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- Überlege, was es für die Nullstellen bedeutet, wenn der Scheitel genau auf der Achse liegt. - Berechne für jede Funktion denselben Kennwert und vergleiche das Ergebnis. - Achte bei Dezimalzahlen darauf, sauber zu quadrieren. - Ordne jede Teilaufgabe danach ein, ob es genau eine Berührung mit der Achse gibt.

Der Scheitelpunkt einer Normalparabel \(y = x^2 + bx + c\) liegt auf der \(x\)-Achse, wenn \(D = b^2 - 4c = 0\) gilt. 1. Für \(f(x)\): \(b = 7\), \(c = 12{,}25\). Rechnung: \(D = 7^2 - 4 \cdot 12{,}25 = 49 - 49 = 0\). Ja, der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse. 2. Für \(g(x)\): \(b = -2{,}4\), \(c = 1{,}44\). Rechnung: \(D = (-2{,}4)^2 - 4 \cdot 1{,}44 = 5{,}76 - 5{,}76 = 0\). Ja, der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse. 3. Für \(h(x)\): \(b = 1\), \(c = 1\). Rechnung: \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 = 1 - 4 = -3\). Nein, der Scheitelpunkt liegt nicht auf der \(x\)-Achse.

a) Der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse. b) Der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse. c) Der Scheitelpunkt liegt nicht auf der \(x\)-Achse.

- Untersuche die drei Funktionen getrennt und vergleiche ihre Achsenlage. - Manche Terme sehen fast wie eine vollständige Quadratklammer aus; prüfe das sorgfältig. - Achte darauf, ob die Rechnung auf genau eine Berührung oder auf zwei Schnittpunkte hinausläuft. - Bei der Dezimalzahl lohnt sich besonders genaues Rechnen.

Eine Normalparabel hat die Form \(f(x) = x^2 + bx + c\). Damit der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, muss die quadratische Gleichung \(f(x) = 0\) genau eine Lösung haben. Das ist der Fall, wenn die Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) gleich \(0\) ist (mit \(a=1\)). 1. Für \(f(x) = x^2 + 10x + 25\): \(D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0\). Da \(D = 0\), liegt der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse. 2. Für \(g(x) = x^2 - 4x + 3\): \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\). Da \(D \neq 0\), liegt der Scheitelpunkt nicht auf der \(x\)-Achse. 3. Für \(h(x) = x^2 + 5x + 6{,}25\): \(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6{,}25 = 25 - 25 = 0\). Da \(D = 0\), liegt der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse.

a) Der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse. b) Der Scheitelpunkt liegt nicht auf der \(x\)-Achse. c) Der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse.

- Was muss für die Diskriminante gelten, damit eine quadratische Gleichung genau eine Lösung hat? - Identifiziere zuerst die Werte für \(a\), \(b\) und \(c\) in der allgemeinen Form \(ax^2 + bx + c = 0\). - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch der gesuchte Parameter vorkommt.

1. Eine quadratische Gleichung besitzt genau dann eine reelle Lösung, wenn ihre Diskriminante \(D\) gleich null ist. 2. Aufstellen der Diskriminante für die Gleichung \(kx^2 + 12x + 18 = 0\): \(D = 12^2 - 4 \cdot k \cdot 18 = 144 - 72k\). 3. Setzen der Diskriminante gleich null: \(144 - 72k = 0\). 4. Lösen der linearen Gleichung nach \(k\): \(72k = 144\), woraus \(k = 2\) folgt.

Der Wert ist \(k = 2\).

- Was passiert, wenn du versuchst, die Variable allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen? - Überlege dir, welche Werte ein Quadrat einer Zahl annehmen kann. Kann ein Quadrat negativ sein? - Wann ist das Produkt aus zwei (gleichen) Klammern genau null? - Wie viele Zahlen ergeben quadriert denselben positiven Wert?

1. Umstellen von Gleichung a) zu \(x^2 = -25\); da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind, besitzt diese Gleichung keine Lösung. 2. In Gleichung b) wird die Basis des Quadrats betrachtet; \((x - \sqrt{2}) = 0\) führt zur einzigen Lösung \(x = \sqrt{2}\). 3. Umstellen von Gleichung c) zu \(3x^2 = 12\) und Division durch \(3\) ergibt \(x^2 = 4\); das Ziehen der Quadratwurzel liefert die beiden Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

a) Keine reelle Lösung. b) Eine Lösung: \(x = \sqrt{2}\). c) Zwei Lösungen: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -2\).

- Wann hat eine quadratische Gleichung genau eine Lösung? - Wie hängen die Anzahl der Nullstellen und die Lage des Scheitelpunkts zusammen? - Erinnere dich an die Diskriminante in der Mitternachtsformel oder den Radikanden in der \(pq\)-Formel. - Du kannst die Terme auch mithilfe der binomischen Formeln untersuchen.

1. Überprüfung von \(f(x)\): Berechnung der Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) mit \(a=1, b=12, c=36\). \(D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 144 - 144 = 0\). Da \(D = 0\), berührt die Parabel die \(x\)-Achse genau einmal. 2. Überprüfung von \(g(x)\): Berechnung der Diskriminante mit \(a=1, b=-7, c=12\). \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\). Da \(D > 0\), hat die Parabel zwei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. 3. Überprüfung von \(h(x)\): Berechnung der Diskriminante mit \(a=1, b=-1, c=0{,}25\). \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0{,}25 = 1 - 1 = 0\). Da \(D = 0\), berührt die Parabel die \(x\)-Achse genau einmal.

Die Funktionen \(f(x) = x^2 + 12x + 36\) und \(h(x) = x^2 - x + 0{,}25\) berühren die \(x\)-Achse in genau einem Punkt.

- Überlege dir, wie der Wert unter der Wurzel in der Lösungsformel die Anzahl der Ergebnisse beeinflusst. - Welche drei Fälle für das Vorzeichen dieses Wertes gibt es? - Achte beim Einsetzen besonders auf die Vorzeichen der Koeffizienten.

1. Berechnung der Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) für jede Teilaufgabe. 2. Für \(f(x)\): \(a=1\), \(b=-6\), \(c=9\). \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0\). Da \(D=0\), gibt es genau eine Nullstelle. 3. Für \(g(x)\): \(a=0{,}5\), \(b=2\), \(c=5\). \(D = 2^2 - 4 \cdot 0{,}5 \cdot 5 = 4 - 10 = -6\). Da \(D < 0\), gibt es keine reelle Nullstelle. 4. Für \(h(x)\): \(a=-1\), \(b=4\), \(c=-1\). \(D = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-1) = 16 - 4 = 12\). Da \(D > 0\), gibt es zwei reelle Nullstellen.

a) Eine Nullstelle (da \(D = 0\)) b) Keine reelle Nullstelle (da \(D = -6 < 0\)) c) Zwei reelle Nullstellen (da \(D = 12 > 0\))

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass vor dem \(x^2\) eine \(1\) steht? - Was sagt der Wert unter der Wurzel in der Lösungsformel über die Anzahl der Ergebnisse aus? - Erinnerst du dich an die \(pq\)-Formel oder die Mitternachtsformel?

1. Für \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2x - 6\): Setze \(0{,}5x^2 - 2x - 6 = 0\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x^2 - 4x - 12 = 0\). Anwendung der \(pq\)-Formel mit \(p = -4\) und \(q = -12\). Diskriminante \(D = (\frac{-4}{2})^2 - (-12) = 4 + 12 = 16\). Da \(D > 0\), existieren zwei Nullstellen. Berechnung: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{16}\), also \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\). 2. Für \(g(x) = x^2 + 4x + 7\): Setze \(x^2 + 4x + 7 = 0\). Anwendung der \(pq\)-Formel mit \(p = 4\) und \(q = 7\). Diskriminante \(D = (\frac{4}{2})^2 - 7 = 4 - 7 = -3\). Da \(D < 0\), existieren keine reellen Nullstellen.

a) Zwei Nullstellen: \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\). b) Keine reellen Nullstellen.

