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- Welche Werte werden für \(x\) und \(f(x)\) bei jedem Punkt eingesetzt? - Was passiert mit \(ax^2\) und \(bx\), wenn \(x=0\) ist? - Achte bei einem negativen \(x\)-Wert getrennt auf \(x^2\) und auf \(x\).

1. Aus \(A(0|2)\) folgt \(c=2\). 2. Aus \(B(1|4)\) folgt \(a+b+c=4\). 3. Aus \(C(-2|8)\) folgt \(a(-2)^2+b(-2)+c=8\), also \(4a-2b+c=8\). 4. Damit ist System A korrekt.

System A ist korrekt. Beispielsweise ergibt \(C(-2|8)\) wegen \((-2)^2=4\) die Gleichung \(4a-2b+c=8\).

- Setze bei jedem Punkt seine \(x\)-Koordinate in \(ax^2+bx+c\) ein. - Die \(y\)-Koordinate steht jeweils auf der rechten Seite. - Achte bei \(x=-1\) darauf, dass \((-1)^2=1\), aber \(b(-1)=-b\) gilt.

1. Aus \(A(0\mid-1)\) folgt \(c=-1\). 2. Aus \(B(2\mid3)\) folgt \(4a+2b+c=3\). 3. Aus \(C(-1\mid4)\) folgt \(a-b+c=4\).

\(c=-1\), \(4a+2b+c=3\), \(a-b+c=4\)

- Welche geometrische Besonderheit erkennst du an den drei gegebenen Punkten? - Welche Informationen über die Parabel kannst du daraus gewinnen, bevor du eine Gleichungsform auswählst? - Welche Darstellungsform nutzt die von dir gewonnenen Informationen besonders direkt?

1. Die Punkte \(A(-2|1)\) und \(C(2|1)\) haben denselben \(y\)-Wert. Daher liegt die Symmetrieachse in der Mitte bei \(x=0\). 2. Der Punkt \(B(0|5)\) liegt auf dieser Achse und ist damit der Scheitelpunkt \(S(0|5)\). 3. Deshalb ist die Scheitelpunktform besonders günstig: \(f(x)=ax^2+5\). 4. Mit \(C(2|1)\) gilt \(1=4a+5\), also \(a=-1\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=-x^2+5\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=-x^2+5\). Aufgrund der Symmetrie ist \(B(0|5)\) der Scheitelpunkt; deshalb ist die Scheitelpunktform ein besonders günstiger Einstieg.

- Vergleiche die \(y\)-Werte und die \(x\)-Koordinaten von \(P\) und \(R\). - Wo muss die Symmetrieachse zwischen zwei gleich hohen Parabelpunkten liegen? - Welche besondere Rolle hat der Punkt \(Q\), wenn er genau auf dieser Achse liegt? - Welche Funktionsform nutzt einen bekannten Scheitelpunkt direkt?

1. Die Punkte \(P\) und \(R\) haben denselben \(y\)-Wert und ihre \(x\)-Koordinaten liegen gleich weit von \(x=2\) entfernt. Daher ist \(x=2\) die Symmetrieachse. 2. Der Punkt \(Q(2 \mid 0)\) liegt auf dieser Achse und auf der Parabel. Somit ist \(Q\) der Scheitelpunkt. Ein geeigneter Ansatz ist \(f(x)=a(x-2)^2\). 3. Mit \(P(0 \mid 4)\) gilt \(4=a(0-2)^2=4a\). Daher ist \(a=1\). 4. Also \(f(x)=(x-2)^2=x^2-4x+4\). Damit sind \(a=1\), \(b=-4\) und \(c=4\).

\(a=1\), \(b=-4\), \(c=4\); also \(f(x)=x^2-4x+4\).

- Welche Gleichung entsteht allgemein, wenn ein Punkt \((x \mid y)\) auf \(f(x)=ax^2+bx+c\) liegt? - Setze die Koordinaten jedes Punkts einzeln ein. - Achte besonders darauf, was beim Quadrieren der negativen \(x\)-Koordinate passiert.

1. Einsetzen von \(A(-1 \mid 4)\) liefert \(a-b+c=4\). 2. Einsetzen von \(B(0 \mid 1)\) liefert \(c=1\). 3. Einsetzen von \(C(2 \mid 3)\) liefert \(4a+2b+c=3\).

\(a-b+c=4\) \(c=1\) \(4a+2b+c=3\)

- Prüfe jede Gleichung direkt gegen den zugehörigen Punkt. - Behandle \(x^2\) und \(x\) bei einem negativen x-Wert getrennt. - Welche Vorzeichen entstehen für \((-2)^2\) und für \(-2b\)?

1. Die Gleichung zu \(Q(1\mid2)\) ist korrekt: \(a+b+c=2\). 2. Die Gleichung zu \(R(3\mid10)\) ist ebenfalls korrekt: \(9a+3b+c=10\). 3. Für \(P(-2\mid5)\) gilt \(a(-2)^2+b(-2)+c=5\), also \(4a-2b+c=5\). 4. Elias hat beim linearen Term das negative \(x\) nicht berücksichtigt.

Die erste Gleichung ist falsch. Korrekt ist \(4a-2b+c=5\), weil bei \(x=-2\) der lineare Term \(-2b\) entsteht.

- Subtrahiere linke und rechte Seite getrennt. - Welcher Term hebt sich auf der linken Seite genau auf? - Was ist der Zweck dieses Aufhebens für die Zahl der Unbekannten?

1. Auf der rechten Seite gilt \(7-2=5\), nicht \(9\). Korrekt ist daher \(3a+b=5\). 2. Das Subtrahieren ist sinnvoll, weil der Term \(c-c\) verschwindet. Dadurch sinkt die Zahl der Unbekannten von drei auf zwei. 3. Derselbe Schritt kann mit einem zweiten Gleichungspaar wiederholt werden, um ein System mit zwei Unbekannten zu erhalten.

a) Korrekt ist \(3a+b=5\), weil \(7-2=5\). b) Durch die Subtraktion verschwindet \(c\); damit wird das System systematisch von drei auf zwei Unbekannte reduziert.

