Kostenlose Arbeitsblätter

- Womit musst du die Gleichung multiplizieren, um die Brüche aufzulösen? - Vergiss nicht zu prüfen, für welche Werte von \(x\) die ursprüngliche Gleichung überhaupt definiert ist. - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer Gleichung der Form \(x^2 = a\)?

1. Definitionsmenge bestimmen: Die Nenner dürfen nicht null werden, daher gilt \(x \neq 0\) und \(x \neq -3\). 2. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(x(x+3)\): \((x-1)(x+3) = 2x\). 3. Ausmultiplizieren der Klammern: \(x^2 + 3x - x - 3 = 2x\), also \(x^2 + 2x - 3 = 2x\). 4. Subtraktion von \(2x\) auf beiden Seiten führt zur reinquadratischen Gleichung: \(x^2 - 3 = 0\), also \(x^2 = 3\). 5. Wurzel ziehen ergibt die potenziellen Lösungen: \(x_1 = \sqrt{3}\) und \(x_2 = -\sqrt{3}\). 6. Abgleich mit der Definitionsmenge: Beide Werte sind enthalten. 7. Damit ist \(L = \{-\sqrt{3}; \sqrt{3}\}\).

\(L = \{-\sqrt{3}; \sqrt{3}\}\)

- Welche Werte dürfen wegen der Nenner nicht vorkommen? - Bringe die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. - Wie kannst du die bekannte Summe \(x+y\) einsetzen? - Nutze anschließend Summe und Produkt, um eine quadratische Hilfsgleichung aufzustellen.

1. Wegen der Nenner gilt \(x\neq0\) und \(y\neq0\). 2. Die erste Gleichung lässt sich zu \[ \frac{x+y}{xy}=\frac{5}{4} \] zusammenfassen. 3. Mit \(x+y=5\) folgt \[ \frac{5}{xy}=\frac{5}{4}, \] also \(xy=4\). 4. \(x\) und \(y\) sind damit die Nullstellen der Hilfsgleichung \[ t^2-5t+4=0. \] 5. Faktorisieren ergibt \[ (t-1)(t-4)=0. \] Somit sind die Lösungspaare \((1 \mid 4)\) und \((4 \mid 1)\). Beide erfüllen die Definitionsbedingungen.

\(L=\{(1 \mid 4);(4 \mid 1)\}\)

- Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^2 = a\)? - Überlege dir, was mit einem Bruch passiert, wenn der Nenner immer größer wird. - Setze beispielhaft einen großen Wert für \(x\) in beide Funktionsgleichungen ein.

1. Gleichsetzen: \(\frac{18}{x} = 2x\). 2. Multiplikation mit \(x\): \(18 = 2x^2\). 3. Division durch 2: \(9 = x^2\). 4. Ziehen der Quadratwurzel: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 5. \(y\)-Koordinaten berechnen: \(f(3) = 6\) und \(f(-3) = -6\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(3 \mid 6)\) und \(S_2(-3 \mid -6)\). 6. Vergleich für \(x > 10\): Für wachsende \(x\) wird der Wert von \(f(x) = \frac{18}{x}\) immer kleiner (nähert sich 0), während \(g(x) = 2x\) immer größer wird. Da \(g(10) = 20\) und \(f(10) = 1{,}8\), liegt der Graph von \(g\) oberhalb von \(f\).

a) Die Schnittpunkte sind \(S_1(3 \mid 6)\) und \(S_2(-3 \mid -6)\). b) Der Graph von \(g(x) = 2x\) liegt für \(x > 10\) oben, da \(f(x)\) für große \(x\) gegen Null sinkt, während \(g(x)\) unbegrenzt ansteigt.

- Suche zuerst den Hauptnenner, um die Brüche aufzulösen. - Multipliziere jedes Glied der Gleichung mit diesem Hauptnenner. - Nach dem Zusammenfassen erhältst du eine quadratische Gleichung. Welche Lösungsverfahren kennst du dafür? - Vergiss nicht, die Definitionsmenge zu Beginn festzulegen.

1. Definitionsmenge: \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-2; 0\}\). 2. Hauptnenner bestimmen: \(4x(x+2)\). 3. Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren: \(4(x+2) + 4x = 3x(x+2)\). 4. Klammern auflösen: \(4x + 8 + 4x = 3x^2 + 6x\). 5. Zusammenfassen und in Normalform bringen: \(8x + 8 = 3x^2 + 6x \implies 3x^2 - 2x - 8 = 0\). 6. Quadratische Gleichung lösen (z. B. mit der Mitternachtsformel): \(x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{6}\). 7. Lösungen berechnen: \(x_1 = \frac{2 + 10}{6} = 2\) und \(x_2 = \frac{2 - 10}{6} = -\frac{4}{3}\). Beide liegen in \(\mathbb{D}\).

\(x_1 = 2\); \(x_2 = -\frac{4}{3}\)

- Erinnerst du dich, wie man Gleichungen mit einem \(x\) im Nenner löst? - Nachdem du die Brüche aufgelöst hast, welche Art von Gleichung erhältst du? - Vergiss nicht, am Ende für jedes gefundene \(x\) auch den passenden \(y\)-Wert zu bestimmen.