- Welche Formel hilft dir, die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung schnell zu erkennen? - Was bedeuten die Fälle \(D > 0\), \(D = 0\) und \(D < 0\)? - Musst du die \(x\)-Werte berechnen oder reicht ein Teil der Mitternachtsformel aus?

Die Anzahl der Lösungen wird durch das Vorzeichen der Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) bestimmt. 1. Für \(x^2 - 10x + 25 = 0\) ist \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = 25\). Berechnung: \(D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0\). Da \(D = 0\), gibt es genau eine reelle Lösung. 2. Für \(-2x^2 + 4x - 5 = 0\) ist \(a = -2\), \(b = 4\), \(c = -5\). Berechnung: \(D = 4^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-5) = 16 - 40 = -24\). Da \(D < 0\), gibt es keine reelle Lösung. 3. Mit \(b^2 = 49\) und \(4ac = 50\) ergibt sich \(D = 49 - 50 = -1\). Da \(D < 0\), gibt es keine reelle Lösung. 4. Da \(D = 12{,}5 > 0\) ist, besitzt die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

a) Eine Lösung. b) Keine reelle Lösung. c) Keine reelle Lösung. d) Zwei Lösungen.

- Was passiert, wenn du die Gleichung so umstellst, dass \(x^2\) alleine auf einer Seite steht? - Überlege dir, welche Werte ein Quadrat \(x^2\) in den reellen Zahlen annehmen kann. - Wie viele Lösungen hat eine Gleichung wie \(x^2 = 9\), \(x^2 = 0\) oder \(x^2 = -4\)? - Welchen Einfluss hat die rechte Seite deiner umgeformten Gleichung auf die Anzahl der Lösungen?

1. Isolierung von \(x^2\): Die Gleichung \(5x^2 + d = 20\) wird zu \(5x^2 = 20 - d\) und schließlich zu \(x^2 = \frac{20 - d}{5}\) umgeformt. 2. Bedingung für zwei Lösungen: Der Ausdruck \(\frac{20 - d}{5}\) muss positiv sein. Da der Nenner positiv ist, muss \(20 - d > 0\) gelten, also \(d < 20\). 3. Bedingung für eine Lösung: Der Ausdruck \(\frac{20 - d}{5}\) muss Null sein. Dies ist der Fall, wenn \(20 - d = 0\), also \(d = 20\). In diesem Fall ist \(x = 0\). 4. Bedingung für keine Lösung: Der Ausdruck \(\frac{20 - d}{5}\) muss negativ sein. Dies tritt ein, wenn \(20 - d < 0\), also \(d > 20\). Da Quadrate reeller Zahlen nicht negativ sein können, gibt es dann keine Lösung.

a) Genau zwei Lösungen für \(d < 20\). b) Genau eine Lösung für \(d = 20\). c) Keine Lösung für \(d > 20\).

- Welche Werte für \(a\), \(b\) und \(c\) kannst du aus der Gleichung ablesen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Diskriminante und der Anzahl der Lösungen. - Was passiert in der Mitternachtsformel unter der Wurzel, wenn der Wert negativ ist?

1. Identifikation der Koeffizienten der Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\): \(a = 0{,}5\), \(b = 3\), \(c = 5\). 2. Berechnung der Diskriminante \(D\) mit der Formel \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 3^2 - 4 \cdot 0{,}5 \cdot 5 = 9 - 10 = -1\). 3. Interpretation des Ergebnisses: Da die Diskriminante \(D = -1\) kleiner als Null ist (\(D < 0\)), besitzt die quadratische Gleichung keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen.

Die Diskriminante ist \(D = -1\). Da \(D < 0\) ist, hat die Gleichung keine reellen Lösungen.

- Wie viele Schnittpunkte hat der Graph mit der x-Achse? - Was sagt die Anzahl der Nullstellen über die Anzahl der Lösungen der Gleichung aus? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Lösungen und dem Wert der Diskriminante.

1. Beobachtung für den Graphen von \(f\): Die Parabel schneidet die x-Achse an zwei Stellen (bei \(x = 2\) und \(x = 4\)). Da die Gleichung \(f(x) = 0\) somit zwei verschiedene reelle Lösungen besitzt, muss die Diskriminante positiv sein: \(D > 0\). 2. Beobachtung für den Graphen von \(g\): Der Scheitelpunkt der Parabel liegt unterhalb der x-Achse und die Parabel ist nach unten geöffnet. Sie besitzt somit keine Schnittpunkte mit der x-Achse. Da die Gleichung \(g(x) = 0\) keine reelle Lösung besitzt, muss die Diskriminante negativ sein: \(D < 0\).

Für \(f\) gilt \(D > 0\), da der Graph zwei Nullstellen hat. Für \(g\) gilt \(D < 0\), da der Graph keine Nullstellen besitzt.

- Prüfe jede der drei Funktionen einzeln und nach demselben Kriterium. - Bei den Brüchen kann es helfen, mit gemeinsamen Nennern oder Quadraten im Kopf zu arbeiten. - Überlege, wann eine Parabel die Achse nur berührt statt sie zu schneiden. - Notiere nicht nur das Ergebnis, sondern auch kurz, warum die anderen Fälle ausscheiden.

Eine Parabel berührt die \(x\)-Achse genau dann in einem Punkt, wenn ihr Scheitelpunkt auf der Achse liegt. Dies entspricht der Bedingung, dass die Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) der Funktionsgleichung null ist. 1. Bei \(f(x)\) ist \(b = \frac{2}{3}\) und \(c = \frac{1}{9}\). Rechnung: \(D = (\frac{2}{3})^2 - 4 \cdot \frac{1}{9} = \frac{4}{9} - \frac{4}{9} = 0\). Die Bedingung ist erfüllt. 2. Bei \(g(x)\) ist \(b = -\frac{4}{5}\) und \(c = \frac{4}{25}\). Rechnung: \(D = (-\frac{4}{5})^2 - 4 \cdot \frac{4}{25} = \frac{16}{25} - \frac{16}{25} = 0\). Die Bedingung ist erfüllt. 3. Bei \(h(x)\) ist \(b = \frac{1}{2}\) und \(c = \frac{1}{2}\). Rechnung: \(D = (\frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - 2 = -1{,}75\). Da \(D \neq 0\), ist die Bedingung nicht erfüllt.

a) Die Parabel berührt die \(x\)-Achse in genau einem Punkt. b) Die Parabel berührt die \(x\)-Achse in genau einem Punkt. c) Die Parabel hat keinen Berührpunkt mit der \(x\)-Achse.

- Was bedeutet es für die Anzahl der Nullstellen, wenn ein Graph die Achse nur berührt und nicht schneidet? - In diesem Fall steht der Parameter an zwei verschiedenen Stellen. Wie beeinflusst das die Diskriminante? - Kannst du die entstandene Gleichung für den Parameter durch Ausklammern lösen?

1. Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse entspricht genau einer Nullstelle der Funktion. 2. Eine quadratische Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn die Diskriminante \(D = 0\) ist. 3. Aufstellen der Diskriminante für \(x^2 + ax + a = 0\): \(D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = a^2 - 4a\). 4. Lösen der Gleichung \(a^2 - 4a = 0\). 5. Durch Ausklammern erhält man \(a(a - 4) = 0\), woraus die Lösungen \(a = 0\) und \(a = 4\) folgen.

Der Graph hat für \(a = 0\) und für \(a = 4\) genau eine Nullstelle.

- Welcher Teil der Lösungsformel bestimmt, wie viele Ergebnisse man erhält? - Erinnerst du dich an den Begriff der Diskriminante? - Was muss unter der Wurzel stehen, damit es genau ein Ergebnis gibt? - Wann ist es im Bereich der reellen Zahlen unmöglich, eine Wurzel zu ziehen?