- Beginne mit dem Wert für \(x = 0\), um eine Unbekannte sofort zu bestimmen. - Stelle für die anderen beiden Werte ein kleines Gleichungssystem auf. - Kannst du die beiden Gleichungen so addieren oder subtrahieren, dass eine Variable wegfällt?

1. Nutzung von \(f(0) = -4\): Einsetzen ergibt \(a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = -4\), woraus direkt \(c = -4\) folgt. 2. Aufstellen der Gleichungen für die anderen Punkte mit \(c = -4\): I: \(a \cdot 1^2 + b \cdot 1 - 4 = -2 \implies a + b = 2\) II: \(a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) - 4 = -10 \implies a - b = -6\) 3. Additionsverfahren für I und II: \((a + b) + (a - b) = 2 + (-6) \implies 2a = -4 \implies a = -2\). 4. Einsetzen von \(a = -2\) in Gleichung I: \(-2 + b = 2 \implies b = 4\).

\(a = -2; b = 4; c = -4\). Die Funktion lautet \(f(x) = -2x^2 + 4x - 4\).

- Welche Form einer Funktionsgleichung ist besonders nützlich, wenn man die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse kennt? - Wie kannst du einen weiteren Punkt auf dem Graphen nutzen, um den Streckfaktor zu berechnen? - Wo liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts im Verhältnis zu den beiden Nullstellen? - Wie gelangst du von der faktorisierten Form zur allgemeinen Form?

1. Aufstellen der Nullstellenform: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\). 2. Einsetzen der gegebenen Nullstellen: \(f(x) = a(x + 2)(x - 4)\). 3. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid -4)\): \(-4 = a \cdot (0 + 2) \cdot (0 - 4)\), woraus \(-4 = -8a\) und somit \(a = 0{,}5\) folgt. 4. Umwandlung in die allgemeine Form: \(f(x) = 0{,}5 \cdot (x^2 - 2x - 8) = 0{,}5x^2 - x - 4\). 5. Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts als Mittelwert der Nullstellen: \(x_S = \frac{-2 + 4}{2} = 1\). 6. Berechnung der \(y\)-Koordinate durch Einsetzen von \(x_S\): \(f(1) = 0{,}5 \cdot (1 + 2) \cdot (1 - 4) = 0{,}5 \cdot 3 \cdot (-3) = -4{,}5\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1 \mid -4{,}5)\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}5x^2 - x - 4\). Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten \(S(1 \mid -4{,}5)\).

- Wo muss der Scheitelpunkt einer Parabel liegen, wenn du die beiden Nullstellen kennst? - Wie kannst du die Koordinaten des Scheitelpunkts nutzen, um die noch unbekannte Variable in der Nullstellenform zu finden? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Symmetrie der Parabel und ihren Nullstellen.

1. Bestimmung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts: Da die Parabel symmetrisch zu ihrem Scheitelpunkt ist, liegt \(x_S\) genau in der Mitte der Nullstellen: \(x_S = \frac{-3 + 1}{2} = -1\). 2. Der Scheitelpunkt ist somit \(S(-1 \mid 4)\). 3. Ansatz mit der Nullstellenform: \(f(x) = a(x + 3)(x - 1)\). 4. Einsetzen der Scheitelpunktkoordinaten zur Bestimmung von \(a\): \(4 = a \cdot (-1 + 3) \cdot (-1 - 1) \Rightarrow 4 = a \cdot 2 \cdot (-2) \Rightarrow 4 = -4a \Rightarrow a = -1\). 5. Ausmultiplizieren der Nullstellenform: \(f(x) = -1 \cdot (x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -x^2 - 2x + 3\).

- Was verrät dir ein Punkt, der auf der \(y\)-Achse liegt, über die Parameter der Funktion? - Setze die Koordinaten der Punkte für \(x\) und \(f(x)\) in die allgemeine Form ein. - Kannst du das entstandene System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die \(x\)-Werte der Punkte in deine fertige Gleichung einsetzt.

1. Einsetzen des Punktes \(A(0 | 4)\) ergibt direkt den \(y\)-Achsenabschnitt: \(c = 4\). 2. Einsetzen der Punkte \(B\) und \(C\) unter Verwendung von \(c = 4\): (I) \(a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 4 = 3 \Rightarrow a + b = -1\) (II) \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 4 = 6 \Rightarrow 4a + 2b = 2\) 3. Vereinfachen von Gleichung (II) durch Division durch 2: \(2a + b = 1\). 4. Subtraktion von Gleichung (I) von der vereinfachten Gleichung (II): \((2a + b) - (a + b) = 1 - (-1) \Rightarrow a = 2\). 5. Bestimmung von \(b\) durch Einsetzen in \(a + b = -1\): \(2 + b = -1 \Rightarrow b = -3\). 6. Resultierende Funktionsgleichung: \(f(x) = 2x^2 - 3x + 4\).

Die Koeffizienten sind \(a = 2\), \(b = -3\) und \(c = 4\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x^2 - 3x + 4\).

- Erstelle für jeden Punkt eine Gleichung. - Gibt es zwei Gleichungen, die sich besonders ähneln und bei denen sich durch Addition oder Subtraktion eine Variable direkt eliminieren lässt? - Wenn du eine Variable berechnet hast, wie kannst du das Problem auf ein System mit nur noch zwei Unbekannten reduzieren? - Gehe Schritt für Schritt vor und notiere dir die Zwischenergebnisse für \(a\), \(b\) und \(c\).

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: (I) \(a + b + c = 1\) (Punkt \(P\)) (II) \(4a + 2b + c = 0\) (Punkt \(Q\)) (III) \(a - b + c = 9\) (Punkt \(R\)) 2. Elimination von \(b\) durch Subtraktion von (III) von (I): \((a+b+c) - (a-b+c) = 1 - 9 \Rightarrow 2b = -8 \Rightarrow b = -4\). 3. Einsetzen von \(b = -4\) in (I) und (II): (I') \(a - 4 + c = 1 \Rightarrow a + c = 5\) (II') \(4a - 8 + c = 0 \Rightarrow 4a + c = 8\) 4. Subtraktion von (I') von (II'): \((4a + c) - (a + c) = 8 - 5 \Rightarrow 3a = 3 \Rightarrow a = 1\). 5. Bestimmung von \(c\) aus (I'): \(1 + c = 5 \Rightarrow c = 4\). 6. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 4x + 4\).

