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- Überlege dir zuerst, mit welchem Faktor man eine Größe multipliziert, wenn sie um einen bestimmten Prozentsatz abnimmt. - Wie wirkt sich dieser Faktor auf das Quadrat der Seitenlänge aus? - Kannst du die neue Fläche als Bruchteil oder Prozentsatz der alten Fläche ausdrücken?

1. Sei \(s\) die ursprüngliche Seitenlänge. Der ursprüngliche Flächeninhalt ist \(A_1 = s^2\). 2. Eine Verringerung der Seitenlänge um \(15\,\%\) entspricht einem Faktor von \(1 - 0{,}15 = 0{,}85\). Die neue Seitenlänge ist \(s_2 = 0{,}85 \cdot s\). 3. Der neue Flächeninhalt berechnet sich zu \(A_2 = (0{,}85 \cdot s)^2 = 0{,}7225 \cdot s^2\). 4. Der neue Flächeninhalt beträgt somit \(72{,}25\,\%\) des ursprünglichen Inhalts. 5. Die prozentuale Verkleinerung ist \(100\,\% - 72{,}25\,\% = 27{,}75\,\%\).

Der Flächeninhalt verringert sich um \(27{,}75\,\%\).

- Was bedeutet die Variable \(n\) in diesem Zusammenhang? - Wie geht man vor, wenn ein Funktionswert gegeben ist und die zugehörige Stelle gesucht wird? - Welche mathematischen Bedingungen müssen für die Anzahl von Ecken in einem Vieleck gelten?

1. Einsetzen von \(n=8\) in die Funktionsgleichung: \(d(8) = \frac{1}{2} \cdot 8^2 - 1{,}5 \cdot 8 = 32 - 12 = 20\). Das Achteck hat 20 Diagonalen. 2. Aufstellen der Gleichung für \(d=54\): \(54 = 0{,}5n^2 - 1{,}5n\). Umgeformt in die Normalform: \(n^2 - 3n - 108 = 0\). 3. Anwendung der p-q-Formel: \(n_{1,2} = 1{,}5 \pm \sqrt{1{,}5^2 + 108} = 1{,}5 \pm \sqrt{110{,}25} = 1{,}5 \pm 10{,}5\). Dies ergibt \(n_1 = 12\) und \(n_2 = -9\). 4. Da eine Anzahl an Ecken nicht negativ sein kann, ist nur \(n = 12\) eine sinnvolle Lösung. Das Vieleck hat 12 Ecken.

a) Ein Achteck hat 20 Diagonalen. b) Das Vieleck hat 12 Ecken. c) Nur die positive Lösung \(n=12\) ist sinnvoll, da eine negative Anzahl an Ecken (\(n=-9\)) geometrisch nicht existiert.

- Welcher \(x\)-Wert gehört zum Ort des Abstoßes? - Welcher besondere Punkt einer Parabel gibt den höchsten Wert an? - Wie berechnet man allgemein die Koordinaten dieses höchsten Punktes? - Was musst du für die Variable einsetzen, um die Höhe an einer bestimmten Stelle zu finden?

1. Abstoßhöhe berechnen: Den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) bestimmen: \(h(0) = -0{,}05 \cdot 0^2 + 0{,}6 \cdot 0 + 2 = 2\). Die Abstoßhöhe beträgt \(2\,\text{m}\). 2. Maximale Höhe bestimmen: Den Scheitelpunkt der Parabel berechnen. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts liegt bei \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{0{,}6}{2 \cdot (-0{,}05)} = \frac{0{,}6}{0{,}1} = 6\). 3. Maximalen Funktionswert berechnen: \(h(6) = -0{,}05 \cdot 6^2 + 0{,}6 \cdot 6 + 2 = -0{,}05 \cdot 36 + 3{,}6 + 2 = -1{,}8 + 5{,}6 = 3{,}8\). Die maximale Höhe beträgt \(3{,}8\,\text{m}\). 4. Höhe bei \(10\,\text{m}\) berechnen: Den Funktionswert an der Stelle \(x = 10\) bestimmen: \(h(10) = -0{,}05 \cdot 10^2 + 0{,}6 \cdot 10 + 2 = -0{,}05 \cdot 100 + 6 + 2 = -5 + 8 = 3\). Die Höhe beträgt \(3\,\text{m}\).

a) Die Kugel wird aus einer Höhe von \(2\,\text{m}\) abgestoßen. b) Die maximale Höhe beträgt \(3{,}8\,\text{m}\). c) In \(10\,\text{m}\) Entfernung befindet sich die Kugel in einer Höhe von \(3\,\text{m}\).

- Welchen Wert hat die Zeit \(t\) zum Zeitpunkt des Abschusses? - Setze alle bekannten Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um die fehlende Unbekannte zu finden. - Wie gehst du vor, wenn du die Höhe zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt wissen möchtest?

1. Bestimmung der Funktionsgleichung: Gegeben ist die Anfangshöhe \(h_0 = 1{,}5\,\text{m}\). Einsetzen des Punktes \((2 | 31{,}5)\) in \(h(t) = -5t^2 + v_0t + 1{,}5\) führt zu \(31{,}5 = -5 \cdot 2^2 + v_0 \cdot 2 + 1{,}5\). 2. Berechnung der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\): \(31{,}5 = -20 + 2v_0 + 1{,}5 \implies 31{,}5 = -18{,}5 + 2v_0 \implies 50 = 2v_0 \implies v_0 = 25\). Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = -5t^2 + 25t + 1{,}5\). 3. Berechnung der Höhe nach \(4\,\text{s}\): Einsetzen von \(t = 4\) ergibt \(h(4) = -5 \cdot 4^2 + 25 \cdot 4 + 1{,}5 = -80 + 100 + 1{,}5 = 21{,}5\). Die Höhe beträgt \(21{,}5\,\text{m}\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = -5t^2 + 25t + 1{,}5\). b) Nach \(4\,\text{s}\) befindet sich die Rakete in einer Höhe von \(21{,}5\,\text{m}\).

- Wie berechnet man den Wert einer Funktion an einer bestimmten Stelle? - Erinnerst du dich an die Symmetrie von Parabeln? Was bedeutet es für den Scheitelpunkt, wenn zwei Punkte dieselbe Höhe haben? - Welche Formel hilft dir, den Extrempunkt einer quadratischen Funktion in der Form \(f(x) = ax^2 + bx + c\) zu finden?

1. Berechnung der Funktionswerte für Teilaufgabe a: \(k(60) = 0{,}001 \cdot 60^2 - 0{,}18 \cdot 60 + 15{,}6 = 3{,}6 - 10{,}8 + 15{,}6 = 8{,}4\). \(k(120) = 0{,}001 \cdot 120^2 - 0{,}18 \cdot 120 + 15{,}6 = 14{,}4 - 21{,}6 + 15{,}6 = 8{,}4\). Beide Geschwindigkeiten führen zum gleichen Verbrauch von \(8{,}4\,\text{l}/100\,\text{km}\). 2. Bestimmung des Minimums für Teilaufgabe b: Da der Graph eine nach oben geöffnete Parabel ist (\(a = 0{,}001 > 0\)), liegt das Minimum im Scheitelpunkt. Berechnung der \(v\)-Koordinate des Scheitelpunkts: \(v_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-0{,}18}{2 \cdot 0{,}001} = \frac{0{,}18}{0{,}002} = 90\). Berechnung des minimalen Verbrauchs: \(k(90) = 0{,}001 \cdot 90^2 - 0{,}18 \cdot 90 + 15{,}6 = 8{,}1 - 16{,}2 + 15{,}6 = 7{,}5\). Die optimale Geschwindigkeit beträgt \(90\,\text{km/h}\) bei einem Verbrauch von \(7{,}5\,\text{l}/100\,\text{km}\).

a) Bei beiden Geschwindigkeiten beträgt der Verbrauch \(8{,}4\,\text{l}/100\,\text{km}\). b) Der Verbrauch ist bei einer Geschwindigkeit von \(90\,\text{km/h}\) am geringsten und beträgt dort \(7{,}5\,\text{l}/100\,\text{km}\).

- Wie verändert sich der Bremsweg, wenn sich die Geschwindigkeit verdoppelt? - Setze die gegebenen Wertepaare in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um die Konstante zu finden. - Was musst du tun, um eine Gleichung nach der Variablen aufzulösen, die im Quadrat steht?

1. Bestimmung von \(k\) für beide Messwerte: \(k_1 = \frac{16}{40^2} = \frac{16}{1\,600} = 0{,}01\) und \(k_2 = \frac{64}{80^2} = \frac{64}{6\,400} = 0{,}01\). Da \(k\) für beide Punkte identisch ist, ist das Modell \(s(v) = 0{,}01 \cdot v^2\) konsistent. 2. Berechnung des Bremswegs für \(v = 120\,\text{km/h}\): \(s(120) = 0{,}01 \cdot 120^2 = 0{,}01 \cdot 14\,400 = 144\,\text{m}\). 3. Berechnung der Geschwindigkeit für \(s = 100\,\text{m}\): \(100 = 0{,}01 \cdot v^2 \Rightarrow v^2 = 10\,000 \Rightarrow v = \sqrt{10\,000} = 100\,\text{km/h}\).

a) Die Konstante beträgt \(k = 0{,}01\), da \(\frac{16}{40^2} = \frac{64}{80^2} = 0{,}01\). Die Funktion lautet \(s(v) = 0{,}01 \cdot v^2\). b) Bei \(120\,\text{km/h}\) beträgt der Bremsweg \(144\,\text{m}\). c) Die Geschwindigkeit betrug \(100\,\text{km/h}\).

- Betrachte, wie sich die Werte von einem Schritt zum nächsten verändern. - Was passiert, wenn du die Differenzen der Differenzen bildest? - Erinnerst du dich an die Merkmale linearer und quadratischer Verläufe?

