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- Welche Informationen sind in beiden Dreiecken markiert: Seitenlängen oder Winkel? - Wie viele übereinstimmende Winkel genügen bei Dreiecken für Ähnlichkeit?

1. In beiden Dreiecken stimmen zwei entsprechende Winkel überein. 2. Zwei Dreiecke sind bereits ähnlich, wenn sie in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen.

Die Dreiecke sind ähnlich, weil zwei entsprechende Winkel jeweils gleich groß sind.

- Ordne in jedem Dreieck die kürzeste, mittlere und längste Seite einander zu. - Prüfe, ob alle drei Quotienten denselben Wert besitzen. - Ein einzelnes passendes Seitenpaar genügt nicht.

1. Bei a) sind die Seitenlängen \(4,6,8\), bei b) \(8,12,16\). 2. Es gilt \(\frac{8}{4}=\frac{12}{6}=\frac{16}{8}=2\). Daher sind a) und b) ähnlich. 3. Bei c) sind die Seiten \(8,11,16\). Der mittlere Wert \(11\) passt nicht zum Längenverhältnis \(2:1\), denn zu \(6\) müsste \(12\) gehören. 4. Entsprechende Längen von a) und b) stehen im Verhältnis \(1:2\).

a) und b) sind ähnlich; entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:2\).

- Ordne zuerst die kürzeste, mittlere und längste Seite der beiden Dreiecke einander zu. - Vergleiche jedes der drei Paare entsprechender Seiten in derselben Richtung. - Reicht die Übereinstimmung nur eines Seitenpaares aus, oder müssen alle entsprechenden Seiten zusammenpassen?

1. Die Seiten werden der Größe nach einander zugeordnet: \(3\leftrightarrow7{,}5\), \(4\leftrightarrow10\) und \(5\leftrightarrow12{,}5\). 2. Es gilt \(\frac{7{,}5}{3}=2{,}5\), \(\frac{10}{4}=2{,}5\) und \(\frac{12{,}5}{5}=2{,}5\). 3. Alle drei Paare entsprechender Seiten haben dasselbe Längenverhältnis. Daher sind die Dreiecke ähnlich. 4. Vom ersten zum zweiten Dreieck stehen entsprechende Seiten im Verhältnis \(1:2{,}5\).

a) Ja. Für alle drei Paare entsprechender Seiten ergibt sich dasselbe Längenverhältnis. b) \(1:2{,}5\)

- Bestimme im ersten Dreieck den Winkel an der Spitze. - Bestimme im zweiten Dreieck aus dem Spitzenwinkel die beiden Basiswinkel. - Wie hängt bei ähnlichen Figuren das Verhältnis der Flächeninhalte mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen?

a) 1. Erstes Dreieck: Basiswinkel sind gleich, also \(70^\circ\) und \(70^\circ\). Der Winkel an der Spitze ist \(180^\circ - 70^\circ - 70^\circ = 40^\circ\). Die Winkel sind \(70^\circ, 70^\circ, 40^\circ\). 2. Zweites Dreieck: Winkel an der Spitze ist \(40^\circ\). Die verbleibenden \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\) verteilen sich auf zwei gleiche Basiswinkel: \(140^\circ : 2 = 70^\circ\). Die Winkel sind \(70^\circ, 70^\circ, 40^\circ\). 3. Die Winkel sind gleich, daher sind die Dreiecke ähnlich. b) 1. Das Verhältnis der Flächeninhalte ist \(2{,}25\). 2. Daher stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1:1{,}5\), denn \(1{,}5^2=2{,}25\). 3. Die Basis des größeren Dreiecks ist \(1{,}5 \cdot 5\,\text{cm} = 7{,}5\,\text{cm}\) lang.

a) Ja, die Dreiecke sind ähnlich. Beide haben die Winkel \(70^\circ, 70^\circ\) und \(40^\circ\). b) Die Basis des größeren Dreiecks ist \(7{,}5\,\text{cm}\) lang.

- Ergänze in beiden rechtwinkligen Dreiecken jeweils den fehlenden spitzen Winkel. - Welche Ähnlichkeitsbedingung folgt daraus? - Wie hängt bei ähnlichen Dreiecken das Verhältnis der Flächeninhalte mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Übertrage das gefundene Verhältnis auf die entsprechende Grundseite.

1. Im ersten rechtwinkligen Dreieck ist der dritte Winkel \(180^\circ-90^\circ-32^\circ=58^\circ\). Im zweiten ist der dritte Winkel entsprechend \(32^\circ\). 2. Beide Dreiecke haben damit die Winkel \(90^\circ\), \(32^\circ\) und \(58^\circ\) und sind ähnlich, weil sie in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen. 3. Da der Flächeninhalt viermal so groß ist, stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1:2\), denn \(2^2=4\). 4. Die entsprechende Grundseite ist deshalb \(2\cdot6\,\text{cm}=12\,\text{cm}\).

a) Die Dreiecke sind ähnlich, weil sie in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen; beide besitzen die Winkel \(90^\circ\), \(32^\circ\) und \(58^\circ\). b) Die entsprechende Grundseite des größeren Dreiecks ist \(12\,\text{cm}\) lang.

- Berechne in beiden Dreiecken zuerst den jeweils fehlenden Innenwinkel. - Wie hängen bei ähnlichen Figuren das Verhältnis der Flächeninhalte und das Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Das Verhältnis der Umfänge ist dasselbe wie das Verhältnis entsprechender Seitenlängen.

a) 1. Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt \(180^\circ\). 2. Fehlender Winkel im ersten Dreieck: \(180^\circ - 40^\circ - 80^\circ = 60^\circ\). Die Winkel sind \(40^\circ, 60^\circ, 80^\circ\). 3. Fehlender Winkel im zweiten Dreieck: \(180^\circ - 80^\circ - 60^\circ = 40^\circ\). Die Winkel sind \(40^\circ, 60^\circ, 80^\circ\). 4. Da die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen, sind sie ähnlich. b) 1. Das Verhältnis der Flächeninhalte zweier ähnlicher Figuren entspricht dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen. 2. Gegeben ist \(\frac{A_{\text{klein}}}{A_{\text{groß}}} = \frac{25}{49}\), also ist \(\frac{A_{\text{groß}}}{A_{\text{klein}}} = \frac{49}{25}\). 3. Daher stehen entsprechende Längen vom kleineren zum größeren Dreieck im Verhältnis \(5:7\), denn \(\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{7}{5}=1{,}4\). 4. Die Umfänge stehen im selben Verhältnis wie entsprechende Längen: \(U_{\text{groß}} = 1{,}4 \cdot U_{\text{klein}}\). 5. \(U_{\text{groß}} = 1{,}4 \cdot 20\,\text{cm} = 28\,\text{cm}\).

a) Ja, die Dreiecke sind ähnlich, da beide die Winkel \(40^\circ\), \(60^\circ\) und \(80^\circ\) besitzen. b) Entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:1{,}4\) beziehungsweise \(5:7\); der Umfang des größeren Dreiecks beträgt \(28\,\text{cm}\).

- In welchem Verhältnis stehen die beiden Umfänge? - Wie verhalten sich bei ähnlichen Dreiecken die Umfänge zu den entsprechenden Seitenlängen? - Übertrage das gefundene Verhältnis auf jede der drei Seiten.

1. Der Umfang des ersten Dreiecks beträgt \(U_1=4{,}5\,\text{cm}+6\,\text{cm}+7{,}5\,\text{cm}=18\,\text{cm}\). 2. Bei ähnlichen Dreiecken stehen die Umfänge im selben Verhältnis wie entsprechende Seitenlängen. Hier ist \(U_2:U_1=54:18=3:1\). 3. Daher sind die entsprechenden Seiten des zweiten Dreiecks dreimal so lang: \(a'=13{,}5\,\text{cm}\), \(b'=18\,\text{cm}\) und \(c'=22{,}5\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des zweiten Dreiecks betragen \(13{,}5\,\text{cm}\), \(18\,\text{cm}\) und \(22{,}5\,\text{cm}\).

- Ordne die Seiten beider Dreiecke zunächst nach ihrer Länge. - Prüfe, ob die kürzesten und längsten bekannten Seiten dasselbe Längenverhältnis liefern. - Welche Seite des ersten Dreiecks bleibt danach als entsprechende Seite für die gesuchte Länge übrig?

1. Die kürzeste Seite des ersten Dreiecks entspricht der kürzesten bekannten Seite des zweiten Dreiecks; die längste Seite entspricht der längsten bekannten Seite. 2. Es gilt \(\frac{10}{8}=1{,}25\) und \(\frac{20}{16}=1{,}25\). Damit ist die Zuordnung konsistent. 3. Die mittlere Seite des ersten Dreiecks mit \(12\,\text{cm}\) entspricht der gesuchten dritten Seite. 4. Ihre Länge beträgt \(12\,\text{cm}\cdot1{,}25=15\,\text{cm}\).

Die Seiten \(8\,\text{cm}\) und \(16\,\text{cm}\) entsprechen \(10\,\text{cm}\) und \(20\,\text{cm}\); die dritte Seite ist \(15\,\text{cm}\) lang.

- Was weißt du über die Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck? - Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in jedem Dreieck? - Welche Bedingung muss für die Winkel gelten, damit zwei Dreiecke die gleiche Form haben?

1. Bestimmung aller Winkel im Dreieck \(ABC\): In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß, also beträgt der zweite Basiswinkel ebenfalls \(72^\circ\). 2. Berechnung des dritten Winkels (Winkel an der Spitze) über die Innenwinkelsumme: \(180^\circ - 72^\circ - 72^\circ = 36^\circ\). Die Winkelmenge ist \(\{36^\circ; 72^\circ; 72^\circ\}\). 3. Bestimmung aller Winkel im Dreieck \(DEF\): Gegeben sind \(36^\circ\) und \(72^\circ\). 4. Berechnung des fehlenden Winkels: \(180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ\). Die Winkelmenge ist \(\{36^\circ; 72^\circ; 72^\circ\}\). 5. Vergleich der Winkel: Da beide Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen, sind sie zueinander ähnlich.

Ja, die Dreiecke sind zueinander ähnlich, da sie in allen Innenwinkeln übereinstimmen (\(36^\circ\), \(72^\circ\) und \(72^\circ\)).

- Wie groß ist die Summe aller Winkel in einem Dreieck? - Kannst du für beide Dreiecke alle drei Innenwinkel bestimmen? - Was folgt bei Dreiecken, wenn zwei entsprechende Winkel jeweils gleich groß sind?

1. Bestimmung aller Winkel im Dreieck \(ABC\): Gegeben sind \(\gamma = 90^\circ\) und \(\alpha = 40^\circ\). Über die Innenwinkelsumme ergibt sich \(\beta = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\). 2. Bestimmung aller Winkel im Dreieck \(DEF\): Gegeben sind \(\phi = 90^\circ\) und ein spitzer Winkel (z. B. \(\delta\)) von \(50^\circ\). Der dritte Winkel beträgt \(\epsilon = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\). 3. Vergleich der Winkel: Beide Dreiecke haben die Innenwinkel \(90^\circ\), \(40^\circ\) und \(50^\circ\). 4. Zwei Dreiecke sind bereits ähnlich, wenn sie in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen.

Die Dreiecke sind ähnlich, da sie in der Größe zweier entsprechender Winkel und damit in allen drei Innenwinkeln übereinstimmen.

- Welche beiden Winkelgrößen sind bei Lukas in jedem Dreieck bereits festgelegt? - Wie kannst du Seitenlängen mit dem festen Verhältnis \(3:4:5\) allgemein darstellen? - Welche der beiden im Unterricht verwendeten Ähnlichkeitsbedingungen passt jeweils zu der Aussage?

1. Bei Lukas' Dreiecken sind zwei Winkel festgelegt: \(90^\circ\) und \(40^\circ\). Der dritte Winkel beträgt \(50^\circ\). Damit stimmen je zwei entsprechende Winkel überein; die Aussage ist wahr. 2. Bei Miras Dreiecken können die Seitenlängen als \(3t\), \(4t\) und \(5t\) mit \(t>0\) beschrieben werden. Für zwei solche Dreiecke mit Parametern \(t_1\) und \(t_2\) haben alle drei Paare entsprechender Seiten dasselbe Längenverhältnis \(t_1:t_2\). 3. Damit ist auch Miras Aussage wahr.

Beide Aussagen sind wahr. Bei Lukas stimmen zwei entsprechende Winkel überein; bei Mira haben alle drei Paare entsprechender Seiten dasselbe Längenverhältnis.

- Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem beliebigen Dreieck? - Wann genau nennt man zwei Dreiecke „ähnlich“, wenn man nur ihre Winkel betrachtet? - Was bedeutet die Eigenschaft „gleichschenklig“ für die Basiswinkel eines Dreiecks? - Berechne für jedes Dreieck zuerst alle drei Innenwinkel, bevor du sie vergleichst.

