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- Ein Schnittpunkt ist ein Punkt, der auf beiden Graphen gleichzeitig liegt. - Lies für jeden dieser Punkte sowohl den Wert auf der x-Achse als auch den Wert auf der y-Achse ab.

1. Suche im Diagramm nach den Stellen, an denen sich die Parabel und die Gerade kreuzen. 2. Der linke Schnittpunkt \(P\) liegt bei \(x = -1\). Die zugehörige y-Koordinate ist \(-3\). Also \(P(-1 \mid -3)\). 3. Der rechte Schnittpunkt \(Q\) liegt bei \(x = 3\). Die zugehörige y-Koordinate ist \(5\). Also \(Q(3 \mid 5)\).

Die Schnittpunkte sind \(P(-1 \mid -3)\) und \(Q(3 \mid 5)\).

- Was bedeutet ein Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen für ihre Funktionswerte? - Zähle nur die tatsächlichen Schnittpunkte der beiden dargestellten Graphen.

1. Die Graphen von \(f\) und \(g\) schneiden sich an zwei verschiedenen Stellen. 2. Jeder Schnittpunkt liefert eine Lösung von \(f(x)=g(x)\). 3. Die Gleichung hat daher zwei reelle Lösungen.

Die Gleichung \(f(x)=g(x)\) hat zwei reelle Lösungen.

- Welcher der beiden Funktionsterme beschreibt eine Parabel und welcher eine konstante Gerade? - Welche Bedeutung haben gemeinsame Punkte der beiden Graphen für die Gleichung? - Für die Lösungen brauchst du nur die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte.

1. \(f(x)=x^2-1\) ist die nach oben geöffnete Parabel; \(g(x)=3\) ist die waagerechte Gerade. 2. Die Gerade schneidet die Parabel an zwei Stellen. Daher besitzt die Gleichung zwei Lösungen. 3. Aus den Schnittpunkten liest man die Abszissen \(x=-2\) und \(x=2\) ab.

a) Die Parabel gehört zu \(f(x)=x^2-1\), die waagerechte Gerade zu \(g(x)=3\). b) Zwei Lösungen, weil es zwei Schnittpunkte gibt. c) \(L=\{-2;2\}\)

- Was bedeutet „gleicher Funktionswert“ algebraisch? - Bringe die entstehende Gleichung so um, dass auf einer Seite null steht. - Lässt sich der quadratische Term in zwei lineare Faktoren zerlegen?

1. Für gleiche Funktionswerte gilt \(x^2=2x+8\). 2. Umformen ergibt \(x^2-2x-8=0\). 3. Faktorisieren liefert \((x-4)(x+2)=0\). 4. Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt \(x=4\) oder \(x=-2\).

Die Funktionen haben bei \(x=-2\) und \(x=4\) den gleichen Funktionswert.

- Bringe zuerst alle Terme auf eine Seite der Gleichung. - Prüfe, ob sich der quadratische Term faktorisieren lässt. - Was bedeutet \(f(x)=g(x)\) geometrisch?

1. Zu a): Umstellen ergibt \(x^2-x-6=0\). 2. Faktorisieren liefert \((x-3)(x+2)=0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt \(x=3\) oder \(x=-2\). 3. Zu b): Die Lösungen sind genau die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_f\) und \(G_g\).

a) \(L=\{-2;3\}\) b) Die Lösungen sind die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen.

- Welche Bedeutung haben Schnittpunkte der beiden Graphen für die Gleichung? - Für die Lösungsmenge brauchst du nur die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte. - Achte beim Ablesen auf die Skalierung der Achsen.

1. Die Parabel gehört zu \(f(x)=x^2\), die Gerade zu \(g(x)=1{,}5x+1\). 2. Die Graphen schneiden sich bei \(P_1(-0{,}5\mid0{,}25)\) und \(P_2(2\mid4)\). 3. Die Lösungen der Gleichung sind die Abszissen der Schnittpunkte: \(x=-0{,}5\) und \(x=2\).

\(L=\{-0{,}5;2\}\)

- Welche Umformung isoliert \(x^2\) auf der linken Seite? - Welcher Funktionsterm beschreibt eine Parabel und welcher eine Gerade? - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn die Graphen keinen gemeinsamen Punkt haben?

1. Zu a): Subtraktion von \(4\) ergibt \(x^2=2x-4\). 2. Zu b): Die Parabel gehört zu \(f(x)=x^2\), die Gerade zu \(g(x)=2x-4\). 3. Die beiden Graphen besitzen keinen gemeinsamen Punkt. 4. Daher hat die Gleichung keine reelle Lösung und \(L=\emptyset\).

a) \(x^2=2x-4\) b) Parabel: \(f(x)=x^2\); Gerade: \(g(x)=2x-4\) c) Keine reelle Lösung, weil die Graphen keinen Schnittpunkt besitzen; \(L=\emptyset\).

- Wie gehst du vor, wenn du die Stellen finden möchtest, an denen zwei Funktionen denselben Wert haben? - Kannst du die Gleichung so vereinfachen, dass nur noch \(x^2\) auf einer Seite steht? - Denk beim Wurzelziehen daran, dass es zwei Zahlen geben kann, deren Quadrat den gleichen Wert ergibt.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 2 = -x^2 + 6\) 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x^2\) auf einer Seite und der Konstanten auf der anderen Seite: \(2x^2 = 8\) 3. Division durch 2, um \(x^2\) zu isolieren: \(x^2 = 4\) 4. Ziehen der Quadratwurzel unter Berücksichtigung beider Vorzeichen: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) 5. Einsetzen der \(x\)-Werte in eine der Ausgangsgleichungen, zum Beispiel \(f(x)\): Für \(x_1 = 2\): \(f(2) = 2^2 - 2 = 2\) Für \(x_2 = -2\): \(f(-2) = (-2)^2 - 2 = 2\) 6. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(2|2)\) und \(S_2(-2|2)\)

Die Schnittpunkte der beiden Parabeln sind \(S_1(2|2)\) und \(S_2(-2|2)\).

- Welche beiden Seiten der umgeformten Gleichung kannst du als Funktionsterme auffassen? - Was gilt an einem gemeinsamen Punkt zweier Funktionsgraphen? - Für die Lösungsmenge brauchst du die Abszissen der Schnittpunkte.

1. Verwendet werden die Graphen von \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=-2x+3\). 2. An einem Schnittpunkt gilt \(f(x)=g(x)\). Deshalb sind die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte die Lösungen der ursprünglichen Gleichung. 3. Aus der Abbildung liest man die Schnittstellen \(x=-3\) und \(x=1\) ab.

1. \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=-2x+3\) 2. Die Lösungen sind die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte, weil dort \(f(x)=g(x)\) gilt. 3. \(L=\{-3;1\}\)

- Was fällt dir an der Form der beiden Gleichungen auf? - Wenn beide rechten Seiten denselben Wert \(y\) darstellen, welche Beziehung gilt zwischen ihnen? - Lässt sich die entstehende quadratische Gleichung faktorisieren? - Bestimme nach jedem \(x\)-Wert noch den zugehörigen \(y\)-Wert.

1. Beide Gleichungen sind bereits nach \(y\) aufgelöst. Deshalb können die beiden Ausdrücke für \(y\) direkt gleichgesetzt werden. 2. Es folgt \(x^2-4x+1=2x-4\), also \(x^2-6x+5=0\). 3. Faktorisieren ergibt \((x-1)(x-5)=0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt \(x=1\) oder \(x=5\). 4. Einsetzen in \(y=2x-4\) liefert \(y=-2\) bzw. \(y=6\). 5. Damit ist \(L=\{(1\mid-2);(5\mid6)\}\).

\(L=\{(1\mid-2);(5\mid6)\}\). Das Gleichsetzungsverfahren ist sinnvoll, weil beide Gleichungen bereits nach \(y\) aufgelöst sind.

