a - 2b + 2 = 10 \Rightarrow 4a - 2b = 8\). Aus \(C(2 \mid 2)\) folgt \(4a + 2b + 2 = 2 \Rightarrow 4a + 2b = 0\). 4. Addition der beiden Gleichungen: \(8a = 8 \Rightarrow a = 1\). 5. Einsetzen von \(a\) in \(4a + 2b = 0\): \(4 + 2b = 0 \Rightarrow b = -2\). 6. Die Funktion lautet \(f(x) = x^2 - 2x + 2\).

Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden. Die quadratische Funktion lautet \(f(x) = x^2 - 2x + 2\).

- Was passiert mit den Termen \(ax^2\) und \(bx\), wenn du für \(x\) die Zahl \(0\) einsetzt? - Kannst du eine der Unbekannten sofort bestimmen, wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse gegeben ist? - Wenn du zwei Gleichungen addierst oder subtrahierst, fällt dann eine Variable weg?

1. Einsetzen der Punktkoordinaten in die allgemeine Form \(y = ax^2 + bx + c\): \(P(1|5) \implies a + b + c = 5\) \(Q(-1|1) \implies a - b + c = 1\) \(R(0|2) \implies c = 2\) 2. Einsetzen von \(c = 2\) in die ersten beiden Gleichungen: (I) \(a + b = 3\) (II) \(a - b = -1\) 3. Addition von (I) und (II) zur Elimination von \(b\): \(2a = 2 \implies a = 1\). 4. Bestimmung von \(b\) durch Einsetzen von \(a = 1\) in (I): \(1 + b = 3 \implies b = 2\). 5. Ergebnis: Die Funktionsgleichung lautet \(y = x^2 + 2x + 2\).

Die Funktionsgleichung lautet \(y = x^2 + 2x + 2\).

- Was verrät dir ein Punkt, der auf der \(y\)-Achse liegt, über die Parameter der Funktion? - Setze die Koordinaten der Punkte für \(x\) und \(f(x)\) in die allgemeine Form ein. - Kannst du das entstandene System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die \(x\)-Werte der Punkte in deine fertige Gleichung einsetzt.

1. Einsetzen des Punktes \(A(0 | 4)\) ergibt direkt den \(y\)-Achsenabschnitt: \(c = 4\). 2. Einsetzen der Punkte \(B\) und \(C\) unter Verwendung von \(c = 4\): (I) \(a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 4 = 3 \Rightarrow a + b = -1\) (II) \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 4 = 6 \Rightarrow 4a + 2b = 2\) 3. Vereinfachen von Gleichung (II) durch Division durch 2: \(2a + b = 1\). 4. Subtraktion von Gleichung (I) von der vereinfachten Gleichung (II): \((2a + b) - (a + b) = 1 - (-1) \Rightarrow a = 2\). 5. Bestimmung von \(b\) durch Einsetzen in \(a + b = -1\): \(2 + b = -1 \Rightarrow b = -3\). 6. Resultierende Funktionsgleichung: \(f(x) = 2x^2 - 3x + 4\).

Die Koeffizienten sind \(a = 2\), \(b = -3\) und \(c = 4\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x^2 - 3x + 4\).

- Schau dir die ersten beiden Gleichungen an. Was fällt dir bei den Vorzeichen von \(b\) auf? - Kannst du eine Variable eliminieren, indem du zwei Gleichungen voneinander abziehst oder addierst? - Sobald du eine Variable kennst, kannst du das System auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten reduzieren.

1. Subtraktion von Gleichung (I) von Gleichung (II): \((a + b + c) - (a - b + c) = 1 - 9 \Rightarrow 2b = -8 \Rightarrow b = -4\). 2. Einsetzen von \(b = -4\) in (I) und (III): (I') \(a - (-4) + c = 9 \Rightarrow a + c = 5\) (III') \(4a + 2(-4) + c = 3 \Rightarrow 4a - 8 + c = 3 \Rightarrow 4a + c = 11\) 3. Subtraktion von (I') von (III'): \((4a + c) - (a + c) = 11 - 5 \Rightarrow 3a = 6 \Rightarrow a = 2\). 4. Einsetzen von \(a = 2\) in (I'): \(2 + c = 5 \Rightarrow c = 3\). 5. Die Werte sind \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = 3\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x^2 - 4x + 3\).

