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Ähnliche Figuren

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Schwierigkeit: 1 – 5

5531189

Die Abbildung zeigt drei Rechtecke a), b) und c) mit ihren Seitenlängen. Welches der Rechtecke b) oder c) entsteht aus a), wenn beide Seitenlängen verdoppelt werden, und ist damit zu a) ähnlich? Begründe kurz.

Denkanstöße

- Vergleiche jeweils die längere und die kürzere Seite. - Bei einer maßstäblichen Vergrößerung müssen alle entsprechenden Längen im selben Verhältnis verändert werden.

Lösung

1. Rechteck a) hat die Seitenlängen \(3\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\). 2. Beim Verdoppeln entstehen \(6\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\). 3. Genau diese Seitenlängen hat Rechteck b). Rechteck c) hat dagegen \(5\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\). 4. Daher ist b) die maßstäbliche Vergrößerung von a).

Antwort

Rechteck b). Beide entsprechenden Seiten sind doppelt so lang wie bei a).

5565519

Die drei Vierecke sind auf Quadratraster gezeichnet. Ein Kästchen entspricht \(1\,\text{LE}\). Welche der beiden größeren Figuren b) oder c) ist zur Figur a) ähnlich? Gib außerdem das Verhältnis entsprechender Längen von a) zur ähnlichen größeren Figur an.

Denkanstöße

- Vergleiche zuerst die waagerechten und senkrechten Seiten in Kästchen. - Prüfe danach, ob auch die Lage des schrägen Randes durch dasselbe Längenverhältnis entsteht. - Eine einzige passende Seitenlänge reicht für Ähnlichkeit nicht aus.

Lösung

1. In a) haben die waagerechten und senkrechten Seiten die Längen \(4\) und \(2\); in b) sind die entsprechenden Längen \(8\) und \(4\). 2. Auch die schräge Seite entsteht in b) durch dieselbe Verdopplung. Daher ist b) eine maßstäbliche Vergrößerung von a). 3. In c) ist der obere rechte Eckpunkt gegenüber dieser Verdopplung verschoben. Die Seiten stehen deshalb nicht alle im selben Verhältnis. 4. Somit sind a) und b) ähnlich; entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:2\).

Antwort

Ähnlich sind a) und b). Entsprechende Längen von a) und b) stehen im Verhältnis \(1:2\).

5565529

Die Radien der beiden Kreise lassen sich am Quadratraster ablesen; ein Kästchen entspricht \(1\,\text{LE}\). Sind die beiden Kreise ähnlich? Bestimme gegebenenfalls das Verhältnis entsprechender Längen vom kleineren zum größeren Kreis.

Denkanstöße

- Welche Form bleibt erhalten, wenn sich bei einem Kreis nur der Radius ändert? - Lies beide Radien in Kästchen ab. - Vergleiche die beiden Radien als entsprechende Längen.

Lösung

1. Jeder Kreis kann durch eine gleichmäßige Vergrößerung oder Verkleinerung eines anderen Kreises entstehen. Daher sind die beiden Kreise ähnlich. 2. Der kleinere Radius beträgt \(2\,\text{LE}\), der größere \(5\,\text{LE}\). 3. Somit stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1:2{,}5\).

Antwort

Ja. Die Kreise sind ähnlich; entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:2{,}5\).

4147919

Bei Rechtecken sind alle entsprechenden Winkel gleich groß. Deshalb genügt für die Ähnlichkeitsprüfung der Vergleich des Verhältnisses von Länge zu Breite. a) Ein Foto hat die Maße \(10\,\text{cm} \times 15\,\text{cm}\). Ein Poster desselben Motivs hat die Maße \(40\,\text{cm} \times 60\,\text{cm}\). Überprüfe rechnerisch, ob die beiden Formate ähnlich zueinander sind. b) Bei Papierformaten der DIN-A-Reihe (wie A4, A5) ist das Verhältnis der längeren zur kürzeren Seite theoretisch immer \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). Ein DIN-A4-Blatt ist \(21{,}0\,\text{cm} \times 29{,}7\,\text{cm}\) groß. Ein DIN-A5-Blatt misst \(14{,}8\,\text{cm} \times 21{,}0\,\text{cm}\). Bestimme für beide Formate das Verhältnis von Länge zu Breite und beurteile, ob die Rechtecke anhand der angegebenen gerundeten Maße exakt oder nur näherungsweise ähnlich sind.

Denkanstöße

- Welches Verhältnis kannst du bei zwei Rechtecken vergleichen, wenn alle Winkel ohnehin rechte Winkel sind? - Wie berechnet man das Verhältnis zweier Längen? - Muss das Ergebnis bei gerundeten realen Maßangaben exakt gleich sein?

Lösung

1. Für das Foto gilt für Länge zu Breite \(\frac{15}{10}=1{,}5\). Für das Poster gilt \(\frac{60}{40}=1{,}5\). Da diese Verhältnisse gleich sind und beide Figuren Rechtecke sind, sind sie ähnlich. 2. Für DIN A4 ergibt sich \(\frac{29{,}7}{21{,}0}\approx1{,}4143\). Für DIN A5 ergibt sich \(\frac{21{,}0}{14{,}8}\approx1{,}4189\). 3. Mit den angegebenen gerundeten Maßen sind die beiden Rechtecke nicht exakt ähnlich, weil die Verhältnisse verschieden sind. Sie sind jedoch näherungsweise ähnlich. Die idealisierten DIN-A-Formate sind exakt ähnlich, da das Verhältnis von längerer zu kürzerer Seite jeweils \(\sqrt{2}:1\) beträgt.