1. Gleichsetzen der Terme: \(\frac{12}{x} = -x + 7\) 2. Multiplikation mit \(x\) (da \(x \neq 0\)): \(12 = -x^2 + 7x\) 3. Umstellen zur quadratischen Gleichung in Normalform: \(x^2 - 7x + 12 = 0\) 4. Lösen der Gleichung (z. B. mit der \(pq\)-Formel): \(x_{1,2} = 3{,}5 \pm \sqrt{12{,}25 - 12} = 3{,}5 \pm 0{,}5\). Dies ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 4\). 5. Berechnen der \(y\)-Werte: \(y_1 = -3 + 7 = 4\) und \(y_2 = -4 + 7 = 3\). 6. Die gemeinsamen Punkte sind \(P_1(3 \mid 4)\) und \(P_2(4 \mid 3)\).

Die gemeinsamen Punkte sind \(P_1(3 \mid 4)\) und \(P_2(4 \mid 3)\).

- Was ist der Hauptnenner aller Terme in der Gleichung? - Nachdem du die Brüche eliminiert hast, erhältst du eine quadratische Gleichung. Welche Lösungsverfahren kennst du dafür? - Achte darauf, alle Teilschritte beim Auflösen der Klammern sorgfältig durchzuführen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Nenner dürfen nicht null sein. \(x \neq 0\) und \(x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\). \(D = \mathbb{R} \setminus \{0; 2\}\). 2. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(4x(x-2)\): \(4(x-2) + 4x = 3x(x-2)\). 3. Vereinfachen und Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(4x - 8 + 4x = 3x^2 - 6x\) \(8x - 8 = 3x^2 - 6x\) \(3x^2 - 14x + 8 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der Mitternachtsformel): \(x = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 96}}{6} = \frac{14 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{14 \pm 10}{6}\). \(x_1 = \frac{24}{6} = 4\); \(x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: Beide Werte liegen in \(D\). Lösungsmenge: \(L = \{ \frac{2}{3}; 4 \}\).

\(D = \mathbb{R} \setminus \{0; 2\}\); \(L = \{ \frac{2}{3}; 4 \}\)

- Untersuche die Nenner genau. Kannst du einen Nenner faktorisieren, um den Hauptnenner leichter zu finden? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch, wenn du die Klammern auflöst. - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn dein berechnetes Ergebnis laut Definitionsmenge ausgeschlossen ist?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Nenner dürfen nicht null sein. Da \(x^2 - 4x = x(x-4)\) ist, sind die kritischen Werte \(x = 0\) und \(x = 4\). \(D = \mathbb{R} \setminus \{0; 4\}\). 2. Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner \(x(x-4)\): \(2x \cdot x - (x+4)(x-4) = 16\). 3. Vereinfachen unter Anwendung der binomischen Formeln: \(2x^2 - (x^2 - 16) = 16\) \(2x^2 - x^2 + 16 = 16\) \(x^2 + 16 = 16\). 4. Lösen der Gleichung: \(x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\). 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: Da \(0 \notin D\), ist dieser Wert keine gültige Lösung. Die Gleichung besitzt keine Lösung. Lösungsmenge: \(L = \emptyset\).

\(D = \mathbb{R} \setminus \{0; 4\}\); \(L = \emptyset\)

- Wie kannst du den Nenner in der ursprünglichen Gleichung eliminieren? - Erinnere dich an die allgemeine Form quadratischer Gleichungen. - Was muss unter der Wurzel stehen, damit das Ergebnis eine rationale Zahl ist?

1. Definitionsbedingung: Wegen des Kehrwerts gilt \(x \neq 0\). 2. Multiplikation der Gleichung \(x = 3 + \frac{1}{x}\) mit \(x\) ergibt \(x^2 = 3x + 1\). 3. Umformung in die Normalform führt zu \(x^2 - 3x - 1 = 0\). 4. Anwendung der Lösungsformel ergibt \(x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\). 5. Beide Werte sind ungleich null und damit zulässig. Sie sind irrational, weil \(13\) keine Quadratzahl ist und \(\sqrt{13}\) irrational ist.

a) Die Normalform lautet \(x^2 - 3x - 1 = 0\). b) Die exakten Lösungen sind \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}\) und \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}\). c) Da \(13\) keine Quadratzahl ist, ist \(\sqrt{13}\) eine nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahl und somit irrational.

- Was muss für den Nenner gelten? - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass keine Brüche mehr vorkommen? - Welche Art von Gleichung entsteht nach dem Umformen? Kennst du ein Verfahren, um diese zu lösen?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner \(x-1\) darf nicht null sein, also \(x \neq 1\). \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). 2. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(2(x-1)\): \(2 \cdot (x+2) = x \cdot (x-1)\). 3. Ausmultiplizieren: \(2x + 4 = x^2 - x\). 4. Umformung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 3x - 4 = 0\). 5. Anwendung der \(pq\)-Formel oder Faktorisierung: \((x-4)(x+1) = 0\). 6. Ermittlung der Nullstellen: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -1\). 7. Abgleich mit der Definitionsmenge: Beide Werte liegen in \(\mathbb{D}\). Somit ist \(\mathbb{L} = \{-1; 4\}\).

