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- Setze die jeweilige horizontale Entfernung für \(x\) in den gegebenen Funktionsterm ein. - Beachte die Rechenreihenfolge: Potenzen werden vor Multiplikationen und Additionen berechnet. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis als Höhe im Sachzusammenhang sinnvoll ist.

1. Für \(x=2\) gilt \(y=-0{,}5\cdot2^2+2\cdot2+1=-2+4+1=3\). Die Höhe beträgt \(3\,\text{m}\). 2. Für \(x=4\) gilt \(y=-0{,}5\cdot4^2+2\cdot4+1=-8+8+1=1\). Die Höhe beträgt \(1\,\text{m}\).

1) \(3\,\text{m}\) 2) \(1\,\text{m}\)

- Überlege dir für beide Fälle, was passiert, wenn du den Eingangswert (Kilometer bzw. Seitenlänge) verdoppelst. - Welche Form haben die Funktionsgleichungen, die du aufstellen würdest? - Bei einer linearen Funktion muss die Änderung pro Schritt immer gleich groß sein.

1. Situation (1) ist linear. Es gibt eine feste Grundgebühr (\(y\)-Achsenabschnitt \(b = 3{,}50\)) und eine konstante Änderungsrate pro Kilometer (Steigung \(m = 1{,}80\)). Die Funktionsgleichung hat die Form \(f(x) = 1{,}80x + 3{,}50\). 2. Situation (2) ist nicht linear. Der Flächeninhalt \(A\) berechnet sich durch \(A(a) = a^2\). Da die Variable \(a\) quadriert wird, handelt es sich um eine quadratische Funktion. Eine Verdopplung der Seitenlänge führt beispielsweise zu einer Vervierfachung des Flächeninhalts, was der Definition einer linearen Änderung widerspricht.

(1) Linear, da die Kosten pro Kilometer konstant steigen und es einen festen Startwert gibt. (2) Nicht linear, da der Flächeninhalt quadratisch mit der Seitenlänge wächst (\(A = a^2\)).

- Überlege dir zuerst, mit welchem Faktor man eine Größe multipliziert, wenn sie um einen bestimmten Prozentsatz abnimmt. - Wie wirkt sich dieser Faktor auf das Quadrat der Seitenlänge aus? - Kannst du die neue Fläche als Bruchteil oder Prozentsatz der alten Fläche ausdrücken?

1. Sei \(s\) die ursprüngliche Seitenlänge. Der ursprüngliche Flächeninhalt ist \(A_1 = s^2\). 2. Eine Verringerung der Seitenlänge um \(15\,\%\) entspricht einem Faktor von \(1 - 0{,}15 = 0{,}85\). Die neue Seitenlänge ist \(s_2 = 0{,}85s\). 3. Der neue Flächeninhalt berechnet sich zu \(A_2 = (0{,}85s)^2 = 0{,}7225s^2\). 4. Der neue Flächeninhalt beträgt somit \(72{,}25\,\%\) des ursprünglichen Inhalts. 5. Die prozentuale Verkleinerung ist \(100\,\% - 72{,}25\,\% = 27{,}75\,\%\).

Der Flächeninhalt verringert sich um \(27{,}75\,\%\).

- Wie verändert sich der Bremsweg, wenn sich die Geschwindigkeit verdoppelt? - Setze die gegebenen Wertepaare in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um die Konstante zu finden. - Was musst du tun, um eine Gleichung nach der Variablen aufzulösen, die im Quadrat steht?

1. Bestimmung von \(k\) für beide Messwerte: \(k_1 = \frac{16}{40^2} = \frac{16}{1600} = 0{,}01\) und \(k_2 = \frac{64}{80^2} = \frac{64}{6400} = 0{,}01\). Da \(k\) für beide Punkte identisch ist, ist das Modell \(s(v) = 0{,}01v^2\) konsistent. 2. Berechnung des Bremswegs für \(v = 120\,\text{km/h}\): \(s(120) = 0{,}01 \cdot 120^2 = 0{,}01 \cdot 14\,400 = 144\,\text{m}\). 3. Berechnung der Geschwindigkeit für \(s = 100\,\text{m}\): \(100 = 0{,}01v^2 \Rightarrow v^2 = 10\,000 \Rightarrow v = \sqrt{10\,000} = 100\,\text{km/h}\).

a) Die Konstante beträgt \(k = 0{,}01\), da \(\frac{16}{40^2} = \frac{64}{80^2} = 0{,}01\). Die Funktion lautet \(s(v) = 0{,}01v^2\). b) Bei \(120\,\text{km/h}\) beträgt der Bremsweg \(144\,\text{m}\). c) Die Geschwindigkeit betrug \(100\,\text{km/h}\).

- Was bedeutet es für das Ergebnis, wenn die Variable in einer Formel im Quadrat steht? - Wie verändert sich ein Wert, wenn du ihn erst verdoppelst und dann quadrierst? - Wenn eine Wirkung (hier der Bremsweg) bei demselben Eingabewert doppelt so groß ist, wie muss sich dann der Faktor vor dem \(v^2\) ändern?

1. Berechnung der Bremswege durch Einsetzen in \(s(v) = 0{,}01v^2\): Für \(v = 30\,\text{km/h}\) ergibt sich \(s = 0{,}01 \cdot 30^2 = 9\,\text{m}\). Für \(v = 60\,\text{km/h}\) ergibt sich \(s = 0{,}01 \cdot 60^2 = 36\,\text{m}\). 2. Vergleich der Ergebnisse: Da \(36 : 9 = 4\), vervierfacht sich der Bremsweg bei einer Verdopplung der Geschwindigkeit. Dies entspricht dem quadratischen Wachstum \(2^2 = 4\). 3. Aufstellen der neuen Gleichung: Da sich die Funktionswerte verdoppeln, wird der Proportionalitätsfaktor mit \(2\) multipliziert: \(s_{\text{nass}}(v) = 2 \cdot 0{,}01v^2 = 0{,}02v^2\).

a) Der Bremsweg beträgt \(9\,\text{m}\) bei \(30\,\text{km/h}\) und \(36\,\text{m}\) bei \(60\,\text{km/h}\). b) Bei Verdopplung der Geschwindigkeit vervierfacht sich der Bremsweg, da \(2^2 = 4\). c) \(s_{\text{nass}}(v) = 0{,}02v^2\)

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn eine bestimmte horizontale Distanz (Reichweite) vorgegeben ist? - Wie kannst du die Höhe des Projektils an einer ganz bestimmten Stelle berechnen? - Vergleiche am Ende den berechneten Funktionswert mit der Höhe des Hindernisses.

1. Die Bedingung für das Auftreffen am Boden bei \(x = 50\) ist \(h_c(50) = 0\). Einsetzen liefert die Gleichung \(c \cdot 50 - 0{,}01 \cdot 50^2 = 0\). 2. Vereinfachen der Gleichung: \(50c - 25 = 0\). Auflösen nach \(c\) ergibt \(c = 0{,}5\). 3. Um zu prüfen, ob das Hindernis überflogen wird, berechnet man die Höhe an der Stelle \(x = 25\) mit \(c = 0{,}5\): \(h_{0{,}5}(25) = 0{,}5 \cdot 25 - 0{,}01 \cdot 25^2\). 4. Das Ergebnis der Berechnung ist \(12{,}5 - 6{,}25 = 6{,}25\). Da die Höhe des Projektils (\(6{,}25\,\text{m}\)) geringer ist als die Höhe des Hindernisses (\(7\,\text{m}\)), wird das Hindernis nicht überflogen.

a) Es muss \(c = 0{,}5\) gewählt werden. b) Nein, das Projektil überfliegt das Hindernis nicht, da es an dieser Stelle nur eine Höhe von \(6{,}25\,\text{m}\) erreicht.

- Welche horizontale Höhe musst du für Teil a im Graphen verfolgen? - Wo liegt der höchste Punkt der Flugbahn? - Was bedeutet der höchste Punkt für den Wechsel von Steigen zu Fallen? - Welche Genauigkeit lässt die Achsenskalierung sinnvoll zu?

1. Die waagerechte Höhe \(h=4\) wird im Graphen ungefähr bei \(t=0{,}4\) und \(t=1{,}6\) geschnitten. Dazwischen liegt der Graph auf oder über \(4\,\text{m}\). 2. Der höchste Punkt liegt bei etwa \(t=1{,}0\). Von \(t=0\) bis etwa \(t=1{,}0\) steigt der Ball. 3. Danach fällt der Ball bis zum Bodenaufprall bei ungefähr \(t=2{,}1\).

a) Ungefähr \(0{,}4\le t\le1{,}6\) b) Steigend ungefähr für \(0<t<1{,}0\); fallend ungefähr für \(1{,}0<t<2{,}1\)

- Der höchste Punkt einer Parabel wird Scheitelpunkt genannt. - Die Landung erfolgt dort, wo der Graph die x-Achse (den Boden) berührt oder schneidet.

1. Bei \(x = 1\) liest man auf dem Graphen die Höhe \(y = 3\,\text{m}\) ab. 2. Der höchste Punkt des Graphen (Scheitelpunkt) liegt bei \((2 \mid 4)\). Die maximale Höhe beträgt also \(4\,\text{m}\) nach einer Entfernung von \(2\,\text{m}\). 3. Der Ball landet, wenn die Höhe \(y = 0\) ist. Dies ist am Punkt \((4 \mid 0)\) der Fall. Die Entfernung beträgt \(4\,\text{m}\).

1. Nach \(1\,\text{m}\) ist der Ball \(3\,\text{m}\) hoch. 2. Die maximale Höhe von \(4\,\text{m}\) wird nach \(2\,\text{m}\) Entfernung erreicht. 3. Der Ball landet nach \(4\,\text{m}\).

- Welche Bedingung muss die Höhe eines Bogens oberhalb des Bodens erfüllen? - An welchen Stellen endet der Bogen am Boden? - Was bedeutet ein negativer Höhenwert relativ zum gewählten Bodenniveau?

1. Der Bogen reicht nur dort, wo seine Höhe nicht negativ ist. Die Bodenpunkte erfüllen \(-0{,}5(x-4)^2+8=0\). Daraus folgt \((x-4)^2=16\), also \(x=0\) oder \(x=8\). Der sinnvolle Bereich ist \(0\le x\le8\). 2. Es gilt \(h(10)=-0{,}5\cdot6^2+8=-18+8=-10\). Eine Höhe von \(-10\,\text{m}\) liegt unter dem gewählten Bodenbezug und gehört nicht zum beschriebenen Bogen; die Formel wird hier außerhalb ihres Sachbereichs benutzt.

a) \(0\le x\le8\) b) \(h(10)=-10\,\text{m}\). Dieser Wert liegt außerhalb des physikalisch sinnvollen Modellbereichs und beschreibt den Bogen nicht.

- Setze für jede gefragte Höhe den entsprechenden Funktionswert in das Modell ein. - Wegen der Symmetrie gehören zu einer positiven Höhe zwei entgegengesetzte x-Werte; gesucht ist deren Abstand. - Vergleiche in c) den Faktor der Höhe mit dem Faktor von \(|x|\), nicht nur die beiden Endwerte.

1. Für \(h=0{,}5\) gilt \(\frac{1}{18}x^2=0{,}5\). Damit ist \(x^2=9\), also \(x=\pm3\). Die gesamte Breite beträgt \(6\,\text{m}\). 2. Für \(h=2\) gilt \(\frac{1}{18}x^2=2\). Damit ist \(x^2=36\), also \(x=\pm6\). Die gesamte Breite beträgt \(12\,\text{m}\). 3. Die Höhe ist proportional zu \(x^2\). Wird die Höhe mit dem Faktor \(4\) vergrößert, wird der zugehörige Abstand \(|x|\) nur mit dem Faktor \(2\) größer. Daher verdoppelt sich die Gesamtbreite von \(6\,\text{m}\) auf \(12\,\text{m}\).

a) \(6\,\text{m}\) b) \(12\,\text{m}\) c) Die Breite verdoppelt sich. Da \(h\) proportional zu \(x^2\) ist, entspricht einer Vervierfachung der Höhe nur einer Verdopplung von \(|x|\) und damit der Breite.

- Werte die Funktion an den drei Durchmessern aus. - Bilde anschließend Differenzen benachbarter Flächenwerte. - Welche Eigenschaft unterscheidet eine quadratische von einer linearen Abhängigkeit?

1. Es gilt \(A(8)=0{,}785\cdot64=50{,}24\,\text{m}^2\), \(A(10)=78{,}5\,\text{m}^2\) und \(A(12)=0{,}785\cdot144=113{,}04\,\text{m}^2\). 2. Der erste Zuwachs beträgt \(78{,}5-50{,}24=28{,}26\,\text{m}^2\). Der zweite beträgt \(113{,}04-78{,}5=34{,}54\,\text{m}^2\). 3. Die Funktion hängt quadratisch von \(d\) ab. Deshalb ist die Änderung pro zusätzlichem Meter Durchmesser nicht konstant.

a) \(50{,}24\,\text{m}^2\), \(78{,}5\,\text{m}^2\), \(113{,}04\,\text{m}^2\) b) Zuwächse \(28{,}26\,\text{m}^2\) und \(34{,}54\,\text{m}^2\) c) Die Zuwächse sind verschieden, weil \(A\) quadratisch und nicht linear von \(d\) abhängt.

- Vergleiche die Funktionswerte mit \(S(0)\). - Übersetze „mindestens \(84\)“ in eine Ungleichung. - Welche Eigenschaft hat das Quadrat bei zwei entgegengesetzten Zahlen?

1. Es gilt \(S(0)=100\), \(S(1)=S(-1)=96\) und \(S(2)=S(-2)=84\). Die Verluste sind also \(4\) beziehungsweise \(16\). 2. Aus \(100-4e^2\ge84\) folgt \(-4e^2\ge-16\), also \(e^2\le4\). Damit gilt \(-2\le e\le2\). 3. Im Term kommt \(e\) nur als \(e^2\) vor. Daher haben entgegengesetzte Winkelfehler denselben Funktionswert.

a) Verlust bei \(|e|=1\): \(4\); bei \(|e|=2\): \(16\) b) \(-2\le e\le2\) c) Wegen \((-e)^2=e^2\) liefern gleich große positive und negative Winkelfehler dieselbe Signalstärke.

- Lies aus der Scheitelpunktform zuerst die Symmetrieachse ab. - Isoliere bei b) den quadrierten Ausdruck. - Prüfe bei c), ob der verlangte Winkel überhaupt im angegebenen Modellbereich liegt.

1. Die Winkel \(20\) und \(40\) liegen gleich weit von \(30\) entfernt. Daher ist \(E(20)=E(40)=-0{,}04\cdot100+100=96\). 2. Aus \(-0{,}04(\alpha-30)^2+100=99\) folgt \((\alpha-30)^2=25\). Damit ist \(\alpha=25\) oder \(\alpha=35\). 3. \(70\) liegt außerhalb des festgelegten Modellbereichs \(10\le\alpha\le50\). Eine Aussage dort wäre eine nicht durch dieses Modellintervall abgesicherte Extrapolation.

a) \(E(20)=E(40)=96\), wegen der Symmetrie um \(\alpha=30\) b) \(\alpha=25\) oder \(\alpha=35\) c) Nein; \(70\) liegt außerhalb des Modellbereichs.

- Was bedeutet eine Erhöhung „um \(125\,\%\)“ für den Gesamtwert der Fläche im Vergleich zum Startwert? - Wenn du weißt, wie sich die Fläche vervielfacht, wie findest du dann heraus, wie sich die Seitenlänge verändert hat? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Streckfaktor von Längen und dem von Flächen.

1. Sei \(A_{\mathrm{alt}}\) die ursprüngliche Fläche. Eine Erhöhung um \(125\,\%\) bedeutet, dass die neue Fläche \(A_{\mathrm{neu}} = A_{\mathrm{alt}} + 1{,}25A_{\mathrm{alt}} = 2{,}25A_{\mathrm{alt}}\) beträgt. 2. Für die Seitenlängen gilt der Zusammenhang \(s_{\mathrm{neu}}^2 = 2{,}25s_{\mathrm{alt}}^2\). 3. Um den Faktor \(k\) für die Seitenlänge zu finden, wird die Wurzel gezogen: \(k = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). 4. Ein Faktor von \(1{,}5\) entspricht einer Zunahme um \(0{,}5\), also einer Steigerung der Seitenlänge um \(50\,\%\).

Die Seitenlänge muss um \(50\,\%\) erhöht werden.

- Was bedeutet die Variable \(n\) in diesem Modell? - Welche Gleichung erhältst du, wenn der Funktionswert \(54\) vorgegeben ist? - Lässt sich der entstehende quadratische Term als Produkt zweier Linearfaktoren schreiben? - Welche Bedingungen muss eine Eckenzahl im Sachkontext erfüllen?

1. Für \(n=8\) gilt \(d(8)=\frac{1}{2}\cdot8^2-1{,}5\cdot8=32-12=20\). 2. Für \(d=54\) gilt \(54=0{,}5n^2-1{,}5n\). Multiplikation mit \(2\) und Umformen ergibt \(n^2-3n-108=0\). 3. Der Term faktorisiert zu \((n-12)(n+9)=0\). Daher sind die mathematischen Lösungen \(n=12\) und \(n=-9\). 4. Eine Eckenzahl muss eine positive ganze Zahl sein. Deshalb ist nur \(n=12\) im Sachkontext sinnvoll.

a) Ein Achteck hat \(20\) Diagonalen. b) Das Vieleck hat \(12\) Ecken. c) Die Lösung \(n=-9\) ist als Eckenzahl unmöglich.

