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Stellen Sie aus rund 20.000 Matheaufgaben Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen, von der 3. bis zur 13. Klasse. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Quadratische Gleichungen lösen (Faktorisieren, Ergänzung, Lösungsformel)

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4101519
Löse die folgende Gleichung nach \(x\) auf: \(12 - 3(x+1)^2 = 0\).

Lösung

1. Subtrahiere 12 von beiden Seiten: \(-3(x+1)^2 = -12\). 2. Dividiere durch \(-3\): \((x+1)^2 = 4\). 3. Ziehe die Quadratwurzel: \(x+1 = \pm\sqrt{4}\), also \(x+1 = \pm 2\). 4. Bestimme die zwei Fälle: Fall 1: \(x+1 = 2 \Rightarrow x = 1\) Fall 2: \(x+1 = -2 \Rightarrow x = -3\)

Antwort

Die Lösungen sind \(x = 1\) und \(x = -3\).
4101529
Berechne die Werte für \(x\), die die Gleichung \(5(x-2)^2 + 3 = 18\) erfüllen.

Lösung

1. Subtrahiere 3 von beiden Seiten der Gleichung: \(5(x-2)^2 = 15\). 2. Dividiere durch 5, um den quadratischen Term zu isolieren: \((x-2)^2 = 3\). 3. Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \(x-2 = \pm\sqrt{3}\). 4. Addiere 2, um die Lösungen für \(x\) zu erhalten: \(x = 2 \pm\sqrt{3}\).

Antwort

Die Lösungen lauten \(x_1 = 2 + \sqrt{3}\) und \(x_2 = 2 - \sqrt{3}\).
4101549
Löse die quadratische Gleichung \(4(x-3)^2 = 7\).

Lösung

1. Zuerst wird die Gleichung durch 4 dividiert, um die Klammer zu isolieren: \((x-3)^2 = \frac{7}{4}\). 2. Danach wird auf beiden Seiten die Quadratwurzel gezogen. Dabei müssen sowohl die positive als auch die negative Wurzel berücksichtigt werden: \(x-3 = \pm\sqrt{\frac{7}{4}}\). 3. Da \(\sqrt{4} = 2\) ist, lässt sich der Ausdruck vereinfachen zu: \(x-3 = \pm\frac{\sqrt{7}}{2}\). 4. Schließlich wird 3 addiert, um \(x\) zu isolieren: \(x = 3 \pm \frac{\sqrt{7}}{2}\).

Antwort

Die Lösungen sind \(x_1 = 3 + \frac{\sqrt{7}}{2}\) und \(x_2 = 3 - \frac{\sqrt{7}}{2}\).
4142849
Klammere den größtmöglichen gemeinsamen Faktor aus und bestimme anschließend die Lösungsmenge \(L\) der Gleichung mithilfe des Satzes vom Nullprodukt. a) \(14x^2 - 21x = 0\) b) \(0{,}5x^2 + 4x = 0\)

Denkanstöße

- Was muss für ein Produkt gelten, damit das Ergebnis null ist? - Suche nach dem größten gemeinsamen Faktor der Terme. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite ein Produkt steht? - Überprüfe deine ausgeklammerten Terme, indem du sie im Kopf wieder ausmultiplizierst.

Lösung

1. Für Teilaufgabe a) den größten gemeinsamen Faktor der Terme \(14x^2\) und \(21x\) bestimmen: \(7x\). 2. Ausklammern: \(7x \cdot (2x - 3) = 0\). 3. Satz vom Nullprodukt anwenden: \(7x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\) und \(2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x_2 = 1{,}5\). 4. Für Teilaufgabe b) den Faktor \(0{,}5x\) ausklammern: \(0{,}5x \cdot (x + 8) = 0\). 5. Satz vom Nullprodukt anwenden: \(0{,}5x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\) und \(x + 8 = 0 \Rightarrow x_2 = -8\). 6. Lösungsmengen angeben: a) \(L = \{0; 1{,}5\}\), b) \(L = \{-8; 0\}\).

Antwort

a) \(L = \{0; 1{,}5\}\) b) \(L = \{-8; 0\}\)
4145339
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden quadratischen Gleichungen ohne Taschenrechner. a) \(3x^2 - 75 = 0\) b) \((x - 1{,}2)^2 = 0{,}64\) c) \(x^2 + 4x + 4 = 9\) d) \(x^2 + 10 = 2\)

Denkanstöße

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass das Quadrat allein auf einer Seite steht? - Erkennst du in Aufgabenteil c) eine binomische Formel? - Was passiert, wenn du versuchst, die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen? - Denke daran, dass beim Wurzelziehen aus einer positiven Zahl zwei Fälle entstehen können.

Lösung

1. Teilaufgabe a): Umformen zu \(3x^2 = 75\), Division durch 3 ergibt \(x^2 = 25\). Ziehen der Wurzel führt zu \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). 2. Teilaufgabe b): Ziehen der Wurzel auf beiden Seiten ergibt \(x - 1{,}2 = 0{,}8\) oder \(x - 1{,}2 = -0{,}8\). Addition von \(1{,}2\) liefert \(x_1 = 2{,}0\) und \(x_2 = 0{,}4\). 3. Teilaufgabe c): Erkennen der ersten binomischen Formel auf der linken Seite: \((x + 2)^2 = 9\). Ziehen der Wurzel ergibt \(x + 2 = 3\) oder \(x + 2 = -3\). Subtraktion von 2 liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -5\). 4. Teilaufgabe d): Umformen zu \(x^2 = -8\). Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ ist, existiert keine reelle Lösung. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\).

Antwort

a) \(x \in \{5; -5\}\) b) \(x \in \{2{,}0; 0{,}4\}\) c) \(x \in \{1; -5\}\) d) keine Lösung (\(L = \emptyset\))
4146019
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung \(x^2 + 8x + 12 = 0\) auf zwei verschiedene Arten: 1. Mithilfe der quadratischen Ergänzung. 2. Mithilfe der \(pq\)-Formel. Vergleiche die Zwischenergebnisse. Welchen Vorteil bietet die quadratische Ergänzung, wenn man die Gleichung grafisch als Parabel interpretieren möchte?

Denkanstöße

- Welche Zahl musst du addieren, um den Term \(x^2 + 8x\) zu einem vollständigen Quadrat zu ergänzen? - Erinnere dich an die Struktur der \(pq\)-Formel. Welche Werte haben \(p\) und \(q\) hier? - Welche besondere Form einer quadratischen Funktion erlaubt es, den tiefsten oder höchsten Punkt direkt zu sehen?

Lösung

1. Quadratische Ergänzung: Die Gleichung ist \(x^2 + 8x + 12 = 0\). Ergänzung mit \((\frac{8}{2})^2 = 16\): \(x^2 + 8x + 16 - 16 + 12 = 0\). Dies führt zu \((x + 4)^2 - 4 = 0\). Umstellen ergibt \((x + 4)^2 = 4\). Ziehen der Wurzel liefert \(x + 4 = 2\) oder \(x + 4 = -2\). Somit \(x_1 = -2\) und \(x_2 = -6\). 2. \(pq\)-Formel: Mit \(p = 8\) und \(q = 12\) gilt \(x_{1,2} = - \frac{8}{2} \pm \sqrt{(\frac{8}{2})^2 - 12} = -4 \pm \sqrt{16 - 12} = -4 \pm \sqrt{4} = -4 \pm 2\). Dies ergibt \(x_1 = -2\) und \(x_2 = -6\). 3. Vergleich und Interpretation: Beide Verfahren liefern dieselbe Lösungsmenge \(L = \{-6; -2\}\). 4. Vorteil der quadratischen Ergänzung: Sie liefert direkt die Scheitelpunktform der zugehörigen quadratischen Funktion \(f(x) = (x + 4)^2 - 4\). Hieraus lässt sich der Scheitelpunkt \(S(-4 | -4)\) sofort ablesen.

Antwort

Die Lösungsmenge ist \(L = \{-6; -2\}\). Die quadratische Ergänzung bietet den Vorteil, dass man die Gleichung in die Scheitelpunktform überführt, wodurch der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel (hier \(S(-4 | -4)\)) direkt ablesbar ist.
4146389
Gegeben sind drei quadratische Gleichungen. Entscheide für jede Gleichung, welches Lösungsverfahren (direktes Wurzelziehen, Ausklammern oder die Anwendung der \(pq\)-Formel) hier am effizientesten ist. Begründe deine Wahl kurz und bestimme die Lösungsmenge \(L\). 1. \(x^2 - 144 = 0\) 2. \(2x^2 + 10x = 0\) 3. \(x^2 - 2x - 15 = 0\)

Denkanstöße

- Überlege dir, welche Bestandteile der allgemeinen Form \(ax^2 + bx + c = 0\) jeweils vorhanden sind. - Wenn das \(b\) oder das \(c\) fehlt, gibt es oft schnellere Wege als die \(pq\)-Formel. - Wann hilft dir der Satz vom Nullprodukt weiter?

Lösung

1. Da kein lineares Glied (mit \(x\)) vorhanden ist, ist direktes Wurzelziehen am effizientesten: \(x^2 = 144 \Rightarrow x_1 = 12, x_2 = -12\). Somit ist \(L = \{-12; 12\}\). 2. Da kein absolutes Glied vorhanden ist, ist Ausklammern am effizientesten: \(2x(x + 5) = 0\). Nach dem Nullprodukt-Satz ergeben sich die Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -5\). Somit ist \(L = \{-5; 0\}\). 3. Da die Gleichung in der Normalform \(x^2 + px + q = 0\) vorliegt, ist die \(pq\)-Formel effizient: Mit \(p = -2\) und \(q = -15\) folgt \(x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2 - (-15)} = 1 \pm \sqrt{16} = 1 \pm 4\). Somit ist \(x_1 = 5, x_2 = -3\) und \(L = \{-3; 5\}\).

Antwort

1. Wurzelziehen: \(L = \{-12; 12\}\) 2. Ausklammern: \(L = \{-5; 0\}\) 3. \(pq\)-Formel: \(L = \{-3; 5\}\)
4153169
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung \(4(x + 1)^2 = 20\). Gib die Lösungen in exakter Form mit Wurzeln an.

Denkanstöße

- Was ist der erste Schritt, um das Quadrat auf der linken Seite zu isolieren? - Wie viele Zahlen ergeben quadriert den Wert \(5\)? - Denke daran, dass beim Wurzelziehen zwei Fälle entstehen können.

Lösung

1. Division der Gleichung durch \(4\): \((x + 1)^2 = 5\). 2. Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten: \(x + 1 = \sqrt{5}\) oder \(x + 1 = -\sqrt{5}\). 3. Isolieren von \(x\) durch Subtraktion von \(1\): \(x_1 = -1 + \sqrt{5}\) und \(x_2 = -1 - \sqrt{5}\).

Antwort

Die Lösungen sind \(x_1 = -1 + \sqrt{5}\) und \(x_2 = -1 - \sqrt{5}\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-1 - \sqrt{5}; -1 + \sqrt{5}\}\).
4154939
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden quadratischen Gleichung: \(x(2x + 5) = 12\)

Denkanstöße

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite eine Null steht? - Welche Formel hilft dir, die Nullstellen einer quadratischen Gleichung direkt zu berechnen? - Achte beim Einsetzen in die Formel besonders auf die Vorzeichen der Koeffizienten.

Lösung

1. Ausmultiplizieren der Klammer: \(2x^2 + 5x = 12\). 2. Umformen in die Normalform durch Subtraktion von \(12\): \(2x^2 + 5x - 12 = 0\). 3. Anwendung der Mitternachtsformel (oder Division durch \(2\) und \(pq\)-Formel): \(x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12)}}{2 \cdot 2}\). 4. Berechnung der Diskriminante: \(D = 25 + 96 = 121\). 5. Wurzel ziehen: \(\sqrt{121} = 11\). 6. Lösungen berechnen: \(x_1 = \frac{-5 + 11}{4} = 1{,}5\) und \(x_2 = \frac{-5 - 11}{4} = -4\).

Antwort

Die Lösungsmenge ist \(L = \{-4; 1{,}5\}\).
4155259
Bestimme die Lösungsmenge \(L\) der folgenden Gleichung über der Grundmenge \(\mathbb{R}\): \(3 \cdot (x^2 - 5) = 33\)

Denkanstöße

- Wie könntest du die Zahl vor der Klammer eliminieren, ohne die Klammer mühsam auszumultiplizieren? - Was ist der nächste Schritt, wenn \(x^2\) fast alleine auf einer Seite steht? - Denke daran, dass beim Lösen von Gleichungen mit \(x^2\) oft zwei Werte infrage kommen.

Lösung

1. Division der gesamten Gleichung durch 3: \(x^2 - 5 = 11\). 2. Isolation von \(x^2\) durch Addition von 5 auf beiden Seiten: \(x^2 = 16\). 3. Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). 4. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{-4; 4\}\).

Antwort

\(L = \{-4; 4\}\)
4250679
Zeige durch Einsetzen, dass der Wert \(x = 2 - \sqrt{5}\) eine Lösung der quadratischen Gleichung \(x^2 - 4x - 1 = 0\) ist.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um das Quadrat der Klammer zu berechnen. - Achte beim Auflösen der Klammer besonders auf das Vorzeichen. - Was passiert, wenn du eine Wurzel mit sich selbst multiplizierst? - Fasse am Ende alle Terme ohne Wurzel und alle Terme mit Wurzel getrennt zusammen.

Lösung

1. Einsetzen des Wertes für \(x\) in den Term \(x^2\): \((2 - \sqrt{5})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5}\) 2. Einsetzen des Wertes für \(x\) in den Term \(-4x\): \(-4 \cdot (2 - \sqrt{5}) = -8 + 4\sqrt{5}\) 3. Zusammenfassen aller Terme der Gleichung: \((9 - 4\sqrt{5}) + (-8 + 4\sqrt{5}) - 1\) 4. Verrechnen der Summanden: \(9 - 8 - 1 - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 0\) 5. Da das Ergebnis \(0\) ist, ist die Gleichung \(0 = 0\) erfüllt und der Wert eine Lösung.

Antwort

Durch Einsetzen von \(x = 2 - \sqrt{5}\) in die Gleichung erhält man \(9 - 4\sqrt{5} - 8 + 4\sqrt{5} - 1 = 0\), was eine wahre Aussage ergibt.
4250769
Bestimme die Lösungsmenge \(L\) der folgenden Gleichungen über der Grundmenge \(\mathbb{R}\): a) \(4x^2 - 7 = 2x^2 + 11\) b) \(\frac{1}{3}x^2 + 10 = 1\) c) \((x - 5)(x + 5) = 11\) d) \(0{,}5x^2 = 0{,}005\)

Denkanstöße

- Versuche zuerst, alle Terme mit \(x^2\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite zu bringen. - Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man Klammern wie in Aufgabenteil c) schnell auflösen kann? - Achte bei b) besonders auf das Vorzeichen nach dem Umstellen. - Bei d) kann es helfen, die Dezimalzahlen als Brüche zu schreiben, falls dir das Rechnen damit leichter fällt.

Lösung

1. Gleichung a): Zusammenfassen der Terme ergibt \(2x^2 = 18\), also \(x^2 = 9\). Die Lösungen sind \(x = \pm 3\). 2. Gleichung b): Subtraktion von \(10\) ergibt \(\frac{1}{3}x^2 = -9\). Multiplikation mit \(3\) ergibt \(x^2 = -27\). Da Quadrate reeller Zahlen nicht negativ sind, ist die Lösungsmenge leer: \(L = \emptyset\). 3. Gleichung c): Anwendung der dritten binomischen Formel liefert \(x^2 - 25 = 11\). Addition von \(25\) ergibt \(x^2 = 36\), woraus \(x = \pm 6\) folgt. 4. Gleichung d): Division durch \(0{,}5\) ergibt \(x^2 = 0{,}01\). Das Ziehen der Wurzel liefert \(x = \pm 0{,}1\).

Antwort

a) \(L = \{-3; 3\}\) b) \(L = \emptyset\) c) \(L = \{-6; 6\}\) d) \(L = \{-0{,}1; 0{,}1\}\)
4250799
Betrachte die Gleichung \(\frac{x^2}{p} - p = 0\) mit einem Parameter \(p \neq 0\). a) Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung für den Fall \(p = 5\). b) Zeige, dass die Gleichung für jeden beliebigen Wert \(p \neq 0\) genau zwei verschiedene Lösungen besitzt. c) Gib die allgemeine Lösungsmenge \(L\) in Abhängigkeit von \(p\) an.

Denkanstöße

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass \(x^2\) alleine auf einer Seite steht? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie quadriert? - Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^2 = a\), wenn \(a\) positiv ist? - Denk daran, dass \(p\) in der Aufgabe als ungleich Null definiert ist.

Lösung

1. Umstellen der Gleichung nach \(x^2\): Durch Multiplikation mit \(p\) und Addition von \(p^2\) erhält man \(x^2 = p^2\). 2. Lösung für \(p = 5\): Einsetzen ergibt \(x^2 = 5^2 = 25\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-5; 5\}\). 3. Anzahl der Lösungen: Da \(p \neq 0\) vorausgesetzt ist, ist \(p^2\) immer eine positive Zahl. Jede Gleichung der Form \(x^2 = k\) mit \(k > 0\) hat genau zwei Lösungen, nämlich \(\sqrt{k}\) und \(-\sqrt{k}\). Da hier \(k = p^2\) gilt, sind die Lösungen \(x = p\) und \(x = -p\). Da \(p \neq 0\), sind diese beiden Werte stets verschieden. 4. Allgemeine Lösungsmenge: Aus \(x^2 = p^2\) folgt direkt \(x = \pm p\). Somit ist \(L = \{-p; p\}\).

