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- Wie viele Spiele bestreitet eine einzelne Mannschaft gegen alle anderen? - Macht es einen Unterschied für die Gesamtzahl, ob es Hin- und Rückspiele gibt? - Überlege dir, wie du die Anzahl der Spiele als Produkt ausdrücken kannst. - Welche der mathematischen Lösungen ist im Hinblick auf die Anzahl von Mannschaften sinnvoll?

1. Aufstellen der Gleichung für die Anzahl der Spiele bei \(n\) Mannschaften: Da jede Mannschaft gegen jede andere (\(n-1\)) Mannschaften zweimal spielt, ergibt sich die Gleichung \(n(n - 1) = 240\). 2. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(n^2 - n - 240 = 0\). 3. Lösen der Gleichung mit der quadratischen Lösungsformel: \(n = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-240)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{1 \pm 31}{2}\). 4. Bestimmen der Lösungen: \(n_1 = 16\) und \(n_2 = -15\). 5. Da die Anzahl der Mannschaften positiv sein muss, ist das Ergebnis \(n = 16\).

Es befinden sich \(16\) Mannschaften in der Liga.

- Setze den gegebenen Wert für die Diagonalen in die Formel ein. - Wie gehst du vor, um eine Gleichung mit einem Bruch auf einer Seite zu vereinfachen? - Denke an die Bedeutung der Variable \(n\) im Sachkontext. Kann jede Zahl eine Anzahl von Ecken beschreiben?

1. Gleichsetzen der Formel mit der gegebenen Anzahl an Diagonalen: \(\frac{n(n - 3)}{2} = 54\). 2. Multiplikation mit \(2\) und Umformen in die Normalform: \(n^2 - 3n - 108 = 0\). 3. Anwendung der Lösungsformel: \(n = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{3 \pm 21}{2}\). 4. Berechnung der Werte: \(n_1 = 12\) und \(n_2 = -9\). 5. Interpretation: Das Vieleck hat \(12\) Ecken. Die Lösung \(n = -9\) ist nicht sinnvoll, da eine Anzahl von Ecken (eine geometrische Eigenschaft) nicht negativ sein kann.

Das Vieleck hat \(12\) Ecken. Die negative Lösung \(n = -9\) entfällt, da eine Eckenanzahl stets positiv sein muss.

- Wie groß ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen? - Kannst du eine Variable für die erste Zahl festlegen und die zweite Zahl in Abhängigkeit davon ausdrücken? - Denke daran, dass das Produkt zweier negativer Zahlen ebenfalls positiv ist.

1. Sei \(x\) die kleinere der beiden ungeraden Zahlen. Die darauffolgende ungerade Zahl ist dann \(x + 2\). 2. Aufstellen der Gleichung für das Produkt: \(x \cdot (x + 2) = 195\). 3. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 + 2x - 195 = 0\). 4. Anwendung der \(p-q\)-Formel: \(x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1^2 - (-195)} = -1 \pm \sqrt{196} = -1 \pm 14\). 5. Bestimmung der zwei möglichen Werte für \(x\): \(x_1 = 13\) und \(x_2 = -15\). 6. Für \(x_1 = 13\) ist die zweite Zahl \(13 + 2 = 15\). Für \(x_2 = -15\) ist die zweite Zahl \(-15 + 2 = -13\).

Die möglichen Zahlenpaare sind \(13\) und \(15\) sowie \(-15\) und \(-13\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für die Anzahl der Diagonalen in Abhängigkeit von der Eckenzahl? - Kannst du den Zusammenhang aus dem Text in eine mathematische Gleichung übersetzen? - Welche Art von Gleichung erhältst du, wenn du den Bruch auflöst? - Beachte, dass die gesuchte Anzahl eine sinnvolle natürliche Zahl sein muss.

1. Definition der Variablen \(n\) als Anzahl der Ecken. 2. Verwendung der Formel für die Anzahl der Diagonalen \(D = \frac{n(n-3)}{2}\). 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Problemstellung: \(\frac{n(n-3)}{2} = n + 12\). 4. Umformung der Gleichung durch Multiplikation mit 2: \(n^2 - 3n = 2n + 24\). 5. Überführung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(n^2 - 5n - 24 = 0\). 6. Berechnung der Nullstellen: \(n_1 = 8\) und \(n_2 = -3\). 7. Ausschluss der negativen Lösung, da eine Anzahl von Ecken positiv sein muss: \(n = 8\).

Das Vieleck hat 8 Ecken.

- Kannst du die Anzahl der Diagonalen eines Vielecks mit einer Formel ausdrücken, wenn du die Anzahl der Ecken kennst? - Wie lässt sich die Bedingung „4 Diagonalen mehr als das Doppelte der Eckenzahl“ mathematisch als Gleichung schreiben? - Überlege nach dem Lösen der Gleichung, ob alle mathematischen Lösungen im Sachzusammenhang (Geometrie) sinnvoll sind.

1. Sei \(n\) die Anzahl der Ecken des Vielecks. Die Formel für die Anzahl der Diagonalen \(D\) lautet: \(D = \frac{n(n-3)}{2}\). 2. Aufstellen der Gleichung basierend auf dem Text: \(D = 2n + 4\). 3. Gleichsetzen der Ausdrücke: \(\frac{n(n-3)}{2} = 2n + 4\). 4. Multiplikation mit 2 und Umformung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(n^2 - 3n = 4n + 8 \implies n^2 - 7n - 8 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der p-q-Formel): \(n = \frac{7}{2} \pm \sqrt{(\frac{7}{2})^2 + 8} = 3{,}5 \pm \sqrt{12{,}25 + 8} = 3{,}5 \pm 4{,}5\). 6. Die Lösungen sind \(n_1 = 8\) und \(n_2 = -1\). 7. Da die Anzahl der Ecken eine positive ganze Zahl sein muss, ist \(n = 8\). Das Vieleck ist ein Achteck.

Es handelt sich um ein Achteck.

- Stelle dir vor, wie sich die Maße des Blechs verändern, wenn du an den Ecken Quadrate entfernst. - Wie hängen die Höhe der Schachtel und die Seitenlänge der ausgeschnittenen Quadrate zusammen? - Stelle eine Gleichung für das Volumen auf. - Überlege dir, welche der mathematisch möglichen Lösungen im Sachkontext Sinn ergeben.

1. Sei \(a\) die Seitenlänge des ursprünglichen quadratischen Blechs in \(\text{cm}\). 2. Durch das Ausschneiden der Ecken verringern sich die Seitenlängen der Grundfläche der Schachtel auf \(a - 2 \cdot 4 = a - 8\). 3. Die Höhe der Schachtel entspricht der Seitenlänge der ausgeschnittenen Quadrate: \(h = 4\,\text{cm}\). 4. Aufstellen der Gleichung für das Volumen: \(V = (a - 8)^2 \cdot 4 = 576\). 5. Division durch 4 ergibt \((a - 8)^2 = 144\). 6. Ziehen der Quadratwurzel liefert \(a - 8 = 12\) oder \(a - 8 = -12\). Der zweite Fall ergibt \(a = -4\) und entfällt, da eine Seitenlänge positiv sein muss. 7. Auflösen nach \(a\) ergibt \(a = 20\,\text{cm}\).

Die ursprüngliche Seitenlänge des Blechstücks betrug \(20\,\text{cm}\).

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Umfang eines Rechtecks und der Summe seiner Seitenlängen? - Wie hängen die Summe und das Produkt zweier Zahlen mit der Normalform einer quadratischen Gleichung zusammen? - Kannst du eine Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\) aufstellen, wenn du die Summe und das Produkt der Lösungen kennst?

1. Aufstellen der Gleichungen für Umfang und Flächeninhalt mit den Seiten \(a\) und \(b\): \(2(a+b) = 26\) und \(ab = 40\). 2. Bestimmung der Summe der Seitenlängen durch Division des Umfangs durch 2: \(a+b = 13\). 3. Anwendung des Satzes von Vieta: Da \(a+b = 13\) und \(ab = 40\), sind \(a\) und \(b\) die Lösungen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 13x + 40 = 0\). 4. Lösen der Gleichung mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder der Mitternachtsformel: \(x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 40}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2} = \frac{13 \pm 3}{2}\). 5. Berechnung der beiden Werte: \(x_1 = 8\) und \(x_2 = 5\). Die Seitenlängen des Rechtecks betragen somit \(5\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des Rechtecks sind \(5\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\).

- Wo genau im Koordinatensystem treffen sich die beiden Linien? - Wenn zwei Funktionen an derselben Stelle den gleichen Wert haben, was bedeutet das für ihre Funktionsterme? - Erinnere dich daran, wie man Gleichungen schrittweise umstellt, um alle Terme auf eine Seite zu bringen.

1. Die Gerade \(g\) und die Parabel \(f\) schneiden sich bei \(x = 1\) und \(x = 3\). Die zugehörigen \(y\)-Werte sind \(2\) und \(2{,}8\). Somit ergeben sich die Befestigungspunkte \(B(1 \mid 2)\) und \(C(3 \mid 2{,}8)\); alle Koordinaten sind in Metern angegeben. 2. Für die \(x\)-Koordinaten werden die Funktionsterme gleichgesetzt: \(-0{,}2x^2 + 1{,}2x + 1 = 0{,}4x + 1{,}6\). 3. Umformen ergibt \(-0{,}2x^2 + 0{,}8x - 0{,}6 = 0\). Es handelt sich um eine quadratische Gleichung, also eine Gleichung zweiten Grades.

a) \(B(1 \mid 2)\) und \(C(3 \mid 2{,}8)\), jeweils in Metern b) \(-0{,}2x^2 + 1{,}2x + 1 = 0{,}4x + 1{,}6\) c) \(-0{,}2x^2 + 0{,}8x - 0{,}6 = 0\); die Gleichung hat den Grad \(2\).

- Denk an die Händedrücke als Paare von Personen. - Jede Person begrüßt alle anderen, aber kein Handschlag soll doppelt gezählt werden. - Teste kleinere Personenzahlen, um das Wachstum der Anzahl zu erkennen. - Suche die Personenzahl, bei der die Paaranzahl zur gezählten Gesamtzahl passt.

1. Wir verwenden die Variable \(n\) für die Anzahl der Personen. 2. Die Anzahl der Händedrücke berechnet sich nach der Formel \(\frac{n \cdot (n-1)}{2}\). 3. Gleichung aufstellen: \(\frac{n(n-1)}{2} = 1225\). 4. Umformen: \(n^2 - n = 2450\) bzw. \(n^2 - n - 2450 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: \(n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2450}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9801}}{2}\). 6. Die Wurzel aus 9801 ist 99. Somit ergibt sich \(n = \frac{1 + 99}{2} = 50\). Die negative Lösung entfällt.

Es haben 50 Personen an der Konferenz teilgenommen.

- Modelliere jede Partie als Paar von zwei verschiedenen Spielern. - Achte darauf, dass dieselbe Begegnung nicht zweimal gezählt wird. - Teste kleine Turniere, um das Zählmuster zu erkennen. - Formuliere dann eine Gleichung oder systematische Suche für die gesuchte Spielerzahl.

1. Sei \(n\) die Anzahl der Spieler. 2. In einem Turnier, in dem jeder gegen jeden spielt, ist die Anzahl der Spiele durch die Formel für Kombinationen ohne Wiederholung gegeben: \(\frac{n(n-1)}{2}\). 3. Wir setzen den Term mit der gegebenen Anzahl der Spiele gleich: \(\frac{n(n-1)}{2} = 190\). 4. Multiplizieren mit 2 ergibt: \(n(n-1) = 380\), was zur quadratischen Gleichung \(n^2 - n - 380 = 0\) führt. 5. Anwendung der Mitternachtsformel oder p-q-Formel: \(n = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-380)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 1520}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1521}}{2}\). 6. Da \(\sqrt{1521} = 39\), erhalten wir \(n = \frac{1 + 39}{2} = 20\) oder \(n = \frac{1 - 39}{2} = -19\). 7. Da die Anzahl der Spieler positiv sein muss, ist \(n = 20\).

Es nehmen 20 Spieler an dem Turnier teil.

- Wie hängen Länge, Breite und Flächeninhalt bei einem Rechteck zusammen? - Kannst du eine Skizze zeichnen und die Seiten beschriften? - Was genau wird gesucht: der Flächeninhalt oder der Umfang?

1. Sei \(x\) die Breite des Grundstücks in Metern. Die Länge ist dann \(x + 10\). 2. Aufstellen der Gleichung für den Flächeninhalt: \(x(x + 10) = 375\). 3. Umformen in die Normalform: \(x^2 + 10x - 375 = 0\). 4. Anwendung der \(p-q\)-Formel: \(x_{1,2} = -5 \pm \sqrt{5^2 - (-375)} = -5 \pm \sqrt{400} = -5 \pm 20\). 5. Da eine Breite nicht negativ sein kann, ist \(x = 15\). Die Breite beträgt somit \(15\,\text{m}\) und die Länge \(25\,\text{m}\). 6. Berechnung des Umfangs (Zaunlänge): \(U = 2 \cdot (15\,\text{m} + 25\,\text{m}) = 80\,\text{m}\).

Die benötigte Gesamtlänge des Zauns beträgt \(80\,\text{m}\).

- Was bedeutet „aufeinanderfolgend“ für zwei Zahlen? - Wie schreibst du das Quadrat einer Summe mathematisch korrekt auf? - Achte darauf, die binomische Formel anzuwenden, wenn du den Term für die zweite Zahl quadrierst. - Welche Art von Zahlen suchst du laut Aufgabenstellung? Dies hilft dir, am Ende die richtige Lösung auszuwählen.

1. Variablen festlegen: Die erste Zahl sei \(n\), die darauffolgende Zahl ist \(n + 1\). 2. Gleichung aufstellen: \(n^2 + (n + 1)^2 = 313\). 3. Klammern auflösen und zusammenfassen: \(n^2 + n^2 + 2n + 1 = 313 \Rightarrow 2n^2 + 2n - 312 = 0\). 4. Durch 2 dividieren (Normalform): \(n^2 + n - 156 = 0\). 5. Quadratische Gleichung lösen: \(n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{-1 \pm 25}{2}\). 6. Da es sich um natürliche Zahlen handelt, ist nur \(n = \frac{24}{2} = 12\) relevant. 7. Die zweite Zahl bestimmen: \(n + 1 = 13\).

Die beiden Zahlen sind 12 und 13.

- Wie verändern sich die Seitenlängen des Quadrats, wenn man sie verlängert oder verkürzt? - Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt des neuen Rechtecks auf. - Multipliziere die Klammern sorgfältig aus, um die quadratische Gleichung zu erhalten. - Vergleiche am Ende den Flächeninhalt des Quadrats mit dem gegebenen Flächeninhalt des Rechtecks.

1. Variable festlegen: Seitenlänge des Quadrats sei \(x\). 2. Seiten des neuen Rechtecks: \(x + 3\) und \(x - 2\). 3. Gleichung für den Flächeninhalt aufstellen: \((x + 3)(x - 2) = 84\). 4. Ausmultiplizieren und in Normalform bringen: \(x^2 + x - 6 = 84 \Rightarrow x^2 + x - 90 = 0\). 5. Quadratische Gleichung lösen: \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{-1 \pm 19}{2}\). 6. Da \(x > 0\) sein muss, folgt \(x = 9\,\text{cm}\). 7. Flächeninhalt des ursprünglichen Quadrats: \(A_{\text{Quadrat}} = 9^2 = 81\,\text{cm}^2\). 8. Differenz berechnen: \(84\,\text{cm}^2 - 81\,\text{cm}^2 = 3\,\text{cm}^2\).

Die Seitenlänge des Quadrats betrug \(9\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt hat sich um \(3\,\text{cm}^2\) vergrößert.

- Was weißt du über die Summe der beiden gesuchten Seiten? - Wie kannst du eine Variable eliminieren, indem du sie durch die andere ersetzt? - Welche bekannte Formel verbindet die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? - Achte beim Auflösen der Klammer auf die binomischen Formeln.

1. Aufstellen des Zusammenhangs zwischen den Katheten: \(a + b = 31 \Rightarrow b = 31 - a\). 2. Anwendung des Satzes von Pythagoras: \(a^2 + (31 - a)^2 = 25^2\). 3. Ausmultiplizieren der Klammer (binomische Formel): \(a^2 + 961 - 62a + a^2 = 625\). 4. Zusammenfassen und Normalform bilden: \(2a^2 - 62a + 336 = 0 \Rightarrow a^2 - 31a + 168 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: \(a_{1,2} = 15{,}5 \pm \sqrt{15{,}5^2 - 168} = 15{,}5 \pm \sqrt{240{,}25 - 168} = 15{,}5 \pm \sqrt{72{,}25} = 15{,}5 \pm 8{,}5\). 6. Ergebnisse für die Seiten: \(a_1 = 24\) und \(a_2 = 7\). 7. Bestimmung der jeweils anderen Kathete: Wenn \(a = 24\), dann \(b = 7\) (und umgekehrt).

Die beiden Katheten sind \(7\,\text{cm}\) und \(24\,\text{cm}\) lang.

- Wenn ein Rahmen um ein Bild gelegt wird, wie oft muss die Rahmenbreite zur Länge und Breite des Bildes addiert werden? - Stelle dir vor, wie sich die Außenmaße des Objekts verändern. - Nachdem du die Gleichung aufgestellt hast, versuche sie durch Division zu vereinfachen, bevor du die Lösungsformel nutzt.

1. Bestimmung der Gesamtlänge und Gesamtbreite: Durch den Rahmen kommen an jeder Seite \(x\) hinzu, also sind die neuen Maße \((20 + 2x)\) und \((30 + 2x)\). 2. Aufstellen der Flächeninhalt-Gleichung: \((20 + 2x)(30 + 2x) = 1064\). 3. Ausmultiplizieren der Klammern: \(600 + 40x + 60x + 4x^2 = 1064\). 4. Zusammenfassen und in Normalform bringen: \(4x^2 + 100x - 464 = 0\). 5. Vereinfachen durch Division durch 4: \(x^2 + 25x - 116 = 0\). 6. Anwendung der Lösungsformel: \(x = \frac{-25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-116)}}{2} = \frac{-25 \pm \sqrt{625 + 464}}{2} = \frac{-25 \pm \sqrt{1089}}{2}\). 7. Berechnung der Wurzel: \(\sqrt{1089} = 33\). 8. Ermittlung der Lösungen: \(x_1 = \frac{-25 + 33}{2} = 4\) und \(x_2 = \frac{-25 - 33}{2} = -29\). 9. Da eine Breite positiv sein muss, beträgt der Wert für \(x\) genau \(4\,\text{cm}\).

Der Rahmen ist \(4\,\text{cm}\) breit.