- Welche Koordinaten haben die beiden Kreuzungspunkte in der Abbildung? - Für die rechnerische Kontrolle setzt du die beiden Funktionsterme gleich. - Prüfe, ob sich die entstehende quadratische Gleichung faktorisieren lässt.

1. Aus der Abbildung liest man die Schnittpunkte \(S_1(-1\mid-2)\) und \(S_2(3\mid6)\) ab. 2. Zur rechnerischen Überprüfung setzt man die Funktionsterme gleich: \(x^2-3=2x\). 3. Umstellen ergibt \(x^2-2x-3=0\). 4. Faktorisieren liefert \((x-3)(x+1)=0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt \(x=3\) oder \(x=-1\). 5. Mit \(y=2x\) folgen die Punkte \((3\mid6)\) und \((-1\mid-2)\).

\(S_1(-1\mid-2)\) und \(S_2(3\mid6)\)

- Welche Funktionsgleichung gehört zur Parabel und welche zur Geraden? - Schnittpunkte findest du, indem du die Funktionsterme der beiden Graphen gleichsetzt. - Achte darauf, alle Terme auf eine Seite zu bringen, sodass auf der anderen Seite Null steht. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die \(x\)-Werte der Schnittpunkte aus der Zeichnung in deine Gleichung einsetzt.

1. Ablesen der Funktionsgleichungen aus dem Graphen: Die Parabel ist eine Normalparabel, die um 2 Einheiten nach unten verschoben ist: \(f(x) = x^2 - 2\). Die Gerade verläuft durch den Ursprung und hat die Steigung 1: \(g(x) = x\). 2. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung der Schnittpunkte: \(x^2 - 2 = x\) 3. Umformen in die geforderte Normalform \(x^2 + px + q = 0\): \(x^2 - x - 2 = 0\) Die Lösungen der Gleichung sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\), was mit den Schnittpunkten im Graphen übereinstimmt.

Die gesuchte Gleichung lautet \(x^2 - x - 2 = 0\).

- Wo genau treffen sich Parabel und Gerade im Koordinatensystem? - Welche Beziehung gilt an einem Schnittpunkt zwischen den beiden Funktionswerten? - Wie kannst du alle Terme so auf eine Seite bringen, dass rechts \(0\) steht?

1. Aus dem Graphen liest man \(B(1\mid2)\) und \(C(3\mid2{,}8)\) ab. 2. Für die x-Koordinaten der Schnittpunkte gilt \(f(x)=g(x)\), also \(-0{,}2x^2+1{,}2x+1=0{,}4x+1{,}6\). 3. Umformen ergibt \(-0{,}2x^2+0{,}8x-0{,}6=0\). Wegen des höchsten Exponenten \(2\) ist dies eine quadratische Gleichung zweiten Grades.

a) \(B(1\mid2)\) und \(C(3\mid2{,}8)\), jeweils in Metern b) \(-0{,}2x^2+1{,}2x+1=0{,}4x+1{,}6\) c) \(-0{,}2x^2+0{,}8x-0{,}6=0\); Grad \(2\)

- Wie unterscheiden sich der Graph einer linearen und einer quadratischen Funktion grundsätzlich? - Wo schneiden sich die beiden dargestellten Graphen? - Für den Höhenunterschied nach \(10\,\text{min}\) brauchst du beide Funktionswerte zum selben Zeitpunkt.

1. \(h_1(t)=15t\) ist linear, daher gehört Behälter 1 zur Geraden. \(h_2(t)=t^2\) ist quadratisch, daher gehört Behälter 2 zur Parabel. 2. Die Graphen schneiden sich bei \(t=0\) und \(t=15\). Zu Beginn sind beide Becken leer; nach \(15\,\text{min}\) sind die Wasserstände erneut gleich hoch. 3. Es gilt \(h_1(10)=15\cdot10=150\,\text{cm}\) und \(h_2(10)=10^2=100\,\text{cm}\). Der Unterschied beträgt \(50\,\text{cm}\).

a) Die Gerade gehört zu Behälter 1, die Parabel zu Behälter 2, weil \(h_1\) linear und \(h_2\) quadratisch ist. b) \(t=0\) und \(t=15\,\text{min}\); nach dem Start erneut nach \(15\,\text{min}\) c) \(50\,\text{cm}\)

- Welche Gleichung gilt für die x-Koordinaten von Schnittpunkten? - Bringe die Schnittpunktgleichung auf die Form \(ax^2+bx+c=0\). - Prüfe, ob sich der quadratische Term faktorisieren lässt. - Wie bestimmst du anschließend die zugehörigen y-Koordinaten?

1. Für die Schnittpunkte gilt \(x^2-2x-1=x-3\). 2. Umformen ergibt \(x^2-3x+2=0\). 3. Es gilt \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\). Nach dem Satz vom Nullprodukt erhält man \(x=1\) oder \(x=2\). 4. Einsetzen in \(g\) ergibt \(g(1)=-2\) und \(g(2)=-1\). 5. Die Schnittpunkte sind \(S_1(1\mid-2)\) und \(S_2(2\mid-1)\); sie stimmen mit dem Graphen überein.

\(S_1(1\mid-2)\) und \(S_2(2\mid-1)\)

- Welche Gleichung gilt für die Funktionswerte an einem Schnittpunkt? - Kannst du die entstehende quadratische Gleichung so umformen, dass ein Produkt gleich null ist? - Vergiss nach dem Bestimmen der \(x\)-Werte die zugehörigen \(y\)-Werte nicht.

1. An einem Schnittpunkt gilt \(f(x)=g(x)\). Daher ist \(x^2=3x\). 2. Umformen ergibt \(x^2-3x=0\), also \(x(x-3)=0\). 3. Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt \(x=0\) oder \(x=3\). 4. Für \(x=0\) ist \(y=0\), für \(x=3\) ist \(y=9\).

Die Schnittpunkte sind \((0\mid0)\) und \((3\mid9)\).

- Was bedeutet es für zwei Graphen, wenn beide Funktionen bei demselben \(x\)-Wert den Funktionswert \(0\) haben? - Berechne für c) zuerst den fehlenden Funktionswert auf \(G_h\). - Wie bestimmst du den Abstand zweier \(y\)-Werte auf derselben vertikalen Geraden?

1. Für \(h(x)=0\) gilt \(2x+4=0\), also \(x=-2\). Für \(k(x)=0\) gilt \((x+2)(x-3)=0\), also \(x=-2\) oder \(x=3\). 2. Da beide Funktionen bei \(x=-2\) den Funktionswert \(0\) haben, besitzen beide Graphen den gemeinsamen Punkt \((-2\mid0)\) auf der \(x\)-Achse. 3. Es ist \(h(1)=2\cdot1+4=6\), also \(S(1\mid6)\). Außerdem gilt \(k(1)=(1+2)(1-3)=-6\). Damit liegt \(S\) oberhalb von \(G_k\). 4. Bei \(x=0\) gilt \(h(0)=4\) und \(k(0)=-6\). Der vertikale Abstand beträgt \(|4-(-6)|=10\).

a) \(h\): \(x=-2\); \(k\): \(x=-2\) und \(x=3\) b) Beide Graphen enthalten den Punkt \((-2\mid0)\). c) \(y_S=6\); \(S(1\mid6)\) liegt oberhalb von \(G_k\). d) \(10\) Längeneinheiten

- Welche \(x\)-Koordinaten haben die beiden Schnittpunkte der Graphen? - Setze jeden abgelesenen Wert in beide Seiten der ursprünglichen Gleichung ein. - Bei einem negativen Wert von \(x\) muss beim Quadrieren die Klammer erhalten bleiben.

1. Die Graphen schneiden sich bei \(S_1(-2\mid2)\) und \(S_2(4\mid8)\). Daher sind die abgelesenen Lösungen \(x=-2\) und \(x=4\). 2. Für \(x=-2\) gilt links \(0{,}5\cdot(-2)^2=2\) und rechts \(-2+4=2\). 3. Für \(x=4\) gilt links \(0{,}5\cdot4^2=8\) und rechts \(4+4=8\). 4. Beide Werte erfüllen die Originalgleichung.