Antwort

a) Ja. Bei beiden Rechtecken beträgt das Verhältnis von Länge zu Breite \(1{,}5\). b) DIN A4 hat ein Verhältnis von ca. \(1{,}414\), DIN A5 von ca. \(1{,}419\). Nach den gerundeten Maßangaben sind sie nicht exakt, sondern nur näherungsweise ähnlich; die idealisierten DIN-A-Formate sind exakt ähnlich.

4147939

Zwei geometrische Figuren sind ähnlich, wenn ihre entsprechenden Winkel gleich groß sind und die Verhältnisse entsprechender Seitenlängen übereinstimmen. a) Begründe, warum alle Quadrate zueinander ähnlich sind. b) Untersuche, ob diese Aussage auch für alle Rauten (Rhomben) zutrifft. Gib ein Gegenbeispiel oder eine Begründung an.

Denkanstöße

- Welche Eigenschaften teilen alle Quadrate hinsichtlich ihrer Winkel und Seiten? - Gibt es bei Rauten eine Eigenschaft, die sich verändern kann, während die Seitenlängen gleich bleiben?

Lösung

1. Begründung für Quadrate: Jedes Quadrat hat vier Winkel von \(90^\circ\). Sind die Seitenlängen zweier Quadrate \(a\) und \(b\), so haben alle entsprechenden Seitenpaare dasselbe Verhältnis \(\frac{b}{a}\). Daher sind alle Quadrate zueinander ähnlich. 2. Untersuchung der Rauten: Bei Rauten sind zwar alle Seiten innerhalb einer Figur gleich lang, die Innenwinkel können jedoch verschieden sein. Eine Raute mit den Winkeln \(60^\circ\) und \(120^\circ\) ist nicht ähnlich zu einer Raute mit den Winkeln \(80^\circ\) und \(100^\circ\). Daher sind nicht alle Rauten zueinander ähnlich.

Antwort

a) Alle Quadrate sind zueinander ähnlich, da ihre entsprechenden Winkel gleich groß und ihre entsprechenden Seiten proportional sind. b) Nein. Rauten können unterschiedliche Innenwinkel haben und sind daher nicht immer zueinander ähnlich.

4147949

Ein Rechteck \(R_1\) hat die Seitenlängen \(a = 4\,\text{cm}\) und \(b = 6\,\text{cm}\). Ein zweites Rechteck \(R_2\) ist zu \(R_1\) ähnlich und besitzt einen Umfang von \(40\,\text{cm}\). Bestimme die Seitenlängen von \(R_2\) und das Verhältnis der Flächeninhalte von \(R_2\) zu \(R_1\).

Denkanstöße

- Wie hängen der Umfang und die Seitenlängen bei ähnlichen Figuren zusammen? - Was passiert mit dem Umfang, wenn alle entsprechenden Seitenlängen im selben Verhältnis vergrößert werden? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Verhältnis entsprechender Seitenlängen und dem Verhältnis der Flächeninhalte?

Lösung

1. Berechnung des Umfangs von \(R_1\): \(U_1 = 2 \cdot (4\,\text{cm} + 6\,\text{cm}) = 20\,\text{cm}\). 2. Das Verhältnis der Umfänge und damit auch entsprechender Längen beträgt \(\frac{U_2}{U_1}=\frac{40}{20}=2\). 3. Berechnung der Seitenlängen von \(R_2\): \(a_2 = 2 \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\) und \(b_2 = 2 \cdot 6\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). 4. Bestimmung des Verhältnisses der Flächeninhalte: Da entsprechende Längen im Verhältnis \(2:1\) stehen, ist das Verhältnis der Flächeninhalte \(2^2=4\).

Antwort

Die Seitenlängen von \(R_2\) betragen \(8\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\). Das Verhältnis der Flächeninhalte von \(R_2\) zu \(R_1\) ist \(4\) (bzw. \(4:1\)).

4148019

Zwei regelmäßige Fünfecke sind zueinander ähnlich. Das kleinere Fünfeck hat einen Flächeninhalt von \(18\,\text{cm}^2\), das größere Fünfeck einen Flächeninhalt von \(162\,\text{cm}^2\). Bestimme das Verhältnis entsprechender Längen vom kleinen zum großen Fünfeck.

Denkanstöße

- Wie hängen das Verhältnis der Flächeninhalte und das Verhältnis der Seitenlängen bei ähnlichen Figuren zusammen? - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn man alle Seitenlängen verdoppelt oder verdreifacht? - Kannst du aus dem Verhältnis der Flächeninhalte auf das Verhältnis entsprechender Längen schließen?

Lösung

1. Berechnung des Verhältnisses der Flächeninhalte: \(q = \frac{A_{\text{groß}}}{A_{\text{klein}}} = \frac{162\,\text{cm}^2}{18\,\text{cm}^2} = 9\). 2. Das Verhältnis der Flächeninhalte entspricht dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen. 3. Aus \(9=3^2\) folgt daher das Längenverhältnis \(1:3\). 4. Jede Seitenlänge des großen Fünfecks ist somit dreimal so lang wie die entsprechende Seitenlänge des kleinen Fünfecks.

Antwort

Entsprechende Längen des kleinen und großen Fünfecks stehen im Verhältnis \(1:3\).

4148039

Entscheide für die folgenden Paare geometrischer Figuren, ob sie zueinander immer ähnlich sind. Begründe deine Antwort kurz. a) Zwei regelmäßige Sechsecke b) Zwei gleichschenklige Trapeze

Denkanstöße

- Was bedeutet Ähnlichkeit für die Winkel einer Figur? - Überlege, ob die Form einer Figur durch ihren Namen bereits vollständig festgelegt ist oder ob es Spielraum für verschiedene Winkel gibt. - Gibt es bei regelmäßigen Vielecken eine feste Winkelgröße?