Antwort

a) \(L = \{-5; 5\}\) b) Da \(p \neq 0\), ist \(p^2 > 0\). Die Gleichung \(x^2 = p^2\) hat daher immer die zwei unterschiedlichen Lösungen \(x_1 = p\) und \(x_2 = -p\). c) \(L = \{-p; p\}\)
4250859
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden quadratischen Gleichungen: a) \(6x^2 - 4x = 2x^2 + 8x\) b) \(0{,}4x^2 + 3x = 1{,}4x^2 - 2x\)

Denkanstöße

- Kannst du alle Terme auf eine Seite der Gleichung bringen, sodass auf der anderen Seite eine Null steht? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in allen Termen, den du ausklammern kannst? - Was muss für einen der Faktoren gelten, damit das gesamte Produkt den Wert Null annimmt?

Lösung

1. Gleichung a): Zusammenfassen der Terme auf einer Seite ergibt \(4x^2 - 12x = 0\). Ausklammern von \(4x\) führt zu \(4x(x - 3) = 0\). Anwendung des Satzes vom Nullprodukt liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 2. Gleichung b): Zusammenfassen der Terme auf einer Seite ergibt \(x^2 - 5x = 0\). Ausklammern von \(x\) führt zu \(x(x - 5) = 0\). Anwendung des Satzes vom Nullprodukt liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 5\).

Antwort

a) \(L = \{0; 3\}\) b) \(L = \{0; 5\}\)
4250939
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden quadratischen Gleichungen: 1) \(x(x - 12) = 4(16 - 3x)\) 2) \((x - 3)(x + 3) + (x - 4)(x + 4) = 7\)

Denkanstöße

- Kannst du die Klammern auf beiden Seiten zuerst auflösen? - Gibt es Terme, die auf beiden Seiten der Gleichung identisch sind und sich gegenseitig aufheben? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln, um die Produkte schneller zu berechnen? - Was ist der letzte Schritt, wenn eine Gleichung die Form \(x^2 = c\) hat?

Lösung

1. Erste Gleichung: Ausmultiplizieren beider Seiten ergibt \(x^2 - 12x = 64 - 12x\). Durch Addition von \(12x\) vereinfacht sich die Gleichung zu \(x^2 = 64\). Das Ziehen der Quadratwurzel liefert \(x_1 = 8\) und \(x_2 = -8\). 2. Zweite Gleichung: Anwendung der dritten binomischen Formel auf beide Terme ergibt \(x^2 - 9 + x^2 - 16 = 7\). Zusammenfassen der Terme führt zu \(2x^2 - 25 = 7\). Durch Addition von \(25\) erhält man \(2x^2 = 32\), woraus nach Division durch \(2\) die Gleichung \(x^2 = 16\) folgt. Die Wurzeln sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\).

Antwort

1) \(L = \{-8; 8\}\) 2) \(L = \{-4; 4\}\)
4251159
Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mithilfe der quadratischen Ergänzung: 1) \(x^2 + 10x - 24 = 0\) 2) \(x^2 - 16x = -15\)

Denkanstöße

- Was musst du auf beiden Seiten addieren, damit links ein vollständiges Quadrat entsteht? - Denke an die erste und zweite binomische Formel. - Vergiss nicht, beim Ziehen der Wurzel beide Fälle (positiv und negativ) zu berücksichtigen. - Bringe die Gleichung zuerst in die Form \(x^2 + px = q\).

Lösung

1. Gleichung umstellen zu \(x^2 + 10x = 24\). Quadratische Ergänzung mit \((\frac{10}{2})^2 = 25\) durchführen: \(x^2 + 10x + 25 = 24 + 25\). Anwendung der binomischen Formel ergibt \((x + 5)^2 = 49\). Wurzelziehen führt zu \(x + 5 = \pm 7\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -12\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{16}{2})^2 = 64\) auf beiden Seiten addieren: \(x^2 - 16x + 64 = -15 + 64\). Anwendung der binomischen Formel ergibt \((x - 8)^2 = 49\). Wurzelziehen führt zu \(x - 8 = \pm 7\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 15\) und \(x_2 = 1\).

Antwort

1) \(x_1 = 2, x_2 = -12\) 2) \(x_1 = 15, x_2 = 1\)
4251179
Löse die folgenden quadratischen Gleichungen durch quadratische Ergänzung oder mithilfe einer Lösungsformel: 1) \(x^2 - 16x + 63 = 0\) 2) \(x^2 + 7x = 18\)

Denkanstöße

- Hast du schon versucht, die Gleichung in die Normalform \(x^2 + px + q = 0\) zu bringen? - Welches Verfahren (quadratische Ergänzung oder Lösungsformel) fällt dir hier am leichtesten? - Achte bei ungeraden Werten für den Koeffizienten vor \(x\) besonders auf die Brüche oder Dezimalzahlen beim Quadrieren. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die gefundenen Werte probehalber in die Ausgangsgleichung einsetzt.

Lösung

1. Gleichung \(x^2 - 16x + 63 = 0\): Quadratische Ergänzung mit \((\frac{16}{2})^2 = 64\) führt zu \(x^2 - 16x + 64 = -63 + 64\), also \((x-8)^2 = 1\). Wurzelziehen ergibt \(x-8 = \pm 1\). Resultate: \(x_1 = 9\), \(x_2 = 7\). 2. Gleichung \(x^2 + 7x = 18\): Quadratische Ergänzung mit \((\frac{7}{2})^2 = 12{,}25\) führt zu \(x^2 + 7x + 12{,}25 = 18 + 12{,}25\), also \((x+3{,}5)^2 = 30{,}25\). Wurzelziehen ergibt \(x+3{,}5 = \pm 5{,}5\). Resultate: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -9\).

Antwort

1) \(x_1 = 9, x_2 = 7\) 2) \(x_1 = 2, x_2 = -9\)
4251199
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung über der Grundmenge \(\mathbb{R}\): \[(3x-1)^2 - (x+2)^2 + (2x-5)(2x+5) = 4x^2 - 10x + 4\]

Denkanstöße

- Kannst du die Terme in den Klammern mithilfe der binomischen Formeln umschreiben? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer – wie verändern sich die Vorzeichen dahinter? - Versuche, alle Terme mit \(x^2\), \(x\) und die reinen Zahlen jeweils zusammenzufassen. - Was musst du tun, um ein Quadrat wie \(x^2\) aufzulösen?

Lösung

1. Anwendung der binomischen Formeln zur Auflösung der Klammern: \((9x^2 - 6x + 1) - (x^2 + 4x + 4) + (4x^2 - 25) = 4x^2 - 10x + 4\) 2. Auflösen der Minusklammer und Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(12x^2 - 10x - 28 = 4x^2 - 10x + 4\) 3. Subtraktion von \(4x^2\) und Addition von \(10x\) auf beiden Seiten führt zu: \(8x^2 - 28 = 4\) 4. Isolation von \(x^2\): \(8x^2 = 32 \implies x^2 = 4\) 5. Ziehen der Quadratwurzel ergibt die Lösungen: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\)

Antwort

\(L = \{-2; 2\}\)
4251299
Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mithilfe der quadratischen Ergänzung: a) \(x^2 + 4x - 21 = 0\) b) \(x^2 - 6x + 5 = 0\)

Denkanstöße

- Was musst du auf beiden Seiten addieren, um den Term links als Quadrat schreiben zu können? - Erinnerst du dich an die erste und zweite binomische Formel? - Wie kannst du das Quadrat auf der linken Seite auflösen? - Denk daran, dass beim Wurzelziehen zwei Fälle entstehen können.

Lösung

1. Umformung von \(x^2 + 4x - 21 = 0\) zu \(x^2 + 4x = 21\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{4}{2})^2 = 4\): \(x^2 + 4x + 4 = 21 + 4 = 25\). 3. Anwendung der ersten binomischen Formel: \((x + 2)^2 = 25\). 4. Ziehen der Quadratwurzel: \(x + 2 = \pm 5\). 5. Berechnung der Lösungen: \(x_1 = -2 + 5 = 3\) und \(x_2 = -2 - 5 = -7\). 6. Umformung von \(x^2 - 6x + 5 = 0\) zu \(x^2 - 6x = -5\). 7. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{-6}{2})^2 = 9\): \(x^2 - 6x + 9 = -5 + 9 = 4\). 8. Anwendung der zweiten binomischen Formel: \((x - 3)^2 = 4\). 9. Ziehen der Quadratwurzel: \(x - 3 = \pm 2\). 10. Berechnung der Lösungen: \(x_1 = 3 + 2 = 5\) und \(x_2 = 3 - 2 = 1\).

Antwort

a) \(x_1 = 3, x_2 = -7\) b) \(x_1 = 5, x_2 = 1\)
4255839
Ein Rechteck hat einen Umfang von \(26\,\text{cm}\) und einen Flächeninhalt von \(40\,\text{cm}^2\). Bestimme die Seitenlängen des Rechtecks, indem du eine quadratische Gleichung aufstellst, deren Lösungen die gesuchten Seitenlängen sind. Nutze dabei den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer Gleichung und ihren Lösungen (Satz von Vieta).

Denkanstöße

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Umfang eines Rechtecks und der Summe seiner Seitenlängen? - Wie hängen die Summe und das Produkt zweier Zahlen mit der Normalform einer quadratischen Gleichung zusammen? - Kannst du eine Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\) aufstellen, wenn du die Summe und das Produkt der Lösungen kennst?

Lösung

1. Aufstellen der Gleichungen für Umfang und Flächeninhalt mit den Seiten \(a\) und \(b\): \(2(a+b) = 26\) und \(a \cdot b = 40\). 2. Bestimmung der Summe der Seitenlängen durch Division des Umfangs durch 2: \(a+b = 13\). 3. Anwendung des Satzes von Vieta: Da \(a+b = 13\) und \(a \cdot b = 40\), sind \(a\) und \(b\) die Lösungen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 13x + 40 = 0\). 4. Lösen der Gleichung mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder der Mitternachtsformel: \(x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 40}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2} = \frac{13 \pm 3}{2}\). 5. Berechnung der beiden Werte: \(x_1 = 8\) und \(x_2 = 5\). Die Seitenlängen des Rechtecks betragen somit \(5\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\).

Antwort

Die Seitenlängen des Rechtecks sind \(5\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\).
4255859
Bestimme alle Lösungspaare \((x; y)\) für das folgende Gleichungssystem: \[ \begin{cases} x + y = -2 \\ x \cdot y = -15 \end{cases} \] Stelle zur Lösung eine quadratische Gleichung der Form \(z^2 + pz + q = 0\) auf, deren Lösungen \(x\) und \(y\) sind, und begründe diesen Ansatz mithilfe des Satzes von Vieta.

Denkanstöße

- Überlege, wie die Koeffizienten einer quadratischen Gleichung mit der Summe und dem Produkt ihrer Nullstellen zusammenhängen. - Erinnere dich an den Satz von Vieta. - Welche quadratische Gleichung hat genau diese beiden Unbekannten als Lösungen? - Wenn du eine Lösung für eine Variable gefunden hast, wie erhältst du dann die andere?

Lösung

1. Anwendung des Satzes von Vieta: Für eine quadratische Gleichung \(z^2 + pz + q = 0\) mit den Lösungen \(x\) und \(y\) gilt \(p = -(x+y)\) und \(q = x \cdot y\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(p = -(-2) = 2\) und \(q = -15\). Die Gleichung lautet \(z^2 + 2z - 15 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung: Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung ergibt \((z+5)(z-3) = 0\). Die Lösungen sind \(z_1 = -5\) und \(z_2 = 3\). 4. Bestimmung der Paare: Da \(x\) und \(y\) die Rollen der Nullstellen einnehmen, ergeben sich die Lösungspaare \((-5; 3)\) und \((3; -5)\).

Antwort

Die Lösungspaare sind \((-5; 3)\) und \((3; -5)\).
4280799
1. Zerlege den quadratischen Term \(x^2 - 4x - 21\) in Linearfaktoren. 2. Begründe kurz den Zusammenhang zwischen den Nullstellen des Terms und den Vorzeichen innerhalb der Linearfaktoren.

Denkanstöße

- Wie hängen die Nullstellen einer quadratischen Gleichung mit ihrer faktorisierten Form zusammen? - Welche Formel hilft dir dabei, die Nullstellen eines Terms der Form \(x^2 + px + q\) zu finden? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl von \(x\) subtrahierst?

Lösung

1. Berechnung der Nullstellen der Gleichung \(x^2 - 4x - 21 = 0\) mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 21} = 2 \pm 5\). 2. Die Nullstellen sind \(x_1 = 7\) und \(x_2 = -3\). 3. Aufstellen der Linearfaktorform \(a(x - x_1)(x - x_2)\) mit \(a = 1\): \((x - 7)(x - (-3)) = (x - 7)(x + 3)\). 4. Begründung: Der Faktor für eine Nullstelle \(x_0\) lautet allgemein \((x - x_0)\). Bei einer negativen Nullstelle wie \(-3\) ergibt das Minuszeichen der Formel zusammen mit dem negativen Wert der Nullstelle ein Pluszeichen: \((x - (-3)) = (x + 3)\).

Antwort

1. \((x - 7)(x + 3)\) 2. Da die Linearfaktorform \((x - x_1)(x - x_2)\) lautet, kehrt sich das Vorzeichen der Nullstelle im Faktor um (aus \(-3\) wird \(x + 3\)).
4280999
Bestimme die Lösungsmengen der folgenden quadratischen Gleichungen durch Ausklammern: a) \(7x^2 + 21x = 0\) b) \(0{,}5x^2 = 2x\)

Denkanstöße

- Was passiert, wenn ein Produkt zweier Faktoren Null ergibt? - Kannst du den Term so umformen, dass \(x\) als gemeinsamer Faktor vor einer Klammer steht? - Achte darauf, dass bei Aufgabenteil b) zuerst alle Terme auf eine Seite der Gleichung gebracht werden müssen.

Lösung

1. Gleichung a) durch Ausklammern von \(7x\) faktorisieren: \(7x(x + 3) = 0\). 2. Anwendung des Nullprodukt-Satzes: \(7x = 0\) oder \(x + 3 = 0\). 3. Lösungen für a): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -3\). 4. Gleichung b) durch Subtraktion von \(2x\) in die Form \(0{,}5x^2 - 2x = 0\) bringen. 5. Ausklammern von \(0{,}5x\): \(0{,}5x(x - 4) = 0\). 6. Anwendung des Nullprodukt-Satzes: \(0{,}5x = 0\) oder \(x - 4 = 0\). 7. Lösungen für b): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\).

Antwort

a) \(L = \{0; -3\}\) b) \(L = \{0; 4\}\)
4101159
Wandeln Sie den Ausdruck \(45n^2 - 60n + 15\) in ein Produkt aus Linearfaktoren um.

Lösung

1. Den gemeinsamen Faktor 15 ausklammern: \(15(3n^2 - 4n + 1)\). 2. Die Nullstellen des Terms \(3n^2 - 4n + 1\) berechnen: \(n = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}\). 3. Die Ergebnisse sind \(n_1 = 1\) und \(n_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 4. Faktorisierte Form des inneren Terms: \(3(n - 1)(n - \frac{1}{3}) = (n - 1)(3n - 1)\). 5. Inklusive des Faktors 15: \(15(n - 1)(3n - 1)\).

Antwort

\(15(n - 1)(3n - 1)\)
4101179
Zerlegen Sie den Term \(12z^2 - 30z + 12\) in ein Produkt aus Linearfaktoren.

Lösung

1. Wir klammern den gemeinsamen Faktor 6 aus: \(6(2z^2 - 5z + 2)\). 2. Wir bestimmen die Wurzeln des quadratischen Ausdrucks \(2z^2 - 5z + 2 = 0\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\). \(z = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}\). 3. Die Nullstellen sind \(z_1 = 2\) und \(z_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). 4. Der Ausdruck in der Klammer wird zu: \(2(z - 2)(z - \frac{1}{2}) = (z - 2)(2z - 1)\). 5. Zusammen mit dem Faktor 6 ergibt sich: \(6(z - 2)(2z - 1)\).

Antwort

\(6(z - 2)(2z - 1)\)
4101189
Faktorisieren Sie den Term so weit wie möglich: \(20y^2 + 10y - 30\)

Lösung

1. Den gemeinsamen Faktor 10 ausklammern: \(10(2y^2 + y - 3)\). 2. Die Nullstellen von \(2y^2 + y - 3 = 0\) berechnen: \(y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4}\). 3. Wir erhalten \(y_1 = \frac{4}{4} = 1\) und \(y_2 = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}\). 4. Zerlegung des Terms in der Klammer: \(2(y - 1)(y + \frac{3}{2}) = (y - 1)(2y + 3)\). 5. Gesamtergebnis unter Berücksichtigung der ausgeklammerten 10: \(10(y - 1)(2y + 3)\).