\(L=\{-2;4\}\); beide Werte bestehen die Probe in \(0{,}5x^2=x+4\).

- Welchen minimalen Funktionswert kannst du aus der Scheitelpunktform ablesen? - Alternativ kannst du die Zahl der Schnittpunkte über die Diskriminante der Gleichung \(f(x)=c\) untersuchen. - Vergleiche in c) die Höhe der Geraden mit dem Scheitelwert.

1. Quadratische Ergänzung liefert \(f(x)=(x-2)^2+3\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2\mid3)\). 2. Für Schnittpunkte mit \(y=c\) gilt \(x^2-4x+7-c=0\). Die Diskriminante ist \(\Delta=(-4)^2-4(7-c)=4c-12\). 3. Genau zwei Schnittpunkte liegen für \(\Delta>0\) vor. Daraus folgt \(c>3\). 4. Für \(c=2\) liegt die Gerade unterhalb des minimalen Funktionswerts \(3\); daher gibt es keinen Schnittpunkt.

a) \(S(2\mid3)\) b) \(c>3\) c) Keine Schnittpunkte.

- Welche Anzahl gemeinsamer Punkte kennzeichnet eine Tangente? - Übersetze diese Anzahl in eine Bedingung an die Diskriminante der Schnittgleichung. - Setze den gefundenen Parameter anschließend ein, um den Berührpunkt zu bestimmen.

1. Gleichsetzen führt zu \(x^2+2x+n-3=0\). 2. Für eine Tangente muss die Gleichung genau eine reelle Lösung haben, also \(\Delta=0\). 3. Es ist \(\Delta=2^2-4(n-3)=16-4n\). Daraus folgt \(n=4\). 4. Dann gilt \((x+1)^2=0\), also \(x=-1\). 5. Mit \(g(-1)=2\) ist der Berührpunkt \(B(-1\mid2)\).

\(n=4\); Berührpunkt \(B(-1\mid2)\).

- Welche Gleichung beschreibt gemeinsame Punkte der beiden Graphen? - Lässt sich die entstehende quadratische Gleichung faktorisieren? - Wie prüfst du rechnerisch, ob ein gegebener Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt?

1. Zu a): Gleichsetzen ergibt \(x^2-4x+5=x+1\), also \(x^2-5x+4=0\). 2. Faktorisieren liefert \((x-1)(x-4)=0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt \(x=1\) oder \(x=4\). 3. Mit \(y=x+1\) erhält man \(y=2\) bzw. \(y=5\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(1\mid2)\) und \(S_2(4\mid5)\). 4. Zu b): Für die Gerade gilt \(g(2{,}5)=3{,}5\); daher liegt \(Q\) auf \(g\). 5. Für die Parabel gilt \(p(2{,}5)=2{,}5^2-4\cdot2{,}5+5=1{,}25\ne3{,}5\). Daher liegt \(Q\) nicht auf \(p\).

a) \(S_1(1\mid2)\), \(S_2(4\mid5)\) b) \(Q\) liegt nur auf der Geraden \(g\), nicht auf der Parabel \(p\).

- Was muss für die Funktionswerte beider Graphen an einem gemeinsamen Punkt gelten? - Erkennst du die entstehende quadratische Gleichung als binomisches Quadrat? - Was bedeutet \(\Delta=0\) für die Anzahl der Schnittstellen? - Wie erhältst du nach dem \(x\)-Wert die zugehörige \(y\)-Koordinate?

1. Gleichsetzen ergibt \(x^2-4x+3=2x-6\), also \(x^2-6x+9=0\). 2. Die linke Seite ist ein binomisches Quadrat: \((x-3)^2=0\). Daher gibt es die doppelte Lösung \(x=3\). 3. Zugleich ist \(\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=0\). Die Schnittgleichung hat also genau eine reelle Stelle; die Graphen berühren sich dort. 4. Einsetzen in die Geradengleichung ergibt \(g(3)=0\). Der Berührpunkt ist \(B(3\mid0)\).

Der Berührpunkt ist \(B(3\mid0)\). Die Schnittgleichung ist \((x-3)^2=0\) und hat wegen \(\Delta=0\) eine doppelte reelle Lösung.

- Welche mathematische Methode hilft dir, eine Gleichung der Form \(ax^2 + bx + c = 0\) zu lösen? - Ist es vorteilhaft, die Gleichung zuerst so zu multiplizieren, dass der Koeffizient vor \(x^2\) den Wert \(1\) annimmt? - Kannst du das Ergebnis als exakten Wert mit einer Wurzel stehen lassen, wenn die Wurzel keine ganze Zahl ergibt?

1. Gleichsetzen der Terme: \(0{,}5x^2 = x + 0{,}5\) 2. Umformen in die Normalform: \(x^2 - 2x - 1 = 0\) 3. Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen: \(x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}\) 4. Berechnung der \(y\)-Werte durch Einsetzen in \(g(x)\): \(y_1 = (1 + \sqrt{2}) + 0{,}5 = 1{,}5 + \sqrt{2}\) sowie \(y_2 = (1 - \sqrt{2}) + 0{,}5 = 1{,}5 - \sqrt{2}\) 5. Ergebnispunkte: \((1 + \sqrt{2} \mid 1{,}5 + \sqrt{2})\) und \((1 - \sqrt{2} \mid 1{,}5 - \sqrt{2})\)

Die Schnittpunkte liegen bei \((1 + \sqrt{2} \mid 1{,}5 + \sqrt{2})\) und \((1 - \sqrt{2} \mid 1{,}5 - \sqrt{2})\).

- Welche Gleichung beschreibt einen gemeinsamen Punkt der beiden Graphen? - Bringe diese Gleichung in die allgemeine quadratische Form. - Nutze die Diskriminante, bevor du versuchst, konkrete Schnittkoordinaten auszurechnen.

1. Für gemeinsame Punkte gilt \((x-2)^2+3=x\). 2. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(x^2-5x+7=0\). 3. Die Diskriminante ist \(\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot7=-3\). 4. Da \(\Delta<0\) gilt, besitzt die Gleichung keine reellen Lösungen. Die Graphen haben daher keine gemeinsamen Punkte.

Die Graphen von \(f\) und \(g\) haben keine gemeinsamen Punkte.

- Setze die beiden Ausdrücke für \(y\) gleich. - Entscheide über die Zahl reeller Lösungen mit der Diskriminante. - Nutze anschließend die Scheitelpunktform, um das Ergebnis geometrisch zu erklären.

1. Gleichsetzen ergibt \(x^2-4x+5=0\). 2. Die Diskriminante ist \(\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot5=-4<0\). Es gibt keine reelle Lösung. 3. Durch quadratische Ergänzung ist \(y=(x-2)^2+2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2\mid2)\). 4. Die Parabel ist nach oben geöffnet und hat den minimalen \(y\)-Wert \(2\). Die Gerade \(y=1\) liegt darunter; daher gibt es keinen Schnittpunkt.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Rechnerisch ist \(\Delta=-4<0\); geometrisch liegt die Gerade \(y=1\) vollständig unterhalb der Parabel mit Scheitelpunkt \(S(2\mid2)\).

- Setze die beiden Funktionsterme gleich und vereinfache die Gleichung. - Welche Aussage liefert das Vorzeichen der Diskriminante über die Anzahl gemeinsamer Punkte? - Beschreibe die Lage in gewöhnlicher geometrischer Sprache, wenn weder ein Schnitt- noch ein Berührpunkt existiert.

1. Gleichsetzen liefert \(-0{,}5x^2+1{,}5x-3=0\). 2. Multiplikation mit \(-2\) ergibt \(x^2-3x+6=0\). 3. Die Diskriminante ist \(\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot6=-15\). 4. Da \(\Delta<0\), besitzt die Schnittgleichung keine reelle Lösung. Die Gerade schneidet und berührt die Parabel daher nicht.

