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Stellen Sie aus rund 20.000 Matheaufgaben Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen, von der 3. bis zur 13. Klasse. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Sachaufgaben mit quadratischen Gleichungen

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4101409
In einem lokalen Computernetzwerk ist jeder Rechner mit jedem anderen Rechner durch ein separates Glasfaserkabel direkt verbunden (vollständige Vernetzung). Für diese Infrastruktur wurden insgesamt 45 Kabel verlegt. Wie viele Rechner befinden sich im Netzwerk?

Lösung

1. Sei \(n\) die Anzahl der Rechner. Jede Verbindung (Kabel) verknüpft zwei Rechner. 2. Die Anzahl der Verbindungen in einem vollständig vernetzten Graphen mit \(n\) Knoten ist \(\frac{n(n-1)}{2}\). 3. Wir setzen \(\frac{n(n-1)}{2} = 45\). 4. Daraus folgt \(n(n-1) = 90\), also \(n^2 - n - 90 = 0\). 5. Die Faktorensuche oder die p-q-Formel liefert: \((n-10)(n+9) = 0\). 6. Die sinnvollen Lösungen sind \(n = 10\) oder \(n = -9\). 7. Da es keine negative Anzahl an Rechnern gibt, ist \(n = 10\).

Antwort

Es befinden sich 10 Rechner im Netzwerk.
4142939
In einer Fußball-Regionalliga spielt jede Mannschaft gegen jede andere Mannschaft genau zweimal (ein Heimspiel und ein Auswärtsspiel). In einer gesamten Saison werden auf diese Weise insgesamt \(240\) Spiele ausgetragen. Wie viele Mannschaften befinden sich in dieser Liga?

Denkanstöße

- Wie viele Spiele bestreitet eine einzelne Mannschaft gegen alle anderen? - Macht es einen Unterschied für die Gesamtzahl, ob es Hin- und Rückspiele gibt? - Überlege dir, wie du die Anzahl der Spiele als Produkt ausdrücken kannst. - Welche der mathematischen Lösungen ist im Hinblick auf die Anzahl von Mannschaften sinnvoll?

Lösung

1. Aufstellen der Gleichung für die Anzahl der Spiele bei \(n\) Mannschaften: Da jede Mannschaft gegen jede andere (\(n-1\)) Mannschaften zweimal spielt, ergibt sich die Gleichung \(n \cdot (n - 1) = 240\). 2. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(n^2 - n - 240 = 0\). 3. Lösen der Gleichung mit der quadratischen Lösungsformel: \(n = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-240)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{1 \pm 31}{2}\). 4. Bestimmen der Lösungen: \(n_1 = 16\) und \(n_2 = -15\). 5. Da die Anzahl der Mannschaften positiv sein muss, ist das Ergebnis \(n = 16\).

Antwort

Es befinden sich \(16\) Mannschaften in der Liga.
4145819
Das Produkt zweier aufeinanderfolgender ungerader ganzer Zahlen beträgt \(195\). Bestimme alle Paare solcher Zahlen, die diese Bedingung erfüllen.

Denkanstöße

- Wie groß ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen? - Kannst du eine Variable für die erste Zahl festlegen und die zweite Zahl in Abhängigkeit davon ausdrücken? - Denke daran, dass das Produkt zweier negativer Zahlen ebenfalls positiv ist.

Lösung

1. Sei \(x\) die kleinere der beiden ungeraden Zahlen. Die darauffolgende ungerade Zahl ist dann \(x + 2\). 2. Aufstellen der Gleichung für das Produkt: \(x \cdot (x + 2) = 195\). 3. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 + 2x - 195 = 0\). 4. Anwendung der \(p-q\)-Formel: \(x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1^2 - (-195)} = -1 \pm \sqrt{196} = -1 \pm 14\). 5. Bestimmung der zwei möglichen Werte für \(x\): \(x_1 = 13\) und \(x_2 = -15\). 6. Für \(x_1 = 13\) ist die zweite Zahl \(13 + 2 = 15\). Für \(x_2 = -15\) ist die zweite Zahl \(-15 + 2 = -13\).

Antwort

Die möglichen Zahlenpaare sind \(13\) und \(15\) sowie \(-15\) und \(-13\).
4252179
In einer regionalen Basketball-Liga spielt jedes Team gegen jedes andere Team genau zweimal (ein Hinspiel und ein Rückspiel). Nach Abschluss der Saison wurden insgesamt \(132\) Spiele ausgetragen. Berechne die Anzahl der teilnehmenden Teams mithilfe einer quadratischen Gleichung.

Denkanstöße

- Wie viele Spiele absolviert ein einzelnes Team, wenn es gegen alle anderen genau zweimal spielt? - Überlege, ob in diesem Fall (Hin- und Rückspiel) die Division durch 2, wie sie bei einfachen Turnieren üblich ist, notwendig ist. - Stelle eine Gleichung auf, die die Anzahl der Teams mit der Gesamtzahl der Spiele verknüpft. - Welche der mathematischen Lösungen der Gleichung macht im Sachkontext Sinn?

Lösung

1. Definition der Variablen \(n\) als Anzahl der teilnehmenden Teams. 2. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Anzahl der Paarungen: Jedes der \(n\) Teams spielt gegen \(n-1\) andere Teams. Da Hin- und Rückspiele stattfinden, ergibt sich die Gesamtzahl der Spiele zu \(n \cdot (n - 1) = 132\). 3. Umformung in die allgemeine Form der quadratischen Gleichung: \(n^2 - n - 132 = 0\). 4. Anwendung der Lösungsformel (p-q-Formel oder Mitternachtsformel): \(n_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (-132)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{1 \pm 23}{2}\). 5. Berechnung der Ergebnisse: \(n_1 = 12\) und \(n_2 = -11\). 6. Da die Anzahl der Teams positiv sein muss, ist das Ergebnis \(n = 12\).

Antwort

Es nehmen \(12\) Teams an der Liga teil.
4252239
Bei einem Schachturnier spielt jeder Teilnehmer genau einmal gegen jeden anderen Teilnehmer. Insgesamt finden 190 Partien statt. Berechne die Anzahl der Personen, die an diesem Turnier teilgenommen haben.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie viele Spiele ein einzelner Teilnehmer bestreitet, wenn insgesamt \(x\) Personen anwesend sind. - Wenn Person A gegen Person B spielt, ist das dasselbe Spiel wie B gegen A. Wie wirkt sich das auf die Gesamtzahl aus? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der das Produkt zweier aufeinanderfolgender Zahlen vorkommt? - Denk daran, dass am Ende nur eine Lösung im Sachkontext sinnvoll ist.

Lösung

1. Sei \(x\) die Anzahl der Teilnehmer. 2. Da jeder gegen jeden spielt, beträgt die Anzahl der Spiele \(\frac{x \cdot (x - 1)}{2}\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(\frac{x \cdot (x - 1)}{2} = 190\). 4. Umformen in die Normalform: \(x^2 - x - 380 = 0\). 5. Anwendung der quadratischen Lösungsformel: \(x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-380)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1521}}{2} = \frac{1 \pm 39}{2}\). 6. Berechnung der Lösungen: \(x_1 = 20\) und \(x_2 = -19\). 7. Da die Teilnehmeranzahl eine positive natürliche Zahl sein muss, ist \(x = 20\).

Antwort

Es haben 20 Personen an dem Turnier teilgenommen.
4252399
Ein konvexes Vieleck besitzt 4 Diagonalen mehr als das Doppelte seiner Eckenzahl. Bestimme, um welche Art von Vieleck es sich handelt.

Denkanstöße

- Kannst du die Anzahl der Diagonalen eines Vielecks mit einer Formel ausdrücken, wenn du die Anzahl der Ecken kennst? - Wie lässt sich die Bedingung „4 Diagonalen mehr als das Doppelte der Eckenzahl“ mathematisch als Gleichung schreiben? - Überlege nach dem Lösen der Gleichung, ob alle mathematischen Lösungen im Sachzusammenhang (Geometrie) sinnvoll sind.

Lösung

1. Sei \(n\) die Anzahl der Ecken des Vielecks. Die Formel für die Anzahl der Diagonalen \(D\) lautet: \(D = \frac{n(n-3)}{2}\). 2. Aufstellen der Gleichung basierend auf dem Text: \(D = 2n + 4\). 3. Gleichsetzen der Ausdrücke: \(\frac{n(n-3)}{2} = 2n + 4\). 4. Multiplikation mit 2 und Umformung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(n^2 - 3n = 4n + 8 \implies n^2 - 7n - 8 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der p-q-Formel): \(n = \frac{7}{2} \pm \sqrt{(\frac{7}{2})^2 + 8} = 3{,}5 \pm \sqrt{12{,}25 + 8} = 3{,}5 \pm 4{,}5\). 6. Die Lösungen sind \(n_1 = 8\) und \(n_2 = -1\). 7. Da die Anzahl der Ecken eine positive ganze Zahl sein muss, ist \(n = 8\). Das Vieleck ist ein Achteck.

Antwort

Es handelt sich um ein Achteck.
4252519
Ein quadratisches Stück Blech soll zu einer oben offenen Schachtel verarbeitet werden. Dazu wird an jeder Ecke ein Quadrat mit einer Seitenlänge von \(4\,\text{cm}\) ausgeschnitten und die entstehenden Ränder werden hochgebogen. Wie lang war die Seite des ursprünglichen quadratischen Blechstücks, wenn das Volumen der Schachtel \(576\,\text{cm}^3\) beträgt?

Denkanstöße

- Stelle dir vor, wie sich die Maße des Blechs verändern, wenn du an den Ecken Quadrate entfernst. - Wie hängen die Höhe der Schachtel und die Seitenlänge der ausgeschnittenen Quadrate zusammen? - Stelle eine Gleichung für das Volumen auf. - Überlege dir, welche der mathematisch möglichen Lösungen im Sachkontext Sinn ergeben.

Lösung

1. Sei \(a\) die Seitenlänge des ursprünglichen quadratischen Blechs in \(\text{cm}\). 2. Durch das Ausschneiden der Ecken verringern sich die Seitenlängen der Grundfläche der Schachtel auf \(a - 2 \cdot 4 = a - 8\). 3. Die Höhe der Schachtel entspricht der Seitenlänge der ausgeschnittenen Quadrate: \(h = 4\,\text{cm}\). 4. Aufstellen der Gleichung für das Volumen: \(V = (a - 8)^2 \cdot 4 = 576\). 5. Division durch 4 ergibt \((a - 8)^2 = 144\). 6. Ziehen der Quadratwurzel liefert \(a - 8 = 12\) oder \(a - 8 = -12\). Der zweite Fall ergibt \(a = -4\) und entfällt, da eine Seitenlänge positiv sein muss. 7. Auflösen nach \(a\) ergibt \(a = 20\,\text{cm}\).

Antwort

Die ursprüngliche Seitenlänge des Blechstücks betrug \(20\,\text{cm}\).
4101399
In einer Geometrie-Aufgabe sollen in einem konvexen Vieleck alle möglichen Verbindungsstrecken zwischen den Eckpunkten gezeichnet werden. Ein Schüler zählt insgesamt 66 solcher Strecken (Seiten und Diagonalen zusammen). Wie viele Ecken hat das Vieleck?

Lösung

1. Ein Vieleck mit \(n\) Ecken hat insgesamt \(\frac{n(n-1)}{2}\) Verbindungsstrecken zwischen allen Punkten. 2. Es gilt die Gleichung: \(\frac{n(n-1)}{2} = 66\). 3. Umgeformt: \(n^2 - n - 132 = 0\). 4. Berechnung der Diskriminante: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529\). 5. \(n = \frac{1 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{1 \pm 23}{2}\). 6. Die positive Lösung ist \(n = \frac{24}{2} = 12\).

Antwort

Das Vieleck hat 12 Ecken (Dodekagon).
4101419
Nach einer geschäftlichen Konferenz verabschieden sich alle Teilnehmer per Handschlag. Jeder schüttelt jedem anderen Teilnehmer genau einmal die Hand. Ein Assistent zählt dabei insgesamt 1225 Händedrücke. Berechne die Anzahl der Personen, die an der Konferenz teilgenommen haben.

Lösung

1. Wir verwenden die Variable \(n\) für die Anzahl der Personen. 2. Die Anzahl der Händedrücke berechnet sich nach der Formel \(\frac{n \cdot (n-1)}{2}\). 3. Gleichung aufstellen: \(\frac{n(n-1)}{2} = 1225\). 4. Umformen: \(n^2 - n = 2450\) bzw. \(n^2 - n - 2450 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: \(n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2450}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9801}}{2}\). 6. Die Wurzel aus 9801 ist 99. Somit ergibt sich \(n = \frac{1 + 99}{2} = 50\). Die negative Lösung entfällt.

Antwort

Es haben 50 Personen an der Konferenz teilgenommen.
4101429
Bei einem Schachturnier spielt jeder Teilnehmer genau einmal gegen jeden anderen Teilnehmer. Insgesamt werden 190 Partien gespielt. Wie viele Spieler nehmen an dem Turnier teil? Erläutere dein Vorgehen mithilfe einer mathematischen Modellierung.

Lösung

1. Sei \(n\) die Anzahl der Spieler. 2. In einem Turnier, in dem jeder gegen jeden spielt, ist die Anzahl der Spiele durch die Formel für Kombinationen ohne Wiederholung gegeben: \(\frac{n(n-1)}{2}\). 3. Wir setzen den Term mit der gegebenen Anzahl der Spiele gleich: \(\frac{n(n-1)}{2} = 190\). 4. Multiplizieren mit 2 ergibt: \(n(n-1) = 380\), was zur quadratischen Gleichung \(n^2 - n - 380 = 0\) führt. 5. Anwendung der Mitternachtsformel oder p-q-Formel: \(n = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-380)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 1520}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1521}}{2}\). 6. Da \(\sqrt{1521} = 39\), erhalten wir \(n = \frac{1 + 39}{2} = 20\) oder \(n = \frac{1 - 39}{2} = -19\). 7. Da die Anzahl der Spieler positiv sein muss, ist \(n = 20\).

Antwort

Es nehmen 20 Spieler an dem Turnier teil.
4142949
Ein konvexes Vieleck besitzt genau \(54\) Diagonalen. Die Anzahl der Diagonalen \(d\) in einem Vieleck mit \(n\) Ecken lässt sich mit der Formel \(d = \frac{n \cdot (n - 3)}{2}\) berechnen. Bestimme die Anzahl der Ecken dieses Vielecks und begründe kurz, warum die negative Lösung der zugehörigen quadratischen Gleichung für diese Problemstellung nicht sinnvoll ist.

Denkanstöße

- Setze den gegebenen Wert für die Diagonalen in die Formel ein. - Wie gehst du vor, um eine Gleichung mit einem Bruch auf einer Seite zu vereinfachen? - Denke an die Bedeutung der Variable \(n\) im Sachkontext. Kann jede Zahl eine Anzahl von Ecken beschreiben?

Lösung

1. Gleichsetzen der Formel mit der gegebenen Anzahl an Diagonalen: \(\frac{n \cdot (n - 3)}{2} = 54\). 2. Multiplikation mit \(2\) und Umformen in die Normalform: \(n^2 - 3n - 108 = 0\). 3. Anwendung der Lösungsformel: \(n = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{3 \pm 21}{2}\). 4. Berechnung der Werte: \(n_1 = 12\) und \(n_2 = -9\). 5. Interpretation: Das Vieleck hat \(12\) Ecken. Die Lösung \(n = -9\) ist nicht sinnvoll, da eine Anzahl von Ecken (eine geometrische Eigenschaft) nicht negativ sein kann.

Antwort

Das Vieleck hat \(12\) Ecken. Die negative Lösung \(n = -9\) entfällt, da eine Eckenanzahl stets positiv sein muss.
4145829
Ein rechteckiges Baugrundstück hat einen Flächeninhalt von \(375\,\text{m}^2\). Die Länge des Grundstücks ist genau \(10\,\text{m}\) größer als seine Breite. Das Grundstück soll mit einem Zaun komplett umschlossen werden. Berechne die benötigte Gesamtlänge des Zauns.

Denkanstöße

- Wie hängen Länge, Breite und Flächeninhalt bei einem Rechteck zusammen? - Kannst du eine Skizze zeichnen und die Seiten beschriften? - Was genau wird gesucht: der Flächeninhalt oder der Umfang?

Lösung

1. Sei \(x\) die Breite des Grundstücks in Metern. Die Länge ist dann \(x + 10\). 2. Aufstellen der Gleichung für den Flächeninhalt: \(x \cdot (x + 10) = 375\). 3. Umformen in die Normalform: \(x^2 + 10x - 375 = 0\). 4. Anwendung der \(p-q\)-Formel: \(x_{1,2} = -5 \pm \sqrt{5^2 - (-375)} = -5 \pm \sqrt{400} = -5 \pm 20\). 5. Da eine Breite nicht negativ sein kann, ist \(x = 15\). Die Breite beträgt somit \(15\,\text{m}\) und die Länge \(25\,\text{m}\). 6. Berechnung des Umfangs (Zaunlänge): \(U = 2 \cdot (15\,\text{m} + 25\,\text{m}) = 80\,\text{m}\).

Antwort

Die benötigte Gesamtlänge des Zauns beträgt \(80\,\text{m}\).
4146429
Wenn man die Quadrate zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen addiert, erhält man das Ergebnis 313. Bestimme die beiden Zahlen.

Denkanstöße

- Was bedeutet „aufeinanderfolgend“ für zwei Zahlen? - Wie schreibst du das Quadrat einer Summe mathematisch korrekt auf? - Achte darauf, die binomische Formel anzuwenden, wenn du den Term für die zweite Zahl quadrierst. - Welche Art von Zahlen suchst du laut Aufgabenstellung? Dies hilft dir, am Ende die richtige Lösung auszuwählen.

Lösung

1. Variablen festlegen: Die erste Zahl sei \(n\), die darauffolgende Zahl ist \(n + 1\). 2. Gleichung aufstellen: \(n^2 + (n + 1)^2 = 313\). 3. Klammern auflösen und zusammenfassen: \(n^2 + n^2 + 2n + 1 = 313 \Rightarrow 2n^2 + 2n - 312 = 0\). 4. Durch 2 dividieren (Normalform): \(n^2 + n - 156 = 0\). 5. Quadratische Gleichung lösen: \(n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{-1 \pm 25}{2}\). 6. Da es sich um natürliche Zahlen handelt, ist nur \(n = \frac{24}{2} = 12\) relevant. 7. Die zweite Zahl bestimmen: \(n + 1 = 13\).

Antwort

Die beiden Zahlen sind 12 und 13.
4150449
In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Summe der Längen der beiden Katheten \(31\,\text{cm}\). Die Hypotenuse ist \(25\,\text{cm}\) lang. Berechne die Längen der beiden Katheten \(a\) und \(b\) durch Aufstellen einer quadratischen Gleichung.

Denkanstöße

- Was weißt du über die Summe der beiden gesuchten Seiten? - Wie kannst du eine Variable eliminieren, indem du sie durch die andere ersetzt? - Welche bekannte Formel verbindet die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? - Achte beim Auflösen der Klammer auf die binomischen Formeln.

Lösung

1. Aufstellen des Zusammenhangs zwischen den Katheten: \(a + b = 31 \Rightarrow b = 31 - a\). 2. Anwendung des Satzes von Pythagoras: \(a^2 + (31 - a)^2 = 25^2\). 3. Ausmultiplizieren der Klammer (binomische Formel): \(a^2 + 961 - 62a + a^2 = 625\). 4. Zusammenfassen und Normalform bilden: \(2a^2 - 62a + 336 = 0 \Rightarrow a^2 - 31a + 168 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: \(a_{1,2} = 15{,}5 \pm \sqrt{15{,}5^2 - 168} = 15{,}5 \pm \sqrt{240{,}25 - 168} = 15{,}5 \pm \sqrt{72{,}25} = 15{,}5 \pm 8{,}5\). 6. Ergebnisse für die Seiten: \(a_1 = 24\) und \(a_2 = 7\). 7. Bestimmung der jeweils anderen Kathete: Wenn \(a = 24\), dann \(b = 7\) (und umgekehrt).

Antwort

Die beiden Katheten sind \(7\,\text{cm}\) und \(24\,\text{cm}\) lang.
4153239
Ein Bauer möchte ein rechteckiges Gehege für seine Schafe bauen. Er hat insgesamt \(60\,\text{m}\) Zaunmaterial zur Verfügung, das er komplett für den Umfang verbrauchen möchte. Das Gehege soll eine Fläche von genau \(221\,\text{m}^2\) umschließen. Bestimme die Länge und die Breite des Geheges.

Denkanstöße

- Welche zwei geometrischen Formeln für ein Rechteck spielen hier eine Rolle? - Wie hängen Umfang und die Summe der beiden verschiedenen Seitenlängen zusammen? - Versuche, eine der Seitenlängen durch die andere auszudrücken und dies in die Flächenformel einzusetzen.

Lösung

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit Seiten \(a\) und \(b\): Umfang \(2a + 2b = 60\) und Fläche \(a \cdot b = 221\). 2. Vereinfachen der Umfangsgleichung: \(a + b = 30 \Rightarrow b = 30 - a\). 3. Einsetzen in die Flächengleichung: \(a \cdot (30 - a) = 221\). 4. Umformen in die Normalform: \(-a^2 + 30a = 221 \Rightarrow a^2 - 30a + 221 = 0\). 5. Anwendung der \(pq\)-Formel: \(a_{1,2} = 15 \pm \sqrt{15^2 - 221} = 15 \pm \sqrt{225 - 221} = 15 \pm \sqrt{4}\). 6. Berechnung der Seiten: \(a_1 = 15 + 2 = 17\) und \(a_2 = 15 - 2 = 13\). 7. Die beiden Seitenlängen sind somit \(17\,\text{m}\) und \(13\,\text{m}\).

Antwort

Das Gehege ist \(17\,\text{m}\) lang und \(13\,\text{m}\) breit.
4251339
Eine Werkstatt hat den Auftrag, insgesamt \(400\) Bauteile in einer festgelegten Anzahl von Tagen zu fertigen. In den ersten zwei Tagen arbeitet das Team genau nach der geplanten Tagesnorm. Danach gelingt es der Werkstatt, die tägliche Produktion um \(10\) Bauteile zu steigern. Dadurch wird der Auftrag nicht nur einen Tag früher als geplant abgeschlossen, sondern es werden insgesamt sogar \(430\) Bauteile hergestellt. Wie viele Bauteile sollten laut ursprünglichem Plan täglich produziert werden?

Denkanstöße

- Welche Zusammenhänge bestehen zwischen der täglichen Arbeitsmenge, der Zeit und der Gesamtmenge? - Kannst du die geplante Zeit durch die geplante Tagesmenge ausdrücken? - Wie viele Tage wurde insgesamt tatsächlich gearbeitet, wenn die Arbeit früher fertig war? - Stelle eine Gleichung für die tatsächlich produzierte Gesamtmenge auf, indem du die zwei Arbeitsphasen (Normalbetrieb und gesteigerte Produktion) addierst.

Lösung

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die geplante Tagesnorm in Bauteilen pro Tag, \(t\) ist die geplante Zeit in Tagen. 2. Aufstellen der Gleichung für den Plan: \(x \cdot t = 400\), daraus folgt \(t = \frac{400}{x}\). 3. Aufstellen der Gleichung für den tatsächlichen Verlauf: In den ersten 2 Tagen wurden \(2x\) Teile gefertigt. Die restliche Arbeitszeit betrug \((t - 1) - 2 = t - 3\) Tage mit einer Rate von \(x + 10\). Die Gesamtstückzahl ist \(2x + (t - 3)(x + 10) = 430\). 4. Einsetzen von \(t\): \(2x + (\frac{400}{x} - 3)(x + 10) = 430\). 5. Ausmultiplizieren und Vereinfachen: \(2x + 400 + \frac{4000}{x} - 3x - 30 = 430 \Rightarrow -x + 370 + \frac{4000}{x} = 430\). 6. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(-x + \frac{4000}{x} - 60 = 0 \Rightarrow x^2 + 60x - 4000 = 0\). 7. Lösen der quadratischen Gleichung: Die Lösungen sind \(x = \frac{-60 \pm \sqrt{3600 + 16000}}{2} = \frac{-60 \pm 140}{2}\). 8. Da die Produktionsrate positiv sein muss, ergibt sich \(x = \frac{80}{2} = 40\).

Antwort

Laut Plan sollten täglich \(40\) Bauteile produziert werden.
4251359
Eine Druckerei soll einen Auftrag von \(600\) Broschüren bearbeiten. Durch den Einsatz einer neuen Maschine können pro Stunde \(10\) Broschüren mehr gedruckt werden als ursprünglich geplant. Dadurch wird der gesamte Auftrag \(3\) Stunden früher fertig als vorgesehen. Wie viele Stunden hat der Druckvorgang mit der neuen Maschine tatsächlich gedauert?

Denkanstöße

- Überlege dir, wie viele Broschüren pro Stunde gedruckt werden (die Rate). - Wie hängen die Gesamtzahl der Broschüren, die Zeit und die Rate zusammen? - Setze eine Variable für die Zeit fest, die ursprünglich geplant war. - Stelle eine Gleichung auf, die die Raten oder die Gesamtanzahl vergleicht. - Achte darauf, am Ende die tatsächliche Zeit und nicht die geplante Zeit anzugeben.

Lösung

1. Definition der Variablen \(x\) für die ursprünglich geplante Zeit in Stunden. 2. Aufstellen der Terme für die Druckraten: Geplant \(\frac{600}{x}\) Broschüren/h, tatsächlich \(\frac{600}{x} + 10\) Broschüren/h. 3. Aufstellen der Gleichung unter Berücksichtigung der Zeitersparnis: \((x - 3) \cdot (\frac{600}{x} + 10) = 600\). 4. Umformung der Gleichung: \(600 + 10x - \frac{1800}{x} - 30 = 600\), was zu \(10x - 30 - \frac{1800}{x} = 0\) führt. 5. Multiplikation mit \(x\) und Division durch \(10\) ergibt die quadratische Gleichung \(x^2 - 3x - 180 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung ergibt \(x_1 = 15\) und \(x_2 = -12\). Da die Zeit positiv sein muss, ist die geplante Zeit \(15\) Stunden. 7. Berechnung der tatsächlichen Zeit: \(15 - 3 = 12\) Stunden.

Antwort

Der Druckvorgang dauerte tatsächlich \(12\) Stunden.
4251439
Ein Radfahrer fährt eine \(45\,\text{km}\) lange Strecke. Auf der Rückfahrt erhöht er seine Durchschnittsgeschwindigkeit um \(3\,\text{km/h}\) und spart dadurch \(30\,\text{Minuten}\) an Zeit ein. Bestimme seine Geschwindigkeit auf der Hinfahrt.