1. Prüfung von Experiment A: Berechnung der Differenzen aufeinanderfolgender \(y\)-Werte: \(10{,}0 - 12{,}0 = -2{,}0\); \(8{,}0 - 10{,}0 = -2{,}0\); \(6{,}0 - 8{,}0 = -2{,}0\). Da die ersten Differenzen konstant sind, handelt es sich um eine lineare Funktion. 2. Prüfung von Experiment B: Berechnung der ersten Differenzen: \(4{,}5 - 2{,}0 = 2{,}5\); \(6{,}0 - 4{,}5 = 1{,}5\); \(6{,}5 - 6{,}0 = 0{,}5\). Die ersten Differenzen sind nicht konstant (keine lineare Funktion). 3. Berechnung der zweiten Differenzen für Experiment B: \(1{,}5 - 2{,}5 = -1{,}0\); \(0{,}5 - 1{,}5 = -1{,}0\). Da die zweiten Differenzen konstant sind, handelt es sich um eine quadratische Funktion.

Experiment A wird durch eine lineare Funktion beschrieben, da die Differenzen der \(y\)-Werte konstant \(-2{,}0\) betragen. Experiment B wird durch eine quadratische Funktion beschrieben, da erst die zweiten Differenzen (die Differenzen der Differenzen) mit \(-1{,}0\) konstant sind.

- Überlege, wie viele Punkte du mindestens benötigst, um die Parameter einer linearen bzw. einer quadratischen Funktion eindeutig zu bestimmen. - Setze die bekannten Koordinaten in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um ein Gleichungssystem zu erhalten. - Vergleiche die berechneten Funktionswerte für einen bestimmten Zeitpunkt mit dem tatsächlich gemessenen Wert, um die Genauigkeit zu beurteilen.

1. Aufstellen der linearen Funktion \(h_{lin}(t) = m \cdot t + c\): Aus \(h(0) = 50\) folgt \(c = 50\). Mit \(h(4) = 170\): \(170 = m \cdot 4 + 50 \Rightarrow 120 = 4m \Rightarrow m = 30\). Somit: \(h_{lin}(t) = 30t + 50\). 2. Aufstellen der quadratischen Funktion \(h_{quad}(t) = a \cdot t^2 + b \cdot t + c\): Aus \(h(0) = 50\) folgt \(c = 50\). Gleichungssystem mit den Punkten \((2|90)\) und \((4|170)\): I) \(4a + 2b + 50 = 90 \Rightarrow 4a + 2b = 40 \Rightarrow 2a + b = 20\) II) \(16a + 4b + 50 = 170 \Rightarrow 16a + 4b = 120 \Rightarrow 4a + b = 30\) Subtraktion II - I: \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\). Einsetzen in I: \(2(5) + b = 20 \Rightarrow 10 + b = 20 \Rightarrow b = 10\). Somit: \(h_{quad}(t) = 5t^2 + 10t + 50\). 3. Prüfung für \(t = 5\): \(h_{lin}(5) = 30 \cdot 5 + 50 = 200\,\text{cm}\). Abweichung: \(|222{,}5 - 200| = 22{,}5\,\text{cm}\). \(h_{quad}(5) = 5 \cdot 5^2 + 10 \cdot 5 + 50 = 125 + 50 + 50 = 225\,\text{cm}\). Abweichung: \(|222{,}5 - 225| = 2{,}5\,\text{cm}\). Das quadratische Modell beschreibt das Wachstum deutlich besser.

a) Die lineare Funktion lautet \(h_{lin}(t) = 30t + 50\), die quadratische Funktion lautet \(h_{quad}(t) = 5t^2 + 10t + 50\). b) Das quadratische Modell beschreibt den Wert nach 5 Wochen besser, da die berechnete Höhe (\(225\,\text{cm}\)) näher am Messwert (\(222{,}5\,\text{cm}\)) liegt als die des linearen Modells (\(200\,\text{cm}\)).

- Setze die gegebenen Entfernungswerte für die Variable in die Funktionsgleichung ein. - Überlege, an welcher Stelle einer Parabel der höchste Punkt erreicht wird und wie man diesen berechnet. - Was bedeutet es für die Höhe eines Objekts, wenn es den Boden berührt?

1. Berechnung der Höhen für Teilaufgabe a): Für \(x = 2\) ergibt sich \(f(2) = -0{,}25 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = -1 + 4 = 3\,\text{m}\). Für \(x = 6\) ergibt sich \(f(6) = -0{,}25 \cdot 6^2 + 2 \cdot 6 = -9 + 12 = 3\,\text{m}\). Da beide Werte identisch sind, ist die Bedingung erfüllt. 2. Bestimmung der maximalen Höhe für Teilaufgabe b): Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte zwischen den Stellen gleicher Höhe oder wird über \(x_s = -\frac{b}{2a}\) berechnet: \(x_s = -\frac{2}{2 \cdot (-0{,}25)} = \frac{2}{0{,}5} = 4\). Die maximale Höhe ist \(f(4) = -0{,}25 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 = -4 + 8 = 4\,\text{m}\). 3. Berechnung der Fußpunkte für Teilaufgabe c): Die Fußpunkte liegen dort, wo die Höhe \(0\) ist. Ansatz: \(-0{,}25x^2 + 2x = 0\). Ausklammern von \(x\) führt zu \(x \cdot (-0{,}25x + 2) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) (linker Fußpunkt) und \(x_2 = \frac{-2}{-0{,}25} = 8\) (rechter Fußpunkt). Die Entfernung beträgt \(8 - 0 = 8\,\text{m}\).

a) Die Höhe an beiden Stellen beträgt \(3\,\text{m}\). b) Die maximale Höhe beträgt \(4\,\text{m}\). c) Die Fußpunkte liegen \(8\,\text{m}\) auseinander, da die Nullstellen der Funktion bei \(x = 0\) und \(x = 8\) liegen.

- Was bedeutet es für den \(y\)-Wert, wenn wir die Breite am Boden suchen? - Wie hängen die \(x\)-Koordinaten mit der Gesamtbreite eines Objekts zusammen, wenn das Koordinatensystem mittig liegt? - Skizziere die Situation, um zu sehen, an welcher Stelle die Höhe des Transports die Tunnelwand berühren würde.

1. Berechnung der Nullstellen für die Bodenbreite: \(0 = -0{,}2x^2 + 5 \Rightarrow 0{,}2x^2 = 5 \Rightarrow x^2 = 25\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -5\) und \(x_2 = 5\). Die Breite beträgt \(5 - (-5) = 10\,\text{m}\). 2. Berechnung der Breite bei einer Höhe von \(4\,\text{m}\): \(4 = -0{,}2x^2 + 5 \Rightarrow 0{,}2x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 5\). 3. Die \(x\)-Koordinaten der Tunnelwände in dieser Höhe sind \(x \approx \pm 2{,}236\). 4. Die maximale Breite des Transports ist die Differenz dieser Werte: \(2 \cdot \sqrt{5} \approx 4{,}47\,\text{m}\).

a) Die Breite am Boden beträgt \(10\,\text{m}\). b) Der Transport darf maximal etwa \(4{,}47\,\text{m}\) breit sein.

- Könntest du den Ursprung des Koordinatensystems an den Anfang des Bogens legen? - Welche besonderen Punkte der Parabel sind durch die Breite der Brücke gegeben? - Wie hilft dir ein weiterer bekannter Punkt auf dem Bogen, die Form der Parabel genau festzulegen? - Wo befindet sich bei einer symmetrischen Parabel immer der höchste Punkt?

1. Da der Bogen bei \(x = 0\) und \(x = 40\) den Boden berührt, liegen die Nullstellen bei \(0\) und \(40\). Ansatz in der Nullstellenform: \(h(x) = a \cdot x \cdot (x - 40)\). 2. Einsetzen des Punktes \((10 | 15)\) zur Bestimmung von \(a\): \(15 = a \cdot 10 \cdot (10 - 40) = -300 \cdot a\). 3. Berechnung von \(a\): \(a = \frac{15}{-300} = -0{,}05\). Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = -0{,}05x^2 + 2x\). 4. Die maximale Höhe liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen bei \(x = 20\). 5. Berechnung der maximalen Höhe: \(h(20) = -0{,}05 \cdot 20^2 + 2 \cdot 20 = -20 + 40 = 20\). Die maximale Höhe beträgt \(20\,\text{m}\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = -0{,}05x^2 + 2x\). b) Die maximale Höhe des Bogens beträgt \(20\,\text{m}\).

- Welche Informationen aus dem Text entsprechen dem Scheitelpunkt der Parabel? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den Streckfaktor der Parabel zu berechnen? - Was bedeutet „auf dem Boden auftreffen“ für den Funktionswert? - Welche Form der Parabelgleichung ist am einfachsten zu verwenden, wenn der höchste Punkt bekannt ist?

1. Aufstellen der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s\) mit dem Scheitelpunkt \(S(2{,}5 \mid 4{,}25)\): \(f(x) = a(x - 2{,}5)^2 + 4{,}25\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid 2)\) zur Bestimmung von \(a\): \(2 = a(0 - 2{,}5)^2 + 4{,}25 \Rightarrow -2{,}25 = 6{,}25a \Rightarrow a = -0{,}36\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}36(x - 2{,}5)^2 + 4{,}25\). 4. Berechnung der Höhe bei \(x = 4{,}00\): \(f(4) = -0{,}36(4 - 2{,}5)^2 + 4{,}25 = -0{,}36 \cdot 2{,}25 + 4{,}25 = 3{,}44\,\text{m}\). 5. Berechnung der Nullstelle für die Wurfweite: \(0 = -0{,}36(x - 2{,}5)^2 + 4{,}25 \Rightarrow (x - 2{,}5)^2 = \frac{4{,}25}{0{,}36} \approx 11{,}81\). 6. Da nur die positive Entfernung sinnvoll ist: \(x = 2{,}5 + \sqrt{\frac{4{,}25}{0{,}36}} \approx 2{,}5 + 3{,}44 = 5{,}94\,\text{m}\).

a) \(f(x) = -0{,}36(x - 2{,}5)^2 + 4{,}25\) b) Der Ball befindet sich in einer Höhe von \(3{,}44\,\text{m}\). c) Der Ball würde nach ca. \(5{,}94\,\text{m}\) auf dem Boden auftreffen.