Es gibt keine gemeinsamen Punkte, da \(\Delta=-15<0\). Die Gerade schneidet und berührt die Parabel nicht.

- Setze die beiden Ausdrücke für \(y\) gleich. - Welche Bedingung an die Diskriminante kennzeichnet genau einen Schnittpunkt? - Bestimme nach dem Parameter erst die zugehörige \(x\)- und dann die \(y\)-Koordinate.

1. Gleichsetzen ergibt \(x^2-6x+k+5=0\). 2. Genau eine Lösung liegt für \(\Delta=0\) vor. Es ist \(\Delta=(-6)^2-4(k+5)=16-4k\). 3. Aus \(16-4k=0\) folgt \(k=4\). 4. Dann gilt \(x^2-6x+9=(x-3)^2=0\), also \(x=3\). 5. Mit \(y=2\cdot3-5\) folgt \(y=1\).

a) \(k=4\) b) \((3\mid1)\)

- Formuliere für beide Teile jeweils die Schnittgleichung. - Welche Bedingung muss die allgemeine Schnittgleichung für einen einzigen gemeinsamen Punkt erfüllen? - Achte darauf, dass in b) das konstante Glied der Schnittgleichung verschwindet.

1. Für \(m=-2\) ergibt Gleichsetzen \(x^2-2x=0\), also \(x(x-2)=0\). Damit sind \(x=0\) und \(x=2\). 2. Einsetzen in \(g(x)=-2x+3\) liefert \(S_1(0\mid3)\) und \(S_2(2\mid-1)\). 3. Allgemein führt Gleichsetzen zu \(x^2-(4+m)x=0\). 4. Für genau eine reelle Lösung muss \(\Delta=(4+m)^2=0\) gelten. Daraus folgt \(m=-4\). 5. Dann ist der einzige \(x\)-Wert \(0\), also liegt der Berührpunkt bei \(B(0\mid3)\).

a) \(S_1(0\mid3)\) und \(S_2(2\mid-1)\) b) \(m=-4\); Berührpunkt \(B(0\mid3)\)

- Stelle zuerst die Schnittgleichung auf. - Welche Bedingung an die Diskriminante bedeutet genau einen Berührpunkt? - Bestimme nach \(c\) die doppelte Lösung der Schnittgleichung und anschließend den \(y\)-Wert.

1. Gleichsetzen ergibt \(x^2-6x+5-c=0\). 2. Für genau einen Berührpunkt muss \(\Delta=0\) gelten. 3. Es ist \(\Delta=(-6)^2-4(5-c)=16+4c\). Daraus folgt \(c=-4\). 4. Dann gilt \(x^2-6x+9=(x-3)^2=0\), also \(x=3\). 5. Mit \(y=2\cdot3-4\) folgt \(y=2\). Der Berührpunkt ist \(B(3\mid2)\).

\(c=-4\); Berührpunkt \(B(3\mid2)\).

- Was ist das Besondere an dem Punkt einer Parabel, an dem eine horizontale Gerade nur einen einzigen Kontaktpunkt hat? - Überlege dir, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist. - Wie findet man die Mitte zwischen zwei Nullstellen? - Vergleiche den Wert von \(c\) mit dem \(y\)-Wert des höchsten Punktes der Kurve.

1. Eine horizontale Gerade berührt eine nach unten geöffnete Parabel genau dann in einem Punkt, wenn sie durch den Scheitelpunkt der Parabel verläuft. 2. Bestimmung des Scheitelpunkts von \(p(x) = -x^2 + 4x\): Ausklammern ergibt \(y = -x(x - 4)\). Die Nullstellen liegen bei \(x = 0\) und \(x = 4\). Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts liegt genau in der Mitte: \(x_S = 2\). 3. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts: \(y_S = -(2)^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4\). 4. Für \(c = 4\) gibt es genau einen Berührpunkt, nämlich den Scheitelpunkt \(S(2 | 4)\). 5. Da der Scheitelpunkt der höchste Punkt der nach unten geöffneten Parabel ist (\(y_{max} = 4\)), liegt die Gerade \(y = 5\) komplett oberhalb der Parabel. Es gibt also keine Schnittpunkte.

a) \(c = 4\) b) Der Berührpunkt ist \((2 | 4)\). c) Für \(c = 5\) gibt es keine Schnittpunkte, da die Gerade oberhalb des Scheitelpunkts der nach unten geöffneten Parabel verläuft.

- Setze für jeden Fall die beiden Funktionsterme gleich. - Ordne „kein“, „genau ein“ und „zwei“ gemeinsame Punkte den passenden Vorzeichenbedingungen der Diskriminante zu. - Behalte \(c\) in Teil 2 als Parameter in der Schnittgleichung.

1. Gleichsetzen ergibt \(x^2+4x+5=0\). 2. Die Diskriminante ist \(\Delta=4^2-4\cdot1\cdot5=-4<0\). Daher gibt es keine reellen Schnittpunkte. 3. Für die verschobene Gerade führt Gleichsetzen zu \(x^2+4x+2-c=0\). 4. Genau ein Schnittpunkt liegt für \(\Delta=0\) vor. Hier ist \(\Delta=4^2-4(2-c)=8+4c\). 5. Aus \(8+4c=0\) folgt \(c=-2\). 6. Für \(c>-2\) gilt \(\Delta>0\), daher entstehen zwei Schnittpunkte.

1) Keine reellen Schnittpunkte, da \(\Delta=-4<0\). 2) \(c=-2\) 3) Für \(c>-2\) gibt es zwei Schnittpunkte.

- Lies zuerst die markierten Punkte und besonders ihre \(x\)-Koordinaten ab. - Welche Informationen über Scheitelpunkt, Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt sind im Graphen sichtbar? - Gemeinsame Punkte erfüllen \(f(x)=g(x)\). - Bringe nach dem Gleichsetzen alle Terme auf eine Seite.

1. Bild A: Die Schnittpunkte sind \(S_1(-1\mid1)\) und \(S_2(3\mid9)\). Daher sind die Abszissen \(-1\) und \(3\). 2. Bild A: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \((0\mid0)\), also \(f(x)=x^2\). Die Gerade hat Steigung \(2\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(3\), also \(g(x)=2x+3\). 3. Bild A: Gleichsetzen ergibt \(x^2=2x+3\), also \(x^2-2x-3=0\). 4. Bild B: Die Schnittpunkte sind \(S_1(-2\mid0)\) und \(S_2(1\mid-3)\). Daher sind die Abszissen \(-2\) und \(1\). 5. Bild B: Die Parabel hat den Scheitelpunkt \((0\mid-4)\), also \(f(x)=x^2-4\). Die Gerade hat Steigung \(-1\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(-2\), also \(g(x)=-x-2\). 6. Bild B: Gleichsetzen ergibt \(x^2-4=-x-2\), also \(x^2+x-2=0\).

Bild A: \(S_1(-1\mid1)\), \(S_2(3\mid9)\); \(f(x)=x^2\), \(g(x)=2x+3\); \(x^2-2x-3=0\). Bild B: \(S_1(-2\mid0)\), \(S_2(1\mid-3)\); \(f(x)=x^2-4\), \(g(x)=-x-2\); \(x^2+x-2=0\).

- Vergleiche bei jeder Darstellung die Form und Lage von L und R mit den beiden Seiten der vier Gleichungen. - Welche Scheitelpunkte oder waagerechten Geraden lassen sich besonders leicht zuordnen? - Für die Lösungsmenge sind die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte entscheidend. - Welche Beziehung besteht zwischen Gleichungen, die durch Äquivalenzumformungen auseinander hervorgehen?

