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- Für welche Zahl wird der Nenner null? - Welche Werte müssen bei einer Bruchgleichung aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden?

1. Der Nenner \(x-4\) darf nicht null sein. 2. Deshalb ist \(x\ne4\). 3. Die Definitionsmenge ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{4\}\).

\(D=\mathbb{R}\setminus\{4\}\)

- Vergleiche jeden Kandidaten zuerst mit der angegebenen Definitionsmenge. - Bedeutet „liegt in der Definitionsmenge“ automatisch schon „ist eine Lösung“?

1. Die Zahl \(2\) ist aus der Definitionsmenge ausgeschlossen. 2. Deshalb kann \(x=2\) keine Lösung der ursprünglichen Bruchgleichung sein. 3. \(x=-3\) liegt dagegen in der Definitionsmenge; ob es tatsächlich eine Lösung ist, müsste durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung geprüft werden.

\(x=2\) kann keine Lösung sein, weil \(2\notin D\). Für \(x=-3\) ist allein aus der Definitionsmenge noch keine endgültige Aussage möglich.

- Womit musst du die Gleichung multiplizieren, um die Brüche aufzulösen? - Vergiss nicht zu prüfen, für welche Werte von \(x\) die ursprüngliche Gleichung überhaupt definiert ist. - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer Gleichung der Form \(x^2 = a\)?

1. Definitionsmenge bestimmen: Die Nenner dürfen nicht null werden, daher gilt \(x \neq 0\) und \(x \neq -3\). 2. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(x(x+3)\): \((x-1)(x+3) = 2x\). 3. Ausmultiplizieren der Klammern: \(x^2 + 3x - x - 3 = 2x\), also \(x^2 + 2x - 3 = 2x\). 4. Subtraktion von \(2x\) auf beiden Seiten führt zur reinquadratischen Gleichung: \(x^2 - 3 = 0\), also \(x^2 = 3\). 5. Wurzel ziehen ergibt die potenziellen Lösungen: \(x_1 = \sqrt{3}\) und \(x_2 = -\sqrt{3}\). 6. Abgleich mit der Definitionsmenge: Beide Werte sind enthalten. 7. Damit ist \(L = \{-\sqrt{3}; \sqrt{3}\}\).

\(L = \{-\sqrt{3}; \sqrt{3}\}\)

- Wo schneiden sich die mit \(f\) und \(g\) beschrifteten Graphen? - Welche Gleichung beschreibt grundsätzlich einen Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen? - Welche Bedingung an \(x\) musst du beachten, bevor du den Nenner beseitigst? - Prüfe anschließend, ob sich die quadratische Gleichung faktorisieren lässt.

1. Aus der Abbildung liest man \(S_1(1\mid3)\) und \(S_2(3\mid1)\) ab. 2. An Schnittpunkten gilt \(f(x)=g(x)\), also \(\frac{3}{x}=-x+4\). Durch Addition von \(x\) folgt \(\frac{3}{x}+x=4\). Daher passt (A). 3. Es gilt \(x\neq0\). Multiplikation von \(\frac{3}{x}=-x+4\) mit \(x\) ergibt \(3=-x^2+4x\), also \(x^2-4x+3=0\). 4. Es gilt \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\). Daher folgt \(x=1\) oder \(x=3\). 5. Beide Werte sind zulässig. Somit ist \(L=\{1;3\}\).

1. \(S_1(1\mid3)\) und \(S_2(3\mid1)\) 2. (A), denn diese Gleichung ist äquivalent zu \(f(x)=g(x)\). 3. \(L=\{1;3\}\)

- Welcher Wert ist wegen des Nenners ausgeschlossen? - Wie kannst du den Bruchterm beseitigen, ohne die Definitionsmenge aus dem Blick zu verlieren? - Was musst du beachten, wenn du das Quadrieren beim Lösen wieder rückgängig machst?

1. Wegen des Nenners gilt \(x\neq1\). Daher ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). 2. Für \(x\in D\) kann mit \(x-1\) multipliziert werden. Es folgt \(3=(x-1)^2\). 3. Daraus erhält man \(x-1=\pm\sqrt{3}\), also \(x=1\pm\sqrt{3}\). 4. Beide Werte liegen in \(D\). Somit ist \(L=\{1-\sqrt{3};1+\sqrt{3}\}\).

\(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\), \(L=\{1-\sqrt{3};1+\sqrt{3}\}\)

- Welche beiden Werte musst du wegen der Nenner ausschließen? - Mit welchem Ausdruck könntest du beide Brüche gleichzeitig beseitigen? - Prüfe gefundene Lösungen am Ende noch einmal gegen die Definitionsmenge.

1. Die Nenner dürfen nicht null sein. Daher ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{0;1\}\). 2. Für \(x\in D\) kann mit \(x(x-1)\) multipliziert werden: \((x+2)(x-1)=2x\). 3. Ausmultiplizieren und Umformen ergibt \(x^2-x-2=0\). 4. Faktorisieren liefert \((x-2)(x+1)=0\), also \(x=2\) oder \(x=-1\). 5. Beide Werte gehören zu \(D\). Somit ist \(L=\{-1;2\}\).

\(D=\mathbb{R}\setminus\{0;1\}\), \(L=\{-1;2\}\)

- Welcher Wert ist durch den Nenner ausgeschlossen? - Welche quadratische Gleichung entsteht nach einer zulässigen Beseitigung des Nenners? - Wie kannst du entscheiden, ob diese quadratische Gleichung reelle Lösungen besitzt, ohne sie vollständig zu lösen?

1. Wegen des Nenners gilt \(x\neq2\). Daher ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 2. Für \(x\in D\) kann mit \(x-2\) multipliziert werden. Es folgt \(2=-x(x-2)\). 3. Umformen ergibt \(x^2-2x+2=0\). 4. Die Diskriminante ist \(\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot2=-4<0\). Deshalb besitzt die quadratische Gleichung keine reelle Lösung. 5. Somit ist \(L=\varnothing\).

\(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\), \(L=\varnothing\)

- Bestimme zuerst, wann der Nenner null wird. - Mit welchem Ausdruck kannst du die Bruchgleichung anschließend multiplizieren? - Bringe nach dem Ausmultiplizieren alle Terme auf eine Seite.

1. Wegen des Nenners \(x-1\) gilt \(x\ne1\). Daher ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). 2. Für \(x\ne1\) darf mit \(x-1\) multipliziert werden. Es folgt \(3=(x+2)(x-1)\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(3=x^2+x-2\). 4. In Normalform lautet die quadratische Gleichung \(x^2+x-5=0\).

