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- Was bedeutet es für die Funktionswerte, wenn zwei Graphen sich schneiden? - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite null steht? - Welche Formel hilft dir, eine Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\) zu lösen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 = 2x + 8\) 2. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 2x - 8 = 0\) 3. Anwendung der \(pq\)-Formel mit \(p = -2\) und \(q = -8\): \(x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2 - (-8)}\) 4. Berechnen der Diskriminante: \(1 + 8 = 9\) 5. Ziehen der Wurzel und Bestimmen der Lösungen: \(x = 1 \pm 3\) 6. Ergebnisse: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\)

Die Funktionen haben an den Stellen \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\) den gleichen Funktionswert.

- Wie gehst du vor, wenn du die Stellen finden möchtest, an denen zwei Funktionen denselben Wert haben? - Kannst du die Gleichung so vereinfachen, dass nur noch \(x^2\) auf einer Seite steht? - Denk beim Wurzelziehen daran, dass es zwei Zahlen geben kann, deren Quadrat den gleichen Wert ergibt.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 2 = -x^2 + 6\) 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x^2\) auf einer Seite und der Konstanten auf der anderen Seite: \(2x^2 = 8\) 3. Division durch 2, um \(x^2\) zu isolieren: \(x^2 = 4\) 4. Ziehen der Quadratwurzel unter Berücksichtigung beider Vorzeichen: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) 5. Einsetzen der \(x\)-Werte in eine der Ausgangsgleichungen, zum Beispiel \(f(x)\): Für \(x_1 = 2\): \(f(2) = 2^2 - 2 = 2\) Für \(x_2 = -2\): \(f(-2) = (-2)^2 - 2 = 2\) 6. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(2|2)\) und \(S_2(-2|2)\)

Die Schnittpunkte der beiden Parabeln sind \(S_1(2|2)\) und \(S_2(-2|2)\).

- Kannst du die Gleichung als einen Vergleich zweier einfacherer Funktionen betrachten? - Was bedeutet es für die Graphen, wenn zwei Funktionsterme gleichgesetzt werden? - An welcher Achse liest du die gesuchten Werte für die Unbekannte ab?

1. Um die Gleichung grafisch zu lösen, werden die Graphen der Funktionen \(f(x) = x^2\) (Normalparabel) und \(g(x) = -2x + 3\) (Gerade) in ein Koordinatensystem gezeichnet. 2. Die Lösungen der Gleichung entsprechen den \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen, da an diesen Stellen \(f(x) = g(x)\) gilt. 3. Die Graphen schneiden sich an den Stellen \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\). Dies sind die Lösungen der Gleichung.

Die Lösungen sind \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\).

- Was passiert, wenn du die beiden Ausdrücke für \(y\) gleichsetzt? - Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung in Abhängigkeit von der Diskriminante haben? - In welcher Form der Funktionsgleichung lässt sich der tiefste Punkt einer Parabel direkt ablesen? - Vergleiche den \(y\)-Wert des Scheitelpunktes mit dem \(y\)-Wert der Geraden.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 4x + 6 = 1\). 2. Umformen in die Normalform durch Subtraktion von 1: \(x^2 - 4x + 5 = 0\). 3. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel zur Bestimmung der Diskriminante \(D\): \(D = \left(\frac{-4}{2}\right)^2 - 5 = 4 - 5 = -1\). 4. Da \(D < 0\), besitzt die quadratische Gleichung keine reelle Lösung. 5. Bestimmung des Scheitelpunktes der Parabel durch quadratische Ergänzung: \(y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 6 = (x - 2)^2 + 2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2|2)\). 6. Da die Parabel nach oben geöffnet ist und ihr Minimum bei \(y = 2\) liegt, verlaufen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden \(y = 1\). Somit gibt es keine Schnittpunkte.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung, da die Diskriminante \(D = -1\) negativ ist. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(S(2|2)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegen alle ihre Punkte oberhalb der Geraden \(y = 1\), was das Fehlen von Lösungen geometrisch bestätigt.

- Was fällt dir an der Struktur der beiden Gleichungen auf? Sind sie bereits nach einer Variablen umgestellt? - Wenn zwei Ausdrücke denselben Wert (hier \(y\)) ergeben, was kannst du dann über die Ausdrücke selbst sagen? - Wie gehst du vor, wenn du eine Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\) lösen musst? - Vergiss nicht, am Ende für jedes gefundene \(x\) auch den passenden Partnerwert \(y\) zu bestimmen.