1. Anwendung der \(pq\)-Formel oder quadratischen Ergänzung: Der entscheidende Teil für die Anzahl der Lösungen ist die Diskriminante \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\). 2. Einsetzen von \(p = 6\): Es ergibt sich \(D = \left(\frac{6}{2}\right)^2 - q = 3^2 - q = 9 - q\). 3. Fall a): Genau zwei Lösungen existieren, wenn \(D > 0\). Also \(9 - q > 0\), was gleichbedeutend mit \(q < 9\) ist. 4. Fall b): Genau eine Lösung existiert, wenn \(D = 0\). Also \(9 - q = 0\), was \(q = 9\) ergibt. 5. Fall c): Keine reelle Lösung existiert, wenn \(D < 0\). Also \(9 - q < 0\), was gleichbedeutend mit \(q > 9\) ist.

a) \(q < 9\) b) \(q = 9\) c) \(q > 9\)

- Überprüfe die Aussage des Schülers mit verschiedenen Arten von Zahlen für \(a\), zum Beispiel positiven, negativen oder der Null. - Was bedeutet es grafisch für eine Parabel, wenn die zugehörige Gleichung keine Lösung hat? - Wie muss eine Parabel verschoben sein, damit sie die \(x\)-Achse nie berührt oder schneidet?

1. Die Aussage ist falsch, da die Anzahl der Lösungen vom Wert von \(a\) abhängt. 2. Fall \(a < 0\): Keine Lösung, da Quadrate nicht negativ sind (Beispiel: \(x^2 = -4\)). 3. Fall \(a = 0\): Genau eine Lösung (\(x = 0\)). 4. Fall \(a > 0\): Genau zwei Lösungen (Beispiel: \(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\)). 5. Damit \(f(x) = x^2 + c\) keine Nullstellen hat, darf die Gleichung \(x^2 + c = 0 \Leftrightarrow x^2 = -c\) keine Lösung haben. Dies ist der Fall, wenn \(-c\) negativ ist, also muss \(c > 0\) gelten. Grafisch bedeutet dies, dass der Scheitelpunkt der nach oben geöffneten Parabel über der \(x\)-Achse liegt.

Die Aussage ist falsch. Für \(a < 0\) gibt es keine Lösung, für \(a = 0\) genau eine (\(x = 0\)) und nur für \(a > 0\) gibt es zwei Lösungen. Die Funktion \(f(x) = x^2 + c\) hat keine Nullstellen, wenn \(c > 0\) ist.

- In welcher Form ist der Funktionsterm gegeben? Wo liegt der Scheitelpunkt in Abhängigkeit von \(k\)? - Was muss für den Scheitelpunkt gelten, damit die Parabel die \(x\)-Achse nur an einem Punkt berührt? - Setze die gegebenen Lösungen für \(x\) in den Funktionsterm ein, um \(k\) zu berechnen. - Überlege dir, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist und wo sie liegen muss, damit sie keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse hat.

1. Für genau eine Lösung muss der Scheitelpunkt der Parabel auf der \(x\)-Achse liegen; da der Scheitelpunkt bei \(S(3|k)\) liegt, muss \(k = 0\) gelten. 2. Für die Lösungen \(1\) und \(5\) setzt man einen der Werte in die Gleichung ein: \(f_k(1) = (1-3)^2 + k = 0 \Rightarrow (-2)^2 + k = 0 \Rightarrow 4 + k = 0 \Rightarrow k = -4\). Einsetzen von \(x=5\) führt zum gleichen Ergebnis (\(2^2 + k = 0\)). 3. Keine Lösung existiert, wenn die Parabel die \(x\)-Achse nicht erreicht. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, muss der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegen, also \(k > 0\) (z. B. \(k = 1\)). Begründung: Der Term \((x-3)^2\) ist stets größer oder gleich null; addiert man ein positives \(k\), ist der Funktionswert immer größer als null.

a) \(k = 0\) b) \(k = -4\) c) \(k > 0\) (z. B. \(k = 1\)). Begründung: Da \((x-3)^2 \geq 0\) für alle \(x\), ist die Summe mit einem positiven \(k\) stets positiv (\(f_k(x) > 0\)), wodurch keine Nullstellen existieren.

- Was gibt der Teil unter der Wurzel in der \(pq\)-Formel über die Anzahl der Lösungen an? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Diskriminante und den Fällen \(D > 0\), \(D = 0\) und \(D < 0\).

1. Um genau eine Lösung zu erhalten, muss die Diskriminante \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\) gleich null sein. Mit \(p = -8\) und \(q = c\) folgt: \(\left(\frac{-8}{2}\right)^2 - c = 0 \Rightarrow (-4)^2 - c = 0 \Rightarrow 16 - c = 0 \Rightarrow c = 16\). 2. Für \(c = 16\) lautet die Gleichung \(x^2 - 8x + 16 = 0\), was nach der binomischen Formel \((x-4)^2 = 0\) entspricht. Die einzige Lösung ist \(x = 4\). 3. Für \(c = 20\) berechnet man die Diskriminante: \(D = (-4)^2 - 20 = 16 - 20 = -4\). Da \(D < 0\) ist, besitzt die Gleichung keine reelle Lösung.

a) Für \(c = 16\) gibt es genau eine Lösung: \(x = 4\). b) Für \(c = 20\) hat die Gleichung keine reelle Lösung, da die Diskriminante \(D = -4\) negativ ist.

- Isoliere zuerst das \(x^2\) auf einer Seite der Gleichung. - Was musst du beachten, wenn du die Wurzel aus einer Zahl ziehst, um eine Gleichung zu lösen? - Überlege dir, welche Werte das Ergebnis einer Quadratzahl \(x^2\) annehmen kann. Kann es jemals negativ sein?

1. Einsetzen von \(c = 50\): \(2x^2 - 50 = 0 \Rightarrow 2x^2 = 50 \Rightarrow x^2 = 25\). Die Lösungen sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). 2. Einsetzen von \(c = 10\): \(2x^2 - 10 = 0 \Rightarrow 2x^2 = 10 \Rightarrow x^2 = 5\). Die exakten Lösungen sind \(x = \pm \sqrt{5}\). 3. Umformung zu \(x^2 = \frac{c}{2}\). Fall \(c > 0\): Da \(\frac{c}{2} > 0\), gibt es zwei Lösungen (\(x = \pm \sqrt{\frac{c}{2}}\)). Fall \(c = 0\): \(x^2 = 0\) hat genau eine Lösung (\(x = 0\)). Fall \(c < 0\): Da \(\frac{c}{2} < 0\), gibt es keine reelle Lösung, da man aus einer negativen Zahl keine Quadratwurzel ziehen kann.

a) \(L = \{-5; 5\}\) b) \(x = \pm \sqrt{5}\) c) Für \(c > 0\) gibt es zwei Lösungen; für \(c = 0\) gibt es genau eine Lösung (\(x=0\)); für \(c < 0\) gibt es keine reelle Lösung.

- Wo liegt der Scheitelpunkt im Koordinatensystem (über, unter oder auf der \(x\)-Achse)? - In welche Richtung ist die Parabel geöffnet? - Skizziere dir die Lage der Parabel grob im Kopf oder auf Papier.

1. Für \(h(x) = -3(x-2)^2 + 12\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2|12)\), also oberhalb der \(x\)-Achse. Da der Streckfaktor \(-3\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Sie muss die \(x\)-Achse also zweimal schneiden. Ergebnis: zwei Nullstellen. 2. Für die Parabel mit \(S(5|2)\) und Öffnung nach oben: Der Scheitelpunkt liegt oberhalb der \(x\)-Achse. Da sie nach oben geöffnet ist, entfernt sie sich von der \(x\)-Achse. Ergebnis: keine Nullstellen. 3. Für \(k(x) = (x+3)^2\): Dies ist die Scheitelpunktform \((x - (-3))^2 + 0\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-3|0)\) direkt auf der \(x\)-Achse. Ergebnis: genau eine Nullstelle (Berührpunkt).

a) Zwei Nullstellen, da der Scheitelpunkt über der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist. b) Keine Nullstellen, da der Scheitelpunkt über der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist. c) Eine Nullstelle, da der Scheitelpunkt genau auf der \(x\)-Achse liegt.

- Welcher Teil der Lösungsformel unter der Wurzel entscheidet über die Anzahl der Lösungen? - Was muss unter der Wurzel stehen, damit es nur ein Ergebnis gibt? - Wann ist es unmöglich, im Bereich der reellen Zahlen eine Wurzel zu ziehen?

