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- Ein Schnittpunkt ist ein Punkt, der auf beiden Graphen gleichzeitig liegt. - Lies für jeden dieser Punkte sowohl den Wert auf der x-Achse als auch den Wert auf der y-Achse ab.

1. Suche im Diagramm nach den Stellen, an denen sich die Parabel und die Gerade kreuzen. 2. Der linke Schnittpunkt \(P\) liegt bei \(x = -1\). Die zugehörige y-Koordinate ist \(-3\). Also \(P(-1 \mid -3)\). 3. Der rechte Schnittpunkt \(Q\) liegt bei \(x = 3\). Die zugehörige y-Koordinate ist \(5\). Also \(Q(3 \mid 5)\).

Die Schnittpunkte sind \(P(-1 \mid -3)\) und \(Q(3 \mid 5)\).

- Was bedeutet es für die Funktionswerte, wenn zwei Graphen sich schneiden? - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite null steht? - Welche Formel hilft dir, eine Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\) zu lösen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 = 2x + 8\) 2. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 2x - 8 = 0\) 3. Anwendung der \(pq\)-Formel mit \(p = -2\) und \(q = -8\): \(x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2 - (-8)}\) 4. Berechnen der Diskriminante: \(1 + 8 = 9\) 5. Ziehen der Wurzel und Bestimmen der Lösungen: \(x = 1 \pm 3\) 6. Ergebnisse: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\)

Die Funktionen haben an den Stellen \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\) den gleichen Funktionswert.

- Wie gehst du vor, wenn du die Stellen finden möchtest, an denen zwei Funktionen denselben Wert haben? - Kannst du die Gleichung so vereinfachen, dass nur noch \(x^2\) auf einer Seite steht? - Denk beim Wurzelziehen daran, dass es zwei Zahlen geben kann, deren Quadrat den gleichen Wert ergibt.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 2 = -x^2 + 6\) 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x^2\) auf einer Seite und der Konstanten auf der anderen Seite: \(2x^2 = 8\) 3. Division durch 2, um \(x^2\) zu isolieren: \(x^2 = 4\) 4. Ziehen der Quadratwurzel unter Berücksichtigung beider Vorzeichen: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) 5. Einsetzen der \(x\)-Werte in eine der Ausgangsgleichungen, zum Beispiel \(f(x)\): Für \(x_1 = 2\): \(f(2) = 2^2 - 2 = 2\) Für \(x_2 = -2\): \(f(-2) = (-2)^2 - 2 = 2\) 6. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(2|2)\) und \(S_2(-2|2)\)

Die Schnittpunkte der beiden Parabeln sind \(S_1(2|2)\) und \(S_2(-2|2)\).

- Kannst du die Gleichung als einen Vergleich zweier einfacherer Funktionen betrachten? - Was bedeutet es für die Graphen, wenn zwei Funktionsterme gleichgesetzt werden? - An welcher Achse liest du die gesuchten Werte für die Unbekannte ab?

1. Um die Gleichung grafisch zu lösen, werden die Graphen der Funktionen \(f(x) = x^2\) (Normalparabel) und \(g(x) = -2x + 3\) (Gerade) in ein Koordinatensystem gezeichnet. 2. Die Lösungen der Gleichung entsprechen den \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen, da an diesen Stellen \(f(x) = g(x)\) gilt. 3. Die Graphen schneiden sich an den Stellen \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\). Dies sind die Lösungen der Gleichung.

Die Lösungen sind \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\).

- Was fällt dir an der Struktur der beiden Gleichungen auf? Sind sie bereits nach einer Variablen umgestellt? - Wenn zwei Ausdrücke denselben Wert (hier \(y\)) ergeben, was kannst du dann über die Ausdrücke selbst sagen? - Wie gehst du vor, wenn du eine Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\) lösen musst? - Vergiss nicht, am Ende für jedes gefundene \(x\) auch den passenden Partnerwert \(y\) zu bestimmen.

1. Begründung: Da beide Gleichungen bereits nach \(y\) aufgelöst sind, ermöglicht das Gleichsetzungsverfahren eine direkte Reduktion auf eine Gleichung mit nur einer Variablen (\(x\)). 2. Gleichsetzen der Terme für \(y\): \(x^2 - 4x + 1 = 2x - 4\). 3. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 6x + 5 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 5} = 3 \pm 2\). Daraus folgen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 5. Berechnen der zugehörigen \(y\)-Werte durch Einsetzen in Gleichung (2): \(y_1 = 2 \cdot 1 - 4 = -2\) und \(y_2 = 2 \cdot 5 - 4 = 6\). 6. Lösungsmenge: \(L = \{(1 | -2); (5 | 6)\}\).

\(L = \{(1 | -2); (5 | 6)\}\)

- Wähle für dein Koordinatensystem einen passenden Bereich für die Achsen, zum Beispiel von \(-4\) bis \(4\) auf der \(x\)-Achse. - Erstelle für die Parabel eine Wertetabelle, um sie genauer zeichnen zu können. - Wie viele Schnittpunkte erwartest du bei einer Parabel und einer Geraden maximal? - Wenn du die Graphen gezeichnet hast, kannst du die Koordinaten der Kreuzungspunkte direkt ablesen.

1. Zeichne die Parabel \(y=x^2-3\), zum Beispiel mithilfe der Punkte \((-2 | 1)\), \((-1 | -2)\), \((0 | -3)\), \((1 | -2)\), \((2 | 1)\) und \((3 | 6)\), sowie die Gerade \(y=2x\), zum Beispiel durch \((0 | 0)\) und \((1 | 2)\). 2. Aus der Zeichnung lassen sich die Schnittpunkte \(S_1(3 | 6)\) und \(S_2(-1 | -2)\) ablesen. 3. Rechnerische Überprüfung durch Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 3 = 2x\). 4. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 2x - 3 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2\). Daraus ergeben sich die Stellen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 6. Berechnen der \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(y = 2x\): Für \(x_1 = 3\) ist \(y_1 = 6\), für \(x_2 = -1\) ist \(y_2 = -2\). 7. Die Schnittpunkte liegen bei \(S_1(3 | 6)\) und \(S_2(-1 | -2)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(3 | 6)\) und \(S_2(-1 | -2)\).

- Welche Funktionsgleichung gehört zur Parabel und welche zur Geraden? - Schnittpunkte findest du, indem du die Funktionsterme der beiden Graphen gleichsetzt. - Achte darauf, alle Terme auf eine Seite zu bringen, sodass auf der anderen Seite Null steht. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die \(x\)-Werte der Schnittpunkte aus der Zeichnung in deine Gleichung einsetzt.

1. Ablesen der Funktionsgleichungen aus dem Graphen: Die Parabel ist eine Normalparabel, die um 2 Einheiten nach unten verschoben ist: \(f(x) = x^2 - 2\). Die Gerade verläuft durch den Ursprung und hat die Steigung 1: \(g(x) = x\). 2. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung der Schnittpunkte: \(x^2 - 2 = x\) 3. Umformen in die geforderte Normalform \(x^2 + px + q = 0\): \(x^2 - x - 2 = 0\) Die Lösungen der Gleichung sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\), was mit den Schnittpunkten im Graphen übereinstimmt.

Die gesuchte Gleichung lautet \(x^2 - x - 2 = 0\).

- Wenn sich zwei Graphen schneiden, müssen ihre Funktionswerte an dieser Stelle gleich sein. - Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung, sodass auf der anderen Seite Null steht. - Wie löst man eine quadratische Gleichung? - Vergiss nicht, am Ende auch die \(y\)-Werte der Punkte zu berechnen.

1. Gleichsetzen: \(x^2 - 2x - 1 = x - 3\). 2. Gleichung umformen: \(x^2 - 3x + 2 = 0\). 3. Nullstellen berechnen: Mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisieren \((x - 1)(x - 2) = 0\) erhält man \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 4. \(y\)-Koordinaten bestimmen: Einsetzen in \(g(x)\): \(y_1 = 1 - 3 = -2\) und \(y_2 = 2 - 3 = -1\). 5. Ergebnis: Die Schnittpunkte sind \(S_1(1 \mid -2)\) und \(S_2(2 \mid -1)\).

\(S_1(1 \mid -2)\) und \(S_2(2 \mid -1)\)

- Wie sieht der Graph einer Funktion aus, bei der \(x\) quadriert wird? - Was für eine Linie ergibt sich, wenn der Funktionswert immer \(3\) ist? - Achte darauf, wie oft sich die Kurve und die Gerade treffen. - Sind die Schnittpunkte symmetrisch zur \(y\)-Achse?

1. Zuordnung der Funktionen \(f(x) = x^2 - 1\) und \(g(x) = 3\). 2. Zeichnen der Parabel \(f\) (Normalparabel, um eine Einheit nach unten verschoben) und der waagerechten Geraden \(g\) auf der Höhe \(y = 3\). 3. Feststellung, dass die Gerade die Parabel an zwei Stellen schneidet, woraus folgt, dass es zwei Lösungen gibt. 4. Ablesen der \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte \(S_1(-2 | 3)\) und \(S_2(2 | 3)\). 5. Die Lösungen sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\).

a) Zeichnung der Parabel \(f(x) = x^2 - 1\) und der Geraden \(g(x) = 3\). b) Es gibt zwei Lösungen, da es zwei Schnittpunkte gibt. c) \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\).

- Bringe zuerst alle Terme auf eine Seite der Gleichung. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Gleichungen und dem Schnitt von Funktionsgraphen. - Was stellt ein Gleichheitszeichen zwischen zwei Termen grafisch dar?