- Welche zwei geometrischen Formeln für ein Rechteck spielen hier eine Rolle? - Wie hängen Umfang und die Summe der beiden verschiedenen Seitenlängen zusammen? - Versuche, eine der Seitenlängen durch die andere auszudrücken und dies in die Flächenformel einzusetzen.

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit Seiten \(a\) und \(b\): Umfang \(2a + 2b = 60\) und Fläche \(ab = 221\). 2. Vereinfachen der Umfangsgleichung: \(a + b = 30 \Rightarrow b = 30 - a\). 3. Einsetzen in die Flächengleichung: \(a(30 - a) = 221\). 4. Umformen in die Normalform: \(-a^2 + 30a = 221 \Rightarrow a^2 - 30a + 221 = 0\). 5. Anwendung der \(pq\)-Formel: \(a_{1,2} = 15 \pm \sqrt{15^2 - 221} = 15 \pm \sqrt{225 - 221} = 15 \pm \sqrt{4}\). 6. Berechnung der Seiten: \(a_1 = 15 + 2 = 17\) und \(a_2 = 15 - 2 = 13\). 7. Die beiden Seitenlängen sind somit \(17\,\text{m}\) und \(13\,\text{m}\).

Das Gehege ist \(17\,\text{m}\) lang und \(13\,\text{m}\) breit.

- Überlege dir, wie viele Broschüren pro Stunde gedruckt werden (die Rate). - Wie hängen die Gesamtzahl der Broschüren, die Zeit und die Rate zusammen? - Setze eine Variable für die Zeit fest, die ursprünglich geplant war. - Stelle eine Gleichung auf, die die Raten oder die Gesamtanzahl vergleicht. - Achte darauf, am Ende die tatsächliche Zeit und nicht die geplante Zeit anzugeben.

1. Definition der Variablen \(x\) für die ursprünglich geplante Zeit in Stunden. 2. Aufstellen der Terme für die Druckraten: Geplant \(\frac{600}{x}\) Broschüren/h, tatsächlich \(\frac{600}{x} + 10\) Broschüren/h. 3. Aufstellen der Gleichung unter Berücksichtigung der Zeitersparnis: \((x - 3) \cdot (\frac{600}{x} + 10) = 600\). 4. Umformung der Gleichung: \(600 + 10x - \frac{1800}{x} - 30 = 600\), was zu \(10x - 30 - \frac{1800}{x} = 0\) führt. 5. Multiplikation mit \(x\) und Division durch \(10\) ergibt die quadratische Gleichung \(x^2 - 3x - 180 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung ergibt \(x_1 = 15\) und \(x_2 = -12\). Da die Zeit positiv sein muss, ist die geplante Zeit \(15\) Stunden. 7. Berechnung der tatsächlichen Zeit: \(15 - 3 = 12\) Stunden.

Der Druckvorgang dauerte tatsächlich \(12\) Stunden.

- Achte darauf, alle Zeitangaben in der gleichen Einheit (Stunden) zu verwenden. - Wie hängen Geschwindigkeit, Weg und Zeit zusammen? - Kannst du für beide Fahrtrichtungen einen Ausdruck für die benötigte Zeit aufstellen? - Überlege dir, welche der beiden berechneten Lösungen im Sachkontext Sinn ergibt.

1. Definition der Variablen: Sei \(v\) die Geschwindigkeit auf der Hinfahrt in \(\text{km/h}\). Die Geschwindigkeit auf der Rückfahrt ist dann \(v + 3\). 2. Aufstellen der Zeitgleichung: Die Zeit für die Hinfahrt ist \(t_1 = \frac{45}{v}\), die Zeit für die Rückfahrt \(t_2 = \frac{45}{v+3}\). Da \(30\,\text{Minuten} = 0{,}5\,\text{Stunden}\) eingespart werden, gilt \(t_1 - t_2 = 0{,}5\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(\frac{45}{v} - \frac{45}{v+3} = 0{,}5\). 4. Umformung zur quadratischen Gleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(v(v+3)\) ergibt \(45(v+3) - 45v = 0{,}5v(v+3)\). Vereinfacht führt dies zu \(135 = 0{,}5v^2 + 1{,}5v\) bzw. \(v^2 + 3v - 270 = 0\). 5. Lösung der quadratischen Gleichung: Anwendung der p-q-Formel oder Mitternachtsformel ergibt \(v = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (-270)}}{2} = \frac{-3 \pm 33}{2}\). 6. Bestimmung des Ergebnisses: Die Lösungen sind \(v_1 = 15\) und \(v_2 = -18\). Da die Geschwindigkeit positiv sein muss, beträgt die Geschwindigkeit auf der Hinfahrt \(15\,\text{km/h}\).

Die Geschwindigkeit auf der Hinfahrt beträgt \(15\,\text{km/h}\).

- Stelle eine Formel für die Zeit auf, die Paul und Ben jeweils für die Strecke benötigen. - Wie hängen die beiden Zeiten zusammen, wenn einer später startet, aber gleichzeitig ankommt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Weg, Zeit und Geschwindigkeit. - Du wirst am Ende eine quadratische Gleichung erhalten. Überlege, welcher der beiden mathematischen Werte im echten Leben Sinn ergibt.

1. Definition der Variablen: Sei \(v\) die Geschwindigkeit des Fahrrads in \(\text{km/h}\). Die Geschwindigkeit des Autos beträgt dann \(v + 30\). 2. Aufstellen der Zeitgleichung: Die Zeit für das Fahrrad ist \(t_1 = \frac{60}{v}\), die Zeit für das Auto ist \(t_2 = \frac{60}{v + 30}\). Da das Auto eine Stunde weniger benötigt, gilt: \(\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 30} = 1\). 3. Umformung zur quadratischen Gleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(v(v + 30)\) führt zu \(60(v + 30) - 60v = v(v + 30)\). Vereinfacht ergibt dies \(1800 = v^2 + 30v\) bzw. \(v^2 + 30v - 1800 = 0\). 4. Lösen der Gleichung: Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel liefert \(v_{1,2} = -15 \pm \sqrt{15^2 + 1800} = -15 \pm \sqrt{2025} = -15 \pm 45\). 5. Interpretation: Die Lösungen sind \(v_1 = 30\) und \(v_2 = -60\). Da eine Geschwindigkeit positiv sein muss, ist die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrrads \(30\,\text{km/h}\).

Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrrads beträgt \(30\,\text{km/h}\).

- Wie hängen Geschwindigkeit, Weg und Zeit zusammen? - Überlege, wie die Strömung die Geschwindigkeit des Bootes in beide Richtungen beeinflusst. - Stelle für jede Fahrtrichtung einen Term für die benötigte Zeit auf. - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen den beiden Zeiten laut Aufgabenstellung? - Kannst du die entstandene Bruchgleichung in eine quadratische Gleichung umformen?

1. Sei \(c\) die Strömungsgeschwindigkeit in \(\text{km/h}\). 2. Die Geschwindigkeit flussabwärts beträgt \(14 + c\), flussaufwärts \(14 - c\). 3. Aufstellen der Zeitgleichung basierend auf der Differenz: \(\frac{40}{14 - c} - \frac{40}{14 + c} = 3\). 4. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((14 - c)(14 + c)\): \(40(14 + c) - 40(14 - c) = 3(196 - c^2)\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(80c = 588 - 3c^2 \Rightarrow 3c^2 + 80c - 588 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel: \(c = \frac{-80 \pm \sqrt{80^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-588)}}{2 \cdot 3} = \frac{-80 \pm \sqrt{13456}}{6} = \frac{-80 \pm 116}{6}\). 7. Da die Geschwindigkeit positiv sein muss, ergibt sich \(c = \frac{36}{6} = 6\).

Die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses beträgt \(6\,\text{km/h}\).

- Überlege dir, wie du den neuen Preis und die neue Anzahl der Besucher mithilfe einer Unbekannten ausdrücken kannst. - Die Gesamteinnahmen berechnen sich aus dem Produkt von Preis pro Ticket und Anzahl der verkauften Tickets. - Du wirst am Ende eine quadratische Gleichung erhalten. - Überprüfe, ob beide mathematischen Lösungen im Sachzusammenhang Sinn ergeben.

1. Definition der Variable: Sei \(x\) die Preiserhöhung in Euro. 2. Aufstellen der Terme: Der neue Ticketpreis ist \(40 + x\), die Anzahl der verkauften Tickets ist \(500 - 10x\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Einnahmen: \((40 + x) \cdot (500 - 10x) = 20\,210\). 4. Ausmultiplizieren: \(20\,000 - 400x + 500x - 10x^2 = 20\,210\). 5. Zusammenfassen und Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(-10x^2 + 100x - 210 = 0\), dividiert durch \(-10\) ergibt \(x^2 - 10x + 21 = 0\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = 5 \pm \sqrt{25 - 21} = 5 \pm 2\). 7. Ergebnisse: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 7\).

Die Preiserhöhung muss entweder \(3\,\text{€}\) oder \(7\,\text{€}\) betragen.

- Wie berechnet man das Kapital nach einem Jahr, wenn der Zinssatz bekannt ist? - Beachte, dass sich im zweiten Jahr nicht nur der Zinssatz ändert, sondern auch das Grundkapital durch die Zinsen aus dem ersten Jahr. - Setze einen Platzhalter für den unbekannten Zinssatz ein und stelle eine Gleichung für den Endbetrag auf. - Eine quadratische Gleichung lässt sich oft einfacher lösen, wenn man die Prozentangaben als Dezimalzahlen schreibt.

1. Aufstellen der Wachstumsfaktoren: Für das erste Jahr \(1 + \frac{p}{100}\), für das zweite Jahr \(1 + \frac{p+1}{100}\). 2. Aufstellen der Gesamtkapitalgleichung: \(2000 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p+1}{100}) = 2226\). 3. Vereinfachen durch Division durch \(2000\): \((1 + \frac{p}{100}) \cdot (1{,}01 + \frac{p}{100}) = 1{,}113\). 4. Substitution \(x = \frac{p}{100}\): \((1 + x)(1{,}01 + x) = 1{,}113 \Rightarrow x^2 + 2{,}01x + 1{,}01 = 1{,}113\). 5. Ordnen der quadratischen Gleichung: \(x^2 + 2{,}01x - 0{,}103 = 0\). 6. Lösung mit der Mitternachtsformel: \(x = \frac{-2{,}01 \pm \sqrt{2{,}01^2 - 4 \cdot (-0{,}103)}}{2} = \frac{-2{,}01 \pm \sqrt{4{,}0401 + 0{,}412}}{2} = \frac{-2{,}01 \pm 2{,}11}{2}\). 7. Da der Zinssatz positiv sein muss: \(x = \frac{0{,}1}{2} = 0{,}05\). 8. Rücksubstitution: \(p = 0{,}05 \cdot 100 = 5\).

Der Zinssatz im ersten Jahr betrug \(5\,\%\).

- Stelle zuerst einen Term für die Diagonalen eines Vielecks mit \(n\) Ecken auf. - Wie sieht der Term für die Diagonalen aus, wenn das Vieleck plötzlich \(2n\) Ecken hat? - Die Differenz zwischen der neuen und der alten Anzahl der Diagonalen ist gegeben. Kannst du daraus eine Gleichung bilden? - Achte beim Umformen der Gleichung darauf, alle Terme korrekt zu behandeln, besonders wenn Brüche vorkommen.

1. Sei \(n\) die ursprüngliche Anzahl der Ecken. Die Anzahl der Diagonalen ist \(D_1 = \frac{n(n-3)}{2}\). 2. Nach der Verdopplung der Ecken beträgt die Anzahl der Ecken \(2n\). Die neue Anzahl der Diagonalen ist \(D_2 = \frac{2n(2n-3)}{2} = n(2n-3)\). 3. Laut Aufgabenstellung gilt: \(D_2 = D_1 + 18\). 4. Einsetzen der Formeln: \(n(2n-3) = \frac{n(n-3)}{2} + 18\). 5. Multiplikation mit \(2\): \(2n(2n-3) = n(n-3) + 36\). 6. Ausmultiplizieren: \(4n^2 - 6n = n^2 - 3n + 36\). 7. Umformen in die Normalform: \(3n^2 - 3n - 36 = 0\). 8. Division durch \(3\): \(n^2 - n - 12 = 0\). 9. Faktorisieren: \((n-4)(n+3)=0\). 10. Die rechnerischen Lösungen sind \(n_1=4\) und \(n_2=-3\). 11. Da eine Eckenzahl positiv sein muss, hat das ursprüngliche Vieleck \(4\) Ecken.

Das ursprüngliche Vieleck hatte 4 Ecken (es war ein Viereck).

- Wie verändern sich die Seitenlängen des inneren Rechtecks, wenn man auf jeder Seite einen Streifen der Breite \(x\) abzieht? - Stelle eine Formel für den Flächeninhalt des inneren Rechtecks auf. - Welchen Anteil der Gesamtfläche soll das innere Rechteck haben? Berechne diesen Wert zuerst. - Überlege am Ende, ob beide mathematischen Lösungen im Kontext der Parkgröße sinnvoll sind.

1. Berechnung der Gesamtfläche des Parks: \(A_{\text{Gesamt}} = 120\,\text{m} \cdot 80\,\text{m} = 9600\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der gewünschten Rasenfläche: \(A_{\text{Rasen}} = 0{,}625 \cdot 9600\,\text{m}^2 = 6000\,\text{m}^2\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Rasenfläche mit der Wegbreite \(x\): Die Seitenlängen verringern sich auf jeder Seite um \(x\), also \((120 - 2x) \cdot (80 - 2x) = 6000\). 4. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(9600 - 240x - 160x + 4x^2 = 6000 \Rightarrow 4x^2 - 400x + 3600 = 0\). 5. Division durch 4: \(x^2 - 100x + 900 = 0\). 6. Anwendung der \(p-q\)-Formel: \(x_{1,2} = 50 \pm \sqrt{50^2 - 900} = 50 \pm \sqrt{1600} = 50 \pm 40\). 7. Bestimmung der sinnvollen Lösung: \(x_1 = 90\) (nicht möglich, da die Breite des Parks nur \(80\,\text{m}\) beträgt) und \(x_2 = 10\). Die Breite des Fußwegs beträgt \(10\,\text{m}\).

Der Fußweg muss \(10\,\text{m}\) breit sein.

- Überlege dir, wie sich die Länge und Breite des gesamten Rechtecks verändern, wenn auf jeder Seite die Breite \(x\) dazukommt. - Welche geometrische Form hat die gesamte Anlage aus Becken und Weg? - Kann eine physikalische Länge ein negatives Vorzeichen haben? - Wie hängen Gesamtfläche, Beckenfläche und Wegfläche zusammen?

1. Flächeninhalt des Beckens berechnen: \(A_{\text{Becken}} = 3\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). 2. Gesamtlänge und Gesamtbreite mit Wegbreite \(x\) ausdrücken: \(L = 8 + 2x\), \(B = 3 + 2x\). 3. Gleichung für die Gesamtfläche aufstellen: \((8 + 2x)(3 + 2x) = 66\). 4. Gleichung ausmultiplizieren und vereinfachen: \(24 + 16x + 6x + 4x^2 = 66 \Rightarrow 4x^2 + 22x - 42 = 0\). 5. Durch 2 dividieren für die Normalform: \(2x^2 + 11x - 21 = 0\). 6. Mit der Mitternachtsformel lösen: \(x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21)}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 168}}{4} = \frac{-11 \pm \sqrt{289}}{4} = \frac{-11 \pm 17}{4}\). 7. Lösungen bestimmen: \(x_1 = \frac{6}{4} = 1{,}5\) und \(x_2 = \frac{-28}{4} = -7\). Da eine Breite positiv sein muss, ist \(x = 1{,}5\,\text{m}\). 8. Flächeninhalt des Weges: \(A_{\text{Weg}} = A_{\text{Gesamt}} - A_{\text{Becken}} = 66\,\text{m}^2 - 24\,\text{m}^2 = 42\,\text{m}^2\).

a) \(4x^2 + 22x - 42 = 0\) (oder eine äquivalente Form) b) Die Breite des Weges beträgt \(1{,}5\,\text{m}\). c) Der Flächeninhalt des Weges beträgt \(42\,\text{m}^2\).

- Wie hängen Weg, Zeit und Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Versuche, die Zeit für die restliche Strecke auf zwei Arten auszudrücken: einmal mit der alten und einmal mit der neuen Geschwindigkeit. - Achte darauf, dass alle Einheiten zusammenpassen, insbesondere Zeitangaben in Stunden. - Welche der mathematischen Lösungen der Gleichung macht im Sachzusammenhang Sinn?

1. Bestimmung der Reststrecke: \(100\,\text{km} - 40\,\text{km} = 60\,\text{km}\). 2. Umrechnung der Verzögerung: \(15\,\text{min} = \frac{1}{4}\,\text{h}\). 3. Definition der Variablen: Sei \(v\) die ursprüngliche Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\). Die neue Geschwindigkeit ist \(v + 20\). 4. Aufstellen der Zeitgleichung für die Reststrecke: Die geplante Zeit minus die tatsächliche Fahrzeit entspricht der Verzögerung: \(\frac{60}{v} - \frac{60}{v+20} = \frac{1}{4}\). 5. Umformung der Gleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(4v(v+20)\) führt zu \(240(v+20) - 240v = v(v+20)\). 6. Vereinfachung zur quadratischen Normalform: \(240v + 4800 - 240v = v^2 + 20v \Rightarrow v^2 + 20v - 4800 = 0\). 7. Lösung der quadratischen Gleichung: \(v = \frac{-20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800)}}{2} = \frac{-20 \pm \sqrt{19600}}{2} = \frac{-20 \pm 140}{2}\). 8. Da die Geschwindigkeit positiv sein muss, ergibt sich \(v = 60\). Die ursprüngliche Geschwindigkeit betrug \(60\,\text{km/h}\).

Die ursprüngliche Geschwindigkeit des LKWs betrug \(60\,\text{km/h}\).

- Gibt es eine binomische Formel, die die Summe zweier Zahlen und die Summe ihrer Quadrate miteinander verbindet? - Wie kannst du aus der Summe der Zahlen und der Summe ihrer Quadrate das Produkt der beiden Zahlen berechnen? - Wenn du die Summe und das Produkt zweier Zahlen kennst, wie lautet dann die zugehörige quadratische Gleichung?