\(a = 2\), \(b = -4\), \(c = 3\); Funktionsgleichung: \(f(x) = 2x^2 - 4x + 3\)

- Welcher Punkt hilft dir, den Wert von \(c\) direkt zu bestimmen? - Setze die anderen beiden Punkte in die allgemeine Form ein, um ein Gleichungssystem für \(a\) und \(b\) zu erhalten. - Wie kannst du die Normalform mit Hilfe der quadratischen Ergänzung umformen? - Was ist das Ziel der Scheitelpunktform?

1. Bestimmung von \(c\): Durch Einsetzen von \(A(0|-1)\) in \(f(x) = ax^2 + bx + c\) folgt direkt \(c = -1\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: Einsetzen von \(B(2|5)\) ergibt \(4a + 2b - 1 = 5 \Rightarrow 4a + 2b = 6\). Einsetzen von \(C(-2|-3)\) ergibt \(4a - 2b - 1 = -3 \Rightarrow 4a - 2b = -2\). 3. Lösen des Systems: Addition der beiden Gleichungen liefert \(8a = 4\), also \(a = 0{,}5\). Einsetzen von \(a\) in \(4a + 2b = 6\) ergibt \(2 + 2b = 6\), also \(b = 2\). 4. Funktionsgleichung: \(f(x) = 0{,}5x^2 + 2x - 1\). 5. Umwandlung in Scheitelpunktform: Ausklammern von \(a\) und quadratische Ergänzung: \(f(x) = 0{,}5(x^2 + 4x) - 1 = 0{,}5((x + 2)^2 - 4) - 1 = 0{,}5(x + 2)^2 - 2 - 1 = 0{,}5(x + 2)^2 - 3\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}5x^2 + 2x - 1\). Die Scheitelpunktform ist \(f(x) = 0{,}5(x + 2)^2 - 3\).

- Fällt dir eine Besonderheit bei den \(y\)-Werten der Punkte \(A\) und \(C\) auf? - Was bedeutet es für die Lage des Scheitelpunkts, wenn zwei Punkte die gleiche Höhe haben? - Wenn du den Scheitelpunkt kennst, welche Form der Gleichung ist dann am einfachsten?

1. Beobachtung: Die Punkte \(A(1|7)\) und \(C(5|7)\) haben denselben \(y\)-Wert. Aufgrund der Symmetrie von Parabeln muss die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes genau in der Mitte liegen: \(x_s = \frac{1 + 5}{2} = 3\). 2. Da der Punkt \(B(3|3)\) genau diese \(x\)-Koordinate besitzt, muss \(B\) der Scheitelpunkt \(S(3|3)\) sein. 3. Ansatz über die Scheitelpunktform \(y = a(x - x_s)^2 + y_s\): \(y = a(x - 3)^2 + 3\). 4. Einsetzen von \(A(1|7)\) zur Bestimmung von \(a\): \(7 = a(1 - 3)^2 + 3 \Rightarrow 7 = 4a + 3 \Rightarrow 4 = 4a \Rightarrow a = 1\). 5. Funktionsgleichung in Scheitelpunktform: \(y = (x - 3)^2 + 3\). 6. Umwandlung in die allgemeine Form: \(y = x^2 - 6x + 9 + 3 = x^2 - 6x + 12\).

Die Scheitelpunktform eignet sich besonders gut. Es gilt \(y=(x-3)^2+3\). In allgemeiner Form lautet die Funktion \(y=x^2-6x+12\).

- Was verrät dir ein Punkt, dessen x-Koordinate Null ist, über die Funktionsgleichung? - Erinnerst du dich, welcher Parameter in der Gleichung \(ax^2 + bx + c\) die Öffnung und Form der Parabel bestimmt? - Schau dir die Lage der Punkte an: Gibt es eine Symmetrie, die dir helfen könnte, den Scheitelpunkt schneller zu finden?

