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- Wie lautet der neue Ticketpreis nach einer Erhöhung um \(x\,\text{€}\)? - Der Erlös ist das Produkt aus Preis und verkaufter Anzahl. - Welche zwei Bedingungen begrenzen \(x\) im beschriebenen Modell?

1. Nach der Preiserhöhung kostet ein Ticket \((8+x)\,\text{€}\). 2. Die erwartete Verkaufszahl beträgt \(120-10x\). 3. Der Erlös ist Preis mal Anzahl: \(R(x)=(8+x)(120-10x)=-10x^2+40x+960\). 4. Im Modell werden nur Preiserhöhungen betrachtet, also \(x\ge0\). Außerdem soll die erwartete Ticketzahl nicht negativ werden: \(120-10x\ge0\), also \(x\le12\). Daher gilt \(0\le x\le12\).

\(R(x)=(8+x)(120-10x)=-10x^2+40x+960\) mit \(0\le x\le12\). Der Bereich stellt nichtnegative Preiserhöhungen und eine nichtnegative erwartete Ticketzahl sicher.

- Welche drei Seiten verbrauchen Zaun? - Wie lang ist die Seite parallel zur Mauer in Abhängigkeit von \(x\)? - Welche Ungleichungen folgen daraus, dass beide Abmessungen positiv sein müssen?

1. Zwei Zaunseiten haben die Länge \(x\). Für die dritte eingezäunte Seite bleiben \(24-2x\) Meter. 2. Der Flächeninhalt lautet \(A(x)=x(24-2x)=-2x^2+24x\). 3. Beide Abmessungen müssen positiv sein: \(x>0\) und \(24-2x>0\). Daher gilt \(0<x<12\).

\(A(x)=x(24-2x)=-2x^2+24x\) mit \(0<x<12\).

- Wie lässt sich die zweite Zahl durch \(x\) ausdrücken? - Welcher Ausdruck beschreibt das Produkt? - Welche Werte von \(x\) machen beide Zahlen positiv?

1. Die zweite Zahl ist \(18-x\). 2. Das Produkt ist \(P(x)=x(18-x)=-x^2+18x\). 3. Beide Zahlen sollen positiv sein. Daher gilt \(0<x<18\).

\(P(x)=x(18-x)=-x^2+18x\) mit \(0<x<18\).

- Versuche, den Satz in ein mathematisches Produkt zu übersetzen. - Was passiert, wenn du den Ausdruck ausmultiplizierst? - Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? - Welcher Punkt auf der Parabel stellt den kleinsten Wert dar?

1. Sei \(x\) die gesuchte Zahl. Das Produkt lautet \(P(x) = 3x(x - 5)\). 2. Multipliziere den Term aus: \(P(x) = 3x^2 - 15x\). 3. Dies ist eine nach oben geöffnete Parabel. Das Minimum liegt am Scheitelpunkt bei \(x = -\frac{-15}{2 \cdot 3} = \frac{15}{6} = 2{,}5\). 4. Berechne den minimalen Produktwert durch Einsetzen von \(x = 2{,}5\) in die Funktion: \(P(2{,}5) = 3 \cdot 2{,}5 \cdot (2{,}5 - 5) = 7{,}5 \cdot (-2{,}5) = -18{,}75\).

Die Zahl ist \(2{,}5\) und der minimale Produktwert beträgt \(-18{,}75\).

- Klammere zuerst den Faktor vor \(x^2\) aus den quadratischen und linearen Termen aus. - Ergänze \(x^2-16x\) zu einem vollständigen Quadrat. - An der Öffnungsrichtung erkennst du, ob der Scheitel ein Maximum oder Minimum ist.

1. Ausklammern und quadratisch ergänzen: \(h(x)=-0{,}05(x^2-16x)+1{,}5\) \(=-0{,}05((x-8)^2-64)+1{,}5=-0{,}05(x-8)^2+4{,}7\). 2. Der Scheitelpunkt ist \(S(8\mid4{,}7)\). 3. Weil der Vorfaktor \(-0{,}05<0\) ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt ist daher der höchste Punkt.

Höchster Punkt: \(S(8|4{,}7)\). Der Ball erreicht nach \(8\,\text{m}\) horizontaler Entfernung eine maximale Höhe von \(4{,}7\,\text{m}\).