1. Verknüpfung der gegebenen Größen mittels der ersten binomischen Formel: \((u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2\). 2. Einsetzen der bekannten Werte: \((-2)^2 = 52 + 2uv \Rightarrow 4 = 52 + 2uv\). 3. Isolieren des Produkts: \(2uv = 4 - 52 = -48\), daraus folgt \(uv = -24\). Das Produkt der Zahlen ist \(-24\). 4. Aufstellen der quadratischen Gleichung nach dem Satz von Vieta mit Summe \(s = -2\) und Produkt \(p = -24\): \(t^2 - (-2)t + (-24) = 0\), also \(t^2 + 2t - 24 = 0\). 5. Lösen der Gleichung: \(t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot (-24)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-2 \pm 10}{2}\). 6. Berechnung der Zahlen: \(t_1 = 4\) und \(t_2 = -6\). Die gesuchten Zahlen sind \(4\) und \(-6\).

a) Das Produkt \(uv\) ist \(-24\). b) Die beiden Zahlen sind \(4\) und \(-6\).

- Wie lässt sich die Pumpleistung (Volumen pro Zeit) ausdrücken? - Wenn du die Zeit für eine Pumpe als \(x\) bezeichnest, wie sieht dann die Zeit für die andere aus? - Stelle eine Beziehung zwischen den beiden Pumpleistungen her. - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, dass nur eine positive Zeit im Sachkontext sinnvoll ist.

1. Definition der Variablen: Sei \(t\) die Zeit in Stunden, die die zweite (schnellere) Pumpe benötigt. Die erste Pumpe benötigt dann \(t + 2\) Stunden. 2. Aufstellen der Förderraten: Pumpe 2 fördert \(\frac{120}{t}\,\text{m}^3/\text{h}\), Pumpe 1 fördert \(\frac{120}{t+2}\,\text{m}^3/\text{h}\). 3. Gleichung der Ratendifferenz: \(\frac{120}{t} - \frac{120}{t+2} = 5\). 4. Umformung zur quadratischen Gleichung: Division durch 5 ergibt \(\frac{24}{t} - \frac{24}{t+2} = 1\). Multiplikation mit dem Hauptnenner: \(24(t+2) - 24t = t(t+2)\). 5. Vereinfachung: \(48 = t^2 + 2t\), also \(t^2 + 2t - 48 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung: Mittels Faktorisierung \((t+8)(t-6) = 0\) oder \(p\)-\(q\)-Formel ergibt sich \(t = 6\) (da \(t > 0\)). 7. Abschluss: Die zweite Pumpe benötigt \(6\,\text{h}\), die erste Pumpe benötigt \(6 + 2 = 8\,\text{h}\).

Die erste Pumpe benötigt \(8\,\text{Stunden}\) und die zweite Pumpe benötigt \(6\,\text{Stunden}\).

- Was genau suchen wir und welche Variablen können wir dafür einführen? - Wie hängen der Preis pro Stück, die Anzahl und der Gesamtbetrag zusammen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die den Zustand vor und nach dem Rabatt vergleicht? - Nachdem du die Gleichung aufgestellt hast, wie kannst du die Brüche darin auflösen? - Überlege am Ende, ob beide mathematischen Lösungen im Sachkontext sinnvoll sind.

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die ursprüngliche Anzahl der Tablets und \(\frac{12000}{x}\) der ursprüngliche Preis pro Stück in Euro. 2. Aufstellen der Gleichung unter Berücksichtigung des Rabatts und der höheren Stückzahl: \((\frac{12000}{x} - 50)(x + 8) = 12\,000\). 3. Ausmultiplizieren und Vereinfachen der Gleichung: \(12\,000 + \frac{96000}{x} - 50x - 400 = 12\,000\), was zu \(-50x - 400 + \frac{96000}{x} = 0\) führt. 4. Multiplikation mit \(-\frac{x}{50}\) zur Überführung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 + 8x - 1920 = 0\). 5. Berechnung der Diskriminante: \(D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1920) = 64 + 7680 = 7744\). 6. Anwendung der Lösungsformel: \(x = \frac{-8 \pm \sqrt{7744}}{2} = \frac{-8 \pm 88}{2}\). 7. Da die Anzahl positiv sein muss, ergibt sich \(x = 40\). 8. Berechnung des Preises: \(12\,000{:}40 = 300\,\text{€}\).

Ursprünglich waren 40 Tablets zu einem Preis von \(300\,\text{€}\) pro Stück geplant.

- Skizziere die Situation: Ein kleines Rechteck liegt in einem größeren Rechteck. - Wenn ein Weg um ein Feld herumführt, wie verändert das die Maße auf jeder Seite? - Wie hängen die Länge und die Breite des Gartens laut Aufgabenstellung zusammen? - Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt des äußeren Rechtecks auf.

1. Festlegen der Variablen: Die Breite des Gartens sei \(x\) in Metern, die Länge ist dann \(2x\). 2. Bestimmen der Gesamtabmessungen inklusive Weg: Da der Weg den Garten auf allen Seiten um \(2\,\text{m}\) umschließt, vergrößern sich Breite und Länge jeweils um \(4\,\text{m}\). Die Gesamtbreite ist \(x + 4\), die Gesamtlänge ist \(2x + 4\). 3. Aufstellen der Flächengleichung: \((x + 4) \cdot (2x + 4) = 160\). 4. Ausmultiplizieren und Vereinfachen: \(2x^2 + 4x + 8x + 16 = 160 \Rightarrow 2x^2 + 12x + 16 = 160\). 5. Normalform der quadratischen Gleichung: \(2x^2 + 12x - 144 = 0\), dividiert durch 2 ergibt \(x^2 + 6x - 72 = 0\). 6. Lösen mit der p-q-Formel: \(x = -3 \pm \sqrt{9 + 72} = -3 \pm \sqrt{81} = -3 \pm 9\). 7. Da eine Breite nicht negativ sein kann, ist \(x = 6\). Die Breite beträgt \(6\,\text{m}\) und die Länge \(12\,\text{m}\).

Der Gemüsegarten ist \(6\,\text{m}\) breit und \(12\,\text{m}\) lang.

- Wie lässt sich die Arbeitsgeschwindigkeit (Leistung pro Stunde) ausdrücken, wenn die Gesamtzeit unbekannt ist? - Wenn zwei Personen zusammenarbeiten, addieren sich ihre stündlichen Arbeitsanteile. - Was bedeutet es für das Ergebnis, wenn eine Person doppelt so schnell arbeitet wie die andere?

1. Sei \(g\) die Zeit des Gärtners in Stunden. Die Zeit des Auszubildenden ist \(g + 9\). 2. Aufstellen der Gleichung für die gemeinsame Arbeit: \(\frac{1}{g} + \frac{1}{g + 9} = \frac{1}{6}\). 3. Umformung durch Multiplikation mit \(6g(g + 9)\): \(6(g + 9) + 6g = g(g + 9)\). 4. Vereinfachung zur quadratischen Gleichung: \(12g + 54 = g^2 + 9g \Rightarrow g^2 - 3g - 54 = 0\). 5. Lösung der Gleichung: \((g - 9)(g + 6) = 0\). Die positive Lösung ist \(g = 9\). 6. Ergebnis für Teil a): Der Gärtner benötigt \(9\) Stunden, der Auszubildende \(18\) Stunden. 7. Lösung für Teil b): Der Anteil des Gärtners berechnet sich aus seiner Arbeitsrate multipliziert mit der gemeinsamen Zeit: \(\frac{1}{9} \cdot 6 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\). Er hat also zwei Drittel der Arbeit erledigt.

a) Der Gärtner benötigt allein 9 Stunden, der Auszubildende allein 18 Stunden. b) Der Gärtner hat \(\frac{2}{3}\) der Arbeit erledigt, da er in 6 Stunden bei einer Gesamtzeit von 9 Stunden \(\frac{6}{9}\) der Arbeit erledigt.

- Überlege dir, welchen Bruchteil der Arbeit die Roboter pro Stunde verrichten. - Wenn die gemeinsame Zeit \(x\) ist, wie lässt sich dann die Zeit der einzelnen Roboter ausdrücken? - Kannst du eine Gleichung für die Gesamtarbeitsleistung pro Stunde aufstellen?

Zuerst wird die gemeinsame Arbeitszeit mit \(x\) bezeichnet. Die Einzelzeiten der Roboter betragen dann \(x + 16\) und \(x + 9\). Da die Summe der Einzelleistungen der Gesamtleistung entspricht, ergibt sich die Bruchgleichung \(\frac{1}{x} = \frac{1}{x+16} + \frac{1}{x+9}\). Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner \(x(x+16)(x+9)\) erhält man die Gleichung \((x+16)(x+9) = x(x+9) + x(x+16)\). Nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt sich \(x^2 + 25x + 144 = 2x^2 + 25x\). Dies vereinfacht sich zu \(x^2 = 144\). Da die Zeit positiv sein muss, folgt \(x = 12\). Die gemeinsame Zeit beträgt somit \(12\,\text{Stunden}\). Die Einzelzeiten berechnen sich zu \(12 + 16 = 28\,\text{Stunden}\) für den ersten Roboter und \(12 + 9 = 21\,\text{Stunden}\) für den zweiten Roboter.

Gemeinsame Zeit: \(12\,\text{Stunden}\). Einzelzeiten: \(28\,\text{Stunden}\) und \(21\,\text{Stunden}\).

- Wie lässt sich die Fahrzeit durch die Strecke und die unbekannte Geschwindigkeit ausdrücken? - Achte darauf, alle Zeitangaben (Minuten) in die Einheit Stunden umzurechnen. - Addiere den Startvorsprung und den Ankunftsvorsprung, um den gesamten Unterschied in den Fahrzeiten zu ermitteln. - Stelle eine Gleichung auf, die den Unterschied der beiden Fahrzeiten beschreibt.

1. Sei \(v\) die Geschwindigkeit des Güterzugs in \(\text{km/h}\). Dann ist die Geschwindigkeit des Eilzugs \(v + 20\). 2. Die Fahrzeit des Güterzugs beträgt \(t_G = \frac{300}{v}\), die des Eilzugs \(t_E = \frac{300}{v+20}\). 3. Die Zeitdifferenz zwischen den reinen Fahrzeiten ergibt sich aus dem Vorsprung beim Start (\(0{,}5\,\text{h}\)) und dem Zeitvorsprung bei der Ankunft (\(0{,}75\,\text{h}\)): \(t_G - t_E = 0{,}5 + 0{,}75 = 1{,}25\,\text{h}\). 4. Aufstellen der Gleichung: \(\frac{300}{v} - \frac{300}{v+20} = 1{,}25\). 5. Umformung: \(300(v + 20) - 300v = 1{,}25v(v + 20)\) führt zu \(6000 = 1{,}25v^2 + 25v\). 6. Normalform der quadratischen Gleichung: \(v^2 + 20v - 4800 = 0\). 7. Lösung mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder Mitternachtsformel ergibt \(v = 60\) (da \(v > 0\)).

Der Güterzug hat eine Geschwindigkeit von \(60\,\text{km/h}\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine lineare Funktion (eine Gerade), die durch den Ursprung verläuft? - Welcher Punkt auf dem grünen Graphen lässt sich besonders gut ablesen, um die Steigung zu bestimmen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn das Unternehmen weder Gewinn noch Verlust macht? Welcher Zusammenhang besteht dort zwischen Kosten und Erlös? - Welche Lösungsformel kennst du für quadratische Gleichungen? - Wie berechnet man den Gewinn allgemein aus dem Erlös und den Kosten?

1. **Bestimmung der Erlösfunktion \(E(x)\)**: Der Graph von \(E\) (grün) ist eine Gerade durch den Ursprung \((0 \mid 0)\). Ein weiterer gut ablesbarer Punkt auf der Geraden ist z. B. \((10 \mid 400)\). Die Steigung beträgt somit: \(m = \frac{400 - 0}{10 - 0} = 40\) Die Erlösfunktion lautet: \(E(x) = 40x\) 2. **Berechnung von Gewinnschwelle und Gewinngrenze**: Gleichsetzen der Funktionen: \(E(x) = K(x)\) \(40x = 0{,}5x^2 + 15x + 200\) \(0{,}5x^2 - 25x + 200 = 0 \quad \mid \cdot 2\) \(x^2 - 50x + 400 = 0\) Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 25 \pm \sqrt{25^2 - 400} = 25 \pm \sqrt{625 - 400} = 25 \pm \sqrt{225} = 25 \pm 15\) Daraus ergeben sich die beiden Produktionsmengen: \(x_1 = 10\) und \(x_2 = 40\) 3. **Berechnung des Gewinns für \(x = 30\)**: Erlös bei \(30\) Stück: \(E(30) = 40 \cdot 30 = 1200\,\text{€}\) Kosten bei \(30\) Stück: \(K(30) = 0{,}5 \cdot 30^2 + 15 \cdot 30 + 200 = 450 + 450 + 200 = 1100\,\text{€}\) Gewinn: \(G(30) = E(30) - K(30) = 1200\,\text{€} - 1100\,\text{€} = 100\,\text{€}\)

a) \(E(x) = 40x\) b) \(x_1 = 10\) und \(x_2 = 40\) c) \(100\,\text{€}\)

- Schau dir den geraden Graphen an. Welche Form hat eine Funktionsgleichung für eine Gerade, die durch den Ursprung geht? - Um den Punkt zu finden, an dem beide Maschinen gleich viel kosten, musst du nach der Stelle suchen, an der sich die Graphen schneiden. - Wie kannst du mathematisch zeigen, dass zwei Funktionswerte an einer bestimmten Stelle gleich sind? - Setze die Stückzahl \(50\) in beide Funktionsgleichungen ein, um die jeweiligen Kosten zu vergleichen.

1. Bestimmung der Gleichung für Maschine A: Der Graph ist eine Ursprungsgerade. Ein gut ablesbarer Punkt ist \(P(40 \mid 480)\). Die Steigung beträgt \(m = \frac{480}{40} = 12\). Somit lautet die Gleichung \(y = 12x\). 2. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen der Funktionen \(0{,}3x^2 = 12x\). Da \(x > 0\) gesucht ist, dividiert man durch \(x\) und erhält \(0{,}3x = 12\), woraus \(x = 40\) folgt. Bei \(40\) Stück sind die Kosten mit \(480\,\text{€}\) gleich. 3. Kostenvergleich bei \(x = 50\): Maschine A: \(y_A = 12 \cdot 50 = 600\,\text{€}\). Maschine B: \(y_B = 0{,}3 \cdot 50^2 = 0{,}3 \cdot 2500 = 750\,\text{€}\). Maschine A ist um \(750\,\text{€} - 600\,\text{€} = 150\,\text{€}\) günstiger.

a) Die Gleichung für Maschine A lautet \(y = 12x\). b) Bei einer Stückzahl von \(40\) sind die Kosten gleich hoch (\(480\,\text{€}\)). c) Bei \(50\) Stück ist Maschine A günstiger; man spart \(150\,\text{€}\) pro Tag.

- Überlege dir, welcher Graph eine direkte Proportionalität (Preis mal Menge) darstellt. - Wo startet die Kostenkurve auf der \(y\)-Achse, wenn noch gar nichts produziert wurde? - Was bedeutet es grafisch für den Gewinn, wenn die Umsatzkurve über der Kostenkurve liegt? - Der Gewinn ist die Differenz zwischen den y-Werten von Umsatz und Kosten. Wo ist dieser Abstand am größten?

1. Zuordnung: Graph \(f\) ist eine Ursprungsgerade (Umsatz \(U\)), da der Umsatz bei einer Menge von \(0\) ebenfalls \(0\,\text{€}\) beträgt. Graph \(g\) stellt die Kosten \(K\) dar, da diese bei \(x = 0\) positiv sind (Fixkosten). Graph \(h\) ist der Gewinn \(G\); er ist negativ, solange die Kosten höher als der Umsatz sind. 2. Fixkosten: Der Schnittpunkt des Kostengraphen \(g\) mit der \(y\)-Achse liegt bei \(y = 10\). Da die Einheit \(100\,\text{€}\) ist, betragen die Fixkosten \(10 \cdot 100\,\text{€} = 1000\,\text{€}\). 3. Gewinnzone: Ein Gewinn wird erzielt, wenn der Graph \(h\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt (bzw. \(f\) oberhalb von \(g\)). Die Nullstellen von \(h\) liegen bei etwa \(x \approx 3{,}8\) und \(x \approx 26{,}2\). Dies entspricht einer Menge von ca. \(380\,\text{L}\) bis \(2620\,\text{L}\). 4. Maximaler Gewinn: Der Scheitelpunkt von Graph \(h\) liegt bei \(x = 15\) mit einem \(y\)-Wert von \(12{,}5\). Der maximale Gewinn beträgt somit \(12{,}5 \cdot 100\,\text{€} = 1250\,\text{€}\) bei einer Menge von \(15 \cdot 100\,\text{L} = 1500\,\text{L}\).

a) \(f\): Umsatz, \(g\): Kosten, \(h\): Gewinn. b) Fixkosten: \(1000\,\text{€}\). c) Gewinnzone: ca. \(3{,}8 < x < 26{,}2\) (entspricht ca. \(380\,\text{L}\) bis \(2620\,\text{L}\)). d) Maximaler Gewinn: \(1250\,\text{€}\) bei \(1500\,\text{L}\).

- Welche Formel beschreibt die Anzahl der Verbindungen zwischen einer Gruppe von Objekten? - Behandle Teil a wie eine typische Gleichungsaufgabe. - Nutze für Teil b dein Ergebnis aus Teil a und berechne den neuen Wert für eine doppelt so große Gruppe. - Vergleiche das neue Ergebnis mit dem Doppelten des alten Ergebnisses.

1. Teil a: Aufstellen der Gleichung für \(n\) Rechner: \(\frac{n \cdot (n - 1)}{2} = 66\). 2. Umformen zu \(n^2 - n - 132 = 0\) und Lösen mittels Lösungsformel: \(n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 528}}{2} = \frac{1 \pm 23}{2}\). Dies ergibt \(n = 12\) (negative Lösung entfällt). Es sind \(12\) Rechner. 3. Teil b: Berechnung der Kabelanzahl bei Verdopplung der Rechner (\(n = 24\)): \(K = \frac{24 \cdot (24 - 1)}{2} = \frac{24 \cdot 23}{2} = 12 \cdot 23 = 276\). 4. Vergleich mit der doppelten ursprünglichen Kabelanzahl: \(2 \cdot 66 = 132\). Da \(276 \neq 132\), ist die Aussage falsch. Die Kabelanzahl steigt quadratisch an, nicht linear.

a) Es sind \(12\) Rechner im Netzwerk. b) Die Aussage ist falsch. Bei \(24\) Rechnern werden \(276\) Kabel benötigt, was deutlich mehr als das Doppelte von \(66\) (\(132\)) ist.

- Welcher berühmte Satz verbindet die Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck? - Kannst du die Beziehung zwischen den beiden Katheten als mathematischen Ausdruck schreiben? - Wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks, wenn man die Längen der Katheten kennt?