1. Begründung: Da beide Gleichungen bereits nach \(y\) aufgelöst sind, ermöglicht das Gleichsetzungsverfahren eine direkte Reduktion auf eine Gleichung mit nur einer Variablen (\(x\)). 2. Gleichsetzen der Terme für \(y\): \(x^2 - 4x + 1 = 2x - 4\). 3. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 6x + 5 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 5} = 3 \pm 2\). Daraus folgen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 5. Berechnen der zugehörigen \(y\)-Werte durch Einsetzen in Gleichung (2): \(y_1 = 2 \cdot 1 - 4 = -2\) und \(y_2 = 2 \cdot 5 - 4 = 6\). 6. Lösungsmenge: \(L = \{(1 | -2); (5 | 6)\}\).

\(L = \{(1 | -2); (5 | 6)\}\)

- Wähle für dein Koordinatensystem einen passenden Bereich für die Achsen, zum Beispiel von \(-4\) bis \(4\) auf der \(x\)-Achse. - Erstelle für die Parabel eine Wertetabelle, um sie genauer zeichnen zu können. - Wie viele Schnittpunkte erwartest du bei einer Parabel und einer Geraden maximal? - Wenn du die Graphen gezeichnet hast, kannst du die Koordinaten der Kreuzungspunkte direkt ablesen.

1. Zeichne die Parabel \(y=x^2-3\), zum Beispiel mithilfe der Punkte \((-2 | 1)\), \((-1 | -2)\), \((0 | -3)\), \((1 | -2)\), \((2 | 1)\) und \((3 | 6)\), sowie die Gerade \(y=2x\), zum Beispiel durch \((0 | 0)\) und \((1 | 2)\). 2. Aus der Zeichnung lassen sich die Schnittpunkte \(S_1(3 | 6)\) und \(S_2(-1 | -2)\) ablesen. 3. Rechnerische Überprüfung durch Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 3 = 2x\). 4. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 2x - 3 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2\). Daraus ergeben sich die Stellen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 6. Berechnen der \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(y = 2x\): Für \(x_1 = 3\) ist \(y_1 = 6\), für \(x_2 = -1\) ist \(y_2 = -2\). 7. Die Schnittpunkte liegen bei \(S_1(3 | 6)\) und \(S_2(-1 | -2)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(3 | 6)\) und \(S_2(-1 | -2)\).

- Wie sieht der Graph einer Funktion aus, bei der \(x\) quadriert wird? - Was für eine Linie ergibt sich, wenn der Funktionswert immer \(3\) ist? - Achte darauf, wie oft sich die Kurve und die Gerade treffen. - Sind die Schnittpunkte symmetrisch zur \(y\)-Achse?

1. Zuordnung der Funktionen \(f(x) = x^2 - 1\) und \(g(x) = 3\). 2. Zeichnen der Parabel \(f\) (Normalparabel, um eine Einheit nach unten verschoben) und der waagerechten Geraden \(g\) auf der Höhe \(y = 3\). 3. Feststellung, dass die Gerade die Parabel an zwei Stellen schneidet, woraus folgt, dass es zwei Lösungen gibt. 4. Ablesen der \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte \(S_1(-2 | 3)\) und \(S_2(2 | 3)\). 5. Die Lösungen sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\).

a) Zeichnung der Parabel \(f(x) = x^2 - 1\) und der Geraden \(g(x) = 3\). b) Es gibt zwei Lösungen, da es zwei Schnittpunkte gibt. c) \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\).

- Bringe zuerst alle Terme auf eine Seite der Gleichung. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Gleichungen und dem Schnitt von Funktionsgraphen. - Was stellt ein Gleichheitszeichen zwischen zwei Termen grafisch dar?