1. Graph A gehört zu (1): L ist \(x^2-4x+3\) mit Scheitelpunkt \(S(2\mid-1)\), R ist die \(x\)-Achse \(y=0\). 2. Graph B gehört zu (2): L ist die Normalparabel \(x^2\), R die Gerade \(4x-3\). 3. Graph C gehört zu (3): L ist \(x^2-4x\) mit Scheitelpunkt \(S(2\mid-4)\), R die waagerechte Gerade \(y=-3\). 4. Graph D gehört zu (4): L ist \((x-2)^2\) mit Scheitelpunkt \(S(2\mid0)\), R die waagerechte Gerade \(y=1\). 5. Die Schnittpunkte sind in A \((1\mid0)\), \((3\mid0)\); in B \((1\mid1)\), \((3\mid9)\); in C \((1\mid-3)\), \((3\mid-3)\); in D \((1\mid1)\), \((3\mid1)\). 6. In allen vier Fällen sind die Abszissen \(1\) und \(3\). Daher ist stets \(L=\{1;3\}\). Die verschiedenen Gleichungen sind äquivalent und besitzen trotz unterschiedlicher grafischer Darstellungen dieselbe Lösungsmenge.

a) A -> (1), B -> (2), C -> (3), D -> (4) b) A: \((1\mid0)\), \((3\mid0)\); B: \((1\mid1)\), \((3\mid9)\); C: \((1\mid-3)\), \((3\mid-3)\); D: \((1\mid1)\), \((3\mid1)\). Für alle gilt \(L=\{1;3\}\); die Schnittpunkte haben stets dieselben \(x\)-Koordinaten.

- Schaue dir die Stellen im Koordinatensystem an, an denen sich die beiden Graphen kreuzen. Welche Koordinaten haben diese Punkte? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Gerade, wenn die Steigung und ein Punkt auf der Geraden bekannt sind? - Wenn der Scheitelpunkt einer Parabel gegeben ist, welche Darstellungsform eignet sich besonders gut, um die Funktionsgleichung aufzustellen? - Wie kann man rechnerisch herausfinden, an welchen Stellen zwei Funktionen denselben Funktionswert annehmen?

1. Ablesen der Schnittpunkte aus der Grafik: \(P(-1 \mid 0)\) und \(Q(4 \mid 5)\). 2. Aufstellen der Geradengleichung \(g(x) = mx + n\): Mit \(m = 1\) und dem Punkt \(A(-1 \mid 0)\) folgt \(0 = 1 \cdot (-1) + n \Rightarrow n = 1\), also \(g(x) = x + 1\). 3. Aufstellen der Parabelgleichung über die Scheitelpunktform \(f(x) = a(x-d)^2 + e\): Mit dem Scheitelpunkt \(S(1 \mid -4)\) folgt \(f(x) = a(x-1)^2 - 4\). Einsetzen des Punktes \((3 \mid 0)\) liefert \(0 = a(3-1)^2 - 4 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1\). In allgemeiner Form gilt \(f(x) = x^2 - 2x - 3\). 4. Gleichsetzen: \(x^2 - 2x - 3 = x + 1 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0\). 5. Die Lösungen sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 4\). 6. Einsetzen in \(g\) ergibt \(y_1 = 0\) und \(y_2 = 5\). Die Schnittpunkte lauten \(P(-1 \mid 0)\) und \(Q(4 \mid 5)\).

1. Die Schnittpunkte lauten \(P(-1 \mid 0)\) und \(Q(4 \mid 5)\). 2. Die Funktionsgleichungen lauten \(g(x) = x + 1\) und \(f(x) = x^2 - 2x - 3\). 3. Das Gleichsetzen ergibt \(x^2 - 3x - 4 = 0\) mit \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 4\). Daraus folgen dieselben Schnittpunkte \(P(-1 \mid 0)\) und \(Q(4 \mid 5)\).

- Welche Graphen schneiden sich in den jeweiligen markierten Punkten? - Wie hängen Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen mit einer Gleichung ihrer Funktionswerte zusammen? - Bestimme zunächst die Funktionsgleichungen der Geraden aus Steigung und y-Achsenabschnitt. - Prüfe bei den quadratischen Gleichungen, ob du sie nach dem Umformen direkt faktorisieren kannst.

1. Aus der Grafik liest man für die Geraden \(g(x)=-x+2\) und \(h(x)=x\) ab. 2. Für \(A\) und \(D\) gilt \(p(x)=g(x)\): \(x^2-2x-4=-x+2\), also \(x^2-x-6=0\). 3. Es gilt \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\). Daher sind die x-Koordinaten \(-2\) und \(3\). 4. Für \(B\) und \(E\) gilt \(p(x)=h(x)\): \(x^2-2x-4=x\), also \(x^2-3x-4=0\). 5. Es gilt \(x^2-3x-4=(x-4)(x+1)\). Daher sind die x-Koordinaten \(-1\) und \(4\). 6. Für \(C\) gilt \(g(x)=h(x)\): \(-x+2=x\). Daraus folgt \(x=1\).

a) Punkte \(A\) und \(D\): \(x^2-2x-4=-x+2\) Punkte \(B\) und \(E\): \(x^2-2x-4=x\) Punkt \(C\): \(-x+2=x\) b) \(A,D\): \(x=-2\) und \(x=3\); \(B,E\): \(x=-1\) und \(x=4\); \(C\): \(x=1\).

- Welche charakteristischen Punkte der Parabel kannst du direkt ablesen? - Wie bestimmst du Steigung und y-Achsenabschnitt der Geraden aus zwei gut ablesbaren Punkten? - Welche Gleichung beschreibt die x-Koordinaten gemeinsamer Punkte beider Graphen? - Prüfe nach dem Umformen, ob sich die quadratische Gleichung als Produkt zweier Linearfaktoren schreiben lässt.

1. Die Parabel hat den Scheitelpunkt \(S(1\mid4)\) und ist eine nach unten geöffnete Normalparabel. Daher gilt \(f(x)=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3\). 2. Die Gerade hat den y-Achsenabschnitt \(1\) und die Steigung \(1\). Daher gilt \(g(x)=x+1\). 3. Für die Schnittpunkte setzt man gleich: \(-x^2+2x+3=x+1\). Dies ist äquivalent zu \(x^2-x-2=0\). 4. Faktorisieren liefert \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\). Somit gilt \(x=2\) oder \(x=-1\). 5. Einsetzen in \(g\) ergibt \(g(2)=3\) und \(g(-1)=0\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(2\mid3)\) und \(S_2(-1\mid0)\); sie stimmen mit der Zeichnung überein.

a) \(f(x)=-x^2+2x+3\) und \(g(x)=x+1\) b) \(x^2-x-2=0\) c) \(x=2\) und \(x=-1\); Schnittpunkte: \(S_1(2\mid3)\) und \(S_2(-1\mid0)\).

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass auf der linken Seite nur \(x^2\) steht? - Welche geometrische Bedeutung haben die Schnittpunkte der beiden Graphen? - Lies die markierten Punkte sorgfältig an beiden Achsen ab. - Prüfe für die rechnerische Lösung, ob sich das quadratische Polynom faktorisieren lässt.

1. Durch Addition von \(x+2\) erhält man \(x^2=x+2\). Daher lautet die Gerade \(g(x)=x+2\). 2. Aus der Abbildung liest man \(A(-1\mid1)\) und \(B(2\mid4)\) ab. 3. Rechnerisch gilt \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\). Nach dem Satz vom Nullprodukt folgt \(x=2\) oder \(x=-1\). 4. Diese Werte stimmen genau mit den x-Koordinaten der beiden abgelesenen Schnittpunkte überein.

a) \(g(x)=x+2\) b) \(A(-1\mid1)\) und \(B(2\mid4)\) c) \(x=2\) und \(x=-1\); die Lösungen stimmen mit den x-Koordinaten der Schnittpunkte überein.