Lösung

1. Figuren sind ähnlich, wenn alle einander entsprechenden Winkel gleich groß sind und alle einander entsprechenden Seiten dasselbe Längenverhältnis haben. 2. Analyse regelmäßiger Sechsecke: In jedem regelmäßigen Sechseck sind alle Innenwinkel exakt \(120^\circ\). Da alle sechs Seiten innerhalb eines Sechsecks gleich lang sind, haben alle einander entsprechenden Seiten zweier regelmäßiger Sechsecke dasselbe Längenverhältnis. Ergebnis: Immer ähnlich. 3. Analyse gleichschenkliger Trapeze: Zwar sind die Basiswinkel paarweise gleich, jedoch können diese Winkel von Trapez zu Trapez variieren (z. B. \(70^\circ\) bei einem, \(80^\circ\) bei einem anderen). Zudem ist das Verhältnis der Längen der beiden parallelen Grundseiten nicht fest vorgegeben. Ergebnis: Nicht immer ähnlich.

Antwort

a) Ja, zwei regelmäßige Sechsecke sind immer ähnlich, da ihre Innenwinkel immer \(120^\circ\) betragen und alle entsprechenden Seiten dasselbe Längenverhältnis haben. b) Nein, zwei gleichschenklige Trapeze sind nicht immer ähnlich, da ihre Innenwinkel unterschiedlich sein können und die Längenverhältnisse entsprechender Seiten variieren können.

4148059

Zwei Parallelogramme haben jeweils Seiten im Verhältnis \(2:3\). Reicht diese Information aus, um sicher zu entscheiden, ob die beiden Figuren zueinander ähnlich sind? Begründe deine Überlegung und nenne die Bedingungen, die für die Ähnlichkeit von Vielecken erfüllt sein müssen.

Denkanstöße

- Kannst du dir zwei Parallelogramme mit demselben Verhältnis ihrer beiden Seitenlängen vorstellen, die unterschiedlich „schief“ sind? - Welche Bedingungen nennt die Definition der Ähnlichkeit für Vielecke? - Welche dieser Bedingungen wird durch die Angabe \(2:3\) noch nicht festgelegt?

Lösung

1. Zwei Vielecke sind ähnlich, wenn alle einander entsprechenden Winkel gleich groß sind und alle einander entsprechenden Seiten dasselbe Längenverhältnis haben. 2. Die Angabe \(2:3\) beschreibt in beiden Parallelogrammen nur das Verhältnis der beiden verschieden langen Seiten innerhalb der jeweiligen Figur. Entsprechende Seiten könnten damit zwar proportional sein. 3. Über die Innenwinkel ist aber nichts bekannt. Ein Parallelogramm mit Seitenlängen \(2\) und \(3\) könnte ein Rechteck sein, ein anderes mit demselben Verhältnis der Seitenlängen könnte beispielsweise Winkel von \(45^\circ\) und \(135^\circ\) haben. 4. Da die entsprechenden Winkel nicht zwangsläufig gleich groß sind, reicht die Angabe nicht aus.

Antwort

Nein. Für ähnliche Vielecke müssen alle einander entsprechenden Winkel gleich groß sein und alle einander entsprechenden Seiten dasselbe Längenverhältnis haben. Das Verhältnis \(2:3\) innerhalb beider Parallelogramme legt die Winkel nicht fest.

4155749

Zwei ähnliche Vielecke \(V\) und \(V'\) haben die entsprechenden Seitenlängen \(a,b,c,\dots\) und \(a',b',c',\dots\). Begründe, warum das Verhältnis der Umfänge \(U\) und \(U'\) gleich dem Verhältnis entsprechender Seitenlängen ist, also \(\frac{U}{U'}=\frac{a}{a'}\).

Denkanstöße

- Wie setzt sich der Umfang eines Vielecks aus seinen Seitenlängen zusammen? - Was bedeutet Ähnlichkeit für das Verhältnis entsprechender Seiten? - Was geschieht mit einem gemeinsamen Längenverhältnis, wenn du die entsprechenden Seiten jeweils addierst?

Lösung

1. Wegen der Ähnlichkeit gilt für alle entsprechenden Seiten \(\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=\dots\). 2. Bezeichne diesen gemeinsamen Quotienten vorübergehend mit \(r\). Dann gilt \(a=ra'\), \(b=rb'\), \(c=rc'\) und so weiter. 3. Für die Umfänge folgt \(U=a+b+c+\dots=r(a'+b'+c'+\dots)=rU'\). 4. Daher ist \(\frac{U}{U'}=r=\frac{a}{a'}\).

Antwort

Bei ähnlichen Vielecken haben alle entsprechenden Seiten dasselbe Längenverhältnis. Deshalb gilt dieses Verhältnis auch für die Umfänge: \(\frac{U}{U'}=\frac{a}{a'}\).

4364279

Zwei Rechtecke \(R_1\) und \(R_2\) sind zueinander ähnlich. Das Rechteck \(R_1\) hat die Seitenlängen \(a_1 = 6\,\text{cm}\) und \(b_1 = 4\,\text{cm}\). Das größere Rechteck \(R_2\) hat eine längere Seite von \(a_2 = 15\,\text{cm}\). a) Berechne die Länge der kürzeren Seite \(b_2\) des Rechtecks \(R_2\). b) Erläutere allgemein, was man in der Geometrie unter der Ähnlichkeit von zwei Figuren versteht. Gehe dabei auf entsprechende Seiten und Winkel ein.