\(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\) \(x^2+x-5=0\)

- Welcher Wert ist wegen des Nenners ausgeschlossen? - Mit welchem Ausdruck kannst du die Gleichung multiplizieren, damit kein Bruch mehr vorkommt? - Wie lässt sich die entstehende quadratische Gleichung als Produkt zweier linearer Faktoren schreiben? - Welche Funktionswerte gehören zu den beiden gefundenen \(x\)-Werten?

1. Wegen des Nenners \(x\) gilt \(x\neq0\). 2. Für \(x\neq0\) darf mit \(x\) multipliziert werden: \(2=x(x-1)=x^2-x\). Damit gilt \(x^2-x-2=0\). 3. Es ist \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\). Daher sind \(x_1=2\) und \(x_2=-1\). Beide Werte sind zulässig. 4. Für \(x=2\) ist \(f(2)=g(2)=1\), für \(x=-1\) ist \(f(-1)=g(-1)=-2\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(2\mid1)\) und \(S_2(-1\mid-2)\).

a) \(x\neq0\) b) \(2=x(x-1)\), also \((x-2)(x+1)=0\); Lösungen: \(x=2\) und \(x=-1\) c) \(S_1(2\mid1)\), \(S_2(-1\mid-2)\)

- Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^2 = a\)? - Überlege dir, was mit einem Bruch passiert, wenn der Nenner immer größer wird. - Setze beispielhaft einen großen Wert für \(x\) in beide Funktionsgleichungen ein.

1. Gleichsetzen unter Beachtung von \(x \neq 0\): \(\frac{18}{x} = 2x\). 2. Multiplikation mit \(x\): \(18 = 2x^2\). 3. Division durch 2: \(9 = x^2\). 4. Ziehen der Quadratwurzel: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 5. \(y\)-Koordinaten berechnen: \(f(3) = 6\) und \(f(-3) = -6\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(3 \mid 6)\) und \(S_2(-3 \mid -6)\). 6. Vergleich für \(x > 10\): Für wachsende \(x\) wird der Wert von \(f(x) = \frac{18}{x}\) immer kleiner (nähert sich 0), während \(g(x) = 2x\) immer größer wird. Da \(g(10) = 20\) und \(f(10) = 1{,}8\), liegt der Graph von \(g\) oberhalb von \(f\).

a) Die Schnittpunkte sind \(S_1(3 \mid 6)\) und \(S_2(-3 \mid -6)\). b) Der Graph von \(g(x) = 2x\) liegt für \(x > 10\) oben, da \(f(x)\) für große \(x\) gegen Null sinkt, während \(g(x)\) unbegrenzt ansteigt.

- Welche Werte musst du wegen der Nenner zuerst aus der Definitionsmenge ausschließen? - Es kann helfen, \(2{,}5\) als Bruch zu schreiben, bevor du die Nenner beseitigst. - Prüfe die gefundenen Werte am Ende gegen die Definitionsmenge.

1. Die Nenner werden für \(x=1\) und \(x=-1\) null. Daher ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). 2. Schreibe \(2{,}5=\frac{5}{2}\) und multipliziere die Gleichung mit \(2(x-1)(x+1)\). Es folgt \(2x(x+1)+2x(x-1)=5(x-1)(x+1)\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(4x^2=5x^2-5\), also \(x^2=5\). 4. Daher sind die algebraischen Lösungen \(x=\sqrt{5}\) und \(x=-\sqrt{5}\). 5. Beide Werte liegen in \(D\). Somit ist \(L=\{-\sqrt{5};\sqrt{5}\}\).

\(D=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\), \(L=\{-\sqrt{5};\sqrt{5}\}\)

- Wie kannst du eine Gleichung lösen, bei der ein Ausdruck im Quadrat steht? - Denk daran, dass beim Lösen von Gleichungen mit Quadraten oft zwei Lösungen möglich sind. - Kann jeder Teil einer Funktion null werden? Schau dir den Zähler genau an. - Überprüfe, ob deine gefundenen Werte für \(x\) überhaupt in die ursprünglichen Funktionen eingesetzt werden dürfen.

1. Definitionsbereich von \(f\): \(x \neq 1\). 2. Berechnung der Schnittpunkte: Gleichsetzen \(\frac{4}{x-1} = x - 1\). 3. Multiplikation mit dem Nenner: \(4 = (x-1)^2\). 4. Ziehen der Wurzel: \(x-1 = 2\) oder \(x-1 = -2\). 5. Lösungen für \(x\): \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 6. Bestimmung der \(y\)-Werte: \(g(3) = 3 - 1 = 2\) und \(g(-1) = -1 - 1 = -2\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(3 \mid 2)\) und \(S_2(-1 \mid -2)\). 7. Nullstelle von \(f\): Da der Zähler \(4\) konstant ist, hat \(f\) keine Nullstellen. 8. Nullstelle von \(g\): \(x - 1 = 0 \implies x = 1\). Da dies zugleich die Definitionslücke von \(f\) ist, ist \(x = 1\) nur eine Nullstelle von \(g\); der zugehörige Punkt ist \((1 \mid 0)\).

Schnittpunkte: \((3 \mid 2)\) und \((-1 \mid -2)\) Nullstelle von \(f\): Keine vorhanden Nullstelle von \(g\): \(x = 1\) (zugehöriger Punkt: \((1 \mid 0)\))

- Welche Werte musst du wegen der Nenner aus der Definitionsmenge ausschließen? - Welcher Hauptnenner beseitigt alle Brüche? - Welche quadratische Gleichung erhältst du nach dem Zusammenfassen? - Prüfe gefundene Lösungen abschließend an der Definitionsmenge.

1. Die Nenner dürfen nicht \(0\) werden. Daher gilt \(D=\mathbb{Q}\setminus\{-2;0\}\). 2. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(4x(x+2)\) ergibt \(4(x+2)+4x=3x(x+2)\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen führt zu \(3x^2-2x-8=0\). 4. Mit der Lösungsformel erhält man \(x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot3\cdot(-8)}}{6}=\frac{2\pm10}{6}\). 5. Damit gilt \(x_1=2\) und \(x_2=-\frac{4}{3}\). Beide Werte liegen in \(D\).