Denkanstöße

- Achte darauf, alle Zeitangaben in der gleichen Einheit (Stunden) zu verwenden. - Wie hängen Geschwindigkeit, Weg und Zeit zusammen? - Kannst du für beide Fahrtrichtungen einen Ausdruck für die benötigte Zeit aufstellen? - Überlege dir, welche der beiden berechneten Lösungen im Sachkontext Sinn ergibt.

Lösung

1. Definition der Variablen: Sei \(v\) die Geschwindigkeit auf der Hinfahrt in \(\text{km/h}\). Die Geschwindigkeit auf der Rückfahrt ist dann \(v + 3\). 2. Aufstellen der Zeitgleichung: Die Zeit für die Hinfahrt ist \(t_1 = \frac{45}{v}\), die Zeit für die Rückfahrt \(t_2 = \frac{45}{v+3}\). Da \(30\,\text{Minuten} = 0{,}5\,\text{Stunden}\) eingespart werden, gilt \(t_1 - t_2 = 0{,}5\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(\frac{45}{v} - \frac{45}{v+3} = 0{,}5\). 4. Umformung zur quadratischen Gleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(v(v+3)\) ergibt \(45(v+3) - 45v = 0{,}5v(v+3)\). Vereinfacht führt dies zu \(135 = 0{,}5v^2 + 1{,}5v\) bzw. \(v^2 + 3v - 270 = 0\). 5. Lösung der quadratischen Gleichung: Anwendung der p-q-Formel oder Mitternachtsformel ergibt \(v = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (-270)}}{2} = \frac{-3 \pm 33}{2}\). 6. Bestimmung des Ergebnisses: Die Lösungen sind \(v_1 = 15\) und \(v_2 = -18\). Da die Geschwindigkeit positiv sein muss, beträgt die Geschwindigkeit auf der Hinfahrt \(15\,\text{km/h}\).

Antwort

Die Geschwindigkeit auf der Hinfahrt beträgt \(15\,\text{km/h}\).
4251539
Ein Parkplatz hat derzeit \(300\) Stellplätze, die in gleichmäßigen Reihen angeordnet sind. Im Zuge einer Modernisierung wird die Anzahl der Reihen um \(5\) erhöht und jede Reihe um \(2\) Stellplätze verlängert. Nach dem Umbau bietet der Parkplatz insgesamt \(440\) Stellplätze. Berechne die Anzahl der Reihen, die der Parkplatz nach der Erweiterung hat. Zeige dabei, dass es zwei mathematisch mögliche Lösungen für die neue Anzahl der Reihen gibt.

Denkanstöße

- Welche zwei Größen bestimmen die Gesamtzahl der Plätze? - Wie kannst du die Anzahl der Plätze pro Reihe ausdrücken, wenn du nur die Anzahl der Reihen kennst? - Stelle eine Gleichung für den Zustand nach dem Umbau auf. - Denk daran, dass am Ende nach der Anzahl der Reihen *nach* der Erweiterung gefragt ist.

Lösung

1. Variablen festlegen: \(r\) für die ursprüngliche Anzahl der Reihen und \(s\) für die Stellplätze pro Reihe. 2. Gleichungssystem aufstellen: \(r \cdot s = 300\) und \((r + 5)(s + 2) = 440\). 3. Substitution \(s = \frac{300}{r}\) in die zweite Gleichung einsetzen: \((r + 5)(\frac{300}{r} + 2) = 440\). 4. Gleichung umformen: \(300 + 2r + \frac{1500}{r} + 10 = 440 \Rightarrow 2r + \frac{1500}{r} - 130 = 0\). 5. Multiplikation mit \(r\) und Division durch \(2\) führt zur quadratischen Gleichung: \(r^2 - 65r + 750 = 0\). 6. Lösung mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(r_{1,2} = 32{,}5 \pm \sqrt{32{,}5^2 - 750} = 32{,}5 \pm 17{,}5\). 7. Dies ergibt \(r_1 = 15\) und \(r_2 = 50\). 8. Berechnung der neuen Reihenanzahl (\(r + 5\)): Für \(r_1 = 15\) ergeben sich \(20\) Reihen; für \(r_2 = 50\) ergeben sich \(55\) Reihen.

Antwort

Der Parkplatz hat nach der Erweiterung entweder \(20\) Reihen oder \(55\) Reihen.
4251599
Paul fährt mit seinem Fahrrad eine Strecke von \(60\,\text{km}\). Sein Freund Ben startet mit dem Auto am selben Ort, jedoch genau eine Stunde später. Beide kommen zur gleichen Zeit am Ziel an. Das Auto fuhr im Durchschnitt \(30\,\text{km/h}\) schneller als das Fahrrad. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrrads.

Denkanstöße

- Stelle eine Formel für die Zeit auf, die Paul und Ben jeweils für die Strecke benötigen. - Wie hängen die beiden Zeiten zusammen, wenn einer später startet, aber gleichzeitig ankommt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Weg, Zeit und Geschwindigkeit. - Du wirst am Ende eine quadratische Gleichung erhalten. Überlege, welcher der beiden mathematischen Werte im echten Leben Sinn ergibt.

Lösung

1. Definition der Variablen: Sei \(v\) die Geschwindigkeit des Fahrrads in \(\text{km/h}\). Die Geschwindigkeit des Autos beträgt dann \(v + 30\). 2. Aufstellen der Zeitgleichung: Die Zeit für das Fahrrad ist \(t_1 = \frac{60}{v}\), die Zeit für das Auto ist \(t_2 = \frac{60}{v + 30}\). Da das Auto eine Stunde weniger benötigt, gilt: \(\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 30} = 1\). 3. Umformung zur quadratischen Gleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(v(v + 30)\) führt zu \(60(v + 30) - 60v = v(v + 30)\). Vereinfacht ergibt dies \(1800 = v^2 + 30v\) bzw. \(v^2 + 30v - 1800 = 0\). 4. Lösen der Gleichung: Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel liefert \(v_{1,2} = -15 \pm \sqrt{15^2 + 1800} = -15 \pm \sqrt{2025} = -15 \pm 45\). 5. Interpretation: Die Lösungen sind \(v_1 = 30\) und \(v_2 = -60\). Da eine Geschwindigkeit positiv sein muss, ist die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrrads \(30\,\text{km/h}\).

Antwort

Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrrads beträgt \(30\,\text{km/h}\).
4251639
Ein Motorboot fährt eine \(40\,\text{km}\) lange Strecke flussabwärts. Für den Rückweg flussaufwärts benötigt es genau \(3\,\text{Stunden}\) länger als für den Hinweg. Die Eigengeschwindigkeit des Bootes in stehendem Wasser beträgt \(14\,\text{km/h}\). Berechne die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses.

Denkanstöße

- Wie hängen Geschwindigkeit, Weg und Zeit zusammen? - Überlege, wie die Strömung die Geschwindigkeit des Bootes in beide Richtungen beeinflusst. - Stelle für jede Fahrtrichtung einen Term für die benötigte Zeit auf. - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen den beiden Zeiten laut Aufgabenstellung? - Kannst du die entstandene Bruchgleichung in eine quadratische Gleichung umformen?

Lösung

1. Sei \(c\) die Strömungsgeschwindigkeit in \(\text{km/h}\). 2. Die Geschwindigkeit flussabwärts beträgt \(14 + c\), flussaufwärts \(14 - c\). 3. Aufstellen der Zeitgleichung basierend auf der Differenz: \(\frac{40}{14 - c} - \frac{40}{14 + c} = 3\). 4. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((14 - c)(14 + c)\): \(40(14 + c) - 40(14 - c) = 3(196 - c^2)\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(80c = 588 - 3c^2 \Rightarrow 3c^2 + 80c - 588 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel: \(c = \frac{-80 \pm \sqrt{80^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-588)}}{2 \cdot 3} = \frac{-80 \pm \sqrt{13\,456}}{6} = \frac{-80 \pm 116}{6}\). 7. Da die Geschwindigkeit positiv sein muss, ergibt sich \(c = \frac{36}{6} = 6\).

Antwort

Die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses beträgt \(6\,\text{km/h}\).
4251689
Ein Schwimmbecken kann durch zwei verschiedene Zuleitungen befüllt werden. Wenn beide Leitungen gleichzeitig geöffnet sind, ist das Becken nach genau \(4\) Stunden vollständig gefüllt. Die erste Leitung benötigt für die alleinige Befüllung \(6\) Stunden weniger als die zweite Leitung. Bestimme die Zeit, die jede Leitung benötigt, um das Becken einzeln zu füllen.

Denkanstöße

- Wie viel des Beckens wird in einer Stunde gefüllt, wenn beide Leitungen offen sind? - Wenn eine Leitung \(x\) Stunden braucht, welchen Teil füllt sie dann in einer einzigen Stunde? - Kannst du aus den Informationen eine Gleichung mit Brüchen erstellen? - Prüfe am Ende, ob deine berechneten Zeiten logisch zur Angabe passen, dass beide zusammen 4 Stunden brauchen.

Lösung

1. Definition der Variablen: \(x\) sei die Zeit für die erste (schnellere) Leitung in Stunden, dann ist \(x + 6\) die Zeit für die zweite Leitung. 2. Aufstellen der Gleichung über die Füllraten pro Stunde: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4}\). 3. Beseitigung der Brüche durch Multiplikation mit dem Hauptnenner \(4x(x+6)\): \(4(x+6) + 4x = x(x+6)\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(4x + 24 + 4x = x^2 + 6x \Rightarrow 8x + 24 = x^2 + 6x\). 5. Überführung in die Normalform der quadratischen Gleichung: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung (z. B. mit der p-q-Formel): \(x = 1 \pm \sqrt{1^2 - (-24)} = 1 \pm \sqrt{25} = 1 \pm 5\). 7. Auswahl der relevanten Lösung: \(x_1 = 6\) (die Lösung \(x_2 = -4\) ist im Kontext nicht sinnvoll). 8. Berechnung der zweiten Zeit: \(x + 6 = 12\).

Antwort

Die erste Leitung benötigt allein \(6\) Stunden, die zweite Leitung benötigt \(12\) Stunden.
4251699
Ein Radfahrer unternimmt eine Trainingsfahrt über eine Strecke von \(48\,\text{km}\). Auf dem Hinweg hat er Rückenwind, auf dem Rückweg dieselbe Windstärke als Gegenwind. Die Windgeschwindigkeit beträgt konstant \(4\,\text{km/h}\). Insgesamt ist er \(5\) Stunden und \(30\) Minuten unterwegs, wobei er eine Pause von \(30\) Minuten einlegt. Bestimme die Eigengeschwindigkeit des Radfahrers (seine Geschwindigkeit ohne Wind).

Denkanstöße

- Wie viel Zeit verbringt der Radfahrer tatsächlich mit dem Fahren? - Wie verändert der Wind die Geschwindigkeit gegenüber dem Boden in beide Richtungen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Weg, Zeit und Geschwindigkeit. - Kannst du für jede Teilstrecke einen Ausdruck für die Zeit aufstellen?

Lösung

1. Berechnung der reinen Fahrzeit: \(5{,}5\,\text{h} - 0{,}5\,\text{h} = 5\,\text{h}\). 2. Definition der Eigengeschwindigkeit als \(v\) in \(\text{km/h}\). 3. Aufstellen der Zeitgleichung für Hin- und Rückweg: \(\frac{48}{v+4} + \frac{48}{v-4} = 5\). 4. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((v+4)(v-4)\): \(48(v-4) + 48(v+4) = 5(v^2 - 16)\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(48v - 192 + 48v + 192 = 5v^2 - 80 \Rightarrow 96v = 5v^2 - 80\). 6. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(5v^2 - 96v - 80 = 0\). 7. Anwendung der Lösungsformel: \(v = \frac{96 \pm \sqrt{(-96)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-80)}}{2 \cdot 5} = \frac{96 \pm \sqrt{9216 + 1600}}{10} = \frac{96 \pm 104}{10}\). 8. Da die Geschwindigkeit positiv sein muss, ergibt sich \(v = \frac{200}{10} = 20\). Die Eigengeschwindigkeit beträgt \(20\,\text{km/h}\).

Antwort

Die Eigengeschwindigkeit des Radfahrers beträgt \(20\,\text{km/h}\).
4251819
Zwei Pumpen sollen ein Wasserbecken füllen. Die erste Pumpe wird \(2\,\text{Stunden}\) vor der zweiten eingeschaltet. Ab dem Zeitpunkt, an dem die zweite Pumpe hinzugeschaltet wird, benötigen beide gemeinsam noch \(3\,\text{Stunden}\), um das Becken vollständig zu füllen. Die zweite Pumpe könnte das Becken alleine in einer Zeit füllen, die um \(4\,\text{Stunden}\) kürzer ist als die der ersten Pumpe. Berechne, wie viele Stunden jede Pumpe einzeln für die Füllung des gesamten Beckens benötigen würde.

Denkanstöße

- Stelle dir vor, welcher Anteil des Beckens pro Stunde gefüllt wird, wenn eine Pumpe allein arbeitet. - Wie lange arbeitet jede Pumpe insgesamt an dem Becken? - Überlege dir, wie man den Anteil der Arbeit ausdrückt, den jede Pumpe zur Gesamtfüllung beiträgt. - Nachdem du eine Gleichung aufgestellt hast, versuche sie so umzuformen, dass keine Brüche mehr vorkommen. - Prüfe am Ende, ob beide mathematischen Lösungen im Sachzusammenhang Sinn ergeben.

Lösung

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Zeit in Stunden, die die erste Pumpe allein benötigt. Die zweite Pumpe benötigt dann \(x - 4\) Stunden. 2. Bestimmung der Arbeitszeiten: Die erste Pumpe arbeitet insgesamt \(2 + 3 = 5\,\text{Stunden}\). Die zweite Pumpe arbeitet \(3\,\text{Stunden}\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtarbeit (1 Beckenfüllung): \(\frac{5}{x} + \frac{3}{x-4} = 1\). 4. Umformung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(5(x-4) + 3x = x(x-4) \Rightarrow 5x - 20 + 3x = x^2 - 4x \Rightarrow x^2 - 12x + 20 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel ergibt \(x_{1,2} = 6 \pm \sqrt{36 - 20} = 6 \pm 4\). 6. Überprüfung der Lösungen: \(x_1 = 10\) und \(x_2 = 2\). Da die zweite Pumpe \(4\,\text{Stunden}\) weniger benötigt, muss \(x > 4\) gelten. Somit ist nur \(x = 10\) eine sinnvolle Lösung. 7. Berechnung der zweiten Zeit: \(10 - 4 = 6\).

Antwort

Die erste Pumpe benötigt allein \(10\,\text{Stunden}\), die zweite Pumpe benötigt allein \(6\,\text{Stunden}\).
4251849
Zwei Mähdrescher, Typ A und Typ B, sollen ein Getreidefeld abernten. Wenn beide Maschinen gleichzeitig eingesetzt werden, benötigen sie dafür \(6\,\text{Stunden}\). Mähdrescher B ist etwas älter und würde allein \(5\,\text{Stunden}\) länger brauchen als Mähdrescher A allein. a) Berechne die Zeit, die jeder Mähdrescher allein für das Feld benötigen würde. b) Der Betrieb der Maschine A kostet \(110\,\text{€}\) pro Stunde, die Maschine B kostet \(70\,\text{€}\) pro Stunde. Prüfe durch Rechnung, ob es kostengünstiger ist, beide Maschinen gleichzeitig einzusetzen oder nur die langsamere Maschine B das gesamte Feld ernten zu lassen.

Denkanstöße

- Definiere eine Variable für die Zeit, die die schnellere Maschine benötigt. Drücke die Zeit der langsameren Maschine durch diese Variable aus. - Erinnere dich daran, wie man die Arbeitsleistung pro Stunde addiert. - Nachdem du die Zeiten berechnet hast, multipliziere die jeweilige Dauer mit den angegebenen Stundensätzen. - Beachte, dass beim gleichzeitigen Arbeiten die Kosten beider Maschinen pro Stunde addiert werden müssen.

Lösung

1. Sei \(x\) die Zeit für Mähdrescher A in Stunden. Dann benötigt Mähdrescher B \(x + 5\) Stunden. 2. Aufstellen der Arbeitsgleichung: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}\). 3. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(6x(x+5)\): \(6(x+5) + 6x = x(x+5)\). 4. Umformung zur Normalform: \(12x + 30 = x^2 + 5x \Rightarrow x^2 - 7x - 30 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2} = \frac{7 \pm 13}{2}\). 6. Da die Zeit positiv sein muss: \(x = 10\). Mähdrescher A benötigt \(10\,\text{h}\), Mähdrescher B benötigt \(15\,\text{h}\). 7. Kostenrechnung für gleichzeitigen Einsatz: \((110\,\text{€/h} + 70\,\text{€/h}) \cdot 6\,\text{h} = 180\,\text{€/h} \cdot 6\,\text{h} = 1\,080\,\text{€}\). 8. Kostenrechnung für Maschine B allein: \(70\,\text{€/h} \cdot 15\,\text{h} = 1\,050\,\text{€}\). 9. Vergleich: \(1\,050\,\text{€} < 1\,080\,\text{€}\). Es ist günstiger, nur Maschine B einzusetzen.

Antwort

a) Mähdrescher A benötigt allein \(10\,\text{Stunden}\), Mähdrescher B benötigt allein \(15\,\text{Stunden}\). b) Es ist kostengünstiger, nur Mähdrescher B einzusetzen (\(1\,050\,\text{€}\) gegenüber \(1\,080\,\text{€}\) bei gemeinsamem Einsatz).
4252009
In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete um \(7\,\text{cm}\) länger als die andere. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(60\,\text{cm}^2\). Berechne die Länge der Hypotenuse dieses Dreiecks.

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn man die Längen der Katheten kennt? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur eine unbekannte Kathetenlänge vorkommt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. - Achte darauf, dass Längenangaben in der Geometrie immer positiv sein müssen.

Lösung

1. Bezeichnung der Katheten: Eine Kathete \(a\), die andere Kathete \(a + 7\) (in \(\text{cm}\)). 2. Aufstellen der Flächenformel für das rechtwinklige Dreieck: \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a + 7) = 60\). 3. Umformen zur quadratischen Gleichung: \(a^2 + 7a = 120 \Rightarrow a^2 + 7a - 120 = 0\). 4. Lösen der Gleichung: \(a = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{-7 \pm 23}{2}\). 5. Bestimmung der Kathetenlängen: \(a = 8\) (da \(a > 0\)). Die Katheten sind \(8\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\) lang. 6. Berechnung der Hypotenuse \(c\) mit dem Satz des Pythagoras: \(c^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\). 7. Ergebnis: \(c = \sqrt{289} = 17\,\text{cm}\).

Antwort

Die Hypotenuse des Dreiecks ist \(17\,\text{cm}\) lang.
4252109
In der Geometrie gibt es eine Formel, mit der man die Anzahl der Diagonalen in einem konvexen Vieleck berechnen kann. Ein bestimmtes Vieleck besitzt genau 54 Diagonalen. Berechne die Anzahl der Ecken dieses Vielecks.

Denkanstöße

- Versuche zuerst eine Formel zu finden oder herzuleiten, die die Anzahl der Ecken mit der Anzahl der Diagonalen verknüpft. - Wie viele Linien kannst du von einer Ecke aus zu anderen Ecken ziehen, die keine Seiten des Vielecks sind? - Bedenke, dass eine Diagonale immer zwei Ecken gleichzeitig verbindet – wie wirkt sich das auf die Gesamtzahl aus? - Stelle eine quadratische Gleichung auf und löse sie nach der Anzahl der Ecken auf.

Lösung

1. Sei \(n\) die Anzahl der Ecken des Vielecks. 2. Jede Ecke kann mit \(n-3\) anderen Ecken durch eine Diagonale verbunden werden (nicht mit sich selbst und nicht mit den zwei benachbarten Ecken). 3. Da jede Diagonale zwei Ecken verbindet, lautet die Formel für die Gesamtzahl der Diagonalen \(d\): \(d = \frac{n \cdot (n-3)}{2}\). 4. Gleichung mit dem gegebenen Wert aufstellen: \(\frac{n \cdot (n-3)}{2} = 54\). 5. Multiplikation mit 2 und Umformung zur Normalform: \(n^2 - 3n - 108 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung: \(n = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 432}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{3 \pm 21}{2}\). 7. Die Ergebnisse sind \(n_1 = 12\) und \(n_2 = -9\). 8. Da ein Vieleck eine positive Anzahl an Ecken haben muss, folgt \(n = 12\).

Antwort

Das Vieleck hat 12 Ecken.
4252159
Ein Theater hat 500 Plätze. Wenn der Ticketpreis \(40\,\text{€}\) beträgt, ist das Haus bei jeder Vorstellung ausverkauft. Die Theaterleitung stellt fest: Für jeden Euro, um den der Ticketpreis erhöht wird, werden 10 Tickets weniger verkauft. Bei welcher Preiserhöhung betragen die Gesamteinnahmen pro Vorstellung genau \(20\,210\,\text{€}\)?

Denkanstöße

- Überlege dir, wie du den neuen Preis und die neue Anzahl der Besucher mithilfe einer Unbekannten ausdrücken kannst. - Die Gesamteinnahmen berechnen sich aus dem Produkt von Preis pro Ticket und Anzahl der verkauften Tickets. - Du wirst am Ende eine quadratische Gleichung erhalten. - Überprüfe, ob beide mathematischen Lösungen im Sachzusammenhang Sinn ergeben.

Lösung

1. Definition der Variable: Sei \(x\) die Preiserhöhung in Euro. 2. Aufstellen der Terme: Der neue Ticketpreis ist \(40 + x\), die Anzahl der verkauften Tickets ist \(500 - 10x\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Einnahmen: \((40 + x) \cdot (500 - 10x) = 20\,210\). 4. Ausmultiplizieren: \(20\,000 - 400x + 500x - 10x^2 = 20\,210\). 5. Zusammenfassen und Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(-10x^2 + 100x - 210 = 0\), dividiert durch \(-10\) ergibt \(x^2 - 10x + 21 = 0\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = 5 \pm \sqrt{25 - 21} = 5 \pm 2\). 7. Ergebnisse: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 7\).

Antwort

Die Preiserhöhung muss entweder \(3\,\text{€}\) oder \(7\,\text{€}\) betragen.
4252169
Ein Foto mit den Maßen \(10\,\text{cm} \times 15\,\text{cm}\) soll in einen Rahmen mit einer überall gleichbleibenden Breite \(x\) gesetzt werden. Die gesamte Fläche (Foto und Rahmen zusammen) beträgt \(374\,\text{cm}^2\). Berechne die Breite \(x\) des Rahmens.

Denkanstöße

- Skizziere das Foto und den Rahmen. Wie oft kommt die Rahmenbreite zur Länge und Breite des Fotos hinzu? - Erstelle eine Gleichung für den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks. - Achte beim Lösen der quadratischen Gleichung darauf, ob alle mathematischen Lösungen in der Realität möglich sind.

Lösung

1. Bestimmung der Gesamtlängen: Da der Rahmen an allen vier Seiten die Breite \(x\) hat, vergrößern sich beide Seiten des Fotos um \(2x\). Die neuen Seitenlängen sind \(10 + 2x\) und \(15 + 2x\). 2. Aufstellen der Flächengleichung: \((10 + 2x) \cdot (15 + 2x) = 374\). 3. Ausmultiplizieren: \(150 + 20x + 30x + 4x^2 = 374\). 4. Umformen in die Normalform: \(4x^2 + 50x - 224 = 0\), dividiert durch \(2\) ergibt \(2x^2 + 25x - 112 = 0\). 5. Lösen mit der Mitternachtsformel: \(x = \frac{-25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot 2 \cdot (-112)}}{2 \cdot 2} = \frac{-25 \pm \sqrt{1521}}{4} = \frac{-25 \pm 39}{4}\). 6. Auswahl der sinnvollen Lösung: \(x_1 = \frac{14}{4} = 3{,}5\) und \(x_2 = -16\). Da eine Breite nicht negativ sein kann, ist nur \(x = 3{,}5\) gültig.

Antwort

Der Rahmen ist \(3{,}5\,\text{cm}\) breit.
4252269
Ein Kapital von \(2000\,\text{€}\) wird für zwei Jahre angelegt. Im ersten Jahr erfolgt die Verzinsung mit einem Zinssatz von \(p\,\%\). Im zweiten Jahr erhöht die Bank den Zinssatz um einen Prozentpunkt auf \((p+1)\,\%\). Die Zinsen werden jeweils am Jahresende dem Kapital zugeschlagen (Zinseszins). Nach den zwei Jahren beträgt das Gesamtguthaben \(2226\,\text{€}\). Bestimme den Zinssatz \(p\) des ersten Jahres.

Denkanstöße

- Wie berechnet man das Kapital nach einem Jahr, wenn der Zinssatz bekannt ist? - Beachte, dass sich im zweiten Jahr nicht nur der Zinssatz ändert, sondern auch das Grundkapital durch die Zinsen aus dem ersten Jahr. - Setze einen Platzhalter für den unbekannten Zinssatz ein und stelle eine Gleichung für den Endbetrag auf. - Eine quadratische Gleichung lässt sich oft einfacher lösen, wenn man die Prozentangaben als Dezimalzahlen schreibt.

Lösung

1. Aufstellen der Wachstumsfaktoren: Für das erste Jahr \(1 + \frac{p}{100}\), für das zweite Jahr \(1 + \frac{p+1}{100}\). 2. Aufstellen der Gesamtkapitalgleichung: \(2000 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p+1}{100}) = 2226\). 3. Vereinfachen durch Division durch \(2000\): \((1 + \frac{p}{100}) \cdot (1{,}01 + \frac{p}{100}) = 1{,}113\). 4. Substitution \(x = \frac{p}{100}\): \((1 + x)(1{,}01 + x) = 1{,}113 \Rightarrow x^2 + 2{,}01x + 1{,}01 = 1{,}113\). 5. Ordnen der quadratischen Gleichung: \(x^2 + 2{,}01x - 0{,}103 = 0\). 6. Lösung mit der Mitternachtsformel: \(x = \frac{-2{,}01 \pm \sqrt{2{,}01^2 - 4 \cdot (-0{,}103)}}{2} = \frac{-2{,}01 \pm \sqrt{4{,}0401 + 0{,}412}}{2} = \frac{-2{,}01 \pm 2{,}11}{2}\). 7. Da der Zinssatz positiv sein muss: \(x = \frac{0{,}1}{2} = 0{,}05\). 8. Rücksubstitution: \(p = 0{,}05 \cdot 100 = 5\).

Antwort

Der Zinssatz im ersten Jahr betrug \(5\,\%\).
4252299
In einem konvexen Vieleck gibt es genau 12 Diagonalen mehr als Ecken. Berechne die Anzahl der Ecken dieses Vielecks.

Denkanstöße

- Wie lautet die allgemeine Formel für die Anzahl der Diagonalen in Abhängigkeit von der Eckenzahl? - Kannst du den Zusammenhang aus dem Text in eine mathematische Gleichung übersetzen? - Welche Art von Gleichung erhältst du, wenn du den Bruch auflöst? - Beachte, dass die gesuchte Anzahl eine sinnvolle natürliche Zahl sein muss.