Denkanstöße

- Welche beiden Seiten von \(R_1\) und \(R_2\) entsprechen einander? - Welches gemeinsame Längenverhältnis muss für alle entsprechenden Seiten gelten? - Welche Eigenschaft der entsprechenden Winkel gehört ebenfalls zur Ähnlichkeit?

Lösung

1. Da die Rechtecke ähnlich sind, gilt für entsprechende Seiten \(\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1}\). Die entsprechenden Seitenlängen stehen also im Verhältnis \(2{,}5:1\). 2. Damit ist \(b_2 = 4\,\text{cm} \cdot 2{,}5 = 10\,\text{cm}\). 3. Zwei Figuren sind ähnlich, wenn entsprechende Winkel gleich groß sind und alle entsprechenden Seitenlängen im gleichen Verhältnis stehen.

Antwort

a) \(b_2 = 10\,\text{cm}\) b) Entsprechende Winkel sind gleich groß, und alle einander entsprechenden Seiten haben dasselbe Längenverhältnis.

4364329

Die Abbildung zeigt drei Dreiecke I, II und III. Alle eingetragenen Längen sind in Längeneinheiten angegeben. Untersuche, welche Dreiecke zueinander ähnlich sind. Begründe deine Entscheidung, indem du die Längenverhältnisse aller drei Paare entsprechender Seiten vergleichst.

Denkanstöße

- Lies für jedes Dreieck alle drei Seitenlängen aus der Abbildung ab. - Ordne die Seiten nach ihrer Länge, bevor du entsprechende Paare vergleichst. - Prüfe bei jedem Paar, ob alle drei Längenverhältnisse übereinstimmen.

Lösung

1. Dreieck I hat die Seitenlängen \(3\), \(4\) und \(5\); Dreieck II die Seitenlängen \(6\), \(8\) und \(10\). 2. Für I und II gilt \(\frac{6}{3}=2\), \(\frac{8}{4}=2\) und \(\frac{10}{5}=2\). Daher sind I und II ähnlich. 3. Dreieck III hat die Seitenlängen \(5\), \(5\) und \(6\). Diese lassen sich den Seiten von I oder II nicht so zuordnen, dass alle drei Längenverhältnisse gleich sind. 4. Daher ist III zu keinem der beiden anderen Dreiecke ähnlich.

Antwort

I und II sind ähnlich, denn \(\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2\). Dreieck III ist weder zu I noch zu II ähnlich, weil sich für seine Seiten \(5,5,6\) kein gemeinsames Längenverhältnis zu allen drei Seiten von I oder II ergibt.

5531199

Die beiden dargestellten L-Figuren sind ähnlich. In der Zeichnung entspricht ein Kästchen einer Längeneinheit. a) Ordne jedem Eckpunkt \(A,B,C,D,E,F\) der linken Figur den entsprechenden Eckpunkt der rechten Figur zu. b) Bestimme das Verhältnis entsprechender Längen von der linken zur rechten Figur.

Denkanstöße

- Suche zuerst nach einem Eckpunkt mit einer besonderen Lage, zum Beispiel dem nach innen gerichteten Winkel. - Verfolge von diesem Punkt aus die Reihenfolge der Seiten, statt dich an der Ausrichtung der Figur zu orientieren. - Für das Längenverhältnis kannst du zwei entsprechende Strecken in Kästchen zählen.

Lösung

1. Der einzige nach innen gerichtete Eckpunkt der linken Figur ist \(D\); ihm entspricht der nach innen gerichtete Eckpunkt \(P\). Von dort aus lässt sich die Reihenfolge der angrenzenden Seiten verfolgen. 2. Damit lautet die Zuordnung \(A\leftrightarrow S\), \(B\leftrightarrow T\), \(C\leftrightarrow U\), \(D\leftrightarrow P\), \(E\leftrightarrow Q\), \(F\leftrightarrow R\). 3. Eine Seite der Länge \(4\) Kästchen, etwa \(AB\), entspricht einer Seite der Länge \(8\) Kästchen, nämlich \(ST\). Daher beträgt das Längenverhältnis vom kleineren zum größeren Bild \(1:2\).

Antwort

a) \(A\leftrightarrow S\), \(B\leftrightarrow T\), \(C\leftrightarrow U\), \(D\leftrightarrow P\), \(E\leftrightarrow Q\), \(F\leftrightarrow R\) b) \(1:2\)

5565539

Die beiden dargestellten Fünfecke sind ähnlich. Ein Kästchen entspricht \(1\,\text{LE}\). Ordne jedem Eckpunkt \(A,B,C,D,E\) des ersten Fünfecks den entsprechenden Eckpunkt \(K,L,M,N,P\) des zweiten zu. Bestimme außerdem das Verhältnis entsprechender Längen vom ersten zum zweiten Fünfeck.

Denkanstöße

- Suche zuerst einen Eckpunkt mit besonders auffälliger Umgebung. - Verfolge danach den Rand des Fünfecks in derselben Reihenfolge, auch wenn die Orientierung gespiegelt ist. - Vergleiche eine entsprechende Seitenlänge in Kästchen, sobald die Zuordnung feststeht.

Lösung

1. Das zweite Fünfeck ist gegenüber dem ersten gespiegelt und in allen Längen verdoppelt. 2. Die charakteristische Spitze \(C\) entspricht \(L\), die beiden Nachbarpunkte \(B\) und \(D\) entsprechen \(M\) und \(K\). 3. Damit lautet die vollständige Zuordnung \(A\leftrightarrow N\), \(B\leftrightarrow M\), \(C\leftrightarrow L\), \(D\leftrightarrow K\), \(E\leftrightarrow P\). 4. Entsprechende Seitenlängen stehen im Verhältnis \(1:2\).