Antwort

\(10(y - 1)(2y + 3)\)
4101199
Zerlegen Sie den folgenden Ausdruck vollständig in Faktoren: \(18x^2 - 12x - 6\)

Lösung

1. Zuerst suchen wir den größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten 18, -12 und -6. Dieser ist 6. 2. Wir klammern die 6 aus: \(6(3x^2 - 2x - 1)\). 3. Nun faktorisieren wir das quadratische Polynom in der Klammer \(3x^2 - 2x - 1\). Dazu bestimmen wir die Nullstellen der Gleichung \(3x^2 - 2x - 1 = 0\) mit der Mitternachtsformel: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) \(x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}\) 4. Die Nullstellen sind \(x_1 = \frac{6}{6} = 1\) und \(x_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\). 5. Ein quadratischer Term \(ax^2 + bx + c\) lässt sich als \(a(x - x_1)(x - x_2)\) schreiben. Hier: \(3(x - 1)(x + \frac{1}{3})\). 6. Um Brüche zu vermeiden, multiplizieren wir die 3 in die zweite Klammer: \(3(x + \frac{1}{3}) = (3x + 1)\). 7. Das Endergebnis lautet: \(6(x - 1)(3x + 1)\).

Antwort

\(6(x - 1)(3x + 1)\)
4101509
Finde die Lösungen für die Gleichung \(2(2x-4)^2 = 50\).

Lösung

1. Dividiere zuerst durch 2: \((2x-4)^2 = 25\). 2. Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \(2x-4 = \pm\sqrt{25}\), also \(2x-4 = \pm 5\). 3. Betrachte die zwei linearen Gleichungen: Gleichung 1: \(2x-4 = 5 \Rightarrow 2x = 9 \Rightarrow x = 4,5\) Gleichung 2: \(2x-4 = -5 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -0,5\)

Antwort

Die Lösungen sind \(x_1 = 4,5\) und \(x_2 = -0,5\).
4101539
Bestimme die Lösungen der Gleichung \(\frac{1}{2}(x+5)^2 - 4 = 0\).

Lösung

1. Zuerst wird 4 auf beiden Seiten addiert: \(\frac{1}{2}(x+5)^2 = 4\). 2. Um den Faktor \(\frac{1}{2}\) zu eliminieren, wird die gesamte Gleichung mit 2 multipliziert: \((x+5)^2 = 8\). 3. Nun wird die Quadratwurzel gezogen: \(x+5 = \pm\sqrt{8}\). 4. Die Wurzel lässt sich vereinfachen: \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\). Also: \(x+5 = \pm 2\sqrt{2}\). 5. Subtrahiere 5 von beiden Seiten: \(x = -5 \pm 2\sqrt{2}\).

Antwort

Die Lösungen sind \(x = -5 + 2\sqrt{2}\) und \(x = -5 - 2\sqrt{2}\).
4145359
Bearbeite die folgenden Aufgaben zu quadratischen Gleichungen. a) Berechne die Lösungen von \(x^2 - \frac{1}{4} = 0\). b) Erkläre ohne Rechnung, warum die Gleichung \((x + 5)^2 = -4\) keine reelle Lösung besitzt. c) Bestimme die Lösungsmenge von \(x^2 - 2x = 3\) mithilfe eines Lösungsverfahrens deiner Wahl.

Denkanstöße

- Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen? - Kannst du Aufgabe c) so umformen, dass auf einer Seite null steht? - Welches Lösungsverfahren passt anschließend zur erhaltenen Form?

Lösung

1. Teilaufgabe a): Umformen zu \(x^2 = \frac{1}{4}\). Wurzelziehen ergibt \(x = \pm \frac{1}{2}\). 2. Teilaufgabe b): Das Quadrat eines reellen Terms ist stets größer oder gleich null. Daher kann \((x+5)^2\) nicht den negativen Wert \(-4\) annehmen. 3. Teilaufgabe c): Umformen zur Normalform \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Anwendung der \(pq\)-Formel: \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2\). Dies ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). Alternativ kann zu \((x-3)(x+1)=0\) faktorisiert werden.

Antwort

a) \(L = \{-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\}\) b) Keine reelle Lösung, da ein Quadrat nicht negativ sein kann. c) \(L = \{-1; 3\}\)
4146009
Betrachte die Gleichung \((x - 4)^2 = 3 \cdot (x - 4)\). a) Ein Schüler dividiert beide Seiten durch den Term \((x - 4)\) und erhält \(x - 4 = 3\). Bestimme den Wert für \(x\), den er so findet. b) Erkläre, warum diese Methode nicht alle Lösungen liefert. c) Berechne die vollständige Lösungsmenge, indem du die Gleichung so umformst, dass auf einer Seite null steht, und dann faktorisierst.

Denkanstöße

- Was wäre das Ergebnis auf beiden Seiten der Gleichung, wenn \(x = 4\) ist? - Wann ist eine Division durch einen Klammerausdruck nicht erlaubt? - Versuche, alle Terme auf eine Seite zu bringen, sodass auf der anderen Seite \(0\) steht. - Kannst du in dem entstandenen Ausdruck eine gemeinsame Klammer entdecken?

Lösung

1. Berechnung zu Teil a: Durch die Division ergibt sich \(x - 4 = 3\). Addition von \(4\) liefert \(x = 7\). 2. Erklärung zu Teil b: Durch die Division durch \((x - 4)\) wird der Fall ausgeschlossen, dass der Term \((x - 4)\) den Wert null annimmt. Da \(x = 4\) die Gleichung ebenfalls löst (beide Seiten werden null), geht diese Lösung verloren. 3. Lösung zu Teil c (Umformen und Faktorisieren): Subtraktion von \(3(x - 4)\) auf beiden Seiten führt zu \((x - 4)^2 - 3(x - 4) = 0\). 4. Ausklammern des gemeinsamen Terms \((x - 4)\): \((x - 4) \cdot [(x - 4) - 3] = 0\), vereinfacht \((x - 4) \cdot (x - 7) = 0\). 5. Nullprodukt anwenden: \(x - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 4\) oder \(x - 7 = 0 \Rightarrow x_2 = 7\). 6. Ergebnis: \(L = \{4; 7\}\).

Antwort

a) Der Schüler erhält \(x = 7\). b) Die Lösung \(x = 4\) geht verloren, da für diesen Wert der Divisor \((x - 4)\) null wird und eine Division durch null nicht definiert ist. c) Die vollständige Lösungsmenge ist \(L = \{4; 7\}\).
4146129
Löse die folgenden Gleichungen durch geeignete Umformungen. a) \(2x^2 - 18x = 0\) b) \(3(x - 1)^2 - 27 = 0\) c) \(0{,}5x^2 - x - 4 = 0\) d) \((2x - 4)(x + 5) = 0\)

Denkanstöße

- Versuche, die Gleichung durch Division oder Multiplikation zu vereinfachen, bevor du eine Lösungsformel nutzt. - Kannst du einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Wenn ein Produkt null ist, was muss dann für die einzelnen Faktoren gelten? - Wie kannst du eine Klammer, die im Quadrat steht, isolieren?

Lösung

1. Teilaufgabe a): Ausklammern von \(2x\) führt zu \(2x(x - 9) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt sind die Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 9\). 2. Teilaufgabe b): Zuerst Addition von \(27\) und Division durch \(3\) ergibt \((x - 1)^2 = 9\). Ziehen der Wurzel führt zu \(x - 1 = 3\) oder \(x - 1 = -3\). Die Lösungen sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\). 3. Teilaufgabe c): Multiplikation der gesamten Gleichung mit \(2\) ergibt die Normalform \(x^2 - 2x - 8 = 0\). Anwendung der \(pq\)-Formel liefert \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 8} = 1 \pm 3\). Die Lösungen sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\). 4. Teilaufgabe d): Anwendung des Satzes vom Nullprodukt. Die Gleichungen \(2x - 4 = 0\) und \(x + 5 = 0\) führen direkt zu den Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -5\).

Antwort

a) \(x_1 = 0; x_2 = 9\) b) \(x_1 = 4; x_2 = -2\) c) \(x_1 = 4; x_2 = -2\) d) \(x_1 = 2; x_2 = -5\)
4150599
Betrachte die quadratische Gleichung \(x^2 - x - 5 = 0\). a) Berechne die beiden Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) in exakter Form. b) Überprüfe durch Multiplikation der beiden exakten Werte, ob ihr Produkt tatsächlich dem Absolutglied \(q = -5\) entspricht. c) Wie müsste man die Zahl \(-5\) in der Gleichung ändern, damit die Gleichung genau eine Lösung besitzt?

Denkanstöße

- Welche Formel hilft dir, die Nullstellen direkt zu finden? - Nutze beim Multiplizieren der Wurzelterme die dritte binomische Formel. - Wann wird der Teil unter der Wurzel in der Lösungsformel genau null?

Lösung

1. Anwendung der \(pq\)-Formel auf \(x^2 - x - 5 = 0\) mit \(p = -1\) und \(q = -5\): \(x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 5} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}\). 2. Multiplikation der Lösungen: \(\frac{1 + \sqrt{21}}{2} \cdot \frac{1 - \sqrt{21}}{2} = \frac{1^2 - (\sqrt{21})^2}{4} = \frac{1 - 21}{4} = \frac{-20}{4} = -5\). Das Produkt entspricht \(q\). 3. Eine quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante null ist: \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q = 0\). 4. Mit \(p = -1\) ergibt sich \(0{,}25 - q = 0\), also \(q = 0{,}25\). Die Zahl \(-5\) müsste durch \(0{,}25\) ersetzt werden.

Antwort

a) Die Lösungen sind \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}\) und \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}\). b) Das Produkt ergibt \(\frac{1-21}{4} = -5\). c) Das Absolutglied müsste \(0{,}25\) (bzw. \(\frac{1}{4}\)) lauten.
4152849
Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mithilfe der \(pq\)-Formel. Achte darauf, die Gleichungen bei Bedarf zuerst in die Normalform zu bringen. a) \(x^2 - 10x + 21 = 0\) b) \(2x^2 + 8x - 24 = 0\)

Denkanstöße

- Was muss vor dem \(x^2\) stehen, damit du die \(pq\)-Formel direkt anwenden darfst? - Achte beim Einsetzen in die Formel auf das Vorzeichen von \(q\), besonders wenn \(q\) negativ ist. - Wie gehst du vor, wenn vor dem \(x^2\) eine Zahl ungleich \(1\) steht?

Lösung

1. Für Teilaufgabe a): Die Gleichung liegt bereits in Normalform vor mit \(p = -10\) und \(q = 21\). 2. Anwendung der \(pq\)-Formel: \(x_{1,2} = -\frac{-10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-10}{2}\right)^2 - 21} = 5 \pm \sqrt{25 - 21} = 5 \pm \sqrt{4} = 5 \pm 2\). 3. Ergebnisse für a): \(x_1 = 7\) und \(x_2 = 3\). 4. Für Teilaufgabe b): Normalisierung durch Division der gesamten Gleichung durch \(2\). Dies ergibt \(x^2 + 4x - 12 = 0\). Hier ist \(p = 4\) und \(q = -12\). 5. Anwendung der \(pq\)-Formel: \(x_{1,2} = -\frac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2 - (-12)} = -2 \pm \sqrt{4 + 12} = -2 \pm \sqrt{16} = -2 \pm 4\). 6. Ergebnisse für b): \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -6\).

Antwort

a) \(L = \{3; 7\}\) b) \(L = \{-6; 2\}\)
4153129
Betrachte die beiden Gleichungen: (I) \(x^2 - 6x + 9 = 0\) (II) \(x^2 - 6x + 8 = 0\) a) Löse Gleichung (I), indem du die linke Seite mithilfe einer binomischen Formel als Quadrat schreibst. b) Löse Gleichung (II) mit einem Verfahren deiner Wahl (z. B. quadratische Ergänzung oder \(pq\)-Formel). c) Erkläre kurz, warum bei Gleichung (I) nur eine Lösung existiert, während Gleichung (II) zwei Lösungen hat.

Denkanstöße

- Erkennst du ein Muster in der ersten Gleichung, das an die binomischen Formeln erinnert? - Wie unterscheiden sich die Konstanten am Ende der beiden Gleichungen und wie beeinflusst das die Wurzel in der Lösungsformel? - Was passiert grafisch, wenn eine Parabel die \(x\)-Achse nur berührt statt sie zu schneiden?

Lösung

1. Gleichung (I): Die linke Seite entspricht der zweiten binomischen Formel \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) mit \(a = x\) und \(b = 3\). Es gilt \((x - 3)^2 = 0\). Daraus folgt direkt \(x - 3 = 0\), also \(x = 3\). 2. Gleichung (II): Anwendung der \(pq\)-Formel mit \(p = -6\) und \(q = 8\): \(x_{1,2} = -\frac{-6}{2} \pm \sqrt{(\frac{-6}{2})^2 - 8} = 3 \pm \sqrt{9 - 8} = 3 \pm \sqrt{1}\). Die Lösungen sind \(x_1 = 3 + 1 = 4\) und \(x_2 = 3 - 1 = 2\). 3. Ursache für die Anzahl der Lösungen: In Gleichung (I) ist der Term unter der Wurzel (die Diskriminante) null (\(9 - 9 = 0\)), was zu einer Doppellösung führt. In Gleichung (II) ist die Diskriminante positiv (\(9 - 8 = 1\)), wodurch zwei unterschiedliche Werte entstehen.

Antwort

a) \(x = 3\) b) \(x_1 = 4; x_2 = 2\) c) Bei (I) liegt ein vollständiges Quadrat vor und die Diskriminante ist null; bei (II) ist die Diskriminante positiv.
4153179
Begründe, warum die Gleichung \(3(x - 2)^2 + 5 = 2\) im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung besitzt.

Denkanstöße

- Versuche zuerst, den Term mit dem Quadrat allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen wie \(a^2\)? - Kann eine Quadratzahl jemals kleiner als Null sein?

Lösung

1. Subtraktion von \(5\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(3(x - 2)^2 = -3\). 2. Division durch \(3\): \((x - 2)^2 = -1\). 3. Analyse des Ergebnisses: Das Quadrat einer reellen Zahl, hier \((x - 2)^2\), ist stets größer oder gleich \(0\). 4. Schlussfolgerung: Da die rechte Seite \(-1\) negativ ist, gibt es kein reelles \(x\), das diese Gleichung erfüllt.

Antwort

Die Gleichung hat keine reelle Lösung, da die Umformung zu \((x - 2)^2 = -1\) führt und ein Quadrat im Reellen niemals negativ sein kann.
4250759
Gegeben ist die Gleichung \(3x^2 - 12 = k\), wobei \(k\) eine reelle Zahl ist. a) Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung für \(k = 15\). b) Ermittle den Wert von \(k\), für den die Gleichung genau eine Lösung besitzt. Begründe deine Antwort kurz. c) Bestimme alle Werte für \(k\), für die die Gleichung keine reelle Lösung besitzt.

Denkanstöße

- Was passiert mit der Anzahl der Lösungen, wenn du die Gleichung nach \(x^2\) auflöst? - Wie viele Lösungen hat die Gleichung \(x^2 = c\) in Abhängigkeit vom Vorzeichen von \(c\)? - Überlege dir, welche Zahl herauskommen muss, damit beim Wurzelziehen nur ein einziger Wert entsteht. - Wann ist es im Bereich der reellen Zahlen unmöglich, eine Quadratwurzel zu ziehen?

Lösung

1. Für \(k = 15\) lautet die Gleichung \(3x^2 - 12 = 15\). Addition von \(12\) ergibt \(3x^2 = 27\). Division durch \(3\) führt zu \(x^2 = 9\). Das Ziehen der Quadratwurzel ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 2. Eine Gleichung der Form \(3x^2 = c\) hat genau dann eine Lösung, wenn \(c = 0\) ist. Hier ist \(3x^2 = k + 12\). Setzt man \(k + 12 = 0\), erhält man \(k = -12\). In diesem Fall ist \(x^2 = 0\), also \(x = 0\). 3. Die Gleichung hat keine reelle Lösung, wenn der Term auf der rechten Seite negativ ist, da ein Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann. Aus \(3x^2 = k + 12\) folgt die Bedingung \(k + 12 < 0\), also \(k < -12\).

Antwort

a) \(L = \{-3; 3\}\) b) \(k = -12\); Begründung: Damit es nur eine Lösung gibt, muss die Gleichung auf die Form \(x^2 = 0\) führen. c) \(k < -12\)
4250809
Gegeben ist die Gleichung \(c \cdot x^2 - 18 = 0\) mit dem Parameter \(c \in \mathbb{R}\). a) Für welchen Wert von \(c\) ist \(x = 3\) eine Lösung der Gleichung? Bestimme für diesen Wert von \(c\) die zweite Lösung. b) Begründe mathematisch, warum die Gleichung für \(c = 0\) keine Lösung besitzt. c) Bestimme alle Werte für \(c\), für welche die Gleichung keine reelle Lösung hat.

Denkanstöße

- Was bedeutet es für eine Gleichung, wenn ein bestimmter Wert eine Lösung ist? - Kannst du die Gleichung nach \(x^2\) auflösen? - Überlege, was passiert, wenn du durch Null teilen müsstest oder wenn auf einer Seite \(0\) steht. - Wann hat eine Gleichung der Form \(x^2 = \text{Zahl}\) keine reelle Lösung?