- Was bedeutet es für das Ergebnis, wenn die Variable in einer Formel im Quadrat steht? - Wie verändert sich ein Wert, wenn du ihn erst verdoppelst und dann quadrierst? - Wenn eine Wirkung (hier der Bremsweg) bei demselben Eingabewert doppelt so groß ist, wie muss sich dann der Faktor vor dem \(v^2\) ändern?

1. Berechnung der Bremswege durch Einsetzen in \(s(v) = 0{,}01 \cdot v^2\): Für \(v = 30\,\text{km/h}\) ergibt sich \(s = 0{,}01 \cdot 30^2 = 9\,\text{m}\). Für \(v = 60\,\text{km/h}\) ergibt sich \(s = 0{,}01 \cdot 60^2 = 36\,\text{m}\). 2. Vergleich der Ergebnisse: Da \(36 : 9 = 4\), vervierfacht sich der Bremsweg bei einer Verdopplung der Geschwindigkeit. Dies entspricht dem quadratischen Wachstum \(2^2 = 4\). 3. Aufstellen der neuen Gleichung: Da sich die Funktionswerte verdoppeln, wird der Proportionalitätsfaktor mit \(2\) multipliziert: \(s_{\text{nass}}(v) = 2 \cdot 0{,}01 \cdot v^2 = 0{,}02 \cdot v^2\).

a) Der Bremsweg beträgt \(9\,\text{m}\) bei \(30\,\text{km/h}\) und \(36\,\text{m}\) bei \(60\,\text{km/h}\). b) Bei Verdopplung der Geschwindigkeit vervierfacht sich der Bremsweg, da \(2^2 = 4\). c) \(s_{\text{nass}}(v) = 0{,}02 \cdot v^2\)

- Was bedeutet eine Erhöhung „um \(125\,\%\)“ für den Gesamtwert der Fläche im Vergleich zum Startwert? - Wenn du weißt, wie sich die Fläche vervielfacht, wie findest du dann heraus, wie sich die Seitenlänge verändert hat? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Streckfaktor von Längen und dem von Flächen.

1. Sei \(A_{\mathrm{alt}}\) die ursprüngliche Fläche. Eine Erhöhung um \(125\,\%\) bedeutet, dass die neue Fläche \(A_{\mathrm{neu}} = A_{\mathrm{alt}} + 1{,}25 \cdot A_{\mathrm{alt}} = 2{,}25 \cdot A_{\mathrm{alt}}\) beträgt. 2. Für die Seitenlängen gilt der Zusammenhang \(s_{\mathrm{neu}}^2 = 2{,}25 \cdot s_{\mathrm{alt}}^2\). 3. Um den Faktor \(k\) für die Seitenlänge zu finden, wird die Wurzel gezogen: \(k = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). 4. Ein Faktor von \(1{,}5\) entspricht einer Zunahme um \(0{,}5\), also einer Steigerung der Seitenlänge um \(50\,\%\).

Die Seitenlänge muss um \(50\,\%\) erhöht werden.

- Welche Variable steht für die Zeit und welche für die Entfernung? - Wie kannst du eine Gleichung nach der gesuchten Variable umstellen? - Um herauszufinden, wer „vorne“ liegt, musst du die Positionen zum selben Zeitpunkt vergleichen.

1. Berechnung für Fahrzeug A nach 5 s: \(s_A(5) = 1{,}2 \cdot 5^2 = 1{,}2 \cdot 25 = 30\,\text{m}\). 2. Berechnung des Zeitpunkts für \(120\,\text{m}\) bei Fahrzeug A: \(120 = 1{,}2t^2 \Rightarrow t^2 = 100 \Rightarrow t = 10\,\text{s}\) (negative Lösung entfällt). 3. Vergleich nach 10 s: \(s_A(10) = 1{,}2 \cdot 10^2 = 120\,\text{m}\). Für Fahrzeug B: \(s_B(10) = 0{,}8 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 = 80 + 20 = 100\,\text{m}\). 4. Da \(120\,\text{m} > 100\,\text{m}\), liegt Fahrzeug A nach 10 Sekunden vorne.

a) Fahrzeug A hat \(30\,\text{m}\) zurückgelegt. b) Nach \(10\,\text{s}\) hat Fahrzeug A die \(120\,\text{m}\) erreicht. c) Fahrzeug A liegt vorne, da es nach \(10\,\text{s}\) bereits \(120\,\text{m}\) weit gefahren ist, während Fahrzeug B erst \(100\,\text{m}\) erreicht hat.

- Was bedeutet es für die Rechnung, wenn der Springer nach einer gewissen Zeit wieder auf derselben Höhe ist? - Parabeln sind symmetrisch. Wo muss also zeitlich gesehen der höchste Punkt liegen, wenn zwei Zeitpunkte mit gleicher Höhe bekannt sind? - Wenn du die Funktionsgleichung vollständig hast, wie findest du den höchsten Punkt der Flugbahn?

1. Bestimmung von \(v_0\): Mit \(h_0 = 10\) und der Bedingung \(h(0{,}8) = 10\) ergibt sich \(10 = -5 \cdot 0{,}8^2 + v_0 \cdot 0{,}8 + 10\). 2. Auflösen nach \(v_0\): \(0 = -3{,}2 + 0{,}8v_0 \implies 3{,}2 = 0{,}8v_0 \implies v_0 = 4\). Die Funktion ist \(h(t) = -5t^2 + 4t + 10\). 3. Berechnung des Scheitelpunkts: Die Zeit bis zum Erreichen der maximalen Höhe liegt in der Mitte zwischen den Zeitpunkten gleicher Höhe (hier \(t=0\) und \(t=0{,}8\)), also bei \(t_{max} = 0{,}4\,\text{s}\) (alternativ über \(t = \frac{-b}{2a}\)). 4. Maximale Höhe: \(h(0{,}4) = -5 \cdot 0{,}4^2 + 4 \cdot 0{,}4 + 10 = -0{,}8 + 1{,}6 + 10 = 10{,}8\). Die maximale Höhe beträgt \(10{,}8\,\text{m}\).

Der Springer erreicht eine maximale Höhe von \(10{,}8\,\text{m}\).

- Welcher Wert von \(x\) entspricht dem Moment des Abwurfs? - Wo befindet sich der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel? - Wie kannst du die Höhe des Balls an einer ganz bestimmten Stelle berechnen? - Was muss für die Höhe des Balls gelten, damit er über ein Hindernis fliegt?

1. Berechnung der Abwurfhöhe: Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktion: \(h(0) = -0{,}1 \cdot 0^2 + 1 \cdot 0 + 2 = 2\). Der Ball wird aus \(2\,\text{m}\) Höhe abgeworfen. 2. Bestimmung der maximalen Höhe: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-0{,}1)} = 5\). Die maximale Höhe ist der Funktionswert am Scheitelpunkt: \(h(5) = -0{,}1 \cdot 5^2 + 5 + 2 = -2{,}5 + 5 + 2 = 4{,}5\). Die maximale Höhe beträgt \(4{,}5\,\text{m}\). 3. Prüfung des Hindernisses: Berechnung der Ballhöhe bei \(x = 9\): \(h(9) = -0{,}1 \cdot 9^2 + 9 + 2 = -8{,}1 + 9 + 2 = 2{,}9\). Da \(2{,}9\,\text{m} < 3\,\text{m}\), überfliegt der Ball das Hindernis nicht.

a) Der Ball wird aus einer Höhe von \(2\,\text{m}\) abgeworfen. b) Die maximale Höhe beträgt \(4{,}5\,\text{m}\). c) Nein, der Ball überfliegt das Hindernis nicht, da er in \(9\,\text{m}\) Entfernung nur eine Höhe von \(2{,}9\,\text{m}\) hat.

- Vergleiche die beiden Faktoren in den Funktionsgleichungen, um das Verhältnis der Bremswege direkt zu sehen. - Berechne zuerst den konkreten Wert für die nasse Straße und nutze diesen dann als Zielwert für die trockene Straße. - Wie berechnet man den prozentualen Unterschied zwischen zwei Werten?

1. Bremsweg bei \(50\,\text{km/h}\): \(s_t(50) = 0{,}005 \cdot 2\,500 = 12{,}5\,\text{m}\) und \(s_n(50) = 0{,}008 \cdot 2\,500 = 20\,\text{m}\). 2. Prozentualer Vergleich: \(\frac{20 - 12{,}5}{12{,}5} = \frac{7{,}5}{12{,}5} = 0{,}6\). Der Bremsweg ist auf nassem Asphalt um \(60\,\%\) länger. Alternativ: \(\frac{0{,}008}{0{,}005} = 1{,}6\). 3. Bremsweg nass bei \(80\,\text{km/h}\): \(s_n(80) = 0{,}008 \cdot 6\,400 = 51{,}2\,\text{m}\). 4. Geschwindigkeit auf trockener Straße für \(51{,}2\,\text{m}\): \(51{,}2 = 0{,}005 \cdot v^2 \Rightarrow v^2 = \frac{51{,}2}{0{,}005} = 10\,240 \Rightarrow v = \sqrt{10\,240} \approx 101{,}19\,\text{km/h}\).

a) Auf trockener Straße beträgt der Bremsweg \(12{,}5\,\text{m}\), auf nassem Asphalt \(20\,\text{m}\). Der Bremsweg verlängert sich um \(60\,\%\). b) Der Bremsweg bei \(80\,\text{km/h}\) auf nasser Straße (\(51{,}2\,\text{m}\)) entspricht einer Geschwindigkeit von ca. \(101{,}2\,\text{km/h}\) auf trockener Straße.

- Was bedeutet es für die Steigung des Graphen, wenn das Wachstum „rasanter“ wird? - Setze den gesuchten Zeitpunkt in beide Funktionsgleichungen ein, um die Vorhersagen zu vergleichen. - Überlege, welche Form der Graph einer linearen Funktion im Vergleich zu einer Parabel hat.