1. Berechnung der Winkel des Referenzdreiecks: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt \(180^\circ\). Der dritte Winkel ist \(180^\circ - 48^\circ - 72^\circ = 60^\circ\). Die Winkelmenge ist also \(\{48^\circ, 60^\circ, 72^\circ\}\). 2. Prüfung von a): Der dritte Winkel ist \(180^\circ - 72^\circ - 60^\circ = 48^\circ\). Die Winkel \(\{48^\circ, 60^\circ, 72^\circ\}\) stimmen mit dem Referenzdreieck überein. Das Dreieck ist ähnlich. 3. Prüfung von b): Ein gleichschenkliges Dreieck mit einem Basiswinkel von \(48^\circ\) hat zwei Winkel von \(48^\circ\). Der dritte Winkel (Spitzenwinkel) beträgt \(180^\circ - 2 \cdot 48^\circ = 84^\circ\). Die Winkelmenge \(\{48^\circ, 48^\circ, 84^\circ\}\) stimmt nicht mit dem Referenzdreieck überein. Das Dreieck ist nicht ähnlich. 4. Prüfung von c): Der dritte Winkel ist \(180^\circ - 48^\circ - 60^\circ = 72^\circ\). Die Winkelmenge \(\{48^\circ, 60^\circ, 72^\circ\}\) stimmt überein. Das Dreieck ist ähnlich.

a) Ähnlich b) Nicht ähnlich c) Ähnlich

- Welches Längenverhältnis ergibt sich aus den beiden kürzesten Seiten? - Prüfe, ob die beiden mittleren Seiten dasselbe Verhältnis bestätigen. - Wie muss sich dann die längste Seite verändern, und wie kannst du das Ergebnis mit allen drei Seitenpaaren kontrollieren?

1. Die kürzesten Seiten stehen im Verhältnis \(\frac{3{,}6}{2{,}4}=1{,}5\); für die mittleren Seiten gilt ebenfalls \(\frac{4{,}8}{3{,}2}=1{,}5\). 2. Die längste Seite von Aussteifung B muss daher \(1{,}5\cdot4{,}0\,\text{m}=6{,}0\,\text{m}\) lang sein. 3. Die Kontrolle ergibt \(\frac{3{,}6}{2{,}4}=\frac{4{,}8}{3{,}2}=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5\). Damit stimmen die Längenverhältnisse aller drei Paare entsprechender Seiten überein.

Die dritte Seite ist \(6{,}0\,\text{m}\) lang. Für alle drei Paare entsprechender Seiten ergibt sich das Verhältnis \(1:1{,}5\).

- Vergleiche alle drei Paare entsprechender Seiten. - Wie verhält sich der Umfang, wenn alle entsprechenden Seitenlängen im selben Verhältnis stehen? - Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen?

1. Für die entsprechenden Seiten gilt \(\frac{a'}{a}=\frac{7{,}5}{3}=2{,}5\), \(\frac{b'}{b}=\frac{10}{4}=2{,}5\) und \(\frac{c'}{c}=\frac{12{,}5}{5}=2{,}5\). Die Dreiecke stimmen somit in den Längenverhältnissen ihrer Seiten überein und sind ähnlich. 2. Das gemeinsame Längenverhältnis vom ersten zum zweiten Dreieck beträgt \(2{,}5:1\). Deshalb ist auch \(\frac{U'}{U}=2{,}5\). 3. Für die Flächeninhalte gilt \(\frac{A'}{A}=2{,}5^2=6{,}25\).

a) Die Dreiecke sind ähnlich; das gemeinsame Längenverhältnis entsprechender Seiten beträgt \(2{,}5:1\). b) \(\frac{U'}{U}=2{,}5\) und \(\frac{A'}{A}=6{,}25\).

- Betrachte die Winkel in den beiden Dreiecken einzeln. Welchen Winkel teilen sie sich? - Was weißt du über die Winkel an der Stelle, wo die Höhe auf die Grundseite trifft? - Wenn zwei Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen, was lässt sich dann über ihre Form sagen?

1. Identifikation der Winkel im großen Dreieck \(ABC\): Winkel \(\alpha\) bei \(A\), Winkel \(\beta\) bei \(B\) und \(90^\circ\) bei \(C\). Es gilt \(\alpha + \beta = 90^\circ\). 2. Untersuchung des Teildreiecks \(ADC\): Es besitzt den Winkel \(\alpha\) (gemeinsam mit \(\triangle ABC\)) am Eckpunkt \(A\). Da \(CD\) die Höhe ist, ist der Winkel \(\angle ADC = 90^\circ\). 3. Vergleich der Winkel von \(\triangle ADC\) und \(\triangle ABC\): Beide Dreiecke haben einen Winkel der Größe \(\alpha\) und beide haben einen rechten Winkel (\(90^\circ\)). 4. Da die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen, sind sie ähnlich: \(\triangle ADC \sim \triangle ACB\).

Das Dreieck \(ADC\) ist zum Dreieck \(ABC\) ähnlich, da beide den Winkel \(\alpha\) gemeinsam haben und beide einen rechten Winkel besitzen (\(\angle ADC = 90^\circ\) und \(\angle ACB = 90^\circ\)). Damit stimmen sie in der Größe zweier entsprechender Winkel überein.

- Wie groß ist die Summe aller Winkel in einem beliebigen Dreieck? - Welche Bedingung muss für die Winkel erfüllt sein, damit zwei Dreiecke die gleiche Form haben? - Was passiert mit der Form einer Figur, wenn man sie gleichmäßig vergrößert?

1. Berechnung des fehlenden Winkels in Dreieck 1: \(180^\circ - (42^\circ + 75^\circ) = 63^\circ\). 2. Vergleich der Winkelsätze: Dreieck 1 hat die Winkel \(\{42^\circ, 75^\circ, 63^\circ\}\); Dreieck 2 hat (da die Winkelsumme \(180^\circ\) beträgt) ebenfalls \(\{75^\circ, 63^\circ, 42^\circ\}\). 3. Da beide Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen, sind sie ähnlich. 4. Bei einer maßstäblichen Vergrößerung bleiben die Winkelgrößen unverändert, da das neue Dreieck zum ursprünglichen Dreieck ähnlich ist.

a) Ja, die Dreiecke sind ähnlich, da sie in der Größe zweier entsprechender Winkel und damit in ihren Innenwinkeln \(42^\circ\), \(75^\circ\) und \(63^\circ\) übereinstimmen. b) Die Innenwinkel bleiben gleich, weil eine maßstäbliche Vergrößerung die Winkelgrößen erhält.

- Welche Höhe des ersten Dreiecks entspricht der gegebenen Höhe des zweiten Dreiecks? - Gilt dasselbe Längenverhältnis für die Höhen und die entsprechenden Grundseiten? - Stelle eine Verhältnisgleichung auf, in der \(c'\) die einzige Unbekannte ist.

1. Bei ähnlichen Dreiecken sind die Längenverhältnisse entsprechender Strecken gleich. Daher gilt \(\frac{c'}{c}=\frac{h_{c'}}{h_c}\). 2. Einsetzen ergibt \(\frac{c'}{12{,}5} = \frac{6}{8} = 0{,}75\). 3. Damit ist \(c' = 12{,}5\,\text{cm} \cdot 0{,}75 = 9{,}375\,\text{cm}\).

\(c' = 9{,}375\,\text{cm}\)

- Welche Seite des ersten Dreiecks entspricht der gegebenen Hypotenuse des zweiten? - In welchem Verhältnis stehen diese beiden Hypotenusen? - Übertrage dasselbe Längenverhältnis auf die beiden Katheten.

1. Für die entsprechenden Hypotenusen gilt \(c':c=25:10=2{,}5:1\). 2. Dasselbe Längenverhältnis gilt für die Katheten. Daher ist \(a'=2{,}5\cdot6\,\text{cm}=15\,\text{cm}\) und \(b'=2{,}5\cdot8\,\text{cm}=20\,\text{cm}\).

\(a'=15\,\text{cm}\), \(b'=20\,\text{cm}\)

- Welche Seiten gehören zusammen, wenn du beide Dreiecke von der kürzesten bis zur längsten Seite ordnest? - Was muss für alle drei Quotienten entsprechender Seiten gelten? - Reicht es, wenn nur zwei der drei Verhältnisse entsprechender Seiten übereinstimmen?

1. Ordne die Seiten nach ihrer Länge: \(6\leftrightarrow4\), \(9\leftrightarrow6\), \(12\leftrightarrow8\). 2. Die drei Verhältnisse sind \(\frac{6}{4} = 1{,}5\), \(\frac{9}{6} = 1{,}5\) und \(\frac{12}{8} = 1{,}5\). 3. Da alle entsprechenden Seitenlängen im gleichen Verhältnis stehen, sind die Dreiecke ähnlich.

Ja. Die Dreiecke stimmen in den Längenverhältnissen ihrer Seiten überein und sind daher ähnlich.

- Lies für jedes Dreieck alle drei Seitenlängen aus der Abbildung ab. - Ordne die Seiten nach ihrer Länge, bevor du entsprechende Paare vergleichst. - Prüfe bei jedem Paar, ob alle drei Längenverhältnisse übereinstimmen.

1. Dreieck I hat die Seitenlängen \(3\), \(4\) und \(5\); Dreieck II die Seitenlängen \(6\), \(8\) und \(10\). 2. Für I und II gilt \(\frac{6}{3}=2\), \(\frac{8}{4}=2\) und \(\frac{10}{5}=2\). Daher sind I und II ähnlich. 3. Dreieck III hat die Seitenlängen \(5\), \(5\) und \(6\). Diese lassen sich den Seiten von I oder II nicht so zuordnen, dass alle drei Längenverhältnisse gleich sind. 4. Daher ist III zu keinem der beiden anderen Dreiecke ähnlich.

I und II sind ähnlich, denn \(\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2\). Dreieck III ist weder zu I noch zu II ähnlich, weil sich für seine Seiten \(5,5,6\) kein gemeinsames Längenverhältnis zu allen drei Seiten von I oder II ergibt.

- Welche beiden Strecken vom selben Eckpunkt aus werden durch die Mittelpunkte jeweils halbiert? - Was folgt aus zwei gleichen Teilungsverhältnissen für die Verbindung der beiden Teilungspunkte? - Welches Verhältnis haben anschließend die parallelen Seiten des kleinen und des großen Dreiecks? - Was geschieht mit der Summe der Seitenlängen, wenn jede einzelne Seitenlänge halbiert wird?

1. Weil \(A_1\) und \(B_1\) Mittelpunkte sind, gilt vom Scheitel \(C\) aus \(\frac{CA_1}{CB}=\frac{CB_1}{CA}=\frac{1}{2}\). Daraus folgt \(A_1B_1\parallel AB\). 2. Für die parallelen Strecken gilt dann \(\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{CA_1}{CB}=\frac{1}{2}\). Entsprechend sind auch die beiden anderen Seiten des Mittendreiecks jeweils halb so lang wie die entsprechenden Seiten des großen Dreiecks. 3. Da jeder Summand des Umfangs halbiert wird, ist auch der Umfang halb so groß: \(U_{A_1B_1C_1}=\frac{1}{2}\cdot42\,\text{cm}=21\,\text{cm}\).

Der Umfang des Dreiecks \(A_1B_1C_1\) beträgt \(21\,\text{cm}\).

- Welche Winkelpaare kannst du in der Zeichnung direkt identifizieren? - Welche Eigenschaft haben Winkel, die sich an einer Kreuzung gegenüberliegen? - Was folgt bei zwei Dreiecken, wenn zwei entsprechende Winkel jeweils gleich groß sind?

1. Betrachte die Dreiecke \(ABE\) und \(CDE\). 2. Es ist gegeben, dass \(\angle ABE = \angle CDE\). 3. Die Winkel \(\angle AEB\) und \(\angle CED\) sind Scheitelwinkel und daher gleich groß: \(\angle AEB = \angle CED\). 4. Da die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen, sind sie ähnlich: \(\triangle ABE \sim \triangle CDE\).

Die Dreiecke \(ABE\) und \(CDE\) sind ähnlich, da \(\angle ABE = \angle CDE\) gegeben ist und \(\angle AEB = \angle CED\) als Scheitelwinkel gilt.

- Welche Winkel sind durch die „Rechtwinkligkeit“ bereits bekannt? - Wie viele Winkelpaare müssen übereinstimmen, um Ähnlichkeit nachzuweisen? - Schau dir die gegebenen Informationen im Text und in der Zeichnung genau an.

1. In den Dreiecken \(ACE\) und \(EKF\) sind die Winkel bei \(C\) und \(K\) rechte Winkel: \(\angle ACE = \angle EKF = 90^\circ\). Damit ist das erste Paar gleicher Winkel gefunden. 2. Laut Aufgabenstellung gilt zudem \(\angle CAE = \angle FEK\). Dies ist das zweite Paar gleicher Winkel. 3. Zwei Dreiecke sind bereits ähnlich, wenn sie in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen. 4. Somit gilt \(\triangle ACE \sim \triangle EKF\).

Die Dreiecke sind ähnlich, da sie im rechten Winkel \(90^\circ\) und im gegebenen Winkel \(\angle CAE = \angle FEK\) übereinstimmen.