Lösung

1. Bestimmung von \(c\): Einsetzen von \(x = 3\) in die Gleichung ergibt \(c \cdot 3^2 - 18 = 0\), also \(9c = 18\). Daraus folgt \(c = 2\). 2. Zweite Lösung für \(c = 2\): Die Gleichung lautet \(2x^2 - 18 = 0\). Umgeformt ergibt dies \(x^2 = 9\). Die Lösungen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 3. Untersuchung für \(c = 0\): Setzt man \(c = 0\) ein, erhält man \(0 \cdot x^2 - 18 = 0\), was zu \(-18 = 0\) führt. Dies ist ein Widerspruch (falsche Aussage), daher gibt es kein \(x\), das die Gleichung erfüllt. 4. Bedingungen für keine reelle Lösung: Die allgemeine Form ist \(x^2 = \frac{18}{c}\) (für \(c \neq 0\)). Eine rein quadratische Gleichung \(x^2 = k\) hat keine reelle Lösung, wenn \(k < 0\) ist. Da der Zähler \(18\) positiv ist, muss der Nenner \(c\) negativ sein (\(c < 0\)), damit der Bruch negativ wird. Zusammen mit dem Fall \(c = 0\) aus Schritt 3 ergibt sich: Die Gleichung hat keine Lösung für alle \(c \le 0\).

Antwort

a) \(c = 2\); die zweite Lösung ist \(x = -3\). b) Für \(c = 0\) entsteht die falsche Aussage \(-18 = 0\), was für kein \(x\) möglich ist. c) Die Gleichung hat keine reelle Lösung für alle \(c \le 0\).
4250869
Löse die folgenden Gleichungen über der Grundmenge \(\mathbb{R}\): a) \(\frac{2}{3}x^2 + x = \frac{1}{6}x^2 - 2x\) b) \(2x(x + 4) = x^2 + 3x\)

Denkanstöße

- Versuche zuerst, alle Klammern aufzulösen oder Brüche durch Multiplikation mit einem Hauptnenner zu beseitigen. - Sorge dafür, dass die Gleichung so umgeformt wird, dass eine Seite Null ist. - Wenn kein konstantes Glied vorhanden ist, ist Ausklammern oft der schnellste Weg. - Erinnere dich an den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

Lösung

1. Gleichung a): Subtraktion von \(\frac{1}{6}x^2\) und Addition von \(2x\) auf beiden Seiten ergibt \(\frac{3}{6}x^2 + 3x = 0\), vereinfacht \(\frac{1}{2}x^2 + 3x = 0\). Ausklammern von \(x\) ergibt \(x(\frac{1}{2}x + 3) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und aus \(\frac{1}{2}x + 3 = 0\) folgt \(x_2 = -6\). 2. Gleichung b): Ausmultiplizieren der Klammer ergibt \(2x^2 + 8x = x^2 + 3x\). Durch Subtraktion von \(x^2\) und \(3x\) erhält man \(x^2 + 5x = 0\). Ausklammern von \(x\) führt zu \(x(x + 5) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -5\).

Antwort

a) \(x_1 = 0, x_2 = -6\) b) \(x_1 = 0, x_2 = -5\)
4250949
Löse die folgenden Gleichungen über der Grundmenge \(\mathbb{R}\): 1) \(3x(x - 4) = x^2 - 2x\) 2) \((x - 2)^2 = 3x - 2\)

Denkanstöße

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite eine Null steht? - Wenn eine Gleichung die Form \(ax^2 + bx = 0\) hat, welches Verfahren außer der Lösungsformel könnte hilfreich sein? - Achte beim Auflösen der Klammern auf die Vorzeichen, besonders bei binomischen Formeln. - Welche Werte für \(p\) und \(q\) musst du in die Lösungsformel einsetzen, nachdem du die Gleichung sortiert hast?

Lösung

1. Erste Gleichung: Ausmultiplizieren der linken Seite ergibt \(3x^2 - 12x = x^2 - 2x\). Subtraktion von \(x^2\) und Addition von \(2x\) führt zur Normalform \(2x^2 - 10x = 0\). Ausklammern von \(2x\) ergibt \(2x(x - 5) = 0\). Nach dem Nullprodukt-Satz sind die Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 5\). 2. Zweite Gleichung: Anwendung der zweiten binomischen Formel auf der linken Seite ergibt \(x^2 - 4x + 4 = 3x - 2\). Durch Subtraktion von \(3x\) und Addition von \(2\) erhält man die Normalform \(x^2 - 7x + 6 = 0\). Anwendung der p-q-Formel mit \(p = -7\) und \(q = 6\) führt zu \(x = 3{,}5 \pm \sqrt{12{,}25 - 6} = 3{,}5 \pm 2{,}5\). Dies ergibt die Lösungen \(x_1 = 6\) und \(x_2 = 1\).

Antwort

1) \(x_1 = 0; x_2 = 5\) 2) \(x_1 = 1; x_2 = 6\)
4251039
Gegeben ist die folgende Gleichung: \(\frac{3x^2 + 5}{4} - \frac{2x^2 - 1}{3} = 2\) a) Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung über den reellen Zahlen. b) Bestimme den Wert \(c\), für den die Gleichung \(\frac{3x^2 + 5}{4} - \frac{2x^2 - 1}{3} = c\) genau eine reelle Lösung besitzt.

Denkanstöße

- Wie kannst du die Brüche eliminieren, um die Gleichung zu vereinfachen? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch. - Überlege dir, wie viele Lösungen eine Gleichung der Form \(x^2 = k\) in Abhängigkeit von \(k\) hat. - Wann genau hat ein Quadrat nur ein einziges mögliches Ergebnis für die Basis?

Lösung

1. Multiplikation der Gleichung aus Teil a) mit dem Hauptnenner \(12\): \(3(3x^2 + 5) - 4(2x^2 - 1) = 24\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern: \(9x^2 + 15 - 8x^2 + 4 = 24\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(x^2 + 19 = 24\). 4. Isolieren von \(x^2\): \(x^2 = 5\). 5. Ziehen der Quadratwurzel ergibt die Lösungen \(x_1 = \sqrt{5}\) und \(x_2 = -\sqrt{5}\). Somit ist \(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\). 6. Für Teil b) wird die Gleichung allgemein zu \(x^2 + 19 = 12c\) umgeformt, woraus \(x^2 = 12c - 19\) folgt. 7. Eine reinquadratische Gleichung der Form \(x^2 = k\) hat genau eine Lösung, wenn \(k = 0\) gilt. 8. Lösen der Bedingung \(12c - 19 = 0\) nach \(c\): \(12c = 19 \Rightarrow c = \frac{19}{12}\).

Antwort

a) \(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\) b) \(c = \frac{19}{12}\)
4251169
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen durch quadratische Ergänzung: 1) \(x^2 - 7x + 10 = 0\) 2) \(x^2 + 9x = 10\)

Denkanstöße

- Wenn der Koeffizient vor dem \(x\) ungerade ist, wird die quadratische Ergänzung ein Dezimalbruch oder ein Bruch sein. - Halbiere die Zahl vor dem \(x\) und quadriere das Ergebnis für die Ergänzung. - Achte darauf, dass du denselben Wert auf beiden Seiten der Gleichung addierst. - Überprüfe dein Ergebnis durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung.

Lösung

1. Gleichung umformen zu \(x^2 - 7x = -10\). Quadratische Ergänzung mit \((\frac{7}{2})^2 = 3{,}5^2 = 12{,}25\) addieren: \(x^2 - 7x + 12{,}25 = -10 + 12{,}25\). Dies ergibt \((x - 3{,}5)^2 = 2{,}25\). Wurzelziehen liefert \(x - 3{,}5 = \pm 1{,}5\). Somit sind die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 2\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{9}{2})^2 = 4{,}5^2 = 20{,}25\) addieren: \(x^2 + 9x + 20{,}25 = 10 + 20{,}25\). Dies ergibt \((x + 4{,}5)^2 = 30{,}25\). Wurzelziehen liefert \(x + 4{,}5 = \pm 5{,}5\). Somit sind die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -10\).

Antwort

1) \(x_1 = 5, x_2 = 2\) 2) \(x_1 = 1, x_2 = -10\)
4251189
Bestimme die Lösungsmenge \(L\) für die folgenden quadratischen Gleichungen: 1) \(3x^2 - 12x = 36\) 2) \(x^2 - 3x = 1{,}75\)

Denkanstöße

- Was musst du tun, wenn vor dem \(x^2\) eine andere Zahl als \(1\) steht? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite eine binomische Formel angewendet werden kann? - Denke daran, bei der Angabe der Lösungsmenge die Dezimalzahlen durch Semikolons zu trennen, um Verwechslungen zu vermeiden.

Lösung

1. Gleichung \(3x^2 - 12x = 36\): Division der gesamten Gleichung durch \(3\) ergibt \(x^2 - 4x = 12\). Quadratische Ergänzung mit \(4\) führt zu \(x^2 - 4x + 4 = 16\), also \((x-2)^2 = 16\). Wurzelziehen ergibt \(x-2 = \pm 4\). Resultate: \(x_1 = 6\), \(x_2 = -2\). Lösungsmenge \(L = \{-2; 6\}\). 2. Gleichung \(x^2 - 3x = 1{,}75\): Quadratische Ergänzung mit \((\frac{3}{2})^2 = 2{,}25\) führt zu \(x^2 - 3x + 2{,}25 = 1{,}75 + 2{,}25\), also \((x-1{,}5)^2 = 4\). Wurzelziehen ergibt \(x-1{,}5 = \pm 2\). Resultate: \(x_1 = 3{,}5\), \(x_2 = -0{,}5\). Lösungsmenge \(L = \{-0{,}5; 3{,}5\}\).

Antwort

1) \(L = \{-2; 6\}\) 2) \(L = \{-0{,}5; 3{,}5\}\)
4251209
Löse die folgende Gleichung und gib die Lösungsmenge an: \[(x-3)^2 + (x+2)^2 = (x-4)(x+4) + 2x + 34\]

Denkanstöße

- Erinnere dich an die drei binomischen Formeln, um die Klammern aufzulösen. - Bringe die Gleichung zuerst in die Form \(x^2 + px + q = 0\), bevor du ein Lösungsverfahren anwendest. - Welche Formel oder welches Verfahren hilft dir, eine gemischtquadratische Gleichung zu lösen? - Vergiss nicht, am Ende beide möglichen Lösungen anzugeben.

Lösung

1. Ausmultiplizieren der Klammern mit den binomischen Formeln: \(x^2 - 6x + 9 + x^2 + 4x + 4 = x^2 - 16 + 2x + 34\) 2. Zusammenfassen der Terme auf beiden Seiten: \(2x^2 - 2x + 13 = x^2 + 2x + 18\) 3. Umformen der Gleichung in die Normalform durch Subtraktion von \(x^2\), \(2x\) und \(18\): \(x^2 - 4x - 5 = 0\) 4. Anwendung der p-q-Formel: \(x_{1,2} = - \frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 - (-5)} = 2 \pm \sqrt{4 + 5}\) 5. Berechnung der Ergebnisse: \(x_{1,2} = 2 \pm 3\), daraus folgt \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\)

Antwort

\(L = \{-1; 5\}\)
4251309
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden quadratischen Gleichungen: a) \(x^2 - x - 0{,}75 = 0\) b) \(3x^2 + 12x - 15 = 0\)

Denkanstöße

- Kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du mit dem Lösen beginnst? - Was stört dich bei der zweiten Gleichung vor dem \(x^2\)? - Kommst du mit Brüchen oder Dezimalzahlen besser zurecht? Beides ist möglich. - Achte darauf, die Lösungsmenge korrekt in geschweiften Klammern anzugeben.

Lösung

1. Umformung von \(x^2 - x - 0{,}75 = 0\) zu \(x^2 - x = 0{,}75\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{-1}{2})^2 = 0{,}25\): \(x^2 - x + 0{,}25 = 0{,}75 + 0{,}25 = 1\). 3. Anwendung der binomischen Formel: \((x - 0{,}5)^2 = 1\). 4. Wurzelziehen ergibt \(x - 0{,}5 = 1\) oder \(x - 0{,}5 = -1\). 5. Resultierende Lösungen: \(x_1 = 1{,}5\) und \(x_2 = -0{,}5\). Lösungsmenge \(L = \{-0{,}5; 1{,}5\}\). 6. Normalisierung der Gleichung \(3x^2 + 12x - 15 = 0\) durch Division durch \(3\): \(x^2 + 4x - 5 = 0\). 7. Umformung zu \(x^2 + 4x = 5\). 8. Quadratische Ergänzung mit \(4\): \(x^2 + 4x + 4 = 9\). 9. Anwendung der binomischen Formel: \((x + 2)^2 = 9\). 10. Wurzelziehen ergibt \(x + 2 = 3\) oder \(x + 2 = -3\). 11. Resultierende Lösungen: \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -5\). Lösungsmenge \(L = \{-5; 1\}\).

Antwort

a) \(L = \{-0{,}5; 1{,}5\}\) b) \(L = \{-5; 1\}\)
4254769
Gegeben ist die quadratische Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x) = x^2 - 6x + 5\). 1. Berechne die Koordinaten des Scheitelpunkts der zugehörigen Parabel. 2. Begründe ohne weitere Rechnung allein mithilfe der Lage des Scheitelpunkts und der Öffnungsrichtung der Parabel, dass die Gleichung \(f(x) = 0\) genau zwei Lösungen haben muss. 3. Ermittle die Lösungen der Gleichung \(x^2 - 6x + 5 = 0\) grafisch, indem du die Nullstellen der Parabel bestimmst.

Denkanstöße

- Wo befindet sich der tiefste oder höchste Punkt der Parabel im Verhältnis zur \(x\)-Achse? - In welche Richtung öffnet sich die Kurve? - Was bedeutet es für die Anzahl der Lösungen, wenn die Kurve die \(x\)-Achse überquert? - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit den Lösungen der Gleichung \(f(x) = 0\) zusammen?

Lösung

1. Der Scheitelpunkt \(S(x_s | y_s)\) wird berechnet. Mit \(a = 1\) und \(b = -6\) ergibt sich \(x_s = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\). Einsetzen in die Funktionsgleichung liefert \(y_s = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = -4\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3 | -4)\). 2. Da der Streckfaktor \(a = 1\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Da der Scheitelpunkt (der tiefste Punkt) mit \(y = -4\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt, muss die Parabel die \(x\)-Achse auf dem Weg nach oben zweimal schneiden. 3. Beim Zeichnen der Parabel (z. B. mit einer Wertetabelle oder ausgehend vom Scheitelpunkt) erkennt man die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\).

Antwort

1. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3 | -4)\). 2. Da die Parabel nach oben geöffnet ist und ihr Minimum unterhalb der \(x\)-Achse liegt, gibt es zwei Nullstellen. 3. Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\).
4255199
Gegeben ist das folgende Gleichungssystem mit dem Parameter \(s\): (1) \(x + y = 7s\) (2) \(x \cdot y = 10s^2\) a) Bestimme alle Lösungspaare \((x|y)\) in Abhängigkeit von \(s\). b) Begründe, warum das System für \(s = 0\) genau eine Lösung besitzt, für \(s \neq 0\) jedoch zwei verschiedene Lösungspaare existieren.

Denkanstöße

- Kannst du eine der Variablen in der ersten Gleichung isolieren und in die zweite einsetzen? - Welche Art von Gleichung entsteht, wenn du die Klammern auflöst? - Wie viele Lösungen hat eine quadratische Gleichung normalerweise? - Was passiert mit den Werten von \(x\) und \(y\), wenn du für \(s\) den Wert \(0\) einsetzt? - Unterscheide zwischen dem Fall, dass \(s\) null ist und dem Fall, dass \(s\) einen anderen Wert hat.

Lösung

1. Umstellen der Gleichung (1) nach \(y\): \(y = 7s - x\). 2. Einsetzen in Gleichung (2): \(x \cdot (7s - x) = 10s^2\), was zur quadratischen Gleichung \(x^2 - 7sx + 10s^2 = 0\) führt. 3. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisieren): \((x - 2s)(x - 5s) = 0\). Daraus ergeben sich \(x_1 = 2s\) und \(x_2 = 5s\). 4. Bestimmen der zugehörigen \(y\)-Werte: Für \(x_1 = 2s\) folgt \(y_1 = 5s\); für \(x_2 = 5s\) folgt \(y_2 = 2s\). Die Lösungspaare sind \(L = \{(2s|5s), (5s|2s)\}\). 5. Analyse der Lösungsanzahl: Für \(s = 0\) gilt \(2s = 5s = 0\), beide Paare sind identisch \((0|0)\). Für \(s \neq 0\) gilt \(2s \neq 5s\), woraus zwei unterschiedliche Paare \((2s|5s)\) und \((5s|2s)\) resultieren.

Antwort

a) Die Lösungspaare sind \((2s|5s)\) und \((5s|2s)\). b) Für \(s = 0\) sind beide Paare identisch mit \((0|0)\). Da für \(s \neq 0\) stets \(2s \neq 5s\) gilt, ergeben sich zwei verschiedene Punkte.
4255359
Bestimme die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: \[\begin{cases} 3x^2 - y^2 = 11 \\ x + y = 3 \end{cases}\]

Denkanstöße

- Überlege, welche der beiden Gleichungen sich leichter nach einer Variablen auflösen lässt. - Denk beim Einsetzen des Terms in die erste Gleichung an die Klammern und die binomischen Formeln. - Nach dem Einsetzen erhältst du eine Gleichung, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt. - Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung maximal haben?

