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- Versuche, den Satz in ein mathematisches Produkt zu übersetzen. - Was passiert, wenn du den Ausdruck ausmultiplizierst? - Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? - Welcher Punkt auf der Parabel stellt den kleinsten Wert dar?

1. Sei \(x\) die gesuchte Zahl. Das Produkt lautet \(P(x) = 3x \cdot (x - 5)\). 2. Multipliziere den Term aus: \(P(x) = 3x^2 - 15x\). 3. Dies ist eine nach oben geöffnete Parabel. Das Minimum liegt am Scheitelpunkt bei \(x = -\frac{-15}{2 \cdot 3} = \frac{15}{6} = 2{,}5\). 4. Berechne den minimalen Produktwert durch Einsetzen von \(x = 2{,}5\) in die Funktion: \(P(2{,}5) = 3 \cdot 2{,}5 \cdot (2{,}5 - 5) = 7{,}5 \cdot (-2{,}5) = -18{,}75\).

Die Zahl ist \(2{,}5\) und der minimale Produktwert beträgt \(-18{,}75\).

- Wie hängen Umfang und Seitenlängen bei einem Rechteck zusammen? - Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken, wenn der Umfang feststeht? - Welche Form hat der Graph einer Funktion, die den Flächeninhalt beschreibt? - Wo liegt bei einer nach unten geöffneten Parabel der höchste Punkt?

1. Berechnung für a): \(A = 4\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). 2. Berechnung für b): Umfang \(U = 20\,\text{m}\). Beim Quadrat ist jede Seite \(a = \frac{20}{4} = 5\,\text{m}\). Flächeninhalt \(A = 5\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 25\,\text{m}^2\). Da \(25 > 24\), ist das quadratische Beet größer. 3. Aufstellen der Zielfunktion für c): Umfang \(2x + 2y = 20 \Rightarrow x + y = 10 \Rightarrow y = 10 - x\). Flächeninhalt \(A(x) = x \cdot (10 - x) = -x^2 + 10x\). 4. Bestimmung des Maximums: Die Parabel \(A(x) = -x^2 + 10x\) hat ihren Scheitelpunkt bei \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5\). 5. Ergebnis: Die optimalen Seitenlängen sind \(x = 5\,\text{m}\) und \(y = 10 - 5 = 5\,\text{m}\). Der maximale Flächeninhalt beträgt \(25\,\text{m}^2\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(24\,\text{m}^2\). b) Ja, das quadratische Beet ist mit \(25\,\text{m}^2\) größer. c) Die Seitenlängen für den maximalen Flächeninhalt sind \(5\,\text{m}\) und \(5\,\text{m}\). Der maximale Flächeninhalt beträgt \(25\,\text{m}^2\).

- Wie berechnet man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten? - Wenn du die Formel aufschreibst, welche Art von Funktion erhältst du? - Wo hat eine nach unten geöffnete Parabel ihren höchsten Punkt?

1. Aufstellen der Flächenformel für ein rechtwinkliges Dreieck: \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot (6 - x) \cdot (4 + 2x)\) 2. Vereinfachen des Terms zu einer quadratischen Funktion: \(A(x) = (6 - x)(2 + x) = -x^2 + 4x + 12\) 3. Bestimmen des Scheitelpunkts der nach unten geöffneten Parabel: \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2\)

d) 2

- Was bedeutet es mathematisch, wenn die Differenz zweier Zahlen \(10\) ist? - Stelle eine Gleichung für das Produkt der beiden Zahlen auf. - Suchst du bei der entstandenen Funktion einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt? - Überlege, ob die Zahlen auch negativ sein dürfen.

1. Aufstellen des Zusammenhangs zwischen den Zahlen \(x\) und \(y\): \(x - y = 10\), also \(y = x - 10\). 2. Aufstellen der Produktfunktion: \(P(x) = x \cdot (x - 10) = x^2 - 10x\). 3. Da der Koeffizient vor \(x^2\) positiv ist (\(1\)), ist die Parabel nach oben geöffnet und besitzt ein Minimum im Scheitelpunkt. 4. Bestimmung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts: \(x_S = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5\). 5. Berechnung der zweiten Zahl: \(y = 5 - 10 = -5\). 6. Berechnung des minimalen Produkts: \(P = 5 \cdot (-5) = -25\).