1. Lineare Funktion \(f(x) = m \cdot x\): Mit \((10|80)\): \(80 = m \cdot 10 \Rightarrow m = 8\). Somit: \(f(x) = 8x\). 2. Quadratische Funktion \(g(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x\): Punkt \((5|25)\): \(25a + 5b = 25 \Rightarrow 5a + b = 5\) Punkt \((10|80)\): \(100a + 10b = 80 \Rightarrow 10a + b = 8\) Subtraktion: \((10a + b) - (5a + b) = 8 - 5 \Rightarrow 5a = 3 \Rightarrow a = 0{,}6\). Einsetzen: \(5(0{,}6) + b = 5 \Rightarrow 3 + b = 5 \Rightarrow b = 2\). Somit: \(g(x) = 0{,}6x^2 + 2x\). 3. Prognose für \(x = 12\): \(f(12) = 8 \cdot 12 = 96\) (Tausend Nutzer). \(g(12) = 0{,}6 \cdot 12^2 + 2 \cdot 12 = 0{,}6 \cdot 144 + 24 = 86{,}4 + 24 = 110{,}4\) (Tausend Nutzer). Bei rasantem Wachstum (beschleunigte Zunahme) ist das quadratische Modell realistischer, da die Zuwachsraten beim linearen Modell konstant bleiben, während sie beim quadratischen Modell steigen.

a) \(f(x) = 8x\). b) \(g(x) = 0{,}6x^2 + 2x\). c) Für Monat 12 prognostiziert das lineare Modell \(96\,000\) Nutzer und das quadratische Modell \(110\,400\) Nutzer. Das quadratische Modell ist für beschleunigtes Wachstum realistischer.

- Was bedeutet „weder Gewinn noch Verlust“ mathematisch für den Funktionswert? - Welche Eigenschaft der Parabel hilft dir, den optimalen Preis für den maximalen Gewinn zu finden? - Was passiert in einem Geschäft, wenn man Produkte verschenkt (Preis gleich Null)?

1. Berechnung der Nullstellen für Teilaufgabe a): Ansatz \(G(x) = 0\). \(-2x^2 + 60x - 400 = 0 \Rightarrow x^2 - 30x + 200 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 15 \pm \sqrt{15^2 - 200} = 15 \pm \sqrt{25}\). Somit sind \(x_1 = 10\) und \(x_2 = 20\). Die beiden Break-even-Preise liegen bei \(10\,\text{€}\) und \(20\,\text{€}\). 2. Bestimmung des Gewinnmaximums für Teilaufgabe b): Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(x_s = -\frac{60}{2 \cdot (-2)} = 15\). Der maximale Gewinn beträgt \(G(15) = -2 \cdot 15^2 + 60 \cdot 15 - 400 = -450 + 900 - 400 = 50\,\text{€}\). 3. Interpretation für Teilaufgabe c): \(G(0)\) ist der Gewinn bei einem Verkaufspreis von \(0\,\text{€}\). Der Wert \(-400\) bedeutet, dass das Modell bei einem Verkaufspreis von \(0\,\text{€}\) einen Verlust von \(400\,\text{€}\) prognostiziert. Aus der Funktionsgleichung allein lässt sich nicht schließen, dass dieser Betrag ausschließlich Fixkosten darstellt.

a) Die Break-even-Preise betragen \(10\,\text{€}\) und \(20\,\text{€}\). b) Bei einem Preis von \(15\,\text{€}\) wird der maximale Gewinn von \(50\,\text{€}\) erzielt. c) Das Modell prognostiziert bei einem Verkaufspreis von \(0\,\text{€}\) einen Verlust von \(400\,\text{€}\). Ob dieser Betrag Fixkosten entspricht, ist aus dem Modell nicht ableitbar.

- Welcher Teil der Scheitelpunktkoordinaten gibt die Höhe an, welcher die Entfernung? - Was bedeutet eine Nullstelle im Kontext eines Sprungs? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten auf der x-Achse? - Was meint man im Alltag mit „flacher“ im Vergleich von zwei Kurven? Hat das etwas mit der Steigung oder dem Streckfaktor zu tun?

1. Bestimmung der Scheitelpunkte: Für den ersten Sprung ist \(S_f(2|2)\), die maximale Höhe beträgt \(2\,\text{m}\). Für den zweiten Sprung ist \(S_g(3|1{,}8)\), die maximale Höhe beträgt \(1{,}8\,\text{m}\). Der erste Sprung erreicht die größere maximale Höhe. 2. Berechnung der Nullstellen für die Sprungweite: Für \(f(x)\): \(0 = -0{,}5(x-2)^2 + 2 \Rightarrow (x-2)^2 = 4 \Rightarrow x-2 = \pm 2\). Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = 4\). Die Weite beträgt \(4\,\text{m}\). Für \(g(x)\): \(0 = -0{,}2(x-3)^2 + 1{,}8 \Rightarrow (x-3)^2 = 9 \Rightarrow x-3 = \pm 3\). Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = 6\). Die Weite beträgt \(6\,\text{m}\). 3. Vergleich: Der zweite Sprung ist flacher, da er eine geringere maximale Höhe (\(1{,}8\,\text{m} < 2\,\text{m}\)) erreicht, aber eine größere Weite (\(6\,\text{m} > 4\,\text{m}\)) erzielt. Mathematisch ist der Betrag des Streckfaktors \(|a|\) bei \(g(x)\) kleiner (\(0{,}2 < 0{,}5\)).

a) Sprung 1 erreicht die größere maximale Höhe (\(2\,\text{m}\) gegenüber \(1{,}8\,\text{m}\)). b) Sprungweite 1: \(4\,\text{m}\); Sprungweite 2: \(6\,\text{m}\). c) Sprung 2 ist flacher, da er bei geringerer Maximalhöhe eine größere Weite besitzt.

- Wenn sich zwei Kurven schneiden, müssen ihre Funktionswerte an dieser Stelle gleich sein. - Wie löst man eine quadratische Gleichung, wenn kein absolutes Glied (Zahl ohne \(x\)) vorhanden ist? - Erinnerst du dich, wie man die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts aus der allgemeinen Form \(ax^2 + bx + c\) berechnet? - Was gibt der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts in diesem Sachzusammenhang an?

1. Gleichsetzen der Funktionen zur Berechnung des Schnittpunktes: \(-0{,}5x^2 + 2x + 1 = -x^2 + 3x + 1\). 2. Umformen der Gleichung: \(0{,}5x^2 - x = 0\). 3. Ausklammern: \(x(0{,}5x - 1) = 0\). Daraus folgen \(x_1 = 0\) (Startpunkt) und \(x_2 = 2\). 4. Einsetzen von \(x = 2\) in eine der Gleichungen: \(f(2) = -0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = -2 + 4 + 1 = 3\). Der Kreuzungspunkt liegt bei \((2 \mid 3)\). 5. Bestimmung der Maxima: Der Scheitelpunkt von \(f\) liegt bei \(x = \frac{-2}{2 \cdot (-0{,}5)} = 2\) mit \(y = 3\). Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(x = \frac{-3}{2 \cdot (-1)} = 1{,}5\) mit \(g(1{,}5) = -1{,}5^2 + 3 \cdot 1{,}5 + 1 = 3{,}25\). 6. Vergleich: Da \(3{,}25 > 3\), erreicht Strahl B die größere Höhe.

a) Die Wasserstrahlen kreuzen sich im Punkt \((2 \mid 3)\). b) Strahl B erreicht mit \(3{,}25\,\text{m}\) eine größere maximale Höhe als Strahl A (\(3\,\text{m}\)).

- Was passiert mathematisch zum Zeitpunkt des Abwurfs, also bei einer horizontalen Entfernung von Null? - Wie findest du die höchste Stelle einer Parabel, wenn die Funktionsgleichung in der allgemeinen Form gegeben ist? - Wenn eine bestimmte Höhe gesucht ist, musst du die Gleichung gleich diesem Wert setzen. - Es gibt oft zwei Stellen für eine bestimmte Höhe – welche passt zum „Sinkflug“?

1. Interpretation: Der Wert \(h(0) = 2\) gibt die Abwurfhöhe des Balls an, also \(2\,\text{m}\). 2. Berechnung des Scheitelpunkts: Die \(x\)-Koordinate des Scheitels liegt bei \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{1{,}2}{2 \cdot (-0{,}2)} = 3\). 3. Einsetzen von \(x = 3\) in die Funktion: \(h(3) = -0{,}2 \cdot 3^2 + 1{,}2 \cdot 3 + 2 = -1{,}8 + 3{,}6 + 2 = 3{,}8\). Die maximale Höhe beträgt \(3{,}8\,\text{m}\). 4. Berechnung der Entfernung für die Korbhöhe: Setze \(h(x) = 3{,}05\): \(3{,}05 = -0{,}2x^2 + 1{,}2x + 2 \Rightarrow 0{,}2x^2 - 1{,}2x + 1{,}05 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel nach Division durch \(0{,}2\)): \(x^2 - 6x + 5{,}25 = 0 \Rightarrow x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{3^2 - 5{,}25} = 3 \pm \sqrt{3{,}75}\). 6. Ergebnisse: \(x_1 \approx 3 - 1{,}94 = 1{,}06\) (Steigflug) und \(x_2 \approx 3 + 1{,}94 = 4{,}94\) (Sinkflug). Da der Ball im Sinkflug in den Korb fallen soll, ist die Entfernung ca. \(4{,}94\,\text{m}\).

a) Der Wert 2 gibt die Abwurfhöhe von \(2\,\text{m}\) an. b) Die maximale Höhe des Balls beträgt \(3{,}8\,\text{m}\). c) Der Korb muss sich in einer horizontalen Entfernung von ca. \(4{,}94\,\text{m}\) befinden.

- Achte genau auf den Unterschied zwischen Radius und Durchmesser. - Setze die bekannten Werte für Masse und Radius in die allgemeine Formel ein, um die Unbekannte zu finden. - Überlege dir, wie sich das Quadrat einer Zahl verhält: Welchen Faktor muss der Radius haben, damit am Ende eine \(4\) als Multiplikator für die gesamte Masse herauskommt?