Lösung

1. Definition der Variablen \(n\) als Anzahl der Ecken. 2. Verwendung der Formel für die Anzahl der Diagonalen \(D = \frac{n(n-3)}{2}\). 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Problemstellung: \(\frac{n(n-3)}{2} = n + 12\). 4. Umformung der Gleichung durch Multiplikation mit 2: \(n^2 - 3n = 2n + 24\). 5. Überführung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(n^2 - 5n - 24 = 0\). 6. Berechnung der Nullstellen: \(n_1 = 8\) und \(n_2 = -3\). 7. Ausschluss der negativen Lösung, da eine Anzahl von Ecken positiv sein muss: \(n = 8\).

Antwort

Das Vieleck hat 8 Ecken.
4252329
Ein Quadrat wird so verändert, dass eine Seite um \(3\,\text{cm}\) verlängert und die dazu senkrechte Seite um \(2\,\text{cm}\) verkürzt wird. Das so entstandene Rechteck besitzt einen Flächeninhalt von \(50\,\text{cm}^2\). Bestimme die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats.

Denkanstöße

- Fertige eine Skizze des Quadrats und des daraus entstehenden Rechtecks an. - Wie hängen die neuen Seitenlängen von der ursprünglichen Seite ab? - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks. - Wenn du eine Gleichung aufgestellt hast, wie kannst du sie so umformen, dass du ein bekanntes Lösungsverfahren anwenden kannst? - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis im Sachkontext (Längen von Strecken) einen Sinn ergibt.

Lösung

1. Die ursprüngliche Seitenlänge des Quadrats als \(s\) definieren. 2. Die Seitenlängen des neuen Rechtecks als Terme ausdrücken: \(a = s + 3\) und \(b = s - 2\). 3. Den Flächeninhalt des Rechtecks als Gleichung formulieren: \((s + 3) \cdot (s - 2) = 50\). 4. Die Klammern ausmultiplizieren: \(s^2 - 2s + 3s - 6 = 50\). 5. Die Gleichung zusammenfassen und in die Normalform bringen: \(s^2 + s - 56 = 0\). 6. Die quadratische Gleichung lösen: \(s_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-1 \pm 15}{2}\). 7. Da eine Seitenlänge positiv sein muss, ist nur \(s = \frac{14}{2} = 7\) sinnvoll.

Antwort

Die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats betrug \(7\,\text{cm}\).
4252409
Wenn man die Anzahl der Ecken eines konvexen Vielecks verdoppelt, so erhöht sich die Anzahl seiner Diagonalen um 18. Ermittle die Anzahl der Ecken des ursprünglichen Vielecks.

Denkanstöße

- Stelle zuerst einen Term für die Diagonalen eines Vielecks mit \(n\) Ecken auf. - Wie sieht der Term für die Diagonalen aus, wenn das Vieleck plötzlich \(2n\) Ecken hat? - Die Differenz zwischen der neuen und der alten Anzahl der Diagonalen ist gegeben. Kannst du daraus eine Gleichung bilden? - Achte beim Umformen der Gleichung darauf, alle Terme korrekt zu behandeln, besonders wenn Brüche vorkommen.

Lösung

1. Sei \(n\) die ursprüngliche Anzahl der Ecken. Die Anzahl der Diagonalen ist \(D_1 = \frac{n(n-3)}{2}\). 2. Nach der Verdopplung der Ecken beträgt die Anzahl der Ecken \(2n\). Die neue Anzahl der Diagonalen ist \(D_2 = \frac{2n(2n-3)}{2} = n(2n-3)\). 3. Laut Aufgabenstellung gilt: \(D_2 = D_1 + 18\). 4. Einsetzen der Formeln: \(n(2n-3) = \frac{n(n-3)}{2} + 18\). 5. Multiplikation mit \(2\): \(2n(2n-3) = n(n-3) + 36\). 6. Ausmultiplizieren: \(4n^2 - 6n = n^2 - 3n + 36\). 7. Umformen in die Normalform: \(3n^2 - 3n - 36 = 0\). 8. Division durch \(3\): \(n^2 - n - 12 = 0\). 9. Faktorisieren: \((n-4)(n+3)=0\). 10. Die rechnerischen Lösungen sind \(n_1=4\) und \(n_2=-3\). 11. Da eine Eckenzahl positiv sein muss, hat das ursprüngliche Vieleck \(4\) Ecken.

Antwort

Das ursprüngliche Vieleck hatte 4 Ecken (es war ein Viereck).
4252459
Ein rechteckiger Stadtpark hat die Maße \(120\,\text{m} \times 80\,\text{m}\). Im Inneren des Parks soll entlang der gesamten Außenkante ein umlaufender Fußweg mit einer konstanten Breite \(x\) angelegt werden. Die verbleibende Rasenfläche im Zentrum soll genau \(62{,}5\,\%\) der ursprünglichen Gesamtfläche des Parks einnehmen. Berechne die Breite \(x\) des Fußwegs.

Denkanstöße

- Wie verändern sich die Seitenlängen des inneren Rechtecks, wenn man auf jeder Seite einen Streifen der Breite \(x\) abzieht? - Stelle eine Formel für den Flächeninhalt des inneren Rechtecks auf. - Welchen Anteil der Gesamtfläche soll das innere Rechteck haben? Berechne diesen Wert zuerst. - Überlege am Ende, ob beide mathematischen Lösungen im Kontext der Parkgröße sinnvoll sind.

Lösung

1. Berechnung der Gesamtfläche des Parks: \(A_{\text{Gesamt}} = 120\,\text{m} \cdot 80\,\text{m} = 9\,600\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der gewünschten Rasenfläche: \(A_{\text{Rasen}} = 0{,}625 \cdot 9\,600\,\text{m}^2 = 6\,000\,\text{m}^2\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Rasenfläche mit der Wegbreite \(x\): Die Seitenlängen verringern sich auf jeder Seite um \(x\), also \((120 - 2x) \cdot (80 - 2x) = 6\,000\). 4. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(9\,600 - 240x - 160x + 4x^2 = 6\,000 \Rightarrow 4x^2 - 400x + 3\,600 = 0\). 5. Division durch 4: \(x^2 - 100x + 900 = 0\). 6. Anwendung der \(p-q\)-Formel: \(x_{1,2} = 50 \pm \sqrt{50^2 - 900} = 50 \pm \sqrt{1\,600} = 50 \pm 40\). 7. Bestimmung der sinnvollen Lösung: \(x_1 = 90\) (nicht möglich, da die Breite des Parks nur \(80\,\text{m}\) beträgt) und \(x_2 = 10\). Die Breite des Fußwegs beträgt \(10\,\text{m}\).

Antwort

Der Fußweg muss \(10\,\text{m}\) breit sein.
4252499
Ein rechteckiges Schwimmbecken ist \(3\,\text{m}\) breit und \(8\,\text{m}\) lang. Es soll mit einem Plattenweg gleichmäßiger Breite \(x\) umgeben werden. Die Gesamtfläche von Becken und Weg zusammen soll \(66\,\text{m}^2\) betragen. a) Stelle eine quadratische Gleichung zur Berechnung der Breite \(x\) auf. b) Berechne die Breite des Weges in Metern. c) Wie groß ist der Flächeninhalt des Plattenweges allein?

Denkanstöße

- Überlege dir, wie sich die Länge und Breite des gesamten Rechtecks verändern, wenn auf jeder Seite die Breite \(x\) dazukommt. - Welche geometrische Form hat die gesamte Anlage aus Becken und Weg? - Kann eine physikalische Länge ein negatives Vorzeichen haben? - Wie hängen Gesamtfläche, Beckenfläche und Wegfläche zusammen?

Lösung

1. Flächeninhalt des Beckens berechnen: \(A_{\text{Becken}} = 3\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). 2. Gesamtlänge und Gesamtbreite mit Wegbreite \(x\) ausdrücken: \(L = 8 + 2x\), \(B = 3 + 2x\). 3. Gleichung für die Gesamtfläche aufstellen: \((8 + 2x)(3 + 2x) = 66\). 4. Gleichung ausmultiplizieren und vereinfachen: \(24 + 16x + 6x + 4x^2 = 66 \Rightarrow 4x^2 + 22x - 42 = 0\). 5. Durch 2 dividieren für die Normalform: \(2x^2 + 11x - 21 = 0\). 6. Mit der Mitternachtsformel lösen: \(x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21)}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 168}}{4} = \frac{-11 \pm \sqrt{289}}{4} = \frac{-11 \pm 17}{4}\). 7. Lösungen bestimmen: \(x_1 = \frac{6}{4} = 1{,}5\) und \(x_2 = \frac{-28}{4} = -7\). Da eine Breite positiv sein muss, ist \(x = 1{,}5\,\text{m}\). 8. Flächeninhalt des Weges: \(A_{\text{Weg}} = A_{\text{Gesamt}} - A_{\text{Becken}} = 66\,\text{m}^2 - 24\,\text{m}^2 = 42\,\text{m}^2\).

Antwort

a) \(4x^2 + 22x - 42 = 0\) (oder eine äquivalente Form) b) Die Breite des Weges beträgt \(1{,}5\,\text{m}\). c) Der Flächeninhalt des Weges beträgt \(42\,\text{m}^2\).
4252599
Ein Fass ist vollständig mit \(18\,\text{l}\) reinem Essig gefüllt. Man entnimmt eine bestimmte Menge Essig und ersetzt sie durch die gleiche Menge Wasser. Nachdem die Flüssigkeit gut durchmischt wurde, entnimmt man erneut dieselbe Menge der Mischung und füllt das Fass wieder mit Wasser auf. Nun befinden sich noch genau \(8\,\text{l}\) reiner Essig im Fass. Berechne, wie viele Liter Flüssigkeit jeweils entnommen wurden.

Denkanstöße

- Stelle dir vor, wie viel reiner Essig nach dem ersten Schritt noch im Fass ist. - Wie verändert sich der Anteil des Essigs an der Gesamtflüssigkeit durch das erste Auffüllen? - Überlege, wie viel Essig im zweiten Schritt anteilig mit der Mischung entfernt wird. - Kannst du einen Term für die Restmenge Essig aufstellen, der nur von der unbekannten Menge \(x\) abhängt? - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis im Vergleich zum Gesamtvolumen des Fasses logisch ist.

Lösung

1. Sei \(x\) die Menge der jeweils entnommenen Flüssigkeit in Litern. 2. Nach der ersten Entnahme und dem Auffüllen mit Wasser beträgt die Menge an Essig \(18 - x\). Die Konzentration des Essigs ist nun \(\frac{18 - x}{18}\). 3. Bei der zweiten Entnahme von \(x\) Litern der Mischung wird die Menge \(x \cdot \frac{18 - x}{18}\) an Essig entfernt. 4. Die verbleibende Essigmenge nach dem zweiten Schritt ist \(S_2 = (18 - x) - x \cdot \frac{18 - x}{18} = (18 - x) \cdot (1 - \frac{x}{18}) = \frac{(18 - x)^2}{18}\). 5. Laut Aufgabenstellung gilt \(\frac{(18 - x)^2}{18} = 8\). 6. Umstellen der Gleichung: \((18 - x)^2 = 144\). 7. Wurzelziehen ergibt \(18 - x = 12\) oder \(18 - x = -12\). 8. Die Lösungen sind \(x = 6\) oder \(x = 30\). Da die entnommene Menge nicht größer als das Fassungsvermögen sein kann (\(x \le 18\)), ist nur \(x = 6\) sinnvoll. 9. Es wurden jeweils \(6\,\text{l}\) entnommen.

Antwort

Es wurden jeweils \(6\,\text{l}\) entnommen.
4252679
Zwei Wanderer, Anton und Bert, starten gleichzeitig in den Orten \(A\) und \(B\) und laufen auf demselben Weg einander entgegen. Sie treffen sich nach einer gewissen Zeit an einem Aussichtspunkt. Nach der Begegnung setzt jeder seinen Weg mit unveränderter Geschwindigkeit fort. Anton benötigt noch genau \(4\,\text{Stunden}\), um den Ort \(B\) zu erreichen. Bert benötigt noch \(9\,\text{Stunden}\), um den Ort \(A\) zu erreichen. Berechne, wie viele Stunden jeder der beiden Wanderer insgesamt für die gesamte Strecke zwischen \(A\) und \(B\) unterwegs war.

Denkanstöße

- Fertige eine Skizze an und markiere den Treffpunkt. - Überlege, welche Teilstrecke Anton vor dem Treffen zurückgelegt hat und wer diese Teilstrecke nach dem Treffen wandert. - Nutze die Formel Geschwindigkeit mal Zeit gleich Wegstrecke. - Was kannst du über das Verhältnis der Geschwindigkeiten aussagen?

Lösung

1. Sei \(t\) die Zeit in Stunden bis zum Treffen und \(v_A, v_B\) die Geschwindigkeiten. 2. Die Strecke von \(A\) zum Treffpunkt ist \(s_1 = v_A \cdot t\). Diese Strecke legt Bert nach dem Treffen in \(9\,\text{Stunden}\) zurück: \(s_1 = v_B \cdot 9\). 3. Die Strecke vom Treffpunkt nach \(B\) ist \(s_2 = v_B \cdot t\). Diese Strecke legt Anton nach dem Treffen in \(4\,\text{Stunden}\) zurück: \(s_2 = v_A \cdot 4\). 4. Aus den Gleichungen folgt: \(\frac{v_A}{v_B} = \frac{9}{t}\) und \(\frac{v_A}{v_B} = \frac{t}{4}\). 5. Gleichsetzen ergibt \(\frac{9}{t} = \frac{t}{4} \Rightarrow t^2 = 36 \Rightarrow t = 6\,\text{h}\) (da \(t > 0\)). 6. Anton war insgesamt \(t + 4 = 6 + 4 = 10\,\text{h}\) unterwegs. 7. Bert war insgesamt \(t + 9 = 6 + 9 = 15\,\text{h}\) unterwegs.

Antwort

Anton war insgesamt \(10\,\text{Stunden}\) und Bert insgesamt \(15\,\text{Stunden}\) unterwegs.
4252859
Zwei Radfahrer, Simon und Julia, fahren einander entgegen. Sie starten gleichzeitig in den Orten P und Q, die \(75\,\text{km}\) voneinander entfernt sind. Nachdem sie sich an einem Punkt zwischen den Orten getroffen haben, setzt Simon seine Fahrt mit derselben Geschwindigkeit fort und benötigt noch genau \(2\) Stunden, um den Ort Q zu erreichen. Julia benötigt nach dem Treffen noch \(4{,}5\) Stunden, um ihren Zielort P zu erreichen. Bestimme die Geschwindigkeiten der beiden Radfahrer.

Denkanstöße

- Überlege dir, welche Teilstrecken Simon und Julia vor und nach ihrem Treffen zurücklegen. - Wie hängen die Teilstrecken mit den Geschwindigkeiten und den jeweiligen Zeiten zusammen? - Kannst du ein Verhältnis zwischen den beiden Geschwindigkeiten aufstellen? - Die Zeit bis zum Treffen ist für beide Radfahrer gleich.

Lösung

1. Definition der Variablen: \(v_s\) und \(v_j\) seien die Geschwindigkeiten von Simon und Julia in \(\text{km/h}\), \(t\) die Zeit in Stunden bis zum Treffen. 2. Aufstellen der Streckengleichungen bis zum Treffen: Simon legt \(d_s = v_s \cdot t\) zurück, Julia \(d_j = v_j \cdot t\). 3. Aufstellen der Streckengleichungen nach dem Treffen: Simon legt den Restweg \(d_j\) in \(2\,\text{h}\) zurück (\(d_j = 2 \cdot v_s\)). Julia legt den Restweg \(d_s\) in \(4{,}5\,\text{h}\) zurück (\(d_s = 4{,}5 \cdot v_j\)). 4. Gleichsetzen der Ausdrücke für \(t\): Aus \(t = \frac{d_s}{v_s} = \frac{4{,}5 v_j}{v_s}\) und \(t = \frac{d_j}{v_j} = \frac{2 v_s}{v_j}\) folgt die Gleichung \(\frac{4{,}5 v_j}{v_s} = \frac{2 v_s}{v_j}\). 5. Bestimmung des Geschwindigkeitsverhältnisses: \(\frac{v_s^2}{v_j^2} = \frac{4{,}5}{2} = 2{,}25 \Rightarrow \frac{v_s}{v_j} = 1{,}5 \Rightarrow v_s = 1{,}5 v_j\). 6. Berechnung der Zeit \(t\): \(t = \frac{2 \cdot 1{,}5 v_j}{v_j} = 3\,\text{h}\). 7. Nutzung der Gesamtdistanz: \((v_s + v_j) \cdot t = 75 \Rightarrow (1{,}5 v_j + v_j) \cdot 3 = 75 \Rightarrow 7{,}5 v_j = 75\). 8. Ergebnis: \(v_j = 10\,\text{km/h}\) und \(v_s = 1{,}5 \cdot 10 = 15\,\text{km/h}\).

Antwort

Simon fährt mit \(15\,\text{km/h}\), Julia fährt mit \(10\,\text{km/h}\).
4252939
Ein LKW-Fahrer muss eine \(100\,\text{km}\) lange Strecke zurücklegen. Nach \(40\,\text{km}\) wird er durch eine Baustelle für genau \(15\,\text{Minuten}\) aufgehalten. Um die restliche Strecke so zu fahren, dass er sein Ziel dennoch zur ursprünglich geplanten Zeit erreicht, erhöht er seine Geschwindigkeit für den verbleibenden Weg um \(20\,\text{km/h}\). Mit welcher Geschwindigkeit war der LKW vor der Baustelle unterwegs?

Denkanstöße

- Wie hängen Weg, Zeit und Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Versuche, die Zeit für die restliche Strecke auf zwei Arten auszudrücken: einmal mit der alten und einmal mit der neuen Geschwindigkeit. - Achte darauf, dass alle Einheiten zusammenpassen, insbesondere Zeitangaben in Stunden. - Welche der mathematischen Lösungen der Gleichung macht im Sachzusammenhang Sinn?

Lösung

1. Bestimmung der Reststrecke: \(100\,\text{km} - 40\,\text{km} = 60\,\text{km}\). 2. Umrechnung der Verzögerung: \(15\,\text{min} = \frac{1}{4}\,\text{h}\). 3. Definition der Variablen: Sei \(v\) die ursprüngliche Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\). Die neue Geschwindigkeit ist \(v + 20\). 4. Aufstellen der Zeitgleichung für die Reststrecke: Die geplante Zeit minus die tatsächliche Fahrzeit entspricht der Verzögerung: \(\frac{60}{v} - \frac{60}{v+20} = \frac{1}{4}\). 5. Umformung der Gleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(4v(v+20)\) führt zu \(240(v+20) - 240v = v(v+20)\). 6. Vereinfachung zur quadratischen Normalform: \(240v + 4800 - 240v = v^2 + 20v \Rightarrow v^2 + 20v - 4800 = 0\). 7. Lösung der quadratischen Gleichung: \(v = \frac{-20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800)}}{2} = \frac{-20 \pm \sqrt{19\,600}}{2} = \frac{-20 \pm 140}{2}\). 8. Da die Geschwindigkeit positiv sein muss, ergibt sich \(v = 60\). Die ursprüngliche Geschwindigkeit betrug \(60\,\text{km/h}\).

Antwort

Die ursprüngliche Geschwindigkeit des LKWs betrug \(60\,\text{km/h}\).
4253039
Ein Radfahrer plant eine Tour. Auf dem ersten Teilstück von \(30\,\text{km}\) fährt er mit einer konstanten Geschwindigkeit. Da er gut vorankommt, erhöht er auf dem zweiten Teilstück von \(45\,\text{km}\) seine Durchschnittsgeschwindigkeit um \(5\,\text{km/h}\). Er stellt fest, dass er für den zweiten Abschnitt genau \(15\,\text{Minuten}\) länger benötigt hat als für den ersten. Bestimme die beiden mathematisch möglichen Geschwindigkeiten für das erste Teilstück.

Denkanstöße

- Achte darauf, alle Zeitangaben in die gleiche Einheit (Stunden) umzurechnen. - Wie hängen Weg, Zeit und Geschwindigkeit zusammen? - Kannst du für jeden Teil der Strecke einen Term für die benötigte Zeit aufstellen? - Überlege, wie du den Unterschied zwischen den beiden Fahrzeiten mathematisch ausdrücken kannst. - Wenn du eine Gleichung mit Brüchen hast, wie kannst du diese in eine Form ohne Brüche bringen?

Lösung

1. Aufstellen der Zeitgleichungen für beide Teilstrecken: \(t_1 = \frac{30}{v}\) und \(t_2 = \frac{45}{v+5}\). 2. Berücksichtigung der Zeitdifferenz von \(15\,\text{Minuten} = 0{,}25\,\text{h}\): \(\frac{45}{v+5} - \frac{30}{v} = 0{,}25\). 3. Umformen der Bruchgleichung in eine quadratische Gleichung durch Multiplikation mit dem Hauptnenner \(4v(v+5)\): \(180v - 120(v+5) = v(v+5)\). 4. Vereinfachen zur Normalform: \(v^2 - 55v + 600 = 0\). 5. Anwendung der Lösungsformel: \(v = \frac{55 \pm \sqrt{3025 - 2400}}{2} = \frac{55 \pm 25}{2}\). 6. Berechnung der Lösungen: \(v_1 = 40\,\text{km/h}\) und \(v_2 = 15\,\text{km/h}\). Beide Werte sind im Kontext des Radfahrens möglich.

Antwort

Die ursprüngliche Geschwindigkeit betrug entweder \(15\,\text{km/h}\) oder \(40\,\text{km/h}\).
4269569
Zwei verschiedene Wasserpumpen sollen ein Becken mit einem Fassungsvermögen von \(120\,\text{m}^3\) leeren. Die erste Pumpe ist weniger leistungsstark und benötigt für die gesamte Leerung \(2\,\text{Stunden}\) länger als die zweite Pumpe. Pro Stunde fördert die zweite Pumpe \(5\,\text{m}^3\) mehr Wasser als die erste. Bestimme die Zeit, die jede Pumpe allein benötigen würde, um das Becken vollständig zu leeren.

Denkanstöße

- Wie lässt sich die Pumpleistung (Volumen pro Zeit) ausdrücken? - Wenn du die Zeit für eine Pumpe als \(x\) bezeichnest, wie sieht dann die Zeit für die andere aus? - Stelle eine Beziehung zwischen den beiden Pumpleistungen her. - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, dass nur eine positive Zeit im Sachkontext sinnvoll ist.

Lösung

1. Definition der Variablen: Sei \(t\) die Zeit in Stunden, die die zweite (schnellere) Pumpe benötigt. Die erste Pumpe benötigt dann \(t + 2\) Stunden. 2. Aufstellen der Förderraten: Pumpe 2 fördert \(\frac{120}{t}\,\text{m}^3/\text{h}\), Pumpe 1 fördert \(\frac{120}{t+2}\,\text{m}^3/\text{h}\). 3. Gleichung der Ratendifferenz: \(\frac{120}{t} - \frac{120}{t+2} = 5\). 4. Umformung zur quadratischen Gleichung: Division durch 5 ergibt \(\frac{24}{t} - \frac{24}{t+2} = 1\). Multiplikation mit dem Hauptnenner: \(24(t+2) - 24t = t(t+2)\). 5. Vereinfachung: \(48 = t^2 + 2t\), also \(t^2 + 2t - 48 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung: Mittels Faktorisierung \((t+8)(t-6) = 0\) oder \(p\)-\(q\)-Formel ergibt sich \(t = 6\) (da \(t > 0\)). 7. Abschluss: Die zweite Pumpe benötigt \(6\,\text{h}\), die erste Pumpe benötigt \(6 + 2 = 8\,\text{h}\).

Antwort

Die erste Pumpe benötigt \(8\,\text{Stunden}\) und die zweite Pumpe benötigt \(6\,\text{Stunden}\).
4269699
Eine Schule möchte für insgesamt \(12\,000\,\text{€}\) neue Tablets anschaffen. Durch ein Sonderangebot wird jedes Tablet um \(50\,\text{€}\) günstiger. Dadurch kann die Schule für den gleichen Gesamtbetrag genau 8 Tablets mehr kaufen als ursprünglich geplant. Wie viele Tablets waren ursprünglich geplant und wie hoch war der ursprüngliche Preis pro Stück?

Denkanstöße

- Was genau suchen wir und welche Variablen können wir dafür einführen? - Wie hängen der Preis pro Stück, die Anzahl und der Gesamtbetrag zusammen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die den Zustand vor und nach dem Rabatt vergleicht? - Nachdem du die Gleichung aufgestellt hast, wie kannst du die Brüche darin auflösen? - Überlege am Ende, ob beide mathematischen Lösungen im Sachkontext sinnvoll sind.

Lösung

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die ursprüngliche Anzahl der Tablets und \(\frac{12\,000}{x}\) der ursprüngliche Preis pro Stück in Euro. 2. Aufstellen der Gleichung unter Berücksichtigung des Rabatts und der höheren Stückzahl: \((\frac{12\,000}{x} - 50) \cdot (x + 8) = 12\,000\). 3. Ausmultiplizieren und Vereinfachen der Gleichung: \(12\,000 + \frac{96\,000}{x} - 50x - 400 = 12\,000\), was zu \(-50x - 400 + \frac{96\,000}{x} = 0\) führt. 4. Multiplikation mit \(-\frac{x}{50}\) zur Überführung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 + 8x - 1920 = 0\). 5. Berechnung der Diskriminante: \(D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1920) = 64 + 7680 = 7744\). 6. Anwendung der Lösungsformel: \(x = \frac{-8 \pm \sqrt{7744}}{2} = \frac{-8 \pm 88}{2}\). 7. Da die Anzahl positiv sein muss, ergibt sich \(x = 40\). 8. Berechnung des Preises: \(12\,000 : 40 = 300\,\text{€}\).

Antwort

Ursprünglich waren 40 Tablets zu einem Preis von \(300\,\text{€}\) pro Stück geplant.
4269749
Ein rechteckiger Gemüsegarten ist doppelt so lang wie breit. Um den Garten herum wird ein \(2\,\text{m}\) breiter Weg aus Kies angelegt. Die Gesamtfläche, die der Garten und der Weg zusammen einnehmen, beträgt \(160\,\text{m}^2\). Bestimme die Länge und die Breite des eigentlichen Gemüsegartens.

Denkanstöße

- Skizziere die Situation: Ein kleines Rechteck liegt in einem größeren Rechteck. - Wenn ein Weg um ein Feld herumführt, wie verändert das die Maße auf jeder Seite? - Wie hängen die Länge und die Breite des Gartens laut Aufgabenstellung zusammen? - Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt des äußeren Rechtecks auf.