1. Sei \(a\) die Länge der längeren Kathete in Zentimetern. Die kürzere Kathete ist dann \(a - 5\). 2. Anwendung des Satzes von Pythagoras: \(a^2 + (a - 5)^2 = 25^2\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(a^2 + a^2 - 10a + 25 = 625\), also \(2a^2 - 10a - 600 = 0\). 4. Division durch \(2\) zur Normalform: \(a^2 - 5a - 300 = 0\). 5. Anwendung der \(p-q\)-Formel: \(a_{1,2} = 2{,}5 \pm \sqrt{2{,}5^2 - (-300)} = 2{,}5 \pm \sqrt{306{,}25} = 2{,}5 \pm 17{,}5\). 6. Da die Seitenlänge positiv sein muss, folgt \(a = 20\). Die Katheten sind somit \(20\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\) lang. 7. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot 20\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 150\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(150\,\text{cm}^2\).

- Wie drückst du die Fläche eines Quadrats durch seine Kantenlänge aus? - Wenn du die Kantenlänge der kleinen Platte als Unbekannte wählst, wie sieht dann der Term für die große Platte aus? - Denke an die Bedeutung von negativen Ergebnissen bei Längenmessungen.

1. Sei \(s\) die Kantenlänge der kleineren Platte in \(\text{cm}\). Die Kante der größeren Platte ist \(s + 10\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Summe der Flächen: \(s^2 + (s + 10)^2 = 2500\). 3. Vereinfachen: \(s^2 + s^2 + 20s + 100 = 2500 \Rightarrow 2s^2 + 20s - 2400 = 0\). 4. Division durch 2 für die Normalform: \(s^2 + 10s - 1200 = 0\). 5. Lösen der Gleichung: \(s_{1,2} = -5 \pm \sqrt{25 + 1200} = -5 \pm 35\). 6. Ergebnisse: \(s_1 = 30\) und \(s_2 = -40\). 7. Interpretation: Da eine Kantenlänge physikalisch nicht negativ sein kann, ist nur \(s = 30\,\text{cm}\) sinnvoll. 8. Kantenlängen: Kleine Platte \(30\,\text{cm}\), große Platte \(40\,\text{cm}\).

a) Die Gleichung lautet \(2s^2 + 20s - 2400 = 0\) (oder eine äquivalente Form). b) Die Kantenlängen betragen \(30\,\text{cm}\) und \(40\,\text{cm}\). c) Die mathematische Lösung \(s = -40\) ist nicht sinnvoll, da Längen in der Geometrie immer positiv sein müssen.

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Katheten bekannt sind? - Kannst du die Längenbeziehung der Katheten in eine Formel für den Flächeninhalt einsetzen? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Katheten und der Hypotenuse, nachdem du die Katheten gefunden hast?

1. Teil a: Definition der Katheten als \(x\) und \(x + 7\). 2. Aufstellen der Flächenformel: \(A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} \Rightarrow 30 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 7)\). 3. Umformen der Gleichung: \(60 = x^2 + 7x \Rightarrow x^2 + 7x - 60 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x_{1,2} = -3{,}5 \pm \sqrt{12{,}25 + 60} = -3{,}5 \pm 8{,}5\). 5. Da \(x > 0\), folgt \(x = 5\). Die Katheten sind somit \(5\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\) lang. 6. Teil b: Berechnung der Hypotenuse \(c\) nach dem Satz des Pythagoras: \(c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). 7. Ergebnis: \(c = \sqrt{169} = 13\,\text{cm}\).

a) Die Katheten sind \(5\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\) lang. b) Die Hypotenuse ist \(13\,\text{cm}\) lang.

- Versuche, den linken Bruch in zwei Teile zu zerlegen. - Wie hängen \(\frac{a}{b}\) und \(\frac{b}{a}\) zusammen? - Können Längenverhältnisse in der Geometrie negativ sein?

1. Aus \(\frac{2a+b}{a} = \frac{a}{b}\) folgt durch Aufteilen des Bruchs links: \(2 + \frac{b}{a} = \frac{a}{b}\). 2. Da \(\delta = \frac{a}{b}\) ist, gilt \(\frac{b}{a} = \frac{1}{\delta}\). Einsetzen ergibt \(2 + \frac{1}{\delta} = \delta\). 3. Multiplikation mit \(\delta\) führt zu \(2\delta + 1 = \delta^2\), umgestellt zur Normalform: \(\delta^2 - 2\delta - 1 = 0\). 4. Lösen mit der \(pq\)-Formel: \(\delta_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1^2 - (-1)} = 1 \pm \sqrt{2}\). 5. Da \(\delta\) ein Verhältnis von Längen (\(a\) und \(b\)) darstellt, muss \(\delta > 0\) sein. 6. Da \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) ist, ist \(1 - \sqrt{2}\) negativ und entfällt. Der Silberne Schnitt ist \(\delta = 1 + \sqrt{2}\).

a) Die Umformung ergibt \(2 + \frac{1}{\delta} = \delta\), was zu \(\delta^2 - 2\delta - 1 = 0\) führt. b) Die Lösungen sind \(\delta_1 = 1 + \sqrt{2}\) und \(\delta_2 = 1 - \sqrt{2}\). Da ein Streckenverhältnis positiv sein muss, ist \(\delta = 1 + \sqrt{2}\).

- Stelle dir vor, wie sich die Länge und Breite der inneren Fläche verändern, wenn man an jeder Seite einen Streifen der Breite \(x\) abzieht. - Warum muss man die Breite \(x\) doppelt von der Gesamtlänge abziehen? - Welche der rechnerischen Lösungen ergibt im Kontext der Terrassengröße Sinn?

1. Bestimmung der Seitenlängen der inneren Restfläche in Abhängigkeit von \(x\): Länge \(L_{i} = 15 - 2x\) und Breite \(B_{i} = 10 - 2x\). 2. Aufstellen der Flächengleichung für die innere Fläche: \((15 - 2x) \cdot (10 - 2x) = 84\). 3. Ausmultiplizieren: \(150 - 30x - 20x + 4x^2 = 84\). 4. Zusammenfassen und Umformen in die Normalform: \(4x^2 - 50x + 66 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 25x + 33 = 0\). 5. Anwendung der Mitternachtsformel: \(x_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 33}}{2 \cdot 2} = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 264}}{4} = \frac{25 \pm \sqrt{361}}{4}\). 6. Berechnung der Werte: \(x_1 = \frac{25 + 19}{4} = 11\) und \(x_2 = \frac{25 - 19}{4} = 1{,}5\). 7. Überprüfung der Plausibilität: Für die innere Restfläche muss \(10 - 2x > 0\) gelten, also \(0 < x < 5\). Daher ist \(x = 11\) unzulässig und es bleibt \(x = 1{,}5\,\text{m}\).

Der neu geflieste Streifen ist \(1{,}5\,\text{m}\) breit.

- Welche Zusammenhänge bestehen zwischen der täglichen Arbeitsmenge, der Zeit und der Gesamtmenge? - Kannst du die geplante Zeit durch die geplante Tagesmenge ausdrücken? - Wie viele Tage wurde insgesamt tatsächlich gearbeitet, wenn die Arbeit früher fertig war? - Stelle eine Gleichung für die tatsächlich produzierte Gesamtmenge auf, indem du die zwei Arbeitsphasen (Normalbetrieb und gesteigerte Produktion) addierst.

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die geplante Tagesnorm in Bauteilen pro Tag, \(t\) ist die geplante Zeit in Tagen. 2. Aufstellen der Gleichung für den Plan: \(xt = 400\), daraus folgt \(t = \frac{400}{x}\). 3. Aufstellen der Gleichung für den tatsächlichen Verlauf: In den ersten 2 Tagen wurden \(2x\) Teile gefertigt. Die restliche Arbeitszeit betrug \((t - 1) - 2 = t - 3\) Tage mit einer Rate von \(x + 10\). Die Gesamtstückzahl ist \(2x + (t - 3)(x + 10) = 430\). 4. Einsetzen von \(t\): \(2x + (\frac{400}{x} - 3)(x + 10) = 430\). 5. Ausmultiplizieren und Vereinfachen: \(2x + 400 + \frac{4000}{x} - 3x - 30 = 430 \Rightarrow -x + 370 + \frac{4000}{x} = 430\). 6. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(-x + \frac{4000}{x} - 60 = 0 \Rightarrow x^2 + 60x - 4000 = 0\). 7. Lösen der quadratischen Gleichung: Die Lösungen sind \(x = \frac{-60 \pm \sqrt{3600 + 16000}}{2} = \frac{-60 \pm 140}{2}\). 8. Da die Produktionsrate positiv sein muss, ergibt sich \(x = \frac{80}{2} = 40\).

Laut Plan sollten täglich \(40\) Bauteile produziert werden.

- Wie lässt sich die Anzahl der Tage berechnen, die nach der Verstärkung noch gearbeitet wurde? - Beachte, dass sich in dieser Aufgabe die Gesamtmenge (die Fläche) nicht ändert, wohl aber die Zeit. - Kannst du eine Variable für die Tagesleistung wählen und alle anderen Größen davon abhängig machen? - Denke daran, dass am Ende eine quadratische Gleichung entstehen könnte, von der nur das positive Ergebnis im Sachzusammenhang Sinn ergibt.

1. Definition der Variablen: \(x\) sei die geplante Tagesleistung in \(\text{ha/Tag}\), \(t\) die geplante Dauer in Tagen. 2. Zusammenhang im Plan: \(xt = 120 \Rightarrow t = \frac{120}{x}\). 3. Tatsächlicher Ablauf: 2 Tage mit \(x\), danach \((t - 3) - 2 = t - 5\) Tage mit \(x + 2{,}4\). Die Gesamtfläche bleibt \(120\,\text{ha}\). 4. Aufstellen der Gleichung: \(2x + (t - 5)(x + 2{,}4) = 120\). 5. Einsetzen von \(t = \frac{120}{x}\): \(2x + (\frac{120}{x} - 5)(x + 2{,}4) = 120\). 6. Ausmultiplizieren: \(2x + 120 + \frac{288}{x} - 5x - 12 = 120\). 7. Vereinfachen und Zusammenfassen: \(-3x + \frac{288}{x} - 12 = 0\). 8. Multiplikation mit \(x\) und Division durch \(-3\): \(x^2 + 4x - 96 = 0\). 9. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 384}}{2} = \frac{-4 \pm 20}{2}\). 10. Die sinnvolle positive Lösung ist \(x = \frac{16}{2} = 8\).

Die ursprünglich geplante Tagesleistung betrug \(8\,\text{ha}\) pro Tag.

- Verwende die Formel für die Geschwindigkeit \(v = \frac{s}{t}\) und stelle sie nach der Zeit \(t\) um. - Achte darauf, dass alle Zeitangaben in der gleichen Einheit (Stunden) vorliegen. - Stelle zwei Ausdrücke für die Zeit auf: einen für die normale Fahrt und einen für die schnellere Fahrt. - Die Differenz dieser beiden Ausdrücke muss der Zeitersparnis entsprechen. - Nach dem Aufstellen der Gleichung musst du den Nenner eliminieren, um eine quadratische Gleichung zu erhalten.

1. Definition der Variablen \(v\) für die tatsächliche Durchschnittsgeschwindigkeit in \(\text{km/h}\). 2. Umrechnung der Zeitersparnis in Stunden: \(45\,\text{min} = \frac{45}{60}\,\text{h} = 0{,}75\,\text{h}\). 3. Aufstellen der Terme für die Fahrzeiten: Tatsächliche Zeit \(t_1 = \frac{300}{v}\), hypothetische Zeit \(t_2 = \frac{300}{v + 20}\). 4. Aufstellen der Differenzengleichung: \(\frac{300}{v} - \frac{300}{v + 20} = 0{,}75\). 5. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(v(v + 20)\) führt zu \(300(v + 20) - 300v = 0{,}75v(v + 20)\). 6. Vereinfachung: \(6000 = 0{,}75v^2 + 15v\), umgeformt zu \(v^2 + 20v - 8000 = 0\). 7. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der Mitternachtsformel): \(v = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 32000}}{2} = \frac{-20 \pm 180}{2}\). 8. Die physikalisch sinnvolle Lösung ist \(v = 80\,\text{km/h}\) (die negative Lösung \(-100\) entfällt).

Die tatsächliche Durchschnittsgeschwindigkeit des Zuges beträgt \(80\,\text{km/h}\).

- Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks? - Was passiert mit der Länge und der Breite in der beschriebenen Änderung? - Setze die Formeln für den Flächeninhalt vor und nach der Änderung gleich. - Versuche, eine der Seitenlängen durch die andere auszudrücken, um eine quadratische Gleichung zu erhalten.

1. Definition der Variablen: \(l\) für die ursprüngliche Länge und \(b\) für die ursprüngliche Breite in Metern. 2. Aufstellen der Flächengleichungen: \(lb = 300\) und \((l + 5)(b - 2) = 300\). 3. Substitution von \(b = \frac{300}{l}\) in die zweite Gleichung: \((l + 5)\left(\frac{300}{l} - 2\right) = 300\). 4. Vereinfachung der Gleichung: \(300 - 2l + \frac{1500}{l} - 10 = 300\), was nach Multiplikation mit \(l\) und Umstellung zu \(2l^2 + 10l - 1500 = 0\) bzw. \(l^2 + 5l - 750 = 0\) führt. 5. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel oder Mitternachtsformel: \(l = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 3000}}{2} = \frac{-5 \pm 55}{2}\). 6. Da die Länge positiv sein muss, ergibt sich \(l = 25\,\text{m}\). 7. Berechnung der Breite: \(b = \frac{300}{25} = 12\,\text{m}\).

Die ursprüngliche Länge beträgt \(25\,\text{m}\) und die ursprüngliche Breite \(12\,\text{m}\).

- Wie beeinflusst der Wind die Flugdauer in beide Richtungen? - Welche der beiden Flugzeiten ist kürzer, welche länger? - Stelle für beide Wege die Zeit als Bruch aus Weg und jeweiliger Geschwindigkeit dar. - Wie kannst du die Information „eine Stunde länger“ mathematisch als Differenz ausdrücken? - Achte beim Auflösen der Gleichung darauf, die Klammern richtig zu setzen.

1. Definition der Variablen: Sei \(v\) die Geschwindigkeit des Flugzeugs bei Windstille in \(\text{km/h}\). 2. Aufstellen der Ausdrücke für die Geschwindigkeiten: Mit Rückenwind \(v + 50\), mit Gegenwind \(v - 50\). 3. Aufstellen der Zeitdifferenzgleichung: Die Zeit für den Rückflug (\(t_2\)) minus die Zeit für den Hinflug (\(t_1\)) ergibt \(1\,\text{Stunde}\). 4. Gleichung: \(\frac{600}{v-50} - \frac{600}{v+50} = 1\). 5. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((v-50)(v+50) = v^2 - 2500\): \(600(v+50) - 600(v-50) = v^2 - 2500\). 6. Vereinfachung: \(600v + 30\,000 - 600v + 30\,000 = v^2 - 2500\), daraus folgt \(60\,000 = v^2 - 2500\). 7. Isolierung von \(v^2\): \(v^2 = 62\,500\). 8. Ziehen der Wurzel: \(v = \sqrt{62\,500} = 250\). (Die negative Lösung \(-250\) entfällt im Sachkontext). 9. Ergebnis: Die Eigengeschwindigkeit beträgt \(250\,\text{km/h}\).

Die Geschwindigkeit des Flugzeugs bei Windstille beträgt \(250\,\text{km/h}\).

- Welche zwei Größen bestimmen die Gesamtzahl der Plätze? - Wie kannst du die Anzahl der Plätze pro Reihe ausdrücken, wenn du nur die Anzahl der Reihen kennst? - Stelle eine Gleichung für den Zustand nach dem Umbau auf. - Denk daran, dass am Ende nach der Anzahl der Reihen *nach* der Erweiterung gefragt ist.

1. Variablen festlegen: \(r\) für die ursprüngliche Anzahl der Reihen und \(s\) für die Stellplätze pro Reihe. 2. Gleichungssystem aufstellen: \(rs = 300\) und \((r + 5)(s + 2) = 440\). 3. Substitution \(s = \frac{300}{r}\) in die zweite Gleichung einsetzen: \((r + 5)(\frac{300}{r} + 2) = 440\). 4. Gleichung umformen: \(300 + 2r + \frac{1500}{r} + 10 = 440 \Rightarrow 2r + \frac{1500}{r} - 130 = 0\). 5. Multiplikation mit \(r\) und Division durch \(2\) führt zur quadratischen Gleichung: \(r^2 - 65r + 750 = 0\). 6. Lösung mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(r_{1,2} = 32{,}5 \pm \sqrt{32{,}5^2 - 750} = 32{,}5 \pm 17{,}5\). 7. Dies ergibt \(r_1 = 15\) und \(r_2 = 50\). 8. Berechnung der neuen Reihenanzahl (\(r + 5\)): Für \(r_1 = 15\) ergeben sich \(20\) Reihen; für \(r_2 = 50\) ergeben sich \(55\) Reihen.

Der Parkplatz hat nach der Erweiterung entweder \(20\) Reihen oder \(55\) Reihen.

- Teil a: Erstelle einen Term für den Preis pro Person vor und nach der Änderung. - Teil b: Du musst die neue Gleichung nicht komplett lösen. Es reicht zu prüfen, ob das Doppelte deines Ergebnisses aus Teil a die Bedingungen erfüllt. - Was passiert mit dem Einzelbeitrag, wenn sich der Gesamtpreis verdoppelt, aber die Schülerzahl gleich bleibt?

a) 1. Variablen: \(x\) für ursprüngliche Schülerzahl, \(y\) für ursprünglichen Beitrag. 2. Gleichungen: \(xy = 72\) und \((x + 3)(y - 2) = 72\). 3. Einsetzen von \(y = \frac{72}{x}\) ergibt \((x + 3)(\frac{72}{x} - 2) = 72\). 4. Vereinfachen: \(72 - 2x + \frac{216}{x} - 6 = 72 \Rightarrow -2x + \frac{216}{x} - 6 = 0\). 5. Quadratische Gleichung: \(x^2 + 3x - 108 = 0\). 6. Lösungen: \(x_{1,2} = -1{,}5 \pm \sqrt{2{,}25 + 108} = -1{,}5 \pm 10{,}5\). 7. Da \(x > 0\), folgt \(x = 9\). Es waren ursprünglich \(9\) Schüler. b) 1. Prüfung der Hypothese (\(x = 18\)): Bei \(144\,\text{€}\) und \(18\) Schülern beträgt der Beitrag \(144{:}18 = 8\,\text{€}\). 2. Bei \(3\) zusätzlichen Schülern (\(21\) Personen) beträgt der Beitrag \(144{:}21 \approx 6{,}86\,\text{€}\). 3. Die Differenz ist \(8 - 6{,}86 = 1{,}14\,\text{€}\). Da dies nicht \(2\,\text{€}\) entspricht, verdoppelt sich die Schülerzahl nicht.

a) Ursprünglich wollten sich \(9\) Schüler beteiligen. b) Nein. Bei einer Verdopplung auf \(18\) Schüler und einem Preis von \(144\,\text{€}\) würde die Ersparnis bei \(3\) zusätzlichen Schülern nur ca. \(1{,}14\,\text{€}\) betragen, nicht \(2\,\text{€}\).