Die beiden Zahlen sind \(5\) und \(-5\). Das kleinstmögliche Produkt dieser Zahlen beträgt \(-25\).

- Kannst du eine Variable einführen, die die Anzahl der Preisänderungen beschreibt? - Wie berechnet man allgemein die Einnahmen aus Preis und verkaufter Menge? - Welche Form hat der Graph der Einnahmefunktion? - Da \(x\) ganze 10-Cent-Schritte zählt: Welche ganzzahligen Werte neben dem Scheitelpunkt musst du vergleichen?

1. Aufstellen der Preis- und Mengenfunktion in Abhängigkeit von der ganzzahligen Anzahl der Preisschritte \(x\) (wobei \(x\) auch negativ sein kann): Preis \(P(x) = 1{,}50 + 0{,}10x\); Menge \(M(x) = 200 - 10x\). 2. Aufstellen der Einnahmefunktion \(E(x) = P(x) \cdot M(x) = (1{,}50 + 0{,}10x) \cdot (200 - 10x)\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der Funktion: \(E(x) = 300 - 15x + 20x - x^2 = -x^2 + 5x + 300\). 4. Der Scheitelpunkt der nach unten geöffneten Parabel liegt bei \(x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = 2{,}5\). Da \(x\) nur ganzzahlige Preisschritte beschreibt, werden die benachbarten Werte \(x=2\) und \(x=3\) verglichen. 5. Es gilt \(E(2)=306\) und \(E(3)=306\). Damit sind beide zulässigen Preise \(P(2)=1{,}70\,\text{€}\) und \(P(3)=1{,}80\,\text{€}\) optimal.

Die maximalen täglichen Einnahmen werden bei einem Verkaufspreis von \(1{,}70\,\text{€}\) oder \(1{,}80\,\text{€}\) erzielt.

- Was bedeutet „Summe der Quadrate“ mathematisch ausgedrückt? - Nutze die Information über die Summe der beiden Zahlen, um eine Variable durch die andere zu ersetzen. - Du erhältst eine quadratische Funktion. Was sagt dir der Scheitelpunkt über den kleinstmöglichen Wert aus?

1. Variablen festlegen: Die beiden Zahlen seien \(x\) und \(y\). 2. Nebenbedingung formulieren: \(x + y = 20\), also \(y = 20 - x\). 3. Zielfunktion für die Summe der Quadrate aufstellen: \(S(x) = x^2 + y^2 = x^2 + (20 - x)^2\). 4. Funktion vereinfachen: \(S(x) = x^2 + 400 - 40x + x^2 = 2x^2 - 40x + 400\). 5. Scheitelpunkt der Parabel berechnen: \(x_s = -\frac{-40}{2 \cdot 2} = 10\). 6. Berechnung der zweiten Zahl: \(y = 20 - 10 = 10\). 7. Ergebnis: Beide Zahlen müssen \(10\) sein. Die minimale Quadratsumme beträgt \(200\).

Beide Zahlen müssen gleich \(10\) sein. Die minimale Quadratsumme beträgt \(200\).

- Was weißt du über den Zusammenhang der beiden Seiten, wenn der Umfang fest vorgegeben ist? - Kannst du den Flächeninhalt als eine Funktion beschreiben, die nur von einer Seitenlänge abhängt? - Welche Art von Funktion erhältst du für den Flächeninhalt und wo liegt deren höchster Punkt? - Wie nennt man ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich lang sind?