Antwort

\(A\leftrightarrow N\), \(B\leftrightarrow M\), \(C\leftrightarrow L\), \(D\leftrightarrow K\), \(E\leftrightarrow P\); Verhältnis entsprechender Längen \(1:2\)

5565549

Zwei ähnliche unregelmäßige Fünfecke haben entsprechende Seitenlängen \(7{,}5\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\). Der Umfang des größeren Fünfecks beträgt \(56\,\text{cm}\). Bestimme den Umfang des kleineren Fünfecks.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst das Verhältnis der beiden entsprechenden Seiten. - Der Umfang ist eine Summe von Längen. Wie verändert sich deshalb der gesamte Umfang bei ähnlichen Figuren? - Achte darauf, in welche Richtung du vom bekannten größeren Umfang zum kleineren Umfang rechnest.

Lösung

1. Entsprechende Seitenlängen des kleineren und größeren Fünfecks stehen im Verhältnis \(7{,}5:12=1:1{,}6\). 2. Da der Umfang eine Summe entsprechender Seitenlängen ist, gilt auch für die Umfänge das Verhältnis \(1{,}6:1\). 3. Daher beträgt der kleinere Umfang \(56\,\text{cm}:1{,}6=35\,\text{cm}\).

Antwort

\(35\,\text{cm}\)

5565559

Mira sagt: „Der Pfeil b) kann nicht ähnlich zu a) sein, weil er spiegelverkehrt ist.“ Beide Pfeile sind auf demselben Quadratraster dargestellt; ein Kästchen entspricht \(1\,\text{LE}\). Beurteile Miras Aussage und bestimme das Verhältnis entsprechender Längen von a) zu b).

Denkanstöße

- Welche Eigenschaften einer Figur ändern sich bei einer Spiegelung, welche nicht? - Vergleiche eine kurze und eine lange entsprechende Strecke in Kästchen. - Prüfe, ob dasselbe Längenverhältnis an mehreren Stellen des Umrisses wiederkehrt.

Lösung

1. Eine Spiegelung verändert weder Winkelgrößen noch die Verhältnisse entsprechender Seitenlängen. Sie schließt Ähnlichkeit daher nicht aus. 2. Beim Pfeil b) sind alle entsprechenden Längen \(1{,}5\)-mal so groß wie bei a). 3. Damit ist b) eine gespiegelte maßstäbliche Vergrößerung von a); entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:1{,}5\). 4. Miras Aussage ist falsch.

Antwort

Miras Aussage ist falsch. Die Pfeile sind ähnlich; entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:1{,}5\).

4148079

Zwei Rauten haben jeweils eine Seitenlänge von \(s=5\,\text{cm}\). a) Begründe, warum diese Information allein nicht ausreicht, um zu behaupten, dass die beiden Rauten ähnlich sind. b) Welche zusätzliche Bedingung müsste erfüllt sein, damit die Ähnlichkeit der beiden Rauten garantiert ist?

Denkanstöße

- Was kannst du an einer Raute verändern, ohne ihre Seitenlängen zu ändern? - Welche Bedingung für ähnliche Vielecke ist durch die gleichen Seitenlängen bereits erfüllt? - Welche Bedingung fehlt noch?

Lösung

1. Für alle einander entsprechenden Seiten gilt bereits das Längenverhältnis \(5:5=1:1\). 2. Für ähnliche Vielecke müssen zusätzlich alle einander entsprechenden Winkel gleich groß sein. 3. Eine Raute ist durch ihre Seitenlänge nicht starr festgelegt. Ihre Winkel können sich ändern, etwa von \(30^\circ\) und \(150^\circ\) zu \(80^\circ\) und \(100^\circ\), ohne dass sich die Seitenlängen ändern. 4. Deshalb reicht die gleiche Seitenlänge allein nicht für die Ähnlichkeit. 5. Stimmen zusätzlich einander entsprechende Innenwinkel überein, so sind bei Rauten wegen der Winkelbeziehungen alle entsprechenden Winkel gleich groß; zusammen mit den bereits gleichen Seitenlängen ist die Ähnlichkeit damit gesichert.

Antwort

a) Gleiche Seitenlängen reichen nicht aus, weil zwei Rauten unterschiedliche Innenwinkel haben können. b) Zusätzlich müssen einander entsprechende Innenwinkel gleich groß sein; bei Rauten genügt dazu die Angabe eines entsprechenden Innenwinkels.

4148089

Ein rechteckiges Werbeschild ist \(120\,\text{cm}\) breit und \(80\,\text{cm}\) hoch. Es soll vergrößert werden. Dabei stehen zwei Methoden zur Auswahl: Methode 1: Zu der Breite und zu der Höhe werden jeweils \(40\,\text{cm}\) addiert. Methode 2: Die Breite und die Höhe werden jeweils mit \(1{,}5\) multipliziert. Untersuche durch einen Vergleich des Verhältnisses von Breite zu Höhe, bei welcher Methode das neue Schild zum Originalschild ähnlich ist.

Denkanstöße

- Welches Verhältnis beschreibt die Form eines Rechtecks unabhängig von seiner Größe? - Bleibt ein Verhältnis gleich, wenn man zu beiden Größen denselben Betrag addiert? - Was geschieht mit einem Verhältnis, wenn beide Größen mit derselben Zahl multipliziert werden?