- Überlege dir, welchen Bruchteil der Arbeit jeder Gärtner pro Stunde erledigt. - Wie viel der Arbeit schaffen beide zusammen in einer Stunde? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die die Anteile pro Stunde addiert? - Achte bei deinen Ergebnissen darauf, ob sie im Zusammenhang mit der Zeitmessung logisch sind.

1. Variablen festlegen: Sei \(x\) die Zeit in Stunden, die Herr Grün allein benötigt. Frau Blum benötigt dann \(x + 3\) Stunden. 2. Aufstellen der Arbeitsgleichung (Leistung pro Stunde): Pro Stunde schafft Herr Grün \(\frac{1}{x}\) der Fläche, Frau Blum \(\frac{1}{x + 3}\). Zusammen schaffen sie \(\frac{1}{2}\) der Fläche pro Stunde. Gleichung: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{2}\). 3. Umformung: Multiplikation mit \(2x(x + 3)\) ergibt \(2(x + 3) + 2x = x(x + 3)\). Dies führt zu \(4x + 6 = x^2 + 3x\) bzw. \(x^2 - x - 6 = 0\). 4. Lösen der Gleichung: Die Lösungen sind \(x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}\), also \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). 5. Kontextprüfung: Eine negative Zeit (\(x = -2\)) ist physikalisch für diesen Vorgang nicht möglich. 6. Ergebnis: Herr Grün benötigt alleine \(3\,\text{Stunden}\).

Herr Grün benötigt alleine \(3\,\text{Stunden}\). Die Lösung \(x = -2\) ist nicht sinnvoll, da eine Zeitdauer für eine Arbeit nicht negativ sein kann.

- Beachte, dass sich die Eigengeschwindigkeit des Bootes zwischen Hin- und Rückweg ändert. - Wie wirkt sich die Strömung jeweils auf die aktuelle Eigengeschwindigkeit aus? - Erstelle Terme für die Zeit des Hinwegs und des Rückwegs. - Die Summe dieser Zeiten entspricht der Gesamtfahrzeit. - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, welche der mathematischen Lösungen im Sachkontext sinnvoll ist.

1. Sei \(v\) die ursprüngliche Eigengeschwindigkeit des Bootes in \(\text{km/h}\). 2. Geschwindigkeit auf dem Hinweg (gegen die Strömung): \(v - 3\). 3. Eigengeschwindigkeit auf dem Rückweg: \(v + 3\). Gesamtgeschwindigkeit auf dem Rückweg (mit der Strömung): \((v + 3) + 3 = v + 6\). 4. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtzeit: \(\frac{36}{v - 3} + \frac{36}{v + 6} = 6\). 5. Vereinfachen durch Division durch 6: \(\frac{6}{v - 3} + \frac{6}{v + 6} = 1\). 6. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((v - 3)(v + 6)\): \(6(v + 6) + 6(v - 3) = (v - 3)(v + 6)\). 7. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(12v + 18 = v^2 + 3v - 18 \Rightarrow v^2 - 9v - 36 = 0\). 8. Lösen der quadratischen Gleichung: \((v - 12)(v + 3) = 0\). 9. Da \(v > 3\) sein muss (um gegen die Strömung voranzukommen), ist die Lösung \(v = 12\).

Die ursprüngliche Eigengeschwindigkeit des Bootes betrug \(12\,\text{km/h}\).

- Überlege dir zuerst, welchen Bruchteil der Fläche ein Roboter pro Stunde schafft. - Wie kannst du die gemeinsame Zeit von 3 Stunden und 36 Minuten als Dezimalzahl oder Bruch in Stunden ausdrücken? - Stelle eine Gleichung auf, die die Arbeitsraten der beiden Roboter addiert. - Achte beim Lösen der quadratischen Gleichung darauf, ob beide mathematischen Lösungen im Sachzusammenhang sinnvoll sind.

1. Umrechnung der gemeinsamen Zeit in Stunden: \(3\,\text{h}\,36\,\text{min} = \left(3 + \frac{36}{60}\right)\,\text{h} = 3{,}6\,\text{h} = \frac{18}{5}\,\text{h}\). 2. Definition der Variablen: \(x\) sei die Zeit des schnelleren Roboters in Stunden, dann benötigt der langsamere \(x + 3\) Stunden. 3. Aufstellen der Leistungsgleichung: Die Summe der Einzelleistungen entspricht der Gesamtleistung: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{5}{18}\). 4. Umformung in eine quadratische Gleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(18x(x+3)\) ergibt \(18(x+3) + 18x = 5x(x+3)\), vereinfacht zu \(36x + 54 = 5x^2 + 15x\). 5. Normalform: \(5x^2 - 21x - 54 = 0\). 6. Anwendung der Lösungsformel: \(x = \frac{21 \pm \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-54)}}{2 \cdot 5} = \frac{21 \pm \sqrt{441 + 1080}}{10} = \frac{21 \pm 39}{10}\). 7. Bestimmung der sinnvollen Lösung: \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -1{,}8\) (entfällt, da Zeit positiv sein muss). 8. Ergebnis: Der schnellere Roboter benötigt \(6\,\text{h}\), der langsamere \(6 + 3 = 9\,\text{h}\).

Der leistungsstärkere Roboter benötigt allein \(6\) Stunden, der schwächere Roboter \(9\) Stunden.

- Wie viel Zeit verbringt der Radfahrer tatsächlich mit dem Fahren? - Wie verändert der Wind die Geschwindigkeit gegenüber dem Boden in beide Richtungen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Weg, Zeit und Geschwindigkeit. - Kannst du für jede Teilstrecke einen Ausdruck für die Zeit aufstellen?

1. Berechnung der reinen Fahrzeit: \(5{,}5\,\text{h} - 0{,}5\,\text{h} = 5\,\text{h}\). 2. Definition der Eigengeschwindigkeit als \(v\) in \(\text{km/h}\). 3. Aufstellen der Zeitgleichung für Hin- und Rückweg: \(\frac{48}{v+4} + \frac{48}{v-4} = 5\). 4. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((v+4)(v-4)\): \(48(v-4) + 48(v+4) = 5(v^2 - 16)\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(48v - 192 + 48v + 192 = 5v^2 - 80 \Rightarrow 96v = 5v^2 - 80\). 6. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(5v^2 - 96v - 80 = 0\). 7. Anwendung der Lösungsformel: \(v = \frac{96 \pm \sqrt{(-96)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-80)}}{2 \cdot 5} = \frac{96 \pm \sqrt{9216 + 1600}}{10} = \frac{96 \pm 104}{10}\). 8. Da die Geschwindigkeit positiv sein muss, ergibt sich \(v = \frac{200}{10} = 20\). Die Eigengeschwindigkeit beträgt \(20\,\text{km/h}\).

Die Eigengeschwindigkeit des Radfahrers beträgt \(20\,\text{km/h}\).

- Stelle dir vor, welcher Anteil des Beckens pro Stunde gefüllt wird, wenn eine Pumpe allein arbeitet. - Wie lange arbeitet jede Pumpe insgesamt an dem Becken? - Überlege dir, wie man den Anteil der Arbeit ausdrückt, den jede Pumpe zur Gesamtfüllung beiträgt. - Nachdem du eine Gleichung aufgestellt hast, versuche sie so umzuformen, dass keine Brüche mehr vorkommen. - Prüfe am Ende, ob beide mathematischen Lösungen im Sachzusammenhang Sinn ergeben.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Zeit in Stunden, die die erste Pumpe allein benötigt. Die zweite Pumpe benötigt dann \(x - 4\) Stunden. 2. Bestimmung der Arbeitszeiten: Die erste Pumpe arbeitet insgesamt \(2 + 3 = 5\,\text{Stunden}\). Die zweite Pumpe arbeitet \(3\,\text{Stunden}\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtarbeit (1 Beckenfüllung): \(\frac{5}{x} + \frac{3}{x-4} = 1\). 4. Umformung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(5(x-4) + 3x = x(x-4) \Rightarrow 5x - 20 + 3x = x^2 - 4x \Rightarrow x^2 - 12x + 20 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel ergibt \(x_{1,2} = 6 \pm \sqrt{36 - 20} = 6 \pm 4\). 6. Überprüfung der Lösungen: \(x_1 = 10\) und \(x_2 = 2\). Da die zweite Pumpe \(4\,\text{Stunden}\) weniger benötigt, muss \(x > 4\) gelten. Somit ist nur \(x = 10\) eine sinnvolle Lösung. 7. Berechnung der zweiten Zeit: \(10 - 4 = 6\).

Die erste Pumpe benötigt allein \(10\,\text{Stunden}\), die zweite Pumpe benötigt allein \(6\,\text{Stunden}\).

- Definiere eine Variable für die Zeit, die die schnellere Maschine benötigt. Drücke die Zeit der langsameren Maschine durch diese Variable aus. - Erinnere dich daran, wie man die Arbeitsleistung pro Stunde addiert. - Nachdem du die Zeiten berechnet hast, multipliziere die jeweilige Dauer mit den angegebenen Stundensätzen. - Beachte, dass beim gleichzeitigen Arbeiten die Kosten beider Maschinen pro Stunde addiert werden müssen.

1. Sei \(x\) die Zeit für Mähdrescher A in Stunden. Dann benötigt Mähdrescher B \(x + 5\) Stunden. 2. Aufstellen der Arbeitsgleichung: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}\). 3. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(6x(x+5)\): \(6(x+5) + 6x = x(x+5)\). 4. Umformung zur Normalform: \(12x + 30 = x^2 + 5x \Rightarrow x^2 - 7x - 30 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2} = \frac{7 \pm 13}{2}\). 6. Da die Zeit positiv sein muss: \(x = 10\). Mähdrescher A benötigt \(10\,\text{h}\), Mähdrescher B benötigt \(15\,\text{h}\). 7. Kostenrechnung für gleichzeitigen Einsatz: \((110\,\text{€/h} + 70\,\text{€/h}) \cdot 6\,\text{h} = 180\,\text{€/h} \cdot 6\,\text{h} = 1080\,\text{€}\). 8. Kostenrechnung für Maschine B allein: \(70\,\text{€/h} \cdot 15\,\text{h} = 1050\,\text{€}\). 9. Vergleich: \(1050\,\text{€} < 1080\,\text{€}\). Es ist günstiger, nur Maschine B einzusetzen.

a) Mähdrescher A benötigt allein \(10\,\text{Stunden}\), Mähdrescher B benötigt allein \(15\,\text{Stunden}\). b) Es ist kostengünstiger, nur Mähdrescher B einzusetzen (\(1050\,\text{€}\) gegenüber \(1080\,\text{€}\) bei gemeinsamem Einsatz).

- Versuche dir vorzustellen, wie sich die Maße des Bodens verändern, wenn an den Ecken Quadrate entfernt werden. - Skizziere das Netz der Schachtel und beschrifte die Seitenlängen in Abhängigkeit von einer Unbekannten. - Überlege, wie man das Volumen eines Quaders berechnet. - Welche Bedingungen müssen für die Seitenlängen gelten, damit die Schachtel überhaupt existieren kann?

1. Definition der Variablen: Breite der Pappe \(x\), Länge der Pappe \(x + 10\) (in \(\text{cm}\)). 2. Bestimmung der Maße der Schachtel: Höhe \(h = 2\,\text{cm}\), Breite des Bodens \(x - 4\,\text{cm}\), Länge des Bodens \(x + 10 - 4 = x + 6\,\text{cm}\). 3. Aufstellen der Volumenformel: \(V = 2(x - 4)(x + 6) = 192\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \((x - 4)(x + 6) = 96 \Rightarrow x^2 + 2x - 24 = 96 \Rightarrow x^2 + 2x - 120 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)}}{2} = \frac{-2 \pm 22}{2}\). 6. Auswahl des sinnvollen Wertes: \(x = 10\) (da \(x > 4\) sein muss). 7. Berechnung der Maße: Breite \(10\,\text{cm}\), Länge \(10 + 10 = 20\,\text{cm}\).

Das Stück Pappe ist \(20\,\text{cm}\) lang und \(10\,\text{cm}\) breit.

- Nutze die gegebene Formel und löse die entstehende quadratische Gleichung nach \(n\) auf. - Für den zweiten Teil musst du in der Formel jedes \(n\) durch \((n+1)\) ersetzen. - Subtrahiere die ursprüngliche Formel von der neuen Formel, um die Differenz zu finden. - Kannst du dir geometrisch vorstellen, warum beim Hinzufügen einer Ecke genau \(n-1\) neue Diagonalen entstehen?

1. Teil a): Gleichsetzen der Formel mit dem gegebenen Wert: \(\frac{n \cdot (n - 3)}{2} = 90\). 2. Umformen zur quadratischen Gleichung in Normalform: \(n^2 - 3n - 180 = 0\). 3. Lösung der Gleichung: \(n_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 720}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{729}}{2} = \frac{3 \pm 27}{2}\). 4. Die positive Lösung für die Anzahl der Ecken ist \(n = 15\). 5. Teil b): Bestimmung der Anzahl der Diagonalen für ein \((n+1)\)-Eck: \(d_{n+1} = \frac{(n+1)((n+1)-3)}{2} = \frac{(n+1)(n-2)}{2}\). 6. Berechnung der Differenz \(\Delta d = d_{n+1} - d_n\): \(\frac{n^2 - n - 2}{2} - \frac{n^2 - 3n}{2} = \frac{n^2 - n - 2 - n^2 + 3n}{2} = \frac{2n - 2}{2} = n - 1\). 7. Einsetzen von \(n = 15\): Der Zuwachs beträgt \(15 - 1 = 14\) Diagonalen.

a) Das Vieleck hat \(15\) Ecken. b) Der Zuwachs beträgt allgemein \(n - 1\) Diagonalen; für das vorliegende Vieleck sind das \(14\) zusätzliche Diagonalen.

- Stelle zuerst einen Ausdruck für den Gewinnanteil im ersten Jahr in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Wie viel Kapital steht dem Shop zu Beginn des zweiten Jahres zur Verfügung? - Verwende die Information, dass der prozentuale Zuwachs in beiden Jahren gleich bleibt. - Du erhältst eine Gleichung, die nach dem Auflösen der Klammern auf eine quadratische Form führt.

1. Aufstellen der Gleichung für den prozentualen Gewinn \(p\) des ersten Jahres: \(p = \frac{500}{x} \cdot 100\,\%\). Als Dezimalfaktor ausgedrückt gilt für den Zuwachs \(r = \frac{500}{x}\). 2. Kapital am Ende des ersten Jahres: \(K_1 = x + 500\). 3. Kapital am Ende des zweiten Jahres mit demselben Wachstumsfaktor \((1+r)\): \(K_2 = (x + 500) \cdot (1 + \frac{500}{x}) = 3600\). 4. Umformen der Gleichung: \((x + 500) \cdot \frac{x + 500}{x} = 3600 \Rightarrow \frac{(x + 500)^2}{x} = 3600\). 5. Ausmultiplizieren und Ordnen der quadratischen Gleichung: \(x^2 + 1000x + 250\,000 = 3600x \Rightarrow x^2 - 2600x + 250\,000 = 0\). 6. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel oder Mitternachtsformel: \(x = \frac{2600 \pm \sqrt{2600^2 - 4 \cdot 250000}}{2} = \frac{2600 \pm \sqrt{6760000 - 1000000}}{2} = \frac{2600 \pm 2400}{2}\). 7. Berechnung der Lösungen: \(x_1 = 2500\) und \(x_2 = 100\).

Das Startkapital betrug entweder \(2500\,\text{€}\) oder \(100\,\text{€}\).

- Wie kannst du die Anzahl der Ecken der beiden Vielecke mithilfe einer einzigen Variablen ausdrücken? - Stelle für beide Vielecke die Formel für die Diagonalen auf. - Was bedeutet „Summe“ in diesem mathematischen Zusammenhang? - Führt jede mathematische Lösung der Gleichung auch zu einer sinnvollen geometrischen Figur?

1. Bezeichne die Eckenzahl des kleineren Vielecks mit \(n\) und die des größeren mit \(n+1\). 2. Nutze die Diagonalenformel \(D = \frac{k(k-3)}{2}\) für beide Vielecke. 3. Stelle die Summengleichung auf: \(\frac{n(n-3)}{2} + \frac{(n+1)((n+1)-3)}{2} = 14\). 4. Vereinfache den Zähler des zweiten Bruchs zu \((n+1)(n-2) = n^2 - n - 2\). 5. Fasse die Brüche zusammen: \(\frac{n^2 - 3n + n^2 - n - 2}{2} = 14\). 6. Multipliziere mit 2 und fasse zusammen: \(2n^2 - 4n - 2 = 28 \Rightarrow 2n^2 - 4n - 30 = 0\). 7. Dividiere durch 2 zur Normalform: \(n^2 - 2n - 15 = 0\). 8. Bestimme die Lösungen: \(n_1 = 5\) und \(n_2 = -3\). 9. Da \(n > 3\) gelten muss, ist \(n = 5\). Die Vielecke haben somit 5 und 6 Ecken.

Die Vielecke haben 5 und 6 Ecken.

- Wie groß ist die Fläche des Fotos? - Wenn der Rand genauso groß ist wie das Foto, wie groß ist dann die Fläche des gesamten Kartons? - Erstelle einen Term für die neue Länge und die neue Breite des Kartons unter Verwendung der Randbreite. - Welche Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen den Seitenlängen des Kartons und seiner Gesamtfläche? - Achte darauf, dass eine Länge in der Realität immer positiv sein muss.

1. Berechnung der Fotofläche: \(A_{\text{Foto}} = 10 \cdot 15 = 150\,\text{cm}^2\). 2. Festlegung der Gesamtfläche: Da die Randfläche gleich der Fotofläche ist, beträgt die Gesamtfläche des Kartons \(A_{\text{Gesamt}} = 150 + 150 = 300\,\text{cm}^2\). 3. Aufstellen der Gleichung mit der Randbreite \(x\): \((10 + 2x)(15 + 2x) = 300\). 4. Ausmultiplizieren und Vereinfachen: \(150 + 20x + 30x + 4x^2 = 300 \Rightarrow 4x^2 + 50x - 150 = 0\). 5. Division durch 2 zur Vereinfachung: \(2x^2 + 25x - 75 = 0\). 6. Anwendung der Lösungsformel: \(x = \frac{-25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-75)}}{2 \cdot 2} = \frac{-25 \pm \sqrt{625 + 600}}{4} = \frac{-25 \pm \sqrt{1225}}{4} = \frac{-25 \pm 35}{4}\). 7. Bestimmung der positiven Lösung: \(x = \frac{10}{4} = 2{,}5\). (Die negative Lösung \(x = -15\) entfällt).