1. Die Diskriminante einer Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\) ist definiert als \(D = b^2 - 4ac\). Hier gilt \(a = 2\) und \(b = 8\), also \(D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot c = 64 - 8c\). 2. Für \(c = 5\) ergibt sich \(D = 64 - 8 \cdot 5 = 64 - 40 = 24\). Da \(D > 0\) ist, besitzt die Gleichung zwei reelle Lösungen. 3. Eine quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn \(D = 0\) gilt. Aus \(64 - 8c = 0\) folgt durch Umstellen \(8c = 64\), also \(c = 8\). 4. Keine reelle Lösung existiert, wenn \(D < 0\) ist. Das ist der Fall, wenn \(64 - 8c < 0\) bzw. \(c > 8\) gilt. Ein möglicher Wert ist beispielsweise \(c = 10\).

a) \(D = 24\); es gibt zwei reelle Lösungen. b) \(c = 8\) c) z. B. \(c = 10\) (alle \(c > 8\) sind korrekt)

- Versuche zuerst, den Term mit dem Quadrat allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen wie \(a^2\)? - Kann eine Quadratzahl jemals kleiner als Null sein?

1. Subtraktion von \(5\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(3(x - 2)^2 = -3\). 2. Division durch \(3\): \((x - 2)^2 = -1\). 3. Analyse des Ergebnisses: Das Quadrat einer reellen Zahl, hier \((x - 2)^2\), ist stets größer oder gleich \(0\). 4. Schlussfolgerung: Da die rechte Seite \(-1\) negativ ist, gibt es kein reelles \(x\), das diese Gleichung erfüllt.

Die Gleichung hat keine reelle Lösung, da die Umformung zu \((x - 2)^2 = -1\) führt und ein Quadrat im Reellen niemals negativ sein kann.

- Was passiert mit der Anzahl der Lösungen, wenn du die Gleichung nach \(x^2\) auflöst? - Wie viele Lösungen hat die Gleichung \(x^2 = c\) in Abhängigkeit vom Vorzeichen von \(c\)? - Überlege dir, welche Zahl herauskommen muss, damit beim Wurzelziehen nur ein einziger Wert entsteht. - Wann ist es im Bereich der reellen Zahlen unmöglich, eine Quadratwurzel zu ziehen?

1. Für \(k = 15\) lautet die Gleichung \(3x^2 - 12 = 15\). Addition von \(12\) ergibt \(3x^2 = 27\). Division durch \(3\) führt zu \(x^2 = 9\). Das Ziehen der Quadratwurzel ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 2. Eine Gleichung der Form \(3x^2 = c\) hat genau dann eine Lösung, wenn \(c = 0\) ist. Hier ist \(3x^2 = k + 12\). Setzt man \(k + 12 = 0\), erhält man \(k = -12\). In diesem Fall ist \(x^2 = 0\), also \(x = 0\). 3. Die Gleichung hat keine reelle Lösung, wenn der Term auf der rechten Seite negativ ist, da ein Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann. Aus \(3x^2 = k + 12\) folgt die Bedingung \(k + 12 < 0\), also \(k < -12\).

a) \(L = \{-3; 3\}\) b) \(k = -12\); Begründung: Damit es nur eine Lösung gibt, muss die Gleichung auf die Form \(x^2 = 0\) führen. c) \(k < -12\)

- Was bedeutet es für eine Gleichung, wenn ein bestimmter Wert eine Lösung ist? - Kannst du die Gleichung nach \(x^2\) auflösen? - Überlege, was passiert, wenn du durch Null teilen müsstest oder wenn auf einer Seite \(0\) steht. - Wann hat eine Gleichung der Form \(x^2 = \text{Zahl}\) keine reelle Lösung?

1. Bestimmung von \(c\): Einsetzen von \(x = 3\) in die Gleichung ergibt \(c \cdot 3^2 - 18 = 0\), also \(9c = 18\). Daraus folgt \(c = 2\). 2. Zweite Lösung für \(c = 2\): Die Gleichung lautet \(2x^2 - 18 = 0\). Umgeformt ergibt dies \(x^2 = 9\). Die Lösungen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 3. Untersuchung für \(c = 0\): Setzt man \(c = 0\) ein, erhält man \(0 \cdot x^2 - 18 = 0\), was zu \(-18 = 0\) führt. Dies ist ein Widerspruch (falsche Aussage), daher gibt es kein \(x\), das die Gleichung erfüllt. 4. Bedingungen für keine reelle Lösung: Die allgemeine Form ist \(x^2 = \frac{18}{c}\) (für \(c \neq 0\)). Eine rein quadratische Gleichung \(x^2 = k\) hat keine reelle Lösung, wenn \(k < 0\) ist. Da der Zähler \(18\) positiv ist, muss der Nenner \(c\) negativ sein (\(c < 0\)), damit der Bruch negativ wird. Zusammen mit dem Fall \(c = 0\) aus Schritt 3 ergibt sich: Die Gleichung hat keine Lösung für alle \(c \le 0\).

a) \(c = 2\); die zweite Lösung ist \(x = -3\). b) Für \(c = 0\) entsteht die falsche Aussage \(-18 = 0\), was für kein \(x\) möglich ist. c) Die Gleichung hat keine reelle Lösung für alle \(c \le 0\).

- Was gibt die Diskriminante über die Anzahl der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse an? - Erinnerst du dich an die \(p\)-\(q\)-Formel? Welcher Teil unter der Wurzel ist entscheidend? - Wenn eine nach oben geöffnete Parabel keine Nullstellen hat, wo muss dann ihr tiefster Punkt liegen? - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit der Lage ihres Scheitelpunkts zusammen?

1. Berechnung der Diskriminante: Für die Gleichung \(x^2 + px + q = 0\) gilt \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\). Hier ist \(p = -6\) und \(q = k\). Es ergibt sich \(D = \left(\frac{-6}{2}\right)^2 - k = 9 - k\). 2. Bedingung für genau eine Nullstelle: Eine quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn \(D = 0\). Also \(9 - k = 0 \implies k = 9\). 3. Scheitelpunkt für \(k = 9\): Die \(x\)-Koordinate liegt bei \(x_S = -\frac{p}{2} = 3\). Da es nur eine Nullstelle gibt, muss der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegen: \(S(3 | 0)\). 4. Untersuchung für \(k = 10\): Einsetzen in die Diskriminante ergibt \(D = 9 - 10 = -1\). 5. Schlussfolgerung: Da \(D < 0\), besitzt die Funktion keine reellen Nullstellen. Da die Parabel nach oben geöffnet ist (Koeffizient vor \(x^2\) ist \(1 > 0\)), verläuft der gesamte Graph oberhalb der \(x\)-Achse.

a) \(D = 9 - k\) b) Für \(k = 9\) gibt es genau eine Nullstelle. Der Scheitelpunkt ist \(S(3 | 0)\). c) Für \(k = 10\) ist \(D = -1\). Es gibt keine Nullstellen. Der Graph liegt vollständig oberhalb der \(x\)-Achse.

- Wann hat eine quadratische Gleichung keine Lösung? - Wie kannst du den Term so umformen, dass du den tiefsten Punkt direkt ablesen kannst? - Welche Werte kann ein Quadrat einer Zahl annehmen? - Überlege dir, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist.

1. Berechnung der Diskriminante: Für \(0 = 0{,}5x^2 - 3x + 5{,}5\) ist \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 0{,}5 \cdot 5{,}5 = 9 - 11 = -2\). Da \(D < 0\), hat die Gleichung keine reellen Lösungen und der Graph keine Nullstellen. 2. Umformung in die Scheitelpunktform: \(f(x) = 0{,}5(x^2 - 6x) + 5{,}5 = 0{,}5((x-3)^2 - 9) + 5{,}5 = 0{,}5(x-3)^2 - 4{,}5 + 5{,}5 = 0{,}5(x-3)^2 + 1\). 3. Begründung der Funktionswerte: Da der quadratische Term \((x-3)^2\) für alle \(x\) stets \(\ge 0\) ist, ist auch \(0{,}5(x-3)^2 \ge 0\). Somit gilt \(f(x) = 0{,}5(x-3)^2 + 1 \ge 1\). 4. Wertebereich: Da der Scheitelpunkt bei \(S(3|1)\) liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist, umfasst der Wertebereich alle Zahlen \(y \ge 1\), also \(W = [1; \infty)\).

a) \(D = -2 < 0\), daher keine Nullstellen. b) Scheitelpunktform: \(f(x) = 0{,}5(x-3)^2 + 1\). Da \(0{,}5(x-3)^2 \ge 0\), folgt \(f(x) \ge 1\). c) \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge 1\}\) oder \(W = [1; \infty)\).