1. Punkt \(P(0|3)\) liefert direkt den y-Achsenabschnitt: \(c = 3\). 2. Einsetzen von \(Q(1|2)\) und \(R(2|3)\) mit \(c = 3\): (I) \(a + b + 3 = 2 \Rightarrow a + b = -1\) (II) \(4a + 2b + 3 = 3 \Rightarrow 4a + 2b = 0 \Rightarrow 2a + b = 0\) 3. Aus (II) folgt \(b = -2a\). Einsetzen in (I): \(a - 2a = -1 \Rightarrow -a = -1\), also \(a = 1\). 4. Berechnung von \(b\): \(b = -2(1) = -2\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 2x + 3\). 6. Da \(a = 1\) (oder \(|a| = 1\)), handelt es sich um eine Normalparabel. Sie ist weder schmaler noch weiter als die Standard-Normalparabel. 7. Berechnung des Scheitelpunkts: \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1\). Einsetzen ergibt \(y_s = 1^2 - 2(1) + 3 = 2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1|2)\).

a) \(f(x) = x^2 - 2x + 3\) b) Da \(a = 1\) ist, ist die Parabel identisch mit der Form einer Normalparabel. c) Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1|2)\).

- Welche Informationen geben uns die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse über die Struktur der Gleichung? - Es gibt eine Form der Parabelgleichung, in der man die Nullstellen direkt einsetzen kann. - Wie kannst du eine Produktform (faktorisierte Form) in die Normalform durch Ausmultiplizieren umwandeln?

1. Ansatz wählen: Da die Nullstellen gegeben sind, ist die faktorisierte Form \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) am sinnvollsten. 2. Nullstellen einsetzen: \(f(x) = a(x + 1)(x - 3)\). 3. Parameter \(a\) bestimmen: Punkt \(P(1|-4)\) einsetzen: \(-4 = a(1 + 1)(1 - 3)\), was zu \(-4 = a \cdot 2 \cdot (-2)\) führt. Also \(-4 = -4a\), woraus \(a = 1\) folgt. 4. In Normalform umwandeln: \(f(x) = 1 \cdot (x + 1)(x - 3) = x^2 - 3x + x - 3\). 5. Zusammenfassen: \(f(x) = x^2 - 2x - 3\).

Der Funktionsterm in Normalform lautet \(f(x) = x^2 - 2x - 3\).

- Kannst du den \(y\)-Achsenabschnitt direkt aus den gegebenen Punkten ablesen? - Setze die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um ein Gleichungssystem zu erhalten. - Wie kannst du eine Variable eliminieren, wenn du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten hast?

1. Einsetzen von \(P_1(0|1)\) in \(f(x) = ax^2 + bx + c\): \(a(0)^2 + b(0) + c = 1 \Rightarrow c = 1\). 2. Einsetzen von \(P_2(2|5)\) mit \(c=1\): \(a(2)^2 + b(2) + 1 = 5 \Rightarrow 4a + 2b = 4 \Rightarrow 2a + b = 2\). 3. Einsetzen von \(P_3(4|5)\) mit \(c=1\): \(a(4)^2 + b(4) + 1 = 5 \Rightarrow 16a + 4b = 4 \Rightarrow 4a + b = 1\). 4. Lösen des Gleichungssystems: Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung: \((4a + b) - (2a + b) = 1 - 2 \Rightarrow 2a = -1 \Rightarrow a = -0{,}5\). 5. Einsetzen von \(a\) in \(2a + b = 2\): \(2(-0{,}5) + b = 2 \Rightarrow -1 + b = 2 \Rightarrow b = 3\). 6. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = -0{,}5x^2 + 3x + 1\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}5x^2 + 3x + 1\).