Lösung

1. Beim ursprünglichen Schild beträgt das Verhältnis von Breite zu Höhe \(\frac{120}{80}=1{,}5\). 2. Bei Methode 1 entstehen \(160\,\text{cm}\) Breite und \(120\,\text{cm}\) Höhe. Das Verhältnis beträgt \(\frac{160}{120}=\frac{4}{3}\approx1{,}33\). 3. Da sich das Verhältnis von Breite zu Höhe geändert hat, ist das neue Rechteck nicht zum Original ähnlich. 4. Bei Methode 2 entstehen \(180\,\text{cm}\) Breite und \(120\,\text{cm}\) Höhe. Das Verhältnis beträgt \(\frac{180}{120}=1{,}5\). 5. Dieses Verhältnis stimmt mit dem des Ausgangsrechtecks überein; alle Winkel bleiben rechte Winkel. Daher sind die Rechtecke ähnlich.

Antwort

Nur Methode 2 erzeugt ein ähnliches Rechteck. Bei Methode 1 ändert sich das Verhältnis von Breite zu Höhe von \(1{,}5\) auf etwa \(1{,}33\); bei Methode 2 bleibt es \(1{,}5\).

4148109

Die Abbildung zeigt ein Rechteck \(R\). Ein zweites Rechteck \(R_1\) ist zu \(R\) ähnlich und hat den Flächeninhalt \(144\,\text{cm}^2\). Bestimme die Seitenlängen von \(R_1\).

Denkanstöße

- Wie verändert sich der Flächeninhalt, wenn alle entsprechenden Seitenlängen im selben Verhältnis vergrößert werden? - Berechne zunächst den Flächeninhalt des ursprünglichen Rechtecks. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Verhältnis der Flächeninhalte und dem Verhältnis entsprechender Längen bei ähnlichen Figuren?

Lösung

1. Berechnung des Flächeninhalts des ersten Rechtecks: \(A = ab = 4\,\text{cm} \cdot 9\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung des Verhältnisses der Flächeninhalte: \(\frac{A_1}{A} = \frac{144\,\text{cm}^2}{36\,\text{cm}^2} = 4\). 3. Bei ähnlichen Figuren entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen. Aus \(4=2^2\) folgt daher das Längenverhältnis \(1:2\). 4. Berechnung der neuen Seitenlängen: \(a_1 = 4\,\text{cm} \cdot 2 = 8\,\text{cm}\) und \(b_1 = 9\,\text{cm} \cdot 2 = 18\,\text{cm}\).

Antwort

Die Seitenlängen des zweiten Rechtecks betragen \(a_1 = 8\,\text{cm}\) und \(b_1 = 18\,\text{cm}\).

4148689

Gegeben sind zwei Rechtecke: Rechteck \(R_1\) hat die Maße \(12\,\text{cm} \times 18\,\text{cm}\). Rechteck \(R_2\) hat die Maße \(16\,\text{cm} \times 24\,\text{cm}\). a) Überprüfe rechnerisch, ob die Rechtecke \(R_1\) und \(R_2\) zueinander ähnlich sind. b) Wenn man \(R_1\) parallel zur kürzeren Seite so halbiert, dass zwei neue, deckungsgleiche Rechtecke entstehen, sind diese neuen Rechtecke dann ähnlich zu \(R_1\)? Begründe deine Antwort durch einen Vergleich des Verhältnisses von längerer zu kürzerer Seite. c) Wie lang müsste die längere Seite von \(R_1\) sein, bei gleichbleibender kurzer Seite von \(12\,\text{cm}\), damit das Rechteck zu seinen eigenen Hälften ähnlich ist?

Denkanstöße

- Vergleiche bei den Rechtecken jeweils das Verhältnis der längeren zur kürzeren Seite. - Welche Seitenlänge ändert sich bei der Halbierung? - Setze für die gesuchte längere Seite eine Variable ein und vergleiche wieder dieselben beiden Verhältnisse.

Lösung

1. Für \(R_1\) beträgt das Verhältnis der längeren zur kürzeren Seite \(\frac{18}{12}=1{,}5\), für \(R_2\) \(\frac{24}{16}=1{,}5\). Da die Verhältnisse gleich sind und alle Winkel \(90^\circ\) betragen, sind die Rechtecke ähnlich. 2. Nach der Halbierung hat jedes Teilrechteck die Seitenlängen \(12\,\text{cm}\) und \(9\,\text{cm}\). Das Verhältnis der längeren zur kürzeren Seite ist \(\frac{12}{9}\approx1{,}33\). Es stimmt nicht mit \(1{,}5\) überein; die Hälften sind daher nicht zum Original ähnlich. 3. Für die gesuchte lange Seite \(x\) muss gelten \(\frac{x}{12}=\frac{12}{x/2}\). Daraus folgt \(x^2=288\) und somit \(x=12\sqrt{2}\approx16{,}97\,\text{cm}\).

Antwort

a) Ja, beide Rechtecke haben das Verhältnis \(1{,}5:1\) von längerer zu kürzerer Seite. b) Nein. Bei den Hälften beträgt dieses Verhältnis etwa \(1{,}33:1\), beim Original \(1{,}5:1\). c) Die längere Seite müsste \(12\sqrt{2}\,\text{cm}\approx16{,}97\,\text{cm}\) lang sein.

4148819

Sophie stellt die folgende Behauptung auf: „Wenn zwei Vielecke in allen einander entsprechenden Innenwinkeln übereinstimmen, dann müssen sie auch zueinander ähnlich sein.“ Untersuche diese Aussage für die folgenden zwei Fälle und begründe deine Entscheidung: a) Die Vielecke sind Dreiecke. b) Die Vielecke sind Trapeze.

Denkanstöße

- Was genau bedeutet Ähnlichkeit bei geometrischen Figuren? - Gibt es für Dreiecke spezielle Sätze, die für Vierecke vielleicht nicht gelten? - Kannst du dir zwei Vierecke vorstellen, die die gleichen Winkel haben, aber unterschiedliche Längenverhältnisse entsprechender Seiten besitzen?

