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- Wo auf der \(y\)-Achse ist der \(x\)-Wert immer gleich null? - Was muss für den Funktionswert \(y\) gelten, wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Kannst du die Gleichung für die Nullstellen so umstellen, dass \(x^2\) alleine auf einer Seite steht?

1. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in den Funktionsterm ein: \(f(0) = 0{,}4 \cdot 0^2 - 2{,}5 = -2{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -2{,}5)\). 2. Berechnung der Nullstellen: Setze \(f(x) = 0\). Daraus folgt \(0{,}4x^2 - 2{,}5 = 0\). 3. Umformen der Gleichung: \(0{,}4x^2 = 2{,}5 \Rightarrow x^2 = \frac{2{,}5}{0{,}4} = 6{,}25\). 4. Ziehen der Wurzel: \(x_1 = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\) und \(x_2 = -\sqrt{6{,}25} = -2{,}5\). Die Nullstellen liegen bei \(x = 2{,}5\) und \(x = -2{,}5\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(2{,}5 | 0)\) und \(N_2(-2{,}5 | 0)\).

a) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 | -2{,}5)\). b) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 2{,}5\) und \(x_2 = -2{,}5\). Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \(N_1(2{,}5 | 0)\) und \(N_2(-2{,}5 | 0)\).

- Wie kannst du den Scheitelpunkt direkt aus der Gleichung ablesen? - Was sagt das Vorzeichen der Zahl vor der Klammer über die Öffnung der Parabel aus? - Welchen Wert hat \(y\) an den Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Wie verändert der Faktor vor dem Quadrat die Form der Parabel im Vergleich zur Normalparabel?

1. Ablesen des Scheitelpunkts aus der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x-x_s)^2 + y_s\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-1 \mid -2)\). Da der Streckfaktor \(a = \frac{1}{2}\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. 2. Berechnung der Nullstellen durch Lösen der Gleichung \(\frac{1}{2}(x+1)^2 - 2 = 0\): \(\frac{1}{2}(x+1)^2 = 2\) \((x+1)^2 = 4\) \(x+1 = 2\) oder \(x+1 = -2\) \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\). 3. Skizze: Einzeichnen des Scheitelpunkts \(S(-1 \mid -2)\) und der Nullstellen \((1 \mid 0)\) sowie \((-3 \mid 0)\). Da \(a = \frac{1}{2}\), ist die Parabel weiter geöffnet als die Normalparabel.

1. Scheitelpunkt \(S(-1 \mid -2)\), nach oben geöffnet. 2. Nullstellen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\). 3. Der Graph ist eine nach oben geöffnete, gestauchte Parabel mit dem tiefsten Punkt bei \((-1 \mid -2)\).

- Setze die x-Werte nacheinander in die Funktionsgleichung ein, um die y-Werte zu erhalten. - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen auf die Klammern, zum Beispiel \((-2)^2\). - Suche in der Tabelle nach einem Punkt, an dem die y-Werte links und rechts davon paarweise gleich sind. - Nullstellen sind die Stellen, an denen der Funktionswert genau Null ist.

1. Berechnung der Funktionswerte für die Tabelle: \(f(-2) = (-2)^2 - 2\cdot(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5\) \(f(-1) = (-1)^2 - 2\cdot(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0\) \(f(0) = 0^2 - 2\cdot 0 - 3 = -3\) \(f(1) = 1^2 - 2\cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4\) \(f(2) = 2^2 - 2\cdot 2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3\) \(f(3) = 3^2 - 2\cdot 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0\) \(f(4) = 4^2 - 2\cdot 4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5\) 2. Bestimmung des Scheitelpunkts: Die Funktionswerte sind symmetrisch um den Wert \(x = 1\). Der kleinste Funktionswert liegt bei \(x = 1\) mit \(f(1) = -4\). Der Scheitelpunkt ist somit \(S(1 | -4)\). 3. Bestimmung der Nullstellen: Die Nullstellen sind die \(x\)-Werte, für die \(f(x) = 0\) gilt. Aus der Tabelle lassen sich \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\) ablesen.

a) Werte: \(5, 0, -3, -4, -3, 0, 5\). b) Der Scheitelpunkt ist \(S(1 | -4)\). c) Die Nullstellen sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\).

- Kannst du die Koordinaten des tiefsten oder höchsten Punktes direkt aus der Formel ablesen? - Was muss für den Funktionswert gelten, damit ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Wie veränderst du die Gleichung, um nach \(x\) aufzulösen? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte, die auf der \(y\)-Achse liegen?

1. Scheitelpunkt ablesen: Aus der Scheitelpunktform \(a(x - d)^2 + e\) ergibt sich direkt \(S(3 \mid -8)\). 2. Nullstellen berechnen: Setze \(g(x) = 0\). \(2(x - 3)^2 - 8 = 0 \Rightarrow 2(x - 3)^2 = 8 \Rightarrow (x - 3)^2 = 4\). Wurzelziehen ergibt \(x - 3 = 2\) oder \(x - 3 = -2\), also \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 1\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse berechnen: Berechne \(g(0)\). \(g(0) = 2(0 - 3)^2 - 8 = 2 \cdot 9 - 8 = 10\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 10)\).

Der Scheitelpunkt ist \(S(3 \mid -8)\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid 10)\).