Lösung

1. Lineare Gleichung nach \(y\) auflösen: \(y = 3 - x\). 2. Ausdruck für \(y\) in die quadratische Gleichung einsetzen: \(3x^2 - (3 - x)^2 = 11\). 3. Klammer mit der zweiten binomischen Formel auflösen: \(3x^2 - (9 - 6x + x^2) = 11\). 4. Gleichung vereinfachen: \(3x^2 - 9 + 6x - x^2 = 11 \Rightarrow 2x^2 + 6x - 20 = 0\). 5. Durch 2 dividieren, um die Normalform zu erhalten: \(x^2 + 3x - 10 = 0\). 6. Quadratische Gleichung lösen (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = -1{,}5 \pm \sqrt{1{,}5^2 + 10} = -1{,}5 \pm 3{,}5\). 7. Ergebnisse für \(x\): \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -5\). 8. Zugehörige \(y\)-Werte berechnen: \(y_1 = 3 - 2 = 1\) und \(y_2 = 3 - (-5) = 8\).

Antwort

\(L = \{(2; 1); (-5; 8)\}\)
4255409
Bestimme die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems für \(x, y \in \mathbb{R}\): \(\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 33 \\ x + y = 3 \end{cases}\)

Denkanstöße

- Welche der beiden Gleichungen lässt sich leichter nach einer Variablen umstellen? - Nutze das Einsetzungsverfahren, um eine Gleichung zu erhalten, die nur noch eine Unbekannte enthält. - Achte beim Auflösen der Klammern auf die binomischen Formeln. - Vergiss nicht, am Ende für jedes gefundene \(y\) auch das passende \(x\) zu berechnen.

Lösung

1. Umstellen der linearen Gleichung nach \(x\): \(x = 3 - y\) 2. Einsetzen des Terms für \(x\) in die quadratische Gleichung: \((3 - y)^2 + 2y^2 = 33\) 3. Auflösen der Klammer mit der zweiten binomischen Formel: \(9 - 6y + y^2 + 2y^2 = 33\) 4. Zusammenfassen und Umformen in die Normalform: \(3y^2 - 6y - 24 = 0 \Rightarrow y^2 - 2y - 8 = 0\) 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p-q\)-Formel): \(y_1 = 4\) und \(y_2 = -2\) 6. Ermittlung der zugehörigen \(x\)-Werte durch Einsetzen in \(x = 3 - y\): \(x_1 = 3 - 4 = -1\) und \(x_2 = 3 - (-2) = 5\) Die Lösungsmenge ist \(L = \{(-1|4); (5|-2)\}\).

Antwort

\(L = \{(-1|4); (5|-2)\}\)
4255849
Gegeben sind zwei Zahlen \(u\) und \(v\). Ihre Summe beträgt \(-2\) und die Summe ihrer Quadrate ist \(52\). a) Bestimme das Produkt \(u \cdot v\). b) Ermittle die Werte von \(u\) und \(v\), indem du eine geeignete quadratische Gleichung aufstellst und löst.

Denkanstöße

- Gibt es eine binomische Formel, die die Summe zweier Zahlen und die Summe ihrer Quadrate miteinander verbindet? - Wie kannst du aus der Summe der Zahlen und der Summe ihrer Quadrate das Produkt der beiden Zahlen berechnen? - Wenn du die Summe und das Produkt zweier Zahlen kennst, wie lautet dann die zugehörige quadratische Gleichung?

Lösung

1. Verknüpfung der gegebenen Größen mittels der ersten binomischen Formel: \((u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2\). 2. Einsetzen der bekannten Werte: \((-2)^2 = 52 + 2uv \Rightarrow 4 = 52 + 2uv\). 3. Isolieren des Produkts: \(2uv = 4 - 52 = -48\), daraus folgt \(uv = -24\). Das Produkt der Zahlen ist \(-24\). 4. Aufstellen der quadratischen Gleichung nach dem Satz von Vieta mit Summe \(s = -2\) und Produkt \(p = -24\): \(t^2 - (-2)t + (-24) = 0\), also \(t^2 + 2t - 24 = 0\). 5. Lösen der Gleichung: \(t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot (-24)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-2 \pm 10}{2}\). 6. Berechnung der Zahlen: \(t_1 = 4\) und \(t_2 = -6\). Die gesuchten Zahlen sind \(4\) und \(-6\).

Antwort

a) Das Produkt \(u \cdot v\) ist \(-24\). b) Die beiden Zahlen sind \(4\) und \(-6\).
4255869
Gegeben ist ein Gleichungssystem mit dem Parameter \(k \in \mathbb{R}\): 1) \(x + y = 12\) 2) \(x \cdot y = k\) a) Berechne die Lösungspaare \((x; y)\) für den Fall \(k = 32\). b) Bestimme den Wert von \(k\), für den das System genau eine Lösung für das Paar \((x; y)\) besitzt. Begründe deine Antwort mithilfe der Diskriminante.

Denkanstöße

- Wie hängen die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung und ihre Diskriminante zusammen? - Stelle zuerst eine allgemeine Gleichung in Abhängigkeit von \(k\) auf. - Was bedeutet es für \(x\) und \(y\), wenn es nur ein einziges Paar als Lösung gibt? - Nutze die \(p\)-\(q\)-Formel oder die Mitternachtsformel, um den Ausdruck für die Diskriminante zu finden.

Lösung

1. Teilaufgabe a): Aufstellen der quadratischen Gleichung \(z^2 - 12z + 32 = 0\). Lösen mittels Faktorisierung \((z-8)(z-4) = 0\) ergibt \(z_1 = 8\) und \(z_2 = 4\). Die Lösungspaare sind \((8; 4)\) und \((4; 8)\). 2. Teilaufgabe b): Die allgemeine quadratische Gleichung für das System ist \(z^2 - 12z + k = 0\). 3. Untersuchung der Diskriminante: Damit es genau eine Lösung gibt, muss die Diskriminante \(D\) der Gleichung null sein. 4. Berechnung: \(D = \left(\frac{-12}{2}\right)^2 - k = 36 - k\). 5. Bedingung \(D = 0\) führt zu \(36 - k = 0\), also \(k = 36\). In diesem Fall ist \(x = y = 6\).

Antwort

a) Die Lösungspaare sind \((8; 4)\) und \((4; 8)\). b) Das System hat genau eine Lösung für \(k = 36\).
4255899
Bestimme die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems in Abhängigkeit vom Parameter \(k \in \mathbb{R}\): \( \begin{cases} x + y = 5k \\ x^2 + y^2 = 13k^2 \end{cases} \)

Denkanstöße

- Kannst du eine der Gleichungen nach einer Variablen auflösen? - Was erhältst du nach dem Einsetzen in die andere Gleichung? - Lässt sich die entstehende quadratische Gleichung faktorisieren? - Prüfe, ob die beiden gefundenen Paare für einen besonderen Parameterwert zusammenfallen.

Lösung

1. Auflösen der ersten Gleichung nach \(y\): \(y=5k-x\). 2. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(x^2+(5k-x)^2=13k^2\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(2x^2-10kx+12k^2=0\). 4. Division durch \(2\): \(x^2-5kx+6k^2=0\). 5. Faktorisieren: \[ x^2-5kx+6k^2=(x-2k)(x-3k)=0. \] Daher gilt \(x=2k\) oder \(x=3k\). 6. Mit \(y=5k-x\) folgen die Paare \((2k;3k)\) und \((3k;2k)\). 7. Für \(k=0\) fallen beide Paare zum einzigen Lösungspaar \((0;0)\) zusammen; für \(k\neq0\) sind sie verschieden.

Antwort

Für \(k\neq0\) gilt \(L=\{(3k;2k);(2k;3k)\}\). Für \(k=0\) gilt \(L=\{(0;0)\}\).
4256019
Bestimme die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems in Abhängigkeit von den Parametern \(a\) und \(b\): \[ \begin{cases} x + y = 2a + b \\ xy = a^2 + ab \end{cases} \]

Denkanstöße

- Kannst du \(x\) und \(y\) als Nullstellen einer quadratischen Hilfsgleichung betrachten? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Nullstellensumme und Nullstellenprodukt. - Lässt sich die Hilfsgleichung faktorisieren? - Prüfe, wann die beiden Nullstellen zusammenfallen.

Lösung

1. \(x\) und \(y\) sind die Nullstellen der Hilfsgleichung \[ t^2-(2a+b)t+(a^2+ab)=0. \] 2. Faktorisieren: \[ t^2-(2a+b)t+(a^2+ab)=(t-a)(t-a-b). \] 3. Daher sind die möglichen Werte \(t_1=a\) und \(t_2=a+b\). 4. Für \(b\neq0\) sind diese Werte verschieden; Vertauschen liefert die beiden Lösungspaare \((a;a+b)\) und \((a+b;a)\). 5. Für \(b=0\) fallen beide Werte zusammen. Dann ist das einzige Lösungspaar \((a;a)\).

Antwort

Für \(b\neq0\) gilt \(L=\{(a+b;a);(a;a+b)\}\). Für \(b=0\) gilt \(L=\{(a;a)\}\).
4256039
Bestimme alle reellen Lösungspaare \((x; y)\) des folgenden Gleichungssystems: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ (x-3)(y-4) = 0 \end{cases} \)

Denkanstöße

- Schau dir die zweite Gleichung genau an. Wann wird ein Produkt gleich null? - Untersuche die verschiedenen Fälle, die sich aus der zweiten Gleichung ergeben, nacheinander. - Wie kannst du die Informationen aus einer Gleichung nutzen, um die andere zu vereinfachen? - Denke daran, dass für einen festen Wert einer Variablen mehrere Werte für die andere Variable existieren können.

Lösung

1. Anwendung des Nullprodukt-Satzes auf die zweite Gleichung: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Dies führt zu den zwei Fällen \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\) oder \(y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4\). 2. Untersuchung von Fall 1 (\(x = 3\)): Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(3^2 + y^2 = 25\), also \(9 + y^2 = 25\), woraus \(y^2 = 16\) folgt. Dies liefert die Werte \(y_1 = 4\) und \(y_2 = -4\). Die entsprechenden Lösungspaare sind \((3; 4)\) und \((3; -4)\). 3. Untersuchung von Fall 2 (\(y = 4\)): Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(x^2 + 4^2 = 25\), also \(x^2 + 16 = 25\), woraus \(x^2 = 9\) folgt. Dies liefert die Werte \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). Die entsprechenden Lösungspaare sind \((3; 4)\) und \((-3; 4)\). 4. Zusammenfassung aller eindeutigen Lösungspaare: \((3; 4)\), \((3; -4)\) und \((-3; 4)\).

Antwort

\((3; 4), (3; -4), (-3; 4)\)
4256119
Löse das folgende Gleichungssystem für die Unbekannten \(x\) und \(y\). Die Variable \(p\) ist eine beliebige reelle Zahl. \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 34p^2 \\ xy = 15p^2 \end{cases} \]

Denkanstöße

- Kannst du die beiden Gleichungen so kombinieren, dass eine binomische Formel entsteht? - Was passiert, wenn du das Doppelte der zweiten Gleichung zur ersten addierst oder davon subtrahierst? - Kannst du zuerst Ausdrücke für die Summe \(x+y\) und die Differenz \(x-y\) bestimmen? - Wie viele verschiedene Vorzeichenkombinationen musst du beim Wurzelziehen berücksichtigen?

Lösung

1. Addition des Zweifachen der zweiten Gleichung zur ersten ergibt \((x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = 34p^2 + 30p^2 = 64p^2\), woraus \(x+y = \pm 8p\) folgt. 2. Subtraktion des Zweifachen der zweiten Gleichung von der ersten ergibt \((x-y)^2 = x^2+y^2-2xy = 34p^2 - 30p^2 = 4p^2\), woraus \(x-y = \pm 2p\) folgt. 3. Kombination von \(x+y = 8p\) mit \(x-y = 2p\) ergibt \(x=5p, y=3p\); mit \(x-y = -2p\) ergibt sich \(x=3p, y=5p\). 4. Kombination von \(x+y = -8p\) mit \(x-y = 2p\) ergibt \(x=-3p, y=-5p\); mit \(x-y = -2p\) ergibt sich \(x=-5p, y=-3p\). 5. Für \(p \neq 0\) sind dies vier verschiedene Lösungspaare. Für \(p = 0\) fallen sie zum einzigen Lösungspaar \((0; 0)\) zusammen.

Antwort

Für \(p \neq 0\): \(L = \{(5p; 3p); (3p; 5p); (-3p; -5p); (-5p; -3p)\}\). Für \(p = 0\): \(L = \{(0; 0)\}\).
4256259
Löse das folgende Gleichungssystem für \(x, y \in \mathbb{R}\): \[ \begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{10}{3} \\ x + y = 30 \end{cases} \]

Denkanstöße

- Kannst du einen Teil des Ausdrucks durch eine neue Variable ersetzen, um die Gleichung zu vereinfachen? - Wie hängen die beiden Brüche in der ersten Gleichung zusammen? - Was passiert, wenn du die Bruchgleichung mit dem Hauptnenner multiplizierst? - Wenn du ein Verhältnis zwischen \(x\) und \(y\) gefunden hast, wie kannst du dieses in der Summengleichung nutzen?

Lösung

1. Substitution \(t = \sqrt{\frac{x}{y}}\) (mit \(t > 0\)) transformiert die erste Gleichung in \(t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}\). 2. Multiplikation mit \(3t\) führt zur quadratischen Gleichung \(3t^2 - 10t + 3 = 0\). 3. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(t_1 = 3\) und \(t_2 = \frac{1}{3}\). 4. Fall 1: Aus \(\sqrt{\frac{x}{y}} = 3\) folgt \(x = 9y\). Einsetzen in die zweite Gleichung \(9y + y = 30\) ergibt \(10y = 30\), also \(y = 3\) und \(x = 27\). 5. Fall 2: Aus \(\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{1}{3}\) folgt \(y = 9x\). Einsetzen in \(x + 9x = 30\) ergibt \(10x = 30\), also \(x = 3\) und \(y = 27\).

Antwort

\((27; 3)\) und \((3; 27)\)
4256319
Bestimme alle reellen Lösungspaare \((x; y)\) des folgenden Gleichungssystems: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases} \)

Denkanstöße

- Gibt es Zusammenhänge zwischen den Ausdrücken \(x^2+y^2\), \(xy\) und der Summe \((x+y)\)? - Was passiert, wenn du das Doppelte der zweiten Gleichung zur ersten addierst oder von ihr subtrahierst? - Kannst du das System so umformen, dass du einfache lineare Gleichungen für die Summe oder die Differenz von \(x\) und \(y\) erhältst?

Lösung

1. Kombination der Gleichungen mithilfe binomischer Formeln: \(x^2 + 2xy + y^2 = 25 + 2 \cdot 12 = 49\), also \((x+y)^2 = 49\). 2. Bestimmung der möglichen Summen durch Wurzelziehen: \(x+y = 7\) oder \(x+y = -7\). 3. Bildung der Differenz mithilfe der zweiten binomischen Formel: \(x^2 - 2xy + y^2 = 25 - 2 \cdot 12 = 1\), also \((x-y)^2 = 1\). 4. Bestimmung der möglichen Differenzen: \(x-y = 1\) oder \(x-y = -1\). 5. Kombination der Fälle durch Addition und Subtraktion der resultierenden linearen Gleichungen: - Fall 1: \(x+y=7\) und \(x-y=1 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4, y=3\) - Fall 2: \(x+y=7\) und \(x-y=-1 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3, y=4\) - Fall 3: \(x+y=-7\) und \(x-y=1 \Rightarrow 2x=-6 \Rightarrow x=-3, y=-4\) - Fall 4: \(x+y=-7\) und \(x-y=-1 \Rightarrow 2x=-8 \Rightarrow x=-4, y=-3\) 6. Die reellen Lösungspaare sind \((4; 3), (3; 4), (-3; -4)\) und \((-4; -3)\).

Antwort

\((4; 3), (3; 4), (-3; -4), (-4; -3)\)
4256399
Löse das folgende Gleichungssystem für \(x, y \in \mathbb{R}\): \( \begin{cases} x^2 + xy = 6 \\ y^2 + xy = 10 \end{cases} \)

Denkanstöße

- Was passiert, wenn du beide Gleichungen addierst? Erkennst du auf der linken Seite eine bekannte Struktur? - Kannst du die Terme in den ursprünglichen Gleichungen so ausklammern, dass ein Teil der Summe wieder vorkommt? - Untersuche, ob es hilfreich sein könnte, den Wert von \(x + y\) als Ganzes zu betrachten.

Lösung

1. Addition der beiden Gleichungen führt zu \(x^2 + 2xy + y^2 = 16\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel ergibt \((x + y)^2 = 16\), woraus \(x + y = 4\) oder \(x + y = -4\) folgt. 3. Ausklammern von \(x\) in der ersten Originalgleichung ergibt \(x(x + y) = 6\). 4. Fall 1: \(x + y = 4\). Einsetzen in \(4x = 6\) liefert \(x = 1{,}5\). Damit ist \(y = 4 - 1{,}5 = 2{,}5\). 5. Fall 2: \(x + y = -4\). Einsetzen in \(-4x = 6\) liefert \(x = -1{,}5\). Damit ist \(y = -4 - (-1{,}5) = -2{,}5\). 6. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(1{,}5; 2{,}5); (-1{,}5; -2{,}5)\}\).