- Gibt es einen Winkel, der sowohl zum kleinen als auch zum großen Dreieck gehört? - Welche Information über die Winkel wird in der Aufgabe explizit genannt? - Was folgt bei Dreiecken, wenn zwei entsprechende Winkel jeweils gleich groß sind?

1. Betrachte die Dreiecke \(BKP\) und \(BAC\). 2. Der Winkel bei der Ecke \(B\) ist beiden Dreiecken gemeinsam: \(\angle KBP = \angle ABC\). 3. Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass \(\angle BKP = \angle BAC\). 4. Da die beiden Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen, sind sie ähnlich. 5. Ergebnis: \(\triangle BKP \sim \triangle BAC\).

Die Dreiecke \(BKP\) und \(BAC\) sind zueinander ähnlich: Sie teilen sich den Winkel bei \(B\) und es gilt \(\angle BKP = \angle BAC\).

- Überlege zuerst, welche Seite des ersten Dreiecks welcher Seite des zweiten Dreiecks entspricht. - Wenn du das Verhältnis zweier entsprechender Seiten kennst, gilt dieses Verhältnis für alle Paare entsprechender Seiten.

1. Entsprechende Seitenlängen von \(\triangle ABC\) und \(\triangle A_1B_1C_1\) stehen im Verhältnis \(1{,}5:1\). 2. Die Seiten von \(\triangle ABC\) ergeben sich durch \(x=AB=1{,}5\cdot6=9\), \(y=BC=1{,}5\cdot8=12\) und \(z=AC=1{,}5\cdot10=15\).

\(x=9\), \(y=12\), \(z=15\)

- Welche Zahl steht im Längenverhältnis \(3{:}4{:}5\) an der Stelle von \(b_1\)? - Bestimme zuerst die Länge eines Verhältnisanteils. - Übertrage die Länge eines Verhältnisanteils auf die beiden übrigen Seiten.

1. Für \(\triangle A_1B_1C_1\) gilt ebenfalls \(a_1{:}b_1{:}c_1=3{:}4{:}5\). 2. Die Seite \(b_1=16\) entspricht vier Verhältnisanteilen, also ist ein Anteil \(16:4=4\). 3. Damit ist \(x=a_1=3\cdot4=12\) und \(y=c_1=5\cdot4=20\).

\(x=12\), \(y=20\)

- Ordne die Seiten der beiden Dreiecke jeweils von der kürzesten bis zur längsten. - Prüfe die Längenverhältnisse der drei entsprechenden Seitenpaare einzeln. - Genügen zwei übereinstimmende Längenverhältnisse zweier Seitenpaare für den hier verwendeten Ähnlichkeitsnachweis?

1. Die Seiten werden der Größe nach zugeordnet: \(12\leftrightarrow8\), \(15\leftrightarrow10\) und \(18\leftrightarrow13\). 2. Für die ersten beiden Paare gilt \(\frac{12}{8}=1{,}5\) und \(\frac{15}{10}=1{,}5\). 3. Beim dritten Paar ist \(\frac{18}{13}\neq1{,}5\). 4. Damit haben nicht alle drei Paare entsprechender Seiten dasselbe Längenverhältnis; die Dreiecke sind nicht ähnlich.

Nein. Zwei Seitenpaare haben zwar das Verhältnis \(1{,}5\), das dritte Seitenpaar jedoch nicht.

- Wie groß ist die Winkelsumme in jedem Dreieck? - Wenn die Winkel an der Spitze gleich sind, was bedeutet das für die Basiswinkel in gleichschenkligen Dreiecken? - Was folgt bei zwei Dreiecken, wenn zwei entsprechende Winkel jeweils gleich groß sind?

1. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß. 2. Für beide Dreiecke ist jeder Basiswinkel \(\frac{180^\circ - 44^\circ}{2} = 68^\circ\) groß. 3. Beide Dreiecke haben somit die Winkel \(44^\circ\), \(68^\circ\) und \(68^\circ\). 4. Die Dreiecke stimmen in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich.

Ja. Beide Dreiecke haben die Winkel \(44^\circ\), \(68^\circ\) und \(68^\circ\) und sind daher ähnlich.

- Wie hängen die Seitenlängen ähnlicher Dreiecke mit ihren Flächeninhalten zusammen? - Bestimme zuerst das Längenverhältnis entsprechender Seiten des zweiten und des ersten Dreiecks. - Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte mit diesem Längenverhältnis zusammen?

1. Für die entsprechenden Seiten gilt \(\frac{DE}{AB}=\frac{10}{5}=2\). 2. Das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren entspricht dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen: \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=2^2=4\). 3. Berechnung von \(x\): \(x = S_{ABC} \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60\,\text{cm}^2\).

\(x = 60\,\text{cm}^2\)

- In welchem Verhältnis stehen die halbe und die volle entsprechende Seitenlänge? - Wie ändert sich die Fläche, wenn alle Längen verdoppelt werden?

1. Da \(D\) und \(E\) die Mittelpunkte sind, stehen entsprechende Längen von \(ADE\) und \(ABC\) im Verhältnis \(1:2\). 2. Daher stehen die Flächeninhalte im Verhältnis \(1:2^2=1:4\). 3. Der Flächeninhalt des großen Dreiecks ist also das Vierfache des kleinen: \(x = 10 \cdot 4 = 40\,\text{cm}^2\).

\(x = 40\,\text{cm}^2\)

- Welche beiden Dreiecke besitzen den Winkel bei \(A\) gemeinsam? - Welche weiteren Winkel sind wegen der beiden rechten Winkel gleich groß? - Welche Seiten entsprechen einander, wenn du die ähnlichen Dreiecke in derselben Reihenfolge notierst?

1. Die Dreiecke \(\triangle ADE\) und \(\triangle ABC\) haben den Winkel bei \(A\) gemeinsam und jeweils einen rechten Winkel bei \(E\) bzw. \(C\). Damit stimmen sie in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind ähnlich. 2. Entsprechende Seiten liefern \(\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}\). 3. Einsetzen ergibt \(\frac{DE}{6\,\text{cm}} = \frac{5\,\text{cm}}{10\,\text{cm}} = \frac{1}{2}\). 4. Somit ist \(DE = 3\,\text{cm}\).

\(DE = 3\,\text{cm}\)

- Was bedeutet Ähnlichkeit für das Verhältnis von Längen und Umfängen? - Wie hängt das Verhältnis der Umfänge mit dem gemeinsamen Längenverhältnis entsprechender Seiten zusammen?

1. Bei ähnlichen Figuren entspricht das Verhältnis der Umfänge dem Verhältnis entsprechender Längen. 2. Es gilt also \(\frac{DE}{AB} = \frac{U_{DEF}}{U_{ABC}} = \frac{5}{2} = 2{,}5\). 3. Berechnung der Seite \(DE\): \(DE = AB \cdot 2{,}5 = 6 \cdot 2{,}5 = 15\,\text{cm}\).

Die Seite \(DE\) ist \(15\,\text{cm}\) lang.

- Welcher Winkel gehört beiden Dreiecken gleichzeitig? - Welche weitere Winkelgleichheit ist ausdrücklich gegeben? - Wie viele Paare entsprechender gleich großer Winkel genügen bei Dreiecken für die Ähnlichkeit?

1. Beide Dreiecke besitzen den Winkel bei \(A\) gemeinsam: \(\angle BAD = \angle CAB\). 2. Nach Aufgabenstellung gilt außerdem \(\angle ABD = \angle ACB\). 3. Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein; es gilt \(\triangle ABD \sim \triangle ACB\).

\(\triangle ABD \sim \triangle ACB\), weil \(\angle BAD = \angle CAB\) und \(\angle ABD = \angle ACB\) gilt.

- Was bedeuten die Strichmarkierungen innerhalb jedes Dreiecks für seine Form? - Welche Beziehung besteht in einem gleichschenkligen Dreieck zwischen den beiden Basiswinkeln? - Was folgt für die Basiswinkel beider Dreiecke, wenn die markierten Spitzenwinkel gleich groß sind?

1. Die einfachen Strichmarkierungen zeigen \(AB=AC\), die doppelten Strichmarkierungen \(DE=DF\). Beide Dreiecke sind daher gleichschenklig. 2. Die markierten Winkel bei \(A\) und \(D\) sind gleich groß. Sei ihre gemeinsame Größe \(\alpha\). 3. In beiden gleichschenkligen Dreiecken haben die Basiswinkel deshalb die Größe \(\frac{180^\circ-\alpha}{2}\). Somit ist zum Beispiel \(\angle B=\angle E\). 4. Die Dreiecke stimmen damit in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind ähnlich.

Ja. Aus den Gleichheitsmarkierungen folgt, dass beide Dreiecke gleichschenklig sind. Zusammen mit den gleich markierten Spitzenwinkeln ergeben sich gleiche entsprechende Basiswinkel; damit sind die Dreiecke ähnlich.

- Vergleiche die Seitenlängen paarweise: die jeweils größte Seite des einen mit der größten des anderen usw. - Prüfe, ob alle einander entsprechenden Seiten dasselbe Längenverhältnis haben.

1. Berechnung der Verhältnisse der entsprechenden Seiten: Verhältnis der längsten Seiten: \(\frac{11}{8} = 1{,}375\) Verhältnis der mittleren Seiten: \(\frac{9}{6} = 1{,}5\) Verhältnis der kürzesten Seiten: \(\frac{6}{4} = 1{,}5\) 2. Da die Verhältnisse nicht alle identisch sind (\(1{,}375 \neq 1{,}5\)), sind die Dreiecke nicht ähnlich.

Nein, die Dreiecke sind nicht ähnlich, da die Längenverhältnisse entsprechender Seiten nicht alle denselben Wert ergeben (\(1{,}5\) und \(1{,}375\)).

- Welcher Winkel entsteht an jedem Lotfußpunkt? - Welche beiden Winkel bei \(A\) sind wegen der Winkelhalbierenden gleich groß? - Was folgt bei zwei Dreiecken, wenn zwei entsprechende Winkel jeweils gleich groß sind?

1. Die Dreiecke \(ABB'\) und \(ACC'\) haben wegen der Lote jeweils einen rechten Winkel bei \(B'\) beziehungsweise \(C'\). 2. Da \(w_\alpha\) den Winkel bei \(A\) halbiert, gilt \(\angle BAB'=\angle CAC'=\frac{\alpha}{2}\). 3. Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich.

Die Dreiecke \(ABB'\) und \(ACC'\) sind ähnlich, weil sie in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen: Beide besitzen einen rechten Winkel und denselben Winkel \(\frac{\alpha}{2}\) bei \(A\).

- Orientiere dich nicht daran, welcher Punkt links, rechts, oben oder unten liegt. - Suche zuerst die jeweils kürzeste, mittlere und längste Seite. - Welcher Eckpunkt liegt jeweils zwischen den beiden entsprechenden Seitenpaaren?

1. Die Seite \(AC=3\) entspricht der Seite \(DE=6\), \(AB=4\) entspricht \(DF=8\) und \(BC=5\) entspricht \(EF=10\). 2. Daher treffen sich bei \(A\) die Seiten mit Längen \(3\) und \(4\); im zweiten Dreieck treffen sich bei \(D\) die entsprechenden Seiten mit Längen \(6\) und \(8\). Somit gilt \(A\leftrightarrow D\). 3. Entsprechend gilt \(B\leftrightarrow F\) und \(C\leftrightarrow E\). 4. Alle entsprechenden Seiten im zweiten Dreieck sind doppelt so lang; entsprechende Längen stehen also im Verhältnis \(1:2\).

a) \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow F\), \(C\leftrightarrow E\) b) \(1:2\)

- Welche zwei Bedingungen reichen bei Dreiecken jeweils für einen Ähnlichkeitsnachweis aus? - Prüfe Fall II nicht nur an einem oder zwei, sondern an allen drei Seitenpaaren. - Frage dich bei III, ob sich der Winkel zwischen den bekannten Seiten noch verändern könnte.

1. In I stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 2. In II gilt \(\frac{DE}{AB}=\frac{8}{4}=2\), \(\frac{EF}{BC}=\frac{12}{6}=2\) und \(\frac{FD}{CA}=\frac{14}{7}=2\). Alle drei entsprechenden Seiten sind proportional; die Ähnlichkeit ist damit nachgewiesen. 3. In III sind nur die Längenverhältnisse zweier Seitenpaare bekannt. Ohne weitere Winkel- oder Seiteninformation ist die Form des Dreiecks nicht eindeutig festgelegt. 4. Sicher nachgewiesen ist die Ähnlichkeit nur in I und II.

Sicher ausreichend sind I und II; III reicht nicht aus.

- Welche Formel gilt für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn beide Katheten bekannt sind? - Vergleiche anschließend die beiden Flächeninhalte. - Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen?

1. Der Flächeninhalt von \(D_1\) ist \(A_1=\frac{1}{2}\cdot 3\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2\). 2. Das Verhältnis der Flächeninhalte ist \(\frac{A_2}{A_1}=\frac{54}{6}=9\). 3. Daher stehen entsprechende Längen von \(D_1\) und \(D_2\) im Verhältnis \(1:3\), denn \(3^2=9\).