Lösung

1. Festlegen der Variablen: Die Breite des Gartens sei \(x\) in Metern, die Länge ist dann \(2x\). 2. Bestimmen der Gesamtabmessungen inklusive Weg: Da der Weg den Garten auf allen Seiten um \(2\,\text{m}\) umschließt, vergrößern sich Breite und Länge jeweils um \(4\,\text{m}\). Die Gesamtbreite ist \(x + 4\), die Gesamtlänge ist \(2x + 4\). 3. Aufstellen der Flächengleichung: \((x + 4) \cdot (2x + 4) = 160\). 4. Ausmultiplizieren und Vereinfachen: \(2x^2 + 4x + 8x + 16 = 160 \Rightarrow 2x^2 + 12x + 16 = 160\). 5. Normalform der quadratischen Gleichung: \(2x^2 + 12x - 144 = 0\), dividiert durch 2 ergibt \(x^2 + 6x - 72 = 0\). 6. Lösen mit der p-q-Formel: \(x = -3 \pm \sqrt{9 + 72} = -3 \pm \sqrt{81} = -3 \pm 9\). 7. Da eine Breite nicht negativ sein kann, ist \(x = 6\). Die Breite beträgt \(6\,\text{m}\) und die Länge \(12\,\text{m}\).

Antwort

Der Gemüsegarten ist \(6\,\text{m}\) breit und \(12\,\text{m}\) lang.
4269869
Ein erfahrener Gärtner und sein Auszubildender sollen die Hecken einer Parkanlage schneiden. Der Auszubildende benötigt für diese Arbeit allein 9 Stunden länger als der Gärtner allein. Wenn sie die Aufgabe gemeinsam erledigen, sind sie nach 6 Stunden fertig. a) Bestimme die Zeit, die jeder allein für die Arbeit benötigen würde. b) Welchen Anteil der Gesamtarbeit hat der Gärtner nach den 6 Stunden gemeinsamen Arbeitens erledigt? Begründe deine Antwort kurz rechnerisch.

Denkanstöße

- Wie lässt sich die Arbeitsgeschwindigkeit (Leistung pro Stunde) ausdrücken, wenn die Gesamtzeit unbekannt ist? - Wenn zwei Personen zusammenarbeiten, addieren sich ihre stündlichen Arbeitsanteile. - Was bedeutet es für das Ergebnis, wenn eine Person doppelt so schnell arbeitet wie die andere?

Lösung

1. Sei \(g\) die Zeit des Gärtners in Stunden. Die Zeit des Auszubildenden ist \(g + 9\). 2. Aufstellen der Gleichung für die gemeinsame Arbeit: \(\frac{1}{g} + \frac{1}{g + 9} = \frac{1}{6}\). 3. Umformung durch Multiplikation mit \(6g(g + 9)\): \(6(g + 9) + 6g = g(g + 9)\). 4. Vereinfachung zur quadratischen Gleichung: \(12g + 54 = g^2 + 9g \Rightarrow g^2 - 3g - 54 = 0\). 5. Lösung der Gleichung: \((g - 9)(g + 6) = 0\). Die positive Lösung ist \(g = 9\). 6. Ergebnis für Teil a): Der Gärtner benötigt \(9\) Stunden, der Auszubildende \(18\) Stunden. 7. Lösung für Teil b): Der Anteil des Gärtners berechnet sich aus seiner Arbeitsrate multipliziert mit der gemeinsamen Zeit: \(\frac{1}{9} \cdot 6 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\). Er hat also zwei Drittel der Arbeit erledigt.

Antwort

a) Der Gärtner benötigt allein 9 Stunden, der Auszubildende allein 18 Stunden. b) Der Gärtner hat \(\frac{2}{3}\) der Arbeit erledigt, da er in 6 Stunden bei einer Gesamtzeit von 9 Stunden \(\frac{6}{9}\) der Arbeit erledigt.
4269939
Zwei Mähroboter bearbeiten gemeinsam eine Rasenfläche. Der erste Roboter allein würde \(16\,\text{Stunden}\) länger benötigen als beide gemeinsam. Der zweite Roboter allein bräuchte \(9\,\text{Stunden}\) mehr als das Duo. Berechne die Zeit, die beide Roboter benötigen, wenn sie die Fläche zusammen mähen. Wie lange bräuchte jeder Roboter für sich allein?

Denkanstöße

- Überlege dir, welchen Bruchteil der Arbeit die Roboter pro Stunde verrichten. - Wenn die gemeinsame Zeit \(x\) ist, wie lässt sich dann die Zeit der einzelnen Roboter ausdrücken? - Kannst du eine Gleichung für die Gesamtarbeitsleistung pro Stunde aufstellen?

Lösung

Zuerst wird die gemeinsame Arbeitszeit mit \(x\) bezeichnet. Die Einzelzeiten der Roboter betragen dann \(x + 16\) und \(x + 9\). Da die Summe der Einzelleistungen der Gesamtleistung entspricht, ergibt sich die Bruchgleichung \(\frac{1}{x} = \frac{1}{x+16} + \frac{1}{x+9}\). Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner \(x(x+16)(x+9)\) erhält man die Gleichung \((x+16)(x+9) = x(x+9) + x(x+16)\). Nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt sich \(x^2 + 25x + 144 = 2x^2 + 25x\). Dies vereinfacht sich zu \(x^2 = 144\). Da die Zeit positiv sein muss, folgt \(x = 12\). Die gemeinsame Zeit beträgt somit \(12\,\text{Stunden}\). Die Einzelzeiten berechnen sich zu \(12 + 16 = 28\,\text{Stunden}\) für den ersten Roboter und \(12 + 9 = 21\,\text{Stunden}\) für den zweiten Roboter.

Antwort

Gemeinsame Zeit: \(12\,\text{Stunden}\). Einzelzeiten: \(28\,\text{Stunden}\) und \(21\,\text{Stunden}\).
4281059
Ein Kleinflugzeug fliegt eine Strecke von \(240\,\text{km}\) von Stadt A nach Stadt B und kehrt anschließend sofort wieder zurück. Auf dem Hinflug hat das Flugzeug Rückenwind, auf dem Rückflug weht derselbe Wind als Gegenwind. Die Windgeschwindigkeit beträgt konstant \(40\,\text{km/h}\). Die gesamte Flugzeit für beide Strecken beträgt \(2{,}5\) Stunden. Bestimme die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs (die Geschwindigkeit bei Windstille).

Denkanstöße

- Wie hängen Weg, Zeit und Geschwindigkeit zusammen? - Kannst du Ausdrücke für die Zeit des Hinflugs und des Rückflugs aufstellen? - Berücksichtige, wie der Wind die Geschwindigkeit des Flugzeugs relativ zum Boden beeinflusst. - Welche mathematische Struktur entsteht, wenn du die Summe der beiden Teilzeiten bildest? - Denke daran, dass nur ein mathematisch sinnvolles Ergebnis für eine Geschwindigkeit infrage kommt.

Lösung

1. Definition der Variablen: Sei \(v\) die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs in \(\text{km/h}\). 2. Aufstellen der Geschwindigkeiten: Die Geschwindigkeit mit Rückenwind ist \(v + 40\), die Geschwindigkeit gegen den Wind ist \(v - 40\). 3. Aufstellen der Zeitgleichung: Die Summe der Zeiten für Hin- und Rückflug ergibt die Gesamtzeit: \(\frac{240}{v + 40} + \frac{240}{v - 40} = 2{,}5\). 4. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((v+40)(v-40)\): \(240(v-40) + 240(v+40) = 2{,}5(v^2 - 1600)\). 5. Vereinfachung der Gleichung: \(240v - 9600 + 240v + 9600 = 2{,}5v^2 - 4000\), was zu \(480v = 2{,}5v^2 - 4000\) führt. 6. Umformung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(2{,}5v^2 - 480v - 4000 = 0\). Division durch \(2{,}5\) ergibt \(v^2 - 192v - 1600 = 0\). 7. Lösung mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(v = 96 \pm \sqrt{96^2 + 1600} = 96 \pm \sqrt{9216 + 1600} = 96 \pm \sqrt{10\,816} = 96 \pm 104\). 8. Da die Geschwindigkeit positiv sein muss, ist \(v = 96 + 104 = 200\).

Antwort

Die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs beträgt \(200\,\text{km/h}\).
4281129
Ein Güterzug und ein Eilzug befahren eine \(300\,\text{km}\) lange Strecke. Der Eilzug ist um \(20\,\text{km/h}\) schneller als der Güterzug. Obwohl der Güterzug mit einem Vorsprung von \(30\,\text{Minuten}\) startet, kommt der Eilzug \(45\,\text{Minuten}\) vor dem Güterzug am Ziel an. Berechne die Geschwindigkeit des Güterzugs.

Denkanstöße

- Wie lässt sich die Fahrzeit durch die Strecke und die unbekannte Geschwindigkeit ausdrücken? - Achte darauf, alle Zeitangaben (Minuten) in die Einheit Stunden umzurechnen. - Addiere den Startvorsprung und den Ankunftsvorsprung, um den gesamten Unterschied in den Fahrzeiten zu ermitteln. - Stelle eine Gleichung auf, die den Unterschied der beiden Fahrzeiten beschreibt.

Lösung

1. Sei \(v\) die Geschwindigkeit des Güterzugs in \(\text{km/h}\). Dann ist die Geschwindigkeit des Eilzugs \(v + 20\). 2. Die Fahrzeit des Güterzugs beträgt \(t_G = \frac{300}{v}\), die des Eilzugs \(t_E = \frac{300}{v+20}\). 3. Die Zeitdifferenz zwischen den reinen Fahrzeiten ergibt sich aus dem Vorsprung beim Start (\(0{,}5\,\text{h}\)) und dem Zeitvorsprung bei der Ankunft (\(0{,}75\,\text{h}\)): \(t_G - t_E = 0{,}5 + 0{,}75 = 1{,}25\,\text{h}\). 4. Aufstellen der Gleichung: \(\frac{300}{v} - \frac{300}{v+20} = 1{,}25\). 5. Umformung: \(300(v + 20) - 300v = 1{,}25v(v + 20)\) führt zu \(6000 = 1{,}25v^2 + 25v\). 6. Normalform der quadratischen Gleichung: \(v^2 + 20v - 4800 = 0\). 7. Lösung mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder Mitternachtsformel ergibt \(v = 60\) (da \(v > 0\)).

Antwort

Der Güterzug hat eine Geschwindigkeit von \(60\,\text{km/h}\).
4281159
Zwei Radfahrer, Julia und Marc, starten gleichzeitig in zwei \(75\,\text{km}\) voneinander entfernten Orten und fahren einander entgegen. Nach genau einer Stunde begegnen sie sich auf der Strecke. Ohne ihre Geschwindigkeit zu ändern, setzen sie ihre Fahrt fort. Julia erreicht ihren Zielort \(50\,\text{Minuten}\) später als Marc seinen Zielort erreicht. Bestimme die Geschwindigkeiten der beiden Radfahrer in \(\text{km/h}\).

Denkanstöße

- Wie groß ist die Summe der Geschwindigkeiten, wenn sie sich nach einer Stunde treffen? - Welche Strecke muss jeder Radfahrer nach dem Treffpunkt noch zurücklegen? - Stelle einen Zusammenhang zwischen der verbleibenden Strecke und der Geschwindigkeit her, um die restliche Zeit zu berechnen. - Kannst du ein Verhältnis zwischen den beiden Geschwindigkeiten aufstellen?

Lösung

1. Da die Radfahrer nach \(1\,\text{Stunde}\) die gesamte Distanz von \(75\,\text{km}\) gemeinsam zurückgelegt haben, beträgt die Summe ihrer Geschwindigkeiten \(v_J + v_M = 75\,\text{km/h}\). 2. Zum Zeitpunkt der Begegnung hat Julia \(v_J \cdot 1\,\text{km}\) und Marc \(v_M \cdot 1\,\text{km}\) zurückgelegt. Für den restlichen Weg benötigt Julia \(t_{J,\text{Rest}} = \frac{v_M}{v_J}\) Stunden und Marc \(t_{M,\text{Rest}} = \frac{v_J}{v_M}\) Stunden. 3. Die Zeitdifferenz beträgt \(50\,\text{Minuten} = \frac{5}{6}\,\text{Stunden}\), woraus die Gleichung \(\frac{v_M}{v_J} - \frac{v_J}{v_M} = \frac{5}{6}\) folgt. 4. Mit \(x = \frac{v_J}{v_M}\) ergibt sich die quadratische Gleichung \(6x^2 + 5x - 6 = 0\). Die einzige positive Lösung ist \(x = \frac{2}{3}\). 5. Aus \(v_J = \frac{2}{3} v_M\) und \(v_J + v_M = 75\) folgt \(v_M = 45\,\text{km/h}\) und \(v_J = 30\,\text{km/h}\).

Antwort

Julia fährt mit \(30\,\text{km/h}\) und Marc mit \(45\,\text{km/h}\).
4142959
In einem Computernetzwerk ist jeder Rechner mit jedem anderen Rechner durch ein Kabel direkt verbunden. a) Berechne die Anzahl der Rechner im Netzwerk, wenn insgesamt \(66\) Kabel verlegt wurden. b) Ein Techniker behauptet: „Wenn wir die Anzahl der Rechner verdoppeln, verdoppelt sich auch die Anzahl der benötigten Kabel.“ Prüfe rechnerisch, ob diese Aussage korrekt ist.

Denkanstöße

- Welche Formel beschreibt die Anzahl der Verbindungen zwischen einer Gruppe von Objekten? - Behandle Teil a wie eine typische Gleichungsaufgabe. - Nutze für Teil b dein Ergebnis aus Teil a und berechne den neuen Wert für eine doppelt so große Gruppe. - Vergleiche das neue Ergebnis mit dem Doppelten des alten Ergebnisses.

Lösung

1. Teil a: Aufstellen der Gleichung für \(n\) Rechner: \(\frac{n \cdot (n - 1)}{2} = 66\). 2. Umformen zu \(n^2 - n - 132 = 0\) und Lösen mittels Lösungsformel: \(n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 528}}{2} = \frac{1 \pm 23}{2}\). Dies ergibt \(n = 12\) (negative Lösung entfällt). Es sind \(12\) Rechner. 3. Teil b: Berechnung der Kabelanzahl bei Verdopplung der Rechner (\(n = 24\)): \(K = \frac{24 \cdot (24 - 1)}{2} = \frac{24 \cdot 23}{2} = 12 \cdot 23 = 276\). 4. Vergleich mit der doppelten ursprünglichen Kabelanzahl: \(2 \cdot 66 = 132\). Da \(276 \neq 132\), ist die Aussage falsch. Die Kabelanzahl steigt quadratisch an, nicht linear.

Antwort

a) Es sind \(12\) Rechner im Netzwerk. b) Die Aussage ist falsch. Bei \(24\) Rechnern werden \(276\) Kabel benötigt, was deutlich mehr als das Doppelte von \(66\) (\(132\)) ist.
4145839
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse \(25\,\text{cm}\) lang. Eine der beiden Katheten ist um genau \(5\,\text{cm}\) kürzer als die andere. Berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

Denkanstöße

- Welcher berühmte Satz verbindet die Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck? - Kannst du die Beziehung zwischen den beiden Katheten als mathematischen Ausdruck schreiben? - Wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks, wenn man die Längen der Katheten kennt?

Lösung

1. Sei \(a\) die Länge der längeren Kathete in Zentimetern. Die kürzere Kathete ist dann \(a - 5\). 2. Anwendung des Satzes von Pythagoras: \(a^2 + (a - 5)^2 = 25^2\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(a^2 + a^2 - 10a + 25 = 625\), also \(2a^2 - 10a - 600 = 0\). 4. Division durch \(2\) zur Normalform: \(a^2 - 5a - 300 = 0\). 5. Anwendung der \(p-q\)-Formel: \(a_{1,2} = 2{,}5 \pm \sqrt{2{,}5^2 - (-300)} = 2{,}5 \pm \sqrt{306{,}25} = 2{,}5 \pm 17{,}5\). 6. Da die Seitenlänge positiv sein muss, folgt \(a = 20\). Die Katheten sind somit \(20\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\) lang. 7. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot 20\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 150\,\text{cm}^2\).

Antwort

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(150\,\text{cm}^2\).
4146439
Gegeben ist ein Quadrat. Wenn eine Seite um \(3\,\text{cm}\) verlängert und die benachbarte Seite um \(2\,\text{cm}\) verkürzt wird, entsteht ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von \(84\,\text{cm}^2\). Bestimme die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats und berechne, um wie viele Quadratzentimeter sich der Flächeninhalt durch die Änderung vergrößert hat.

Denkanstöße

- Wie verändern sich die Seitenlängen des Quadrats, wenn man sie verlängert oder verkürzt? - Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt des neuen Rechtecks auf. - Multipliziere die Klammern sorgfältig aus, um die quadratische Gleichung zu erhalten. - Vergleiche am Ende den Flächeninhalt des Quadrats mit dem gegebenen Flächeninhalt des Rechtecks.

Lösung

1. Variable festlegen: Seitenlänge des Quadrats sei \(x\). 2. Seiten des neuen Rechtecks: \(x + 3\) und \(x - 2\). 3. Gleichung für den Flächeninhalt aufstellen: \((x + 3)(x - 2) = 84\). 4. Ausmultiplizieren und in Normalform bringen: \(x^2 + x - 6 = 84 \Rightarrow x^2 + x - 90 = 0\). 5. Quadratische Gleichung lösen: \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{-1 \pm 19}{2}\). 6. Da \(x > 0\) sein muss, folgt \(x = 9\,\text{cm}\). 7. Flächeninhalt des ursprünglichen Quadrats: \(A_{\text{Quadrat}} = 9^2 = 81\,\text{cm}^2\). 8. Differenz berechnen: \(84\,\text{cm}^2 - 81\,\text{cm}^2 = 3\,\text{cm}^2\).

Antwort

Die Seitenlänge des Quadrats betrug \(9\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt hat sich um \(3\,\text{cm}^2\) vergrößert.
4146529
Zwei quadratische Bodenplatten haben unterschiedliche Kantenlängen. Die Kante der größeren Platte ist genau \(10\,\text{cm}\) länger als die der kleineren. Zusammen haben beide Platten einen Flächeninhalt von \(2\,500\,\text{cm}^2\). a) Stelle eine quadratische Gleichung zur Berechnung der Kantenlängen auf. b) Berechne die Kantenlängen beider Platten. c) Erkläre, warum im Sachzusammenhang nur eine der mathematischen Lösungen für die Kantenlänge der kleinen Platte sinnvoll ist.

Denkanstöße

- Wie drückst du die Fläche eines Quadrats durch seine Kantenlänge aus? - Wenn du die Kantenlänge der kleinen Platte als Unbekannte wählst, wie sieht dann der Term für die große Platte aus? - Denke an die Bedeutung von negativen Ergebnissen bei Längenmessungen.

Lösung

1. Sei \(s\) die Kantenlänge der kleineren Platte in \(\text{cm}\). Die Kante der größeren Platte ist \(s + 10\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Summe der Flächen: \(s^2 + (s + 10)^2 = 2\,500\). 3. Vereinfachen: \(s^2 + s^2 + 20s + 100 = 2\,500 \Rightarrow 2s^2 + 20s - 2\,400 = 0\). 4. Division durch 2 für die Normalform: \(s^2 + 10s - 1200 = 0\). 5. Lösen der Gleichung: \(s_{1,2} = -5 \pm \sqrt{25 + 1200} = -5 \pm 35\). 6. Ergebnisse: \(s_1 = 30\) und \(s_2 = -40\). 7. Interpretation: Da eine Kantenlänge physikalisch nicht negativ sein kann, ist nur \(s = 30\,\text{cm}\) sinnvoll. 8. Kantenlängen: Kleine Platte \(30\,\text{cm}\), große Platte \(40\,\text{cm}\).

Antwort

a) Die Gleichung lautet \(2s^2 + 20s - 2\,400 = 0\) (oder eine äquivalente Form). b) Die Kantenlängen betragen \(30\,\text{cm}\) und \(40\,\text{cm}\). c) Die mathematische Lösung \(s = -40\) ist nicht sinnvoll, da Längen in der Geometrie immer positiv sein müssen.
4150459
Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Flächeninhalt von \(30\,\text{cm}^2\). Eine der Katheten ist um \(7\,\text{cm}\) länger als die andere Kathete. a) Berechne die Längen der beiden Katheten. b) Bestimme die Länge der Hypotenuse dieses Dreiecks.

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Katheten bekannt sind? - Kannst du die Längenbeziehung der Katheten in eine Formel für den Flächeninhalt einsetzen? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Katheten und der Hypotenuse, nachdem du die Katheten gefunden hast?

Lösung

1. Teil a: Definition der Katheten als \(x\) und \(x + 7\). 2. Aufstellen der Flächenformel: \(A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} \Rightarrow 30 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 7)\). 3. Umformen der Gleichung: \(60 = x^2 + 7x \Rightarrow x^2 + 7x - 60 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x_{1,2} = -3{,}5 \pm \sqrt{12{,}25 + 60} = -3{,}5 \pm 8{,}5\). 5. Da \(x > 0\), folgt \(x = 5\). Die Katheten sind somit \(5\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\) lang. 6. Teil b: Berechnung der Hypotenuse \(c\) nach dem Satz des Pythagoras: \(c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). 7. Ergebnis: \(c = \sqrt{169} = 13\,\text{cm}\).

Antwort

a) Die Katheten sind \(5\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\) lang. b) Die Hypotenuse ist \(13\,\text{cm}\) lang.
4150609
In der Geometrie gibt es neben dem Goldenen Schnitt auch den „Silbernen Schnitt“. Er ist definiert durch das Verhältnis \(\delta = \frac{a}{b}\), für das gilt: \(\frac{2a+b}{a} = \frac{a}{b}\). a) Zeige durch Umformung und Substitution von \(\delta = \frac{a}{b}\), dass dieses Verhältnis die Gleichung \(\delta^2 - 2\delta - 1 = 0\) erfüllen muss. b) Bestimme den exakten Wert für \(\delta\). Warum wird in diesem geometrischen Kontext nur eine der beiden mathematischen Lösungen verwendet?

Denkanstöße

- Versuche, den linken Bruch in zwei Teile zu zerlegen. - Wie hängen \(\frac{a}{b}\) und \(\frac{b}{a}\) zusammen? - Können Längenverhältnisse in der Geometrie negativ sein?

Lösung

1. Aus \(\frac{2a+b}{a} = \frac{a}{b}\) folgt durch Aufteilen des Bruchs links: \(2 + \frac{b}{a} = \frac{a}{b}\). 2. Da \(\delta = \frac{a}{b}\) ist, gilt \(\frac{b}{a} = \frac{1}{\delta}\). Einsetzen ergibt \(2 + \frac{1}{\delta} = \delta\). 3. Multiplikation mit \(\delta\) führt zu \(2\delta + 1 = \delta^2\), umgestellt zur Normalform: \(\delta^2 - 2\delta - 1 = 0\). 4. Lösen mit der \(pq\)-Formel: \(\delta_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1^2 - (-1)} = 1 \pm \sqrt{2}\). 5. Da \(\delta\) ein Verhältnis von Längen (\(a\) und \(b\)) darstellt, muss \(\delta > 0\) sein. 6. Da \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) ist, ist \(1 - \sqrt{2}\) negativ und entfällt. Der Silberne Schnitt ist \(\delta = 1 + \sqrt{2}\).

Antwort

a) Die Umformung ergibt \(2 + \frac{1}{\delta} = \delta\), was zu \(\delta^2 - 2\delta - 1 = 0\) führt. b) Die Lösungen sind \(\delta_1 = 1 + \sqrt{2}\) und \(\delta_2 = 1 - \sqrt{2}\). Da ein Streckenverhältnis positiv sein muss, ist \(\delta = 1 + \sqrt{2}\).
4153099
Ein Foto mit den Maßen \(20\,\text{cm} \times 30\,\text{cm}\) wird in einen Rahmen mit einer überall gleichbleibenden Breite \(x\) gesetzt. Der gesamte Flächeninhalt von Foto und Rahmen zusammen beträgt \(1064\,\text{cm}^2\). Berechne die Breite \(x\) des Rahmens.

Denkanstöße

- Wenn ein Rahmen um ein Bild gelegt wird, wie oft muss die Rahmenbreite zur Länge und Breite des Bildes addiert werden? - Stelle dir vor, wie sich die Außenmaße des Objekts verändern. - Nachdem du die Gleichung aufgestellt hast, versuche sie durch Division zu vereinfachen, bevor du die Lösungsformel nutzt.

Lösung

1. Bestimmung der Gesamtlänge und Gesamtbreite: Durch den Rahmen kommen an jeder Seite \(x\) hinzu, also sind die neuen Maße \((20 + 2x)\) und \((30 + 2x)\). 2. Aufstellen der Flächeninhalt-Gleichung: \((20 + 2x) \cdot (30 + 2x) = 1064\). 3. Ausmultiplizieren der Klammern: \(600 + 40x + 60x + 4x^2 = 1064\). 4. Zusammenfassen und in Normalform bringen: \(4x^2 + 100x - 464 = 0\). 5. Vereinfachen durch Division durch 4: \(x^2 + 25x - 116 = 0\). 6. Anwendung der Lösungsformel: \(x = \frac{-25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-116)}}{2} = \frac{-25 \pm \sqrt{625 + 464}}{2} = \frac{-25 \pm \sqrt{1089}}{2}\). 7. Berechnung der Wurzel: \(\sqrt{1089} = 33\). 8. Ermittlung der Lösungen: \(x_1 = \frac{-25 + 33}{2} = 4\) und \(x_2 = \frac{-25 - 33}{2} = -29\). 9. Da eine Breite positiv sein muss, beträgt der Wert für \(x\) genau \(4\,\text{cm}\).

Antwort

Der Rahmen ist \(4\,\text{cm}\) breit.
4153249
Eine Terrasse ist \(15\,\text{m}\) lang und \(10\,\text{m}\) breit. Entlang der Kanten soll im Inneren ein gleichmäßig breiter Streifen mit neuen Fliesen ausgelegt werden. Die verbleibende Fläche in der Mitte, die nicht neu gefliest wird, beträgt \(84\,\text{m}^2\). Berechne die Breite \(x\) des neu gefliesten Streifens.

Denkanstöße

- Stelle dir vor, wie sich die Länge und Breite der inneren Fläche verändern, wenn man an jeder Seite einen Streifen der Breite \(x\) abzieht. - Warum muss man die Breite \(x\) doppelt von der Gesamtlänge abziehen? - Welche der rechnerischen Lösungen ergibt im Kontext der Terrassengröße Sinn?