- Welche Variable steht für die Zeit und welche für die Entfernung? - Wie kannst du eine Gleichung nach der gesuchten Variable umstellen? - Um herauszufinden, wer „vorne“ liegt, musst du die Positionen zum selben Zeitpunkt vergleichen.

1. Berechnung für Fahrzeug A nach 5 s: \(s_A(5) = 1{,}2 \cdot 5^2 = 1{,}2 \cdot 25 = 30\,\text{m}\). 2. Berechnung des Zeitpunkts für \(120\,\text{m}\) bei Fahrzeug A: \(120 = 1{,}2t^2 \Rightarrow t^2 = 100 \Rightarrow t = 10\,\text{s}\) (negative Lösung entfällt). 3. Vergleich nach 10 s: \(s_A(10) = 1{,}2 \cdot 10^2 = 120\,\text{m}\). Für Fahrzeug B: \(s_B(10) = 0{,}8 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 = 80 + 20 = 100\,\text{m}\). 4. Da \(120\,\text{m} > 100\,\text{m}\), liegt Fahrzeug A nach 10 Sekunden vorne.

a) Fahrzeug A hat \(30\,\text{m}\) zurückgelegt. b) Nach \(10\,\text{s}\) hat Fahrzeug A die \(120\,\text{m}\) erreicht. c) Fahrzeug A liegt vorne, da es nach \(10\,\text{s}\) bereits \(120\,\text{m}\) weit gefahren ist, während Fahrzeug B erst \(100\,\text{m}\) erreicht hat.

- Welcher \(x\)-Wert gehört zum Ort des Abstoßes? - Welcher besondere Punkt einer Parabel gibt den höchsten Wert an? - Wie berechnet man allgemein die Koordinaten dieses höchsten Punktes? - Was musst du für die Variable einsetzen, um die Höhe an einer bestimmten Stelle zu finden?

1. Abstoßhöhe berechnen: Den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) bestimmen: \(h(0) = -0{,}05 \cdot 0^2 + 0{,}6 \cdot 0 + 2 = 2\). Die Abstoßhöhe beträgt \(2\,\text{m}\). 2. Maximale Höhe bestimmen: Den Scheitelpunkt der Parabel berechnen. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts liegt bei \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{0{,}6}{2 \cdot (-0{,}05)} = \frac{0{,}6}{0{,}1} = 6\). 3. Maximalen Funktionswert berechnen: \(h(6) = -0{,}05 \cdot 6^2 + 0{,}6 \cdot 6 + 2 = -0{,}05 \cdot 36 + 3{,}6 + 2 = -1{,}8 + 5{,}6 = 3{,}8\). Die maximale Höhe beträgt \(3{,}8\,\text{m}\). 4. Höhe bei \(10\,\text{m}\) berechnen: Den Funktionswert an der Stelle \(x = 10\) bestimmen: \(h(10) = -0{,}05 \cdot 10^2 + 0{,}6 \cdot 10 + 2 = -0{,}05 \cdot 100 + 6 + 2 = -5 + 8 = 3\). Die Höhe beträgt \(3\,\text{m}\).

a) Die Kugel wird aus einer Höhe von \(2\,\text{m}\) abgestoßen. b) Die maximale Höhe beträgt \(3{,}8\,\text{m}\). c) In \(10\,\text{m}\) Entfernung befindet sich die Kugel in einer Höhe von \(3\,\text{m}\).

- Welcher Funktionswert beschreibt die Austrittshöhe unmittelbar? - Welche Darstellungsform macht den höchsten Punkt der Flugbahn direkt sichtbar? - Welche Gleichung beschreibt den Kontakt mit der Wasseroberfläche? - Welche der mathematischen Lösungen passt zu einer Entfernung vom Austrittspunkt?

1. Für \(x=0\) gilt \(h(0)=1{,}25\). Die Austrittshöhe beträgt \(1{,}25\,\text{m}\). 2. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(h(x)=-0{,}25(x^2-4x)+1{,}25=-0{,}25((x-2)^2-4)+1{,}25=-0{,}25(x-2)^2+2{,}25\). Der höchste Punkt ist daher \(S(2|2{,}25)\). 3. Für den Auftreffpunkt gilt \(0=-0{,}25(x-2)^2+2{,}25\). Daraus folgt \((x-2)^2=9\), also \(x=-1\) oder \(x=5\). 4. Als horizontale Entfernung vom Austrittspunkt ist nur \(x=5\) sinnvoll. Der Strahl trifft nach \(5\,\text{m}\) auf die Wasseroberfläche.

a) \(1{,}25\,\text{m}\) b) \(S(2|2{,}25)\) c) \(5\,\text{m}\)

- Welchen Wert hat die Zeit \(t\) zum Zeitpunkt des Abschusses? - Setze alle bekannten Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um die fehlende Unbekannte zu finden. - Wie gehst du vor, wenn du die Höhe zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt wissen möchtest?

1. Bestimmung der Funktionsgleichung: Gegeben ist die Anfangshöhe \(h_0 = 1{,}5\,\text{m}\). Einsetzen des Punktes \((2 | 31{,}5)\) in \(h(t) = -5t^2 + v_0t + 1{,}5\) führt zu \(31{,}5 = -5 \cdot 2^2 + v_0 \cdot 2 + 1{,}5\). 2. Berechnung der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\): \(31{,}5 = -20 + 2v_0 + 1{,}5 \implies 31{,}5 = -18{,}5 + 2v_0 \implies 50 = 2v_0 \implies v_0 = 25\). Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = -5t^2 + 25t + 1{,}5\). 3. Berechnung der Höhe nach \(4\,\text{s}\): Einsetzen von \(t = 4\) ergibt \(h(4) = -5 \cdot 4^2 + 25 \cdot 4 + 1{,}5 = -80 + 100 + 1{,}5 = 21{,}5\). Die Höhe beträgt \(21{,}5\,\text{m}\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = -5t^2 + 25t + 1{,}5\). b) Nach \(4\,\text{s}\) befindet sich die Rakete in einer Höhe von \(21{,}5\,\text{m}\).

- Was bedeutet es für die Rechnung, wenn der Springer nach einer gewissen Zeit wieder auf derselben Höhe ist? - Parabeln sind symmetrisch. Wo muss also zeitlich gesehen der höchste Punkt liegen, wenn zwei Zeitpunkte mit gleicher Höhe bekannt sind? - Wenn du die Funktionsgleichung vollständig hast, wie findest du den höchsten Punkt der Flugbahn?

1. Bestimmung von \(v_0\): Mit \(h_0 = 10\) und der Bedingung \(h(0{,}8) = 10\) ergibt sich \(10 = -5 \cdot 0{,}8^2 + v_0 \cdot 0{,}8 + 10\). 2. Auflösen nach \(v_0\): \(0 = -3{,}2 + 0{,}8v_0 \implies 3{,}2 = 0{,}8v_0 \implies v_0 = 4\). Die Funktion ist \(h(t) = -5t^2 + 4t + 10\). 3. Berechnung des Scheitelpunkts: Die Zeit bis zum Erreichen der maximalen Höhe liegt in der Mitte zwischen den Zeitpunkten gleicher Höhe (hier \(t = 0\) und \(t = 0{,}8\)), also bei \(t_{\max} = 0{,}4\,\text{s}\) (alternativ über \(t = \frac{-b}{2a}\)). 4. Maximale Höhe: \(h(0{,}4) = -5 \cdot 0{,}4^2 + 4 \cdot 0{,}4 + 10 = -0{,}8 + 1{,}6 + 10 = 10{,}8\). Die maximale Höhe beträgt \(10{,}8\,\text{m}\).

Der Springer erreicht eine maximale Höhe von \(10{,}8\,\text{m}\).

- Welcher Wert von \(x\) entspricht dem Moment des Abwurfs? - Wo befindet sich der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel? - Wie kannst du die Höhe des Balls an einer ganz bestimmten Stelle berechnen? - Was muss für die Höhe des Balls gelten, damit er über ein Hindernis fliegt?

1. Berechnung der Abwurfhöhe: Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktion: \(h(0) = -0{,}1 \cdot 0^2 + 1 \cdot 0 + 2 = 2\). Der Ball wird aus \(2\,\text{m}\) Höhe abgeworfen. 2. Bestimmung der maximalen Höhe: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-0{,}1)} = 5\). Die maximale Höhe ist der Funktionswert am Scheitelpunkt: \(h(5) = -0{,}1 \cdot 5^2 + 5 + 2 = -2{,}5 + 5 + 2 = 4{,}5\). Die maximale Höhe beträgt \(4{,}5\,\text{m}\). 3. Prüfung des Hindernisses: Berechnung der Ballhöhe bei \(x = 9\): \(h(9) = -0{,}1 \cdot 9^2 + 9 + 2 = -8{,}1 + 9 + 2 = 2{,}9\). Da \(2{,}9\,\text{m} < 3\,\text{m}\), überfliegt der Ball das Hindernis nicht.

a) Der Ball wird aus einer Höhe von \(2\,\text{m}\) abgeworfen. b) Die maximale Höhe beträgt \(4{,}5\,\text{m}\). c) Nein, der Ball überfliegt das Hindernis nicht, da er in \(9\,\text{m}\) Entfernung nur eine Höhe von \(2{,}9\,\text{m}\) hat.

- Wie berechnet man den Wert einer Funktion an einer bestimmten Stelle? - Erinnerst du dich an die Symmetrie von Parabeln? Was bedeutet es für den Scheitelpunkt, wenn zwei Punkte dieselbe Höhe haben? - Welche Formel hilft dir, den Extrempunkt einer quadratischen Funktion in der Form \(f(x) = ax^2 + bx + c\) zu finden?

1. Berechnung der Funktionswerte für Teilaufgabe a: \(k(60) = 0{,}001 \cdot 60^2 - 0{,}18 \cdot 60 + 15{,}6 = 3{,}6 - 10{,}8 + 15{,}6 = 8{,}4\). \(k(120) = 0{,}001 \cdot 120^2 - 0{,}18 \cdot 120 + 15{,}6 = 14{,}4 - 21{,}6 + 15{,}6 = 8{,}4\). Beide Geschwindigkeiten führen zum gleichen Verbrauch von \(8{,}4\,\text{l}/100\,\text{km}\). 2. Bestimmung des Minimums für Teilaufgabe b: Da der Graph eine nach oben geöffnete Parabel ist (\(a = 0{,}001 > 0\)), liegt das Minimum im Scheitelpunkt. Berechnung der \(v\)-Koordinate des Scheitelpunkts: \(v_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-0{,}18}{2 \cdot 0{,}001} = \frac{0{,}18}{0{,}002} = 90\). Berechnung des minimalen Verbrauchs: \(k(90) = 0{,}001 \cdot 90^2 - 0{,}18 \cdot 90 + 15{,}6 = 8{,}1 - 16{,}2 + 15{,}6 = 7{,}5\). Die optimale Geschwindigkeit beträgt \(90\,\text{km/h}\) bei einem Verbrauch von \(7{,}5\,\text{l}/100\,\text{km}\).

a) Bei beiden Geschwindigkeiten beträgt der Verbrauch \(8{,}4\,\text{l}/100\,\text{km}\). b) Der Verbrauch ist bei einer Geschwindigkeit von \(90\,\text{km/h}\) am geringsten und beträgt dort \(7{,}5\,\text{l}/100\,\text{km}\).

- Vergleiche die beiden Faktoren in den Funktionsgleichungen, um das Verhältnis der Bremswege direkt zu sehen. - Berechne zuerst den konkreten Wert für die nasse Straße und nutze diesen dann als Zielwert für die trockene Straße. - Wie berechnet man den prozentualen Unterschied zwischen zwei Werten?

1. Bremsweg bei \(50\,\text{km/h}\): \(s_t(50) = 0{,}005 \cdot 2500 = 12{,}5\,\text{m}\) und \(s_n(50) = 0{,}008 \cdot 2500 = 20\,\text{m}\). 2. Prozentualer Vergleich: \(\frac{20 - 12{,}5}{12{,}5} = \frac{7{,}5}{12{,}5} = 0{,}6\). Der Bremsweg ist auf nassem Asphalt um \(60\,\%\) länger. Alternativ: \(\frac{0{,}008}{0{,}005} = 1{,}6\). 3. Bremsweg nass bei \(80\,\text{km/h}\): \(s_n(80) = 0{,}008 \cdot 6400 = 51{,}2\,\text{m}\). 4. Geschwindigkeit auf trockener Straße für \(51{,}2\,\text{m}\): \(51{,}2 = 0{,}005v^2 \Rightarrow v^2 = \frac{51{,}2}{0{,}005} = 10\,240 \Rightarrow v = \sqrt{10\,240} \approx 101{,}19\,\text{km/h}\).

a) Auf trockener Straße beträgt der Bremsweg \(12{,}5\,\text{m}\), auf nassem Asphalt \(20\,\text{m}\). Der Bremsweg verlängert sich um \(60\,\%\). b) Der Bremsweg bei \(80\,\text{km/h}\) auf nasser Straße (\(51{,}2\,\text{m}\)) entspricht auf trockener Straße einer Geschwindigkeit von \(v \approx 101{,}2\,\text{km/h}\).

- Welche Umformung macht die maximale Höhe direkt sichtbar? - Welche Bedingung gilt beim Bodenkontakt? - Lässt sich die entstehende quadratische Gleichung faktorisieren? - Welcher Term der allgemeinen Form bestimmt die Höhe bei \(x=0\)?

1. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(h(x)=-0{,}5(x-2)^2+4{,}5\). Die maximale Höhe beträgt \(4{,}5\,\text{m}\). 2. Für den Bodenkontakt gilt \(-0{,}5x^2+2x+2{,}5=0\). Multiplikation mit \(-2\) ergibt \(x^2-4x-5=0=(x-5)(x+1)\). Die positive Nullstelle ist \(x=5\); die Wurfweite beträgt \(5\,\text{m}\). 3. Die Anfangshöhe ist der Funktionswert bei \(x=0\), also der konstante Term. Eine um \(1\,\text{m}\) größere Anfangshöhe führt zu \(h_{\text{neu}}(x)=-0{,}5x^2+2x+3{,}5\).

a) \(4{,}5\,\text{m}\) b) \(5\,\text{m}\) c) \(h_{\text{neu}}(x)=-0{,}5x^2+2x+3{,}5\)

- Überlege, wie viele Punkte du mindestens benötigst, um die Parameter einer linearen bzw. einer quadratischen Funktion eindeutig zu bestimmen. - Setze die bekannten Koordinaten in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um ein Gleichungssystem zu erhalten. - Vergleiche die berechneten Funktionswerte für einen bestimmten Zeitpunkt mit dem tatsächlich gemessenen Wert, um die Genauigkeit zu beurteilen.

1. Aufstellen der linearen Funktion \(h_{\text{lin}}(t) = mt + c\): Aus \(h(0) = 50\) folgt \(c = 50\). Mit \(h(4) = 170\): \(170 = m \cdot 4 + 50 \Rightarrow 120 = 4m \Rightarrow m = 30\). Somit: \(h_{\text{lin}}(t) = 30t + 50\). 2. Aufstellen der quadratischen Funktion \(h_{\text{quad}}(t) = at^2 + bt + c\): Aus \(h(0) = 50\) folgt \(c = 50\). Gleichungssystem mit den Punkten \((2|90)\) und \((4|170)\): I) \(4a + 2b + 50 = 90 \Rightarrow 4a + 2b = 40 \Rightarrow 2a + b = 20\) II) \(16a + 4b + 50 = 170 \Rightarrow 16a + 4b = 120 \Rightarrow 4a + b = 30\) Subtraktion II - I: \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\). Einsetzen in I: \(2(5) + b = 20 \Rightarrow 10 + b = 20 \Rightarrow b = 10\). Somit: \(h_{\text{quad}}(t) = 5t^2 + 10t + 50\). 3. Prüfung für \(t = 5\): \(h_{\text{lin}}(5) = 30 \cdot 5 + 50 = 200\,\text{cm}\). Abweichung: \(|222{,}5 - 200| = 22{,}5\,\text{cm}\). \(h_{\text{quad}}(5) = 5 \cdot 5^2 + 10 \cdot 5 + 50 = 125 + 50 + 50 = 225\,\text{cm}\). Abweichung: \(|222{,}5 - 225| = 2{,}5\,\text{cm}\). Das quadratische Modell beschreibt das Wachstum deutlich besser.

a) Die lineare Funktion lautet \(h_{\text{lin}}(t) = 30t + 50\), die quadratische Funktion lautet \(h_{\text{quad}}(t) = 5t^2 + 10t + 50\). b) Das quadratische Modell beschreibt den Wert nach 5 Wochen besser, da die berechnete Höhe (\(225\,\text{cm}\)) näher am Messwert (\(222{,}5\,\text{cm}\)) liegt als die des linearen Modells (\(200\,\text{cm}\)).