- Berechne die Steigungen zwischen \(P\) und \(Q\) sowie zwischen \(Q\) und \(R\). - Stelle für jeden Punkt eine Gleichung auf, indem du \(x\) und \(y\) in \(f(x) = ax^2 + bx + c\) einsetzt. - Wie kannst du die Variable \(c\) aus den Gleichungen eliminieren?

1. Überprüfung auf Kollinearität: \(m_{PQ} = \frac{3 - 1}{2 - 1} = 2\) und \(m_{QR} = \frac{7 - 3}{3 - 2} = 4\). Die Punkte sind nicht kollinear. 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: (I) \(a + b + c = 1\) (aus \(P\)) (II) \(4a + 2b + c = 3\) (aus \(Q\)) (III) \(9a + 3b + c = 7\) (aus \(R\)) 3. Reduktion des Systems durch Subtraktion: (II) - (I): \(3a + b = 2\) (IV) (III) - (II): \(5a + b = 4\) (V) 4. Lösen des reduzierten Systems: (V) - (IV): \(2a = 2 \Rightarrow a = 1\). In (IV): \(3(1) + b = 2 \Rightarrow b = -1\). 5. Bestimmung von \(c\): In (I) einsetzen: \(1 - 1 + c = 1 \Rightarrow c = 1\). 6. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = x^2 - x + 1\).

Die Punkte sind nicht kollinear. Die quadratische Funktion ist \(f(x) = x^2 - x + 1\).

- Achte auf die Vorzeichen beim Einsetzen negativer \(x\)-Werte in \(ax^2\). - Schau dir die Koeffizienten von \(a\) und \(c\) in den Gleichungen für \(A\) und \(C\) genau an. Was fällt dir auf? - Welches Rechenverfahren (Addition, Subtraktion, Einsetzen) bietet sich hier an, um Variablen schnell zu eliminieren?

1. Aufstellen des LGS durch Einsetzen der Punkte: (I) \(4a - 2b + c = 10\) (Punkt \(A\)) (II) \(a + b + c = 1\) (Punkt \(B\)) (III) \(4a + 2b + c = 6\) (Punkt \(C\)) 2. Subtraktion von (I) von (III): \((4a + 2b + c) - (4a - 2b + c) = 6 - 10 \implies 4b = -4 \implies b = -1\). 3. Einsetzen von \(b = -1\) in (II) und (III): (II') \(a - 1 + c = 1 \implies a + c = 2\) (III') \(4a - 2 + c = 6 \implies 4a + c = 8\) 4. Subtraktion von (II') von (III'): \(3a = 6 \implies a = 2\). 5. Bestimmung von \(c\): \(2 + c = 2 \implies c = 0\). 6. Ergebnis: Die Funktionsgleichung lautet \(y = 2x^2 - x\).

a) (I) \(4a - 2b + c = 10\); (II) \(a + b + c = 1\); (III) \(4a + 2b + c = 6\) b) Durch Subtraktion der Gleichungen (I) und (III) fallen \(a\) und \(c\) weg, sodass \(4b = -4\) bzw. \(b = -1\) folgt. c) \(y = 2x^2 - x\)

- Erinnere dich an die Bedeutung des Parameters \(c\) im Graphen einer quadratischen Funktion. - Kannst du eine der Gleichungen vereinfachen, bevor du sie mit einer anderen kombinierst? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du die \(x\)-Werte der Punkte \(T\) und \(U\) in deine fertige Gleichung einsetzt.

1. Vorteil von \(S(0|4)\): Beim Einsetzen von \(x = 0\) fallen die Terme \(ax^2\) und \(bx\) weg, sodass direkt \(c = 4\) folgt. 2. Einsetzen der übrigen Punkte mit \(c = 4\): \(T(1|3) \implies a + b + 4 = 3 \implies a + b = -1\) \(U(-2|-6) \implies 4a - 2b + 4 = -6 \implies 4a - 2b = -10\) 3. Vereinfachen der zweiten Gleichung durch Division durch 2: \(2a - b = -5\). 4. Addition der Gleichungen \((a + b) + (2a - b) = -1 + (-5) \implies 3a = -6 \implies a = -2\). 5. Einsetzen von \(a = -2\) in \(a + b = -1\): \(-2 + b = -1 \implies b = 1\). 6. Funktionsgleichung: \(y = -2x^2 + x + 4\).