\(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\); \(\mathbb{L} = \{-1; 4\}\)

- Achte darauf, dass es hier zwei verschiedene Nenner gibt, die nicht null werden dürfen. - Erkennst du ein Muster in den Nennern, das dir beim Finden des Hauptnenners hilft? - Denk beim Lösen von Gleichungen der Form \(x^2 = a\) daran, dass es zwei Lösungen geben kann.

1. Definitionsmenge bestimmen: Die Nenner dürfen nicht null werden, also \(x-1 \neq 0\) und \(x+1 \neq 0\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). 2. Hauptnenner bestimmen: Der Hauptnenner ist \((x-1)(x+1) = x^2 - 1\) (dritte binomische Formel). 3. Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren: \(4(x+1) - 4(x-1) = 1 \cdot (x^2 - 1)\). 4. Klammern auflösen und zusammenfassen: \(4x + 4 - 4x + 4 = x^2 - 1\). 5. Vereinfachen: \(8 = x^2 - 1\). 6. Nach \(x^2\) auflösen: \(x^2 = 9\). 7. Wurzel ziehen: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 8. Da beide Werte in \(\mathbb{D}\) liegen, ist die Lösungsmenge \(\mathbb{L} = \{-3; 3\}\).

\(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\); \(\mathbb{L} = \{-3; 3\}\)

- Wie findet man rechnerisch heraus, wo sich zwei Graphen treffen? - Wenn du eine Gleichung mit \(x\) im Nenner hast, wie kannst du diesen Nenner eliminieren? - Welche Art von Gleichung entsteht, wenn du die Terme gleichsetzt und umformst?

1. Berechne zunächst den Funktionswert von \(h\) an der Stelle \(x = 2\): \(h(2) = 2 \cdot 2 - 5 = -1\). 2. Setze \(g(2) = h(2)\): \(\frac{k}{2} = -1\). Daraus folgt durch Multiplikation mit 2: \(k = -2\). 3. Um die Schnittpunkte zu finden, setze \(g(x) = h(x)\) mit \(k = -2\): \(-\frac{2}{x} = 2x - 5\). 4. Multipliziere die Gleichung mit \(x\) (wobei \(x \neq 0\)): \(-2 = 2x^2 - 5x\). 5. Bringe die Gleichung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(2x^2 - 5x + 2 = 0\). 6. Nutze die Lösungsformel: \(x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}\). 7. Die Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 0{,}5\). 8. Bestimme die \(y\)-Koordinaten: \(y_1 = h(2) = -1\) und \(y_2 = h(0{,}5) = 2 \cdot 0{,}5 - 5 = -4\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(2 \mid -1)\) und \(S_2(0{,}5 \mid -4)\).

a) Der Wert ist \(k = -2\). b) Die Schnittpunkte sind \(S_1(2 \mid -1)\) und \(S_2(0{,}5 \mid -4)\).

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass keine Brüche mehr vorkommen? - Welche Formel hilft dir, eine Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\) zu lösen? - Erinnere dich an die binomischen Formeln für den Term \((x-2)^2\). - Sind alle deine berechneten Werte in der Definitionsmenge erlaubt?

1. Beseitigung der Nenner durch Multiplikation mit \(x \cdot (x-2)\): \((x-2) \cdot (x-2) = 1 \cdot x\) 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel: \(x^2 - 4x + 4 = x\) 3. Überführung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 5x + 4 = 0\) 4. Anwendung der \(pq\)-Formel: \(x_{1,2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 - 4} = 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 - 4} = 2{,}5 \pm 1{,}5\) 5. Bestimmung der Kandidaten: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = 1\) 6. Abgleich mit der Definitionsmenge: Beide Werte liegen in \(G\).

\(L = \{1; 4\}\)

- Was ist der Hauptnenner aller Brüche in der Gleichung? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch beim Auflösen der Klammern. - Was musst du tun, wenn ein berechneter Wert genau einem der ausgeschlossenen Werte der Definitionsmenge entspricht? - Überprüfe die Lösbarkeit der Gleichung unter Berücksichtigung aller Bedingungen.

1. Bestimmung des Hauptnenners: Da \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\), ist dies der Hauptnenner. 2. Multiplikation der gesamten Gleichung mit \((x-1)(x+1)\): \(x(x+1) - 1(x-1) = 2\) 3. Vereinfachung der Terme: \(x^2 + x - x + 1 = 2\), was sich zu \(x^2 + 1 = 2\) reduziert. 4. Isolierung von \(x\): \(x^2 = 1\), woraus die rechnerischen Lösungen \(x = 1\) und \(x = -1\) folgen. 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: Die Werte \(1\) und \(-1\) sind laut Definitionsmenge ausgeschlossen. 6. Schlussfolgerung: Es existiert keine zulässige Lösung.

\(L = \emptyset\)

- Welche Werte darf \(x\) nicht annehmen, damit man nicht durch null teilt? - Wie kannst du die Brüche auflösen, indem du die gesamte Gleichung mit einem gemeinsamen Vielfachen der Nenner multiplizierst? - Achte beim Ausmultiplizieren der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man Gleichungen der Form \(x^2 + px + q = 0\) lösen kann?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Nenner \(x-2\) und \(x+2\) dürfen nicht null sein, daraus folgt \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). 2. Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner \(3(x-2)(x+2)\) bzw. \(3(x^2-4)\). 3. Aufstellen der erweiterten Zähler: \(3 \cdot [2x(x+2) + x(x-2)] = 10(x^2-4)\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(3(2x^2 + 4x + x^2 - 2x) = 10x^2 - 40 \Rightarrow 3(3x^2 + 2x) = 10x^2 - 40 \Rightarrow 9x^2 + 6x = 10x^2 - 40\). 5. Umformen in die quadratische Normalform: \(x^2 - 6x - 40 = 0\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 + 40} = 3 \pm 7\). 7. Ergebnisse: \(x_1 = 10\) und \(x_2 = -4\). Da beide Werte in \(D\) liegen, ist die Lösungsmenge \(L = \{-4; 10\}\).