Antwort

\(L = \{(1{,}5; 2{,}5); (-1{,}5; -2{,}5)\}\)
4256419
Bestimme alle reellen Lösungspaare \((x; y)\) mit \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) für das folgende Gleichungssystem mithilfe einer geeigneten Substitution: \[ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2{,}5 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases} \]

Denkanstöße

- Fällt dir ein Ausdruck in der ersten Gleichung auf, der mehrfach in ähnlicher Form vorkommt? - Was passiert, wenn du einen Teil des Ausdrucks durch einen neuen Buchstaben ersetzt? - Denk daran, dass nach dem Finden der Werte für die Hilfsvariable noch die ursprünglichen Unbekannten berechnet werden müssen. - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer quadratischen Gleichung maximal?

Lösung

1. Einführung der Hilfsvariablen \(u = \frac{x}{y}\). Die erste Gleichung wird zu \(u + \frac{1}{u} = 2{,}5\). 2. Multiplikation mit \(u\) führt auf die quadratische Gleichung \(u^2 - 2{,}5u + 1 = 0\). 3. Lösung der quadratischen Gleichung ergibt \(u_1 = 2\) und \(u_2 = 0{,}5\). 4. Fall 1 (\(u = 2\)): Aus \(\frac{x}{y} = 2\) folgt \(x = 2y\). Einsetzen in die zweite Gleichung: \((2y)^2 + y^2 = 20 \Rightarrow 5y^2 = 20 \Rightarrow y^2 = 4\). Dies ergibt \(y_1 = 2\) (mit \(x_1 = 4\)) und \(y_2 = -2\) (mit \(x_2 = -4\)). 5. Fall 2 (\(u = 0{,}5\)): Aus \(\frac{x}{y} = 0{,}5\) folgt \(y = 2x\). Einsetzen in die zweite Gleichung: \(x^2 + (2x)^2 = 20 \Rightarrow 5x^2 = 20 \Rightarrow x^2 = 4\). Dies ergibt \(x_3 = 2\) (mit \(y_3 = 4\)) und \(x_4 = -2\) (mit \(y_4 = -4\)). 6. Die Lösungsmenge besteht aus den Paaren \((4; 2)\), \((-4; -2)\), \((2; 4)\) und \((-2; -4)\).

Antwort

Die Lösungen sind \((4; 2), (-4; -2), (2; 4), (-2; -4)\).
4256929
Betrachte die quadratische Gleichung \(x^2 + 5x + q = 0\). Bestimme den Wert des Parameters \(q\) so, dass die Summe der Quadrate der beiden Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) genau \(17\) ergibt. Nutze dabei Eigenschaften der Lösungen quadratischer Gleichungen, ohne die einzelnen Werte von \(x_1\) und \(x_2\) explizit zu berechnen.

Denkanstöße

- Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer Gleichung und der Summe bzw. dem Produkt ihrer Lösungen? - Wie kannst du den Ausdruck \(x_1^2 + x_2^2\) so umformen, dass nur noch die Summe \((x_1+x_2)\) und das Produkt \((x_1 \cdot x_2)\) vorkommen? - Erinnerst du dich an die erste binomische Formel? - Überprüfe am Ende, ob für dein gefundenes \(q\) überhaupt reelle Lösungen existieren.

Lösung

1. Anwendung des Satzes von Vieta: Für eine Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\) gilt \(x_1 + x_2 = -p\) und \(x_1 \cdot x_2 = q\). Hier ist \(p = 5\), also \(x_1 + x_2 = -5\) und \(x_1 \cdot x_2 = q\). 2. Algebraische Umformung: Der Ausdruck für die Summe der Quadrate lässt sich umschreiben als \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\). 3. Einsetzen der Werte: Setze die bekannten Beziehungen in die umgeformte Gleichung ein: \((-5)^2 - 2q = 17\). 4. Berechnung von \(q\): \(25 - 2q = 17 \implies 2q = 8 \implies q = 4\). 5. Überprüfung: Für \(q=4\) lautet die Gleichung \(x^2+5x+4=0\). Die Diskriminante \(D = 5^2 - 4 \cdot 4 = 9\) ist positiv, sodass zwei reelle Lösungen existieren.

Antwort

Der Wert des Parameters \(q\) muss \(4\) sein.
4280809
Gegeben ist der quadratische Term \(3x^2 + bx - 10\). 1. Bestimme den Wert des Koeffizienten \(b\) so, dass der Term den Linearfaktor \((x + 2)\) besitzt. 2. Gib die vollständige Faktorisierung des Terms für diesen Wert von \(b\) an.

Denkanstöße

- Was bedeutet es für den Wert des Terms an einer bestimmten Stelle, wenn ein bestimmter Linearfaktor existiert? - Wenn du weißt, dass ein Produkt null ist, was muss dann für die einzelnen Faktoren gelten? - Wie kannst du den verbleibenden Teil des Terms finden, wenn du einen Faktor bereits kennst?

Lösung

1. Wenn \((x + 2)\) ein Faktor ist, muss \(x = -2\) eine Nullstelle des Terms sein. 2. Einsetzen von \(x = -2\) in den Term: \(3 \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) - 10 = 0\). 3. Berechnung von \(b\): \(12 - 2b - 10 = 0 \Rightarrow 2 - 2b = 0 \Rightarrow b = 1\). 4. Der Term lautet somit \(3x^2 + x - 10\). 5. Suche nach der zweiten Nullstelle oder Koeffizientenvergleich: Da \((x + 2) \cdot (3x + k) = 3x^2 + (k + 6)x + 2k\) sein muss, folgt aus \(2k = -10\), dass \(k = -5\). 6. Vollständige Faktorisierung: \((x + 2)(3x - 5)\).

Antwort

1. \(b = 1\) 2. \((x + 2)(3x - 5)\)
4281009
Gegeben ist die Gleichung \(3x^2 + px = 0\) mit einer reellen Zahl \(p\). a) Bestimme die Lösungen der Gleichung in Abhängigkeit von \(p\). b) Für welchen Wert von \(p\) ist \(x = -4\) eine Lösung der Gleichung?

Denkanstöße

- Kannst du \(x\) ausklammern und den Nullproduktsatz anwenden? - Prüfe, ob die beiden entstehenden Lösungsterme für einen Parameterwert zusammenfallen. - Für Teil b: Was erhältst du, wenn du \(x=-4\) in die Ausgangsgleichung einsetzt?

Lösung

1. Faktorisieren: \[ 3x^2+px=x(3x+p)=0. \] 2. Nach dem Nullproduktsatz gilt \[ x=0 \quad\text{oder}\quad x=-\frac{p}{3}. \] 3. Für \(p\neq0\) sind dies zwei verschiedene Lösungen. Für \(p=0\) fallen beide zu \(x=0\) zusammen. 4. Für Teil b wird \(x=-4\) eingesetzt: \[ 3\cdot(-4)^2+p\cdot(-4)=0. \] 5. Daraus folgt \(48-4p=0\), also \(p=12\).

Antwort

a) Für \(p\neq0\) gilt \[ L=\left\{0;-\frac{p}{3}\right\}. \] Für \(p=0\) gilt \(L=\{0\}\). b) \(p=12\)
4281079
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung \(\frac{x}{k} = \frac{k^2}{x}\) in Abhängigkeit vom Parameter \(k\) (\(k \neq 0\)). Untersuche dabei, für welche Werte von \(k\) reelle Lösungen für \(x\) existieren.

Denkanstöße

- Welche Operation kehrt das Quadrieren um? - Wann ist das Ergebnis einer Potenz mit ungeradem Exponenten (wie \(k^3\)) negativ? - Überlege, ob man aus einer negativen Zahl eine Quadratwurzel ziehen kann. - Was musst du bei der Definitionsmenge für \(x\) beachten?

Lösung

1. Definitionsmenge festlegen: Da \(k\) und \(x\) im Nenner stehen, gilt \(k \neq 0\) und \(x \neq 0\). 2. Gleichung durch kreuzweises Multiplizieren umformen: \(x \cdot x = k \cdot k^2\), woraus \(x^2 = k^3\) folgt. 3. Existenz von Lösungen prüfen: Eine reelle Lösung existiert nur, wenn der Ausdruck \(k^3\) nicht negativ ist (\(x^2 \ge 0\)). Da \(k \neq 0\) vorausgesetzt wurde, muss \(k > 0\) gelten. Für \(k < 0\) ist \(k^3\) negativ, und es gibt keine reellen Lösungen. 4. Nach \(x\) auflösen: Für \(k > 0\) ergibt sich durch Ziehen der Quadratwurzel \(x = \pm \sqrt{k^3}\), was vereinfacht \(x = \pm k\sqrt{k}\) entspricht. Da \(k > 0\), ist \(x \neq 0\) stets erfüllt. 5. Ergebnis: Für \(k > 0\) ist die Lösungsmenge \(L = \{ -k\sqrt{k}; k\sqrt{k} \}\). Für \(k < 0\) ist \(L = \emptyset\).

Antwort

Für \(k > 0\): \(x = \pm k\sqrt{k}\); für \(k < 0\): keine reelle Lösung.
4281419
Löse das folgende Gleichungssystem für \(x\) und \(y\): \( \begin{cases} x + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} \)

Denkanstöße

- Kannst du eine der Gleichungen so umformen, dass eine Variable allein auf einer Seite steht? - Was passiert, wenn du diesen Ausdruck in die andere Gleichung einsetzt? - Achte beim Quadrieren von Ausdrücken wie \((1-x)\) auf die binomischen Formeln. - In welche Form muss eine quadratische Gleichung gebracht werden, damit du die Lösungsformel anwenden kannst?

Lösung

1. Umstellen der ersten Gleichung nach einer Variablen: \(y = 1 - x\). 2. Einsetzen des Ausdrucks für \(y\) in die zweite Gleichung: \(x^2 + (1 - x)^2 = 13\). 3. Anwenden der zweiten binomischen Formel auf \((1-x)^2\): \(x^2 + 1 - 2x + x^2 = 13\). 4. Zusammenfassen und Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(2x^2 - 2x - 12 = 0\), was durch Division durch \(2\) zu \(x^2 - x - 6 = 0\) vereinfacht wird. 5. Lösen der quadratischen Gleichung mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 6} = 0{,}5 \pm 2{,}5\). Dies ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). 6. Berechnen der zugehörigen \(y\)-Werte durch Einsetzen in \(y = 1 - x\): Für \(x_1 = 3\) ist \(y_1 = -2\); für \(x_2 = -2\) ist \(y_2 = 3\). 7. Die Lösungspaare sind \((3; -2)\) und \((-2; 3)\).

Antwort

Die Lösungen sind \((3; -2)\) und \((-2; 3)\).
4101169
Faktorisieren Sie den folgenden quadratischen Ausdruck vollständig: \(-8b^2 + 20b + 12\)

Lösung

1. Da alle Koeffizienten durch 4 teilbar sind und der erste Koeffizient negativ ist, klammern wir \(-4\) aus: \(-4(2b^2 - 5b - 3)\). 2. Nullstellen von \(2b^2 - 5b - 3 = 0\) finden: \(b = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}\). 3. Daraus folgt \(b_1 = 3\) und \(b_2 = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\). 4. Den quadratischen Teil zerlegen: \(2(b - 3)(b + \frac{1}{2}) = (b - 3)(2b + 1)\). 5. Das Endergebnis ist: \(-4(b - 3)(2b + 1)\).

Antwort

\(-4(b - 3)(2b + 1)\)
4152409
Betrachte die beiden Gleichungen: (1) \(x^2 - 10x + 25 = 0\) (2) \(x^2 - 10x + 24 = 0\) a) Löse Gleichung (1) mithilfe einer binomischen Formel. b) Erkläre, warum man Gleichung (2) nicht direkt mit einer binomischen Formel faktorisieren kann und wie man die Zahl \(24\) verändern müsste, damit es möglich wäre.

Denkanstöße

- Schau dir die letzte Zahl in Gleichung (1) an. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dieser Zahl und der Hälfte der Zahl vor dem \(x\)? - Was passiert, wenn du versuchst, die Zahl \(24\) in der gleichen Weise wie die \(25\) zu interpretieren? - Wie müsste ein Term aussehen, der perfekt in das Schema \((x-b)^2\) passt?

Lösung

1. Analyse von Gleichung (1): Der Term \(x^2 - 10x + 25\) entspricht der 2. binomischen Formel \((x-b)^2 = x^2 - 2bx + b^2\) mit \(b = 5\), da \(2 \cdot 5 = 10\) und \(5^2 = 25\). 2. Faktorisierung und Lösung: \((x-5)^2 = 0 \implies x - 5 = 0 \implies x = 5\). 3. Analyse von Gleichung (2): Für eine direkte Faktorisierung müsste das absolute Glied \(b^2 = (-10 : 2)^2 = 25\) sein. Da \(24 \neq 25\), ist der Term kein vollständiges Quadrat. 4. Anpassung: Man müsste die Zahl \(24\) um \(1\) erhöhen (quadratische Ergänzung), um auf \(25\) zu kommen.

Antwort

a) \(x = 5\), da \((x-5)^2 = 0\). b) Für ein vollständiges Quadrat müsste das konstante Glied \(\left(\frac{-10}{2}\right)^2 = 25\) sein. Daher müsste man \(24\) um \(1\) erhöhen.
4153189
Löse die folgende Gleichung nach \(x\) auf: \(\frac{3}{4}(x + 2)^2 - 5 = 1\). Gib das Ergebnis in exakter Form an und vereinfache den Wurzelterm so weit wie möglich.

Denkanstöße

- Bringe zuerst alle Zahlen ohne \(x\) auf die rechte Seite. - Wie entfernst du einen Bruchfaktor vor einer Klammer? - Denke beim Wurzelziehen aus \(8\) daran, ob du die Wurzel teilweise ziehen kannst.

Lösung

1. Addition von \(5\) auf beiden Seiten: \(\frac{3}{4}(x + 2)^2 = 6\). 2. Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac{4}{3}\): \((x + 2)^2 = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8\). 3. Ziehen der Quadratwurzel: \(x + 2 = \pm\sqrt{8}\). 4. Subtraktion von \(2\): \(x = -2 \pm \sqrt{8}\). 5. Vereinfachung der Wurzel: Da \(8 = 4 \cdot 2\), gilt \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). 6. Endergebnis: \(x_1 = -2 + 2\sqrt{2}\) und \(x_2 = -2 - 2\sqrt{2}\).

Antwort

Die Lösungen sind \(x_1 = -2 + 2\sqrt{2}\) und \(x_2 = -2 - 2\sqrt{2}\).
4154989
Zwei Schüler lösen die Gleichung \(2(x - 3)^2 = 50\). Anna schlägt vor, zuerst die Klammer mit der binomischen Formel aufzulösen, alles auf eine Seite zu bringen und dann die Mitternachtsformel anzuwenden. Ben schlägt vor, zuerst beide Seiten durch \(2\) zu dividieren und dann direkt die Wurzel zu ziehen. a) Berechne die Lösungsmenge auf Bens Weg. b) Zeige rechnerisch, dass Annas Weg zur selben quadratischen Gleichung in Normalform führt wie Bens Ansatz nach dem ersten Schritt. c) Begründe kurz, warum Bens Weg hier weniger rechenintensiv ist.

Denkanstöße

- Probiere beide Wege einmal aus und achte darauf, wo du mehr Zwischenrechnungen machen musst. - Schau dir die Struktur der Gleichung an: Ist sie bereits in einer besonderen Form gegeben? - Was passiert, wenn du die Operationen in einer anderen Reihenfolge ausführst?

Lösung

1. Teilaufgabe a (Bens Weg): Division durch \(2\) ergibt \((x - 3)^2 = 25\). Wurzelziehen liefert zwei Fälle: \(x - 3 = 5\) oder \(x - 3 = -5\). Daraus folgen \(x_1 = 8\) und \(x_2 = -2\). \(L = \{-2; 8\}\). 2. Teilaufgabe b (Annas Weg): Auflösen der Klammer ergibt \(2(x^2 - 6x + 9) = 50\), also \(2x^2 - 12x + 18 = 50\). Subtraktion von \(50\) führt zu \(2x^2 - 12x - 32 = 0\). Division durch \(2\) ergibt die Normalform \(x^2 - 6x - 16 = 0\). Vergleicht man dies mit Bens erstem Schritt \((x-3)^2 = 25 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 9 = 25 \Leftrightarrow x^2 - 6x - 16 = 0\), sieht man die Übereinstimmung. 3. Teilaufgabe c: Bens Weg nutzt, dass der Term bereits als Quadrat vorliegt; dadurch entfallen das Ausmultiplizieren und die Anwendung der allgemeinen Lösungsformel. Das Ziehen der Wurzel ist hier direkter möglich.

Antwort

a) \(L = \{-2; 8\}\) b) Beide Wege führen zur Normalform \(x^2 - 6x - 16 = 0\). c) Ben nutzt die Struktur der Gleichung aus (direktes Wurzelziehen nach Division möglich), während Anna unnötige Umformungen vornimmt.
4250689
Ein eleganter Weg zur Herleitung der Lösungsformel für die allgemeine Form \(ax^2 + bx + c = 0\) (mit \(a \neq 0\)) vermeidet Brüche, indem man die Gleichung zuerst mit \(4a\) multipliziert. a) Multipliziere die Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\) mit \(4a\) und subtrahiere anschließend den Term \(4ac\) auf beiden Seiten. b) Addiere nun auf beiden Seiten \(b^2\). Zeige, dass die linke Seite der Gleichung nun als Quadrat eines Binoms geschrieben werden kann. Wie lautet die vollständige Gleichung? c) Erkläre, warum die in Teil b) gefundene Form hilfreicher ist, um nach \(x\) aufzulösen, als die ursprüngliche Form.