- Welche mathematische Größe bestimmt die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung? - Wie verändert sich die Anzahl der Lösungen, wenn dieser Wert positiv, null oder negativ ist? - Kannst du die Diskriminante als Funktion des Parameters \(k\) ausdrücken? - Wie bestimmt man die Intervalle, in denen ein quadratischer Ausdruck positiv oder negativ ist?

1. Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung hängt vom Vorzeichen der Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) ab. Hier sind \(a=1\), \(b=k-2\) und \(c=k+1\), also gilt \(D = (k-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k+1)\). 2. Vereinfachen der Diskriminante: \(D = k^2 - 4k + 4 - 4k - 4 = k^2 - 8k\). 3. Untersuchung der Fälle: - Genau eine Lösung, wenn \(D = 0\): \(k^2 - 8k = 0 \implies k(k-8) = 0\). Dies ist für \(k = 0\) und \(k = 8\) der Fall. - Keine reellen Lösungen, wenn \(D < 0\): \(k^2 - 8k < 0 \implies k(k-8) < 0\). Da die Parabel \(f(k) = k^2 - 8k\) nach oben geöffnet ist, liegt dieser Bereich zwischen den Nullstellen, also für \(0 < k < 8\). - Zwei verschiedene reelle Lösungen, wenn \(D > 0\): \(k^2 - 8k > 0 \implies k < 0\) oder \(k > 8\).

Genau eine Lösung für \(k = 0\) und \(k = 8\); keine reellen Lösungen für \(0 < k < 8\); zwei verschiedene reelle Lösungen für \(k < 0\) oder \(k > 8\).

- Versuche zuerst, die Gleichung nach \(x^2\) aufzulösen. - Welche Eigenschaft muss das Ergebnis auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens haben, damit du die Wurzel ziehen kannst? - Kannst du Zahlen für \(a\) und \(b\) finden, bei denen das Ergebnis der Umformung negativ wird? - Denk daran, dass \(a\) und \(b\) laut Aufgabe positiv sein müssen.

1. Umformung der Gleichung: Die Gleichung \(a \cdot (x^2 + 1) = b\) wird nach \(x^2\) aufgelöst: \(x^2 + 1 = \frac{b}{a} \implies x^2 = \frac{b}{a} - 1\). 2. Analyse der Existenz von Lösungen: Eine reelle Lösung existiert nur dann, wenn \(x^2 \ge 0\). Das bedeutet \(\frac{b}{a} - 1 \ge 0\), was gleichbedeutend mit \(\frac{b}{a} \ge 1\) ist. 3. Bewertung der Behauptung: Da \(a\) und \(b\) positiv sind, ist \(\frac{b}{a} \ge 1\) nur dann erfüllt, wenn \(b \ge a\). Wenn \(b < a\), ist \(\frac{b}{a} < 1\) und somit \(x^2 < 0\). Die Behauptung ist also falsch. 4. Gegenbeispiel: Wählt man \(a = 2\) und \(b = 1\), ergibt sich \(2(x^2 + 1) = 1 \implies x^2 + 1 = 0{,}5 \implies x^2 = -0{,}5\). Da ein Quadrat in \(\mathbb{R}\) nicht negativ sein kann, gibt es keine Lösung.

Die Behauptung ist falsch. Eine reelle Lösung existiert nur, wenn \(b \ge a\). Ein Gegenbeispiel ist \(a = 2\) und \(b = 1\), was zu \(x^2 = -0{,}5\) führt (keine Lösung).

- Wann genau hat eine quadratische Gleichung nur eine einzige Lösung? - Stelle eine Gleichung für die Diskriminante auf und setze sie gleich Null. - Überlege dir, was mit dem Wert der Diskriminante passiert, wenn der konstante Teil \(c\) in der Gleichung immer größer wird.

1. Aufstellen der Diskriminante \(D\) in Abhängigkeit von \(c\): \(D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 100 - 4c\). 2. Bedingung für genau eine Lösung: Eine quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn \(D = 0\) gilt. 3. Lösen der Gleichung \(100 - 4c = 0\): Daraus folgt \(4c = 100\) und somit \(c = 25\). 4. Analyse für \(c > 25\): Setzt man einen Wert \(c > 25\) in den Term für \(D\) ein, so wird der Subtrahend \(4c\) größer als \(100\). 5. Schlussfolgerung: Für \(c > 25\) wird die Diskriminante negativ (\(D < 0\)), weshalb die Gleichung dann keine reelle Lösung mehr besitzt.

a) Für \(c = 25\) hat die Gleichung genau eine reelle Lösung. b) Wenn \(c > 25\) gewählt wird, wird die Diskriminante negativ, sodass die Gleichung keine reelle Lösung mehr besitzt.

- Wann hat eine quadratische Gleichung genau eine Lösung? - Überlege, welcher Zusammenhang zwischen der Anzahl der Nullstellen und der Form eines Quadrats besteht. - Erinnere dich an die erste und zweite binomische Formel. - Welchen Wert muss die Diskriminante annehmen, damit ein Term der Form \( (px + q)^2 \) entsteht?

1. Ein quadratischer Ausdruck \(ax^2 + bx + c\) lässt sich genau dann als Quadrat eines Binoms schreiben, wenn seine Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) gleich Null ist. 2. Bestimmung der Koeffizienten: \(a = 4\), \(b = m+3\), \(c = 25\). 3. Aufstellen der Diskriminante: \(D = (m+3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = (m+3)^2 - 400\). 4. Nullsetzen der Diskriminante: \((m+3)^2 - 400 = 0 \implies (m+3)^2 = 400\). 5. Ziehen der Wurzel führt zu zwei Fällen: \(m+3 = 20\) oder \(m+3 = -20\). 6. Auflösen nach \(m\): \(m_1 = 17\) und \(m_2 = -23\).

\(m = 17\) oder \(m = -23\)

- Wovon hängt die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung ab? - Erinnere dich an die Formel für die Diskriminante. - Wann ist der Ausdruck unter der Wurzel in der Mitternachtsformel oder p-q-Formel positiv, null oder negativ?

1. Bestimmung der Koeffizienten der quadratischen Gleichung in der Form \(ax^2 + bx + c = 0\): \(a = 1\), \(b = k\), \(c = 25\). 2. Aufstellen der Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\): \(D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = k^2 - 100\). 3. Analyse für genau eine Lösung (\(D = 0\)): \(k^2 - 100 = 0 \implies k^2 = 100 \implies k = 10\) oder \(k = -10\). 4. Analyse für zwei verschiedene Lösungen (\(D > 0\)): \(k^2 - 100 > 0 \implies k^2 > 100 \implies k > 10\) oder \(k < -10\). 5. Analyse für keine reelle Lösung (\(D < 0\)): \(k^2 - 100 < 0 \implies k^2 < 100 \implies -10 < k < 10\).

a) Genau eine Lösung für \(k = 10\) oder \(k = -10\). b) Zwei verschiedene Lösungen für \(k < -10\) oder \(k > 10\). c) Keine reelle Lösung für \(-10 < k < 10\).

- Überlege dir, wie die Anzahl der Schnittpunkte einer Parabel mit der \(x\)-Achse mit der Anzahl der Lösungen der Gleichung \(f(x) = 0\) zusammenhängt. - Welche Rolle spielt das Vorzeichen der Diskriminante (der Term unter der Wurzel in der Lösungsformel) für die Anzahl der Lösungen? - Denke daran, dass eine quadratische Gleichung entweder zwei, eine oder gar keine reelle Lösung haben kann. - Verwende für den rechnerischen Teil entweder die Mitternachtsformel (\(a\)-\(b\)-\(c\)-Formel) oder bringe die Gleichung zuerst in die Normalform, um die \(p\)-\(q\)-Formel anzuwenden.