- Wie berechnet man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten? - Wenn du die Formel aufschreibst, welche Art von Funktion erhältst du? - Wo hat eine nach unten geöffnete Parabel ihren höchsten Punkt?

1. Aufstellen der Flächenformel für ein rechtwinkliges Dreieck: \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot (6 - x) \cdot (4 + 2x)\) 2. Vereinfachen des Terms zu einer quadratischen Funktion: \(A(x) = (6 - x)(2 + x) = -x^2 + 4x + 12\) 3. Bestimmen des Scheitelpunkts der nach unten geöffneten Parabel: \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2\)

d) 2

- Was bedeutet es mathematisch, wenn die Differenz zweier Zahlen \(10\) ist? - Stelle eine Gleichung für das Produkt der beiden Zahlen auf. - Suchst du bei der entstandenen Funktion einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt? - Überlege, ob die Zahlen auch negativ sein dürfen.

1. Aufstellen des Zusammenhangs zwischen den Zahlen \(x\) und \(y\): \(x - y = 10\), also \(y = x - 10\). 2. Aufstellen der Produktfunktion: \(P(x) = x(x - 10) = x^2 - 10x\). 3. Da der Koeffizient vor \(x^2\) positiv ist (\(1\)), ist die Parabel nach oben geöffnet und besitzt ein Minimum im Scheitelpunkt. 4. Bestimmung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts: \(x_S = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5\). 5. Berechnung der zweiten Zahl: \(y = 5 - 10 = -5\). 6. Berechnung des minimalen Produkts: \(P = 5 \cdot (-5) = -25\).

Die beiden Zahlen sind \(5\) und \(-5\). Das kleinstmögliche Produkt dieser Zahlen beträgt \(-25\).

- Welche Variable kann die Anzahl der erlaubten 10-Cent-Schritte beschreiben? - Wie hängen Preis und verkaufte Stückzahl von dieser Variablen ab? - Wie erhältst du aus Preis und Stückzahl die Einnahmefunktion? - Welche zulässigen ganzzahligen Werte liegen unmittelbar neben der Scheitelstelle der Einnahmeparabel?

1. Sei \(x\in\mathbb{Z}\) die Anzahl der 10-Cent-Preisschritte gegenüber \(1{,}50\,\text{€}\). Dann gilt \(P(x)=1{,}50+0{,}10x\) und \(M(x)=200-10x\). 2. Die Einnahmen sind \(E(x)=P(x)M(x)=(1{,}50+0{,}10x)(200-10x)=-x^2+5x+300\). 3. Der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel liegt bei \(x_S=-\frac{5}{2\cdot(-1)}=2{,}5\). Da nur ganzzahlige 10-Cent-Schritte zulässig sind, werden die benachbarten Werte \(x=2\) und \(x=3\) verglichen. 4. Es gilt \(E(2)=306\) und \(E(3)=306\). Daher sind \(P(2)=1{,}70\,\text{€}\) und \(P(3)=1{,}80\,\text{€}\) beide optimal.

Die maximalen täglichen Einnahmen werden bei \(1{,}70\,\text{€}\) oder \(1{,}80\,\text{€}\) pro Riegel erzielt.

- Wie kannst du die zweite Zahl durch die erste ausdrücken? - Welcher Funktionsterm beschreibt dann die Summe der beiden Quadrate? - Was bedeutet der Scheitelpunkt dieser nach oben geöffneten Parabel für die gesuchte Größe?

1. Die beiden Zahlen seien \(x\) und \(y\). Aus \(x+y=20\) folgt \(y=20-x\). 2. Die Summe der Quadrate wird durch \(S(x)=x^2+(20-x)^2=2x^2-40x+400\) beschrieben. 3. Die Parabel ist nach oben geöffnet. Ihr Scheitelpunkt liegt bei \(x_S=-\frac{-40}{2\cdot2}=10\). 4. Damit ist \(y=20-10=10\), und die minimale Quadratsumme ist \(S(10)=200\).

Mit \(y=20-x\) lautet die Zielfunktion \(S(x)=x^2+(20-x)^2=2x^2-40x+400\). Ihr Scheitelpunkt liegt bei \(x=10\), also ist auch \(y=10\). Damit ist die minimale Quadratsumme \(S(10)=200\).