1. Teil a): Umformen der Gleichung \(x^2 - 4 = x + 2\) in die Normalform durch Subtraktion von \(x\) und \(2\): \(x^2 - x - 6 = 0\) 2. Anwendung der \(pq\)-Formel mit \(p = -1\) und \(q = -6\): \(x_{1,2} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 6}\) 3. Berechnen der Wurzel: \(\sqrt{6{,}25} = 2{,}5\) 4. Bestimmen der Lösungen: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-2; 3\}\) 5. Teil b): Die Lösungen der Gleichung entsprechen den \(x\)-Koordinaten (Stellen) der Schnittpunkte der Graphen von \(f\) und \(g\)

a) Die Lösungsmenge ist \(L = \{-2; 3\}\). b) Die Lösungen sind die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von \(f(x)\) und \(g(x)\).

- Welche zwei einfachen Funktionstypen erkennst du auf der linken und rechten Seite der Gleichung? - Erinnere dich daran, wie man eine Steigung von \(1{,}5\) mit einem Steigungsdreieck darstellt. - Die Lösungen der Gleichung entsprechen den \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen.

1. Aufteilen der Gleichung in zwei Funktionen: \(f(x) = x^2\) (Normalparabel) und \(g(x) = 1{,}5x + 1\) (Gerade). 2. Zeichnen der Normalparabel durch markante Punkte wie \((0|0)\), \((\pm 1|1)\), \((\pm 2|4)\). 3. Zeichnen der Geraden mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 1\) und der Steigung \(m = 1{,}5\). 4. Ablesen der \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte beider Graphen. 5. Die Schnittpunkte liegen bei \(P_1(-0{,}5|0{,}25)\) und \(P_2(2|4)\). 6. Die Lösungsmenge der Gleichung ist \(L = \{-0{,}5; 2\}\).

\(L = \{-0{,}5; 2\}\)

- Was musst du auf beiden Seiten der Gleichung rechnen, damit \(x^2\) alleine steht? - Wenn du die Graphen gezeichnet hast, schau dir an, ob sie sich irgendwo berühren oder kreuzen. - Was bedeutet es für eine Gleichung, wenn die zugehörigen Graphen keinen gemeinsamen Punkt haben?

1. Umformung der Gleichung durch Subtraktion von \(4\): \(x^2 = 2x - 4\). 2. Definition der Funktionen \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = 2x - 4\). 3. Zeichnen der Normalparabel \(f(x)\). 4. Zeichnen der Geraden \(g(x)\) mit \(y\)-Achsenabschnitt \(-4\) und Steigung \(2\). 5. Beobachtung: Die Gerade verläuft vollständig unterhalb der Parabel. Es gibt keine gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte). 6. Da es keine Schnittpunkte gibt, hat die Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\).

Die Gleichung hat keine Lösung (\(L = \emptyset\)), da die Graphen von \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = 2x - 4\) keinen Schnittpunkt besitzen.

- Erstelle für die Parabel \(f(x) = 0{,}5x^2\) am besten eine kleine Wertetabelle, da sie breiter ist als die Normalparabel. - Achte beim Einsetzen zur Probe darauf, die Klammern bei negativen Zahlen richtig zu setzen. - Wie viele Schnittpunkte erwartest du bei dieser Art von Gleichung maximal?

1. Zeichnen der gestauchten Parabel \(f(x) = 0{,}5x^2\) (Wertetabelle: \((-2|2)\), \((0|0)\), \((2|2)\), \((4|8)\)). 2. Zeichnen der Geraden \(g(x) = x + 4\) durch die Punkte \((0|4)\) und \((-4|0)\). 3. Identifikation der Schnittpunkte durch Ablesen: \(S_1(-2|2)\) und \(S_2(4|8)\). 4. Die \(x\)-Werte der Schnittpunkte sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\). 5. Überprüfung durch Einsetzen: Für \(x = -2\): \(0{,}5 \cdot (-2)^2 = 0{,}5 \cdot 4 = 2\); \( -2 + 4 = 2\). (Wahr) Für \(x = 4\): \(0{,}5 \cdot 4^2 = 0{,}5 \cdot 16 = 8\); \( 4 + 4 = 8\). (Wahr) 6. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-2; 4\}\).

\(L = \{-2; 4\}\)

- Wie hängen die Öffnungsrichtung und der Scheitelpunkt einer Parabel mit der Anzahl der Schnittpunkte einer waagerechten Geraden zusammen? - Was gibt der \(y\)-Wert des Scheitelpunktes über den tiefsten oder höchsten Punkt der Parabel an? - Erinnere dich an die Bedingung für die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung.

1. Berechnung des Scheitelpunktes von \(f(x) = x^2 - 4x + 7\): Durch quadratische Ergänzung erhält man \(f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2|3)\). 2. Bestimmung der Schnittpunkte mit \(y = c\): Die Gleichung \(x^2 - 4x + 7 = c\) bzw. \(x^2 - 4x + (7 - c) = 0\) hat genau zwei Lösungen, wenn die Diskriminante \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7 - c) > 0\) ist. 3. Auflösen der Ungleichung: \(16 - 28 + 4c > 0 \Rightarrow 4c - 12 > 0 \Rightarrow 4c > 12 \Rightarrow c > 3\). Alternativ: Da die Parabel nach oben geöffnet ist und ihr Minimum im Scheitelpunkt bei \(y = 3\) liegt, gibt es für alle \(y\)-Werte oberhalb des Scheitelpunktes zwei Schnittpunkte. 4. Analyse für \(c = 2\): Da der kleinste Funktionswert der Parabel \(y = 3\) ist, liegt die Gerade \(y = 2\) vollständig unterhalb der Parabel. Es gibt keine Schnittpunkte.

a) Der Scheitelpunkt ist \(S(2|3)\). b) Für \(c > 3\) gibt es genau zwei Schnittpunkte. c) Es gibt keine Schnittpunkte, da die Gerade \(y = 2\) unterhalb des Scheitelpunktes (\(y = 3\)) der nach oben geöffneten Parabel verläuft.

- Wann hat eine quadratische Gleichung genau eine Lösung? - Was bedeutet es geometrisch, wenn eine Gerade eine Kurve berührt? - Welches Werkzeug hilft dir, die Anzahl der Lösungen einer Gleichung der Form \(ax^2 + bx + c = 0\) zu bestimmen?

1. Gleichsetzen der Funktionen: \(-x^2 + 3 = 2x + n\). 2. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 + 2x + (n - 3) = 0\). 3. Bedingung für genau einen Schnittpunkt (Tangente): Die Diskriminante \(D\) der Gleichung muss gleich null sein. 4. Berechnung von \(n\): \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (n - 3) = 4 - 4n + 12 = 16 - 4n\). Setze \(16 - 4n = 0 \Rightarrow n = 4\). 5. Berechnung des Berührpunktes: Setze \(n = 4\) in die Gleichung ein: \(x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 1)^2 = 0\). Die Lösung ist \(x = -1\). 6. Berechnung des \(y\)-Werts: \(g(-1) = 2 \cdot (-1) + 4 = 2\). Der Berührpunkt ist \(B(-1|2)\).

Der Wert ist \(n = 4\). Der Berührpunkt liegt bei \(B(-1|2)\).

- Wie findet man mathematisch heraus, wo sich zwei Graphen treffen? - Welche Form muss eine Gleichung haben, damit du die \(pq\)-Formel oder die Mitternachtsformel anwenden kannst? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er „auf einem Graphen liegt“?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme für Teil a): \(x^2 - 4x + 5 = x + 1\) 2. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 5x + 4 = 0\) 3. Lösen der Gleichung (z. B. mit der \(pq\)-Formel): \(x_{1,2} = 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 - 4} = 2{,}5 \pm 1{,}5\). Daraus folgen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\). 4. Berechnen der zugehörigen \(y\)-Werte durch Einsetzen in die Geradengleichung: \(y_1 = 1 + 1 = 2\) und \(y_2 = 4 + 1 = 5\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(1|2)\) und \(S_2(4|5)\). 5. Punktprobe für Teil b): Einsetzen von \(x = 2{,}5\) in \(g\): \(y = 2{,}5 + 1 = 3{,}5\). Der Punkt \(Q\) liegt auf der Geraden. 6. Einsetzen von \(x = 2{,}5\) in \(p\): \(y = 2{,}5^2 - 4 \cdot 2{,}5 + 5 = 6{,}25 - 10 + 5 = 1{,}25\). Da \(1{,}25 \neq 3{,}5\), liegt \(Q\) nicht auf der Parabel.

a) Die Schnittpunkte sind \(S_1(1|2)\) und \(S_2(4|5)\). b) Der Punkt \(Q\) liegt nur auf der Geraden \(g\), aber nicht auf der Parabel \(p\).

- Was muss für die Funktionswerte beider Graphen an einem gemeinsamen Punkt gelten? - Wie kannst du eine Gleichung so umformen, dass du eine bekannte Lösungsformel anwenden kannst? - Was sagt der Wert unter der Wurzel (die Diskriminante) über die Anzahl der gemeinsamen Punkte aus? - Wie findest du den passenden \(y\)-Wert, wenn du den \(x\)-Wert bereits kennst?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme zur Bestimmung der Schnittpunkte: \(x^2 - 4x + 3 = 2x - 6\) 2. Umformen der Gleichung in die Normalform: \(x^2 - 6x + 9 = 0\) 3. Lösen der quadratischen Gleichung, zum Beispiel mit der \(pq\)-Formel: \(x_{1,2} = -(\frac{-6}{2}) \pm \sqrt{(\frac{-6}{2})^2 - 9} = 3 \pm \sqrt{9 - 9} = 3 \pm 0\) 4. Da die Diskriminante unter der Wurzel null ist, existiert genau eine Lösung \(x = 3\). Dies kennzeichnet mathematisch einen Berührpunkt statt zwei Schnittpunkten. 5. Einsetzen von \(x = 3\) in die Geradengleichung zur Berechnung des \(y\)-Werts: \(g(3) = 2 \cdot 3 - 6 = 0\) 6. Der Berührpunkt liegt bei \(B(3|0)\).