Lösung

1. Bestimmung der Seitenlängen der inneren Restfläche in Abhängigkeit von \(x\): Länge \(L_{i} = 15 - 2x\) und Breite \(B_{i} = 10 - 2x\). 2. Aufstellen der Flächengleichung für die innere Fläche: \((15 - 2x) \cdot (10 - 2x) = 84\). 3. Ausmultiplizieren: \(150 - 30x - 20x + 4x^2 = 84\). 4. Zusammenfassen und Umformen in die Normalform: \(4x^2 - 50x + 66 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 25x + 33 = 0\). 5. Anwendung der Mitternachtsformel: \(x_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 33}}{2 \cdot 2} = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 264}}{4} = \frac{25 \pm \sqrt{361}}{4}\). 6. Berechnung der Werte: \(x_1 = \frac{25 + 19}{4} = 11\) und \(x_2 = \frac{25 - 19}{4} = 1{,}5\). 7. Überprüfung der Plausibilität: Für die innere Restfläche muss \(10 - 2x > 0\) gelten, also \(0 < x < 5\). Daher ist \(x = 11\) unzulässig und es bleibt \(x = 1{,}5\,\text{m}\).

Antwort

Der neu geflieste Streifen ist \(1{,}5\,\text{m}\) breit.
4251349
Ein Lohnunternehmer soll eine landwirtschaftliche Fläche von \(120\,\text{ha}\) ernten. Nach zwei Tagen Arbeit mit der ursprünglich geplanten Tagesleistung wird ein zweiter Mähdrescher eingesetzt, wodurch die tägliche Ernteleistung um \(2{,}4\,\text{ha}\) steigt. Infolgedessen wird die gesamte Fläche drei Tage früher als ursprünglich geplant abgeerntet. Berechne die ursprünglich vorgesehene tägliche Ernteleistung in Hektar pro Tag.

Denkanstöße

- Wie lässt sich die Anzahl der Tage berechnen, die nach der Verstärkung noch gearbeitet wurde? - Beachte, dass sich in dieser Aufgabe die Gesamtmenge (die Fläche) nicht ändert, wohl aber die Zeit. - Kannst du eine Variable für die Tagesleistung wählen und alle anderen Größen davon abhängig machen? - Denke daran, dass am Ende eine quadratische Gleichung entstehen könnte, von der nur das positive Ergebnis im Sachzusammenhang Sinn ergibt.

Lösung

1. Definition der Variablen: \(x\) sei die geplante Tagesleistung in \(\text{ha/Tag}\), \(t\) die geplante Dauer in Tagen. 2. Zusammenhang im Plan: \(x \cdot t = 120 \Rightarrow t = \frac{120}{x}\). 3. Tatsächlicher Ablauf: 2 Tage mit \(x\), danach \((t - 3) - 2 = t - 5\) Tage mit \(x + 2{,}4\). Die Gesamtfläche bleibt \(120\,\text{ha}\). 4. Aufstellen der Gleichung: \(2x + (t - 5)(x + 2{,}4) = 120\). 5. Einsetzen von \(t = \frac{120}{x}\): \(2x + (\frac{120}{x} - 5)(x + 2{,}4) = 120\). 6. Ausmultiplizieren: \(2x + 120 + \frac{288}{x} - 5x - 12 = 120\). 7. Vereinfachen und Zusammenfassen: \(-3x + \frac{288}{x} - 12 = 0\). 8. Multiplikation mit \(x\) und Division durch \(-3\): \(x^2 + 4x - 96 = 0\). 9. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 384}}{2} = \frac{-4 \pm 20}{2}\). 10. Die sinnvolle positive Lösung ist \(x = \frac{16}{2} = 8\).

Antwort

Die ursprünglich geplante Tagesleistung betrug \(8\,\text{ha}\) pro Tag.
4251369
Ein Güterzug legt eine Strecke von \(300\,\text{km}\) mit einer konstanten Durchschnittsgeschwindigkeit zurück. Wäre er mit einer um \(20\,\text{km/h}\) höheren Durchschnittsgeschwindigkeit gefahren, hätte er für die gleiche Strecke \(45\,\text{Minuten}\) weniger Zeit benötigt. Bestimme die tatsächliche Durchschnittsgeschwindigkeit des Zuges.

Denkanstöße

- Verwende die Formel für die Geschwindigkeit \(v = \frac{s}{t}\) und stelle sie nach der Zeit \(t\) um. - Achte darauf, dass alle Zeitangaben in der gleichen Einheit (Stunden) vorliegen. - Stelle zwei Ausdrücke für die Zeit auf: einen für die normale Fahrt und einen für die schnellere Fahrt. - Die Differenz dieser beiden Ausdrücke muss der Zeitersparnis entsprechen. - Nach dem Aufstellen der Gleichung musst du den Nenner eliminieren, um eine quadratische Gleichung zu erhalten.

Lösung

1. Definition der Variablen \(v\) für die tatsächliche Durchschnittsgeschwindigkeit in \(\text{km/h}\). 2. Umrechnung der Zeitersparnis in Stunden: \(45\,\text{min} = \frac{45}{60}\,\text{h} = 0{,}75\,\text{h}\). 3. Aufstellen der Terme für die Fahrzeiten: Tatsächliche Zeit \(t_1 = \frac{300}{v}\), hypothetische Zeit \(t_2 = \frac{300}{v + 20}\). 4. Aufstellen der Differenzengleichung: \(\frac{300}{v} - \frac{300}{v + 20} = 0{,}75\). 5. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(v(v + 20)\) führt zu \(300(v + 20) - 300v = 0{,}75v(v + 20)\). 6. Vereinfachung: \(6000 = 0{,}75v^2 + 15v\), umgeformt zu \(v^2 + 20v - 8000 = 0\). 7. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der Mitternachtsformel): \(v = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 32\,000}}{2} = \frac{-20 \pm 180}{2}\). 8. Die physikalisch sinnvolle Lösung ist \(v = 80\,\text{km/h}\) (die negative Lösung \(-100\) entfällt).

Antwort

Die tatsächliche Durchschnittsgeschwindigkeit des Zuges beträgt \(80\,\text{km/h}\).
4251409
Ein rechteckiges Baugrundstück hat eine Fläche von \(300\,\text{m}^2\). Würde man die Länge des Grundstücks um \(5\,\text{m}\) vergrößern und gleichzeitig die Breite um \(2\,\text{m}\) verringern, so bliebe der Flächeninhalt unverändert. Bestimme die ursprüngliche Länge und Breite des Grundstücks.

Denkanstöße

- Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks? - Was passiert mit der Länge und der Breite in der beschriebenen Änderung? - Setze die Formeln für den Flächeninhalt vor und nach der Änderung gleich. - Versuche, eine der Seitenlängen durch die andere auszudrücken, um eine quadratische Gleichung zu erhalten.

Lösung

1. Definition der Variablen: \(l\) für die ursprüngliche Länge und \(b\) für die ursprüngliche Breite in Metern. 2. Aufstellen der Flächengleichungen: \(l \cdot b = 300\) und \((l + 5) \cdot (b - 2) = 300\). 3. Substitution von \(b = \frac{300}{l}\) in die zweite Gleichung: \((l + 5) \cdot \left(\frac{300}{l} - 2\right) = 300\). 4. Vereinfachung der Gleichung: \(300 - 2l + \frac{1500}{l} - 10 = 300\), was nach Multiplikation mit \(l\) und Umstellung zu \(2l^2 + 10l - 1500 = 0\) bzw. \(l^2 + 5l - 750 = 0\) führt. 5. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel oder Mitternachtsformel: \(l = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 3000}}{2} = \frac{-5 \pm 55}{2}\). 6. Da die Länge positiv sein muss, ergibt sich \(l = 25\,\text{m}\). 7. Berechnung der Breite: \(b = \frac{300}{25} = 12\,\text{m}\).

Antwort

Die ursprüngliche Länge beträgt \(25\,\text{m}\) und die ursprüngliche Breite \(12\,\text{m}\).
4251449
Ein Ausflugsboot fährt auf einem Fluss eine Strecke von \(24\,\text{km}\) flussaufwärts und kehrt danach sofort zum Ausgangspunkt zurück. Die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses beträgt konstant \(2\,\text{km/h}\). Für die gesamte Fahrt (Hin- und Rückweg) benötigt das Boot insgesamt \(5\,\text{Stunden}\). Berechne die Eigengeschwindigkeit des Bootes in stillem Wasser.

Denkanstöße

- Wie verändert die Strömung des Wassers die Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Ufer? - Stelle für beide Teilstrecken (gegen und mit der Strömung) einen Term für die Zeit auf. - Was weißt du über die Summe dieser beiden Zeiten? - Denke daran, dass eine negative Lösung für eine Geschwindigkeit in diesem Fall nicht sinnvoll ist.

Lösung

1. Definition der Variablen: Sei \(v\) die Eigengeschwindigkeit des Bootes in \(\text{km/h}\). Flussaufwärts beträgt die Geschwindigkeit \(v - 2\), flussabwärts \(v + 2\). 2. Aufstellen der Zeitgleichung: Die Zeit für die Hinfahrt ist \(t_1 = \frac{24}{v-2}\), die Zeit für die Rückfahrt \(t_2 = \frac{24}{v+2}\). Die Gesamtzeit ist \(t_1 + t_2 = 5\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(\frac{24}{v-2} + \frac{24}{v+2} = 5\). 4. Umformung zur quadratischen Gleichung: Multiplikation mit \((v-2)(v+2)\) ergibt \(24(v+2) + 24(v-2) = 5(v^2 - 4)\). Dies vereinfacht sich zu \(48v = 5v^2 - 20\) bzw. \(5v^2 - 48v - 20 = 0\). 5. Lösung der quadratischen Gleichung: Anwendung der Mitternachtsformel ergibt \(v = \frac{48 \pm \sqrt{(-48)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-20)}}{2 \cdot 5} = \frac{48 \pm \sqrt{2304 + 400}}{10} = \frac{48 \pm 52}{10}\). 6. Bestimmung des Ergebnisses: Die Lösungen sind \(v_1 = 10\) und \(v_2 = -0{,}4\). Die physikalisch sinnvolle Eigengeschwindigkeit des Bootes beträgt \(10\,\text{km/h}\).

Antwort

Die Eigengeschwindigkeit des Bootes beträgt \(10\,\text{km/h}\).
4251509
Ein Kleinflugzeug fliegt eine Strecke von \(600\,\text{km}\) zu einem Zielort und kehrt danach wieder um. Auf dem Hinflug herrscht ein konstanter Rückenwind von \(50\,\text{km/h}\). Auf dem Rückflug weht dieser Wind als Gegenwind. Das Flugzeug benötigt für den Rückflug genau eine Stunde länger als für den Hinflug. Berechne die Geschwindigkeit des Flugzeugs bei Windstille.

Denkanstöße

- Wie beeinflusst der Wind die Flugdauer in beide Richtungen? - Welche der beiden Flugzeiten ist kürzer, welche länger? - Stelle für beide Wege die Zeit als Bruch aus Weg und jeweiliger Geschwindigkeit dar. - Wie kannst du die Information „eine Stunde länger“ mathematisch als Differenz ausdrücken? - Achte beim Auflösen der Gleichung darauf, die Klammern richtig zu setzen.

Lösung

1. Definition der Variablen: Sei \(v\) die Geschwindigkeit des Flugzeugs bei Windstille in \(\text{km/h}\). 2. Aufstellen der Ausdrücke für die Geschwindigkeiten: Mit Rückenwind \(v + 50\), mit Gegenwind \(v - 50\). 3. Aufstellen der Zeitdifferenzgleichung: Die Zeit für den Rückflug (\(t_2\)) minus die Zeit für den Hinflug (\(t_1\)) ergibt \(1\,\text{Stunde}\). 4. Gleichung: \(\frac{600}{v-50} - \frac{600}{v+50} = 1\). 5. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((v-50)(v+50) = v^2 - 2500\): \(600(v+50) - 600(v-50) = v^2 - 2500\). 6. Vereinfachung: \(600v + 30\,000 - 600v + 30\,000 = v^2 - 2500\), daraus folgt \(60\,000 = v^2 - 2500\). 7. Isolierung von \(v^2\): \(v^2 = 62\,500\). 8. Ziehen der Wurzel: \(v = \sqrt{62\,500} = 250\). (Die negative Lösung \(-250\) entfällt im Sachkontext). 9. Ergebnis: Die Eigengeschwindigkeit beträgt \(250\,\text{km/h}\).

Antwort

Die Geschwindigkeit des Flugzeugs bei Windstille beträgt \(250\,\text{km/h}\).
4251549
Eine Schulklasse möchte ein Abschiedsgeschenk für \(72\,\text{€}\) kaufen. Die Kosten werden gleichmäßig auf alle teilnehmenden Schüler verteilt. Kurz vor dem Kauf entscheiden sich \(3\) Schüler doch noch mitzumachen. Dadurch sinkt der Beitrag für jeden Einzelnen um \(2\,\text{€}\). a) Berechne, wie viele Schüler ursprünglich geplant hatten, sich am Geschenk zu beteiligen. b) Angenommen, der Preis des Geschenks wäre doppelt so hoch (\(144\,\text{€}\)) und die Ersparnis pro Person bliebe bei \(2\,\text{€}\), wenn \(3\) weitere Schüler hinzukommen. Würde sich die Anzahl der ursprünglichen Schüler im Vergleich zu Aufgabenteil a) dadurch ebenfalls verdoppeln? Begründe deine Antwort rechnerisch.

Denkanstöße

- Teil a: Erstelle einen Term für den Preis pro Person vor und nach der Änderung. - Teil b: Du musst die neue Gleichung nicht komplett lösen. Es reicht zu prüfen, ob das Doppelte deines Ergebnisses aus Teil a die Bedingungen erfüllt. - Was passiert mit dem Einzelbeitrag, wenn sich der Gesamtpreis verdoppelt, aber die Schülerzahl gleich bleibt?

Lösung

a) 1. Variablen: \(x\) für ursprüngliche Schülerzahl, \(y\) für ursprünglichen Beitrag. 2. Gleichungen: \(x \cdot y = 72\) und \((x + 3)(y - 2) = 72\). 3. Einsetzen von \(y = \frac{72}{x}\) ergibt \((x + 3)(\frac{72}{x} - 2) = 72\). 4. Vereinfachen: \(72 - 2x + \frac{216}{x} - 6 = 72 \Rightarrow -2x + \frac{216}{x} - 6 = 0\). 5. Quadratische Gleichung: \(x^2 + 3x - 108 = 0\). 6. Lösungen: \(x_{1,2} = -1{,}5 \pm \sqrt{2{,}25 + 108} = -1{,}5 \pm 10{,}5\). 7. Da \(x > 0\), folgt \(x = 9\). Es waren ursprünglich \(9\) Schüler. b) 1. Prüfung der Hypothese (\(x = 18\)): Bei \(144\,\text{€}\) und \(18\) Schülern beträgt der Beitrag \(144 : 18 = 8\,\text{€}\). 2. Bei \(3\) zusätzlichen Schülern (\(21\) Personen) beträgt der Beitrag \(144 : 21 \approx 6{,}86\,\text{€}\). 3. Die Differenz ist \(8 - 6{,}86 = 1{,}14\,\text{€}\). Da dies nicht \(2\,\text{€}\) entspricht, verdoppelt sich die Schülerzahl nicht.

Antwort

a) Ursprünglich wollten sich \(9\) Schüler beteiligen. b) Nein. Bei einer Verdopplung auf \(18\) Schüler und einem Preis von \(144\,\text{€}\) würde die Ersparnis bei \(3\) zusätzlichen Schülern nur ca. \(1{,}14\,\text{€}\) betragen, nicht \(2\,\text{€}\).
4251609
Zwei Gärtner, Herr Grün und Frau Blum, sollen eine große Rasenfläche mähen. Wenn sie gemeinsam arbeiten, benötigen sie dafür genau \(2\,\text{Stunden}\). Frau Blum würde allein für die gesamte Fläche \(3\,\text{Stunden}\) länger brauchen als Herr Grün, wenn er die Arbeit alleine verrichten müsste. Bestimme die Zeit, die Herr Grün benötigt, um die Fläche alleine zu mähen. Begründe zudem kurz, warum eine der mathematisch möglichen Lösungen der entsprechenden Gleichung für diesen Sachkontext nicht sinnvoll ist.

Denkanstöße

- Überlege dir, welchen Bruchteil der Arbeit jeder Gärtner pro Stunde erledigt. - Wie viel der Arbeit schaffen beide zusammen in einer Stunde? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die die Anteile pro Stunde addiert? - Achte bei deinen Ergebnissen darauf, ob sie im Zusammenhang mit der Zeitmessung logisch sind.

Lösung

1. Variablen festlegen: Sei \(x\) die Zeit in Stunden, die Herr Grün allein benötigt. Frau Blum benötigt dann \(x + 3\) Stunden. 2. Aufstellen der Arbeitsgleichung (Leistung pro Stunde): Pro Stunde schafft Herr Grün \(\frac{1}{x}\) der Fläche, Frau Blum \(\frac{1}{x + 3}\). Zusammen schaffen sie \(\frac{1}{2}\) der Fläche pro Stunde. Gleichung: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{2}\). 3. Umformung: Multiplikation mit \(2x(x + 3)\) ergibt \(2(x + 3) + 2x = x(x + 3)\). Dies führt zu \(4x + 6 = x^2 + 3x\) bzw. \(x^2 - x - 6 = 0\). 4. Lösen der Gleichung: Die Lösungen sind \(x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}\), also \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). 5. Kontextprüfung: Eine negative Zeit (\(x = -2\)) ist physikalisch für diesen Vorgang nicht möglich. 6. Ergebnis: Herr Grün benötigt alleine \(3\,\text{Stunden}\).

Antwort

Herr Grün benötigt alleine \(3\,\text{Stunden}\). Die Lösung \(x = -2\) ist nicht sinnvoll, da eine Zeitdauer für eine Arbeit nicht negativ sein kann.
4251649
Ein Boot fährt eine Strecke von \(36\,\text{km}\) flussaufwärts. Für den Rückweg flussabwärts erhöht der Fahrer die Motorleistung, sodass die Eigengeschwindigkeit des Bootes um \(3\,\text{km/h}\) höher ist als auf dem Hinweg. Die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses beträgt konstant \(3\,\text{km/h}\). Insgesamt ist das Boot für die Hin- und Rückfahrt \(6\,\text{Stunden}\) unterwegs. Bestimme die ursprüngliche Eigengeschwindigkeit des Bootes.

Denkanstöße

- Beachte, dass sich die Eigengeschwindigkeit des Bootes zwischen Hin- und Rückweg ändert. - Wie wirkt sich die Strömung jeweils auf die aktuelle Eigengeschwindigkeit aus? - Erstelle Terme für die Zeit des Hinwegs und des Rückwegs. - Die Summe dieser Zeiten entspricht der Gesamtfahrzeit. - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, welche der mathematischen Lösungen im Sachkontext sinnvoll ist.

Lösung

1. Sei \(v\) die ursprüngliche Eigengeschwindigkeit des Bootes in \(\text{km/h}\). 2. Geschwindigkeit auf dem Hinweg (gegen die Strömung): \(v - 3\). 3. Eigengeschwindigkeit auf dem Rückweg: \(v + 3\). Gesamtgeschwindigkeit auf dem Rückweg (mit der Strömung): \((v + 3) + 3 = v + 6\). 4. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtzeit: \(\frac{36}{v - 3} + \frac{36}{v + 6} = 6\). 5. Vereinfachen durch Division durch 6: \(\frac{6}{v - 3} + \frac{6}{v + 6} = 1\). 6. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((v - 3)(v + 6)\): \(6(v + 6) + 6(v - 3) = (v - 3)(v + 6)\). 7. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(12v + 18 = v^2 + 3v - 18 \Rightarrow v^2 - 9v - 36 = 0\). 8. Lösen der quadratischen Gleichung: \((v - 12)(v + 3) = 0\). 9. Da \(v > 3\) sein muss (um gegen die Strömung voranzukommen), ist die Lösung \(v = 12\).

Antwort

Die ursprüngliche Eigengeschwindigkeit des Bootes betrug \(12\,\text{km/h}\).
4251679
Zwei Mähroboter benötigen zusammen \(3\) Stunden und \(36\) Minuten, um eine große Rasenfläche in einem Park zu mähen. Wenn der leistungsstärkere Roboter die Fläche allein mähen würde, bräuchte er dafür genau \(3\) Stunden weniger als der schwächere Roboter allein. Berechne, wie lange jeder Roboter einzeln für die gesamte Fläche benötigen würde.

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, welchen Bruchteil der Fläche ein Roboter pro Stunde schafft. - Wie kannst du die gemeinsame Zeit von 3 Stunden und 36 Minuten als Dezimalzahl oder Bruch in Stunden ausdrücken? - Stelle eine Gleichung auf, die die Arbeitsraten der beiden Roboter addiert. - Achte beim Lösen der quadratischen Gleichung darauf, ob beide mathematischen Lösungen im Sachzusammenhang sinnvoll sind.

Lösung

1. Umrechnung der gemeinsamen Zeit in Stunden: \(3\,\text{h}\,36\,\text{min} = \left(3 + \frac{36}{60}\right)\,\text{h} = 3{,}6\,\text{h} = \frac{18}{5}\,\text{h}\). 2. Definition der Variablen: \(x\) sei die Zeit des schnelleren Roboters in Stunden, dann benötigt der langsamere \(x + 3\) Stunden. 3. Aufstellen der Leistungsgleichung: Die Summe der Einzelleistungen entspricht der Gesamtleistung: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{5}{18}\). 4. Umformung in eine quadratische Gleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(18x(x+3)\) ergibt \(18(x+3) + 18x = 5x(x+3)\), vereinfacht zu \(36x + 54 = 5x^2 + 15x\). 5. Normalform: \(5x^2 - 21x - 54 = 0\). 6. Anwendung der Lösungsformel: \(x = \frac{21 \pm \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-54)}}{2 \cdot 5} = \frac{21 \pm \sqrt{441 + 1080}}{10} = \frac{21 \pm 39}{10}\). 7. Bestimmung der sinnvollen Lösung: \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -1{,}8\) (entfällt, da Zeit positiv sein muss). 8. Ergebnis: Der schnellere Roboter benötigt \(6\,\text{h}\), der langsamere \(6 + 3 = 9\,\text{h}\).

Antwort

Der leistungsstärkere Roboter benötigt allein \(6\) Stunden, der schwächere Roboter \(9\) Stunden.
4251709
Ein Motorboot legt auf einem Fluss eine Strecke von \(18\,\text{km}\) flussabwärts zurück und fährt danach sofort wieder zum Startpunkt zurück. Die Geschwindigkeit des Bootes in stehendem Wasser beträgt \(9\,\text{km/h}\). Für den Weg flussaufwärts benötigt das Boot genau \(1{,}5\) Stunden länger als für den Weg flussabwärts. Berechne die Fließgeschwindigkeit des Flusses.

Denkanstöße

- Welche Fahrtrichtung dauert länger und warum? - Wie hängen die Zeiten für den Hin- und Rückweg mathematisch zusammen? - Stelle für beide Richtungen eine Formel für die Zeit auf, indem du die jeweilige Gesamtgeschwindigkeit nutzt. - Achte beim Aufstellen der Gleichung darauf, dass die Differenz der Zeiten \(1{,}5\) ergibt.

Lösung

1. Definition der Fließgeschwindigkeit als \(x\) in \(\text{km/h}\). 2. Bestimmung der Geschwindigkeiten: flussabwärts \(9+x\), flussaufwärts \(9-x\). 3. Aufstellen der Ausdrücke für die Zeiten: \(t_{\text{ab}} = \frac{18}{9+x}\) und \(t_{\text{auf}} = \frac{18}{9-x}\). 4. Aufstellen der Differenzgleichung gemäß der Aufgabenstellung: \(t_{\text{auf}} - t_{\text{ab}} = 1{,}5\). 5. Einsetzen der Ausdrücke: \(\frac{18}{9-x} - \frac{18}{9+x} = 1{,}5\). 6. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((9-x)(9+x)\): \(18(9+x) - 18(9-x) = 1{,}5(81 - x^2)\). 7. Vereinfachen der Klammern: \(162 + 18x - 162 + 18x = 121{,}5 - 1{,}5x^2 \Rightarrow 36x = 121{,}5 - 1{,}5x^2\). 8. Umformen in die Normalform: \(1{,}5x^2 + 36x - 121{,}5 = 0\). 9. Division durch \(1{,}5\): \(x^2 + 24x - 81 = 0\). 10. Lösung der quadratischen Gleichung (z. B. mit der p-q-Formel): \(x = -12 \pm \sqrt{12^2 - (-81)} = -12 \pm \sqrt{144 + 81} = -12 \pm 15\). 11. Da die Fließgeschwindigkeit positiv sein muss, ist \(x = -12 + 15 = 3\). Die Fließgeschwindigkeit des Flusses beträgt \(3\,\text{km/h}\).

Antwort

Die Fließgeschwindigkeit des Flusses beträgt \(3\,\text{km/h}\).
4251829
Zwei Gärtner mähen eine große Parkanlage. Gärtner A beginnt mit der Arbeit und arbeitet \(5\,\text{Stunden}\) allein, bevor Gärtner B dazukommt. Von diesem Moment an benötigen sie gemeinsam noch \(12\,\text{Stunden}\), um die gesamte Fläche fertig zu mähen. Wenn Gärtner B die gesamte Fläche allein mähen würde, bräuchte er dafür \(10\,\text{Stunden}\) weniger als Gärtner A. Bestimme die Zeit, die jeder Gärtner allein für die gesamte Arbeit benötigen würde.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie groß der Anteil der Fläche ist, den jeder Gärtner in einer Stunde schafft. - Berechne für jeden Gärtner die Gesamtzeit, in der er tatsächlich an der Fläche arbeitet. - Stelle eine Gleichung auf, in der die Summe der bearbeiteten Anteile genau eine ganze Fläche ergibt. - Achte beim Auflösen der Gleichung darauf, dass eine quadratische Form entsteht. - Passt das Ergebnis zu der Bedingung, dass einer der Gärtner deutlich schneller ist als der andere?

Lösung

1. Sei \(x\) die Zeit in Stunden für Gärtner A und \(x-10\) die Zeit für Gärtner B. 2. Gesamtarbeitszeit von Gärtner A: \(5 + 12 = 17\,\text{Stunden}\). Gesamtarbeitszeit von Gärtner B: \(12\,\text{Stunden}\). 3. Gleichung für die Arbeitsleistung: \(\frac{17}{x} + \frac{12}{x-10} = 1\). 4. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(x(x-10)\): \(17(x-10) + 12x = x^2 - 10x\). 5. Zusammenfassen und Umformen: \(17x - 170 + 12x = x^2 - 10x \Rightarrow x^2 - 39x + 170 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung: \(x_{1,2} = \frac{39 \pm \sqrt{39^2 - 4 \cdot 170}}{2} = \frac{39 \pm \sqrt{1521 - 680}}{2} = \frac{39 \pm \sqrt{841}}{2} = \frac{39 \pm 29}{2}\). 7. Werte für \(x\): \(x_1 = \frac{68}{2} = 34\) und \(x_2 = \frac{10}{2} = 5\). Da Gärtner B \(10\,\text{Stunden}\) weniger braucht als A, muss \(x > 10\) gelten. Somit ist \(x = 34\). 8. Zeit für Gärtner B: \(34 - 10 = 24\).