1. Teil a): Umformen der Gleichung \(x^2 - 4 = x + 2\) in die Normalform durch Subtraktion von \(x\) und \(2\): \(x^2 - x - 6 = 0\) 2. Anwendung der \(pq\)-Formel mit \(p = -1\) und \(q = -6\): \(x_{1,2} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 6}\) 3. Berechnen der Wurzel: \(\sqrt{6{,}25} = 2{,}5\) 4. Bestimmen der Lösungen: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-2; 3\}\) 5. Teil b): Die Lösungen der Gleichung entsprechen den \(x\)-Koordinaten (Stellen) der Schnittpunkte der Graphen von \(f\) und \(g\)

a) Die Lösungsmenge ist \(L = \{-2; 3\}\). b) Die Lösungen sind die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von \(f(x)\) und \(g(x)\).

- Welche zwei einfachen Funktionstypen erkennst du auf der linken und rechten Seite der Gleichung? - Erinnere dich daran, wie man eine Steigung von \(1{,}5\) mit einem Steigungsdreieck darstellt. - Die Lösungen der Gleichung entsprechen den \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen.

1. Aufteilen der Gleichung in zwei Funktionen: \(f(x) = x^2\) (Normalparabel) und \(g(x) = 1{,}5x + 1\) (Gerade). 2. Zeichnen der Normalparabel durch markante Punkte wie \((0|0)\), \((\pm 1|1)\), \((\pm 2|4)\). 3. Zeichnen der Geraden mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 1\) und der Steigung \(m = 1{,}5\). 4. Ablesen der \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte beider Graphen. 5. Die Schnittpunkte liegen bei \(P_1(-0{,}5|0{,}25)\) und \(P_2(2|4)\). 6. Die Lösungsmenge der Gleichung ist \(L = \{-0{,}5; 2\}\).

\(L = \{-0{,}5; 2\}\)

- Was musst du auf beiden Seiten der Gleichung rechnen, damit \(x^2\) alleine steht? - Wenn du die Graphen gezeichnet hast, schau dir an, ob sie sich irgendwo berühren oder kreuzen. - Was bedeutet es für eine Gleichung, wenn die zugehörigen Graphen keinen gemeinsamen Punkt haben?

1. Umformung der Gleichung durch Subtraktion von \(4\): \(x^2 = 2x - 4\). 2. Definition der Funktionen \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = 2x - 4\). 3. Zeichnen der Normalparabel \(f(x)\). 4. Zeichnen der Geraden \(g(x)\) mit \(y\)-Achsenabschnitt \(-4\) und Steigung \(2\). 5. Beobachtung: Die Gerade verläuft vollständig unterhalb der Parabel. Es gibt keine gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte). 6. Da es keine Schnittpunkte gibt, hat die Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\).

Die Gleichung hat keine Lösung (\(L = \emptyset\)), da die Graphen von \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = 2x - 4\) keinen Schnittpunkt besitzen.

- Erstelle für die Parabel \(f(x) = 0{,}5x^2\) am besten eine kleine Wertetabelle, da sie breiter ist als die Normalparabel. - Achte beim Einsetzen zur Probe darauf, die Klammern bei negativen Zahlen richtig zu setzen. - Wie viele Schnittpunkte erwartest du bei dieser Art von Gleichung maximal?

1. Zeichnen der gestauchten Parabel \(f(x) = 0{,}5x^2\) (Wertetabelle: \((-2|2)\), \((0|0)\), \((2|2)\), \((4|8)\)). 2. Zeichnen der Geraden \(g(x) = x + 4\) durch die Punkte \((0|4)\) und \((-4|0)\). 3. Identifikation der Schnittpunkte durch Ablesen: \(S_1(-2|2)\) und \(S_2(4|8)\). 4. Die \(x\)-Werte der Schnittpunkte sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\). 5. Überprüfung durch Einsetzen: Für \(x = -2\): \(0{,}5 \cdot (-2)^2 = 0{,}5 \cdot 4 = 2\); \( -2 + 4 = 2\). (Wahr) Für \(x = 4\): \(0{,}5 \cdot 4^2 = 0{,}5 \cdot 16 = 8\); \( 4 + 4 = 8\). (Wahr) 6. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-2; 4\}\).

\(L = \{-2; 4\}\)

- Wie hängen die Öffnungsrichtung und der Scheitelpunkt einer Parabel mit der Anzahl der Schnittpunkte einer waagerechten Geraden zusammen? - Was gibt der \(y\)-Wert des Scheitelpunktes über den tiefsten oder höchsten Punkt der Parabel an? - Erinnere dich an die Bedingung für die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung.