Der gemeinsame Punkt ist der Berührpunkt \(B(3|0)\). Da die Diskriminante null ist, gibt es genau eine Lösung und damit genau einen gemeinsamen Punkt; dieser ist ein Berührpunkt.

- Welchen ersten Schritt musst du immer ausführen, um Schnittpunkte zu finden? - Wie gehst du mit Klammern wie \((x - 2)^2\) in einer Gleichung um? - Gibt es eine Kennzahl in der Lösungsformel, die dir sofort verrät, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat? - Was bedeutet es für die Graphen, wenn die zugehörige Gleichung keine Lösung besitzt?

1. Gleichsetzen: \((x - 2)^2 + 3 = x\) 2. Ausmultiplizieren der binomischen Formel: \(x^2 - 4x + 4 + 3 = x\) 3. Zusammenfassen zur Normalform: \(x^2 - 5x + 7 = 0\) 4. Prüfung der Lösbarkeit mit der Diskriminante \(D\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3\) 5. Da die Diskriminante negativ ist (\(D < 0\)), besitzt die Gleichung keine reellen Lösungen. 6. Ergebnis: Die Graphen haben keine gemeinsamen Punkte.

Die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) haben keine gemeinsamen Punkte.

- Was passiert, wenn du die beiden Ausdrücke für \(y\) gleichsetzt? - Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung in Abhängigkeit von der Diskriminante haben? - In welcher Form der Funktionsgleichung lässt sich der tiefste Punkt einer Parabel direkt ablesen? - Vergleiche den \(y\)-Wert des Scheitelpunktes mit dem \(y\)-Wert der Geraden.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 4x + 6 = 1\). 2. Umformen in die Normalform durch Subtraktion von 1: \(x^2 - 4x + 5 = 0\). 3. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel zur Bestimmung der Diskriminante \(D\): \(D = \left(\frac{-4}{2}\right)^2 - 5 = 4 - 5 = -1\). 4. Da \(D < 0\), besitzt die quadratische Gleichung keine reelle Lösung. 5. Bestimmung des Scheitelpunktes der Parabel durch quadratische Ergänzung: \(y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 6 = (x - 2)^2 + 2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2|2)\). 6. Da die Parabel nach oben geöffnet ist und ihr Minimum bei \(y = 2\) liegt, verlaufen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden \(y = 1\). Somit gibt es keine Schnittpunkte.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung, da die Diskriminante \(D = -1\) negativ ist. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(S(2|2)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegen alle ihre Punkte oberhalb der Geraden \(y = 1\), was das Fehlen von Lösungen geometrisch bestätigt.

- Wie gehst du vor, um herauszufinden, ob zwei Graphen gemeinsame Punkte haben? - Achte beim Umformen der Gleichung auf die Vorzeichen, besonders wenn du mit negativen Zahlen multiplizierst. - Was sagt das Ergebnis der Diskriminante über die Anzahl der Schnittpunkte aus? - Welche Fachbegriffe kennst du für Geraden, die eine Kurve entweder zweimal, einmal oder gar nicht schneiden?

1. Gleichsetzen der Funktionsgleichungen: \(-0{,}5x^2 + 2x - 4 = 0{,}5x - 1\). 2. Zusammenfassen und Umformen auf eine Seite: \(-0{,}5x^2 + 1{,}5x - 3 = 0\). 3. Multiplikation der Gleichung mit \(-2\), um die Normalform zu erhalten: \(x^2 - 3x + 6 = 0\). 4. Berechnung der Diskriminante \(D\) (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(D = \left(\frac{-3}{2}\right)^2 - 6 = 2{,}25 - 6 = -3{,}75\). 5. Da \(D < 0\), existiert kein reeller Wert für \(x\), der beide Gleichungen erfüllt. 6. Schlussfolgerung: Es gibt keine Schnittpunkte. Geometrisch betrachtet handelt es sich bei der Geraden um eine Passante der Parabel.

Die Rechnung ergibt eine negative Diskriminante (\(D = -3{,}75\)), woraus folgt, dass es keine gemeinsamen Punkte gibt. Die Gerade \(g\) ist somit eine Passante der Parabel \(p\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Graphen schneiden? - Wie viele Lösungen muss eine quadratische Gleichung haben, damit es genau einen Berührpunkt gibt? - Erinnerst du dich an die Diskriminante (den Teil unter der Wurzel) in der Lösungsformel? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite Null steht?

1. Fall \(m = -2\): Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt \(x^2 - 4x + 3 = -2x + 3\). 2. Vereinfachen zu \(x^2 - 2x = 0\) führt durch Ausklammern zu den Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Einsetzen in die Geradengleichung ergibt die Schnittpunkte \(S_1(0|3)\) und \(S_2(2|-1)\). 4. Fall für genau einen gemeinsamen Punkt: Gleichsetzen ergibt \(x^2 - (4+m)x = 0\). 5. Eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\) hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante \(D = (\frac{p}{2})^2 - q\) null ist. Hier ist \(q = 0\), also muss \((\frac{4+m}{2})^2 = 0\) gelten. 6. Daraus folgt \(4 + m = 0\), also \(m = -4\). 7. Der einzige Schnittpunkt (Berührpunkt) liegt bei \(x = 0\). Einsetzen in die Gleichung ergibt \(B(0|3)\).

a) Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|3)\) und \(S_2(2|-1)\). b) Für \(m = -4\) gibt es genau einen Berührpunkt bei \(B(0|3)\).

- Was muss für die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung gelten, damit es genau einen gemeinsamen Punkt gibt? - Erinnere dich an die Rolle der Diskriminante in der Mitternachtsformel oder p-q-Formel. - Wie sieht die Gleichung aus, wenn du die Terme für \(y\) gleichsetzt? - Wenn du den Parameter \(c\) gefunden hast, wie kommst du dann auf die zugehörige Stelle \(x\)?

1. Die Funktionsterme der Parabel und der Geraden gleichsetzen: \(x^2 - 4x + 5 = 2x + c\). 2. Die Gleichung in die Normalform \(x^2 - 6x + (5 - c) = 0\) überführen. 3. Die Diskriminante \(D\) dieser quadratischen Gleichung aufstellen: \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - c) = 36 - 20 + 4c = 16 + 4c\). 4. Damit es genau einen Berührpunkt gibt, muss die Diskriminante Null sein: \(16 + 4c = 0\). 5. Die Gleichung nach \(c\) auflösen ergibt \(c = -4\). 6. Den Wert \(c = -4\) in die Normalform einsetzen: \(x^2 - 6x + 9 = 0\). 7. Die Lösung für \(x\) berechnen: \(x = 3\). 8. Den \(y\)-Wert durch Einsetzen in die Geraden- oder Parabelgleichung bestimmen: \(y = 2 \cdot 3 + (-4) = 2\). 9. Der Berührpunkt ist \(B(3 | 2)\).

Der Wert ist \(c = -4\). Der Berührpunkt liegt bei \(B(3 | 2)\).

- Was ist das Besondere an dem Punkt einer Parabel, an dem eine horizontale Gerade nur einen einzigen Kontaktpunkt hat? - Überlege dir, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist. - Wie findet man die Mitte zwischen zwei Nullstellen? - Vergleiche den Wert von \(c\) mit dem \(y\)-Wert des höchsten Punktes der Kurve.

1. Eine horizontale Gerade berührt eine nach unten geöffnete Parabel genau dann in einem Punkt, wenn sie durch den Scheitelpunkt der Parabel verläuft. 2. Bestimmung des Scheitelpunkts von \(p(x) = -x^2 + 4x\): Ausklammern ergibt \(y = -x(x - 4)\). Die Nullstellen liegen bei \(x = 0\) und \(x = 4\). Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts liegt genau in der Mitte: \(x_S = 2\). 3. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts: \(y_S = -(2)^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4\). 4. Für \(c = 4\) gibt es genau einen Berührpunkt, nämlich den Scheitelpunkt \(S(2 | 4)\). 5. Da der Scheitelpunkt der höchste Punkt der nach unten geöffneten Parabel ist (\(y_{max} = 4\)), liegt die Gerade \(y = 5\) komplett oberhalb der Parabel. Es gibt also keine Schnittpunkte.

a) \(c = 4\) b) Der Berührpunkt ist \((2 | 4)\). c) Für \(c = 5\) gibt es keine Schnittpunkte, da die Gerade oberhalb des Scheitelpunkts der nach unten geöffneten Parabel verläuft.

- Wie kannst du die Koordinaten der markierten Punkte auf den Achsen ablesen? Achte besonders auf die Werte auf der horizontalen Achse. - Erinnere dich daran, wie die Gleichung einer Normalparabel aussieht und wie sich eine Verschiebung nach oben oder unten auf die Gleichung auswirkt. - Wie bestimmt man die Steigung und den \(y\)-Achsenabschnitt einer Geraden aus ihrem Graphen? - Wenn du zwei Funktionsgraphen gleichsetzt, suchst du nach den Stellen, an denen beide Funktionen denselben Wert annehmen. Welche Gleichung ergibt sich daraus? - Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung, sodass auf der anderen Seite eine Null steht.