- Lies zuerst die Koordinaten der Stellen ab, an denen sich die beiden Graphen treffen. - Für den rechnerischen Weg: Welche Gleichung müssen die Funktionswerte an einem Schnittpunkt erfüllen? - Bringe die entstehende quadratische Gleichung auf eine Seite und prüfe ihre Struktur, bevor du ein Lösungsverfahren auswählst. - Bestimme nach den \(x\)-Werten auch die zugehörigen \(y\)-Werte.

1. Aus dem Koordinatensystem liest man \(S_1(0\mid0)\) und \(S_2(3\mid3)\) ab. 2. Rechnerisch setzt man \(p(x)=g(x)\): \(-x^2+4x=x\). 3. Umformen ergibt \(x^2-3x=0\). 4. Faktorisieren liefert \(x(x-3)=0\), also \(x=0\) oder \(x=3\). 5. Einsetzen in \(g(x)=x\) ergibt die Punkte \(S_1(0\mid0)\) und \(S_2(3\mid3)\).

a) \(S_1(0\mid0)\) und \(S_2(3\mid3)\) b) Rechnerisch erhält man dieselben Schnittpunkte: \(S_1(0\mid0)\) und \(S_2(3\mid3)\).

- Bestimme zuerst die Geradengleichung aus zwei gut ablesbaren Punkten. - Welche Gleichung gilt am Berührpunkt für die beiden Funktionswerte? - Bringe die entstehende Gleichung anschließend in die verlangte Normalform.

1. Die Parabel ist \(f(x)=x^2\). Die Gerade verläuft durch \((1\mid0)\) und \((2\mid4)\), also hat sie die Steigung \(4\) und die Gleichung \(g(x)=4x-4\). 2. Gleichsetzen liefert \(x^2=4x-4\). 3. In Normalform lautet die Gleichung \(x^2-4x+4=0\). 4. Zur Kontrolle ist \(\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=0\); die Gleichung besitzt daher genau eine reelle Lösung.

\(x^2 - 4x + 4 = 0\)

- Überlege dir, welche Graphen sich in dem jeweiligen Punkt schneiden. - Wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt, ist der Funktionswert dort null. - Um eine Funktionsgleichung abzulesen, suche dir markante Punkte wie den Scheitelpunkt oder Achsenschnittpunkte. - Setze die Funktionsterme gleich, um Gleichungen für die Schnittpunkte aufzustellen.

1. Aufstellen der Gleichungen für die \(x\)-Koordinaten: - Punkt \(A\): Schnittpunkt von \(f\), \(g\) und \(h\), also \(f(x) = g(x)\), \(f(x) = h(x)\) oder \(g(x) = h(x)\). - Punkt \(B\): Weiterer Schnittpunkt von \(f\) und \(h\), also \(f(x) = h(x)\). - Punkt \(C\): Weiterer Schnittpunkt von \(f\) und \(g\), zudem eine Nullstelle von \(f\), also \(f(x) = g(x)\) oder \(f(x) = 0\). - Punkt \(D\): Weitere Nullstelle von \(f\), also \(f(x) = 0\). 2. Ablesen der Funktionsgleichungen: - Gerade \(h\) ist horizontal bei \(y = 3\), also \(h(x) = 3\). - Gerade \(g\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(3\) und geht durch \((3 \mid 0)\). Die Steigung ist \(m = \frac{0-3}{3-0} = -1\). Somit gilt \(g(x) = -x + 3\). - Parabel \(f\) hat den Scheitelpunkt \(V(2 \mid -1)\). Mit der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x-2)^2 - 1\) und dem Punkt \((0 \mid 3)\) folgt \(3 = a(0-2)^2 - 1 \Rightarrow 4 = 4a \Rightarrow a = 1\). Somit gilt \(f(x) = (x-2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 3\). 3. Berechnen der \(x\)-Koordinaten: - Für \(B\): \(x^2 - 4x + 3 = 3 \Rightarrow x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4) = 0\). Die Lösungen sind \(x=0\) (Punkt \(A\)) und \(x=4\) (Punkt \(B\)). Die \(x\)-Koordinate von \(B\) ist \(4\). - Für \(C\): \(x^2 - 4x + 3 = -x + 3 \Rightarrow x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3) = 0\). Die Lösungen sind \(x=0\) (Punkt \(A\)) und \(x=3\) (Punkt \(C\)). Die \(x\)-Koordinate von \(C\) ist \(3\).

Gleichungen für die \(x\)-Koordinaten: \(A\): \(f(x) = h(x)\) (oder \(f(x) = g(x)\) oder \(g(x) = h(x)\)) \(B\): \(f(x) = h(x)\) \(C\): \(f(x) = g(x)\) (oder \(f(x) = 0\)) \(D\): \(f(x) = 0\) Berechnung: Aus dem Graphen: \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), \(g(x) = -x + 3\), \(h(x) = 3\). Für \(B\): \(x^2 - 4x + 3 = 3 \Rightarrow x \cdot (x-4) = 0 \Rightarrow x = 4\). Für \(C\): \(x^2 - 4x + 3 = -x + 3 \Rightarrow x \cdot (x-3) = 0 \Rightarrow x = 3\).

- Schaue dir an, bei welchen x-Werten die Kurve und die Gerade genau übereinander liegen. - Überlege, was passiert, wenn man zwei gleiche Zahlen voneinander abzieht. - Wie nennt man die Stellen, an denen ein Funktionswert genau null ist?

1. Aus der Grafik lässt sich entnehmen, dass die Parabel und die Gerade sich an den Stellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\) schneiden. 2. Die Funktion \(h\) ist definiert als die Differenz der beiden Funktionen: \(h(x) = f(x) - g(x) = 0{,}5x^2 - 3x + 4\). An den Stellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\) gilt \(f(x) = g(x)\). 3. Setzt man diese Werte in \(h\) ein, erhält man \(h(2) = f(2) - g(2) = 0\) und \(h(4) = f(4) - g(4) = 0\). Die Stellen sind also die Nullstellen von \(h\). 4. Allgemein gilt: Ein Schnittpunkt zweier Funktionen \(f\) und \(g\) liegt an der Stelle vor, an der \(f(x) = g(x)\) ist, was äquivalent zu \(f(x) - g(x) = 0\) ist.

a) \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\) b) Die Stellen \(x_1\) und \(x_2\) sind die Nullstellen der Funktion \(h\). c) An den Schnittpunkten gilt \(f(x) = g(x)\). Daraus folgt direkt \(f(x) - g(x) = 0\), was die Bedingung für eine Nullstelle von \(h\) ist.

- Welchen Scheitelpunkt und welchen weiteren gut ablesbaren Punkt hat die Parabel? - Welche zwei Punkte helfen dir, Steigung und y-Achsenabschnitt der Geraden zu bestimmen? - Was muss für die Funktionswerte an einem Schnittpunkt gelten? - Prüfe nach dem Umformen, ob sich das quadratische Polynom faktorisieren lässt.

1. Die Parabel hat den Scheitelpunkt \(S(0\mid4)\), ist nach unten geöffnet und verläuft durch \((2\mid0)\). Daher gilt \(f(x)=-x^2+4\). 2. Die Gerade hat den y-Achsenabschnitt \(2\) und die Steigung \(-1\). Daher gilt \(g(x)=-x+2\). 3. Gleichsetzen liefert \(-x^2+4=-x+2\), also \(x^2-x-2=0\). 4. Es gilt \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\). Nach dem Satz vom Nullprodukt folgt \(x=2\) oder \(x=-1\). 5. Einsetzen in \(g\) ergibt \(P_1(2\mid0)\) und \(P_2(-1\mid3)\). Die Punkte stimmen mit der Zeichnung überein.

a) \(f(x)=-x^2+4\); \(g(x)=-x+2\) b) \(-x^2+4=-x+2\) c) \(P_1(2\mid0)\) und \(P_2(-1\mid3)\)

- Welche Gleichheit gilt an einem Schnittpunkt der beiden Graphen? - Bringe die entstehende Gleichung auf die Form \(ax^2+bx+c=0\). - Prüfe, ob sich das quadratische Polynom als Produkt zweier Linearfaktoren schreiben lässt. - Wie erhältst du aus einer x-Koordinate die zugehörige y-Koordinate?