1. Berechnung des Scheitelpunktes von \(f(x) = x^2 - 4x + 7\): Durch quadratische Ergänzung erhält man \(f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2|3)\). 2. Bestimmung der Schnittpunkte mit \(y = c\): Die Gleichung \(x^2 - 4x + 7 = c\) bzw. \(x^2 - 4x + (7 - c) = 0\) hat genau zwei Lösungen, wenn die Diskriminante \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7 - c) > 0\) ist. 3. Auflösen der Ungleichung: \(16 - 28 + 4c > 0 \Rightarrow 4c - 12 > 0 \Rightarrow 4c > 12 \Rightarrow c > 3\). Alternativ: Da die Parabel nach oben geöffnet ist und ihr Minimum im Scheitelpunkt bei \(y = 3\) liegt, gibt es für alle \(y\)-Werte oberhalb des Scheitelpunktes zwei Schnittpunkte. 4. Analyse für \(c = 2\): Da der kleinste Funktionswert der Parabel \(y = 3\) ist, liegt die Gerade \(y = 2\) vollständig unterhalb der Parabel. Es gibt keine Schnittpunkte.

a) Der Scheitelpunkt ist \(S(2|3)\). b) Für \(c > 3\) gibt es genau zwei Schnittpunkte. c) Es gibt keine Schnittpunkte, da die Gerade \(y = 2\) unterhalb des Scheitelpunktes (\(y = 3\)) der nach oben geöffneten Parabel verläuft.

- Wann hat eine quadratische Gleichung genau eine Lösung? - Was bedeutet es geometrisch, wenn eine Gerade eine Kurve berührt? - Welches Werkzeug hilft dir, die Anzahl der Lösungen einer Gleichung der Form \(ax^2 + bx + c = 0\) zu bestimmen?

1. Gleichsetzen der Funktionen: \(-x^2 + 3 = 2x + n\). 2. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 + 2x + (n - 3) = 0\). 3. Bedingung für genau einen Schnittpunkt (Tangente): Die Diskriminante \(D\) der Gleichung muss gleich null sein. 4. Berechnung von \(n\): \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (n - 3) = 4 - 4n + 12 = 16 - 4n\). Setze \(16 - 4n = 0 \Rightarrow n = 4\). 5. Berechnung des Berührpunktes: Setze \(n = 4\) in die Gleichung ein: \(x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 1)^2 = 0\). Die Lösung ist \(x = -1\). 6. Berechnung des \(y\)-Werts: \(g(-1) = 2 \cdot (-1) + 4 = 2\). Der Berührpunkt ist \(B(-1|2)\).

Der Wert ist \(n = 4\). Der Berührpunkt liegt bei \(B(-1|2)\).

- Wie findet man mathematisch heraus, wo sich zwei Graphen treffen? - Welche Form muss eine Gleichung haben, damit du die \(pq\)-Formel oder die Mitternachtsformel anwenden kannst? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er „auf einem Graphen liegt“?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme für Teil a): \(x^2 - 4x + 5 = x + 1\) 2. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 5x + 4 = 0\) 3. Lösen der Gleichung (z. B. mit der \(pq\)-Formel): \(x_{1,2} = 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 - 4} = 2{,}5 \pm 1{,}5\). Daraus folgen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\). 4. Berechnen der zugehörigen \(y\)-Werte durch Einsetzen in die Geradengleichung: \(y_1 = 1 + 1 = 2\) und \(y_2 = 4 + 1 = 5\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(1|2)\) und \(S_2(4|5)\). 5. Punktprobe für Teil b): Einsetzen von \(x = 2{,}5\) in \(g\): \(y = 2{,}5 + 1 = 3{,}5\). Der Punkt \(Q\) liegt auf der Geraden. 6. Einsetzen von \(x = 2{,}5\) in \(p\): \(y = 2{,}5^2 - 4 \cdot 2{,}5 + 5 = 6{,}25 - 10 + 5 = 1{,}25\). Da \(1{,}25 \neq 3{,}5\), liegt \(Q\) nicht auf der Parabel.

a) Die Schnittpunkte sind \(S_1(1|2)\) und \(S_2(4|5)\). b) Der Punkt \(Q\) liegt nur auf der Geraden \(g\), aber nicht auf der Parabel \(p\).