1. **Bild A**: - Ablesen der Schnittpunkte: \(S_1(-1 \mid 1)\) und \(S_2(3 \mid 9)\). Die \(x\)-Koordinaten sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). - Bestimmen der Funktionsterme: Der Scheitelpunkt von \(f\) liegt bei \((0 \mid 0)\), also \(f(x) = x^2\). Die Gerade \(g\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(3\) und die Steigung \(m = \frac{9 - 1}{3 - (-1)} = 2\), also \(g(x) = 2x + 3\). - Gleichsetzen und Umformen: \(x^2 = 2x + 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0\). 2. **Bild B**: - Ablesen der Schnittpunkte: \(S_1(-2 \mid 0)\) und \(S_2(1 \mid -3)\). Die \(x\)-Koordinaten sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 1\). - Bestimmen der Funktionsterme: Der Scheitelpunkt von \(f\) liegt bei \((0 \mid -4)\), also \(f(x) = x^2 - 4\). Die Gerade \(g\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(-2\) und die Steigung \(m = \frac{-3 - 0}{1 - (-2)} = -1\), also \(g(x) = -x - 2\). - Gleichsetzen und Umformen: \(x^2 - 4 = -x - 2 \implies x^2 + x - 2 = 0\).

**Bild A:** - Schnittpunkte: \(S_1(-1 \mid 1)\) und \(S_2(3 \mid 9)\), also \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\) - Funktionsgleichungen: \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = 2x + 3\) - Quadratische Gleichung: \(x^2 - 2x - 3 = 0\) **Bild B:** - Schnittpunkte: \(S_1(-2 \mid 0)\) und \(S_2(1 \mid -3)\), also \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 1\) - Funktionsgleichungen: \(f(x) = x^2 - 4\) und \(g(x) = -x - 2\) - Quadratische Gleichung: \(x^2 + x - 2 = 0\)

- Überlege, wie du die linke und die rechte Seite einer Gleichung jeweils als eigene Funktion auffassen kannst. - Wie kannst du den Scheitelpunkt einer Parabel an ihrer Funktionsgleichung (z. B. in Scheitelpunktform oder Normalform) bestimmen? - Welche Art von Linie stellt eine konstante Zahl auf der rechten Seite der Gleichung im Koordinatensystem dar? - Welche Koordinaten der Schnittpunkte sind entscheidend, um die Lösungen der Gleichung zu bestimmen? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn sich die Gleichungen durch einfache Umformungen ineinander überführen lassen?

1. **Zuordnung der Gleichungen zu den Graphen:** - **Gleichung (1):** Die linke Seite entspricht der verschobenen Normalparabel \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) mit dem Scheitelpunkt \(S(2 \mid -1)\). Die rechte Seite ist die konstante Funktion \(g(x) = 0\) (die x-Achse). Dies entspricht **Graph A**. - **Gleichung (2):** Die linke Seite entspricht der Normalparabel \(f(x) = x^2\) mit dem Scheitelpunkt im Ursprung \((0 \mid 0)\). Die rechte Seite ist die Gerade \(g(x) = 4x - 3\) mit der Steigung \(m = 4\) und dem y-Achsenabschnitt \(-3\). Dies entspricht **Graph B**. - **Gleichung (3):** Die linke Seite entspricht der Parabel \(f(x) = x^2 - 4x\) mit dem Scheitelpunkt \(S(2 \mid -4)\). Die rechte Seite ist die waagrechte Gerade \(g(x) = -3\). Dies entspricht **Graph C**. - **Gleichung (4):** Die linke Seite ist in Scheitelpunktform gegeben: \(f(x) = (x-2)^2\) mit dem Scheitelpunkt \(S(2 \mid 0)\). Die rechte Seite ist die waagrechte Gerade \(g(x) = 1\). Dies entspricht **Graph D**. 2. **Ablesen der Schnittpunkte und Lösungsmenge:** - **Graph A:** Schnittpunkte bei \(S_1(1 \mid 0)\) und \(S_2(3 \mid 0)\). - **Graph B:** Schnittpunkte bei \(S_1(1 \mid 1)\) und \(S_2(3 \mid 9)\). - **Graph C:** Schnittpunkte bei \(S_1(1 \mid -3)\) und \(S_2(3 \mid -3)\). - **Graph D:** Schnittpunkte bei \(S_1(1 \mid 1)\) und \(S_2(3 \mid 1)\). Da die x-Koordinaten der Schnittpunkte bei allen vier Graphen identisch sind, lautet die Lösungsmenge für alle vier Gleichungen einheitlich: \(L = \{1; 3\}\). 3. **Beobachtung:** Obwohl die Graphen und Schnittpunkte unterschiedlich aussehen, sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte (und damit die Lösungen der Gleichungen) immer gleich. Dies liegt daran, dass die vier Gleichungen durch äquivalente Umformungen auseinander hervorgehen.

a) Graph A gehört zu Gleichung (1), Graph B zu Gleichung (2), Graph C zu Gleichung (3) und Graph D zu Gleichung (4). b) Die Schnittpunkte der Graphen sind: - Graph A: \(S_1(1 \mid 0)\) und \(S_2(3 \mid 0)\) - Graph B: \(S_1(1 \mid 1)\) und \(S_2(3 \mid 9)\) - Graph C: \(S_1(1 \mid -3)\) und \(S_2(3 \mid -3)\) - Graph D: \(S_1(1 \mid 1)\) und \(S_2(3 \mid 1)\) Die Lösungsmenge ist für alle Gleichungen gleich: \(L = \{1; 3\}\). Beobachtung: Obwohl die Funktionen und die y-Koordinaten der Schnittpunkte unterschiedlich sind, sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte bei allen Graphen identisch. Die Gleichungen sind mathematisch äquivalent und besitzen dieselbe Lösungsmenge.

- Schaue dir die Stellen im Koordinatensystem an, an denen sich die beiden Graphen kreuzen. Welche Koordinaten haben diese Punkte? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Gerade, wenn die Steigung und ein Punkt auf der Geraden bekannt sind? - Wenn der Scheitelpunkt einer Parabel gegeben ist, welche Darstellungsform eignet sich besonders gut, um die Funktionsgleichung aufzustellen? - Wie kann man rechnerisch herausfinden, an welchen Stellen zwei Funktionen denselben Funktionswert annehmen?

1. Ablesen der Schnittpunkte aus der Grafik: \(P(-1 \mid 0)\) und \(Q(4 \mid 5)\). 2. Aufstellen der Geradengleichung \(g(x) = mx + n\): Mit \(m = 1\) und dem Punkt \(A(-1 \mid 0)\) folgt \(0 = 1 \cdot (-1) + n \Rightarrow n = 1\), also \(g(x) = x + 1\). 3. Aufstellen der Parabelgleichung über die Scheitelpunktform \(f(x) = a(x-d)^2 + e\): Mit dem Scheitelpunkt \(S(1 \mid -4)\) folgt \(f(x) = a(x-1)^2 - 4\). Einsetzen des Punktes \((3 \mid 0)\) liefert \(0 = a(3-1)^2 - 4 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1\). In allgemeiner Form gilt \(f(x) = x^2 - 2x - 3\). 4. Gleichsetzen: \(x^2 - 2x - 3 = x + 1 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0\). 5. Die Lösungen sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 4\). 6. Einsetzen in \(g\) ergibt \(y_1 = 0\) und \(y_2 = 5\). Die Schnittpunkte lauten \(P(-1 \mid 0)\) und \(Q(4 \mid 5)\).

1. Die Schnittpunkte lauten \(P(-1 \mid 0)\) und \(Q(4 \mid 5)\). 2. Die Funktionsgleichungen lauten \(g(x) = x + 1\) und \(f(x) = x^2 - 2x - 3\). 3. Das Gleichsetzen ergibt \(x^2 - 3x - 4 = 0\) mit \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 4\). Daraus folgen dieselben Schnittpunkte \(P(-1 \mid 0)\) und \(Q(4 \mid 5)\).

- Welche Graphen schneiden sich in den jeweiligen Punkten? - Wie hängen die Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen mit ihren Funktionstermen zusammen? - Bestimme zunächst die Funktionsgleichungen der beiden Geraden \(g\) und \(h\), indem du ihre Steigungen und y-Achsenabschnitte abliest. - Welche mathematischen Verfahren kennst du, um quadratische Gleichungen zu lösen? Denke zum Beispiel an die p-q-Formel oder das Faktorisieren.

1. Bestimmung der Geradengleichungen aus der Grafik: - Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \((0 \mid 2)\) und \((2 \mid 0)\). Damit hat sie den y-Achsenabschnitt \(2\) und die Steigung \(m = -1\). Die Gleichung lautet: \(g(x) = -x + 2\). - Die Gerade \(h\) ist die Ursprungsgerade mit der Steigung \(1\). Die Gleichung lautet: \(h(x) = x\). 2. Aufstellen der Schnittpunktgleichungen: - Die Punkte \(A\) und \(D\) sind die Schnittpunkte der Parabel \(p\) und der Geraden \(g\). Die Gleichung lautet: \(x^2 - 2x - 4 = -x + 2\) - Die Punkte \(B\) und \(E\) sind die Schnittpunkte der Parabel \(p\) und der Geraden \(h\). Die Gleichung lautet: \(x^2 - 2x - 4 = x\) - Der Punkt \(C\) ist der Schnittpunkt der beiden Geraden \(g\) und \(h\). Die Gleichung lautet: \(-x + 2 = x\) 3. Berechnen der x-Koordinaten: - Für \(A\) und \(D\): \(x^2 - 2x - 4 = -x + 2 \iff x^2 - x - 6 = 0\) Durch Faktorisieren erhält man \((x - 3)(x + 2) = 0\), woraus die Lösungen \(x = -2\) (x-Koordinate von \(A\)) und \(x = 3\) (x-Koordinate von \(D\)) folgen. - Für \(B\) und \(E\): \(x^2 - 2x - 4 = x \iff x^2 - 3x - 4 = 0\) Durch Faktorisieren erhält man \((x - 4)(x + 1) = 0\), woraus die Lösungen \(x = -1\) (x-Koordinate von \(B\)) und \(x = 4\) (x-Koordinate von \(E\)) folgen. - Für \(C\): \(-x + 2 = x \iff 2x = 2 \iff x = 1\) (x-Koordinate von \(C\)).

a) Die Gleichungen lauten: - Punkte \(A\) und \(D\): \(x^2 - 2x - 4 = -x + 2\) - Punkte \(B\) und \(E\): \(x^2 - 2x - 4 = x\) - Punkt \(C\): \(-x + 2 = x\) b) Die x-Koordinaten der Punkte sind: - Punkte \(A\) und \(D\): \(x = -2\) und \(x = 3\) - Punkte \(B\) und \(E\): \(x = -1\) und \(x = 4\) - Punkt \(C\): \(x = 1\)

- Kannst du den Scheitelpunkt der Parabel direkt aus der Zeichnung ablesen? - Wie bestimmt man die Steigung und den y-Achsenabschnitt einer Geraden aus dem Graphen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Funktionsgraphen schneiden? Welche Gleichung musst du aufstellen? - Wie kannst du die entstandene Gleichung so umformen, dass du die \(p\)-\(q\)-Formel oder die Mitternachtsformel anwenden kannst? - Wenn du die x-Werte der Schnittpunkte berechnet hast, wie findest du dann die dazugehörigen y-Werte?