- Welche Steigung hat die Gerade durch den Ursprung und den letzten Messpunkt? - Welche zwei Gleichungen für \(a\) und \(b\) liefern die beiden weiteren Punkte des quadratischen Ansatzes? - Welche Eigenschaft unterscheidet eine lineare Zunahme von einer quadratischen Zunahme im Hinblick auf die Änderungsrate? - Welche Aussage über die Zukunft lässt sich aus nur drei Messpunkten nicht sicher ableiten?

1. Aus \(80=10m\) folgt \(m=8\). Damit ist \(f(x)=8x\). 2. Für \(g(x)=ax^2+bx\) erhält man aus \((5 \mid 25)\) die Gleichung \(5a+b=5\) und aus \((10 \mid 80)\) die Gleichung \(10a+b=8\). Subtraktion ergibt \(5a=3\), also \(a=0{,}6\) und anschließend \(b=2\). Daher ist \(g(x)=0{,}6x^2+2x\). 3. Es gilt \(f(12)=96\) und \(g(12)=110{,}4\), jeweils in Tausend Nutzern. 4. Unter der ausdrücklich angenommenen weiter zunehmenden Zuwachsrate passt das quadratische Modell besser als das lineare Modell mit konstanter Zuwachsrate. Die drei Messpunkte allein beweisen jedoch nicht, dass das Wachstum künftig quadratisch verläuft; insbesondere eine weiter entfernte Extrapolation wäre damit nicht abgesichert.

a) \(f(x)=8x\) b) \(g(x)=0{,}6x^2+2x\) c) Linear: \(96\,000\) Nutzer; quadratisch: \(110\,400\) Nutzer. Unter der genannten Annahme passt das quadratische Modell besser. Die wenigen Messpunkte rechtfertigen aber keine allgemeine oder langfristige quadratische Prognose.

- Setze die gegebenen Entfernungswerte für die Variable in die Funktionsgleichung ein. - Überlege, an welcher Stelle einer Parabel der höchste Punkt erreicht wird und wie man diesen berechnet. - Was bedeutet es für die Höhe eines Objekts, wenn es den Boden berührt?

1. Berechnung der Höhen für Teilaufgabe a): Für \(x = 2\) ergibt sich \(f(2) = -0{,}25 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = -1 + 4 = 3\,\text{m}\). Für \(x = 6\) ergibt sich \(f(6) = -0{,}25 \cdot 6^2 + 2 \cdot 6 = -9 + 12 = 3\,\text{m}\). Da beide Werte identisch sind, ist die Bedingung erfüllt. 2. Bestimmung der maximalen Höhe für Teilaufgabe b): Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte zwischen den Stellen gleicher Höhe oder wird über \(x_s = -\frac{b}{2a}\) berechnet: \(x_s = -\frac{2}{2 \cdot (-0{,}25)} = \frac{2}{0{,}5} = 4\). Die maximale Höhe ist \(f(4) = -0{,}25 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 = -4 + 8 = 4\,\text{m}\). 3. Berechnung der Fußpunkte für Teilaufgabe c): Die Fußpunkte liegen dort, wo die Höhe \(0\) ist. Ansatz: \(-0{,}25x^2 + 2x = 0\). Ausklammern von \(x\) führt zu \(x \cdot (-0{,}25x + 2) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) (linker Fußpunkt) und \(x_2 = \frac{-2}{-0{,}25} = 8\) (rechter Fußpunkt). Die Entfernung beträgt \(8 - 0 = 8\,\text{m}\).

a) Die Höhe an beiden Stellen beträgt \(3\,\text{m}\). b) Die maximale Höhe beträgt \(4\,\text{m}\). c) Die Fußpunkte liegen \(8\,\text{m}\) auseinander, da die Nullstellen der Funktion bei \(x = 0\) und \(x = 8\) liegen.

- Was bedeutet Break-even mathematisch für die Gewinnfunktion? - Lässt sich die entstehende Gleichung durch Faktorisieren lösen? - Welche Symmetrieinformation liefern zwei Nullstellen einer Parabel? - Was bedeutet ein negativer Funktionswert einer Gewinnfunktion im Kontext?

1. Für Break-even gilt \(G(x)=0\). Division durch \(-2\) ergibt \(x^2-30x+200=0\). Der Term faktorisiert zu \((x-10)(x-20)=0\). Daher liegen die Break-even-Preise bei \(10\,\text{€}\) und \(20\,\text{€}\). 2. Die beiden Nullstellen liegen symmetrisch zur Achse \(x=15\). Dort liegt der Scheitelpunkt der nach unten geöffneten Gewinnparabel. Es gilt \(G(15)=50\). Der maximale Gewinn beträgt also \(50\,\text{€}\) bei einem Preis von \(15\,\text{€}\). 3. \(G(0)=-400\) bedeutet, dass das Modell bei einem Verkaufspreis von \(0\,\text{€}\) einen Verlust von \(400\,\text{€}\) prognostiziert. Aus dem Modell allein folgt nicht, dass dieser Betrag ausschließlich Fixkosten darstellt.

a) \(10\,\text{€}\) und \(20\,\text{€}\) b) Bei \(15\,\text{€}\) ist der Gewinn maximal; er beträgt \(50\,\text{€}\). c) Das Modell prognostiziert bei \(x=0\) einen Verlust von \(400\,\text{€}\); dessen genaue Kostenstruktur ist aus dem Modell nicht ableitbar.

- Welche binomische Formel brauchst du zum Ausmultiplizieren? - Was fällt an der allgemeinen Form nach dem Zusammenfassen auf? - Kannst du für die Nullstellen einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Was bedeutet der Abstand der beiden Nullstellen im Brückenmodell?

1. Es gilt \((x-10)^2=x^2-20x+100\). 2. Daher ist \(p(x)=-0{,}1x^2+2x-10+10=-0{,}1x^2+2x\). 3. Für die Nullstellen gilt \(-0{,}1x^2+2x=0\). Ausklammern ergibt \(x(-0{,}1x+2)=0\). 4. Damit sind \(x_1=0\) und \(x_2=20\). Der Abstand der beiden Bodenpunkte beträgt \(20\,\text{m}\).

a) \(p(x)=-0{,}1x^2+2x\) b) \(x_1=0\), \(x_2=20\); die Breite beträgt \(20\,\text{m}\).

- Welcher Teil der Scheitelpunktkoordinaten gibt die Höhe an, welcher die Entfernung? - Was bedeutet eine Nullstelle im Kontext eines Sprungs? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten auf der x-Achse? - Was meint man im Alltag mit „flacher“ im Vergleich von zwei Kurven? Hat das etwas mit der Steigung oder dem Streckfaktor zu tun?

1. Bestimmung der Scheitelpunkte: Für den ersten Sprung ist \(S_f(2|2)\), die maximale Höhe beträgt \(2\,\text{m}\). Für den zweiten Sprung ist \(S_g(3|1{,}8)\), die maximale Höhe beträgt \(1{,}8\,\text{m}\). Der erste Sprung erreicht die größere maximale Höhe. 2. Berechnung der Nullstellen für die Sprungweite: Für \(f(x)\): \(0 = -0{,}5(x-2)^2 + 2 \Rightarrow (x-2)^2 = 4 \Rightarrow x-2 = \pm 2\). Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = 4\). Die Weite beträgt \(4\,\text{m}\). Für \(g(x)\): \(0 = -0{,}2(x-3)^2 + 1{,}8 \Rightarrow (x-3)^2 = 9 \Rightarrow x-3 = \pm 3\). Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = 6\). Die Weite beträgt \(6\,\text{m}\). 3. Vergleich: Der zweite Sprung ist flacher, da er eine geringere maximale Höhe (\(1{,}8\,\text{m} < 2\,\text{m}\)) erreicht, aber eine größere Weite (\(6\,\text{m} > 4\,\text{m}\)) erzielt. Mathematisch ist der Betrag des Streckfaktors \(|a|\) bei \(g(x)\) kleiner (\(0{,}2 < 0{,}5\)).

a) Sprung 1 erreicht die größere maximale Höhe (\(2\,\text{m}\) gegenüber \(1{,}8\,\text{m}\)). b) Sprungweite 1: \(4\,\text{m}\); Sprungweite 2: \(6\,\text{m}\). c) Sprung 2 ist flacher, da er bei geringerer Maximalhöhe eine größere Weite besitzt.

- Was bedeutet es für den \(y\)-Wert, wenn wir die Breite am Boden suchen? - Wie hängen die \(x\)-Koordinaten mit der Gesamtbreite eines Objekts zusammen, wenn das Koordinatensystem mittig liegt? - Skizziere die Situation, um zu sehen, an welcher Stelle die Höhe des Transports die Tunnelwand berühren würde.

1. Berechnung der Nullstellen für die Bodenbreite: \(0 = -0{,}2x^2 + 5 \Rightarrow 0{,}2x^2 = 5 \Rightarrow x^2 = 25\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -5\) und \(x_2 = 5\). Die Breite beträgt \(5 - (-5) = 10\,\text{m}\). 2. Berechnung der Breite bei einer Höhe von \(4\,\text{m}\): \(4 = -0{,}2x^2 + 5 \Rightarrow 0{,}2x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 5\). 3. Die \(x\)-Koordinaten der Tunnelwände in dieser Höhe sind \(x \approx \pm 2{,}236\). 4. Die maximale Breite des Transports ist die Differenz dieser Werte: \(2 \cdot \sqrt{5} \approx 4{,}47\,\text{m}\).

a) Die Breite am Boden beträgt \(10\,\text{m}\). b) Der Transport darf maximal etwa \(4{,}47\,\text{m}\) breit sein.

- Wie verteilen sich die \(x\)-Koordinaten, wenn ein Gesamtabstand von \(120\,\text{m}\) symmetrisch um die \(y\)-Achse liegt? - Wenn du die Höhe kennst, wie findest du dann die zugehörigen seitlichen Abstände für eine andere Höhe? - Achte darauf, am Ende die gesamte Breite anzugeben, nicht nur den Abstand zur Mitte.

1. Da der Abstand \(120\,\text{m}\) beträgt und die Parabel symmetrisch zur \(y\)-Achse liegt, befinden sich die Stationen bei \(x = 60\) und \(x = -60\). 2. Berechnung der Höhe \(h\): \(y = 0{,}005 \cdot 60^2 = 0{,}005 \cdot 3600 = 18\). Die Höhe beträgt \(18\,\text{m}\). 3. Die Wasserhöhe beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 18\,\text{m} = 9\,\text{m}\). 4. Berechnung der Breite bei \(y = 9\): \(9 = 0{,}005 \cdot x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{9}{0{,}005} = 1800\). 5. \(x = \pm \sqrt{1800} \approx \pm 42{,}43\). 6. Die Breite der Wasseroberfläche ist die Differenz der \(x\)-Werte: \(2 \cdot \sqrt{1800} \approx 84{,}85\,\text{m}\).

a) Die Höhe der Messstationen beträgt \(18\,\text{m}\). b) Die Wasseroberfläche ist etwa \(84{,}85\,\text{m}\) breit.

- Könntest du den Ursprung des Koordinatensystems an den Anfang des Bogens legen? - Welche besonderen Punkte der Parabel sind durch die Breite der Brücke gegeben? - Wie hilft dir ein weiterer bekannter Punkt auf dem Bogen, die Form der Parabel genau festzulegen? - Wo befindet sich bei einer symmetrischen Parabel immer der höchste Punkt?

1. Da der Bogen bei \(x = 0\) und \(x = 40\) den Boden berührt, liegen die Nullstellen bei \(0\) und \(40\). Ansatz in der Nullstellenform: \(h(x) = ax(x - 40)\). 2. Einsetzen des Punktes \((10 | 15)\) zur Bestimmung von \(a\): \(15 = a \cdot 10 \cdot (10 - 40) = -300a\). 3. Berechnung von \(a\): \(a = \frac{15}{-300} = -0{,}05\). Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = -0{,}05x^2 + 2x\). 4. Die maximale Höhe liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen bei \(x = 20\). 5. Berechnung der maximalen Höhe: \(h(20) = -0{,}05 \cdot 20^2 + 2 \cdot 20 = -20 + 40 = 20\). Die maximale Höhe beträgt \(20\,\text{m}\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = -0{,}05x^2 + 2x\). b) Die maximale Höhe des Bogens beträgt \(20\,\text{m}\).

- Wenn der Scheitelpunkt im Ursprung liegt, wie sieht dann die einfachste Form der Parabelgleichung aus? - Wie gehst du vor, wenn du einen Funktionswert (die Höhe) gegeben hast und den dazugehörigen \(x\)-Wert (den Abstand) suchst? - Achte darauf, am Ende die Wurzel korrekt zu ziehen und auf die geforderten Stellen zu runden.

1. Da der Scheitelpunkt bei \(S(0 \mid 0)\) liegt, lautet der Ansatz \(f(x) = ax^2\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(4 \mid 3{,}2)\) zur Bestimmung von \(a\): \(3{,}2 = a \cdot 4^2 \Rightarrow 3{,}2 = 16a \Rightarrow a = 0{,}2\). Die Gleichung ist \(f(x) = 0{,}2x^2\). 3. Gesucht ist der Wert für \(x\), bei dem \(f(x) = 2\) gilt: \(2 = 0{,}2x^2\). 4. Auflösen nach \(x\): \(x^2 = \frac{2}{0{,}2} = 10 \Rightarrow x = \sqrt{10} \approx 3{,}1622\ldots\). 5. Der horizontale Abstand von der Mitte beträgt ca. \(3{,}16\,\text{m}\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}2x^2\). b) Der horizontale Abstand beträgt ca. \(3{,}16\,\text{m}\).

- Welche Informationen aus dem Text entsprechen dem Scheitelpunkt der Parabel? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den Streckfaktor der Parabel zu berechnen? - Was bedeutet „auf dem Boden auftreffen“ für den Funktionswert? - Welche Form der Parabelgleichung ist am einfachsten zu verwenden, wenn der höchste Punkt bekannt ist?

1. Aufstellen der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s\) mit dem Scheitelpunkt \(S(2{,}5 \mid 4{,}25)\): \(f(x) = a(x - 2{,}5)^2 + 4{,}25\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid 2)\) zur Bestimmung von \(a\): \(2 = a(0 - 2{,}5)^2 + 4{,}25 \Rightarrow -2{,}25 = 6{,}25a \Rightarrow a = -0{,}36\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}36(x - 2{,}5)^2 + 4{,}25\). 4. Berechnung der Höhe bei \(x = 4{,}00\): \(f(4) = -0{,}36(4 - 2{,}5)^2 + 4{,}25 = -0{,}36 \cdot 2{,}25 + 4{,}25 = 3{,}44\,\text{m}\). 5. Berechnung der Nullstelle für die Wurfweite: \(0 = -0{,}36(x - 2{,}5)^2 + 4{,}25 \Rightarrow (x - 2{,}5)^2 = \frac{4{,}25}{0{,}36} \approx 11{,}81\). 6. Da nur die positive Entfernung sinnvoll ist: \(x = 2{,}5 + \sqrt{\frac{4{,}25}{0{,}36}} \approx 2{,}5 + 3{,}44 = 5{,}94\,\text{m}\).

a) \(f(x) = -0{,}36(x - 2{,}5)^2 + 4{,}25\) b) Der Ball befindet sich in einer Höhe von \(3{,}44\,\text{m}\). c) Der Ball würde nach ca. \(5{,}94\,\text{m}\) auf dem Boden auftreffen.

- An einem Schnittpunkt müssen beide Funktionen denselben Funktionswert haben. - Wenn nach dem Umformen kein konstantes Glied bleibt, welche gemeinsame Variable kannst du ausklammern? - Bestimme für den Höhenvergleich die Scheitelpunkte beider Parabeln.

1. Aus \(f(x)=g(x)\) folgt \(-0{,}5x^2+2x+1=-x^2+3x+1\), also \(0{,}5x^2-x=0\). 2. Faktorisieren ergibt \(x(0{,}5x-1)=0\). Neben \(x=0\) gilt \(x=2\). Mit \(f(2)=3\) ist der zweite Schnittpunkt \((2\mid3)\). 3. Für \(f\) liegt der Scheitelpunkt bei \(x_S=-\frac{2}{2\cdot(-0{,}5)}=2\), also \(S_A(2\mid3)\). 4. Für \(g\) liegt er bei \(x_S=-\frac{3}{2\cdot(-1)}=1{,}5\); \(g(1{,}5)=3{,}25\). Damit ist \(S_B(1{,}5\mid3{,}25)\). 5. Strahl B erreicht die größere maximale Höhe.

a) Aus \(f(x)=g(x)\) folgt neben dem Startpunkt \(x=0\) die Lösung \(x=2\); damit ist der Kreuzungspunkt \((2\mid3)\). b) \(S_A(2\mid3)\) und \(S_B(1{,}5\mid3{,}25)\). Daher erreicht Strahl B mit \(3{,}25\,\text{m}\) die größere maximale Höhe.

- Welcher Funktionswert beschreibt die Höhe direkt am Abwurfpunkt? - Welche Umformung macht den höchsten Punkt sichtbar? - Wie kannst du in dieser Form die Stellen mit der Höhe \(3{,}05\,\text{m}\) bestimmen? - Woran erkennst du, welche der beiden symmetrischen Stellen zum Sinkflug gehört?