Denkanstöße

- Welche binomische Formel könnte hier passen, wenn du \(4a^2x^2\) als \((2ax)^2\) betrachtest? - Schau dir an, wie oft die Unbekannte \(x\) in der ursprünglichen Gleichung vorkommt und wie oft in der neuen Form. - Was ist der erste Schritt, den du machen würdest, um eine Gleichung der Form \((...)^2 = D\) nach der Unbekannten aufzulösen?

Lösung

1. Multiplikation mit \(4a\): \(4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0\). 2. Subtraktion von \(4ac\): \(4a^2x^2 + 4abx = -4ac\). 3. Addition von \(b^2\): \(4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac\). 4. Identifikation des Binoms: Die linke Seite entspricht der Form \(A^2 + 2AB + B^2\) mit \(A = 2ax\) und \(B = b\). Somit gilt \(4a^2x^2 + 4abx + b^2 = (2ax + b)^2\). 5. Vollständige Gleichung: \((2ax + b)^2 = b^2 - 4ac\). 6. Erklärung: In der neuen Form tritt die Variable \(x\) nur noch an einer Stelle innerhalb des Quadrats auf. Dadurch kann man die Gleichung durch Wurzelziehen und einfache Äquivalenzumformungen nach \(x\) auflösen, während in der Ausgangsform \(x^2\) und \(x\) getrennt stehen.

Antwort

a) \(4a^2x^2 + 4abx = -4ac\); b) \((2ax + b)^2 = b^2 - 4ac\); c) Die Variable \(x\) steht nur noch einmal in der Gleichung, sodass man durch Wurzelziehen direkt nach \(x\) auflösen kann.
4251049
Betrachte die zwei folgenden Gleichungen: (1) \(\frac{x^2 + 1}{5} + \frac{2x^2 - 2}{3} = 3\) (2) \(\frac{x^2 + 1}{5} - \frac{2x^2 - 2}{3} = 3\) Untersuche beide Gleichungen auf ihre Lösbarkeit über den reellen Zahlen. Berechne die Lösungen, falls sie existieren, oder begründe, warum es keine Lösung gibt.

Denkanstöße

- Multipliziere beide Seiten mit einem gemeinsamen Nenner, um die Brüche aufzulösen. - Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minus vor dem Bruch steht? - Überprüfe am Ende, ob das Ergebnis für \(x^2\) positiv, null oder negativ ist. - Kannst du schon vor der vollständigen Berechnung vermuten, welche Gleichung eher eine Lösung hat?

Lösung

1. Lösung von Gleichung (1): Multiplikation mit dem Hauptnenner \(15\) führt zu \(3(x^2 + 1) + 5(2x^2 - 2) = 45\). 2. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(3x^2 + 3 + 10x^2 - 10 = 45 \Rightarrow 13x^2 - 7 = 45\). 3. Isolieren von \(x^2\): \(13x^2 = 52 \Rightarrow x^2 = 4\). 4. Wurzelziehen ergibt die zwei reellen Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 5. Lösung von Gleichung (2): Multiplikation mit dem Hauptnenner \(15\) führt zu \(3(x^2 + 1) - 5(2x^2 - 2) = 45\). 6. Ausmultiplizieren (Achtung: Minuszeichen): \(3x^2 + 3 - 10x^2 + 10 = 45 \Rightarrow -7x^2 + 13 = 45\). 7. Isolieren von \(x^2\): \(-7x^2 = 32 \Rightarrow x^2 = -\frac{32}{7}\). 8. Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, besitzt Gleichung (2) keine reelle Lösung.

Antwort

Gleichung (1) hat die Lösungen \(x = 2\) und \(x = -2\). Gleichung (2) hat keine reelle Lösung, da die Umformung auf die widersprüchliche Aussage \(x^2 = -\frac{32}{7}\) führt.
4255049
Gegeben ist das folgende Gleichungssystem: (1) \((x + y)^2 = 25\) (2) \(x - y = 1\) Untersuche, wie viele Lösungspaare \((x | y)\) dieses System besitzt, und bestimme diese.

Denkanstöße

- Kannst du die erste Gleichung vereinfachen, bevor du einsetzt? - Denke daran, dass es beim Ziehen einer Quadratwurzel oft zwei Möglichkeiten gibt. - Du könntest auch eine Variable in der zweiten Gleichung isolieren und in die erste einsetzen. Welcher Weg erscheint dir einfacher? - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer quadratischen Beziehung?

Lösung

1. Analyse der ersten Gleichung: Aus \((x + y)^2 = 25\) folgt durch Wurzelziehen \(x + y = 5\) oder \(x + y = -5\). Dies führt zu einer Fallunterscheidung. 2. Fall 1: Betrachte das lineare System \(x + y = 5\) und \(x - y = 1\). Durch Addition der Gleichungen erhält man \(2x = 6\), also \(x_1 = 3\). Einsetzen in \(x - y = 1\) ergibt \(3 - y = 1\), also \(y_1 = 2\). 3. Fall 2: Betrachte das lineare System \(x + y = -5\) und \(x - y = 1\). Durch Addition erhält man \(2x = -4\), also \(x_2 = -2\). Einsetzen in \(x - y = 1\) ergibt \(-2 - y = 1\), also \(y_2 = -3\). 4. Ergebnis: Das System besitzt genau zwei Lösungspaare. 5. Lösungen: \((3 | 2)\) und \((-2 | -3)\).

Antwort

Es gibt zwei Lösungspaare: \((3 | 2)\) und \((-2 | -3)\).
4255209
Betrachte das Gleichungssystem mit dem Parameter \(c\): (1) \(x^2 + y^2 = 25c^2\) (2) \(x - y = c\) a) Stelle eine quadratische Gleichung auf, die nur noch die Variable \(y\) enthält. b) Berechne alle Lösungspaare \((x|y)\) in Abhängigkeit von \(c\).

Denkanstöße

- Welches Verfahren eignet sich, um eine Variable zu eliminieren? - Denk beim Einsetzen an die binomischen Formeln. - Lässt sich die quadratische Gleichung als Produkt zweier Linearfaktoren schreiben? - Prüfe abschließend, ob die angegebenen Paare für einen besonderen Parameterwert zusammenfallen.

Lösung

1. Umstellen der linearen Gleichung (2) nach \(x\): \(x = y + c\). 2. Einsetzen in Gleichung (1): \((y+c)^2+y^2=25c^2\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(y^2+2cy+c^2+y^2=25c^2\), also \(2y^2+2cy-24c^2=0\). 4. Division durch \(2\) ergibt die gesuchte Gleichung \(y^2+cy-12c^2=0\). 5. Faktorisieren: \[ y^2+cy-12c^2=(y-3c)(y+4c)=0. \] Daher gilt \(y=3c\) oder \(y=-4c\). 6. Mit \(x=y+c\) folgen die Paare \((4c|3c)\) und \((-3c|-4c)\). 7. Für \(c=0\) fallen beide Paare zum einzigen Lösungspaar \((0|0)\) zusammen; für \(c\neq0\) sind sie verschieden.

Antwort

a) \(y^2+cy-12c^2=0\) b) Für \(c\neq0\) gilt \(L=\{(4c|3c);(-3c|-4c)\}\). Für \(c=0\) gilt \(L=\{(0|0)\}\).
4255369
Ermittle alle Zahlenpaare \((x; y)\), die das folgende Gleichungssystem erfüllen: \[\begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 + 2x + 2y = 8 \\ y - x = 2 \end{cases}\]

Denkanstöße

- Schau dir den ersten Teil der ersten Gleichung genau an. Erinnert dich die Struktur an eine bekannte Formel? - Du kannst die zweite Gleichung nach \(y\) auflösen und einsetzen, aber achte genau auf die Vorzeichen beim Zusammenfassen. - Was passiert mit den quadratischen Gliedern, wenn du den Term für \(y\) einsetzt? - Prüfe am Ende, ob dein gefundenes Zahlenpaar wirklich beide Gleichungen erfüllt.

Lösung

1. Umstellen der zweiten Gleichung: \(y = x + 2\). 2. Einsetzen in die erste Gleichung: \(x^2 - 2x(x+2) + (x+2)^2 + 2x + 2(x+2) = 8\). 3. Terme vereinfachen: \(x^2 - 2x^2 - 4x + (x^2 + 4x + 4) + 2x + 2x + 4 = 8\). 4. Zusammenfassen der Glieder: \((x^2 - 2x^2 + x^2) + (-4x + 4x + 2x + 2x) + (4 + 4) = 8\). 5. Lineare Gleichung lösen: \(4x + 8 = 8 \Rightarrow 4x = 0 \Rightarrow x = 0\). 6. Alternativer Weg: Erkennen der binomischen Formel \((x-y)^2 + 2(x+y) = 8\). Da \(y-x=2\), ist \(x-y=-2\). Einsetzen ergibt \((-2)^2 + 2(x+y) = 8 \Rightarrow 4 + 2x + 2y = 8 \Rightarrow x + y = 2\). Zusammen mit \(y-x=2\) ergibt sich durch Addition \(2y = 4 \Rightarrow y = 2\) und \(x = 0\). 7. \(y\)-Wert berechnen: \(y = 0 + 2 = 2\).

Antwort

\((0; 2)\)
4255669
Ein Kreis hat den Mittelpunkt \(M(0|0)\) und den Radius \(r = 10\). Eine Parabel hat die Funktionsgleichung \(y = \frac{1}{4}x^2 + c\). a) Bestimme den Wert von \(c < 0\) so, dass der Scheitelpunkt der Parabel auf der Kreislinie liegt. b) Berechne für den in Teil a) ermittelten Wert von \(c\) alle Schnittpunkte zwischen dem Kreis und der Parabel. Zeige, dass es genau drei verschiedene Schnittpunkte gibt.

Denkanstöße

- Wie lautet die allgemeine Gleichung für einen Kreis um den Ursprung? - Wo liegt der Scheitelpunkt einer Parabel der Form \(y = ax^2 + c\)? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um ein System aus einer quadratischen Kreisgleichung und einer Parabelgleichung zu lösen? - Wenn du einen \(y\)-Wert berechnet hast, wie findest du die dazugehörigen \(x\)-Werte?

Lösung

1. Die Kreisgleichung lautet \(x^2 + y^2 = 100\). Der Scheitelpunkt der Parabel \(y = \frac{1}{4}x^2 + c\) liegt bei \(S(0|c)\). 2. Damit \(S\) auf dem Kreis liegt, muss \(0^2 + c^2 = 100\) gelten, woraus für \(c < 0\) der Wert \(c = -10\) folgt. 3. Zur Berechnung der Schnittpunkte wird das System \(x^2 + y^2 = 100\) und \(y = \frac{1}{4}x^2 - 10\) gelöst. 4. Umstellen der Parabelgleichung ergibt \(x^2 = 4y + 40\). 5. Einsetzen in die Kreisgleichung: \((4y + 40) + y^2 = 100 \Rightarrow y^2 + 4y - 60 = 0\). 6. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(y_1 = -10\) und \(y_2 = 6\). 7. Für \(y_1 = -10\) ergibt sich \(x^2 = 4(-10) + 40 = 0\), also \(x = 0\). Punkt \(P_1(0|-10)\). 8. Für \(y_2 = 6\) ergibt sich \(x^2 = 4(6) + 40 = 64\), also \(x = \pm 8\). Punkte \(P_2(8|6)\) und \(P_3(-8|6)\). 9. Es existieren somit genau drei verschiedene Schnittpunkte.

Antwort

a) Der Wert ist \(c = -10\). b) Die drei Schnittpunkte sind \(P_1(0|-10)\), \(P_2(8|6)\) und \(P_3(-8|6)\).
4255909
Ermittle alle Lösungspaare \((x; y)\) des Gleichungssystems für \(a \neq 0\). Beachte dabei die Definitionsmenge. \( \begin{cases} \frac{x}{a} + \frac{a}{y} = \frac{7}{2} \\ x - y = a \end{cases} \)

Denkanstöße

- Welche Bedingung folgt daraus, dass \(y\) im Nenner steht? - Löse die lineare Gleichung nach \(x\) auf und setze den Ausdruck in die Bruchgleichung ein. - Multipliziere anschließend mit dem Hauptnenner. - Lässt sich die entstehende quadratische Gleichung faktorisieren?

Lösung

1. Definitionsbereich: Da \(a\neq0\) vorausgesetzt ist und \(y\) im Nenner steht, muss \(y\neq0\) gelten. 2. Aus \(x-y=a\) folgt \(x=y+a\). 3. Einsetzen in die erste Gleichung: \[ \frac{y+a}{a}+\frac{a}{y}=\frac{7}{2}. \] 4. Umformen: \[ \frac{y}{a}+\frac{a}{y}=\frac{5}{2}. \] 5. Multiplikation mit \(ay\): \[ y^2+a^2=\frac{5}{2}ay, \] also \[ y^2-\frac{5}{2}ay+a^2=0. \] 6. Faktorisieren: \[ \left(y-2a\right)\left(y-\frac{a}{2}\right)=0. \] Daher gilt \(y=2a\) oder \(y=\frac{a}{2}\). 7. Mit \(x=y+a\) folgen die Paare \((3a;2a)\) und \(\left(\frac{3a}{2};\frac{a}{2}\right)\). 8. Weil \(a\neq0\) gilt, erfüllen beide Paare die Bedingung \(y\neq0\).

Antwort

\(L=\left\{(3a;2a);\left(\frac{3a}{2};\frac{a}{2}\right)\right\}\)
4256029
Gegeben ist ein Gleichungssystem mit dem Parameter \(m \in \mathbb{R}\). Ermittle alle Lösungspaare \((x; y)\) in Abhängigkeit von \(m\): \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 17m^2 \\ x + y = 5m \end{cases} \]

Denkanstöße

- Kannst du eine der Gleichungen so umformen, dass du eine Variable durch die andere ausdrückst? - Was passiert, wenn du diesen Ausdruck in die quadratische Gleichung einsetzt? - Wie lässt sich die resultierende Gleichung in \(x\) am einfachsten lösen? - Hast du am Ende daran gedacht, für jeden \(x\)-Wert den passenden \(y\)-Wert zu berechnen?

Lösung

1. Umstellen der zweiten Gleichung nach einer Variablen: \(y = 5m - x\) 2. Einsetzen des Ausdrucks in die erste Gleichung: \(x^2 + (5m-x)^2 = 17m^2\) 3. Anwendung der binomischen Formel und Zusammenfassen: \(x^2 + 25m^2 - 10mx + x^2 = 17m^2 \Rightarrow 2x^2 - 10mx + 8m^2 = 0\) 4. Normierung der quadratischen Gleichung durch Division durch 2: \(x^2 - 5mx + 4m^2 = 0\) 5. Lösen der Gleichung (z. B. durch Faktorisierung): \((x-4m)(x-m) = 0\), woraus \(x_1 = 4m\) und \(x_2 = m\) folgen 6. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Werte: \(y_1 = 5m - 4m = m\) und \(y_2 = 5m - m = 4m\) 7. Für \(m \neq 0\) sind die Lösungspaare \((4m; m)\) und \((m; 4m)\). Für \(m = 0\) fallen beide Paare zum einzigen Lösungspaar \((0; 0)\) zusammen.

Antwort

Für \(m \neq 0\): \(L = \{(4m; m); (m; 4m)\}\). Für \(m = 0\): \(L = \{(0; 0)\}\).
4256049
Berechne alle reellen Lösungspaare \((x; y)\) für das folgende Gleichungssystem: \( \begin{cases} x^2 - xy = 20 \\ y^2 - xy = -16 \end{cases} \)

Denkanstöße

- Überlege, ob es hilfreich ist, die beiden Gleichungen miteinander zu verknüpfen (zum Beispiel durch Addition). - Kannst du die Terme auf der linken Seite so kombinieren, dass eine binomische Formel entsteht? - Was passiert mit der Struktur der Gleichungen, wenn du sie addierst? - Versuche, in einer der ursprünglichen Gleichungen eine Variable auszuklammern.

Lösung

1. Addition der beiden Gleichungen ergibt \(x^2 - 2xy + y^2 = 20 + (-16) = 4\). Durch Anwendung der zweiten binomischen Formel folgt \((x-y)^2 = 4\). 2. Aus \((x-y)^2 = 4\) ergeben sich zwei Fälle: \(x - y = 2\) oder \(x - y = -2\). 3. Ausklammern von \(x\) in der ersten Gleichung ergibt \(x(x - y) = 20\). 4. Fall A (\(x - y = 2\)): Einsetzen in die ausgeklammerte Gleichung ergibt \(x \cdot 2 = 20\), also \(x = 10\). Durch Einsetzen von \(x\) in \(x - y = 2\) erhält man \(10 - y = 2\), woraus \(y = 8\) folgt. Das erste Paar ist \((10; 8)\). 5. Fall B (\(x - y = -2\)): Einsetzen in die ausgeklammerte Gleichung ergibt \(x \cdot (-2) = 20\), also \(x = -10\). Durch Einsetzen von \(x\) in \(x - y = -2\) erhält man \(-10 - y = -2\), woraus \(y = -8\) folgt. Das zweite Paar ist \((-10; -8)\).