Der Punkt \(S(0|4)\) liefert direkt den Parameter \(c = 4\). Die Parameter sind \(a = -2\), \(b = 1\) und \(c = 4\). Die Gleichung lautet \(y = -2x^2 + x + 4\).

- Wo muss der Scheitelpunkt einer Parabel liegen, wenn du die beiden Nullstellen kennst? - Wie kannst du die Koordinaten des Scheitelpunkts nutzen, um die noch unbekannte Variable in der Nullstellenform zu finden? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Symmetrie der Parabel und ihren Nullstellen.

1. Bestimmung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts: Da die Parabel symmetrisch zu ihrem Scheitelpunkt ist, liegt \(x_S\) genau in der Mitte der Nullstellen: \(x_S = \frac{-3 + 1}{2} = -1\). 2. Der Scheitelpunkt ist somit \(S(-1 \mid 4)\). 3. Ansatz mit der Nullstellenform: \(f(x) = a \cdot (x + 3) \cdot (x - 1)\). 4. Einsetzen der Scheitelpunktkoordinaten zur Bestimmung von \(a\): \(4 = a \cdot (-1 + 3) \cdot (-1 - 1) \Rightarrow 4 = a \cdot 2 \cdot (-2) \Rightarrow 4 = -4a \Rightarrow a = -1\). 5. Ausmultiplizieren der Nullstellenform: \(f(x) = -1 \cdot (x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -x^2 - 2x + 3\).

- Erstelle für jeden Punkt eine Gleichung. - Gibt es zwei Gleichungen, die sich besonders ähneln und bei denen sich durch Addition oder Subtraktion eine Variable direkt eliminieren lässt? - Wenn du eine Variable berechnet hast, wie kannst du das Problem auf ein System mit nur noch zwei Unbekannten reduzieren? - Gehe Schritt für Schritt vor und notiere dir die Zwischenergebnisse für \(a\), \(b\) und \(c\).

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: (I) \(a + b + c = 1\) (Punkt \(P\)) (II) \(4a + 2b + c = 0\) (Punkt \(Q\)) (III) \(a - b + c = 9\) (Punkt \(R\)) 2. Elimination von \(b\) durch Subtraktion von (III) von (I): \((a+b+c) - (a-b+c) = 1 - 9 \Rightarrow 2b = -8 \Rightarrow b = -4\). 3. Einsetzen von \(b = -4\) in (I) und (II): (I') \(a - 4 + c = 1 \Rightarrow a + c = 5\) (II') \(4a - 8 + c = 0 \Rightarrow 4a + c = 8\) 4. Subtraktion von (I') von (II'): \((4a + c) - (a + c) = 8 - 5 \Rightarrow 3a = 3 \Rightarrow a = 1\). 5. Bestimmung von \(c\) aus (I'): \(1 + c = 5 \Rightarrow c = 4\). 6. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 4x + 4\).

Die Funktionsgleichung der Parabel lautet \(f(x) = x^2 - 4x + 4\).

- Welchen Vorteil bietet der Punkt \(A(0 | 5)\) beim Aufstellen der Gleichungen? - Setze den bekannten Wert für \(c\) sofort in die anderen Gleichungen ein, um das System zu vereinfachen. - Wie testet man mathematisch, ob ein Punkt auf einer Kurve liegt?