1. Es gilt \(h(0)=2\). Der Wert \(2\) beschreibt daher die Abwurfhöhe von \(2\,\text{m}\). 2. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(h(x)=-0{,}2(x-3)^2+3{,}8\). Der Ball erreicht seine maximale Höhe von \(3{,}8\,\text{m}\) bei \(x=3\,\text{m}\). 3. Für die Korbhöhe gilt \(-0{,}2(x-3)^2+3{,}8=3{,}05\). Daraus folgt \((x-3)^2=3{,}75\). 4. Somit ist \(x=3\pm\sqrt{3{,}75}\). Die kleinere Lösung gehört zum Steigflug, die größere zum Sinkflug. Daher muss der Korb bei \(x=3+\sqrt{3{,}75}\approx4{,}94\,\text{m}\) stehen.

a) \(2\) ist die Abwurfhöhe in Metern. b) Die maximale Höhe beträgt \(3{,}8\,\text{m}\). c) Der Korb muss sich bei \(x\approx4{,}94\,\text{m}\) befinden.

- Achte genau auf den Unterschied zwischen Radius und Durchmesser. - Setze die bekannten Werte für Masse und Radius in die allgemeine Formel ein, um die Unbekannte zu finden. - Überlege dir, wie sich das Quadrat einer Zahl verhält: Welchen Faktor muss der Radius haben, damit am Ende eine \(4\) als Multiplikator für die gesamte Masse herauskommt?

1. Bestimmung von \(k\): Einsetzen der Werte \(m = 1{,}2\) und \(r = 10\) in \(m = kr^2\) führt zu \(1{,}2 = k \cdot 100\). Daraus folgt \(k = 0{,}012\,\frac{\text{kg}}{\text{cm}^2}\). 2. Berechnung für Durchmesser \(30\,\text{cm}\): Der Radius beträgt \(r = 15\,\text{cm}\). Einsetzen in die Formel: \(m(15) = 0{,}012 \cdot 15^2 = 0{,}012 \cdot 225 = 2{,}7\,\text{kg}\). 3. Analyse der Massenvervielfachung: Da \(m\) proportional zu \(r^2\) ist, führt eine Vervierfachung der Masse (\(\cdot 4\)) zu einer Veränderung des Radius um den Faktor \(\sqrt{4} = 2\). Der Radius muss also verdoppelt werden.

a) \(k = 0{,}012\,\frac{\text{kg}}{\text{cm}^2}\) (bzw. \(m(r) = 0{,}012r^2\) für \(r\) in \(\text{cm}\) und \(m\) in \(\text{kg}\)) b) Die Masse beträgt \(2{,}7\,\text{kg}\). c) Der Radius muss verdoppelt werden, da die Masse quadratisch vom Radius abhängt und \(2^2 = 4\) gilt.

- Setze die gegebenen Werte für die Geschwindigkeit direkt in die Funktionsgleichung ein. - Der Bremsweg wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit. Überprüfe, ob sich der Bremsweg verdoppelt, wenn sich die Geschwindigkeit verdoppelt. - Um die Geschwindigkeit bei einem gegebenen Bremsweg zu finden, musst du eine quadratische Gleichung lösen. - Welche der mathematischen Lösungen für die Geschwindigkeit macht in der Realität Sinn?

1. Berechnung der Bremswege: \(s(60) = 0{,}01 \cdot 60^2 + 0{,}2 \cdot 60 = 36 + 12 = 48\,\text{m}\). Für \(120\,\text{km/h}\) gilt: \(s(120) = 0{,}01 \cdot 120^2 + 0{,}2 \cdot 120 = 144 + 24 = 168\,\text{m}\). 2. Zunahme berechnen: \(s(100) = 0{,}01 \cdot 100^2 + 0{,}2 \cdot 100 = 100 + 20 = 120\,\text{m}\). \(s(110) = 0{,}01 \cdot 110^2 + 0{,}2 \cdot 110 = 121 + 22 = 143\,\text{m}\). Die Zunahme beträgt \(143 - 120 = 23\,\text{m}\). 3. Berechnung der Geschwindigkeit für \(120\,\text{m}\): Setze \(s(v) = 120\). Es ergibt sich \(0{,}01 v^2 + 0{,}2 v - 120 = 0\). Multiplikation mit \(100\) führt zu \(v^2 + 20 v - 12\,000 = 0\). Anwendung der \(p-q\)-Formel: \(v = -10 \pm \sqrt{10^2 - (-12\,000)} = -10 \pm \sqrt{12\,100} = -10 \pm 110\). Die physikalisch sinnvolle Lösung ist \(v = 100\,\text{km/h}\).

a) Bei \(60\,\text{km/h}\) beträgt der Bremsweg \(48\,\text{m}\), bei \(120\,\text{km/h}\) sind es \(168\,\text{m}\). b) Der Bremsweg verlängert sich um \(23\,\text{m}\). c) Bei einer Geschwindigkeit von \(100\,\text{km/h}\) beträgt der Bremsweg genau \(120\,\text{m}\).

- Welche Punkte der beiden Graphen liefern Scheitelpunkt und jeweils einen weiteren einfachen Funktionswert? - Welche Bedingung gilt an jedem Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen? - Wenn eine Lösung außerhalb des dargestellten Bereichs liegt, wie kannst du prüfen, ob sie im Sachkontext sinnvoll ist?

1. Aus der Grafik liest man \(S_f(2\mid4)\) und \(S_g(3\mid3)\) ab. 2. Für \(f\) gilt \(f(x)=a(x-2)^2+4\). Mit \((0\mid0)\) folgt \(0=4a+4\), also \(a=-1\). Daher ist \(f(x)=-(x-2)^2+4\). 3. Für \(g\) gilt \(g(x)=a(x-3)^2+3\). Mit \((1\mid0)\) folgt \(0=4a+3\), also \(a=-0{,}75\). Daher ist \(g(x)=-0{,}75(x-3)^2+3\). 4. Für Schnittpunkte setzt man die Terme gleich. Nach dem Ausmultiplizieren ergibt sich \(x^2+2x-15=0\), also \((x-3)(x+5)=0\). 5. Der sichtbare Schnittpunkt gehört zu \(x=3\). Für den zweiten gilt \(x=-5\) und \(f(-5)=-45\). Somit ist der zweite mathematische Schnittpunkt \((-5\mid-45)\). 6. Dieser Punkt liegt sowohl bei negativer horizontaler Entfernung als auch unterhalb des Bodenniveaus und damit außerhalb des Sachmodells.

a) \(S_f(2\mid4)\) und \(S_g(3\mid3)\) b) \(f(x)=-(x-2)^2+4\); \(g(x)=-0{,}75(x-3)^2+3\) c) Zweiter mathematischer Schnittpunkt: \((-5\mid-45)\); er liegt außerhalb des sinnvollen Sachbereichs.

- Welche Koordinaten des Scheitelpunkts und welchen weiteren Punkt kannst du aus dem Raster ablesen? - Wie bestimmt ein weiterer Punkt den noch unbekannten Faktor der Scheitelpunktform? - Wie prüfst du rechnerisch, ob der Korbpunkt auf dem Graphen liegt? - Welche Höhe gilt beim Bodenkontakt?

1. Aus dem Graphen liest man \(S(4|4{,}4)\) und den Abwurfpunkt \((0|2)\) ab. Daher gilt \(f(x)=a(x-4)^2+4{,}4\). 2. Mit \((0|2)\) folgt \(2=16a+4{,}4\), also \(a=-0{,}15\). Damit ist \(f(x)=-0{,}15(x-4)^2+4{,}4\). 3. Für den Korb gilt \(f(7)=-0{,}15\cdot9+4{,}4=3{,}05\). Der Ball geht exakt durch den Korb. 4. Für den Bodenkontakt gilt \(-0{,}15(x-4)^2+4{,}4=0\). Daraus folgt \((x-4)^2=\frac{88}{3}\) und damit \(x=4\pm\sqrt{\frac{88}{3}}\). 5. Die positive, in Flugrichtung relevante Lösung ist \(x\approx9{,}42\,\text{m}\).

a) \(f(x)=-0{,}15(x-4)^2+4{,}4\) b) Ja, denn \(f(7)=3{,}05\). c) \(x\approx9{,}42\,\text{m}\)

- Kannst du auf jedem Graphen einen Punkt ablesen, der genau auf einer Gitterkreuzung liegt? - Wie kannst du die Koordinaten eines bekannten Punktes \((v \mid F_L)\) nutzen, um den Parameter \(a\) in der Formel zu bestimmen? - Welcher Wert stellt den Grundwert (\(100\,\%\)) dar, wenn du den prozentualen Unterschied im Vergleich zur Rennradhaltung berechnest? - Wie groß ist der absolute Unterschied zwischen den beiden Werten bei \(10\,\text{m/s}\)?

1. Ablesen geeigneter Punkte aus dem Diagramm: - Für die aufrechte Haltung (roter Graph): Am Punkt \((10 \mid 40)\) beträgt der Luftwiderstand bei \(10\,\text{m/s}\) genau \(40\,\text{N}\). Alternativ kann auch der Punkt \((5 \mid 10)\) abgelesen werden. - Für die Rennradhaltung (blauer Graph): Am Punkt \((10 \mid 25)\) beträgt der Luftwiderstand bei \(10\,\text{m/s}\) genau \(25\,\text{N}\). 2. Bestimmung des Faktors \(a\) durch Einsetzen in \(F_L = av^2\): - Aufrechte Haltung: \(40 = a \cdot 10^2 \implies 40 = 100a \implies a = 0{,}4\) - Rennradhaltung: \(25 = a \cdot 10^2 \implies 25 = 100a \implies a = 0{,}25\) 3. Berechnung des prozentualen Unterschieds bei \(v = 10\,\text{m/s}\): - Luftwiderstand aufrechte Haltung: \(40\,\text{N}\) - Luftwiderstand Rennradhaltung: \(25\,\text{N}\) - Differenz: \(40\,\text{N} - 25\,\text{N} = 15\,\text{N}\) - Prozentualer Unterschied bezogen auf die Rennradhaltung: \(\frac{15}{25} \cdot 100\,\% = 60\,\%\) (Alternativ direkt über die Faktoren \(a\): \(\frac{0{,}4 - 0{,}25}{0{,}25} = \frac{0{,}15}{0{,}25} = 0{,}6 = 60\,\%\))

a) Aufrechte Haltung: \(a = 0{,}4\); Rennradhaltung: \(a = 0{,}25\) b) Der Luftwiderstand ist um \(60\,\%\) größer.

- Kannst du wichtige Punkte der Flugbahn, wie den Abwurfort oder den höchsten Punkt, direkt aus dem Graphen ablesen? - Wie hängen der höchste Punkt einer Parabel und ihr Funktionsterm zusammen? - Welche mathematische Bedingung muss erfüllt sein, damit der Ball eine bestimmte Höhe erreicht? - Wie berechnest du den Punkt, an dem der Ball wieder auf dem Boden auftrifft? - Vergleiche die Eigenschaften der beiden Parabeln Schritt für Schritt: Wer hat den höheren Scheitelpunkt und wer die größere Nullstelle?

1. Bestimmung markanter Punkte aus dem Graphen: Der Abwurfpunkt liegt bei \((0 \mid 2)\), der Scheitelpunkt bei \((4 \mid 4)\). 2. Überprüfung der Funktionsterme für Teilaufgabe a): - \(g(0) = 4 \neq 2\) (falsch) - \(h(x)\) ist nach oben geöffnet und \(h(4) = 0 \neq 4\) (falsch) - \(f(0) = 2\) und \(f(4) = 4\). Somit beschreibt der Term \(f(x) = -0{,}125x^2 + x + 2\) die Flugbahn. 3. Berechnung der Entfernung zum Korb für Teilaufgabe b): Ansatz \(f(x) = 3 \implies -0{,}125x^2 + x + 2 = 3 \implies x^2 - 8x + 8 = 0\). Lösungen: \(x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{8}\). Da der Ball fällt, wählen wir die größere Lösung: \(x = 4 + \sqrt{8} \approx 6{,}83\,\text{m}\). 4. Vergleich mit dem zweiten Wurf für Teilaufgabe c): - Scheitelpunkt von \(k(x) = -0{,}1x^2 + 0{,}8x + 2\): \(x_S = 4 \implies y_S = k(4) = 3{,}6\,\text{m}\). Da \(3{,}6\,\text{m} < 4\,\text{m}\) (Scheitelpunkt von \(f\)), fliegt der zweite Ball nicht so hoch wie der erste. - Nullstellen von \(k(x)\): \(-0{,}1x^2 + 0{,}8x + 2 = 0 \implies x^2 - 8x - 20 = 0 \implies (x-10)(x+2) = 0\). Die positive Nullstelle liegt bei \(x = 10\,\text{m}\). Der erste Ball landet bei \(x = 4 + \sqrt{32} \approx 9{,}66\,\text{m}\). Da \(10\,\text{m} > 9{,}66\,\text{m}\), fliegt der zweite Ball weiter.

a) Der Funktionsterm (1) \(f(x) = -0{,}125x^2 + x + 2\) beschreibt die Flugbahn. b) Der Ball durchquert den Korb in einer Entfernung von ca. \(6{,}83\,\text{m}\). c) Der zweite Ball fliegt nicht höher (maximale Höhe von \(3{,}6\,\text{m}\) im Vergleich zu \(4\,\text{m}\) beim ersten Ball), aber er fliegt weiter (Auftreffpunkt bei \(10\,\text{m}\) im Vergleich zu ca. \(9{,}66\,\text{m}\) beim ersten Ball).

- Überlege dir, was die Nullstellen im Sachzusammenhang „Tunnelbreite“ bedeuten. - Der Parameter \(c\) in \(y = ax^2 + c\) entspricht dem y-Achsenabschnitt, also hier der maximalen Tunnelhöhe. - Wenn ein Fahrzeug mittig fährt, verteilt sich seine Breite gleichmäßig nach links und rechts von der y-Achse. - Berechne die Höhe der Parabel an der Stelle, an der sich die Außenkante des Fahrzeugs befindet.

1. Ablesen der Werte: Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). Die Breite am Boden beträgt somit \(2 - (-2) = 4\,\text{m}\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0 \mid 4)\). 2. Funktionsgleichung bestimmen: Aus \(S(0 \mid 4)\) folgt direkt \(c = 4\). Mit der Nullstelle \((2 \mid 0)\) ergibt sich \(0 = a \cdot 2^2 + 4\), also \(4a = -4\) und \(a = -1\). Die Gleichung lautet \(h(x) = -x^2 + 4\). 3. Maximale Fahrzeughöhe: Ein \(2\,\text{m}\) breites Fahrzeug nimmt bei mittiger Fahrt den Bereich von \(x = -1\) bis \(x = 1\) ein. Die kritische Höhe ist der Funktionswert an den Rändern, also \(h(1) = -1^2 + 4 = 3\). Das Fahrzeug darf höchstens \(3\,\text{m}\) hoch sein.

a) Nullstellen: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\); Scheitelpunkt: \(S(0 \mid 4)\); Breite: \(4\,\text{m}\) b) \(h(x) = -x^2 + 4\) c) Das Fahrzeug darf höchstens \(3\,\text{m}\) hoch sein.

- Welche Kandidaten passen bereits wegen der Öffnungsrichtung nicht zum sichtbaren Graphabschnitt? - Welchen gut ablesbaren Punkt kannst du zum Unterscheiden der verbleibenden Terme verwenden? - Wie kannst du bei einer Parabel mit zwei Nullstellen die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts bestimmen? - Welche Bedeutung hat die positive Nullstelle in diesem Sachzusammenhang?

1. Der sichtbare Graph öffnet sich nach unten, daher scheidet Term (1) aus. Außerdem liegt der sichtbare Punkt \((2\mid3)\) auf dem Graphen. Für Term (2) gilt \(-0{,}25\cdot4+4=3\), für Term (3) dagegen \(-0{,}5\cdot4+8=6\). Daher passt Term (2). 2. Für \(f(x)=-0{,}25x^2+2x\) liegen die Nullstellen bei \(0\) und \(8\). Die Symmetrieachse liegt bei \(x=4\). Mit \(f(4)=4\) beträgt die maximale Höhe \(4\,\text{m}\). 3. Die positive Nullstelle \(x=8\) bedeutet, dass der Wasserstrahl nach \(8\,\text{m}\) wieder die Wasseroberfläche erreicht.

a) Term (2): \(f(x)=-0{,}25x^2+2x\). Der Graph ist nach unten geöffnet und enthält den sichtbaren Punkt \((2\mid3)\); Term (3) hätte dort den Wert \(6\). b) Maximale Höhe: \(4\,\text{m}\) bei \(x=4\,\text{m}\) c) \(8\,\text{m}\)

- Welche Vereinfachung folgt für den konstanten Term von \(g\) aus dem Punkt \(P(0 \mid 0)\)? - Welche zwei Gleichungen liefern die Punkte \(Q\) und \(R\) für die verbleibenden Koeffizienten? - Welche Bedeutung hat der Scheitelpunkt für die maximale Flughöhe? - Welche der beiden Nullstellen ist im Sachzusammenhang die Flugweite?