Die Funktionsgleichung der Parabel lautet \(f(x) = x^2 - 4x + 4\).

- Was passiert, wenn du die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Form der Parabelgleichung einsetzt? - Wie viele Unbekannte hast du und wie viele Gleichungen ergeben sich daraus? - Gibt es zwei Gleichungen, die sich besonders leicht kombinieren lassen, um eine Variable zu eliminieren? - Welches Verfahren (Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren) erscheint dir hier am effizientesten?

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte in \(f(x) = ax^2 + bx + c\): (I) \(a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 0 \Rightarrow a + b + c = 0\) (II) \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 1 \Rightarrow 4a + 2b + c = 1\) (III) \(a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = 10 \Rightarrow a - b + c = 10\) 2. Elimination von \(b\) durch Subtraktion von (III) von (I): \((a + b + c) - (a - b + c) = 0 - 10 \Rightarrow 2b = -10 \Rightarrow b = -5\). 3. Einsetzen von \(b = -5\) in (I) und (II): (I') \(a - 5 + c = 0 \Rightarrow a + c = 5\) (II') \(4a - 10 + c = 1 \Rightarrow 4a + c = 11\) 4. Elimination von \(c\) durch Subtraktion von (I') von (II'): \((4a + c) - (a + c) = 11 - 5 \Rightarrow 3a = 6 \Rightarrow a = 2\). 5. Bestimmung von \(c\) durch Einsetzen von \(a = 2\) in (I'): \(2 + c = 5 \Rightarrow c = 3\). 6. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = 2x^2 - 5x + 3\).

\(f(x) = 2x^2 - 5x + 3\)

- Schau dir die ersten beiden Gleichungen an. Was fällt dir bei den Vorzeichen von \(b\) auf? - Kannst du eine Variable eliminieren, indem du zwei Gleichungen voneinander abziehst oder addierst? - Sobald du eine Variable kennst, kannst du das System auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten reduzieren.

1. Subtraktion von Gleichung (I) von Gleichung (II): \((a + b + c) - (a - b + c) = 1 - 9 \Rightarrow 2b = -8 \Rightarrow b = -4\). 2. Einsetzen von \(b = -4\) in (I) und (III): (I') \(a - (-4) + c = 9 \Rightarrow a + c = 5\) (III') \(4a + 2(-4) + c = 3 \Rightarrow 4a - 8 + c = 3 \Rightarrow 4a + c = 11\) 3. Subtraktion von (I') von (III'): \((4a + c) - (a + c) = 11 - 5 \Rightarrow 3a = 6 \Rightarrow a = 2\). 4. Einsetzen von \(a = 2\) in (I'): \(2 + c = 5 \Rightarrow c = 3\). 5. Die Werte sind \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = 3\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x^2 - 4x + 3\).

\(a = 2\), \(b = -4\), \(c = 3\); Funktionsgleichung: \(f(x) = 2x^2 - 4x + 3\)

- Welchen Vorteil bietet der Punkt \(A(0 | 5)\) beim Aufstellen der Gleichungen? - Setze den bekannten Wert für \(c\) sofort in die anderen Gleichungen ein, um das System zu vereinfachen. - Wie testet man mathematisch, ob ein Punkt auf einer Kurve liegt?

1. Punkt \(A(0 | 5)\) liefert direkt den Parameter \(c\): \(f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 5 \Rightarrow c = 5\). 2. Aufstellen der Gleichungen mit den Punkten \(B\) und \(C\) unter Verwendung von \(c = 5\): (I) \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 5 = 1 \Rightarrow 4a + 2b = -4 \Rightarrow 2a + b = -2\) (II) \(a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + 5 = 5 \Rightarrow 16a + 4b = 0 \Rightarrow 4a + b = 0\) 3. Subtraktion von (I) von (II): \((4a + b) - (2a + b) = 0 - (-2) \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1\). 4. Bestimmung von \(b\) durch Einsetzen in (II): \(4(1) + b = 0 \Rightarrow b = -4\). 5. Funktionsgleichung: \(f(x) = x^2 - 4x + 5\). 6. Punktprobe für \(D(5 | 10)\): Berechne \(f(5) = 5^2 - 4 \cdot 5 + 5 = 25 - 20 + 5 = 10\). Da \(10 = 10\), liegt der Punkt \(D\) auf der Parabel.

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 4x + 5\). Der Punkt \(D(5 | 10)\) liegt auf dem Graphen.

- Welcher gegebene Punkt vereinfacht die Bestimmung eines Koeffizienten unmittelbar? - Welche zwei Gleichungen entstehen aus den beiden übrigen Punkten? - Wie kannst du nach der Bestimmung der Koeffizienten die allgemeine Form in die Scheitelpunktform umwandeln?

1. Aus \(A(0|-1)\) folgt direkt \(c=-1\). 2. Mit \(B(2|5)\) erhält man \(4a+2b-1=5\), also \(4a+2b=6\). Mit \(C(-2|-3)\) erhält man \(4a-2b-1=-3\), also \(4a-2b=-2\). 3. Addition der beiden Gleichungen liefert \(8a=4\), also \(a=0{,}5\). Einsetzen in \(4a+2b=6\) ergibt \(2+2b=6\), also \(b=2\). 4. Damit lautet die allgemeine Form \(f(x)=0{,}5x^2+2x-1\). 5. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(f(x)=0{,}5(x^2+4x)-1=0{,}5((x+2)^2-4)-1=0{,}5(x+2)^2-3\).

Die allgemeine Form lautet \(f(x)=0{,}5x^2+2x-1\). Die Scheitelpunktform ist \(f(x)=0{,}5(x+2)^2-3\).

- Stelle für jeden der drei Punkte eine Gleichung auf. - Vergleiche die Gleichungen für \(P\) und \(Q\). Fällt dir etwas auf, das die Berechnung einer Variable vereinfacht? - Wenn du \(a\), \(b\) und \(c\) berechnet hast, wie findest du den Scheitelpunkt am sichersten?

1. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(a - b + c = -5\) (aus \(P\)) (II) \(a + b + c = 3\) (aus \(Q\)) (III) \(4a + 2b + c = 1\) (aus \(R\)) 2. Elimination von \(b\): Subtraktion (II) \(-\) (I) ergibt \(2b = 8 \Rightarrow b = 4\). 3. Bestimmung von \(a\) und \(c\): Einsetzen von \(b=4\) in (II) ergibt \(a + c = -1\). Einsetzen in (III) ergibt \(4a + 8 + c = 1 \Rightarrow 4a + c = -7\). 4. Lösen für \(a\) und \(c\): Subtraktion \((4a+c) - (a+c) = -7 - (-1) \Rightarrow 3a = -6 \Rightarrow a = -2\). Damit folgt \(c = -1 - (-2) = 1\). 5. Funktionsgleichung: \(f(x) = -2x^2 + 4x + 1\). 6. Scheitelpunktform: \(f(x) = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2((x - 1)^2 - 1) + 1 = -2(x - 1)^2 + 3\). 7. Scheitelpunkt: \(S(1|3)\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x^2 + 4x + 1\). Die Scheitelpunktform ist \(f(x) = -2(x - 1)^2 + 3\), woraus sich der Scheitelpunkt \(S(1|3)\) ergibt.

- Welche Gleichung entsteht aus jedem der drei Punkte? - Welche beiden Gleichungen lassen sich so kombinieren, dass eine Variable unmittelbar wegfällt? - Wie wandelst du die gefundene allgemeine Form anschließend durch quadratische Ergänzung um?

1. Einsetzen der Punkte ergibt \(a-b+c=1\), \(a+b+c=-1\) und \(4a+2b+c=1\). 2. Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten liefert \(-2b=2\), also \(b=-1\). 3. Mit \(b=-1\) folgt aus der zweiten Gleichung \(a+c=0\), also \(c=-a\). In der dritten Gleichung ergibt sich \(4a-2-a=1\), also \(3a=3\) und damit \(a=1\). Somit ist \(c=-1\). 4. Die allgemeine Form lautet \(f(x)=x^2-x-1\). 5. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(f(x)=x^2-x+0{,}25-0{,}25-1=(x-0{,}5)^2-1{,}25\).

Der Funktionsterm lautet \(f(x)=x^2-x-1\). Die Scheitelpunktform ist \(f(x)=(x-0{,}5)^2-1{,}25\).

- Welche geometrischen Informationen lassen sich aus den drei Punkten gewinnen, bevor du eine Gleichungsform auswählst? - Welche der drei Darstellungsformen nutzt solche geometrischen Informationen besonders direkt? - Begründe deine Wahl, bevor du den noch unbekannten Parameter bestimmst.

1. Die Punkte \(A(1|7)\) und \(C(5|7)\) haben denselben \(y\)-Wert. Daher liegt die Symmetrieachse in der Mitte ihrer \(x\)-Koordinaten bei \(x=3\). 2. Der Punkt \(B(3|3)\) liegt auf dieser Achse und ist daher der Scheitelpunkt \(S(3|3)\). 3. Deshalb ist die Scheitelpunktform ein besonders günstiger Ansatz: \(f(x)=a(x-3)^2+3\). 4. Mit \(A(1|7)\) gilt \(7=4a+3\), also \(a=1\). 5. Damit lautet die Funktion \(f(x)=(x-3)^2+3\), in allgemeiner Form \(f(x)=x^2-6x+12\).

Die Scheitelpunktform eignet sich besonders gut. Es gilt \(f(x)=(x-3)^2+3\). In allgemeiner Form lautet die Funktion \(f(x)=x^2-6x+12\).

- Welche allgemeine Form enthält genau die drei unbekannten Koeffizienten, die drei Punkte bestimmen können? - Setze jeden Punkt mit seinem \(x\)- und \(y\)-Wert ein. - Welche beiden Gleichungen lassen sich so voneinander abziehen, dass mehrere Terme wegfallen?

1. Mit \(y=ax^2+bx+c\) entstehen durch Einsetzen der Punkte die Gleichungen \(a-b+c=11\), \(a+b+c=3\) und \(4a+2b+c=5\). 2. Die Differenz der zweiten und ersten Gleichung ergibt \(2b=-8\), also \(b=-4\). 3. Mit \(b=-4\) folgen aus der zweiten und dritten Gleichung \(a+c=7\) und \(4a+c=13\). 4. Subtraktion liefert \(3a=6\), also \(a=2\). Damit ist \(c=5\). 5. Die Parabel lautet \(y=2x^2-4x+5\).

Aus den drei Punkten entsteht das LGS \(a-b+c=11\), \(a+b+c=3\), \(4a+2b+c=5\). Aus der Differenz der ersten beiden Gleichungen folgt \(b=-4\). Danach ergeben die reduzierten Gleichungen \(a+c=7\) und \(4a+c=13\), also \(a=2\) und \(c=5\). Damit lautet die Parabel \(y=2x^2-4x+5\).

- Stelle für jeden der drei Punkte eine Gleichung auf, indem du die x- und y-Werte einsetzt. - Welches Verfahren eignet sich am besten, um das System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten zu lösen? - Kannst du eine Variable direkt eliminieren, wenn du zwei Gleichungen voneinander abziehst? - Für die Scheitelpunktform hilft es, den Streckfaktor auszuklammern und dann im Inneren der Klammer quadratisch zu ergänzen.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte in \(y = ax^2 + bx + c\): (I) \(a(-1)^2 + b(-1) + c = 6 \Rightarrow a - b + c = 6\) (II) \(a(1)^2 + b(1) + c = -2 \Rightarrow a + b + c = -2\) (III) \(a(2)^2 + b(2) + c = 0 \Rightarrow 4a + 2b + c = 0\) 2. Subtraktion von (I) von (II) ergibt \(2b = -8\), also \(b = -4\). 3. Einsetzen von \(b = -4\) in (II) und (III): (II') \(a - 4 + c = -2 \Rightarrow a + c = 2\) (III') \(4a - 8 + c = 0 \Rightarrow 4a + c = 8\) 4. Subtraktion von (II') von (III') ergibt \(3a = 6\), also \(a = 2\). 5. Einsetzen von \(a = 2\) in (II') ergibt \(2 + c = 2\), also \(c = 0\). 6. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x^2 - 4x\). 7. Umwandlung in die Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung: \(f(x) = 2(x^2 - 2x) = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) = 2((x-1)^2 - 1) = 2(x-1)^2 - 2\).