1. Punkt \(A(0 | 5)\) liefert direkt den Parameter \(c\): \(f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 5 \Rightarrow c = 5\). 2. Aufstellen der Gleichungen mit den Punkten \(B\) und \(C\) unter Verwendung von \(c = 5\): (I) \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 5 = 1 \Rightarrow 4a + 2b = -4 \Rightarrow 2a + b = -2\) (II) \(a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + 5 = 5 \Rightarrow 16a + 4b = 0 \Rightarrow 4a + b = 0\) 3. Subtraktion von (I) von (II): \((4a + b) - (2a + b) = 0 - (-2) \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1\). 4. Bestimmung von \(b\) durch Einsetzen in (II): \(4(1) + b = 0 \Rightarrow b = -4\). 5. Funktionsgleichung: \(f(x) = x^2 - 4x + 5\). 6. Punktprobe für \(D(5 | 10)\): Berechne \(f(5) = 5^2 - 4 \cdot 5 + 5 = 25 - 20 + 5 = 10\). Da \(10 = 10\), liegt der Punkt \(D\) auf der Parabel.

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 4x + 5\). Der Punkt \(D(5 | 10)\) liegt auf dem Graphen.

- Stelle für jeden der drei Punkte eine Gleichung auf. - Vergleiche die Gleichungen für \(P\) und \(Q\). Fällt dir etwas auf, das die Berechnung einer Variable vereinfacht? - Wenn du \(a\), \(b\) und \(c\) berechnet hast, wie findest du den Scheitelpunkt am sichersten?

1. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(a - b + c = -5\) (aus \(P\)) (II) \(a + b + c = 3\) (aus \(Q\)) (III) \(4a + 2b + c = 1\) (aus \(R\)) 2. Elimination von \(b\): Subtraktion (II) \(-\) (I) ergibt \(2b = 8 \Rightarrow b = 4\). 3. Bestimmung von \(a\) und \(c\): Einsetzen von \(b=4\) in (II) ergibt \(a + c = -1\). Einsetzen in (III) ergibt \(4a + 8 + c = 1 \Rightarrow 4a + c = -7\). 4. Lösen für \(a\) und \(c\): Subtraktion \((4a+c) - (a+c) = -7 - (-1) \Rightarrow 3a = -6 \Rightarrow a = -2\). Damit folgt \(c = -1 - (-2) = 1\). 5. Funktionsgleichung: \(f(x) = -2x^2 + 4x + 1\). 6. Scheitelpunktform: \(f(x) = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2((x - 1)^2 - 1) + 1 = -2(x - 1)^2 + 3\). 7. Scheitelpunkt: \(S(1|3)\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x^2 + 4x + 1\). Die Scheitelpunktform ist \(f(x) = -2(x - 1)^2 + 3\), woraus sich der Scheitelpunkt \(S(1|3)\) ergibt.

- Nutze das Additions- oder Subtraktionsverfahren, um Variablen schrittweise zu eliminieren. - Überlege, wie die Symmetrie der \(x\)-Werte (\(-1\) und \(1\)) dir helfen kann, eine Variable schnell zu berechnen. - Achte beim Umwandeln in die Scheitelpunktform besonders auf die quadratische Ergänzung, wenn der lineare Koeffizient ungerade ist.

1. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(a - b + c = 1\) (aus \(D\)) (II) \(a + b + c = -1\) (aus \(E\)) (III) \(4a + 2b + c = 1\) (aus \(F\)) 2. Variable \(b\) bestimmen: (I) \(-\) (II) ergibt \(-2b = 2 \Rightarrow b = -1\). 3. System für \(a\) und \(c\): Aus (II) folgt \(a - 1 + c = -1 \Rightarrow a + c = 0 \Rightarrow c = -a\). In (III) eingesetzt: \(4a - 2 - a = 1 \Rightarrow 3a = 3 \Rightarrow a = 1\). 4. Daraus folgt \(c = -1\). 5. Normalform: \(f(x) = x^2 - x - 1\). 6. Scheitelpunktform: \(x^2 - x + 0{,}25 - 0{,}25 - 1 = (x - 0{,}5)^2 - 1{,}25\).

Der Funktionsterm lautet \(f(x) = x^2 - x - 1\). Die Scheitelpunktform ist \(f(x) = (x - 0{,}5)^2 - 1{,}25\).