Die Breite des Randes beträgt \(2{,}5\,\text{cm}\).

- Wenn du von der Gesamtlänge an zwei Seiten einen Rand abziehst, wie lang ist dann das innere Rechteck? - Stelle eine Gleichung auf, die die Fläche des inneren Bildes beschreibt. - Nachdem du die quadratische Gleichung gelöst hast, schau dir die Maße der Tafel an: Kann jede der berechneten Breiten tatsächlich existieren?

1. Aufstellen der Gleichung für die Innenfläche: \((40 - 2x) \cdot (50 - 2x) = 1200\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern: \(2000 - 80x - 100x + 4x^2 = 1200\). 3. Umformen in die Normalform: \(4x^2 - 180x + 800 = 0\), was durch Division durch \(4\) zu \(x^2 - 45x + 200 = 0\) wird. 4. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x_{1,2} = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - 800}}{2} = \frac{45 \pm 35}{2}\). 5. Die mathematischen Lösungen sind \(x_1 = 40\) und \(x_2 = 5\). 6. Interpretation: Bei einer Außenbreite von \(40\,\text{cm}\) kann der Rand \(x\) nicht \(40\,\text{cm}\) breit sein, da allein zwei Ränder (\(2x = 80\,\text{cm}\)) breiter als die gesamte Tafel wären. 7. Die einzige sinnvolle Breite ist \(x = 5\,\text{cm}\).

Die Gleichung lautet \((40 - 2x)(50 - 2x) = 1200\). Die Breite des Randes beträgt \(5\,\text{cm}\). Die Lösung \(x = 40\) ist nicht möglich, da der Rand sonst breiter als die Tafel selbst wäre.

- Teil a: Überlege dir, wie groß die Fläche des inneren Motivs sein muss, wenn der Rand eine bestimmte Fläche einnimmt. - Teil a: Achte darauf, dass der Rand von beiden Seiten der Gesamtlänge bzw. Gesamtbreite abgezogen wird. - Teil b: Du kannst ein konkretes Beispiel mit der halbierten Breite durchrechnen und das Ergebnis vergleichen. - Teil b: Überlege, ob die Formel für den Flächeninhalt linear von \(x\) abhängt oder ob Terme wie \(x^2\) vorkommen.

1. Bestimmung der Fläche des inneren Motivs: \(A_{\text{Gesamt}} = 60 \cdot 40 = 2400\,\text{cm}^2\). Die Motivfläche ist \(A_{\text{Motiv}} = 2400 - 900 = 1500\,\text{cm}^2\). 2. Aufstellen der Gleichung: \((60 - 2x)(40 - 2x) = 1500\). 3. Vereinfachen: \(2400 - 120x - 80x + 4x^2 = 1500 \Rightarrow 4x^2 - 200x + 900 = 0\). 4. Normalform: \(x^2 - 50x + 225 = 0\). 5. Lösung der quadratischen Gleichung: \(x_{1,2} = 25 \pm \sqrt{625 - 225} = 25 \pm 20\). 6. Ergebnis für a): \(x = 5\,\text{cm}\) (da \(x = 45\,\text{cm}\) bei einer Breite von \(40\,\text{cm}\) unmöglich ist). 7. Überprüfung für b): Bei halber Breite (\(x = 2{,}5\,\text{cm}\)) beträgt die Motivfläche \((60 - 5) \cdot (40 - 5) = 55 \cdot 35 = 1925\,\text{cm}^2\). 8. Berechnung des neuen Randes: \(2400 - 1925 = 475\,\text{cm}^2\). Da \(475 \neq 450\) (die Hälfte von 900), ist die Aussage falsch.

a) Der Rand ist \(5\,\text{cm}\) breit. b) Die Aussage ist falsch. Bei einer halbierten Breite von \(2{,}5\,\text{cm}\) beträgt der Flächeninhalt des Randes \(475\,\text{cm}^2\), was mehr als die Hälfte des ursprünglichen Randes (\(450\,\text{cm}^2\)) ist.

- Schreibe den Term für die Fläche eines Rahmens allgemein mit den Variablen für Länge, Breite und Rahmenbreite auf. - Was passiert mit dem Rahmeninhalt, wenn die Rahmenbreite gleich bleibt, aber das Foto schmaler und länger wird? - Betrachte die Formel für den Flächeninhalt des Rahmens und schaue, welche Teile konstant bleiben und welche sich ändern.

1. Aufstellen der Gleichung für Foto 1: \((6 + 2x)(10 + 2x) - 6 \cdot 10 = 80\). 2. Vereinfachen: \(60 + 12x + 20x + 4x^2 - 60 = 80 \Rightarrow 4x^2 + 32x - 80 = 0\). 3. Normalform: \(x^2 + 8x - 20 = 0\). 4. Lösen: \((x + 10)(x - 2) = 0\). Da \(x > 0\), folgt \(x = 2\,\text{cm}\). 5. Analyse der Rahmenfläche: Die Fläche eines Rahmens mit Breite \(x\) um ein Rechteck mit den Seiten \(a\) und \(b\) ist \(A_{\text{Rahmen}} = (a + 2x)(b + 2x) - ab = 2ax + 2bx + 4x^2 = 2x(a + b) + 4x^2\). 6. Vergleich: Bei gleicher Breite \(x\) hängt die Rahmenfläche nur von der Summe der Seitenlängen \((a + b)\) ab. 7. Foto 1: \(6 + 10 = 16\). Foto 2: \(4 + 15 = 19\). 8. Da \(19 > 16\), ist der Umfang bzw. die Summe der Seitenlängen bei Foto 2 größer, weshalb der Rahmen bei gleicher Breite eine größere Fläche einnimmt. Der Rahmen von Foto 2 ist also größer als \(80\,\text{cm}^2\).

a) Die Breite des Rahmens beträgt \(2\,\text{cm}\). b) Der Flächeninhalt des zweiten Rahmens ist größer. Begründung: Die Rahmenfläche lässt sich durch den Term \(2x(a+b) + 4x^2\) beschreiben. Da die Rahmenbreite \(x\) identisch ist, hängt die Fläche von der Summe der Seitenlängen \((a+b)\) ab. Da \(4 + 15 = 19\) größer ist als \(6 + 10 = 16\), ist der Flächeninhalt des zweiten Rahmens größer.

- Skizziere das Beet und den Weg. Wie verändern sich Länge und Breite des Rechtecks durch den Weg? - Beachte, dass der Weg an beiden Enden jeder Seite hinzugefügt wird. - Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt des großen Rechtecks auf. - Nutze ein Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen.

1. Sei \(x\) die Breite des Beetes in \(\text{m}\). Die Länge des Beetes ist dann \(x + 5\). 2. Da der Weg auf allen Seiten \(2\,\text{m}\) breit ist, verlängert sich jede Seite des Gesamtrechtecks um \(2 \cdot 2 = 4\,\text{m}\). 3. Die Abmessungen der Gesamtfläche sind somit \((x + 4)\) und \((x + 5 + 4) = (x + 9)\). 4. Aufstellen der Flächengleichung: \((x + 4) \cdot (x + 9) = 150\). 5. Ausmultiplizieren ergibt \(x^2 + 9x + 4x + 36 = 150\), vereinfacht \(x^2 + 13x + 36 = 150\). 6. Umformen in die Normalform: \(x^2 + 13x - 114 = 0\). 7. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel oder Mitternachtsformel ergibt die Lösungen \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -19\). 8. Da die Breite \(x\) positiv sein muss, gilt \(x = 6\). Die Länge beträgt \(6 + 5 = 11\).

Das ursprüngliche Blumenbeet ist \(6\,\text{m}\) breit und \(11\,\text{m}\) lang.

- Stelle dir vor, wie viel reiner Essig nach dem ersten Schritt noch im Fass ist. - Wie verändert sich der Anteil des Essigs an der Gesamtflüssigkeit durch das erste Auffüllen? - Überlege, wie viel Essig im zweiten Schritt anteilig mit der Mischung entfernt wird. - Kannst du einen Term für die Restmenge Essig aufstellen, der nur von der unbekannten Menge \(x\) abhängt? - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis im Vergleich zum Gesamtvolumen des Fasses logisch ist.

1. Sei \(x\) die Menge der jeweils entnommenen Flüssigkeit in Litern. 2. Nach der ersten Entnahme und dem Auffüllen mit Wasser beträgt die Menge an Essig \(18 - x\). Die Konzentration des Essigs ist nun \(\frac{18 - x}{18}\). 3. Bei der zweiten Entnahme von \(x\) Litern der Mischung wird die Menge \(x \cdot \frac{18 - x}{18}\) an Essig entfernt. 4. Die verbleibende Essigmenge nach dem zweiten Schritt ist \(S_2 = (18 - x) - x \cdot \frac{18 - x}{18} = (18 - x) \cdot (1 - \frac{x}{18}) = \frac{(18 - x)^2}{18}\). 5. Laut Aufgabenstellung gilt \(\frac{(18 - x)^2}{18} = 8\). 6. Umstellen der Gleichung: \((18 - x)^2 = 144\). 7. Wurzelziehen ergibt \(18 - x = 12\) oder \(18 - x = -12\). 8. Die Lösungen sind \(x = 6\) oder \(x = 30\). Da die entnommene Menge nicht größer als das Fassungsvermögen sein kann (\(x \le 18\)), ist nur \(x = 6\) sinnvoll. 9. Es wurden jeweils \(6\,\text{l}\) entnommen.

Es wurden jeweils \(6\,\text{l}\) entnommen.

- Wie hoch ist der Anteil des Konzentrats nach der ersten Verdünnung? - Wenn man zweimal hintereinander auf dieselbe Weise verdünnt, wie wirkt sich das auf den prozentualen Anteil aus? - Setze den Anteil nach zwei Schritten mit dem gegebenen Prozentwert gleich. - Achte darauf, dass das gesuchte Volumen \(V\) größer sein muss als die entnommene Menge von \(4\,\text{l}\).

1. Sei \(V\) das Fassungsvermögen des Behälters in Litern. Die Konzentration nach dem ersten Auffüllen ist \(\frac{V - 4}{V}\). 2. Da im zweiten Schritt erneut im gleichen Verhältnis verdünnt wird, ist die Endkonzentration das Quadrat der Konzentration nach dem ersten Schritt: \(C_{\text{Ende}} = \left(\frac{V - 4}{V}\right)^2\). 3. Laut Aufgabe entspricht dies \(56{,}25\,\%\), also \(0{,}5625\). 4. Es ergibt sich die Gleichung \(\left(1 - \frac{4}{V}\right)^2 = 0{,}5625\). 5. Durch Ziehen der Quadratwurzel erhält man \(1 - \frac{4}{V} = 0{,}75\) (die negative Wurzel \(-0{,}75\) führt zu einem physikalisch nicht sinnvollen Wert für \(V\), der kleiner als die Entnahmemenge wäre). 6. Auflösen nach \(V\): \(\frac{4}{V} = 0{,}25\). 7. Daraus folgt \(V = \frac{4}{0{,}25} = 16\). 8. Das Fassungsvermögen des Behälters beträgt \(16\,\text{l}\).

Das Fassungsvermögen des Behälters beträgt \(16\,\text{l}\).

- Fertige eine Skizze an und markiere den Treffpunkt. - Überlege, welche Teilstrecke Anton vor dem Treffen zurückgelegt hat und wer diese Teilstrecke nach dem Treffen wandert. - Nutze die Formel Geschwindigkeit mal Zeit gleich Wegstrecke. - Was kannst du über das Verhältnis der Geschwindigkeiten aussagen?

1. Sei \(t\) die Zeit in Stunden bis zum Treffen und \(v_A, v_B\) die Geschwindigkeiten. 2. Die Strecke von \(A\) zum Treffpunkt ist \(s_1 = v_A \cdot t\). Diese Strecke legt Bert nach dem Treffen in \(9\,\text{Stunden}\) zurück: \(s_1 = v_B \cdot 9\). 3. Die Strecke vom Treffpunkt nach \(B\) ist \(s_2 = v_B \cdot t\). Diese Strecke legt Anton nach dem Treffen in \(4\,\text{Stunden}\) zurück: \(s_2 = v_A \cdot 4\). 4. Aus den Gleichungen folgt: \(\frac{v_A}{v_B} = \frac{9}{t}\) und \(\frac{v_A}{v_B} = \frac{t}{4}\). 5. Gleichsetzen ergibt \(\frac{9}{t} = \frac{t}{4} \Rightarrow t^2 = 36 \Rightarrow t = 6\,\text{h}\) (da \(t > 0\)). 6. Anton war insgesamt \(t + 4 = 6 + 4 = 10\,\text{h}\) unterwegs. 7. Bert war insgesamt \(t + 9 = 6 + 9 = 15\,\text{h}\) unterwegs.

Anton war insgesamt \(10\,\text{Stunden}\) und Bert insgesamt \(15\,\text{Stunden}\) unterwegs.

- Was wissen wir über die Zeit, die beide bis zum Treffpunkt unterwegs waren? - Könntest du die Teilstrecken sowohl mit der Geschwindigkeit von Anton als auch mit der von Berta ausdrücken? - Wie hängen die Geschwindigkeiten und die Zeiten nach dem Treffen zusammen, wenn man bedenkt, dass sie dieselben Teilstrecken „getauscht“ haben? - Versuche zuerst ein Verhältnis zwischen den beiden Geschwindigkeiten zu finden.

1. Umrechnung der Zeiten nach dem Treffen in Stunden: Anton benötigt \(t_{A,\text{Rest}} = 0{,}75\,\text{h}\), Berta benötigt \(t_{B,\text{Rest}} = \frac{4}{3}\,\text{h}\). 2. Aufstellen der Streckengleichungen: Sei \(d_1\) die Strecke von \(A\) zum Treffpunkt und \(d_2\) die Strecke vom Treffpunkt nach \(B\). Dann gilt \(d_2 = v_A \cdot 0{,}75\) und \(d_1 = v_B \cdot \frac{4}{3}\). 3. Gleichsetzung der Zeit bis zum Treffen: Da beide gleichzeitig starteten, ist die Zeit bis zum Treffpunkt \(t = \frac{d_1}{v_A} = \frac{d_2}{v_B}\). 4. Bestimmung des Geschwindigkeitsverhältnisses: Durch Einsetzen folgt \(\frac{v_B \cdot \frac{4}{3}}{v_A} = \frac{v_A \cdot 0{,}75}{v_B}\), woraus sich \(\frac{v_A^2}{v_B^2} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3}{4}} = \frac{16}{9}\) ergibt. Somit ist \(v_A = \frac{4}{3} v_B\). 5. Nutzung der Gesamtdistanz: \(d_1 + d_2 = 10{,}5 \Rightarrow v_B \cdot \frac{4}{3} + v_A \cdot \frac{3}{4} = 10{,}5\). 6. Einsetzen von \(v_A\): \(\frac{4}{3} v_B + (\frac{4}{3} v_B) \cdot \frac{3}{4} = 10{,}5 \Rightarrow \frac{4}{3} v_B + v_B = 10{,}5 \Rightarrow \frac{7}{3} v_B = 10{,}5\). 7. Berechnung der Werte: \(v_B = 4{,}5\,\text{km/h}\) und \(v_A = \frac{4}{3} \cdot 4{,}5 = 6\,\text{km/h}\).

Anton wandert mit einer Geschwindigkeit von \(6\,\text{km/h}\), Berta mit \(4{,}5\,\text{km/h}\).

- Überlege dir, welche Strecke der erste Zug nach dem Treffen noch fahren muss. Wer ist diese Strecke vor dem Treffen bereits gefahren? - Wenn du die Geschwindigkeiten nicht direkt berechnen kannst, hilft es oft, ihr Verhältnis als eine einzige Unbekannte zu betrachten. - Wie hängen die Anteile an der Gesamtstrecke mit den Geschwindigkeiten zusammen, wenn beide Züge gleich lange unterwegs waren?

1. Aufstellen der Beziehungen: Bis zum Treffen nach Zeit \(t\) legten sie \(d_1 = v_1 \cdot t\) und \(d_2 = v_2 \cdot t\) zurück. Nach dem Treffen gilt \(d_2 = v_1 \cdot t_1\) und \(d_1 = v_2 \cdot t_2\). 2. Herleitung des Verhältnisses: Aus \(t = \frac{d_1}{v_1} = \frac{d_2}{v_2}\) folgt durch Einsetzen der Reststrecken \(\frac{v_2 t_2}{v_1} = \frac{v_1 t_1}{v_2}\). Umformen ergibt \(\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{t_2}{t_1}\), also \(\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}\). 3. Berechnung für a): \(\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{4{,}5}{2}} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). Das Verhältnis ist \(1{,}5 : 1\) bzw. \(3 : 2\). 4. Berechnung für b): Der Anteil der ersten Strecke an der Gesamtstrecke ist \(\frac{d_1}{d_1 + d_2}\). Da \(d_1 = v_1 t\) und \(d_2 = v_2 t\), entspricht dies \(\frac{v_1}{v_1 + v_2}\). Mit \(v_1 = 1{,}5 v_2\) ergibt sich \(\frac{1{,}5 v_2}{1{,}5 v_2 + v_2} = \frac{1{,}5}{2{,}5} = 0{,}6\). Dies entspricht \(60\,\%\). 5. Begründung für c): Die Herleitung erfolgt wie in Schritt 2 durch Gleichsetzen der Zeit bis zum Treffen und Substitution der Teilstrecken durch die Produkte aus Geschwindigkeit und Restzeit.

a) Das Verhältnis der Geschwindigkeiten beträgt \(1{,}5 : 1\) (oder \(3 : 2\)). b) Der schnellere Zug hat bis zum Treffpunkt \(60\,\%\) der Gesamtstrecke zurückgelegt. c) Die Begründung ergibt sich aus der Gleichsetzung der Zeit bis zum Treffen \(t = \frac{v_2 t_2}{v_1} = \frac{v_1 t_1}{v_2}\) und dem anschließenden Auflösen nach \(\frac{v_1}{v_2}\).

- Denke an die Umrechnung von Minuten in Stunden, damit alle Einheiten zusammenpassen. - Stelle eine Gleichung für den Zeitunterschied der beiden Fahrzeuge auf. - Für Teil b: Überlege, wie sich Fahrzeiten verhalten, wenn man allgemein schneller fährt. Macht ein Geschwindigkeitsunterschied von \(20\,\text{km/h}\) bei sehr hohen oder bei sehr niedrigen Geschwindigkeiten zeitlich mehr aus?