1. Aufstellen der Umfangsformel: \(U = 2 \cdot (a + b) = 32\,\text{cm}\). 2. Umformen nach einer Variablen: \(a + b = 16 \implies b = 16 - a\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(a) = a \cdot b = a \cdot (16 - a) = -a^2 + 16a\). 4. Bestimmung des Extrempunkts (Scheitelpunkt) der nach unten geöffneten Parabel: \(a_s = -\frac{16}{2 \cdot (-1)} = 8\). 5. Berechnung der zweiten Seite: \(b = 16 - 8 = 8\). 6. Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A = 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^2\). 7. Identifikation der Form: Da beide Seiten gleich lang sind (\(8\,\text{cm}\)), handelt es sich um ein Quadrat.

Das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt hat die Seitenlängen \(a = 8\,\text{cm}\) und \(b = 8\,\text{cm}\). Der maximale Flächeninhalt beträgt \(64\,\text{cm}^2\). Bei diesem speziellen Rechteck handelt es sich um ein Quadrat.

- Skizziere die Situation an der Mauer. Wie viele Seiten des Rechtecks müssen mit dem Zaun bedeckt werden? - Stelle eine Formel für die Gesamtlänge des Zauns auf. - Ersetze in der Flächenformel eine Seite so, dass nur noch eine Variable übrig bleibt. - Was bedeutet „quadratisch“ für das Verhältnis der Seitenlängen in diesem speziellen Fall?

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Länge der beiden Seiten senkrecht zur Wand, \(y\) ist die Länge der Seite parallel zur Wand. 2. Aufstellen der Bedingung für die Zaunlänge: \(2x + y = 60\), daraus folgt \(y = 60 - 2x\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für die Fläche: \(A(x) = x \cdot (60 - 2x) = -2x^2 + 60x\). 4. Bestimmung des Maximums über den Scheitelpunkt: \(x_S = -\frac{60}{2 \cdot (-2)} = 15\). 5. Berechnung der Maße: \(x = 15\,\text{m}\) und \(y = 60 - 2 \cdot 15 = 30\,\text{m}\). Die Fläche beträgt \(15 \cdot 30 = 450\,\text{m}^2\). 6. Untersuchung des quadratischen Falls: Bei einem Quadrat mit drei Seiten wäre \(x = y\). Die Bedingung \(2x + x = 60\) ergibt \(3x = 60\), also \(x = 20\,\text{m}\). 7. Flächenvergleich: Das Quadrat hätte eine Fläche von \(20 \cdot 20 = 400\,\text{m}^2\). Dies ist kleiner als das Optimum von \(450\,\text{m}^2\).

Die optimale Fläche wird erreicht, wenn die Seiten senkrecht zur Wand \(15\,\text{m}\) und die Seite parallel zur Wand \(30\,\text{m}\) lang sind (Fläche: \(450\,\text{m}^2\)). Ein quadratisches Gehege mit nur drei Zaunseiten hätte bei gleicher Zaunlänge eine Seitenlänge von \(20\,\text{m}\) und eine kleinere Fläche von nur \(400\,\text{m}^2\).

- Was ist der Unterschied zwischen Einnahmen und Gewinn? - Wie sieht die Funktionsgleichung für den Gewinn aus? - Was bedeutet „keinen Verlust machen“ mathematisch für die Gewinnfunktion? - Welche besonderen Punkte der Parabel helfen dir, den Bereich ohne Verlust zu finden?

1. Aufstellen der Gewinnfunktion \(G(x) = \text{Einnahmen} - \text{Kosten}\). Die Einnahmen sind \(x \cdot N(x)\), die Kosten sind \(750\). 2. \(G(x) = x \cdot (200 - 10x) - 750 = -10x^2 + 200x - 750\). 3. Zu Teil a): Berechnung des Scheitelpunkts: \(x_S = -\frac{200}{2 \cdot (-10)} = 10\). Der optimale Preis liegt bei \(10\,\text{€}\). 4. Zu Teil b): Berechnung der Nullstellen der Gewinnfunktion: \(-10x^2 + 200x - 750 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 20x + 75 = 0\). 5. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 10 \pm \sqrt{10^2 - 75} = 10 \pm \sqrt{25} = 10 \pm 5\). 6. Die Nullstellen liegen bei \(5\,\text{€}\) und \(15\,\text{€}\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der Gewinn zwischen diesen Werten nichtnegativ; die Randwerte gehören dazu.

a) Der optimale Ticketpreis für den maximalen Gewinn beträgt \(10\,\text{€}\). b) Das Jugendzentrum macht keinen Verlust, wenn \(5 \le x \le 15\) gilt; die Break-even-Preise von \(5\,\text{€}\) und \(15\,\text{€}\) sind eingeschlossen.