1. Bestimmung der Funktionsgleichungen: - Die Parabel \(f\) hat ihren Scheitelpunkt bei \(S(1 \mid 4)\). Da sie vom Scheitelpunkt aus um \(1\) nach rechts und um \(1\) nach unten verläuft (durch den Punkt \((2 \mid 3)\)), handelt es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel. In Scheitelpunktform lautet die Gleichung: \(f(x) = -(x - 1)^2 + 4\) Ausmultipliziert ergibt sich: \(f(x) = -x^2 + 2x + 3\) - Die Gerade \(g\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 1\) (Punkt \((0 \mid 1)\)) und die Steigung \(m = 1\), da man von \((0 \mid 1)\) aus mit \(1\) Schritt nach rechts und \(1\) Schritt nach oben zum Punkt \((1 \mid 2)\) gelangt. Die Gleichung lautet: \(g(x) = x + 1\) 2. Aufstellen der quadratischen Gleichung: Durch Gleichsetzen der Funktionsterme \(f(x) = g(x)\) erhält man: \(-x^2 + 2x + 3 = x + 1\) Subtraktion von \(x + 1\) auf beiden Seiten führt zu: \(-x^2 + x + 2 = 0\) Multiplikation mit \(-1\) ergibt die normierte Form: \(x^2 - x - 2 = 0\) 3. Berechnen der Schnittpunkte: Mit der \(p\)-\(q\)-Formel für \(x^2 - x - 2 = 0\) mit \(p = -1\) und \(q = -2\): \(x_{1,2} = -\frac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2 - (-2)} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 2} = 0{,}5 \pm 1{,}5\) Daraus ergeben sich die \(x\)-Koordinaten: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\) Einsetzen in die Geradengleichung \(g(x)\) liefert die \(y\)-Koordinaten: \(y_1 = g(2) = 2 + 1 = 3 \implies S_1(2 \mid 3)\) \(y_2 = g(-1) = -1 + 1 = 0 \implies S_2(-1 \mid 0)\)

a) \(f(x) = -x^2 + 2x + 3\) und \(g(x) = x + 1\) b) \(-x^2 + x + 2 = 0\) (oder \(x^2 - x - 2 = 0\)) c) Die Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). Die Schnittpunkte lauten \(S_1(2 \mid 3)\) und \(S_2(-1 \mid 0)\).

- Wie kannst du eine Gleichung so umformen, dass auf einer Seite nur der quadratische Term steht? - Welche geometrische Bedeutung haben die Schnittpunkte zweier Graphen für die zugehörigen Funktionsgleichungen? - Schau dir die Punkte im Koordinatensystem genau an und lies ihre Koordinaten an den Achsen ab. - Welche Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen kennst du, um die Werte exakt zu berechnen?

1. Umformen der Gleichung: Durch Addition von \(x + 2\) auf beiden Seiten der Gleichung \(x^2 - x - 2 = 0\) erhält man die äquivalente Gleichung \(x^2 = x + 2\). Da die linke Seite durch die Normalparabel \(f(x) = x^2\) dargestellt wird, entspricht die rechte Seite der gesuchten Geradengleichung. Somit lautet die Funktionsgleichung der Geraden \(g(x) = x + 2\). 2. Ablesen der Schnittpunkte: Aus der Abbildung lassen sich die Schnittpunkte der Parabel und der Geraden direkt ablesen: \(A(-1 \mid 1)\) und \(B(2 \mid 4)\). 3. Rechnerische Lösung: Die Gleichung \(x^2 - x - 2 = 0\) wird mithilfe der \(p-q\)-Formel gelöst: \(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\) mit \(p = -1\) und \(q = -2\). \(x_{1,2} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 2} = 0{,}5 \pm 1{,}5\). Dies liefert die Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). Diese stimmen exakt mit den \(x\)-Koordinaten der abgelesenen Schnittpunkte \(A(-1 \mid 1)\) und \(B(2 \mid 4)\) überein.

a) Die Funktionsgleichung der Geraden lautet \(g(x) = x + 2\). b) Die Schnittpunkte sind \(A(-1 \mid 1)\) und \(B(2 \mid 4)\). c) Die rechnerische Lösung liefert \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). Diese stimmen exakt mit den \(x\)-Koordinaten der abgelesenen Schnittpunkte überein.

- Wo treffen sich die beiden Linien in der Zeichnung? Notiere dir die x- und y-Werte dieser Stellen. - Wenn du zwei Funktionen gleichsetzt, findest du heraus, an welchen x-Stellen sie denselben y-Wert haben. - Beim Lösen der Gleichung \(x^2 - 3x = 0\) ist das Ausklammern von \(x\) oft der schnellste Weg. - Vergiss nicht, nach dem Finden der x-Werte auch die zugehörigen y-Werte zu berechnen.

1. Schnittpunkte grafisch bestimmen: Aus dem Koordinatensystem lassen sich die Punkte \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(3 \mid 3)\) ablesen. 2. Rechnerische Bestimmung durch Gleichsetzen: \(p(x) = g(x) \Rightarrow -x^2 + 4x = x\). 3. Gleichung auf eine Seite bringen: \(-x^2 + 3x = 0\) bzw. \(x^2 - 3x = 0\). 4. x ausklammern: \(x(x - 3) = 0\). 5. Lösungen für x bestimmen (Satz vom Nullprodukt): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 6. y-Koordinaten durch Einsetzen in eine der Funktionsgleichungen (hier \(g(x)\) einfacher) berechnen: \(y_1 = g(0) = 0\) und \(y_2 = g(3) = 3\). 7. Ergebnis: Die berechneten Schnittpunkte sind \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(3 \mid 3)\), was mit der Zeichnung übereinstimmt.

a) Abgelesene Schnittpunkte: \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(3 \mid 3)\). b) Rechnerische Lösung: Die Schnittpunkte liegen bei \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(3 \mid 3)\).

- Bestimme zuerst die Steigung der Geraden mit Hilfe eines Steigungsdreiecks. - Setze die Terme der Parabel und der Geraden gleich. - Wenn es nur einen Berührpunkt gibt, muss die resultierende Gleichung eine sogenannte „doppelte Lösung“ haben.

1. Funktionsgleichungen bestimmen: Die Parabel ist die Normalparabel \(f(x) = x^2\). Die Gerade verläuft durch die Punkte \((1 \mid 0)\) und \((2 \mid 4)\). Ihre Steigung ist \(m = \frac{4-0}{2-1} = 4\), also gilt \(g(x) = 4(x-1) = 4x - 4\). 2. Gleichsetzen: \(x^2 = 4x - 4\). 3. Normalform: \(x^2 - 4x + 4 = 0\). Die Diskriminante ist \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0\). Daher besitzt die Gleichung genau eine reelle Lösung, nämlich \(x = 2\).

Die Gleichung lautet \(x^2 - 4x + 4 = 0\).

- Überlege dir, welche Graphen sich in dem jeweiligen Punkt schneiden. - Wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt, ist der Funktionswert dort null. - Um eine Funktionsgleichung abzulesen, suche dir markante Punkte wie den Scheitelpunkt oder Achsenschnittpunkte. - Setze die Funktionsterme gleich, um Gleichungen für die Schnittpunkte aufzustellen.

1. Aufstellen der Gleichungen für die \(x\)-Koordinaten: - Punkt \(A\): Schnittpunkt von \(f\), \(g\) und \(h\), also \(f(x) = g(x)\), \(f(x) = h(x)\) oder \(g(x) = h(x)\). - Punkt \(B\): Weiterer Schnittpunkt von \(f\) und \(h\), also \(f(x) = h(x)\). - Punkt \(C\): Weiterer Schnittpunkt von \(f\) und \(g\), zudem eine Nullstelle von \(f\), also \(f(x) = g(x)\) oder \(f(x) = 0\). - Punkt \(D\): Weitere Nullstelle von \(f\), also \(f(x) = 0\). 2. Ablesen der Funktionsgleichungen: - Gerade \(h\) ist horizontal bei \(y = 3\), also \(h(x) = 3\). - Gerade \(g\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(3\) und geht durch \((3 \mid 0)\). Die Steigung ist \(m = \frac{0-3}{3-0} = -1\). Somit gilt \(g(x) = -x + 3\). - Parabel \(f\) hat den Scheitelpunkt \(V(2 \mid -1)\). Mit der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x-2)^2 - 1\) und dem Punkt \((0 \mid 3)\) folgt \(3 = a(0-2)^2 - 1 \Rightarrow 4 = 4a \Rightarrow a = 1\). Somit gilt \(f(x) = (x-2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 3\). 3. Berechnen der \(x\)-Koordinaten: - Für \(B\): \(x^2 - 4x + 3 = 3 \Rightarrow x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4) = 0\). Die Lösungen sind \(x=0\) (Punkt \(A\)) und \(x=4\) (Punkt \(B\)). Die \(x\)-Koordinate von \(B\) ist \(4\). - Für \(C\): \(x^2 - 4x + 3 = -x + 3 \Rightarrow x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3) = 0\). Die Lösungen sind \(x=0\) (Punkt \(A\)) und \(x=3\) (Punkt \(C\)). Die \(x\)-Koordinate von \(C\) ist \(3\).