\(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); \(L = \{-4; 10\}\)

- Was muss für die Nenner einer Bruchgleichung immer gelten? - Wie kannst du die Brüche eliminieren, um eine rein algebraische Gleichung zu erhalten? - Erinnerst du dich an die erste und zweite binomische Formel? - Prüfe am Ende, ob deine berechneten Werte für \(x\) laut Definitionsmenge erlaubt sind.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Da die Nenner nicht Null sein dürfen, gilt \(x - a \neq 0\) und \(x + a \neq 0\), woraus \(D = \mathbb{R} \setminus \{a; -a\}\) folgt. 2. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(5(x-a)(x+a)\) führt zu: \(5(x+a)^2 + 5(x-a)^2 = 26(x^2-a^2)\). 3. Anwendung der binomischen Formeln und Zusammenfassen: \(5(x^2 + 2ax + a^2 + x^2 - 2ax + a^2) = 26x^2 - 26a^2\). 4. Vereinfachung: \(10x^2 + 10a^2 = 26x^2 - 26a^2 \Rightarrow 36a^2 = 16x^2\). 5. Auflösen nach \(x\): \(x^2 = \frac{36}{16}a^2 = \frac{9}{4}a^2\). Dies ergibt die Lösungen \(x_1 = 1{,}5a\) und \(x_2 = -1{,}5a\). Da \(a \neq 0\), sind diese Lösungen stets ungleich \(a\) oder \(-a\) und somit zulässig. 6. Bestimmung von \(a\) für \(x=3\): Aus \(1{,}5a = 3\) folgt \(a = 2\). Aus \(-1{,}5a = 3\) folgt \(a = -2\). Da in der Aufgabe \(x=3\) als eine Lösung (nicht die einzige) gefordert ist, ist \(a=2\) oder \(a=-2\) die Antwort.

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{a; -a\}\) b) \(x_1 = 1{,}5a; x_2 = -1{,}5a\) c) \(a = 2\) oder \(a = -2\)

- Was passiert, wenn du den Ausdruck für \(y\) aus der ersten Gleichung in die zweite einsetzt? - Wie kannst du eine Gleichung, in der \(x\) im Nenner steht, so umformen, dass eine quadratische Gleichung entsteht? - Was bedeutet es für die Anzahl der Lösungen, wenn beim Lösen einer quadratischen Gleichung die Diskriminante Null ist? - Erinnere dich an die Begriffe Schnittpunkt und Berührpunkt bei Funktionen.

1. Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite: \(2x + \frac{8}{x} = 8\). 2. Multiplikation mit \(x\) (unter der Bedingung \(x \neq 0\)): \(2x^2 + 8 = 8x\). 3. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(2x^2 - 8x + 8 = 0\). 4. Division durch \(2\): \(x^2 - 4x + 4 = 0\). 5. Anwendung der binomischen Formel oder der \(p\)-\(q\)-Formel: \((x-2)^2 = 0\). 6. Bestimmung der \(x\)-Lösung: \(x = 2\). Da es eine doppelte Nullstelle ist, gibt es nur einen Wert für \(x\). 7. Berechnung von \(y\): \(y = \frac{8}{2} = 4\). Die Lösungsmenge ist \(\mathbb{L} = \{(2 \mid 4)\}\). 8. Geometrische Interpretation: Da das System genau eine Lösung besitzt, haben die Hyperbel und die Gerade genau einen gemeinsamen Punkt. Die Gerade ist somit eine Tangente an die Hyperbel im Punkt \((2 \mid 4)\).

a) \(\mathbb{L} = \{(2 \mid 4)\}\) b) Es gibt genau einen gemeinsamen Punkt; die Gerade berührt die Hyperbel und ist somit eine Tangente.

- Könntest du eine der Variablen in einer Gleichung isolieren und in die andere einsetzen? - Wie kannst du die Brüche in der Gleichung eliminieren, um eine einfachere Struktur zu erhalten? - Welche Werte dürfen \(x\) und \(y\) auf keinen Fall annehmen? - Nachdem du die Brüche aufgelöst hast, welche Art von Gleichung erhältst du für \(x\)?

1. Umstellen der zweiten Gleichung nach \(y\): \(y = x + 1\). 2. Einsetzen in die erste Gleichung: \(\frac{3}{x} - \frac{4}{x+1} = 1\). Definitionsbereich: \(x \neq 0\) und \(x \neq -1\). 3. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(x(x+1)\): \(3(x+1) - 4x = x(x+1)\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(3x + 3 - 4x = x^2 + x \Rightarrow -x + 3 = x^2 + x \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(pq\)-Formel oder dem Satz von Vieta): \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\). 6. Berechnen der zugehörigen \(y\)-Werte: \(y_1 = 1 + 1 = 2\) und \(y_2 = -3 + 1 = -2\). 7. Überprüfung der Definitionsbedingungen: Beide Lösungen sind zulässig.