a) \(f(x) = 2x^2 - 4x\) b) \(f(x) = 2(x-1)^2 - 2\)

- Was verrät dir ein Punkt, dessen x-Koordinate Null ist, über die Funktionsgleichung? - Erinnerst du dich, welcher Parameter in der Gleichung \(ax^2 + bx + c\) die Öffnung und Form der Parabel bestimmt? - Schau dir die Lage der Punkte an: Gibt es eine Symmetrie, die dir helfen könnte, den Scheitelpunkt schneller zu finden?

1. Punkt \(P(0|3)\) liefert direkt den y-Achsenabschnitt: \(c = 3\). 2. Einsetzen von \(Q(1|2)\) und \(R(2|3)\) mit \(c = 3\): (I) \(a + b + 3 = 2 \Rightarrow a + b = -1\) (II) \(4a + 2b + 3 = 3 \Rightarrow 4a + 2b = 0 \Rightarrow 2a + b = 0\) 3. Aus (II) folgt \(b = -2a\). Einsetzen in (I): \(a - 2a = -1 \Rightarrow -a = -1\), also \(a = 1\). 4. Berechnung von \(b\): \(b = -2(1) = -2\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 2x + 3\). 6. Da \(a = 1\) (oder \(|a| = 1\)), handelt es sich um eine Normalparabel. Sie ist weder schmaler noch breiter als die Standard-Normalparabel. 7. Berechnung des Scheitelpunkts: \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1\). Einsetzen ergibt \(y_s = 1^2 - 2(1) + 3 = 2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1|2)\).

a) \(f(x) = x^2 - 2x + 3\) b) Da \(a = 1\) ist, ist die Parabel identisch mit der Form einer Normalparabel. c) Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1|2)\).

- Welche besonderen Informationen liefern die Punkte mit \(y=0\)? - Welche der drei Darstellungsformen nutzt die sichtbaren Besonderheiten der gegebenen Punkte am direktesten? - Begründe deine Wahl, bevor du den noch unbekannten Faktor bestimmst. - Wie kannst du anschließend prüfen, ob \(D\) zum Graphen gehört?

1. Die Punkte \(K\) und \(L\) liegen auf der \(x\)-Achse. Daher sind \(x_1=-3\) und \(x_2=1\) Nullstellen. Ein günstiger Ansatz ist \(f(x)=a(x+3)(x-1)\). 2. Mit \(M(2 \mid 10)\) gilt \(10=a(2+3)(2-1)=5a\). Somit ist \(a=2\). 3. Ausmultiplizieren liefert \(f(x)=2(x+3)(x-1)=2x^2+4x-6\). 4. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(f(x)=2(x^2+2x)-6=2((x+1)^2-1)-6=2(x+1)^2-8\). 5. Für \(D\) gilt \(f(-2)=2(-2)^2+4(-2)-6=-6\). Damit liegt \(D(-2 \mid -6)\) auf dem Graphen.

a) \(f(x)=2x^2+4x-6\) b) \(f(x)=2(x+1)^2-8\) c) Ja, \(D(-2 \mid -6)\) liegt auf dem Graphen.

- Welche Funktionsform nutzt gegebene Nullstellen unmittelbar? - Wie kann der zusätzliche Punkt den Faktor \(a\) bestimmen? - Wie gelangst du von der Nullstellenform zur allgemeinen Form?

1. Mit den gegebenen Nullstellen ist die Nullstellenform \(f(x)=a(x+1)(x-3)\) zweckmäßig. 2. Einsetzen von \(P(1\mid-4)\) ergibt \(-4=a\cdot2\cdot(-2)\), also \(a=1\). 3. Damit ist \(f(x)=(x+1)(x-3)\). 4. Ausmultiplizieren liefert die allgemeine Form \(f(x)=x^2-2x-3\).

\(f(x)=x^2-2x-3\)

- Kannst du den \(y\)-Achsenabschnitt direkt aus den gegebenen Punkten ablesen? - Setze die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um ein Gleichungssystem zu erhalten. - Wie kannst du eine Variable eliminieren, wenn du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten hast?

1. Einsetzen von \(P_1(0|1)\) in \(f(x) = ax^2 + bx + c\): \(a(0)^2 + b(0) + c = 1 \Rightarrow c = 1\). 2. Einsetzen von \(P_2(2|5)\) mit \(c=1\): \(a(2)^2 + b(2) + 1 = 5 \Rightarrow 4a + 2b = 4 \Rightarrow 2a + b = 2\). 3. Einsetzen von \(P_3(4|5)\) mit \(c=1\): \(a(4)^2 + b(4) + 1 = 5 \Rightarrow 16a + 4b = 4 \Rightarrow 4a + b = 1\). 4. Lösen des Gleichungssystems: Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung: \((4a + b) - (2a + b) = 1 - 2 \Rightarrow 2a = -1 \Rightarrow a = -0{,}5\). 5. Einsetzen von \(a\) in \(2a + b = 2\): \(2(-0{,}5) + b = 2 \Rightarrow -1 + b = 2 \Rightarrow b = 3\). 6. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = -0{,}5x^2 + 3x + 1\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}5x^2 + 3x + 1\).