Der Flächeninhalt von \(D_1\) beträgt \(6\,\text{cm}^2\). Entsprechende Längen von \(D_1\) und \(D_2\) stehen im Verhältnis \(1:3\).

- Welche Seitenlängen fehlen dir noch, um alle Verhältnisse vergleichen zu können? - Erinnere dich an einen wichtigen Satz für Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken. - Wie kannst du mit den Seitenlängen feststellen, ob eine Figur eine maßstäbliche Vergrößerung der anderen ist?

1. Berechnung der fehlenden Seite in Dreieck \(A\) (Hypotenuse \(c_1\)) mit dem Satz des Pythagoras: \(c_1 = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\). 2. Berechnung der fehlenden Seite in Dreieck \(B\) (Kathete \(b_2\)) mit dem Satz des Pythagoras: \(b_2 = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\,\text{cm}\). 3. Vergleich der Verhältnisse entsprechender Seiten: \(\frac{a_2}{a_1} = \frac{12}{6} = 2\); \(\frac{b_2}{b_1} = \frac{16}{8} = 2\); \(\frac{c_2}{c_1} = \frac{20}{10} = 2\). 4. Da alle entsprechenden Seitenverhältnisse gleich sind, sind die Dreiecke nach dem Ähnlichkeitssatz SSS ähnlich.

Ja, die Dreiecke sind ähnlich. Die Seitenlängen von Dreieck \(A\) sind \(6\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\). Die Seitenlängen von Dreieck \(B\) sind \(12\,\text{cm}\), \(16\,\text{cm}\) und \(20\,\text{cm}\). Da alle entsprechenden Seiten im Verhältnis \(2:1\) stehen, liegt Ähnlichkeit vor.

- Welche Seite des ersten Dreiecks entspricht der gegebenen Seite des zweiten Dreiecks? - Wie verändert sich eine Seitenlänge, wenn das ganze Dreieck gleichmäßig vergrößert wird? - Kannst du ein Verhältnis zwischen den entsprechenden Seiten aufstellen?

1. Identifikation der längsten Seite im ersten Dreieck: \(c = 9\,\text{cm}\). 2. Die entsprechenden längsten Seiten stehen im Verhältnis \(\frac{13{,}5\,\text{cm}}{9\,\text{cm}}=1{,}5\). 3. Berechnung der entsprechenden Seite \(a'\): \(a' = 1{,}5 \cdot 4{,}5\,\text{cm} = 6{,}75\,\text{cm}\). 4. Berechnung der entsprechenden Seite \(b'\): \(b' = 1{,}5 \cdot 6\,\text{cm} = 9\,\text{cm}\).

Die beiden anderen Seiten des zweiten Dreiecks sind \(6{,}75\,\text{cm}\) und \(9\,\text{cm}\) lang.

- Finde zwei verschiedene Kathetenpaare, deren Produkt jeweils \(12\) ist. - Welche Bedingung müssen die Längenverhältnisse entsprechender Seiten bei ähnlichen Dreiecken erfüllen? - Reicht gleicher Flächeninhalt allein aus, um dieselbe Form festzulegen?

1. Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(a\) und \(b\) gilt \(A=\frac{1}{2}ab\). 2. Die Katheten \(3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) ergeben \(A=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=6\,\text{cm}^2\). 3. Auch die Katheten \(2\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\) ergeben \(A=\frac{1}{2}\cdot2\cdot6=6\,\text{cm}^2\). 4. Für entsprechende Katheten wären bei ähnlichen Dreiecken alle Längenverhältnisse gleich. Hier gilt aber \(3:2\neq4:6\). Daher sind die beiden Dreiecke nicht ähnlich.

Nein. Ein Gegenbeispiel sind rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten \(3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) beziehungsweise \(2\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\). Beide haben \(6\,\text{cm}^2\) Flächeninhalt, aber die Längenverhältnisse entsprechender Seiten stimmen nicht überein.

- Erinnere dich an die Winkelsumme im Dreieck. - Wie hängen die Winkel am Eckpunkt \(C\) zusammen, wenn die Höhe eingezeichnet wird? - Welche Winkel sind in den Teildreiecken durch die Höhe bereits vorgegeben? - Versuche, die Winkel der Teildreiecke durch den Winkel \(\alpha\) auszudrücken.

1. Betrachtung der Winkel in \(\triangle ADC\): Der Winkel bei \(D\) ist \(90^\circ\), der Winkel bei \(A\) ist \(\alpha\). Der dritte Winkel \(\angle ACD\) beträgt \(180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha\). 2. Betrachtung der Winkel in \(\triangle CDB\): Der Winkel bei \(D\) ist \(90^\circ\). Da der Gesamtwinkel bei \(C\) im ursprünglichen Dreieck \(90^\circ\) groß ist, berechnet sich \(\angle DCB\) zu \(90^\circ - \angle ACD = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha\). Der Winkel bei \(B\) ist dann \(180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha\). 3. Da beide Teildreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen, sind sie zueinander ähnlich. 4. Berechnung für \(\alpha = 35^\circ\): Im Dreieck \(ADC\) sind die Winkel \(90^\circ, 35^\circ\) und \(90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\). Im Dreieck \(CDB\) sind die Winkel \(90^\circ, 55^\circ\) und \(35^\circ\).

a) Die Teildreiecke sind ähnlich, da sie in allen drei Innenwinkeln übereinstimmen (\(90^\circ\), \(\alpha\) und \(90^\circ - \alpha\)). b) Die Winkel im Dreieck \(ADC\) sind \(90^\circ, 35^\circ\) und \(55^\circ\). Die Winkel im Dreieck \(CDB\) sind \(90^\circ, 55^\circ\) und \(35^\circ\).

- Bestimme zuerst den Flächeninhalt des kleineren rechtwinkligen Dreiecks. - Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Wie nutzt du ein bekanntes Längenverhältnis, um eine entsprechende Seitenlänge zu berechnen?

1. Der Flächeninhalt von \(D_1\) ist \(A_1=\frac{1}{2}\cdot5\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=30\,\text{cm}^2\). 2. Das Verhältnis der Flächeninhalte ist \(\frac{A_2}{A_1}=\frac{120}{30}=4\). Daher stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1:2\). 3. Entsprechend ist \(a_2=2\cdot5\,\text{cm}=10\,\text{cm}\) und \(b_2=2\cdot12\,\text{cm}=24\,\text{cm}\).

Entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:2\); \(a_2=10\,\text{cm}\), \(b_2=24\,\text{cm}\).

- Welche beiden Hypotenusen entsprechen einander? - Wie hängen bei ähnlichen Figuren das Verhältnis entsprechender Längen und das Verhältnis der Flächeninhalte zusammen? - Übertrage dasselbe Längenverhältnis auf beide Katheten.

1. Es ist \(c'=8\,\text{cm}\) und \(c=10\,\text{cm}\). Daher gilt \(c':c=8:10=4:5\). 2. Bei ähnlichen Figuren entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen. Daher ist \(A_{A'B'C'}:A_{ABC}=16:25\). 3. Entsprechende Seitenlängen des zweiten Dreiecks sind \(\frac{4}{5}\) so groß wie im ersten. Somit ist \(a'=4{,}8\,\text{cm}\) und \(b'=6{,}4\,\text{cm}\).

a) \(c':c=4:5\) b) \(A_{A'B'C'}:A_{ABC}=16:25\) c) \(a'=4{,}8\,\text{cm}\), \(b'=6{,}4\,\text{cm}\)

- Was sagt das Verhältnis der Umfänge über das Verhältnis der Seitenlängen aus? - Wenn du das Verhältnis der Längen kennst, wie verhalten sich dann die entsprechenden Flächen zueinander? - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, die den Unterschied zwischen den beiden Flächen nutzt.

1. Aus dem Verhältnis der Umfänge folgt für entsprechende Längen das Verhältnis \(\frac{5}{3}\). 2. Daher gilt für die Flächeninhalte \(\frac{A_2}{A_1}=\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{25}{9}\). 3. Aufstellen der Differenzgleichung: \(A_2 - A_1 = 100\). 4. Einsetzen von \(A_2 = \frac{25}{9} A_1\) in die Differenzgleichung: \(\frac{25}{9} A_1 - A_1 = 100 \implies \frac{16}{9} A_1 = 100\). 5. Berechnung von \(A_1\): \(A_1 = \frac{100 \cdot 9}{16} = 56{,}25\,\text{cm}^2\). 6. Berechnung von \(A_2\): \(A_2 = 56{,}25\,\text{cm}^2 + 100\,\text{cm}^2 = 156{,}25\,\text{cm}^2\).

Die Flächeninhalte der beiden Dreiecke betragen \(A_1 = 56{,}25\,\text{cm}^2\) und \(A_2 = 156{,}25\,\text{cm}^2\).

- Gilt die Ähnlichkeit nur für die Seiten eines Dreiecks oder auch für andere Längen wie den Umkreisradius? - Wie berechnet man das Verhältnis zweier entsprechender Längen? - Welche Regel gilt für das Verhältnis von Flächeninhalten bei ähnlichen Figuren?

1. Da alle entsprechenden linearen Maße ähnlicher Figuren dasselbe Längenverhältnis haben, gilt \(\frac{R'}{R}=\frac{6{,}0}{4{,}5}=\frac{4}{3}\). 2. Berechnung der Seitenlänge \(c'\): Es gilt \(c' = \frac{4}{3} \cdot 7{,}2\,\text{cm} = 9{,}6\,\text{cm}\). 3. Verhältnis der Umkreisflächen: Das Verhältnis der Flächeninhalte entspricht dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen. \(\frac{A'_{\text{Umkreis}}}{A_{\text{Umkreis}}} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} \approx 1{,}78\). Das Verhältnis beträgt somit \(16 : 9\).

a) Entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(3:4\) beziehungsweise \(1:\frac{4}{3}\). b) \(c' = 9{,}6\,\text{cm}\) c) Das Verhältnis ist \(16 : 9\) (oder ca. \(1{,}78\)).

- Was muss für die Seitenlängen zweier Dreiecke gelten, damit sie ähnlich sind? - Berechne die Verhältnisse der einander entsprechenden Seiten. Sind sie alle gleich? - Stimmen die Dreiecke in den Längenverhältnissen ihrer Seiten überein?

1. Bestimmung der Seitenlängen von \(T_2\): \(a_2 = 6 + 2 = 8\,\text{cm}\) \(b_2 = 8 + 2 = 10\,\text{cm}\) \(c_2 = 10 + 2 = 12\,\text{cm}\) 2. Für die Ähnlichkeit müssten die Dreiecke in den Längenverhältnissen ihrer Seiten übereinstimmen. Daher werden alle drei Verhältnisse entsprechender Seiten verglichen. \(\frac{a_2}{a_1} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\) \(\frac{b_2}{b_1} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1{,}25\) \(\frac{c_2}{c_1} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1{,}2\) 3. Schlussfolgerung: Da die Verhältnisse \(\frac{4}{3} \neq \frac{5}{4} \neq \frac{6}{5}\) nicht übereinstimmen, sind die Seiten nicht proportional. Die Dreiecke sind daher nicht ähnlich.

Nein, die Dreiecke sind nicht ähnlich, da die Verhältnisse der entsprechenden Seitenlängen (\(1{,}33 \neq 1{,}25 \neq 1{,}2\)) nicht gleich sind.

- Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Wenn du das Verhältnis entsprechender Längen kennst, wie überträgst du es auf Umfang und Seitenlängen? - Gilt die Ähnlichkeit nur für die Außenseiten eines Dreiecks oder für alle Linien innerhalb der Figur? - Überlege dir, ob eine Seitenhalbierende eine „Länge“ oder eine „Fläche“ ist.

1. Berechnung des Verhältnisses der Flächeninhalte: \(\frac{A_2}{A_1} = \frac{150}{24} = 6{,}25\). 2. Daher stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1:2{,}5\), denn \(2{,}5^2=6{,}25\). 3. Berechnung des Umfangs \(U_2\): Die Umfänge stehen im selben Verhältnis wie entsprechende Längen. Daher gilt \(U_2 = 2{,}5U_1 = 2{,}5 \cdot 24 = 60\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Seitenlänge \(a_2\): \(a_2 = 2{,}5a_1 = 2{,}5 \cdot 6 = 15\,\text{cm}\). 5. Bei ähnlichen Figuren gilt dasselbe Längenverhältnis für alle entsprechenden Strecken, also auch für Seitenhalbierende, Höhen oder Winkelhalbierende. In diesem Fall ist \(\frac{s_2}{s_1}=2{,}5\), also \(s_2=2{,}5s_1\).

a) Entsprechende Längen von \(D_1\) und \(D_2\) stehen im Verhältnis \(1:2{,}5\). b) Der Umfang \(U_2\) beträgt \(60\,\text{cm}\). c) Die Seitenlänge \(a_2\) beträgt \(15\,\text{cm}\). d) Es gilt \(\frac{s_2}{s_1}=2{,}5\), da bei ähnlichen Figuren alle entsprechenden Längen dasselbe Längenverhältnis haben.