\(L = \{ (1 \mid 2); (-3 \mid -2) \}\)

- Achte auf den Definitionsbereich, insbesondere darauf, welche Werte \(x\) im Nenner nicht annehmen darf. - Wie lautet der Hauptnenner der drei Brüche? - Behandle den Parameter \(a\) beim Umformen wie eine ganz normale Zahl. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass sie wie eine einfache quadratische Gleichung aussieht?

1. Wegen der Nenner gilt \(x\neq a\) und \(x\neq-a\). 2. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((x-a)(x+a)=x^2-a^2\) ergibt \[ x(x+a)-2a(x-a)=8a^2. \] 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \[ x^2-ax-6a^2=0. \] 4. Faktorisieren: \[ x^2-ax-6a^2=(x-3a)(x+2a)=0. \] Daher sind die möglichen Lösungen \(x=3a\) und \(x=-2a\). 5. Da \(a\neq0\), gilt für beide Werte \(x\neq\pm a\). Somit sind beide Lösungen zulässig.

\(L = \{-2a; 3a\}\)

- Kannst du eine der Gleichungen so umstellen, dass eine Variable allein steht? - Was passiert, wenn du diesen Ausdruck in die andere Gleichung einsetzt? - Achte beim Umformen auf die binomischen Formeln. - Gibt es Werte für \(x\) oder \(y\), die du von vornherein ausschließen musst?

1. Auflösen der ersten Gleichung nach \(x\): \(x+2 = 2(y-1) \Rightarrow x = 2y - 4\). 2. Einsetzen des Terms für \(x\) in die zweite Gleichung: \((2y-4)^2 + y^2 = 13\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen zur quadratischen Gleichung: \(4y^2 - 16y + 16 + y^2 = 13 \Rightarrow 5y^2 - 16y + 3 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung mittels Mitternachtsformel oder \(p\)-\(q\)-Formel: \(y_1 = 3\) und \(y_2 = 0{,}2\). 5. Berechnung der zugehörigen \(x\)-Werte durch Einsetzen in \(x = 2y - 4\): \(x_1 = 2 \cdot 3 - 4 = 2\) und \(x_2 = 2 \cdot 0{,}2 - 4 = -3{,}6\). 6. Abgleich mit der Definitionsmenge (\(y \neq 1\)): Beide Paare \((2 \mid 3)\) und \((-3{,}6 \mid 0{,}2)\) sind gültige Lösungen.

\(L = \{(2 \mid 3); (-3{,}6 \mid 0{,}2)\}\)

- Es ist oft hilfreich, Dezimalzahlen wie \(2{,}5\) als Brüche zu schreiben. - Wie kannst du die linke Seite auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Welche Rechenoperation kehrt ein Quadrat um? Denke an beide möglichen Vorzeichen.

1. Definitionsmenge festlegen: Die Nenner werden für \(x=1\) und \(x=-1\) null. Also \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). 2. Gleichung mit dem Hauptnenner \(2(x-1)(x+1)\) multiplizieren, wobei \(2{,}5 = \frac{5}{2}\): \(2x(x+1) + 2x(x-1) = 5(x-1)(x+1)\). 3. Ausmultiplizieren: \(2x^2 + 2x + 2x^2 - 2x = 5(x^2 - 1) \implies 4x^2 = 5x^2 - 5\). 4. Nach \(x^2\) umformen: \(x^2 = 5\). 5. Wurzel ziehen: \(x_1 = \sqrt{5}\) und \(x_2 = -\sqrt{5}\). 6. Abgleich mit \(\mathbb{D}\): Beide Werte sind zulässig. 7. Ergebnis: \(\mathbb{L} = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\).

\(\mathbb{L} = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\)

- Wie kannst du eine Gleichung lösen, bei der ein Ausdruck im Quadrat steht? - Denk daran, dass beim Lösen von Gleichungen mit Quadraten oft zwei Lösungen möglich sind. - Kann jeder Teil einer Funktion null werden? Schau dir den Zähler genau an. - Überprüfe, ob deine gefundenen Werte für \(x\) überhaupt in die ursprünglichen Funktionen eingesetzt werden dürfen.

1. Definitionsbereich von \(f\): \(x \neq 1\). 2. Berechnung der Schnittpunkte: Gleichsetzen \(\frac{4}{x-1} = x - 1\). 3. Multiplikation mit dem Nenner: \(4 = (x-1)^2\). 4. Ziehen der Wurzel: \(x-1 = 2\) oder \(x-1 = -2\). 5. Lösungen für \(x\): \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 6. Bestimmung der \(y\)-Werte: \(g(3) = 3 - 1 = 2\) und \(g(-1) = -1 - 1 = -2\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(3 \mid 2)\) und \(S_2(-1 \mid -2)\). 7. Nullstelle von \(f\): Da der Zähler \(4\) konstant ist, hat \(f\) keine Nullstellen. 8. Nullstelle von \(g\): \(x - 1 = 0 \implies x = 1\). Da dies zugleich die Definitionslücke von \(f\) ist, ist \(x = 1\) nur eine Nullstelle von \(g\); der zugehörige Punkt ist \((1 \mid 0)\).