1. Für Schnittpunkte gilt \(f(x)=g(x)\). Daher lautet die Gleichung \(x^2-4=x-2\). 2. Umformen ergibt \(x^2-x-2=0\). Es gilt \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\). 3. Nach dem Satz vom Nullprodukt folgt \(x=2\) oder \(x=-1\). 4. Mit \(g(2)=0\) und \(g(-1)=-3\) erhält man \(P_1(2\mid0)\) und \(P_2(-1\mid-3)\). 5. Beide Punkte stimmen mit den Schnittpunkten im Graphen überein.

a) \(x^2-4=x-2\) b) \(x=2\) und \(x=-1\); \(P_1(2\mid0)\), \(P_2(-1\mid-3)\) c) Die berechneten Punkte stimmen mit dem Graphen überein.

- Wie lautet die allgemeine Scheitelpunktform einer verschobenen Normalparabel? - Welche Koordinaten hat der tiefste Punkt jeder Kurve im Koordinatensystem? - Wenn du zwei Funktionsgleichungen gleichsetzt, was passiert mit den Termen, die \(x^2\) enthalten? - Überlege dir für den Aufgabenteil c), welche Art von Gleichung übrig bleibt, wenn das \(x^2\) wegfällt.

1. Ablesen der Scheitelpunkte aus dem Graphen: Der Scheitelpunkt von \(f\) liegt bei \(S_f(-2 \mid -1)\), also lautet die Gleichung \(f(x) = (x + 2)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(S_g(1 \mid -4)\), also lautet die Gleichung \(g(x) = (x - 1)^2 - 4\). 2. Berechnung des Schnittpunkts durch Gleichsetzen: \((x + 2)^2 - 1 = (x - 1)^2 - 4\) \(x^2 + 4x + 4 - 1 = x^2 - 2x + 1 - 4\) \(x^2 + 4x + 3 = x^2 - 2x - 3\) Durch Subtraktion von \(x^2\) auf beiden Seiten fällt das quadratische Glied weg: \(4x + 3 = -2x - 3\) \(6x = -6 \Rightarrow x = -1\) 3. Einsetzen von \(x = -1\) in eine der Gleichungen zur Bestimmung des \(y\)-Werts: \(y = (-1 + 2)^2 - 1 = 1^2 - 1 = 0\) Der Schnittpunkt ist \(S(-1 \mid 0)\). 4. Begründung für c): Beim Gleichsetzen zweier Normalparabeln \(x^2 + b_1x + c_1 = x^2 + b_2x + c_2\) fällt das \(x^2\) immer weg. Es bleibt eine lineare Gleichung der Form \((b_1 - b_2)x = c_2 - c_1\) übrig. Diese hat genau eine Lösung, wenn die Koeffizienten der linearen Terme unterschiedlich sind (\(b_1 \neq b_2\)), was bei unterschiedlichen \(x\)-Koordinaten der Scheitelpunkte der Fall ist.

a) \(f(x) = (x + 2)^2 - 1\) und \(g(x) = (x - 1)^2 - 4\) b) Der Schnittpunkt liegt bei \(S(-1 \mid 0)\). c) Beim Gleichsetzen der Terme fällt das quadratische Glied \(x^2\) weg, sodass eine lineare Gleichung mit genau einer Lösung übrig bleibt (vorausgesetzt, die \(x\)-Werte der Scheitelpunkte sind verschieden).

- Wo liegt der Scheitelpunkt der Parabel? Nutze dies für die Scheitelpunktform. - Wie bestimmt man die Steigung und den \(y\)-Achsenabschnitt einer Geraden aus dem Graphen? - Um die Schnittpunkte zu finden, musst du die Funktionsterme gleichsetzen und die entstehende quadratische Gleichung lösen. - Kannst du ein \(x\) ausklammern, um die Gleichung einfacher zu lösen?

1. Bestimmung der Funktionsgleichungen: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(S(2 \mid -4)\), also \(p(x) = (x - 2)^2 - 4\). In Normalform: \(p(x) = x^2 - 4x\). Die Gerade verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und hat die Steigung \(m = \frac{-1}{1} = -1\). Die Gleichung lautet \(g(x) = -x\). 2. Berechnung der Schnittpunkte durch Gleichsetzen: \(x^2 - 4x = -x\) \(x^2 - 3x = 0\) Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x - 3) = 0\) Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 3. Bestimmung der \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(g(x)\): \(y_1 = -0 = 0 \Rightarrow S_1(0 \mid 0)\) \(y_2 = -3 \Rightarrow S_2(3 \mid -3)\)

a) \(p(x) = (x - 2)^2 - 4\) (oder \(p(x) = x^2 - 4x\)) und \(g(x) = -x\) b) Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(3 \mid -3)\).

- Welche Angaben im Graphen helfen dir bei der Scheitelpunktform der Parabel? - Welche zwei Punkte eignen sich zur Bestimmung der Geraden? - Setze die beiden Funktionsterme für die Schnittpunkte gleich. - Prüfe nach dem Umformen, ob die quadratische Gleichung direkt faktorisierbar ist.

1. Die Parabel hat den Scheitelpunkt \(S(2\mid-1)\) und verläuft durch \((0\mid3)\). Mit \(p(x)=a(x-2)^2-1\) folgt \(3=4a-1\), also \(a=1\). Damit ist \(p(x)=(x-2)^2-1=x^2-4x+3\). 2. Die Gerade verläuft durch \((1\mid0)\) und \((3\mid2)\). Ihre Steigung ist \(1\), daher gilt \(g(x)=x-1\). 3. Gleichsetzen liefert \(x^2-4x+3=x-1\), also \(x^2-5x+4=0\). 4. Es gilt \(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\). Nach dem Satz vom Nullprodukt folgt \(x=1\) oder \(x=4\). 5. Einsetzen in \(g\) ergibt \(S_1(1\mid0)\) und \(S_2(4\mid3)\).

\(p(x)=x^2-4x+3\) und \(g(x)=x-1\); Schnittpunkte: \(S_1(1\mid0)\) und \(S_2(4\mid3)\).

- Welche Bedeutung haben Nullstellen für eine Gleichung der Form \(f(x)=0\)? - Was bedeuten Schnittpunkte, wenn eine Gleichung in die Form \(L(x)=R(x)\) gebracht wird? - Welche Koordinate eines Schnittpunkts ist für die Gleichungslösung entscheidend? - Welche Werte haben \(a\), \(b\) und \(c\) in der allgemeinen Form \(ax^2+bx+c=0\)?

1. Im Graphen a) entsprechen die Lösungen den Nullstellen von \(f(x)=x^2+x-2\). Im Graphen b) wird die Gleichung als \(x^2=-x+2\) dargestellt; dort entsprechen die Lösungen den x-Koordinaten der Schnittpunkte der Normalparabel und der Geraden. 2. In beiden Darstellungen liest man \(x=-2\) und \(x=1\) ab. 3. Für \(x^2+x-2=0\) gilt \(a=1\), \(b=1\), \(c=-2\). Mit der Lösungsformel erhält man \(x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2}=\frac{-1\pm3}{2}\). 4. Daraus folgen \(x_1=1\) und \(x_2=-2\). Die rechnerischen Werte bestätigen beide grafischen Ansätze.

a) Im Ansatz a) sind die Lösungen die Nullstellen der Parabel; im Ansatz b) sind sie die x-Koordinaten der Schnittpunkte von \(y=x^2\) und \(y=-x+2\). b) \(x=-2\) und \(x=1\) c) Die Lösungsformel bestätigt \(x=-2\) und \(x=1\).