1. Teil a: Variablen festlegen: Geschwindigkeit des Busses \(v\) in \(\text{km/h}\), Geschwindigkeit des Pkw \(v + 20\). 2. Zeitdifferenzgleichung aufstellen (\(30\,\text{min} = 0{,}5\,\text{h}\)): \(\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 20} = 0{,}5\). 3. Multiplikation mit \(2v(v + 20)\) und Vereinfachung: \(240(v + 20) - 240v = v(v + 20) \Rightarrow 4800 = v^2 + 20v\). 4. Quadratische Gleichung lösen: \(v^2 + 20v - 4800 = 0 \Rightarrow v = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 19200}}{2} = \frac{-20 \pm 140}{2}\). 5. Ergebnis: \(v = 60\,\text{km/h}\) (da \(v > 0\)). Geschwindigkeiten: Bus \(60\,\text{km/h}\), Pkw \(80\,\text{km/h}\). 6. Teil b: Die Zeitdifferenz ist \(\Delta t = \frac{s}{v} - \frac{s}{v + \Delta v} = \frac{s \cdot \Delta v}{v(v + \Delta v)}\). Wenn die Grundgeschwindigkeit \(v\) steigt, während der Abstand \(\Delta v\) gleich bleibt, wird der Nenner größer und der Gesamtwert (der Zeitvorsprung) kleiner.

a) Der Bus fährt mit \(60\,\text{km/h}\), der Pkw mit \(80\,\text{km/h}\). b) Der Zeitvorsprung würde sich verringern.

- Wie hängen die Teilstrecken vor und nach dem Treffen mit den Geschwindigkeiten zusammen? - Stelle Variablen für die beiden unterschiedlichen Geschwindigkeiten auf. - Überlege dir, wie lange jeder Wanderer bis zum Treffpunkt gelaufen ist. Sind diese Zeiten gleich? - Kannst du ein Verhältnis zwischen den Geschwindigkeiten aufstellen, indem du die Zeitgleichung nutzt?

1. Festlegen der Geschwindigkeiten \(v_1\) (langsamer Wanderer) und \(v_2 = v_1 + 1\) (schnellerer Wanderer) sowie der Teilstrecken \(d_1\) (von \(P\) zum Treffpunkt) und \(d_2\) (vom Treffpunkt zu \(Q\)). 2. Bestimmung der Teilstrecken durch die Fahrten nach dem Treffen: \(d_1 = v_2 \cdot 4\) und \(d_2 = v_1 \cdot 9\). 3. Gleichsetzen der Fahrzeiten bis zum Treffpunkt: \(\frac{d_1}{v_1} = \frac{d_2}{v_2}\). 4. Substitution der Teilstrecken ergibt \(\frac{4v_2}{v_1} = \frac{9v_1}{v_2}\), was zu \(4v_2^2 = 9v_1^2\) führt. 5. Durch Wurzelziehen erhält man \(2v_2 = 3v_1\). Mit \(v_2 = v_1 + 1\) folgt \(2(v_1 + 1) = 3v_1\), also \(v_1 = 2\,\text{km/h}\). 6. Daraus folgt \(v_2 = 3\,\text{km/h}\). Die Teilstrecken sind \(d_1 = 12\,\text{km}\) und \(d_2 = 18\,\text{km}\). Die Gesamtdistanz beträgt \(30\,\text{km}\).

Die Entfernung zwischen den Orten \(P\) und \(Q\) beträgt \(30\,\text{km}\).

- Skizziere die Situation und markiere den Treffpunkt. - Welche Strecke legt Anna nach dem Treffen zurück, und wer ist diese Strecke vor dem Treffen gelaufen? - Stelle eine Gleichung für die Zeitdauern bis zum Treffen auf und beachte den Zeitunterschied beim Start. - Eine Hilfsvariable für das Verhältnis der Geschwindigkeiten kann die Rechnung vereinfachen.

1. Definition der Geschwindigkeiten \(v_a\) und \(v_b\) (in \(\text{km/h}\)). 2. Bestimmung der Teilstrecken nach dem Treffen: Der Weg von A zum Treffpunkt ist \(d_a\), der Weg vom Treffpunkt zu B ist \(d_b\). Es gilt \(d_b = 1 \cdot v_a\) (Annas Weg nach Treffen) und \(d_a = 6 \cdot v_b\) (Bernds Weg nach Treffen). 3. Zeit bis zum Treffpunkt: Anna benötigte \(t_a = \frac{d_a}{v_a} = \frac{6 v_b}{v_a}\) Stunden. Bernd benötigte \(t_b = \frac{d_b}{v_b} = \frac{v_a}{v_b}\) Stunden. 4. Zeitbedingung nutzen: Da Anna \(1\) Stunde früher startete, war sie \(1\) Stunde länger unterwegs: \(t_a = t_b + 1 \Rightarrow \frac{6 v_b}{v_a} = \frac{v_a}{v_b} + 1\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: Setze \(x = \frac{v_a}{v_b}\), dann gilt \(\frac{6}{x} = x + 1 \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0\). Die positive Lösung ist \(x = 2\), also \(v_a = 2 v_b\). 6. Nutzung der Differenzbedingung: \(d_a - d_b = 12 \Rightarrow 6 v_b - v_a = 12\). Mit \(v_a = 2 v_b\) folgt \(6 v_b - 2 v_b = 12 \Rightarrow 4 v_b = 12\). 7. Ergebnisse: \(v_b = 3\,\text{km/h}\), \(v_a = 6\,\text{km/h}\). 8. Gesamtdistanz: \(D = d_a + d_b = 6 \cdot 3 + 1 \cdot 6 = 18 + 6 = 24\,\text{km}\).

Anna läuft mit \(6\,\text{km/h}\), Bernd mit \(3\,\text{km/h}\). Die Entfernung zwischen A und B beträgt \(24\,\text{km}\).

- Wie verändert die Strömung eines Flusses die Geschwindigkeit eines Bootes relativ zum Ufer, wenn es gegen oder mit der Strömung fährt? - Stelle für beide Situationen (See und flussaufwärts) einen Ausdruck für die Zeit auf. - Der Unterschied zwischen diesen beiden Zeiten ist im Text gegeben. - Vergiss im zweiten Teil nicht, dass sich die Geschwindigkeiten von Boot und Strömung nun addieren.

1. Teil a: Sei \(v\) die Eigengeschwindigkeit des Bootes in \(\text{km/h}\). Die Zeit auf dem See ist \(t_{See} = \frac{60}{v}\). Die Zeit gegen die Strömung ist \(t_{gegen} = \frac{60}{v-3}\). 2. Gleichung aufstellen: \(t_{gegen} = t_{See} + 1\), also \(\frac{60}{v-3} = \frac{60}{v} + 1\). 3. Umformung: Multiplikation mit \(v(v-3)\) ergibt \(60v = 60(v-3) + v(v-3)\). Vereinfacht: \(60v = 60v - 180 + v^2 - 3v\), woraus \(v^2 - 3v - 180 = 0\) folgt. 4. Lösung der quadratischen Gleichung: \(v_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (-180)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{729}}{2} = \frac{3 \pm 27}{2}\). Die physikalisch sinnvolle Lösung ist \(v = 15\,\text{km/h}\). 5. Teil b: Die Geschwindigkeit flussabwärts ist \(v + 3 = 15 + 3 = 18\,\text{km/h}\). 6. Zeitberechnung: \(t_{mit} = \frac{60\,\text{km}}{18\,\text{km/h}} = \frac{10}{3}\,\text{h} = 3\,\text{h}\,20\,\text{min}\).

a) Die Eigengeschwindigkeit des Bootes beträgt \(15\,\text{km/h}\). b) Flussabwärts würde das Boot \(3\,\text{Stunden}\) und \(20\,\text{Minuten}\) für die Strecke benötigen.

- Achte darauf, alle Zeitangaben in die gleiche Einheit (Stunden) umzurechnen. - Wie hängen Weg, Zeit und Geschwindigkeit zusammen? - Kannst du für jeden Teil der Strecke einen Term für die benötigte Zeit aufstellen? - Überlege, wie du den Unterschied zwischen den beiden Fahrzeiten mathematisch ausdrücken kannst. - Wenn du eine Gleichung mit Brüchen hast, wie kannst du diese in eine Form ohne Brüche bringen?

1. Aufstellen der Zeitgleichungen für beide Teilstrecken: \(t_1 = \frac{30}{v}\) und \(t_2 = \frac{45}{v+5}\). 2. Berücksichtigung der Zeitdifferenz von \(15\,\text{Minuten} = 0{,}25\,\text{h}\): \(\frac{45}{v+5} - \frac{30}{v} = 0{,}25\). 3. Umformen der Bruchgleichung in eine quadratische Gleichung durch Multiplikation mit dem Hauptnenner \(4v(v+5)\): \(180v - 120(v+5) = v(v+5)\). 4. Vereinfachen zur Normalform: \(v^2 - 55v + 600 = 0\). 5. Anwendung der Lösungsformel: \(v = \frac{55 \pm \sqrt{3025 - 2400}}{2} = \frac{55 \pm 25}{2}\). 6. Berechnung der Lösungen: \(v_1 = 40\,\text{km/h}\) und \(v_2 = 15\,\text{km/h}\). Beide Werte sind im Kontext des Radfahrens möglich.

Die ursprüngliche Geschwindigkeit betrug entweder \(15\,\text{km/h}\) oder \(40\,\text{km/h}\).

- Was berechnet man, wenn man die Anzahl der Reihen mit der Anzahl der Zwiebeln pro Reihe multipliziert? - Stelle zwei Gleichungen auf: eine für den ursprünglichen Plan und eine für die Überlegung des Gärtners. - Nutze das Ersetzungsverfahren, um eine quadratische Gleichung zu erhalten. - Überlege am Ende, welches Ergebnis für eine Anzahl an Reihen logisch möglich ist.

1. Variablen definieren: \(r\) für die Anzahl der Reihen und \(z\) für die Zwiebeln pro Reihe. Erste Gleichung: \(rz = 400\). 2. Zweite Bedingung aufstellen: \((r-4)(z+5) = 360\). 3. Substitution von \(z = \frac{400}{r}\) in die zweite Gleichung: \((r-4)\left(\frac{400}{r} + 5\right) = 360\). 4. Klammern auflösen: \(400 + 5r - \frac{1600}{r} - 20 = 360 \implies 380 + 5r - \frac{1600}{r} = 360\). 5. Umformen zur quadratischen Gleichung: \(5r + 20 - \frac{1600}{r} = 0 \implies 5r^2 + 20r - 1600 = 0 \implies r^2 + 4r - 320 = 0\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung ergibt \(r_1 = 16\) und \(r_2 = -20\). Da die Reihenanzahl positiv sein muss, ist \(r = 16\).

Ursprünglich waren \(16\) Reihen vorgesehen.

- Kannst du die gesamte Fahrzeit mithilfe der Geschwindigkeit ausdrücken? - Wie viel Weg hat der Zug bereits zurückgelegt, bevor er anhalten musste? - Achte darauf, alle Zeitangaben in der gleichen Einheit (Stunden) zu verwenden. - Stelle eine Gleichung auf, die die geplante Ankunftszeit mit der tatsächlichen Zeit vergleicht. - Welche mathematische Struktur erhältst du, wenn du den Nenner eliminierst?

1. Definition der Variablen: \(v\) sei die ursprüngliche Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\). Die geplante Gesamtfahrzeit beträgt \(T = \frac{180}{v}\). 2. Analyse der Teilstrecken: In den ersten \(2\) Stunden legt der Zug \(2v\,\text{km}\) zurück. Die verbleibende Strecke ist \(180 - 2v\). 3. Zeitbilanz: Die tatsächliche Fahrzeit setzt sich aus den ersten \(2\) Stunden, der Standzeit von \(12\,\text{min} = 0{,}2\,\text{h}\) und der Zeit für die Reststrecke \(\frac{180-2v}{v+15}\) zusammen. Da der Zug pünktlich ankommt, gilt: \(\frac{180}{v} = 2 + 0{,}2 + \frac{180-2v}{v+15}\). 4. Aufstellen der quadratischen Gleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(v(v+15)\) führt zu \(180(v+15) = 2{,}2v(v+15) + v(180-2v)\). Vereinfacht ergibt dies \(180v + 2700 = 2{,}2v^2 + 33v + 180v - 2v^2\), was zu \(0{,}2v^2 + 33v - 2700 = 0\) bzw. \(v^2 + 165v - 13\,500 = 0\) führt. 5. Lösen der Gleichung: Die Anwendung der Mitternachtsformel oder p-q-Formel liefert \(v = \frac{-165 \pm \sqrt{165^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13500)}}{2} = \frac{-165 \pm 285}{2}\). 6. Ergebnis: Da die Geschwindigkeit positiv sein muss, ergibt sich \(v = \frac{120}{2} = 60\). Die ursprüngliche Geschwindigkeit betrug \(60\,\text{km/h}\).

Die ursprüngliche Geschwindigkeit des Zuges betrug \(60\,\text{km/h}\).

- Achte darauf, alle Zeitangaben in dieselbe Einheit (z. B. Stunden) umzurechnen. - Was bedeutet „Zeit pro Kilometer“ mathematisch im Verhältnis zur Gesamtzeit und Gesamtfahrtstrecke? - Stelle eine Gleichung auf, die den Unterschied im Zeitaufwand pro Kilometer beschreibt. - Überlege dir, welcher der beiden Fahrer eine höhere Geschwindigkeit hat und somit weniger Zeit pro Kilometer benötigt.

1. Aufstellen der Ausdrücke für die Zeit pro Kilometer: Anton benötigt für \(x\,\text{km}\) insgesamt \(2\,\text{Stunden}\), also \(\frac{2}{x}\,\text{h/km}\). Bert benötigt für \(x+10\,\text{km}\) ebenfalls \(2\,\text{Stunden}\), also \(\frac{2}{x+10}\,\text{h/km}\). 2. Umrechnung der Zeitdifferenz: \(36\,\text{Sekunden} = \frac{36}{3600}\,\text{Stunden} = 0{,}01\,\text{Stunden}\). 3. Aufstellen der Gleichung anhand der Differenz der Zeiten pro Kilometer: \(\frac{2}{x} - \frac{2}{x+10} = 0{,}01\). 4. Umformung in eine quadratische Gleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(100x(x+10)\) ergibt \(200(x+10) - 200x = x(x+10)\), vereinfacht \(2000 = x^2 + 10x\). 5. Lösen der Gleichung \(x^2 + 10x - 2000 = 0\) mit der p-q-Formel: \(x = -5 \pm \sqrt{25 + 2000} = -5 \pm \sqrt{2025} = -5 \pm 45\). 6. Da die Entfernung positiv sein muss, folgt \(x = 40\). Antons Anfahrtsweg beträgt \(40\,\text{km}\).

Antons Anfahrtsweg beträgt \(40\,\text{km}\).

- Stelle zuerst fest, welche Teilstrecken die beiden bis zum Zeitpunkt ihres Treffens zurückgelegt haben. - Wie hängen die Geschwindigkeit, die Zeit und die Entfernung nach dem Treffen für Wanderer A zusammen? - Kannst du die Zeit bis zum Treffen durch die Geschwindigkeiten ausdrücken? - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, in der nur noch eine der beiden Geschwindigkeiten als Unbekannte vorkommt.

1. Seien \(v_A\) und \(v_B\) die Geschwindigkeiten in \(\text{km/h}\) und \(t\) die Zeit bis zum Treffen in \(\text{h}\). 2. Es gilt \((v_A+v_B)t=22{,}5\) und \(v_A=v_B+1\). 3. Nach dem Treffen legt A in \(2\) Stunden die Strecke zurück, die B vor dem Treffen zurückgelegt hat. Daher gilt \(v_Bt=2v_A\), also \(t=\frac{2v_A}{v_B}\). 4. Einsetzen in die Distanzgleichung und Verwenden von \(v_B=v_A-1\) ergibt \((2v_A-1)\frac{2v_A}{v_A-1}=22{,}5\). 5. Nach Multiplikation mit \(v_A-1\) entsteht \(4v_A^2-24{,}5v_A+22{,}5=0\). 6. Die rechnerischen Lösungen sind \(v_A=5\) oder \(v_A=1{,}125\). 7. Mit \(v_B=v_A-1\) folgen die Paare \((v_A;v_B)=(5;4)\) oder \((v_A;v_B)=(1{,}125;0{,}125)\). 8. Das zweite Paar verletzt die Vorgabe \(v_B>1\,\text{km/h}\). Daher bleibt nur \((v_A;v_B)=(5;4)\).

Wanderer A läuft mit \(5\,\text{km/h}\), Wanderer B mit \(4\,\text{km/h}\).

- Welchen Bruchteil der Arbeit schafft eine Person pro Tag, wenn sie insgesamt \(x\) Tage benötigt? - Wie viel der Arbeit ist nach einer bestimmten Anzahl an Tagen erledigt? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, bei der die Summe der Teilarbeiten ein Ganzes ergibt? - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, dass Zeitangaben in diesem Kontext immer positiv sein müssen.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Anzahl der Tage, die der Designer allein benötigt. Der Assistent benötigt dann \(x + 10\) Tage. 2. Aufstellen der Arbeitsgleichung basierend auf den geleisteten Anteilen: \(\frac{4}{x} + \frac{9}{x + 10} = 1\). 3. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(x(x + 10)\) zur Beseitigung der Brüche: \(4(x + 10) + 9x = x(x + 10)\). 4. Umformung in eine quadratische Normalform: \(4x + 40 + 9x = x^2 + 10x \Rightarrow x^2 - 3x - 40 = 0\). 5. Lösung der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = 1{,}5 \pm \sqrt{1{,}5^2 + 40} = 1{,}5 \pm 6{,}5\). 6. Bestimmung der sinnvollen Lösung: \(x = 8\) (da die Zeit positiv sein muss). 7. Berechnung der Zeiten: Der Designer benötigt \(8\) Tage, der Assistent \(8 + 10 = 18\) Tage.

Der Designer würde allein 8 Tage benötigen, der Assistent allein 18 Tage.

- Wie hängen Weg, Zeit und Geschwindigkeit zusammen? - Kannst du Ausdrücke für die Zeit des Hinflugs und des Rückflugs aufstellen? - Berücksichtige, wie der Wind die Geschwindigkeit des Flugzeugs relativ zum Boden beeinflusst. - Welche mathematische Struktur entsteht, wenn du die Summe der beiden Teilzeiten bildest? - Denke daran, dass nur ein mathematisch sinnvolles Ergebnis für eine Geschwindigkeit infrage kommt.