\(x_1=2\); \(x_2=-\frac{4}{3}\)

- Welche Werte sind schon vor dem Lösen wegen des Nenners ausgeschlossen? - Welche äquivalente Umformung kann die Bruchgleichung auf der festgelegten Definitionsmenge vereinfachen? - Prüfe die Struktur der entstehenden Gleichung und wähle dann ein passendes Lösungsverfahren. - Vergleiche jede gefundene Lösung abschließend mit der Definitionsmenge.

1. Wegen des Nenners \(x\) ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 2. Gleichsetzen ergibt \(\frac{4}{x}=x-3\). 3. Für \(x\neq0\) darf mit \(x\) multipliziert werden: \(4=x(x-3)\). 4. Daraus folgt \(x^2-3x-4=0\). 5. Faktorisieren liefert \((x-4)(x+1)=0\), also \(x=4\) oder \(x=-1\). Beide Werte liegen in \(D\). 6. Die Definitionsmenge ist nötig, weil beim Umformen Werte entstehen können, für die die ursprünglichen Nenner null wären; solche Werte dürfen keine Lösungen sein.

1. \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) 2. \(x_1=4\), \(x_2=-1\) 3. Werte, die einen ursprünglichen Nenner null machen, sind ausgeschlossen und dürfen nicht in die Lösungsmenge aufgenommen werden.

- Welche Werte sind wegen des Bruchterms von vornherein ausgeschlossen? - Wie kannst du die Gleichheit der beiden Funktionswerte in eine bruchfreie Gleichung überführen, ohne die Definitionsmenge zu vergessen? - Welche Struktur hat die entstehende Gleichung, und welches Lösungsverfahren passt dazu? - Bestimme zu jedem zulässigen \(x\)-Wert auch den zugehörigen Funktionswert.

1. Für gemeinsame Punkte gilt \(x+3=\frac{4}{x}\), mit \(x\neq0\). 2. Auf der Definitionsmenge kann die Gleichung bruchfrei umgeformt werden: \(x(x+3)=4\). 3. Daraus folgt \(x^2+3x-4=0\). 4. Faktorisieren ergibt \((x+4)(x-1)=0\), also \(x=1\) oder \(x=-4\). 5. Einsetzen in \(f\) liefert \(y=4\) bzw. \(y=-1\). 6. Die Schnittpunkte sind \(S_1(1\mid4)\) und \(S_2(-4\mid-1)\).

\(S_1(1\mid4)\) und \(S_2(-4\mid-1)\)

- Welche Definitionsbedingung gilt wegen des Nenners? - Was erhältst du, wenn du die Gleichung mit \(x\) multiplizierst? - Prüfe, ob sich die entstehende quadratische Gleichung faktorisieren lässt. - Wie bekommst du aus den x-Werten die y-Koordinaten der Schnittpunkte?

1. Für gemeinsame Punkte gilt \(\frac{12}{x}=-x+7\) mit \(x\neq0\). 2. Multiplikation mit \(x\) ergibt \(12=-x^2+7x\), also \(x^2-7x+12=0\). 3. Faktorisieren liefert \(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\). Daher gilt \(x=3\) oder \(x=4\). 4. Beide Werte sind zulässig. Mit \(g(3)=4\) und \(g(4)=3\) ergeben sich \(P_1(3\mid4)\) und \(P_2(4\mid3)\).

\(P_1(3\mid4)\) und \(P_2(4\mid3)\)

- Welche Werte sind wegen der Nenner ausgeschlossen? - Welcher Hauptnenner beseitigt alle Brüche gleichzeitig? - Welche quadratische Gleichung entsteht nach dem Ausmultiplizieren? - Gleiche die gefundenen Werte am Ende mit der Definitionsmenge ab.

1. Wegen der Nenner gilt \(x\neq0\) und \(x\neq2\). Daher ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{0;2\}\). 2. Multiplikation mit \(4x(x-2)\) ergibt \(4(x-2)+4x=3x(x-2)\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen führt zu \(3x^2-14x+8=0\). 4. Mit der Lösungsformel erhält man \(x_{1,2}=\frac{14\pm\sqrt{(-14)^2-4\cdot3\cdot8}}{6}=\frac{14\pm10}{6}\). 5. Somit gilt \(x_1=4\) und \(x_2=\frac{2}{3}\). Beide liegen in \(D\), also \(L=\left\{\frac{2}{3};4\right\}\).

\(D=\mathbb{R}\setminus\{0;2\}\); \(L=\left\{\frac{2}{3};4\right\}\)

- Untersuche die Nenner genau. Kannst du einen Nenner faktorisieren, um den Hauptnenner leichter zu finden? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch, wenn du die Klammern auflöst. - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn dein berechnetes Ergebnis laut Definitionsmenge ausgeschlossen ist?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Nenner dürfen nicht null sein. Da \(x^2 - 4x = x(x-4)\) ist, sind die kritischen Werte \(x = 0\) und \(x = 4\). \(D = \mathbb{R} \setminus \{0; 4\}\). 2. Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner \(x(x-4)\): \(2x \cdot x - (x+4)(x-4) = 16\). 3. Vereinfachen unter Anwendung der binomischen Formeln: \(2x^2 - (x^2 - 16) = 16\) \(2x^2 - x^2 + 16 = 16\) \(x^2 + 16 = 16\). 4. Lösen der Gleichung: \(x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\). 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: Da \(0 \notin D\), ist dieser Wert keine gültige Lösung. Die Gleichung besitzt keine Lösung. Lösungsmenge: \(L = \emptyset\).

\(D = \mathbb{R} \setminus \{0; 4\}\); \(L = \emptyset\)

- Wie kannst du den Nenner in der ursprünglichen Gleichung eliminieren? - Erinnere dich an die allgemeine Form quadratischer Gleichungen. - Was muss unter der Wurzel stehen, damit das Ergebnis eine rationale Zahl ist?

1. Definitionsbedingung: Wegen des Kehrwerts gilt \(x \neq 0\). 2. Multiplikation der Gleichung \(x = 3 + \frac{1}{x}\) mit \(x\) ergibt \(x^2 = 3x + 1\). 3. Umformung in die Normalform führt zu \(x^2 - 3x - 1 = 0\). 4. Anwendung der Lösungsformel ergibt \(x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\). 5. Beide Werte sind ungleich null und damit zulässig. Sie sind irrational, weil \(13\) keine Quadratzahl ist und \(\sqrt{13}\) irrational ist.

a) Die Normalform lautet \(x^2 - 3x - 1 = 0\). b) Die exakten Lösungen sind \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}\) und \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}\). c) Da \(13\) keine Quadratzahl ist, ist \(\sqrt{13}\) eine nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahl und somit irrational.