Gleichungen für die \(x\)-Koordinaten: \(A\): \(f(x) = h(x)\) (oder \(f(x) = g(x)\) oder \(g(x) = h(x)\)) \(B\): \(f(x) = h(x)\) \(C\): \(f(x) = g(x)\) (oder \(f(x) = 0\)) \(D\): \(f(x) = 0\) Berechnung: Aus dem Graphen: \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), \(g(x) = -x + 3\), \(h(x) = 3\). Für \(B\): \(x^2 - 4x + 3 = 3 \Rightarrow x \cdot (x-4) = 0 \Rightarrow x = 4\). Für \(C\): \(x^2 - 4x + 3 = -x + 3 \Rightarrow x \cdot (x-3) = 0 \Rightarrow x = 3\).

- Schaue dir an, bei welchen x-Werten die Kurve und die Gerade genau übereinander liegen. - Überlege, was passiert, wenn man zwei gleiche Zahlen voneinander abzieht. - Wie nennt man die Stellen, an denen ein Funktionswert genau null ist?

1. Aus der Grafik lässt sich entnehmen, dass die Parabel und die Gerade sich an den Stellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\) schneiden. 2. Die Funktion \(h\) ist definiert als die Differenz der beiden Funktionen: \(h(x) = f(x) - g(x) = 0{,}5x^2 - 3x + 4\). An den Stellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\) gilt \(f(x) = g(x)\). 3. Setzt man diese Werte in \(h\) ein, erhält man \(h(2) = f(2) - g(2) = 0\) und \(h(4) = f(4) - g(4) = 0\). Die Stellen sind also die Nullstellen von \(h\). 4. Allgemein gilt: Ein Schnittpunkt zweier Funktionen \(f\) und \(g\) liegt an der Stelle vor, an der \(f(x) = g(x)\) ist, was äquivalent zu \(f(x) - g(x) = 0\) ist.

a) \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\) b) Die Stellen \(x_1\) und \(x_2\) sind die Nullstellen der Funktion \(h\). c) An den Schnittpunkten gilt \(f(x) = g(x)\). Daraus folgt direkt \(f(x) - g(x) = 0\), was die Bedingung für eine Nullstelle von \(h\) ist.

- Schau dir den Scheitelpunkt der Parabel genau an. Liegt er auf einer der Achsen? - Für die Gerade kannst du zwei Punkte ablesen, um die Steigung und den y-Achsenabschnitt zu finden. - Wenn sich zwei Graphen schneiden, müssen ihre Funktionswerte an dieser Stelle gleich sein. - Du kannst eine quadratische Gleichung mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder durch Faktorisieren lösen.

1. Bestimmung der Funktionsgleichungen: - Die Parabel \(f\) hat ihren Scheitelpunkt bei \(S(0 \mid 4)\) und ist nach unten geöffnet. Mit dem Punkt \((2 \mid 0)\) ergibt sich \(f(x) = -x^2 + 4\). - Die Gerade \(g\) hat den y-Achsenabschnitt \(2\) und die Steigung \(m = \frac{0-2}{2-0} = -1\). Somit ist \(g(x) = -x + 2\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Schnittpunkte (\(f(x) = g(x)\)): \(-x^2 + 4 = -x + 2\) 3. Lösen der Gleichung: \(-x^2 + x + 2 = 0 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 = 0\) Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung: \((x - 2)(x + 1) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). 4. Berechnung der y-Koordinaten: \(y_1 = g(2) = -2 + 2 = 0 \Rightarrow P_1(2 \mid 0)\) \(y_2 = g(-1) = -(-1) + 2 = 3 \Rightarrow P_2(-1 \mid 3)\) Die berechneten Punkte stimmen mit den Schnittpunkten in der Zeichnung überein.

a) \(f(x) = -x^2 + 4\); \(g(x) = -x + 2\) b) \(-x^2 + 4 = -x + 2\) c) Die Schnittpunkte liegen bei \(P_1(2 \mid 0)\) und \(P_2(-1 \mid 3)\).

- Wenn sich zwei Graphen schneiden, müssen ihre Funktionswerte an dieser Stelle gleich sein. - Eine quadratische Gleichung lässt sich oft lösen, indem man sie in die Form \(x^2 + px + q = 0\) bringt. - Denke daran, dass ein Schnittpunkt immer aus einem x- und einem y-Wert besteht.

1. Aufstellen der Gleichung: Um Schnittpunkte zu finden, setzt man die Funktionsterme gleich: \(f(x) = g(x)\). \(x^2 - 4 = x - 2\) 2. Rechnerische Lösung: Bringe alle Terme auf eine Seite: \(x^2 - x - 2 = 0\) Verwende z. B. den Satz von Vieta oder die \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}5^2 - (-2)} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 2} = 0{,}5 \pm 1{,}5\) \(x_1 = 2\); \(x_2 = -1\). Berechnung der y-Koordinaten: \(g(2) = 2 - 2 = 0 \Rightarrow P_1(2 \mid 0)\) \(g({-1}) = -1 - 2 = -3 \Rightarrow P_2(-1 \mid -3)\) 3. Vergleich mit Graph: Im Graphen erkennt man die Schnittpunkte bei \((2 \mid 0)\) (auf der x-Achse) und bei \((-1 \mid -3)\).

a) \(x^2 - 4 = x - 2\) b) \(x_1 = 2\), \(x_2 = -1\); Koordinaten: \(P_1(2 \mid 0)\), \(P_2(-1 \mid -3)\) c) Die berechneten Punkte stimmen mit den Schnittpunkten in der Zeichnung überein.

- Wie lautet die allgemeine Scheitelpunktform einer verschobenen Normalparabel? - Welche Koordinaten hat der tiefste Punkt jeder Kurve im Koordinatensystem? - Wenn du zwei Funktionsgleichungen gleichsetzt, was passiert mit den Termen, die \(x^2\) enthalten? - Überlege dir für den Aufgabenteil c), welche Art von Gleichung übrig bleibt, wenn das \(x^2\) wegfällt.

1. Ablesen der Scheitelpunkte aus dem Graphen: Der Scheitelpunkt von \(f\) liegt bei \(S_f(-2 \mid -1)\), also lautet die Gleichung \(f(x) = (x + 2)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(S_g(1 \mid -4)\), also lautet die Gleichung \(g(x) = (x - 1)^2 - 4\). 2. Berechnung des Schnittpunkts durch Gleichsetzen: \((x + 2)^2 - 1 = (x - 1)^2 - 4\) \(x^2 + 4x + 4 - 1 = x^2 - 2x + 1 - 4\) \(x^2 + 4x + 3 = x^2 - 2x - 3\) Durch Subtraktion von \(x^2\) auf beiden Seiten fällt das quadratische Glied weg: \(4x + 3 = -2x - 3\) \(6x = -6 \Rightarrow x = -1\) 3. Einsetzen von \(x = -1\) in eine der Gleichungen zur Bestimmung des \(y\)-Werts: \(y = (-1 + 2)^2 - 1 = 1^2 - 1 = 0\) Der Schnittpunkt ist \(S(-1 \mid 0)\). 4. Begründung für c): Beim Gleichsetzen zweier Normalparabeln \(x^2 + b_1x + c_1 = x^2 + b_2x + c_2\) fällt das \(x^2\) immer weg. Es bleibt eine lineare Gleichung der Form \((b_1 - b_2)x = c_2 - c_1\) übrig. Diese hat genau eine Lösung, wenn die Koeffizienten der linearen Terme unterschiedlich sind (\(b_1 \neq b_2\)), was bei unterschiedlichen \(x\)-Koordinaten der Scheitelpunkte der Fall ist.

a) \(f(x) = (x + 2)^2 - 1\) und \(g(x) = (x - 1)^2 - 4\) b) Der Schnittpunkt liegt bei \(S(-1 \mid 0)\). c) Beim Gleichsetzen der Terme fällt das quadratische Glied \(x^2\) weg, sodass eine lineare Gleichung mit genau einer Lösung übrig bleibt (vorausgesetzt, die \(x\)-Werte der Scheitelpunkte sind verschieden).

- Wo liegt der Scheitelpunkt der Parabel? Nutze dies für die Scheitelpunktform. - Wie bestimmt man die Steigung und den \(y\)-Achsenabschnitt einer Geraden aus dem Graphen? - Um die Schnittpunkte zu finden, musst du die Funktionsterme gleichsetzen und die entstehende quadratische Gleichung lösen. - Kannst du ein \(x\) ausklammern, um die Gleichung einfacher zu lösen?

1. Bestimmung der Funktionsgleichungen: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(S(2 \mid -4)\), also \(p(x) = (x - 2)^2 - 4\). In Normalform: \(p(x) = x^2 - 4x\). Die Gerade verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und hat die Steigung \(m = \frac{-1}{1} = -1\). Die Gleichung lautet \(g(x) = -x\). 2. Berechnung der Schnittpunkte durch Gleichsetzen: \(x^2 - 4x = -x\) \(x^2 - 3x = 0\) Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x - 3) = 0\) Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 3. Bestimmung der \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(g(x)\): \(y_1 = -0 = 0 \Rightarrow S_1(0 \mid 0)\) \(y_2 = -3 \Rightarrow S_2(3 \mid -3)\)

a) \(p(x) = (x - 2)^2 - 4\) (oder \(p(x) = x^2 - 4x\)) und \(g(x) = -x\) b) Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(3 \mid -3)\).