- Schau dir den geraden Graphen an. Welche Form hat eine Funktionsgleichung für eine Gerade, die durch den Ursprung geht? - Um den Punkt zu finden, an dem beide Maschinen gleich viel kosten, musst du nach der Stelle suchen, an der sich die Graphen schneiden. - Wie kannst du mathematisch zeigen, dass zwei Funktionswerte an einer bestimmten Stelle gleich sind? - Setze die Stückzahl \(50\) in beide Funktionsgleichungen ein, um die jeweiligen Kosten zu vergleichen.

1. Bestimmung der Gleichung für Maschine A: Der Graph ist eine Ursprungsgerade. Ein gut ablesbarer Punkt ist \(P(40 \mid 480)\). Die Steigung beträgt \(m = \frac{480}{40} = 12\). Somit lautet die Gleichung \(y = 12x\). 2. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen der Funktionen \(0{,}3x^2 = 12x\). Da \(x > 0\) gesucht ist, dividiert man durch \(x\) und erhält \(0{,}3x = 12\), woraus \(x = 40\) folgt. Bei \(40\) Stück sind die Kosten mit \(480\,\text{€}\) gleich. 3. Kostenvergleich bei \(x = 50\): Maschine A: \(y_A = 12 \cdot 50 = 600\,\text{€}\). Maschine B: \(y_B = 0{,}3 \cdot 50^2 = 0{,}3 \cdot 2500 = 750\,\text{€}\). Maschine A ist um \(750\,\text{€} - 600\,\text{€} = 150\,\text{€}\) günstiger.

a) Die Gleichung für Maschine A lautet \(y = 12x\). b) Bei einer Stückzahl von \(40\) sind die Kosten gleich hoch (\(480\,\text{€}\)). c) Bei \(50\) Stück ist Maschine A günstiger; man spart \(150\,\text{€}\) pro Tag.

- Nutze die Scheitelpunktform für die Parabel. - Für die Gerade kannst du den y-Achsenabschnitt und ein Steigungsdreieck nutzen. - Setze die beiden Funktionsterme gleich, um die gemeinsamen Punkte zu finden.

1. Parabel \(p\): Scheitelpunkt bei \((1 \mid 0)\), geht durch \((0 \mid 1)\). Gleichung: \(p(x) = (x - 1)^2\). 2. Gerade \(g\): Geht durch \((0 \mid -1)\) und \((1 \mid 0)\). Steigung \(m = 1\). Gleichung: \(g(x) = x - 1\). 3. Schnittpunkte berechnen: \((x - 1)^2 = x - 1\). Für \(x - 1 = 0\) gilt \(x = 1\). Für \(x - 1 \neq 0\) kann durch \((x - 1)\) dividiert werden; daraus folgt \(x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2\). Punkte: \(S_1(1 \mid 0)\) und \(S_2(2 \mid 1)\).

\(p(x) = (x - 1)^2\); \(g(x) = x - 1\). Schnittpunkte: \((1 \mid 0)\) und \((2 \mid 1)\).

- Welche \(x\)-Koordinate hat der dargestellte gemeinsame Punkt der beiden Graphen? - Welche Gleichung müssen die Funktionswerte \(f(x)\) und \(g(x)\) an einem Schnittpunkt erfüllen? - Setze nur die abgelesene \(x\)-Koordinate in diese Schnittpunktbedingung ein; die \(y\)-Koordinate musst du nicht aus der Zeichnung bestimmen.

1. Aus der Abbildung liest man für den dargestellten Schnittpunkt die Abszisse \(x=-6\) ab. 2. Für einen Schnittpunkt gilt \(f(x)=g(x)\). Mit \(x=-6\) folgt \((-6)^2-6b+3=2\cdot(-6)+3\). 3. Vereinfachen ergibt \(39-6b=-9\), also \(48=6b\). 4. Damit ist \(b=8\).

a) \(x=-6\) b) \((-6)^2-6b+3=2\cdot(-6)+3\), also \(b=8\)

- Welche \(x\)-Koordinate hat der dargestellte Schnittpunkt? - Welche Gleichung gilt zwischen \(p(x)\) und \(g(x)\) an jedem gemeinsamen Punkt? - Berechne den Funktionswert der Geraden aus ihrer Gleichung, statt die \(y\)-Koordinate aus dem Bild abzulesen.

1. Aus der Abbildung liest man für den dargestellten Schnittpunkt \(x=1\) ab. 2. An einem Schnittpunkt gilt \(p(1)=g(1)\). Daher folgt \(a\cdot1^2-4\cdot1+3=-1+3\). 3. Vereinfachen ergibt \(a-1=2\). Somit ist \(a=3\).

a) \(x=1\) b) \(a\cdot1^2-4\cdot1+3=-1+3\), also \(a=3\)

- Stelle für beide Teile jeweils die Schnittgleichung auf. - Welche Bedingung an die Diskriminante bedeutet „kein Schnittpunkt“, welche „mindestens ein Schnittpunkt“? - Der Verschiebungsparameter bleibt beim Umformen als Unbekannte erhalten.

1. Für a) führt \(f(x)=g(x)\) zu \(x^2-x+2=0\). Die Diskriminante ist \(\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot2=-7<0\). Es gibt keinen Schnittpunkt. 2. Für die verschobene Gerade folgt aus \(f(x)=h(x)\) die Gleichung \(x^2-x+2-d=0\). 3. Für mindestens einen gemeinsamen Punkt muss \(\Delta\ge0\) gelten. 4. Hier ist \(\Delta=(-1)^2-4(2-d)=4d-7\). Aus \(4d-7\ge0\) folgt \(d\ge1{,}75\).

a) \(\Delta=-7<0\); es gibt keine Schnittpunkte. b) Die Gerade muss um mindestens \(1{,}75\) Einheiten nach oben verschoben werden.

- Welche markanten Punkte liefern dir die Parameter der beiden Parabeln? - Welche Gleichung entsteht, wenn du die beiden Funktionsterme gleichsetzt? - Lässt sich die entstehende quadratische Gleichung in zwei Linearfaktoren zerlegen? - Wie erhältst du nach den \(x\)-Werten die zugehörigen \(y\)-Werte?

1. Für \(f\) liest man den Scheitelpunkt \(S_f(0\mid-4)\) und den Punkt \((2\mid0)\) ab. Damit ist \(f(x)=x^2-4\). 2. Für \(g\) liest man \(S_g(1\mid1)\) und den Ursprung \((0\mid0)\) ab. Mit \(g(x)=a(x-1)^2+1\) folgt \(a=-1\), also \(g(x)=-(x-1)^2+1=-x^2+2x\). 3. Gleichsetzen ergibt \(x^2-4=-x^2+2x\), also \(x^2-x-2=0\). 4. Faktorisieren liefert \((x-2)(x+1)=0\). Daher sind die Schnittstellen \(x=2\) und \(x=-1\). 5. Einsetzen ergibt \(Q(2\mid0)\) und \(P(-1\mid-3)\).

a) \(f(x)=x^2-4\); \(g(x)=-x^2+2x\) b) \(P(-1\mid-3)\) und \(Q(2\mid0)\)

- Bestimme zunächst die Funktionsgleichung der Parabel aus Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt. - Setze Parabel und Geradenschar gleich. - Eine Ersetzung für \(x-2\) kann die Struktur übersichtlicher machen. - Welche Bedingung an die Diskriminante entspricht „kein Schnittpunkt“?

1. Aus dem Graphen liest man \(S(2\mid1)\) und \((0\mid2)\) ab. Daher ist \(f(x)=0{,}25(x-2)^2+1\). 2. Gleichsetzen liefert \(0{,}25(x-2)^2+1=m(x-2)\). 3. Mit \(u=x-2\) entsteht \(0{,}25u^2-mu+1=0\). 4. Die Diskriminante ist \(\Delta=(-m)^2-4\cdot0{,}25\cdot1=m^2-1\). 5. Für keine Schnittpunkte muss \(\Delta<0\) gelten. Daraus folgt \(-1<m<1\).

\(-1 < m < 1\)