- Welche Zahl darf wegen des Nenners nicht eingesetzt werden? - Wie kannst du die Brüche beseitigen, ohne den ausgeschlossenen Wert aus den Augen zu verlieren? - Prüfe nach dem Lösen jeden gefundenen Wert gegen die Definitionsmenge.

1. Der Nenner \(x-1\) darf nicht null sein. Daher ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). 2. Auf \(D\) kann die Gleichung bruchfrei umgeformt werden: \(2(x+2)=x(x-1)\). 3. Daraus folgt \(x^2-3x-4=0\). 4. Faktorisieren ergibt \((x-4)(x+1)=0\), also \(x=4\) oder \(x=-1\). 5. Beide Werte liegen in \(D\). Somit ist \(L=\{-1;4\}\).

\(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\), \(L=\{-1;4\}\)

- Welche beiden Werte sind wegen der Nenner ausgeschlossen? - Suche nach einer gemeinsamen Struktur der beiden Nenner, die eine bruchfreie Umformung ermöglicht. - Denke bei einer Gleichung der Form \(x^2=a\) an alle reellen Lösungen. - Kontrolliere die Ergebnisse mit der Definitionsmenge.

1. Die Nenner dürfen nicht null werden. Daher ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). 2. Auf \(D\) kann mit \((x-1)(x+1)\) multipliziert werden. Es folgt \(4(x+1)-4(x-1)=x^2-1\). 3. Zusammenfassen ergibt \(8=x^2-1\), also \(x^2=9\). 4. Daraus folgt \(x=3\) oder \(x=-3\). 5. Beide Werte liegen in \(D\). Somit ist \(L=\{-3;3\}\).

\(D=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\), \(L=\{-3;3\}\)

- Wie findet man rechnerisch heraus, wo sich zwei Graphen treffen? - Wenn du eine Gleichung mit \(x\) im Nenner hast, wie kannst du diesen Nenner eliminieren? - Welche Art von Gleichung entsteht, wenn du die Terme gleichsetzt und umformst?

1. Berechne zunächst den Funktionswert von \(h\) an der Stelle \(x = 2\): \(h(2) = 2 \cdot 2 - 5 = -1\). 2. Setze \(g(2) = h(2)\): \(\frac{k}{2} = -1\). Daraus folgt durch Multiplikation mit 2: \(k = -2\). 3. Um die Schnittpunkte zu finden, setze \(g(x) = h(x)\) mit \(k = -2\): \(-\frac{2}{x} = 2x - 5\). 4. Multipliziere die Gleichung mit \(x\) (wobei \(x \neq 0\)): \(-2 = 2x^2 - 5x\). 5. Bringe die Gleichung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(2x^2 - 5x + 2 = 0\). 6. Nutze die Lösungsformel: \(x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}\). 7. Die Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 0{,}5\). 8. Bestimme die \(y\)-Koordinaten: \(y_1 = h(2) = -1\) und \(y_2 = h(0{,}5) = 2 \cdot 0{,}5 - 5 = -4\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(2 \mid -1)\) und \(S_2(0{,}5 \mid -4)\).

a) Der Wert ist \(k = -2\). b) Die Schnittpunkte sind \(S_1(2 \mid -1)\) und \(S_2(0{,}5 \mid -4)\).

- Welche Werte machen einen der Nenner gleich \(0\)? - Welche gemeinsame Struktur haben die Nenner? - Prüfe nach dem Beseitigen der Brüche, ob sich die quadratische Gleichung faktorisieren lässt. - Warum musst du rechnerische Kandidaten am Ende nochmals mit der Definitionsmenge vergleichen?

1. Wegen \(x^2-4=(x+2)(x-2)\) gilt \(D=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\). 2. Multiplikation mit \((x+2)(x-2)\) ergibt \(3x(x-2)+2(x+2)=8\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen führt zu \(3x^2-4x-4=0\). 4. Es gilt \(3x^2-4x-4=(3x+2)(x-2)\). Daher sind die rechnerischen Kandidaten \(x=-\frac{2}{3}\) und \(x=2\). 5. \(x=2\) ist wegen der Definitionsmenge ausgeschlossen. Somit bleibt nur \(x=-\frac{2}{3}\). 6. Die Definitionsmenge ist entscheidend, weil das Beseitigen der Nenner einen verbotenen Wert als algebraischen Kandidaten liefern kann.

\(L=\left\{-\frac{2}{3}\right\}\). Der Kandidat \(x=2\) ist wegen der Definitionsmenge ausgeschlossen.

- Mit welchem Term kannst du die gesamte Gleichung multiplizieren, damit keine Brüche mehr vorkommen? - Welche binomische Formel hilft beim Ausmultiplizieren von \((x-2)^2\)? - Prüfe, ob sich die entstehende quadratische Gleichung faktorisieren lässt. - Sind alle berechneten Werte in der gegebenen Grundmenge erlaubt?

1. Multiplikation mit \(x(x-2)\) ergibt \((x-2)^2=x\). 2. Ausmultiplizieren führt zu \(x^2-4x+4=x\), also \(x^2-5x+4=0\). 3. Es gilt \(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\). Nach dem Satz vom Nullprodukt folgt \(x=1\) oder \(x=4\). 4. Beide Werte liegen in \(G\). Daher ist \(L=\{1;4\}\).

\(L=\{1;4\}\)

- Was ist der Hauptnenner aller Brüche in der Gleichung? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch beim Auflösen der Klammern. - Was musst du tun, wenn ein berechneter Wert genau einem der ausgeschlossenen Werte der Definitionsmenge entspricht? - Überprüfe die Lösbarkeit der Gleichung unter Berücksichtigung aller Bedingungen.

1. Bestimmung des Hauptnenners: Da \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\), ist dies der Hauptnenner. 2. Multiplikation der gesamten Gleichung mit \((x-1)(x+1)\): \(x(x+1) - 1(x-1) = 2\) 3. Vereinfachung der Terme: \(x^2 + x - x + 1 = 2\), was sich zu \(x^2 + 1 = 2\) reduziert. 4. Isolierung von \(x\): \(x^2 = 1\), woraus die rechnerischen Lösungen \(x = 1\) und \(x = -1\) folgen. 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: Die Werte \(1\) und \(-1\) sind laut Definitionsmenge ausgeschlossen. 6. Schlussfolgerung: Es existiert keine zulässige Lösung.