- Schreibe für b) zuerst die Umfangsbedingung mit zwei Seitenlängen auf. - Drücke eine Seitenlänge durch die andere aus, bevor du den Flächeninhalt bildest. - Welche Werte von \(x\) ergeben tatsächlich positive Seitenlängen? - In welcher Darstellung der Flächenfunktion kannst du das Maximum direkt erkennen?

1. Für \(4\,\text{m}\) und \(6\,\text{m}\) ist der Umfang \(2\cdot4+2\cdot6=20\,\text{m}\). Der Flächeninhalt beträgt \(4\cdot6=24\,\text{m}^2\). 2. Mit Seitenlängen \(x\) und \(y\) gilt \(2x+2y=20\), also \(y=10-x\). Damit ist \(A(x)=x(10-x)=-x^2+10x\). Für ein echtes Rechteck gilt \(0<x<10\). 3. Quadratisches Ergänzen liefert \(A(x)=-(x-5)^2+25\). Der Scheitelpunkt \((5\mid25)\) ist wegen der nach unten geöffneten Parabel das Maximum. 4. Die zweite Seitenlänge ist \(10-5=5\). Das maximale Beet ist daher \(5\,\text{m}\times5\,\text{m}\) groß und hat \(25\,\text{m}^2\) Fläche.

a) Umfang \(20\,\text{m}\), Flächeninhalt \(24\,\text{m}^2\) b) \(A(x)=-x^2+10x\) mit \(0<x<10\) c) Maximum bei \(5\,\text{m}\times5\,\text{m}\); \(A_{\max}=25\,\text{m}^2\)

- Wie findet man bei einer quadratischen Funktion den tiefsten Punkt? - Achte auf die Einheiten: Was bedeutet ein Funktionswert von 1 in diesem Sachzusammenhang? - Um eine Änderung zu berechnen, subtrahiere den Funktionswert am Anfangspunkt vom Funktionswert am Endpunkt. - Betrachte die Differenzen der Kosten: Werden die Schritte von einer Einheit zur nächsten größer oder kleiner?

1. Bestimmung des Minimums: Die Kostenfunktion ist eine nach oben geöffnete Parabel. Die Stelle des Minimums (Scheitelpunkt) liegt bei \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 0{,}5} = 12\). 2. Berechnung der minimalen Kosten: Einsetzen von \(x = 12\) in die Funktion ergibt \(K(12) = 0{,}5 \cdot 12^2 - 12 \cdot 12 + 120 = 72 - 144 + 120 = 48\). Da \(K\) in \(100\,\text{€}\) angegeben ist, entsprechen \(48\) Einheiten einem Betrag von \(4800\,\text{€}\). 3. Kostenunterschied für \(x=14\) zu \(x=15\): \(K(15) = 0{,}5 \cdot 15^2 - 12 \cdot 15 + 120 = 52{,}5\) und \(K(14) = 0{,}5 \cdot 14^2 - 12 \cdot 14 + 120 = 50\). Die Differenz beträgt \(2{,}5\) Einheiten, also \(250\,\text{€}\). 4. Kostenunterschied für \(x=18\) zu \(x=19\): \(K(19) = 0{,}5 \cdot 19^2 - 12 \cdot 19 + 120 = 72{,}5\) und \(K(18) = 0{,}5 \cdot 18^2 - 12 \cdot 18 + 120 = 66\). Die Differenz beträgt \(6{,}5\) Einheiten, also \(650\,\text{€}\). 5. Vergleich: Der Kostenanstieg für einen zusätzlichen Schritt von \(1\,\text{ME}\) ist bei größeren Produktionsmengen rechts vom Minimum größer. Im betrachteten Bereich steigen die Kosten also mit zunehmender Produktionsmenge in immer größeren Ein-Schritt-Differenzen.

a) Das Minimum liegt bei \(x = 12\,\text{ME}\). Die minimalen Kosten betragen \(4800\,\text{€}\). b) Der Kostenunterschied beträgt \(250\,\text{€}\). c) Der Kostenunterschied bei der Erhöhung von \(18\) auf \(19\,\text{ME}\) beträgt \(650\,\text{€}\). Die Kosten steigen bei zunehmender Produktionsmenge immer schneller an (der Anstieg wird steiler).