Antwort

Gärtner A würde allein \(34\,\text{Stunden}\) benötigen, Gärtner B würde allein \(24\,\text{Stunden}\) benötigen.
4251999
Ein rechteckiges Stück Pappe ist \(10\,\text{cm}\) länger als es breit ist. An jeder Ecke der Pappe wird ein Quadrat mit einer Seitenlänge von \(2\,\text{cm}\) ausgeschnitten. Die verbleibenden Seitenflächen werden hochgebogen, um eine oben offene Schachtel zu erhalten. Das Volumen dieser Schachtel beträgt \(192\,\text{cm}^3\). Bestimme die ursprüngliche Länge und Breite des Pappstücks.

Denkanstöße

- Versuche dir vorzustellen, wie sich die Maße des Bodens verändern, wenn an den Ecken Quadrate entfernt werden. - Skizziere das Netz der Schachtel und beschrifte die Seitenlängen in Abhängigkeit von einer Unbekannten. - Überlege, wie man das Volumen eines Quaders berechnet. - Welche Bedingungen müssen für die Seitenlängen gelten, damit die Schachtel überhaupt existieren kann?

Lösung

1. Definition der Variablen: Breite der Pappe \(x\), Länge der Pappe \(x + 10\) (in \(\text{cm}\)). 2. Bestimmung der Maße der Schachtel: Höhe \(h = 2\,\text{cm}\), Breite des Bodens \(x - 4\,\text{cm}\), Länge des Bodens \(x + 10 - 4 = x + 6\,\text{cm}\). 3. Aufstellen der Volumenformel: \(V = 2 \cdot (x - 4) \cdot (x + 6) = 192\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \((x - 4)(x + 6) = 96 \Rightarrow x^2 + 2x - 24 = 96 \Rightarrow x^2 + 2x - 120 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)}}{2} = \frac{-2 \pm 22}{2}\). 6. Auswahl des sinnvollen Wertes: \(x = 10\) (da \(x > 4\) sein muss). 7. Berechnung der Maße: Breite \(10\,\text{cm}\), Länge \(10 + 10 = 20\,\text{cm}\).

Antwort

Das Stück Pappe ist \(20\,\text{cm}\) lang und \(10\,\text{cm}\) breit.
4252189
Die Anzahl der Diagonalen \(d\) in einem konvexen Vieleck mit \(n\) Ecken kann mit der Formel \(d = \frac{n \cdot (n - 3)}{2}\) berechnet werden. a) Ein bestimmtes Vieleck hat genau \(90\) Diagonalen. Berechne die Anzahl seiner Ecken \(n\). b) Wie viele zusätzliche Diagonalen erhält man, wenn man die Anzahl der Ecken um eins erhöht? Drücke diesen Zuwachs allgemein in Abhängigkeit von \(n\) aus und berechne den konkreten Wert für das Vieleck aus Teilaufgabe a).

Denkanstöße

- Nutze die gegebene Formel und löse die entstehende quadratische Gleichung nach \(n\) auf. - Für den zweiten Teil musst du in der Formel jedes \(n\) durch \((n+1)\) ersetzen. - Subtrahiere die ursprüngliche Formel von der neuen Formel, um die Differenz zu finden. - Kannst du dir geometrisch vorstellen, warum beim Hinzufügen einer Ecke genau \(n-1\) neue Diagonalen entstehen?

Lösung

1. Teil a): Gleichsetzen der Formel mit dem gegebenen Wert: \(\frac{n \cdot (n - 3)}{2} = 90\). 2. Umformen zur quadratischen Gleichung in Normalform: \(n^2 - 3n - 180 = 0\). 3. Lösung der Gleichung: \(n_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 720}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{729}}{2} = \frac{3 \pm 27}{2}\). 4. Die positive Lösung für die Anzahl der Ecken ist \(n = 15\). 5. Teil b): Bestimmung der Anzahl der Diagonalen für ein \((n+1)\)-Eck: \(d_{n+1} = \frac{(n+1)((n+1)-3)}{2} = \frac{(n+1)(n-2)}{2}\). 6. Berechnung der Differenz \(\Delta d = d_{n+1} - d_n\): \(\frac{n^2 - n - 2}{2} - \frac{n^2 - 3n}{2} = \frac{n^2 - n - 2 - n^2 + 3n}{2} = \frac{2n - 2}{2} = n - 1\). 7. Einsetzen von \(n = 15\): Der Zuwachs beträgt \(15 - 1 = 14\) Diagonalen.

Antwort

a) Das Vieleck hat \(15\) Ecken. b) Der Zuwachs beträgt allgemein \(n - 1\) Diagonalen; für das vorliegende Vieleck sind das \(14\) zusätzliche Diagonalen.
4252259
Ein kleiner Online-Shop wird mit einem Startkapital von \(x\,\text{€}\) eröffnet. Im ersten Jahr erzielt der Shop einen Gewinn von genau \(500\,\text{€}\). Dieses Geld wird dem Startkapital hinzugefügt und für das zweite Jahr vollständig reinvestiert. Im zweiten Jahr erzielt der Shop denselben prozentualen Gewinn (bezogen auf das Kapital zu Beginn des zweiten Jahres) wie im ersten Jahr. Am Ende des zweiten Jahres beläuft sich das Gesamtkapital (Startkapital plus beide Gewinne) auf \(3600\,\text{€}\). Berechne alle mathematisch möglichen Werte für das ursprüngliche Startkapital \(x\).

Denkanstöße

- Stelle zuerst einen Ausdruck für den Gewinnanteil im ersten Jahr in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Wie viel Kapital steht dem Shop zu Beginn des zweiten Jahres zur Verfügung? - Verwende die Information, dass der prozentuale Zuwachs in beiden Jahren gleich bleibt. - Du erhältst eine Gleichung, die nach dem Auflösen der Klammern auf eine quadratische Form führt.

Lösung

1. Aufstellen der Gleichung für den prozentualen Gewinn \(p\) des ersten Jahres: \(p = \frac{500}{x} \cdot 100\,\%\). Als Dezimalfaktor ausgedrückt gilt für den Zuwachs \(r = \frac{500}{x}\). 2. Kapital am Ende des ersten Jahres: \(K_1 = x + 500\). 3. Kapital am Ende des zweiten Jahres mit demselben Wachstumsfaktor \((1+r)\): \(K_2 = (x + 500) \cdot (1 + \frac{500}{x}) = 3600\). 4. Umformen der Gleichung: \((x + 500) \cdot \frac{x + 500}{x} = 3600 \Rightarrow \frac{(x + 500)^2}{x} = 3600\). 5. Ausmultiplizieren und Ordnen der quadratischen Gleichung: \(x^2 + 1000x + 250\,000 = 3600x \Rightarrow x^2 - 2600x + 250\,000 = 0\). 6. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel oder Mitternachtsformel: \(x = \frac{2600 \pm \sqrt{2600^2 - 4 \cdot 250\,000}}{2} = \frac{2600 \pm \sqrt{6\,760\,000 - 1\,000\,000}}{2} = \frac{2600 \pm 2400}{2}\). 7. Berechnung der Lösungen: \(x_1 = 2500\) und \(x_2 = 100\).

Antwort

Das Startkapital betrug entweder \(2500\,\text{€}\) oder \(100\,\text{€}\).
4252309
Die Summe der Anzahlen der Diagonalen von zwei verschiedenen konvexen Vielecken beträgt 14. Eines der Vielecke hat genau eine Ecke mehr als das andere. Wie viele Ecken besitzen die beiden Vielecke jeweils?

Denkanstöße

- Wie kannst du die Anzahl der Ecken der beiden Vielecke mithilfe einer einzigen Variablen ausdrücken? - Stelle für beide Vielecke die Formel für die Diagonalen auf. - Was bedeutet „Summe“ in diesem mathematischen Zusammenhang? - Führt jede mathematische Lösung der Gleichung auch zu einer sinnvollen geometrischen Figur?

Lösung

1. Bezeichne die Eckenzahl des kleineren Vielecks mit \(n\) und die des größeren mit \(n+1\). 2. Nutze die Diagonalenformel \(D = \frac{k(k-3)}{2}\) für beide Vielecke. 3. Stelle die Summengleichung auf: \(\frac{n(n-3)}{2} + \frac{(n+1)((n+1)-3)}{2} = 14\). 4. Vereinfache den Zähler des zweiten Bruchs zu \((n+1)(n-2) = n^2 - n - 2\). 5. Fasse die Brüche zusammen: \(\frac{n^2 - 3n + n^2 - n - 2}{2} = 14\). 6. Multipliziere mit 2 und fasse zusammen: \(2n^2 - 4n - 2 = 28 \Rightarrow 2n^2 - 4n - 30 = 0\). 7. Dividiere durch 2 zur Normalform: \(n^2 - 2n - 15 = 0\). 8. Bestimme die Lösungen: \(n_1 = 5\) und \(n_2 = -3\). 9. Da \(n > 3\) gelten muss, ist \(n = 5\). Die Vielecke haben somit 5 und 6 Ecken.

Antwort

Die Vielecke haben 5 und 6 Ecken.
4252349
Ein rechteckiges Wasserbecken ist \(6\,\text{m}\) lang und \(4\,\text{m}\) breit. Um das Becken herum wird ein Weg mit einer überall gleichen Breite \(x\) angelegt. Der Flächeninhalt des Weges allein beträgt \(39\,\text{m}^2\). Bestimme die Breite des Weges.

Denkanstöße

- Wie berechnet man die Fläche eines „Rahmens“, wenn man die Maße des inneren Rechtecks und die Breite des Randes kennt? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die den Flächeninhalt des Weges isoliert? - Achte darauf, dass der Weg auf beiden Seiten des Beckens hinzugefügt wird. - Welche mathematischen Methoden kennst du, um eine Gleichung zu lösen, in der die Unbekannte im Quadrat vorkommt?

Lösung

1. Breite des Weges als \(x\) festlegen. 2. Gesamtmaße der Anlage (Becken plus Weg) bestimmen: Länge \((6 + 2x)\) und Breite \((4 + 2x)\). 3. Gleichung für die Fläche des Weges aufstellen: Gesamte Fläche minus Beckenfläche gleich Wegfläche, also \((6 + 2x) \cdot (4 + 2x) - (6 \cdot 4) = 39\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(4x^2 + 20x + 24 - 24 = 39 \implies 4x^2 + 20x - 39 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel: \(x = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-39)}}{2 \cdot 4} = \frac{-20 \pm \sqrt{1024}}{8}\). 6. Berechnung der Wurzel (\(\sqrt{1024} = 32\)) führt zu \(x_1 = \frac{12}{8} = 1{,}5\) und \(x_2 = \frac{-52}{8} = -6{,}5\). 7. Da die Breite \(x > 0\) sein muss, beträgt die Breite des Weges \(1{,}5\,\text{m}\).

Antwort

Die Breite des Weges beträgt \(1{,}5\,\text{m}\).
4252389
Ein Foto mit den Maßen \(10\,\text{cm} \times 15\,\text{cm}\) wird auf einen rechteckigen Karton geklebt, sodass um das Foto herum ein überall gleich breiter Rand entsteht. Die Fläche des Randes allein ist genauso groß wie die Fläche des Fotos selbst. Berechne die Breite dieses Randes.

Denkanstöße

- Wie groß ist die Fläche des Fotos? - Wenn der Rand genauso groß ist wie das Foto, wie groß ist dann die Fläche des gesamten Kartons? - Erstelle einen Term für die neue Länge und die neue Breite des Kartons unter Verwendung der Randbreite. - Welche Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen den Seitenlängen des Kartons und seiner Gesamtfläche? - Achte darauf, dass eine Länge in der Realität immer positiv sein muss.

Lösung

1. Berechnung der Fotofläche: \(A_{\text{Foto}} = 10 \cdot 15 = 150\,\text{cm}^2\). 2. Festlegung der Gesamtfläche: Da die Randfläche gleich der Fotofläche ist, beträgt die Gesamtfläche des Kartons \(A_{\text{Gesamt}} = 150 + 150 = 300\,\text{cm}^2\). 3. Aufstellen der Gleichung mit der Randbreite \(x\): \((10 + 2x) \cdot (15 + 2x) = 300\). 4. Ausmultiplizieren und Vereinfachen: \(150 + 20x + 30x + 4x^2 = 300 \Rightarrow 4x^2 + 50x - 150 = 0\). 5. Division durch 2 zur Vereinfachung: \(2x^2 + 25x - 75 = 0\). 6. Anwendung der Lösungsformel: \(x = \frac{-25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-75)}}{2 \cdot 2} = \frac{-25 \pm \sqrt{625 + 600}}{4} = \frac{-25 \pm \sqrt{1225}}{4} = \frac{-25 \pm 35}{4}\). 7. Bestimmung der positiven Lösung: \(x = \frac{10}{4} = 2{,}5\). (Die negative Lösung \(x = -15\) entfällt).

Antwort

Die Breite des Randes beträgt \(2{,}5\,\text{cm}\).
4252449
Eine Werbetafel hat die Außenmaße \(40\,\text{cm} \times 50\,\text{cm}\). In der Mitte soll ein Bild aufgeklebt werden, sodass ein Rand von überall gleicher Breite \(x\) frei bleibt. Das Bild soll eine Fläche von genau \(1200\,\text{cm}^2\) einnehmen. a) Stelle eine Gleichung zur Berechnung der Randbreite \(x\) auf. b) Bestimme die Breite des Randes. c) Erkläre, weshalb eine der beiden mathematischen Lösungen der quadratischen Gleichung für diese Werbetafel im Sachkontext nicht möglich ist.

Denkanstöße

- Wenn du von der Gesamtlänge an zwei Seiten einen Rand abziehst, wie lang ist dann das innere Rechteck? - Stelle eine Gleichung auf, die die Fläche des inneren Bildes beschreibt. - Nachdem du die quadratische Gleichung gelöst hast, schau dir die Maße der Tafel an: Kann jede der berechneten Breiten tatsächlich existieren?

Lösung

1. Aufstellen der Gleichung für die Innenfläche: \((40 - 2x) \cdot (50 - 2x) = 1200\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern: \(2000 - 80x - 100x + 4x^2 = 1200\). 3. Umformen in die Normalform: \(4x^2 - 180x + 800 = 0\), was durch Division durch \(4\) zu \(x^2 - 45x + 200 = 0\) wird. 4. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x_{1,2} = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - 800}}{2} = \frac{45 \pm 35}{2}\). 5. Die mathematischen Lösungen sind \(x_1 = 40\) und \(x_2 = 5\). 6. Interpretation: Bei einer Außenbreite von \(40\,\text{cm}\) kann der Rand \(x\) nicht \(40\,\text{cm}\) breit sein, da allein zwei Ränder (\(2x = 80\,\text{cm}\)) breiter als die gesamte Tafel wären. 7. Die einzige sinnvolle Breite ist \(x = 5\,\text{cm}\).

Antwort

Die Gleichung lautet \((40 - 2x)(50 - 2x) = 1200\). Die Breite des Randes beträgt \(5\,\text{cm}\). Die Lösung \(x = 40\) ist nicht möglich, da der Rand sonst breiter als die Tafel selbst wäre.
4252469
Ein Werbeplakat hat die Maße \(60\,\text{cm} \times 40\,\text{cm}\). Um das Motiv herum soll ein gleichmäßig breiter Rand der Breite \(x\) frei bleiben. Der Flächeninhalt dieses Randes beträgt genau \(900\,\text{cm}^2\). a) Berechne die Breite \(x\) des Randes. b) Jemand behauptet: „Wenn man die Breite des Randes halbieren würde, würde sich auch der Flächeninhalt des Randes genau halbieren.“ Überprüfe diese Aussage rechnerisch oder durch eine logische Argumentation.

Denkanstöße

- Teil a: Überlege dir, wie groß die Fläche des inneren Motivs sein muss, wenn der Rand eine bestimmte Fläche einnimmt. - Teil a: Achte darauf, dass der Rand von beiden Seiten der Gesamtlänge bzw. Gesamtbreite abgezogen wird. - Teil b: Du kannst ein konkretes Beispiel mit der halbierten Breite durchrechnen und das Ergebnis vergleichen. - Teil b: Überlege, ob die Formel für den Flächeninhalt linear von \(x\) abhängt oder ob Terme wie \(x^2\) vorkommen.

Lösung

1. Bestimmung der Fläche des inneren Motivs: \(A_{\text{Gesamt}} = 60 \cdot 40 = 2\,400\,\text{cm}^2\). Die Motivfläche ist \(A_{\text{Motiv}} = 2\,400 - 900 = 1\,500\,\text{cm}^2\). 2. Aufstellen der Gleichung: \((60 - 2x)(40 - 2x) = 1\,500\). 3. Vereinfachen: \(2\,400 - 120x - 80x + 4x^2 = 1\,500 \Rightarrow 4x^2 - 200x + 900 = 0\). 4. Normalform: \(x^2 - 50x + 225 = 0\). 5. Lösung der quadratischen Gleichung: \(x_{1,2} = 25 \pm \sqrt{625 - 225} = 25 \pm 20\). 6. Ergebnis für a): \(x = 5\,\text{cm}\) (da \(x = 45\,\text{cm}\) bei einer Breite von \(40\,\text{cm}\) unmöglich ist). 7. Überprüfung für b): Bei halber Breite (\(x = 2{,}5\,\text{cm}\)) beträgt die Motivfläche \((60 - 5) \cdot (40 - 5) = 55 \cdot 35 = 1\,925\,\text{cm}^2\). 8. Berechnung des neuen Randes: \(2\,400 - 1\,925 = 475\,\text{cm}^2\). Da \(475 \neq 450\) (die Hälfte von 900), ist die Aussage falsch.

Antwort

a) Der Rand ist \(5\,\text{cm}\) breit. b) Die Aussage ist falsch. Bei einer halbierten Breite von \(2{,}5\,\text{cm}\) beträgt der Flächeninhalt des Randes \(475\,\text{cm}^2\), was mehr als die Hälfte des ursprünglichen Randes (\(450\,\text{cm}^2\)) ist.
4252509
Ein Foto der Größe \(6\,\text{cm} \times 10\,\text{cm}\) soll einen gleichmäßig breiten Rahmen erhalten. Der Flächeninhalt des Rahmens allein beträgt \(80\,\text{cm}^2\). a) Bestimme die Breite \(x\) des Rahmens. b) Ein zweites Foto hat die Maße \(4\,\text{cm} \times 15\,\text{cm}\). Es hat also den gleichen Flächeninhalt wie das erste Foto. Wenn man dieses zweite Foto mit einem Rahmen derselben Breite \(x\) (aus Aufgabenteil a) versieht, ist der Flächeninhalt dieses zweiten Rahmens dann größer, kleiner oder gleich \(80\,\text{cm}^2\)? Begründe deine Antwort mathematisch (z. B. durch einen Vergleich der Terme für den Rahmeninhalt), ohne eine neue quadratische Gleichung zu lösen.

Denkanstöße

- Schreibe den Term für die Fläche eines Rahmens allgemein mit den Variablen für Länge, Breite und Rahmenbreite auf. - Was passiert mit dem Rahmeninhalt, wenn die Rahmenbreite gleich bleibt, aber das Foto schmaler und länger wird? - Betrachte die Formel für den Flächeninhalt des Rahmens und schaue, welche Teile konstant bleiben und welche sich ändern.

Lösung

1. Aufstellen der Gleichung für Foto 1: \((6 + 2x)(10 + 2x) - 6 \cdot 10 = 80\). 2. Vereinfachen: \(60 + 12x + 20x + 4x^2 - 60 = 80 \Rightarrow 4x^2 + 32x - 80 = 0\). 3. Normalform: \(x^2 + 8x - 20 = 0\). 4. Lösen: \((x + 10)(x - 2) = 0\). Da \(x > 0\), folgt \(x = 2\,\text{cm}\). 5. Analyse der Rahmenfläche: Die Fläche eines Rahmens mit Breite \(x\) um ein Rechteck mit den Seiten \(a\) und \(b\) ist \(A_{\text{Rahmen}} = (a + 2x)(b + 2x) - ab = 2ax + 2bx + 4x^2 = 2x(a + b) + 4x^2\). 6. Vergleich: Bei gleicher Breite \(x\) hängt die Rahmenfläche nur von der Summe der Seitenlängen \((a + b)\) ab. 7. Foto 1: \(6 + 10 = 16\). Foto 2: \(4 + 15 = 19\). 8. Da \(19 > 16\), ist der Umfang bzw. die Summe der Seitenlängen bei Foto 2 größer, weshalb der Rahmen bei gleicher Breite eine größere Fläche einnimmt. Der Rahmen von Foto 2 ist also größer als \(80\,\text{cm}^2\).

Antwort

a) Die Breite des Rahmens beträgt \(2\,\text{cm}\). b) Der Flächeninhalt des zweiten Rahmens ist größer. Begründung: Die Rahmenfläche lässt sich durch den Term \(2x(a+b) + 4x^2\) beschreiben. Da die Rahmenbreite \(x\) identisch ist, hängt die Fläche von der Summe der Seitenlängen \((a+b)\) ab. Da \(4 + 15 = 19\) größer ist als \(6 + 10 = 16\), ist der Flächeninhalt des zweiten Rahmens größer.
4252529
Ein rechteckiges Blumenbeet ist \(5\,\text{m}\) länger als es breit ist. Um das Beet herum wird ein gleichmäßig breiter Weg von \(2\,\text{m}\) angelegt. Die gesamte Fläche, die das Beet und der Weg zusammen einnehmen, beträgt \(150\,\text{m}^2\). Bestimme die Abmessungen des ursprünglichen Blumenbeetes.

Denkanstöße

- Skizziere das Beet und den Weg. Wie verändern sich Länge und Breite des Rechtecks durch den Weg? - Beachte, dass der Weg an beiden Enden jeder Seite hinzugefügt wird. - Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt des großen Rechtecks auf. - Nutze ein Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen.

Lösung

1. Sei \(x\) die Breite des Beetes in \(\text{m}\). Die Länge des Beetes ist dann \(x + 5\). 2. Da der Weg auf allen Seiten \(2\,\text{m}\) breit ist, verlängert sich jede Seite des Gesamtrechtecks um \(2 \cdot 2 = 4\,\text{m}\). 3. Die Abmessungen der Gesamtfläche sind somit \((x + 4)\) und \((x + 5 + 4) = (x + 9)\). 4. Aufstellen der Flächengleichung: \((x + 4) \cdot (x + 9) = 150\). 5. Ausmultiplizieren ergibt \(x^2 + 9x + 4x + 36 = 150\), vereinfacht \(x^2 + 13x + 36 = 150\). 6. Umformen in die Normalform: \(x^2 + 13x - 114 = 0\). 7. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel oder Mitternachtsformel ergibt die Lösungen \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -19\). 8. Da die Breite \(x\) positiv sein muss, gilt \(x = 6\). Die Länge beträgt \(6 + 5 = 11\).

Antwort

Das ursprüngliche Blumenbeet ist \(6\,\text{m}\) breit und \(11\,\text{m}\) lang.
4252609
In einem Behälter mit dem Fassungsvermögen \(V\) befindet sich ein flüssiges Düngerkonzentrat. Zuerst werden \(4\,\text{l}\) des Konzentrats entnommen und der Behälter wird mit Wasser wieder vollständig aufgefüllt. Nach einer gründlichen Durchmischung werden erneut \(4\,\text{l}\) der entstandenen Flüssigkeit entnommen und wiederum durch Wasser ersetzt. Der Anteil des Düngerkonzentrats im Behälter sinkt durch diese beiden Vorgänge auf genau \(56{,}25\,\%\). Bestimme das Fassungsvermögen \(V\) des Behälters.

Denkanstöße

- Wie hoch ist der Anteil des Konzentrats nach der ersten Verdünnung? - Wenn man zweimal hintereinander auf dieselbe Weise verdünnt, wie wirkt sich das auf den prozentualen Anteil aus? - Setze den Anteil nach zwei Schritten mit dem gegebenen Prozentwert gleich. - Achte darauf, dass das gesuchte Volumen \(V\) größer sein muss als die entnommene Menge von \(4\,\text{l}\).

Lösung

1. Sei \(V\) das Fassungsvermögen des Behälters in Litern. Die Konzentration nach dem ersten Auffüllen ist \(\frac{V - 4}{V}\). 2. Da im zweiten Schritt erneut im gleichen Verhältnis verdünnt wird, ist die Endkonzentration das Quadrat der Konzentration nach dem ersten Schritt: \(C_{\text{Ende}} = \left(\frac{V - 4}{V}\right)^2\). 3. Laut Aufgabe entspricht dies \(56{,}25\,\%\), also \(0{,}5625\). 4. Es ergibt sich die Gleichung \(\left(1 - \frac{4}{V}\right)^2 = 0{,}5625\). 5. Durch Ziehen der Quadratwurzel erhält man \(1 - \frac{4}{V} = 0{,}75\) (die negative Wurzel \(-0{,}75\) führt zu einem physikalisch nicht sinnvollen Wert für \(V\), der kleiner als die Entnahmemenge wäre). 6. Auflösen nach \(V\): \(\frac{4}{V} = 0{,}25\). 7. Daraus folgt \(V = \frac{4}{0{,}25} = 16\). 8. Das Fassungsvermögen des Behälters beträgt \(16\,\text{l}\).

Antwort

Das Fassungsvermögen des Behälters beträgt \(16\,\text{l}\).
4252739
Zwei Wanderer, Anton und Berta, starten gleichzeitig von zwei unterschiedlichen Orten \(A\) und \(B\) und laufen einander auf einem geraden Weg mit jeweils konstanter Geschwindigkeit entgegen. Sie treffen sich nach einer gewissen Zeit an einem Punkt zwischen den Orten. Anton benötigt nach dem Treffen noch genau \(45\) Minuten, um den Ort \(B\) zu erreichen. Berta benötigt nach dem Treffen noch genau \(1\) Stunde und \(20\) Minuten, um zum Ort \(A\) zu gelangen. Die gesamte Wanderstrecke zwischen \(A\) und \(B\) ist \(10{,}5\,\text{km}\) lang. Berechne die Geschwindigkeiten der beiden Wanderer in \(\text{km/h}\).

Denkanstöße

- Was wissen wir über die Zeit, die beide bis zum Treffpunkt unterwegs waren? - Könntest du die Teilstrecken sowohl mit der Geschwindigkeit von Anton als auch mit der von Berta ausdrücken? - Wie hängen die Geschwindigkeiten und die Zeiten nach dem Treffen zusammen, wenn man bedenkt, dass sie dieselben Teilstrecken „getauscht“ haben? - Versuche zuerst ein Verhältnis zwischen den beiden Geschwindigkeiten zu finden.