\(L = \emptyset\)

- Welche Werte musst du wegen der Nenner ausschließen? - Welcher gemeinsame Faktor beseitigt alle Brüche? - Kontrolliere beim Ausmultiplizieren besonders die Vorzeichen. - Prüfe die quadratische Normalform darauf, ob sie sich faktorisieren lässt.

1. Wegen der Nenner gilt \(D=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\). 2. Multiplikation mit \(3(x-2)(x+2)\) ergibt \(3[2x(x+2)+x(x-2)]=10(x^2-4)\). 3. Ausmultiplizieren führt zu \(9x^2+6x=10x^2-40\), also zur Normalform \(x^2-6x-40=0\). 4. Es gilt \(x^2-6x-40=(x-10)(x+4)\). Daher folgt \(x=10\) oder \(x=-4\). 5. Beide Werte liegen in \(D\). Somit ist \(L=\{-4;10\}\).

\(D=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\); \(L=\{-4;10\}\)

- Was passiert mit einem Bruch, wenn sein Nenner \(0\) wird? - Welche beiden Werte musst du für die Definitionsmenge ausschließen? - Welcher Hauptnenner beseitigt die Brüche? - Prüfe, ob sich die entstandene quadratische Gleichung faktorisieren lässt.

1. Für \(x=-2\) wird der Nenner \(x+2\) gleich \(0\). Daher ist dieser Wert nicht zulässig und kann keine Lösung sein. 2. Wegen \(x-1\neq0\) und \(x+2\neq0\) gilt \(D=\mathbb{R}\setminus\{-2;1\}\). 3. Multiplikation mit \((x-1)(x+2)\) ergibt \((x+1)(x+2)+(x-2)(x-1)=3(x-1)(x+2)\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen führt zu \(x^2+3x-10=0\). 5. Es gilt \(x^2+3x-10=(x+5)(x-2)\). Daher sind die Kandidaten \(x=-5\) und \(x=2\). 6. Beide liegen in \(D\). Somit ist \(L=\{-5;2\}\).

a) Bei \(x=-2\) wird der Nenner \(x+2\) gleich \(0\); der Wert ist daher nicht definiert. b) \(D=\mathbb{R}\setminus\{-2;1\}\); \(L=\{-5;2\}\)

- Was passiert, wenn du den Ausdruck für \(y\) aus der ersten Gleichung in die zweite einsetzt? - Wie kannst du die entstehende Gleichung so umformen, dass kein Bruchterm mehr vorkommt? - Was sagt die Anzahl der zulässigen Lösungen über die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen aus?

1. Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite: \(2x + \frac{8}{x} = 8\). 2. Multiplikation mit \(x\) unter der Bedingung \(x \neq 0\): \(2x^2 + 8 = 8x\). 3. Umformen: \(2x^2 - 8x + 8 = 0\). 4. Division durch \(2\): \(x^2 - 4x + 4 = 0\). 5. Mit der binomischen Formel folgt \((x-2)^2 = 0\), also \(x=2\). 6. Einsetzen liefert \(y=\frac{8}{2}=4\). Damit ist \(L=\{(2\mid4)\}\). 7. Das System hat genau eine Lösung. Daher haben die Hyperbel und die Gerade genau einen gemeinsamen Punkt; die Gerade berührt die Hyperbel im Punkt \((2\mid4)\).

a) \(L=\{(2\mid4)\}\) b) Es gibt genau einen gemeinsamen Punkt \((2\mid4)\); die Gerade ist dort Tangente an die Hyperbel.

- Welche Variable kannst du mithilfe der linearen Gleichung ersetzen? - Welche Werte sind wegen der Nenner von vornherein ausgeschlossen? - Wie kannst du eine Bruchgleichung in eine Gleichung ohne Brüche überführen, ohne die Definitionsmenge aus den Augen zu verlieren? - Welche Art von Gleichung entsteht nach dem Zusammenfassen?

1. Aus \(y-x=1\) folgt \(y=x+1\). 2. Einsetzen ergibt die Bruchgleichung \(\frac{3}{x}-\frac{4}{x+1}=1\). Damit ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{-1;0\}\). 3. Für \(x\in D\) darf mit \(x(x+1)\) multipliziert werden: \(3(x+1)-4x=x(x+1)\). 4. Zusammenfassen führt zu \(x^2+2x-3=0\). 5. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(x_1=1\) und \(x_2=-3\). Beide liegen in \(D\). 6. Aus \(y=x+1\) folgen \(y_1=2\) und \(y_2=-2\).

\(L=\{(1\mid2);(-3\mid-2)\}\)

- Achte auf den Definitionsbereich, insbesondere darauf, welche Werte \(x\) im Nenner nicht annehmen darf. - Wie lautet der Hauptnenner der drei Brüche? - Behandle den Parameter \(a\) beim Umformen wie eine ganz normale Zahl. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass sie wie eine einfache quadratische Gleichung aussieht?

1. Wegen der Nenner gilt \(x\neq a\) und \(x\neq -a\). 2. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((x-a)(x+a)=x^2-a^2\) ergibt \(x(x+a)-2a(x-a)=8a^2\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(x^2-ax-6a^2=0\). 4. Faktorisieren: \(x^2-ax-6a^2=(x-3a)(x+2a)=0\). Daher sind die möglichen Lösungen \(x=3a\) und \(x=-2a\). 5. Da \(a\neq0\), gilt für beide Werte \(x\neq\pm a\). Somit sind beide Lösungen zulässig.

\(L = \{-2a; 3a\}\)

- Welche Operation kehrt das Quadrieren um? - Wann ist das Ergebnis einer Potenz mit ungeradem Exponenten (wie \(k^3\)) negativ? - Überlege, ob man aus einer negativen Zahl eine Quadratwurzel ziehen kann. - Was musst du bei der Definitionsmenge für \(x\) beachten?

1. Definitionsmenge festlegen: Da \(k\) und \(x\) im Nenner stehen, gilt \(k \neq 0\) und \(x \neq 0\). 2. Gleichung durch kreuzweises Multiplizieren umformen: \(x \cdot x = k \cdot k^2\), woraus \(x^2 = k^3\) folgt. 3. Existenz von Lösungen prüfen: Eine reelle Lösung existiert nur, wenn der Ausdruck \(k^3\) nicht negativ ist (\(x^2 \ge 0\)). Da \(k \neq 0\) vorausgesetzt wurde, muss \(k > 0\) gelten. Für \(k < 0\) ist \(k^3\) negativ, und es gibt keine reellen Lösungen. 4. Nach \(x\) auflösen: Für \(k > 0\) ergibt sich durch Ziehen der Quadratwurzel \(x = \pm \sqrt{k^3}\), was vereinfacht \(x = \pm k\sqrt{k}\) entspricht. Da \(k > 0\), ist \(x \neq 0\) stets erfüllt. 5. Ergebnis: Für \(k > 0\) ist die Lösungsmenge \(L = \{ -k\sqrt{k}; k\sqrt{k} \}\). Für \(k < 0\) ist \(L = \emptyset\).