Schnittpunkte: \((3 \mid 2)\) und \((-1 \mid -2)\) Nullstelle von \(f\): Keine vorhanden Nullstelle von \(g\): \(x = 1\) (zugehöriger Punkt: \((1 \mid 0)\))

- Schnittpunkte berechnet man, indem man die Funktionsterme gleichsetzt. - Wann ist ein Bruchterm mathematisch nicht definiert? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(x^2 - 3x - 4 = 0\) lösen? - Was passiert, wenn eine rechnerische Lösung den Nenner null werden lässt?

1. Da \(x\) im Nenner steht, ist die Definitionsmenge \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Gleichsetzen: \(\frac{4}{x} = x - 3\). 3. Mit \(x\) multiplizieren: \(4 = x(x - 3) \implies 4 = x^2 - 3x\). 4. In Normalform bringen: \(x^2 - 3x - 4 = 0\). 5. Lösen (z. B. durch Faktorisieren oder Formel): \((x - 4)(x + 1) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -1\). Beide sind in \(D\) enthalten. 6. Erklärung: Man muss sicherstellen, dass die berechneten Werte nicht dazu führen, dass durch null geteilt wird, da die ursprüngliche Gleichung an diesen Stellen nicht definiert ist.

1. \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\); 2. \(x_1=4\), \(x_2=-1\); 3. Die Definitionsmenge schließt Werte aus, die einen Nenner null machen.

- Multipliziere die Gleichung mit \(x\), um den Bruch aufzulösen. - Welche Art von Gleichung entsteht, wenn ein Term mit \(x^2\) vorkommt? - Versuche, die Gleichung so umzustellen, dass auf einer Seite eine Null steht. - Überlege dir, welche zwei Zahlen die Summe \(3\) und das Produkt \(-4\) haben.

1. Gleichsetzen der Funktionen: \(x+3 = \frac{4}{x}\). 2. Festlegen der Definitionsmenge: \(x \neq 0\). 3. Beseitigen des Bruchs durch Multiplikation mit \(x\): \(x(x+3) = 4 \implies x^2 + 3x = 4\). 4. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 + 3x - 4 = 0\). 5. Bestimmung der \(x\)-Werte (z. B. durch Faktorisieren): \((x+4)(x-1) = 0\). Dies liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -4\). 6. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Werte durch Einsetzen in \(f(x)\): Für \(x_1 = 1\): \(y_1 = 1+3 = 4\). Für \(x_2 = -4\): \(y_2 = -4+3 = -1\). 7. Die Schnittpunkte sind \(S_1(1 \mid 4)\) und \(S_2(-4 \mid -1)\).

Die Schnittpunkte sind \((1 \mid 4)\) und \((-4 \mid -1)\).

- Untersuche die Nenner genau — fällt dir eine Beziehung zwischen ihnen auf? - Es ist oft hilfreich, Nenner zuerst zu faktorisieren. - Was passiert, wenn du am Ende einen Wert für \(x\) erhältst, der ursprünglich im Nenner eine Null erzeugt hätte?

1. Definitionsmenge bestimmen: Da \(x^2-4 = (x+2)(x-2)\), sind die kritischen Werte \(x = 2\) und \(x = -2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). 2. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((x+2)(x-2)\): \(3x(x-2) + 2(x+2) = 8\). 3. Klammern auflösen: \(3x^2 - 6x + 2x + 4 = 8\). 4. Zusammenfassen und in Normalform bringen: \(3x^2 - 4x - 4 = 0\). 5. Lösung mit der Mitternachtsformel: \(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{4 \pm 8}{6}\). 6. Mögliche Werte berechnen: \(x_1 = \frac{12}{6} = 2\) und \(x_2 = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\). 7. Abgleich mit der Definitionsmenge: Der Wert \(x = 2\) ist nicht in der Definitionsmenge enthalten, da er einen Nenner null machen würde. 8. Einzige gültige Lösung ist somit \(x = -\frac{2}{3}\).

Die einzige Lösung der Gleichung ist \(x = -\frac{2}{3}\). Der rechnerische Wert \(x = 2\) gehört nicht zur Lösungsmenge, da er nicht in der Definitionsmenge liegt.

- Was passiert mit einem Bruch, wenn sein Nenner den Wert null annimmt? - Wie findest du einen gemeinsamen Nenner für die linke Seite der Gleichung? - Nachdem du die Brüche eliminiert hast, solltest du alle Terme auf eine Seite bringen, um eine quadratische Gleichung zu erhalten. - Vergiss am Ende nicht zu prüfen, ob deine berechneten Werte in der Definitionsmenge enthalten sind.