Antwort

\((10; 8), (-10; -8)\)
4256129
Gegeben ist das Gleichungssystem mit der Konstanten \(c \in \mathbb{R}\): \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = \frac{17}{16}c^2 \\ xy = \frac{1}{4}c^2 \end{cases} \] Bestimme alle Lösungspaare \((x; y)\) in Abhängigkeit von \(c\). Nutze dabei die erste und zweite binomische Formel, um zunächst Ausdrücke für \((x+y)\) und \((x-y)\) zu berechnen.

Denkanstöße

- Welche binomischen Formeln enthalten die Terme \(x^2+y^2\) und \(xy\)? - Versuche, die Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen, bevor du addierst oder subtrahierst. - Wenn du die Werte für \(x+y\) und \(x-y\) hast, wie kannst du daraus \(x\) und \(y\) bestimmen? - Denke daran, dass beim Wurzelziehen sowohl positive als auch negative Ergebnisse möglich sind.

Lösung

1. Berechnung von \((x+y)^2 = (x^2+y^2) + 2xy = \frac{17}{16}c^2 + \frac{2}{4}c^2 = \frac{17+8}{16}c^2 = \frac{25}{16}c^2\). Daraus folgt \(x+y = \pm \frac{5}{4}c\). 2. Berechnung von \((x-y)^2 = (x^2+y^2) - 2xy = \frac{17}{16}c^2 - \frac{8}{16}c^2 = \frac{9}{16}c^2\). Daraus folgt \(x-y = \pm \frac{3}{4}c\). 3. Lösen der linearen Gleichungssysteme für alle vier Vorzeichenkombinationen: - Fall 1: \(x+y = \frac{5}{4}c, x-y = \frac{3}{4}c \implies x=c, y=\frac{1}{4}c\) - Fall 2: \(x+y = \frac{5}{4}c, x-y = -\frac{3}{4}c \implies x=\frac{1}{4}c, y=c\) - Fall 3: \(x+y = -\frac{5}{4}c, x-y = \frac{3}{4}c \implies x=-\frac{1}{4}c, y=-c\) - Fall 4: \(x+y = -\frac{5}{4}c, x-y = -\frac{3}{4}c \implies x=-c, y=-\frac{1}{4}c\) 4. Für \(c \neq 0\) sind dies vier verschiedene Lösungspaare. Für \(c = 0\) fallen sie zum einzigen Lösungspaar \((0; 0)\) zusammen.

Antwort

Für \(c \neq 0\): \(L = \{(c; \frac{1}{4}c); (\frac{1}{4}c; c); (-c; -\frac{1}{4}c); (-\frac{1}{4}c; -c)\}\). Für \(c = 0\): \(L = \{(0; 0)\}\).
4256269
Bestimme die Lösungspaare \((x; y)\) für das folgende System: \[ \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{3}{4} \\ xy = 64 \end{cases} \]

Denkanstöße

- Kannst du die Brüche in der ersten Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Wie lässt sich der Term \(\sqrt{xy}\) mithilfe der zweiten Gleichung vereinfachen? - Versuche, neue Variablen für die Terme \(\sqrt{x}\) und \(\sqrt{y}\) einzuführen. - Wenn du die Summe und das Produkt von zwei Werten kennst, wie kannst du daraus eine quadratische Gleichung bilden?

Lösung

1. Aus der zweiten Gleichung folgt \(\sqrt{xy} = \sqrt{64} = 8\), da die Wurzeln in der ersten Gleichung positive Radikanden erfordern. 2. Die erste Gleichung wird durch Hauptnennerbildung umgeformt zu \(\frac{\sqrt{y} + \sqrt{x}}{\sqrt{xy}} = \frac{3}{4}\). 3. Durch Einsetzen von \(\sqrt{xy} = 8\) erhält man \(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{8} = \frac{3}{4}\), woraus \(\sqrt{x} + \sqrt{y} = 6\) folgt. 4. Mit der Substitution \(u = \sqrt{x}\) und \(v = \sqrt{y}\) ergibt sich das System \(u + v = 6\) und \(uv = 8\). 5. Einsetzen von \(v = 6 - u\) in die Produktgleichung führt auf \(u(6 - u) = 8 \Rightarrow u^2 - 6u + 8 = 0\). 6. Die Lösungen für \(u\) sind \(4\) und \(2\). Daraus ergeben sich für \(x = u^2\) und \(y = v^2\) die Paare \((16; 4)\) und \((4; 16)\).

Antwort

\((16; 4)\) und \((4; 16)\)
4256329
Berechne alle reellen Lösungspaare \((x; y)\) des Gleichungssystems: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x - y = 5 \end{cases} \)

Denkanstöße

- Kannst du eine der Gleichungen nach einer Variablen auflösen und in die andere einsetzen? - Welches Verfahren ist besonders nützlich, wenn eine der Gleichungen keinen quadratischen Term enthält? - Nach dem Einsetzen erhältst du eine quadratische Gleichung. Welche Methoden kennst du, um diese zu lösen?

Lösung

1. Auflösen der zweiten (linearen) Gleichung nach \(x\): \(x = y + 5\). 2. Einsetzen dieses Ausdrucks in die erste Gleichung: \((y + 5)^2 + y^2 = 13\). 3. Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung: \(y^2 + 10y + 25 + y^2 = 13 \Rightarrow 2y^2 + 10y + 12 = 0\). 4. Division der gesamten Gleichung durch \(2\), um die Normalform zu erhalten: \(y^2 + 5y + 6 = 0\). 5. Lösung der quadratischen Gleichung, zum Beispiel durch Faktorisierung: \((y + 2)(y + 3) = 0\). 6. Bestimmung der y-Werte: \(y_1 = -2\) und \(y_2 = -3\). 7. Berechnung der zugehörigen x-Werte durch Einsetzen in \(x = y + 5\): - Für \(y_1 = -2\) ergibt sich \(x_1 = -2 + 5 = 3\). - Für \(y_2 = -3\) ergibt sich \(x_2 = -3 + 5 = 2\). 8. Die Lösungspaare lauten \((3; -2)\) und \((2; -3)\).

Antwort

\((3; -2), (2; -3)\)
4256409
Bestimme alle reellen Lösungspaare \((x; y)\) des folgenden Gleichungssystems: \( \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 21 \\ y^2 - 2xy = -15 \end{cases} \)

Denkanstöße

- Könntest du die Gleichungen so kombinieren, dass die Konstanten auf der rechten Seite verschwinden und dort eine Null steht? - Wenn du eine Gleichung der Form \(Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0\) hast, probiere, durch \(y^2\) zu teilen und eine Ersatzvariable für den Quotienten \(\frac{x}{y}\) einzuführen. - Vergiss nicht, am Ende die gefundenen Zusammenhänge zwischen \(x\) und \(y\) wieder in eine der Originalgleichungen einzusetzen.

Lösung

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(5\), der zweiten mit \(7\) und anschließende Addition ergibt \[ 5(x^2-xy+y^2)+7(y^2-2xy)=0. \] 2. Zusammenfassen liefert \[ 5x^2-19xy+12y^2=0. \] 3. Aus der zweiten Ausgangsgleichung folgt \(y\neq0\), denn für \(y=0\) entstünde \(0=-15\). Daher darf durch \(y^2\) dividiert werden. Mit \(t=\frac{x}{y}\) erhält man \[ 5t^2-19t+12=0. \] 4. Faktorisieren ergibt \[ (5t-4)(t-3)=0, \] also \(t=\frac45\) oder \(t=3\). 5. Fall \(x=3y\): Einsetzen in \(y^2-2xy=-15\) ergibt \[ -5y^2=-15, \] also \(y=\pm\sqrt3\). Damit entstehen \((3\sqrt3;\sqrt3)\) und \((-3\sqrt3;-\sqrt3)\). 6. Fall \(x=\frac45y\): Einsetzen ergibt \[ -\frac35y^2=-15, \] also \(y=\pm5\). Damit entstehen \((4;5)\) und \((-4;-5)\).

Antwort

\(L = \{(3\sqrt{3}; \sqrt{3}); (-3\sqrt{3}; -\sqrt{3}); (4; 5); (-4; -5)\}\)
4256429
Gegeben ist das folgende Gleichungssystem: \[ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{7}{12} \\ x^2 - y^2 = 7 \end{cases} \] Dabei gilt \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\). a) Berechne alle reellen Lösungen \((x; y)\) des Systems. b) Ein Schüler behauptet, dass jedes System dieser Form (ein Bruch und sein Kehrwert in der ersten Gleichung, eine quadratische Differenz in der zweiten) immer vier reelle Lösungen haben muss. Begründe anhand deiner Rechnung in Teil a), warum diese Behauptung falsch ist.

Denkanstöße

- Achte beim Lösen der quadratischen Gleichung für die Hilfsvariable auf die Vorzeichen. - Was bedeutet es für die Existenz reeller Lösungen, wenn du beim Auflösen auf eine Gleichung wie \(y^2 = -16\) stößt? - Überprüfe, ob beide Werte der Hilfsvariablen tatsächlich zu gültigen Paaren \((x; y)\) führen.

Lösung

1. Substitution \(u = \frac{x}{y}\) in die erste Gleichung: \(u - \frac{1}{u} = \frac{7}{12}\). 2. Umformung zur quadratischen Gleichung \(12u^2 - 7u - 12 = 0\). 3. Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = \frac{4}{3}\) und \(u_2 = -\frac{3}{4}\). 4. Fall 1 (\(u = \frac{4}{3}\)): \(x = \frac{4}{3}y\). Einsetzen in \(x^2 - y^2 = 7\) ergibt \(\frac{16}{9}y^2 - y^2 = 7 \Rightarrow \frac{7}{9}y^2 = 7 \Rightarrow y^2 = 9\). Daraus folgen die Lösungen \((4; 3)\) und \((-4; -3)\). 5. Fall 2 (\(u = -\frac{3}{4}\)): \(x = -\frac{3}{4}y\). Einsetzen in \(x^2 - y^2 = 7\) ergibt \(\frac{9}{16}y^2 - y^2 = 7 \Rightarrow -\frac{7}{16}y^2 = 7 \Rightarrow y^2 = -16\). Da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann, gibt es hier keine weiteren reellen Lösungen. 6. Zu b): Die Behauptung ist falsch, da die Rücksubstitution für negative Werte von \(u\) bei Gleichungen der Form \(x^2 - y^2 = k\) zu einem negativen Wert für das Quadrat einer Variable führen kann, was im Bereich der reellen Zahlen nicht lösbar ist. In diesem Fall gibt es nur zwei Lösungen.

Antwort

a) Die reellen Lösungen sind \((4; 3)\) und \((-4; -3)\). b) Die Behauptung ist falsch, da der zweite Fall der Substitution (\(u = -0{,}75\)) auf die Gleichung \(y^2 = -16\) führt, welche keine reellen Lösungen besitzt. Somit hat das System nur zwei statt vier Lösungen.
4256679
Bestimme alle reellen Lösungen der folgenden Gleichung: \[(x-3)(x-1)(x+2)(x+4) = 144\]

Denkanstöße

- Was passiert, wenn du die Klammern so multiplizierst, dass ein gleicher Term in beiden Ausdrücken entsteht? - Überlege dir eine geeignete Ersetzung (Substitution), um den Grad der Gleichung zu senken. - Vergiss nicht, am Ende die Ersetzung wieder rückgängig zu machen. - Überprüfe, ob deine gefundenen Werte die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

Lösung

1. Gruppierung der Faktoren zu Paaren, die nach dem Ausmultiplizieren denselben quadratischen und linearen Teil ergeben: \(((x-3)(x+4)) \cdot ((x-1)(x+2)) = 144\). 2. Ausmultiplizieren der Paare: \((x^2 + x - 12) \cdot (x^2 + x - 2) = 144\). 3. Einführung einer Hilfsvariablen (Substitution) \(u = x^2 + x\), woraus die Gleichung \((u-12)(u-2) = 144\) folgt. 4. Umformung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(u^2 - 14u + 24 = 144 \implies u^2 - 14u - 120 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung für \(u\): Die Diskriminante ist \(D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676 = 26^2\). Die Lösungen sind \(u_1 = \frac{14 + 26}{2} = 20\) und \(u_2 = \frac{14 - 26}{2} = -6\). 6. Rücksubstitution für \(u_1 = 20\): \(x^2 + x = 20 \implies x^2 + x - 20 = 0\). Faktorisierung ergibt \((x+5)(x-4) = 0\), also \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -5\). 7. Rücksubstitution für \(u_2 = -6\): \(x^2 + x = -6 \implies x^2 + x + 6 = 0\). Die Diskriminante ist \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = -23\). Da \(D < 0\), gibt es hier keine weiteren reellen Lösungen.

Antwort

\(L = \{-5; 4\}\)
4281089
Gegeben ist die Gleichung \(\frac{x}{a+5} = \frac{a-5}{x}\) mit dem Parameter \(a \neq -5\). a) Löse die Gleichung nach \(x\) auf. b) Bestimme alle Werte für \(a\), für die die Gleichung keine reellen Lösungen besitzt. Begründe deine Antwort.

Denkanstöße

- Welche Einschränkungen folgen aus den beiden Nennern? - Erkennst du nach dem Kreuzmultiplizieren die dritte binomische Formel? - Unterscheide die Fälle, in denen der Radikand positiv, negativ oder null ist. - Was bedeutet der Fall \(x=0\) für die ursprüngliche Bruchgleichung?

Lösung

1. Definitionsbedingungen: Wegen der Nenner gilt \(a\neq-5\) und \(x\neq0\). 2. Kreuzmultiplikation ergibt \[ x^2=(a+5)(a-5)=a^2-25. \] 3. Für \(a^2-25>0\), also \(a<-5\) oder \(a>5\), entstehen die beiden von null verschiedenen reellen Lösungen \[ x=\pm\sqrt{a^2-25}. \] 4. Für \(-5<a<5\) ist \(a^2-25<0\); daher gibt es keine reelle Lösung. 5. Für \(a=5\) wäre die einzige rechnerische Möglichkeit \(x=0\), doch dieser Wert ist wegen des Nenners ausgeschlossen. 6. Der Wert \(a=-5\) gehört bereits nicht zum Parameterbereich der Aufgabe.

Antwort

a) Für \(a<-5\) oder \(a>5\) gilt \[ L=\left\{-\sqrt{a^2-25};\sqrt{a^2-25}\right\}. \] Für \(-5<a\leq5\) gilt \(L=\varnothing\). Der Parameterwert \(a=-5\) ist nicht zugelassen. b) Innerhalb des vorgegebenen Parameterbereichs besitzt die Gleichung für \[ -5<a\leq5 \] keine reelle Lösung.
4281429
Bestimme alle reellen Zahlenpaare \((x; y)\), die das folgende Gleichungssystem erfüllen: \( \begin{cases} (x + y) + xy = 11 \\ (x + y) \cdot xy = 30 \end{cases} \)

Denkanstöße

- Betrachte die Ausdrücke \((x+y)\) und \(xy\) als neue, eigene Einheiten. Kannst du sie vorübergehend durch andere Buchstaben ersetzen? - Wenn du die Summe und das Produkt zweier Zahlen kennst, wie kannst du daraus eine quadratische Gleichung aufstellen? - Wie viele verschiedene Kombinationen für \(x+y\) und \(xy\) ergeben sich aus dem ersten Schritt? - Vergiss nicht, am Ende die Werte für \(x\) und \(y\) selbst zu bestimmen, nicht nur für ihre Summe und ihr Produkt.

Lösung

1. Einführung von Hilfsvariablen durch Substitution: Setze \(u = x + y\) und \(v = xy\). 2. Lösen des resultierenden Systems für \(u\) und \(v\): \(u + v = 11\) und \(u \cdot v = 30\). 3. Diese Gleichungen beschreiben zwei Zahlen, deren Summe \(11\) und deren Produkt \(30\) ist. Diese sind die Lösungen der quadratischen Gleichung \(t^2 - 11t + 30 = 0\). 4. Lösen dieser Gleichung (z. B. durch Faktorisieren \((t-5)(t-6)=0\)) ergibt \(t_1 = 5\) und \(t_2 = 6\). Somit ergeben sich zwei Fälle: Entweder ist \(u = 5\) und \(v = 6\), oder \(u = 6\) und \(v = 5\). 5. Rücksubstitution für Fall 1 (\(x + y = 5\) und \(xy = 6\)): \(x\) und \(y\) sind Lösungen von \(z^2 - 5z + 6 = 0\), was \(x, y \in \{2; 3\}\) liefert. Dies ergibt die Paare \((2; 3)\) und \((3; 2)\). 6. Rücksubstitution für Fall 2 (\(x + y = 6\) und \(xy = 5\)): \(x\) und \(y\) sind Lösungen von \(z^2 - 6z + 5 = 0\), was \(x, y \in \{1; 5\}\) liefert. Dies ergibt die Paare \((1; 5)\) und \((5; 1)\). 7. Die vollständige Lösungsmenge besteht aus den Paaren \((1; 5), (5; 1), (2; 3)\) und \((3; 2)\).

Antwort

Die Lösungspaare sind \((1; 5), (5; 1), (2; 3)\) und \((3; 2)\).

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