- Welche Information steckt in der Aussage „schneidet die \(y\)-Achse bei 5“ für deine Formel? - Wie kannst du die zwei gegebenen Punkte nutzen, um zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten aufzustellen? - Welche Methode (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 5)\), woraus folgt: \(c = 5\). 2. Aufstellen der Gleichungen für die Punkte \(D\) und \(E\) unter Verwendung von \(c = 5\): Für \(D(-1 \mid 12)\): \(a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + 5 = 12 \Rightarrow a - b = 7\) (I) Für \(E(2 \mid 9)\): \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 5 = 9 \Rightarrow 4a + 2b = 4 \Rightarrow 2a + b = 2\) (II) 3. Lösen des Systems durch Addition von (I) und (II): \((a + 2a) + (-b + b) = 7 + 2 \Rightarrow 3a = 9 \Rightarrow a = 3\) 4. Einsetzen von \(a = 3\) in (I): \(3 - b = 7 \Rightarrow -b = 4 \Rightarrow b = -4\) 5. Einsetzen der gefundenen Werte in die allgemeine Form: \(p(x) = 3x^2 - 4x + 5\).

Die Funktionsgleichung lautet \(p(x) = 3x^2 - 4x + 5\).

- Kannst du die Steigung zwischen zwei Punkten berechnen? - Was müsste für die Steigungen gelten, damit die Punkte auf einer Geraden liegen? - Welchen Wert der allgemeinen Form kannst du direkt ablesen, wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Wie kannst du ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen?

1. Berechnung der Steigungen zwischen den Punkten: \(m_{AB} = \frac{2 - 10}{0 - (-2)} = -4\) und \(m_{BC} = \frac{2 - 2}{2 - 0} = 0\). 2. Da \(m_{AB} \neq m_{BC}\), liegen die Punkte nicht auf einer Geraden. 3. Aufstellen des Gleichungssystems mit \(f(x) = ax^2 + bx + c\): Aus \(B(0 \mid 2)\) folgt \(f(0) = c = 2\). Aus \(A(-2 \mid 10)\) folgt \(4a - 2b + 2 = 10 \Rightarrow 4a - 2b = 8\). Aus \(C(2 \mid 2)\) folgt \(4a + 2b + 2 = 2 \Rightarrow 4a + 2b = 0\). 4. Addition der beiden Gleichungen: \(8a = 8 \Rightarrow a = 1\). 5. Einsetzen von \(a\) in \(4a + 2b = 0\): \(4 + 2b = 0 \Rightarrow b = -2\). 6. Die Funktion lautet \(f(x) = x^2 - 2x + 2\).

Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden. Die quadratische Funktion lautet \(f(x) = x^2 - 2x + 2\).

- Berechne die Steigungen zwischen \(P\) und \(Q\) sowie zwischen \(Q\) und \(R\). - Stelle für jeden Punkt eine Gleichung auf, indem du \(x\) und \(y\) in \(f(x) = ax^2 + bx + c\) einsetzt. - Wie kannst du die Variable \(c\) aus den Gleichungen eliminieren?

1. Überprüfung auf Kollinearität: \(m_{PQ} = \frac{3 - 1}{2 - 1} = 2\) und \(m_{QR} = \frac{7 - 3}{3 - 2} = 4\). Die Punkte sind nicht kollinear. 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: (I) \(a + b + c = 1\) (aus \(P\)) (II) \(4a + 2b + c = 3\) (aus \(Q\)) (III) \(9a + 3b + c = 7\) (aus \(R\)) 3. Reduktion des Systems durch Subtraktion: (II) - (I): \(3a + b = 2\) (IV) (III) - (II): \(5a + b = 4\) (V) 4. Lösen des reduzierten Systems: (V) - (IV): \(2a = 2 \Rightarrow a = 1\). In (IV): \(3(1) + b = 2 \Rightarrow b = -1\). 5. Bestimmung von \(c\): In (I) einsetzen: \(1 - 1 + c = 1 \Rightarrow c = 1\). 6. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = x^2 - x + 1\).

Die Punkte sind nicht kollinear. Die quadratische Funktion ist \(f(x) = x^2 - x + 1\).

- Wie kannst du mit zwei aufeinanderfolgenden Steigungen prüfen, ob drei Punkte kollinear sind? - Welche beiden Punkte haben denselben \(y\)-Wert, und wo liegt die Mitte ihrer \(x\)-Koordinaten? - Welche Bedeutung hat der dritte Punkt, wenn seine \(x\)-Koordinate genau auf dieser Mitte liegt? - Welche Darstellungsform ist besonders günstig, sobald der Scheitelpunkt bekannt ist?

1. Für die Steigungen gilt \(m_{KL}=\frac{-2-1}{1-(-2)}=-1\) und \(m_{LM}=\frac{1-(-2)}{4-1}=1\). Die Steigungen sind verschieden, also liegen die drei Punkte nicht auf einer Geraden. 2. \(K\) und \(M\) haben denselben \(y\)-Wert. Ihre \(x\)-Koordinaten \(-2\) und \(4\) liegen symmetrisch zu \(x=1\). Da \(L(1 \mid -2)\) auf der Symmetrieachse liegt, ist \(L\) der Scheitelpunkt. 3. Ansatz in Scheitelpunktform: \(f(x)=a(x-1)^2-2\). 4. Mit \(K(-2 \mid 1)\) gilt \(1=a(-2-1)^2-2=9a-2\). Daraus folgt \(a=\frac{1}{3}\). 5. Ausmultiplizieren: \(f(x)=\frac{1}{3}(x-1)^2-2=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\).

Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden. Die gesuchte Funktion ist \(f(x)=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\).

- Setze die x- und y-Werte der Punkte nacheinander in die allgemeine Form ein. - Du erhältst drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Welches Verfahren kennst du, um solche Systeme zu lösen? - Versuche zuerst eine der Variablen (zum Beispiel c) zu eliminieren, indem du die Gleichungen voneinander abziehst.

1. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte in \(f(x) = ax^2 + bx + c\): I: \(4a - 2b + c = 10\) II: \(a + b + c = -2\) III: \(9a + 3b + c = 0\) 2. Elimination von \(c\) durch Subtraktion der Gleichungen: (I - II): \(3a - 3b = 12 \Rightarrow a - b = 4\) (Gleichung IV) (III - II): \(8a + 2b = 2 \Rightarrow 4a + b = 1\) (Gleichung V) 3. Lösen des Systems aus IV und V: Addieren von IV und V: \(5a = 5 \Rightarrow a = 1\). Einsetzen in IV: \(1 - b = 4 \Rightarrow b = -3\). 4. Einsetzen von \(a\) und \(b\) in II zur Bestimmung von \(c\): \(1 + (-3) + c = -2 \Rightarrow -2 + c = -2 \Rightarrow c = 0\). 5. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = x^2 - 3x\).