- Zeichne die beiden Gärten nebeneinander ein. Wie viele Zaunstücke welcher Länge werden benötigt? - Vergiss nicht den gemeinsamen Zaun in der Mitte mitzuzählen. - Stelle eine Gleichung für die Gesamtlänge des Zauns auf. - Wann ist ein Rechteck ein Quadrat? Vergleiche am Ende die gefundenen Seitenlängen.

1. Variablen festlegen: Sei \(x\) die Länge der drei parallelen Zaunstücke (die beiden äußeren Breiten und die Trennwand) und \(y\) die Länge der zwei durchgehenden Außenwände. 2. Nebenbedingung aufstellen: \(3x + 2y = 60\). 3. Umstellen nach einer Variablen: \(2y = 60 - 3x \Rightarrow y = 30 - 1{,}5x\). 4. Zielfunktion für die Gesamtfläche: \(A(x) = x \cdot y = x \cdot (30 - 1{,}5x) = -1{,}5x^2 + 30x\). 5. Scheitelpunkt berechnen: \(x_s = -\frac{30}{2 \cdot (-1{,}5)} = \frac{30}{3} = 10\). 6. Berechnung von \(y\): \(y = 30 - 1{,}5 \cdot 10 = 15\). 7. Überprüfung der Form: Die Gesamtmaße sind \(10\,\text{m}\) und \(15\,\text{m}\). Da die Seitenlängen ungleich sind, ist die gesamte Anlage kein Quadrat. 8. Maximaler Flächeninhalt: \(A = 10 \cdot 15 = 150\,\text{m}^2\).

Die Maße der gesamten Anlage für den maximalen Flächeninhalt (\(150\,\text{m}^2\)) sind \(10\,\text{m}\) und \(15\,\text{m}\). Die gesamte Anlage ist kein Quadrat, da die Seitenlängen unterschiedlich sind.

- Skizziere die Situation: Wie viele Seiten des Rechtecks müssen tatsächlich eingezäunt werden? - Stelle eine Gleichung für die Gesamtlänge des Zauns auf. - Drücke eine Seite durch die andere aus und setze dies in die Formel für den Flächeninhalt ein. - Vergleiche am Ende die berechneten Seitenlängen \(x\) und \(y\). Sind sie identisch?

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Länge jeder der beiden Seiten senkrecht zur Mauer, \(y\) ist die Länge der Seite parallel zur Mauer. 2. Aufstellen der Bedingung für die Zaunlänge: \(2x + y = 16\). 3. Umformen nach \(y\): \(y = 16 - 2x\). 4. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(x) = x \cdot y = x \cdot (16 - 2x) = -2x^2 + 16x\). 5. Bestimmung des Scheitelpunkts der Parabel: \(x_s = -\frac{16}{2 \cdot (-2)} = 4\). 6. Berechnung der parallelen Seite: \(y = 16 - 2 \cdot 4 = 8\). 7. Vergleich der Seitenlängen: Da \(x = 4\,\text{m}\) und \(y = 8\,\text{m}\) gilt, sind die Seiten ungleich lang. 8. Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A = 4\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 32\,\text{m}^2\).

Die Seiten senkrecht zur Mauer müssen jeweils \(4\,\text{m}\) lang sein, die Seite parallel zur Mauer \(8\,\text{m}\). Der maximale Flächeninhalt beträgt \(32\,\text{m}^2\). In diesem Fall ist das optimale Gehege kein Quadrat, da die Seitenlängen unterschiedlich sind.