1. Bestimmung der Anzahl der Nullstellen und des Vorzeichens der Diskriminante aus der Abbildung: - Der Graph von \(f\) schneidet die \(x\)-Achse in zwei Punkten. Daher hat \(f(x) = 0\) zwei reelle Lösungen und \(D > 0\). - Der Graph von \(g\) verläuft vollständig oberhalb der \(x\)-Achse. Daher hat \(g(x) = 0\) keine reelle Lösung und \(D < 0\). - Der Graph von \(h\) berührt die \(x\)-Achse in genau einem Punkt. Daher hat \(h(x) = 0\) genau eine reelle Lösung und \(D = 0\). 2. Berechnung der Diskriminante für \(f(x) = 0\): Die Gleichung lautet \(-x^2 + 4x - 2 = 0\). In der Form \(ax^2 + bx + c = 0\) sind \(a = -1\), \(b = 4\) und \(c = -2\). Damit gilt \(D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2) = 16 - 8 = 8\). Da \(D > 0\) ist, bestätigt die Rechnung die zwei aus der Abbildung ermittelten reellen Lösungen.

a) - \(f(x) = 0\): zwei reelle Lösungen und \(D > 0\) - \(g(x) = 0\): keine reelle Lösung und \(D < 0\) - \(h(x) = 0\): eine reelle Lösung und \(D = 0\) b) Für \(f(x) = 0\) gilt \(D = 8 > 0\). Damit besitzt die Gleichung zwei reelle Lösungen.

- Überlege dir, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. - Wo liegt der tiefste oder höchste Punkt der Parabel im Vergleich zur x-Achse? - Wann genau hat eine quadratische Gleichung zwei Lösungen?

1. Da \(A\) und \(C\) symmetrisch zur \(y\)-Achse liegen und denselben \(y\)-Wert haben, liegt der Scheitelpunkt bei \(B(0 \mid 1)\). 2. Die Parabel ist nach oben geöffnet und ihr Scheitelpunkt liegt oberhalb der \(x\)-Achse. Daher besitzt sie keine Nullstellen und es gilt \(D < 0\). 3. Damit \(D > 0\) wird, muss der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegen. Der \(y\)-Wert von \(B\) muss daher von \(1\) auf einen Wert kleiner als \(0\), also um mehr als \(1\), verringert werden.

a) \(D < 0\), da der Scheitelpunkt \(B(0 \mid 1)\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die nach oben geöffnete Parabel keine Nullstellen besitzt. b) Der \(y\)-Wert muss um mehr als \(1\) verringert werden, damit der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und \(D > 0\) gilt.

- Wie findet man rechnerisch heraus, ob und wo sich zwei Funktionsgraphen treffen? - Welche Bedingung muss die Diskriminante erfüllen, damit eine Gleichung eine oder zwei Lösungen hat? - Versuche, die Gleichung so umzuformen, dass auf einer Seite eine Null steht.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme zur Bestimmung der Schnittpunkte: \(x^2 + 4x + 7 = -x^2 + t\). 2. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(2x^2 + 4x + (7 - t) = 0\). 3. Bestimmen der Diskriminante \(D\) dieser Gleichung: \(D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (7 - t) = 16 - 8(7 - t) = 16 - 56 + 8t = 8t - 40\). 4. Die Graphen haben mindestens einen gemeinsamen Punkt, wenn die Gleichung mindestens eine Lösung hat, also \(D \ge 0\). 5. Lösen der Ungleichung \(8t - 40 \ge 0\): \(8t \ge 40\) ergibt \(t \ge 5\).

Die Graphen haben für alle \(t \ge 5\) mindestens einen gemeinsamen Punkt.

- Wie übersetzt man die Frage nach dem Erreichen einer Höhe in eine mathematische Gleichung? - Was musst du tun, damit die Gleichung die Form \(ax^2 + bx + c = 0\) annimmt? - Welches Werkzeug hilft dir zu entscheiden, ob eine Gleichung lösbar ist, ohne sie komplett auszurechnen?

1. Ansatz für a): Setze \(h(t) = 7\), woraus folgt \(-5t^2 + 10t + 1{,}2 = 7 \Rightarrow -5t^2 + 10t - 5{,}8 = 0\). 2. Berechnung der Diskriminante für a): \(D = 10^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-5{,}8) = 100 - 116 = -16\). Da \(D < 0\), gibt es keine reelle Lösung; der Ball erreicht die Höhe von \(7\,\text{m}\) nicht. 3. Ansatz für b): Setze \(h(t) = 6{,}2\), woraus folgt \(-5t^2 + 10t + 1{,}2 = 6{,}2 \Rightarrow -5t^2 + 10t - 5 = 0\). 4. Berechnung der Diskriminante für b): \(D = 10^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-5) = 100 - 100 = 0\). Da \(D = 0\), gibt es genau einen Zeitpunkt (den Scheitelpunkt der Flugparabel).

a) Nein, der Ball erreicht die Höhe nicht (\(D = -16\)). b) Es gibt genau einen Zeitpunkt (\(D = 0\)).

- Stelle zuerst den Term für die Diskriminante in Abhängigkeit von \(p\) auf. - Überlege dir, für welche \(p\) dieser Term genau Null wird. - Was passiert mit dem Wert des Terms, wenn \(p\) sehr groß oder sehr klein wird? - Kannst du eine Ungleichung lösen?

Die Diskriminante der Gleichung \(x^2 + px + 9 = 0\) ist \(D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = p^2 - 36\). 1. Genau eine Lösung, wenn \(D = 0\): \(p^2 - 36 = 0 \Rightarrow p^2 = 36 \Rightarrow p = 6\) oder \(p = -6\). 2. Keine Lösung, wenn \(D < 0\): \(p^2 - 36 < 0 \Rightarrow p^2 < 36 \Rightarrow -6 < p < 6\). 3. Zwei Lösungen, wenn \(D > 0\): \(p^2 - 36 > 0 \Rightarrow p^2 > 36 \Rightarrow p > 6\) oder \(p < -6\).

a) \(p = 6\) oder \(p = -6\) b) \(-6 < p < 6\) c) \(p > 6\) oder \(p < -6\)

- Wie kannst du einen Term der Form \(x^2 + px\) so ergänzen, dass er eine binomische Formel ergibt? - Was sagt das Vorzeichen der y-Koordinate des Scheitelpunkts über die Anzahl der Nullstellen aus, wenn du die Öffnungsrichtung der Parabel kennst? - Versuche, die Ungleichung aus der Behauptung so umzustellen, dass sie einen Teil deiner Scheitelpunktkoordinaten enthält.

1. Quadratische Ergänzung: \(f(x) = x^2 + px + q = x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q\). 2. Umformung in Scheitelpunktform: \(f(x) = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p^2}{4} + q\). 3. Ablesen des Scheitelpunkts: \(x_S = -\frac{p}{2}\) und \(y_S = q - \frac{p^2}{4}\). 4. Überprüfung der Aussage: Die Bedingung \(q < \left(\frac{p}{2}\right)^2\) ist äquivalent zu \(q - \frac{p^2}{4} < 0\). 5. Interpretation: Da \(y_S = q - \frac{p^2}{4}\) ist, bedeutet die Bedingung, dass die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts negativ ist (\(y_S < 0\)). 6. Da der Koeffizient vor \(x^2\) positiv ist (\(1\)), ist die Parabel nach oben geöffnet. Wenn der tiefste Punkt (Scheitelpunkt) unterhalb der \(x\)-Achse liegt, muss die Parabel die \(x\)-Achse zweimal schneiden. Die Aussage ist also wahr.

a) \(S\left(-\frac{p}{2} \mid q - \frac{p^2}{4}\right)\) b) Die Aussage ist wahr. Wenn \(q < \left(\frac{p}{2}\right)^2\), ist die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts negativ. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, ergeben sich zwingend zwei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.