1. Für Rakete B wird \(g(x)=ax^2+bx+c\) angesetzt. Aus \(P(0 \mid 0)\) folgt \(c=0\). Mit \(Q\) und \(R\) erhält man \(25a+5b=4\) und \(100a+10b=6\). Lösen ergibt \(a=-0{,}04\) und \(b=1\), also \(g(x)=-0{,}04x^2+x\). 2. Für Rakete A ist \(x_S=-\frac{1}{2\cdot(-0{,}05)}=10\) und \(f(10)=5\). Für Rakete B ist \(x_S=-\frac{1}{2\cdot(-0{,}04)}=12{,}5\) und \(g(12{,}5)=6{,}25\). Rakete B steigt höher. 3. Für Rakete A gilt \(x(-0{,}05x+1)=0\), also ist die positive Nullstelle \(20\). Für Rakete B gilt \(x(-0{,}04x+1)=0\), also ist die positive Nullstelle \(25\). Rakete B fliegt weiter.

a) \(g(x)=-0{,}04x^2+x\) b) Rakete A: \(S_A(10 \mid 5)\); Rakete B: \(S_B(12{,}5 \mid 6{,}25)\). Rakete B steigt höher. c) Positive Nullstellen: Rakete A \(20\,\text{m}\), Rakete B \(25\,\text{m}\). Rakete B fliegt weiter.

- Achte beim Ablesen darauf, dass der Wert für \(v\) in der Formel erst durch 10 geteilt und dann quadriert wird. - Wähle einen Wert für \(v\) auf der x-Achse aus (z. B. \(20\,\text{m/s}\)) und lies den zugehörigen Kraftwert \(F\) auf der y-Achse ab. - Wenn ein Wert genau doppelt so groß ist wie ein anderer, um wie viel Prozent ist er dann „größer“?

1. Für Kurve A wird ein Punkt abgelesen, zum Beispiel \(P(20 \mid 8)\). Einsetzen in die Formel \(F = k(\frac{v}{10})^2\) ergibt \(8 = k(\frac{20}{10})^2 = k \cdot 2^2 = 4k\). Daraus folgt \(k_A = 2\). 2. Für Kurve B wird der Punkt \(Q(20 \mid 4)\) abgelesen. Einsetzen ergibt \(4 = k(\frac{20}{10})^2 = 4k\), woraus \(k_B = 1\) folgt. 3. Berechnung der Kräfte bei \(v = 25\,\text{m/s}\): \(F_A(25) = 2 \cdot (\frac{25}{10})^2 = 2 \cdot 2{,}5^2 = 2 \cdot 6{,}25 = 12{,}5\,\text{kN}\) \(F_B(25) = 1 \cdot (\frac{25}{10})^2 = 1 \cdot 2{,}5^2 = 6{,}25\,\text{kN}\) 4. Prozentualer Vergleich: Da \(F_A\) mit \(12{,}5\,\text{kN}\) genau doppelt so groß ist wie \(F_B\) mit \(6{,}25\,\text{kN}\), ist die Kraft in Kurve A um \(100\,\%\) größer (\(\frac{12{,}5 - 6{,}25}{6{,}25} = 1 = 100\,\%\)).

a) Für Kurve A ist \(k = 2\) und für Kurve B ist \(k = 1\). b) Bei \(25\,\text{m/s}\) ist die Seitenkraft in Kurve A um \(100\,\%\) größer als in Kurve B.

- Welche zwei gut ablesbaren Punkte des linearen Graphen reichen zur Bestimmung seiner Steigung? - Welche Gleichung beschreibt gleiche Sparbeträge? - Eine Schnittstelle gehört zum gemeinsamen Start. Welche weitere Lösung ist gesucht? - Wie viele Monate entsprechen drei Jahren?

1. Aus dem Graphen lassen sich für \(S_2\) beispielsweise \((0|0)\) und \((6|90)\) ablesen. Die Steigung ist \(m=90:6=15\), also \(S_2(x)=15x\). 2. Gleichsetzen liefert \(0{,}5x^2=15x\). Daraus folgt \(x(0{,}5x-15)=0\), also \(x=0\) oder \(x=30\). Nach dem Start sind die Beträge nach \(30\) Monaten erneut gleich. 3. Drei Jahre entsprechen \(36\) Monaten. Es gilt \(S_1(36)=0{,}5\cdot36^2=648\). Nach dem Kauf bleiben \(48\,\text{€}\) übrig.

a) \(S_2(x)=15x\) b) Nach \(30\) Monaten. c) Ja. Es bleiben \(48\,\text{€}\) übrig.

- Welche Art von Funktion wächst immer steiler an? Lineare oder quadratische Funktionen? - Suche dir für die Geradengleichung einen Punkt, der genau auf einer Gitterkreuzung liegt. - Der Anhalteweg setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Berechne erst beide Teile einzeln für die gegebene Geschwindigkeit.

1. Da der Bremsweg quadratisch mit der Geschwindigkeit wächst (Vervierfachung bei Verdopplung), muss er durch eine Parabel dargestellt werden. Somit gehört Graph \(p\) zum Bremsweg. 2. Für den Reaktionsweg \(k\) wird ein Punkt vom linearen Graphen abgelesen, z. B. \((50 \mid 15)\). Die Steigung ist \(m = \frac{15}{50} = 0{,}3\). Die Gleichung lautet \(y = 0{,}3x\). 3. Bei \(v = 60\,\text{km/h}\) wird der Reaktionsweg berechnet: \(s_R = 0{,}3 \cdot 60 = 18\,\text{m}\). 4. Der Bremsweg beträgt \(s_B = 0{,}01 \cdot 60^2 = 36\,\text{m}\). 5. Der gesamte Anhalteweg ist \(s_A = 18\,\text{m} + 36\,\text{m} = 54\,\text{m}\).

a) Graph \(p\) stellt den Bremsweg dar, da die Kurve eine Parabel ist und quadratisches Wachstum zeigt. b) \(y = 0{,}3x\) c) Der Anhalteweg beträgt \(54\,\text{m}\).

- Welcher wirtschaftliche Graph muss bei Produktionsmenge \(0\) ebenfalls den Wert \(0\) haben? - Was bedeutet ein positiver Kostenwert bei \(x=0\)? - In welchem Bereich liegt der Gewinngraph oberhalb der \(x\)-Achse? - Welche Stelle liefert bei einer nach unten geöffneten Parabel das Maximum?

1. Graph \(f\) ist der Umsatz, weil er bei Produktionsmenge \(0\) durch den Ursprung verläuft. Graph \(g\) sind die Gesamtkosten, weil bei \(x=0\) bereits positive Kosten entstehen. Graph \(h\) ist damit der Gewinn als Differenz aus Umsatz und Gesamtkosten. 2. Der Kostengraph \(g\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(10\). Die Fixkosten betragen daher \(10\cdot100\,\text{€}=1000\,\text{€}\). 3. Gewinn entsteht dort, wo Graph \(h\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Aus der Abbildung liest man ungefähr \(4<x<26\), also etwa \(400\,\text{L}\) bis \(2600\,\text{L}\). 4. Für \(G(x)=-0{,}1x^2+3x-10\) gilt \(x_S=-\frac{3}{2\cdot(-0{,}1)}=15\). 5. Es ist \(G(15)=12{,}5\). Somit wird der maximale Gewinn bei \(1500\,\text{L}\) erreicht und beträgt \(1250\,\text{€}\).

a) \(f\): Umsatz, weil der Graph durch den Ursprung verläuft; \(g\): Gesamtkosten, weil bei \(x=0\) Fixkosten vorliegen; \(h\): Gewinn als Differenz. b) \(1000\,\text{€}\) c) ungefähr \(4<x<26\), also etwa \(400\,\text{L}\) bis \(2600\,\text{L}\) d) maximal \(1250\,\text{€}\) bei \(1500\,\text{L}\)

- Welche Stelle einer nach unten geöffneten Parabel beschreibt die größte Höhe? - Wie kannst du die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts aus der allgemeinen Form bestimmen? - Welche Gleichung beschreibt den Zeitpunkt beziehungsweise Ort, an dem die Höhe \(0\) ist? - Welche der beiden mathematischen Lösungen passt zum beschriebenen Flug nach dem Abwurf?

1. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts ist \(x_S=-\frac{0{,}6}{2\cdot(-0{,}05)}=6\). Einsetzen ergibt \(h(6)=-0{,}05\cdot36+0{,}6\cdot6+2=3{,}8\). Somit ist \(S(6 \mid 3{,}8)\). 2. Im Kontext bedeutet dies: Nach \(6\,\text{m}\) horizontaler Entfernung erreicht die Kugel ihre maximale Höhe von \(3{,}8\,\text{m}\). 3. Für den Auftreffpunkt gilt \(h(x)=0\): \(-0{,}05x^2+0{,}6x+2=0\). Nach Division durch \(-0{,}05\) erhält man \(x^2-12x-40=0\), also \(x=6\pm\sqrt{76}\). Nur die positive Lösung ist im Sachzusammenhang sinnvoll: \(x\approx14{,}72\).

a) \(S(6 \mid 3{,}8)\). Nach \(6\,\text{m}\) horizontaler Entfernung erreicht die Kugel ihre maximale Höhe von \(3{,}8\,\text{m}\). b) Die Weite beträgt ungefähr \(14{,}72\,\text{m}\).

- Berechne zunächst, welchen Wert jedes Modell an der Stelle der Kontrollmessung vorhersagt. - Wie kannst du den Abstand zwischen Vorhersage und Messwert als positive Zahl vergleichen? - Welche Reichweite hat eine Schlussfolgerung, die nur auf einem einzelnen Kontrollpunkt beruht?

1. Das lineare Modell liefert \(L(1)=7\). Die absolute Abweichung vom Kontrollwert beträgt \(|7-6{,}2|=0{,}8\). 2. Das quadratische Modell liefert \(Q(1)=6\). Die absolute Abweichung beträgt \(|6-6{,}2|=0{,}2\). 3. Am Kontrollpunkt \(x=1\) liegt das quadratische Modell näher am Messwert. Daraus folgt nur, dass es diesen einen unabhängigen Kontrollpunkt besser beschreibt; eine allgemeine Überlegenheit ist damit nicht bewiesen.

\(L\): Abweichung \(0{,}8\); \(Q\): Abweichung \(0{,}2\). Am Kontrollpunkt \(x=1\) wird das quadratische Modell besser gestützt.

- Erstelle für jedes Modell zunächst die vier vorhergesagten Werte. - Wie erhältst du aus Messwert und Modellwert eine Abweichung, bei der das Vorzeichen keine Rolle spielt? - Vergleiche erst nach dem Summieren aller vier Abweichungen. - Worauf darfst du deine Schlussfolgerung beschränken?

1. Modell \(A\) liefert die Werte \(1\), \(3\), \(7\), \(13\). Die absoluten Abweichungen sind \(0{,}1\), \(0{,}1\), \(0{,}2\), \(0{,}2\); ihre Summe ist \(0{,}6\). 2. Modell \(B\) liefert \(1{,}2\), \(3{,}0\), \(6{,}8\), \(12{,}6\). Die absoluten Abweichungen sind \(0{,}1\), \(0{,}1\), \(0\), \(0{,}6\); ihre Summe ist \(0{,}8\). 3. Nach der vorgegebenen Summe der absoluten Abweichungen passt Modell \(A\) zu diesen vier Messwerten besser. Daraus folgt keine Aussage über andere \(x\)-Werte.

Summe für \(A\): \(0{,}6\) Summe für \(B\): \(0{,}8\) Nach diesem Kriterium passt \(A\) zu den vier gegebenen Messwerten besser.

- Berechne zunächst beide Modellwerte an derselben Messstelle. - Vergleiche nicht die Modellwerte untereinander, sondern jeweils mit dem Messwert. - Bei b) arbeitest du nur noch mit dem besser passenden Modell. - Was weißt du nach einer Kontrolle an genau einer Stelle über andere Stellen?

1. Modell A liefert \(E_A(3)=0{,}8\cdot9=7{,}2\,\text{J}\), also eine Abweichung von \(0{,}1\,\text{J}\). 2. Modell B liefert \(E_B(3)=1{,}2\cdot9=10{,}8\,\text{J}\), also eine Abweichung von \(3{,}5\,\text{J}\). Modell A passt deutlich besser. 3. Für \(12{,}8\,\text{J}\) gilt nach Modell A \(0{,}8x^2=12{,}8\), also \(x^2=16\). Im Kontext gilt \(x=4\,\text{cm}\). 4. Eine einzelne Messung prüft das Modell nur an einer Stelle; andere Verformungen könnten andere Abweichungen zeigen.

a) Modell A; Abweichung \(0{,}1\,\text{J}\) statt \(3{,}5\,\text{J}\) b) \(4\,\text{cm}\) c) Eine Messstelle reicht nicht aus, um die Modellgüte für andere Verformungen zu belegen.

- Setze die bekannte Stromstärke und Leistung in \(P(I)=RI^2\) ein. - Verwende den bestimmten Parameter anschließend unverändert. - Für die größte zulässige Stromstärke genügt es, die Grenzgleichung \(P(I)=50\) zu lösen.

1. Aus \(20=R\cdot2^2\) folgt \(20=4R\) und damit \(R=5\,\Omega\). 2. Somit ist \(P(I)=5I^2\). Bei \(I=3\) gilt \(P(3)=5\cdot9=45\,\text{W}\). 3. Für die Grenze gilt \(5I^2=50\), also \(I^2=10\). Im Sachkontext ist \(I=\sqrt{10}\approx3{,}16\,\text{A}\).

a) \(R=5\,\Omega\) b) \(45\,\text{W}\) c) höchstens etwa \(3{,}16\,\text{A}\)

- Welche Information ist in der Scheitelpunktform direkt ablesbar? - Isoliere bei b) zuerst das Quadrat \((v-40)^2\). - Vergleiche bei c) den gefragten Wert mit dem angegebenen Definitionsbereich des Modells.

1. Aus der Scheitelpunktform folgt das Minimum bei \(v=40\,\text{mm/s}\) mit \(D=0{,}1\,\text{mm}\). 2. Es gilt \(0{,}02(v-40)^2+0{,}1\le0{,}28\). Damit ist \((v-40)^2\le9\), also \(-3\le v-40\le3\). 3. Somit gilt \(37\le v\le43\). 4. \(60\,\text{mm/s}\) liegt außerhalb des ausdrücklich festgelegten Modellbereichs \([30;50]\). Eine Extrapolation dorthin ist durch die Modellannahme nicht abgesichert.

a) bei \(40\,\text{mm/s}\) b) \(37\le v\le43\) c) \(60\,\text{mm/s}\) liegt außerhalb des Modellbereichs.

- Welche beiden Messstellen haben denselben Funktionswert? - Wo liegt die Mitte ihrer x-Werte? - Nutze nach dem Scheitelpunkt einen der äußeren Messpunkte, um \(a\) zu bestimmen.

1. Die gleichen Werte bei \(x=2\) und \(x=6\) liegen symmetrisch um \(x=4\). Da dort zugleich der kleinere Wert \(1\) gemessen wird, ist \(S(4\mid1)\) der Scheitelpunkt. 2. Ansatz: \(F(x)=a(x-4)^2+1\). Mit \(F(2)=5\) folgt \(5=4a+1\), also \(a=1\). 3. Damit ist \(F(x)=(x-4)^2+1\). 4. \(F(5)=1^2+1=2\,\text{mm}\).

a) Weil \(F(2)=F(6)=5\) und \(2\) und \(6\) symmetrisch um \(4\) liegen, ist \(x=4\) die Symmetrieachse. Da \(F(4)=1\) kleiner ist, ist \(S(4\mid1)\) der Scheitelpunkt. b) \(F(x)=(x-4)^2+1\) c) \(2\,\text{mm}\)

- Prüfe das vorgeschlagene Modell an einem tatsächlich gegebenen Messpunkt. - Der Scheitelpunkt ist durch die mittlere Messung bereits festgelegt; unbekannt bleibt nur \(a\). - Nutze bei c) die Symmetrie der Quadratsgleichung.

1. Das vorgeschlagene Modell liefert beispielsweise \(Q_0(1)=-0{,}25\cdot4+9=8\), gemessen wurde aber \(7\). 2. Mit \((1\mid7)\) gilt \(7=4a+9\). Daraus folgt \(a=-0{,}5\). 3. Das korrigierte Modell lautet \(Q(d)=-0{,}5(d-3)^2+9\). 4. Für \(Q=8{,}5\) gilt \(-0{,}5(d-3)^2+9=8{,}5\), also \((d-3)^2=1\). Damit ist \(d=2\) oder \(d=4\).

a) Zum Beispiel \(Q_0(1)=8\neq7\) b) \(a=-0{,}5\), also \(Q(d)=-0{,}5(d-3)^2+9\) c) \(d=2\) oder \(d=4\)

- Welche Koordinaten hat der Scheitelpunkt aufgrund des höchsten Modellwerts? - Setze den zweiten gegebenen Punkt erst ein, nachdem du die Scheitelpunktform angesetzt hast. - Eine kleine Abweichung an einem Punkt ist nur eine lokale Aussage über die Modellgüte.

1. Aus dem Maximum folgt der Scheitelpunkt \(S(4\mid12)\). Daher gilt \(G(x)=a(x-4)^2+12\) mit \(a<0\). 2. Mit \(G(2)=8\) folgt \(8=4a+12\), also \(a=-1\). Damit ist \(G(x)=-(x-4)^2+12\). 3. Es gilt \(G(5)=-1+12=11\). 4. Die absolute Abweichung der Kontrollmessung beträgt \(|11{,}2-11|=0{,}2\). An diesem Kontrollpunkt liegt das Modell also nahe am Messwert; daraus allein folgt aber nicht, dass es im gesamten Modellbereich gut passt.

a) \(G(x)=-(x-4)^2+12\) b) \(11\) c) Abweichung \(0{,}2\); am Kontrollpunkt passt das Modell gut, eine Aussage über den gesamten Bereich ist damit noch nicht gesichert.