Lösung

1. Definition der Ähnlichkeit: Zwei Figuren sind ähnlich, wenn ihre entsprechenden Winkel gleich groß und ihre entsprechenden Seitenlängen proportional sind. 2. Fall a) Dreiecke: Die Aussage ist wahr. Bei Dreiecken reicht bereits die Übereinstimmung in der Größe zweier entsprechender Winkel für die Ähnlichkeit aus. 3. Fall b) Trapeze: Die Aussage ist falsch. Als Gegenbeispiel eignen sich zwei gleichschenklige Trapeze mit jeweils den Basiswinkeln \(45^\circ\) und \(135^\circ\): \(T_1\) habe Grundseiten \(6\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\) sowie Höhe \(2\,\text{cm}\); \(T_2\) habe Grundseiten \(8\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) sowie ebenfalls Höhe \(2\,\text{cm}\). Beide haben dieselben Innenwinkel, aber die Verhältnisse entsprechender Grundseiten \(8:6\) und \(4:2\) stimmen nicht überein. Daher sind sie nicht ähnlich.

Antwort

a) Die Aussage ist wahr, da bei Dreiecken die Übereinstimmung in der Größe zweier entsprechender Winkel bereits die Ähnlichkeit garantiert. b) Die Aussage ist falsch. Zwei Trapeze können dieselben Innenwinkel, aber nicht proportionale entsprechende Seiten haben; gleiche Winkel allein reichen bei Vierecken nicht aus.

4370499

Zwei ähnliche Figuren haben Flächeninhalte von \(27\,\text{cm}^2\) und \(75\,\text{cm}^2\). Die kleinere Figur hat eine Seitenlänge von \(9\,\text{cm}\). Berechne die entsprechende Seitenlänge \(x\) der größeren Figur.

Denkanstöße

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Verhältnis der Flächeninhalte und dem Verhältnis entsprechender Längen ähnlicher Figuren? - Vereinfache zuerst das Verhältnis der beiden Flächeninhalte. - Welche positive Zahl musst du quadrieren, um dieses Verhältnis der Flächeninhalte zu erhalten?

Lösung

1. Das Verhältnis der Flächeninhalte ist \(\frac{75}{27}=\frac{25}{9}\). 2. Daher stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(\sqrt{\frac{25}{9}}:1=\frac{5}{3}:1\). 3. Die entsprechende Seitenlänge ist \(x=9\,\text{cm}\cdot\frac{5}{3}=15\,\text{cm}\).

Antwort

\(x = 15\,\text{cm}\)

5565569

Lena behauptet zu den beiden dargestellten Parallelogrammen: „Die entsprechenden Seiten sind jeweils im Verhältnis \(1:2\). Also müssen die Parallelogramme ähnlich sein.“ Beurteile die Behauptung und begründe deine Entscheidung mit den Informationen aus der Abbildung.

Denkanstöße

- Welche zwei Arten von Eigenschaften müssen bei ähnlichen Vielecken zusammenpassen? - Prüfe Lenas Seitenvergleich zunächst unabhängig von den Winkeln. - Welche zusätzliche Information liefert die Winkelmarkierung?

Lösung

1. Die Seitenlängen passen tatsächlich zu einem einheitlichen Längenverhältnis: \(8:4=4:2=2\). 2. Bei ähnlichen Vierecken müssen zusätzlich die entsprechenden Winkel gleich groß sein. 3. In a) beträgt der markierte Innenwinkel \(60^\circ\), in b) dagegen \(75^\circ\). 4. Deshalb sind die beiden Parallelogramme nicht ähnlich. Lenas Begründung berücksichtigt nur die Seitenlängen.

Antwort

Lenas Behauptung ist falsch. Trotz proportionaler Seiten sind die Parallelogramme wegen \(60^\circ\neq75^\circ\) nicht ähnlich.

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Figur a) ist die Ausgangsfigur. Die Figuren b), c) und d) sind auf Quadratraster gezeichnet. Welche dieser drei Figuren sind zu a) ähnlich? Begründe jeweils kurz über die Art der Formänderung.

Denkanstöße

- Prüfe, ob alle Richtungen im selben Längenverhältnis verändert wurden. - Eine Drehung verändert die Form nicht. - Vergleiche bei c) und d) besonders die Winkel beziehungsweise die relative Breite und Höhe.

Lösung

1. Figur b) entsteht aus a) durch eine Drehung und eine maßstäbliche Vergrößerung mit dem Längenverhältnis \(2:1\). Daher ist b) zu a) ähnlich. 2. Bei c) werden nur die waagerechten Abstände verdoppelt. Die Figur wird also nicht maßstäblich vergrößert; Winkel und Längenverhältnisse entsprechender Seiten ändern sich. c) ist nicht ähnlich zu a). 3. Figur d) ist geschert. Dabei ändern sich Winkel, obwohl manche Längen- oder Parallelitätseigenschaften erhalten bleiben. d) ist nicht ähnlich zu a). 4. Nur b) ist zu a) ähnlich.

Antwort

Nur b) ist zu a) ähnlich; dort liegt eine Drehung mit gleichmäßiger Vergrößerung vor.

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Ein großes rechteckiges Werbeplakat mit den Seitenlängen \(a\) und \(b\), wobei \(b\) die längere Seite ist, soll so in drei identische kleinere Rechtecke zerschnitten werden, dass die Schnittlinien parallel zur kürzeren Seite \(a\) verlaufen. Die drei entstehenden kleinen Rechtecke sollen zum ursprünglichen großen Plakat ähnlich sein. Bestimme das exakte Verhältnis \(b:a\) des ursprünglichen Plakats.