1. Definition der Variablen: Sei \(v\) die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs in \(\text{km/h}\). 2. Aufstellen der Geschwindigkeiten: Die Geschwindigkeit mit Rückenwind ist \(v + 40\), die Geschwindigkeit gegen den Wind ist \(v - 40\). 3. Aufstellen der Zeitgleichung: Die Summe der Zeiten für Hin- und Rückflug ergibt die Gesamtzeit: \(\frac{240}{v + 40} + \frac{240}{v - 40} = 2{,}5\). 4. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((v+40)(v-40)\): \(240(v-40) + 240(v+40) = 2{,}5(v^2 - 1600)\). 5. Vereinfachung der Gleichung: \(240v - 9600 + 240v + 9600 = 2{,}5v^2 - 4000\), was zu \(480v = 2{,}5v^2 - 4000\) führt. 6. Umformung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(2{,}5v^2 - 480v - 4000 = 0\). Division durch \(2{,}5\) ergibt \(v^2 - 192v - 1600 = 0\). 7. Lösung mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(v = 96 \pm \sqrt{96^2 + 1600} = 96 \pm \sqrt{9216 + 1600} = 96 \pm \sqrt{10\,816} = 96 \pm 104\). 8. Da die Geschwindigkeit positiv sein muss, ist \(v = 96 + 104 = 200\).

Die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs beträgt \(200\,\text{km/h}\).

- Stelle für Teil a eine Gleichung auf, die die Summe der Fahrzeiten beschreibt. - Welche Vorzeichen hat die Strömung in Bezug auf das Boot bei den beiden Teilstrecken? - Überlege für Teil b, in welcher Phase (mit oder gegen die Strömung) das Boot mehr Zeit verbringt. - Helfen dir die Geschwindigkeiten dabei zu verstehen, warum sich die Effekte von Strömung und Gegenströmung nicht einfach gegenseitig aufheben?

1. Teil a: Sei \(v\) die Eigengeschwindigkeit des Bootes. Die Geschwindigkeiten sind \(v+4\) flussabwärts und \(v-4\) flussaufwärts. 2. Aufstellen der Gleichung: \(\frac{32}{v+4} + \frac{32}{v-4} = 6\). 3. Beseitigung der Brüche: \(32(v-4) + 32(v+4) = 6(v^2 - 16)\). 4. Vereinfachung: \(64v = 6v^2 - 96\), daraus folgt die quadratische Gleichung \(6v^2 - 64v - 96 = 0\) bzw. \(3v^2 - 32v - 48 = 0\). 5. Anwendung der Mitternachtsformel: \(v = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 3 \cdot (-48)}}{2 \cdot 3} = \frac{32 \pm \sqrt{1600}}{6} = \frac{32 \pm 40}{6}\). 6. Die positive Lösung ist \(v = \frac{72}{6} = 12\). Die Eigengeschwindigkeit beträgt \(12\,\text{km/h}\). 7. Teil b: Das Boot auf dem stehenden See ist schneller. 8. Begründung: Der Zeitverlust durch die Fahrt gegen die Strömung ist immer größer als der Zeitgewinn durch die Fahrt mit der Strömung, da man sich länger in der langsameren Phase befindet. Daher erhöht jede Strömung (oder jeder Wind) die Gesamtfahrzeit für eine Hin- und Rückfahrt im Vergleich zu stehendem Gewässer.

a) Die Eigengeschwindigkeit des Bootes beträgt \(12\,\text{km/h}\). b) Das Boot auf dem stehenden See ist schneller, da die Strömung die Gesamtfahrzeit bei einer Rundreise immer verlängert.

- Kannst du die Arbeitsrate (Anteil des Beckens pro Stunde) für jede Pumpe ausdrücken? - Wie hängen die Zeitanteile für die Teilfüllungen mit der Gesamtdauer der Einzelarbeit zusammen? - Versuche, eine der Unbekannten in der einen Gleichung zu isolieren und in die andere einzusetzen. - Achte darauf, dass am Ende zwei verschiedene Szenarien für die Kombination der Pumpen möglich sein könnten.

1. Definition der Variablen: \(t_1\) für die Zeit von Pumpe 1 und \(t_2\) für die Zeit von Pumpe 2 in Stunden. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}\) (gemeinsame Leistung) und \(\frac{1}{3}t_1 + \frac{2}{3}t_2 = 15\) (sequentielle Arbeit). 3. Umformen der Arbeitsgleichung nach \(t_1\): \(t_1 = 45 - 2t_2\). 4. Einsetzen in die Leistungsformel: \(\frac{1}{45 - 2t_2} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}\). 5. Multiplikation mit dem Hauptnenner führt zur quadratischen Gleichung: \(2t_2^2 - 51t_2 + 270 = 0\). 6. Berechnung der Diskriminante: \(D = (-51)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 270 = 2601 - 2160 = 441 = 21^2\). 7. Bestimmung der Lösungen für \(t_2\): \(t_2 = \frac{51 \pm 21}{4}\), woraus \(t_{2,a} = 18\) und \(t_{2,b} = 7{,}5\) resultieren. 8. Berechnung der zugehörigen Werte für \(t_1\): Wenn \(t_2 = 18\), ist \(t_1 = 9\). Wenn \(t_2 = 7{,}5\), ist \(t_1 = 30\).

Es gibt zwei Möglichkeiten: Entweder benötigt Pumpe 1 einzeln \(9\,\text{Stunden}\) und Pumpe 2 einzeln \(18\,\text{Stunden}\), oder Pumpe 1 benötigt \(30\,\text{Stunden}\) und Pumpe 2 benötigt \(7{,}5\,\text{Stunden}\).

- Wie weit muss jeder Radfahrer fahren, um die Mitte der Strecke zu erreichen? - Stelle eine Gleichung für die Summe der Geschwindigkeiten auf, basierend auf der nach 2 Stunden zurückgelegten Gesamtstrecke. - Überlege, welcher Radfahrer länger unterwegs ist, wenn sie sich in der Mitte treffen sollen. - Verwende die Beziehung zwischen Weg, Zeit und Geschwindigkeit: \(s = vt\).

1. Da die Mitte der Strecke bei \(40\,\text{km}\) liegt, betragen die Fahrzeiten bis zum Treffpunkt \(t_A = \frac{40}{v_A}\) und \(t_B = \frac{40}{v_B}\). 2. Da Radfahrer B für dieselbe Ankunftszeit \(2\,\text{Stunden}\) länger unterwegs ist, gilt: \(\frac{40}{v_B} = \frac{40}{v_A} + 2\). 3. Aus der zweiten Bedingung folgt, dass sie gemeinsam in \(2\,\text{Stunden}\) eine Strecke von \(80\,\text{km} - 20\,\text{km} = 60\,\text{km}\) zurücklegen. 4. Es ergibt sich die Gleichung \(2(v_A + v_B) = 60\), woraus \(v_B = 30 - v_A\) folgt. 5. Substitution von \(v_B\) in die erste Gleichung: \(\frac{40}{30 - v_A} = \frac{40}{v_A} + 2\). 6. Multiplikation mit dem Hauptnenner führt zur quadratischen Gleichung: \(40v_A = 40(30 - v_A) + 2v_A(30 - v_A)\), was vereinfacht \(v_A^2 + 10v_A - 600 = 0\) ergibt. 7. Die Lösung der quadratischen Gleichung liefert \(v_A = 20\) (die negative Lösung \(-30\) ist physikalisch nicht sinnvoll). 8. Damit ergibt sich \(v_B = 30 - 20 = 10\).

Der Radfahrer aus Stadt A fährt mit \(20\,\text{km/h}\), der Radfahrer aus Stadt B mit \(10\,\text{km/h}\).

- Was genau gibt der Wert „Minuten pro Kilometer“ an und wie hängen Zeit, Strecke und dieser Wert zusammen? - Überlege dir, wie man die Zeit für einen Kilometer ausdrücken kann, wenn die Gesamtdauer und die Gesamtstrecke bekannt sind. - Denk daran, dass Punkte auf einer Geraden in unterschiedlicher Reihenfolge angeordnet sein können. Skizziere die Möglichkeiten.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Entfernung von \(A\) nach \(Z\) in \(\text{km}\). Dann ist die Entfernung von \(B\) nach \(Z\) gleich \(x + 8\). 2. Berechnung des Tempos (Zeit pro \(\text{km}\)): Radfahrer 1 benötigt \(T_1 = \frac{30}{x}\,\frac{\text{min}}{\text{km}}\). Radfahrer 2 benötigt \(T_2 = \frac{30}{x+8}\,\frac{\text{min}}{\text{km}}\). 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Tempodifferenz: \(\frac{30}{x} - \frac{30}{x+8} = 1\). 4. Umformen in eine quadratische Gleichung: \(30(x+8) - 30x = x(x+8) \Rightarrow 240 = x^2 + 8x \Rightarrow x^2 + 8x - 240 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: Die Lösungen sind \(x_1 = 12\) und \(x_2 = -20\). Da Entfernungen positiv sind, gilt \(x = 12\,\text{km}\). 6. Bestimmung der Teilstrecken: \(AZ = 12\,\text{km}\) und \(BZ = 12 + 8 = 20\,\text{km}\). 7. Geometrische Anordnung auf der Geraden: Fall 1: \(A\) und \(B\) liegen auf derselben Seite von \(Z\). Die Entfernung \(AB\) ist \(|20 - 12| = 8\,\text{km}\). Fall 2: \(A\) und \(B\) liegen auf verschiedenen Seiten von \(Z\). Die Entfernung \(AB\) ist \(20 + 12 = 32\,\text{km}\).

Die Entfernung zwischen \(A\) und \(B\) beträgt entweder \(8\,\text{km}\) oder \(32\,\text{km}\).

- Wie groß ist die Summe der Geschwindigkeiten, wenn sie sich nach einer Stunde treffen? - Welche Strecke muss jeder Radfahrer nach dem Treffpunkt noch zurücklegen? - Stelle einen Zusammenhang zwischen der verbleibenden Strecke und der Geschwindigkeit her, um die restliche Zeit zu berechnen. - Kannst du ein Verhältnis zwischen den beiden Geschwindigkeiten aufstellen?

1. Da die Radfahrer nach \(1\,\text{Stunde}\) die gesamte Distanz von \(75\,\text{km}\) gemeinsam zurückgelegt haben, beträgt die Summe ihrer Geschwindigkeiten \(v_J + v_M = 75\,\text{km/h}\). 2. Zum Zeitpunkt der Begegnung hat Julia \(v_J \cdot 1\,\text{h}\) und Marc \(v_M \cdot 1\,\text{km}\) zurückgelegt. Für den restlichen Weg benötigt Julia \(t_{J,\text{Rest}} = \frac{v_M}{v_J}\) Stunden und Marc \(t_{M,\text{Rest}} = \frac{v_J}{v_M}\) Stunden. 3. Die Zeitdifferenz beträgt \(50\,\text{Minuten} = \frac{5}{6}\,\text{Stunden}\), woraus die Gleichung \(\frac{v_M}{v_J} - \frac{v_J}{v_M} = \frac{5}{6}\) folgt. 4. Mit \(x = \frac{v_J}{v_M}\) ergibt sich die quadratische Gleichung \(6x^2 + 5x - 6 = 0\). Die einzige positive Lösung ist \(x = \frac{2}{3}\). 5. Aus \(v_J = \frac{2}{3} v_M\) und \(v_J + v_M = 75\) folgt \(v_M = 45\,\text{km/h}\) und \(v_J = 30\,\text{km/h}\).

Julia fährt mit \(30\,\text{km/h}\) und Marc mit \(45\,\text{km/h}\).

- Was weißt du über die Summe der Geschwindigkeiten beider Schiffe? - Drücke die Zeit, die jedes Schiff nach der Begegnung noch braucht, durch die Geschwindigkeiten aus. - Überlege, welche Strecke jedes Schiff nach dem Treffen noch vor sich hat – es ist genau die Strecke, die das andere Schiff bis dahin gefahren ist. - Setze die Geschwindigkeiten in ein Verhältnis, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Die Summe der Geschwindigkeiten beträgt \(v_1 + v_2 = \frac{120\,\text{km}}{2\,\text{h}} = 60\,\text{km/h}\). 2. Die Teilstrecken bis zum Treffpunkt sind \(s_1 = 2v_1\) und \(s_2 = 2v_2\). Nach dem Treffen muss Schiff 1 die Strecke \(s_2\) und Schiff 2 die Strecke \(s_1\) zurücklegen. 3. Die Zeitdifferenz für die Reststrecken liefert die Gleichung \(\frac{2v_2}{v_1} - \frac{2v_1}{v_2} = 3\). 4. Mit dem Verhältnis \(x = \frac{v_1}{v_2}\) führt dies auf die Gleichung \(2x^2 + 3x - 2 = 0\). Die sinnvolle Lösung ist \(x = 0{,}5\). 5. Hieraus folgt \(v_2 = 2v_1\). Eingesetzt in die Summe ergibt sich \(3v_1 = 60\), also \(v_1 = 20\,\text{km/h}\) und \(v_2 = 40\,\text{km/h}\). 6. Die vom langsameren Schiff zurückgelegte Strecke bis zur Begegnung ist \(s_1 = 2\,\text{h} \cdot 20\,\text{km/h} = 40\,\text{km}\).

a) Die Geschwindigkeiten betragen \(20\,\text{km/h}\) und \(40\,\text{km/h}\). b) Das langsamere Schiff hat bis zur Begegnung \(40\,\text{km}\) zurückgelegt.

- Klammere zuerst den Faktor vor dem \(x^2\) aus den ersten beiden Gliedern aus. - Denke bei der quadratischen Ergänzung an die binomischen Formeln. - Setze die Scheitelpunktform gleich Null, um die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu finden. - Die Nullstellenform hat die Struktur \(a(x - x_1)(x - x_2)\).

1. Umwandlung in Scheitelpunktform: \(h(x) = -0{,}5(x^2 - 4x) + 2{,}5 = -0{,}5((x - 2)^2 - 4) + 2{,}5 = -0{,}5(x - 2)^2 + 2 + 2{,}5 = -0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5\). 2. Berechnung der Nullstellen: \(-0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)^2 = 9 \Leftrightarrow x - 2 = \pm 3\). Daraus folgen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Im Sachzusammenhang landet der Roboter bei \(5\,\text{dm}\). 3. Nullstellenform: \(h(x) = -0{,}5(x + 1)(x - 5)\). 4. Abgleich mit dem Graphen: Der Scheitelpunkt bei \((2 \mid 4{,}5)\) und die Nullstellen bei \(-1\) und \(5\) sind im Graphen erkennbar.

a) \(h(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5\) b) \(x_1 = 5\); \(x_2 = -1\); Landung bei \(5\,\text{dm}\) c) \(h(x) = -0{,}5(x + 1)(x - 5)\) d) Der Graph bestätigt den Scheitelpunkt \((2 \mid 4{,}5)\) und die Nullstellen \(-1\) und \(5\).

- Beginne damit, eine Variable für die Zeit festzulegen, in der alle Leitungen gemeinsam arbeiten. - Wie hängen die Leistungen der einzelnen Leitungen mit der Gesamtleistung zusammen? - Achte darauf, welche Leitung die längste Zeit benötigt, um sie als „langsamste“ zu identifizieren. - Wenn eine Leitung ausfällt, wie setzt sich die neue Gesamtleistung zusammen?

Sei \(x\) die Zeit für die gemeinsame Befüllung. Die Einzelzeiten sind \(T_A = x + 4\), \(T_B = x + 10\) und \(T_C = 2x\). Die Leistungsgleichung lautet \(\frac{1}{x} = \frac{1}{x+4} + \frac{1}{x+10} + \frac{1}{2x}\). Subtrahiert man \(\frac{1}{2x}\) auf beiden Seiten, erhält man \(\frac{1}{2x} = \frac{1}{x+4} + \frac{1}{x+10}\). Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner \(2x(x+4)(x+10)\) ergibt sich \((x+4)(x+10) = 2x(2x + 14)\), was zu \(x^2 + 14x + 40 = 4x^2 + 28x\) führt. Dies resultiert in der quadratischen Gleichung \(3x^2 + 14x - 40 = 0\). Mit der Mitternachtsformel ergibt sich \(x = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot (-40)}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 \pm 26}{6}\). Die sinnvolle Lösung ist \(x = 2\,\text{Stunden}\). Damit ergeben sich die Einzelzeiten \(T_A = 6\,\text{h}\), \(T_B = 12\,\text{h}\) und \(T_C = 4\,\text{h}\). Die langsamste Leitung ist B. Fällt diese aus, beträgt die neue Leistung \(\frac{1}{T_{neu}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12}\). Die neue Dauer ist \(T_{neu} = \frac{12}{5} = 2{,}4\,\text{Stunden}\).

Gemeinsame Zeit: \(2\,\text{Stunden}\). Einzelzeiten: \(6\,\text{Stunden}\) (A), \(12\,\text{Stunden}\) (B) und \(4\,\text{Stunden}\) (C). Dauer ohne die langsamste Leitung (B): \(2{,}4\,\text{Stunden}\).

- Wandle zunächst alle Zeitangaben in eine einheitliche Einheit (z. B. Stunden als Brüche) um. - Überlege dir, wie viel Arbeit jedes Gerät pro Stunde verrichtet. - Wenn jedes Gerät genau die Hälfte der Arbeit macht, wie berechnet sich dann die benötigte Zeit aus der jeweiligen Gesamtarbeitszeit? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Summe und Produkt der Lösungen einer quadratischen Gleichung.

1. Umrechnung der Zeit: \(4\,\text{Stunden}\) und \(10\,\text{Minuten}\) entsprechen \(\left(4 + \frac{10}{60}\right)\,\text{Stunden} = \frac{25}{6}\,\text{Stunden}\). 2. Variablenfestlegung: \(x\) und \(y\) seien die Einzelzeiten der Geräte in Stunden. 3. Gleichungssystem: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\) und \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y = \frac{25}{6}\). 4. Vereinfachung der zweiten Gleichung: \(x + y = \frac{25}{3}\). 5. Umformen der ersten Gleichung unter Nutzung der Summe: \(\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{2} \Rightarrow xy = 2(x+y) = \frac{50}{3}\). 6. Aufstellen der quadratischen Gleichung (Satz von Vieta): \(z^2 - \frac{25}{3}z + \frac{50}{3} = 0\), multipliziert mit 3 ergibt \(3z^2 - 25z + 50 = 0\). 7. Lösung der quadratischen Gleichung: \(z = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 600}}{6} = \frac{25 \pm 5}{6}\). 8. Ergebnisse: \(z_1 = 5\) und \(z_2 = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}\). 9. Rückumrechnung: \(\frac{10}{3}\,\text{Stunden}\) entsprechen \(3\,\text{Stunden}\) und \(20\,\text{Minuten}\).

Ein Kopiergerät würde allein \(5\,\text{Stunden}\) benötigen, das andere Gerät \(3\,\text{Stunden}\) und \(20\,\text{Minuten}\).