- Welche Beziehung besteht nach dem Reflexionsgesetz zwischen Einfallswinkel und Ausfallswinkel? - Welche weiteren Winkel sind in beiden Dreiecken gleich groß? - Welche entsprechenden Seiten kannst du nach dem Ähnlichkeitsnachweis vergleichen?

1. Nach dem Reflexionsgesetz sind Einfallswinkel und Ausfallswinkel an der Spiegeloberfläche gleich groß. Zusammen mit den beiden rechten Winkeln stimmen die Dreiecke damit in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind ähnlich. 2. Für entsprechende Seiten gilt \(\frac{h}{45\,\text{m}}=\frac{1{,}70\,\text{m}}{2{,}50\,\text{m}}\). 3. Somit ist \(h=45\,\text{m}\cdot\frac{1{,}70}{2{,}50}=30{,}6\,\text{m}\). 4. Das Modell setzt voraus, dass der Boden zwischen Lukas, Spiegel und Turm eben ist.

a) Die Dreiecke stimmen wegen des Reflexionsgesetzes und der rechten Winkel in der Größe zweier entsprechender Winkel überein; der Kirchturm ist \(30{,}6\,\text{m}\) hoch. b) Der Boden muss zwischen den Messpunkten eben sein.

- Bestimme zuerst das Verhältnis der Flächeninhalte von \(D_2\) und \(D_1\). - Verbinde anschließend die Flächeninhalte von \(D_3\) und \(D_2\). - Welches positive Längenverhältnis gehört zum Verhältnis der Flächeninhalte \(9:1\)?

1. Für \(D_2\) und \(D_1\) gilt \(A_2:A_1=1{,}5^2:1=2{,}25:1\). 2. Weil \(A_3=4A_2\), ist \(A_3:A_1=4\cdot2{,}25:1=9:1\). 3. Das positive Längenverhältnis, dessen Quadrat \(9:1\) ergibt, ist \(3:1\).

Das Verhältnis entsprechender Seitenlängen von \(D_3\) zu \(D_1\) beträgt \(3:1\).

- Betrachte die Winkel in den beiden Dreiecken. Haben sie gemeinsame Winkel? - Identifiziere in beiden Dreiecken, welche Seite die Hypotenuse und welche die Katheten sind. - Stelle ein Verhältnis aus einer Kathete und der Hypotenuse für beide Dreiecke auf.

1. Sowohl \(\triangle BDC\) als auch \(\triangle ABC\) besitzen einen rechten Winkel (\(\angle BDC = 90^\circ\) und \(\angle BCA = 90^\circ\)). Zudem teilen sie sich den Winkel \(\beta\) bei Eckpunkt \(B\). Damit stimmen sie in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind ähnlich. 2. In ähnlichen Dreiecken sind die Verhältnisse entsprechender Seiten gleich. Hier werden jeweils die Kathete am Winkel \(\beta\) und die Hypotenuse verglichen. 3. Im großen Dreieck \(ABC\) ist das Verhältnis \(\frac{a}{c}\). Im kleinen Dreieck \(BDC\) ist \(q\) die Kathete an \(\beta\) und \(a\) die Hypotenuse, also \(\frac{q}{a}\). 4. Gleichung: \(\frac{q}{a} = \frac{a}{c} \implies q = \frac{a^2}{c}\). 5. Einsetzen der Werte: \(q = \frac{6^2}{10} = \frac{36}{10} = 3{,}6\). 6. Ergebnis: Der Abschnitt \(q\) ist \(3{,}6\,\text{cm}\) lang.

a) Die Dreiecke sind ähnlich, da sie im Winkel \(\beta\) übereinstimmen und beide einen rechten Winkel besitzen. b) Der Hypotenusenabschnitt \(q\) ist \(3{,}6\,\text{cm}\) lang.

- Wie verändert sich der Flächeninhalt einer Figur, wenn alle entsprechenden Seitenlängen im selben Verhältnis verändert werden? - Bestimme zuerst das Verhältnis der entsprechenden Seitenlängen der beiden Dreiecke. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Verhältnis entsprechender Längen und dem Verhältnis der Flächeninhalte bei ähnlichen Figuren.

1. Für die entsprechenden Grundseiten gilt \(\frac{g_2}{g_1}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\). 2. Das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren entspricht dem Quadrat dieses Längenverhältnisses: \(\frac{A_2}{A_1}=\left(\frac{4}{3}\right)^2\). 3. Daher ist \(A_2 = A_1 \cdot \frac{16}{9} = 54 \cdot \frac{16}{9} = 6 \cdot 16 = 96\). Der Flächeninhalt \(A_2\) beträgt \(96\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks beträgt \(96\,\text{cm}^2\).

- Skizziere die Situation. Wo liegen die Höhen der beiden Teildreiecke im Verhältnis zur Gesamthöhe des Trapezes? - Nutze die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke an den Diagonalen, um die fehlende Teilhöhe zu berechnen. - Welche Strecken in den beiden Dreiecken entsprechen einander?

1. Da \(\triangle ABS \sim \triangle CDS\), gilt für das Verhältnis der entsprechenden Höhen \(h_1\) (von \(S\) auf \(AB\)) und \(h_2\): \(\frac{h_1}{h_2} = \frac{AB}{CD}\). 2. Einsetzen der Werte zur Berechnung von \(h_1\): \(\frac{h_1}{4} = \frac{12}{8}\). 3. Berechnung von \(h_1\): \(\frac{12}{8} = 1{,}5\), also \(h_1 = 1{,}5 \cdot 4 = 6\,\text{cm}\). 4. Da \(AB \parallel CD\), ist der Abstand der beiden parallelen Seiten die Summe der senkrechten Abstände von \(S\) zu \(AB\) und \(CD\): \(H = h_1 + h_2 = 6 + 4 = 10\,\text{cm}\). Die Gesamthöhe des Trapezes beträgt \(10\,\text{cm}\).

Die Gesamthöhe des Trapezes beträgt \(10\,\text{cm}\).

- In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte des kleinen und des großen Dreiecks? - Welches Verhältnis entsprechender Längen gehört dazu? - Welche Teilstrecken bleiben anschließend an den beiden Katheten für das Trapez übrig? - Aus welchen vier Seiten setzt sich der Trapezumfang zusammen?

1. Das Verhältnis der Flächeninhalte von \(DEC\) zu \(ABC\) beträgt \(1:4\). Daher stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1:2\). 2. Somit ist \(DC=3\,\text{cm}\), \(EC=4\,\text{cm}\) und \(DE=5\,\text{cm}\). 3. Für das Trapez bleiben \(AD=3\,\text{cm}\) und \(BE=4\,\text{cm}\). 4. Der Umfang ist \(U=10\,\text{cm}+4\,\text{cm}+5\,\text{cm}+3\,\text{cm}=22\,\text{cm}\).

\(DE=5\,\text{cm}\). Der Umfang des Trapezes \(ABED\) beträgt \(22\,\text{cm}\).

- Welche besonderen Eigenschaften haben die Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck? - Wo genau im Dreieck könnte der angegebene Winkel liegen? Gibt es nur eine Möglichkeit? - Wann genau bezeichnen wir zwei Dreiecke als ähnlich? Was muss für ihre Winkel gelten? - Probiere aus, welche anderen Winkel das Dreieck haben könnte, wenn der bekannte Winkel an verschiedenen Stellen liegt.

1. Analyse der möglichen Positionen des \(50^\circ\)-Winkels in einem gleichschenkligen Dreieck: Der Winkel kann entweder der Winkel an der Spitze (zwischen den Schenkeln) oder einer der beiden Basiswinkel sein. 2. Berechnung der übrigen Winkel für Fall 1 (\(50^\circ\) ist der Winkel an der Spitze): Die Basiswinkel sind gleich groß. \(\frac{180^\circ - 50^\circ}{2} = 65^\circ\). Die Winkelkombination ist \((50^\circ; 65^\circ; 65^\circ)\). 3. Berechnung der übrigen Winkel für Fall 2 (\(50^\circ\) ist ein Basiswinkel): Der zweite Basiswinkel ist ebenfalls \(50^\circ\). Der Winkel an der Spitze ist \(180^\circ - 2 \cdot 50^\circ = 80^\circ\). Die Winkelkombination ist \((50^\circ; 50^\circ; 80^\circ)\). 4. Schlussfolgerung: Da Dreiecke nur dann ähnlich sind, wenn alle ihre entsprechenden Winkel übereinstimmen, und hier zwei unterschiedliche Sätze von Innenwinkeln möglich sind, ist die Ähnlichkeit nicht garantiert.

Die Information reicht nicht aus, da der \(50^\circ\)-Winkel entweder der Winkel an der Spitze oder ein Basiswinkel sein kann. Im ersten Fall ergeben sich die Winkel \(50^\circ, 65^\circ, 65^\circ\), im zweiten Fall jedoch \(50^\circ, 50^\circ, 80^\circ\). Da die Innenwinkel nicht in jedem Fall übereinstimmen, müssen die Dreiecke nicht ähnlich sein.

- Welche beiden Dreiecke an den Diagonalen sind wegen der parallelen Grundseiten ähnlich? - In welchem Verhältnis teilt \(S\) dadurch die Diagonale \(AC\)? - Zeichne durch \(S\) gedanklich eine Parallele zu den Grundseiten bis zur Seite \(AD\). - Welche beiden Dreiecke kannst du dann noch einmal vergleichen?

1. Wegen \(AB \parallel CD\) stimmen die Dreiecke \(ABS\) und \(CDS\) in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. Deshalb gilt \(AS:SC = AB:CD = 9:6 = 3:2\). 2. Somit ist \(\frac{AS}{AC} = \frac{3}{5}\). 3. Sei \(T\) der Punkt auf \(AD\), der mit \(S\) auf einer Parallelen zu \(AB\) und \(CD\) liegt. Dann ist \(ST\) der gesuchte Abstand. 4. Die Dreiecke \(AST\) und \(ACD\) sind ähnlich. Deshalb gilt \(\frac{ST}{CD} = \frac{AS}{AC} = \frac{3}{5}\). 5. Damit ist \(ST = 6\,\text{cm} \cdot \frac{3}{5} = 3{,}6\,\text{cm}\).

Der Abstand beträgt \(3{,}6\,\text{cm}\).

- Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck? - Bestimme jeweils den noch fehlenden Winkel. - Wie viele Paare entsprechender gleich großer Winkel reichen bei Dreiecken für die Ähnlichkeit?

1. Im Dreieck \(PQR\) ist \(\angle R=180^\circ-52^\circ-68^\circ=60^\circ\). 2. Im Dreieck \(STU\) ist \(\angle S=180^\circ-68^\circ-60^\circ=52^\circ\). 3. Damit besitzen beide Dreiecke die Winkel \(52^\circ\), \(68^\circ\) und \(60^\circ\). Sie stimmen in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich.

Ja. Es gilt \(\angle R=60^\circ\) und \(\angle S=52^\circ\); damit stimmen zwei Paare entsprechender Winkel überein und die Dreiecke sind ähnlich.

- Welche Winkelgleichheiten folgen aus den parallelen Seiten \(AB\) und \(CD\)? - In welchem Verhältnis stehen die entsprechenden Seiten \(CD\) und \(AB\)? - Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen?

1. Wegen \(AB\parallel CD\) stimmen die Dreiecke \(CDS\) und \(ABS\) in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind ähnlich. 2. Entsprechende Seiten stehen im Verhältnis \(CD:AB=5:20=1:4\). 3. Daher stehen die Flächeninhalte im Verhältnis \(1^2:4^2=1:16\).

\(A_{CDS}:A_{ABS}=1:16\)

- Welche zwei entsprechenden Seiten sind beide mit Zahlenwerten gegeben? - Bestimme daraus das gemeinsame Längenverhältnis der entsprechenden Seiten. - Achte bei den beiden gesuchten Seiten darauf, in welche Richtung du das Verhältnis anwenden musst.

1. Aus den bekannten entsprechenden Seiten folgt \(AB:A_1B_1=12:4=3:1\). 2. Damit ist \(x=BC=3\cdot5=15\). 3. Aus \(AC=3\cdot A_1C_1\) folgt \(18=3y\) und damit \(y=6\).

\(x=15\), \(y=6\)

- Wie verhalten sich die Umfänge von zwei ähnlichen Figuren zueinander? - Berechne zuerst den Umfang des ersten Dreiecks. - Übertrage das daraus gewonnene Längenverhältnis auf die drei entsprechenden Seiten.

1. Der Umfang von \(\triangle ABC\) ist \(U=6+8+10=24\). 2. Bei ähnlichen Figuren entspricht das Verhältnis der Umfänge dem Verhältnis entsprechender Längen. Hier gilt \(\frac{48}{24}=2\). 3. Damit sind \(x=2\cdot6=12\), \(y=2\cdot8=16\) und \(z=2\cdot10=20\).