\(f(x) = x^2 - 3x\)

- Was passiert mit den Termen \(ax^2\) und \(bx\), wenn du für \(x\) die Zahl \(0\) einsetzt? - Kannst du eine der Unbekannten sofort bestimmen, wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse gegeben ist? - Wenn du zwei Gleichungen addierst oder subtrahierst, fällt dann eine Variable weg?

1. Einsetzen der Punktkoordinaten in die allgemeine Form \(y = ax^2 + bx + c\): \(P(1|5) \implies a + b + c = 5\) \(Q(-1|1) \implies a - b + c = 1\) \(R(0|2) \implies c = 2\) 2. Einsetzen von \(c = 2\) in die ersten beiden Gleichungen: (I) \(a + b = 3\) (II) \(a - b = -1\) 3. Addition von (I) und (II) zur Elimination von \(b\): \(2a = 2 \implies a = 1\). 4. Bestimmung von \(b\) durch Einsetzen von \(a = 1\) in (I): \(1 + b = 3 \implies b = 2\). 5. Ergebnis: Die Funktionsgleichung lautet \(y = x^2 + 2x + 2\).

Die Funktionsgleichung lautet \(y = x^2 + 2x + 2\).

- Achte auf die Vorzeichen beim Einsetzen negativer \(x\)-Werte in \(ax^2\). - Schau dir die Koeffizienten von \(a\) und \(c\) in den Gleichungen für \(A\) und \(C\) genau an. Was fällt dir auf? - Welches Rechenverfahren (Addition, Subtraktion, Einsetzen) bietet sich hier an, um Variablen schnell zu eliminieren?

1. Aufstellen des LGS durch Einsetzen der Punkte: (I) \(4a - 2b + c = 10\) (Punkt \(A\)) (II) \(a + b + c = 1\) (Punkt \(B\)) (III) \(4a + 2b + c = 6\) (Punkt \(C\)) 2. Subtraktion von (I) von (III): \((4a + 2b + c) - (4a - 2b + c) = 6 - 10 \implies 4b = -4 \implies b = -1\). 3. Einsetzen von \(b = -1\) in (II) und (III): (II') \(a - 1 + c = 1 \implies a + c = 2\) (III') \(4a - 2 + c = 6 \implies 4a + c = 8\) 4. Subtraktion von (II') von (III'): \(3a = 6 \implies a = 2\). 5. Bestimmung von \(c\): \(2 + c = 2 \implies c = 0\). 6. Ergebnis: Die Funktionsgleichung lautet \(y = 2x^2 - x\).

a) (I) \(4a - 2b + c = 10\); (II) \(a + b + c = 1\); (III) \(4a + 2b + c = 6\) b) Durch Subtraktion der Gleichungen (I) und (III) fallen \(a\) und \(c\) weg, sodass \(4b = -4\) bzw. \(b = -1\) folgt. c) \(y = 2x^2 - x\)

- Erinnere dich an die Bedeutung des Parameters \(c\) im Graphen einer quadratischen Funktion. - Kannst du eine der Gleichungen vereinfachen, bevor du sie mit einer anderen kombinierst? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du die \(x\)-Werte der Punkte \(T\) und \(U\) in deine fertige Gleichung einsetzt.

1. Vorteil von \(S(0|4)\): Beim Einsetzen von \(x = 0\) fallen die Terme \(ax^2\) und \(bx\) weg, sodass direkt \(c = 4\) folgt. 2. Einsetzen der übrigen Punkte mit \(c = 4\): \(T(1|3) \implies a + b + 4 = 3 \implies a + b = -1\) \(U(-2|-6) \implies 4a - 2b + 4 = -6 \implies 4a - 2b = -10\) 3. Vereinfachen der zweiten Gleichung durch Division durch 2: \(2a - b = -5\). 4. Addition der Gleichungen \((a + b) + (2a - b) = -1 + (-5) \implies 3a = -6 \implies a = -2\). 5. Einsetzen von \(a = -2\) in \(a + b = -1\): \(-2 + b = -1 \implies b = 1\). 6. Funktionsgleichung: \(y = -2x^2 + x + 4\).

Der Punkt \(S(0|4)\) liefert direkt den Parameter \(c = 4\). Die Parameter sind \(a = -2\), \(b = 1\) und \(c = 4\). Die Gleichung lautet \(y = -2x^2 + x + 4\).

- Welche Gleichung erhältst du aus jedem der drei gegebenen Punkte? - Ein Punkt mit \(x=0\) liefert einen Koeffizienten besonders direkt. - Nutze die drei Bedingungen gemeinsam, bevor du den zusätzlichen Punkt prüfst.

1. Aus \(Q(0|2)\) folgt unmittelbar \(c=2\). 2. Einsetzen von \(P(-1|6)\) ergibt \(a-b+2=6\), also \(a-b=4\). 3. Einsetzen von \(R(2|0)\) ergibt \(4a+2b+2=0\), also \(2a+b=-1\). 4. Aus \(a-b=4\) folgt \(b=a-4\). Eingesetzt in \(2a+b=-1\) ergibt sich \(3a=3\), also \(a=1\) und \(b=-3\). 5. Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=x^2-3x+2\). 6. Für \(x=3\) gilt \(f(3)=9-9+2=2\). Daher liegt \(S(3|2)\) auf dem Graphen.

a) \(a=1\), \(b=-3\), \(c=2\), also \(f(x)=x^2-3x+2\). b) Ja, \(S(3|2)\) liegt auf dem Graphen.

- Lies zuerst jeden markierten Punkt am Raster ab, bevor du rechnest. - Welcher der drei Punkte vereinfacht den konstanten Term besonders stark? - Welche Gleichungen entstehen aus den beiden übrigen Punkten nach dieser Vereinfachung?