1. Zu Teil a): Der Wert \(x = -2\) führt im Nenner des zweiten Bruchs (\(x+2\)) zu null. Da eine Division durch null nicht definiert ist, kann \(-2\) kein Element der Definitionsmenge und somit keine Lösung sein. 2. Zu Teil b): Definitionsmenge bestimmen: Die Nenner werden für \(x=1\) und \(x=-2\) null, also \(D = \mathbb{R} \setminus \{1; -2\}\). 3. Gleichung mit dem Hauptnenner \((x-1)(x+2)\) multiplizieren: \((x+1)(x+2) + (x-2)(x-1) = 3(x-1)(x+2)\). 4. Ausmultiplizieren der Terme: \((x^2 + 3x + 2) + (x^2 - 3x + 2) = 3(x^2 + x - 2)\). 5. Zusammenfassen der linken Seite: \(2x^2 + 4 = 3x^2 + 3x - 6\). 6. Umformen in die Normalform: \(x^2 + 3x - 10 = 0\). 7. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x_{1,2} = -1{,}5 \pm \sqrt{2{,}25 + 10} = -1{,}5 \pm 3{,}5\). 8. Ergebnisse prüfen: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -5\). Beide Werte liegen in \(D\).

a) Bei \(x = -2\) wird der Nenner des zweiten Bruchs null, was mathematisch nicht definiert ist. b) \(D = \mathbb{R} \setminus \{1; -2\}\); \(L = \{-5; 2\}\)

- Was passiert, wenn du beide Seiten der Gleichung mit den Nennern multiplizierst? - Schau dir das Ergebnis der Umformung genau an – bleibt die Variable \(x\) erhalten oder fällt sie weg? - Warum ist es wichtig, die Definitionsmenge vor dem Lösen festzulegen? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn ein rechnerisches Ergebnis laut Definitionsmenge ausgeschlossen ist?

1. Für \(a=0\) lautet die Gleichung \(\frac{x}{x-2} = \frac{x-4}{x}\). Überkreuzmultiplikation ergibt \(x^2 = (x-2)(x-4) = x^2 - 6x + 8\). Dies führt zu \(6x = 8\) bzw. \(x = \frac{4}{3}\). Da \(\frac{4}{3} \notin \{0; 2\}\), ist dies die Lösung. 2. Für \(a=3\) lautet die Gleichung \(\frac{x-3}{x-2} = \frac{x-4}{x-3}\). Überkreuzmultiplikation ergibt \((x-3)^2 = (x-2)(x-4) \Rightarrow x^2 - 6x + 9 = x^2 - 6x + 8\). Dies führt zum Widerspruch \(9 = 8\), woraus folgt, dass es keine Lösung gibt. 3. Untersuchung der Aussage für \(a=4\): Die Definitionsmenge für \(a=4\) ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{2; 4\}\). 4. Die Rechnung per Überkreuzmultiplikation ergibt \((x-4)^2 = (x-2)(x-4) \Rightarrow x^2 - 8x + 16 = x^2 - 6x + 8 \Rightarrow -2x = -8 \Rightarrow x = 4\). 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: Da \(x=4\) durch den Nenner \(x-a\) (hier \(x-4\)) ausgeschlossen ist, besitzt die Gleichung für \(a=4\) keine Lösung. Die Aussage des Schülers ist falsch.

a) \(x = \frac{4}{3}\) b) Die Umformung führt auf den Widerspruch \(9 = 8\), daher existiert keine Lösung. c) Die Aussage ist falsch. Zwar liefert die Rechnung \(x = 4\), dieser Wert ist jedoch nicht in der Definitionsmenge enthalten, da er den Nenner \(x-a\) zu null machen würde. Die Gleichung hat für \(a = 4\) keine Lösung.

- Beginne damit, eine Variable durch die andere auszudrücken, indem du die einfachere Gleichung nutzt. - Wie kannst du die linke Seite der ersten Gleichung als einen einzigen Bruch schreiben? - Nach dem Einsetzen und Vereinfachen solltest du eine quadratische Gleichung erhalten. - Überprüfe am Ende, ob deine gefundenen Werte für \(x\) und \(y\) nicht null sind, um die Definitionsmenge zu beachten.

1. Auflösen der zweiten Gleichung nach einer Variablen, zum Beispiel \(y = 5 - x\). 2. Einsetzen in die erste Gleichung: \(\frac{x}{5-x} + \frac{5-x}{x} = \frac{13}{6}\). 3. Gleichnamig machen der Brüche auf der linken Seite: \(\frac{x^2 + (5-x)^2}{x(5-x)} = \frac{13}{6}\). 4. Vereinfachen des Zählers: \(x^2 + (25 - 10x + x^2) = 2x^2 - 10x + 25\). 5. Multiplikation mit den Nennern (Kreuzmultiplikation): \(6(2x^2 - 10x + 25) = 13(x(5-x))\). 6. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(12x^2 - 60x + 150 = 65x - 13x^2\), was zu \(25x^2 - 125x + 150 = 0\) führt. 7. Division der Gleichung durch 25 ergibt \(x^2 - 5x + 6 = 0\). 8. Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 3\). 9. Bestimmung der zugehörigen \(y\)-Werte über \(y = 5 - x\): Für \(x_1 = 2\) ist \(y_1 = 3\); für \(x_2 = 3\) ist \(y_2 = 2\). 10. Die resultierenden Lösungspaare sind \((2 \mid 3)\) und \((3 \mid 2)\).

\(L = \{(2 \mid 3); (3 \mid 2)\}\)

- Kannst du einen Teil der ersten Gleichung durch eine neue Variable ersetzen, um sie zu vereinfachen? - Wie hängen die beiden Brüche in der ersten Gleichung zusammen? - Wenn du einen Zusammenhang zwischen \(x\) und \(y\) gefunden hast, wie kannst du diesen in der anderen Gleichung nutzen? - Achte darauf, dass die Nenner der Brüche nicht null werden dürfen.