- Übersetze jeden Tabellenpunkt in eine Gleichung für \(a\), \(b\) und \(c\). - Eliminiere zunächst \(c\), indem du Gleichungen voneinander abziehst. - Unterscheide bei c) zwischen einer rechnerisch möglichen Einsetzung und einer durch Daten begründeten Modellanwendung.

1. Aus den drei Punkten entstehen die Gleichungen \(4a+2b+c=72\), \(16a+4b+c=84\) und \(36a+6b+c=80\). 2. Subtrahieren liefert \(12a+2b=12\) und \(20a+2b=-4\). Die Differenz ergibt \(8a=-16\), also \(a=-2\). 3. Dann folgt aus \(12a+2b=12\): \(-24+2b=12\), also \(b=18\). Mit der ersten Gleichung ist \(c=44\). Damit gilt \(U(p)=-2p^2+18p+44\). 4. Für \(p=5\) erhält man \(U(5)=-50+90+44=84\). 5. Der Modellbereich wurde auf \(2\le p\le6\) festgelegt. \(p=10\) liegt außerhalb des durch die Testwerte gestützten Bereichs; eine solche Extrapolation ist mit diesen Daten nicht abgesichert.

a) \(U(p)=-2p^2+18p+44\) b) \(U(5)=84\) c) \(p=10\) liegt außerhalb des festgelegten Modellbereichs \(2\le p\le6\); die Daten stützen diese Extrapolation nicht.

- Vergleiche zuerst die Abstände der beiden Linsenpositionen von der Symmetrieachse. - Für b) ist die Scheitelpunktform bereits durch den gegebenen Scheitelpunkt vorbereitet. - Nutze in c) erneut die Symmetrie, bevor du rechnest.

1. Die Positionen \(46\) und \(54\) liegen jeweils \(4\) Einheiten von der Symmetrieachse \(x=50\) entfernt. Eine Parabel mit diesem Scheitelpunkt muss daher dort gleiche Funktionswerte haben. \(84\neq82\), also können nicht beide Messwerte zugleich passen. 2. Mit \(F(x)=a(x-50)^2+100\) und \(F(46)=84\) gilt \(84=16a+100\). Daraus folgt \(a=-1\), also \(F(x)=-(x-50)^2+100\). 3. Wegen der Symmetrie oder durch Einsetzen ist \(F(54)=84\). Zum protokollierten Wert \(82\) beträgt die absolute Abweichung \(2\).

a) \(46\) und \(54\) sind symmetrisch zu \(x=50\); deshalb müssten die Funktionswerte gleich sein. Die Angaben \(84\) und \(82\) widersprechen sich. b) \(F(x)=-(x-50)^2+100\) c) \(F(54)=84\); Abweichung zum zweiten Protokoll: \(2\)

- Welche Symmetrieachse kannst du direkt aus der Scheitelpunktform ablesen? - Berechne bei b) zuerst den Modellwert an der Kontrollstelle. - Trenne die Aussage „passt an diesem Punkt“ von „passt im ganzen Modellbereich“.

1. Die Werte \(6\) und \(10\) liegen jeweils \(2\) Einheiten von der Symmetrieachse \(n=8\) entfernt. Daher gilt \(Y(6)=Y(10)=-0{,}025\cdot4+6{,}2=6{,}1\). 2. Es ist \(Y(12)=-0{,}025\cdot16+6{,}2=5{,}8\). Die absolute Abweichung beträgt \(|5{,}75-5{,}8|=0{,}05\). 3. Ein einzelner Kontrollpunkt prüft nur die Modellgüte an dieser Stelle. Andere Düngemengen können größere Abweichungen zeigen; außerdem gilt das Modell nur im festgelegten Bereich.

a) \(Y(6)=Y(10)=6{,}1\), weil \(6\) und \(10\) symmetrisch zu \(n=8\) liegen. b) Absolute Abweichung: \(0{,}05\) c) Ein einzelner gut passender Kontrollpunkt bestätigt das Modell nicht im gesamten Bereich.

- Setze bei a) die Spannung direkt in das Modell ein. - Bringe bei b) alle Terme auf eine Seite und prüfe, ob sich der quadratische Term faktorisieren lässt. - Eine algebraische Lösung muss zusätzlich die Bedingungen des Modellbereichs erfüllen.

1. Es gilt \(C(2)=2\cdot4+3\cdot2=14\). 2. Aus \(2v^2+3v=27\) folgt \(2v^2+3v-27=0\). Der Term faktorisiert zu \((2v+9)(v-3)=0\). Damit sind rechnerisch \(v=-4{,}5\) oder \(v=3\) möglich. 3. Der Modellbereich ist \(0\le v\le4\). Daher ist nur \(v=3\) für die Sachaufgabe zulässig; \(v=-4{,}5\) liegt außerhalb des Kalibrierbereichs.

a) \(C(2)=14\) b) \(v=3\) c) \(v=-4{,}5\) ist rechnerisch eine Nullstelle der umgeformten Gleichung, liegt aber außerhalb von \(0\le v\le4\).

- Prüfe zunächst bewusst nur die beiden Randpositionen in beiden Modellen. - Welche Messung liefert zusätzliche Information, nachdem beide Modelle am Rand übereinstimmen? - Verwende bei c) nur das Modell, das alle drei Messwerte erfüllt.

1. Für \(x=0\) und wegen der Symmetrie ebenso für \(x=20\) gilt \(h_1=0{,}02\cdot100+3=5\). Für das zweite Modell gilt \(h_2=0{,}015\cdot100+3{,}5=5\). Beide Modelle passen also zu den Randmessungen. 2. In der Mitte ist \(h_1(10)=3\), aber \(h_2(10)=3{,}5\). Daher passt nur \(h_1\) zu allen drei Angaben. 3. Es ist \(h_1(5)=0{,}02\cdot25+3=3{,}5\). Das passende Modell sagt dort eine Höhe von \(3{,}5\,\text{m}\) voraus.

a) Beide Modelle liefern bei \(x=0\) und \(x=20\) jeweils \(5\,\text{m}\). b) Nur \(h_1\) passt auch zur mittleren Messung, denn \(h_1(10)=3\), während \(h_2(10)=3{,}5\) gilt. c) \(h_1(5)=3{,}5\,\text{m}\)

- Forme die Durchsatzgleichung in eine quadratische Gleichung um. - Prüfe, ob sich der entstehende Term faktorisieren lässt. - Frage dich bei c), ob ein Funktionswert einer nicht eindeutigen Parabelstelle immer genau einen x-Wert bestimmt.

1. Aus \(k(60-k)=800\) folgt \(-k^2+60k-800=0\), also \(k^2-60k+800=0\). Der Term faktorisiert zu \((k-20)(k-40)=0\). Somit ist \(k=20\) oder \(k=40\). 2. Das Modell ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Symmetrieachse \(k=30\). Die beiden Dichten liegen gleich weit von dieser Achse entfernt und haben deshalb denselben Durchsatz. 3. Man braucht eine weitere Größe, die die Verkehrssituation unterscheidet, beispielsweise eine Information darüber, ob die Dichte unter oder über \(30\) liegt. Aus dem Durchsatz allein ist die Zuordnung nicht eindeutig.

a) \(k=20\) oder \(k=40\) b) Die beiden Werte liegen symmetrisch zur Achse \(k=30\). c) Es ist zusätzliche Information nötig, etwa ob \(k<30\) oder \(k>30\) gilt.

- Unterscheide sorgfältig zwischen der Eingabe \(N\) und dem Funktionswert \(G(N)\). - Welche Eigenschaft hat der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel? - Prüfe bei c), ob der verlangte Eingabewert zum angegebenen Modellbereich gehört.

1. Es gilt \(G(0)=0\) und \(G(60)=0{,}6\cdot60-0{,}01\cdot60^2=0\). 2. \(G(60)=0\) bedeutet, dass das Modell bei einer Populationsgröße von \(60\) keinen momentanen Nettozuwachs vorhersagt. Die Population selbst hat dabei weiterhin die Größe \(60\). 3. Die Parabel ist nach unten geöffnet. Ihre Symmetrieachse liegt bei \(N_S=-\frac{0{,}6}{2\cdot(-0{,}01)}=30\). Daher liegt dort das Maximum. 4. Es ist \(G(30)=0{,}6\cdot30-0{,}01\cdot30^2=9\). 5. Der Modellbereich ist ausdrücklich auf \(0\le N\le60\) beschränkt. \(N=80\) liegt außerhalb dieses Bereichs.

a) \(G(0)=0\) und \(G(60)=0\). Dabei bedeutet \(G(60)=0\) keinen Nettozuwachs bei einer Population der Größe \(60\), nicht eine Populationsgröße von \(0\). b) Maximum bei \(N=30\) mit \(G(30)=9\) c) \(N=80\) liegt außerhalb des festgelegten Modellbereichs \(0\le N\le60\).

- Welche gemeinsamen Faktoren besitzen die beiden Modellterme? - Wie kannst du einen prozentualen Vorteil als Quotient aus Differenz und Ausgangswert ausdrücken? - Prüfe bei der letzten Teilaufgabe, ob die gefundene Geschwindigkeit im angegebenen Modellbereich liegt.

1. Es gilt \(F_A(20)=0{,}24\cdot400=96\,\text{N}\) und \(F_B(20)=0{,}18\cdot400=72\,\text{N}\). Die Differenz beträgt \(24\,\text{N}\). 2. Für \(v>0\) ist der relative Vorteil \(\frac{F_A(v)-F_B(v)}{F_A(v)}=\frac{0{,}06v^2}{0{,}24v^2}=0{,}25\). Der Faktor \(v^2\) kürzt sich, daher beträgt der Vorteil im ganzen Modellbereich \(25\,\%\). 3. Für die Differenz \(54\,\text{N}\) gilt \(0{,}06v^2=54\). Damit ist \(v^2=900\) und im Sachkontext \(v=30\,\text{m/s}\).

a) \(F_A(20)=96\,\text{N}\), \(F_B(20)=72\,\text{N}\); Differenz \(24\,\text{N}\) b) \(\frac{F_A-F_B}{F_A}=\frac{0{,}06v^2}{0{,}24v^2}=0{,}25\); Form B hat daher für jedes \(v>0\) im Modellbereich \(25\,\%\) weniger Widerstand. c) \(v=30\,\text{m/s}\)

- Welche Größe soll in Teil b) auf beiden Kreisbahnen gleich sein? - Setze nicht die Geschwindigkeiten, sondern die beiden Kraftwerte passend zueinander in Beziehung. - Prüfe nach dem Wurzelziehen, welche Lösung im Sachkontext und im Modellbereich sinnvoll ist.

1. Es gilt \(F_k(10)=40\cdot100=4000\,\text{N}\) und \(F_g(10)=25\cdot100=2500\,\text{N}\). 2. Für dieselbe Kraft auf der größeren Kreisbahn gilt \(25v^2=4000\). Daraus folgt \(v^2=160\) und damit \(v=\sqrt{160}\approx12{,}65\,\text{m/s}\). 3. Die beiden Modelle besitzen unterschiedliche Vorfaktoren. Deshalb kann ein größerer Geschwindigkeitswert im Modell mit dem kleineren Vorfaktor denselben Funktionswert ergeben wie ein kleinerer Geschwindigkeitswert im Modell mit dem größeren Vorfaktor.

a) Kleine Kreisbahn: \(4000\,\text{N}\); große Kreisbahn: \(2500\,\text{N}\) b) \(v\approx12{,}65\,\text{m/s}\) c) Wegen der unterschiedlichen Vorfaktoren \(40\) und \(25\) entsprechen gleiche Kraftwerte unterschiedlichen Geschwindigkeiten.

- In Teil b) sollen die beiden Funktionswerte gleich sein, nicht die Drehzahlen. - Nach dem Gleichsetzen kannst du das Verhältnis der beiden Quadrate isolieren. - Beachte beim Wurzelziehen, dass eine Drehzahl in diesem Modell nicht negativ ist.

1. Es gilt \(E_A(10)=0{,}4\cdot100=40\) und \(E_B(10)=0{,}6\cdot100=60\). 2. Für gleiche Energie gilt \(0{,}4\omega_A^2=0{,}6\omega_B^2\). Daher ist \(\omega_B^2=\frac{2}{3}\omega_A^2\). Wegen \(\omega_A,\omega_B\ge0\) folgt \(\omega_B=\sqrt{\frac{2}{3}}\,\omega_A\). 3. Für \(\omega_A=15\) ist \(\omega_B=15\sqrt{\frac{2}{3}}\approx12{,}25\).

a) \(E_A(10)=40\), \(E_B(10)=60\) b) \(\omega_B=\sqrt{\frac{2}{3}}\,\omega_A\) c) \(\omega_B\approx12{,}25\)

- Welche Beziehung verbindet in der allgemeinen Form die Symmetrieachse mit \(a\) und \(b\)? - Setze den bestimmten Parameter erst danach in das Modell ein. - Nutze bei Teil c) zusätzlich die Symmetrie des Graphen, um deine beiden Lösungen zu kontrollieren.

1. Für \(D(n)=-2n^2+bn+40\) gilt \(n_S=-\frac{b}{2\cdot(-2)}=\frac{b}{4}\). Aus \(n_S=6\) folgt \(b=24\). 2. Damit lautet das Modell \(D(n)=-2n^2+24n+40\). Es ist \(D(6)=-72+144+40=112\). Wegen der nach unten geöffneten Parabel ist das der maximale Durchsatzindex. 3. Aus \(-2n^2+24n+40=104\) folgt \(n^2-12n+32=0\), also \((n-4)(n-8)=0\). Daher gilt \(n=4\) oder \(n=8\). 4. Beide Werte liegen gleich weit von der Symmetrieachse \(n=6\) entfernt und liefern deshalb denselben Durchsatzindex.

a) \(b=24\) b) maximaler Durchsatzindex \(112\) bei \(n=6\) c) \(n=4\) und \(n=8\); beide liegen symmetrisch zur Achse \(n=6\).

- Vergleiche zunächst die Änderungen von einem Tabellenwert zum nächsten. - Was bedeutet es bei gleichmäßigen \(p\)-Schritten, wenn erst die zweiten Differenzen konstant sind? - Unterscheide bei der letzten Teilaufgabe zwischen einem berechenbaren Modellwert und einem durch Daten überprüften Modellwert.

1. Die ersten Differenzen sind \(1{,}5\), \(2{,}5\) und \(3{,}5\). Sie sind nicht konstant, also liegt kein lineares Modell vor. 2. Die zweiten Differenzen sind jeweils \(1\). Das ist das typische Tabellenmerkmal einer quadratischen Funktion bei gleichen Schrittweiten. 3. Die Werte passen zu \(I(p)=0{,}5p^2\), also \(a=0{,}5\), \(b=0\) und \(c=0\). Einsetzen von \(p=1,2,3,4\) bestätigt alle Tabellenwerte. 4. \(p=5\) liegt außerhalb des durch die Tabelle überprüften Bereichs \(1\le p\le4\). Der berechnete Wert wäre eine Extrapolation und ist durch diese Messreihe nicht kontrolliert.

a) Erste Differenzen: \(1{,}5\), \(2{,}5\), \(3{,}5\); zweite Differenzen: \(1\), \(1\). Daher passt ein quadratisches, aber kein lineares Modell. b) \(I(p)=0{,}5p^2\) c) \(p=5\) liegt außerhalb des durch die Messwerte geprüften Bereichs; eine Vorhersage dort ist nicht durch diese Daten validiert.

- Nutze die Formel für den Flächeninhalt des Quadrats und setze die veränderten Werte ein. - Was passiert mit einem Faktor in einer Klammer, wenn die Klammer quadriert wird? - Denke an den Unterschied zwischen linearem und quadratischem Wachstum.

1. Teil a): Der ursprüngliche Flächeninhalt ist \(A = a^2\). Bei Verdopplung der Seite ist der neue Inhalt \(A_{\mathrm{neu}} = (2a)^2 = 4a^2\). Der Flächeninhalt vervierfacht sich also. 2. Teil b): Gesucht ist \(k\) mit \((ka)^2 = 2a^2\). Dies führt auf \(k^2 = 2\), also \(k = \sqrt{2} \approx 1{,}41\). 3. Teil c): Die Behauptung ist falsch. Bei einer Vergrößerung der Seite um \(50\,\%\) wird die Seite mit \(1{,}5\) multipliziert. Die Fläche verändert sich um den Faktor \(1{,}5^2 = 2{,}25\). Das entspricht einer Zunahme um \(125\,\%\), nicht um \(50\,\%\). Der Zusammenhang zwischen Länge und Fläche bei einer quadratischen Form ist nicht proportional, sondern quadratisch.

a) Der Flächeninhalt vervierfacht sich (\(A_{\mathrm{neu}} = 4a^2\)). b) Der Faktor beträgt \(k \approx 1{,}41\). c) Die Behauptung ist falsch; die Fläche vergrößert sich bei einer Seitenlängenzunahme von \(50\,\%\) tatsächlich um \(125\,\%\).