1. Aus der Zeichnung liest man \(A(-2 \mid 3)\), \(B(0 \mid 1)\) und \(C(1 \mid 3)\) ab. 2. Aus \(B\) folgt direkt \(c=1\). 3. Mit \(A\) erhält man \(4a-2b+1=3\), also \(2a-b=1\). Mit \(C\) erhält man \(a+b+1=3\), also \(a+b=2\). 4. Addieren der beiden Gleichungen ergibt \(3a=3\), also \(a=1\). Danach ist \(b=1\). 5. Die gesuchte Funktion lautet \(f(x)=x^2+x+1\).

a) \(A(-2 \mid 3)\), \(B(0 \mid 1)\), \(C(1 \mid 3)\) b) \(f(x)=x^2+x+1\)

- Vergleiche die Koordinaten von \(A\) und \(C\). - Welche Symmetrieachse ergibt sich aus zwei gleich hohen Punkten mit entgegengesetzten \(x\)-Koordinaten? - Welche Vereinfachung hat die allgemeine Form bei Symmetrie zur \(y\)-Achse?

1. Die Punkte \(A\) und \(C\) liegen gleich hoch und haben entgegengesetzte \(x\)-Koordinaten. Daher ist die Parabel zur \(y\)-Achse symmetrisch. 2. Der Punkt \(B(0 \mid 1)\) liegt auf dieser Symmetrieachse und ist damit der Scheitelpunkt. Ein passender Ansatz ist \(f(x)=ax^2+1\). 3. Einsetzen von \(A(-2 \mid 5)\) ergibt \(5=4a+1\), also \(a=1\). 4. Somit lautet die Funktion \(f(x)=x^2+1\).

Wegen der Symmetrie zur \(y\)-Achse ist ein geeigneter Ansatz \(f(x)=ax^2+1\). Daraus folgt \(f(x)=x^2+1\).

- Welche Gleichung liefert jeder Punkt nach dem Einsetzen in \(ax^2+bx+c\)? - Welche Variable kommt in allen drei Gleichungen mit demselben Koeffizienten vor? - Wie kannst du aus drei Gleichungen zunächst zwei Gleichungen mit nur noch zwei Unbekannten erzeugen? - Was ist der nächste gleichartige Schritt, bevor du rückwärts einsetzt?

1. Durch Einsetzen entstehen die Gleichungen \(a+b+c=2\), \(4a+2b+c=3\) und \(9a+3b+c=6\). 2. Ein systematisches Vorgehen besteht darin, zunächst dieselbe Variable aus zwei Gleichungspaaren zu eliminieren. Hier wird \(c\) beseitigt: Aus (II) minus (I) folgt \(3a+b=1\), aus (III) minus (II) folgt \(5a+b=3\). 3. Nun wird in den beiden verbleibenden Gleichungen wieder dieselbe Variable eliminiert. Subtraktion ergibt \(2a=2\), also \(a=1\). 4. Rückwärtseinsetzen in \(3a+b=1\) liefert \(b=-2\). Rückwärtseinsetzen in \(a+b+c=2\) liefert \(c=3\). 5. Die gesuchte Funktion lautet \(f(x)=x^2-2x+3\). 6. Das Schema ist algorithmisch: drei Gleichungen werden durch Elimination auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten reduziert, dann auf eine Gleichung mit einer Unbekannten; anschließend werden die Werte rückwärts eingesetzt.

a) \(a+b+c=2\), \(4a+2b+c=3\), \(9a+3b+c=6\) b) Zuerst dieselbe Variable aus zwei Gleichungspaaren eliminieren, danach aus den zwei verbleibenden Gleichungen eine weitere Variable eliminieren und anschließend rückwärts einsetzen. c) \(f(x)=x^2-2x+3\)

- Welche Variable hat in allen drei Gleichungen denselben Koeffizienten? - Welche zwei Subtraktionen erzeugen zwei Gleichungen ohne diese Variable? - Welche Variable lässt sich danach aus den beiden reduzierten Gleichungen eliminieren?

1. Da \(c\) in allen drei Gleichungen denselben Koeffizienten besitzt, kann man benachbarte Gleichungen subtrahieren. 2. Aus (II)-(I) folgt \(3a+b=5\). Aus (III)-(II) folgt \(5a+b=9\). 3. Subtraktion der beiden neuen Gleichungen ergibt \(2a=4\), also \(a=2\). 4. Mit \(3a+b=5\) folgt \(6+b=5\), also \(b=-1\). 5. Mit \(a+b+c=4\) folgt \(2-1+c=4\), also \(c=3\).

a) Zum Beispiel (II)-(I) und (III)-(II); dadurch verschwindet \(c\). b) \(a=2\), \(b=-1\), \(c=3\)

- Setze die \(x\)-Koordinate jedes Punkts noch einmal sorgfältig in \(ax^2+bx+c\) ein. - Bei welchem Punkt kann sich besonders leicht ein Vorzeichenfehler im linearen Term einschleichen? - Vergleiche nach der Korrektur zwei Gleichungen, deren quadratische und konstante Terme gleich aufgebaut sind. - Was bedeutet eine eindeutige Lösung des LGS für die drei Koeffizienten?

1. Für \(A(-1 \mid 2)\) gilt \(f(-1)=a-b+c\), nicht \(a+b+c\). Daher muss (I) \(a-b+c=2\) lauten. (II) und (III) sind korrekt. 2. Aus (I) und (II) folgt durch Subtraktion \(-2b=2\), also \(b=-1\). 3. Mit (II) erhält man \(a+c=1\). Aus (III) folgt mit \(b=-1\) die Gleichung \(4a+c=4\). Subtraktion ergibt \(3a=3\), also \(a=1\) und danach \(c=0\). 4. Das korrigierte LGS besitzt genau eine Lösung \((a,b,c)=(1,-1,0)\). Damit sind alle drei Koeffizienten eindeutig festgelegt.

a) Korrekt ist (I) \(a-b+c=2\). b) \(a=1\), \(b=-1\), \(c=0\); also \(f(x)=x^2-x\). c) Das korrigierte LGS besitzt genau eine Lösung und legt damit die drei Koeffizienten eindeutig fest.