1. Einführung einer Hilfsvariablen \(u = \frac{x+y}{x-y}\). Die erste Gleichung wird zu \(u + \frac{1}{u} = \frac{10}{3}\). 2. Multiplikation mit \(3u\) führt zur quadratischen Gleichung \(3u^2 - 10u + 3 = 0\). Die Lösungen sind \(u_1 = 3\) und \(u_2 = \frac{1}{3}\). 3. Fall 1 (\(u = 3\)): Aus \(\frac{x+y}{x-y} = 3\) folgt \(x+y = 3x-3y\), also \(x = 2y\). Einsetzen in die zweite Gleichung \(2(2y) + y = 7\) ergibt \(5y = 7\), also \(y_1 = 1{,}4\) und \(x_1 = 2{,}8\). 4. Fall 2 (\(u = \frac{1}{3}\)): Aus \(\frac{x+y}{x-y} = \frac{1}{3}\) folgt \(3x+3y = x-y\), also \(x = -2y\). Einsetzen in die zweite Gleichung \(2(-2y) + y = 7\) ergibt \(-3y = 7\), also \(y_2 = -\frac{7}{3}\) und \(x_2 = \frac{14}{3}\). 5. Prüfung der Definitionsmenge (\(x \neq y\) und \(x \neq -y\)): Beide Paare sind gültige Lösungen.

\(L = \left\{ (2{,}8 \mid 1{,}4); \left( \frac{14}{3} \mid -\frac{7}{3} \right) \right\}\)

- Welche Werte darf \(x\) wegen der Nenner nicht annehmen? - Multipliziere mit dem Hauptnenner und fasse die entstehende quadratische Gleichung zusammen. - Lässt sich die quadratische Gleichung faktorisieren? - Prüfe anschließend getrennt, wann eine mögliche Lösung ausgeschlossen ist und wann beide möglichen Lösungen zusammenfallen.

1. Wegen der Nenner gilt \(x\neq a\) und \(x\neq b\). 2. Multiplikation mit \((x-a)(x-b)\) ergibt \[ a(x-a)+b(x-b)=2(x-a)(x-b). \] 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen führt zu \[ 2x^2-3(a+b)x+(a+b)^2=0. \] 4. Faktorisieren: \[ 2x^2-3(a+b)x+(a+b)^2 =\bigl(2x-(a+b)\bigr)\bigl(x-(a+b)\bigr). \] Die möglichen Lösungen sind daher \[ x_1=a+b,\qquad x_2=\frac{a+b}{2}. \] 5. \(x_1=a+b\) ist wegen \(a\neq0\) und \(b\neq0\) niemals gleich \(a\) oder \(b\), also stets zulässig. 6. Für \(x_2\) gilt \(x_2=a\) oder \(x_2=b\) genau dann, wenn \(a=b\). In diesem Fall ist \(x_2\) ausgeschlossen und nur \(x_1=2a\) zulässig. 7. Sind \(a\neq b\) und \(a+b=0\), so fallen \(x_1\) und \(x_2\) beide mit \(0\) zusammen; es gibt genau eine Lösung. 8. Sind \(a\neq b\) und \(a+b\neq0\), sind \(x_1\) und \(x_2\) zwei verschiedene zulässige Lösungen.

Für \(a,b\in\mathbb R\setminus\{0\}\) gilt: - Falls \(a=b\), ist \(L=\{2a\}\). - Falls \(a\neq b\) und \(a+b=0\), ist \(L=\{0\}\). - Falls \(a\neq b\) und \(a+b\neq0\), ist \(L=\left\{a+b;\frac{a+b}{2}\right\}\).

- Fällt dir eine Besonderheit am Ausdruck \(x^2 - y^2\) auf? - Kannst du Teile der Gleichungen durch neue Variablen ersetzen, um das System zu vereinfachen? - Wie hängen die Nenner der ersten Gleichung mit der zweiten Gleichung zusammen? - Vergiss nicht, am Ende wieder auf \(x\) und \(y\) zurückzurechnen.

1. Faktorisierung der zweiten Gleichung mithilfe der dritten binomischen Formel: \((x-y)(x+y) = 8\). 2. Substitution von \(u = x-y\) und \(v = x+y\). Damit lautet die zweite Gleichung \(u \cdot v = 8\), also \(v = \frac{8}{u}\). 3. Einsetzen von \(v\) in die erste Gleichung: \(\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{1}{u} + \frac{u}{8} = \frac{3}{4}\). 4. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(8u\) (wobei \(u \neq 0\)): \(8 + u^2 = 6u \Rightarrow u^2 - 6u + 8 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: \(u_1 = 2\) und \(u_2 = 4\). 6. Bestimmung der Werte für \(v\): \(v_1 = \frac{8}{2} = 4\) und \(v_2 = \frac{8}{4} = 2\). 7. Lösung der linearen Teilsysteme: a) \(x-y=2\) und \(x+y=4 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3, y=1\). b) \(x-y=4\) und \(x+y=2 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3, y=-1\). 8. Überprüfung der Nenner: \(x-y \neq 0\) und \(x+y \neq 0\) ist für beide Paare erfüllt.

\(L = \{(3 \mid 1); (3 \mid -1)\}\)