- Wenn keine speziellen Punkte wie Nullstellen gegeben sind, hilft die allgemeine Form \(y = ax^2 + bx + c\). - Setze jeden Punkt für \(x\) und \(y\) in die Formel ein. Du erhältst drei Gleichungen. - Versuche, das Gleichungssystem schrittweise zu lösen, indem du eine Variable nach der anderen eliminierst.

1. Da keine besonderen Punkte (Nullstellen oder erkennbare Symmetrie zum Scheitelpunkt) vorliegen, wird die allgemeine Form \(y = ax^2 + bx + c\) verwendet. 2. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems (LGS) durch Einsetzen der Punkte: (I) \(11 = a(-1)^2 + b(-1) + c \Rightarrow a - b + c = 11\) (II) \(3 = a(1)^2 + b(1) + c \Rightarrow a + b + c = 3\) (III) \(5 = a(2)^2 + b(2) + c \Rightarrow 4a + 2b + c = 5\) 3. Subtraktion von (II) und (I): \((a + b + c) - (a - b + c) = 3 - 11 \Rightarrow 2b = -8 \Rightarrow b = -4\). 4. Einsetzen von \(b = -4\) in (II) und (III): (II') \(a - 4 + c = 3 \Rightarrow a + c = 7\) (III') \(4a - 8 + c = 5 \Rightarrow 4a + c = 13\) 5. Subtraktion von (III') und (II'): \((4a + c) - (a + c) = 13 - 7 \Rightarrow 3a = 6 \Rightarrow a = 2\). 6. Bestimmung von \(c\) aus (II'): \(2 + c = 7 \Rightarrow c = 5\). 7. Die Funktionsgleichung lautet \(y = 2x^2 - 4x + 5\).

\(y = 2x^2 - 4x + 5\)

- Stelle für jeden der drei Punkte eine Gleichung auf, indem du die x- und y-Werte einsetzt. - Welches Verfahren eignet sich am besten, um das System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten zu lösen? - Kannst du eine Variable direkt eliminieren, wenn du zwei Gleichungen voneinander abziehst? - Für die Scheitelpunktform hilft es, den Streckfaktor auszuklammern und dann im Inneren der Klammer quadratisch zu ergänzen.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte in \(y = ax^2 + bx + c\): (I) \(a(-1)^2 + b(-1) + c = 6 \Rightarrow a - b + c = 6\) (II) \(a(1)^2 + b(1) + c = -2 \Rightarrow a + b + c = -2\) (III) \(a(2)^2 + b(2) + c = 0 \Rightarrow 4a + 2b + c = 0\) 2. Subtraktion von (I) von (II) ergibt \(2b = -8\), also \(b = -4\). 3. Einsetzen von \(b = -4\) in (II) und (III): (II') \(a - 4 + c = -2 \Rightarrow a + c = 2\) (III') \(4a - 8 + c = 0 \Rightarrow 4a + c = 8\) 4. Subtraktion von (II') von (III') ergibt \(3a = 6\), also \(a = 2\). 5. Einsetzen von \(a = 2\) in (II') ergibt \(2 + c = 2\), also \(c = 0\). 6. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x^2 - 4x\). 7. Umwandlung in die Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung: \(f(x) = 2(x^2 - 2x) = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) = 2((x-1)^2 - 1) = 2(x-1)^2 - 2\).

a) \(f(x) = 2x^2 - 4x\) b) \(f(x) = 2(x-1)^2 - 2\)

- Zwei der gegebenen Punkte haben den y-Wert Null. Wie nennt man solche Stellen? - Kannst du das Gleichungssystem vereinfachen, indem du die ersten beiden Gleichungen voneinander abziehst? - Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt auf einer Kurve liegt? - Für die Scheitelpunktform kannst du entweder quadratisch ergänzen oder die Formel für den Scheitelpunkt nutzen.