Für \(k > 0\): \(x = \pm k\sqrt{k}\); für \(k < 0\): keine reelle Lösung.

- Welcher Wert ist wegen des Nenners ausgeschlossen? - Mit welchem Ausdruck kannst du die Gleichung multiplizieren, damit der Bruch verschwindet? - Wie lässt sich die entstehende quadratische Gleichung als Produkt schreiben? - Welche gemeinsamen Funktionswerte gehören zu den gefundenen Argumenten?

1. Wegen des Nenners gilt \(x\neq0\). 2. Für \(x\neq0\) darf mit \(x\) multipliziert werden: \(4=x(x+3)=x^2+3x\). Also gilt \(x^2+3x-4=0\). 3. Es ist \(x^2+3x-4=(x-1)(x+4)\). Daher sind \(x_1=1\) und \(x_2=-4\). 4. Probe für \(x=1\): \(\frac{4}{1}=4=1+3\). Probe für \(x=-4\): \(\frac{4}{-4}=-1=-4+3\). 5. Die zugehörigen Schnittpunkte sind \(S_1(1\mid4)\) und \(S_2(-4\mid-1)\).

a) \(x\neq0\) b) \(4=x(x+3)\), also \((x-1)(x+4)=0\); Lösungen: \(x=1\) und \(x=-4\) c) \(\frac{4}{1}=4=1+3\), \(\frac{4}{-4}=-1=-4+3\); \(S_1(1\mid4)\), \(S_2(-4\mid-1)\)

- Welcher Wert ist wegen des Nenners ausgeschlossen? - Mit welchem Ausdruck kannst du die Gleichung multiplizieren, damit der Bruch verschwindet? - Wie lässt sich die entstehende quadratische Gleichung als Produkt schreiben? - Welche gemeinsamen Funktionswerte gehören zu den beiden Lösungen?

1. Wegen des Nenners gilt \(x\neq0\). 2. Für \(x\neq0\) darf mit \(x\) multipliziert werden: \(6=x(x+1)=x^2+x\). Also gilt \(x^2+x-6=0\). 3. Es ist \(x^2+x-6=(x-2)(x+3)\). Daher sind \(x_1=2\) und \(x_2=-3\). 4. Probe für \(x=2\): \(\frac{6}{2}=3=2+1\). Probe für \(x=-3\): \(\frac{6}{-3}=-2=-3+1\). Beide Werte sind Lösungen. 5. Damit sind die Schnittpunkte \(S_1(2\mid3)\) und \(S_2(-3\mid-2)\).

a) \(x\neq0\) b) \(6=x(x+1)\), also \((x-2)(x+3)=0\); Lösungen: \(x=2\) und \(x=-3\) c) \(\frac{6}{2}=3=2+1\), \(\frac{6}{-3}=-2=-3+1\); \(S_1(2\mid3)\), \(S_2(-3\mid-2)\)

- Wo schneiden sich die beiden dargestellten Graphen? - Welche Bedingungen gelten auf der \(x\)- und auf der \(y\)-Achse? - Für gemeinsame Punkte müssen beide Funktionsterme denselben Wert haben. - Beachte beim Lösen der Bruchgleichung die Definitionslücke von \(f\).

1. Aus der Abbildung liest man die gemeinsamen Punkte \(P_1(0\mid-1)\) und \(P_2(4\mid3)\) ab. 2. Für \(f\) gilt \(f(0)=-1\), also \(S_{y,f}(0\mid-1)\). Aus \(f(x)=0\) folgt \(x=-2\), also \(S_{x,f}(-2\mid0)\). 3. Für \(g\) gilt \(g(0)=-1\), also \(S_{y,g}(0\mid-1)\). Aus \(g(x)=0\) folgt \(x=1\), also \(S_{x,g}(1\mid0)\). 4. Für die gemeinsamen Punkte gilt \(\frac{4}{x-2}+1=x-1\). Nach Multiplikation mit \(x-2\) erhält man \(4=(x-2)^2\). 5. Daraus folgen \(x=0\) oder \(x=4\). Einsetzen in \(g\) ergibt \(y=-1\) beziehungsweise \(y=3\). Damit sind \(P_1\) und \(P_2\) bestätigt.

a) \(P_1(0\mid-1)\), \(P_2(4\mid3)\) b) Für \(f\): \(S_{y,f}(0\mid-1)\), \(S_{x,f}(-2\mid0)\); für \(g\): \(S_{y,g}(0\mid-1)\), \(S_{x,g}(1\mid0)\) c) \(\frac{4}{x-2}+1=x-1\) führt zu \(4=(x-2)^2\), also \(x=0\) oder \(x=4\). Damit erhält man wieder \(P_1(0\mid-1)\) und \(P_2(4\mid3)\).

- Für welchen Wert von \(x\) wird der Nenner null? - Welche Bedeutung haben die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von \(f\) und \(g\)? - Wie kannst du den Bruchterm beseitigen, ohne einen ausgeschlossenen Wert zu übersehen?

1. Der Nenner \(x+2\) darf nicht null sein. Daher gilt \(x\neq-2\) und \(D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\). 2. Aus der Grafik liest man \(S_1(-4\mid3)\) und \(S_2(0\mid-1)\) ab. Als Lösungen werden daher \(x=-4\) und \(x=0\) vermutet. 3. Rechnerisch gilt \(\frac{-4}{x+2}+1=-x-1\), also \(\frac{-4}{x+2}=-x-2\). 4. Für \(x\neq-2\) folgt nach Multiplikation mit \(x+2\): \(-4=(-x-2)(x+2)\). 5. Ausmultiplizieren und Umformen ergibt \(x^2+4x=0\), also \(x(x+4)=0\). 6. Damit sind \(x=0\) und \(x=-4\). Beide Werte gehören zu \(D\), also \(L=\{-4;0\}\). Das bestätigt die grafische Vermutung.

a) \(D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\) b) \(S_1(-4\mid3)\) und \(S_2(0\mid-1)\); vermutete Lösungen: \(x=-4\) und \(x=0\) c) \(L=\{-4;0\}\); die grafische Vermutung wird bestätigt.