- Setze die beiden gegebenen Punkte in den allgemeinen Parabelterm ein. - Für eine physikalisch passende Flugbahn muss die Parabel nach unten geöffnet sein. - Nutze für die Scheitelstelle einer Parabel \(ax^2+bx+c\) die bekannte Scheitelformel \(x_S=-b/(2a)\).

1. Aus \(P(0\mid1{,}5)\) folgt der konstante Term \(1{,}5\). Mit \(Q(30\mid0)\) erhält man \(900a+30b+1{,}5=0\), also \(b=-(30a+0{,}05)\). Damit ist \(f_a(x)=ax^2-(30a+0{,}05)x+1{,}5\). 2. Für eine nach unten geöffnete Flugbahn muss \(a<0\) gelten. Die Scheitelstelle einer Parabel \(ax^2+bx+c\) ist \(x_S=-\frac{b}{2a}=15+\frac{0{,}025}{a}\). Sie soll rechts von der Düse liegen, also \(x_S>0\). Zusammen mit \(a<0\) ergibt das \(a<-\frac1{600}\). 3. Die maximale Höhe wird am Scheitel erreicht; seine Stelle ist \(x_S=15+\frac{0{,}025}{a}\).

a) Die Gleichung folgt durch Einsetzen der Punkte \(P(0 \mid 1{,}5)\) und \(Q(30 \mid 0)\) in \(f(x) = ax^2 + bx + c\). b) \(a < -\frac{1}{600}\). Der Grenzwert \(-\frac{1}{600}\) beträgt näherungsweise \(-0{,}00167\). c) Die maximale Höhe wird bei der waagerechten Entfernung \(x = 15 + \frac{0{,}025}{a}\) erreicht; der Zahlenwert von \(x\) ist in Metern angegeben.

- Überlege, was ein „Auftreffen auf dem Boden“ mathematisch für die Funktionswerte bedeutet. - Wie hängen die Nullstellen einer Parabel mit der Position ihres höchsten Punktes zusammen? - Stelle eine Ungleichung auf, die den Zusammenhang zwischen der Reichweite und dem Beckenrand beschreibt.

1. Zur Bestimmung der Auftreffstelle wird die Nullstelle von \(f_k(x)\) berechnet: \(0{,}8x - \frac{k}{100}x^2 = 0\). Ausklammern von \(x\) liefert \(x \cdot (0{,}8 - \frac{k}{100}x) = 0\). Die positive Nullstelle liegt bei \(x_N = \frac{80}{k}\). 2. Damit das Wasser innerhalb des Beckens bleibt, muss die Nullstelle kleiner oder gleich dem Radius sein: \(\frac{80}{k} \le 16\). Umstellen nach \(k\) ergibt \(k \ge 5\). Der kleinstmögliche Wert ist somit \(k = 5\). 3. Für \(k = 5\) lautet die Funktionsgleichung \(f_5(x) = 0{,}8x - 0{,}05x^2\). Die maximale Höhe befindet sich am Scheitelpunkt. Da die Nullstellen bei \(0\) und \(16\) liegen, befindet sich die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts bei \(x_S = 8\). 4. Einsetzen von \(x_S = 8\) in \(f_5(x)\) ergibt die maximale Höhe: \(f_5(8) = 0{,}8 \cdot 8 - 0{,}05 \cdot 8^2 = 6{,}4 - 3{,}2 = 3{,}2\). Die maximale Höhe beträgt \(3{,}2\,\text{m}\).

a) Der kleinstmögliche Wert ist \(k = 5\). b) Die maximale Höhe der Fontäne beträgt \(3{,}2\,\text{m}\).

- Welche Stelle einer nach unten geöffneten Parabel beschreibt die größte Höhe? - Wie kannst du die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts aus der allgemeinen Form bestimmen? - Welche Gleichung beschreibt den Zeitpunkt beziehungsweise Ort, an dem die Höhe \(0\) ist? - Welche der beiden mathematischen Lösungen passt zum beschriebenen Flug nach dem Abwurf?

1. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts ist \(x_S=-\frac{0{,}6}{2\cdot(-0{,}05)}=6\). Einsetzen ergibt \(h(6)=-0{,}05\cdot36+0{,}6\cdot6+2=3{,}8\). Somit ist \(S(6 \mid 3{,}8)\). 2. Im Kontext bedeutet dies: Nach \(6\,\text{m}\) horizontaler Entfernung erreicht die Kugel ihre maximale Höhe von \(3{,}8\,\text{m}\). 3. Für den Auftreffpunkt gilt \(h(x)=0\): \(-0{,}05x^2+0{,}6x+2=0\). Nach Division durch \(-0{,}05\) erhält man \(x^2-12x-40=0\), also \(x=6\pm\sqrt{76}\). Nur die positive Lösung ist im Sachzusammenhang sinnvoll: \(x\approx14{,}72\).

a) \(S(6 \mid 3{,}8)\). Nach \(6\,\text{m}\) horizontaler Entfernung erreicht die Kugel ihre maximale Höhe von \(3{,}8\,\text{m}\). b) Die Weite beträgt ungefähr \(14{,}72\,\text{m}\).

- Überlege dir zuerst, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks allgemein berechnet, wenn die Seitenlängen durch die Koordinaten eines Punktes gegeben sind. - Wie hängen die Breite und die Höhe des Rechtecks mit der Funktionsgleichung der Geraden zusammen? - Du suchst das Maximum einer Funktion. Welchen Typ von Funktion erhältst du für den Flächeninhalt? - Weißt du, wie man den höchsten Punkt (Scheitelpunkt) einer nach unten geöffneten Parabel bestimmt?

1. Aufstellen der Flächenformel für das Rechteck: \(A = uv\). 2. Einsetzen der Nebenbedingung für den Punkt \(P\) auf der Geraden \(g\): \(v = -0{,}75u + 6\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(u) = u(-0{,}75u + 6) = -0{,}75u^2 + 6u\). 4. Bestimmung des Scheitelpunkts der nach unten geöffneten Parabel: \(u_S = -\frac{6}{2 \cdot (-0{,}75)} = 4\). Damit wird der Flächeninhalt bei \(u = 4\) maximal. 5. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(v = -0{,}75 \cdot 4 + 6 = 3\). 6. Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(4) = 4 \cdot 3 = 12\,\text{dm}^2\). Ergebnis: Der Punkt \(P\) hat die Koordinaten \(P(4 \mid 3)\), der maximale Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{dm}^2\).

Die Koordinaten des Punktes sind \(P(4 \mid 3)\). Der maximale Flächeninhalt der Solarzelle beträgt \(12\,\text{dm}^2\).

- Unterscheide zwischen dem Maximum der gesamten Parabel und dem Maximum unter den Bedingungen des Sachproblems. - Prüfe zuerst, ob die Stelle des Scheitels überhaupt zulässig ist. - Wenn der Scheitel außerhalb des erlaubten Intervalls liegt: An welcher Stelle des Intervalls könnte dann das Maximum liegen? - Kontrolliere zum Schluss, ob die gefundenen Seitenlängen alle Bedingungen erfüllen.

1. Es gilt \(A(x)=-x^2+12x=-(x-6)^2+36\). Der Scheitel der vollständigen Parabel liegt tatsächlich bei \(x=6\). 2. Wegen der Halterung ist aber nur \(2\le x\le5\) zulässig. Der Scheitelwert gehört daher nicht zum möglichen Bereich. 3. Auf dem zulässigen Intervall liegt man links vom Scheitel; dort wächst \(A\) mit \(x\). Deshalb wird die größte zulässige Fläche am Rand \(x=5\) erreicht. 4. Es ist \(A(5)=5\cdot7=35\,\text{cm}^2\). Die Seitenlängen sind \(5\,\text{cm}\) und \(7\,\text{cm}\).

Der Fehler ist, dass \(x=6\) nicht im zulässigen Bereich \(2\le x\le5\) liegt. Die größte mögliche Fläche beträgt \(35\,\text{cm}^2\) bei Seitenlängen \(5\,\text{cm}\) und \(7\,\text{cm}\).

- Setze den gegebenen Ertragsindex vollständig in die Definition von \(P\) ein. - Für das Maximum einer nach unten geöffneten quadratischen Funktion brauchst du die x-Koordinate des Scheitelpunkts. - Vergleiche bei c) die Zielgrößen „Ertrag“ und „Ertrag minus Kosten“.