1. Einsetzen der Punkte in \(y = ax^2 + bx + c\): (I) \(9a - 3b + c = 0\) (II) \(a + b + c = 0\) (III) \(4a + 2b + c = 10\) 2. Subtraktion von (II) von (I): \(8a - 4b = 0 \Rightarrow b = 2a\). 3. Subtraktion von (II) von (III): \(3a + b = 10\). 4. Einsetzen von \(b = 2a\) in die neue Gleichung: \(3a + 2a = 10 \Rightarrow 5a = 10 \Rightarrow a = 2\). 5. Damit ist \(b = 2 \cdot 2 = 4\). 6. Einsetzen in (II): \(2 + 4 + c = 0 \Rightarrow c = -6\). 7. Funktionsterm: \(f(x) = 2x^2 + 4x - 6\). 8. Scheitelpunktform: \(f(x) = 2(x^2 + 2x) - 6 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 6 = 2(x+1)^2 - 8\). 9. Punktprobe für \(D(-2|-6)\): \(f(-2) = 2(-2)^2 + 4(-2) - 6 = 2(4) - 8 - 6 = 8 - 8 - 6 = -6\). Die Bedingung \(-6 = -6\) ist erfüllt, der Punkt liegt auf der Parabel.

a) \(f(x) = 2x^2 + 4x - 6\) b) \(f(x) = 2(x+1)^2 - 8\) c) Ja, der Punkt \(D(-2|-6)\) liegt auf der Parabel.

- Welche Information steckt in der Aussage „schneidet die \(y\)-Achse bei 5“ für deine Formel? - Wie kannst du die zwei gegebenen Punkte nutzen, um zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten aufzustellen? - Welche Methode (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 5)\), woraus folgt: \(c = 5\). 2. Aufstellen der Gleichungen für die Punkte \(D\) und \(E\) unter Verwendung von \(c = 5\): Für \(D(-1 \mid 12)\): \(a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + 5 = 12 \Rightarrow a - b = 7\) (I) Für \(E(2 \mid 9)\): \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 5 = 9 \Rightarrow 4a + 2b = 4 \Rightarrow 2a + b = 2\) (II) 3. Lösen des Systems durch Addition von (I) und (II): \((a + 2a) + (-b + b) = 7 + 2 \Rightarrow 3a = 9 \Rightarrow a = 3\) 4. Einsetzen von \(a = 3\) in (I): \(3 - b = 7 \Rightarrow -b = 4 \Rightarrow b = -4\) 5. Einsetzen der gefundenen Werte in die allgemeine Form: \(p(x) = 3x^2 - 4x + 5\).

Die Funktionsgleichung lautet \(p(x) = 3x^2 - 4x + 5\).

- Was fällt dir an den \(y\)-Werten der Punkte \(K\) und \(M\) auf? - Kannst du aus der Lage der Punkte auf eine Symmetrie schließen? - Wenn du ein Gleichungssystem nutzt, achte besonders auf die Vorzeichen beim Einsetzen negativer Zahlen. - Brüche als Ergebnisse sind hier absolut in Ordnung.

1. Kollinearitätsprüfung: \(m_{KL} = \frac{-2 - 1}{1 - (-2)} = -1\) und \(m_{LM} = \frac{1 - (-2)}{4 - 1} = 1\). Nicht kollinear. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(4a - 2b + c = 1\) (II) \(a + b + c = -2\) (III) \(16a + 4b + c = 1\) 3. Da \(f(-2) = f(4) = 1\), liegt die Symmetrieachse bei \(x = 1\). Somit ist \(L(1 \mid -2)\) der Scheitelpunkt. 4. Alternativ über LGS: Subtraktion (III) - (I) ergibt \(12a + 6b = 0 \Rightarrow b = -2a\). 5. Einsetzen von \(b = -2a\) in (II): \(a - 2a + c = -2 \Rightarrow c = a - 2\). 6. Einsetzen in (I): \(4a - 2(-2a) + (a - 2) = 1 \Rightarrow 9a = 3 \Rightarrow a = \frac{1}{3}\). 7. Berechnung der weiteren Parameter: \(b = -\frac{2}{3}\) und \(c = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}\). 8. Die Funktion lautet \(f(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}\).

Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden. Die gesuchte Funktion ist \(f(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}\).