1. Bestimmung von \(k\): Einsetzen der Werte \(m = 1{,}2\) und \(r = 10\) in \(m = k \cdot r^2\) führt zu \(1{,}2 = k \cdot 100\). Daraus folgt \(k = 0{,}012\,\frac{\text{kg}}{\text{cm}^2}\). 2. Berechnung für Durchmesser \(30\,\text{cm}\): Der Radius beträgt \(r = 15\,\text{cm}\). Einsetzen in die Formel: \(m(15) = 0{,}012 \cdot 15^2 = 0{,}012 \cdot 225 = 2{,}7\,\text{kg}\). 3. Analyse der Massenvervielfachung: Da \(m\) proportional zu \(r^2\) ist, führt eine Vervierfachung der Masse (\(\cdot 4\)) zu einer Veränderung des Radius um den Faktor \(\sqrt{4} = 2\). Der Radius muss also verdoppelt werden.

a) \(k = 0{,}012\,\frac{\text{kg}}{\text{cm}^2}\) (bzw. \(m(r) = 0{,}012 \cdot r^2\) für \(r\) in \(\text{cm}\) und \(m\) in \(\text{kg}\)) b) Die Masse beträgt \(2{,}7\,\text{kg}\). c) Der Radius muss verdoppelt werden, da die Masse quadratisch vom Radius abhängt und \(2^2 = 4\) gilt.

- Nutze die Formel für den Flächeninhalt des Quadrats und setze die veränderten Werte ein. - Was passiert mit einem Faktor in einer Klammer, wenn die Klammer quadriert wird? - Denke an den Unterschied zwischen linearem und quadratischem Wachstum.

1. Teil a): Der ursprüngliche Flächeninhalt ist \(A = a^2\). Bei Verdopplung der Seite ist der neue Inhalt \(A_{\mathrm{neu}} = (2a)^2 = 4a^2\). Der Flächeninhalt vervierfacht sich also. 2. Teil b): Gesucht ist \(k\) mit \((k \cdot a)^2 = 2 \cdot a^2\). Dies führt auf \(k^2 = 2\), also \(k = \sqrt{2} \approx 1{,}41\). 3. Teil c): Die Behauptung ist falsch. Bei einer Vergrößerung der Seite um \(50\,\%\) wird die Seite mit \(1{,}5\) multipliziert. Die Fläche verändert sich um den Faktor \(1{,}5^2 = 2{,}25\). Das entspricht einer Zunahme um \(125\,\%\), nicht um \(50\,\%\). Der Zusammenhang zwischen Länge und Fläche bei einer quadratischen Form ist nicht proportional, sondern quadratisch.

a) Der Flächeninhalt vervierfacht sich (\(A_{\mathrm{neu}} = 4a^2\)). b) Der Faktor beträgt \(k \approx 1{,}41\). c) Die Behauptung ist falsch; die Fläche vergrößert sich bei einer Seitenlängenzunahme von \(50\,\%\) tatsächlich um \(125\,\%\).

- Findest du zuerst heraus, welcher Wert für \(p\) überhaupt zu einer Zunahme von \(44\,\%\) führt? - Was wäre der neue Prozentsatz für die Seitenlänge, wenn du \(p\) verdoppelst? - Berechne nun die neue Fläche mit diesem verdoppelten Prozentsatz. - Vergleiche dein Ergebnis mit dem Doppelten der ersten Flächenzunahme.

1. Berechnung des ursprünglichen Prozentsatzes \(p\): Aus \((1 + p)^2 = 1{,}44\) folgt \(1 + p = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2\), woraus sich \(p = 0{,}2 = 20\,\%\) ergibt. 2. Anwendung des verdoppelten Prozentsatzes \(2p = 40\,\%\): Der neue Wachstumsfaktor der Seitenlänge ist \(1{,}4\). 3. Berechnung der neuen Flächenzunahme: \((1{,}4)^2 = 1{,}96\). Dies entspricht einer Zunahme von \(96\,\%\). 4. Vergleich und Schlussfolgerung: Da \(96\,\% \neq 88\,\%\), führt die Verdopplung des Prozentsatzes der Seitenlänge nicht zu einer Verdopplung der Flächenzunahme; der Zuwachs ist bei \(2p\) sogar überproportional höher.

Nein, eine Verdopplung des Prozentsatzes führt nicht zu einer Verdopplung der Flächenzunahme. Bei einer Verdopplung auf \(2p = 40\,\%\) steigt die Fläche um \(96\,\%\) (statt \(88\,\%\)).

- Überlege dir, wie viele Gegner eine einzelne Mannschaft hat. - Wie viele Spiele bestreitet eine Mannschaft insgesamt, wenn es Hin- und Rückspiele gibt? - Was passiert, wenn eine neue Mannschaft dazukommt? Gegen wen muss sie alles spielen?

1. Herleitung: Jede der \(n\) Mannschaften spielt gegen \(n-1\) andere Mannschaften. Da es Hin- und Rückspiele gibt, spielt jede Mannschaft \(2 \cdot (n-1)\) Spiele. Insgesamt werden dabei \(n \cdot 2(n-1)\) Mannschaftseinsätze gezählt. Da jedes Spiel bei beiden beteiligten Mannschaften gezählt wird, wird durch \(2\) geteilt: \(S(n) = \frac{n \cdot 2(n-1)}{2} = n(n-1) = n^2 - n\). 2. Berechnung der Mannschaften für \(S=240\): \(n^2 - n = 240 \Rightarrow n^2 - n - 240 = 0\). 3. Anwendung der p-q-Formel: \(n_{1,2} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 240} = 0{,}5 \pm \sqrt{240{,}25} = 0{,}5 \pm 15{,}5\). Dies ergibt \(n_1 = 16\) und \(n_2 = -15\). Die Liga besteht aus 16 Mannschaften. 4. Zuwachs bei einer zusätzlichen Mannschaft (\(n+1\)): Die neue Mannschaft muss gegen alle \(n\) vorhandenen Mannschaften jeweils zweimal spielen. Der Zuwachs beträgt also \(2n\) Spiele. Mathematisch: \(S(n+1) - S(n) = [(n+1)^2 - (n+1)] - [n^2 - n] = n^2 + 2n + 1 - n - 1 - n^2 + n = 2n\).

a) Jede der \(n\) Mannschaften spielt gegen die anderen \(n-1\) Teams zweimal. Da jedes Spiel so doppelt gezählt wird, gilt \(S(n)=\frac{n\cdot2(n-1)}{2}=n(n-1)=n^2-n\). b) Es spielten 16 Mannschaften in der Liga. c) Es kommen \(2n\) zusätzliche Spiele hinzu.

- Was bedeutet „Austritt aus der Düse“ für den Wert von \(x\)? - Wie findest du den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion? - Was gilt für die Höhe \(h(x)\), wenn das Wasser auf die Oberfläche trifft? - Welche mathematische Methode hilft dir, die Stellen zu finden, an denen die Höhe Null ist?

1. Austrittshöhe: Funktionswert für \(x = 0\) berechnen: \(h(0) = 1{,}25\). Austrittshöhe ist \(1{,}25\,\text{m}\). 2. Höchster Punkt (Scheitelpunkt): \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-0{,}25)} = \frac{1}{0{,}5} = 2\). Die Höhe am Scheitelpunkt ist \(h(2) = -0{,}25 \cdot 2^2 + 2 + 1{,}25 = -1 + 2 + 1{,}25 = 2{,}25\). Der höchste Punkt liegt bei \((2 \mid 2{,}25)\). 3. Auftreffpunkt (Nullstelle): \(0 = -0{,}25x^2 + x + 1{,}25\). Multiplikation mit \(-4\) ergibt \(x^2 - 4x - 5 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 5} = 2 \pm 3\). 4. Ergebnisse der Nullstellen: \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Da nur positive Entfernungen sinnvoll sind, trifft der Strahl in \(5\,\text{m}\) Entfernung auf.

a) Der Strahl tritt in einer Höhe von \(1{,}25\,\text{m}\) aus. b) Der höchste Punkt liegt bei \(x = 2\,\text{m}\) in einer Höhe von \(2{,}25\,\text{m}\). c) Der Wasserstrahl trifft in \(5\,\text{m}\) Entfernung von der Düse auf die Wasseroberfläche.

- Berechne zuerst den höchsten Punkt für den Ball, dessen Gleichung bereits vollständig bekannt ist. - Wie kannst du die Information über den Zeitpunkt des höchsten Punktes nutzen, um die fehlende Geschwindigkeit bei Ball B zu berechnen? - Vergleiche am Ende die beiden berechneten Maximalwerte.

1. Maximale Höhe Ball A: Der Scheitelpunkt liegt bei \(t = \frac{-20}{2 \cdot (-5)} = 2\,\text{s}\). Einsetzen in die Funktion: \(h_A(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 + 2 = -20 + 40 + 2 = 22\,\text{m}\). 2. Bestimmung von \(v_0\) für Ball B: Der Scheitelpunkt liegt bei \(t = 1{,}5\,\text{s}\). Aus der Formel \(t = \frac{-v_0}{2a}\) folgt \(1{,}5 = \frac{-v_0}{-10}\), also \(v_0 = 15\). 3. Maximale Höhe Ball B: Einsetzen der Werte in die Funktionsgleichung \(h_B(t) = -5t^2 + 15t + 1\): \(h_B(1{,}5) = -5 \cdot 1{,}5^2 + 15 \cdot 1{,}5 + 1 = -11{,}25 + 22{,}5 + 1 = 12{,}25\,\text{m}\). 4. Vergleich: Da \(22\,\text{m} > 12{,}25\,\text{m}\), erreicht Ball A die größere maximale Höhe.

Ball A erreicht mit einer maximalen Höhe von \(22\,\text{m}\) einen höheren Punkt als Ball B, der nur eine maximale Höhe von \(12{,}25\,\text{m}\) erreicht.

- Du hast drei Punkte gegeben. Kannst du daraus ein Gleichungssystem für die Unbekannten \(a\), \(b\) und \(c\) aufstellen? - Wie lässt sich ein System aus drei Gleichungen schrittweise auf zwei Gleichungen reduzieren? - Was bedeutet die Landung mathematisch für den Wert der Höhe? - Welches Verfahren kennst du, um die Nullstellen einer quadratischen Gleichung zu finden?