- Was muss für die Funktionswerte beider Graphen an einem gemeinsamen Punkt gelten? - Wie kannst du eine Gleichung so umformen, dass du eine bekannte Lösungsformel anwenden kannst? - Was sagt der Wert unter der Wurzel (die Diskriminante) über die Anzahl der gemeinsamen Punkte aus? - Wie findest du den passenden \(y\)-Wert, wenn du den \(x\)-Wert bereits kennst?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme zur Bestimmung der Schnittpunkte: \(x^2 - 4x + 3 = 2x - 6\) 2. Umformen der Gleichung in die Normalform: \(x^2 - 6x + 9 = 0\) 3. Lösen der quadratischen Gleichung, zum Beispiel mit der \(pq\)-Formel: \(x_{1,2} = -(\frac{-6}{2}) \pm \sqrt{(\frac{-6}{2})^2 - 9} = 3 \pm \sqrt{9 - 9} = 3 \pm 0\) 4. Da die Diskriminante unter der Wurzel null ist, existiert genau eine Lösung \(x = 3\). Dies kennzeichnet mathematisch einen Berührpunkt statt zwei Schnittpunkten. 5. Einsetzen von \(x = 3\) in die Geradengleichung zur Berechnung des \(y\)-Werts: \(g(3) = 2 \cdot 3 - 6 = 0\) 6. Der Berührpunkt liegt bei \(B(3|0)\).

Der gemeinsame Punkt ist der Berührpunkt \(B(3|0)\). Da die Diskriminante null ist, gibt es genau eine Lösung und damit genau einen gemeinsamen Punkt; dieser ist ein Berührpunkt.

- Welchen ersten Schritt musst du immer ausführen, um Schnittpunkte zu finden? - Wie gehst du mit Klammern wie \((x - 2)^2\) in einer Gleichung um? - Gibt es eine Kennzahl in der Lösungsformel, die dir sofort verrät, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat? - Was bedeutet es für die Graphen, wenn die zugehörige Gleichung keine Lösung besitzt?

1. Gleichsetzen: \((x - 2)^2 + 3 = x\) 2. Ausmultiplizieren der binomischen Formel: \(x^2 - 4x + 4 + 3 = x\) 3. Zusammenfassen zur Normalform: \(x^2 - 5x + 7 = 0\) 4. Prüfung der Lösbarkeit mit der Diskriminante \(D\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3\) 5. Da die Diskriminante negativ ist (\(D < 0\)), besitzt die Gleichung keine reellen Lösungen. 6. Ergebnis: Die Graphen haben keine gemeinsamen Punkte.

Die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) haben keine gemeinsamen Punkte.

- Wie gehst du vor, um herauszufinden, ob zwei Graphen gemeinsame Punkte haben? - Achte beim Umformen der Gleichung auf die Vorzeichen, besonders wenn du mit negativen Zahlen multiplizierst. - Was sagt das Ergebnis der Diskriminante über die Anzahl der Schnittpunkte aus? - Welche Fachbegriffe kennst du für Geraden, die eine Kurve entweder zweimal, einmal oder gar nicht schneiden?

1. Gleichsetzen der Funktionsgleichungen: \(-0{,}5x^2 + 2x - 4 = 0{,}5x - 1\). 2. Zusammenfassen und Umformen auf eine Seite: \(-0{,}5x^2 + 1{,}5x - 3 = 0\). 3. Multiplikation der Gleichung mit \(-2\), um die Normalform zu erhalten: \(x^2 - 3x + 6 = 0\). 4. Berechnung der Diskriminante \(D\) (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(D = \left(\frac{-3}{2}\right)^2 - 6 = 2{,}25 - 6 = -3{,}75\). 5. Da \(D < 0\), existiert kein reeller Wert für \(x\), der beide Gleichungen erfüllt. 6. Schlussfolgerung: Es gibt keine Schnittpunkte. Geometrisch betrachtet handelt es sich bei der Geraden um eine Passante der Parabel.