- Wie hängen die Öffnungsrichtung und der Scheitelpunkt mit den möglichen Funktionswerten zusammen? - Was müsste für die Funktionswerte an einem Schnittpunkt gelten? - Wie hilft dir die Diskriminante bei der Bestimmung der Anzahl der Schnittpunkte?

1. Bestimmung der Scheitelpunkte: Durch quadratische Ergänzung erhält man \(f(x) = (x-2)^2 + 3\) mit \(S_1(2|3)\) und \(g(x) = -(x-2)^2 - 1\) mit \(S_2(2|-1)\). 2. Logische Begründung: Die Parabel von \(f\) ist nach oben geöffnet (\(a=1\)) und hat ihr Minimum bei \(y=3\). Alle ihre Punkte liegen also bei \(y \ge 3\). Die Parabel von \(g\) ist nach unten geöffnet (\(a=-1\)) und hat ihr Maximum bei \(y=-1\). Alle ihre Punkte liegen also bei \(y \le -1\). Da es keinen \(y\)-Wert gibt, der beide Bedingungen erfüllt, können sie sich nicht schneiden. 3. Rechnerische Überprüfung: \(f(x) = g(x) \Rightarrow x^2 - 4x + 7 = -x^2 + 4x - 5 \Rightarrow 2x^2 - 8x + 12 = 0\). Die Diskriminante dieser Gleichung ist \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 64 - 96 = -32\). Da \(D < 0\), gibt es keine Lösung und somit keinen Schnittpunkt.

a) \(S_1(2|3)\) und \(S_2(2|-1)\). b) Da \(f(x) \ge 3\) und \(g(x) \le -1\) für alle \(x\), gibt es keinen gemeinsamen Punkt. c) Die Diskriminante der Gleichung \(f(x) - g(x) = 0\) ist \(D = -32\). Da \(D < 0\), gibt es keinen Schnittpunkt.

- Versuche zuerst, eine der Variablen zu eliminieren, um eine quadratische Gleichung in Abhängigkeit von \(c\) zu erhalten. - Wann hat eine quadratische Gleichung genau eine Lösung? Welcher Teil der Lösungsformel ist dafür entscheidend? - Setze deinen gefundenen Wert für \(c\) am Ende ein, um die konkreten Werte für \(x\) und \(y\) zu berechnen.

1. Umstellen der zweiten Gleichung nach \(y\): \(y = 10 - x\). 2. Einsetzen in die erste Gleichung: \(x(10 - x) = c\). 3. Ausmultiplizieren und Umformen: \(10x - x^2 = c \Rightarrow x^2 - 10x + c = 0\). 4. Bestimmung der Diskriminante \(D\) der quadratischen Gleichung \(x^2 + px + q = 0\): \(D = (\frac{p}{2})^2 - q = (\frac{-10}{2})^2 - c = 25 - c\). 5. Bedingung für genau eine Lösung: Die Diskriminante muss Null sein: \(25 - c = 0 \Rightarrow c = 25\). 6. Berechnung von \(x\) für \(c = 25\): \(x^2 - 10x + 25 = 0 \Rightarrow (x-5)^2 = 0 \Rightarrow x = 5\). 7. Berechnung von \(y\): \(y = 10 - 5 = 5\). 8. Das System hat für \(c = 25\) die einzige Lösung \((5|5)\).

Für \(c = 25\) hat das System genau eine Lösung, diese lautet \((5|5)\).

- Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Lösungen einer Gleichung und ihren Koeffizienten? - Wie kannst du die Information, dass eine Lösung ein Vielfaches der anderen ist, mathematisch ausdrücken? - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das sowohl die unbekannten Lösungen als auch den Parameter \(p\) enthält? - Denke daran, dass beim Lösen einer Gleichung wie \(x^2 = a\) oft zwei Fälle betrachtet werden müssen.

1. Seien \(x_1\) und \(x_2\) die Lösungen der Gleichung. Es ist gegeben, dass \(x_1 = 3x_2\). 2. Nach dem Satz von Vieta gilt für die Gleichung \(x^2 + px + q = 0\): \(x_1x_2 = q\) und \(x_1 + x_2 = -p\). Hier ist \(q = 12\). 3. Einsetzen der Bedingung \(x_1 = 3x_2\) in die Produktgleichung: \(3x_2x_2 = 12 \implies 3x_2^2 = 12 \implies x_2^2 = 4\). 4. Daraus ergeben sich zwei Fälle für \(x_2\): \(x_2 = 2\) oder \(x_2 = -2\). 5. Fall 1: \(x_2 = 2\). Dann ist \(x_1 = 3 \cdot 2 = 6\). Die Summe ist \(x_1 + x_2 = 8\). Da \(x_1 + x_2 = -p\), folgt \(p = -8\). 6. Fall 2: \(x_2 = -2\). Dann ist \(x_1 = 3 \cdot (-2) = -6\). Die Summe ist \(x_1 + x_2 = -8\). Da \(x_1 + x_2 = -p\), folgt \(p = 8\).

\(p = 8\) oder \(p = -8\)

- Überlege dir, welche Form die Parabel hat (nach oben oder unten geöffnet). - Wann liegt eine nach oben geöffnete Parabel vollständig oberhalb der \(x\)-Achse? - Untersuche die Diskriminante in Abhängigkeit von \(k\). - Bei welchen Werten für \(k\) wird der Ausdruck für die Diskriminante negativ?

1. Ein quadratischer Ausdruck \(ax^2 + bx + c\) mit \(a > 0\) ist für alle \(x\) positiv, wenn die zugehörige Parabel über der \(x\)-Achse liegt, also keine Nullstellen existieren. 2. Die Bedingung für keine reellen Nullstellen lautet \(D < 0\). 3. Hier gilt \(a = 1\), \(b = k\) und \(c = k+3\). 4. Berechnung der Diskriminante: \(D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k+3) = k^2 - 4k - 12\). 5. Bedingung \(D < 0\) führt zur Ungleichung \(k^2 - 4k - 12 < 0\). 6. Bestimmung der Nullstellen von \(k^2 - 4k - 12 = 0\): Mittels p-q-Formel oder Faktorisierung \((k-6)(k+2) = 0\) erhält man \(k_1 = -2\) und \(k_2 = 6\). 7. Da die Parabel \(p(k) = k^2 - 4k - 12\) nach oben geöffnet ist, ist sie zwischen den Nullstellen negativ. 8. Ergebnis: Die Bedingung ist für \(-2 < k < 6\) erfüllt.

\(-2 < k < 6\)

- Stelle zuerst die Formel für die Diskriminante mit dem Parameter auf. - Achte beim Ausmultiplizieren der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Was passiert mit den quadratischen Gliedern des Parameters in der Diskriminante? - Prüfe am Ende, ob der Koeffizient vor \(x^2\) bei deinem Ergebnis nicht Null wird.

1. Ein quadratischer Term ist ein vollständiges Quadrat, wenn er genau eine (doppelte) Nullstelle besitzt. Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante \(D = 0\) ist. 2. Berechnung der Diskriminante: \(D = (2k)^2 - 4 \cdot (k-1) \cdot (k+3)\). 3. Ausmultiplizieren und Vereinfachen: \(D = 4k^2 - 4(k^2 + 2k - 3) = 4k^2 - 4k^2 - 8k + 12 = -8k + 12\). 4. Bedingung für das vollständige Quadrat anwenden: \(-8k + 12 = 0\). 5. Nach \(k\) auflösen: \(8k = 12 \implies k = 1{,}5\). 6. Überprüfung des führenden Koeffizienten: Für \(k = 1{,}5\) ist \(a = k-1 = 0{,}5 \neq 0\), somit bleibt der Ausdruck quadratisch. 7. Einsetzen zur Kontrolle: \(0{,}5x^2 + 3x + 4{,}5 = 0{,}5(x^2 + 6x + 9) = 0{,}5(x+3)^2\).

\(k = 1{,}5\)

- Was passiert mit der Gleichung, wenn der Koeffizient vor dem \(x^2\) null wird? - Unterscheide zwischen dem Fall einer linearen Gleichung und einer quadratischen Gleichung. - Verwende die Diskriminante, um die Anzahl der Lösungen für den quadratischen Fall zu bestimmen.