1. Ansatz \(h(t) = at^2 + bt + c\) und Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(a + b + c = 15\) (II) \(4a + 2b + c = 18\) (III) \(9a + 3b + c = 17\) 2. Differenzen bilden: (II) - (I): \(3a + b = 3\) (III) - (II): \(5a + b = -1\) 3. \(a\) und \(b\) bestimmen: \((5a + b) - (3a + b) = -1 - 3 \implies 2a = -4 \implies a = -2\). Einsetzen in \(3a + b = 3 \implies 3(-2) + b = 3 \implies b = 9\). 4. \(c\) bestimmen: \(-2 + 9 + c = 15 \implies 7 + c = 15 \implies c = 8\). Die Funktion ist \(h(t) = -2t^2 + 9t + 8\). 5. Starthöhe bei \(t = 0\): \(h(0) = 8\). Die Drohne startete aus \(8\,\text{m}\) Höhe. 6. Nullstellen berechnen: \(-2t^2 + 9t + 8 = 0\). Anwendung der Mitternachtsformel: \(t = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 8}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 64}}{-4} = \frac{-9 \pm \sqrt{145}}{-4}\). 7. Relevante Lösung (\(t > 0\)): \(t \approx \frac{-9 - 12{,}04}{-4} \approx 5{,}26\). Die Drohne landet nach etwa \(5{,}26\,\text{s}\).

a) \(h(t) = -2t^2 + 9t + 8\) b) Die Drohne startete aus einer Höhe von \(8\,\text{m}\). c) Die Drohne landet nach ca. \(5{,}26\,\text{s}\).

- Wie kannst du die Informationen über die Spannweite und die Höhe als Punkte im Koordinatensystem ausdrücken? - Was bedeutet eine Spannweite von \(40\,\text{m}\) für die Position der Punkte auf der x-Achse, wenn die Mitte bei \(0\) liegt? - Wenn ein Fahrzeug eine bestimmte Breite hat und mittig fährt, wie weit ragen seine Kanten dann nach links und rechts? - Welche Höhe des Bogens ist entscheidend, damit ein breites Fahrzeug nicht anstößt?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Da der höchste Punkt bei \((0|10)\) liegt, ist \(c = 10\). Die Spannweite von \(40\,\text{m}\) bedeutet Nullstellen bei \(x = 20\) und \(x = -20\). Einsetzen von \((20|0)\): \(0 = a \cdot 20^2 + 10 \implies 400a = -10 \implies a = -0{,}025\). Die Gleichung lautet \(f(x) = -0{,}025x^2 + 10\). 2. Berechnung der Höhe bei \(x = 15\): \(f(15) = -0{,}025 \cdot 15^2 + 10 = -0{,}025 \cdot 225 + 10 = -5{,}625 + 10 = 4{,}375\). Die Höhe beträgt \(4{,}375\,\text{m}\). 3. Prüfung des Schwertransports: Bei einer Breite von \(6\,\text{m}\) reicht der Transport von \(x = -3\) bis \(x = 3\). Die kritische Höhe des Bogens an den Außenkanten des Transports ist \(f(3) = -0{,}025 \cdot 3^2 + 10 = -0{,}225 + 10 = 9{,}775\). Da \(9{,}775\,\text{m} > 9{,}5\,\text{m}\) ist, passt der Transport unter dem Bogen durch.

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}025x^2 + 10\). b) In \(15\,\text{m}\) Abstand von der Mitte ist der Bogen \(4{,}375\,\text{m}\) hoch. c) Ja, der Transport kann passieren. An den Außenkanten des Transports (\(3\,\text{m}\) von der Mitte) ist der Bogen noch ca. \(9{,}78\,\text{m}\) hoch, was über der Fahrzeughöhe von \(9{,}5\,\text{m}\) liegt.

- Wie findet man den höchsten Punkt einer Flugbahn, wenn die Funktionsgleichung gegeben ist? - Was bedeutet die Nullstelle einer solchen Funktion im Sachzusammenhang „Kugelstoßen“? - Um die \(p\)-\(q\)-Formel anzuwenden, muss vor dem \(x^2\) eine \(1\) stehen. Wie formst du die Gleichungen entsprechend um? - Da die Kugel bei \(x=0\) abgestoßen wird, ist nur die positive Nullstelle für die Weite relevant.

1. Maximale Höhe für Teilaufgabe a) (Scheitelpunktform oder \(x_s = -b/2a\)): Stoßer A: \(x_s = -\frac{0{,}6}{2 \cdot (-0{,}05)} = \frac{0{,}6}{0{,}1} = 6\). \(h_A(6) = -0{,}05 \cdot 36 + 0{,}6 \cdot 6 + 2 = -1{,}8 + 3{,}6 + 2 = 3{,}8\,\text{m}\). Stoßer B: \(x_s = -\frac{0{,}5}{2 \cdot (-0{,}04)} = \frac{0{,}5}{0{,}08} = 6{,}25\). \(h_B(6{,}25) = -0{,}04 \cdot 39{,}0625 + 0{,}5 \cdot 6{,}25 + 2{,}1 = -1{,}5625 + 3{,}125 + 2{,}1 = 3{,}6625\,\text{m}\). Stoßer A erreicht eine größere maximale Höhe (\(3{,}8\,\text{m} > 3{,}6625\,\text{m}\)). 2. Wurfweite für Teilaufgabe b) (Nullstellen mit \(p\)-\(q\)-Formel): Stoßer A: \(-0{,}05x^2 + 0{,}6x + 2 = 0 \implies x^2 - 12x - 40 = 0\). \(x = 6 \pm \sqrt{36 + 40} = 6 \pm \sqrt{76} \approx 6 + 8{,}72 = 14{,}72\,\text{m}\). Stoßer B: \(-0{,}04x^2 + 0{,}5x + 2{,}1 = 0 \implies x^2 - 12{,}5x - 52{,}5 = 0\). \(x = 6{,}25 \pm \sqrt{39{,}0625 + 52{,}5} = 6{,}25 \pm \sqrt{91{,}5625} = 6{,}25 + 9{,}5688 \approx 15{,}82\,\text{m}\). Stoßer B stößt weiter (\(15{,}82\,\text{m} > 14{,}72\,\text{m}\)).

a) Stoßer A erreicht mit \(3{,}8\,\text{m}\) eine größere maximale Höhe als Stoßer B (\(3{,}6625\,\text{m}\)). b) Stoßer B stößt weiter. Seine Kugel landet bei ca. \(15{,}82\,\text{m}\), während die Kugel von Stoßer A nach ca. \(14{,}72\,\text{m}\) den Boden berührt.

- Der Anhalteweg besteht aus zwei unterschiedlichen mathematischen Komponenten. Betrachte sie einzeln. - Was passiert mit einem Term, wenn du für die Variable das Doppelte einsetzt? Nutze Klammern beim Einsetzen von \((2v)\). - Achte darauf, ob nach dem gesamten Anhalteweg oder nur nach dem Bremsweg gefragt ist.

1. Berechnung für \(v = 130\,\text{km/h}\): \(s_A(130) = 0{,}3 \cdot 130 + 0{,}007 \cdot 130^2 = 39 + 0{,}007 \cdot 16\,900 = 39 + 118{,}3 = 157{,}3\,\text{m}\). 2. Untersuchung der Verdopplung: Reaktionsweg \(R(v) = 0{,}3v \Rightarrow R(2v) = 0{,}3 \cdot (2v) = 2 \cdot (0{,}3v)\). Der Reaktionsweg verdoppelt sich. Bremsweg \(B(v) = 0{,}007v^2 \Rightarrow B(2v) = 0{,}007 \cdot (2v)^2 = 0{,}007 \cdot 4v^2 = 4 \cdot (0{,}007v^2)\). Der Bremsweg vervierfacht sich. 3. Bestimmung der Geschwindigkeit für \(B(v) = 100\,\text{m}\): \(0{,}007 \cdot v^2 = 100 \Rightarrow v^2 = \frac{100}{0{,}007} \approx 14\,285{,}71 \Rightarrow v = \sqrt{14\,285{,}71} \approx 119{,}52\,\text{km/h}\).

a) Der Anhalteweg bei \(130\,\text{km/h}\) beträgt \(157{,}3\,\text{m}\). b) Bei einer Verdopplung der Geschwindigkeit verdoppelt sich der Reaktionsweg, während sich der Bremsweg vervierfacht. c) Der Bremsweg beträgt bei ca. \(119{,}5\,\text{km/h}\) genau \(100\,\text{m}\).

- Wo in einer Parabel befindet sich der höchste Punkt? - Was gilt für die Höhe \(h(x)\), wenn der Ball den Boden berührt? - Welcher Parameter in der Funktionsgleichung gibt die Höhe an der Stelle \(x = 0\) an?

1. Bestimmung der maximalen Höhe (Scheitelpunkt): Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts mit \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-0{,}5)} = 2\). Berechnung der Höhe: \(h(2) = -0{,}5(2)^2 + 2(2) + 2{,}5 = -2 + 4 + 2{,}5 = 4{,}5\,\text{m}\). 2. Bestimmung der Wurfweite (Nullstelle): Setze \(h(x) = 0 \Rightarrow -0{,}5x^2 + 2x + 2{,}5 = 0\). Multiplikation mit \(-2\): \(x^2 - 4x - 5 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung: \((x-5)(x+1) = 0\). Die relevante Nullstelle liegt bei \(x = 5\). Die Wurfweite beträgt \(5\,\text{m}\). 3. Anpassung der Anfangshöhe: Die Anfangshöhe entspricht dem \(y\)-Achsenabschnitt \(c\). Wenn diese um \(1\,\text{m}\) steigt, ändert sich \(c\) von \(2{,}5\) auf \(3{,}5\). Die neue Gleichung ist \(h_{neu}(x) = -0{,}5x^2 + 2x + 3{,}5\).

a) Die maximale Höhe beträgt \(4{,}5\,\text{m}\). b) Die Wurfweite beträgt \(5\,\text{m}\). c) Die neue Funktionsgleichung lautet \(h_{\mathrm{neu}}(x) = -0{,}5x^2 + 2x + 3{,}5\).