Die Rechnung ergibt eine negative Diskriminante (\(D = -3{,}75\)), woraus folgt, dass es keine gemeinsamen Punkte gibt. Die Gerade \(g\) ist somit eine Passante der Parabel \(p\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Graphen schneiden? - Wie viele Lösungen muss eine quadratische Gleichung haben, damit es genau einen Berührpunkt gibt? - Erinnerst du dich an die Diskriminante (den Teil unter der Wurzel) in der Lösungsformel? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite Null steht?

1. Fall \(m = -2\): Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt \(x^2 - 4x + 3 = -2x + 3\). 2. Vereinfachen zu \(x^2 - 2x = 0\) führt durch Ausklammern zu den Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Einsetzen in die Geradengleichung ergibt die Schnittpunkte \(S_1(0|3)\) und \(S_2(2|-1)\). 4. Fall für genau einen gemeinsamen Punkt: Gleichsetzen ergibt \(x^2 - (4+m)x = 0\). 5. Eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\) hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante \(D = (\frac{p}{2})^2 - q\) null ist. Hier ist \(q = 0\), also muss \((\frac{4+m}{2})^2 = 0\) gelten. 6. Daraus folgt \(4 + m = 0\), also \(m = -4\). 7. Der einzige Schnittpunkt (Berührpunkt) liegt bei \(x = 0\). Einsetzen in die Gleichung ergibt \(B(0|3)\).

a) Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|3)\) und \(S_2(2|-1)\). b) Für \(m = -4\) gibt es genau einen Berührpunkt bei \(B(0|3)\).

- Was muss für die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung gelten, damit es genau einen gemeinsamen Punkt gibt? - Erinnere dich an die Rolle der Diskriminante in der Mitternachtsformel oder p-q-Formel. - Wie sieht die Gleichung aus, wenn du die Terme für \(y\) gleichsetzt? - Wenn du den Parameter \(c\) gefunden hast, wie kommst du dann auf die zugehörige Stelle \(x\)?

1. Die Funktionsterme der Parabel und der Geraden gleichsetzen: \(x^2 - 4x + 5 = 2x + c\). 2. Die Gleichung in die Normalform \(x^2 - 6x + (5 - c) = 0\) überführen. 3. Die Diskriminante \(D\) dieser quadratischen Gleichung aufstellen: \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - c) = 36 - 20 + 4c = 16 + 4c\). 4. Damit es genau einen Berührpunkt gibt, muss die Diskriminante Null sein: \(16 + 4c = 0\). 5. Die Gleichung nach \(c\) auflösen ergibt \(c = -4\). 6. Den Wert \(c = -4\) in die Normalform einsetzen: \(x^2 - 6x + 9 = 0\). 7. Die Lösung für \(x\) berechnen: \(x = 3\). 8. Den \(y\)-Wert durch Einsetzen in die Geraden- oder Parabelgleichung bestimmen: \(y = 2 \cdot 3 + (-4) = 2\). 9. Der Berührpunkt ist \(B(3 | 2)\).

Der Wert ist \(c = -4\). Der Berührpunkt liegt bei \(B(3 | 2)\).

- Was ist das Besondere an dem Punkt einer Parabel, an dem eine horizontale Gerade nur einen einzigen Kontaktpunkt hat? - Überlege dir, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist. - Wie findet man die Mitte zwischen zwei Nullstellen? - Vergleiche den Wert von \(c\) mit dem \(y\)-Wert des höchsten Punktes der Kurve.

1. Eine horizontale Gerade berührt eine nach unten geöffnete Parabel genau dann in einem Punkt, wenn sie durch den Scheitelpunkt der Parabel verläuft. 2. Bestimmung des Scheitelpunkts von \(p(x) = -x^2 + 4x\): Ausklammern ergibt \(y = -x(x - 4)\). Die Nullstellen liegen bei \(x = 0\) und \(x = 4\). Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts liegt genau in der Mitte: \(x_S = 2\). 3. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts: \(y_S = -(2)^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4\). 4. Für \(c = 4\) gibt es genau einen Berührpunkt, nämlich den Scheitelpunkt \(S(2 | 4)\). 5. Da der Scheitelpunkt der höchste Punkt der nach unten geöffneten Parabel ist (\(y_{max} = 4\)), liegt die Gerade \(y = 5\) komplett oberhalb der Parabel. Es gibt also keine Schnittpunkte.

a) \(c = 4\) b) Der Berührpunkt ist \((2 | 4)\). c) Für \(c = 5\) gibt es keine Schnittpunkte, da die Gerade oberhalb des Scheitelpunkts der nach unten geöffneten Parabel verläuft.