- Welcher Wert muss ausgeschlossen werden, damit der Bruchterm definiert ist? - Welche äquivalente Gleichung ohne Bruchterm könntest du anstreben? - Welche Bedeutung haben die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der mit \(f\) und \(g\) bezeichneten Graphen?

1. Der Nenner darf nicht null sein. Aus \(x+2=0\) folgt \(x=-2\). Somit ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\). 2. Für \(x\neq-2\) wird die Gleichung mit \(x+2\) multipliziert: \(10=(x+5)(x+2)\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(10=x^2+7x+10\), also \(x^2+7x=0\). 4. Es gilt \(x(x+7)=0\). Daher sind \(x=0\) und \(x=-7\). 5. Beide Werte liegen in \(D\), also \(L=\{-7;0\}\). 6. In der Grafik liegen die Schnittpunkte bei \((-7\mid-2)\) und \((0\mid5)\). Ihre \(x\)-Koordinaten bestätigen die berechnete Lösungsmenge.

a) \(D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\) b) \(L=\{-7;0\}\) c) Die Schnittpunkte \((-7\mid-2)\) und \((0\mid5)\) bestätigen die Rechnung.

- Welche Koordinaten kannst du für die markierten Punkte \(A\) und \(B\) ablesen? - Welche Bedingung erfüllen die Funktionswerte von \(f\) und \(g\) an einem Schnittpunkt? - Welche Einschränkung für \(x\) entsteht durch den Nenner der Hyperbelfunktion?

1. Aus der Abbildung liest man \(A(-1\mid0)\) und \(B(1\mid2)\) ab. Die Steigung ist \(m=\frac{2-0}{1-(-1)}=1\). 2. Mit \(A\) folgt \(0=-1+n\), also \(n=1\). Damit lautet die Gerade \(g(x)=x+1\). 3. Für die Schnittpunkte gilt \(\frac{4}{x+2}-1=x+1\) mit \(x\neq-2\). 4. Umformen ergibt \(\frac{4}{x+2}=x+2\) und danach \(4=(x+2)^2\). 5. Daraus folgt \(x+2=\pm2\), also \(x=0\) oder \(x=-4\). Beide Werte sind zulässig. 6. Mit \(g(x)=x+1\) erhält man \(y=1\) beziehungsweise \(y=-3\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(0\mid1)\) und \(S_2(-4\mid-3)\).

a) \(g(x)=x+1\) b) \(S_1(0\mid1)\) und \(S_2(-4\mid-3)\)

- Welche Definitionsbedingung gilt schon vor dem ersten Umformungsschritt? - Sind alle Lösungen einer nach dem Nennerbeseitigen entstandenen Gleichung automatisch Lösungen der Ausgangsgleichung? - Welche der beiden Kandidaten kannst du direkt in der ursprünglichen Bruchgleichung überprüfen?

1. Im Nenner steht \(x\). Deshalb gilt \(x\neq0\) und \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 2. Für \(x\in D\) ist die Multiplikation mit \(x\) zulässig. Aus \(x=x(x-1)\) folgt \(x^2-2x=0\). 3. Die quadratische Gleichung hat die Kandidaten \(x=0\) und \(x=2\). 4. Der Wert \(x=0\) gehört jedoch nicht zu \(D\) und ist deshalb keine Lösung der Ausgangsgleichung. 5. Für \(x=2\) gilt \(\frac{2}{2}=2-1\). Somit ist \(L=\{2\}\).

Jonas hat den ausgeschlossenen Wert \(x=0\) als Lösung übernommen. Richtig ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) und \(L=\{2\}\).

- Was muss für die Nenner einer Bruchgleichung immer gelten? - Wie kannst du die Brüche eliminieren, um eine rein algebraische Gleichung zu erhalten? - Erinnerst du dich an die erste und zweite binomische Formel? - Prüfe am Ende, ob deine berechneten Werte für \(x\) laut Definitionsmenge erlaubt sind.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Da die Nenner nicht Null sein dürfen, gilt \(x - a \neq 0\) und \(x + a \neq 0\), woraus \(D = \mathbb{R} \setminus \{a; -a\}\) folgt. 2. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(5(x-a)(x+a)\) führt zu: \(5(x+a)^2 + 5(x-a)^2 = 26(x^2-a^2)\). 3. Anwendung der binomischen Formeln und Zusammenfassen: \(5(x^2 + 2ax + a^2 + x^2 - 2ax + a^2) = 26x^2 - 26a^2\). 4. Vereinfachung: \(10x^2 + 10a^2 = 26x^2 - 26a^2 \Rightarrow 36a^2 = 16x^2\). 5. Auflösen nach \(x\): \(x^2 = \frac{36}{16}a^2 = \frac{9}{4}a^2\). Dies ergibt die Lösungen \(x_1 = 1{,}5a\) und \(x_2 = -1{,}5a\). Da \(a \neq 0\), sind diese Lösungen stets ungleich \(a\) oder \(-a\) und somit zulässig. 6. Bestimmung von \(a\) für \(x=3\): Aus \(1{,}5a = 3\) folgt \(a = 2\). Aus \(-1{,}5a = 3\) folgt \(a = -2\). Da in der Aufgabe \(x=3\) als eine Lösung (nicht die einzige) gefordert ist, ist \(a=2\) oder \(a=-2\) die Antwort.

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{a; -a\}\) b) \(x_1 = 1{,}5a; x_2 = -1{,}5a\) c) \(a = 2\) oder \(a = -2\)

- Bestimme für jeden eingesetzten Parameterwert zuerst, welche Werte von \(x\) wegen der Nenner ausgeschlossen sind. - Achte beim Umformen darauf, ob am Ende eine Bedingung an \(x\) oder ein Widerspruch entsteht. - Prüfe jedes rechnerische Ergebnis anschließend an der ursprünglichen Definitionsmenge.