- Achte darauf, den Achsenabschnitt (den Wert bei \(t=0\)) direkt in deine Funktionsgleichungen einzubauen. - Verwende das Additions- oder Subtraktionsverfahren, um die Unbekannten \(a\) und \(b\) effizient zu berechnen. - Wenn ein Modell einen Wert exakt trifft, ist es in der Regel das bessere Modell für diesen Datensatz.

1. Lineare Funktion \(k_{lin}(t) = m \cdot t + 400\): Mit \(k(20) = 480\): \(480 = 20m + 400 \Rightarrow 80 = 20m \Rightarrow m = 4\). Somit: \(k_{lin}(t) = 4t + 400\). 2. Quadratische Funktion \(k_{quad}(t) = a \cdot t^2 + b \cdot t + 400\): Punkt \((10|430)\): \(100a + 10b + 400 = 430 \Rightarrow 10a + b = 3\) Punkt \((20|480)\): \(400a + 20b + 400 = 480 \Rightarrow 20a + b = 4\) Differenz: \(10a = 1 \Rightarrow a = 0{,}1\). Einsetzen: \(10(0{,}1) + b = 3 \Rightarrow 1 + b = 3 \Rightarrow b = 2\). Somit: \(k_{quad}(t) = 0{,}1t^2 + 2t + 400\). 3. Vergleich für \(t = 15\): \(k_{lin}(15) = 4 \cdot 15 + 400 = 460\,\text{ppm}\). Differenz: \(|452{,}5 - 460| = 7{,}5\,\text{ppm}\). \(k_{quad}(15) = 0{,}1 \cdot 15^2 + 2 \cdot 15 + 400 = 22{,}5 + 30 + 400 = 452{,}5\,\text{ppm}\). Differenz: \(0\,\text{ppm}\). Das quadratische Modell ist exakt. 4. Prognose für \(t = 30\) mit \(k_{quad}\): \(k_{quad}(30) = 0{,}1 \cdot 30^2 + 2 \cdot 30 + 400 = 0{,}1 \cdot 900 + 60 + 400 = 90 + 60 + 400 = 550\,\text{ppm}\).

a) \(k_{lin}(t) = 4t + 400\). b) \(k_{quad}(t) = 0{,}1t^2 + 2t + 400\). c) Das quadratische Modell ist präziser, da es für \(t=15\) exakt den Kontrollwert von \(452{,}5\,\text{ppm}\) liefert. d) Die prognostizierte Konzentration nach 30 Stunden beträgt \(550\,\text{ppm}\).

- Wo befindet sich der Ball zum Zeitpunkt des Abwurfs auf der \(x\)-Achse? - Wie findet man den höchsten Punkt einer Flugkurve? - Welchen Wert hat die Höhe, wenn der Ball auf dem Boden aufkommt? - Nutze für die Berechnung der Weite die \(p\)-\(q\)-Formel oder ein anderes Verfahren zur Lösung quadratischer Gleichungen.

1. Bestimmung der Abwurfhöhe für Teilaufgabe a): Die Abwurfhöhe entspricht dem Funktionswert an der Stelle \(x = 0\). Für beide Funktionen gilt \(h_1(0) = h_2(0) = 2\). Die Abwurfhöhe beträgt \(2\,\text{m}\). 2. Vergleich der Maximalhöhen für Teilaufgabe b): Scheitelpunkt von \(h_1\): \(x_{s1} = -\frac{1{,}2}{2 \cdot (-0{,}2)} = 3\); \(h_1(3) = -0{,}2 \cdot 9 + 1{,}2 \cdot 3 + 2 = 3{,}8\,\text{m}\). Scheitelpunkt von \(h_2\): \(x_{s2} = -\frac{0{,}8}{2 \cdot (-0{,}1)} = 4\); \(h_2(4) = -0{,}1 \cdot 16 + 0{,}8 \cdot 4 + 2 = 3{,}6\,\text{m}\). Der erste Ball fliegt höher. 3. Bestimmung der Wurfweite für Teilaufgabe c): Nullstellenberechnung (\(h_1(x) = 0\) beziehungsweise \(h_2(x) = 0\)). Für \(h_1\): \(-0{,}2x^2 + 1{,}2x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 - 6x - 10 = 0\). Mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x = 3 + \sqrt{9 + 10} \approx 7{,}36\,\text{m}\). Für \(h_2\): \(-0{,}1x^2 + 0{,}8x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 - 8x - 20 = 0\). Die positive Lösung ist \(x = \frac{8 + \sqrt{64 + 80}}{2} = \frac{8 + 12}{2} = 10\,\text{m}\). Der zweite Ball fliegt mit \(10\,\text{m}\) weiter als der erste (\(\approx 7{,}36\,\text{m}\)).

a) Beide Bälle werden aus einer Höhe von \(2\,\text{m}\) abgeworfen. b) Der erste Ball erreicht mit \(3{,}8\,\text{m}\) eine größere Höhe als der zweite Ball (\(3{,}6\,\text{m}\)). c) Der zweite Ball fliegt weiter. Seine Wurfweite beträgt \(10\,\text{m}\), während der erste Ball nur ca. \(7{,}36\,\text{m}\) weit fliegt.

- Nutze die Koordinaten des höchsten Punktes, um die Scheitelpunktform aufzustellen. - Überlege, wie du den Parameter \(a\) mit Hilfe des Startpunktes finden kannst. - Wenn die Weite verdoppelt wird, wo muss dann die neue Nullstelle und wo die neue Mitte der Flugbahn liegen? - Vergleiche die alten und neuen Ergebnisse für die Höhe direkt miteinander.

1. Aufstellen der Scheitelpunktform mit \(S(2|4)\): \(f(x) = a(x - 2)^2 + 4\). 2. Einsetzen des Punktes \((0|0)\) zur Bestimmung von \(a\): \(0 = a(0 - 2)^2 + 4 \Rightarrow 4a = -4 \Rightarrow a = -1\). 3. Umformen in die Normalform: \(f(x) = -1(x^2 - 4x + 4) + 4 = -x^2 + 4x\). 4. Nullstellen von \(f(x) = -x(x - 4)\) bestimmen: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). Die Weite beträgt \(4\,\text{m}\). 5. Neue Weite bestimmen: \(x_{neu} = 2 \cdot 4 = 8\). Da \(a = -1\) bleibt und die Parabel durch \((0|0)\) und \((8|0)\) geht, liegt der neue Scheitelpunkt bei \(x_s = 4\). 6. Funktionsgleichung für den zweiten Strahl: \(g(x) = -x(x - 8) = -x^2 + 8x\). 7. Neue maximale Höhe: \(g(4) = -4^2 + 8 \cdot 4 = -16 + 32 = 16\). Die Höhe vervierfacht sich von \(4\,\text{m}\) auf \(16\,\text{m}\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -x^2 + 4x\). b) Das Wasser trifft in einer Entfernung von \(4\,\text{m}\) wieder auf. c) Die maximale Höhe vervierfacht sich auf \(16\,\text{m}\).

- Wie verteilen sich die \(x\)-Koordinaten, wenn ein Gesamtabstand von \(120\,\text{m}\) symmetrisch um die \(y\)-Achse liegt? - Wenn du die Höhe kennst, wie findest du dann die zugehörigen seitlichen Abstände für eine andere Höhe? - Achte darauf, am Ende die gesamte Breite anzugeben, nicht nur den Abstand zur Mitte.

1. Da der Abstand \(120\,\text{m}\) beträgt und die Parabel symmetrisch zur \(y\)-Achse liegt, befinden sich die Stationen bei \(x = 60\) und \(x = -60\). 2. Berechnung der Höhe \(h\): \(y = 0{,}005 \cdot 60^2 = 0{,}005 \cdot 3600 = 18\). Die Höhe beträgt \(18\,\text{m}\). 3. Die Wasserhöhe beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 18\,\text{m} = 9\,\text{m}\). 4. Berechnung der Breite bei \(y = 9\): \(9 = 0{,}005 \cdot x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{9}{0{,}005} = 1800\). 5. \(x = \pm \sqrt{1800} \approx \pm 42{,}43\). 6. Die Breite der Wasseroberfläche ist die Differenz der \(x\)-Werte: \(2 \cdot \sqrt{1800} \approx 84{,}85\,\text{m}\).

a) Die Höhe der Messstationen beträgt \(18\,\text{m}\). b) Die Wasseroberfläche ist etwa \(84{,}85\,\text{m}\) breit.

- Welche Informationen über die Landung des Wasserstrahls geben dir die Nullstellen? - Wie findest du die maximale Höhe, wenn du die Breite des Strahls kennst? - Wie gehst du vor, wenn ein bestimmter Funktionswert (die Höhe) vorgegeben ist und du die passenden Stellen suchen sollst?

1. Nullstellen liegen bei \(x = 0\) und \(x = 8\). Ansatz: \(f(x) = a \cdot x \cdot (x - 8)\). 2. Punkt \((2 | 3)\) einsetzen: \(3 = a \cdot 2 \cdot (2 - 8) = -12a\). 3. Berechnung von \(a\): \(a = \frac{3}{-12} = -0{,}25\). Funktionsgleichung: \(f(x) = -0{,}25x^2 + 2x\). 4. Der Scheitelpunkt liegt bei \(x = 4\). Maximale Höhe: \(f(4) = -0{,}25 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 = -4 + 8 = 4\,\text{m}\). 5. Für die Höhe \(2\,\text{m}\) die Gleichung lösen: \(-0{,}25x^2 + 2x = 2 \Leftrightarrow -0{,}25x^2 + 2x - 2 = 0\). 6. Umformen zur Normalform: \(x^2 - 8x + 8 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x = 4 \pm \sqrt{16 - 8} = 4 \pm \sqrt{8}\). 7. Ergebnisse: \(x_1 = 4 - \sqrt{8} \approx 1{,}17\,\text{m}\) und \(x_2 = 4 + \sqrt{8} \approx 6{,}83\,\text{m}\).

a) Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = -0{,}25x^2 + 2x\). b) Die maximale Höhe beträgt \(4\,\text{m}\). c) Der Wasserstrahl erreicht die Höhe von \(2\,\text{m}\) bei einer horizontalen Entfernung von ca. \(1{,}17\,\text{m}\) und \(6{,}83\,\text{m}\).