1. Es gilt \(P(n)=3(-0{,}04n^2+1{,}2n+4)-0{,}6n=-0{,}12n^2+3n+12\). 2. Für \(P\) ist \(n_S=-\frac{3}{2\cdot(-0{,}12)}=12{,}5\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist und \(12{,}5\) im Modellbereich liegt, liegt dort das Maximum. 3. Es ist \(P(12{,}5)=-0{,}12\cdot156{,}25+37{,}5+12=30{,}75\). 4. Der Ertragsindex allein hat seine Symmetrieachse bei \(n=15\). Im Gewinnindex steigen zusätzlich die Kosten mit \(n\); deshalb kann es wirtschaftlich sinnvoll sein, vor dem reinen Ertragsmaximum aufzuhören.

a) \(P(n)=-0{,}12n^2+3n+12\) b) Maximum bei \(n=12{,}5\) mit \(P(12{,}5)=30{,}75\) c) Der Kostenanteil wächst mit \(n\); deshalb liegt das Gewinnmaximum unterhalb des reinen Ertragsmaximums bei \(n=15\).

- Multipliziere jeden quadratischen Summanden einzeln aus und fasse erst danach zusammen. - Für b) ist ausdrücklich die Scheitelpunktform gefragt; ergänze daher zum vollständigen Quadrat. - Ein einzelner Summand beschreibt nur einen Teil des gesamten Fehlermaßes.

1. Ausmultiplizieren ergibt \(Q(c)=c^2-2c+1+c^2+4c+4+c^2-8c+16=3c^2-6c+21\). 2. Es gilt \(Q(c)=3(c^2-2c)+21=3((c-1)^2-1)+21=3(c-1)^2+18\). 3. Damit ist das Minimum \(18\) bei \(c=1\). 4. Das Fehlermaß ist die Summe aller drei quadrierten Abweichungen. Das Nullsetzen eines einzelnen Summanden kann die beiden anderen vergrößern und bestimmt deshalb nicht automatisch das Minimum der Gesamtsumme.

a) \(Q(c)=3c^2-6c+21\) b) \(Q(c)=3(c-1)^2+18\); Minimum \(18\) bei \(c=1\) c) Optimiert wird die Summe aller drei Abweichungsquadrate, nicht nur ein einzelner Summand.

- Lies zuerst den Scheitelpunkt des kontinuierlichen Modells ab. - Welche zulässigen ganzen Zahlen liegen diesem Wert am nächsten? - Prüfe beide Nachbarwerte, statt einen von ihnen ohne Rechnung auszuwählen.

1. Der Scheitelpunkt liegt bei \(s=4{,}5\). Ohne Einschränkung wäre dort das Maximum. 2. Zulässig sind nur ganze Stufen. Die nächstgelegenen Werte sind \(s=4\) und \(s=5\). Es gilt \(Q(4)=Q(5)=-2\cdot0{,}25+100=99{,}5\). 3. Wegen der Symmetrie sind beide zulässigen Stufen gleich gut und liefern den maximalen zulässigen Qualitätsindex \(99{,}5\). 4. \(s=4{,}5\) ist zwar das kontinuierliche Maximum der Funktion, gehört aber nicht zur vorgegebenen Menge der möglichen Maschineneinstellungen.

a) kontinuierlich bei \(s=4{,}5\) b) zulässig optimal: \(s=4\) und \(s=5\), jeweils mit \(Q=99{,}5\) c) \(4{,}5\) ist keine erlaubte ganzzahlige Einstellstufe.

- Skizziere die Situation an der Mauer. Wie viele Seiten des Rechtecks müssen mit dem Zaun bedeckt werden? - Stelle eine Formel für die Gesamtlänge des Zauns auf. - Ersetze in der Flächenformel eine Seite so, dass nur noch eine Variable übrig bleibt. - Was bedeutet „quadratisch“ für das Verhältnis der Seitenlängen in diesem speziellen Fall?