\(x=12\), \(y=16\), \(z=20\)

- Nutze zuerst das Verhältnis der Umfänge, um das Verhältnis entsprechender Längen zwischen den beiden Dreiecken zu bestimmen. - Bestimme damit die entsprechende Seite \(c_1\). - Wie kannst du den verbleibenden Umfang im Verhältnis \(2:3\) aufteilen?

1. Das Längenverhältnis vom größeren zum kleineren Dreieck ist \(\frac{U_1}{U}=\frac{26}{39}=\frac{2}{3}\). 2. Daher ist \(c_1=\frac{2}{3}\cdot15\,\text{cm}=10\,\text{cm}\). 3. Für die beiden übrigen Seiten bleiben \(26\,\text{cm}-10\,\text{cm}=16\,\text{cm}\). 4. Mit \(a_1=2t\) und \(b_1=3t\) gilt \(5t=16\), also \(t=3{,}2\,\text{cm}\). 5. Damit sind \(a_1=6{,}4\,\text{cm}\) und \(b_1=9{,}6\,\text{cm}\).

\(a_1=6{,}4\,\text{cm}\), \(b_1=9{,}6\,\text{cm}\), \(c_1=10\,\text{cm}\)

- Bestimme die Winkel in beiden kleinen Teildreiecken. - Nutze die Tatsache, dass die Summe der Winkel im Dreieck \(180^\circ\) beträgt. - Wie hängen die Winkel an der Spitze \(C\) zusammen?

1. In \(\triangle ACD\) ist \(\angle ADC = 90^\circ\). In \(\triangle CBD\) ist \(\angle CDB = 90^\circ\). 2. Sei \(\angle CAD = \alpha\). Dann ist \(\angle ACD = 90^\circ - \alpha\). 3. Da \(\angle ACB = 90^\circ\), ist \(\angle BCD = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha\). 4. Somit haben beide Dreiecke die Winkel \(\alpha\) und \(90^\circ\). 5. Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind ähnlich.

Die Dreiecke sind ähnlich, weil sie in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen. Beide sind rechtwinklig und haben einen weiteren gleich großen entsprechenden Winkel, da die Summe der Teilwinkel bei \(C\) \(90^\circ\) ergibt.

- Welche Beziehung besteht zwischen den Dreiecken \(DEC\) und \(ABC\), wenn \(DE\) parallel zu \(AB\) ist? - Wenn man eine Figur maßstäblich verkleinert, wie verändert sich dann ihr Flächeninhalt im Vergleich zu ihren Seitenlängen? - Überlege dir, wie du vom Verhältnis der Flächen auf das Verhältnis der Längen kommen kannst. - Ist der Flächeninhalt proportional zur Länge oder zum Quadrat der Länge?

1. Da die Strecke \(DE\) parallel zur Seite \(AB\) verläuft, stimmen die Dreiecke \(DEC\) und \(ABC\) in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind ähnlich. 2. Das Verhältnis der Flächeninhalte zweier ähnlicher Dreiecke entspricht dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen. 3. Daher ist \(\frac{CD}{CA}=\sqrt{\frac{81}{144}}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\). 4. Das Verhältnis der Seitenlängen \(CD\) zu \(CA\) beträgt somit \(3{:}4\).

Das Verhältnis der Seitenlängen \(CD\) zu \(CA\) beträgt \(3{:}4\) (oder \(0{,}75\)).

- Welche Verhältnisse entstehen dadurch, dass \(D\), \(E\) und \(F\) Mittelpunkte sind? - Welche Umkehrung eines Strahlensatzes kann aus zwei gleichen Teilungsverhältnissen eine Parallelität liefern? - Wenn eine innere Strecke parallel zu einer Dreiecksseite ist, wie hängen ihre Länge und die entsprechenden Strahlenabschnitte zusammen?

1. Weil \(D\) und \(F\) Mittelpunkte sind, gilt \(\frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{1}{2}\). Nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes ist daher \(DF \parallel BC\). Entsprechend sind auch \(DE \parallel AC\) und \(EF \parallel AB\). 2. Mit dem zweiten Strahlensatz folgt für jedes Paar entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis \(1:2\): Die Seiten von \(DEF\) sind jeweils halb so lang wie die parallelen Seiten von \(ABC\). 3. Daher sind die Seiten von \(ABC\) \(14\,\text{cm}\), \(16\,\text{cm}\) und \(18\,\text{cm}\). 4. Der Umfang ist \(x = 14\,\text{cm} + 16\,\text{cm} + 18\,\text{cm} = 48\,\text{cm}\).

Die Seiten von \(DEF\) sind jeweils halb so lang wie die entsprechenden parallelen Seiten von \(ABC\). Daher ist \(x = 48\,\text{cm}\).

- Welche Beziehung zwischen den beiden Dreiecken folgt aus \(DE \parallel BC\)? - Wie wird aus dem Längenverhältnis \(1{:}3\) ein Verhältnis der Flächeninhalte? - Wenn du die Fläche des gesamten Dreiecks kennst, wie erhältst du die Fläche des verbleibenden Vierecks?

1. Weil \(DE \parallel BC\) gilt, stimmen die Dreiecke \(\triangle ADE\) und \(\triangle ABC\) in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 2. Aus \(AD{:}AB=1{:}3\) folgt für entsprechende Längen vom kleinen zum großen Dreieck das Verhältnis \(1:3\). 3. Daher stehen die Flächeninhalte im Verhältnis \(1:3^2=1:9\). Somit ist \(S_{ABC} = 5\,\text{cm}^2 \cdot 9 = 45\,\text{cm}^2\). 4. Für das Viereck bleibt \(x = 45\,\text{cm}^2 - 5\,\text{cm}^2 = 40\,\text{cm}^2\).

\(x = 40\,\text{cm}^2\)

- Wie erhältst du aus dem Verhältnis zweier Flächeninhalte das Verhältnis entsprechender Längen? - Wie verhalten sich die Umfänge ähnlicher Figuren zum Verhältnis entsprechender Längen? - Nutze anschließend die gegebene Summe der beiden Umfänge.

1. Das Verhältnis der Flächeninhalte ist \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}\). 2. Daher stehen entsprechende Längen von \(ABC\) und \(DEF\) im Verhältnis \(1:1{,}5\), denn \(\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1{,}5\). 3. Auch die Umfänge stehen im Verhältnis \(1{,}5:1\), also ist \(y=1{,}5x\). 4. Aus \(x + 1{,}5x = 45\,\text{cm}\) folgt \(2{,}5x = 45\,\text{cm}\) und damit \(x = 18\,\text{cm}\). 5. Somit ist \(y = 27\,\text{cm}\).

\(x = 18\,\text{cm}\) \(y = 27\,\text{cm}\)

- Bestimme zuerst das Verhältnis \(BD:BA\). - In welchem Verhältnis stehen dadurch entsprechende Längen der ähnlichen Dreiecke \(BDE\) und \(BAC\)? - Welches Verhältnis der Flächeninhalte gehört zu diesem Längenverhältnis?

1. Aus \(BD:DA=1:2\) folgt \(BD:BA=1:3\). 2. Wegen \(DE\parallel AC\) sind die Dreiecke \(BDE\) und \(BAC\) ähnlich; entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:3\). 3. Daher stehen ihre Flächeninhalte im Verhältnis \(1:9\), also ist \(S_{BDE}=\frac{1}{9}S_{ABC}\). 4. Für das Viereck gilt \(S_{ADEC}=S_{ABC}-S_{BDE}=\frac{8}{9}S_{ABC}\). 5. Somit ist \(\frac{8}{9}x=40\,\text{FE}\) und daher \(x=45\,\text{FE}\).

\(x=45\,\text{FE}\)

- Welche Seiten entsprechen einander in der angegebenen Ähnlichkeit \(ABC\sim CAD\)? - Suche eine Verhältnisgleichung, in der die Diagonale \(AC\) zweimal als entsprechende Seite vorkommt. - Welche Bedingung muss eine Lösung erfüllen, damit sie als Länge infrage kommt?

1. Aus \(ABC\sim CAD\) folgt für entsprechende Seiten \(\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CD}\). 2. Mit \(AB=9\), \(CD=4\) und \(AC=x\) gilt \(\frac{9}{x}=\frac{x}{4}\). 3. Daraus folgt \(x^2=36\). Da eine Länge positiv ist, gilt \(x=6\).

\(\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CD}\), also \(x=6\).

- Stelle die Verhältnisgleichungen für die ähnlichen Dreiecke auf. - Achte darauf, welche Seiten einander entsprechen. Die parallelen Seiten geben oft einen Hinweis auf die Orientierung.

1. Aufgrund der Ähnlichkeit \(\triangle PQS \sim \triangle QSR\) gilt für die entsprechenden Seiten: \(\frac{PQ}{QS} = \frac{QS}{RS}\). 2. Einsetzen: \(\frac{8}{x} = \frac{x}{18} \Rightarrow x^2 = 144 \Rightarrow x = 12\). 3. Weiterhin gilt für entsprechende Seiten: \(\frac{PS}{QR} = \frac{PQ}{QS}\). 4. Einsetzen: \(\frac{y}{15} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\). 5. Auflösen nach \(y\): \(y = 15 \cdot \frac{2}{3} = 10\).

\(x = 12\) und \(y = 10\)

- Welche zwei Dreiecke besitzen den gemeinsamen Winkel bei \(P\)? - Welcher zweite Winkel ist laut Angabe gleich groß? - Achte bei der Verhältnisgleichung auf die Reihenfolge der entsprechenden Eckpunkte. - Wie erhältst du \(SQ\), wenn \(PQ\) bekannt ist?

1. Die Dreiecke \(PRS\) und \(PQR\) haben den Winkel bei \(P\) gemeinsam. Mit \(\angle PRS = \angle PQR\) stimmen sie in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 2. Aus der Zuordnung folgt \(\frac{PQ}{PR}=\frac{PR}{PS}\). 3. Damit gilt \(\frac{x}{12}=\frac{12}{9}\), also \(x=16\). 4. Schließlich ist \(y=SQ=PQ-PS=16-9=7\).

\(x=16\), \(y=7\)

- Zeichne die Situation auf. Welche beiden Dreiecke entstehen mit der gemeinsamen Spitze \(P\)? - Warum sind diese Dreiecke wegen \(g\parallel h\) ähnlich? - Wie verhalten sich die Abstände des Schnittpunkts zu den Parallelen im Vergleich zu den Längen der von den Parallelen begrenzten Strecken?

1. Die beiden durch die parallelen Geraden und die Transversalen gebildeten Dreiecke mit der gemeinsamen Spitze \(P\) sind ähnlich (Wechselwinkel an Parallelen). 2. Sei \(h_g\) der Abstand von \(P\) zu \(g\) und \(h_h\) der Abstand von \(P\) zu \(h\). Es gilt \(h_g + h_h = 10\,\text{cm}\). 3. Das Verhältnis der Höhen entspricht dem Verhältnis der Grundseiten: \(\frac{h_g}{h_h} = \frac{12}{8} = 1{,}5\). 4. Daraus folgt \(h_g = 1{,}5 \cdot h_h\). 5. Einsetzen in die Summe: \(1{,}5 \cdot h_h + h_h = 10 \Rightarrow 2{,}5 \cdot h_h = 10\). 6. Berechnung von \(h_h\): \(h_h = \frac{10}{2{,}5} = 4\,\text{cm}\).

Der Abstand des Schnittpunktes \(P\) von der Geraden \(h\) beträgt \(4\,\text{cm}\).

- Welche Eckpunkte entsprechen einander aufgrund der markierten Winkel? - Welches bekannte Seitenpaar liefert das Längenverhältnis der beiden Dreiecke? - Welche Verhältnisgleichungen gehören danach zu \(y\) und zu \(x\)?

1. Aus der Winkelzuordnung folgt \(M\leftrightarrow C\), \(N\leftrightarrow A\) und damit \(K\leftrightarrow B\). 2. Für die entsprechenden Seiten \(KN\) und \(BA\) gilt \(\frac{KN}{BA}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\). 3. Daher ist \(\frac{MN}{CA}=\frac{y}{12}=\frac{1}{2}\), also \(y=6\). 4. Ebenso gilt \(\frac{KM}{BC}=\frac{x}{x+3}=\frac{1}{2}\). Daraus folgt \(x=3\).

\(x=3\), \(y=6\)

- Welche Winkelgleichheiten folgen aus den Scheitelwinkeln bei \(O\) und aus \(MQ\parallel LN\)? - Welches Verhältnis der beiden Parallelstrecken entspricht dem Verhältnis \(MO:OL\)? - Wie kannst du ein festes Verhältnis zusammen mit der Summe \(MQ+LN\) verwenden?

1. Die Dreiecke \(MOQ\) und \(LON\) haben bei \(O\) Scheitelwinkel. Wegen \(MQ\parallel LN\) ist außerdem ein weiteres Paar entsprechender Winkel gleich groß. Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 2. Für entsprechende Seiten gilt \(\frac{MQ}{LN}=\frac{MO}{OL}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}\). 3. Setze \(MQ=5t\) und \(LN=3t\). Aus \(5t+3t=32\) folgt \(t=4\). Damit sind \(MQ=20\) und \(LN=12\). 4. Für die zweite Schnittgerade gilt \(\frac{QO}{ON}=\frac{MO}{OL}=\frac{5}{3}\). Daher ist \(\frac{30}{ON}=\frac{5}{3}\), also \(ON=18\).