- Nutze den Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt auf dem Graphen, um die Parabelgleichung aufzustellen. - Für die Geradengleichung kannst du zwei Punkte ablesen und die Steigung sowie den \(y\)-Achsenabschnitt bestimmen. - Um Schnittpunkte zu finden, musst du die Funktionsterme gleichsetzen und die entstehende Gleichung nach \(x\) auflösen. - Vergiss nicht, die \(x\)-Werte wieder in eine der Gleichungen einzusetzen, um die zugehörigen \(y\)-Werte zu erhalten.

1. Bestimmung der Funktionsgleichungen: - Die Parabel \(p\) hat ihren Scheitelpunkt bei \(S(2 \mid -1)\) und verläuft durch den Punkt \((0 \mid 3)\). Einsetzen in die Scheitelpunktform \(y = a(x-x_S)^2 + y_S\) ergibt \(3 = a(0-2)^2 - 1\), also \(4 = 4a\) und somit \(a = 1\). Die Gleichung lautet \(p(x) = (x-2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 3\). - Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \((1 \mid 0)\) und \((3 \mid 2)\). Die Steigung ist \(m = \frac{2-0}{3-1} = 1\). Mit der Punkt-Steigungs-Form ergibt sich \(y - 0 = 1(x-1)\), also \(g(x) = x - 1\). 2. Berechnung der Schnittpunkte: - Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 4x + 3 = x - 1\). - Umformen zur Normalform: \(x^2 - 5x + 4 = 0\). - Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 - 4} = 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 - 4} = 2{,}5 \pm 1{,}5\). - Daraus folgen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\). - Bestimmung der \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(g(x)\): \(y_1 = 1 - 1 = 0\) und \(y_2 = 4 - 1 = 3\). - Die Schnittpunkte sind \(S_1(1 \mid 0)\) und \(S_2(4 \mid 3)\).

Die Funktionsgleichungen sind \(p(x) = x^2 - 4x + 3\) und \(g(x) = x - 1\). Die Schnittpunkte liegen bei \(S_1(1 \mid 0)\) und \(S_2(4 \mid 3)\).

- Überlege dir, was die Nullstellen einer Funktion mit einer Gleichung der Form \(f(x) = 0\) zu tun haben. - Wenn eine Gleichung in zwei Teile aufgeteilt wird (wie \(x^2 = -x + 2\)), was bedeuten dann die Schnittpunkte der beiden Graphen? - Achte beim Ablesen genau darauf, welche Koordinaten (x oder y) für die Lösung der Gleichung entscheidend sind. - Bestimme für die Rechnung zuerst die Werte für \(p\) und \(q\) aus der Normalform.

1. Beschreibung der Ansätze: Im Graphen a) ist die Funktion \(f(x) = x^2 + x - 2\) dargestellt; die Lösungen der Gleichung entsprechen den Nullstellen der Parabel, also den Schnittpunkten mit der \(x\)-Achse. Im Graphen b) wurde die Gleichung zu \(x^2 = -x + 2\) umgeformt; die Lösungen entsprechen hier den \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der Normalparabel \(y = x^2\) mit der Geraden \(y = -x + 2\). 2. Grafisches Ablesen: In beiden Fällen erkennt man die Lösungen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 1\). 3. Rechnerische Lösung: Die Gleichung \(x^2 + x - 2 = 0\) hat die Parameter \(p = 1\) und \(q = -2\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - (-2)} = -0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 2} = -0{,}5 \pm \sqrt{2{,}25} = -0{,}5 \pm 1{,}5\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 1\).

a) Ansatz a) nutzt die Nullstellen der Parabel \(f\). Ansatz b) nutzt die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte von Parabel und Gerade. b) Die Lösungen sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 1\). c) Die rechnerische Lösung bestätigt \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 1\).

- Nutze die Scheitelpunktform für die Parabel. - Für die Gerade kannst du den y-Achsenabschnitt und ein Steigungsdreieck nutzen. - Setze die beiden Funktionsterme gleich, um die gemeinsamen Punkte zu finden.

1. Parabel \(p\): Scheitelpunkt bei \((1 \mid 0)\), geht durch \((0 \mid 1)\). Gleichung: \(p(x) = (x - 1)^2\). 2. Gerade \(g\): Geht durch \((0 \mid -1)\) und \((1 \mid 0)\). Steigung \(m = 1\). Gleichung: \(g(x) = x - 1\). 3. Schnittpunkte berechnen: \((x - 1)^2 = x - 1\). Für \(x - 1 = 0\) gilt \(x = 1\). Für \(x - 1 \neq 0\) kann durch \((x - 1)\) dividiert werden; daraus folgt \(x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2\). Punkte: \(S_1(1 \mid 0)\) und \(S_2(2 \mid 1)\).

\(p(x) = (x - 1)^2\); \(g(x) = x - 1\). Schnittpunkte: \((1 \mid 0)\) und \((2 \mid 1)\).

- Überlege zuerst, welche Information du direkt an der \(y\)-Achse ablesen kannst. - Schau dir den zweiten Schnittpunkt der beiden Graphen genau an. Welche Koordinaten hat dieser Punkt? - Wie kannst du die Koordinaten eines bekannten Punktes nutzen, um eine fehlende Variable in einer Funktionsgleichung zu berechnen?

1. Bestimmung von \(c\): Da sich die Gerade \(g(x) = 2x + c\) und die Parabel \(f(x) = x^2 + bx + c\) auf der \(y\)-Achse schneiden, ist ihr gemeinsamer \(y\)-Achsenabschnitt \(c\). Dem Graphen ist zu entnehmen, dass dieser Schnittpunkt bei \(y = 6\) liegt, also ist \(c = 6\). 2. Bestimmung der Nullstelle: Die Gerade schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = -3\). Da dies laut Zeichnung auch ein Schnittpunkt mit der Parabel ist, gilt \(f(-3) = 0\). 3. Einsetzen und Lösen: Einsetzen der bekannten Werte in \(f(x)\) ergibt \(0 = (-3)^2 + b \cdot (-3) + 6\). Dies vereinfacht sich zu \(0 = 9 - 3b + 6\), also \(3b = 15\). Daraus folgt \(b = 5\).

\(b = 5\)

- Was verrät dir der Schnittpunkt der beiden Graphen auf der \(y\)-Achse über den Wert von \(k\)? - Findest du in der Zeichnung einen weiteren Punkt, an dem sich die Linien kreuzen? Notiere seine Koordinaten. - Wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt, müssen seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen. Nutze das für den zweiten Schnittpunkt.

1. Bestimmung von \(k\): Der Schnittpunkt auf der \(y\)-Achse liegt bei \(y = 3\). Da \(g(0) = k\), muss \(k = 3\) gelten. Damit lautet die Geradengleichung \(g(x) = -x + 3\). 2. Identifikation des zweiten Schnittpunkts: Dem Graphen ist zu entnehmen, dass sich die Parabel und die Gerade auch bei \(x = 1\) schneiden. 3. Berechnung des \(y\)-Wertes: Der Funktionswert der Geraden an dieser Stelle ist \(g(1) = -1 + 3 = 2\). Somit muss auch \(p(1) = 2\) gelten. 4. Berechnung von \(a\): Einsetzen von \(x = 1\) und \(y = 2\) in die Parabelgleichung ergibt \(2 = a \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 + 3\). Dies führt zu \(2 = a - 1\), woraus \(a = 3\) folgt.

\(a = 3\)

- Was bedeutet es für die Graphen, wenn beide Funktionen bei demselben \(x\)-Wert den Funktionswert \(0\) haben? - Berechne zuerst den fehlenden Wert für den Punkt auf dem ersten Graphen. - Wie bestimmt man den Abstand zwischen zwei Werten auf einer vertikalen Linie?

1. Nullstellen bestimmen: Für \(h(x) = 0\) gilt \(2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2\). Für \(k(x) = 0\) gilt \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\) oder \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\). 2. Begründung des Schnittpunkts: Da beide Funktionen an der Stelle \(x = -2\) eine Nullstelle haben, gilt \(h(-2) = 0\) und \(k(-2) = 0\). Somit besitzen beide Graphen den gemeinsamen Punkt \((-2|0)\), der auf der \(x\)-Achse liegt. 3. Punkt \(S\) und Lage zu \(G_k\): Berechnung von \(y_S\) durch Einsetzen in \(h\): \(h(1) = 2 \cdot 1 + 4 = 6\). Also \(S(1|6)\). Vergleich mit \(k(1)\): \(k(1) = (1 + 2)(1 - 3) = 3 \cdot (-2) = -6\). Da \(6 > -6\), liegt der Punkt \(S\) oberhalb des Graphen \(G_k\). 4. Vertikaler Abstand bei \(x = 0\): Berechne \(h(0) = 4\) und \(k(0) = (0 + 2)(0 - 3) = -6\). Der Abstand ist die Differenz der \(y\)-Werte: \(|4 - (-6)| = 10\).

a) Nullstelle von \(h\): \(x = -2\); Nullstellen von \(k\): \(x_1 = -2\), \(x_2 = 3\). b) Beide Funktionen haben bei \(x = -2\) eine Nullstelle, daher ist \((-2|0)\) ein gemeinsamer Punkt auf der \(x\)-Achse. c) Die \(y\)-Koordinate ist \(y_S = 6\). Der Punkt \(S(1|6)\) liegt oberhalb des Graphen \(G_k\). d) Der vertikale Abstand an der Stelle \(x = 0\) beträgt \(10\) Längeneinheiten.