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Länge der beiden Seiten senkrecht zur Wand, \(y\) ist die Länge der Seite parallel zur Wand. 2. Aufstellen der Bedingung für die Zaunlänge: \(2x + y = 60\), daraus folgt \(y = 60 - 2x\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für die Fläche: \(A(x) = x \cdot (60 - 2x) = -2x^2 + 60x\). 4. Bestimmung des Maximums über den Scheitelpunkt: \(x_S = -\frac{60}{2 \cdot (-2)} = 15\). 5. Berechnung der Maße: \(x = 15\,\text{m}\) und \(y = 60 - 2 \cdot 15 = 30\,\text{m}\). Die Fläche beträgt \(15 \cdot 30 = 450\,\text{m}^2\). 6. Untersuchung des quadratischen Falls: Bei einem Quadrat mit drei Seiten wäre \(x = y\). Die Bedingung \(2x + x = 60\) ergibt \(3x = 60\), also \(x = 20\,\text{m}\). 7. Flächenvergleich: Das Quadrat hätte eine Fläche von \(20 \cdot 20 = 400\,\text{m}^2\). Dies ist kleiner als das Optimum von \(450\,\text{m}^2\).

Die optimale Fläche wird erreicht, wenn die Seiten senkrecht zur Wand \(15\,\text{m}\) und die Seite parallel zur Wand \(30\,\text{m}\) lang sind (Fläche: \(450\,\text{m}^2\)). Ein quadratisches Gehege mit nur drei Zaunseiten hätte bei gleicher Zaunlänge eine Seitenlänge von \(20\,\text{m}\) und eine kleinere Fläche von nur \(400\,\text{m}^2\).

- Wie erhältst du aus Besucherzahl und Ticketpreis zunächst die Einnahmen und daraus den Gewinn? - Welche Darstellungsform macht den gewinnmaximalen Preis direkt sichtbar? - Welche Bedeutung haben die Nullstellen der Gewinnfunktion? - Wie hilft die Öffnungsrichtung dabei, den Bereich mit nichtnegativem Gewinn festzulegen?

1. Die Einnahmen sind \(xN(x)\). Damit lautet die Gewinnfunktion \(G(x)=x(200-10x)-750=-10x^2+200x-750\). 2. Die Gewinnparabel ist nach unten geöffnet. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(G(x)=-10(x-10)^2+250\). Der Gewinn ist daher bei \(x=10\) maximal. 3. Für die Break-even-Preise gilt \(-10x^2+200x-750=0\). Division durch \(-10\) ergibt \(x^2-20x+75=0=(x-5)(x-15)\). 4. Die Nullstellen sind \(x=5\) und \(x=15\). Wegen der nach unten geöffneten Parabel gilt \(G(x)\ge0\) genau für \(5\le x\le15\).

a) Der optimale Ticketpreis beträgt \(10\,\text{€}\). b) Das Jugendzentrum macht für \(5\,\text{€}\le x\le15\,\text{€}\) keinen Verlust.

- Zeichne die beiden Gärten nebeneinander ein. Wie viele Zaunstücke welcher Länge werden benötigt? - Vergiss nicht den gemeinsamen Zaun in der Mitte mitzuzählen. - Stelle eine Gleichung für die Gesamtlänge des Zauns auf. - Wann ist ein Rechteck ein Quadrat? Vergleiche am Ende die gefundenen Seitenlängen.

1. Variablen festlegen: Sei \(x\) die Länge der drei parallelen Zaunstücke (die beiden äußeren Breiten und die Trennwand) und \(y\) die Länge der zwei durchgehenden Außenwände. 2. Nebenbedingung aufstellen: \(3x + 2y = 60\). 3. Umstellen nach einer Variablen: \(2y = 60 - 3x \Rightarrow y = 30 - 1{,}5x\). 4. Zielfunktion für die Gesamtfläche: \(A(x) = xy = x(30 - 1{,}5x) = -1{,}5x^2 + 30x\). 5. Scheitelpunkt berechnen: \(x_s = -\frac{30}{2 \cdot (-1{,}5)} = \frac{30}{3} = 10\). 6. Berechnung von \(y\): \(y = 30 - 1{,}5 \cdot 10 = 15\). 7. Überprüfung der Form: Die Gesamtmaße sind \(10\,\text{m}\) und \(15\,\text{m}\). Da die Seitenlängen ungleich sind, ist die gesamte Anlage kein Quadrat. 8. Maximaler Flächeninhalt: \(A = 10 \cdot 15 = 150\,\text{m}^2\).