Denkanstöße

- Welche Seitenlängen haben die drei Teilrechtecke? - Welche Seite ist beim Teilrechteck die längere? - Welches Verhältnis muss beim Original und beim Teilrechteck übereinstimmen, damit die Rechtecke ähnlich sind?

Lösung

1. Beim ursprünglichen Rechteck ist das Verhältnis der längeren zur kürzeren Seite \(\frac{b}{a}\). Durch die Dreiteilung haben die Teilrechtecke die Seitenlängen \(a\) und \(\frac{b}{3}\). 2. Damit ein Teilrechteck zum Original ähnlich ist, muss das Verhältnis der längeren zur kürzeren Seite gleich bleiben. Im Teilrechteck ist \(a\) die längere Seite. Daher gilt \(\frac{b}{a}=\frac{a}{b/3}\). 3. Daraus folgt \(\frac{b}{a}=\frac{3a}{b}\) und damit \(b^2=3a^2\). 4. Durch Division durch \(a^2\) erhält man \(\frac{b^2}{a^2}=3\). Daher ist \(\frac{b}{a}=\sqrt{3}\).

Antwort

Das Verhältnis der langen zur kurzen Seite beträgt \(\sqrt{3}:1\).

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Ein Papierbogen im Format A0 hat einen Flächeninhalt von genau \(1\,\text{m}^2\). Beim A0-Bogen beträgt das Verhältnis von Länge zu Breite \(\sqrt{2}:1\). a) Berechne die Seitenlängen eines A0-Bogens in Zentimetern. Runde auf eine Dezimalstelle. b) Ein A4-Bogen entsteht, indem man einen A0-Bogen insgesamt viermal nacheinander jeweils an der längeren Seite halbiert. Welchen Flächeninhalt hat ein A4-Bogen in \(\text{cm}^2\)? c) Zeige für einen Halbierungsschritt, dass das Verhältnis der längeren zur kürzeren Seite wieder \(\sqrt{2}:1\) ist. Begründe damit, warum ein A4-Bogen zum A0-Bogen ähnlich ist.

Denkanstöße

- Wie hängen die beiden Seitenlängen des A0-Bogens mit dem Verhältnis \(\sqrt{2}:1\) zusammen? - Wie oft wird der Flächeninhalt auf dem Weg von A0 zu A4 halbiert? - Welche beiden Seitenlängen entstehen aus \(x\) und \(\sqrt{2}x\), wenn die längere Seite halbiert wird? - Welches Verhältnis von Länge zu Breite müssen zwei Rechtecke besitzen, damit sie ähnlich sind?

Lösung

1. Sei \(x\) die kurze Seite des A0-Bogens. Dann ist \(\sqrt{2}x\) die lange Seite und \(x\cdot\sqrt{2}x=10\,000\,\text{cm}^2\). Somit ist \(x^2=\frac{10000}{\sqrt{2}}\) und \(x\approx84{,}1\,\text{cm}\). Die lange Seite ist \(\sqrt{2}x\approx118{,}9\,\text{cm}\). 2. Bei jeder Halbierung wird der Flächeninhalt halbiert. Nach vier Schritten ist er \(10\,000\,\text{cm}^2:16=625\,\text{cm}^2\). 3. Vor einem Halbierungsschritt seien die Seiten \(x\) und \(\sqrt{2}x\). Nach dem Halbieren der längeren Seite sind die Seiten \(x\) und \(\frac{\sqrt{2}}{2}x\). Das Verhältnis der längeren zur kürzeren neuen Seite ist \(\frac{x}{(\sqrt{2}/2)x}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\). Damit bleibt das Verhältnis von längerer zu kürzerer Seite bei jedem Schritt gleich; alle Winkel bleiben rechte Winkel. Deshalb ist auch A4 zu A0 ähnlich.

Antwort

a) Die Seitenlängen betragen \(\approx84{,}1\,\text{cm}\) und \(\approx118{,}9\,\text{cm}\). b) \(625\,\text{cm}^2\) c) Nach einer Halbierung gilt \(\frac{x}{(\sqrt{2}/2)x}=\sqrt{2}\). Daher bleibt das Verhältnis von längerer zu kürzerer Seite \(\sqrt{2}:1\) erhalten und A4 ist zu A0 ähnlich.

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Zwei konvexe Fünfecke \(ABCDE\) und \(KLMNP\) haben folgende Eigenschaften: - Alle fünf entsprechenden Seitenlängen stehen im selben Verhältnis. - Vier Paare entsprechender Innenwinkel sind gleich groß. Reichen diese Angaben aus, um die Ähnlichkeit der beiden Fünfecke sicher zu begründen? Erkläre.

Denkanstöße

- Welche feste Winkelsumme hat jedes Fünfeck? - Wenn vier Summanden in zwei gleich großen Gesamtsummen paarweise übereinstimmen, was gilt dann für die beiden verbleibenden Summanden? - Welche beiden Arten von Bedingungen gehören zur Ähnlichkeit allgemeiner Vielecke?

Lösung

1. Die Summe der Innenwinkel eines Fünfecks beträgt \(540^\circ\). 2. Stimmen vier entsprechende Innenwinkel paarweise überein, dann müssen wegen derselben Winkelsumme auch die beiden jeweils fünften Innenwinkel gleich groß sein. 3. Damit stimmen alle entsprechenden Winkel überein. 4. Zusätzlich sind nach Voraussetzung alle entsprechenden Seitenlängen proportional. 5. Somit reichen die Angaben aus: Die beiden Fünfecke sind ähnlich.

Antwort

Ja. Aus den vier gleichen Winkelpaaren folgt über die Innenwinkelsumme auch die Gleichheit des fünften Winkelpaars; zusammen mit den proportionalen Seiten sind die Fünfecke ähnlich.

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