Lösung

1. Umrechnung der Zeiten nach dem Treffen in Stunden: Anton benötigt \(t_{A,\text{Rest}} = 0{,}75\,\text{h}\), Berta benötigt \(t_{B,\text{Rest}} = \frac{4}{3}\,\text{h}\). 2. Aufstellen der Streckengleichungen: Sei \(d_1\) die Strecke von \(A\) zum Treffpunkt und \(d_2\) die Strecke vom Treffpunkt nach \(B\). Dann gilt \(d_2 = v_A \cdot 0{,}75\) und \(d_1 = v_B \cdot \frac{4}{3}\). 3. Gleichsetzung der Zeit bis zum Treffen: Da beide gleichzeitig starteten, ist die Zeit bis zum Treffpunkt \(t = \frac{d_1}{v_A} = \frac{d_2}{v_B}\). 4. Bestimmung des Geschwindigkeitsverhältnisses: Durch Einsetzen folgt \(\frac{v_B \cdot \frac{4}{3}}{v_A} = \frac{v_A \cdot 0{,}75}{v_B}\), woraus sich \(\frac{v_A^2}{v_B^2} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3}{4}} = \frac{16}{9}\) ergibt. Somit ist \(v_A = \frac{4}{3} v_B\). 5. Nutzung der Gesamtdistanz: \(d_1 + d_2 = 10{,}5 \Rightarrow v_B \cdot \frac{4}{3} + v_A \cdot \frac{3}{4} = 10{,}5\). 6. Einsetzen von \(v_A\): \(\frac{4}{3} v_B + (\frac{4}{3} v_B) \cdot \frac{3}{4} = 10{,}5 \Rightarrow \frac{4}{3} v_B + v_B = 10{,}5 \Rightarrow \frac{7}{3} v_B = 10{,}5\). 7. Berechnung der Werte: \(v_B = 4{,}5\,\text{km/h}\) und \(v_A = \frac{4}{3} \cdot 4{,}5 = 6\,\text{km/h}\).

Antwort

Anton wandert mit einer Geschwindigkeit von \(6\,\text{km/h}\), Berta mit \(4{,}5\,\text{km/h}\).
4252749
Zwei Züge fahren gleichzeitig von den Bahnhöfen \(X\) und \(Y\) ab und bewegen sich mit konstanten Geschwindigkeiten auf derselben Strecke aufeinander zu. Nachdem sie sich getroffen haben, benötigt der erste Zug noch \(2\) Stunden, um am Bahnhof \(Y\) anzukommen. Der zweite Zug benötigt noch \(4{,}5\) Stunden, um den Bahnhof \(X\) zu erreichen. a) Bestimme das Verhältnis der Geschwindigkeiten \(v_1 : v_2\) der beiden Züge. b) Wie viel Prozent der Gesamtstrecke hat der schnellere Zug bis zum Treffpunkt bereits zurückgelegt? c) Begründe allgemein, warum das Verhältnis der Geschwindigkeiten \(v_1 : v_2\) der Wurzel aus dem umgekehrten Verhältnis der Restzeiten nach dem Treffen entspricht, also \(\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}\).

Denkanstöße

- Überlege dir, welche Strecke der erste Zug nach dem Treffen noch fahren muss. Wer ist diese Strecke vor dem Treffen bereits gefahren? - Wenn du die Geschwindigkeiten nicht direkt berechnen kannst, hilft es oft, ihr Verhältnis als eine einzige Unbekannte zu betrachten. - Wie hängen die Anteile an der Gesamtstrecke mit den Geschwindigkeiten zusammen, wenn beide Züge gleich lange unterwegs waren?

Lösung

1. Aufstellen der Beziehungen: Bis zum Treffen nach Zeit \(t\) legten sie \(d_1 = v_1 \cdot t\) und \(d_2 = v_2 \cdot t\) zurück. Nach dem Treffen gilt \(d_2 = v_1 \cdot t_1\) und \(d_1 = v_2 \cdot t_2\). 2. Herleitung des Verhältnisses: Aus \(t = \frac{d_1}{v_1} = \frac{d_2}{v_2}\) folgt durch Einsetzen der Reststrecken \(\frac{v_2 t_2}{v_1} = \frac{v_1 t_1}{v_2}\). Umformen ergibt \(\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{t_2}{t_1}\), also \(\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}\). 3. Berechnung für a): \(\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{4{,}5}{2}} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). Das Verhältnis ist \(1{,}5 : 1\) bzw. \(3 : 2\). 4. Berechnung für b): Der Anteil der ersten Strecke an der Gesamtstrecke ist \(\frac{d_1}{d_1 + d_2}\). Da \(d_1 = v_1 t\) und \(d_2 = v_2 t\), entspricht dies \(\frac{v_1}{v_1 + v_2}\). Mit \(v_1 = 1{,}5 v_2\) ergibt sich \(\frac{1{,}5 v_2}{1{,}5 v_2 + v_2} = \frac{1{,}5}{2{,}5} = 0{,}6\). Dies entspricht \(60\,\%\). 5. Begründung für c): Die Herleitung erfolgt wie in Schritt 2 durch Gleichsetzen der Zeit bis zum Treffen und Substitution der Teilstrecken durch die Produkte aus Geschwindigkeit und Restzeit.

Antwort

a) Das Verhältnis der Geschwindigkeiten beträgt \(1{,}5 : 1\) (oder \(3 : 2\)). b) Der schnellere Zug hat bis zum Treffpunkt \(60\,\%\) der Gesamtstrecke zurückgelegt. c) Die Begründung ergibt sich aus der Gleichsetzung der Zeit bis zum Treffen \(t = \frac{v_2 t_2}{v_1} = \frac{v_1 t_1}{v_2}\) und dem anschließenden Auflösen nach \(\frac{v_1}{v_2}\).
4252809
Ein Bus und ein Pkw legen dieselbe Strecke von \(120\,\text{km}\) zurück. Der Pkw fährt im Durchschnitt \(20\,\text{km/h}\) schneller als der Bus und kommt deshalb \(30\,\text{Minuten}\) früher an. a) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeiten beider Fahrzeuge. b) Angenommen, beide Fahrzeuge könnten ihre Geschwindigkeit um jeweils \(10\,\text{km/h}\) steigern. Würde sich der Zeitvorsprung des Pkw dadurch vergrößern, verringern oder gleich bleiben? Begründe deine Antwort ohne eine erneute vollständige Berechnung.

Denkanstöße

- Denke an die Umrechnung von Minuten in Stunden, damit alle Einheiten zusammenpassen. - Stelle eine Gleichung für den Zeitunterschied der beiden Fahrzeuge auf. - Für Teil b: Überlege, wie sich Fahrzeiten verhalten, wenn man allgemein schneller fährt. Macht ein Geschwindigkeitsunterschied von \(20\,\text{km/h}\) bei sehr hohen oder bei sehr niedrigen Geschwindigkeiten zeitlich mehr aus?

Lösung

1. Teil a: Variablen festlegen: Geschwindigkeit des Busses \(v\) in \(\text{km/h}\), Geschwindigkeit des Pkw \(v + 20\). 2. Zeitdifferenzgleichung aufstellen (\(30\,\text{min} = 0{,}5\,\text{h}\)): \(\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 20} = 0{,}5\). 3. Multiplikation mit \(2v(v + 20)\) und Vereinfachung: \(240(v + 20) - 240v = v(v + 20) \Rightarrow 4800 = v^2 + 20v\). 4. Quadratische Gleichung lösen: \(v^2 + 20v - 4800 = 0 \Rightarrow v = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 19\,200}}{2} = \frac{-20 \pm 140}{2}\). 5. Ergebnis: \(v = 60\,\text{km/h}\) (da \(v > 0\)). Geschwindigkeiten: Bus \(60\,\text{km/h}\), Pkw \(80\,\text{km/h}\). 6. Teil b: Die Zeitdifferenz ist \(\Delta t = \frac{s}{v} - \frac{s}{v + \Delta v} = \frac{s \cdot \Delta v}{v(v + \Delta v)}\). Wenn die Grundgeschwindigkeit \(v\) steigt, während der Abstand \(\Delta v\) gleich bleibt, wird der Nenner größer und der Gesamtwert (der Zeitvorsprung) kleiner.

Antwort

a) Der Bus fährt mit \(60\,\text{km/h}\), der Pkw mit \(80\,\text{km/h}\). b) Der Zeitvorsprung würde sich verringern.
4252839
Zwei Radfahrer starten zeitgleich in den Städten \(A\) und \(B\), die \(35\,\text{km}\) voneinander entfernt sind, und fahren einander auf direktem Weg entgegen. Nach ihrer Begegnung benötigt der Radfahrer aus \(A\) noch \(45\,\text{Minuten}\), um sein Ziel in \(B\) zu erreichen. Der Radfahrer aus \(B\) benötigt nach dem Treffen noch \(20\,\text{Minuten}\), um in \(A\) anzukommen. Berechne die Geschwindigkeiten der beiden Radfahrer in \(\text{km/h}\), wenn beide ihre jeweilige Geschwindigkeit über die gesamte Strecke konstant beibehalten.

Denkanstöße

- Fertige eine Skizze der Situation an und markiere den Treffpunkt. - Denke daran, alle Zeitangaben von Minuten in Stunden umzurechnen. - Stelle für beide Radfahrer eine Gleichung auf, die den Weg nach dem Treffen beschreibt. - Was weißt du über die Zeit, die beide Radfahrer bis zu ihrem Zusammentreffen unterwegs waren? - Versuche, eine Gleichung zu finden, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt.

Lösung

1. Definition der Teilstrecke \(x\) von \(A\) bis zum Treffpunkt und der Geschwindigkeiten \(v_A, v_B\). 2. Aufstellen der Zeitgleichung für die Fahrt bis zum Treffen: \(\frac{x}{v_A} = \frac{35-x}{v_B}\). 3. Ausdruck der Geschwindigkeiten durch die Zeiten nach dem Treffen (\(45\,\text{min} = 0{,}75\,\text{h}\); \(20\,\text{min} = \frac{1}{3}\,\text{h}\)): \(v_A = \frac{35-x}{0{,}75}\) und \(v_B = \frac{x}{\frac{1}{3}}\). 4. Einsetzen der Ausdrücke in die Zeitgleichung ergibt \(\frac{0{,}75x}{35-x} = \frac{35-x}{3x}\), was zu \(2{,}25x^2 = (35-x)^2\) führt. 5. Da \(0 < x < 35\) gilt, sind beide Seiten von \(1{,}5^2x^2 = (35-x)^2\) positiv. Wurzelziehen liefert daher \(1{,}5x = 35-x\), woraus \(x = 14\,\text{km}\) folgt. 6. Berechnung der Geschwindigkeiten: \(v_A = \frac{35-14}{0{,}75} = 28\,\text{km/h}\) und \(v_B = \frac{14}{\frac{1}{3}} = 42\,\text{km/h}\).

Antwort

Der Radfahrer aus \(A\) fährt mit \(28\,\text{km/h}\) und der Radfahrer aus \(B\) fährt mit \(42\,\text{km/h}\).
4252849
Zwei Wanderer gehen gleichzeitig in den Orten \(P\) und \(Q\) los und laufen einander entgegen. Einer der Wanderer ist um \(1\,\text{km/h}\) schneller als der andere. Nach ihrem Zusammentreffen benötigt der schnellere Wanderer noch genau \(4\,\text{Stunden}\), um den Ort \(P\) zu erreichen, während der langsamere Wanderer noch \(9\,\text{Stunden}\) bis zum Ort \(Q\) unterwegs ist. Bestimme die Entfernung zwischen den Orten \(P\) und \(Q\).

Denkanstöße

- Wie hängen die Teilstrecken vor und nach dem Treffen mit den Geschwindigkeiten zusammen? - Stelle Variablen für die beiden unterschiedlichen Geschwindigkeiten auf. - Überlege dir, wie lange jeder Wanderer bis zum Treffpunkt gelaufen ist. Sind diese Zeiten gleich? - Kannst du ein Verhältnis zwischen den Geschwindigkeiten aufstellen, indem du die Zeitgleichung nutzt?

Lösung

1. Festlegen der Geschwindigkeiten \(v_1\) (langsamer Wanderer) und \(v_2 = v_1 + 1\) (schnellerer Wanderer) sowie der Teilstrecken \(d_1\) (von \(P\) zum Treffpunkt) und \(d_2\) (vom Treffpunkt zu \(Q\)). 2. Bestimmung der Teilstrecken durch die Fahrten nach dem Treffen: \(d_1 = v_2 \cdot 4\) und \(d_2 = v_1 \cdot 9\). 3. Gleichsetzen der Fahrzeiten bis zum Treffpunkt: \(\frac{d_1}{v_1} = \frac{d_2}{v_2}\). 4. Substitution der Teilstrecken ergibt \(\frac{4v_2}{v_1} = \frac{9v_1}{v_2}\), was zu \(4v_2^2 = 9v_1^2\) führt. 5. Durch Wurzelziehen erhält man \(2v_2 = 3v_1\). Mit \(v_2 = v_1 + 1\) folgt \(2(v_1 + 1) = 3v_1\), also \(v_1 = 2\,\text{km/h}\). 6. Daraus folgt \(v_2 = 3\,\text{km/h}\). Die Teilstrecken sind \(d_1 = 12\,\text{km}\) und \(d_2 = 18\,\text{km}\). Die Gesamtdistanz beträgt \(30\,\text{km}\).

Antwort

Die Entfernung zwischen den Orten \(P\) und \(Q\) beträgt \(30\,\text{km}\).
4252869
Zwei Wanderer, Anna und Bernd, laufen einander entgegen. Anna startet in Punkt A, Bernd in Punkt B. Anna bricht \(1\) Stunde früher auf als Bernd. Als sie sich treffen, stellen sie fest, dass Anna \(12\,\text{km}\) mehr zurückgelegt hat als Bernd. Nach ihrer Begegnung setzen beide ihren Weg mit ihrer jeweils konstanten Geschwindigkeit fort. Anna erreicht den Punkt B nach einer weiteren Stunde, während Bernd noch \(6\) Stunden benötigt, um seinen Zielpunkt A zu erreichen. Berechne die Geschwindigkeiten der beiden Wanderer sowie die gesamte Entfernung zwischen A und B.

Denkanstöße

- Skizziere die Situation und markiere den Treffpunkt. - Welche Strecke legt Anna nach dem Treffen zurück, und wer ist diese Strecke vor dem Treffen gelaufen? - Stelle eine Gleichung für die Zeitdauern bis zum Treffen auf und beachte den Zeitunterschied beim Start. - Eine Hilfsvariable für das Verhältnis der Geschwindigkeiten kann die Rechnung vereinfachen.

Lösung

1. Definition der Geschwindigkeiten \(v_a\) und \(v_b\) (in \(\text{km/h}\)). 2. Bestimmung der Teilstrecken nach dem Treffen: Der Weg von A zum Treffpunkt ist \(d_a\), der Weg vom Treffpunkt zu B ist \(d_b\). Es gilt \(d_b = 1 \cdot v_a\) (Annas Weg nach Treffen) und \(d_a = 6 \cdot v_b\) (Bernds Weg nach Treffen). 3. Zeit bis zum Treffpunkt: Anna benötigte \(t_a = \frac{d_a}{v_a} = \frac{6 v_b}{v_a}\) Stunden. Bernd benötigte \(t_b = \frac{d_b}{v_b} = \frac{v_a}{v_b}\) Stunden. 4. Zeitbedingung nutzen: Da Anna \(1\) Stunde früher startete, war sie \(1\) Stunde länger unterwegs: \(t_a = t_b + 1 \Rightarrow \frac{6 v_b}{v_a} = \frac{v_a}{v_b} + 1\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: Setze \(x = \frac{v_a}{v_b}\), dann gilt \(\frac{6}{x} = x + 1 \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0\). Die positive Lösung ist \(x = 2\), also \(v_a = 2 v_b\). 6. Nutzung der Differenzbedingung: \(d_a - d_b = 12 \Rightarrow 6 v_b - v_a = 12\). Mit \(v_a = 2 v_b\) folgt \(6 v_b - 2 v_b = 12 \Rightarrow 4 v_b = 12\). 7. Ergebnisse: \(v_b = 3\,\text{km/h}\), \(v_a = 6\,\text{km/h}\). 8. Gesamtdistanz: \(D = d_a + d_b = 6 \cdot 3 + 1 \cdot 6 = 18 + 6 = 24\,\text{km}\).

Antwort

Anna läuft mit \(6\,\text{km/h}\), Bernd mit \(3\,\text{km/h}\). Die Entfernung zwischen A und B beträgt \(24\,\text{km}\).
4252989
Ein Motorboot benötigt für eine \(60\,\text{km}\) lange Teststrecke auf einem ruhigen See eine bestimmte Zeit. Bei einer Fahrt auf einem Fluss benötigt das Boot für dieselbe Distanz gegen die Strömung (Strömungsgeschwindigkeit \(3\,\text{km/h}\)) genau eine Stunde länger als auf dem See. a) Berechne die Eigengeschwindigkeit des Bootes. b) Wie lange würde das Boot für die Strecke von \(60\,\text{km}\) benötigen, wenn es flussabwärts (mit der Strömung) fährt?

Denkanstöße

- Wie verändert die Strömung eines Flusses die Geschwindigkeit eines Bootes relativ zum Ufer, wenn es gegen oder mit der Strömung fährt? - Stelle für beide Situationen (See und flussaufwärts) einen Ausdruck für die Zeit auf. - Der Unterschied zwischen diesen beiden Zeiten ist im Text gegeben. - Vergiss im zweiten Teil nicht, dass sich die Geschwindigkeiten von Boot und Strömung nun addieren.

Lösung

1. Teil a: Sei \(v\) die Eigengeschwindigkeit des Bootes in \(\text{km/h}\). Die Zeit auf dem See ist \(t_{See} = \frac{60}{v}\). Die Zeit gegen die Strömung ist \(t_{gegen} = \frac{60}{v-3}\). 2. Gleichung aufstellen: \(t_{gegen} = t_{See} + 1\), also \(\frac{60}{v-3} = \frac{60}{v} + 1\). 3. Umformung: Multiplikation mit \(v(v-3)\) ergibt \(60v = 60(v-3) + v(v-3)\). Vereinfacht: \(60v = 60v - 180 + v^2 - 3v\), woraus \(v^2 - 3v - 180 = 0\) folgt. 4. Lösung der quadratischen Gleichung: \(v_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (-180)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{729}}{2} = \frac{3 \pm 27}{2}\). Die physikalisch sinnvolle Lösung ist \(v = 15\,\text{km/h}\). 5. Teil b: Die Geschwindigkeit flussabwärts ist \(v + 3 = 15 + 3 = 18\,\text{km/h}\). 6. Zeitberechnung: \(t_{mit} = \frac{60\,\text{km}}{18\,\text{km/h}} = \frac{10}{3}\,\text{h} = 3\,\text{h}\,20\,\text{min}\).

Antwort

a) Die Eigengeschwindigkeit des Bootes beträgt \(15\,\text{km/h}\). b) Flussabwärts würde das Boot \(3\,\text{Stunden}\) und \(20\,\text{Minuten}\) für die Strecke benötigen.
4253049
Ein Autofahrer legt eine Strecke von \(120\,\text{km}\) zurück. Auf einer darauffolgenden Strecke von \(175\,\text{km}\) erhöht er seine Durchschnittsgeschwindigkeit um \(10\,\text{km/h}\). Insgesamt benötigt er für die zweite Strecke eine halbe Stunde mehr als für die erste. Berechne die mathematisch möglichen ursprünglichen Geschwindigkeiten.

Denkanstöße

- Stelle zuerst fest, welche Größe gesucht ist, und weise ihr eine Variable zu. - Wie lässt sich die Zeit berechnen, wenn Strecke und Geschwindigkeit bekannt sind? - Achte darauf, dass die Einheiten (km, km/h, h) konsistent sind. - Welche der beiden Streckenabschnitte dauerte länger? Nutze dies für deine Gleichung. - Was musst du tun, wenn die Variable im Nenner eines Bruchs steht?

Lösung

1. Definition der Zeiten in Abhängigkeit der Geschwindigkeit \(v\): \(t_1 = \frac{120}{v}\) und \(t_2 = \frac{175}{v+10}\). 2. Aufstellen der Differenzgleichung basierend auf der Zeitangabe (\(30\,\text{Minuten} = 0{,}5\,\text{h}\)): \(\frac{175}{v+10} - \frac{120}{v} = 0{,}5\). 3. Beseitigung der Nenner durch Multiplikation mit \(2v(v+10)\): \(350v - 240(v+10) = v(v+10)\). 4. Zusammenfassen und Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(v^2 - 100v + 2400 = 0\). 5. Lösen der Gleichung: \(v = \frac{100 \pm \sqrt{10\,000 - 9600}}{2} = \frac{100 \pm 20}{2}\). 6. Ermittlung der Ergebnisse: \(v_1 = 60\,\text{km/h}\) und \(v_2 = 40\,\text{km/h}\).

Antwort

Die ursprüngliche Geschwindigkeit betrug entweder \(40\,\text{km/h}\) oder \(60\,\text{km/h}\).
4256749
Ein Gärtner hat \(400\) Blumenzwiebeln, die er in einem gleichmäßigen Raster (mehrere Reihen mit jeweils der gleichen Anzahl an Zwiebeln) pflanzen möchte. Er stellt fest: Wenn er in jeder Reihe \(5\) Zwiebeln mehr setzt, dafür aber \(4\) Reihen weniger anlegt, kann er insgesamt nur \(360\) Zwiebeln unterbringen. Wie viele Reihen waren ursprünglich für die \(400\) Zwiebeln vorgesehen?

Denkanstöße

- Was berechnet man, wenn man die Anzahl der Reihen mit der Anzahl der Zwiebeln pro Reihe multipliziert? - Stelle zwei Gleichungen auf: eine für den ursprünglichen Plan und eine für die Überlegung des Gärtners. - Nutze das Ersetzungsverfahren, um eine quadratische Gleichung zu erhalten. - Überlege am Ende, welches Ergebnis für eine Anzahl an Reihen logisch möglich ist.

Lösung

1. Variablen definieren: \(r\) für die Anzahl der Reihen und \(z\) für die Zwiebeln pro Reihe. Erste Gleichung: \(r \cdot z = 400\). 2. Zweite Bedingung aufstellen: \((r-4)(z+5) = 360\). 3. Substitution von \(z = \frac{400}{r}\) in die zweite Gleichung: \((r-4)\left(\frac{400}{r} + 5\right) = 360\). 4. Klammern auflösen: \(400 + 5r - \frac{1600}{r} - 20 = 360 \implies 380 + 5r - \frac{1600}{r} = 360\). 5. Umformen zur quadratischen Gleichung: \(5r + 20 - \frac{1600}{r} = 0 \implies 5r^2 + 20r - 1600 = 0 \implies r^2 + 4r - 320 = 0\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung ergibt \(r_1 = 16\) und \(r_2 = -20\). Da die Reihenanzahl positiv sein muss, ist \(r = 16\).

Antwort

Ursprünglich waren \(16\) Reihen vorgesehen.
4256919
Ein Intercity-Express (ICE) fährt von Stadt A nach Stadt B, die \(180\,\text{km}\) voneinander entfernt sind. Nach einer Fahrtzeit von \(2\) Stunden muss der Zug wegen einer Streckensperrung für \(12\) Minuten halten. Um die Verspätung aufzuholen und pünktlich in Stadt B anzukommen, fährt er den Rest der Strecke mit einer um \(15\,\text{km/h}\) höheren Geschwindigkeit als ursprünglich geplant. Berechne die ursprüngliche Geschwindigkeit des Zuges.

Denkanstöße

- Kannst du die gesamte Fahrzeit mithilfe der Geschwindigkeit ausdrücken? - Wie viel Weg hat der Zug bereits zurückgelegt, bevor er anhalten musste? - Achte darauf, alle Zeitangaben in der gleichen Einheit (Stunden) zu verwenden. - Stelle eine Gleichung auf, die die geplante Ankunftszeit mit der tatsächlichen Zeit vergleicht. - Welche mathematische Struktur erhältst du, wenn du den Nenner eliminierst?

Lösung

1. Definition der Variablen: \(v\) sei die ursprüngliche Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\). Die geplante Gesamtfahrzeit beträgt \(T = \frac{180}{v}\). 2. Analyse der Teilstrecken: In den ersten \(2\) Stunden legt der Zug \(2v\,\text{km}\) zurück. Die verbleibende Strecke ist \(180 - 2v\). 3. Zeitbilanz: Die tatsächliche Fahrzeit setzt sich aus den ersten \(2\) Stunden, der Standzeit von \(12\,\text{min} = 0{,}2\,\text{h}\) und der Zeit für die Reststrecke \(\frac{180-2v}{v+15}\) zusammen. Da der Zug pünktlich ankommt, gilt: \(\frac{180}{v} = 2 + 0{,}2 + \frac{180-2v}{v+15}\). 4. Aufstellen der quadratischen Gleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(v(v+15)\) führt zu \(180(v+15) = 2{,}2v(v+15) + v(180-2v)\). Vereinfacht ergibt dies \(180v + 2700 = 2{,}2v^2 + 33v + 180v - 2v^2\), was zu \(0{,}2v^2 + 33v - 2700 = 0\) bzw. \(v^2 + 165v - 13\,500 = 0\) führt. 5. Lösen der Gleichung: Die Anwendung der Mitternachtsformel oder p-q-Formel liefert \(v = \frac{-165 \pm \sqrt{165^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13\,500)}}{2} = \frac{-165 \pm 285}{2}\). 6. Ergebnis: Da die Geschwindigkeit positiv sein muss, ergibt sich \(v = \frac{120}{2} = 60\). Die ursprüngliche Geschwindigkeit betrug \(60\,\text{km/h}\).

Antwort

Die ursprüngliche Geschwindigkeit des Zuges betrug \(60\,\text{km/h}\).
4269739
Zwei Kurierfahrer, Anton und Bert, starten gleichzeitig von unterschiedlichen Standorten, um nach genau \(2\,\text{Stunden}\) Fahrzeit gleichzeitig bei einem Logistikzentrum anzukommen. Antons Anfahrtsweg ist \(x\,\text{km}\) lang, während Berts Weg um \(10\,\text{km}\) länger ist. Damit Bert trotz der weiteren Strecke zeitgleich mit Anton ankommt, muss er pro gefahrenem Kilometer durchschnittlich \(36\,\text{Sekunden}\) weniger Zeit benötigen als Anton. Berechne die Länge von Antons Anfahrtsweg \(x\).

Denkanstöße

- Achte darauf, alle Zeitangaben in dieselbe Einheit (z. B. Stunden) umzurechnen. - Was bedeutet „Zeit pro Kilometer“ mathematisch im Verhältnis zur Gesamtzeit und Gesamtfahrtstrecke? - Stelle eine Gleichung auf, die den Unterschied im Zeitaufwand pro Kilometer beschreibt. - Überlege dir, welcher der beiden Fahrer eine höhere Geschwindigkeit hat und somit weniger Zeit pro Kilometer benötigt.