- Wenn der Scheitelpunkt im Ursprung liegt, wie sieht dann die einfachste Form der Parabelgleichung aus? - Wie gehst du vor, wenn du einen Funktionswert (die Höhe) gegeben hast und den dazugehörigen \(x\)-Wert (den Abstand) suchst? - Achte darauf, am Ende die Wurzel korrekt zu ziehen und auf die geforderten Stellen zu runden.

1. Da der Scheitelpunkt bei \(S(0; 0)\) liegt, lautet der Ansatz \(f(x) = ax^2\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(4; 3{,}2)\) zur Bestimmung von \(a\): \(3{,}2 = a \cdot 4^2 \Rightarrow 3{,}2 = 16a \Rightarrow a = 0{,}2\). Die Gleichung ist \(f(x) = 0{,}2x^2\). 3. Gesucht ist der Wert für \(x\), bei dem \(f(x) = 2\) gilt: \(2 = 0{,}2x^2\). 4. Auflösen nach \(x\): \(x^2 = \frac{2}{0{,}2} = 10 \Rightarrow x = \sqrt{10} \approx 3{,}1622\ldots\). 5. Der horizontale Abstand von der Mitte beträgt ca. \(3{,}16\,\text{m}\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}2x^2\). b) Der horizontale Abstand beträgt ca. \(3{,}16\,\text{m}\).

- Skizziere die Situation in einem Koordinatensystem. Wo legst du den Ursprung am besten hin? - Wie breit ist der LKW zu jeder Seite der Mitte? - Welche Höhe hat der Tunnelbogen genau an der Stelle, an der sich die Außenkante des LKWs befindet?

1. Wahl des Koordinatensystems: Scheitelpunkt bei \(S(0 \mid 4)\), Nullstellen bei \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 4\) (da die Breite \(8\,\text{m}\) beträgt) 2. Aufstellen der Funktionsgleichung in der Form \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\): \(f(x) = a(x + 4)(x - 4) = a(x^2 - 16)\) 3. Einsetzen des Scheitelpunkts \(S(0 \mid 4)\) zur Bestimmung von \(a\): \(4 = a(0^2 - 16) \Rightarrow 4 = -16a \Rightarrow a = -0{,}25\) 4. Funktionsgleichung: \(f(x) = -0{,}25x^2 + 4\) 5. Bestimmung der kritischen Stellen für den LKW: Bei einer Breite von \(3\,\text{m}\) und mittiger Fahrt befinden sich die Außenkanten bei \(x = -1{,}5\) und \(x = 1{,}5\) 6. Berechnung der Tunnelhöhe an der Stelle \(x = 1{,}5\): \(f(1{,}5) = -0{,}25 \cdot (1{,}5)^2 + 4 = -0{,}25 \cdot 2{,}25 + 4 = -0{,}5625 + 4 = 3{,}4375\) 7. Vergleich mit der LKW-Höhe: \(3{,}4375\,\text{m} < 3{,}50\,\text{m}\). Der LKW ist an den Außenkanten höher als der Tunnelbogen.

Nein, der LKW kann nicht durch den Tunnel fahren. An seinen Außenkanten (bei \(1{,}5\,\text{m}\) Abstand zur Mitte) beträgt die Tunnelhöhe nur ca. \(3{,}44\,\text{m}\), der LKW ist jedoch \(3{,}50\,\text{m}\) hoch.

- Fertige eine Skizze an. Wo liegt die Mitte des Tunnels im Koordinatensystem? - Wenn ein Fahrzeug eine bestimmte Breite hat und mittig fährt, wie verteilen sich die Maße nach links und rechts von der Mitte? - An welcher Stelle des Fahrzeugs ist es am kritischsten, ob es durch den Tunnel passt — in der Mitte oder an den Außenkanten? - Wie hängen die Breite eines Objekts und die \(x\)-Koordinaten in diesem Modell zusammen?

1. Berechnung der Bodenbreite über die Nullstellen: \(0 = -0{,}15x^2 + 5{,}4 \Rightarrow 0{,}15x^2 = 5{,}4 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6\). Die Breite beträgt \(6 - (-6) = 12\,\text{m}\). 2. Prüfung der LKW-Passage: Bei einer Breite von \(3{,}20\,\text{m}\) und mittiger Fahrt befinden sich die Außenkanten bei \(x = 1{,}6\) und \(x = -1{,}6\). 3. Berechnung der Tunnelhöhe an der Außenkante: \(h(1{,}6) = -0{,}15 \cdot (1{,}6)^2 + 5{,}4 = -0{,}15 \cdot 2{,}56 + 5{,}4 = 5{,}016\,\text{m}\). Da \(5{,}016 > 3{,}80\), passt der LKW durch. 4. Berechnung der maximalen Breite für \(4{,}50\,\text{m}\) Höhe: Setze \(h(x) = 4{,}5\). 5. \(4{,}5 = -0{,}15x^2 + 5{,}4 \Rightarrow 0{,}15x^2 = 0{,}9 \Rightarrow x^2 = 6 \Rightarrow x = \sqrt{6} \approx 2{,}45\). 6. Die maximale Breite ist das Doppelte der \(x\)-Koordinate: \(2 \cdot 2{,}45 = 4{,}90\,\text{m}\).

a) Der Tunnel ist am Boden \(12\,\text{m}\) breit. b) Ja, der LKW passt durch, da der Tunnel an seinen Außenkanten noch ca. \(5{,}02\,\text{m}\) hoch ist. c) Das Fahrzeug darf maximal ca. \(4{,}90\,\text{m}\) breit sein.

- Überlege dir zuerst, wo du den Ursprung deines Koordinatensystems hinlegst, um die Rechnung zu vereinfachen. - Wie kannst du eine Parabelgleichung aufstellen, wenn du die beiden Stellen kennst, an denen sie den Boden berührt? - Wo genau befindet sich der LKW unter der Brücke, wenn er „mittig“ fährt? - Welche Stellen am LKW sind am kritischsten für die Durchfahrtshöhe?

1. Koordinatensystem festlegen: Linker Pfeiler bei \((0 \mid 0)\), rechter Pfeiler bei \((12 \mid 0)\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = a \cdot x \cdot (x - 12)\). 2. Bestimmung von \(a\) mit dem Punkt \((2 \mid 4)\): \(4 = a \cdot 2 \cdot (2 - 12) \Rightarrow 4 = -20a \Rightarrow a = -0{,}2\). Die Gleichung ist \(f(x) = -0{,}2x(x - 12) = -0{,}2x^2 + 2{,}4x\). 3. Position des LKW: Die Mitte der Brücke liegt bei \(x = 6\). Da der LKW \(3{,}2\,\text{m}\) breit ist, erstreckt er sich von \(x = 6 - 1{,}6 = 4{,}4\) bis \(x = 6 + 1{,}6 = 7{,}6\). 4. Prüfung der kritischen Höhe an den Außenkanten des LKW (\(x = 4{,}4\) oder \(x = 7{,}6\)): \(f(4{,}4) = -0{,}2 \cdot (4{,}4)^2 + 2{,}4 \cdot 4{,}4 = -0{,}2 \cdot 19{,}36 + 10{,}56 = -3{,}872 + 10{,}56 = 6{,}688\). 5. Vergleich: Da die Brückenhöhe an der engsten Stelle des LKW-Dachs \(6{,}688\,\text{m}\) beträgt und der LKW nur \(4{,}5\,\text{m}\) hoch ist, kann er problemlos mittig hindurchfahren.

Ja, der LKW kann mittig hindurchfahren. An den Außenkanten des LKW-Aufbaus (bei einer Breite von \(3{,}2\,\text{m}\)) beträgt die lichte Höhe der Brücke ca. \(6{,}69\,\text{m}\), was deutlich über der Fahrzeughöhe von \(4{,}5\,\text{m}\) liegt.

- Berechne zuerst die Nullstellen durch Ausklammern von \(x\). - Den Scheitelpunkt findest du genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. - Schau dir das Verhältnis der berechneten Weiten und Höhen genau an. - Erinnere dich an die Formel für den x-Wert des Scheitelpunkts \(x_s = -\frac{b}{2a}\) und wie \(b\) darin vorkommt.

1. Analyse von \(f(x)\): Scheitelpunkt bei \(x_s = -\frac{2}{2 \cdot (-0{,}05)} = 20\). Höhe \(f(20) = -0{,}05 \cdot 400 + 2 \cdot 20 = -20 + 40 = 20\,\text{m}\). Nullstellen: \(-0{,}05x(x - 40) = 0 \Rightarrow x=0\) und \(x=40\). Weite: \(40\,\text{m}\). 2. Analyse von \(g(x)\): Scheitelpunkt bei \(x_s = -\frac{4}{2 \cdot (-0{,}05)} = 40\). Höhe \(g(40) = -0{,}05 \cdot 1600 + 4 \cdot 40 = -80 + 160 = 80\,\text{m}\). Nullstellen: \(-0{,}05x(x - 80) = 0 \Rightarrow x=0\) und \(x=80\). Weite: \(80\,\text{m}\). 3. Vergleich: Bei Verdopplung von \(b\) (von 2 auf 4) verdoppelt sich die Weite (\(40 \to 80\)), während sich die Höhe vervierfacht (\(20 \to 80\)). 4. Begründung: Die Weite ist \(x_w = \frac{b}{|a|}\) (linearer Zusammenhang mit \(b\)). Die Scheitelhöhe ist \(y_s = \frac{b^2}{4|a|}\) (quadratischer Zusammenhang mit \(b\)). Daher führt eine Verdopplung von \(b\) zu einer Vervierfachung der Höhe.

a) Rakete \(f\): Max. Höhe \(20\,\text{m}\), Weite \(40\,\text{m}\). Rakete \(g\): Max. Höhe \(80\,\text{m}\), Weite \(80\,\text{m}\). b) Bei Verdopplung des Koeffizienten \(b\) verdoppelt sich die Flugweite, während sich die maximale Höhe vervierfacht. Dies liegt an der quadratischen Abhängigkeit der Höhe von \(b\) in der Formel \(y_s = \frac{b^2}{4|a|}\).