- Findest du zuerst heraus, welcher Wert für \(p\) überhaupt zu einer Zunahme von \(44\,\%\) führt? - Was wäre der neue Prozentsatz für die Seitenlänge, wenn du \(p\) verdoppelst? - Berechne nun die neue Fläche mit diesem verdoppelten Prozentsatz. - Vergleiche dein Ergebnis mit dem Doppelten der ersten Flächenzunahme.

1. Dabei bezeichnet \(p\) den Prozentsatz in Dezimalform. Aus \((1 + p)^2 = 1{,}44\) folgt \(1 + p = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2\), woraus sich \(p = 0{,}2 = 20\,\%\) ergibt. 2. Für den verdoppelten Prozentsatz gilt \(2p = 0{,}4 = 40\,\%\). Der neue Wachstumsfaktor der Seitenlänge ist daher \(1{,}4\). 3. Die neue Fläche hat den Faktor \((1{,}4)^2 = 1{,}96\). Dies entspricht einer Zunahme von \(96\,\%\). 4. Da \(96\,\% \neq 88\,\%\), führt die Verdopplung des Prozentsatzes der Seitenlänge nicht zu einer Verdopplung der Flächenzunahme; der Zuwachs ist bei \(2p\) überproportional größer.

Nein. Hier ist \(p\) als Dezimalzahl zu verwenden: \(p = 0{,}2 = 20\,\%\). Bei einer Verdopplung auf \(2p = 0{,}4 = 40\,\%\) steigt die Fläche um \(96\,\%\) statt um \(88\,\%\).

- Wie viele verschiedene Gegner hat eine Mannschaft? - Warum darfst du die Zahl aller Mannschaftsbeteiligungen nicht direkt als Spielzahl übernehmen? - Kannst du die Gleichung aus b) faktorisieren? - Vergleiche \(S(n+1)\) mit \(S(n)\), ohne beide Ausdrücke unnötig getrennt auszurechnen.

1. Jede Mannschaft hat \(n-1\) Gegner und spielt gegen jeden zweimal. Damit werden zunächst \(2n(n-1)\) Mannschaftsbeteiligungen gezählt. Jedes Spiel enthält zwei Mannschaften, also ist \(S(n)=\frac{2n(n-1)}{2}=n(n-1)=n^2-n\). 2. Für \(240\) Spiele gilt \(n^2-n-240=0\). Der Term faktorisiert zu \((n-16)(n+15)=0\). Somit sind \(n=16\) und \(n=-15\) mathematische Lösungen; im Sachkontext bleibt \(n=16\). 3. Es gilt \(S(n+1)-S(n)=(n+1)^2-(n+1)-(n^2-n)=2n\). Es kommen also \(2n\) Spiele hinzu.

a) Jede Mannschaft hat \(n-1\) Gegner und spielt gegen jeden zweimal. Das ergibt \(2n(n-1)\) Mannschaftsbeteiligungen. Da jedes Spiel genau zwei Mannschaften enthält, wird durch \(2\) geteilt: \(S(n)=n(n-1)=n^2-n\). b) Es spielten \(16\) Mannschaften in der Liga. c) Es kommen \(2n\) zusätzliche Spiele hinzu.

- Berechne zuerst den höchsten Punkt für den Ball, dessen Gleichung bereits vollständig bekannt ist. - Wie kannst du den Zeitpunkt des höchsten Punktes nutzen, um die fehlende Anfangsgeschwindigkeit bei Ball B zu bestimmen? - Vergleiche am Ende die beiden berechneten Maximalwerte.

1. Für Ball A liegt der Scheitelpunkt bei \(t_S=-\frac{20}{2\cdot(-5)}=2\,\text{s}\). Damit ist \(h_A(2)=-5\cdot2^2+20\cdot2+2=22\,\text{m}\). 2. Für Ball B gilt \(t_S=-\frac{v_0}{2a}\). Aus \(1{,}5=-\frac{v_0}{2\cdot(-5)}\) folgt \(v_0=15\). 3. Somit ist \(h_B(t)=-5t^2+15t+1\) und \(h_B(1{,}5)=-5\cdot1{,}5^2+15\cdot1{,}5+1=12{,}25\,\text{m}\). 4. Weil \(22>12{,}25\), erreicht Ball A die größere maximale Höhe.

Für Ball A liegt der Scheitelpunkt bei \(t=2\,\text{s}\) und \(h_A(2)=22\,\text{m}\). Für Ball B folgt aus \(t_S=1{,}5\,\text{s}\) zunächst \(v_0=15\); damit ist \(h_B(1{,}5)=12{,}25\,\text{m}\). Also erreicht Ball A die größere maximale Höhe.

- Welche drei Gleichungen entstehen aus den drei Messpunkten? - Wie kannst du das Gleichungssystem schrittweise auf weniger Unbekannte reduzieren? - Was bedeutet die Höhe \(0\,\text{m}\) im Modell? - Kannst du die gefundene quadratische Funktion so umformen, dass nur noch ein Quadrat isoliert werden muss?

1. Mit \(h(t)=at^2+bt+c\) ergeben die drei Messpunkte \(a+b+c=15\), \(4a+2b+c=18\) und \(9a+3b+c=17\). 2. Subtraktion benachbarter Gleichungen liefert \(3a+b=3\) und \(5a+b=-1\). Daraus folgt \(2a=-4\), also \(a=-2\), anschließend \(b=9\) und \(c=8\). 3. Damit ist \(h(t)=-2t^2+9t+8\). Also gilt \(h(0)=8\); die modellierte Starthöhe beträgt \(8\,\text{m}\). 4. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(h(t)=-2\left(t-\frac{9}{4}\right)^2+\frac{145}{8}\). 5. Für \(h(t)=0\) gilt \(\left(t-\frac{9}{4}\right)^2=\frac{145}{16}\). Somit ist \(t=\frac{9\pm\sqrt{145}}{4}\). Nur die positive Lösung ist im betrachteten Zeitbereich sinnvoll: \(t\approx5{,}26\,\text{s}\).

a) \(h(t)=-2t^2+9t+8\) b) \(8\,\text{m}\) c) \(t\approx5{,}26\,\text{s}\)

- Wie kannst du die Informationen über die Spannweite und die Höhe als Punkte im Koordinatensystem ausdrücken? - Was bedeutet eine Spannweite von \(40\,\text{m}\) für die Position der Punkte auf der x-Achse, wenn die Mitte bei \(0\) liegt? - Wenn ein Fahrzeug eine bestimmte Breite hat und mittig fährt, wie weit ragen seine Kanten dann nach links und rechts? - Welche Höhe des Bogens ist entscheidend, damit ein breites Fahrzeug nicht anstößt?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Da der höchste Punkt bei \((0|10)\) liegt, ist \(c = 10\). Die Spannweite von \(40\,\text{m}\) bedeutet Nullstellen bei \(x = 20\) und \(x = -20\). Einsetzen von \((20|0)\): \(0 = a \cdot 20^2 + 10 \implies 400a = -10 \implies a = -0{,}025\). Die Gleichung lautet \(f(x) = -0{,}025x^2 + 10\). 2. Berechnung der Höhe bei \(x = 15\): \(f(15) = -0{,}025 \cdot 15^2 + 10 = -0{,}025 \cdot 225 + 10 = -5{,}625 + 10 = 4{,}375\). Die Höhe beträgt \(4{,}375\,\text{m}\). 3. Prüfung des Schwertransports: Bei einer Breite von \(6\,\text{m}\) reicht der Transport von \(x = -3\) bis \(x = 3\). Die kritische Höhe des Bogens an den Außenkanten des Transports ist \(f(3) = -0{,}025 \cdot 3^2 + 10 = -0{,}225 + 10 = 9{,}775\). Da \(9{,}775\,\text{m} > 9{,}5\,\text{m}\) ist, passt der Transport unter dem Bogen durch.

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}025x^2 + 10\). b) In \(15\,\text{m}\) Abstand von der Mitte ist der Bogen \(4{,}375\,\text{m}\) hoch. c) Ja, der Transport kann passieren. An den Außenkanten des Transports (\(3\,\text{m}\) von der Mitte) ist der Bogen noch ca. \(9{,}78\,\text{m}\) hoch, was über der Fahrzeughöhe von \(9{,}5\,\text{m}\) liegt.

- Welche Darstellungsform macht die maximale Höhe jeder Flugbahn direkt sichtbar? - Was bedeutet eine Nullstelle im Kontext der Wurfweite? - Wenn du die Funktionen bereits in Scheitelpunktform hast, wie kannst du die Nullstellen ohne eine allgemeine Lösungsformel bestimmen? - Welche der beiden Nullstellen ist jeweils als Wurfweite relevant?

1. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(h_A(x)=-0{,}05(x-6)^2+3{,}8\). Die maximale Höhe von A beträgt daher \(3{,}8\,\text{m}\). 2. Für B ergibt sich \(h_B(x)=-0{,}04(x-6{,}25)^2+3{,}6625\). Damit erreicht B maximal \(3{,}6625\,\text{m}\). A erreicht also die größere maximale Höhe. 3. Für A gilt beim Bodenkontakt \((x-6)^2=76\). Die positive Lösung ist \(x=6+\sqrt{76}\approx14{,}72\,\text{m}\). 4. Für B gilt beim Bodenkontakt \((x-6{,}25)^2=91{,}5625\). Die positive Lösung ist \(x=6{,}25+\sqrt{91{,}5625}\approx15{,}82\,\text{m}\). 5. Damit stößt B weiter, obwohl A die größere maximale Höhe erreicht.

a) Stoßer A erreicht mit \(3{,}8\,\text{m}\) die größere maximale Höhe; Stoßer B erreicht \(3{,}6625\,\text{m}\). b) Stoßer B stößt weiter: A erreicht etwa \(14{,}72\,\text{m}\), B etwa \(15{,}82\,\text{m}\).

- Der Anhalteweg besteht aus zwei unterschiedlichen mathematischen Komponenten. Betrachte sie einzeln. - Was passiert mit einem Term, wenn du für die Variable das Doppelte einsetzt? Nutze Klammern beim Einsetzen von \((2v)\). - Achte darauf, ob nach dem gesamten Anhalteweg oder nur nach dem Bremsweg gefragt ist.

1. Berechnung für \(v = 130\,\text{km/h}\): \(s_A(130) = 0{,}3 \cdot 130 + 0{,}007 \cdot 130^2 = 39 + 0{,}007 \cdot 16\,900 = 39 + 118{,}3 = 157{,}3\,\text{m}\). 2. Untersuchung der Verdopplung: Reaktionsweg \(R(v) = 0{,}3v \Rightarrow R(2v) = 0{,}3(2v) = 2(0{,}3v)\). Der Reaktionsweg verdoppelt sich. Bremsweg \(B(v) = 0{,}007v^2 \Rightarrow B(2v) = 0{,}007(2v)^2 = 0{,}007 \cdot 4v^2 = 4(0{,}007v^2)\). Der Bremsweg vervierfacht sich. 3. Bestimmung der Geschwindigkeit für \(B(v) = 100\,\text{m}\): \(0{,}007v^2 = 100 \Rightarrow v^2 = \frac{100}{0{,}007} \approx 14\,285{,}71 \Rightarrow v = \sqrt{14\,285{,}71} \approx 119{,}52\,\text{km/h}\).

a) Der Anhalteweg bei \(130\,\text{km/h}\) beträgt \(157{,}3\,\text{m}\). b) Bei einer Verdopplung der Geschwindigkeit verdoppelt sich der Reaktionsweg, während sich der Bremsweg vervierfacht. c) Der Bremsweg beträgt bei ca. \(119{,}5\,\text{km/h}\) genau \(100\,\text{m}\).

- Nutze den Messwert bei \(t=0\) als Achsenabschnitt beider Modelle. - Vergleiche für den Kontrollzeitpunkt nicht nur die Modellwerte, sondern ihre Abstände zum Messwert. - Was zeigt ein einzelner erfolgreicher Kontrollpunkt tatsächlich über ein Modell? - Liegt \(t=30\) innerhalb oder außerhalb des Zeitbereichs der ursprünglichen Messdaten?

1. Für das lineare Modell gilt \(k_{\text{lin}}(t)=mt+400\). Aus \(480=20m+400\) folgt \(m=4\), also \(k_{\text{lin}}(t)=4t+400\). 2. Für \(k_{\text{quad}}(t)=at^2+bt+400\) liefern die Punkte bei \(t=10\) und \(t=20\) die Gleichungen \(10a+b=3\) und \(20a+b=4\). Daraus folgen \(a=0{,}1\) und \(b=2\). Somit ist \(k_{\text{quad}}(t)=0{,}1t^2+2t+400\). 3. Es gilt \(k_{\text{lin}}(15)=460\,\text{ppm}\), also eine Abweichung von \(7{,}5\,\text{ppm}\). Dagegen ist \(k_{\text{quad}}(15)=452{,}5\,\text{ppm}\), also eine Abweichung von \(0\,\text{ppm}\). Für diesen Kontrollzeitpunkt passt das quadratische Modell genauer. 4. Das quadratische Modell liefert \(k_{\text{quad}}(30)=550\,\text{ppm}\). Der einzelne Kontrollwert zeigt aber nur, dass das Modell bei \(15\) Stunden gut passt. Er belegt nicht, dass derselbe quadratische Zusammenhang außerhalb des bisher beobachteten Zeitraums bis \(30\) Stunden fortbesteht.

a) \(k_{\text{lin}}(t)=4t+400\) b) \(k_{\text{quad}}(t)=0{,}1t^2+2t+400\) c) Am Kontrollzeitpunkt ist das quadratische Modell genauer: Abweichung \(0\,\text{ppm}\) statt \(7{,}5\,\text{ppm}\). d) Das quadratische Modell prognostiziert \(550\,\text{ppm}\). Der Kontrollwert bei \(15\) Stunden validiert diese Extrapolation bis \(30\) Stunden jedoch nicht sicher.

- Welcher Funktionswert beschreibt die Abwurfhöhe? - Welche Darstellungsform eignet sich, um die Maximalhöhen direkt zu vergleichen? - Welche Höhe hat ein Ball beim Bodenkontakt? - Wie kannst du aus der Scheitelpunktform die positive Nullstelle durch Isolieren eines Quadrats bestimmen?

1. Für beide Funktionen gilt bei \(x=0\): \(h_1(0)=h_2(0)=2\). Beide Bälle werden aus \(2\,\text{m}\) Höhe abgeworfen. 2. Quadratische Ergänzung liefert \(h_1(x)=-0{,}2(x-3)^2+3{,}8\) und \(h_2(x)=-0{,}1(x-4)^2+3{,}6\). Damit erreicht Ball 1 mit \(3{,}8\,\text{m}\) die größere maximale Höhe. 3. Für Ball 1 gilt beim Bodenkontakt \((x-3)^2=19\). Die positive Lösung ist \(x=3+\sqrt{19}\approx7{,}36\,\text{m}\). 4. Für Ball 2 gilt \((x-4)^2=36\). Die positive Lösung ist \(x=10\,\text{m}\). 5. Ball 2 fliegt daher weiter.

a) Beide Bälle werden aus \(2\,\text{m}\) Höhe abgeworfen. b) Ball 1 erreicht mit \(3{,}8\,\text{m}\) die größere maximale Höhe; Ball 2 erreicht \(3{,}6\,\text{m}\). c) Ball 2 fliegt weiter: Ball 1 etwa \(7{,}36\,\text{m}\), Ball 2 \(10\,\text{m}\).

- Welche Darstellungsform nutzt den bekannten höchsten Punkt direkt? - Wie hilft der Austrittspunkt dabei, den Streckfaktor zu bestimmen? - Welche Bedeutung haben die beiden Nullstellen für die horizontale Weite? - Wo liegt der Scheitel zwischen zwei Nullstellen, wenn die Parabel symmetrisch ist?

1. Mit dem Scheitelpunkt \(S(2|4)\) gilt \(f(x)=a(x-2)^2+4\). Einsetzen von \((0|0)\) ergibt \(0=4a+4\), also \(a=-1\). 2. Ausmultiplizieren liefert die allgemeine Form \(f(x)=-x^2+4x\). 3. Faktorisieren ergibt \(f(x)=-x(x-4)\). Die Nullstellen sind \(0\) und \(4\), also beträgt die Weite \(4\,\text{m}\). 4. Bei doppelter Weite liegt die zweite Nullstelle bei \(8\), während \(a=-1\) bleibt. Daher gilt \(g(x)=-x(x-8)=-x^2+8x\). 5. Wegen der Symmetrie liegt der Scheitel bei \(x=4\). Es gilt \(g(4)=16\). Die maximale Höhe vervierfacht sich somit von \(4\,\text{m}\) auf \(16\,\text{m}\).

a) \(f(x)=-x^2+4x\) b) \(4\,\text{m}\) c) Die maximale Höhe vervierfacht sich auf \(16\,\text{m}\).

- Berechne zuerst die Nullstellen durch Ausklammern von \(x\). - Den Scheitelpunkt findest du genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. - Schau dir das Verhältnis der berechneten Weiten und Höhen genau an. - Erinnere dich an die Formel für den x-Wert des Scheitelpunkts \(x_s = -\frac{b}{2a}\) und wie \(b\) darin vorkommt.