- Wie verändert sich die Funktionsgleichung einer Geraden, wenn man sie nach oben verschiebt? - Welche Rolle spielt die Diskriminante, wenn wir wissen wollen, ob es überhaupt gemeinsame Punkte gibt? - Ab welchem Wert der Diskriminante wechselt der Zustand von „kein Schnittpunkt“ zu „mindestens ein Schnittpunkt“?

1. Nachweis fehlender Schnittpunkte: Gleichsetzen \(x^2 + 1 = x - 1 \Rightarrow x^2 - x + 2 = 0\). Diskriminante \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7\). Da \(D < 0\), gibt es keine reellen Lösungen und somit keine Schnittpunkte. 2. Untersuchung der Verschiebung: Gleichsetzen \(x^2 + 1 = x - 1 + d \Rightarrow x^2 - x + (2 - d) = 0\). 3. Bedingung für Berührung oder Schnitt: Die Diskriminante muss \(D \ge 0\) sein. 4. Berechnung von \(d\): \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - d) = 1 - 8 + 4d = 4d - 7\). 5. Ungleichung lösen: \(4d - 7 \ge 0 \Rightarrow 4d \ge 7 \Rightarrow d \ge 1{,}75\).

a) Die Diskriminante der Gleichung \(x^2 - x + 2 = 0\) ist \(D = -7\). Da \(D < 0\), existieren keine Schnittpunkte. b) Die Gerade muss um mindestens \(d = 1{,}75\) Einheiten nach oben verschoben werden.

- Welche mathematische Methode hilft dir, eine Gleichung der Form \(ax^2 + bx + c = 0\) zu lösen? - Ist es vorteilhaft, die Gleichung zuerst so zu multiplizieren, dass der Koeffizient vor \(x^2\) den Wert \(1\) annimmt? - Kannst du das Ergebnis als exakten Wert mit einer Wurzel stehen lassen, wenn die Wurzel keine ganze Zahl ergibt?

1. Gleichsetzen der Terme: \(0{,}5x^2 = x + 0{,}5\) 2. Umformen in die Normalform: \(x^2 - 2x - 1 = 0\) 3. Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen: \(x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}\) 4. Berechnung der \(y\)-Werte durch Einsetzen in \(g(x)\): \(y_1 = (1 + \sqrt{2}) + 0{,}5 = 1{,}5 + \sqrt{2}\) sowie \(y_2 = (1 - \sqrt{2}) + 0{,}5 = 1{,}5 - \sqrt{2}\) 5. Ergebnispunkte: \((1 + \sqrt{2} \mid 1{,}5 + \sqrt{2})\) und \((1 - \sqrt{2} \mid 1{,}5 - \sqrt{2})\)

Die Schnittpunkte liegen bei \((1 + \sqrt{2} \mid 1{,}5 + \sqrt{2})\) und \((1 - \sqrt{2} \mid 1{,}5 - \sqrt{2})\).

- Wann hat eine quadratische Gleichung genau eine Lösung? Erinnere dich an die Diskriminante. - Versuche zuerst, die beiden Gleichungen gleichzusetzen, um eine einzige Gleichung für \(x\) zu erhalten. - Was muss für den Term unter der Wurzel in der Lösungsformel gelten, damit es nur ein Ergebnis gibt?

1. Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für \(y\): \(x^2 - 4x + k = 2x - 5\) 2. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 6x + (k + 5) = 0\) 3. Bestimmung der Diskriminante \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k + 5) = 36 - 4k - 20 = 16 - 4k\) 4. Bedingung für genau eine Lösung festlegen (\(D = 0\)): \(16 - 4k = 0 \Rightarrow k = 4\) 5. Einsetzen von \(k = 4\) in die Gleichung: \(x^2 - 6x + 9 = 0\), woraus mit der binomischen Formel \((x - 3)^2 = 0\) folgt 6. Lösung für \(x\) ermitteln: \(x = 3\) 7. Berechnung des zugehörigen \(y\)-Wertes durch Einsetzen in die lineare Gleichung: \(y = 2 \cdot 3 - 5 = 1\) Das System hat für \(k = 4\) die einzige Lösung \((3|1)\).

a) \(k = 4\) b) \((3|1)\)

- Woran erkennst du bei einer quadratischen Gleichung, ob es keine, eine oder zwei Lösungen gibt? - Wenn eine Gerade eine Parabel „berührt“, was bedeutet das für die Anzahl der gemeinsamen Punkte? - Welcher Teil der Lösungsformel entscheidet über die Anzahl der Ergebnisse? - Stell dir vor, du schiebst die Gerade im Koordinatensystem nach oben – wie verändert sich die Lage zur Parabel?

1. Gleichsetzen: \(x^2 + 2x + 2 = -2x - 3\). 2. Normalform bilden: \(x^2 + 4x + 5 = 0\). 3. Diskriminante prüfen: \(D = (\frac{p}{2})^2 - q = 2^2 - 5 = 4 - 5 = -1\). Da \(D < 0\), gibt es keine reelle Lösung. 4. Für genau eine Lösung bei \(y = -2x + c\) setzen wir erneut gleich: \(x^2 + 2x + 2 = -2x + c \implies x^2 + 4x + (2 - c) = 0\). 5. Bedingung für eine Lösung (\(D = 0\)): \((\frac{4}{2})^2 - (2 - c) = 0 \implies 4 - 2 + c = 0 \implies 2 + c = 0 \implies c = -2\). 6. Für \(c = -2\) gibt es genau eine Lösung (Berührpunkt). 7. Wenn \(c > -2\), wird der Ausdruck \((2 - c)\) kleiner, wodurch die Diskriminante \(D = 4 - (2 - c) = 2 + c\) positiv wird. Somit entstehen zwei Schnittpunkte.

1) Die Diskriminante der Gleichung \(x^2+4x+5=0\) ist \(-1\); daher gibt es keine reellen Schnittpunkte. 2) Für \(c=-2\) berührt die Gerade die Parabel in genau einem Punkt. 3) Für \(c>-2\) gibt es zwei Schnittpunkte, weil dann die Diskriminante \(D=2+c\) positiv ist.

- Nutze markante Punkte wie den Scheitelpunkt, um die Funktionsgleichungen aufzustellen. - Um Schnittpunkte zu finden, musst du die Funktionsterme gleichsetzen. - Eine quadratische Gleichung lässt sich oft mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder durch Faktorisieren lösen. - Vergiss nicht, am Ende die \(y\)-Koordinaten zu berechnen, indem du die gefundenen \(x\)-Werte in eine der beiden Funktionen einsetzt.

1. Bestimmung der Funktionsgleichungen: - Parabel \(f\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(V_f(0 \mid -4)\). Da sie durch \((2 \mid 0)\) geht, handelt es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel: \(f(x) = x^2 - 4\). - Parabel \(g\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(V_g(1 \mid 1)\). Sie ist nach unten geöffnet und geht durch den Ursprung \((0 \mid 0)\). Mit der Scheitelpunktform \(g(x) = a(x-1)^2 + 1\) folgt durch Einsetzen von \((0 \mid 0)\): \(0 = a(0-1)^2 + 1 \Rightarrow -1 = a\). Damit ist \(g(x) = -(x-1)^2 + 1 = -(x^2 - 2x + 1) + 1 = -x^2 + 2x\). 2. Berechnung der Schnittpunkte: Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 4 = -x^2 + 2x\). Umformen zu einer quadratischen Gleichung: \(2x^2 - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 = 0\). Lösen mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder durch Faktorisieren: \(x_{1,2} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 2} = 0{,}5 \pm 1{,}5\). Es ergeben sich \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 3. Bestimmung der \(y\)-Koordinaten: - \(y_1 = f(-1) = (-1)^2 - 4 = -3\). Damit ist \(P(-1 \mid -3)\). - \(y_2 = f(2) = 2^2 - 4 = 0\). Damit ist \(Q(2 \mid 0)\).

a) Die Funktionsgleichungen lauten \(f(x) = x^2 - 4\) und \(g(x) = -x^2 + 2x\). b) Die Schnittpunkte sind \(P(-1 \mid -3)\) und \(Q(2 \mid 0)\).

- Bestimme zunächst die Funktionsgleichung der Parabel aus den markanten Punkten im Koordinatensystem. - Überlege dir, welcher Punkt allen Geraden der Schar gemeinsam ist \(h_m\). Fällt dir eine Ähnlichkeit zur Parabel auf? - Setze die beiden Funktionsterme gleich. Eine kleine Ersetzung (Substitution) könnte die entstehende Gleichung viel einfacher aussehen lassen. - Wann hat eine quadratische Gleichung keine Lösung? Nutze dieses Wissen, um eine Bedingung für die Steigung \(m\) aufzustellen.

1. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(f\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2 \mid 1)\). Die Parabel verläuft durch \((0 \mid 2)\). Mit \(f(x) = a(x-2)^2 + 1\) folgt \(2 = 4a + 1\), also \(a = 0{,}25\). Damit gilt \(f(x) = 0{,}25(x-2)^2 + 1\). 2. Gleichsetzen von Parabel und Gerade: \(0{,}25(x-2)^2 + 1 = m(x-2)\). 3. Mit der Substitution \(u = x-2\) erhält man \(0{,}25u^2 - mu + 1 = 0\). 4. Die Diskriminante lautet \(D = (-m)^2 - 4 \cdot 0{,}25 \cdot 1 = m^2 - 1\). 5. Für keine Schnittpunkte muss \(D < 0\) gelten: \(m^2 - 1 < 0 \Rightarrow -1 < m < 1\). 6. Für \(-1 < m < 1\) schneidet die Gerade \(h_m\) die Parabel nicht.

Die Gerade \(h_m\) schneidet die Parabel \(G_f\) nicht, wenn für die Steigung \(m\) gilt: \(-1 < m < 1\).