1. Für \(a=0\) lautet die Gleichung \(\frac{x}{x-2} = \frac{x-4}{x}\). Überkreuzmultiplikation ergibt \(x^2 = (x-2)(x-4) = x^2 - 6x + 8\). Dies führt zu \(6x = 8\) bzw. \(x = \frac{4}{3}\). Da \(\frac{4}{3} \notin \{0; 2\}\), ist dies die Lösung. 2. Für \(a=3\) lautet die Gleichung \(\frac{x-3}{x-2} = \frac{x-4}{x-3}\). Überkreuzmultiplikation ergibt \((x-3)^2 = (x-2)(x-4) \Rightarrow x^2 - 6x + 9 = x^2 - 6x + 8\). Dies führt zum Widerspruch \(9 = 8\), woraus folgt, dass es keine Lösung gibt. 3. Untersuchung der Aussage für \(a=4\): Die Definitionsmenge für \(a=4\) ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{2; 4\}\). 4. Die Rechnung per Überkreuzmultiplikation ergibt \((x-4)^2 = (x-2)(x-4) \Rightarrow x^2 - 8x + 16 = x^2 - 6x + 8 \Rightarrow -2x = -8 \Rightarrow x = 4\). 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: Da \(x=4\) durch den Nenner \(x-a\) (hier \(x-4\)) ausgeschlossen ist, besitzt die Gleichung für \(a=4\) keine Lösung. Karims Aussage ist falsch.

a) \(x = \frac{4}{3}\) b) Die Umformung führt auf den Widerspruch \(9 = 8\), daher existiert keine Lösung. c) Die Aussage ist falsch. Zwar liefert die Rechnung \(x = 4\), dieser Wert ist jedoch nicht in der Definitionsmenge enthalten, da er den Nenner \(x-a\) zu null machen würde. Die Gleichung hat für \(a = 4\) keine Lösung.

- Welche Einschränkungen folgen aus den beiden Nennern? - Erkennst du nach dem Kreuzmultiplizieren die dritte binomische Formel? - Unterscheide die Fälle, in denen der Radikand positiv, negativ oder null ist. - Was bedeutet der Fall \(x=0\) für die ursprüngliche Bruchgleichung?

1. Definitionsbedingungen: Wegen der Nenner gilt \(a \neq -5\) und \(x \neq 0\). 2. Kreuzmultiplikation ergibt \(x^2=(a+5)(a-5)=a^2-25\). 3. Für \(a^2-25>0\), also \(a<-5\) oder \(a>5\), entstehen die beiden von null verschiedenen reellen Lösungen \(x=\pm\sqrt{a^2-25}\). 4. Für \(-5<a<5\) ist \(a^2-25<0\); daher gibt es keine reelle Lösung. 5. Für \(a=5\) wäre die einzige rechnerische Möglichkeit \(x=0\), doch dieser Wert ist wegen des Nenners ausgeschlossen. 6. Der Wert \(a=-5\) gehört bereits nicht zum Parameterbereich der Aufgabe.

a) Für \(a<-5\) oder \(a>5\) gilt \(L=\left\{-\sqrt{a^2-25}; \sqrt{a^2-25}\right\}\). Für \(-5<a\leq5\) gilt \(L=\emptyset\). Der Parameterwert \(a=-5\) ist nicht zugelassen. b) Innerhalb des vorgegebenen Parameterbereichs besitzt die Gleichung für \(-5<a\leq5\) keine reelle Lösung.

- Welche Bedeutung haben die beiden gestrichelten Asymptoten für \(b\) und \(c\)? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte bestimmen die Gerade? - Welche Definitionsbedingung gilt für den Bruchterm der Hyperbel? - Welche Gleichung erhältst du durch Gleichsetzen der beiden Funktionsterme? - Prüfe nach dem Beseitigen des Nenners, ob sich die quadratische Gleichung faktorisieren lässt.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=2\), also ist \(b=2\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y=1\), also ist \(c=1\). Damit gilt \(f(x)=\frac{2}{x-2}+1\) mit \(x\neq2\). 2. Die Gerade verläuft durch \((0\mid-2)\) und \((2\mid0)\). Daher hat sie die Steigung \(1\) und den y-Achsenabschnitt \(-2\): \(g(x)=x-2\). 3. Für Schnittpunkte gilt \(\frac{2}{x-2}+1=x-2\) mit \(x\neq2\). 4. Daraus folgt \(\frac{2}{x-2}=x-3\). Multiplikation mit \(x-2\) ist wegen \(x\neq2\) zulässig und ergibt \(2=(x-3)(x-2)\), also \(x^2-5x+4=0\). 5. Es gilt \(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\). Daher sind \(x=1\) und \(x=4\) zulässige Lösungen. 6. Einsetzen in \(g\) liefert \(S_1(1\mid-1)\) und \(S_2(4\mid2)\).

a) \(b=2\), \(c=1\), \(f(x)=\frac{2}{x-2}+1\) b) \(g(x)=x-2\) c) \(S_1(1\mid-1)\) und \(S_2(4\mid2)\)

- Welche Werte darf \(x\) wegen der Nenner nicht annehmen? - Multipliziere mit dem Hauptnenner und fasse die entstehende quadratische Gleichung zusammen. - Lässt sich die quadratische Gleichung faktorisieren? - Prüfe anschließend getrennt, wann eine mögliche Lösung ausgeschlossen ist und wann beide möglichen Lösungen zusammenfallen.

1. Wegen der Nenner gilt \(x\neq a\) und \(x\neq b\). 2. Multiplikation mit \((x-a)(x-b)\) ergibt \(a(x-a)+b(x-b)=2(x-a)(x-b)\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen führt zu \(2x^2-3(a+b)x+(a+b)^2=0\). 4. Faktorisieren: \(2x^2-3(a+b)x+(a+b)^2=\bigl(2x-(a+b)\bigr)\bigl(x-(a+b)\bigr)\). Die möglichen Lösungen sind daher \(x_1=a+b\) und \(x_2=\frac{a+b}{2}\). 5. \(x_1=a+b\) ist wegen \(a\neq0\) und \(b\neq0\) niemals gleich \(a\) oder \(b\), also stets zulässig. 6. Für \(x_2\) gilt \(x_2=a\) oder \(x_2=b\) genau dann, wenn \(a=b\). In diesem Fall ist \(x_2\) ausgeschlossen und nur \(x_1=2a\) zulässig. 7. Sind \(a\neq b\) und \(a+b=0\), so fallen \(x_1\) und \(x_2\) beide mit \(0\) zusammen; es gibt genau eine Lösung. 8. Sind \(a\neq b\) und \(a+b\neq0\), sind \(x_1\) und \(x_2\) zwei verschiedene zulässige Lösungen.

Für \(a,b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\) gilt: - Falls \(a=b\), ist \(L=\{2a\}\). - Falls \(a\neq b\) und \(a+b=0\), ist \(L=\{0\}\). - Falls \(a\neq b\) und \(a+b\neq0\), ist \(L=\left\{a+b;\frac{a+b}{2}\right\}\).