1. Analyse von \(f(x)\): Scheitelpunkt bei \(x_s = -\frac{2}{2 \cdot (-0{,}05)} = 20\). Höhe \(f(20) = -0{,}05 \cdot 400 + 2 \cdot 20 = -20 + 40 = 20\,\text{m}\). Nullstellen: \(-0{,}05x(x - 40) = 0 \Rightarrow x=0\) und \(x=40\). Weite: \(40\,\text{m}\). 2. Analyse von \(g(x)\): Scheitelpunkt bei \(x_s = -\frac{4}{2 \cdot (-0{,}05)} = 40\). Höhe \(g(40) = -0{,}05 \cdot 1600 + 4 \cdot 40 = -80 + 160 = 80\,\text{m}\). Nullstellen: \(-0{,}05x(x - 80) = 0 \Rightarrow x=0\) und \(x=80\). Weite: \(80\,\text{m}\). 3. Vergleich: Bei Verdopplung von \(b\) (von 2 auf 4) verdoppelt sich die Weite (\(40 \to 80\)), während sich die Höhe vervierfacht (\(20 \to 80\)). 4. Begründung: Die Weite ist \(x_w = \frac{b}{|a|}\) (linearer Zusammenhang mit \(b\)). Die Scheitelhöhe ist \(y_s = \frac{b^2}{4|a|}\) (quadratischer Zusammenhang mit \(b\)). Daher führt eine Verdopplung von \(b\) zu einer Vervierfachung der Höhe.

a) Rakete \(f\): Max. Höhe \(20\,\text{m}\), Weite \(40\,\text{m}\). Rakete \(g\): Max. Höhe \(80\,\text{m}\), Weite \(80\,\text{m}\). b) Bei Verdopplung des Koeffizienten \(b\) verdoppelt sich die Flugweite, während sich die maximale Höhe vervierfacht. Dies liegt an der quadratischen Abhängigkeit der Höhe von \(b\) in der Formel \(y_s = \frac{b^2}{4|a|}\).

- Welche Darstellungsform nutzt zwei bekannte Nullstellen direkt? - Wo liegt die Symmetrieachse zwischen den beiden Bodenpunkten? - Welche Form der Funktion ist günstig, wenn du zwei Stellen zu einer vorgegebenen Höhe suchst? - Wie kannst du dabei ein Quadrat isolieren?

1. Die Nullstellen liegen bei \(x=0\) und \(x=8\). Daher gilt \(f(x)=ax(x-8)\). 2. Einsetzen von \((2|3)\) ergibt \(3=a\cdot2\cdot(-6)\), also \(a=-0{,}25\). Damit ist \(f(x)=-0{,}25x^2+2x\). 3. Die Symmetrieachse liegt in der Mitte der Nullstellen bei \(x=4\). Es gilt \(f(4)=4\); die maximale Höhe beträgt \(4\,\text{m}\). 4. In Scheitelpunktform ist \(f(x)=-0{,}25(x-4)^2+4\). Für die Höhe \(2\,\text{m}\) gilt \(-0{,}25(x-4)^2+4=2\), also \((x-4)^2=8\). 5. Daher ist \(x=4\pm\sqrt{8}\). Gerundet erhält man \(x_1\approx1{,}17\,\text{m}\) und \(x_2\approx6{,}83\,\text{m}\).

a) \(f(x)=-0{,}25x^2+2x\) b) \(4\,\text{m}\) c) \(x_1\approx1{,}17\,\text{m}\), \(x_2\approx6{,}83\,\text{m}\)

- Skizziere die Situation in einem Koordinatensystem. Wo legst du den Ursprung am besten hin? - Wie breit ist der LKW zu jeder Seite der Mitte? - Welche Höhe hat der Tunnelbogen genau an der Stelle, an der sich die Außenkante des LKWs befindet?

1. Wahl des Koordinatensystems: Scheitelpunkt bei \(S(0 \mid 4)\), Nullstellen bei \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 4\) (da die Breite \(8\,\text{m}\) beträgt) 2. Aufstellen der Funktionsgleichung in der Form \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\): \(f(x) = a(x + 4)(x - 4) = a(x^2 - 16)\) 3. Einsetzen des Scheitelpunkts \(S(0 \mid 4)\) zur Bestimmung von \(a\): \(4 = a(0^2 - 16) \Rightarrow 4 = -16a \Rightarrow a = -0{,}25\) 4. Funktionsgleichung: \(f(x) = -0{,}25x^2 + 4\) 5. Bestimmung der kritischen Stellen für den LKW: Bei einer Breite von \(3\,\text{m}\) und mittiger Fahrt befinden sich die Außenkanten bei \(x = -1{,}5\) und \(x = 1{,}5\) 6. Berechnung der Tunnelhöhe an der Stelle \(x = 1{,}5\): \(f(1{,}5) = -0{,}25 \cdot (1{,}5)^2 + 4 = -0{,}25 \cdot 2{,}25 + 4 = -0{,}5625 + 4 = 3{,}4375\) 7. Vergleich mit der LKW-Höhe: \(3{,}4375\,\text{m} < 3{,}50\,\text{m}\). Der LKW ist an den Außenkanten höher als der Tunnelbogen.

Nein, der LKW kann nicht durch den Tunnel fahren. An seinen Außenkanten (bei \(1{,}5\,\text{m}\) Abstand zur Mitte) beträgt die Tunnelhöhe nur ca. \(3{,}44\,\text{m}\), der LKW ist jedoch \(3{,}50\,\text{m}\) hoch.

- Fertige eine Skizze an. Wo liegt die Mitte des Tunnels im Koordinatensystem? - Wenn ein Fahrzeug eine bestimmte Breite hat und mittig fährt, wie verteilen sich die Maße nach links und rechts von der Mitte? - An welcher Stelle des Fahrzeugs ist es am kritischsten, ob es durch den Tunnel passt — in der Mitte oder an den Außenkanten? - Wie hängen die Breite eines Objekts und die \(x\)-Koordinaten in diesem Modell zusammen?

1. Berechnung der Bodenbreite über die Nullstellen: \(0 = -0{,}15x^2 + 5{,}4 \Rightarrow 0{,}15x^2 = 5{,}4 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6\). Die Breite beträgt \(6 - (-6) = 12\,\text{m}\). 2. Prüfung der LKW-Passage: Bei einer Breite von \(3{,}20\,\text{m}\) und mittiger Fahrt befinden sich die Außenkanten bei \(x = 1{,}6\) und \(x = -1{,}6\). 3. Berechnung der Tunnelhöhe an der Außenkante: \(h(1{,}6) = -0{,}15 \cdot (1{,}6)^2 + 5{,}4 = -0{,}15 \cdot 2{,}56 + 5{,}4 = 5{,}016\,\text{m}\). Da \(5{,}016 > 3{,}80\), passt der LKW durch. 4. Berechnung der maximalen Breite für \(4{,}50\,\text{m}\) Höhe: Setze \(h(x) = 4{,}5\). 5. \(4{,}5 = -0{,}15x^2 + 5{,}4 \Rightarrow 0{,}15x^2 = 0{,}9 \Rightarrow x^2 = 6 \Rightarrow x = \sqrt{6} \approx 2{,}45\). 6. Die maximale Breite ist das Doppelte der \(x\)-Koordinate: \(2 \cdot 2{,}45 = 4{,}90\,\text{m}\).

a) Der Tunnel ist am Boden \(12\,\text{m}\) breit. b) Ja, der LKW passt durch, da der Tunnel an seinen Außenkanten noch ca. \(5{,}02\,\text{m}\) hoch ist. c) Das Fahrzeug darf maximal ca. \(4{,}90\,\text{m}\) breit sein.

- Überlege dir zuerst, wo du den Ursprung deines Koordinatensystems hinlegst, um die Rechnung zu vereinfachen. - Wie kannst du eine Parabelgleichung aufstellen, wenn du die beiden Stellen kennst, an denen sie den Boden berührt? - Wo genau befindet sich der LKW unter der Brücke, wenn er „mittig“ fährt? - Welche Stellen am LKW sind am kritischsten für die Durchfahrtshöhe?

1. Koordinatensystem festlegen: Linker Pfeiler bei \((0 \mid 0)\), rechter Pfeiler bei \((12 \mid 0)\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = ax(x - 12)\). 2. Bestimmung von \(a\) mit dem Punkt \((2 \mid 4)\): \(4 = a \cdot 2 \cdot (2 - 12) \Rightarrow 4 = -20a \Rightarrow a = -0{,}2\). Die Gleichung ist \(f(x) = -0{,}2x(x - 12) = -0{,}2x^2 + 2{,}4x\). 3. Position des LKW: Die Mitte der Brücke liegt bei \(x = 6\). Da der LKW \(3{,}2\,\text{m}\) breit ist, erstreckt er sich von \(x = 6 - 1{,}6 = 4{,}4\) bis \(x = 6 + 1{,}6 = 7{,}6\). 4. Prüfung der kritischen Höhe an den Außenkanten des LKW (\(x = 4{,}4\) oder \(x = 7{,}6\)): \(f(4{,}4) = -0{,}2 \cdot (4{,}4)^2 + 2{,}4 \cdot 4{,}4 = -0{,}2 \cdot 19{,}36 + 10{,}56 = -3{,}872 + 10{,}56 = 6{,}688\). 5. Vergleich: Da die Brückenhöhe an der engsten Stelle des LKW-Dachs \(6{,}688\,\text{m}\) beträgt und der LKW nur \(4{,}5\,\text{m}\) hoch ist, kann er problemlos mittig hindurchfahren.

Ja, der LKW kann mittig hindurchfahren. An den Außenkanten des LKW-Aufbaus (bei einer Breite von \(3{,}2\,\text{m}\)) beträgt die lichte Höhe der Brücke ca. \(6{,}69\,\text{m}\), was deutlich über der Fahrzeughöhe von \(4{,}5\,\text{m}\) liegt.

- Welche Gleichung beschreibt die Grenze zwischen nichtnegativen und negativen Modellwerten? - Ist ein mathematisch zulässiger Funktionswert automatisch durch Messdaten bestätigt? - Über welchen Zeitraum liegen tatsächlich Informationen aus dem Versuch vor? - Was sagt ein negativer Füllhöhenwert über die Fortsetzung des Modells aus?

1. Die positive Nullstelle erfüllt \(-0{,}4t^2+4t+10=0\). Nach Multiplikation mit \(-2{,}5\) erhält man \(t^2-10t-25=0\). Damit ist \(t=5\pm5\sqrt{2}\); positiv ist \(t=5+5\sqrt{2}\approx12{,}07\). 2. Die Behauptung ist nicht gerechtfertigt. Das Modell wurde nur für Messungen in den ersten \(5\) Minuten beschrieben. Dass die Formel bis etwa \(12{,}07\) Minuten nichtnegative Werte liefert, ist keine empirische Bestätigung für diesen Zeitraum. 3. Es gilt \(H(15)=-0{,}4\cdot225+60+10=-20\,\text{cm}\). Die negative Füllhöhe ist im beschriebenen Sachmodell nicht sinnvoll und zeigt deutlich, dass die algebraische Fortsetzung der Parabel nicht automatisch eine gültige reale Prognose ist.

a) Bis \(t=5+5\sqrt{2}\approx12{,}07\,\text{min}\) ist der Formelwert nichtnegativ. b) Die Behauptung ist falsch: Messdaten bis \(5\) Minuten rechtfertigen keine Nutzung bis zur mathematischen Nullstelle. c) \(H(15)=-20\,\text{cm}\); der unsinnige Kontextwert zeigt die Grenze der Extrapolation.

- Welche Gleichungen entstehen, wenn du die drei Messpunkte in die allgemeine Form einsetzt? - Welche Information liefert der Messwert bei \(t=0\) sofort über einen Koeffizienten? - Vergleiche für die Kontrolle den vorhergesagten Wert mit dem unabhängig gemessenen Wert. - Wie weit reicht eine Aussage, die nur durch einen zusätzlichen Kontrollpunkt gestützt wird?

1. Aus \(q(0)=3\) folgt \(c=3\). Aus \(q(1)=6\) und \(q(2)=13\) folgen \(a+b=3\) sowie \(4a+2b=10\). Daraus erhält man \(a=2\) und \(b=1\). Also gilt \(q(t)=2t^2+t+3\). 2. Für den Kontrollpunkt liefert das Modell \(q(3)=2\cdot9+3+3=24\). Die absolute Abweichung beträgt \(|24-24{,}5|=0{,}5\). 3. Die kleine Abweichung stützt das Modell an diesem unabhängigen Kontrollpunkt. Sie beweist weder, dass das Modell für alle anderen Zeitpunkte gut passt, noch dass eine weitreichende Extrapolation zulässig ist.

a) \(q(t)=2t^2+t+3\) b) \(q(3)=24\); absolute Abweichung \(0{,}5\) c) Der Kontrollpunkt stützt das Modell dort, beweist aber keine allgemeine oder unbegrenzte Gültigkeit.

- Setze die beiden Modellterme gleich. - Nach dem Zusammenfassen bleibt eine Gleichung mit einem Quadrat um \(T=50\). - Unterscheide bei c) zwischen Übereinstimmung zweier Modelle und Übereinstimmung mit realen Daten.

1. Gleichsetzen liefert \(-0{,}02(T-50)^2+90=-0{,}01(T-50)^2+88\). Daraus folgt \(0{,}01(T-50)^2=2\), also \((T-50)^2=200\). 2. Damit ist \(T=50\pm\sqrt{200}\), also gerundet \(T\approx35{,}86\) oder \(T\approx64{,}14\). Beide Werte liegen im Modellbereich. 3. Bei \(T=50\) ist \(M_1(50)=90\) und \(M_2(50)=88\), also sagt \(M_1\) den größeren Wert voraus. 4. Ein Schnittpunkt zeigt nur, dass die beiden mathematischen Modelle dort denselben Wert liefern. Ohne unabhängigen Messwert ist damit keine Modellgüte belegt.

a) \(T\approx35{,}86\) und \(T\approx64{,}14\) b) \(M_1\) c) Ein gemeinsamer Modellwert ist keine unabhängige Messbestätigung.

- Welche Darstellungsform nutzt die Lage des höchsten Punkts aus dem Bauplan unmittelbar? - Für das zweite Modell stammen die Bedingungen aus drei anderen Punkten. Welche drei Gleichungen ergeben sich daraus? - Trenne beim Vergleich zwischen Punkten, die ein Modell zur Bestimmung benutzt hat, und Punkten, an denen es tatsächlich geprüft wird. - Sind Bauplanbedingungen und Messwerte mit möglicher Messabweichung im Sachzusammenhang gleich stark zu gewichten? - Welcher Bereich von \(x\) gehört überhaupt zum beschriebenen Brückenbogen?

1. Wegen des Scheitelpunkts \(S(6\mid4{,}5)\) hat das Bauplanmodell die Form \(h_P(x)=a(x-6)^2+4{,}5\). Mit \(A(0\mid0)\) folgt \(0=36a+4{,}5\), also \(a=-\frac18\). Damit ist \(h_P(x)=-\frac18(x-6)^2+4{,}5\). 2. Für das Messmodell liefern die drei Punkte die Gleichungen \(9a+3b+c=3{,}5\), \(36a+6b+c=4{,}5\) und \(81a+9b+c=3{,}25\). Lösen ergibt \(a=-\frac18\), \(b=\frac{35}{24}\) und \(c=\frac14\). Somit gilt \(h_M(x)=-\frac18x^2+\frac{35}{24}x+\frac14\). 3. Das Bauplanmodell erfüllt \(A\), \(S\) und \(B\) exakt. Es liefert \(h_P(3)=h_P(9)=\frac{27}{8}=3{,}375\); die Abweichungen zu \(P\) und \(Q\) betragen jeweils \(0{,}125\,\text{m}\). Das Messmodell erfüllt \(P\), \(S\) und \(Q\) exakt, liefert aber \(h_M(0)=0{,}25\) und \(h_M(12)=-0{,}25\). Es verfehlt damit die bekannten Auflagepunkte jeweils um \(0{,}25\,\text{m}\). 4. Wenn die Auflagepunkte und die Lage des höchsten Punkts als verlässliche Bauplanbedingungen gelten und die Vermessungswerte kleine Messabweichungen enthalten dürfen, ist \(h_P\) das geeignetere Modell für den gesamten Bogen. Es erfüllt die konstruktiven Randbedingungen exakt und weicht an den beiden übrigen Messpunkten nur gering ab. 5. Der Sachbereich des Bogens ist \(0\le x\le12\). Eine algebraische Fortsetzung außerhalb dieses Intervalls beschreibt nicht automatisch einen Teil des Bauwerks; dafür fehlen sachliche Angaben.

a) \(h_P(x)=-\frac18(x-6)^2+4{,}5\) b) \(h_M(x)=-\frac18x^2+\frac{35}{24}x+\frac14\) c) \(h_P\) ist unter den angegebenen Annahmen geeigneter: Es erfüllt \(A\), \(S\) und \(B\) exakt und weicht bei \(P\) und \(Q\) jeweils nur um \(0{,}125\,\text{m}\) ab. \(h_M\) trifft die drei Vermessungspunkte exakt, verfehlt aber beide bekannten Auflagepunkte um \(0{,}25\,\text{m}\). d) Außerhalb von \(0\le x\le12\) fehlen Angaben über das Bauwerk; die algebraische Fortsetzung ist dort nicht als reales Brückenmodell begründet.