- Was bedeutet es für die Graphen, wenn beide Funktionen bei demselben \(x\)-Wert den Funktionswert \(0\) haben? - Berechne zuerst den fehlenden Wert für den Punkt auf dem ersten Graphen. - Wie bestimmt man den Abstand zwischen zwei Werten auf einer vertikalen Linie?

1. Nullstellen bestimmen: Für \(h(x) = 0\) gilt \(2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2\). Für \(k(x) = 0\) gilt \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\) oder \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\). 2. Begründung des Schnittpunkts: Da beide Funktionen an der Stelle \(x = -2\) eine Nullstelle haben, gilt \(h(-2) = 0\) und \(k(-2) = 0\). Somit besitzen beide Graphen den gemeinsamen Punkt \((-2|0)\), der auf der \(x\)-Achse liegt. 3. Punkt \(S\) und Lage zu \(G_k\): Berechnung von \(y_S\) durch Einsetzen in \(h\): \(h(1) = 2 \cdot 1 + 4 = 6\). Also \(S(1|6)\). Vergleich mit \(k(1)\): \(k(1) = (1 + 2)(1 - 3) = 3 \cdot (-2) = -6\). Da \(6 > -6\), liegt der Punkt \(S\) oberhalb des Graphen \(G_k\). 4. Vertikaler Abstand bei \(x = 0\): Berechne \(h(0) = 4\) und \(k(0) = (0 + 2)(0 - 3) = -6\). Der Abstand ist die Differenz der \(y\)-Werte: \(|4 - (-6)| = 10\).

a) Nullstelle von \(h\): \(x = -2\); Nullstellen von \(k\): \(x_1 = -2\), \(x_2 = 3\). b) Beide Funktionen haben bei \(x = -2\) eine Nullstelle, daher ist \((-2|0)\) ein gemeinsamer Punkt auf der \(x\)-Achse. c) Die \(y\)-Koordinate ist \(y_S = 6\). Der Punkt \(S(1|6)\) liegt oberhalb des Graphen \(G_k\). d) Der vertikale Abstand an der Stelle \(x = 0\) beträgt \(10\) Längeneinheiten.

- Wie verändert sich die Funktionsgleichung einer Geraden, wenn man sie nach oben verschiebt? - Welche Rolle spielt die Diskriminante, wenn wir wissen wollen, ob es überhaupt gemeinsame Punkte gibt? - Ab welchem Wert der Diskriminante wechselt der Zustand von „kein Schnittpunkt“ zu „mindestens ein Schnittpunkt“?

1. Nachweis fehlender Schnittpunkte: Gleichsetzen \(x^2 + 1 = x - 1 \Rightarrow x^2 - x + 2 = 0\). Diskriminante \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7\). Da \(D < 0\), gibt es keine reellen Lösungen und somit keine Schnittpunkte. 2. Untersuchung der Verschiebung: Gleichsetzen \(x^2 + 1 = x - 1 + d \Rightarrow x^2 - x + (2 - d) = 0\). 3. Bedingung für Berührung oder Schnitt: Die Diskriminante muss \(D \ge 0\) sein. 4. Berechnung von \(d\): \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - d) = 1 - 8 + 4d = 4d - 7\). 5. Ungleichung lösen: \(4d - 7 \ge 0 \Rightarrow 4d \ge 7 \Rightarrow d \ge 1{,}75\).

a) Die Diskriminante der Gleichung \(x^2 - x + 2 = 0\) ist \(D = -7\). Da \(D < 0\), existieren keine Schnittpunkte. b) Die Gerade muss um mindestens \(d = 1{,}75\) Einheiten nach oben verschoben werden.

- Welche mathematische Methode hilft dir, eine Gleichung der Form \(ax^2 + bx + c = 0\) zu lösen? - Ist es vorteilhaft, die Gleichung zuerst so zu multiplizieren, dass der Koeffizient vor \(x^2\) den Wert \(1\) annimmt? - Kannst du das Ergebnis als exakten Wert mit einer Wurzel stehen lassen, wenn die Wurzel keine ganze Zahl ergibt?