Lösung

1. Aufstellen der Ausdrücke für die Zeit pro Kilometer: Anton benötigt für \(x\,\text{km}\) insgesamt \(2\,\text{Stunden}\), also \(\frac{2}{x}\,\text{h/km}\). Bert benötigt für \(x+10\,\text{km}\) ebenfalls \(2\,\text{Stunden}\), also \(\frac{2}{x+10}\,\text{h/km}\). 2. Umrechnung der Zeitdifferenz: \(36\,\text{Sekunden} = \frac{36}{3600}\,\text{Stunden} = 0{,}01\,\text{Stunden}\). 3. Aufstellen der Gleichung anhand der Differenz der Zeiten pro Kilometer: \(\frac{2}{x} - \frac{2}{x+10} = 0{,}01\). 4. Umformung in eine quadratische Gleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(100x(x+10)\) ergibt \(200(x+10) - 200x = x(x+10)\), vereinfacht \(2000 = x^2 + 10x\). 5. Lösen der Gleichung \(x^2 + 10x - 2000 = 0\) mit der p-q-Formel: \(x = -5 \pm \sqrt{25 + 2000} = -5 \pm \sqrt{2025} = -5 \pm 45\). 6. Da die Entfernung positiv sein muss, folgt \(x = 40\). Antons Anfahrtsweg beträgt \(40\,\text{km}\).

Antwort

Antons Anfahrtsweg beträgt \(40\,\text{km}\).
4269799
Zwei Wanderer starten gleichzeitig in zwei Dörfern, die \(22{,}5\,\text{km}\) voneinander entfernt sind, und laufen einander auf einem direkten Weg entgegen. Wanderer A ist dabei genau \(1\,\text{km/h}\) schneller als Wanderer B. Beide Wanderer bewegen sich mit mehr als \(1\,\text{km/h}\). Nachdem sie sich auf der Strecke getroffen haben, benötigt Wanderer A noch genau \(2\) Stunden, um das ursprüngliche Dorf von Wanderer B zu erreichen. Berechne die Geschwindigkeiten beider Wanderer.

Denkanstöße

- Stelle zuerst fest, welche Teilstrecken die beiden bis zum Zeitpunkt ihres Treffens zurückgelegt haben. - Wie hängen die Geschwindigkeit, die Zeit und die Entfernung nach dem Treffen für Wanderer A zusammen? - Kannst du die Zeit bis zum Treffen durch die Geschwindigkeiten ausdrücken? - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, in der nur noch eine der beiden Geschwindigkeiten als Unbekannte vorkommt.

Lösung

1. Seien \(v_A\) und \(v_B\) die Geschwindigkeiten in \(\text{km/h}\) und \(t\) die Zeit bis zum Treffen in \(\text{h}\). 2. Es gilt \[ (v_A+v_B)t=22{,}5 \quad\text{und}\quad v_A=v_B+1. \] 3. Nach dem Treffen legt A in \(2\) Stunden die Strecke zurück, die B vor dem Treffen zurückgelegt hat. Daher \[ v_Bt=2v_A, \] also \(t=\frac{2v_A}{v_B}\). 4. Einsetzen in die Distanzgleichung und Verwenden von \(v_B=v_A-1\): \[ (2v_A-1)\frac{2v_A}{v_A-1}=22{,}5. \] 5. Nach Multiplikation mit \(v_A-1\) entsteht \[ 4v_A^2-24{,}5v_A+22{,}5=0. \] 6. Die rechnerischen Lösungen sind \[ v_A=5 \quad\text{oder}\quad v_A=1{,}125. \] 7. Mit \(v_B=v_A-1\) folgen die Paare \[ (v_A;v_B)=(5;4) \quad\text{oder}\quad (v_A;v_B)=(1{,}125;0{,}125). \] 8. Das zweite Paar verletzt die Vorgabe \(v_B>1\,\text{km/h}\). Daher bleibt nur \((v_A;v_B)=(5;4)\).

Antwort

Wanderer A läuft mit \(5\,\text{km/h}\), Wanderer B mit \(4\,\text{km/h}\).
4269859
Ein Grafikdesigner und sein Assistent arbeiten an einem umfangreichen Illustrationsprojekt. Zuerst arbeitet der Designer 4 Tage lang allein daran. Den restlichen Teil des Auftrags erledigt der Assistent in weiteren 9 Tagen allein. Für das gesamte Projekt würde der Assistent allein 10 Tage länger benötigen als der Designer allein. Berechne, wie viele Tage jeder von ihnen für das gesamte Projekt benötigen würde, wenn er es komplett allein bearbeiten müsste.

Denkanstöße

- Welchen Bruchteil der Arbeit schafft eine Person pro Tag, wenn sie insgesamt \(x\) Tage benötigt? - Wie viel der Arbeit ist nach einer bestimmten Anzahl an Tagen erledigt? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, bei der die Summe der Teilarbeiten ein Ganzes ergibt? - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, dass Zeitangaben in diesem Kontext immer positiv sein müssen.

Lösung

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Anzahl der Tage, die der Designer allein benötigt. Der Assistent benötigt dann \(x + 10\) Tage. 2. Aufstellen der Arbeitsgleichung basierend auf den geleisteten Anteilen: \(\frac{4}{x} + \frac{9}{x + 10} = 1\). 3. Multiplikation mit dem Hauptnenner \(x(x + 10)\) zur Beseitigung der Brüche: \(4(x + 10) + 9x = x(x + 10)\). 4. Umformung in eine quadratische Normalform: \(4x + 40 + 9x = x^2 + 10x \Rightarrow x^2 - 3x - 40 = 0\). 5. Lösung der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = 1{,}5 \pm \sqrt{1{,}5^2 + 40} = 1{,}5 \pm 6{,}5\). 6. Bestimmung der sinnvollen Lösung: \(x = 8\) (da die Zeit positiv sein muss). 7. Berechnung der Zeiten: Der Designer benötigt \(8\) Tage, der Assistent \(8 + 10 = 18\) Tage.

Antwort

Der Designer würde allein 8 Tage benötigen, der Assistent allein 18 Tage.
4270009
Ein Reisebus wird für eine Klassenfahrt zum Pauschalpreis von \(720\,\text{€}\) gemietet. Die Kosten werden gleichmäßig auf alle angemeldeten Schüler verteilt. Am Tag der Abfahrt fallen jedoch \(6\) Schüler krankheitsbedingt aus. Dadurch erhöht sich der Betrag, den jeder der verbleibenden Schüler zahlen muss, um genau \(4\,\text{€}\). Bestimme die ursprüngliche Anzahl der Schüler, die für die Fahrt angemeldet waren, und berechne den Betrag, den nun jeder tatsächlich mitfahrende Schüler bezahlen muss.

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Anteil pro Person, wenn man den Gesamtpreis und die Personenzahl kennt? - Stelle zwei Brüche auf: einen für die geplante Situation und einen für die tatsächliche Situation. - Welcher der beiden Beträge pro Person ist höher? Erstelle daraus eine Gleichung. - Nachdem du die ursprüngliche Schülerzahl gefunden hast, vergiss nicht, auch den neuen Preis pro Person zu berechnen.

Lösung

1. Festlegen der Variable \(x\) für die ursprüngliche Anzahl der angemeldeten Schüler. 2. Ausdrücken der Kosten pro Schüler: Ursprünglich \(\frac{720}{x}\), nach den Absagen \(\frac{720}{x-6}\). 3. Aufstellen der Differenzgleichung: \(\frac{720}{x-6} - \frac{720}{x} = 4\). 4. Auflösen der Bruchgleichung durch Multiplikation mit \(x(x-6)\): \(720x - 720(x-6) = 4x(x-6)\). 5. Vereinfachung zur quadratischen Gleichung in Normalform: \(x^2 - 6x - 1080 = 0\). 6. Berechnung der Lösungen: \(x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4320}}{2} = \frac{6 \pm 66}{2}\). 7. Bestimmung der sinnvollen Lösung: \(x = 36\). 8. Berechnung des neuen Preises pro Person: \(\frac{720}{36-6} = 24\).

Antwort

Ursprünglich waren \(36\) Schüler angemeldet. Jeder tatsächlich mitfahrende Schüler muss nun \(24\,\text{€}\) bezahlen.
4281069
Ein Motorboot legt auf einem Fluss eine Strecke von \(32\,\text{km}\) flussabwärts und anschließend dieselbe Strecke wieder flussaufwärts zurück. Die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses beträgt \(4\,\text{km/h}\). Das Boot benötigt für die gesamte Fahrt \(6\) Stunden. a) Berechne die Eigengeschwindigkeit des Bootes in stehendem Gewässer. b) Ein zweites Boot mit derselben Eigengeschwindigkeit fährt auf einem stehenden See eine Hin- und Rückstrecke von insgesamt \(64\,\text{km}\) und kehrt damit ebenfalls zum Ausgangspunkt zurück. Welches Boot ist schneller wieder am Ausgangspunkt? Begründe deine Antwort ohne eine neue Rechnung durchzuführen.

Denkanstöße

- Stelle für Teil a eine Gleichung auf, die die Summe der Fahrzeiten beschreibt. - Welche Vorzeichen hat die Strömung in Bezug auf das Boot bei den beiden Teilstrecken? - Überlege für Teil b, in welcher Phase (mit oder gegen die Strömung) das Boot mehr Zeit verbringt. - Helfen dir die Geschwindigkeiten dabei zu verstehen, warum sich die Effekte von Strömung und Gegenströmung nicht einfach gegenseitig aufheben?

Lösung

1. Teil a: Sei \(v\) die Eigengeschwindigkeit des Bootes. Die Geschwindigkeiten sind \(v+4\) flussabwärts und \(v-4\) flussaufwärts. 2. Aufstellen der Gleichung: \(\frac{32}{v+4} + \frac{32}{v-4} = 6\). 3. Beseitigung der Brüche: \(32(v-4) + 32(v+4) = 6(v^2 - 16)\). 4. Vereinfachung: \(64v = 6v^2 - 96\), daraus folgt die quadratische Gleichung \(6v^2 - 64v - 96 = 0\) bzw. \(3v^2 - 32v - 48 = 0\). 5. Anwendung der Mitternachtsformel: \(v = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 3 \cdot (-48)}}{2 \cdot 3} = \frac{32 \pm \sqrt{1600}}{6} = \frac{32 \pm 40}{6}\). 6. Die positive Lösung ist \(v = \frac{72}{6} = 12\). Die Eigengeschwindigkeit beträgt \(12\,\text{km/h}\). 7. Teil b: Das Boot auf dem stehenden See ist schneller. 8. Begründung: Der Zeitverlust durch die Fahrt gegen die Strömung ist immer größer als der Zeitgewinn durch die Fahrt mit der Strömung, da man sich länger in der langsameren Phase befindet. Daher erhöht jede Strömung (oder jeder Wind) die Gesamtfahrzeit für eine Hin- und Rückfahrt im Vergleich zu stehendem Gewässer.

Antwort

a) Die Eigengeschwindigkeit des Bootes beträgt \(12\,\text{km/h}\). b) Das Boot auf dem stehenden See ist schneller, da die Strömung die Gesamtfahrzeit bei einer Rundreise immer verlängert.
4281099
Zwei Pumpen füllen ein Wasserbecken gemeinsam in \(6\,\text{Stunden}\). Wenn die erste Pumpe allein ein Drittel des Beckens füllt und danach die zweite Pumpe den Rest übernimmt, dauert der gesamte Vorgang \(15\,\text{Stunden}\). Berechne, wie lange jede Pumpe einzeln benötigen würde, um das gesamte Becken zu füllen.

Denkanstöße

- Kannst du die Arbeitsrate (Anteil des Beckens pro Stunde) für jede Pumpe ausdrücken? - Wie hängen die Zeitanteile für die Teilfüllungen mit der Gesamtdauer der Einzelarbeit zusammen? - Versuche, eine der Unbekannten in der einen Gleichung zu isolieren und in die andere einzusetzen. - Achte darauf, dass am Ende zwei verschiedene Szenarien für die Kombination der Pumpen möglich sein könnten.

Lösung

1. Definition der Variablen: \(t_1\) für die Zeit von Pumpe 1 und \(t_2\) für die Zeit von Pumpe 2 in Stunden. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}\) (gemeinsame Leistung) und \(\frac{1}{3}t_1 + \frac{2}{3}t_2 = 15\) (sequentielle Arbeit). 3. Umformen der Arbeitsgleichung nach \(t_1\): \(t_1 = 45 - 2t_2\). 4. Einsetzen in die Leistungsformel: \(\frac{1}{45 - 2t_2} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}\). 5. Multiplikation mit dem Hauptnenner führt zur quadratischen Gleichung: \(2t_2^2 - 51t_2 + 270 = 0\). 6. Berechnung der Diskriminante: \(D = (-51)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 270 = 2601 - 2160 = 441 = 21^2\). 7. Bestimmung der Lösungen für \(t_2\): \(t_2 = \frac{51 \pm 21}{4}\), woraus \(t_{2,a} = 18\) und \(t_{2,b} = 7{,}5\) resultieren. 8. Berechnung der zugehörigen Werte für \(t_1\): Wenn \(t_2 = 18\), ist \(t_1 = 9\). Wenn \(t_2 = 7{,}5\), ist \(t_1 = 30\).

Antwort

Es gibt zwei Möglichkeiten: Entweder benötigt Pumpe 1 einzeln \(9\,\text{Stunden}\) und Pumpe 2 einzeln \(18\,\text{Stunden}\), oder Pumpe 1 benötigt \(30\,\text{Stunden}\) und Pumpe 2 benötigt \(7{,}5\,\text{Stunden}\).
4281119
Zwei Radfahrer starten in den Städten A und B, die \(80\,\text{km}\) voneinander entfernt sind, und fahren einander entgegen. Sie würden sich genau in der Mitte der Strecke treffen, wenn der Radfahrer aus Stadt B \(2\,\text{Stunden}\) früher losfährt als der Radfahrer aus Stadt A. Starten sie jedoch gleichzeitig, so beträgt ihr Abstand nach \(2\,\text{Stunden}\) Fahrt noch \(20\,\text{km}\). Bestimme die Geschwindigkeiten der beiden Radfahrer.

Denkanstöße

- Wie weit muss jeder Radfahrer fahren, um die Mitte der Strecke zu erreichen? - Stelle eine Gleichung für die Summe der Geschwindigkeiten auf, basierend auf der nach 2 Stunden zurückgelegten Gesamtstrecke. - Überlege, welcher Radfahrer länger unterwegs ist, wenn sie sich in der Mitte treffen sollen. - Verwende die Beziehung zwischen Weg, Zeit und Geschwindigkeit: \(s = v \cdot t\).

Lösung

1. Da die Mitte der Strecke bei \(40\,\text{km}\) liegt, betragen die Fahrzeiten bis zum Treffpunkt \(t_A = \frac{40}{v_A}\) und \(t_B = \frac{40}{v_B}\). 2. Da Radfahrer B für dieselbe Ankunftszeit \(2\,\text{Stunden}\) länger unterwegs ist, gilt: \(\frac{40}{v_B} = \frac{40}{v_A} + 2\). 3. Aus der zweiten Bedingung folgt, dass sie gemeinsam in \(2\,\text{Stunden}\) eine Strecke von \(80\,\text{km} - 20\,\text{km} = 60\,\text{km}\) zurücklegen. 4. Es ergibt sich die Gleichung \(2 \cdot (v_A + v_B) = 60\), woraus \(v_B = 30 - v_A\) folgt. 5. Substitution von \(v_B\) in die erste Gleichung: \(\frac{40}{30 - v_A} = \frac{40}{v_A} + 2\). 6. Multiplikation mit dem Hauptnenner führt zur quadratischen Gleichung: \(40v_A = 40(30 - v_A) + 2v_A(30 - v_A)\), was vereinfacht \(v_A^2 + 10v_A - 600 = 0\) ergibt. 7. Die Lösung der quadratischen Gleichung liefert \(v_A = 20\) (die negative Lösung \(-30\) ist physikalisch nicht sinnvoll). 8. Damit ergibt sich \(v_B = 30 - 20 = 10\).

Antwort

Der Radfahrer aus Stadt A fährt mit \(20\,\text{km/h}\), der Radfahrer aus Stadt B mit \(10\,\text{km/h}\).
4281139
Zwei Radfahrer starten gleichzeitig an den Punkten \(A\) und \(B\) und fahren zu einem gemeinsamen Zielpunkt \(Z\). Alle drei Punkte liegen auf einer geraden Strecke. Beide Radfahrer kommen nach genau \(30\,\text{Minuten}\) gleichzeitig am Ziel an. Der Weg von \(B\) nach \(Z\) ist um \(8\,\text{km}\) länger als der Weg von \(A\) nach \(Z\). Um die längere Strecke in der gleichen Zeit zu bewältigen, benötigt der zweite Radfahrer für jeden Kilometer genau \(1\,\text{Minute}\) weniger als der erste. Bestimme alle Möglichkeiten für die Entfernung zwischen den beiden Startpunkten \(A\) und \(B\).

Denkanstöße

- Was genau gibt der Wert „Minuten pro Kilometer“ an und wie hängen Zeit, Strecke und dieser Wert zusammen? - Überlege dir, wie man die Zeit für einen Kilometer ausdrücken kann, wenn die Gesamtdauer und die Gesamtstrecke bekannt sind. - Denk daran, dass Punkte auf einer Geraden in unterschiedlicher Reihenfolge angeordnet sein können. Skizziere die Möglichkeiten.

Lösung

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Entfernung von \(A\) nach \(Z\) in \(\text{km}\). Dann ist die Entfernung von \(B\) nach \(Z\) gleich \(x + 8\). 2. Berechnung des Tempos (Zeit pro \(\text{km}\)): Radfahrer 1 benötigt \(T_1 = \frac{30}{x}\,\frac{\text{min}}{\text{km}}\). Radfahrer 2 benötigt \(T_2 = \frac{30}{x+8}\,\frac{\text{min}}{\text{km}}\). 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Tempodifferenz: \(\frac{30}{x} - \frac{30}{x+8} = 1\). 4. Umformen in eine quadratische Gleichung: \(30(x+8) - 30x = x(x+8) \Rightarrow 240 = x^2 + 8x \Rightarrow x^2 + 8x - 240 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: Die Lösungen sind \(x_1 = 12\) und \(x_2 = -20\). Da Entfernungen positiv sind, gilt \(x = 12\,\text{km}\). 6. Bestimmung der Teilstrecken: \(AZ = 12\,\text{km}\) und \(BZ = 12 + 8 = 20\,\text{km}\). 7. Geometrische Anordnung auf der Geraden: Fall 1: \(A\) und \(B\) liegen auf derselben Seite von \(Z\). Die Entfernung \(AB\) ist \(|20 - 12| = 8\,\text{km}\). Fall 2: \(A\) und \(B\) liegen auf verschiedenen Seiten von \(Z\). Die Entfernung \(AB\) ist \(20 + 12 = 32\,\text{km}\).

Antwort

Die Entfernung zwischen \(A\) und \(B\) beträgt entweder \(8\,\text{km}\) oder \(32\,\text{km}\).
4281169
Zwei Frachtschiffe befahren eine \(120\,\text{km}\) lange Kanalstrecke in entgegengesetzter Richtung. Sie legen zum gleichen Zeitpunkt an den Endpunkten der Strecke ab und fahren mit jeweils konstanter Geschwindigkeit. Nach \(2\,\text{Stunden}\) fahren sie aneinander vorbei. Das schnellere Schiff benötigt für den restlichen Weg nach der Begegnung \(3\,\text{Stunden}\) weniger als das langsamere Schiff für seinen restlichen Weg. a) Bestimme die Geschwindigkeiten der beiden Schiffe in \(\text{km/h}\). b) Berechne, wie viele Kilometer das langsamere Schiff zum Zeitpunkt der Begegnung bereits zurückgelegt hat.

Denkanstöße

- Was weißt du über die Summe der Geschwindigkeiten beider Schiffe? - Drücke die Zeit, die jedes Schiff nach der Begegnung noch braucht, durch die Geschwindigkeiten aus. - Überlege, welche Strecke jedes Schiff nach dem Treffen noch vor sich hat – es ist genau die Strecke, die das andere Schiff bis dahin gefahren ist. - Setze die Geschwindigkeiten in ein Verhältnis, um die Rechnung zu vereinfachen.

Lösung

1. Die Summe der Geschwindigkeiten beträgt \(v_1 + v_2 = \frac{120\,\text{km}}{2\,\text{h}} = 60\,\text{km/h}\). 2. Die Teilstrecken bis zum Treffpunkt sind \(s_1 = 2 \cdot v_1\) und \(s_2 = 2 \cdot v_2\). Nach dem Treffen muss Schiff 1 die Strecke \(s_2\) und Schiff 2 die Strecke \(s_1\) zurücklegen. 3. Die Zeitdifferenz für die Reststrecken liefert die Gleichung \(\frac{2v_2}{v_1} - \frac{2v_1}{v_2} = 3\). 4. Mit dem Verhältnis \(x = \frac{v_1}{v_2}\) führt dies auf die Gleichung \(2x^2 + 3x - 2 = 0\). Die sinnvolle Lösung ist \(x = 0{,}5\). 5. Hieraus folgt \(v_2 = 2 \cdot v_1\). Eingesetzt in die Summe ergibt sich \(3 \cdot v_1 = 60\), also \(v_1 = 20\,\text{km/h}\) und \(v_2 = 40\,\text{km/h}\). 6. Die vom langsameren Schiff zurückgelegte Strecke bis zur Begegnung ist \(s_1 = 2\,\text{h} \cdot 20\,\text{km/h} = 40\,\text{km}\).

Antwort

a) Die Geschwindigkeiten betragen \(20\,\text{km/h}\) und \(40\,\text{km/h}\). b) Das langsamere Schiff hat bis zur Begegnung \(40\,\text{km}\) zurückgelegt.
4269949
Drei Zuleitungen A, B und C füllen ein Speicherbecken. Wenn alle drei gleichzeitig geöffnet sind, wird eine Zeit \(x\) benötigt. - Leitung A benötigt allein \(4\,\text{Stunden}\) mehr als alle drei zusammen. - Leitung B benötigt allein \(10\,\text{Stunden}\) mehr als alle drei zusammen. - Leitung C benötigt allein doppelt so lange wie alle drei zusammen. Bestimme die Zeit \(x\) und die Einzelfüllzeiten der drei Leitungen. Wie lange würde die Befüllung dauern, wenn die langsamste Leitung aufgrund einer Wartung ausfällt?

Denkanstöße

- Beginne damit, eine Variable für die Zeit festzulegen, in der alle Leitungen gemeinsam arbeiten. - Wie hängen die Leistungen der einzelnen Leitungen mit der Gesamtleistung zusammen? - Achte darauf, welche Leitung die längste Zeit benötigt, um sie als „langsamste“ zu identifizieren. - Wenn eine Leitung ausfällt, wie setzt sich die neue Gesamtleistung zusammen?

Lösung

Sei \(x\) die Zeit für die gemeinsame Befüllung. Die Einzelzeiten sind \(T_A = x + 4\), \(T_B = x + 10\) und \(T_C = 2x\). Die Leistungsgleichung lautet \(\frac{1}{x} = \frac{1}{x+4} + \frac{1}{x+10} + \frac{1}{2x}\). Subtrahiert man \(\frac{1}{2x}\) auf beiden Seiten, erhält man \(\frac{1}{2x} = \frac{1}{x+4} + \frac{1}{x+10}\). Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner \(2x(x+4)(x+10)\) ergibt sich \((x+4)(x+10) = 2x(2x + 14)\), was zu \(x^2 + 14x + 40 = 4x^2 + 28x\) führt. Dies resultiert in der quadratischen Gleichung \(3x^2 + 14x - 40 = 0\). Mit der Mitternachtsformel ergibt sich \(x = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot (-40)}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 \pm 26}{6}\). Die sinnvolle Lösung ist \(x = 2\,\text{Stunden}\). Damit ergeben sich die Einzelzeiten \(T_A = 6\,\text{h}\), \(T_B = 12\,\text{h}\) und \(T_C = 4\,\text{h}\). Die langsamste Leitung ist B. Fällt diese aus, beträgt die neue Leistung \(\frac{1}{T_{neu}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12}\). Die neue Dauer ist \(T_{neu} = \frac{12}{5} = 2{,}4\,\text{Stunden}\).

Antwort

Gemeinsame Zeit: \(2\,\text{Stunden}\). Einzelzeiten: \(6\,\text{Stunden}\) (A), \(12\,\text{Stunden}\) (B) und \(4\,\text{Stunden}\) (C). Dauer ohne die langsamste Leitung (B): \(2{,}4\,\text{Stunden}\).
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Zwei Kopiergeräte drucken einen großen Auftrag gemeinsam in \(2\,\text{Stunden}\). Würde man den Auftrag hälftig teilen, sodass erst das eine Gerät die eine Hälfte und danach das andere Gerät die andere Hälfte druckt, wäre die Arbeit nach \(4\,\text{Stunden}\) und \(10\,\text{Minuten}\) erledigt. Bestimme die Zeit, die jedes Gerät allein für den gesamten Auftrag benötigen würde.

Denkanstöße

- Wandle zunächst alle Zeitangaben in eine einheitliche Einheit (z. B. Stunden als Brüche) um. - Überlege dir, wie viel Arbeit jedes Gerät pro Stunde verrichtet. - Wenn jedes Gerät genau die Hälfte der Arbeit macht, wie berechnet sich dann die benötigte Zeit aus der jeweiligen Gesamtarbeitszeit? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Summe und Produkt der Lösungen einer quadratischen Gleichung.

Lösung

1. Umrechnung der Zeit: \(4\,\text{Stunden}\) und \(10\,\text{Minuten}\) entsprechen \(\left(4 + \frac{10}{60}\right)\,\text{Stunden} = \frac{25}{6}\,\text{Stunden}\). 2. Variablenfestlegung: \(x\) und \(y\) seien die Einzelzeiten der Geräte in Stunden. 3. Gleichungssystem: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\) und \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y = \frac{25}{6}\). 4. Vereinfachung der zweiten Gleichung: \(x + y = \frac{25}{3}\). 5. Umformen der ersten Gleichung unter Nutzung der Summe: \(\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{2} \Rightarrow xy = 2(x+y) = \frac{50}{3}\). 6. Aufstellen der quadratischen Gleichung (Satz von Vieta): \(z^2 - \frac{25}{3}z + \frac{50}{3} = 0\), multipliziert mit 3 ergibt \(3z^2 - 25z + 50 = 0\). 7. Lösung der quadratischen Gleichung: \(z = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 600}}{6} = \frac{25 \pm 5}{6}\). 8. Ergebnisse: \(z_1 = 5\) und \(z_2 = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}\). 9. Rückumrechnung: \(\frac{10}{3}\,\text{Stunden}\) entsprechen \(3\,\text{Stunden}\) und \(20\,\text{Minuten}\).

Antwort

Ein Kopiergerät würde allein \(5\,\text{Stunden}\) benötigen, das andere Gerät \(3\,\text{Stunden}\) und \(20\,\text{Minuten}\).

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