1. Untersuchung des Sonderfalls \(a - 2 = 0 \implies a = 2\): Die Gleichung reduziert sich auf die lineare Form \(4x + 1 = 0\), welche genau eine Lösung \(x = -0{,}25\) besitzt. 2. Untersuchung für den Fall \(a \neq 2\): Berechnung der Diskriminante \(D = 4^2 - 4 \cdot (a - 2) \cdot 1 = 16 - 4a + 8 = 24 - 4a\). 3. Bestimmung der Werte für genau eine Lösung (\(D = 0\)): \(24 - 4a = 0 \implies a = 6\). 4. Bestimmung der Werte für zwei verschiedene Lösungen (\(D > 0\)): \(24 - 4a > 0 \implies 24 > 4a \implies a < 6\). Da \(a \neq 2\) vorausgesetzt wurde, gilt dies für \(a < 6\) ohne \(a = 2\). 5. Bestimmung der Werte für keine reelle Lösung (\(D < 0\)): \(24 - 4a < 0 \implies 24 < 4a \implies a > 6\). 6. Zusammenfassung: Für \(a = 2\) und \(a = 6\) gibt es eine Lösung. Für \(a < 6\) (mit \(a \neq 2\)) gibt es zwei Lösungen. Für \(a > 6\) gibt es keine Lösung.

Für \(a = 2\) oder \(a = 6\) hat die Gleichung genau eine reelle Lösung. Für \(a < 6\) und \(a \neq 2\) hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen. Für \(a > 6\) hat die Gleichung keine reelle Lösung.

- Überlege zuerst, wie die Funktionsgleichung der im Koordinatensystem gezeigten Parabel lautet. Welche Informationen kannst du direkt ablesen? - Wenn zwei Graphen keine gemeinsamen Punkte haben sollen, darf die Gleichung, die durch Gleichsetzen der Funktionsterme entsteht, keine Lösung besitzen. - Erinnere dich an die Diskriminante einer quadratischen Gleichung. Was muss für sie gelten, damit es keine reellen Lösungen gibt? - Achte beim Umformen der Gleichung darauf, die Koeffizienten für das quadratische Glied, das lineare Glied und das absolute Glied korrekt zusammenzufassen.

1. Bestimmung des Funktionsterms von \(f\): Aus dem Graphen lässt sich der Scheitelpunkt \(S(2 \mid 2)\) ablesen. Mit der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x-2)^2 + 2\) und dem Punkt \((0 \mid 0)\) ergibt sich \(0 = a(0-2)^2 + 2 \Rightarrow -2 = 4a \Rightarrow a = -0{,}5\). Somit ist \(f(x) = -0{,}5(x-2)^2 + 2 = -0{,}5x^2 + 2x\). 2. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(-0{,}5x^2 + 2x = kx^2 - 4\). 3. Umformen in die Normalform: \((k + 0{,}5)x^2 - 2x - 4 = 0\). 4. Für \(k = -0{,}5\) ist die Gleichung linear und besitzt eine reelle Lösung. Für \(k \neq -0{,}5\) ist sie quadratisch; ihre Diskriminante lautet \(D = (-2)^2 - 4 \cdot (k + 0{,}5) \cdot (-4) = 16k + 12\). 5. Für keine gemeinsamen Punkte muss \(D < 0\) gelten: \(16k + 12 < 0 \Rightarrow k < -0{,}75\). 6. Für alle \(k < -0{,}75\) besitzen die Graphen keine gemeinsamen Punkte.

Die Graphen von \(g_k\) und \(f\) besitzen keine gemeinsamen Punkte, wenn für den Parameter \(k\) gilt: \(k < -0{,}75\).

- Wann hat eine quadratische Gleichung reelle Lösungen? - Wo liegt die Mitte zwischen zwei Nullstellen? - Wie hängen die Koeffizienten der Normalform mit den Nullstellen zusammen? - Was bedeutet „symmetrisch zum Ursprung“ für die Summe der beiden Werte?

1. Bedingung für faktorisierte Form: Existenz reeller Nullstellen erfordert eine nicht-negative Diskriminante \(D = k^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = k^2 - 64 \geq 0\). 2. Lösung der Ungleichung: \(k^2 \geq 64 \Rightarrow k \leq -8\) oder \(k \geq 8\). 3. Untersuchung der Schüleraussage: Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes ist \(x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{k}{4}\). Wenn \(k\) sehr groß wird, entfernt sich der Scheitelpunkt (und damit die Mitte der Nullstellen) immer weiter vom Ursprung nach links. Die Aussage ist falsch. 4. Beweis der Symmetrie-Bedingung: Seien \(x_1\) und \(x_2\) die Nullstellen. In der faktorisierten Form gilt \(g(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)\). 5. Vergleich mit der Normalform \(ax^2 + bx + c\): Es gilt \(b = -a(x_1 + x_2)\). 6. Abschluss des Beweises: Wenn \(x_1 = -x_2\), dann ist \(x_1 + x_2 = 0\). Daraus folgt \(b = -a \cdot 0 = 0\).

a) Für \(k \leq -8\) oder \(k \geq 8\). b) Die Aussage ist falsch. Da \(x_S = -k/4\), verschiebt sich die Mitte der Nullstellen bei großem \(k\) weit weg vom Ursprung. c) Da die Mitte der Nullstellen \(x_S = -b/(2a)\) ist, folgt aus der Symmetrie zum Ursprung (\(x_S = 0\)), dass \(b = 0\) sein muss (da \(a \neq 0\)).

- Kannst du die Funktionsgleichung der Parabel \(G_p\) aus der Abbildung ablesen? Bestimme zuerst ihren Scheitelpunkt. - Welchen allgemeinen Funktionsterm hat eine quadratische Funktion \(h\), deren Scheitelpunkt bei \(S(0 \mid 5)\) liegt? - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Funktionsgraphen keinen gemeinsamen Punkt haben? Welche Gleichung hat dann keine Lösung? - Setze die beiden Funktionsterme gleich und stelle die Gleichung so um, dass sie die Form \(A x^2 + B x + C = 0\) hat. - Unter welcher Bedingung hat eine quadratische Gleichung keine reelle Lösung? Nutze die Diskriminante.

1. **Funktionsterm von \(p\) bestimmen:** Der Scheitelpunkt von \(G_p\) lässt sich aus der Abbildung bei \(V(2 \mid 1)\) ablesen. Mit dem Ansatz \(p(x) = a_p(x-2)^2 + 1\) und dem ebenfalls gut ablesbaren Punkt \((0 \mid 3)\) folgt: \(3 = a_p(0-2)^2 + 1 \implies 2 = 4a_p \implies a_p = 0{,}5\). Der Funktionsterm lautet somit: \(p(x) = 0{,}5(x-2)^2 + 1 = 0{,}5x^2 - 2x + 3\). 2. **Ansatz für \(h\) aufstellen:** Da der Graph von \(h\) den Scheitelpunkt \(S(0 \mid 5)\) besitzt, lautet die Scheitelpunktform: \(h(x) = a(x-0)^2 + 5 = a x^2 + 5\) mit \(a \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\). 3. **Bedingung für Schnittpunktfreiheit ermitteln:** Die Graphen von \(h\) und \(p\) haben keinen gemeinsamen Punkt, wenn die Gleichung \(h(x) = p(x)\) keine reelle Lösung besitzt: \(a x^2 + 5 = 0{,}5x^2 - 2x + 3 \iff (a - 0{,}5)x^2 + 2x + 2 = 0\). Für \(a = 0{,}5\) ist die Gleichung linear (\(2x + 2 = 0\)) und hat eine Lösung. Für \(a \neq 0{,}5\) ist die Gleichung quadratisch. Sie besitzt keine reelle Lösung, wenn ihre Diskriminante \(D\) negativ ist: \(D = 2^2 - 4 \cdot (a - 0{,}5) \cdot 2 = 8 - 8a < 0 \implies 8 < 8a \implies a > 1\). Die gesuchten Funktionen haben die Form \(h(x) = a x^2 + 5\) mit \(a > 1\).

Die gesuchten Funktionen lauten \(h(x) = a x^2 + 5\) mit \(a > 1\).