1. Gleichsetzen der Terme: \(0{,}5x^2 = x + 0{,}5\) 2. Umformen in die Normalform: \(x^2 - 2x - 1 = 0\) 3. Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen: \(x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}\) 4. Berechnung der \(y\)-Werte durch Einsetzen in \(g(x)\): \(y_1 = (1 + \sqrt{2}) + 0{,}5 = 1{,}5 + \sqrt{2}\) sowie \(y_2 = (1 - \sqrt{2}) + 0{,}5 = 1{,}5 - \sqrt{2}\) 5. Ergebnispunkte: \((1 + \sqrt{2} \mid 1{,}5 + \sqrt{2})\) und \((1 - \sqrt{2} \mid 1{,}5 - \sqrt{2})\)

Die Schnittpunkte liegen bei \((1 + \sqrt{2} \mid 1{,}5 + \sqrt{2})\) und \((1 - \sqrt{2} \mid 1{,}5 - \sqrt{2})\).

- Wann hat eine quadratische Gleichung genau eine Lösung? Erinnere dich an die Diskriminante. - Versuche zuerst, die beiden Gleichungen gleichzusetzen, um eine einzige Gleichung für \(x\) zu erhalten. - Was muss für den Term unter der Wurzel in der Lösungsformel gelten, damit es nur ein Ergebnis gibt?

1. Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für \(y\): \(x^2 - 4x + k = 2x - 5\) 2. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 6x + (k + 5) = 0\) 3. Bestimmung der Diskriminante \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k + 5) = 36 - 4k - 20 = 16 - 4k\) 4. Bedingung für genau eine Lösung festlegen (\(D = 0\)): \(16 - 4k = 0 \Rightarrow k = 4\) 5. Einsetzen von \(k = 4\) in die Gleichung: \(x^2 - 6x + 9 = 0\), woraus mit der binomischen Formel \((x - 3)^2 = 0\) folgt 6. Lösung für \(x\) ermitteln: \(x = 3\) 7. Berechnung des zugehörigen \(y\)-Wertes durch Einsetzen in die lineare Gleichung: \(y = 2 \cdot 3 - 5 = 1\) Das System hat für \(k = 4\) die einzige Lösung \((3|1)\).

a) \(k = 4\) b) \((3|1)\)

- Woran erkennst du bei einer quadratischen Gleichung, ob es keine, eine oder zwei Lösungen gibt? - Wenn eine Gerade eine Parabel „berührt“, was bedeutet das für die Anzahl der gemeinsamen Punkte? - Welcher Teil der Lösungsformel entscheidet über die Anzahl der Ergebnisse? - Stell dir vor, du schiebst die Gerade im Koordinatensystem nach oben – wie verändert sich die Lage zur Parabel?

1. Gleichsetzen: \(x^2 + 2x + 2 = -2x - 3\). 2. Normalform bilden: \(x^2 + 4x + 5 = 0\). 3. Diskriminante prüfen: \(D = (\frac{p}{2})^2 - q = 2^2 - 5 = 4 - 5 = -1\). Da \(D < 0\), gibt es keine reelle Lösung. 4. Für genau eine Lösung bei \(y = -2x + c\) setzen wir erneut gleich: \(x^2 + 2x + 2 = -2x + c \implies x^2 + 4x + (2 - c) = 0\). 5. Bedingung für eine Lösung (\(D = 0\)): \((\frac{4}{2})^2 - (2 - c) = 0 \implies 4 - 2 + c = 0 \implies 2 + c = 0 \implies c = -2\). 6. Für \(c = -2\) gibt es genau eine Lösung (Berührpunkt). 7. Wenn \(c > -2\), wird der Ausdruck \((2 - c)\) kleiner, wodurch die Diskriminante \(D = 4 - (2 - c) = 2 + c\) positiv wird. Somit entstehen zwei Schnittpunkte.

1) Die Diskriminante der Gleichung \(x^2+4x+5=0\) ist \(-1\); daher gibt es keine reellen Schnittpunkte. 2) Für \(c=-2\) berührt die Gerade die Parabel in genau einem Punkt. 3) Für \(c>-2\) gibt es zwei Schnittpunkte, weil dann die Diskriminante \(D=2+c\) positiv ist.