Wegen der Scheitelwinkel bei \(O\) und eines weiteren Paars gleich großer entsprechender Winkel an \(MQ\parallel LN\) gilt \(\triangle MOQ\sim\triangle LON\). Außerdem sind \(MQ=20\), \(LN=12\) und \(ON=18\).

- Welche zwei Dreiecke besitzen den Winkel bei \(R\) gemeinsam? - Welche weitere Winkelgleichheit ist gegeben, und was folgt daraus für die beiden Dreiecke? - Ordne anschließend die entsprechenden Seiten in derselben Reihenfolge zu.

1. Die Dreiecke \(RKE\) und \(RTK\) sind ähnlich, da sie den Winkel bei \(R\) gemeinsam haben und zusätzlich \(\angle RKE = \angle RTK\) gilt. 2. Es gilt \(\frac{RE}{RK} = \frac{RK}{RT}\). Mit \(RK=15\) und \(RT=25\) folgt \(\frac{x}{15} = \frac{15}{25}\). 3. Somit ist \(x = \frac{15 \cdot 15}{25} = 9\). 4. Weiterhin gilt \(\frac{KE}{KT} = \frac{RK}{RT}\). 5. Einsetzen ergibt \(\frac{y}{20} = \frac{15}{25} = 0{,}6\), also \(y = 20 \cdot 0{,}6 = 12\).

\(x = 9\), \(y = 12\)

- Wie hängen Außen- und Innenwinkel zusammen? - Was weißt du über die Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck?

1. Im linken Dreieck ist der Außenwinkel an der Basis \(120^\circ\). Der Innenwinkel an dieser Ecke ist \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). 2. Da das Dreieck gleichschenklig ist und ein Basiswinkel \(60^\circ\) beträgt, ist auch der andere Basiswinkel \(60^\circ\). Der Winkel an der Spitze ist dann ebenfalls \(180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ\). Es ist also ein gleichseitiges Dreieck. 3. Im rechten Dreieck ist der Winkel an der Spitze mit \(60^\circ\) angegeben. Da es gleichschenklig ist, sind die Basiswinkel \((180^\circ - 60^\circ){:}2 = 60^\circ\). 4. Beide Dreiecke haben die Winkel \(60^\circ, 60^\circ, 60^\circ\). 5. Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind ähnlich.

Ja. Beide Dreiecke sind gleichseitig und haben daher nur Winkel der Größe \(60^\circ\); damit stimmen sie insbesondere in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind ähnlich.

- Welche Winkel in den beiden Dreiecken sind sicher gleich groß? - Welche Dreiecke teilen sich den Winkel bei \(A\)? - Ordne nach dem Ähnlichkeitsnachweis die entsprechenden Seiten so, dass \(CD\) in deiner Verhältnisgleichung vorkommt.

1. In \(\triangle ACD\) gilt \(\angle ADC=90^\circ\), in \(\triangle ABC\) gilt \(\angle ACB=90^\circ\). Außerdem haben beide Dreiecke den Winkel bei \(A\) gemeinsam. Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 2. Aus der Ähnlichkeit folgt \(\frac{CD}{BC}=\frac{AC}{AB}\). 3. Einsetzen ergibt \(\frac{CD}{8\,\text{cm}}=\frac{6\,\text{cm}}{10\,\text{cm}}\). 4. Damit ist \(CD=8\,\text{cm}\cdot\frac{6}{10}=4{,}8\,\text{cm}\).

a) \(\triangle ACD\sim\triangle ABC\), weil beide einen rechten Winkel besitzen und den Winkel bei \(A\) gemeinsam haben. b) \(\frac{CD}{BC}=\frac{AC}{AB}\), also \(CD=4{,}8\,\text{cm}\).

- Welche rechten Winkel entstehen durch die beiden Höhen? - Welcher Winkel bei \(C\) gehört zu beiden betrachteten Dreiecken? - Welche Seiten entsprechen einander, wenn du die Dreiecke in passender Reihenfolge notierst?

1. In den Dreiecken \(ADC\) und \(BEC\) gilt \(\angle ADC=\angle BEC=90^\circ\). Außerdem ist der Winkel bei \(C\) in beiden Dreiecken der Winkel zwischen den Geraden \(AC\) und \(BC\). Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich: \(\triangle ADC\sim\triangle BEC\). 2. Entsprechend gehören \(AD\) zu \(BE\) und \(AC\) zu \(BC\). Deshalb gilt \(\frac{AD}{AC}=\frac{BE}{BC}\). 3. Einsetzen ergibt \(\frac{AD}{10\,\text{cm}}=\frac{6\,\text{cm}}{15\,\text{cm}}\). 4. Daraus folgt \(AD=4\,\text{cm}\).

a) \(\triangle ADC\sim\triangle BEC\), weil zwei entsprechende Winkel jeweils gleich groß sind. b) \(\frac{AD}{AC}=\frac{BE}{BC}\), also \(AD=4\,\text{cm}\).

- Welche Seite des Rechtecks ist parallel zu \(AB\)? - Welche Winkelpaare entstehen dadurch in dem kleinen und dem großen Dreieck? - Bestimme die Höhe des Dreiecks oberhalb des Rechtecks, bevor du entsprechende Längen vergleichst.

1. Da \(SR\parallel AB\) gilt, stimmen die Dreiecke \(SRC\) und \(ABC\) in der Größe zweier entsprechender Winkel überein. Daher ist \(\triangle SRC\sim\triangle ABC\). 2. Die Höhe des kleinen Dreiecks ist \(10\,\text{cm}-4\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). 3. Aus der Ähnlichkeit folgt \(\frac{SR}{AB}=\frac{6}{10}\). 4. Somit ist \(SR=15\,\text{cm}\cdot\frac{6}{10}=9\,\text{cm}\).

a) \(\triangle SRC\sim\triangle ABC\) b) \(SR=9\,\text{cm}\)

- Welches Längenverhältnis entsteht auf \(BC\), weil \(M\) der Mittelpunkt ist? - Welcher Punkt ist jeweils der Scheitelpunkt der beiden Strahlensatzfiguren zu \(ME\parallel AB\) und \(MF\parallel AC\)? - Welche der beiden Strahlensatzformen vergleicht nur Entfernungen vom Scheitelpunkt, und welche bezieht die parallelen Querstrecken ein?

1. Weil \(M\) der Mittelpunkt von \(BC\) ist, gilt \(\frac{CM}{CB}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}\). 2. Für \(ME\parallel AB\) gilt nach dem ersten Strahlensatz \(\frac{CE}{CA}=\frac{CM}{CB}=\frac{1}{2}\) und nach dem zweiten Strahlensatz \(\frac{ME}{AB}=\frac{CM}{CB}=\frac{1}{2}\). Daher sind \(CE=10\,\text{m}\), \(AE=10\,\text{m}\) und \(ME=8\,\text{m}\). 3. Für \(MF\parallel AC\) gilt entsprechend \(\frac{BF}{BA}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}\) sowie \(\frac{MF}{AC}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}\). Somit sind \(BF=8\,\text{m}\), \(AF=8\,\text{m}\) und \(MF=10\,\text{m}\). 4. Der Umfang ist \(U=AF+FM+ME+EA=8\,\text{m}+10\,\text{m}+8\,\text{m}+10\,\text{m}=36\,\text{m}\).

\(U_{AFME}=36\,\text{m}\)

- Überlege dir, warum die Dreiecke \(MNC\) und \(ABC\) die gleiche Form haben (ähnlich sind). - Wie verhalten sich die Seitenlängen der beiden Dreiecke zueinander, wenn \(M\) die Mitte von \(BC\) ist? - Wenn man alle Seitenlängen einer Figur halbiert, wie ändert sich dann ihr Flächeninhalt? - Denke an den Zusammenhang zwischen dem Verhältnis entsprechender Längen und dem Verhältnis der Flächeninhalte bei ähnlichen Figuren.

1. Die Dreiecke \(MNC\) und \(BAC\) sind ähnlich zueinander (\(\triangle MNC \sim \triangle BAC\)), da sie den Winkel bei \(C\) gemeinsam haben und aufgrund der Parallelität von \(MN\) und \(AB\) die entsprechenden Stufenwinkel gleich groß sind. 2. Da \(M\) der Mittelpunkt der Strecke \(BC\) ist, gilt für entsprechende Seiten \(\frac{MC}{BC}=\frac{1}{2}\). 3. Das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren entspricht dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen: \(\frac{A_{MNC}}{A_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\). 4. Das gesuchte Verhältnis der Flächeninhalte beträgt somit \(1{:}4\).

\(1{:}4\)

- Ordne zunächst die kürzeste, mittlere und längste Seite der beiden Dreiecke einander zu. - Welche beiden Seiten treffen sich jeweils an einem entsprechenden Eckpunkt? - Prüfe Linas Verhältnis mit den Seitenlängen, bevor du eine neue Zuordnung festlegst.

1. Im kleinen Dreieck haben die Seiten die Längen \(5,7,8\), im großen Dreieck \(10,14,16\). Die entsprechenden Seiten erkennt man an demselben Größenrang: \(5\leftrightarrow10\), \(7\leftrightarrow14\), \(8\leftrightarrow16\). 2. Damit entspricht \(AB=8\) der Seite \(DE=16\), \(AC=5\) der Seite \(DF=10\) und \(BC=7\) der Seite \(EF=14\). 3. Folglich ist die korrekte Eckpunktzuordnung \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\), \(C\leftrightarrow F\). Lina hat \(E\) und \(F\) vertauscht und dadurch nicht entsprechende Seiten verglichen. 4. Das gemeinsame Längenverhältnis vom kleineren zum größeren Dreieck beträgt \(1:2\).

Lina hat \(E\) und \(F\) vertauscht. Korrekt ist \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\), \(C\leftrightarrow F\). Entsprechende Seiten stehen vom kleineren zum größeren Dreieck im Verhältnis \(1:2\).

- Ordne zuerst kürzeste, mittlere und längste Seite in beiden Dreiecken. - Eine Drehung der Zeichnung ändert nicht, welche Seiten einander entsprechen. - Prüfe das gemeinsame Längenverhältnis erst nach einer konsistenten Zuordnung aller drei Seitenpaare.

1. Lara ordnet Seiten nur nach ihrer Lage in den beiden Zeichnungen zu. Bei gedrehten Dreiecken ist das keine sichere Zuordnung. 2. Im ersten Dreieck haben die Seiten die Längen \(4,6,8\), im zweiten \(6,9,12\). 3. Entsprechend gehören deshalb \(AB\leftrightarrow EF\), \(BC\leftrightarrow FD\) und \(AC\leftrightarrow DE\). 4. Für diese Paare gilt \(\frac{6}{4}=\frac{9}{6}=\frac{12}{8}=1{,}5\). 5. Entsprechende Längen des ersten und zweiten Dreiecks stehen im Verhältnis \(1:1{,}5\).

Lara hat die entsprechenden Seiten falsch zugeordnet. Richtig ist \(AB\leftrightarrow EF\), \(BC\leftrightarrow FD\), \(AC\leftrightarrow DE\); entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:1{,}5\).

- Betrachte für jedes Seil ein kleines und ein großes rechtwinkliges Dreieck. - Drücke die Kreuzungshöhe einmal mit dem linken und einmal mit dem rechten horizontalen Teilabstand aus. - Wie ergänzen sich diese beiden horizontalen Teilabstände zum gesamten Pfostenabstand?

1. Sei \(d\) der Abstand der Pfosten und \(x\) der waagerechte Abstand des Kreuzungspunkts vom linken Pfosten. 2. Aus den ähnlichen Dreiecken am Seil vom linken Pfosten folgt \(\frac{h}{4}=\frac{d-x}{d}\). 3. Aus den ähnlichen Dreiecken am Seil vom rechten Pfosten folgt \(\frac{h}{12}=\frac{x}{d}\). 4. Addieren liefert \(\frac{h}{4}+\frac{h}{12}=1\). 5. Damit ist \(h\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)=1\), also \(h\cdot\frac{1}{3}=1\) und somit \(h=3\,\text{m}\).

Die beiden Seile kreuzen sich in \(3\,\text{m}\) Höhe.

- Welche Seiten der beiden Dreiecke liegen auf parallelen Geraden? - In welchem Verhältnis stehen die entsprechenden Grundseiten \(AB\) und \(FD\)? - Wie hängen die beiden zugehörigen Höhen mit dem Abstand \(a\) zwischen den parallelen Geraden zusammen? - Wie erhältst du aus Grundseite und Höhe den Flächeninhalt des blauen Dreiecks?