Die Maße der gesamten Anlage für den maximalen Flächeninhalt (\(150\,\text{m}^2\)) sind \(10\,\text{m}\) und \(15\,\text{m}\). Die gesamte Anlage ist kein Quadrat, da die Seitenlängen unterschiedlich sind.

- Wie findest du den Scheitelpunkt einer Parabel aus den Koeffizienten des quadratischen Terms? - Kannst du eine Beziehung zwischen der x- und y-Koordinate des Scheitelpunkts herstellen, die nicht mehr vom Parameter abhängt? - Erinnere dich an die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten in einem Koordinatensystem. - Es ist oft einfacher, das Quadrat des Abstands zu minimieren, um Wurzeln bei der Rechnung zu vermeiden. - Könnte eine Ersetzung (Substitution) eines Terms durch eine neue Variable die Rechnung vereinfachen?

1. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts einer Parabel \(ax^2 + bx + c\) ist \(x_S = -\frac{b}{2a}\). Für \(g_t(x) = tx^2 - 4x\) gilt daher \(x_S = -\frac{-4}{2t} = \frac{2}{t}\). Der \(y\)-Wert ergibt sich durch Einsetzen: \(y_S = g_t(\frac{2}{t}) = t \cdot (\frac{2}{t})^2 - 4 \cdot \frac{2}{t} = \frac{4}{t} - \frac{8}{t} = -\frac{4}{t}\). Der Scheitelpunkt ist \(S_t(\frac{2}{t} | -\frac{4}{t})\). 2. Aus \(x = \frac{2}{t}\) folgt \(t = \frac{2}{x}\). Einsetzen in \(y = -\frac{4}{t}\) ergibt \(y = -\frac{4}{2/x} = -2x\). Da \(t > 0\), gilt \(x > 0\). Die Ortskurve ist \(y = -2x\) für \(x > 0\). 3. Das Quadrat des Abstands zwischen \(S_t(\frac{2}{t} | -\frac{4}{t})\) und \(Q(0|-5)\) ist \(d^2(t) = (\frac{2}{t} - 0)^2 + (-\frac{4}{t} - (-5))^2 = \frac{4}{t^2} + (5 - \frac{4}{t})^2\). Mit der Substitution \(z = \frac{1}{t}\) (wobei \(z > 0\)) erhält man die Funktion \(h(z) = (2z)^2 + (5 - 4z)^2 = 4z^2 + 25 - 40z + 16z^2 = 20z^2 - 40z + 25\). Das Minimum dieser nach oben geöffneten Parabel liegt bei \(z = -\frac{-40}{2 \cdot 20} = 1\). Aus \(\frac{1}{t} = 1\) folgt \(t = 1\). Der gesuchte Scheitelpunkt ist \(S_1(2 | -4)\).

1. \(S_t(\frac{2}{t} | -\frac{4}{t})\) 2. \(y = -2x\) (für \(x > 0\)) 3. Der Scheitelpunkt \(S_1(2 | -4)\) hat für \(t = 1\) den minimalen Abstand.

- Wie lässt sich der vertikale Abstand zweier Funktionsgraphen an derselben \(x\)-Stelle ausdrücken? - Formuliere zunächst eine eigene Funktion für die gesuchte Breite. - Welche Darstellung dieser quadratischen Funktion macht ihr Maximum besonders gut sichtbar? - Prüfe nach der Extremwertbestimmung noch die im Text angegebene Einschränkung für \(x\).

1. Die vertikale Breite an einer Stelle \(x\) ist die Differenz aus oberer und unterer Begrenzung: \(d(x)=f(x)-g(x)=-0{,}5x^2+5x+1\). 2. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(d(x)=-0{,}5(x-5)^2+13{,}5\). Die vollständige Parabel hat daher ihr Maximum bei \(x=5\). 3. Da \(5\) im vorgegebenen Intervall \([0;8]\) liegt, ist diese Stelle für den Querschnitt zulässig. Die größte vertikale Breite beträgt \(13{,}5\) Längeneinheiten.

Die größte vertikale Breite beträgt \(13{,}5\) Längeneinheiten und wird bei \(x=5\) erreicht. Die Stelle ist zulässig, weil \(5\in[0;8]\) gilt.