1. Es gilt \(AB \parallel FD\). Zusammen mit den Scheitelwinkeln bei \(S\) stimmen die Dreiecke \(ABS\) und \(DFS\) in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 2. Es ist \(AB=a\) und \(FD=2a\). Entsprechende Längen im größeren Dreieck sind daher doppelt so groß. 3. Sei \(h\) die Höhe von \(S\) über \(AB\). Der Abstand von \(S\) zu \(FD\) ist \(a-h\). Aus der Ähnlichkeit folgt \(\frac{a-h}{h}=2\). 4. Daraus folgt \(a-h=2h\) und somit \(h=\frac{a}{3}\). 5. Daher ist \(A_{ABS}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{a}{3}=\frac{1}{6}a^2\).

a) Ja. \(ABS\) und \(DFS\) stimmen in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. b) \(A_{ABS}=\frac{1}{6}a^2\)

- Forme jede der beiden Produktgleichungen zunächst getrennt in eine Verhältnisgleichung um. - Versuche, in beiden Verhältnisgleichungen denselben Quotienten auf einer Seite zu erhalten. - Welche drei Seitenpaare der Dreiecke \(ABC\) und \(PBK\) ergeben sich daraus als entsprechend?

1. Aus \(AB\cdot BK=CB\cdot BP\) folgt durch Division durch \(BP\cdot BK\): \(\frac{AB}{BP}=\frac{CB}{BK}\). 2. Aus \(AB\cdot PK=AC\cdot BP\) folgt durch Division durch \(BP\cdot PK\): \(\frac{AB}{BP}=\frac{AC}{PK}\). 3. Damit gilt \(\frac{AB}{BP}=\frac{CB}{BK}=\frac{AC}{PK}\). 4. Alle drei Paare entsprechender Seiten haben dasselbe Längenverhältnis. Daher sind \(\triangle ABC\) und \(\triangle PBK\) ähnlich.

Aus den beiden Produktgleichungen folgt \(\frac{AB}{BP}=\frac{CB}{BK}=\frac{AC}{PK}\). Damit stimmen die Längenverhältnisse aller drei Paare entsprechender Seiten überein, also sind die Dreiecke ähnlich.

- In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte, wenn entsprechende Seiten im Verhältnis \(4:3\) stehen? - Drücke \(S_2\) mithilfe dieses Verhältnisses durch \(S_1\) aus. - Wie kannst du anschließend die gegebene Flächendifferenz verwenden?

1. Entsprechende Seiten von \(T_2\) und \(T_1\) stehen im Verhältnis \(\frac{4}{3}\). Daher gilt \(\frac{S_2}{S_1}=\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}\). 2. Somit ist \(S_2=\frac{16}{9}S_1\). Mit der Differenzbedingung folgt \(\frac{16}{9}S_1-S_1=28\,\text{cm}^2\). 3. Daraus ergibt sich \(\frac{7}{9}S_1=28\,\text{cm}^2\) und damit \(S_1=36\,\text{cm}^2\). 4. Folglich ist \(S_2=36\,\text{cm}^2+28\,\text{cm}^2=64\,\text{cm}^2\).

\(S_1=36\,\text{cm}^2\), \(S_2=64\,\text{cm}^2\)

- Welche beiden rechten Winkel entstehen durch die Höhe \(PS\)? - Warum ist der Winkel bei \(R\) im rechten Teildreieck derselbe Winkel wie \(\angle PRQ\)? - Ordne nach dem Nachweis über zwei gleich große entsprechende Winkel die entsprechenden Seiten, bevor du eine Verhältnisgleichung aufstellst.

1. Die Dreiecke \(QPS\) und \(PRS\) sind beide rechtwinklig bei \(S\). Da \(S\) auf \(QR\) liegt, ist \(\angle PRS=\angle PRQ\). Mit \(\angle QPS=\angle PRQ\) stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 2. Bei dieser Zuordnung entsprechen \(QS\) und \(PS\) sowie \(PS\) und \(SR\) einander. Daher gilt \(\frac{QS}{PS}=\frac{PS}{SR}\). 3. Mit \(PS=x\) ergibt sich \(\frac{4}{x}=\frac{x}{9}\), also \(x^2=36\). 4. Da \(x\) eine Länge ist, gilt \(x=6\).

\(\triangle QPS\sim\triangle PRS\), weil zwei entsprechende Winkel gleich groß sind; außerdem \(\frac{QS}{PS}=\frac{PS}{SR}\) und \(PS=6\).

- Welche Gesamtlänge erhältst du aus \(BD\) und \(DC\)? - Welche zwei Dreiecke haben den Winkel bei \(B\) gemeinsam? - Welche Seiten entsprechen einander, wenn du die Winkelzuordnung beachtest?

1. Zunächst ist \(BC=BD+DC=12\,\text{cm}\). 2. Die Dreiecke \(ABD\) und \(CBA\) haben den Winkel bei \(B\) gemeinsam. Mit \(\angle BAD = \angle BCA\) stimmen sie in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 3. Daher gilt \(\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}\). 4. Einsetzen liefert \(\frac{AB}{12}=\frac{3}{AB}\), also \(AB^2=36\). 5. Als positive Länge ist \(AB=6\,\text{cm}\).

\(AB=6\,\text{cm}\)

- Überlege dir zuerst, welche Winkel in der Zeichnung gleich groß sind. Was bedeutet das für das Dreieck \(ABD\)? - Findest du zwei Dreiecke, die in zwei Winkeln übereinstimmen? Diese müssen ähnlich sein. - Stelle die Verhältnisse der entsprechenden Seitenlängen in den ähnlichen Dreiecken auf. - Denke daran, dass die Gesamtlänge der Seite \(AC\) die Summe der beiden Teilstrecken ist.

1. Da \(BD\) den Winkel \(\angle B\) halbiert, gilt \(\angle ABD = \angle CBD\). Da zudem \(\angle CBD = \angle A\) gegeben ist, folgt \(\angle ABD = \angle A\). Somit ist das Dreieck \(ABD\) gleichschenklig mit \(BD = AD = 5\,\text{cm}\). 2. Die Dreiecke \(BCD\) und \(ACB\) haben den Winkel bei \(C\) gemeinsam. Da außerdem \(\angle CBD = \angle A\) gilt, stimmen sie in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind ähnlich: \(\triangle BCD \sim \triangle ACB\). 3. Aus den Verhältnissen entsprechender Seiten folgt: \(\frac{BC}{AC} = \frac{CD}{BC}\). Mit \(AC = CD + DA = 4 + 5 = 9\,\text{cm}\) ergibt sich die Gleichung \(\frac{x}{9} = \frac{4}{x}\), also \(x^2 = 36\). Da Längen positiv sind, ist \(x = 6\,\text{cm}\). 4. Weiterhin gilt für die dritte Seite: \(\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{BC}\). Einsetzen der bekannten Werte liefert \(\frac{5}{y} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Auflösen nach \(y\) ergibt \(2y = 15\), also \(y = 7{,}5\,\text{cm}\).

Die gesuchten Längen sind \(x = 6\,\text{cm}\) und \(y = 7{,}5\,\text{cm}\).

- Welche zwei Dreiecke enthalten die markierten gleichen Winkel und zusätzlich denselben Winkel bei \(M\)? - Welche gesamte Strecke erhältst du aus \(ML\) und \(LK\)? - Ordne die entsprechenden Seiten der ähnlichen Dreiecke, bevor du eine Gleichung für \(x\) aufstellst.

1. Die Dreiecke \(MNL\) und \(MKN\) haben den Winkel bei \(M\) gemeinsam, weil \(ML\) und \(MK\) auf demselben Strahl liegen. Zusätzlich gilt \(\angle MNL=\angle MKN\). Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich: \(\triangle MNL\sim\triangle MKN\). 2. Zunächst ist \(MK=ML+LK=9+7=16\). 3. Aus der Zuordnung folgt \(\frac{MN}{ML}=\frac{MK}{MN}\). Mit \(MN=x\) ergibt sich \(\frac{x}{9}=\frac{16}{x}\), also \(x^2=144\) und damit \(x=12\). 4. Außerdem gilt \(\frac{NL}{KN}=\frac{ML}{MN}\). Daher ist \(\frac{y}{14}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\) und somit \(y=10{,}5\).

\(x=12\), \(y=10{,}5\)

- Welche beiden Winkel sind unmittelbar rechte Winkel? - Welche beiden spitzen Winkel ergänzen jeweils denselben Winkel zu \(90^\circ\)? - Welches gegebene Seitenpaar liefert nach dem Ähnlichkeitsnachweis das Verhältnis entsprechender Längen? - Welche Seiten entsprechen dann \(KR\) und \(KO\)?

1. Es gilt \(\angle KRO=\angle OLM=90^\circ\). 2. Wegen \(\angle KOM=90^\circ\) ergänzen sich die Winkel \(\angle KOR\) und \(\angle MOL\) zu \(90^\circ\). Im rechtwinkligen Dreieck \(KRO\) ergänzen sich auch \(\angle RKO\) und \(\angle KOR\) zu \(90^\circ\). Daher ist \(\angle RKO=\angle MOL\). 3. Somit stimmen \(KRO\) und \(OLM\) in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 4. Aus \(\frac{RO}{LM}=\frac{15}{6}=2{,}5\) folgt, dass entsprechende Längen im größeren Dreieck \(2{,}5\)-mal so groß sind. 5. Daher ist \(x=KR=2{,}5\cdot8=20\) und \(y=KO=2{,}5\cdot10=25\).

\(x=20\), \(y=25\)

- Trenne die beiden verlangten Begründungen konsequent voneinander. - Für den Seitenweg müssen alle drei entsprechenden Seitenpaare denselben Quotienten liefern. - Überlege für c), welche Informationen nach dem Entfernen der Winkelmarkierungen vollständig erhalten bleiben.

1. Die jeweils gleich markierten Winkel liefern zwei Paare entsprechender gleich großer Winkel. Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 2. Die Seitenlängen des ersten Dreiecks sind \(5,7,8\), die des zweiten \(10,14,16\). 3. Es gilt \(\frac{10}{5}=\frac{14}{7}=\frac{16}{8}=2\). Daher folgt die Ähnlichkeit auch aus der Proportionalität aller drei entsprechenden Seiten. 4. Ohne Winkelmarkierungen bleibt der Nachweis über die drei proportionalen Seiten vollständig erhalten.

a) Ähnlich, weil zwei entsprechende Winkel jeweils gleich groß sind. b) Ähnlich, weil alle drei Verhältnisse entsprechender Seiten gleich \(2\) sind. c) Ohne Winkelmarkierungen bleibt der Nachweis über die proportionalen Seiten möglich.

- Warum haben die kleinen Dreiecke dieselbe Form wie das große Dreieck? - Wie hängen das Verhältnis entsprechender Längen und das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke zusammen? - Kannst du die entsprechenden Grundseiten der drei kleinen Dreiecke gedanklich so anordnen, dass sie zusammen eine Seite des großen Dreiecks ergeben? - Welche Größe erhältst du, wenn du aus einem Flächeninhalt die zugehörige lineare Verhältnisgröße zurückgewinnen willst?

1. Aufgrund der parallelen Geraden sind die drei kleinen Dreiecke \(ENM\), \(MQF\) und \(PMK\) ähnlich zum großen Dreieck \(ABC\). 2. Für ein kleines Dreieck mit Flächeninhalt \(S_i\) und das große Dreieck mit Flächeninhalt \(S\) gilt \(\frac{\sqrt{S_i}}{\sqrt{S}}=\frac{a_i}{a}\), weil die Flächeninhalte mit dem Quadrat des Längenverhältnisses zusammenhängen. 3. Aus der geometrischen Anordnung folgt, dass die drei entsprechenden Teilstrecken zusammen eine ganze Seite des großen Dreiecks ergeben. Daher ist \(\sqrt{S}=\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}\). 4. Somit gilt \(\sqrt{S}=2\,\text{cm}+3\,\text{cm}+5\,\text{cm}=10\,\text{cm}\). 5. Daher ist \(S=(10\,\text{cm})^2=100\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) beträgt \(100\,\text{cm}^2\).

- Bestimme zuerst die gesamte Hypotenuse \(KM\). - Nutze die Ähnlichkeit von \(\triangle EFM\) und \(\triangle KNM\), um \(EF\), \(FM\) und \(NF\) auszudrücken. - Verwende anschließend \(EF = NF\) und den Satz des Pythagoras.

1. \(KM = 70\). Aus \(\Delta EFM \sim \Delta KNM\) folgt \(\frac{EF}{KN} = \frac{FM}{NM} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}\). 2. \(EF = \frac{3}{7} KN\) und \(FM = \frac{3}{7} NM\). 3. \(NF = NM - FM = \frac{4}{7} NM\). 4. \(EF = NF \Rightarrow \frac{3}{7} KN = \frac{4}{7} NM \Rightarrow KN = \frac{4}{3} NM\). 5. \(NM^2 + (\frac{4}{3} NM)^2 = 70^2 \Rightarrow \frac{25}{9} NM^2 = 4900\). 6. \(NM^2 = 1764 \Rightarrow NM = 42\). 7. \(KN = \frac{4}{3} \cdot 42 = 56\). 8. \(U = 42 + 56 + 70 = 168\).

\(x = U_{KNM} = 168\)